Apostila numeros 28.03.05

DDTTII DDiirreettoorriiaa ddee TTeeccnnoollooggiiaa ddaa IInnffoorrmmaaççããoo

GGIIPP

GGeerrêênncciiaa ddee IInnffoorrmmááttiiccaa PPeeddaaggóóggiiccaa

11ªª FFAASSEE –– 22000055

Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Rua Rodolfo Miranda, 636 – Bom Retiro – 01121-900 – São Paulo – SP

Tel. (11) 3327-4000 – Fax (11) 3327-7314 – www.fde.sp.gov.br

Secretaria de Estado da Educação – SEE/SP

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIP Projeto Números em Ação – 1ª Fase 2005

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SUMÁRIO

Carta aos professores .......................................................................................... 06Créditos ................................................................................................................ 07Agradecimento ..................................................................................................... 08Fundamentação teórica ........................................................................................ 09

Competências e habilidades ..................................................................... 09Objetivos ................................................................................................... 09Conteúdos ................................................................................................. 11Recorte didático – trabalho com o cálculo ................................................. 13O contrato didático .................................................................................... 14Como é fazer matemática na SAI .............................................................. 15

Orientações gerais ................................................................................................ 17Texto complementar I A aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 1ª parte ....... 19MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS ......................................................... 24

Tema ......................................................................................................... 24Recursos utilizados ................................................................................... 24Objetivos ................................................................................................... 24Conteúdos ................................................................................................. 24

Aula 1 ........................................................................................................ 25 Aula 2 ........................................................................................................ 26 Aula 3 ........................................................................................................ 27 Aulas 4 e 5 ................................................................................................ 27Texto complementar II A avaliação diagnóstica ........................................................................................ 28 Aulas 6, 7, 8 e 9 ........................................................................................ 32MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS .................................... 33


Texto complementar III A aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 2ª parte ....... 35 Aula 10 ...................................................................................................... 40 Aula 11 ...................................................................................................... 40 Aula 12 ...................................................................................................... 41



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Aula 13 ...................................................................................................... 41 Aulas 14 e 15 ............................................................................................ 42MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS .......................................................... 45


Texto complementar IV Sobre a calculadora .............................................................................................. 48Texto complementar V Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática

Operações com números naturais. Adição e subtração: significados.... 49Texto complementar VI A aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 3ª parte ....... 52

Aula 16 ...................................................................................................... 59Texto complementar VII Por que e para que utilizar jogos no ensino da Matemática ................................. 60

Aulas 17 e 18 ............................................................................................ 61Aulas 19 e 20 ............................................................................................ 61Aula 21 ...................................................................................................... 62Aulas 22 e 23 ............................................................................................ 62Aula 24 ...................................................................................................... 63Aula 25 ...................................................................................................... 64

Texto complementar VIII Desarmando as contas ......................................................................................... 65

Aulas, 26, 27 e 28 ..................................................................................... 71Aulas 29 e 30 ............................................................................................ 73Aula 31 ...................................................................................................... 74

MÓDULO IV – NÚMEROS QUE MEDEM ............................................................ 75Tema ......................................................................................................... 75Recursos utilizados ................................................................................... 75Objetivos ................................................................................................... 76Conteúdo ................................................................................................... 76

Texto complementar IX O homem vitruviano .............................................................................................. 78

Aula 32 ...................................................................................................... 79Aula 33 ...................................................................................................... 80



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Aula 34 ...................................................................................................... 80Aulas 35, 36 e 37 ...................................................................................... 81

Referências bibliográficas .................................................................................... 83Anexo 1 Peças do quebra-cabeças para a dinâmica dos quadrados ................ 85Anexo 2 Questões da avaliação diagnóstica ...................................................................... 89



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CARTA AOS ATPs E PROFESSORES PARTICIPANTES DO PROJETO NÚMEROS EM AÇÃO

Em continuidade ao Projeto Números em Ação, oferecemos este documento que foi

aperfeiçoado com a colaboração dos ATPs que participaram da formação dos

professores no piloto aplicado de julho a dezembro de 2004. Ele pretende ser, como

na fase anterior, um norteador das próximas ações a serem desenvolvidas tanto pelos

ATPs, comprometidos com a formação e orientação dos professores, quanto pelos

próprios professores que serão os responsáveis pelo trabalho, nas Salas Ambiente de

Informática, com os alunos .

Queremos lembrar que esse documento não se caracteriza como uma receita a ser

seguida e sim como uma referência de trabalho a todos os envolvidos no projeto,

objetivando a continuidade do mesmo e o atendimento cada vez mais aperfeiçoado

aos alunos participantes.

É um documento de apoio ao trabalho dos ATPs e professores, que traz textos

complementares, sugestões de leituras e endereços de sites para pesquisas na

Internet, importantes na sua formação e atuação e que devem ser enriquecidas, de

acordo com os interesses e as necessidades de cada um.

Da mesma forma, são apresentadas sugestões de questionamentos que podem

encaminhar discussões com as turmas, durante ou ao final das atividades. Estas

também não devem ser seguidas de forma “engessada” e sim, como ponto de partida

para incrementar reflexões que podem ser enriquecidas com o surgimento de novos

questionamentos, outras discussões, de acordo com as necessidades e os interesses

do momento e de cada turma.

Outro aspecto a ser lembrado refere-se à divisão das aulas. Por questão da gestão do

tempo, sugerimos atividades que podem ocorrer em aulas de 50 minutos. Cada

professor deve validar esse tempo, adequando as atividades conforme o aprendizado

dos alunos e organizando-as em aulas que, de acordo com a resolução que orienta o

projeto, terão duração de 50 ou 100 minutos.

Agradecemos a todos o compromisso demonstrado na realização do piloto do Projeto

em 2004 e desejamos sucesso neste novo ano letivo.

FDE – Diretoria Técnica da Informação

GIP – Gerência de Informática Pedagógica



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CRÉDITOS

NÚMEROS EM AÇÃO

ATPs que participaram da elaboração do Projeto Aparecida de Lourdes Bonanno – NRTE / DE Guarulhos Sul Braz Dorival Ognibeni – NRTE / DE Jales Celso Roberto Stigliani – NRTE / DE Sorocaba Fátima Aparecida da Silva Dias – NRTE / DE Tupã Helder Clementino Lima da Silva – NRTE / DE Pindamonhangaba Laura Maria Correa – NRTE / DE Pres. Prudente Roberta Oliveira da Silva – NRTE / DE Taboão da Serra Rosa Maria Pires Bueno – NRTE / DE Itararé

ATPs colaboradores Cláudia Gatti – NRTE / DE São Carlos James Ernesto Mazzanti – NRTE / DE Caieiras Solange Antônia de Azevedo – NRTE / DE Diadema Tatiana Pacheco de Souza – NRTE / DE Sul 3

Coordenação Nely Aparecida P. Silva – GIP/DTI/FDE Wolgram Marialva – GIP/DTI/FDE

Coordenação Geral pela FDE Tirone Francisco Chahad Lanix – DE/FDE Leila Rentroia Ianonne – DPE/FDE Alexandre Ortelã – DTI/FDE Silvia Galletta – GIP/DTI/FDE

Coordenação Geral pela SEE/SP

Sonia Maria Silva – Coordenadora da CENP Consultoria

Luciana Maria Tenuta de Freitas – Info Educacional Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa – Info Educacional



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Agradecemos a todos os ATPs responsáveis pela formação de professores do projeto Números em Ação, em 2004 e 2005, que muito colaboraram na revisão e testagem do software e no enriquecimento do manual do professor.



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FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA1

PROJETO NÚMEROS EM AÇÃO

O projeto Números em Ação propõe a utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação pelos professores e pelos alunos de 5a e 6a séries do Ensino Fundamental como apoio ao desenvolvimento de ações voltadas às dificuldades existentes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, sobretudo no tocante à capacidade de calcular.

A Matemática é tomada como instrumento de leitura, interpretação e compreensão do mundo, visto que é cultura humana, que tem uma dimensão histórica; é um saber inacabado e mutável. É também uma linguagem e como tal apresenta aspectos sintáticos e semânticos. Dessa forma, pretende-se trabalhar com os alunos, visando a desenvolver a competência de agir matematicamente na resolução de situações complexas, mobilizando e relacionando conteúdos, habilidades e recursos diversos.

COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

• Cálculo, sendo capaz de estimar, fazer aproximações, determinar com exatidão os resultados, usar diferentes estratégias, recursos e tecnologias.

• Resolução de problemas, sendo capaz de planejar, explicitar hipóteses, determinar estratégias, tomar decisões e comunicar os resultados obtidos.

• Argumentação em torno de afirmativas e modelos matemáticos, sendo capaz de justificar, contestar, conjecturar e demonstrar.

• Atitude crítica em relação às informações matemáticas, em especial àquelas veiculadas pela mídia.

• Utilização da linguagem matemática, sendo capaz de ler, interpretar e representar a realidade e comunicar idéias.

OBJETIVOS

O objetivo primeiro do projeto Números em Ação é ensinar Matemática. O uso da tecnologia é uma opção para o estabelecimento de um contrato didático que alavanque mudanças atitudinais, motivacionais e procedimentais em alunos e professores em suas tarefas de aprender e ensinar. O conhecimento matemático recebe tratamento prazeroso e interessante e pode ser acessado com rapidez.

Entretanto, além de serem meio, pois abastecem alunos e professores de novos recursos e novas formas de trabalho, as tecnologias são também um fim, porque proporcionam a inclusão digital de todos os que não têm acesso à tecnologia fora do ambiente escolar. Aprende-se a navegar na Internet, a utilizar editores de textos e softwares de autoria, enquanto se aprende Matemática.

Os conteúdos e as atividades didáticas a serem desenvolvidos no projeto Números em Ação levarão em conta os seguintes objetivos de ensino e objetivos 1 Texto escrito por Luciana Maria Tenuta de Freitas e Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa, consultoras da Info Educacional.



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de aprendizagem, que têm como base aqueles expressos nos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática.

OBJETIVOS DE ENSINO

Criar um ambiente de trabalho que possibilite:

• o reconhecimento e a valorização da Matemática como uma linguagem que permite a análise, compreensão, representação e transformação da realidade, ao identificar possibilidades de aplicação do conhecimento matemático na resolução de situações-problema do cotidiano, das atividades profissionais ou de outras áreas de conhecimento;

• o trabalho cooperativo permanente, na busca de consenso, no respeito à opinião do outro, na consideração do outro como fonte de conhecimento;

• o desenvolvimento pessoal, mediante o prazer de “fazer matemática”, numa perspectiva do jogo e da disciplina intelectual, da atitude crítica, de perseverança, autonomia e cooperação na busca de soluções;

• a utilização da tecnologia como recurso que favorece:

a simulação de situações complexas e difíceis de serem realizadas numa situação real;

o tratamento diferenciado do erro;

• o desenvolvimento da capacidade de adequação dos recursos tecnológicos disponíveis à natureza dos problemas a serem resolvidos.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

• Compreender e utilizar as regras do SND para leitura, escrita e comparação de números naturais.

• Compreender os significados das quatro operações fundamentais ao resolver situações-problema.

• Reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas de diferentes naturezas.

• Propor diferentes estratégias ao resolver uma mesma situação-problema.

• Desenvolver diferentes estratégias de cálculo mental, escrito, estimado e com calculadora.

• Utilizar as propriedades das operações e o valor posicional como recurso de cálculo mental.

• Antecipar e verificar resultados de cálculos feitos.

• Analisar estratégias de resolução desenvolvidas por terceiros.

• Utilizar a estimativa como recurso para avaliação da adequação de um resultado.



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• Representar as quatro operações fundamentais, por meio de algoritmos não-convencionais e convencionais, decidindo sobre a utilização da representação mais adequada à resolução da situação apresentada.

• Reconhecer a medida como resultado da comparação entre grandezas de mesma natureza.

• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.

• Estabelecer procedimentos e estratégias de coleta de dados e informações.

• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações coletadas.

• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou à natureza da situação.

CONTEÚDOS

As seqüências didáticas, desenhadas para o ambiente digital, trazem atividades nas quais o aluno aprende a localizar, acessar e analisar dados e informações. Enfatizam o desenvolvimento de procedimentos e sobretudo de atitudes necessárias àqueles que vivem em uma comunidade de informação. O conhecimento matemático é tomado como complexo e provisório e o aluno precisa ser munido de instrumental que favoreça continuar a aprender, a qualquer hora, dentro ou fora da escola e, para tal, não bastam aprendizagens conceituais. É preciso aprender a decidir sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, estimado, com calculadora), a revisar suas produções e as de seus colegas para detectar, analisar e corrigir erros (e assim aprender a prevê-los). Aprender a trabalhar em equipe, intercambiando pontos de vista, escutando os outros, esperando sua vez de falar, demonstrando segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar seus argumentos passa a ser tão importante quanto saber o resultado de uma adição ou multiplicação.

CONTEÚDOS CONCEITUAIS

Números e operações

• Os sistemas de notação numérica ao longo da História da Humanidade: características, usos e relações com o sistema notacional decimal.

• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do Sistema de Numeração Decimal.

• Os números racionais e sua representação decimal (a partir de seus diferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade).

• Significados das operações fundamentais.

Medidas

• Estimativas de tamanhos e comprimentos.

• Instrumentos não-convencionais de medição de comprimentos.



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• Unidades não-padronizadas de comprimento.

• Unidade-padrão de medida de comprimento, o metro e seus submúltiplos: o centímetro e o milímetro.

CONTEÚDOS PROCEDIMENTAIS

Números e operações

• Uso da calculadora e da escrita como instrumento de reflexão e/ou de representação.

• Decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com calculadora), exato ou aproximado, em função da situação-problema apresentada.

• Interpretação de informações apresentadas em tabelas e gráficos simples.

• Revisão de produções para detectar, analisar e corrigir erros.

• Elaboração de registros.

Medidas

• Decisão sobre uso de procedimento e instrumento específico, em função da precisão da medição.

• Elaboração de registros pessoais e/ou convencionais para comunicação de medições feitas.

• Tratamento da informação

• Coleta, organização e descrição de dados e informações.

• Produção de texto escrito, a partir de interpretação de gráficos, tabelas e quadros.

Uso da tecnologia

• Uso dos principais recursos do editor de texto, de software de apresentação, de software de autoria, de simulações e animações disponíveis no ambiente virtual.

CONTEÚDOS ATITUDINAIS

• Confiança em suas maneiras e estratégias para resolver problemas.

• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos que envolvam a busca de resultados.

• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de pontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.

• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.

• Interesse em conhecer diferentes formas de resolver problemas.



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• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até as mais complexas.

• Cuidado com os materiais em geral, e em especial com os de uso coletivo, principalmente os tecnológicos, menos resistentes e de maior custo.

• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade de parceria no uso dos recursos e materiais coletivos.

• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos como fontes de informação importantes para a aprendizagem.

RECORTE DIDÁTICO – TRABALHO COM O CÁLCULO

O cálculo será o foco do trabalho didático a ser desenvolvido nas aulas do projeto Números em Ação, por ser considerado uma competência vinculada a todos os conceitos matemáticos da educação básica (Figura 12), não sendo possível “fazer matemática” na sala de aula sem ele. Assim, formas variadas de cálculo são exploradas pelos alunos de maneira analítica e crítica.

Figura 1

Medidas

Probabilidade Álgebra

Funções Números racionais

CÁLCULO

Números naturais Estatística

Números inteiros Números reais

Geometria

Ensinar um aluno a armar uma conta no papel e resolvê-la, não garante o desenvolvimento da competência de cálculo. Por isso, situações diversificadas que exploram as várias formas de cálculo são apresentadas aos alunos. Cálculos mentais, estimados e com calculadoras devem ser feitos para que as soluções sejam encontradas ao se jogar ou resolver um desafio.

As técnicas operatórias convencionais das quatro operações são trabalhadas por meio de aulas multimídia alteráveis de maneira analítica e não como um mecanismo a ser repetido exaustivamente.

Por meio de um trabalho mais amplo com o cálculo, os alunos são levados a desenvolver princípios, conceitos, habilidades, estratégias e processos que os tornam mais abertos e flexíveis a interpretar o mundo que os rodeia.

2 Figura adaptada do livro de GIMÉNEZ e GIRONDO, 1993.



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O CONTRATO DIDÁTICO Com a implementação do projeto Números em Ação pretende-se que um novo/velho contrato didático3 vigore nas Salas Ambiente de Informática (SAI), com professores e alunos assumindo novos papéis e estabelecendo novas relações ao saber matemático.

O QUE FAZ O ALUNO

No projeto Números em Ação, concebe-se que a aprendizagem ocorre a partir dos interesses, necessidades e particularidades do aluno, compartilhando sua bagagem cultural e social. Ela não ocorre de uma só vez e definitivamente. Saber Matemática é ocupar-se de problemas em um sentido mais amplo que inclui tanto saber fazer perguntas quanto encontrar soluções. Nesse sentido, o aluno deve intervir na atividade matemática, formulando consignas, provando proposições, construindo linguagens, conceitos e teorias, pondo-os a prova. Ao intercambiar com outros, reconhece os conhecimentos que formam parte da cultura matemática e toma aqueles que são úteis para continuar sua atividade. Determina formas diversas de representação, discutindo-as com os demais. Considera os seus erros e os de seus colegas fontes de informação e reformula idéias a partir deles. Arrisca-se a resolver qualquer tipo de situação-problema com espírito de investigação.

A mediação aluno/saber matemático não passa somente pelo software. O espaço da SAI passa a ser aquele em que o “fazer matemática” é que move toda a ação pedagógica. Os alunos exploram possibilidades, levantam hipóteses, testam essas hipóteses, discutem com o outro, criam desafios, argumentam. A atitude do professor é fundamental para garantir esse ambiente de pesquisa, de aprendizagem e de atividade matemática.

O QUE FAZ O PROFESSOR

Para que o espaço da SAI se transforme num campo de pesquisa, no qual os alunos possam ter legítimas experiências matemáticas, é necessário que o professor se coloque como aquele que dialoga com alguém que levanta questões para as quais ele nem sempre tem as respostas prontas.

O professor deixa de ser aquele que traz um conhecimento pronto e acabado e se torna parte integrante dos grupos de investigação, em que as questões que surgem muitas vezes são novidade para ele próprio. Os erros são parte do processo de aprendizagem e devem ser explorados e utilizados para gerar novos conhecimentos, novas questões, apontar novos rumos ou um aperfeiçoamento das idéias que estiverem em discussão. Nessa perspectiva, há uma certa imprevisibilidade em relação aos tempos e os conteúdos propostos podem ser enriquecidos, dando origem a novas investigações. É preciso que o professor se aproprie da idéia de que seu papel é fomentar as discussões, valorizando as idéias que surgem, remetendo os alunos a um aprofundamento em busca de soluções para os problemas apresentados.

3 Segundo Guy Brousseau (1986) os procedimentos e as atitudes que o aluno espera de um professor e o professor espera de um aluno determinam o contrato didático. O contrato didático é, pois, um conjunto de regras que determinam o que cada um, aluno e professor, deverá fazer, explícita e implicitamente, e que terá de prestar conta um perante o outro, de uma maneira ou outra.



