APOSTILAMTODOS APLICADOS AESTATSTICAProfadila CristinaSUMRIO1 Conjuntos 41.1 Operaes com conjuntos (Eventos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Incluso-Excluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Relao de Elemento Conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Relao de Conjunto Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Conjunto das partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Conjuntos Numricos 102.1 Conjuntos dos Nmeros Naturais (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Conjuntos dos Nmeros Inteiros (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1Representao de Z na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Conjuntos dos Nmeros Inteiros (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1Dzima Peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2Frao Geratriz de um Dzima Peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3Notao Cientca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Conjuntos dos Nmeros Irracionais (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Conjuntos dos Nmeros Reais (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.1Ordenao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Intervalos ou desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7 Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Induo Finita 203.1 Princpio da Induo Finita (P.I.F.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Funes 234.1 Noo de funo usando Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Elementos de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Classicao das funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4.1Funo Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.2Funo Sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.3Funo Bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Tipos de funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5.1Funo Par e mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5.2Funo Crescente e Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.3Funo Composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.4Funo Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.4.1 Regra para calcular a Funo Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . 304.6 Funo Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.7 Funo Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.8 Funo Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.9 Funo Am (Funo do 1ograu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.10 Funo do 1ograu Crescente e Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.10.1Resoluo grca de um Sistema de equaes do 1ograu . . . . . . . . . 344.10.2Equao da reta que passa por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.11 Zero da funo do 1ograu ou raiz da funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.12 Estudo de sinal da funo do 1ograu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.13 Inequaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.14 Inequaes Simultneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.15 Inequao-Produto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391CONJUNTOSLetras maisculas, por exemplo A, B, . . . ,Y, Z, indicaro conjuntos.A letra grega (mega) ou S representar o conjunto universo U em uma situao determi-nada.Letras minsculas a, b, . . . , y, z, indicaro elementos desses conjuntos.A relao de pertencer ser indicada por e escreveremos por exemplo b B.O smbolo #A ou n(A) ser indicado para representar o nmero de elementos do conjuntoA, isto , a cardinalidade de A.Se todo o elemento de um conjunto A tambm elemento de um conjunto B, diremos que A um subconjunto de B e escreveremos A (est contido em)B. Se A B, mas existe umelemento b B, tal que b A (b no pertence ao conjunto A), diremos que A um subconjuntoprprio de B.Obs) Um conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto