Apostila mecanica dos sólidos mecanica das estruturas ARQ V2010

Mecânica dos Sólidos e Mecânica das Estruturas

(Notas de Aula) Curso de Arquitetura e Urbanismo

(Versão 2010)

Prof. José Carlos Lobato Mesquita

INTRODUÇÃO A Mecânica dos Sólidos, também conhecida por Mecânica dos Materiais, Resistência dos

Materiais, Mecânica dos Corpos Deformáveis, é uma ciência básica das engenharias. É utilizada para se projetar todos os tipos de estruturas, maquinas e equipamentos.

A aplicação da Mecânica dos Sólidos, inclui nos mais variados itens de construção, como de

prédios, pontes, equipamentos, tanques de armazenamento, vasos pressurizados, automóveis, aviões, maquinas, motores elétricos e geradores, torres de transmissão, antenas, ferramentas etc.

Através da Mecânica dos Sólidos, se estuda a estrutura como um todo (p.ex. um edifício), e

suas partes componentes (elementos estruturais p.ex. pilares, vigas, lajes etc.), são dimensionadas de forma que tenham RESISTÊNCIA necessária para suportar os esforços e as condições de trabalho a que serão submetidas.

Este estudo envolve as seguintes etapas de análise: a dos ESFORÇOS, das TENSÕES, das

DEFORMAÇÕES e das PROPRIEDADES MECÂNICAS dos materiais.

VETORES Conceitos Fundamentais: As Grandezas consideradas em mecânica, como também em

outras ciências, podem ser classificadas em ESCALARES e VETORIAIS. As Escalares: são caracterizadas por dois elementos básicos e essenciais: MÓDULO ou

VALOR NUMÉRICO e o SINAL, os quais nos permitem a sua representação pelas quantidades algébricas.

As Vetoriais: são caracterizadas por três elementos básicos e essenciais: MÓDULO,

DIREÇÃO e SENTIDO.

Modo de representar: v , onde r é a chamada reta de suporte do vetor.

FORÇAS A primeira noção de força, foi dada ao homem pela sensação de ESFORÇO MUSCULAR.

Sabemos que para mudar a posição de um determinado objeto, ou para aumentar o comprimento de um tubo de borracha, por exemplo, é necessário exercer um esforço muscular com uma certa intensidade, e de maneira bem orientada. Essa simples observação nos habilita a concluir dois fatos significativos:

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1) Dois são os efeitos físicos que uma FORÇA pode produzir: a) MOVIMENTO de um corpo.(Quando não fixado). b) DEFORMAÇÃO de um corpo.(Quando fixado). 2) Três são os elementos que caracterizam uma FORÇA ou esforço: a) DIREÇÃO; b) SENTIDO; c) e INTENSIDADE. Portanto, Força tem as mesmas características analíticas de um

Vetor, portanto, para efeito de análise, pode ser considerado como tal. Somos levados ainda a associar ao mesmo conceito natural, de esforço muscular, todas as

demais causas capazes de produzir os mesmos efeitos físicos de MOVIMENTO ou DEFORMAÇÃO, não importando a causa física que as gerou. (p.ex. Força do vento).

As forças podem ser de muitas Naturezas: a) Força da Gravidade.(peso dos corpos). b) Força Elétrica e Força Magnética.(atração e repulsão). c) Força do vento (massa de ar). d) Força dos Gazes.(compressão e expansão).

TRIGONOMETRIA

α sen α cos α

0° 0 1

30° 21 23

45° 22 22

60° 23 21

90° 1 0

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DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS (vetores) NO PLANO (biaxial):

"Uma força qualquer pode sempre ser decomposta em relação a um sistema de eixos

ortogonais."

F = Fx + Fy |Fx| = |F|* cos α |Fy| = |F|* sen α |F|² = |Fx|² + |Fy|² Diagonal retângulo. |F|² = |F|² * (cos² α + sen² α ) |F| = |F| c.q.d.

MEDIDAS DE FORÇA

Medidas de Força: A medida da intensidade de uma força, como nas demais unidades de

medida, é feita por meio de comparação com uma unidade padrão ou de referencia. A unidade padrão de força depende do Sistema de Medidas considerado, — mks, cgs etc.

No sistema M.K.S (metro, quilograma, segundo), que é, o mais utilizado na pratica das

engenharias, a unidade padrão de força é aquela exercida pela ação da gravidade sobre um corpo dimensões padronizadas, cujo material é de Platina Iridiada, e conservado no Museu de Sevres, em Paris. Essa unidade padrão foi denominada de quilograma força, e é representada simbolicamente por Kgf ou Kg* .

Cálculo da Resultante:

BD = 20 * cos 60° = 20 * (1/2) = 10 DC = 20 * sen 60° = 20 * (√3/2) = 10√3 AD = AB + BD = 30 + 10 = 40 Do triangulo ADC R2 = AD2 + CD2 = 402 + (10√3)2 R = 43,59 ud ; cos α = 40/43,59 = 0,9176 ; α ≅ 23°

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Decomposição de uma Força:

VX = V * cos 30° = 50 * (√3/2) = 43,30 Kgf VY = V * sen 30° = 50 * (1/2) = 25,00 Kgf V2 = VX

2 + VY2 = (43,30)2 + (25,00)2

V = 50,00 Kgf

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA MECÂNICA ou de NEWTON

"A toda AÇÃO, corresponde uma REAÇÃO igual e contrária". Ex: O sistema PAREDE/ATLETA, etc.

ESTÁTICA e DINÂMICA

Estando um corpo ou sólido, sujeito a ação de um conjunto de forças, estaremos analisando

sob o domínio da: a) ESTÁTICA, se estivermos estudando as condições que devem estar sujeitas essas forças

para que o corpo permaneça em equilíbrio (Ação = Reação), parado ou estático. b) DINÂMICA, se estivermos estudando os movimentos, que se processarão em

decorrência da ação dessas forças. Obs: A fronteira entre universo da ESTÁTICA e o da DINÂMICA, se dá no exato momento

em que ação dessas forças passam a produzir o MOVIMENTO (Ação > Reação). Por exemplo, quando fazemos um esforço, por meio de uma ferramenta — uma chave, por exemplo — até o momento em que fazemos força e o parafuso não gira, estamos no domínio da ESTÁTICA, no exato momento em que o parafuso passa a girar, passamos para o domínio da DINÂMICA

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Principio de STEVINUS ou lei de VARIGNON: "Os efeitos de duas forças concorrentes são os mesmos de sua resultante".

Obs: É imediata a extensão do principio de Stevinus, a um numero qualquer de forças.

CLASSIFICAÇÃO DIDÁTICA DAS FORÇAS 1) Forças EXTERIORES: São as devidas as influências exteriores ao sistema material que

se considera.

1.1) Forças Ativas: São as diretamente aplicadas ao sistema material que se considera. Ex. peso próprio. 1.2) Forças Reativas: São as que se manifestam em determinados pontos do sistema

material, por influência de vínculos ou ligações.(apoios). 2) Forças INTERIORES ou de LIGAÇÃO: São as que se manifestam nos pontos de

contacto mutuo entre os corpos ou sólidos (elementos estruturais p.ex. pilares vigas lajes etc.), que constituem o sistema.

Obs.: Portanto o conceito de forças ativas e reativas é eminentemente RELATIVO,

dependendo portanto da ótica que se estuda o sistema material.

Sistema [ABC] Sistema [ABCD]

Ativas: P

Reativas: Rb e Rc Ativas: P

Reativas: Rd Interiores: Rb e Rc

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ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS (Estudo dos Sistemas de Forças)

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ESTÁTICA ABSTRATA e ESTÁTICA TÉCNICA

Estática ABSTRATA: E o estudo das condições exteriores de equilíbrio de um conjunto de forças, sempre sem distinguir as ATIVAS das REATIVAS, e sempre sem se preocupar com a GEOMETRIA dos corpos ou sólidos, aos quais são aplicados, sempre entretanto supostos como RÍGIDOS.

Estática TÉCNICA: É o estudo onde além das condições já observadas na Estática Abstrata,

leva-se também em consideração a GEOMETRIA dos corpos ou sólidos.

ESTÁTICA ABSTRATA

MOMENTOS DE UMA FORÇA Conceito físico de MOMENTO: Uma força aplicada a um sólido rígido é como um vetor

deslizante. Está sempre e invariavelmente ligado a sua reta de suporte. Isso não significa que seus efeitos não se façam sentir em relação a outros pontos fora do sua reta de suporte.

Neste caso pode-se observar: 1) A força F produz em relação ao ponto O, um efeito físico, cuja tendência é o

deslocamento ou translação desse ponto nessa direção e sentido, o mesmo observa para todos os pontos contidos sobre a reta de suporte dessa força, bem como para todos os demais pontos desse sólido.

2) Para o ponto O’, também, como já foi observado no item anterior, — bem como para todos os demais pontos desse sólido — a força F produz em relação a esse ponto, também um efeito cuja tendência é o deslocamento ou translação desse ponto nessa mesma direção e sentido — é como se essa força estivesse atuando diretamente também nesse ponto, na mesma direção e sentido — porem observa-se também, que além desse efeito de translação, essa força F, produz nesse ponto um outro efeito físico, cuja tendência é de fazer girar, de giro ou rotação desse ponto em torno de si, esse efeito chamado de efeito de MOMENTO.

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Momento de uma força em relação a um ponto.