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No ambiente proposto, o papel do professor é encorajar os alunos a explorar possibilidades, fazer previsões, levantar e testar suas hipóteses. Cabe a ele organizar as situações de cooperação entre os alunos; considerar o conhecimento que eles explicitam; incentivar a análise de estratégias e respostas adequadas ou não, corretas ou não; permitir que a avaliação fique também a cargo da turma; fazer com que o que se discute se aproxime sempre do saber socialmente constituído. Assumir essa atitude significa acreditar que o processo de aprendizagem da Matemática se baseia realmente na ação do aluno em busca da solução de problemas, em investigações e explorações de situações e desafios que o provocam verdadeiramente.

COMO É FAZER MATEMÁTICA NA SAI

As seqüências didáticas4 foram planejadas baseadas na concepção de que um conceito matemático não é elaborado de uma vez e para sempre pelos alunos; o que ocorre são sucessivas aproximações, organizações e reorganizações de conceitos, em um processo de ação, formulação e validação do conhecimento5. Em todas as atividades os problemas são propostos de tal forma que a melhor solução se obtém, usando o conhecimento que se quer ensinar. Isso implica o agir e o refletir permanentes por parte dos alunos.

Situações diversificadas que exploram as várias formas de cálculo são apresentadas aos alunos, pois ensinar a armar uma conta no papel e resolvê-la, seguindo passos pré-determinados, não garantirá a eles o desenvolvimento da competência de cálculo. Cálculos mentais, estimados e com calculadoras são propostos para que as soluções sejam encontradas ao se jogar ou resolver um desafio.

O software permite a exploração de múltiplas situações nas quais os conceitos dos campos aditivo (que envolve adição e subtração) e multiplicativo (que envolve multiplicação e divisão) aparecem, significando-os6. O aluno é desafiado, permanentemente, a colocar em ação o pensamento, utilizando conhecimentos já construídos (de senso comum ou escolarizados), ou seja, mobilizando o antigo para resolver, em um primeiro momento, a situação.

Ao perceber que não sabe o suficiente para resolver uma situação-problema, o aluno é incentivado a trocar idéias. O trabalho cooperativo é uma forma de lhe restituir o seu papel de aprendiz, por permitir-lhe a organização de um plano de trabalho com seus colegas e professores na tentativa de formular, trocar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar suas experiências e idéias antigas e novas e controlar a aprendizagem.

Por meio de uma atitude investigativa, pesquisadora, possibilidades de resolução próprias ou convencionais podem ser exploradas. Isso significa que tão importante quanto dar uma resposta é desenvolver estratégias para se fazer. A

4 De acordo com Antoni Zabala (1996), seqüência didática é um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos alunos quanto pelos professores. 5 Para conhecer um pouco mais sobre a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, indica-se o texto Situações Didáticas de José Luiz Magalhães de Freitas, que integra o livro Educação Matemática – Uma Introdução, Série Trilhas, São Paulo: EDUC, 2002. 6 Os significados das operações a serem trabalhados para o campo aditivo e o multiplicativo são aqueles explicitados nos PCN de Matemática, Ensino Fundamental, 1ª a 4ª série, 1996.



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situação apresentada será interpretada pelo aluno, que deve questionar, formulando perguntas, buscando informações em diferentes fontes, elaborando um plano para encontrar uma resposta, verificando sua correção ou não.

Os elementos de uma situação-problema precisam ser representados simbolicamente. A escrita tem papel relevante tanto no que diz respeito à documentação (evocação e comunicação) quanto à construção do conhecimento (planejamento da ação). É tomada, também, como um instrumento para pensar, uma vez que retém a informação para que seja analisada, discutida e validada, posteriormente, pela turma. Assim sendo, é proposto um trabalho constante com questões discursivas – aquelas em que o aluno deve discorrer sobre algo: sua hipótese, uma argumentação, explicação de um erro ou acerto, uma conclusão.

Dar oportunidade para que o aluno analise algoritmos constitui fonte privilegiada de informação sobre o que se sabe, a concepção atual, o ponto em que se encontra no processo de entendimento de um saber. Ao analisar diferentes representações, sobretudo aquelas que diferem das suas, o aluno assume o papel de quem investiga, reflete sobre sua própria maneira de representar, analisa uma mesma situação de diferentes pontos de vista e dá mais um passo em direção ao entendimento das representações convencionais.

O trabalho proposto exige que o aluno descreva os raciocínios feitos, reflita sobre suas estratégias de resolução, para que tome consciência dos passos que realizou durante o processo de aprendizagem. Assim, ele tem maior chance de perceber ou até mesmo de prever erros, gerar boas perguntas, discutir suas dúvidas e, conseqüentemente, aprender mais.

O aluno vai além da verificação de resultados. Ele faz a validação do conhecimento elaborado, ou seja, comprova o modelo matemático criado para solucionar um dado problema, determinando, por exemplo, se esse modelo é útil para resolver outros de igual natureza.

Nesse processo, as ações são conduzidas tanto pelo professor quanto pelo aluno, por meio de um trabalho planejado por todos do grupo. As diferentes idéias, pensamentos e procedimentos são considerados como algo positivamente necessário. São também valorizadas a tomada de decisão pelo grupo, a análise dos resultados (erros e acertos são igualmente importantes), a comunicação oral e escrita desses resultados, o conhecimento como algo provisório e complexo, algo em permanente transformação. Acredita-se, assim, estar contribuindo para que alunos e professores enfrentem situações novas, de maneira mais perseverante e eficaz, conservando vivos o desejo, o ânimo, o bom humor e a vontade de aprender sempre e mais.



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ORIENTAÇÕES GERAIS

1. ATIVIDADES QUE DEVEM SER DESENVOLVIDAS AO FINAL DE UMA AULA, DE UM GRUPO DE AULAS OU DE UM MÓDULO

TERMÔMETRO

O termômetro representa uma atividade que será realizada ao final das aulas 5, 15, 23, 31 e 37, de forma que os alunos avaliem um grupo de aulas, sua própria participação e a atuação do professor, escolhendo para isso representações gráficas – figuras de carinhas – que identificam sua opinião a partir dos itens:

1. Ter aula na Sala Ambiente de Informática me fez gostar mais de estudar Matemática.

2. Utilizar as atividades do software Números em Ação me fez aprender mais Matemática.

3. Trocar idéias e discuti-las com meus colegas foi importante para fazer as atividades.

4. Ter a ajuda do meu professor foi importante para o desenvolvimento das atividades.

Após os alunos emitirem suas opiniões, os dados serão consolidados, gerando um gráfico da situação. O professor fará uso deste gráfico, analisando-o juntamente com os alunos. Ele poderá ser visualizado por todos, no micro do professor.

FICHAS DE AVALIAÇÃO E ACOMPANHAMENTO DO ALUNO

Estarão disponíveis para o professor 5 fichas de avaliação, que serão utilizadas ao longo do processo. Elas estão organizadas por grupos de aulas, para o registro das observações quanto aos objetivos propostos, procedimentos e atitudes do aluno e intervenções do professor.

APLICATIVOS

Os aplicativos Word (DOC) e PowerPoint (PPT) estão disponíveis a cada aula e serão utilizados para que os alunos façam anotações e registros, que podem ser gravados. Os registros das aulas 4 e 5, 10, 14 e 15, 16, 27 e 28, 29, 30, 33, 35, 36 e 37 devem ser gravados.

Obs.: é necessário e importante que cada aluno tenha um caderno para fazer anotações.



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2. CD DE RECURSOS

O CD será, juntamente com a apostila, material de apoio ao professor. Nele estão disponíveis os seguintes recursos:

• Software Introdução ao Micro

• Vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador

• Vídeo Inventando estratégias de cálculo

• Peças do quebra-cabeça para a Dinâmica dos Quadrados

• Tutoriais

• Jogos das Atividades Complementares

Obs.: Os jogos, softwares e vídeos devem ser instalados com antecedência.

3. ATIVIDADES COMPLEMENTARES

São atividades que o professor pode fazer uso em situações diversas. Por exemplo, quando o tempo ao final de uma aula for insuficiente para dar início a uma nova atividade ou quando grupos de alunos avançarem mais que outros. As atividades complementares são compostas de jogos que por si só justificam sua incorporação às aulas: o caráter lúdico, o desenvolvimento de estratégias intelectuais e a formação de relações sociais.



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TEXTO COMPLEMENTAR I

A APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS

1ª PARTE

Conferência proferida por Delia Lerner durante o 6º. Encontro Nacional de Intercâmbio e Atualização Educacional, organizado por

"Novedades Educativas" - Argentina.

Tradução livre: Daisy Moraes

Quando pensava no título desta conferência, eu me perguntava: abordagens atuais, de que ponto de vista? De que perspectiva da pesquisa didática? A partir de nossas ilusões didáticas? A partir da perspectiva da realidade escolar do ensino e da aprendizagem da Matemática?

Considerando a Didática da Matemática sem dúvida alguma como o modelo atual dominante, o fator comum aos modelos que hoje são propostos é o de tomar como eixo essencial a produção do conhecimento por parte dos alunos.

Do ponto de vista da realidade escolar a situação é outra: nela, coexistem todos os modelos didáticos possíveis, claro que em proporções diferentes. E esse modelo que na teoria didática é o predominante, certamente está muito longe de sê-lo na prática da sala de aula.

Então, gostaria de me deter nos modelos didáticos que coexistem em sala de aula. Para defini-los, deve-se considerar o essencial da situação didática, o triângulo que configura o conjunto de relações entre três pólos: os alunos, o objeto de conhecimento (o saber, o conteúdo), o professor e as ações que ele realiza para gerar interações entre o sujeito e o objeto de conhecimento.

Roland Charnay propõe três modelos didáticos essenciais levando em conta como cada um desses três pólos do triângulo didático é concebido. Um primeiro modelo, que todos conhecemos (já que é certamente o modelo que já seguimos como alunos), é o que ele chama modelo normativo centrado no conteúdo no qual a função do professor é mostrar as noções , apresentá-las, dar exemplos sobre o que se está ensinando, enquanto a função do aluno é, basicamente, escutar as explicações do professor, estar atento e, em seguida, repetir os procedimentos que o professor ensinou como válidos para resolver os problemas, exercitar, aplicar aquilo que aprendeu. A concepção do saber vigente nesse modelo é a de um que está pronto, construído, no qual o professor atua simplesmente como um intermediário, que passa para as crianças esse saber já elaborado e acabado (por outros).

Régine Douady (outra especialista em Didática da Matemática) caracteriza esse mesmo modelo como uma seqüência de "exposição/exercícios". O professor expõe, explica e depois os alunos exercitam, utilizando esse saber que foi exposto.

O segundo modelo (que é necessário distinguir do terceiro, já que comumente são confundidos, e um dos meus objetivos é que sejam claramente diferenciados), caracterizado por Charnay, é o que ele chama incitativo. Esse



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modelo está centrado no aluno e poderíamos relacioná-lo com o que caracterizou a Escola Nova, a escola ativa. Para começar, o professor pergunta ao aluno sobre seus interesses, suas motivações, suas necessidades; analisa o contexto do aluno para poder detectar os aspectos que despertam seu interesse: o professor escuta o aluno e o ajuda a utilizar fontes de informação. O aluno procura, organiza a informação que vai encontrando, estuda, aprende. O saber está ligado às necessidades do contexto, da vida cotidiana e a estrutura própria do saber passa para segundo plano. As características e interesses do aluno, em função de seu contexto, levam-no a tomar decisões sobre o quê e como se ensina. Então, nesse modelo, as preocupações não estão centradas para que o aluno reconstrua o saber social e cientificamente constituído. O ponto central é que a situação de ensino-aprendizagem se torne interessante para o aluno, responda às suas necessidades e interesses.

O terceiro modelo, que é o nosso, é caracterizado por Charnay como apropriativo/aproximativo. É aproximativo no sentido de que se entende que, na situação didática, vai ser possível que o aluno chegue a reconstruir o saber socialmente constituído mediante aproximações sucessivas, não de uma só vez e imediatamente, mas interagindo com o conteúdo de diferentes maneiras, e isso lhe permitirá construir esquemas de conhecimento cada vez mais ajustados à natureza do conteúdo.

Nesse modelo, propõe-se partir de concepções pré-existentes no aluno, concepções específicas sobre esse conteúdo particular que está tentando comunicar. Não se trata simplesmente de saber quais são os interesses e as necessidades do aluno – como no segundo modelo – mas de saber e de fazer intervir na situação didática aquilo que o aluno pensa a respeito desses conteúdos que precisa comunicar, as conceitualizações, as hipóteses e a maneira de abordar que os alunos, como sujeitos cognitivos, têm em sua relação com cada um dos conteúdos. Em função disso, o professor proporá e organizará séries de situações didáticas que apresentarão obstáculos, que questionarão as concepções prévias dos alunos, de tal maneira que se torne possível que essas concepções se aproximem progressivamente da natureza do saber científico ou do saber socialmente constituído.

Também nesse modelo, a lógica, a natureza e a organização do saber em si têm uma importância fundamental. Aqui, o aluno também pode testar, mas vai fazê-lo no âmbito de situações didáticas especificamente elaboradas para que sejam colocadas em jogo suas concepções e para que essas concepções se defrontem com obstáculos que os obriguem a avançar. Vai debater com seus colegas, defender seus pontos de vista com argumentos, questionar os pontos de vista de outros, ou até mesmo os próprios, aqueles que ele havia defendido antes, com argumentos que irá elaborando diante dos problemas que a situação didática lhe apresenta. Esse terceiro modelo supõe a inversão do modelo exposição-exercícios.

É preciso considerar qual é o lugar da situação-problemática no primeiro e no terceiro modelo, um lugar absolutamente diferente e oposto.

No modelo normativo, que é o modelo do qual certamente fizemos parte como alunos, os problemas – que geralmente são problemas com enunciado – servem basicamente para aplicar o que o aluno aprendeu porque o professor ensinou, entendendo "ensino" como a transmissão do conhecimento pronto. Por exemplo,



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o professor explicou o que é multiplicação e como se faz para multiplicar e, depois, propôs "problemas" de multiplicação, nos quais os alunos vão aplicar os conhecimentos previamente ensinados.

No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o lugar do problema é o lugar daquela situação que possibilita que os alunos construam um conhecimento. Não é o lugar da aplicação de algo previamente ensinado, mas da apresentação da questão que requer a elaboração de um conhecimento do qual não dispunha previamente.

Essa mudança do lugar do problema e, geralmente, todas as características desse terceiro modelo didático, obriga o docente a levar em conta oficialmente a construção do saber por parte dos alunos, encarregando-se dos esquemas de assimilação originais dos alunos e do estabelecimento de conflitos, de contra- exemplos e de problemas que obriguem o aluno a construir conhecimentos que o aproximem do saber.

No modelo normativo, e de certa maneira também no segundo modelo, no incitativo, que podemos aproximar ao da Escola Nova, não se levam em conta a organização do saber, nem as concepções específicas dos alunos sobre cada um dos saberes a ser comunicado. O aluno fica sozinho com o problema de como fazer para incorporar os conhecimentos que queremos que ele aprenda, a partir dos esquemas de assimilação prévios que já possui.

No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o aluno não está sozinho. O docente se encarrega "oficialmente" da assimilação do conhecimento e de contribuir com ela. A primeira contribuição é pegar como ponto de partida as concepções prévias dos alunos em vez de ignorá-la.

Retomando os três pólos do triângulo didático que utilizei até agora para definir esses três modelos didáticos, gostaria de assinalar que, durante muito tempo, desde os postulados didáticos, a ênfase tem sido dada em um desses pólos: o aluno, sobretudo, em relação a seus interesses e necessidades e, mais recentemente, em relação às suas conceitualizações.

O que está evidenciado, atualmente, são os conteúdos, os saberes. Isso me parece bom, já que é imprescindível levar em conta a natureza e a organização do saber que se está querendo comunicar.

Mas isso é bom sempre que não se reduz a problemática educativa à problemática dos conteúdos, sempre que não nos esquece de que, como demonstraram alguns estudos etnográficos, a forma também é conteúdo.

Verónica Edwards, uma pesquisadora chilena que trabalhou em pesquisa etnográfica na escola, ao propor que a forma é conteúdo explicitou: Em sua existência material, o conhecimento que se transmite no ensino possui uma forma determinada, que vai sendo modelada na apresentação do conteúdo. O conteúdo não é independente da forma sob a qual é apresentado. A forma possui significados que são acrescentados ao conteúdo, produzindo uma síntese, um novo conteúdo. A lógica da interação, a maneira como o docente interage com o saber e gera situações para que o aluno interaja com o saber, reflete-se de maneira decisiva em qual vai ser a conceitualização do conteúdo que a escola realmente está comunicando.

Isso foi muito trabalhado na Didática da Matemática, particularmente por



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Chevallard, mediante a noção de transposição didática na qual ele mostra como os conteúdos vão se transformando. Ao se transformarem em objeto de ensino, primeiro em nível curricular e depois no da sala de aula propriamente dita, vão mudando de natureza. É importante, então, controlar a mudança, para que não seja muito grande, para que continue se parecendo com o que se quer comunicar, de modo que aquilo que os alunos estão aprendendo não se torne totalmente diferente do saber socialmente produzido.

Ainda que seja crucial definir os conteúdos, não é menos crucial definir como esses conteúdos vão ser trabalhados, para que, na escola, continuem sendo aqueles que a sociedade espera que se comuniquem às futuras gerações.

Até bem pouco tempo atrás, dizia-se que o pólo que ocupava o primeiro plano era o aluno. Hoje, é o conteúdo. E eu gostaria de me colocar, agora, no outro pólo do triângulo, aquele que, de alguma maneira, todos nós aqui presentes ocupamos: o lugar do professor.

É um lugar muito difícil, não só pelas condições de trabalho, mas pelas condições didáticas que precisa cumprir quando quer trabalhar com o terceiro modelo.

O primeiro problema que o professor enfrenta no terceiro modelo, chamado aproximativo/apropriativo, é o da devolução de problemas para o aluno. Aqui, o problema é o ponto de partida para a construção de um novo conhecimento. Antes, acreditávamos que era suficiente elaborar um bom problema, que fosse significativo para os alunos, no qual pudessem aplicar conhecimentos prévios e, ao mesmo tempo, que representasse um desafio para obrigá-los a construir um novo conhecimento. Isso continua sendo assim, mas o que hoje está muito claro é que tomar como ponto de partida a proposição de um problema está longe de ser fácil em situação de sala de aula, porque em nossas salas de aula, de alguma maneira, continua funcionando o contrato didático que funciona nas escolas em geral, segundo o qual é o professor que deve transmitir o conhecimento e o aluno deve escutar e aprender – modelo normativo; ou segundo o qual a produção do conhecimento não é responsabilidade do aluno, mas algo que surgirá graças à comunicação que o professor fará.

Então, o trabalho concreto em sala de aula vai mostrando que, na realidade, é muito mais fácil revelar logo a verdade, dizer-lhes como é o conhecimento já socialmente constituído do que tentar que os alunos o construam a partir da resolução de problemas. Por isso, eu disse que o primeiro problema é como devolver o problema para os alunos.

Como fazer para devolvê-lo e para manter a responsabilidade dos alunos na resolução dos problemas? Isso foi estudado na Didática da Matemática. A própria noção de "devolução" implica um reconhecimento da luta com a representação social dos direitos e deveres dos professores e dos alunos em sala de aula.

Quando Brousseau propõe essa questão, diz que escolheu a palavra "devolução" para se referir a uma das funções básicas do professor, tomando-a da terminologia legal. Na França, a devolução era um ato que o rei exercia em determinadas circunstâncias, pelo qual devolvia às Câmaras uma atribuição que correspondia a ele por direito divino, mas que ele decidia não assumir e, sim, delegar.

