apostila oficial 2011 mecanica

Notas de aula de Mecnica Geral

Prof. Alessandro Leonardo da Silva

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FUNEDI - UEMG

Notas de aula de

MCANICA GERAL


Divinpolis - Minas Gerais 2011



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LISTA DE SMBOLOS

letras maisculas A rea E mdulo de elasticidade F fora I momento de inrcia L comprimento M momento, momento fletor Ms momento esttico N fora normal P carga concentrada R resultante de foras, esforo resistente S esforo solicitante V fora cortante letras minsculas a acelerao b largura g acelerao da gravidade h dimenso, altura l comprimento m metro, massa max mximo min mnimo q carga distribuda s segundo v deslocamento vertical x distncia da linha neutra ao ponto de maior encurtamento na seo transversal de uma pea fletida

letras gregas , ngulo, coeficiente deslocamento dimetro deformao especfica f coeficiente de majorao das aes tenso normal tenso normal admissvel tenso tangencial tenso tangencial admissvel coeficiente de Poisson



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1 Introduo1.1 Conceito As estruturas e as mquinas nunca so absolutamente rgidas, deformando-se sob a ao das cargas a que esto submetidas. Estas deformaes so geralmente pequenas e no alteram apreciavelmente as condies de equilbrio ou de movimento da estrutura considerada. No entanto, essas deformaes tero importncia quando houver riscos de ruptura do material. A Mecnica uma cincia fsica aplicada que trata dos estudos das foras e dos movimentos. A Mecnica descreve e prediz as condies de repouso ou movimento de corpos sob a ao de foras. A finalidade da Mecnica explicar e prever fenmenos fsicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicaes da Engenharia. No projeto de qualquer estrutura ou mquina necessrio primeiro usar os princpios da esttica para determinar as foras que atuam tanto sobre como no interior de seus membros. As dimenses dos elementos, sua deflexo e sua estabilidade dependem no s das cargas internas como tambm do tipo de material do qual esses elementos so feitos.

1.2 Sistema Internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades (SI) subdividido em unidades bsicas e unidades derivadas. As unidades bsicas so: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades derivadas so, entre outras, fora, trabalho, presso, etc. As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as trs unidades bsicas escolhidas so independentes dos locais onde so feitas as medies. O comprimento necessrio para localizar a posio de um ponto no espao e, por meio dele, descrever a dimenso de um sistema fsico. O conceito de espao associado noo de posio de um ponto material, o qual pode ser definido por trs comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referncia, ou de origem, segundo trs direes dadas. Estes comprimentos so conhecidos como as coordenadas do ponto.



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A massa uma propriedade da matria pela qual se pode comparar a ao de um corpo com a de outro. Dois corpos de mesma massa, por exemplo, sero atrados pela Terra de modo idntico; e tambm iro oferecer a mesma resistncia a uma variao de movimento de translao. O tempo concebido como uma sucesso de eventos. Os princpios da esttica so independentes do tempo. O tempo desempenha papel importante no estudo da dinmica. A fora medida em Newton (N) que definido como a fora que imprime a acelerao de 1 m/s massa de 1 kg. A partir da Equao F=m.a (segunda Lei de Newton),2

escreve-se: 1 N = 1 kg 1 m/s .2

As medidas estticas de foras so efetuadas por meio de instrumentos chamados dinammetros. O peso de um corpo tambm uma fora e expresso em Newton (N). Da Equao P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitao) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg = (1 kg)(9,81 m/s ) = 9,81 N, onde g=9,81m/s a acelerao da gravidade.2 2

A presso medida no SI em Pascal (Pa) que definido como a presso exercida por uma fora de 1 Newton uniformemente distribuda sobre uma superfcie plana de 1 metro quadrado de rea, perpendicular direo da fora Pa = N /m . Pascal tambm unidade de2

tenses normais (compresso ou trao) ou tenses tangenciais (cisalhamento). Mltiplos e submltiplos



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Converso de UnidadesCOMPRIMENTO Unidade SI n(nano) .m .m (micro) Dm .m Cm .m .mm .m Km .m Ft .m In .m yd (jarda) .m MASSA Unidade .g Ton lbm Slug oz (ona)avoirdupois Gro Tonelada (inglesa) Utm Arroba

Multiplicar por 10-9 10-6 0,1 0,01 0,001 1000 0,3048 0,0254 0,9144

SI kg kg kg kg kg kg kg kg kg

Multiplicar por 0,001 1000 0,45359237 14,594 28,35.10-3 6,48.10-6 1016 9,80665 14,688

REA Unidade Are Acre Hectare km2 P2 (ft2) Polegada quadrada (in2)

SI .m2 .m2 .m2 .m2 .m2 .m2

Multiplicar por 4,047.103 100 10000 106 0,06451 9,290304

Fora Unidade kgf Libra fora(lbf)