A, ou seja, x / 0, tal que x A,o que impossvel.1.1 Operaes com conjuntos (Eventos)Dados os conjuntos A ={0, 2, 4, 6} e B ={0, 1, 2, 3, 4}1) Unio:A unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado por todos os elementos que per-tencem a A ou a B.AB ={0, 1, 2, 3, 4, 6} =AB ={x|x A ou x B}Propriedades da Unio) Seja A, B e C, conjuntos quaisquer, valem as seguintes pro-priedades:Conjuntos 5a) AA = A =idempotenteb) A / 0 = A =elemento neutroc) AB = BA =comutativad) A= ou A / 0 = A =identidadee) (AB) C = A(BC) =associativa2) Interseco:A interseco de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que socomuns em A e a B, ou seja, pelos elementos que pertencem a A e tambm a B.AB ={0, 2, 4} =AB ={x|x A e x B}Propriedades da Interseco) Seja A, B e C, conjuntos quaisquer, valem as seguintespropriedades:a) AA = A =idempotenteb) A= A =elemento neutroc) AB = BA =comutativad) A= A ou A / 0 = / 0 =identidadee) (AB) C = A(BC) =associativaObs) Quando AB = / 0, ou seja, quando os conjuntos A e B no possui elementos emcomum, os conjuntos A e B so chamados disjuntos.Propriedades) Seja A, B e C, conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades rela-cionadas a unio e a interseco de conjuntos:a) A(AB) = Ab) A(AB) = Ac) A(BC) = (AB) (AC) =distributiva da unio em relao intersecod) A(BC) = (AB) (AC) =distributiva da interseco em relao unioConjuntos 63) Diferena:A diferena de dois conjuntos A e B o conjunto dos elementos que pertencem a A masno pertencem a B.AB ={6} =AB ={x|x A ou x B}Obs) Se B A, a diferena AB denomina-se complementar de B em relao a A, eindica-se A ou Ac.Propriedades do Complementar) Seja B e Csubconjuntos de A, valem as seguintespropriedades:a) = / 0b) / 0 =c) AA = / 0d) AA =e) A = Af) (AB) = ABg) (AB) = AB1.2 Diagrama de Venn utilizado para representar/analisar gracamente as relaes entre os conjuntos e tambmos seus elementos, atravs de formas geomtricas.1.3 Incluso-Excluso um caso especial do princpio de contagem. Sejam A e B dois conjuntos nitos.n(AB) = n(A) +n(B) n(AB)Denio) Seja A um conjunto nito no-vazio. Uma partio de A uma famlia de con-juntos A1, A2, . . . , An, todos no-vazios, tais que:Conjuntos 71) Princpio da Adio: A1A2. . . An = A. Outra maneira de escrevern_i=1Ai =ni=1Ai2) A1A2. . . An = / 0Ou seja, os conjuntos A1, A2, . . . , An so disjuntos dois dois e a unio o conjunto A Pode-se dizer que A foi particionado pelos conjuntos A1, A2, . . . , An.Exerccio): possvel simular os eventos (subconjuntos) abaixo, comos nmeros referentesao jogo de um dado:a) A = {n par } =b) B = {n primo } =c) C = {n mpar } =d) D = {n inteiro positivo } =e) E = {n menor que a unidade } =f) AB = {npar ou primo } =g) AB = {n par e primo } =h)A = {n no par } =i) AA = {nem par nem primo } =j)AB =AA = {n que no seja par ou no primo } =l)AB =AA =m) C = {n no mpar }=n)C = { o inverso de n no mpar } = {n par }=Exerccio)Umapopulaoconsometrsmarcasderefrigerantes: A, BeC. Feitaumapesquisa de mercado, obteve-se os seguintes resultados:marca A B C A e B B e C C e A A, B e C nenhuma das trsnoconsumidores 109 203 162 25 41 28 5 115Encontre:a) nmero de pessoas consultadasb) nmero de pessoas que s consomem a marca AConjuntos 8c) nmero de pessoas que no consomem as marcas A ou Cd) nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcasExerccio) Emcerto municpio h indivduos de trs raas: branca, negra e amarela. Sabendoque 70% so brancos e 210% no so negros e 50% so amarelos, pergunta-se:a) Quantos indivduos possui o municpio?b) Quantos so os indivduos amarelos?1.4 Relao de Elemento ConjuntoSe um elemento qualquer x pertence a um conjunto A, escrevemos x A (signica que x membro de A).S x no pertence ao conjunto A, escrevemos x A.1.5 Relao de Conjunto ConjuntoUm conjunto A igual a um conjunto B, se eles contm exatamente os mesmos elementos,ou seja todos os elementos de B pertence a A =A = B {x|x A x B}, caso