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Fsica Experimental Mecnica
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Consideraremos ento, por conveno, 1,962s o valor verdadeiro do intervalo de tempo.
Devemos acrescentar, ainda, uma informao importante: na apresentao do valor mais provvel,
o ltimo algarismo deve corresponder mesma casa decimal dos valores medidos, devendo ser
arredondado para cima caso o prximo algarismo seja superior ou igual a 5.
Pode-se provar, em Estatstica, que a mdia aritmtica o valor verdadeiro da medida
sempre que o nmero de medidas seja muito grande teoricamente deveria ser infinito. Mas, na
prtica, realiza-se apenas um nmero limitado de medidas, resultando, assim, apenas uma
estimativa do valor verdadeiro, em que esta se aproxima tanto mais do valor verdadeiro quanto
maior for o nmero de medidas.
Suponhamos que a distncia entre dois dados pontos de uma rodovia seja de 400 km
(valor verdadeiro, por hiptese), que o comprimento de uma certa via pblica seja de 4 km (valor
verdadeiro, por hiptese), e que duas pessoas, A e B, foram encarregadas de medir esses
comprimentos. Suponhamos mais: que a pessoa A encontrou, para a distncia entre os dois
pontos da rodovia, um valor de 399 km, enquanto a pessoa B encontrou para o comprimento da via
pblica um valor de 3 km. Poderamos perguntar ento: qual das duas pessoas cometeu maior
erro? Ora, os erros absolutos cometidos pelas duas pessoas foram iguais (no caso, 1 km).
Percebemos nitidamente, no entanto, que a importncia do erro cometido pela pessoa A muito
menor que a do erro cometido pela pessoa B, isto , sentimos claramente que a pessoa A cometeu
um erro muito menos grave que a pessoa B, a despeito do fato de serem iguais os erros absolutos
cometidos por uma e outra. E isto pela simples razo de que 1 km a mais ou a menos em 400 km
faz uma diferena muito menos sensvel do que 1 km a mais ou a menos em 4 km. Somos levados,
ento, muito naturalmente, a dar mais importncia no ao erro absoluto de uma medida de uma
grandeza, mas sim ao valor da razo entre esse erro e o valor verdadeiro da grandeza, chamado,
por conveno, de erro relativo, isto :
Er= Ea/Vv.
Assim, no presente caso, os erros relativos cometidos pelas duas pessoas so:
AEr= 1 km/400 km = 0,0025
B Er= 1 km/4 km = 0,25,
o que nos mostra que o erro cometido pela pessoa A foi 100 vezes menor que o cometido pela
pessoa B.
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Medidas e Erros
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Os erros relativos so geralmente expressos sob a forma de porcentagem, o que nos dois
casos considerados nos leva a escrever:
A Er= 0,0025 ou 0,25%
B Er= 0,25 ou 25% .
fcil observar, ento, que quanto menor for o erro relativo de uma medida de uma
grandeza, mais prximo do seu valor verdadeiro estar o resultado encontrado, ou seja, mais
precisa foi a medida realizada.
Finalizando, desejamos alertar que o erro relativo um nmero adimensional (por ser a
razo de duas grandezas de mesma espcie); o erro absoluto tem as mesmas unidades (ou
dimenses) da grandeza medida. E uma das razes de se medir a preciso pelo erro relativo que
isto permite comparar as precises de grandezas de espcies diferentes, o que, evidentemente,
no possvel utilizando o erro absoluto.
Sabemos, ento, que uma medida de uma grandeza qualquer geralmente aproximada, a
aproximao sendo, em geral, funo do operador e do instrumento utilizado. A grande parte das
medidas fsicas envolve leituras de escalas quando, evidentemente, o instrumento no for digital.
H bvias limitaes quanto separao entre as linhas numa escala, sem falar no fato de que
estas linhas no tm, por certo, espessura nula. Em cada caso, portanto, a determinao do
algarismo final numa leitura ter que ser obtido por estimativa e, portanto, ser, at certo ponto,
incerto. No obstante, este algarismo incerto significativo no sentido de que ele d informao
utilizvel sobre a quantidade que est sendo medida. Assim, a necessidade de se utilizarem
instrumentos de medidas nos leva a conceituar o que chamamos de algarismos significativos de
uma medida. Vejamos alguns exemplos. Utilizando-se uma rgua centimetrada (dividida em
centmetros), conforme ilustra a figura, podemos observar que o comprimento AB pode ser
avaliado em 8,3 cm. Sendo o comprimento do segmento AB = 8,3 cm, temos os algarismos 8 e 3,
onde o 8 correto e o 3 avaliado (ou estimado). Um segundo observador poderia considerar 8,2
cm ou 8,4 cm. Por este motivo denominamos o algarismo 3 (no caso da primeira leitura) de
duvidoso.
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Fsica Experimental Mecnica
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Se utilizarmos uma rgua comum (uma rgua graduada at milmetros) para medir o
mesmo segmento, podemos ter uma situao conforme ilustrado a seguir. Neste caso podemos
avaliar seu comprimento como sendo AB = 8,26 cm. Os algarismos corretos so agora 8 e 2, pois
sabemos que o comprimento maior que 8,2 cm e menor que 8,3 cm, ao passo que o duvidoso
6, uma vez que sua obteno surgiu de uma avaliao do experimentador.
Se utilizssemos um paqumetro, poderamos obter, para a medida em foco, um valor de
8,271 cm, e um micrmetro nos permitiria obter um valor que poderia ser 8,2713 cm.
Uma rgua graduada em centmetros nos permitiu ler a grandeza com dois algarismos (umexato e um duvidoso); uma rgua comum nos forneceu, para a mesma grandeza medida, trs
algarismos (dois exatos e um duvidoso ou estimado), etc. Um instrumento de maior preciso
poder medir uma mesma grandeza com um nmero maior de algarismos, ou seja, a preciso do
valor de uma quantidade fsica refletida no nmero de algarismos significativos usados na
indicao do valor. Mas, estaramos chegando ao verdadeiro valor da grandeza, ou apenas nos
aproximando de seu valor mais provvel?
Com a segunda rgua jamais poderamos ler, digamos, 8,269 cm, pois no mximo
poderamos ler apenas at centsimos de centmetro (avaliando). Conseqentemente, usando tal
rgua s poderamos considerar representativos, ou seja, significativos, algarismos que
exprimissem at centsimos de centmetro, no mximo. Escrever, como resultado de medidas
efetuadas com tal rgua, algarismos que representassem milsimos de centmetro, seria uma
atitude totalmente desprovida de significado lgico.
Estas consideraes introduzem, de forma natural, o conceito de algarismos significativos
de uma medida, entendendo ser aqueles algarismos que sabemos serem corretos e mais o
primeiro duvidoso.
Em Fsica s devemos escrever algarismos significativos. Por este motivo vamos nos deter
um pouco mais na anlise deste assunto.
Suponhamos que um certo estudante determinou a massa de um objeto como sendo m =
0,02130 kg. Esta grandeza foi obtida com quatro algarismos significativos. Observe que o zero
direita significativo (surgiu de uma avaliao) ao passo que os da esquerda no. Assim
poderamos escrever tambm: 2,130.10 kg; 21,30.10 kg; 2,130.10 g; 21,30 g. Em todas estas
formas apresentadas a medida continuou com quatro algarismos significativos. Qualquer
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A Anlise Dimensional
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O fim ltimo da Fsica o conhecimento do Universo em que vivemos. Para isto esta
cincia procura descobrir as possveis relaes existentes (equaes) entre as vrias grandezas
fsicas, isto , entre os vrios parmetros capazes de caracterizar os fenmenos observveis no
mundo fsico; e as suas leis nada mais so do que as expresses dessas relaes. As mais
importantes dessas leis so quantitativas, isto , podem ser expressas por frmulas contendo
smbolos representativos das medidas das grandezas consideradas.
Muitas dessas equaes so conhecidas, enquanto que outras ainda no o so. Por
exemplo, o aluno pode se recordar da expresso que fornece a fora centrpeta que mantm uma
partcula de massa m, e velocidade escalar v, em trajetria circular, de raio R; no entanto, julgamos
ns, ele j esqueceu, ou no estudou em seu curso pr-universitrio, a expresso que fornece a
velocidade de escape velocidade mnima necessria para que um corpo lanado de um planeta
no mais volte a ele.
A desenvolvida a partir do estabelecimento do conceito de
dimenso de uma grandeza. E um dos muitos objetivos desse assunto, de particular interesse na
engenharia moderna, em que os problemas so s vezes to complexos que os mtodos da
Matemtica Clssica so totalmente impotentes para resolv-los, o da previso de frmulas
fsicas. Tal previso, feita pela Anlise Dimensional, se baseia no
e num importantssimo teorema, conhecido como . Antes,
porm, devemos definir o que um .
H tantas grandezas fsicas que difcil se torna organiz-las. Elas no so, entretanto,
independentes uma das outras. Por exemplo, a energia cintica de uma partcula igual ao
semiproduto da massa pelo quadrado da velocidade da partcula. O que fazemos selecionar,
entre todas as grandezas fsicas possveis, um nmero pequeno delas que chamamos
fundamentais, sendo todas as demais grandezas derivadas delas. Surgem, em conseqncia,
duas perguntas: (a) quantas grandezas fundamentais deveriam ser selecionadas?; (b) Quais
seriam?
A resposta simples e lgica: deveremos selecionar o menor nmero de grandezas fsicas
que conduzir a uma descrio completa da Fsica nos termos mais simples. Muitas escolhas so
possveis. Em um dado sistema, por exemplo, fora uma grandeza fundamental. No sistema que
vamos adotar, uma grandeza derivada.
