Universidade Comunitria da Regio de Chapec rea de Cincias Exatas e Ambientais PR-CLCULO Andria B. Schmid Grazielli Vassoler Lucia Menoncini Rosangela Ramon Chapec, 2011. 1Introduo Este curso tem como objetivo principal proporcionar a todos aqueles que esto em contatocomamatemtica,umarevisoequemsabe,umaprofundamentodeconceitos vistos no ensino fundamental e mdio. Os conceitos apresentados no curso de pr-clculo so base para as disciplinas de clculo e outras que envolvam conceitos matemticos. Estematerialenglobaosseguintesconceitos:ConjuntosNumricos,Equaes, Polinmios, Exponencial e Logaritmos. A carga horria de 30 horas. 2UNIDADE I CONJUNTOS NUMRICOS 1.1 NMERO NATURAIS Definio 1.1: Chamamos de conjunto dos nmeros naturais smboloN - o seguinte conjunto: ,...} 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { = N O conjunto dos nmeros naturais excluindo o zero denotado por ,...} 4 , 3 , 2 , 1 { :*N 1.2 NMEROS INTEIROS Definio 1.2: Chamamos de conjunto dos nmeros inteiros smboloZ- o seguinte conjunto: ,...} 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 {..., = Z Importante: Conjunto dos nmeros inteiros excluindo o zero...} , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 {..., :* ZConjunto dos nmeros inteiros no negativos,...} 3 , 2 , 1 , 0 { :+Z : Conjunto dos nmeros inteiros no positivos} 0 , 1 , 2 , 3 , 4 {..., Z : Conjunto dos nmeros inteiros positivos,...} 4 , 3 , 2 , 1 { :+Z : Conjunto dos nmeros inteiros negativos} 1 , 2 , 3 , 4 {..., Z : 1.2.1. Valor Absoluto Chamamos de mdulo ou valor absoluto de um nmero inteiro, a distncia desse nmero at o zero, na reta numrica inteira. Formalmente definimos: 3Definio 1.3: Para todoZ e a , o valor absoluto ou mdulo dea(notaoa ) definido pelas seguintes condies: < >=00a se aa se aa Algumas propriedades so importantes quando falamos em valor absoluto para quaisquer Z e b a, : a a i = ) (a a a ii s s ) (b a ab iii = ) (b a b a iv + s + ) ( Ateno: Como podemos ver na proposio) (iv acimab a b a + s +e nem sempre vale b a b a + = + . Tomamos como exemplo3 , 6 = = b a . Ento3 6 ) 3 ( 6 + < + 1.2.2. Nmeros primos emZ Definio 1.4: Um nmero inteirop primo quando ele atende s seguintes condies: 1.0 = p2.1 = p3.1 = p4.} , , 1 , 1 { ) ( p p p D = , ou seja, p divisvel apenas por 1, -1,pep . Um resultado importante que envolve os nmeros primos o seguinte: 4Teorema 1.1: (Teorema Fundamental da Aritmtica emZ ) SejaZ e a ,0 = ae1 = a . Ento existem nmeros primos) 1 ( ,..., ,2 1> Z e r p p prtodos maiores que 1, de maneira que: rp p p a ... .2 1=ou rp p p a ... .2 1 = Conforme0 > aou0 < a . Esta decomposio, a menos da ordem dos fatores, nica. Este teorema nos diz que todo nmero inteiro pode ser decomposto de forma nica como produto de nmeros primos. Exemplos: a) 1260b) 180 1.2.3. Mximo Divisor Comum (MDC) e Mnimo Mltiplo Comum (MMC) emZ O MDC entre dois nmerosZ e b a, o maior nmero inteiro positivo que divide, ao mesmo tempo, os nmerosa eb . Por exemplo, para determinarmos o mximo divisor comum entre 8 e 12,) 12 , 8 ( MDC , primeiramente determinamos todos os divisores de 8 e de 12: } 8 , 4 , 2 , 1 { ) 8 ( = D} 12 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 { ) 12 ( = D Note que o nmero 4 o maior divisor comum entre 8 e 12, isto ,4 ) 12 , 8 ( = MDC O MMC entre dois nmerosZ e b a, o menor nmero inteiro positivo que mltiplo, ao mesmo tempo, dos nmerosa eb . 5 Por exemplo, para determinarmos o mnimo mltiplo comum entre 6 e -8,) 8 , 6 ( MMC , primeiramente determinamos todos os mltiplos de 6, -8: ...} , 30 , 24 , 18 , 12 , 6 , 0 { ) 6 ( = M...} , 32 , 24 , 16 , 8 , 0 { ) 8 ( = M Note que o 24 o menor mltiplo comum entre 6 e -8, isto ,24 ) 8 , 6 ( = MMC . Importante: -b b MDC = ) , 0 (para todoN e bEx:2 ) 2 , 0 ( = MDC-0 ) , 0 ( = b MMCpara todoN e b Ex:0 ) 2 , 0 ( = MMC 1.3 NMEROS RACIONAIS Chamamos de conjunto dos nmeros racionais smboloQ - o conjunto: )`Z e Z e =*| b e abaQ . Neste conjuntoQ, adotamos as seguintes definies: (1) igualdade:bc addcba= = Ex:5 2 10 110251 = =(2) adio: bdbc addcba += +Ex: 3 52 5 3 13251 + = +(3) multiplicao: bdacdcba= Ex: 5 73 25372= Importante: Conjunto dos racionais no negativos +QConjunto dos racionais no positivos Q6Conjunto dos racionais no nulos *Q 1.3.1. Propriedade do inverso multiplicativo Esta propriedade definida emQ nos diz que todo elemento no nulo possui inverso pela operao multiplicao e pode ser enunciada como: Propriedade 1.3.2: Para todoQbae , onde0 =ba, existeQabetal que1 = abba. Exemplo:12332= 1.4. NMEROS IRRACIONAIS Existem nmeros cuja representao decimal no nem finita nem peridica. So chamados nmeros irracionais e temos como exemplo o nmero... 14159265 , 3 = e o nmero 2 .Em geral,p ,pprimo,1 > p , representa um nmero irracional. 1.5 NMEROS REAIS Estudamos os conjuntos dos nmeros naturais, dos inteiros, dos racionais e dos irracionais. A unio dos conjuntos dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais chamada de conjunto dos nmeros reais. 7 15.1. Reta real A reta real pode ser visualizada abaixo: A seguir esto enunciadas mais algumas propriedades para valor absoluto: b a b a v + s ) (b a b a vi + s ) ( 8EXERCCIOS SOBRE NMEROS REAIS 1. Calcule o MMC entre os seguintes nmeros: a) 2, 5, 11 Resp: 110 b) 2,5,3 Resp: 30 c) 18 e 60 Resp: 180 d) 12,15,20Resp: 60 e) 36, 40Resp: 360 f) 16,20,48,60 Resp: 240 2.Marcos,LorenaeMrciatrabalhamnomesmohospital.Marcosdplantoacada5dias; Lorena a cada 8 dias; e Marcia, a cada 10 dias. Hoje, os trs juntos deram planto. Daqui a quantos dias os trs vo se reencontrar no planto do hospital?Resp: 40 dias 3. Efetue a)= +3435 b) 5751 = c)= +8532 d)= +4523 e)= + +5227835 f)= 2523 g)= 2523 h)= |.|