Que relação podemos estabelecer entre isso e o que acontece com o professor na sala de aula? Para o professor, segundo o contrato didático vigente na maioria



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das instituições escolares, corresponderia transmitir diretamente o conhecimento, mas ele fará um ato de devolução e vai autorizar os alunos a usar esse direito e construir o conhecimento. É imprescindível que o professor ceda esse direito, porque os alunos não podem tomá-lo por si mesmos, pois isso não faz parte do contrato didático vigente. Nessas condições é difícil que os alunos mantenham a responsabilidade durante muito tempo. É comum que eles perguntem: "Como se faz isso? Diga-me qual é a resposta".

Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual os alunos aceitem que, durante um certo tempo, serão eles os responsáveis pela construção, claro que com a ajuda e o apoio permanente do professor. E chegará outro momento (isso também é função essencial do docente) no qual o professor ratificará essa construção, completará, ajudará a estabelecer aquilo que os alunos não tenham podido estabelecer por si mesmos.



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MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS

TEMA Todo processo de interação flui mais facilmente se as pessoas envolvidas reconhecem o seu papel, o de seus interlocutores, o espaço, o tempo e compreendem a situação na qual se encontram. Este módulo busca proporcionar condições para que esses movimentos aconteçam. RECURSOS UTILIZADOS Equipamentos Computador Softwares e aplicativos: Números em Ação Introdução ao micro Avaliação eletrônica PowerPoint Word OBJETIVOS DE ENSINO

• Favorecer um ambiente agradável para apresentação dos alunos e do professor, que proporcione uma atuação com base no respeito e na valorização de cada membro da turma.

• Promover atividades nas quais os alunos interajam de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca e na apresentação de informações.

• Apresentar aos alunos a proposta educativa do projeto Números em Ação, para que possam conhecê-la e envolver-se gradativa e ativamente nesse processo de construção de conhecimento matemático.

• Favorecer a utilização da tecnologia como recurso que possibilita o trabalho colaborativo e diferenciado das formas usuais de ensino-aprendizagem.


• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.

• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações.

• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou à natureza da situação.

CONTEÚDOS Atitudinais • Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos.

• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de pontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.



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• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.

• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até as mais complexas.

• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade de parceria no uso dos recursos e materiais coletivos.


ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS

AULA 1 1º passo Recepção dos alunos com uma música. A sala estará preparada com os micros ligados, a interface do projeto Números em Ação aberta e as cadeiras dispostas em círculo.

2º passo O professor se apresenta e fala um pouco de si. 3º passo Os alunos se apresentam, usando a seguinte estratégia:

• a turma é dividida em duplas; • cada elemento da dupla tem dois minutos para

falar de si para o colega; • o professor marca os dois minutos e bate uma

palma; • o outro aluno fala de si, durante dois minutos; • cada aluno se apresenta para a turma, como se

fosse o colega: - Eu sou... (nome do colega) - Gosto muito de... - Tenho muita vontade de... - As companhias que me deixam feliz são... - Uma coisa muito engraçada que me

aconteceu foi... - Outras coisas que queiram falar de si

nesses dois minutos

Professor, escolha a música de acordo com as preferências dos alunos e a faixa etária deles. 3º passo Professor, sendo necessário, os alunos podem fazer anotações para não esquecerem o que foi contado pelo colega. Porém, o mais importante é garantir um clima de descontração durante a dinâmica de apresentação.



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS nesses dois minutos.

4º passo Os alunos são convidados a conhecer rapidamente a interface. Abrem, então, as aulas 1 e 2.

4º passo Professor, aproveite o momento para envolver seus alunos e aguçar a curiosidade, despertando a vontade de voltar na próxima aula.

AULA 2 1º passo Desenvolver com os alunos a dinâmica “Jogo dos Quadrados”7. A turma será dividida em quatro grupos. Cada grupo recebe um envelope contendo as peças de um quebra-cabeça que formará um quadrado. Os quatro quadrados juntos formam uma só figura. Entretanto, ao preparar os envelopes, que serão distribuídos para cada grupo, é preciso colocar em cada um deles uma peça trocada. Os alunos recebem as seguintes instruções:

1. Não abram os envelopes até que seja dado um sinal.

2. Agora abram os envelopes e montem um quadrado.

2º passo Ao final da socialização da dinâmica, aproveitar o clima instalado para fazer uma apresentação mais detalhada do Projeto e do funcionamento da SAI no desenvolvimento das atividades propostas no Números em Ação. Dar ênfase à necessidade de colaboração entre os alunos e o professor, para que essa proposta de trabalho tenha êxito.

Professor, a Dinâmica dos Quadrados deve ser realizada com toda a turma. Caso muitos alunos faltem, antecipe a aula 3 ou utilize as atividades complementares. Reorganize o planejamento para fazer a dinâmica em outro momento. Professor, no Anexo 1 você encontra as peças que compõe o quebra-cabeça do quadrado. Professor, os alunos terão dificuldades de montar um quadrado em cada grupo porque existem peças que estão trocadas entre os quatro grupos. O objetivo é que eles percebam que só realizarão a tarefa se trocarem peças com os demais grupos. Observe se os grupos se ajudam mutuamente, para o sucesso da empreitada. A tarefa só estará cumprida quando perceberem que é possível montar um único quadrado a partir da produção dos quatro

7 Fonte: Adaptado de ANTUNES, Celso, Manual de técnicas de dinâmica de grupo de sensibilização de ludopedagogia, Petrópolis, Vozes, 6ª ed., 1993, p. 97.



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grupos. Se necessário, faça intervenções até que os alunos reconheçam a orientação inicial: abrir os envelopes e montar um quadrado.

AULA 3 Nesta aula, os alunos têm um primeiro contato com o micro, seu funcionamento, uso e cuidados. 1º passo Os alunos iniciam a exploração do software Introdução ao Micro.

Professor, o tempo previsto para esta atividade é de apenas uma aula. É provável que não seja possível esgotar todas as atividades nesse tempo. Dessa forma, o software ficará disponível como atividade complementar, para aqueles alunos que tiverem interesse em explorá-lo mais.

AULA 4 e 5 1º passo Os alunos se organizam em grupos de 3, para discutir sobre o projeto Números em Ação a respeito de:

1. expectativas comuns; 2. como gostariam de trabalhar no Projeto; 3. papéis de alunos e professores.

Para desenvolver essa atividade, inicialmente, os alunos discutem e fazem um planejamento de apresentação no caderno. Depois de pensada e organizada a proposta será feita no PowerPoint. 2º passo Os alunos mostram suas produções (apresentações).

Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer a atividade do Termômetro para avaliar o grupo de atividades desenvolvidas nas aulas de 1 a 5.

Professor, não havendo recurso disponível como o PCTV, utilize o rodízio como estratégia para a apresentação.



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TEXTO COMPLEMENTAR II

A avaliação diagnóstica Propósito O propósito da avaliação diagnóstica é determinar as competências já construídas pelos alunos das 5ªs e 6ªs séries, ao longo de sua escolarização, sobre Sistema de Numeração Decimal e Cálculos. Propõe-se que esta avaliação seja feita por meio do uso individual do software Avaliação Eletrônica cujas características e funcionamento estão descritos a seguir. Características das questões que comporão a avaliação diagnóstica As questões que comporão a avaliação foram construídas com base na adaptação dos descritores do SAEB e do SARESP. Foram concebidos e formulados como uma associação entre os conteúdos curriculares e as operações mentais desenvolvidas pelos alunos. São eles: D1 – Reconhecer e utilizar características do SND, tais como: agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional. D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentes operações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textos que incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos. D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou não, por meio de estratégias pessoais. Os descritores selecionados são aqueles que dizem respeito a alguns conteúdos conceituais e procedimentais que serão trabalhados no Projeto Números em Ação, a saber: • Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND; • os números naturais e seu uso social; • os números racionais e sua representação decimal (a partir de seus

diferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade); • significado das operações fundamentais; • leitura e interpretação de informações apresentadas em gráficos e tabelas; • decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com

calculadora), exato ou aproximado, em função da situação problema apresentada

As avaliações A e B contêm, cada uma, 15 questões “espelhadas” ou “equivalentes”. Isso significa que, para cada questão da avaliação A, existe uma equivalente na avaliação B, que trabalha o mesmo conteúdo, por meio de uma situação-problema que é praticamente a mesma e que pode ser resolvida usando-se raciocínio semelhante ao da questão-espelho.



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Essa estratégia permite que a avaliação seja aplicada em dois momentos distintos, sendo um para cada metade da turma, com duração de 100 minutos, garantindo assim seu caráter individual. No ANEXO 2, estão descritas as 30 questões elaboradas para a avaliação diagnóstica acompanhadas dos descritores correspondentes e das mensagens de acerto e de erro. A resposta correta de cada questão está destacada em negrito e em itálico. Descrição do Software Número de participantes: 1 Propósito Determinar as competências já construídas pelos alunos das 5ª e 6ª séries sobre Sistema de Numeração Decimal e Cálculos. Componentes do software O programa é composto por quatro módulos, a saber:

Cadastro de questões: aplicativo no qual as questões que comporão as avaliações são cadastradas e editadas.

Avaliações e Relatórios: programa que permite criar avaliações,

definindo suas propriedades – quantidade e seleção de questões. É também nesse módulo que são gerados os relatórios de desempenho do aluno. Importante! O campo Tempo, existente nesse módulo, determina a duração da avaliação. Se não for necessário delimitar o tempo para a realização da avaliação, basta deixar esse campo em branco ou digitar 00:00. Cadastro de alunos: este aplicativo possibilita cadastrar a escola e os

alunos que farão as avaliações. Programa Avaliação Eletrônica: é o software propriamente dito, no

qual os alunos realizarão as avaliações. Antes de ser executado, é necessário que todos os cadastros (avaliação, aluno, questões) tenham sido feitos.

Quando o software é instalado na opção Servidor, cria-se, no Menu Iniciar – Programas, a pasta Avaliação Eletrônica, com atalhos para os 4 módulos. Na opção Estação, é criado apenas o atalho para a Avaliação Eletrônica. Os módulos de cadastro são protegidos por senha (a mesma para todos), a fim de que somente o professor e/ou o administrador do sistema tenha acesso a eles. A senha inicial é escola e precisa ser digitada com todas as letras minúsculas. Para alterá-la, basta acessar o módulo Avaliações e Relatórios e selecionar o menu Senha do Administrador. Será, então, aberta uma tela para confirmação da senha atual e cadastro da nova senha.



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Para o uso no projeto Números em Ação, não será necessário fazer cadastro de escola e alunos, pois esses dados serão obtidos do Cadastro Único. Além disso, as avaliações A e B, propostas nas aulas 6, 7, 8 e 9, bem como suas questões, já estão cadastradas. Dessa forma, não será preciso utilizar nenhum dos módulos de cadastro antes de usar o software Avaliação Eletrônica. Início da avaliação Nas aulas 5 e 6, propõe-se que metade dos alunos realize a Avaliação A e, nas aulas 7 e 8, que a outra metade realize a Avaliação B. Sendo assim, de acordo com a aula em questão, o professor deverá orientar os alunos a resolverem a avaliação A ou a B. Ao iniciar o programa, os dados do aluno (escola, nome e RA) serão exibidos na tela. Bastará que o aluno selecione uma das duas avaliações disponíveis (A ou B), seguindo a orientação do professor. O professor/administrador do sistema deverá, então, conferir os dados do aluno (prova selecionada, escola, nome e RA). Se estiverem corretos, digitará sua senha (a mesma utilizada nos módulos de cadastro da avaliação eletrônica), para que o aluno possa iniciar a avaliação. Questões Apesar de todas as avaliações de mesmo tipo (A ou B) serem compostas pelas mesmas questões, a ordem em que elas são propostas para o aluno é definida de forma aleatória. Assim, as questões da avaliação A de um aluno não estarão organizadas necessariamente na mesma ordem da avaliação A de outro. Resolução da avaliação Durante a resolução da avaliação, o aluno poderá navegar livremente pelas questões, respondendo-as na ordem que desejar. Poderá, inclusive, repensar suas respostas e alterá-las, caso seja necessário. O programa só armazenará as respostas do aluno quando ele finalizar a avaliação. Gráfico de desempenho Ao final da avaliação, exibe-se uma tela de desempenho, contendo o nome do aluno, a quantidade de questões respondidas (correta/incorretamente) e não respondidas e um gráfico da porcentagem de acertos e erros, em formato pizza. Esse é o único retorno que o programa fornece para o aluno. Término da avaliação A avaliação eletrônica poderá ser finalizada de duas maneiras: • Quando o botão Terminar for selecionado: nesse caso, o gabarito do aluno é

gravado na base de dados do programa e considerado nos relatórios gerados. O aluno só poderá resolver novamente a mesma avaliação se for autorizado pelo professor/administrador do sistema. Nesse caso, os dados da nova avaliação substituirão os da antiga na geração dos relatórios, apesar de ambos ficarem armazenados na base de dados do programa.



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Quando o aluno clica no botão Terminar, o programa solicita que o professor digite sua senha, validando o término da avaliação. Ou seja, uma avaliação só pode ser encerrada com a aprovação do professor.

• Quando o botão Desistir for selecionado: nesse caso, as questões que o aluno já tiver resolvido não serão armazenadas no banco de dados e seu desempenho não constará nos relatórios fornecidos pelo programa. O aluno poderá resolver novamente uma avaliação da qual desistiu, mas, para isso, precisará da autorização do professor/administrador do sistema.

Relatórios de desempenho Os relatórios gerados pelo programa Avaliação Eletrônica só podem ser acessados pelo professor/administrador do sistema, no módulo Avaliações e Relatórios (protegido por senha). Atualmente, os dados das avaliações realizadas pelos alunos geram relatórios organizados da seguinte maneira: • Por prova:

Por alunos: selecionando-se a avaliação, é possível saber quais alunos a realizaram, em que data, quanto tempo demoraram para finalizá-la quantos acertos e erros tiveram e visualizar um gráfico comparativo dos acertos e erros dos alunos que concluíram a avaliação selecionada.

• Por aluno: avaliação completa e reduzida para impressão

Avaliação completa: selecionando-se a avaliação e o aluno, este relatório apresenta todas as informações da avaliação realizada: data, horário, tempo gasto, descrição detalhada de todas as questões – enunciado e alternativas, alternativa correta, resposta do aluno, situação da resposta (certa, errada, questão não respondida), mensagem de erro/acerto, descritor. Ao final do relatório, é gerado um gráfico de acertos e erros do aluno na avaliação. Reduzida para impressão: este relatório apresenta, de forma resumida, as

mesmas informações da avaliação completa. A diferença é que as questões são identificadas apenas por seus números (o enunciado e as alternativas de respostas não são detalhados no relatório).

• Geral da escola:

Por alunos: considerando-se todas as avaliações propostas e todos os alunos que as fizeram, é possível saber quantas avaliações cada aluno realizou, o número e a porcentagem de questões certas e erradas e visualizar um gráfico comparativo dos acertos e erros dos alunos (em todas as avaliações).

Posteriormente, será enviado às escolas um aplicativo que possibilitará a criação de outros dois tipos de relatório, mais sofisticados, a saber: 1. Por aluno

• Número e Percentual total de acertos (em 15 questões acertou) • Número e percentual de acertos e de erros, por descritor



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• Indicação de mensagem de acerto e de erro por questão.

2. Por turma • Percentual de acertos:

N = percentual de acertos 0 ≤ N ≤ 20 20 < N ≤ 40 40 < N ≤ 60 60 < N ≤ 80 80 < N ≤ 100

• Número e percentual de alunos com acertos em cada descritor ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS

AULAS 6, 7, 8 e 9 Aplicação da avaliação nos alunos do grupo do dia: Avaliação A: aulas 6 e 7 Avaliação B: aulas 8 e 9

Ao final de cada grupo de aulas, copiar, de cada máquina, o arquivo vestsim.mdb, que se encontra em “C:\Arquivos de programas\Info Educacional\Avaliação Eletrônica”. Se as máquinas do laboratório estiverem conectadas em rede, basta copiar o arquivo de mesmo nome, que se encontra no servidor, no mesmo local. Esses arquivos serão necessários posteriormente, quando for enviado à escola o aplicativo que possibilitará gerar os dois relatórios de consolidação dos dados.

Professor, a turma precisa ser dividida em dois grupos. Garanta um dia de aula geminada para que cada grupo faça a avaliação do dia correspondente.



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MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS

TEMA Contar e escrever quantidades faz parte da rotina das pessoas. Será que sempre foi assim? As atividades propostas neste módulo permitirão refletir sobre os processos de desenvolvimento dos sistemas de numeração ao longo da história da humanidade.

Mas por que trabalhar com os sistemas de numeração antigos? As representações matemáticas, das mais simples às mais elaboradas, são resultado de um processo histórico complexo. Analisá-las, compará-las e relacioná-las ajudarão os alunos a explicitar e entender as regras de formação e as características do sistema decimal de notação numérica que utilizamos hoje, e a compreender por que é ele o sistema mais eficiente já criado pelo homem para representar grandes quantidades e fazer operações por escrito.

Outra razão diz respeito ao vínculo existente entre a aprendizagem das operações e a aprendizagem do sistema de numeração decimal (SND). O valor posicional é um recurso muito utilizado para fazer cálculos mentais. Por exemplo: para calcular 37 + 48 é possível fazer 30 + 40 e depois 7 + 8. Por outro lado, para se avançar no entendimento das regras de formação do sistema de numeração, é preciso fazer operações como, por exemplo, entender que 25 é um número que pode ser representado pela operação 15 + 10. Assim, ao se trabalhar o SND, o aluno avançará no entendimento das operações, da mesma maneira que avançará no entendimento do SND ao trabalhar com as operações.

RECURSOS UTILIZADOS Equipamentos Computador Software e Aplicativos Números em Ação Word Paint Brush PowerPoint Outros materiais Livros Para pesquisa do professor sobre sistemas de numeração e numeração indo-arábica Os números: A história de uma grande invenção. Georges Ifrah. São Paulo: Globo, 1985 Sistemas de numeração ao longo da história, Edwaldo Bianchini e Herval Paccola. São Paulo: Moderna, 1997 A numeração indo-arábica. Luís Márcio Imenes. São Paulo: Scipione, 1993. Atividades e jogos com números Marion Smoothey. Série Investigação Matemática. São Paulo: Scipione, 1998.



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Números - problemas, jogos e enigmas. David L. Stienecker. São Paulo: Moderna, 1998. No ambiente virtual Vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador Aula Multimídia Alterável Sistema de numeração romano Sistema de numeração egípcio Sistema de numeração maia Sites na Internet Para uso do professor sobre sistemas de numeração http://educar.sc.usp.br/matematica/l2t8.htm http://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.html http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/histomatica/histoari.html http://pagpessoais.iol.pt/fornelos/matematica/BentoF/HFMbentofernandes.htm http://www.mathema.com.br Sobre jogos, para as atividades complementares http://www.monica.com.br/diversao/games/senha/welcome.htm http://sagres.mct.pucrs.br/museuvirtual/Jogos/jogos.html http://www.jogos.antigos.nom.br/apres.asp http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/index_ca.htm OBJETIVOS DE ENSINO

• Propiciar um ambiente rico em atividades significativas, desafios e recursos tecnológicos que estimulem e favoreçam a aprendizagem do sistema de numeração decimal.

