Apostila Mecânica Aplicada

Mecnica Aplicada

SERVIO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL SENAI MG

MECNICA APLICADA

_______________________________________ 1 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada

Presidente da FIEMG Olavo Machado Jnior

Gestor do SENAI Petrnio Machado Zica Diretor Regional do SENAI e Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Lcio Jos de Figueiredo Sampaio Gerente de Educao Profissional Edmar Fernando de Alcntara

Unidade Operacional Centro Integrado de Desenvolvimento do Trabalhador Luiz Adelar Scheuer

Reviso Centro Integrado de Desenvolvimento do Trabalhador Luiz Adelar Scheuer


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SumrioApresentao......................................................................................................... 5 1 Fsica e seu mtodo ........................................................................................... 6 1.1 Sistema Internacional de Unidades (15 CGPM/1975) .................................. 8 1.2 Outras Unidades ............................................................................................ 9 1.3 Prescries Gerais ........................................................................................ 9 Tabela I Prefixos SI ........................................................................................ 12 Tabela II Outras Unidades do SI admitidas temporariamente ........................ 12 1.4 Preciso e Arredondamento dos Nmeros .................................................. 15 1.5 Relaes Mtricas Lineares......................................................................... 16 Alfabeto Grego................................................................................................... 17 Exerccios (Sistemas de Unidades) ................................................................... 18 2 Cinemtica Escalar .......................................................................................... 24 Estudo dos movimentos..................................................................................... 24 Ponto material e corpo extenso ......................................................................... 24 Repouso, movimento e referencial .................................................................... 24 Trajetria............................................................................................................ 24 Posio escalar ................................................................................................. 25 Deslocamento e caminho percorrido ................................................................. 26 Velocidade escalar mdia.................................................................................. 26 Velocidade escalar instantnea ......................................................................... 27 Exerccios (Cinemtica Escalar) ........................................................................ 28 3 Movimento Uniforme........................................................................................ 29 Definio............................................................................................................ 29 Funo Horria do MU ...................................................................................... 29 Exerccios (Movimento Uniforme)...................................................................... 30 4 Movimento Uniformemente Variado ............................................................... 32 _______________________________________ 3 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada Acelerao escalar mdia.................................................................................. 32 Acelerao escalar instantnea......................................................................... 32 Movimento acelerado e retardado ..................................................................... 33 Definio............................................................................................................ 34 Funes horrias do M.U.V. .............................................................................. 34 Equao de Torricelli ......................................................................................... 35 Exerccios (Movimento Uniformemente Variado)............................................... 36 5 Movimento Vertical no Vcuo ......................................................................... 37 Introduo.......................................................................................................... 37 Descrio Matemtica ....................................................................................... 37 Exerccios (Movimento Vertical no Vcuo) ........................................................ 37 6 Cinemtica Vetorial .......................................................................................... 38 Grandezas escalares e grandezas vetoriais ...................................................... 38 Vetor .................................................................................................................. 38 Operaes com vetores..................................................................................... 39 Projees de um vetor....................................................................................... 40 Exerccios (Vetores) .......................................................................................... 40 7 Dinmica ........................................................................................................... 41 Princpio da Inrcia (1 Lei de Newton).............................................................. 41 Princpio Fundamental da Dinmica (2 Lei de Newton).................................... 41 Princpio da Ao-e-Reao (3 Lei de Newton) ............................................... 42 Exerccios (Dinmica) ........................................................................................ 42 8 Foras de Atrito................................................................................................ 45 Atrito Dinmico .................................................................................................. 45 Exerccios (Atrito Dinmico)............................................................................... 46 Atrito Esttico..................................................................................................... 47 Exerccios (Atrito Esttico)................................................................................. 48 Referncias .......................................................................................................... 49 _______________________________________ 4 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

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Apresentao

Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do conhecimento. Peter Drucker

O ingresso na sociedade da informao exige mudanas profundas em todos os perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produo, coleta, disseminao e uso da informao. O SENAI, maior rede privada de educao profissional do pas, sabe disso, e, consciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a gide do conceito da competncia: formar o profissional com responsabilidade no processo produtivo, com iniciativa na resoluo de problemas, com conhecimentos tcnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e conscincia da necessidade de educao continuada. Vivemos numa sociedade da informao. O conhecimento, tecnolgica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante faz necessria. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliogrfico, da conexo de suas escolas rede mundial de informaes importante quanto zelar pela produo de material didtico. na sua rea atualizao se da sua infovia, internet- to

Isto porque, nos embates dirios, instrutores e alunos, nas diversas oficinas e laboratrios do SENAI, fazem com que as informaes, contidas nos materiais didticos, tomem sentido e se concretizem em mltiplos conhecimentos. O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didticos, aguar a sua curiosidade, responder s suas demandas de informaes e construir links entre os diversos conhecimentos, to importantes para sua formao continuada ! Gerncia de Educao Profissional