\| |.|

\|71025 lll j)= |.|

\| |.|

\| 25326k)=((

((

714321275 l)= |.|

\|+ |.|

\| 152231 m)= +2132431n)= |.|

\| |.|

\|71545234 o)= |.|

\| |.|

\|5674435298 p)= |.|

\| |.|

\| 275256 i)=((

|.|

\| 32521

Resp.: a) 3 b) -6/5 c) 31/24d) 11/4e) 319/135f) 15/4 g) 3/5 h) 25/7 i) 3/20 j) 10 k) 52/51 l) -7/3m) 13/8n) -490/495o) -247/60 p) -13/5 94. Efetue a subtrao 2233 2 y x y x ++.R.: 6x 5. Qual o valor da expresso: 128164181161+ |.|

\|((

|.|

\| R.: 0 Vamos estudar agora o que acontece com a potenciao e a radiciao no conjunto dos nmeros reais. 1.6 POTENCIAO A potenciao uma expresso matemtica que contm uma base *a 9 e e uma potncia ou expoenten . Ela pode ser definida da forma vezes nna ..... a . a . a . a . a a = onde o expoente nindica o nmero de vezes em que a base deve ser multiplicada por si mesma. Exemplos: Identifique a basea e o expoentene em seguida calcule o valor de: a)=52b)=44c)=35d)= 35e) 3) 5 ( f)=22g)= 2) 2 (h)= 2210Vejamos a definio formal da potenciao: Definio1.6: Seja9 e a ,0 = aeZ e n . Ento ==010 .0 11n sean se a an seann n. Importante: - Se0 = a , ento0 =napara todoZ e n ,0 = n . Exemplo:0 03= . - Se0 = ae0 = n , temos uma indeterminao. Exemplos: Calcular o valor de: a)=32 b)= 3) 2 ( c)=25 d)= 1) 6 ( e)=432 f)=335 g)= |.|