• Criar oportunidades do conhecimento de outras culturas, por meio do estudo dos sistemas de numeração criados pelo homem ao longo de sua história.

• Orientar o aluno a buscar soluções de problemas de forma crítica, criativa e cooperativa.

• Incentivar o uso da tecnologia, propiciando a familiaridade com aplicativos e softwares educacionais.


• Estabelecer relações de semelhanças e diferenças entre as regras que organizam os diferentes sistemas de numeração criados pelo homem e o sistema de numeração decimal.

• Reconhecer a posicionalidade como característica fundamental do sistema de numeração decimal ao transformar notações numéricas convencionais.



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CONTEÚDOS

Conceituais

• Os sistemas de notação numérica ao longo da história da humanidade: características, usos e relações com o sistema notacional decimal.

• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND. • Notações numéricas convencionais.

Procedimentais

• Uso da escrita como instrumento de reflexão e/ou de representação. • Elaboração de registros relativos às produções e às gravação dos mesmos

com uso do Word e do PowerPoint.

Atitudinais

• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.

• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos (vídeos e animações) como fontes de informação importantes para a aprendizagem.

• Disposição em seguir as orientações dadas, objetivando o uso adequado do software.

TEXTO COMPLEMENTAR III

A APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS

2ª PARTE



Tradução livre: Daisy Moraes

Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual as crianças aceitem que, durante um certo tempo, serão elas as responsáveis pela construção de conhecimento, claro que com a ajuda e com o apoio permanente do professor. E chegará outro momento (isso também é função essencial do docente) no qual o professor ratificará essa construção, completará, ajudará a estabelecer aquilo que as crianças não tenham podido estabelecer por si mesmas.

Gostaria de exemplificar com uma situação na qual esse clima já está bastante solidificado e que, de alguma maneira, demonstra algumas intervenções do docente para continuar devolvendo o problema no decorrer da situação didática e não somente na proposta inicial da situação.

No trabalho que Patricia Sadovsky e eu estamos realizando, com a colaboração de Susana Wolman, procuramos fazer com que as crianças cheguem a



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compreender o sistema de numeração – em particular o valor posicional do sistema – no âmbito de uma proposta que não toma como ponto de partida a revelação da verdade, isto é, que não toma como ponto de partida o docente ensinar dezenas e centenas e que façam agrupamentos explicitando que o valor relativo dos números tem a ver com o lugar que ocupam, porque isso representa diferentes agrupamentos, mas que toma como ponto de partida as concepções das crianças e gera situações didáticas que tornam possível a interação com o sistema, a produção e a interpretação de números, o vínculo entre o sistema de numeração e as operações matemáticas.

Em uma atividade de segunda série, propusemos uma situação na qual ditávamos um número e pedíamos às crianças que fizessem transformações na calculadora. Por exemplo, para que 6.275 se transformasse em 6.075; para que 7.403 se transformasse em 7.003. Essa atividade foi bem interessante, porque as crianças trabalharam bastante por tentativa e erro. Por exemplo, diante de 9.354 para que fosse produzido 9.054, primeiro sobraram três, depois sobraram 30 e depois, 300. A vantagem dessa situação é que ela é auto-verificadora, pois como eles sabem que têm de obter um resultado na calculadora, sabem também se a operação que fizeram está correta ou não, na medida em que lhes permite ou não obter o resultado. O fato de gerar situações nas quais as próprias crianças possam ver se o que estão fazendo está certo ou não, é crucial para conseguir devolver o problema. Se toda atividade das crianças depende sempre de que seja o professor que avalie o que está certo ou errado, perde-se completamente a possibilidade de que sejam as crianças as responsáveis pelo problema.

Em alguns casos, como neste, consegue-se que a própria situação permita que as crianças verifiquem a correção ou não daquilo que estão fazendo. Em outros casos é o professor que deve expor sua opinião depois, e ser aquele que tem de continuar devolvendo o problema sem avaliar, para ir buscando outras maneiras de validação, como, por exemplo, social por consenso entre as crianças.

Na situação que contava a vocês, eles discutiram algumas coisas: por que haviam sobrado primeiro três e, depois, trinta? Como poderiam saber, antes, o que deveria sobrar, sem fazer tantas tentativas? Algumas crianças encontraram respostas que passaram pela denominação oral dos números. Patrício disse: "Porque é 268; se quero que me apareça um zero no lugar do dois, tem de sobrar duzentos, porque não estou dizendo 9.200? Não estou dizendo nem 20 nem 2. Então, o que deve ser tirado é duzentos." As explicações eram basicamente essas.

Em seguida, realizamos outra situação com calculadora e propusemos a mesma coisa, mas com números como 4.444, isto é, com números que fizessem com que os alunos percebessem a diferença entre o que deveria sobrar conforme o zero estivesse colocado no quatro de quarenta, no quatro de quatrocentos ou no de quatro mil.

Estávamos procurando que eles conseguissem conceituar como faziam para antecipar o que deveria sobrar. Essa antecipação estava vinculada ao valor posicional do número que deveria sobrar, e procurava-se fazer com que as crianças tivessem consciência disso.

Em seguida, propusemos outra situação em que pedíamos a eles que somassem



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números redondos, encontrando a maneira mais rápida de fazê-lo.

Alguns exemplos das somas:

4.000+20+600+2

90+500+7.000

100+2+5.000

Uma vez que, individualmente, todas as crianças haviam resolvido as somas e refletido sobre a maneira mais rápida de encontrar o resultado, começamos a discutir. Todas as crianças estavam de acordo: para fazê-lo rapidamente, ele deveria ser ordenado. Deveriam pôr primeiro os números maiores de cada soma, ordenando do maior para o menor.

Observamos como procuramos devolver-lhes o problema, para que pudessem continuar pensando sobre essa questão, em lugar de fechar rapidamente a discussão.

Estabelecido o acordo, Santiago diz: "Eu não somei, eu tirei os zeros”. Como fez isso?, pergunta a professora. Então ele vai até a lousa e escreve 1.000+500+80+6, risca os três zeros do mil, os dois do quinhentos e o zero do oitenta e coloca 1.586, mostrando que o que fez foi pegar o primeiro número de cada caso.

A professora diz:

É a mesma coisa se eu fizer isso: 500+1.000+80+6?

Então, tiro os zeros e fica assim: 5.186. A professora vai outra vez à lousa e diz: Se eu escrevo 8+6+3+4, também sobra 8.634?"

Santiago: "Não, tem de haver zeros, se não, não serve."

Digo: "Então esta deve servir". Escrevo na lousa: 10+50+80+60=1.586.

As crianças gritam: "Não!"

"Mas tem zeros", digo.

Santiago diz que tem de haver mais zeros.

As crianças ficam muito desconcertadas, olhando e pensando. Então nós lhes dizemos: "Santiago disse que não somou, mas tirou os zeros".

(As outras, sim, somaram, porque a maioria delas diante dessa situação havia pensado o seguinte):

1.000+500 é: 1.000+ 100= 1.100

1.100+100=1.200 1.200+ 100= 1.300

1.300+100=1.400 1. 400+ 100= 1.500

e, depois

1.500+80 é:

1.500+10=1.510

1.510+10=1.520 '"



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até chegar a:

1.570+ 10= 1.580

A maioria havia realmente somado todas as vezes, fazendo isso de 100 em 100 ou de 10 em 10, salvo quando somaram as unidades, logicamente).

Isso somente aconteceu nesse caso ou poderia acontecer em outros? As crianças dizem que sim, que acontece em outros casos e dão os mesmos exemplos que eles haviam resolvido antes.

A professora diz que devem, então, procurar descobrir quando os dois métodos – somar e tirar os zeros – dão o mesmo resultado e quando não dão. Esse problema fica para a próxima aula. Mas as crianças não querem sair para o recreio e continuam olhando seus cálculos até que uma criança grita: "Não é a mesma coisa quando tem um zero e o resultado”.

Então, ela coloca na lousa 5.000+80+4 e diz: "Se eu somo, isso dá 5.084, mas se uso o método de Santiago, isto é, tirar zeros, dá 584".

Outras crianças mostram outros casos em que acontece a mesma coisa: existem zeros no resultado, então, não funciona a equivalência dos dois métodos; não se pode tirar os zeros para obter o resultado. Digo a eles: "Ótimo, acho que essa regra funciona. Mas não entendo muito bem para que me serve saber que posso usar o método de tirar os zeros quando existe zero no resultado e não quando não existe zero, porque se quero usar esse método que é mais rápido, o interessante é usá-lo quando ainda não sei o resultado. Se tenho de somar da mesma maneira, primeiro para saber se tem ou não zero, para que isso me serve? Esse problema fica proposto para a próxima aula". Mas as crianças não querem esperar.

Santiago continua olhando as contas e depois de alguns minutos diz: "Já sei. Para que funcione tem de haver nos dados um de três zeros, outro de dois zeros, outro de um zero e outro de nenhum zero, se não, não funciona".

A professora diz que ele está no caminho certo. Bruno diz: "Ah! Mas se for assim, esse método não serve para nada. Quantas vezes você vai ter um que tenha três zeros, dois zeros, um zero e nenhum zero”?

A professora acrescenta: "Bruno diz que somente funciona para esse caso, então não vale a pena, porque nem sempre encontraremos contas iguais a esta. Contudo, se descobrirmos porque funciona nesse caso e não nos outros, então vamos encontrar uma maneira que funcione em muitos casos. Pensem um pouco. E agora, sim: isso fica para a próxima aula”.

Na aula seguinte, as crianças trazem algumas conclusões.

Estão discutindo sobre o 1.000+500+80+3 e Francisco diz: "Isso somente funciona se antes de fazer isso a gente põe em ordem".

Pablo diz: "Se você começa pelo três, que é o menor, fica mais difícil de fazer, mas você pode fazer assim mesmo".

Pablo coloca um exemplo 8.000+80 e diz: "Aqui tenho de colocar um oito aqui e aqui" e mostra o lugar dos 1.000 e dos 10: "somente assim tenho o resultado



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8.080. Se tiro os zeros, dá 8+8=16. Não pode ser assim".

Aqui começa a aparecer a idéia a que devem prestar atenção: são 1.000 ou 100. Santiago diz: "Estes números não. Tenho de ter 1.000, posso ter cem, ou oitenta e o três". (Continua insistindo na sua posição)

Então pergunto por que está escolhendo esses números e ele diz:

"Escolho qualquer tipo de números."

"Ah, sim? Quais requisitos eles devem cumprir, Santiago?”.

"Sempre têm de ter um zero a menos e no final um número que não tenha zero”.

"Espera um pouco" - diz a professora e escreve na lousa: 1.000+100+80+0, "porque seu colega estava dizendo que poderia ter um zero no final".

"Ah, sim, pode ter um zero no final", diz Santiago.

"Claro, isso dá 1.180 e está certo", diz Patrício.

"Alguém entendeu"? , pergunta Santiago.

"Estou percebendo algo (diz a professora), mas não vou dizer”.- "Os zeros vão diminuindo", diz Patrício.

“Não - diz uma criança - preste atenção que 80 e o 0 têm somente um zero."

"Estes têm três zeros; o 100 tem um zero a menos."

Diz Sol: "Por que será que Delia colocou um zero em vez de colocar um três?"

A discussão prossegue. Continuam planejando outras atividades até que se consiga que as crianças elaborem uma conclusão: o que podemos fazer quando temos números redondos é considerar diretamente, para elaborar o resultado, qual é o número que irá ao lugar dos dez, dos cem ou dos mil, conforme o valor representado na soma original.

Sem dúvida alguma, teria sido mais fácil revelar a verdade logo no início. Esse processo durou quatro aulas, mas possibilitou às crianças chegarem à conclusão que fez com que avançássemos muito na compreensão do valor posicional e seu vínculo com as operações de soma e resto.



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AULA 10 Nesta aula, os alunos usarão o vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador 8 que está no CD de recursos. O trabalho com o vídeo tem por objetivo iniciar os alunos no estudo dos antigos sistemas de numeração, estudo necessário à construção do empreendimento final que é a elaboração de um novo sistema de numeração. 1º passo

Os alunos assistem ao vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador.

2º passo De acordo com a estratégia utilizada, os alunos apresentam e discutem as informações obtidas.

Professor, é importante reforçar para os alunos que o objetivo de cada aula que trata de sistemas de numeração, é que entendam as regras de formação de cada um desses sistemas. A partir delas, poderão construir um novo sistema de numeração, que tenha novos símbolos e novas regras de associação. Professor, leve seus alunos a explorar as informações relativas a sistemas de numeração contidas no vídeo. Para isso, você pode criar estratégias que considere interessantes ou utilizar uma das duas sugestões seguintes: • Orientar os alunos que

façam anotações, no caderno, sobre as informações que acharam mais relevantes e as organizem no DOC para salvá-las.

• Pedir aos alunos que se

dividam em grupos. Cada grupo se encarrega de fazer anotações, no caderno, específicas dos diferentes sistemas apresentados: base 2, base 10, base 60, numeração romana. Em seguida, organizam as informações no DOC para salvá-las.

AULA 11 As aulas 11, 12 e 13 têm por objetivo relacionar as regras e as características de três sistemas de numeração antigos, determinando os princípios de sua formação como referência para a elaboração de um novo sistema de numeração (ativ. da aula 14)

Geral Professor, incentive os alunos a realizar as atividades propostas, para que concluam que nos sistemas de numeração não basta conhecer apenas os símbolos. É necessário saber também as regras de associação.

8TV-Escola: Série Invenções e descobertas; Direção: Marie Annick Lê Guern; Duração:5’15”



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS 1º passo Os alunos resolvem as atividades propostas na aula multimídia Sistema de Numeração Romano e conhecem um pouco mais sobre as suas características.

Professor, os alunos podem navegar livremente pela aula multimídia, para consultar os valores dos símbolos e as regras de associação, ao resolver a atividade. A solução do problema pode ser apresentada aos alunos clicando na tecla PgUp (Page Up).

AULA 12 1º passo Os alunos resolvem as atividades propostas na aula multimídia Sistema de Numeração Egípcio e conhecem um pouco mais sobre as características desse sistema. 2º passo Os alunos fazem um ditado de números que devem ser escritos no sistema de numeração egípcio, alternando a função de desafiador.

1º passo Professor, oriente os alunos para que encontrem semelhanças e diferenças entre o sistema de numeração egípcio e o nosso, a fim de que possam determinar os valores de cada um dos símbolos usados do sistema egípcio. 2º passo Professor, lembre aos alunos que eles podem consultar a tabela dos símbolos egípcios durante toda a atividade do ditado. É importante chamar a atenção de que quem propõe o desafio deve saber resolvê-lo.

AULA 13 1º passo Os alunos resolvem as atividades propostas na aula multimídia Sistema de Numeração Maia e conhecem um pouco mais sobre as características desse sistema.

Geral Professor, é importante orientar os alunos para que explicitem as semelhanças e as diferenças entre os sistemas de notação numérica, principalmente em relação ao sistema decimal, o que é essencial para que determinem os princípios do sistema que criarão. 1º passo Professor, incentive os alunos a analisar a escrita dos números que são apresentados. A discussão com o colega é fundamental



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS 2º passo Promover uma discussão sobre as informações que obtiveram ao fazer a aula multimídia.

para que possam entender as formas de representação no sistema maia. Professor, a base só é vigesimal até o número 360. A partir daí, os maias contavam por ciclos de 360. O interesse da contagem estava voltado para o calendário que dividia o ano em 18 meses de 20 dias, num total de 360 dias. Para maiores informações, leia as informações das p. 654 a 667 do livro História universal dos algarismos ,de Georges Ifrah, tomo 1, Editora Nova Fronteira. 2º passo Professor, esse é um sistema de numeração que envolve regras bem diferentes das que foram trabalhadas até aqui. Sua ajuda será de grande importância para que os alunos se interessem em conhecê-las e entendê-las. Professor, a solução do problema pode ser apresentada aos alunos, clicando em qualquer lugar da tela e depois na tecla Ins.(Insert).

AULAS 14 e 15

Geral Professor, você pode encontrar informações complementares sobre sistemas de numeração e numeração indo-arábica nos sites: http://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.html http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/histomatica/histoari.html http://pagpessoais.iol.pt/fornelos/matematica/BentoF/HFMbentofernandes.htm



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS 1º passo A partir das informações coletadas no vídeo e nas aulas multimídia sobre os sistemas de numeração, elaborar, com os alunos, um quadro comparativo que explicite as semelhanças e diferenças desses sistemas. Uma sugestão de quadro é: Sistema

que usamos

Sistema Romano

Sistema Egípcio

Sistema Maia

Quantos e quais símbolos possuem

Base: de quanto em quanto conta-se

Princípios: regras de associação dos símbolos

http://www.matematicasociety.hpg.ig.com.br/sistema_de_numeracao.htm

http://educar.sc.usp.br/matematica/l2t8.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

http://www.unifebe.edu.br/teresabotelho/digital/Sistnumera.html

Livros: "Os números: a história de uma grande invenção", Georges Ifrah. São Paulo: Globo, 1985.

“Sistemas de numeração ao longo da história”, Edwaldo Bianchini e Herval Paccola. São Paulo: Moderna, 1997.

“A numeração indo-arábica” Luis Márcio Imenes. São Paulo: Scipione, 1993.

“Atividades e jogos com números” Marion Smoothey. Série Investigação Matemática. São Paulo: Scipione, 1998.

“Números, problemas, jogos e enigmas”, David L. Stienecker. São Paulo: Moderna, 1998. 1º passo Professor, suas interferências no momento da discussão são importantes para que os alunos criem um sistema de numeração realmente novo. Lembre-se de que a mera substituição de símbolos não constitui um novo sistema. É necessário que os alunos elaborem novas regras de associação dos símbolos. Os alunos podem fazer a tabela utilizando o caderno, em cartazes ou usando o DOC (Word) ou PPT (PowerPoint).



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS A discussão pode ser encaminhada a partir da questão: - Para criar um novo sistema é suficiente criar símbolos? 2º passo Os alunos iniciam o trabalho de criação de um novo sistema de numeração, utilizando Paint Brush ou PowerPoint. 3º passo Cada dupla apresenta seu trabalho, para análise e validação dos sistemas de numeração criados.


3º passo Professor, faça com que os alunos analisem a eficiência dos sistemas de numeração criados.



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MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS

TEMA

O cálculo é parte integrante da história do pensamento humano e não é possível fazer matemática sem ele. É necessário, então, repensar a forma de trabalhá-lo na sala de aula. Acreditamos que não é suficiente pensar que calcular é fazer contas com lápis e papel, já que existem formas mais significativas de se desenvolver esse trabalho com os alunos. O cálculo mental e o uso de calculadoras têm papel importante no desenvolvimento da competência de cálculo dos alunos.

Fazer um cálculo mental significa efetuá-lo sem o apoio das contas convencionais. Seu suporte está nas propriedades das operações e do entendimento do valor posicional dos algarismos que formam os números. Exemplificando: se tenho de adicionar 12 com 14 com 16 e com 19, posso começar adicionando o 14 com o 16, encontrando o 30 para depois juntar o 19 e depois o 12. Aqui, as propriedades comutativa e associativa são usadas como recurso de cálculo. Já no caso de multiplicar 5 por 17, posso fazê-lo multiplicando o 10 por 5 e depois o 7 por 5, ou seja, o valor posicional foi importante para encontrar mentalmente o resultado.