Intensidade do Momento

M = F * d

Cálculo do Momento: d = AB * sen 45° = 30 * (√2/2) = 21,21 cm M = F * d = 20 * 21,21 M = 424,20 Kgf * cm

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SISTEMAS DE FORÇAS “Sistema de forças, é o conjunto de forças que atua em um corpo qualquer”. Sistema de Forças COPLANARES: É o nome atribuído a um conjunto de forças, quando

as direções de todas essas forças estão contidas no mesmo PLANO. 1 - Sistema de forças Coplanares e Concorrentes: é quando as direções de todas as forças

são coplanares (contidas no mesmo plano) e, ainda concorrentes em um único ponto ou pólo, neste caso, o seu efeito em relação a esse ponto, é idêntico ao de sua RESULTANTE, pois o momento em relação a esse ponto é nulo, tendo em vista que esse ponto é comum a todas as retas de suporte dessas forças.

2 - Sistema de forças Coplanares e não Concorrentes: é quando todas as direções das

forças forem coplanares porem nem todas as direções dessas forças são concorrentes em um único ponto ou pólo, neste caso o seu efeito é idêntico ao de sua RESULTANTE mais o de seu MOMENTO RESULTANTE.

REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS Reduzir ou Simplificar um sistema de forças, consiste em e substituí-lo por outro

equivalente, contendo menor numero possível de forças, a maior redução ou simplificação se obtém, determinando respectivamente, a RESULTANTE e o MOMENTO RESULTANTE, onde:

R = Σ Fi

MR = Σ Mi Mudança de Pólo: para um Sistema de forças Coplanares e não Concorrentes, podemos

facilmente reduzi-lo ou simplificá-lo, tomando para efeito de análise, um ponto ou pólo arbitrário, numa posição qualquer no plano, para o qual, consideraremos os efeitos de translação e de momento, exercidos por cada uma dessas forças em relação a esse ponto ou pólo, considerando evidentemente suas respectivas direções e sentidos.

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R = F1 + F2 + F3 +....Fn MR = M1 + M2 + M3 +....Mn EXEMPLO: Reduzir o Sistema de forças coplanares não concorrentes, da figura.

Solução: BC² = CD² + DB² = 8² + 3² => BC = 8.5440 cos α = CD/BC = 8/8.5440 = 0.9410 sen α = BD/BC = 3/8.5440 = 0.3530 Decomposição das forças na direção de X e Y: Componentes Xi e Yi: F1: X1 = +F1.sen α = +20*0.353 = +7.1Kg Y1 = +F1.cos α = +20*0.941 = +18.8Kg F2: X2 = -F2.sen α = -20*0.353 = -7.1Kg Y2 = -F2.cos α = -20*0.941 = -18.8Kg F3: X3 = +12.0Kg Y3 = 0.0Kg

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F4: X4 = 0.0Kg Y4 = -5.0Kg F5: X5 = +F5.cos α = +7*0.941 = +6.6Kg Y5 = -F5.sen α = -7*0.353 = -2.5Kg F6: X6 = +F6.cos α = +10*0.941 = +9.4Kg Y6 = +F6.sen α = +10*0.353 = +3.5Kg Rx = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = +7.1 -7.1 +12 +6.6 +9.4 = + 27.9Kg Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 = +18.8 -18.8 -5 -2.5 +3.5= - 4.0Kg Momentos causados pelas componentes:(adotar sentido horário com +) F1: M1 = +|X1*y1| +|Y1*x1| = +7.1*1.5 +18.8*4 = +85.8Kg*m F2: M2 = +|X2*y2| +|Y2*x2| = +7.1*1.5 +18.8*4 = +85.8Kg*m F3: M3 = +|X3*y3| +|Y3*x3| = +12.0*0.5 + 0 = +6.0Kg*m F4: M4 = 0 ; direção de F4 passa pela origem F5: M5 = 0 ; direção de F5 passa pela origem F6: M6 = 0 ; direção de F6 passa pela origem Mr = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 + M6 = +85.8 +85.8 +6.0 = + 177.6Kg*m R² = Rx² + Ry² = (27.9)² + (4.0)² => R = 28.18Kg tg β = -4.0/+27.9 = -0.143 => β = -8 10'

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TEOREMA DE VARIGNON

"Num sistema de forças, o momento resultante é igual ao momento da resultante."

CONJUGADOS OU BINÁRIO:

"Quando a resultante do sistema de forças e nula, havendo entretanto momento resultante, o sistema e chamado de conjugado ou binário."

EQUIVALÊNCIA E EQUILÍBRIO

EQUIVALÊNCIA DE SISTEMAS DE FORÇAS: "Se dois Sistemas de Forças, tiverem em relação a um ponto qualquer (O), a mesma

Resultante e o mesmo Momento Resultante, terão também em relação a um outro ponto (O'), a mesma Resultante e idênticos Momentos Resultantes”.

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EQUILÍBRIO DE SISTEMAS DE FORÇAS

"Um Sistema de Forças está em equilíbrio, quando em relação a um ponto qualquer, no espaço, sua Resultante e seu Momento Resultante, são nulos, neste caso, também estará em equilíbrio em relação à qualquer outro ponto no espaço".

R = 0 e MR = 0

EQUAÇÕES UNIVERSAIS DA ESTÁTICA São as equações que regem o equilíbrio dos sistemas coplanares de forças; portanto, para que

um sistema de forças coplanares qualquer esteja em equilíbrio, é condição necessária, que R = 0 e MR = 0, portanto:

Para que R = 0 é necessário que ∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0; E para que MR = 0 é necessário que ∑ Mz = 0

PRINCIPIO DA INDEPENDÊNCIA DA AÇÃO DAS FORÇAS "Cada força age independentemente das ações das demais." Em um sistema de forças qualquer, cada uma das forças que compõe esse sistema, age

isoladamente, sem interferir nos efeitos produzidos pelas demais forças que constituem o sistema.

PRINCIPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITO DAS FORÇAS

"O efeito total de um sistema de forças é igual à soma dos efeitos produzidos isoladamente por cada uma das forças ."

Portanto, o efeito total de um sistema de forças, nada mais é, do que o somatório dos efeitos

que de cada uma das forças que constituem o sistema, exercem individualmente. Obs.: Estes princípios são de grande utilidade nas aplicações práticas na ESTÁTICA, na

DINÂMICA, na RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, na MECÂNICA em geral etc.

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Exercício de Aplicação: Determinar, em relação ao ponto “O”, a Resultante e o Momento

Resultante, do sistema de forças aplicadas a um muro de sustentação, conforme a figura abaixo. As forças Qi, representam os pesos das diversas partes que compõe o muro e valem: Q1 = 6t ; Q2 = 14.4t ; Q3 = 8t ; Q4 = 38.4t ; Q5 = 8t ; Q6 = 3.6t ; Q7 = 9t.

Solução: Rx = +3 -3 -6 = - 6t Ry = -6 -9 -14.4 -3.6 -8 -8-38.4 = - 87.4t R² = Rx² + Ry² => R = 87.6t Mo = +Q1*0.7-3*7+9*1.2+Q2*0.8+Q6*0.2+3*5+Q3*0.7-6*4+Q5*1.4+Q4*0.8 Mo = + 42.76 t*m

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ESTÁTICA TÉCNICA

1 - As ações e reações, se transmitem de um sólido para outro, por intermédio dos vínculos. 2 - Na estática técnica, os vínculos são chamados de apoios, ou de ligações. 3 - Toda vez que há qualquer restrição ao movimento de um sólido, dizemos que há um

apoio ou vinculo. 4 - Nos apoios ou vínculos são despertadas as forças reativas ou reações.

4.1 - Apoios, são os vínculos exteriores a estrutura considerada. 4.2 - Ligações, são os vínculos contidos na estrutura considerada.

Ex: Sê considerarmos o pórtico [ABCD], constituído pela viga [BC] e pelas colunas [AB] e

[DC] os pontos [A] e [D], serão seus apoios, e [B] e [C], serão suas ligações. Sê considerarmos somente a viga [BC], os pontos [B] e [C], serão seus apoios.

GRAU DE LIBERDADE O Grau de Liberdade: É determinado pelo número possível de movimentos permitidos. Movimentos possíveis: Translação e Rotação. “Os vínculos despertam reações, exclusivamente, segundo as direções em que os

movimentos são impedidos”. Classificação dos vínculos: Caso Geral: 6 graus de liberdade. 3 translações X,Y,Z. 3 Rotações Mx, My, Mz.

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Obs. Sê todas as forças que constituem o Sistema, atuarem num mesmo plano,(caso mais comum na prática), o corpo estará sujeito apenas a 3 graus de liberdade a se considerar; 2 translações, em relação as direções X, Y e uma rotação em relação ao eixo Z, Mz.

Na prática, freqüentemente, os sistemas são susceptíveis de se deslocar em um único plano,

em que atuam todas as forças que solicitam a estrutura. Em conseqüência, há apenas 3 graus de liberdade, e portanto 3 tipos de vínculos a se considerar.

TIPOS DE VÍNCULOS

1) Vinculo do 1° Gênero - com 2 graus de liberdade, é chamado de Apoio Simples ou

Charriot. Permite uma liberdade de translação e uma de rotação, impede o deslocamento na vertical.

2) Vinculo do 2° Gênero - com 1 grau de liberdade, é chamado de Articulação ou Rótula.

Permite uma liberdade de rotação, impede o deslocamento na vertical e na horizontal.

3) Vinculo do 3° Gênero - Não há grau de liberdade, todos os movimentos são impedidos, é

chamado de Engaste.

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EQUILÍBRIO Equilíbrio Instável: É quando os vínculos ainda permitem algum grau de liberdade, mesmo

que haja equilíbrio sob determinadas condições de cargas, mas, quando modificadas, esse equilíbrio venha a ser rompido.