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1 Fsica e seu mtodoOs sbios da antiga Grcia investigaram os fenmenos da natureza, como o movimento dos corpos terrestres e celestes, baseando-se na intuio e nas argumentaes filosficas, pois, no conheciam mtodos experimentais que pudessem explicar os fatos corretamente. Desde esse tempo at o incio do sculo XIX, a Fsica, que em grego significa natureza, fazia parte de um ramo de conhecimento mais amplo chamado Filosofia Natural. Valendo-se somente do raciocnio (sem efetuar experincias) ditado pela intuio, verifique o seguinte: Dois corpos de mesmo material, sendo um de 1 Kg e outro de 2kg, quando abandonados simultaneamente da mesma altura e no mesmo local, o mais pesado cai com mais rapidez duas vezes maior que o outro e, portanto, para atingir o solo, gastar metade do tempo do mais leve. Esta afirmao falsa ou verdadeira? Agora, para dirimir as dvidas, faa experincias abandonando, ao mesmo tempo, dois corpos de massas diferentes; por exemplo, dois gizes, sendo o tamanho de um deles o dobro do outro. Qual a sua concluso? Eles chegam ao solo quase juntos, independentes da sua massa? A sua intuio estava certa errada? Voc pode confiar nela? A partir do sculo XVII, sbios notveis como Galileu (1564-1624) e Isaac Newton (1642-1727) deram grande impulso Fsica atravs da introduo, por Galileu, de mtodos experimentais na cincia, considerados uma das conquistas mais importantes do pensamento humano. Com respeito queda dos corpos, dependendo do seu grau de interesse, poderia dar um passo na sua indagao formulando as seguintes perguntas: Ser que a presena do ar influi no tempo de queda? Como seria o resultado se repetssemos a experincia no vcuo? No momento, muito mais do que a exatido da sua resposta, importante que se desenvolva em voc o hbito de observar, indagar, analisar e interpretar os fatos. Tente dar um empurro num corpo apoiado sobre um plano horizontal. Por que aps percorrer certa distncia ele pra? Se polirmos a superfcie cada vez mais, o corpo ir cada vez mais longe? Qual a sua concluso? Sim ou no? Valendo-se do raciocnio, voc consegue generalizar (ou estender) a sua concluso para uma situao ideal (aquilo que impossvel na prtica), afirmando que o corpo, uma vez colocado em movimento sobre uma superfcie horizontal, plana e lisa, nunca ir parar se nada dificultar o seu deslocamento. _______________________________________ 6 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada As teorias cientficas so freqentemente estabelecidas com base nas condies ideais onde, por exemplo, se imagina uma superfcie 100% lisa ou um ambiente totalmente vazio (100% vcuo). E, a partir destas idealizaes, partem para situaes mais complexas. A partir do sculo XVII at o fim do sculo passado, geraes de cientistas dedicaram suas atenes ao estabelecimento das teorias de movimentos dos corpos, calor, som,. Luz, eletricidade e magnetismo. Utilizando mtodos de investigao cada vez mais aprimorados e convenientes para a sua finalidade, a partir do incio deste sculo, os conhecimentos adquiridos no passado tm sido unificados e refinados, servindo de base para as incessantes descobertas cientficas e para o estabelecimento de novas teorias, principalmente no domnio da estrutura da matria. Manipulando complexos instrumentos de medio e anlise, muitas vezes acoplados a um sistema de computadores, muitos fsicos trabalham nas universidades, institutos de pesquisa mantidos pelos governos, centros de pesquisa das indstrias e outras organizaes, todas elas realizando pesquisas nos diversos ramos em que a Fsica se subdividiu, tais como a fsica nuclear, fsica o estado slido, fsica dos reatores, fsica espacial, astrofsica, biofsica, geofsica, oceanografia fsica, fsica das partculas elementares e fsica dos plasmas.

Notao Cientfica

1 Caso: Quando a vrgula deslocada para a esquerda, o expoente de 10 positivo e igual ao nmero de casas deslocadas. Ex.: 327 000 000 000 = 3,27 x 1011 2 Caso: Quando a vrgula deslocada para a direita, o expoente de 10 negativo e igual ao nmero de casas deslocadas. Ex.: 0,000 000 048 = 4,8 x 10-8 Operaes: SOMA E SUBTRAAO: necessrio que os expoentes sejam o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. Exemplos:


Mecnica Aplicada MULTIPLICAO Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. Exemplos:

DIVISO Dividimos as mantissas e subtramos os expoentes de cada valor. Exemplos:

EXPONENCIAO A mantissa elevada ao expoente externo e o congruente da base dez multiplicado pelo expoente externo.

RADICIAO Antes de fazer a radiciao preciso transformar um expoente para um valor mltiplo do ndice. Aps feito isso, o resultado a radiciao da mantissa multiplicada por dez elevado razo entre o expoente e o ndice do radical.

1.1 Sistema Internacional de Unidades (15 CGPM/1975) a) Unidades de Base Unidade Metro Quilograma Segundo Ampre Kelvin Mol Candela b) Unidades Suplementares Unidade Smbolo Grandeza Radiano rad ngulo plano Esterradiano sr ngulo slido _______________________________________ 8 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos Smbolo m kg s A K mol cd Grandeza Comprimento Massa Tempo Corrente Temperatura termodinmica Quantidade de matria Intensidade luminosa

Mecnica Aplicada c) Unidades derivadas, deduzidas, direta ou indiretamente das unidades de base e suplementares. d) Os mltiplos e submltiplos decimais das unidades acima que so formadas pelo emprego dos prefixos SI da tabela I. 1.2 Outras Unidades As unidades fora do SI admitidas no QGU so de duas espcies: a) Unidades aceitas para uso SI, isoladamente ou combinadas entre si e ou com unidades SI, sem restrio de prazo (tabela II). b) Unidades admitidas temporariamente (tabela II). abolido o emprego das unidades do CGS, exceo feita s que esto compreendidas no SI e as mencionadas na tabela II. 1.3 Prescries Gerais Grafia dos nomes de unidades Quando escritos por extenso, os nomes de unidades devem ser iniciados com letra minscula, mesmo quando representem um nome ilustre de cincia. Ex.: newton, watt, ampre, joule, ... exceto o grau Celsius. Na expresso do valor numrico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por extenso, ou representada pelo sei smbolo. (Ex. newton por metro ou N/m), no sendo admitidas partes escritas por extenso misturadas com partes escritas por smbolo. Plural dos Nomes de Unidades Unidades escritas por extenso, obedecem s seguintes regras bsicas: a) Os prefixos SI so invariveis b) Os nomes de unidades recebem a letra S no seu final, exceto nos casos de alnea C. 1- As palavras simples so escritas no plural da seguinte forma: Ex.: quilogramas, volts, joules, ampres, newtons, farads. 2- Quando as palavras so compostas, e o elemento complementar de um nome de unidade no ligado por hfen. Ex.: metros quadrados, decmetros cbicos, milhas martimas. 3- Quando o termo resultante de um produto de unidades. Ex.: newtons-metro, watts-hora, ohms-metro, ... Observao: Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o plural no desfigura o nome que a unidade tem no singular. Ex.: _______________________________________ 9 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada decibels, henrys, mols... . No so aplicadas s unidades algumas regras usuais na formao do plural de palavras. c) Os nomes ou partes dos nomes de unidades no recebem S no final. 1- Quando terminam em S, X ou Z. Ex.: siemens, lux, hertz, etc. 2- Quando correspondam ao denominador de palavras compostas por diviso, por exemplo: quilmetros por hora, metros por segundo, etc. 3- Quando, em palavras compostas, so elementos complementares de nomes de unidades e ligados a estes por hfen ou preposio. Ex.: anos-luz, quilogramas-fora, etc. Grafia dos Smbolos de Unidades A grafia dos smbolos de unidade obedece s seguintes regras bsicas: a) Os smbolos so invariveis, no sendo permitido colocar ponto significando abreviatura, ou acrescentar S no plural, por exemplo, o joule J e no J. ou Js (no plural). b) Os prefixos do SI jamais podero aparecer justapostos num mesmo smbolo, ex.: GWh (giga watt-hora) e nunca MkWh (mega quilowatt-hora). c) Os prefixos SI podem coexistir num smbolo composto por multiplicao ou diviso, por exemplo: kN.mm, kW.mA, MW.cm, etc. d) O smbolo dever estar alinhado com o nmero a que se refere, no como expoente ou ndice; constituem exceo ngulos e o smbolo do grau Celsius. e) O smbolo de uma unidade composta por multiplicao pode ser representado pela justaposio dos smbolos componentes e que no cause ambigidade [VA, kWh, etc], ou mediante a colocao de um ponto entre os smbolos componentes, na base da linha ou a meia altura [kgf. m ou kgf. m]. f) O smbolo de uma unidade de uma relao pode ser representado das trs maneiras exemplificadas a seguir, no devendo ser empregada a ltima forma quando smbolo, escrito em duas linhas diferentes, causar confuso.w cm C

