Apostila Oficial 2015 Mecanica Geral

Notas de aula de Mecânica Geral Prof. Alessandro Leonardo da Silva Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado

www.aprendermais.net.br

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Notas de aula de

MÊCANICA GERAL

Prof. Alessandro Leonardo da Silva

Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado

Divinópolis - Minas Gerais

2015



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LISTA DE SÍMBOLOS

letras maiúsculas

A área

E módulo de elasticidade

F força

I momento de inércia

L comprimento

M momento, momento fletor

Ms momento estático

N força normal

P carga concentrada

R resultante de forças, esforço

resistente

S esforço solicitante

V força cortante

letras minúsculas

a aceleração

b largura

g aceleração da gravidade

h dimensão, altura

l comprimento

m metro, massa

max máximo

min mínimo

q carga distribuída

s segundo

v deslocamento vertical

x distância da linha neutra ao ponto de

maior encurtamento na seção

transversal de uma peça fletida

letras gregas

α, θ ângulo, coeficiente

δ deslocamento

θ diâmetro

ε deformação específica

γ f coeficiente de majoração das ações

ζ tensão normal

tensão normal admissível

η tensão tangencial

tensão tangencial admissível

υ coeficiente de Poisson



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1 Introdução

1.1 Conceito

As estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação

das cargas a que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram

apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada.

No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do

material.

A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos

movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos

sob a ação de forças.

A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, os

fundamentos para as aplicações da Engenharia.

No projeto de qualquer estrutura ou máquina é necessário primeiro usar os princípios da

estática para determinar as forças que atuam tanto sobre como no interior de seus membros.

As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das

cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos.

1.2 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades

derivadas.

As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades

derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc.

As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três

unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições.

O comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço e, por

meio dele, descrever a dimensão de um sistema físico. O conceito de espaço é associado à

noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos,

medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas.

Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto.



4

A massa é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a ação de um

corpo com a de outro. Dois corpos de mesma massa, por exemplo, serão atraídos pela Terra

de modo idêntico; e também irão oferecer a mesma resistência a uma variação de movimento

de translação.

O tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Os princípios da estática são

independentes do tempo. O tempo desempenha papel importante no estudo da dinâmica.

A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a

aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de Newton),

escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.

As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados

dinamômetros.

O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação

P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de

massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade.

A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por

uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro

quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m2. Pascal é também unidade de

tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).

Múltiplos e submúltiplos



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Conversão de Unidades

COMPRIMENTO MASSA

Unidade SI Multiplicar por Unidade SI Multiplicar por

n(nano) .m 10-9

.g kg 0,001

(micro) .m 10-6

Ton kg 1000

Dm .m 0,1 lbm kg 0,45359237

Cm .m

0,01 Slug kg 14,594

.mm .m 0,001 oz (onça)avoirdupois kg 28,35.10-3

Km .m 1000 Grão kg 6,48.10-6

Ft .m 0,3048 Tonelada (inglesa) kg 1016

In .m 0,0254 Utm kg 9,80665

yd (jarda) .m 0,9144 Arroba kg 14,688

ÁREA Força

Unidade SI Multiplicar

por

Unidade SI Multiplicar por

Are .m2 4,047.10

3 Kgf N 9,8

Acre .m2 100 Libra força(lbf) N 4,45

Hectare .m2 10000

km2 .m

2 10

6

Pé2 (ft

2) .m

2 0,06451

Polegada quadrada (in2) .m

2 9,290304

1.3 Trigonometria

Para o estudo da Matéria da Mecânica Geral necessitam-se dos conceitos fundamentais

da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e

determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos

ângulos de um triângulo.

Círculo e Funções Trigonométricas

sen α = ____

EF

cos α = ____

OF

tg α = ___

AB

cot g α= ____

DC

sec α = ____

OB

cosec α = ____

OC ____

OE = R =1



6

Triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A

hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: a2 = b

2 +c

2.

Relações trigonométricas

Razões Trigonométricas Especiais



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1.4 Alfabeto Grego

Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as

quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento

para as práticas comuns da Engenharia.



8

Alfabeto Grego



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2 Estática

A Estática se refere aos corpos em repouso ou em movimento, com velocidade

constante e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento por elas

produzido. Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente,

os resultados obtidos independem das propriedades do material.

