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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS Curso de Mecânica dos Fluidos para a Engenharia de Materiais (prof. Lucas Máximo Alves) Ponta Grossa 2005

Apostila Mecanica Dos Fluidos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CINCIAS AGRRIAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS Curso de Mecnica dos Fluidos para a Engenharia de Materiais (prof. Lucas Mximo Alves) Ponta Grossa 2005 2 NDI CE INTRODUO GERAL ...........................................................................................................5 1. 1 Objetivos do captulo........................................................................................................5 1. 2 - Metodologia de Estudo-Aprendizado...............................................................................5 1. 3 - A importncia das anotaes.............................................................................................6 1. 4 - Metodologia do curso em sala de aula..............................................................................7 1. 5 - Metodologia para a soluo dos exerccios.......................................................................8 1. 6 - Divises do livro ..............................................................................................................9 1. 7 - Objetivo final do curso......................................................................................................9 1. 8 - Questes bsicas em Mecnica dos Fluidos......................................................................9 1. 9 A Mecnica dos Fluidos na engenharia de Materiais.....................................................11 1. 10 - Viso geral do curso......................................................................................................12 1. 11 O que voc deve saber sobre Mecnica dos Fluidos....................................................16 I - Conceitos Fundamentais.............................................................................................16 II - Esttica dos Fluidos...................................................................................................16 III - Dinmica de Fluidos Ideais, Viscosos Incompressveis e Compressveis...............16 1. 12 Exerccios e Problemas.................................................................................................18 1. 13 Referncias Bibliogrficas............................................................................................19 CONCEITOS FUNDAMENTAIS...........................................................................................20 2. 1 Objetivos do captulo......................................................................................................20 2. 2 - As equaes bsicas da Mecnica Classica.....................................................................21 2.2.1 - As leis da mecnica ou leis de Newton................................................................21 2. 3 - Estudo da consistncia de um corpo slido por meio da anlise de causa e efeito.........23 2.3.1 - Estudo da deformao de um corpo slido..........................................................24 2.3.2 - Lei de Hooke na sua forma simplificada..............................................................25 2.3.3 - Coeficiente de Poisson.........................................................................................27 2.3.4 - Estados mltiplos de carregamento; generalizao da lei de Hooke...................28 2. 4 - A Lei de Hooke generalizada aplicada a slidos.............................................................30 2. 5 Tenso superficial de lquidos........................................................................................35 2. 6 Presso de vapor de substncias.....................................................................................36 2. 7 - Medidas, unidades e dimenses......................................................................................38 2.7.1 - Sistema de Medidas..............................................................................................38 2.7.2 - Sistema de unidades.............................................................................................38 2.7.3 - Lei da homogeneidade dimensional .....................................................................39 2. 8 - Exerccios e Problemas...................................................................................................41 2. 9 Referncias Bibliogrficas..............................................................................................42 FLUIDOS E CLASSIFICAO DE FLUIDOS E SEUS COMPORTAMENTOS...............43 3. 1 Objetivos do captulo......................................................................................................43 3 3. 2 A hiptese do contnuo...................................................................................................44 3. 3 A densidades generalizadas............................................................................................46 3. 4 O fluido como contnuo..................................................................................................46 3. 5 Definio de fluido.........................................................................................................47 3. 6 Condio de no deslizamento.......................................................................................49 3. 7 Estudo da consistncia de um corpo fludico em termos da sua viscosidade, por meio da anlise de causa e efeito............................................................................................................49 3. 8 Classificao dos fluidos quanto a sua viscosidade........................................................49 3.8.1 - Lei da viscosidade de Newton - coeficiente de viscosidade e Fluidos Newtonianos.............................................................................................................................50 3.8.2 - Fluidos Plsticos de Bingham..............................................................................51 3. 9 Comportamento da viscosidade dos fluidos em funo da taxa de deformao............52 3.9.1 - Fluido de comportamento dilatante......................................................................52 3.9.2 - Fluido de comportamento Pseudoplstico............................................................52 3.9.3 Modelo de Ostwald de Waele para fluidos ou Lei da Potncia...........................53 3. 10 Comportamento da viscosidade dos fluidos em funo do tempo...............................54 3.10.1 - Fluido Thixotrpico...........................................................................................54 3.10.2 - Fluido Reopxico...............................................................................................55 3. 11 A consistncia de um corpo em funo da temperatura...............................................55 3. 12 A consistncia de um corpo em funo do estado de escoamento de um fluido.........55 Escoamento laminar .................................................................................................................56 Escoamento turbulento.............................................................................................................56 3. 13 A classificao dos fluidos quanto a viscosidade e a compressibilidade.....................57 3. 14 Aplicao de diferentes tipos de Fluidos......................................................................58 3. 15 Exerccios e Problemas.................................................................................................60 3. 16 Referncias Bibliogrficas............................................................................................61 CAMPOS ESCALARES, VETORIAIS E TENSORIAIS PARA FLUIDOS. ........................62 4. 1 - Objetivos do captulo......................................................................................................62 4. 2 - Quantidades escalares, vetoriais e tensoriais e campos...................................................62 4.2.1 - Quantidades escalares..........................................................................................63 4.2.2 - Quantidades vetoriais...........................................................................................63 4.2.3 - Quantidades tensoriais..........................................................................................64 4. 3 - Fluxos generalizados.......................................................................................................65 4. 4 - Campo de tenses foras de contato ou superfcie e de campo, massa ou volume......65 4.4.1 - Foras de massa ou de campo..............................................................................65 4.4.2 - Foras superficiais ou de contato.........................................................................67 4.4.3 Tensor das tenses generalizado descrito como fluxo de momento....................69 4.4.4 O tensor das tenses e a tenso em um ponto.....................................................71 4.4.5 Tenses Principais...............................................................................................73 4.4.6 Diferena entre Tenso e Presso Termodinmica..............................................74 4 4.4.7 A Presso hidrosttica e o Princpio de Pascal ....................................................75 4.4.8 - A densidade volumtrica de foras superficiais...................................................79 4. 5 A equao bsica da fluidosttica...................................................................................80 4. 6 - Exerccios e Problemas...................................................................................................82 4. 7 - Referncias Bibliogrficas..............................................................................................84 ESTTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTTICA.............................................................85 5. 1 Objetivos do captulo.......................................................................................................85 5. 2 - Introduo ............................................................................................................86 5.2.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar ...........................................86 5.2.2 Derivada direcional e o significado fsico do Vetor gradiente............................89 5.2.3 - Equilbrio de foras em um fluido esttico - Teorema de Stevin-Pascal .............90 5. 3 - Equaes bsicas da fluidoesttica..................................................................................91 5.3.1 - Variao de presso para um fluido em repouso..................................................91 5. 