W/ [cm C], W.cm -2. C -1

Quando um smbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se o conjunto estivesse entre parnteses. Exemplos: ml = 10-3 mm = 10 -6 m


Mecnica Aplicada Grafia dos Nmeros As preposies desta seco so inaplicveis aos nmeros que no estejam representando quantidade. Exemplos: telefones, datas, n.de identificao.

Para separar a parte inteira da decimal de um nmero, empregada sempre uma vrgula; quando o valor absoluto do nmero for menor que 1, coloca-se zero esquerda da vrgula. Os nmeros que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bens ou servios em documentos fiscais, jurdicos e ou comerciais, devem ser escritos com os algarismos separados em grupos de trs, a contar da vrgula para a esquerda e para a direita, com os pontos separando esses grupos entre si. Nos demais casos, recomendado que os algarismos de parte inteira e os de parte decimal dos nmeros sejam separados em grupos de trs, a contar da vrgula para a esquerda e para a direita, com pequenos espaos entre esses grupos (exemplo, em trabalhos tcnico-cientficos); mas tambm admitido que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escritos seguidamente, isto , sem separao em grupos. Para exprimir nmeros sem escrever ou pronunciar todos os seus algarismos: a) Para os nmeros que representam dinheiro, mercadorias ou bens de servio so empregadas as palavras; mil = 10 = 1000 milho = 10 6 = 1000 000 9 = 1000 000 000 bilho = 10 trilho = 10 12 = 1000 000 000 000 b) Em trabalhos tcnicos ou cientficos, recomenda-se a utilizao da tabela I. Espaamento entre um nmero e o smbolo da unidade correspondente deve atender convenincia de cada caso. Exemplos: a) Frase de textos correntes, normalmente utiliza-se meia letra, para que no haja possibilidade de fraude. b) Em colunas de tabelas, facultado utilizar espaamentos diversos entre os nmeros e os smbolos das unidades correspondentes. Pronncia dos mltiplos e submltiplos decimais das unidades. Na forma oral, so pronunciadas por extenso. Exemplos: ml mililitro - micrometro (no confundir com micrmetro instrumento) _______________________________________ 11 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada Tabela I Prefixos SI Nome Smbolo exa E peta P tera T giga G mega M quilo k hecto h deca da deci d centi c mili m micro nano n pico p femto f atto a Fator de Multiplicao 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 109 = 1 000 000 000 106 = 1 000 000 10 = 1 000 10 = 100 10 10-1 = 0,1 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 10-6 = 0,000 001 10-9 = 0,000 000 001 10-12 = 0,000 000 000 001 10-15 = 0,000 000 000 000 001 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

Tabela II Outras Unidades do SI admitidas temporariamente Nome da Unidade Smbolo Valor do SI angstrom A 10-10 m atmosfera atm 101325 Pa bar bar 105 Pa barn b 10-28 m *caloria cal 4,1868 J *cavalo-vapor cv 735,5 W curie ci 3,7x1010 Bq gal Gal 0,01 m/s *gauss Gs 10-4 T hectare ha 104 m *quilograma-fora kgf 9,80665 N *milmetro de Hg mmHg 133,322 Pa (aproximado) milha martima 1852 m n 1852/3600m/s milha martima por hora *quilate 200 mg no confundir com ligas de ouro rad 0,01 Gy As unidades com asterisco devero ser gradativamente substitudas pelas unidades do SI.


Mecnica Aplicada Unidades Fundamentais e Derivadas As unidades fundamentais foram definidas arbitrariamente e constituem-se em: L comprimento L comprimento M Massa ou F fora T Tempo T tempo As unidades derivadas so obtidas em funo das fundamentais. Sistema CGS um sistema do tipo LMT sendo constitudo pelas seguintes unidades fundamentais: L [cm] M [g] T [s] Exemplos de unidades derivadas no CGS: velocidade (MRU) [v] =

