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Apostila mecanica dos sólidos mecanica das estruturas ARQ V2010

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Mecnica dos Slidos e Mecnica das Estruturas(Notas de Aula) Curso de Arquitetura e Urbanismo

(Verso 2010)

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita

INTRODUO A Mecnica dos Slidos, tambm conhecida por Mecnica dos Materiais, Resistncia dos Materiais, Mecnica dos Corpos Deformveis, uma cincia bsica das engenharias. utilizada para se projetar todos os tipos de estruturas, maquinas e equipamentos. A aplicao da Mecnica dos Slidos, inclui nos mais variados itens de construo, como de prdios, pontes, equipamentos, tanques de armazenamento, vasos pressurizados, automveis, avies, maquinas, motores eltricos e geradores, torres de transmisso, antenas, ferramentas etc. Atravs da Mecnica dos Slidos, se estuda a estrutura como um todo (p.ex. um edifcio), e suas partes componentes (elementos estruturais p.ex. pilares, vigas, lajes etc.), so dimensionadas de forma que tenham RESISTNCIA necessria para suportar os esforos e as condies de trabalho a que sero submetidas. Este estudo envolve as seguintes etapas de anlise: a dos ESFOROS, das TENSES, das DEFORMAES e das PROPRIEDADES MECNICAS dos materiais. VETORES Conceitos Fundamentais: As Grandezas consideradas em mecnica, como tambm em outras cincias, podem ser classificadas em ESCALARES e VETORIAIS. As Escalares: so caracterizadas por dois elementos bsicos e essenciais: MDULO ou VALOR NUMRICO e o SINAL, os quais nos permitem a sua representao pelas quantidades algbricas. As Vetoriais: so caracterizadas por trs elementos bsicos e essenciais: MDULO, DIREO e SENTIDO.

Modo de representar:

v , onde r a chamada reta de suporte do vetor.FORAS

A primeira noo de fora, foi dada ao homem pela sensao de ESFORO MUSCULAR. Sabemos que para mudar a posio de um determinado objeto, ou para aumentar o comprimento de um tubo de borracha, por exemplo, necessrio exercer um esforo muscular com uma certa intensidade, e de maneira bem orientada. Essa simples observao nos habilita a concluir dois fatos significativos:

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 1) Dois so os efeitos fsicos que uma FORA pode produzir: a) MOVIMENTO de um corpo.(Quando no fixado). b) DEFORMAO de um corpo.(Quando fixado). 2) Trs so os elementos que caracterizam uma FORA ou esforo: a) DIREO; b) SENTIDO; c) e INTENSIDADE. Portanto, Fora tem as mesmas caractersticas analticas de um Vetor, portanto, para efeito de anlise, pode ser considerado como tal. Somos levados ainda a associar ao mesmo conceito natural, de esforo muscular, todas as demais causas capazes de produzir os mesmos efeitos fsicos de MOVIMENTO ou DEFORMAO, no importando a causa fsica que as gerou. (p.ex. Fora do vento). As foras podem ser de muitas Naturezas: a) Fora da Gravidade.(peso dos corpos). b) Fora Eltrica e Fora Magntica.(atrao e repulso). c) Fora do vento (massa de ar). d) Fora dos Gazes.(compresso e expanso).

TRIGONOMETRIA

sen 0 0 30 1 2 45 60 902 23 2 1

cos 13 2 2 2 12

0

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita DECOMPOSIO DE FORAS (vetores) NO PLANO (biaxial): "Uma fora qualquer pode sempre ser decomposta em relao a um sistema de eixos ortogonais."

F = Fx + Fy |Fx| = |F|* cos |Fy| = |F|* sen |F| = |Fx| + |Fy| Diagonal retngulo. |F| = |F| * (cos + sen ) |F| = |F| c.q.d. MEDIDAS DE FORA Medidas de Fora: A medida da intensidade de uma fora, como nas demais unidades de medida, feita por meio de comparao com uma unidade padro ou de referencia. A unidade padro de fora depende do Sistema de Medidas considerado, mks, cgs etc. No sistema M.K.S (metro, quilograma, segundo), que , o mais utilizado na pratica das engenharias, a unidade padro de fora aquela exercida pela ao da gravidade sobre um corpo dimenses padronizadas, cujo material de Platina Iridiada, e conservado no Museu de Sevres, em Paris. Essa unidade padro foi denominada de quilograma fora, e representada simbolicamente por Kgf ou Kg* . Clculo da Resultante:

BD = 20 * cos 60 = 20 * (1/2) = 10 DC = 20 * sen 60 = 20 * (3/2) = 103 AD = AB + BD = 30 + 10 = 40 Do triangulo ADC R2 = AD2 + CD2 = 402 + (103)2 R = 43,59 ud ; cos = 40/43,59 = 0,9176 ; 23

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Decomposio de uma Fora:

VX = V * cos 30 = 50 * (3/2) = 43,30 Kgf VY = V * sen 30 = 50 * (1/2) = 25,00 Kgf V2 = VX2 + VY2 = (43,30)2 + (25,00)2 V = 50,00 Kgf

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA MECNICA ou de NEWTON "A toda AO, corresponde uma REAO igual e contrria". Ex: O sistema PAREDE/ATLETA, etc.

ESTTICA e DINMICA Estando um corpo ou slido, sujeito a ao de um conjunto de foras, estaremos analisando sob o domnio da: a) ESTTICA, se estivermos estudando as condies que devem estar sujeitas essas foras para que o corpo permanea em equilbrio (Ao = Reao), parado ou esttico. b) DINMICA, se estivermos estudando os movimentos, que se processaro em decorrncia da ao dessas foras. Obs: A fronteira entre universo da ESTTICA e o da DINMICA, se d no exato momento em que ao dessas foras passam a produzir o MOVIMENTO (Ao > Reao). Por exemplo, quando fazemos um esforo, por meio de uma ferramenta uma chave, por exemplo at o momento em que fazemos fora e o parafuso no gira, estamos no domnio da ESTTICA, no exato momento em que o parafuso passa a girar, passamos para o domnio da DINMICA

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Principio de STEVINUS ou lei de VARIGNON: "Os efeitos de duas foras concorrentes so os mesmos de sua resultante".

Obs: imediata a extenso do principio de Stevinus, a um numero qualquer de foras.

CLASSIFICAO DIDTICA DAS FORAS 1) Foras EXTERIORES: So as devidas as influncias exteriores ao sistema material que se considera. 1.1) Foras Ativas: So as diretamente aplicadas ao sistema material que se considera. Ex. peso prprio. 1.2) Foras Reativas: So as que se manifestam em determinados pontos do sistema material, por influncia de vnculos ou ligaes.(apoios). 2) Foras INTERIORES ou de LIGAO: So as que se manifestam nos pontos de contacto mutuo entre os corpos ou slidos (elementos estruturais p.ex. pilares vigas lajes etc.), que constituem o sistema. Obs.: Portanto o conceito de foras ativas e reativas eminentemente RELATIVO, dependendo portanto da tica que se estuda o sistema material.

Sistema [ABC]

Sistema [ABCD]

Ativas: P Reativas: Rb e Rc

Ativas: P Reativas: Rd Interiores: Rb e Rc

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ESTTICA DAS ESTRUTURAS(Estudo dos Sistemas de Foras)

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita ESTTICA ABSTRATA e ESTTICA TCNICA

Esttica ABSTRATA: E o estudo das condies exteriores de equilbrio de um conjunto de foras, sempre sem distinguir as ATIVAS das REATIVAS, e sempre sem se preocupar com a GEOMETRIA dos corpos ou slidos, aos quais so aplicados, sempre entretanto supostos como RGIDOS. Esttica TCNICA: o estudo onde alm das condies j observadas na Esttica Abstrata, leva-se tambm em considerao a GEOMETRIA dos corpos ou slidos.

ESTTICA ABSTRATA MOMENTOS DE UMA FORA Conceito fsico de MOMENTO: Uma fora aplicada a um slido rgido como um vetor deslizante. Est sempre e invariavelmente ligado a sua reta de suporte. Isso no significa que seus efeitos no se faam sentir em relao a outros pontos fora do sua reta de suporte.

Neste caso pode-se observar: 1) A fora F produz em relao ao ponto O, um efeito fsico, cuja tendncia o deslocamento ou translao desse ponto nessa direo e sentido, o mesmo observa para todos os pontos contidos sobre a reta de suporte dessa fora, bem como para todos os demais pontos desse slido. 2) Para o ponto O, tambm, como j foi observado no item anterior, bem como para todos os demais pontos desse slido a fora F produz em relao a esse ponto, tambm um efeito cuja tendncia o deslocamento ou translao desse ponto nessa mesma direo e sentido como se essa fora estivesse atuando diretamente tambm nesse ponto, na mesma direo e sentido porem observa-se tambm, que alm desse efeito de translao, essa fora F, produz nesse ponto um outro efeito fsico, cuja tendncia de fazer girar, de giro ou rotao desse ponto em torno de si, esse efeito chamado de efeito de MOMENTO.

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Momento de uma fora em relao a um ponto.

Intensidade do Momento M=F*d

Clculo do Momento:

d = AB * sen 45 = 30 * (2/2) = 21,21 cm M = F * d = 20 * 21,21 M = 424,20 Kgf * cm

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SISTEMAS DE FORAS

Sistema de foras, o conjunto de foras que atua em um corpo qualquer. Sistema de Foras COPLANARES: o nome atribudo a um conjunto de foras, quando as direes de todas essas foras esto contidas no mesmo PLANO.