contrrio,dizemos =A = B.1.6 Conjunto das partesDado um conjunto A, chama-se das partes de A P(A), aquele que formado portodos os subconjuntos de A:P(A) ={x|x A}Exemplos)1) Se A ={a}, os elementos de P(A) so / 0 e {a}, isto :P(A) ={/ 0, {a}}2) Se A ={a, b}, os elementos de P(A) so / 0, {a}, {b} e {a, b} isto :P(A) ={/ 0, {a}, {b}, {a, b}}Conjuntos 93) Se A ={a, b, c}, os elementos de P(A) so / 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}isto :P(A) ={/ 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}4) Se A ={a, b, c, d}, os elementos de P(A) so ...Obs) Se A um conjunto nito com n elementos, ento P(A) = 2nelementos.1.7 Curiosidades Teoria dos conjuntos o ramo da matemtica que estuda conjuntos, que so coleesde objetos. Embora qualquer tipo de objeto possa ser reunido em um conjunto, a teoria dosconjuntos aplicada na maioria das vezes a objetos que so relevantes para a matemtica. Alinguagemdateoria dosconjuntospodeserusadanasdeniesdequase todososobjetosmatemticos.Oestudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekindem 1870.Em1880, oinglsJohnVennpublicouumartigoSobrerepresentaodiagramticae mecnica de proposies e raciocnios. Trabalhando em recm-criada rea de lgebra deBoole e associando-a com a nova viso da Teoria de Conjuntos desenvolvida por G.Cantor,Vennpropsaidiaderepresentarasrelaesentreconjuntosatravsdeconguraesdeguras no plano; o objetivo dele, formulado no artigo:...antes de mais nada os diagramas servem para auxiliar o olho e a mente graas a naturezaintuitiva do seu testemunho...foi plenamente alcanado, j que 120 anos mais tarde todos os livros elementares de matemticausam este caminho para introduzir a Teoria de Conjuntos.htt p : //www.andsol.org/portugues/mat/venn.html2CONJUNTOS NUMRICOS2.1 Conjuntos dos Nmeros Naturais (N)O conjunto dos nmeros naturais utilizado em dados de contagem, por exemplo: nodepessoas, node plantas, node animais etc.Notao:N ={0, 1, 2, 3, ...}Obs) N =N{0} ={0, 1, 2, 3, ...}Neste conjunto so denidas duas operaes fundamentais:1. Adio:a) Associativa:(a+b) +c = a+(b+c),para todos, a, b, c Nb) Comutativa:a+b = a+b,para todos, a, b Nc) Elemento Neutro:a+0 = a,para todo a N2. Multiplicao:a) Associativa:(a.b)c = a(b.c),para todos, a, b, c Nb) Comutativa:a.b = a.b,para todos, a, b Nc) Elemento Neutro:a.1 = a,para todo a N3. Distributiva da multiplicao adio:a(b+c) = ab+ac,para todos, a, b, c NConjuntos Numricos 112.2 Conjuntos dos Nmeros Inteiros (Z)Oconjunto dos nmeros inteiros formado pelos elementos do conjunto Ne de seus simtri-cos. utilizados em dados de temperatura, contbil etc.Podemos destacar trs subconjuntos:Z+ ={0, 1, 2, 3, . . .} conjunto dos inteiros no negativosZ ={. . . , 3, 2, 1, 0} conjunto dos inteiros no positivosZ ={. . . , 3, 2, 1, 1, 2, 3, . . .} conjunto dos inteiros no nulosObs) No conjunto Z so denidas as operaes de adio e multiplicao utilizadas em N ea propriedade:1. d) Associativa:a+(a) = 0,existe a ZDevido a esta propriedade, podemos denir em Z a operao de subtrao, estabelecendo que:ab = a+(b) para todos a, b Z.2.2.1 Representao de Z na retaOs nmeros inteiros podem ser representados em uma reta orientada.Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros inteiros obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita.Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar que se fosse adotadaoutra forma, no haveria qualquer problema.Baseando-se ainda na reta numerada podemos armar que todos os nmeros inteiros pos-suem um e somente um antecessor e tambm um e somente um sucessorO sucessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua direita na reta(em Z) e o antecessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua esquerdana reta (em Z).Obs) Dizemos que um inteiro a divisor do inteiro b, quando existe um inteiro c, tal quec.a = b,a|b ( c Z | c.a = b)Exemplo)Conjuntos Numricos 12a) 2| 12 pois 6.2 = 12b) 3| 18 pois (6).3 =18c) 2| 14 pois 7.