2.1 Forças no plano

A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto

de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em

Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida

por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada

pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 2.1.

O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).

Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de

um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos

diversos de um mesmo corpo.

2.2 Equilíbrio de um ponto material

Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se

ocupasse um ponto no espaço.

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este

ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a

força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso



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(se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade

constante (se originalmente estava em movimento)”.

Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material,

escreve-se:

0RF

F = força

R = resultante das forças

A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser

representada por um diagrama de corpo livre, como indica a Figura 2.2.

Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio

Σ F x =0

Σ Fx = 1500 – 1000sen30o – 2000sen30

o =

0

Σ Fx = 1500 – 500 – 1000 = 0

Σ F y = 0

Σ Fy =2000cos30o – 1000cos30

o – 866 = 0

Σ Fy =1732 – 866 - 866 = 0

Resposta: O sistema de forças está em

equilíbrio.



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2.3 Resultante de uma força

Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto

material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse

ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um

grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo

grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou

analíticas.

a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais

de três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um

polígono de forças, como indicado nas figuras seguintes.



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b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações

de equilíbrio.



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Exemplos:

1. O parafuso tipo gancho da figura, está

sujeito a duas forças F1 e F2. determine a

intensidade (módulo) e a direção da força

resultante.

2. O parafuso na forma de gancho

mostrado abaixo está sujeito a uma força de

200N. Decomponha essa força em

componentes nas direções mostradas na

figura.

3. Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da atração da

Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração exercida



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pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do peso P

de um ponto material de massa m é expresso como.

gmP

onde g = 9,81 m/s2 é aceleração da gravidade.



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Exercícios:

1 – Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas.

2 – Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas.

3 – A extremidade de uma lança O da figura está submetida as três forças concorrentes e

coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante.



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4 – O elo da figura está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a

orientação da força resultante.

2.4 Vetores Cartesianos

Componentes retangulares de um vetor

Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas

x, y, z, dependendo de como está orientado em relação aos eixos.

Em geral, quando A está orientado em um oitante do sistema x, y, z, com duas

aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como

A = A‟ + Az e depois A‟ = Ax + A.

Combinando essas equações, A é representado pela soma vetorial de seus três

componentes retangulares;

A = Ax + Ay + Az



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Vetores Cartesianos Unitários

Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários i, j, k é usado para designar as

direções dos eixos x, y, z, respectivamente.

Como foi dito anteriormente, o sentido (ou ponta da flecha) desses vetores será

descrito analiticamente por um sinal positivo ou negativo, dependendo se indicam o sentido

positivo ou negativo dos eixos x, y e z.

Os vetores cartesianos unitários positivos são os mostrados na figura acima.

Vetor Unitário

A direção de A é especificada usando-se um vetor unitário, que tem esse nome porque

apresenta intensidade 1.

Se A é um vetor com intensidade A≠ 0, então o vetor unidade que tem a mesma

direção de A é representado por: uA = A/A, de modo que: A = A.uA.

Sendo A um certo tipo, por exemplo, vetor força, costuma-se usar o conjunto de

unidades apropriadas para descrevê-lo.

A intensidade de A também tem o mesmo conjunto de unidades.

Então pela equação anterior, o vetor unitário é adimensional, visto que as unidades se

anulam; a referida equação, indica, portanto, que o vetor A é expresso em termos tanto de

sua intensidade quanto de sua direção separadamente, ou seja, A (escalar positivo) define a

intensidade de A e uA (vetor adimensional) define a direção e o sentido de A;



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Representação de um Vetor Cartesiano

Como os tres componentes de A, atuam nas direções positivas i, j, k, pode-se escrever

A sob a forma de vetor cartesiano como:

A = Axi + Ayj + Azk

Há uma vantagem em escrever os vetores dessa maneira.

Note que a intensidade e a direção de cada componente do vetor estão separadas e,

como resultado, simplificam-se as operações de álgebra vetorial, particularmente em três

dimensões.

Módulo de um Vetor Cartesiano

É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele esteja expresso sob a forma

vetorial cartesiana;

Como mostra a figura ao lado, temos, pelo triângulo retângulo cinza-claro;

Pelo triângulo retângulo cinza-escuro;



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Combinando-se essas duas equações, tem-se:

Direção de um Vetor Cartesiano

A orientação de A é definida pelos ângulos diretores coordenados α (alfa), β (beta) e

γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y, z localizados na origem

de A.