Equilíbrio Estável: Quando os vínculos são proporcionados, de maneira a não haver

liberdade (equilíbrio) sob quaisquer condições de carga.

EQUAÇÕES UNIVERSAIS DA ESTÁTICA PARA O EQUILÍBRIO Considerando um Sistema de Forças, como o conjunto de forças ativas e reativas, e que

atuam no mesmo plano (coplanares), como já vimos, podemos escrever que: ∑ Fx = 0 R = 0 => M = 0 => ∑ Mz = 0 ∑ Fy = 0 Obs.: Ao se escrever as equações acima, pode ocorrer que: 1) Que o número de incógnitas (reações), seja igual ao numero de equações, neste caso

dizemos que se trata de um caso do tipo ISOSTÁTICO, e que será o tipo de Sistema, objeto deste curso;

2) Ou ainda que o número de incógnitas (reações), seja maior que numero de equações,

neste caso dizemos que se trata de um caso HIPERESTÁTICO. 3) Ou que o número de incógnitas (reações), seja menor que numero de equações, neste

caso dizemos que se trata de um caso do tipo HIPOSTÁTICO. Os tipos HIPERESTÁTICO e HIPOSTÁTICO por se tratarem de estudos mais

avançados de análise das estruturas, não são objeto deste curso.

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ELEMENTOS ESTRUTURAIS Chamaremos de PEÇA ou ELEMENTO ESTRUTURAL, a todo sólido capaz de receber

e transmitir esforços.

ESTRUTURAS

Designaremos de ESTRUTURA, a todo conjunto de peças ou elementos estruturais, — convenientemente associados ou dispostos.

Exemplos mais comuns de Estruturas:

Classificação das Estruturas, quanto a sua configuração 1) De configuração Fixa: É quando todos elementos estruturais guardam entre si, sempre a

mesma posição relativa. — são as estruturas ligadas a Construção Civil, são os edifícios, as pontes, as estradas etc;

2) E de configuração Variável: Quando nem todos elementos estruturais guardam entre si,

sempre a mesma posição relativa. — são as estruturas ligadas a Construção Mecânica, são as máquinas e equipamentos em geral.

Classificação das peças ou elementos estruturais, quanto a sua geometria: 1) Elementos Lineares, hastes ou barras(quando tem uma dimensão dominante). Ex: Vigas, Pilares ou Colunas, Tirantes ou Cabos, Estacas, Baldrames, Escoras, Hastes ou

Barras das treliças, Tubos etc. 2) Elementos Espaciais (quando tem duas dimensões dominantes):

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2.1) Planos. Ex: Lajes, Placas de concreto, Sapatas, Radiers, Chapas metálicas etc. 2.2) Poliédricos. Ex: Cúpulas ou Abobadas. 2.3) Curvos.

Ex: Arcos, Conchas, Cascas, Vasos (pressurizados) — Marquise dos estádios, Concha

acústica etc. 3) Blocos (sem dimensões dominantes). Ex: Maciços (grandes dimensões) - na construção civil, muros de arrimo, barragens, Blocos

de Fundação, Tubulões etc. Tarugos (pequenas dimensões) - na construção mecânica, rebites, parafusos etc.

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SISTEMAS ISOSTÁTICOS DE FORÇAS

I) Sistemas de Forças Coplanares e Concorrentes

Resultantes: Rx ≠ 0 R ≠ 0 => e/ou Ry ≠ 0 MR = 0 => Mz = 0

Para satisfazer às condições de equilíbrio (R = 0 e MR = 0), portanto, basta que R = 0, ou

seja Rx = 0 e Ry = 0, onde: Rx = ∑Fx = 0 e Ry = ∑Fy = 0 (duas equações e duas incógnitas, ISOSTÁTICA) Ex: Calcular os esforços a que estarão submetidas as barras do sistema estrutural da figura

abaixo, P = 2,5t.

Solução: Ao ponto “B”, se aplicam as condições de equilíbrio onde: ∑Fx = 0 ; - FBC - FAB*cos ∝ = 0 (I) ∑Fy = 0 ; + FAB*sen ∝ - 2,5 = 0 ; + FAB*0,6 - 2,5 = 0 ; FAB = 4,167t Em (I) ; - FBC - 4,167*cos ∝ = 0 ; - FBC - 4,167*0,8 = 0 ; FBC = - 3,333t Obs: o sinal negativo de FBC, significa que o sentido arbitrado para essa força está invertido. II) Sistemas de Forças Coplanares e Não Concorrentes (Paralelas)

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Resultantes: Rx = 0 R ≠ 0 => e/ou Ry ≠ 0 MR ≠ 0 => Mz ≠ 0

Para satisfazer às condições de equilíbrio (R = 0 e MR = 0), portanto, é necessário que R = 0

e MR = 0, ou seja Ry = 0 e Mz =0, onde: Ry = ∑Fy = 0 e; Mz = ∑Mz = 0 (duas equações e duas incógnitas, ISOSTÁTICA)

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MÉTODO EXPERIMENTAL PARA DETERMINAÇÃO

DAS FORÇAS DE EQUILÍBRIO (Reações nos apoios)

MÉTODO ANALÍTICO PARA DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS DE EQUILÍBRIO (Reações nos apoios)

Situação 1 ∑ Fx = 0 ; +VA -P + VB = 0 ; VA + VB = P Em “A” ; ∑ Mz = 0; +P*2 - VB*4 = 0 ; VB = P/2 = 4/2 = 2 Kg ; VA = 2Kg Situação 2 ∑ Fx = 0 ; +VA - P + VB = 0 ; VA + VB = P Em “A” ; ∑ Mz = 0; +P*1 - VB*4 = 0 ; VB = P/4 = 4/4 = 1 Kg ; VA = 3Kg

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Exemplo: Calcular as reações que serão despertadas nos apoios devido ao carregamento da viga, do sistema estrutural da figura abaixo.

Solução: Ao ponto “A”, se aplicam as condições de equilíbrio onde: ∑Fx = 0 ; (Como neste caso o apoio em “A”, desperta reação horizontal, deve ser

estabelecida esta condição de equilíbrio, onde se verifica que HA = 0) ∑Fy = 0 ; + VA + VB - 2 - 3 - 4 - 2 = 0 ; + VA + VB = 11t (I) ∑Mz = 0 ; -2*2 +3*2 +4*4 - VB*7 +2*9 = 0 ; VB = + 5,14t Com VB = + 5,14t, em (I), obtém-se, VA = + 5,86t Exercícios de aplicação: 1) Para a treliça de cobertura, submetida ao sistema de cargas conforme a figura abaixo,

pede-se determinar as reações nos apoios.

2) Para a viga em mísula, submetida ao sistema de cargas conforme a figura abaixo, pede-se

determinar as reações que ocorrem nos apoios.

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SISTEMAS DE CARGAS

Tipos de Cargas: 1) Permanentes: são as cargas fixas e invariáveis, de ação constante.

Ex. Peso próprio das estruturas, peso das paredes, dos revestimentos etc. 2) Acidentais: também chamadas de “sobrecargas”, são as cargas variáveis.

Ex. Peso de um veículo sobre a ponte, peso de um equipamento sobre uma laje, força do vento sobre um edifício etc.

Obs: Devido à impossibilidade de considerá-las como efetivamente ocorrem, são fixadas por

nas Normas de cálculo valores padronizados em cada país. Ex.No Brasil, a NB-1, fixa para pisos industriais, uma sobrecarga de 150 Kg/m2. As cargas acidentais podem ainda serem divididas em FIXAS e MÓVEIS. As Fixas, embora possam ter intensidade variável, atuam de forma constante em

determinados pontos da estrutura. (força do vento, peso de elevador)

As Móveis, embora possam ter intensidade variável, percorrem a estrutura. (peso dos veículos)

Encaminhamento ou fluxo de Cargas

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Formas de Cargas: 1) Concentradas: atuam em determinados pontos da estrutura, e de forma constante e,

quando a dimensão da zona de distribuição “a”, é considerada proporcionalmente desprezível em relação às demais dimensões da estrutura.

2) Distribuídas: nos casos em que a zona de distribuição “a”, não possa ser considerada,

proporcionalmente desprezível, somos obrigados a considerar a carga como “distribuída”, que é caracterizada por uma taxa de distribuição ou ordenada de carga, “q”, onde:

LP

oComprimentPesoq == ; portanto “q”, é uma força por unidade de comprimento.

L = 3m b = 0,20m h = 0,30m γ = 2400 Kg/m3 P = Vol * γ = 0,20*0,30*3*2400 (peso total da viga) P = 432 kg q = P/L = 432/3 = 144 Kg/m (peso por metro de viga)

Tipos de distribuição: 2.1) Uniformemente distribuídas:

Ex. Viga sustentando o peso próprio ou parede. 2.2) Distribuição variável:

Ex. Uma massa de água exercendo pressão sobre uma parede de contenção (barragem, q = γ*h) ou uma viga de seção transversal variável.

Redução de uma carga uniformemente distribuída

1) A resultante “Q”, é igual a área da superfície de carga (q*L). 2) A resultante “Q”, passa pelo centro de geométrico da superfície de carga.

Obs: Pode-se demonstrar isso, analiticamente, através de cálculos de matemática superior,

baseados em equações diferenciais “dx” e integrais “ ∫dx ”, que a resultante de carregamentos

uniformemente distribuídos passam pelo Centro Geométrico das superfícies de carga.

