Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Apostila Preparatoriapara o

Vestibular Vocacionado UDESC.

.

..

undo

fisico joi vn i ll e

ude

www scbr

m

Aline Felizardo GolcalvesAndre Alexandre SilveiraAndre Antonio Bernardo

Cesar MancheinFlabio Esteves Cordeiro

Gisele Maria Leite DalmonicoMarcio Rodrigo Loos

Priscila FischerRicardo Fernandes da Silva

Sidinei SchaeferProfessores

Luciano Camargo MartinsCoordenador

Revisao 1.3 (11pt) de 11 de novembro de 2009

MUNDO FISICO

Nossa Apostila

A edicao dessa apostila, concretiza os esforcos feitos

desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo

Curso de Licenciatura Plena em Fısica da UDESC

mobilizaram-se por forca e vontade proprias no pro-

jeto, desenvolvimento e apresentacao de um Curso Pre-

Vestibular aberto a comunidade, gratuito, que prepa-

rasse melhor os alunos interessados nos cursos ofere-

cidos pelo Centro de Ciencias Tecnologicas (CCT) da

UDESC-Joinville.

Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pre-

Vestibular nao chegou a se realizar, por razoes pura-

mente burocraticas, apesar dos esforcos gastos na pre-

paracao das aulas e do material didatico inicial.

Nos anos que se seguiram, a ideia original foi abracada

por um projeto de extensao oficial, e so entao pode

ser realizada com relativo sucesso, ja tendo atendido

centenas de alunos ate agora.

Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, espe-

ramos que esse material seja minimamente suficiente

para a revisao dos conteudos exigidos nas provas de

ingresso aos seus bancos academicos.

Extrapolando o objetivo inicial do projeto, moldado

pela nossa visao local de ensino e extensao, as versoes

on line dessa apostila ganharam os quatro cantos do

paıs, e tem auxiliado muitos alunos e escolas como ma-

terial didatico inicial, especialmente util para aqueles

alunos de cidades pequenas e locais isolados, que tanto

nos incentivam com suas perguntas e sugestoes diari-

amente recebidas e respondidas por correio eletronico

ou convencional. A julgar pelas impressoes que fica-

ram desses contatos breves com os internautas, muitos

parecem ainda nao dispor de acesso aos materiais mais

sofisticados e completos existentes na internet, que nao

sao poucos, porem nem todos sao de uso livre e gra-

tuito; e outros tantos parecem carecer completamente

de livros proprios e professores qualificados.

E a essas pessoas, os internautas que nos procuram

diariamente, que dedico essa revisao ampliada e um

pouco melhorada do material precedente, no sentido

de oferecer um material simples e compacto, que au-

xilie especialmente aqueles que almejam o ingresso na

universidade, ou mesmo aqueles que por outras razoes

queiram aprender coisas novas ou simplesmente rever

alguns dos conteudos do Ensino Medio brasileiro.

Nessa revisao atual, foi feito um grande esforco pessoal

no sentido de rever todo o material apresentado, tex-

tos e graficos, e incluir o tao solicitado gabarito de res-

postas aos exercıcios existentes no final de cada aula,

incluıdo ao final da apostila, junto com uma tabela

periodica dos elementos quımicos. A apostila apre-

senta

Disciplina No de aulas

Fısica 59

Quımica 26

Matematica 37

Lıngua Portuguesa 18

Historia de SC 1

totalizando 141 aulas e 894 exercıcios propostos.

Toda a apostila foi diagramada automaticamente

em LATEX(www.latex-project.org), os graficos fo-

ram gerados com Xfig (www.xfig.org) e GNUPlot

(www.gnuplot.info), todos softwares livres e rodando

num sistema operacional aberto e livre: o Linux! Mai-

ores informacoes em http://br-linux.org.

Convidamos a todos para que visitem o nosso site, e

eventualmente, nos ajude na divulgacao desse projeto

maior chamado de Mundo Fısico!

Envie suas sugestoes, crıticas ou comentarios.

Endereco na Internet:

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Contato por correio eletronico:

[email protected]

Porto Alegre-RS, 11 de novembro de 2009

Professor Luciano Camargo Martins

Sumario

FISICA3

Mecanica – Aula 1: Grandezas Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Mecanica – Aula 2: Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Mecanica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mecanica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Mecanica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Mecanica – Aula 6: Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Mecanica – Aula 7: Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Mecanica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Mecanica – Aula 9: Dinamica do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Mecanica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Mecanica – Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Mecanica – Aula 12: Conservacao da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Mecanica – Aula 13: Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Mecanica – Aula 14: Lei da Acao e Reacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Mecanica – Aula 15: Forca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Gravitacao – Aula 1: As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Gravitacao – Aula 2: Gravitacao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Gravitacao – Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Gravitacao – Aula 4: Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Otica – Aula 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Otica – Aula 2: Espelhos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Otica – Aula 3: Refracao da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Otica – Aula 4: Lentes Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Otica – Aula 5: Otica da Visao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

i

ii

Fluidos – Aula 2: Hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Cinematica – Aula 1: Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Cinematica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Cinematica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Cinematica – Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Cinematica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ondas – Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ondas – Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ondas – Aula 3: Ondas e Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ondas – Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Ondas – Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Termodinamica – Aula 1: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Termodinamica – Aula 2: Dilatacao Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Termodinamica – Aula 3: Transformacoes Gasosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Termodinamica – Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Termodinamica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Termodinamica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Termodinamica – Aula 7: Capacidade Termica (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Termodinamica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Termodinamica – Aula 9: Maquinas Termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Termodinamica – Aula 10: Mudancas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Termodinamica – Aula 11: Sublimacao e Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Eletricidade – Aula 1: Carga Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Eletricidade – Aula 2: Eletroscopio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Eletricidade – Aula 3: Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Eletricidade – Aula 4: Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Eletricidade – Aula 5: Superfıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Eletricidade – Aula 7: Capacidade Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Eletricidade – Aula 8: Associacao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Eletricidade – Aula 9: Corrente Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Eletricidade – Aula 10: Resistencia Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Eletricidade – Aula 12: Geradores e Forca Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

iii

QUIMICA123

Quımica – Aula 1: Estrutura Atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Quımica – Aula 2: Modelos Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Quımica – Aula 3: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Quımica – Aula 4: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Quımica – Aula 5: A Estrutura da Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Quımica – Aula 6: Teoria Cinetica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Quımica – Aula 7: Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Quımica – Aula 8: Solucoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Quımica – Aula 9: Equilıbrio Ionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Quımica – Aula 10: Equilıbrio Ionico da Agua e pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Quımica B – Aula 1: O que e Quımica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Quımica B – Aula 2: Materia e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Quımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Quımica B – Aula 4: Propriedades Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Quımica B – Aula 5: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Quımica B – Aula 6: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Quımica B – Aula 7: Equacoes e Reacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Quımica B – Aula 8: Equacoes e Reacoes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Quımica B – Aula 9: Solucoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Quımica B – Aula 10: Funcoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Quımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Quımica B – Aula 12: Eletroquımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Quımica Organica – Aula 1: Introducao a Quımica Organica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Quımica Organica – Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Quımica Organica – Aula 3: Polımeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Quımica Organica – Aula 4: Isomeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

MATEMATICA191

Matematica A – Aula 1: Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Matematica A – Aula 2: Funcoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Matematica A – Aula 3: Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

iv

Matematica A – Aula 4: Funcoes Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Matematica A – Aula 5: Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Matematica A – Aula 6: Equacoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Matematica A – Aula 7: Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Matematica A – Aula 8: Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Matematica A – Aula 9: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Matematica A – Aula 10: Circunferencia - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Matematica B – Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Matematica B – Aula 2: Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Matematica B – Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Matematica B – Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Matematica B – Aula 5: Discussao de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Matematica B – Aula 6: Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Matematica B – Aula 7: Progressao Geometrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Matematica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Matematica C – Aula 2: Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Matematica C – Aula 3: Numeros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Matematica C – Aula 4: Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Matematica C – Aula 5: Regras de Tres Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Matematica C – Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Matematica C – Aula 7: Analise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Matematica C – Aula 8: Analise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Matematica C – Aula 9: Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Matematica C – Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Matematica C – Aula 11: Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Matematica C – Aula 12: Equacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Matematica C – Aula 13: Introducao a Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Matematica C – Aula 14: Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Matematica C – Aula 15: Quadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Matematica C – Aula 16: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Matematica C – Aula 17: Polıgonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Matematica C – Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Matematica C – Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Matematica C – Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

v

LINGUA PORTUGUESA285

Lıngua Portuguesa – 01: Variantes Linguısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Lıngua Portuguesa – 02: Acentuacao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Lıngua Portuguesa – 03: Concordancia Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Lıngua Portuguesa – 04: Concordancia Verbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Lıngua Portuguesa – 05: Colocacao Pronominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Lıngua Portuguesa – 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Lıngua Portuguesa – 07: Interpretacao de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Lıngua Portuguesa – 08: Sinonimos, Antonimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Lıngua Portuguesa – 09: Classes de Palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Lıngua Portuguesa – 10: Verbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Lıngua Portuguesa – 11: Adverbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Lıngua Portuguesa – 12: Interpretacao de Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Lıngua Portuguesa – 13: Textos e Linguagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Literatura – Aula 14: Nur na Escuridao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Literatura – Aula 15: A colina dos suspiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Literatura – Aula 16: No Tempo das Tangerinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Literatura – Aula 17: O menino no espelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Literatura – Aula 18: Sucupira, ame-a ou deixe-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

HISTORIA313

Historia – Aula 1: Historia de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Tabela Periodica 317

Gabarito de respostas aos exercıcios... 319

Referencias Bicliograficas 329

Parte I

Fısica

1

Mecanica – Aula 1 3

Mecanica Aula 1

Grandezas Fısicas

Apesar de existirem muitas grandezas fısicas, sao es-tabelecidos padroes e definidas unidades para que te-nhamos um numero mınimo de grandezas denominadasfundamentais. Utilizando as grandezas fundamentaisdefinem-se unidades para todas as demais grandezas,as chamadas grandezas derivadas.

A partir de uma das grandezas fundamentais, o com-primento por exemplo, cuja unidade e o metro (m),pode-se definir as unidades derivadas, como area (m2)e volume (m3). Utilizando o metro e outra grandezafundamental, a de tempo, definem-se as unidades develocidade (m/s) e aceleracao (m/s2).

Sistema Internacional(SI)

Ate o final do seculo XV III era muito grande aquantidade de padroes existentes. Cada regiao esco-lhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivoshistoricos, os paıses de lıngua inglesa utilizam ate hojeos seus padroes regionais. O elevado aumento nos in-tercambios economicos e culturais levou ao surgimentodo Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistemametrico.

Grandeza Unidade Sımbolo

comprimento metro m

massa quilograma kg

tempo segundo s

corrente eletrica ampere A

temperatura kelvin K

quantidade de materia mol mol

intensidade luminosa candela cd

Tabela de unidades fundamentais do SI.

Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos e Medidasescolheu sete grandezas como fundamentais, formandoassim a base do SI. Alem das grandezas, definiu-setambem os sımbolos, unidades derivadas e prefixos. Atabela acima mostra as unidades fundamentais do SI ea tabela abaixo apresenta algumas unidades derivadasdo SI.

Grandeza Unidade Sımboloarea metro qua-

dradom2

volume metro cubico m3

densidade quilogramapor metrocubico

kg/m3

velocidade metro por se-gundo

m/s

aceleracao metro porsegundo aoquadrado

m/s2

forca newton N =Kg m/s2

pressao pascal Pa = N/m2

trabalho, energia, calor joule Jpotencia watt W = J/scarga eletrica coulomb C = Asdiferenca de potencial volt V = J/Cresistencia eletrica ohm Ω = V/A

Tabela de algumas unidades derivadas do SI.

Prefixo Sımbolo Potencia de dezpico p 10−12

nano n 10−9

micro µ 10−6

mili m 10−3

centi c 10−2

deci d 10−1

deca D 101

hecto H 102

quilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

Prefixos, sımbolos e potencias de dez.

Notacao Cientıfica

A medida de uma determinada grandeza fısica pode resultarem um numero que seja extremamente grande ou extrema-mente pequeno, por exemplos temos:

• distancia da Terra a Lua: 384.000.000 m.

• diametro de um atomo de hidrogenio:0, 000 000 000 1 m.

Para manipular tais numeros, utilizamos a notacao ci-entıfica, fazendo uso das potencias de 10.

O modulo de qualquer numero g pode ser escrito como umproduto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, quee uma potencia de dez:

g = a× 10n ,

onde devemos ter 1 ≤ a < 10.

Exemplos

• 243 = 2, 43× 100 = 2, 43× 102

4 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br

• 5.315 = 5, 315× 1000 = 5, 315× 103

• 0, 00024 = 2, 4× 0, 0001 = 2, 4× 10−4

• 0, 00458 = 4, 58× 0, 001 = 4, 58× 10−3

Regra Pratica

• Numeros maiores que 1: deslocamos a vırgula paraa esquerda, ate atingir o primeiro algarismo do numero.O numero de casas deslocadas para a esquerda corres-ponde ao expoente positivo da potencia de 10.

• Numeros menores do que 1: deslocamos a vırgulapara a direita, ate o primeiro algarismo diferente dezero. O numero de casas deslocadas para a direitacorresponde ao expoente negativo da potencia de 10.

Pense um Pouco!

• Quais sao as unidades de Peso e de massa? por queelas nao sao iguais?

• Um analgesico deve ser inserido na quantidade de3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administradanao pode exceder 200 mg. Cada gota contem 5 mgdo remedio. Quantas gotas devem ser prescritas a umpaciente de 80 kg?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensoes e asunidades, no sistema internacional,

Grandeza Dimensao Unidades SIComprimento L m (metro)Massa M kg (quilograma)Tempo T s (segundo)

das grandezas mecanicas primarias:a) Sabendo que forca = massa · aceleracao, expresse a uni-dade de forca em unidades de grandezas primarias.b) Determine os valores de n e p, se a expressao MLnT n−p

corresponde a dimensao de energia cinetica.

2. (FGV-SP) A dimensao de potencia em funcao das gran-dezas fundamentais, massa (M), comprimento (L) e tempo(T ) e:a) ML2T−2

b) ML2T−1

c) ML2T 2

d) ML2T−3

e) MLT−2

3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min,o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso emsegundos, e de:a) 3, 0× 102

b) 3, 0× 103

c) 3, 6× 103

d) 6, 0× 103

e) 7, 2× 103

Exercıcios Complementares

4. (UFPI) A nossa galaxia, a Via Lactea, contem cerca de400 bilhoes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estre-las possuam um sistema planetario onde exista um planetasemelhante a Terra. O numero de planetas semelhantes aTerra, na Via Lactea, e:a) 2× 104

b) 2× 106

c) 2× 108

d) 2× 1011

e) 2× 1012

5. Transforme em quilometros:a) 3600 mb) 2.160.000 cmc) 0, 03 md) 5.780 dme) 27.600 mf) 5.800 mm

6. (Unifor-CE) Um livro de Fısica tem 800 paginas e 4, 0 cmde espessura. A espessura de uma folha do livro vale, emmilımetros:a) 0, 025b) 0, 050c) 0, 10d) 0, 15e) 0, 20

7. Escreva os seguintes numeros em notacao cientıfica:a) 570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0, 0000012e) 0, 032f) 0, 72g) 82× 103

h) 640× 105

i) 9.150× 10−3

j) 200× 10−5

k) 0, 05× 103

l) 0, 0025× 10−4

Mecanica Aula 2

Algarismos Significativos

A precisao de uma medida simples depende do instrumentoutilizado em sua medicao. Uma medida igual a 2, 00 cm naodeve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.

Denominamos algarismos significativos todos os algarismosconhecidos com certeza, acompanhados de um ultimo duvi-doso, que expressam o valor da medida de uma grandeza,ou seja: todos os algarismos que representam a medida deuma grandeza sao algarismos significativos, sendo chamadosde corretos, com excecao do ultimo, que recebe o nome dealgarismo duvidoso.

O algarismo duvidoso de uma medida sera sublinhado paradestaca-lo, quando for preciso.

Exemplos


1. A medida 2, 35 cm apresenta tres algarismos significa-tivos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3)e um algarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois alga-rismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) eum duvidoso (7). Observe que os zeros a esquerdanao sao algarismos significativos, pois servem apenaspara posicionar a vırgula no numero. Nesse caso, eaconselhavel escrever a medida em notacao cientıfica:5, 7× 10−4 mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi-ficativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ultimozero e o algarismo duvidoso. Em notacao cientıfica es-crevemos: 1, 5000× 102 km. Note que ao escrevermosum numero usando as potencias de 10 mantemos aquantidade de algarismos significativos deste numero,ou seja, mantemos sua precisao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste comregua com divisoes em centımetros:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das opcoes abaixo melhor representa o compri-mento da haste?

a) 5, 0 cm

b) 5, 40 cm

c) 5 cm

d) 5, 5 cm

e) 5, 2 cm

5. Considere a figura:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

A mesma haste do exemplo anterior, medida agora comuma regua milimetrada:

a) 5, 2 cm

b) 5, 240 cm

c) 5, 45 cm

d) 5, 24 cm

e) 5, 21 cm

6. Indique o numero de algarismos significativos de cadanumero abaixo:

a) 7, 4 2 significativos

b) 0, 0007 1 significativo

c) 0, 034 2 significativos

d) 7, 40× 10−10 3 significativos

Criterios de Arredondamento

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . .× 108 m/s.

Como devemos proceder para escrever “c” com um numeromenor de algarismos significativos? Devemos utilizar oscriterios de arredondamento.

Podemos escrever:

c = 2, 998× 108 m/s 4 significativos



REGRAS

• Se o algarismo a ser eliminado e menor que 5, ele esimplesmente eliminado.

Exemplo:√

2 = 1, 41421 . . . = 1, 414

• Se o algarismo a ser eliminado e igual ou maior que5, ele e eliminado, mas acrescentamos uma unidade noalgarismo anterior.

Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Operacoes com Algarismos Significativos

Adicao e Subtracao

O resultado da adicao e subtracao de dois numeros nao podeter maior numero de casas decimais, do que a parcela maispobre (em casas decimais). Procede-se a operacao normal-mente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m

• 138, 95 m− 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para aseguir procedermos o arredondamento.

Multiplicacao e Divisao

O resultado de uma multiplicacao e divisao nao pode termaior numero de algarismos significativos do que o fa-tor mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se aoperacao normalmente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 4, 23 m× 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2

• 4, 98 cm÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Relacoes entre Grandezas Fısicas

Muitos fenomenos fısicos podem ser reduzidos ao estudo darelacao entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dadosobtidos das medicoes podem ser expressos por uma repre-sentacao grafica num plano cartesiano por meio de dois eixoperpendiculares entre si.

Atraves da representacao grafica da relacao entre duas gran-dezas pertencentes a um determinado fenomeno fısico, po-demos obter algumas conclusoes sobre o comportamento deuma das grandezas (variavel dependente) em relacao a outra(variavel independente).

Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foimedicada, ingerindo uma dose do medicamento as 8 horase uma outra dose as 12 horas da manha. A temperatura dapessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidossao mostrados abaixo.


Tempo (h) Temperatura (C)0 39,01 39,02 38,53 38,04 38,55 37,56 37,07 36,58 36,59 36,5

Podemos representar os dados da tabela acima em umgrafico. A representacao grafica das variaveis temperatura(variavel dependente: eixo vertical) e tempo (variavel inde-pendente: eixo horizontal) esta mostrada na Figura 1.

35.0

36.0

37.0

38.0

39.0

40.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

T(o C

)

t(h)

medidasajuste

Figura 1: Um grafico da temperatura em funcao dotempo

O grafico cartesiano mostrado anteriormente, alem de faci-litar a visualizacao do comportamento da temperatura dapessoa durante as 9 horas de observacao, permite tambem,algumas conclusoes.

Como Construir um Grafico

Para que graficos sejam construıdos de forma objetiva eclara e necessario respeitar algumas regras simples:

• O eixo vertical e chamado de eixo das abscissas e ohorizontal de eixo das coordenadas;

• a variavel dependente deve ser colocada no eixo verticale a variavel independente no eixo horizontal;

• os eixos devem se encontrar no canto inferior es-querdo do papel, ou espaco (retangulo) reservado parao grafico;

• as escalas sao independentes e devem ser construıdasindependentemente;

• as divisoes numericas das escalas (lineares) devem serregulares;

• o valor zero (0) nao precisa estar em nenhuma das es-calas;

• as escalas devem crescer da esquerda para a direita, ede baixo para cima;

• antes de iniciar a construcao de um grafico deve-se ve-rificar a escala a ser usada levando em consideracaoos valores extremos, ou seja, o maior e o menor valorassumido por ambas as variaveis do grafico. Divide-se entao o espaco disponıvel, em cada eixo, para queacomode todos os pontos experimentais;

• o teste final para saber se as escalas estao boas e feitoverificando-se se e facil de ler as coordenadas de qual-quer ponto nas escalas.

Pense um Pouco!

• A funcao da posicao x em relacao ao tempo t de umponto material em movimento retilıneo, expressa emunidades do SI, e

x = 10 + 5, 0t

Determine:a) a posicao do ponto material no instante 5, 0 s;b) o instante em que a posicao do ponto material ex = 50 m;c) esboce o grafico x× t do movimento.


1. Determine o comprimento de cada haste:

a)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

b)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

d)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

e)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

f)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisao,o milımetro. Essa trena e utilizada para se medir a distanciaentre dois tracos paralelos, muito finos, feitos por um estiletesobre uma superfıcie plana e lisa. Considerando que naohouve erro grosseiro, o resultado de uma so medicao, como numero correto de algarismos significativos, e mais bemrepresentado por:a) 2 m


b) 21 dmc) 214 cmd) 2, 143 me) 2.143, 4 m


3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimentode sua mesa de trabalho. Nao dispondo de regua, decideutilizar um toco de lapis como padrao de comprimento. Ve-rifica entao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5tocos de lapis. Chegando ao colegio, mede com uma reguao comprimento do seu toco de lapis, achando 8, 9 cm. Ocomprimento da mesa sera corretamente expresso por:a) 120, 15 cmb) 120, 2 cmc) 1× 102 cmd) 1, 2× 102 cme) 102 cm

4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apos realizar a me-dida necessaria, que o volume de um dado e 2, 36 cm3.Levando-se em conta os algarismos significativos, o volumetotal de cinco dados, identicos ao primeiro, sera correta-mente expresso por:a) 6, 8 cm3

b) 7 cm3

c) 13, 8 cm3

d) 16, 80 cm3

e) 17, 00 cm3

5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 fo-lhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a me-dida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura mediade uma folha e:a) 10−1 mmb) 10−2 mmc) 10−3 mmd) 10−4 mme) 10−5 mm

Mecanica Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Fısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: asgrandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar e aquela que fica perfeitamente ca-racterizada quando conhecemos apenas sua intensidadeacompanhada pela correspondente unidade de medida.Como exemplos de grandeza fısica escalar podemos citar amassa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura(por exemplo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a den-sidade (para a agua, 1000 kg/m3), a pressao (105 N/m2), aenergia (por exemplo 100 J) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras deoperacoes algebricas comuns, arredondando-se quando ne-cessario.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantanea de um movel qualquer (porexemplo, um aviao a 380 km/h), constatamos que apenasessa indicacao e insuficiente para dizermos a direcao em queo movel segue. Isso acontece porque a velocidade e umagrandeza vetorial.

Para uma grandeza fısica vetorial ficar totalmente caracte-rizada, e necessario saber nao apenas a sua intensidade oumodulo mas tambem a sua direcao e o seu sentido. Ge-ralmente a grandeza vetorial e indicada por uma letra comuma setinha (por exemplo, ~v) e o modulo ou intensidade,por |~v| ou simplesmente por v.

A grandeza fısica vetorial pode ser representada grafica-mente por um segmento de reta (indicando a direcao dagrandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) etrazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (in-dicacao de seu modulo ou intensidade). Tal representacao edenominada vetor.

No exemplo anterior do aviao, poderıamos dizer, por exem-plo, que ele se movimenta num certo instante com veloci-dade ~v, de modulo v = 380 km/h, na direcao norte-sule sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial ins-tantanea pode ser representada por um vetor, como mostraa figura 1.

N

S

O L

380 km/h

Figura 1: Exemplo de representacao vetorial

Como afirmamos anteriormente, para representar grande-zas vetoriais e preciso indicar, alem do modulo, a direcao eo sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicacao utili-zando um vetor (veja a figura 2). O vetor pode ser repre-sentado por um segmento de reta orientado cujo tamanho -intensidade - e proporcional a intensidade da grandeza querepresenta.

Para melhor entendermos o significado e a representacao deum vetor, observe a figura 3.

S

Figura 2: A reta s, que contem o vetor, indica adirecao e a seta indica o sentido


a

b

dc

e

g

r

w

zv

q

f

Figura 3: Representacao de alguns vetores

Na figura de cima os vetores representados possuem mesmadirecao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentama mesma direcao e sentidos opostos. Portanto, podemosnotar que vetores de mesma direcao sao paralelos, o quenao garante que tenham o mesmo sentido.

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direcao, podemos deter-minar o modulo do vetor soma estabelecendo convencional-mente um sentido como positivo e somando algebricamenteos seus modulos. Observe:

d

a b

− c

c

b

a

Figura 4: De acordo com a convencao adotada, omodulodo vetor sera d = a + b− c.

Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direcao (horizontal).Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita.Assim, os vetores ~a e ~b sao positivos e o vetor ~c e negativo.O modulo do vetor soma, ~d, e dado por

d = a + b− c

Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seusentido e positivo, ou seja, o vetor e horizontal para a direita;se for negativo, o seu sentido e negativo, isto e, o vetor ehorizontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um movel parte de um ponto A esofre um deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo umponto B e, em seguida, um deslocamento ~d2 no sentidonorte, atingindo um ponto C (veja a figura 5)

Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A paraB, e o ~d2, de B para C, equivalem a um unico deslocamento,

d1

d

d2

S

O L

N

BA

C

Figura 5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos~d1 e ~d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2.

~d, de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d e a somavetorial ou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,

~d = ~d1 + ~d2

Este resultado e valido para qualquer grandeza vetorial.Veja a figura 6.

a

c

b b

Figura 6: O vetor ~c e a resultante ou soma vetorial de~a e ~b.

Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c.E crucial notar que a colocacao do vetor ~b na origem ou naextremidade do vetor ~a nao altera o vetor soma ~c. Deve-se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um trianguloretangulo, em que ~c e a hipotenusa ~a e ~b sao catetos. Paraobtermos o modulo do vetor resultante, basta aplicar o te-orema de Pitagoras:

c2 = a2 + b2

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direcoesquaisquer nao apresenta muita diferenca. Para um movel,partir de A e atingir B num deslocamento ~d1 e, em seguida,atingir C num deslocamento ~d2 equivale a partir de A eatingir C num deslocamento ~d (veja figura 7). Desta forma,

~d = ~d1 + ~d2

Na determinacao do modulo do vetor ~d resultante, nao po-demos aplicar o teorema de Pitagoras, tendo em vista queo angulo entre ~d1 e ~d2 nao e reto (90o). Assim, aplicamos aregra do paralelogramo, como mostra a figura 8.

Os vetores ~a e~b formam um paralelogramo cuja diagonal e ovetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,


d

d2

d1

A

C

B

Figura 7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos~d1 e ~d2.

a

bb

cc

a

αα α α

Figura 8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados saoos vetores ~a e ~b, e o vetor resultante ~c. Podemos deslo-car o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindoa figura anterior.

se ~a e ~b formam entre si um angulo α, o modulo do vetorresultante ~c sera dado pela expressao:

c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α

Decomposicao de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um unico vetor,o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Aodecompormos dois vetores, realizamos um processo inverso.Dado um vetor ~a, obtem-se outros dois vetores ~ax e ~ay talque ~ax + ~ay = ~a (veja a figura 9).

a

ax

ay

α

x

y

Figura 9: O vetor ~a pode ser decomposto em um com-ponente horizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay.

O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e~ay formem um triangulo retangulo (figura 10). Aplicando a

a

ay ay

ax

α

Figura 10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay for-mam um triangulo retangulo, onde ~a e a hipotenusa e~ax e ~ay sao os catetos.

trigonometria ao triangulo retangulo, podemos determinaro modulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical)de ~a em funcao do angulo α. Desta forma, no triangulohachurado da figura 10, temos

cosα =cateto adjacente

hipotenusa⇒ cosα =

ax

a

ax = a · cos α

onde ax e o modulo da componente horizontal ~ax do vetor~a. Temos ainda

sin α =cateto oposto

hipotenusa⇒ sin α =

~ay

a

ay = a · sin α

onde ay e o modulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.

Podemos relacionar o modulo do vetor e o modulo de seuscomponentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitagorasno triangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay:

a2 = a2x + a2

y

Pense um Pouco!

• Qual a condicao para que a soma de dois vetores sejanula?

• O modulo da soma de dois vetores pode ser igual asoma de seus modulos? Quando?

• O modulo de um vetor pode ser negativo? Por que?


1. Um movel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e emseguida, 50 m no sentido norte-sul.a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.b) Determine o modulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o modulo daresultante de F1 e F2. Dado: cos(120) = −0, 50.


F1

F2120

o

3. Um projetil e atirado com velocidade de 400 m/s fa-zendo um angulo de 45 com a horizontal. Determine oscomponentes vertical e horizontal da velocidade do projetil.


4. Na figura abaixo estao representadas duas forcas: ~F1, demodulo F1 = 5, 0 N e ~F2, de modulo F2 = 3, 0 N , formandoentre si um angulo α = 60. Determine a forca resultante~FR para o sistema de forcas mostrado.

F2

F1

α = 60o

5. Um vetor velocidade e decomposto em dois outros, per-pendiculares entre si. Sabendo que o modulo do vetor e10, 0 m/s e que um dos componentes tem modulo igual a8, 0 m/s, determine o modulo do vetor correspondente aooutro componente.

6. Um projetil e lancado do solo segundo uma direcao queforma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s(veja a figura a seguir). Determine o modulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e vertical, ~vy, dessa velocidade. Dados:sin(53) = 0, 80 e cos(53) = 0, 60

v

α = 53o

7. Um aviao voa no sentido sul-norte com uma velocidadede 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar umforte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste.a) Faca um esquema grafico representando a velocidade doaviao e do vento.b) Determine o modulo da velocidade resultante. Dado:cos(45) = 0, 71.

Mecanica Aula 4

A Primeira Lei de Newton

O Conceito de Forca

Geralmente utilizamos uma forca com o objetivo de empur-rar, puxar ou levantar objetos. Essa ideia e correta, poremincompleta. A ideia de puxar ou empurrar esta quase sem-pre associada a ideia de contato, o que exclui uma carac-terıstica fundamental da nocao de forca: a acao a distancia.A atracao gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo,e exercida a milhoes de quilometros de distancia.

A palavra forca nao possui uma definicao unica, expressa empalavras. A Fısica moderna admite a existencia de quatrotipos de forca na natureza, chamadas mais adequadamentede interacoes : gravitacional, eletromagnetica, e as forcasnucleares forte e fraca.

Em relacao ao estudo dos movimentos e de suas causas,pode-se dizer que forca e a acao capaz de modificar a velo-cidade de um corpo.

Como muitas outras grandezas em Fısica, a forca e umagrandeza vetorial, ou seja, possui modulo direcao e sentido.Podemos resumir, entao a definicao de forca da seguinteforma:

Forca e uma grandeza vetorial que carac-teriza a acao de um corpo sobre outro eque tem como efeito a deformacao ou a al-teracao da velocidade do corpo sobre o qualela esta sendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1: Isaac Newton (1642-1727).

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em uma pergunta: “o que acontece com o movimentode um corpo livre de qualquer forca?” Essa pergunta pode


ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeitoda inexistencia de forcas sobre o corpo em repouso: se ne-nhuma forca atua sobre o corpo em repouso, ele continua emrepouso. A segunda parte trata do efeito da inexistencia deforcas sobre o corpo em movimento: se nenhuma forca atuasobre o corpo em movimento, ele continua em movimento.

Mas que tipo de movimento? Ja que nao existem forcasatuando sobre o corpo, sua velocidade nao varia de moduloou direcao. Desta forma, o unico movimento possıvel docorpo na ausencia de qualquer forca atuando sobre ele e omovimento retilıneo uniforme.

A Primeira Lei de Newton reune as duas respostas anterio-res em um unico enunciado:

Todo corpo tende a manter seu estado derepouso ou de movimento retilıneo e uni-forme, a menos que forcas externas provo-quem variacao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmarque na ausencia de forcas, todo corpo tende a ficar comoesta: parado se estiver parado, em movimento retilıneo uni-forme, se estiver em movimento (retilıneo uniforme). Poreste motivo essa lei tambem e chamada de Princıpio daInercia.

Figura 2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continuaseu movimento pra frente...

O que e Inercia?

Todos os corpos apresentam a tendencia de se manter emrepouso ou em movimento retilıneo uniforme. Essa proprie-dade dos corpos e chamada inercia. A palavra inercia e de-rivada do latim inertia, que significa indolencia ou preguica.Os corpos tem uma especie de resistencia as modificacoes desua velocidade.

Equilıbrio de uma Partıcula

Dizemos que uma partıcula se encontra em equilıbrio,quando a resultante das forcas atuando sobre ela for nula.Se a resultante e nula, nao ocorre alteracao na velocidadedo objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos oequilıbrio de estatico; se ele estiver em movimento retilıneoe uniforme, o equilıbrio sera chamado de dinamico.

Pense um Pouco!

• Qual a relacao entre a Primeira Lei de Newton e o cintode seguranca? e o encosto para a cabeca no banco docarro?

• Por que quando um onibus freia repentinamente, ospassageiros sao “arremessados” para a frente? e o queocorre quando o onibus e acelerado?


1. (UFMG) Um corpo de massa m esta sujeito a acao de

uma forca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em sen-tido contrario ao da gravidade. Se esse corpo se mover comvelocidade constante e porque:a) a forca ~F e maior do que a da gravidade.b) a forca resultante sobre o corpo e nula.

c) a forca ~F e menor do que a gravidade.d) a diferenca entre os modulos das forcas e diferente dezero.e) a afirmacao da questao esta errada, pois qualquer que

seja ~F o corpo estara acelerado porque sempre existe a ace-leracao da gravidade.

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa oenunciado da Lei da Inercia, tambem conhecida como pri-meira Lei de Newton.a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo umaorbita elıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma forca proporci-onal ao produto de suas massas e inversamente proporcionalao quadrado da distancia entre eles.c) Quando um corpo exerce uma forca sobre outro, este re-age sobre o primeiro com uma forca de mesma intensidadee direcao, mas de sentido contrario.d) A aceleracao que um corpo adquire e diretamente propor-cional a resultante das forcas que nele atuam, e tem mesmadirecao e sentido dessa resultante.e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre eleestejam agindo forcas com resultante nao nula.

3. (UNESP-SP) As estatısticas indicam que o uso do cintode seguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoes maisgraves em motoristas e passageiros no caso de acidentes.Fisicamente, a funcao do cinto esta relacionada com a:a) primeira Lei de Newton.b) lei de Snell.c) lei de Ampere.d) lei de Ohm.e) primeira Lei de Kepler.


4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se acorda. Pela Lei da Inercia, conclui-se que:a) a pedra se mantem em movimento circular.b) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao perpendicu-lar a corda no instante do corte.


c) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao da corda noinstante do corte.d) a pedra para.e) a pedra nao tem massa.

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme re-tilıneo, so pode estar sob a acao de uma:a) forca resultante nao-nula na direcao do movimento.b) unica forca horizontal.c) forca resultante nula.d) forca nula de atrito.e) forca vertical que equilibre o peso.

6. (Fiube-MG) Uma partıcula se desloca ao longo de umareta com aceleracao nula. Nessas condicoes, podemos afir-mar corretamente que sua velocidade escalar e:a) nula.b) constante e diferente de zero.c) inversamente proporcional ao tempo.d) diretamente proporcional ao tempo.e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.

Mecanica Aula 5

A Segunda Lei de Newton

E muito comum encontrarmos a definicao de massa de umcorpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo repre-senta a quantidade de materia que ele possui”. Em cursoselementares de ciencias, esta definicao pode ser aceita comouma ideia inicial da nocao de massa, embora nao possa serconsiderada uma definicao precisa dessa grandeza. De fato,a definicao apresentada nao e adequada, pois pretende de-finir um novo conceito – massa – por meio de uma ideiavaga, que nao tem significado fısico preciso – quantidadede materia.

Experimentalmente os fısicos constataram que entre a forcaF aplicada a um corpo e a aceleracao a, que ele adquire,existe uma proporcao direta. Desta forma, o quociente F/ae constante para um certo objeto. Este quociente, que eintrınseco a cada corpo, foi denominado pelos fısicos demassa do corpo. Desta forma, podemos afirmar:

A massa m de um corpo e o quociente entreo modulo da forca que atua num corpo e ovalor da aceleracao a que ela produz nestecorpo.

Assim,

m =F

a

No sistema internacional (SI), a unidade para medida demassa e o quilograma:

1 quilograma = 1 kg = 1000 g

Massa e Inercia

Suponhamos que uma forca F foi aplicada a tres corposde massa diferentes, como tres blocos de ferro, com volumesdiversos. Imaginaremos que a superfıcie na qual estes blocos

estao apoiados nao apresenta atrito. Analisando a equacaom = F/a, percebemos facilmente que:

- Quanto maior m → menor a

- Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a velo-cidade do corpo.

Podemos concluir que

Quanto maior e a massa de um corpo,maior sera sua inercia (dificuldade de tersua velocidade alterada), isto e, a massa re-presenta a medida de inercia de um corpo.

As conclusoes anteriormente, explicam porque um caminhaovazio (quando sujeito a uma forca F) adquire uma ace-leracao maior do que quando esta cheio, por exemplo.

A Segunda Lei de Newton

De acordo com o princıpio da inercia, um corpo so pode sairde seu estado de repouso ou de movimento retilıneo com ve-locidade constante se sobre ele atuar uma forca resultanteexterna. Neste momento, poderıamos perguntar: “O queacontece se existir uma forca resultante externa agindo nocorpo?” Nesta situacao, o corpo fica sujeito a uma ace-leracao, ou seja, um corpo sujeito a uma forca resultanteexterna movimenta-se com velocidade variavel.

F

E facil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, porexemplo, desde o repouso ate 30 km/h em um intervalode tempo de 30 s, a intensidade da forca que teremos deaplicar dependera da massa do corpo. Se, por exemplo, ocorpo for um carro, e evidente que a forca necessaria seramuito menor do que se tratasse de um caminhao. Destaforma, quanto maior a massa do corpo, maior devera sera intensidade da forca necessaria para que ele alcance umadeterminada aceleracao.

Foi Isaac Newton quem obteve essa relacao entre massae forca, que constitui a segunda lei de Newton ouprincıpio fundamental da dinamica. Temos, entao que

A aceleracao de um corpo submetido auma forca resultante externa e inversa-mente proporcional a sua massa, e direta-mente proporcional a intensidade da forca.

Assim, para uma dada forca resultante externa F, quantomaior a massa m do corpo tanto menor sera a aceleracaoa adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton edada por:

~F = m~a


Esta equacao vetorial impoe que a forca resultante e a ace-leracao tenham a mesma direcao e o mesmo sentido. No SIa unidade de forca e o newton ou (N):

1 N = 1 kg ·m/s2

Por definicao, o newton e a forca que produz uma aceleracaode 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Diagrama de Corpo Livre

Antes de resolver qualquer problema de dinamica, e de fun-damental importancia a identificacao de todas as forcas rele-vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualizacaodestas forcas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se umdiagrama de corpo livre ou diagrama de forcas paracada corpo, que e um esquema simplificado envolvendo to-das as massas e forcas do problema.

Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um planoinclinado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpolivre para o bloco:

m

N Fat

P

θ

Figura 1: Diagrama de corpo livre para um bloco es-corregando num plano inclinado.

Observe

Nesse exemplo, o bloco e tratado como uma partıcula,por simplificacao, nao sendo relevante suas dimensoes ou oponto de aplicacao das forcas, colocadas todas no seu centrogeometrico, por conveniencia. Desprezou-se a forca de em-puxo do ar, a forca de resistencia viscosa ao movimento dobloco, tambem causada pelo ar, e outras forcas irrelevantesao problema.

Pense um Pouco!

• E muito comum nos depararmos com a situacao na qualum carro e um caminhao estao emparelhados aguar-dando o sinal verde do semaforo. Voce sabe por que,quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai nafrente, apesar de o caminhao ter um motor mais pos-sante?

• Se o peso de um corpo e proporcional a sua massa,entao podemos afirmar que todos os corpos terao amesma aceleracao, em queda livre?


1. Na figura abaixo os blocos A, B e C estao sobre umplano horizontal sem atrito.

B

A

Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg,determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C).Admitir a massa dos fios desprezıvel.

2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe ace-lerado a 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a tracao nocabo que o sustenta, e de:a) 6000 Nb) 5000 Nc) 4000 Nd) 3000 Ne) 2000 N


3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, esta sobre o planosem atrito.

A

F

B C

Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextensıvel de massa des-prezıvel como a massa da polia, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao no fio.

4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg,mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apoia numplano sem atrito. Sao desprezıveis as massas da polia e dofio, que e inextensıvel.

B

AC


Admitindo g = 10 m/s2, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao TAB entre os blocos A e B;c) a tracao TBC entre os blocos B e C.

5. Na figura, a forca ~F tem intensidade 90 N . Despreze osatritos e as inercias do fio e da roldana. Quais os valores daaceleracao do conjunto e da forca que traciona o fio?

4 kg

6 kg

F

6. (UEL-PR) Os tres corpos, A, B e C, representados nafigura tem massas iguais, m = 3, 0 kg

A B

C

O plano horizontal, onde se apoiam A e B, nao fornecematrito, a roldana tem massa desprezıvel e a aceleracao localda gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2. A tracaono fio que une os blocos A e B tem modulo:a) 10 Nb) 15 Nc) 20 Nd) 25 Ne) 30 N

7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 Nencontra-se sobre uma balanca no piso de um elevador. Se oelevador sobe com aceleracao igual, em modulo, a metade daaceleracao da gravidade local, pode-se afirmar que a leiturada balanca:a) sera de 25 Nb) permanece inalteradac) sera de 75 Nd) sera de 100 Ne) sera de 200 N

Mecanica Aula 6

Energia

A energia se apresenta de diversas formas na natu-reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam

energia quımica, a combustao da gasolina libera energiatermica, energia eletrica e utilizados em diversos aparelhos,transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc.Para medir a quantidade de energia transferida de um corpopara outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

Trabalho

O significado da palavra trabalho, na Fısica, e diferente doseu significado habitual, empregado na linguagem comum.O trabalho, na Fısica e sempre relacionado a uma forcaque desloca uma partıcula ou um corpo. Dizemos que umaforca F realiza trabalho quando atua sobre um determinadocorpo que esta em movimento. A partir dessa descricaopodemos dizer que so ha trabalho sendo realizado se houverdeslocamento, caso contrario o trabalho realizado sera nulo.Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloca-lo,ela nao esta realizando nenhum trabalho sobre o corpo.

Quando uma forca F atua sobre um corpo no mesmo sentidode seu movimento (ou deslocamento) ela esta favorecendoo movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalhorealizado pela forca.

Uma Forca Constante

Quando a forca F atua no sentido contrario ao movimentodo corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalhorealizado pela forca e considerado negativo.

FF

d

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizadopor uma forca horizontal constante, durante um desloca-mento horizontal d e:

W = ±F d (1)

onde F e o modulo da forca constante e d e o deslocamento(em modulo). O sinal + e usado quando a forca e o des-locamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quandopossuem sentidos contrarios.

Importante

Observe que o trabalho e uma grandeza escalar, apesar deser definida a partir de dois vetores (F e d).

Unidades

1 N ·m = 1 J = 1 joule = 107 erg

1 kJ = 103 J

Quando a forca for aplicada ao corpo formando um anguloφ com a horizontal, temos a seguinte formula mais geral:

W = F d cosφ (2)

onde F e o modulo da forca constante, d e o deslocamento(em modulo) e φ o angulo entre os vetores F e d, ou seja,entre a direcao da forca e o deslocamento.


φ φ

d

FF

Podemos tambem calcular o trabalho W realizado pela forcaF atraves da area sob a curva do grafico F × x:

F

O Xx

Area = Trabalho

W ≡ Area sob a curva

Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do tra-balho atraves da analise do grafico, e do sentido relativoentre a forca e o deslocamento (ou do angulo φ).

Uma Forca Variavel

0 grafico abaixo representa a acao de uma forca variavel queage sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,desde o ponto x′ ate o ponto x′′.

x1

x2

1F(x )

2F(x )

O X

Area = Trabalho

Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela area soba curva, desenhando-se o grafico em papel quadriculado, oude forma aproximada pela area de um trapezio:

W = Fd =

(F1 + F2

2

)

(x2 − x1)

Observe que essa formula considera a forca media (aproxi-mada) multiplicada pelo deslocamento.

Tipos de Forcas

Existem diversos tipos de forcas que podem atuar em umcorpo: forca elastica, forca peso, forca eletrica, forca decontato, etc...

Potencia PConsideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho.Se uma delas levar um tempo menor que a outra para arealizacao desse trabalho, tem de fazer um esforco maior e,por tanto, dizemos que desenvolveu uma potencia maior.

Figura 1: James Watt (1736-1819)

Um carro e mais potente que o outro quando ele “ar-ranca”mais rapido e atinge uma dada velocidade num in-tervalo de tempo menor do que o outro carro..

Um aparelho de som e mais potente que o outro quando eleele transforma mais energia eletrica em sonora num menorintervalo de tempo. Uma maquina e caracterizada nao sopelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que podeefetuar em determinado tempo.

Entao podemos concluir que potencia e o trabalho realizadodurante um determinado tempo, ou seja:

P = W/t

Em alguns casos, pode-se escrever W = Fd e, substituindona equacao acima temos

P =W

t=

Fdt

t= Fv .

ja que v = d/t.

Unidade de Potencia

1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cinetica

Para variar a velocidade de um corpo em movimento e pre-ciso o concurso de forcas externas, as quais realizam certotrabalho. Esse trabalho e uma forma de energia que o corpoabsorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento emrelacao a um dado sistema de referencia.

Chamamos essa energia de movimento de energia decinetica. Para uma partıcula de massa m e velocidade va energia cinetica e:

Ec =1

2mv2

e assim como o trabalho, mede-se a energia cinetica emjoules.


Teorema Trabalho-Energia

Suponhamos que FR seja a resultante das forcas que atuamsobre uma partıcula de massa m. O trabalho dessa resul-tante e igual a diferenca entre o valor final e o valor inicialda energia cinetica da partıcula:

W = ∆Ec =1

2mv2

f −1

2mv2

i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das forcas queatua sobre uma partıcula modifica sua energia cinetica.

Pense um Pouco!

• Que trabalho realizamos sobre um corpo que e levan-tado a uma determinada altura? Esse trabalho seriapositivo ou negativo?

• Se voce pudesse segurar um elefante a uma determi-nada altura, voce estaria realizando trabalho? Porque?

• Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar-bante.

1. Ha algum trabalho sendo realizado sobre o carri-nho? Por que? O trabalho e positivo ou negativo.

2. O menino desenvolve alguma potencia? Por que?

3. O carrinho tem energia cinetica? Por que?


1. (ESAL-MG) Um homem esta em repouso com um cai-xote tambem em repouso as costas.a) Como o caixote tem um peso, o homem esta realizandotrabalho.b) O homem esta realizando trabalho sobre o caixote pelofato de o estar segurandoc) O homem esta realizando trabalho pelo fato de estar fa-zendo forca.d) O homem nao realiza trabalho pelo fato de nao estar sedeslocando.e) O homem nao realiza trabalho pelo fato de o caixote estarsujeito a aceleracao da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo esta sendo arrastado por uma su-perfıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme.Considere as afirmacoes a seguir: I. O trabalho da forcade atrito e nulo. II. O trabalho da forca peso e nulo. III.A forca resultante que arrasta o corpo e nula. Dentre asafirmacoes:a) E correta a I, somente.b) E correta a II, somente.c) E correta a III, somente.d) Sao incorretas I, II, III.e) Sao corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potencia e energia, pode-seafirmar que:a) potencia e energia sao sinonimos.

b) trabalho e potencia se expressam com a mesma unidade.c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.d) potencia e a capacidade de realizar trabalho.e) trabalho e a relacao energia-tempo.

4. O produto da forca pelo deslocamento do corpo em queela atua esta associado com:a) trabalhob) potenciac) distanciad) aceleracaoe) velocidade


5. (UFSC) O grafico a seguir representa a resultante dasforcas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a10, 0 kg, em funcao do deslocamento total em metros. Su-pondo que a sua velocidade inicial e de 14 1

2 m/s, determine,em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m.

F(N)

5

20

00 10 20 30

15

10

x(m)40

6. Um projetil de massa 10, 0 g penetra com velocidadehorizontal de 100 m/s e sai de uma tabua de espessura de10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forca comque a tabua exerce sobre o projetil.

F

v = 100 m/s v = 90 m/s

x = 1,0 cm

fo

m = 10 g

7. Um movel de massa 2, 90 kg e submetido a uma forcaconstante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule:a) o trabalho W realizado pela forca;b) a potencia P desenvolvida pela forca;

Mecanica Aula 7


Energia Potencial

Um corpo possui energia quando e capaz de realizar traba-lho. Suponha, entao, um corpo situado a uma certa alturaacima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando aosolo, e facil perceber que sera capaz de realizar um certotrabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-sepois concluir que aquele corpo possuıa energia na posicaoelevada.

A energia que um corpo possui, em virtude de estar situadoa uma certa altura acima da superfıcie da Terra, e denomi-nada energia potencial gravitacional. Ha outras situacoes,semelhantes a essa, nas quais um corpo tambem possui ener-gia em virtude da posicao que ele ocupa. Por exemplo, umcorpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ouesticada) possui energia em virtude de sua posicao. Se umcorpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele seraempurrado pela mola e podera realizar trabalho. Neste caso,a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimidaou esticada e denominada energia potencial elastica.

Energia Potencial Gravitacional

Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nossoreferencial usual de energia zero, podemos definir a energiapotencial gravitacional Ep como

Ep = mgh

onde g e a aceleracao da gravidade. No SI, g vale aproxi-madamente 9, 8 m/s2.

Forca Elastica

Chamamos de corpos elasticos aqueles que, ao serem de-formados, tendem a retornar a forma inicial.

Figura 1: Robert Hooke (1635-1703)

Uma mola helicoidal, feita geralmente de aco, como carac-terıstica propria uma constante elastica k, que define aproporcionalidade entre a intensidade forca F aplicada e arespectiva deformacao x causada na mola. A lei de Hookerelaciona essas quantidades na forma

F = −kx

Observe que x mede a deformacao linear da mola a partirdo seu tamanho de equilıbrio (sem forca).

Atraves a equacao acima, pode-se ver que a unidade SI daconstante elastica deve ser N/m. Na pratica, a constantek mede a “durezaZZ da mola: quanto maior o valor de k,mais difıcil sera a sua deformacao, ou seja, mais forca seranecessaria para deforma-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial Elastica

Quando aplicamos uma forca e deformamos uma mola esta-mos transferindo a ela uma energia, essa energia fica arma-zenada na mola. Definimos que a energia armazenada emuma mola comprimida ou distendida e chamada de energiapotencial elastica, atraves de

Ep =1

2kx2

Pense um Pouco!

• A energia potencial gravitacional depende da ace-leracao da gravidade, entao em que situacoes essa ener-gia e positiva, nula ou negativa?

• A forca elastica depende da massa da mola? Por que?

• Se uma mola e comprimida por um objeto de massagrande, quando solto a mola nao consegue se mover, oque acontece com a energia potencial elastica?


1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilin-gue.a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue?b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge suaaltura maxima?c) Existe energia no estilingue depois do lancamento? Co-mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, de-pois de um certo tempo de queda.a) O que acontece com sua energia potencial Ep?b) Sua energia cinetica esta variando? Comente.

3. Um indivıduo encontra-se sobre uma balanca de mola,pisando sobre ela com seus dois pes. Se ele levantar umdos pes e mantiver o outro apoiado, no interior de um ele-vador completamente fechado, quando observa que o pesoindicado na balanca e zero. Entao, conclui que:a) esta descendo com velocidade constanteb) o elevador esta em queda livrec) a forca de atracao gravitacional exercida sobre ele e anu-lada pela reacao normal do elevadord) a balanca esta quebrada, visto que isto e impossıvel

4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estaoa 500 m de altura em relacao ao solo. Voce diria que:a) ambas as pedras tem igual energia potencial;b) a pedra de menor massa tem maior energia potencialc) nada podemos afirmar com relacao a energia potencialdas pedrasd) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar


trabalhoe) a pedra de maior massa tem maior energia potencial

5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprezıvel,esta suspensa verticalmente e presa a um suporte horizon-tal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidadelivre dessa mola, ela apresenta deformacao de 2, 0 cm parao sistema em equilıbrio. Se acrescentarmos a essa massaoutra de 10 kg, no ponto de equilıbrio, a deformacao totalsera de:a) 3, 0 mb) 2, 5 cmc) 2, 0 md) 1, 5 cme) 1, 0 m


6. Uma mola cuja constate elastica e 1000 N/m encontra-secomprimida em 10 cm.a) Determine a energia potencial elastica armazenada namola.b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmentepara impulsionar um bloco de 100 g, qual e a velocidademaxima adquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necessario para se comprimir uma mola,cuja constante elastica e 500 N/m, em 10, 0 cm?

8. Um menino situado no alto de um edifıcio, segura umcorpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima dosolo.a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquelaposicao?b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo,quando situado a 6, 0 m do chao?

Mecanica Aula 8

Trabalho e Energia Potencial

Figura 1: James Prescott Joule (1818-1889).

A energia potencial gravitacional esta relacionada a posicaode um corpo no campo gravitacional. Em geral, quandomovemos o corpo, alteramos sua energia potencial.

Para elevar um corpo em equilıbrio do solo ate uma alturah, devemos aplicar uma forca que realizara um trabalho(positivo) de mesmo modulo que o trabalho realizado pelaforca peso do corpo (negativo).

P

ext.F = −P

m

Figura 2: Um corpo sendo suspenso em equilıbrio.

O trabalho realizado pela forca externa Fext., e armazenadono sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gra-vitacional Ep, e vale:

Ep = mgh

se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chao, onde h = 0.

Ja para o sistema massa-mola, temos uma forca externasendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofrauma deformacao, sendo essa forca

F = −kx

o trabalho W externo necessario para esticar a mola umaquantidade x sera

W =1

2kx2

e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, deenergia potencial elastica.

F=−kx

O

F=0

O

Ox<0

x>0

F=−k(−x)=kx

Figura 3: O sistema massa-mola em equilıbrio, esti-cado e comprimido.


Forcas Conservativas e Dissipativas

Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seupeso, ou forca elastica exercida por uma mola, a energiamecanica desse corpo se conserva. Por este motivo, as forcascitadas sao denominadas forcas conservativas. Exemplo:ao dar corda em um relogio, voce esta armazenando ener-gia potencial elastica numa mola, e essa energia estara dis-ponıvel para fazer com que o relogio trabalhe durante umcerto tempo. Isso so e possıvel porque a energia elastica foiarmazenada (conservada).

Por outro lado, se existissem forcas de atrito atuando du-rante o deslocamento do corpo, sua energia mecanica nao seconserva, por que parte dela (ou ate ela toda) se dissipa sobforma de calor. Por isso dizemos que as forcas de atrito saoforcas dissipativas. Exemplo: se voce arrastar um caixotepelo chao horizontal, durante um longo percurso, vera quetodo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma partedessa energia gasta foi armazenada, ou esta disponıvel nocaixote.

A Conservacao da Energia Mecanica

Um sistema mecanico no qual so atuam forcas conservativase dito sistema conservativo, pois a sua energia mecanica(E) se conserva, isto e, mantem-se com o mesmo valor emqualquer momento ou posicao, podendo alternar-se nas suasformas cinetica e potencial (gravitacional ou elastica):

E = Ec + Ep

Degradacao da Energia

A energia esta constantemente se transformando, mas naopode ser criada nem destruıda.

• Em uma usina hidreletrica, a energia mecanica daqueda d’agua e transformada em energia eletrica.

• Em uma locomotiva a vapor, a energia termica e trans-formada em energia mecanica para movimentar o trem.

• Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissaodos nucleos atomicos se transforma em energia eletrica.

• Em um coletor solar, a energia das radiacoes proveni-entes do sol se transforma em energia termica para oaquecimento de agua.

Pense um Pouco!

• Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numamola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, al-tura maior do que aquela de que foi abandonado? Porque?

• Indique algumas fontes de energia e explique a forma deaproveita-las para a realizacao de trabalho mecanico.

• Quando se ergue um objeto a uma certa altura, comose realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamentepor uma corda, na vertical, ou transportando-o atravesde um plano inclinado (sem atrito) ate a altura dese-jada? Por que?

• Compare a energia necessaria para elevar de 10 m umamassa na Terra e a energia necessaria para elevar de10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferenca.


1. Quais as transformacoes de energia que ocorrem quandoum jogador chuta uma bola?

2. Quais as principais diferencas entre energia potencial eenergia cinetica?

3. Uma forca e dita conservativa quando:a) nao realiza trabalhob) o trabalho por ela realizado nao depende da trajetoria deseu ponto de aplicacaoc) realiza apenas trabalhos positivosd) o trabalho por ela realizado nao depende da massa docorpo em que esta aplicadae) dissipa energia termica

4. Um sistema fısico tem energia quando:a) esta sujeito apenas a acoes de forcas conservativas;b) esta sujeito a forcas conservativas e dissipativas;c) esta capacitado a realizar trabalho;d) possui grande quantidade de atomose) perde calor


5. O princıpio da conservacao da energia afirma que:a) a energia cinetica de um corpo e constanteb) a energia potencial elastica mais a energia cinetica e sem-pre constantec) a energia nao pode ser criada nem destruıda, mas apenastransformada em calor devido aos atritosd) a energia total de um sistema, isolado ou nao, permanececonstantee) a energia nao pode ser criada nem destruıda, mas apenastransformada de uma modalidade para outra

6. A energia mecanica de um corpo:a) e a soma da sua energia potencial e cineticab) depende apenas do referencialc) depende da aceleracao do corpod) e sempre constante, independente do tipo de forcas atu-antes sobre elee) depende apenas da velocidade do corpo

7. Para esticar uma mola em 40 cm, e necessaria uma forcade 20 N . Determine:a) A constante elastica da mola;b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica amola;c) O trabalho realizado pela mola;d) O trabalho que seria necessario para deformar a mola em80 cm;e) A forca necessaria para esticar a mola em 80 cm.

8. Um corpo de massa 5, 0 kg e elevado do solo a um pontosituado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Deter-mine:


a) o trabalho realizado pela forca peso do corpo nesse des-locamento;b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo.

9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partirdo repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a molade constante elastica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g =10 m/s2, qual a deformacao maxima sofrida pela mola?

A o

h

Figura 4: Questao 9.

Mecanica Aula 9

Dinamica do Movimento Circular

Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma cir-cunferencia de raio R, com movimento nao uniforme.

v

Sabemos que a velocidade do corpo e um vetor que, em cadainstante, e tangente a trajetoria e que, no movimento circu-lar nao uniforme, o corpo esta sujeito a duas aceleracoes.

ac

at

aR

O

Na figura temos:~at = aceleracao tangencial~ac = aceleracao centrıpetaonde~a = ~at + ~ac, sendo~a = aceleracao total(resultante)

Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as ace-leracoes que atuam no corpo devem ter a mesma direcao eo mesmo sentido da forca. Portanto, existem forcas perpen-diculares a trajetoria e forcas tangentes a trajetoria.

A forca resultante que tem a mesma direcao e o mesmo sen-tido da aceleracao centrıpeta, isto e, dirigida para o centroda curva e denominada forca centrıpeta (~Fcp), e a que tem amesma direcao e o mesmo sentido da aceleracao tangencial,isto e, tangente a trajetoria, e denominada forca tangencial(~Ft).

ac

at

tF c

F

F

aR

O

Na figura temos:~Ft = m · ~a~Fc = m · ~ac

onde~Ft = forca tangencial~Fc = forca centrıpeta~F = ~Ft + ~Fc, sendo~F = forca resultante

As Forcas no Movimento Circular

Podemos expressar a forca centrıpeta da seguinte maneira:

Fc = mac

ou

Fc = mv2

R= mω2R

A forca tangencial e dada por:

Ft = mat

Observe que:

• A forca tangencial faz variar o modulo do vetor veloci-dade, isto e, produz aceleracao tangencial.

• A forca centrıpeta faz variar a direcao do vetor velo-cidade, obrigando o corpo a descrever uma trajetoriacurva.


Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno daTerra.

FC

TerraLua

Figura 1: A Lua em sua orbita ao redor da Terra (forade escala).

A forca que mantem a Lua em orbita e uma forca de origemgravitacional exercida pela Terra. Tal forca e centrıpeta,isto e, dirigida para o centro da Terra.

Pense um Pouco!

(Fuvest-SP) A melhor explicacao para o fato de a Lua naocair sobre a Terra e que:a) a gravidade terrestre nao chega ate a Luab) a Lua gira em torno da Terrac) a Terra gira em torno do seu eixod) a Lua tambem e atraıda pelo Sole) a gravidade da Lua e menor que a da Terra


1. (UEL-Pr) Num pendulo conico, a massa m gira numacircunferencia horizontal, estando submetida as forcas peso~P vetorial e tracao ~T vetorial, conforme a figura:

m

P

θ T

v

Nestas condicoes a intensidade da forca centrıpeta e:a) nula, pois o movimento e uniforme.b) dada pelo componente da tracao, T · sen θc) dada pelo componente da tracao, T · cos θd) dada pela resultante T − P · cos θe) dada pela resultante T − P · sen θ

2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presapor um fio de 0, 80 m de comprimento, fazendo com queela descreva cırculos verticais com velocidade constante de4, 0 m/s. Admitindo g = 10 m/s2, determine a tracao nofio quando o corpo passa pelo ponto:a) mais alto da trajetoriab) mais baixo da trajetoria

3. Um automovel faz uma curva circular, plana e hori-zontal, de raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atritoestatico entre os pneus e a pista e µe = 0, 80, qual a maximavelocidade com que esse automovel pode fazer a curva semderrapar? (Use g = 10 m/s2).a) v = 10 m/sb) v = 15 m/sc) v = 20 m/sd) v = 25 m/se) v = 30 m/s


4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano vertical,parte dos trilhos do percurso circular de uma montanha-russa de um parque de diversoes.

g

r = 8,0 m

A velocidade mınima que o carrinho deve ter, ao passar peloponto mais alto da trajetoria, para nao desgrudar dos trilhosvale, em metros por segundo:a)√

20b)√

40c)√

80d)√

160e)√

320

5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subirou descer) e equilibrada o piloto de um aviao deve inclina-locom respeito a horizontal (a maneira de um ciclista em umacurva) um angulo θ. Se θ = 60o, a velocidade da aeronavee 100 m/s e a aceleracao local da gravidade e de 9, 5 m/s2,qual e aproximadamente o raio de curvatura?a) 200 mb) 350 mc) 600 md) 750 me) 1000 m

6. (Fuvest-SP) Um caminhao, com massa total de 10000 kg,esta percorrendo uma curva circular plana e horizontal a72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma manchade oleo na pista e perde completamente a aderencia. Ocaminhao encosta entao no muro lateral que acompanha acurva e que o mantem em trajetoria circular de raio iguala 90 m. O coeficiente de atrito entre o caminhao e o murovale 0, 30. Podemos afirmar que, ao encostar no muro, ocaminhao comeca a perder velocidade a razao de, aproxi-madamente:


a) 0, 07 m · s−2

b) 1, 3 m · s−2

c) 3, 0 m · s−2

d) 10 m · s−2

e) 67 m · s−2

Mecanica Aula 10

Quantidade de Movimento

Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento,e facil perceber que ha uma diferenca na acao que ela devedesenvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena:a bola mais rapida, para ser parada, exige um esforco maiore de maior duracao. Uma diferenca semelhante tambemseria percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas coma mesma velocidade, mas de massas diferentes: o maioresforco, atuando durante um tempo maior, seria necessariopara fazer parar a bola de maior massa.

Essas observacoes levam a definicao de uma nova grandezafısica vetorial relacionada com a massa e a velocidade deuma partıcula, denominada quantidade de movimento.

Podemos escrever que quantidade de movimento de umponto material como

~Q = m~v

onde m e a sua massa e ~v sua velocidade.

Unidade SI

Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internaci-onal (SI) na unidade

Kg ·m/s

Exemplo

Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com ve-locidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento sera,em modulo,

Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4× 104 kg ·m/s

Lembre-se

Para transformar a velocidade dada em km/h para a uni-dade SI (m/s) fazemos:

v = 72 km/h = 72× 1000 m

3.600 s=

72

3, 6m/s = 20 m/s

Impulso

Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quandoum tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existeuma forca que age num curto espaco de tempo que faz abola ser impulsionada. Define-se o impulso ~I de uma forcacomo grandeza vetorial dada pelo produto da forca ~F pelointervalo de tempo ∆t durante o qual ela atuou:

~I = ~F∆t

Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nelauma forca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s,o impulso transferido para a bola sera

I = F∆t = (50 N)(0, 12 s) = 6, 0 N · s

e esse impulso fara com que a bola entre em movimento.

Unidade SI do Impulso

Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade demovimento:

1 N · s = 1 kg ·m/s

Pense um Pouco!

• E mais facil parar uma bola que tenha uma quantidadede movimento grande ou pequena? Por que?

• Qual a influencia da massa na quantidade de movi-mento?

• Por que um carro se deforma numa colisao?


1. (UFMS) Com relacao a quantidade de movimento deuma partıcula, e correto afirmar (marque V ou F):a) ( ) e uma grandeza vetorialb) ( ) tem a mesma direcao e sentido do vetor velocidadeda partıculac) ( ) e uma grandeza inversamente proporcional a massada partıculad) ( ) sua unidade no SI pode ser kg ·m/se) ( ) permanece constante mesmo que a partıcula sejaacelerada

2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escritocomo o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V casoas opcoes completem corretamente as lacunas ou F casocontrario.a) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo que o corpofica em movimentob) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo durante oqual a forca atuac) ( ) quociente; forca aplicada ao corpo; velocidade que eleadquired) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquiree) ( ) produto; massa do corpo; aceleracao que ele adquire

3. Considere um corpo que esta se deslocando em movi-mento retilıneo uniforme.a) A quantidade de movimento deste corpo esta variando?Explique.b) Tendo em vista a resposta do ıtem anterior, o que voceconclui sobre o impulso que atua no corpo?c) Entao, qual o valor da resultante das forcas aplicadas nocorpo?



4. Uma forca de 20 N e aplicada em um corpo durante10 s. Qual e o impulso que a forca transmite ao corpo?

5. Determine a quantidade de movimento de um objeto demassa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?

6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v,quantidade de movimento Q e energia cinetica E. Umaforca F , na mesma direcao e no mesmo sentido de v, e apli-cada no corpo, ate que a velocidade dele triplique. As novasquantidades de movimento e energia cinetica sao, respecti-vamente:a) 3Q e 3Eb) 3Q e 6Ec) 3Q e 9Ed) 6Q e 6Ee) 6Q e 9E

7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se aolongo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s atechocar-se contra um para-choque fixo na extremidade do tri-lho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/se que o choque tenha duracao de 0, 10 s, calcule em newtons,o valor absoluto da forca media exercida pelo para-choquesobre o carrinho.

Mecanica Aula 11

Impulso e Momento

Teorema do Impulso-Momento

Consideremos uma forca resultante constante ~F atuandosobre uma partıcula de massa m, durante um intervalo detempo ∆t, temos

~I = ~F∆t

ou seja

~I = m~a∆t = m∆~v = ∆ ~Q

ou

~I = ~Qf − ~Qi = m(~vf − ~vi)

E concluimos que:

O impulso determinado pela resultante de todas asforcas externas que agem durante certo intervalo detempo sobre um ponto material e igual a variacaoda quantidade de movimento do ponto durante omesmo intervalo.

CB D EA

Sistemas de Partıculas

Para um sistema contendo N partıculas a quantidade demovimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma:

~QTOTAL = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN~vN

CURIOSIDADE

A luz tem quantidade de movimento? E possıvel um astro-nauta mover-se no espaco sideral acendendo sua lanterna?

Por mais intrigante que seja, a reposta e sim. Mas porque isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidadede movimento. Normalmente nao percebemos isso, pois aquantidade de movimento da luz e pequena e, assim, osseus efeitos sao, em geral, imperceptıveis. Mas quando oastronauta acende sua lanterna, a situacao e analoga aquelaem que um garoto sobre patins consegue mover-se atirandouma melancia.

De acordo com a Mecanica Quantica, a luz e formadapor pequenos ”pacotes”de energia, denominados fotons, osquais, no vacuo, movem-se a velocidade c = 3, 0× 108 m/s.Cada um desses fotons, alem de possuir energia, tem quan-tidade de movimento. Porem ela nao pode ser calculadapela expressao ~Q = m~v, uma vez que os fotons nao temmassa. Para que o Princıpio da Conservacao da Quanti-dade de Movimento seja mantido, os fısicos concluıram quea quantidade de movimento (q) de um foton de energia Edeve ser calculada por

q = E/c

Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a umadistancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emitaluz com potencia de 1500 W . Suponha ainda que a massatotal do astronauta juntamente com o traje espacial e a lan-terna seja 80 kg. Se o astronauta so pudesse aproximar-seda nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria?Utilizando a expressao acima e os modelos simplificados daMecanica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas.Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primei-ras evidencias experimentais de que a luz tem quantidadede movimento foram obtidas em 1899, pelo fısico russo P.Lebedev, e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em1901.


Pense um Pouco!

• Colidindo-se frontalmente duas esferas identicas, sobreuma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra ini-cialmente parada, observa-se que a esfera que estavaem movimento fica parada e a outra, inicialmente pa-dara, entra em movimento apos a colisao. Expliqueesse fenomeno sob o ponto de vista dos conceitos deimpulso e momento.


1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colisee muda sua direcao de movimento em 90. Determine oimpulso aplicado sobre a bola na colisao.

2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h emqueda-livre, o observa-se o seu movimento ate o solo.a) Determine o impluso que o peso do corpo produz ate queele atinja o solo.b) Determine a variacao do momento do corpo, desde oinstante em que foi solto, ate atingir o solo.c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente.


3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 ga 1, 25 m de altura acima do chao (piso) e observa-se queela retorna (pula) ate uma altura de apenas 0, 80 m, apos oprimiro salto.a) Determine o impulso total sobre a bola ate que ela toquea primeira vez no chao.b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instanteem que ela deixa o solo ate atingir a altura de 0, 80 m.

Mecanica Aula 12

Conservacao da Quantidade de Mo-

vimento

Num sistema isolado, onde o impulso das forcas externasseja nulo, a quantidade de movimento final e igual a inicial.

~I = ~Qf − ~Qi = ~0 =⇒ ~Qf = ~Qi

Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservacaoda Quantidade de Movimento:

E constante a quantidade de movimento de um con-junto de pontos materiais que constituem um sis-tema isolado.

Exemplos

Fenomenos que encontram explicacao no teorema da quan-tidade de movimento:

• choque mecanico;

• recuo das armas de fogo;

• explosao de uma bomba (fragmentos);

• propulsao a jato.

Forcas Impulsivas

A forca de interacao que ocorre durante uma colisao, emgeral tem grande intensidade e curta duracao, como descritono grafico abaixo. Forcas como essa, que atuam durante umintervalo pequeno comparado com o tempo de observacaodo sistema, sao chamadas de forcas impulsivas.

t t

F(t)

ti ft∆

Algumas vezes e mais interessante considerar o valormedio da forca impulsiva que o seu valor a cada instante.Por definicao, o valor medio de uma forca impulsiva e o va-lor da forca constante que, no mesmo intervalo de tempo,produz o mesmo impulso sobre um dado corpo.

Pense um Pouco!

• Como podemos analisar as forcas envolvidas em umacolisao entre duas partıculas?

• Imagine-se no meio da superfıcie lisa de um lago. Lem-brando nao ser possıvel caminhar sobre a superfıcie, emrazao da total ausencia de atrito, sugira um procedi-mento que permita alcancar a margem do lago.


1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe)esta com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tantoa canoa como o pescador repousam em relacao a agua que,por sua vez, nao apresenta qualquer movimento em relacaoa Terra. Atritos da canoa com a agua sao desprezıveis e, no


local, nao ha ventos. Num determinado instante, o pesca-dor atira horizontalmente a sua zagaia de massa 2, 0 kg quesai com velocidade de 10 m/s. Calcule o modulo da veloci-dade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150 kg,imediatamente apos o disparo.

2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um projetil de 0, 02 kg, auma velocidade de 600 m/s. Qual e a velocidade de recuodessa arma?

3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg esta nadando a velocidadede 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua direcao,a 6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois deter engolido o pobre peixinho.

4. Um canhao de 800 kg, montado sobre rodas e nao freado,dispara uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s.Determine a velocidade de recuo do canhao.


5. Um remador e seu barco tem juntos massa de 150 kg.O barco esta parado e o remador salta dele com velocidadede 8 m/s. O barco afasta-se com velocidade contraria de7 m/s. Calcule as massas do remador e do barco.

6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outrode massa 80 kg, estao de maos dadas em repouso sobre umapista de gelo, onde o atrito e desprezıvel. Eles empurram-semutuamente e deslizam na mesma direcao, porem em senti-dos opostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidadede 4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores emrelacao ao outro e, em modulo, igual a:a) 5 m/sb) 4 m/sc) 1 m/sd) 9 m/se) 20 m/s

7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repousonuma regiao do espaco em que as acoes gravitacionais saodesprezıveis. Ele esta fora de sua nave, a 120 m da mesma,mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que dis-para projeteis de massa 100 g, os quais sao expelidos comvelocidade 1, 4 × 103 m/s. Dando um unico tiro, qual otempo que o astronauta leva para atingir sua nave, supos-tamente em repouso? Responda tambem qual o princıpioutilizado para responder a pergunta.

Mecanica Aula 13

Colisoes

Analise de uma Colisao

Uma das aplicacoes mais importantes do conceito de quan-tidade de movimento e encontrada no estudo de interacoesde curta duracao, entre as partes de um sistema (ou con-junto) de corpos, como ocorre em uma explosao ou em umacolisao.

FAB

FBA

BA

Considerando as duas esferas da figura A e B, deslocando-se ao longo de uma mesma reta, inicialmente em sentidoscontrarios. Apos a colisao, as esferas passam a se mover emsentidos opostos.

m1 m2

1Iv

2Fv

12F

1Fv

21F

Como as partıculas que constituem o sistema trocam forcasentre si, essas forcas sao consideradas internas e a resultantee sempre nula. Isso ocorre em colisoes ou em explosoes.

Pense um Pouco!

• Choques mecanicos podem ser considerados sistemasisolados. Assim, pode-se afirmar que, em qualquertipo de choque, ha conservacao da quantidade de mo-vimento e da energia cinetica?

• A seguinte declaracao foi extraıda de uma prova reali-zada por um estudante de fısica de uma universidade:“a colisao entre dois atomos de helio e perfeitamenteelastica, de forma que a quantidade de movimento seconserva”. A afirmacao e logicamente correta? Expli-que.



1. (UFAL) Um pedaco de massa de modelar de 200 g eatirado horizontalmente com velocidade de 12 m/s contraum carrinho de massa 600 g, inicialmente parado sobre umasuperfıcie horizontal. Se a massa se chocar contra o carrinhoe nele permanecer grudada, a velocidade com que o conjuntopassa a mover-se e, em metros por segundo:a) 3b) 6c) 8d) 9e) 12

2. (UDESC) Considere a colisao frontal perfeitamenteelastica entre um neutron, de massa relativa igual a 1,deslocando-se com velocidade constante v0, e um deuteron,de massa relativa igual a 2, em repouso.a) Calcule a velocidade de ambas as partıculas apos a co-lisao.b) Se a colisao fosse inelastica, com as partıculas se movendojuntas apos colidirem, os resultados para as velocidade cal-culadas permaneceriam os mesmos? Justifique a resposta.

3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 gdeslocam-se em sentidos contrarios com velocidades respec-tivamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a veloci-dade do corpo B apos o choque, sabendo que a velocidadedo corpo A e de 0, 1 m/s e seu sentido e o mesmo da velo-cidade inicial.

4. Observa-se uma colisao elastica e unidimensional, noreferencial do laboratorio, de uma partıcula de massa m evelocidade de modulo 5 m/s com outra partıcula de massam/4, inicialmente em repouso. Quais os valores dos modulosdas velocidades das partıculas apos a colisao?


5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chutaa bola parada de forma que ela alcance a maior distanciapossıvel. No chute, o pe do goleiro fica em contato com abola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo auma distancia de 40 m. Despreze a resistencia do ar.a) Qual o angulo em que o goleiro deve chutar a bola?b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola?c) Qual o impulso da forca do pe do goleiro na bola?

6. (UEL-PR) Um pequeno caminhao, de massa 4 toneladas,colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estavaa 36 km/h, e logo apos a colisao, os dois veıculos permane-cem parados. Imediatamente antes da colisao, a velocidadedo caminhao era, em m/s, de:a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

Mecanica Aula 14

Lei da Acao e Reacao

Provavelmente voce ja assistiu a um jogo de sinuca. Nele,ocorrem colisoes entre as bolas. Durante essas colisoes, hauma reacao mutua, uma interacao, que e responsavel pelamudanca na velocidade das bolas. Este mudanca produzalteracao na quantidade de movimento ( ~Q = m · ~v) dasbolas.

Figura 1: Nos choques, ha uma interacao, que provocamudanca na velocidade das bolas.

Se durante o tempo de interacao ha variacao da quantidadede movimento, significa que existe uma forca atuando emcada bola, como explica a 2a Lei de Newton. Mas quemexerce essa forca?

Enquanto ocorre a interacao, cada bola exerce uma forcasobre a outra. Em um parque de diversoes, ocorre a mesmacoisa com os carrinhos “bate-bate”: cada carro exerce e re-cebe uma forca durante a colisao. Sera que podemos afirmarque isso tambem ocorre quando um caminhao colide com umcarro?

Figura 2: Cada carro exerce e recebe uma forca durantea colisao.

Neste caso, durante a interacao entre o caminhao e o carro,uma forca de mesma intensidade atua sobre cada um deles,o que nao implica que o dano causado seja o mesmo paraambos. Podemos afirmar que o efeito causado sera diferente,uma vez que a massa e a rigidez da lataria do carro e docaminhao sao diferentes.

Isaac Newton estudou a interacao entre objetos. Ele for-mulou o princıpio da acao e reacao, ou lei da acao e


Figura 3: O carro aplica no caminhao uma forca re-sultante de mesma intensidade daquela que o caminhaoaplica no carro.

reacao, que posteriormente ficou conhecida como terceiraLei de Newton. De acordo com esta lei, as forcas resul-tantes da interacao entre dois objetos sempre aparecem aospares, tem mesmo modulo, mesma direcao, sentidos opostose sao denominadas acao e reacao: a forca de acao e apli-cada num objeto e a de reacao, no outro. Atualmente a 3a

Lei de Newton costuma ser enunciada da seguinte forma:

Para toda acao existe uma reacao, de igualintensidade, na mesma direcao e sentidocontrario.

Os movimentos dos corpos tambem estao embasados na 3a

Lei de Newton. Uma pessoa, ao andar, empurra o chaopara tras (acao) e a reacao que o chao aplica na pessoa aempurra para frente. Um aviao, com suas helices ou tur-binas, empurra o ar para tras e este aplica uma forca noaviao, deslocando-o para frente. Se um foguete lanca umamassa de gas para fora, exerce uma forca sobre o gas (acao)e, simultaneamente, recebe do gas uma forca igual e oposta(reacao). Desta forma, podemos chamar a forca do gas sobreo foguete de “acao”e a do foguete sobre o gas de “reacao”.

Figura 4: O aviao acelera gases para tras e sofre umareacao para frente.

Pense um Pouco!

• Se acao e reacao possuem a mesma intensidade e sen-tidos contrarios, por que uma nao anula o efeito da

Figura 5: Movimento de um foguete.

outra?

• E possıvel se caminhar sobre um chao sem atrito? Ex-plique.


1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton e o princıpio da acaoe reacao. Esse princıpio descreve as forcas que participamna interacao entre dois corpos. Podemos afirmar que:a) duas forcas iguais em modulo e de sentidos opostos saoforcas de acao e reacao;b) enquanto a acao esta aplicada num dos corpos, a reacaoesta aplicada no outro;c) a acao e maior que a reacao;d) acao e reacao estao aplicadas no mesmo corpo;e) a reacao, em alguns casos, pode ser maior que a acao.

2. (VUNESP - SP) As estatısticas indicam que o uso docinto de seguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoesmais graves em motoristas e passageiros no caso de aciden-tes. Fisicamente, a funcao do cinto esta relacionada com a:a) 1a Lei de Newton;b) Lei de Snell;c) Lei de Ampere;d) Lei de Ohm;e) 1a Lei de Kepler.

3. Um lutador de boxe atinge o adversario com um murrono rosto.a) Na interacao luva-rosto, quem exerce maior forca, a luvasobre o rosto ou o rosto sobre a luva? Por que?b) Entao por que a mao do pugilista que aplica o golpe naosofre os mesmos “estragos”que o rosto do adversario?


4. Um automovel bate contra um caminhao, exercendo neleuma forca de 20.000 N .a) Qual o modulo da reacao desta forca, sabendo-se que amassa do carro e dez vezes menor que a do caminhao?b) Quem exerce a reacao?c) Em que corpo esta aplicada a reacao?


5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoia-dos sobre uma superfıcie horizontal perfeitamente lisa, saoempurrados por uma forca F de 20 N , conforme indica afigura abaixo. Determine a aceleracao do conjunto.

A B

F

6. De que modo voce explica o movimento de um barco aremo, utilizando a terceira lei de Newton?

7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kgestao interligados por um fio ideal. A superfıcie de apoio ehorizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma forcahorizontal de 30 N . Determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a forca de tracao no fio.

8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e flecha doisconcorrentes discutem sobre a fısica que esta contida noarco do arqueiro. Surge entao a seguinte duvida: quando oarco esta esticado, no momento do lancamento da flecha, aforca exercida sobre a corda pela mao do arqueiro e igual a:I) forca exercida pela sua outra mao sobre a madeira doarco.II) tensao na corda.III) forca exercida sobre a flecha pela corda no momentoem que o arqueiro larga a corda.Neste caso:

a) todas as afirmativas sao verdadeiras.b) todas as afirmativas sao falsas.c) somente I e III sao verdadeiras.d) somente I e II sao verdadeiras.e) somente II e verdadeira.

Mecanica Aula 15

Forca de Atrito

Ao lancarmos um corpo sobre uma superfıcie horizontal,verificamos que o corpo acaba parando.

1 2v

Isto significa que, enquanto o corpo se movimenta, ele ad-quire uma aceleracao cujo sentido e oposto ao do seu movi-mento. Ha portanto uma forca que se opoe ao deslocamentodo bloco: a forca de atrito ~Fat.

Sempre que a superfıcie de um corpo escorrega sobre a deoutro corpo, um exerce sobre o outro (princıpio da acao ereacao) uma forca de atrito tangente as superfıcies de con-tato.

Deve-se notar que a forca de atrito atuando sobre cada corpotem sentido oposto ao movimento do corpo em relacao aooutro corpo.

O atrito e provocado pela aspereza existente nas superfıciesem contato. As superfıcies tendem a se interpenetraremquando sao esfregadas uma na outra e isto oferece resistenciaao movimento relativo.

De Onde Vem o Atrito?

Uma das hipoteses mais aceitas para a existencia do atritoe que ele provem da coesao das moleculas situadas nas su-perfıcies que se acham em contato. Essa adesao superficialocorre porque nos pontos de contato as moleculas de cadasuperfıcie estao tao proximas que passam a exercer forcasintermoleculares entre si.

A forca de atrito que se opoe a um corpo que rola e menorque no movimento de deslizamento. O atrito pode ser re-duzido com o polimento das superfıcies em contato e com ouso de lubrificantes

O atrito esta presente em quase todos os movimentos e elepode ser util ou nocivo. Se nao existisse o atrito entre osapato e o solo, uma pessoa nao poderia andar; o pe dapessoa empurra a Terra para tras e a Terra empurra o peda pessoa para frente (acao e reacao), quando ela anda.

Sem o atrito os veıculos nao poderiam iniciar o seu movi-mento, pois, as rodas comecariam a girar sem sair do lugar.O objetivo das saliencias em pneus e aumentar o atrito.

Figura 1: Quando uma estrada de terra torna-se escor-regadia, colocam-se correntes nas rodas dos automoveispara aumentar o atrito.

Tipos de Atrito

Existem dois tipos de atrito: o estatico e o cinetico(dinamico). Vamos estudar estes dois casos separadamente,pois existem diferencas importantes a serem ressaltadas.


Forcas de Atrito Estatico (FAE)

Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre su-perfıcies em repouso. Um exemplo comum e o de um au-tomovel estacionado em uma ladeira. Este so consegue per-manecer parado gracas ao atrito entre os freios e as rodas.Em situacoes como esta, dizemos que existe a chamada forcade atrito estatico (FAE). A forca de atrito estatico e aquelaque atua enquanto nao ha deslizamento, e o seu modulomaximo e dado por:

FAE ≤ µe ·N

Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes pro-priedades gerais para o atrito estatico:

• a intensidade da forca de atrito estatico varia de zeroate o valor maximo FAE ;

• o coeficiente de atrito estatico (µe) depende do estadode polimento e da natureza das duas superfıcies emcontato;

• a intensidade da forca de atrito estatico e independenteda area de contato entre as superfıcies solidas.

Forcas de Atrito Cinetico (FAC)

Quando um carro e freado inesperadamente, e comum as ro-das do automovel travarem e os pneus deslizarem no asfalto.Antigamente isso era ainda mais frequente, mas hoje, nosveıculos equipados com os chamados freios ABS, as rodasnao travam mais.

O ABS (Antiblocking System) e um avancado sistema defreios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nasfreadas bruscas em velocidade. Sensores fixados a cada umadas rodas enviam sinais eletronicos para um modulo de co-mando computadorizado que reduz, em fracoes de segundo,a pressao sobre as rodas prestes a se travarem. Com as ro-das desbloqueadas, o carro permanece sob controle e temmenos possibilidade de derrapar ou deslizar, ate em pistasmolhadas. Mas, qual a diferenca entre o carro escorregar ounao na pista?

Analise a figura a seguir; ela mostra o deslizamento entreduas superfıcies.

.. .

.... . ...

.

......

. . .

.. ..

.. ..

.....

Figura 2: Corpo deslizando sobre superfıcie aspera.

As irregularidades microscopicas apresentadas pelas su-perfıcies fazem com que a movimentacao do bloco sofrauma resistencia denominada forca de atrito cinetico. Ob-viamente, quanto maior a aspereza das superfıcies, maior aintensidade dessa forca. Para medir a rugosidade das par-tes em contato criou-se o coeficiente de atrito cinetico (µc).

Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quanti-dade de materiais, e muito difıcil conhece-los com precisao,pois dependem das condicoes das superfıcies em contato.Nao sao apenas os materiais das superfıcies em contato queinterferem no valor da forca de atrito cinetico. A forca nor-mal entre os corpos tambem e de fundamental importancia.Quanto maior a forca normal mais intensa a forca de atritocinetico.

O modulo da forca de atrito cinetico e dado pela expressao:

FAC = µc ·N

Na pratica o coeficiente de atrito estatico e sempre maiorque o coeficiente de atrito cinetico.

Pense um Pouco!

1. Por que nos dias de chuva e mais difıcil frear um carro?

2. Por que o gelo e muito deslizante e quase nao apresentaatrito?

3. A maxima aceleracao de um carro depende de algumaforca de atrito? Explique.


1. (UFES) O bloco da figura esta em movimento em umasuperfıcie horizontal em virtude da aplicacao de uma forca~F paralela a superfıcie:

F = 60,0 Nm =2,0 kg

O coeficiente de atrito cinetico entre o bloco e a superfıcie eigual a 0, 2. Sendo g = 10 m/s2, a aceleracao do objeto e:a) 20, 0 m/s2

b) 28, 0 m/s2

c) 30, 0 m/s2

d) 32, 0 m/s2

e) 36, 0 m/s2

2. (UFMG) Um bloco e lancado no ponto A, sobre umasuperfıcie horizontal com atrito, e desloca-se para C:

A C

B

O diagrama que melhor representa as forcas que atuam so-bre o bloco quando esse bloco esta passando pelo ponto Be:


a)

e)b)

c)

d)

3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A,de massa 3, 0 kg, esta em movimento uniforme. A massa docorpo B e de 10 kg. Adote g = 10 m/s2.

B

A

O coeficiente de atrito dinamico entre o corpo B e o planosobre o qual se apoia vale:a) 0,15b) 0,30c) 0,50d) 0,60e) 0,70


4. (Fuvest-SP) As duas forcas que agem sobre uma gota dechuva, a forca peso e a forca devida a resistencia do ar, temmesma direcao e sentidos opostos. A partir da altura de125 m acima do solo, estando a gota com uma velocidadede 8 m/s, essas duas forcas passam a ter mesmo modulo. Agota atinge o solo com a velocidade de:a) 8 m/sb) 35 m/sc) 42 m/sd) 50 m/se) 58 m/s

5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, ondeas polias sao ideais, permanece em repouso gracas a forcade atrito entre o corpo de 10 kg e a superfıcie de apoio.

4 kg

10 kg

6 kg

Podemos afirmar que o valor da forca de atrito e:a) 20 Nb) 10 Nc) 100 Nd) 60 Ne) 40 N

6. (UFMG) Na figura a seguir, esta representado um blocode 2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma forca~F . O coeficiente de atrito estatico entre esses corpos vale0, 5, e o cinetico vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2.

F

Se F = 50 N , entao a reacao normal e a forca de atrito queatuam sobre o bloco valem, respectivamente:a) 20 N e 6, 0 Nb) 20 N e 10 Nc) 50 N e 20 Nd) 50 N e 25 Ne) 70 N e 35 N

Gravitacao Aula 1

As Leis de Kepler

A Lei das Orbitas (1609)

A orbita de cada planeta e uma elipse, como Sol em um dos focos. Como consequencia daorbita ser elıptica, a distancia do Sol ao planetavaria ao longo de sua orbita.

Lembre-se, a elipse e uma linha plana, com focos no seumesmo plano. Isso implica em que o movimento dos plane-tas ocorre sobre um plano bem definido, e cada planeta temo seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem terpelo menos um ponto em comum, o Sol.

Sol

Planeta

f f ’

Figura 1: 1a Lei de Kepler.

Gravitacao – Aula 1 31

A Lei da Areas (1609)

A reta unindo o planeta ao Sol varre areasiguais em tempos iguais. O significado fısico destalei e que a velocidade orbital nao e uniforme, masvaria de forma regular: quanto mais distante oplaneta esta do Sol, mais devagar ele se move.Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece quea velocidade areolar (referente a area) e constante.

Sol

fA

A’

v

v’ Planeta

Figura 2: 2a Lei de Kepler.

A Lei dos Perıodos (1618)

O quadrado do perıodo orbital dos planetas ediretamente proporcional ao cubo de sua distanciamedia ao Sol.

Esta lei estabelece que planetas com orbitas maiores se mo-vem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso im-plica que a forca entre o Sol e o planeta decresce com adistancia ao Sol. Sendo P o perıodo orbital do planeta, ao semi-eixo maior da orbita, que e igual a distancia mediado planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressara 3a lei como:

P 2

a3= K

Se medimos P em anos (o perıodo orbital da Terra), e a emunidades astronomicas (1 u.a. = distancia media da Terraao Sol), entao K = 1, e podemos escrever a 3a lei como:

P 2

a3= 1

e podemos concluir que, para os planetas internos (a <1 u.a.) o perıodo orbital (ano) sera menor do que o anoterrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), operıodo e maior do que o terrestre.

Pense um Pouco!

• Se um novo planeta for descoberto a meia distanciaentre o Sol e a Terra, qual o seu perıodo orbital.

• Um satelite em orbita na Terra, passando pelo pontomais proximo da Terra, esta mais rapido ou mais lentose comparado ao ponto em que esta mais afastado daTerra?


1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Keplerpara os planetas visıveis a olho nu. Complete os dados queestao faltando.

Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P 2

Mercurio 0,387 0,241 0,058 0,058Venus 0,723 0,615 0,378Terra 1,000 1,000 1,000 1,000Marte 1,524 1,881 3,537Jupiter 5,203 11,862 140,700Saturno 9,534 29,456

2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativaque condiz com a 1a lei de Kepler da Gravitacao Universal(lei das orbitas):a) As orbitas planetarias sao curvas quaisquer, desde quefechadas;b) As orbitas planetarias sao espiraladas;c) As orbitas planetarias nao podem ser circulares;d) As orbitas planetarias sao elıpticas, com o Sol ocupandoo centro da elipse;e) As orbitas planetarias sao elıpticas, com o Sol ocupandoum dos focos da elipse.

3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir queum planeta possui:a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol;b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol;c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol;d) velocidade constante em toda sua trajetoria;e) n.r.a.

4. Assinale a alternativa que esta em desacordo com as Leisde Kepler da Gravitacao Universal:a) O quociente do cubo do raio medio da orbita pelo qua-drado do perıodo de revolucao e constante para qualquerplaneta de um dado sistema solar;b) quadruplicando-se o raio medio da orbita de um sateliteem torno da Terra, seu perıodo de revolucao fica 8 vezesmaior;c) Quanto mais proximo de uma estrela (menor raio medioda orbita) gravita um planeta, menor e o seu perıodo derevolucao;d) Satelites diferentes gravitando em torno da Terra, namesma orbita tem perıodos de revolucao iguais;e) Devido a sua maior distancia do Sol (maior raio medio daorbita) o ano de Plutao tem duracao menor que o da Terra.


5. Com relacao as leis de Kepler, podemos afirmar que:a) Nao se aplicam ao estudo da gravitacao da Lua em tornoda Terra;b) so se aplicam ao nosso Sistema Solar;c) aplicam-se a gravitacao de quaisquer corpos em torno deuma grande massa central;d) contrariam a mecanica de Newton;e) nao preveem a possibilidade da existencia de orbitas cir-culares.


6. Considere dois satelites de massas ma e mb , sendo ma =2mb, descrevendo a mesma orbita em torno da Terra. Comrelacao a velocidade dos dois teremos:a) va > vb

b) va < vb

c) va = vb

d) va = vb/2e) n.r.a

7. Um planeta descreve uma orbita elıptica em torno doSol. O ponto A e o ponto da orbita mais proximo do Sol; oponto B e o ponto mais distante. No ponto A:a) a velocidade de rotacao do planeta e maxima;b) a velocidade de translacao do planeta se anula;c) a velocidade de translacao do planeta e maxima;d) a forca gravitacional sobre o planeta se anula;e) n.r.a

Gravitacao Aula 2

Gravitacao Universal

A lei da gravitacao universal, proposta por Newton, foium dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interacaoentre massas, pois e capaz de explicar desde o mais simplesfenomeno, como a queda de um corpo proximo a superfıcieda Terra, ate, o mais complexo, como as forcas trocadasentre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas orbitase os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, aoobservar a queda de uma maca, concebeu a ideia que elaseria causada pela atracao exercida pela terra. A naturezadesta forca atrativa e a mesma que deve existir entre a Terrae a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atracaoentre as massas e, com certeza, um fenomeno universal.

Uma Forca Elementar

Sejam duas partıculas de massas m1 e m2, separadas poruma distancia r. Segundo Newton, a intensidade da forcaF de atracao entre as massas e dada por

F = Gm1m2

r2

onde G e uma constante, a constante da gravitacao uni-versal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional,por

G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2

As forcas F12 e F21 e a da reta que une as partıculas, e osentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente,com mesma intensidade de forca, ou seja

F12 = F21

Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitacao universal doseguinte modo:

Dois corpos se atraem gravitacionalmente comforca cuja intensidade e diretamente proporcionalao produto de suas massas e inversamente propor-cional ao quadrado da distancia entre seus centrosde massa.

F

m

m2

1

12

21

F

Figura 1: Duas partıculas se massas m1 e m2 sem-pre se atraem mutuamente, dando origem a um par deforcas F12 e F21.

Apos a formulacao da lei da Gravitacao, com o desenvol-vimento do calculo integral, Newton tambem mostrou quea forca gravitacional entre esferas homogeneas tambemsegue a mesma forma estabelecida para as partıculas. Etambem vale a mesma forca para uma partıcula e uma es-fera homogenea. Esse resultado foi tao surpreendente parao proprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou noque havia provado matematicamente!

Aplicando-se a lei de gravitacao para um corpo de massa mna superfıcie da Terra, temos entao

F = GMT m

R2T

=GMT

R2T

m = mg = P

onde RT e MT sao o raio e a massa da Terra, respectiva-mente, e a forca obtida chamamos peso.

Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg eRT = 6, 37×106 m. A constante g que aparece acima e jus-tamente a aceleracao da gravidade na superfıcie da Terra.Experimente calcular g com os dados fornecidos!

OBSERVACOES

1. A forca gravitacional e sempre de atracao;

2. A forca gravitacional nao depende do meio onde oscorpos se encontram imersos;

3. A constante da gravitacao universal G teve seu valordeterminado experimentalmente por Henry Cavendish,em 1798, por meio de um instrumento denominado ba-lanca de torcao e esferas de chumbo.

Pense um Pouco!

• Qual a direcao e o sentido da forca de atracao gravi-tacional exercida pela Terra sobre os corpos que estaoproximos a superfıcie?

• A aceleracao da gravidade na Lua e 6 vezes menor doque a aceleracao da gravidade proxima a superfıcie daTerra. O que acontece com o peso e a massa de umastronauta na Lua?

• O valor da aceleracao da gravidade e relevante para osesportes?



1. Duas partıculas de massas respectivamente iguais aM e m estao no vacuo, separadas por uma distancia d.A respeito das forcas de interacao gravitacional entre aspartıculas, podemos afirmar que:a) tem intensidades inversamente proporcional a d;b) tem intensidades diretamente proporcional ao produtoMm;c) nao constituem entre si um par acao e reacao;d) podem ser atrativas ou repulsivas;e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.

2. A razao entre os diametros dos planetas Marte e Terra e1/2 e entre as respectivas massas e 1/10. Sendo de 160 N opeso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu pesoem Marte sera de:a) 160 Nb) 80 Nc) 60 Nd) 32 Ne) 64 N

3. Uma menina pesa 400 N na superfıcie da Terra, ondese adota g = 10m/s2. Se a menina fosse transportada ateuma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa eseu peso seriam, respectivamente:a) 40 kg e 100 Nb) 40 kg e 200 Nc) 40 kg e 400 Nd) 20 kg e 200 Ne) 10 kg e 100 N

4. Um corpo e colocado na superfıcie terrestre e atraıdopor esta com uma forca F . O mesmo corpo colocado nasuperfıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raioduas vezes menor sera atraıdo pelo planeta com uma forcacujo modulo e:a) 4Fb) 2Fc) Fd) F/2e) F/4


5. Se a massa da Terra nao se alterasse, mas o seu raio fossereduzido a metade, o nosso peso seria:a) reduzido a quarta parteb) reduzido a metadec) o mesmod) dobradoe) quadruplicado

6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em orbitacircular, com velocidade escalar constante v. Sendo G aconstante gravitacional e M a massa da Terra, o raio datrajetoria descrita pelo corpo sera:a) G/Mv2

b) G/mv2

c) Gm/v2

d) GM/v2

e) GMm/v2

7. Sabe-se que no interior de uma nave em orbita circularem torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se naotivesse peso. Esse fato ocorre porque:a) a nave esta fora do campo gravitacional da Terra;b) ha ausencia de atmosfera;c) a atracao exercida pela Lua e maior do que a atracaoexercida pela Terra;d) ambos, astronauta e nave, estao em queda livre no seumovimento circular;e) ha uma reducao na massa dos corpos.

Gravitacao Aula 3

Peso

O peso de um corpo e a forca de atracao exercida pela terrasobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que eatraıdo pela Terra.

Figura 1: Paraquedista.

Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livreperto da superfıcie da Terra.

Peso e Massa

Se o corpo cai em queda livre ele possui aceleracao ~a iguala da gravidade ~g. Desta forma, podemos usar o princıpiofundamental da Dinamica (2a Lei de Newton) para obter aforca que age sobre esse corpo. Esta forca e chamada deforca peso ~P e e dada por:

~P = m~g

Essa expressao mostra que o peso do corpo e diretamenteproporcional a sua massa: quanto maior a massa, maior opeso. Entretanto massa e peso sao conceitos inteiramentediferentes. Massa e uma propriedade intrınseca do corpo,isto e, depende apenas do proprio corpo, enquanto peso e aforca de atracao gravitacional que atua sobre ele, variandode acordo com o valor da aceleracao da gravidade. Por issoo peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, e semprea mesma em qualquer lugar do universo.


Peso e Gravitacao

O peso de um corpo e uma grandeza vetorial que tem direcaovertical e sentido para o centro da Terra.

A forca peso e uma forca que atua a distancia. Por isso,dizemos que em torno da Terra ha uma regiao chamadacampo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem suainfluencia.

Estando sob a acao deste campo, os corpos sao atraıdos poressa forca peso e sofrem variacoes de velocidade, uma vezque adquirem aceleracao.

Como a aceleracao da gravidade num ponto e inversamenteproporcional ao quadrado da distancia desse ponto ao centroda Terra, e como os pontos de sua superfıcie nao estao amesma distancia ao centro da terra, concluımos que no topode uma montanha um corpo pesara menos do que ao nıveldo mar. E importante lembrar que existem variacoes quevao desde 393 m abaixo do nıvel do mar (Mar morto), a8.848 m acima do nıvel do mar (Monte Everest).

Como a Terra e achatada nos polos, um homem pesara maisno Polo Norte que no Equador.

Em torno de qualquer planeta ou satelite existe um campogravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpoem Jupiter, Saturno ou Marte, por exemplo.

Figura 2: Jupiter e alguns de seus satelites naturais.

Unidades SI

A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) e o newtonou N . Outra unidade, muito utilizada na industria, e oquilograma-forca ou kgf .

1 kgf e o peso de um corpo de 1 kg de massanum local em que a aceleracao da gravidadee igual a 9, 8 m/s2.

Podemos relacionar newton e quilograma-forca:

P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2

1 kgf = 9, 8 kg ·m/s2

1 kgf = 9, 8 N

Pense um Pouco!

• Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltosmais altos do que na Terra?

• Quando alguem diz que “pesa”75 kg o que isso querdizer?

• Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acon-tece com o seu peso?


1. Na superfıcie da Terra a aceleracao da gravidade vale9, 8 m/s2 e, na superfıcie da Lua, 1, 6 m/s2. Para um corpode massa igual a 4 kg, calcule:a) o peso na superfıcie da Terra.b) o peso na superfıcie da Lua.

2. Peso e massa sao a mesma coisa? quando voce sobenuma balanca de uma farmacia e permanece em repousosobre ela, por exemplo, voce esta medindo sua massa ou seupeso?


3. (MACK - SP) Uma das observacoes cientıficas mais in-teressantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astro-nauta russo que, a bordo da estacao espacial MIR, borrifouleite lıquido contido numa embalagem tradicional e, este,sob a falta de gravidade, adentrou a boca do cientista comouma “bola flutuante”. Considerando totalmente desprezıvela gravidade no local dessa experiencia, duas “bolas”de leitede massas respectivamente iguais a m e 2m terao seus pesos:a) iguais a zerob) na proporcao PA/PB = 1/3c) na proporcao PA/PB = 1/2d) na proporcao PA/PB = 2e) na proporcao PA/PB = 3

4. (UFSM - RS) Uma forca F de modulo igual a 20 N eaplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em re-pouso sobre uma superfıcie horizontal. O modulo (em N)da forca normal sobre o corpo, considerando o modulo daaceleracao gravitacional como 10 m/s2 e:a) 120b) 100c) 90d) 80e) 0

5. Durante uma brincadeira, Barbara arremessa uma bolade volei verticalmente para cima, como mostrado nesta fi-gura:


Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s)forca(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de suatrajetoria.

a) b)

Nenhuma força atua sobrea bola neste ponto

d)c)

6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padrao for transportado deParis, onde a aceleracao da gravidade vale g (valor normal),para uma altitude onde a aceleracao da gravidade vale G,pergunta-se:a) o peso do quilograma padrao vai se modificar?b) havendo modificacao, qual o seu novo peso?c) qual sera a massa do corpo no novo local?

7. A aceleracao da gravidade na superfıcie de Jupiter e de30 m/s2. Qual a massa de um corpo que na superfıcie deJupiter pesa 120 N?.

Gravitacao Aula 4

Centro de Gravidade

Os corpos materiais podem ser considerados como um sis-tema de partıculas, cada uma das quais atraıda pela Terracom uma forca igual ao peso da partıcula.

P3

P2

P4

P1

G

P

A resultante de todas essas forcas parciais e o peso total docorpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicadotodo o peso do corpo. O ponto G e denominado centro degravidade do corpo. Resumindo, temos:

centro de gravidade de um corpo e o pontode aplicacao da forca peso

A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse lo-calizada no centro de gravidade.

Para corpos homogeneos, isto e, de massa uniformementedistribuıda, que admitem um eixo de simetria, seus centrosde gravidade estao sobre esse eixo.

G

P P

G

P

G

Se o corpo tiver forma irregular e nao for homogeneo, utiliza-se a regra pratica explicada abaixo.

Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qual-quer e, quando ele estiver em repouso, traca-se um verticalsobre o ponto em que ele esta suspenso. Como o objeto estaem equilıbrio, seu peso e a forca exercida sobre ele pelo su-porte que o sustenta tem mesmo modulo, mesma direcao esentidos opostos. Logo, a direcao da reta que contem o cen-tro de gravidade e essa vertical. Agora pendura-se o objetopor outro ponto e traca-se uma nova vertical; a interseccaodessa vertical com a anterior determina o centro de gravi-dade (CG).

CG

P

T

CG

P

T

Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a definicaode ponto material e corpo extenso.

Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando deJoinville a Blumenau. O comprimento do carro e muito pe-queno se comparado com a distancia Jvlle - Bnu, ≃ 90 km,e suas dimensoes, entao, nao precisarao ser consideradasao analisarmos o seu movimento. Em situacoes como essa,nas quais o objeto apresenta dimensoes consideradas des-prezıveis, diante do fenomeno observado, podemos consi-dera-lo como um ponto material.

No caso do movimento de um onibus, de 20 m de compri-mento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distan-tes entre si 500 m, por exemplo, e necessario que levemosem conta as suas dimensoes ao analisarmos alguns aspectosdo seu movimento. E ele estara se comportando como umcorpo extenso.

Equilıbrio de um Ponto Material

Um ponto material pode estar em equilıbrio estatico oudinamico. No equilıbrio estatico, o ponto material esta em


Figura 1: Situacao de equilıbrio.

repouso (~v = 0). No equilıbrio dinamico o ponto materialesta em movimento retilıneo uniforme (~v = constante 6= 0).

Analisando os dois tipos de equilıbrio, notas uma seme-lhanca: em ambos a aceleracao e nula (~a = 0). Utilizandoa Segunda Lei de Newton, temos

~FR = m · ~a~FR = m · 0~FR = 0

Assim, concluımos que

Para que um ponto material esteja emequilıbrio e necessario e suficiente que a re-sultante de todas as forcas que nele agemseja nula.

Momento de uma Forca

Considere uma pessoas tentando girar uma porca com umachave.

F F

B ACentro O

Utilizando forcas de mesmo valor, sera mais facil girar aporca em torno de seu centro O se a forca aplicada no pontoA, ao inves de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for adistancia do ponto de aplicacao da forca ate o centro O daporca, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca usandoa chave.

O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Seexercemos a forca em A a facilidade e maior do que se exer-cermos a forca em B.

Consideramos que o eixo de rotacao e o que contem as do-bradicas.

Analisando os casos anteriores, notamos que ha uma relacaoentre a forca aplicada e a distancia do ponto de aplicacaodessa forca ate o eixo de rotacao.

A grandeza fısica que relaciona essas duas grandezas e cha-mada momento de uma forca ou torque.

O momento de uma forca e a capacidadedessa forca em fazer girar um objeto.

Para definirmos a grandeza momento, consideremos umaforca ~F e um ponto O, chamado polo.

d

F

O

O momento da forca ~F em relacao ao ponto O e dado por:

~MF,O = ~Fd

Unidade SI

A unidade de momento nao tem nome especıfico. Ela e dadapelo produto da unidade da forca, em newtons, pela unidadede distancia, em metro. Portanto a unidade de momento enewton · metro, ou N ·m.

Observacao

Sabemos que o produto N ·m e chamado de joule J . En-tretanto, o joule nao e uma unidade utilizada para medir omomento de uma forca, porque momento e uma grandezade natureza diferente de trabalho e energia.

Direcao e Sentido

O momento ou torque de uma forca e uma grandeza veto-rial. A partir do sentido de rotacao (horario ou anti-horario)que uma ou mais forcas tendem a produzir, podemos deter-minar a direcao e o sentido do torque. Por exemplo, umsaca-rolhas, ao girar, produz efeitos contrarios: no sentidohorario, entra na rolha (avanca verticalmente para baixo);no sentido anti-horario, sai dela (retorna verticalmente paracima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide

com o sentido do vetor momento ( ~MF,O), e sua direcao estasempre paralela ao eixo de rotacao.


Outra maneira pratica de determinar a direcao e o sentidodo vetor torque e utilizar a regra da mao direita. Os quatrodedos dessa mao devem acompanhar o sentido da rotacaodo objeto. O polegar indicara a direcao e o sentido do vetormomento.

O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos aseguinte conversao:rotacao no sentido anti-horario → momento positivorotacao no sentido horario → momento negativo

τ

eixode

rotaçao

Figura 2: Regra da mao direita: o vetor indica o sen-tido do momento. A direcao e sempre paralela ao eixode rotacao do objeto.

Equilıbrio de um Corpo Extenso

As condicoes necessarias e suficientes para que um corpo semantenha em equilıbrio sao:

1. A resultante de todas as forcas quenele agem seja nula.

2. A soma algebrica dos momentos detodas as forcas que nele atuam, emrelacao ao mesmo ponto, seja nula.

Pense um Pouco!

Como voce explicaria a situacao abaixo?


1. Uma luminaria cujo peso e 100 N esta suspensa por doisfios leves, AC e BC, conforme indica a figura.

o

3060oA B

C

Determine a forca de tracao em cada fio.

2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se emrepouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra afigura. Considerando as polias e os fios ideais e tomandog = 10 m/s2:a) mostre em um diagrama todas as forcas que agem nobloco A.

60oB

C

A

Sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema e2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.


3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, estasobre uma tabua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m doapoio A, conforme indica a figura.Desprezando os pesos da tabua e da vara de pescar e consi-derando g = 10 m/s2, determine a intensidade das reacoesnos apoios A e B.


4. (UFMT) A barra xy e homogenea, de 100 kg de massa,e esta apoiada em suas extremidades, suportando as massasde 50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as reacoes dosapoios. (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2).

0,5 m 0,5 m

3,0 m

50 kg 150 kg

5. Calcule o momento de cada uma das forcas indicadasna figura, em relacao ao ponto O. Dados: F1 = 20 N ,F2 = 30 N e F3 = 40 N

6. A barra AB da figura tem peso desprezıvel. Sabendo queF1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultantedessas forcas em relacao aos pontos:a) Ab) Bc) C

Otica Aula 1

Otica

A Luz

O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela Fısica elementar,uma vez que a luz e uma onda eletromagnetica.

Desta forma, pode-se entao exemplificar as ondas ele-tromagneticas de maior importancia nas pesquisas e nasaplicacoes praticas, em funcao do comprimento de onda(propriedade que fornece uma das principais caracterısticasda onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas(faixa de 1 ate 400 mm), o espectro de luz visıvel (faixa de400 ate 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nmate 1 mm) e faixas de radiofrequencia que variam de 20 cmate 105 m.

Todas as ondas eletromagneticas se propagam no vacuo coma mesma velocidade c com o valor de 3, 0× 108 m/s (velo-cidade da luz).

Reflexao da Luz

Quando a luz atinge uma superfıcie separadora S de doismeios de propagacao (A e B), ela sofrera reflexao se retornarao meio no qual estava se propagando.

A quantidade de luz refletida depende do material que efeita a superfıcie S, do seu polimento entre outros fatores.

Tipos de Reflexao

Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre umasuperfıcie. Ocorrera reflexao especular ou regular se osraios refletidos forem tambem paralelos entre si. Em casocontrario, a reflexao e chamada difusa ou irregular.

A reflexao regular sera predominante quando a superfıcierefletora for plana e bem polida como, por exemplo, umespelho.

A reflexao difusa ocorre em superfıcies irregulares e porosas.E a difusao (ou espalhamento) da luz, pelo proprio ar, pelapoeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambienteiluminado.

Leis da Reflexao

1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido ea reta normal a superfıcie pelo ponto de incidencia da luzestao num mesmo plano (coplanares).

Temos:RI = Raio Incidente;RR = Raio Refletido;N = Reta Normal;i = angulo de incidencia;r = angulo de reflexao.

2a Lei: O angulo de incidencia e igual ao angulo de reflexao.

i = r

Otica – Aula 1 39

θi

θr

raio incidenteraio refletido

N

superfície refletoraplana

Figura 1: Reflexao Planar.

Espelho Plano

Espelho plano e a superfıcie plana polida onde ocorre pre-dominantemente a reflexao da luz.

Formacao de Imagens nos Espelhos Planos

Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um es-pelho plano enviando luz em todas as direcoes, conformeindica a figura.

objeto imagemvirtualreal

eixo otico

o i

espelho plano

Figura 2: Formacao de imagens em um espelho plano.

Repare que a parte de tras do espelho (a direita neste exem-plo) e marcada pelas hachuras. A imagem encontrada efruto do prolongamento dos raios refletidos, isso caracterizauma imagem virtual.

Propriedades dos Espelhos Planos

1. Se chamarmos de x a distancia do objeto ao espelho, adistancia entre o espelho e a imagem sera tambem x.Isto significa que o objeto e a imagem sao simetricosem relacao ao espelho.

2. As imagens formadas num espelho plano sao enanti-omorfas, ou seja, existe uma inversao ”direita para aesquerda”, mas nao de ”baixo para cima”. Assim aimagem especular da mao esquerda e a mao direita,mas a imagem dos pes nao esta na cabeca.

3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um ob-jeto localizado na frente do espelho (real) nos forneceuma imagem que nos da a impressao de estar situada

atras do espelho (virtual). Logo, o objeto e a imagemsao de naturezas opostas.

4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagempossuem o mesmo tamanho, e, em caso de movimentorelativo ao espelho, possuirao iguais velocidades.

Campo Visual

Campo Visual de um espelho plano e a regiao do espacoque pode ser vista por um observador atraves de um es-pelho. Para determinarmos o campo visual, basta tomaro ponto O′, simetrico de O, e uni-lo as extremidades doespelho plano E. Veja a figura. [fig:ot013]

E

O O’

campo visual

Figura 3:

Pense um Pouco!

1. Por que nao enxergamos no escuro?

2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros?

3. Por que as ambulancias geralmente trazem escrito nafrente ?


1. A estrela Vega esta situada a cerca de 26 anos-luz (anoluz e a distancia que a luz percorre em 1 ano) da Terra.Determine a ordem de grandeza da distancia de Vega ate aTerra, em metros.

2. Um observador nota que um edifıcio projeta no solo umasombra de 30 m de comprimento, no instante em que ummuro de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm.Determine a altura do edifıcio.

3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme,incide sobre um disco de 10 cm de diametro. Sabendo quea distancia da fonte ao disco e 1/3 da distancia deste aoanteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparosao paralelos, determine o raio da sombra projetada sobreo anteparo.



4. Considere um raio luminoso incidindo num espelhoplano. Determine o angulo formado entre o raio incidente eo espelho, sabendo que o angulo formado entre o raio inci-dente e o raio refletido e igual a 700.

5. Um rapaz esta sentado na cadeira de uma barbearia defrente para um espelho plano, tendo atras de si o barbeiroem pe. A distancia entre o rapaz e o espelho e D e entreo rapaz e o barbeiro e d. Qual e a distancia x (horizontal)entre o rapaz e a imagem do barbeiro ?

6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ficou com-pletamente desconcertada quando, ao chegar em frente doespelho de seu armario, vestindo uma blusa onde havia seunome escrito, viu a imagem de seu nome refletida, desenheessa imagem?

Otica Aula 2

Espelhos Esfericos

Os espelhos esfericos sao superfıcies refletoras que tem formade uma calota esferica.

Calota Esferica

CV

Figura 1: Calota esferica.

Temos dois tipos de espelho esferico:Concavo: a superfıcie refletora e interna.Convexo: a superfıcie refletora e externa.