(2) =12d) 4| 0 pois 0.4 = 02.3 Conjuntos dos Nmeros Inteiros (Q) o conjunto dos pares ordenados (ou fraes), por exemplo ab, em que a Z e b Z, comas seguintes denies:i) Igualdade:ab=cdad = bcii) Adio:ab + cd= ad +bcbdiii) Multiplicao:ab.cd=acbdDestacam-se trs subconjuntos:Q+ = conjunto dos racionais no negativos;Q = conjunto dos racionais no positivos;Q = conjunto dos racionais no nulos.Propriedades)nmeros racionais com denominador unitrio:a1= b1=a = ba1 + b1= a+b1= a+ba1.b1= a.b1= a.bAdio:_ab + cd_+ ef= ab +_cd + ef_ab + cd=cd + abab +0 = abab +_ab_= 0Conjuntos Numricos 13Multiplicao:_ab.cd_.ef= ab._cd.ef_ab.cd=cd.abab.1 = abDistribuio da multiplicao com adio:ab._cd + ef_=acbd + aebfSimtrico ou Inverso para a multiplicao:Para todo ab Q e ab = 0, existe ba Q, tal que ab.ba= 1.Assim, pode-se denir em Q a operao de diviso, estabelecendo que:ab :cd= ab.dcObs) Na fraoab, a o numerador e b o denominador, pode ser representado por umnmero decimal. Ocorre dois casos:1o) Quantidade nita de algarismos (decimal exata)31= 312= 0, 5120= 0, 052o) Quantidade innita de algarismos que se repetem periodicamente (dzima peridica)13= 0, 333...27= 0, 285714...2.3.1 Dzima PeridicaDzima Peridica Simples: o perodo (algarismo que repete) aparece aps a vrgula.Exemplo)0, 4444. . . perodo=40, 535353. . . perodo=53Dzima Peridica Composta: h um ou mais algarismo entre a vrgula e o perodo (an-tiperodo).Exemplo)0, 5333. . . perodo=3 antiperodo=50, 78555. . . perodo=5 antiperodo=78Conjuntos Numricos 142.3.2 Frao Geratriz de um Dzima PeridicaSimples:coloca-se o perodo no numerador da frao e para cada algarismo do perodocoloca-se 9 no denominador.Exemplo)0, 4444. . . perodo = 4 490, 535353. . . perodo = 53 53990, 234234. . . perodo = 234 2349991, 555. . . = 1+1, 555. . . perodo = 5 1+ 59= 9+59= 149Composta: no numerador faz-se a seguinte conta: (parte inteira do com antiperodo eo perodo) - (parte inteira com antiperodo). No denominador, para cada algarismo doperodo coloca-se um 9 e para cada algarismo do antiperodo se coloca um algarismozero.Exemplo)0, 2777. . . perodo=7 antiperodo=2 27290= 25901, 6444. . . perodo=4 antiperodo=6 1641690= 1489021, 30888. . . perodo=8 antiperodo=30 213082130900= 19178900Exerccios)a) 0,2333 . . . =b) 0,45222 . . . =c) 0,14275275 . . . =d) 0,8883131 . . . =e) 17,161515 . . . =f) 2,4732121 . . . =2.3.3 Notao Cientca uma forma de representar nmeros muito grande ou muito pequeno por potncia na base10.Nmeros grandes: (expoente aumenta).5. 000.000. .6 casas= 5 . 106Conjuntos Numricos 15Nmeros pequenos: (expoente diminui).0, 000000002. .9 casas1 = 2, 1 . 109Exerccios) Escreva me notao cientca ou em nmero decimal:a) 120.000.000 =b) 0,000 000 098 =c) 512.000.000 =d) 0,000 000 000 000 023 =e) - 0,000 123 =f) - 4.570.000 =g) 3, 12 . 101=h) 4, 589 . 102=i) 0, 45896 . 103=j) 45 . 104=l) 459 . 102=m) 5879 . 101=n) 48965 . 103=o) 457 . 104=2.4 Conjuntos dos Nmeros Irracionais (I)Formadopornmeroscujarepresentaodecimalnosoexatasenoperidicas(nopodem ser escritos sob forma de frao). Por exemplo:2 = 1, 4142136... = 3, 1415926a = 1, 010010001...Conjuntos Numricos 162.5 Conjuntos dos Nmeros Reais (R) um conjunto numrico que ocupa todos os pontos da reta, gracamente temos:R =QI, em que QI = / 0Destacam-se trs subconjuntos:R+ = conjunto dos reais no negativos;R = conjunto dos reais no positivos;R = conjunto dos reais no nulos.Obs) As operaes de adio e multiplicao no conjunto dos nmeros R possuem as mes-mas propriedades vista nos demais conjuntos.2.5.1 OrdenaoO conjunto dos nmeros reais(R) a unio do conjunto dos nmeros racionais(Q) com oconjunto dos nmeros irracionais(I), signica que a reta foi preenchida completamente, isto ,a cada ponto da reta corresponde a um nico nmero real.Pode-se fazer as armaes:1. todo nmero negativo menor ( y, se somente se y x for positivo;x > y, se somente se x y for positivo;x y, x maior que y ou x igual a y;x y, x