1 - Sistema de foras Coplanares e Concorrentes: quando as direes de todas as foras so coplanares (contidas no mesmo plano) e, ainda concorrentes em um nico ponto ou plo, neste caso, o seu efeito em relao a esse ponto, idntico ao de sua RESULTANTE, pois o momento em relao a esse ponto nulo, tendo em vista que esse ponto comum a todas as retas de suporte dessas foras.

2 - Sistema de foras Coplanares e no Concorrentes: quando todas as direes das foras forem coplanares porem nem todas as direes dessas foras so concorrentes em um nico ponto ou plo, neste caso o seu efeito idntico ao de sua RESULTANTE mais o de seu MOMENTO RESULTANTE.

REDUO DE UM SISTEMA DE FORAS Reduzir ou Simplificar um sistema de foras, consiste em e substitu-lo por outro equivalente, contendo menor numero possvel de foras, a maior reduo ou simplificao se obtm, determinando respectivamente, a RESULTANTE e o MOMENTO RESULTANTE, onde: R = Fi MR = Mi Mudana de Plo: para um Sistema de foras Coplanares e no Concorrentes, podemos facilmente reduzi-lo ou simplific-lo, tomando para efeito de anlise, um ponto ou plo arbitrrio, numa posio qualquer no plano, para o qual, consideraremos os efeitos de translao e de momento, exercidos por cada uma dessas foras em relao a esse ponto ou plo, considerando evidentemente suas respectivas direes e sentidos.

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R = F1 + F2 + F3 +....Fn MR = M1 + M2 + M3 +....Mn EXEMPLO: Reduzir o Sistema de foras coplanares no concorrentes, da figura.

Soluo:

BC = CD + DB = 8 + 3 => BC = 8.5440 cos = CD/BC = 8/8.5440 = 0.9410 sen = BD/BC = 3/8.5440 = 0.3530

Decomposio das foras na direo de X e Y: Componentes Xi e Yi: F1: X1 = +F1.sen = +20*0.353 = +7.1Kg Y1 = +F1.cos = +20*0.941 = +18.8Kg F2: X2 = -F2.sen = -20*0.353 = -7.1Kg Y2 = -F2.cos = -20*0.941 = -18.8Kg F3: X3 = +12.0Kg Y3 = 0.0Kg UFMS11

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita F4: X4 = 0.0Kg Y4 = -5.0Kg F5: X5 = +F5.cos = +7*0.941 = +6.6Kg Y5 = -F5.sen = -7*0.353 = -2.5Kg F6: X6 = +F6.cos = +10*0.941 = +9.4Kg Y6 = +F6.sen = +10*0.353 = +3.5Kg Rx = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = +7.1 -7.1 +12 +6.6 +9.4 = + 27.9Kg Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 = +18.8 -18.8 -5 -2.5 +3.5= - 4.0Kg Momentos causados pelas componentes:(adotar sentido horrio com +) F1: M1 = +|X1*y1| +|Y1*x1| = +7.1*1.5 +18.8*4 = +85.8Kg*m F2: M2 = +|X2*y2| +|Y2*x2| = +7.1*1.5 +18.8*4 = +85.8Kg*m F3: M3 = +|X3*y3| +|Y3*x3| = +12.0*0.5 + 0 = +6.0Kg*m F4: M4 = 0 ; direo de F4 passa pela origem F5: M5 = 0 ; direo de F5 passa pela origem F6: M6 = 0 ; direo de F6 passa pela origem Mr = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 + M6 = +85.8 +85.8 +6.0 = + 177.6Kg*m R = Rx + Ry = (27.9) + (4.0) => R = 28.18Kg tg = -4.0/+27.9 = -0.143 => = -8 10'

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita TEOREMA DE VARIGNON "Num sistema de foras, o momento resultante igual ao momento da resultante."

CONJUGADOS OU BINRIO: "Quando a resultante do sistema de foras e nula, havendo entretanto momento resultante, o sistema e chamado de conjugado ou binrio."

EQUIVALNCIA E EQUILBRIO EQUIVALNCIA DE SISTEMAS DE FORAS: "Se dois Sistemas de Foras, tiverem em relao a um ponto qualquer (O), a mesma Resultante e o mesmo Momento Resultante, tero tambm em relao a um outro ponto (O'), a mesma Resultante e idnticos Momentos Resultantes.

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EQUILBRIO DE SISTEMAS DE FORAS "Um Sistema de Foras est em equilbrio, quando em relao a um ponto qualquer, no espao, sua Resultante e seu Momento Resultante, so nulos, neste caso, tambm estar em equilbrio em relao qualquer outro ponto no espao". R=0 e MR = 0

EQUAES UNIVERSAIS DA ESTTICA So as equaes que regem o equilbrio dos sistemas coplanares de foras; portanto, para que um sistema de foras coplanares qualquer esteja em equilbrio, condio necessria, que R = 0 e MR = 0, portanto: Para que R = 0 necessrio que Fx = 0 e Fy = 0; E para que MR = 0 necessrio que Mz = 0 PRINCIPIO DA INDEPENDNCIA DA AO DAS FORAS "Cada fora age independentemente das aes das demais." Em um sistema de foras qualquer, cada uma das foras que compe esse sistema, age isoladamente, sem interferir nos efeitos produzidos pelas demais foras que constituem o sistema. PRINCIPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITO DAS FORAS "O efeito total de um sistema de foras igual soma dos efeitos produzidos isoladamente por cada uma das foras ." Portanto, o efeito total de um sistema de foras, nada mais , do que o somatrio dos efeitos que de cada uma das foras que constituem o sistema, exercem individualmente. Obs.: Estes princpios so de grande utilidade nas aplicaes prticas na ESTTICA, na DINMICA, na RESISTNCIA DOS MATERIAIS, na MECNICA em geral etc.

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Exerccio de Aplicao: Determinar, em relao ao ponto O, a Resultante e o Momento Resultante, do sistema de foras aplicadas a um muro de sustentao, conforme a figura abaixo. As foras Qi, representam os pesos das diversas partes que compe o muro e valem: Q1 = 6t ; Q2 = 14.4t ; Q3 = 8t ; Q4 = 38.4t ; Q5 = 8t ; Q6 = 3.6t ; Q7 = 9t.

Soluo: Rx = +3 -3 -6 = - 6t Ry = -6 -9 -14.4 -3.6 -8 -8-38.4 = - 87.4t R = Rx + Ry => R = 87.6t Mo = +Q1*0.7-3*7+9*1.2+Q2*0.8+Q6*0.2+3*5+Q3*0.7-6*4+Q5*1.4+Q4*0.8 Mo = + 42.76 t*m

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita ESTTICA TCNICA 1 - As aes e reaes, se transmitem de um slido para outro, por intermdio dos vnculos. 2 - Na esttica tcnica, os vnculos so chamados de apoios, ou de ligaes. 3 - Toda vez que h qualquer restrio ao movimento de um slido, dizemos que h um apoio ou vinculo. 4 - Nos apoios ou vnculos so despertadas as foras reativas ou reaes.

4.1 - Apoios, so os vnculos exteriores a estrutura considerada. 4.2 - Ligaes, so os vnculos contidos na estrutura considerada.

Ex: S considerarmos o prtico [ABCD], constitudo pela viga [BC] e pelas colunas [AB] e [DC] os pontos [A] e [D], sero seus apoios, e [B] e [C], sero suas ligaes. S considerarmos somente a viga [BC], os pontos [B] e [C], sero seus apoios. GRAU DE LIBERDADE O Grau de Liberdade: determinado pelo nmero possvel de movimentos permitidos. Movimentos possveis: Translao e Rotao. Os vnculos despertam reaes, exclusivamente, segundo as direes em que os movimentos so impedidos. Classificao dos vnculos: Caso Geral: 6 graus de liberdade. 3 translaes X,Y,Z. 3 Rotaes Mx, My, Mz.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Obs. S todas as foras que constituem o Sistema, atuarem num mesmo plano,(caso mais comum na prtica), o corpo estar sujeito apenas a 3 graus de liberdade a se considerar; 2 translaes, em relao as direes X, Y e uma rotao em relao ao eixo Z, Mz.

Na prtica, freqentemente, os sistemas so susceptveis de se deslocar em um nico plano, em que atuam todas as foras que solicitam a estrutura. Em conseqncia, h apenas 3 graus de liberdade, e portanto 3 tipos de vnculos a se considerar. TIPOS DE VNCULOS 1) Vinculo do 1 Gnero - com 2 graus de liberdade, chamado de Apoio Simples ou Charriot. Permite uma liberdade de translao e uma de rotao, impede o deslocamento na vertical.

2) Vinculo do 2 Gnero - com 1 grau de liberdade, chamado de Articulao ou Rtula. Permite uma liberdade de rotao, impede o deslocamento na vertical e na horizontal.

3) Vinculo do 3 Gnero - No h grau de liberdade, todos os movimentos so impedidos, chamado de Engaste.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita EQUILBRIO Equilbrio Instvel: quando os vnculos ainda permitem algum grau de liberdade, mesmo que haja equilbrio sob determinadas condies de cargas, mas, quando modificadas, esse equilbrio venha a ser rompido.