4 Variao da presso com a elevao (altitude) para um fluido esttico compressvel...92 Caso - 1. Gs perfeito isotrmico. ...................................................................................92 Caso 2. A temperatura varia linearmente com a elevao............................................94 5. 5 - Manometria ............................................................................................................95 5.5.1 - Atmosfera normal.................................................................................................95 5.5.2 - Atmosfera tcnica (metros de coluna de gua MCA) ..........................................95 5.5.3 - Atmosfera local ....................................................................................................95 5.5.4 - Presso efetiva e presso absoluta........................................................................96 5.5.5 - Definies............................................................................................................97 5.5.6 - Classificao dos manmetros.............................................................................97 5.5.7 Tipos de manmetros..........................................................................................98 5. 6 Foras sobre superfcies planas submersas.....................................................................98 5. 7 Foras sobre superfcies curvas submersas..................................................................103 5. 8 Empuxo em corpos submersos.....................................................................................103 5. 9 Equilbrio de corpos flutuantes.....................................................................................105 5. 10 Exerccios e Problemas...............................................................................................106 5. 11 Referncias Bibliogrficas..........................................................................................109 5 Captulo I INTRODUO GERAL 1. 1 Objetivos do captulo i) Fornecer bases para uma discusso ampla sobre a aprendizagem de uma disciplina exata como a Mecnica dos Fluidos. ii) Apresentar sugestes especificas para o estudo e aprendizado de mecnica dos Fluidos. iii) Fornecer uma viso geral da estrutura matemtica que envolve a Mecnica dos Fluidos. iv) Apresentar as divises do livro e os tpicos dos captulos que se seguiro. Mecnica dos Fluidos um curso que precisa observar as seguintes condies: 1. 2 - Metodologia de Estudo-Aprendizado Papel do Professor: apresentao clara e concisa dos princpios fundamentais de modo que o estudante possa ler e compreender Papel do aluno: Desejo de estudar o texto antes de comparecer a aula. Figura - 1. 1. Estrutura do contedo de uma disciplina 6 OBSERVAO: provavelmente haver ocasies em que o professor no conseguir atingir plenamente o seu objetivo. Quando isso ocorrer o professor gostaria de conhecer sua deficincias, quer direta ou indiretamente. 1. 3 - A importncia das anotaes O professor deve organizar o contedo em uma seqncia lgica, ascendente de raciocnio, com crescimento suave e gradual do conhecimento para que o aluno possa anotar e atingir a forma mais eficiente do aprendizado. Figura - 1. 2. Estrutura seqencial do aprendizado de uma disciplina na relao professor-contedo aluno. Fica faltando para o aluno o desenvolvimento do algoritmo de soluo e o treino atravs dos exerccios de aprendizado e fixao. Figura - 1. 3. Estrutura seqencial do aprendizado de uma disciplina na relao contedo-aluno-exerccios. OBSERVAES: 1 - O texto introdutrio no explica tudo preciso o aluno ir atrs de mais. 2 Observar as abordagens alternativas existentes e utilizar material complementar no aprendizado, como por exemplo (filmes, simulaes, experimentos, etc.). 3 Aprender praticando, ou seja adquirir os fundamentos bsicos atravs da prtica dos exerccios. 7 4 Evitar a tentao do ler-e-solver essencial resolver os exerccios!! Figura - 1. 4. Estrutura seqencial do aprendizado como ao. 1. 4 - Metodologia do curso em sala de aula - Pr-requisitos: Esttica, Dinmica dos Corpos Rgidos, Matemtica (lgebra e Geometria, Clculo Diferencial e Integral), Termodinmica - Sistema Internacional de Unidades (70% dos exerccios). - Sistema Ingls (30% dos exerccios). - H 108 exerccios resolvidos que sero utilizados para o aprendizado e criao dos algoritmos de resoluo. - Procurar fugir do mtodo convencional de dar aulas. - Acrescentar outros materiais s prelees e expandir os tpicos especiais (circulao sangunea, escoamento de fluidos no-newtonianos, mtodos de medida). - Realizar discusses sobre o contedo do curso. - Resolver problemas e explanar pontos difceis dos trabalhos recomendados para serem feitos em casa. - Fazer um Workshop dos contedos dos cadernos a cada fim de tpico com os exerccios resolvidos - Apresentar diante mo um sumrio dos objetivos de cada captulo 8 - H mais de 500 novos problemas para serem feitos em casa que podero ser usados como questes para as provas a cada tpico. - H 1161 problemas na 3 Edio do livro texto do Fox & Mac Donald que podero ser utilizados num prazo mnimo de seis meses. - Existem muitos filmes instrutivos para o esclarecimento dos conceitos bsicos listados no Apndice C do livro texto do Fox & Mc Donald e tambm em homepage de Universidades e Instituies com cursos de Mecnica dos Fluidos na Internet. 1. 5 - Metodologia para a soluo dos exerccios 1 Relacionar bem e concisamente (com sua palavras) as informaes dadas. 2 Relacionar as informaes a serem determinadas 3 Faa um esquema do sistema ou do volume de controle a ser usado na anlise. Assegure-se de assinalar os limites do sistema ou do volume de controle e de fixar, convenientemente, os sentidos das coordenadas. 4 Escreva o formulrio matemtico das leis bsicas que voc julga necessrio para resolver o problema 5 Liste as hipteses simplificadoras que voc acha serem aplicveis ao problema. 6 Resolva o problema algebricamente antes de substituir os valores numricos, para que voc possa identificar mtodos gerais de solues e gerar algoritmos que evite voc fazer muitos problemas iguais sem necessidade. 7 Substitua os valores numricos (usando um sistema coerente(1) de unidades de medida) para obter as respostas numricas. Os algarismos significativos das respostas devem ser compatveis com os valores fornecidos (normalmente at 3 casas decimais). 8 Verifique as respostas e reveja as hipteses feitas na resoluo a fim de certificar-se de que so procedentes. 9 Destaques as respostas e verifique se estas possuem grau de realidade, se no, identifique os absurdos e refaa os clculos. 10 Relacione o que voc aprendeu, isto , o seu problema e as suas respostas com o seu dia a dia ou com a sua realidade. 1 Todas as grandezas no mesmo sistema de unidades 9 1. 6 - Divises do livro 1) Conceitos Introdutrios (Caps 1, 2 e 3) Objetivos da Mecnica dos Fluidos, Esttica e Dinmica dos Fluidos 2) Estabelecimento e aplicao do volume de controle, formas das equaes bsicas (cap. 4) Euler- Lagrange. 3) Estabelecimento e aplicao das formas diferenciais das equaes bsicas (cap 5 e 6) e formas integrais das equaes bsicas. 4) Anlise dimensional e correlao dos dados experimentais (cap 7) 5) Aplicao dos escoamentos de fluidos incompressveis (escoamentos internos no cap. 8 e externos no cap. 9) 6) Anlise e aplicaes de escoamentos em canais (caps. 10) 7) Anlise e aplicaes de escoamentos unidimensionais de fluidos compressveis (caps. 11 e 12) 1. 7 - Objetivo final do curso Os estudantes no final do curso devem estar aptos a aplicar as equaes bsicas e resolver problemas novos, desenvolver confiana e habilidade, estar capacitado a encontrar solues para problemas com maiores graus de dificuldades e adquirir auto-confiana. 1. 8 - Questes bsicas em Mecnica dos Fluidos Antes de se iniciar qualquer assunto dentro da mecnica dos fluidos, pode-se fazer as seguintes perguntas: 1 De que trata a Mecnica dos Fluidos? Mecnica a parte da cincia fsica que estuda o equilbrio, o movimento e suas causas. Basicamente trata do problema das foras e suas conseqncias, ou seja, deformao, movimento, trabalho e dissipao de energia. Fluido toda substncia que se deforma continuamente sob a ao de um esforo, uma tenso tangencial ou de cisalhamento, por exemplo, no importando quo diminuto seja este esforo. 10 Portanto a Mecnica dos Fluidos estuda a parte da cincia fsica que estuda o equilbrio, o movimento e suas causas, de corpos que podem se deformar continuamente sob a aao de forcas tangenciais. Basicamente trata-se do problema das foras e suas conseqncias, ou seja, deformao, movimento, trabalho e dissipao de energia. 2 Por que devo estud-la? Qual a sua importncia? Ela uma cincia cujo conhecimento e compreenso dos seus princpios bsicos e conceitos so essenciais para analisar qualquer sistema no qual um fluido utilizado, normalmente, como um meio produtor de trabalho. ai que reside a sua importncia, pois, trabalho equivale a energia e, energia significa custo e benefcio. Portanto, estudar mecnica dos fluidos representa poder dimensionar sistemas e processos em termos de eficincia, custo e resultados finais. Figura - 1. 5. Equivalncia entra trabalho, energia e custo. 3 Porque devo querer estud-la? Qual o motivo? A mecnica dos fluidos insere-se no contexto da engenharia como uma ferramenta de capacitao ao engenheiro para dimensionar materiais que resistiro ao tempo e ao espao, ou seja, atravs da mecnica dos fluidos possvel dimensionar fluxos, processos, barrreiras para conter presses proveniente de escoamento de fluidos, condutncia de tubos para transmisso de gases e lquidos, etc. 4 Como se relacionamos assuntos de Mecnica dos Fluidos comos tratados emoutras reas comas quais eu j estou familiarizado? 11 A Mecnica dos fluidos incluir conceitos avanados estudados na Mecnica dos Slidos na Termodinmica, Geometria e no Clculo Diferencial e Integral, conforme mostra o diagrama abaixo: Figura - 1. 6. Inter-relao entre as reas da fsica e da matemtica. Estas cincias se relacionam, de uma forma geral, da seguinte forma: Leis fenomenolgicas +Matemtica (aritmtica, lgebra, clculo, geometria) =cincia fsica 1. 