Esquematicamente:

Temos:R = Raio de Curvatura;F = Foco do Espelho (ponto medio do eixo principal notrecho entre o Vertice e o Centro);C = Centro;V = Vertice;A = reta que passa por C e V e o eixo optico principal.

rθ

iθ

rθiθ

C F V V F C

Côncavo Convexo

N

N

eixo ótico

Figura 2: Espelhos concavo (a esquerda) e Convexo(direita).

Condicoes de Nitidez de Gauss

• Os raios de luz devem ser pouco inclinados em relacaoao eixo optico principal;

• os raios de luz devem incidir proximos ao vertice doespelho;

A partir de agora estaremos, apenas considerando os espe-lhos esfericos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem ascondicoes de Gauss.

Raios Notaveis de Luz

Os Raios Notaveis nao sao os unicos que ocorrem numsistema optico, mas como o proprio nome diz, eles sedestacam dos outros pela facilidade de traca-los. Nossoobjetivo sera desenhar pelo menos dois deles em cadasituacao. Vejamos quais sao estes raios:

1. Todo raio que incide numa direcao que passa pelocentro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo.

FC V

eixo ótico

V F C

(a) (b)

Figura 3: Raio notavel passando pelo centro de curva-tura C de um espelho esfericos concavo (a) e convexo(b).

2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo prin-cipal reflete-se numa direcao que passa pelo focoprincipal do espelho.

3. Todo raio que incide numa direcao que passa pelofoco reflete-se paralelamente ao eixo principal.

Importante

• O foco F do espelho concavo e Real;

• O foco F do espelho convexo e virtual.

Otica – Aula 2 41

V

eixo ótico

C F F CV

(a) (b)

Figura 4: Raio notavel incidindo paralelo ao eixo prin-cipal de um espelho esfericos concavo (a) e convexo (b).

eixo ótico

VFC V F C

(a) (b)

Figura 5: Raio notavel passando pelo foco F de umespelho esfericos concavo (a) e convexo (b).

Formacao de Imagens

Para formarmos imagens, basta tracarmos dois raios quais-quer de luz entre os notaveis que acabamos de aprender.Usaremos a notacao i e O significando, respectivamente, amedida da imagem e do objeto.

Espelho Concavo

(1) Objeto situado antes do centro de curvatura C:

C F V

eixo ótico

Figura 6: Objeto antes do centro de curvatura C.

Imagem: Real, Invertida e Menor.

(2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C:

Imagem: Real, Invertida e Igual.

(3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o focoF :

Imagem: Real, Invertida e Maior.

VC Feixo ótico

Figura 7: Objeto sobre o centro de curvatura C.

eixo ótico

VFC

Figura 8: Objeto entre o centro de curvatura C e ofoco F .

(4) Objeto situado sobre o foco F :

C F V

eixo ótico

Figura 9: Objeto sobre o foco F .

Imagem: Impropria.

(5) Objeto situado entre o foco F e o vertice:

Imagem:Virtual, Direita e Maior.

Espelho Convexo

Neste caso temos apenas um caso:

Imagem:Virtual, Direita e Menor.

Observacao

O espelho convexo e usado como espelho retrovisor demotocicletas e em portas de garagens devido ao maiorcampo visual que oferece.

Conclusoes:


C F V eixo ótico

Figura 10: Objeto entre o foco F e o Vertice.

FV C

eixo ótico

Figura 11: Espelho convexo.

• Uma imagem real esta localizada na frente do espelhoe podera ser projetada sobre um anteparo (uma tela)colocada na posicao em que ela se forma, pois e cons-tituıda pela interseccao dos proprios raios de luz;

• Uma imagem virtual esta localizada atras do espelhoe, embora possa ser visualizada, nao e constituıda porluz e, sim pelos prolongamentos dos raios.

Determinacao Analıtica da Imagem

Agora procuraremos expressar de forma matematica algu-mas expressoes que nos permita determinar a posicao e otamanho da imagem.

Equacao Conjugada de Gauss

1

f=

1

p+

1

p′

Temos que a distancia focal f e dada por:

f = R2

Aumento Linear Transversal

Por definicao, o aumento linear transversal A e a razao entrea altura da imagem i e a altura do objeto o.

A =i

O=

P ′

P

Convencao de Sinais

Objeto Real p > 0 Virtual p < 0Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0Espelho Conc. R > 0 Conv. R < 0

f > 0 f < 0h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0

(*) Altura da imagem para o > 0.

Pense um Pouco!

1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menoresdo que somos? Por que?

2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que sao espelhosesfericos.

3. Por que os caminhoes e onibus usam um pequeno es-pelho convexo colado no canto do retrovisor plano?


1. Um objeto real de altura 5 cm esta a 3 m diante de umespelho esferico concavo, de distancia focal 1 m.a) Determine, graficamente, as caracterısticas da imagem.b) Determine, analiticamente, a posicao e o tamanho daimagem.

2. Diante de um espelho esferico convexo, de raio de cur-vatura de 60 cm, e colocado, perpendicularmente ao eixoprincipal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objetodista 40 cm do espelho. Determine:a) a posicao da imagem;b) o tamanho da imagem.

3. Mediante a utilizacao de um espelho esferico concavo, dedistancia focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparouma imagem tres vezes maior que o objeto. Determine:a) a posicao do objeto;b) a posicao da imagem.


4. Um espelho esferico fornece, de um objeto real, uma ima-gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendoque a distancia do objeto ao espelho e de 60 cm, determine:a) a posicao da imagem;b) a distancia focal do espelho.

5. Deseja-se obter a imagem de uma lampada, ampliada5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distancia.Quais as caracterısticas e a posicao do espelho esferico quese pode utilizar ? Ele devera ser:a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lampada;b) concavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lampada;c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lampada;d) concavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lampada;e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lampada;

6. Mediante a utilizacao de um espelho esferico concavo, dedistancia focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo

Otica – Aula 3 43

uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine:a) a posicao do objeto;b) a posicao da imagem.

Otica Aula 3

Refracao da Luz

A velocidade de uma dada luz monocromatica assume valo-res diferentes em diferentes meios de propagacao tais como:vacuo, ar, agua, vidro, etc.

A luz sofre refracao quando passa de um meio para outro,modificando sua velocidade. Em geral, a refracao e acompa-nhada por um desvio na trajetoria da luz, consequencia damudanca de velocidade. O unico caso de refracao no qual aluz nao sofre desvio e quando incide perpendicularmente asuperfıcie de separacao dos meios S.

meio A

meio BS

N

Figura 1: Refracao da luz, com desvio de sua tra-jetoria.

meio A

meio BS

Figura 2: Raio entrando perpendicular a superfıcie S,sem desvio de sua trajetoria.

Dioptro Plano

Os dois meios de propagacao, A e B, e a superfıcie de se-paracao S constituem o que chamamos de DIOPTRO.

Nos dioptros reais, o fenomeno da refracao e acompanhadopela reflexao da luz. Assim, o raio de luz incidente na su-perfıcie S divide-se em dois raios, um refratado e outro re-fletido.

meio A

meio BS

Nincidenteraiorefletido

raio

refratadoraio

Figura 3: Todos os raios luminosos presentes na re-fracao.

E importante tambem dizer que ocorre em S o fenomeno daabsorcao da luz, onde parcela da energia luminosa e trans-formada em energia termica, por exemplo.

No dioptro ideal so ocorre refracao da luz.

Indice de Refracao Absoluto

Seja c a velocidade da luz no vacuo e v a velocidade da luzem um meio qualquer, definimos ındice de refracao absoluton de um meio a razao entre as velocidades da luz no vacuoe no meio considerado:

n =c

v

O ındice de refracao absoluto do vacuo e naturalmente iguala 1 (v = c). Como a velocidade da luz no vacuo e umavelocidade limite, em qualquer outro meio ela sera inferior:

v < c =⇒ n > 1

Conclusoes

1. O ındice de refracao absoluto de qualquer meio mate-rial e sempre maior que 1;

2. Quanto maior for o ındice de refracao absoluto do meio,menor e a velocidade da luz nesse meio.

Indice de Refracao Relativo

Se nA e nB sao, respectivamente, os ındices de refracao ab-solutos dos meios A e B para uma dada luz monocromatica,entao definimos o ındice de refracao relativo do meio A em


relacao ao meio B, nA,B como sendo a razao dos ındices derefracao absolutos do meio A e B:

nA,B =nA

nB

Leis de Refracao

Considerando um raio de luz monocromatico incidentenuma superfıcie separadora de dois meios de propagacaoe o correspondente raio de luz refratado. Tracemos a retanormal a superfıcie pelo ponto de incidencia da luz.

rθ

θi

meio A

meio BS

N

Figura 4: Raio entrando perpendicular a superfıcie S,sem desvio em sua trajetoria.

RI = Raio Incidente;RR = Raio Refratado;N = Reta Normal;i = angulo de incidencia;r = angulo de refracao.

As Leis

• 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N eo raio de luz refratado RR estao situados num mesmoplano, ou seja, sao coplanares. E importante notar queos raios de luz incidente e refratado ficam em ladosopostos em relacao a reta normal;

• 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “E constante arelacao entre os senos dos angulos de incidencia e re-fracao”.

Podemos escrever que:

sen(i)

sen(r)= constante

e essa constante e o ındice de refracao relativo do meioB em relacao ao meio A, assim:

sen(i)

sen(r)=

nA

nB

ou: Lei de Snell-Descartes

nAsen(i) = nBsen(r)

Podemos concluir que:

– Quando a luz passa de um meio menos refringente(menor ındice de refracao) para um meio mais refrin-gente (maior ındice de refracao), o raio de luz se apro-xima da normal e a velocidade de propagacao diminui.

– Reciprocamente, quando a luz passa de um meio maisrefringente para um meio menos refringente, o raio deluz se afasta da normal e a velocidade de propagacaoda luz aumenta.

θi

rθrθ

θi

meio B

meio AS

N

meio D

meio CS

N

Figura 5: Aproximacao e afastamento da normal.

0.0.1 Pense um pouco!

1. Se voce ve um peixe sob a superfıcie da agua e tentaacerta-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe,provavelmente nao ira captura-lo. Explique.

2. As lentes utilizam a refracao da luz? Como?


1. Passando do vacuo para o interior de um certo meiotransparente, o valor da velocidade de propagacao de umaluz monocromatica diminui de 20%. Determine o ındice derefracao absoluto do meio para essa luz monocromatica.

2. A velocidade de propagacao da luz em certo lıquidomede 1/2 da velocidade de propagacao da luz no vacuo.Determine o ındice de refracao absoluto do lıquido.

3. O ındice de refracao absoluto da agua e 4/3 e o vidro e3/2. Determine:a) o ındice de refracao da agua em relacao ao vidro;b) a relacao entre a velocidade de propagacao da luz novidro e a velocidade de propagacao da luz na agua;c) comente os resultados obtidos.


4. Sob um angulo de incidencia de 60, faz-se incidir so-bre uma superfıcie de um material transparente um raio deluz monocromatica. Observa-se que o raio refratado e per-pendicular ao raio refletido. Qual o ındice de refracao domaterial ? (O 1o meio onde a luz se propaga e o ar)

5. Um observador, quando colocado numa posicao ade-quada, pode no maximo ver o canto do recipiente, comorepresentado na figura abaixo. Enchendo o recipiente comum lıquido, o observador passa a ver a moeda que esta co-locada no centro:

Otica – Aula 4 45

1 m

1 m

Qual o ındice de refracao do lıquido? dado sen(45) =√

2/2

6. Um raio de luz monocromatica passa de um meio A paraum meio B. Veja a figura e responda:a) Qual e o meio mais refringente ? Justifique.b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justifique.

A B

Otica Aula 4

Lentes Esfericas

As lentes esfericas constituem sistemas opticos de amplasaplicacoes na atualidade. Elas desempenham um papel umpapel importantıssimo, desde os sofisticados LASERS ateos mais simples pares de oculos.

Podemos defini-las como sendo um meio transparente e ho-mogeneo, limitado por duas superfıcies curvas, ou por umacurva e outra plana.

A lente sera denominada esferica, quando pelo menos umade suas faces for esferica.

Elementos Geometricos

Vejamos os principais elementos geometricos de uma lenteesferica:

R1

V1C

1C

2V

2

R2

e. p.e

Figura 1: Elementos geometricos de uma lente esferica.

Temos:

C1 e C2 = Centros de Curvatura;R1 e R2 = Raios de Curvatura;V1 e V2 = Vertices;e = espessura da lente;e.p. = eixo optico principal.

Observacao

Uma lente e delgada quando a sua espessura e for desprezıvelem relacao aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R.

Classificacao das Lentes

Podemos classificar as lentes quanto a dois aspectos: tiposde faces e comportamento optico.

Quanto as faces

biconvexa plano−convexa concavo−convexa

biconcava plano−concava convexo−concava

BORDOSGROSSOS

FINOSBORDOS

Figura 2: Classificacao de uma lente esferica quantoas suas faces.

Observacao

Os nomes das lentes segue a convencao de que devemos citarem primeiro lugar a face de maior raio de curvatura.

Quanto ao Comportamento Optico

Nessas figuras consideramos que as lentes sao de vidro eestao imersas no ar (nvidro ¿ nar), que e o caso mais comumna pratica.

Nessas condicoes, as lentes de bordas finas sao conver-gentes e as lentes de bordas grossas sao divergentes.


F

F

Lente Convergente Esquema

EsquemaLente Divergente

Figura 3: Classificacao de uma lente esferica quantoao seu comportamento optico.

Tipos de Foco

Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios deluz dentro das condicoes de Gauss, como vimos no estudode espelhos esfericos.

Foco Imagem

E o ponto imagem que a lente conjuga de um objetoimproprio, definido por raios de luz paralelos ao eixo prin-cipal.

Lente Convergente & Lente Divergente

F

Figura 4: Lente convergente.

Observacao

Na lente Convergente o foco e real, e na lente diver-gente o foco e virtual.

Foco Objeto

E o ponto objeto associado pela lente, a uma imagemimpropria, definida por raios de luz paralelos ao eixo prin-cipal.

Lente Convergente & Lente Divergente

F

Figura 5: Lente divergente.

F

Figura 6: Lente convergente.

Observacao

Na lente convergente o foco e real, na Lente divergenteo foco e virtual.

Raios Notaveis

Assim como foi feito para os espelhos esfericos, iremos agoradescrever alguns raios que sao faceis de serem utilizados nadeterminacao da imagem numa lente esferica.

Todo raio que incide no centro optico atravessa alente sem sofrer desvio.

Todo raio que incide paralelamente ao eixo principalemerge numa direcao que passa pelo foco imagem.

Todo raio que incide sob o foco objeto emergeparalelo ao eixo principal.

Determinacao Grafica da Imagem

De maneira analoga ao que fizemos para espelhos esfericosiremos proceder agora para lentes.

Lentes Convergentes

1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura:

Imagem: Real, Invertida e Menor.

2) Objeto situado no Centro de Curvatura:

Imagem: Real, Invertida e Igual.

3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco:

Imagem: Real, Invertida e Maior.

Otica – Aula 4 47

F


Figura 8: Incidencia sobre o centro optico.

Este caso corresponde a imagem produzida por projetores,tanto de slides como de filmes.

4) Objeto situado no Foco:

Imagem: Impropria.

5) Objeto situado entre o Foco e o Centro Optico:

Imagem: Virtual, Direita e Maior.

Este e o caso da lupa.

Lente Divergente

Existe apenas um caso que devemos considerar:

Imagem: Virtual, Direita e Menor.

Determinacao Analıtica da Imagem

As equacoes que utilizaremos para a determinacao daposicao e tamanho da imagem sao analogas as utilizadasno estudo de espelhos esfericos.

Equacao de Gauss

1

f=

1

p+

1

p′

Temos:f = distancia focal;p = posicao do objeto;p′ = posicao da imagem;

Equacao do Aumento Linear Transversal A

A =i

o=

p′

p

F

Figura 9: Incidencia paralela ao eixo principal.

F

eixo ótico

Figura 10: Incidencia Paralela.

Temos:A = aumento linear transversal;o = altura do objeto;i = altura da imagem;

Convencao de Sinais

Objeto Real p > 0 Virtual p < 0Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0Espelho Conc. R > 0 Conv. R < 0

f > 0 f < 0h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0

(*) Altura da imagem para o > 0.

Vergencia V de uma Lente

Verifica-se que, quanto menor a distancia focal de umalente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa”potencia”da lente de convergir ou divergir a luz e carac-terizada por uma grandeza denominada Vergencia, que ecomumente chamada de grau do oculos. A vergencia V deuma lente de distancia focal f e definida como:

V =1

f

Se f e medido em metros (m), a unidade de V e m−1, querecebe o nome de dioptria (di), que popularmente e chamadode grau.

1 di = 1 m−1 = 1 grau


F

eixo ótico

Figura 11: Incidencia sob o foco objeto.

F

eixo ótico

Figura 12: Incidencia sob o foco objeto.

Pense um Pouco!

1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo(grau) de lente devera usar?

2. O antigos oculos “fundo de garrafa”tinham esse nomepor que? Pra que serviam?


1. Um objeto e colocado a 60 cm de uma lente divergente dedistancia 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente,as caracterısticas da imagem.

2. Um objeto de 2 cm de altura esta disposto frontalmentea 60 cm de uma lente delgada de vergencia +2, 5 di.a) determine, graficamente, as caracterısticas da imagem;b) determine, analiticamente, a posicao e o tamanho da ima-gem.

3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di paraolhar uma flor que esta a 4 cm da lente. Determine dequanto a lente aumenta a flor.

FC

CF eixo ótico

Figura 13: Objeto situado antes do centro de curvaturaC.

F CFC

eixo ótico

Figura 14: Objeto situado no centro de curvatura C.


4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura esta a 5 cm deuma lente convergente de 10 cm de distancia focal.a) Qual a posicao da imagem?b) Faco tracado dos raios.

5. As lentes dos oculos de um mıope sao de -5 graus”.a) Qual e a distancia focal das lentes?b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)?

6. Uma pessoa mıope so e capaz de ver nitidamente objetossituados a uma distancia maxima de 20 cm dos seus olhos.a) Qual o tipo de lente adequada para a correcao da miopia:convergente ou divergente?b) Qual deve ser a distancia focal da lente para que estapessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito?

Otica Aula 5

Otica da Visao

O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a umamaquina fotografica) de grande sofisticacao. E o cerebrotem a funcao de reprojetar a imagem obtida pelo olho for-necendo a visao real do objeto.

Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, doolho humano e utilizaremos uma representacao mais simples– o olho reduzido.

Elementos do Olho Humano

Analisaremos algumas partes que consideramos de grandeimportancia em nosso olho reduzido.

Otica – Aula 5 49

F CFC

eixo ótico

Figura 15: Objeto situado entre o centro de curvaturaC e o foco F .

F CFC

eixo ótico

Figura 16: Objeto situado no foco F .

Iris

Anel colorido de forma circular, que se comporta como umdiafragma, controlando a quantidade de luz que penetra noolho. Na sua parte central existe um orifıcio de diametrovariavel, chamado pupila.

Cristalino

E uma lente convergente de material flexıvel, do tipo bi-convexa. Fornecera de um objeto real uma imagem real,invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentesformas em funcao da distancia do objeto ao olho.

Musculos Ciliares

Sao responsaveis pela mudanca na forma do cristalino,comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar suadistancia focal e permitir uma melhor acomodacao da ima-gem sobre a retina.

Quando o objeto esta infinitamente afastado, os musculosciliares e o cristalino estao relaxados, ou seja, o olho nao rea-liza nenhum esforco de acomodacao. A medida que o objetose aproxima, os musculos ciliares vao se contraindo, dimi-nuindo a distancia focal do cristalino e mantendo a imagemacomodada na retina.

Em Sıntese

Objeto Proximo = Menor Distancia Focal;

Objeto Distante = Maior Distancia Focal.

O trabalho realizado pelos musculos ciliares, fazendo variara distancia focal do cristalino e chamado de acomodacaovisual.

Retina

E a parte sensıvel a luz, onde deve se formar a imagem paraser nıtida. A distancia do cristalino a retina e da ordem de

F CFC

eixo ótico

Figura 17: Objeto situado entre o Foco F e o CentroOptico.

CFC FF

eixo ótico


1, 5 cm. Composta por celulas nervosas chamadas bastone-tes (visao preto e branco) e cones (visao a cores), a retinapossui uma area mais sensıvel a luz sob condicoes normais.Esta area consiste uma depressao na parte posterior do olhono eixo do cristalino, e e denominada fovea.

Ponto Proximo e Ponto Remoto

A menor distancia do globo ocular segundo a qual umapessoa, de visao normal, pode ver nitidamente a imagemde um objeto qualquer denomina-se Ponto Proximo (PP ).Neste caso, os musculos ciliares estao em sua maior con-tracao, realizando esforco maximo de acomodacao. Logo, oponto proximo correspondente a distancia mınima de visaodistinta, a qual se atribui um valor medio convencional de25 cm.

O ponto mais afastado do olho humano, corresponde auma imagem nıtida forma sem esforco de acomodacao vi-sual, denomina-se Ponto Remoto (PR). Esta e a maximadistancia de visao distinta que, teoricamente, permite a umapessoa uma visao normal de enxergar objetos no infinito.

Intervalo de visao distinta ou zona de acomodacao e a regiaodo espaco compreendida entre os dois pontos (PR e PP )figurados anteriormente.

Problemas da Visao

Miopia

A deficiencia de um olho mıope esta na visualizacao de obje-tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR) nao esta noinfinito e sim a uma distancia finita (dPR). Isso ocorre, pelofato da imagem do objeto distante recair antes da retina.


F CFC

eixo ótico

o i

f f

Figura 19: Elementos de uma lente.

Lente

Cornea

Conjuntiva

Iris

Nervo Optico

Macula

Retina

´

´

´

´

Anatomia do Olho

Figura 1: O olho humano.

Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho mıope me-nos convergente. Para tanto, associamos a ele uma lentedivergente:

Hipermetropia

A deficiencia de um olho hipermetrope esta na visualizacaode objetos proximos. Ou seja, o seu ponto proximo (PP )esta mais afastado do que o olho normal. Logo a distanciado ponto proximo e maior que 25 cm.

No olho hipermetrope, a imagem de um objeto recai apos aretina.

Para corrigir este defeito demos tornar o olho hipermetropemais convergente, associando a ele uma lente convergente.

A lente corretora devera, de um objeto colocado a 25 cmdo olho, fornecer uma imagem no ponto proximo (PP ) dohipermetrope, ou seja, a uma distancia dPP do olho.

Assim a distancia focal da lente corretiva da hipermetropiae calculada da seguinte forma:

1

f=

1

p+

1

p′=

1

fc=

1

25cm+

1

dpp

O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pelalente corretora, ser virtual.

Presbiopia

E um defeito determinado pela fadiga dos musculos que efe-tuam a acomodacao e por um aumento na rigidez do crista-lino. Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomodamal para objetos proximos e, em consequencia, a distanciamınima da visao distinta aumenta. A correcao e feita com

Entrada da LUZ

Olho simplificado

LenteCONVERGENTE

RETINA a

sobreImagem

Figura 2: O olho simplificado.

PP PR

25 cm Zona de Acomodaçao

Figura 3: Esquema.

uso de lentes bifocais, que tem uma parte para ver objetosdistantes e outra para ver objetos proximos.

Astigmatismo

E um defeito determinado pela forma nao esferica da corneaou do cristalino, causando uma deformacao na imagem. Acorrecao e feita mediante o uso de lentes cilındricas, quecompensam a falta de simetria do sistema optica ocular.

Estrabismo

Consiste na incapacidade de se dirigir a visao de ambos osolhos para um mesmo ponto. A correcao e feita por ginasticaocular para recuperar os musculos, ou atraves de cirurgia,ou atraves de lentes prismaticas.

Daltonismo

E um defeito genetico que faz com que seu portador naoconsiga distinguir certas cores. Nao existe, ainda, correcaopossıvel para esse defeito.

Pense um Pouco!

• Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixoda agua de uma piscina, mas nao fora da agua. Isso epossıvel? Ha algum problema com a visao dessa pes-soa? Qual?


1. As lentes dos oculos de um mıope sao de -5 graus”. Quale a maxima distancia de seus olhos, sem oculos, que ele vecom imagem nıtida?

Fluidos – Aula 1 51

MIOPIA lente DIVERGENTE

ii

Figura 4: Correcao da miopia.

HIPERMETROPIA lente CONVERGENTE

i i

Figura 5: Correcao da Hipermetropia.

2. O ponto proximo de um indivıduo A e o ponto remotode um indivıduo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo ea vergencia das lentes corretoras para esses indivıduos.

3. Uma lente esferica de vidro, cujo ındice de refracao e 1, 5,tem uma face plana e outra concava, com raio de curvatura50 cm. Sabendo-se que a lente esta imersa no ar, determinesua vergencia em dioptrias.

4. Uma pessoa mıope so e capaz de ver nitidamente objetossituados a uma distancia maxima de 20 cm dos seus olhos.a) Qual o tipo de lente adequada para a correcao da miopia:convergente ou divergente ?b) Qual deve ser a distancia focal da lente para que estapessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito?

Fluidos Aula 1

Fluidos

Chegou o momento de descrevermos o comportamento dosfluidos, para isso falaremos de temas como densidade,pressao, empuxo e outros temas que nos levarao a um apro-fundamento da Hidrostatica.

Densidade e Massa especıfica

Massa especıfica ρ de uma substancia e a razao entre deter-minada massa desta substancia e o volume correspondente.Temos entao:

ρ =m

v

Para um corpo homogeneo, ρ sera a propria densidade domaterial. Para um corpo nao homogeneo, como por exem-plo uma corpo oco, a expressao acima resulta na densidademedia do corpo.

Unidades SI

m: massa em quilogramas (kg)

V : volume em metro cubico (m3)

ρ: massa especıfica em quilogramas por metro cubico(kg/m3)

Observacao

No caso da agua, cuja massa especıfica vale 1 g/cm3, obser-vamos que cada cm3 de agua tem massa de 1 g. Assim e que,numericamente, massa e volume serao iguais para a agua,desde que medidos em gramas e em centımetros cubicos res-pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3, no casoda agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metrocubico equivale a 1000 litros, teremos tambem para a agua,a densidade 1000 kg/m3.

Pressao

Pressao p e a forca normal, por unidade de area, que umfluido em equilıbrio exerce em contato com uma parede.Podemos representar matematicamente por:

p =F

A

Unidades SI

p: pressao em N/m2 = pascal = Pa

F : forca normal (ortogonal) em newtons ou N

A: area onde e exercida a forca, em metros quadrados m2

Pressao Atmosferica

Pressao exercida pelo peso da camada de ar existente sobrea superfıcie da Terra. Ao nıvel do mar, a temperatura de0 C e igual a 1 atm.

E comum o uso de unidades de pressao nao pertencentes aoSI: atmosfera (atm) e milımetros de mercurio (mmHg):

1 atm = 760 mmHg = 1, 01× 105 Pa

Pressao Hidrostatica

No estudo da hidrostatica, que faremos a seguir, vamos con-siderar o lıquido ideal, isto e, incompressıvel e sem viscosi-dade.

Suponhamos um recipiente cilındrico de area de base A,contendo um lıquido de massa especıfica ρ. Qual a pressaoque o lıquido exerce no fundo do recipiente ?

Da definicao de massa especıfica, temos:

ρ =m

v

V = Ah

ρ =m

Ah


ρ h

A

Figura 1: Vaso cilındrico de area A e altura h, cheiode um lıquido de densidade ρ.

e portanto:

m = ρAh

Por outro lado, a forca que o lıquido exerce sobre a area Ae o seu proprio peso:

F = P = mg

mas comom = ρAh

entao temosF = ρAhg

e finalmente, pela definicao de pressao,

p =F

A= ρgh .

A pressao que o lıquido exerce no fundo do recipiente de-pende da massa especıfica do lıquido (ρ), da aceleracao dagravidade local (g) e da altura (h) do lıquido acima do pontoconsiderado. Na pratica esse resultado e geral, e pode serusado para a determinacao da pressao hidrostatica em qual-quer fluido (lıquido ou gas) em equilıbrio.

Observe que a pressao total dentro de um fluido homogeneoem equilıbrio sera entao:

p = patm + ρgh

onde patm e a pressao atmosferica, que atua sobre todos oscorpos imersos no ar.

Pressao Manometrica e Absoluta

A pressao absoluta e a pressao total exercida em umadada superfıcie, incluindo a pressao atmosferica, quando foro caso. A pressao absoluta sera sempre positiva ou nula.

Em muitos casos, como na calibracao de um pneu, estamosinteressados apenas na diferenca entre a pressao interna deum reservatorio (o pneu) e a pressao externa (o ar, que estana pressao atmosferica local). A essa diferenca chamamospressao manometrica, e os aparelhos que a medem cha-mamos de manometros.

pman. = pint. − patm.

A pressao manometrica pode ser negativa, positiva ou nula.Sera negativa quando a pressao interna de um reservatorio

for menor do que a pressao atmosferica externa. Exemplos:quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vacuoparcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante,baixamos a pressao interna da boca, criando uma “pressaonegativa”.

Pense um Pouco!

• Porque nao sentimos a pressao atmosferica normal, jaque ela e tao grande?

• Um barco flutua no mar. Quais as forcas relevantespara que isso ocorra?

• Como e possıvel se deitar numa cama de pregos sem semachucar?

• Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.


1. Uma massa de 1 kg de agua ocupa um volume de 1 litroa 40C. Determine sua massa especıfica em g/cm3, kg/m3

e kg/l.

2. Determine a massa de um bloco cubico de chumbo quetem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo eigual 11, 2 g/cm3.

3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externode 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volumede uma esfera de raio R e dado por V = 4

3πR3. Usandoπ = 3, 14, determine:a) a densidade media da esfera;b) a densidade do material de que e feita a esfera.

4. Um cubo macico com densidade igual a 2, 1 g/cm3, de50 cm de aresta, esta apoiado sobre uma superfıcie horizon-tal. Qual e a pressao, em Pa e em atm, exercida pelo cubosobre a superfıcie?


5. Existe uma unidade inglesa de pressao – a libra-forcapor polegada quadrada – que se abrevia lbf/pol2, a qual eindevidamente chamada de libra. Assim, quando calibramos pneus de um automovel, algumas pessoas dizem que co-locaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda:a) por que num pneu de automovel se coloca mais ou me-nos 25lbf/pol2 enquanto que no de uma bicicleta de cor-rida (cujos pneus sao bem finos) se coloca aproximadamente70 lbf/pol2

b) Sendo 1 lbf/pol2 = 0, 07 atm, qual a pressao tıpica (ematm) no pneu de um carro?c) A pressao que nos interessa, neste caso do pneu, e apressao manometrica ou a pressao absoluta. Por que?

Fluidos Aula 2

Fluidos – Aula 2 53

Hidrostatica

Lei de Stevin

Consideremos um recipiente contendo um lıquido ho-mogeneo de densidade ρ, em equilıbrio estatico. As pressoesque o lıquido exerce nos pontos A e B sao, respectivamente:

pa = ρgha e pb = ρghb

B

h

h

A

A

B

h∆

Figura 1: Cilindro de area de base A e altura h

A lei de Stevin ou princıpio hidrostatico afirma que adiferenca de pressao entre os pontos A e B sera:

pb − pa = ρg(hb − ha) = ρg∆h

Ou seja, a diferenca entre dois nıveis diferentes, no interiorde um lıquido, e igual ao produto da sua massa especıficapela aceleracao da gravidade local e pela diferenca de nıvelentre os pontos considerados.

Na realidade, temos que dividir a pressao num determi-nado ponto do lıquido em dois tipos: i) pressao hidrostatica:aquela que so leva em consideracao o lıquido:

phid = ρgh

e ii) pressao absoluta: aquela que leva em consideracao olıquido e o ar sobre o lıquido:

pabs = patm + ρgh

Consequencias da Lei de Stevin

No interior de um lıquido em equilıbrio estatico:

1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam amesma pressao;

2. a superfıcie de separacao entre lıquidos nao miscıveis eum plano horizontal;

3. em vasos comunicantes quando temos dois lıquidos naomiscıveis temos que a altura de cada lıquido e inversa-mente proporcional as suas massas especıficas (densi-dades);

py = px

patm + ρyghy = patm + ρxghx

ρyhy = ρxhx

y

xy

hh x

Figura 2: Vasos comunicantes, com dois lıquidos naomiscıveis em equilıbrio.

ρy

ρx=

hx

hy

4. a diferenca de pressao entre dois pontos dentro dofluıdo, depende apenas do seu desnıvel vertical (∆h),e nao da profundidade dos pontos.

Princıpio de Pascal

Pascal fez estudos em fluıdos e enunciou o seguinte princıpio:

A pressao aplicada a um fluıdo emequilıbrio transmite-se integral e instanta-neamente a todos os pontos do fluıdo e asparedes do recipiente que o contem.

A Prensa Hidraulica

Uma das aplicacoes deste princıpio e a prensa hidraulicacomo mostramos a seguir:

A1

A2

F1

F2

Figura 3: A prensa hidraulica.

Observe que:p1 = p2

F1

A1=

F2

A2

F1

F2=

A1

A2

Isso mostra que uma forca pequena F1 e capaz de suportar,no outro embolo, um peso muito grande (F2), isso e muitoutilizado, como por exemplo, em posto de gasolina.


A prensa hidraulica e o equivalente hidraulico do princıpioda alavanca, de Arquimedes, usado na Mecanica. E bomlembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente aforca, mas nao a energia. O trabalho mınimo necessariopara elevar um carro e o mesmo, independente da maquinaque se utilize (Wmin = mgh).

Na prensa mostrada na Fig. 3, uma forca −~F2 (parabaixo) devera ser feita no embolo da direita, para mantero equilıbrio do sistema. Em geral, usa-se o embolo maiorpara suspender uma carga externa, ou levantar um objetodo chao (macaco hidraulico).

Princıpio de Arquimedes

Arquimedes, ha mais de 200 anos a.C., estabeleceu que aperda aparente do peso do corpo e devido ao surgimento doempuxo, quando estamos mergulhados num lıquido, como aagua, por exemplo.

Os corpos mergulhados totalmente ou par-cialmente, num fluido, recebem do mesmouma forca vertical, de baixo para cima, deintensidade igual ao peso do fluido deslo-cado, denominada empuxo.

Ou seja, se um corpo esta mergulhado num fluido de den-sidade ρf e desloca volume Vfd do fluido, num local onde aaceleracao da gravidade e g, temos:

Pf = mfg

e como

ρf =mf

Vfd

a massa do fluido deslocado sera

mf = ρfVfd

e portanto

Pf = ρfVfdg

e, de acordo com o Princıpio de Arquimedes

E = ρfVfdg

ou simplesmente

E = ρV g

ficando a nosso cargo a interpretacao correta dos termosenvolvidos.

Flutuacao

Segundo o princıpio de Arquimedes, quando temos umcorpo na superfıcie de um fluıdo cujo peso (do corpo) eanulado (igual em modulo) pelo empuxo que ele sofre antesde estar completamente submerso, o corpo ira flutuar so-bre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplicacao saoconstruıdos todos os tipos de barcos e navios.

Para um corpo de peso P flutuando, a condicao de equilıbriodeve ser satisfeita:

∑

Fy = +E − P = 0

ou seja

P = E

Pode-se mostrar tambem que se um corpo tiver uma densi-dade media ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido,ele nao podera flutuar nesse fluıdo, e acabara afundando sefor solto na sua superfıcie.

Pense um Pouco!

• A pressao atmosferica varia com a altitude? Por que?

• Como pode um navio de ferro flutuar na agua, ja queρFe > ρH2O?

• Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a ja-nela (fechada) balanca. Explique.

• Mergulhando na agua um objeto suspenso por um fio,voce observa que a tracao no fio muda. Explique.


1. (UFRJ) O impacto de uma partıcula de lixo que atin-giu a nave espacial Columbia produziu uma pressao da100 N/cm2. Nessas condicoes e tendo a partıcula 2 cm2,a nave sofreu uma forca de:a) 100 Nb) 200 Nc) 400 Nd) 800 Ne) 1600N

2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade esta cheia comagua. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 Pa edetermine:a) a pressao hidrostatica a 3, 0 m de profundidade;b) a pressao absoluta no fundo da piscina;c) a diferenca de pressao entre dois pontos separados, ver-ticalmente, por 80 cm.

3. (Classico) Para determinar a pressao atmosferica, Torri-celli fez a seguinte experiencia: um tubo de vidro, de 1 mde comprimento, foi cheio de mercurio e depois emborcadonum recipiente contendo mercurio; constatou que, ao nıveldo mar, o mercurio no tubo mantem uma altura de 760 mmacima da sua superfıcie livre (no recipiente). Se a densidadedo mercurio e 13, 6 g/cm3 e a aceleracao da gravidade locale de 9, 8 m/s2, qual a pressao atmosferica constatada porTorricelli?

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automovelde massa 1.000 kg, o mesmo e erguido a uma certa altura. Osistema utilizado e uma prensa hidraulica. Sendo os embolosde areas 10 cm2 e 2.000 cm2, e a aceleracao da gravidadelocal de 10 m/s2, pergunta-se:a) em qual embolo deve-se apoiar o carro?b) em qual embolo deve-se pressionar para se sustentar ocarro?c) qual a forca aplicada no embolo para equilibrar o au-tomovel?

Cinematica – Aula 1 55

0.1 Exercıcios Complementares

5. Agua e oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente,sao colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm aaltura da coluna de oleo, determine a altura da coluna deagua medida acima do nıvel de separacao entre os lıquidos.

6. Os icebergs sao grandes blocos de gelo que vagam emlatitudes elevadas, constituindo um serio problema para anavegacao, sobretudo porque deles emerge apenas uma pe-quena parte, ficando o restante submerso. Sendo V o vo-lume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade dogelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima dasuperfıcie livre da agua, considerada com densidade igual aρf = 1, 0 g/cm3.

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade mediade 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipienteque contem agua, atraves de um fio conforme a figura. De-termine a intensidade da tracao T no fio que segura a bola(Considere g = 10 m/s2).

T

Cinematica Aula 1

Cinematica

A Cinematica e a parte da Mecanica que estuda e descreveo movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas(forcas).

Movimento

Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuiti-vamente uma ideia do que sao os estados de movimento erepouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso)sao relativos: ao dormir voce pode estar em repouso emrelacao as paredes de seu quarto; entretanto, em relacao aosol, voce e um viajante espacial. A parte da Fısica que tratado movimento e a Mecanica. Ela procura compreender ascausas que produzem e modificam os movimentos. A se-guir, vamos estudar uma subdivisao da Mecanica chamadaCinematica, que trata do movimento sem se referir as causasque o produzem.

Ponto Material

Em determinadas situacoes, ponto material pode represen-tar qualquer corpo, como um trem, um aviao, um carro,

uma bala de canhao, um mıssil etc. Por que ponto e porque material? Ponto, porque, na resolucao de problemas, es-taremos desprezando as dimensoes do corpo em movimento,sempre que as distancias envolvidas forem muito grandes emrelacao as dimensoes do corpo. Material, porque, emboraas dimensoes do corpo sejam desprezadas, sua massa seraconsiderada.

Repouso, Movimento e Referencial

Examine as seguintes situacoes:

• Quando estamos dentro de um veıculo em movimento,a paisagem circundante e fundamental para estabele-cermos os conceitos de movimento e repouso

• Quando observamos o movimento do sol atraves daesfera celeste, podemos concluir que a Terra se movi-menta ao redor do Sol.

• Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado,sem janelas, nao saindo dali durante toda a suaexistencia. Nesse caso, pode ser que essa pessoa naotenha condicoes de afirmar se aquele ambiente esta emrepouso ou em movimento.

Em todos esses casos, percebemos que o movimento e deter-minado a partir de um referencial: a paisagem e o referencialdo carro e o Sol e o referencial da Terra; se uma pessoa pas-sar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado,nao tera referencial para perceber qualquer movimento, anao ser o de seu proprio corpo.

Trajetoria

Este e outro conceito importante no estudo do movimento.Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esferaabandonada de um aviao que voa com velocidade constante:

A8−132

Em relacao ao solo, a trajetoria da esfera e um arco deparabola; e em relacao ao aviao, a trajetoria e um segmentode reta vertical.

Entao, podemos concluir que a trajetoria:

• e a linha descrita ou percorrida por um corpo em mo-vimento;

• depende do referencial adotado.


Deslocamento × Distancia Percorrida

A distancia percorrida por um corpo durante um movimentoe a grandeza escalar que corresponde ao comprimento dosegmento que representa a trajetoria descrita pelo corponeste movimento, em relacao ao referencial adotado. Odeslocamento de um corpo e uma grandeza vetorial, cujomodulo equivale ao comprimento do segmento de reta, com-preendidos entre os pontos inicial e final do movimento.

Na figura, uma partıcula, saindo do ponto A, percorre a tra-jetoria ABC. A distancia percorrida pela partıcula e a somados trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7metros. Ja o deslocamento e representado pela distanciaentre o ponto A e ponto C, que e igual a 5 metros.

A

B C4 m

5 m3 m

Observacoes

• O deslocamento foi representado por um segmento dereta orientado que denominamos de vetor; os vetoresrepresentam as grandezas vetoriais.

• O deslocamento e a menor distancia entre o ponto desaıda e o ponto de chegada do corpo.

• Numa trajetoria retilınea a distancia percorrida e odeslocamento podem ser iguais.

Deslocamento Escalar ∆s

E a variacao de espaco s. E medido em metros, quilometros,centımetros, etc. Ou seja:

∆s = s− s0

onde s0 e o espaco inicial s e o espaco final.

O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo.

Quando ∆s > 0 o movimento e a favor da orientacao da tra-jetoria; quando ∆s < 0 o movimento e contra a orientacaoda trajetoria, mas se ∆s = 0 a posicao final e igual a inicial.

Importante

Ha duas possibilidades para ∆s = 0:

• o corpo pode nao ter se movimentado;

• o corpo pode ter se movimentado mas retornado aposicao inicial;

Velocidade Escalar Media

Quando falamos que um veıculo percorreu 100 km em 2 he facil determinar que em media ele 50 km a cada 1 h.Nos dividimos a distancia total e o tempo total da viagem.

Isso nao significa que o veıculo andou sempre na mesmavelocidade, pois o veıculo pode ter parado em um posto decombustıvel para abastecer.

Nos sabemos apenas a distancia total e o tempo total da vi-agem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma.Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e an-dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sem-pre a 50 km/h. E a velocidade escalar media. Normalmentenao usaremos o termo distancia e sim deslocamento escalar(∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos inter-valo de tempo (∆t). Dessa maneira:

Vm =∆s

∆t=

s− s0

t− t0

A unidade de velocidade no SI e o m/s.

Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos:

1 km/h =1000 m

3600 s=

1

3, 6m/s

e tambem

1 m/s = 3, 6 km/h

Velocidade Escalar

Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentidodo movimento.

Exemplos

1. Va = +10 m/s: a cada segundo o movel anda 10 me indica movimento no sentido da orientacao da tra-jetoria.

2. Vb = −10 m/s: a rapidez e a mesma do movel anteriore o movimento e no sentido oposto ao da orientacao datrajetoria.

Aceleracao

Mede a rapidez da mudanca da velocidade, e a variacao davelocidade em funcao do tempo. Imagine um movimentocom a velocidade mudando a cada segundo:

t(s) 0 1 2 3v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja,a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso e, aaceleracao e:

a = +3, 6 km/h

s=

1, 0 m/s

s= 1 m/s2

Aqui temos uma aceleracao positiva, pois a velocidade vaiaumentando (em modulo) com o tempo.

Outro Exemplo

Imagine o seguinte movimento:


t(s) 0 1 2 3v(m/s) 50 45 40 35

A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s,ou seja:

a =−5 m/s

s= −5 m/s2

Nesse caso a aceleracao e negativa, pois a velocidade vaidiminuindo (em modulo) com o tempo.

Aceleracao Escalar Media (am)

E a variacao total da velocidade em relacao ao intervalototal de tempo.

am =∆v

∆t=

v − v0

t− t0

Unidades SI

No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos(s), e a aceleracao em m/s2.


1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempode 1 min e 40 s. A velocidade escalar media do atleta e de:a) 8, 0 km/hb) 28, 8 m/sc) 28, 8 km/hd) 20, 0 m/se) 15, 0 km/h

2. (UEL) Um movel percorreu 60, 0 m com velocidade de15, 0 m/s e os proximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidademedia durante as duas fases foi de:a) 15, 0 m/sb) 20, 0 m/sc) 22, 5 m/sd) 25, 0 m/se) 30, 0 m/s

3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo-via, um motorista ve um anuncio com a inscricao “ABAS-TECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Con-siderando que esse posto de servicos se encontra junto aomarco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anun-ciante preve, para os carros que trafegam nesse trecho, umavelocidade media, em km/h, de:a) 80b) 90c) 100d) 110e) 120


4. (FUVEST) Partindo do repouso, um aviao percorre apista com aceleracao constante e atinge a velocidade de

360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da aceleracao,em m/s2?a) 9,8b) 7,2c) 6,0d) 4,0e) 2,0

5. (PUC) Um trem esta com velocidade escalar de 72 km/hquando freia com aceleracao escalar constante de moduloigual a 0, 40 m/s2. O intervalo de tempo que o trem gastapara parar, em segundos, e de:a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte comuma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motoristaobserva que o ponteiro do velocımetro marca 72 km/h. Sa-bendo que a travessia dura 5, 0 segundos, a aceleracao docarro durante a travessia e de:a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3 m/s2

d) 4 m/s2

e) n.d.a

Cinematica Aula 2

Movimento Uniforme (MU)

Suponhamos que voce esteja dirigindo um carro de talforma que o ponteiro do velocımetro fique sempre na mesmaposicao, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessacondicao, voce ira percorrer 80 km a cada hora de viagem,em duas horas percorrera 160 km, e assim por diante. O mo-vimento descrito nessa situacao e denominado movimentouniforme (MU).

Voce ja deve ter notado, entao, que no movimento uniformeo valor do modulo da velocidade e constante e nao nulo, istoe, o movel percorre espacos iguais em intervalos de tempoiguais. Se, alem da velocidade apresentar valor constante ea trajetoria for retilınea, o movimento e dito movimentoretilıneo uniforme (MRU).

Equacao Horaria do MU

Ao longo de um movimento, a posicao de um movel varia nodecorrer do tempo. E util, portanto, encontrar uma equacaoque forneca a posicao de um movel em um movimento uni-forme no decorrer do tempo. A esta equacao denominamosequacao horaria do movimento uniforme.

Considere entao, o nosso amigo corredor percorrendo comvelocidade constante v a trajetoria da figura.

Onde: x0 e a sua posicao inicial no instante t0 = 0 e x e asua nova posicao no instante t posterior. A velocidade docorredor no intervalo de tempo ∆t = t− t0 = t e

v =∆x

∆t=

v − v0

t


O

tt

x x X

0

0

Figura 1: Movimento uniforme (MU).

e se v e sempre constante, para qualquer instante t, entaotemos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como atrajetoria do movimento e retilınea, temos um movimentoretilıneo uniforme (MRU).

Invertendo-se a equacao acima, podemos escrever aequacao horaria do movimento:

x(t) = x0 + vt

que nos da a posicao x(t) em cada instante t > 0, para todoo movimento.

Grafico da Velocidade v × t

No movimento uniforme, o diagrama da velocidade emfuncao do tempo v × t x e uma reta paralela ao eixo dostempos, uma vez que a velocidade e constante e nao variaao longo do tempo.

t

v

O

v > 0

t

v

O t

v

O

v < 0

v = 0

Figura 2: Grafico v×t para o MU: para a direita v > 0(a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).

Importante

• Quando o movimento e na direcao positiva do eixo ori-entado (o sentido positivo usual e para a direita) avelocidade do movel e positiva (v > 0). Neste caso xcresce com o tempo;

• Quando o movimento e na direcao negativa do eixoorientado (sentido negativo usual e para a esquerda) avelocidade do movel e negativa (v < 0), e neste caso,x decresce com o tempo.

Neste caso como a velocidade esta abaixo do eixo dasabscissas, esta possui valor negativo, ou seja esta emsentido contrario ao da trajetoria.

• E importante notar que a velocidade corresponde a al-tura da reta horizontal no grafico v × t.

• A area de um retangulo e dada pelo produto da basepela altura: o deslocamento, pelo produto da veloci-dade pelo tempo.

O

∆ x = vt = Área

t

v

Figura 3: O deslocamento e igual a area sob a curvado grafico v × t.

Grafico da Posicao x× t

Como a equacao horaria no movimento uniforme e umaequacao do primeiro grau, podemos dizer que, para o movi-mento uniforme, todo grafico x× t e uma reta inclinada emrelacao aos eixos. Quando o movimento e progressivo (paraa direita) a reta e inclinada para cima, indicando que os va-lores da posicao aumentam no decorrer do tempo; quando omovimento e retrogrado (para a esquerda), a reta e inclinadapara baixo indicando que os valores da posicao diminuemno decorrer do tempo.

Observe no grafico que, de acordo com a equacao horaria, avelocidade pode ser dada pela inclinacao da reta, ou seja

v = tan θ =∆x

∆t

A inclinacao da reta tambem denominada e chamada dedeclividade ou coeficiente angular da reta.

θ ∆x

∆ t

Figura 4: A inclinacao de uma reta no grafico x× t ea propria velocidade no MU.

Lembre-se de que a tangente de um angulo, num trianguloretangulo, e dada pela relacao entre cateto oposto e o catetoadjacente:

Para o movimento progressivo temos o seguinte grafico:

E para o movimento retrogrado observa-se que:

Pense um Pouco!

• Um trem com 1 km de extensao viaja a velocidade de1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessarum tunel de 2 km de comprimento?

• Como seria o grafico x× t para um objeto em repouso?

• No grafico x × t, qual a interpretacao fısica da inter-seccao da reta com o eixo do tempo t?


t

v > 0

O

xo

x

Figura 5: Grafico x × t para o movimento uniforme(MU) progressivo.

t

v < 0

O

xo

x

Figura 6: Grafico x × t para o movimento uniforme(MU) retrogrado.


1. (UEL) Um automovel mantem uma velocidade escalarconstante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre umadistancia igual a:a) 79, 2 kmb) 80, 8 kmc) 82, 4 kmd) 84, 0 kme) 90, 9 km

2. (ITAUNA-RJ) A equacao horaria de um certo movi-mento e x(t) = 40− 8t no SI. O instante t, em que o movelpassa pela origem de sua trajetoria, sera:a) 4 sb) 8 sc) 32 sd) 5 se) 10 s

3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de ummesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e5 m/s, caminhando na mesma direcao e no mesmo sentido.Depois de meio minuto, qual a distancia entre elas?a) 1, 5 mb) 60, 0 mc) 150, 0 md) 30, 0 me) 90, 0 m


4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, comvelocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessartotalmente uma ponte. O comprimento da ponte e:a) 120 mb) 100 mc) 125 md) 80 me) nenhuma resposta e correta

5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, emum radar da polıcia a 108 km/h. Se uma viatura esta,logo adiante a uma distancia de 300 m do radar, em quantotempo o motorista passara pela viatura?a) 7 sb) 13 sc) 20 sd) 10 se) 16 s

6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as funcoes horariasde posicao x1(t) = 100 + 4t e x2(t) = 5t, com unidades doSI, o encontro dos moveis se da no instante:a) 0 sb) 400 sc) 10 sd) 500 se) 100 s

Cinematica Aula 3

Movimento Uniformemente Variado

(MUV)

Analisando um movimento de queda livre, podemos verificarque o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrerdo tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo va-ria com o tempo. Trata-se entao de um movimento variado.

Galileu ja havia descoberto esse movimento e concluiu que,desprezando a resistencia do ar, quando abandonamos do re-pouso os corpos proximos a superfıcie da terra caem com ve-locidades crescentes, e que a variacao da velocidade e cons-tante em intervalos de tempos iguais. Podemos entao con-cluir que este e um movimento uniformemente variado(MUV).

Observamos um MUV quando o modulo da velocidade deum corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tem-pos iguais, isto e, apresenta aceleracao constante e diferentede zero.

No caso da trajetoria ser retilınea, o movimento e deno-minado movimento retilıneo uniformemente variado(MRUV). Portanto em um movimento retilıneo uniforme.

Aceleracao e Velocidade no MRUV

a = constante 6= 0

Como a aceleracao escalar e constante, ela coincide com aaceleracao escalar media:


a = am =∆v

∆t=

v − v0

t− t0

fazendo t0 = 0, podemos escrever a equacao horaria da ve-locidade, ou seja

v = v0 + at

t

v

t

v

t

v

a > 0 a > 0 a = 0v < 0o v > 0ov > 0o

MRUV MRUV MRU

O O O

Figura 1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.

v < 0ov = 0o

t

v

t

vv MRUV MRUV MRU a = 0a < 0a < 0v > 0

t

o

O O O

Figura 2: v × t para o MRUV com a ≤ 0.

Posicao versus tempo no MRUV

Analisando o grafico de v×t, podemos obter a funcao horariados espaco calculando o deslocamento escalar desde t = 0ate um instante t qualquer. Como:

∆s = area

∆s =

(v + v0

2

)

t

como:

∆s = s− s0

e

v = v0 + at

temos

s− s0 =1

2(v0 + at + v0)t

s− s0 =1

2(2v0 + at)t = v0t +

1

2at2

logo,

s(t) = s0 + v0t +1

2at2

e a funcao horaria dos espacos s(t).

ov < 0ov = 0

ox = 0

ox = 0

ov < 0ox < 0

t

x

t

x

t

xa > 0a > 0 a > 0

O O O

Figura 3: x× t para o MRUV com a > 0.

ov = 0ox = 0

a < 0

ov > 0ox = 0

ov = 0ox > 0

t

x

t

x

t

x

a < 0 a < 0O O O

Figura 4: x× t para o MRUV com a < 0.

A Equacao de Torricelli

O fısico italiano Evangelista Torricelli estudou matematicaem Roma. Nos ultimos meses de vida de Galileu, Torricellise tornou seu aluno e amigo ıntimo, o que lhe proporcionoua oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Umadas consequencias disso foi a unificacao que Torricelli fez dasfuncoes horarias estabelecidas por Galileu para o movimentouniformemente variado.

Torricelli eliminou o tempo da funcao

v = v0 + at

obtendo

t = (v − v0)/a

e substituindo o valor de t na funcao horaria dos espacos,temos

s = s0 + vmt = s0 +

(v + v0

2

) (v − v0

a

)

onde vm e a velocidade media do movimento.

Finalmente, obtemos a equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s

Pense um Pouco!

• Imagine que voce esta no interior de um automovelem movimento. O automovel e suficientemente silen-cioso e macio para que voce nao perceba sua veloci-dade e variacoes de velocidade. Apenas olhando parao velocımetro do automovel, sem olhar pelas janelas epara-brisas, e possıvel classificar o movimento do au-tomovel?

• Pode-se usar a equacao de Torricelli para se determinara altura atingida por um projetil lancado verticalmentepara cima? Como?



1. (UEL) Uma partıcula parte do repouso e, em 5 segundospercorre 100 metros. Considerando o movimento retilıneouniformemente variado, podemos afirmar que a aceleracaoda partıcula e de:a) 8, 0 m/s2

b) 4, 0 m/s2

c) 20 m/s2

d) 4, 5 m/s2

e) n.d.a.

2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de15 m/s, tem, seu freio acionado. A desaceleracao produ-zida pelo freio e de 10 m/s2. O carro para apos percorrer:a) 15, 5 mb) 13, 35 mc) 12, 15 md) 11, 25 me) 10, 50 m

3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movi-mento retilıneo e dada pela expressao v(t) = 10− 2t, no SI.Calcule o espaco percorrido pelo corpo entre os instantes 2 se 3 s.a) 3 mb) 5 mc) 8 md) 16 me) 21 m


4. (CEFET) Na decolagem, um certo aviao partindo dorepouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se suaaceleracao constante, a velocidade com que o aviao levantavoo e:a) 100 m/sb) 200 m/sc) 125 m/sd) 50 m/se) 144 m/s

5. (UNESP) Um movel descreve um movimento retilıneoobedecendo a funcao horaria x(t) = 8 + 6t− t2 no SI. Essemovimento tem inversao de seu sentido no instante:a) 8 sb) 3 sc) 6 sd) 2 se) 4/3 s

6. (UNESP) No instante em que o sinal de transito au-toriza a passagem, um caminhao de 24 m de comprimentoque estava parado comeca atravessar uma ponte de 145 mde comprimento, movendo-se com uma aceleracao constantede 2, 0 m/s2. O tempo que o caminhao necessita para atra-vessar completamente a ponte e:a) 12 sb) 145 sc) 13 s

d) 169 se) 14 s

Cinematica Aula 4

Queda Livre

Um corpo e dito em queda livre quando esta sob acao exclu-siva da gravidade terrestre (ou da gravidade de outro corpoceleste).

Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez,a queda livre de corpos.

Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto e,livres do efeito da resistencia do ar, tem uma propriedadecomum;

Corpos em queda livre tem a mesma aceleracao quaisquerque sejam suas massas.

Esta aceleracao de queda livre e denominada aceleracaoda gravidade e, nas proximidades da terra, e suposta cons-tante e com modulo g = 9.8 m/s2, valor este que por prati-cidade, e usualmente aproximado para g = 10 m/s2.

Na realidade, a aceleracao da gravidade, embora seja inde-pendente da massa do corpo em queda livre, varia com olocal, dependendo da latitude e da altitude do lugar.

Se o corpo em queda livre tiver uma trajetoria retilınea,seu movimento sera uniformemente variado; neste caso, aaceleracao escalar do corpo sera constante e valera semprea = −g, independente do sentido do movimento. Destaforma, se um objeto for lancado para cima (v0 > 0), ele irafrear (desacelerar) ate parar (v = 0) e depois seu sentido demovimento sera invertido (v > 0).

Convencoes

• o sentido positivo do eixo vertical e debaixo para cima;

• quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimentoe acelerado (v cresce em modulo);

• quando a e v possuem o sinais contrarios, o movi-mento e desacelerado, freado ou entao dito tambemretardado (v diminui em modulo);

Velocidade Escalar Final

Em um local onde o efeito do ar e desprezıvel e a aceleracaoda gravidade e constante e com modulo g, um corpo e aban-donado a partir do repouso de uma altura h acima do solo.

Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto(v0 = 0), atingir o solo. Pela equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s = v2

0 + 2a(s− s0)

sendo s0 = h e s = 0, temos:

v2 = 0 + 2(−g)(0− h) = 2gh

entao

v = −√

2gh


sera a sua velocidade escalar ao atingir o chao. Escolhemoso sinal negativo (−) porque o corpo esta descendo, contra osentido crescente do eixo vertical (que e para cima).

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a ve-locidade final v, como era de se esperar, mas que v nao eproporcional a h.

Tempo de Queda

Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que umcorpo e solto (v0 = 0) de uma altura h, ate atingir o solo.Pela equacao horaria da velocidade do MRUV, temos:

v(t) = v0 + at

ov = 0

t

v a = −g

tq0

Figura 1: v × t para a queda livre.

e para a queda livre sera

v(t) = v0 − gt

e sendo v0 = 0 e v = −√2gh temos

−√

2gh = 0− gt

e finalmente

t =

√2gh

g=

√

2h

g

x

0

ox = hov = 0a = −g

h

qt t

Figura 2: x× t para a queda livre.

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempode queda t, como tambem era de se esperar, e que t tambemnao e proporcional a h.

Lancamento Vertical

Em um local onde o efeito do ar e desprezıvel e a ace-leracao da gravidade e constante e com modulo igual a g, um

projetil e lancado verticalmente para cima com velocidadede modulo igual a v0.

Estudemos as propriedades associadas a este movimento:

s(t) = s0 + v0t−1

2gt2

ev(t) = v0 − gt

Observa-se que:

• o movimento do projetil e uniformemente variado por-que a aceleracao escalar e constante e diferente de zero;

• como foi lancado para cima, a velocidade inicial doprojetil e positiva (v0 > 0);

• orientando-se o eixo vertical para cima, como de cos-tume, a aceleracao escalar vale −g;

• A partir do ponto mais alto da trajetoria, o projetil in-verte o sentido de seu movimento e , portanto, sua ve-locidade e nula no ponto mais alto (ponto de inversao);

• O tempo de subida ts do projetil e calculado como sesegue:

sev(t) = v0 − gt

e v(ts) = 0 para a posicao mais alta, temos

0 = v0 − gts

e finalmentets =

v0

g

Pode-se mostrar que o tempo de descida e igual aotempo de subida. Mostre voce mesmo.

• a velocidade escalar de retorno ao solo e calculada comose segue:

como o tempo total de voo e 2ts, temos

v(2ts) = v0 − g(2ts) = v0 − g

(2v0

g

)

ou seja, a velocidade de retorno sera

v = −v0

A mesma aceleracao que retarda a subida do projetile a que o acelera na descida e tem modulo constanteg, portanto concluımos que que ao retornar ao solo,o projetil chaga com a mesma velocidade inicial delancamento, em modulo.

• A altura maxima atingida pelo projetil e calculada apartir da equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s

e como v = 0 e ∆s = h, temos

0 = v20 + 2(−g)h

donde

h =v20

2g

Observe que quanto maior a velocidade inicial v0,maior a altura h atingida pelo projetil, como era dese esperar, e que h nao e proporcional a v0.


Pense um Pouco!

• Por que uma folha inteira e outra amassada nao che-gam juntas ao chao, quando soltas simultaneamente deuma mesma altura?

• Um corpo pode ter aceleracao a 6= 0 e v = 0? Como?

• Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerandopara baixo (a < 0)? Como?

• por que nao se deve dar um tiro para cima com umaarma de fogo?


1. (UFAL) Uma pedra e abandonada de uma altura de7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistenciado ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingiro solo sera:a) 12 m/sb) 36 m/sc) 360 m/sd) 18 m/se) 180 m/s

2. (FUVEST) Um corpo e solto, a partir do repouso, dotopo de um edifıcio de 80 m de altura. Despreze a resistenciado ar e adote g = 10 m/s2. O tempo de queda ate o solo eo modulo da velocidade com que o corpo atinge o solo sao:a) 4, 0 s e 72 km/hb) 2, 0 s e 72 km/hc) 2, 0 s e 144 km/hd) 4, 0 s e 144 km/he) 4, 0 s e 40 km/h

3. (FUVEST) Um corpo e disparado do solo, vertical-mente para cima, com velocidade inicial de modulo iguala 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistencia do ar e adotandog = 10 m/s2, a altura maxima alcancada pelo projetil e otempo necessario para alcanca-la sao respectivamente:a) 4, 0 km e 40 sb) 2, 0 km e 40 sc) 2, 0 km e 10 sd) 4, 0 km e 20 se) 2, 0 km e 20 s


4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um metodo interes-sante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas –o caranguejo. Consiste em suspende-lo a uma determinadaaltura e aı abandonar sua vıtima para que chegue ao solocom uma velocidade de modulo igual a 30 m/s, suficientepara que se quebre por inteiro. Despreze a resistencia doar e adote g = 10 m/s2. A altura de elevacao utilizada poressas aves e:a) 15 mb) 45 mc) 90 md) 30 me) 60 m

5. (UNICAMP) Uma atracao que esta se tornando muitopopular nos parques de diversao consiste em uma plata-forma que despenca, a partir do repouso, em queda livre deuma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a30 m do solo, ela passa a ser freada por uma forca constantee atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade daplataforma quando o freio e acionado e dada por :a) 10 m/sb) 30 m/sc) 75 m/sd) 20 m/se) 40 m/s

6. (CEFET-PR) Um balao meteorologico esta subindo comvelocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma alturade 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que oaparelho leva para chegar ao solo e:a) 2 sb) 4 sc) 5 sd) 3 se) 7 s

Cinematica Aula 5

Movimento Circular Uniforme(MCU)

Em um movimento onde a trajetoria e uma circunferencia(ou arco de uma circunferencia) e a velocidade escalar econstante, este e denominado como movimento circularuniforme (MCU). Neste movimento a partıcula e locali-zada pela sua posicao angular θ, que varia uniformementecom o tempo.

v1

v2

v3

v4

R

θ

O

Figura 1: O movimento circular uniforme (MCU).

No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda otempo todo, porem mantem fixo o seu modulo (velocidadeescalar).

Movimento Periodico

Um movimento e chamado periodico quando todas as suascaracterısticas (posicao, velocidade e aceleracao) se repetemem intervalos de tempo iguais.

O movimento circular e uniforme e um exemplo de mo-vimento periodico, pois, a cada volta, o movel repete aposicao, a velocidade e a aceleracao.


Perıodo (T )

Define-se como perıodo (T ) o menor intervalo de tempopara que haja repeticao das caracterısticas do movimento.No movimento circular e uniforme, o perıodo e o intervalode tempo para o movel dar uma volta completa.

Como e uma medida de tempo, a unidade SI do perıodo eo segundo.

Frequencia (f)

Define-se a frequencia (f) de qualquer movimento periodicocomo o numero de vezes que as caracterısticas do movimentose repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.

No movimento circular uniforme, a frequencia e o numero devoltas realizadas na unidade de tempo. Se o movel realizan voltas em um intervalo de tempo t, a frequencia f e dadapor:

f =n

t

e por definicao, como no MCU o tempo de uma volta com-pleta (n = 1) e o proprio perıodo do movimento, temos que

f =1

T

A unidade SI da frequencia f e s−1 ou tambem chamadode hertz, cuja abreviacao e Hz. Pode-se tambem medir afrequencia em rotacoes por minuto ou rpm.

Exemplo

Se um movimento tem frequencia de 2, 0 Hz, entao sao da-das duas voltas completas por segundo, ou seja, o perıododo movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60segundos, esse movimento tera uma frequencia de 120 rpm.

Velocidade Escalar v

Para uma volta completa, em uma circunferencia de raio R,temos que

v =∆s

∆t=

2πR

T

logo, para o MCU temos

v = 2πRf

Velocidade Angular ω

Define a velocidade angular ω de forma semelhante a de-finicao de velocidade v, so que nesse caso estamos interes-sados na variacao da posicao angular ocorrida no MCU.Entao:

ω =∆θ

∆t=

θ − theta0

t

Para uma volta completa, temos que o deslocamento angu-lar sera 2π e t = T , temos

ω =2π

T= 2πf

Unidades SI

A velocidade angular ω e medida em rad/s no SI.

Relacao entre v e ω

Como a velocidade escalar no MCU e v = 2πRf e ω = 2πf ,entao

v = ωR

Ou seja, a velocidade escalar v e proporcional a velocidadeangular ω.

Vetores no MCU

Ja vimos que no movimento circular e uniforme, a veloci-dade vetorial tem modulo constante, porem direcao variavele, portanto o vetor v e variavel. Sendo a velocidade vetorialvariavel, vamos analisar a aceleracao vetorial a.

Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at

da aceleracao vetorial e nula:

at =∆v

∆t= 0

Sendo a trajetoria curva, a componente normal an da ace-leracao, ou tambem chamada de aceleracao centrıpeta naoe nula (an 6= 0).

O modulo da aceleracao centrıpeta pode ser calculado pelaseguinte expressao:

ac =∆v

∆t=

2v sin(∆θ/2)

∆t

e como ∆θ = ω∆t, e o angulo ∆θ e pequeno para ∆t pe-queno, temos

sin∆θ

2≃ ∆θ

2

e

ac =2ωR∆θ/2

∆θ/ω= ω2R

ou entao, como v = ωR

ac =v2

R

R

v ∆(t + t)

(t)v

∆θ=ω ∆t

θ=ωt

v∆θ=ω ∆t

∆(t + t)

∆v(t)v

ac

Figura 2: A aceleracao centrıpeta (normal).

Ondas – Aula 1 65

Pense um Pouco!

• Certos fenomenos da natureza, como a trajetoria daTerra em torno do Sol e o movimento dos satelitesapresentam movimento circular uniforme? De exem-plos.

• Imagine um disco girando em torno do seu centro.As velocidades de todos os seus pontos sao iguais emmodulo? Explique.

• Como sao os vetores de velocidade de diferentes pontosde uma mesma roda (disco) que gira? Faca um esbocodos vetores.

• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos deum relogio mecanico?


1. (FCC) Uma partıcula executa um movimento uniformesobre uma circunferencia de raio 20 cm. Ela percorre me-tade da circunferencia em 2, 0 s. A frequencia, em hertz, eo perıodo do movimento, em segundos, valem, respectiva-mente :a) 4,0 e 0,25b) 1,0 e 1,0c) 0,25 e 4,0d) 2,0 e 0,5e) 0,5 e 2,0

2. (UFES) Uma pessoa esta em uma roda-gigante que temraio de 5 m e gira em rotacao uniforme. A pessoa passa peloponto mais proximo do chao a cada 20 segundos. Podemosafirmar que a frequencia do movimento dessa pessoa, emrpm, e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

3. (ITA) Um automovel percorre uma trajetoria com velo-cidade escalar constante. A roda do automovel, cujo raioe 30 cm, da 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular daroda e, em rad/s:a) 20π rad/sb) 30π rad/sc) 40π rad/sd) 50π rad/se) 60π rad/s


4. (ACAFE) Um automovel percorre uma estrada com ve-locidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodaspossuem raio R = 0, 40 m. A frequencia de rotacao da rodae:a) 5/π Hzb) 8/π Hzc) 12/π Hz

d) 6/π Hze) 10/π Hz

5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s.A aceleracao do ciclista e:a) 0, 5 m/s2

b) 0, 8 m/s2

c) 1, 4 m/s2

d) 0, 6 m/s2

e) 1, 2 m/s2

6. (CEFET-PR) A orbita da Terra em torno do Sol, emrazao da sua baixa excentricidade, e aproximadamente umacircunferencia. Sabendo-se que a terra leva um ano para re-alizar uma volta completa em torno do Sol e que a distanciamedia da Terra ao Sol e 150 milhoes de km, os modulosdos vetores da velocidade e aceleracao em km/s e m/s2 saorespectivamente:a) 10 e 2, 0× 10−3

b) 20 e 2, 0× 10−3

c) 30 e 6, 0× 10−3

d) 20 e 6, 0× 10−3

e) 10 e 6, 0× 10−3

Ondas Aula 1

Ondas

Movimento Harmonico Simples

O movimento harmonico simples (MHS) e um movimentorepetitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observa-mos um peso suspenso por uma mola bastante flexıvel (mo-vimento na vertical); ou entao suspenso por um fio longo(movimento na horizontal - pendulo simples).

Todo MHS pode ser pensado como sendo a projecao de ummovimento circular e uniforme num dos diametros da cir-cunferencia percorrida. Para isto, admita um eixo cartesi-ano com origem no centro da circunferencia correspondenteao movimento circular.

Voce podera estudar a projecao sobre o eixo dos x, obtendouma equacao do tipo

x(t) = R cos(ωt + θ0)

ou sobre o eixo dos y, obtendo a equacao analoga

y(t) = Rsen (ωt + θ0)

Para o movimento circular sabemos que R e o raio da circun-ferencia, ω a velocidade angular do objeto em movimentocircular e uniforme, e θ0 e a posicao angular inicial ocu-pada pelo objeto no instante t0 = 0 (θ0 equivale, em termosangulares, ao s0 dos movimentos estudados ao longo de tra-jetorias).

Assim, podemos entender o significado das constantes doMHS:R = A e a amplitude do movimento a partir do centro deoscilacao;ω recebe tambem a denominacao de frequencia angular(e facil demonstrar que w = 2π

T , em que T e o perıodo do


MHS;ωt + θ0, o argumento do seno (ou cosseno), e a chamadafase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma,quando t = 0 temos (ωt + θ0) = θ0;θ0 e a fase inicial.

Depois desse entendimento, podemos reescrever as equacoesanteriores em termos das amplitudes A ao inves do raio R,entao:

x(t) = A cos(ωt + θ0)

y(t) = Asen (ωt + θ0)

Pendulo Simples

Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observaem um pendulo simples. O pendulo simples consiste em umapartıcula de massa m suspensa por um fio inextensıvel, demassa desprezıvel e comprimento L, que oscila num planovertical, fixo na extremidade superior do fio, como vemosna figura abaixo:

mg cos θ

θT

L

O

x

mg sen θ

mg

Figura 1: Pendulo Simples.

Esse problema pode ser considerado um problema de MHSsomente para pequenos angulos de abertura, ou seja, afasta-se o pendulo ligeiramente de sua posicao de equilıbrio, esolta-se. Observa-se que a partıcula executa um movimentocircular de raio L, porem de vai-e-vem, portanto com velo-cidade variavel.

Ignorando a resistencia do ar, as forcas que atuam sobre apartıcula sao a forca peso, exercida pela Terra, e a tensao,exercida pelo fio. Como o fio e inextensıvel, a componentedo peso ao longo do fio cancela a forca de tensao. A resul-tante das forcas que atuam sobre a partıcula e, portanto, acomponente do peso na direcao do movimento da partıcula,cujo modulo vale mgsen (θ).

A partıcula do pendulo descreve um arco de circunferencia.Mas, se a amplitude do movimento e muito menor que ocomprimento L do fio, ou seja, se o angulo θ e pequeno, po-demos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal

sobre o qual fixamos o eixo x, com origem onde a verticaltirada do ponto de suspensao do pendulo corta esse eixo.

Entao, fazendo

sen θ =x

L,

o modulo da forca resultante sobre a partıcula fica:

F (x) = −mg

Lx

Analise dos Sinais

O sinal negativo indica que a forca resultante aponta namesma direcao que aquela escolhida como positiva para oeixo x quando a elongacao e negativa e na direcao opostaquanto a elongacao e positiva. Ou seja, a forca e restau-radora, pois quando a partıcula vai para a direita (x > 0)a forca horizontal “puxa”ela para a esquerda (F < 0), equando ela vai para a esquerda (x < 0), a forca a “em-purra”de volta par a direita (F > 0). Atraves desse tipo deforca e que se obtem o MHS.

Observe que a forca dada acima tem a forma geral F (x) =−kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa forca lembra algumaoutra lei ou sistema fısico ja estudado? Qual?

Dica de Vestibular

DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem emvestibulares sao o perıodo (T ) e a frequencia (f) de umpendulo simples, nao que as outras grandezas nao te-nham importancia e sim pela sua simplicidade matematicae conteudo teorico, entao, resumidamente em termos doperıodo temos:

T =2π

ω

T = 2πf

T =1

f

T = 2π

√

L

g

E em termos da frequencia temos:

f =w

2π

f =1

T

f =1

2π

√g

L

Pense um Pouco!

1. Como podemos determinar a aceleracao da gravidadecom um pendulo Simples?

2. O movimento de translacao da terra em torno do sol eum MHS?

Ondas – Aula 2 67


1. Um pendulo oscila, na Terra com perıodo igual a 4 se-gundos. Determinar o perıodo desse mesmo pendulo em umplaneta onde a aceleracao da gravidade e quatro vezes maiorque a da Terra.

2. Um MHS (movimento harmonico simples) e descrito pelafuncao horaria x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metrose t em segundos. E correto afirmar que:a) a amplitude do movimento e 10 m.b) a velocidade angular e 5π/2 rad/s.c) a frequencia do movimento e 0, 25 Hz.d) o perıodo do movimento e 0, 50 s.e) a fase inicial e 3π radianos.

3. Um pendulo simples de massa m executa oscilacoes depequena abertura angular e realiza um MHS. Entao o seuperıodo de oscilacao:a) independe do comprimento do pendulo.b) e proporcional ao comprimento do pendulo.c) independente do valor da aceleracao da gravidade local.d) e inversamente proporcional ao valor da aceleracao dagravidade local.e) independe da massa m.


4. Faca testes numericos para estimar ate onde vale arelacao sen θ ≈ θ, para angulos theta dados em rad, coma precisao de ate duas casas decimais.

5. Para dobrar a frequencia de oscilacao de um pendulosimples e suficiente:a) transporta-lo para um planeta de aceleracao da gravidadeduas vezes maior.b) transporta-lo para um planeta de aceleracao da gravidadequatro vezes.c) dobrar o comprimento do fio.d) reduzir a quarta parte o comprimento do fio.e) dobrar a massa pendular.

6. Ache a relacao entre o comprimento de dois pendulospara que um realize nove oscilacoes enquanto o outro realizadezesseis oscilacoes.

7. Determine o comprimento de um pendulo simples quepossui perıodo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2.

Ondas Aula 2

Ondas

Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por umaperturbacao que se propaga atraves de um meio.

Tipos de Ondas

Quanto a necessidade ou nao de um meio mecanico, as ondasse classificam em dois grandes grupos: as ondas mecanicase as ondas eletromagneticas.

Onda Mecanica

Precisa de um meio mecanico natural para se propagar (naose propaga no vacuo).

Exemplos

Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na su-perfıcie da agua ou numa membrana esticada (tambor).

Onda Eletromagnetica

Nao necessita de um meio mecanico para se propagar, e podese propagar no vacuo ou tambem em meios mecanicos.

Exemplos

Ondas de radio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor,como aquelas que vem do Sol ate a Terra pelo vacuo inte-restelar.

Classificacao das Ondas

Quanto ao tipo de perturbacao propagada pela onda, elassao classificadas em transversais ou longitudinais.

Ondas Transversais

Sao aquelas em que a direcao das oscilacoes e perpendicular(ou transversal) a direcao da propagacao da onda.

corda

T

Vibraçao

Propagaçao

T

Figura 1: Onda transversal.

Exemplos

Nas ondas eletromagneticas, um campo eletrico e ummagnetico oscilam em planos perpendiculares a direcaode propagacao da onda. Por esta razao, por exemplo,convencionou-se posicionar as antenas de radio em pe, paraque o campo eletrico seja emitido verticalmente, enquantoa onda se propaga horizontalmente, e desta forma possa sercaptado pelas antenas receptoras.

Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada,ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos umpulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longoda direcao da corda, horizontalmente. Se observarmos deperto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenassobe e desce, quando o pulso passa pela corda. Nao ha umdeslocamento horizontal da corda (meio mecanico).

Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondu-latorio causado pelos espectadores, a “ola”. Num movi-mento coordenado, os espectadores levantam e sentam, pro-vocando a propagacao de uma onda pelas arquibancadas,que tambem e uma onda transversal. Observe que, se todoslevantassem e sentassem ao mesmo tempo, nenhuma ondaseria observada.


Ondas Longitudinais

Como o proprio nome diz, a onda longitudinal transportaoscilacoes (vibracoes) cuja direcao coincide com a direcaoda propagacao, ou seja, ao longo da direcao de propagacao.

empurrar

pucharrarefações

para a ponta fixacompressões

propagação da onda

oscilações

Figura 2: Onda longitudinal.

Exemplos

As ondas sonoras sao ondas de pressao que se propagamlongitudinalmente em meios solidos, lıquidos ou gasosos.Quando voce da uma martelada na extremidade de umalonga barra de ferro (de construcao), a compressao causadana direcao da barra se propaga, fazendo os pontos da barraoscilarem na direcao da barra. E claro que uma barra deferro pode propagar, ao mesmo tempo, tanto ondas longi-tudinais quanto ondas transversais.

Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, comuma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemosverificar que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremi-dade livre, batendo verticalmente, um pulso de compressaosera propagado longitudinalmente, subindo na mola.

Quando um pescador convencional estica sua linha (esperaou espinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixepelas ondas longitudinais transportadas ate a sua mao, pelalinha tensa. Quando usa uma boia, ou rolha, ele ve as ondastransversais causadas na superfıcie da agua pelas beliscadasdos peixes. Em ambos os casos, as ondas estao sendo usadaspara transmitir informacao, compreendeu?

Ondas no Espaco

Quanto ao tipo de propagacao e a complexidade do movi-mento espacial das ondas, podemos classifica-las em unidi-mensionais, bidimensionais ou tridimensionais.

Ondas Unidimensionais

Em alguns casos simples, podemos supor que uma ondase propaga de forma unidimensional, pois simplificamos asua descricao reduzindo o movimento ondulatorio a umadimensao mais relevante.

Exemplo

Por exemplo, ao estudar a propagacao de uma onda sonoradentro de um tubo longo, podemos considerar a onda uni-dimensional, dentro do tubo.

Ondas Bidimensionais

Em outros casos, e evidente que o movimento ondulatorionao pode ser restrito a uma direcao (dimensao), pois ocorresobre uma superfıcie bidimensional.

Exemplos

No caso de ondas na superfıcie de uma piscina ou lago, oumesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temosondas bidimensionais.

Ondas Tridimensionais

Sao aquelas que se propagam em todas as tres direcoes doespaco, tornando a sua descricao, bastante trabalhosa.

Exemplos

Na explosao de uma “bombinha”, aquelas que a gente sol-tava quando moleque, sao produzidas ondas sonoras quese propagam a partir de um ponto (pequena regiao doespaco) para todas as direcoes, formando verdadeiras ondasesfericas, que poderao ser percebidas por pessoas no chao,ou mesmo passaros no ar, pois se propagam tridimensional-mente.

Energia Transmitida

Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, pode-mos classifica-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondastermicas, etc.

Elementos de uma Onda

Ondas Periodicas

Sao aquelas que recebem pulsos periodicos, ou seja, recebempulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam porum mesmo ponto com a mesma frequencia.

Unidades SI

As ondas periodicas possuem alguns elementos basicos, quesao:o perıodo P (ou T ), medido em s;o comprimento de onda λ, medido em m;a frequencia f , medida em s−1 ou Hz (hertz);a amplitude y, medida em m;que podem ser verificados na figura abaixo.

Comprimento de Onda

Amplitude

x

Figura 3: Elementos de uma onda senoidal.

Relacao Matematicas

v = λf

ondev e = velocidade de propagacao da onda no meioλ e o comprimento da ondaf e a frequencia da onda.

Ondas – Aula 3 69

Pense um Pouco!

• Uma pessoa toca numa corda de um violao uma notae voce ouve o som. Identifique os varios tipos de ondasenvolvidos no processo completo. Comente.

• Nos enxergamos usando luz. Seria possıvel se enxergarcom outro tipo de ondas como o som, por exemplo?Justifique.


1. A distancia entre o nıvel de repouso da agua e a“crista”de uma onda, e chamada de:a) timbreb) perıodoc) amplituded) ressonanciae) comprimento de onda

2. Ondas que oscilam na mesma direcao em que se propa-gam sao chamadas de ondas:a) transversaisb) eletromagneticasc) tensoriaisd) gravitacionaise) longitudinais

3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranquilo,formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cir-culares e uma evidencia de que:a) as ondas transportam energiab) as ondas transportam materiac) a velocidade de propagacao das ondas e a mesma em to-das as direcoesd) a velocidade de propagacao das ondas depende da densi-dade da pedrae) a pedra afundou depois de atingir a agua.


4. As ondas eletromagneticas, como as ondas luminosas,propagam-se independentemente do meio. No vacuo, todasas ondas eletromagneticas possuem:a) a mesma amplitudeb) a mesma frequenciac) a mesma velocidaded) o mesmo comprimento de ondae) a mesma energia

5. Considere as afirmacoes abaixo:I. As ondas luminosas sao constituıdas pelas oscilacoes deum campo eletrico e de um campo magnetico.II. As ondas sonoras precisam de um meio material para sepropagarIII. As ondas eletromagneticas nao precisam de um meiomaterial para se propagar.Quais delas sao corretas?a) apenas Ib) apenas I e IIc) apenas I e III

d) apenas II e IIIe) I, II e III

6. A onda sonora e classificada como ........ pois a suapropagacao ocorre somente em meio ........, que vibra coma onda deslocando-se na direcao ......... a sua direcao depropagacao.a) mecanica – material – paralelab) mecanica – gasoso – paralelac) mecanica – solido – perpendiculard) eletromagnetica – material – perpendiculare) eletromagnetica – material – paralela

7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, paradanum lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movi-mento sobe-e-desce. Ele conclui que a frequencia das ondase:a) 1 1

4 sb) 1, 25 mc) 0, 80 s−1

d) 1, 25 Hze) 20/s

Ondas Aula 3

Ondas e Interferencia

Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regiao doespaco da-se o que chamamos de interferencia. O resul-tado da interferencia entre duas ondas depende da diferencade fase entre elas.

Para se entender o efeito combinado de duas ou mais on-das se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante,assumimos como valido o princıpio de superposicao:

“Os deslocamentos causados no meio pela presenca de duasou mais ondas sao somados, ou seja, superpostos, como secada onda continuasse se propagando como se as outras naoexistissem.”

Ou seja, uma nao afeta as outras, mas o que observamos eo efeito conjunto de todas as ondas.

Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso sim-ples, os deslocamentos do meio serao somados algebrica-mente, podendo-se obter interferencia destrutiva e cons-trutiva.

Interferencia Destrutiva

Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinci-dentes. As duas tem a mesma amplitude, o mesmo compri-mento e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamentomaximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferencade fase entre elas e zero. Ou seja, as ondas estao em fase.

Nesse caso, a interferencia e chamada de construtiva, poisuma onda soma-se a outra, reforcando-a, e o resultado e umaunica onda cuja amplitude e a soma das duas amplitudes.

Interferencia Destrutiva

Quando superpomos duas ondas, sendo que um desloca-mento maximo positivo de uma corresponde com o deslo-


Figura 1: Interferencia construtiva.

camento maximo negativo da outra, os efeitos (amplituderesultante) tendem a se cancelar.

Na outra figura abaixo, as duas ondas tem uma diferencade fase de “meia onda”. Isso faz com que um alto de umadelas coincida com um baixo da outra. Acontece, entao,uma interferencia d

¯estrutiva entre elas. O resultado e que

uma anula completamente o efeito da outra. Nessa regiaonao havera mais onda nenhuma.

Figura 2: Interferencia destrutiva.

Caso Geral de Interferencia

Em geral, podemos observar num mesmo meio a propagacaode ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, naosendo possıvel a observacao da interferencia construtiva enem da destrutiva, mas a onda resultante e resultado dainterferencia geral entre as ondas, chamadas de compo-nentes.

Na figura a seguir, as duas ondas tem uma diferenca defase generica. A interferencia entre elas nao e totalmenteconstrutiva nem totalmente destrutiva. O resultado e umaonda unica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero ea soma das amplitudes das ondas, dependendo da diferencade fase entre elas.

Difracao

E possıvel ouvir o som produzido por uma explosao que sesitua atras de um muro delimitador, mesmo que este tenhagrande espessura de tal forma que as ondas sonoras naoconsigam atravessa-lo. Da mesma forma, se algum membroda sua famılia que esta trancado sozinho num dos quartos

Figura 3: Interferencia geral.

coloca uma musica num volume bem alto num aparelho desom potente, todos os outros irao ouvi-la.

Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tiposde ondas) tem a capacidade de contornar obstaculos. A estahabilidade definiu-se o nome de difracao, que ocorre devidoao fato do comprimento de onda dos sons variarem de al-guns centımetros a varios metros, de forma que estas ondassao ”grandes”em comparacao com as aberturas e obstaculosfrequentemente encontrados na natureza.

Um criterio simples para saber se a difracao sera observadanuma onda, ao passar por um obstaculo ou abertura detamanho D, e o de que o comprimento de onda λ usadoseja da ordem aproximada do tamanho D, ou seja:

λ ≈ D

Quando partes de uma onda sao atrapalhadas pela presencade obstaculos, sua propagacao no meio considerado torna-sebem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria.Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheiod’agua com ondas planas se propagando em sua superfıcie.

Veja figura abaixo:

Figura 4: Difracao de ondas na agua.

O estudo da difracao e importante nos dias de hoje para es-tudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmoa cristalinidade em materiais, possibilitando desta maneiraestudar se um material e ou nao adequado ao emprego empesquisas, experimentos ou mesmo em industrias.

Ondas – Aula 3 71

Para Saber Mais!

Como vimos na secao anterior, sempre que a diferenca defase entre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2comprimentos de onda etc, as ondas interferem construtiva-mente e suas amplitudes se somam. Mas, se a diferenca defase for de meio comprimento de onda, tres meios compri-mentos de onda etc, elas interferem destrutivamente e suasamplitudes se subtraem.

Imagine entao que um feixe de raios-X incida sobre um cris-tal. Como o espacamento entre os atomos do cristal temum valor compravel com o comprimento de onda do raio-X,o feixe se refletira nos planos dos atomos como em um espe-lho. Veja o se passa com dois raios que incidem em planosvizinhos. Os maximos (”altos”) de cada onda sao assinaladocom uns tracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixoe percorre uma distancia um pouco maior que o outro. Adiferenca entre os dois caminhos e mostrada. Nesse dese-nho, essa diferenca e exatamente um comprimento de onda.Portanto, os raios refletidos (ou ”difratados”, no caso) saemem fase e terao interferencia construtiva. E claro que isso soacontece para um angulo de incidencia bem determinado.

Raio X incidente Raio X difratado

Atomos ’

Figura 5: Difracao de raio-X.

Se voce sabe um pouco de trigonometria pode ver, na figura,que a diferenca de caminhos e 2dsen θ, onde e o angulo entrea direcao dos raios-X e o plano de atomos do cristal.

A interferencia sera construtiva e, portanto, havera um feixedifratado apenas no caso em que essa diferenca de caminhosfor um numero inteiro de comprimentos de onda do raio-X.Isto e, se

2dsen(θ) = nλ

com n ∈ N, havera um feixe difratado.

Essa e a famosa lei de Bragg.

Voce Sabia?

Natureza Ondulatoria da Luz

O que e a luz? A luz e uma radiacao eletromagnetica dual,que se comporta, ora como onda, ora como materia, e viajaa cerca de 300.000 km/s no vacuo.

Na verdade, as radiacoes eletromagneticas cobrem umaextensa faixa de comprimentos de onda, desde os raioscosmicos, com comprimentos de onda menores que 10−18

metros (attometros), ate as VLF (ondas de radio de

frequencia muito baixa) com comprimento de milhoes dequilometros, da ordem de 1012 metros (terametros).

Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela com-porta os comprimentos de onda que sensibilizam nossosolhos e a denominada luz visıvel. Esta faixa vai desdeo violeta (4 × 10−7 m) ao vermelho (7 × 10−7 m). Entreestes dois valores estao as cores do espectro visıvel, ondeoperam os telescopios opticos, por exemplo.

Figura 6: Espectro eletromagnetico.

O tamanho reduzido da “janela visıvel”nos mostra a im-portancia dos instrumentos sensıveis a outros comprimen-tos de onda. Radiotelescopios operando na faixa das mi-croondas conseguiram mapear a nossa galaxia, enquantotelescopios sensıveis a raios X estao em orbita localizandoquasares.

E interessante observar que o Sol irradia ondas eletro-magneticas em todos os comprimentos de onda, porem omaximo de energia emitida (cor amarela) esta justamentedentro da pequena faixa do nosso espectro visıvel. Os cien-tistas acreditam que a visao tenha evoluıdo durante milhoesde anos de adaptacoes e otimizacoes, deslocando a nossa ca-pacidade visual em direcao ao ponto otimo, proximo ao picode radiacao solar, correspondente a cor do amarelo.

Alguns animais, como o gato e outros predadores devida noturna, podem perceber visualmente radiacao infra-vermelhas, as chamadas radiacoes termicas, e localizammamıferos (de sangue quente) enxergando-os no escuro, jaque emitem ondas termicas, que para nos sao invisıveis.

Pense um Pouco!

• Quando uma banda de rock toca, observa-se ofenomeno da interferencia? Explique.

• Se a luz difratasse em qualquer condicao, quaisfenomenos do nosso cotidiano seriam alterados?

• Porque nao conseguimos sintonizar as radios FM atrasde morros, e as radios AM sim? Determine o com-primento de onda tıpico de cada uma dessas faixas deradio, compare e explique.


1. Observa-se a interferencia de duas ondas quando:a) elas possuem a mesma frequenciab) elas possuem a mesma amplitudec) elas se propagam em sentidos opostosd) elas sao transversaise) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante

2. Sao fenomenos ondulatorios comuns a qualquer tipo deonda:


a) interferencia – aniquilacao – transporteb) difracao – amortecimento – inerciac) interferencia – difracao – reflexaod) refracao – dispersao – simetriae) energia – momento – ressonancia

3. Um apito produz um som de frequencia igual a 1.360 Hzno ar, onde as ondas se propagam com velocidade de340 m/s. Entao, o comprimento das ondas geradas e:a) 4 mb) 25 mc) 40 cmd) 25 cme) 0, 25 km


4. O ouvido humano normal pode perceber sons defrequencia no intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamadafaixa audıvel. Assinale a unica alternativa correta:a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hzb) o som e uma onda mecanica longitudinalc) o som e uma onda longitudinald) o som e uma onda eletromagneticae) todo som na faixa audıvel se propaga no vacuo

5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes iguala 30 cm e 40 cm, um em direcao ao outro. No instante emque eles se superpoem, pode-se dizer que:a) ocorrera interferencia destrutivab) a amplitude observada sera 70 cmc) ocorrera interferencia destrutivad) a amplitude resultante devera estar no intervalo[10 cm, 70 cm]e) n. d. a.

6. Um motor eletrico desbalanceado gira a 1.800 rpm eprovoca um ruıdo grave e contınuo, que e amplificado pelomesa onde esta fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-seafirmar que:a) a frequencia do ruıdo e cerca de 30 Hzb) o motor esta com os rolamentos gastosc) a mesa nao e de boa qualidaded) e melhor desligar o motor e chamar a CELESCe) a mesa comecara a “andar”por trepidacao

Ondas Aula 4

Som

Fontes Sonoras

Em geral, ao estudo da producao (fontes sonoras), pro-pagacao e fenomenos correlatos sofridos pela onda mecanicasonora ou audıvel, denomina-se Acustica, denominaremospor som a toda onda mecanica sonora (intensidade sufici-ente e frequencia limitada num certo intervalo).

Som Audıvel

Se a frequencia da onda sonora pertence ao intervalo de,16 Hz a 20 kHz, esse som e audıvel para o ser humano.

Ultra-som e Infra-som

Ondas longitudinais de frequencias superiores a 20 kHz, ca-racterizam sons inaudıveis para nos e denominam-se ultra-sons. Aquelas de frequencias inferiores a 16 Hz, tambeminaudıveis, sao ditas infra-sons.

Velocidade de Propagacao do Som

O som possui velocidades de propagacao definidas para cadameio de propagacao, podendo este ser o ar, agua, metaisentre outros, a velocidade de propagacao do som no ar nascondicoes normais de temperatura e pressao e a mais conhe-cida de todas:

vsom = 343 m/s = 1234 km/h

A velocidade do som foi ultrapassada por um aviao ha mui-tos anos atras, quando quebrou-se a chamada “barreira dosom”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997,ela foi ultrapassada por um automovel.

Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais:

Meio Temperatura (C) Velocidade (m/s)ar 0 331hidrogenio 0 1.286oxigenio 0 317agua pura 15 1.450chumbo 20 1.230alumınio 20 5.100cobre 20 3.560ferro 20 5.130granito 0 6.000borracha 0 54

Pense um Pouco!

• Porque nao escutamos o som que os morcegos emitempara “enxergar”?

• Porque os ındios norte-americanos colocavam o ouvidono chao?

• Ao observarmos um pedreiro de longe, martelandoalgo, percebemos que sua imagem nao esta sincroni-zada com os sons que ele produz (com as marteladas).Por que?

Ondas – Aula 5 73


1. Ao observar uma grande explosao em uma pedreira, delonge, uma pessoa percebe, nessa ordem:a) a luz - o ruıdo - as oscilacoes do chaob) o ruıdo - a luz - as oscilacoes do chaoc) as oscilacoes do chao - o ruıdo - a luzd) as oscilacoes do chao - a luz - o ruıdoe) a luz - as oscilacoes do chao - o ruıdo

2. Um metodo antigo de se determinar a profundidade deum poco fundo e escuro e soltar-se uma pedra na sua boca,disparar-se um relogio (ou cronometro) e medir-se o inter-valo de tempo ate que se ouca o barulho. Sendo vsom avelocidade do som no ar, h a profundidade do poco e g aaceleracao da gravidade, o intervalo de tempo medido norelogio sera:a) ∆t = 2h/vsom

b) ∆t =√

2gh + h/vsom

c) ∆t =√

2h/g + h/vsom

d) ∆t =√

2h/ge) n. d. a.

3. Um metodo popular para determinar-se a que distanciax, em kilometros, caiu um raio e, observar-se o relampago emedir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar paraouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que:a) x ≈ t/2b) x ≈ t/3c) x ≈ t/4d) x ≈ t/5e) n. d. a.


4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”estarelacionado diretamente com o fenomeno ondulatorio cha-mado:a) ressonanciab) reflexaoc) difracaod) absorcaoe) n. d. a.

5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de ondade 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meioonde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimentode onda?a) 2/3 mb) 3/2 mc) 1/2 md) 1/6 me) n. d. a.

6. Uma certa especie de morcego utiliza ultra-sons de33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu voonoturno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s,pode-se afirmar que:a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimentob) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimentoc) ele usa ondas com 100 mm de comprimento

d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimentoe) n. d. a.

Ondas Aula 5

Efeito Doppler

Qualidades Fisiologicas do Som

A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essadiferencas que nossos ouvidos percebem se devem as quali-dades fisiologicas do som: altura, intensidade e timbre.

Altura

Mesmo sem conhecer musica, e facil distinguir o som agudo(ou fino) de um violino, do som grave (ou grosso) de umvioloncelo. Essa qualidade que permite distinguir um somgrave de um som agudo se chama altura. Assim, costuma-sedizer que o som do violino e alto e o do violoncelo e baixo.

A altura de um som depende da frequencia, isto e,do numero de vibracoes por segundo. Quanto maior afrequencia mais agudo e o som e vice-versa.

Por sua vez, a frequencia depende do comprimento do corpoque vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tensao(tracao) e mais curta for uma corda de violao, por exemplo,mais agudo vai sera o som por ela emitido.

Voce pode constatar tambem a diferenca de frequenciasusando um pente que tenha dentes finos e grossos. Passandoos dentes do pente na bosta de um cartao voce ouvira doistipos de som emitidos pelo cartao: o som agudo, produ-zido pelos dentes finos (maior frequencia), e o som grave,produzido pelos dentes mais grossos (menor frequencia).

Intensidade

E a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso)de um som fraco (suave). A intensidade depende da ampli-tude de vibracao: quanto maior a amplitude mais forte e osom e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar deuma onda sonora, com mais intensidade ela sera percebida.Por exemplo, quando o medico vai ouvir o coracao de umpaciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentara intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquelefamoso aparelho que capta e canaliza o som direto para oseu ouvido.

Na pratica nao interessa aos nossos ouvidos diretamentea intensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim onıvel sonoro, uma grandeza relacionada a intensidade so-nora e a forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade.Essas unidades sao o bel e o seu submultiplo o decibel (dB),que vale 1 decimo do bel.

O ouvido humano e capaz de suportar sons de ate 120 dB,como num show de rock, por exemplo. O ruıdo produzidopor um motor de aviao a jato a poucos metros do observadorproduz um som de cerca de 140 dB, e e capaz de causarestımulos dolorosos ao ouvido humano.

A agitacao das grandes cidades provocam a chamada po-luicao sonora composta dos mais variados ruıdos: motores e


buzinas de automoveis, martelos de ar comprimido, radios,televisores e etc. Ja foi comprovado que uma exposicaoprolongada a nıveis maiores que 80 dB pode causar danopermanente ao ouvido.

A intensidade de uma onda sonora diminui a medida queo som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte,menos intenso e o som.

Timbre

Imagine a seguinte situacao: um ouvinte que nao entendede musica esta numa sala, ao lado da qual existe outra salaonde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoatocar a nota do no piano e logo a seguir outra pessoa tocara mesma nota do no violino, ambas com a mesma “forca”,os dois sons terao a mesma altura (frequencia) e a mesmaintensidade.

Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra salasabera distinguir facilmente um som de outro, porque cadainstrumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu tim-bre.

Podemos afirmar, portanto, que timbre e a qualidade quenos permite perceber a diferenca entre dois sons de mesmaaltura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferen-tes.

Efeito Doppler

Na figura abaixo os aneis simbolizam os maximos da ondasonora. O intervalo de tempo entre as emissoes sucessivas eT , o perıodo da onda. Quanto maior o cırculo, mais tempofaz que a emissao foi feita. Todos os cırculos expandem coma mesma velocidade. Se um observador estiver estacionario,entao o intervalo de tempo entre a chegada dos cırculos su-cessivos ao ouvido e T .

Fonte Sonora em repouso

Observador em repouso

Figura 1: Fonte e observador em repouso: nao haefeito Doppler.

O efeito Doppler e um fenomeno observado com todo o tipode onda, e possui o nome do cientista austrıaco ChristianDoppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que afrequencia com que uma onda e percebida depende tambemdo movimento relativo da fonte sonora e do observador,o que pode ocasionar uma mudanca significativa entre afrequencia emitida e a percebida por um detector ou pessoa.Por exemplo, numa corrida de formula I, quando um carropassa por nos, percebe-se claramente que o som passa de

agudo (carro se aproximando de nos) a grave (se afastandode nos). Qualquer crianca sabe disso, e quando brinca decarrinho imita o famoso som da formula I: “uuoooommmm”.Eis o efeito Doppler!

Observador em Movimento

Suponha que uma fonte estacionaria esta gerando ondas so-noras com frequencia f0 = 240Hz e comprimento de ondaλ0 = v

f0. Um observador estacionario a uma certa distancia

da fonte ouvira um som com frequencia f0 = 240 Hz, e 240vezes por segundo seu tımpano sera empurrado e puxado,para dentro e para fora, a medida que os maximos e mınimosda pressao alcancam o ouvido. O perıodo de tempo entredois maximos consecutivos e T = 1

f0= 1

240 s.

Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirijano sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1um maximo de pressao alcanca o seu ouvido na posicao x.O proximo maximo estara na posicao x no tempo t1 + T .Mas, o ouvido nao estara mais nesta posicao. O observadorse moveu.

O maximo tem que percorrer uma distancia extra antes dealcancar o ouvido. Esta distancia extra toma um tempoextra ∆t. O intervalo de tempo entre maximos sucessivosque alcanca o ouvido do observador e agora T + ∆t.

O perıodo aumentou, a frequencia aparente da onda dimi-nui. Este e um exemplo do efeito Doppler. Se o observadorestiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempoentre os maximos alcancando o ouvido sera mais curto queT. Suponha que no tempo t1 um maximo de pressao al-cance o ouvido na posicao x. O proximo maximo chegarana posicao x no tempo t1 + T . Mas, ele chegara ao ouvidoantes de ele alcancar a posicao x, ja que o observador semove no sentido da fonte.

A frequencia aparente do som que alcanca o observador e

f = f0v + v0

v

onde v e a velocidade do som, e v0 e a componente da velo-cidade do observador na direcao da fonte (v0 e negativo seo observador estiver se movendo para longe da fonte).

Normalmente nao observamos o efeito Doppler quando nosmovemos a pe, ja que a velocidade do som e muito maiordo que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a90 km/h = 25 m/s na direcao de uma fonte, temos que

f = f0340 + 25

340= 1, 07 · f0

Movendo-se para longe da fonte da

f = f0340− 25

340= 0, 93 · f0

Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa entao umavariacao de frequencia da ordem de 0, 14 · f0, ou seja, de14%, uma variacao razoavel e bem perceptıvel. So paracomparacao, as teclas vizinhas de um piano geram sons comaproximadamente 6% de diferenca na frequencia – os cha-mados intervalos de semi-tom. Um tom completo sendoentao de cerca de 12%, por exemplo, a distancia de do atere.

Termodinamica – Aula 1 75

Fonte em Movimento

A frequencia observada de uma onda sonora tambem variase o observador estiver se movendo.

A frequencia aparente neste caso e dada por

f = f0v

v − vs

onde vs e a componente da velocidade da fonte na direcaodo observador (vs e negativo se a fonte se mover para longedo observador).

Nesta figura a fonte esta se movendo para o observador. Ocentro de cada cırculo esta na posicao da fonte no momentoem que ela emite o maximo. Como a fonte esta se movendopara a direita, o centro dos cırculos sucessivos move-se paraa direita. Se o observador estiver parado, entao o intervalode tempo entre a chegada dos cırculos sucessivos ao ouvidoe menor do que T , e portanto, ele percebe f > f0.


Fonte Sonora se aproximandodo observador

v

Figura 2: Fonte se aproximando do observador em re-pouso: f > f0.

Nesta figura a fonte esta movendo-se para longe do obser-vador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro doscırculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observadoresta estacionario, entao o intervalo de tempo ente a chegadados cırculos sucessivos e maior do que T , ou seja, f <0.

v


Fonte Sonora se afastandodo observador

Figura 3: Fonte se afastando do observador em re-pouso: f < f0.

Pense um Pouco!

• O que um bom violonista faz para produzir sons dediferentes intensidades, timbres e alturas?

• Se as ondas sonoras se propagam no ar, entao o ventopode carrega-las e distorce-las? Explique.


1. Um trem apita com frequencia de 400 Hz. Voce e umobservador estacionario e ouve o apito, mas o ouve comfrequencia de 440 Hz.a) Qual e a velocidade do trem?b) Ele se aproxima ou se afasta de voce?c) Qual a variacao percentual no comprimento de onda quevoce percebe, em relacao ao som emitido pelo trem?

2. O efeito Doppler esta relacionado com:a) a intensidade do somb) a alteracao da frequencia do somc) o nıvel sonorod) o timbre do some) n. d. a.

3. Um apito para caes emitem um som de 25 kHz, e einaudıvel para nos, pois so percebemos sons de ate 20 kHz.a) Seria possıvel testar se um tal apito esta funcionando, uti-lizando o efeito Doppler? Explique.b) Faca os calculos necessarios e verifique se isto eviavel/possıvel.


4. Se dois carros andam numa auto estrada reta, com amesma velocidade, um logo atras do outro por um certotempo, e o de tras aciona a buzina frequencia f0, podemosafirmar que, o motorista do carro da frente:a) escuta um som mais agudo aindab) escuta um som mais grave aindac) ambos escutam a mesma frequencia f0

d) ninguem escuta nadae) n. d. a.

5. Uma aviao se move com velocidade igual a 1/4 da ve-locidade do som, passando numa demonstracao sobre umacidade num voo rasante. Um observador parado no chaopercebera, na frequencia dos sons emitidos pelo aviao quese aproxima:a) Um aumento de cerca de 25%b) Uma reducao de cerca de 25%c) Um aumento de cerca de 33%d) Uma reducao de cerca de 33%e) n. d. a.

6. Um aviao militar desgovernado, voa em direcao a umparedao vertical de pedra que esta a sua frente, em rotade colisao frontal. O piloto percebe que o som emitido peloaviao e refletido no rochedo tem a sua frequencia aumentadaem 50%. Qual a velocidade do aviao?a) 1/2 da velocidade do som no arb) 1/3 da velocidade do som no arc) 1/4 da velocidade do som no ard) 1/5 da velocidade do som no are) n. d. a.


Termodinamica Aula 1

Termodinamica

A Termodinamica e a parte da Fısica Classica que estuda ossistemas termicos, os processos de transformacoes fısicas queocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia,calor e o trabalho mecanico.

Temperatura

Temperatura e calor sao grandezas basicas no estudo datermofısica e tanto a sua compreensao como a sua perfeitadistincao sao de importancia vital para o entendimento detoda a termofısica. De maneira simplificada pode-se definirque temperatura como uma grandeza que permite avaliar onıvel de agitacao das moleculas de um corpo. De acordo coma teoria cinetica dos gases, as moleculas de um gas movem-selivre e desordenadamente em seu interior, separadas umasdas outras, e apenas interagindo entre si durante colisoeseventuais. A medida que se aquece o gas, a velocidade comque suas moleculas se movem aumenta, caracterizando umaumento na energia cinetica dessas moleculas, da mesmaforma um resfriamento do gas provoca a diminuicao da ve-locidade e da energia cinetica de suas moleculas. Como avelocidade e consequentemente a energia cinetica de cadaatomo que constitui uma molecula nao e a mesma, o estadotermico de um corpo e avaliado pela energia cinetica mediade seus atomos: quanto maior for a energia cinetica mediadas partıculas que compoem um corpo, maior sera a suatemperatura.

Calor

Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em con-tato termico, observamos o mais quente esfriar e o maisfrio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpomais frio ganha calor. Os corpo trocarao calor ate a atingi-rem a mesma temperatura, neste caso estarao em equilıbriotermico. Essa e a chamada lei zero da Termodinamica.

Portanto o calor e a energia em transito do corpo maisquente para o corpo mais frio por causa da diferenca detemperatura dos corpos em contato termico. Entao, a uni-dade de medida de calor e a mesma unidade de energia.

No Sistema Internacional, a unidade de energia e o jouleou J , e na Quımica se usa a caloria ou cal. A equivalenciaentre as unidades e:

1 cal = 4, 186 J

Escalas Termometricas

Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas ter-mometricas a partir do termometro de mercurio, o maissimples e comum. E constituıdo de uma haste oca de vi-dro, ligada a um bulbo contendo mercurio. Ao ser colocadoem contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura sequer medir, o mercurio se dilata ou contrai, de forma quecada comprimento de sua coluna corresponde a um valor de

temperatura. A parede da haste e graduada conveniente-mente, para indicar a temperatura correspondente a cadacomprimento da coluna de mercurio.

As escalas termometricas mais importantes sao a Celsius,a Fahrenheit e a Kelvin, e sao atribuıdos aos pontos fixos(ponto de fusao PF e ponto de ebulicao da agua PE), osvalores abaixo:

TF TC

Ebulicao

0 K

373 Kda Agua

212 F 100 C

−459 Fo

o o

o−273 CZero

Absoluto

Fahrenheit Celsius Kelvin

T

Fusao o32 F 0 C 273 K

o

~ ,

~

do Gelo

’

Figura 1: Os pontos de referencia nas diferentes esca-las.

Conversao de Temperaturas

Embora usualmente se empregue o grau celsius (C) comounidade pratica de temperatura, a conversao entre escalas emuito importante, pois o kelvin e a unidade de temperaturado SI, e o grau Fahrenheit (F ) ainda e bastante utilizadoem livros e filmes de lıngua inglesa. A relacao entre asescalas termometricas pode ser obtida facilmente atraves deproporcoes matematicas. Imagine-se tres termometros deconstrucao identica, cada um graduado em uma das escalas(Celsius , Fahrenheit e Kelvin), em equilıbrio termico comum mesmo corpo. Obviamente, os tres termometros estaraoindicando o mesmo estado termico e, portanto, apresentaraoas colunas de mercurio no mesmo nıvel. Observando-se ospontos fixos ja definidos para cada escala, e chamando deTC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas Celsius,Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabeleceras proporcoes:

TC − 0 C

100 C − 0 C=

TF − 32 F

212 F − 32 F=

T − 273 K

373 K − 273 K

logo:

TC

5 C=

TF − 32 F

9 F=

T − 273 K

5 K

Observe que ambas as escalas Celsius e Kelvin saocentıgradas, pois o intervalo e calibracao (do ponto de fusao


do gelo ao de ebulicao da agua) e dividido em 100 graus, ou100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo e subdivi-dido em 180 partes (graus frahrenheit).

Intervalos de Temperatura

Converter temperaturas de uma escala para a outra nao eo mesmo que converter intervalos de temperatura entre asescalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 Ccorresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalode 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondentesera de 18 F , pois para cada grau celsius, temos 1,8 graufahrenheit.

A menor temperatura que existe na natureza e o chamadozero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin edita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidosarbitrariamente, nao levando em conta a possibilidade dehaver uma menor temperatura possıvel na natureza, o queso foi descoberto depois da criacao das primeiras escalastermicas.

Pense um Pouco!

• Qual a temperatura normal do corpo humano, em F?

• A temperatura ideal da cerveja e em torno de 4 C, an-tes de beber. Se dispomos apenas de um termometrocom escala Kelvin, qual a temperatura absoluta corres-pondente ao mesmo estado termico da cerveja ideal?


1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um medico sodispunha de um termometro graduado na escala Fahrenheit.Se o paciente estava com febre de 42 C, a leitura feita pelomedico no termometro por ele utilizado foi de :a) 104 Fb) 107, 6 Fc) 72 Fd) 40 Fe) 106, 2 F

2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termometroCelsius marca 120C. Um termometro Fahrenheit e umKelvin marcariam na mesma situacao, respectivamente:a) 248 F e 393 Kb) 198 F e 153 Kc) 298 F e 153 Kd) 393 F e 298 Ke) nenhuma resposta e correta

3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de agua esta auma temperatura de 55 C. Essa temperatura correspondea:a) 55 Fb) 328 Fc) 459 Kd) 131 Fe) 383 K


4. (UEL) Um termometro foi graduado, em graus Celsius,incorretamente. Ele assinala 1 C para o gelo em fusao e97 C para a agua em ebulicao, sob pressao normal. Pode-se afirmar que a unica temperatura que esse termometroassinala corretamente, em graus Celsius e:a) 12b) 49c) 75d) 25e) 64

5. (CENTET-BA) Num termometro de escala X , 20 Xcorrespondem a 25 C, da escala Celsius, e 40 X corres-pondem a 122 F , na escala Fahrenheit. Esse termometroapresentara, para a fusao do gelo e a ebulicao da agua, osrespectivos valores, em X :a) 0 e 60b) 0 e 80c) 20 e 60d) 20 e 80e) 60 e 80

6. (PUC) Uma revista cientıfica publicou certa vez um ar-tigo sobre o planeta Plutao que, entre outras informacoes,dizia “...sua temperatura atinge −380 ...”. Embora o au-tor nao especificasse a escala termometrica utilizada, certa-mente se refere a escala:a) Kelvinb) Celsiusc) Fahrenheitd) Kelvin ou Celsiuse) Fahrenheit ou Celsius


Dilatacao Termica

Quando aquecemos um solido, geralmente suas dimensoesaumentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimensoesdiminuem. A esse aumento e a essa diminuicao de dimensoesde um solido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento,chamamos de dilatacao termica.

Para os solidos, temos tres tipos de dilatacao:

• Dilatacao linear (ou unidimensional)

• Dilatacao superficial (ou bidimensional)

• Dilatacao volumetrica (ou tridimensional)

Dilatacao Linear

Para observarmos a dilatacao de um solido, imaginemosuma barra de comprimento inicial L0 na temperatura inicialT0, que passa a ter o comprimento final L quando aquecida atemperatura final T , sofrendo um aumento de comprimento:

∆L = L− L0


L0

T0

T0

∆ L

T >

L

Verifica-se experimentalmente que ∆L e proporcional aocomprimento inicial L0 e a variacao de temperatura ∆T ,podendo se expressar essa relacao por:

∆L = αL0∆T

em que α e um coeficiente de proporcionalidade carac-terıstico do material que constitui a barra, chamado de co-eficiente dilatacao linear.

Assim, o comprimento final da barra sera

L = L0 + ∆L = L0(1 + α∆T )

Dilatacao Superficial e Volumetrica

Para essas dilatacoes, valem consideracoes analogas as vistasna dilatacao linear, ou seja:

∆A = βA0∆T

e∆V = γV0∆T

onde β e o coeficiente de dilatacao superficial e γ e o coefi-ciente de dilatacao volumetrica.

L0

∆ L

20A = L

0

0∆2

A = L = A + A

0∆ ∆A = L + 2L L + ( L)

0

2 2

∆α L = L T0

∆L

0

∆ L

antes de aquecer

e depois

e como

temos que

e finalmente

eαA = A (1 + 2 T)0

0

2 2∆

20

0α ∆ α2

0A = A 2 T

0A = L + 2 L T + L ( T)∆

∆

2α20

α

∆ ∆α

2

A = L [1 + 2 T + ( T) ]2

∆

Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podemser escritos em funcao do coeficiente de dilatacao linear αcomo:

β = 2α e γ = 3α

Dilatacao dos lıquidos

A dilatacao termica de um lıquido corresponde ao aumentoou a diminuicao de volume desse lıquido quando este e aque-cido ou resfriado. Ao estudar a dilatacao dos lıquidos, ja quenao possuem forma propria, nao se definem comprimento

e area do lıquido, o que nao tem significado. Neste casoestuda-se apenas a dilatacao cubica.

Para tanto, usamos a mesma relacao definida para ossolidos, ja que a lei e a mesma para ambos:

V = V0(1 + γ∆T )

Os lıquidos so podem ser estudados dentro de recipientessolidos. E pois, impossıvel estudar dilatacao dos lıquidossem considerar a dilatacao dos recipientes que os contem.Isso implica dois tipos de dilatacao para um lıquido; umadilatacao real, que depende apenas do lıquido, e a outraaparente, que leva em conta a dilatacao do frasco que ocontem.

Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de umlıquido, numa temperatura inicial T0. Ao levarmos o con-junto (lıquido mais frasco) para uma temperatura final T ,com T > T0, notamos que ocorre um extravasamento par-cial do lıquido. O volume extravasado fornece a dilatacaoaparente ∆Vap. do lıquido, pois como o frasco tambem dila-tou, o volume que esta no interior do frasco no final e maiorque no inıcio. Portanto a dilatacao real do lıquido e a somada sua dilatacao aparente e a do frasco:

∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vfrasco

como ∆V = V0γ∆T entao

V0γr∆T = V0γa∆T + V0γf∆T

logoγr = γa + γf

Entao, devemos observar que a dilatacao do lıquido compen-sou a dilatacao do frasco e ainda nos forneceu a dilatacaoaparente.