SIN

Multiplicar por 9,8 4,45

N

1.3 Trigonometria Para o estudo da Matria da Mecnica Geral necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos trs ngulos de um tringulo e determina um ramo da matemtica que estuda as relaes entre as medidas dos lados e dos ngulos de um tringulo. Crculo e Funes Trigonomtricas ____ sen = EF cos = OF tg = AB ____ cot g = DC sec = OB cosec = OCOE = R =1____ ____ ____ ____

___

Tringulo retngulo



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No tringulo retngulo, os catetos so os lados que formam o ngulo de 90. A hipotenusa o lado oposto ao ngulo de 90 e determinada pela relao: a2 = b2 +c2. Relaes trigonomtricas

Razes Trigonomtricas Especiais



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1.4 Alfabeto Grego Os problemas usuais em engenharia so definidos por formulaes matemticas, as quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. , pois, necessrio, seu conhecimento para as prticas comuns da Engenharia.



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Alfabeto Grego



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2 EstticaA Esttica se refere aos corpos em repouso ou em movimento, com velocidade constante e estuda as foras em equilbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Esttica, os corpos analisados so considerados rgidos, conseqentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material. 2.1 Foras no plano A Fora representa a ao de um corpo sobre o outro e caracterizada pelo seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido. A intensidade de uma fora expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direo de uma fora definida por sua linha de ao, ou seja, a reta ao longo da qual a fora atua, sendo caracterizada pelo ngulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 2.1.

O sentido da fora indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de foras, o conjunto de foras aplicadas em um nico ponto de um corpo. Sistema de foras o conjunto de foras aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. 2.2 Equilbrio de um ponto material Ponto material uma pequena poro de matria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espao. Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre um ponto material nula, este ponto est em equilbrio. Este princpio conseqncia da primeira lei de Newton: se a fora resultante que atua sobre um ponto material zero, este ponto permanece em repouso



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(se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento). Para exprimir algebricamente as condies de equilbrio de um ponto material, escreve-se:

F = R = 0F = fora R = resultante das foras A representao grfica de todas as foras que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como indica a Figura 2.2.

Exemplo: verificar se o sistema de foras indicado est em equilbrio F x =0 Fx = 1500 1000sen30o 2000sen30o = 0 Fx = 1500 500 1000 = 0 F y = 0 Fy =2000cos30o 1000cos30o 866 = 0 Fy =1732 866 - 866 = 0 Resposta: O sistema de foras est em equilbrio.

2.3 Resultante de uma fora Constata-se experimentalmente que duas foras P e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substitudas por uma nica fora R que tenha o mesmo efeito sobre esse



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ponto material. Essa fora chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um grupo de foras a fora que, atuando sozinha, produz ao idntica produzida pelo grupo ou sistema de foras. A resultante pode ser determinada por solues grficas ou analticas.a)

Solues grficas: quando um ponto material est em equilbrio sob a ao de mais de trs foras o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polgono de foras, como indicado nas figuras seguintes.



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b)

Solues analticas: os mtodos analticos utilizam a trigonometria e as equaes de equilbrio.

Exemplos: 1. O parafuso tipo gancho da figura, est sujeito a duas foras F1 e F2. determine a intensidade (mdulo) e a direo da fora resultante.

2.

O parafuso na forma de gancho Decomponha essa fora em

mostrado abaixo est sujeito a uma fora de 200N. figura. componentes nas direes mostradas na



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3. Um caso particular da terceira lei de Newton a lei da gravitao que trata da atrao da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfcie. A fora de atrao exercida pela Terra sobre o ponto material definida como o seu peso (P). a intensidade do peso P de um ponto material de massa m expresso como.P =mg

onde g = 9,81 m/s2 acelerao da gravidade.



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Exerccios: 1 Determine os componentes x e y de cada uma das foras indicadas.

2 Determine os componentes x e y de cada uma das foras indicadas.

3 A extremidade de uma lana O da figura est submetida as trs foras concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientao da fora resultante.



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4 O elo da figura est submetido a duas foras F1 e F2. Determine a intensidade e a orientao da fora resultante.