Equilbrio Estvel: Quando os vnculos so proporcionados, de maneira a no haver liberdade (equilbrio) sob quaisquer condies de carga.

EQUAES UNIVERSAIS DA ESTTICA PARA O EQUILBRIO Considerando um Sistema de Foras, como o conjunto de foras ativas e reativas, e que atuam no mesmo plano (coplanares), como j vimos, podemos escrever que: Fx = 0 R = 0 => Fy = 0 Obs.: Ao se escrever as equaes acima, pode ocorrer que: 1) Que o nmero de incgnitas (reaes), seja igual ao numero de equaes, neste caso dizemos que se trata de um caso do tipo ISOSTTICO, e que ser o tipo de Sistema, objeto deste curso; 2) Ou ainda que o nmero de incgnitas (reaes), seja maior que numero de equaes, neste caso dizemos que se trata de um caso HIPERESTTICO. 3) Ou que o nmero de incgnitas (reaes), seja menor que numero de equaes, neste caso dizemos que se trata de um caso do tipo HIPOSTTICO. Os tipos HIPERESTTICO e HIPOSTTICO por se tratarem de estudos mais avanados de anlise das estruturas, no so objeto deste curso. M = 0 => Mz = 0

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ELEMENTOS ESTRUTURAIS Chamaremos de PEA ou ELEMENTO ESTRUTURAL, a todo slido capaz de receber e transmitir esforos. ESTRUTURAS Designaremos de ESTRUTURA, a todo conjunto de peas ou elementos estruturais, convenientemente associados ou dispostos. Exemplos mais comuns de Estruturas:

Classificao das Estruturas, quanto a sua configurao 1) De configurao Fixa: quando todos elementos estruturais guardam entre si, sempre a mesma posio relativa. so as estruturas ligadas a Construo Civil, so os edifcios, as pontes, as estradas etc; 2) E de configurao Varivel: Quando nem todos elementos estruturais guardam entre si, sempre a mesma posio relativa. so as estruturas ligadas a Construo Mecnica, so as mquinas e equipamentos em geral. Classificao das peas ou elementos estruturais, quanto a sua geometria: 1) Elementos Lineares, hastes ou barras(quando tem uma dimenso dominante). Ex: Vigas, Pilares ou Colunas, Tirantes ou Cabos, Estacas, Baldrames, Escoras, Hastes ou Barras das trelias, Tubos etc. 2) Elementos Espaciais (quando tem duas dimenses dominantes): UFMS19

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 2.1) Planos. Ex: Lajes, Placas de concreto, Sapatas, Radiers, Chapas metlicas etc. 2.2) Polidricos. Ex: Cpulas ou Abobadas. 2.3) Curvos. Ex: Arcos, Conchas, Cascas, Vasos (pressurizados) Marquise dos estdios, Concha acstica etc. 3) Blocos (sem dimenses dominantes). Ex: Macios (grandes dimenses) - na construo civil, muros de arrimo, barragens, Blocos de Fundao, Tubules etc. Tarugos (pequenas dimenses) - na construo mecnica, rebites, parafusos etc.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita SISTEMAS ISOSTTICOS DE FORAS I) Sistemas de Foras Coplanares e Concorrentes Resultantes: Rx 0 R 0 => e/ou Ry 0 MR = 0 => Mz = 0

Para satisfazer s condies de equilbrio (R = 0 e MR = 0), portanto, basta que R = 0, ou seja Rx = 0 e Ry = 0, onde: Rx = Fx = 0 e Ry = Fy = 0 (duas equaes e duas incgnitas, ISOSTTICA) Ex: Calcular os esforos a que estaro submetidas as barras do sistema estrutural da figura abaixo, P = 2,5t.

Soluo: Ao ponto B, se aplicam as condies de equilbrio onde: Fx = 0 ; - FBC - FAB*cos = 0 (I) Fy = 0 ; + FAB*sen - 2,5 = 0 ; + FAB*0,6 - 2,5 = 0 ; FAB = 4,167t Em (I) ; - FBC - 4,167*cos = 0 ; - FBC - 4,167*0,8 = 0 ; FBC = - 3,333t Obs: o sinal negativo de FBC, significa que o sentido arbitrado para essa fora est invertido. II) Sistemas de Foras Coplanares e No Concorrentes (Paralelas)

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Resultantes: Rx = 0 R 0 => e/ou Ry 0 MR 0 => Mz 0 Para satisfazer s condies de equilbrio (R = 0 e MR = 0), portanto, necessrio que R = 0 e MR = 0, ou seja Ry = 0 e Mz =0, onde: Ry = Fy = 0 e; Mz = Mz = 0 (duas equaes e duas incgnitas, ISOSTTICA)

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita MTODO EXPERIMENTAL PARA DETERMINAO DAS FORAS DE EQUILBRIO (Reaes nos apoios)

MTODO ANALTICO PARA DETERMINAO DAS FORAS DE EQUILBRIO (Reaes nos apoios) Situao 1 Fx = 0 ; +VA -P + VB = 0 ; VA + VB = P Em A ; Mz = 0; +P*2 - VB*4 = 0 ; VB = P/2 = 4/2 = 2 Kg ; VA = 2Kg Situao 2 Fx = 0 ; +VA - P + VB = 0 ; VA + VB = P Em A ; Mz = 0; +P*1 - VB*4 = 0 ; VB = P/4 = 4/4 = 1 Kg ; VA = 3Kg

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Exemplo: Calcular as reaes que sero despertadas nos apoios devido ao carregamento da viga, do sistema estrutural da figura abaixo.

Soluo: Ao ponto A, se aplicam as condies de equilbrio onde: Fx = 0 ; (Como neste caso o apoio em A, desperta reao horizontal, deve ser estabelecida esta condio de equilbrio, onde se verifica que HA = 0) Fy = 0 ; + VA + VB - 2 - 3 - 4 - 2 = 0 ; + VA + VB = 11t (I) Mz = 0 ; -2*2 +3*2 +4*4 - VB*7 +2*9 = 0 ; VB = + 5,14t Com VB = + 5,14t, em (I), obtm-se, VA = + 5,86t Exerccios de aplicao: 1) Para a trelia de cobertura, submetida ao sistema de cargas conforme a figura abaixo, pede-se determinar as reaes nos apoios.

2) Para a viga em msula, submetida ao sistema de cargas conforme a figura abaixo, pede-se determinar as reaes que ocorrem nos apoios.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita SISTEMAS DE CARGAS Tipos de Cargas: 1) Permanentes: so as cargas fixas e invariveis, de ao constante. Ex. Peso prprio das estruturas, peso das paredes, dos revestimentos etc. 2) Acidentais: tambm chamadas de sobrecargas, so as cargas variveis. Ex. Peso de um veculo sobre a ponte, peso de um equipamento sobre uma laje, fora do vento sobre um edifcio etc.

Obs: Devido impossibilidade de consider-las como efetivamente ocorrem, so fixadas por nas Normas de clculo valores padronizados em cada pas. Ex.No Brasil, a NB-1, fixa para pisos industriais, uma sobrecarga de 150 Kg/m2. As cargas acidentais podem ainda serem divididas em FIXAS e MVEIS. As Fixas, embora possam ter intensidade varivel, atuam de forma constante em determinados pontos da estrutura. (fora do vento, peso de elevador) As Mveis, embora possam ter intensidade varivel, percorrem a estrutura. (peso dos veculos) Encaminhamento ou fluxo de Cargas

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Formas de Cargas: 1) Concentradas: atuam em determinados pontos da estrutura, e de forma constante e, quando a dimenso da zona de distribuio a, considerada proporcionalmente desprezvel em relao s demais dimenses da estrutura.

2) Distribudas: nos casos em que a zona de distribuio a, no possa ser considerada, proporcionalmente desprezvel, somos obrigados a considerar a carga como distribuda, que caracterizada por uma taxa de distribuio ou ordenada de carga, q, onde:

q=

Peso P = ; portanto q, uma fora por unidade de comprimento. Comprimento LL = 3m b = 0,20m h = 0,30m = 2400 Kg/m3 P = Vol * = 0,20*0,30*3*2400 (peso total da viga) P = 432 kg q = P/L = 432/3 = 144 Kg/m (peso por metro de viga)

Tipos de distribuio: 2.1) Uniformemente distribudas: Ex. Viga sustentando o peso prprio ou parede. 2.2) Distribuio varivel: Ex. Uma massa de gua exercendo presso sobre uma parede de conteno (barragem, q = *h) ou uma viga de seo transversal varivel. Reduo de uma carga uniformemente distribuda 1) A resultante Q, igual a rea da superfcie de carga (q*L). 2) A resultante Q, passa pelo centro de geomtrico da superfcie de carga.