9 A Mecnica dos Fluidos na engenharia de Materiais A Engenharia de Materiais possui uma estreita ligao com a Mecnica dos Fluidos atravs da capacidade de se quantificar a energia necessria para conformao de diversos tipos de materiais, possibilitando assim uma relao custo/benefcio tanto do processo como do produto final. Dos processos mais importantes de conformao destaca-se a fundio, que usada nas trs principais reas da Engenharia de Materiais, metais, cermica e polmeros. Na rea de metais a fundio de preciso necessita-se de uma grande quantidade de calor pois o fundido que se comporta como um fluido despejado no molde aquecido formando assim a pea final. Neste tipo de processo de fabricao o molde possui, muitas vezes, um elevado nmero de detalhes e uma relativa preciso dimensional, que o fluido do metal fundido no estado liquido deve preencher. Portanto, observa-se que o entendimento das propriedades viscosas deste tipo de material se torna importante neste processo. A quantidade de calor torna o produto mais caro do que a fundio com matriz, na qual possvel utilizar taxas rpidas de resfriamento. A colagem por barbotina envolve uma suspenso de argila em gua , que vertida em um molde poroso onde a gua absorvida atravs do molde. A medida que a pea fundida seca se contrai e se desprende do molde podendo ser removida. A natureza da suspenso 12 importante pois ela precisa ser muito fluida e derramvel, essas caractersticas dependem da proporo slido/gua bem como de agentes como os defloculantes que dificultam a formao de flocos tornando a suspenso idealmente fluida. No caso de polmeros a moldagem o tipo mais comum de conformao. O plstico granulado fundido e forado a escoar para o interior de um molde a uma temperatura e presso elevadas, a fim de preencher e assumir a forma deste molde. Na moldagem por injeo o material peletizado de algum termoplstico empurrado para o interior de uma cmara de aquecimento onde se funde para formar um lquido viscoso. O plstico fundido impelido ento atravs de um bico injetor para a cavidade fechada do molde. A presso mantida at a total solidificao do material. Na extruso o processo acima se repete, sendo que o molde desta vez aberto. Isso implica em peas de reta constante e de longo comprimento. O emprego de materiais em estado lquido e fluido viscoso extremamente necessrio para a conformao dos trs tipos de materiais, cermicos, metais e polmeros, sendo indispensvel o conhecimento das propriedades dos fluidos e das leis que os regem, para empregar os diversos tipos de conformao e possibilitar a criao de novos mtodos que facilitem ou reduzam o custo de produo. 1. 10 - Viso geral do curso Neste curso utilizaremos o conceito de grandezas escalares, pseudoescalares, vetoriais, pseudo-vetoriais, e tensoriais. Tambm utilizaremos as trs leis de Newton (conservao da massa (inrcia), a lei de fora, conservao do momento linear, angular e da energia) e as trs leis da termodinmica (1a , 2a e 3a Lei), modificadas, para retratar o movimento de fluidos. Utilizaremos equaes de origem puramente geomtrica e outras de origem fenomenolgicas (equao da continuidade) para descrever comportamento de corpos ou de fluidos em geometrias pr-definidas. Utilizaremos o conceito de produto escalar, produto vetorial, produto misto, duplo produto escalar, e duplo produto vetorial, como tambm o conceito de derivada material, gradiente, divergente e rotacional e dydicos com as suas respectivas interpretaes geomtricas. Desenvolveremos os teoremas, de Green, da Divergncia, Gauss, Reynolds e Stokes, para descrever comportamento de fluidos. Entenderemos a equivalncia entre diversas reas da fsica tais como: Mecnica e Eletromagnetismo e Termodinmica. Portanto neste curso procuraremos explicar, com todo o detalhamento necessrio e possvel, a linguagem dos conceitos atravs das frmulas e dos 13 teoremas matemticos. Fique atento ao que est implcito nas frmulas por meio dos sinais de, v (escalar), v(vetor), ou u u = A (variao finita), u d (variao infinitesimal de escalar), u d(variao infinitesimal de vetor), E (somatria), }dx x f ) ( (somatria infinitesimal de um escalar), } A d J (somatria infinitesimal de um vetor), interpretao geomtrica dos operadores gradiente, divergente e rotacional, etc. Uma mesma equao, chamada de equao da continuidade, quando aplicada sob a viso de cada uma das equaes fenomenolgicas da Figura - 1. 7 geram diferentes fenomenologias contidas no mesmo grupo estrutural de equaes matemticas. Portanto, um dos objetivos deste curso ensinar ao aluno o uso de equaes e teoremas de forma a misturar essas equaes para abordar fenomenologias mais complexas. Figura - 1. 7. Leis fenomenolgicas de fluxos proporcionais aos gradientes de suas respectivas grandezas. A evoluo dos conceitos bsicos dentro da fsica mostrado na Figura - 1. 8. Esta figura mostra como as diversas reas da fsica esto classificadas mediante os seus conceitos fundamentais e seu campo de aplicao. 14 Figura - 1. 8. Viso geral da Mecnica dos fluidos e sua relao com outras reas da cincia fsica. A mecnica dos fluidos possui um arcabouo matemtico geral utilizado em vrias outras reas da cincia fsica, conforme esquematiza a Figura - 1. 9. Pois de diferentes leis fenomenolgicas surgem diferentes contribuies fora que atua sobre um elemento de um fluido em conjunto com as suas diferentes configuraes geomtricas, que podem ser: cartesianas, cilndricas, esfricas, hiperblicas, etc. 15 Figura - 1. 9. Viso geral da Mecnica dos Fluidos e sua relao com outras reas da cincia fsica, que podem incluir efeitos clssicos e relativsticos. Por se tratar de um assunto de grande abrangncia, a Mecnica dos Fluidos, envolve as reas da Elasticidade e da Elastodinmica, Hidrodinmica e Mecnica dos Meios Contnuos. Suas idias estendem-se desde a mecnica tais como: Tensores, Lei de Hooke, 16 Propriedades Elsticas dos Materiais, Dislocaes, Comportamento Dinmico de Ondas, etc., e suas equaes estendem-se desde a equao da continuidade, equao de Euler, equaes da Hidrosttica (Pascal e Stevin), da Hidrodinmica (Bernoulli, Navier-Stokes) at Equaes Diferenciais No-Lineares, que envolve turbulncia e a propagao de slitons. Por ltimo, na resoluo dos problemas preciso lembrar que todo valor de uma medida estar associado a uma certa impreciso experimental, por esta razo ser adotado o uso de at trs algarismos significativos. 1. 11 O que voc deve saber sobre Mecnica dos Fluidos I - Conceitos Fundamentais O que um fluido. O que a condio de no-deslizamento. A lei da viscosidade de Newton. Qual a relao entre taxa de deformao e gradiente de cisalhamento. Como se expressa matematicamente um perfil linear de viscosidade. Como se classificam os fluidos, quanto a taxa de cisalhamento, regime, temperatura, etc. II - Esttica dos Fluidos O que o princpio de Pascal. O que significa um gradiente de presso e como se expressa ele matematicamente. A equao de Stevin. O empuxo. Como se d o equilbrio de corpos flutuantes e submersos. Calcular centro de presso em superfcies submersas. III - Dinmica de Fluidos Ideais, Viscosos Incompressveis e Compressveis Qual a relao entre a deformao de um slido e de um fluido. O que significa um regime estacionrio ou permanente. A diferena entre sistema e volume de controle A diferena entre o formalismo de Euler (Integral) e o de Lagrange (Diferencial) Como se definem uma densidade generalizada, uma taxa generalizada e um fluxo generalizado. O que significa, trajetria, filete, linha de emisso e linha de corrente. 17 Saber aplicar o conceito de volume de controle e superfcie de controle no clculo de escoamentos. O que a equao da continuidade, o que significa, saber aplic-la aos clculos (verso integral e diferencial). O teorema de Gauss, da divergncia, de Green e de Stokes e saber aplicar. Como expressar a compressibilidade, ou a incompressibilidade matematicamente e saber us-la nos clculos de escoamento. A equao de Euler, saber aplicar (verso integral e diferencial). A equao de Bernoulli, saber aplicar (verso integral e diferencial). A relao da equao de Bernoulli com a termodinmica. A equao geral da viscosidade de um fluido. A equao de Navier-Stokes para fluidos viscosos, saber aplicar pelo menos a fluidos incompressveis. O que uma camada de contorno e qual a sua importncia Qual a diferena do comportamento de um fluido dentro e fora da camada de contorno A diferena entre fluido compressvel e incompressvel Explicar matematicamente com base na mecnica dos fluidos o funcionamento de uma injetora. 18 1. 12 Exerccios e Problemas 1. Sob determinadas condies, quais destes materiais so fluidos? alcatro, gelatina, massa de vidraceiro, argila pra moldes, cera, areia, pasta de dente, creme de barbear? 2. Qual a importncia da Mecnica dos Fluidos na Engenharia de Materiais 3. Cite trs aplicaes de fluidos na Engenharia de Materiais 19 1. 13 Referncias Bibliogrficas - Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECNI CA DOS FLUI DOS, Editora Thomson - FOX, R. W., McDonald, A. T., Introduo Mecnica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4 Edio. - Irwin Shames, Mecnica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blcher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecnica dos Fluidos, LTC Editora. - Incropera, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferncia de Calor e Massa, Editora LTC, 4 Edio, 1998. - FEYMANN, Richard, Lectures on Physics Vol II Caps. 38, 39, 40, 41. - Landau & Lifshitz Teoria da Elasticidade - Fetter & Walescka Mecnica dos meios Contnuos (Exemplo e Aplicaes) - Arfken Mtodos Matemticos em Fsica 20 Captulo I I CONCEITOS FUNDAMENTAIS RESUMO Neste captulo sero vistas as noes fundamentais e os conceitos bsicos relacionados a mecnica newtoniana a termodinmica, tenso superficial, e presso de vapor. Como se estuda fenomenologicamente a consistncia de um corpo por meio das equaes da mecnica e saber quais so as unidades fsicas importantes utilizadas na Mecnica dos Fluidos. Todos os conceitos estudados neste captulo sero teis nos captulos subseqentes e ao longo de todo o curso. Portanto, imprescindvel memorizar tais conceitos para a resoluo dos problemas que se seguiro. Palavras Chave: fluido; sistema de unidades; leis de Newton ; leis da Termodinmica. PACS nmeros: 2. 1 Objetivos do captulo Ao terminar o estudo do Captulo II o estudante deve ser capaz de: i) Descrever as trs leis da Mecnica e as trs Leis da Termodinmica e a lei de Hooke Generalizada. ii) Entender o comportamento mecnico dos slidos para poder estender o comportamento para fluidos. iii) Saber utilizar as dimenses e unidades, homogeneidade dimensional, peso. iv) Citar os trs sistemas bsicos de medidas. v) Dar as unidades das grandezas fsicas no S.I., no Sistema Gravitacional Ingls e no Sistema Ingls de unidades 21 usadas na Engenharia. vi) Resolver os problemas do final do captulo relativos a matria estudada. 2. 2 - As equaes bsicas da Mecnica Classica A mecnica estuda as foras e distrbios trmicos que atuam sobre um objeto nas condies de repouso ou movimento. O estudo de corpos em repouso chamada de esttica, e o de corpos em movimento chamado de dinmica. 