\|276 h)= |.|

\|232 11Propriedades 1.6.2: Para *b , a 9 eeZ e n m,temos: n m n ma a a ) i+= Exemplo:=4 62 . 2n mnmaaa) ii=Exemplo:=7355 n n nb a ) b a ( ) iii = Exemplo: = 3) 2 8 (nnnbaba) iv = |.|

\| Exemplo:= |.|

\|576 1.7 RADICIAO Definio 1.7: Dados9 e a ,0 a >eN n e , diz-se que o nmero +9 e b raiz n-sima dease . b an=Ou seja, n nb a b a = = . Exemplos:a)3 9 = , pois. 3 92=b)4 643= , pois 34 64 = . Importante:a)x x2=- Verdadeiro.Exemplo:. 5 5 52= =Verdadeiro. b)x x2=- Falso.Exemplo:5 ) 5 (2 = - Falso, pois5 5 ) 5 (2= = - Verdadeiro 12 Propriedades 1.7.2: Dados os nmeros +9 e b , a ,Z mee *N p , n e , temos que: i) n n nb . a b . a = . Exemplo:= 16 . 9 ii),babannn=com0 b = . Exemplo:=494 iii) n m m na ) a ( = . Exemplo:=3) 9 ( iv) n p p na a = . Exemplo:=364 Importante: 16 9 16 9 + = + . Verifique que o resultado no o mesmo. Em seguida, identifique a diferena entre esta expresso e a propriedade i) descrita acima. Definio 1.8: Dado o nmero real0 a >e a frao) N q , Z p ( Qqp*e e e , temos: qp q / pa a = . De acordo com esta definio, o expoente fracionrio pode ser convertido em raiz. Vejamos os exemplos:a)8 82 / 1= b) 3 2 3 / 29 9 = c)=3 / 1413 d)=4 / 315 e)=4 / 65 1.8 DECOMPOSIO DE RAZES O Teorema Fundamental da Aritmtica auxilia na simplificao de radicais. Exemplos:a)= 27 c)=4240 e)= 3150 b)= 96 d)=3864 14EXERCCIOS SOBRE POTNCIAS E RADICAIS 1. Seaebso nmeros reais, ento, em que condies vale a igualdade 2 2 2b a ) b a ( + = + ? 2. Usando as regras de potenciao resolva: a)= + 1 2 35 5 4R: 3207941 b) 2 / 1 2 2 1 2) 5 ( 3 2 ) 2 ( + = R: 219 c)= + 3 / 2 5 3 3 2 04 . 4 . 4 3 . 3 5 R:3 / 162 2 + d)= 3 1 2 2) 2 . 5 .( ) 3 . 4 (R: 12510368 e)= 2 2) 20 2 ( ) 8 3 ( R: 8 f)= 2 2) 7 4 ( ) 6 . 2 ( R:100 3. Efetue as expresses algbricas: a)= 2) 1 x ( R:1 22+ x xb)= +2) 4 x (R:16 x 8 x2+ +c)= 2) 3 x 2 ( R:9 x 12 x 42+ d)= 2) x 3 4 ( R: 2x 9 x 24 16 + e)= +2 2) 5 x ( R:25 x 10 x2 4+ +f)= 2 2) y 3 x 2 ( R: 4 2 2y 9 xy 12 x 4 + g)= 2) 1 5 2 ( R:5 4 21h)= +2) 7 3 ( R: 7 6 16 + 4. Utilizando as regras da radiciao, encontre o valor das expresses numricas: a)= + 48 3 12 2 75 R:3 3 b) 150 54 24 3 6 + =R:6 3 c)) 32 . 12 24 (21+ =R:6 515d) 4 23 2 2 . 18 ) 2 8 ( + =R: 140e) 33 2 3 2 2 + +=R:6f)=+ 5 45 2 5 7 5 3R:2 / 1 g)= 18 2 8 4 R:2 2 5. Resolva: a)=232R:18b)= |.|