Obs: Pode-se demonstrar isso, analiticamente, atravs de clculos de matemtica superior, baseados em equaes diferenciais dx e integrais dx , que a resultante de carregamentos uniformemente distribudos passam pelo Centro Geomtrico das superfcies de carga. UFMS26

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ESFOROS SECCIONAIS

Freqentemente, na prtica da engenharia, as estruturas admitem um plano de simetria e as foras normalmente esto contidas nesse plano (Sistema de forcas coplanares). Imaginemos ento um slido (prisma retangular), submetido a um sistema externo, de foras coplanares, que satisfaz as condies de equilbrio estabelecido pelas equaes universais da esttica (R=0 e Mr=0), conforme o esquema da Fig.1. Para analisarmos os efeitos internos, produzidos por esses esforos, tomaremos para anlise, um ponto arbitrrio, no interior desse slido, contido em uma seo transversal imaginria, decorrente de um corte transversal imaginrio, removendo, de forma imaginria, uma parte deste slido (Fig.2 e Fig.3). Para efeito de tornar mais prtica a anlise, tomaremos um ponto O, bastante conhecido, coincidente com o Centro de Gravidade dessa seo. Para esse ponto, analisando-o com um observador posicionado a direita (Fig.2), passaremos a representar o conjunto das foras que ficaram do lado direito da seo, de forma reduzida, reduzindo os seus efeitos a esse ponto, ou seja, calculando as resultantes (Rx, Ry, Mz), considerados os esforos que ficaram direita da seo, mantendo desta forma as condies de equilbrio existentes.

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Para esse ponto, agora, analisando-o com um observador posicionado a esquerda (Fig.3), passaremos a representar o conjunto das foras que ficaram do lado esquerdo da seo, tambm, de forma reduzida, reduzindo os seus efeitos a esse ponto, ou seja, calculando as resultantes (Rx, Ry, Mz), considerados os esforos que ficaram esquerda da seo, mantendo desta forma as condies de equilbrio existentes. Quando procedemos desta maneira, ou seja, calculando as resultantes (Rx, Ry, Mz), considerados os esforos que ficaram esquerda ou direita da seo, estaremos ento calculando os esforos que ocorrem internamente naquela seo, os chamados ESFOROS SECCIONAIS, necessrios para a determinao das TENSES e DEFORMAES que ocorrero no slido, decorrentes dos carregamentos externos. I - A resultante, longitudinal, Rx, que ser simplesmente a soma algbrica das projees das foras exteriores, consideradas, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seo transversal imaginria, em relao direo X, que uma direo horizontal ou NORMAL ao plano imaginrio, ser denominada de agora em diante, de ESFORO SECCIONAL NORMAL ou UFMS28

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita simplesmente ESFORO NORMAL, simbolizado por Nx. Note-se que devem ser iguais e simtricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condio de equilbrio do ponto O (R=0 e Mr=0), essa simetria nos esforos nos leva a associar ao conceito natural de tracionar ou caso contrrio de comprimir.

N x = Fxesq, dir

II - A resultante, transversal, Ry, que ser simplesmente a soma algbrica das projees das foras exteriores, consideradas, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seo transversal imaginria, em relao direo Y, que a direo vertical ou de CORTE do plano imaginrio, ser denominada de agora em diante, de ESFORO SECCIONAL CORTANTE ou simplesmente ESFORO CORTANTE, simbolizado por Qy. Note-se que devem ser iguais e simtricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condio de equilbrio do ponto O (R=0 e Mr=0), essa simetria nos esforos nos leva a associar ao conceito fsico caracterstico de cortar ou de corte, ver a figura abaixo.

Q y = Fyesq , dir

III - A resultante de momento, Mz, que ser simplesmente a soma algbrica dos momentos das foras exteriores, consideradas, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seo transversal imaginria, em relao direo Z, que a direo perpendicular ou de PROFUNDIDADE do plano imaginrio, ser denominada de agora em diante, de ESFORO SECCIONAL DE MOMENTO FLETOR ou simplesmente MOMENTO FLETOR, simbolizado por Mz. Note-se que devem ser iguais e simtricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condio de equilbrio do ponto O (R=0 e Mr=0), o fato de exercer um efeito fsico de tracionar a fibras da parte inferior e comprimir as fibras da parte superior, nos leva a associar ao conceito fsico caracterstico de encurvar ou de flexionar, ver figura abaixo.esq M fz = M z , dir

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Definio e conveno de sinais:

1 - ESFORO NORMAL: Esforo cuja tendncia comprimir ou tracionar a seo na direo longitudinal.

1.1 - compresso (-) 1.2 - trao (+) 2 - ESFORO CORTANTE: Esforo cuja tendncia cortar ou cizalhar a seo na direo transversal. 2.1 - Observador esquerda: Qy (+) e (-) 2.2 - Observador direita: Qy (-) e (+)

3 - MOMENTO FLETOR: Esforo cuja tendncia de fazer a seo girar em torno do eixo Z, perpendicular ao plano XY. 3.1 - Quando traciona a fibras de baixo da seo e comprime as fibras de cima da seo (+). 3.2 - Quando traciona a fibras de cima da seo e comprime as fibras de baixo da seo (-).

MOMENTO TOROR Existem determinadas situaes de carregamento que envolvem esforos fora do plano XY, so sistemas tri-axiais de foras que geram resultantes de momento em relao ao eixo X, Mx, que da mesma forma, ser calculado como simplesmente a soma algbrica desses momentos, considerados, pelo lado esquerdo ou pelo lado direito da seo transversal imaginria, em relao direo X, e ser denominada de ESFORO SECCIONAL DE MOMENTO TOROR ou simplesmente MOMENTO TOROR, simbolizado por Mtx. Note-se que devem ser iguais e simtricos, calculando-se pela esquerda ou direita, condio de equilbrio do ponto O (R=0 e Mr=0). Este tipo de esforo seccional ser abordado em detalhes, mais adiante do curso, juntamente com o estudo das tenses.esq M tx = M x , dir

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Exemplo: Para o sistema estrutural, conforme o esquema de carga da figura abaixo, pede-se determinar o valor dos esforos seccionais solicitantes em S1 e S2.

Soluo:

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Exerccios de aplicao: determinar os Esforos Seccionais na seo S

Regras para atribuio de letras (A, B, C.... etc.), como nome das sees, para facilitar o processo de anlise dos esforos seccionais.

1. 2. 3. 4.

Pontos (seces) localizados nas extremidades das hastes; Pontos (seces) onde esto localizados os apoios; Pontos (seces) onde esto aplicadas cargas concentradas; Pontos (seces) de incio e de trmino de cargas distribudas.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita LINHAS DE ESTADO As Linhas de Estado, representam a variao de um determinado Esforo Seccional (Normal, Cortante, Momento Fletor e Momento Toror), ao longo da pea, e so chamados de Diagramas. 1) 2) 3) 4) Diagramas de Esforos Normais, devidos a Nx (DEN); Diagramas de Esforos Cortantes, devidos a Qy (DEC); Diagramas de Momentos Fletores, devidos a Mfz (DMF); Diagramas de Momentos Torores, devidos a Mtx (DMT).

Obs: Podemos dizer, que uma estrutura qualquer, somente fica estaticamente determinada, quando tivermos traado todas as linhas de estado, ou seja, quando conhecermos os valores de todos esforos seccionais, em qualquer posio (seco) da estrutura. Regras bsicas para determinao dos Diagramas de Esforos Seccionais: 1) Calcular s Reaes dos Apoios (Equilbrio do Sistema de Foras); 2) Adotar o eixo longitudinal da pea, como eixo de referncia para construo dos Diagramas; 3) Perpendicularmente ao eixo de referncia adotado, marcam-se as ordenadas, que representam os valores dos esforos. Conveno de sinais para construo dos Diagramas: 1) As ordenadas de Momento Fletor, sero sempre representadas para o lado em que as fibras do material estiverem sendo tracionadas, portanto os Momentos Fletores, positivos, sero sempre marcados para baixo; 2) Os demais Esforos Secionais, sero sempre marcados para cima, quando forem positivos e para baixo quando forem negativos.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita LINHAS DE ESTADO PARA SISTEMAS COPLANARES E ISOSTTICOS 1) Viga Bi-apoiada, com carga Concentrada:

Anlise: I) Equilbrio do Sistema de Foras: Fy = 0 ; +VA - P + VB = 0 MzB = 0 ; +VA*L - P*b = 0 ; VA = (Pb)/L ; em (I); VB = (Pa)/L II) Anlise dos Esforos Seccionais: a) Momento Fletor ( M fz = pela esquerda; para 0 x a; Mfs = + VA*x = + [(Pb)/L]*x obs: a lei de variao em funo de x do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = a ; Mfs = + (Pba)/L para a x L ; Mfs = + VA*x - P*(x -a) = + [(Pb)/L]*x - P*(x -a) obs: a lei de variao em funo de x do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta.

M zesq, dir )

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita para x = a ; Mfs = + (Pba)/L para x = L ; Mfs = 0 ; Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforo Cortante ( Q y = ainda pela esquerda; para 0 x a; Qs = + VA = + (Pb)/L para x = 0 ; imediatamente esquerda de A; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente direita de A; Qs = + (Pb)/L; para x = a ; imediatamente esquerda de C; Qs = + (Pb)/L; para a x L para x = a ; imediatamente direita de C; Qs = +VA - P = - VB; para x = L ; imediatamente esquerda de B; Qs = +VA - P = - VB; para x = L ; imediatamente direita de B; Qs = +VA - P +VB = 0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima.