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Fsica Experimental Mecnica
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Para ficar somente na rea da Mecnica, a escolha de apenas trs grandezas
fundamentais so suficientes para que possamos expressar todas as outras grandezas
pertencentes a esse campo da Fsica. A 14 Conferncia Geral sobre Pesos e Medidas (1971),
estruturada no trabalho de conferncias e comits internacionais precedentes, selecionou como
grandezas fundamentais o comprimento, a massa e o tempo. Esta a base do Sistema
Internacional de Unidades, abreviado SI, do francs Le Systme International dUnits.
Desta forma, os smbolos dimensionais que do uma idia da dimenso da grandeza
usados em Mecnica so representados usualmente por L, M e T, respectivamente, isto , usa-se
pr:
[ s ] = L, [ m ] = M, [ t ] = T,
em que por s, m e t estamos representando, respectivamente, as grandezas comprimento, massa
e tempo.
Assim, a velocidade, que uma grandeza derivada, tem por smbolo dimensional LT -1, isto
: [ v ] = LT-1
.
A fora escrita em smbolos dimensionais : [ F ] = LMT, pois, fora = massa x
acelerao.
As equaes da Fsica exprimem relaes existentes entre um certo nmero de grandezas.
Representam, portanto, igualdades nas quais os dois lados da equao devem ter as mesmas
dimenses, isto , devem ser de mesmo grau em relao aos smbolos dimensionais. Ou seja: as
equaes fsicas verdadeiras devem ser homogneas em relao aos smbolos dimensionais. Esta
condio, necessria a toda e qualquer equao da Fsica, fornece-nos um critrio cmodo e
seguro para reconhecer, de partida, se uma determinada equao falsa ou se pode ser
verdadeira. Tal critrio, que denominado princpio da homogeneidade dimensional o seguinte:
Uma equao fsica no pode ser verdadeira se no for dimensionalmente homognea.
Note-se que esse princpio fornece-nos apenas uma condio necessria, mas no
suficiente para a legitimidade de uma equao fsica, isto , uma equao fsica no pode ser
verdadeira se no for dimensionalmente homognea, mas nem toda equao dimensionalmente
homognea obrigatoriamente verdadeira fisicamente. Assim, em qualquer equao fsica
autntica as dimenses de todos os termos devem ser as mesmas.
Para exemplificar, citemos um fato comum entre os alunos. Sabemos que o volume de um
cilindro reto de altura h e raio de base r dado por V = rh, uma igualdade dimensionalmente
homognea. No entanto, comum estudantes apresentarem em seus relatrios que o volume do
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A Anlise Dimensional
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cilindro V = 2 rh, uma equao dimensionalmente no homognea. Por outro lado, se o
estudante escrevesse, para tal volume, V = rh, podemos notar que a equao
dimensionalmente homognea, mas no verdadeira. Portanto, uma das maneiras de verificar se
uma equao apresenta erro, examinar as dimenses de cada um de seus termos.
Algumas equaes da Fsica apresentam constantes puramente numricas, enquanto que
outras tm constantes universais mas que possuem unidades, isto , possuem dimenso. Assim, a
expresso da energia cintica de uma partcula de massa m, animada de velocidade escalar v, K
= (1/2)mv. Neste caso 1/2 um fator puramente numrico, como se pode comprovar aplicando o
princpio da homogeneidade dimensional. J a lei de Newton da gravitao universal mostra-nos
que G constante gravitacional possui dimenso. Sugerimos que o leitor determine e verifique o
seu smbolo dimensional.
Nestas condies, embora exista uma demonstrao a respeito, deve-se ter concludo que
o smbolo dimensional de um fator puramente numrico (um nmero puro ou um nmero
adimensional, como se costuma chamar) igual a um, isto , [fator puramente numrico] = L
= 1.
Enfatizamos, anteriormente, que uma das possibilidades da Anlise Dimensional a
previso de frmulas fsicas. Consegue-se, mediante simples consideraes dimensionais,
determinar o aspecto geral da expresso de uma lei fsica, isto , determinar com que dimenses
iro aparecer, nessa expresso, as diversas grandezas que influem no fenmeno em estudo. No
entanto, o pesquisador que procura prever a frmula de um fenmeno deve conhecer, a priori, as
diversas grandezas que influem nele, pois o processo para a previso de frmulas baseia-se no
princpio da homogeneidade das leis fsicas. O processo geral para a previso consiste em
estabelecer a igualdade entre as dimenses das grandezas correspondentes dos dois membros da
expresso procurada. Chega-se, assim, a um sistema de equaes, que resolvido d as
dimenses que se quer determinar.
A equao matemtica que relaciona as diversas grandezas envolvidas no fenmeno
fornecida pelo seguinte teorema, conhecido como teorema de Bridgman, que, como j dissemos,
fundamental para a Anlise Dimensional. Tal teorema afirma:
Uma qualquer grandeza fsica pode sempre ser posta, a menos de um fator puramente
numrico, sob a forma de produto de potncias de grandezas das quais a considerada dependa,
isto , se a grandeza G depende das grandezas A, B, C,..., pode-se sempre escrever que:
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Fsica Experimental Mecnica
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G =K. AaB
bC
c...
onde K, a, b, c, ... so nmeros puros.
Admitiremos este teorema, neste nosso curso, sem demonstrao, uma vez que a mesma
est acima do escopo e do objetivo proposto.
Para finalizar, duas observaes se fazem necessrias: 1) a previso de frmulas fsicas atravs
da Anlise Dimensional s possvel, como j enfatizado, quando sabemos de quais grandezas a
grandeza procurada depende. Desse modo a Anlise Dimensional inoperante quando no so
conhecidas as relaes qualitativas existentes entre as grandezas relativas a um determinado
problema, isto , quando no se sabe de quais grandezas uma determinada grandeza depende.
Por este motivo a Anlise Dimensional deve ser usada, na tecnologia, juntamente com a
experimentao, pois que s a experincia pode indicar, de maneira simples, quais os fatores que
tm influncia sobre um determinado fenmeno. Tal fato est, na realidade, ligado ao conceito de
funo, onde a palavra funo empregada aqui em sua acepo cientfica, isto , no sentido de
Dirichlet-Moore: correspondncia unvoca; 2) a Anlise Dimensional no admite coeficientes
numricos; isto faz com que, em geral, no seja possvel determinar completamente a lei fsica de
um fenmeno qualquer, pois nela poder figurar um coeficiente puramente numrico. A
determinao desse coeficiente dever ser feita experimentalmente.
Prever, usando Anlise Dimensional, uma expresso que permita calcular a fora
centrpeta atuante sobre uma partcula de massa m, que descreve, com uma velocidade escalar v,
uma curva de raio R, sabendo-se experimentalmente que a fora centrpeta, F, depende apenas de
m, v e R e que igual a 1 o fator adimensional que figura na relao de dependncia procurada.
De acordo com os dados fornecidos no enunciado do problema, temos pelo teorema de
Bridgman:
F = f (m; v; R) F = K. ma.v
b.R
c
onde K um fator puramente numrico e a, b e c so os expoentes a serem determinados.
Passando-se os smbolos dimensionais na equao precedente e de acordo com o
princpio da homogeneidade dimensional, vem que:
[F] = [m]a. [v]
b. [R]
c
donde, tendo-se os smbolos dimensionais das grandezas envolvidas e que so: [F] = LMT-2
, [K] =
1, [m] = M, [v] = LT-1
, [R] = L, vem que:
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Fsica Experimental Mecnica
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7. Kepler, apoiado em observaes do astrnomo Tycho Brahe, de quem ele havia sido
colaborador, encontrou que os quadrados dos perodos, T1 e T2, de revoluo de dois
planetas em torno do Sol esto entre si como uma certa potncia, n, da razo entre os
comprimentos, a1e a2, dos semi-eixos maiores das elipses que eles descrevem em torno
do Sol, isto , encontrou que: T1/T2 = (a1/a2) -se que o perodo de revoluo de
um planeta em torno do Sol depende apenas da massa M do Sol, da constante G da
gravitao universal e do comprimento a do semi-eixo maior da rbita do planeta, calcule o
valor de n que satisfaa a equao acima, equao essa que traduz matematicamente a 3
lei de Kepler.
AXT, R. & GUIMARES, V.H.. . Porto Alegre, Editora da Universidade
Federal do Rio Grande do Sul, 1981. 91p.
HENNIES, C.E. et alii. . Campinas, Editora da UNICAMP, 1986.
v.1, 221p.
MAIA, L.P.M.. . Rio de Janeiro, Nacionalista, 1961. 143p.
MARTINS, N. et alii. . So Paulo, Editora
Pedaggica e Universitria, 1979. v.1, 133p.
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Grficos
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Como sabemos, as leis fsicas expressam relaes entre quantidades fsicas. Estas
relaes podem ser apresentadas de vrias maneiras:
I. em palavras, atravs de um enunciado;
II. em smbolos, por meio de uma equao;
III. pictoricamente, atravs de um grfico.
A escolha depender do uso que se quer fazer da informao. Por exemplo, se queremos
fazer clculos, ento uma equao o meio de expresso mais conveniente.
A representao grfica, que constitui o objetivo desta unidade, um dos recursos mais
valiosos para a anlise de dados experimentais, ou, em outras palavras, solues grficas so
particularmente usadas quando o fenmeno estudado vem definido por dados experimentais; da
sua ampla utilizao em Fsica.
Assim, recorre-se aos grficos seja para verificar se uma determinada lei fsica vlida em
condies especificadas, seja para estabelecer a lei fsica que porventura relacione certas
grandezas, seja ainda para calcular o valor de constantes fsicas.
De maneira geral, no estudo de qualquer fenmeno, os cientistas devem lanar mos de
grficos e equaes para relacionar as grandezas ligadas ao fenmeno. Por isto mesmo, nesta
unidade, vamos estudar alguns aspectos importantes dos grficos que sero usados, ao longo docurso, para descrever fenmenos no s da Fsica mas tambm de outras cincias.