menor que y ou x igual a y;a < x < b, x est compreendido entre a e b, ou seja, x maior que a e ao mesmo tempo,menor que b.2.6 Intervalos ou desigualdadesDados dois nmeros reais a e b, com a < b, dene-se:a) Intervalo aberto de extremos a e b, conjunto dos nmeros reais compreendidos entre a e b,excluindo o a e o b, indicamos por ]a; b[ ou ab,]a, b[={x R|a < x < b}b) Intervalo fechado de extremos a e b, conjunto dos nmeros reais compreendidos entre a eb, incluindo o a e o b, indicamos por [a; b] ou ab,[a, b] ={x R|a x b}c) Intervalo fechado esquerda e aberto direita de extremos a e b, conjunto dos nmerosreais compreendidos entre a e b, incluindo o a e excluindo o b, indicamos por ][a; b[ ouab,[a, b[={x R|a x < b}Conjuntos Numricos 18d) Intervalo aberto esquerda e fechado direita de extremos a e b, conjunto dos nmerosreais compreendidos entre a e b, excluindo o a e incluindo o b, indicamos por ]a; b] ouab,]a, b] ={x R|a < x b}Considerando os intervalos innitos, temos:a) ] , a[={x R|x < a}b) ] , a] ={x R|x a}c) ]a, +[={x R|x > a}d) [a, +[={x R|x a}Exerccios) Escreva os intervalos na linguagem de conjuntos e represente na reta real:a) [6; 10]=b) ] 6; 0[=Conjuntos Numricos 19c) ] ; 3[=d) ] ; 1]=e) ] 1; 5]=f) [0; +[=g) [6; 2[=h) ] 5;3]=i) ] ; +[=2.7 Curiosidades O conjunto dos nmeros inteiros denominado por Z, que vem do alemo Zahlen, quesignica nmeros, algarismos.3INDUO FINITAGeneralizao de uma propriedade.Exemplo) Dada a relao: y =n36+ 3n227n3+3, denida para todo n N, temos:n = 1 y = 2n = 2 y = 3n = 3 y = 5n = 4 y = 7Pode-se pensar que y formado pela sequncia de nmeros primos, mas quando se calculapara n = 5 y = 8, isso falso. necessrio, um mtodo com base lgica que permitadecidir a validade ou no da induo.Segundo Simmons, h umabismo entre provavelmente verdadeira e absolutamente certa. necessrio umargumento lgico garantindo que uma certa propriedade envolvendo os nmerosnaturais seja sempre verdadeira para todos os valores de n, eliminando qualquer dvida. Algu-mas vezes, temos argumentos para vericar a veracidade de uma tal armao. Outras vezes,fazemos uso de um Teorema que nos fornece um mtodo para demonstrar igualdades ou de-sigualdades, que dependem de nmeros naturais.3.1 Princpio da Induo Finita (P.I.F.)Seja P(n) uma propriedade descrita em termos dos nmeros naturais. Suponhamos que asarmaes abaixo sejam satisfeitas:1) P(1) verdadeira;2) qualquer que seja k N, P(k) verdadeira, ento P(k +1) tambm verdadeira.Nesse caso, P(n) verdadeira para todo n N.Exemplo) Prove: 1+3+5+7+. . . +(2n1) = n2Induo Finita 21n = 1 P(1) = 12= 1 verdadeiraP(k) = 1+3+5+7+. . . +(2k 1) = k2(hiptese da induo)Para P(k +1) = 1+3+5+7+. . . +(2k 1). .k2+[2(k +1) 1]. .k2+2k +1. .(k +1)(k +1) = (k +1)2= (k +1)2Estabelecendo assim, a veracidade de P(k +1), a frmula vlida para todo n N.Exemplo) Prove: 1+2+3+. . . +n = n(n+1)2, para n Nn = 1 P(1) = 1(1+1)2= 1 verdadeiraP(k) = 1+2+3+. . . +k = k(k +1)2(hiptese da induo)Para P(k +1) = 1+2+3+. . . +k +(k +1). .k(k +1)2+(k +1). .k(k +1)2+(k +1). .k(k +1) +2(k +1)2=(k +1)(k +2)2=(k +1)(k +2)2Assim, P(k +1) verdadeira, portanto a frmula vlida para todo n N.Obs)O P.I.F., intuitivamente, nos garante que se tivermos um conjunto nito de peas de domindispostas verticalmente,de tal modo que,quando uma cai a seguinte cai; sendo dado que aprimeira cai - conclumos que todas caem. Evidentemente, no importa quantas peas tenhamosem nosso conjunto...Provar a veracidade de uma dada armao, utilizando o Princpio da Induo Finita, sig-nica em comparao situao das peas do domin, mostrar que todas as peas caem. PeloTeorema, basta mostrar que a primeira cai e que, quando uma qualquer cai, a seguinte cai tam-bm.Exerccio) Mostre, por induo, a validade das seguintes frmulas:a) 12+22+32+. . . +n2= n(n+1)(2n+1)6Induo Finita 22b) 2+4+6+. . . +2n = n(n+1)c) 13+23+33+. . . +n3= n2(n+1)24d) 2.1+2.2+2.3+. . . +2n = n2+ne) 1+2+3+. . . +n = n(n+1)2+1f) 