[cm] S = = [cm/s] t [ s]acelerao normal da gravidade g = 980,665 cm/s

acelerao [] [ v ] cm / s cm [] = =[ ] =[ ] [ t ] s s

Sistema MKS (Giorgi) Sistema Internacional (SI) tambm um sistema do tipo LMT, sendo suas unidades fundamentais: L [m] M [kg] T [s] Exemplo de unidades derivadas: velocidade (MRU) [ s ] m/s [V] = =[ ] = [m/s] [t ] s fora [F] = [m] . [a] = [kgm/s] = [N]

acelerao (MUV) [ v ] m/s [] = =[ ] = [m/s] [ t ] s

acelerao normal da gravidade g = 9,80665 m/s

Este sistema recomendado pelo decreto n81621 de 03/05/78, gradativamente, substituir o sistema tcnico. _______________________________________ 13 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada Sistema MKS (Sistema Tcnico) um sistema do tipo LFT. Suas unidades fundamentais so: L [m] F- [kgf ou kp] T [s] O sistema MKS* (tcnico) aos poucos ser substitudo na engenharia pelo SI (Sistema Internacional MKS Giorgi) kp ou kgf = 1kg . 9,80665 m/s kp ou kgf = 9,80665 N Na prtica, ainda so utilizadas unidades como: gf = 10-3 kgf = 10-3 kp tf = 10 kfg = 10 kp Sistemas de Unidades Inglesas Sistema FPS um sistema do tipo LFT, ou seja; L Comprimento (foot) [p] F Fora (power) [ l b] t Tempo (second) [s] Unidade de massa neste sistema o slug. (libra ).( segundo) lb.s m= = = (slug) ( p ) p Para facilitar a escrita, abrevia-se p atravs de um trao superior acima da medida. Exemplo: 18 p = 18 Relao da unidade de medida p com o sistema mtrico p = 30,48 cm = 304,8 mm Nas escritas inglesas ou americanas, comum encontra-se o smbolo ft (foot). A unidade de fora no FPS a libra (lb) ou mais apropriadamente conhecida como libra=fora, podendo ser encontrada na sua escrita simblica como: l b ou l bf ou ainda l b*. A simbologia mais adequada l b.


Mecnica Aplicada Sistema IPS um sistema do tipo LFT, ou seja: L comprimento F- fora T Tempo (inch) - [pol] (power) - [ l b] (second) - [s]

Unidade de massa no sistema m=F (libra polegada) = a polegada

(

(segundo )

)

m=

(libra fora)( segundo) ( polegada)denomina-se libra massa.

m[

lb.s ] pol

Como massa sistema do LFT, predomina a unidade de fora, que simbolicamente ser representada por l b como foi exposto anteriormente. Relaes importantes do sistema com os sistemas tcnico, e Giorgi (MKS) Pol = 25,4 mm l b = 0,4536kgf 4,4483 N Na escrita simblica da polegada, ingleses, americanos e demais pases que utilizam este sistema usam as representaes: pol; in ou ainda () pol smbolo adaptado por abreviao da lngua portuguesa. in (inch) polegada em ingls. () simbologia simplificada para facilitar a escrita. Exemplo: 1 1 1" pol = in = 4 4 4 1.4 Preciso e Arredondamento dos Nmeros Quando a preciso de um nmero necessria, deve-se aprender a aplicar as regras de arredondamento. E muito importante saber que preciso desnecessria desperdia tempo e dinheiro. Por exemplo: Ao se apressar o nmero de rolamentos 6208 existentes no almoxarifado de uma determinada indstria, a resposta ser expressa somente por um nmero _______________________________________ 15 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada inteiro, pois em nenhuma hiptese existir no almoxarifado 10,4 ou 9,7 rolamentos, e isto sim 10 rolamentos. Quando pesamos uma caixa encontramos como resposta 100 N, (3 algarismos significativos), nunca se deve se dar como resposta 100,000 N, se a preciso no exigir (sejam algarismos significativos), pois isto significa ler a escala em 0,001 N (milsimos de Newton) o que absolutamente inadequado para o caso. As regras principais de arredondamento so: 1 - Manter inalterado o dgito anterior se o dgito subseqente for menos que 5 ( s1 s > 0 v m > 0 2) Se o carro se movimentar no sentido contrrio ao positivo da trajetria, teremos:

s2 < s1 s < 0 vm < 03) Quando dizemos que a velocidade mdia de um corpo durante um certo intervalo de tempo de 70 km/h, isto no quer dizer que durante todo esse intervalo de tempo o corpo teve sempre esta velocidade.Velocidade escalar instantnea

Consideremos que voc esteja dirigindo um carro numa estrada. Suponhamos tambm que voc anote a velocidade do carro no decorrer do tempo, obtendo a tabela abaixo. instante 7h 7hl5min 7h40min 8h velocidade em km/h 60 80 50 20 O valor da velocidade do carro num determinado instante denomina-se velocidade escalar instantnea.

Exemplo: s 7h o velocmetro estava marcando 60 km/h. Isto significa que no instante t = 7h a velocidade do carro era 60 km/h, isto , o carro percorreria 60 km em uma hora se mantivesse a velocidade assinalada naquele instante.


Mecnica Aplicada Como o velocmetro do automvel no indica se ele est se movimentando no mesmo sentido ou em sentido contrrio ao positivo da trajetria, estabelecemos a conveno: sentido sinal v > 0 (positivo) mesmo da trajetria Velocidade movimento progressivo escalar v < 0 (negativo) instantnea contrrio da trajetria movimento retrgrado Se a velocidade escalar instantnea de um mvel num dado instante for v = -6 m/s, isto significa que, no instante dado, o mvel caminha em sentido contrrio ao positivo da trajetria. Exerccios (Cinemtica Escalar) 1) Um nibus percorre uma distncia de 180 km em 2h 30 min. Calcular a velocidade escalar mdia do nibus em m/s, durante esse percurso.

2) Uma partcula percorre uma trajetria retilnea AB, onde M o ponto mdio, sempre no mesmo sentido e com velocidade constante em cada um dos trechos AM e MB. A velocidade da partcula no trecho AM de 6 m/s e no trecho MB de 3 m/s. Calcular a velocidade mdia da partcula entre os pontos AB.