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ESFORÇOS SECCIONAIS

Freqüentemente, na prática da engenharia, as estruturas admitem um plano de simetria e as forças normalmente estão contidas nesse plano (Sistema de forcas coplanares).

Imaginemos então um sólido (prisma retangular), submetido a um sistema externo, de forças

coplanares, que satisfaz as condições de equilíbrio estabelecido pelas equações universais da estática (R=0 e Mr=0), conforme o esquema da Fig.1. Para analisarmos os efeitos internos, produzidos por esses esforços, tomaremos para análise, um ponto arbitrário, no interior desse sólido, contido em uma seção transversal imaginária, decorrente de um corte transversal imaginário, removendo, de forma imaginária, uma parte deste sólido (Fig.2 e Fig.3). Para efeito de tornar mais prática a análise, tomaremos um ponto “O”, bastante conhecido, coincidente com o Centro de Gravidade dessa seção.

Para esse ponto, analisando-o com um observador posicionado a direita (Fig.2), passaremos

a representar o conjunto das forças que ficaram do lado direito da seção, de forma reduzida, reduzindo os seus efeitos a esse ponto, ou seja, calculando as resultantes (Rx, Ry, Mz), considerados os esforços que ficaram à direita da seção, mantendo desta forma as condições de equilíbrio existentes.

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Para esse ponto, agora, analisando-o com um observador posicionado a esquerda (Fig.3),

passaremos a representar o conjunto das forças que ficaram do lado esquerdo da seção, também, de forma reduzida, reduzindo os seus efeitos a esse ponto, ou seja, calculando as resultantes (Rx, Ry, Mz), considerados os esforços que ficaram à esquerda da seção, mantendo desta forma as condições de equilíbrio existentes.

Quando procedemos desta maneira, ou seja, calculando as resultantes (Rx, Ry, Mz),

considerados os esforços que ficaram à esquerda ou à direita da seção, estaremos então calculando os esforços que ocorrem internamente naquela seção, os chamados ESFORÇOS SECCIONAIS, necessários para a determinação das TENSÕES e DEFORMAÇÕES que ocorrerão no sólido, decorrentes dos carregamentos externos.

I - A resultante, longitudinal, “Rx”, que será simplesmente a soma algébrica das projeções

das forças exteriores, consideradas, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seção transversal imaginária, em relação à direção “X”, que é uma direção horizontal ou NORMAL ao plano imaginário, será denominada de agora em diante, de ESFORÇO SECCIONAL NORMAL ou

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simplesmente ESFORÇO NORMAL, simbolizado por “Nx”. Note-se que devem ser iguais e simétricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condição de equilíbrio do ponto “O” (R=0 e Mr=0), essa simetria nos esforços nos leva a associar ao conceito natural de tracionar ou caso contrário de comprimir.

∑= diresqxx FN ,

II - A resultante, transversal, “Ry”, que será simplesmente a soma algébrica das projeções

das forças exteriores, consideradas, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seção transversal imaginária, em relação à direção “Y”, que é a direção vertical ou de CORTE do plano imaginário, será denominada de agora em diante, de ESFORÇO SECCIONAL CORTANTE ou simplesmente ESFORÇO CORTANTE, simbolizado por “Qy”. Note-se que devem ser iguais e simétricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condição de equilíbrio do ponto “O” (R=0 e Mr=0), essa simetria nos esforços nos leva a associar ao conceito físico característico de cortar ou de corte, ver a figura abaixo.

∑= diresqyy FQ ,

III - A resultante de momento, “Mz”, que será simplesmente a soma algébrica dos

momentos das forças exteriores, consideradas, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seção transversal imaginária, em relação à direção “Z”, que é a direção perpendicular ou de PROFUNDIDADE do plano imaginário, será denominada de agora em diante, de ESFORÇO SECCIONAL DE MOMENTO FLETOR ou simplesmente MOMENTO FLETOR, simbolizado por “Mz”. Note-se que devem ser iguais e simétricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condição de equilíbrio do ponto “O” (R=0 e Mr=0), o fato de exercer um efeito físico de tracionar a fibras da parte inferior e comprimir as fibras da parte superior, nos leva a associar ao conceito físico característico de encurvar ou de flexionar, ver figura abaixo.

∑= diresqzfz MM ,

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Definição e convenção de sinais:

1 - ESFORÇO NORMAL: Esforço cuja tendência é comprimir ou tracionar a seção na

direção longitudinal.

1.1 - compressão (-) 1.2 - tração (+)

2 - ESFORÇO CORTANTE: Esforço cuja tendência é cortar ou cizalhar a seção na direção

transversal.

2.1 - Observador à esquerda: Qy (+) ↑ e (-) ↓2.2 - Observador à direita: Qy (-) ↑ e (+) ↓

3 - MOMENTO FLETOR: Esforço cuja tendência é de fazer a seção girar em torno do eixo

Z, perpendicular ao plano XY.

3.1 - Quando traciona a fibras de baixo da seção e comprime as fibras de cima da seção (+).

3.2 - Quando traciona a fibras de cima da seção e comprime as fibras de baixo da seção (-).

MOMENTO TORÇOR Existem determinadas situações de carregamento que envolvem esforços fora do plano

“XY”, são sistemas tri-axiais de forças que geram resultantes de momento em relação ao eixo “X”, “Mx”, que da mesma forma, será calculado como simplesmente a soma algébrica desses momentos, considerados, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seção transversal imaginária, em relação à direção “X”, e será denominada de ESFORÇO SECCIONAL DE MOMENTO TORÇOR ou simplesmente MOMENTO TORÇOR, simbolizado por “Mtx”. Note-se que devem ser iguais e simétricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condição de equilíbrio do ponto “O” (R=0 e Mr=0). Este tipo de esforço seccional será abordado em detalhes, mais adiante do curso, juntamente com o estudo das tensões.

∑= diresqxtx MM ,

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Exemplo: Para o sistema estrutural, conforme o esquema de carga da figura abaixo, pede-se determinar o valor dos esforços seccionais solicitantes em S1 e S2.

Solução:

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Exercícios de aplicação: determinar os Esforços Seccionais na seção “S”

Regras para atribuição de letras (A, B, C.... etc.), como nome das seções, para facilitar o processo de análise dos esforços seccionais.

1. Pontos (secções) localizados nas extremidades das hastes; 2. Pontos (secções) onde estão localizados os apoios; 3. Pontos (secções) onde estão aplicadas cargas concentradas; 4. Pontos (secções) de início e de término de cargas distribuídas.

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LINHAS DE ESTADO

As Linhas de Estado, representam a variação de um determinado Esforço Seccional

(Normal, Cortante, Momento Fletor e Momento Torçor), ao longo da peça, e são chamados de Diagramas.

1) Diagramas de Esforços Normais, devidos a Nx (DEN); 2) Diagramas de Esforços Cortantes, devidos a Qy (DEC); 3) Diagramas de Momentos Fletores, devidos a Mfz (DMF); 4) Diagramas de Momentos Torçores, devidos a Mtx (DMT).

Obs: Podemos dizer, que uma estrutura qualquer, somente fica “estaticamente determinada”,

quando tivermos traçado todas as linhas de estado, ou seja, quando conhecermos os valores de todos esforços seccionais, em qualquer posição (secção) da estrutura.

Regras básicas para determinação dos Diagramas de Esforços Seccionais:

1) Calcular às Reações dos Apoios (Equilíbrio do Sistema de Forças); 2) Adotar o eixo longitudinal da peça, como eixo de referência para construção

dos Diagramas; 3) Perpendicularmente ao eixo de referência adotado, marcam-se as ordenadas,

que representam os valores dos esforços. Convenção de sinais para construção dos Diagramas:

1) As ordenadas de Momento Fletor, serão sempre representadas para o lado em que as fibras do material estiverem sendo tracionadas, portanto os Momentos Fletores, positivos, serão sempre marcados para baixo;

2) Os demais Esforços Secionais, serão sempre marcados para cima, quando forem positivos e para baixo quando forem negativos.

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LINHAS DE ESTADO PARA SISTEMAS COPLANARES E ISOSTÁTICOS 1) Viga Bi-apoiada, com carga Concentrada:

Análise: I) Equilíbrio do Sistema de Forças: ∑Fy = 0 ; +VA - P + VB = 0 ∑Mz

B = 0 ; +VA*L - P*b = 0 ; VA = (Pb)/L ; em (I); VB = (Pa)/L II) Análise dos Esforços Seccionais: a) Momento Fletor ( ∑= diresq

zfz MM , ) pela esquerda; para 0 ≤ x ≤ a; Mfs = + VA*x = + [(Pb)/L]*x obs: a lei de variação em função de “x” é do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = a ; Mfs = + (Pba)/L para a ≤ x ≤ L ; Mfs = + VA*x - P*(x -a) = + [(Pb)/L]*x - P*(x -a) obs: a lei de variação em função de “x” é do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta.

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para x = a ; Mfs = + (Pba)/L para x = L ; Mfs = 0 ; Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforço Cortante ( ∑= diresq

yy FQ , ) ainda pela esquerda; para 0 ≤ x ≤ a; Qs = + VA = + (Pb)/L para x = 0 ; imediatamente à esquerda de “A”; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente à direita de “A”; Qs = + (Pb)/L; para x = a ; imediatamente à esquerda de “C”; Qs = + (Pb)/L; para a ≤ x ≤ L para x = a ; imediatamente à direita de “C”; Qs = +VA - P = - VB; para x = L ; imediatamente à esquerda de “B”; Qs = +VA - P = - VB; para x = L ; imediatamente à direita de “B”; Qs = +VA - P +VB = 0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima.