Um grfico serve para mostrar a conexo entre duas quantidades variveis, sendo uma
representao diagramtica do modo como uma varia em funo da outra. Para representar
graficamente a relao entre duas variveis, costuma-se observar algumas regras prticas
tradicionalmente adotadas, a seguir descritas:
a. Todo grfico deve ser construdo a partir de dados adequadamente tabulados. A tabela
deve conter os smbolos das grandezas envolvidas e suas respectivas unidades de medida
e, a seguir, os valores das variveis medidas.
b. No eixo horizontal (abscissa) lanada a varivel independente, isto , a varivel cujos
valores so escolhidos pelo experimentador; no eixo vertical (ordenada) lanada a
varivel dependente, isto , aquela obtida em funo da primeira.
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Grficos
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importantssimo acrescentar que somente quando o grfico de uma lei fsica retilneo
podem ser obtidos dados quantitativos sobre ela, tais como os valores de constantes que figuram
na lei fsica do fenmeno. Como nem todas as leis fsicas so lineares, o problema ento como
lanar os dados experimentais no grfico para obter uma linha reta.
No grfico anterior, que linear, observe que est representado o trabalho em funo do
quadrado da velocidade dos carrinhos. Se tivssemos representado o trabalho em funo da
velocidade de cada carrinho, o grfico seria uma parbola, como se mostra a seguir, e, neste caso,
pouca ou nenhuma utilidade teria esse grfico em laboratrio. Os grficos curvilneos quase
sempre tm apenas o propsito de ilustrar o comportamento de um sistema fsico, isto , esses
grficos descrevem visualmente as propriedades do sistema estudado mas no permitem extrair
informaes quantitativas. Geralmente so desse tipo os grficos que figuram nos livros didticos
de Fsica.
Como afirmamos, nem sempre a lei fsica de um dado fenmeno linear; entretanto,
sempre possvel transformar, mediante simples artifcios de clculo, expresses no lineares em
lineares. E como os grficos retilneos so os que permitem obter informaes quantitativas,
freqentemente, necessrio fazer uma transformao matemtica na expresso de uma lei fsica
e reagrupar convenientemente os dados experimentais, a fim de que o grfico correspondente seja
retilneo. A este processo chamamos de linearizao.
Como no existe um mtodo geral, aplicvel a todos os casos, cada um deve ser
examinado individualmente, para se conseguir a transformao adequada. O fato que devemos
sempre proceder a uma transformao na funo para que ela tome exatamente o aspecto de uma
reta, isto , fique da forma y = a + bx. Por exemplo, seja a funo x.y = c, que representa a
dependncia entre as variveis x e y, sendo o grfico cartesiano de y versus x equivalente a uma
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Os valores da tabela correspondem a um exemplo experimental, no qual um planador
desloca-se com acelerao constante sobre um trilho retilneo, partindo da origem do referencial
com velocidade inicial nula. Para o estudo da lei posio-tempo, s = f(t), medem-se os tempos
gastos pelo planador para atingir diferentes posies.
s(m) t(s)
0,2 1,671
0,3 2,050
0,4 2,352
0,5 2,626
0,6 2,868
0,7 3,100
Lanando-se estes dados em um grfico da posio em funo do tempo teremos uma
parbola, pois para um movimento de acelerao constante a equao correspondente da forma
s = so+ vot + t/2, onde no caso presente so= 0 e vo= 0.
Para linearizar a funo anterior, basta fazer t = u, resultando assim a funo s = ( /2)u,uma reta que passa pela origem e de inclinao igual a /2. o que nos mostra o grfico de s
contra t.
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Grficos
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Resolver o mesmo problema anterior admitindo que a funo s = f(t) seja da forma s = k.t
Para linearizar essa funo devemos tomar logaritmos:
log s = log k + n log t,
e fazer y = log s e x = log t. Teremos ento uma reta cuja inclinao n (o valor do expoente) e
como coeficiente linear, log k. A tabela a seguir ajudar nos clculos de a e b da reta de regresso
linear, onde a = log k e b = n.
s(m) t(s) x = log t y = log s
0,2 1,671 0,22298 -0,69897
0,3 2,050 0,31175 -0,52288
0,4 2,352 0,37144 -0,39794
0,5 2,626 0,41929 -0,30103
0,6 2,868 0,45758 -0,22185
0,7 3,100 0,49136 -0,15490
Resolvendo-se de forma semelhante ao exerccio anterior, encontramos (a
complementao da tabela deixamos a cargo do leitor):
a = -1,15 e b = 2,03.
Deste modo obteremos: -1,15 = log k k = 7,08.10 , que fornece uma acelerao de
2x7,08.10 0,14 m/s, bem prxima quela calculada no exemplo anterior.
Como o valor de b d o expoente da funo, vem que o seu valor a partir dos dados
experimentais 2,03, com um erro absoluto de 0,03 (o seu valor verdadeiro 2).
1. A equao dos focos conjugados, que exprime a relao entre as distncias imagem e
objeto (p' e p) de uma lente esfrica delgada com a respectiva distncia focal f, : 1/f = 1/p
+ 1/p'. Como devemos transformar as variveis para se obter uma reta? Qual a inclinao
da reta? E o seu coeficiente linear?
2. A tabela mostra o acrscimo o em funo da variao
o= 1 m.
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O Pndulo Simples
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Teoricamente um um sistema ideal que consiste de uma massa
puntiforme suspensa por um fio leve e inextensvel. Em termos prticos pode ser considerado
como uma massa suspensa por um fio preso em um ponto fixo. Quando afastado de sua posio
de equilbrio e largado, o pndulo oscilar em um plano vertical executando um tipo de movimento
denominado de (). Se o ngulo mximo de afastamento for
), o pndulo executar um movimento cujo perodo T independe de
dependendo apenas do comprimento ndulo e da acelerao da gravidade local g.
Sabe-se que o comprimento ndulo simples no coincide com o comprimento do
fio, sendo, na realidade, a distncia do ponto de suspenso at o centro de gravidade da massa
pendular. Como, em geral, a posio exata do centro de gravidade do pndulo desconhecida,
torna-se impossvel medir -se uma marca no
fio um pouco acima da massa pendular, de modo a dividir o comprimento
centro de gravidade at a marca (distncia c), e outra da marca at o ponto de suspenso
(distncia p). Assim teremos que
Nesta experincia determinaremos o valor da constante adimensional, K, da equao do
perodo do pndulo simples, e a posio do centro de gravidade do pndulo (distncia c). Para tal
devemos construir cinco pndulos diferentes, isto , tomaremos cinco valores diferentes de p, e
mediremos, com auxlio do cronmetro, o tempo para o pndulo executar 20 oscilaes completas.
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Pndulo Bifilar
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Chama-se ao sistema formado por uma barra horizontal homognea presa
por dois fios verticais de mesmo comprimento e igualmente distanciados das extremidades, que
pode oscilar em torno de um eixo vertical central O-O, conforme mostra a figura.
Sabe-se que o perodo T de um tal pndulo, para pequenas oscilaes, depende do
comprimento ndulo (distncia do ponto de suspenso at o centro de gravidade da barra),
da distncia d entre os fios, da acelerao da gravidade local g, da massa m da barra e de seu
momento de inrcia I em relao ao eixo de rotao (smbolo dimensional igual a LM), isto : T =
f( no possvel prever a
equao fsica que relaciona tais parmetros, o que nos obriga a apelar para a experimentao a
fim de levantar as indeterminaes que surgem e, assim, chegarmos equao fsica do
fenmeno.
Do acima exposto, aplique o Teorema de Bridgman para se certificar de que impossvel
prever a equao do fenmeno somente por Anlise Dimensional (nunca ser demais lembrar que
a constante adimensional no encontrada pela Anlise Dimensional). Como o nmero de
incgnitas maior do que o nmero de equaes, devemos levantar esta indeterminao
procurando obter experimentalmente dois dos expoentes desconhecidos, e para isto usaremos um
mtodo bsico em cincia que fixar todas as grandezas, exceto a que se quer estudar. Por
questo de facilidade de ordem prtica, determinaremos os expoentes de
pesquisa dos outros expoentes poderia ser feita da mesma maneira.
Para encontrar experimentalmente o valor do expoente de
parmetros e fazer variar somente , obtendo, para cada valor de
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perodo T do pndulo, medindo o tempo para a barra realizar dez oscilaes completas (neste
caso fixe o valor de d = 0,30m).
10T(s)
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Linearizando-se a equao de T = f( -se aos dados da tabela a regresso
linear (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontra-se o valor experimental do expoente
procurado. No entanto, o valor verdadeiro do expoente ser aquele indicado pelo princpio
heurstico da simplicidade, ou seja, arredondando-se convenientemente o expoente encontrado.
De forma similar, para se encontrar o valor experimental do expoente de d devemos fixar
os outros parmetros da equao, variando somente d e obtendo, para cada valor de d, o perodo
T correspondente, de acordo com a tabela a seguir (neste caso fixe
d(m) 10T(s)
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
Linearize a nova equao de T = f(d), aplique a regresso linear (use cinco casas decimais
para os logaritmos) e obtenha o valor experimental do expoente procurado. Proceda de acordo
com o princpio heurstico da simplicidade para obter o valor verdadeiro do expoente, que no
coincide com o valor experimental em virtude dos inevitveis erros cometidos nas medies.
Finalmente, de posse dos valores verdadeiros dos expoentes de tre,matematicamente, os outros expoentes e expresse a equao geral de dependncia do perodo
em funo de todas as variveis envolvidas.