2.4 Vetores Cartesianos

Componentes retangulares de um vetor Um vetor A pode ter um, dois ou trs componentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y, z, dependendo de como est orientado em relao aos eixos. Em geral, quando A est orientado em um oitante do sistema x, y, z, com duas aplicaes sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decomp-lo em componentes, como A = A + Az e depois A = Ax + A. Combinando essas equaes, A representado pela soma vetorial de seus trs componentes retangulares; A = Ax + Ay + Az



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Vetores Cartesianos Unitrios

Em trs dimenses, o conjunto de vetores unitrios i, j, k usado para designar as direes dos eixos x, y, z, respectivamente. Como foi dito anteriormente, o sentido (ou ponta da flecha) desses vetores ser descrito analiticamente por um sinal positivo ou negativo, dependendo se indicam o sentido positivo ou negativo dos eixos x, y e z. Os vetores cartesianos unitrios positivos so os mostrados na figura acima. Vetor Unitrio A direo de A especificada usando-se um vetor unitrio, que tem esse nome porque apresenta intensidade 1. Se A um vetor com intensidade A 0, ento o vetor unidade que tem a mesma direo de A representado por: uA = A/A, de modo que: A = A.uA. Sendo A um certo tipo, por exemplo, vetor fora, costuma-se usar o conjunto de unidades apropriadas para descrev-lo. A intensidade de A tambm tem o mesmo conjunto de unidades. Ento pela equao anterior, o vetor unitrio adimensional, visto que as unidades se anulam; a referida equao, indica, portanto, que o vetor A expresso em termos tanto de sua intensidade quanto de sua direo separadamente, ou seja, A (escalar positivo) define a intensidade de A e uA (vetor adimensional) define a direo e o sentido de A;



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Representao de um Vetor Cartesiano

Como os tres componentes de A, atuam nas direes positivas i, j, k, pode-se escrever A sob a forma de vetor cartesiano como: A = Axi + Ayj + Azk H uma vantagem em escrever os vetores dessa maneira. Note que a intensidade e a direo de cada componente do vetor esto separadas e, como resultado, simplificam-se as operaes de lgebra vetorial, particularmente em trs dimenses. Mdulo de um Vetor Cartesiano

sempre possvel obter a intensidade de A, desde que ele esteja expresso sob a forma vetorial cartesiana; Como mostra a figura ao lado, temos, pelo tringulo retngulo cinza-claro;

Pelo tringulo retngulo cinza-escuro;



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Combinando-se essas duas equaes, tem-se:

Direo de um Vetor Cartesiano

A orientao de A definida pelos ngulos diretores coordenados (alfa), (beta) e (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y, z localizados na origem de A. Observe que cada um desses ngulos est entre 0 e 180, independentemente da orientao de A. Para determinamos , e , vamos considerar a projeo de A sobre os eixos x, y, z. Esses nmeros so conhecidos como cossenos diretores de A;

Direo de um Vetor Cartesiano



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Exerccios: 1 Expresse a fora F , mostrada na figura abaixo, como um vetor cartesiano.

2 Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante que atua sobre o, anel conforme a figura abaixo.

3 Expresse a fora F1, mostrada na figura abaixo, como vetor cartesiano.

4 Duas foras atuam sobre o gancho conforme mostrado na figura abaixo. Especifique os ngulos diretores coordenados de F2 de modo que a fora resultante FR atue ao longo do eixo positivo y e tenha intensidade de 800 N.



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5 Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.

6 Especifique os ngulos diretores coordenados de F1 e F2 e expresse cada fora como um vetor cartesiano.

7 A viga est sujeita s duas foras mostradas. Expresse cada fora na forma vetorial cartesiana e determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante.



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2.5 Vetor Posio

- Vetor Cartesiano: r = (xB-xA)i + (yB-yA)j + (zB-zA)k - Mdulo do Vetor Cartesiano: r = (rxi2 + ryj2 + rkk2)1/2 - Vetor unitrio: u = r/rExerccios: 1 Uma fita elstica est presa aos pontos A e B, conforme mostrado na figura. Determine seu comprimento e sua direo, medidos de A para B.

2 Expresse o vetor posio r na forma cartesiana; depois determine sua intensidade e os ngulos diretores coordenados.

3 O homem mostrado na figura puxa uma corda com uma fora de 70 lb. Represente essa fora, que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e determine sua direo.



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4 Uma marquise suportada por cabos conforme mostrado na figura. Se os cabos exercem foras FAB = 100 N e FAC = 120 N sobre o gancho colocado na parede em A, determine o mdulo da fora resultante atuante em A.

5 Uma torre de transmisso sustentada por trs cabos de sustentao ancorados por parafusos B, C e D. Se a trao no cabo AB de 2100 N, determine os componentes da fora exercida pelo cabo no parafuso B. 6 Uma torre de transmisso sustentada por trs cabos de sustentao ancorados por parafusos B, C e D. Se a trao no cabo AD de 1260 N, determine os componentes da fora exercida pelo cabo no parafuso D.



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Exerccios de Reviso: 1 Determine a intensidade, a direo e o sentido da fora resultante sabendo que = 50.

2 Determinar a intensidade e a direo da fora resultante sabendo que F1 = 500 N e = 20.

3 O olhal da figura est sujeito s duas foras mostradas. Encontre o mdulo e os ngulos coordenados diretores da fora resultante.