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2) Viga Bi-apoiada, com carga uniformemente distribuida:

Análise: I) Equilíbrio do Sistema de Forças: ∑Fy = 0 ; +VA - q*L + VB = 0 ; +VA + VB = q*L ∑Mz

B = 0 ; +VA*L - q*L*(L/2) = 0 ; VA = (qL)/2 ; em (I); VB = (qL)/2 II) Análise dos Esforços Seccionais: a) Momento Fletor ( ∑= diresq

zfz MM , ) pela esquerda; para 0 ≤ x ≤ L; Mfs = + VA*x = + (q*x) *(x/2) Mfs = + [ (qL)/2]*x = + (q*x) *(x/2) obs: a lei de variação em função de “x” é do segundo grau, portanto, em forma de uma

parábola. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = L/2 ; Mfs = Mfmáx = + qL2/8; para x = L ; Mfs = 0;

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Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforço Cortante ( ∑= diresq

yy FQ , ) ainda pela esquerda; para x = 0 ; imediatamente à esquerda de “A”; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente à direita de “A”; Qs = + VA; para a < x < L; Qs = + VA - (q*x) obs: a lei de variação em função de “x” é do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = L; imediatamente à esquerda de “B”;Qs = +VA -(q*L) = -VB; para x = L; imediatamente à direita de “B”; Qs = +VA -(q*L) +VB =0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima.

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3) Viga Engastada, com carga Concentrada:

Análise: I) Equilíbrio do Sistema de Forças: ∑Fx = 0 ; +HA = 0 ∑Fy = 0 ; +VA - P = 0 ; VA = + P; ∑Mz

A = 0 ; -MA + P*L = 0 ; MA = + PL II) Análise dos Esforços Seccionais: a) Momento Fletor ( ∑= diresq

zfz MM , ) pela direita; para 0 ≤ x < L; Mfs = - P*x obs: a lei de variação em função de “x” é do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = 0 ; Mfs = 0; Observe que, como em “A”, como existe carga concentrada de Momento Fletor (MA),

portanto também ocorrerá neste ponto, uma descontinuidade no valor desse esforço, havendo portanto, também a necessidade de verificação em posições, no limite imediatamente à esquerda e imediatamente à direita dessa carga concentrada.

para x = 0 ; Mfs = 0; para x = L ; imediatamente à direita de “A”; Mfs = - PL; para x = L ; imediatamente à esquerda de “A”; Mfs = - PL + MA = 0;

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Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforço Cortante ( ∑= diresq

yy FQ , ) ainda pela direita; para x = 0 ; imediatamente à direita de “B”; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente à esquerda de “B”; Qs = + P; para x = L ; imediatamente à direita de “A”; Qs = + P; para x = L ; imediatamente à esquerda de “A”; Qs = + P -VA = 0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima.

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4) Viga Engastada, com carga uniformemente distribuida:

I) Equilíbrio do Sistema de Forças: ∑Fx = 0 ; +HA = 0 ∑Fy = 0 ; +VA - q*L = 0 ; VA = + q*L; ∑Mz

A = 0 ; -MA + (q*L)*(L/2) = 0 ; MA = + (qL2)/2 II) Análise dos Esforços Seccionais: a) Momento Fletor ( ∑= diresq

zfz MM , ) pela direita; para 0 ≤ x ≤ L; Mfs = - (q*x) *(x/2) Mfs = - q*x2/2 obs: a lei de variação em função de “x” é do segundo grau, portanto, em forma de uma

parábola. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = L/2 ; Mfs = Mfmáx = - qL2/8; para x = L ; Mfs = - qL2/2; Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforço Cortante ( ∑= diresq

yy FQ , )

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ainda pela direita; para 0 ≤ x ≤ L; Qs = + (q*x) obs: a lei de variação em função de “x” é do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = 0 ; imediatamente à direita de “B”; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente à esquerda de “B”; Qs = 0; Observe que, como em “B”, não existe carga concentrada o Cortante, neste caso, é o mesmo,

no limite imediatamente à esquerda e imediatamente à direita, não havendo portanto, necessidade de tal verificação em pontos onde não existe carga concentrada.

para x = L; imediatamente à direita de “A”;Qs = + (q*L); para x = L; imediatamente à direita de “A”; Qs = + (q*L) - VA = 0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima

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AS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

Sabe-se que o concreto de cimento portland, é um material muito utilizado nas estruturas

das edificações de maneira geral e que é, uma mistura de cimento portland, com agregados graúdos e miúdos (britas e areia) e água, onde o cimento faz o papel de aglomerante (cola) dessa mistura.

Sabe-se ainda, que o material concreto de cimento portland, apresenta como principal

característica estrutural, a sua boa capacidade de resistir á esforços de compressão, podendo atingir cerca de 1000Kg/cm2 (100MPa) para concretos chamados de alto desempenho. Porém possui uma capacidade muito baixa de resistir esforços de tração, que não passa de 5Kg/cm2 (0,5MPa) mesmo para concretos especiais.

Daí então, a necessidade de reforçar o concreto naquelas regiões em que o mesmo é

submetido a esforços de tração, posicionado nessas regiões e, em quantidades apropriadas, materiais bastante resistentes á esforços de tração, no caso as barras de aço longitudinais.

Quanto aos esforços cortantes ou de cizalhantes, pode-se dizer que o concreto também é

muito pouco resistente, da ordem de 80Kg/cm2 (8Mpa), havendo portanto, a necessidade de reforça-lo também nesse sentido, o que se faz, utilizando-se para tanto, barras de aço transversais, são os chamados estribos.

A esse conjunto de barras de aço no sentido longitudinal e transversal, denomina-se

armadura, daí o nome atribuído de concreto armado. A seguir, veremos um exemplo ilustrativo da determinação dessa armadura a partir dos Diagramas de Esforços Seccionais.

Ilustração de armadura longitudinal Detalhe típico de armadura de vigas e culunas

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As Linhas de Estado ou, Diagramas de Esforços Seccionais (Normal, Cortante, Momento Fletor e Momento Torçor), são utilizados como referencia, por exemplo, para a determinação da armadura necessária a uma viga de concreto conforme ilustrado pelas figuras abaixo.

As figuras abaixo, ilustram a relação entre os esforços seccionais (internos) e as

deformações em uma viga de concreto. Onde se observa que a armadura reforça o concreto, as barras resistindo aos esforços de tração e os estribos como que costurando as fissuras, resistem ao cizalhamento.

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REGRAS PRÁTICAS PARA CONSTRUÇÃO DOS

DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SECCIONAIS

1) Regras práticas quanto a determinação dos intervalos (trechos) ao longo do eixo de

referência, para os quais devem-se obrigatoriamente analisar (calcular) os valores dos esforços seccionais, para pontos (secções), que representarão os valores nas extremidades de cada intervalo, e que servirão de referência para construção dos Diagramas:

• Pontos (secções) localizados nas extremidades das hastes; • Pontos (secções) onde estão localizados os apoios; • Pontos (secções) onde estão aplicadas cargas concentradas; • Pontos (secções) de início e de término de cargas distribuídas.

Obs: Para esses pontos devem-se atribuir letras (A, B, C.... etc.) para facilitar o processo de

análise dos esforços seccionais. 2) Regras práticas quanto à construção gráfica dos Diagramas, observa-se pelas

características dos diagramas do quadro anterior, para os quais já se procedeu a análise das equações que representam as Leis de Variação desses esforços, que:

2.1) Para os Diagramas de Esforço Cortante (DEC):

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• Geralmente apresentam pontos (secções) ao longo do eixo de referência, que apresentam situações de descontinuidade (degraus ou dentes) nos valores diagrama, portanto é necessário que sempre se analise essas variações nos esforços, para seções imediatamente à direita e à esquerda de cada seção.

• Nos trechos onde atuam cargas uniformemente distribuídas, os Diagramas de

Esforço Cortante (DEC) são representados por RETAS INCLINADAS em relação ao eixo de referência.

• Já para os trechos onde não atuam cargas uniformemente distribuídas, os Diagramas de Esforço Cortante (DEC) são representados por RETAS PARALELAS em relação ao eixo de referência.

2.2) Para os Diagramas de Momento Fletor (DMF):

• Geralmente não apresentam pontos (secções) ao longo do eixo de referência,

que apresentem situações de descontinuidade (degraus ou dentes) nos valores diagrama, portanto não é necessário que se analise essas variações nos esforços, para seções imediatamente à direita e à esquerda de cada seção.

• Nos trechos onde atuam cargas uniformemente distribuídas, os Diagramas de

Momento Fletor (DMF) são representados por CURVAS PARABÓLICAS em relação ao eixo de referência.(a cota que representa o ponto da curva para a metade do comprimento do trecho, será sempre obtida pela relação “ql2/8”);

• Já para os trechos onde não atuam cargas uniformemente distribuídas, os Diagramas de Momento Fletor (DMF) são representados por RETAS INCLINADAS em relação ao eixo de referência;

• Nas extremidades das hastes (vigas), quando é uma extremidade livre de um balanço ou quando é uma rótula, observa-se que os valores do Momento Fletor é sempre nulo.