Restar determinar a constante adimensional, K, cujo valor mais provvel poder ser
encontrado, de acordo com o Postulado de Gauss, pela mdia aritmtica de dez valores obtidos
das tabelas precedentes. Para isto so dados: 1) acelerao da gravidade local g = 9,79 m/s; 2)
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Movimento em Uma Dimenso: movimento de queda livre
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Um movimento chamado de quando apenas uma das trs coordenadas
cartesianas (x; y; z) que definem a posio de uma partcula, relativamente a um determinado
referencial, varia no decurso do tempo. Assim, a queda livre um movimento unidimensional
porque x = constante, y = f(t) e z = constante.
A , a rigor, somente observada no vcuo. No caso da experincia presente,
no entanto, a resistncia oferecida pelo ar pode ser negligenciada devido forma do objeto (uma
esfera), sua grande massa especfica e baixa velocidade que atinge durante o movimento. Se a
experincia fosse realizada no vcuo estas consideraes seriam desnecessrias, uma vez que
no teria o ar para afetar o movimento e, conseqentemente, tanto uma pena como um pedao de
metal cairiam no mesmo tempo, como pode ser visto num .
Desejamos, finalmente, chamar a ateno para o fato de que o problema geral do
movimento de um corpo atravs do ar um problema muito complexo, que tem que ser feito
experimentalmente, e este o motivo principal da necessidade, para a indstria aeronutica, da
construo dos carssimos tneis aerodinmicos de prova.
Nesta experincia utilizaremos um eletrom e um cronmetro digital acoplado a duas
fotoclulas, cujo esquema mostrado na figura a seguir. A esfera est inicialmente presa ao
eletrom e, quando abrimos o circuito, ela cai executando um movimento aproximado de queda
livre. O cronmetro dispara quando a esfera passa pela primeira clula fotoeltrica e trava ao
cruzar a segunda barreira, determinando assim o tempo para a esfera percorrer a distncia entre
as duas fotoclulas.
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Para analisarmos o movimento de queda livre, utilizaremos os dois procedimentos
descritos a seguir.
I. Coloque uma fotoclula imediatamente abaixo da esfera, de modo que o cronmetro seja
acionado assim que a esfera comea a cair (neste caso qual a velocidade inicial da esfera?). A
segunda fotoclula, colocada abaixo da primeira, dever ser ajustada em cinco posies diferentes
e, para cada uma dessas posies, medimos cinco vezes o tempo de queda da esfera. Tome a
origem do referencial na primeira fotoclula, oriente seu sentido para baixo como positivo e
preencha a tabela abaixo, sendo y a posio da esfera no tempo t correspondente.
y(m) t(s)
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
II. Neste segundo caso coloque a primeira fotoclula em posio fixa a uns 10 cm abaixo
da esfera, e a outra fotoclula abaixo da primeira, em posies variadas, conforme a tabela a
seguir. Observe agora que a velocidade inicial da esfera no nula, pois quando o cronmetro for
acionado a esfera j estar em movimento. Da mesma forma que no procedimento I, deve-se
medir cinco vezes o tempo para a esfera percorrer a distncia entre as duas barreiras. Oriente o
referencial para baixo e tome sua origem na primeira fotoclula (neste caso qual a posio inicialda esfera?).
y(m) t(s)
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
1. No caso do procedimento I, suponha que a equao da posio em funo do tempo para
o movimento, y = f(t), seja da forma y = k.t o linear os valores de
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Movimento em Uma Dimenso: movimento de queda livre
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k e n. O que eles representam no movimento estudado? Use cinco casas decimais para os
logaritmos.
2. Qual o valor experimental da acelerao da gravidade, para o caso da questo anterior?
Calcule, a seguir, os erros relativos cometidos nas determinaes da acelerao da
gravidade (o valor verdadeiro da acelerao da gravidade em Uberlndia 9,79m/s) e do
expoente da equao da posio.
3. Para o procedimento II, use a equao da posio j conhecida para este movimento.
Linearizando-se tal equao e aplicando-se aos dados da tabela correspondente a
regresso linear, encontre os valores da velocidade inicial da esfera e da acelerao
gravitacional local.
4. No caso do procedimento II, calcule a velocidade escalar instantnea da esfera ao passar
pelas barreiras colocadas na 2 e 5 posies e, a seguir, tire a mdia aritmtica dos
valores encontrados. Calcule, a partir dos dados da tabela, entre os mesmos pontos, avelocidade escalar mdia da esfera. Qual a concluso?
5. A partir dos dados da tabela do procedimento II, trace um grfico linear indicando os
significados dos coeficientes linear e angular do mesmo.
6. Demonstre, analtica e graficamente, que para um movimento de acelerao tangencial
constante, a velocidade escalar mdia, num certo intervalo de tempo, mdia aritmtica
entre as velocidades inicial e final.
LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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Movimento em Duas Dimenses: movimento de um projtil
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6. Qual a acelerao tangencial da esfera no instante em que ela toca o anteparo colocado
na 4 posio? Qual o valor da componente normal da acelerao neste mesmo instante?
ALONSO, M. & FINN, E.J.. . So Paulo, Edgard Blcher,
1972. v.1, 481p.
LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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As Leis de Newton-Galileu
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A Mecnica que estamos estudando conhecida como e est apoiada
sobre um nmero muito reduzido de , isto , proposies aceitas como verdadeiras, sem
demonstrao. Tais princpios trs ao todo so atualmente conhecidos como
, uma vez que foram Newton e Galileu quem as estruturaram da forma coerente e
racional que constitui atualmente uma das mais maravilhosas criaes do esprito humano.
Uma dessas leis a 2 lei do movimento de Newton-Galileu ns iremos tratar em uma
experincia especfica, e nosso objetivo aqui considerar as outras duas, ou seja, a 1 lei de
Newton-Galileu ou lei da inrcia, e a 3 lei de Newton-Galileu ou lei da ao e reao.
Aristteles partia do pressuposto de que a velocidade de um corpo funo das foras
atuantes sobre ele. Tal idia, primitiva no nosso esprito, pois que dificilmente concebemos a
possibilidade de movimento sem fora causadora, dominou inteiramente a Fsica por mais de 1700
anos. J antes de Aristteles era conhecido o fato de que se uma partcula estiver em repouso e
nenhuma fora agir sobre ela, ou se for nula a resultante das foras que atuam sobre ela, ela
permanecer em repouso; a base do erro de Aristteles foi imaginar que a recproca de tal fato era
verdadeira, isto , que se for nula a soma das foras que atuam sobre uma partcula, ela dever,
obrigatoriamente, estar em repouso. Esse erro, alis, um erro histrico, uma vez que ,
essencialmente, o nico erro da Mecnica Aristotlica. Mas sendo um erro bsico invalidou
totalmente aquela Mecnica.
Analisando profundamente os dados experimentais de que dispunha, Galileu adquiriu a
convico contrria crena da sua poca de que se um corpo estivesse em movimento e
consegussemos tornar nula a soma das foras atuantes sobre ele, ele no pararia: continuaria a
se mover, sendo retilneo e uniforme o seu movimento a partir do instante em que passasse a ser
nula a soma das foras atuantes sobre ele. Nas prprias palavras de Galileu:
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Com este enunciado, que constitui a chamada lei da inrcia, Galileu revelou uma das mais
fundamentais propriedades mecnicas possudas pelos diversos sistemas materiais: a
incapacidade que uma partcula qualquer demonstra em mudar espontaneamente a sua prpria
velocidade. Tal propriedade modernamente chamada inrcia, isto , chama-se inrcia de uma
partcula incapacidade dela mesma alterar o seu estado de repouso ou de movimento retilneo e
uniforme.
De tudo isso depreende-se que se um corpo estiver em repouso e nenhuma fora agir
sobre ele, ele permanecer em repouso; se estiver em movimento e conseguirmos tornar nula a
soma das foras atuantes sobre ele, ele no pra, mas continua a se mover em linha reta com
velocidade constante.
Para verificar na prtica o que acabamos de afirmar, coloque sobre o trilho de ar,
previamente nivelado, um planador em repouso relativamente ao trilho. Se nenhuma fora agir
sobre ele, ento ele permanecer indefinidamente em repouso. No entanto, aplicando-lhe uma
fora (um leve empurro com a mo), verificaremos que ele entra em movimento retilneo e
uniforme, no sendo necessria fora alguma para manter este estado de movimento.
Esta a lei da inrcia, cujo enunciado apresentado por Newton em seu
(Londres, 1687) :
A 2 lei de Newton-Galileu permite-nos descrever o comportamento mecnico de uma
partcula sobre a qual estejam agindo foras conhecidas. Conseqentemente o problema de
descrever o movimento de uma dada partcula submetida ao de foras ficar praticamente
resolvido, em cada caso, com o auxlio da 2 lei de Newton-Galileu, se forem conhecidas as foras
atuantes sobre a partcula. Preocupado com tal problema, Newton observou cuidadosamente o
comportamento de vrios sistemas materiais e conseguiu induzir um princpio geral cujo
conhecimento de grande valia na pesquisa das foras que atuam sobre uma dada partcula. Tal
princpio que Newton chamou lei da ao e reao e foi o terceiro (e ltimo) dos axiomas por ele
apresentados no seu conhecido atualmente como 3 lei de Newton-Galileu e seu
enunciado o seguinte:
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A Mecnica, tal qual a entendemos hoje, , na realidade, praticamente devida ao trabalho
extraordinrio do italiano Galilei (1564 1642) e do ingls Isaac (1642
1727), os dois gigantes intelectuais do incio da Modernidade. Galileu realizou, entre 1589 e 1591,
uma srie notvel de experimentaes, atravs das quais estabeleceu firmemente as bases da
Mecnica que usamos atualmente, bases essas que diferiam totalmente das que eram aceitas na
sua poca, as quais eram devidas, principalmente, a Aristteles. E dentre essas experimentaes
constam aquelas que levaram equao fundamental da ou
, que a ou . Assim
encontra-se experimentalmente que , sendo, alis, tal funo a mais
simples dentre todas as funes: a funo linear e homognea.