Dilatacao Anomala da Agua

A agua possui um comportamento anomalo em sua di-latacao. A 4 C o volume da agua e mınimo e a sua den-sidade e maxima. Isto ocorre devido ao fortalecimento daspontes de hidrogenio, abaixo de 4 C, quando as moleculasde H2O comecam a se reorganizar para a formacao dos cris-tais de gelo, onde irao ocupar um volume maior do que noestado lıquido.

Esse comportamento da agua explica por que num lago,quando a temperatura cai a valores extremamente baixos,a agua se solidifica apenas na superfıcie. Isto ocorre porqueate 4 C, no resfriamento, a agua da superfıcie torna-semais densa e afunda, subindo a agua mais quente do fundoque e menos densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de4 C, a agua da superfıcie se expande, diminuindo a suadensidade, assim essa agua fria nao desce mais e ao atingir0 C se solidifica. No fundo fica agua mais quente, numatemperatura de 4 C. E isto que preserva a vida animal evegetal existente no fundo do lago.

Pense um Pouco!

• Os musicos geralmente deixam para afinar seus instru-mentos no local da apresentacao, a diferenca de tempe-ratura entre o ambiente que estao , e o local do show,podem desafinar seus instrumentos?



1. (Fuvest) Cafe fervente e despejado em um copo de vidro.O corpo parte-se. Uma possıvel explicacao seria:a) A dilatacao das varias partes do copo nao e uniforme.b) O ponto de fusao do vidro e proximo ao de ebulicao docafe.c) Sendo o vidro transparente, o calor passa atraves delecom facilidaded) A capacidade Termica do vidro e menor que a do cafee) O calor especıfico do vidro e menor que o do cafe

2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento detemperatura de 10 C. O coeficiente de dilatacao linear docobre e 17× 10−6 C−1. A variacao do comprimento foi de:a) 17 mmb) 17 mc) 100, 17 md) 17 cme) 1, 7 m

3. (UNITAU) Um orifıcio numa panela de ferro, a 0 C tem5 cm2 de area. Se o coeficiente de dilatacao linear do ferroe de 1, 2 × 10−5 C−1, a area desse orifıcio a 300 C sera,em cm2:a) 5,018b) 10,072c) 4,964d) 10,036e) 5,036


4. (UNESP-SP) A dilatacao termica dos solidos e umfenomeno importante em diversas aplicacoes de engenharia,como construcoes de pontes, predios e estradas de ferro.Considere o caso dos trilhos de trem serem de aco, cujocoeficiente de dilatacao e 11 × 10−6 C−1. Se a 10 C ocomprimento de um trilho e de 30 m, de quanto aumenta-ria o seu comprimento se a temperatura aumentasse para40 C?a) 11× 10−4 mb) 33× 10−4 mc) 99× 10−4 md) 132× 10−4 me) 165× 10−4 m

5. (UFLA-MG) O tanque de combustıvel de um carro deformula 1 tem capacidade de 120 litros e sao colocados 100litros de combustıvel a 5, 0 C. Considerando o coeficientede dilatacao volumetrica do combustıvel 1, 2× 10−3 C−1 ea variacao de volume do tanque desprezıvel, entao a 45 Co volume colocado tera um acrescimo, em litros, de:a) 4,8 litrosb) 3,6 litrosc) 2,4 litrosd) 1,2 litrose) 20,0 litros

6. (MACKENZIE) Uma barra metalica, ao variar sua tem-peratura em 80 C, sofre um aumento de comprimento de0,16%. O coeficiente de dilatacao volumetrica do material

dessa barra e, em C−1:a) 6× 10−5

b) 5× 10−5

c) 4× 10−5

d) 3× 10−5

e) 2× 10−5


Transformacoes Gasosas

Consideracoes iniciais

Gas Perfeito (ou ideal) e um modelo teorico de gas queobedece, em seu comportamento, as leis estabelecida porRobert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac ePaul Emile Clapeyron.

Um Gas real tem seu comportamento tanto mais proximodo ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quantomais baixa for sua pressao.

Variaveis de estado de um gas

Algumas grandezas que definem e caracterizam o estadotermodinamico de uma dada massa de gas sao chamadasvariaveis de estado. Sao por exemplo, a temperatura, apressao, o volume, a energia interna, etc. Destas, as quenos interessam, por enquanto, sao a temperatura, a pressaoe o volume.

Volume (V )

Os gases nao tem volume nem forma proprios. Por definicao,volume de um gas e o volume do recipiente ocupado por ele.As unidades usuais de volume sao: L (litro), cm3 e m3.

Pressao (P )

A pressao exercida por um gas e devida aos choques dassuas partıculas contra as paredes do recipiente. As unidadesusuais de pressao sao: N/m2, Pa, atm e mmHg, onde valemas seguintes relacoes:

1 N/m2 = 1 Pa1 atm = 105 N/m21 atm = 760 mmHg

Temperatura (T )

Mede o estado de movimento das partıculas do gas. Nateoria dos gases perfeitos, e usada a temperatura absoluta(escala Kelvin).

Transformacoes de um Gas

Dizemos que uma dada massa de gas sofre uma trans-formacao quando ha variacao de pelo menos uma de suasvariaveis de estado. Entre as transformacoes de um gas,devemos destacar as seguintes:


• Isotermicas: sao as que ocorrem a temperatura cons-tante;

• Isobaricas: sao as que ocorrem a pressao constante;

• Isometricas (ou Isocoricas): sao as que ocorrem avolume constante.

• Adiabaticas: sao as que ocorrem sem troca de calorcom o meio externo.

Leis dos Gases

As leis fısicas dos gases sao leis de carater experimental queregem as principais transformacoes gasosas.

Lei de Boyle e Mariotte

Rege as transformacoes Isotermicas e pode ser enunciadaassim:

“Quando uma dada massa de gas perfeito e mantida a tem-peratura constante, a pressao e inversamente proporcionalao volume”

ou seja,

pV = constante

Lei de Gay -Lussac

Rege as transformacoes Isobaricas e pode ser enunciada as-sim:

“Quando uma dada massa de gas perfeito e mantida apressao constante, o volume e diretamente proporcional atemperatura absoluta”

ou seja,

V = constante× T

Lei de Charles

Rege as transformacoes Isometricas e pode ser enunciadaassim:

“Quando uma dada massa de gas perfeito e mantida a vo-lume constante, a pressao e diretamente proporcional a tem-peratura absoluta”

ou seja,

p = constante× T

Equacao de Clapeyron

Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos quea pressao exercida por um gas perfeito e inversamente pro-porcional ao seu volume e diretamente proporcional a suatemperatura absoluta. E facil observar tambem que essapressao e proporcional ao numero de partıculas de gas exis-tente no recipiente. Convertendo esse numero de partıculasem numero de moles (n) , podemos equacionar tudo isso,obtendo a seguinte relacao:

pV = nRT

onde R e uma constante de proporcionalidade, igual paratodos os gases, denominada constante universal dos gasesperfeitos e no SI temos

R = 8, 31 J/mol ·K

Quando a pressao p e dada em atm, o volume V e dado emlitros (L), o numero de moles n e dado em mol, a tempera-tura T e dada em kelvin, a constante R sera dada por:

R = 0, 0831 atm · L/mol ·K

ja que a unidade de energia

atm · L = (105 N/m2)× (10−3 m3 = 100 J

ou seja,

1 J = 0, 01 atm · L

Pense um Pouco!

• Por que nao devemos incineram latas de spray vazias?

• Por quem um balao de gas abandonado explode aosubir na atmosfera?


1. (UFU-MG) Uma panela de pressao de volume 8, 3 litrose dotada de uma valvula de seguranca, cuja abertura ocorrequando a pressao interna ultrapassa 20 atm. Se no recipi-ente existem 5, 0 mol de um gas perfeito, qual a maximatemperatura possıvel, em graus Celsius, para que o gas naoescape pela valvula?a) 200b) 300c) 400d) 500e) 600

2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massade gas perfeito a temperatura de 27 C para outro recipientede volume 20% maior. Para que a pressao do gas nesse novorecipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecero gas de:a) 60 Cb) 50 Cc) 40 Cd) 30 Ce) 20 C

3. (USC-BA) Certa massa de uma gas ocupa o vo-lume de 100 L sob pressao de 3, 0 atm e temperaturade 27 C. A constante universal dos gases perfeitos valeR = 0, 0831 atm ·L/mol · C. A massa do gas, sabendo quea sua molecula grama e de 27, 7 g, e:a) 111, 1 gb) 222, 2 gc) 333, 3 gd) 444, 4 ge) 555, 5 g



4. (CESGRANRIO) No SI, a constante universal dos gasesperfeitos e expressa em:a) (l · atm)/(K ·mol)b) cal/(g · C)c) J/(kg ·K)d) J/(mol ·K)e) J/kg

5. (FUVEST) Certa massa de um gas ideal sofre uma trans-formacao na qual a sua pressao e triplicada e seu volume ereduzido a metade. A temperatura absoluta final do gassera:a) 1/3 do seu valor inicialb) 2/3 do seu valor inicialc) 3/2 do seu valor iniciald) 2 vezes o seu valor iniciale) 3 do seu valor inicial

6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um gas perfeitoesta num recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o gasse encontra numa temperatura de 127 C, podemos afirmarque a pressao a que o gas esta submetido sera aproximada-mente :a) 40 atmb) 12 atmc) 18 atmd) 20 atme) 24 atm


Lei de Avogrado

Ate o inıcio do seculo passado, os cientistas ja haviam ad-quirido uma razoavel quantidade de informacoes sobre asreacoes quımicas observadas entre gases. O cientista ita-liano Amedeo Avogrado, baseando-se nestas informacoes eem resultados de experiencias realizadas por ele proprio,formulou em 1811 uma hipotese muito importante, relacio-nando o numero de moleculas existentes em duas amostrasgasosas. Segundo Avogrado,

se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume,contendo gases diferentes, ambos a mesma tempera-tura e pressao, o numero de moleculas contidas emcada recipiente deveria ser o mesmo.

Posteriormente, um grande numero de confirmacoes experi-mentais desta afirmativa fizeram com que ela passasse a serconhecida como a lei de Avogrado:

Volumes iguais, de gases diferentes, a mesma tem-peratura e pressao, contem o mesmo numero demoleculas.

Confirmacoes Experimentais

A lei de Avogrado e amplamente confirmada pela ex-periencia. Uma das verificacoes desta lei pode ser feitaquando analisamos, no laboratorio, a decomposicao de al-guns gases. Tomemos, por exemplo, volumes iguais de HCl,

H2O e NH3, sob a forma gasosa, a mesma pressao e tem-peratura. De acordo com a Lei de Avogrado, as tres amos-tras dos gases considerados devem Ter o mesmo numeroN de moleculas. Decompondo estes gases e recolhendo ohidrogenio liberado em cada amostra, deverıamos, entao,obter:

Para o HCl: N atomos de Hpara o H2O: 2N atomos de He para o NH3: 3N atomos de H .

A experiencia confirma este resultado pois, enquanto se re-colhe uma massa m de hidrogenio na decomposicao do HCl,verifica-se que uma massa 2m e recolhida na decomposicaodo H2O e uma massa 3m na decomposicao do NH3.

O Numero de Avogrado (NA)

Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medirqual e o numero de moleculas que existe em uma dada massado gas. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de variosgases diferentes (2 g de H2, 32 g de O2, 28 g de N2, etc...).De seus conhecimentos de quımica, voce ja deve saber queo numero de moleculas, em cada uma dessas amostras, e omesmo. Este numero e denominado Numero de Avogrado ee representado por NA.

O cientista Perrin, no inıcio do seculo, realizou uma seriede experiencias, procurando determinar o valor de NA, con-cluindo que este valor estaria compreendido entre 6, 5×1023

e 7, 2× 1023 moleculas em cada mol. Por esta medida, Per-rin recebeu o Premio Nobel de Fısica, em 1926. Posterior-mente, medidas mais precisas mostraram que o valor NA emais proximo de

NA = 6, 02× 1023 moleculas/mol

Densidade e Massa Molecular

Define-se a densidade ρ volum’etrica de uma amostra devolume V e massa m de qualquer substancia homogeneacomo

ρ =m

V

e a unidade SI da densidade e o kg/m3.

Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupandoo mesmo volume, a mesma pressao e temperatura. Pela leide Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmonumero de moleculas. Supondo que a massa molecular deA, MA, seja o dobro da massa molecular de B, MB, evi-dentemente a massa da amostra A, mA, tambem sera odobro da massa sa amostra B, mB. Mas, como as amos-tras tem volumes iguais, concluimos que a densidade de A,ρA, sera o dobro da densidade de B, ρB. Do mesmo modo,se tivessemos MA = 3MB, terıamos, tambem, ρA = 3ρB.Entao, podemos concluir que

ρA

ρB=

MA

MB

isto e, a densidade de um gas e diretamente proporcional asua massa molecular.


Pense um Pouco!

• Escreva o numero de avogadro por extenso, com os seus23 zeros, e observe como ele e enorme!

• Quando um gas e comprimido, o que aontece com asua densidade?

• O que aconteceria com a hipotese de Avogrado emcondicoes que nao fossem as CNTP?


1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mes-mas condicoes de temperatura e pressao, 3 volumes de hi-drogenio reagem com um volume de ozonio, produzindo 3volumes de vapor de agua. Essa informacao nos permitededuzir - a partir da Lei de Avogrado - que o numero deatomos na molecula de ozonio e igual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

2. (UCS-BA) Sob as mesmas condicoes de temperatura epressao, o volume de qualquer gas e diretamente propor-cional ao seu numero de moleculas. Essa e uma forma deenunciar a Lei de:a) Avogradob) Gay-Lussacc) Lavoisierd) Faradaye) Einstein

3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um gas perfeitoa temperatura de 17 C e pressao de 50 Pa. Dado R =8, 31 J/mol·K, podemos afirmar que o numero de moleculasnesse recipiente e de:a) 2, 7× 107 moleculasb) 3, 7× 107 moleculasc) 5, 0× 107 moleculasd) 2, 7× 1018 moleculase) n.d.a.


4. (FUVEST) A 25 C e 1 atm, o volume de 1 mol deatomos de nıquel (massa atomica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3)e aproximadamente igual a:a) 33 cm3

b) 26 cm3

c) 20 cm3

d) 6, 6 cm3

e) 13 cm3

5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de agua, ooutro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculouo numero de moleculas ingerida pelo seu colega, que foi de:a) 1, 2× 1025 moleculas

b) 2, 2× 1025 moleculasc) 3, 2× 1025 moleculasd) 4, 2× 1025 moleculase) 5, 2× 1025 moleculas

6. (UFES) Tres recipientes, A, B e C, de volumes iguais,contem respectivamente, HCl, H2O e NH3, todos no es-tado gasoso, a mesma pressao e temperatura. Suponha queo recipiente A contenha 1, 0 × 1024 moleculas de HCl. Po-demos afirmar que o numero de moleculas de vapor de H2Oexistentes no recipiente B e:a) 1, 0× 1024 moleculasb) 6, 02× 1023 moleculasc) 2, 0× 1024 moleculasd) 3, 0× 1024 moleculase) 4, 0× 1024 moleculas


Modelo Molecular de um Gas

As leis que descrevem o comportamento dos gases, foramobtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionarestas leis com o comportamento das partıculas que cons-tituem o gas, isto e, seus atomos ou suas moleculas. Oscientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura mo-lecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposicoes:

1. um gas e constituido de pequenas partıculas, atomosou moleculas;

2. o numero de moleculas existentes em uma dada massagasosa e muito grande;

3. a distancia media entre as moleculas e muito maior doque as dimensoes de uma molecula;

4. as moleculas de um gas estao em constante movimento,e este movimento e inteitamente ao acaso, isto e asmoleculas se movimentam em qualquer direcao.

Ao estabelecerem estas hipoteses, os cientistas estavam ten-tando descrever o comportamento de um gas atraves do mo-vimento de suas moleculas, isto e, estavam supondo que asleis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis daMecanica ao movimento das moleculas, tratando-as comose fossem partıculas. Desta maneira, os cientistas estrutu-raram um modelo para descrever o comportamento de umgas.

Este modelo e denominado modelo cinetico em virtude dese basear no movimento das moleculas do gas.

Calculo Cinetico da Pressao (p)

Como vimos, no modelo cinetico de um gas, o numero demoleculas e muito grande e elas estao em constante movi-mento. Em consequencia disto, as moleculas colidem conti-nuamente contra as paredes do recipiente que contem o gas,exercendo uma pressao nessas paredes. Como o numero decolisoes e muito grande, nao se percebe o efeito do choquede cada partıcula. O que se observa e o efeito medio dafrequente sucessao de colisoes, que ocasiona o aparecimento


de uma forca contınua, sem flutuacoes, pressionando as pa-redes do recipiente. Portanto, a pressao que um gas exercesobre as paredes do recipiente que o contem e devida asincessantes e contınuas colisoes das moleculas do gas con-tra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecanicaas colisoes das moleculas contra as paredes do recipiente,os fısicos do seculo passado obtiveram uma expressao ma-tematica, relacionando a pressao exercida por um gas comas seguintes grandezas:

N - numero de moleculas do recipienteV - volume do recipientem - massa de cada moleculav2 - media dos quadrados das velocidades das moleculas

A expressao a que chegaram foi a seguinte:

p =1

3(N/V )mv2

Analisando esta expressao vemos que:

• p ∝ N : este resultado e intuitivo pois, quanto maiorfor o numero total de moleculas, maior sera o numerode colisoes contra as paredes e, portanto, maior sera apressao exercida pelo gas;

• p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maiorsera a distancia que uma molecula tera que percor-rer para colidir contra as paredes e, consequentemente,menor sera o numero de colisoes, isto e, menor sera apressao exercida pelo gas;

• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maiorfor a massa de um molecula, maior sera a sua quan-tidade de movimento (~q = m~v) e assim, maior seraa forca que ela exerce ao colidir contra a parede dorecipiente;

• p ∝ v2: realmente, quanto maior for v2, mais rapida-mente as moleculas estarao se movimentando. E facilperceber que, nestas condicoes, maior sera a forca quecada molecula exercera ao colidir contra a parede e,alem disso, maior sera o numero de colisoes.

Interpretacao Cinetica da Temperatura (T )

Como ja mencionamos em outra ocasiao, a temperatura deum corpo se relaciona com a energia de agitacao dos atomose moleculas deste corpo.

Mostraremos agora como os fısicos do seculo passado, ba-seados no modelo cinetico de um gas, chegaram a esta con-clusao. A expressao p = Nmv2/3V , que havia sido obtidabaseando-se no modelo cinetico, pode ser escrita como

pV =Nmv2

3

Comparando-a com a equacao de estado de um gas ideal,pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente,conclui-se que

Nmv2

3= nRT

Mas sendo NA (o numero de Avogrado) o numero demoleculas que existe em 1 mol e sendo n o numero de molesque corresponde a N moleculas, e claro que

N = nNA

e com este valor de N na igualdade anterior, vira

nNAmv2

3= nRT

ou, simplificando e reescrevendo

mv2 = 3(R/NA)T

e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos

1

2mv2 =

3

2(R/NA)T

Observe que o primeiro membro desta expressao representaa energia cinetica media das moleculas. Esta energiacinetica media sera representada por EC . O quocienteR/NA que aparece no segundo membro, e constante, pois,como ja sabemos, tanto R quanto NA sao constantes. Estequociente e muito importante, e representado por kB e e afamosa constante de Boltzmann:

kB = 1, 38× 10−23 J/K

Desta maneira, chegamos a seguinte expressao:

EC =3

2kBT

que mostra ser a energia cinetica media das moleculas deum gas diretamente proporcional a sua temperatura abso-luta, isto e, quanto maior for a energia cinetica media dasmoleculas, maior sera a temperatura do gas. Destacamos,entao que: a temperatura absoluta, T de um gas esta rela-cionada com a energia cinetica media de suas moleculas.

Em uma amostra, podemos dizer que a unica energia exi-tente e a energia de cada partıcula, sendo N o numero departıculas, a energia mecanica total da amostra e E = NEC .Essa energia mecanica total e por definicao a energia in-terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa relacao naexpressao da energia cinetica temos:

Eint. = N3

2kBT

ou, como N = nNA e kB = R/NA, temos

Eint. =3

2nRT

Pense um Pouco!

• Quando um gas absorve calor e seu volume e mantidofixo, para onde vai a energia ganha? Explique.

• Se um gas num pistao isolado se expande e realiza umtrabalho mecanico, o que acontece com sua tempera-tura? Explique.


1. (ACAFE) Um recipiente contem H2 a 27 C. Podemosafirmar que a energia cinetica media de suas moleculas e:a) 2, 2× 10−21 Jb) 3, 2× 10−21 J


c) 6, 2× 10−21 Jd) 7, 1× 10−21 Je) n.d.a

2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de helio a 17 C.Adimtindo que nessas condicoes o helio se comporta comoum gas ideal, a energia mecanica (interna) do sistema e dadapor:a) 6, 2× 103 Jb) 7, 2× 103 Jc) 2, 4× 103 Jd) 2, 2× 103 Je) 1, 5× 103 J

3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem-peratura de 36 C, podemos afirmar que a energia cineticamedia de suas moleculas e de:a) 6, 4× 10−21 Jb) 1, 2× 10−21 Jc) 2, 5× 10−21 Jd) 4, 3× 10−21 Je) 5, 3× 10−21 J


4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de umgas e correto afirmar que:a) a velocidade de suas moleculas permanece constanteb) a velocidade de suas moleculas aumentac) a velocidade de suas moleculas diminuid) nada podemos afirmar a respeito da velocidadee) a energia cinetica das moleculas diminui

5. (UFCE) Um recipiente A contem 5 mol de H2 a 32 C,e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 a mesma tem-peratura. Podemos afirmar que:a) a energia cinetica media das moleculas e a mesma nosdois recipientesb) a energia cinetica media das moleculas do recipiente A emaior do que as do recipiente Bc) a energia cinetica media das moleculas do recipiente A emenor do que as do recipiente Bd) depende do tamanho dos recipientese) nao e possivel determinar nada a respeito das energiascineticas das moleculas

6. (UEM-PR) As moleculas de um certo gas possuem umaenergia cinetica media de 20, 7× 10−23 J , podemos afirmarque a temperatura em C desse gas:a) e 243b) esta acima de 243c) e 200d) e zeroe) esta abaixo de −243


Modelo Molecular de um Gas

As leis que descrevem o comportamento dos gases, foramobtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar

estas leis com o comportamento das partıculas que cons-tituem o gas, isto e, seus atomos ou suas moleculas. Oscientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura mo-lecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposicoes:

1. um gas e constituido de pequenas partıculas, atomosou moleculas;

2. o numero de moleculas existentes em uma dada massagasosa e muito grande;

3. a distancia media entre as moleculas e muito maior doque as dimensoes de uma molecula;

4. as moleculas de um gas estao em constante movimento,e este movimento e inteitamente ao acaso, isto e asmoleculas se movimentam em qualquer direcao.

Ao estabelecerem estas hipoteses, os cientistas estavam ten-tando descrever o comportamento de um gas atraves do mo-vimento de suas moleculas, isto e, estavam supondo que asleis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis daMecanica ao movimento das moleculas, tratando-as comose fossem partıculas. Desta maneira, os cientistas estrutu-raram um modelo para descrever o comportamento de umgas.

Este modelo e denominado modelo cinetico em virtude dese basear no movimento das moleculas do gas.

Calculo Cinetico da Pressao (p)

Como vimos, no modelo cinetico de um gas, o numero demoleculas e muito grande e elas estao em constante movi-mento. Em consequencia disto, as moleculas colidem conti-nuamente contra as paredes do recipiente que contem o gas,exercendo uma pressao nessas paredes. Como o numero decolisoes e muito grande, nao se percebe o efeito do choquede cada partıcula. O que se observa e o efeito medio dafrequente sucessao de colisoes, que ocasiona o aparecimentode uma forca contınua, sem flutuacoes, pressionando as pa-redes do recipiente. Portanto, a pressao que um gas exercesobre as paredes do recipiente que o contem e devida asincessantes e contınuas colisoes das moleculas do gas con-tra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecanicaas colisoes das moleculas contra as paredes do recipiente,os fısicos do seculo passado obtiveram uma expressao ma-tematica, relacionando a pressao exercida por um gas comas seguintes grandezas:

N — numero de moleculas do recipiente

V — volume do recipiente

m — massa de cada molecula

v2 — media dos quadrados das velocidades das moleculas

A expressao a que chegaram foi a seguinte:

p =1

3(N/V )mv2

Analisando esta expressao vemos que:

• p ∝ N : este resultado e intuitivo pois, quanto maiorfor o numero total de moleculas, maior sera o numerode colisoes contra as paredes e, portanto, maior sera apressao exercida pelo gas;


• p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maiorsera a distancia que uma molecula tera que percor-rer para colidir contra as paredes e, consequentemente,menor sera o numero de colisoes, isto e, menor sera apressao exercida pelo gas;

• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maiorfor a massa de um molecula, maior sera a sua quan-tidade de movimento (~q = m~v) e assim, maior seraa forca que ela exerce ao colidir contra a parede dorecipiente;

• p ∝ v2: realmente, quanto maior for v2, mais rapida-mente as moleculas estarao se movimentando. E facilperceber que, nestas condicoes, maior sera a forca quecada molecula exercera ao colidir contra a parede e,alem disso, maior sera o numero de colisoes.

Interpretacao Cinetica da Temperatura (T )

Como ja mencionamos em outra ocasiao, a temperatura deum corpo se relaciona com a energia de agitacao dos atomose moleculas deste corpo.

Mostraremos agora como os fısicos do seculo passado, ba-seados no modelo cinetico de um gas, chegaram a esta con-clusao. A expressao p = Nmv2/3V , que havia sido obtidabaseando-se no modelo cinetico, pode ser escrita como

pV =Nmv2

3

Comparando-a com a equacao de estado de um gas ideal,pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente,conclui-se que

Nmv2

3= nRT

Mas sendo NA (o numero de Avogrado) o numero demoleculas que existe em 1 mol e sendo n o numero de molesque corresponde a N moleculas, e claro que

N = nNA

e com este valor de N na igualdade anterior, vira

nNAmv2

3= nRT

ou, simplificando e reescrevendo

mv2 = 3(R/NA)T

e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos

1

2mv2 =

3

2(R/NA)T

Observe que o primeiro membro desta expressao representaa energia cinetica media das moleculas. Esta energiacinetica media sera representada por EC . O quocienteR/NA que aparece no segundo membro, e constante, pois,como ja sabemos, tanto R quanto NA sao constantes. Estequociente e muito importante, e representado por kB e e afamosa constante de Boltzmann:

kB = 1, 38× 10−23 J/K

Desta maneira, chegamos a seguinte expressao:

EC =3

2kBT

que mostra ser a energia cinetica media das moleculas deum gas diretamente proporcional a sua temperatura abso-luta, isto e, quanto maior for a energia cinetica media dasmoleculas, maior sera a temperatura do gas. Destacamos,entao que: a temperatura absoluta, T de um gas esta rela-cionada com a energia cinetica media de suas moleculas.

Em uma amostra, podemos dizer que a unica energia exi-tente e a energia de cada partıcula, sendo N o numero departıculas, a energia mecanica total da amostra e E = NEC .Essa energia mecanica total e por definicao a energia in-terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa relacao naexpressao da energia cinetica temos:

Eint. = N3

2kBT

ou, como N = nNA e kB = R/NA, temos

Eint. =3

2nRT

Pense um Pouco!

• Quando um gas absorve calor e seu volume e mantidofixo, para onde vai a energia ganha? Explique.

• Se um gas num pistao isolado se expande e realiza umtrabalho mecanico, o que acontece com sua tempera-tura? Explique.


1. (ACAFE) Um recipiente contem H2 a 27 C. Podemosafirmar que a energia cinetica media de suas moleculas e:a) 2, 2× 10−21 Jb) 3, 2× 10−21 Jc) 6, 2× 10−21 Jd) 7, 1× 10−21 Je) n.d.a

2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de helio a 17 C.Adimtindo que nessas condicoes o helio se comporta comoum gas ideal, a energia mecanica (interna) do sistema e dadapor:a) 6, 2× 103 Jb) 7, 2× 103 Jc) 2, 4× 103 Jd) 2, 2× 103 Je) 1, 5× 103 J

3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem-peratura de 36 C, podemos afirmar que a energia cineticamedia de suas moleculas e de:a) 6, 4× 10−21 Jb) 1, 2× 10−21 Jc) 2, 5× 10−21 Jd) 4, 3× 10−21 Je) 5, 3× 10−21 J



4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de umgas e correto afirmar que:a) a velocidade de suas moleculas permanece constanteb) a velocidade de suas moleculas aumentac) a velocidade de suas moleculas diminuid) nada podemos afirmar a respeito da velocidadee) a energia cinetica das moleculas diminui

5. (UFCE) Um recipiente A contem 5 mol de H2 a 32 C,e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 a mesma tem-peratura. Podemos afirmar que:a) a energia cinetica media das moleculas e a mesma nosdois recipientesb) a energia cinetica media das moleculas do recipiente A emaior do que as do recipiente Bc) a energia cinetica media das moleculas do recipiente A emenor do que as do recipiente Bd) depende do tamanho dos recipientese) nao e possivel determinar nada a respeito das energiascineticas das moleculas

6. (UEM-PR) As moleculas de um certo gas possuem umaenergia cinetica media de 20, 7× 10−23 J , podemos afirmarque a temperatura desse gas e:a) e 243 Cb) esta acima de 243 Cc) e 200 Cd) e 0 Ce) esta abaixo de −243 C


Capacidade Termica (C)

Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesmaforma ao receberem calor. Ao se esquentar agua na chamade um fogao, por exemplo, observa-se que, quanto maior amassa de agua a aquecer, maior a quantidade de calor ne-cessaria para produzir a mesma variacao de temperatura.Do mesmo modo, materiais diferentes necessitam de quan-tidades de calor diferentes para sofrerem a mesma variacaode temperatura. Uma colher de metal, por exemplo, ne-cessita de menos calor do que a mesma massa de agua,para o mesmo aumento de temperatura. A grandeza quemede a quantidade de calor Q necessaria para produzir de-terminada variacao de temperatura ∆T num corpo e a ca-pacidade termica ou capacidade calorıfica, definida como aquantidade de calor necessaria para variar de 1 C a suatemperatura.

C ≡ Q

∆T

Unidade SI

No SI, a capacidade termica e medida em J/K, embora napratica se use cal/C.

A capacidade termica de um corpo depende da sua massae da natureza do material de que e constituido. Ela perma-

nece constante durante o seu aquecimento ou resfriamento,desde que nao ocorra mudanca de estado fısico.

Calor Especıfico (c)

Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, masconstituıdos do mesmo material, quando submetidos a umaquecimento, observa-se que a quantidade de calor absor-vida e diretamente proporcional a sua massa. Pode-se con-cluir, portanto, que a capacidade termica de um corpo ediretamente proporcional a sua massa. Assim, a relacao en-tre a capacidade termica C de um corpo e sua massa e umaconstante m, denominada calor especıfico (c)

c = C/m

Unidade SI

No SI, o calor especıfico e medido em J/kg ·K, embora napratica se use cal/g · C.

O calor especıfico de um corpo depende do material que oconstitui, do seu estado fısico e da sua temperatura, estaporem, sem influencia consideravel no estudo. O conheci-mento do valor do calor especıfico tem importancia fun-damental na fısica, pois identifica a quantidade de calornecessaria para elevar de um grau a temperatura de umaunidade de massa do material.

Substancia c(cal/g · C) Substancia c(cal/g · C)

Amonia 1,13 Agua 1,00

Alcool 0,58 Gelo 0,55Vapor d’agua 0,48 Madeira 0,42Alumınio 0,22 Vidro 0,16Ferro 0,11 Cobre 0,092Prata 0,056 Mercurio 0,033Ouro 0,032 Chumbo 0,031

Tabela do calor especıfico c de algumas substancias.

O elevado calor especıfico da agua, comparado ao de outrassubstancias e importante, pois faz com que seja necessariaelevada quantidade de energia para variar sua tempera-tura. Por essa razao, a agua demora mais para esquentar etambem para esfriar, o que explica a estabilidade do climadas regioes proximas a grandes concentracoes de agua, comoas litoraneas. Em contra-partida , a amplitude termica deregioes deserticas pode ultrapassar os 60 C em menos de12 horas.

Calorimetria

Das definicoes de capacidade termica e calor especıfico, po-demos escrever:

C =Q

∆T

logo

Q = C∆T

( 1 ) e como

c =C

m=⇒ C = mc


temos

Q = mc∆T

Essa equacao permite calcular a quantidade de energia naforma de calor, necessaria para variar a temperatura de umadeterminada massa de qualquer substancia, desde que naoocorra nenhuma mudanca de estado no processo.

Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e au-menta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-sede calor sensıvel.

Convensao

• Quando um sistema absorve calor num processo qual-quer, associamos ao processo um calor Q > 0;

• Quando um sistema perde calor num processo qual-quer, associamos ao processo um calor Q < 0;

• Quando um sistema nao troca calor (nao ganha enem perde) num processo qualquer, associamos ao pro-cesso um calor Q = 0.

Esquematicamente:

Calor (Q) SinalAbsorvido +Perdido -

Trabalho

Um sistema pode trocar energia com sua vizinhanca naforma de calor ou pela realizacao de trabalho. Realmente,se ha uma diferenca de temperatura entre o sistema e a vi-zinhanca, uma certa quantidade de calor podera ser trans-ferida de um para o outro. Alem disso, o sistema pode seexpandir, vencendo uma pressao e portanto, realizando tra-balho sobre a vizinhanca ou, ainda, o sistema podera ter ovolume reduzido, com a realizacao de um trabalho da vizi-nhanca sobre ele.

Trabalho realizado numa EXPANSAO

Consideremos como sistema termodinamico um gas ideal,encerrado em um cilindro provido de um embolo (pistao)que pode se deslocar livremente. Suponha que o gas seencontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi.Em virtude da pressao do gas, ele exerce uma forca F sobreo pistao que, estando livre, desloca-se de uma distancia d.Assim, o gas se expandiu ate o estado final f , onde o seuvolume e Vf , e realizou um trabalho W . Se a pressao p dogas permanecer constante, o valor da forca F tambem seraconstante durante a expansao e o trabalho W , realizado pelogas, pode ser facilmente calculado. De fato, para este caso,temos:

W = Fd

Mas sendo F = pA, onde A e a area da secao reta do pistao,temos

W = pAd

Mas observe que Ad e o volume varrido pelo pistao durantea expansao, que e igual a variacao do volume do gas, isto e,

Ad = Vf − Vi, logo

W = p(Vf − Vi) = p∆V

Portanto esta expressao nos permite calcular o trabalho queum gas realiza, ao sofrer uma variacao de volume a pressaoconstante.

Trabalho realizado numa COMPRESSAO

Numa compressao, o procedimento para o calculo do tra-balho e o mesmo do caso da expansao, mudando apenas osinal final do trabalho, ja que forca que o gas exerce sobreo pistao e no sentido contrario ao seu deslocamento.

Como no caso de uma compressao o volume final Vf do gassera menor do que o seu volume inicial Vi, entao a variacaode volume sera negativa e o trabalho pode ser obtido pelamesma formula da expansao, de onde obteremos ja o sinalcorreto.

Convensao

• Quando um gas se expande num processo qualquer,dizemos que o gas realiza um trabalho W > 0;

• Quando um gas e comprimido num processo qual-quer, dizemos que o gas realiza um trabalho W < 0;

• Quando um gas permanece com volume constantenum processo qualquer, dizemos que o trabalho que ogas realiza no processo e nulo, W = 0.

Esquematicamente:

Trabalho do Gas (W ) SinalExpansao +Compressao -

Unidade SI

Sendo uma forma de energia, assim como o calor o traba-lho realizado por um gas e medido em joule ou J no SI.Lembrando:

1 J = 1 N ·m

Pense um Pouco!

• A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, e amesma registrada nos alimentos?

• Qual a relacao existente entre a caloria alimentar e oestudo do calor?


1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor paraaumentar sua temperatura de 20 C para 40 C. A capaci-dade termica desse corpo em cal/C e:a) 10b) 12c) 20d) 25e) 30


2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinadasubstancia sofre um acrescimo de temperatura de 20 C,quando absorve 200 calorias. O calor especıfico dessasubstancia, em cal/g · C, e:a) 1,2b) 1,0c) 0,5d) 0,4e) 0,2

3. (UEPB) A massa de um corpo e igual a 2 kg. Recebendo10 kcal, a sua temperatura passa de 40 C para 90 C. Ocalor especıfico desse corpo e:a) 0, 1 Cb) 0, 2 Cc) 0, 3 Cd) 0, 4 Ce) 0, 5 C


4. (ITA) A capacidade termica de uma caneca de alumınio ede 16 cal/C. Sabendo-se que o calor especıfico do alumınioe de 0, 2 cal/g · C, pode-se afirmar que a massa dessa ca-neca, em gramas, e:a) 3,2b) 32c) 90d) 160e) 800

5. (FURG) Uma fonte calorıfica fornece calor, com potenciaconstante, para 600 g de agua durante 10 min e observa-sea temperatura desta elevar-se em 15 C. Substituindo-se aagua por 300 g de outro lıquido, verifica-se que a tempera-tura deste se eleva tambem de 15 C, porem em 2 min. Ocalor especıfico do lıquido e de :a) 0,1 cal/g · Cb) 0,2 cal/g · Cc) 0,3 cal/g · Cd) 0,4 cal/g · Ce) 0,5 cal/g · C

6. (ACAFE) A capacidade termica de um corpo homogeneodepende:a) so de sua massab) de sua massa e de seu volumec) so de sua massa e do calor especıfico do material que oconstituid) de sua massa e de sua temperaturae) so do calor especıfico do material que o constitui


Primeira Lei da Termodinamica

A primeira lei da Termodinamica nada mais e que oprincıpio da Conservacao da energia aplicado a termo-dinamica. O princıpio da conservacao da energia, em linhasgerais, diz que num sistema isolado a energia total e con-servada, ou seja e constante, e jamais pode ser criada ou

destruıda dentro do sistema, mas apenas transformada deuma forma em outra.

Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de darconta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia temde ter saıdo de algum lugar. Por exemplo, admitamos queum sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energianao podem desaparecer e nem serem destruıdos no sistema.Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em conti-nuacao, que o sistema realiza 80 J de trabalho. Notamosque o sistema recebeu 100 J e 80 J . Onde estarao os 20 Jrestantes?

Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armaze-nados sob a forma de energia interna. Portanto, a energiainterna do sistema aumentou em 20 J . Podemos fazer umesquema desta troca de energia

Meio Externo

W = +80 JQ = +100 J

∆int

Sistema

U = +20 J

Sendo:

Calor recebido pelo sistema (Q): e energia que entra nosistema e a representamos por uma seta entrando, pois ocalor ı absorvido Q > 0.

Trabalho cedido pelo sistema (W ): e energia que sai dosistema na forma de trabalho e o representamos por umaseta para fora, ja que e uma energia perdida pelo sistema(W > 0).

Aumento de energia interna (∆Uint): representamos poruma quantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou pouma quantidade ∆Uint < 0, quando ela diminui.

Temos:

Q = W + ∆Uint

Para obtermos esta relacao entre Q, W e ∆Uint, basta im-pormos que “a soma das energia entram (sinal posi-tivo) com as energias que saem (sinal negativo) dosistema e igual a variacao da energia interna do sis-tema”.

Esta e a primeira lei da Termodinamica.

Aplicacoes da Primeira Lei

Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termo-dinamicos particulares. Dizemos que um sistema termicopassa por um processo de equilıbrio, ou quase-estatico,quando evolui fisicamente de forma lenta, fazendo com asvariaveis que o descrevem (p, V , T , Uint, etc) mudem sua-vemente, fazendo o sistema evoluir de forma contıa de umestado inicial i, digamos, para um estado final f .


Transformacao Isotermica (T = cte)

Para um processo termodinamico em que a temperatura naovaria, a variacao de energia interna do gas e nula. Ou seja,pela primeira lei concluimos que

Q = W

ou seja, numa transformacao isotermica, o calor trocadopelo gas com o exterior e igual ao trabalho realizado nomesmo processo.

Transformacao Isobarica (p = cte)

No processo isobarico de um gas ideal, o volume V e di-retamente proporcional a temperatura T . Portanto, numaexpansao isobarica, o volume e a temperatura aumentam,ocorrendo tambem aumento da energia interna do gas:

∆Uint > 0

e pela primeira lei concluimos que para uma expansaoisobarica

Q > W

ou seja, numa expansao isobarica, a quantidade de calorrecebida e maior que o trabalho realizado.

Transformacao Isometrica (V = cte)

Como nao ha variacao de volume nesse tipo de processo, otrabalho realizado e nulo e, pela primeira lei:

∆Uint = Q

ou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz comque a energia interna do sistema aumente (diminua).

Numa transformacao isometrica, a variacao de energia in-terna do gas e igual a quantidade de calor trocada com omeio exterior.

A transformacao a volume constante tambem e chamada deisovolumetrica, isocorica ou i

¯sometrica.

Transformacao Adiabatica (Q = 0)

Um gas sofre uma transformacao adiabatica quando naotroca calor com o meio exterior, ou seja, quando

Q = 0

Aplicando a primeira lei temos neste caso

∆Uint = −W

Numa transformacao adiabatica, a variacao de energia in-terna e igual em modulo e sinal contrario ao trabalho re-alizado na transformacao. Ou seja, se um sistema realizatrabalho adiabaticamente, tera de consumir sua energia in-terna, ja que nao absorveu calor.

Segunda Lei da Termodinamica

A segunda lei da Termodinamica, a exemplo da primeira,tem diferentes enunciados que se equivalem. O mais co-mum deles decorre da conclusao das aulas anteriores e daaceitacao da irreversibilidade das transformacoes da natu-reza:

Nenhuma maquina termica, operando em ciclos,pode retirar calor de uma fonte e transforma-lo in-tegralmente em trabalho.

ou noutra forma mais moderna

O calor flui expontaneamente de um corpo maisquente para um corpo mais frio, sempre neste sen-tido.

Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplicacoes mais adi-ante.

Pense um Pouco!

• Ao ser comprimido, um gas ganha ou perde energiainterna?

• Faca uma analogia da compressao de um gas e de umamola, observando o trabalho e a energia.

• Um moto perpetuo de primeira especie seria umamaquina que realizasse trabalho indefinidamente, semutilizar nenhuma fonte de energia. Futuramente serapossıvel a construcao de uma tal maquina?


1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve aprimeira lei da termodinamica.a) O aumento de energia interna de um gas e dado pela di-ferenca entre o calor recebido e o trabalho realizado.b) O trabalho realizado e dado pela soma do calor recebidocom o aumento de energia interna.c) O calor recebido e dado pela diferenca entre o trabalhorealizado e o aumento de energia interna.d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna naose altera.e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna dimi-nui.

2. (FATEC) Havera trabalho realizado sempre que umamassa gasosa:a) sofrer variacao em sua pressaob) sofrer variacao em seu volumec) sofrer variacao em sua temperaturad) receber calor de fonte externae) sofrer variacao de energia interna

3. (FATEC) Uma fonte termica cede 100 J de calor a umsistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalhomecanico de 20 J . Durante esse processo, nao ocorrem ou-tras trocas de energia com o meio externo. A variacao daenergia interna do sistema, medida em joules, e igual a:a) zerob) 20c) 80


d) 100e) 120


4. (MACK) Um gas mantido a volume constante, recebe240 J de calor do meio ambiente. O trabalho realizadopelo gas e sua variacao da energia interna serao, respectiva-mente;a) 240 J e 0 Jb) 0 J e 240 Jc) 120 J e 120 Jd) 0 J e 120 Je) −240 J e 240 J

5. (UFLA-MG) Assinale a resposta correta. E possıvel ce-der calor a um gas sem que sua temperatura aumente?a) Nao, porque sempre que um corpo recebe calor sua tem-peratura aumentab) Nao , porque o calor e uma forma de energia e sempre seconservac) Sim, porque o calor pode ser transformado em energiainterna do gasd) Sim, porque o calor pode resultar num aumento daagitacao termica das moleculas do gase) Sim , basta que o gas realize trabalho igual ao calor querecebeu

6. (ACAFE) Numa expansao adiabatica, a temperatura deum mol de gas perfeito diminui de 200 K. Podemos afirmarque a quantidade de calor trocada com o ambiente e de:a) 73 calb) 200 calc) 20 cald) 0 Je) nao pode ser determinado


Maquinas Termicas

Uma maquina termica opera em ciclos entre duas fontestermicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fontequente e a outra, de fonte fria. A maquina retira calor dafonte quente Q1, transforma parte desse calor em trabalhoW e rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim

W = Q1 −Q2

Q1

Q2

MáquinaTérmica

W

Fonte Fria

Fonte Quente

Para o caso das maquinas termicas, a Segunda Lei da Ter-modinamica assume a forma:

E impossıvel um dispositivo operando em ciclos con-verter integralmente calor em trabalho.

Assim, podemos definir o rendimento ǫ de uma maquinatermica como

ǫ =W

Q1

e como W = Q1 −Q2 temos:

ǫ = 1− Q2

Q1

Ciclo de Carnot

Estudando as maquinas termicas, o cientista Sadi Carnotpropos, em 1824, um ciclo teorico composto de quatro trans-formacoes reversıveis - duas isotermicas e duas adiabaticas,que proporciona o maximo rendimento para uma maquinatermica, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quentee fria. O desenho a seguir representa o ciclo de Carnot.

T1

T2

Va Vd Vb Vc

a

b

c

d

isotérmico

adiabático

isotérmico

adiabático

O

p

V

Figura 1: Figura do Ciclo de Carnot.

Processo A → B: o gas sofre uma expansao isotermica,recebendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho.


A energia interna do gas se mantem constante nesta trans-formacao.

Sadi Carnot

Processo B → C: o gas sofre uma expansao adiabatica. Suatemperatura diminui, mas nao ocorre troca de calor com omeio. O gas realiza trabalho as custas de reducao na suaenergia interna.

Processo C → D: o gas sofre uma compressao isotermica , omeio exterior realiza trabalho sobre o gas, sem que haja va-riacao na sua energia interna. Durante essa transformacao,o gas rejeita a quantidade de calor Q2 para a fonte fria.

Processo D → A: ocorre uma compressao adiabatica,completando-se o ciclo. A temperatura do sistema aumenta,mas nao ocorre troca de calor com o meio. O trabalho re-alizado contra o sistema, provoca aumento na sua energiainterna.

Carnot demonstrou que, para uma maquina que executasseo ciclo por ele proposto, as quantidades de calor trocadascom as fontes termicas sao diretamente proporcionais astemperaturas absolutas dessas fontes, ou seja:

Q2

Q1=

T2

T1

Como

ǫ = 1− Q2

Q1

entao o rendimento ǫC de uma maquina de Carnot e dadopor:

ǫC = 1− T2

T1

Daı tiramos uma importante conclusao:

O rendimento da maquina de Carnot nao dependeda substancia de trabalho utilizada (gas): e funcaoexclusiva das temperaturas absolutas das fontesquente e fria.

Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas tempera-turas T1 e T2 das fontes quente e fria, a maquina de Car-not e a que apresenta o maximo rendimento. Portanto,nenhuma maquina termica, entre as mesmas temperatu-ras, pode apresentar rendimento superior ao previsto paraa maquina de Carnot.

Pense um Pouco!

• O que aconteceria com uma maquina termica se o ren-dimento alcancado fosse de 100%? Sera que no futuro,teremos uma maquina assim?


1. (ACAFE) Uma maquina termica, que opera segundoo ciclo de Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente emcada ciclo e abandona 120 calorias para a fonte fria. A alter-nativa, abaixo que representa o rendimento desta maquinatermica e:a) 100 %b) 80 %c) 60 %d) 40 %e) 20 %

2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alter-nativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo deCarnot e constituıdo de transformacoes:a) adiabaticas e isotermicasb) adiabaticas e isobaricasc) isovolumetrica e isotermicasd) isovolumetricas e isobaricase) isovolumetricas e adiabaticas

3. (ACAFE) Uma maquina de Carnot, cuja fonte quenteesta a 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cadaciclo, e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperaturada fonte fria e de :a) 210 Kb) 190 Kc) 150 Kd) 120 Ke) 100 K


4. (Mackenzie) Uma maquina termica executa um cicloentre as temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fontefria). O maximo rendimento que essa maquina poderia tere:a) 10 %b) 20 %c) 25 %d) 30 %e) 80 %

5. (UEL) O rendimento de certa maquina termica de Car-not e de 25% e a fonte fria e a propria atmosfera a 27 C.A temperatura da fonte quente e:a) 5, 4 Cb) 52 Cc) 104 Cd) 127 Ce) 227 C

6. (Osec-SP) Um gas perfeito realiza um ciclo de Carnot.A temperatura da fonte fria e 127 C e a da fonte quente e427 C. O rendimento do ciclo e:a) 3,4 %b) 70 %c) 43 %d) 57 %e) n.d.a



Mudancas de Fase

A materia pode se apresentar-se nos estados solido, lıquidoe gasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte:

Solido tem forma propria e volume bem definido.

Lıquido nao tem forma propria (assume a forma do recipi-ente que os contem), mas tem volume bem definido.

Gas nao tem forma propria nem volume definido. Tomam aforma e o volume do recipiente que os contem, dependendoda pressao externa.

Tipos

No nosso estudo estaremos sempre nos referindo asubstancias puras, e faremos algumas definicoes:

• Fusao: e a passagem de uma substancia do estadosolido para o estado lıquido.

• Solidificacao: e a passagem de uma substancia do es-tado lıquido para o estado solido .

• Vaporizacao: e a passagem de uma substancia do es-tado liquido para o estado de vapor.

Conforme a maneira de se processar, a vaporizacao re-cebe nomes diferentes. Assim ela pode tomar o nomede:

– Evaporacao: ocorre mediante um processo lentoque se verifica apenas na superfıcie do lıquido. Eo que acontece com a agua de um tanque , ou deuma bacia ao ar livre. A evaporacao pode ocorrera qualquer temperatura que estiver o lıquido.

– Ebulicao: ocorre mediante a um processo turbu-lento que se verifica em toda a massa lıquida. Issoocorre quando a pressao de vapor do lıquido seiguala a pressao externa, aı o vapor escapa pro-duzindo o borbulhar caracterıstico da ebulicao. Eo que ocorre com a agua de uma chaleira quandoesta e colocada ao fogo e comeca a fervura. Aebulicao so ocorre em uma determinada tempe-ratura, caracterıstica do lıquido, chamada tem-peratura (ou ponto) de ebulicao, que depende da pressao exercida em sua superfıcie.

– Calefacao: ocorre apos um aquecimento muitobrusco. Por exemplo quando uma porcao deagua e jogada na chapa quente de um fogao,ha um aquecimento brusco da agua, seguido dofenomeno de calefacao .

• Liquefacao (condensacao): e a passagem de umasubstancia do estado de vapor para o estado lıquido.

Temperatura de Mudanca de Estado

A fusao e a solidificacao se processam na mesma tempera-tura chamada temperatura (ou ponto) de fusao ou de solidi-ficacao (TF ). Por exemplo, a agua, sob pressao atmosfericanormal, sempre se funde e solidifica a 0 C.

A ebulicao e a liquefacao se processam na mesma tempe-ratura, chamada temperatura (ou ponto) de ebulicao ou deliquefacao (TE). Por exemplo, sob pressao atmosferica nor-mal, a agua sempre entra em ebulicao e se liquefaz a 100 C.

Calor Latente

Seja Q a quantidade de calor latente necessaria para pro-vocar uma dada mudanca de estado na massa m de umsubstancia S, sem variacao de temperatura.

Verifica-se experimentalmente que Q e proporcional a massam, podendo-se escrever:

Q = mL

Sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado ca-lor especıfico latente da referida mudanca de estado dasubstancia S.

Sendo LF o calor especıfico latente de fusao ou de solidi-ficacao, temos

QF = mLF

E sendo LV o calor especıfico latente de vaporizacao ou deliquefacao, temos:

QV = mLV

Observamos que o calor especıfico latente de uma substanciae uma caracterıstica da substancia que nao depende damassa.

Observamos tambem que o calor especıfico latente de fusaoe de solidificacao e o mesmo, porque a quantidade de calorque um corpo recebe para se fundir e a mesma que cedeao se solidificar. O mesmo se pode dizer do calor especıficolatente de vaporizacao e de liquefacao.

Pense um Pouco!

• Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina noguarda-roupas ,depois de algum tempo ela some.Como se chama esse processo?

• O que acontece com o calor absorvido por umasubstancia durante uma mudanca de fase, ja que suatemperatura nao muda?


1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma substancia,sem variacao de temperatura, foram necessarias 1, 4 kcal.Qual o calor especıfico latente de fusao dessa substancia emcal/g?a) 12b) 24c) 26d) 28e) 30

2. (ACAFE) Sendo o calor latente especıfico de fusao dogelo igual a 80 cal/g, a quantidade de calor necessaria parafundir 100 gramas de gelo a 0 C e:a) 8 kcal


b) 4 kcalc) 125 cald) 80 cale) 1, 25 cal

3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a −10 C, temmassa de 500 g. Qual a quantidade de calor necessariapara transforma-lo em igual quantidade de agua, a 20 C?Dados : cGELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA = 1, 0 cal/g · C eLF = 80 cal/g.a) 0, 05 kcalb) 0, 52 kcalc) 5, 25 kcald) 525 kcale) 52, 5 kcal


4. (CEFET) Tem-se 200 g de agua a 20 C. A quantidadede calor, em cal, que dela se deve retirar para se ter geloa 0 C, e (dados : cGELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA =1, 0 cal/g · C e LF = 80 cal/g):a) 4000b) 16000c) 20000d) 20100e) 12000

5. (ACAFE) Qual a quantidade de calor que se deve forne-cer a 50 g de gelo a 0 C para transforma-lo em vapor deagua a 100 C? Sabe-se que LV = 539 cal/g.a) 35950 calb) 26170 calc) 20130 cald) 15310 cale) 9000 cal

6. (UNIJUI) A vantagem do uso da panela de pressaoem relacao as panelas comuns para cozinhar alimentosrelaciona-se com:a) a agua demora mais a ferver e atinge uma temperaturamenorb) a agua ferve rapidamente e atinge maior temperaturac) a agua ferve rapidamente e atinge menor temperaturad) a agua demora mais a ferver e atinge maior temperaturae) n.d.a


Sublimacao e Diagrama de Fases

Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabe-mos que ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo es-tado lıquido, isto e, ocorre a sublimacao da naftalina. Estefato tambem ocorre com o CO2 solido e, por isto, ele e deno-minado ”gelo seco”. Embora sejam poucas as substanciasque se sublimam nas condicoes ambientes, verifica-se queeste fenomeno pode ocorrer com qualquer substancia, de-pendendo da temperatura e da pressao a que ela estiver

submetida. O estudo do diagrama de fases, que faremos aseguir, nos permitira definir em que condicoes a sublimacaode um substancia podera ocorrer.

Diagrama de Fases

Em um laboratorio e possıvel determinar, para cadasubstancia, os valores da pressao p e da temperatura T cor-respondentes a cada um dos seus possıveis estados. Comestes valores podemos construir um grafico, denominado di-agrama de fases, que tem aspecto semelhante ao da figuraabaixo:

Temperatura ( C)

Liquida

Solida

Ponto triplo

Vapor

0,0006

0,01 100

1,0

Pre

ssa

o (

atm

)

Observa-se que este diagrama esta dividido em tres regioes,indicando a fase Solida, Lıquida e Vapor. Se nos foremfornecidos os valores da pressao e da temperatura em queuma substancia se encontra, o seu diagrama de fases nospermitira determinar se ela esta solida, lıquida ou gasosa.Para isto, devemos localizar, neste diagrama, o ponto cor-respondente ao par de valores de p e T fornecidos. Se esteponto estiver localizado na regiao Solida, a substancia es-tara na fase solida, se estiver na regiao Lıquida, estara nafase lıquida e se estiver na regiao Vapor, na fase gasosa.

Figura 1: Estrutura da agua lıquida.

Ponto Triplo

As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os di-videm nas regioes Solida, Lıquida e Vapor correspondem avalores de p e T nos quais podemos encontrar a substancia,simultaneamente, em dois estados. Assim, qualquer pontoda linha TM corresponde a um par de valores de p e T no


qual a substancia se apresenta, simultaneamente, nos esta-dos solido e lıquido. A linha TN corresponde ao equilıbrioentre lıquido e vapor e a linha OT , entre solido e vapor.O ponto de encontro dessas tres linhas (ponto T da fi-gura) nos fornece os valores da pressao e da temperaturanos quais a substancia pode se apresentar, simultaneamente,nos tres estados. Este ponto e denominado ponto triplo dasubstancia. A agua, por exemplo, a pressao de 4, 6 mmHg ea uma temperatura de 0, 01 C, pode ser encontrada, simul-taneamente, nos estados solido, lıquido e gasoso e, portanto,estes valores correspondem ao seu ponto triplo.

Figura 2: Estrutura da agua solida (gelo).

Gas Real

Um gas real pode nao se comportar como um gas ideal, jaque o modelo de gas ideal e uma aproximacao bem simpli-ficada de um gas real.

Para isto, suponha que um gas real esteja encerrado em umcilindro provido de um pistao e de um manometro que nospermite ler os valores de sua pressao.

Mantendo constante a temperatura do gas, vamoscomprimi-lo desde uma posicao inicial aonde a pressao dogas e ainda, relativamente baixa. Durante a compressao,verifica-se que, inicialmente, o gas real se comporta comoum gas ideal, isto e, os valores de p,V e T do gas satisfazema equacao pV = nRT .

Entretanto, apos o pistao atingir uma certa posicao, na quala pressao ja e um pouco mais elevada, observa-se que o gasreal deixa de se comportar como um gas ideal. Seu compor-tamento torna-se mais complexo, exigindo, para descreve-lo,equacoes mais sofisticadas do que a equacao de estado de umgas ideal.

Pense um Pouco!

• Todas as substancias possuem o chamado ponto triplo?

• Quanto tempo leva uma naftalina para sumir comple-tamente?


1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sobpressao constante, observarmos que a temperatura perma-nece inalterada, podemos afirmar que o sistema:a) e totalmente solido.b) e totalmente lıquido.

c) esta necessariamente em processo de fusao.d) esta necessariamente evaporando.e) esta sofrendo uma mudanca de fase.

2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento contınuode calor, aquece-se, a pressao constante de 1 atmosfera,100 g de gelo, que sao transformados em vapor superaque-cido. A figura seguinte ilustra a variacao da temperaturado sistema com o tempo.a) Em que intervalo de tempo ocorre a fusao?b) Em que intervalo de tempo ocorre a vaporizacao?c) Considerando o calor especıfico do gelo igual a 0, 55 cal/g·C e o calor latente de fusao igual a 80 cal/g, qual e a quan-tidade de calor absorvida pelo sistema, do instante inicialao instante t2?

1t

2t

3t

4t

0

−40

T( C)o

t(s)


3. (UFV-MG) Sejam dois solidos A e B, de massas respec-tivamente a mA e mB, em equilıbrio termico. Cedendo-lhesa mesma quantidade de calor, observa-se que a temperaturado corpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B.Nao se observa mudanca de fase. Sobre essa situacao saofeitas tres afirmativas:I - Se os corpos forem feitos do mesmo material, certamentemA > mB.II - Se mA = mB, certamente o calor especıfico de A e maiorque o calor especıfico de B.III - Esta situacao so foi possıvel porque os corpos possuemcapacidades termicas diferentes.Estao CORRETAS:a) I e IIb) apenas IIc) apenas IIId) I, II e IIIe)

SOLUCAO

A solucao desse item e uma analise das relacoes abaixo:

1) Q = mc∆t 2) C = mc 3) Q = C∆T

Onde:

Q - quantidade de calor;C - capacidade termica;c - calor especıficom - massa;∆T - variacao da temperatura.

Analisemos as afirmacoes:

I - Pela equacao 1), mesmo material =¿ mesmo calor es-pecıfico; como A sofreu maior variacao de temperatura, a

Eletricidade – Aula 1 95

massa de A e menor que a de B. Afirmativa falsa.

II - Pela equacao 1), massas iguais =¿ sofre maior variacaode temperatura o corpo de menor calor especıfico. Portantoo calor especıfico de A e menor que o de B, pois A sofreumaior variacao de temperatura. Afirmacao falsa.

III - Pela equacao 3) verifica-se que quantidades de caloriguais, as variacoes de temperaturas serao diferentes se ascapacidades termicas forem diferentes. Afirmacao correta.Portanto, apenas III e correta.

Eletricidade Aula 1

Carga Eletrica

No seculo XVIII, Benjamin Franklin verificou experimen-talmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a asbatizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nestaepoca os cientistas pensavam que a carga era um fluıdo quepodia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para ou-tro.

Atualmente, dizer-se que carga eletrica e uma propriedadeintrınseca de algumas partıculas. Assim como massa, acarga e uma propriedade elementar das partıculas.

A experiencia realizada por Harvey Fletcher e Robert Mil-likan demonstrou que a quantidade de carga eletrica e umagrandeza quantizada, ou seja, nao pode assumir qualquervalor. Essa descoberta levou a conclusao de que a quan-tidade de carga eletrica Q e sempre um numero inteiro nvezes a quantidade de carga elementar e:

Q = ne

onde e = 1, 60× 10−19 C. A unidade SI da carga eletrica eo coulomb ou C.

Tipos de Materiais

Em relacao a eletricidade, os materiais sao classificadoscomo condutores ou isolantes.

Para que um material seja condutor de energia eletrica, enecessario que ele possua portadores de carga eletrica livres(eletrons, ıons positivos ou ıons negativos) e mobilidade paraesses portadores. Os metais sao bons condutores de eletrici-dade, pois possuem eletrons ”livres”e mobilidade para esseseletrons; o mesmo acontece com as solucoes eletrolıticas,que apresentam os ıons como portadores de carga eletrica,e com os gases ionizados, que possuem eletrons e ıons comoportadores de carga eletrica.

O vidro, a agua pura, a madeira e os plasticos de modo geralsao bons isolantes de eletricidade. Alem dos condutores edos isolantes, existem os materiais semi-condutores, como osilıcio e o germanio.

Eletrizacao por Atrito

Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos forne-cendo energia e pode haver transferencia de eletrons de umpara o outro. Se os corpos atritados estao isolados, ou seja,

nao sofrem a influencia de quaisquer outros corpos, as car-gas eletricas cedidas por um sao exatamente as adquiridaspelo outro:

QA = −QB

Isto e, A e B adquirem quantidades de carga eletrica iguaisem modulo, mas de sinais contrarios. A figura representao que acontece quando um pedaco de metal e atritado comum pano de la.

Atrito

La

La

++ +

+ ++

++

++

+

+

(a) (b)

Quando esfregamos as maos, nao eletrizamos nenhuma de-las. Para que haja eletrizacao por atrito, uma condicao ne-cessaria e que os corpos sejam de materiais diferentes, istoe, eles nao podem ter a mesma tendencia de ganhar ou per-der eletrons. Em Quımica, essa tendencia e traduzida poruma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materi-ais podem ser classificados de acordo com essa tendencia,elaborando-se a chamada serie tribo-eletricas:

+ + + Vidro → Mica → La → Seda → Algodao →Madeira → Ambar → Enxofre → Metais −−−Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma serie tribo-eletrica, o que estiver posicionado a esquerda ficara eletri-zado positivamente; o que estiver a direita ficara eletrizadonegativamente. Na eletrizacao por atrito, pelo menos umdos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores,eles nao vao manter a eletrizacao.

Eletrizacao por Contato

A eficiencia nessa forma de eletrizacao depende de os cor-pos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos forisolante, a eletrizacao sera local, isto e, restrita aos pontosde contato.

Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o ou-tro neutro - e colocados em contato, poderemos imagina-loscomo um unico corpo eletrizado. A separacao entre elesresultara em dois corpos eletrizados com cargas de mesmosinal. Na figura, um dos condutores esta inicialmente neu-tro (a eletrizacao por contato pode ocorrer tambem comdois condutores inicialmente eletrizados).

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+ ++

++

+

+

+

Antes

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

++

+

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

+

++

Depois

(a) (b) (c)

Generalizando, podemos afirmar que, na eletrizacao porcontato:


• os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargasde mesmo sinal;

• quando o sistema e formado por corpos isolados das in-fluencias externas, a quantidade de carga eletrica totalfinal e igual a quantidade de carga eletrica total inicial(princıpio da conservacao de carga eletrica):

QA + QB = Q′A + Q′

B

Na expressao acima, Q representa a quantidade decarga eletrica inicial e Q′, a quantidade de cargaeletrica final. Em particular, se os corpos A e B fo-rem iguais:

Q′A = Q′

B = (QA + QB)/2

Podemos ainda observar que:

1. se os corpos colocados em contato sao de tama-nhos diferentes, a divisao de cargas e proporcio-nal as dimensoes de cada um;

2. quando um corpo eletrizado e colocado em con-tato com a Terra, ele se torna neutro, uma vezque sua dimensao e desprezıvel se comparada coma da Terra. Simbolicamente, a ligacao a Terra erepresentada conforme a figura.

Terra

(a) (b)

Em (a), o corpo esta isolado da Terra e, portanto,mantem sua carga eletrica. Quando o contatocom a Terra e estabelecido (b), o corpo se neu-traliza

Eletrizacao por Inducao

Nesse tipo de eletrizacao nao ha contato entre os corpos.Vejamos como acontece.

++

+

+

+

+

++

+ +

+

+

++

+ +

++

+

+

+

++

+

(a) (b)

Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), cha-mado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, poisnao tera contato com o outro. O segundo corpo (b) a sereletrizado, chamado de induzido, devera ser condutor, po-dendo ser uma solucao eletrolıtica ou dois corpos B1 e B2ligados eletricamente.

++

+

+

+

+

++

+ +

+

+

++

+ +

+ ++

+

+

++

+

B1 B2

(a) (b)

O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargaseletricas negativas do induzido (b). Assim, na face do in-duzido mais proxima do indutor, temos acumulo de cargasnegativas, que nao chegam ao indutor porque o ar entre elese isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastadado indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos per-guntar se o corpo (b) esta eletrizado. Ele nao esta, pois onumero de protons no corpo continua igual ao numero deeletrons. Dizemos que o corpo (b) esta induzido, porquehouve apenas uma separacao das cargas. Quando retira-mos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e elevolta a situacao neutra. Para eletrizar o induzido, devemos,na presenca do indutor, estabelecer o contato do induzido(corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esseterceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, ate mesmoo planeta Terra.

+ ++

+

+

++

++++

++

+

++

++ ++

+

+

++

++++

++

+

++

++

A − Indutor

+ ++

+

+

++

+

B

(a) (b)

Na presenca do indutor, desfazemos o contato entre b e aTerra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica ele-trizado com carga oposta a do indutor a.

Pense um Pouco!

• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descerde um carro num dia seco. Explique.

• Atritando-se dois materiais diferentes criamos cargaeletrica? Por que?


1. Dispoe-se de tres esferas metalicas identicas e isoladasuma da outra. Duas delas, A e B, estao neutras, enquantoa esfera C contem uma carga eletrica Q. Faz-se a esfera Ctocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desseprocedimento, qual a carga eletrica das esferas A, B e C,respectivamente?


2. ”Serie tribo-eletrica e um conjunto de substancias orde-nadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamentequando atritada com qualquer uma que a antecede e positi-vamente quando atritada com qualquer uma que a sucede.Exemplo: vidro - mica - la - seda - algodao - cobre.”Baseadona informacao acima, responda:a) Atrita-se um pano de la numa barra de vidro, inicial-mente neutros. Com que sinais se eletrizam?b) E se o pano de la fosse atritado numa esfera de cobre,tambem inicialmente neutro?

3. Uma esfera metalica neutra encontra-se sobre um suporteisolante e dela se aproxima um bastao eletrizado positiva-mente. Mantem-se o bastao proximo a esfera, que e entaoligada a terra por um fio metalico. Em seguida, desliga-seo fio e afasta-se o bastao.a) A esfera ficara eletrizada positivamente.b) A esfera nao se eletriza, pois foi ligada a terra.c) A esfera sofrera apenas separacao de suas cargas.d) A esfera ficara eletrizada negativamente.e) A esfera nao se eletriza, pois nao houve contato com obastao eletrizado.

4. Dispoe-se de uma esfera condutora eletrizada positiva-mente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontram-se inicialmente neutras. Os suportes das tres esferas sao iso-lantes. Utilizando os processos de eletrizacao por inducao epor contato, descreva procedimentos praticos que permitamobter:a) as tres esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizadapositivamente e B negativamente III. A eletrizada negati-vamente e B positivamente


5. (U. Fortaleza-CE) Um bastao e atritado com um pano.A seguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Pode-se afirmar corretamente que o bastao foi eletrizadoa) positivamente, por contato com o pano.b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera.c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera.d) negativamente, por atrito com o pano.e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera

6. (PUCC-SP) Dispoe-se de uma barra de vidro, um panode la e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadasem suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-se a barra de vidro com o pano de la; a seguir coloca-se abarra de vidro em contato com a esfera A e o pano com aesfera B. Apos essas operacoes:a) o pano de la e a barra de vidro estarao neutros.b) a barra de vidro repelira a esfera B.c) o pano de la atraira a esfera A.d) as esferas A e B se repelirao.e) as esferas A e B continuarao neutras.

7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera metalica, sustentada por umahaste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequenacarga eletrica Q. Uma segunda esfera identica e inicial-mente descarregada aproxima-se dela, ate toca-la. Apos ocontato, a carga eletrica adquirida pela segunda esfera e:a) Q/2

b) Qc) 2Qd) 0e) −Q

Eletricidade Aula 2

Eletroscopio de Folhas

E constituıdo de duas folhas metalicas, finas e flexıveis, liga-das em sua parte superior a uma haste, que se prende a umaesfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem decargas eletricas da haste para a esfera. Normalmente, asfolhas metalicas sao mantidas dentro de um frasco transpa-rente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.

Eletrostato

+++++

+

(a) (b)

Figura 1: O eletroscopio de folhas (a) na presenca deum bastao eletrizado negativamente (b)

Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, seele estiver eletrizado, ocorrera a inducao eletrostatica, ouseja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repeleos eletrons livres da esfera para as laminas, fazendo comque elas se abram devido a repulsao; se o corpo estiver comcargas positivas, ele atrai os eletrons livres das laminas, fa-zendo tambem com que elas se abram, novamente, devido arepulsao.

+ ++ +

+ +

++

Figura 2: Na presenca de um bastao eletrizado positi-vamente


A determinacao do sinal da carga do corpo em teste, queja se sabe estar eletrizado, e obtida carregando-se anterior-mente o eletroscopio com cargas de sinal conhecido. Dessaforma, as laminas terao uma determinada abertura inicial.

A Lei de Coulomb

Esta lei diz respeito a intensidade das forcas de atracao oude repulsao, que agem em duas cargas eletricas puntiformes(cargas de dimensoes desprezıveis), quando colocadas empresenca uma da outra.

Considere duas cargas eletricas puntiformes, q1 e q2, sepa-radas pela distancia r. Sabemos que, se os sinais dessascargas forem iguais, elas se repelem e, se forem diferentes,se atraem. Isto acontece devido a acao de forcas de naturezaeletrica sobre elas.

Essas forcas sao de acao e reacao e, portanto, tem a mesmaintensidade, a mesma direcao e sentidos opostos. Deve-senotar tambem que, de acordo com o princıpio da acao ereacao, elas sao forcas que agem em corpos diferentes e,portanto, nao se anulam.

Charles de Coulomb verificou experimentalmente que:

As forcas de atracao ou de repulsao entre duascargas eletricas puntiformes sao diretamente pro-porcionais ao produto das cargas e inversamenteproporcionais ao quadrado da distancia que as se-para.

A expressao matematica dessa forca e:

F = kq1q2

r2

onde q1 e q2 sao os modulos das cargas eletricas envolvidas,e k uma constante eletrostatica que, no SI, para as cargassituadas no vacuo e

k = 9× 109 N ·m2/C2

Pense um Pouco!

• Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona oeletroscopio;

• Se dobrarmos a distancia r entre duas cargas dadas, oque acontece com a forca eletrica entre elas?

• Se colocarmos muitos eletrons no centro de uma chapametalica quadrada, o que acontecera com essa carga?


1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas di-mensoes, atraem-se mutuamente no vacuo com forca de in-tensidade F ao estarem separadas por certa distancia r.Como se modifica intensidade da forca quando a distanciaentre as esferas e aumentada para 4r?

2. As cargas eletricas −q e +q′, puntiformes, atraem-se comforca de intensidade F , estando a distancia r uma da outra

no vacuo. Se a carga q′ for substituıda por outra −3q′ e adistancia entre as cargas for duplicada, como se modifica aforca de interacao eletrica entre elas?

3. Considere um eletroscopio de folhas descarregado. Ex-plique o que acontece quando um corpo eletrizado negati-vamente e:a) aproximado da esfera do eletroscopio;b) encostado na esfera do eletroscopio.


4. Duas partıculas eletrizadas com cargas eletricas demesmo valor absoluto mas sinais contrarios atraem-se novacuo com forca de intensidade 4, 0× 10−3 N , quando situ-adas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas,sendo k = 9× 109 N ·m2/C2.

5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletroscopio defolhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S eas folhas F sao metalicos. Inicialmente, o eletroscopio estaeletricamente descarregado. Uma esfera metalica, positiva-mente carregada, e aproximada, sem encostar, da esfera doeletroscopio. Em qual das seguintes alternativas melhor serepresenta a configuracao das folhas do eletroscopio (e suascargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua es-fera?

blindagem

metalica

a) b)

d)

c)

e)

E

F

S

6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µCestao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distanciar. Assinale a alternativa correta:a) As cargas se repelem mutuamenteb) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2

c) o sistema forma um dipolod) As cargas se atraem eletricamentee) A forca sobre as cargas sao verticais

Eletricidade Aula 3

Campo Eletrico

Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobreela uma certa forca. Nao e difıcil imaginar de que forma essaforca foi transmitida a caixa, pois de imediato associamosa aplicacao da forca o contato travado com a caixa. Pen-semos agora na interacao entre cargas eletricas: conformeestudamos anteriormente, se aproximarmos de uma cargaQ uma outra carga q, que denominaremos carga de prova,


verificaremos a acao de uma forca ~F (atrativa ou repulsiva,conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso,nao ha contato entre os corpos, o que torna mais difıcil acompreensao da forma de transmissao da forca. Durantemuito tempo afirmou-se que a forca eletrostatica era umainteracao direta e instantanea entre um par de partıculaseletrizadas, conceito este denominado acao a distancia.

m

F

Se trabalhassemos apenas com cargas em repouso, a acao adistancia nos bastaria para que resolvessemos a maioria dosproblemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo decargas em movimento nao pode ser deixado de lado e nessecaso a teoria da acao a distancia e falha, sendo necessariobuscarmos outra forma de explicar a interacao eletrica. E foicom Faraday (1791-1867) que nasceu a ideia que constituihoje um dos mais importantes recursos em Fısica: a nocaode campo.

Dizemos que a presenca da carga Q afeta a regiao do espacoproxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizi-nhancas uma “propriedade”que da a essa regiao “algo”maisque atributos geometricos, “algo”que transmitira a qualquercarga de prova colocada nessa regiao a forca eletrica exer-cida pela carga Q. Designamos por campo eletrico tal pro-priedade. Assim, a forca ~F e exercida sobre q pelo campoeletrico criado por Q. Esquematicamente teremos:

Acao a distancia: carga ⇐⇒ carga

Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga

A nocao de campo e utilizada em muitas outras situacoesfısicas, como por exemplo a interacao gravitacional. Na fi-gura a seguir, em vez de pensarmos numa atracao direta daTerra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terracria em torno de si um campo gravitacional; em outras pa-lavras, a presenca da Terra faz com que todos os pontos desua vizinhanca possuam uma propriedade segundo a qualtodo corpo colocado nesse local sofrera a acao de uma forcaatrativa.

Uma observacao muito importante deve ser feita: o campoeletrico num ponto P qualquer da vizinhanca da carga Q,assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nasvizinhancas da Terra, existe independentemente da presencada carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testama existencia dos campos eletrico e gravitacional nos pontosconsiderados.

O Vetor Campo Eletrico

O campo eletrico e melhor caracterizado em cada ponto doespaco por um vetor E, denominado vetor campo eletrico.A definicao do vetor campo eletrico e tal, que por seuintermedio poderemos estudar muitas caracterısticas docampo eletrico, a partir do estuco desse vetor num ponto.

Consideremos P um ponto generico de um campo eletricogerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , suces-sivamente, cargas de prova q1, q2, q3, ..., q. A intensidadeda forca eletrica atuante nas cargas de prova ira variar, masa direcao da forca sera a mesma, conforme indicamos nasequencia de figuras seguintes:

q1

P

F1

q2

PF

2 P

F

q

(a) (b) (c)

Concluımos que a relacao entre a forca e a carga em que elaatua e uma caracterıstica do ponto P considerado, denomi-nada vetor campo eletrico.

Assim, teremos:

~E = ~F/q

Quanto ao sentido do vetor ~E, distinguimos dois casos:a) q e positiva: ~E e ~F tem o mesmo sentido;

b) q e negativa: ~E e ~F tem sentidos contrarios.

Podemos concluir, da equacao, que as unidades de intensi-dade do vetor campo eletrico serao unidades de forca porunidades de carga. Assim, no sistema internacional de uni-dades, teremos:

Unidade SI

Por definicao, a unidade de de campo eletrico e ~E seranewton/coulomb, ou seja N/C.

Linhas de Campo

A denominacao linhas de campo ou linhas de forca designauma maneira de visualizar a configuracao de um campoeletrico. Esse artifıcio foi empregado por Faraday e mesmohoje pode ser conveniente seu uso.

EE

E

E

E

E

Apresentamos a seguir a significacao das linhas de forca:

1. Sao linhas tracadas de forma que a tangente a cadaponto nos fornece a direcao de ~E. Sao orientadas nosentido do vetor campo.

2. As linhas de campo sao tracadas de forma que onumero de linhas que atravessa a unidade de area deuma seccao perpendicular as mesmas e proporcionalao modulo de ~E. Dessa forma, onde elas estiveremmais proximas, | ~E| e maior; onde elas estiverem mais

afastadas, | ~E| e menor.


E Emenos intenso mais intenso

As figuras seguintes mostram linhas de campo de al-guns campos eletricos particulares:

• campo gerado por uma carga puntiforme posi-tiva.

As linhas de campo “nascem”nas cargas positi-vas.

• carga puntiforme negativa:

As linhas de campo “morrem”nas cargas negati-vas

• duas cargas de sinais iguais:

3. Observe que, por definicao, o campo eletrico e unicoem cada ponto do espaco, e portanto, duas linhas decampo nunca se cruzam.

Calculo do Campo Eletrico

Campo de uma Carga Puntiforme

O campo eletrico devido a uma carga puntiforme Q fixa efacilmente determinado analisando-se a figura seguinte:

P

Q

No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, ovetor campo eletrico no ponto P tem intensidade dada por:E = F/q.

O campo gerado por uma carga puntiforme Q num pontoP qualquer do espaco tem intensidade dada por:

E =F

q= k

Q

r2

Utilizando uma linguagem nao muito rigorosa, podemos di-zer que as cargas positivas geram campos de afastamento eas cargas negativas geram campos de aproximacao.

Campo Eletrico para Varias de Cargas

Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria noponto P um campo eletrico devido a sua presenca indi-vidual. Dado o efeito aditivo da forca eletrica, o campoeletrico devido a presenca de n cargas puntiformes sera asoma vetorial dos campos produzidos individualmente porcada uma das cargas, isto e:

~E = ~E1 + ~E2 + ~E3 + . . . =n∑

i=1

~Ei

Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma devetores.

E4

E1

E5

E3

E2

Q3

Q5

2Q

Q1

Q4

P


Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linhareta, que tambem contem o ponto P , entao a intensidadedo campo em P sera

E = kQ1

r21

+ kQ2

r22

+ kQ3

r23

+ . . . =n∑

i=1

kQir2i

Esta e uma soma escalar, mais facil de fazer do que a ne-cessaria no caso anterior.

Campo Eletrico Uniforme

Trata-se de um campo eletrico em que o vetor campo eletricoe o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que emcada ponto o modulo, a direcao e o sentido do vetor ~E seraoos mesmos. Em consequencia dessa definicao, concluımosque as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadastodas com o mesmo sentido.

Por exemplo, para uma pequena regiao do espaco, muitolonge de uma carga puntiforme, o campo eletrico se tornaquase uniforme. Proximo a superfıcie da Terra, existe umcampo eletrico vertical, de cima para baixo de intensidadeE ≈ 100 N/C. Este campo e quase uniforme, visto empequena escala (alguns metros), sobre o chao plano.

Pense um Pouco!

• Qual as semelhancas e diferencas entre a forca eletricae a gravitacional? Faca um paralelo.

• Num sistema de cargas puntiformes e possıvel se encon-trar algum ponto P onde o campo eletrico seja nulo?De exemplos.

• Um dipolo e formado por um par de cargas +q e −q.Esboce as linhas de campo de um dipolo.


1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espaco existe um campo

eletrico ~E horizontal de 5×104 N/C, voltado para a direita.a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, e colocadaem P , qual sera o valor da forca eletrica que atua sobre ela?

b) Em que sentido a carga de prova tendera a se mover, sefor solta?c) Responda as questoes a) e b) supondo que a carga deprova seja negativa.

2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimensoesmuito grandes, esta uniformemente carregada. Sabendo-seque o campo eletrico por ela gerado e o mesmo em todosos pontos proximos a placa e que uma pequena esfera demassa 25 gramas, presa por um fio leve na placa forma oangulo de afastamento entre a esfera e a placa e de 30?,determinar:a) a forca eletrica que atua na esfera, supondo que ela seencontre em equilıbrio;b) o campo eletrico da placa, sabendo-se que a carga naesfera vale −5 µC.

3. (USP-SP) Uma carga eletrica puntiforme q = 2×10−6 Ce de massa 10−5 kg e abandonada em repouso num campoeletrico uniforme de intensidade 104 N/C.a) Qual e a aceleracao adquirida por q?b) Qual a velocidade da partıcula no instante 8, 0 s?


4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representaa intensidade do campo eletrico gerado por uma carga pun-tiforme fixa no vacuo, em funcao da distancia d a carga.a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo.b) Determine a intensidade do campo eletrico em um pontoque dista 30 cm da carga fixa.

0

200

400

600

800

1000

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

E (

N/C

)

r (m)

5. (PUC-SP) Numa certa regiao da terra, nas proximidadesda superfıcie, a aceleracao da gravidade vale 9, 8 m/s2 e ocampo eletrostatico do planeta (que possui carga negativana regiao) vale 100 N/C, e e na direcao vertical, sentidode cima para baixo. Determine o sinal e o valor da cargaeletrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveriater para permanecer suspensa em repouso, acima do solo.Considere o campo eletrico praticamente uniforme no locale despreze qualquer outra forca atuando sobre a bolinha.

6. (Mackenzie-SP) Existe um campo eletrico ~E apontandopara baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidademedia de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campouma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (modulo e sinal)precisa ter a esfera?

Eletricidade Aula 4

Potencial Eletrico

Diferenca de Potencial

Consideremos positiva uma carga que se desloca de A paraB, em equilıbrio, ou seja, faz-se uma forca externa ~Fext. talque anule a forca eletrica ~FE sobre a carga:

~Fext. = −~FE

Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidadede carga que se desloca de A para B, denominamos diferencade potencial ou tensao eletrica de A para B, habitualmenterepresentada por VB − VA ou simplesmente VAB.


Assim, matematicamente teremos:

VB − VA =WA→B

ext.

q= −WA→B

E

q

Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferenca depotencial tambem sera uma grandeza escalar.

O trabalho WA→BE independe da trajetoria escolhida entre

os pontos A e B, e isso e um resultado decorrente do fatode a forca eletrica ser conservativa.

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de dife-renca de potencial (d.d.p.) sera o joule/ coulomb, que edenominada volt ou V .

Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que ocampo (forca eletrica) realiza um trabalho de 110 J sobrecada l C de carga que se desloca de um ponto para outro.

Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar voce reali-zando o movimento de uma carga de prova entre os pontosA e B, e observe os sentidos da forca externa e do desloca-mento. Por exemplo, se voce deslocar uma carga positiva,contra o campo eletrico numa determinada regiao, observaraque sera realizado um trabalho externo positivo, e o poten-cial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocadapara uma regiao de maior potencial.

Potencial Eletrico Gerado por uma Carga Pun-tiforme

Para calcularmos o trabalho WA→BE realizado sobre a carga

+q, sendo deslocada proximo a uma carga puntiforme Q, de-vemos utilizar conceitos matematicos que o estudante veraem seu curso superior: trata-se do calculo integral, que, uti-lizado neste caso, nos fornecera como resultado:

WA→BE = −kQq

(1

rB− 1

rA

)

Dessa maneira a diferenca de potencial no caminho de Apara B sera:

VA→B = VB − VA = −WA→Bext.

q= kQ

(1

rB− 1

rA

)

Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, porexemplo, B, facamos rA tender ao infinito, onde supomosque o potencial seja nulo. Quando isso acontece

VB = kQ

rB

Essa equacao fornece o potencial de B em relacao a umponto no infinito. Se nos depararmos com uma configuracaode n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessaregiao sera a soma algebrica dos potenciais devidos a cadacarga, isto e:

VP = k

(Q1

r1+

Q2

r2+ . . . +

Qn

rn

)

= kn∑

i=1

Qi

ri

Potencial dentro de um Campo Eletrico

Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobreuma linha de forca do campo uniforme mostrado na figuraseguinte:

A B

E

+q

Fext FE

Como o campo e uniforme, a forca eletrica que atua na cargaq e constante e tera intensidade dada por:

F = qE

Sabemos, da mecanica, que o trabalho realizado por umaforca constante e paralela ao deslocamento e dado por

WA→Bext. = −FE · d

Entao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, sera:

VB − VA = −E · d

e neste caso dizemos que a tensao cai de A para B. Emgeral, a d.d.p. e negativa na direcao e sentido do campoeletrico.

A relacao obtida acima e de grande utilidade, uma vez que,conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmenteo campo eletrico. Observe que o campo eletrico podera serexpresso tambem em volt/metro. Procure demonstrar quel N/C = l V/m.

Rigidez Dieletrica

Sabe-se que o ar e isolante, porem quando submetido aum grande campo eletrico, algumas moleculas sao ioniza-das e o ar se torna condutor. A esse limite de campoeletrico maximo que um isolante suporta chamamos de ri-gidez dieletrica ou Emax. Para o ar de Jonville, sempremuito umido, temos Emax ≈ 800 v/mm.

Pense um Pouco!

• Voce saberia responder o valor da d.d.p. (diferenca depotencial) entre o chao e uma nuvem, num raio?

• Qual a d.d.p. maxima entre dois fios paralelos, sepa-rados por uma distancia de 10 cm, em Joinville?

• Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de umatomada e de 200 V . O que significa isso fisicamente?


1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm deuma carga positiva de campo cujo valor e 4, 0× l0−6 C?


2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2, de valores −2 µC e+2 µC, respectivamente, estao separadas por uma distanciade 40 cm.a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade dosegmento que une as cargas Q1 e Q2.b) Calcule o modulo, a direcao e o sentido do vetor campoeletrico em P .c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com essescalculos?

3. (UFSC-SC) O campo eletrico no interior de um sis-tema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinaiscontrarios e um bom exemplo de campo eletrico uniforme.Na figura seguinte, a distancia entre os pontos A e Bvale 5 cm e a intensidade do campo eletrico uniforme Ee 2, 0× 1O5 N/C.a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura?

b) Se o ponto A for tomado como nıvel de referencia para opotencial (V = 0), qual sera o potencial do ponto B?

A BE


4. (ACAFE-SC) No vacuo, um pequeno corpo eletrizadocom carga eletrica Q cria um potencial igual a +3000 Vnum ponto A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9× 109 N ·m2/C2, determine:a) o valor da carga Q;b) a intensidade do vetor campo eletrico no ponto A.

5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1, Q2 e Q3 dispostas nosvertices de um retangulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o po-tencial eletrico total no vertice A, que nao contem nenhumacarga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC ek = 9× 109 N ·m2/C2.

6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das forcas do campoeletrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para trans-portar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto Aa outro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respecti-vamente. Esse trabalho e positivo ou negativo? Explique.Dado: k = 9× 109 N ·m2/C2.

Eletricidade Aula 5

Superfıcies Equipotenciais

Denomina-se superfıcie equipotencial ao lugar geometricodos pontos que tem mesmo potencial eletrico. Nenhum tra-balho e realizado no deslocamento de uma carga de provaentre dois pontos de uma mesma superfıcie equipotencial.

Para aumentar a separacao entre as cargas, e preciso queum agente externo realize um trabalho, cujo sinal poderaser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais

iguais ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corres-ponde uma energia armazenada no sistema sob a forma deenergia potencial eletrica. Assim, definiremos a energia po-tencial eletrica de um sistema de cargas eletricas puntifor-mes como sendo o trabalho externo realizado para traze-lasem equilıbrio de uma separacao infinita ate a configuracaoatual.

E

equipotenciallinha de campo

V2

V3

V

V1

4

O potencial eletrico que uma carga q1 origina no ponto P ,a uma distancia r da carga, e dado por:

V1 =kq1

r

Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazidado infinito ate o ponto P . O trabalho realizado para tal e,segundo a definicao de potencial eletrico:

W2 = q2V1

Como o trabalho e a propria energia potencial eletrica Epot

do sistema de cargas q1, q2, entao

Epot =kq1q2

r12

onde r12 e a distancia entre as cargas q1 e q2.

Pense um Pouco!

• Como seriam as superfıcies equipotenciais de umacarga puntiforme?

• Qual o trabalho necessario para se deslocar uma cargaq′ em torno de uma carga fixa q, mantendo-se adistancia fixa entre elas?


1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do proton e igual emvalor absoluto a do eletron, tendo no entanto sinal contrarioao da referida carga. Um proton tem velocidade relativazero em relacao a um eletron. Quando eles estiverem sepa-rados pela distancia 10−13 cm, calcule a energia potencialdo sistema.


-1.0-0.5

0.00.5

1.0x (m) -1.0

-0.50.0

0.51.0

y (m)

0

50

100

150

V (volts)

Figura 1: O potencial eletrico em torno de uma cargapuntual positiva q = +1 nC. Na base estao as equipo-tenciais, indicando no cırculo maior onde V = +10 V .Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

2. (IME-RJ) Tres cargas q1, q2 e q3 estao dispostas, umaem cada vertice de um triangulo equilatero de lado a. Quala energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC,q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.

3. No esquema abaixo representamos as superfıcies equipo-tenciais e as linhas de forca no campo de uma carga eletricapuntiforme Q. Considere que o meio e o vacuo. SendoV1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga ateV2 a distancia r = 0, 30 m. Determine:a) o valor de Q;b) a d.d.p. encontrada no caminho da superfıcie com V1 atea outra com V2;c) o trabalho da forca eletrica que atua sobre uma carga deprova q′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3.

-1.0-0.5

0.00.5

1.0x (m) -1.0

-0.50.0

0.51.0

y (m)

-150

-100

-50

0

V (volts)

Figura 2: O potencial eletrico em torno de uma cargapuntual positiva q = −1 nC. Na base estao as equipo-tenciais, indicando no cırculo maior onde V = −10 V .Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

E

equipotenciallinha de campo

V2

V3

V

V1

4


4. (USP-SP) Uma partıcula de massa m e carga eletricaq > 0 esta em equilıbrio entre duas placas planas, paralelas


e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. Adistancia entre as placas e d, e a aceleracao local da gravi-dade e g.a) Determine a diferenca de potencial entre as placas emfuncao de m, g, q e d.b) Qual placa tem o maior potencial? Explique.

5. (FEI-SP) Uma partıcula da massa m = 200 mg e cargaq = +1µC e abandonada num ponto A e se dirige a outroB. Sendo de −100 V a diferenca de potencial de A e B, avelocidade com que a partıcula alcanca B e:a) 5, 0 m/sb) 4, 0 m/sc) 3, 0 m/sd) 2, 0 m/se) 1, 0 m/s

6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do eletron e 9, 1×10−31 kg, que sua carga eletrica vale −1, 6×10−19 C e que adiferenca de potencial entre os ponto A ate B e 100 V . Umeletron e abandonado em B sob a acao exclusiva do campoeletrico. O modulo da velocidade do eletron ao atingir oponto A e um valor mais proximo de:a) 36× 1012 m/sb) 6, 0× 1012m/sc) 6, 0× 106 m/sd) 35× 106m/se) 6, 0m/s

Eletricidade Aula 6

Condutores em Equilıbrio

Vamos estudar o campo eletrico e o potencial eletrico deuma distribuicao de cargas em um condutor em equilıbrioeletrostatico.

Para estudar os campos eletricos, vamos usar nao sistemasde cargas puntiformes e sim distribuicoes de cargas em con-dutores. Deve-se considerar que estes estao em equilıbrioeletrostatico, ou seja, nenhuma carga esta sendo colocadaou retirada do condutor, e todo o movimento interno decargas ja cessou.

Equilıbrio Eletrostatico

Um condutor esta em equilıbrio eletrostatico quandonele nao ocorre movimento ordenado de cargas eletricas.Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig.1, uma a carga eletrica Q, a repulsao mutua das cargaselementares que constituem Q faz com que elas fiquem taolonge uma da outra quanto possıvel. O maior afastamentopossıvel corresponde a uma distribuicao de cargas na su-perfıcie externa do condutor, situacao, alias, que desta-camos nas figuras de condutores que ate agora apareceramem nossas aulas. Nessa configuracao de cargas, todas nasuperfıcie, o condutor possui a sua menor energia potencialeletrica.

EA

+

+

++ +

++

+

++++++

++

+

+

++

+++++

+ +

++ metal eletrizado

tangente ‘asuperficie

campodelinha

+

CB

Figura 1: Um condutor carregado com carga positiva.

O Campo Interno

No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato,o campo eletrico e nulo em todos os pontos, ou seja,~E = ~0.

Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se hou-vesse campo eletrico no interior do condutor, ele agiria noseletrons livres, os quais teriam um movimento ordenadosob sua influencia, contrariando o conceito de condutor emequilıbrio eletrostatico.

O Campo Externo

Contudo, da sua superfıcie para fora, o campo eletrico naosera nulo. Porem, nesses pontos, o vetor campo eletrico ~Edeve ser normal a superfıcie, como em A, na Fig. 1. Se ovetor campo fosse como ~E′ no ponto B da mesma figura, eleteria uma componente tangencial a superfıcie do condutor,o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longoda superfıcie.

O Poder das Pontas

Nas regioes pontiagudas de um condutor carregado (regiaoC da Fig. 1), a densidade de carga, isto e, a concentracaode cargas eletricas por unidade de area superficial e maiselevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhancas o campoeletrico e mais intenso.

Quando o campo eletrico nas vizinhancas da ponta atingedeterminado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutorse descarrega atraves da ponta. Esse fenomeno recebe onome de “poder das pontas”. E nele que se baseia, porexemplo, o funcionamento dos para-raios.

Condutor Oco

Evidentemente, nao importa se o condutor e macico ou oco(Fig. 2): o campo eletrico no interior do metal e semprenulo e as cargas se distribuem na sua superfıcie externa.


+

+

++ +

++

+

++++++

++

+

++

++

+++++

+ +

++

Figura 2: Um condutor oco.

Potencial Eletrico

O potencial eletrico em todos os pontos, internos e superfici-ais, de um condutor em equilıbrio eletrostatico, e constante.Assim, para o condutor da Fig. 1, temos VA = VB = VC =VD.

Condutor Esferico

Para se determinar o vetor campo eletrico e o potencialeletrico em pontos externos a um condutor esferico ele-trizado, supoe-se sua carga Q puntiforme e concentrada nocentro:

Eext = kQ

r2

e

Vext = kQ

r

O potencial eletrico do condutor esferico de raio R e o po-tencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dadopelo valor fixo:

Vint, sup = kQ

R

Blindagem Eletrostatica

Considere um condutor oco A em equilıbrio eletrostatico e,em seu interior, o corpo C (Fig. 3). Como o campo eletricono interior de qualquer condutor em equilıbrio eletrostaticoe nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, dequalquer acao eletrica externa. Mesmo um corpo eletrizadoB externo induz cargas em A, mas nao em C. Desse modo,o condutor A constitui uma blindagem eletrostatica para ocorpo C.

Uma tela metalica envolvendo certa regiao do espacotambem constitui uma blindagem satisfatoria – a chamada“gaiola de Faraday”.

A blindagem eletrostatica e muito utilizada para a protecaode aparelhos eletricos e eletronicos contra efeitos externosperturbadores. Os aparelhos de medidas sensıveis estaoacondicionados em caixas metalicas, para que as medidasnao sofram influencias externas. As estruturas metalicas

A

C

Figura 3: A blindagem eletrostatica.

de um aviao, de um automovel e de um predio constituemblindagens eletrostaticas.

Como Funciona o Para-Raios?

O para-raios tem por finalidade oferecer um caminho maiseficiente para as descargas eletricas, protegendo casas,edifıcios, depositos de combustıveis, linhas de transmissaode energia eletrica, etc.

Saiba Mais

O para-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l706-1790). polıtico, escritor e cientista norte-americano. Atual-mente, e constituıdo essencialmente de uma haste condutoradisposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a serprotegida. A extremidade superior da haste apresenta umaou mais pontas de material com elevado ponto de fusao, aoutra extremidade da haste e ligada, atraves de condutoresmetalicos, a barras metalicas que se encontram cravadas,profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiversobre as pontas do para-raios, induz nelas cargas eletricasintensificando o campo na regiao ja ionizada pela descargalıder. Produz-se a descarga principal atraves do para-raios.


Pense um Pouco!

• Como funciona um para-raios? Que area ele protege?

• Por que durante uma tempestade para se proteger daschuvas e mais seguro ficar dentro do carro que debaixode uma arvore?


1. (Cefet-BA) Considere um condutor metalico com a formaindicada na figura. O condutor esta eletrizado positiva-mente e em equilıbrio eletrostatico. Observe os pontos A,B e C. Quais sao as afirmacoes corretas?a) ( ) O campo eletrico em A e nulo.b) ( ) A densidade de cargas eletricas e maior em C do queem B.c) ( ) O campo eletrico em B e mais intenso do que em C.d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencialeletrico.e) ( ) As cargas eletricas em excesso distribuem-se na su-perfıcie externa do condutor.

B

A C

++

++

+

+

+

+ ++

+

+

+ +

+

+

+ +

2. Considere uma esfera metalica oca provida de um orifıcioe eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera metalicaneutra e colocada em contato com a primeira. Quais sao asafirmacoes corretas?

a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera nao seeletriza.b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza.c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, apos um con-tato interno ficaria neutra.d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na es-fera eletrizada, a carga eletrica da pequena esfera aumenta.e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribuicao decargas na esfera oca se altera.

3. (Efei-MG) Um condutor esferico de raio R = 30 cm estaeletrizado com carga eletrica Q = 6, 0 nC. O meio e o vacuo(k = 9, 0× 109 N ·m2/C2). Determine:a) o potencial eletrico e a intensidade do vetor campoeletrico no centro da esfera;b) o potencial eletrico e a intensidade do vetor campoeletrico num ponto externo e situado a 50 cm do centroda esfera.


4. (Efei-MG) Duas esferas metalicas, A e B, de raios R e3R, estao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente.As esferas estao separadas de modo a nao haver inducaoentre elas e sao ligadas por um fio condutor.a) Quais as novas cargas apos o contato?b) Qual o potencial eletrico de cada esfera, depois do con-tato?

5. (ACAFE-SC) Duas esferas metalicas, A e B, de raios10 cm e 20 cm, estao eletrizadas com cargas eletricas 5, 0 nCe −2, 0 nC, respectivamente. As esferas sao postas em con-tato. Determine, apos atingir o equilıbrio eletrostatico:a) as novas cargas eletricas das esferas;b) o potencial eletrico que as esferas adquirem.c) Houve passagem de eletrons de A para B ou de B paraA? Explique.

6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas metalicasidenticas, A e B, de cargas eletricas 5, 0 × 10−6 C e3, 0 × 10−6 C, respectivamente. As esferas sao colocadasem contato.a) Determine o numero de eletrons que passou de um con-dutor para outro.b) Qual das esferas recebe eletrons?

7. Sabendo-se que existe um campo eletrico na superfıcieda Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raioda Terra R = 6.400 km, determine:a) O potencial eletrico da Terra (do chao);b) A carga eletrica total da Terra.

Eletricidade Aula 7

Capacidade Eletrica

Denomina-se capacidade eletrica ou capacitancia de umcorpo condutor a capacidade que ele possui de armazenarcargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de umgas que um balao pode conter depende da pressao a queo gas estiver submetido e tambem das dimensoes e forma


do balao, a capacidade eletrica dependera das dimensoes eforma do condutor.

A experiencia mostra que, se fornecemos a um condutor car-gas Q1, Q2, Q3, ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmosera V1, V2, V3, ..., V , sempre proporcionais a carga Q for-necida. Isso quer dizer que o quociente Q/V e constante(Fig. 1).

Q

V−+

+

++

++

+ +

++

++

++

+

+

+ + +

Figura 1: Capacitor metalico carregado com carga po-sitiva +Q.

Essa constante de proporcionalidade C e denominada ca-pacitancia do condutor.

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

1 F = 1 faraday = 1 coulomb/1 volt = 1 Farad

A capacitancia de um condutor que recebe uma carga del coulomb, adquirindo um potencial de l volt, e igual a l F .Na pratica, os capacitores tem capacitancia da ordem tıpicade µFarad.

Capacitores

Na pratica, e impossıvel obter condutores de capacitanciaelevada, sem que suas dimensoes sejam extraordinariamentegrandes. No entanto, e possıvel obtermos dispositivos, dedimensoes pequenas, capazes de armazenar uma razoavelquantidade de cargas com diferencas de potencial nao muitograndes. Esses dispositivos sao denominados capacitaresou condensadores.

Um capacitor e um par de condutores, separados por umisolante (dieletrico).

Os condutores que constituem o capacitor sao denominadosarmaduras do capacitor.

A classificacao dos capacitores e dada em funcao da formade suas armaduras e da natureza do dieletrico que existeentre as mesmas.

Em todo capacitor, existe uma relacao constante entre omodulo da carga (que e a mesma em valor absoluto nasduas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essarelacao e denominada capacitancia do condensador.

C = Q/V

Num circuito, os capacitores serao representados por duasbarras paralelas.

Capacitores Planos

O capacitor plano e constituıdo por placas condutoras pla-nas e paralelas, separadas por um dieletrico qualquer (ar,mica, papel, polımeros, etc.)

Placa Condutora

Placa Condutora

Material Isolante

Seja A a area de cada armadura e d a distancia entre asmesmas. Consideremos inicialmente que haja vacuo entre asplacas. E possıvel demonstrar, mediante a aplicacao da leide Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placase dado por:

E =Q

ǫ0A

onde ǫ0 e a constante de permissividade eletrica dovacuo,

ǫ0 = 8, 85× 1O−12 F/m

no SI.

Relacao Entre k e ǫ0

As constantes k, a constante eletrica da lei de Faraday, eǫ0, a permissividade eletrica do vacuo, estao intimamenterelacionadas, e pode-se mostrar que:

k =1

4πǫ0

e como ǫ0 e dado em F/m, entao pode-se escrever a cons-tante k em m/F , ja que estas constantes sao inversamenteproporcionais.

++

++

++

++

++

++

++

++

++

+++

++

++

dA

A

+Q

−Q

Conforme ja estudamos anteriormente, a d.d.p. entre asplacas vale V = Ed. Assim:

V =Qd

ǫ0A

A capacitancia do capacitor plano e dada por:

C =ǫ0A

d


Observe que a capacitancia obtida e diretamente proporci-onal a area A das placas, e inversamente proporcional a suadistancia d.

Se, em vez de ar ou vacuo, houver entre as armaduras umdieletrico de constante dieletrica b, a capacitancia de umcondensador plano sera maior, dada por:

C =bǫ0A

d

Para que o dieletrico tenha efeito sobre a capacitancia, eledeve ser colocado na regiao de campo eletrico do capaci-tor. Alguns dieletricos como a mica e poliester chegam aaumentar a capacitancia em ate 100 vezes o seu valor novacuo (sem dieletrico).

Capacitor Esferico Simples

Se construirmos um capacitor com uma esfera simples con-dutora de raio R, sua capacitancia sera

C =Q

V=

Q

kQ/R=

R

k= 4πǫ0R

ou seja, a capacitancia da esfera e diretamente proporcionalao seu raio R.

Capacitor Esferico´

Q

R++

+

++

++ +

+

+

++

++

++ +

++

++

+ ++

+

Exemplo

Vamos calcular a capacitancia de uma esfera condutora deraio igual a 1, 0 m.

C =R

k=

1, 0 m

9, 0× 109 m/F≈ 0, 11 nF

Qual seria entao o raio da esfera com capacitancia de 1, 0 F?Como C = R/k entao

R = kC = (9, 0× 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0× 109 m

Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de6.4× 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raiocom aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!

Pense um Pouco!

• Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?

• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um ca-pacitor carregado, realizaremos algum trabalho?

• Se conectarmos duas esferas metalicas identicas de ca-pacitancia C cada uma, qual a capacitancia do con-junto? Comente.

• A capacitancia de um corpo metalico depende dele seroco ou macico? Explique.


1. Tres condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF ,estao eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC,respectivamente.a) Determine os potenciais eletricos desses corpos.

2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capa-citancia C. Entre suas armaduras ha uma distancia d. Qualsera sua capacidade se a distancia entre suas placas for au-mentada para 2d?

3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C =100 pF , area das armaduras A = 100 cm2, e dieletricocom κ = 5. Quando a ddp entre as armaduras for iguala 50V , calcule a intensidade do campo eletrico no interiordo dieletrico. Dado: ǫ0 = 8, 85× 1O−12 F/m.


4. (UFPR) Uma partıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg comcarga positiva e igual a 2, 0×1O−6 C penetra atraves de umorifıcio, com velocidade de 1, 0×104 m/s, numa regiao ondeexiste um campo eletrico uniforme de modulo 4× 105 N/C.A distancia entre as placas vale 10 cm. Determine a ener-gia cinetica com que a partıcula atinge a segunda placa,andando contra o campo eletrico.

5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, en-tre seus terminais, uma diferenca de potencial V . A cargaeletrica armazenada nesse capacitor e dada por:a) C/Vb) V/Cc) C2Vd) CV 2

e) CV

6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F e sujeitoa uma diferenca de potencial de 30 V . A carga que eleacumulou vale:a) 1, 2× 10−4 Cb) 2, 4× 10−4 Cc) 2, 7× 10−7 Cd) 3, 7× 106 Ce) 7, 4× 106 C

7. (UF-ES) Um equipamento eletrico contem duas pilhas de1, 5 V em serie, que carregam um capacitor de capacitancia6, 0 × 10−5 F . Qual a carga eletrica que se acumula nocapacitor, em coulombs?

Eletricidade Aula 8

Associacao de Capacitores

Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podemser associados de varios modos, sendo os principais em seriee em paralelo. Se numa associacao encontramos ambos ostipos, chamaremos de associacao mista.


Associacao de Capacitores em Serie

C1 C2

a

Série

b

C1

C2

a b

Paralelo

C1

C2

C3

a b

Misto

(a) (b) (c)

Figura 1: Associacao de capacitores em serie (a), emparalelo (b) e mista (c).

Na associacao em serie, ver Fig. 1 (a), quando uma fontebateria de tensao V e ligada nos terminais a e b, as cargasremovidas de um terminal serao deslocadas para o outro,ou seja, as cargas em ambos os terminais sao de mesmomodulo:

Q1 = Q2 = Q

. Entao

V1 =Q

C1e V2 =

Q

C2

Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2, respecti-vamente, tal que

V = V1 + V2

e assimQ

Cser.=

Q

C1+

Q

C2

e entao a capacidade equivalente e dada por:

1

Cser.=

1

C1+

1

C2

Propriedades

• Na associacao em serie, a capacitancia equivalente doconjunto, Cser. sera menor do que a menor das capa-citancias utilizadas;

• Como as cargas sao iguais nos dois capacitores em serie,a d.d.p. do maior capacitor sera a menor;

• Se os capacitores ligados em serie forem iguais C1 =C2 = C, a d.d.p. de ambos sera igual a V/2 e a ca-pacitancia equivalente sera Cser. = C/2, a metade dacapacitancia de um dos capacitores;

• Para uma associacao em serie de n capacitores teremos

1

Cser.=

1

C1+

1

C2+ . . . +

1

Cn=

n∑

i=1

1

Ci

Associacao de Capacitores em Paralelo

(Veja a Fig. 1(b) ).

Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores saoligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateriade tensao V , a placa positiva de cada capacitor esta ligada aplaca positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placasnegativas.

Observamos que a mesma d.d.p. V e aplicada aos capacito-res da associacao.

V = V1 = V2

Cada capacitor adquire uma carga parcial:

Q = Q1 + Q2

A capacidade equivalente e dada por:

Cpar. = C1 + C2

Propriedades

• Na associacao em paralelo, a capacitancia equivalentedo conjunto, Cpar. sera maior do que a maior das ca-pacitancias utilizadas;

• Como as tensoes sao iguais nos dois capacitores emparalelo, a carga do maior capacitor sera a maior dascargas;

• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguaisC1 = C2 = C, a carga de ambos sera a mesma e acapacitancia equivalente sera Cpar. = 2C, o dobro dacapacitancia de um dos capacitores;

• Para uma associacao em paralelo de n capacitores te-remos

Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn =

n∑

i=1

Ci

Energia de um Capacitor

Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suasarmaduras por um fio condutor: as cargas negativas vaofluir para a outra armadura ate que ambas se neutralizem.O tempo necessario para isso e muito pequeno, e muitas ve-zes a descarga vem acompanhada de uma faısca que saltados extremos do condutor que une as armaduras. Conformeja estudamos anteriormente, o transporte de cargas eletricasentre pontos que possuem diferentes potenciais eletricos im-plica aparecimento de energia eletrica. Quando uma cargaeletrica e transportada entre dois pontos, entre os quaisexiste uma diferenca de potencial V qualquer, o trabalhorealizado e W = qV

Na descarga do capacitor, porem, a d.d.p. varia, diminuindoa medida que uma parcela da carga vai se transferindo paraa outra armadura.

Como a carga total do capacitor e Q = CV , e a d.d.p. variade V ate zero durante o processo de descarga, podemostomar o valor medio da tensao como sendo V/2 e calcular otrabalho

W = qV = CV · V2

=1

2CV 2

e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, pode-mos supor que essa energia estava armazenada no capacitor,como energia potencial eletrica.

Assim, definimos a energia do capacitor como

E =1

2CV 2


Observe que a expressao anterior pode ser reescrita de duasoutras formas equivalentes:

E =1

2QV =

Q2

2C

Pense um Pouco!

• Cite duas aplicacoes direta dos capacitores.

• Alguem disse que os fios usados em circuitos eletricosservem para igualar o potencial eletrico nas partes co-nectadas nas suas duas pontas. O que voce acha disso?

• Na figura 1, imagine que se conecte nos terminais ae b, os terminais (polos) de uma bateria de tensao V .Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes quetem o mesmo potencial eletrico de a, e de outra coras partes que tem o mesmo potencial de b. Observe oconclua voce mesmo.


1. (UERJ) Uma associacao de l.000 capacitores de 10 µFcada um, associados em paralelo, e utilizada para armazenarenergia. Qual o custo para se carregar esse conjunto ate50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o preco do kW · h?

2. (FAAP-SP) Associam-se em serie tres capacitores neu-tros com capacitancias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF eC3 = 100 µF . Calcule a capacitancia equivalente do sis-tema.

3. Calcule a capacitancia equivalente da associacao mistamostrada na Fig. 1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF ,C2 = 10 µF e C3 = 40 µF .


4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num con-junto de capacitores com capacitancia total de 2.000 µF esob tensao de 900 V .

5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitancia C1 = 6, 0 µFe C2 = 3, 0 µF sao associados em paralelo e a associacao esubmetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitancia C1

se eletriza com carga eletrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o decapacitancia C2, com carga eletrica Q2. Determine V e Q2.

6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a umcapacitor, de capacitancia 2, 0 µF , a fim de que armazeneenergia potencial eletrica de 2, 5× 10−3 J?

7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televisaotem uma capacitancia de 1, 2 µF . Sendo a diferenca depotencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que elearmazena e de:a) 6, 7 Jb) 5, 4 Jc) 4, 6 J

d) 3, 9 Je) 2, 8 J

Eletricidade Aula 9

Corrente Eletrica

Num material condutor, mesmo descarregado do ponto devista eletrico, existem alguns eletrons chamados livres quepodem se deslocar dentro do material, passando de umatomo para outro. Mesmo havendo equilıbrio de cargas den-tro de um condutor, os eletrons livres ficam o tempo o todoem movimento aleatorio dentro do material, mantendo emmedia, o equilıbrio de cargas de cada atomo.

Quando todos os eletrons livres forem forcados a se deslocarnuma dada direcao especıfica, ao longo de um fio condutor,por exemplo, entao teremos uma corrente eletrica i.

+ +

++ +

+

i

+

+

+

++

+

.

+Q

R

Figura 1: O sentido da corrente i, e o movimento doseletrons num fio.

Por convencao, indica-se num fio o sentido da corrente ipor uma flecha, no sentido contrario ao movimento doseletrons! Isto porque, historicamente, as cargas foram bati-zadas por Benjamin Franklin no sec. XVIII, como positi-vas e negativas, e se acreditava que as cargas positivas eque se moviam dentro de um fio com corrente.

Do ponto de vista fısico, e equivalente se pensar em eletronsse movendo num sentido, ou protons se movendo no sentidocontrario.

Unidade de Corrente

No Sistema Internacional, medimos a corrente em amperesou A:

1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s

ou seja, para uma corrente de 1 ampere, ha um fluxo decarga de 1 coulomb por segundo, atravessando a seccao retade um condutor.

Lei de Ohm

Define-se a resistencia eletrica R de um condutor, ligandosuas extremidades numa diferenca de potencial V e medindoa corrente eletrica que o atravessa.

Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente eletricaobtida, maior a resistencia do condutor, e vice-versa:

R = V/i


Se a resistencia R assim definida for independente da tensaoe da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor echamado de ohmico.

Para os materiais considerados bons condutores, como osmetais, a resistencia eletrica sera baixa, em geral proximade zero. Para os materiais isolantes, como a borracha, aresistencia eletrica sera muito alta, tendendo ao infinito.

A resistencia de um resistor depende de sua forma fısica,de suas dimensoes e do material de que e feito. Em ge-ral, quanto mais fino e longo um fio, maior sua resistenciaeletrica.

Unidade de Resistencia

No Sistema Internacional, medimos a resistencia eletrica emohms ou Ω:

1 Ω = 1 volt/ampere = 1 V/A

ou seja, se para uma tensao de 1 volt se obtem uma correntede 1 ampere, entao o resistor tem resistencia de 1 ohm.

Circuitos Simples

Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito sim-ples com uma resistencia eletrica total R, a corrente na ba-teria sera, pela lei de Ohm:

i =ER

Exemplo

Considere o circuito abaixo, onde uma lampada de re-sistencia R = 5 Ω esta conectada numa fonte (bateria) de12 V atraves de fios ideais, de resistencia nula.

R

iε

+

Figura 2: Um circuito simples.

Resolucao:

i =ER

=12 V

5 Ω= 2, 4 A

Pense um Pouco!

• Se dobrarmos a tensao aplicada a um resistor ohmico,o que acontecera com sua corrente?

• Para um resistor ohmico, que tipo de grafico V × iterıamos?


1. Um fio condutor transporta uma carga de 30 C em doisminutos. Qual a corrente media no fio, durante esse pro-cesso?a) 0, 2 Ab) 4, 0 Ac) 1/4 Ad) 0, 3 mAe) 0, 25 mA

2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma correntede 10 A durante 15 minutos. Qual a carga eletrica totalutilizada neste banho?a) 150 Cb) 9 Cc) 1, 5 Cd) 9.000 Ce) 9 mC

3. Uma pilha de 1, 5 V e conectada num LED, que passa aconduzir uma corrente eletrica de 3 mA. Qual a resistenciaeletrica do LED?a) 500 Ωb) 50 Ωc) 5 Ωd) 0, 5 Ωe) n. d. a.


4. A resistencia eletrica de um fio condutor depende:a) apenas da corrente aplicadab) da tensao aplicadac) de suas dimensoes e do material de que e feitod) da corrente maxima que ele suportae) da tensao e da corrente maximas

5. Um fusıvel e um resistor preparado para se romperquando a corrente nele excede um determinado valor. Paraum fusıvel de carro que suporta ate 2, 0A, e opera em 12 V ,qual a sua resistencia interna mınima?a) 24 Ωb) 12 Ωc) 4 Ωd) 0, 17 Ωe) n. d. a.