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3 Movimento UniformeDefinio Se um ponto material em movimento (geralmente denominado mvel) apresenta uma velocidade constante no decorrer do tempo, diremos que ele executa um movimento uniforme (MU). Nessas condies a velocidade em qualquer instante apresenta o mesmo valor que a velocidade mdia, ou seja: vm = v MOVIMENTO UNIFORME (M.U.) Funo Horria do MU Considere um mvel em movimento uniforme na trajetria esquematizada a seguir:

No instante inicial t0 = 0, a posio inicial s0. No instante final t, a posio final s. A velocidade mdia nesse intervalo de tempo ser: s s0 s s s0 = vm = s s0 = v .t Vm = t t 0 t(funo horria do MU)

s = s0 + v.t

onde s0 e v so constantes (v 0) e s e t so variveis, isto , a cada valor de t existe um correspondente valor de s. EXEMPLOS 1) Um mvel realiza um movimento que obedece funo: s = -20 + 5.t a) Qual a posio inicial (s0) e a velocidade (v) do mvel? s = s0 + v.t s0 = -20 m s = -20 + 5.t v = 5 m/s b) Qual a posio do mvel nos instantes 0, 2s, 4s e 5s? t=0 s= -20 + 5.0 = -20 + 0 = -20 m s = -20 + 5.2 = -20 + 10 = -10 m t = 2s t = 4s s = -20 + 5.4 = -20 + 20 = 0 m t = 5s s = -20 + 5.5 = -20 + 25 = + 5 m


Mecnica Aplicada 2) Um mvel em movimento uniforme parte da posio 100m e 3s depois passa pela posio 70m. Pedem-se: a) a velocidade do mvel: t=0 s0 =100m t = 3s s = 70m s s0 70 100 30 v = vm = = = v = 10m / s t 30 3 b) a funo horria das posies. s0 = 100 v = - 10 m/s s = s0 + v.t s = 100 -10 tc) o movimento progressivo ou retrgrado? O movimento retrgrado, pois a velocidade negativa (v = -10 m/s).

Exerccios (Movimento Uniforme) 1) dada a funo horria s = 20 4t (para t em horas e s em km), que descreve o movimento de um ponto material num determinado referencial. Os espaos s so medidos numa trajetria a partir de um marco zero. Os instantes t so lidos num cronmetro. Determine: a) o espao inicial e a velocidade escalar; b) o tipo do movimento e se o mesmo progressivo ou retrgrado; c) o espao do mvel quando t = 2h; d) o instante quando o mvel est na posio cujo espao igual a 8 km; e) o instante em que o mvel passa pela origem dos espaos.


Mecnica Aplicada 2) Duas estaes A e B esto separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetria. Pela estao A passa um trem P, no sentido de A para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os trens P e Q tm movimentos uniformes com velocidades de valores absolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente. Determine o instante e a posio do encontro.

3) Determine o intervalo de tempo para a luz vir do Sol Terra. No vcuo, a velocidade da luz constante e aproximadamente igual a 3,0 x 105 km/s. A distncia entre o Sol e a Terra de 1,49 x 108 km. Considere o movimento de propagao da luz como retilneo e uniforme.

4) Um atirador aponta para um alvo e dispara um projtil, que sai da arma com velocidade de 300 m/s. O impacto do projtil no alvo ouvido pelo atirador 3,2 s aps o disparo. Sendo de 340 m/s a velocidade de propagao do som no ar, calcule a distncia do atirador ao alvo.

5) Dois trens, P e Q, percorrem trajetrias retilneas e paralelas. O trem P possui 30m de comprimento e velocidade de 30 km/h e trem Q possui 50m e velocidade de 10 km/h; seus movimentos so uniformes. Determine o intervalo de tempo da ultrapassagem e a distncia percorrida por P durante a ultrapassagem.


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4 Movimento Uniformemente VariadoAcelerao escalar mdia Quando a velocidade de uma partcula em movimento varia no decorrer do tempo, dizemos que ele apresenta acelerao. Suponha a situao indicada na trajetria abaixo. No instante inicial t1, a velocidade inicial V1. No instante final t2, a velocidade final V2. No intervalo de tempo t = t2 - t1, ocorre uma variao de velocidade V=V2 - V1. A acelerao mdia (am) o quociente entre a variao de velocidade (V) e o correspondente intervalo de tempo (t).

am =

V V2 V1 = t t 2 t1

As unidades de medida de acelerao so as unidades de velocidade (m/s, km/h, cm/s) divididas pelas unidades de tempo (segundo, hora, minuto, etc.). No SI a unidade de acelerao ser ou m /s (metros por segundo ao quadrado). Exemplo: A velocidade de um corpo varia de 5 m/s para 20m/s em 3s. Calcular sua acelerao escalar mdia. Resoluo:

Dados

v1 = 5 m / s v 2 = 20 m / s t = 3s

am =

v v 2 v1 20 5 15 = = = m / s2 t t 3 3

Resposta : 5 m/ Acelerao escalar instantnea A acelerao instantnea a grandeza que mede a rapidez com que a velocidade varia num dado instante, isto , a acelerao instantnea a acelerao medida num determinado instante e no num intervalo de tempo.


Mecnica Aplicada Movimento acelerado e retardado Um movimento acelerado quando a velocidade instantnea aumenta em valor absoluto no decorrer do tempo. Um movimento retardado quando a velocidade instantnea diminui em valor absoluto no decorrer do tempo. Como tanto a velocidade quanto a acelerao podem ser positivas ou negativas, necessrio o mximo cuidado ao se caracterizar um movimento como acelerado ou retardado. A maneira mais prtica verificar o sinal (ou o sentido) tanto da velocidade quanto da acelerao. movimento acelerado sentido) movimento retardado contrrios) acelerao e velocidade tm o mesmo sinal (mesmo acelerao e velocidade tm sinais contrrios (sentidos


Mecnica Aplicada

Observe que acelerao pode ser negativa e o movimento ser acelerado. Definio Se um mvel apresenta acelerao constante no decorrer do tempo, diremos que ele executa um movimento uniformemente variado (MUV). Nessas condies a acelerao em qualquer instante apresenta o mesmo valor que a acelerao mdia, ou seja: am = a MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.) Funes horrias do M.U.V. Considere um mvel em MUV na trajetria esquematizada a seguir.