O objetivo central desta experincia ser verificar como afetada a acelerao: (a) pela
variao da fora resultante, quando a massa mantida constante; (b) pela variao da massa,
quando a fora resultante mantida constante.
A experincia consiste no uso de um trilho de ar (air track) sobre o qual um planador de
massa M desliza praticamente sem atrito puxado por um porta-pesos de massa m, estando os dois
objetos ligados por um fio leve, que passa por uma polia fixa tambm considerada ideal.
Com o trilho de ar previamente nivelado, realiza-se a montagem mostrada na figura, onde
a primeira barreira fotoeltrica deve ser cuidadosamente ajustada de modo que o cronmetro inicie
sua marcha assim que o planador liberado do dispositivo de reteno. Desta forma o sistema,
formado pelo planador e pelo porta-pesos, inicia seu movimento a partir do repouso, isto , com
velocidade inicial nula. Ajuste, em seguida, a segunda fotoclula, de modo que o cronmetro seja
travado quando o sistema percorrer uma distncia de 0,70 m.
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A 2 Lei de Newton-Galileu
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M(kg) t(s)
1. No caso do estudo da acelerao como funo da fora, suponha que a equao seja da
forma F = k.a -se esta equao e aplicando a regresso linear aos dados da
tabela correspondente (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontre os valores
de k e n. O que representa k? Qual o erro relativo cometido na experincia quanto ao valor
de n? Use g = 9,79m/s.
2. No estudo da acelerao em funo da massa, admita que a equao seja da forma
a = K.m* -se esta equao e aplicando a regresso linear aos dados da
tabela correspondente (use cinco casas decimais para os logaritmos), encontre os valores
de K e n. A partir do valor de K, determine a massa m do porta-pesos. Qual o valor
verdadeiro do expoente n? Use g = 9,79m/s.
3. Uma pequena esfera est suspensa por um cordel do teto de um vago que est semovendo sobre trilhos retilneos e horizontais com acelerao constante, da esquerda para
a direita, em relao Terra. Qual a posio do fio para um observador situado dentro do
vago, e em repouso relativamente a este? Se em determinado instante o observador
cortar o fio, mostre a trajetria descrita pela esfera vista por ele at atingir o piso do vago.
4. Coloque sobre a mesa do laboratrio um nvel de bolha e puxe-o aceleradamente para a
direita. Em que sentido a bolha se desloca? Explique o resultado observado.
FRANCO, E.R.. . Uberlndia, Grfica Universidade Federal
de Uberlndia, 1986. 77p.
LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
MAIA, L.P.M.. . Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1977.
v.2, 223p.
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Fsica Experimental Mecnica
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RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
SANCHEZ, O. & DEZ, J.L.G.. . Espaa,
Phywe, 1982.
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As Foras de Atrito
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As desempenham um papel muito importante na tecnologia e muitos
homens-hora tcnicos (tcnicos de manuteno) so empregados para reduzi-las. Por outro lado,
sem o atrito no conseguiramos caminhar, no poderamos segurar um lpis na mo e se o
pudssemos ele no escreveria, no seria possvel o transporte sobre rodas, etc. Por estes
motivos vamos analisar mais detidamente suas caractersticas nesta prtica.
Como sabemos, as foras de atrito entre dois corpos slidos so foras tangenciais s
superfcies de contato e surgem do fato de no serem perfeitamente polidas as superfcies dos
corpos reais: as rugosidades de tais superfcies engrenam-se umas nas outras quando as
superfcies so comprimidas umas contra as outras e reagem quando se tenta fazer uma
escorregar sobre a outra.
As para o atrito so leis empricas, cujos estudos experimentais foram
realizados pelo fsico francs Charles Augustin (1736-1806), conhecido principalmente
por seus trabalhos no campo da Eletricidade, e os resultados so apenas aproximadamente
verdadeiros.
Dividiremos esta experincia em duas partes: (a) numa primeira etapa vamos estudar a
entre duas superfcies no lubrificadas (chamado atrito seco); (b) numa
outra, estudaremos a ou de deslizamento (e no o rolamento), tambm
entre superfcies secas.
Assim neste trabalho experimental, determinaremos o coeficiente de atrito esttico, e, e o
coeficiente de atrito cintico, c, entre uma das superfcies do bloco (indique no relatrio a
superfcie utilizada), de massa M, e a superfcie da mesa do laboratrio. Para tal devemos
proceder s montagens indicadas.
Sobre o prato suspenso acrescente massas lentamente, at perceber que o bloco sobre a
mesa est na iminncia de movimento, isto , at que esboce um leve movimento. Neste instante
pode-se afirmar que a fora de atrito esttico entre o bloco e a superfcie da mesa atingiu o valor
mximo. Faa, ento, medidas que permitam encontrar o coeficiente de atrito esttico entre as
superfcies em contato.
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Fsica Experimental Mecnica
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Neste caso coloque no porta-pesos uma massa m suficiente para imprimir ao bloco de
massa M, situado sobre a mesa, um movimento rpido, e solte repentinamente o conjunto. Depois
de cair de uma altura h, o porta-pesos imobilizado pelo piso do laboratrio, mas o bloco, por
inrcia, ainda sofre um deslocamento d. Mostre, ento, como determinar o coeficiente de atrito de
deslizamento entre as duas superfcies de contato, (a) pelo mtodo dinmico; (b) pelo emprego do
teorema do trabalho-energia cintica.
1. A fora de atrito esttico entre o bloco e a superfcie da mesa, durante o procedimento
realizado, apresentou um nico valor (explique com clareza sua resposta)? Faa um
grfico qualitativo do mdulo da fora de atrito esttico sobre o bloco em funo do mdulo
da fora a ele aplicada pela adio de massas no prato.
2. Se dobrssemos a massa M do bloco, o que ocorreria com o valor do coeficiente de atrito
de deslizamento, supondo que a massa m ainda fosse suficiente para imprimir movimento
ao bloco?
3. Como se comparam os coeficientes de atrito esttico e cintico encontrados? De que
fatores eles dependem?
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As Foras de Atrito
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4. Quando andando no gelo, melhor dar passadas curtas ou longas? Justifique com
argumentos fsicos.
5. O que requer menos fora: iniciar o movimento de um corpo ou mant-lo em movimento?
Explique.
LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
MAIA, L.P.M.. . Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1977.
v.2, 223p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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Dinmica do Movimento Circular
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Nesta experincia discutiremos a dinmica do movimento circular, analisando as foras
quer de um , quer de .
No primeiro caso teremos atuando sobre o sistema apenas , enquanto que no
segundo teremos tanto foras de interao como . interessante acrescentar que
embora exista uma variedade muito grande de foras de interao, h, porm, na natureza,
apenas quatro possveis foras de inrcia, e que so a fora de , a fora , a
fora de e a fora de , de acordo com a nomenclatura proposta por Cornelius
Lanczos in (Toronto, University of Toronto Press.4 ed.).
Finalizando, quero acrescentar que o nome dado aos referenciais no inerciais, de referenciais
machianos, uma homenagem ao fsico e filsofo austraco Ernest (1838-1916), quecontribuiu decisivamente para a compreenso dessas foras de inrcia.
As experincias aqui propostas so, na realidade, alguns problemas que constam nos
livros de teoria, e que foram convertidos em prtica para melhor ajudar na fixao dos conceitos.
Um tubo semicircular, de raio igual a R, gira com velocidade angular
coloca-se uma pequena esfera metlica, de massa m, a qual fica em equilbrio relativamente aotubo. Admitindo-se que no h atrito entre o tubo e a esfera, pede-se calcular a posio na qual a
esfera fica em equilbrio, especificando tal posio por meio do ngulo o e a
direo vertical . Depende esta posio da massa da esfera? Coloque, ento, dentro do tubo, em
lados opostos, duas esferas de massas notavelmente diferentes e verifique. Acima de que ngulo
a acelerao centrpeta da esfera supera o valor da acelerao da gravidade?
Uma massa lquida gira com velo
eixo vertical central de um recipiente cilndrico, como se v na figura. Mostre que a superfcie do
lquido tem a forma de um parabolide, isto , que a seo transversal da superfcie uma
parbola cuja equao y
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Dinmica do Movimento Circular
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ALONSO, M. & FINN, E.J.. . So Paulo, Edgard Blcher,
1972. v.1, 481p.
MAIA, L.P.M.. . Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1977.
v.2, 223p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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A Fora Elstica: a lei de Hooke
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Como se sabe, existe na natureza uma grande variedade de foras de interao, e a
caracterizao de tais foras , via de regra, um trabalho de carter puramente experimental. Entre
as foras de interao que figuram mais freqentemente nos processos que se desenvolvem ao
nosso redor figuram as chamadas , isto , foras que so exercidas por sistemas
elsticos quando sofrem deformaes. Por este motivo, interessante que se tenha uma idia do
comportamento mecnico dos sistemas elsticos, sendo este, precisamente, o objetivo desta
experincia.
Em 1660, o fsico ingls Robert (1635-1703), observando o comportamento
mecnico de uma mola, descobriu que as deformaes elsticas obedecem a uma lei muito
simples. Hooke descobriu que quanto maior fosse o peso de um corpo suspenso a uma dasextremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um suporte fixo) maior era a
deformao (no caso: aumento de comprimento) sofrida pela mola. Hooke observou, ento, que
sempre existe proporcionalidade entre a fora deformante e a deformao elstica produzida, isto
: F = k.x, sendo F o mdulo da fora deformante, x a deformao produzida, e k que
caracterstico da mola considerada usualmente denominado constante elstica da mola. A
equao acima conhecida como a lei de Hooke, e d a lei de fora para uma mola.