6. Uma lampada de 60 W , construıda para operar em 110 Vonde ela conduz 2, 0 A de corrente, e ligada por engano em220 V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de cargaque ela conduz, ate queimar?a) 5 Cb) 10 Cc) 15 Cd) 20 Ce) n. d. a.

Eletricidade Aula 10


Resistencia Equivalente

Em geral, um circuito pode conter mais de um resistor, eate outros elementos como bobinas, fios, chaves, LEDs, etc.,todos eles ligados a uma fonte, por exemplo.

Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou ba-teria) de f. e. m., a determinacao da corrente eletrica ina fonte e possıvel atraves do calculo da resistencia equi-valente Req. a todos os elementos do circuito. Ou seja,determinamos qual o valor Req. da resistencia que, substi-tuindo o circuito todo, conduz a mesma corrente. Pela leide Ohm:

i =E

Req.

Associacao de Resistores

Para um circuito com uma fonte e varios resistores, podemoscalcular facilmente a resistencia equivalente, a corrente quepassa na fonte e, a seguir, as correntes e tensoes em cadaum dos resistores.

Resistores em Serie

Quando num circuito simples ligamos varios resistoresohmicos em serie, R1, R2, R3, etc., a resistencia equivalentesera a soma das resistencias, ou seja:

Req. = R1 + R2 + R3 + . . . =∑

i

Ri

12 Ω

a b

6 Ω 4 Ω

Figura 1: Tres resistores ligados em serie.

Na associacao em serie da figura acima, a resistencia equi-valente e

Req. = 12 Ω + 6 Ω + 4 Ω = 22 Ω

Quando mais resistores ligarmos em serie, maior sera a re-sistencia equivalente.

Resistores em Paralelo

Quando num circuito simples ligamos varios resistoresohmicos em paralelo, R1, R2, R3, etc., o inverso da re-sistencia equivalente sera a soma dos inversos das re-sistencias, ou seja:

1

Req.=

1

R1+

1

R2+

1

R3+ . . . =

∑

i

1

Ri

Na associacao em paralelo da figura acima, a resistenciaequivalente e

1

Req.=

1

12 Ω+

1

6 Ω+

1

4 Ω=

6

12 Ω

12 Ω

4 Ω

6 Ω

a b

Figura 2: Tres resistores ligados em paralelo.

ou seja

Req. = 2 Ω

Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo,menor sera a resistencia equivalente.

Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa saoligados em paralelo, por exemplo.

Associacoes Mistas

Quando num circuito simples ligamos varios resistoresohmicos, alguns em serie e outros em paralelo, devemos ircalculando as resistencias equivalentes das partes em seriee em paralelo, ate se chegar numa resistencia equivalentegeral para todo o circuito.

a

3 Ω6 Ω

b

ba

9 Ω

4 Ω6 Ω

a b12 Ω

Passo 1

Passo 2

Figura 3: Tres resistores em ligacao mista.

Na associacao mista de resistores mostrada na figura acima,a resistencia equivalente e calculada em dois passos:

Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 Ω estao emparalelo, logo a resistencia R′ equivalente a estes resistoressera:

1

R′ =1

12 Ω+

1

4 Ω=

4

12 Ω=⇒ R′ = 3 Ω

Passo 2) Substituindo-se entao os resistores de 4 e 12 Ω porum equivalente de 3 Ω, temos uma associacao em serie, entreresistores agora de 6 e 3 Ω, e a resistencia final equivalenteR′′ sera:

R′′ = 6 Ω + 3 Ω = 9 Ω


Exemplo Completo

Determinar a corrente e a tensao eletrica em cada um dosresistores do circuito misto da secao anterior, quando umafonte de 45 V for ligada nos pontos a e b.

4 Ω6 Ω

a b12 Ω

45 V

c d

i

i´

i´´−

+

Figura 4: Exemplo completo.

Resolucao:

Como a resistencia equivalente desta associacao mista e 9 Ω,a corrente i que passa na fonte sera:

i =E

Req.=

45 V

9 Ω= 5 A

Esta e a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de6 Ω, e aplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamosa tensao Vac entre os pontos a e c, onde o resistor estaconectado:

Vac = Ri = (6 Ω)(5 A) = 30 V

Ao chegar ao no c, vemos que a corrente se divide em duaspartes, na associacao em paralelo: uma que passa pelo re-sistor de cima i′ e outra no resistor de baixo i′′.

Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo e de3 Ω, conforme calculado anteriormente, a queda de tensaoVcd, entre os pontos c e d, que e a mesma tensao entre ospontos c e b, sera, pela lei de Ohm:

Vcd = R′i = (3 Ω)(5 A) = 15 V

→ Observe que a queda de tensao no primeiro resistor so-mada a queda de tensao no conjunto em paralelo da exata-mente a tensao da fonte:

E = Vac + V cb

Finalmente, como a tensao Vcd = 15 V , temos as correntesnos outros dois resistores:

i′ =15 V

4 Ω= 3, 75 A

e

i′′ =15 V

12 Ω= 1, 25 A

que sao as correntes nos resistores de 4 e 12 Ω, respectiva-mente.

→ Observe que a soma das correntes eletricas no conjuntoem paralelo, e igual a corrente total que passa na fonte:

i = i′ + i′′

→ Observe tambem que, como ambos os resistores em pa-ralelo estao ligados na mesma tensao, o resistor de menorresistencia conduz a maior corrente, e vice-versa.

Curto-circuito e Circuito Aberto

Quando um fio de um circuito se rompe, como no caso deum fusıvel queimar, dizemos que o circuito esta aberto, enenhuma corrente sera conduzida pela parte do fio que esta“aberta”. Esta situacao e equivalente ao uso de um resistorinfinito, na pratica, uma grande resistencia e equivalenteao circuito aberto.

Quando um fio fio condutor perfeito, ou seja, que nao possuiresistencia, for ligado num circuito no lugar de um resistornormal, teremos o que se chama de “curto-circuito”. Se nosextremos desse fio houver uma tensao qualquer, teremosuma corrente enorme passando pelo fio, ja que i = V/R,e para R proximos de zero a corrente se torna muito alta.Normalmente ha algum problema com o circuito quando umcurto-circuito e formado. Nunca faca isso! Mesmo uma pi-lha de bolso pode produzir correntes enormes por um curtointervalo de tempo, se seus polos forem conectados com umfio bom condutor.

Se numa associacao em paralelo, um dos resistores entrarem curto-circuito, por aquecimento ou outra razao qual-quer, entao a resistencia equivalente do conjunto todo deresistores sera nula.

6 Ω

a b

12 Ω

curto

Ja numa associacao em serie, havendo curto num resistor,a resistencia equivalente do conjunto sera a soma das re-sistencias dos os outros resistores.

12 Ω

a b

6 Ω 4 Ω

i

i´ = 0

i

curto

Pense um Pouco!

• Se conectarmos N resistores identicos de resistencia Rem serie, qual a resistencia equivalente do conjunto?

• Quantas resistencias diferentes podemos formar, se dis-pomos de apenas tres resistores: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ωe R3 = 4 Ω?


1. Sobre associacoes de resistores ohmicos, considere as se-guintes afirmativas:


I. A maxima resistencia equivalente de um conjunto de re-sistores e obtida quando todos estao em paralelo;II. A resistencia equivalente para uma associacao em serie esempre menor do que a menor das resistencias usadas;III. Se um resistor estiver em curto e a resistencia equiva-lente do conjunto de resistores nao se anular, e porque aassociacao e do tipo mista;IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a as-sociacao deve ser em serie.a) estao corretas I e IIIb) estao corretas I, III e IIIc) estao corretas II, III e IVd) estao corretas III e IVe) n. d. a.

2. Ligou-se em serie num circuito: uma bateria de 1, 5 V ,um resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tensaono resistor de 5 Ω serao, respectivamente:a) 0, 1 A e 1, 5 Vb) 0, 5 A e 0, 1 Vc) 0, 1 A e 0, 5 Vd) 3, 0 A e 0, 5 Ve) n. d. a.

3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , umresistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tensao noresistor de 10 Ω serao, respectivamente:a) 0, 45 A e 1, 5 Vb) 0, 15 A e 1, 5 Vc) 0, 15 A e 0, 5 Vd) 0, 45 A e 0, 5 Ve) n. d. a.

4. Uma pilha de 1, 5 V e conectada num LED, que passa aconduzir uma corrente eletrica de 3 mA. Qual a resistenciaeletrica do LED?a) 500 Ωb) 50 Ωc) 5 Ωd) 0, 5 Ωe) n. d. a.


5. A corrente eletrica i3 no resistor R3 do circuito da figura

1R = 1Ω

ΩR = 42

R = 12Ω3

12 V−

+

e:a) 2/3 Ab) 4/3 Ac) 8/3 Ad) 5, 0 Ae) 1, 0 A

6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontosa e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conformea figura:

a b

1 Ω

2 Ω

3 Ω

Pode-se afirmar que:a) a corrente eletrica em R1 e de 10 Ab) a tensao eletrica em R2 e de 6 Vc) a corrente eletrica em R3 e de 4 Ad) a tensao eletrica em R1 e maior do que em R3

e) n. d. a.

7. A resistencia eletrica entre os pontos a e b da associacaode seis resistores ohmicos iguais a R:

a b

R

R

R

R

R

R

e:a) Rb) 2Rc) 6Rd) 3R/2e) 3R/4


Instrumentos de Medida

Dois instrumentos basicos sao utilizados para a medicao decorrentes eletricas e tensoes nos elementos de um circuito:o amperımetro e o voltımetro.

Na maioria dos medidores modernos, varios medidores estaodisponıveis num aparelho so, os chamados multımetros.

O Amperımetro

Para a medicao do valor de uma corrente eletrica que atra-vessa um fio, num circuito, liga-se em serie nesse fio umamperımetro, a fim de que a corrente atravesse tambem oamperımetro.

Para que o amperımetro nao altere o valor da corrente noproprio fio onde sera ligado, ele deve ter uma resistenciainterna muito pequena, no caso ideal, nula.


+ −

ε A

i

R

−

+

O Voltımetro

Para a medicao do valor da d.d.p. entre dois pontos numcircuito, liga-se em paralelo nesses pontos um voltımetro, afim de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciaiseletricos dos pontos do circuito, e a diferenca de potencialentre eles possa ser medida.

Para que o voltımetro nao altere o valor da tensao entreos pontos onde ele e conectado, o que se quer medir, eledeve ter uma resistencia interna muito alta, no caso ideal,infinita. Com isso, a corrente desviada para o amperımetrosera muito menor do que a que possa haver entre os pontosdo circuito onde ele esta conectado. Isto mesmo, para medira tensao entre os seus terminais o voltımetro usa uma pe-quena corrente. Na verdade este aparelho e um amperımetroadaptado para medir tensoes.

ε

R

V

+−

i

−

+

Lei de Joule

Quando uma corrente eletrica atravessa um condutor de re-sistencia eletrica R, havera uma queda de tensao dada pelalei de Ohm

V = Ri

no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre nosentido do maior para o menor potencial eletrico. Vale aquio analogo hidraulico, pois a correnteza de um rio sempre eno sentido do maior potencial gravitacional (ponto mais altodo terreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quandoa agua desce uma cascata, converte sua energia potencialem cinetica e pode gerar calor, se for dissipada, ou moveruma roda, por exemplo.

No caso eletrico, a resistencia faz com que as cargas per-cam energia cinetica, atraves das colisoes que ocorrem en-tre os eletrons livres e os atomos do material, produzindo

mais agitacao nestas partıculas, ou seja, a energia cinetica setransforma em calor e faz com que a temperatura do resistorsuba.

No caso das lampadas de filamento, usa-se esse calor paraproduzir luz, atingindo-se a incandescencia do metal con-dutor, em geral, o tungstenio W , que possui um altıssimoponto de fusao. No chuveiro eletrico comum, usa-se umaresistencia para produzir calor e aquecer a agua do banhoque passa pelo no seu interior. Existem muitas aplicacoesdesse tipo, e voce mesmo pode fazer uma lista delas.

A esse efeito de liberacao de calor pela passagem de umacorrente eletrica num resistor se chama de efeito Joule.

Em alguns casos o efeito Joule e um problema, pois colaborana perda de energia em linhas de transmissao e motores, porexemplo, transformando parte da energia eletrica em calor,que e perdido para o meio ambiente (poluicao termica).

A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por uni-dade de tempo, define a potencia com que o resistor converteenergia eletrica em calor, e e dada pela lei de Joule:

P = iV

ou seja, como i = V/R, podemos reescreve-la como

P =V 2

R

ou ainda, como V = Ri,

P = Ri2

Unidades SI

A potencia dissipada num resistor e medida em watts no SI,onde

1 watt = 1 W = 1 J/s

Pense um Pouco!

• Num chuveiro normalmente temos uma chave in-verno/verao, que muda a resistencia do chuveiro, epode ser usada para esquentar mais/menos a agua.Qual das resistencia deve ser maior, a usada no in-verno, para esquentar mais, ou a usada no verao, paraesquentar menos?


1. Qual a corrente eletrica num chuveiro eletrico que ligadoem 220 V produz calor a uma potencia de 6.000 W?a) 15 Ab) 10 Ac) 5 Ad) 0, 5 Ae) n. d. a.

2. Um resistor de 10 Ω transposta uma corrente de 200 mA.A quantidade de energia que ele dissipa na forma de calorem 15 min de funcionamento e:a) 3.600 J


b) 360 Jc) 36 Jd) 3, 6 Je) n. d. a.

3. Dois resistores, um de resistencia R1 = 2 Ω e outro deresistencia R2 = 8 Ω estao ligados em serie com uma bateriade f.e.m. E = 24 V . A tensao no resistor R1 e a potenciadissipada no resistor R2 sao, respectivamente:a) 2 V e 16 Wb) 16 V e 32 Wc) 8 V e 3, 2 Wd) 4 V e 32 We) n. d. a.


4. No circuito da figura abaixo, as chaves CH1 e CH2 estaoabertas e o amperımetro A indica que existe passagem decorrente. Quando as duas chaves estao fechadas, a indicacaodo amperımetro A nao se altera. Dados:Bateria 1: f.e.m. E1 = 12 V e resistencia interna r1 = 1 Ω;Bateria 2: f.e.m. E2 = 12 V e resistencia interna r2 = 1 Ω;Resistencia do amperımetro A: r3 = 2 Ω;R1 = 9 Ω.Determinar:a) o valor da resistencia R2;b) a potencia dissipada por efeito Joule na resistencia R2

quando CH1 e CH2 estao fechadas.

E2E1

+

−+

−CH1

R1

R2

CH2A


Geradores e Forca Eletromotriz

Geradores ou baterias de tensao contınua sao dispositivoscapazes de converter energia quımica em energia eletrica,deslocando cargas entre seus polos de forma a aumentara energia potencial eletrica disponıvel para que as cargaseletricas possam circular por um circuito, mantendo umacorrente de cargas em movimento. Essas cargas, ou seja,a corrente, ao passar por um resistor, por exemplo, perdeenergia e tende a cessar o seu movimento, a menos queum agente externo – o gerador – realimente essas cargase mantenha-as circulando.

E bom destacar o fato de que o gerador nao “cria”ou“gera”cargas, mas apenas transfere energia para que elasmantenham seu movimento, formando uma corrente eletricanum circuito.

Usando uma analogia com os sistemas hidraulicos, podemospensar num gerador como sendo equivalente a uma bombad’agua, que eleva a agua ate uma caixa d’agua, fornecendo

energia potencial gravitacional a massa d’agua movimen-tada. Imagine que a agua cai da caixa d’agua por um canona parte inferior desta, diretamente dentro de um barril,transformando sua energia potencial em cinetica e essa, fi-nalmente, em calor, aquecendo a agua no barril. Nessa ana-logia, o barril seria um resistor eletrico. A seguir, a aguado barril e captada pela bomba e rebombeada para a caixad’agua. A bomba d’agua nesse caso, realiza um trabalhocontınuo sobre a agua, transformando energia eletrica emtrabalho e, atraves deste, aumentando a energia potencialgravitacional da agua.

No caso eletrico, define-se a forca eletromotriz (f.e.m.) deum gerador, ou bateria, como sendo a energia quımica con-sumida, por unidade de carga deslocada, desde o polo nega-tivo ate o polo positivo do gerador. Como se ve, a f.e.m. naoe uma forca, mas sua definicao e muito parecida com a de-finicao de diferenca de potencial eletrico entre dois pontos,lembra?

Definimos a diferenca de potencial eletrico entre dois pon-tos como o trabalho realizado por um agente externo, porunidade de carga, para deslocar em equilıbrio uma pequenacarga de prova +q desde um ponto A ate outro ponto B,dentro de uma regiao do espaco onde existe um campoeletrico (apenas).

Relembrando:

VA→B = VB − VA =Wext.

+q= −WE

+q

onde WE e o trabalho realizado pela forca eletrica, ja que,para o equilıbrio da carga q′, segundo a Primeira Lei deNewton, Fext. = −FE.

Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria sera

f.e.m. = E ≡ Equim.

q

e por definicao, esta nova grandeza sera tambem medida emvolts ou V no Sistema Internacional (SI).

Simbologia

Nos esquemas simplificados usados nos circuitos, indicamosuma bateria pelo sımbolo

ε εou+

−

+

−

Convenciona-se que, a placa maior representada na fonteo potencial eletrico e maior (+) e na placa menor, e maisespessa, o potencial seja menor (-).

Quando ligada a um resistor ohmico, por exemplo, a fonteproduzira uma corrente (positiva) no sentido indicado pelaseta ao lado do sımbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa posi-tiva em direcao ao resistor e retornando pela placa negativa.Pela parte interna da fonte, a direcao da corrente e da placanegativa (-) para a positiva (+), sendo este o sentido normal


da corrente dentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfereenergia para as cargas, elevando o seu potencial eletrico deuma quantidade +E .

Circuito com Varias Fontes

Um circuito pode ter mais de uma fonte (bateria ou gera-dor), claro. E como nos radios a pilha, onde se usa, porexemplo, quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente seusa varios geradores num mesmo circuito para se obter umaf.e.m. total grande, quando elas sao ligadas em serie e comas suas f.e.m. na mesma direcao.

ε1 εN i = 1

N

Σ εi

.....

ε3ε2

N geradores em serie´

− −+ −− −+ + + +

Figura 1: Geradores em serie, aumentando-se a f.e.m.total.

Para se obter mais carga disponıvel, e fazer um circuitofuncionar por mais tempo, varias baterias de mesma f.e.m.sao ligadas em paralelo, resultando num gerador de mesmaf.e.m. das baterias usadas.

ε ε ε ε.....

N geradores em paralelo

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

Figura 2: Geradores de mesma f.e.m. em paralelo.

Lei das Malhas – 1a

lei de Kirchhoff

Definimos como uma malha, qualquer caminho fechadodentro de um circuito eletrico, que possa ser percorridopassando-se uma so vez em cada ponto.

O circuito eletrico mais simples possui apenas uma malha,ou seja, so um caminho possıvel para a corrente, que por-tanto, devera ser a mesma em todos os elementos do cir-cuito: resistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de umamalha mais simples possıvel, e aquele ja visto, com apenasuma fonte e um resistor.

circulando-se a malha de um circuito, o somatoriodas variacoes de tensao ao longo da malha deve sernulo.

ou seja

∑

i

∆Vi = 0

incluindo todos os elementos do circuito: fontes e resistores.

Para fazer-se o somatorio acima, precisamos escolher umsentido qualquer para a corrente na malha e outro, nao ne-cessariamente o mesmo, para circularmos a malha, sentidohorario ou anti-horario, e observar as seguintes regras:

Fontes

→ se passarmos por uma fonte de f.e.m. E , indo da placanegativa (-) para a positiva (+) temos ∆V = +E .→ se passarmos por uma fonte de f.e.m. E , indo da placapositiva (+) para a negativa (-) temos ∆V = −E .

Resistores

→ se passarmos por um resistor R, indo no sentido da su-posta corrente i temos ∆V = −Ri.

→ se passarmos por um resistor R, indo em sentido contrarioao da suposta corrente i temos ∆V = +Ri.

Fios, Chaves e Conectores

Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais nao possuemresistencia eletrica e portanto nao apresentam queda detensao, ou seja, ∆V = 0 para esses elementos. Nao con-tribuem para o somatorio geral das tensoes.

Assim, tendo-se todos os ∆Vi no circuito, somam-se todosos termos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada fornegativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela estatrocado. O sentido fısico correto da corrente entao sera osentido contrario ao sentido arbitrado.

Lei de Ohm-Pouillet

Com base na lei das malhas, podemos ver que todo cir-cuito de uma so malha, mesmo com varias fontes de tensaocontınua (baterias) e varios resistores, todos eles em serieportanto, pode ser reduzido a um circuito simples do tipo:uma ateria e um resistor. Para isso, devemos encontrar af.e.m. total E no circuito e a resistencia equivalente Req., edaı, obteremos a corrente i no circuito:

i =E

Req.lei de Ohm-Pouillet

Biografia

Gustav Rupert Kirchhoff, (1824 – 1861), foi um dos maioresfısicos alemaes de seu tempo. Realizou uma obra vastıssima.Viveu numa epoca em que a Fısica estava tendo desenvol-vimento extraordinario em varios setores diferentes, pois nasegunda metade do seculo passado a mecanica, elasticidade,teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodinamicativeram grande impulso. Kirchhoff, que desde muito jovemesteve em contacto com fısicos bastante experimentados,teve oportunidade de trabalhar em assuntos muito variados.Alem de um numero muito grande de trabalhos isolados, hatres ramos da Fısica nos quais os trabalhos de Kirchhoffse tornaram fundamentais: otica, termodinamica e eletrici-dade. Em otica, foi grande conhecedor de espectroscopia,tendo sido um dos fundadores da analise espectral. Em ter-modinamica, foi o primeiro fısico a estabelecer leis sobre aenergia radiante. Em eletricidade estabeleceu as leis fun-damentais das malhas eletricas, leis que estudamos nesteultimo capıtulo.


Pense um Pouco!

• Ligando-se duas pilhas comuns, com os polos trocados,a um pequena lampada o que se observa?

• E possıvel que a corrente (positiva) entre pelo polo po-sitivo de uma fonte e saia pelo negativo?


1. (UEPR) Um gerador funcionara em regime de potenciautil maxima, quando sua resistencia interna for igual:a) a metade da resistencia equivalente do circuito que elealimenta;b) ao dobro da resistencia equivalente do circuito que elealimenta;c) ao quadruplo da resistencia equivalente do circuito queele alimenta;d) a resistencia equivalente do circuito que ele alimenta;e) a quarta parte da resistencia equivalente do circuito queele alimenta.


2. (PUC-SP) Cinco geradores, cada um de f.e.m. igual a4, 5 V e corrente de curto-circuito igual a 0, 5 A, sao associ-ados em paralelo. A f.e.m.e a resistencia interna do geradorequivalente tem valores respectivamente iguais a:a) 4, 5 V e 9, 0 Ωb) 22, 5 V e 9, 0 Ωc) 4, 5 V e 1, 8 Ωd) 0, 9 V e 9, 0 Ωe) 0, 9 V e 1, 8 Ω


Parte II

Quımica

121

Quımica – Aula 1 123

Quımica Aula 1

Estrutura Atomica

Modelos Atomicos

A primeira abordagem sobre a constituicao da materia datade ± 400 anos a.C. Os filosofos gregos Democrito e Leucipoconceberam o atomo como a menor partıcula constituinteda materia e supunham que essa partıcula era indivisıvel.

Lavoisier: em 1780, e considerado o pai da Quımica por tercriado o metodo cientıfico: as leis surgem da observacao daregularidade das teorias, como tentativas de explicacao des-sas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria,nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa trans-formacao quımica da materia, a massa se conserva.

John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atomica Classica (ba-seado em modelos experimentais), considerando os atomoscomo esferas macicas (Modelo da Bola de Bilhar), indi-visıveis.

J. J. Thomson: em 1897, atraves de experimentos sobredescargas eletricas em gases rarefeitos, admitiu a existenciade cargas negativas, os eletrons, e de cargas positivas, osprotons. Propos um modelo em que o atomo seria umaesfera de eletricidade positiva, incrustada de eletrons comcarga negativa (Modelo do Pudim de Passas).

Colimador do feixe

ouroFolha de

Substancia radioativa Tela sintilantepara detecçaodas particulasdesviadas

fonte de particulas α

Figura 1: Aparato Experimental de Rutherford.

Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma laminametalica delgada com um feixe de partıculas α. Estaspartıculas eram positivas. A maior parte das partıculasatravessava a lamina metalica sem sofrer desvio detectavel,algumas partıculas atravessavam sofrendo desvio e umnumero ınfimo de partıculas refletiam. Se os atomos fos-sem bolhas de geleia carregados positivamente as partıculasα deveriam passar facilmente atraves das folhas com uma li-geira deflexao ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-seque algumas destas partıculas defletiam mais de 90 e umaspoucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Vera Fig. 1.

Estes resultados sugerem um modelo de atomo no qual hauma densa carga positiva central circundada por um grandevolume vazio. Rutherford chamou esta regiao carregada po-

sitivamente de nucleo atomico.

As partıculas carregadas positivamente sao chamadasprotons.

As partıculas carregadas negativamente continuam sendochamadas de eletrons.

Assim, o modelo de Rutherford consta de nucleo denso,diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envol-vendo esse nucleo, uma regiao rarefeita e proporcionalmentemuito grande chamada eletrosfera, com eletrons, de carganegativa.

Resumo do Modelo de Rutherford

Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamentetinha os seguintes fundamentos:

• O atomo e dividido em duas regioes, nucleo e eletros-fera, no nucleo encontramos os protons e os neutrons,na eletrosfera encontramos os eletrons;

• Os protons apresentam carga positiva, os eletrons apre-sentam carga negativa e os neutrons apresentam carganula;

• A massa de um proton e de um neutron equivalem a 1u.m.a enquanto a massa do eletron e 1836 vezes menorque a massa do proton ou do neutron.

O numero de protons em um nucleo atomico e chamado denumero atomico, Z, do elemento.

O numero total (soma) de protons e neutrons no nucleo echamado de numero de massa, A, do elemento.

A = Z + N

Representacao

ZXA

Mas, o modelo planetario de Rutherford apresenta duas fa-lhas cruciais:

• Uma carga negativa colocada em movimento ao redorde uma carga positiva estacionaria, adquire movimentoespiral ate colidir com ela;

• Essa carga perde energia emitindo radiacao, violandoo Princıpio da Conservacao de Energia.

Pense um Pouco!

1. Voce sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”?

2. O que significa Fissao Nuclear e Fusao Nuclear?


1. A palavra atomo e originaria do grego e significa “indi-visıvel”, ou seja, segundo os filosofos gregos, o atomo seriaa menor partıcula da materia que nao poderia ser mais di-vidida. atualmente essa ideia nao e mais aceita. A respeito


dos atomos, e verdadeiro afirmar que:a) ( ) Nao podem ser desintegrados;b) ( ) Sao formados por pelo menos tres partıculas funda-mentais;c) ( ) Possuem partıculas positivas denominadas eletrons;d) ( ) Apresentam duas regioes distintas, nucleo e eletros-fera;e) ( ) Apresentam eletrons cuja carga eletrica e negativa;f) ( ) Contem partıculas sem carga eletrica, os neutrons.

2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale comoV ou F:a) ( ) O primeiro modelo atomico baseado em resultadosexperimentais, ou seja, com base cientıfica foi proposto porDalton;b) ( ) Segundo Dalton, a materia e formada de partıculasindivisıveis chamadas atomos;c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o atomonao era indivisıvel;d) ( ) O modelo atomico proposto por Thomson e o dabola de bilhar;e) ( ) O modelo atomico de Dalton teve como suporte ex-perimental para a sua criacao a interpretacao das leis dasreacoes quımicas.

3. (UFSC) Assinale a alternativa correta:a) Os atomos sao partıculas fundamentais da materia;b) Os atomos sao quimicamente diferentes quando temnumeros de massa diferentes;c) Os eletrons sao as partıculas de carga eletrica positiva;d) Os protons e os eletrons possuem massas iguais e cargaseletricas diferentes;e) Os atomos apresentam partıculas de carga nula denomi-nados neutrons;f) Os atomos sao partıculas inteiramente macicas.


4. (ACE) Assinale a alternativa falsa:a) o numero de massa de um atomo e dado pela soma donumero de protons e de neutrons existentes no nucleo;b) um elemento quımico deve ter seus atomos sempre como mesmo numero de neutrons;c) o numero de protons permanece constante, mesmo queos numeros de massa dos atomos de um elemento variem;d) o numero atomico e dado pelo numero de protons exis-tentes no nucleo de um atomo;e) n.d.a

5. (UEL) O uranio-238 difere do uranio-235 por que o pri-meiro possui:a) 3 eletrons a mais;b) 3 protons a mais;c) 3 protons e 3 neutrons a mais;d) 3 protons e 3 eletrons a mais;e) 3 neutrons a mais.

6. (FUVEST) As seguintes representacoes: 2X2, 2X

3 e

2X4, referem-se a atomos com:

a) igual numero de neutrons;b) igual numero de protons;c) diferente numero de eletrons;

d) diferentes numeros atomicos;e) diferentes numeros de protons e eletrons;

Quımica Aula 2

Modelos Atomicos

O Modelo Atomico de Bohr

Com o objetivo de solucionar estas limitacoes do modelo deRutherford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr.

Niels Bohr: em 1913, propos que o atomo e constituıdo porum nucleo positivo, onde se concentra praticamente todamassa do atomo, e por eletrons que giram ao seu redor emorbitas circulares bem definidas, formando camadas, desig-nadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q.

fotonabsorvido

fotonemitido

~ eletron

~ eletron excitado

_

_

_

_

_

_

Figura 1: O modelo Atomico de Bohr.

Atraves de processos experimentais Bohr, concluiu que:

• Um eletron so pode ter certas energias especıficas, ecada uma destas energias corresponde a uma orbitaparticular. Quanto mais afastado do nucleo maior aenergia do eletron;

• Se o eletron receber energia ele pula para uma orbitamais afastada do nucleo;

• Como esta orbita nao e natural ele tende a retornarpara sua orbita de maior estabilidade, assim sendo,ocorre liberacao de energia;

• Para calcular a energia emitida pelo eletron, MaxPlanck estabeleceu que a energia se propaga em “pa-cotes”de quantidades mınimas e descontınuas. A essaquantidade mınima chamou de foton ou quantum. Ovalor do quantum e proporcional a frequencia da ondaν, cuja magnitude pode ser calculada por

E = hν

onde h e a famosa constante de Planck, que tem valorde 6, 63× 10−34 J · s.Se os atomos oscilantes transferem uma energia E paraa vizinhanca, radiacao de frequencia ν = E/h sera de-tectada. E importante notar que a intensidade da ra-diacao e uma indicacao do numero de pacotes de ener-gia gerados, enquanto E e a medida de energia de cadapacote.

Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os eletrons descre-vem orbitas circulares e elıpticas em torno do nucleo.


Figura 2: Modelo Atomico de Sommerfeld.

O Modelo Atomico Atual

Louis de Broglie: em 1924, foi quem lancou as as basesde uma nova mecanica chamada ondulatoria ou quantica,atraves do Princıpio da Dualidade materia-onda para oeletron: “Toda partıcula em movimento, o eletron, no caso,tem associado a si uma onda”.

A mecanica classica preve, para cada corpo, sua trajetoria,conhecendo sua posicao e velocidade.

A mecanica quantica, que trata do universo microscopicodas partıculas, nao se descreve perfeitamente o atomo.

Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princıpio da Incerteza,segundo o qual “nao e possıvel predizer, ao mesmo tempo,a posicao e a quantidade de movimento de um eletron”

Tudo que nos podemos conhecer sobre o movimento de umsistema de partıculas se reduz a uma funcao complexa Ψ decoordenadas (x, y, z) das partıculas e do tempo t.

Esta funcao e chamada Funcao de Onda, criada porSchrodinger (1927).

O quadrado do modulo da funcao de onda |Ψ|2 representa aprobabilidade de se encontrar no instante t a determinadapartıcula.

Na concepcao classica, uma partıcula se encontra ou naonum determinado instante em um dado ponto do espaco.Pela mecanica quantica nos so podemos conhecer a proba-bilidade de encontrar a partıcula no ponto considerado.

Schrodinger deduziu matematicamente regioes com proba-bilidades de se encontrar o eletron, simplificadas por meiode modelos geometricos que chamamos de orbitais.

Sommerfeld, de Broglie e Schrodinger formaram a MecanicaQuantica, que nos levou ao modelo atomico atual. O atomopossui nucleo denso com eletrons em orbitais.

Orbital e a regiao, em torno do nucleo, com maior probabili-dade de se encontrar o eletron. O eletron move-se em tornodo nucleo.

Isotopos, Isobaros, Isotonos e Isoeletronicos

Isotopos: sao atomos de um mesmo elemento quımico queapresentam diferentes numero de massa e diferentes numero

de neutrons, ou seja sao atomos de mesmo numero atomicoe diferentes numero de massa.

6C12

6C13

6C14 Isotopos de Carbono

8O16

8O17

8O17 Isotopos de Oxigenio

Isobaros: sao atomos de elementos quımicos diferentes mascom mesmo numero de massa.

20Ca40 1840Ar

Isotonos: sao atomos de elementos quımicos diferentes,mas com mesmo numero de neutrons.

5B11

6C12

Isoeletronicos: sao atomos ou ıons que apresentam omesmo numero de eletrons.

12Mg2+11Na1+Ne

10 9F1−

7N3−

Nıveis e Sub-nıveis de Energia

A eletrosfera do atomo esta dividida em 7 regioes denomi-nadas de nıveis de energia ou camadas eletronicas.

Sao as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelosnumeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de numeros quanticosprincipais e representados pela letra n.

O numero maximo de eletrons em cada camada e calculadopela equacao

e = 2 · n2 sendo que

K(2), L(8), M(18), N(32), O(50), P (72), Q(98)

Mas para os 112 elementos quımicos existentes temos:

K(2), L(8), M(18), N(32), O(32), P (18), Q(2)

Existem 7 sub-nıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que estaodentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentesnao sao ocupados todos os sub-nıveis de energia e sim so-mente quatro, s, p, d, f , que sao representados pela letra lque significa numero quantico secundario e sao numeros quevao de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os sub-nıveis s, p, d, f ,cada sub-nıvel comporta um numero maximo de eletronss(2), p(6), d(10), f(14).

Configuracao Eletronica

Diagrama de Linus Pauling

K(2) 1s2

L(8) 2s2 2p6

M(18) 3s2 3p6 3d10

N(32) 4s2 4p6 4d10 4f14

O(32) 5s2 5p6 5d10 5f14

P(18) 6s2 6p6 6d10

Q(2) 7s2

Representamos a distribuicao eletronica de duas formas:


1. ordem energetica, seguindo as diagonais do diagramade Pauling:1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2, 4d10,5p6, 6s2, 4f14, 5d10, 6p6, 7s2, 5f14, 6d10

2. ordem geometrica, agrupando os sub-nıveis em cama-das:

1s2 K 22s2, 2p6 L 8

3s2, 3p6, 3d10 M 184s2, 4p6, 4d10, 4f14 N 325s2, 5p6, 5d10, 5f14 O 32

6s2, 6p6, 6d10 P 187s2 Q 2

Orbitais Atomicos

Como vimos, orbital e a regiao, em torno do nucleo, commaxima probabilidade de se encontrar eletrons. As for-mas dessas regioes sao calculadas matematicamente e temo nucleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z.

Figura 3: Orbitais atomicos.

As formas dos orbitais mais importantes sao:

1. esferica - chamado orbital s:

2. halter - chamado orbital p:

+

Figura 4: Representacao do Orbital p.

Princıpio de Exclusao

Certas experiencias, em particular a acao de um campomagnetico, mostram que as funcoes de onda construıdas uni-camente sobre as coordenadas de espaco nao sao aptas paraexplicar totalmente os fenomenos, o que levou a se introdu-zir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de umacoordenada suplementar associada a rotacao do eletron. Os

valores permitidos para a funcao de spin sao − 12 e 1

2 , e saode spins opostos.

Dois eletrons podem ocupar um mesmoorbital desde que possuam spins opostos.

Este enunciado e conhecido por “Princıpio de Exclusao, deWolfgang Pauli”.

Cada sub-nıvel comporta um numero maximo de eletrons(como visto anteriormente). Se cada orbital comporta nomaximo dois eletrons, temos entao:

Representacao do Orbital

s2 ↑↓ 1 orbit.p6 ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 orbit.d10 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 orbit.f14 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 7 orbit.

Pense um Pouco!

1. Voce sabe quais sao os tipos de radiacoes existentes equais as caracterısticas particulares de cada uma?

2. Quais sao os efeitos causados pelas radiacoes? E quaisas principais aplicacoes das reacoes nucleares?


1. (ACAFE-99) A vitamina B12, anti-anemica, contem ıonsde cobalto Co+2. Dado: Co(Z = 27). A configuracaoeletronica nos orbitais 4s e 3d do Co+2, e:a) 4s0, 3d8

b) 4s2, 3d7

c) 4s2, 3d5

d) 4s1, 3d6

e) 4s0, 3d7

2. (UDESC) Uma atomo com numero atomico igual a 38,apresentara em seu antepenultimo nıvel:a) 8 eletronsb) 18 eletronsc) 16 eletronsd) 10 eletronse) 6 eletrons


3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr e cor-reto afirmar que:a) ( ) Os eletrons se movem ao redor do nucleo em orbitasbem definidas, que sao denominadas orbitas estacionarias;b) ( ) Movendo-se numa orbita estacionaria, o eletron naoemite nem absorve energia;c) ( ) Ao saltar de uma orbita mais proxima do nucleo paraoutra orbita mais afastada, o eletron absorve energia;d) ( ) Quando o eletron de um atomo salta de uma ca-mada mais externa para outra mais proxima do nucleo, haemissao de energia;e) ( ) No nucleo de um atomo existem protons e neutrons.


4. (UEL) Atomos neutros e ıons de um mesmo elementoquımico tem, necessariamente, o mesmo numero:a) atomicob) de massac) de oxidacaod) de cargae) de isomeros

5. Sejam dois atomos A de numero atomico 2x+4 e numerode massa 5x e B de mumero atomico 3x − 6 e numero demassa 5x − 1. Determine quantos neutrons tem A e B,sabendo que eles pertencem ao mesmo elemento quımico.a) NA = 25 e NB = 26b) NA = 26 e NB = 25c) NA = 27 e NB = 26d) NA = 26 e NB = 27e) NA = 25 e NB = 25

Quımica Aula 3

Ligacoes Quımicas

Estabilidade dos Atomos

Os gases nobres sao os unicos encontrados na natureza naforma mono-atomica, ou seja, nao se ligam se, apresentamna forma de atomos. Isto significa que o atomo e totalmenteestavel.

Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Periodica), comexcecao do helio, apresentam oito eletrons na camada devalencia.

Gases Nobres

He(Z=2) 2Ne(Z=10) 2 8Ar(Z=18) 2 8 18 8Xr(Z=36) 2 8 18 18 8Xe(Z=54) 2 8 18 32 18 8Rn(Z=86) 2 8 18 32 32 18 8

Camada de valencia e a camada eletronica mais externa.Pode receber ou fornecer eletrons na uniao entre atomos.

A valencia de um atomo e o numero de ligacoes que umatomo precisa fazer para adquirir a configuracao de um gasnobre.

Teoria do Octeto

Foi feita uma associacao entre a estabilidade dos gases no-bres e o fato de possuırem 8 eletrons na ultima camada.Surgiu entao a Teoria do Octeto:

Para atingir uma situacao estavel, hauma tendencia dos atomos para conseguirestrutura eletronica de 8 eletrons na ca-mada de valencia igual ao gas nobre denumero atomico mais proximo.

No caso de atomos menores em numero de eletrons, atendencia e alcancar o dueto, isto e, conseguir dois eletrons

na ultima camada, como o helio (Z = 2) : 1s2. E o caso dohidrogenio e do lıtio.

Classificacao dos Elementos

Quanto a Configuracao Eletronica, podemos classificar oselementos quımicos como:

Metais: Sao elementos que possuem menos de quatroeletrons na camada de valencia. Doam eletrons quando fa-zem ligacoes quımicas;

Nao-Metais: Sao elementos que possuem mais de quatroeletrons na camada de valencia. Recebem eletrons quandofazem ligacoes quımicas;

Semi-metais: Sao alguns elementos que ora comportam-secomo metais ora como nao-metais, independente do numerode eletrons na camada de valencia;

Hidrogenio: Nao tem classificacao, porem sua tendenciae de ganhar um eletron. Os elementos que possuem qua-tro eletrons na camada de valencia podem ceder ou recebereletrons nas ligacoes.

O carbono por exemplo, tera comportamento de nao-metal,recebendo eletrons.

O silıcio e o germanio sao semi-metais: ora cedem eletrons,ora recebem.

Estruturas de Lewis

Um sımbolo de Lewis e um sımbolo no qual os eletrons dacamada de valencia de um atomo ou de um ıon simples saorepresentados por pontos colocados ao redor do sımbolo doelemento. Cada ponto representa um eletron. Por exemplo:

(a) (b)

Figura 1: Configuracao eletronica e estrutura de Lewispara o atomo neutro de cloro (a) e para o ıon de cloro(b).

Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete eletronsde valencia, enquanto que o ıon cloreto, oito.

Uma ligacao co-valente e aquela ligacao quımica formadapelo compartilhamento de um par de eletrons entre doisatomos. A Estrutura de Lewis de um composto co-valenteou de um ıon poli-atomico mostra como os eletrons estaodistribuıdos entre os atomos, de formas a mostrar a conec-tividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatroeletrons, um de cada hidrogenio, mais os quatro eletrons devalencia do carbono, sao emparelhados na Estrutura, mos-trando como cada atomo se conecta a outro por um par deeletrons.

Ao inves de utilizarmos dois pontos para indicar o par deeletrons que perpetuam a ligacao co-valente, podemos utili-zar um traco. Assim, o traco ira representar os dois eletronsda ligacao co-valente.

Vamos representar na Figura (4) a estrutura de Lewis daagua. Dois hidrogenios sao ligados ao atomo de oxigenio


Figura 2: Configuracao da estrutura de Lewis para ometano.

Figura 3: Configuracao da ligacao co-valente.

central. Os eletrons de ligacao sao indicados pelas linhasentre o oxigenio e cada um dos hidrogenios. Os eletronsremanescentes - dois pares - que constituem o octeto dooxigenio, sao chamados de nao-ligantes, por nao estaremenvolvidos em ligacoes co-valentes.

H O Hpares de eletrons ligantes

pares de eletrons nao ligantes´

´

~

Figura 4: Estrutura de Lewis da Agua.

O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewise determinar o numero de eletrons de valencia dos atomosque serao conectados. Depois e necessario determinar quale o atomo central, e liga-lo aos atomos perifericos por paresde eletrons.

Considere o dioxido de carbono CO2

carbono(C)→tem 4e− de valencia × 1 carbono = 4e−

oxigenio(O)→tem 6e− de valencia × 2 oxigenio = 12e−

Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estruturade Lewis.

Conecte o atomo central aos outros atomos na molecula comligacoes simples.

O carbono e o atomo central, os dois oxigenios sao ligados

a ele; mais tarde iremos adicionar mais eletrons para com-pletar os octetos dos atomos perifericos.

Conecte o atomo central aos outros atomos na molecula comligacoes simples.

O carbono e o atomo central, os dois oxigenios sao ligadosa ele; mais tarde iremos adicionar mais eletrons para com-pletar os octetos dos atomos perifericos.

O C O

Figura 5: Estrutura do CO2.

Ate aqui foram utilizados quatro eletrons dos 16 a dis-posicao.

Complete a camada de valencia dos atomos da periferia damolecula.

O C O

Figura 6: Estrutura de Lewis do CO2, passo 1.

Foram utilizados todos os 16 eletrons disponıveis. Colo-que quaisquer eletrons remanescentes sobre o atomo central.“Nao existem mais eletrons disponıveis nesse exemplo”.

• Se a camada de valencia do atomo central esta com-pleta, voce acaba de desenhar uma Estrutura de Lewisaceitavel. “O carbono esta deficiente de eletrons - eletem so quatro eletrons em sua volta. Esta nao e umaestrutura de Lewis aceitavel”.

• Se a camada de valencia do atomo central nao estacompleta, use um par solitario de um dos atomos daperiferia para formar uma dupla ligacao daquele atomocom o atomo central. Continue o processo de fazermultiplas ligacoes dos atomos perifericos com o atomocentral, ate que a camada de valencia do atomo centralesteja completa.

O C O


Torna-se,

O atomo central ainda esta deficiente de eletrons, por-tanto compartilhe outro par.

Torna-se,

Certifique-se que voce tenha utilizado do numero cor-reto de eletrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que


O C O


O C O


alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, po-dem ampliar sua camada de valencia para alem de oitoeletrons.

A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita parao dioxido de carbono e a mostrada na Figura 10.

Exemplo

Considere os ıons: Ca+2, PO−34 e OH−. A combinacao

desses ıons pode resultar na hidroxiapatita, mineral presenteem ossos e dentes. A formula quımica pode ser representadapor Cax(PO4)3OH . Qual o valor de x nesta formula?

Solucao

Como sabemos que o somatorio das cargas deve ser igual azero e que pela formula temos:

Cax(PO4)−33 OH−

E fazendo o somatorio das cargas:

x · (+2) + 3 · (−3) + 1 · (−1) = 0 =⇒ x = 5

Pense um Pouco!

• De uma possıvel aplicacao para a mesma formulaquımica escrita de formas diferentes. Ou seja, quale a utilidade de escrevermos a formula estrutural eeletronica de um mesmo elemento?

• Os gases nobres tambem sao chamados de gases iner-tes? Explique.


1. Os atomos de 13Al e 16S podem originar ıons. Determinea carga dos ıons estaveis de cada um desses elementos.

2. (PUC-MG) Um elemento X (Z = 20) forma com Y umcomposto de formula X3Y2. O numero atomico de Y e:a) 7b) 21

O C O


c) 9d) 18e) 10

3. (UFSC) De modo geral, os compostos que possuemligacoes ionicas:a) sao soluveis em derivados do petroleob) sao encontrados na natureza no estado solidoc) apresentam pontos de ebulicao elevados e pontos de fusaobaixosd) sao duros e quebradicose) apresentam alta condutividade eletrica em solucao aquosa


4. (UFRJ) O correto uso da tabela perıodica permite de-terminar os elementos quımicos a partir de algumas de suascaracterısticas. Recorra a tabela periodica e determine:a) o elemento que tem distribuicao eletronica s2p4 no nıvelmais energetico, e o mais eletronegativo de seu grupo eforma, com os metais alcalinos terrosos, composto do tipoXY;b) o numero atomico do elemento que perde dois eletronsao formar ligacao ionica e esta localizado no 3o perıodo databela periodica.

5. Indique a formula estrutural das seguintes moleculas:Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z =1), O (Z = 8).a) CCl4b) NH3

c) CO2

d) HNO3

6. De as formulas estruturais e eletronicas das seguintesmoleculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16).a) H2Sb) SO2

c) SO3

d) HNO3

Quımica Aula 4

Ligacoes Quımicas

Como consequencia da tendencia dos atomos de formar sis-temas eletronicos estaveis, pela doacao ou recebimento deeletrons, os atomos se unem.

Existem tres tipos de ligacoes quımicas;

1. Ionica;


2. Metalica;

3. Co-valente.

Ligacao Ionica ou Eletrovalente

A ligacao ionica ocorre quando um metal se liga a um naometal ou ao hidrogenio. O metal doa eletrons formando ocation. O nao-metal ou o hidrogenio recebe eletrons for-mando um anion.

A consequencia da atracao entre os ıons positivos (cations)e negativos (anions) e um agrupamento organizado de ıons,a que chamamos de cristal ionico.

(a) (b)

Figura 1: Arranjo Atomico de um Cristal Ionico.

O cristal ionico e representado por uma formula mınima, ouseja, o numero mınimo de cations e anions necessarios paraque ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo aFormula Mınima do sal de cozinha e dada por:

Na Cl

Esta estrutura de alta coesao de natureza eletrica confereao composto ionico alto ponto de fusao. No estado solidonao conduz eletricidade. Isso so ocorre se os ıons estiveremlivres, em solucao aquosa ou no estado fundido (lıquido).

Montamos uma formula de composto ionico colocando a es-querda o cation e a direita o anion. Verificamos se as cargaspositiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, aformula sera de um cation para um anion. Caso as cargasse anulem, usaremos o seguinte artifıcio: invertemos a cargado cation para ındice do anion e a carga do anion para ındicedo cation:

Ax+By− → AyBx

Caracterısticas da Ligacao Ionica

• Formacao de ıons;

• Transferencia de eletrons;

• Compostos solidos a temperatura ambiente;

• Formacao de compostos cristalinos;

• Os compostos ionicos quando em meio aquoso condu-zem corrente eletrica.

Ligacao Metalica

Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal temtendencia de doar eletrons formando cations. A ligacaometalica ocorre quando muitos atomos de um metal per-dem eletrons ao mesmo tempo, e os cations formados seestabilizam pela ”nuvem” de eletrons que fica ao redor.

Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletrici-dade e calor, encontraremos nos eletrons livres que o ma-terial apresenta a explicacao desta condutibilidade. Os ”n”atomos de cobre cedem seus eletrons perifericos e se tornamcations envoltos por muitos eletrons livres.

Ligacao Co-valente ou Molecular

Ligacao co-valente e aquela formada como consequencia docompartilhamento de eletrons entre seus atomos.

Havera formacao de uma molecula, no sentido em que osatomos se unem como ”socios” dos mesmos eletrons.

Por exemplo: o cloro apresenta 7 eletrons na ultima camadaquando realizada a ligacao co-valente forma HCl.

O par compartilhado e formado por dois eletrons, um decada atomo, compartilhado por ambos os atomos.

ClH

Figura 2: Par Eletronico Compartilhado.

Ambos adquirem configuracao eletronica estavel de gas no-bre.

Representacao Molecular

Ha diferentes maneiras de representar uma molecula. To-memos a molecula de gas oxigenio, formada por dois atomosde oxigenio.

• Formula eletronica ou de Lewis: representa oseletrons da ultima camada dos atomos.

• Formula estrutural: cada par de eletron comparti-lhado e representado por um traco.

O = O

• Formula molecular: indica apenas o tipo e o numerode atomos que formam uma molecula.

O2


Ligacao Dativa ou Coordenada

E o caso de ligacao co-valente que ocorre quando o par deeletrons compartilhado entre dois atomos provem apenas deum deles.

Para que o atomo possa fazer uma ligacao coordenada eletem que possuir pares de eletrons livres.

A ligacao coordenada e indicada por uma seta do atomo queoferece o par de eletrons para o atomo que o aceita.

O numero maximo de ligacoes coordenadas que os nao-metais podem oferecer e:

No caso do monoxido de carbono, temos um bom exemplo: ooxigenio faz uma ligacao dativa com o carbono, isto e, com-partilha coordenadamente com ele seus pares eletronicos.Conforme podemos ver na Fig. (3):

Figura 3: Ligacao Dativa do CO.

Orbitais Moleculares

Para visualizarmos melhor as ligacoes co-valentes (atomosformando moleculas), estudaremos as ligacoes sob o pontode vista dos orbitais atomicos formando orbitais molecula-res.

Orbital molecular e a regiao em torno dos nucleos de maiorprobabilidade de ser encontrado o par eletronico comparti-lhado.

Ha dois tipos de orbital molecular:

Orbital Molecular σ (sigma), ou simplesmente ligacao σ,e aquele formado na interpenetracao de orbitais atomicossegundo um eixo.

Orbital Molecular π, ou simplesmente ligacao π, e aqueleformado na interpenetracao de orbitais atomicos p exclusi-vamente segundo os eixos paralelos.

Exemplo

H2 (molecula H : H ou H −H)

O hidrogenio apresenta apenas um eletron no orbital s, quesabemos ser esferico: 1s1, e precisa de mais um eletron paraadquirir estabilidade.

Quando ocorre a aproximacao de outro atomo de hi-drogenio, o nucleo positivo de um atrai a eletrosfera dooutro.

Como consequencia dessa atracao, teremos a aproximacaoresultando numa interpenetracao de orbitais chamada over-lap.

Overlap e a interpenetracao dos orbitais atomicos formandoum orbital molecular.

−

+

−

+

Figura 4: Dois atomos de H.

Na formacao do overlap ha uma distancia ideal entre osnucleos de cada atomo, onde a repulsao das cargas de mesmosinal compensa a atracao das cargas de sinais diferentes.

Figura 5: Overlap.

No caso do H2, H −H , temos orbital σ(s − s). A notacaoσ(s − s) significa orbital molecular σ feito atraves de doisorbitais atomicos do tipo s.

Pense um Pouco!

• Quais sao as principais utilidades das LigacoesQuımicas na natureza?

• Como os elementos quımicos sao encontrados na natu-reza, ”puros ou misturados com outros elementos”?


1. (ACAFE) O grupo de atomos que e encontrado na formamono-atomica pelo fato de serem estaveis saoa) Halogeniosb) Calcogeniosc) Metais Alcalinos Terrososd) Metais Alcalinose) Gases Nobres

2. (ACAFE) O propadieno (H2C = C = CH2) apresentarespectivamente quantas ligacoes sigmas e ligacoes pi?a) 6 e 2b) 2 e 2c) 4 e 2d) 4 e 0e) 0 e 4

3. (ACAFE) Incrıvel, mas 15% do gas metano existentena atmosfera provem do arroto dos bois, vacas, cabras ecarneiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimentoatmosferico). Assinale a alternativa que descreve os tiposde ligacoes quımicas encontradas neste gas:a) 2 ionicas e 2 co-valentes


b) 2 ligacoes dativasc) 4 ligacoes duplasd) 2 sigmas e 2 pie) 4 ligacoes sigmas


4. (UFCE) No envenenamento por monoxido de carbono(CO), as moleculas deste gas se ligam aos atomos de ferroda hemoglobina, deslocando o oxigenio e causando, rapi-damente, asfixia. Quantos pares de eletrons disponıveis dooxigenio existem na molecula do CO para se ligarem ao ferroda hemoglobina atraves de ligacao covalente dativa?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

5. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresentadois eletrons na sua camada de valencia. A alternativa queindica a formula de um oxido e de cloreto desse metal, res-pectivamente e:a) M2O −M2Clb) M2O −MClc) MO2 −MCl2d) MO −MCl2e) MO −MCl4

6. (UFSC) Na molecula H — O — O — H, existe:a) nenhuma ligacao ionicab) tres ligacoes co-valentesc) tres ligacoes sigmasd) tres ligacoes ionicase) duas ligacoes metalicas

Quımica Aula 5

A Estrutura da Materia

Propriedades Gerais

De acordo com a teoria cinetica molecular, todas as formasde materia sao compostas de partıculas pequenas e que semovem rapidamente. Ha duas razoes principais por queos gases, lıquidos e solidos diferem tanto uns dos outros.Uma e a rigidez do empacotamento das partıculas e outrae a intensidade das forcas atrativas entre elas. Podemoslistar como propriedades influenciadas por estas duas razoeso seguinte:

Compressibilidade

Num gas, as moleculas estao bastante separadas, de formaque ha muito espaco vazio dentro do qual elas podem sercomprimidas, por isso os gases sao bastante compressıveis.Entretanto, as moleculas num lıquido ou solido estao rigi-damente empacotada se ha muito pouco espaco vazio entreelas, sendo entao virtualmente incompressıveis.

Difusao

Comparadas com as moleculas de um lıquido ou solido, asmoleculas de um gas se difundem rapidamente, uma vezque as distancias que elas se movem entre as colisoes saorelativamente grandes. Em virtude de as moleculas numlıquido estarem tao proximas, a distancia media que elaspercorrem entre as colisoes – o seu livre caminho medio– e muito pequena, onde estas sofrem bilhoes de colisoesantes de percorrer uma distancia muito grande e essas in-terrupcoes impedem-nas de espalhar-se atraves do lıquido.A difusao dentro dos solidos e muito mais lenta que noslıquidos. Nao so as moleculas estao fortemente compacta-das como, tambem, sao mantidas rigidamente no mesmolugar.

Volume e Forma

A propriedade mais obvia dos gases, lıquidos e solidos e aforma como eles se comportam quando transferidos de umfrasco para outro. Ambos, gases e lıquidos sao fluıdos; elesescoam e podem ser bombeados de um lugar para outro.Um solido, porem, nao e um fluıdo e mantem tanto suaforma quanto seu volume. As forcas inter-moleculares deum gas sao tao fracas que as moleculas podem facilmentesuperar essa forca e expandir para encher o recipiente. Oque nao acontece num solido, cujas forcas atrativas mantemas moleculas mais ou menos firmes num lugar, de modo queelas nao podem se mover umas em torno das outras.

Tensao Superficial

Num lıquido cada molecula move-se sempre sob influenciadas moleculas vizinhas. As moleculas na superfıcie de umcerto recipiente sentem uma atracao na direcao do interiordo lıquido. Para uma molecula chegar a superfıcie ela devesuperar esta atracao. Ou seja, a energia potencial deve au-mentar, entao deve-se realizar trabalho para leva-las ate asuperfıcie. Portanto, tornar a superfıcie de um lıquido maiorrequer um gasto de energia e a quantidade de energia ne-cessaria e entao a tensao superficial.

Evaporacao

Num lıquido ou num solido, assim como num gas, asmoleculas estao constantemente sofrendo colisoes, dando as-sim origem a uma distribuicao de velocidades molecularesindividuais e, evidentemente, de energias cineticas. se algu-mas dessas moleculas possuırem energia cinetica suficientepara superar as forcas atrativas dentro do lıquido ou dosolido, elas poderao escapar atraves da superfıcie para o es-tado gasoso – elas evaporam. No lıquido existem tres fatoresque influenciam na velocidade de evaporacao: a tempera-tura, a area superficial e a intensidade das atracoes superfi-ciais.

Forcas de Atracao Inter-moleculares

As atracoes dipolo-dipolo sao, normalmente, consideravel-mente mais fracas do que as ligacoes ionicas ou co-valentes.A sua forca tambem diminui muito rapidamente a medida


que a distancia entre os dipolos aumenta, de forma que adistancia entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeitoentre as moleculas bastante afastadas de um gas e muito me-nor do que entre moleculas fortemente compactadas numlıquido ou num solido. E por isso que as moleculas de umgas comportam-se quase como se nao houvesse atracao ne-nhuma entre elas.

Pontes de Hidrogenio

Acontece entre moleculas muito polares, onde a diferencade eletronegatividade e muito acentuada, tendo H numadas extremidades da “ponte”. No estado lıquido ha pon-tes de hidrogenio entre moleculas de agua. Como ha movi-mento das moleculas, as pontes de hidrogenio se quebrame se restabelecem em seguida. No estado solido as pontesde hidrogenio entre as moleculas de agua sao fixas e dire-cionadas segundo um angulo de 104, 5 entre suas ligacoes.Devido a direcao das pontes de hidrogenio na agua solida,ficam espacos vazios entre as moleculas, responsaveis peloaumento de volume ao congelar.

Forca de Van der Waals (ou de London)

Essa forca pode aparecer entre atomos de um gas nobre (porexemplo, helio lıquido) ou entre moleculas apolares (CH4,CO2). O gelo seco quando sublima, passa do estado solidopara o estado gasoso, rompendo as forcas de Van der Waalse liberando as moleculas das influencias das outras. Sao asforcas inter-moleculares, tipo Van der Waals, que justificama possibilidade de liquefazer os gases nobres. As moleculaspodem se unir atraves de polarizacao induzida temporaria-mente.

Os Gases

Muitos gases sao capazes de sofrer reacoes quımicas uns comoutros. Observacoes experimentais feitas por Gay-Lussacformaram a base da Lei de Combinacao dos Volumes

A Lei de Combinacao de Volumes

os volumes das substancias gasosas que sao produzi-das e consumidas numa reacao quımica estao numarazao de numeros inteiros pequenos, desde que osvolumes sejam medidos nas mesmas condicoes detemperatura e pressao.

A importancia das observacoes de Gay-Lussac foi posterior-mente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propos queagora e conhecido como princıpio de Avogadro.

O Princıpio de Avogadro

sob condicoes de temperatura e pressao constantes,volumes iguais de gases contem numeros iguais demoleculas.

Uma vez que numeros de iguais de moleculas significamnumeros iguais de mols, o numero de mols de qualquer gasesta relacionado com o seu volume:

V ∝ n

onde n e o numero de mols do gas. Assim, a lei de Gay-Lussac e facilmente compreendida, uma vez que os volumesdos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas razoesque os coeficientes na equacao balanceada.

O Mol

Sabemos que os atomos reagem para formar moleculas,mantendo entre si razoes simples de numeros inteiros. Osatomos de hidrogenio e oxigenio, por exemplo, combinam-se numa razao de 2 para 1 a fim de formar a agua, H2O.Entretanto e impossıvel trabalhar com os atomos individu-almente, devido as suas dimensoes minusculas. Assim, emqualquer laboratorio da vida real, devemos aumentar o ta-manho destas quantidades ate o ponto em que possamosve-las e pesa-las.

Infelizmente, por exemplo, uma duzia de atomos oumoleculas e ainda uma quantidade muito pequena para setrabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maiorainda. A “duzia de quımico”chama-se mol (unidade mol).Ele e composto de 6, 022× 1023 objetos. Entao:

1 duzia = 12 objetos

1 mol = 6, 02× 1023 objetos

O Volume Molar

E o volume ocupado por um mol de qualquer gas emcondicoes normais de temperatura e pressao (CNTP).

CNTP:

• temperatura de 0C ou 273 K;

• pressao de 1 atm ou 760 mmHg).

Verifica-se experimentalmente que o volume molar e de22, 4 l (CNTP).

Conclusao:

MM g → 6, 02× 1023 moleculas→ 22, 4 l.

Observe que

1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000

Pense um Pouco!

• Voce tem nocao de como funciona um freio de au-tomovel? Ou que um freio tem em comum com o as-sunto que estamos tratando?

• De exemplos de elementos quımicos solidos que evapo-ram, sem que haja fusao.


1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de sodio, onumero de atomos existentes sera igual a (Na = 23):a) 6× 1022

b) 3× 1023


c) 6× 1023

d) 3× 1022

e) 1023

2. (ACAFE-00) Qual destas ligacoes e mais fraca?a) Eletrovalenteb) Co-valentec) Ponte de hidrogeniod) Van der Waalse) Metalica

3. (PUC) As pontes de hidrogenio aparecem:a) quando o hidrogenio esta ligado a um elemento muitoeletropositivob) quando o hidrogenio esta ligado a um elemento muitoeletronegativoc) em todos os compostos hidrogenadosd) somente em compostos inorganicose) somente em acidos de Arrhenius


4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2; 1 litrode CO2; e 1 litro de NH3, todos estes gases nas CNTPem recipientes separados. O recipiente que possui maiornumero de moleculas e o que contem:a) Heb) H2

c) CO2

d) NH3

e) o numero de moleculas e o mesmo em cada um dos quatrorecipientes.

5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebulicao da agua, doalcool etılico e do fluoreto de hidrogenio sao explicados:a) atraves das pontes de hidrogenio inter-molecularesb) pelas macro-moleculas formadasc) atraves de forcas de Van der Waalsd) pelas ligacoes co-valentes dativas que se formam entremoleculas destes compostose) atraves das pontes de hidrogenio intra-moleculares

6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 molde oxigenio mais 3× 1022 moleculas de oxigenio mais 3 g deoxigenio? Dado: MMO = 16 g.a) 11, 8 gb) 15, 6 gc) 7, 8 gd) 32 ge) 34 g

Quımica Aula 6

Teoria Cinetica dos Gases

As moleculas de um gas ocupam o volume do recipienteque as contem. A energia que mantem as moleculas de umgas em movimento e a energia cinetica, que e diretamenteproporcional a temperatura absoluta (Kelvin).

Ec ∝ T onde

Ec = energia cinetica

T = temperatura de Kelvin

Gas Ideal

Um gas e considerado perfeito (ideal) quando obedece asseguintes condicoes:

• No estado gasoso o movimento das moleculas ocorrede maneira contınua e caotica, descrevendo trajetoriasretilıneas;

• O volume da molecula e desprezıvel em relacao ao vo-lume do recipiente que a contem;

• Uma molecula nao sente a presenca da outra (nao hainteracao, forcas de Van der Waals, entre as moleculas);

• Os choques entre as moleculas, se ocorrerem, sao per-feitamente elasticos (a molecula nao ganha nem perdeenergia cinetica)

Gas Real

Um gas real se aproxima do comportamento de um gas per-feito a medida que se torna mais rarefeito (diminui o numerode moleculas) e se encontra a baixa pressao e a alta tempe-ratura.

Leis dos Gases Ideais

O estado de um gas e definido quando sabemos sua pressao,temperatura, e volume Essas grandezas sao as variaveis deestado de um gas e sao inter-dependentes.

Se mantivermos constante uma de suas variaveis, poderemosestudar de que maneira variam as outras.

Transformacao Isotermica (Lei de Boyle-Mariotte)

a uma temperatura constante, o volume ocupadopor uma quantidade fixa de gas e inversamente pro-porcional a pressao aplicada.

Isso pode ser expresso matematicamente como:

V ∝ 1

P(3)

A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdadepela introducao de uma constante de proporcionalidade. As-sim,

V ∝ 1

PPV = constante

p1V1 = p2V2

Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos apressao, o volume diminui; se diminuirmos a pressao o vo-lume aumenta.


Transformacao Isobarica (Lei de Charles)

a pressao constante, o volume de uma dada quan-tidade de um gas e diretamente proporcional a suatemperatura absoluta.

Escrevendo esta Lei matematicamente, temos:

V ∝ T (4)

Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearran-jando, obtemos

V

T= constante (5)

V1

T1=

V2

T2(6)

Desta forma, se a pressao e constante, a medida que aumen-tarmos a temperatura o volume ocupado pelo gas aumen-tara; diminuindo a temperatura, o volume diminuira.

Transformacao Isocorica, Isometrica ou Isovo-lumetrica (Lei de Charles-Gay Lussac)

a volume constante, a pressao e diretamente pro-porcional a temperatura.

Matematicamente temos que:

P ∝ T (7)

ou tambem,

P

T= constante (8)

p1

T1=

p2

T2(9)

Se aumentarmos a temperatura, a pressao aumentara; sediminuirmos a temperatura, a pressao diminuira.

Lei Combinada dos Gases

As equacoes correspondentes as leis de Boyle-Mariotte eCharles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma unicaequacao, que e util para muitos calculos. Esta e

PiVi

Ti=

PfVf

Tf(10)

Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combi-nada dos gases verifica-se somente se a quantidade de gasfor constante. Onde o gas deve estar submetido as CNTP .

Lei dos Gases Ideais

Discutimos, assim, tres relacoes (3, 4, 7) de volume a queum gas ideal obedece.

Podemos combina-las, para obter

V ∝ n

(1

P

)

(T ) ou (11)

V ∝(

nT

P

)

(12)

Casos Particulares

• Se n e T forem constantes na equacao (12) teremos alei de Boyle-Mariotte;

• Se n e P forem constantes na equacao (12) teremos alei de Charles-Gay Lussac;

• Se P e T forem constantes na equacao (12) teremos oPrincıpio de Avogadro;

A proporcionalidade na equacao (12) pode ser transformadanuma igualdade, pela introducao de uma constante de pro-porcionalidade, R, chamada de constante universal dosgases. Daı, temos:

V =nRT

Pou (13)

PV = nRT (14)

onde R = 8, 31J/mol ·K.

A equacao (14) e obedecida por apenas um gas ideal hi-potetico e e uma expressao matematica da lei dos gasesideais. E tambem chamada equacao de estado do gas ideal,porque relaciona as variaveis (P, V, n, T ) que especificam aspropriedades fısicas do sistema.

Lei das Pressoes Parciais de Dalton

E simplesmente a pressao que o gas exerceria se estivessesozinho no recipiente, ocupando o volume total da misturana mesma temperatura. Segundo as observacoes de JohnDalton, a pressao total e igual a soma das pressoes parci-ais de cada gas, na mistura. Esta afirmativa e conhecidacomo a lei das pressoes parciais de Dalton que podeser expressa por:

PT = pa + pb + pc + · · · (15)

onde PT e a pressao total da mistura e pa , pb , pc sao aspressoes parciais dos gases a, b c.

Pressao parcial (P ′) e o produto da fracao molar pelapressao total dos gases.

P ′gas = Xgas · Ptotal mistura (16)

Volumes Parciais

Volume parcial e o volume que o gas ocuparia estando sozi-nho e sendo submetido a pressao total, na temperatura damistura. O volume total e a soma dos volumes parciais decada gas, na mistura. Esta afirmativa e conhecida como alei de Amagat.

O volume parcial (V) e dado pelo produto de fracao molardo gas pelo volume total da mistura.

V ′gas = Xgas · Vtotal mistura (17)


Mudancas de Estado Fısico

Uma substancia pura pode apresentar-se sob tres formas deagregacao da materia: solido, lıquido, gasoso (aceita-seo quarto estado da materia: plasma). Cada fase dependedas condicoes fısicas de pressao e temperatura.

Fusao e Solidificacao

Na fase solida, as moleculas de uma substancia estao forte-mente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino.

Fornecendo calor a um solido, as moleculas absorverao aenergia, aumentando a amplitude de sua vibracao, rom-pendo o reticulado cristalino e passando para a fase lıquida,onde as moleculas estao ligadas entre si com menor intensi-dade do que na fase solida.

• A temperatura em que ocorre a passagem defase solida para a lıquida e denominada ponto defusao.

• A temperatura em que ocorre a passagem defase lıquida para a solida e denominada ponto desolidificacao.

• Nas substancias puras, o ponto de fusao e soli-dificacao coincidem, se a pressao for mantida cons-tante.

Vaporizacao e Condensacao

A vaporizacao e a passagem da fase lıquida para a gasosa.Existem tres maneiras de se efetuar a vaporizacao:

1. Vaporizacao tıpica ou ebulicao: mudanca de fasea determinada pressao e temperatura. Por exemplo, aagua entra em ebulicao a 100 C e a pressao de 1 atm.

2. Evaporacao: fenomeno que se observa a qualquertemperatura, atraves da superfıcie exposta ao meioambiente. Isso ocorre porque as moleculas com maiorvelocidade escapam atraves da superfıcie livre dolıquido. Ao ocorrer uma evaporacao, a temperaturado lıquido diminui pois ao escaparem as moleculas commaior velocidade, diminui a energia cinetica. Quantomaior a area livre maior a evaporacao.

3. Calefacao: fenomeno que ocorre a temperaturasacima da temperatura normal de vaporizacao. E ob-servavel, por exemplo, ao se deixar cair uma gotad’agua numa chapa de metal, a uma temperaturaacima de do ponto de vaporizacao.

A condensacao e a passagem de uma substancia da fasegasosa para a lıquida. Ela pode ocorrer, tambem, a tem-peratura ambiente. Por exemplo, ao se colocar agua geladanum copo, observa-se a condensacao do vapor de agua doar na sua parede externa.

Diagrama de Fases

Colocando-se em um unico diagrama, as curvas de equilıbrioentre as fases de uma substancia pura, tem-se o diagramade fases.

Solid

ifica

cao

Liquido

GasosoSolido

Sublimacao Inversa

Sublimacao

Condensacao

Vaporizacao

Fusa

o

Figura 1: Mudancas de estados: solido, lıquido e gas.

1

2

3

P

PSolido

p

θ

Gas

Liquido

Vapor

C

T

Figura 2: Diagrama de fase tıpico.

O ponto de equilıbrio entre as tres fases e denominadoponto triplo ou trıplice (PT ).

2

1

3

P

P

p

θ

Gas

Vapor

C

T

Solido

Liquido

Figura 3: Diagrama de fase da agua.

Para o dioxido de carbono (CO2), o ponto triplo e definidopor:

• temperatura: −56, 6 C

• pressao: 5 atm

A agua tem o seu ponto triplo definido por:

Para o dioxido de carbono (CO2), o ponto triplo e definidopor:

• temperatura: 0, 01 C


• pressao: 4, 58 mmHg

Sublimacao

Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe umacurva denominada curva de sublimacao, que representaas condicoes de pressao e temperatura nas quais umasubstancia pode passar diretamente da fase solida para fasegasosa ou vice-versa sem se transformar em lıquido.

Pense um Pouco!

• Por que dentro de uma panela de pressao, e possıvelmanter-se a agua na fase lıquida acima dos 100 C?Quais sao os benefıcios que isso nos traz?

• E possıvel ferver agua a temperatura ambiente?Como?


1. (MACK-SP) Assinale a afirmacao correta:a) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua aumentamcom o aumento da pressao.b) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua diminuemcom o aumento da pressao.c) O ponto de fusao da agua diminui e o ponto de ebulicaoda agua aumentam com o aumento da pressao.d) O ponto de fusao da agua aumenta e o ponto de ebulicaoda agua diminui com o aumento da pressao.e) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua nao saoalterados com o aumento da pressao.

2. (STA. CASA-SP) Quando voce assopra a sua pele umidade agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de:a) o sopro arrasta ar mais frio que a peleb) a pele esta mais fria do que a aguac) a agua e normalmente mais fria do que o ard) o sopro e mais frio do que a aguae) a agua absorve calor da pele para evaporar-se

3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina sao colocadas nos rou-peiros para combater as tracas pois elas danificam as roupas.Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causadisso deve-se:a) a sua liquefacaob) ao consumo da naftalina pelas tracasc) a sua condensacaod) a sua fusaoe) a sua sublimacao


4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica umfenomeno quımico:a) dissolucao de cloreto de sodio em aguab) fusao da aspirinac) destilacao fracionada de ar lıquido

d) corrosao de uma chapa de ferroe) evaporacao da agua do mar

5. (ACAFE) Do petroleo podemos extrair varios materiaisimportantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a pa-rafina, o metano e outros. Sobre o petroleo e seus derivadosnao podemos afirmar:a) a gasolina e uma mistura de alcanosb) GLP e a sigla para Gas Liquefeito de Petroleo e e basica-mente uma mistura homogenea dos gases propano e butanoc) a parafina e uma mistura de alcanos superiores ou sejade grandes massas molecularesd) o petroleo e uma mistura heterogeneae) o gas metano principal componente do gas natural, co-nhecido como gas do lixo, so pode ser obtido a partir dopetroleo

6. (ACAFE) Algumas substancias em contato com a pele,nos dao uma sensacao de estarem frias. Dentre elas podemosdestacar o eter comum. Isso ocorre por que:a) o eter ao cair na pele, evapora, e este e um processoexotermicob) o eter ao cair na pele, evapora, e este e um processoendotermicoc) o eter reage endotermicamente com substancias da peled) o eter sublimae) o eter e resfriado

Quımica Aula 7

Acidos e Bases

Nesta aula serao apresentados dois conceitos quımicos fun-damentais: acido e base.

Acidos e Bases de Arrhenius

Funcoes Quımicas sao grupos de substancias com proprieda-des semelhantes. As funcoes inorganicas sao quatro: acidos,bases, sais e oxidos.

Acidos sao compostos com sabor azedo (vinagre, frutascıtricas), que reagem com bases formando sal e agua.

Bases sao compostos de sabor adstringente (leite demagnesia - Mg(OH)2) que reagem com acidos dando sale agua.

Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos -substancias que possuem duas coloracoes, dependendo domeio em que se encontram.

Indicador Meio Acido Meio Basico

Tornassol Vermelho AzulFenolftaleına Incolor Vermelho

Definicoes de Arrhenius

Acido e qualquer composto molecular que em solucaoaquosa sofre ionizacao liberando como unico cation o ıonH+ ou H3O

+ (hidroxonio ou hidronio).

Exemplos


HCl + H2O → H+ + Cl−

HNO3 + H2O → H+ + NO−3

H2SO4 + H2O → 2H+ + SO−24

H3PO4 + H2O → 3H+ + PO−34

Dizemos que o acido, que era um composto co-valente, napresenca de agua ionizou, e formou ıons.

Grau de ionizacao (α) e a razao do numero de moleculas io-nizadas para um total de moleculas inicialmente dissolvidasem agua. A forca de um acido esta associada ao maior oumenor grau de ionizacao do mesmo.

α =n.o de moleculas ionizadas

total de moleculas dissolvidas

Caracterısticas

• Apresentam sabor azedo;

• Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolf-taleına de vermelha para incolor;

• Conduzem corrente eletrica em solucao aquosa;

• Quando adicionados ao marmore ou carbonatos,produzem uma efervescencia com liberacao de gascarbonico.

Classificacao

Em geral, pode-se classificar os acidos quanto a:

Presenca de Oxigenio

• Hidracidos: nao apresentam oxigenio na molecula;HCl, HCN, H2S

• Oxiacidos: apresentam oxigenio na molecula.HNO3, H2SO4, H3PO4

Numero de Hidrogenios Ionizaveis

• Mono-acidos: apenas um hidrogenio ionizavel;HCl, HCN, HNO3

• Diacidos: dois hidrogenios ionizaveis;H2S, H2SO4, H2CO3

• Triacidos: tres hidrogenios ionizaveis. H3SO3, H3PO4

Mas tome cuidado:

H3PO2 → mono-acido (um hidrogenio ionizavel)

H3PO3 → diacido (dois hidrogenios ionizaveis)

Volatilidade

• Volatil: todos os hidracidos;

• Fixo: todos os oxiacidos.

Estabilidade

• Instavel: so existem dois acidos instaveis;

H2CO3 → H2O + CO2

H2SO3 → H2O + SO2

• Estaveis: todos com excessao dos acidos carbonico esulfuroso.

Forca

• Para Hidracidos:

– Fortes: HCl, HI, HBr

– Moderado ou Semi-Forte: HF

– Fracos: HCN, H2S

• Para Oxiacidos: m = N0 −NH+

– Fraco: quando m = 0;

– Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;

– Forte: quando m = 2;

– Muito Forte: quando m = 3.

– Exemplos:

HCl→ m = 0 fraco

H2CO3 → m = 1 moderado

H2SO4 → m = 2 forte

HClO4 → m = 3 muito forte

Nomenclatura dos Acidos

Hidracidos

Nomenclatura: Acido (nome do elemento)ıdrico.

Quando ionizado, um hidracido produz ao lado do cationH+ ou H3O

+, um anion com terminacao eto. Conformeexemplo abaixo:

HCl: Acido Clorıdrico H++Cl−: Cloreto. (na presencade H2O)

Oxiacidos

Nomenclatura: Acido (nome do elemento)

oso(menos oxigenado)ico(mais oxigenado)

Conforme podemos ver no exemplo abaixo:

H2SO3: Acido Sulfuroso 2H+ + SO−23 : Sulfito. (na

presenca de H2O)

H2SO4: Acido Sulfurico 2H+ + SO−24 : Sulfato. (na

presenca de H2O)

Bases

Bases ou Hidroxidos sao substancias que, ao serem dis-solvidas em agua, sofrem dissociacao ionica, originandoo “anion”OH−, denominado hidroxila ou oxidrila. Os


hidroxidos sao compostos formados por um metal ou um ıonpositivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissociacaoionica de algumas bases em solucao aquosa:

NaOH → Na+ + OH−

Fe(OH)3 → Fe+3 + 3OH−

NH4OH → NH+4 + OH−

Caracterısticas das Bases

• Apresentam sabor amargo;

• Reagem com os acidos produzindo sal;

• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolf-taleına de incolor para vermelha;

• Conduzem corrente eletrica em solucao aquosa;

• Sao untuosas ao tato.

Classificacao das Bases

Classifica-se as bases quanto a:

Numero de Hidroxilas (OH−)

• Mono-base: possui apenas uma hidroxila. Exemplo:KOH ;

• Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Exemplo:Ca(OH)2;

• Tribase: possui tres duas hidroxilas. Exemplo:Al(OH)3;

• Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo:Pb(OH)4.

Solubilidade em Agua

• Soluveis: bases formadas pelas famılias 1A, 2A eNH4OH ;

• Insoluveis: todas as demais bases.

Forca

• Forte: quando a base e dissolvida em agua, ocorre dis-sociacao ionica quase que totalmente. Bases de metaisalcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A);

• Fraca: todas as demais bases.

Outros Conceitos de Acidos e Bases

Conceitos de Bronsted-Lowry

Acido

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de doar umproton na forma de H+.

Base

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de receberum proton na forma de H+.

Exemplos

HCl(Acido) + H2O(Base)

H3O+(Acido) + Cl−(Base) (18)

NH3(Acido) + H2O(Base)

NH4(Acido) + OH−(Base) (19)

Par Conjugado Acido–Base

Chamamos de par conjugado as especies quımicas que dife-rem entre si por um H+. No exemplo (18) temos o seguintepar conjugado acido-base:

HCl − (acido forte)(grande facilidade doar eletrons)Cl− − (base fraca)(pequena facilidade de receber eletrons)

Isso explica por que a reacao tende para o sentido direito,ou seja, da esquerda para direita.

Conceito de Lewis

Acido

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de aceitarum par de eletrons atraves da ligacao coordenada dativa.

Base

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de doar umpar de eletrons atraves da ligacao coordenada dativa.

Exemplo

AlCl3(Acido) + : Cl−(Base)→ AlCl−4

Comparando Conceitos

• Lewis: o mais geral;

• Bronnsted-Lowry: bem amplo;

• Arrhenius: o mais limitado.

• Um acido ou base de Arrhenius sera tambem deBronnsted-Lowry e de Lewis;

• Um acido ou base de Bronnsted-Lowry pode ou naoser de Arrhenius, mas sera de Lewis;

• Existem acidos e bases de Lewis que nao sao deBronnsted-Lowry nem de Arhenius.


Estequiometria

E o calculo da quantidade de reagentes necessarios e de pro-dutos obtidos numa determinada reacao quımica. Baseia-senas Leis de Lavoisier (conservacao das massas), Proust (pro-porcao das massas) e Gay Lussac (proporcao de volumes).

Fundamenta-se no fato de que a proporcao de mols entrereagentes e produtos numa reacao e constante, dada peloscoeficientes estequiometricos.

Outro fundamento do calculo estequiometrico e a definicaode mol.

O mol

• Pesa: MMg (MM=Massa Molecular);

• Possui: 6, 02× 1023 moleculas;

• Ocupa: 22, 4 l (gas nas CNTP).

Exemplo

Dada a reacao de combustao da acetona:

C3H6O → CO2 + H2O

Balanceando a equacao pelo metodo das tentativas, chega-remos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:

1 C3H6O (1 mol) + 4 O2 (4 mols)→3 CO2 (3 mols) + 3 H2O (3 mols)

Pense um Pouco!

• O que voce entende por chuva acida? Ela pode trazeralgum malefıcio a vida humana?

• Enumere algumas substancias acidas e basicas de usodiario.


1. Um tanque de automovel esta cheio com 60 litros dealcool hidratado (96% alcool), cuja densidade e de 0, 9 g/ml.Dada sua equacao de combustao completa

C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O

indique:a) a massa da agua obtida ao queimar-se todo o alcool dotanque;b) o volume de gas carbonico que sai do escapamento, su-pondo combustao completa.

2. (ACAFE) Em regioes industriais o anidrido sulfuroso(SO2), resultante da queima de combustıveis fosseis, da ori-gem a chuva acida na atmosfera devido a sua oxidacao econtato com a precipitacao pluviometrica. Em relacao a es-tas regioes, a alternativa falsa e:

a) Sao Paulo e Cubatao sao exemplos de cidades onde a in-cidencia de chuvas acidas e bastante acentuada;b) Ocorre uma oxidacao dos portoes de ferro com uma in-tensidade bem maior que em regioes distantes das regioesindustriais;c) As plantacoes sao bastante afetadas, pois a chuva diminuio pH do solo, retardando o crescimento das mesmas;d) A vegetacao pode vir a secar completamente, caso operıodo das chuvas seja prolongado;e) Nao e recomendada a utilizacao de portoes de alumınioporque este e atacado pela chuva acida.

3. (FUVEST) Um elemento metalico M forma um cloretode formula MCl3. A formula de seu sulfato e:a) M2SO4

b) MSO4

c) M2(SO)3d) M2(SO4)3e) M(SO)3


4. (COMVESUMC) O acido que corresponde a classificacaomono-acida, oxiacido, e ternario e:a) HNO3

b) H2SO4

c) H3PO4

d) HCle) HCNO

5. O amonıaco usado para fins de limpeza e uma solucaoaquosa de amonia que contem ıons:a) hidroxilab) sulfatoc) nitratod) calcioe) sodio

6. Temos a seguinte equacao:

2O3 → 3O2

Os numeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equacaorepresentam, respectivamente:a) coeficiente estequiometrico e numero de atomos damoleculab) coeficiente estequiometrico e numero de moleculasc) numero de moleculas e coeficiente estequiometricod) numero de atomos da molecula e coeficiente este-quiometricoe) numero de moleculas e numero de atomos da molecula

Quımica Aula 8

Solucoes Quımicas

Concentracao

Voce ja reparou, por exemplo, que numa dada quantidadede agua podemos dissolver quantidades menores ou maiores


de sal comum, desde que evidentemente, nao ultrapassemoso ponto de saturacao.

Pois bem, chama-se concentracao de uma solucao a toda equalquer maneira de expressar a proporcao existente numadada solucao.

Usaremos a seguinte convencao:

ms → massa do soluto

msv → massa do solvente

mt → massa do solucao

onde

mt = ms + msv (20)

Tıtulo τ

E o quociente de massa do soluto pela massa total da solucao(soluto + solvente).

T =ms

msv(21)

ou

τ =ms

ms + msv(22)

sendo o tıtulo uma grandeza adimensional.

Porcentagem em Massa P

E o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100)pela massa total da solucao (soluto + solvente).

P =ms

mt× 100% (23)

onde a relacao entre porcentagem em massa e tıtulo e

P = τ × 100% (24)

Concentracao Comum C

E o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volumeda solucao (emlitros).

C =ms

V(25)

onde a relacao entre a concentracao comum, tıtulo e densi-dade da solucao e

C = d · τ · 1000 (26)

Onde:

C → Concentracao Comum (g/l)

d→ Densidade (g/ml)

τ → Tıtulo

Molaridade M

Concentracao em Mol/l ou Molaridade M e o quocientedo numero de mols do soluto pelo volume da solucao (emlitros). Sendo:

ns → numero de mols do soluto

d→ massa do soluto (g)

Ms → massa molar do soluto (g)

V → volume da solucao (l)

M → molaridade (mols)

M =ns

V(27)

onde

ns =ms

Ms(28)

Equivalente-Grama

E a massa molar do soluto dividida pela carga total docation ou do anion de uma substancia.

E =M

x(29)

sendo

M → massa molar

x→ carga do cation ou anion

Para um acido: x→ no de H+

Para um base: x→ no de OH−

Numero de Equivalentes-Gramas

Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama dasubstancia.

NE =ms

E(30)

Normalidade

E o numero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelovolume da solucao em litros.

N =NE

V(31)

Observacao: a melhor maneira de se calcular a normali-dade e a partir da molaridade, usando a expressao:

N = M · x (32)

Resumo das Principais Equacoes

Relacoes das Massas

m = m1 + m2


Numero de Mols

n1 =m1

mol1

Densidade

d =m

V

Tıtulo

T =m1

m

Porcentagem em Massa

P = 100 · m1

m

Concentracao (g/l)

C =m1

V

Molaridade

M =n1

V

Molalidade (mol/kg) de solvente

W =n1

m2

Concentracao em Equivalentes-Gramas

N =Ne1

V

Numero de Equivalentes-Gramas

Ne1 =m

E

Equivalentes-Gramas

E =mol

x

Pense um Pouco!

• Pense em possıveis aplicacoes dos conceitos apresenta-dos ate aqui, referentes a solucoes e cite alguns exem-plos.

• Se fervermos uma solucao de agua+sal, e a agua forevaporando, o que acontece com as propriedades dasolucao (M , τ , P , etc)?


1. (ACAFE) A massa aproximada de BaCl2 necessariapara preparar 25 litros de solucao 0, 1 M deste sal sera:a) 208 gb) 520 gc) 260 gd) 416 ge) 71 g

2. (ACAFE) A ureia, NH2CONH2, e um produto do me-tabolismo de proteınas. Que massa de ureia e necessariapara preparar 500 ml de uma solucao 0, 20 M?a) 5, 1 gb) 12, 0 gc) 18, 0 gd) 24, 0 ge) 6, 0 g

3. (ACAFE) A concentracao de NaCl na agua do mar e de0, 43 mol/l. O volume em l, de agua do mar que deve serevaporado completamente para a producao de 5 kg de salde cozinha e aproximadamente:a) 12 lb) 25 lc) 40 ld) 200 le) 430 l


4. (ACAFE) Para uma solucao a 20 % em massa e densi-dade 4 g/ml, calcule a concentracao em g/l.a) 80 g/lb) 800 g/lc) 8 g/ld) 8000 g/le) 400 g/l

5. (ACAFE) Uma gota de agua ocupa um volume aproxi-mado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da agua e1, 00 g/cm3. O numero de moleculas por gota de agua sera:a) 1, 67× 1021

b) 1, 67× 1023

c) 6, 00× 1023

d) 6, 00× 1021

e) 3, 00× 1021

6. Uma solucao de AgNO3 a 1, 00 % em agua e utilizadapara tratar os olhos de recem-nascidos. Sendo a densidadeda solucao 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l e:a) 1, 0 mol/lb) 0, 10 mol/lc) 20 mol/ld) 0, 5 mol/le) 0, 06 mol/l

Quımica Aula 9


Equilıbrio Ionico

E um equilıbrio quımico em que aparecem ıons. Ocorre comacidos bases e os sais, considerados eletrolitos.

Exemplos

HCN ←→ H+ + CN−

α =no de moles dissociados

no inicial de moles

ou sejaα = grau de dissociacao ionica

A constante de ionizacao segue a Lei de Guldeberg-Waage.

HCN ←→ H+ + CN−

Ka =[H+].[CN ]

[HCN ]

Ka = constante de dissociacao ionica para acidos,Kb = para basespKa = −logKa

Ka = 4, 0× 10−10

pKa = −log(4, 0× 10−10)pKa = 9, 4

Quanto maior α→ maior ionizacao→ maior e o numeradorna expressao da constante → maior e K.

A partir da expressao de Ka, quanto mais ionizado o acidose encontra:

- maior a quantidade de ıons em solucao;

- menor a quantidade de acido nao-ionizado;

- maior o valor de Ka.

A forca de um acido e medida pela sua capacidade de pro-duzir ıons H+ em solucao aquosa. Portanto, quanto maioro valor de Ka:

- maior a capacidade de ionizacao do acido;

- maior quantidade de ıons H+ produzida;

- maior e a forca do acido.

Lei da Diluicao de Ostwald

Vamos ver o que ocorre com o grau de ionizacao (α) aofazermos uma diluicao da solucao por acrescimo de solvente.Para isso, consideremos a ionizacao de um acido HA:

HA(aq) ←→ H+(aq) + A−

(aq)

Inıcio n 0 0Equilıbrio n - x x x

α =no de moleculas ionizadas

no de moleculas adicionadas

x/n = x = αn

[H+] = x/V = nα/V

[A−] = x/V = nα/V

[HA] = n− x/V = n− nα/V = n(1− α)/V

Ka =[H+] [A−]

[HA]=

nα/V ∗ nα/Vn(1−α)

V

Ka =nα ∗ nα

V V∗ V

n(1− α)

Ka =nα2

V (1− α)

Ka =α2

1− αCn

onde Cn e a concentracao molar ou molaridade.

Esta expressao representa a Lei de Diluicao de WilhelmOstwald (1853-1932), quımico alemao.

Vejamos como interpretar essa lei.

Considerando uma diluicao por acrescimo de solvente, te-mos que, se o volume aumenta, devido ao acrescimo de sol-vente, a concentracao em quantidade de materia diminui:

n/V = Cn −→ V aumenta←→ Cn diminui

admitindo um aumento indefinido de volume, ou seja, Vtendendo ao infinito, Cn vai tender a zero. Entao, na ex-pressao da lei, se Cn tende a zero, Cnα2 tambem tende azero:

Ka =Cnα2

1− α= Cnα2 = Ka(1− α)

se Cnα2 tende a zero, entao Ka(1−α) tambem tende a zero(Ka e constante). Logo:

Ka(1 − α) tende a 0 −→ 1 − α tende a zero −→ −α tendea -1 −→ α tende a 1.

O fato de o grau de ionizacao tender a 1 significa que aionizacao tende a ser total (100%), ou seja, o numero demoleculas ionizadas tende a ser igual ao de moleculas adici-onadas: α = x/n, x = nα, x = n, (α = 1)

“O acrescimo de solvente de uma solucao, ou seja, uma di-luicao, provoca um aumento do grau de ionizacao”.

Voce Sabia?

O odor do peixe e causado pela presenca de aminas proveni-entes da decomposicao de algumas proteınas do peixe. Estescompostos organicos sao basicos e, portanto, para retirar oseu cheiro desagradavel das maos, basta adicionar um acido,como o vinagre ou limao. Uma das aminas causadoras doodor e a metilamina, que apresenta o seguinte equilıbrio:

CH3NH2︸︷︷︸

Metilamina

+H2O←→ CH3NH+3 + OH−

︸︷︷︸

Base

A adicao de acidos desloca o equilıbrio para a direita, eli-minando o odor causado pela amina.

Pense um Pouco!

• O grau de dissociacao ionica do acido acetico, emsolucao 0,02 molar, e de 3% a 25 C. Calcule a cons-tante de ionizacao α desse acido a 25 C.



1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde aograu de ionizacao do acido cianıdrico, HCN, numa solucao0,01 molar, sabendo que a sua constante de ionizacao e de4× 10−10 (considerar 1− α = 1).a) 0, 02b) 2× 104

c) 2× 10−4

d) 4× 10−2

e) 4× 10−4

2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ionizacao dosacidos I, II e III:KI = 7, 0× 10−5,KII = 1, 0× 10−7,KIII = 2, 0× 10−9

Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se:a) I, II e IIIb) I, III e IIc) II, III e Id) III, I e IIe) III, II e I

3. (Cefet-PR) A constante de ionizacao do acido acetico,a 25 C, numa solucao com 2 × 10–2 molar, sabendo quenessas condicoes o seu grau de ionizacao e 30%, e:a) 3, 2× 10−4

b) 2, 5× 10−3

c) 3, 7× 10−2

d) 3, 1× 10−1

e) 1, 4× 10−3


4. (PUC-SP) Na temperatura ambiente, a constante deionizacao do acido acetico e 1, 80× 10−5. Determine a mo-laridade da solucao onde o acido se encontra 3% dissociado.a) 3, 00× 10−2 molarb) 5, 82× 10−4 molarc) 5, 40× 10−5 molard) 1, 94× 10−2 molar.e) 5, 40× 10−7 molar

5. (USP-SP) O grau de ionizacao do acido acetico(CH3COOH), numa solucao a 0, 5 M , e de 6 × 10−1%.Calcule a constante de ionizacao desse acido.

6. (UEPI) E muito comum as donas-de-casa, apos a lim-peza do peixe, usarem limao para remover o cheiro deixadoem suas maos. A maioria delas nao tem uma explicacao ci-entıfica para o fato. Entretanto, sabe-se que o cheiro e cau-sado pelo composto metilamina, de formula CH3 − NH2,cuja equacao de equilıbrio e representada a seguir:

CH3 −NH2(aq) + H2O(l) → CH3 −NH3(aq) + OH−(aq)

Segundo o Princıpio de Le Chatelier, o cheiro de peixe de-saparece porque:a) a adicao do limao (H+) neutraliza o ıon OH−, deslo-cando o equilıbrio para a direita, consumindoa metilaminab) a adicao do limao (H+) neutraliza o ıon OH−, deslo-cando o equilıbrio para a direita, consumindo o CH3−NH+

3

c) a adicao do limao (H+) neutraliza o ıon, deslocando oequilıbrio para a esquerda, formando solucao aquosa.d) a adicao do limao (H+) neutraliza o ıon OH−, deslo-cando o equilıbrio para a esquerda, retirando a metilamina.e) a adicao do limao (H+) neutraliza o ıon OH−, deslocandoo equilıbrio para a esquerda, diminuindo a concentracao deH2O.

Quımica Aula 10

Equilıbrio Ionico da Agua e pH

Equilıbrio Ionico da Agua

Medidas experimentais de condutibilidade eletrica e outrasevidencias mostram que a agua, quando pura ou quandousada como solvente, se ioniza numa extensao muito pe-quena, originando a condicao de equilıbrio:

H2O(l) + H2O(l) ⇐⇒ H3O+(aq) + OH−

(aq)

ou simplesmente

H2O(l) ⇐⇒ H +(aq) +OH−(aq)

As concentracoes de ıons H+ e OH− presentes no equilıbriovariam com a temperatura, mas serao sempre iguais entresi.

A 25 C, as concentracoes em mol/L de H+ e OH− na aguapura sao iguais entre si e apresentam o valor 10−7 mol ·L−1.

agua pura: [H+] = [OH−] = 10−7 mol · L−1

Produto Ionico da Agua (Kw)

Considerando o equilıbrio da agua, vemos que a sua cons-tante de ionizacao corresponde ao Kw e e expressa por:

Kw = [H+] · [OH−] a 25 C

Kw = (10−7)(10−7) = 10−14

Na agua, as concentracoes de H+ e OH− sao sempre iguais,independentemente da temperatura; por esse motivo, a aguae neutra. Quaisquer solucoes aquosas em que [H+] = [OH−]tambem serao neutras.

Em solucoes acidas ou basicas notamos que:

• quanto maior a [H+]⇒ mais acida e a solucao.

• quanto maior a [OH−] ⇒ mais basica (alcalina) e asolucao.

Escala de pH

O termo pH (potencial hidrogenionico) foi introduzido, em1909, pelo bioquımico dinamarques Soren Peter Lauritz So-rensen (1868-1939), com o objetivo de facilitar seus traba-lhos no controle de qualidade de cervejas.

O calculo do pH pode ser feito por meio da expressao:


pH = − log[H+]

De maneira semelhante, podemos determinar o pOH (po-tencial hidroxilionico) de uma solucao:

pOH = − log[OH−]

Na agua e nas solucoes neutras teremos entao pH = pOH =10−7. Nas solucoes acidas, o pH varia de 1 a 7, e nas alca-linas, o pH varia de 7 a 14.

Indicadores de pH

Uma maneira muito comum, mas menos precisa, de deter-minar o pH de uma solucao e mediante o uso de indicadores,

que sao substancias que mudam de cor em funcao da [H+]e da [OH–], ou seja, de acordo com o pH. Existem variosindicadores acidobase; muitos deles sao naturais, por exem-plo, o suco de repolho roxo que, em uma solucao neutra,apresenta coloracao roxa.

No entanto, quando o pH muda, a sua coloracao pode va-riar do vermelho ao amarelo-claro. Os indicadores maiscomumente empregados em laboratorio sao sinteticos, porexemplo, a fenolftaleına que, como todos eles, quando dis-solvida em agua se ioniza e origina ıons, estabelecendo umequilıbrio. O indicador e a sua forma ionizada apresentamcores diferentes.

A mudanca de cor ocorre em determinados intervalos depH, denominados faixa ou intervalo de viragem. Quando ovalor do pH e inferior ao intervalo de viragem, temos umacor; quando o valor e superior ao intervalo, temos outra cor;na faixa de viragem temos uma cor intermediaria as duas.

A seguir mostramos alguns indicadores com os valoresnumericos das suas faixas de viragem:

Indicador intervalo de viragemTornassol vermelho (acido) a azul (alcalino)

Azul amarelo (acido) a azul (alcalino)de

BromotimolFenolftaleına incolor (neutro) a rosa (alcalino)

Calculo do pH

Nas solucoes acidas, o ıon predominante caracterıstico e oH+. Assim, devemos conhecer sua concentracao em mol/Lpara em seguida determinar o pH da solucao.

Exemplo 1: acido forte

Considerar α = 100% para uma solucao de HCl de0, 1 mol/L

HCl −→ H+ + Cl−

Neste caso a concentracao de ıons H+ sera a mesma doacido original:

[H+] = 0, 1 mol/L = 10−1 mol/L

pH = − log[H+] = 1

Exemplo 2: outros acidos (α < 100%)

Considere uma solucao de acido acetico H3C − COOH de0, 1 mol/L onde α = 1%.

H3C − COOH −→ H+ + H3C − COO−

Neste caso a concentracao de ıons H+ sera apenas 1% doacido original, ou seja,

[H+] = 0, 1 mol/L× 1

100= 10−3 mol/L

pH = − log[H+] = 3


Nas solucoes basicas, o ıon predominante caracterıstico eo OH−. Assim, devemos determinar sua concentracao emmol/L e, em seguida, o pOH da solucao.

Exemplo 3: base forte

Considerar α = 100% para uma solucao de NaOH de 0, 1 M

NaOH −→ Na+ + OH−

Neste caso a concentracao de ıons OH− sera a mesma dasolucao basica original:

[OH−] = 0, 1 mol/L = 10−1 mol/L

pOH = log[OH−] = 14− 1 = 13

E como pH + pOH = 14 para qualquer solucao, neste casopH = 1.

Exemplo 4: bases fracas

Considere uma solucao de NH4OH de 2 M com α = 0, 5%

NH4OH −→ NH+4 + OH−

Neste caso a concentracao de ıons OH− sera apenas 0, 5%da solucao basica original:

[OH−] = 2 mol/L× 0, 5

100= 10−2 mol/L

pOH = log[OH−] = 2

E analogamente ao exemplo anterior, nesse caso pH = 12.

Pense um Pouco!

Veja quais dessas solucoes comuns sao acidas, basicas ouneutras: refrigerante, agua destilada, limpa-forno a basede soda caustica, suco gastrico, amonıaco, suco de laranja,solucao de bateria de automovel, chuva acida.


1. Calcule o pH e o pOH de uma solucao aquosa cujaconcentracao hidrogenionica [H+] e de 10–2 mol/L.

2. (UFPE) Relacione os itens seguintes com os conceitos:acido, basico e neutro. 1) Uma Coca-Cola tem um pH iguala 3.2) Um tablete de um antiacido dissolvido num copo d’aguatem [OH−] = 10−5 M3) Uma xıcara de cafe tem [H+] = 10−5 M4) Uma solucao em que [H+] = [OH−].

a) 1) basico, 2) basico, 3) acido, 4) neutrob) 1) acido, 2) basico, 3) neutro, 4) neutroc) 1) neutro, 2) acido, 3) basico, 4) acido

d) 1) acido, 2) neutro, 3) basico, 4) basicoe) 1) acido, 2) basico, 3) acido, 4) neutro

3. (UFPI) Dada a afirmacao: “A urina e uma solucaoaquosa que apresenta pH = 5.” podemos concluir que:a) a solucao tem carater basicob) a concentracao hidrogenionica e 10−5 mol/Lc) a concentracao hidroxilionica e de 10−7 mol/Ld) a constante de ionizacao da agua e 10−5

e) a urina e uma solucao nao-eletrolıtica


4. (Puccamp-SP) O pH do suco de laranja varia, em media,de 3,0 a 4,0. O pH do suco de tomate varia de 4,0 a 4,4.Considerando os extremos dessas faixas de valores de pHque significam maior acidez, pode-se afirmar que a [H+] dosuco de laranja, em relacao a do suco de tomate e:a) cento e quarenta vezes maiorb) cento e quarenta vezes menorc) iguald) dez vezes menore) dez vezes maior

5. (PUC-MG) A concentracao hidrogenionica do suco delaranja puro e 10−4 mol/l. O pH de um refresco, preparadocom 25 ml de suco de laranja e agua suficiente para com-pletar 250 ml, e igual a:a) 3b) 4c) 5d) 6e) 8

6. (UFCE) Adicionando-se agua destilada a 5 ml de umasolucao de hidroxido de sodio 1 mol/l, obtem-se 500 mlde solucao diluıda. Admitindo-se completa dissociacao dohidroxido de sodio (NaOH), calcule o pH da solucao pre-parada.

Quımica B Aula 1

O que e Quımica?

Quımica e a ciencia que estuda a natureza da materia, suaspropriedades, suas transformacoes e a energia envolvida nes-ses processos.

A quımica esta presente em toda materia organica einorganica, natural e artificial e tem contato diario e diretocom o homem.

Quımica B – Aula 1 147

Um Pouco de Historia...

Podemos dizer que tudo comecou com o homem primitivo,quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus ali-mentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas comoremedio para suas doencas, etc. No comeco da era crista,surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em des-cobrir o “elixir da longa vida”, aperfeicoaram tecnicas demetalurgia, introduziram a quımica medicinal, sintetiza-ram varias substancias, isolaram outras, alem de terem re-gistrado um grande numero de experimentos em suas ob-servacoes.

A partir do seculo XVII, a ciencia se transforma, tornando-se mais experimental e menos filosofica. Dentre os cien-tistas com essa nova proposta, destacam-se o ingles Ro-bert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comporta-mento dos gases, a distincao entre mistura e “combinacao”,e o frances Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publi-cou (Tratado elementar de Quımica) que estabeleceu ummarco na quımica moderna, no qual podemos destacar oPrincıpio da Conservacao da Massa, a descoberta do ele-mento oxigenio e sua analise quantitativa da composicao daagua. Por seu trabalho, Lavoisier e considerado o “pai daQuımica”.

A Importancia da Quımica

Podemos dizer que tudo a nossa volta e quımica, pois to-dos os materiais que nos cercam passaram ou passam poralgum tipo de transformacao. A quımica proporciona pro-gresso, desenvolvimento e atraves do uso dela que supri-mos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higi-ene, roupas de fios artificiais, desenvolvimento da industriafarmaceutica, fertilizantes e pesticidas para plantacao, pro-dutos industrializados cuja obtencao depende de trans-formacoes quımicas como plasticos, vidros, tintas, cimentoetc.

Metodo Cientıfico

Desenvolvido por Galileu Galilei o m¯

etodo cientıfico e a basede toda a Ciencia, pois sintetiza o conjunto de atividadesque visam observar, experimentar, explicar e relacionar osfenomenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cadavez mais gerais, que nos permitam prever e controlar osfenomenos futuros.

Observacao → Hipoteses → Experimentacao →Medicao → Leis experimentais → Modelo cientıfico

Fenomenos Quımicos e Fısicos

Fenomeno e qualquer acontecimento da natureza. Quandoocorre um fenomeno, uma transformacao, ha alteracao nosistema do estado inicial ao estado final.

Fenomeno Fısico

E qualquer transformacao sofrida por um material sem queocorra alteracao de sua constituicao ıntima de seus cons-tituintes. Ex: o amassar do papel, evaporacao da agua,quebra de um objeto.

Antoine Lavoisier (1743−1794)

Figura 1: O pai da Quımica: Lavoisier (1743-1794)

Fenomeno Quımico

E qualquer transformacao sofrida por um material de modoque haja alteracao na sua constituicao ıntima de seusconstituintes. Ex: oxidacao do ferro (formacao da ferru-gem), apodrecimento de um alimento.

Pense um Pouco!

• Fatos comuns envolvendo materiais e transformacoesquımicas sao de conhecimento recente ou antigo?

• Quais as atividades do seu dia em que a quımica estapresente?


1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta:a) Oxidacao do ferro e um fenomeno fısicob) Fusao do chumbo e um fenomeno quımico.c) Combustao da madeira e um fenomeno quımico.d) Queima do papel e um fenomeno fısico.e) n. d. a.

2. (UFSC) Indique na relacao abaixo os fenomenos fısicos(F) e os fenomenos quımicos (Q).a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carrosb) ( ) Digestao dos alimentos ingeridosc) ( ) Formacao de ferrugemd) ( ) Quebra de um objetoe) ( ) Enfiar um prego na madeiraf) ( ) Derretimento de um iceberg

3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro ate o ponto de fusao,recolher o lıquido em uma forma esferica, transformando abarra em uma bola de ferro, e exemplo de fenomeno:a) Quımico, pois altera a forma da barra de ferro.b) Fısico, pois a substancia continua sendo ferro.c) Fısico-quımico, pois ha alteracao na forma dasubstancia.d) Nao e exemplo de fenomeno.e) n. d. a.



4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenomenos: I. sublimacaoda naftalina, II. formacao da ferrugem, III.queima do alcoolcomum, IV.fusao do gelo. Sao quımicos:a) todosb) nenhumc) somente II e IIId) somente I e IIIe) somente II e IV

5. (MACKENZIE-SP) I. Fusao do gelo, II. Sublimacao doiodo, III. Digestao dos alimentos, IV. Queima de madeira.Sao exemplos de fenomenos:a) I e II quımicosb) I e IV fısicosc) II e III fısicosd) II e IV quımicose) III e IV quımicos

6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magnesio ate a com-bustao, notamos o desprendimento de fumaca, restando umpo branco. Isso e exemplo de fenomeno:a) Fısico, pois alterou a estrutura do magnesio.b) Quımico, pois houve a formacao de novas substancias.c) Fısico, pois podemos juntar o po branco e a fumaca, re-cuperando o magnesio.d) Nao e exemplo de fenomeno.e) n. d. a.

Quımica B Aula 2

Materia e Energia

Materia e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar noespaco, ou seja, tem volume.

Corpo e qualquer porcao limitada da materia. Se umaporcao de materia se presta a um certo uso, ela e chamadade objeto ou sistema.

Durante a queima de uma vela (materia), ela se desgasta,produzindo fumaca (materia: fuligem e gases) e liberandoenergia (luz: energia luminosa; calor: energia calorıfica).

Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquiloque pode modificar a estrutura da materia, provocar ou anu-lar movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode atecausar sensacoes.

Princıpio da conservacao de materia e energia: A materiae energia nao podem ser criadas nem destruıdas; podemsomente ser transformadas.

Lei da Conservacao da Massa

”A soma das massas dos reagentes e igual a somadas massas dos produtos”.

Ou ainda,

”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo setransforma”.

Estados da Materia

Existem varios tipos de materia e cada um e chamado desubstancias que podem se apresentar num dos tres estadosfısicos:

Solido (S)

A substancia apresenta forma e volume constantes(partıculas fortemente unidas, bem arrumadas e com mo-vimento vibratorio discreto);

Lıquido (L)

A substancia apresenta forma variavel e volume constante(partıculas levemente unidas, havendo certa liberdade demovimento);

Gasoso (G)

A substancia apresenta forma e volume variados (partıculaslivres umas das outras, havendo total liberdade de movi-mento);

Mudancas de Estado

• Fusao (S → L): a substancia funde a temperaturafixa (ponto de fusao) a uma certa pressao. Ex.: o gelofunde a 0C ao nıvel do mar.

• Solidificacao (L → S): a substancia solidifica a umatemperatura fixa igual ao ponto de fusao, ja que o pro-cesso e inverso ao da fusao. Ex.: o congelamento daagua tambem ocorre a 0C ao nıvel do mar, quando atemperatura esta baixando;

• Vaporizacao (L → G): e a passagem de umasubstancia do estado lıquido para o estado de gas, queocorre quando suas moleculas atingem o seu chamadoponto de ebulicao. Pode ocorrer de tres modos:

1. Evaporacao: ocorre a temperatura ambiente elenta e espontanea (ex: a agua de um lago eva-pora com o calor do sol);

2. Ebulicao: ocorre quando fornecemos calor aolıquido, e rapida e violenta (ex: uma chaleirad’agua fervendo);

3. Calefacao: ocorre quando se borrifa um lıquidonuma chapa aquecida acima do seu ponto deebulicao (ex.: pingar uma gota d’agua numachapa de ferro muito quente).

• Condensacao G → L: a substancia no estado ga-soso e resultado de um lıquido vaporizado que, ao so-frer um resfriamento, retorna ao estado lıquido porcondensacao. (ex: gotıculas de agua se formam natampa de uma chaleira). Outro processo similar e aLiquefacao: e a condensacao de uma substancia queem condicoes ambientes, e um gas que ao comprimi-la(aumentar a pressao) passa para o estado lıquido (ex.:o gas de cozinha e comprinido num botijao e se liquefaz– gas liquefeito de petroleo (GLP)).


• Sublimacao S → G: a substancia passa da formasolida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina,iodo, canfora).

Partıculas e Atomos

Toda a materia conhecida e formada por tres tipos departıculas elementares fundamentais:

• Proton: partıcula massiva que possui uma cargaeletrica elementar positiva (+e) e participa daformacao do nucleo dos atomos;

• Neutron: partıcula tambem massiva que nao possuicarga eletrica, mas desempenha um importante pa-pel na estrutura e estabilidade interna do nucleo dosatomos, reduzindo a repulsao coulombiana entre osprotons;

• Eletron: partıcula muito leve que possui uma cargaelementar negativa (−e) e circula o nucleo atomico,formando uma especie de nuvem (orbital). No seu mo-vimento ao redor do nucleo, apresenta um “comporta-mento duplo” de partıcula e onda; daı dizer-se que anatureza do eletron e a de uma partıcula-onda.

O princıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que:

“E impossıvel se determinar simultanea-mente a posicao e a velocidade de umeletron.”

Com base nesse princıpio, criou-se modernamente aideia de orbital, como sendo a regiao onde ha grandepossibilidade (probabilidade) do eletron ser encon-trado. Na pratica, podemos pensar no eletron comouma “nuvem” que circunda o nucleo.

Elementos e Substancias

Todos as substancias encontradas na natureza sao cons-tituıdas por combinacoes de atomos, que por sua vez, saoas estruturas fısico-quımicas estaveis elementares.

• Elemento quımico: e o conjunto de todos os atomosquimicamente iguais.

• Substancia Simples: sao substancias formadas poratomos de um amesmo mesmo elemento quımico, eque por acao de agentes fısicos nao se decompoe, eportanto, nao forma outras substancias. Exemplos:H , O, O3. Chama-se de alotropia o fenomeno peloqual um unico elemento quımico forma duas ou maissubstancias simples diferentes. Exemplo: o carbonopode ser encontrado na natureza em duas formas dife-rentes: o grafite e o diamante.

• Substancias Compostas: sao formadas por atomosde dois ou mais elementos quımicos diferentes, e quepor acao de agentes fısicos, se decompoem formandoduas ou mais substancias novas. Exemplos: agua +eletricidade → gas oxigenio + gas hidrogenio.

Sistemas e Misturas

Para acilitar o estudo da Quımica definimos:

• Sistema: e uma parte do universo fısico que contem ounao materia, cujas propriedades estao sob investigacoescientıficas.

• Mistura Homogenea: mistura de substancias queapresenta unico aspecto e as mesmas caracterısticas emtoda a sua extensao. A mistura homogenea pode seruma solucao monofasica, por exemplo agua + acucar,ou uma liga metalica, como exemplos temos o latao(cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) +estanho (Sn)).

• Mistura Heterogenea: mistura que apresenta variosaspectos fısicos, sendo possıvel de distinguir seus com-ponentes (polifasica). Exemplo: agua + oleo + areia.

Pense um Pouco!

• O iodo (I) e um solido de cor castanha. Ao ser aque-cido libera vapores violeta, que se transformam emiodo solido ao encontrarem uma superfıcie fria. Ex-plique e de o nome dos fenomenos observados.

• Durante a ebulicao da agua destilada (agua pura) atemperatura nao se modifica, ao passo que, durantea ebulicao da agua do mar, a temperatura continuaaumentando. Pense um pouco e explique esse fato.


1. (UFSC) Materia e tudo que tem massa e ocupa lugar noespaco. Sao exemplos de materia (marque V ou F):a) ( ) pedrab) ( ) madeirac) ( ) corpo humanod) ( ) are) ( ) aguaf) ( ) carro

2. (PUC-SP) O conceito de elemento quımico esta relacio-nado com a ideia de:a) atomob) moleculac) ıond) substancia purae) mistura

3. (UDESC) Assinale a opcao que apresenta apenassubstancia simples:a) H2, Cl2, N2, CH4

b) MgCl2, H2O, H2O2, CCl4c) Na2O, NaCl, H2, O2

d) CCl4, H2O, Cl2, HCle) H2, Cl2, O2, N2



4. (UFMG) Considerando-se completa ausencia de poluicaoentre os materiais citados a seguir, a substancia pura e:a) arb) aguac) madeirad) cinzae) terra

5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um lıquido para oestado de vapor, com agitacao em toda sua massa lıquida,denomina-se:a) ebulicaob) evaporacaoc) sublimacaod) calefacaoe) irradiacao

6. (UDESC) A liberacao ou consumo de energia:a) So ocorre em transformacoes fısicas.b) So ocorre em transformacoes quımicas.c) Em geral, e menor nos fenomenos fısicos do que nosquımicos.d) Em geral, e maior nos fenomenos fısicos do que nosquımicos.e) Nunca ocorre nas transformacoes materiais.

Quımica B Aula 3

Metais, Semi-metais e Ametais

Para distinguir diferentes tipos de atomos usamos:

• Numero Atomico ou Z: e o numero correspondentea carga nuclear, ou seja, o numero de protons (P ) exis-tente no nucleo. Entao: Z = P ;

• Numero de Massa ou A: e o total de protons P e deneutrons N existente no nucleo. Assim: A = P + N .O numero de massa A define em si a massa do atomo,ja que os eletrons possuem uma massa desprezıvel.