Um aspecto importante para o desenvolvimento das aulas de cálculo mental é a explicação, por parte dos alunos, de como pensaram. As estratégias devem ser confrontadas e analisadas, para que as mais eficazes sejam determinadas. É importante ressaltar que o cálculo mental exige experiência e por isso deve ser, permanentemente, proposto em sala de aula.

O uso da calculadora na escola está deixando de ser um mito. As atividades propostas desafiam os alunos a raciocinar de maneiras diversas, a investigar matematicamente a situação-problema e a elaborar estratégias inusitadas e diversificadas. A calculadora é utilizada como instrumento didático de reflexão e de controle da aprendizagem. Uma de suas principais qualidades é a rapidez e a facilidade com que se podem obter uma grande variedade de estratégias. Desta maneira, os alunos terão em mãos um potente instrumento para fazer conjecturas, verificar sua correção e fazer as modificações necessárias.

Calcular por escrito, armando as contas convencionalmente, é o ponto de chegada do trabalho com cálculo e não o ponto de partida. Sabe-se que quando o aluno se sente liberado de operar convencionalmente, sua atenção volta-se para o raciocínio. As técnicas operatórias são importantes, apesar de serem a repetição automática de ações que levam a um resultado esperado. Não devem ser consideradas como o único recurso que se dispõe para que os alunos aprendam a operar. Saber armar a conta no papel e resolvê-la não significa, necessariamente, que se sabe subtrair, por exemplo.

É importante que os alunos representem seus cálculos de maneira livre e discutam essas representações, para que possam se apropriar, com compreensão e gradativamente, da técnica operatória convencional.



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RECURSOS UTILIZADOS Equipamentos Computador Software e Aplicativos Números em Ação Word PowerPoint No ambiente virtual Games Senha numérica Jogo da Velha dos números Alinhando números Vira-latas Aulas Multimídia Alteráveis Caixa eletrônico Supermercado virtual Contas de adição Contas de subtração Animações Calculadora com valor posicional Caracol Água do rio Tecla estragada para adição Tecla estragada para subtração Sites na Internet Para uso do professor www.mathema.com.br www.somatematica.com.br OBJETIVOS DE ENSINO

Propor situações didáticas que: - utilizam a calculadora como ferramenta de reflexão que permite o

desenvolvimento de estratégias de cálculo mental, com exploração das propriedades do sistema de numeração decimal e das operações de soma e subtração;

- possibilitam o confronto e a discussão permanentes dos dados indicados e das diferentes estratégias elaboradas pelos alunos.

Auxiliar o aluno a expressar, cada vez mais claramente, seu pensamento e, progressivamente, fazer uso da linguagem e dos registros convencionais da Matemática.

Estimular o trabalho colaborativo para desenvolver a autonomia do aluno. Incentivar o uso da tecnologia, propiciando a familiaridade com jogos

educacionais e animações para a solução de problemas matemáticos.



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• Compreender e utilizar as regras do SND para leitura, escrita e comparação de números naturais.

• Compreender os significados da adição e da subtração de números naturais. • Propor diferentes estratégias ao resolver uma mesma situação-problema. • Desenvolver diferentes estratégias de cálculo mental, escrito, estimado e

com calculadora. • Utilizar as propriedades das operações e o valor posicional como recurso de

cálculo mental. • Antecipar e verificar resultados de cálculos feitos. • Analisar estratégias de resolução desenvolvidas por terceiros. • Utilizar a estimativa como recurso para avaliação da adequação de um

resultado. • Compreender os algoritmos convencionais da adição e da subtração, por

meio de análise de registros feitos por terceiros. • Analisar algoritmos não-convencionais e convencionais de subtração. • Utilizar as animações e os jogos como recursos de aprendizagem. • Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.

CONTEÚDOS

Conceituais

• Princípios de escrita de números naturais em um sistema • Significados da adição e da subtração.

Procedimentais

• Uso da calculadora e da escrita como instrumento de reflexão e/ou de representação.

• Uso das propriedades das operações como recurso de cálculo. • Decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com

calculadora), exato ou aproximado, em função da situação-problema apresentada.

• Revisão de produções para detectar, analisar e corrigir erros. • Uso de editor de textos para registro das produções. • Discussão em grupo.

Atitudinais

• Confiança em suas maneiras e estratégias para resolver problemas. • Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos que

envolvam a busca de resultados. • Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e de troca

de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem. • Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos. • Interesse em conhecer diferentes formas de resolver problemas. Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos (vídeos e

animações) como fontes de informação importantes para a aprendizagem.



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TEXTO COMPLEMENTAR IV

SOBRE A CALCULADORA

Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz Coordenadoras do Mathema

http://www.mathema.com.br

Desenvolver o sentido de número e capacidades como o cálculo mental e a estimativa são objetivos que ficam extremamente valorizados nas aulas de Matemática com a introdução da calculadora. Isso porque consideramos que desenvolver um sentido sobre números é muito mais que fazer contas, é construir uma rede de idéias, esquemas e operações conceituais que levem o aluno a utilizar esses conceitos em uma ampla variedade de situações.

Uma nova forma de encarar o cálculo possibilita novas abordagens numéricas, por meio de atividades que permitam ao aluno tirar todo o partido do uso da calculadora, podendo investigar propriedades, verificar possibilidades de manipulação, tomar decisões em contextos variados, tendo como efeito importante e decisivo o desenvolvimento de uma atitude de pesquisa e investigação nas aulas de Matemática.

Para que os alunos não fiquem dependentes da calculadora, nem a sub utilizem, é necessário que aprendam a usá-la de forma correta, utilizando as possibilidades abertas pelas memórias, teclas das operações e funções diretas, porcentagens e raiz quadrada, só para falar das calculadoras simples; do ponto de vista pedagógico, incentivando o seu uso problematizado, refletido e crítico de forma a permitir a cada momento, analisar a razoabilidade dos resultados que a calculadora fornece, fomentar o registro, sempre que necessário, dos passos intermediários do desenvolvimento das estratégias, para que possam analisar possíveis alterações a serem feitas em seus procedimentos de resolução de um problema.

Defendemos a idéia de que, quando usada de modo planejado, a calculadora não inibe o pensar matemático; pelo contrário, tem efeito motivador na resolução de problemas, estimula processos de estimativa e cálculo mental, dá chance aos professores de proporem problemas com dados mais reais e auxilia na elaboração de conceitos e na percepção de regularidades. A utilização da calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e permite aos alunos ganharem mais confiança para trabalhar com problemas e buscar novas experiências de aprendizagem.



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TEXTO COMPLEMENTAR V

PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS – MATEMÁTICA

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: SIGNIFICADOS

O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais.

A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se a seguinte situação:

“João possuía 8 figurinhas e ganhou mais algumas num jogo. Agora ele tem 13 figurinhas”9.

Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se notar que a descoberta de quantas figurinhas João ganhou, às vezes, é encontrada pela aplicação de um procedimento aditivo, e, outras vezes, subtrativo. Isso evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente das operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona.

Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução. É comum considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno do que aqueles que envolvem subtração. Mas a análise de determinadas situações pode mostrar o contrário:

— Carlos deu 5 figurinhas a José e ainda ficou com 8 figurinhas. Quantas figurinhas Carlos tinha inicialmente?

— Pedro tinha 9 figurinhas. Ele deu 5 figurinhas a Paulo. Com quantas figurinhas ele ficou?

O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral se apresenta como mais difícil do que o segundo, que freqüentemente é resolvido por uma subtração. Pelo aspecto do cálculo, adição e subtração também estão intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 - 26, alguns alunos recorrem ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair primeiro 20 e depois 6; outros pensam em um número que devem juntar a 26 para se obter 40, recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.

9 As situações que aparecem como exemplos neste texto têm apenas a função de evidenciar os aspectos fundamentais e as diferenças existentes entre os significados das operações. No trabalho escolar, elas devem estar incorporadas a outras, mais ricas, contextualizadas, que possibilitem interpretação, análise, descoberta e verificação de estratégias.



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A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem.

Dentre as situações que envolvem adição e subtração a serem exploradas nesses dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos:

Num primeiro grupo, estão as situações associadas à idéia de combinar dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ação de “juntar”.

Exemplo:

— Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa classe?

A partir dessa situação é possível formular outras duas, mudando-se a pergunta. As novas situações são comumente identificadas como ações de “separar/tirar”. Exemplos:

— Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos. Quantos meninos há nessa classe?

— Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?

Num segundo grupo, estão as situações ligadas à idéia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser positiva ou negativa.

Exemplos:

— Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação positiva).

— Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa).

Cada uma dessas situações pode gerar outras:

— Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas figurinhas ele possuía?

— Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas figurinhas ele ganhou?

— No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no início do jogo?

— No início de um jogo, Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8 figurinhas. O que aconteceu no decorrer do jogo?



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Num terceiro grupo, estão as situações ligadas à idéia de comparação.

Exemplo:

— No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos?

Se se alterar a formulação do problema e a proposição da pergunta, incorporando ora dados positivos, ora dados negativos, podem-se gerar várias outras situações:

— Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo?

— Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quantas figurinhas tem Carlos?

Num quarto grupo, estão as situações que supõem a compreensão de mais de uma transformação (positiva ou negativa).

Exemplo:

— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

Também neste caso as variações positivas e negativas podem levar a novas situações:

— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

— Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?

Embora todas essas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam em evidência níveis diferentes de complexidade. Note-se que no início da aprendizagem escolar os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e de competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiência com situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos por meio de tentativas, explorações e reflexões. Desse modo, o trabalho com as operações deve ser planejado coletivamente pelos professores, não apenas para ser desenvolvido nos dois primeiros ciclos, mas também na quinta e sexta séries.



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TEXTO COMPLEMENTAR VI A APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS

3ª PARTE



Tradução livre: Daisy Moraes Existem muitos outros problemas com os quais o professor se depara durante as situações de sala de aula. Como, por exemplo, numa pesquisa que realizamos na Venezuela já faz alguns anos. Em primeiro lugar, atrever-se a abordar situações difíceis, que as crianças não sabem resolver de antemão; suportar a incerteza que gera a situação em que as crianças estão tentando resolver algo que não sabem e ser capaz de conter a insegurança das mesmas crianças, que não podem chegar a uma boa resposta logo no início.

Outro problema apresentado a todo o momento para o professor é o que fazer quando somente uma criança, ou apenas algumas dentre os trinta ou trinta e cinco, já tem a solução, e os outros não sabem como abordar o problema ou estão começando a fazê-lo, mas ainda estão bem longe de encontrar a solução.

Como o professor faz para trabalhar com a diversidade e para dar andamento à situação, ajudando as crianças, mas sem substituí-los no trabalho de construir o conhecimento? Como fazer para gerar, todo tempo, ação intelectual nas crianças?

O professor também enfrenta o problema de determinar se pode sugerir-lhes procedimentos de resolução ou se sempre deve se limitar a trabalhar com aquilo que as crianças propõem: em que condições é conveniente propor algum procedimento e em quais seria melhor não propô-lo.

Sintetizarei uma situação surgida no âmbito de um projeto no qual nós estávamos trabalhando com diferentes crianças de segunda série, construindo "problemários" – livrinhos de problemas – para fazer um intercâmbio entre os diferentes grupos. Cada um ia mandá-lo a outro colega, para que fossem devolvidos com os problemas resolvidos. Os problemas eram selecionados, às vezes por nós, outras vezes pelas próprias crianças – tiravam de revista de passatempo ou de livros – e outras vezes, eram enunciados que elas haviam construído.

Uma vez, uma das crianças propôs o seguinte enunciado: "Sérgio já tinha em seu álbum 104 figurinhas e comprou mais 120 bolívares (moeda venezuelana). Quantas figurinhas ele tem no total”?

Em primeiro lugar, faltam dados nesse enunciado. Isso ficou bem interessante. Esclareço que nós trabalhamos muito com enunciados nos quais faltavam dados. Não estamos de acordo com a "cláusula regional" do contrato didático usual na escola, no qual os enunciados de problemas devem ter todos os dados necessários e somente esses. Acreditamos que isso possibilita que as próprias crianças selecionem os dados pertinentes ou que procurem os dados necessários



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para resolver o problema. Na vida real, os problemas não vêm pré-preparados, somente com os dados necessários. Por isso, não nos espantamos de que o enunciado elaborado por essa criança não estivesse completo do ponto de vista dos dados. Ao contrário, achamos interessante como ponto de partida.

Outro problema que esse enunciado apresenta é que envolve uma multiplicação e as crianças nunca haviam trabalhado com multiplicação. Poucos meses antes do início da segunda série, estávamos trabalhando muito com soma e resto: a multiplicação não havia sido trabalhada, embora estivesse em nossos planos fazê-lo em breve. Por isso, decidimos utilizar esse enunciado para apresentar as noções de multiplicação.

A primeira situação se referia à ausência dos dados necessários. Em seguida, as crianças disseram que não dava para saber quantas figurinhas haviam sido compradas. Uma delas perguntou como se resolvia isso.

• "Se sei quanto ele gastou, posso saber quantas figurinhas ele comprou?", perguntou a professora.

• Não, elas responderam.

• "Eu acho que tem um jeito”.

Em vez de dizer que faltava um determinado dado, a professora interveio, garantindo que era possível encontrar a solução e que, portanto, valia a pena pensar e trabalhar o problema. Essa é outra maneira de devolvê-lo.

• "Se eu soubesse quanto custa a figurinha...”

• "Eu sei quanto custa: cinco bolívares”.

• "O pacotinho vem com quatro e custa cinco bolívares", disse uma menina.

• "Então podemos saber quantas podemos comprar com 120 bolívares?, pergunta a professora.

• "Claro que sim", as crianças respondem.

A segunda seqüência dessa atividade, que aconteceu no mesmo dia, foi procurar estratégias que permitissem responder à pergunta feita pelas crianças, que não estava na formulação original: quantos envelopes de figurinhas podemos comprar com 120 bolívares. O que podemos fazer para saber?

A criança que havia trazido o enunciado disse "Devemos somar as figurinhas que vêm no pacotinho, então, seriam 24 pacotinhos".

• "E como você sabe que são 24?", diz a professora.

• "Porque eu os somei.”

• "Como você os somou”?

• "Com 100 bolívares podemos comprar 20 pacotinhos”.

• "Como você sabe?”?

• "Porque outro dia eu comprei com 50 bolívares e me deram 10 pacotinhos, então, com mais 50, eles têm de me dar 20 pacotinhos. Com os 20 bolívares que me restam, têm de me dar quatro”.



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• "Quatro?", disse a professora. "Qual a opinião de vocês?"

Analisemos como a professora age diante de uma situação na qual o aluno que trouxe é o único do grupo que possui a solução completa e as outras crianças não conseguem responder às suas perguntas. O que faz a professora diante dessa situação?

É claro que não diz: "Sim, muito bem. Viram crianças? Explique-lhes melhor como você fez isso". Mas deve dizer: "Vamos ver o que pensam os outros”.

• "Quanto custava cada pacotinho”?

• "Cinco”.

• "Como vamos fazer para saber quantos pacotinhos podemos comprar com cinco ou vinte bolívares”?

Ninguém se manifesta. Então, a professora sugere:

• Podemos ir anotando algo no papel para saber quantos pacotinhos podemos comprar com vinte bolívares?

Então, alguém diz: "Ah, claro, podemos anotar." E começa a fazer uma tabelinha. "Com cinco bolívares, um pacotinho."

Kemi acrescenta: "Com dez bolívares, dois pacotinhos”.

Miguel Angel: "Com quinze bolívares, três pacotinhos”.

5 BS – l pacotinho

10 BS – 2 pacotinhos

15 BS – 3 pacotinhos

E assim, sucessivamente, até que chegaram a cinqüenta bolívares. Gostaria de assinalar que, em lugar de ratificar logo de início a solução correta proposta pela única criança que a conhecia, a professora devolveu o problema para o grupo. Como não sabiam o que fazer, em vez de dar a resposta, fez uma sugestão, propôs uma possível ajuda, um recurso material: escrever o que se sabe e ver se a partir disso que se sabe, pode-se inferir ou calcular o que não se sabe.

A professora poderia, diante dessa situação, ter agido de outra maneira. Poderia ter dado outro trabalho que já sabiam e ter continuado trabalhando com os outros até que refizessem a questão. Poderia ter pedido à criança que trouxe o problema que o representasse por escrito, que o fizesse por sua própria conta, sem intervir no grupo. Também poderia ter pedido que tentasse participar da discussão sem invalidar aquilo que seus colegas estavam dizendo - que é o que ele efetivamente faz. A única coisa que nunca tínhamos feito era aceitar de início a solução correta dada por uma ou por algumas crianças, porque isso teria, necessariamente, provocado o desinteresse dos demais, e somente aprenderia o único que não necessitava aprender, porque já tinha aprendido antes.

Outra questão muito interessante que aconteceu nessa situação é que, ao longo dela, apareceram problemas que a criança que trazia o enunciado não tinha resolvido e outros que os demais podiam ajudar a resolver.



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Enquanto contavam quantas figurinhas havia, o menino que propôs o problema errou ao contar, porque estava contando de uma maneira pouco econômica e, conseqüentemente, todos os outros obtiveram resultado diferente do dele. Como até aquele momento era ele quem sabia tudo de antemão, insistiu em dizer que o que as outras crianças diziam estava errado. A professora perguntou se era possível que todos tivessem se enganado e ele reconheceu: "Talvez eu tenha me enganado". A professora sugeriu que revisassem em conjunto e, enquanto as crianças contavam de quatro em quatro, ela disse: "Acho que assim será muito difícil não se enganar. Por que não encontramos uma maneira mais rápida para contar e que seja menos arriscada?" Várias crianças propuseram que, em vez de contar de quatro em quatro, juntassem "os quatros" de dois em dois e, então, contassem de oito em oito; e depois, juntassem "os oitos" de dois em dois e contassem de dezesseis em dezesseis etc. E iam anotando quantas figurinhas e quantos envelopes havia em cada caso, o que fez com que eles chegassem ao resultado mais rapidamente e com menos erros. Como docentes, o que fazer quando as crianças não encontram um procedimento melhor? Podemos sugerir ou não?

A professora encontra, aqui, uma solução que não é nenhuma das duas: não sugere um novo procedimento, e tampouco fica inativa; pergunta se eles não podem encontrar um procedimento menos trabalhoso. Dessa maneira, informa que existe um procedimento melhor que não estavam utilizando e os incita a procurá-lo. Em outros casos, a professora pode propor, diretamente, algum procedimento, desde que não o faça com o peso de sua autoridade, mas dizendo, por exemplo: "Em outro grupo... ou "uma professora me contou que um menino propôs que fosse feito assim... O que vocês acham"?

Desse modo, consegue-se que as crianças discutam sobre os procedimentos, enquanto que, se um procedimento deixa transparecer a autoridade do docente, é muito difícil que as crianças possam discuti-lo. Elas aceitarão, mesmo quando não possam refazê-lo.

Podemos perceber mediante esses registros que a intervenção do docente é essencial para conseguir que todas as crianças adquiram confiança em suas próprias possibilidades como produtoras de conhecimento. Isso é fundamental no modelo didático que tentamos colocar em prática.