Observe que cada um desses ângulos está entre 0° e 180°, independentemente da

orientação de A.

Para determinamos α, β e γ, vamos considerar a projeção de A sobre os eixos x, y, z.

Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A;

Direção de um Vetor Cartesiano



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Exercícios:

1 – Expresse a força F , mostrada na figura abaixo, como um vetor cartesiano.

2 – Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua

sobre o, anel conforme a figura abaixo.

3 – Expresse a força F1, mostrada na figura abaixo, como vetor cartesiano.

4 – Duas forças atuam sobre o gancho conforme mostrado na figura abaixo. Especifique os

ângulos diretores coordenados de F2 de modo que a força resultante FR atue ao longo do

eixo positivo y e tenha intensidade de 800 N.



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5 – Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante.

6 – Especifique os ângulos diretores coordenados de F1 e F2 e expresse cada força como um

vetor cartesiano.

7 – A viga está sujeita às duas forças mostradas. Expresse cada força na forma vetorial

cartesiana e determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante.



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2.5 Vetor Posição

- Vetor Cartesiano:

r = (xB-xA)i + (yB-yA)j + (zB-zA)k

- Módulo do Vetor Cartesiano:

r = (rxi2 + ryj

2 + rkk

2)

1/2

- Vetor unitário:

u = r/r

Exercícios:

1 – Uma fita elástica está presa aos pontos A e B, conforme mostrado na figura. Determine

seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.

2 – Expresse o vetor posição r na forma cartesiana; depois determine sua intensidade e os

ângulos diretores coordenados.



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3– O homem mostrado na figura puxa uma corda com uma força de 70 lb. Represente essa

força, que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e determine sua direção.

4 – Uma marquise é suportada por cabos conforme mostrado na figura. Se os cabos

exercem forças FAB = 100 N e FAC = 120 N sobre o gancho colocado na parede em A,

determine o módulo da força resultante atuante em A.

5 – Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por

parafusos B, C e D. Se a tração no cabo AB é de 2100 N, determine os componentes da

força exercida pelo cabo no parafuso B.

6 – Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por

parafusos B, C e D. Se a tração no cabo AD é de 1260 N, determine os componentes da

força exercida pelo cabo no parafuso D.



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Exercícios de Revisão:

1 – Determine a intensidade, a direção e o sentido da força resultante sabendo que θ = 50º.

2 – Determinar a intensidade e a direção da força resultante sabendo que F1 = 500 N e θ =

20º.

3 – O olhal da figura está sujeito às duas forças mostradas. Encontre o módulo e os ângulos

coordenados diretores da força resultante.

4 – Os cabos da figura são usados para sustentar a antena. Determine a intensidade e os

ângulos diretores coordenados α, β, γ da força F1.



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5 – Vários cabos estão presos em A no topo de uma torre. Determine o ângulo θ formado

entre os cabos AB e AC.

6 – Cada uma das quatro forças que atuam em E tem intensidade de 28 kN. Expresse cada

força como um vetor cartesiano e determine a força resultante.


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2.6 Produto escalar:

1 – O tubo da figura está sujeito à força F = 80 lb. Determine o ângulo θ entre F e o segmento

BA do tubo.

2 – Determine o ângulo θ entre os dois vetores.

3 – Determine o ângulo θ entre os lados da chapa triangular.

4 – Determine o ângulo θ entre o eixo y do poste e o arame AB.


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2.7 Momento de uma força

Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em

torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância (d) de F em ao

eixo fixo. Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como

indicado nas figuras 2.1 e 2.2.

Figura 2.1

Figura 2.2

A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e sentido. O vetor

d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F.

Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo : dFMo

onde: Mo= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0;

0 = pólo ou centro de momento;

d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de

alavanca.

O momento MO é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de

MO é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.

Convenciona-se momento positivo se a força

F tender a girar o corpo no sentido anti-

horário e negativo, se tender a girar o corpo

no sentido horário.

No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). Portanto, o

momento é expresso em newtons × metros (N × m).


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2.7.1 Momento de um sistema de forças coplanares

Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em

relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo ponto

0.