2.2.1 - As leis da mecnica ou leis de Newton As leis da mecnica ou leis de Newton so assim chamadas em homenagem a Isaac Newton pelas contribuies fundamentais para a teoria. Durante este curso as equaes bsicas que sero deduzidas e utilizadas no estudo de fluidos so: - 1a lei de Newton (Inrcia ou conservao da massa), estabelece que quando a resultante das foras que atuam em um corpo for nula, se ele estiver em repouso continuar em repouso e, se ele estiver em movimento retilneo uniforme continuar assim at que uma fora passe a atuar sobre ele. Matematicamente suas condies so descritas pelas equaes: Acelerao (a) = 0; velocidade (v) = 0 corpo emrepouso. Acelerao (a) = 0; velocidade = constante corpo emMRU. (2. 1) Porm, esta lei de difcil verificao na prtica, devido a presena de outras foras atuantes no corpo, como fora de atrito, resistncia do ar e gravidade. - A 2a lei de Newton para o movimento, estabelece que a fora que age sobre uma partcula igual a variao do momento linear com o tempo. a mdtp dF = = . (2. 2) pnde, p o momento limear e corresponde a v m p = (2. 3) As foras atuantes so somente externas, foras exercidas sobre o corpo por outros corpos ou campos. As foras so consideradas isoladamente e so representadas por vetores, que se somam ou se subtraem, conforme suas orientaes. 22 Figura - 2. 1. Ilustrao da terceira lei de Newton A 3a lei de Newton para o movimento, no descreve uma propriedade da natureza separada; ela est contida no fato experimental da conservao do movimento linear e na maneira pela qual a fora definida. a lei da ao e reao, que afirma que para toda ao corresponde uma reao de mesmo mdulo, mesma direo e sentido contrrio. Como exemplo, tm-se na Figura - 2. 1. Figura - 2. 2. Exemplo de fora interna que no realiza trabalho. Ventilador soprando um barco a vela. Se um corpo A exerce uma fora FBA sobre um corpo B, ento o corpo B deve exercer uma fora FAB sobre o corpo A. A fora tem mesmo mdulo e direo, mas sentido contrrio. BA ABF F = (2. 4) Observa-se tambm que foras internas no realizam trabalho, conforme mostra o exemplo da Figura - 2. 2. 23 - Conservao do momento linear, ou da quantidade de movimento, p = mv - Conservao do momento angular, ou do momento da quantidade de movimento, L = r x p. As trs leis de Newton so vlidas para sistemas macroscpicos, porm na escala microscpica utiliza-se as leis da Mecnica Quntica. 2. 3 - Estudo da consistncia de um corpo slido por meio da anlise de causa e efeito O estudo da consistncia de um corpo (slido, lquido, ou gasoso) um estudo fenomenolgico de causa e efeito, onde se aplica uma fora deformante sobre a superfcie deste corpo em estudo e observa-se o efeito da deformao. Este estudo est baseado no fato de que as foras exercidas sobre o contorno de um meio so transmitidas atravs do meio. Figura - 2. 3. Estudo da consistncia de um corpo nas direes normal e tangencial Um corpo pode apresentar propriedades de consistncia em duas direes fundamentais (normal e tangencial) e os comportamentos bsicos deste corpo em relao a tenso de deformao so: a) COMPORTAMENTO ELSTICO (Reversvel) aquele em que cessando a causa (tenso) cessa tambm o efeito (deformao). b) COMPORTAMENTO PLSTICO (Irreversvel) aquele em que cessando a causa (tenso) o efeito permanece (deformao). A condio de no ruptura em todas as partes do corpo deformado necessria, para o estudo da consistncia. 24 Figura - 2. 4. Comportamentos bsicos de um corpo sujeito uma tenso de deformao numa direo genrica. a) elstico (reversvel) b) plstico (irreversvel). 2.3.1 - Estudo da deformao de umcorpo slido Os materiais slidos tendem a se deformarem (ou eventualmente) se romperem quando submetidos a solicitaes mecnicas. O diagrama de tenso-deformao o mecanismo grfico de anlise do comportamento dos slidos frentes as tenses e suas respectivas deformaes. Este diagrama tenso-deformao varia muito de material para material, e, para um mesmo material podem ocorrer resultados diferentes em vrios ensaios dependendo da temperatura do corpo de prova ou da taxa de crescimento da carga. Os tipos de esforos mais comuns a que so submetidos os materiais para uma anlise atravs do diagrama de tenso-deformao so: a) TRAO As foras atuantes tendem a provocar um alongamento do corpo na direo de aplicao da fora. b) COMPRESSO As foras atuantes tendem a produzir uma reduo do corpo na direo de aplicao da fora. c) FLEXO As foras atuantes provocam uma deformao do corpo no eixo perpendicular a direo da fora d) TORO As foras que atuam no corpo se situam em um plano perpendicular ao eixo da seco transversal do corpo tendendo a fazer girar uma parte do corpo em relao a outra. e) FLAMBAGEM um esforo de compresso em uma barra de seco transversal pequena em relao ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura da barra. f) CISALHAMENTO As foras atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto , um deslocamento linear entre seces transversais. 25 Todos os tipos de esforos citados acima esto mostrados na Figura - 2. 5. Figura - 2. 5. Diferentes tipos de esforos que podem ser realizados sobre um corpo slido, a) esforo de trao, b) esforo de compresso, c) esforo de flexo, d) esforo de toro, e) esforo de flambagem, f) esforo de cisalhamento. 2.3.2 - Lei de Hooke na sua forma simplificada A lei de Hooke estabelece o grau no qual uma estrutura se deforma ou se o esforo depende da magnitude da tenso imposta. Na parte inicial do diagrama, a tenso, o, diretamente proporcional deformao especfica, c, e podemos escrever: c o E = . (2. 5) sendo que c = Al/l. Esta relao conhecida como Lei de Hooke sendo que o coeficiente E, chamado de mdulo de elasticidade do material. Para uma fora aplicada independentemente nos os trs eixos principais de um corpo temos de uma forma geral que: ii iiEc o = , (2. 6) e para o caso de cisalhamento ij ijG t = , (2. 7) onde G o mdulo de cisalhamento. No diagrama o x c do ao puro e de trs tipos de ao (Figura - 2. 6), existem vrias diferenas de tenses de escoamento, tenses ltimas e valores finais de deformao especfica (ductibilidade). Todos eles tm o mesmo mdulo de elasticidade, ou seja, a sua capacidade de resistir a deformaes a mesma, dentro da regio linear do diagrama. 26 Figura - 2. 6. Diagrama o x c para diferentes aos. O processo de deformao no qual a tenso e a deformao so proporcionais chamado de deformao elstica; um grfico da tenso (ordenada) em funo da deformao (abcissa) resulta em uma relao linear, conforme mostrado na Figura - 2. 7. A inclinao (coeficiente angular) deste segmento linear corresponde ao mdulo de elasticidade E. esse mdulo pode ser considerado como sendo uma rigidez, ou uma resistncia do material deformao elstica. Figura - 2. 7. . Diagrama o x c, mostrando as diferentes regies de deformao. A deformao elstica no permanente, o que significa que quando a carga aplicada liberada, a pea retorna sua forma original. medida que o material deformado alm do ponto P (Figura - 2. 7), a tenso no mais proporcional deformao ( a Lei de Hooke deixa de ser vlida), ocorrendo ento uma deformao permanente e no recupervel, ou chamada de deformao plstica. 27 2.3.3 - Coeficiente de Poisson Quando uma tenso de trao imposta a um corpo de prova metlico, por exemplo, um alongamento elstico e sua deformao correspondente, cZ, resultam na direo da tenso aplicada ( no caso, direo, z) conforme mostra a Figura - 2. 8. Como resultado deste alongamento, existiro constries nas direes laterais (x e y), perpendiculares tenso aplicada; a partir dessas contraes, as deformaes compressivas cX e cY podem ser determinadas. Se a tenso aplicada for uniaxial (apenas na direo z) e o material for isotrpico, ento cX = cY. Um parmetro conhecido por coeficiente de Poisson, v, definido como sendo a razo entre as deformaes lateral e axial, ou seja, zyzxvcccc = = . (2. 8) Figura - 2. 8. Alongamento axial (z) (deformao positiva) e contraes laterais (x e y) (deformaes negativas) em resposta composio de uma tenso de trao. As linhas slidas representam as dimenses aps a aplicao da tenso; as linhas tracejadas, antes da aplicao da tenso. O sinal negativo est includo nesta expresso para que v seja sempre um nmero positivo, uma vez que cX e cZ tero sempre sinais opostos. Teoricamente, o coeficiente de Poisson para materiais isotrpicos deve ser de ; adicionalmente, o valor mximo para v ( ou aquele valor para o qual no existe qualquer alterao lquida no volume) de 0,5. Para muitos metais e outras ligas, os valores para o coeficiente de Poisson variam na faixa entre 0,2 e 0,35. 28 Para materiais isotrpicos, os mdulos de cisalhamento e de elasticidade esto relacionados entre si e com o coeficiente de Poisson de acordo com a expresso: ) 1 ( 2 v G E + = . (2. 9) 2.3.4 - Estados mltiplos de carregamento; generalizao da lei de Hooke Consideremos elementos estruturais sujeitos ao de carregamentos que atuam nas direes dos trs eixos coordenados, produzindo tenses normais oX, oY e oZ todos diferentes de zero (Figura - 2. 9). Figura - 2. 9. Estado mltiplo de carregamentos. Considerando um cubo elementar de um certo material adotando arestas de comprimento unitrio sobre a ao do carregamento multiaxial esse cubo elementar se deforma tornando-se um paraleleppedo-retngulo cujos lados tm comprimentos 1 + cX, 1 + cY, 1 + cZ, onde so as deformaes especficas dos trs eixos coordenados (Figura - 2. 10). Figura - 2. 10. Ao do carregamento multiaxial. 29 Escrevendo as expresses das componentes de deformao, cX, cY e cZ em funo das componentes de tenso oX, oY e oZ, considerando separadamente o efeito provocado por cada componente. Tal mtodo se baseia no princpio da superposio. Este princpio afirma que o efeito provocado em uma estrutura por determinado carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vrios carregamentos e combinando-se os resultados obtidos. Considerando em primeiro lugar a tenso oX, essa componente causa na direo x, a deformao especfica de valor oX/E, e nas direes dos eixos y e z, a deformao especfica dada por: -voX/E. Da mesma maneira, a componente de oY, aplicada separadamente provoca as deformaes especficas oY/E e na direo do eixo y e -voY/E nas outras direes. Finalmente a componente oZ causa as deformaes especficas -oZ/E na direo do eixo Z e -voZ/E nas direes x e y. Conhecendo-se os resultados acima, chegamos as expresses das componentes das deformaes especficas, correspondentes ao estado mltiplo de carregamento, dado por: )] ( [1zz yy xx xxvE o o o c + = , (2. 10) )] ( [1zz xx yy yyvE o o o c + = , (2. 11) )] ( [1zz xx zz zzvE o o o c + = . (2. 12) As equaes (2. 10), (2. 11) e (2. 12) exprimem a generalizao da Lei de Hooke para um carregamento multiaxial. Do mesmo modo um valor positivo de deformao especfica significa expanso na direo respectiva e um valor negativo indica contrao. Para o caso de cisalhamento, as equaes utilizadas so as seguintes: Gxzxz t = , (2. 13) 30 Gxyxy t = , (2. 14) Gyzyz t = . (2. 15) Generalizando as equaes correspondentes ao estado de deformao e cisalhamento, podemos escrever a matriz das tenses, o, e a matriz das deformaes, c, e atravs do determinante destas matrizes, obter o mdulo de elasticidade e o mdulo de cisalhamento de um slido e sua relao entre eles, para uma rede cbica, da seguinte forma: kk ij ij ijG J c o + = 2 . (2. 