Ao não julgar precipitadamente a correção ou incorreção das respostas das crianças, ao conduzir a situação de tal maneira que todos se vejam levados a defender e a analisar criticamente suas proposições, ao ratificar o que está correto somente quando os diferentes pontos de vista foram suficientemente discutidos pelo grupo, estamos contribuindo para derrubar o mito escolar que estabelece uma barreira entre bons e maus alunos, mas, além disso, estamos contribuindo para tornar possível um tipo de interação com o objeto de conhecimento que permite que as crianças questionem a posição de outros e sobretudo suas próprias proposições; que tenham um enfoque crítico em relação aos procedimentos que estão sendo propostos por todos os membros do grupo e que necessitem buscar argumentos para justificar seus procedimentos, em vez de pensarem que algo está correto somente se a professora assim o disser. Desse modo, torna-se possível cumprir com o sentido fundamental que, com toda certeza, tem o ensino da matemática na educação obrigatória.

Como assinala Brousseau: "Ensinar matemática no âmbito do ensino obrigatório



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não é só ensinar os rudimentos de uma técnica, nem sequer os fundamentos de uma cultura científica. A matemática, nesse nível, é o primeiro e o mais importante domínio no qual a criança pode aprender os rudimentos da gestão individual e social da verdade. Aprendem, ou deveriam aprender, enquanto lhes ensinamos matemática, não só os fundamentos de sua própria atividade cognitiva, mas também as regras sociais do debate e das decisões pertinentes: como convencer respeitando o interlocutor, como se deixar convencer por outros, contra o próprio desejo ou o próprio interesse, como renunciar à autoridade e à sedução."

Ou seja, como trabalhar com o conhecimento de uma maneira crítica, da maneira que é necessário trabalhar em uma sociedade democrática. Algumas perguntas feitas a Delia Lerner pelos professores que assistiam à conferência

Retomando nosso currículo: nos exemplos citados, o tempo que as crianças tiveram para resolver essas situações é compatível com o tempo imposto pelo nosso trabalho cotidiano?

O segundo exemplo ao qual fiz referência levou duas reuniões de duas horas. Mas, ali, o problema não está funcionando como um problema particular, mas como a situação didática mediante a qual se começa a trabalhar um campo conceitual, que é o da multiplicação.

Não proponho trabalhar um número infinito ou problemas utilizando duas aulas para cada um deles. O que deve ser feito é dar o tempo necessário para a construção do conhecimento. Situações que são disparadoras da construção de determinado conhecimento necessariamente levam tempo e o tempo que não for utilizado no momento adequado, possivelmente será utilizado depois, para corrigir os erros ou sanar dificuldades que poderiam ser evitadas se houvéssemos dedicado um tempo maior para se construir o conhecimento.

O problema do tempo na escola é muito importante. Existem estudos muito sérios em Didática da Matemática sobre a pressão que ele exerce na escola. É uma das variáveis institucionais que determinam muitos dos acontecimentos.

O problema é pensar como administrar o tempo. É perfeitamente possível, na escola, administrar o tempo de maneira diferente da habitual, com o projeto curricular que temos ou que teremos. Mas o que se deve fazer é uma hierarquização do que é imprescindível que as crianças construam e o que o professor pode complementar, porque sabe que, com o que reconstruiu, existe esquema de assimilação suficiente para entender outras coisas.

Não gostaria de transmitir a idéia errada de que trabalhar segundo esse modelo (o aproximativo/apropriativo) leva muito mais tempo que trabalhar segundo o modelo normativo tradicional. Não é isso. O tempo é distribuído de outra maneira. O tempo usado no modelo tradicional para repetir e repetir exercícios sobre algo que não se entende, neste modelo é usado para compreender e não precisar repetir tantas vezes. O tempo usado no modelo tradicional para recuperar muitas crianças que têm dificuldades de aprendizagem, neste modelo é usado para propor problemas mais interessantes e instigantes. Existem menos



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dificuldades. Não quero dizer que estão erradicadas pelo fato de que nos encarregamos dos esquemas de assimilação das crianças e procuramos avançar partindo de onde elas se encontram, em vez de obrigá-las a pular, bruscamente, para o lugar onde nós estamos. As dificuldades que aparecem são bem menores em número de crianças e muito mais leves. Como fazer para manter o que foi aprendido, exercitando-o adequadamente, de modo que os exercícios não sejam repetitivos, tediosos e chatos para a criança?

Tanto nas primeiras séries como nas últimas, assim como em qualquer nível do ensino, é necessário passar por situações de "familiarização" com o novo conhecimento. Essa denominação é de Régine Douady, que em vez de dizer "exercitação", fala de "familiarização" com esse novo conhecimento. A familiarização se faz frente a situações que não se repetem sempre da mesma maneira: os contextos aos quais se referem variam, assim como as variáveis numéricas que incidem, que são propostas como dados e o conteúdo ao qual o problema se refere. Não é um problema, porque não vai gerar um novo conhecimento, mas vai gerar o uso predominante de algo que já foi construído, indo ao encontro de certas variações na proposição da situação.

Douady diz que essa familiarização tem como objetivo que o novo se transforme em velho e o uso mais importante desse conhecimento velho é o uso que se fará dele para resolver novos problemas, nos quais terá de construir novos conhecimentos, mas sempre envolvendo a utilização dos conhecimentos anteriores. Para que alguma coisa seja uma situação problemática para uma criança ou para um grupo, tem de cumprir dois requisitos fundamentais: o primeiro é ser relevante no campo de conhecimentos da criança. Isto é, ele tem de ter esquemas prévios que já construiu, a partir dos quais abordará e compreenderá o novo problema. Por isso, um problema sempre coloca em ação os conhecimentos anteriores e essa não é uma maneira chata nem repetitiva de retomar os conhecimentos anteriores.

Outro requisito para uma situação problemática é que o conhecimento velho não seja suficiente e que deva construir um novo; que o conhecimento velho leve a dar uma primeira solução para o problema, mas que essa solução não seja a mais satisfatória, econômica, melhor ou correta e, então, deve construir outro conhecimento.

O que acontece quando, numa classe com muitas crianças, é sempre um grupo que está disposto a resolver os problemas? Como o professor pode ajudar aqueles que têm menos possibilidades de responder, para que eles se aproximem mais do conhecimento válido?

É um problema importante, contra o qual lutamos didaticamente. Deve-se evitar que sejam sempre as mesmas crianças que conduzem a classe e que os demais não possam reconstruir o conhecimento.

Vou responder a partir de minha experiência. No início, isso me aconteceu muito, porque dava muito espaço para a atividade em pequenos grupos e para a atividade coletiva. A primeira maneira – e acredito que a mais efetiva para evitar isso – é fazer, quando necessário e conforme o problema proposto, com que



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cada criança pense, primeiro sozinha, de tal maneira que, quando o pequeno grupo se forme ou se discuta no grupo maior, cada uma delas já tenha elaborado algumas respostas.

Outro aspecto é que os grupos, na medida do possível, sejam bem pequenos, preferencialmente duplas, porque quando se trabalha de dois em dois, cada um está mais comprometido com a tarefa, sente-se muito mais obrigado a intervir e é muito mais difícil que tudo seja delegado ao líder.

É importante que as duplas não sejam estáveis, mas que todas as crianças sejam desafiadas a se defrontar com o tipo de interação particular que irá estabelecer com outra, que está em um momento diferente do seu, trabalhando com todas as diferentes variações e não com uma só maneira.

Também se deve ir criando um compromisso progressivo do grupo enquanto tal, no sentido de que estamos todos juntos na classe para aprender e que não basta somente três aprenderem – todos precisam aprender – então, todos nos comprometemos com a aprendizagem do grupo.

Aqui, é importante dar um espaço para a avaliação em grupo e que existam critérios claramente explicitados, para todos os membros do grupo, em função dos quais ele, periodicamente avaliará se está funcionando como devia, do ponto de vista da cooperação na construção do conhecimento.



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AULA 16 O objetivo desta aula é fazer com que os alunos utilizem a calculadora como instrumento de análise e interpretação de escritas numéricas, visando à agilização do cálculo. 1º passo Orientar os alunos na “brincadeira” sobre valor posicional, solicitando que assistam à animação Calculadora para valor posicional e façam as atividades propostas. Por meio delas, eles transformam números, usando uma calculadora. 2º passo Os alunos apresentam os desafios elaborados e as estratégias utilizadas para resolvê-los.

Os registros dos desafios propostos nessa aula devem ser feitos utilizando os recursos DOC e PPT disponíveis na tela final da animação.

Geral Professor, no site www.mathema.com.br (clicar em Ensino Fundamental 1ª a 4ª, Tecnologia, Pesquisando com calculadora) você encontra outras sugestões de atividades que exploram a escrita de números por meio de operações. Professor, a navegação da animação Calculadora para valor posicional está programada para ser feita da seguinte maneira: • sempre que o aluno clicar

no botão Voltar, a animação retrocede para o início do desafio em curso;

• quando quiser voltar para um desafio anterior, o aluno deve clicar no botão Reiniciar e depois no botão Avançar para ir ao ponto que deseja.

Professor, é importante estimular os alunos a realizarem esta atividade, no primeiro momento, de forma individual. Encontramos, nos grupos de alunos, alguns que quase nunca se expressam ou outros que monopolizam o trabalho. Se o aluno tem um tempo para pensar, chegará para a discussão coletiva com alguma idéia esboçada. Isso ajuda a reforçar um ambiente de troca entre os alunos, no sentido de que estão juntos para que todos aprendam e não somente alguns. Proponha, então, a todos da turma uma discussão sobre cada uma das situações apresentadas.



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TEXTO COMPLEMENTAR VII POR QUE E PARA QUE UTILIZAR JOGOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 10

Júlia Borin

Na introdução, ao longo do relato de nossa experiência com alunos, citamos alguns dos objetivos da utilização de jogos no ensino. Mas, nesta parte do livro, queremos enfatizar os objetivos mais específicos ao ensino de Matemática, por isso, em alguns momentos, seremos propositadamente repetitivos.

Como já dissemos, queremos salientar que a atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias para o aprendizado, em especial da Matemática, e para a resolução de problemas em geral.

Os jogos auxiliam também na descentralização, que consiste em desenvolver a capacidade de ver algo a partir de um ponto de vista que difere do seu, e na coordenação dessas opiniões para chegar a uma conclusão.

Também, no jogo, identificamos o desenvolvimento da linguagem, criatividade e raciocínio dedutivo, exigidos na escolha de uma jogada e na argumentação necessária durante a troca de informações.

De fato, quando analisamos o comportamento e a atividade mental de um jogador disposto a ganhar, verificamos que a postura é a mesma de um cientista em busca de solução para um problema. Os dois, inicialmente, partem para uma experimentação ou tentativa para conhecer o que defrontam, sem muita ordem ou direção. Após essa fase, como numa investigação científica, coletam os dados que podem influenciar ou alterar as várias situações e formulam hipóteses que precisarão ser testadas. Estabelecida uma hipótese, partem para a experimentação ou jogada e observam o que acontece. Se for necessário, reformulam as hipóteses feitas e realizam nova verificação. A cada tentativa usam as conclusões obtidas e os erros cometidos para orientar as novas hipóteses até certificarem-se da resposta precisa para o problema original, o que, no caso do jogo, significa ter uma boa estratégia para vencer.

Todas as habilidades envolvidas nesse processo, que exigem tentar, observar, analisar, conjecturar, verificar, compõem o que chamamos de raciocínio lógico, que é uma das metas prioritárias do ensino de Matemática e característica primordial do fazer ciência.

Em relação ao ensino de Matemática, dentre as diversas habilidades que compõem o raciocínio lógico, os jogos, especialmente os chamados estratégicos como veremos adiante, têm como meta o raciocínio dedutivo. O raciocínio dedutivo aparece com maior clareza na escolha dos lances que se baseia tanto nas jogadas certas quanto nas erradas e que obriga o jogador a elaborar e a reelaborar suas hipóteses a todo momento.

10 Texto retirado de Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. Série CAEM, vol. 6. São Paulo: CAEM/USP, 1995.



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AULAS 17 e 18 O objetivo destas aulas é trabalhar com o conceito de número como sendo um código. 1º passo Os alunos assistem ao tutorial do game Senha numérica, interpretam as regras e iniciam o jogo. 2º passo Depois de algumas jogadas, propor aos alunos as seguintes questões:

1. Que estratégias vocês utilizaram para ganhar o jogo?

2. Qual dessas estratégias é a mais eficiente para decifrar a senha?

3º passo Em pequenos grupos, os alunos testam as estratégias explicitadas para analisar e validar a eficácia das mesmas.

2º passo Professor, para que os alunos apontem as estratégias mais eficientes é preciso que eles as experimentem. Por isso, as discussões devem ser feitas em pequenos grupos.

AULAS 19 e 20 O objetivo destas aulas é trabalhar com a composição e a decomposição de números, necessárias à compreensão do valor posicional. 1º passo Os alunos exploram a animação Caixa Eletrônico e fazem as atividades propostas. 2º passo Estabelecer uma mesma quantia que deverá ser decomposta pelas duplas, usando o Caixa Eletrônico, propondo as seguintes situações:

1º passo Professor, deixe que os alunos explorem todas as possibilidades. Aquelas que cumprem o que é solicitado devem ser consideradas. Professor, lembre-se de que é possível retirar até 800 reais e que as cédulas a serem utilizadas, em cada retirada, já estão determinadas.



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS • valores estabelecidos pelo professor, para toda a turma;

• valores estabelecidos pelo professor, para toda a turma, usando a menor quantidade possível de cédulas.

Ao final de cada situação proposta, os alunos discutem as várias possibilidades encontradas, com toda a turma.

AULA 21 1º passo Os alunos assistem ao tutorial do Jogo da Velha com números, interpretam as instruções e regras, e iniciam o jogo.

Professor, esse é também um jogo de estratégia. Incentive os alunos a explicitarem os procedimentos criados para ganhar o jogo.

AULAS 22 e 23 Nestas aulas, os alunos fazem cálculos estimados. Para desenvolver essa habilidade, é preciso que explicitem e discutam as estratégias utilizadas para ganhar o jogo. 1º passo Os alunos trabalham com o Alinhando números, conforme indicado no tutorial. 2º passo Depois de algumas rodadas, pedir aos alunos que comentem as estratégias utilizadas ao jogar. Assim, eles podem desenvolver novos procedimentos para estimar.

Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer a atividade do Termômetro para avaliar o grupo de atividades desenvolvidas da aula 16 a aula 23.

2º passo Professor, uma forma de encontrar o resultado é adicionar os algarismos das unidades. Por exemplo, se a operação for 234 + 378, o aluno deve procurar no tabuleiro os números que terminam em 2, pois este é o último algarismo do resultado de 4 + 8.



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AULA 24 Nesta aula, os alunos resolvem problemas não-convencionais, cujas soluções, na maioria das vezes, não dependem somente de operações. Atividades dessa natureza propiciam o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas e de argumentar. Para isso, é preciso que façam conjecturas, oponham-se, contestem e demonstrem as hipóteses levantadas. 1º passo Os alunos resolvem os problemas propostos nas animações Caracol e Água do rio. 2º passo Promover a discussão das soluções encontradas para os problemas.

Professor, no site www.somatematica.com.br você encontra a simulação de muitos problemas que envolvem a mesma situação da animação Água do rio. Para isso, é preciso que seja feito o cadastro, que é gratuito, e clicar em material de apoio softwares matemáticos jogo das garrafas. Professor, leve seus alunos a utilizarem diferentes formas de resolução das situações-problema propostas. Lembre-se que dramatizar ou fazer desenhos além de serem formas de representar as soluções encontradas são, também, recursos de resolução de um problema. Professor, é importante que os alunos troquem idéias e esgotem as possibilidades de resolução das situações apresentadas. Caberá à turma, a partir de sua ação mediadora, validar ou não as soluções apresentadas. 2º passo Professor, para cada problema, após a discussão dos resultados, lembre-se de mostrar aos alunos que, acionando a tecla de atalho a animação continua, apresentando a respectiva solução. Para a animação do Caracol, digite a tecla ! (Shift 1) para a da Água do rio digite a tecla # (Shift 3).



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AULA 25 Nesta aula, os alunos têm a oportunidade de fazer cálculos mentais envolvendo adições ou subtrações. 1º passo Os alunos assistem ao tutorial do game Vira-latas, interpretam as instruções e as regras, e iniciam o jogo. 2º passo Ao final de algumas partidas, solicitar que descrevam a estratégia utilizada para encontrar os resultados sorteados. Analisar com eles e eleger aquelas mais eficazes para cada tipo de operação.

2º passo Professor, lembre-se de que aquele aluno que é mais rápido para fazer os cálculos não é necessariamente aquele que sabe mais matemática. É importante que os próprios alunos entendam isso e não usem a tecla de atalho antes de pensarem na resposta.



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Permitir que as crianças tenham acesso a diferentes formas decalcular, seguindo várias propostas é mais coerente com o queacontece no dia-a-dia.

TEXTO COMPLEMENTAR VIII

DESARMANDO AS CONTAS

Mirian Louise Sequerra Cadernos da TV Escola. PCN na Escola

Matemática 1 – p. 55 – MEC, 1998

As contas de adição e de subtração representam uma das grandes dificuldades das crianças de 1ª e 2ª séries. Muita gente acredita que, para aprender essas contas, basta decorar uma série de etapas. Por exemplo, para resolver esta conta:

Em geral, as crianças aprendem a ir recitando mentalmente o que fazer: “oito mais quatro igual a doze, fica dois, vai um. Um mais dois mais quatro igual a sete. O resultado é 72”.

Essa criança sabe fazer a conta; mas, se lhe perguntarmos o que significa o ‘vai 1’, ela pode responder: Não sei, só sei que é assim que precisa fazer. Ou então: É porque é... aprendi desse jeito...

As contas são ensinadas como ‘técnicas’, ou seja, “séries de ações que, se repetidas, conduzem ao resultado esperado”. Na maioria das vezes, essas ações são aplicadas sem que se saiba seu significado, sem que se saiba o porquê de cada etapa; sem saber o que faz a conta “dar o resultado correto”.

Além disso, com freqüência o ensino da conta armada se confunde com a própria operação a que se relaciona. Ouvimos dizer que “aquele aluno já sabe somar”, porque ele sabe fazer uma conta de adição. A operação de adição é um conteúdo bem mais amplo e complexo, que envolve várias ações e várias idéias, não apenas uma técnica de cálculo.

Outro ponto a ser considerado é que, para as crianças, é importante o contato com diferentes maneiras de calcular e, principalmente, é importante que possam utilizar estratégias criadas por elas mesmas. Entre outras coisas, as várias formas de calcular constituem um ótimo recurso para controlar os resultados obtidos.



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Oferecer aos alunos a possibilidade de experimentar diferentes formasde cálculo favorece a escolha das estratégias mais adequadas, na vidaprática. O algoritmo tradicional (ou conta armada) também éimportante e precisa ser ensinado. Mas não como a única forma de

O ALGORITMO DA ADIÇÃO

Ao aprender o algoritmo da adição, uma criança de 1ª série fez esta conta:

Como ainda não havia compreendido o transporte para a coluna das dezenas, somou as unidades e colocou o 12 abaixo da linha; depois, somou as dezenas e encontrou o resultado apresentado.

No entanto, essa criança já realizava há algum tempo suas contas por meio da decomposição dos números; e sabia que o resultado deveria estar próximo de 60 (pois somou: 20 + 40 = 60, sendo o 20 do 28 e o 40 do 44). Antes mesmo que o professor apontasse, percebeu que seu resultado não estava correto. O fato de ter acesso a diferentes estratégias de cálculo, ajudou-a a controlar seu resultado.