Exemplos

1. Hidrogenio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;

2. Helio (He): Z = 2, A = 4, N = 2;

3. Uranio (U): Z = 92, A = 238, N = 146.

Considerando um elemento no estado natural, com atomoseletricamente neutros, temos:

Node protons = Z

Node eletrons = Z

Node neutros = A− Z

Para um atomo de elemento X qualquer representamos, usa-mos a seguinte notacao:

ZXA

para representar o seu numero atomico e sua massa atomica.Exemplo: para um atomo de ferro temos 26Fe56.

Figura 1: Alumınio metalico comum.

Isotopos e Isobaros

• Isotopos: sao atomos com mesmo numero de protons(Z) e diferente do numero de massa (A); apresentampropriedades quımicas iguais e fısicas diferentes.

Exemplo

O hidrogenio (H) possui tres isotopos conhecidos:

1. o hidrogenio comum (protio): 1H1, com N = 0

e Z = 1;

2. o deuterio: 1H2, com N = 1 e Z = 1;

3. o trıtio: 1H1, com N = 2 e Z = 1;

• I¯sobaros: sao atomos de diferentes numeros de

protons (elementos diferentes), mas que possuem omesmo numero de massa (A); apresentam proprieda-des quımicas e fısicas diferentes;

Exemplo

Alguns isotopos do Calcio e do Argonio possuem omesmo numero de massa A = 40: 20Ca40 e 19Ar40

• Isotonos: sao atomos que possuem o mesmo numerode neutrons (elementos diferentes), apresentando A e Zdiferentes; apresentam propriedades quımicas e fısicasdiferentes;

Exemplo

Boro e Carbono: 5B11 (N = 6) e 6C

12 (N = 6)

Classificacao dos Elementos

Dobereiner, em 1817, demonstrou a existencia de Trıades deelementos com propriedades quımicas semelhantes, onde opeso atomico de um elemento era aproximadamente a mediaaritmetica dos pesos atomicos dos outros dois. Ex: cloro,bromo e iodo.


Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescentede pesos atomicos, em grupos de sete, analogo as oitavasmusicais, logo, esta ideia foi abandonada.

Dmitri Mendeleyev, em 1869, propos uma tabela muito se-melhante a atual, mas que apresentava os elementos dispos-tos em ordem crescente de pesos atomicos, essa classificacaodefiniu seis elementos desconhecidos.

Moseley, em 1913, verificou que os elementos quımicos naTabela Periodica deveriam obedecer a uma ordem crescentede numero atomico, e chegou-se ate a tabela atual;

Na tabela atual alem de os elementos serem colocados emordem crescente de numero atomico, observa-se a seguintedisposicao (veja Apendice):

• Perıodos ou Series: sao as filas horizontais emnumero de 7 e indicam os nıveis ( K, L, M, N, O, P, Q );elementos do mesmo perıodo apresentam propriedadesquımicas diferentes.

• Famılias: sao as colunas verticais da tabela, elementosda mesma famılia apresentam propriedades quımicassemelhantes.

Algumas famılias importantes:

– Metal: possui de 1 a tres eletrons na camada ex-terna;

– Nao-metal: possui de 5 a 7 eletrons na camadaexterna;

– Elementos Representativos: apresentam sub-nıveis mais energeticos s e p, famılia A e gasesnobres com 1 A, 2 A, 13 A a 18A;

– Elementos de Transicao: apresentam sub-nıvelmais energetico d nas famılias 3B ate 12B;

– Elementos de Transicao Interna: apresentamsub-nıvel mais energetico f . Os lantanıdios e ac-tinıdios;

Figura 2: O lıtio, metal da famılia 1A.

Ions e Valencia

Quando um atomo esta com falta ou excesso de eletrons,sua carga lıquida nao e mais zero, e o chamamos de ıon:

• Cation: ıon positivo ou atomo que perdeu um ou maiseletrons;

• Anion: ıon negativo ou atomo que ganhou um ou maiseletrons;

A valencia de um atomo ionizado (ıon) e definida pelonumero de eletrons removidos ou adicionados ao atomo(ıon).

• mono-valente: ıon com excesso (ou falta) de umeletron;

• bivalente: ıon com excesso (ou falta) de dois eletrons;

• trivalente: ıon com excesso (ou falta) de tres eletrons;

• tetravalente: ıon com excesso (ou falta) de quatroeletrons;

• . . .

Exemplos

• Ca+ e um cation mono-valente de calcio.

• Fe−2 e um anion bivalente do ferro.

• K+3 e um cation trivalente do potassio.

Propriedades Periodicas

Sao as propriedades que dependem da posicao do atomona tabela periodica, e que variam suavemente entre atomosvizinhos.

Exemplos

Pense um Pouco!

• O que ocorre quando um eletron de um atomo e cap-turado por outro atomo diferente?

• Seria possıvel produzirmos agua (H2O) com deuterioou trıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seriadiferente nessa nova agua?

• O numero atomico de um atomo de nitrogenio e 7 e seunumero de massa e 14. Qual e o numero de protons,de eletrons e neutrons desse atomo neutro?


1. (UDESC) Um determinado atomo apresenta 16 protons,16 eletrons e 16 neutrons; outro atomo apresenta 16 protons,16 eletrons e 17 neutrons.”Sobre eles, sao feitas as seguintesafirmativas:I - Os atomos sao isotonos.II - Os atomos sao isobaros.III - Os atomos sao isotopos.IV. - Os atomos tem o mesmo numero atomico.V - Os atomos pertencem elementos quımicos diferentes.Em relacao as afirmacoes acima, podemos dizer que sao cor-retas apenas:a) I e Vb) II e IIIc) III e IV


d) I e IVe) II e V

2. (UFSC) Um determinado atomo apresenta 20 protons,20 neutrons e 20 eletrons; outro, apresenta 20 protons, 21neutrons e 20 eletrons. Marque V ou F:a) ( ) Pertencem a elementos quımicos diferentes.b) ( ) Sao isobarosc) ( ) Sao isotoposd) ( ) Tem o mesmo numero atomicoe) ( ) O numero de massa de ambos e de 41

3. (Acafe-SC) Os pares de atomos C12 e C13; K40 e Ar40;Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrencia de:a) Isotonia, isotopia, isobaria.b) Isotopia, isobaria, isotonia.c) Isobaria, isotopia, isotonia.d) Isotopia, isotonia, isobaria.e) isobaria, isotonia, isotopia.


4. (UNIFOR) O atomo desconhecido 17X37 tem igual

numero de neutrons que o atomo de calcio 20Ca. O numerode massa A do atomo de Ca e igual a:a) 10b) 17c) 20d) 37e) 40

5. (CESGRANRIO) Um certo atomo X e isobaro do Ca40

e isotopo do 18Ar36. O numero de neutrons do atomo X e:a) 4b) 18c) 22d) 36e) 40

6. (FEI-SP) Um cation metalico trivalente tem 76 eletronse 118 neutrons. O atomo de elemento quımico do qual seoriginou tem numero atomico e numero de massa, respecti-vamente:a) 76 e 194b) 76 e 197c) 79 e 200d) 79 e 194e) 79 e 197

Quımica B Aula 4

Propriedades Periodicas

A Tabela Periodica foi elaborada com base nas proprieda-des quımicas e fısicas dos elementos, analisando-a, podemosobter informacoes sobre eles, chegando-se assim a propri-edades importantes dos perıodos e famılias (ou grupos)quımicos:

CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOSCom massas atômicas referid as ao isótopo 1 2 do carbon o

La

Ac

Símbolo

Ce

Th

Pr

Pa

Nd Eu Dy Tm

U Am Cf Md

Pm Gd Ho Yb

Np Cm Es No

Sm Tb Er Lu

Pu Bk Fm Lr

138,9 140,1

232,0(227)

Massa Atômica( ) - elemento

radioativo (231) (237) (247) (252) (259)

140,9 144,2 152,0 162,5 168,9

(251) (258)238,0 (243)

(145) 157,3 164,9 173,0150,4 158,9 167,3 175,0

(257) (260)(244) (247)

57

89

Número Atômico

Série dos Lantanídios

Série dos Actinídios

58

90

59

91

60 63 66 69

92 95 98 101

61 64 67 70

93 96 99 102

62 65 68 71

94 97 100 103

LAN

TÂN

IO

NO

ME

DO

ELE

ME

NTO

AC

TÍN

IO

CÉ

RIO

TÓR

IO

PR

AS

EO

DÍM

IOP

RO

TAC

TÍN

IO

NE

OD

ÍMIO

EU

RÓ

PIO

DIS

PR

ÓS

IO

TÚLI

O

UR

ÂN

IO

AM

ER

ÍCIO

PR

OM

ÉC

IO

GA

DO

LÍN

IO

HÓ

LMIO

ITÉ

RB

IO

NE

TÚN

IO

CÚ

RIO

EIN

STÊ

INIO

NO

BÉ

LIO

SA

MÁ

RIO

TÉR

BIO

ÉR

BIO

LUTÉ

CIO

PLU

TÔN

IO

BE

RQ

UÉ

LIO

CA

LIF

ÓR

NIO

ME

ND

ELÉ

VIO

FÉ

RM

IO

LAU

RÊ

NC

IO

VI

VII

Hg200,6

80

ME

RC

ÚR

IO

ZnCuNiCo

Rh

Ir

Fe

Ru

Os

MnCrVTi

TcMoNbZr

ReWTaHf

ScCaK

YSrRb

BaCs

Ha Unh Uns Uno UneKuRaFr

Pd

Pt

Ag

Au

65,3863,5558,6958,93

102,9

192,2

55,85

101,1

190,2

54,9452,0050,9447,88

(98)95,9492,9191,22

186,2183,8180,9178,5

44,9640,0839,10

88,9187,6285,47

SÉRIE DOSLANTANÍDIOS137,3132,9

(260)(261)SÉRIE DOSACTINÍDIOS(226)(223)

106,4

195,1

107,9

197,0

30292827

45

77

26

44

76

25242322

43424140

75747372

212019

393837

57 - 715655

105 106 107 108 10910489 - 1038887

46

78

47

79

ZIN

CO

CO

BR

E

NÍQ

UE

L

CO

BA

LTO

RÓ

DIO

IRÍD

IO

FE

RR

OR

UTÊ

NIO

ÓS

MIO

MA

NG

AN

ÊS

CR

ÔM

IO

VA

NÁ

DIO

T ITÂ

NIO

T EC

NÉ

CIO

MO

LIB

DÊ

NIO

NIÓ

BIO

ZIR

CÔ

NIO

RÊ

NIO

TUN

GS

TÊN

IO

TAN

TÁLI

O

HÁ

FN

IO

ES

CÂ

ND

IO

CÁ

LCIO

PO

TÁS

SIO

ÍTR

IO

ES

TRÔ

NC

IO

RU

BÍD

IO

BÁ

RIO

CÉ

SIO

HÂ

HN

IO

UN

ILH

ÉX

IO

UN

ILS

ÉP

TIO

UN

ILÓ

CTI

O

UN

ILÊ

NIO

KU

RC

HA

TÓV

IO

RÁ

DIO

FR

ÂN

CIO

PALÁ

DIO

PLA

T IN

A

PR

ATA

OU

RO

H He

NeF

Br

At

Cl

I

N

As

Bi

P

Sb

C

Ge

Pb

Si

Sn

B

Ga

TI

Cd

Al

In

O

Se

Po

S

Te

Be

Mg

Li

Na

1,008 4,003

20,1819,00

79,90

(210)

35,45

126.9

14,01

74,92

209,0

30,97

121,7

12,01

72,59

207.2

28,08

118,7

10,81

69,72

204,4

112,4

26,98

114.8

16,00

78,96

(209)

32,06

127,6

9,012

24,30

6,941

23,00

1 2

109

35

85

17

53

7

33

83

15

51

6

32

82

14

50

5

31

81

48

13

49

8

34

84

16

52

4

12

3

11

HID

RO

GÊ

NIO

HÉ

LIO

NE

ÔN

IO

Kr

Rn

Ar

Xe

83,80

(222)

39,95

131,3

36

86

18

54

CR

IPTÔ

NIO

RA

DÔ

NIO

AR

GÔ

NIO

XE

NÔ

NIO

FLÚ

OR

BR

OM

OA

STA

TOC

LOR

OIO

DO

NIT

RO

GÊ

NIO

AR

SÊ

NIO

BIS

MU

TOF

ÓS

FO

RO

AN

T IM

ÔN

IO

CA

RB

ON

OG

ER

MÂ

NIO

CH

UM

BO

SIL

ÍCIO

ES

TAN

HO

BO

RO

GÁ

LIO

TÁLI

O

CÁ

DM

IO

ALU

MÍN

IOÍN

DIO

OX

IGÊ

NIO

SE

LÊN

IOP

OLÔ

NIO

EN

XO

FR

ETE

LÚR

IO

BE

RÍL

IOM

AG

NÉ

SIO

LÍT I

OS

ÓD

IO

1A

2A 3A 4A 5A 6A 7A

0

3B 4B 5B 6B 7B 8B 1B 2B

I

II

III

IV

V

VI

VII

(s) = estado sólido H = variação de entalpiaCONVENÇÕES: ∆(g)= estado gasoso( ) = estado líquido (aq) = meio aquoso N = normal M = molar L = litro R = 0,082 atm . L / K mol NA: 6,02 x 1023

Figura 1: A tabela periodica.

Tamanho do Atomo

Os fatores determinantes do tamanho de um atomo sao onumeros de camadas eletronicas (Z) e carga nuclear (P ).

Nas famılias: a medida que o Z aumenta, o numero decamadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho doatomo (de cima para baixo);

Nos perıodos: a medida que o Z aumenta, o numerode camadas permanece igual, mas a carga nuclear au-menta, Z aumenta, a atracao do nucleo sobre os eletronsperifericos tambem aumenta, resultando atomos menores.Num perıodo, o tamanho do atomo aumenta da direita paraa esquerda.

Potencial de Ionizacao

E a medida de energia fornecida a um atomo isolado noestado gasoso para retirar ou desprender um eletron, for-mando um ıon gasoso positivo(cation). Quanto maior o ta-manho do atomo, menor energia de ionizacao (Ei), numafamılia a (Ei) aumenta debaixo para cima. Nos perıodos(Ei) aumenta da esquerda para direita.

Potencial de Ionizacao

Figura 2: Aumento da energia de ionizacao dosatomos.


Exemplo

Considere uma amostra de sodio gasoso (P = 11, Z = 11):

Na(g) + Ei = +119 kcal/mol→ Na+(g) + e−(g)

Neste caso, a energia de ionizacao (Ei) do sodio e de119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deveser absorvida.

Eletroafinidade

E a medida de energia liberada por um atomo isolado noestado gasoso ao receber um eletron, formando o ıon gasosonegativo(anion).

Exemplo

Ionizacao do cloro (Cl):

Cl(g) + e− → Cl−(g) + 83, 3Kcal/mol

e neste caso a energia e liberada na reacao.

Nas famılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima;e nos perıodos aumenta da esquerda para direita.

Eletronegatividade

Propriedade que o atomo apresenta maior ou menortendencia de atrair eletrons para si, resultando da acao con-junta da (Ei) e da eletroafinidade, ou seja, compara a forcade atracao exercida pelo atomo sobre seus eletrons.

Eletronegatividade

Figura 3: Aumento da eletroafinidade dos atomos.

Nas famılias aumenta debaixo para cima e nos perıodos au-menta da esquerda para direita.

Reatividade Quımica

Esta relacionada com o carater metalico ou nao-metalico deum elemento, quanto maior a capacidade de perder eletronsmais metalico e o elemento.

Quanto maior o tamanho do atomo menor o potencial deionizacao (Ei) e menor a eletronegatividade = maior caratermetalico = maior reatividade quımica do metal.

Quanto menor o tamanho do atomo maior a eletroafinidade,maior a eletronegatividade e maior carater nao-metalico =maior a reatividade quımica do nao-metal.

Reatividade

Figura 4: Aumento da Reatividade quımica.

Densidade (ρ)

A densidade ou massa especıfica de um corpo e a razao entresua massa m e seu volume V , ou seja,

ρ =m

V

e sera medida em kg/m3 no SI, ou tambem em g/cm3.Exemplo: a densidade do alumınio (Al) e ρAl =2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3.

Densidade

Figura 5: Aumento da densidade dos atomos.

Nas famılias aumenta de cima para baixo, e nos perıodosaumenta das laterais para o centro.

Volume Atomico v

Mede o volume molar especıfico do material solido, e estarelacionado com a estrutura cristalina do elemento (distri-buicao dos atomos no espaco):

v =massa molar

densidade=

M

ρ.

Nas famılias o volume atomico aumenta de cima para baixo,e nos perıodos aumenta do centro para as laterais.

Ponto de Fusao (PF )

E a temperatura em que um solido passa do estado solidopara o estado lıquido.


Volatilidade

Figura 6: Aumento do volume atomico dos atomos.

Ponto de Fusao

Figura 7: Aumento do Ponto de Fusao (PF ).

Nas famılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em1(1A) e 2(2A), que e o contrario; nos perıodos, aumenta daslaterais para o centro.

Pense um Pouco!

• Dentre as propriedades periodicas estudadas, quais saofısicas e quais sao quımicas?

• Qual o elemento mais denso que voce ja viu? Consultea tabela periodica do Apendice e verifique se existealgum elemento ainda mais denso.

• Cite exemplos de semi-metais e nao-metais conhecidos.


1. (UDESC) Observe os elementos representados na TabelaPeriodica e julgue os ıtens (V = verdadeiro e F = falso), naordem:I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono(C), nitrogenio (N), oxigenio (O) e fluor (F ) diminui dadireita para a esquerda.II - O elemento de menor eletropositividade e o cesio (Cs).III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) e o unicosemi-metal.IV - A energia de ionizacao do criptonio (Kr) e maior quea do potassio (K).V - O raio atomico do magnesio (Mg) e maior que o de

sodio (Na) porque ele possui um eletron a mais.Assinale a alternativa que julga corretamente os ıtens acima,na sequencia de I a V.a) F, V, V, F, Fb) F, V, F, F, Vc) F, F, F, V, Fd) V, F, F, V, Fe) V, V, F, F, V

2. (UFSC) Sobre os elementos Na, Mg e Al, podem serfeitas as afirmacoes:I - Na+, Mg++ e Al+++ possuem o mesmo numero deeletrons.II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes ele-mentos e Na, Mg e Al.III - Mg++ e Al+++ possuem o mesmo numero de protons.IV - A ordem crescente de reatividade com o H2O e: Al,Mg e Na.A opcao que contem apenas afirmacoes corretas e:a) I e IVb) I e IIIc) II e IVd) III e IVe) II e III

3. Na reacao F (g) + e−(g) → F−(g) + 402 kcal/mol, amedida de energia 402 quilo-calorias por mol representa:a) a eletronegatividade do fluorb) a eletropositividade do fluorc) o potencial de ionizacao do fluord) a eletroafinidade do fluore) a polaridade do fluor


4. Para que o ıon 7N−3 se transforme no atomo neutro de

nitrogenio, ele deve:a) receber 3 protonsb) perder 3 eletronsc) receber 3 eletronsd) perder 7 protonse) receber 7 eletrons

5. Para que um atomo neutro de calcio se transforme noıon Ca+2, ele deve:a) perder 2 protonsb) receber 2 eletronsc) perder 2 eletronsd) receber 2 protonse) perder 1 proton

Quımica B Aula 5

Ligacoes Quımicas

Compostos Ionicos e Moleculares

A uniao de atomos formam diversas substancias, essa uniao(ligacao quımica) pode ocorrer de tres formas:

1. ligacao ionica;


2. ligacao covalente simples e dativa;

3. ligacao metalica.

Os gases nobres sao elementos estaveis, pois apresentam oitoeletrons na sua camada de valencia, excecao do gas helio.

Estabilidade Eletronica

Oito eletrons na camada de valencia.

Ligacao Ionica

Ocorre entre metal que tem tendencia de perder eletron,com nao-metal, que tem tendencia de receber eletron, for-mando ıons de cargas contrarias, que se atraem mutua-mente.

Exemplos

Fazer o esquema de Lewis:

Na+Cl− :

K+ + Cl− :

Ion Formula

Conhecendo as valencias dos elementos cujos atomos vao seligar para formar um composto ionico, podemos calcular aıon formula:

20Ca = 1s22s22p63s23p64s2 perde 2e−

15P = 1s22s22p63s23p3 ganha 3e−

Escrevemos os sımbolos na ordem crescente de eletronega-tividade, de modo que o ındice corresponda a valencia dooutro (regra de 3):

Ca→ valencia 2 + P → valencia 3 = Ca3P2

Ligacao Covalente Simples

Ocorre entre nao-metais, e entre nao-metal e hidrogenio, eseu princıpio e o compartilhamento de eletrons.

O conjunto estavel de atomos ligados entre si apenas porligacoes covalentes, ou seja por pares eletronicos, recebe onome de molecula.

Exemplos

Cl + Cl → Cl2

H + Cl→ HCl

H + O→ HO

O + O → O2

Formula eletronica:

Formula Estrutural Plana:

Formula Molecular:

Ligacao Covalente Dativa

So ocorre se o atomo que vai contribuir com o par deeletrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiverpares eletronicos disponıveis:

Exemplos

HNO3

H2SO4

H3PO4

Ligacao Covalente Apolar

Ocorre entre ametais de mesmo elemento quımico (soluveisem agua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H−H .

Ligacao Covalente Polar

Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insoluveis emagua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: moleculaHCl, pois o cloro e mais eletronegativo que o hidrogenio,ou seja, apresenta maior capacidade de atrair eletrons; por-tanto o par de eletrons da ligacao e atraıdo por ele, criando-se nesse extremo uma maior densidade eletronica. Assim,surgem polos distintos (representado pela letra δ), formandouma ligacao covalente polar: δ+HClδ−.

Pense um Pouco!

• Analisando a variacao da eletronegatividade na tabelaperiodica, indique a ligacao menos polar e a mais polar:

H – O :

H – H :

H – I :

H – P :

H – N :

H – F :


1. (UFSC) Considerando-se a ligacao quımica entreoxigenio e o alumınio, sob a luz da teoria do octeto, para aformacao do oxido de alumınio, e correto afirmar (some osnumeros correspondentes as alternativas corretas):01. Cada atomo de alumınio, perdera 3 eletrons;02. O Oxigenio sera o anion, com carga negativa igual atres para cada atomo;04. O envolvidos dois atomos de alumınio na ligacao;08. Cada atomo de oxigenio recebera dois eletrons;16. O numero de cargas positivas, por formula, sera seis.32. A configuracao eletronica do Al+3 sera 1s2 2s2 2p6.64. A formula mınima do oxido de alumınio contera quatroatomos no total.

2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (numero atomico20) e de outro elemento Y (numero atomico 7) unem-se porligacoes ionicas, originando o composto de formula:a) XYb) X2Yc) X3Y2


d) X2Y3

e) X3Y4

3. (Acafe-SC) A forca de atracao entre ıons positivos enegativos caracteriza a ligacao:a) coordenadab) covalentec) metalicad) dativae) ionica


4. (Supra-SC) No cloreto de magnesio, a uniao entremagnesio e cloro ocorre atraves de ligacao:a) molecularb) covalentec) metalicad) ionicae) dativa

5. (UFRGS) O conceito de ligacao covalente se refere aideia de:a) atracao eletrostaticab) par ionicoc) atracao inter-moleculard) eletrons livrese) emparelhamento de eletrons

6. (Supra-SC) Entre os atomos dos compostos KBr, NH3,e HCN , as ligacoes quımicas predominantes sao, respecti-vamente:a) covalente, ionica, ionicab) covalente, ionica, covalentec) covalente, covalente, ionicad) Ionica, ionica, covalentee) Ionica, covalente, covalente

Quımica B Aula 6

Ligacoes Quımicas

Geometria Molecular

Teoria da Repulsao dos pares eletronicos, desenvolvida nadecada 1960:

“Os pares de eletrons ao redor do atomo centraldistribuem-se no espaco de tal forma que a repulsaoentre eles e a menor possıvel, garantindo maior es-tabilidade”.

Os pares de eletrons podem ou nao fazer parte de ligacoes.Quando os eletrons sao ligantes, os pares podem constituirligacoes simples, duplas, triplas ou dativas.

As posicoes relativas dos atomos ligantes sao dadaspela disposicao de todos os pares de eletrons, masa geometria da molecula e considerada apenas pelaposicao relativa de seus nucleos.

Figura 1: O gas carbonico (CO2) apresenta geome-tria molecular linear, distribuicao espacial dos pareseletronicos e linear e possui 2 atomos ao ligados aoatomo central.

Figura 2: O composto SO3 apresenta geometria mole-cular e trigonal plana, a distribuicao espacial dos pa-res eletronicos forma um triangulo equilatero e possui3 atomos ligados ao atomo central.

Exemplos

Forcas Inter-moleculares

As substancias moleculares podem ser encontradas nos tresestados fısicos, o que nos leva a concluir que, entre asmoleculas, existem forcas de atracao de diferentes inten-sidades. A essas forcas damos o nome de forcas inter-moleculares, elas podem ser de dois tipos:

• forcas de Van der Waals

• pontes de hidrogenio

Forcas de Van der Waals

Sao forcas de fraca intensidade que se classificam em dipolo–dipolo e dipolo instantaneo–dipolo induzido.

A polaridade da ligacao apresenta uma direcao, um sentidoe uma intensidade, podendo ser representada por um vetor(~p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre nosentido do polo negativo para o positivo. Para moleculascom mais de dois atomos, conhecendo-se a geometria mole-cular, e possıvel determinar se a molecula apresenta dipolo,ou seja, se na molecula ha distribuicao desigual de carga ne-gativa e positiva. Essa determinacao e feita levando-se emconta os vetores momento de cada ligacao. Conforme te-


Figura 3: A agua (H2O) apresenta geometria molecu-lar angular, mas a distribuicao dos pares de eletrons etetraedrica e possui 2 atomos ligados ao atomo central.

Figura 4: O metano (CH4) apresenta geometria mole-cular tetraedrica e distribuicao dos pares eletronicostambem e tetraedrica e possui 4 atomos ligados aoatomo central

nham ou nao dipolo eletrico, as moleculas sao classificadasem polares ou apolares, respectivamente.

Exemplos

CO2 e apolar (~p = ~0). Veja a simetria da molecula na Fig.1.

H2O e polar (~p 6= ~0). Veja a assimetria da molecula naFig. 3.

Forcas de Van der Waals dipolo–dipolo

Este tipo de interacao ocorre entre moleculas polares.

Exemplo

A molecula δ+HClδ−.

A formacao do dipolo ocorre devido a diferenca de eletro-negatividade entre o hidrogenio e o cloro. A extremidadenegativa de uma molecula atrai a extremidade positiva damolecula vizinha. Esse tipo de atracao e o mesmo que ocorrena ligacao ionica, mas com intensidade bem menor.

Forcas de Van der Waals dipolo instantaneo–dipoloinduzido

Sao forcas de atracao que aparecem nas substancias forma-das por moleculas apolares, no estado solido ou lıquido. Anuvem eletronica nas moleculas apolares e uniforme, naoaparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deformacao poracao externa, ou flutuacoes estatısticas (colisoes), ou como aumento da pressao e diminuicao de temperatura, provo-cando, entao, uma distribuicao desigual de cargas, o que faz

Figura 5: O PCl5 apresenta geometria molecular bi-piramide trigonal e possui 5 atomos ligantes.

com que surja um dipolo temporario. O dipolo instantaneoinduz a polarizacao da molecula vizinha, resultando umaacao fraca entre elas. Esse tipo de interacao tambem e cha-mado de forca de London, em homenagem ao cientistaFritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvi-mento teorico.

Pontes de Hidrogenio

As pontes de hidrogenio sao casos particulares da interacaodipolo-dipolo, em que o dipolo molecular e fixo e de grandeintensidade. Esse fenomeno ocorre quando o hidrogenio estaligado a um dos tres elementos mais eletronegativos – fluor,oxigenio e nitrogenio – pois a diferenca de eletronegativi-dade entre o hidrogenio e esses elementos e muito grande.

Exemplo

A agua H2O e uma molecula muito polarizada (polar) e aspontes de hidrogenio produzem forca suficiente para manteras moleculas unidas no estado lıquido. Veja a Fig. 3.

Para Aprender Mais!

Tensao superficial e uma propriedade que faz com que umasuperfıcie lıquida se comporte como uma pelıcula elastica.Esta propriedade ocorre com todos os lıquidos e e observadacom maior intensidade na agua. As moleculas no interiordo lıquido mantem-se unidas pelas forcas de atracao, queocorrem em todas as direcoes. As moleculas da superfıcie,no entanto, sofrem apenas atracao lateral e inferior, quegeram a tensao superficial, criando uma pelıcula elastica.Quanto mais intensas as forcas de atracao, maior sera atensao superficial.

Voce Sabia?

Os icebergs sao massa de gelo flutuante que geralmente sedesprende numa geleira polar e, portanto, sao constituıdospor agua doce. Eles flutuam por que a densidade da aguasolida e menor do que a da agua lıquida. Na agua lıquida,as moleculas estao unidas por pontes de hidrogenio e dis-postas de forma menos organizada do que no estado solido.Neste estado, a organizacao e maior, formando estruturashexagonais tridimensionais, mais espacadas, que diminuema densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre aagua. Esta propriedade explica tambem a quebra de gar-rafa de bebidas esquecidas no congelador.

Forcas Inter-moleculares e Ponto de Ebulicao

: O importante fator que influencia o ponto de ebulicao


de uma substancia e o tamanho da molecula, pois quantomaior a molecula, mais facil a ocorrencia de distorcao danuvem eletronica; consequentemente, mais facil a formacaode polos, ou seja, a medida que o tamanho da molecula au-menta (aumento da massa molecular), o ponto de ebulicaotambem deve aumentar. OBS: Na passagem do estado li-quido para o gasoso ocorre uma separacao das moleculas as-sim, quanto maior a atracao entre as moleculas no liquido,maior sera o ponto de ebulicao. Quanto maior a moleculamais facil e a formacao de polos.

Pense um Pouco!

• Quando se ferve a agua, qual o tipo de ligacao e rom-pida na mudanca de estado?

• Temos duas substancias, HX e HY. O que podemosdizer com relacao ao ponto de ebulicao (PE) dessassubstancias, sabendo que em HX ocorrem forcas deVan der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogenio?


1. Qual dessas ligacoes e mais fraca?a) eletrovalenteb) covalentec) ponte de hidrogeniod) Van der Waalse) ionica

2. (Acafe-SC) Cada molecula de agua e capaz de efetuar,no maximo:a) 5 pontes de hidrogenio.b) 2 pontes de hidrogenio.c) 4 pontes de hidrogenio.d) 1 pontes de hidrogenio.e) 3 pontes de hidrogenio.

3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo:I. H3C–CH2–O–CH3

II. H3C–CH2–NH2

III. H3C–CH2–OHApresentam pontes de Hidrogenio entre suas moleculas:a) apenas Ib) apenas IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III


4. (UEFS - BA) Por acao de energia, o hidrogenio di-atomico se dissocia de acordo com a equacao: H–H(g) →2H(g). Nesta dissociacao, ocorre rompimento de ligacaoquımica do tipo:a) ponte de hidrogenio.b) de Van der Waals.c) metalicad) ionicae) covalente

5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2X dos elementos dafamılia do oxigenio sao todos gasosos em condicoes ambien-tais, com excecao do hidreto de oxigenio. Esta situacao econsequencia:a) da baixa massa molecular da aguab) das ligacoes covalentesc) das pontes de hidrogenio entre as moleculasd) do fato de o oxigenio ter o maior raio atomico dessafamıliae) do fato de que o gelo e menos denso que a agua lıquida

6. Dentre as seguintes substancias, qual apresenta pontesde hidrogenio entre as moleculas?a) metano (CH4)b) cloroformio (CHCl3)c) benzeno (C6H6).d) Eter-etılico (H2C2–O–C2H5)e) Agua (H2O)

Quımica B Aula 7

Equacoes e Reacoes Quımicas

Uma reacao quımica e representada pela equacao geral

c1R1 + c2R2 + . . . + cnRn → c′1P1 + c′2P2 + . . . + c′mPm

onde n reagentes R1, R2,. . .,Rn foram usados para formaros m produtos P1, P2,. . .,Pm. Os coeficientes ci indicam onumero de moleculas de cada reagente utilizado na reacao,e os coeficientes c′j, o numero de moleculas de cada pro-duto resultante da reacao. Em ambos os casos, se utilizamcoeficientes inteiros.

Como cada molecula, de reagente ou produto, pode contervarios atomos de diferentes elementos quımicos, o numerototal de atomos de cada especie quımica deve ser o mesmoem ambos os lados da equacao acima, e chamamos de ba-lanceamento quımico o calculo dos menores coeficientesci e c′j para que essa igualdade seja satisfeita.

Exemplos

A sıntese (formacao) da agua e descrita pela equacao

2H2(g) (reagente) +O2(g) (reagente) → 2H2O(l) (produto)

onde a proporcao da reacao de sıntese da agua e 2:1:2, o quesignifica que, para cada duas moleculas de H2O formadas,reagiram duas moleculas H2 e uma molecula de O2. Cadareacao tem a sua proporcao, que, como vimos pela lei dasProporcoes Constantes.

Determinacao dos Coeficientes

Na reacao de combustao:

C2H6O + O2 → CO2 + H2O

observamos primeiro a quantidade de atomos de hidrogenio.No primeiro membro, existem seis (C2H6O), e no segundo,


dois (H2O). Para igualar o numero de atomos, fazemos atransposicao dos ındices, obtendo:

2C2H6O + O2 → CO2 + 6H2O

Vamos agora acertar a quantidade de atomos de car-bono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos(2C2H6O); no segundo, um (CO2). Entao, devemos multi-plicar CO2, no lado direito da equacao, por 4.

2C2H6O + O2 → 4CO2 + 6H2O

Finalmente, acertamos a quantidade de atomos de oxigenio.No segundo membro, ja acertado, existem quatorze atomosde oxigenio (4CO2 e 6H2O), e no primeiro, quatro (2C2H6Oe O2). Entao o coeficiente da molecula O2 sera 6, para seobter 12 atomos que, com outros dois perfazem os quatorze:

2C2H6O + 6O2 → 4CO2 + 6H2O

Observe que em ambos os lados da reacao (reagentes e pro-dutos) temos um total de 4 atomos de C, 12 atomos de H e14 atomos de O. Como todos os coeficientes sao multiplosde 2, entao podemos reduzı-los, dividindo-os por 2:

C2H6O + 3O2 → 2CO2 + 3H2O

e obtemos os menores coeficientes para o balanco quımicoda reacao dada.

Dicas

Algumas consideracao para o balanceamento de umaequacao quımica:

1. Deve-se comecar o acerto dos coeficientes pelo elementoque aparece uma unica vez nos dois membros;

2. Se os ındices do elemento escolhido forem multiplos, asimplificacao pode ser feita antes da transposicao;

3. As formulas das substancias nao podem ser modifica-das; por isso, nunca coloque numeros entre os sımbolosde uma mesma formula.

Tipos de Reacoes

Quanto ao Calor

Quanto ao envolvimento (absorcao ou liberacao) de calor:

Reacoes Endotermicas

Veja que endo=para dentro e termica = calor. E toda reacaoquımica em que ocorre com absorcao de calor.

Por exemplo, a decomposicao do calcario:

CaCO3@ >> ∆ > CaO + COր2

onde ∆ indica que ha a necessidade de aquecimento dosreagentes para que ocorra a reacao quımica.

Reacoes Exotermicas

Observe que exo=para fora e termica = calor.

E toda reacao quımica em que ocorre com liberacao decalor.

Por exemplo, temos a combustao do hidrogenio:

2H2 + O2 → 2H2O + calorր

Quanto a Velocidade

Reacoes Rapidas

As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, porexemplo, a combustao (queima) do alcool etılico:

C2H6O + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + calorր

Reacoes Lentas

Ocorrem devagar, por exemplo, a formacao da ferrugem(oxidacao do ferro):

4Fe + 3O2 → 2Fe2O3 + calorր

Quanto a Reversibilidade

Reacoes Reversıveis

Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado peladupla seta):

CaO + CO2 CaCO3

Reacoes Irreversıveis

Reacoes que ocorrem num so sentido.

Por exemplo:

NaCl + AgNO3 → AgCl + NaNO3

Quanto aos Reagentes e Produtos

Sıntese ou Adicao

Reacao entre duas ou mais substancias (simples ou com-posta) que originam uma unica substancia composta:

2CO + O2→ 2CO2

neste caso a reacao e do tipo

composta + simples→ composta

.

Analise ou Decomposicao

Reacao em que uma unica substancia composta se desdobraem outras substancias simples ou compostas:

2HCl→ H2 + Cl2

Dupla Troca

Reacao em que as duas substancias compostas produzemduas outras substancias compostas (o nome resulta no fatode as substancias permutarem entre si parte de suas estru-turas):

HCl + NaOH → NaCl + H2O

ou

NaCl + AgNO3→ AgCl + NaNO3

Deslocamento ou Simples Troca

Reacao em que uma substancia simples reage com outracomposta, produzindo outra substancia composta e outrasimples:

Fe + CuSO4 → FeSO4 + Cu


Para Saber Mais!

O oxigenio e o hidrogenio liquefeitos sao os combustıveislıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetespela expulsao dos gases de combustao, gerados pela reacaode sıntese:

2H2 + O2→ 2H2O

nos motores de combustıvel lıquido, tambem usados naoperacao de mısseis, o combustıvel e o comburente de-vem ser armazenados isoladamente e a reacao so ocorre nacamara de combustao, o que torna esses motores bastantecomplexos.

Voce Sabia?

Para combater a acidez estomacal, causada pelo sucogastrico existente (HCl ou acido clorıdrico) que em ex-cesso so causa azia. O uso de leite de magnesia, uma sus-pensao de hidroxido de magnesio, ou medicamentos a basede hidroxido de alumınio, diminuem a acidez, aliviando aazia. As reacoes que ocorrem sao:

Mg(OH)2 + 2HCl→MgCl2 + 2H2O

Al(OH)3 + 3HCl→ AlCl3 + 3H2O

Tambem pode-se usar o bicarbonato de sodio:

NaHCO3 + HCl → NaCl + H2O + CO2

Pense um Pouco!

• Explique porque o bicarbonato de amonia misturadoem uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massado bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo dereacao ocorre ? Faca a reacao.


1. Considere as seguintes reacoes do metano:I. CH4 +2O2 → CO2 +2H2O com ∆H = −212, 8 kcal/molII. CH4 + H2O→ CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/molIII.CH4 + CO2→ 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/molIV. CH4 + 1

2O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/molPode-se afirmar que a reacao:a) I e endotermicab) II libera mais calor do que a Ic) III e espontanead) III libera menos calor do que IVe) IV absorve calor para ocorrer

2. (Unisinos-RS) Considerando a equacao termoquımicaabaixo representada, S(s) + 3

2O2(g) → SO3(g) com ∆H =−94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na formacao de200 g de trioxido de enxofre:a) Ocorre a liberacao de 94, 4 kcal, uma vez que a reacao eexotermicab) Ocorre a absorcao de 94, 4 kcal, uma vez que a reacao eendotermicac) Ocorre a liberacao de 169, 5 kcal, uma vez que a reacaoe exotermica

d) Ocorre a absorcao de 236 kcal, uma vez que a reacao eendotermicae) Ocorre a liberacao de 236 kcal, uma vez que a reacao eexotermica

3. Dadas as equacoes das reacoes:I. H2SO4 + H2O → H3O + HSO−

4 + calorII. C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + calorIII. NH4Cl(s) + H2O(l) + calor→ NH+

4 (aq) + Cl−(aq)

IV. C2H2 + 322O2 → CO2 + H2O + C + calor

V. 2Fe2O3 + 3C + calor → 4Fe + 3CO2

Consideram-se as reacoes endotermicas:a) III e Vb) I , II e IVc) II, III e Vd) I, III e IVe) II e III


4. A analise da reacaoH2(g) + 1

2O2(g)→ H2O(l) + 68 kcalpermite concluir que:a) a reacao e endotermicab) a reacao tem ∆H positivoc) a entalpia dos reagentes e maior que a dos produtosd) a entalpia dos reagentes e menos que a dos produtose) a entalpia dos reagentes e igual a dos produtos

5. (PUC-RS) A equacao a seguir representa: HNO3(aq) +NaOH(aq) → NaNO3(aq) + H2O(l) com ∆H =−13, 69 kcal/mola) um processo endotermicob) a neutralizacao parcial de um acidoc) um processo que ha a liberacao de calord) um processo nao espontaneoe) uma reacao de analise

6. As reacoes endotermicas caracterizam-se por:I. serem espontaneasII. ocorrerem com absorcao de calorIII. apresentam sinal positivo para a variacao da entalpia

a) somente a afirmativa I e corretab) somente a afirmativa II e corretac) somente a afirmativa III e corretad) somente as afirmativas I e II sao corretase) somente as afirmativas II e III sao corretas

Quımica B Aula 8

Equacoes e Reacoes (II)

NOX

Numero que designa a carga eletrica real ou aparente(teorica) de um atomo em funcao da diferenca de eletro-negatividade entre ele e seus ligantes; o Nox esta associadoa perda ou ao ganho de eletrons por um atomo numa ligacaoquımica.


Exemplo

Na+Cl−: Na carga real = +1, Cl carga real= -1

H2O: H carga teorica = +1, O carga teorica = -2

Voce Deve Saber!

• Se a ligacao ocorre entre atomos do mesmo elemento (substancias simples), nao havendo, portanto, diferencade eletronegatividade e sendo a molecula apolar, o Noxe sempre zero:

Exemplos

H2, Cl2, O2: Nox = 0

• O Nox de um ıon simples e igual a sua carga (e apropria definicao de Nox).

Exemplos

Na+: Nox Na = +1

S−2: Nox S = −2

Al+3: Nox Al = +3

• O Nox do hidrogenio em compostos e +1, com excecaodos compostos metalicos (hidretos metalicos), em queo Nox do H e −1.

Exemplos

H2O: Nox H = +1

NaH : Nox H = −1

• O Nox do oxigenio nos compostos e −2, com excecaodos compostos com fluor (O2F2 e OF2) e peroxidos(O − O).

Exemplos

H2O: Nox O = −2

H2O2: Nox O = −1

O2F2: Nox O = +1

OF2: Nox O = +2

• A soma algebrica dos Nox de todos os atomos de umamolecula e sempre igual a zero (o numero de eletronscedidos e igual ao de eletrons recebidos).

Exemplos

H2O: Nox H = +1, O = −2, molecula: +2− 2 = 0

Na2S: Nox Na = +1, S = −2, molecula: +2− 2 = 0

H2SO4: Nox H = +1, S = +6, O = −2, molecula:+2 + 6− 8 = 0

• A soma algebrica dos Nox dos elementos em um ıoncomposto e igual sua carga (a carga do ıon indica quehouve perde ou ganho de eletrons).

Exemplos

CO−23 : Nox: C = +4, O = −2, soma: +4− 6 = −2

NH+4 : Nox: N = −3, H = +1, soma: −3 + 4 = +1

• Para se determinar o Nox de algum atomo numamolecula, usam-se os Nox conhecidos.

Exemplo

H4P2O7 Nox: H = +1, P = x, O = −2, soma: +4 +2x− 14 = 0→ 2x = 10→ x = 5

Entao temos que Nox P = +5 nesta molecula.

Nox Mınimo e Nox Maximo

Verifica-se que atomos de um mesmo elemento podem apre-sentar varios numeros de oxidacao, que dependem dos ou-tros atomos da molecula. Veja o caso do cloro, em algunscompostos:

HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4

-1 0 +1 +3 +5 +7

o Nox mınimo representa o numero de eletrons que o atomoprecisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Noxmaximo representa o numero maximo de eletrons da ultimacamada que o atomo pode perder.

Reacoes De Oxi-Reducao

Reacao em que ocorrem variacoes dos numeros de oxidacaodos atomos de certos elementos.

Em uma solucao de sulfato de cobre (CuSO4) em agua, mer-gulhamos uma lamina de zinco (Zn0). apos algum tempoverificamos que essa lamina esta recoberta por uma camadade cobre metalico e a solucao apresenta ıons Zn+2.

Os atomos de zinco (Zn0) se transformam em ıons de zinco(Zn+2), ou seja, perdem 2 eletrons: ocorre uma oxidacao,perda de eletrons, aumento no Nox:

Zn0 −→ Zn+2 + 2e−

Os ıons cobre (Cu+2) se transformam em atomos neutros decobre (Cu0), ou sejam, ganham 2 eletrons: reducao (ganhode eletrons), diminui Nox:

Cu+2 + 2e− −→ Cu0

Assim o que ocorreu foi uma transferencia de eletrons dosatomos de zinco (Zn0) para o ıon cobre (Cu+2):

Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0

Oxidacao e Reducao sao fenomenos paralelos, ou seja, naopode ocorrer oxidacao sem que ocorra uma reducao. Dessemodo podemos somar as equacoes dos dois processos e obtera equacao do processo global:

Zn0 −→ Zn+2 + 2e−semi-equacao de oxi-reducao

Cu+2 + 2e− −→ Cu0

Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0

Redutor e Oxidante

Esse processo global constitui uma reacao de oxi-reducao.A especie doadora de eletrons, sofre oxidacao, provoca areducao (diminuicao de Nox) da outra especie, por isso echamado de agente redutor.

A especie receptora de eletrons, que se reduz, provoca aoxidacao (aumento de Nox) da outra, sendo chamada deagente oxidante.

Agente Oxidante

Provoca oxidacao de outra especie quımica, sofre reducao(ganho de eletrons) e a variacao do Nox diminui.

Agente Redutor

Provoca reducao de outra especie quımica, sofre oxidacao(perda de eletrons) e a variacao do Nox aumenta.


Balanceamento

Determinacao dos coeficientes em reacoes de oxi-reducao.

Procedimento

1. determinar o Nox dos elementos;

2. verificar os fenomenos de oxidacao e reducao;

3. determinar ∆ (variacao do Nox) e multiplicar peloındice ou atomicidade maior, obtendo-se ∆t (variacaototal do Nox);

4. inverter ∆t, isto e, colocar o valor daquele que sofreuoxidacao na frete da substancia cujo elemento sofreureducao e vice-versa.

5. Acertar os demais coeficientes por tentativa.

Exemplo 1

HI + H2SO4 −→+1− 1 +1 + 6− 2

−→ H2S + H2O + I2

+1− 2 +1− 2 0

Determinacao do ∆:

• oxidacao: variacao 1 e atomicidade 1 = 1× 1 = ∆ = 1

• reducao: variacao 8 e atomicidade 1 = 8× 1 = ∆ = 8

Igualando o numero de eletrons cedidos e recebidos, temos:

8HI + 1H2SO4 −→ H2S + H2O + I2

estabelecemos a proporcao da reacao , agora, completamosos outros coeficientes por tentativa:

8HI + 1H2SO4 −→ 1H2S + 4H2O + 4I2

Exemplo 2

K2Cr2O7 + HCl −→+1 + 6− 2 +1− 1

−→ KCl + CrCl3 + H2O + Cl2+1− 1 +3− 1 +1− 2 0

• oxidacao: ∆ = 1× 2 = 2

• reducao: ∆ = 3× 2 = 6

observe que no calculo do ∆ de oxidacao consideramos aatomicidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os atomosde cloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Noxnao se alteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2,pois este e formado pelos atomos de cloro que se oxidaram:

2K2Cr2O7 + HCl −→ KCl + CrCl + H2O + 6Cl2

Por tentativa, acertamos os outros coeficientes:

2K2Cr2O7 + 28HCl −→ 4KCl + 4CrCl + H2O + 6Cl2

simplificando por 2:

K2Cr2O7 + 14HCl −→ 2KCl + 2CrCl + H2O + 3Cl2

Pense um Pouco!

• O que e NOX?

• Como sabemos se uma reacao quımica e uma reacaode oxi-reducao?


1. (UDESC) Dada a reacao:

S + 6HNO3 −→ 6NO2 + 2H2O + H2SO4

A variacao do numero de oxidacao do enxofre e:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 6

2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza,no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2. Naformula da atacamita , identifica-se o cobre com Nox, res-pectivamente:a) +1 e +1b) +1 e +2c) +1 e +3d) +2 e +1e) +2 e +2

3. (UFSM) O nitrogenio apresenta estado de oxidacao −2em:a) NO3

b) NH3

c) NH4

d) N2O3

e) NH4OH


4. (UDESC) Qual das seguintes proposicoes e falsa, quandose analisa a reacao de oxirreducao abaixo?

Fe2O3 + CO −→ 2FeO + CO2

a) O Nox (numero de oxidacao) do C no CO2 e +4b) Cada unidade de formula Fe2O3 ganha 1 e−

c) Cada unidade de formula CO2 perde 2 e−

d) O CO2 e agente redutor de Fe2O3

e) O Fe sofre reducao

5. (UDESC) A soma dos menores coeficientes inteiros dareacao de oxirreducao P +HNO3 +H2O→ H3PO4 + NO,o agente oxidante e o agente redutor sao, respectivamente:a) 18, P , HNO3

b) 20, P , HNO3

c) 13, P , HNO3

d) 18, HNO3, Pe) 10, HNO3, P


6. (UDESC) Seja a reacao abaixo

2KMnO4+aNaNO2+bH2SO4 → xKSO4+yMnSO4+aNaNO3+bH2O

Assinale o ıtem com a soma correta dos coeficientes:a) a + b = 4b) x + y = 3c) a + x = 7d) b + y = 7e) a + b + x + y = 7

Quımica B Aula 9

Solucoes Quımicas

Dispersoes sao sistemas nos quais uma substancia esta dis-seminada, sob forma de pequenas partıculas, numa segundasubstancia. A primeira substancia chama-se disperso oufase dispersa e a segunda dispersante ou f

¯ase de dis-

persao.

Classificacao das Dispersoes

A classificacao das dispersoes e feita de acordo com o tama-nho medio das partıculas dispersas:

• solucoes verdadeiras: partıculas com diametro de 0a 1 nm, isto e, de 0 a 10A;

• solucoes coloidais: partıculas com diametro de 1 a100 nm, isto e, de 10 a 1000 A;

• suspensoes: partıculas com diametro acima de100 nm, isto e, acima de 1000 A.

Lembre que:

1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m1 A (angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m

Solucoes

Solucoes sao misturas homogeneas de duas ou maissustancias. O disperso recebe o nome de s

¯oluto, e o

d¯ispersante, o nome de solvente.

Classificacao das Solucoes

Classificam-se as solucoes de acordo os seguintes criterios:

Estado de Agregacao da Solucao

• solucoes solidas: certas ligas metalicas, tambem cha-madas de amalgamas, por exemplo CuNi;

• solucoes lıquidas: possuem o solvente lıquido, comoa salmora (sal+agua);

• s¯olucoes gasosas: mistura de dois ou mais gases, por

exemplo, ar atmosferico.

Estado de Agregacao dos Componentes

• Solucoes solido-solido: algumas ligas metalicas(CuNi);

• Solucoes solido-lıquido: sal em agua;

• Solucoes solido-gas: naftaleno (naftalina) no ar;

• Solucoes lıquido-solido: agua em solidos hi-groscopicos (CaCl2);

• Solucoes lıquido-lıquido: agua em alcool;

• Solucoes lıquido-gas: umidade no ar;

• Solucoes gas-solido: hidrogenio retido em platinaem po;

• Solucoes gas-lıquido: gas carbonico em bebidas;

• Solucoes gas-gas: todas as misturas gasosas;

Proporcao Entre Soluto e Solvente

• solucoes diluıdas: contem pouco soluto em relacaoao solvente (10 g de NaCl por litro de agua);

• solucoes concentradas: caso contrario (300 g de salpor litro de agua).

Natureza do Soluto

• solucoes moleculares: quando as partıculas disper-sas sao moleculas. Por exemplo, moleculas de acucar(C12H22O11) em agua;

• solucoes ionicas: quando as partıculas dispersas saoıons. Ions do sal comum (Na+ e Cl−) em agua, porexemplo;

Importante

• Ha muitas solucoes que apresentam simultaneamentemoleculas e ıons dispersos, por exemplo, numa solucaoaquosa de acido acetico (acido fraco) existem muitasmoleculas (CH3COOH) e poucos ıons (CH3COO− eH+) em solucao.

• Semelhente dissolve Semelhante: substanciasinorganicas sao polares, enquanto que as organicas saoapolares.

O Fenomeno da Saturacao da Solucao

Juntando-se gradativamente NaCl a agua, em temperaturaambiente e sob agitacao contınua, verifica-se que em dadomomento o sal nao se dissolve mais. Neste caso isto ocorrequando ha aproximadamente 360 g de NaCl por litro deagua. Daı em diante toda a quantidade adicional de salque for colocada no sistema ira se depositar ou precipitarno fundo do recipiente; dizemos entao, que a solucao estasaturada. O ponto de saturacao (coeficiente ou grau de solu-bilidade S) depende do soluto, do solvente e das condicoesfısicas, como a temperatura. A pressao passa a ser impor-tante em solucoes onde existem gases.


Grau de Solubilidade (S)

O grau de solubilidade e a quantidade de soluto (em gra-mas) necessaria para saturar uma quantidade padrao (emgeral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadascondicoes fısicas de temperatura e pressao.

Exemplo

• S = 357 g de NaCl por litro de agua a 0C;

• S = 1.220 g de AgNO3 por litro de agua a 0C;

• S = 2g de CaSO4 por litro de agua a 0C.

Coloides

Solucao coloidal e uma dispersao onde as partıculas disper-sas tem um tamanho medio compreendido entre 1 a 100 nm(lembre-se 1 nm = 10−7 cm = 10−9 m).

Classificacao dos Coloides

Classificam-se os Coloides segundo varios criterios:

Natureza do Disperso

• coloides micelares: as partıculas dispersas sao agre-gados de atomos, de moleculas ou de ıons. por exem-plo, enxofre em agua;

• coloides moleculares: as partıculas dispersas saomoleculas gigantes. Por exemplo, amido em agua;

• coloides ionicos: as partıculas dispersas sao ıons gi-gantes. Por exemplo: proteına em agua.

Estado Fısico do Disperso e do Dispersante

nome disperso dispersante exemplosol solido solido rubi, safirasol solido lıquido colagel lıquido solido geleiasemulsao lıquido lıquido leite, maioneseaerossol lıquido gasoso neblina, sprayar solido gasoso fumacaespuma gasoso solido pedra-pomesespuma gasoso lıquido chantilly, sabao

Observacao

Quando os coloides do tipo sol possuem como dispersante aagua, eles sao chamados do hidrossois.

Reversibilidade

• reversıveis: afinidade muito grande entre o dispersoe o dispersante (liofilos-amigos do lıquido) uma vez ogel obtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistemagel:

Peptizacao – adicao de lıquidoGEL ⇐⇒ SOL

Pectizacao – retirada de lıquido

• Irreversıveis: nao ha intensa afinidade entre as fases,daı serem chamados de liofobos. Ex: enxofre coloidal,metais coloidais.

Coloides Protetores (Liofilos)

Os coloides liofobos apresentam disperso e dispersante compouca afinidade entre eles, o que acarreta certa insta-bilidade. E possıvel aumentar a estabilidade desse tipode coloide adicionando pequena quantidade de um coloideliofilo que tenha carga micelar de mesmo sinal.

A estabilidade aumenta porque as micelas do coloide liofobosao envolvidas por uma pelıcula de coloide liofilo, passandoa sofrer o fenomeno da s

¯olvatacao.

Exemplos

• A tinta nanquim e um coloide liofobo instavel, prote-gido por um coloide aquoso de gelatina;

• Na fabricacao de filmes fotograficos, o AgBr e estabi-lizado por gelatina na forma de gel;

• No leite, a manteiga que esta dispersa na forma coloidale estabilizada pela caseına.

• Na maionese, a gema do ovo constitui um coloide pro-tetor que estabiliza a emulsao de azeite e vinagre;

• A clara de ovo atua como estabilizante dos complexossistemas coloidais que formam os sorvetes cremosos.

Para Aprender Mais!

As entidades dispersas (micelas) em uma disposicao coloi-dal sao constantemente bombardeadas pelas moleculas dodispersante e assim ficam em movimento totalmente desor-denado que podem ser visto num ultra-microscopio. Talmovimento chama-se movimento Browniano, descrito porRobert Brown, em 1827.

Voce Sabia?

A perola e um exemplo de gel, ou seja, uma dispersao coloi-dal de agua (disperso) em carbonato de calcio (dispersante).Ela e produzida por moluscos bivalves, isto e, moluscos comuma concha de dois pedacos articulados. Existem especiesmarinhas e de agua doce. A perola e produzida quando al-gum elemento estranho penetra entre o corpo do molusco ea camada da concha, um grao de areia, por exemplo. Paradefender-se, o molusco produz varias camadas de nacar aoredor do corpo estranho, formando a perola.

Pense um Pouco!

• O que diferencia uma solucao diluıda de uma concen-trada?

• O nome que se da ao sistema coloidal de um dispersosolido num dispersante lıquido, de modo que o sistemanao tome uma forma definida?



1. Qual das trıades abaixo e constituıda por tres coloides?a) leite, fumaca, neblinab) leite, fumaca, oleo-dieselc) fumaca, neblina, gasolinad) gelatina , neblina, cloreto de sodioe) borracha, cola, acucar

2. (UFRS) A uma solucao de cloreto de sodio foi adicionadoum cristal desse sal e verificou-se que este nao se dissolveu,provocando ainda, um aumento de volume do precipitado.Pode-se inferir que a solucao original era:a) estavelb) diluıdac) saturadad) concentradae) super saturada

3. (OBJETIVO-SP) Quais as solucoes aquosas, contendouma unica substancia dissolvida, que podem apresentarcorpo de fundo dessa substancia?a) saturadas e super saturadasb) somente as saturadasc) insaturadas diluıdasd) somente as supersaturadase) insaturadas concentradas

4. (UDESC) Em uma emulsao, a fase dispersa e a fasedispersante sao, respectivamente:a) solida e solidab) lıquida e solidac) gasosa e gasosad) solida e lıquidae) lıquida e lıquida


5. (ITA-SP) Em relacao as misturas de substancias prepa-radas e mantidas num laboratorio de quımica sao feitas asseguintes afirmacoes:

I. O lıquido resultante da adicao do metanol e etanol e mo-nofasico e, portanto, e uma solucao.II. O lıquido transparente que resulta da mistura de car-bonato de calcio e agua e que sobrenada o excesso de salsedimentado e uma solucao saturada.III. O lıquido turvo que resulta da mistura de hidroxido desodio e uma solucao aquosa de nitrato cuprico e uma sus-pensao de um solido num lıquido.IV. A fumaca branca que resulta da queima do magnesio aoar e uma solucao de vapor de oxido de magnesio em ar.V. O liquido violeta e transparente que resulta da misturade permanganato de potassio com agua e uma solucao.

Dessas afirmacoes, esta(ao) incorreta(s) apenas:a) Ib) IIc) IVd) II e Ve) II, III e V

6. (UEPG-PR) Assinale a alternativa que nao caracterizasolucao coloidal.

a) Aerossol – nuvensb) Aerossol – fumaca de cigarroc) Espuma – espuma de sabaod) Emulsao – maionesee) Suspensao – agua barrenta

7. (Ucsal-BA) Qual das misturas abaixo exemplifica umadispersao coloidal?a) Soro fisiologicob) Acido muriaticoc) Leite pasteurizadod) Agua sanitariae) Alcool hidratado

Quımica B Aula 10

Funcoes Quımicas

Sais

Sal e toda substancia ionica que resulta da reacao (reacaode neutralizacao) de um acido com uma base.

Exemplo

HCl + NaOH −→ NaCl + H2Oacido base sal agua

Classificacao dos Sais

Classificam-se os sais segundo os seguintes criterios:

Presenca de Oxigenio

• s¯al oxigenado (oxissal): o oxigenio participa da estru-

tura. Exemplos: KNO3, Na2SO4;

• s¯al nao-oxigenado: o oxigenio nao participa da estru-

tura. Por exemplo: NaCl e NH4Br.

Numero de Elementos Constituintes

• sal binario: sal constituıdo por dois elementos.Exemplos: KCl, Na2S;

• sal ternario: sal constituıdo por tres elementos.Exemplos: NaNO3, K2CO3;

• sal quaternario: sal constituıdo por quatro elemen-tos. Exemplos: NH4ClO3, NaOCN .

Natureza dos Ions

• sal normal: nao apresenta hidrogenio ionizavel, nemıons OH−. E obtido por reacoes de neutralizacao to-tais, ou seja, em que a quantidade de ıons H+ do acidoe igual a quantidade de ıons OH− da base.

Exemplo

HCl + NaOH −→ NaCl + H2Oacido base sal agua


• hidrogenosal: sal que apresenta hidrogenio ionizavel.Forma-se quando so alguns dos hidrogenios ionizaveissao neutralizados pela base, ocorrendo uma reacao deneutralizacao parcial (no caso dos acidos).

Exemplo

H2SO4 + NaOH → NaHSO4 + H2Oacido base hidrogenosal agua

• h¯idroxissal: sal que apresenta ıons OH−. Forma-se por

reacao de neutralizacao parcial da base, na qual nemtodos os OH− sao neutralizados pelo acido.

Exemplo

HCl + CaOHOH → Ca(OH)Cl + H2Oacido base hidroxissal agua

Presenca de Agua no Cristal

– sal hidratado: sal que apresenta moleculas deagua intercaladas em seu retıculo cristalino; asmoleculas de agua constituem a chamada agua decristalizacao ou agua de hidratacao. Exemplos:CaCl2 · 2H2O, CuSO4 · 5H2O, MgSO4 · 7H2O;

– sal anidro: nao apresenta agua de cristalizacao.Exemplos: NaCl, MgSO4, NaKCO3, BaClBr.

Nomenclatura dos Sais

Os sais podem ser representados pela formula geralB+y

x A−xy , sendo B um cation diferente de H+ e A um anion

diferente de OH−. O ındice de cation e dado pela carga doanion, o ındice do anion e dado pela carga do cation, de talforma que o conjunto e eletricamente neutro.

Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de suaformula, basta escrevermos o nome do anion seguido da pre-posicao “de”e do nome cation.

Exemplo

Zn(NO2)2 – nitrito de zincoonde:Zn+2 e o cation zincoNO−2

2 e o anion nitrito.

Como ocorre com as bases, se um elemento formar cationscom cargas diferentes, usamos algarismos romanos paradiferencia-los ou, ainda, as terminacoes “oso”para o de me-nor carga e “ico”para o de maior carga.

Exemplo

Por exemplo, o nıquel (Ni) forma os cations Ni+2, que re-cebe o nome de cation niqueloso ou nıquel II; e Ni+3, cationniquelico ou nıquel III.

Assim:

Ni+2 (cation niqueloso ou nıquel II) com CO−23 (anion car-

bonato) forma o sal NiCO3 chamado de carbonato de nıquelII ou de carbonato niqueloso.

Ni+3 (cation niquelico ou nıquel III) com SO−23 (anion sul-

fito) forma o sal Ni2(SO3) chamado de sulfito de nıquel IIIou sulfito niquelico.

Oxidos

Oxidos sao compostos formados por dois elementos (com-postos binarios), sendo que o mais eletronegativo desses ele-mentos deve ser o oxigenio:δ+CO2

δ−, δ+Na2Oδ−, δ+H2O

δ−, δ+SO3δ−

assim, compostos binarios formados por fluor e oxigenio naosao considerados oxidos, pois o fluor e mais eletronegativoque o oxigenio:δ−F — δ+O — F δ− = OF2

δ−F — δ+O — δ+O — F δ− = O2F2

Nomenclatura dos Oxidos

Nomeamos os atomos de acordo com os grupos de divisao:

Oxidos Moleculares

O oxido liga-se a um nao metal ou hidrogenio: escrevemosa palavra oxido seguida da preposicao “de”e do nome doelemento associado ao oxigenio. Antes da palavra oxido edo nome do elemento, colocamos os prefixos mono, di , tri,tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de atomos deoxigenio e do elemento existentes na formula.

Exemplos

CO2: dioxido de carbonoN2O5: pentoxido de dinitrogenioCl2O7: heptoxido de dicloroCO: monoxido de carbono ou oxido de carbono

Oxidos Ionicos

O oxido liga-se a um metal:

Exemplos

Na2O: oxido de sodioCaO: oxido de calcioFeO: oxido de ferro II

Classificacao dos Oxidos

Oxidos Basicos

Reagem com agua, formando uma base, e reagem comacidos, formando sal e agua. Para formar uma base, e ne-cessario um cation, portanto esses oxidos sao todos ionicos.

Exemplos

K2O + H2O =⇒ 2KOHK2O + 2HCl =⇒ 2KCl + H2O

Oxidos Acidos

Sao os oxidos que reagem com agua, formando acido, e rea-gem com base, formando sal e agua; estes oxidos sao todosmoleculares.

Exemplos

SO3 + H2O =⇒ H2SO4

SO3 + 2NaOH =⇒ Na2SO4 + H2O

Podemos considerar os oxidos acidos como acidos que perde-ram agua; por isso eles sao tambem chamados de anidridos(sem agua):

Exemplo

H2SO4 −H2O = SO3


Hidretos

Sao os compostos binarios do hidrogenio de formula geralExHy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou HyEx

se o H for o elemento menos eletronegativo.

Nomenclatura

Usa-se a palavra Hidreto seguida do nome do elemento li-gante.

Exemplos

HCl: hidreto de cloro ou cloridretoHBr: hidreto de bromo ou bromidretoCaH2: hidreto de calcioNH3: amoniaPH3: fosfina

Classificacao

Dependendo do elemento ligado ao hidrogenio, o hidretopode ser:

Ionico

Sao os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alca-linos e alcalinos terrosos. Sao tambem chamados de hidretossalinos.

Apresentam carater basico, pois reagem com a agua, pro-duzindo base e despresndendo o hidrogenio.

Exemplo

NaH + HOH =⇒ NaOH + Hր2

Molecular

Hidretos de nao-metais e semi-metais.

Exemplos

H2S: sulfidretoHF : fluoridretoNH3: amonia

Os hidretos moleculares dos elementos das famılias 6A (16)e 7 A(17) sao acidos em solucao aquosa, isto e, sofrem io-nizacao.

Exemplo

HF + H2O =⇒ H3O+ + F−

Voce Sabia?

Os galinhos do tempo sao feitos de plastico, revestidos comum sal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2)e azul e o cloreto de cobalto di-hidratado (CoCl2 · 2H2O)e cor-de-rosa. Em dias chuvosos, quando a umidade rela-tiva do ar e maior, o sal, naturalmente, absorve moleculasde agua da atmosfera, deixando o galinho rosa. Quando aumidade relativa do ar diminui, o sal perde gradativamenteas moleculas de agua e volta a ser azul.

Para Aprender Mais!

O cloreto de sodio e encontrado na natureza, em jazidasna crosta terrestre, constituindo o salgema, e nas aguas domar, de onde ser retira a maior parte desse composto.

A agua do mar e canalizada para reservatorios de poucaprofundidade e grande superfıcie, denominados salinas. Osreservatorios sao dispostos de tal forma que a agua passasucessivamente por todos e, pela acao do sol e do vento,e evaporada, deixando depositados os sais menos soluveis,como o carbonato de calcio, o sulfato de calcio e o sulfatode magnesio. O cloreto de sodio deposita-se junto com ocloreto de magnesio, que absorve vapor de agua do meioambiente e se solubiliza, restando cloreto de sodio com altograu de pureza. No Brasil, o sal de cozinha, conhecido comosal iodado, contem iodeto de sodio ou potassio para evitar obocio (hipertireoide). Alem disso, contem pequenas quanti-dades de outros sais que podem se hidratar, como o cloretode magnesio (MgCl2). Nos dias em que a umidade relativado ar e maior, ele se transforma em cloreto de magnesio hi-dratado, que deixa o sal com aspecto molhado, aglutinandoas partıculas e entupindo o saleiro.

A solucao contendo 0,92% de cloreto de sodio e conhecidacomo soro fisiologico e e usada no combate a desidratacao.

Pense um Pouco!

• A acidez estomacal, provocada pelo acido clorıdrico,pode ser neutralizada utilizando-se uma solucao de quetipo?


1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo contem aformula do nitrito de sodio e do acido bromico?a) NaNO3 e HBrb) NaNO3 e HBrOc) NaNO2 e HBrO4

d) NaNO2 e HBrO3

e) NaNO2 e HBrO2

2. (UFMG) Seguem varias formulas quımicas com seus no-mes. Qual a alternativa errada?a) KNO3 – nitrato de potassiob) Ca(PO4)3 – fosfato de calcioc) Al2(SO4)3 – sulfato de alumıniod) Mg(ClO4) – perclorato de magnesioe) n. d. a.

3. (FEMPAR) Qual a substancia que apresenta oxigenioem sua composicao?a) acido clorıdricob) acido sulfıdricoc) cloreto de fosforod) fluoreto de zincoe) nitrato de prata


4. Todas as alternativas apresentam um oxido basico, ex-ceto:a) Na2Ob) CaOc) BaO


d) Fe3O4

e) SrO

5. (UEM-PR) A cal viva, a soda caustica, o vinagre, o leitede magnesia e o bicarbonato de sodio sao produtos comer-ciais usados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemosclassifica-los, respectivamente, como:a) oxido, base, acido, base, salb) oxido, sal, base, oxido, salc) base, sal, acido, oxido, sald) oxido, base, acido, oxido, acidoe) sal, base, acido, base, sal

6. (Acafe-SC) O oxido de magnesio e muito usado comoanti-acido, neutralizando o excesso de HCl no estomago.Com base apenas neste fato, podemos classifica-lo comooxido:a) acidob) basicoc) neutrod) salinoe) n. d. a.

Quımica B Aula 11

Propriedades Coligativas

Sabemos que a agua pura congela-se a 0 C e ferve a 100 C,sob pressao normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendoum pouco de sal comum em agua, ela passara a congelar-seabaixo de 0 C e a ferver acima de 100 C, sob pressao de1 atmosfera. Esses fenomenos sao denominados Efeitos ouPropriedades Coligativas.

Propriedades Coligativas das solucoes sao propriedadesque dependem apenas do numero de partıculas dispersas nasolucao, independentemente da natureza dessas partıculas.

Tanometria

E o estudo de abaixamento da pressao maxima devapor de um lıquido, que e ocasionado pela dis-solucao de um soluto nao-volatil.

Quando um lıquido e colocado num recipiente hermetica-mente fechado, onde havia vacuo, ele vai evaporando atechegar a uma situacao na qual a velocidade de evaporacaotorna-se igual a velocidade de condensacao.

A partir desse instante tudo se passa como se a evaporacaotivesse parado. Nessa situacao dizemos que os vapores saovapores saturados ou saturantes e dizemos tambem que foiatingida a tensao ou pressao maxima dos vapores. Eviden-temente essa pressao maxima sera maior ou menor, depen-dendo da natureza do lıquido e da temperatura em que foifeita a experiencia. Pois bem, se no lıquido anterior fordissolvido um soluto nao-volatil observa-se que a pressaomaxima de vapores do lıquido diminui. Definimos entao:

p0: pressao maxima de vapor do lıquido puro, a temperaturaT;

p: pressao maxima de vapor da solucao, na mesma tempe-ratura T;

p− p0 = ∆p: abaixamento absoluto da pressao maxima devapor da solucao;p0−p

p0: abaixamento relativo da pressao maxima da vapor da

solucao;

O abaixamento relativo da pressao maxima de vapor de umasolucao pode ser calculado pela Lei de Raoult:

Numa solucao bastante diluıda de um soluto qual-quer, nao-volatil e nao-ionico, o abaixamento rela-tivo da pressao maxima de vapor e diretamente pro-porcional a molalidade da solucao.

p0 − p

p0= KtW = Kt

1.000m1

m2M1

A constante Kt, que aparece nas formulas acima, chama-se constante tonoscopica (ou tonometrica) molal dosolvente e pode ser calculada pela equacao:

Kt =M2

1.000

onde, M2 representa a molecula-grama do solvente.

Ebuliometria

E o estudo da elevacao da temperatura de ebulicaode um lıquido, ocasionado pela dissolucao de umsoluto nao-volatil.

A agua ferve a 100 C, sob pressao de 1 atmosfera. Sedissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na agua,ela demorara mais para ferver (ou melhor, so ira ferver emtemperatura mais alta), como se o sal estivesse dificultandosua evaporacao e sua ebulicao. Esse fenomeno e chamadoebulioscopico ou ebuliometrico.

Elevacao da temperatura de ebulicao da solucao (∆Te) e adiferenca entre a temperatura inicial de ebulicao da solucao(T ) e a temperatura de ebulicao do lıquido puro (T0), sobmesma pressao externa.

∆Te = T − T0

onde ∆Te e o chamado efeito ebulioscopico ou ebuliometrico.

Note que devemos dizer temperatura inicial de ebulicao dasolucao porque a medida que a solucao ferve o solventevai evaporando, a concentracao da solucao vai aumentandoa sua temperatura de ebulicao (T ) tambem ira aumentar.Essa preocupacao nao existe em relacao ao lıquido puro, poisdurante toda a ebulicao sua temperatura (T0) se mantemconstante.

Lei de Raoult

Numa solucao diluıda de um soluto qualquer, nao-volatil e nao-ionico, a elevacao da temperatura deebulicao e diretamente proporcional a molalidadeda solucao.

∆Te = KeW = Ke1.000m1

m2M1

A constante Ke, que aparece nas formulas anteriores, e de-nominada constante ebulioscopica (ou ebuliometrica)molal do solvente e pode ser calculada pela relacao:

Ke =RT 2

1.000LV


onde:R e a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol ·KT e a temperatura absoluta de ebulicao do solvente puro(em K)LV e o calor latente de vaporizacao do solvente puro (emcal/g)

Exemplo

A temperatura de ebulicao da agua ao nıvel do mar e 100

C ou 373 K e o calor latente de vaporizacao LV = 538 cal/g.Consequentemente:

Ke =(2)(373)2

(1.000)(538)= 0, 52 C

Criometria

E o estudo do abaixamento da temperatura de congela-mento de um lıquido, provocado pela dissolucao de outrasubstancia nesse lıquido.

A agua pura congela a 0 C, sob pressao normal. Se dis-solvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na agua,ela demorara mais para se congelar (ou melhor, so ira con-gelar em temperatura mais baixa), como se o sal estivessedificultando o seu congelamento.

Esse fenomeno chamado crioscopico ou croimetrico, quetem certa analogia com o fenomeno ebuliometrico, descritono ıtem anterior.

Definimos o baixamento da temperatura de congelamentoda solucao como

∆Tc = T0 − T

que e chamado de efeito crioscopico ou criometrico.

Lei de Raoult

Numa solucao diluıda de um soluto qualquer, nao-ionico, oabaixamento da temperatura de congelacao e diretamenteproporcional a molalidade da solucao:

∆Tc = KcW = 1000 Kcm1

m2 M1

onde a constante Kc e denominada constante crioscopicamolal do solvente pode ser calculada pela relacao:

Kc =RT 2

1000 LF

onde: T e a temperatura absoluta de congelamento do sol-vente puro (em K)LF e o calor latente de fusao do solvente puro (em cal/g).

Osmoscopia

Entende-se por difusao entre lıquidos o fenomeno da disse-minacao espontanea de um lıquido em outro e vice-versa,de modo a se obter uma mistura homogenea ou sistemamonofasico. Este fenomeno pode se dar tambem atraves demembranas:

• permeaveis – sao aquelas que permitem a passagemtanto do solvente como do soluto;

• s¯emi-permeaveis – sao aquelas que permitem a passa-

gem tanto do solvente como do soluto;

• impermeaveis – sao aquelas que nao permitem a pas-sagem de soluto e solvente.

Conclusoes de Van’t Hoff

Van’t Hoff verificou existir uma notavel analogia entrepressao dos gases e a pressao osmotica das solucoes diluıdas.A partir dos estudos de Pfeffer, observou-se incrıvel seme-lhanca com a lei de Boyle e com a lei de Charles, dos gases.

“A pressao osmotica de uma solucao e igual apressao que o soluto exerceria no estado gasoso, ocu-pando o mesmo volume da solucao, na mesma tem-peratura.”

Equacao Tipo Gases Perfeitos

Como para os gases perfeitos, ou ideais, a pressao osmoticapode ser escrita como

pV = nRT

onde, p e a pressao osmotica, V o volume da solucao, n onumero de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitose T a temperatura absoluta da solucao.

Equacao da Pressao Osmotica

p =n

VRT

e como n/V e a molaridade M da solucao, temos

p = MRT

para solucoes moleculares.

Para se obter a pressao osmotica em atm, o valor de R aser utilizado e 0, 082 atm · L/mol ·K).

Para as solucoes ionicas

p = MRTi

Voce Sabia?

Em condicoes normais, a agua entra e sai continuamente dascelulas, difundindo-se em direcao a regiao em que ha menornumero de moleculas de agua, estabelecendo o equilıbrioosmotico. Se uma celula viva, por exemplo uma hemacia,for colocada em solucao salina, que apresente concentracaosuperior a da celula, havera um fluxo de agua, atraves damembrana plasmatica, de dentro da celula (menor concen-tracao) para fora da celula (maior concentracao), provo-cando a sua contracao. Ao contrario se o meio for hi-potonico, a celula ficara intumescida. Isso faz com que aadministracao de soro deva ser feita com solucao isotonica.Nos vegetais existe, alem da membrana plasmatica, outramembrana (celulosica) que limita a entrada de agua, evi-tando que as celulas se rompam.


Para Aprender Mais!

A dessalinizacao e um processo para obtencao de aguapotavel, a partir da agua do mar, em locais onde as fon-tes de agua doce sao insuficientes, como algumas regioes doOriente Medio. A remocao do sal e feita por osmose re-versa, ou seja, o solvente (agua) fara o caminho inverso aonatural, pela aplicacao de uma pressao superior a pressaoosmotica. Uma das dificuldades desse processo e a obtencaode membranas semipermeaveis que resistam a altas pressoes.

Brincadeira de Crianca

Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinhaabsorve toda a agua da lesma e o animal morre ocorrendouma osmose visıvel (a passagem de um solvente por umamembrana semi-impermeavel). Voce deve ja deve ter feitoessa experiencia peralta quando crianca!

Pense um Pouco!

• A pressao maxima de vapor de agua pura, a 20 C,e 17, 54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose(massa molecular=180) em 500 gramas de agua, quaisserao os abaixamentos absoluto e relativo da pressaomaxima de vapor da solucao?


1. Dez gramas de uma substancia de massa molecular 266foram dissolvidos em 500 gramas de tetracloreto de car-bono. Qual a temperatura de ebulicao da solucao, sobpressao normal? Dados: Te = 77 C (sob pressao normal);LV = 46 cal/g.

2. Qual a temperatura de congelamento de uma solucaocontendo 8, 9 g de antraceno (C14H10) em 256 g de ben-zeno? Dados: Tc = 5, 42 C para o benzeno puro, constantecriometrica molal do benzeno = 5,12 C, massas atomicas:H = 1 e C = 12.

3. (ITA-SP) Uma solucao de NaCl em agua e aquecidanum recipiente aberto. Qual das afirmacoes abaixo e falsaem relacao a este sistema?a) A solucao entrara em ebulicao quando sua pressao de va-por for igual a pressao ambiente.b) A molaridade da solucao aumentara a medida que pros-seguir a ebulicao.c) A temperatura de inıcio de ebulicao e maior que a daagua pura.d) A temperatura aumenta a medida que a ebulicao prosse-gue.e) A composicao do vapor desprendido e a mesma da solucaoresidual.

4. (UFSC) Ao colocar-se uma celula vegetal normal, numasolucao salina concentrada, observar-se-a que ela comecaraa “enrugar” e a “murchar”. Sobre esse fenomeno, e corretoafirmar:01. A celula vegetal encontra-se num meio hipotonico emrelacao a sua propria concentracao salina.

02. Ha uma diferenca de pressao, dita osmotica, entre asolucao salina do meio.04. Ha um fluxo de solvente do interior da celula para asolucao salina do meio.08. Quanto maior for a concentracao da solucao salina ex-terna, menor sera o fluxo de solvente da celula para o meio.26. O fluxo de solvente ocorre atraves de membranas semi-permeaveis.

5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a agua per-manecem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (tem-pero de saladas) elas ficam murchas apos algum tempo, de-vido:a) somente a passagem dos ıons cloreto atraves da mem-brana das celulas do alface.b) a osmose inversa, passagem da agua da solucao de vina-gre e sal para dentro das celulas do alface.c) a dissociacao do sal no interior das celulas do alface.d) a osmose, passagem da agua do interior das celulas doalface para a solucao de vinagre e sal.e) somente a passagem dos ıons sodio atraves da membranadas celulas do alface.


6. (Puccamp-SP) Num local em que a agua congela a 0 Ce ferve a 100 C, uma solucao aquosa de glicose ira:a) congelar a 0 C e ferver a 100 C.b) congelar abaixo de 0 C e iniciar a ebulicao abaixo de100 C.c) congelar acima de 0 C e iniciar a ebulicao abaixo de 100C.d) congelar abaixo de 0 C e iniciar a ebulicao acima de 100C.e) congelar acima de 0 C e iniciar a ebulicao acima de 100C.

7. (Acafe-SC) Usando um costume popular, um jovemcobriu uma ferida com po de cafe, para acelerar sua ci-catrizacao. O efeito coligativo, envolvido na retirada delıquido que favoreceu a cicatrizacao, e:a) tanometricob) criometricoc) ebuliometricod) isometricoe) osmotico

8. (UDESC) A pressao osmotica do sangue na temperaturado corpo, 37 C, e de 7,626 atm. Considerando os solutosno sangue como nao-eletrolitos, a sua molaridade total serade:a) 0,50 mol/Lb) 0,30 mol/Lc) 1,00 mol/Ld) 0,10 mol/Le) 0,80 mol/L

Quımica B Aula 12


Eletroquımica

Eletroquımica e o estuda da relacao de oxi-reducao que pro-duzem ou sao produzidas pela corrente eletrica.

As pilhas eletricas funcionam com base em reacoes quımicas(oxi-reducao) espontaneas que produzem corrente eletrica.Transformacao de energia quımica em energia eletrica.

Potencial de Oxidacao

Cada metal tem uma capacidade diferente de doar eletrons.A medida dessa capacidade e chamada de potencial deoxidacao.

O valor numerico do potencial de oxidacao e medido pelavoltagem da pilha do metal com o gas hidrogenio.

A voltagem da pilha de Zn e gas hidrogenio fornece o po-tencial de oxidacao do zinco.

Lembre-se!

• oxidacao: e a perda de eletrons por um elementoquımico, ou seja, aumento do NOX;

• reducao: e o ganho de eletrons por um elementoquımico, ou seja, diminuicao do NOX;

• agente oxidante: e o elemento ou substancia que pro-voca oxidacoes (ele proprio se reduzindo);

• agente redutor: e o elemento ou substancia que pro-voca reducoes (ele proprio se oxidando).

Pilha de Daniell

Se baseia na seguinte reacao de oxi-reducao:

Zn + CuSO4 −→ ZnSO4 + Cu

Os eletrons que passam do Zn para o Cu+2, que produzema corrente eletrica.

Montagem Experimental

Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) epossıvel monta-la experimentalmente:

(a)

(b)

(c)

Lista de Materiais

• Recipiente grande transparente (para mergulhar aschapas) com uma placa de porcelana porosa para se-parar as meias celulas e sua respectivas solucoes;

• Circuito externo (Fio e cobre);

• Chapa fina de cobre metalico;

• Chapa fina de zinco metalico;

• Solucao aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4)

• Solucao aquosa de sulfato cuprico (CuSO4)

• Lampada pequena

Procedimento Experimental

1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa dezinco mergulhada em solucao aquosa de sulfato de zinco, nooutro coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solucaoaquosa de sulfato de cobre.

2. Liga-se as placas metalicas ao fio condutor e a lampadaou motor;

Analise das Reacoes Quımicas

Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-reacao deoxidacao;

Zn =⇒ Zn+2 + 2e− semi-reacao de oxidacao

desse modo a chapa de zinco ”solta”eletrons para o circuitoexterno (fio), a chapa de zinco e chamada de eletrodo nega-tivo ou anodo.

Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-reacao dereducao,

Cu+2 + 2e− =⇒ Cu semi-reacao de reducao


desse modo o ıon Cu+2 captura os eletrons do circuito ex-terno (fio), a chapa de cobre e chamada de eletrodo positivoou catodo.

A soma das duas equacoes anteriores, fornece a equacaogeral da pilha de Daniell:

Zn + Cu+2 =⇒ Zn+2 + Cu

A porcelana porosa deve impedir a mistura das solucoes,mas deve permitir a passagem dos ıons que estao sendoatraıdos ou repelidos pelas forcas eletricas.

Apos um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapade zinco estara corroıda, a chapa de cobre aumentou devidoa deposicao de cobre e as concentracoes das solucoes se al-teram. Tudo isso e consequencia da propria reacao geral defuncionamento da pilha:

Zn + CuSO4 =⇒ ZnSO4 + Cu

onde:

– o zinco vai sendo gasto (corroıdo);

– a concentracao da solucao de CuSO4 vai diminuindo;

– o sulfato de cobre formado pela reacao aumentou a con-centracao da solucao de sulfato de cobre.

– o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentandosua massa.

Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira:

Zn, Zn+2(1M)|Cu+2(1M), Cu(25 C)

onde estao indicados os eletrodos, as molaridades dassolucoes e a temperatura de funcionamento da pilha.

Conclusao

Podemos dizer, que a pilha ou celula eletrolıtica e um dispo-sitivo que transforma energia quımica em energia eletrica.Isso e conseguindo, por meio de uma reacao de oxi-reducao,com o oxidante e o redutor separados com compartimentosdiferentes, de modo que o redutor seja obrigado a entregaros eletrons ao oxidante atraves de um circuito externo (fio).

Montagem #2

Outra montagem muito comum de uma pilha e a seguinte:

Num copo de vidro ou (bequer) e colocada uma chapa dezinco mergulhada em uma solucao de sulfato de zinco; emoutro colocamos a chapa de cobre mergulhada em umasolucao de sulfato cuprico. As duas chapas estao ligadaspelo fio condutor externo e as duas solucoes sao ligadas pelaponte de salina, que e um tubo simples de vidro recurvado,como vemos na figura, totalmente cheio com solucao de umsal (eletrolito) e tendo nas duas extremidades um pouco dealgodao para impedir o escoamento da solucao salina.

Calculo da Diferenca de Potencial (ddp)

∆E = Eoxid + Ered forca eletromotriz (V)

Assim para a pilha de Daniel temos :

Eletrodo de Zn/Zn+2 : Eoxid = +0, 76 V

Eletrodo de Cu+2/Cu : Ered = +0, 34 V

∆E = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V

Aplicacoes Praticas das Pilhas

Cada pilha ou elemento apresenta uma forca eletromotrizde aproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associacaoem serie de quatro elementos nos da uma bateria de 6, 0 V ;uma de seis elementos nos da uma bateria de 9, 0 V , e assimpor diante.

Como o chumbo (anodo), o oxido de chumbo IV impregnadode chumbo (catodo), e o sulfato de chumbo sao solidos, aforca eletromotriz do acumulador depende exclusivamenteda solucao de acido sulfurico. Por esse motivo, devemosmater constante o volume de agua.

A descarga consome o acido sulfurico, mas durante a re-carga, feita automaticamente pelo gerador ou alternador nomotor do veıculo, o acido sulfurico e regenerado e o sulfatode chumbo volta a condicao de chumbo e oxido de chumboIV.

Nota

As reacoes das baterias (acumulador de chumbo) e Nıquel-cadmio.

E a pilha de Leclanche (seca) com eletrodo central de grafite,pilhas alcalinas e as pilhas de mercurio serao apresentadas eanalisadas com suas respectivas equacoes no quadro negro.

A vantagem das pilhas e que elas podem ser recarregadasmuitas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras,brinquedos, etc.

As pilhas alcalinas sao usadas em relogios de pulso e apa-relhos de surdez, por serem muito pequenas. Elas nao saorecarregaveis, mais apresentam grande durabilidade.

Eletrolise

E o fenomeno inverso aquele que ocorre numa pilha, isto e,a corrente eletrica provocando uma reacao de oxi-reducao –um processo quımico nao-espontaneo.

No polo positivo ocorre oxidacao e no polo negativo,reducao. Logo, o polo positivo e o anodo e o negativo eo catodo.

Eletrolise Ignea

E a eletrolise de um eletrolito no estado fundido. Nela, osolido ionico deve ser liquefeito por aquecimento (fusao),pois assim os ıons tem livre movimento, podendo se deslo-car ate os eletrodos e aı descarregarem (ganhar ou perdereletrons).

Eletrolise por via Aquosa com Eletrodos Inertes

Em uma solucao aquosa, alem dos ıons resultantes da disso-ciacao ionica do eletrolito, ha tambem cations H+ e anionsOH− provenientes da auto- ionizacao da agua.

Dessa forma podemos ter em solucao cations C+ e H+ eanions A− e OH−, de modo que ha uma disputa para adescarga nos eletrodos. Entre os cations, descarrega pri-meiro aquele com maior Ered (maior tendencia em recebereletrons). Entre anions, descarrega primeiro aquele com me-nor Ered (maior tendencia em doar eletrons).


Estudo Quantitativo da Eletrolise

As pesquisas feitas pelo cientista ingles Michael Faraday(1791-1867) estabeleceram as bases para se determinar asquantidades das substancias formadas e da substancia de-composta numa eletrolise.

Assim, as relacoes entre a carga que atravessa a solucao eas massas dos participantes sao:

– a massa da substancia formada no eletrodo e a massada substancia decomposta sao diretamente proporcionais acarga eletrica que atravessa a solucao dada por:

Q = it

sendoQ a carga eletrica (em coulombs)i a intensidade da corrente (em amperes)t o tempo (em segundos).

Voce Sabia?

A vida vegetal e animal na agua depende de seu carateroxidante ou redutor, o que e dado pela equacao:

O2 + 4H+ + 4e− =⇒ 2H2O

cujo E varia aproximadamente de +0, 3 V (para agua ae-rada) a −0, 6 V (para agua com pouco ar). Quanto maioro E mais oxidante sera o meio aquoso.

Para Aprender Mais!

Eletrolise Industrial do NaCl

A eletrolise aquosa do sal produz hidrogenio (H2), cloro(Cl2) e soda caustica (NaOH). Esse processo envolve oconsumo de grandes quantidades de energia, por isso asindustrias instalam-se preferencialmente em regioes onde afonte de cloreto de sodio e a energia eletrica sao custo maisbaixo. O hidroxido de sodio, conhecido como soda caustica,e o principal produto dessa eletrolise, e a base mais ba-rata e mais importante como materia prima, sendo usadana fabricacao de sabao, detergentes, papel, sais de sodio, re-finacao de petroleo, purificacao de oleos vegetais, industriatextil, entre outros. O cloro e usado como desinfetante porser um agente bactericida, no tratamento da agua e esgotos,no branqueamento da celulose, na fabricacao de inseticidascomo BHC, na preparacao de PVC, na fabricacao de hipo-cloritos, entre outros.

O Hidrogenio e extremamente reativo e perigosos de ser ma-nipulado, pois e explosivo e inflamavel. Ele e usado na hi-drogenacao de oleos vegetais (producao de margarinas), naproducao de amonıacos (NH3), como combustıvel de fogue-tes, em macaricos oxıdricos, etc.

A reacao entre o hidrogenio e cloro produz o cloreto dehidrogenio (HCl), que dissolvido em agua produz acidoclorıdrico, usado na limpeza de superfıcies metalicas queserao galvanizadas. O acido muriatico e o acido clorıdricocontendo impurezas, usado na limpeza de chao.

O hipoclorito de sodio e obtido pela passagem de uma cor-rente de gas cloro pela solucao de hidroxido de sodio e eusado como alvejante e desinfetante.

Brasil Pesquisa o hidrogenio como combustıvel!

Imagine um automovel que funciona alimentado por umafonte de energia tao limpa que o unico resıduo que produze vapor de agua. Parece sonho, mas ja existem no mundoalguns prototipos desse veıculo. Trata-se do carro movidoa hidrogenio. E um grande problema tecnologico que aindaprecisa ser resolvido para que sua producao em grande es-cala possa ser pensada e uma forma segura e economica-mente viavel de armazenar o ”combustıvel”. Isso porqueo hidrogenio e um gas altamente combustıvel e instavel.Basta lembrar que o Zeppelin incendiou-se com hidrogeniogasoso e a Challenger explodiu a partir de seus tanques dehidrogenio lıquido.

A solucao tem grandes chances de nascer no Brasil. Paraisso, a Coordenacao de Programas de Pos-Graduacao emEngenharia (Coope) da Universidade Federal do Rio deJaneiro (UFRJ), esta desenvolvendo, uma parceria com aRenault, uma das mais promissoras linhas de pesquisa emcurso no mundo: o ”tanque”macico no qual atomos de hi-drogenio sao ”embutidos”dentro da estrutura atomica dometal. A parceria representa a primeira vez que a Renaulttransfere parte de sua pesquisa para fora da Franca.

O carro de hidrogenio nao polui porque nao queima com-bustıvel. Seu motor ”arranca”energia eletrica do hidrogeniopor meio de reacoes quımicas limpas. Nesse automovel, umacelula (ou pilha) combustıvel realiza o inverso da eletrolise,combinando atomos de hidrogenio e de oxigenio. O processoproduz vapor de agua e uma corrente eletrica.

Alem de limpo, o motor a hidrogenio e muito mais eficienteque os motores convencionais a explosao usados hoje nosautomoveis. Enquanto um motor eletrico transforma emenergia mecanica (movimento) quase 100% da energia queproduz, um motor a explosao converte em movimento me-nos de 30% da energia gerada pela queima do combustıvel.O restante perde-se sob a forma do calor produzido pelomovimento dos pistoes.

O Laboratorio de Hidrogenio da Coppe esta investido numaalternativa bem diferente, que permitiria armazenar numespaco pequeno grandes quantidades de hidrogenio des-tituıdo do seu potencial explosivo. Para isso, os cientistasquebram as moleculas de hidrogenio, separando seus doisatomos, que por serem muito pequenos, podem ser ”embu-tidos”dentro da estrutura do metal de um ”tanque”macico.Parece ficcao, mas, no laboratorio da Coope, os cientis-tas conseguem com exito ”embutir”o hidrogenio no metale regata-lo novamente na forma gasosa.

Pense um Pouco!

• De acordo com as reacoes do Al e do Co:

Al+3 + 3e− =⇒ Al -1,66 V

Co+2 + 2e− =⇒ Co -0,28 V

Responda:a) Qual deles se reduz mais facilmente?b) Qual deles se oxida mais facilmente?c) Qual o melhor agente redutor?d) Qual o melhor agente oxidante?



1. (UFSM-RS) Um procedimento utilizado para limpar ob-jetos de prata e coloca-los em um recipiente de alumınio comagua quente e NaHSO3. Este processo pode ser expressopela reacao:

2Al0 + 3Ag2S =⇒ Al2S3 + 6Ag0

Podemos afirmar que a reacao ocorre porque:a) o Al e mais reativo e reduz a pratab) o Al e mais reativo e oxida o msulfetoc) os metais a esquerda de H sao facilmente reduzidosd) a prata e um bom agente redutore) o sulfeto de prata e facilmente oxidado

2. (UFSC) Com base no diagrama da pilha

Zn|Zn+(1M)||Ag+(1M)|Ag

e nos potenciais padroes de oxidacao, a 25 C, das semi-reacoes:

Zn =⇒ Zn+2 + 2e− E = +0, 76V

Ag =⇒ Ag+ + e− E = −0, 80V

e correto afirmar que:01. Os atomos de zinco sofrerao oxidacao.02. Os atomos de prata perderao eletrons.04. O catodo da pilha sera eletrodo de prata.08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferenca depotencial padrao de 2,36 volts.16. A massa do eletrodo de zinco diminui com o tempo.32. O sentido espontaneo do processo sera: 64. n+2 +2Ag =⇒ Zn + 2Ag+

3. (UFRGS) Um jovem, apos utilizar uma solucao de sulfatode cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em umbalde de ferro. Depois de algum tempo observou que obalde estava furado e que havia se formado um depositoavermelhado. O metal avermelhado pode ser:a) oxido de cobre IIb) sulfeto de cobre IIc) sulfeto de ferro IId) ferro metalicoe) cobre metalico


4. (ULBRA-RS) A reacao de eletrolise e utilizada para:a) obtencao da eletricidade nas pilhasb) fazer destilacao do petroleoc) eletrodeposicao de metais, como a cromacaod) o branqueamento de fibras no fabrico do papele) fabricar saboes a partir de gorduras

5. (UFRGS) A maioria dos metais alcalinos terrosos foiobtida pela primeira vez por Humphry Davy, no inıcio doseculo XIX, por eletrolise das respectivas bases fundidas.Os metais nao poderiam ser obtidos a partir de solucoesaquosas de suas bases ou de seus sais porque:a) os metais se oxidariam

b) os metais se reduziriam espontaneamente no eletrodoc) a agua sofreria oxidacaod) o numero de oxidacoes dos metais aumentariae) a reducao da agua ocorreria preferencialmente

Quımica Organica Aula 1

Introducao a Quımica Organica

BERZELIUS

“Somente os seres vivos podem transformar substancias mi-nerais em organicas” (Teoria da Forca Vital)

WHOLLER

Sıntese da ureia (composto organico) a partir do cianato deamonio (composto inorganico) em laboratorio.

NH2

\

NH4CNO --- C = O

/

NH2

Caracterısticas do Carbono

Postulados de Kekule:

1. E tetracovalente.

2. Os angulos entre as valencias sao de 10928′, adqui-rindo a forma de um tetraedro regular.

3. Possui a propriedade de encadeamento.

4. Um atomo de carbono pode formar uma, duas ou atetres ligacoes com um segundo atomo, realizando, as-sim, respectivamente, ligacoes simples, duplas ou tri-plas.

Assim, classificamos as ligacoes do carbono em:

• Sigma (σ): E a primeira ligacao entre dois atomos.Ocorre, neste caso, uma superposicao de orbitais (over-lap).

• Pi (π): Sao as segundas e terceiras ligacoes entre doisatomos. Agora, o que ocorre e uma aproximacao entreos orbitais.

Ligacoes

Quanto ao numero de atomos de C unidos diretamente aele:

• carbono primario: liga-se a 1 atomo de carbono;

• carbono secundario: liga-se a 2 atomos de carbono;

• carbono terciario: liga-se a 3 atomos de carbono;

• carbono quaternario: liga-se a 4 atomos de carbono;

Quımica Organica – Aula 1 175

Saturacao

SATURADO e aquele que apresenta apenas simplesligacoes;

C – C – C – C

INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou triplaligacao:

C == C – C – C

Hibridizacao do Carbono

1. sp3 (tetraedrica)

• e a fusao de quatro orbitais (um do tipo s e tresdo tipo p) formando quatro orbitais do tipo sp3;

• forma somente ligacoes simples;

• angulo entre as valencias: 10928′;

• e caracterıstica dos alcanos;

• carbono liga-se a outros quatro atomos.

2. sp2 (trigonal)

• e a fusao de um orbital s com dois orbitais p,formando tres orbitais do tipo sp2;

• forma duas ligacoes simples e uma dupla;

• angulo entre as valencias: 120;

• e caracterıstica dos alcenos;

• carbono liga-se a outros tres atomos.

3. sp (linear)

• e a fusao de um orbital s com um p formandodois orbitais do tipo sp;

• pode formar duas ligacoes duplas ou uma triplae uma simples;

• angulo entre as valencias: 180;

• e caracterıstica dos alcinos e alcadienos;

• carbono liga-se a outros dois atomos.

Resumo

sp3

sp

sp

sp

Tipo de ligação Representação HibridaçãoÂngulo entreas valências

Só ligaçoes

Uma dupla

Uma tripla

Duas duplas

simples

ligação

ligação

ligações

C

C

C

C

2

109 28´

180

180

120

Elementos Organogenos

Sao os elementos que formam os compostos organicos. Osmais frequentes sao: C, H, O, N.

Cadeias Carbonicas e Radicais

Tomemos, por exemplo, o composto:

CH3 CH3

| |

CH3 -- CH -- CH -- CH -- C -- CH2 -- CH3

| | |

CH2 CH2 CH3

| |

CH3 CH3

Podemos separa-lo em duas partes principais:

Cadeia Principal

E a maior sequencia de carbonos, ininterrupta, que abrangea principal caracterıstica do composto.

Radicais Organicos

Sao grupamentos de atomos contendo carbono, que se unema cadeia principal por ligacoes (valencias). O compostoacima, separado nas duas partes descritas, ficaria:

CH3 CH3 CH3

| | |

CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3

| |

CH2 CH3

|

CH3

Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um to-tal de 5 radicais, sendo 4 constituıdos por um carbono e 1constituıdo por 2 carbonos.

CLASSIFICACAO DAS CADEIAS

1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por sim-ples ligacao:

Ex. CH3 – CH2 – CH3

2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem porduplas e/ou triplas ligacoes:

Ex. CH2 == CH – CH3

3. HOMOGENEA: Cadeia cujo nucleo so e constituıdopor carbonos.

Ex. CH3 – CH2 – CH3

4. HETEROGENEA: Cadeia que apresenta um he-teroatomo (N, O, S), ou seja, atomo diferente de car-bono unido a pelo menos dois outros carbonos.

Ex. CH3 – O – CH2 – CH3

5. NORMAL: Cadeia nao ramificada, ou seja, constituıdapor carbonos primarios e secundarios somente. Ex.CH3 – CH2 – CH == CH2

6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou rami-ficacoes (radicais).


CH3

|

CH3 - CH - CH2

7. MISTA: cadeia cıclica ramificada, ou seja, apresen-tando parte cıclica e parte acıclica.

CH - CH3

| |

CH3 - CH - CH2

8. HOMOCICLICA: cadeia cujo nucleo so apresentaatomos de carbono:

9. HETEROCICLICA: cadeia cıclica com heteroatomo.

CH2 --- CH2

| |

CH2 - O - CH2

10. AROMATICA: cadeia cıclica, contendo um anel debenzeno, que apresenta efeito de ressonancia.

• MONONUCLEADA: um unico nucleo resso-nante.

• POLINUCLEADA DE NUCLEOS CONDEN-SADOS: mais de um nucleo fundido.

• POLINUCLEADA DE NUCLEOS ISOLADOS:mais de um nucleo separado entre si.

CH3

(a) (b) (c)

Figura 1: Cadeias aromaticas mononucleada (a), po-linucleada com nucleos condensados (b) e com nucleosisolados (c)

Radicais derivados do Benzeno

Regra adicional: se contiver 2 valencias, as mesmas sao in-dicadas por ORTO (posicao 1 e 2), META (posicao 1 e 3)e PARA (posicao 1 e 4):

Exemplo:

CH3

1

CH3

CH3

1

CH3

CH3

CH3

1

2

3

4

P−dimetil−benzenoM−dimetil−benzenoO−dimetil−benzeno

Resumo

HIDROCARBONETOS

ALIFÁTICOS AROMÁTICOS

Saturados Insaturados

Radicais Alquilo

Alcanos

Alcenos −− ligações duplas

Alcinos −− ligações triplas

Pense um Pouco!

• Como e possıvel ter tantos compostos de carbono?

• Quımica organica pode ser somente definida como aquımica extraıda de seres vivos?


1. (PUC-SP) Na formula:

H3C H

\ |

CH - C - CH2 - CH - CH3

/ | | |

H3C H CH3 CH3

as quantidades totais de atomo de carbonos primario, se-cundario e terciario sao, respectivamente:a) 5, 1 e 3;b) 2, 3 e 4;c) 3, 3 e 2;d) 2, 4 e 3;e) 5, 2 e 2.

2. Sabe-se que uma cadeia carbonica alifatica, homogenea esaturada apresenta dois atomos de carbono secundario, doisatomos de carbono quaternario e tres atomos de carbonoterciario. Logo, essa cadeia apresenta:a) 12 atomos de C;b) 14 atomos de C;c) 16 atomos de C;d) 13 atomos de C;e) 15 atomos de C.

3. Carbono quaternario e aquele que:a) tem, quatro ligacoes;b) e tetravalente;c) esta ligado a quatro elementos quaisquer;d) esta ligado a quatro outros atomos de carbono;e) n.d.a.

4. O numero de ligacoes (sigma) e o de ligacoes (pi) namolecula do ciclopenteno sao,


respectivamente:a) 5 e 1;b) 4 e 2;c) 10 e 2;d) 13 e 1;e) 12 e 2.

5. Um composto cıclico, com 3 carbonos e uma duplaligacao, tera formula molecular.a) C3H2b) C3H3c) C3H4d) C3H5e) C3H6

6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial classico doatomo de carbono, um tetraedro regular cujo centro e ocu-pado pelo atomo e cujos vertices representam as valencias,e devido a:a) Lavoisier;b) Faraday;c) Wolher;d) Guldberg e Waage;e) Kekule.

7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 car-bonos e uma dupla ligacao, sendo constituıdo apenas porcarbonos e hidrogenios, tera formula molecular:a) C4H10b) C4H8c) C4H6d) C4H4e) C4H5


8. Quımica organica e a parte da Quımica que estuda:a) O atomo de carbono.b) Todos os compostos do elemento carbono.c) Os compostos dos elementos organogenos.d) Os compostos de todos os elementos quımicos.e) n.d.a.

9. Os principais elementos organogenos, sao:a) C, H, O, Nb) C, H, O, Sc) C, H, O, Id) C, H, S, Ne) C, H, O, Cl

10. (PUC) Classifique a cadeia

H O H H O

| || || | //

H - C - C - C - C - C

| | | \

H H CH3 OH

segundo suas caracterısticas:a) aberta, ramificada, homogenea e saturada;b) aberta, normal, heterogenea e insaturada;c) aberta, ramificada, homogenea e insaturada;

d) aberta, normal, homogenea e saturada;e) aberta, ramificada, heterogenea e insaturada

11. (UFCE) A nicotina pode ser representada pela formula.

N

N

CH3

Quantos atomos de carbono e quantos atomos de hidrogenioexistem em uma molecula deste composto?a) 10 e 13b) 10 e 14c) 9 e 12d) 8 e 14e) n.d.a.

12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura e:

Apresenta cadeia:a) cıclica, acıclica, insaturada;b) cıclica, aromatica, mononucleada;c) acıclica, insaturada, ramificada;d) cıclica, aromatica, polinucleada;e) acıclica, homogenea, insaturada.


Nomenclatura

A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade ci-entıfica, a IUPAC, os compostos organicos mais simples eque constituem a base de todos os outros sao os hidrocar-bonetos, constituıdos por apenas dois elementos carbono ehidrogenio.

Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididosem dois grandes grupos: hidrocarbonetos alifaticos e hidro-carbonetos aromaticos, caracterizando-se estes ultimos porapresentarem um ciclo de 6 atomos de carbono com carac-terısticas muito especıficas.

A informacao do numero de atomos de carbono que se en-contram representados na cadeia principal e dada pelo pre-fixo do nome do composto em estudo.

Tabela de Prefixos

Os prefixos numericos relacionados com o numero de carbo-nos.


Carbonos Prefixo Estrutura1 MET C2 ET C-C3 PROP C-C -C4 BUT C-C-C-C5 PENT C-C-C-C-C6 HEX C-C-C-C-C-C7 HEPT C-C-C-C-C-C-C

Em compostos que apresentem um numero de atomos decarbono superior a 7, e adaptado o prefixo da numeracaogrega correspondente a mesma, de modo analogo ao prefixodas cadeias de 5, 6 e 7 atomos ligados, respectivamente.

Alcanos (parafinas): sao hidrocarbonetos de cadeia aberta,saturada e de formula geral:

CnH2n+2

em que n e o numero de atomos de carbono.

Em condicoes ambientais alcanos apresentam os estadosfısicos: gasoso (1 a 4 carbonos), lıquido (5 a 18 carbonos) esolido (mais de 18 carbonos). Sao obtidos do petroleo e gasnatural. Alcenos e alcinos apresentam propriedades fısicassemelhantes aos alcanos.

Nomenclatura Organica

Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO

• Prefixo: indica o numero de atomos de carbono per-tencentes a cadeia principal.

Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc.

• Afixo ou infixo: indica o tipo de ligacao entre os car-bonos:

Todas simples = an

uma dupla = emduas duplas = dientres duplas = trien

uma tripla = induas triplas = diin

• Sufixo: indica a funcao quımica do compostoorganico:

hidrocarboneto = no alcool = ol aldeıdo = al cetona= ona acido carboxılico = oico amina = amina eter =oxi

Alcanos de Cadeia Normal

Junta-se o prefixo + infixo + ano.

Exemplo

Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano,octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc.

Alcenos (olefinas)

Sao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por umaligacao dupla entre carbonos e de formula geral:

CnH2n

em que n e o numero de carbonos.

Alcenos

Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia ramificada anomenclatura e muito semelhante a nomenclatura utilizadapara os alcanos. Troca-se a terminacao ano do alcano poreno.

Regras

1. A cadeia principal e a mais longa que contem a duplaligacao.

2. A numeracao da cadeia principal e sempre feita a partirda extremidade mais proxima da dupla ligacao, independen-temente das ramificacoes presentes na cadeia. No nome doalceno a posicao da dupla e dada pelo numero do primeirocarbono da dupla; esse numero e escrito antes do nome doalceno.

3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia prin-cipal adota-se a regra dos menores numeros.

Alcinos

Sao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por umaligacao tripla entre carbonos e de formula geral:

CnH2n−2


Nomenclatura dos Alcinos

Para os alcino de cadeia normal e de cadeia ramificada emuito semelhante a nomenclatura utilizada para os alcanos.Troca-se a terminacao ano do alcano por ino.

Ciclanos (cicloparafinas)

Sao hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, so apre-sentam ligacoes entre os atomos de carbono do ciclo, e deformula geral:

CnH2n


Ciclenos

Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeiaramificada:

I. O nome e dado adicionando-se o prefixo CICLO ao nomedo alceno correspondente;

II. Quando a cadeia for ramificada, a numeracao da cadeiase inicia a partir do carbono da ligacao dupla (a dupla deveficar entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido horario ouanti-horario, de maneira a se respeitar a regra dos menoresnumeros;

III. As ramificacoes devem ser citadas em ordem alfabetica;


Funcoes Oxigenadas

Alcoois

Sao compostos organicos que apresentam um ou mais gru-pos hidroxilas (OH) ligados a atomos de carbono saturados.Os alcoois sao mais reativos que os hidrocarbonetos e apre-sentam carater praticamente neutro. Na nomenclatura dosalcoois utilizamos o sufixo ol para indicar o grupo funcional(OH).

Classificacao dos Alcoois

Quanto a posicao do grupo OH :

I. Alcool primario: a hidroxila esta ligada a um atomo decarbono primario.

II. Alcool secundario: a hidroxila esta ligada a um atomode carbono secundario.

III. Alcool terciario: a hidroxila esta ligada a um atomo decarbono terciario

Quanto ao numero de hidroxilas:

I. Monoalcool : possui somente 1 grupo funcional OH

II. Dialcool: possui 2 grupos funcionais OH

III. Trialcool: possui 3 grupos funcionais OH

Fenois

Sao compostos organicos em que o grupo OH se liga dire-tamente ao anel benzenico. Os fenois apresentam carateracido, em sua nomenclatura usamos o prefixo hidroxi.

Aldeıdos

Sao compostos organicos que apresentam o grupo carbonilana extremidade do composto. Os aldeıdos sao desidratantes,em sua nomenclatura usamos o sufixo al.

Formula Geral

O

//

R - C

\

H

Cetonas

sao compostos organicos que apresentam o grupo carbonilaentre carbonos. Em sua nomenclatura usamos o sufixo ona.

Formula Geral

O

//

R - C - R

Haletos Organicos

Sao compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca deum ou mais hidrogenios por halogenios (F, Cl, Br, I).

Formula Geral

R - X

Eteres

Ssao compostos organicos que apresentam um oxigenio li-gado a dois radicais organicos. Os eteres sao obtidos apartir da desidratacao intermolecular dos alcoois. Sua no-menclatura e composta pelo radical menor escrito com aterminacao oxi, seguido do nome do hidrocarboneto corres-pondente ao radical maior.

Formula Geral

R - O - R

Acidos Carboxılicos

: sao compostos organicos que apresentam a hidroxila li-gada ao grupo carbonila. Os acidos carboxılicos tem carateracido, em sua nomenclatura usamos o prefixo acido e o su-fixo oico.

Formula Geral

O

//

R - C

\

OH

Esteres: sao compostos organicos usados como essencias.Constituem tambem oleos vegetais e animais, ceras e gor-dura. Sao obtidos a partir da reacao entre alcool ou fenol eacido carboxılico. Sua nomenclatura e composta pelo nomedo acido formador trocando a terminacao ico por ato seguidopela preposicao de e pelo nome do radical correspondenteao alcool ou fenol.

Formula Geral

O

//

R - C

\

O - R

Sais de Acidos Carboxılicos

Sao compostos organicos que derivam dos acidos car-boxılicos pela substituicao do hidrogenio da hidroxila porum metal. Em sua nomenclatura, da-se o sufixo ato aonome da cadeia de origem (igual aos esteres) seguido da pre-posicao de e do nome metal. Os sais de acidos carboxılicosde cadeia longa sao denominados de saboes.

Formula Geral

O

//

R - C

\ +

ONa

Haletos de Acidos

Sao compostos organicos que derivam dos acidos car-boxılicos pela substituicao da hidroxila por um halogenio.


Em sua nomenclatura, o nome do anion correspondente aohaleto seguido da preposicao de e do nome do acido de ori-gem com a terminacao ila.

Formula Geral

O

//

R - C

\

X

Anidridos de Acido Carboxılico

Sao compostos organicos obtidos pela desidratacao inter-molecular de dois acidos carboxılicos. Sua nomenclatura ecomposta pela palavra anidrido seguido do nome do menoracido e por fim o nome do maior acido. Caso o anidridopossuir cadeias iguais, nao se deve repetir o nome do acido.

Formula Geral

O

//

R - C

\

O

/

R - C

\\

O

Funcoes Nitrogenadas

Aminas

Sao compostos organicos derivados da amonia (NH3) pelasubstituicao de um ou mais hidrogenios por radicais alquilaou arila. As aminas sao usadas como corantes. Em suanomenclatura usa-se o nome do radical

Formula Geral

H

/

R - N

\

H (amina primaria)

H

/

R - N

\

R (amina secundaria)

R

/

R - N

\

R (amina terciaria)

Amidas

Sao compostos organicos obtidos normalmente da reacaode um acido carboxılico e uma amina. Em sua nomencla-tura, substitui-se a terminacao oico do acido carboxılico poramida. Sao usados na preparacao de medicamentos.

Formula Geral

O

//

R - C

\

NH2

Nitrilas

Sao compostos organicos obtidos do acido cianıdrico pelasubstituicao do hidrogenio por um radical derivado de hi-drocarboneto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hi-drocarboneto correspondente seguido do sufixo nitrila.

Formula Geral

R - C

\\\

N

Nitro Compostos

Sao compostos organicos derivados do acido nıtrico pelasubstituicao da hidroxila por um radical alquila ou arila.Em sua nomenclatura, usa-se o prefixo nitro seguido donome do hidrocarboneto correspondente.

Formula Geral

O

//

R - N ou R - NO2

\

O

Curiosidade

Computadores organicos atualmente estudados, tem proces-sadores ultra-pequenos, 100 bilhoes de vezes mais rapidosque os atuais. a tecnologia adotada emprega ”Molecu-lar Switches”, que, na verdade, sao moleculas organicasque desempenham o papel dos mais variados componenteseletronicos de um microprocessador.

Pense um Pouco!

• Os compostos organicos sao usados largamente pelaindustria quımica. Voce conhece alguns compostos?Comente e de suas respectivas formulas estruturais.

• Uma das aminas responsaveis pelo cheiro de peixe e atrimetilamina. De sua formula molecular.



1. (ITA-2004) A estrutura molecular da morfina esta repre-sentada abaixo.

Assinale a opcao que apresenta dois dos grupos funcionaispresentes nesta substancia.a) Alcool e ester.b) Amina e eter.c) Alcool e cetona.d) Acido carboxılico e amina.e) Amida e ester.

2. Escreva as formulas de estrutura dos seguintes compos-tos:a) 2,2,4-trimetil pentanob) 2-bromopropenoc) propinod) 2,2-dicloro-1-fluoro-3-iodobutanoe) 2,5-hexanodiolf) eter etilfenılicog) eter dipropılicoh) etanoli) 5-etil-5-metil-heptanona-3j) benzaldeıdok) acido 2-cloro-2-metil propanoicol) etanoato de butilom) pentanamidan) etilfenilmetilaminao) ciclopentanop) ciclobuteno

3. O teflon e usado em panelas como frigideiras com finali-dades de nao permitir a aderencia de gordura

F F

| |

(repete) - C - C - (repete)

| |

F F

Sua nomenclatura oficial sera:a) fluor-etanob) difluor-metanoc) tetrafluor-etenod) butano-fluore) n. d. a.