Fyesq, dir )

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 2) Viga Bi-apoiada, com carga uniformemente distribuida:

Anlise: I) Equilbrio do Sistema de Foras: Fy = 0 ; +VA - q*L + VB = 0 ; +VA + VB = q*L MzB = 0 ; +VA*L - q*L*(L/2) = 0 ; VA = (qL)/2 ; em (I); VB = (qL)/2 II) Anlise dos Esforos Seccionais: a) Momento Fletor ( M fz = pela esquerda; para 0 x L; Mfs = + VA*x = + (q*x) *(x/2) Mfs = + [ (qL)/2]*x = + (q*x) *(x/2) obs: a lei de variao em funo de x do segundo grau, portanto, em forma de uma parbola. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = L/2 ; Mfs = Mfmx = + qL2/8; para x = L ; Mfs = 0; UFMS36

M zesq, dir )

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforo Cortante ( Q y = ainda pela esquerda; para x = 0 ; imediatamente esquerda de A; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente direita de A; Qs = + VA; para a < x < L; Qs = + VA - (q*x) obs: a lei de variao em funo de x do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = L; imediatamente esquerda de B;Qs = +VA -(q*L) = -VB; para x = L; imediatamente direita de B; Qs = +VA -(q*L) +VB =0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima.

Fyesq, dir )

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 3) Viga Engastada, com carga Concentrada:

Anlise: I) Equilbrio do Sistema de Foras: Fx = 0 ; +HA = 0 Fy = 0 ; +VA - P = 0 ; VA = + P; MzA = 0 ; -MA + P*L = 0 ; MA = + PL II) Anlise dos Esforos Seccionais: a) Momento Fletor ( M fz = pela direita; para 0 x < L; Mfs = - P*x obs: a lei de variao em funo de x do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = 0 ; Mfs = 0; Observe que, como em A, como existe carga concentrada de Momento Fletor (MA), portanto tambm ocorrer neste ponto, uma descontinuidade no valor desse esforo, havendo portanto, tambm a necessidade de verificao em posies, no limite imediatamente esquerda e imediatamente direita dessa carga concentrada. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = L ; imediatamente direita de A; Mfs = - PL; para x = L ; imediatamente esquerda de A; Mfs = - PL + MA = 0; UFMS38

M zesq, dir )

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforo Cortante ( Q y = ainda pela direita; para x = 0 ; imediatamente direita de B; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente esquerda de B; Qs = + P; para x = L ; imediatamente direita de A; Qs = + P; para x = L ; imediatamente esquerda de A; Qs = + P -VA = 0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima.

Fyesq, dir )

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 4) Viga Engastada, com carga uniformemente distribuida:

I) Equilbrio do Sistema de Foras: Fx = 0 ; +HA = 0 Fy = 0 ; +VA - q*L = 0 ; VA = + q*L; MzA = 0 ; -MA + (q*L)*(L/2) = 0 ; MA = + (qL2)/2 II) Anlise dos Esforos Seccionais: a) Momento Fletor ( M fz = pela direita; para 0 x L; Mfs = - (q*x) *(x/2) Mfs = - q*x2/2 obs: a lei de variao em funo de x do segundo grau, portanto, em forma de uma parbola. para x = 0 ; Mfs = 0; para x = L/2 ; Mfs = Mfmx = - qL2/8; para x = L ; Mfs = - qL2/2; Desta forma, pode-se construir o DMF, da figura acima. b) Esforo Cortante ( Q y = UFMS

M zesq, dir )

Fyesq, dir )40

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita ainda pela direita; para 0 x L; Qs = + (q*x) obs: a lei de variao em funo de x do primeiro grau, portanto, em forma de uma reta. para x = 0 ; imediatamente direita de B; Qs = 0; para x = 0 ; imediatamente esquerda de B; Qs = 0; Observe que, como em B, no existe carga concentrada o Cortante, neste caso, o mesmo, no limite imediatamente esquerda e imediatamente direita, no havendo portanto, necessidade de tal verificao em pontos onde no existe carga concentrada. para x = L; imediatamente direita de A;Qs = + (q*L); para x = L; imediatamente direita de A; Qs = + (q*L) - VA = 0; Desta forma, pode-se construir o DEC, da figura acima

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita AS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Sabe-se que o concreto de cimento portland, um material muito utilizado nas estruturas das edificaes de maneira geral e que , uma mistura de cimento portland, com agregados grados e midos (britas e areia) e gua, onde o cimento faz o papel de aglomerante (cola) dessa mistura. Sabe-se ainda, que o material concreto de cimento portland, apresenta como principal caracterstica estrutural, a sua boa capacidade de resistir esforos de compresso, podendo atingir cerca de 1000Kg/cm2 (100MPa) para concretos chamados de alto desempenho. Porm possui uma capacidade muito baixa de resistir esforos de trao, que no passa de 5Kg/cm2 (0,5MPa) mesmo para concretos especiais. Da ento, a necessidade de reforar o concreto naquelas regies em que o mesmo submetido a esforos de trao, posicionado nessas regies e, em quantidades apropriadas, materiais bastante resistentes esforos de trao, no caso as barras de ao longitudinais. Quanto aos esforos cortantes ou de cizalhantes, pode-se dizer que o concreto tambm muito pouco resistente, da ordem de 80Kg/cm2 (8Mpa), havendo portanto, a necessidade de refora-lo tambm nesse sentido, o que se faz, utilizando-se para tanto, barras de ao transversais, so os chamados estribos. A esse conjunto de barras de ao no sentido longitudinal e transversal, denomina-se armadura, da o nome atribudo de concreto armado. A seguir, veremos um exemplo ilustrativo da determinao dessa armadura a partir dos Diagramas de Esforos Seccionais.

Ilustrao de armadura longitudinal

Detalhe tpico de armadura de vigas e culunas

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita As Linhas de Estado ou, Diagramas de Esforos Seccionais (Normal, Cortante, Momento Fletor e Momento Toror), so utilizados como referencia, por exemplo, para a determinao da armadura necessria a uma viga de concreto conforme ilustrado pelas figuras abaixo.

As figuras abaixo, ilustram a relao entre os esforos seccionais (internos) e as deformaes em uma viga de concreto. Onde se observa que a armadura refora o concreto, as barras resistindo aos esforos de trao e os estribos como que costurando as fissuras, resistem ao cizalhamento.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita REGRAS PRTICAS PARA CONSTRUO DOS DIAGRAMAS DE ESFOROS SECCIONAIS

1) Regras prticas quanto a determinao dos intervalos (trechos) ao longo do eixo de referncia, para os quais devem-se obrigatoriamente analisar (calcular) os valores dos esforos seccionais, para pontos (seces), que representaro os valores nas extremidades de cada intervalo, e que serviro de referncia para construo dos Diagramas: Pontos (seces) localizados nas extremidades das hastes; Pontos (seces) onde esto localizados os apoios; Pontos (seces) onde esto aplicadas cargas concentradas; Pontos (seces) de incio e de trmino de cargas distribudas.

Obs: Para esses pontos devem-se atribuir letras (A, B, C.... etc.) para facilitar o processo de anlise dos esforos seccionais. 2) Regras prticas quanto construo grfica dos Diagramas, observa-se pelas caractersticas dos diagramas do quadro anterior, para os quais j se procedeu a anlise das equaes que representam as Leis de Variao desses esforos, que: 2.1) Para os Diagramas de Esforo Cortante (DEC):

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Geralmente apresentam pontos (seces) ao longo do eixo de referncia, que apresentam situaes de descontinuidade (degraus ou dentes) nos valores diagrama, portanto necessrio que sempre se analise essas variaes nos esforos, para sees imediatamente direita e esquerda de cada seo. Nos trechos onde atuam cargas uniformemente distribudas, os Diagramas de Esforo Cortante (DEC) so representados por RETAS INCLINADAS em relao ao eixo de referncia. J para os trechos onde no atuam cargas uniformemente distribudas, os Diagramas de Esforo Cortante (DEC) so representados por RETAS PARALELAS em relao ao eixo de referncia. 2.2) Para os Diagramas de Momento Fletor (DMF): Geralmente no apresentam pontos (seces) ao longo do eixo de referncia, que apresentem situaes de descontinuidade (degraus ou dentes) nos valores diagrama, portanto no necessrio que se analise essas variaes nos esforos, para sees imediatamente direita e esquerda de cada seo. Nos trechos onde atuam cargas uniformemente distribudas, os Diagramas de Momento Fletor (DMF) so representados por CURVAS PARABLICAS em relao ao eixo de referncia.(a cota que representa o ponto da curva para a metade do comprimento do trecho, ser sempre obtida pela relao ql2/8); J para os trechos onde no atuam cargas uniformemente distribudas, os Diagramas de Momento Fletor (DMF) so representados por RETAS INCLINADAS em relao ao eixo de referncia; Nas extremidades das hastes (vigas), quando uma extremidade livre de um balano ou quando uma rtula, observa-se que os valores do Momento Fletor sempre nulo.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Exerccio de aplicao:

I) Equilbrio do Sistema de Foras: Fy = 0 ; +VA - 7 - (3*4) + VB = 0 ; VA + VB = 19t (I) MzB = 0 ; +VA*10 - 7*8 - [(3*4)*2] = 0 ; VA = 8t ; em (I); VB = 11t II) Anlise dos Esforos Seccionais: ; pela esquerda; Momento Fletor ( M fz = Mz MfC = + VA*2 = + 16tm MfD = + VA*6 - 7*4 = + 20tm Cortante ( Q y =

esq

)

F yesq ) ; ser traado de forma direta.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Determinar os Diagramas de Esforos Seccionais

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Soluo dos exerccios da lista

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita SISTEMAS RETICULADOS OU TRELIAS sempre possvel, substituir um slido rgido (viga de concreto), em equilbrio, por um sistema de barras articuladas, convenientemente dispostas, de forma que as cargas solicitantes, estejam sempre aplicadas nas articulaes (ns), desta forma, as barras no estaro sujeitas a momento fletor, mas somente esforos normais (trao ou compresso), podendo portanto, ter uma seo transversal muito menor, apenas o suficiente para resistir aos esforos normais.