Quando uma massa m suspensa por uma mola ideal (sem massa) de constante elstica
k, ela executar um movimento harmnico cujo perodo de oscilao dado por (proceda a
previso desta equao por Anlise Dimensional)
_____T = 2
Em situaes reais, no entanto, a mola possui massa, o que induz a perceber que a
equao acima dever ser modificada. razovel esperar, nesta condio, na qual a massa do
sistema bloco-mola maior que a massa do bloco, que o perodo do sistema seja maior que o
dado pela equao precedente. Entretanto, observando o movimento da mola percebemos quediferentes partes da mesma se deslocam de modo diverso (por exemplo: a espira da mola que est
presa ao suporte no sofre qualquer deslocamento, enquanto que a espira presa ao bloco desloca-
se igualmente com ele), o que sugere que a mola no deve contribuir com toda a sua massa para
o perodo do sistema bloco-mola, mas apenas com uma parte dela (este um raciocnio fsico
legtimo). Assim, pode-se supor uma expresso geral para o perodo da forma:
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Fsica Experimental Mecnica
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__________T = K
em que M a massa da mola, c uma constante que indica a porcentagem da massa da mola que
contribui para o perodo do sistema (um fsico diria, sem realizar o experimento, que a constante c
menor do que 1: discuta esta afirmao), e K a constante adimensional da equao.
Nesta experincia vamos determinar a constante elstica da mola, k, a constante
adimensional, K, e o valor de c. Para tal deve-se proceder montagem mostrada da figura, e dividir
a experincia em duas partes:
1. Pendure vrias massas, m, na mola, e mea, para cada uma, o valor da deformao x
provocada. Com os valores da tabela e tendo-se que a acelerao da gravidade 9,79
m/s, encontre o valor da constante elstica da mola.
m(kg) x(m)
2. Para cada massa suspensa na mola, coloque o sistema para oscilar e mea o tempo de
dez oscilaes completas. Repita a medida do tempo trs vezes. Mea,tambm, a massa
M da mola.
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A Fora Elstica: a lei de Hooke
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m(kg) 10T(s)
Linearizando-se a equao geral e aplicando-se aos dados desta tabela a regresso linear,
encontre os valores de K e de c.
Objetivando obter bons resultados, recomenda-se: (a) fixar a extremidade superior da mola
ao suporte, tomando-se o cuidado para que esse ponto no apresente movimento algum; (b) tomar
somente pequenas amplitudes; (c) colocar o sistema para oscilar e iniciar a cronometragemsomente algum tempo aps; (d) evitar oscilaes laterais, pois estas provocaro erros nas
medidas.
1. Num grfico da fora deformante em funo da deformao produzida, o que representa a
rea sob a curva? E a inclinao do grfico?
2. Qual o significado fsico da constante elstica de uma mola?
3. Quando a constante elstica de uma mola grande, a mola dura ou macia? Como isto
evidenciado no grfico da fora em funo da deformao?
4. Se duas molas de constantes elsticas k1 e k2 forem ligadas em srie, qual a constante
elstica k de uma nica mola que substitui as outras duas?
5. Voc parte uma mola na metade. Qual a relao entre a constante elstica k da mola
original e a constante elstica para cada uma das metades?
6. Prove que se a massa M de uma mola no for desprezvel, comparada massa m de um
objeto suspenso dela, a constante c que figura na equao do perodo ser 1/3. (Sugesto:
a condio M m equivale a supor que a mola se distenda proporcionalmente ao longo de
seu comprimento.)
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A Conservao da Energia Mecnica
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As leis de Newton-Galileu permitem-nos, conforme foi amplamente exemplificado, resolver
o problema que realmente constitui a Mecnica, qual seja aquele de relacionar o movimento de
uma partcula com as foras atuantes sobre ela. A soluo de certos problemas, no entanto, pode
ser extraordinariamente simplificada se introduzirmos algumas grandezas auxiliares, as quais,
juntamente com as grandezas j apresentadas (velocidade, acelerao, fora e massa), permitir-
nos-o ampliar os recursos dos quais poderemos lanar mo para resolver um problema que se
nos apresente. Assim, sabido que vrias grandezas auxiliares foram introduzidas na Mecnica
visando a facilitar a integrao das equaes de movimento. Dentre as grandezas mecnicas que
foram assim criadas, temos o , a e a . As relaes que
se descobriu existirem entre estas grandezas so to freqentemente utilizadas que terminaramsendo definitivamente incorporadas prpria estrutura da Mecnica. E dentre as vrias relaes
que existem entre trabalho, energia cintica e energia potencial destacam-se, por sua importncia
singular, dois grandes teoremas: o do e o da
. No contexto destas grandezas, desempenha um papel de primeiro plano uma classe de
foras que chamamos , cujo conceito devido a J. L. (1736-
1813). Nesta experincia vamos explorar estes conceitos atravs de dois problemas tericos
constantes de diversos livros de teoria.
Realizando-se a montagem descrita no enunciado de cada um dos problemas propostos,
proceda, inicialmente, sua deduo matemtica e, em seguida, faa o teste experimental para
comprovar o resultado encontrado, pois em Fsica exige-se sempre que a teoria vena a prova da
experincia.
O prego mostrado na figura est colocado distncia d abaixo do ponto de suspenso do
pndulo de comprimento
posio mostrada, descreva um crculo completo tendo o prego como centro?
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Fsica Experimental Mecnica
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Um corpo est preso a uma mola vertical no distendida e vagarosamente baixado at
posio de equilbrio, o que distende a mola de um comprimento d. Se o mesmo corpo for preso
mesma mola vertical, mas solto bruscamente, qual o comprimento mximo de distenso que a
mola atinge?
1. No caso do PROBLEMA 1, determine, em funo do peso da esfera, qual a trao no fio
imediatamente antes e imediatamente aps o fio tocar o prego.
2. Discuta o que ocorrer com a esfera nos casos em que a distncia d for maior ou menor do
que o valor mnimo calculado.
3. Para o PROBLEMA 2, no caso em que o corpo baixado vagarosamente, quais as foras
que atuam sobre o corpo? Neste caso, aplicvel ao sistema mola-bloco o princpio da
conservao da energia mecnica? Das foras atuantes, h alguma que seja no
conservativa? Qual o trabalho realizado por esta fora durante toda a distenso da mola
(expresse-o em funo de d e da constante elstica da mola, k)? esta fora constante ou
varivel?
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A Conservao da Energia Mecnica
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LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
MAIA, L.P.M.. . Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1977.
v.2, 223p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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Fsica Experimental Mecnica
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Imediatamente aps o choque os dois corpos se deslocam juntos com velocidade v. Desta forma,
pelo princpio da conservao do momento linear, teremos (neste caso o tratamento vetorial
coincide com o escalar, pois os vetores so de mesma direo):
P(antes)= mu e P(aps)= (m + M)v.
A velocidade da esfera antes do choque, u, pode ser determinada atravs do alcance
sobre a mesa, usando-se os conhecimentos j adquiridos do movimento de um projtil (use papel
branco e papel carbono para obter a posio atingida sobre a mesa e, se necessrio, mea o raio
da esfera). Recomenda-se soltar a esfera cinco vezes da mesma posio sobre o trilho para se
obter o valor mais provvel de u.
Do mesmo modo, necessitamos da velocidade do sistema aps o choque, v. Este clculo
obtido tendo-se em conta que depois que a coliso termina, o sistema eleva-se at uma altura
mxima h, onde a energia cintica do sistema depois do impacto convertida em energia potencial
gravitacional. No entanto, como difcil medir h diretamente isto nos obriga a determin-loindiretamente, medindo o deslocamento horizontal, d, do cursor graduado, ajustando-se sua
posio, adequadamente, em contato com o bloco. Assim, se
que h = d/2 o). Aqui, tambm, recomenda-se soltar a esfera cinco vezes para
se obter o valor mais provvel de d.
1. Na experincia, houve conservao do momento linear da esfera? E do bloco? Explique
com clareza a resposta.
2. Qual a relao entre a energia cintica do sistema aps o choque e a energia cintica do
sistema antes do choque? Que percentagem de energia cintica foi perdida na coliso?
Em que modalidade de energia, preponderantemente, houve converso?
3. Qual a velocidade do centro de massa do sistema esfera-bloco imediatamente antes da
coliso? E imediatamente depois da coliso? A velocidade do centro de massa do sistema
modificada pela coliso entre a esfera e o bloco? Estes resultados esto de acordo com
o que determinado pela teoria? Explique claramente.
4. Em um prato de uma balana de laboratrio coloca-se uma ampulheta tendo a areia no
compartimento inferior. Vira-se a ampulheta e coloca-se-a cuidadosamente sobre o prato.
Enquanto a areia se escoa, como fica a leitura na balana?
LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
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Coliso em Duas Dimenses
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Muitas das informaes que temos a respeito das partculas atmicas e nucleares foram
obtidas experimentalmente por observao dos efeitos de coliso entre elas. Vrios outros
fenmenos como, por exemplo, as propriedades dos gases, podem ser melhor entendidos em
termos das colises entre suas molculas. Nas colises aparece um tipo de fora denominada
(que como se denomina uma fora de intensidade muito grande, mas que s
atua durante um intervalo de tempo muito pequeno), que produz nos objetos em que atua uma
mudana brusca em seu movimento.
Nesta experincia examinaremos a mecnica das colises, procurando verificar o princpio
da conservao do momento linear e classificando o choque ocorrido.