4. (UFSCAR-2004) A morfina e um alcaloide que constitui10% da composicao quımica do opio, responsavel pelos efei-tos narcoticos desta droga. A morfina e eficaz contra dores

muito fortes, utilizada em pacientes com doencas terminaismuito dolorosas. Algumas das funcoes organicas existentesna estrutura da morfina sao:a) alcool, amida e ester.b) alcool, amida e eter.c) alcool, aldeıdo e fenol.d) amina, eter e fenol.e) amina, aldeıdo e amida

5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietna (decada de60 do seculo passado), foi usado um composto chamadoagente laranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhantedas arvores, impedia que os soldados vietnamitas (os viet-congues) se ocultassem nas florestas durante os ataques dosbombardeiros. Esse material continha uma impureza, resul-tante do processo de sua fabricacao, altamente cancerıgena,chamada dioxina. As formulas estruturais para estes com-postos sao apresentadas a seguir.

Esses compostos apresentam em comum as funcoes:a) amina e acido carboxılicob) acido carboxılico e amida.c) eter e haleto organico.d) cetona e aldeıdo.e) haleto organico e amida.

6. O Biodigestor promove, atraves da atividade debacterias, a conversao dos esgotos em material inerte e embiogas. O principal biogas obtido neste reator e:a) CH4

b) CH3CH2OHc) NO2

d) SO2

e) C2H6


7. (UFMA) A reacao: alcool + acido carboxılico, produz:a) eterb) haleto de alcoılac) anidrido de acidod) ester e aguae) sal e agua

8. Os grupos organicos obtidos a partir dos alcanos pelaperda dos atomos de hidrogenio

CH3 - CH2 - CH - CH3

|

H*


CH3 - CH - CH3

|

H*

assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente:a) isobutil e s-pentil;b) isobutil e isopropil;c) s-butil e isopropil;d) s-butil e s-pontil.e) n. d. a.

9. De a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo:

CH3

CH3

1

2

10. (SUPRA-98) A partir de novembro do proximo ano1999, chegara ao estado de santa Catarina gas natural pro-veniente da Bolıvia, via Mato Grosso do Sul passando porSao Paulo, Parana, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Ogas natural e utilizado com exito nos paıses desenvolvidose estara disponıvel para uso industrial, comercial e residen-cial. A medio prazo trara economia aos seus usuarios substi-tuindo o emprego de oleo diesel nas industrias. As vantagensecologicas sao as primeiras destacadas por quem conhece osresultados do uso do gas natural. O gas nao e poluente, por-que nao emite cinzas e tem queima de 97%, nao necessita detratamento efluentes gasoso e nao interfere na coloracao dosprodutos fabricados (especialmente a ceramica). Registrosda Petrobras responsavel pelo gasoduto Bolıvia- Brasil.

Este texto refere-se ao gas:a) etanob) propanoc) benzenod) metanoe) acetileno

11. (ACE) A gasolina e constituıda principalmente por mis-tura de:a) alcanosb) hidretosc) alcooisd) compostos de chumboe) n. d. a.

12. (UF-SAO CARLOS) Um alcanos encontrado nas folhasde repolho contem em sua formula 64 atomos de hidrogenio.O numero de atomos de carbono na formula e:a) 29b) 32c) 30d) 33e) 31


Polımeros

Polımeros saos macro-moleculas (molecula muito grande)que apresentam unidades estruturais que se repetem re-gularmente. As moleculas que reagem para formar ospolımeros se denominam monomeros. Existem muitospolımeros naturais, como a celulose, o amido, as proteınas,etc.

(a) (b)

Figura 1: Um monomero (esquerda), e um polımero(direita).

Em funcao do tipo de reacao que ocorre com o monomero,os polımeros podem ser de adicao ou de condensacao.

Podemos tambem classificar os polımeros quanto ao numerode monomeros utilizados no processo.

Homopolımeros - formados a partir de um unicomonomero.

Copolımeros - formados a partir de dois ou maismonomeros.

Polımeros de Adicao

Sao formados por reacoes de adicao. Na estrutura domonomero encontramos dupla ligacao entre carbonos. Estae aberta, e da uniao das valencias livres entre os monomeros,vamos obter o polımero.

Homopolımeros

Temos alguns exemplos de polımeros de adicao:

• Polietileno - sacolas plasticas, toalhas, cortinas, reves-timentos de fio, embalagens, etc.

• Policloreto de vinila (PVC) - tubos de encanamen-tos,sapatos plasticos, disco de vinil (lembra?) capasde chuva etc.

• Poliestireno - isopor quando aerado, plastico rıgidotransparente.

• Politetrafuoretileno (PTFE ou teflon) - revestimentode cabos condutores de eletricidade e panelas.

• Polipropileno - para-choques de automoveis, cordas,tapetes etc.

• Borracha sintetica - pneu, mangueiras, correias.


Copolımeros

Os principais copolımeros de adicao sao as borrachassinteticas, como a BUNA-S e BRUNA-N. A finalidade daadicao de um segundo monomeros ao 1,3-butadieno e me-lhorar as propriedades mecanicas e fısicas do produto final.

Polımeros de Condensacao

Sao polımeros formados pela condensacao de moleculas demonomeros, com a eliminacao de pequenas moleculas, comoagua, acido clorıdrico, etanol, etc.

(HO −A−OH)n → · · · (O −A−O −A) · · ·+ H2O

Em relacoes de policondensacao, havera a formacao de ho-mopolımeros, se houver somente um monomero. Ja, sena reacao existirem dois ou mais monomeros, o polımerosera um copolımero. Os principais homopolımeros de con-densacao sao: amido, celulose, proteınas, nylon 6 e nylon11. os copolımeros de condensacao sao mais comuns e entreeles estao: nylon 6.6, poliesteres, resinas de ureia-formol.

Petroleo

E a mais importante fonte de obtencao de hidrocarbone-tos. E um liquido oleoso, escuro, formado por diversos com-postos organicos. A maior parte dos produtos obtidos dopetroleo e utilizada como fonte de energia, ou sela, e uti-lizada como fonte de energia, ou seja, e usada nas reacoesde combustao. O petroleo formou-se ha milhoes de anos,quando pequenos animais marinhos, plancton e vegetais deregiao pantanosas depois de mortos misturaram-se a terralamacenta, formando uma “massa organica”. Por milhoesde anos, houve deposicao de rochas, que comprimiram essa“massa”, decompondo lentamente o material que a cons-tituıa

Extracao do Petroleo

Os derivados do petroleo sao obtidos a partir de uma des-tilacao fracionada como mostra a figura a seguir:

Voce deve ter notado que a ordem dos produtos e de acordocom o tamanho da cadeia carbonica. Os menores sao osprimeiros a sair, pois sao mais leves, comecando pelo gasnatural, vindo entao o restante, dos mais finos (GLP - gasde cozinha, querosene, oleo diesel, oleos lubrificantes) aosmais densos (graxas piche e resıduo asfalticos).

Craqueamento do Petroleo

Um problema que enfrentamos e que o maior consumo den-tre os subprodutos do petroleo e o da gasolina, e, pela des-tilacao fracionada, obtemos aproximadamente 15% dessasubstancia. Para aumentara a producao de gasolina, sub-metemos as fracoes formadas por cadeias maiores ao cra-queamento ou, cracking. O processo consiste em aquecera mistura de fracoes pesadas em presenca de catalisadoresadequados, quebrando essas cadeias longas em cadeias me-nores, que aumenta significativamente a producao de GLPe gasolina.

O craqueamento do petroleo consiste em quebrar as cadeiaslongas do petroleo em cadeias menores visando aumentar aproducao de gasolina e GLP.

Gasolina

A mistura de hidrocarbonetos de 5 a 10 carbonos e chamadacomercialmente de gasolina. Como voce ja deve ter ouvidofalar, existem diferentes tipos de gasolina. Essa diferencae determinada pela pureza e resistencia da mistura a com-pressao dentro dos cilindros dos motores dos automoveis.Para medir essa resistencia, foi criado o ındice de octanagemda gasolina. Esse ındice compara a gasolina a uma misturacontendo isooctano (2,2,4-trimetilpentano) e outras cadeias.

Assim, uma gasolina de octanagem 60 tem a mesma re-sistencia que uma mistura de gasolina que possui 60% deiso-octano.

Hulha

A hulha, tambem conhecida como carvao-de-pedra oucarvao mineral, e resultado do soterramento de arvores degrande porte ha milhoes de anos. Da destilacao a seco dahulha, obtemos quatro fracoes principais, a saber:

• Gas de iluminacao - tambem chamado de gas de hulha,e constituıdo principalmente por H2, CH4 e CO.

• Aguas amoniacais - e uma solucao de NH4OH e seussais. E importante na obtencao de adubos.

• Alcatrao de hulha - e um liquido oleoso escuro cons-tituıdo por varios compostos organicos, principalmentearomaticos.

• Carvao coque - e o principal produto, usado como re-dutos na siderurgia e com combustıvel.

Pense um Pouco!

• Os componentes do gas engarrafado ou do gas de ilu-minacao (H2, CH4 e CO), nao apresentam cheiro: po-rem quando esse gas chega a sua casa ele apresentaodor desagradavel, devido a adicao de substancias de-nominadas mercaptanas.a) Com qual finalidade essas substancias sao adiciona-das a mistura do gas engarrafado?b) Dentre os compostos que constituem essa misturagasosa, qual deles pode causar a morte ou intoxicacaopela sua respiracao em concentracoes relativamentebaixas?



1. (UFSC) Considere as afirmacoes sobre o Petroleo e seusderivados e identifique a(s) correta(s):

01. O petroleo formou-se a milhoes de anos, quando animaise vegetais marinhos foram soterrados e submetidos a acaodo tempo, de micro organismo, de calor e pressao elevada.02. O craqueamento do petroleo consiste na quebra dasfracoes mais pesadas (moleculas maiores), transformandoas em fracoes mais leves (moleculas menores) , atraves doaquecimento e de catalisadores.04. Os alcanos, alem de combustıveis, sao materia-primapara milhares de compostos organicos, atraves da industriapetroquımica.08. Gasolina, oleo diesel, querosene, oleo lubrificante ealcool etılico sao substancias obtidas por destilacao dopetroleo cru.16. O Brasil e auto-suficiente em petroleo.

2. (UEPG-PR) Sao exemplos de polımeros naturais esinteticos respectivamente:a) PVC e sacarose;b) celulose e polietileno;c) poliester e maltose;d) proteına e glicose;e) baquelite e lactose

3. (FESP) O cracking das fracoes medias da destilacao dopetroleo e, hoje, uma tecnologia empregada na maiorias dasrefinarias porque:a) aumenta o rendimento em oleos lubrificantes;b) economiza energia tecnica no processamento de des-tilacao;c) permite a utilizacao de equipamentos mais compactos;d) facilita a destilacao do petroleo;e) aumenta o rendimento das fracoes leves.


4. (ACAFE-SC) Uma fonte importante de hidrocarbonetossaturados e:a) alcatrao de madeirab) oleo vegetalc) alcatrao de hulhad) petroleoe) eletrolise da agua marinha

5. (UFRS) O GLP (gas liquefeito de petroleo) e uma fracaode destilacao constituıda essencialmente de:a) metano;b) propano e butano;c) hexanos;d) metano, etano e propano;e) heptano, octano e butano;

6. (UFRGS) O alcatrao de hulha e uma fonte de:a) hidrocarbonetos alifaticosb) gases combustıveisc) compostos aromaticosd) oleos comestıveise) hidrocarbonetos alicıclicos.


Isomeria

Isomeros sao compostos quımicos diferentes, com pro-priedades diferentes, formados pelos mesmos elementosquımicos nas mesmas quantidades. Sao, portanto, compos-tos quımicos diferentes com mesma formula molecular.

A isomeria divide-se em:

• Isomeria plana ou constitucional

– de cadeia

– de posicao

– de compensacao ou metameria

– de funcao

– por tautomeria

• Isomeria espacial ou configuracional

– geometrica

– optica

• Isomeria plana ou constitucional

Quando os compostos, ou seja, os isomeros, apresen-tam formulas estruturais planas diferentes, eles saochamados de isomeros planos.

• Isomeria de cadeia

Sao compostos de mesma funcao e com diferenca nacadeia carbonica.

Ambos tem a mesma formula molecular (C4H10) e amesma funcao (hidrocarbonetos). A diferenca entre elee o tipo de cadeia carbonica, portanto sao isomeros decadeia.

• Isomeria de posicao

Sao compostos de mesma funcao e com diferentesposicoes para a instauracao ou grupamento (radical ougrupo funcional).

Veja os exemplos.


• Isomeria de compensacao ou metameria

Sao compostos de mesma funcao e com diferenca naposicao do heteroatomo.

Vale lembrar que heteroatomos sao elementos diferen-tes (normalmente N,O,S) entre os atomos de carbono.

Veja os exemplos:

• Isomeria de funcao

Sao compostos de funcoes quımicas diferentes commesma formula molecular.

Exemplos:

• Isomeria por tautomeria

Sao compostos de funcoes quımicas diferentes que apre-sentam equilıbrio dinamico. Os casos mais comuns detautomeria ocorrem entre aldeıdo e enol, chamado deequilıbrio aldo-enoico, e entre cetona e enol, chamadode equilıbrio ceto-enoico.

• Isomeria espacial ou configuracional

Quando precisamos recorrer a estruturas ou formulasespaciais para explicar a isomeria que ocorre entre com-postos, chamamos esta isomeria de espacial, configura-cional ou estereoisomeria.

• Isomeria geometrica ou cis-trans

Os isomeros sao compostos que possuem a distribuicaoespacial diferentes. Este tipo de isomeria espacialocorre, caso existam ligacoes duplas ou cadeia fechadaou ainda, os ligantes estejam ligados a carbonos dife-rentes. Os isomeros podem ser classificados como cisou trans.


Note que chamamos de cis os isomeros que apresen-tam os ligantes iguais do carbono de dupla ligacao domesmo lado e de trans, os que apresentam os ligantesiguais do atomo de carbono de dupla ligacao em la-dos opostos. Para que ocorra isomeria geometrica noscompostos cıclicos (cadeias fechada), e necessario que,em pelo menos dois carbonos do ciclo, devem existirdois grupos ligantes diferentes para cada um deles.

Exemplo:

• Isomeria optica

Os isomeros opticos sao compostos capazes de desviara luz polarizada. Mas como saber se a substancia quenos e apresentada em um exercıcio pode ou nao des-viar a luz polarizada? A resposta e simples: desvia aluz polarizada toda substancia que possui assimetriamolecular.

Um composto que com assimetria molecular podedesviar a luz para direita, sendo chamado compostodextrogiro, ou para a esquerda sendo chamado com-posto levogiro.

Os casos mais comuns de assimetria molecular estaorelacionados com o carbono quiral. Carbono quiral e ocarbono que possui quatro ligantes diferentes.

Um exemplo de composto que apresenta o carbono qui-ral, e por tanto, apresenta isomeria optica e o acidolatico.

Acido latico

Assim sendo, ao incidimos luz polarizada sobre o acidolatico e possıvel que este desvie a luz polarizada paraa direita, neste caso, teremos o d-latico (dextrogiro),ou para a esquerda quando entao teremos o l-lactico(levogiro). Isomeros que desviam a luz polarizada saochamados de oticamente ativos. Tanto o d-lactico eo l-latico sao isomeros oticamente ativos, entre tantose misturamos quantidades iguais destes compostos (levogiro + destrogiro),vamos obter uma mistura que eoticamente inativa. Esta mistura e chamada de mis-tura rancemica e sera representada por dl-latico. E ou-tras palavras uma mistura rancemica e a mistura equi-molar de dois isomeros opticos, ou seja, e uma misturade 50% de levogiro e 50% de dextrogiro.

Pense um Pouco!

• O que e isomeria?


1. (UNI-RIO) Os compostos abaixo sao produtos naturaisempregados em dentrifrıcios, devido a sua acao anti-septicae sabor agradavel.

Assinale a opcao que indica corretamente a relacao entreesses compostos:a) A e B sao isomeros de posicao.b) B e C sao isomeros de cadeia.c) A, B e C possuem ligacao pi e sao aromaticos.d) Os compostos C e A sao fenois.e) A e C sao isomeros de funcao.

2. (UFRJ) O ciclopropano e o eter etılico (etoxi-etano)foram muito utilizados, no passado, como anestesicos deinalacao.a) Escreva a formula estrutural e o nome do isomero decadeia do ciclopropano.b) Escreva a formula estrutural e o nome do alcool terciarioque e isomero do eter etılico

3. (CESGRANRIO) Dados os compostos:

I) CH3 − CH = CH − CH3

II) CH2 = CH − CH2 − CH3

III) CH3CH − (CH3)− CH3

IV) CH3 − CH2 − CH2 − CH3

Podemos afirmar que:a) I e II sao isomeros geometricosb) I e III sao isomeros de posicaoc) I e IV sao isomeros funcionaisd) III e IV sao isomeros de posicaoe) III e IV sao isomeros de cadeia

4. (CESGRANRIO) Considere os compostos:

I) Buteno-2II) Penteno-1IV) 1, 2 - dimetilciclopropanoV) Ciclobutano

Em relacao a possibilidade de isomeria cis-trans, pode-seafirmar que:a) aparece apenas no composto I.b) ocorrem em todos os compostos.c) ocorre somente nos compostos II e IV.d) aparece somente nos compostos I e III.e) so nao ocorre no composto I



5. (PUC-MG) Numere a segunda coluna relacionando ospares de compostos com o tipo de isomeria na primeira co-luna. Isomeria

1. de cadeia2. de funcao3. de posicao4. de compensacao5. tautomeria

( ) etoxipropano e metoxibutano( ) etenol e etanal( ) etanoato de metila e acido propanoico( ) 1-propanol e 2-propanol( ) n-pentano e neopentano

A numeracao CORRETA encontrada, de cima para baixo,e:a) 54231b) 31245c) 52431d) 35124e) 45231

6. (PUC-MG) O hidrocarboneto de formula C5H10 podeapresentar os seguintes tipos de isomeria:a) apenas de cadeia e de posicaob) apenas de funcao, de cadeia e de posicaoc) de cadeia, de posicao, geometrica e opticad) de compensacao, tautomeria, cis-trans e opticae) n. d. a.

7. (PUC-MG) Sao compostos que apresentam isomeria,EXCETO:a) CH3CH2CH2OHb) CH3COCH3

c) CH3CH2COOHd) CH3CH2CHOe) CH3CH2CH3


Parte III

Matematica

189

Matematica A – Aula 1 191

Matematica A Aula 1

Relacoes e Funcoes

Relacoes

Dados dois conjuntos nao vazios S e T chama-se relacao Rde S em T qualquer subconjunto de S × t. Assim, R estacontido em S × t (R ⊂ S × T ).

Exemplo

R = (x, y) | x < y

A

30

6

1

42

5

B

Figura 1: A relacao R de A em B

Notacao

Podemos escrever uma relacao de A em B das seguintesformas:

• Nomeando todos os pares ordenados, por exemplo:R = (0, 1), (1, 2), (2, 3).

• Atraves de uma sentenca matematica, por exemplo:R = (x, y) ∈ A×B | y = x + 1, sendo queA = 0, 1, 2, 3 e B = 1, 2, 3, 5, 9.

Domınio e Imagem

Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dospares ordenados (x, y) de uma relacao damos o nome dedomınio e representamos por D(R).

Os segundos elementos desses pares formam o conjuntoimagem da relacao: Im(R). Assim, na relacao R =(−1, 3), (0, 4), (1, 5), D(R) = −1, 0, 1 e Im(R) =3, 4, 5.

Representacao

Podemos representar uma relacao por um diagrama de setasou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A =−1, 0, 1, 2 e B = 1, 0, 4 e a relacao R = (x, y) ∈ A ×B | y = x2.

Funcoes

O conceito basico de funcao e o seguinte: toda vez que temosdois conjuntos e algum tipo de associacao entre eles, quefaca corresponder a todo o elemento do primeiro conjuntoum unico elemento do segundo conjunto, ocorre uma funcao.Observemos os pares de conjuntos abaixo.

Exemplos

1. Dados L = 2, 5, 9, 12 e A = 4, 25, 81, 144 e arelacao R = (x, y) ∈ L×A | y = x2.

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

Figura 2: A relacao R de L em A e uma funcao.

2. Dados A = 10, 12, 15, 16, 13 e B = 20, 24, 30, 26 ea relacao R = (x, y) ∈ A×B | y = 2x.

A B

10

12

15

16

13

20

24

30

26

Figura 3: Nao e funcao.

3. Dados A = 5, 12, 23 e B = 7, 14, 25 e a relacaoR = (x, y) ∈ A×B | y = x + 2.

4. Dados A = 16, 81 e B = −2, 2, 3 e a relacao R =(x, y) ∈ A×B | y4 = x

Serao reconhecidas como funcao as relacoes que tiverem to-dos os elementos de A associados a elementos de B, sendoque cada elemento de A deve estar ligado somente a umunico elemento de B.


A B

12

23

57

25

14

1626

15

6

Figura 4: E funcao.

A B

81

162

3

−2

Figura 5: Nao e funcao.

Domınio, Imagem e Contradomınio

Tomemos os exemplos acima que representam funcoes(Exemplos 1 e 3):

Para ambos os exemplos, chamamos de domınio Dom oprimeiro conjunto, neste caso o conjunto A.

Nos exemplos Dom = 2, 5, 9, 12 e Dom = 5, 12, 23, res-pectivamente.

A imagem Im sera o conjunto dos elementos y que temcorrespondencia com x.

Im = 4, 25, 81, 144 e Im = 7, 14, 25, nos exemplos 1 e3.

O contradomınio CDom sera o conjunto B completo.

CDom = 4, 25, 81, 144 e CDom =6, 7, 14, 15, 16, 25, 26, nos exemplos acima.

Tipos de Funcoes

Funcao Injetora

Uma funcao y = f(x) : A −→ B e injetora, se somentese, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer dodomınio de f(x) possuem imagens distintas em B.

Exemplos

L

5

2

9

A

144

25

81

4

Figura 6: Funcao injetora

A B

1

2

3

4

5

Figura 7: Funcao que nao e injetora

Funcao Sobrejetora

Uma funcao y = f(x) : A −→ B e sobrejetora se, e so-mente se, o seu conjunto imagem e igual ao contradomınio:Im(f) = B

Exemplos

A B

1

2

4

3 3

2

1

Figura 8: Funcao sobrejetora

Funcao Bijetora

Uma funcao y = f(x) : A −→ B e bijetora, se somente se,e injetora e sobrejetora.

Na figura 10 temos que a funcao:


A B

1

2

3 3

2

1

Figura 9: Funcao que nao e sobrejetora

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

Figura 10: Funcao bijetora

• E injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos-suem imagens distintas em B;

• E sobrejetora, poisIm = B = 4, 25, 81, 144;

• E bijetora porque e injetora e sobrejetora.

Funcao Inversa

Considere uma funcao y de L −→ A, sendo que Dom = Le Im = A. A funcao inversa de y sera aquela funcao quefizer corretamente a relacao de A −→ L onde Dom = A eIm = L.

Ou seja, a funcao inversa “transforma” o que antes eradomınio em imagem e imagem em domınio. Porem, istoso podera ocorrer se y for bijetora.

Entao, podemos definir:

Dada funcao bijetora y = f(x) : A −→ B, chama-se funcaoinversa de f a funcao f−1 : B −→ A tal que (a, b) ∈⇔(b, a) ∈ f−1.

Exemplos

y = f(x) = x2;Dom = 2, 5, 9, 12Im = 4, 25, 81, 144A funcao inversa sera:x = f(y) =

√

(y)Dom = 4, 25, 81, 144Im = 2, 5, 9, 12

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

(a) (b)

Figura 11: (a) f : L −→ A e (b) f−1 : A −→ L.

Funcao Composta

Dados os conjuntos A = 1, 2, B = 2, 4,C = 4, 16, vamos considerar as funcoes:f : A −→ B definida por f(x) = 2x;g : B −→ C definida por g(x) = x2.

A

B

C

1

4

2

2 16

4

f g

h

Figura 12: f = (1, 2), (2, 4); g = (2, 4), (4, 16)

Observamos que:

• A cada x pertencente a A associa-se um unico y per-tencente a B tal que y = 2x;

• A cada y pertencente a B associa-se um unico z per-tencente a C tal que z = x2;

• A cada x pertencente a A associa-se um unico z per-tence C tal que z = y2 = (2x)

2= 4x2.

Entao, podemos afirmar que vai existir uma funcao h de Aem C definida por h(x) = 4x2, que indicamos por g f oug(f(x)) (le-se: g composta com f).

Logo: h(x) = g f = g(f(x)) = (1, 4), (2, 16).

Funcao Par

E a funcao em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorref(x) = f(−x).

Exemplos

f(x) = x2

f(x) = |x|f(x) = cos(x)


x

y

x2

|x|

cos(x)

Figura 13: Exemplos de funcoes pares.

Funcao Impar

E a funcao em que para todo valor de x ∈ D ocorre f(x) =−f(−x).

Exemplos

f(x) = x

f(x) = sin(x)

f(x) = x3

x

y x3

x

sen(x)

Figura 14: Exemplos de funcoes ımpares.

Funcao Crescente

Uma funcao y = f(x) e crescente num conjunto A se,somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjuntoA, com x1 < x2, tivermos f(x) < f(x2).

Exemplos

f(x) = x + 2

f(x) = 10x

f(x) = x3

f(x )2

f(x )1

x1

x2

xO

y

Figura 15: Funcao crescente.

Funcao Decrescente

Uma funcao y = f(x) e decrescente num conjunto A se,somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjuntoA, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Exemplos

f(x) = −x + 2

f(x) = 10−x

f(f) = −2x

x1

x2

f(x )1

f(x )2

xO

y

Figura 16: Funcao decrescente.

Funcao Definida por Partes

E aquela funcao que e definida por mais de uma relacao.

Exemplo

x + 1, se x > 2;x2, se -2 ≤ x ≤ 2;2, se x < −2

Funcao Constante

Toda funcao f : R −→ R, definida por f(x) = C, comC pertencendo ao conjunto dos reais, e denominada funcaoconstante.


C > 0

y

x

y

x

y

x

C = 0

O O O C < 0

Pense um Pouco!

A funcao n : A −→ R, definida por n(t) = 6t + t2, ex-pressa o numero de colonias de bacterias em uma placa,onde n e o numero de colonias, t e tempo em horas eA = 1, 2, 3, 4, 5, 6 tem seus elementos representando osinstantes em que as colonias foram contadas. Com essesdados, determine:a) O numero de colonias para t = 3h;b) O conjunto contradomınio CDom(n);c) O conjunto imagem Im(n).


1. Seja a funcao f(x) = −3+2x. Entao pode-se dizer que:a) f(x) e uma funcao parb) f(x) e uma funcao ımparc) f(1) = 5d) f(x) e uma funcao dedcrescentee) f(x) e uma funcao crescente

2. Se a funcao f : R∗ em R e tal que f(x) = (2x + 2)/x,entao f(2x) e:a) x/(2x + 2)b) 2x + 1c) (2x + 1)/xd) (4x + 1)/xe) (4x + 2)/x

3. (FCC-SP) A funcao inversa da funcao 2x−1x+3 e:

a) f−1(x) = (x + 3)/(2x− 1)b) f−1(x) = (3x− 1)/(x− 2)c) f−1(x) = (3x− 1)/(2− x)d) f−1(x) = (3x + 1)/(2− x)e) f−1(x) = (1− 2x)/(3− x)


4. (UFSC) Dada a funcao f : R em R+, definida porf(x) = x2 +1, determine a soma dos numeros associados asafirmacoes verdadeiras.01. A funcao e sobrejetora.02. A imagem da funcao e R+.04. A funcao e bijetora.08. Para x =

√5, temos f(x) = 6.

16. O grafico de uma funcao e uma reta.32. A funcao e par.

5. (UA) Se f e g sao funcoes tais que f(x) = 2x − 3 ef(g(x)) = x, entao g(x) e igual a:a) (x + 3)/2

b) 3x + 2c) 1/(2x− 3)d) 2x + 3e) n. d. a.

6. (UDESC) Seja f(x) = c−ax2. Se f(−1) = 1 e f(2) = 2,entao f(5) e igual a:a) 3b) 11/3c) 7/3d) 9e) -3

7. O domınio da funcao real f(x) =√

1− x2 e o conjunto:a) x ∈ R | −∞ < x <∞b) x ∈ R | 0 ≤ x <∞c) x ∈ R | 0 ≤ x < 1d) x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 1e) n. d. a.

Matematica A Aula 2

Funcoes Polinomiais

Funcao Polinomial de 1 Grau

Uma funcao f com A,B ⊂ R e uma funcao polinomial do1 grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax+ b) ∈ B,com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R:

f : A→ B definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b

Na sentenca matematica y = ax+b, as letras x e y represen-tam as variaveis, enquanto a e b sao constantes denominadascoeficientes.

Na funcao real f(x) = ax + b, a e o coeficiente angular eb e o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemosse a funcao e crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). Ocoeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a retaintercepta o eixo Y .

Y

X

f(x) = −2x − 1

1−1

−1

1

Figura 1: Grafico da funcao f(x) = −2x− 1.


Grafico

Para construirmos graficos de funcoes devemos seguir os se-guintes passos:

• atribuımos valores a variavel x;

• substituımos na funcao;

• encontramos o valor de f(x), ou seja, o valor de y.

Tendo encontrado o valor de y, temos agora o par ordenado(x, y) que devemos encontrar no plano cartesiano.

x y = x− 2 (x, y)0 y = 0− 2 = −2 (0,−2)1 y = 1− 2 = −1 (1,−1)2 y = 2− 2 = 0 (2, 0)

Observe que o grafico de uma funcao do tipo y = ax + b esempre uma linha reta.

1

−1

1−1

f(x) = x − 1Y

X

Figura 2: Grafico da funcao f(x) = x− 1.

Zero da Funcao de 1 Grau

Denomina-se zero ou raiz da funcao f(x) = ax+ b o valor xque anula a funcao, isto e, torna f(x) = 0. O zero da funcaode primeiro grau e unico e corresponde a abscissa do pontoem que a reta corta o eixo x.

x y = x− 2 (x, y)0 y = 0− 2 = −2 (0,−2)1 y = 1− 2 = −1 (1,−1)2 y = 2− 2 = 0 (2, 0)

Estudo do Sinal

Dada a funcao f(x) = 2x − 4, determinar os valores reaisde x para os quais:a) f(x) = 0b) f(x) > 0c) f(x) < 0

−2

Y

X2

Zero da funçao (x=2)

f(x) = x − 2

~

0

Figura 3: Zero ou raiz da funcao f(x) = x− 2.

Podemos verificar que a funcao e crescente pois a = 2 > 0.O zero da funcao e:

2x− 4 = 0⇒ 2x = 4⇒ x = 2

A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Obser-vando essas consideracoes, vamos fazer um esboco do graficoda funcao.

Y

20 X

−2

f(x) = x − 2

f(x)=0

f(x)>0

f(x)<0

Figura 4: A direita da raiz x = 2 os pontos da retatem ordenada positiva e a esquerda ordenada negativa.

Resposta:

f(x) = 0 ⇒ x = 2f(x) > 0 para x ∈ R/x > 2f(x) < 0 para x ∈ R/x < 2

Funcao Polinomial de 2 grau

A funcao dada f(x) : R→ R dada por f(x) = ax2 + bx + c,com a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se funcao do 2ograu oufuncao quadratica.

Exemplos:


f(x) = x2 − 4x− 3 ⇒ a = 1, b = −4, c = −3f(x) = −2x2 + 5x + 1 ⇒ a = −2, b = 5, c = 1

O grafico da funcao de 2 grau e uma curva aberta chamadaparabola. Se a > 0, o grafico da parabola tem concavidadevoltada “para cima”.

0

a > 0

Y

X

Figura 5: Parabola com concavidade “para cima”.

Se a < 0, a concavidade da parabola e dita “para baixo”.

0

Y

X

a < 0

Figura 6: Parabola com concavidade “para baixo”.

Zero da Funcao de 2 Grau

Denominam-se zeros ou raızes de uma funcao quadraticaos valores de x que anulam a funcao, ou seja, que tornamf(x) = 0.

Para determinar os zeros de f(x) = ax2 + bx+ c, temos queresolver a equacao f(x) = 0, para obter as raızes:

x1 =−b +

√∆

2ae

x2 =−b−

√∆

2a

onde

∆ = b2 − 4ac

e o chamado discriminante.

Assim, x1 e x2 sao as abscissas nas quais a parabola corta oeixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) sao os pontos de interseccaoda parabola com o eixo x.

Em geral, quando:

• ∆ > 0, temos x1 6= x2 e a parabola intercepta o eixo xem dois pontos diferentes.

• ∆ = 0, temos x1 = x2 e a parabola intercepta o eixo xem um unico ponto.

• ∆ < 0, nao existem raızes reais e a parabola nao inter-cepta o eixo x.

Grafico Parabolico

O ponto mais alto (ou mais baixo) da parabola e chamadode vertice. No grafico abaixo, da funcao f(x) = x2 −8x + 12, vemos o ponto V , que e o vertice da parabola. Ascoordenadas de V (xv, yv) sao dadas por:

Vertice

Eixo de Simetria

0

−4V(4,−4)

X

Y

(0,12)

4 62

Figura 7: Vertice da parabola y = x2 − 8x + 12 e seueixo de simetria.

V =

(

xv = − b

2a, yv = −∆

4a

)

e nesse exemplo temos V = (4,−4).

Se tracarmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelovertice, estaremos determinando o eixo de simetria daparabola.

Observe que xv e o ponto medio das raızes da parabola:

xv = (x1 + x2)/2

Interseccao com o eixo Y

Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substi-tuir x por 0 (zero) na funcao:

y = ax2 + bx + c⇒ y = a(0)2

+ b(0) + c⇒ y = c


Exemplo

Para f(x) = x2 − 8x + 12 as coordenadas para o ponto deinterseccao com o eixo y:y = x2 − 8x + 12⇒ y = (0)

2 − 8(0) + 12⇒ y = 12

Entao, encontramos (0, 12).

Mınimo ou Maximo da Parabola

Quando y assume o menor valor da funcao, ele e a ordenadado ponto mınimo da funcao (yv):

Quando y assume o maior valor da funcao, ele e a ordenadado ponto maximo da funcao (yv):

0

VyV

xV

X

Y

Estudo do Sinal

Para estudar o sinal da funcao f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0,temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinaldo coeficiente a. Assim:

• ∆ > 0, f(x) possui duas raızes reais e diferentes: x =x1 ou x = x2 ⇒ f(x) = 0x < x1 ou x > x2 ⇒ f(x) > 0x1 < x < x2 ⇒ f(x) < 0

x x1 2

a < 0

X

x = x1 ou x = x2 ⇒ f(x) = 0x < x1 ou x > x2 ⇒ f(x) < 0x1 < x < x2 ⇒ f(x) > 0

• ∆ > 0, f(x) possui raiz dupla:

x1

x2 X

a > 0

=

x = x1 = x2 ⇒ f(x) = 0x 6= x1 = x2 ⇒ f(x) > 0

x1

x2

a < 0

=X

x = x1 = x2 ⇒ f(x) = 0x 6= x1 = x2 ⇒ f(x) < 0

• ∆ > 0, f(x) possui duas raızes reais:

X

a > 0

Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f(x) > 0

X

a < 0

Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f(x) < 0

Pense um Pouco!

• O grafico de um polinomio de primeiro grau e sempreuma reta?

• O grafico de um polinomio de segundo grau e sempreuma parabola?

• Quantos zeros pode ter, no maximo, uma funcao deprimeiro grau? E a de segundo grau?

• A esquerda e a direita de um zero, a funcao de segundograu tem sempre sinais contrarios?


1. (FGV-SP) O grafico da funcao f(x) = mx+n passa pelospontos A(1,−2) e B(4, 2). Podemos entao afirmar que:a) m + n = −2b) m− n = −2


c) m = 3/4d) n = 5/2e) m · n = −1

2. (PUC-SP) Para que a funcao do 1o grau dada por f(x) =(2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter:a) k = 2/3b) k < 2/3c) k > 2/3d) k < −2/3e) k > −2/3

3. (UFC-CE) Considere a funcao f : R → R, definida porf(x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:a) o vertice do grafico de f e o ponto (1, 4).b) f possui dois zeros reais distintos.c) f atinge um maximo para x = 1.d) O grafico de f e tangente ao eixo das abscissas.e) n. d. a.


4. (UFPA) A funcao y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) eintercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Entao, a− 2be igual a:a) -12b) -10c) -9d) -7e) 0

5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das raızes daequacao x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. (Santa Casa-SP) As dimensoes de um retangulo sao nu-mericamente iguais as coordenadas do vertice da parabolade equacao y = −128x2 + 32x + 6. A area do retangulo e:a) 1b) 8c) 64d) 128e) 256

7. O lucro mensal de uma empresa e dado por L = −x2 +30x− 5, onde x e quantidade mensal vendida.a) Qual e o lucro mensal maximo possıvel?b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensalseja no mınimo igual a 195?

Matematica A Aula 3

Funcoes Especiais

Funcao Modular

O modulo, ou valor absoluto, de um numero real x, indicadopor |x|, e definido assim:

|x| =

x, se, x ≥ 0

−x, se, x < 0

Pela definicao, podemos concluir que o modulo de umnumero real e sempre maior ou igual a zero.

Cuidado!√

x2 = ±|x|

Exemplos

| − 10| = 10

|1| = 1

|1/3| = 1/3

|0| = 0

Definimos entao a funcao modular se a cada x real se associa|x|, ou seja:

f(x) = |x|

Observa-se que o domınio da funcao modulo e R e a imagemR+.

Representacao Grafica

1

3

2

3210−3 −2 −1

Y f(x) = |x|

X

Figura 1: Funcao modulo: f(x) = |x|.

Funcao Exponencial

A funcao f : R→ R dada por f(x) = ax (com a 6= 1 e a > 0)e denominada funcao exponencial de base a e definida paratodo x real. Assim, sao funcoes exponenciais:

f(x) = 2x

g(x) = (1/3)x

h(x) = πx


X

Y

1/2 3/4 100

2

1/4

2

(1/2)

x

x

1

Figura 2: Funcoes exponenciais: f(x) = 2x e g(x) =(1/2)x.

Grafico da Funcao Exponencial

Vamos representar no plano cartesiano o graficos dasfuncoes f(x) = 2x e f(x) = (1/2)x.

Caracterısticas

• Dom(ax) = R

• Im(ax) = R+

• ax e uma funcao crescente se a > 1

x1

x2

x1

x2 ax1 ax2< <

ax2

ax1

o−1 caso:

X0

1

f(x) = axa > 1

Y

Figura 3: Exponencial crescente, ax com a > 1.

• ax e uma funcao decrescente se 0 < a < 1

• ax passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1

Pense um Pouco!

• O numero de bacterias em um meio de cultura cresceaproximadamente segundo a funcao n(t) = 500

√

(3)t,sendo t o numero de dias apos o inıcio do experimento.Calcule:a)o numero n de bacterias no inıcio do experimento;

x2

x1

f(x) = ax

x1

x2 ax1 ax2

2 caso:o−

ax1

ax2

Y

0

1

X

< >

0 < a < 1

Figura 4: Exponencial decrescente, ax com a < 1.

b)em quantos dias o numero inicial de bacterias iratriplicar.


1. (ITA-SP) Considere a equacao |x| = x+2. Com respeitoa solucao real dessa equacao, podemos afirmar que:a) a solucao pertence ao intervalo [1,2]b) a solucao pertence ao intervalo [-2,-1]c) a solucao pertence ao intervalo ]-1,1[d) a solucao pertence ao intervalo [3,4]e) nenhuma resposta e correta

2. (PUC-SP) A equacao |2x− 1| = 5 admite:a) duas raızes positivasb) das raızes negativasc) uma raiz positiva e outra negativad) somente uma raiz real e positivae) somente uma raiz real e negativa

3. (PUC-PR) A equacao 16 ·52x = 25 ·20x, onde x pertenceaos reais, admite:a) os numeros -2 e 2 como solucoesb) apenas o numero 2 como solucaoc) apenas o numero 1/2 como solucaod) os numeros 2 e 1/2 como solucoese) apenas o numero -2 como solucao


4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os numeros reais x e y,a) se |x| < |y|, entao x < yb) |xy| = |x||y|c) |x + y| = |x|+ |y|d) | − |x|| = −xe) se x < 0, entao |x| < x

5. (PUC-SP) Resolvendo a equacao 4x +4 = 5 ·2x, obtemosas solucoes:


a) x1 = 0 e x2 = 1b) x1 = 1 e x2 = 4c) x1 = 0 e x2 = 2d) x1 = −1 e x2 = −2e) x1 = −4 e x2 = −5

6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y, o valor de x + ye:a) 4/3b) 2/3c) 1/3d) 1e) 2

Matematica A Aula 4

Funcoes Especiais (II)

Funcao Logarıtmica

O logaritmo de um numero real e positivo a, na base b,positiva e diferente de 1, e o numero x ao qual se deveelevar a base b para se obter a

logb a = x⇐⇒ bx = a

Observacao

Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sis-tema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade desistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o maisimportante e o sistema de logaritmos decimais, ou de base10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema e de base 10,e comum omitir-se a base na sua representacao.

Exemplo

Considerando a definicao dada, calcular o valor doslogaritmos: log6 36 = 2log2 16 = 4log3 1 = 0log10 1000 = 3log10 0, 01 = −2

Propriedades dos Logaritmos

• O logaritmo de um produto e igual a soma dos logarit-mos dos fatores tomados na mesma base, isto e:

logb(x · y) = logb x + logb y

• O logaritmo de um quociente e igual ao logaritmo donumerador menos o logaritmo do denominador toma-dos na mesma base, isto e:

logb(x/y) = logb x− logb y

• O logaritmo de uma potencia e igual ao produto doexpoente pelo logaritmo da base da potencia, isto e:

logb xn = n logb x

Caso particular

logbn√

x = logb x1/n =1

nlogb x

Mudanca de Base

Suponha que aparecam logaritmos de bases diferentes e queprecisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes parauma base conveniente. Essa operacao e chamada mudancade base:

logb a =logc a

logc b

onde c e a nova base.

Exemplo

log2 10 =log10 10

log10 2=

1

log10 2

Representacao Grafica

Ao estudar a funcao exponencial, vimos que ela e bijetora,portanto admite funcao inversa, que e a logarıtmica.

log xa 2

x2x1

log xa 1

X

Y y=x

1

1

a > 1

a > 1 f(x) e´ crescente

y=ax

y=log xa

Figura 1: Funcao logarıtmica com base a > 1

Do estudo das funcoes inversas, descobrimos que, no planocartesiano, seus graficos sao simetricos em relacao a bissetrizdo 1 e 3 quadrantes. Assim, para as funcoes exponenciale logarıtmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos:

Funcoes Trigonometricas

Arco de Circunferencia

Observemos que os pontos A e B dividem a circunferenciaem duas partes. Cada uma dessas partes e denominado arcode circunferencia. Assim, temos:

arco AB = arco BA


x2x1

log xa 1

log xa 2

0 < a < 1 f(x) e´ decrescente

X

Y

0 < a < 1

1

1

y=a x

y=log xa

y=x

Figura 2: Funcao logarıtmica com base 0 < a < 1

Sentido doMovimento

B

A

Os ponto A e B sao chamados de extremidades dos arcos.

Medida de um arco

Grau e o arco unitario equivalente a 1/360 da circunferenciaque o contem.

270

90

180100 = 360

o

o

o o o

10

0 1o

Observacao: 1 = 60′ e 1′ = 60′′

Radiano e o arco cujo comprimento e igual ao comprimentodo raio da circunferencia que o contem.

B

A

AB

rrθ = 1 rad

Observacao: O raio da circunferencia quando utilizado comoinstrumento de medida e denominado raio unitario, isto e,se o comprimento de um arco e x raios, sua medida e xradianos. Lembrando que qualquer circunferencia tem 360,temos que: 360 corresponde a 2π rad e 180 correspondea π rad.

Angulo Plano

E a abertura de duas semi-retas que partem do mesmoponto.

Angulo Central de uma Circunferencia

E o angulo que tem o vertice no centro dessa circunferencia.

A

B

α centralα e’ angulo^

Circunferencia Trigonometrica

Uma circunferencia orientada, de raio unitario (r = 1), so-bre a qual um ponto A e a origem de medida de todos osarcos nela contidos, e uma circunferencia trigonometrica.Vamos considerar uma circunferencia cujo centre coincidecom a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que ea origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir:

o−1 quadranteo−2 quadrante

o−4 quadranteo−3 quadrante

+

−

360 ou 2 rado π

o0 ou 0 rad

270 ou 3 /2 radπo

90 ou /2 rado π

πo180 ou rad

OA

D

B

C

Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circun-ferencia em quatro arcos de mesma medida, numerados no


sentido anti-horario. Esses eixos dividem o plano em qua-tro regioes, denominadas quadrantes, tambem numeradasno sentido anti-horario.

Funcao Seno

Chamamos de funcao seno a funcao f : R→ R que, a cadanumero real x, associa o seno desse numero:

f(x) = sen(x)

O domınio dessa funcao e R e a imagem e intervalo [-1,1],visto que, na circunferencia trigonometrica, o raio e unitario.

Sinal da funcao seno

sen θ

sen θ

(0,−1)

(0,1)

(−1,0) (1,0)

Y

X

θO

_ _

+ +

Figura 3: A funcao sen(x) e o seu sinal.

Funcao Cosseno

Chamamos de funcao cosseno a funcao f : R → R que, acada numero real x, associa o cosseno desse numero.

f(x) = cos(x)

O domınio dessa funcao e R e a imagem e o intervalo real[-1,1], visto que, na circunferencia trigonometrica, o raio eunitario.

Sinal da Funcao Cosseno

Funcao Tangente

A funcao f definida em R que a cada numero x associa atangente desse numero:

f(x) = tan(x)

O domınio da funcao tan x e R − nπ/2, com n =0,±1,±2, . . ., e a imagem da funcao e R.

Sinal da Funcao Tangente

cosθ

cosθ

(0,−1)

(0,1)

(−1,0) (1,0)

Y

X

θO

_

_

+

+

Figura 4: A funcao cos(x) e o seu sinal.

tag θ

tag θ

(0,−1)

(0,1)

(−1,0) (1,0)

Y

X

θO

+

_+

_

Figura 5: A funcao tan(x) e o seu sinal.

Co-tangente

Por definicao temos:

cotg(x) =1

tan(x)

para todo x | tan(x) 6= 0

Secante


sec(x) =1

cos(x)

para todo x | cos(x) 6= 0

Cossecante


cossec(x) =1

sen(x)

para todo x | sen(x) 6= 0


Relacoes trigonometricas

tan(x) = sen(x)/cos(x)

sen2(x) + cos2(x) = 1

1 + tan2(x) = sec2(x)

1 + cotan2(x) = cossec2(x)

Transformacoes Trigonometricas

Formulas da Adicao

Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante,cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valempara esses arcos as seguintes identidades:

sen (a± b) = sen(a) · cos(b)± sen(b) · cos(a)

cos (a± b) = cos(a) · cos(b)± sen(a) · sen(b)

tan (a± b) =tan(a) ± tanb

1∓ tan(a) · tan(b)

Lei dos Senos

E a relacao valida para qualquer triangulo que se traduzpela seguinte formula:

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)

A

BC

a

b

c

sen A

a b

sen B sen C

c==

Lei dos Cossenos

E a relacao valida para qualquer triangulo que se traduzpela seguinte formula:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(a)

Com essa formula, dadas as medidas de dois lados e doangulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado dequalquer triangulo. Como se pode ver, e uma generalizacaodo Teorema de Pitagoras.

Pense um Pouco!

• Dado o sen(x) como voce acharia o cos(x)? E atan(x)?

• A tan(x) pode ser maior do que 1?

• Para que valores de x temos sen(x) > cos(x)?


1. (FCC-Ba) Indica-se por log(x) o logaritmo do numero xna base 10. A equacao xlog(x) = 10000 admite duas raızes:a) iguaisb) opostas entre sic) inteirasd) cujo produto e 1e) cuja soma e 101

2. (MACK-SP) Se

1

log2 x+

1

log3 x+

1

log6 x= 2

entao x2 e igual a:a) 25b) 36c) 16d) 81e) 100


3. (FGV-SP) Determine a de forma que se tenha simulta-neamente sen(x) = 1/a e cos(x) = (

√1 + a)/a

a) a = −1 ou a = −2b) a = 1 e a = 2c) a = −1 e a = 2d) a = 2 e a = −2e) a = 1 ou a = −1

4. Sendo cos(x) = 1/4 entao tan(x) sera:a)

√

(15)

b)√

(3)/2c) 3/4d) 15/4e) n. d. a.

5. (UEL-PR) Para todo numero real x, tal que que 0 < x <1/2, a expressao

sec(x) + tan(x)

cos(x) + cotan(x)

e equivalente a:a) sen(x) · cotan(x)b) sec(x) · cotan(x)c) cos(x) · tan(x)d) sec(x) · tan(x)e) sen(x) · tan(x)

Matematica A Aula 5

Polinomios

Definicao

Dados n ∈ N numeros complexos ai, i = 0, 1, 2, . . . , n ⊂C, chamamos de funcao polinomial ou polinomio navariavel x a funcao P (x) : C→ C tal que:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0


onde cada parcela do polinomio e chamada de termo e cadanumero complexo que multiplica a variavel x e um coefici-ente.

Observacoes

1. Se an 6= 0, o expoente maximo n e dito grau do po-linomio e indicamos gr(P ) = n;

Exemplos

P (x) = 2x − 1 e um polinomio de 1 grau, isto e,gr(P ) = 1.

P (x) = x5 + 1 e um polinomio de 5 grau, isto e,gr(P ) = 5.

2. Se P (x) = 0, nao se define o grau do polinomio.

Valor Numerico

O valor numerico de um polinomio P (x), para x = a, e onumero que se obtem substituindo x por a e efetuando todasas operacoes indicadas pela relacao que define o polinomio.

Exemplo

Se P (x) = x3 +2x2−x− 1, o valor numerico de P (x), parax = 2, e:

P (2) = 23 + 2 · 22 − 2− 1 = 13

Raızes de um Polinomio

Se P (a) = 0, o numero a e denominado raiz ou zero deP (x). Um polinomio de grau n admite n raızes.

Igualdade de Polinomios

Dois polinomios A(x) e B(x) sao iguais ou identicos quandoassumem valores numericos iguais para qualquer valor co-mum atribuıdo a variavel x. A condicao necessaria e sufici-ente para que dois polinomios A(x) e B(x) sejam iguais ouidenticos e que os coeficientes dos termos correspondentessejam iguais.

Divisao de Polinomios

Dados dois polinomios A(x) e B(x), com B(x) 6= 0, egr(A) > gr(B), podemos efetuar a divisao de A(x) porB(x), ou seja, determinar dois polinomios Q(x) e R(x) quesatisfacam a seguinte condicao:

A(x) = Q(X)B(x) + R(x)

onde

A(x) e o dividendoB(x) e o divisorQ(x) e o quocienteR(x) e o resto da divisao

Observacao

Quando A(x) e divisıvel por B(x), dizemos que a divisao eexata, isto e, R(x) = 0.

Exemplo

Dividir A(x) = x4+x3−7x2+9x−1 por B(x) = x2+3x−2:

+x4 + x3 − 7x2 + 9x− 1 x2 + 3x− 2−x4 − 3x3 + 2x2 x2 − 2x + 1 : Q(x)−2x3 − 5x2 + 9x+2x3 + 6x2 − 4x

−x2 + 5x− 1−x2 − 3x + 2

2x + 1 : R(x)

Divisao de P (x) por (x− a)

Teorema do Resto

O resto da divisao de P (x) por x− a e P (a).

Devemos ter P (x) = (x− a)Q(x) + R(x).

Como o divisor x−a e de grau 1, o resto sera de grau zero, ouseja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos:P (x) = (x − a)Q(x) + r. Para x = a, vem:

P (a) = (a− a)Q(a) + r = r

Exemplo

O resto da divisao de P (x) = x3 + x2 − 4x + 5 por x− 1 e:

r = P (1) = 13 + 12 − 4 · 1 + 5 = 3

Teorema de D’Alembert

Um polinomio P (x) e divisıvel por x−a se, e somentese, P (a) = 0.

Se P (x) e divisıvel por x−a, entao, pelo Teorema do Resto,r = P (a) = 0, e, de outra forma, se P (a) = 0, como, peloTeorema do Resto, r = P (a), temos r = 0, ou seja, P (x) edivisıvel por x− a.

Exemplo

P (x) = x3 + 3x2 − 8x− 4 e divisıvel por x− 2, pois

P (2) = 23 + 3 · 22 − 8 · 2− 4 = 8 + 12− 16− 4 = 0

Divisao de P (x) por ax + b, com a 6= 0

Temos P (x) = (ax + b)Q(x) + r. Como ax + b e de grau 1,r e de grau 0, portanto, uma constante.

Fazendo x = −b/a em P (x) = (ax + b)Q(x) + r, vem:

P (−b/a) = [a(−b/a) + b]Q(−b/a) + r

P (−b/a) = (−b + b)Q(−b/a) + r

P (−b/a) = 0 + r =⇒ r = P (−b/a)

Conclusao: o resto da divisao de P (x) por ax + b e r =P (−b/a).


Exemplo

Determinar o resto da divisao de P (x) = x3 + 5x2 − 2x− 1por 2x− 1.

Temos que −b/a = 1/2, entao r = P (1/2):

r = (1/2)3 + 5(1/2)2 − 2(1/2)− 1 = (1/8) + (5/4)− 1− 1

r = (11/8)− 2 = −5/8

Divisao de P (x) por (x− a)(x− b), (a 6= b)

Temos o seguinte Teorema:

Se P (x) e divisıvel por x − a e por x − b, com a 6= b,entao e divisıvel por (x− a)(x − b).

Exemplo

Mostrar que P (x) = x4 − 5x2 + 4 e divisıvel por x2 − 1.

Solucao: como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), basta mostrar queP (x) e divisıvel por x−1 e por x+1, isto e, que P (+1) = 0e P (−1) = 0:

P (+1) = 14 − 5 · 12 + 4 = 1− 5 + 4 = 0

P (−1) = (−1)4 − 5 · (−1)2 + 4 = 1− 5 + 4 = 0

Portanto, P (x) e divisıvel por (x − 1)(x + 1), ou seja, porx2 − 1.

Algoritmo de Briot-Ruffini

Para facilitar a divisao de polinomios podemos utilizar oalgoritmo de Briot-Ruffini.

Consideremos o seguinte exemplo para compreensao do dis-positivo:

Determinar o quociente e o resto da divisao de P (x) = 3x3−5x2 + x− 2 por (x− 2).

I. Coloca-se a raiz do divisor 2 e os coeficientes do dividendo3,−5, 1,−2 na linha de cima:

Raiz do divisor

Coeficientes do dividendo P(x)

2 3 −5 +1 −2

I

Note que, se o polinomio nao tem um dado termo, o coefi-ciente desse termo e zero.

II. Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo:

Copiar o primeiro coeficiente para a linha de baixo

3

2 3 −5 +1 −2

II

III. Multiplica-se a raiz do divisor pelo coeficiente repetido esoma-se o produto com o segundo coeficiente do dividendo,e coloca-se o resultado abaixo deste.

somar

multiplicar resultado

III

2 3 −5 +1 −2

3 (3)(2)−5=1

IV. Multiplica-se a raiz do divisor pelo numero colocadoabaixo do segundo coeficiente, e coloca-se o resultado abaixodeste, e assim sucessivamente.

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 resultadomultiplicar

somarIV

2 3 −5 +1 −2

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4resultadomultiplicar

somarIV

2 3 −5 +1 −2

V. Separamos o ultimo numero formado, que e igual ao restoda divisao, e os numeros que ficam a esquerda deste sao oscoeficientes do quociente.

2 3 −5 +1 −2

resultado

V

3 1 3 4

Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4

Decomposicao de um Polinomio

Podemos aplicar o teorema do resto na decomposicao de umpolinomio em fatores. Para tanto, se a e uma raiz ou zerodo polinomio P (x), este e divisıvel por (x− a); logo:

P (x) = (x− a)Q(x)

Polinomio de 2 grau

De uma forma geral, o polinomio do 2 grau que admite asraızes a1 e a2 pode ser decomposto em fatores do 1 grau,da seguinte forma:

P (x) = (x− a1)(x − a2)

Exemplo

Fatorar o polinomio P (x) = x2 − 7x + 10. Resolvendo aequacao x2 − 7x + 10 = 0 encontramos as raızes a1 = 5 ea2 = 2, logo,

P (x) = (x − 5)(x− 2)


Polinomio de 3 grau

Conhecendo uma das raızes de um polinomio do 3 grau,podemos decompo-lo num produto de um polinomio do 1

grau por um do 2grau e, se este tiver raızes, podemos, emseguida decompo-lo tambem.

Exemplo

Fatorar P (x) = 2x3 − x2 − x.

Escreve-se:

P (x) = 2x(x2 − x/2− 1/2)

fator do 1 grau:

2x = 2(x− 0) =⇒ a0 = 0

fatores do 2 grau:

resolvendo-se a equacao do segundo grau obtemos as raızesa1 = 1 e a2 = −1/2, e x2 − x/2 − 1/2 = (x − 1)(x + 1/2),logo:

P (x) = 2x(x− 1)(x + 1/2)

Pense um Pouco!

• Um polinomiopode ter um termo do tipo x−2?

• Como seria a divisao de (x2 − 1)/(x3 + 1)?

• Desenvolvendo-se (x−1)15 terıamos um polinomio emx? Caso afirmativo, qual seria o grau desse polinomio?

1. (UFPA) Se F (x) = 2p+q+(p+3)x−2px2+x3 e identicoa P (x) = x3 − 4x2 + 5x + 2, entao:a) p2 + q2 = 4b) p2 − q2 = 0c) p = qd) p + q = 4e) p− q = 0


2. Dividindo-se o polinomio P (x) = x3−7x+6 por (x+3),obtem-se:a) x2 − 3x− 6b) x2 − 3x + 3c) x2 − 6x + 2d) x2 + 3x− 2e) x2 − 3x + 2

3. (UnB-DF) O resto da divisao de P (x) = x5 + x4 − 27 ∗x3 − x2 + 146 ∗ x− 121 por (x− 4) ea) 4b) 3c) 2d) 1e) 0

4. As raızes do polinomio x3 − 4x2 + 3x sao:a) 0,-1 e 2

b) -1, 1 e 3c) 0, 1 e 3d) 0, -2 e 2e) n. d. a.


5. (Fuvest-SP) Dividindo-se o polinomio p(x) por 2x2 +3x+1, obtem-se o quociente 3x2 +1 e resto −x+2. Nessascondicoes, o resto da divisao de p(x) por x− 1 e:a) 2b) 15c) 20d) -1e) 25

6. (UnB-DF) O numero 1 e uma das raızes da equacaox3 − 7x + 6 = 0. A soma das outras duas raızes e:a) -7b) -1c) 0d) 5e) n. d. a

7. (UFRJ) O polinomio P (x) = x3 − 2x2 − 5x + d, comd ∈ R, e divisıvel por (x− 2).a) Determine d.b) Calcule as raızes da equacao P (x) = 0

Matematica A Aula 6

Equacoes Algebricas

Teorema fundamental da Algebra

Toda equacao algebrica P (x) = 0, de grau n ≥ 1, tempelo menos uma raiz real ou complexa.

Definicao

Chamamos de equacao polinomial ou algebrica todaequacao da forma P (x) = 0, em que P (x) e um polinomiode grau n:

Dados n ∈ N numeros complexos ai, i = 0, 1, 2, . . . , n ⊂C, chamamos de funcao polinomial ou polinomio navariavel x a funcao P (x) : C→ C tal que:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

onde cada parcela do polinomio e chamada de termo e cadanumero complexo que multiplica a variavel x e um coefici-ente.

Exemplo

x3 + 3x2 + 2x− 3 = 0


Raiz

Chama-se raiz de zero ou raiz de uma equacao polinomialP (x) = 0 todo numero complexo a tal que P (a) = 0.

Exemplos

a) 1 e raiz de P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 pois P (1) =13− 3 · 12 + 3 · 1− 1 = 0;

b) i e raiz de P (x) = x3 + x2 + x + 1 = 0 pois P (i) =i3 + i2 + i + 1 = −i− 1 + i + 1 = 0

Forma Fatorada

Todo polinomio de grau n pode ser decomposto em n fatoresda forma (x− a), onde a e raiz de P (x) e tambem um fatorigual ao coeficiente de xn.

Exemplo

Formar o polinomio cujas raızes sao 2,-1 e 3. Veja o graficodesse polinomio.

Resolucao: O polinomio tem tres raızes diferentes, logo,P (x) e do terceiro grau.

P (x) = a3(x− a1)(x− a2)(x− a3) = 1(x− 2)(x + 1)(x− 3)

P (x) = x3 − 4x2 + x + 6

-10

-5

0

5

10

-2 -1 0 1 2 3 4

y

x

Exemplo

O polinomio x5− 18x4 + 95x3− 70x2− 456x+ 448 pode serfatorado no produto

(x + 2)(x− 1)(x− 4)(x− 7)(x− 8) ,

e suas raızes sao todas reais: -2, 1, 4, 7 e 8. Veja o graficodesse polinomio na figura a seguir.

-400

-200

0

200

400

600

800

-4 -2 0 2 4 6 8 10

y

x

Multiplicidade de uma Raiz

As raızes de uma equacao algebrica podem ser todas distin-tas ou nao.

Se uma equacao algebrica tiver duas raızes iguais, a raiztera multiplicidade 2, isto e, sera uma raiz dupla; se tivertres raızes iguais, tera multiplicidade 3, isto e, sera uma raiztripla, e assim sucessivamente.

Se um numero a for uma so vez raiz de uma equacaoalgebrica, ele sera chamado raiz simples.

Exemplo

Sabendo-se que −1 e raiz dupla da equacao P (x) = x4 −3x3 − 3x2 + 7x + 6 = 0, determinar o seu conjunto solucao.

Resolucao:

a equacao dada pode ser indicada da seguinte forma P (x) =(x + 1)2Q(x) = 0.

Para determinarmos Q(x), que e do segundo grau, aplicare-mos duas vezes o dispositivo pratico de Briot-Ruffini, abai-xando para 2 o grau da equacao dada.

Primeira divisao por (x + 1):

-1 1 -3 -3 7 61 -4 1 6 0

Segunda divisao por (x + 1):

-1 1 -4 1 61 -5 6 0

Logo: Q(x) = x2 − 5x + 6, onde para Q(x) = 0 temos asraızes a1 = 2 e a2 = 3.

Exemplo

Resolva a equacao x4 + x3 − x2 + x − 2 = 0, sabendo queuma das raızes e i.

Resolucao

Como i e raiz da equacao, −i tambem e, pois as raızescomplexas sempre aparecem aos pares (raızes conjugadas).Dividindo sucessivamente por x− i e x + i, temos:

i 1 1 -1 1 -21 1+i -2+i -2i 0

Segunda divisao por (x + 1):

-i 1 1+i -2+i -2i1 1 -2 0

Logo, Q(x) = x2 +x−2 e P (x) = (x− i)(x+ i)Q(x). Entao


para Q(x) = 0 temos as raızes a1 = −2 e a2 = 1.

Raızes Multiplas

Dados a equacao algebrica,

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 = 0

de coeficientes inteiros, com an 6= 0 e a0 6= 0, e o numeroracional p/q , com p e q primos entre si, p ∈ Z e q ∈ N∗, sep/q e raiz de P (x) = 0, entao p e divisor de a0 e q e divisorde an.

Exemplo

Na equacao x3−6x2 +11x−6 = 0, temos an = 1 e a0 = −6.Se p ∈ Z e divisor de a0, entao p ∈ ±1,±2,±3,±6. Se q ∈N∗ e divisor de a3, entao q ∈ 1. Dividindo todo os valoresde p por todos os valores de q, obtemos ±1,±2,±3,±6.Portanto, se existem raızes racionais, elas pertencem a esseconjunto. A verificacao e feita usando-se o dispositivo deBriot-Ruffini.

Pense um Pouco!

• Uma equacao polinomial de coeficientes reais tem onumero 3 como raiz dupla, o numero 5 como raiz triplae 1 + i como raiz dupla. Qual e grau da equacao?


1. (UEL-PR) Se −1 e raiz de multiplicidade 3 da equacaox5−2x4−6x3 +4x2 +13x+6 = 0, entao a soma das outrasduas raızes vale:a) 1b) 3c) 5d) -1e) -3

2. (UFPE) Qual a maior raiz inteira da equacao x4−20x3+90x2 + 20x− 91 = 0?a) 1b) -ic) 10d) 13e) n. d. a.


3. (PUC-SP) Em relacao ao polinomio P (x) = (x−1)2(x+1), o que se pode afirmar sobre o numero 1?a) e uma raiz simplesb) e raiz duplac) e raiz triplad) e raiz quadruplae) nao e uma raiz

4. (USF-SP) Se −2 e raiz da equacao x3−2x2−13x−10 = 0,entao as outras raıses sao:a) -1 e 5b) -2 e 3c) 1 e 5d) 5 e 7e) -1 e -5

5. As raızes do polinomio p(x) = x2 + 16 sao:a) ambas reaisb) uma real e outra complexac) ambas complexasd) ambas negativase) ambas positivas

6. As raızes do polinomio p(x) = x3 + 1 sao:a) todas reaisb) todas complexasc) uma complexa e duas reaisd) uma real e duas complexase) de multipicidade 3

Matematica A Aula 7

Geometria Analıtica

Sistema Cartesiano Ortogonal

A Geometria Analıtica teve como principal idealizador ofilosofo frances Rene Descartes (1596-1650). Com auxılio deum sistema de eixos associados a um plano, ele faz corres-ponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistema sao perpendiculares na ori-gem, eles determinam um sistema cartesiano ortogonal (ouplano cartesiano). Entao, observemos o plano cartesianodividido nos quatro quadrantes:

X0

Y

y > 0x < 0 x > 0

y > 0

y < 0x < 0 x > 0

y < 0

Segundo Quadrante

Terceiro Quadrante Quarto Quadrante

Primeiro Quadrante

Figura 1: O plano cartesiano e seus 4 quadrantes.

1 quadrante: x > 0 e y > 0. 2 quadrante: x < 0 e y > 0.3 quadrante: x < 0 e y < 0. 4 quadrante: x > 0 e y < 0.

Distancia entre Dois Pontos

Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e Bdo plano, sabemos localizar esses pontos num sistema car-tesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distancia


d(A, B). Aplicando o Teorema de Pitagoras ao trianguloABC, vem:

xA xB

yA

yB

yB

xB

yA

xA

0

A

B

C

d

Y

X

d2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

logod =

√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

sera a distancia entre os pontos A(xA, yA) e B(xB , yB).

Exemplo

Determinar a distancia entre os pontos A(1,−1) e B(4,−5).

Analiticamente, temos

d = sqrt(4 − 1)2 + (−5− (−1))2 =√

32 + 42

d =√

9 + 16 =√

25 = 5

ou graficamente,

A

B−5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5

d 4

Y

XC3

d2 = 32 + 42 =⇒ d = 5

Divisao de um Segmento

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) de umareta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa de-terminada razao, denominada razao de seccao e indicadapor:

rC =AC

CB

ou seja

rC =xC − xA

xB − xC=

yC − yA

yB − yC

y1

y3

y2

x1 x2 x30

Y

X

B

C

A ED

Exemplo

Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6), P (3, 4) e Q(1, 2),as razoes rP e rQ em que P e Q dividem AB sao:

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

6

P

0

QA

B

y = x + 1Y

X

rP =xP − xA

xB − xP=

3− 2

5− 3=

1

2

e

rQ =xQ − xA

xB − xQ=

1− 2

5− 1= −1

4

Baricentro de um Triangulo

Chamamos de baricentro (G) o ponto de interseccao dasmedianas de um triangulo. Esse ponto divide a medianarelativa a um lado em duas partes.

B

M

A

CN

v

v

v

w

w

wG

u

u

u

P


Calculo das Coordenadas do Baricentro (G)

Sendo A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) vertices de umtriangulo, se N e ponto medio de BC, temos:

N =

(xC + xB

2,yC + yB

2

)

B

M

A

CN

G

P

Mas:

rG =AG

GN=

xG − xA

xN − xG

de onde podemos encontrar:

xG =xA + xB + xC

3

e

yG =yA + yB + yC

3

e escrevemos finalmente

G = (xG, yG) =

(xA + xB + xC

3,yA + yB + yC

3

)

Area de um Triangulo

Na geometria analıtica podemos calcular a area de umtriangulo a partir das coordenadas de seus vertices. A areaS do triangulo de vertices A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC)e dada por:

S =1

2|D|

onde D e o determinante da matriz de coordenadas

D =

∣∣∣∣∣∣

xA yA 1xB yB 1xC yC 1

∣∣∣∣∣∣

Condicao de Alinhamento de 3 Pontos

A figura mostra tres ponto, A(xA, yA), B(xB , yB) eC(xC , yC), que estao alinhados, ou seja, sao pontos de umamesma reta.

yA

yC

yB

xA xB xC0

Y

X

B

C

DEA

Para que tres pontos estejam alinhados, devemos ter:

AB

AC=

AE

AD=

EB

DC

ou seja:

xB − xA

xC − xA=

yB − yA

yC − yA

Pense um Pouco!

• O que acontece com a distancia entre dois pontosA(xA, yA) e B(xB , yB) se as coordenadas de ambospontos forem:a) aumentadas de uma constante c?b) multiplicadas por 2?c) multiplicadas por -1?


1. (UFES) Sendo r a distancia da origem ao ponto P (x, y),entao, para que y/r seja negativo, o ponto P devera perten-cer ao:a) 1 quadrante ou 2 quadranteb) 2 quadrante ou 4 quadrantec) 2 quadrante ou 3 quadranted) 3 quadrante ou 4 quadrantee) 1 quadrante ou 3 quadrante

2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2,−1), B(x, 4) e C(4, 9) per-tencem a uma mesma reta, determine x.a) 2b) -6c) 1d) 3e) 4

3. (MACK-SP) No triangulo ABC, A(1, 1) e um dosvertices, N(5, 4) e o ponto medio do segmento BC e M(4, 2)e o ponto medio do segmento AB. Calcule as coordenadasdo baricentro G do triangulo.a) G(3, 11/3)b) G(4/5, 3)c) G(11/3, 3)d) G(3, 3)e) G(11, 6)



4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1,−1) e C(x,−16) pertencem auma mesma reta se x e igual a:a) -5b) -1c) -3d) -4e) -2

5. O ponto medio de um segmento AB, sendo A(6, 4) eB(1, 2) e:a) (3, 7/2)b) (7/2, 4)c) (5, 3)d) (6, 2)e) (7/2, 3)

6. Calcule a distancia entre os pontos A e M , sabendo queA(5, 1), B(1, 3) e M e ponto medio do segmento ABa)√

20b)√

3c)√

5d) 5√

2e) 2

Matematica A Aula 8

Geometria Analıtica

Equacoes da Reta

Equacao Geral

A partir de uma condicao de alinhamento de tres pontospodemos determinar:

y = ax + b

onde a e o chamado coeficiente angular da reta, e b o coefi-ciente linear.

Para x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b.

Exemplo

Determinar a equacao geral da reta que passa nos pontosA(1, 2) e B(7, 6).

Para que um ponto qualquer (x, y) pertenca a reta AB,temos que ter

D =

∣∣∣∣∣∣

x y 11 2 17 6 1

∣∣∣∣∣∣

= 0

e desenvolvendo o determinante temos

D = (2x + 6 + 7y)− (14 + 6x + y) = 0 −→ y =2

3x +

4

3

Confira a figura (1).

B(7,6)

A(1,2)

6

4

Y

X

(0,4/3)

0 1 2 3 4 5 76

1

4

2

3

5

6

C(7,2)

Figura 1: Equacao geral da reta: exemplo.

Equacao Segmentaria

Considere a reta r nao-paralela a nenhum dos eixos e queintercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p 6= 0e q 6= 0.

0

Q(0,q)

P(p,0)

q

p

Y

X

Podemos escrever a equacao da reta na forma segmentaria:

x

p+

y

q= 1

Exemplo

Por exemplo, para a reta mostrada na figura (1), pode-se ob-ter diretamente p = −2 e q = 4/3, e a equacao segmentariada reta sera

x

−2+

y

4/3= 1

ou reescrevendo

3y

4− x

2= 1

Equacoes na Parametrica

Sao equacoes da forma x = f(t) e y = g(t), que relacionamas coordenadas x e y dos pontos da reta com o parametro(variavel) t.

Exemplo

As equacoes x(t) = t + 2 e y(t) = 1 − t definem uma reta,na forma parametrica.


Para se obter a equacao geral da reta, pode-se eliminar oparametro t, isolando-o na primeira equacao:

t = x− 2

e substituindo-o na segunda:

y = 1− (x − 2) = −x + 3

Coeficiente Angular ou Declividade

Numero real m que expressa a tangente trigonometrica desua inclinacao α, ou seja:

m = tanα

Podemos observar que:

r

0 X

Y

Se α = 0 ⇒ tan α = 0⇒ m = 0

0 X

Y

r

α

Se 0 < α < 90 ⇒ tan α > 0⇒ m > 0

0 X

Y

αr

Se 90 < α < 180 ⇒ tan α < 0⇒ m < 0

0 X

Y

r

Se α = 90 ⇒ ∄ tan α⇒ m e indefinido. Nesse caso, a retar se diz vertical.

Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta r quepassa por dois pontos A(xA, yA) e B(xB , yB):

y1

y2

x1 x20

Y

X

B

A α

α

C

m =yB − yA

xB − xA

Posicoes Relativas entre Duas Retas

Paralelismo

Duas retas r e s, distintas e nao-verticais, sao paralelas se,somente se, tem coeficientes angulares iguais. Se r e s saoparalelas αr = αs e entao mr = ms

Exemplo

Determinar a posicao da reta r, da equacao 2x−3y+5 = 0,em relacao a reta s, de equacao 4x− 6y − 1 = 0

Resolucao:

Vamos determinar o coeficiente angular mr da reta r, rees-crevendo a sua equacao na forma geral y = (2x + 5)/3, eentao mr = 2/3.

Para a reta s, temos: y = (4x − 1)/6, de onde ms = 4/6 =2/3, ou seja as retas r e s sao paralelas.

Concorrencia

Duas retas r e s serao concorrentes se tiverem co-eficientes diferentes, isto e, r e s sao concorrentesLongleftrightarrowmr 6= ms.

As retas sao ditas concorrentes porque concorrem para um,e apenas um, ponto em comum.


l1 l

2

α1α2

0

Y

A

θ

P

B X

Perpendicularismo

Se r e s sao duas retas nao-verticais, entao r e perpendiculara s se, somente se, o produto de seus coeficientes angularese igual a −1.

l2

l1

0 X

Y

α

θ

A

P

B

Exemplo

Verificar se as retas f e g, de equacoes 10x + 3y − 5 = 0 e3x− 10y − 4 = 0, respectivamente, sao perpendiculares.

Calculo de mf , coeficiente angular f :

Reescrevemos a equacao da reta f , e obtemos, y = (5 −10x)/3, de onde mf = −10/3.

Calculo de mg, coeficiente angular g:

Reescrevemos a equacao da reta g, e obtemos, y = (3x −4)/10, de onde mg = 3/10.

Verificando a condicao de perpendicularismo:

mf ×mg = (−10/3)(3/10) = −1

entao as retas f e g sao perpendiculares entre si.

Angulo Formado por Duas Retas

Se duas retas l1 e l2, nao perpendiculares, tem coeficientesangulares m1 e m2, respectivamente, o angulo θ, medido nosentido anti-horario, desde a reta l1 ate l2, e considerandoo angulo formado por elas.

Se tan α1 = m1 e tan α2 = m2 e θ e agudo, temos:

tan θ =

∣∣∣∣

m2 −m1

1−m1m2

∣∣∣∣

Caso a reta 2 seja vertical:

Se tan α1 = m1 e θ e agudo, temos:

tan θ =

∣∣∣∣

1

m1

∣∣∣∣

Distancia entre um Ponto e uma Reta

Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equacao ax +by + c = 0 , a distancia entre P e r e dada pela formula:

d(P, r) =

∣∣∣∣

axP + byP + c√a2 + b2

∣∣∣∣

Exemplo

Determinar a distancia entre o ponto A(2, 1) e a reta r, deequacao x + 2y − 14 = 0.

d(A, r) =

∣∣∣∣

2 + 2 · 1− 14√12 + 22

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

10√5

∣∣∣∣

d(A, r) = 2√

5

Pense um Pouco!

• A equacao da reta ja foi estudada em outro conteudoda matematica, com uma outra “aparencia”. Qual eraesse assunto?


1. (Fuvest-SP) Se (m+2n, m−4) e (2−m, 2n) representamo mesmo ponto do plano cartesiano, entao mn e igual a:a) -2b) 0c) 2d) 1e) 1/2

2. (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os doiseixos coordenados, forma com estes um triangulo retangulo.Calcule o valor da hipotenusa desse triangulo.a) 6√

13b) 5√

13/6c) 5√

13d) 6√

13/5e) 0

3. (UFMG) A reta r dada pela equacao 2x + 4y − 3 = 0intercepta o eixo das ordenadas no ponto:a) −3/4b) −1/2c) 3/4d) 1/2e) 3/2

4. (PUC-MG) O valor de x para que os pontos (1, 3), (−2, 4)e (x, 0) do plano sejam colineares e:a) 8b) 9c) 11d) 10e) 5



5. (Cesgranrio-RJ) A equacao da reta mostrada na figuraabaixo

3

−4 X

Y

0

e:a) 3x + 4y − 12 = 0b) 3x− 4y + 12 = 0c) 4x + 3y + 12 = 0d) 4x− 3y − 12 = 0e) 4x− 3y + 12 = 0

6. (Fuvest-SP) A reta r tem equacao 2x+y = 3 e interceptao eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e eperpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s interceptao eixo x e a reta r, respectivamente:a) determine a equacao de s;b) calcule a area do triangulo ABC.

7. Se o ponto P (k,−2) satisfaz a relacao x + 2y − 10 = 0,entao o valor de k2 e:a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0

Matematica A Aula 9

Circunferencia

Conceito

E o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantesde um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centroda circunferencia.

Raio

E o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquerda circunferencia.

Equacao Reduzida da Circunferencia

Sendo C(xC , yC) o centro e P (x, y) um ponto qualquer dacircunferencia, a distancia de C a P , chamada d(C, P ), euma constante R, o raio da circunferencia.

d(C, P ) =√

(x− xC)2 + (y − yC)2 = R

ou seja,

(x− xC)2 + (y − yC)2 = R2

e a equacao reduzida da circunferencia.

xC

yC

y

x

yC

x

y

xC

xC yC

0

P(x,y)

Y

X

C( , )

R

Figura 1: Uma circunferencia de raio R, com centrono ponto C(xC , yC).

A equacao reduzida da circunferencia e permite determinardiretamente os elementos essenciais para a construcao dacircunferencia: as coordenadas do centro e o raio.

Quando o centro da circunferencia estiver na origem,O(0, 0), a equacao da circunferencia sera simplesmente

x2 + y2 = R2

Exemplo

Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da cir-cunferencia da equacao (x− 3)2 + (y + 1)2 = 16.

Comparando a equacao dada, com a equacao reduzida dacircunferencia temos:

x− 3 = x− xC =⇒ xC = 3

y + 1 = y − yC =⇒ yC = −1

16 = R2 =⇒ R = 4

entao o centro da circunferencia e o ponto

C(3,−1), e o possui raio R = 4.

Equacao Geral da Circunferencia

Desenvolvendo a equacao reduzida, obtemos a equacao geralda circunferencia:

(x− xC)2 + (y − yC)2 = R2 =⇒x2 + y2 − 2xCx− 2yCy + x2

C + y2C −R2 = 0

Para determinar o centre e o raio de uma circunferencia, co-nhecendo a equacao geral, basta compara-la com a equacaogeral da circunferencia em sua forma generica.


Exemplo

Determine o centro e raio da circunferencia com equacaogeral igual a x2 + y2 − 6x + 4y − 3 = 0

Comparando com a equacao geral da circunferencia temos:

−2xC = −6 =⇒ xC = 3

−2yC = 4 =⇒ yC = −2

x2C + y2

C −R2 = −3 =⇒ 32 + (−2)2 + 3 = R2

e entao R = +√

16 = 4, ja que procuramos um valor R > 0.

Logo, C(3, 2) e R = 4.

Pense um Pouco!

• De que elementos da circunferencia precisamos conhe-cer para escrever a equacao geral da circunferencia?

• Como podemos saber se um ponto dado esta dentro oufora de uma dada circunferencia?


1. Qual a equacao geral da circunferencia com centro noponto C(2, 3) e que passa pelo ponto P (−1, 2)?a) (x− 3)2 + (y − 2)2 = 10b) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10c) (x− 2)2 + (y − 10)2 = 15d) (x − 2/3)2 + (y − 1)2 = 10e) (x− 10)2 + (y − 2)2 = 3

2. (PUC-RS) O ponto P (−3, b) pertence a circunferencia decentro C(0, 3) e raio R = 5. Quais sao os valores possıveisde b?a) 14 e 20b) -20 e 14c) 8 e 2d) -7 e 1e) 7 e -1

3. A circunferencia com centro na origem (0, 0) e que passano ponto (−3,−4) tem equacao:a) (x− 3)2 + (y − 4)2 = 5b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25c) x2 + y2 = −5d) x2 − y2 = 25e) x2 + y2 − 25 = 0


4. (UFAL) Para a questao utilize os seguintes dados:reta r de equacao x− 2y + 2 = 0reta s de equacao 2x + y − 6 = 0pontos A(−1, 3) e B(3, 0).Seja C o ponto de interseccao de r e s. A equacao da cir-cunferencia de centro C e raio de medida igual a AB e:a) x2 + y2 − 4x + 4y + 17 = 0b) x2 + y2 + 4x− 4y + 3 = 0

c) x2 + y2 − 4x− 4y − 17 = 0d) x2 + y2 + 4x + 4y + 3 = 0e) n. d. a.

5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pon-tos que distam 2 unidades da reta de equacao x− y−3 = 0.Esses pontos pertencem todos:a) as retas de equacoes −x + y + 5 = 0 ou −x + y + 1 = 0b) ao 1 ou 4 quadrante.c) as retas de equacoes −x + y + 3 = ±2

√2

d) a circunferencia de equacao x2 + y2 − 9 = 0e) as retas de equacao −x−y−3/2 = 0 ou −x−y+3/2 = 0

6. Considere uma circunferencia cuja equacao e dada por(y + 1)2 + (x − 3)2 = 16. A maior porcao da area internadessa circunferencia pertenca ao:a) primeiro quadranteb) segundo quadrantec) terceiro quadranted) quarto quadrantee) n. d. a.

Matematica A Aula 10

Circunferencia - II

Posicao Relativa a uma Reta

Uma reta l e uma circunferencia podem ocupar as seguintesposicoes relativas:

Reta Secante

A reta l intercepta a circunferencia em dois pontos.

f

d

C

B

A

Nesse caso, a reta e a circunferencia sao secantes. Pode-severificar, facilmente, que a distancia do centro C ate a retal e menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r.

Reta Tangente

A reta l intercepta a circunferencia em apenas umponto.


C

l

A

d

Nesse caso, a reta e a circunferencia sao tangentes. Pode-se verificar, facilmente, que a distancia do centro ate a retal e igual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r

Exterior

A reta l nao-intercepta a circunferencia.

C l

d

Nesse caso, a reta e a circunferencia sao nao-secantes ouexteriores. Pode-se verificar, facilmente, que a distanciado centro C ate a reta l e maior que o raio r, ou seja,d(C, l) > r.

Calculo da Posicao

Pode-se determinar a posicao de uma reta em relacao a umacircunferencia calculando a distancia da reta ao centro dacircunferencia. Assim, dadas a reta l definida pela equacaoax+by+c = 0 e a circunferencia α definida por (x−xC)2 +(y − yC)2 = r2, com centro C(xC , yC) e raio r, temos:

d(C, l) =

∣∣∣∣

axC + byC + c√a2 + b2

∣∣∣∣

E uma vez determinada essa distancia, fazemos a sua com-paracao com r e classificamos a posicao em um dos trescasos vistos acima: secante, tangente ou exterior.

Exemplo

Vamos determinar a posicao relativa da reta s : x+y−4 = 0em relacao a circunferencia α : x2 + y2 = 1.

Vamos calcular a distancia do centro de C ate s e compara-la com o raio de α. Da equacao da circunferencia temos queC(0, 0) e r = 1, e entao:

d(C, s) =

∣∣∣∣

1 · 0 + 1 · 0− 4√12 + 12

∣∣∣∣

d(C, s) =4√2

= 2√

2

Como d(C, s) > r, a reta s e exterior a α.

Posicao Relativa entre Circunferencias

Para determinar a posicao relativa entre duas circun-ferencias quaisquer de raios R1 e R2, com centros C1 e C2,respectivamente, determinamos a distancia d(C1, C2) entreseus centros e comparamos com R1 + R2 ou com |R1 −R2|,e classificamos os seguintes casos:

Circunferencias Exteriores

Quando d(C1, C2) > (R1 +R2) as circunferencias sao exte-riores.

d(C ,C ) > R + R1 2

R1

C2

C1

1 2

β

α

R2

Circunferencias Secantes

Quando |R1 − R2| < d(C1, C2) < (R1 + R2) as circun-ferencias sao secantes.

R1

C1

C2

α

21|R − R | < d(C ,C ) < R + R1 2 1 2

R2

β

Circunferencias Tangentes

Quando d(C1, C2) = |R1−R2| ou d(C1, C2) = (R1 +R2) ascircunferencias sao tangentes.


d(C ,C ) = R + R1 2

R1

C1

C2

1 2

α

R2

β C2

R1

C1

d(C ,C ) = |R − R |1 2

R2

β

α

21

(a) (b)

Figura 1: Circunferencias tangentes exteriores (a) einteriores (b).

Circunferencias Internas

Quando 0 < d(C1, C2) < |R1 − R2| as circunferencias saointernas.

C1

C2

R1

R

β

α

2

1

d(C ,C ) < |R − R |2 1 2

R1

2R

C = C1

d(C ,C ) = 0 1 2

β

α

2

(a) (b)

Figura 2: Circunferencias internas (a) e concentricas(b).

Circunferencias Concentricas

No caso especial em que d(C1, C2) = 0 as circunferenciassao concentricas.

Pense um Pouco!

• De que elementos da circunferencia precisamos conhe-cer para escrever a equacao geral da circunferencia?

• Quantos pontos no mınimo precisamos para definiruma circunferancia?


1. (UFSC) Determine o raio da circunferencia C1, cujocentro e o ponto de interseccao da reta r de equacao x−y−1 = 0 com reta s de equacao 2x − y + 1 = 0, sabendo queC1 e tangente exteriormente a circunferencia C2 de equacaox2 + y2 − 12x− 6y − 4 = 0.a) 10b) 2c) 3d) 6e) 1

2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) e o ponto medio deuma corda AB da circunferencia (x− 1)2 + y2 = 4, entao a

equacao da reta que contem A e B e dada por:a) y = 2x− 3b) y = x− 1c) y = (3/2)x− 2d) y = −x + 3e) y = −x/2 + 2

3. (UEMT) Dada a circunferencia C de equacao (x− 1)2 +y2 = 1 e considerando o ponto P (2, 1), entao as retas tan-gentes a C passando por P :a) tem equacoes y = 1 e x = 2b) tem equacoes y = 1 (e so uma porque P esta em C)c) sao ambas paralelas a reta y = 1d) tem equacoes x = 1 e y = 2e) nao existem pois P e interno a C


4. (USP) A equacao da reta perpendicular ao eixo dasabscissas que passa pelo ponto medio do segmento AB,onde A(2, 3) e B e o centro da circunferencia de equacaox2 + y2 − 8x− 6y + 24 = 0, e:a) 3x + 4y = 0b) x = 3c) x = 4d) y = 4e) y = 3

5. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e e perpen-dicular a reta AB, onde A(0, 0) e B e o centro da circun-ferencia x2 + y2 − 2x− 4y = 20. Entao a equacao de s e:a) x− 2y = −6b) x + 2y = 6c) x + y = 3d) y − x = 3e) 2x + y = 6

6. (MACK-SP) Em relacao a circunferencia (x− 1)2 + (y−2)2 = 169, a reta 5x + 12y − 198 = 0a) e secanteb) e tangentec) e externad) coincide com reta que contem o diametroe) n. d. a.

7. A equacao da circunferencia tangente as retas x + y = 0e x + y = 8 e que passa pelo ponto (0, 0) e:a) 2x2 + 2y2 − 4x− 4y = 0b) x2 + y2 − 2x− 6y = 0c) x2 + y2 − 4x− 4y = 0d) x2 + y2 + 4x + 4y = 0e) n. d. a.

Matematica B Aula 1

Matrizes

Uma tabela de numeros dispostos em linhas e colunas, comopor exemplo:

Matematica B – Aula 1 219

3 1 4 26 −5 0 −17 11 −3 5

e chamada matriz.

Se essa tabela e formada por m linhas e por n colunas,dizemos que a matriz e do tipo m por n, e indicamos m×n.No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; entao, Ae do tipo 3× 4: A(3× 4).

De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as li-nhas e as colunas por parenteses como na matriz A acima.Podemos tambem utilizar colchetes ou duplas barras.

Exemplos

1. B =

(2 1/2 −35 0 −1

)

e uma matriz (2× 3)

2. C =

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 45 −1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

e uma matriz de ordem 2

3. D =[−1 0 3 5

]e uma matriz (1× 4)

Notacao Geral

Normalmente representamos as matrizes por letrasmaiusculas e seus elementos por letras minusculas, acom-panhadas por dois ındices que indicam, respectivamente, alinha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A dotipo m× n e representada por:

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n

......

... · · ·...

am1 am2 am3 · · · amn

ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n, em que i e j represen-tam, respectivamente, a linha e a coluna que o elementoocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 e o elementoda 3a linha e da 1a coluna.

Exemplo

Na matriz:

A =

[2 6−5 0

]

temos

a11 = 2a12 = 6a21 = −5a22 = 0

Tipos de matrizes

Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas ca-racterısticas.

• Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, comuma unica linha. Por exemplo, a matriz

A =[

5 8 −2 3]

e do tipo 1× 4.

• Matriz coluna : matriz do tipo m × 1, ou seja, comuma unica coluna. Por exemplo,

3−52

e do tipo 3× 1.

• Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja,com o mesmo numero de linhas e colunas; dizemos quea matriz e de ordem n. Os elementos da forma aii

constituem a diagonal principal. Os elementos aij emque i + j = n + 1 constituem a diagonal secundaria.Por exemplo, a matriz

C =

[7 −92 4

]

e do tipo 2× 2, isto e, quadrada de ordem 2.

• Matriz nula: matriz em que todos os elementos saonulos; e representada por 0m×n. Por exemplo,

02×3 =

[0 0 00 0 0

]

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos oselementos que nao estao na diagonal principal sao nu-los. Por exemplo:

B3×3 =

4 0 00 5 00 0 −3

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todosos elementos da diagonal principal sao iguais a 1 e osdemais sao nulos; e representada por In, sendo n aordem da matriz. Por exemplo:

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

Para uma matriz identidade

aij = 1 se i = jaij = 0 se i 6= j

• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), amatriz que se obtem trocando ordenadamente as linhaspelas colunas chama-se transposta de A, e e indicadapor AT . Por exemplo:

A =

2 35 −10 6

=⇒ AT =

[2 5 03 −1 6

]


• Matriz simetrica: matriz quadrada de ordem n talque A = AT . Por exemplo:

A =

3 5 65 2 46 4 8

e simetrica pois temos aij = aji.

• Matriz anti-simetrica: Uma matriz quadrada A =[aij ] e anti-simetrica se AT = −A. Por exemplo:

A =

0 3 4−3 0 −6−4 6 0

• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de Atrocando-se o sinal de todos os elementos de A. Porexemplo, se

A =

(3 04 −1

)

entao

−A =

(−3 0−4 1

)

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, sao iguaisse, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesmaposicao sao iguais. Por exemplo, se

A =

[x yz t

]

e

B =

[8 −15 3

]

A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3.

Pense um Pouco!

• Qual a relacao entre uma matriz A e sua oposta?

• No que a matriz anti-simetrica difere da matrizsimetrica?


1. Escreva a matriz A3×3 = [aij ], onde aij = i + 2j. Deter-mine, em seguida, AT (a matriz transposta de A).

2. Escreva a matriz A2×2 = [aij ] onde

aij = 2i, se i = jaij = j − 10 se i 6= j

3. Seja uma matriz A3,3 com elementos aij = ij . Os ele-mentos da diagonal principal da matriz A sao:a) 0, 1, 2b) 1, 2, 3c) 2, 4, 8d) 1, 4, 9

e) 1, 4, 27f) n. d. a.

4. (ACAFE) Seja A = B, onde

A =

(x2 + 1 0

logx81 y2

)

e B =

(10 y − 24 4

)

entao os valores de x e y serao, respectivamente:a) 2 e 3b) ±2 e ±3c) 3 e 2d) −3 e −2e) ±3 e ±2


5. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determine x, y e

z tais que A =

(2 y − 1 4x z 5

)

.

6. Dada a matriz A = (aij)3×3 tal que aij = i2 + 2j − 5,calcule a12 + a31.

7. Calcule a soma dos elementos da segunda coluna damatriz B = (bij)2×3, em que bij = 2i + j − 1

Matematica B Aula 2

Operacoes com Matrizes

Adicao

Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m × n),somar A com B e obter a matriz A + B, do tipo m×n, ondecada elemento e a soma dos elementos de mesma posicao deA e B. Por exemplo:

Se A =

[2 3 5−1 4 −2

]

e B =

[8 −7 32 4 6

]

entao

A + B =

[2 + 8 3− 7 5 + 3−1 + 2 4 + 4 −2 + 6

]

A + B =

[10 −4 81 8 4

]

Propriedades da Adicao

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m× n), temos asseguintes propriedades para a adicao:

1. comutativa: A + B = B + A

2. associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

3. elemento neutro: A+ 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriznula m× n

4. elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0


Subtracao

Para entendermos a subtracao de matrizes devemos sabero que e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M ea matriz −M , cujos elementos sao os numeros opostos demesma posicao de M . Por exemplo:

M =

[2 −3−5 7

]

=⇒ −M =

[−2 35 −7

]

Com a matriz oposta podemos definir a diferenca de matri-zes:

A−B = A + (−B)

ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com aoposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima,temos:

A−B = A + (−B)

A−B =

[2 3 5−1 4 −2

]

+

[−8 7 −3−2 −4 −6

]

Logo,

A−B =

[−6 10 2−3 0 −8

]

Multiplicacao por um Numero Real

Multiplicar um numero k por uma matriz A e obter a matrizkA, cujos elementos sao os elementos de A multiplicados,todos por k.

A =

2 14 −3−1 5

=⇒ 3A =

6 312 −9−3 15

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m×n e x e y numerosreais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1. associativa: x · (yA) = (xy) · A2. distributiva de um numero real em relacao a adicao de

matrizes: x · (A + B) = xA + xB

3. distributiva de uma matriz em relacao a adicao de doisnumeros reais: (x + y) · A = xA + yA

4. elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 ·A =A

Multiplicacao de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aik)m×n e B = (bik)m×p, define-se como produto de A por B a matriz C = (cij)m × p talque o elemento cij e a soma dos produtos da i-esima linhade A pelos elementos correspondentes da j-esima coluna deB.

C = A · B ⇒ cij =∑p

k=1(Aik · Bik)

Observacao

Somente existe o produto de uma matriz A por outra matrizB se o numero de colunas de A e igual ao numero de linhasde B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matrizproduto e dado pelo numero de linhas de A e pelo numerode colunas de B. Pode existir o produto de A por B, masnao existir o produto de B por A.

Propriedades

Verificadas as condicoes de existencia para a multiplicacaode matrizes, valem as seguintes propriedades:

1. associativa:

(A · B) · C = A · (B · C)

2. distributiva em relacao a adicao:

A · (B + C) = A ·B + A · C

ou

(A + B) · C = A · C + B · C

3. elemento neutro:

A · In = In ·A = A

sendo In a matriz identidade de ordem n.

Geralmente a propriedade comutativa nao vale para a mul-tiplicacao de matrizes (A · B 6= B · A). Nao vale tambemo anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma ma-triz nula, A · B = 0m×n nao implica, necessariamente, queA = 0m×n ou B = 0m×n.

Inversao de Matrizes

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir umamatriz A′, de mesma ordem, tal que A · A′ = A′ · A = In,entao A′ e matriz inversa de A. Representamos a matrizinversa por A−1.

Pense um Pouco!

• Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem(iguais) ?

• (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2, B3×3 e C2×3. Aalternativa em que a expressao e possıvel de ser deter-minada e:a) B2 · (A + C)b) (B ·A) + Cc) (C ·B) + Ad) (A · C) + Be) A · (B + C)



1. Sendo

A =

(1 2−2 1

)

determine sua inversa, se existir.

2. (ACAFE) Dada a matriz A =

(0 12 −2

)

, seja At a

sua matriz transposta. O produto A · At e a matriz:

a)

(0 12 −2

)

b)

(0 21 −2

)

c)

(1 −2−2 0

)

d)

(1 02 1

)

e)

(1 −2−2 8

)

3. (ACAFE) Considere as matrizes A =

(1 2−2 −1

)

,

B =

(xy

)

e

C =

(69

)

. Sendo que A ·B = C, o valor de |x|+ |y| e:a) 15b) 1c) 57d) 9e) 39


4. Dadas as matrizes A =

1 03 25 4

e B =

(2 −1 01 3 4

)

, calcule X = 2A− 3BT .

5. A matriz A = (aij)3×3 e definida, de tal forma que:

aij =

i−j se i>ji∗j se i=j

i + j se i < j

Determine a matriz B = 6 · A−1.

6. Dada a matriz

M =

cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

Calcule B = M ·MT .

7. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M =(

1/3 01/7 1

)

. A soma dos elementos da diagonal principal

da matriz P e:a) 9/4b) −4/9c) 4d) 5/9e) −9/5

8. (UECE) O produto da inversa da matriz A =

(1 11 2

)

pela matriz I =

(1 00 1

)

e igual a:

a)

(−2 1−1 1

)

b)

(2 −11 −1

)

c)

(−2 11 −1

)

d)

(2 −1−1 1

)

e) n. d. a.

Matematica B Aula 3

Determinantes

Determinante e um numero que se associa a uma matrizquadrada. De modo geral, um determinante e indicadoescrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou ante-cedendo a matriz pelo sımbolo det.

Assim, se

A =

[a bc d

]

o determinante de A e indicado por:

det A = det

[a bc d

]

=

∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣

O calculo de um determinante e efetuado atraves de regrasespecıficas que estudaremos mais adiante. E importanteressaltarmos alguns pontos:

1. Somente as matrizes quadradas e que associamos de-terminantes.

2. O determinante nao representa o valor de uma matriz.Lembre-se, matriz e uma tabela, e nao ha significadofalar em valor de uma tabela.

Determinante de 1a Ordem

Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11], o seudeterminante e o numero real a11:

det M = |a11| = a11

Exemplo

M = [5]⇒ det M = 5 ou |5| = 5



Dada a matriz

M =

[a11 a12

a21 a22

]

de ordem 2, por definicao o determinante associado a M ,determinante de 2a ordem, e dado por:

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a12a21


Para o calculo de determinantes de ordem 3 podemos utili-zar uma regra pratica, conhecida como Regra de Sarrus,que so se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, ex-plicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarruspara calcular o determinante

D =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao ladoda terceira:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos ele-mentos da diagonal principal com os dois produtos obtidospela multiplicacao dos elementos das paralelas a essa diago-nal:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

multiplicar e somar

3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementosda diagonal secundaria com os dois produtos obtidos pelamultiplicacao dos elementos das paralelas a essa diagonal:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

multiplicar e subtrair

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, pode-mos escrever o determinante como:

D = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)

− (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)

Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elementoaij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determi-nante MCij , de ordem n− 1, associado a matriz obtida deM quando suprimimos a linha e a coluna que passam poraij . Por exemplo, dada a matriz

M =

[a11 a12

a21 a22

]

de ordem 2, para determinar o menor complementar relativoao elemento a11 (MC11), eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣⇒MC11 = |a22| = a22

De modo analogo, para obtermos o menor complementarrelativo ao elemento a12, eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣⇒MC12 = |a21| = a21

Para um determinante de ordem 3, o processo de obtencaodo menor complementar e o mesmo utilizado anteriormente,por exemplo, sendo

M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

de ordem 3, temos:

MC11 =

∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣= a22a33 − a23a32

Co-fator

Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matrizquadrada o numero Aij tal que

Aij = (−1)i+j ·MCij


Exemplo

Considerando

M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

calcularemos o co-fator A23. Temos que i = 2 e j = 3, logo:A23 = (−1)

2+3 ·MC23. Devemos calcular MC23.

MC23 =

∣∣∣∣

a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣= a11a32 − a12a31

Assim A23 = (−1) · (a11a32 − a12a31)

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M =[aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produ-tos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) damatriz M pelos respectivos co-fatores.

Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:

det M =∑m

i=1 aijAij

em que∑m

i=1 e o somatorio de todos os termos de ındice i,variando de 1 ate m, m ∈ N.

Exemplo

Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema deLaplace:

D =

∣∣∣∣∣∣

2 3 −4−2 1 20 5 6

∣∣∣∣∣∣

Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos:

D = 2(−1)1+1

∣∣∣∣

1 25 6

∣∣∣∣+ (−2)(−1)

2+1

∣∣∣∣

3 −45 6

∣∣∣∣

+0(−1)3+1

∣∣∣∣

3 −41 2

∣∣∣∣

D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68

Observacao

Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus,obteremos o mesmo numero real.

Propriedades dos determinantes

P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)sao nulos, o determinante dessa matriz e nulo.

P2) Se duas filas de uma matriz sao iguais, entao seu deter-minante e nulo.

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz sao proporcionais,entao seu determinante e nulo.

P4) Se os elementos de uma matriz sao combinacoes linearesdos elementos correspondentes de filas paralelas, entao seudeterminante e nulo.

P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriznao se altera quando somamos aos elementos de uma fila,uma combinacao linear dos elementos correspondentes defilas paralelas.

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transpostasao iguais.

P7) Multiplicando-se por um numero real todos os elemen-tos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matrizfica multiplicado por esse numero.

P8) Quando trocamos as posicoes de duas filas paralelas, odeterminante de uma matriz muda de sinal.

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixoda diagonal principal sao todos nulos, o determinante e igualao produto dos elementos dessa diagonal.

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixoda diagonal secundaria sao todos nulos, o determinante eigual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados

por (−1)n(n−1)

2 .

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 =1/det A.

P12) Se k ∈ R, entao det (k · A) = kn · det A.

Pense um Pouco!

• Podemos associar um determinante apenas a matrizesquadradas?


1. (ACAFE) O valor do determinante

∣∣∣∣

log28 log10

4−1/2 312

∣∣∣∣e:

a) 0b) 4c) 7d) 17

2e) 53

2

2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A =(aij) com aij = i2 − j2 e B = (bij) com bij = aij − 3 sei > j, e bij = aij + 3 se i ≤ j.Determine:a) a matriz Ab) a matriz Bc) a matriz A ·Bd) o determinante da matriz A ·B

3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2, onde aij =

−1 se i≥ji+j se i<j , calcular o determinante do produto da matriz

A pela sua transposta, ou seja: det(A × At), onde At e amatriz transposta de A.



4. (UNIFENAS) Dada a matriz A =

[1 02 −4

]

o deter-

minante de sua matriz inversa A−1 e:a) −2b) −4c) 1

2d) 4e) − 1

4

5. (MACK) A e B sao matrizes quadradas de ordem 3 eB = k · A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Entao:a) k = 64b) k = 96c) k = 1

4d) k = 3

2e) k = 4

6. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A =∣∣∣∣∣∣

2 1 31 2 20 1 2

∣∣∣∣∣∣

e:

a) 2b) 1c) −1d) −2e) 3

7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3,apresentada abaixo, cujo determinante e igual a 0, 75.

A =

sen x 0 10 −1 22 sen x 0

Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tan x.

Matematica B Aula 4

Sistemas Lineares

Equacao Linear

Chamamos de equacao linear toda equacao da forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b

onde a1, a2, a3, . . ., an sao numeros reais, que recebem onome de coeficientes das incognitas x1, x2, x3, . . ., xn, eb e um numero real chamado termo independente (quandob = 0, a equacao recebe o nome de linear homogenea).

Exemplos de Equacoes Lineares

3x− 2y + 4z = 7

−2x + 4z = 3t− y + 4

x + y − 3z −√

7t = 0(homogenea)

Exemplos de Equacoes Nao Lineares

xy − 3z + t = 8

x2 − 4y = 3t− 4

√x− 2y + z = 7

Sistema Linear

Um conjunto de equacoes lineares considerados simultanea-mente, como por exemplo:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

E chamado de sistema linear de m equacoes e n incognitas.

A sequencia (r1, r2, r3, · · · ,) e a solucao do sistema, se esolucao para todas as m equacoes do sistema.

Matrizes Associada a um Sistema Linear

Podemos associar dois tipos de matrizes a um sistema linear:

Matriz incompleta e a matriz A formada pelos coeficientesdas incognitas do sistema. Por exemplo, em relacao ao sis-tema:

2x + 3y − z = 04x + y + z = 7−2x + y + z = 4

a matriz incompleta e:

2 3 −14 1 1−2 1 1

Matriz completa e a matriz B que se obtem acrescentando amatriz incompleta uma ultima coluna formada pelos termosindependentes das equacoes do sistema. Desta forma, parao sistema anterior, a matriz completa e:

2 3 −1 04 1 1 7−2 1 1 4

Podemos ainda escrever o sistema anterior de uma formadiferente:

2 3 −14 1 1−2 1 1

·

xyz

=

074

E comum nas questoes de vestibulares cobrarem a descricaomatricial de um sistema. A forma acima e a mais correta.


Sistemas Homogeneos

Um sistema linear e dito homogeneo quando todos os termosindependentes das equacoes sao iguais a zero (nulos):

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

...... 0

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

Exemplo

3x− 2y + z = 0−x + 4y − 3z = 0√

2x + 3y = 0

A sequencia (0, 0, 0, ..., 0) e sempre solucao de um sistemahomogeneo com n incognitas e recebe o nome de solucaotrivial. Quando existem, as demais solucoes sao chamadasde nao-triviais.

Classificacao de um Sistema

Podemos classificar um sistema de equacoes quanto aonumero de solucoes diferentes que ele admite.

Resolvendo o sistema

x + 2y = 52x + 5y = 12

encontramos uma unica solucao: o par ordenado (1, 2). As-sim, dizemos que o sistema e possıvel (tem solucao) e deter-minado (solucao unica).

Para

x + 2y = 12x + 4y = 2

verificamos que os pares ordenados (5,−2), (3,−1), (1, 0),(−1, 1), · · · sao algumas das infinitas solucoes. Por isso,dizemos que o sistema e possıvel (tem solucao) e indetermi-nado (infinitas solucoes).

No caso do sistema

2x + 2y = 6−3x− 3y = 2

verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultanea-mente as equacoes. Portanto, o sistema e impossıvel (naotem solucao). Em resumo, um sistema linear pode ser:

possıvel e determinado ⇒ solucao unica

possıvel e indeterminado ⇒ infinitas solucoes

impossıvel ⇒ nao tem solucao

Sistema Normal

Dizemos que um sistema e normal quando possui o mesmonumero de equacoes (m) e de incognitas (n) e o determi-nante da matriz incompleta associada ao sistema e diferentede zero. Portanto

m = n e detA 6= 0⇒ sistema normal

Regra de Cramer

Qualquer sistema normal possui uma unica solucao, dadapor:

xi =Dxi

D

onde i ∈ 1, 2, 3, ·, n, D = det A e o determinante damatriz incompleta associada ao sistema, e Dxi

e o deter-minante obtido pela substituicao, na matriz incompleta, dacoluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo

Resolva, com o auxılio da regra de Cramer, o sistema:

2x + y = 72x− 3y = 3

Analisando o sistema, temos que m = n = 2.

D =

∣∣∣∣

2 12 −3

∣∣∣∣= −6− 2 = −8 6= 0

como D 6= 0, o sistema e normal e podemos utilizar a regrade Cramer para resolve-lo.

Substituindo, na matriz incompleta

[2 12 −3

]

a coluna C1 pela coluna formada pelos termos independen-tes, encontramos:

Dx =

∣∣∣∣

7 11 −3

∣∣∣∣= −21− 3 = −24

Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independen-tes, encontramos:

Dy =

∣∣∣∣

2 72 3

∣∣∣∣= 6− 14 = −8

Assim:

x =Dx

D=−24

−8= 3 y =

Dy

D=−8

−8= 1

Logo, a solucao do sistema e x = 3 e y = 1.

Pense um Pouco!

O sistema de equacoes lineares

bx− y − 4 = 0x + ay − 1 = 0

e homogeneo?



1. Escreva O sistema

3x− 2y + 2z = 7x + y − z = 4−2x + 3y − 3z = −3

na forma matricial.

2. Verifique se os sistemas sao normais.

a)

x + y = 02x + 3y − z = 23x + −z = 4

b)

x + y + z = 42x + 3y − 5z = 13x + 4y − 4z = 7

3. Determine k ∈ R de modo que o sistema

kx + y = 3x + ky = 5

seja normal


4. Resolva os seguintes sistemas lineares, com o auxılio daregra de Cramer:

a)

3x + y = 52x− 3y = −4

b)

2x + y − 8z = −5x + y − 2z = 0x + 2y − 3z = 6

c)

x + 2y +−3z = 93x− y + 4z = −52x + y + z = 0

d)

1x + 1

y + 1z = 0

1x + 3

y − 5z = 0

1x + 2

y − 3z = 1

Matematica B Aula 5

Discussao de um Sistema Linear

Se um sistema linear tem m equacoes e n incognitas, elepode ser:

1. possıvel e determinado

se D = det A 6= 0; caso em que a solucao e unica.

Exemplo

x− y + z = 32x + y − z = 03x− y + 2z = 6

Temos m = n = 3 e

D =

∣∣∣∣∣∣

1 −1 12 1 −13 −1 2

∣∣∣∣∣∣

= 3 6= 0

Entao, o sistema e possıvel e determinado, tendosolucao unica.

2. possıvel e indeterminado

se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = . . . = Dxn= 0, para

n = 2. Se n ≥ 3, essa condicao so sera valida senao houver equacoes com coeficientes das incognitasrespectivamente proporcionais e termos independentesnao-proporcionais. Um sistema possıvel e indetermi-nado apresenta infinitas solucoes.

Exemplo

x + 3y + 2z = 1−2x + y + z = −2−x + 4y + 3z = −1

D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0

Assim, o sistema e possıvel e indeterminado, tendo in-finitas solucoes.

3. impossıvel

se D = 0 e ∃ Dxi6= 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em que o

sistema nao tem solucao.

Exemplo

x + 2y + z = 12x + y − 3z = 43x + 3y − 2z = 0

D =

∣∣∣∣∣∣

1 2 12 1 −33 3 −2

∣∣∣∣∣∣

= 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣

1 2 14 1 −30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

= 35 6= 0

Como D = 0 e Dx 6= 0, o sistema e impossıvel e naoapresenta solucao.

Pense um Pouco!

Descreva as condicoes que devem ser satisfeitas por um sis-tema para que ele seja:

• possıvel e determinado;

• possıvel e indeterminado;

• impossıvel.


1. Classifique o sistema

x + z = 52x + y + 3z = −1−2x− 2z = 1



2. (UDESC) Considere o sistema de equacoes lineares

bx− y − b = 0

x + ay − a = 0

onde a e b sao numeros reais. Pede-se:a) escrever o sistema na forma matricial;b) determinar os valores de a e b, para que:b.1) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e determinado;b.2) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e indeterminado;b.3) - 0 sistema seja impossıvel ou incompatıvel.

3. Discuta o sistema

x + 2ky = k

kx + 2y = p

segundo os valores de p e k.

4. (UDESC) Considere o sistema de equacoes lineares

2x + 2y = b

3x + ay = 6

onde a e b sao numeros reais.Pede-se:a) escrever o sistema na forma matricial;b) determinar os valores de a e b, para que:b.1) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e determinado;b.2) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e indeterminado;b.3) - 0 sistema seja impossıvel ou incompatıvel.

5. (UDESC) Discuta, segundo os valores dos parametros ae b, o sistema:

ax + y + 2z = b2ax− y + 2z = 12x + y + 2z = 3

Matematica B Aula 6

Progressao Aritmetica

Sequencias

Imagine que na pagina de passatempos de uma revista voceencontre o seguinte problema:

Descubra o elemento que completa a sequencia:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .

Nao haveria dificuldade para voce entender o que foi pedido,pois a nocao de sequencia lhe e familiar: uma lista onde oselementos estao numa certa ordem. Em um calendario, porexemplo, os dias da semana estao em sequencia.

Para resolver o problema, voce precisa descobrir a lei deformacao da sequencia. No caso da questao acima, nao edifıcil perceber que cada elemento, a partir do terceiro, eigual a soma dos dois elementos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 =1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, etc., assim, o elemento quecompleta a sequencia e 13 + 21 = 34.

E usual indicar os elementos de uma sequencia (quee tambem chamada de progressao) por letra, em geral

minuscula, acompanhada de um ındice que localiza aposicao do elemento; assim a1 indica o primeiro elemento,a2 indica o segundo, a3 o terceiro, e assim por diante. Osımbolo an e usado para indicar o enesimo elemento, istoe, o termo de posicao n. Como n pode ser igual a 1,2,3,etc, conforme a posicao do elemento ao qual queremos nosreferir, dizemos que an representa o termo geral da pro-gressao. Utilizando esta nomenclatura podemos descrever,em linguagem matematica, a lei de formacao da sequencia.

Por exemplo, na sequencia dos quadrados dos numeros in-teiros positivos

1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

vemos que o termo geral desta sequencia e

an = n2

Progressao Aritmetica (PA)

Chama-se Progressao Aritmetica (PA) a toda sequencianumerica cujos termos a partir do segundo, sao iguais ao an-terior somado com um valor constante denominado razao.Dependendo da razao r da PA, ela pode ser classificadacomo crescente, decrescente ou constante.

Classificacao

Uma PA fica perfeitamente determinada se conhecermos seuprimeiro termo a1 e sua razao r, pois conhecemos a sua leide formacao.

Para uma PA sobre os numeros reais, ou seja, se a1, r ⊂ Rpodemos usar a seguinte classificacao geral:

r PAr > 0 progressao aritmetica crescenter < 0 progressao aritmetica decrescenter = 0 progressao aritmetica constante

Exemplos

A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, . . .)razao = 4, PA crescente

B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, . . .)razao = 9, PA crescente

C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, . . .)razao = 0, PA constante

D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, . . .)razao = -10, PA decrescente

Termo Geral de uma PA

Seja a PA generica (a1, a2, a3, a4 . . . , an−1, an, . . .) de razaor. Podemos escrever:

a2 = a1 + ra3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2ra4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r


Podemos generalizar das igualdades acima que o termo ge-ral de uma PA e:

an = a1 + (n− 1)r

, onde an e o termo de ordem n (n-esimo termo), r e a razaoe a1 e o primeiro termo da PA.

E facil perceber que uma PA esta perfeitamente determi-nada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua razao r.

Exemplos

1. Qual o milesimo numero ımpar positivo?

Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . . ) onde o primeiro termo ea1 = 1, a razao e r = 2 e queremos calcular o milesimotermo (a1000).

Nestas condicoes, n = 1000 e poderemos escrever:

a1000 = a1 + (1000− 1) · 2a1000 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999

Portanto, 1999 e o milesimo numero ımpar.

2. Qual o numero de termos da PA: (100, 98, 96, . . . , 22)?

Temos a1 = 100, r = 98 − 100 = −2 e an = 224e desejamos calcular n. Substituindo na formula dotermo geral, temos:

22 = 100 + (n− 1) · (−2)

logo,

22− 100 = −2n + 2 e22− 100− 2 = −2n

de onde conclui-se que −80 = −2n ⇒ n = 40. Por-tanto, a PA possui 40 termos.

Propriedades da PA

Media dos Vizinhos

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) e amedia aritmetica dos termos vizinhos deste.

Exemplo

Observe a PA de 9 termos:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

e note que:

5 = 9+12 , 9 = 13+5

2 , 25 = 29+212 , etc.

Termos Equidistantes

Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos ex-tremos e constante.

Exemplo

Observe a PA

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

e note que

1 + 33 = 34, 5 + 29 = 34, 9 + 25 = 34, 13 + 21 = 34, etc.