2.7.2 Teorema de Varignon

Seja R a resultante do sistema de forças S. “O Momento da resultante de um sistema de

forças em relação a um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma algébrica dos

Momentos de todas as forças componentes em relação ao mesmo ponto O”.

Observação: Cabe mencionar que muitas vezes o momento de uma força nem sempre

provoca rotação, como se apresenta na figura 2.3.

Figura 2.3

Exemplos:

1 - Determine o momento da força em cada relação ao ponto O. Em cada caso Ilustrado.


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Figura 2.4

2 - Determine os momentos da força de 800 N que atua sobre a estrutura em relação aos

pontos A, B, C e D. da Figura 2.4.

3 - Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na haste em relação ao

ponto O (Fig. 2.5)

Figura 2.5

2.7.3 Momento de um binário

Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos

opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é


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zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é

zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo

girar.

Exemplos:

1- Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na Figura 2.6 substitua esse binário

por um equivalente, composto por um par de forças que agem nos pontos A e B.

Figura 2.6

2- Um momento torsor de 4 N.m é aplicado ao cabo de uma chave de fenda. Decomponha

esse momento de binário em um par de binários F exercido no cabo P atuando na lámina da

ferramenta (Figura 2.8).

3- O sistema de rodízio é submetido a dois binários. Determine as forças F que os dois

mancais criam no eixo, de modo que o momento de binário resultante no rodízio seja nulo

(Figura 2.9).


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Figura 2.8

Figura 2.9

Exercícios:

1 - O poste da figura esta sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B. Determine a

intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

2 - Antes que o tronco de uma grande árvore venha a cair, são amarrados cabos AB e BC,

como mostra a ilustração. Sabendo que as forças de tração nos cabos AB e BC são de 777 N e

990 N, respectivamente, determine o momento em relação a O da força resultante exercida

sobre a árvore pelos cabos em B.


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3 - Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado na figura. Determine o momento da

força em relação ao ponto A.

4 - Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na figura. O

segmento AB está orientado em 30º abaixo do eixo x-y.

5 - Uma viga de 4,80 m de comprimento está sujeita às três forças mostradas. Reduza o

sistema de forças dado:

a) Um sistema força-binário equivalente em A;

b) Um sistema força-binário equivalente em B.


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3. Equilíbrio de um Corpo Rígido

Nesta seção vamos a conhecer as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio

de um corpo rígido. Para isso considere o corpo rígido da Figura 3.1.

Figura 3.1

Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam sobre ele

formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças externas

podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo.

0 M 0 0F

As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática.

Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as

condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido o espaço.

3.1 Equilíbrio em duas dimensões

Para uma aplicação bem-sucedida das equações de equilíbrio, é preciso uma completa

especificação de todas as forças externas conhecidas e desconhecidas que atuam no corpo. A

melhor maneira de fazer isso é construindo o diagrama de corpo livre (DCL) para esse corpo.


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O diagrama é um esboço da forma do corpo, representado isolado ou „livre‟ dos elementos

vizinhos, isto é, como um „corpo livre‟ (Figura 3.2 a, b).

Figura 3.2

As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente no

caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se:

para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no

espaço reduzem-se a:

0 M 0F 0 AyXF

onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas

para um máximo de três incógnitas.

O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano.

3.2 Reações de Apoio

Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as forças

externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está

apoiado.

Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e

recebem a seguinte classificação:


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Apoio móvel

Impede movimento na direção normal

(perpendicular) ao plano do apoio;

Permite movimento na direção paralela ao plano

do apoio;

Permite rotação.

Apoio fixo

Impede movimento na direção normal ao plano

do apoio;

Impede movimento na direção paralela ao plano

do apoio;

Permite rotação.

Engastamento

Impede movimento na direção normal ao plano

do apoio;

Impede movimento na direção paralela ao plano

do apoio;

Impede rotação.

Exemplo: Viga de ferro


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3.3 Tipos de Estruturas

As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos

que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.

Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:

0 M 0F 0 AyXF

3.3.1 Estruturas hipostáticas

Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é

inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura

hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta

estrutura não possui restrição a movimentos

horizontais.

3.3.2 Estruturas isostáticas

Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual

ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

No exemplo da estrutura da figura, as incógnitas

são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está fixa; suas

incógnitas podem ser resolvidas somente pelas

equações fundamentais da Estática.