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Exercício de aplicação:

I) Equilíbrio do Sistema de Forças: ∑Fy = 0 ; +VA - 7 - (3*4) + VB = 0 ; VA + VB = 19t (I) ∑Mz

B = 0 ; +VA*10 - 7*8 - [(3*4)*2] = 0 ; VA = 8t ; em (I); VB = 11t II) Análise dos Esforços Seccionais: ; pela esquerda; Momento Fletor ( ) ∑= esq

zfz MMMfC = + VA*2 = + 16tm MfD = + VA*6 - 7*4 = + 20tm Cortante ( ) ; será traçado de forma direta. ∑= esq

yy FQ

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Determinar os Diagramas de Esforços Seccionais

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Solução dos exercícios da lista

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SISTEMAS RETICULADOS OU TRELIÇAS

É sempre possível, substituir um sólido rígido (viga de concreto), em equilíbrio, por um

sistema de barras articuladas, convenientemente dispostas, de forma que as cargas solicitantes, estejam sempre aplicadas nas articulações (nós), desta forma, as barras não estarão sujeitas a momento fletor, mas somente à esforços normais (tração ou compressão), podendo portanto, ter uma seção transversal muito menor, apenas o suficiente para resistir aos esforços normais.

Viga Treliça

A transmissão das cargas para as articulações da(s) treliça(s) principal(is), é conhecido

como carregamento indireto, e se dá por intermédio de peças estruturais auxiliares, apoiadas sobre a estrutura principal, como por exemplo:

• na ponte, da figura a seguir, os esforços exercidos no tabuleiro, são

transmitidos para as treliças principais, através de elementos estruturais secundários que são as longarinas e transversinas;

• no caso de uma estrutura de cobertura, conforme a figura a seguir, os elementos estruturais secundários utilizados para transmissão dos esforços para os nós das treliças principais, são as chamadas terças. A principal vantagem deste tipo de estrutura, é pelo fato de ser constituída barras muito

esbeltas, resultando portanto em uma estrutura muito mais leve.

Tipos de Treliças

Planas Espaciais

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Método de Ritter ou Método dos Nós

Consiste em fazer a análise dos esforços que ocorrem em cada nó, levando em consideração

a condição de equilíbrio que se estabelece no mesmo. Solução: Procede-se a decomposição das forcas que atuam em cada nó, isoladamente, de modo que

as forças desconhecidas sejam no máximo, duas, e para o mesmo se estabelece as equações de equilíbrio dessas forças. Onde, no caso, cada uma dessas forças que atuam nesse nó, representam, individualmente, a FORÇA EXERCIDA POR CADA UMA DAS SUAS RESPECTIVAS BARRAS EM RELAÇÃO À ESSE NÓ.

Ponte Metálica

Apoios

Carregamento Indireto

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Estrutura de uma Cobertura de Madeira

Croqui do Sistema de transmissão das Forças

Regras para interpretação dos efeitos físicos dos esforços que atuam no nó, e as suas

relações com as suas respectivas barras: 1) Análise da condição de equilíbrio estático e determinação do sentido dos esforços

desconhecidos: adota-se inicialmente o sentido das forças desconhecidas, sempre tracionando o nó, e estabelece-se as equações de equilíbrio, que irão confirmar ou não os sentidos inicialmente arbitrados.

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2) Quanto à interpretação física de troca de esforços na relação, Nó X Barra, o desenho

abaixo representa graficamente essa relação, onde se observa que a força que atua no Nó sob análise, nada mais é do que a força que a Barra exerce (tração ou compressão) em relação a aquele Nó, e que, evidentemente, por uma questão simples de equilíbrio estático naquele ponto (princípio de ação x reação), o Nó evidentemente exerce em relação à Barra, um esforço de igual em intensidade e em sentido contrário. Daí a regra geral simplificada de que:

“Quando a força traciona o nó, significa que a respectiva barra esta sendo tracionada,

caso contrário, quando a força comprime o nó, significa que a respectiva barra esta sendo comprimida.”

Determinados os esforços que atuam em um determinado nó, os mesmos são transferidos

para o nó seguinte, aquele que fica na outra extremidade da mesma barra, obedecendo a regra de que: se força traciona o nó em uma extremidade da barra, significa que o nó na outra extremidade da mesma barra, também estará sendo tracionado; e se força comprime o nó em uma extremidade da barra, significa que o nó na outra extremidade da mesma barra, também estará sendo comprimido. Desta forma transmitem-se os esforços de nó para nó e de barra para barra, ao longo de toda a treliça.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS (Estudo das Tensões e Deformações)

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INTRODUÇÃO

A Resistência dos Materiais, também conhecida por Mecânica dos Materiais, Mecânica

dos Sólidos, Mecânica dos Corpos Deformáveis, e uma ciência básica da engenharia. É utilizada para se projetar todos os tipos de estruturas, maquinas e equipamentos.

A aplicação da Resistência dos Materiais, inclui os mais variados tipos de estruturas, tais

como, construção de prédios, pontes, equipamentos, tanques de armazenamento, vasos pressurizados, automóveis, aviões, maquinas, motores elétricos e geradores, torres de transmissão, antenas, ferramentas etc.

Através da Resistência dos Materiais, se estuda a estrutura como um todo, e suas partes

componentes, são dimensionadas de forma que tenham RESISTÊNCIA suficiente para suportar os esforços relativos às condições de uso que serão submetidas.

Este estudo envolve a análise:

• dos ESFORÇOS (Normal, Cortante, Momento Fletor e Momento Torçor); • das PROPRIEDADES MECÂNICAS dos materiais (Tensões Admisíveis

Módulo de Elasticidade, Coeficiente de Dilatação Térmica, Coeficiente de Poison, Peso Específico, etc);

• das TENSÕES (Tensões Normais e Tensões Cizalhantes) e; • das DEFORMAÇÕES (Deformações Longitudinais e Transversais).

Máquina Universal de Ensaios

Corpo de prova - CP

Prensa Hidráulica

Painel de Controle

Medidor de Esforço

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ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Seja o sólido da figura abaixo, para o qual já se determinou conforme os procedimentos de

analise já estudados, os esforços seccionais conforme indicados. Entende-se como Tensão a relação entre a intensidade do esforço seccional (Normal, Cortante e Momento Fletor) e a sua área de atuação (Secção Transversal “S”).

Obs: as tensões devidas ao esforço seccional Momento Fletor e Momento Torçor, serão

abordas em capítulo específico.

COMPRESSÃO SIMPLES Para análise das deformações, será utilizado como referencia, a experiência feita em

laboratório, utilizando-se a máquina universal de ensaio, submetendo um corpo de prova cilindrico (padrão), ao ensaio de compressão simples, para o qual pode-se as seguintes observações:

ΔL = Deformação Longitudinal (variação do comprimento) ΔD = Deformação Transversal (variação do diâmetro) Coeficiente de Poison, constante e própria de cada material, normalmente é encontrado já

tabelado para os diversos materiais (0,25 ≤ ν ≤ 0,35), o sinal negativo, significa um ajuste para que analiticamente represente o que fisicamente se verifica, ou seja, para um aumento longitudinal, implica em uma diminuição transversal (estrangulamento da secção) e vice-versa.

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σp = Tensão de Proporcionalidade ou Tensão limite do Regime Elástico σe = Tensão de Escoamento σr = Tensão de Ruptura Regime Elástico é o regime de deformações, em que predominam as Deformações

Temporárias Regime Plástico é o regime de deformações, em que que predominam as Deformações

Permanentes

Lei de Hooke

σ = E*εl (I)

Substituindo em (I), σ = N/S e εl = ΔL/L, teremos;

N/S = E * ΔL/L, e finalmente;

ΔL = N*L / E*S obs: o coeficiente de segurança “η” é fixado pelo projetista, baseado em Normas próprias.

Diagrama de Distribuição das Tensões devidas ao esforço Normal Simples

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Tabela “típica” de Propriedades Mecânicas dos Materiais

mais usados na Engenharia

Mega Pascal (1 MPa = 10 Kgf/cm2) Giga Pascal (1 GPa = 104 Kgf/cm2)

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VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

Influência da variação de temperatura no comprimento de um corpo sólido. ΔL = α * L * Δt ; Δt = (Tfinal - Tinicial) ; α = Coeficiente de dilatação linear /ºC

Coeficiente de dilatação linear Aço 13,6 x 10-6 /ºCConcreto 8,3 x 10-6 /ºCCobre 16,7 x 10-6 /ºCMadeira (de 2,5 a 6,5) x 10-6 /ºC

Ex: Para a barra de aço, engastada nas duas extremidades, conforme a figura abaixo, sabe-se

que a mesma foi submetida a uma situação de variação de temperatura, quando a temperatura ambiente de 40°C, caiu bruscamente para 10°C. Sabendo-se que o comprimento da barra é de 3m e a secção transversal é de 16cm2, e ainda a tensão de ruptura do aço tanto á tração quanto á compressão é de 1350 Kg/cm2 (η = 1,50). Pede-se verificar a estabilidade da mesma para esta situação.

Δt = 10° - 40° = - 30° ΔL = 13,6 x 10-6 * 300 * (- 30) = - 0,1224 cm Cálculo do esforço equivalente (impedimento), devido á restrição do apoio: ΔL = N*L / E*S; + 0,1224 = (N * 300)/(2,1 x 106 * 16) ; N = + 13.708,8 kg σr = 1350 kg/cm2 ; η = 1,50; σadm = σr /η = 1350/1,50 = 900 kg/cm2 σ = N/S = + 13.708,8/16 = 856,8 kg/cm2 ; portanto estável quanto á ruptura (σadm =

900kg/cm2 ).

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Obs: Verifica-se que o efeito mais importante da variação de temperatura, se dá em função do comprimento (ΔL), portanto é tanto mais prejudicial á estrutura com um todo, quanto mais longa for a barra (viga). As juntas de dilatação tem a finalidade de absorver nas estruturas, os efeitos indesejáveis das deformações devidas ás variações de temperatura.