\|232R:4 / 9c)= |.|

\|225 , 04R:256d)=23) 2 () 2 (R:2 16UNIDADE II EQUAES E INEQUAES 2.1 INTERVALOS REAIS Sejam9 e b , acom. b a < Um intervalo real um subconjunto com infinitos elementos de 9. Ele pode ser representado atravs das seguintes formas: } b x a ; R x { ] b , a [ s s e =_____________________________ } b x a ; R x { ) b , a [ < s e =_____________________________ } b x a ; R x { ] b , a ( s < e =_____________________________ } b x a ; R x { ) b , a ( < < e =_____________________________ } x a ; R x { ) , a ( < e = + _____________________________ } x a ; R x { ) , a [ s e = + _____________________________ } b x ; R x { ) b , ( < e = _____________________________ } b x ; R x { ] b , ( s e = _____________________________ 2.2 EQUAES E INEQUAES Uma equao uma expresso matemtica que envolve o smbolo de igualdade (=). Uma inequao utiliza o smbolo de desigualdade, como por exemplo, o smbolos. 17 Exemplo: Resolver as equaes: a)5 x 4 x 5 = c)7 3 x 5 = e)3 42 = x x b)3 x 2 1 x 6 + = d)5 x 2 1 x 7 + = f)( ) 9 32= + x Lembrete: a x a x = =oua x =b a b a = =oub a =a x a a x < < >oua x e)0 ) 3 x )( 5 x ( > + b)8 4 x 3 x 2 < + s d)4x 3x 3s+ f)4 2 x 7 < 19 g)1 x 2 3 x + s + h)2x 4x 2 7s+, com4 x = 20 EXERCCIOS SOBRE EQUAES E INEQUAES 1. Um certo nmero foi somado com 8 e o resultado foi multiplicado por 6. No final, obteve-se 30. Qual esse nmero?Resp:3 = x 2.JostemxreaiseseuirmoJootemR$320,00 amais.SeosdoisjuntostmR$1.610,00, quanto que Jos tem?Resp: R$ 645,00 3.AfamosaperuaBurracustaR$7.000,00amaisqueocarropopulardamesmamarca.Seos doisjuntoscustamR$31.000,00,descubraopreodecadaum.Resp:Perua:R$19.000,00e Popular: R$12.000,00 4. Resolva as seguintes equaes: a)18 ) 3 ( 2 3 = + x x Resp:5 = xb)) 1 3 ( 1 ) 4 ( 3 = x x Resp:2 = xc)26 ) 4 3 ( 2 ) 2 3 ( 50 + = + x x Resp:10 = xd)) 1 ( 4 ) 3 ( 2 = + x x Resp:3 / 1 = x 5. Encontrar a soluo das inequaes abaixo: a) 8 x 5 4 x 3 + > R:] 6 , ( b) 2) 5 2 (341 4+ < +x xx R: |.|

\| 2221, c) 2 x x 3 x 5 > > R: |.|

\|45, 1 d) 9 x2sR: ] 3 , 3 [ e) 25 x2>R: ) , 5 ( ) 5 , ( + f) 0 2 x 3 x2> + R: ) , 2 ( ) 1 , ( + g) 0 x 2 x 12> R: ((

21, 1 21h) 5 x 4 x2< + R:) 1 , 5 (i) 0 x x 5 62> + +R:) , 2 ( ) 3 , ( + j) 7 12 x < +R: ) 5 , 19 ( k)2 4 x 3 s R: ((

2 ,32 l)9 x 6 5 > R:) , 3 / 7 [ ] 3 / 2 , ( + 22 UNIDADE III POLINMIOS 3.1 CONCEITOS GERAIS Definio 3.1: Um polinmio de grau n uma funo da forma p(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a2x2 + a1x + a0, onde os coeficientes a0, a1,..., an so nmeros reais conhecidos e an 0 e n um nmero natural. Exemplo:Aletraaapresentadoaseguirrepresentaumpolinmio.Jositensbecnoso polinmios. Voc conseguiria identificar por qu? a) 66 ) ( x x f + =