4 Os cabos da figura so usados para sustentar a antena. Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados , , da fora F1.

5 Vrios cabos esto presos em A no topo de uma torre. Determine o ngulo formado entre os cabos AB e AC.



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6 Cada uma das quatro foras que atuam em E tem intensidade de 28 kN. Expresse cada fora como um vetor cartesiano e determine a fora resultante.



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2.6 Produto escalar: 1 O tubo da figura est sujeito fora F = 80 lb. Determine o ngulo entre F e o segmento BA do tubo.

2 Determine o ngulo entre os dois vetores.

3 Determine o ngulo entre os lados da chapa triangular.

4 Determine o ngulo entre o eixo y do poste e o arame AB.



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2.7 Momento de uma fora Define-se Momento como a tendncia de uma fora F fazer girar um corpo rgido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do mdulo de F e da distncia (d) de F em ao eixo fixo. Considere-se uma fora F que atua em um corpo rgido fixo no ponto 0, como indicado nas figuras 2.1 e 2.2.

Figura 2.1 Figura 2.2 A fora F representada por um vetor que define seu mdulo, direo e sentido. O vetor d a distncia perpendicular de 0 linha de ao de F. Define-se o momento escalar do vetor F em relao a 0, como sendo :Mo = F d

onde: Mo= momento escalar do vetor F em relao ao ponto 0; 0 = plo ou centro de momento; d= distncia perpendicular de 0 linha de ao de F, tambm chamada de brao de alavanca. O momento MO sempre perpendicular ao plano que contm o ponto 0. O sentido de MO definido pelo sentido de rotao imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a fora F tender a girar o corpo no sentido anti-horrio e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horrio. No SI, onde a fora expressa em newtons (N) e a distncia em metros (m). Portanto, o momento expresso em newtons metros (N m).

2.7.1 Momento de um sistema de foras coplanares



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Chama-se Momento de um sistema de foras coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em relao ao ponto 0, soma algbrica dos Momentos de cada fora em relao ao mesmo ponto 0.

2.7.2 Teorema de Varignon Seja R a resultante do sistema de foras S. O Momento da resultante de um sistema de foras em relao a um ponto igual ao momento do sistema ou seja, a soma algbrica dos Momentos de todas as foras componentes em relao ao mesmo ponto O.

Observao: Cabe mencionar que muitas vezes o momento de uma fora nem sempre provoca rotao, como se apresenta na figura 2.3.

Figura 2.3 Exemplos: 1 - Determine o momento da fora em cada relao ao ponto O. Em cada caso Ilustrado.



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Figura 2.4 2 - Determine os momentos da fora de 800 N que atua sobre a estrutura em relao aos pontos A, B, C e D. da Figura 2.4. 3 - Determine o momento resultante das quatro foras que atuam na haste em relao ao ponto O (Fig. 2.5)

Figura 2.5 2.7.3 Momento de um binrio Duas foras F e F que tenham o mesmo mdulo, linhas de ao paralelas e sentidos opostos formam um binrio. A soma das componentes das duas foras em



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qualquer direo zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas foras em relao a um dado ponto no zero. Apesar de as duas foras no transladarem o corpo no qual atuam, tendem a faz-lo girar.

Exemplos: 1- Um binrio atua nos dentes da engrenagem mostrada na Figura 2.6 substitua esse binrio por um equivalente, composto por um par de foras que agem nos pontos A e B.

Figura 2.6 2- Determine o momento de binrio que atua sobre a estrutura de tubos. O segmento AB est orientado em 30 abaixo do plano x y.( Figura 2.7)

Figura 2.7



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3- Um momento torsor de 4 N.m aplicado ao cabo de uma chave de fenda. Decomponha esse momento de binrio em um par de binrios F exercido no cabo P atuando na lmina da ferramenta (Figura 2.8). 4- O sistema de rodzio submetido a dois binrios. Determine as foras F que os dois mancais criam no eixo, de modo que o momento de binrio resultante no rodzio seja nulo (Figura 2.9).

Figura 2.8

Figura 2.9 Exerccios: 1 - O poste da figura esta sujeito a uma fora de 60 N na direo de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela fora em relao ao suporte em A.

2 - Antes que o tronco de uma grande rvore venha a cair, so amarrados cabos AB e BC, como mostra a ilustrao. Sabendo que as foras de trao nos cabos AB e BC so de 777 N e 990 N, respectivamente, determine o momento em relao a O da fora resultante exercida sobre a rvore pelos cabos em B.



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3 - Uma fora de 200 N atua sobre o suporte mostrado na figura. Determine o momento da fora em relao ao ponto A.

4 - Determine o momento de binrio que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na figura. O segmento AB est orientado em 30 abaixo do eixo x-y.