3.3.3 Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é

superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado

na figura ao lado. As incógnitas são quatro: RA, RB,

HA e MA. As equações fundamentais da Estática não

são suficientes para resolver as equações de equilíbrio.

São necessárias outras condições relativas ao

comportamento da estrutura, como, p.ex., a sua

deformabilidade para determinar todas as incógnitas.


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Exemplos:

1- Desenhe o diagrama de corpo livre e determine os componentes horizontal e vertical da

reação para a viga carregada, como mostrado na Figura1. A viga tem massa de 100 kg.

Figura 1

Figura 2

2- Desenhe o diagrama de corpo livre e determine os componentes horizontal e vertical da

reação para a viga carregada, como mostrada na Figura 2. Despreze o peso da viga em seus

cálculos.

3- Determine as reações nos apoios em A e B da estrutura da Figura 3. (1000 lb = 1 kip (kilo-

libra))

4- Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura dela. (Fig. 4)

Figura 3

Figura 4

5- A chave de boca mostrada na figura 5a e 5b é utilizada para apertar o parafuso em A. Se a

chave não gira quando a carga é aplicada ao seu cabo, determine o torque ou momento e a

força da chave aplicados ao parafuso.


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Figura 5

Figura 5

6- Quando se segura uma pedra de 5 lb em equilíbrio, o úmero H, considerando liso, exerce

uma força normal Fc e FA no rádio C e no cúbito A, como mostra a figura 6. Determine essas

forças e a força FB que o bíceps B exerce sobre o rádio para manter o equilíbrio. A pedra tem

centro de massa em G. Despreze o peso do braço.

7- O homem está puxando uma carga de 8 lb com um dos braços e segurando como mostra a

figura 7. Determine a força FH exercida no osso úmero H e a tensão desenvolvida no músculo

bíceps B. Despreze o peso do braço.

Figura 6

Figura 7


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Exercícios de revisão:

1 – A estrutura da plataforma tem peso de 250 lb e centro de gravidade G1 e deve ser capaz

de sustentar uma carga máxima de 400 lb colocada no ponto G2. Determine o menor

contrapeso W que deve ser colocado em B para evitar que a plataforma tombe.

2 – Determine os componentes horizontais e verticais das reações nos apoios.

3 – Substitua o sistema de forças que atua sobre a viga por uma força e momento equivalentes

no ponto A.


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4. Análise Estrutural

4.1 Treliças

4.1.1 Definição

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto

de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados

unicamente nos nós (Figura 4.1).

Figura 4.1

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo

plano (Figura 2).

Figura 4.2

Estas treliças são utilizadas para sustentar o

telhado do prédio de metal. Note como os

elementos se unem em um ponto comum de

placa de reforço e como as travessas do

telhado transmitem a carga aos nós


41

Para se calcular uma treliça deve-se:

a) determinar as reações de apoio;

b) determinar as forças nas barras.

A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:

2n = b +v

onde:

b = número de barras

n = número de nós

v = número de reações de apoio

Adota-se como convenção de sinais:

Positivo negativo

barras tracionadas:

barras comprimidas:

setas saindo do nó

setas entrando no nó

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e

analíticos.

Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, abaixo

exemplificado.

4.1.2 Método do equilíbrio dos nós

Para analisarmos ou projetarmos uma treliça, devemos obter a força em cada um de seus

elementos. Ao utilizar o método dos nós, é necessário primeiro desenhar o diagrama de corpo

livre dos nós antes de aplicar as equações de equilíbrio.

Exemplos:

1 - Determine a força em cada elemento da

treliça mostrada na figura ao lado, e indique

se os elementos estão sob tração ou

compressão.


42

Solução:

a) Diagrama de corpo livre

b) Cálculo das reações de apoio

Equação de equilíbrio das forças: ΣFx= 0; ΣFy = 0

c) Cálculo das forças nas barras

Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças

devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas barras

são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor

determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta

deve ser mudado.

Nó B :

Nó C :

Nó A :

2- Determine a força em cada elemento da treliça mostrada na figura 4.3. Indique se os

elementos estão sob tração ou compressão.

Figura 4.3

DCL (Diagrama de Corpo Livre)


43

3- Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob

tração ou compressão. Considere que P1 = 800 lb e P2 = 400 lb (Figura 4.4).