Investigamos, anteriormente, os momentos lineares de corpos que colidem movendo-se ao
longo de uma linha reta, o que denominamos de coliso em uma dimenso. Que acontece quando,
depois da coliso, os dois corpos tomam direes diferentes?
Para responder a esta questo, utilizaremos o dispositivo representado na f igura.
Uma esfera (1), ao sair de uma rampa de lanamento, tem uma velocidade inicial
(velocidade antes do choque) horizontal e colide imediatamente com a esfera (2) em repouso. Se
no existisse a esfera (2), a esfera (1) encontraria em A um plano horizontal (o piso do laboratrio).
Segundo Galileu, a velocidade horizontal da esfera constante, e a projeo horizontal
do deslocamento proporcional quela velocidade (velocidade da esfera (1) antes do choque).
No entanto, a coliso com a esfera alvo faz com que a velocidade e a trajetria da esfera
incidente sejam modificadas, de tal modo que a projeo do seu deslocamento passe a ser .
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Fsica Experimental Mecnica
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Mas como a esfera cai da mesma altura, o tempo de queda o mesmo, independente do valor da
velocidade horizontal.
Por sua vez, depois da coliso, a projeo horizontal do deslocamento da esfera (2) ,
onde o tempo de queda o mesmo que para a esfera (1).
Ento, pela conservao do momento linear, teremos (neste caso no podemos
negligenciar o carter vetorial)
(antes)= (aps)
M= M+ m,
onde por M e m estamos representando as massas das esferas incidente (1) e alvo (2),
respectivamente, por o vetor velocidade da esfera incidente antes do choque, e por e os
vetores velocidades aps o choque das esferas incidente e alvo.
Multiplicando-se ambos os membros da equao anterior por t, onde t representa o tempode queda, igual para as esferas, teremos:
M.t = M.t + m.t,
E sendo: .t = , .t = e.t = , vem que:
= + (m/M) .
Assim, a composio dos vetores e (m/M)deve dar como resultante o vetor , e
isto deve ser feito diretamente sobre o papel.
Por fim, duas preocupaes fundamentais devem ser observadas na experincia: emprimeiro lugar, a esfera incidente deve deixar a rampa no instante da coliso, sem o que introduzir-
se-ia uma interao perturbadora com a rampa; em segundo lugar, os centros das duas esferas
devem estar no mesmo plano horizontal, no instante do choque, de modo que tambm as
velocidades sejam horizontais imediatamente depois. A altura da esfera alvo regulada por meio
do parafuso suporte.
A maneira mais simples de determinar os pontos de impacto (A, B e C) dispor papel
carbono sobre uma folha de papel branco colocada sobre o piso do laboratrio, e a determinao
dos pontos O e O deve ser criteriosa (use o fio de prumo).
1. Prove que o tempo de queda das esferas o mesmo, independente da velocidade de
lanamento de cada esfera.
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Coliso em Duas Dimenses
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2. Para a experincia, qual o valor do parmetro de impacto da coliso? Mostre diretamente
no papel.
3. Mea, com um paqumetro, os raios das esferas, e mostre como calcular o ngulo entre a
direo do movimento da esfera alvo depois da coliso, com a direo inicial do movimento
da esfera incidente. Mea diretamente sobre o papel este ngulo e compare os resultados.
4. Qual a relao entre a energia cintica das esferas antes do choque e a energia cintica
aps o choque? Como voc classificaria a coliso?
5. Que percentagem da energia cintica foi perdida na coliso?
LUCIE, Pierre. . Rio de Janeiro, Campus, 1979. 685p.
. Trad. Abraho Moraes et alii, Braslia, Editora Universidade
de Braslia, 1966, 3.pt. 186p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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Fsica Experimental Mecnica
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Considerando-se o sistema formado pelo aro e pelo tambor de enrolamento, juntamente
com os trs fios tirantes, e adotando como referencial o prprio laboratrio (considerado como
sendo galileano), temos que, das foras externas que atuam sobre o conjunto, somente a fora de
trao que o fio horizontal faz sobre o tambor que produz torque em relao ao eixo de rotao
que passa pelo centro de massa, sendo tal torque dado por:
= T r ,
onde T a fora de trao que o fio exerce sobre o tambor de enrolamento, r o raio do referido
tambor, Ioo momento de inrcia do aro em relao ao eixo de rotao que passa pelo centro de
massa, e a acelerao angular do aro. Substituindo-se o torque na equao de Euler, temos:
Io = T r .
A acelerao angular do aro pode ser obtida ajustando-se o aparelho de modo a que
execute um certo nmero de voltas, e medindo-se o tempo (deve-se efetuar cinco medidas, para
se obter o valor mais provvel) para que o aro, a partir do repouso, efetue o nmero de voltas
fixado. Assim, da Cinemtica da Rotao, teremos:
= t/2 .
A trao, T, que o fio exerce sobre o tambor, atua, tambm, na parte superior da polia fixa,
que dever ser tratada como um disco de momento de inrcia Io = mr/2, relativo ao seu centro de
massa. E sobre a polia fixa atuaro apenas foras de interao, as quais sero o seu prprio peso
P, as traes T e T, respectivamente exercidas pelos ramos horizontal e vertical do fio, e a reao
vincular S exercida pelo eixo de sustentao. De acordo com a equao de Euler, e
representando-se por a acelerao angular da polia, de raio r e massa m, pode-se escrever
que:
T r- T r= (m r/2) T- T = (m/2). r,
onde r = r a acelerao tangencial comum de um ponto da periferia da polia fixa e de um
ponto da periferia do tambor de enrolamento. Portanto, teremos:
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Momento de Inrcia
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T- T = m r/2 .
A trao T pode ser obtida aplicando-se a equao do movimento do centro de massa F ext
= Macmao porta-pesos, de massa M:
Mg T- f = Ma,
onde f a fora de atrito que atua sobre todo o sistema, mas que pode ser pensada atuando
diretamente sobre o porta-pesos, e a acelerao de translao do porta-pesos, igual em mdulo
acelerao tangencial r de um ponto da periferia do tambor de enrolamento.
Por fim, devemos determinar a fora de atrito que age sobre o aparelho como um todo,
lembrando-se que tal fora no conservativa. Antes, porm, precisamos nos certificar de sua
presena na experincia. Assim, com o aparelho ajustado para executar o nmero de voltas
anteriormente fixado, percebemos, uma vez liberado o sistema, que o porta-pesos se desloca de
uma altura hdna descida e de uma altura hsna subida, quando o aro pra totalmente, aps enrolar
o fio (estas alturas devem ser medidas com preciso). Como se verifica, hs menor que hd, e a
diferena de energia potencial foi dissipada exatamente pelo atrito. E como W nc
negativo o trabalho da fora de atrito, segue-se desta equao que Wa= Ef Ei, e como no incio e
no fim s temos energia potencial gravitacional do porta-pesos, pode-se escrever que (o nvel de
referncia foi escolhido na posio mais baixa do porta-pesos):
-f(hd+ hs) = Mghs Mghdf = Mg.(hd hs) / (hd+ hs).
Assim, com o conjunto de equaes anteriores, pode-se determinar o momento de inrcia
do aro. Para se determinar o momento de inrcia de outro slido, como um disco, basta substituir
um pelo outro, como vemos na figura a seguir.
Para o clculo matemtico do momento de inrcia dos slidos em questo, so conhecidos
os seguintes dados:
I. momento de inrcia, em relao a um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo
centro de massa: Io(aro) = MR; Io(disco) = MR/2;
II. raio do aro = 0,31m (distncia entre o centro do aro at o centro de gravidade do perfil);
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III. raio do disco = 0,142m;
IV. as massas respectivas devero ser medidas na balana.
1. Encontre o erro relativo cometido no valor do momento de inrcia do slido usado na
experincia.
2. Qual o rendimento mecnico do aparelho de movimento?
3. Houve maior dissipao de energia mecnica durante a descida ou subida do porta-pesos?
4. Deseja-se determinar a inrcia rotacional (momento de inrcia) de um corpo de forma
bastante irregular. Por isso, o clculo matemtico de dm torna-se extremamente difcil.
Sugira como determinar experimentalmente a inrcia rotacional.
ALONSO, M. & FINN, E.J.. . So Paulo, Edgard Blcher,
1972. v.1, 481p.
HEINE & HOLZER. . Gttingen, Phywe Series of
Publications, 1980.
MAIA, L.P.M.. . Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1979.
302p.
McKELVEY, J.P. & GROTCH, H.. . So Paulo, Harper & Row do Brasil, 1979. v.1, 426p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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Dinmica da Rotao e Conservao do Momento Angular
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Dizemos que um sistema rgido, ou que se comporta como tal, se as distncias entre os
seus diversos pontos se conservam inalteradas no decorrer do tempo. Os sistemas rgidos
desempenham um papel extremamente importante na Mecnica, tendo a sua teoria atingido um
alto grau de desenvolvimento em razo do enorme interesse que despertou em praticamente todos
os grandes matemticos, desde o tempo de Leonhard (1707-1783) at os nossos dias.
Para ilustrar a importncia do estudo dos sistemas rgidos cito o fato de que vrias das partculas
elementares que a Fsica considera so visualizadas como pequenas esferas rgidas, e, como tal,
podem estar animadas das formas de movimentos que so exclusivas dos sistemas rgidos: a
translao e a rotao. Existe, at, uma grandeza muito importante associada ao movimento derotao de uma partcula elementar: o seu spin. Nesta prtica vamos verificar leis e princpios
relacionados Dinmica da Rotao.
um fato observvel que os corpos em rotao apresentam s vezes comportamentos
paradoxais relativamente s suas situaes de no rotao e observando experimentalmente estes
paradoxos, poderemos ir confirmando o que foi desenvolvido pela teoria acerca de inrcia
rotacional, atrito de rolamento, conservao da energia mecnica, conservao do momento
angular, etc. Alguns problemas e questes presentes em livros de Fsica Geral sero, tambm,
aqui analisados.