Viga

Trelia

A transmisso das cargas para as articulaes da(s) trelia(s) principal(is), conhecido como carregamento indireto, e se d por intermdio de peas estruturais auxiliares, apoiadas sobre a estrutura principal, como por exemplo: na ponte, da figura a seguir, os esforos exercidos no tabuleiro, so transmitidos para as trelias principais, atravs de elementos estruturais secundrios que so as longarinas e transversinas; no caso de uma estrutura de cobertura, conforme a figura a seguir, os elementos estruturais secundrios utilizados para transmisso dos esforos para os ns das trelias principais, so as chamadas teras. A principal vantagem deste tipo de estrutura, pelo fato de ser constituda barras muito esbeltas, resultando portanto em uma estrutura muito mais leve. Tipos de Trelias

Planas UFMS

Espaciais61

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Mtodo de Ritter ou Mtodo dos Ns Consiste em fazer a anlise dos esforos que ocorrem em cada n, levando em considerao a condio de equilbrio que se estabelece no mesmo. Soluo: Procede-se a decomposio das forcas que atuam em cada n, isoladamente, de modo que as foras desconhecidas sejam no mximo, duas, e para o mesmo se estabelece as equaes de equilbrio dessas foras. Onde, no caso, cada uma dessas foras que atuam nesse n, representam, individualmente, a FORA EXERCIDA POR CADA UMA DAS SUAS RESPECTIVAS BARRAS EM RELAO ESSE N. Ponte Metlica

Apoios

Carregamento Indireto

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Estrutura de uma Cobertura de Madeira

Croqui do Sistema de transmisso das Foras

Regras para interpretao dos efeitos fsicos dos esforos que atuam no n, e as suas relaes com as suas respectivas barras: 1) Anlise da condio de equilbrio esttico e determinao do sentido dos esforos desconhecidos: adota-se inicialmente o sentido das foras desconhecidas, sempre tracionando o n, e estabelece-se as equaes de equilbrio, que iro confirmar ou no os sentidos inicialmente arbitrados.

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2) Quanto interpretao fsica de troca de esforos na relao, N X Barra, o desenho abaixo representa graficamente essa relao, onde se observa que a fora que atua no N sob anlise, nada mais do que a fora que a Barra exerce (trao ou compresso) em relao a aquele N, e que, evidentemente, por uma questo simples de equilbrio esttico naquele ponto (princpio de ao x reao), o N evidentemente exerce em relao Barra, um esforo de igual em intensidade e em sentido contrrio. Da a regra geral simplificada de que: Quando a fora traciona o n, significa que a respectiva barra esta sendo tracionada, caso contrrio, quando a fora comprime o n, significa que a respectiva barra esta sendo comprimida.

Determinados os esforos que atuam em um determinado n, os mesmos so transferidos para o n seguinte, aquele que fica na outra extremidade da mesma barra, obedecendo a regra de que: se fora traciona o n em uma extremidade da barra, significa que o n na outra extremidade da mesma barra, tambm estar sendo tracionado; e se fora comprime o n em uma extremidade da barra, significa que o n na outra extremidade da mesma barra, tambm estar sendo comprimido. Desta forma transmitem-se os esforos de n para n e de barra para barra, ao longo de toda a trelia.

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RESISTNCIA DOS MATERIAIS(Estudo das Tenses e Deformaes)

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita INTRODUO A Resistncia dos Materiais, tambm conhecida por Mecnica dos Materiais, Mecnica dos Slidos, Mecnica dos Corpos Deformveis, e uma cincia bsica da engenharia. utilizada para se projetar todos os tipos de estruturas, maquinas e equipamentos. A aplicao da Resistncia dos Materiais, inclui os mais variados tipos de estruturas, tais como, construo de prdios, pontes, equipamentos, tanques de armazenamento, vasos pressurizados, automveis, avies, maquinas, motores eltricos e geradores, torres de transmisso, antenas, ferramentas etc. Atravs da Resistncia dos Materiais, se estuda a estrutura como um todo, e suas partes componentes, so dimensionadas de forma que tenham RESISTNCIA suficiente para suportar os esforos relativos s condies de uso que sero submetidas. Este estudo envolve a anlise: dos ESFOROS (Normal, Cortante, Momento Fletor e Momento Toror); das PROPRIEDADES MECNICAS dos materiais (Tenses Admisveis Mdulo de Elasticidade, Coeficiente de Dilatao Trmica, Coeficiente de Poison, Peso Especfico, etc); das TENSES (Tenses Normais e Tenses Cizalhantes) e; das DEFORMAES (Deformaes Longitudinais e Transversais). Mquina Universal de Ensaios

Medidor de Esforo

Prensa Hidrulica

Painel de Controle

Corpo de prova - CP

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita ANLISE DAS TENSES E DEFORMAES Seja o slido da figura abaixo, para o qual j se determinou conforme os procedimentos de analise j estudados, os esforos seccionais conforme indicados. Entende-se como Tenso a relao entre a intensidade do esforo seccional (Normal, Cortante e Momento Fletor) e a sua rea de atuao (Seco Transversal S).

Obs: as tenses devidas ao esforo seccional Momento Fletor e Momento Toror, sero abordas em captulo especfico. COMPRESSO SIMPLES Para anlise das deformaes, ser utilizado como referencia, a experincia feita em laboratrio, utilizando-se a mquina universal de ensaio, submetendo um corpo de prova cilindrico (padro), ao ensaio de compresso simples, para o qual pode-se as seguintes observaes:

L = Deformao Longitudinal (variao do comprimento) D = Deformao Transversal (variao do dimetro) Coeficiente de Poison, constante e prpria de cada material, normalmente encontrado j tabelado para os diversos materiais (0,25 0,35), o sinal negativo, significa um ajuste para que analiticamente represente o que fisicamente se verifica, ou seja, para um aumento longitudinal, implica em uma diminuio transversal (estrangulamento da seco) e vice-versa.

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p = Tenso de Proporcionalidade ou Tenso limite do Regime Elstico e = Tenso de Escoamento r = Tenso de Ruptura Regime Elstico o regime de deformaes, em que predominam as Deformaes Temporrias Regime Plstico o regime de deformaes, em que que predominam as Deformaes Permanentes Lei de Hooke = E*l (I) Substituindo em (I), = N/S e l = L/L, teremos; N/S = E * L/L, e finalmente; L = N*L / E*S obs: o coeficiente de segurana fixado pelo projetista, baseado em Normas prprias.

Diagrama de Distribuio das Tenses devidas ao esforo Normal Simples UFMS69

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Tabela tpica de Propriedades Mecnicas dos Materiais mais usados na Engenharia

Mega Pascal (1 MPa = 10 Kgf/cm2) Giga Pascal (1 GPa = 104 Kgf/cm2)

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita VARIAO DE TEMPERATURA Influncia da variao de temperatura no comprimento de um corpo slido. L = * L * t ; t = (Tfinal - Tinicial) ; = Coeficiente de dilatao linear /C Coeficiente de dilatao linear Ao 13,6 x 10-6 /C Concreto 8,3 x 10-6 /C Cobre 16,7 x 10-6 /C Madeira (de 2,5 a 6,5) x 10-6 /C Ex: Para a barra de ao, engastada nas duas extremidades, conforme a figura abaixo, sabe-se que a mesma foi submetida a uma situao de variao de temperatura, quando a temperatura ambiente de 40C, caiu bruscamente para 10C. Sabendo-se que o comprimento da barra de 3m e a seco transversal de 16cm2, e ainda a tenso de ruptura do ao tanto trao quanto compresso de 1350 Kg/cm2 ( = 1,50). Pede-se verificar a estabilidade da mesma para esta situao.

t = 10 - 40 = - 30 L = 13,6 x 10-6 * 300 * (- 30) = - 0,1224 cm Clculo do esforo equivalente (impedimento), devido restrio do apoio: L = N*L / E*S; + 0,1224 = (N * 300)/(2,1 x 106 * 16) ; N = + 13.708,8 kg r = 1350 kg/cm2 ; = 1,50; adm = r / = 1350/1,50 = 900 kg/cm2 = N/S = + 13.708,8/16 = 856,8 kg/cm2 ; portanto estvel quanto ruptura (adm = 900kg/cm2 ). UFMS71

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Obs: Verifica-se que o efeito mais importante da variao de temperatura, se d em funo do comprimento (L), portanto tanto mais prejudicial estrutura com um todo, quanto mais longa for a barra (viga). As juntas de dilatao tem a finalidade de absorver nas estruturas, os efeitos indesejveis das deformaes devidas s variaes de temperatura. S, t negativo; L negativo ou encurtamento da barra, caso haja restrio deformao (encurtamento), a barra fica TRACIONADA. S, t positivo; L positivo ou alongamento da barra, caso haja restrio deformao (alongamento), a barra fica COMPRIMIDA. Efeitos da variao da temperatura sobre elementos planos (lajes, placas etc.)