Quando vamos ao supermercado e temos de somar o total de uma compra como 29 + 32, podemos:

a) Arredondar os números envolvidos e obter uma soma aproximada. Neste caso, faríamos: 30 (‘arredondando’ 29) mais 30 (‘arredondando’ 32). Portanto, 60, que seria um valor aproximado do resultado dessa conta.

b) Utilizar a decomposição decimal dos números. Neste caso, 29 se converteria em 20 + 9 e 32 ficaria 30 + 2. Em seguida, é preciso somar as dezenas: 20 (do 29) + 30 (do 32) = 50. Depois, somar as unidades: 9 (do 29) + 2 (do 32) = 11. Por fim, basta juntar os totais parciais encontrados: 50 + 11 = 61.

c) Recorrer a outras decomposições. Poderíamos fazer o seguinte:

29 = 25 + 4 32 = 25 + 7

29 + 32 = 25 + 25 + 4 + 7

29 + 32 = 50 + 4 + 7

A escolha da estratégia mais adequada depende da situação. No caso do supermercado, se eu quiser apenas ter uma idéia aproximada de quanto já gastei, talvez a primeira estratégia seja melhor.

Se queremos que nossos alunos tenham contato com o algoritmo, mas que não o aprendam como uma série de passos sem significado, e também queremos que experimentem outras estratégias, é importante dar-lhes tempo para pesquisar, trocar experiências com seus colegas e ‘inventar’ formas de calcular, antes de aprender o algoritmo.



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A busca de estratégias pessoais de realização do cálculo envolve diversos conhecimentos a respeito dos números e da maneira de operar com eles. Todo esse aprendizado será fundamental para a compreensão dos passos envolvidos na realização da conta armada.

ESTRATÉGIAS PESSOAIS

O que acontece quando se propõe às crianças que resolvam contas, antes de terem aprendido a conta armada? Vejamos na conta já citada:

A criança que resolveu essa conta está na 1a série. Tal como toda sua classe, ela recebe estímulos para buscar formas novas de resolver seus problemas, mostrar suas soluções aos colegas e discutir as diferentes estratégias.

A professora costuma acolher com atenção as diversas tentativas e valorizar as contribuições dos alunos. Nesse contexto, as crianças se sentem à vontade para associar diferentes conhecimentos e buscar suas próprias soluções.

Lucas resolveu assim a mesma conta:

Comparando este modo de calcular com aquilo que acontece na conta armada, vemos que há muitas semelhanças. Essa comparação pode sugerir possibilidades de desenvolver o trabalho com a conta armada de forma mais eficiente.



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Estratégia de Lucas Na conta armada

Inicialmente, decompôs os números envolvidos e agrupou separadamente as dezenas e as unidades:

20 + 8 = 28

40 + 4 = 44

20 + 40 = 60

8 + 4 = 12

Estes passos correspondem àquilo que fazemos ao alinhar os algarismos em colunas, de acordo com a ordem que representam: unidades embaixo de unidades, dezenas sob dezenas:

28

44+

Quando juntou seus resultados parciais, ele encontrou:

60 + 12 = 60 + 10 + 2

Ou seja, fez uma nova decomposição do 12, obtendo mais uma dezena para juntar ao resultado da adição das dezenas que já havia feito.

A nova dezena obtida a partir da soma das unidades é exatamente o ‘vai um’ que aparece nessa mesma adição:

1

28

44 +

72

Ensinar aos alunos diferentes técnicas de cálculo (como a conta armada), com base no que eles mesmos criaram pensando em correspondências, é uma ótima maneira de valorizar suas contribuições. Além disso, garante que o aprendizado não seja memorizado mecanicamente, sendo compreendido de fato pelas crianças.

O ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO

No ensino da conta de adição, a principal dificuldade é o transporte (o ‘vai um’). E a conta de subtração também coloca seus desafios, se quisermos que as crianças não se limitem a repetir as etapas, sem compreendê-las.

No caso da subtração, o maior desafio é explicar o significado do ‘empresta 1’. Vamos partir de um exemplo, e vejamos como os alunos resolvem, antes de aprender a conta armada.

João tinha 72 reais. Gastou 38 reais comprando algumas roupas. Quanto sobrou?

Juliana resolveu o problema assim:



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É simples compreender o que ela fez, não é? Ela decompôs o 72 em 7 grupos de 10, pois sabe que o 7 do número 72 vale 7 vezes o número 10. Depois, riscou os três grupos de 10 correspondentes ao 38. Para subtrair o 8, transformou uma das dezenas restantes em dez unidades, deixando sobrar 2 (10 - 8). Feito isso, bastou contar quanto sobrou.

Como seria a conta armada para resolver esse mesmo problema?

Quando cortamos o 7, para que ele ‘empreste 1’ ao 2, estamos cobrindo os seguintes passos:

a) Separamos uma das dezenas do 70, transformando-o em 6 dezenas + 10 unidades.

b) Juntamos as 10 unidades com o 2, totalizando 12.

É muito importante não esquecer que, nesta conta armada, o 7 não é apenas um 7: na verdade, ele continua ‘valendo 70’, ou 7 dezenas. Quando ‘empresta 1’, está emprestando uma dezena, que se juntará com as duas unidades, transformando o 2 em 12 (10 + 2).

É mais ou menos isso que Juliana fez, ao ‘transformar’ um 10, daqueles em que decompôs o 72, em dez palitos. Ela não juntou essas dez unidades com as outras duas porque, para seu cálculo, isso não seria necessário. Mas, no algoritmo, é a conta de ‘escorregar’

Uma outra maneira de realizar a conta de subtração é aquela em que se empresta 1, mas esse 1 ‘escorrega’ e é acrescentado ao subtraendo:

É bem mais difícil explicar o que aconteceu neste caso. Por que esse procedimento dá certo? Antes de responder, vamos observar estas subtrações:

12 - 5 = 7

22 - 15 = 7

14 - 7 = 7



70

Como você vê, as três subtrações têm o mesmo resultado. Isso se deve a uma propriedade da subtração.

Quando somamos um mesmo valor ao minuendo e ao subtraendo, não alteramos o resultado da subtração. Esta é uma propriedade da subtração.

Veja o que foi feito:

Na conta armada que estávamos resolvendo com Juliana fizemos assim:

Assim, somando 10 aos dois termos, o resultado da subtração se mantém o mesmo.

Para os alunos das primeiras séries é sem dúvida bem mais fácil compreender o primeiro modo de fazer uma subtração, ‘emprestando 1’. Fica mais simples relacionarem as várias etapas desse método aos conhecimentos que já construíram. Eles sabem que, no 72, o 7 vale 70 ou 7 grupinhos de 10; que um desses grupinhos de 10 corresponde a 10 unidades, e assim por diante. A segunda conta envolve o conhecimento de uma propriedade da subtração – “se somarmos ou subtrairmos um mesmo valor aos dois termos de uma subtração, não alteraremos o resultado”. Não é fácil compreender isso nas séries iniciais.

PARA FINALIZAR

Procuramos enfatizar a importância de não tratar de forma mecânica o aprendizado do algoritmo. Os diferentes passos de seu processo de resolução têm significados precisos. A compreensão desses passos contribui para evitar que as crianças cometam erros criados pela incompreensão do processo e, por outro lado, permite que elas estabeleçam relações com as propriedades do sistema de numeração.

Propor atividades nas quais as crianças têm a possibilidade de explorar formas pessoais de cálculo, antes de apresentar a elas o algoritmo convencional,



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permite que elas tenham contato com procedimentos variados. Isso será útil para entenderem o algoritmo como apenas uma, entre várias possibilidades de calcular.

Vimos também que as estratégias de cálculo elaboradas pelas crianças podem ser um ótimo recurso para que compreendam melhor o mecanismo da conta armada.

Para concluir: permitir que os alunos criem suas próprias estratégias contribui para valorizar sua produção e para estimular uma atitude aberta ao buscar novas soluções, nas mais diferentes situações-problema apresentadas.


AULAS 26, 27 e 28 Nestas aulas, os alunos são incentivados a entender procedimentos convencionais para fazer operações, que é um aspecto importante para que utilizem técnicas matemáticas como ferramentas do pensamento. A técnica operatória convencional será trabalhada de maneira analítica e não como um mecanismo a ser repetido exaustivamente. É importante, então, fazer com que os alunos entendam as formas de estruturação dos algoritmos convencionais da adição e da subtração. Entretanto, ao resolver situações-problema, cabe ao aluno optar por qual algoritmo utilizar, se o convencional ou outro não-convencional com o qual se sinta mais à vontade para fazer cálculos. Como bem nos lembra Terezinha Nunes, em seu livro Crianças fazendo matemática, dominar um procedimento geral freqüentemente não nos diz quando um procedimento é uma boa escolha para resolver um problema .(NUNES, BRYANT, 1997, p.30). Em outras palavras, o mais importante é que os alunos sejam capazes de tomar decisões sobre que caminho trilhar, que procedimento usar para encontrar a solução das situações-problema.

Professor, a navegação nas aulas multimídia Conta de adição e Conta de subtração está programada para ser feita da seguinte maneira: • sempre que o aluno clicar

no botão Voltar, a animação retrocede para o início do desafio em curso;

• quando quiser voltar para um desafio anterior, o aluno deve clicar no botão Reiniciar e depois no botão Avançar para ir ao ponto que deseja.



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS 1º passo Os alunos assistem ao vídeo Inventando estratégias de cálculo, observando aspectos que respondam às seguintes questões:

1. Todas as estratégias utilizadas pelos diferentes alunos estão corretas?

2. Qual delas vocês consideram mais rápida e econômica para resolver a operação?

3. Os procedimentos utilizados podem ser úteis para fazer qualquer adição?

4. Se tivesse que fazer uma adição, qual dos procedimentos apresentados escolheria? Por quê?

2º passo Os alunos fazem as atividades de análise de algoritmos sobre adição e subtração propostas nas aulas multimídia Contas de adição e Contas de subtração. 3º passo A cada proposta, os alunos analisam, coletivamente, as hipóteses levantadas sobre os registros corretos e incorretos.

1º passo Professor, veja a versão integral do vídeo antes de trabalhar com os alunos. A referência é: Inventado estratégias de cálculo – Direção: Eduardo Nunes e Alberto Salvá; Série PCN na Escola/Matemática; Duração 14’11”; TV Escola/MEC, Brasil, 1999. 2º passo Professor, descobrir erros cometidos por terceiros ao efetuar uma operação é também uma rica oportunidade de aprendizagem para seus alunos. O erro cometido na adição apresentada na aula envolve o entendimento do valor posicional dos algarismos, o que os impede de fazer os agrupamentos ou reagrupamentos corretamente. Veja outro exemplo: 456 + 608 10514 3º passo Professor, a propriedade da compensação foi utilizada no registro apresentado pela personagem Júlia, na animação Contas de subtração. É preciso que os alunos entendam que, quando acrescentamos uma quantidade ao número do qual será subtraído outro, é preciso acrescentar essa mesma quantidade ao número que se subtrai, para que o resultado não se altere. Uma outra forma de representar essa



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS propriedade poderia ser: 865 + 20 = 885 - 184 + 20 = - 204 681 681 Lembre-se que a propriedade entra aqui como recurso de cálculo mental, não sendo preciso nomear ou conceituá-la para os alunos.

AULAS 29 e 30 Nestas aulas, a proposta de trabalho com calculadora propicia a utilização do valor posicional e das propriedades da adição e da subtração como recursos de cálculo. 1º passo Os alunos trabalham com a animação Tecla estragada para adição e resolvem todas as atividades propostas. 2º passo Os alunos descrevem os procedimentos utilizados para fazer as operações sem uso de algumas teclas. Analisar com eles e eleger aquelas mais eficazes para cada tipo de operação. 3º passo Criar outros desafios para que os alunos façam os cálculos e estabeleçam relações mais complexas, usando a calculadora disponível na interface. Um deles pode ser: Resolver a operação 24 + 76, considerando que a tecla 7 da calculadora não funciona e que a operação que resolve o problema apresente apenas duas quantidades. Use os mesmos passos ao propor a aula com a animação Tecla estragada para subtração.

2º passo Professor, estimule os alunos a conhecer as estratégias utilizadas pelos colegas e a experimentá-las. Isso é importante para que tenham a oportunidade de usar diversas propriedades e avançar para resoluções que envolvam relações mais complexas. Por exemplo, um procedimento muito utilizado pelos alunos para encontrar o resultado de 15 + 26, sem usar a tecla 5 é 14 + 1 + 26 = 41. Outras formas mais complexas seriam: 10 + 31 ou 20 + 21.



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Os registros dos desafios propostos nessas aulas devem ser feitos utilizando os recursos DOC e PPT disponíveis na tela final da animação.

Professor, no site www.mathema.com.br (clicar em Ensino Fundamental 1ª a 4ª, Tecnologia, Explorando a calculadora) você encontra outras sugestões de atividades que exploram as propriedades das operações como recurso de cálculo.

AULA 31 Nesta aula, os alunos trabalham com estimativa de quantias, envolvendo números racionais. O fato de a atividade envolver valores em reais, em situações de compra, propicia a ampliação da habilidade de calcular de maneira aproximada, rápida, usando procedimentos simples. 1º passo Os alunos resolvem as atividades propostas na animação Supermercado virtual, seguindo as indicações de compra. 2º passo Propor uma discussão sobre o consumismo e o que considerar ao comprar um produto (prazo de validade, diferentes preços para um mesmo produto x qualidade dos produtos, promoções, etc.)

Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer a atividade do Termômetro para avaliar o grupo de atividades desenvolvidas da aula 24 a aula 31.

Geral Professor, leve seus alunos a trocarem idéias sobre as operações feitas com os centavos para conseguir valores exatos.



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MÓDULO IV – NÚMEROS QUE MEDEM

TEMA

No dia-a-dia existem várias situações nas quais é necessário usar diversos tipos de medidas. As atividades propostas farão com que os alunos entrem em contato com diferentes situações de medição no ambiente no qual estão inseridos, utilizem instrumentos convencionais de medida de comprimento e que criem outros não-convencionais.

Ao fazerem cálculos com números aproximados e unidades não-convencionais os alunos exercitarão a interpretação matemática, a comparação das medições feitas e o controle dos resultados que obtêm, verificando sua adequação à situação. A construção de representações ajudará os alunos a raciocinarem proporcionalmente, ou seja, a estabelecerem relação entre as unidades de medidas utilizadas. Por exemplo, saber que os comprimentos de 10 ou 30 centímetros podem ser visualizados em uma régua.

Medir é comparar grandezas de mesma natureza, é contar com uma unidade específica e, ao medir um mesmo objeto, se as unidades utilizadas são diferentes, os números encontrados serão também distintos.

Nas atividades propostas, é importante que os alunos sejam orientados a escolher uma unidade de medida adequada que permita comparar o que se quer medir com essa unidade escolhida. Para tanto é necessário que seja da mesma espécie daquilo que se quer medir, guardando adequação de seus atributos, ou seja, não convém escolher um lápis como unidade de medida para determinar o comprimento da sala.

O trabalho com as medidas permitirá, também, que os alunos ampliem seu conhecimento a respeito dos campos numéricos, pois certamente sentirão a necessidade de representar suas medições com números que muitas vezes não serão inteiros.

RECURSOS UTILIZADOS

Equipamento Computador

Softwares e Aplicativos Números em Ação Word PowerPoint

Materiais de consumo (para cada dupla) caneta lápis borracha régua



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No ambiente virtual Animação Terras do Rei Aula multimídia alterável Quanto mede? Sites na Internet Para uso do professor www.novaescola.abril.com.br

OBJETIVOS DE ENSINO

Propor situações didáticas que permitam aos alunos

• escolher a unidade de medida e os instrumentos mais adequados para medir comprimentos e tamanhos, fazer estimativas e produzir registros de medições feitas;

• desenvolver o pensamento proporcional, ao desenhar a planta baixa da sala, estabelecendo uma escala que determina a proporção exata entre o tamanho do desenho e o tamanho da sala.


• Reconhecer a medida de comprimento como um número resultante da comparação de duas grandezas de mesma natureza.

• Utilizar as unidades não-padronizadas de comprimento para estimar medições e verificar sua adequação.

• Efetuar a comparação entre o que se quer medir e a unidade escolhida.

• Identificar e utilizar as unidades-padrão de comprimento.

• Estabelecer regras ao/para medir.

• Estabelecer relações entre variáveis para indicar as proporções entre os comprimentos medidos e sua representação na planta baixa.

CONTEÚDOS

Conceituais

• Estimativas de tamanhos e comprimentos.

• Instrumentos não-convencionais de medição de comprimentos.

• Unidades não-padronizadas de comprimento.

• Unidade-padrão de medida de comprimento, o metro e seus submúltiplos: o centímetro e o milímetro.



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Procedimentais

• Decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com calculadora), exato ou aproximado, em função da situação-problema apresentada.

• Decisão sobre uso de procedimento e instrumento específico, em função da precisão da medição.

• Revisão de produções para detectar, analisar e corrigir erros.

• Uso do Word e do PowerPoint como ferramenta de registros para comunicação de medições feitas.

Atitudinais

• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.

• Interesse em conhecer diferentes estratégias de medição.

• Valorização do uso das medidas e estimativas para resolver problemas cotidianos.




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TEXTO COMPLEMENTAR IX

O homem vitruviano Lorenzo Andreotti

Conheça a origem do famoso desenho.

Você, certamente, já se deparou com o desenho acima. Trata-se de “O Homem Segundo as Proporções de Vitrúvio”, do pintor Leonardo Da Vinci. O famoso desenho data do início do século XVI e pode ser visto – além dos livros de arte, é claro – em postais, souvenires e até em sites na Internet.

Para confirmar sua atualidade, ele foi escolhido pelos italianos para cunhar o euro, moeda européia. Mas você sabe o que ele significa?

Para elaborar o homem nu com quatro braços e quatro pernas, inserido em duas figuras geométricas (quadrado e círculo), Da Vinci inspirou-se no arquiteto latino Vitrúvio. Vitrúvio estabeleceu as medidas ideais do corpo humano: a cabeça devia corresponder a um oitavo de sua altura total. Do topo da cabeça até o peito, um sexto. Do cotovelo à ponta do dedo, um quarto. Do joelho até a sola do pé, mais um quarto. Da Vinci inseriu o seu homem perfeito em duas figuras, o quadrado (que representa a terra) e o círculo (o universo). No centro do círculo localiza-se o umbigo do homem, e no centro do quadrado, sua genitália.

Vitrúvio, autor do único tratado de arquitetura que sobreviveu aos dias de hoje, acreditava que a beleza derivava da simetria e da relação das partes com o todo. A perfeição sugerida pelo arquiteto foi a grande inspiração para o pintor, um apaixonado estudioso da anatomia humana. Mais do que ilustrar um estudo, o desenho de Da Vinci confirmava a busca da perfeição, inserido no conceito de que o homem é o modelo do mundo. Daí a atualidade do desenho, proporções justas, simétricas, harmoniosas. Atributos que, hoje, o homem moderno ainda deseja cunhar para si.