4- A treliça usada para sustentar uma sacada está sujeita ao carregamento mostrado na Figura

4.5. Considere cada nó como um pino e determine a força em cada elemento. Indique se os

elementos estão sob tração ou compressão. Considere que P1 = 600 lb e P2 = 400 lb.

Figura 4.4

Figura 4.5

Resultado

FBA = 286 lb T

FBC = 808 lb T

FCA = 571 lb C

Resultado

FAD = 849 lb C FAB = 600 lb T

FBD = 400 lb C FBC = 600 lb T

FDC = 1400 lb T FDE = 1600 lb C

Exercícios:

1 - Determinar as forças em cada uma das barras das treliças abaixo. Indique se os elementos

estão sobre tração ou compressão.


44

2 - Utilizando o método dos nós, determine todos os elementos de força nula da treliça

mostrada na figura. Considere que todos os nós estejam conectados por pinos.

3 - Determinar as forças em cada uma das barras das treliças abaixo. Indique se os elementos

estão sobre tração ou compressão.

4 - Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se eles

estão sob tração ou compressão.


45

5 - Determine as forças nos elementos GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se eles

estão sob tração ou compressão.


1 – Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob

tração ou compressão. Considere que P1 = 500 lb e P2 = 100 lb.

2 – Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob

tração ou compressão. Considere que P1 = 2 kN e P2 = 1,5 kN.


46

5. Características Geométricas de Figuras Planas

O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de

qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se

distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se

conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que formam

essas seções transversais.

A Figura 5.1 ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra

prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de seção

longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção transversal.

Figura 5.1 Barra prismática

As principais propriedades geométricas de figuras planas são:

Área (A) Momento de Inércia (I)

Momento estático (M) Módulo de resistência (W)

Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i)

5.1 Área

A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos

complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas

geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc).

A unidade de área é [L]2

(unidade de comprimento ao quadrado).

A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das

tensões de transversais ou de corte.


47

5.2 Momento Estático

Analogamente à definição de momento

de uma força em relação a um eixo qualquer,

defini-se Momento Estático (M) de um

elemento de superfície como o produto da

área do elemento pela distância que o separa

de um eixo de referência.

dAxMdAyM yx e

Momento Estático de uma superfície plana é

definido como a somatória de todos os

momentos estáticos dos elementos de

superfície que formam a superfície total.

A

y

A

x xdAMeydAM

A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2

= [L]3.

O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que

ocorrem em uma peça submetida à flexão.

O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a

somatória dos Momentos Estáticos de cada figura.

Exemplo: Determinar o Momento Estático das figuras abaixo:

1,1 1AyM CGx

2,2 2AyM CGx

3,3 3AyM CGx

xxxx MMMM ,3,2,1

Elemento vazado

xxx MMM ,2,1


48

5.3 Centro de Gravidade

Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da

gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima

para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do

corpo.

Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá

sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao

corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes

dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade

(CG).

Portanto, atração exercida pela Terra

sobre um corpo rígido pode ser representada

por uma única força P. Esta força, chamada

peso do corpo, é aplicada no seu baricentro,

ou cento de gravidade (CG). O centro de

gravidade pode localizar-se dentro ou fora da

superfície.

O centro de gravidade de uma superfície

plana é, por definição, o ponto de

coordenadas:

A

xCG

A

y

CG dAyAA

MydAx

AA

Mx

1

1

onde:

xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente;

yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente;

Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x;

My = momento estático da figura em relação ao eixo y;

A = área da Figura.


49

Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras

O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por:

n

i

i

n

i

ii

CG

A

xA

x

1

1

n

i

i

n

i

ii

CG

A

yA

y

1

1


50

Centro de gravidade de algumas figuras planas


51

Exemplos:

1 – Determine o centro de gravidade da figura composta abaixo:

2 – Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relação

aos eixos x e y e a localização do centróide.

3 – Determine o centróide das superfícies planas mostradas:


52

5.4 Forças Distribuídas

Generalidades

A atração da Terra sobre um determinado corpo é constituída por um sistema de forças

distribuídas aplicadas em cada partícula do corpo. Considerando tratar-se de um corpo rígido,

a ação da gravidade pode ser substituída pela ação da sua resultante – o peso P do corpo,

aplicada no centro de gravidade do corpo.