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Efeitos da variao da temperatura sobre elementos longos (vigas, pilares etc.)

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CIZALHAMENTO SIMPLES (Corte Puro)

Ex: Para o parafuso que trabalha como elemento de ligao entre o apoio e a barra AB, da trelia, conforme figura acima. Considerando-se o que pode ser observado nas figuras do Detalhe lateral e Detalhe superior e ainda na figura que representa o corpo do parafuso, verifica-se que os esforos ocorrem no parafuso, so no sentido transversal. Portanto o mesmo est submetido a uma situao de CORTE. Sabendo-se que o parafuso de ao (r = 1200 Kg/cm2) e que tem um dimetro de 1,25cm e ainda que o esforo na barra de 3t. Pede-se verificar a estabilidade do mesmo quanto ruptura. S = * D2/4 = * (1,25)2/4 = 1,227cm2 Q = F/2 = 3000/2 = 1500Kg Calculo da tenso solicitante no parafuso: sol = Q/S = 1500/1,227 = 1.222,49 Kg/cm2 Portanto, instvel. Haveria a ruptura, tendo em vista que a tenso solicitante no parafuso (sol = 1.222,49 Kg/cm2) maior do que a tenso de ruptura ao cizalhamento (r = 1200 Kg/cm2).

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita FLEXO SIMPLES O processo de demonstrao analtica das equaes que representam as leis de variao das tenses e deformaes deste caso, e que se manifestam na seo transversal de uma viga submetida a Flexo Simples (ao do esforo de Momento Fletor), passam, por etapas que envolvem estudos mais avanados da matemtica, conhecidos como equaes diferenciais, que envolvem as chamadas derivadas e integrais, que no so abordados neste curso, ficando desta forma prejudicada a sua comprovao. Todavia para um conhecimento mais geral e menos aprofundado do assunto, que o enfoque deste curso, a analise do comportamento das tenses e deformaes, observveis na prtica, esto representados conforme as figuras abaixo, que acompanhadas das explicaes necessrias, sero suficientes para a sua assimilao e aplicao prtica.

O chamado Momento de Inrcia que uma grandeza puramente geomtrica do slido, como o , o volume, a rea, o comprimento, largura etc., o termo Momento, tambm aqui, est associado ao conceito de efeito exercido distancia, como j sabido. Influi de maneira inversamente proporcional ao valor das tenses, representa a maior ou menor rigidez, que o slido tem flexo. calculado em funo da rea da seo transversal do slido, e pode ser obtido, de UFMS75

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita forma aproximada, conforme se observa na figura acima, como sendo o somatrio do produto das reas parciais que compe a seo transversal pelo quadrado das distancias de seus respectivos centros de gravidade um eixo de referencia. O Clculo exato, depende tambm das chamadas equaes diferenciais. Essas grandezas geomtricas, normalmente j encontramos tabeladas na maioria dos livros que tratam da Mecnica dos Slidos. Ensaio em laboratrio de uma viga submetida Flexo Simples (carga concentrada, no meio do vo)

Panorama Final de Fissurao da Viga

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MOMENTO DE INRCIA Conforme j assinalamos anteriormente os Momentos de Inrcia das superfcies planas, merecem um destaque especial na engenharia, pois representam um parmetro geomtrico importante para a Mecnica dos Slidos, nos estudos que envolvem a anlise das tenses e das deformaes dos elementos estruturais.

Momento de Inrcia de uma seo RETANGULAR:

1)

Em relao a um eixo que passa pela BORDA da seo:

2) seo:

Em relao a um eixo que passa pelo CENTRO DE GRAVIDADE da

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 3) Em relao a um eixo que passa FORA da seo:

Momento de Inrcia de seo composta: Apresentam-se na prtica, com freqncia, reas como as dos perfis laminados em geral, que tem uma forma geomtrica da sua seo transversal, que pode-se associar a uma composio de vrias outras sub-reas. A determinao dos momentos de inrcia, nestes casos, se faz, dividindo-se a rea total em diversas sub-reas fictcias, cujos momentos de inrcia se enquadrem nos casos anteriores e, que j sabemos como calcular, e que sero somados ou subtrados do total, conforme for mais conveniente.

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Tabela tpica de Propriedades Geomtricas de Sees Transversais

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita AO DO VENTO SOBRE AS ESTRUTURAS Resistncia Dinmica Lei de Newton Para velocidades de 10 m/seg a 200m/seg no ar e 0,05 m/seg a 2 m/seg na gua, a intensidade da resistncia do meio (Empuxo) dada pela Lei de Newton:

F = maPeso especfico ( ) do fluido nas Condies Normais de Temperatura e Presso (CNTP): Ar: = 1,225 Kgf/m3 gua: = 1000 Kgf/m3 Peso do fluido: P = Vol Massa do fluido: m =P Vol ; g = 9,81 m/seg2; portanto F = a g g

Movimento uniformemente acelerado (V0 = 0): a =

V2 ; em m/seg2 2

Portanto; F =

Vol V 2g 2

Ao do vento: Volume (em m3 ) de uma massa de ar que atua sobre uma superfcie de rea S:

Vol = h S ; considerando uma espessura de 1m para a camada de ar teremos; Vol = 1 SPortanto; F =

1 S V 2g 2

; ou ainda F =

S V2g 2

; em Kgf

1,225 S V 2 S V 2 S V 2 Para o ar teremos portanto; FR = 9,81 2 8 2 16FR S V 2 ; em Kgf; 16

onde S a rea da superfcie atingida pelo vento em m2 ; e V a velocidade do vento em m/seg.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Fator de converso: 1Km / h =1 1000 m 0,28m / seg 3600 seg

Usualmente costuma-se corrigir a expresso (I) atravs de um coeficiente (CR) que depende da forma da superfcie conforme a tabela abaixo: S V 2 FR CR ; em Kgf; 16

Tenso exercida pela fora do vento:

Fr V2 R = CR ; em Kgf/m2 S 16

Tabela de Coeficientes de Resistncia Aero-dinmica (CR)

Corpo 1 2 4 10 18

Placa Retangular

a/b

CR 1,10 1,15 1,19 1,29 1,40 2,01

Placa Circular

1,11

1/5 Prisma a/b 1/ 300 600

0,91

1.53 0,34 0,51

Cone (sem fundo) Obs: a o maior lado e b o menor lado

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita FLEXO COMPOSTA Exemplo: A figura abaixo, trata-se de um painel de propaganda, sustentado por uma coluna, com seo transversal retangular (20x10cm), constituda de uma chapa de ao de 1cm de espessura, com adm = 2100Kg/cm2, sabe-se, que o peso do painel, de cerca de 560Kg. Pede-se verificar a estabilidade do mesmo, sabendo-se que os ventos predominantes na regio podem atingir at 80Km/h em determinados perodos do ano.

1) Fora do Vento S = 3x6 = 18m2 80Km/h = 0,28x80 = 22,4m/seg 18 22,4 2 = Cr 564,48 Kg 16 a/b = 2 (tabela) Cr = 1,15 Fr = Cr Fr = 1,15 * 564,48 = 650Kg

2) Tenses devidas Normal Simples (Peso do Painel) rea da Seo Transversal da coluna: S = 20x10 - 18x8 = 56cm2

=

N 560 = = 10 Kg cm 2 S 56

3) Tenses devidas Flexo Simples (Fora do Vento) Momento Fletor solicitante: Mfz = 650x900 = 585.000kgxcm Momento de inrcia relativo flexo (Jz) 10 20 3 8 18 3 Jz = = 2.778,67cm 4 12 12 Mfz 585.000 Mfz = x = x = 210,5 x Jz 2.778,67 p/x = 10cm; max = 2.105Kg/cm2 4) Tenses devidas FLEXO COMPOSTA (Normal Simples + Flexo Simples)

total,max = 10Kg/cm2 + 2.105Kg/cm2 = 2.115 Kg/cm2 > adm = 2100Kg/cm2UFMS

Instvel82

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita FLAMBAGEM (Flexo por Compresso) Trata-se de um fenmeno de instabilidade elstica lateral (encurvamento ou flexo) que as hastes apresentam, quando solicitadas axialmente por esforos longitudinais de compresso, a situao de trabalho caracterstica dos pilares ou colunas, porem se aplica qualquer elemento estrutural que trabalhe dessa maneira (p.ex. uma barra no interior de uma trelia).

Este tipo de situao, se verificada, considerada estruturalmente, como uma situao de ruptura ou de colapso estrutural, portanto estruturalmente inadmissvel. Portanto, a verificao que se processa neste caso, a determinao da carga capaz de produzir esse tipo de situao (deformao), para que se possa evit-la. Essa carga conhecida como carga crtica (Pcrit) ou carga de flambagem (Pfl). Desta forma, a condio de estabilidade de um elemento estrutural, submetido a essa situao de trabalho, de que o esforo solicitante (Psol) seja sempre menor que a carga de flambagem (Pfl).

Coluna ou Pilar sob efeito da flambagem ou flexo-compresso UFMS83

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita ndice de esbeltez () Um importante parmetro de referencia nesse tipo de analise chamado ndice de esbeltez, que um nmero representativo da relao que existe entre comprimento (L) e rea da seo transversal (S), ou seja, quanto maior for esse ndice, maior a esbeltez, mais vulnervel esse tipo de instabilidade a haste.