b) x x x x f 9 4 3 ) (2 5 + =

c) x x x x f + =2324 ) ( Definio 3.2: O valor numrico de um polinmio o valor que este assume quando atribumos a x um valor numrico. Exemplo:Se6 4 3 ) (2 + = x x x fdetermine: ) 1 () 2 ( ) 3 ( +ff f Exemplo: Determine o valor de 2)] 3 ( [ ) 4 ( h g considerando7 6 ) ( 4 ) (3+ = + = x x h e x x x g 23Definio3.3:Dizemosqueumpolinomiopnuloquando. , 0 ) ( x x p = Ouseja,quando todos os coeficientes do polinmio so nulos. Exemplo:Determineovalordasconstantesparaque2 ) (2 2+ + = c cx bx ax x f sejaum polinmio nulo. Definio 3.4: Os polinmios p e q definidos por p(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a2x2 + a1x + a0, e q(x) =bnxn+bn-1xn-1 +...+b2x2+b1x+b0,soiguaisse,esomentese,paratodok=0,1,2,3,...,n: tivermos que ak = bk. Ou seja, dois polinmios soiguaisquando tm o mesmo grau e seus termos correspondetes so iguais. Exemplo: Determine o valor dos coeficientes para que os polinmiosb x ax x x f + + = 4 3 ) (2 3 ee x x dx x c x g + + + = 4 4 ) 3 ( ) (2 3 4 sejam idnticos. Denominamosraizdeumpolinmiodeumavarivelatodososnmerosreaisqueanulamo polinmio, isto , todos os nmeros reais que tornam o valor numrico do polinmio igual a zero. Definio 3.5 : Dizemos que k raiz de um polinmio nnx a x a x a a x p + + + + = ... ) (22 1 0 quando 0 ) ( = k p . Exemplo:Opolinmio2 ) (2 + = x x x A temcomoraizonmeroreal1,pois0 2 1 1 ) 1 (2= + = A . Exemplo: O polinmio1 5 ) ( = x x Ptem uma s raiz real, que o nmero1/5 24Um polinmio de grau n tem exatamente n razes complexas. Eventualmente essas razes podem ser reais, uma vez queC c 9 . Exemplo: Sejax x x x p 2 3 ) (2 3+ = , verifique se2 , 1 , 0 = = = x x xSo razes do polinmio. Oteoremaapresentadoaseguirdegrandevaliaparaencontrarasrazesracionaisdeum polinmio. Teorema 3.1: Se um polinmiopossui uma raiz racional dc, ento na d e a c / /0 Exemplo: O polinmio3 3 ) (2 5 + = x x x padmite raiz racional? Exemplo: O polinmio2 11 7 ) (2 3+ + + = x x x x Padmite raiz racional? Exemplo:Opolinmio6 7 5 2 ) (2 4 5 + + + = x x x x x P temcincorazes.Umadasrazeso nmero (-2) . Verifique. 3.2 OPERAES COM POLINMIOS Definio 3.6:Considere os polinmios nnx a x a x a a x f + + + + = ... ) (22 1 0 e nnx b x b x b b x g + + + + = ... ) (22 1 0ento, ( ) ( )nn nx b a x b a x b a b a x g x f ) ( ... ) ( ) (22 2 1 1 0 0+ + + + + + + = + Ou seja, se junta os coeficientes dos termos correspondentes.25Exemplo: Considere4 3 3 ) (2 3+ + = x x x fe9 4 4 7 ) (2 3 + = x x x x g . Determine: a)) ( ) ( x g x f + b)) ( 4 ) ( 3 x g x f Definio3.7:Dadosdoispolinmios nnx a x a x a a x f + + + + = ... ) (22 1 0e mmx b x b x b b x g + + + + = ... ) (22 1 0chama-seprodutode) ( ) ( x g x f opolinmio ( ) ( )m nm nx b a x b a b a b a x b a b a b a x fg++ + + + + + + = ... ) (22 0 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 De modo prtico para realizarmos a multiplicao de polinmios aplicamos a propriedade da distributividade, ou seja, cada termo de um deles por todos os termos do outro e reduzimos os termos semelhantes. Exemplos: Seja 6 4 3 ) (2 + = x x x fe6 4 ) ( = x x g . Determine:a)) ( ) ( x g x f b)( ) ) ( ) ( 5 x g x x f + c)) ( ) 4 ( ) ( x g x x f + 26Definio3.8:Dadosdoispolinmios,p(dividendo)eg=0(divisor),dividirpporg