5 - Uma viga de 4,80 m de comprimento est sujeita s trs foras mostradas. Reduza o sistema de foras dado: a) Um sistema fora-binrio equivalente em A;



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b) Um sistema fora-binrio equivalente em B.



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3. Equilbrio de um Corpo RgidoNesta seo vamos a conhecer as condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido. Para isso considere o corpo rgido da Figura 3.1.

Figura 3.1 Um corpo rgido est em equilbrio quando todas as foras externas que atuam sobre ele formam um sistema de foras equivalente a zero, isto , quando todas as foras externas podem ser reduzidas a uma fora nula e a um binrio nulo.

F = 0

M

0

=0

As expresses acima definem as equaes fundamentais de Esttica. Decompondo cada fora e cada momento em suas componentes cartesianas, encontramse as condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido o espao.

3.1 Equilbrio em duas dimenses Para uma aplicao bem-sucedida das equaes de equilbrio, preciso uma completa especificao de todas as foras externas conhecidas e desconhecidas que atuam no corpo. A melhor maneira de fazer isso construindo o diagrama de corpo livre (DCL) para esse corpo. O diagrama um esboo da forma do corpo, representado



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isolado ou livre dos elementos vizinhos, isto , como um corpo livre (Figura 3.2 a, b).

Figura 3.2 As condies de equilbrio de um corpo rgido simplificam-se consideravelmente no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se:

para cada uma das foras aplicadas ao corpo rgido, ento as seis equaes de equilbrio no espao reduzem-se a:

F

X

=0

F

y

=0

M

A

=0

onde A um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas trs equaes podem ser resolvidas para um mximo de trs incgnitas. O equilbrio em duas dimenses tambm conhecido como equilbrio no plano. 3.2 Reaes de Apoio Para o estudo do equilbrio dos corpos rgidos no bastam conhecer somente as foras externas que agem sobre ele, mas tambm necessrio conhecer como este corpo rgido est apoiado. Apoios ou vnculos so elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificao:



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Apoio mvel Impede movimento na direo normal (perpendicular) ao plano do apoio; Permite movimento na direo paralela ao plano do apoio; Permite rotao. Apoio fixo Impede movimento na direo normal ao plano do apoio; Impede movimento na direo paralela ao plano do apoio; Permite rotao. Engastamento Impede movimento na direo normal ao plano do apoio; Impede movimento na direo paralela ao plano do apoio; Impede rotao. Exemplo: Viga de ferro

3.3 Tipos de Estruturas As estruturas so classificadas em funo do nmero de reaes de apoio ou vnculos que possuem. Cada reao constitui uma incgnita a ser determinada.



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Para as estruturas planas, a Esttica fornece trs equaes fundamentais:

F

X

=0

F

y

=0

M

A

=0

3.3.1 Estruturas hipostticas Estruturas hipostticas so aquelas cujo nmero de reaes de apoio ou vnculos inferior ao nmero de equaes fornecidas pelas condies de equilbrio da Esttica. A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura hiposttica. As incgnitas so duas: RA e RB. Esta estrutura no possui restrio a movimentos horizontais. 3.3.2 Estruturas isostticas Estruturas isostticas so aquelas cujo nmero de reaes de apoio ou vnculos igual ao nmero de equaes fornecidas pelas condies de equilbrio da Esttica. No exemplo da estrutura da figura, as incgnitas so trs: RA, RB e HA. Esta estrutura est fixa; suas incgnitas podem ser resolvidas somente pelas equaes fundamentais da Esttica. 3.3.3 Estruturas hiperestticas Estruturas hiperestticas so aquelas cujo nmero de reaes de apoio ou vnculos superior ao nmero de equaes fornecidas pelas condies de equilbrio da Esttica. Um tipo de estrutura hiperesttica est ilustrado na figura ao lado. As incgnitas so quatro: RA, RB, HA e MA. As equaes fundamentais da Esttica no so suficientes para resolver as equaes outras de equilbrio. relativas todas So ao as necessrias condies

comportamento da estrutura, como, p.ex., a sua deformabilidade incgnitas. Exemplos: para determinar



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1- Desenhe o diagrama de corpo livre e determine os componentes horizontal e vertical da reao para a viga carregada, como mostrado na Figura1. A viga tem massa de 100 kg.

Figura 1

Figura 2

2- Desenhe o diagrama de corpo livre e determine os componentes horizontal e vertical da reao para a viga carregada, como mostrada na Figura 2. Despreze o peso da viga em seus clculos. 3- Determine as reaes nos apoios em A e B da estrutura da Figura 3. (1000 lb = 1 kip (kilo-libra)) 4- Determine a intensidade das reaes na viga em A e B. Despreze a espessura dela. (Fig. 4)

Figura 4

Figura 3 5- A chave de boca mostrada na figura 5a e 5b utilizada para apertar o parafuso em A. Se a chave no gira quando a carga aplicada ao seu cabo, determine o torque ou momento e a fora da chave aplicados ao parafuso.