Carga de Flambagem (Pfl) A carga de flambagem (Pfl), depende tambm da forma como essa haste est apoiada. So quatro os possveis casos de apoiamento: Bi-Rotulada (I); Rotulada-Engastada (II); Bi-Engastada (III) e Engastada-Livre (IV) , que so mostradas conforme as figuras abaixo:

Analiticamente essa carga depende de uma parte constante, comum a todos os casos, multiplicada por um coeficiente (n), caracterstico de cada caso. Cabe observar tambm, que o encurvamento ou flexo, ocorre, nesses casos, sempre na direo em que a haste mais flexvel, ou seja, na direo da menor inrcia (Jmenor).

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita TORO SIMPLES

Prisma Cilndrico O processo de demonstrao analtica das equaes que representam as leis de variao das tenses e deformaes deste caso, e que se manifestam na seo transversal de uma viga submetida a Toro Simples (ao do esforo de Momento Toror), passam, por etapas que envolvem estudos mais avanados da matemtica, conhecidos como equaes diferenciais, que envolvem as chamadas derivadas e integrais, que no so abordados neste curso, ficando desta forma prejudicada a sua comprovao. Todavia para um conhecimento mais geral e menos aprofundado do assunto, que o enfoque deste curso, a analise do comportamento das tenses e deformaes, observveis na prtica, esto representados conforme as figuras abaixo, que acompanhadas das explicaes necessrias, sero suficientes para a sua assimilao e aplicao prtica.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Tenses e Deformaes

O chamado Momento de Inrcia Polar que uma grandeza puramente geomtrica do slido, como o , o volume, a rea, o comprimento, largura etc., o termo Momento, tambm aqui, est associado ao conceito de efeito exercido distancia, como j sabido. Influi de maneira inversamente proporcional ao valor das tenses, representa a maior ou menor rigidez, que o slido tem toro. calculado em funo da rea da seo transversal do slido, e pode ser obtido, de forma aproximada, como sendo o somatrio do produto das reas parciais que compe a seo transversal pelo quadrado das distancias Polares de seus respectivos centros de gravidade um eixo de referencia (neste caso, em relao ao plo, Centro de Gravidade da Seo). O Clculo exato, depende tambm das chamadas equaes diferenciais. Essas grandezas geomtricas, normalmente j encontramos tabeladas na maioria dos livros que tratam da Mecnica dos Slidos.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Fratura tpica de Toro em materiais FRGEIS ou quebradios

Ferro Fundido

Concreto ou Giz

Fratura tpica de Toro em materiais DCTEIS ou elsticos (Aos)

Fazendo-se uma analogia dos efeitos do momento toror com os feitos do momento fletor, constata-se que, enquanto o momento fletor produz esforos de trao na parte de baixo ou na parte de cima da seo transversal, conforme a orientao do momento fletor, diferentemente, o momento toror, tanto produz esforos de trao tanto na parte de baixo quanto na parte de cima da seo, como tambm nas laterais, da, a necessidade de armadura longitudinal (de trao) inclusive nas laterais da seo, neste caso, os esforos de trao acontecem ao longo de todo contorno da seo. Mas essa uma abordagem mais complexa, que no o objetivo deste curso.

OBS: O exemplo da figura acima, objetiva apenas ilustrar como seria uma armadura tpica de uma toro simples, porm no caso em questo, na realidade, alm dos efeitos da toro haver a necessidade de se analisar tambm os efeitos da flexo que ocorrem simultaneamente e, que alterar os detalhes da armadura longitudinal vistos acima. UFMS87

Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita Exemplo: Para o eixo cilndrico, vazado, engastado na extremidade A e livre na extremidade B, est submetido a uma carga de toro conforme a figura abaixo. Sabendo-se que Mt = 6,0 txm e que o cilindro tem um comprimento L = 2m e que, o raio externo Re = 12,5 cm e Ri = 7,5cm. Sabe-se ainda que para o material do eixo, G = 0,77x106Kg/cm2. Pede-se determinar o Diagrama de Distribuio das Tenses Cizalhantes e a posio e o valor da deformao rotacional mxima.

Soluo:

JP =

(Re )4 (Ri )4

[

mx

2 Mt L 6 105 200 = = = 4,66 10 3 rad 6 G J p 0,77 10 33.380 e = mx = i = min =

] = [(12,5)

4

(7,5) = 33.380,00cm 4 24

]

Mt 6 10 5 Re = 12,5 = 224 Kg cm 2 Jp 33.380 Mt 6 10 5 Ri = 7,5 = 135 Kg cm 2 Jp 33.380

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita EXERCCIOS DE RESISTNCIA DOS MATERIAIS 1. Calcular o alongamento total de uma barra de ao (E = 2,0 x106Kg/cm2), de 5 cm de seo transversal e 2m de comprimento, submetida a um esforo de trao de 7,5t.2

2. Determinar o mdulo de elasticidade longitudinal do material de uma barra que tem 20cm de comprimento e 5 cm2 de seo transversal, sabendo-se que a mesma sofreu um alongamento de 0,1mm, sob uma carga trativa de 2,2t. 3. Um cilindro, vazado, de ferro fundido, cuja parede tem 2cm de espessura, recebe uma carga axial, longitudinal, compressiva, de 9.600Kg. Considerando-se que a tenso normal admissvel do material seja de 80Kg/cm2; pede-se determinar o dimetro externo do cilindro de modo que o mesmo seja estvel quanto a ruptura. 4. Um cilindro metlico de 20cm de altura e 6cm de dimetro, foi comprimido axialmente at que a tenso normal atingiu o mximo para que no ocorressem deformaes permanentes. Neste momento constatou-se que o dimetro do cilindro aumentou de 15x104 cm. Sabe-se que as caractersticas fsicas do material do cilindro so; p = 2.000Kg/cm2, e = 2.400Kg/cm2, r = 4.200Kg/cm2, e = 0,25. Pede-se determinar: 1 a variao no comprimento do cilindro. 2 o mdulo de elasticidade longitudinal do material do cilindro. 5. O sistema estrutural da figura abaixo representa um sistema reticulado (trelia), constitudo por duas barras (B1 e B2), rotuladas nas extremidades. Sabendo-se que; adm,1 = 1.000Kg/cm2, S1 = 2 cm2, E1 = 2,0 x106Kg/cm2 e que adm,2 = 100Kg/cm2, S2 = 12 cm2, E2 = 1,2 x106Kg/cm2 . Pede-se determinar a fora vertical mxima (Pmx) que se poder aplicar no ponto B, bem como as deformaes longitudinais das barras, decorrentes da aplicao desta fora.

6. Uma haste de ao, de seo transversal varivel, sabendo-se que SCD = 0,7xSBC = 2xSAB = 4 cm2, constituda de um material, para o qual foi fixada a necessidade de utilizao de um coeficiente de segurana igual a 3,6, e que p,trao = 4.320Kg/cm2 , p,compresso = 3.600Kg/cm2 e ainda que e,trao = 5.000Kg/cm2 e e,compresso = 4.000Kg/cm2. Sabendo-se que a mesma ser submetida situao de carga conforme a figura abaixo, e que a situao de trabalho deve ser no Regime Elstico, pede-se verificar a estabilidade da mesma quanto a ruptura (P = 4,8t).

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7. Para o sistema estrutural da figura abaixo, sabe-se que a barra AB de ao (adm = 1.000Kg/cm2) e que a barra BC de madeira(adm = 80Kg/cm2), pede-se dimensionar a seo transversal destas barras, de modo que a estrutura seja estvel quanto a ruptura, quando P = 3,0t.

8. Para a haste AB (bi-apoiada), solicitada conforme as cargas indicadas na figura abaixo; considerando-se para efeito de anlise a seo transversal em C; pede-se determinar o diagrama de distribuio das tenses normais:

9. Para a haste, em balano AB, solicitada conforme as cargas indicadas na figura abaixo; pede-se determinar o diagrama de distribuio das tenses normais para a seo transversal posicionada no apoio.

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Prof. Jos Carlos Lobato Mesquita 10. Verificar a estabilidade do pilar, solicitado conforme a figura abaixo, sabendo-se que o mesmo trabalha com engastado e livre, e que constitudo de um material com as seguintes caractersticas fsicas; E = 2,5 x106Kg/cm2 e adm = 3.000Kg/cm2

11. Para a coluna cilndrica de concreto, carregada conforme a figura abaixo (Px = 10t), sabendo-se que o mesmo trabalha com bi-rotulado, com as seguintes caractersticas fsicas; E = 1,5x105 Kg/cm2 e adm = 300Kg/cm2, pede-se determinar o raio mnimo para a seo transversal, de modo que o mesmo seja estvel.

12. Para as sees transversais, conforme as dimenses das figuras abaixo; pedese determinar a posio do centro de gravidade da seo e os momentos de inrcia em relao aos eixos Y e Z, que passam por esse ponto. UFMS91

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Soluo dos exerccios da lista

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ANEXOS

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Referncias Bibliogrficas: CURSO DE MECNICA Vol. 1 e 2 Adhemar Fonseca RESISTNCIA DOS MATERIAIS Beer/Johnston UFMS100