• Sê, Δt negativo; ΔL negativo ou encurtamento da barra, caso haja restrição á

deformação (encurtamento), a barra fica TRACIONADA. • Sê, Δt positivo; ΔL positivo ou alongamento da barra, caso haja restrição á

deformação (alongamento), a barra fica COMPRIMIDA.

Efeitos da variação da temperatura sobre elementos planos (lajes, placas etc.)

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Efeitos da variação da temperatura sobre elementos longos (vigas, pilares etc.)

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CIZALHAMENTO SIMPLES (Corte Puro)

Ex: Para o parafuso que trabalha como elemento de ligação entre o apoio e a barra AB, da

treliça, conforme figura acima. Considerando-se o que pode ser observado nas figuras do Detalhe lateral e Detalhe superior e ainda na figura que representa o corpo do parafuso, verifica-se que os esforços ocorrem no parafuso, são no sentido transversal. Portanto o mesmo está submetido a uma situação de CORTE. Sabendo-se que o parafuso é de aço (τr = 1200 Kg/cm2) e que tem um diâmetro de 1,25cm e ainda que o esforço na barra é de 3t. Pede-se verificar a estabilidade do mesmo quanto á ruptura.

S = π * D2/4 = π * (1,25)2/4 = 1,227cm2 Q = F/2 = 3000/2 = 1500Kg Calculo da tensão solicitante no parafuso: τ sol = Q/S = 1500/1,227 = 1.222,49 Kg/cm2 Portanto, instável. Haveria a ruptura, tendo em vista que a tensão solicitante no parafuso (τsol

= 1.222,49 Kg/cm2) é maior do que a tensão de ruptura ao cizalhamento (τr = 1200 Kg/cm2).

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FLEXÃO SIMPLES

O processo de demonstração analítica das equações que representam as leis de variação das

tensões e deformações deste caso, e que se manifestam na seção transversal de uma viga submetida a Flexão Simples (ação do esforço de Momento Fletor), passam, por etapas que envolvem estudos mais avançados da matemática, conhecidos como “equações diferenciais”, que envolvem as chamadas “derivadas e integrais”, que não são abordados neste curso, ficando desta forma prejudicada a sua comprovação. Todavia para um conhecimento mais geral e menos aprofundado do assunto, que é o enfoque deste curso, a analise do comportamento das tensões e deformações, observáveis na prática, estão representados conforme as figuras abaixo, que acompanhadas das explicações necessárias, serão suficientes para a sua assimilação e aplicação prática.

O chamado “Momento de Inércia” que é uma grandeza puramente geométrica do sólido,

como o é, o volume, a área, o comprimento, largura etc., o termo Momento, também aqui, está associado ao conceito de efeito exercido á distancia, como já é sabido. Influi de maneira inversamente proporcional ao valor das tensões, representa a maior ou menor rigidez, que o sólido tem á flexão. É calculado em função da área da seção transversal do sólido, e pode ser obtido, de

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forma aproximada, conforme se observa na figura acima, como sendo o somatório do produto das áreas parciais que compõe a seção transversal pelo quadrado das distancias de seus respectivos centros de gravidade á um eixo de referencia. O Cálculo exato, depende também das chamadas “equações diferenciais”. Essas grandezas geométricas, normalmente já encontramos tabeladas na maioria dos livros que tratam da “Mecânica dos Sólidos”.

Ensaio em laboratório de uma viga submetida à Flexão Simples

(carga concentrada, no meio do vão)

Panorama Final de Fissuração da Viga

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MOMENTO DE INÉRCIA Conforme já assinalamos anteriormente os Momentos de Inércia das superfícies planas,

merecem um destaque especial na engenharia, pois representam um parâmetro geométrico importante para a Mecânica dos Sólidos, nos estudos que envolvem a análise das tensões e das deformações dos elementos estruturais.

Momento de Inércia de uma seção RETANGULAR:

1) Em relação a um eixo que passa pela BORDA da seção:

2) Em relação a um eixo que passa pelo CENTRO DE GRAVIDADE da seção:

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3) Em relação a um eixo que passa FORA da seção:

Momento de Inércia de seção composta: — Apresentam-se na prática, com freqüência, áreas como as dos perfis laminados em geral,

que tem uma forma geométrica da sua seção transversal, que pode-se associar a uma composição de várias outras sub-áreas. A determinação dos momentos de inércia, nestes casos, se faz, dividindo-se a área total em diversas sub-áreas fictícias, cujos momentos de inércia se enquadrem nos casos anteriores e, que já sabemos como calcular, e que serão somados ou subtraídos do total, conforme for mais conveniente.

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Tabela “típica” de Propriedades Geométricas de Seções Transversais

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AÇÃO DO VENTO SOBRE AS ESTRUTURAS

Resistência Dinâmica – Lei de Newton Para velocidades de 10 m/seg a 200m/seg no ar e 0,05 m/seg a 2 m/seg na água, a

intensidade da resistência do meio (Empuxo) é dada pela Lei de Newton:

amF ∗= Peso específico ( γ) do fluido nas Condições Normais de Temperatura e Pressão (CNTP): Ar: γ = 1,225 Kgf/m3 Água: γ = 1000 Kgf/m3 Peso do fluido: VolP ∗= γ

Massa do fluido: gPm = ; g = 9,81 m/seg2; portanto a

gVolF ∗

∗=

γ

Movimento uniformemente acelerado (V0 = 0): 2

2Va = ; em m/seg2

Portanto; 2

2VgVolF ∗

∗=

γ

Ação do vento: Volume (em m3 ) de uma massa de ar que atua sobre uma superfície de área S:

ShVol ∗= ; considerando uma espessura de 1m para a camada de ar teremos;

SVol ∗= 1

Portanto; 2

1 2Vg

SF ∗∗∗

=γ ; ou ainda

2

2Vg

SF ∗∗

=γ ; em Kgf

Para o ar teremos portanto; 1628281,9

225,1 222 VSVSVSFR∗

≅∗≅∗∗

=

16

2VSFR∗

≅ ; em Kgf;

onde S é a área da superfície atingida pelo vento em m2 ; e V é a velocidade do vento em

m/seg.

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Fator de conversão: segmseg

mhKm /28,03600

10001/1 ≅∗

=

Usualmente costuma-se corrigir a expressão (I) através de um coeficiente (CR) que depende

da forma da superfície conforme a tabela abaixo:

16

2VSCF RR∗

∗≅ ; em Kgf;

Tensão exercida pela força do vento: 16

2VCSF

Rr

R ∗≅=σ ; em Kgf/m2

Tabela de Coeficientes de Resistência Aero-dinâmica (CR)

Corpo CR 1 1,10 2 1,15 4 1,19 10 1,29 18 1,40

Placa Retangular

a/b

∝ 2,01

Placa Circular

1,11

1/5 0,91

Prisma

a/b

1/∝ 1.53

300 0,34 Cone (sem fundo)

α 600 0,51

Obs: “a” é o maior lado e “b” é o menor lado

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FLEXÃO COMPOSTA

Exemplo: A figura abaixo, trata-se de um painel de propaganda, sustentado por uma coluna, com seção transversal retangular (20x10cm), constituída de uma chapa de aço de 1cm de espessura, com σadm = ±2100Kg/cm2, sabe-se, que o peso do painel, é de cerca de 560Kg. Pede-se verificar a estabilidade do mesmo, sabendo-se que os ventos predominantes na região podem atingir até 80Km/h em determinados períodos do ano.

1) Força do Vento

S = 3x6 = 18m2 80Km/h = 0,28x80 = 22,4m/seg

KgCrCrFr 48,56416

4,2218 2

∗=∗

∗=

a/b = 2 (tabela) Cr = 1,15 Fr = 1,15 * 564,48 = 650Kg

2) Tensões devidas à Normal Simples (Peso do Painel) Área da Seção Transversal da coluna: S = 20x10 - 18x8 = 56cm2

21056

560 cmKgSN

===σ

3) Tensões devidas à Flexão Simples (Força do Vento) Momento Fletor solicitante: Mfz = 650x900 = 585.000kgxcm Momento de inércia relativo à flexão (Jz)

433

67,778.212188

122010 cmJz =

∗−

∗=

xxxJz

MfzMfz ∗=∗=∗= 5,210

67,778.2000.585σ

p/x = ± 10cm; σmax = ± 2.105Kg/cm2

4) Tensões devidas à FLEXÃO COMPOSTA (Normal Simples + Flexão Simples)

σtotal,max = 10Kg/cm2 + 2.105Kg/cm2 = 2.115 Kg/cm2 > σadm = 2100Kg/cm2 Instável

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FLAMBAGEM (Flexão por Compressão)

Trata-se de um fenômeno de instabilidade elástica lateral (encurvamento ou flexão) que as

hastes apresentam, quando solicitadas axialmente por esforços longitudinais de compressão, é a situação de trabalho característica dos pilares ou colunas, porem se aplica á qualquer elemento estrutural que trabalhe dessa maneira (p.ex. uma barra no interior de uma treliça).

Este tipo de situação, se verificada, é considerada estruturalmente, como uma situação de

ruptura ou de colapso estrutural, portanto estruturalmente inadmissível. Portanto, a verificação que se processa neste caso, é a determinação da carga capaz de

produzir esse tipo de situação (deformação), para que se possa evitá-la. Essa carga é conhecida como carga crítica (Pcrit) ou carga de flambagem (Pfl).

Desta forma, a condição de estabilidade de um elemento estrutural, submetido a essa situação de trabalho, é de que o esforço solicitante (Psol) seja sempre menor que a carga de flambagem (Pfl).