O mesmo se passa com outras forças distribuídas como, por exemplo, a ação do vento

sobre uma superfície, a ação da pressão hidrostática sobre superfícies submersas, etc...

Ação do vento (pressão).

Ação da pressão hidrostática. Substituição pela resultante.


53

Cargas Distribuídas em Vigas

As vigas estão habitualmente sujeitas a uma função de carregamento w = f(x) – devido

ao próprio peso, ao peso dos elementos estruturais e não estruturais restantes, à ação do vento,

etc... – que indica a intensidade de cargas ao longo do comprimento de um elemento de

sustentação. Essa intensidade é medida em N/m ou lb/pé.

Podemos, para efeito do equilíbrio global, substituir a carga distribuída pela sua

resultante aplicada na sua linha de ação.

Intensidade da Força Resultante:

Localização da Força Resultante:


54

Conclusão: “uma carga distribuída atuante numa viga pode ser substituída por uma carga

concentrada; a intensidade desta carga única é igual à área da superfície sob a curva de

carregamento e a sua linha de ação passa pelo centróide do carregamento”.

Exemplos: 1 - Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo

mostrado na figura.

A força resultante é equivalente à área sob o diagrama das cargas distribuídas e tem

uma linha de ação que passa pelo centróide ou centro geométrico dessa área. Sempre que

possível, cargas distribuídas complexas devem ser divididas nas superfícies de formas usuais

conhecidas (retângulos, triângulos, círculos). Cada uma dessas superfícies pode então ser

substituída por uma força única equivalente. Se necessário pode-se ainda reduzir o sistema de

forças equivalentes a uma força única equivalente.

2 - Para a viga e o carregamento mostrado na figura determine a intensidade da força

resultante da carga distribuída e as reações de apoio da viga.


55

3 - Para a viga e o carregamento mostrado na figura determine a intensidade da força


Exercícios: 1 – Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo

mostrado na figura.

2 – Para a viga e o carregamento mostrado na figura determine a intensidade da força





56




1 - Determine a força resultante e especifique onde ela atua sobre a viga em relação a A.

2 - Determine a localização do centróide da área mostrada na figura.

3 - A barragem de gravidade é feita de concreto. Determine a localização do centro de

gravidade G para a parede.


57

5.5 Momento de Inércia

O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é

definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a

superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado.

y

x

dA

x

y

A

x dAyI 2

A

y dAxI 2

A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]

2=[L]

4 .

O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no

dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a

resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma

peça, maior a sua resistência.

Propriedade:

O momento de inércia total de uma

superfície é a somatória dos momentos de

inércia das figuras que a compõe.

xxxx IIII ,3,2,1

Exemplo 1:

Determinar o momento de inércia da superfície em relação ao eixo x.


58

Translação de eixos (Teorema de Steiner)

O momento de inércia de uma superfície em

relação a um eixo qualquer é igual ao momento

de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu

centro de gravidade, acrescido do produto da

área (A) pelo quadrado da distância que separa

os dois eixos.

2

CGxCGx yAII 2

CGyCGy xAII

Onde:

xI = momento de inércia da figura em relação ao eixo y.

yI = momento de inércia da figura em relação ao eixo x.

CGxI = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura.

CGyI = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura.

CGx = distância do eixo y até o eixo CGy .

CGy = distância do eixo x até o eixo CGx .


59

Exemplo 2:

Determine o momento de inércia das seguintes figuras compostas.


60

Momentos de Inércia das figuras básicas


61

5.6 Módulo Resistente

Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém o

CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da

figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada.

onde:

ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura

x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça.

A unidade do módulo resistente é 34

][][

][L

L

L

O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão.

Para o retângulo, tem-se:

h/2

h/2

.CG

b

5.7 Raio de Giração

Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de

inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de

giração é utilizado para o estudo da flambagem.

A

Ii cm

cm

cm

4

4


62

Características Geométricas de algumas figuras conhecidas


63

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BEER, Ferdinand. Mecânica vetorial para engenheiros: Estática. 5. ed. Editora McGraw-Hill,

2006 v. 1.

HIBBELER, R.C. Mecânica: Estática. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. v. 1

GASPAR, R. - Mecânica dos Materiais - Apostila.

Documents

Apostila Oficial 2015 Mecanica Geral