determinardoisoutrospolinmiosq(quociente)er(resto),demodoqueseverificamasduas condies seguintes: (i)) ( ) ( ) ( ) ( x r x g x q x p + =(ii) grau r < grau gObservao: 0 ) ( = x rdizemos que adiviso exata. Exemplo:Determinar o quociente e o reto da diviso de: a) 5 6 ) (2+ = x x x ppor1 ) ( + = x x g b)3 5 6 ) (2 3+ + = x x x x ppor1 3 2 ) (2+ = x x x g Exemplo:Determinar o que pede em cada caso a) O quociente da diviso de P(x) = 4x4 4x3 + x 1 por g(x) = 4x3 +1 b) O resto da diviso do polinmio x3 2x2 + x + 1 por x2 x + 2 27c) O quociente da diviso de P(x) = x3 7x2 +16x 12 por Q(x) = x 3 d) O resto da diviso do polinmio P(x) = x3 2x2 + 4 pelo polinmio Q(x) = x2 4 e) A diviso de p(x) por x2 + 1 tem quociente x 2 e resto 1. O polinmio P(x) : 28EXERCCIOS SOBRE POLINMIOS 1- Quais das expresses representam um polinmio na varivel x? a) xx x x f32 ) (3+ + =b) 4 ) ( = x f c) x x x f + =43) ( d) ( ) 5 ) (4+ = x x f e) ( )( ) x x x x x f 6 5 5 3 ) (3 4+ + + = f)6 7 ) (2 + = x x x fResp. so polinmios as letras b) d) e) 2) Dado o polinmio2 5 2 ) (2 3 + = x x x x p . Calcule: a) P(0)Resp: -2b) P(-1/2) Resp: -4 3- Dada a funo polinomial1 ) (2 3+ + + = x x x x f , calcule: a)) 3 ( f Resp:-20 b)) 0 ( fResp:1 c)) 1 ( fResp:4 d)) 1 ( + t fResp: 4 6 42 3+ + + t t te)) 2 ( t fResp: 1 2 4 82 3+ + + t t t 4-Asrazesdo polinmiox x x x p 8 6 ) (2 3+ = pertencemaoconjunto{0,1,2,3,4}.Determineo conjunto soluo.Resp: ( 0, 2 e 4) 5- Determine o valor de a sabendo que 2 raiz de4 2 ) (3+ = ax x x p . Resp: 10 296- Calcular A e B de que 2 xA+2 + xB=43 42xx. Resp: A=5/4 e B=11/4 7-Calcule m e n sabendo que( )( ) 2 5 5 6 2 32 3 2 + = + x x x n mx x x . Resp: m =2 e n = 1 8- Determine o resto da diviso de : a) 2x3-5x2+4x-4por2x-3 Resp: -5/2 b) 5x3-11x2+3x-2porx-2 Resp: 0 c) x3-3x2+3x-1 porx-1.Resp:0 d) 5x4-3x2+x-1 por x-2. Resp: 69 d)3 x3-4x2+5x-2 por 2x-1.Resp. -1/8 9- Resolva as equaesa) 6x4-11x3-6x2+9x-2 = 0 Resp: S = {-1; 2; 1/3; } b) x3-6x2+11x - 6 = 0Resp: S = {1; 2; 3 } c) 2x3+9x2+13x + 6 = 0Resp: S = {-2;-1;-3/2} d) 4x4-4x3-7x2+4x+3 = 0Resp: S = {-1;-1/2;1;3/2} 10- Dado o polinomial( ) 9 ) 6 ( ) 6 ( 36 ) (2 3 2+ + + + = x m x m x m x p . Determine m de modo que P(x) seja: a) Do 3 grauResp: m=6b) Do 2 grau Resp: m=6c) do 1 grauResp: m=-6 11- Dividindo o polinmio por) (x gpor12+ x , obtemos o quociente por3 23+ + x xe o resto por1 3 x . Determine) (x g . 12- Efetue a diviso do polinmio b ax x x g + + =3) (por6 2 2 ) (2 + = x x x h . Qual a condio para que a diviso seja exata?3 , 4 : = = b a R 30UNIDADE IV EQUAES EXPONENCIAIS 4.1 CONCEITOS GERAIS Neste momento iremos trabalhar com equaes em que a incgnita encontra-se no expoente. De maneira geral, existem algumas tcnicas para resolver tais equaes que sero apresentadas a seguir. Definio 4.1: Equaes exponenciais so equaes com incgnita no expoente. Por exemplo, a)32 2 =x b) 27132= x c) x x5 253=+ Para resolver equaes exponenciais devemos reduzir ambos os membros da equao a potncias de mesma base e ento igualar os expoentes. Teorema 4.1: Seja9 e atal que0 > ae 1 = a . Ento se y xa a =entoy x = . Exemplos: a)32 2 =x b) 27132= x c)( )xx5 253=+d)25 , 0 4=x 31e)( ) 4 ) 2 (1= xxf) 14 82+ =x x x g) 3421= |.|