No instante inicial t0, a velocidade inicial V0. No instante t, a velocidade V. A acelerao mdia nesse intervalo de tempo ser:

am =

v v0 v v0 v v v 0 = am = = a v v 0 = a.t v = v 0 + v .t t t 0 t t

v = v0 + a .t

(funo horria das velocidades do MUV)

onde v0 e a so constantes (a0) e v e t so variveis, isto , para cada valor de t existe um correspondente valor de v.


Mecnica Aplicada Pode se demonstrar que no MUV a posio varia no decorrer do tempo de acordo com a funo:

s = s 0 + v 0 .t +

a 2 .t 2

(funo horria das posies do MUV)

onde s0 (posio inicial), v0 (velocidade inicial) e a (acelerao) so constantes (a0). Note que a funo horria das posies do MUV do 2 grau. EXEMPLOS 1) Dadas a funo horria das posies de um mvel em MUV no Sistema Internacional de Unidades, determine s0, v0 e a e escreva a funo horria da velocidade correspondente. a) s = -10 + 5.t + 3.t2 s = -10 + 5.t + 3.t2 s0 = -10 m a s = s0 + v 0 .t + .t 2 2 a/2 = 3 a = 6m/s2 v0 = 5m/s v = v0+ a.t v = 5 + 6t Equao de TorricelliPode se eliminar a varivel t das funes horrias e das posies das velocidades do MUV e deduzir a equao a seguir:

2 v2 = v0 + 2. a . s

(equao de Torricelli)

onde: v0 a velocidade inicial; v a velocidade final; a acelerao (cte) e S a variao de posio. EXEMPLOS 1) Uma moto est desenvolvendo uma velocidade de 72 km/h. Repentinamente, aparece um obstculo frente da moto e o motoqueiro aciona os freios, provocando uma acelerao contrria ao movimento de 5 m/s2, constante. Qual foi o espao at parar? v0 = 72 km/h = 20 m/s a = -5 m/s2 (acelerao contrria ao movimento) v = 0 (parou) 2 2

v = v 0 + 2 .a . s

02 = 202 +2.(-5) .s

0 = 400 10. s

10. s = 400

s = 40 m


Mecnica Aplicada Exerccios (Movimento Uniformemente Variado) 1) Um automvel est parado diante de um sinal fechado. No instante em que o farol fica verde, passa por ele uma motocicleta que mantm uma velocidade constante de 15 m/s. Supondo que, nesse mesmo instante, o automvel comece a se mover com acelerao constante igual a 2 m/s, determine: a) aps quanto tempo o automvel alcana a moto; b) que distncia o automvel percorre at alcanar a moto; c) a velocidade do automvel no instante que alcana a moto.

2) Um trem de comprimento 100m atravessa um tnel reto de comprimento 200m, com M.U.V. Quando o trem comea a entrar no tnel, sua velocidade escalar de 10 m/s e, quando acaba de sair do tnel, sua velocidade escalar de 20 m/s. Qual o intervalo de tempo decorrido do incio ao fim da travessia?

3) (ITA-SP) De uma estao parte um trem A com velocidade constante vA= 80 km/h. Depois de certo tempo, parte dessa mesma estao um outro trem B, com velocidade constante vB= 100 km/h. Depois de um tempo de percurso, o maquinista de B verifica que seu trem se encontra a 3 km de A; a partir desse instante ele aciona os freios indefinidamente, comunicando ao trem uma acelerao = - 50 km/h. O trem A continua no seu movimento anterior. Nessas condies: a) no houve encontro dos trens. b) depois de duas horas o trem B pra e a distncia que o separa de A de 64 km c) no houve encontro dos trens depois de 12 min. d) houve encontro dos trens depois de 36 min. e) no houve encontro dos trens; continuam caminhando e a distncia que os separa agora de 2 km.


Mecnica Aplicada

5 Movimento Vertical no VcuoIntroduo O movimento vertical de um corpo prximo ao solo chamado de queda livre quando o corpo abandonado no vcuo ou se considera desprezvel a ao do ar. A acelerao do movimento vertical de um corpo no vcuo denominada acelerao da gravidade indicada por g. A queda livre um M.U.V. O valor normal da acelerao da gravidade tomado ao nvel do mar, a uma latitude de 45 . g = 9,80665 m/s Descrio Matemtica Na queda, o mdulo da velocidade escalar do corpo aumenta: o movimento acelerado. Lanado verticalmente para cima, o mdulo da velocidade escalar diminui na subida: o movimento retardado. medida que o corpo lanado verticalmente para cima sobe, sua velocidade escalar decresce em mdulo at se anular na altura mxima. Nesse instante ocorre mudana no sentido do movimento e o mvel passa a descer em movimento acelerado. As funes do MUV descrevem o lanamento na vertical e a queda livre: 10 m/s (arredondamento para efeito de clculo)

s = s 0 + v 0 .t +

a 2 .t 2

v = v0 + a .t

2 v2 = v0 + 2. a . s

= g

Exerccios (Movimento Vertical no Vcuo) 1) Um mvel atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistncia do ar e adote g=10 m/s. Determine: a) as funes horrias do movimento; b) o tempo de subida, isto , o tempo para atingir a altura mxima; c) a altura mxima; d) o instante e a velocidade escalar quando o mvel atinge o solo.


Mecnica Aplicada 2) Dois mveis A e B so lanados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo ponto. O mvel A lanado no instante t=0 s e o mvel B lanado 2 s depois. Determine, a contar do ponto de lanamento, a posio e o instante do encontro dos mveis. Adote g=10 m/s e despreze a resistncia do ar.

6 Cinemtica VetorialGrandezas escalares e grandezas vetoriais Muitas grandezas ficam perfeitamente definidas quando conhecemos seu valor numrico e a correspondente unidade. Tais grandezas so denominadas grandezas escalares. o caso, por exemplo, da massa e do volume de um corpo. Quando dizemos que a massa de um corpo igual a 20 kg e que seu volume de 10 litros, nada mais precisamos acrescentar para definir essas grandezas. Existem, porm, grandezas que, alm do valor numrico e da unidade, necessitam de direo e sentido para que fiquem definidas. Por exemplo, a distncia em linha reta de So Paulo a Belo Horizonte de aproximadamente 510 km. Para chegarmos a Belo Horizonte partindo de So Paulo, devemos percorrer 510 km aproximadamente na direo sudoeste-nordeste, no sentido de sudoeste para nordeste. Grandezas que necessitam, alm do valor numrico e unidade, de direo e sentido para serem definidas so chamadas grandezas vetoriais, sendo representadas matematicamente por vetores.