Coluna ou Pilar sob efeito da flambagem ou flexo-compressão

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Índice de esbeltez (λ)

Um importante parâmetro de referencia nesse tipo de analise é chamado índice de esbeltez, que é um número representativo da relação que existe entre comprimento (L) e área da seção transversal (S), ou seja, quanto maior for esse índice, maior é a esbeltez, mais vulnerável á esse tipo de instabilidade é a haste.

Carga de Flambagem (Pfl)

A carga de flambagem (Pfl), depende também da forma como essa haste está apoiada. São quatro os possíveis casos de apoiamento:

• Bi-Rotulada (I); • Rotulada-Engastada (II); • Bi-Engastada (III) e • Engastada-Livre (IV) , que são mostradas conforme as figuras abaixo:

Analiticamente essa carga depende de uma parte constante, comum a todos os casos,

multiplicada por um coeficiente (n), característico de cada caso. Cabe observar também, que o encurvamento ou flexão, ocorre, nesses casos, sempre na

direção em que a haste é mais flexível, ou seja, na direção da menor inércia (Jmenor).

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TORÇÃO SIMPLES

Prisma Cilíndrico

O processo de demonstração analítica das equações que representam as leis de variação das tensões e deformações deste caso, e que se manifestam na seção transversal de uma viga submetida a Torção Simples (ação do esforço de Momento Torçor), passam, por etapas que envolvem estudos mais avançados da matemática, conhecidos como “equações diferenciais”, que envolvem as chamadas “derivadas e integrais”, que não são abordados neste curso, ficando desta forma prejudicada a sua comprovação. Todavia para um conhecimento mais geral e menos aprofundado do assunto, que é o enfoque deste curso, a analise do comportamento das tensões e deformações, observáveis na prática, estão representados conforme as figuras abaixo, que acompanhadas das explicações necessárias, serão suficientes para a sua assimilação e aplicação prática.

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Tensões e Deformações

O chamado “Momento de Inércia Polar” que é uma grandeza puramente geométrica do

sólido, como o é, o volume, a área, o comprimento, largura etc., o termo Momento, também aqui, está associado ao conceito de efeito exercido á distancia, como já é sabido. Influi de maneira inversamente proporcional ao valor das tensões, representa a maior ou menor rigidez, que o sólido tem á torção. É calculado em função da área da seção transversal do sólido, e pode ser obtido, de forma aproximada, como sendo o somatório do produto das áreas parciais que compõe a seção transversal pelo quadrado das distancias Polares de seus respectivos centros de gravidade á um eixo de referencia (neste caso, em relação ao pólo, Centro de Gravidade da Seção). O Cálculo exato, depende também das chamadas “equações diferenciais”. Essas grandezas geométricas, normalmente já encontramos tabeladas na maioria dos livros que tratam da “Mecânica dos Sólidos”.

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Fratura típica de Torção em materiais FRÁGEIS ou quebradiços

Ferro Fundido Concreto ou Giz

Fratura típica de Torção em materiais DÚCTEIS ou elásticos (Aços)

Fazendo-se uma analogia dos efeitos do momento torçor com os feitos do momento fletor,

constata-se que, enquanto o momento fletor produz esforços de tração na parte de baixo ou na parte de cima da seção transversal, conforme a orientação do momento fletor, diferentemente, o momento torçor, tanto produz esforços de tração tanto na parte de baixo quanto na parte de cima da seção, como também nas laterais, daí, a necessidade de armadura longitudinal (de tração) inclusive nas laterais da seção, neste caso, os esforços de tração acontecem ao longo de todo contorno da seção. Mas essa é uma abordagem mais complexa, que não é o objetivo deste curso.

OBS: O exemplo da figura acima, objetiva apenas ilustrar como seria uma armadura típica

de uma torção simples, porém no caso em questão, na realidade, além dos efeitos da torção haverá a necessidade de se analisar também os efeitos da flexão que ocorrem simultaneamente e, que alterará os detalhes da armadura longitudinal vistos acima.

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Exemplo: Para o eixo cilíndrico, vazado, engastado na extremidade “A” e livre na

extremidade “B”, está submetido a uma carga de torção conforme a figura abaixo. Sabendo-se que Mt = 6,0 txm e que o cilindro tem um comprimento L = 2m e que, o raio externo Re = 12,5 cm e Ri = 7,5cm. Sabe-se ainda que para o material do eixo, G = 0,77x106Kg/cm2. Pede-se determinar o Diagrama de Distribuição das Tensões Cizalhantes e a posição e o valor da deformação rotacional máxima.

Solução:

radJGLM

p

tmáx

36

5

1066,4380.331077,0

200106 −∗=∗∗∗∗

=∗

∗=θ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 44444

00,380.332

5,75,122

cmRR

J ieP =

−=

−=

ππ

25

2245,12380.33106 cmKgR

JM

ep

tmáxe =∗

∗=∗== ττ

25

min 1355,7380.33106 cmKgR

JM

ip

ti =∗

∗=∗== ττ

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EXERCÍCIOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

1. Calcular o alongamento total de uma barra de aço (E = 2,0 x106Kg/cm2), de 5 cm2 de seção transversal e 2m de comprimento, submetida a um esforço de tração de 7,5t.

2. Determinar o módulo de elasticidade longitudinal do material de uma barra que tem 20cm de comprimento e 5 cm2 de seção transversal, sabendo-se que a mesma sofreu um alongamento de 0,1mm, sob uma carga trativa de 2,2t.

3. Um cilindro, vazado, de ferro fundido, cuja parede tem 2cm de espessura, recebe uma carga axial, longitudinal, compressiva, de 9.600Kg. Considerando-se que a tensão normal admissível do material seja de ±80Kg/cm2; pede-se determinar o diâmetro externo do cilindro de modo que o mesmo seja estável quanto a ruptura.

4. Um cilindro metálico de 20cm de altura e 6cm de diâmetro, foi comprimido axialmente até que a tensão normal atingiu o máximo para que não ocorressem deformações permanentes. Neste momento constatou-se que o diâmetro do cilindro aumentou de 15x10-

4cm. Sabe-se que as características físicas do material do cilindro são; σp = 2.000Kg/cm2, σe = 2.400Kg/cm2, σr = 4.200Kg/cm2, e ν = 0,25. Pede-se determinar:

1 – a variação no comprimento do cilindro. 2 – o módulo de elasticidade longitudinal do material do cilindro.

5. O sistema estrutural da figura abaixo representa um sistema reticulado

(treliça), constituído por duas barras (B1 e B2), rotuladas nas extremidades. Sabendo-se que; σadm,1 = ±1.000Kg/cm2, S1 = 2 cm2, E1 = 2,0 x106Kg/cm2 e que σadm,2 = ±100Kg/cm2, S2 = 12 cm2, E2 = 1,2 x106Kg/cm2 . Pede-se determinar a força vertical máxima (Pmáx) que se poderá aplicar no ponto “B”, bem como as deformações longitudinais das barras, decorrentes da aplicação desta força.

6. Uma haste de aço, de seção transversal variável, sabendo-se que SCD = 0,7xSBC = 2xSAB = 4 cm2, constituída de um material, para o qual foi fixada a necessidade de utilização de um coeficiente de segurança igual a 3,6, e que σp,tração = 4.320Kg/cm2 , σp,compressão = 3.600Kg/cm2 e ainda que σe,tração = 5.000Kg/cm2 e σe,compressão = 4.000Kg/cm2. Sabendo-se que a mesma será submetida à situação de carga conforme a figura abaixo, e que a situação de trabalho deve ser no “Regime Elástico”, pede-se verificar a estabilidade da mesma quanto a ruptura (P = 4,8t).

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7. Para o sistema estrutural da figura abaixo, sabe-se que a barra AB é de aço

(σadm = ±1.000Kg/cm2) e que a barra BC é de madeira(σadm = ±80Kg/cm2), pede-se dimensionar a seção transversal destas barras, de modo que a estrutura seja estável quanto a ruptura, quando P = 3,0t.

8. Para a haste AB (bi-apoiada), solicitada conforme as cargas indicadas na figura abaixo; considerando-se para efeito de análise a seção transversal em “C”; pede-se determinar o diagrama de distribuição das tensões normais:

9. Para a haste, em balanço AB, solicitada conforme as cargas indicadas na

figura abaixo; pede-se determinar o diagrama de distribuição das tensões normais para a seção transversal posicionada no apoio.

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10. Verificar a estabilidade do pilar, solicitado conforme a figura abaixo,

sabendo-se que o mesmo trabalha com engastado e livre, e que é constituído de um material com as seguintes características físicas; E = 2,5 x106Kg/cm2 e σadm = ±3.000Kg/cm2

11. Para a coluna cilíndrica de concreto, carregada conforme a figura abaixo (Px = 10t), sabendo-se que o mesmo trabalha com bi-rotulado, com as seguintes características físicas; E = 1,5x105 Kg/cm2 e σadm = ±300Kg/cm2, pede-se determinar o raio mínimo para a seção transversal, de modo que o mesmo seja estável.

12. Para as seções transversais, conforme as dimensões das figuras abaixo; pede-se determinar a posição do centro de gravidade da seção e os momentos de inércia em relação aos eixos “Y” e “Z”, que passam por esse ponto.

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Solução dos exercícios da lista

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ANEXOS

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Referências Bibliográficas: — CURSO DE MECÂNICA Vol. 1 e 2 – Adhemar Fonseca — RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – Beer/Johnston

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Apostila mecanica dos sólidos mecanica das estruturas ARQ V2010

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