1+q+q2+. . . +qn= 1q(n+1)1qExerccio) A soma dos nmeros mpares consecutivos de 1 at 2n1 igual ao quadradodo nmero n, isto 1+3+5+. . . +(2n1) = n2. Prove por induo.Exerccio) Seja P(n) a seguinte armao: 1+2+3+. . . +n =(n1)(n+2)2a) Mostre que, se P(k) vale, ento P(k +1) tambm vale?b) Podemos concluir que P(n) vlida para todo n?Referncia)Simmons,George F.; CALCULO COM GEOMETRIA ANALTICA.,Volume 1,EditoraMakron Books do Brasil, 1997.4FUNESAs funes so denidas abstractamente por certas relaes. Por causa de sua generalizao,as funes aparecem em muitos contextos matemticos e muitas reas.O conceito de uma funo uma generalizao da noo comum de frmula matemtica".Por exemplo: O permetro de um quadrado o qudruplo do lado,p. .varivel dependente=4.varivel independente .. l4.1 Noo de funo usando Teoria dos ConjuntosRepresente os conjuntos numricos, usando o diagrama de Venn e em Tabela.1) Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25} seja a relao de A em B,expressa pela frmula y = x +5, com x A e y B.Observamos que:todos os elementos de A esto associados a elementos de B;cada elemento de A est associado a um nico elemento de B.Ento, a relao de A em B, expressa pela frmula y = x+5, uma funo de A emB.2) Dados os conjuntos A = {2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20} seja a relao de A em B, ex-pressa pela frmula y = x, com x A e y B.Funes 24Neste exemplo, no expressa uma funo de A em B, pois ao elemento 2 do conjunto Ano est associado a nenhum elemento de B.3) Dados os conjuntos A ={3, 1, 1, 3} e B ={1, 3, 6, 9} seja a relao de A em B, expressapela frmula y = x2, com x A e y B.A relao expressa pela frmula, uma funo de A em B, pois:todos os elementos deA esto associados a elementos de B; e cada elemento de A est associado a um nicoelemento de B.4) Dados os conjuntos A ={16, 81} e B ={2, 2, 3} seja a relao de A em B, expressa pelafrmula y4= x, com x A e y B.4.2 DenioSendo A e B dois conjuntos no vazios e uma relaof de A em B, essa relaof: A B uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um nicoelemento y de B, tal que (x, y) f .Pode-se usar a seguinte notao, por exemplo: y = x +5 ouf (x) = x +54.3 Elementos de uma funoToda funo consta de trs partes:Domnio da funo, o conjunto onde a funo denida, ou seja, ele contmtodos os el-ementos x para os quais a funo deve ser denida (de onde sai as echas). Representadopor DfContradomnio o conjunto que contm os elementos que podem serrelacionados aelementos do domnio. Em outras palavras, o conjunto onde a funo toma valores.Representado por CDf.Imagem o conjunto de valores que efetivamentef (x) assume (onde chega as echas).RepresentadoporImf. Oconjuntoimagem, pois, sempreumsubconjuntodocon-tradomnio.Funes 25A funo, caracteriza pelo domnio, o contradomnio, e pela lei de associao (Imagem). Afunof : R R, comf (x) = x2, conforme a gura abaixo, indique: Df, Imf,CDfObs) A funof : RR, comf (x) = x2 diferente da funo g : RR+, com g(x) = x2,pois o contradomnio diferente.Exerccios)1) Dados A = {1, 0, 1} e b = {2, 1, 1, 2, 3, 4}. Encontre Df, Imf,CDf, faa o grco dafunof : A B, denida porf (x) = 2x +1.2) Construa o grco das funes abaixo e encontre o Df, Imfa) f (x) = x22b) h(x) = x33) Observando os grcos, encontre o Df, Imf4.4 Classicao das funesOstiposdefunespodemserclassicadosdeacordocomoseucomportamentocomrelao regra uma nica sada para cada entrada.Funes 264.4.1 Funo InjetoraCada elemento da imagem est associado a apenas um elemento do domnio, isto , quandox = y no domnio ef (x) = f (y) no contradomnio. A cardinalidade do contradomnio sempremaior ou igual do domnio.Onmero de elementos no contradomnio pode ser igual ou maior que na imagemda funo.Exemplo) Seja A ={1, 0, 1, 2} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}, e a funof : A B = x +14.4.2 Funo SobrejetoraTodos os elementos do contradomnio esto associados a algum elemento do domnio.O conjunto imagem igual ao conjunto