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Figura 5

Figura 5

6- Quando se segura uma pedra de 5 lb em equilbrio, o mero H, considerando liso, exerce uma fora normal Fc e FA no rdio C e no cbito A, como mostra a figura 6. Determine essas foras e a fora FB que o bceps B exerce sobre o rdio para manter o equilbrio. A pedra tem centro de massa em G. Despreze o peso do brao. 7- O homem est puxando uma carga de 8 lb com um dos braos e segurando como mostra a figura 7. Determine a fora FH exercida no osso mero H e a tenso desenvolvida no msculo bceps B. Despreze o peso do brao.

Figura 6

Figura 7

Exerccios de reviso:



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1 A estrutura da plataforma tem peso de 250 lb e centro de gravidade G1 e deve ser capaz de sustentar uma carga mxima de 400 lb colocada no ponto G2. Determine o menor contrapeso W que deve ser colocado em B para evitar que a plataforma tombe.

2 Determine os componentes horizontais e verticais das reaes nos apoios.

3 Substitua o sistema de foras que atua sobre a viga por uma fora e momento equivalentes no ponto A.

4 Determine os componentes horizontais e verticais das reaes nos apoios.



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4. Anlise Estrutural4.1 Trelias4.1.1 Definio Trelia toda estrutura constituda de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto de encontro das barras chamado n da trelia. Os esforos externos so aplicados unicamente nos ns (Figura 4.1).

Figura 4.1 Denomina-se trelia plana, quando todas as barras de uma trelia esto em um mesmo plano (Figura 2).

Figura 4.2

Estas trelias so utilizadas para sustentar o telhado do prdio de metal. Note como os elementos se unem em um ponto comum de placa de reforo e como as travessas do telhado transmitem a carga aos ns

Para se calcular uma trelia deve-se: a) determinar as reaes de apoio; b) determinar as foras nas barras. A condio para que uma trelia de malhas triangulares seja isosttica :



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2n = b +v onde: b = nmero de barras n = nmero de ns v = nmero de reaes de apoio Adota-se como conveno de sinais: positivo barras tracionadas: negativo barras comprimidas:

setas saindo do n

setas entrando no n

Os esforos nas barras das trelias podem ser resolvidos por mtodos grficos e analticos. Um dos vrios processos analticos usuais o Mtodo do Equilbrio dos Ns, abaixo exemplificado. 4.1.2 Mtodo do equilbrio dos ns Para analisarmos ou projetarmos uma trelia, devemos obter a fora em cada um de seus elementos. Ao utilizar o mtodo dos ns, necessrio primeiro desenhar o diagrama de corpo livre dos ns antes de aplicar as equaes de equilbrio. Exemplos: 1 - Determine a fora em cada elemento da trelia mostrada na figura ao lado, e indique se os elementos esto sob trao ou compresso.

Soluo: a) Diagrama de corpo livre b) Clculo das reaes de apoio Equao de equilbrio das foras: Fx= 0; Fy = 0



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c) Clculo das foras nas barras Iniciar a resoluo pelo n que tiver no mximo duas foras incgnitas. As foras devem estar tracionando o n (seta saindo). Como no se sabe a priori se as foras nas barras so de trao ou de compresso, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra est comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado. N B : N C : N A :

2-

Determine em

a

fora

cada

elemento da trelia mostrada na figura 4.3. Indique se os elementos esto sob trao ou compresso.

Figura 4.3

DCL (Diagrama de Corpo Livre)

3- Determine a fora em cada elemento da trelia e indique se esses elementos esto sob trao ou compresso. Considere que P1 = 800 lb e P2 = 400 lb (Figura 4.4). 4- A trelia usada para sustentar uma sacada est sujeita ao carregamento mostrado na Figura 4.5. Considere cada n como um pino e determine a fora em cada elemento. Indique se os elementos esto sob trao ou compresso. Considere que P1 = 600 lb e P2 = 400 lb.



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Figura 4.4 Resultado FBA = 286 lb T FBC = 808 lb T FCA = 571 lb C Exerccios: 1 - Determinar as foras em cada uma das barras das trelias abaixo. Indique se os elementos esto sobre trao ou compresso. FAD = 849 lb C FBD = 400 lb C FDC = 1400 lb T Figura 4.5 Resultado FAB = 600 lb T FBC = 600 lb T FDE = 1600 lb C

2 - Utilizando o mtodo dos ns, determine todos os elementos de fora nula da trelia mostrada na figura. Considere que todos os ns estejam conectados por pinos.