16) onde o mdulo de cisalhamento, G, dado por: ) 1 ( 2 vEG+= . (2. 17) E o mdulo elstico, v o mdulo de Poisson, e a constante de Lam e vale ) 2 1 )( 1 ( v vvE += . (2. 18) ou ) 2 1 (2vGv= . (2. 19) 2. 4 - A Lei de Hooke generalizada aplicada a slidos Desenvolveremos a segunda parte da Lei de Hooke considerando inicialmente a ao de um corpo slido elstico isotrpico que se deforma de acordo com essa lei, a qual pode ser escrita, na sua forma generalizada, para um corpo isotrpico da seguinte forma: kl ijkl ijS E J = . (2. 20) Esta lei utilizada para descrever a deformao contnua em um slido at um certo limite. 31 Tomemos como exemplo a Lei de Hooke, na sua forma matricial dada pela equao (2. 20). Considere um corpo em sua forma primitiva, no deformada, como mostrado pela linha cheia na Figura - 2. 11. O corpo em sua geometria deformada est mostrado pela linha interrompida. Figura - 2. 11. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado aps a deformao local s. Um elemento a desloca-se para a posio a, da distncia S. Usando componentes paralelas a uma referncia convenientes x, y, z temos S. k j i S , q + + =. (2. 21) Onde , q e , , , para dada deformao so funes das coordenadas de posio primitiva x, y, z dos elementos do corpo. Podemos ento definir deformaes normais da seguinte maneira: xxxcc= c , (2. 22) yyycc= qc , (2. 23) zzzcc= ,c . (2. 24) Da resistncia dos materiais, sabemos que as tenses e deformaes normais esto relacionadas com pequenas deformaes pela Lei de Hooke da seguinte maneira: 32 )] ( [1zz yy xx xxvE o o o c + = , (2. 25) )] ( [1zz xx yy yyvE o o o c + = , (2. 26) )] ( [1zz xx zz zzvE o o o c + = . (2. 27) Onde E o mdulo elstico de Young e v o coeficiente de Poisson. Recordamos que o mdulo de cisalhamento, G, relacionado com E e v, pela seguinte relao ) 1 ( 2 vEG+= . (2. 28) Para chegar a lei de deformao de Hooke, obtemos as tenses normais em termos dos deslocamentos. Para faz-lo, somamos as equaes (2. 25) a (2. 27) e coletamos os termos da seguinte forma: ] [2 1zz yy xx zz yy xxEvo o o c c c + += + + . (2. 29) Observando as definies de (2. 21) a (2. 24) pode-se verificar que o primeiro membro da equao (3.9) o divergente de S, ou .S, logo reordenando (2. 29), obtemos: S .2 1 V= + +vEzz yy xx o o o . (2. 30) Resolvendo a equao (2. 25) para oxx, temos: )] (zz yy xx xxv E o o c o + + = , (2. 31) Somando e subtraindo voxx no segundo membro da equao acima e substituindo cxx por c/cx, obtemos: xx zz yy xx xxv vxE o o o oo + + +cc= ) ( , (2. 32) 33 Empregando a equao (2. 30) para substituir a soma das tenses normais, podemos reordenar a equao acima da seguinte forma: S .2 1) 1 ( V+cc= +vvExE vxx o , (2. 33) Dividindo por (1 + v) e observando a equao (2. 30) junto com a definio de o , dada por: ( )zz yy xx o o o o + + =31. (2. 34) A partir de (2. 30) temos que: S .) 2 1 ( 31V=vEo , (2. 35) Logo podemos escrever a equao (2. 33) na forma: oo + V V ++cc+= S S .) 2 1 ( 31.) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( vEv vvEx vExx, (2. 36) Onde os ltimos termos so adicionais, cuja soma zero. Logo, pondo em evidncia os termos semelhantes oo + V((

++cc+= S .) 2 1 ( 31) 1 ( ) 1 ( vEvvx vExx, (2. 37) e combinado os coeficientes do termo V.S, obtemos: oo + V((

++cc+= S .) 2 1 ( ) 1 ( 31 2) 1 ( vEvvx vExx, (2. 38) Ou oo + V+cc+= S .) 1 ( 31) 1 ( vEx vExx, (2. 39) Substitudo agora ) 1 /( v E + por 2G, dado de acordo com (2. 28), obtemos: oo + V cc= S .322 GxGxx, (2. 40) 34 Coletando os termos e exprimindo as equaes correspondentes para outros componentes de tenso, obtemos as relaes desejadas de tenso-deslocamento, ou seja: oo + V cc= S .322 GxGxx, (2. 41) e oo + V cc= S .322 GyGyy, (2. 42) e oo + V cc= S .322 GzGzz, (2. 43) E de uma forma geral temos: o o + V cc= S .322 GxSGiiii, (2. 44) e jiijxSGcc= 2 t , (2. 45) Portanto o tensor das tenses Jij dado por: kk ij ij ijG G J c o 322 = . (2. 46) Estas equaes sero muito teis na generalizao do problema de tenso e deformao em fluidos. Elas formaro o escopo fundamental para o estudo de fluidos em diversas condies fsicas. Todas elas culminaro na equao de Navier-Stokes a qual descreve a deformao contnua de um fluido compressvel e viscoso. 35 2. 5 Tenso superficial de lquidos A fora que existe na superfcie de lquidos em repouso denominada tenso superficial. Esta tenso superficial devida s fortes ligaes intermoleculares, as quais dependem das diferenas eltricas entre as molculas, e pode ser definida como a fora por unidade de comprimento que duas camadas. 36 2. 6 Presso de vapor de substncias A presso de vapor um fenmeno que ocorre em lquidos e slidos. Sendo diferente de uma substncia para outra, altamente dependente da presso e temperatura do ambiente. A presso de vapor a presso resultante de molculas que se desprende da substncia slida ou lquida e permanece no estado gasoso. Vejamos o exemplo a seguir. Considere um recipiente fechado contendo gua temperatura ambiente (25oC). Nesta temperatura h uma quantidade de molculas de gua que se vaporizam at atingir o equilbrio com a fase lquida na presso de 1,0 atm, sendo a presso de vapor menor que a presso externa do ambiente (1,0 atm). Com o aumento da temperatura do lquido, ocorre o aumento da quantidade de molculas que se vaporizam. Quando a temperatura atinge a temperatura de ebulio (100oC, nessas condies de presso) a quantidade de molculas que se evaporam e condensam atinge o equilbrio e ento a presso de vapor fica igual a presso externa. Isso tambm se aplica a recipientes abertos e pode ser melhor visualizado atravs da Figura - 2. 12. Figura - 2. 12. Esquema do aumento da presso de vapor com o aumeto da temperatura. Ao nvel do mar, a temperatura de ebulio da gua de 100oC pois a presso externa de 1,0 atme para a ebulio ocorrer a presso de vapor tem que ser igual a presso externa. Quando a altitude, em que o mesmo procedimento adotado, maior do que o nvel do mar, a presso externa menor que 1,0 atm, portanto a temperatura de ebulio da gua menor que 100oC, pois a presso de vapor do lquido tem que ser igual a presso externa (conceito de ebulio). Quando a presso de vapor maior que a presso atmosfrica ocorre uma transferncia de molculas do estado lquido para o estado vapor. Isso ocorre a uma 37 temperatura maior que a temperatura de ebulio do lquido (condio de no-equilbrio). Quando a presso de vapor igual a presso atmosfrica a temperatura permanece constante (temperatura de ebulio) e temos um estado de equilbrio onde a mesma quantidade de lquido transformada em vapor e a quantidade de vapor transformada em lquido, de acordo com a Figura - 2. 13. Figura - 2. 13. Presso de vapor maior ou igual a presso atmosfrica. Quando o lquido est na temperatura de ebulio o fornecimento de mais calor altera o nmero de molculas que passam do estado lquido para o estado de vapor (calor latente) a mudana de fase do sistema (Figura - 2. 13). Figura - 2. 14. Grfico de Temperatura em funo do tempo para a gua a uma presso de 1,0 atm. 38 2. 7 - Medidas, unidades e dimenses As grandezas bsicas so o Espao, Tempo, Massa, Carga eltrica e Temperatura. A partir destas grandezas que so construdas todas as outras atravs de relaes dimensionais. Normalmente designa-se a dimenso de uma grandeza com a seguinte notao: Espao: [L]; Tempo: [t], Massa: [M]; Carga eltrica: [Q] e Temperatura: [T]. 2.7.1 - Sistema de Medidas Dependendo da escolha das grandezas bsicas, h diferentes sistemas de medidas adotados conforme a necessidade. Como exemplo, utilizaremos apenas trs deles: a) Massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. b) Fora [F], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. c) Fora [F], massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. Para explicar os sistemas citados acima, podemos usar como exemplo a Segunda Lei de Newton: a m F ~ (2. 47) Em a) e b) a constante de proporcionalidade da equao (2. 47) adimensional e possui valor unitrio, sendo que as suas grandezas derivadas so, a fora [F] e a massa [M], respectivamente. Para c) a constante de proporcionalidade possui dimenso {ML/Ft2] que a dimenso de gc na segunda lei de Newton, e as grandezas bsicas so fora [F] e massa [M]. As grandezas normalmente utilizadas em Mecnica dos Fluidos so: Comprimento, rea, volume, massa, densidade, fora, energia, presso, tenso superficial, viscosidade, etc. 2.7.2 - Sistema de unidades H mais de um modo de escolher a unidade para cada grandeza bsica. Apresentaremos, para cada sistema de medidas, somente os sistemas de unidades mais comuns em engenharia. MLtT O Sistema Mtrico ou o Sistema Internacional de Unidades adota as seguintes unidades para as grandezas: 39 Massa, [M] =Kilograma,[Kg]; comprimento, [L] =metro, [m]; tempo, [t] =segundo, [s]; Temperatura, [T]; Kelvin [K]; Fora, [F] =Newton [N]. Exemplo: utilizando-se a segunda lei de Newton dada em (2. 47) temos que: 2/ . 1 1 s m Kg N = (2. 48) FLtT O Sistema Gravitacional Ingls adota as seguintes unidades para as grandezas: Fora, [F] =librafora, [lbf]; comprimento, [L] =p, [ft]; tempo, [t] =segundo, [s]; Temperatura, [T]; graus Rankine [R]; Como a massa a grandeza derivada em termos da fora, por exemplo: utilizando-se a segunda lei de Newton dada em (2. 47) temos que: 2/ . 1 1 s ft lbf slug= (2. 49) FMLtT O Sistema Ingls usado na Engenharia adota as seguintes unidades para as grandezas. Fora, [F] =librafora, [lbf]; Massa, [M] =libramassa, [lbm]; comprimento, [L] =p, [ft]; tempo, [t] =segundo, [s]; Temperatura, [T]; graus Rankine [R];. A fora e a massa so grandezas bsicas ento, por exemplo, utilizando-se a segunda lei de Newton, dada em (2. 47), temos que: cga mF = (2. 50) Todos estes sistemas de unidades sero utilizados na resoluo dos exerccios. 2.7.3 - Lei da homogeneidade dimensional A lei da homogeneidade dimensional se divide em dois aspectos: i) I nvarincia das leis fsicas (mesmas leis para qualquer sistema de coordenadas) Os fenmenos naturais so independentes das unidades empregadas pelo homem, portanto as equaes usadas para descrev-los devem ter validade geral para qualquer sistema 40 de unidades ou de coordenadas. Este um dos postulados da Teoria da Relatividade de Einstein. Ele trabalhou em um Instituto de Pesos e Medidas em Zurich na Suia e talvez tenha recebido esta influncia a partir de l. ii) Aditividade dos termos que possuem a mesma representao dimensional Considere a seguinte equao termodinmica: TdS = du + PdV + dN (2. 