contradomnio.Exemplo) Seja A ={1, 0, 1, 2} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}, e a funof : A B = x +1Funes 274.4.3 Funo BijetoraSo ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto , todos os elementos do domnio estoassociados a todos os elementos do contradomnio de forma um para um e exclusiva.O conjunto imagem igual ao conjunto contradomnio.Exemplo) Seja A ={0, 2, 3} e B ={1, 5, 7}, e a funof : A B = 2x +14.5 Tipos de funo4.5.1 Funo Par e mpara) Funo Par: Sejaf : R R, qualquer que seja x Df, ocorref (x) = f (x)Exemplo) Considere a funof (x) = x2e os seguintes valores x1 = 1 e x2 = 2Obs) - O grco simtrico em relao ao eixo y; - Os nmeros x e x tm a mesmaimagem.b) Funo mpar: Sejaf : R R, qualquer que seja x Df, ocorref (x) =f (x)Exemplo) Considere a funof (x) = 2x e os seguintes valores x1 = 1 e x2 = 2Obs) - Os nmeros x e x tm imagens opostas.Obs Importante) O grco que no satisfaz nenhuma das condies, no funo Par enem funo mpar.Exerccio) Classique em funo Par ou mpar ( f : R R):a) y = x24Funes 28b) f (x) = x2c) y = x2+2x +14.5.2 Funo Crescente e Decrescentea) Funo Crescente: Seja a funof : A B, denida por y =f (x) crescente num con-junto A, se e somente se, para quaisquer x1ex2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2,tivermosf (x1) < f (x2).Exemplo) Considere a funof (x) = x +5 e os seguintes valores x1 =3 e x2 =1b) Funo Decrescente: Seja a funof : A B,denida por y =f (x) decrescente numconjunto A, se e somente se, para quaisquer x1ex2 pertencentes ao conjunto A, com x1 f (x2).Exemplo) Considere a funof (x) =2x +1 e os seguintes valores x1 =3 e x2 =1Exerccio) Classique em funo Crescente e Decrescente ( f : R R):a) y = xb) f (x) =x2c) y = 2x4.5.3 Funo CompostaQuando se calcula uma expresso da forma g( f (x)), em quef e g so funes, estamoscalculando h(x), em que h a funo composta de g ef .Assim, a funo composta go f deve ser entendida como uma funo h em que, primeiro, afunof executada, e, em seguida, a funo g executada.Ou seja, se h = go f , ento temos:h(x) = (gof )(x) = g( f (x))Sejamfe g as duas funes de domnio e contra-domnio:f : X Y g : Y ZFunes 29Ento a funo composta gof a funo: gof= X Z, denida por: g( f (x)) para x X.Exemplo) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {0, 1, 4, 9, 16}. Con-sidere as funes: f : A B denida por: f (x) = 2x e g : B C denida por: g(x) = x2O objetivo encontrar uma funo h de A emC, indicada por:h(x) = g f ou g[ f (x)] = g[2x] = [2x]2= 4x2Exerccio) Calcule a g[ f (x)] e af [g(x)]:a) f (x) = x2+2 e g(x) = 3xb) f (x) = x +1 e g(x) = x2+x +1c) f (x) =|x| e g(x) = x 2d) f (x) = x24 e g(x) = 2x +1Exerccio) Sendof (x) = 2x 1 e g(x) = 3x +2, calcule a g[ f (2)] e af [g(1)]Funes 30Exerccio) Sendof (x) = 3x 1 ef [g(x)] = 6x +8, calcule a g(x)Exerccio) Dada as funes f (x) =x25x+6 e g(x) =2x+1, resolva a equaof (1) g(x)f (g(2))=f (2)f (0)4.5.4 Funo InversaA funo inversa de uma funof : X Y, quando existe, a funof1: Y Xtalquef f1= Idyf1 f = Idx (Id=funo identidade). Ou seja, o que era domnio na funooriginal (o conjunto X neste caso, vira imagem na funo inversa, e o que era imagem na funooriginal (Y) vira domnio.4.5.4.1 Regra para calcular a Funo InversaConsidere a funof (x) ou y = 3x +2, calcule af1(x)1) Trocar x por y e vice-versa;y = 3x +2 = f (x)___ =___x = 3y +22) Isolar a varivel yx 23= y = f1(x) a funo inversa3) O grco de uma funof e o de sua inversaf1so simtricos em relao bissetriz do1oe 3oquadrantes.Funes 31Exerccio) Calcule af1(x) da funof (x) e construa o grco com as duas funes:a) f (x) =x +52x +3 com x =3/2b) f (x) = x +24c) f (x) = x3d) f (x) = 2xe) f (x) = 3x 24x +3 com x =3/4Exerccio) Seja a funof (x) = 2x 3. Pede-se:a) a funo inversaf1(x)b) f1(0) ef1(5)c) a funo compostaf1[ f (x)]Exerccio) Seja f a funo denida por f (x) =3x +24x 13, em que x =1/4. Calcule os valoresde a e b, tais quef1(x) =x +2ax +b4.6 Funo Constante toda funo denida por f (x) =k