\|xh) 3 3 25 25x x= i) ) 1 ( 3 4 3 1 23 9 . 3+ + =x x x j)96 4 . 31=+ x k)18 2 21 2= + + x xl)0 8 2 . 9 22= + x x m)120 2 2 2 2 23 2 1 1= + + ++ + + x x x x xn)56 2 4 = x x 32 EXERCCIOS SOBRE EXPONENCIAL: 1. Resolva as seguintes equaes exponenciais: a) 8 22= xh)5 253=x b)256 64 =xi) 4121=+ x c) 1 5 1 227 9+ =x xj) 32282=xx

d)82723= |.|

\|xk)10 102 22= x x e)16 ) 2 ( =x xl) 9137 102=+ x x f) 3 2243 3 =xm) 21225 32 4=+xx g)( ) 32 24=+ xxn) 211641+= |.|

\|xx 2. Resolva as seguintes equaes exponenciais: a) 25 3 3 37 5 4= + + + + x x x b) x x5 . 20 125 25 = c) 7 2 2 21 3 = + + x x x d)x x3 . 18 9 32 2= ++ e)292 22 1= + + x x f) 341 4 4 4 4 45 4 3 2 1= + + + + x x x x x g)0 75 5 . 10 51 1 2= x x h)x x3 . 4 3 9 = +i) 0 2 2 . 5 22 1= + + x x 33j)480 5 5 5 52 4 1 4 4 1 4= + + + x x x x k)257 4 43 1= + + x x l)90 3 9 = +x x Respostas: 1. a) 5 b) 4/3c) -5/11d) 3e) {-2,2}f) 5/6g) {-5,1}h) i) -3 j) 4 k) {-1,3} l) {1,9}m) 6n) -1 2. a) -4 b)1c) 3 d) 0e) 1f) 5 g) 2h) {0,1} i) {-1,1} j) k) {-1,3}l) 2 34UNIDADE V LOGARITMO Noestudodeequaesexponenciais,feitoanteriormente,stratamosdoscasosemque podamos reduzir as potncias mesma base. Sequisermosresolveraequao4 3 =x,noconseguimosreduziramesmabase,epara resolver este tipo de equao iniciamos o estudo de logaritmos. 5.1 CONCEITOS GERAIS Definio 5.1: Sejam a e b nmeros reais positivos, com1 = a , chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar base a de modo que a potncia obtida seja igual a b, isto ,b a x bxa= = log Emx ba= logdizemos: -a a base do logaritmo -b o logaritmando -x o logaritmo Obs.:1.Quando a base do logaritmo for 10, chamamos de logaritmos decimais e podemos omitir a base. Assim:x x log log10= . 2.Quando a base for e(e = 2,718281828459) , chamamos de logaritmo neperiano e usamos a seguinte notao:x xeln log = . Exemplos:a)27 log3b) 25 log5 35 c) 321log4d) 3264 log e) 16 log8f)25 , 0 log4 g) 256 log21h)3 3 log3 Conseqncias da definio de logaritmo Sendo0 > a , 1 = ae0 > bsegue dadefinio de logaritmo: 1)0 1 log =a 2)1 log = aa 3)b aba=log 4)c b c ba a= = log log 365.2 PROPRIEDADES OPERATRIAS DOS LOGARITMOS Seja0 > a , 1 = a,0 > be0 > c , tem-se: i) Logaritmo do produto: c b c ba a alog log ) . ( log + =ii) Logaritmo do quocientec bcba a alog log log = |.|

\| iii) Logaritmo da potncia: b n banalog . log = Mudana de baseSe a, b e c so nmeros positivos e a e c diferentes de 1, ento:abbccalogloglog =Exemplos: 1.Seja bcax = , determinex log . 2.Se301 , 0 2 log = , calcule o valor da expresso400 log 40 log 20 log + + 3.Determine a razo entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer. 4.Sem b a = ) ( log2 e8 = + b a , determine) ( log2 22b a . 375.Sabendo quea = 2 log20 eb = 3 log20, determine5 log6. 6.Calcule o valor de125 log04 , 0. 5.3 EQUAO LOGARTMICA Existem trs tipos de equaes logartmicas. Para resolv-las devemos:-Aplicar a definio de logaritmo e suas propriedades - Verificar se as solues satisfazem as condies de existncia: = >10 ,ab a 1)) ( log ) ( log x g x fa a=Exemplos:a)7 log ) 3 2 ( log5 5= x 2) = ) ( log x fa,9 e Exemplos:a) 1 ) ( log26= x x 38b) 1 ) (log log3 5= x c) 2 log ) 3 ( log2 2= + x x 3) Varivel auxiliar Exemplo:a)2 log log222= x x 39EXERCCIOS SOBRE LOGARITMOS 1 Aplicando a definio, calcule o valor dos logaritmos: a)4 log8 b)2 , 0 log25 c) 3264 logd)32 log16 e)000064 , 0 log5 f) 3497 logg)81 log3 h) 8264 logi)2 2 log4 j)25 , 0 log2 l)128 log2 2 m)5 log625 n) 353925log2 Calcule o logaritmo de 625 na base 35 5 . 3 Calcule o valor da expresso: 10 10 log 001 , 0 log 32 log1 , 0 1021 +4 Calcule o valor da soma S: a)16 log 3 3 log 001 , 0 log8 3 10 + = Sb)1024 log6427log 8 log23421+ = Sc)) 32 (log log ) 3 (log log ) 9 (log log16 8 , 0 81 2 3 4+ + = S 5 -O logaritmo de um nmero em certa base 3. O logaritmo desse mesmo nmero numa base igual metade da anterior 6. Determine o nmero procurado. 40 6- Determine o valor da expresso:5 log 1 log 7 log256937+ + . 7- Sabendo que301 , 0 2 log =e477 , 0 3 log = , calcule:a)6 log b)5 log c)5 , 2 log8- Sendo4 log = a ,6 log = ce, 1 log = dcalcule o valor de|.|