Vetor o smbolo matemtico utilizado para representar o mdulo, a direo e o sentido de uma grandeza fsica vetorial. Representamos um vetor por meio de uma seta. P(extremidade) r v origem O _______________________________________ 38 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos r Indicamos : v = OP

Mecnica Aplicada Todo vetor tem trs caractersticas: r v = v = 3u; Mdulo Direo da reta r; Sentido de O para P.

O mdulo de um vetor a medida da seta que o representa. Na r representao anterior o mdulo do vetor v igual a trs unidades de medida.Operaes com vetores

Adio de 2 vetores concorrentes r r r r r r a e b vamos obter o vetor soma R , tal que R = a + b . Dados os vetores

Tracemos pela extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor.r O vetor soma ou resultante R tem origem no ponto O e extremidade no ponto de cruzamento das duas paralelas traadas. Este mtodo chamado de mtodo do paralelogramo.

r O vetor soma R tem a seguintes caractersticas:2 2 Mdulo R = a + b + 2ab. cos

Direo da reta OP Sentido de O para P

r A expresso do mdulo do vetor R pode ser demonstrada a partir da lei dos cossenos no tringulo OBP._______________________________________ 39 de 49 Curso Tcnico em Desenhos e Projetos Mecnicos

Mecnica Aplicada r r Se os vetores a e b forem perpendiculares, para achar o mdulo do vetor soma basta aplicar o teorema de Pitgoras.

Projees de um vetor

i : versor do eixo x j : versor do eixo yx = | v | cos x = projeo do vetor v sobre o eixo x. y = | v |sen y = projeo do vetor v sobre o eixo y. x e y so denominadas de projees algbricas

e so os chamados ngulos diretores de vExerccios (Vetores) 1) Um barco est com o motor funcionando em regime constante; sua velocidade em relao gua tem mdulo igual a 5m/s. A correnteza do rio movimenta-se em relao s margens com 2 m/s, constante. Determine o mdulo da velocidade do barco em relao s margens em quatro situaes distintas: a) o barco navega paralelo correnteza e no seu prprio sentido (rio abaixo); b) o barco navega paralelo correnteza e em sentido contrrio (rio acima); c) o barco movimenta-se mantendo seu eixo numa direo perpendicular margem; d) o barco movimenta-se indo de um ponto a outro situado exatamente em frente, na margem oposta.


Mecnica Aplicada 2) Num dia sem vento, a chuva cai verticalmente em relao ao solo com velocidade de 10 m/s. Um carro se desloca horizontalmente com 20 m/s em relao ao solo. Determine o mdulo da velocidade da chuva em relao ao carro.

7 DinmicaA Dinmica a parte da Mecnica que estuda os movimentos e as causas que os produzem ou os modificam. Massa a grandeza que atribumos a cada corpo obtida pela comparao do corpo com um padro. Em Dinmica, alm da noo de massa, h tambm a noo de fora. A primeira noo de fora est associada ao esforo muscular. Quando empurramos um objeto, exercemos fora sobre ele. A fora uma grandeza vetorial, sendo, portanto, caracterizada pelos elementos: mdulo (ou intensidade), direo e sentido. Princpio da Inrcia (1 Lei de Newton) Um ponto material chamado isolado quando no existem foras atuando nele ou quando as foras aplicadas ao ponto tm soma vetorial nula. Um ponto material isolado est em repouso ou em movimento retilneo uniforme. Princpio Fundamental da Dinmica (2 Lei de Newton) Newton estabeleceu uma lei bsica para a anlise geral das causas dos movimentos, relacionando as foras aplicadas a um ponto material de massa m r constante e as aceleraes que provocam. Sendo Fr a soma vetorial (resultante) r das foras aplicadas e a a acelerao adquirida, a segunda lei de Newton estabelece: A resultante das foras aplicadas a um ponto material igual ao produto de sua massa pela acelerao adquirida:

r r F r = ma


Mecnica Aplicada r r Significa que a fora resultante Fr produz uma acelerao a com mesma direo e mesmo sentido da fora resultante e suas intensidades so proporcionais.

Na equao fundamental da Dinmica (Fr = ma), Fr a soma vetorial das foras que atuam no corpo, m a massa (grandeza escalar) e a a acelerao adquirida.

Princpio da Ao-e-Reao (3 Lei de Newton) Sempre que dois corpos quaisquer A e B interagem, as foras exercidas so mtuas. Tanto A exerce fora em B, como B exerce fora em A. Exerccios (Dinmica) 1) Dois blocos A e B, de massa respectivamente iguais a 2 kg e 3 kg, esto apoiados nua superfcie horizontal perfeitamente lisa. Uma fora horizontal F, de intensidade constante F = 10 N, aplicada no bloco A. Determine: a) a acelerao adquirida pelo conjunto; b) a intensidade da fora que A aplica em B.


Mecnica Aplicada 2) Trs corpos A, B e C de massas mA= 1kg, mB= 3kg e mC= 6kg esto apoiados numa superfcie horizontal perfeitamente lisa. A fora horizontal F, de intensidade constante F=5N, aplicada ao primeiro bloco A. Determine: a) a acelerao adquirida pelo conjunto; b) a intensidade da fora que A exerce em B; c) a intensidade da fora que B exerce em C.

3) Dois corpos A e B de massas iguais a mA= 2kg e mB= 4 kg esto apoiados numa superfcie horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga A a B ideal, isto , de massa desprezvel e inextensvel. A fora horizontal F tem intensidade igual a 12 N, constante. Determine: a) a acelerao do sistema; b) a intensidade da fora de trao do fio.

4) Os corpos A e B da figura tm massas respectivamente iguais a mA= 6kg e mB= 2kg. O plano de apoio perfeitamente liso e o fio inextensvel e de peso desprezvel. No h atrito entre o fio e a polia, considerada sem inrcia. Adote g=10 m/s. Determine a acelerao do conjunto e a trao do fio.