ou y =k, em que k R. O valor da imagem ser sempreo mesmo, independente do valor do x (x Dfe Imf={k}).O grco de uma funo constante uma reta paralela ao eixo x.Exemplo) Sejaf (x) = 2, Df=R e Imf={2}k:Funes 324.7 Funo Identidade toda funof : X X, denida por f (x) = x ou y = x (imagem de cada elemento oprprio elemento funo bijetiva).Obs) O grco da funof (x) = x ou y = x uma reta que passa pelo 1oe o 3oquadrante.Sendo Df=R e Imf=R.4.8 Funo LinearSeja a R, a funo linear f (x) =ax ou y =ax denida para todo x R(Df=Re Imf=R).Obs) O grco da funof (x) = x ou y = x uma reta que passa pela origem (0, 0).Exemplo)f (x) = 3x a = 3f (x) =x2 a = 12y =2x a =2y =53x a =53Exerccio) Construa o grco da funo y = x2. Indique qual o Dfe Imf.Funes 334.9 Funo Am (Funo do 1ograu)Sendo dado dois nmeros R, no caso a e b (com a = 0), dene-se por funo do 1ograuf (x) = ax +b ou y = ax +b, para x R, em que a e b so denominados como coecientesda funo; a o coeciente angular (inclinao da reta) e b o coeciente linear (intercepto dareta).Exemplo)f (x) = x +5 a = 1 b = 5f (x) =x3+7 a = 13b = 7y =5x 8 a =5 b =8y =57x 1 a =57b =1Obs)A funo linear um caso particular da funo do 1ograu;f (x) = 2x a = 2 b = 0Caso a = 0, temos a funo Constantef (x) = b;O grco da funo uma reta, cujo Df=R e Imf=R.Exerccio) Dada a funof (x) = 5x 7, calcule:a) f(2)=b) f(0)=c) f(-1/2)=d) f(1/7)=Exerccio) Dada a funof (x) =3x +1, calcule:a) f(x)=0b) f(x)=5c) f(x)=2/3d) f(x)=-1Funes 344.10 Funo do 1ograu Crescente e DecrescenteUma funo y = ax +b :Crescente, se e somente se, o coeciente angular for positivo (a > 0);Exemplo)f (x) = 2x +5 a = 2 > 0 (crescente)Decrescente, se e somente se, o coeciente angular for negativo (a < 0);Exemplo)f (x) =2x +5 a = 2 > 0 (decrescente)4.10.1 Resoluo grca de um Sistema de equaes do 1ograuConsidere o sistema de equaes:_y = x +2y = 3x 4A soluo do sistema x = 3 e y = 5.Construindo o grco das duas funes, nota-se que a soluo do sistema o ponto (x, y) dainterseco das duas retas.Funes 354.10.2 Equao da reta que passa por dois pontosEncontre a equao da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (1, 3).Como a reta um grco da funo do 1ograu, ento y = ax +b, temos:2 = a.1+b e 3 = a(1) +b =_a+b = 2a+b = 3A soluo do sistema a =12 e b = 52, portanto a equao procurada:y = x +52Funes 364.11 Zero da funo do 1ograu ou raiz da funoO valor x para o qual a funo y = ax +b se anula, ou sejaf (x) = 0 denominado de zeroda funo ou raiz da funo.Para encontrar o zero da funo, basta igualar a funo a zero e calcular o valor da varivel.Exemplo)f (x) = 3x 23x 2 = 0 x = 234.12 Estudo de sinal da funo do 1ograuExemplo) Dada a funof (x) = 2x 5, determine os valores x, para as quais:f (x) = 0f (x) > 0f (x) < 0Na funo, temos a = 2 > 0 (funo crescente).y = 0 {x = 5/2}y > 0 {x R|x > 5/2}y < 0 {x R|x < 5/2}Exemplo) Dada a funof (x) =3x +7, determine os valores x, para as quais:y = 0y > 0y < 0Funes 37Na funo, temos a =3 > 0 (funo decrescente).y = 0 {x = 7/3}y > 0 {x R|x < 7/3}y < 0 {x R|x > 7/3}Exerccio) Faa o estudo de sinal das seguintes funes:a) f (x) =3x +6b) y = 15xc) y =7(x +3)d) f (x) = x314.13 InequaesExemplo) Resolva a inequao: 5x 1 > 3x +55x 1 > 3x +55x 3x > 5+12x > 6x > 3S ={x R|x > 3}Funes 38Exemplo) Resolva a inequao: 2x +1 4x +62x +1 4x +62x 4x 612x 5 (1)2x 5x 5/2S ={x R|x 5/2}4.14 Inequaes SimultneasExemplo) Resolva a inequao: 1 < 2x 3 xeq.1 1 < 2x 32x < 3+12x < 2 (1)2x > 2x > 1eq.2 2x 3 x2x x 3x 3S ={x R|1 < x 3} ou S =]1, 3]Exerccio) Resolva as inequaes:a) 3 < 2x +1 < 5b) 2 3x +7 < 4xc) x x +2 x +3d) x +3 < x +1 2xFunes 394.15 Inequao-ProdutoConsidere duas funesf (x) e g(x), o produto das inequaes so:f (x).g(x) < 0f (x).g(x) > 0f (x).g(x) 0f (x).g(x) 0Exemplo) Resolva a inequao: (x 4). .f (x). (x +2). .g(x)0f (x) x 4x 4 = 0x = 4g(x) x +2x +2 = 0x = 21o) Deve-se fazer o produto dos sinais;2o) Vericar o sinal da inequao, no caso 0 +Portanto a soluo do produto S ={x R|x 2 ou x 4}