Fonte: Revista Vencer. Outubro de 1999



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AULA 32 Os trabalhos deste módulo objetivam principalmente o desenvolvimento do pensamento proporcional. 1º passo Orientar os alunos a fazer medições, utilizando o “palmo” como unidade de medida. Eles medem os segmentos do corpo: braço, antebraço, rosto, perna, etc. 2º passo Os alunos fazem medições de objetos e extensões do ambiente, utilizando o palmo. Os valores encontrados devem ser registrados no Word. 3º passo Propor uma discussão entre todos da turma sobre os valores encontrados, por meio das seguintes questões:

1. As medidas encontradas para um mesmo objeto foram iguais?

2. Por que esses valores nem sempre foram os mesmos?

3. Em que situações as partes do corpo podem ser usadas para fazer medições?

Professor, leia o texto O homem vitruviano para conhecer mais sobre as proporções do corpo humano. Professor, leia a entrevista de Terezinha Nunes, É hora de ensinar proporção, publicada no site www.novaescola.abril.com.br, clicar em edições anteriores, por edição -2003, abril 2003, Fala Mestre!, para conhecer mais as questões relacionadas ao desenvolvimento do pensamento proporcional. 2º passo Professor, ao comparar as medidas encontradas para as diversas partes do corpo como braço, antebraço, rosto, usando como unidade o palmo, serão encontradas muitas relações interessantes: o braço mede 1 palmo, assim como o antebraço e da testa ao queixo.



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AULA 33 1º passo Os alunos assistem à animação Terras do rei e fazem as medições propostas. 2º passo Os resultados encontrados são registrados no Word.

Professor, solicite aos alunos que tragam uma trena ou fita métrica para fazer as atividades desta aula Professor, o importante é que os alunos percebam que fazer medições é estabelecer relação entre uma medida tomada como padrão e aquilo que se quer medir, seja essa medida convencional ou não. Professor, para conhecer um pouco mais sobre o trabalho com medidas, leia o livro paradidático Medindo comprimentos, de Nilson José Machado, Editora Scipione, da série Vivendo a Matemática.

AULA 34 1º passo Os alunos resolvem as atividades propostas na aula multimídia Quanto mede?.

Na próxima aula serão utilizadas plantas-baixas. Portanto, sugerimos providenciar ou, se possível, solicitar aos alunos que tragam algumas.

Professor, é importante que os alunos tenham a oportunidade de comparar os valores encontrados quando tomados por alunos diferentes e quando tomados utilizando-se um instrumento de medida convencional – metro ou fita métrica, para medir um mesmo objeto. Nesse tipo de trabalho, surgem muitas situações que podem ser exploradas por você, professor, para que os alunos comecem a se envolver na busca de soluções para questões que poderão surgir na realização do empreendimento que será proposto a seguir.



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AULAS 35, 36 e 37 Nestas aulas, os alunos elaboram uma planta-baixa da sala de aula. Surgirá a necessidade, então, de cálculo com as quatro operações, envolvendo, inclusive, números racionais. A noção de proporção será o foco da atividade. Caso os alunos queiram utilizar calculadora, isso não comprometerá a qualidade do trabalho, uma vez que calcular é algo muito mais amplo do que simplesmente armar a conta, pedir emprestado ou fazer o “vai um”. É possível calcular mentalmente, usando lápis e papel ou a calculadora. O importante é aprender a decidir qual o cálculo mais adequado a cada situação, assim como a melhor estratégia e o melhor instrumento para fazê-lo. O papel do professor é de fundamental importância para o envolvimento dos alunos e, conseqüentemente, para o êxito da atividade de resolução de problema. Resolver problema não significa cumprir uma tarefa, mas ultrapassar um obstáculo. Um problema só é problema quando mobiliza o interesse do aluno e promove a investigação, a experimentação, o confronto de hipóteses, a previsão de resultados e conseqüências, o opor-se e o consenso. 1º passo Os alunos analisam os modelos de plantas-baixas trazidos e identificam as características importantes que devem considerar ao construir a planta-baixa da sala. 2º passo Os alunos trabalham na elaboração da planta-baixa da sala, fazendo as medições.

Professor, os arquivos dessas aulas devem ser gravados em disquete, para serem recuperados mais facilmente nas primeiras aulas da Fase 2. Assim sendo, para que não seja usado o mesmo arquivo de todas as aulas anteriores, os ícones DOC e PPT, que aparecem na tela, não estarão habilitados. 2º passo Professor, incentive os alunos a procurar diferentes instrumentos (cabo de vassoura, carteira, mesa, apagador, caderno, etc.) para medir. Caso seja necessário, os alunos podem fazer marcas nos instrumentos usados nas medições, indicando a sua metade ou quarta parte ou

é



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ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS 3º passo Os grupos usam o PowerPoint, Paint Brush ou Word para desenhar a planta-baixa. 4º passo Os alunos apresentam os trabalhos para análise e avaliação da turma. Verificam se foram contempladas na sua elaboração as características identificadas nas aulas anteriores.


terça parte. Essa é uma estratégia a ser utilizada em situações nas quais as medidas são inexatas. 3º passo Professor, acompanhe as atividades, observando o nível de detalhamento das plantas. É importante que os alunos sejam encorajados a fazer o melhor que puderem, cuidando para que o nível de exigência não ultrapasse suas possibilidades nem fique abaixo delas. Nesse tipo de empreendimento, podemos nos surpreender com aquilo que nossos alunos são capazes de fazer. Estimule-os a fazer um plano de ação para assumirem os riscos propostos no desenvolvimento do trabalho. Eles precisarão criar estratégias para calcular proporções, uma vez que todas as medidas serão representadas ou no PowerPoint ou no Word ou no Paint. 4º passo Professor, aproveite a oportunidade para fazer uma exposição das plantas-baixas, que podem estar impressas ou não. Uma sugestão é convidar alunos e professores a visitarem a SAI onde os trabalhos estarão disponíveis nas telas dos micros.



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BRASIL. MEC. SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Fundamental – 1ª a 4ª série. Matemática. Brasília, 1996.

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CHEVALLARD, Ives, BOSCH, Marianna, GASCÓN, Josep. Estudar Matemática. O elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: ArtMed, 2001.

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D`AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Editora Papirus, 1996.

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GIMÉNEZ, J. e GIRONDO, L. Cálculo en la escuela: reflexiones y propuestas. Barcelona: Editorial Graó, 1993.

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MACEDO, Lino. Os jogos e sua importância na escola. Cadernos de Pesquisa: São Paulo, 1995.

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PARRA, Cecilia & SÁEZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

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ZABALA, Antoni. A prática pedagógica. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.



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ANEXO 1

PEÇAS DO QUEBRA-CABEÇAS PARA A DINÂMICA DOS QUADRADOS

Peça 1

Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 1 (um)



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Peça 2

Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 2 (dois)



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Peça 3

Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 3 (três)



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Peça 4

Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 4 (quatro)



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ANEXO 2

QUESTÕES DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

LEGENDA:

• Em preto, o novo descritor associado à questão • Em cinza, as novas mensagens de erro e de acerto que deverão

aparecer no relatório de acordo com o desempenho do aluno na questão.

• Em negrito itálico, a resposta correta de cada questão.

Questão 1

D1 – Reconhecer e utilizar características do SND, tais como: agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional como recurso de cálculo. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional como recurso de cálculo. Avaliação A Em uma calculadora, foi digitado o número 2586. Que operação deve ser feita para que no lugar do algarismo 8 apareça o algarismo 1, sem modificar os outros algarismos? (a) Subtrair 7 (b) Adicionar 7 (c) Subtrair 70 (d) Adicionar 70 Avaliação B Em uma calculadora, foi digitado o número 3764. Que operação deve ser feita para que no lugar do algarismo 6 apareça o algarismo 2, sem modificar os outros algarismos? (a) Subtrair 4 (b) Subtrair 40 (c) Adicionar 4 (d) Adicionar 40



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Questão 2

D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentes operações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textos que incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo multiplicativo, que envolve a idéia de proporcionalidade. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo multiplicativo, que envolve a idéia de proporcionalidade.

Avaliação A

Se em 3 pacotes temos um total de 15 figurinhas, quantas figurinhas teremos em 12 pacotes?

(a) 4 (b) 5 (c) 36 (d) 60

Avaliação B

Se em 3 pacotes temos um total de 9 figurinhas, quantas figurinhas teremos em 8 pacotes?

(a) 27 (b) 24 (c) 3 (d) Não é possível calcular



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Questão 3


Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de efetuar operações no campo aditivo, envolvendo quantias relacionadas à idéia de comparação, analisando informações apresentadas em forma de esquema. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de efetuar operações no campo aditivo, envolvendo quantias relacionadas à idéia de comparação, analisando informações apresentadas em forma de esquema. Avaliação A Dona Rosália comprou 3 das 4 mercadorias mostradas abaixo e gastou exatamente R$80,50.

Tênis Camisa Sapato Jaqueta $35,70 R$15,50 R$22,60 R$29,30 Dona Rosália não comprou (a) o tênis. (b) a camisa. (c) o sapato. (d) a jaqueta.

Avaliação B Dona Jane comprou 3 dos 4 brinquedos mostrados abaixo e gastou exatamente R$73,40.

Bola Carrinho Patins Skate R$11,20 R$14,50 R$25,40 R$36,80

Dona Jane não comprou (a) a bola. (b) o carrinho. (c) os patins. (d) o skate.



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Questão 4 D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentes operações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textos que incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo aditivo que compreende mais de uma transformação: alterações positivas e negativas. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo aditivo que compreende mais de uma transformação: alterações positivas e negativas. Avaliação A Em um jogo, vence aquele que, ao final da 3ª rodada, fizer 100 ou mais pontos. Analise as anotações do jogo, mostradas na tabela abaixo.

Participante 1a rodada 2a rodada 3a rodada Guida Ganhou 53 Perdeu 27 Ganhou 67 Rosa Ganhou 49 Ganhou 41 Perdeu 45 Beto Ganhou 35 Ganhou 45 Ganhou 17 Marcos Perdeu 17 Ganhou 63 Ganhou 67

Quem ganhou o jogo? (a) Guida (b) Rosa (c) Beto (d) Marcos Avaliação B Em um jogo, vence aquele que, ao final da 3ª rodada, fizer 100 ou mais pontos. Analise as anotações do jogo, mostradas na tabela abaixo.

Participante 1a rodada 2a rodada 3a rodada Ana Ganhou 25 Ganhou 45 Ganhou 17 Jorge Ganhou 64 Ganhou 36 Perdeu 15 João Ganhou 52 Perdeu 17 Ganhou 68 Laura Perdeu 24 Ganhou 31 Ganhou 79

Quem ganhou o jogo? (a) Ana (b) Jorge (c) João (d) Laura



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Questão 5


Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo aditivo, que envolve mais de uma transformação (positiva e negativa). Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo aditivo, que envolve mais de uma transformação (positiva e negativa).

Avaliação A

Júlio faz coleção de gibis. Dos 130 gibis que tem, 80 são nacionais. Dentre os estrangeiros, 15 são gibis japoneses. Quantos são os gibis estrangeiros da coleção de Júlio que não são japoneses?

Para encontrar a resposta, é preciso resolver a expressão:

(a) 130 +15 -80 (b) 130 – 80 - 15 (c) 130 – 15 + 80 (d) 130 + 15 + 80

Avaliação B

Tomás faz coleção de selos. Dos 125 selos que tem, 75 são nacionais. Dentre os estrangeiros, 20 são canadenses. Quantos são os selos estrangeiros da coleção de Tomás que não são canadenses?

Para encontrar a resposta, é preciso resolver a expressão:

(a) 125 +75 + 20 (b) 125 - 20 + 75 (c) 125 – 75 - 20 (d) 125 + 20 – 75



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Questão 6

D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou não, por meio de estratégias pessoais.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de comparar grandezas de mesma natureza, que utilizam unidades de medida não-convencionais, fazendo uso de estimativa. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de comparar grandezas de mesma natureza, que utilizam unidades de medida não-convencionais, fazendo uso de estimativa. Avaliação A

Renato e Alexandre mediram o comprimento do quarto onde dormem. Renato disse que o comprimento do quarto equivale a 15 passos e Alexandre disse que equivale a 20 passos.

Quanto ao tamanho dos passos de Renato e Alexandre, podemos afirmar que

(a) o de Alexandre é maior que o de Renato. (b) o de Renato é maior que o de Alexandre. (c) eles têm o passo do mesmo tamanho. (d) não é possível comparar o tamanho dos passos.

Avaliação B

Daniel e Artur mediram o comprimento da sala de aula. Artur disse que o comprimento da sala equivale a 25 passos e Daniel disse que equivale a 30 passos.

Quanto ao tamanho dos passos de Daniel e Artur, podemos afirmar que

(a) não é possível comparar o tamanho dos passos. (b) o de Daniel é maior que o de Artur. (c) o de Artur é maior que o de Daniel. (d) eles têm o passo do mesmo tamanho.



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Questão 7


Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo aditivo, que envolve mais de uma transformação (positiva e negativa). Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo aditivo, que envolve mais de uma transformação (positiva e negativa). Avaliação A

Um vendedor está fazendo o balanço das vendas de hoje.

6 bombons 7 barras de chocolate 24 balas .?.caixas de chicletes Foram vendidas 46 mercadorias. Quantas caixas de chicletes foram vendidas? (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 Avaliação B

Numa lanchonete, foram vendidos 57 salgados.

13 coxinhas 19 empadas 17 pastéis .?. pães de queijo Quantos pães de queijo foram vendidos? (a) 8 (b) 7 (c) 6 (d) 5



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Questão 8

D1 – Reconhecer e utilizar características do SND, tais como: agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional como recurso de cálculo, para resolver situações de compra e venda com cédulas e moedas. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional como recurso de cálculo, para resolver situações de compra e venda com cédulas e moedas. Avaliação A

Sílvia comprou um aparelho de som e pagou em dinheiro. Ela usou 2 notas de 100 reais, 3 notas de 10 reais, 4 notas de 1 real e não recebeu troco. O preço que Sílvia pagou pelo som, em reais, foi

(a) 234 (b) 432 (c) 243 (d) 342 Avaliação B

Renata comprou um telefone celular e pagou em dinheiro. Ela usou 3 notas de 100 reais, 2 notas de 10 reais, 4 notas de 1 real e não recebeu troco. O preço que Renata pagou pelo celular, em reais, foi

(a) 234 (b) 432 (c) 243 (d) 324



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Questão 9


Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de facilitar o troco em uma situação de compra e venda. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de facilitar o troco em uma situação de compra e venda.

Avaliação A

Josiane fez uma compra na padaria, no valor de R$6,30. Ela pagou com uma nota de 10 reais, uma nota de 1 real e 3 moedas de 10 centavos. Quanto Josiane recebeu de troco?

(a) 5 reais (b) 4 reais (c) 5 reais e 70 centavos (d) 4 reais e 70 centavos

Avaliação B

Anderson fez uma compra na quitanda, no valor de R$13,20. Ele pagou com uma nota de 10 reais, uma nota de 5 reais e uma moeda de 20 centavos. Quanto Anderson recebeu de troco?

(a) 2 reais e 20 centavos (b) 3 reais e 20 centavos (c) 2 reais (d) 3 reais



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Questão 10

D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou não, por meio de estratégias pessoais.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de utilizar estratégias de cálculo estimado, usando unidades de medida não-convencionais. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de utilizar estratégias de cálculo estimado, usando unidades de medida não-convencionais. Avaliação A

Ana vai fazer uma receita que leva 800 gramas de açúcar. Ana não tem balança para pesar os ingredientes, mas ela sabe que em uma xícara cabem, aproximadamente, 250 gramas de açúcar. Para conseguir a quantidade mais próxima de açúcar indicada na receita e usando a xícara como medida, Ana deve colocar:

(a) 3 xícaras.

(b) 2 xícaras.

(c) 4 xícaras.

(d) 1 xícara.

Avaliação B

Marta vai fazer um bolo que leva 750 gramas de farinha. Marta não tem balança para pesar os ingredientes, mas ela sabe que em um copo cabem, aproximadamente, 200 gramas de farinha. Para conseguir a quantidade mais próxima de farinha indicada na receita e usando o copo como medida, Marta deve colocar:

(a) 3 copos. (b) 2 copos. (c) 4 copos. (d) 1 copo.



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Questão 11


Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados que envolvem multiplicações e divisões de números naturais. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados que envolvem multiplicações e divisões de números naturais.

Avaliação A

A carga máxima permitida em uma balsa é de 640kg. Qual é o maior número de pessoas com 70kg, em média, que podem ser transportadas juntas nessa balsa?

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10

Avaliação B

No barco de Seu Alfredo, a carga máxima permitida é de 580kg. Qual é o maior número de pessoas com 70kg, em média, que podem entrar juntas nesse barco?

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10



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Questão 12 D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou não, por meio de estratégias pessoais. Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de, nos cálculos necessários para resolver uma situação-problema de divisão, estabelecer relações entre o resto e o divisor. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de, nos cálculos necessários para resolver uma situação-problema de divisão, estabelecer relações entre o resto e o divisor.

Avaliação A

Uma turma de 15 amigos está na fila da roda gigante em um parque de diversões. Na roda gigante, podem ir 4 pessoas em cada cadeira. Eles devem ocupar o menor número possível de cadeiras. Quantos amigos ocuparão a última cadeira destinada a esse grupo?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

Avaliação B

Uma turma de 19 amigos vai fazer um passeio de trem. Em cada banco podem ir 5 pessoas. Eles devem ocupar o menor número possível de bancos. Quantos amigos ocuparão o último banco destinado a esse grupo?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4



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Questão 13 D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou não, por meio de estratégias pessoais.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados, envolvendo adições de números naturais. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados, envolvendo adições de números naturais. Avaliação A

O resultado da operação 1 098 + 987 está entre:

(a) 1 000 e 1 500 (b) 1 500 e 2 000 (c) 2 000 e 2 200 (d) 2 200 e 2 500

Avaliação B

O resultado da operação 992 + 2 089 é mais próximo de:

(a) 2 900 (b) 3 000 (c) 3 100 (d) 3 200



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Questão 14 D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou não, por meio de estratégias pessoais.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de fazer cálculos exatos, envolvendo multiplicações e adições de números naturais. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de fazer cálculos exatos, envolvendo multiplicações e adições de números naturais. Avaliação A

Na biblioteca da escola, as estantes são de dois tamanhos. Há 3 estantes com 4 prateleiras para 50 livros em cada prateleira e há 2 estantes de 3 prateleiras para 60 livros em cada prateleira.

O número máximo de livros que podem ser colocados nas prateleiras dessa biblioteca é:

(a) 122 (b) 1220 (c) 960 (d) 9600

Avaliação B

Em um restaurante, há 5 mesas de 4 lugares, 10 mesas de 2 lugares e 2 mesas de 6 lugares.

O número máximo de pessoas que podem se sentar para almoçar, ao mesmo tempo nesse restaurante é:

(a) 12 (b) 17 (c) 29 (d) 52



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Questão 15 D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentes operações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textos que incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos.

Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo multiplicativo, que envolve a idéia de proporcionalidade. Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de resolver uma situação-problema do campo multiplicativo, que envolve a idéia de proporcionalidade.

Avaliação A

No supermercado, a seção de produtos de limpeza está fazendo uma promoção.

Comprando duas caixas de sabão em pó, leve grátis um vidro de detergente.

São 20 vidros de detergente. Quantas caixas de sabão em pó serão vendidas nessa promoção?

(a) 40 (b) 30 (c) 20 (d) 10

Avaliação B

Na seção de perfumaria de um supermercado, estão fazendo embalagens para uma promoção.

Comprando três caixas de creme dental, leve grátis uma escova de dentes.

São 10 caixas de escovas de dentes. Quantas caixas de creme dental serão utilizadas para fazer as embalagens?

(a) 60 (b) 40 (c) 30 (d) 20

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Apostila numeros 28.03.05