Mecnica Aplicada 5) No arranjo experimental da figura, os corpos A, B e C tm, respectivamente, massas iguais a 5, 2 e 3 kg. A acelerao da gravidade 10 m/s. Os fios so inextensveis e de inrcia desprezvel; no h atrito entre os fios e as polias; o plano horizontal perfeitamente liso. Determine: a) a acelerao do sistema de corpos; b) as traes nos fios.

6) No arranjo experimental da figura, os corpos A e B tm, respectivamente, massas iguais a 6 e 2 kg. Os fios e as polias tm massas desprezveis. No h atrito entre o fio e a polia. Adote g=10 m/s. Determine: (considere que o sistema partiu do repouso) a) a acelerao do conjunto; b) as traes nos fios.

7) No arranjo experimental da figura, os corpos A e B tm massas iguais a 10 kg. O plano inclinado perfeitamente liso. O fio inextensvel e passa sem atrito pela polia de massa desprezvel. Determine: a) a acelerao do sistema de corpos; b) a trao no fio (sen 30 = 0,5).


Mecnica Aplicada

8 Foras de AtritoComecemos analisando a fora de atrito de escorregamento entre slidos. O atrito denominado dinmico quando h movimento relativo entre os corpos em contato. Quando no h movimento, o atrito denominado esttico. Atrito Dinmico Considere um livro apoiado sobre uma mesa. Pela aplicao de uma fora ele atinge, aps certo tempo, uma velocidade. Quando cessa a fora, a velocidade diminui at o livro parar. Interpretamos esse fato considerando uma fora de resistncia oposta ao movimento relativo dos corpos, chamada fora de atrito dinmico. A fora de atrito devido s rugosidades das superfcies em contato e s foras de adeso entre as molculas das duas superfcies. As rugosidades se interpenetram e as foras de adeso entre os pontos de contato formam microssoldas, dificultando o movimento de um corpo em relao ao outro. Quando h movimento, a experincia mostra que a intensidade da fora de atrito, dentro de uma boa aproximao, proporcional intensidade da fora normal FN:

f at = d FN

Nessa frmula, d (adimensional) uma constante de proporcionalidade chamada coeficiente de atrito dinmico. A fora normal entre as superfcies de contato tem intensidade igual ao prprio peso ou sua componente.


Mecnica Aplicada Exerccios (Atrito Dinmico) 1) Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob ao de uma fora horizontal de intensidade 30 N. O coeficiente de atrito dinmico entre o bloco e a mesa

d = 0,20. Sendo g=10m/s, determine a acelerao do bloco.

2) Um bloco lanado sobre um plano horizontal com velocidade de 30 m/s e percorre 90 m at parar. Considere g=10m/s e calcule o coeficiente de atrito dinmico entre o bloco e o plano.

3) Dois corpos A e B de massas mA=1kg e mB=2kg esto ligados por uma corda de peso desprezvel, que passa sem atrito pela polia C. Entre A e o apoio existe atrito de coeficiente

d =0,5. Adote g=10m/s. Determine:

a) a acelerao dos corpos; b) a trao do fio.


Mecnica Aplicada Atrito Esttico Considere um corpo em repouso sobre uma superfcie horizontal. Vamos r aplicar no corpo uma fora F que tende a desloc-lo na direo horizontal. Enquanto o corpo estiver em repouso, medida que a intensidade da fora r solicitadora F aumenta, a intensidade da fora de atrito tambm aumenta, de r r modo que F e f at se equilibram.

Se, por exemplo, a fora solicitadora tiver intensidade F igual a 1 N (a) e o corpo no se mover, a fora de atrito no corpo ter tambm intensidade igual a 1 N, pela condio de equilbrio (resultante nula). Se F cresce para 2 N e o corpo r continua em repouso, decorre que f at = 2 N (b). r Assim, a fora de atrito f at tem intensidade r igual da fora solicitadora F enquanto no r houver movimento. Se F continuar crescendo, f at tambm crescer at atingir um valor mximo e o corpo ficar na iminncia de movimento. A mxima intensidade da fora de atrito esttico, e que corresponde iminncia de movimento:

f at .mx = e FN

A partir desse momento, se F crescer, o corpo entra em movimento e a fora de atrito passa a ser a fora de atrito dinmico, conforme a figura c. Verifica-se experimentalmente que a intensidade da fora de atrito dinmico menor do que a intensidade da fora de atrito esttico mxima.


Mecnica Aplicada Quando o corpo est na iminncia de escorregar, a fora de atrito atinge seu valor mximo:

f at .mx = e FN = e P cos

r Estando o corpo em equilbrio, decorre que f at .mx e Psen devem ser iguais:

Exerccios (Atrito Esttico) 1) O coeficiente de atrito esttico entre o corpo de massa m=10kg e superfcie plana horizontal de apoio e = 0,2. Em que intervalo pode variar a intensidade da r fora horizontal F para que o corpo permanea em repouso? dado g=10m/s.

2) O bloco A de massa m=3kg est apoiado num plano inclinado que forma um ngulo em relao horizontal. O bloco A est na iminncia de escorregar para baixo. Determine, nessas condies, o peso PB do bloco B. O coeficiente de atrito esttico entre o bloco A e o plano e = 0,50. Dados: sen =0,60; cs =0,80; g=10m/s. Considere o fio e a polia ideais.


Mecnica Aplicada

RefernciasApostila SENAI MG. Mecnica Aplicada. Sabar, 2005. Apostila SENAI MG. Mecnica Aplicada. Cataguases, 2002. MELCONIAN, S. Mecnica tcnica e resistncia dos materiais. 15 e. d. So Paulo: rica, 2003. MELCONIAN, S. Elementos de Mquinas. 4 e. d. So Paulo: rica, 2005. NICOLAU, G. F; RAMALHO, F. J; TOLEDO, P. A. S; Os fundamentos da Fsica Mecnica. 8 e. d. So Paulo: Moderna, 2003.


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Apostila Mecânica Aplicada