51) Cada grupamento ou termo da equao deve possuir a mesma representao dimensional. Tabela - I. 1. Tabela de converso das unidades dos principais sistema de medidas SI STEMA DE UNI DADES UNI DADES MKS CGS I ngls (I ) (engenharia) I ngls (I I ) (gravitacional) Massa 1Kg 1000g (1/0,4536)lbm 6,85x10-2slug Comprimento 1m 100cm (1/0,305)p (1/0,305)p Tempo 1s 1s 1s 1s Temperatura 1K 1K 1,8oR 1,8oR Carga eltrica 1C StatC(x 300) 1C 1C Fora 1N 105dyn (1/4,48)lbf (1/4,48)lbf Energia 1J 107ergs (1/1,055)Btu (1/1,055)Btu Presso 1N/m2=1Pa 10dyn/cm2 1/47,9lbf/p2 1/47,9lbf/p2 Viscosidade 1Kgm/s 10cp lbm/p.s slug/p.s 41 2. 8 - Exerccios e Problemas 1. Para cada grandeza abaixo listada indicar as dimenses no sistema MLTt e dar as unidades tpicas no SI e no Sistema Ingls de Unidades. a) Potncia; b) Presso; c) Mdulo de Elasticidade; d) Velocidade Angular; e) Energia; f) Quantidade de Movimento; g) Tenso Tangencial; h) Calor Especfico; i) Momento de uma Fora j) Modulo de Poisson. 2. Qual a representao dimensional de: potncia, mdulo elstico, peso especfico, velocidade angular, energia, momento de uma fora, mdulo de Poisson, deformao, presso, densidade de energia. 3. Quantas unidades de escala de potncia no sistema mtrico, usando dinas centmetros e segundo, correspondem a uma unidade no sistema ingls? 4. Quais so as duas leis da homogeneidade dimensional 5. A seguinte equao dimensionalmente homognea? ] )2)( [() )( 1 (432 2t tyh y hRd vEyF = (3. 1) Onde E: mdulo elstico, v mdulo de Poisson, d, y, h so distncias ou comprimentos, R a razo entre distncias, F =fora, Quais as dimenses de t? 6. No fenmeno de formao de uma gota em uma cmara de bolhas, considere a equao, T = ( - o)d.e2/H, onde o peso especfico do vapor, o o peso especfico do lquido, T a tenso superficial. Para que a equao anterior seja dimensionalmente homognea, qual deve ser a dimenso de H? 7. Um conjunto pisto-cilindro contendo O2, m= 0,95J /Kg.K sofre uma variao de temperatura de T1 = 27oC a T2 = 627oC, a uma presso constante de 150KPa (absolutos). Calcule a quantidade de calor recebido no processo do estado 1 para o estado 2. 8. Mostre que o coeficiente de Poisson e igual a 0,5 para uma deformao que conserva o volume. 42 2. 9 Referncias Bibliogrficas - CRAIG, R. R. J r.; Mecnica dos Materiais, 2 ed. LTC. - Apostila de vestibular: III Milnio; Fsica: Fora e Movimento. P. 6. - HALLIDAY, R. W. Fundamentos de Fsica, Mecnica, 4 ed. V.1, Rio de J aneiro RJ ; LTC, p. 82-91, 1996. - EISEBERG, R. M.; Fsica, Fundamentos e Aplicaes, V.1, So Paulo; Mc. Graw Hill do Brasil Ltda, p. 141-183, 1982. - Van Wylen, Gordon J .; Sonntag, Richard E. Fundamentos da Termodinmica Clssica. 2 Edio, So Paulo, Edgard Blcher, 1976. - HALLIDAY, R. W. Fundamentos de Fsica, Mecnica, 4 ed. V.2, Rio de J aneiro RJ ; LTC, p. 82-91, 1983. - REGER, D; Goode, S. Mercer, E.; Qumica, Princpios e Aplicaes. Lisboa, Fundao Calouste Gulben Kijn, 1997. - Deformao em slidos. On line, disponivel em http://myspace.eng.br/eng/rmat1.asp. Acessado em 25 de maro de 2005. - BEER, F. P. Resistncia dos Materiais, 3a Ed. So Paulo: Makrom Books, p. 124-129, 1995. - CALISTER J r, W. D. Cincia e Engenharia dos Materiais: Uma introduo. 5a Ed. So Paulo, p. 82-85, LTC, 1998. 43 Captulo I I I FLUIDOS E CLASSIFICAO DE FLUIDOS E SEUS COMPORTAMENTOS RESUMO Neste captulo sero vistas as noes fundamentais e os conceitos bsicos relacionados aos fluidos, ou seja: o que um fluido, qual a sua importncia na engenharia e na fsica, o que significa a hiptese do continuo. Aprenderemos sobre a Lei da Viscosidade de Newton e suas implicaes na classificao dos fluidos existentes na natureza. Todos eles sero teis nos captulos subseqentes e ao longo de todo o curso. Portanto, imprescindvel memorizar tais conceitos para a resoluo dos problemas que se seguiro. Palavras Chave: fluido; coeficiente de viscosidade; fluido pseudoplstico; fluido dilatante. PACS nmeros: 3. 1 Objetivos do captulo i) Entender a hiptese do contnuo e saber aplic-la para o caso de fluido. ii) Saber dar a definio prtica de fluidos e saber utilizar a Lei da viscosidade de Newton e a condio de no deslizamento. iii) Dar exemplos de fenmenos da nossa experincia diria e da moderna tecnologia cuja compreenso a Mecnica dos Fluidos importante. iv) Listar as cinco leis bsicas que governam o movimento dos fluidos. v) Saber diferenciar os diversos tipos de fluidos e comportamentos destes fluidos no que diz respeito a sua lei de viscosidade. vi) Resolver problemas de fluidos envolvendo a lei de Newton e a Lei de Ostwald de Waele. 44 3. 2 A hiptese do contnuo A hiptese do contnuo assume que os materiais, slidos e fluidos que podem ser gases ou lquidos, so distribudos continuamente pela regio de interesse do espao, isto , no caso do fluido por exemplo, este tratado como um meio contnuo. Consideremos um gs (argnio) no interior de uma lmpada fluorescente. O espao percorrido por um tomo ou molcula do gs entre duas colises consecutivas chamado de caminho livre mdio, l, (Figura - 3. 1). Figura - 3. 1. Caminho livre mdio, l, entre duas colises consecutivas das molculas de um gs. Consideremos o caso onde o caminho livre mdio, l, da mesma ordem de grandeza do volume de controle, L, isto , L ~ l. Neste caso, os fenmenos fsicos existentes no fazem parte do mbito da Mecnica do Contnuo ou da Mecnica dos Fluidos e sim da Mecnica Estatstica. Contudo, se o caminho livre mdio(2), l, entre duas colises consecutivas for muito menor do que a extenso fsica do volume de controle considerado, L, ou seja, quando L >> l, a cincia capaz de tratar os fenmenos envolvidos neste volume de observao a Mecnica dos Fluidos. Por exemplo, para os gases, o caminho livre mdio aproximadamente 10-7mm. Logo qualquer volume de controle da ordem de milmetros est dentro do intervalo de conceituao dada pela Mecnica dos Fluidos. Portanto, a propriedade usada para determinar se a idia de contnuo apropriada, ou no, a massa especfica, ou densidade, , definida por: 2 livre caminho mdio, caminho mdio livre de colises 45 VmV oo o 0lim (3. 2) Onde, om, a massa incremental contida no volume, incremental, V o . Isto significa que a densidade do fluido contido neste volume sofre flutuaes desprezveis para a descrio matemtica da Mecnica dos Fluidos de tal forma que esta pode ser calculada pela equao (3. 2). Figura - 3. 2. Hiptese do contnuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. a) Medida da densidade em um ponto. b) Variao desta medida com o volume considerado. Fisicamente no se pode fazer 0 AV , j que, quando V A fica extremamente pequeno a massa contida nele varia descontinuamente de pendendo do nmero de molculas em V A . Na prtica, existe um volume pequeno c abaixo do qual a idia de contnuo falha, como pose ver na Figura - 3. 2, pois abaixo desse volume, c, tem-se um valor no qual as distncias lineares so da ordem do livre caminho percorrido pelas molculas. Sendo assim, a hiptese do contnuo vlida quando tem-se L >> l, ou seja, a distncia linear (L) maior que o livre caminho mdio ( l ) como j foi dito anteriormente, e no vlida para L ~ l. Conforme o grfico da Figura - 3. 2, a partir do ponto A entramos na regio de domnio da Mecnica dos Fluidos, onde no depende mais da escala de observao do volume de controle, ou seja, esta a condio de continuidade da matria. Nesta figura mostra-se como uma medida aceitvel dentro da hiptese do contnuo. Termodinamicamente falando este volume equivale quele que contm um mnimo de 1015 partculas pois coincide com o limite termodinmico, veja por exemplo a representao mostrada na Figura - 3. 2a. 46 O limite superior da hiptese do contnuo, para acima do qual no valida, o tamanho do prprio sistema que est sendo analisado, pois se analisarmos uma grandeza com dimenses maiores que o tamanho do sistema este se torna insignificante. Por exemplo, assumindo-se um rio como um sistema fluido, se for tomado um volume muitssimo pequeno, abaixo de c, teremos L ~ l e assim, a hiptese do contnuo no vlida, e se tomarmos um volume muito grande para analisar o sistema fluido rio, como o planeta terra, por exemplo, como se estivssemos sobrevoando-o em um avio a grande altitude, observando a terra, o rio ser considerado e visto como uma linha e no como um fluido em movimento. 3. 3 A densidades generalizadas Como conseqncia da hiptese do contnuo, nos devemos transformar as grandezas da Mecnica Clssica e da Mecnica dos Slidos em densidades generalizadas, fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma uma grandeza X qualquer que pode ser massa, M, momento linear, p, Fora, F , Energia, U, etc., dever ser transformada na sua respectiva densidade da seguinte forma: VXVXoo o 0lim . (3. 3) Onde X = M, p, F, U, etc. Logo podemos escrever: dVdmdmdXdVdXX = (3. 4) Desta forma ficamos com: dmdXX = (3. 5) Esta definio ser vlida de uma forma geral. 3. 4 O fluido como contnuo A mecnica dos fluidos pode ser considerada como uma mecnica dos meios contnuos, isto , consideraremos as substncias como sendo contnuas em sua estrutura, sem qualquer referncia a sua estrutura molecular. 47 Na hiptese do continuo assume-se que ambos, gases e lquidos, so distribudos continuamente pela regio de interesse, isto o fluido tratado como um contnuo. 3. 5 Definio de fluido Fluido, toda substncia que se deforma continuamente sob a ao de um esforo (tenso) tangencial, no importando quo diminuto seja este esforo. Exemplo: lquidos e gases (ou vapores). Figura - 3. 3. Diferena de comportamento mecnico entre um slido e um fluido sob ao de um esforo tangencial constante, mostrando as diferentes posies de um elemento do fluido nos tempos t1, t2, t3, t4, t5, etc. De acordo com a lei de Hooke, quando se aplica um esforo ou tenso tangencial, t, a um slido este se deforma proporcionalmente ao esforo aplicado sobre ele, mas no continuamente, porque isso s acontece at ao limite de sua resistncia mecnica ao cisalhamento, que corresponderia a um certo ngulo , mostrado na Figura - 3. 3a, ou seja: t G = , (3. 6) onde G chamado de mdulo de cisalhamento e a deformao tangencial. 48 De forma anloga, quando se aplica um esforo ou uma tenso tangencial a um fluido, a taxa temporal de deformao, , com dimenso [1/t], proporcional ao esforo nele aplicado, por isso ele segue uma equao anloga a lei de Hooke, dada por: t = (3. 7) Portanto, um fluido pode ser tratado como um slido que se deforma continuamente, conforme mostra a Figura - 3. 3b. Isto significa que se fixssemos nossa ateno em um determinado ponto A (arbitrrio) no interior do fluido, veramos que este ponto mudaria de posio continuamente com o passar do tempo. Com isso podemos dizer que umfluido toda e qualquer substancia incapaz de manter-se emrepouso quando submetido a umesforo tangencial, da seguinte forma: A analogia entre um slido e um fluido pode ser vista considerando-se a seguinte equao: ] / 1 [ ; tt cc= (3. 8) Mas dy dx/ = , logo explicitando (3. 8) temos: ||.|

\|cccc=yxt . (3. 9) Trocando a ordem das derivadas podemos escrever: |.|

\|cccc=||.|