Soma dos Termos de uma PA

Considerando a PA (a1, a2, a3, . . . , an−2, an−1, an), a somaSn dos n primeiros termos dessa progressao pode ser escritaassim:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−2 + an−1 + an

Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an (33)

Sn = an + (an − r) + (an − 2r) + . . . + a1 (34)

Como a soma dos termos equidistantes dos extremos e sem-pre constante, somando (33) com (34) membro a membro,obtemos:

2sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . . + (a1 + an) = (a1 + an)n

finalmente:

Sn =(a1 + an)n

2

Esta e a expressao que nos da a soma dos n primeiro termosde uma PA.

Exemplo

Vamos calcular a soma dos 200 primeiros numeros ımparespositivos. Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . .) e precisamos conhe-cer o valor de a200.

Neste caso

a200 = a1 + (200− 1) · r = 1 + 199 · 2 = 399

e logo,

Sn = [(1 + 399) · 200]/2 = 40.000

Portanto, a soma dos duzentos primeiros numeros ımparespositivos e igual a 40.000.

Pense um Pouco!

• Compare a formula do termo geral de uma PA com aequacao da reta. Comente.

• Se fizermos um grafico an×n de alguns termos de umaPA, que tipo de grafico obteremos?


1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA(−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .).

2. Encontre a soma dos sete primeiros termos de uma PAem que o 5o termo e 17 e o 3o e 11.

3. Calcule o numero n de termos da PA 7, 9, 11, 13, . . .,sabendo que a soma deles e 160.



4. As medidas dos lados de um triangulo sao expressas porx + 1, 2x, x2 − 5 e estao em PA, nesta ordem. O perımetrodo triangulo vale:a) 8b) 12c) 15d) 24e) 33

5. (UFBA) - Um relogio que bate de hora em hora o numerode vezes correspondente a cada hora, batera, de zero as 12horas x vezes. Calcule o dobro da terca parte de x.

6. (UFBA) - Numa progressao aritmetica, o primeiro termoe 1 e a soma do n-esimo termo com o numero de termos e2. Calcule a razao dessa progressao.

7. Determinar o centesimo termo da progressao aritmeticana qual a soma do terceiro termo com o setimo e igual a 30e a soma do quarto termo com o nono e igual a 60.

Matematica B Aula 7

Progressao Geometrica (PG)

Entenderemos por progressao geometrica (PG) qualquersequencia de numeros reais ou complexos, onde cada termoa partir do segundo, e igual ao anterior, multiplicado poruma constante denominada razao. A partir da definicaoanterior, podemos escrever:

an = an−1r , onde an 6= 0

para n = 1, 2, 3, . . ..

A razao r pode ser obtida de dois termos consecutivos daPG:

r =an

an−1

Chama-se progressao geometrica ou PG a toda sequencianumerica cujos termos a partir do segundo, sao iguais aoanterior multiplicado por um valor constante denominadorazao. Dependendo a razao r da PG e do primeiro termoa1 a sequencia de valores obtidos pode ser crescente, de-crescente ou constante.

Classificacao

Uma PG esta perfeitamente determinada se conhecermosseu primeiro termo a1 e sua razao r, pois conhecemos a leide formacao.

Para uma PG sobre os numeros reais, ou seja, se a1, r ⊂ Rpodemos usar a seguinte classificacao geral:

a1 r PGa1 > 0 r > 1 progressao geometrica crescentea1 > 0 r < 1 progressao geometrica decrescentea1 < 0 r > 1 progressao geometrica decrescentea1 < 0 r < 1 progressao geometrica crescente∀a1 ∈ R r = 1 progressao geometrica constantea1 = 0 r = 0 progressao geometrica nula

Exemplos

2, 6, 18, 54, 162, . . .PG crescente de razao 3

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, . . .PG decrescente razao 1/2

−5,−5,−5,−5,−5,−5,−5, . . .PG constante de razao 1

(1,−3, 9,−27, 81,−243, . . .)PG alternada (ou oscilante) de razao −3

Termo Geral da PG

Numa PG (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) de razao r, pela definicao,temos:a2 = a1 · ra3 = a2 · r = (a1 · r)r = a1 · r2

a4 = a3 · r = (a1 · r2)r = a1 · r3

Assim, podemos verificar que a10 = a1 · r9 ou a40 = a1 · r39.Portanto:

an = a1rn−1

para n = 1, 2, 3, . . ..

Observacoes

1. Note que sao necessarios pelo menos tres termos paraidentificar e diferenciar uma PA de uma PG, por exem-plo.

2. Uma PG generica de 3 termos, pode ser expressa como:(x/r, x, xr), onde r e a sua razao.

3. Uma PA generica de 3 termos, pode ser expressa como:(x− r, x, x + r), onde r e a sua razao.

Exemplos

1. Dada a PG (2, 4, 8, . . .), vamos calcular o decimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = . . . = 2.

Para calcular o decimo termo a10, temos:a10 = a1 · r9 = 2 · 29 = 2 · 512 = 1024

2. Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eigual a 20 e o oitavo termo e igual a 320. Qual a razaodesta PG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever:a4 = a1 · r4−1 e a8 = a1 · r8−1

a4 = a1 · r3 e a8 = a1 · r7

Daı, vem:

a4

r3=

a8

r7

r7

r3=

a8

a4

r4 =a8

a4

r4 =320

20


Entao r4 = 16 e portanto r = 2.

Produto dos Termos de uma PG

Dada a PG (a1, a2, a3, . . . , an), com r 6= 0, podemos calcularo produto Pn de seus n primeiros termos assim:

Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an =

a1(a1 · r)(a1 · r2) · . . . · (a1 · rn−1) =

(a1 · a1 · a1 · . . . · a1)︸︷︷︸

n fatores

(r · r2 · r3 · . . . · rn−1)

Aplicando a propriedade das potencias de mesma base, te-mos:

Pn = a1n · r1+2+3+...+n−1

Como 1 + 2 + 3 + n + . . . + n − 1 representa a soma dostermos de uma PA, temos

Pn = a1n · r n(n−1)

2

Soma dos Termos de uma PG

Vamos indicar por Sn a soma dos n primeiros termos da PG(a1, a2, a3, . . . , an−1, an, . . .):

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an (35)

Se multiplicarmos ambos os membros da equacao acima porr, vem

r · Sn = a1 · r︸︷︷︸

a2

+ a2 · r︸︷︷︸

a3

+ a3 · r︸︷︷︸

a4

+ . . . + an−1 · r︸︷︷︸

an

+an · r

r · Sn = a1 + a2 + a3 + a4 . . . + an + an · r (36)

Efetuando, agora, a subtracao 36 - 35, obtemos (para r 6= 1),a formula da soma:

Sn =a1(r

n − 1)

r − 1

Exemplo

Calculemos a soma dos 10 primeiros termos da PG1, 2, 4, 8, . . ..

Temos:

Sn = 1·(210−1)2−1 = 1023

Observe que neste caso a1 = 1.

Soma dos Termos de uma PG constante

Neste caso trivial, como a PG e constante, temos r = 1.Entao

Sn = a1 + a1 + a1 + . . . + a1 ⇒ Sn = n · a1

Soma dos Termos de uma PG infinita

Dada a PG infinita (a1, a2, a3, . . .) de razao r, r 6= 0, paradeterminar a soma S dos seus infinitos termos, temos:

a) se r ≤ −1 ou r ≥ 1, S tende a ±∞ (o que significa queS e indeterminada;

b) se −1 < r < 1, S converge para um valor finito.

A partir da formula da soma dos n primeiros termos de

uma PG, Sn = a1(rn−1)

r−1 , temos que, quando n tende a +∞,rn tende a zero, portanto, a formula para calcular S, com|r| < 1, e:

S =a1(0− 1)

r − 1=−a1

r − 1

logo,

S =a1

1− r

Propriedades Principais da PG

Produto de Termos Vizinhos

Em toda PG, um termo qualquer, com excecao do primeiroe do ultimo, tem seu quadrado igual ao produto dos termosimediatamente anterior e posterior, ou seja, a2

n = an−1an+1.

Exemplo

Na PG 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . . temos:

102 = 5 · 20 = 100202 = 10 · 40 = 400402 = 20 · 80 = 1.600802 = 40 · 160 = 6.400...

Produto de Termos Equidistantes

O produto dos termos equidistantes dos extremos de umaPG e constante: a1an = a2an−1 = a3an−2 = . . .

Exemplo

Na PG alternada com 6 termos−2, 2/3,−2/9, 2/27,−2/81, 2/243 temos:

−2 · 2/243 = 2/3 · −2/81 = −2/9 · 2/27 = −4/243

Pense um Pouco!

• Dada a PG 5, 10, 20, 40, 80, . . ., determine sua razao.

• Fazendo-se um grafico dos termos de uma PG an × n,que tipo de comportamento terıamos? Comente.


1. Verifique se cada uma das sequencias e PG, determi-nando, em caso afirmativo, a razao r.a) 3/4,−9/2, 54/2, . . .b) −3/5, 2/5,−415, . . .

2. Determine o produto dos 53 termos iniciais da PG2−26,−2−25, 2−24, . . ..

3. (UnB) O valor de x na equacao

x

(9

5+

3

5+

1

5+ . . .

)

=27

4

e:a) 1


b) 3/5c) 4/3d) 5/2e) 45/8


4. (UFRS) A cada balanco uma firma tem apresentado umaumento de 10 % em seu capital. A razao de progressaoformada pelos capitais nos balancos e:a) 10b) 11/10c) 20/11d) 9/10e) 1/10

5. Sabe-se que x− 16, x− 10 e x + 14 sao os tres primeirostermos de uma PG. Calcule o seu 14o termo.

6. (Ucsal-BA) A soma dos tres primeiros termos de umaprogressao geometrica e −3/4 e a soma dos tres termos se-guintes e 6. A razao dessa progressao e:a) −4b) −2c) 1/2d) 2e) 1/8

7. (UGF-RJ) Calcule a razao de uma PG, na qual o 1o

termo e 1/2 e o 4o e 4/27.

8. (PUC-SP) O 7o termo de uma PG e 8 e a razao e−2. De-termine a soma dos tres primeiros termos dessa progressao.

Matematica C Aula 1

Teoria dos Conjuntos

Historia

As nocoes que deram origem a Teoria dos conjuntos, estaodiretamente ligadas aos estudos dos matematicos ingle-ses Augustus De Morgan (1806 − 1871) e George Boole(1815− 1864), considerados fundadores da logica moderna.Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentadosos fundamentos de uma algebra especıfica para o estudoda logica. Em seus trabalhos, ele utilizou frequentementerelacoes entre “conjuntos”de objetos. Entretanto, nao che-gou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado.

Somente em 1890, o matematico russo George Cantor(1845 − 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dosNumeros, publicou na Alemanha uma serie de proposicoes edefinicoes que vieram a se constituir na linguagem simbolicapara a logica, a Teoria dos Numeros e outros ramos da Ma-tematica. Em funcao disso, Cantor e conhecido como o cri-ador da Teoria dos Conjuntos. Na formulacao dessa teoria,Cantor utilizou tambem formas de representacao em diagra-mas que ja tinham sido utilizadas no estudo da Logica porLeonhard Euler (1707−1783) e por John Venn (1834−1923).

(a) (b)

Figura 1: George Boole (1815–1864) (a) e George Can-tor (1845-1918) (b)

Conjunto

A nocao de conjunto e aceita sem definicao, como conceitoprimitivo, formada a partir da ideia de colecao: Assim, po-demos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos,numeros, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que temum nome especial chamado coletivo. Exemplo: O coletivode cavalos e manada, o coletivo de estrelas e constelacao,o coletivo de lobos e alcateia. Cada um dos integrantes deum conjunto e chamado de elemento do conjunto. Em ge-ral, indicamos o nome de um conjunto por letras maiusculas(A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se supoe distintosentre si, dois a dois, por letras minusculas (a,b,c,. . . ,z).

A nocao de constituir associamos, em matematica, o con-ceito tambem primitivo de pertencer.

Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemosque o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamosessa relacao por:

a ∈ V

Para indicar que a consoante m nao pertence a V , escreve-mos:

m /∈ V

Os sımbolos ∈ (pertence) e /∈ (nao pertence), sao sempreutilizados no sentido do elemento para o conjunto.

Representacao de Conjuntos

Um conjunto pode ser representado de varias formas dis-tintas: por enumeracao, por uma propriedade caracterısticaou por diagramas.

Enumeracao

Neste caso, escrevemos seus elementos entre chaves, separa-dos por vırgulas e sem repeticao.

Exemplo

O conjunto P dos numeros primos menores do que 20:

P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Propriedade Caracterıstica

Para representar um conjunto atraves de uma propriedadecaracterıstica α, escrevemos:

Matematica C – Aula 1 233

A = a | a tem a propriedade α.Exemplo

Para o conjunto do exemplo anterior, temos:

P = x | x e primo e menor do que 18.

Diagramas de Venn

Na representacao por diagrama, tracamos uma linha fe-chada em torno dos seus elementos associados a pontos.

Exemplo

O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais.

a

Ae

i

ou

U = alfabeto

Figura 2: Diagrama de Venn para o conjunto A dasvogais.

Em geral, o diagrama de Venn representa tambem o con-junto universo U , que contem o conjunto representado. Paraisso, desenha-se em torno do diagrama um retangulo repre-sentando o conjunto U .

Classificacao dos Conjuntos

Podemos classificar um conjunto de acordo com o seunumero de elementos n(D). Portanto, um conjunto D echamado conjunto vazio se nao possui elementos. Isto e:

n(D) = 0⇔ vazio

Representamos o conjunto vazio por:

D = ou D = Ø

Por outro lado, um conjunto D e dito conjunto unitario,quando tiver apenas um elemento, isto e: n(D) = 1.

n(D) = 1 ⇔ D e unitario

Quando nao se pode contar o numero de elementos, temosum conjunto infinito, caso contrario, temos um conjuntofinito.

Igualdade

Um conjunto A sera igual a um conjunto B, se ambospossuırem os mesmos elementos, isto e, se cada elementoque pertence a A pertencer tambem a B e vice-versa.

A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A e x ∈ B

Exemplo

Seja A = 5, 7, 9 e B = 9, 7, 5. Veja que: A = B, poistodo elemento que pertence a A e tambem elemento de B,e todo elemento de B e elemento de A.

Subconjunto

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outroconjunto B, dizemos que A e subconjunto de B. Assim:A ⊂ B, que se le: A esta contido em B. Simbolicamenteescrevemos:

A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B)

Exemplos

O conjunto A = 4, 3, 2, 5 e um subconjunto de B =1, 2, 3, 4, 5, 6, pois cada um dos elementos de A se achaem B (note que a recıproca nao e verdadeira). Quandodois conjuntos C e D tem todos os elementos em comum(C = D), implica em:

C ⊂ D e D ⊂ C

O conjunto C = 3, 6, 9 esta contido em D = 9, 3, 6 evice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A quenao pertenca a B, dizemos que A nao esta contido em B,ou que A nao e subconjunto de B.

(∃ x | x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir umnovo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjun-tos possıveis de A. A esse novo conjunto chamamos de:Conjunto das partes de A, que e representado por P (A).

P (A) = x | x ⊂ A

Exemplo

Sendo o conjunto A = 2, 3, 5, podemos escrever seussubconjuntos como segue:

Sem nenhum elemento — ∅Com um elemento — 2,3,5Com dois elementos — 2, 3,2, 5,3, 5Com tres elementos — 2, 3, 5

Assim, temos:

P (A) = ∅, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 5, 3, 5, 2, 3, 5

Pode-se demonstrar que, se n(A) = k entao, o numero deelementos n(P (A)) que formam o conjunto das partes de A,e dado por 2k.

Operacoes com Conjuntos

Uniao

A uniao entre dois conjuntos A e B consiste num outroconjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a


B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, le-se:C e igual a A uniao B. De uma maneira mais concisa adefinicao dada acima pode ser escrita simbolicamente por:

A ∪B = x | x ∈ A ou x ∈ B

Exemplo

Fazendo a uniao dos conjuntos A = 2, 4, 7 e B = 1, 3, 4,temos: A∪B = 1, 2, 3, 4, 7 Tambem podemos representara uniao usando diagramas:

B

32

7

41A

U = N

Figura 3: Uniao de conjuntos.

Observacao:

Nao e necessario que se repitam os elementos comuns aosdois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 e comumtanto a A como a B, no conjunto uniao ele deve ser escritouma so vez.

Propriedades da Uniao

• A ∪A = A, pois: A ∪A = x | x ∈ A ou x ∈ A.• A ∪ B = B ∪ A, ou seja a uniao e comutativa, visto

que: A ∪ B = x | x ∈ A ou x ∈ B = x | x ∈B ou x ∈ A = B ∪A.

• A ⊂ (A ∪ B) e B ⊂ (A ∪ B), isto e, tanto A como Bsao subconjuntos do conjunto A ∪B.

• ∅ ∪A = A , visto que: ∅ ∪A = x | x ∈ ∅ ou x ∈A, como se sabe o conjunto vazio nao tem elementos,logo; resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅∪A = A.

Interseccao

Chamamos de interseccao de um conjunto A com outro con-junto B, ao conjunto constituıdo pelos elementos x que per-tencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse con-junto indicamos: A∩B, le-se: “A interseccao B”. Esque-maticamente temos:

A ∩B = x | x ∈ A e x ∈ B

Exemplo

Sejam L = c, a, r, l, o, s e V = a, e, i, o, u, temos: L ∩V = a, o. Em diagramas:

Propriedades da Interseccao

• A ∩B = A.

• A ∩B = B ∩A.

ao e

i

lc

r

u

sL

VU=a,b,c,...,x,y,z

Figura 4: Interseccao de conjuntos.

• (A ∩B) ⊂ A e (A ∩B) ⊂ B.

• ∅ ∩A = ∅.

Complemento e Universo

Em muitos casos, faz-se necessario que consideremos umconjunto mais amplo que os demais. A esse conjunto (quecontem todos os outros como subconjuntos) e denominadode conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a le-tra maiuscula U . Obs.: A nocao de conjunto Universoe relativa, dependendo das circunstancias e amplitude docontexto que desejamos emprega-la.

Exemplos

• para os conjuntos de numeros inteiros, Z o conjuntouniverso;

• para os conjuntos de letras, o alfabeto e o conjuntouniverso;

• para os resultados da loteria, N e o conjunto universo;

• para o conjunto das raızes de 4, +2,−2 e o conjuntouniverso.

Na maioria dos assuntos estudados em matematica, o con-junto dos numeros reais e o conjunto universo.

Diferenca

Denominamos diferenca A − B (le-se: A menos B), o con-junto formado pelos elementos pertencentes a A e nao a B,ou seja:

A−B = x | x ∈ A e x 6∈ B

Exemplo

Considerando os conjuntos: L = c, a, r, l, o, s e V =a, e, i, o, u, temos que a diferenca A−B = c, r, l, s.Em diagramas:

Propriedades

• A−A = ∅

• A−∅ = A

• ∅−A = ∅

• A ⊂ B ⇒ A−B = ∅


ao e

i

lc

r

u

s

VU=a,b,c,...,x,y,z

L

Figura 5: Diferenca de conjuntos.

Complementar de um Conjunto

Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamosa diferenca A−B de: Complementar de B em relacao a A.

Exemplo

Temos os conjuntos A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6. Noteque B ⊂ A; Assim, temos que A−B = 1, 2, 3, 4.

U = N

13

42

A

65

B

Figura 6: Complementar de B em relacao a A.

Pense um Pouco!

• Qual o conjunto universo para os resultados de umlancamentos de um dado?

• Qual o conjunto uniao das letras do seu nome?

• Qual o conjunto de dinossauros vivos?

• ∅ e o mesmo que ? Explique.


1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as unicasmaterias dadas sao portugues e matematica, 240 alunosestudam portugues e 180 alunos estudam matematica. Onumero de alunos que estudam portugues e matematica e:a) 120b) 60c) 90

d) 120e) 180

2. Se um conjunto A possui 8 subconjuntos, entao o numeromınimo de elementos de A e?a) 6b) 5c) 4d) 3e) 2

3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = x ∈ R | − 3 <x < 5 e B = x ∈ Z | − 1 < x < 7. Quantos elementospossui A ∩B?a) infinitosb) 8c) 7d) 6e) 5


4. (PUC-CAMPINAS) Numa industria, 120 operarios tra-balham de manha, 130 trabalham a tarde, 80 trabalham anoite; 60 trabalham de manha e a tarde, 50 trabalham demanha e a noite, 40 trabalham a tarde e a noite e 20 traba-lham nos tres perıodos. Assim:a) 150 operarios trabalham em 2 perıodosb) ha 500 operarios na industriac) 300 operarios nao trabalham a tarded) ha 30 operarios que trabalham so de manhae) n. d. a.

5. (PUC-SP) Se A = ∅ e B = ∅, entao:a) A ∈ Bb) A ∪B = ∅c) A = Bd) A ∩B = Be) B ⊂ A

6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A eB, foram entrevistas n pessoas, das quais descobriu-se que:40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomemA e B e 20 pessoas nao consomem o produto A. Qual onumero n de pessoas que foram entrevistadas?a) 85b) 75c) 60d) 90e) n.d.a

7. (CESGRANRIO) Em uma universidade sao lidos doisjornais A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornalA e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno e leitor depelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que leemambos e:a) 48%b) 60%c) 40%d) 140%e) 80%


Matematica C Aula 2

Conjuntos Numericos

O Nascimento do Numero

A nocao de numero tem provavelmente a idade do homeme certamente sempre esteve ligada a sua necessidade de re-gistrar e interpretar os fenomenos que o cercavam.

Os primeiros sımbolos numericos conhecidos surgiram como intuito de representar a variacao numerica em conjuntoscom poucos elementos. Com a ampliacao e a diversificacaode suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criarnovos sımbolos numericos e processos de contagem e desen-volver sistemas de numeracao.

A maioria dos sistemas de numeracao tinha como base osnumeros 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedosque temos nas maos. Esses sistemas ainda nao possuıam anotacao posicional nem o numero zero.

Os primeiros registros da utilizacao da notacao posicionalocorreram na Babilonia, por volta de 2.500 a.C. Ja o apare-cimento do zero data do seculo IX e e atribuıdo aos hindus.

Tambem se atribuiu aos hindus o atual sistema de nu-meracao posicional decimal, que foi introduzido e difun-dido na Europa pelos arabes. Por essa razao, esse sistema ecostumeiramente chamado de sistema de numeracao indo-arabico.

Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), tambem cha-mado Fibonacci, a difusao do sistema indo-arabico na Eu-ropa, atraves de sua obra Lıber Abacci, de 1202.

Figura 1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240).

Conjuntos Numericos

1. Conjunto dos numeros naturais (N):

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .N∗ = 1, 2, 3, 4, 5, . . .

2. Conjunto dos numeros inteiros (Z):

Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .Z+ = 0, 1, 2, 3, . . .Z∗

+ = 1, 2, 3, 4, . . .

3. Conjunto dos numeros racionais (Q): Todo numero quepuder ser representado na forma de uma fracao com nu-merador e denominador inteiros e chamado “numeroracional”.

Q = x|x = ab , a ∈ Z, b ∈ Z∗

Exemplo

13 , 7

5 , 31

⊂ Q.

4. Conjunto dos numeros irracionais (Q′): Todo numeroque nao pode ser representado na forma de uma fracao,com numerador e denominador inteiros e chamado“numero irracional”.

Exemplos

π = 3, 1415926535 . . .√2 = 1, 414213562 . . .√3 = 1, 7320508 . . .

e = 2, 718281827 . . .

Observacao

Note que as dızimas periodicas sao numeros racionais,enquanto as dızimas nao periodicas sao numeros irra-cionais.

5. Conjunto dos numeros reais (R): e o conjunto obtidocom a uniao do conjunto dos numeros racionais com odos numeros irracionais.

Representando em diagramas temos:

U=R

ZQ N

Q´

Figura 2: Os conjuntos numericos.

Operacoes com Numeros Inteiros

I) Adicao e Subtracao

I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo si-nal.

I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e da-se o sinal domaior.


II) Multiplicacao e Divisao: Aplica-se a regra dossinais:

+ + = +− + = −+ − = −− − = +

Observacao: Pela ordem, resolver ( ), [ ] e .

Exemplo

−3 · 14 ÷ (−7) − 3 · [4 − (10 − 12 + 9 − 7 − 4) ÷ 2] =−3 · −2− 3 · [4− (−4)÷ 2]= −3 · −2− 3 · [4 + 2]= −3 · −2− 3 · [+6]= −3 · −2− 18= −3 · −20= 60

Potenciacao

An = X

onde:

A = Base;n = Expoente;X = Potencia;

Casos Especiais

X1 = X1n = 10n = 0X0 = 1

Regras

1. se o expoente e par: resultado positivo.

2. se o expoente e ımpar: repete-se o sinal da base.

Propriedades

1. am · an = am+n

2. am ÷ an = am−n

3. (am)n = am·n

4. (am · bn)n = am·x · bn·x

5. (am/an)x = amx/bnx

6. a−m = 1/am

Potencias de “Base 10”

A) 10n = 1 000 . . .0︸︷︷︸

“n”zeros

B) 10−n = 1/1 000 . . .0︸︷︷︸

“n”zeros⇒ 0, 000 . . .01

︸︷︷︸

“n”casas

Pense um Pouco!

• Quantos numeros inteiros tem no intervalo real 0 <x < 3?

• Quantos numeros racionais tem no intervalo anterior?

• Quanto e −1100?


1. O valor de ((23)3)3 e:a) 212

b) 1024c) 281

d) 1e) n.d.a.

2. O valor da expressao

[13− (8 ÷ 2− 3− 7 + 2 · 3)]÷ [25÷ (−3− 22)]

e:a) −13b) 14c) 13d) 0e) n.d.a.

3. A expressao (a7 · b3 · c5 · b4)/(c3 · b6 · a7 · c) e igual a:a) a2 · bb) b · cc) b

cd) 1e) n.d.a.


4. Resolvendo 108·102·105·104

103·10·108

a) 5 · 1012

b) 100c) 103

d) 107

e) n.d.a.

5. O valor da expressao

72÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30− 20 + 10)÷ 5]

e:a) +20b) −20c) −14d) +14e) n.d.a.


6. O valor de(

1622

)3 − (23)2

e:a) 0b) 9

4c) 1d) 2e) n.d.a.

7. (22)3 · (23)

2:

a) 215

b) 212

c) 1024d) 214

e) n.d.a.

8. O valor de (24)5 · 2−8 e:

a) 218

b) 215

c) 20

d) 212

e) n.d.a.

Matematica C Aula 3

Numeros complexos (C)

Algumas equacoes nao possuem solucao no conjunto dosnumeros reais, por exemplo, a equacao:

2x2 + 18 = 0

Como se trata de uma equacao incompleta (b = 0), podemosresolve-la isolando a variavel. Assim:

x2 =−18

2⇒ x =

√−9

Como nao existe raiz quadrada de numero negativo no con-junto dos reais, a equacao acima dada nao tem solucao real.Para que equacoes sem solucoes reais, como a dada acima, osmatematicos comecaram a utilizar novos entes matematicos.Essa representacao foi considerada, a princıpio, como umpassatempo.

Particularmente, o numero√−1 foi denominado unidade

imaginaria, devido a desconfianca que os matematicos ti-nham dessa nova criacao.

Unidade Imaginaria

Para simplificar a notacao, adotou-se a letra ”i”para desig-nar o numero

√−1, isto e:

i =√−1 ⇔ i2 = −1

Com isso, a solucao da equacao proposta acima e:

x = ±√

9 · (−1) ⇒ x = ±3i

Potencias Naturais de i

Consideremos as potencias do tipo im, em que m e natural.Vejamos alguns exemplos:

i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −1i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −1...i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = −1 i4n+3 = −1

Observe que:

i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0

Ou seja, a soma das quatro potencias de i cujos expoentessao numeros naturais consecutivos e igual a zero.

Note que, a medida que n cresce, os resultados de in, vao serepetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatrovalores da sequencia: 1, i,−1,−i. Ou seja:

in ∈ 1, i,−1,−i, (n ∈ N)

Para n ≥ 4, podemos dividir n por 4 e escrever

n = 4 · q + r

Entao, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4)q · ir = (1)

q · ir = ir, ouseja:

in = ir

Exemplo

Calcule o valor de i3795.

Como 3795 = 948 · 4 + 3, temos r = 3 e

i3795 = i3 = −i

Forma Algebrica

Todo numero complexo pode ser escrito na forma z = a+b·i,com a e b ∈ R. Tal forma e denominada forma algebrica.

O numero real a e denominado parte real de z, e o numeroreal b e denominada parte imaginaria de z.

z = a + b · i⇒

Re(z) = aIm(z) = b

Igualdade de Complexos

Dois numeros complexos sao iguais quando suas partes reaise imaginarias forem respectivamente iguais.

a + bi = c + di⇒

a = cb = d

Exemplo

Determinar x e y de modo que:

(2x + 3) + 6i = 7 + (2 + 4y)i.

Para que os complexos sejam iguais devemos ter:

2x + 3 = 7⇒ x = 2

e

2 + 4y = 6⇒ y = 1

Logo, devemos ter x = 2 e y = 1.


Operacoes com Complexos

Adicao e Subtracao

Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais numeros com-plexos, somamos ou subtraımos, respectivamente, suas par-tes reais e imaginarias, separadamente. Ou seja:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i

Exemplo

Seja z1 = 5− 3i, z2 = 2 + 4i e z3 = −3− 5i, calcule:

a) z2 − z3

z2 − z3 = (2 + 4i)− (−3− 5i)z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9i

b) z1 + z2

z1 + z2 = (5− 3i) + (2 + 4i)z1 + z2 = 7 + i

Multiplicacao por um Real

Para multiplicar um complexo por um numero real bastamultiplicar a parte real e a parte imaginaria pelo respectivonumero.

Exemplo

Sejam os complexos z1 = 6− 3i e z2 = 3 + 2i, determinar ovalor de 3 · z1 − 5 · z2.

3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6− 3i)− 5 · (3 + 2i)3 · z1 − 5 · z2 = 18− 9i− 15− 10i3 · z1 − 5 · z2 = 3− 19i

Multiplicacao de Complexos

Multiplicamos dois numeros complexos de acordo com a re-gra da multiplicacao de binomios. Devemos lembrar quei2 = −1. Com isso temos que:

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc) · i

Exemplos

a) Calcular (3− 3i) · (−2 + 2i):

(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i + 6i2

(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i− 6(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12i

b) Calcular (5 − 3i)2:

(5 − 3i)2 = (5− 3i) · (5− 3i)(5 − 3i)2 = 25− 15i− 15i + 9i2

(5 − 3i)2 = 25− 15i− 15i− 9(5 − 3i)2 = 16− 30i

Conjugado de um Complexo

Sendo z = a + bi um numero complexo qualquer, defini-secomo o conjugado de z o numero complexo z = a− bi.

Exemplos

1. Sendo z = 6− 5i, temos que: z = 6 + 5i.

2. O conjugado de z = −3+2i e o complexo z = −3−2i.

Observacao

O produto de um numero complexo z pelo seu conjugado ze sempre um numero real e positivo. Esse produto chama-senorma de z ou |z|.Exemplo

Sendo z = 5− 3i, o produto z · z e:

(5− 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i− 15i− 9i2

Lembrando que i2 = −1, temos que:

z · Z = 25 + 9 = 34

Divisao de Complexos

Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente soba forma de uma fracao, a seguir, usando o procedimento deracionalizacao de denominadores, multiplicamos ambos ostermos da fracao pelo conjugado do denominador. Ou seja:

z1

z2=

z1

z2· z2

z2

Exemplo

Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2− 3i, obter z1/z2.

z1

z2=

3 + 2i

−2− 3i

z1

z2=

3 + 2i

−2− 3i· −2 + 3i

−2 + 3i

−6 + 9i− 4i + 6i2

−22 − (3i)2 =

−6 + 9i− 4i− 6

4 + 9

logo,

z1

z2=−12 + 5i

13⇒ z1

z2= −12

13+

5

13i

Representacao Geometrica

Consideremos num plano, chamado plano de Argand-Gauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas car-tesianas ortogonais e nele um ponto P (x, y). Lembrandoque um numero complexo na forma algebrica tem a formade: z = (x, y) = x + yi, podemos estabelecer uma corres-pondencia entre os pontos do plano e os numeros comple-xos. Ou seja, podemos representar os complexos geometri-camente, pelos pontos do plano.

O ponto P e a imagem geometrica de z ou afixo de z.Observacoes

1. A parte real de um complexo tem seus afixos no eixoRe ou eixo real.

2. A parte imaginaria de um complexo e representada noeixo Im, que por essa razao e chamado de eixo ima-ginario.


θ

Rex

y z = x + yi

Im

ρ

Figura 1: O plano complexo.

Modulo de um numero complexo

Na representacao geometrica de um numero complexo z =x + yi, vamos considerar a distancia entre o afixo P dessenumero e a origem. A essa distancia denominamos modulode z e indicamos por |z| ou ρ.

Calculando a referida distancia, temos:

dop =

√

(x − 0)2

+ (y − 0)2

=√

x2 + y2

Portanto:

|z| = ρ =√

x2 + y2

Exemplo

Calcular o modulo do numero complexo z = 3 + 4i. Comovimos:

|z| = ρ =√

x2 + y2, assim;|z| = ρ =

√32 + 42 =

√9 + 16 =

√25 = 5

|z| = ρ = 5

Argumento de um Complexo

Sendo um numero complexo z = z+yi, com z 6= 0, define-secomo o argumento de z, o numero real θ(0 ≤ θ < 2π) quecorresponde a medida do angulo formado pelo segmento ori-entado OP e o eixo Re, no sentido anti-horario. Indicamospor arg(z) = θ.

A partir da figura (plano complexo), obtemos as importan-tes relacoes:

cos(θ) =x

ρ

sen(θ) =y

ρ

Forma Trigonometrica

Com as definicoes de modulo e argumento, podemos re-presentar os numeros complexos de outra forma, alem daalgebrica, ja conhecida.

Assim, para o complexo z = x + yi, temos:

cos θ =x

ρ⇒ x = ρ cos θ

esen θ =

y

ρ⇒ y = ρ sen θ

Como z = x + yi

z = ρ cos θ + iρ sen θ

De outra forma:

z = ρ(cos θ + i sen θ)

A igualdade acima e denominada forma trigonometricaou polar do numero complexo.

O numero complexo z = 0, para o qual nao e possıvel de-terminar o argumento θ, nao pode ser escrito na forma tri-gonometrica.

Observe que, quando multiplicamos um numero complexopor i, ele gira 90 no sentido anti-horario, no plano com-plexo.

Pense um Pouco!

• Pode-se dizer que R ⊂ C? Por que?

• Existe alguma semelhanca entre o plano complexo e oplano cartesiano? Quais?

• 1/i e um numero complexo?


1. (UFPA-PA) O numero complexo z = x+(x2 − 4)i e realse, e somente se:a) x = 0b) x 6= 0c) x = ±2d) x 6= ±2e) x 6= 0 e x 6= 2

2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, entao z − 3z vale:a) −8 + 8ib) 6 + ic) 1 + 8id) 1− 8ie) 12 + 6i

3. (UFSE-SE) Se o numero complexo z e tal que z = 3−2i,

entao (z)2 e igual a:a) 5b) 5− 6ic) 9 + 4id) 5 + 12ie) 13 + 12i

4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 e:a) 0b) i− 1c) 1 + id) 1− ie) −1− i

5. (Sta Casa -SP) O valor de 2−i2+i e igual a:

a) (3 + 4i)/5


b) (2 + 4i)/3c) 3− 4id) 4 + 3ie) (3− 4i)/5


6. (PUC-SP) O conjugado do numero complexo 1+3i2−i e:

a) (−1− 7i)/5b) (1 − i)/5c) (1 + 2i)/7d) (−1 + 7i)/5e) (1 + i)/5

7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 e:a) 1b) ic) −1d) −ie) 1− i

8. (UFRG-RG) Efetuando as operacoes indicadas naequacao

5− i

1 + i− 4− 3i

2 + i

obtemos:a) 1 + ib) −1− ic) id) −ie) 1− i

9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os numeros x e y tais que12−x+(4+y)i = y+xi. O conjugado do numero complexoz = x + yi e:a) 4 + 8ib) 4− 8ic) 8 + 4id) 8− 4ie) −8− 4i

10. (FATEC-SP) Se i e a unidade imaginaria e z = (2 −i)2/(1 + i), entao:a) z = (5− 5i)/2b) z = (−7− i)/2c) z = (5 + 5i)/2d) z = (7 + i)/2e) z = (−5− 5i)/2

Matematica C Aula 4

Razoes e Proporcoes

Razao

A razao entre dois numeros a e b (com a e b reais e b 6=0), nessa ordem, e o quociente a

b . O numero a e chamadoantecedente e o numero b e chamado consequente.

Exemplos

1. A razao entre 4 e 6 e:

4

6=

2

3

2. A razao entre 2 m e 30 cm e:

2 m

30 cm=

200 cm

30 cm=

20

3

Observe que a razao deve ser calculada numa unidadecomum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a razaoobtida nao dependera da unidade escolhida, pois e adi-mensional.

Escala

E a razao entre um comprimento no desenho e o correspon-dente comprimento real.

Exemplo

Um edifıcio tem 30 m de altura. Essa medida foi represen-tada no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesseprojeto?

comprimento no desenho

comprimento real=

15 cm

30 m=

15 cm

3000 cm

E = 1200 ou E = 1 : 200

Proporcao

Os numeros a, b, c e d, com b e d nao nulos, formam nessaordem, uma proporcao se, e somente se, a razao entre a e be igual a razao entre c e d. Ou seja:

a

b=

c

d

Le-se: a esta para b, assim como c esta para d.

Os numeros a e d sao chamados de extremos e os numerosb e c sao chamados de meios.

Propriedades

I) O produto dos meios e igual ao produto dos extremos

a

b=

c

d⇐⇒ a · d = b · c

II) A soma dos dois primeiros termos esta para o segundo,assim como, a soma dos dois ultimos esta para o ultimo.

a

b=

c

d⇐⇒ a + b

b=

c + d

d

III) Cada antecedente esta para o seu consequente, assimcomo; a soma dos antecedentes esta para a soma dos conse-quentes.

a

b=

c

d=

a + c

b + d


Grandezas Diretamente Proporcionais

Uma grandeza A e diretamente proporcional a uma gran-deza B, se, e somente se, as razoes entre os valores de A eos correspondentes valores de B forem constantes.

Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande-zas diretamente proporcionais, entao

a1

b1=

a2

b2=

a3

b3= . . . = k

Exemplo

Se considerarmos a distancia percorrida por um movel comvelocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas teremosa seguinte tabela:

Distancia (km) 50 100 150tempo (h) 1 2 3

como 501 = 100

2 = 1503 = 50, temos que distancia e tempo,

neste exemplo, sao grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Uma grandeza A e inversamente proporcional a uma gran-deza B se, e somente se, os produtos entre os valores de Ae os correspondentes valores de B forem constantes.

Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande-zas inversamente proporcionais, entao:

a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = k

Exemplo

Se considerarmos que a distancia que separa duas cidades Ae B e de 300 km e que um movel viaja de A para B com umacerta velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que otempo gasto para percorrer essa distancia varia conforme avelocidade do movel.

Velocidade (km/h) 50 60 100Tempo (h) 6 5 3

Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas velo-cidade e tempo, neste exemplo, sao grandezas inversamenteproporcionais.

Pense um Pouco!

• Determine o valor de x nas proporcoes:a) x

4 = 96

b) 3x+22x−1 = 24

9

• Calcule o valor de x e y na proporcao xy = 2

5 , sabendoque x + y = 42.

• Determine x e y, sabendo que as sucessoes de numerossao diretamente proporcionais:

2 x 93 9 y


1. Determine m e n, sabendo que as sucessoes numericassao inversamente proporcionais:

3 m 912 4 n

2. Antonio, Joao e Pedro trabalham na mesma firma ha 10,4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma grati-ficacao de R$ 80.000,00 entre os tres, em partes diretamenteproporcionais ao tempo de servico de cada um. Quantos re-ais cada um ira receber?

3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2,1/5 e 1/7.


4. Represente a razao entre:a) 18 e 12b) 6 m e 4 mc) 150 g e 2 kgd) 750 litros e 1m3

e) 600 s e 1 horaf) 8 km e 1600 m

5. Um comprimento real de 25 m foi representado numdesenho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada?a) 1 : 250b) 1 : 300c) 1 : 150d) 1 : 500e) n. d. a.

6. A distancia entre duas cidades, em linha reta, e 120 kme foi representada num mapa rodoviario por um segmentode 60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa?a) 2 : 125b) 1 : 120.000c) 1 : 200.000d) 1 : 12.000e) n. d. a.

7. Em geral, num adulto, a altura da cabeca esta paraa altura do restante do corpo, assim como 1 esta para 7.Quanto mede uma pessoa cuja cabeca tem 22 cm de altura?a) 1, 60 mb) 1, 76 mc) 1, 82 md) 1, 54 me) n. d. a.

Matematica C Aula 5

Regras de Tres Simples e Composta

Regra de Tres Simples

Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valo-res correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de


tres simples ao metodo pratico para determinar um dessesquatro valores, sendo conhecidos os outros tres.

Tecnica Operatoria

Conforme a definicao acima temos:

GRANDEZA A GRANDEZA Ba cb d

Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais entao:

a

c=

b

d⇐⇒ a

b=

c

d

Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais entao:

a · c = b · d ⇐⇒ a

b=

d

c

Exemplos

1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanqueem 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min,em quanto tempo encheria esse tanque?

Temos um exemplo que envolve grandezas inversa-mente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vazao,o tempo necessario para encher o mesmo tanque dimi-nuira. Com isso:

15 · 80 = 25 ·X ⇐⇒ 15

25=

X

80=⇒ X = 48

Logo, enchera o tanque em 48 min.

2. Um automovel percorre 132 km com 12 litros decombustıvel. Quantos litros de combustıvel seraonecessarios para que ele percorra 550 km?

Neste exemplo temos grandezas diretamente proporci-onais, pois; aumentando a distancia, tambem aumen-tara o consumo de combustıvel. Com isso:

132

12=

550

x⇐⇒ 132 · x = 550 · 12 =⇒ x = 50

logo, serao necessarios 50 litros de combustıvel.

Regra de Tres Composta

Chama-se regra de tres composta, ao metodo pratico empre-gado para resolver problemas que envolvem mais de duasgrandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Propriedade

Considere uma grandeza A(a1, a2, a3, . . .) diretamente pro-porcional a uma grandeza B(b1, b2, b3, . . .) e a uma grandezaC(c1, c2, c3, . . .), entao :

a1

a2=

b1

b2=

c1

c2

Exemplo 1

Com 16 maquinas de costura aprontaram-se 720 uniformesem 3 dias de trabalho. Quantas maquinas serao necessariaspara confeccionar 2160 uniformes em 24 dias?

Solucao

N de Maquinas Uniformes Dias16 720 3x ⇓ 2160 ↓ 24 ↑

A grandeza N de maquinas, onde esta a variavel deve sercomparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim te-mos que:

1. Colocamos uma seta no sentido da variavel desconhe-cida x, supondo-se que x cresca neste sentido (ar-bitrario);

2. Se aumentarmos o N de maquinas, entao a quati-dade de Uniformes devera crescer, logo essas sao gran-dezas diretamente proporcionais, pois mais maquinasproduzem mais uniformes. Colocamos uma seta com omesmo sentido (para baixo) ao lado dessa variavel;

3. Se aumentarmos o N de maquinas, o numero deDias devera dimiuir, logo essas sao grandezas inver-samente proporcionais, pois, quanto maior o numerode maquinas, menor o numero de dias necessarios.Colocamos entao uma outra seta, agora com o sen-tido contrario ao do crescimento de x, ao lado dessavariavel.

4. Isolamos a razao desconhecida na esquerda e igualamoscom o produto das razoes das outras variaveis, inver-tendo as grandezas que sao inversamente proporcionais(com a seta invertida). Nesse caso, o numero de Dias:

16

x=

720

2160· 24

3

e obtemos x = 6. Logo serao necessarias 6 maquinas.

Exemplo 2

Numa fabrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carri-nhos em 5 dias. Quantos carrinhos serao montados por 4homens em 16 dias?

Solucao:

Montando a tabela

Homens Carrinhos Dias8 20 54 ↓ x ⇓ 16 ↑

Observe que:

1. Aumentando o numero de homens, a producao de car-rinhos aumenta. Portanto a relacao e diretamente pro-porcional (nao precisamos inverter a razao).

2. Aumentando o numero de dias, a producao de carri-nhos aumenta. Portanto a relacao tambem e direta-mente proporcional (nao precisamos inverter a razao).Devemos igualar a razao que contem o termo x com oproduto das outras razoes.


Montando a proporcao e resolvendo a equacao temos:

20

x=

8

4· 5

16

x =20 · 4 · 16

8 · 5e finalmente x = 32 carrinhos.

Pense um Pouco!

• Se um fio pesa 10 N/cm, quanto pesara por metro?

• Se uma copia xerografica custa 9 centavos, quanto cus-tou essa apostila (so o xerox)?

• Cite exemplos de onde voce ja usou as regras de tresestudadas?


1. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombrade 45 m, o mesmo instante em que uma arvore de 6 mde altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de3, 6 m.a) 75 mb) 90 mc) 55 md) 70 me) n. d. a.

2. Na merenda escolar, 1440 litros de leite foram consu-midos por 320 criancas em 15 dias. Quantos litros de leitedeverao ser consumidos por 400 criancas em 30 dias?a) 2.500b) 3.600c) 7.200d) 4.440e) n. d. a.

3. (PUC-MG) Uma pessoa viajando de automovel, comvelocidade media de 88 km/h, leva 5 horas para ir de BeloHorizonte a Pocos de Caldas. Na volta para Belo Horizonte,faz o mesmo percurso em 4 horas. Portanto, a velocidademedia, em km/h, ao retornar foi de:a) 93b) 96c) 100d) 110e) 120


4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de12 operarios em 20 dias de trabalho de 8 horas diarias. Seesse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias,com 16 operarios igualmente eficientes, quantas horas pordia eles deveriam trabalhar?a) 7, 5 h/db) 6, 0 h/d

c) 8, 5 h/dd) 9, 0 h/de) n. d. a.

5. Em uma fabrica de refrigerante, uma maquina encheu4.000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia.Quantos dias essa maquina levara, para encher 6000 gar-rafas, trabalhando 16 horas diarias?a) 9b) 5c) 11d) 6e) n. d. a.

6. Em um zoologico, a alimentacao de 15 animais durante90 dias custa R$ 2.700,00. Qual sera o custo da alimentacaode 25 animais por um perıodo de 12 dias?a) R$ 900,00b) R$ 750,00c) R$ 600,00d) R$ 450,00e) n. d. a.

7. Tres torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantashoras levarao 10 torneiras para encher 2 piscinas?

8. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias,3,6 toneladas de carvao. Se for aumentada para 20 ho-mens, em quantos dias conseguirao extrair 5,6 toneladas decarvao?

9. Vinte operarios, trabalhando 8 horas por dia, gastam18 dias para construir um muro de 300 m. Quanto tempolevara uma turma de 16 operarios, trabalhando 9 horas pordia, para construir um muro de 225 m?

10. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mes, via-jando 8 horas por dia, a uma velocidade media de 50 km/h.Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essacarga em 20 dias, a uma velocidade media de 60 km/h?

11. Com uma certa quantidade de fio, uma fabrica produz5.400 m de tecido com 90 cm de largura em 50 minutos.Quantos metros de tecido, com 1, 20 m largura, seriam pro-duzidos em 25 minutos?

Matematica C Aula 6

Juros e Porcentagens

Juros Simples

Juro e a importancia cobrada por unidade de tempo, peloemprestimo de dinheiro, expressa como porcentagem dasoma emprestada.

Nocao Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano,durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”.

O raciocınio e:

Se o capital 100 produz 10 em um ano, entao o capital 2.000produzira 600 em 3 anos.


Temos os seguintes dados:

O Capital e 99K C = 2.000A Taxa e 99K i = 10(em % ao ano)O tempo e 99K t = 3(em anos)Os juros sao 99K J = 600

Observacoes:

Denominamos juros simples aqueles que nao sao somadosao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Se a taxa i for referida ao ano, mes, dia etc, o tempo ttambem devera ser tomado correspondentemente em anos,meses, dias, etc.

Para efeito de calculo o ano e considerado de 12 meses de30 dias cada.

Tecnica Operatoria

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade sao deRegra de tres composta, que obedecem ao seguinte esquema;

Grandezas

100 . . . i. . . lC. . . j. . . t

Interpretacao

Se o capital 100 produz i em 1 ano, entao; o capital Cproduzira j em t anos.

Quando resolvemos isolando j, temos:

j =C · i · t

100

Exemplos

1. Quanto rendera um capital de R$ 5.000,00 empregadoa taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante3 anos?

Temos:

C = 5000;i = 5;t = 3;

Substituindo os respectivos valores na formula, temos:

J =5000 · 5 · 3

100= 750

Assim, tera um rendimento de R$ 750, 00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 a taxa de 36% ao ano,durante 6 meses.

Observe que a taxa esta expressa em anos, enquantoo tempo em meses. Como devemos trabalhar com asduas grandezas em unidades de tempos iguais, toma-remos o tempo como sendo 6

12 anos.

Assim:

J =8500 · 36 · 6

12

100⇒ J =

8500 · 36 · 61200

= 1530

Portanto, os juros sao de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de1% a.m.

Como nao ha concordancia entre a taxa e o tempo,devemos fazer algumas modificacoes para que possa-mos resolver o problema. Faremos as seguintes trans-formacoes:

2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou entao:75360 anos. Ainda; a taxa 1% ao mes, corresponde a 1%vezes 12 meses, o que da 12% a.a.

Aplicando a formula, temos:

J =2500 · 12 · 75

360

100=

2500 · 12 · 75

36000= 625

Logo, os juros produzidos sao de R$ 625,00.

Porcentagem

Comumente usamos expressoes que refletem acrescimos oureducoes em precos, numeros ou quantidades, sempre to-mando por base 100 unidades.

Exemplos

1. A gasolina tera um aumento de 10%, na proxima se-mana.

Significa que em cada R$ 100,00 havera um acrescimode R$ 10,00.

2. Numa pesquisa de intencao de votos, o candidato Aaparece em 2o lugar, com 25% da preferencia dos elei-tores, ao cargo de prefeito municipal.

Quer dizer que; em media, a cada 100 pessoas que fo-ram entrevistadas, 25 preferem o candidato A.

Razao Centesimal

Toda a razao que tem por denominador o numero 100denomina-se razao centesimal.

Exemplos

a) 25100 = 25% (le-se: 25 por cento)

b) 47100 = 47% (le-se: 47 por cento)

c) 125100 = 125% (le-se:125 por cento)

Chamamos as expressoes 25% ; 47% ; 9% de taxas cente-simais ou taxas percentuais.

Porcentagem e o valor obtido ao aplicarmos uma taxa per-centual a um determinado valor. Dessa forma; podemosresolves problemas de porcentagem, utilizando taxas per-centuais.

Exemplos

1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizacoes no de-correr de uma partida, obtendo um aproveitamento de80%. Qual o numero de sucessos que ele obteve?


80% de 25 =80

100· 25 = 20

Logo, ele obteve 20 sucessos.

2. Um investidor comprou um lote de acoes por R$1.500,00 e as revendeu um mes depois, por R$ 2.100,00.Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?

Para resolver o problema, vamos montar um esquemaem que somaremos o percentual de lucro obtido, aosR$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim aovalor final de venda das acoes.

1.500 + x100 · 1.500 = 2.100

15x = 2.100− 1.500x = 600

15 ⇒ x = 40

Desse modo, ele obteve um lucro de 40%.

Outra forma de resolver o problema:

Como o lucro foi 2.100 - 1.500 = 600, temos

i =lucro

capital=

600

1500= 0, 40 = 40%

Fator de Multiplicacao

Quando um dado valor sofre um acrescimo percentual, po-demos incorporar tal acrescimo, obtendo assim o que cha-mamos de fator de multiplicacao.

Exemplo

Um valor que sofre um aumento de 25%, tera um fator demultiplicacao igual a 1, 25, pois:

100% + 25% = 125%, ou seja:125% = 125

100 = 1, 25

Da mesma forma, podemos estender esse raciocınio paraoutros valores, como mostra a tabela abaixo:

Lucro ou Acrescimo Fator de Multiplicacao10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo

Quanto passara a receber um funcionario, que tem umsalario de R$ 950,00 e, obtem um aumento de 35%?

Para chegarmos ao valor do novo salario, basta que usemosum fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual,assim:

950, 00 · 1, 35 = 1.282, 50

Portanto, o novo salario sera de R$ 1.282,50.

Para os casos em que ocorrem decrescimos, o fator de mul-tiplicacao sera dado por:

Fator de Multiplicacao = 1 - taxa de desconto (na formadecimal).

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicacao10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo

Qual sera o valor do desconto de um produto, que custa R$350,00 , mas que em promocao e vendido por 22% abaixodo preco?

Nesse caso, o fator de multiplicacao e:Fator = 1 - 0,22 = 0,78

Assim 350 · 0, 78 = 273

Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a cus-tar R$ 273,00.

Pense um Pouco!

• Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionando-se a ela um certo percentual p obtemos um valor finalX ′. Se tomarmos agora o valor X ′ e descontarmos omesmo percentual p obteremos o valor X? Discuta.


1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00.Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago emreais?a) 1350b) 1300c) 1250d) 1200e) n.d.a

2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valo-rizacao (acrescimo) de 10% sobre o seu preco. Quanto elepassou a custar?a) R$ 12.400,00b) R$ 13.200,00c) R$ 13.800,00d) R$ 14.600,00e) n.d.a

3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para umagrafica. No perıodo de um mes, ela apresentou um lucro deR$ 100,00. De quanto foi o lucro percentual mensal sobre opreco de compra?a) 5%b) 10%c) 6%d) 11%e) n.d.a

4. O valor de 10 % de um capital C corresponde a qualfator multiplicativo sobre C?


a) 100b) 10,0c) 1,0d) 0,10e) n.d.a


5. Se a taxa de uma aplicacao e de 150% ao ano, quan-tos meses serao necessarios para dobrar um capital aplicadoatraves de capitalizacao simples?a) 10 mesesb) 9 mesesc) 8 mesesd) 7 mesese) n.d.a

6. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?a) R$ 10.000b) R$ 15.000c) R$ 25.000d) R$ 17.500e) n.d.a

7. (Desafio) Um determinado produto teve um acrescimode 20%, sobre o seu preco de tabela. Apos certo perıodo,teve um decrescimo tambem de 20% sobre o preco que foiaumentado, obtendo assim o preco atual. Qual e o percen-tual que o preco atual corresponde em relacao ao primeirovalor (preco de tabela)?a) 100%b) 96%c) 90%d) 85%e) n.d.a

Matematica C Aula 7

Analise Combinatoria

Princıpio Fundamental da Contagem

O princıpio fundamental da contagem nos mostra ummetodo algebrico, para determinar o numero de possibi-lidades de ocorrencia de um acontecimento, sem precisar-mos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimentopode ocorrer por varias etapas sucessivas e independentesde tal modo que:

p1 e o no de possibilidades da 1a etapap2 e o no de possibilidades da 2a etapa...pn e o no de possibilidades da n-esima etapa

Entao, o numero total P de possibilidades do acontecimentoocorrer e dado por:

P = p1 × p2 × p3 × . . .× pn

Exemplos

1. Maria vai sair e para escolher a roupa, separou 2 saiase 3 blusas. De quantas maneiras ela pode se vestir?

Nesse caso duas decisoes independentes devem ser to-madas:

p1: escolher uma dentre as 3 blusasp2: escolher uma dentre as 2 saias

SAIAS

BLUSAS

Figura 1: Ilustrando o princıpio fundamental de con-tagem

Assim, Maria dispoe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar asdecisoes p1 e p2, ou seja, 6 possibilidades diferentes dese vestir.

2. Quantas placas (distintas) de automoveis, poderao seremitidas; com o sistema atual de emplacamento?

O atual sistema de emplacamento de automoveis noBrasil utiliza tres letras e quatro algarismos. No novoalfabeto sao consideradas 26 letras e temos dez dıgitosentre os numeros. Logo o numero de possibilidadessera :

P = 26× 26× 26× 10× 10× 10× 10 = 175.760.000

3. Obtenha o total de linhas telefonicas que podem serinstaladas, com o prefixo 436:

Para resolver este problema, e preciso escolher um alga-rismo para a casa das milhares, outro para as centenas,outro para as dezenas e um outro para as unidades. Osalgarismos a serem utilizados em cada uma das casas,podem ser escolhidos entre os dez dıgitos do sistemadecimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como cada umadas casas podem ser preenchidas com um dos 10 alga-rismos acima, temos que: O total de linhas possıveiscom o prefixo 436 e o produto das possibilidades quese tem para preencher cada uma das casas. Logo:

As linhas podem ter numeros no formato 436-ABCD,onde os quatro dıgitos ABCD de 0 a 9 indicam quepodemos ter numeros de 0000 a 9999, ou seja, 10 millinhas diferentes. Ou, de outro modo:

P = 10× 10× 10× 10 = 10.000

4. Quantos numeros ımpares de 3 algarismos distintos,sao possıveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Ao iniciar a resolucao de um problema de analise com-binatoria, e aconselhavel que se faca alguns grupos dosquais queremos calcular o total. No caso do nosso atualproblema, veja alguns exemplos de numeros ımpares


de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451, etc.Note que o numero 533 nao nos serve, pois houve re-peticao do algarismo 3; o numero 534 tambem naoserve, pois e par. Um outro ponto importante e, poronde comecar a resolver o problema. Procure sempreatacar o problema, por onde houver um maior numerode restricoes.

Em nosso caso, temos a restricao de que os numerosdevem ser ımpares.

Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades(1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas,na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismosdados pelo problema, porem eliminando-se um deles(aquele que estiver na casa das unidades), ja que naopode haver repeticao. Portanto, temos para a casa dascentenas 5 possibilidades.

Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluımosque restaram 4 possibilidades, pois: nao podemos re-petir o algarismo que estiver na casa das unidades enem o que estiver na casa das centenas.

centena dezenas unidades5 4 4

Portanto, o total de possibilidades e P = 5×4×4 = 80,o que da um total de 80 numeros.

Fatorial

Sendo n um numero natural, define-se fatorial de n, e indica-se ”n!”a expressao

n! = n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× 3× 2× 1

Propriedade

Para fins de calculo, define-se que 0! = 1 e 1! = 1

Observe que: fatorial e uma definicao por recorrencia, ouseja: cada fatorial e calculado com a utilizacao do fatorialanterior. Assim:

n n!0 11 12 23 64 245 1206 7207 5.0408 40.3209 362.880

10 3.628.80011 39.916.800

......

n n · (n− 1) · (n− 2) · · · 3 · 2 · 1

Exemplos

10!

8!=

10 · 9 · 8!

8!

= 90

(x + 3)!

(x + 1)!=

(x + 3)(x + 2)(x + 1)!

(x + 1)!

= (x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6

14!

11! · 3!=

14 · 13 · 12 · 11!

11! · 3!

=14 · 13 · 12

3!= 14 · 13 · 2 = 364

Pense um Pouco!

• De quantas formas diferentes pode resultar olancamento de dois dados simultaneos?

• Quantos numeros pares se pode formar com os algaris-mos 1, 2, 3, 4?

• Na serie de numeros de 0 a 100, quantos algarismosnove sao usados?


1. O resultado de 22!·8!11!·19! e:

a) 25b) 28/3c) 31/7d) 15e) n.d.a

2. Numa eleicao de uma empresa, ha 4 candidatos a presi-dente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesou-reiro. Quantos podem ser os resultados da eleicao?a) 120b) 180c) 150d) 210e) n.d.a

3. Simplifique as expressoes:a) (x + 5)!/(x + 3)!b) (3x + 1)!/(3x− 1)!

4. (Mack-SP) Quantos numeros de 5 dıgitos podem serescritos com os algarismos 1, 2, 3, 4, sem que aparecamalgarismos consecutivos iguais?a) 20b) 32c) 40d) 120e) n. d. a.


5. (Saem) A quantidade de numeros maiores do que 4.000que podemos formar com os algarismos 3, 4, 5, 6, semrepeti-los, e:a) 64b) 9


c) 6d) 18e) n.d.a

6. Quantas motos poderiam ser licenciadas, se cada placacontem duas vogais e tres dıgitos?a) 125.000b) 110.000c) 25.000d) 154.000e) n.d.a

7. Resolvendo a equacao, (x+3)!/(x+1)! = 12, temos que:a) x = 0b) x = 1c) x = 2d) x = 3e) n. d. a.

8. (Ufes) Um shopping possui 4 portas de entrada para oandar terreo, 5 escadas rolantes ligando o terreo ao primeiropavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para osegundo pavimento. De quantas maneias diferentes umapessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir osegundo pavimento, usando os acessos mencionados?a) 25b) 30c) 45d) 60e) n. d. a.

9. (Puc-SP) Chama-se palındrome o numero inteiro quenao se altera quando e invertida a ordem de seus alga-rismos (exemplo: 383, 4224, 74847). O numero total depalındromes de cinco algarismos e:a) 100.000b) 50.000c) 10.000d) 1.000e) 900

Matematica C Aula 8

Analise Combinatoria

Para um dado conjunto finito de elementos, muitas vezes sedeseja saber de quantas formas diferentes se pode reagrupa-los em subconjuntos menores. Ainda mais, se a ordem doselementos nesses subconjuntos pode ser relevante ou nao,definind dois tipos distintos de problema a resolver.

Em uma turma de 20 alunos, de quantas formas diferentesum professor pode: a) montar um time de voleibol? b) defi-nir uma chapa para lıder e vice-lıder? c) formar equipes de5 alunos cada para trabalhos de pesquisa? sortear 7 bolsasde estudo?

Todos esses problemas sao abordados e resolvidos pela parteda matematica que se denomina Analise Combinatoria.

Arranjos

Um arranjo simples e um tipo de agrupamento sem re-peticao em que a ordem ou a natureza dos seus elementos

e relevante. No exemplo acima, na escolha da chapa dedois alunos para a lideranca da turma, a escolha AB e di-ferente de BA, se convencionamos que o primeiro aluno dogrupo e candidato a lider e o segundo ao cargo de vice-lıder,sendo ambos alunos diferentes da turma. A ordem aqui erelevante, e as escolha sao portanto chamadas de arranjos.

O numero de arranjos simples diferentes de n elementos emgrupos de p elementos e dado por:

An,p =n!

(n− p)!

Esta formula mostra que os arranjos dos n elementos to-mados p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais. Porexemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. E por definicao, 0! = 1. Naoesqueca!

Exemplos

1) Quantos numeros de 3 algarismos podemos formar comos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los?

Os numeros formados devem ter 3 algarismos, por exem-plo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemosnovos numeros, portanto, o problema e de arranjo simples,logo:

A6,3 =6!

(6− 3)!=

6 · 5 · 4 · 3!

3!= 120

2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sao formados numerosde quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos saodivisıveis por 5?

Como os numeros devem ser divisıveis por 5, os mesmosdevem obrigatoriamente terminar em 5 (ja que o zero naoconsta na lista), logo, dos 6 algarismos que tınhamos paranos restam 5, dos quais vamos tomar grupos de 3 a 3. Setomarmos uma das possıveis respostas, por exemplo 2345e invertermos a ordem dos seus dıgitos centrais teremos onumero 4325, que e outra resposta do problema. Logo oproblema, proposto e de arranjos simples. Com isso temoscomo resposta:

A5,3 =5!

(5 − 3)!=

5 · 4 · 3 · 2!

2!= 60

Combinacoes Simples

Uma combinacao simples e o tipo de agrupamento sem re-peticao em que um grupo e diferente de outro apenas pelanatureza dos elementos componentes. O numero de com-binacoes de n elementos de grupos de p elementos e igualao numero de arranjos de n elementos tomados p a p, divi-dido por p!, isto e:

Cn,p =An,p

p!=

n!

p!(n− p)!

Exemplos

1) Quantas comissoes constituıdas de 3 pessoas podem serformadas com 5 pessoas?


As comissoes formadas devem ter 3 pessoas, por exemplo,A , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemosa mesma comissao.Portanto, o problema e de combinacao.

C5,3 =5!

3!2!=

5 · 4 · 3!

3! · 2!= 10

Logo, podemos formar 10 comissoes diferentes.

2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos distintos e sobreuma outra reta, paralela a primeira, marcam-se 5 pontos.Quantos triangulos obteremos unindo 3 quaisquer dessespontos?

Com os 13 pontos distintos quaisquer, poderıamos obter ateC13,3 = 286 triangulos diferentes. Porem, neste caso se to-marmos os tres pontos sobre a mesma reta, nao formaremosum triangulo, e com isso, temos que descontar as escolhasque nao formam triangulos, para obter a solucao do pro-blema:

C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286− 56− 10 = 220

Permutacoes Simples

Uma permutacao simples e o tipo de agrupamento ordenadoe sem repeticao, em que entram todos os elementos em cadagrupo. Portanto, a permutacao simples e um caso particularde arranjo simples.

O numero de permutacoes simples que se pode formar comn elementos e igual ao fatorial de n, ou seja:

Pn = n!

Exemplos

1) Quantos numeros de 5 algarismos distintos podem serformados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

Como sao necessarios todos os algarismos dados, em cadaresposta do problema, devemos formar agrupamentos do tipopermutacoes simples, logo a quantidade de numeros diferen-tes algarismos e igual a:

P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

2) Quantos anagramas tem a palavra MITO?

Qualquer ordenacao das letras de uma palavra e denominadaanagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras diferentes,temos:

P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Pense um Pouco!

• Qual a diferenca basica entre combinacao e arranjo?

• Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual onumero de permutacoes diferentes possıveis? Exemplo:quantos anagramas tem a palavra MARIA?


1. Quantos numeros de 5 algarismos distintos podemos for-mar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?a) 120b) 720c) 1.296d) 15.625e) n. d. a.

2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebolde salao dispondo de 8 jogadores?a) 48b) 56c) 72d) 28e) n. d. a.

3. Considere o conjunto A = 2, 4, 5, 6. Quantos numeros,distintos, multiplos de 5 se podem formar, com todos oselementos de A?a) 24b) 12c) 18d) 06e) n. d. a.

4. Quantos palavras de 3 letras, sem repeticao, podemosformar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?a) 504b) 324c) 27d) 81e) n. d. a.

5. Quantos numeros de 4 algarismos distintos podemos for-mar com os algarismos de 0 a 9?a) 2560b) 1440c) 4536d) 2866e) n. d. a.

6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 mocas. Quantos grupospodemos formar de 2 rapazes e 3 mocas?a) 30b) 200c) 300d) 150e) n. d. a.

7. Quantos numeros de 7 algarismos distintos podem serformadas, usando-se os algarismos de 1 a 7?a) 5040b) 3640c) 2320d) 720e) n. d. a.

8. Quantos sao os numeros compreendidos entre 2.000 e3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?a) 210b) 175


c) 336d) 218e) n. d. a.


9. Quantas comissoes com 6 membros podemos formar com10 alunos?a) 210b) 120c) 75d) 144e) n. d. a.

10. Uma empresa e formada por 6 socios brasileiros e 4 ja-poneses. De quantos modos podemos formar uma diretoriade 5 socios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?a) 10b) 15c) 6d) 12e) n. d. a.

11. (PUC-SP) Numa sala ha 5 lugares e 7 pessoas. Dequantos modos diferentes essas pessoas podem ser coloca-das, ficando 5 sentadas e 2 em pe?a) 5.040b) 21c) 120d) 2.520e) n. d. a.

12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, comecamcom A e terminam com E?a) 120b) 720c) 840d) 24e) n. d. a.

13. (UFCE) A quantidade de numeros pares de 4 algaris-mos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2,4, 5, 7, 8 e 9 e:a) 20b) 60c) 240d) 360e) n. d. a.

14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemosformar com 10 socios de uma empresa sao:a) 5.040b) 40c) 2d) 210e) n. d. a.

15. (UFPA-PA) Quantos sao os anagramas da palavraBRASIL comecados por B e terminados por L?a) 24b) 120c) 720

d) 240e) 1.440

16. (UEMT) Sobre uma circunferencia marcam-se 7 pontos,distintos 2 a 2. Calcule o numero de triangulos que podemosformar com vertices nos pontos marcados.a) 3b) 7c) 30d) 35e) 210

Matematica C Aula 9

Binomio de Newton

Numeros Binomiais

Numeros Binomiais: Dados dois numeros naturais, n e p,chamamos numero binomial, ao par de valores:

(n

p

)

Le-se: binomial de n sobre p.

Chamamos n de numerador e p de denominador donumero binomial, onde

(n

p

)

=n!

p!(n− p)!

com n e p ∈ N e n ≥ p.

Consequencias da definicao:

a)(n

0

)

= 1, ∀ n ∈ N

b)(n

1

)

= n, ∀ n ∈ N

c)(n

n

)

= 1, ∀ n ∈ N

Numeros Binomiais Complementares

Dois numeros binomiais sao chamados complementaresquando possuem o mesmo numerador e a soma dos de-nominadores e igual ao numerador.

Os numeros(

np

)

e(

nk

)sao complementares quando p+k =

n.

Exemplo

Os numeros binomiais(

72

)e

(75

)sao complementares, pois

2 + 5 = 7.

Propriedade

Dois numeros binomiais complementares sao iguais.


Triangulo de Pascal

Os numeros binomiais podem ser agrupados ordenadamenteem um quadro denominado Triangulo de Pascal:

(00

)

(10

) (11

)

(20

) (21

) (22

)

(30

) (31

) (32

) (33

)

(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)

...

Observacoes Importantes

• Os numeros binomiais de mesmo numerador estao co-locados na mesma linha;

• Os numeros binomiais de mesmo denominador estaocolocados na mesma coluna;

• Se no triangulo de Pascal substituirmos cada binomialpelo respectivo valor, obteremos:

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1...

Propriedades do Triangulo de Pascal

1. Todos os elementos da 1a coluna sao iguais a 1;

2. O ultimo elemento de cada linha e igual a 1;

3. Numa linha qualquer, os numeros equidistantes dos ex-tremos sao iguais;

4. A soma dos numeros binomiais de uma mesma linhae uma potencia de base 2 cujo expoente e a ordem dalinha (numerador);

5. Cada binomial da linha n e igual a soma de dois bi-nomiais da linha (n − 1): aquele que esta na mesmacoluna com aquele que esta na coluna anterior.

Formula do Binomio de Newton

(x + a)n =(

n0

)xna0 +

(n1

)xn−1a1 +

(n2

)xn−2a2+

+ . . . +(

nn

)x0an

Observacao

• No desenvolvimento do binomio (x+a)n, os termos saotodos positivos;

• No desenvolvimento do binomio (x − a)n, os sinais decada termo do desenvolvimento sao alternados, isto e,os termos de ordem ımpar (1, 3, 5, . . .) sao positivos eos de ordem par (2, 4, 6, . . .) sao negativos.

Exemplos resolvidos

1) Desenvolver o binomio (x + 3)4:

(4

0

)

x430 +

(4

1

)

x341 +

(4

2

)

x242 +

(4

3

)

xa3 +

(4

4

)

a4

logo

(x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81

2) Desenvolver o binomio (a− 2b)5:

(5

0

)

a5(2b)0 −(

5

1

)

a4(2b)1 +

(5

2

)

a3(2b)2

−(

5

3

)

a2(2b)3 +

(5

4

)

a1(2b)4 −(

5

5

)

a0(2b)5

= 1 · a5 · 1− 5 · a4 · 2b + 10 · a3 · 4b2

−10 · a2 · 8b3 + 5 · a · 16b4 − 1 · 1 · 32b5

e finalmente podemos escrever

(a− 2b)5 = a5 − 10a4b + 40a3b2 − 80a2b3 + 80ab4 − 32b5

Soma dos Coeficientes Binomiais

A soma dos coeficientes numericos do desenvolvimento de(ax± by)n, com a e b constantes, se obtem fazendo x = y =1. A soma vale, portanto

(a± b)n

Formula do Termo Geral

Para determinar um termo qualquer de ordem (p + 1) nodesenvolvimento de um binomio do tipo (x + a)n, temos:

Tp+1 =

(n

p

)

apxn−p

O termo geral no desenvolvimento de (x− a)n, e dado pelaexpressao:

Tp+1 = (−1)p

(n

p

)

apxn−p


Exemplos

1. Determinar o quarto 4 no desenvolvimento de (x + 2)7.

Resolucao:

Para o quarto termo, temos que p + 1 = 4, logo p = 3.Assim:

T4 = T3+1 =

(7

3

)

a3x7−3 = 35 · 8 · x4 = 280x4

2. Achar o termo medio no desenvolvimento de (2x− 3)6.

No desenvolvimento do binomio (2x−3)6, teremos um totalde 7 termos. Com isso o termo medio sera o 4 termo. Logotemos:

T4 = T3+1 = (−1)3(

6

3

)

33(2x)6−3 = (−1) · 20 · 27 · 8x3

logo o termo procurado sera

T4 = −4320 x3

Pense um Pouco!

• O que devemos fazer para encontrarmos o termo inde-pendente de x, no desenvolvimento de um binomio?

• O que ocorrera com os termos do desenvolvimento deum binomio (x + a)n, se invertermos as posicoes doprimeiro e do segundo termo, ou seja (a + x)n?

• Por que alguns desenvolvimentos de numeros binomiaisapresentam termo medio e outros nao?


1. Calcular E =(

63

)+

(51

)+

(80

)+

(44

).

2. Ache o conjunto solucao da equacao(

x+12

)= 10

3. Calcule(

80

)+

(81

)+

(82

)+ . . . +

(88

).

4. Calcule n, sabendo que(

n0

)+

(n1

)+

(n2

)+. . .+

(nn

)= 128.

5. Calcule o valor de∑8

p=2

(9p

)

.

6. Calcule o 3 termo no desenvolvimento de (x + 2)9.

7. Calcule o 4 termo no desenvolvimento de (x + 1/2)10.

8. Calcule o 2 termo no desenvolvimento de (x− 3)10.

9. Calcule o termo medio no desenvolvimento de (x + 2y)6.

10. Encontre o termo independente de x no desenvolvi-mento de (2x− 3)7.

11. Determine a soma dos coeficientes dos termos do de-senvolvimento do binomio (x + 2y)8.


12. Qual o valor do termo medio do desenvolvimento de(2x + 3y)4?a) 236 x3 y2

b) 70 · 16 · x4 y2

c) 216 x3 y3

d) 216 x2 y2

e) n. d. a.

13. O coeficiente do termo independente de x no desenvol-vimento de (2x−2 − 3x)6 e:a) 64b) 4860c) 2160d) 4320e) 729

14. (UFRN-RN) A expressao(

73

)+

(74

)− 35 e igual a :

a) 30b) 35c) 40d) 45e) 50

15. O valor de x na igualdade(

132x−3

)

=(

13x+1

)

e:

a) 3b) 9c) 6d) 4e) 5

16. O quarto termo do desenvolvimento (x +√

y)6 e:a) 6x3√yb) 15x4yc) 20x3y

√y

d) 6x6y3

e) n. d. a.

17. (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvimentode (2x + 3y)6 e:a) 15.625b) 7.776c) 6.225d) 4.225e) 2.048

18. (Mack-SP) Se a soma dos coeficientes numericos dodesenvolvimento (5x− 2y)n e 81, entao n e igual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) n. d. a.

Matematica C Aula 10

Probabilidade

Espacos Amostrais Equiprovaveis Finitos

Dado um experimento aleatorio, no qual cada resultado te-nha as mesmas chances de ocorrer que os demais. Seja U


o conjunto de todos os eventos possıveis como resultado doexperimento e seja E o conjunto dos resultados que nos inte-ressam, definimos a probabilidade do(s) evento(s) E comosendo:

P (E) =Numero de resultados favoraveis

Numero de resultados possıveis

Se o experimento for repetido N vezes, esperamos que afracao de sucessos seja dada por P (E), no limite onde N setorna muito grande, tendendo ao infinito: N →∞.

Interpretacao Grafica

Podemos usar os diagramas de Venn para facilitar a visua-lizacao e ate a solucao de muitos problemas sobre o calculode probabilidades.

U

E

No grafico, U e o conjunto de todos os resultados possıveis(espaco amostral) e E e o conjunto dos resultados favoraveis(os eventos de sucesso).

Exercıcios Resolvidos

1. No lancamento de um dado nao viciado, qual a probabi-lidade de ocorrer o evento “numero primo”?

Resolucao

Neste caso temos que U = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e E = 2, 3, 5,pois estes sao os numeros primos entre 1 e 6. Entao:

P (E) =3

6=

1

2

Ou seja, a chance de se tirar um numero primo e de 50%.Observe que nesse caso o dado se comporta como se fosseuma moeda, onde se quisesse tirar por sorteio uma determi-nada face.

2. Entre seis pessoas A, B, C, D, E e F, quatro sao escolhidaspara formar uma comissao. Qual a probabilidade de A e Bpertencerem a comissao?

Resolucao

Primeiramente, vamos determinar o total de comissoes quese pode formar com quatro elementos:

C6,4 =6!

4!2!= 15

que e o numero de resultados possıveis do conjunto universoU .

Agora, vamos determinar o numero de vezes que A e Bcomparecem nas comissoes com quatro elementos, ou seja,

C4,2 =4!

2!2!= 6

que e o numero de resultados favoraveis, no conjunto E.

Finalmente, a probabilidade de A e B pertencerem a co-missao e dada por:

P (E) =6

15=

2

5= 0, 40 = 40%

Eventos Complementares

A Probabilidade de nao ocorrer um evento pode ser deter-minada com o estudo dos eventos complementares.

Seja E, um evento em um experimento aleatorio. A proba-bilidade de nao ocorrer o evento E, isto e, a probabilidadede ocorrer o evento ¬E, complementar de E, e dado por:

P (¬E) = 1− P (E)

Exercıcio Resolvido

1. Uma moeda e lancada 6 vezes. Qual a probabilidade deobservarmos pelo menos uma cara?

Resolucao:

Para seis lancamentos de uma moeda, temos:

U = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 = 64

ou seja, existem 64 resultados possıveis.

Destes 64 resultados possıveis, por exemplo, so ha um ondenao ocorre nenhuma cara, que e exatamente quando se tira6 coroas sucessivas.

Se chamarmos de E o conjunto de resultados com pelo me-nos uma cara, entao podemos dizer que a probabilidade denao tirarmos nenhuma cara ¬E, e

P (¬E) =1

64

entao, como sao eventos complementares, se nao obtemosseis coroas e porque saiu pelo menos uma cara,

P (E) = 1− P (¬E) =63

64

e a probabilidade de se obter pelo menos uma cara.

Observe que:

• a probabilidade de se obter as 6 coroas sucessivas e pe-quena (1/64), ou seja, e grande a probabilidade de isso naoocorrer (63/64).

• esta mesma experiencia pode ser feita com seis moedaslancadas de uma so vez.

2. Ao se retirar uma bola de uma urna que contem tres bolasbrancas b1, b2, b3, numeradas de 1 a 3 e cinco bolas pretasp1, p2, p3, p4, p5, numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade


de que essa bola nao seja preta e nem de numero par, aomesmo tempo:

Resolucao:

Neste caso U = b1, b2, b3, p1, p2, p3, p4, p5 e ¬E = p2, p4),entao a probabilidade complementar, de se tirar uma bolapreta de numero par sera:

P (¬E) =2

8=

1

4

e como:

P (E) = 1− P (¬E) =3

4

esta sera a probabilidade de se tirar uma bola nao preta enao par, simultaneamente.

Pense um Pouco!

• Em alguns jogos com dado o jogador pode avisar “valeo debaixo”, querendo dizer que o numero tirado serao da face que cair voltada para baixo. Se um jogadorusar desse artifıcio, antes de jogar o dado, mudam suaschances no jogo?

• Acertar 5 numeros num cartao com 50 numeros, comonos jogos de loto e realmente muito difıcil, mas semarcassemos no cartao 45 numeros e fossem sorteados,nao 5, mas 45 numeros. Melhoraria a nossa chance?


1. Joga-se um dado honesto de seis faces e le-se o numeroda face voltada para cima. Calcular probabilidade de seobter:a) o numero 5b) um numero ımparc) um numero maior que 4d) um numero menor que 8e) um numero maior que 6

2. Retirando-se uma carta de um baralho comum, de 52cartas, qual e a probabilidade de se obter uma carta decopas?

3. Qual o “espaco amostral” ou “conjunto universo” U nosseguintes fenomenos aleatorios:a) lancamento de duas moedasb) lancamento de dois dadosc) lancamento de uma moeda e um dadod) sortear os 4 bits de um nibble (um byte = 8 bits = 2nibbles).e) embaralhar as letras da palavra “PROVA”


4. (CESGRANRIO) Os 240 cartoes de um conjunto, saonumerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se aoacaso um cartao desse conjunto, a probabilidade de obterum cartao numerado com um multiplo de 13 e:a) 3/240

b) 3/40c) 1/26d) 1/13e) 1/6

5. (MACK) Num grupo de 10 pessoas estao X e Y . Esco-lhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de X eY serem escolhidas e:a) 1/5b) 1/10c) 2/9d) 1/45e) 9/10

6. (MARINGA) Um numero e escolhido ao acaso entre os 20inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o numero escolhidoser primo ou quadrado perfeito e:a) 1/5b) 2/25c) 4/25d) 2/5e) 3/5

7. (CESGRANRIO) Um predio de tres andares, com doisapartamentos por andar, tem apenas tres apartamentos ocu-pados. A probabilidade de que cada um dos tres andarestenha exatamente um apartamento ocupado e:a) 1/2b) 2/5c) 4/5d) 1/5e) 3/8

8. (MOGI DAS CRUZES) Jogamos dois dados. A proba-bilidade de obtermos pontos iguais nos dois e:a) 1/3b) 5/36c) 1/36d) 1/6e) 7/36

9. (LORENA) Uma urna contem 4 bolas vermelhas nume-radas de 1 a 4; tres bolas azuis numeradas de 1 a 3 e tresbolas brancas numeradas de 1 a 3. Retiramos uma unicabola. Qual a probabilidade de que essa bola seja par?a) 3/10b) 2/5c) 3/5d) 2/10e) n. d. a.


Inequacoes

Inequacoes do Primeiro Grau

Relacionadas com as equacoes de 1 grau, temos as desigual-dades de primeiro grau (ou inequacoes), que sao expressoesmatematicas em que os termos estao ligados por um dosquatro sinais:

< > ≤ ≥menor maior menor ou igual maior ou igual


Nas inequacoes, deseja-se obter um conjunto de todas ospossıveis valores que pode assumir uma ou mais incognitasna equacao.

Uma propriedade importante das inequacoes e:

a > b⇐⇒ −a < −b

Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdadepor um numero negativo ”inverte-se o sentido” da desigual-dade.

Exemplo Resolvido

Encontrar todos os valores de x tais que 3x + 6 > 5x− 4.

Resolucao:

3x + 6 > 5x− 4

3x− 5x > −4− 6

−2x > −10

e multiplicando-se por −1

2x < 10

finalmente

x < 5

ou seja, existe um conjunto infinito de valores (intervalo)que satisfazem a desigualdade dada.

Graficamente:

x50

A figura representa graficamente o intervalo de solucao ob-tido:

S = x ∈ R | x < 5

Inequacao-Produto

Sendo f(x) e g(x) duas funcoes da variavel x, as inequacoes:

f(x) · g(x) > 0

f(x) · g(x) < 0

f(x) · g(x) ≥ 0

f(x) · g(x) ≤ 0

sao denominadas inequacoes-produto.


Resolver a inequacao (2x− 1)(x + 4) > 0

Resolucao

Para resolver essa inequacao, vamos analisar as duas possi-bilidades em que (2x− 1)(x + 4) > 0, ou seja:

1a)2x− 1 > 0 e x + 4 > 0

a) 2x− 1 > 0 =⇒ x > 1/2

b) x + 4 > 0 =⇒ x > −4

Sendo que a) e b) simultaneamente nos da que a solucao ex > 1/2.

x1/20

x1/20

x0−4

Sa

Sb

Sa Sb

2a) 2x− 1 < 0 e x + 4 < 0

a) 2x− 1 < 0 =⇒ x < 1/2

b) x + 4 < 0 =⇒ x < −4

Com a) e b) simultaneamente dando a solucao e x < −4

x0−4

S´a

S´b

x1/20

x0−4S´a S´b

Portanto o conjunto solucao da inequacao e a uniao dassolucoes obtidas:

S = x ∈ R | x < −4 ou x >1

2

Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguintequadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas osinal de cada um dos fatores e na ultima linha, o sinal doproduto:

1/20

0−4

−4 0 1/2

x

x

x

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

Observe que os valores x = −4 e x = 1/2 que anulam o pro-duto nao verificam a inequacao e esse fato foi indicado por””(bola vazia), usado para representar o intervalo aberto.

Inequacoes-Quociente

Sendo f(x) e g(x) duas funcoes da variavel x, as inequacoes:

f(x)÷ g(x) > 0

f(x)÷ g(x) < 0

f(x)÷ g(x) ≥ 0


f(x)÷ g(x) ≤ 0

sao denominadas inequacoes-quociente.

Note que as regras de sinais do produto e do quociente paranumeros reais, sao analogas, por exemplo:

f(x)

g(x)> 0⇐⇒ f(x) · g(x) > 0

f(x)

g(x)≥ 0⇐⇒ f(x) · g(x) ≥ 0

esta ultima para g(x) 6= 0

Isso significa que, na resolucao de uma inequacao-quociente,podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na ine-quacao-produto.


Resolva a inequacao (x+3)(1−x)(x−2) ≥ 0.

Resolucao

Vamos chamar de f(x) = x+3, g(x) = 1−x e h(x) = x− 2e analisar os sinais individuais de cada funcao:

x

x−3 1

x1

2

−3

2

f(x)

g(x)

h(x)

f(x)g(x)h(x)

x

de onde S = x ∈ R | x < −3 ou 1 ≤ x < 2.

Inequacoes do Segundo Grau

As desigualdades ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 +bx + c ≤ 0 e ax2 + bx + c ≥ 0, com a 6= 0 sao chamadasinequacoes do segundo grau.

Para resolvermos essas inequacoes, devemos estudar a va-riacao dos sinais das imagens da funcao do segundo grau.

Seja a funcao f : R→ R dada por f(x) = ax2 + bx+ c, coma 6= 0.

Seu grafico e uma parabola que se comporta conforme atabela abaixo:

x x x

a < 0

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

a > 0

xxx


1. Resolva a inequacao −x2 + 5x− 6 > 0.

Resolucao

Para resolver a inequacao acima, devemos determinar osvalores de x para os quais a funcao f(x) = −x2 + 5x − 6tem imagens positivas (y > 0), isto e, estudar o sinal dafuncao.

Como a = −1 e ∆ = (+5)− 4 · (−1) · 6 = +1 > 0 e as raızesde f(x) sao: x′ = 2 e x′′ = 3 temos o grafico:

32

Y

X

Como devemos ter y > 0, os valores de x sao S = x ∈R | 2 < x < 3.2. Resolva o sistema de inequacoes do 2 grau.

2x2 − 18 < 0

−x2 + 5x− 4 ≥ 0

Resolucao

Para resolvermos o sistema de inequacoes acima, vamos ana-lisar cada uma das inequacoes, separadamente. Assim:

a) 2x2 − 18 < 0

Temos a = 2 e ∆ = 0 − 4 · 2 · (−18) = 144 > 0, e as raızes:x′ = +3 e x′′ = −3.

Sa = x ∈ R | − 3 < x < 3.b) −x2 + 5x− 4 ≥ 0

Neste caso a = −1 e ∆ = 5 − 4 · (−1) · (−4) = 9 > 0, comraızes: x′ = +1 e x′′ = +4

Sb = x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4.c) Finalmente, a solucao geral do sistema e obtida pela in-terseccao dos intervalos-solucao obtidos:

S = Sa ∩ §b = x ∈ R | 1 ≤ x < 3.

Inequacoes Exponenciais

Denomina-se inequacao exponencial, aquela que apre-senta uma incognita no expoente. Como por exemplo:

3x > 81

52x − 6 · 5x + 5 < 0

8x2 ≤ 16

Importante

• Quando a > 0, a funcao exponencial f(x) = ax e cres-cente, isto e:


ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 > x2

• Quando 0 < a < 1, a funcao exponencial f(x) = ax edecrescente, isto e:

ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 < x2


Resolva as equacoes exponenciais:

a) 4x > 1/4

Resolucao

Devemos procurar obter desigualdades de potencias demesma base.

4x >1

4⇐⇒ 4x > 4−1

Como a base e maior do que 1, vem:

x > −1

e

S = x ∈ R | x > −1

b) (1/2)2x < (1/2)3x−1

Resolucao

Como a base esta compreendida entre 0 e 1, temos que ter:

2x > 3x− 1

−x > −1

e entao

x < 1

logo

S = x ∈ R | x < 1

Inequacoes Modulares

Notemos que se a > 0, valem as seguintes propriedades:

1. |x| > a⇐⇒ x < −a ou x > a

xa0−a

2. |x| < a⇐⇒ −a < x < a

xa0−a


Resolva a inequacao: |3x− 4| < 2

Resolucao:

De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos:

|3x− 4| < 2⇒ −2 < 3x− 4 < 2

ou seja, temos de resolver o sistema de inequacoes

−2 < 3x− 4⇒ x > 2/3

3x− 4 < 2⇒ x < 2

Fazendo a interseccao dos intervalos de solucao, vem:

S = x ∈ R | 2

3< x < 2

Pense um Pouco!

• E possıvel se ter um sistema de inequacoes cujo con-junto solucao seja ∅? Explique.


1. A solucao da inequacao (2x + 3)/(x + 2) ≥ 1 e:a) S = x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2b) S = x ∈ R | 1 ≤ x < 2c) S = x ∈ R | x < −3 ou x > 2d) S = x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1e) n. d. a.

2) O conjunto solucao do sistema de inequacoes

x2 − 5x + 6 ≥ 0

2x2 − 8x < 0

e:f) S = x ∈ R | x ≤ 0 ou 1 ≤ x < 4g) S = x ∈ R | x ≥ −1 ou 1 ≤ x ≤ 2h) S = x ∈ R | x ≤ 0 ou x > 4i) S = x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 < x < 2j) n. d. a.


2. (VUNESP) Quantos numeros inteiros satisfazem a ine-quacao: x2 − 6x + 8 < 0a) nenhumb) 1c) 2d) 3e) 4

3. Resolvendo, em R, a inequacao:

x− 4

3− 5x− 1

4≤ 3

4

temos que:a) S = x ∈ R | x < −2


b) S = x ∈ R | x > −2c) S = x ∈ R | x ≤ −2d) S = x ∈ R | x ≥ −2e) n. d. a.

4. A solucao da inequacao:

2x + 3

x + 2≥ 1

e:a) S = x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1b) S = x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1c) S = x ∈ R | x > −2 ou x > 2d) S = x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2e) n.d.a

5. Resolvendo a inequacao

(2− 5x)(x + 1)

(−x + 3)≤ 0

temos que:a) S = x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2b) S = x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1c) S = x ∈ R | x ≤ −1 ou 2/5 ≤ x < 3d) S = x ∈ R | x < −3 ou − 1 ≤ x ≤ 2/5e) n. d. a.

6. Ao resolver ∣∣∣∣

x− 2

x + 3

∣∣∣∣< 1

obtemos:a) S = x ∈ R | x > 2b) S = x ∈ R | x < −1/2c) S = x ∈ R | x > −1/2d) S = x ∈ R | x ≤ −2e) n. d. a.

7. Qual a solucao da inequacao abaixo:

(1

2

)x2−5x+1

≥(

1

2

)

a) S = x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5b) S = x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0c) S = x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0d) S = x ∈ R | − 5 < x < 0e) n. d. a.

8. Resolvendo x2 − 8x + 7 ≤ 4, obtemos:a) S = x ∈ R | 4−

√14 < x < 4 +

√14

b) S = x ∈ R | 4−√

14 ≤ x ≤ 4 +√

14c) S = x ∈ R | 14−

√4 ≤ x ≤ 14 +

√4

d) S = x ∈ R | 4−√

4 ≤ x ≤ 4 +√

4e) S =


Equacoes Trigonometricas

Sao equacoes que envolvem pelo menos uma funcao trigo-nometrica operando em alguma de suas variaveis. Por exem-plo, cos θ = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o anguloθ.

Tipos Fundamentais

Existem tres tipos de equacoes trigonometricas fundamen-tais. Sao elas:

a) sen x = α

b) cosx = α

c) tanx = α

Equacoes de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessasfundamentais. Vejamos como resolver cada uma delas.

Equacoes envolvendo senα

X0

θ

1

1

sen θ

π−θ

Y

Se dois arcos trigonometricos x e α tem senos iguais, entao:

sen x = α⇐⇒

x = α± 2kπou

x = π − α± 2kπ

com k ∈ N

Equacoes envolvendo cos α

X0

1

1

2π − θ = −θ

θ−θ

Y θcos

Se dois arcos trigonometricos x e α tem cossenos iguais,entao:

cosx = α⇐⇒ x = ±α± 2kπ

com k ∈ N


Equacoes Envolvendo tan α

Se dois arcos trigonometricos x e α tem tangentes iguais,entao:

tanx = α⇐⇒ x = α± kπ

com k ∈ N

As equacoes a seguir tem suas solucoes mais facilmente ob-tidas pela representacao dos seus valores na circunferenciatrigonometrica.

Exemplos Resolvidos

1. sen x = −1

Como o seno de 3π/2 e igual a −1, temos a solucaogeral

x =3π

2± 2kπ k ∈ N

logo

S =

x ∈ R | x =3π

2± 2kπ, k ∈ N

2. sen x = 0

Como o seno de 0 e igual a 0, temos a solucao geral

x = ±π k ∈ N

logoS = x ∈ R | x = ±kπ, k ∈ N

3. sen x = 1

Como o seno de π/2 e igual a 1, temos a solucao geral

x =π

2± 2kπ k ∈ N

logo

S =

x ∈ R | x =π

2± 2kπ, k ∈ N

4. cosx = −1

Como o cosseno de π e igual a −1, temos a solucaogeral

x = π ± kπ k ∈ N

logoS = x ∈ R | x = π ± kπ, k ∈ N

5. cosx = 0

Como o cosseno de π/2 e igual a 0, temos a solucaogeral

x =π

2± kπ k ∈ N

logo

S =

x ∈ R | x =π

2± kπ, k ∈ N

6. cosx = 1

Como o cosseno de 0 e igual a 1, temos a solucao geral

x = 2kπ k ∈ N

logoS = x ∈ R | x = 2kπ, k ∈ N

cos x = 1/2

Como o cosseno de π/3 e igual a 1/2, temos a solucaogeral

x = π/3± kπ k ∈ N

logoS = x ∈ R | x = π/3± kπ, k ∈ N

Pense um Pouco!

• Existe solucao real para a equacao cosx = 2 ?


1. Para x ∈ R | 0 ≤ x < 2π, resolva as equacoes:a) sen 3x− sen x = 0

b) cosx =√

32

c) tanx = −√

33


2. A solucao da equacao cos 2x− cosx = π, e:a) x ∈ R | x = −π ± 2kπ, k ∈ Zb) x ∈ R | x = −π/3± kπ, k ∈ Zc) x ∈ R | x = π/4± 2kπ, k ∈ Zd) x ∈ R | x = −π/2± kπ, k ∈ Ze) ∅

3. Uma das solucoes da equacao sen 2x + sen x = 0, e:a) 4π/3b) 3π/4c) π/6d) −2π/3e) n. d. a.

3) O conjunto solucao da equacao cosx− cosπ/4 = 0 e:f) S = x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Zg) S = x ∈ R | x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Zh) S = x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Zi) S = x ∈ R | x = ±π/2 + 2kπ, k ∈ Zj) n. d. a.

4. A equacao trigonometrica 3 tanx −√

3 = 0 , temsolucao:a) S = x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Zb) S = x ∈ R | x = ±3π/2 + 2kπ, k ∈ Zc) S = x ∈ R | x = π/6 + kπ, k ∈ Zd) S = x ∈ R | x = ±π/3 + kπ, k ∈ Ze) n. d. a.

5. Resolvendo a equacao cos(x − π/2) = cos(π/2) parax ∈ R obtemos:a) S = x ∈ R | x = π/4 + kπ, k ∈ Zb) S = x ∈ R | x = π/3 + kπ, k ∈ Zc) S = x ∈ R | x = 2π/3 + kπ, k ∈ Zd) S = x ∈ R | x = π/2 + kπ, k ∈ Ze) S = x ∈ R | x = 0

6. Resolvendo a equacao cos(x) = sen (x) para valores reaisde x ∈ [0, 2π) obtemos:


a) nenhuma solucaob) uma solucaoc) duas solucoesd) tres solucoese) quatro solucoes


Introducao a Geometria

A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemospor figura plana todo subconjunto, nao vazio, de pontos doplano. Quando dizemos que S e uma figura plana, estamosafirmando que S esta totalmente contida num plano.

Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjuntode conceitos nao definidos, dos quais temos a intuicao clarae, um sistema de axiomas ou postulados, que sao proposicoesnao demonstradas, aceitas intuitivamente, que dao carac-terısticas aos elementos nao definidos.

Entes Geometricos Fundamentais

Ponto, reta e plano: sao ideias primitivas, entes que naopossuem definicao.

Representacao

Por convencao, usaremos a seguinte nomenclatura geralpara:

• pontos: A, B ,C, . . .

• retas: r, s, t, . . .

• planos: α, β, γ, . . .

Definicoes

• A reta e infinita, ou seja, contem infinitos pontos, enao possui inıcio nem fim.

r

• Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em doisconjuntos, chamados semi-retas. O ponto A e origemdas semi-retas e pertence a ambas.

r

A

• segmento de reta e a porcao de uma reta entre doispontos nao coincidentes A e B.

A

B

r

• tres pontos nao co-lineares definem um plano.

A

B

rsC

α

Propriedades Gerais

• por um ponto passam infinitas retas;

• por dois pontos passa uma so reta;

• por dois pontos passam infinitos planos;

• por tres pontos nao co-lineares passa um so plano;

• o plano e infinito e ilimitado;

• por uma reta passam infinitos planos;

• toda reta pertencente a um plano divide-o em duasregioes chamadas semi-planos;

• um plano divide o espaco em dois semi-espacos;

Angulo Plano

Definicao

E a uniao de duas semi-retas de mesma origem.

O

A

B

θ

Regiao Angular

E a uniao do conjunto dos pontos interiores com o con-

junto dos pontos do angulo. Indica-se por AOC.

O

A

B

θ

E

interiorponto

I

pontoexterior


Angulos Adjacentes

Dois angulos sao adjacentes, quando possuem mesma ori-gem e um lado em comum.

O β

C

A

αB

Angulos Congruentes

Dois angulos sao congruentes quando possuem mesma me-dida, ou seja, sao coincidentes.

O

C

αB

O´

C´

B´

α =α´

Bissetriz

E a semi-reta de origem no vertice do angulo, que o divideem dois angulos congruentes.

O

α

C

βA

B

Neste caso AOC ≡ BOC

Angulos Opostos pelo Vertice

Dois angulos sao opostos pelo vertice quando os lados deum sao semi-retas opostas aos lados do outro.

r

s

α

αO

Dois angulos opostos pelo vertice sao congruentes.

Angulo Raso

Define-se um angulo raso quando os tres pontos A, O eB pertencem a mesma reta. Por definicao o angulo planomede 180.

O

β = 180o

Angulo Reto

Chama-se de angulo reto o angulo obtido pela bisseccaode um angulo plano. O angulo reto mede 90.

O

β = 90o

.

Angulo Agudo

Angulo agudo e aquele cuja medida e menor que 90.

αO

Angulo Obtuso

Angulo obtuso e aquele cuja medida e maior que 90.

Oβ

Angulos Complementares

Dois angulos sao complementares, quando a soma de suasmedidas e um angulo reto (90).

θ = 90 − βο

O. β


Angulos Suplementares

Dois angulos sao suplementares, quando a soma de suasmedidas e um angulo raso (180).

Polıgonos

Definicao: Consideremos, num mesmo plano, N ≥ 3pontos A1, A2, A3, . . . , AN , ordenados de modo que tresconsecutivos nao sejam colineares. Chama-se polıgonoA1, A2, A3, . . . , AN , A1 a figura formada pela uniao dos Nsegmentos consecutivos entre os pontos:

A1

A2

A3

A4

A5

Regiao Poligonal

E a regiao do plano formada pela uniao dos pontos dopolıgono com os pontos do seu interior.

Define-se que uma regiao do plano e convexa quando quais-quer dois pontos dessa regiao puderem ser unidas por seg-mentos de retas cujos infinitos pontos pertencam a essaregiao. Se essa condicao falhar, diz-se que a regiao econcava.

Se a regiao poligonal for convexa, o polıgono sera denomi-nado polıgono convexo.

C

D

Se a regiao poligonal for concava, o polıgono sera denomi-nado polıgono concavo.

C

D

Classificacao

Polıgono Equilatero

E o polıgono que tem todos os lados congruentes:

Exemplos: losango, quadrado, etc...

Polıgono Equiangulo

E o polıgono que tem todos os angulos internos congruentes.

Exemplos: retangulo, quadrado, etc,...

Polıgono Regular

E o polıgono equilatero e equiangulo simultaneamente.

Exemplo: quadrado.

4

7

11 13 14

20 25 30

3 5 6

1098

12

15

Nomenclatura

De acordo com o numero de lados, temos:

Nome Numero de LadosTriangulo 3 ladosQuadrilatero 4 ladosPentagono 5 ladosHexagono 6 ladosHeptagono 7 ladosOctogono 8 ladosEneagono 9 ladosDecagono 10 ladosUndecagono 11 ladosDodecagono 12 ladosPentadecagono 15 ladosIcosagono 20 lados

Numero de Diagonais

Chama-se diagonal de um polıgono a todo segmento de retacujas extremidades sao vertices nao consecutivos. O numerode diagonais D de um polıgono convexo de N lados (N ≥ 3)e dado por:

D =N(N − 3)

2

Soma dos Angulos

Em todo polıgono convexo de N lados (N ≥ 3), sendo Si asoma dos angulos internos e Se a soma dos angulos externostem-se:

Si = (N − 2) · 180


e

Se = 360

Circunferencia

Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distanciaR nao nula (raio), chama-se circunferencia o conjunto dospontos do plano que distam R do ponto C.

C

R

Comprimento da Circunferencia

O comprimento de uma circunferencia, ou perımetro e dadopor

L = 2πR

Cırculo

E a regiao limitada pela circunferencia, ou seja, e a uniaodo conjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentesa circunferencia.

Area do Cırculo

A area A de um cırculo e dada por

A = πR2

Pense um Pouco!

• Arquimedes considerava que a circunferencia poderiaser definida como um polıgono regular com um grandenumero de lados (muito pequenos). O que voce achadisso?


1. Qual e o angulo que mede o dobro do seu complemento?

2. Qual o valor de α na figura abaixo?

O

2α+10

a+20o

o

3. Determine a medida do angulo β na figura:

r

s

O6β−20

3β+10o

o

4. Qual o numero de diagonais do icosagono?a) 150b) 110c) 210d) 170e) n. d. a.

5. Qual o numero de lados de um polıgono que possui 14diagonais?a) 5b) 7c) 9d) 11e) n. d. a.

6. Determine a area do cırculo limitado pela circunferenciacujo comprimento e de 10π cm.a) 25π cm2

b) 16π cm2

c) 49π cm2

d) 36π cm2

e) n. d. a.


7. (FEI) Num polıgono regular, o numero de diagonais eo triplo do numero de lados. A quantidade de lados dessepolıgono e:a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

8. (MACK) A soma dos angulos internos de um heptagonoconvexo e igual a:a) 1.260

b) 540

c) 720

d) 900

e) 1.080

9. Num polıgono convexo, a soma dos angulos internos ecinco vezes a soma dos angulos externos. Calcule o numero


de diagonais desse polıgono.a) 35b) 44c) 54d) 90e) n. d. a.

10. Dois angulos sao complementares, sendo que um e oquıntuplo do outro. Qual o valor do menor desses angulos:a) 10

b) 12

c) 17

d) 20

e) n. d. a.

11. Qual e o angulo cujo suplemento e o triplo do seucomplemento:a) 35

b) 45

c) 60

d) 15

e) n. d. a.

12. Cada um dos angulos externos de um polıgono regularmede 15. Qual o numero de diagonais desse polıgono?a) 170b) 252c) 90d) 144e) n. d. a.

13. Cada um dos angulos internos de um polıgono regularmede 150. Qual e o polıgono?a) octogonob) decagonoc) dodecagonod) icosagonoe) n. d. a.


Triangulos

Definicao

Dados tres pontos nao colineares A, B e C, chama-setriangulo a uniao dos tres segmentos AB, AC, BC.

∆ABC = AB + AC + BC

Elementos do Triangulo

• Vertices: A,B e C;

• Lados: AB, AC e BC;

• Angulos internos: α, β e γ;

• Angulos externos: sao os angulos suplementares aosinternos. Na figura, para o angulo interno γ, por exem-plo, γex. e o angulo externo.

Classificacao

Quanto aos Lados

Equilatero

Possui os tres lados iguais.

C

A

B a

c b

Isoceles

Possui dois lados iguais.

Escaleno

Possui os tres lados diferentes.

Quanto aos Angulos

Retangulo

Possui um angulo reto.

Obtusangulo

Possui um angulo obtuso, ou seja, maior do que um anguloreto.


α > 90ο

Acutangulo

Possui todos os angulos agudos, ou seja, menor do que umangulo reto.

Observacoes

1. Se o ∆ABC e isoceles, entao os angulos da base saocongruentes;

2. Se o ∆ABC e equilatero, entao os tres angulos internossao congruentes.

Propriedades

1. existencia de triangulo: para existir o triangulo, cadaum dos tres lados deve ser menor do que a soma dosoutros dois;

2. soma dos angulos internos: a soma dos angulos internosde qualuqer triangulo e 180, ou dois angulos retos;

3. soma dos angulos externos: em qualquer triangulo,cada angulo externo e igual a soma dos internos naoadjacentes.

α β

γ = α+β

Triangulo Retangulo

Elementos

Observe a figura abaixo:

C

h

an

c

B

A

b

m

Nesse triangulo ABC, retangulo em A, temos:

• A, B, e C sao vertices;

• a e a hipotenusa (lado oposto ao angulo reto);

• b e c sao catetos;

• h e a altura relativa a hipotenusa;

• m e n sao as projecoes dos catetos b e c sobre a base(hipotenusa), respectivamente.

Relacoes Metricas

As relacoes entre essas medidas sao chamadas de relacoesmetricas nos triangulos retangulos. As principais sao:

a2 = b2 + c2

h2 = mn

a = m + n

b2 = am

ah = bc

c2 = an

Triangulos Quaisquer

Lei dos Senos

Num triangulo qualquer, as medidas dos lados sao propor-cionais aos senos dos angulos opostos. Isto e:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

Exemplo Resolvido

Determine o valor de a, no triangulo abaixo:

B

ac=2,0 cm

A

60

75

o

o

Resolucao:

Como A + B + C = 180, A = 60 e B = 75, segue queC = 180 − A− B = 45. Entao:

a

sen A=

c

sen C⇒ a

sen 60=

2, 0 cm

sen 45

a = (2, 0 cm)1/2√2/2

= (2, 0 cm)/√

2 = 1, 4 cm


Lei dos Cossenos

Num triangulo qualquer, o quadrado da medida de um ladoe igual a soma dos quadrados das medidas dos outros doislados, menos duas vezes o produto das medidas destes ladospelo cosseno do angulo formado entre eles. Por exemplo,para o lado a, oposto ao angulo A, temos:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

Exemplo Resolvido

Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem10 cm e 5 cm, e formam um angulo de 60 entre si.

60o

x

A

C

10 cm

5 cm

B

D

Resolucao:

Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos aotriangulo ABC:

x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 − 2(10 cm)(5 cm) cos 60

x2 = (100 + 25− 100 · (1/2)) cm2

x =√

175 cm2 = 5√

7 cm

Pense um Pouco!

• Como podemos obter quatro triangulos equilateros,usando apenas seis palitos de fosforo?


1. No triangulo ∆ABC mostrado na figura, retangulo emA, os catetos b e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente.

8 cm

6 cmm

n

a

h

B A

C

Calcule o valor das medidas:a) da hipotenusa a;b) das projecoes m e n dos catetos sobre a hipotenusa.c) da altura h relativa a hipotenusa;

2. Determine a medida do menor cateto de um trianguloretangulo, cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa ahipotenusa mede 2

√3 cm.

a) 2√

7 cmb)√

21 cm

c) 3√

7 cmd) 2√

21 cme) n. d. a.

3. Qual a altura relativa a hipotenusa, de um trianguloretangulo isoceles, cujos catetos medem x.a) x√

2b) x√

2/2c) 2x

√2

d) x√

2/3e) n. d. a.

4. Determine a diagonal de um retangulo cuja area mede2.700 m2, sabendo que o comprimento e o triplo da largura.a) 45

√2 m

b) 30√

2 mc) 20

√10 m

d) 30√

10 me) n. d. a.

5. Calcule a altura de um triangulo equilatero cujos ladosmedem a.a) a√

2/3b) a√

3/4c) a√

3/3d) a√

3/2e) n. d. a.

6. Um triangulo cujos lados menores medem 5 m e 12 m eretangulo se, e somente se, o terceiro lado medir:a) 13 mb) 14 mc) 15 md) 16 me) n. d. a.

7. Um triangulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm,formando um angulo 60. Qual a medida do outro lado, emcm?a)√

13b)√

19c)√

11d)√

7e) n. d. a.

8. A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde sedeseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de

B, mediu-se o angulo ACB = 45 e, do ponto A, mediu-se

o angulo BAC = 30.

C

A

B

Qual sera o comprimento da ponte?a) 100 mb) 75 mc) 100

√2 m


d) 75√

2 me) n. d. a.


Quadrilateros

Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D orde-nados de modo que tres consecutivos nao sejam colineares,chama-se quadrilatero a uniao dos quatro segmentos AB,BC, CD e DA.

ABCD = AB ∪BC ∪ CD ∪DA

Quadrilateros Notaveis

Trapezio

Quadrilatero que possui dois lados paralelos.

CD

BA

r

s r

AB e CD (bases)

AD e CB (lados transversais)

Observacoes

• se houver 1 angulo reto entao temos um trapezioretangulo;

• se os lados transversais forem congruentes temos umtrapezio isoceles.

Paralelogramo

Quadrilatero com lados opostos paralelos e congruentes(iguais), dois a dois.

CD

A B

Propriedades

• os lados opostos sao congruentes;

• os angulos opostos sao congruentes;

• as diagonais se cortam ao meio mutuamente.

Retangulo

Paralelogramo que possui todos os angulos retos.

A B

D C

• valem as propriedades do paralelogramo;

• as diagonais sao congruentes;

• os quatro angulos sao retos.

Losango ou Rombo

Paralelogramo com dois lados adjacentes congruentes.

A

B

DC

• valem as propriedades do paralelogramo;

• as diagonais estao nas bissetrizes dos angulos internos;

• as diagonais sao perpendiculares;

• os quatro angulos sao congruentes.

Quadrado

E um losango retangulo.

A

D

B

C

• possui os lados e angulos congruentes;

• diagonais perpendiculares e congruentes;

• as diagonais se cortam ao meio, mutuamente;

• as diagonais estao nas bissetrizes dos angulos internos.


Hierarquia entre Quadrilateros

Relacoes de inclusao entre os conjuntos dos quadrilaterosnotaveis:

Paralelogramos

Quadrilateros

Trapezios

LosangosQuadrados

Retangulos

Polıgonos Regulares

Sao aqueles que possuem todos os lados e todos os angulosiguais.

Triangulo Equilatero

l

r=a

hl

R

l

Elementos

l = ladoh = alturaR = raio da circunferencia circunscritaa = apotema (=r raio da circunferencia inscrita)

Formulas

h = l√

3/2

R = 2h/3

r = h/3

R = 2r

A area = l2√

3/4

Quadrado

ld

R

l

l

a =L / 2

l

Elementos

l = ladod = diagonala = apotema (= r raio da circunferencia inscrita)R = raio da circunferencia circunscrita.

Formulas

d = l√

2

R = d/2

a = l/2

A area = l2

Hexagono Regular

L

a

R

l

l

l

l

l

l

Elementos

l = ladoa = apotema (raio da circunferencia inscrita)R = Raio da circunferencia circunscrita.

Formulas

R = l

a = l√

3/2

A area = 3l2√

3/2


Calcule a razao entre as areas dos cırculos circunscrito einscrito em um triangulo equilatero.


Resolucao:

Sendo A1 a area do cırculo circunscrito e A2 a area do cırculoinscrito, temos:

A1

A2=

πR2

πr2=

(2a)2

a2= 4

Pense um Pouco!

• O quadrado e um losango?


1. Assinale a alternativa falsa:a) todo quadrado e um retangulob) todo quadrado e um losangoc) todo losango e um paralelogramod) todo retangulo e um paralelogramoe) todo trapezio e um paralelogramo

2. O lado de um hexagono regular inscrito em uma circun-ferencia mede 4 cm. Calcule:a) O raio da circunferencia;b) O apotema do hexagono;c) A area do hexagono;d) A area do cırculo inscrito.

3. Qual a area do cırculo que esta circunscrito a um qua-drado de area igual a 100 cm2?


4. A razao entre os comprimentos das circunferencias cir-cunscrita e inscrita em um quadrado de lado 2 e:a)√

2b)√

2/2c) 2d) 2√

2e) n. d. a.

5. Assinale a afirmacao falsa:a) as diagonais de um paralelogramo sao congruentesb) as diagonais de um losango sao perpendicularesc) as diagonais de um losango sao bissetrizes dos angulosinternosd) as diagonais de um retangulo sao congruentese) as diagonais de um paralelogramo interceptam-se noponto medio

6. Calcule a area de um triangulo equilatero circunscritoem cırculo de area igual a 25π cm2.a) 25

√3 cm2

b) 15√

3 cm2

c) 10√

3 cm2

d) 75√

3 cm2

e) n. d. a.

7. A area do cırculo circunscrito a um quadrado mede 18π.Calcule a area do cırculo inscrito no quadrado.a) 9π

b) 8πc) 7πd) 6πe) n. d. a.

8. O valor da area sombreada na figura abaixo

1 cm

7 cm

c

e:a) 12 cm2

b) 14 cm2

c) 20 cm2

d) 6√

7 cm2

e) n. d. a.

9. Qual a area do hexagono inscrito num cırculo cuja areamede 16π cm2.a) 36

√3 cm2

b) 25√

3 cm2

c) 24√

3 cm2

d) 20√

3 cm2

e) n. d. a.

7) A area da regiao sombreada na figura abaixo

l = 20 cmR

e:f) 50π cm2

g) 35π cm2

h) 25π cm2

i) 15π cm2

j) n. d. a.


Circunferencia

Definicao

Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distanciaR nao nula (raio), chama-se circunferencia o conjunto dospontos do plano que distam R do ponto C.


Equacao Reduzida

Seja a circunferencia de centro C(xC , yC) e raio R e sejaP (x, y) um ponto do plano.

O ponto P pertence a circunferencia se, e somente se, adistancia de P a C for igual a R. Daı teremos:

(x− xC)2 + (y − yC)2 = R2

que e a equacao reduzida da circunferencia.

Caso Particular

Se C = (0, 0), entao a equacao reduzida sera:

x2 + y2 = R2

Exemplos

1. Obter a equacao reduzida da circunferencia de centroC(3,−2) e raio igual a R = 5.

Resposta

(x− 3)2 + (y + 2)2 = 25

2. Obter a equacao reduzida da circunferencia de centroC(0, 0) e raio R = 3.

Resposta

x2 + y2 = 9

Equacao Geral

Desenvolvendo-se a equacao reduzida (x−xC)2+(y−yC)2 =R2, obtemos:

x2 − 2xxC + x2C + y2 − 2yyC + y2

C = R2

x2 + y2 − 2xxC − 2yyC + x2C + y2

C −R2 = 0

Fazendo-se:

x2C + y2

C −R2 = p

resulta

x2 + y2 − 2xxC − 2yyC + p = 0

que e a equacao normal (ou geral) da circunferencia.

Determinacao do Centro e do Raio

a) Dada a equacao (x − xC)2 + (y − yC)2 = R2 na formareduzida, de imediato conclui-se que o centro e C(xC , yC) eo raio e R.

b) Dada a equacao x2 + y2 + mx + ny + p = 0 na formanormal, o centro e o raio sao determinados comparando-secoma equacao: x2 + y2 − 2xxC − 2y yC + p = 0

Centro

m = −2xC =⇒ xC = −m

2

n = −2yC =⇒ yC = −n

2

finalmente

C =(

−m

2,−n

2

)

Raio

p = x2C + y2

C −R2 =⇒ R2 = x2C + y2

C − p

ou seja

R = +√

x2C + y2

C − p

Exemplo

1. Determinar o centro e raio da circunferencia de equacao:x2 + y2 − 6x− 2y + 6 = 0.

Solucao

A partir da equacao, temos:

m = −6 =⇒ xC = −m

2= −−6

2= 3

n = −2 =⇒ yC = −n

2= −−2

2= 1

p = 6 =⇒ R = +√

32 + 12 − 6 = 2

Resposta

Centro C = (3, 1) e raio R = 2.