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3 - Determinar as foras em cada uma das barras das trelias abaixo. Indique se os elementos esto sobre trao ou compresso.

4 - Determine as foras nos elementos BC, HC e HG para a trelia da ponte e indique se eles esto sob trao ou compresso.

5 - Determine as foras nos elementos GF, CF e CD para a trelia da ponte e indique se eles esto sob trao ou compresso.



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Exerccios de reviso: 1 Determine a fora em cada elemento da trelia e indique se esses elementos esto sob trao ou compresso. Considere que P1 = 500 lb e P2 = 100 lb.

2 Determine a fora em cada elemento da trelia e indique se esses elementos esto sob trao ou compresso. Considere que P1 = 2 kN e P2 = 1,5 kN.

5. Caractersticas Geomtricas de Figuras Planas



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O dimensionamento e a verificao da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tenses, as quais se distribuem ao longo das sees transversais de um corpo. Da vem a necessidade de se conhecer claramente as caractersticas ou propriedades das figuras geomtricas que formam essas sees transversais. A Figura 5.1 ilustra uma barra reta de seo transversal constante, chamada barra prismtica. O lado da barra que contm o comprimento (L) e a altura (h) chamado de seo longitudinal e o que contm a largura (b) e a altura (h) chamado de seo transversal.

Figura 5.1 Barra prismtica

As principais propriedades geomtricas de figuras planas so: rea (A) Momento esttico (M) Centro de gravidade (CG) 5.1 rea A rea de uma figura plana a superfcie limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a rea pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposio de formas geomtricas de rea conhecida (retngulos, tringulos, etc). A unidade de rea [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). A rea utilizada para a determinao das tenses normais (trao e compresso) e das tenses de transversais ou de corte. 5.2 Momento Esttico Momento de Inrcia (I) Mdulo de resistncia (W) Raio de girao (i)



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Analogamente definio de momento de uma fora em relao a um eixo qualquer, defini-se Momento Esttico (M) de um elemento de superfcie como o produto da rea do elemento pela distncia que o separa de um eixo de referncia.M x = y dA e M y = x dA

Momento Esttico de uma superfcie plana definido como a somatria de todos os momentos estticos dos elementos de superfcie que formam a superfcie total.M x = ydAA

e

M y = xdAA

A unidade do Momento Esttico rea [L] [L]2 = [L]3. O Momento Esttico utilizado para a determinao das tenses transversais que ocorrem em uma pea submetida flexo. O Momento Esttico de uma superfcie composta por vrias figuras conhecidas a somatria dos Momentos Estticos de cada figura. Exemplo: Determinar o Momento Esttico das figuras abaixo:M 1, x = y CG1 A1

M 2, x = y CG 2 A2M 3, x = y CG3 A3M x = M 1, x + M 2, x + M 3, x

Elemento vazado

M x = M 1, x M 2, x

5.3 Centro de Gravidade



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Se um corpo for dividido em partculas mnimas, estas ficam sujeitas ao da gravidade, isto , em todas estas partculas est aplicada uma fora vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas foras verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posio do corpo aplicando-lhe uma rotao, ele permanecer sempre sujeito ao da gravidade. Isto significa que as foras verticais giraro em relao ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas foras paralelas, qualquer que seja a posio do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG). Portanto, atrao exercida pela Terra sobre um corpo rgido pode ser representada por uma nica fora P. Esta fora, chamada peso do corpo, aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfcie. O centro de gravidade de uma superfcie plana , por definio,My A =

o

ponto

dey CG = Mx 1 = y dA A AA

coordenadas:xCG = 1 x dA A A

onde: xCG = distncia do CG da figura at o eixo y escolhido arbitrariamente; yCG = distncia do CG da figura at o eixo x escolhido arbitrariamente; Mx = momento esttico da figura em relao ao eixo x; My = momento esttico da figura em relao ao eixo y; A = rea da Figura.

Centro de gravidade de reas compostas por vrias figuras



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O centro de gravidade de uma superfcie composta por vrias figuras, expresso por:

x CG =

A xi =1 i

n

i

Ai =1 n i =1 i

n

i

y CG =

A y Ai =1 n i

i

Centro de gravidade de algumas figuras planas



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Exemplos:



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1 Determine o centro de gravidade da figura composta abaixo:

2 Para a superfcie plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relao aos eixos x e y e a localizao do centride.

3 Determine o centride das superfcies planas mostradas:

5.4 Foras Distribudas



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Generalidades A atrao da Terra sobre um determinado corpo constituda por um sistema de foras distribudas aplicadas em cada partcula do corpo. Considerando tratar-se de um corpo rgido, a ao da gravidade pode ser substituda pela ao da sua resultante o peso P do corpo, aplicada no centro de gravidade do corpo. O mesmo se passa com outras foras distribudas como, por exemplo, a ao do vento sobre uma superfcie, a ao da presso hidrosttica sobre superfcies submersas, etc...