\|cccctxy yxt, (3. 10) onde x c corresponde ao deslocamento infinitesimal do fluido na direo x, logo a velocidade da fronteira do fluido, dada por: txvxcc= (3. 11) Usando-se (3. 11) e (3. 10) em (3. 9) temos que: ] / 1 [ ; tyvxcc= (3. 12) 49 Assim, o elemento de fluido da Figura - 3. 3b quando submetido a um esforo tangencial, txy sofre uma deformao continua com uma taxa temporal dada por, y vx c c , e de acordo com (3. 7) temos finalmente que: yvyvxxyxxycc= cc t t ~ (3. 13) 3. 6 Condio de no deslizamento A condio de no-deslizamento uma condio de contorno para a equao de viscosidade de um fluido e ela estabelece que umfluido emcontato comuma superfcie apresenta a mesma velocidade da superfcie. Desta forma, se esta superfcie for o leito de um rio, ou o fundo de um canal, por exemplo, a velocidade do fluido vizinho a superfcie do fundo do rio, ou do canal, ser nula e a velocidade do fluido na superfcie ser mxima. No caso de uma tubulao por onde um fluido passa, a velocidade do fluido em contato com as paredes da tubulao em repouso ter velocidade nula, logo at o centro do tubo dever haver um gradiente de velocidade devido ao deslizamento das camadas do fluido, uma sobre as outras, e a velocidade mxima do fluido ser no centro da tubulao. 3. 7 Estudo da consistncia de um corpo fludico em termos da sua viscosidade, por meio da anlise de causa e efeito A propriedade de consistncia na direo tangencial de um fluido chamada de viscosidade. Neste caso, o corpo em estudo um corpo fludico (lquido, soluo, suspenso ou gases) e os fenmenos a serem observados esto relacionados com a componente tangencial da fora deformante por unidade de superfcie, tambm chamada de tenso tangencial ou tenso de cisalhamento, cujos comportamentos mostrados na Figura - 2. 4 possuem seus anlogos para um fluido submetido a uma tenso de cisalhamento, conforme a Figura - 3. 4. 3. 8 Classificao dos fluidos quanto a sua viscosidade Existem fluidos de vrias formas, como substncias simples, como suspenso ou como soluo, dependendo da natureza dos componentes, da polaridade das molculas, da tenso superficial e da densidade relativa do veculo (meio de suspenso ou solvente). 50 3.8.1 - Lei da viscosidade de Newton - coeficiente de viscosidade e Fluidos Newtonianos Microscopicamente um fluido newtoniano pode ser entendido como formado de esferas rgidas com atrito entre elas. Neste tipo de fluidos a taxa de deformao ou o gradiente de velocidades proporcional a tenso de cisalhamento. O comportamento dos fluidos lineares ou elsticos foi descrito por Newton da seguinte forma: jiijxvcc~ t , (3. 14) onde t a tenso tangencial, dada no CGS em dinas/cm2. A expresso cv/cy o gradiente de cisalhamento dado em s-1. Portanto, jiijxvcc= t (3. 15) onde o coeficiente de consistncia chamado de coeficiente de viscosidade (resistncia ao cisalhamento [Ft/L2]). Os fluidos que apresentam tal comportamento so chamados de Fluidos Newtonianos, como o caso da gua e da maioria dos lquidos. Por exemplo, a gua a 20oC possui uma viscosidade de 10-2poise = 1cp. A lei de Newton da forma como est expressa em (3. 15) s vale para escoamento laminar. Figura - 3. 4. Fenmeno da deformao das camadas de um fluido elstico submetido a uma tenso tangencial. 51 Figura - 3. 5. Comportamentos bsicos de um corpo fludico submetido a uma tenso tangencial. a) Newtoniano, b) Plstico de Bingham, c) Pseudoplstico, d) Pseudoplstico com tenso de fluncia, e) Dilatante, f) Dilatante com tenso de fluncia. 3.8.2 - Fluidos Plsticos de Bingham So corpos de Bingham (apresentam uma tenso de fluncia) que podem ser suspenses nas quais a fase dispersa tambm slida ou lquida. Bingham descreveu o comportamento dos fluidos plsticos da seguinte forma: jio ijxvcc+ = t t , (3. 16) onde to chamado de tenso de fluncia, e deve-se ao fato de que para pequenos valores de tenso tangencial aplicadas a um fluido em escoamento esta no suficiente para romper a frico das partculas suspensas do fluido e p-lo em movimento. Esta grandeza distingue os plsticos dos lquidos. Um exemplo de plstico de Bingham o creme dental, pois ele no escoa at que uma determinada tenso cisalhante atue sobre ele. 52 3. 9 Comportamento da viscosidade dos fluidos em funo da taxa de deformao Vejamos agora como a viscosidade de um fluido varia como funo da taxa de deformao. Pois h tambm diferentes formas de um fluido responder as deformaes das quais podemos citar: 3.9.1 - Fluido de comportamento dilatante Um fluido dilatante imaginado como contendo somente lquido suficiente para encher os espaos vazios entre partculas em descanso ou submetidas a velocidades de cisalhamento muito baixas. Para estes casos o fluido quase newtoniano. A medida que aumenta a velocidade de cisalhamento como as partculas se movem umas sobre as outras mais rapidamente, elas necessitam de mais espao; o fluido como um todo se dilata. Esta expanso faz com que o lquido seja insuficiente para preencher os espaos vazios maiores, (a essa expanso se opem foras de tenso superficial ) resultando num aumento da viscosidade aparente. Este comportamento est de acordo com a equao (3. 19) para n > 1. Exemplos: Suspenses de amido, silicato de potssio e areia so exemplos de fluidos dilatantes. Isso explica porque a areia mida se torna aparentemente firme quando pisamos sobre ela. Outro exemplo o polvilho mido da mandioca (amido) atua tambm como fluido dilatante. 3.9.2 - Fluido de comportamento Pseudoplstico Solues de polmeros e outras grandes molculas alongadas comportam-se desta maneira, assim como suspenses comuns ou coloidais de partculas assimtricas. Estas molculas se comportam como um emaranhado em baixas de taxas cisalhamento e a tendncia de tais molculas se alinharem desprezvel, e elas permanecem, portanto desorganizadas. medida que o cisalhamento cresce o nmero de molculas alinhadas cresce e, portanto reduz-se a resistncia friccional entre as camadas adjacentes, diminuindo a viscosidade aparente. Se a curva tem sido experimentalmente obtida para uma taxa de cisalhamento suficientemente alta pode haver um aprecivel intervalo de tempo no retorno das molculas a sua posio normal e isto resultar no material um comportamento como o de uma substancia thixotrpica e um loop de histerese se formar no comportamento viscoso. Exemplo: As tintas atuam como pseudoplstico. 53 3.9.3 Modelo de Ostwald de Waele para fluidos ou Lei da Potncia Ostwald de Waele procurou generalizar o comportamento de alguns fluidos criando um modelo fenomenolgico que generalizasse o comportamento dos fluidos em termos de uma lei de potncia da seguinte forma: |tijjiAxv=cc, (3. 17) Como vale a relao entre gradiente de velocidade e taxa de deformao, onde: ijjixv =cc, (3. 18) O modelo de Ostwald de Waele para fluidos no newtonianos pode ser escrito de outra forma pela seguinte lei de potncia: nijiijjk t = , (3. 19) em que: k, o ndice de consistncia, | / 1 = n , o expoente de comportamento do fluido (grau de desvio do comportamento newtoniano) cujo valor de n determina a classe de comportamento do fluido da seguinte forma: te dila fluido nnewtoniano fluido ntico pseudopls fluido ntan 111>=< (3. 20) Mas para sua utilizao na equao da 2a Lei de Newton para fluidos ela deve ser linearizada da seguite forma: ijnijiijjk t 1 = (3. 21) O coeficiente de viscosidade, , de: 1 =niijjk (3. 22) temos: ij ij ij t ) ( = (3. 23) 54 Existem, contudo vrios modelos rheolgicos que tentam descrever o comportamento dos fluidos. O modelo de Ostwald de Waele um dos mais simples. A principal diferena entre os modelos a equao matemtica que descreve o coeficiente de viscosidade, cujos fatores dependem de diferentes variveis referentes aos tipos de fluidos. 3. 10 Comportamento da viscosidade dos fluidos em funo do tempo H ainda uma outra forma de um fluido responder a deformaes. Podemos ter os seguintes comportamentos de viscosidade em funo do tempo. 3.10.1 - Fluido Thixotrpico So aqueles fluidos cuja viscosidade diminui com o gradiente de cisalhamento. Este fenmeno acontece quando no decurso do tempo (fluido sob regime de tenso) as estruturas floculadas de um fluido so quebradas durante o cisalhamento a uma velocidade constante, a viscosidade aparente decresce com o tempo at atingir um equilbrio entre o rompimento e a reconstruo das estruturas, e estas so reconstrudas por elas mesmo isotermicamente quando o sistema retornado ao repouso. Existem certas estruturas que no se reconstroem quando quebradas, estas, esto associadas com o envelhecimento e no devem ser confundidas com as thixotrpicas. Medindo a tenso de cisalhamento fora do equilbrio, a medida que aumentarmos e depois diminuirmos a velocidade de cisalhamento, segundo uma variao uniforme, podemos obter uma curva que representa a histerese thixotrpica. Solues de altos polmeros so geralmente tixotrpicas at certo grau. As atraes intermoleculares e retenes mecanicas so reduzidas pelo cisalhamento, que reduz tambm a quantidade de solvente imobilizado; o movimento browniano devolve o sistema ao seu estado inicial, se o deixarmos em repouso algum tempo. A thixotropia particularmente importante na indstria de tintas, pois se deseja que a tinta escorra somente enquanto est sendo aplicada na superfcie em questo (alta velocidade de cisalhamento) e imediatamente aps a aplicao. Nota: Todo sistema thixotrpico floculado, mas nem todo floculado apresenta thixotropia. 55 3.10.2 - Fluido Reopxico So aqueles fluidos cuja viscosidade aumentam com o gradiente de cisalhamento. Trata-se aqui do aumento da viscosidade com o cisalhamento dependente do tempo, e observada as vezes quando aceleramos a restaurao thixotrpica. Por exemplo, suspenses argilosas de bentonita sedimentam-se lentamente quando esto em repouso, e o fazem rapidamente quando agitadas levemente. Fluidos que aps a sua deformao retornam a sua forma original so chamados de viscoelsticos. 3. 11 A consistncia de um corpo em funo da temperatura A consistncia de um corpo tambm possui dependncia com a temperatura. Ela pode possuir variao de sua viscosidade em funo da temperatura, dada por: T1~ , (3. 24) para lquidos e T ~ , (3. 25) para os gases. De forma geral a dependncia da viscosidade com a temperatura geralmente descrita pela multiplicao da equao (3. 22) por um termo exponencial. Ou seja, este comportamento segue a Lei de Arrenhius dada por: 1 / = =noKT Eom eA (3. 26) onde EA a energia de ativao, e K a constante de Boltzmann e T a temperatura. 3. 12 A consistncia de um corpo em funo do estado de escoamento de um fluido A consistncia pode depender tambm do fluxo ou do estado de escoamento de um fluido. Este pode ser classificado como laminar ou turbulento, dependendo da razo entre o fluxo inercial e o fluxo viscoso. 56 Escoamento laminar o tipo de escoamento no qual as linhas de corrente no se sobrepem umas as outras, ou seja, neste tipo de escoamento as linhas de correntes formada pelo movimento das partculas do fluido movem-se paralelamente umas as outras (Figura - 3. 