\|daclog . 9-Dados301 , 0 2 log = ,477 , 0 3 log = ,699 , 0 5 log =e845 , 0 7 log =calcule: a)15 log b)42 log c)210 log10-Ache o valor das expresses: a)200 log 5 log +b)2 log 10 log 50 log 100 log + + +c)3 log 24 log2 2d)4 log 5 , 12 log 8 log5 5 5 +11-Sendo3 , 0 2 log = ,4 , 0 3 log =e7 , 0 5 log = , calcule: a)50 log2b)45 log3 12- Dadosa = 2 logeb = 3 log , calcule20 log9. 13- Se1 = ab , calculeablog . 14- Determine o valor de: 9 log 8 log 7 log 6 log 5 log 4 log 3 log 2 log10 9 8 7 6 5 4 3 15- Calcule 34log a, se6 , 1 log2= a . 4116- Sendo3 , 0 2 log =e4 , 0 3 log = , calcule600 log8. Respostas:1 a)4/3b)-1/2c)2d)5/4e)-6f)1/6g)4h)3/4i)3/4 j)-2l)14/3m)1/8n) -2/3 2) 3 3)-13/24) a)-17/6b)10c) -5/2 5) 64 = x 6) 27

7) a) 0,778 b) 0,699 c)0,3988)11 log =dac 9) a) 1,176b) 1,623 c) 2,322 10) a) 3 b)5 c) 3 d)2 11) a) 317b) 41512) ba21 +13)21 14) 2 log15) 2,416) 3 42EXERCCIOSEQUAES LOGARITMICAS 1 Resolva as equaes: a) 4 log3= x b) 5 243 log =x c) 291log =x d) 113log3=+xx e)( ) 2 1 log31 = xf)2 16 log =x 2 Determine o conjunto soluo da equao( ) 1 log212= x x 3 Resolva a equao ( ) 6 log 5 log424= + x x 4 Resolva a equao ( ) 4 5 4 log221 = + x x5 Resolva a equao ( ) 2 13 4 log4= + xx 6 Resolva as seguintes equaes: a) ( ) | | 0 log log log3 4 5= x b) ( ) | | 0 1 log 2 1 log = + + x c) ( ) | | { } 0 2 log log log4 3 2= + x d) ( ) | | { }21log 4 1 log 5 log 4 log2 2 5 16= + + x 7 D o conjunto soluo da equao:4log 2log 3=+xx 8 Determine o conjunto soluo das equaes: a)3 ) 4 ( log ) 3 ( log2 2= + + x x43b)10 ) 8 ( log ) 4 ( log ) 2 ( log ) ( log2 2 2 2= + + + x x x x 9 Resolva a equao1 ) 1 10 ( log ) ( log2 2= + x x 10 Resolva as equaes: a) ( ) ( ) 2 11 log 7 log2 2= + x x b)( ) ( ) 2 1 log 7 2 log222= + x x x 11 Ache o conjunto verdade da equao( ) ( ) ( ) 3 3 log 1 2 log 1 log3 3 3= + + x x x 12 Determine o conjunto verdade da equao 2log x = log 4 + log 3x 13 Resolva a equaolog (x + 4) + log (x 4) = 2 log 3 14 Resolva a equao log (2x+3) + 1 = log 40 15 Resolva no conjunto dos nmeros reais, as equaes: a)log (x + 1) = log x + 1 b)log (x + 1) + 2 = log (4x2 500) 16 Determine o conjunto soluo das equaes: a) 0 9 log 6 log323= + x x b)( ) ( ) 0 3 log 3 log2= x x Respostas:1 a)81 b)3 c)1/3 d)3 e)10 f)1/4 2 {-3,4} 3 {2,3}4 {-7,3} 5 0/ 6 a)81 b)0 c) 62 d) 17 10 8 a)5 b)2 9 10 a)17 b)311 {4,10} 12 12 13 5 14 15 a)1/9 b)30 16 a)27 b){4,13} 44Bibliografia Consultada VILA, Geraldo. Calculo I-Funes de uma varivel. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo, tica, 2003. FLEMMING,DivaM.:GONSALVES,MirianB.ClculoA:funes,limite,derivaoe integrao. 6. ed. So Paulo: Makron, 2007. GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, Jos Ruy. A conquista da matemtica. So Paulo: FTD, 2002. IEZZI,Gelson.Fundamentosdamatemticaelementar:complexos,polinmios, equaes. 7 ed. So Paulo: Atual, 2005. IEZZI,Gelson;DOLCE,Osvaldo;MURAKAMI,Carlos.Fundamentosdamatemtica elementar: logaritmos. 9 ed. So Paulo: Atual, 2004.