Ao do vento (presso).

Ao da presso hidrosttica. Substituio pela resultante.

Cargas Distribudas em Vigas



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As vigas esto habitualmente sujeitas a uma funo de carregamento w = f(x) devido ao prprio peso, ao peso dos elementos estruturais e no estruturais restantes, ao do vento, etc... que indica a intensidade de cargas ao longo do comprimento de um elemento de sustentao. Essa intensidade medida em N/m ou lb/p. Podemos, para efeito do equilbrio global, substituir a carga distribuda pela sua resultante aplicada na sua linha de ao. Intensidade da Fora Resultante:

Localizao da Fora Resultante:



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Concluso: uma carga distribuda atuante numa viga pode ser substituda por uma carga concentrada; a intensidade desta carga nica igual rea da superfcie sob a curva de carregamento e a sua linha de ao passa pelo centride do carregamento. Exemplos: 1 - Determine a intensidade e a localizao da fora resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.

A fora resultante equivalente rea sob o diagrama das cargas distribudas e tem uma linha de ao que passa pelo centride ou centro geomtrico dessa rea. Sempre que possvel, cargas distribudas complexas devem ser divididas nas superfcies de formas usuais conhecidas (retngulos, tringulos, crculos). Cada uma dessas superfcies pode ento ser substituda por uma fora nica equivalente. Se necessrio pode-se ainda reduzir o sistema de foras equivalentes a uma fora nica equivalente. 2 - Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras determine a intensidade da fora resultante da carga distribuda e as reaes de apoio da viga.



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Exerccios: 1 Determine a intensidade e a localizao da fora resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.

2 Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras determine a intensidade da fora resultante da carga distribuda e as reaes de apoio da viga.



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Exerccios de reviso: 1 - Determine a fora resultante e especifique onde ela atua sobre a viga em relao a A.



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2 - Determine a localizao do centride da rea mostrada na figura.

3 - A barragem de gravidade feita de concreto. Determine a localizao do centro de gravidade G para a parede.

5.5 Momento de Inrcia O momento de inrcia de uma superfcie plana em relao a um eixo de referncia definido como sendo a integral de rea dos produtos dos elementos de rea que compem a superfcie pelas suas respectivas distncias ao eixo de referncia, elevadas ao quadrado.I x = y 2 dAA

dA

yA unidade do momento de inrcia [L]2[L]2=[L]4 .

I y = x 2 dAA

x

O momento de inrcia uma caracterstica geomtrica importantssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numricos, a resistncia da pea. Quanto maior for o momento de inrcia da seo transversal de uma pea, maior a sua resistncia.

y



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Propriedade: O momento de inrcia total de uma superfcie a somatria dos momentos de inrcia das figuras que a compe.I x = I 1, x + I 2, x + I 3, x

Exemplo 1: Determinar o momento de inrcia da superfcie em relao ao eixo x.

Translao de eixos (Teorema de Steiner) O momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo qualquer igual ao momento de inrcia em relao ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da rea (A) pelo quadrado da distncia que separa os dois eixos.

I x = I xC G + A y 2 C G

I y = I yCG + A x 2 CG

Onde: I x = momento de inrcia da figura em relao ao eixo y. I y = momento de inrcia da figura em relao ao eixo x. I x CG = momento de inrcia da figura em relao ao eixo x CG que passa pelo CG da figura. I y CG = momento de inrcia da figura em relao ao eixo y CG que passa pelo CG da figura. x CG = distncia do eixo y at o eixo y CG .



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y CG = distncia do eixo x at o eixo x CG .

Exemplo 2: Determine o momento de inrcia das seguintes figuras compostas.



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5.6 Mdulo Resistente Define-se mdulo resistente de uma superfcie plana em relao aos eixos que contm o CG como sendo a razo entre o momento de inrcia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distncia mxima entre o eixo e a extremidade da seo estudada.

onde: ICG = momento de inrcia da pea em relao ao CG da figura x, y = distncia entre o eixo do CG da figura e a extremidade da pea.[ L] 4 = [ L]3 A unidade do mdulo resistente [ L]

O mdulo resistente utilizado para o dimensionamento de peas submetidas flexo. Para o retngulo, tem-se:



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h/25.7 Raio de Girao

CG

.

Define-se raio de girao como sendo a raiz quadrada da relao entre o momento de inrcia e a rea da superfcie. A unidade do raio de girao o comprimento. O raio de girao utilizado para o estudo da flambagem.I A

h/2

i=

cm 4 = cm cm 4

b

Caractersticas Geomtricas de algumas figuras conhecidas



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Momentos de Inrcia das figuras bsicas



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apostila oficial 2011 mecanica