6a). Escoamento turbulento o tipo de escoamento no qual as linhas de corrente se sobrepem umas as outras ou seja, neste tipo de escoamento as linhas de correntes se cruzam umas com as outras (Figura - 3. 6b). O nmero de Reynolds o parmetro que determina se um regime de escoamento ser laminar ou turbulento, e este vale: LvLJNo= =) / 1 (Reynolds (3. 27) Onde, L, um tamanho caracterstico do escoamento, v a velocidade mdia do escoamento, , a densidade do fluido e o coeficiente de viscosidade. A dimenso caracterstica, L, de um sistema aquela sobre a qual a reologia trata, a espessura da camada de fluido deformado seria seu comprimento caracterstico. Figura - 3. 6. Diferena no aspecto entre um fluxo a) laminar e b) turbulento. 57 Figura - 3. 7. Diagrama esquemtico ilustrando as condies de fluxo laminar e turbulento. Um nmero de Reynolds igual a 2000 comumente tomado como um valor crtico que separa o regime laminar de turbulento. Figura - 3. 8. Grfico da transio de fluxo laminar em turbulento para um fluido newtoniano. 3. 13 A classificao dos fluidos quanto a viscosidade e a compressibilidade Os fluidos utilizados na engenharia tm diversas aplicaes podem ser classificados de vrias maneiras, entre elas, quanto a sua viscosidade como vscidos e invscidos e quanto a sua compressibilidade como compressveis e incompressveis. Fluidos compressveis que so os gases em geral, so utilizados na rea de produo atravs da automao movida por gases comprimidos e na rea de termodinmica. Fluidos incompressveis que so os lquidos em geral, so usados principalmente na rea de hidrulica e transmisso de fora, por exemplo, nos freios de automveis, guindastes, prensas hidrulicas entre outros. A gua e os lquidos de uma forma geral so incompressveis, porm os gases so compressveis. Em aerodinmica este conceito tende a mudar um pouco, por exemplo, se os gases esto a uma velocidade inferior a 300mph eles so compressveis e se estiverem a uma velocidade superior eles so incompressveis. A grandeza termodinmica que mede a compressibilidade de um fluido o mdulo de compressibilidade isotrmico ou adiabtico, o qual definido como: 58 S TS TPVV,,1|.|

\|cc= | (3. 28) Fluidos viscosos todos os fluidos possuem uma certa viscosidade, mas os gases em baixas velocidades podem ter sua viscosidade considerada nula. Os fluidos viscosos podem ser utilizados na Engenharia de Materiais em processos de fabricao como a colagem de barbotina e sinterizao via fase lquida, metais e polmeros quando fundidos apresentam propriedades de um fluido viscoso e so conformados com relativa facilidade. Fluido no-viscoso: os gases com uma velocidade inferior a 300 milhas/hora so considerados no-viscosos, e apresentam um escoamento em forma de lminas (escoamento laminar) e quando a velocidade superior a essa eles apresentam um escoamento na forma de lacunas turbulentas. 3. 14 Aplicao de diferentes tipos de Fluidos Existem diferentes tipos de fluidos que podem ser classificados quanto a seu comportamento frente a compressibilidade ou frente a sua viscosidade. Fluidos compressveis so aqueles que, quando submetidos a uma variao de presso apresentam variao de seu volume devido ao acmulo de energia elstica. E quando retirada a presso este volta ao seu volume inicial. Como por exemplo, os gases. No efeito J oule-Thomson, um gs expande-se atravs de uma barreira porosa, de uma presso constante at outra, tambm constante, e ocorre uma diferena de temperatura provocada pela expanso. O processo adiabtico, isto sem perda de calor (AQ =0). Por outro lado fluidos incompressveis so aqueles que apresentam comportamento oposto aos fluidos compressveis, ou seja, no sofrem variao em seu volume quando sujeitos a uma presso externa. Uma aplicao deste principio o chamado macaco hidrulico, o qual utiliza geralmente o leo para fazer a transferncia de energia mecnica do esforo fsico para a suspenso de uma carga, como um veculo, por exemplo. Neste processo a perda de energia elstica e trmica desprezvel. Uma outra aplicao a direo hidrulica. Todos os fluidos reais possuem viscosidade e, portanto, quando submetido ao movimento apresentam fenmenos de atrito com as superfcies adjacentes. A viscosidade resulta fundamentalmente da aderncia do fluido a superfcie sobre a qual escoa e tambm devido a coeso interna pela transferncia da quantidade de movimento entre as lminas do 59 fluido em decorrncia do escoamento. Desta forma aparecem foras tangenciais ou de cisalhamento entre as camadas em movimento. ] Uma aplicao referente a viscosidade de fluidos so as tintas. Quando h o movimento do pincel sobre a superfcie, as molculas da tinta, que so molculas grandes e alongadas, so alinhadas facilitando o seu deslizamento da tinta, o que diminui a sua viscosidade. Quando, porm, cessa o movimento do pincel as molculas voltam ao seu estado catico, aumentando a viscosidade da tinta, o que permite a sua fixao na superfcie que est sendo pintada. Neste estado ocorre um aumento de entropia at que ocorrer toda a evaporao do solvente. Outras aplicaes de fluidos so corte e perfurao de materiais por fluidos leves com o uso de alta presso, fabricao do vidro float, propulso de foguetes, encanamentos de lquidos (oleodutos) e gases (gasodutos). Figura - 3. 9. Classificao dos fluidos quanto ao estado de escoamento 60 3. 15 Exerccios e Problemas 1. Qual a diferena bsica entre um slido e um fluido. 2. Conceitue: a) Fluido; b) Condio de no deslizamento; c) Forca de campo e d) forca de contato. 3. Mostre que a taxa de deformao de um fluido e equivalente ao gradiente de cisalhamento. 4. Conceitue? a) fluido newtoniano; b) plstico de Bingham; c) Fluido Pseudo-Plstico; d) Fluido Dilatante. 61 3. 16 Referncias Bibliogrficas - Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECNI CA DOS FLUI DOS, Editora Thomson - FOX, R. W., McDonald, A. T., Introduo Mecnica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4 Edio. - Irwin Shames, Mecnica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blcher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecnica dos Fluidos, LTC Editora. - Fetter & Walescka Mecnica dos meios Contnuos (Exemplo e Aplicaes). - ROMA, W. N. L.; Fenmenos de transporte para engenharia, Rima Editora, So Carlos, 2003. - site disponvel em http://www.mec.puc-rio.br/~edmecfl2/introduqo.pdf - VENNARD, J . K. STREET, R. L. Elementos de Mecnica dos Fluidos 5a ed, Guanabara DOIS, Rio de J aneiro - RJ , 1978, p. 16. - ATJ INS, P. W. Fsico-Qumica, v. 1, 6a ed, Editora LTC, Rio de J aneiro - RJ , 1999. 62 Captulo I V CAMPOS ESCALARES, VETORIAIS E TENSORIAIS PARA FLUIDOS. RESUMO Neste captulo sero vista as noes bsicas de campos escalares e campos vetoriais utilizados em Mecnica dos Fluidos. Aprenderemos tambm o que significa: fora de massa (ou de campo) e fora de superfcie (ou de contato), tenso em um ponto. Palavras Chave: campo escalar, campo vetorial, gradiente de presso. PACS nmeros: 4. 1 - Objetivos do captulo i) Aprender a diferenciar grandezas escalares de vetores e tensores, ii) saber qualificar um campo, iii) saber decompor as foras ao redor de um ponto em torno dos eixos cartesianos, iv) saber expressar matematicamente a tenso em um ponto em um campo vetorial. v) saber a diferena entre tenso e presso. 4. 2 - Quantidades escalares, vetoriais e tensoriais e campos As quantidades utilizadas na descrio matemtica dos fluidos podem ser classificadas em: 63 4.2.1 - Quantidades escalares aquela grandeza que necessita apenas da especificao de sua magnitude para uma completa descrio matemtica. Exemplos: Temperatura T = T(x, y, z, t); tempo, t; densidade = (x, y, z, t); carga eltrica, Q = Q(x,y,z,t), massa M = M(x, y, z, t). 4.2.2 - Quantidades vetoriais So aquelas grandezas que necessitam, alm da magnitude, de uma especificao direcional completa e somam-se de acordo com a rgua do paralelogramo (i, j, k). Devido ao espao tridimensional euclidiano so empregados trs valores associados com as direes ortogonais convenientes para se especificar uma grandeza vetorial. As componentes x, y e z de um vetor so escalares. Figura - 4.1. Sistema de coordenadas tridimensional com um vetor de coordenadas ) , , ( z y x r r = . So exemplos de quantidades vetoriais, deslocamento e velocidade: k z j y i x + + = r (4. 1) ou v = v (x, y, z, t), onde k v j v i vz y x + + = v (4. 2) e as componentes do vetor v so vx = vx(x, y, z, t), vy = vy(x, y, z, t) e vz = vz(x, y, z, t) so 1 = = = k j i , (4. 3) 64 representa o mdulo dos vetores unitrios nas trs direes ortogonais. 4.2.3 - Quantidades tensoriais So aquelas grandezas que necessitam de nove ou mais componentes escalares para uma completa descrio matemtica. Ex: tenso, deformao e momento de inrcia, todos estes so exemplo de tensores de ordem 2 ou de segunda ordem. 2 ordem de tensorzz zy zxyz yy yxxz xy xxij|||.|

\|=o t t t o t t t oo (4. 4) Isto porque, pode-se pensar que cada componente de um tensor um vetor e cada componente destes vetores so escalares. Logo, podemos generalizar os tensores da seguinte forma: Escalar: descrio anloga ao ponto, portanto pode ser chamado de tensor de ordem zero; Vetor: descrio anloga a uma reta, portanto pode ser chamado de tensor de ordem um; Matriz: descrio anloga a um plano, portanto pode ser chamado de tensor de ordem dois. Como poderia ser uma grandeza tensorial anlogo a um slido que envolvesse trs ndices, ou seja, um tensor de ordem trs. Figura - 4. 2. Tensor de ordem 3 ou de 3a ordem ou uma hipermatriz Este exemplo no ser usado, contudo serve para ativar o senso de observao do aluno. 65 4. 3 - Fluxos generalizados Um fluxo acontece quando algo flui no espao e no tempo, ou seja, possvel identificar a variao de sua quantidade atravs de um volume em um determinado intervalo de tempo. Desta forma possvel definir um fluxo generalizado como sendo a medida de uma grandeza que atravessa um elemento de rea em um intervalo infinitesimal de tempo, Portanto: | | ||.|

\|=dtX dA ddJX (4. 5) Onde X a grandeza em questo que pode ser massa, energia, momento linear, carga eltrica, etc. X = M, p, F, U, etc. Observe que para cada densidade, X generalizada existe um fluxo generalizado, XJ . A pergunta agora qual a relao fenomenolgica que existe entre fluxo generalizado e a sua densidade generalizada. 4. 4 - Campo de tenses foras de contato ou superfcie e de campo, massa ou volume Um campo uma distribuio contnua de quantidades escalares, vetoriais ou tensoriais descritas por funes contnuas de coordenadas espaciais e temporal. Na natureza, quanto a sua forma de atuao existem dois tipos de foras, a saber: 4.4.1 - Foras de massa ou de campo So aquelas desenvolvidas sem o contato fsico e so distribudas nos volumes dos corpos em que atuam. Estas foras agem instantaneamente em todos os pontos do corpo. Ex. Fora gravitacional; Empuxo, Foras de Eletromagnticas, conforme m