Sobre um plano inclinado coloque um cilindro oco e um macio, de iguais dimetros e
massas. Deixe-os rolar ao longo do plano, sem deslizar. (a) Levaro o mesmo tempo para atingir a
base do plano? Mostre por clculo que a teoria confirma suas observaes. (b) Qual deles ter
maior energia cintica de rotao na base do plano? Qual ter maior energia cintica de
translao? (c) Se o plano fosse liso como se relacionaria o tempo de descida dos cilindros? Seria
este tempo maior, menor ou igual ao gasto no item (a)? Fundamente todas as respostas em
clculos.
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Fsica Experimental Mecnica
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Dois discos pesados so ligados por um pequeno eixo de raio bem menor que os dos
discos. O sistema colocado sobre um plano inclinado estreito, de modo que os discos fiquem
pendentes lateralmente e o sistema rola para baixo sobre o eixo sem deslizar. Prximo base do
plano, os discos tocam o topo da mesa horizontal e o sistema desloca-se com velocidade
translacional muito maior. Explique fisicamente o fato observado e, em seguida, demonstre-o.
Coloque sobre uma mesa um carretel de fita de mquina (ou um carretel de linha de
costura), com a respectiva fita. Inicialmente, com o carretel em repouso, mas em posio de poder
rolar sobre a mesa, puxe lentamente a fita aplicando-lhe uma fora horizontal, como 1. De que
maneira o carretel se mover? Aplicando-lhe, a seguir, uma fora 2, tal que sua linha de ao
passe pelo ponto de contato do carretel com a mesa, o que acontece? Finalmente aplique,
lentamente, a fora 3 vertical e observe o movimento do carretel. Demonstre cada uma das
observaes.
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Dinmica da Rotao e Conservao do Momento Angular
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Uma pequena esfera, de massa m, est amarrada a um cordo leve que passa por um
tubo oco. Segura-se o tubo com uma das mos e com a outra o cordo. Pe-se a esfera a girar
numa circunferncia de raio r1, com velocidade v
1. Puxando-se para baixo o cordo, o raio
diminudo para r2. O que ocorre com a nova velocidade linear v2 2da
esfera? Deduza os resultados observados.
Com uma das mos segure, na posio horizontal, o eixo de uma roda de bicicleta
inicialmente parada. Neste caso voc est exercendo algum torque no eixo? Especifique sua
direo e sentido? Este torque que voc aplica ao eixo necessrio para contrabalanar o torque
produzido por alguma outra fora?
Agora coloque a roda a girar no sentido horrio, dando-lhe uma velocidade angular
relativamente grande, com seu eixo na horizontal, como na figura a. Em seguida, levante
rapidamente o eixo da roda, de modo que este passe a formar um ngulo
como na figura b, procurando manter o eixo sempre no plano vertical. Voc experimenta uma certa
guinada da roda? Em que sentido? Que torque (direo e sentido) aparece em sua mo? Que
torque voc dever aplicar ao eixo, a fim de seguir as instrues dadas?
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Fsica Experimental Mecnica
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Repita a experincia colocando a roda a girar no sentido anti-horrio.
Um estudante senta-se em uma cadeira giratria inicialmente parada e, de braos abertos,
segura em cada mo um haltere. Um colega faz rodar a cadeira e, em seguida, pede ao estudante
que aproxime as mos de seu prprio corpo. O que acontece? Como voc explica tal fato? Torne a
esticar os braos e verifique o que ocorre.
Ainda sentado na cadeira em repouso, tome em uma das mos uma roda de bicicleta
parada, com o eixo na vertical, e, com a outra mo, faa um esforo para colocar a roda a girar
com grande rotao. O que ocorre cadeira? Ela gira no mesmo sentido da roda? Qual o
momento angular do conjunto antes e depois da roda ser posta em rotao?
Novamente sentado na cadeira em repouso, pea a um colega para lhe entregar a roda, j
a girar em alta velocidade, com o eixo na vertical. Pare repentinamente a roda com uma de suas
mos. O que ocorre com voc e a cadeira? Qual o momento angular do conjunto (cadeira + voc +
roda de bicicleta) antes de voc parar a roda? Este momento foi transferido? Para quem?
Por fim, novamente sobre a cadeira parada, tome a roda j a girar em alta rotao, com o
eixo na direo vertical. A seguir incline o eixo at que ele mude de sentido. O que acontece?
Em cada situao realizada procure observar o que est acontecendo e acompanhe suas
observaes com explicaes dos fatos. Desenhe diagramas vetoriais dos momentos angulares
postos em jogo e veja se a concluso tirada atravs deles para as variaes das velocidades de
rotao da cadeira e da roda confirmam suas observaes.
Um dos problemas mais interessantes na Dinmica da Rotao o do movimento de um
giroscpio, que possui importantes aplicaes na engenharia. A tendncia do giroscpio em
manter o eixo de rotao fixo no espao um princpio usado em estabilizadores de navios, pilotos
automticos de avies, na bssola giroscpica, no estudo da precesso dos equincios, no
horizonte artificial, no indicador de curvas, etc.
Consideremos, ento, o problema de um giroscpio em que o eixo de rotao no tem
direo fixa. Em geral, o movimento destes sistemas muito complicado e uma anlise mais
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Dinmica da Rotao e Conservao do Momento Angular
101
detalhada feita em textos mais especializados. Na figura mostramos um deles, usualmente
chamado , constitudo por uma roda de bicicleta capaz de girar livremente em
torno de seu eixo, o qual est articulado num ponto O distncia d do centro de gravidade da roda,
podendo assumir qualquer posio.
Quando o eixo abandonado na posio horizontal, com a roda parada, o que ocorre?
Qual o torque em relao ao ponto O em mdulo, direo e sentido? Neste caso o momento
angular da roda, devido ao movimento do seu centro de massa aponta em que sentido? A fora ,
no apoio, maior, menor ou igual ao peso da roda?
Com seu eixo apoiado e em posio horizontal, ponha a roda a girar em alta rotao e, em
seguida, largue o eixo. O que acontece? O eixo de rotao da roda mantm sua direo fixa?
Repita o procedimento pondo a roda a girar em sentido contrrio ao anterior. Por que o peso da
roda em lugar de faz-la cair (como aconteceu com ela sem rotao) faz com que seu eixo se
desloque num plano horizontal? Explique todos esses fatos fundamentando as respostas de
acordo com a teoria estudada. Nesta nova situao a fora no apoio maior, menor ou igual ao
peso da roda?
Como foi observado, ocorreu uma variao constante na direo do vetor (momento
angular), isto , o eixo da roda girou em torno do eixo vertical de apoio. Este movimento
denominado movimento de precesso (alm deste movimento ocorre tambm uma subida e
descida correspondente do eixo de rotao, conhecida como nutao). Atravs da equao =
d/dt, determine a velocidade angular de precesso
ALONSO, M. & FINN, E.J.. . So Paulo, Edgard Blcher,
1972. v.1, 481p.
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Fsica Experimental Mecnica
102
EISBERG, R.M. & LERNER, L.S.. . So Paulo, McGraw-Hill,
1982. v.1, 598p.
FONSECA, A.. , 2.ed. Rio de Janeiro, Ao Livro Tcnico, 1972. v.4, 448p.
NUSSENZVEIG, H.M.. ; mecnica. So Paulo, Edgard Blcher, 1981.
519p.
RESNICK, R. & HALLIDAY, D.. . 3.ed. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos, 1979.
v.1, 348p.
TIPLER, P.A.. . 2.ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.
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O Disco de Maxwell
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Sabemos que o movimento de um sistema rgido, na situao mais geral possvel, poder
ser sempre imaginado como uma combinao de uma translao e uma rotao simultneas. o
caso, por exemplo, do movimento da terra, constitudo de uma translao em torno do sol e de
uma rotao em torno do seu eixo polar.
Nesta experincia utilizaremos um dispositivo chamado para analisar a
dinmica do movimento combinado de translao e rotao, relativamente a um referencial fixo no
laboratrio, suposto, ele mesmo, um referencial inercial.
O disco de Maxwell consta de um disco circular, uniforme, de massa M e raio R, com eixo
cilndrico de raio r, suspenso dois fios verticais de mesmo comprimento, cujo funcionamento
semelhante ao do ioi, um brinquedo bem conhecido.
Assim, nesta experincia determinaremos o momento de inrcia do disco em relao ao
eixo perpendicular a seu plano e que passa pelo seu centro de massa, cujo valor, obtido porintegrao, se encontra tabelado e Io= MR/2.
A experincia consiste em fixar a distncia percorrida pelo centro de massa do disco e
medir o tempo para percorr-la, a partir da posio em que o disco liberado do repouso. Para
colocar o disco em movimento enrolam-se os fios de modo uniforme sobre o eixo, que mantido
horizontalmente, com os dois fios exatamente verticais, e abandonando-se o disco ele rola para
7/22/2019 Apostila Mecanica Experimental
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baixo at desenrolar o fio, que ento passa de um lado do eixo para o outro e comea a enrolar
medida que o disco sobe. Supondo irrelevantes os possveis atritos, assim como a massa dos fios,
teremos ento as seguintes foras que numa posio genrica atuam sobre o disco: o seu prprio
peso = Me a trao exercida pelos dois fios.
Usando o teorema do movimento do centro de massa e a equao de Euler, podemos
escrever:
Fext= MacmMg T = Ma
= Io Tr = Io .
E como a = r, vem , eliminando-se a trao entre as equaes anteriores, que:
a = Mg/(M + Io/r) ,
o que mostra que o centro de massa do disco desce com uma acelerao constante, de mdul