Pense um Pouco!

• A circunferencia e uma linha plana? Comente.


1. Determine o centro e o raio da circunferencia de equacao(x− 5)2 + (y + 3)2 = 10.

2. Dar a equacao cartesiana de circunferencia de raio R = 4e que esta centrada na origem.

3. Determine a equacao geral da circunferencia de centroC = (−2, 2), cujo raio R =

√5.


4. Determine o centro C e o raio R da circunferencia x2 +y2 − 8x− 6y + 21 = 0:a) C(4, 3) e R = 2b) C(−2, 5) e R = 3


c) C(4,−2) e R = 2d) C(−2, 3) e R = 3e) n. d. a.

5. (FIC/FACEM) A equacao da circunferencia cujo centroesta na origem do sistema cartesiano e cujo raio e igual a1/5 e:a) x2 + y2 = 25b) 25x2 + 25y2 = 5c) x2 + y2 = 1/5d) 25x2 + 25y2 − 1 = 0e) 25x2 + 25y2 + 1 = 0

6. (PUC) Uma circunferencia de centro C(−2, 5) limitaum circulo cuja area e 3. Determinar a equacao da circun-ferencia.a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3b) (x − 2)2 + (y + 5)2 =

√3

c) (x + 2)2 + (y − 5)2 = 3d) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 3e) (x + 2)2 + (y + 5)2 =

√3

7. Qual e a equacao reduzida da circunferencia, cujaequacao geral e x2 + y2 − 8x + 7 = 0 ?a) (x + 4)2 + (y − 1)2 = 4b) (x − 4)2 + y2 = 9c) (x− 4)2 + (y − 1)2 = 9d) (x + 4)2 + y2 = 4e) n. d. a.

8. O diametro da circunferencia x2 + y2− 4x− 6y− 12 = 0,e:a) 5b) 6c) 8d) 10e) n. d. a.

9. (UFSC) Assinale a equacao que representa uma circun-ferencia:a) 2x2 + 5y2 − 2x + 10y + 1 = 0b) x2 + y2 + 2xy + 4x− 2y + 6 = 0c) x2 + y + 2x− 1 = 0d) x2 + y2 + 4 = 0e) x2 + y2 − x = 0

10. (UFPA) O raio da circunferencia x2 + y2 − 2x = 3 e:a)√

2b)√

3c) 2d) 3e) 4

11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunferencia2x2 + 2y2 − 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respectiva-mente iguais a:a) C = (−2, 1) e r =

√5

b) C = (−1, 1/2) e r =√

5/3c) C = (2, 1) e r = 5d) C = (2,−1) e r =

√5

e) C = (1,−1/2) e r =√

5/2


Polıgonos e Figuras Planas

Perımetro

Chamamos de perımetro de um polıgono a soma doscomprimentos de seus lados. Geralmente, representa-seo perımetro por 2p, isto porque chama-se de p o semi-perımetro do polıgono.

Quando o polıgono tem todos os lados iguais, o perımetro eigual ao produto do numero de lados pelo comprimento deum deles.

Areas de Figuras Planas

A area A de uma figura e um numero (medida), associadoa sua superfıcie, que exprime a relacao existente entre estasuperfıcie e a superfıcie de um quadrado de lado unitario.

Retangulo

Dado um retangulo de comprimento (base) b e altura h:

b

h

A = bh e 2p = 2(b + h)

Quadrado

Como um caso particular de retangulo temos o quadrado delado l

l

l

onde:

A = l2 e 2p = 4l

Como nem tudo a nossa volta sao retangulos e quadrados,tivemos a necessidade de calcular a area de outras figuras.E o mais interessante, e que atraves da area do retangulo,podemos obter areas de outras figuras. Veja a seguir.

Triangulo

Dado o triangulo de base b e altura h


b

ch

a

Comparando-se o triangulo com um retangulo com o com-primento b e altura h, temos, encaixando o triangulo noretangulo vemos que cabem dois triangulos.

Entao, fica facil calcular a area do triangulo, pois esta e ametade da area do retangulo. Assim:

A =bh

2e 2p = a + b + c

Paralelogramo

Observe o paralelogramo de altura h e base b:

b

ha

Recortando a parte sombreada do paralelogramo ecolocando-a do outro lado, o paralelogramo transforma-senum retangulo. Logo, concluımos que a area do paralelo-gramo e a mesma area do retangulo.

A = bh e 2p = 2(a + b)

Losango

Veja o losango de lado l, inscrito num retangulo de base b ealtura h:

b

h

ll

ll

D

d

A diagonal maior do losango tem medida igual ao compri-mento do retangulo, D = b.

A diagonal menor tem medida igual a altura do retangulo,d = h.

Se recortarmos o losango em quatro triangulos, vemos quea sua area e a metade da area do retangulo.

A =Dd

2e 2p = 4l

Trapezio

O trapezio e composto por dois triangulos, um de base B eoutro de base b, ambos com altura h.

B

a

b

ch

Assim a area sua area:

A =B + b

2h e 2p = a + b + c + B

Cırculo

r

A = πr2 e 2p = 2πr

Pense um Pouco!

• (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual famılia quecome mais pizza: aquela que pede uma grande de43 cm de diametro ou aquela que pede duas mediasde 30 cm de diametro?


1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 cmum lado e em 3 cm o outro, obteremos um retangulo cujaarea e 56 cm2. A medida do lado do quadrado e:a) 5 cmb) 6 cmc) 4 cmd) 7 cme) n. d. a.

2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito em umacircunferencia de raio R = 5 cm.


R

A area desse quadrado, em cm2 e:a) 64b) 81c) 100d) 50e) n. d. a.

3. Qual o perımetro de uma circunferencia cuja area internae 16π cm2?a) 16π cmb) 8π cmc) 16π cmd) 5π cme) n. d. a.

4. A area sombreada na figura abaixo

10 m

10 m

e:a) 25 · (4− π) m2

b) 75 m2

c) 100(4− π) m2

d) 50 m2

e) n. d. a.

5. O perımetro de uma circunferencia inscrita em um qua-drado de area 36 cm2 e:a) 12π cmb) 6π cmc) 9π cmd) 15π cme) n. d. a.

6. Qual a area de um losango, cuja soma das diagonais eigual a 27 cm e sua diferenca 3 cm?a) 50 cm2

b) 70 cm2

c) 85 cm2

d) 90 cm2

e) n. d. a.

7. (Desafio) A area da parte hachurada da figura

10 m

10 m

e:a) (50π − 100) m2

b) (50π − 75) m2

c) (75π − 50) m2

d) (75π − 25) m2

e) n. d. a.


Retas e Planos

Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjuntode conceitos nao definidos, dos quais temos a intuicao clara,e um sistema de axiomas ou postulados, que sao proposicoesnao demonstradas, aceitas intuitivamente, que dao carac-terısticas aos elementos nao definidos.

Elementos Fundamentais

Ponto, reta e plano: Sao ideias primitivas, entes que naopossuem definicao.

Temos ideias de ponto, por exemplo, um lapis tocando opapel, sendo apenas uma imagem, pois nao ha dimensaopara tanto. Analogamente, possuımos a intuicao de reta ede plano.

Axiomas

Axiomas ou postulados, sao proposicoes aceitas como ver-dadeiras sem demonstracao e que servem de base para odesenvolvimento de uma teoria.

Temos como axioma fundamental: existem infinitos pon-tos, retas e planos.

Representacao

Pontos: A, B, C, . . .Retas: r, s, t, . . .Planos: α, β, γ, . . .

Postulados: Pontos e Retas

1. A reta e infinita, ou seja, contem infinitos pontos.

2. Por um ponto passam infinitas retas.

3. Dois pontos distintos determinam uma reta.

4. Um ponto de uma reta, divide-a em duas semi-retas.


5. A interseccao de duas semi-retas, cada uma contendo aorigem da outra, define um segmento de reta.

Postulados: Plano

1. Por tres pontos nao-colineares, passa um unico plano.

2. O plano e infinito e ilimitado.

3. Por uma reta passam infinitos planos.

4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semi-planos.

Posicoes Relativas de Duas Retas

1. Duas retas sao paralelas se, e somente se, forem copla-nares com interseccao vazia, ou retas coincidentes.

2. Duas retas sao concorrentes, quando elas se intercep-tam (concorrem) em um unico ponto.

3. Sao retas que nao se interceptam e nao sao paralelas,pois estao em planos diferentes.

Determinacao de um Plano

Alem do postulado que diz:

”tres pontos nao-colineares determinam um unico plano”,

um plano tambem pode ser determinado por:

1. Uma reta e um ponto nao-pertencente a essa reta.

2. Duas retas concorrentes.

3. Duas retas paralelas distintas.

Posicoes Relativas de Dois Planos

1. Dois planos podem ser coincidentes quando foremiguais (α = β).

2. Dois planos sao concorrentes quando sua interseccao euma unica reta.

3. Dois planos sao paralelos quando sua interseccao e va-zia.

Pense um Pouco!

• Qual a quantidade mınima de pontos que se deve terpara que se obtenha 15 retas diferentes?

• E possıvel que duas retas coplanares sejam reversas?

• Quantos planos distintos, podem ser determinados,utilizando-se os vertices de um cubo?


1. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmacaoabaixo: ( ) Dados dois pontos distintos, existe um unicoplano passando por eles.( ) Os vertices de um triangulo sao coplanares (estao nomesmo plano).( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a contem emdois semi-planos.

( ) Por tres pontos distintos quaisquer, passa sempre umunico plano.( ) O numero maximo de retas que quatro pontos podemdeterminar e seis.( ) Se duas retas distintas nao sao paralelas, entao elas saoconcorrentes.( ) Se a interseccao entre duas retas e o conjunto vazio,entao elas sao paralelas.( ) Duas retas nao coplanares sao reversas.( ) Seis pontos determinam no maximo vinte planos.( ) Se dois planos diferentes possuem um ponto em comum,entao possuem uma reta em comum.

2. Assinale a alternativas falsa:a) Existem infinitos planos.b) Existem infinitos pontos.c) Todo plano tem infinitos pontosd) Podemos definir ponto.e) Por dois pontos distintos passa uma unica reta.f) Toda reta tem infinitos pontos.g) Todo triangulo esta contido em unico plano.

3. Classifique cada afirmacao como verdadeira (V) ou falsa(F): ( ) Nao existe plano que contenha duas retas reversas.( ) Se uma reta intercepta um plano, entao todo planoparalelo a essa reta o intercepta.( ) Dois planos podem ser iguais, concorrentes ou paralelos( ) Se tres retas sao paralelas entre si, duas a duas, existeum unico plano que as contem.( ) Duas retas quaisquer determinam um plano.

4. Sobe uma circunferencia sao marcados 8 pontos distintos.Quantas retas diferentes eles determinam, no maximo?a) 56b) 44c) 28d) 36e) n. d. a.

5. (ITA-SP) Quais as sentencas falsas nos itens abaixo?I) Se dois planos sao secantes, todas as retas de um delessempre interceptam o outro plano.II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas dis-tintas paralelas ao outro plano, os planos sao sempre para-lelos.III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um sao pa-ralelas ao outro plano.IV) Se uma reta e paralela a um plano, em tal plano existeuma infinidade e retas paralelas aquela reta.V) Se uma reta e paralela a um plano, e paralela a todas asretas do plano.a) I, II e IIIb) I, II e Vc) I, III e IVd) II, III e IVe) n. d. a.

6. Uma reta r e paralela a um plano α. Entao:a) todas as retas de α sao paralelas a rb) r nao pode ser coplanar com nenhuma reta de αc) existem em α retas paralelas a r e tambem retas reversasa r.d) α contem retas paralelas e perpendiculares a r.e) todo plano que contem r e paralelo a α.



Poliedros

Angulo poliedrico

Sejam n (n ≥ 3) semi-retas de mesma origem tais que nuncafique tres num mesmo semiplano. Essas semi-retas determi-nam n angulos em que o plano de cada uma deixa as outrassemi-retas em um mesmo semi-espaco. A figura formadapor esses angulos e o angulo poliedrico.

Solidos Poliedricos

Sao solidos limitados por faces planas e poligonais.

Veja alguns exemplos:

(a) (b)

(a) (b)

Elementos

Faces (F )

Sao os polıgonos que constituem a superfıcie poliedrica.

Arestas (A)

Sao os lados dos polıgonos (segmento e reta que une doisvertices consecutivos).

Vertices (V )

Sao os vertices angulos poliedricos do solido.

Diagonais

Sao os segmentos de reta que unem dois vertices opostossituados ou nao na mesma face.

Tipos

Poliedros Convexos

Um poliedro e dito convexo se o plano de cada polıgono(face) deixa o poliedro em um so semi-espaco, e portanto,nao o secciona em dois solidos menores.

Classificacao

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordocom o numero de faces, como por exemplo:

(a) (b)

Figura 1: Poliedro concavo (a) e convexo (b).

Nome Numero de Faces (F )tetraedro 4pentaedro 5hexaedro 6heptaedro 7octaedro 8dodecaedro 12icosaedro 20

Relacao de Euler

Em todo poliedro convexo e valida a relacao seguinte:

V −A + F = 2

em que V e o numero de vertices, A e o numero de arestase F , o numero de faces.

Exemplos

V = 8, A = 12, F = 6 =⇒ 8− 12 + 6 = 2

V = 12, A = 18, F = 8 =⇒ 12− 18 + 8 = 2

Exemplo Resolvido


Qual o numero de arestas e de vertices que tem um poliedroconvexo de 20 faces, todas triangulares?

Resolucao:

Nas 20 faces triangulares temos 20×3 = 60 arestas. Porem,cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duasvezes, ou seja:

A = F/2 = 30.

Temos F = 20 e A = 30 e da relacao de Euler,

V = A− F + 2 = 30− 20 + 2 = 12

Poliedros Regulares ou de Platao

Diz-se que um poliedro e regular (ou platonico) se, e so-mente se:a) for convexo;b) em todo vertice concorrer o mesmo numero de arestas;c) toda face tiver o mesmo numero de arestas;d) for valida a relacao de Euler.

(a) (b)

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro e platonico eo segundo, nao-platonico.

Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regularesou de Platao (THODI):

Poliedro F V A n PTetraedro 4 4 6 3 3Hexaedro 6 8 12 4 3Octaedro 8 6 12 3 4Dodecaedro 12 20 30 5 3Icosaedro 20 12 30 3 5

Onde:

n e numero de arestas em cada face;p e numero de arestas que saem de cada vertice.

Pense um Pouco!

• Uma piramide com base quadrada (tipo aquelas doEgito) podem ser um solido de Platao? Justifique.


1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 vertices. Calculeo numero de arestas.a) 12b) 15c) 18d) 20e) n. d. a.

2. Determine o numero de arestas de um poliedro convexocom 5 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.a) 20b) 15c) 10d) 8e) n. d. a.

3. Em um poliedro regular o numero de arestas excede onumero de vertices em 10 unidades. Sabendo que o numerode faces e igual 12, determine o numero de vertices domesmo.a) 8b) 6c) 20d) 12e) n. d. a.

4. Um poliedro platonico tem 12 vertices e em cada verticeconcorrem 5 arestas. O totais de arestas e de faces do poli-edro, respctivamente, sao:a) 20 e 30b) 30 e 20c) 20 e 15d) 15 e 20e) n. d. a.

5. Determine o numero de arestas e vertices de um poli-edro convexo de 20 faces, das quais 11 sao triangulares, 2quadrangulares e 7 pentagonais.a) A = 36 e V = 20b) A = 30 e V = 25c) A = 38 e V = 20d) A = 20 e V = 36e) n. d. a.


Prismas

Prisma e um solido geometrico delimitado por faces planas,onde suas bases situam-se em planos paralelos (α‖β)

α

β

h

Elementos:

Altura h: e a distancia entre as bases;Arestas laterais: possuem a mesma medida e sao paralelas;Faces laterais: sao paralelogramos;Bases: sao polıgonos congruentes.


Natureza

Os prismas sao triangulares, quadrangulares, pentagonais,hexagonais etc., conforme suas bases sejam triangulos, qua-drilateros, pentagonos, hexagonos, etc...

Classificacao

Prisma Reto

As arestas laterais sao perpendiculares aos planos das bases.

Prisma Oblıquo

As arestas laterais sao oblıquas em relacao aos planos dasbases.

α

β θ=90o

h

Figura 1: Prisma reto (esquerda) e oblıquo (esquerda).

Prisma regular

E um prisma reto cujas bases sao polıgonos regulares.

Areas e Volumes

Sendo Al a area lateral de um prisma (soma das areas decada face lateral). Ab a area de uma de suas bases e At asua area total, temos:

At = Al + 2Ab

Num prisma cuja area da base e Ab e altura h, o volume edado por:

V = Abh

Paralelepıpedos

Sao prismas cujas bases sao paralelogramos.

Paralelepıpedo Reto-Retangulo

Ou paralelepıpedo retangulo e todo paralelepıpedo reto cu-jas bases sao retangulos.

a

cb

dD

Num paralelepıpedo retangulo de dimensoes a, b, e c, sendoD a medida de uma de suas diagonais principais (internas),tem-se:

D =√

a2 + b2 + c2

At = 2(ab + ac + bc)

V = abc

Hexaedro Regular (CUBO)

E o paralelepıpedo reto-retangulo cujas seis faces sao qua-dradas.

l

l

l

D d

Para um cubo de aresta l:

d = l√

2

D = l√

3

At = 6l2

V = l3

Piramides

Conceito e Elementos

Consideremos um polıgono A, B, C, . . ., situado num planoα e um ponto V fora de α. Chama-se piramide a uniaodos segmentos com uma extremidade em V e a outra nospontos do polıgono. Uma piramide nao e um prisma.


ab

alap h

V

β

α

onde:V : angulo solido (angulo poliedrico);h: altura (distancia) do vertice ao plano da base;al : aresta lateral;ab: aresta da base.

Natureza

A piramide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal,etc..., conforme sua base seja um triangulo, quadrilatero,pentagono, etc...

Piramide Regular

E aquela cuja base e um polıgono regular e a projecao dovertice V sobre o plano da base coincide com o centro dabase.

Area e Volume

:

Sendo:R: raio do circulo circunscrito a base;r: raio do circulo inscrito a base (apotema da base);l: aresta da base;ap: apotema da piramide;h: altura da piramide;al: aresta lateral.

Tem-se que:

Al = pap

At = Al + Ab

V =Abh

3

Cilindro Circular Reto

Conceito e Elementos

Cilindro de revolucao ou cilindro circular reto e o solidoobtido pela rotacao completa de um retangulo em torno deum dos seus lados.

e

R

h

g

Elementos

R: raio da base;h: altura;e: eixo do cilindro;g: geratriz.

Seccoes de um Cilindro

Seccao Transversal

E a interseccao do cilindro por um plano paralelo as bases,gerando cırculos de raio R.

Seccao Meridiana

E a interseccao do cilindro por um plano que contem ocontem o eixo e, gerando um retangulo de base 2R e al-tura h.

Areas e Volumes

Al = 2πRh

Ab = πR2

At = Al + 2Ab = πR(R + 2h)

V = Abh = πR2h

Cone

Conceito

Cone circular reto e o solido de revolucao e obtido pelarotacao completa de um triangulo retangulo em torno deum dos seus catetos.

Classificacao

Cone Reto

Possui o eixo perpendicular a base.


e

h

RO

V

g

Considere a figura acima, tem-se:R: e o raio do cone;h: e a altura do cone;g: e a geratriz;V : e o vertice;O: centro do cırculo (base).

Relacoes, Areas e Volumes

g2 = R2 + h2

Ab = πR2

Al = 2πRg

At = Ab + Al = πR(R + 2g)

V =Abh

3=

πR2h

3

Cone Oblıquo

Possui o eixo oblıquo em relacao ao plano da base.

α

V

g

h

Esfera

Definicao:

E o conjunto dos pontos do espaco cuja distancia ao centroO sao menores ou iguais ao raio R.

e

R

Superfıcie Esferica

E o conjunto dos pontos do espaco cuja distancia ao centoO e igual ao raio R.

Area e Volume

At = 4πR2

V =4πR3

3

Pense um Pouco!

• Imagine uma esfera de massinha de modelar de raio R.Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer,com o mesmo volume total de massinha?


1. (PUC) Com uma lata de tinta e possıvel pintar 50 m2

de parede. Para pintar as paredes de uma sala (forma deprisma) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m dealtura, gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata.Qual a percentagem de tinta que resta na segunda lata?a) 22%b) 30%c) 48%d) 66%e) 72%

2. Um triangulo retangulo com hipotenusa de 13 cm e comum cateto de 5 cm e base de um prisma reto de 8 cm dealtura. Calcular a area total do prisma.a) 150 cm2

b) 300 cm2

c) 270 cm2

d) 240 cm2

e) n. d. a.


3. Calcule o volume de uma caixa d’agua em forma deprisma reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base eum losango cujas medidas das diagonais sao 7 m e 10 m.a) 420 mil litrosb) 19 mil litrosc) 210 litrosd) 210 mil litrose) n. d. a.


4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas asarestas congruentes e 48 m2 de area lateral. Seu volumevale:a) 16 m3

b) 32 m3

c) 64 m3

d) 4√

3 m3

e) 16√

3 m3

5. Qual o volume de uma esfera cuja area de sua superfıciemede 36 cm2?a) 25/sqrtπ cm3

b) 36π cm3

c) 36/sqrtπ cm3

d) 49/sqrtπ cm3

e) n. d. a.

6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para quetenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio docone e igual a 5 cm?a) 20 cmb) 12 cmc) 15 cmd) 21 cme) n. d. a.

7. Qual o volume de uma piramide quadrangular reta cujaarea da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triploda aresta da base.a) 750 cm3

b) 1000 cm3

c) 1250 cm3

d) 1500 cm3

e) n. d. a.


Parte IV

Lıngua Portuguesa

283

Lıngua Portuguesa – 01 285


Variantes Linguısticas

Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma lıngua,como a portuguesa, nao e falada do mesmo modo por to-dos os seus falantes. Ao contrario, a lıngua varia conformevarie a classe social do falante, o local onde ele nasceu oureside, a situacao em que ele deve falar ou escrever, etc. Adescricao de um idioma nao pode desconsiderar esse tipode fenomeno e deve, portanto, englobar a nocao de varian-tes linguısticas. Basicamente, uma lıngua sofre variacoes deacordo com cinco eixos.

Uma variacao inicial diz respeito as modalidades escrita efalada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve,e infantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existea variacao regional, que define, por exemplo, o sotaque eas expressoes tıpicas de cada lugar do paıs. Bastante im-portante e a variacao social, que determina duas normasbasicas: a norma culta, transmitida pela tradicao escolar,e a norma popular. Existe tambem a variacao de epoca.Como se sabe, a lıngua sofre transformacoes com o tempo.As pessoas, inclusive, falam de modo diferente de acordocom a idade. Por fim, ha o eixo da variacao de estilo, quedefine, por exemplo, o modo formal e o modo informal defalar. Note que a variacao formal/informal nao e identica avariacao culto/popular. Um advogado, por exemplo, fala demodo formal com o juiz num tribunal e de modo informalcom a famılia em casa, mas sera sempre um falante culto.

Resumindo, as variantes linguısticas sao:

• Modalidade escrita e modalidade falada;

• Variantes Regionais;

• Variantes Sociais (norma culta e normal popular);

• Variantes de epoca;

• Variantes de estilo (formal e informal).

Pense um Pouco!

O conhecido anuncio publicitario a seguir, publicado emrevistas de informacao, faz uso intencional de variante colo-quial da lıngua portuguesa. Que marcas, presentes no textodo anuncio poderiam caracterizar essa variante?


1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega declasse nestes ternos: ”Venho respeitosamente solicitar-lhese digne emprestar-me o livro”. A atitude desse aluno seassemelha a atitude do indivıduo que:a) comparece ao baile de gala trajando ”smoking”;b) vai a audiencia com uma autoridade de ”short”e cami-seta;c) vai a praia de terno e gravata;d) poe terno e gravata para ir falar na Camara dos Deputa-dos;e) vai ao Maracana de chinelo e bermuda.

INSTRUCAO. Texto para as duas questoes seguintes. Ob-serve uma pessoa contando para outra o procedimento parausar a nova impressora:

”Primeiro a gente pega as folhas e poe aqui, nessa parte debaixo. Daı, a gente liga nesse botaozinho e da o comandono computador. Daı a gente fica esperando um pouco e logoela imprime. E super facil”.

2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ”a gente”, responda:a) Esta adequado tanto na lıngua oral informal quanto nalıngua escrita formal porque refere-se a ”todos nos”.b) Esta adequado na lıngua oral informal por ser a formausual de se dizer ”nos”, mas esta inadequado na lıngua es-crita formal, a qual privilegia o uso de ”nos”.c) E o mais adequado na lıngua oral informal e na lınguaescrita formal porque refere-se a ”nos”.d) E o mais adequado na lıngua oral informal e na lınguaescrita formal por ser uma forma de dizer ”nos”.e) Esta adequado na lıngua oral formal, mas nao na lınguaescrita formal por querer dizer ”nos”.

3. (UNITAU-SP) As palavras de ligacao ”Primeiro... Daı...Daı...”, comuns na lıngua oral informal, podem ser subs-tituıdas a contento na lıngua escrita formal pelos seguintesmarcadores, respectivamente:a) Primeiro... Logo... Portanto...b) A princıpio...Conclusivamente... Portanto...c) Primeiramente... Segundamente... Conclusivamente...d) Primeiramente... A seguir... Finalmente...e) A princıpio... Finalmente... Logo...


4. (ENEM) O texto mostra uma situacao em que a lin-guagem usada e inadequada ao contexto. Considerando asdiferencas entre lıngua oral e lıngua escrita, assinale a opcaoque representa tambem o uso da linguagem inadequada aocontexto:a) ”O carro bateu e capoto, mas num deu pra ve direito.-um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro


que vai passando.b) ”E aı, o meu! Como vai essa forca?- um jovem que falapara um amigo.c) ”So um instante, por favor. Eu gostaria de fazer umaobservacao.- alguem comenta em uma reuniao de trabalho.d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar-me aocargo de Secretaria Executiva desta conceituada empresa.-alguem que escreve uma carta candidatando-se a um em-prego.e) ”Porque se a gente nao resolve as coisas como tem queser, a gente corre o risco de termos, num futuro proximo,muito pouca comida nos lares brasileiros.- um professor uni-versitario em um congresso internacional.

5. (UFU-MG) Assinale a unica alternativa em que naoocorre o emprego de expressoes coloquiais:a) – Ele pode decidir... - disse Pe-de-Vento. Tinha espe-rancas de ser escolhido por Quincas para herdar Quiteria,seu unico bem. (J. Amado)b) – Calma, companheiro. Nao tava querendo lhe lesar. (J.Amado)c) – Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria verele... (J. Amado)d) – Apesar dos pesares, e meu pai. Nao quero que sejaenterrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo,voce gostava? (J. Amado)e) – Fala tambem, desgracado... -Negro Pastinha, semse levantar, espichava o poderoso braco, sacudia o recem-chegado, um brilho mau nos olhos. - Ou tu acha que ele eraruim? (J. Amado)

6. (UEL-PR) A frase que contem uma marca de oralidadee:a) O sertanejo tem que falar cultura.b) Essa cultura e muito diferente da nossa.c) E um processo que nao esta fundado na palavra escrita.d) Mas, como sou sertanejo, e filho de uma famılia metadecomunista metade reacionaria, ne?e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para quevoces me facam perguntas...


Acentuacao Grafica

Princıpios da Acentuacao Grafica

Na lıngua portuguesa, segundo o criterio de tonicidade, ouseja, a posicao da sılaba tonica como sendo a ultima, apenultima ou a ante-penultima, as palavras sao classifica-das como oxıtonas, paroxıtonas ou proparoxıtonas, respecti-vamente. Quando a palavra levar acento grafico, este cairasempre sobre a vogal da sılaba tonica.

Proparoxıtonas

Todas as proparoxıtonas sao acentuadas.

TÔ NI− CA−

é uma palavra proparoxítona

Exemplos

Vıtima, medico, animo, titanico, rapido, ridıculo, modulo,catastrofico, hiperbolico.

Paroxıtonas

Acentuam-se as paroxıtonas terminadas em:

• r: carater, revolver, cadaver

• n: hıfen, polen, proton, neutron

• l: facil, reptil, mıssil, fossil

• x: torax, latex

• i ou is: taxi, taxis, juri

• u ou us: anus, bonus, onus

• um ou uns: albuns, forum

• ps: bıceps, forceps

• a ou as: ıma, orfa

• - oo ou oos: voos, enjoo, entoo

Acentuam-se tambem as paroxıtonas terminadas em di-tongo oral ou nasal, seguido ou nao de s. (orfao, orgaos,colegio, ferias).

Nao se acentuam as paroxıtonas terminadas pelas vogais a, eou o, e pela consoante nasal m. (cantam, sorriam, batiam).Como particularidade, nao se acentuam as paroxıtonas ter-minadas em ns, o que faz com que certos termos se acen-tuem no singular, mas nao no plural. (hıfen, hifens, polen,polens).

Oxıtonas

Acentuam-se as oxıtonas terminadas em:

• a ou as: sofas, Para, Corumba e futuros, como amarae morreras.

• e ou es: rape, cafes, ate, voces.

• o ou os: avo, avo, cipo, gigolos.

• em ou ens: tambem, parabens.

Nao se acentuam, portanto, oxıtonas terminadas com as vo-gais i(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante frequentes,nao sao adequados escritos em que se leia Pacaembu, Itu ouBariguı, para as palavras que se devem grafar Pacaembu,Itu e Barigui.

Ressalte-se tambem que as palavras terminadas em z naoestao contempladas pelas regras por serem sempre oxıtonas:capaz, algoz.


Monossılabos Tonicos

Recebem acento os monossılabos tonicos terminados em a,e, o, seguidos ou nao de s.

Exemplos

1. a(s): pa, ma, la, tras;

2. e(s): fe, pes, ve, les;

3. o(s): lo, nos, vos, pos.

Pense um Pouco!

Diante da visao de um predio com uma placa indicandoSAPATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a duvida:como pronunciar a palavra PAPALIA?

Levado o problema a sua sala de aula, a discussao girouem torno da utilidade de conhecer as regras de acentuacaoe, especialmente, do auxılio que elas podem dar a corretapronuncia de palavras. Apos discutirem pronuncia, regrasde acentuacao e escrita, tres alunos apresentaram as seguin-tes conclusoes a respeito da palavra PAPALIA:

I. Se a sılaba tonica for o segundo PA, a escrita deveria serPAPALIA, pois a palavra seria paroxıtona terminada emditongo crescente.

II. Se a sılaba tonica for LI, a escrita deveria ser PAPALIA,pois nao haveria razao para o uso de acento grafico.


1. Acentue, se necessario, os vocabulos destacados nas fra-ses a seguir:a) Nao posso atende-lo no momento, mas minha secreta-ria, dona Vanessa, agendara uma reuniao para a proximasemana.b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediata-mente a secretaria da escola.c) Luıs, que agora retornava a casa paterna, com 30 anosrecem-completados, dela partira aos vinte anos.d) Quando o sol raiar, Luıs partira novamente.e) Acho inconcebıvel que alguns pais nao amem os filhos.f) E que o arroz nao falte alem do toleravel. (Jose Sara-mago, Memorial do convento)g) O voo das aves sempre nos causa encantamento.h) Hoje sao muito mais raros os partos feitos com forceps.

i) Acho desagradavel rever velhos albuns de familia.

2. (CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual osvocabulos obedecem a mesma regra de acentuacao da pala-vra nodoa:a) ansia, ambar, imundıcie;b) mıope, ima, enjoo;c) agua, tenue, superfluo;d) ımpar, mıngua, languida;e) viuvo, argenteo, sordido.

3. O trecho a seguir foi copiado sem acentuacao. Leia-oatentamente e acentue os vocabulos que assim o exigirem:

”Ainda hoje existe no saguao do paco imperial, que notempo em que se passou esta nossa historia se chamava Pa-lacio del-rei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povocom eles denominavam o Patio dos Bichos. Este apelidolhe fora dado em consequencia do fim para que ele entaoservia: passavam ali todos os dias do ano tres ou quatrooficiais superiores, velhos, incapazes para a guerra e inuteisna paz, que o rei tinha a seu servico nao sabendo se commais alguma vantagem de soldo, ou se so com mais a honrade serem empregados no real servico.”(Manuel Antonio deAlmeida, Memorias de um sargento de milıcias).


4. (UFRGS-RS) A grafia dos nomes proprios nem sempresegue as regras ortograficas da lıngua portuguesa. O nomeLıvia, por exemplo, de acordo com a pronuncia com queocorre usualmente, deve receber acento grafico. A regra quedetermina o uso do acento neste caso e a mesma responsavelpelo acento grafico em:a) episodios;b) aı;c) reune;d) estreia;e) nos.

5. O trecho a seguir foi copiado sem acentuacao. Leia-oatentamente e acentue os vocabulos que assim o exigirem:

”O documento acaba sendo o eco de uma polemica ante-rior a cupula propriamente dita, surgida nas tres reunioespreparatorias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupode ONGs (Organizacoes Nao-Governamentais) lancou do-cumento condenando o texto da declaracao final da Cu-pula do Homem, ja entao em versao praticamente defini-tiva. Diziam as ONGs: ”A confianca exagerada colocadapelos documentos em forcas de mercado indefinidas e naoreguladas, como base para a organizacao das economias na-cionais, contradiz nossa opiniao, segundo a qual tais forcasnao sao solucao, mas fatores que contribuem para as crisessociais do mundo atual”. Uma das ONGs signatarias e oIbase, o instituto brasileiro dirigido pelo sociologo Herbertde Souza, o Betinho, agora membro do comite do ProgramaComunidade Solidaria, do governo Fernando Henrique Car-doso. As ONGs nao estao sozinhas na critica ao mercado.No seu discurso na inauguracao da reuniao, o premie di-namarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata) foiclaro: ”Nos aprendemos que o progresso social nao se re-aliza simplesmente por meio das forcas de mercado”. Ateo presidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chilenonas Nacoes Unidas, expressa duvidas nao sobre o mercadopropriamente mas sobre a austeridade fiscal, outro preceitozelosamente guardado pelo FMI. ”Equilibrar o orcamento euma boa coisa, mas por que deve-se alcancar um equilıbriomacroe-conomico baseado em desequilibrios nas vidas daspessoas?”, pergunta Somavia. (Clovis Rossi, Folha de S.Paulo, Agencia Folha, 07 mar. 1995.)



Concordancia Nominal

REGRA GERAL

Os termos que dependem do nome (substantivo) com eleconcordam em genero e numero.

Exemplos

Os nossos medicos descobriram a cura da doenca.

Passamos bons momentos juntos.

CASOS ESPECIAIS

1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em relacao a dois oumais substantivos:

• De mesmo genero: adjetivo no singular ou plural.

A vontade e a inteligencia humana(s). As con-quistas e as descobertas portuguesas.

• De generos diferentes: adjetivo concorda com omais proximo ou fica no masculino plural.

O carro e a bicicleta envenenada(os).O trabalho e as realizacoes conseguidas(os).

Observacao: Adjetivo anteposto concorda com omais proximo.

Observam-se boa disciplina, estudo e trabalho.

2. Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos trespossibilidades:

Estudamos a civilizacao grega e romana.Estudamos a civilizacao grega e a romana.Estudamos as civilizacoes grega e romana.

3. Mesmo, proprio, so, anexo, incluso, junto, bastante,nenhum, leso, meio e particıpios verbais: concordamem genero e numero com o termo a que se referem.

Enviamos anexas as informacoes solicitadas.Compraram duas meias entradas para o espetaculo.Resolvemos bastantes problemas difıceis.

Observacao: Meio e bastante como adverbios ficam in-variaveis.

Ela estava meio embriagada pelo sucesso.Suas ideias eram bastante interessantes.

4. Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singu-lar + adjetivo no plural.

Houve um e outro homem escolhidos para o cargo.Nem um nem outro crime praticados foram apurados.

5. O(s) mais, menos, melhor(es) ... possıvel(eis),pior(es), maior(es) e menor(es):

Conheci mulheres o mais encantadoras possıvel.Havia mestres os mais inteligentes possıveis.

6. Adjetivo = Predicativo do Sujeito

• Sujeito composto posposto: adjetivo concordacom o mais proximo ou fica no masculino plural.

Estava morto o amor e a compreensao humana.Estavam mortos o amor e a compreensao huma-nos.

• Sujeito nao determinado: adjetivo fica invariavel.

E proibido entrada de estranhos.Cerveja e bom para os rins..

• Sujeito determinado: adjetivo concorda emgenero e numero.

E proibida a entrada de estranhos.Esta cerveja e boa para os rins.

7. Adjetivo = Predicativo do Objeto

• Objeto simples: adjetivo concorda em genero enumero.

Encontrei tristonha a mulher abandonada.

• Objeto composto: adjetivo fica no masculino plu-ral.

Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abando-nados.

8. Dois ou mais numerais + substantivo no singular ouplural.

A primeira, a segunda e a ultima aula(s).

Pense um Pouco!

A placa a seguir apresenta erro de concordancia entre osubstantivo e o adjetivo em funcao do adjunto adnominal?


1. Assinale a opcao em que o emprego do vocabulo meionao obedece as regras do portugues culto:a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com oscomandos.b) O soldado foi punido porque se apresentou meio bebadoao general.c) As mocas estavam meias desatentas a explicacao do pro-fessor, daı que ele as repreendesse.d) Nao me venha com meias palavras: exijo que voce se ex-presse com objetividade.e) Era cedo, mas a sala ja se encontrava meio escura.

2. (UEL-PR) Ao esforco e a seriedade .......... ao estudo eque ........ os louvores que ele tem recebido ultimamente.a) consagrado - devem ser atribuıdos;


b) consagrada - deve ser atribuıdo;c) consagrados - devem ser atribuıdos;d) consagradas - deve ser atribuıdo;e) consagrados - deve ser atribuıdo.

3. (UEPG-PR)Acho que a menina ficara ........ aborrecidaquando ........ que em sua caixa ha ........ balas.a) meio - vir - menas;b) meia - vir - menos;c) meia - ver - menas;d) meia - ver - menos;e) meio - vir - menos.


4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio,alguns dos jovens pareciam ............ desanimadosa) houve - meios;b) houve - meio;c) houveram - meio;d) houvem - meio;e) houve - meios.

5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, nao ..........duvidas a respeito das boas intencoes do diretor.a) Qualquer - fossem - restariam;b) Quaisquer - fosse - restaria;c) Quaisquer - fossem - restaria;d) Qualquer - fosse - restariam;e) Quaisquer - fossem - restariam.

6. (UEL-PR) Esta adequadamente flexionada a forma des-tacada na frase:a) Ele nao deixou satisfeito nem a crıtica, nem o publico.b) Todos achamos difıceis, nas provas de Fısica e Ma-tematica, a resolucao das questoes finais.c) O sofa e a banqueta ganharam outro aspecto depois deconsertado.d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas feicoes,denunciando-os.e) Ele considerou inuteis, na atual circunstancia, as medidasque ela sugeria.

7. (UEL-PR) Que ...... das lembrancas felizes se entre elas........ lagrimas deslizando ........ pela face amada?a) seria - houvessem - copiosas;b) seriam - houvessem - copiosas;c) seria - houvesse - copiosa;d) seriam - houvessem - copiosa;e) seria - houvesse - copiosas.


Concordancia Verbal

REGRA GERAL

Verbo concorda com o sujeito em numero e pessoa.

Exemplos

O tecnico escalou o time.Os tecnicos escalaram os times.

CASOS ESPECIAIS

1. Sujeito Composto

a) Anteposto: verbo no plural.

O tecnico e os jogadores chegaram ontem a Sao Paulo.

b) Posposto: verbo concorda com o mais proximo oufica no plural.

Chegou(aram) ontem o tecnico e os jogadores.

c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoapredominante.

Eu, voce e os alunos iremos ao museu.

d) Com nucleos em correlacao: verbo concorda com omais proximo ou fica no plural.

O cientista assim como o medico pesquisa(m) a causado mal.

e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedentedo com ou vai para o plural.

O professor, com os alunos, resolveu o problema.O maestro com a orquestra executaram a peca classica.

f) Ligado por NEM: verbo no plural e, as vezes, nosingular.

Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia deCatifunda.

g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural depen-dendo do valor do OU.

Valdir ou Leao sera o goleiro titular.Joao ou Maria resolveram o problema.

2. Sujeito constituıdo por

a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singularou plural.

Um e outro medico descobriu(ram) a cura do mal.Nem um nem outro problema propostos foi(ram) resol-vido.

b) Um ou outro: verbo no singular.

Um ou outro fara o trabalho.

c) Coletivo geral: verbo no singular.

Mais de um jogador foi elogiado pela cronica esportiva.

d) Expressoes que indicam quantidade aproximada se-guida de numeral: verbo concorda com o substantivo.

Cerca de dez jogadores participaram da briga.

f) Pronomes (indefinidos ou interrogativos) seguidos depronomes: verbo no singular ou plural.

Qual de nos sera escolhido?

g) Palavra que: verbo concorda com o antecedente.

Hoje sou eu que faco o discurso.

h) Palavra quem: verbo na terceira pessoa do singular.

Amanha serao eles quem resolvera o problema.

i) Um dos que: verbo no singular ou plural.

Foi um dos alunos desta classe que resolveu o problema.


j) Palavras sinonimas: verbo concorda com o maisproximo ou fica no plural.

A Etica ou a Moral preocupa-se com o comportamentohumano.

3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronomeapassivador: verbo concorda com sujeito paciente.

Viam-se ao longe as primeiras casas.Ofereceu-se um grande premio ao vencedor da corrida.

b) se = ındice de indeterminacao do sujeito: verbosempre na terceira pessoa do singular.

Necessitava-se naqueles dias de novas ideias.

4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam fenomenos danatureza, verbo haver indicando existencia ou tempo,verbos fazer, ir indicando tempo: esses verbos ficamsempre na terceira pessoa do singular.

Durante o inverno, nevava muito.Ainda havia muitos candidatos.Ontem fez dez anos que ela se foi.

5. Verbo SER

a) Indicando tempo, distancia: concorda com o predi-cativo.

Hoje e dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanhaserao 4.

b) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda como que prevalecer.

Vinte milhoes era muito por aquela casa.

c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda como que prevalecer.

O homem sempre foi suas ideias.Santo Antonio era as esperancas da solteirona.A Patria nao e ninguem, a Patria somos nos.

d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com osujeito.

Deu duas horas o relogio do alto da montanha.

e) Verbo parecer + infinitivo: flexiona-se um dos dois.

Os cientistas pareciam procurar grandes segredos.Os cientistas parecia procurarem grandes segredos.

6. Sujeito = nome proprio plural:

a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo nosingular.

O Amazonas desagua no Atlantico.

b) Com artigo no plural: verbo no plural.

Os Estados Unidos enviaram tropas a zona de conflito.

Pense um Pouco!

EDUCACAO: Governo diz que houve erro de interpretacaopor causa da inclusao da palavra ”semestralidade”Reajustede escolas se mantem anuais.

O tıtulo da notıcia acima esta inadequado a norma culta daescrita do portugues. Por que?


1. (UEL-PR) .......... as providencias necessarias para osaneamento da cidade.a) Havera de ser tomado;b) Haverao de ser tomadas;c) Havera de serem tomadas;d) Haverao de serem tomadas;e) Haverao de ser tomado.

2. (UEL-PR) Ate ontem, ja .... duas mil pessoas desabri-gadas em todo o estado, e muitas mais ... se ... as chuvastorrenciais.a) existiam - havera - continuar;b) existiam - haverao - continuarem;c) existia - havera - continuar;d) existia - haverao - continuarem;e) existiam - havera - continuarem.

3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que nao ha con-cordancia inadequada a norma culta:a) Fazia dois anos que nao aconteciam desastres desse tipo.b) Faz alguns anos que nao acontece desastres desse tipo.c) Deve fazer um ano que aconteceu varios desastres aereos.d) Fazia algum tempo que nao acontecia desastres dessetipo.e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre dessetipo.


4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que nao ha con-cordancia inadequada a norma culta:a) Devem haver poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.b) Deve existir poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.c) Pode existir poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.d) Pode haver poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.e) Podem haver poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.

5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequa-damente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ......a producao e a exportacao, e ...... funcionarios treinados emsetores nos quais a empresa possa crescer.a) Existem - caıram - faltam;b) Existem - caiu - falta;c) Existe - caiu - faltam;


d) Existem - caıram - falta;e) Existe - caıram - faltam.


Colocacao Pronominal

Proclise

O pronome e colocado antes do verbo. E considerada obri-gatoria em, basicamente, duas situacoes:

a) Tipos de oracoes:

– Oracoes interrogativas, quando iniciadas por palavra ouexpressao interrogativa (”quem”, ”o que”, ”como”, ”onde”,”porque”, etc.):

Quem me dara o beijo que cobico?

– Oracoes exclamativas:

Deus lhe fale n’alma!

b) Palavras ”atrativas”: sao aquelas que, quando apare-cem antes do verbo, obrigam a proclise. Sao as seguin-tes: Palavras negativas (”nao”, ”nem”, ”nada”, ”nenhum”,”ninguem”, ”jamais”, etc.):

Canudos nao se rendeu. (Euclides da Cunha)

Conjuncoes subordinativas e pronomes relativos (”que”,”como”, ”onde”, ”se”, ”cujo”, ”quando”, ”embora”, ”por-que”, ”enquanto”, etc.):

Trabalho para homem que me respeite. (Jose Lins do Rego)

Adverbios ”agora”, ”ainda”, ”amanha”, ”antes”, ”breve”,”depois”, ”hoje”, ”ja”, ”jamais”, ”logo”, ”nunca”, ”ontem”,”sempre”, ”bem”, ”mal”, ”demais”, ”muito”, ”pouco”,”quase”, ”assim”, ”melhor”, ”pior”, alem das palavras comsufixo -menterapidamente”, ”certamente”, etc.:

Mal se movia, com medo de espantar a propria atencao.(Clarice Lispector)Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamaraopotoqueiro. (Graciliano Ramos)

Pronomes indefinidos ”algum”, ”alguem”, ”todo”, ”tudo”,”certo”, ”outro”, ’varios”, ”qualquer”, etc.:

E tudo se passa como eles querem. (Pero Vaz de Caminha)

Gerundios precedidos da preposicao “em”:

Em se tratando de futebol, o Brasil e um paıs de primeiromundo.

Mesoclise

O pronome e colocado no meio do verbo. So sera empregadano futuro do presente e no futuro do preterito, desde quenao haja palavra que exija a proclise:

As geracoes futuras perguntar-se-ao como foi possıvel per-durar um governo de generais durante 21 anos. (Imprensa)Repetir-se-a, assim, o que neste ano ja aconteceu com tan-tos outros feriados. (Visao)

Agora veja:

As geracoes futuras ainda se perguntarao como foi possıvel...Nao se repetira, assim, o que neste ano...

(As palavras “ainda”e “nao” exigem a proclise)

Enclise

O pronome e colocado depois do verbo. Emprega-se, geral-mente, a enclise:

a) Com verbos no inıcio do perıodo:

Sabe-se que a temperatura global esta em media cerca demeio grau Celsius mais alta do que ha 100 anos. (Veja)

b) Com verbos no modo imperativo afirmativo:

- Levante-se daı, senhor Belchior... (Bernardo Guimaraes)

c) Com verbos no gerundio, desde que nao venham precedi-dos da preposicao em:

Para tratar o enfermo psıquico, nao basta ter pena dele,consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo)

d) Com verbos no infinitivo impessoal:

A poesia esta na cidade, no campo, no mar. O problema edescobri-la, surpreende-la, flagra-la. (Ferreira Gullar)

Pense um Pouco!

Pronominais

De-me um cigarroDiz a gramaticaDo professor e do alunoE do mulato sabidoMas o bom negro e o bom brancoDa Nacao BrasileiraDizem todos os diasDeixa disso camaradaMe da um cigarro

Oswald de Andrade

Figura 1: Retrato a oleo de Oswald de Andrade, porTarcila do Amaral.


1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomesentre parenteses, de acordo com a norma culta da lınguaportuguesa:a) (se) “Ninguem ... arrepiava .., ninguem manobrava paraficar.”(Jose Lins do Rego)b) (se) “Nao .. ouvia .. um barulho.”(Joao Antonio)


c) (lhe) “A espacos, quando o aborrecimento .. vinha ..,saıa.”d) (se)”.. Lembrou .. entao do sangue do prea, sujando overde do capim.”(Jose Lins do Rego)e) (lhe) “Que .. importava .. a riqueza do velho Jose Pau-lino?”(Jose Lins do Rego)f) (se) “Depois, .. escutou .. um tiro seco, no silencio.”(JoseLins do Rego)g) (se)”.. Levanta .. e passa os bracos no pescoco deGuma.”(Jorge Amado)h) (se) “E que porcarias .. vendem .. por aı!”(Jose Lins doRego)i) (me) Nao conheco ao certo o local onde .. levaram .. nanoite passada.j) (se) “Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhi-nho.”(Dalton Trevisan)

2. (UDESC-SC) Assinale com V a colocacao verdadeira ecom F a colocacao falsa dos pronomes oblıquos atonos nosperıodos abaixo:

( ) Ele tem dado-se muito bem com esse nosso clima.( ) Talvez a luz contınua e ofuscante tenha-me afetado avisao.( ) Ninguem retirara-se antes do encerramento do conclave.( ) Tudo me parecia bem ate que me alertaram do perigoque corria.( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divinamusica.( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza nao mais ocorreriam.

A sequencia correta de letras, de cima para baixo, e:a) F, F, V, F, V, Vb) V, V, F, V, F, Fc) F, V, F, V, V, Vd) F, V, V, F, V, Ve) V, F, F, V, F, F

3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente cor-reias e em seguida faca a adicao dos valores a elas atribuıdos:01) Vi ontem nosso mais jovem poeta ilheu. 02) Refiro-me aquele jovem poeta cacadorense. 04) Ele nao queixa-senunca de seu trabalho. 08) Corri para ajuda-lo, quando ovi a porta. 16) Pouco conhece-se a respeito de Letıcia. 32)Jamais te diria tamanha mentira!


4. (UEL-PR) Logo que voce ......, e claro que eu ........ damelhor maneira possıvel, ainda que isso ........ o servico.a) me chamar; atende-lo-ei; me atraseb) chamar-me; atende-lo-ei; atrase-mec) me chamar; o atenderei; me atrased) me chamar; o atenderei; atrase-mee) chamar-me; atenderei-o; atrase-me

5. (PUC-PR) Observe a colocacao dos pronomes nas frasesabaixo:

1. Ela pode auxiliar-me.2. Ela pode-me auxiliar.3. Ela me pode auxiliar.4. Ela veio ver-me.5. Ela nao quis ve-lo.

Dos itens acima expostos estao corretos:a) 1, 2 e 5b) 3 e 4c) 2 e 4d) 4 e 5e) todos estao certos

6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHEnao pode ser colocado depois do verbo CONTAR:a) Desejo-lhe contar minha versao.b) Prometeu nao lhe contara verdade.c) Nao podemos lhe contar tudo.d) Comecou a lhe contar o ocorrido.e) Tenho de lhe contar esse episodio.


Crase

Crase e fusao de duas vogais identicas. Representa-se grafi-camente a crase pelo acento grave.

A crase pode ser representada nos casos:

a) A preposicao a e os artigos a e as:

Ha limites a tolerancia humana.

b) A preposicao a e os pronomes demonstrativos aquele(s),aquela(s) e aquilo.

Permaneci indiferente aquele barulho.

c) A preposicao a e aos pronomes demonstrativos a e as:

Sua opiniao e semelhante a de Rogerio.

Outros casos

1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a eoutra palavra que exija a preposicao a:

Debate aponta risco a liberdade de expressao.

2. Nas locucoes femininas:

• adverbiais:

Os deputados estao rindo a toa.


• prepositivas:

Capitao America e Homem Aranha estao a beirada falencia.

• conjuntivas:

Os alimentos estocados foram vendidos a medidaque crescia o consumo.

Casos em que a crase NAO ocorre

1. Diante de palavras masculinas, as quais nao admitemo artigo a:

O passeio foi feito a cavalo.

2. Diante de verbos:

As criancas da favela sao obrigadas a pedir esmolas.

3. Diante de nome de cidade:

Houve protestos na chegada do presidente a Recife.

Observacao: Se o nome da cidade vier acompanhadode um adjetivo ocorre a crase:

Vou frequentemente a antiga Ouro Preto.

4. Diante de pronomes que nao admitem artigo.

• pronomes pessoais:

Nao dirigiu a palavra a nos.

• pronomes de tratamento:

Mandou dizer a Vossa Senhoria que nao viria aoencontro marcado.

Observacao: Emprega-se geralmente o acentoindicados da crase diante dos pronomes senhorae senhorita.

• pronomes demonstrativos:

E hora de dar um basta a essa barbarie.

• pronomes indefinidos:

Nao demonstravam seu sofrimento a ninguem.

• pronomes relativos:

Aquela e a senhora a quem apresentamos nossascondolencias.

5. Diante da palavra casa quando nao vier determinadapor adjunto adnominal:

Quando cheguei a casa ja tinham saıdo.

Observacao: Quando a palavra casa vier determinadaocorre a crase.

Chegamos a casa da cunhada.

6. Diante da palavra terra, quando esta designar terrafirme:

Os marinheiros chegaram a terra.

7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular:

O sucesso nao deve conduzir a conclusoes muito oti-mistas.

8. Nas locucoes formadas por palavras repetidas:

Ficamos face a face com o inimigo.

9. Diante do artigo indefinido uma:

Os alunos nao devem submeter-se a uma avaliacaocomo esta.

10. Diante da expressao Nossa Senhora e de nomes de san-tos:

Ela faz preces diarias a Nossa Senhora Aparecida.

Pense um Pouco!

Ao entrar bata a porta.

Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indi-cador da crase?


1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de craseonde for necessario:a) ”Madalena foi a janela e esteve algum tempo debrucada,olhando a rua.”(Graciliano Ramos, Sao Bernardo)b) No inıcio do seculo, muitos jogadores aluavam apenas poramor a camisa.c) Os bons treinadores de futebol costumam ser inflexıveisquanto a disciplina de seus jogadores.d) O Departamento de Transito recomenda cautela ao mo-torista que vai descer a serra hoje para assistir a virada doano no litoral.e) ”Entao eu perguntava a mim mesmo se alguma da-quelas nao teria amado alguem que jazesse agora no ce-miterio.”(Machado de Assis, Dom Casmurro)f) ”O padre saiu para o patio, aspirou profundamente oar, depois contemplou a estrada luminosa que atravessava aabobada celeste de um lado a outro.”(Jose Saramago)g) ”Qualquer lei nova e sujeita a crıticas.”(Walter Ceneviva,Folha de S. Paulo, 6/4/95)h) Qualquer lei nova e sujeita as crıticas dos membros doPoder Judiciario.

2. (UEM-PR) Indicar o perıodo em que voce colocaria oacento grave, indicativo da crase:a) Deu severas ordens a algumas relapsas.b) Desobedeceram a Sua Excelencia.c) Rogo as autoridades para que intervenham logo.d) Com certeza, disse tudo a esta colega.e) De Vieira a Drummond, muitos vocabulos descansam empaz.

3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta:a) Preferia brincar do que trabalhar.b) Preferia mais brincar a trabalhar.c) Preferia brincar a trabalhar.d) Preferia brincar a trabalhar.e) Preferia mais brincar que trabalhar.


4. Preencha as lacunas com A ou A:a) Em uma viagem ......... Italia, Godard conheceu MartinScorcese, de quem se tornaria grande amigo e colaborador.b) Minha unica chance de voltar ..... Europa seria ganhar abolsa de estudos oferecida pela Universidade de Haia.c) Quando visitei ......Inglaterra, fiquei bastante decepcio-nado com o clima e a culinaria.


d) Retornei.........Brasılia apos ter sido derrotado em duaseleicoes para deputado federal.e) .... America que eu conheci nao e esta que se ve por aıpassando necessidade.f) Apos anos, o pintor Michelangelo voltou ....... Roma paraadmirar a pintura que tanto lhe dera fama e prestıgio emtoda a Europa.

5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a fraseincorreta quanto ao acento indicativo da crase?a) Uma mulher da a luz sobre uma pia enquanto dinheirodo SUS (Sistema Unico de Saude) e desviado para comprarchope e salgadinhos.b) Esse expediente levou a lastimavel aprovacao do IPMF.c) A absoluta ineficiencia do sistema de arrecadacao, soma-se a ma aplicacao dos recursos publicos.d) Na decada de 70, a imagem externa do Brasil era fre-quentemente associada as denuncias de tortura.e) A questao social continua prioritaria demais para ser re-legada a segundo plano.

6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal decrase esta empregado em todos os casos em que e necessario:a) A famılia ficou a merce do frio, a despeito do fogo queestava a arder.b) O vento entrava a vontade, restando a famılia a expecta-tiva de que amanhecesse logo.c) Falavam a beca, mas talvez nao se entendessem a con-tento.d) A cachorra ficou a porta, a olhar as brasas.e) A falta de melhor expressao, recorriam a discursosenergicos.


Interpretacao de Textos

(UDESC - 2005)

Toda lıngua tem seus misterios, sua pele seu cheiro.

O que caracteriza a linguagem ”correta”? Nao uso essaexpressao. Falo de adequacao linguıstica. E mais ou menoscomo roupa. A gente usa de acordo com a situacao. O idealseria que todos tivessem um guarda-roupa linguıstico bemrecheado: ”roupa”para ir a festa, ao tribunal, a praia, aosupermercado. Seria necessario que o sujeito tivesse domınioda lıngua que usa no dia-a-dia, mas fosse tambem buscar asvariedades. Daı a funcao da escola, do Estado: prover aspessoas do domınio das variedades formais da lıngua. Nossomos um paıs essencialmente monoglota. Nao me refiro aoconhecimento de lınguas estrangeiras, falo de poliglotismona mesma lıngua. O que e? E ser capaz de ler o editorialdo jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho e deconversar com a pessoa estranha. E ser capaz de ler umclassico, ouvir um rap, ler o Almanaque, e por aı vai. Ogrosso da populacao e monoglota: domina so a lıngua dodia-a-dia. Poe o sujeito para ler um recado do banco, elenao entende.

Pense um Pouco!

A alternativa que melhor resume a ideia central do texto e:f) A lıngua padrao e formada por um conjunto de formasconsideradas como modo correto e socialmente aceitavel defalar ou escrever.g) A adequacao linguıstica e como um guarda-roupa bem va-riado, quanto as formas linguısticas e revelador, ao mesmotempo em que revela a classe social a qual se pertence.h) E funcao da escola e do Estado prover as pessoas dosdomınios das variedades formais da lıngua.i) O falante brasileiro e monoglota, por nao ter o conheci-mento de lınguas estrangeiras.j) A adequacao linguıstica se da quando o falante e capazde ler editorial do jornal, mais rebuscado, de conversar como vizinho e de conversar com uma pessoa estranha.


1. Assinale a alternativa que reafirma a ideia de que quemsabe fazer uso da adequacao linguıstica e poliglota.a) A ideia de poliglotismo esta associada ao conhecimentode varias lınguas estrangeiras que sao faladas em algumasregioes do paıs.b) Quem domina apenas a lıngua que se usa no dia-a-dia,nao tera dificuldades para ler e produzir um texto em lınguapadrao.c) O falante que tem envolvimento multiplo nas relacoessociais geralmente possui um guarda-roupa linguıstico bemrecheado.d) A atividade educacional nao e coordenada de forma de-vida pelo Estado; por isso, somos um paıs essencialmentemonoglota.e) Buscar as variedades da lıngua e o mesmo que saber usara roupa adequada a situacao, e saber que ha uma variedadelinguıstica.

2. Em relacao ao trecho: ”O grosso da populacao e mono-glota: domina so a lıngua do dia-a-dia. Poe o sujeito paraler um recado do banco, ele nao entende.”(linhas 10 a 12),e INCORRETO afirmar:a) a palavra so e um recurso linguıstico indicador de enfase.b) a flexao do verbo por foi usada com o sentido de deparar-se.c) o pronome ele e o termo referente ao sujeito.d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indica-dor de quantidade.e) a palavra so indica isolamento.


3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme aafirmacao seja verdadeira ou falsa.

( ) Quem e capaz de ler um classico, ouvir um rap, ler oAlmanaque e poliglota.( ) O grosso da populacao e monoglota, porque dominasomente um dialeto.( ) De acordo com o autor, nao existe linguagem correta,porque as lınguas sao um conjunto variado de formaslinguısticas e cabe ao falante adequar seu uso as diferentessituacoes de fala.( ) A escola nao tem cumprido seu papel; por isso, naoconseguimos ler um editorial de jornal rebuscado.

Assinale a alternativa que apresenta a sequencia COR-RETA, de cima para baixo.a) V - F - F - Fb) V - F - V - Fc) F - V - F - Vd) V - V - F - Ve) V - F - F - V


Texto para os testes de 01 a 03.

Vai entao, empacou o jumento em que eu vinha montado;fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais tres, enfimmais um, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre,que o pe esquerdo me ficou preso no estribo; tento agarrar-me ao ventre do animal, mas ja entao, espantado, disparoupela estrada fora. Digo mal: tentou disparar e efetivamentedeu dois saltos, mas um almocreve, que ali estava, acudiua tempo de lhe pegar na redea e dete-lo, nao sem esforconem perigo. Dominado o bruto, desvencilhei-me do estriboe pus-me de pe.

— Olhe do que vosmece escapou, disse o almocreve. E eraverdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me de-veras, e nao sei se a morte nao estaria no fim do desastre;cabeca partida, uma congestao, qualquer transtorno ca den-tro, la se me ia a ciencia em flor. O almocreve salvara-metalvez a vida; era positivo; eu sentia-o no sangue que meagitava o coracao. Bom almocreve! Enquanto eu tornavaa consciencia de mim mesmo, ele cuidava de consertar osarreios do jumento, com muito zelo e arte. Resolvi dar-lhetres moedas de ouro das cinco que trazia comigo; nao por-que tal fosse o preco da minha vida - essa era inestimavel;mas porque era uma recompensa digna da dedicacao comque ele me salvou. Esta dito, dou-lhe as tres moedas.

Machado de Assis, Memorias Postumas de Bras Cubas.

4. Assinale a alternativa em que se estabelece relacao decausa e efeito:a) ”Vai entao, empacou o jumento em que eu vinha mon-tado”;b) ”...justifiquei-o, ele deu dois corcovos, depois mais tres,enfim mais um...”;c) ”...que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que ope esquerdo me ficou preso no estribo”;d) ”Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois sal-tos...”;e) ”O almocreve salvara-me talvez a vida...”

5. Em ”...mas ja entao, espantado, disparou pela estradafora.”e ”...contundia-me deveras...”, as palavras destacadasindicam, respectivamente:a) conclusao e constatacao;b) tempo e afirmacao;c) modo e constatacao;d) conclusao e consequencia;e) tempo e duvida.

6. Assinale a alternativa em que a palavra que esta empre-gada de forma diferente das demais:a) ”...empacou o jumento em que eu vinha montado...”;b) ”...enfim mais um, que me sacudiu fora da sela...”;c) ”...com tal desastre, que o pe esquerdo me ficou preso noestribo...”;d) ”...eu sentia-o no sangue que me agitava o coracao;e) ”...mas porque era uma recompensa digna da dedicacaocom que ele me salvou.”


Sinonimos, Antonimos e etc.

Sinonimos

Vocabulos que apresentam significado basico comum.

Exemplos

olhar = ver = mirar = observar;belo = bonito = lindo;honestidade = probidade.

Antonimos

Vocabulos que apresentam significados opostos.

Exemplos

grandeza × pequenez;feliz × infeliz;probidade × improbidade;honestidade × desonestidade;higienico × anti-higienico.

Paronimos

Vocabulos semelhantes na escrita e na pronuncia e quetem significados diferentes.


Exemplos

Flagrante (no ato) – fragrante (perfumado);ratificar (confirmar) – retificar (corrigir);vultoso (importante, de grande vulto) - vultuoso (inchado).

Homonimos

Palavras que tem a mesma pronuncia ou grafia, mascom significados diferentes. Dividem-se em:

• Homografos - Heterofonos: possuem mesma escritae pronuncia diferente.

o ele (letra L) - ele chegou;o controle - talvez controle.

• Homofonos - Heterografos: possuem mesmapronuncia e grafia diferente.

cessao (ato de ceder) - sessao (reuniao);chacara (quinta) - xacara (narrativa).

• Homografos - Homofonos (ou homonimos per-feitos): possuem mesma grafia e pronuncia.

o mato - eu mato;cedo (verbo ceder) - cedo (adverbio).

Pense um Pouco!

O lobo mal atacou a vovozinha ...Mandei meus sapatos para o concertoA cessao responsavel pela producao deste produto fica nofinal do corredor.

Quais os erros nas frases acima?


1. A hora da verdade esta ....... Aproveite-a.Os familiares estao de acordo com a ...... dos bens.E hora de ..... o fogo, pois o frio esta proximo.O fato passou ..... ate o momento. Os faltosos foram pegosem ......

A alternativa que preenche corretamente, e em sequencia,as lacunas das frases acima e:a) iminente – cessao – acendermos – despercebido – fla-grante.b) Eminente – sessao – acendermos – desapercebido – fra-grante.c) Eminente – cessao – ascendermos – despercebido – fra-grante.d) Iminente – sessao – ascendermos – desapercebido – fla-grante.e) n. d. a.

2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negritoapresentam sentidos diferentes e:a) Os velhos estao assistindo a reedicao de velhos habitos.b) Os romanticos atuais divergem dos romanticos cen-tenarios.c) Os velhos casaroes situam-se ao lado do velho super-mercado.

d) As cenas sao centenarias, bem como centenaria e apeca teatral.e) Os grandes homens sao avaliados por grandes acoes.

3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferen-tes significados, de acordo com sua funcao na frase. Assinalea alternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que severifica na frase a seguir.

Aos poucos, as ideias iam ficando mais claras, mesmo queainda sentisse fortes dores de cabeca e no corpo.

a) Escute! Ha mesmo necessidade de voce vir?b) Nao quero ser o mesmo que voce.c) Ira assim mesmo.d) Nao percebeu nada, mesmo estando atento.e) Nao, mesmo! Fique aı!


4. (UDESC-2005) A arvore caiu, embora estando bempresa ao chao.Vou agradecer-lhe a ajuda, logo que possa sair.Nao demonstrava, mas amava o filho.Buscava um lugar silencioso para que pudesse pensar.

As palavras e expressoes em negrito podem ser substituıdas,sem alteracao de estrutura e sentido da frase, respectiva-mente, por:a) mesmo – assim que – haja vista – a fim de queb) apesar que – assim que – ou – ondec) apesar de que – quando – logo – afim de qued) mesmo que – ao – portanto – em quee) mesmo – assim que – entretanto – a fim de que

5. Complete as lacunas com uma das palavras colocadasnos parenteses:a) Os pais agiram com muita ............ . (dis-cricao/descricao)b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (re-tificar/ratificar)c) O chefe dos sequestradores exigiu do empresario umaquantia ............. (vultuosa/vultosa)d) O ............. orador conseguiu convencer a multidao deouvintes. (eminente/iminente)e) Como ............. uma das leis de transito, ele acabou re-cebendo uma pesada multa. (infringisse/infligisse)f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (ta-chado/taxado)g) Perdi ............. da minha conta bancaria. (es-trato/extrato)

6. Preencha as lacunas com ante ou anti:a) Ha um numero cada vez maior de pessoas que to-mam ....... depressivos e de medicos que recomendam essesremedios. (Jornal do Comercio)b) Luiz Mott faz crıticas a nova lei ......-racismo. (Jornal doComercio)c) As tumbas egıpcias eram constituıdas de uma.......camara, onde as oferendas eram depositadas, e outrassalas e corredores que davam acesso a uma camara funerariasubterranea. (Globo Ciencia)


7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando:(A) para sinonimos(B) para antonimos(C) para paronimos(D) para homografos - homofonos (ou homonimos perfeitos)(E) para homografos - heterofonos(F) para homofonos - heterografos

a) ( ) apressar – aprecarb) ( ) eminente – iminentec) ( ) odio – amord) ( ) asco – nojoe) ( ) a agua – ele aguaf) ( ) o acordo – eu acordo

8. Complete os espacos com ha ou a de acordo com o exigidopela frase:a) Daqui.........tres semanas ele vira trazer o material quelhe encomendamos.b) ........seis dias que ele tem faltado ao trabalho.c) .......meses que eu nao a vejo por aqui.d) Daqui....... Ribeirao Preto, sao 300 km.

9. Empregue mal ou mau de acordo com o exigido pelafrase:a) .......ela chegou, comecou a gritar com as criancas.b) O ........ pagador sempre arrumas suas desculpas.c) Ele nunca se comportou tao .........


Classes de Palavras

Variaveis InvariaveisSubstantivo Adverbio

Adjetivo PreposicaoArtigo Conjuncao

Numeral InterjeicaoPronome Verbo

Substantivo

E a palavra que nomeia tudo o que existe (seres, acoes,sentimentos, estados).

Classificacao

• Comum: denomina todos os seres de uma mesmaespecie.

• Proprio: denomina um ser em particular, cidade, pes-soas, ruas.

• Concreto: denomina coisas palpaveis.

• Abstrato: denomina qualidades/defeitos, sentimen-tos/sensacoes.

• Primitivo: nao e formado a partir de outra palavra.

• Derivado: e formado a partir de outra palavra.

• Simples: constituıdo por uma so palavra.

• Composto: constituıdo por mais de uma palavra.

• Coletivo: designa uma reuniao de seres de umamesma especie.

Flexao do Substantivo

Genero

Masculino e Feminino.

Formacao do feminino pode ser:

Regular: terminacao em A. Exemplo: garoto – garota.

Irregular: sem regra. genro – nora

Numero

Singular e plural (acrescido S).

Plural dos Substantivos Compostos

• Ambos os elementos variam.

Quando os dois sao variaveis (substantivo, adjetivo,numeral). Eexemplo: Terca feira; tercas feiras.

• Apenas o primeiro elemento varia.

Substantivo composto ligado por uma preposicao.Exemplo: pe de moleque; pes de moleque.

• Apenas o segundo elemento varia.

Quando o primeiro for verbo. Exemplo: beija-flor;beija-flores.

Quando o primeiro elemento for uma palavra invariavelou prefixo. Exemplo: ex-aluno; ex-alunos.

Quando for palavra repetida. Exemplo: quero-quero;quero-queros.

Grau

• Normal: homem, casa.

• Aumentativo: casarao, homenzarrao.

• Diminutivo: casebre, homunculo.

Artigo

E a palavra que antepoe ao substantivo para defini-lo ouindefini-lo ao mesmo tempo indicar o genero: masculino oufeminino, e o numero: singular ou plural.

• Definido: determinam, tornam unico o substantivo.Sao: a, o, as, os.

• Indefinido: generalizam, tornam vago o substantivo.Sao: um, uma, uns, umas.


Adjetivo

Sao palavras que expressao qualidades ou caracterısticasde seres e objetos. Exemplo: Os dedicados alunos obtiveramexcelentes notas no teste.

Locucao Adjetiva

Expressao formada, em geral, por preposicao + substantivoque equivale a um adjetivo. Exemplo: amor de filho; amorfilial.

Flexao dos Adjetivos

Genero

• Uniformes: apenas uma forma. Exemplo: amigo leal;amiga leal.

• Biformes: duas formas. Exemplo: homem ativo; mu-lher ativa.

Numero

• Singular. Exemplo: feroz.

• Plural. Exemplo: ferozes.

Grau

COMPARATIVO

• Igualdade. Exemplo: Pedro e tao inteligente quantoJose.

• Inferioridade. Exemplo: Pedro e menos inteligentedo que Jose.

• Superioridade Analıtica. Exemplo: Pedro e maisinteligente do que Jose.

• Superioridade Sintetica. Exemplo: Pedro e maiordo que Jose.

SUPERLATIVO

• Absoluto Analıtico. Exemplo: Pedro e muito inte-ligente.

• Absoluto Sintetico. Exemplo: Pedro e inteli-gentıssimo.

• Relativo de Superioridade Analıtico. Exemplo:Pedro e o mais inteligente de todos.

• Relativo de Inferioridade. Exemplo: Pedro e o me-nos inteligente de todos.

Numeral

E toda palavra que exprime quantidade, lugar numa serie,multiplo ou fracao.

Classificacao

• Cardinais: indicam quantidades. Exemplo: dois,quatro, mil.

• Ordinais: indicam posicao que um ser ocupa em umasequencia. Exemplo: segundo, quarto.

• Multiplicativos: exprimem multiplicacao de uma certaquantidade. Exemplo: dobro, triplo.

• Fracionarios: indicam a divisao de uma quantidade.Exemplo: dois tercos, metade.

Pense um Pouco!

Como escrevo segunda feira no plural? Acrescento “s”nosdois substantivos ou em nenhum? Como faco?


1. (UDESC) Assinale a alternativa correta. Em Flo-rianopolis e uma das mais progressivas cidades catarinensesha:a) 3 substantivos, 1 artigo, 1 numeral e 1 adjetivo;b) 2 substantivos, 1 artigo, 1 adverbio e 2 adjetivos;c) 3 substantivos, 1 numeral, 2 adjetivos;d) 2 substantivos, 2 artigos, 1 adverbio;e) 3 substantivos, 2 artigos, 1 adjetivo e 2 numerais.

2. (UDESC) Assinale a alternativa em que todas as palavraspertencem a mesma classe gramatical.a) arroz,sol,tres,nuvem,b) quatro, terceiro,primeiro,Joinvillec) Deus, arvore, carro, azuld) a,o,as,aquelee) felicidade,imperfeito, graciosa,pauperrima

3. Indique a frase incorreta.a) Eu almocarei na sua casa todas as quartas feirasb) Eu comprei duas couves flores por preco de bananac) O ladrao forcou a porta com pes de cabrasd) Meu Exemplo-professor de Educacao Fısica ganhou acampeonato de natacaoe) Tenho um jardim repleto de bocas de leoes


Verbo

E a palavra que exprimindo acao ou apresentando estadoou mudanca de um estado para outro, pode fazer indicacoesde pessoa, numero, tempo e voz.

Conjugacoes

• 1a conjugacao: terminada em ar. Exemplo: amar, so-nhar, viajar.

• 2a conjugacao: terminada em er. Exemplo: beber,ceder, ser.


• 3a conjugacao: terminada em ir. Exemplo: unir, des-pir, parir.

• 4a conjugacao: terminada em or. Exemplo: compor,dispor, opor.

Flexao Verbal

O verbo pode variar em:

• Numero: singular ou plural.

• Pessoa: primeira, segunda ou terceira.

• Tempo: presente, passado ou futuro.

• Modo: indicativo, subjuntivo ou imperativo.

• Voz: passiva, ativa ou reflexiva.

Modos Verbais

Modo Indicativo

Atitude de certeza.

Tempo ExemploPresente Eu andoPreterito imperfeito Eu andavaPret. perfeito simples Eu andeiPret. perfeito composto Eu tinha andadoPret. mais que perfeito simples Eu andaraPret. mais que perfeito composto Eu havia andadoFuturo do presente Eu andareiFuturo do preterito Eu andaria

Modo Subjuntivo

Atitude de hipotese.

Tempo Exemplopresente Que eu andePreterito imperfeito Se eu andassePreterito perfeito composto Que eu tenha andadoPret. mais que perfeito composto Se eu tivesse andadoFuturo simples Quando eu andarFuturo composto Quando eu tiver andado

Modo Imperativo

Atitude de ordem.

Tempo ExemploImperativo afirmativo Anda (tu), ande (voce)Imperativo negativo Nao Andes (tu) nao ande (voce)

Vozes dos Verbos

Voz e a forma assumida pelo verbo de indicar relacao entreele e o sujeito. Divide-se em tres tipos:

1. Ativa: e quando o sujeito da oracao pratica a acaoemitida pelo verbo.

Exemplo: O soldado feriu o grevista. O soldado eo agente ativo, ou seja, pratica a acao expressa peloverbo.

2. Passiva: quando o sujeito sofre a acao praticada peloverbo.

Exemplo: O grevista foi ferido pelo soldado. O grevistae agente da passiva, sofreu a acao do verbo. A vozpassiva e constituıda na maioria dos casos com o verboprincipal mais o auxiliar, o particıpio.

3. Reflexiva: pratica e sofre a acao do verbo.

Exemplo: O soldado feriu-se (ele mesmo praticou aacao e sofreu a consequencia da pratica).

Formas Nominais

• Infinitivo: caracteriza-se pela terminacao em“R”.

Exemplo: coar, vender, supor.

• Gerundio: caracteriza-se pela terminacao“NDO”.

Exemplo: coando, vendendo, supondo.

• Particıpio: caracteriza-se na maioria dos casospelas terminacoes, “ADO”, “IDO” e “OSTO”.

Exemplo: coado, vendido, suposto.

Pense um Pouco!

• Por que na forma imperativo negativo o verbo recebeus no pronome tu?


1. Assinale a alternativa em que as palavras sublinhadasnao se caracterizam ”agente ativo”.a) A carruagem parou ao pe de uma casa amarela.b) Sonia estava no quintal da casa quando os caes a ataca-ram.c) Eu rasguei o livro.d) Os bombeiros apagaram um incendio ocorrido no Hospi-tal Municipal.e) Roberto Carlos cantou no Olımpia para um publico de10 mil pessoas.

2. Na frase “Mas homem de Deus, que Diabo! Pense umpouco! Voce ali nao pode construir nada”.(Aluisio de Aze-vedo, O cortico). A frase foi construıda no modo indicativo.Qual foi a intencao do autor?a) conviteb) conselhoc) suplicad) ordeme) pedido

3. Assinale a frase em que nao apresenta o modo indicativodo verbo.a) Voce escreveu a cartab) Tu ajudaras o mais inexperientesc) Tu voltaras logod) Se eu falasse a lıngua de todas as etniase) Vos escrevereis o resumo.



Adverbio

Palavra que modifica o verbo, o adjetivo ou outro adverbio,acrescentando-lhes uma circunstancia.

Exemplos: O trem partiu ontem. A mulher ficou muitonervosa.

Pense um Pouco!

Qual e a diferenca entre adverbio e locucao adverbial?

Os adverbios ou as locucoes adverbiais sao classificados deacordo com as circunstancias expressas:

• Lugar: aqui, la, ali, acola, a direita, a esquerda, atras,em cima, longe,

• Tempo: hoje, ontem, amanha, brevemente, atual-mente,

• Modo: bem, mal, assim, depressa, devagar,

• Afirmacao: sim, certamente, sem duvida, com cer-teza,

• Negacao: nao, absolutamente, de modo algum, dejeito nenhum,

• Intensidade: muito, mais, menos, ainda, bastante,demais,

• Duvida: talvez, acaso, porventura, provavelmente.

Preposicao

Palavra que liga duas outras estabelecendo entre elas certasrelacoes de sentido e de dependencia.

Exemplos: O carro de Ronaldo e preto. A canela estavasobre a mesa.

Principais Preposicoes

A De Por AnteEm Sem Ate DesdeSob Apos Entre SobreCom Para Perante contraTras

Conjuncao

Palavra que liga oracoes ou termos da oracao.

Conjuncoes Coordenativas

Ligam oracoes independentes.

Ex: A noite chovera muito, portanto devo levar um guardachuva ao trabalho.

Classificacao

• Aditivas: e, nem, mas tambem, senao.

• Adversativas: mas, porem, todavia, contudo.

• Alternativas: ou..., ou, ora...., ora, quer...., quer

• Conclusivas: portanto, logo, pois, por isso, por con-seguinte.

• Explicativas: que , por que, pois.

Conjuncoes Subordinativas

Ligam duas oracoes dependentes.

Exemplo: Falei com o professor quando cheguei a escola.

Classificacao

• Condicionais: se, acaso, desde que, contato que, amenos que.

• Conformativas: conforme, segundo, como.

• Concessivas: embora, ainda que, menos que.

• Consecutivas: que, apos, tanto, tao.

• Comparativa: como, que, quanto.

• Finais: a fim, que, para que.

• Temporais: quando, logo que, depois que.

• Causais: por que, que, como.

• Proporcionais: a medida que, quanto mais, quantomenos, etc.

Interjeicao

E a palavra invariavel que expressa emocao ou sentimentorepentino.

Classificacao

• Advertencia: alerta!, cuidado!

• Afugentamento: fora!, rua!

• Alegria: ah!, ola!

• Alivio: ufa!

• Animacao: coragem!, avante!

• Apelo: alo!, psiu!

• Aplauso: apoiado!, baixo!, bravo!

• Aversao: xi! ih!

• Cessao: basta!, chega!

• Desejo: Oxala!, pudera!

• Dor: ai!, ui!

• Admiracao: ue!, uai!


Pronome

E a palavras que substitui ou acompanha o substantivo,definido os limites de significacao.

Exemplo: Meu irmao comprou um livro, mas nao o leu.

Classificacao

1. Pronomes Pessoais: representam as tres pessoas gra-maticais: primeira, segunda e terceira.

• Reto: sujeito

• Oblıquo: complemento

Pessoa Reto Oblıquo1o singular eu me, mim, comigo2o singular tu te, ti, contigo3osingular ele, ela se,si, consigo, o, a ,lhe1o plural nos nos, nos, conosco2o plural vos vos, vos, covosco3o plural eles, elas se, si, consigo, os, as,lhes

Exem plo: Gostaria de falar com voce para lhe contara verdade

2. Pronome Possessivo: indicam posse.

Pronome Pessoal Pronome Possessivoeu Meu minhanos Nosso nossatu Teu tuavos Vosso vossaele Se suaeles Seus suas

Exemplo: Minha calca rasgou.

3. Pronome Demonstrativo

variaveis Invariaveis Indicam algo

Este (s), esta(s) isto perto de quem falaEsse(s), essa(s) isso perto de quem ouveAquele(s), aquela(s) aquilo longe de ambos

4. Pronome Indefinido

• Variaveis: algum, nenhum, todo, muito, pouco,certo, outro, tanto, varios, bastante, qualquer.

• Invariaveis: algo, alguem, nada, ninguem, tudo,cada, outrem, quem.

Exemplo: Alguem falava de flores.

Observacao

Nao existe “menas”. Ex. “Cada dia vejo menas casaspor aqui!”

5. Pronome Interrogativo: usado para indagacao

Que, quem, qual, quais, quantos, quantas.

Exemplo: Qual sera a reacao dele?

6. Pronome Relativo: sao aos que se referem a um subs-tantivo anterior a eles, substituindo o na oracao se-guinte.

variaveis Invariaveis

O qual, a qual, as quais, os quais QueCujo, cujas, cujo, cuja QuemQuanto, quanta, quantos, quantas Onde

Exemplos: A casa foi demolida. A casa tinha portasverdes. A casa, cujas portas eram verdes foi demolida.

7. Pronome de Tratamento: trato familiar, cortes, ceri-monioso.

• Voce: tratamento familiar

• O senhor, a senhora: tratamento cerimonioso.

• Vossa alteza: (V. A): prıncipes, duques.

• Vossa Eminencia: cardeais

• Vossa Excelencia: altas autoridades

• Vossa Magnificencia: reitor de universidade

• Vossa Majestade: reis

• Vossa Santidade: papas

• Vossa Senhoria: tratamento geral Cerimonioso

• Vossa Reverendıssima: sacerdote

Exemplo: Esperamos, Sr. Ministro, que Vossa Ex-celencia tenha apreciado o esforco da nossa equipe.


Revisao das aulas 9 a 12.

1. (Acafe) A alternativa em que o comentario entreparenteses e FALSO, quanto ao termo destacado, e:a) O barulho perturba-me o raciocınio.(substitui meu).b) O pior cego e o que nao ve.(pode ser substituıdo poraquele).c) Nao lhe tinham dito nada.(pode ser substituıdo por a eleou a ela).d) ”Cao que ladra nao morde”.(substitui a palavra cao).e) Aquele menino, vi-o ontem.(refere-se a aquele).

2. (ACAFE) ”..... ouvi no radio a cancao que fiz para ........., ..... chorei.”a) Derrepente – ti – porissob) De repente – ti – por issoc) De repente – tu – por issod) Derrepente – tu – por issoe) De repente – tu – porisso

3. (ACAFE) Assinale a alternativa em que a partıcula SEe conjuncao subordinativa condicional.a) Nao sei se todos voces ficaram satisfeitos.b) Nao se deixe iludir por valores passageiros.c) Vendem-se pedras cortadas.d) O deputado costuma se dar muito valor.e) Vou busca-lo se meu pai emprestar o carro.

4. Era para ....... falar ........ ontem, mas nao ........ encon-trei em parte alguma.a) mim – consigo – o


b) eu – com ele – lhec) mim – consigo – lhed) mim – contigo – tee) eu – com ele – o

5. (UDESC) Assinale a alternativa que contem a juncaodas duas oracoes apresentadas num so perıodo, usando umpronome relativo.— Esta e Ana.— Eu posso contar com a colaboracao de Ana.a) Esta e Ana, com quem eu posso contar com a colaboracaodela.b) Esta e Ana, cuja colaboracao eu posso contar.c) Esta e Ana, a qual eu posso contar com sua colaboracao.d) Esta e Ana, com cuja colaboracao eu posso contar.e) n. d. a.

6. (UDESC) E necessario que inicialmente eles ...........osanimos dos espectadores.Mesmo nos dias atuais, muitos paıses ainda............arsenaisnucleares.Seus atos inconsequentes..........constantemente na tranqui-lidade da famılia.Ele nao.............comparecer a reuniao, pois se encontravaacamado.Os bondosos filhos, um conjunto de qualidades solidas,........a casa dos velhos pais do necessario.

A alternativa que preenche CORRETAMENTE, e emsequencia, as lacunas das frases acima e:a) Apaziguem - mantem - intervem - pode - proveem.b) Apaziguem - mantem - intervem - pode - provem.c) Apaziguem - mantem - intervem - pode - provem.d) Apaziguem - mantem - intervem - pode - proveem.e) n. d. a.

7. Selecione a sequencia adequada para preencher as frasesseguintes:I) Nos nao concordamos em perdoa-lo da infracao para naose ........ precedentes.II) Faca aquilo que melhor lhe ........III) Poderemos colaborar na campanha se voce nao se .........IV) Impostos excessivos ........ o povo contra o governo.V) Ele ........ na questao da influencia do mundo virtual namundo real.a) Abrir, convir, opor, indispoe, interviu.b) Abrirem, convier, opuser, indispoem, interveio.c) Abrirem, convier, opuser, indispoem, interveio.d) Abrir, convier, opor, indispoem, interviu.e) Abrir, convir, opuser, indispoe , interveio.

8. Indique a alternativa CORRETA quanto a classificacaodas palavras sublinhadas nesta proposicao.

”Todo o mundo precisa, quer dinheiro, o pobre para enga-nar a miseria, o rico para ficar riquıssimo, o pecador parasatisfazer seus desejos, o santo para as suas caridades.”a) Adjetivo, adv.de modo, verbo infinitivo impessoal.b) Substantivo, conjuncao, verbo na forma rizotonica.c) Adverbio, adjetivo, verbo futuro do preterito.d) Pronome, interjeicao, adv.de companhia.e) Substantivo, substantivo, verbo infinitivo pessoal.

9. A frase em que a forma verbal, em negrito, esta correta-mente empregada e:

a) eu provi minha despensa com tudo que e necessario.b) se a lei predizer os casos com clareza, a interpretacaosera mais facil.c) os guardas deteram durante 15 minutos.d) ele nunca nomea as pessoas que denuncia.e) n. d. a.

10. Dentre as frases abaixo, todas em linguagem coloquial,a alternativa que emprega as palavras em negrito CORRE-TAMENTE, e:a) Gosto dessa profissao, onde posso ampliar meus conhe-cimentos tecnologicos,b) Por favor, ja disse para voce que voce nao serve paramim namorar,c) Os livros que trouxemos para tu leres servirao para aleitura do vestibular,d) Quando ele ter disponibilidade de tempo, podera fazero curso,e) Esses ingredientes do bolo nao servem para mim faze-lo.

11. (UDESC) Assinale a alternativa em que o verbo foigrafado de maneira errada.a) Eles insinuaram sobre o fato e nos nos precavemos contraessas atitudes,b) Os estudantes reivindicam seus direitos na ultima as-sembleia,c) Vamos demolir a tua maquete,d) Se o vires, pede para entrar em contato conosco urgen-temente,e) Nos iremos ao cinema amanha.


Interpretacao de Texto

Pense um Pouco!

Para falar e escrever bem e preciso, alem de conhecer opadrao formal da lıngua Portuguesa, saber adequar o usoda linguagem ao contexto discursivo. Que discurso esta des-crito no texto abaixo? Vamos ler?

Leia o texto ”Aı, galera”, de Luıs Fernando Verıssimo. Notexto, o autor brinca com situacoes do discurso oral que fogea expectativa do ouvinte.

Aı, galera.

Jogadores de futebol podem ser vıtimas de este-reotipacao. Por exemplo, voce pode imaginar umjogador de futebol dizendo ”estereotipacao”? E,no entanto, por que nao?

– Aı, campeao. Uma palavrinha pra galera.

– Minha saudacao aos aficionados do clube e aosdemais desportistas, aqui presentes oi no recessodos seus lares.

– Como e?

– Aı, galera.

– Quais sao as instrucoes do tecnico?


– Nosso treinador vaticinou que, com um traba-lho de contencao coordenada, com energia otimi-zada, na zona de preparacao, aumentam as proba-bilidades de recuperado o esferico, concatenarmosum contragolpe agudo com parcimonia de meiose extrema objetividade, valendo-nos da desestru-turacao momentanea do sistema oposto, surpre-endido pela reversao inesperada do fluxo da acao.

–Ahn?

– E pra dividir no meio e ir pra cima pra pegaeles sem calca.

– Certo, voce quer dizer mais alguma coisa/?

– Posso dirigir uma mensagem de carater senti-mental, algo banal, talvez mesmo previsıvel e pi-egas, a uma pessoa a qual sou ligado por razoes,inclusive, geneticas?

– Pode.

– Uma saudacao para minha progenitora

– Como e?

– Alo mamae!

– Estou vendo que voce e um, um...

– Um jogador que confunde o entrevistador, poisnao corresponde a expectativa de que o atletaseja um ser algo primitivo com dificuldade de ex-pressao e assim sabota a estereotipacao?

– Estere... o que?

– Um chato?

– Isso?


1. A expressao ”pega eles sem calca”poderia ser subs-tituıda, sem comprometimento de sentido, em lıngua cultaformal, por:a) pega-los na mentira.b) pega-los desprevenidos.c) pega-los em flagrantes.d) pega-los rapidamente.e) pega-los momentaneamente.

2. O texto relata duas situacoes que fogem a expectativado publico. Sao elas:a) a saudacao do jogador aos torcedores do clube, no inicioda entrevista, e a saudacao final dirigida a sua mae.b) linguagem muito formal do jogador, inadequada a si-tuacao da entrevista, e um jogador que fala, com desenvol-tura, de modo muito rebuscado.c) o uso da expressao ”galera”por parte do entrevistado, eda expressao ”progenitora”por parte do jogador.d) o desconhecimento, por parte do entrevistador, da pala-vra ”estereotipacao”, e a fala do jogador em ”e pra dividirno meio e ir pra cima pra pega eles sem calca”.e) o fato de os jogadores de futebol serem vitimas de es-tereotipacao e o jogador entrevistado nao corresponder aoestereotipo.

3. O texto mostra uma situacao em que a linguagem usadae inadequada ao contexto. Considerando as diferencas en-tre lıngua escrita e falada, assinale a opcao que representa

tambem uma inadequacao da linguagem usada ao contexto:a) ”O carro bateu e capoto, mas num deu pra ve direito”(umpedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro quevai passando).b) ”E aı, o meu! Como vai essa forca?”(um jovem que falaa um amigo)”.c) ”So um instante”. Eu gostaria de fazer uma observacao”. (alguem comenta em uma reuniao de trabalho)”.d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar - me aocargo de Secretaria Executiva desta conceituada empresa”.(alguem que escreve uma carta candidatando - se a um em-prego).e) ”Porque se a gente nao resolve as coisas como tem queser, a gente corre o risco de termos, num futuro proximo,muito pouca comida nos lares brasileiros-- um professor uni-versitario em um congresso internacional.

4. (UFES) ”Mas que significam as palavras? Que signifi-cam, na verdade, as palavras? Que significa a palavra ver-dade, a palavra mentira ou a palavra amor?”A afirmativaincorreta em relacao ao conceito de literatura e:a) literatura e linguagem carregada de significado.b) no texto literario, as palavras possuem predominante-mente o sentido denotativo.c) em literatura, cada palavra tem mil faces secretas sob aface neutra.d) O texto literario e plurissignificativo, passıvel de variasinterpretacoes.e) A linguagem literaria e predominantemente conotativa emetaforica.


Textos e Linguagens

Narracao - personagem em acao

A narracao consiste em contar um fato, uma historia, umacontecimento real ou imaginario [ficcao]. Na narracao apa-recem personagem em acao, com caracterısticas proprias,em circunstancias de tempo e espaco. A maioria dos textosnarrativos expressa acao, movimento. E frequente o uso dedialogos com as falas das personagens.

As linguagens narrativas sao varias:

• verbal: oral ou escrita;

• teatral: em quadrinhos ou sequencias de desenhos,fatos que contam uma historia.

O desenvolvimento dos fatos se da pelas acoes das perso-nagens. No desenrolar dos acontecimentos geralmente haum ponto culminante, chamado clımax, em que a historiaatinge seu momento de maior interesse e dramaticidade. Odesfecho finaliza a historia.

Foco Narrativo – ponto de vista

O narrador pode enfocar a historia (os fatos) de dois modos:

1. como personagem: narrador participando dos acon-tecimentos;


2. como observador: apenas relatados os fatos.

Descricao – retratando a realidade

Descrever e fazer um retrato, uma imagem, de pessoas, lu-gares, animais, objetos. A boa descricao procura dar aoouvinte ou leitor a impressao de estar presenciando o queesta sendo escrito.Uma descricao pode apresentar os aspec-tos gerais visao global ou particulares, chamando a atencaosobre os detalhes. Quando descrevemos personagens, pode-mos evidenciar os aspectos fısicos ou psicologicos ou, ainda,combinar os dois.

Na descricao, a adjetivacao assume importancia para retra-tar qualidades, defeitos, cores, enfim, as caracterısticas doque esta sendo descrito.

Os verbos de ligacao tambem marcam sua presenca, pois,se prestam bem para atribuir caracterısticas aos seres.

Ponto de Vista

Um fotografo pode conseguir uma imagem real ou distorcidadaquilo que fotografa. De igual modo, cada pessoa tem umamaneira de observar, sentir e descrever a realidade - e o seuponto de vista, que pode ser objetivo, procurando retratar oreal com precisao, ou subjetivo, de acordo com seu estado deespırito, suas emocoes naquele momento ou suas pretensoesesteticas.

Dissertacao

A linguagem argumentativa/persuasiva.

Dissertar e desenvolver um pensamento, um conceito, daruma opiniao. Quem disserta procura explicar os fatos, asideias, apresentando causas, efeitos, tecendo comentarios,comprovando seus argumentos, a fim de influenciar conven-cer o leitor ou ouvinte. Para tanto, deve ter cuidado nasequencia das ideias, na coesao do texto ou da fala.

A narracao, a descricao e a dissertacao podem aparecer nummesmo texto. E comum o narrador caracterizar personagense ambientes por meio da descricao e introduzir na historiamomentos de argumentacao. Dizemos que um texto e narra-tivo, descritivo ou dissertativo na medida em que predominauma dessas modalidades.

Os textos narrativos, descritivos e dissertativos podem serredigidos em prosa ou em versos.

Pense um Pouco!

Uma redacao de vestibular deve ser escrita em alguma formaespecıfica? Comente.

Literatura Aula 14

Nur na Escuridao

O autor

Roteirista, jornalista, editor de livros, crıtico literario, SalimMiguel teve seu ”Nur na Escuridao”eleito como o melhorromance de 1999 pela Associacao Paulista dos Crıticos deArte.

Figura 1: Salim Miguel.

Personagens

• Yussef Miguel (pai) - Libanes, de Kfarssouroun, imi-grante que chega ao Brasil para se tornar comerci-ante. Aqui, era tambem chamado de Jose, Miguel, ZeGringo, Ze Turco ou, simplesmente, Seu Ze.

• Tamina (mae) - Libanesa, de Amiun; companheira in-separavel de Yussef; o apoia em todas as decisoes; euma excelente mae e, ainda, uma mulher forte e persis-tente; morre aos 50 anos, apos a morte do filho cacula.

O casal possui sete filhos:

1. Salim Miguel - Filho mais velho, autor do livro.

2. Fadua - Filha mais velha, morre naturalmenteem sua cama, ja em Florianopolis.

3. Hend - E tambem libanesa, veio com os pais parao Brasil, em 1927.

4. Jorge - Primeiro filho brasileiro.

5. Sayde - o quinto filho, nasce em Alto Biguacu,em 1931.

6. Fauzi - Este tambem e brasileiro, nasce em Bi-guacu.

7. Samir - O cacula. Morre aos 12 anos, devido aanestesia que lhe foi aplicada antes da cirurgiapara retirar um furunculo.

8. Hanna (tio) - Fiel irmao de Tamina que vem parao Brasil com a famılia e, tempos depois, muda-separa Porto Alegre.

Resumo

O romance ”Nur na escuridao”, de Salim Miguel, apresenta-se dividido em 30 capıtulos, todos devidamente intitulados- e cada tıtulo e uma palavra-chave, uma sıntese do assunto

Literatura – Aula 15 305

abordado - e traz como tema maior a imigracao. E a historiade uma famılia de libaneses que chega no Brasil em 1927: opai, a mae, tres filhos e o irmao da mae. Um dos filhos docasal, o mais velho, de apenas tres anos, chama-se Salim;Salim Miguel, o autor desta obra. Trata-se, portanto, deum romance autobiografico, onde o autor relata as dificul-dades e o preconceito encontrado pela famılia estrangeiraate chegar a America, mais especificamente no Rio de Ja-neiro, sua instalacao em Sao Pedro de Alcantara, Biguacue, posteriormente, em Florianopolis, ”na Av. Rio Branco,84”.

A narrativa tem seu tempo delimitado entre os anos 20 e 80,mas o nucleo central esta localizado entre 1920 e 1950. Anarracao e feita em terceira pessoa e, curiosidade, raramenteo narrador chama o filho mais velho (ele proprio) pelo nome.

De acordo com a crıtica, a narrativa ”e montada comoum jogo de armar: comporta labirintos, deslocamentos notempo, idas e vindas, duvidas e certezas, retificacoes e ra-tificacoes”. Alem disso, ha detalhes tao descritivos, que oleitor parece estar visualizando cada cena.

Neste romance, Salim Miguel, traz, enfim, alem de suapropria historia, um pouco mais da historia dos libanesese descendentes destes no Brasil que, estima-se, serem maisde 6 milhoes, mostrando-nos a diversidade de etnias quecompoem o cenario brasileiro.

Vale, ainda, lembrar que ”Nur na Escuridao”foi conside-rado o melhor romance de 2000, pela Associacao Paulistade Crıticos de Arte, e que recebeu o ”2o Premio Passo FundoZaffari Bourbon de Literatura”.

Biografia

Salim Miguel nasceu no Lıbano, mas passou a infancia e amocidade em contato com as regioes de colonizacao alemae acoriana da regiao de Biguacu, na Grande Florianopolis.Em 1946 cria, com mais alguns autores catarinenses o GrupoSul. Faz cinema, dirige documentarios e participa do pri-meiro longa - metragem realizado em Santa Cataria, cujoargumento foi escrito em colaboracao da sua esposa EgleMalheiros.

Literatura Aula 15

A colina dos suspiros

O autor

”Escrevo pelo prazer de criar situacoes e personagens (nestaordem, infelizmente).”

Resumo

Futebol, intriga, paixao e misterio sao os ingredientes destahistoria. A historia e verıdica. Nos anos 70, o EsporteClube Cruzeiro, de Porto Alegre, vendeu seu estadio e olugar se tornou um cemiterio (Joao XXIII). Entre os torce-dores do time figura o escritor gaucho Moacyr Scliar, queinspirado no episodio escreveu um romance divertido. Jus-tamente sobre uma equipe decadente cujo campo vai abrigar

Figura 1: Moacyr Scliar.

a Piramide do Eterno Repouso. Entre os tipos pitorescosque recheiam a trama, o mais estranho e Rubinho, craquecom potencial de genio, atormentado por assombracoes.

A ascendencia russa e a cultura judaica sao decisivas na obrade Moacir Scliar, assim como os conhecimentos, experienciase vivencia de medico sanitarista. Futebol e o tema de Acolina dos suspiros, do gaucho Moacyr Scliar, e a pequenacidade de Pau Seco e o cenario. Da realidade a ficcao, oautor apresenta neste romance a pequena cidade de PauSeco, com dois clubes de futebol que se digladiam ha muitotempo. Futebol em Pau Seco e o que move ou paralisa acidade.

O estadio fica junto do cemiterio. Ali, o Pau Seco FutebolClube, a beira da falencia, cede seu estadio para a cons-trucao de um cemiterio. A salvacao esta em Rubinho, umdos trabalhadores da obra, que se revela um extraordinariojogador. Rubinho, a possıvel salvacao dos paussequenses,e o jogador-revelacao da cidade, que sofre uma humilhacaopublica, pois tem medo de marcar gol em frente ao tumulodo falecido ıdolo Bugio. Desaparece, e so tem um desejo -vinganca. Trata-se de um momento decisivo em sua vida.Com humor e sutileza, questoes eticas, polıticas, sociais,familiares, amorosas, o bem e o mal sao discutidos.O ce-miterio volta a ser estadio. Aı aparece de tudo: coroneltodo-poderoso com seus mandos e desmandos, pobre quesai do anonimato para a riqueza sem preparo, maracutaiase espertezas.

Esta narrativa tera surpreendentes desdobramentos etambem por isso, fascina o publico jovem ou, melhor, dequalquer idade. Com humor e sutileza, Moacyr Scliar dis-cute questoes eticas, polıticas, sociais, familiares, amorosas,o bem e o mal. Com humor leve, essa saborosa cronicacativa pelo otimo texto, so interrompido pelas risadas quedesperta.

Personagens

• Rubinel Silva (o Rubinho) - Rapaz de uns vinte anos,meio esquisito, ex-ajudante de pedreiro que vem a setornar heroi do time de Pau Seco.

• Bugio - Craque de futebol que morre em campo, logoapos ser comprado pelo time de Pau Seco.

• Maria Aparecida - Mulher de Bugio; tem uma fortepersonalidade e enfrenta todos os poderosos da regiao.


• Isabel - Filha de Bugio, por quem Rubinho se apaixona;forma-se em psicologia e casa-se com um medico.

• Manuelzao - Pai de Rubinho

• Coronel Chico Pedro - Patrono do time Pau Seco; ho-mem de grande influencia na regiao.

• Doutor Ramiro - Faz parte da diretoria do time de PauSeco e e administrador do cemiterio - e o idealizador daPiramide do Eterno Repouso, projeto que nunca saiudo papel.

• Antao - diretor de futebol de Pau Seco.

• Ranulfo - diretor social de Pau Seco.

• Sezefredo - Contador e diretor administrativo de PauSeco.

• Liborio - Morador de Pau Seco, paquerador e o unicoque possui telefone na cidade.

• Bento de Oliveira Machado - Empresario rico e patronodo time Uniao e Vitoria.

Biografia

Moacyr Scliar

“Acredito, sim, em inspiracao, nao como uma coisa que vemde fora, que ‘baixa’ no escritor, mas simplesmente comoo resultado de uma peculiar introspeccao que permite aoescritor acessar historias que ja se encontram em embriaono seu proprio inconsciente e que costumam aparecer soboutras formas - o sonho, por exemplo. Mas so inspiracaonao e suficiente”.

Moacyr Jaime Scliar nasceu em Porto Alegre (RS), no BomFim, bairro que ate hoje reune a comunidade judaica, a23 de marco de 1937, filho de Jose e Sara Scliar. Sua mae,professora primaria, foi quem o alfabetizou. Cursou, a partirde 1943, a Escola de Educacao e Cultura, daquela cidade,conhecida como Colegio Iıdiche. Transferiu-se, em 1948,para o Colegio Rosario, uma escola catolica.

Em 1955, passou a cursar a faculdade de medicina da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Sul, em Porto Alegre(RS), onde se formou em 1962. Em 1963, inicia sua vidacomo medico, fazendo residencia em clınica medica. Traba-lhou junto ao Servico de Assistencia Medica Domiciliar e deUrgencia (SAMDU), daquela capital. Publica seu primeirolivro, ”Historias de um Medico em Formacao”, em 1962. Apartir daı, nao parou mais. Sao mais de 67 livros abran-gendo o romance, a cronica, o conto, a literatura infantil, oensaio, pelos quais recebeu inumeros premios literarios. Suaobra e marcada pelo flerte com o imaginario fantastico epela investigacao da tradicao judaico-crista. Algumas delasforam publicadas na Inglaterra, Russia, Republica Tcheca,Eslovaquia, Suecia, Noruega, Franca, Alemanha, Israel, Es-tados Unidos, Holanda e Espanha e em Portugal, entre ou-tros paıses.

Literatura Aula 16

No Tempo das Tangerinas

Biografia da autora

Excluıdas pequenas ausencias, sua vida decorre sempre nospequenos vales de Itajaı. A autora refaz a historia da colo-nizacao do vale do Itajaı, vista de dentro, atraves do viversimples e comum do menor grupo social, a famılia.

Figura 1: Urda Alice Klueger.

Resumo

Romance narrado em 3a pessoa. Regionalismo alemao -historico e ficcional. E a historia de Guilherme Sonne, netode Julius Sonne, filho de Julius Humberto Sonne, descen-dentes do 1o colonizador alemao vindo para Blumenau noseculo XVIII. Humberto Sonne e protagonista do romanceVerde Vale; No Tempo das Tangerinas e, portanto, umasequencia da colonizacao de Blumenau.

O livro se inicia com a bela descricao da paisagem local,da famılia Sonne, o pai, a mae Lucy, que teria vindo parao Brasil fugindo da 1a Guerra Mundial, e seus 10 filhos:Humberto-Gustavo, Guilherme, Wilhelm, Julius, Arnaldo,as irmas Margeritha, Emma, Anneliese, Priscila e a temporaKatia. E neste cenario que a famılia recebe notıcias de uma2a Guerra Mundial, que seguem ouvindo informacoes pelaemissora alema. Blumenau ainda era extensao da Alema-nha, falavam a mesma lıngua, tinham as mesmas tradicoes;a diferenca e que la reinava a miseria, a doenca, aqui a far-tura.

No mes de maio, as tangerinas carregavam as arvores dosmorros e exalavam um aroma inesquecıvel por geracoes;para la que as criancas se dirigiam, faziam suas brincadeirase discutiam as dificuldades da guerra. Com o ingresso doirmao mais velho no Exercito, Guilherme fara os servicosmais pesados; Cristina, bisneta de Humberto Sonne, viriapara o Brasil fugindo da guerra, e Guilherme nutrira paixaoplatonica pela prima ate se apaixonar por Terezinha, des-


cendente de italianos, provinda de Biguacu, motivo de re-jeicao da mae por considera-la miscigenada.

Tambem foi por racismo que Guilherme nao soube do pa-rentesco com o mulato Alex Westarb, seu primo, fruto dauniao do tio Reno e Elisa, uma mulata brasileira. Lucy seabate ao saber que o navio Bismarck fora afundado e nao viaa hora de a Alemanha se reerguer e ser vingada (lembrou-seda 1a Guerra). Guilherme servira o Exercito e sabera dagravidez de sua mae, seu decimo irmao, na verdade Katia,uma irma. No servico, Emma o substituira e, com tino paraos negocios, prosperara.

Em janeiro de 1942 o Brasil rompe relacoes com o Eixo -Alemanha, de ameaca passara para a condicao de inimigapara os brasileiros, motivo de muita dor para quem tinhadupla nacionalidade. Soldados brasileiros invadem a casados Sonne e o Brasil declara guerra a Alemanha. Humberto-Gustavo sera obrigado a ir para a guerra, mas Guilherme, navespera, contrairia malaria, o que o poupou de ir a campo eo medo de perder o filho, fez Lucy aceitar seu namoro comTerezinha.A guerra continuava assustadora, Emma e presapor estar falando Alemao com outras mocas.

Guilherme e Terezinha se casam, mas quando e novamenteconvocado para se alistar, a febre reaparece, salvando-o.Humberto volta da guerra, marcado por granadas, deixapara tras os companheiros Klaus e Dirceu. Nasce em 1945,Lucy Maria Sonne, filha de Guilherme e Terezinha. 30 anosapos a guerra, o heroi esta amadurecido, perceberia que aguerra nao acabava nunca e que o tempo das tangerinas,marca de sua infancia e inocencia, voltava sempre, fazendo-o esquecer, com seu aroma, as dificuldades do dia-a-dia.

Literatura Aula 17

O menino no espelho

O autor

Personagens Principais

• Fernando: menino cheio de imaginacao que narrasuas aventuras; chefe do Departamento Especial de In-vestigacoes e Espionagem Olho de Gato, com o codi-nome secreto de Odnamref. (Na verdade e o proprioautor contando as suas travessuras de infancia)

• Hindemburgo: um pastor alemao deste tamanhao,mas que tem medo de gatos, quando ve um, mete orabo entre as pernas e foge correndo.

• Fernanda: galinha de estimacao de Fernando salvapor ele do terrıvel destino de ser feita ao molho pardopara o almoco do Dr Junqueira.

• Alzira: cozinheira da famılia e assassina de galinhas.

• Mariana: filha de Dona Cacilda, a vizinha da casaao lado, membro do Departamento Especial de Inves-tigacoes e Espionagem Olho de Gato, sob o codinomede Anairam.

• Pastoff: coelho cinzento que o pai de Fernando lhe deude presente apos a morte da galinha Fernanda. Gersono irmao mais velho de Fernando, dizia que Pastoff era

Figura 1: Fernando Sabino.

o nome do coelho, em russo, afirmacao que Fernandodesconfiava nao ser verdade.

Resumo

O livro comeca com o menino Fernando narrando o caos quese instalava em sai cada nos dias de chuva. Era um corre-corre dos diabos, gente de um lado para o outro tentandoconter as goteiras, para evitar uma inundacao. Se aquiloera um aborrecimento para os mais velhos, para ele era umadas mais excitantes distracoes. Passado o temporal, o paiinvariavelmente subia ao forro da casa pelo alcapao paraconstatar que nao havia nenhuma telha quebrada por ondepudesse penetrar tanta agua. Aquilo era um misterio, comomuitos outros que rondavam aquela casa.

Porem, o maior misterio de todos se manifestou depois deum desses dias de chuva. Assim que o temporal passou, omenino Fernando foi brincar no quintal, como sempre fazia.Descalco, pouco se incomodando com a lama em que seuspes se afundavam, gostava de abrir regos para que as pocasd?agua, como pequeninos lagos, escorressem pelo declivedo terreiro, formando o que para ele era um caudaloso rio.O menino se distraia fazendo descer por ele barquinhos depapel, que eram grandes caravelas de piratas.

A distracao desta vez foi uma fila de formigas a caminhodo formigueiro, que o rio aberto por ele havia interrompido.As formigas, atarantadas, procuravam, em vao, um jeito deatravessar aquele obstaculo. O menino resolveu colaborar.Apelando para seus conhecimentos de engenharia, construiuuma ponte com pedacos de bambu abertos ao meio, por ondeas formigas podiam passar. Fernando procurava orientar afila das formigas com um pauzinho.

Enquanto estava empenhado nisso, sentiu que havia alguemem pe, atras de si. Uma voz de homem perguntou o que eleestava fazendo. Sem se voltar ele explicou o que tentava fa-


zer, restabelecendo o trafego das formigas. O homem se aga-chou ao seu lado. Era um desconhecido. Fernando gostoudo homem, ele sabia uma porcao de coisas que ele tambemsabia. Ficaram conversando um tempao, como dois amigos,embora o homem fosse cinquenta anos mais velho que o me-nino. Fernando tambem lhe contou uma porcao de coisassobre sua vida e suas aventuras.

Antes de ir embora o homem disse que tinha outra coisapara ensinar ao menino.

— Voce quer conhecer o segredo de ser um menino feliz parao resto da vida?

— Quero, respondeu o menino.

— O segredo se resumia em tres palavras, que ele pronun-ciou com intensidade, maos nos meus ombros e olhos nosmeus olhos. Pense nos outros.

Na hora o menino achou o segredo meio sem graca. So maistarde ele veio a entender o conselho que deixara de cumprirtantas vezes na vida, mas que sempre dera certo quando selembrava de segui-lo, fazendo -o feliz como um menino.

O homem se curvou, deu um beijo na testa do menino ese despediu. Limitou-se a apenas sorrir quando Fernandoperguntou quem ele era. Disse adeus com um aceno, e foi-seembora para sempre.

Outros Capıtulos

• Galinha ao molho pardo,

• O canivetinho vermelho,

• Como deixei de voar,

• Uma aventura na selva,

• O valentao da minha escola,

• Minha gloria de campeao,

• Nas garras do primeiro amor,

• A libertacao dos passarinhos.

Biografia

Fernando Tavares Sabino, filho do procurador de partes erepresentante comercial Domingos Sabino, e de D. OdeteTavares Sabino, nasceu a 12 de outubro de 1923, Dia daCrianca, em Belo Horizonte. Em 1930, apos aprender a lercom a mae, ingressa no curso primario do Grupo EscolarAfonso Pena, tendo como colega Helio Pellegrino, que jaera seu amigo dos tempos do Jardim da Infancia. Torna-seleitor compulsivo, de tal forma que mais de uma vez chegaem casa com um galo na testa, por haver dado com a cabecanum poste ao caminhar de livro aberto diante dos olhos.Desde cedo revela sua inclinacao para a musica, ouvindoatentamente sua irma e o pai ao piano. Em 1982, lancao romance ”O Menino no Espelho”, ilustrado por CarlosScliar, que passa a ser adotado em inumeros colegios dopaıs. Percorre varias cidades brasileiras, participando doprojeto Encontro Marcado, ciclo de palestras de escritoresnas universidades provido pela IBM. O autor faleceu dia11 de outubro de 2004 na cidade do Rio de Janeiro. Aseu pedido, seu epitafio e o seguinte: ”Aqui jaz FernandoSabino, que nasceu homem e morreu menino”.

Literatura Aula 18

Sucupira, ame-a ou deixe-a

Autor

Figura 1: Dias Gomes.

Personagens

Os personagens centrais presentes em todos os contos sao:

• Odorico Paraguacu: Coronel e dono de quase todaa cidade de Sucupira, da qual e prefeito por muitosmandatos; e um falso democrata e extremamente maucarater, mas como possui muito dinheiro e poder, sem-pre se sai bem das ciladas da Oposicao.

• Dirceu Borboleta: Secretario de Odorico; e uma ca-ricatura do funcionario publico criticado pelo autor:malandro e que faz servicos pessoais no gabinete.

• Dorotea, Juju e Zuzinha Cajazeira: tres irmassolteironas que vivem a caca de marido; sao apaixo-nadas pelo prefeito e fazem tudo o que ele deseja; saocapazes dos atos mais imorais pelo reconhecimento deOdorico.

• Neco Pedreira: Jornalista e dono do jornal A Trom-beta. Pertence a ”Oposicao”e esta sempre tentandodesmascarar Odorico.

• Tuca Medrado: Jovem reporter d’A Trombeta. Naansia de desmascarar Odorico, muitas vezes, a bela jo-vem atua como investigadora.

• Lulu Gouveia: Dentista e vereador da Oposicao.Vive tentando mostrar ao povo o mal carater que eo prefeito, mas sempre fracassa.

• Chica Bandeira: E a delegada da cidade; tenta semostrar imparcial, mas sempre cede ao poder de Odo-rico. Nunca consegue resolver as atrocidades cometidaspelo prefeito.

• Padre Honorio: O vigario da cidade; e um bomcarater, mas sabe que pouco pode fazer contra a forcado coronel.


• Zeca Diabo: Ex-cangaceiro; matador profissional quese redimiu de todos os seus pecados e que, agora, diznao matar mais ninguem; mas todos morrem de medodele, devido a sua fama.

• Nezinho do Jegue: Homem pobre que vive semprebebado, acompanhado de seu burro (Rodrigue).

Resumo

”Sucupira: ame-a ou deixe-a”e uma obra composta de setehistorias (que podem ser consideradas contos). Todas pos-suem basicamente os mesmos personagens, num mesmo lu-gar: Sucupira: um Municıpio imaginario de Salvador, gover-nado por Odorico Paraguacu, um coronel mao-de-ferro quedefende seu poder a forca. Atraves de Odorico, Dias Gomesdenuncia de maneira bem-humorada a corrupcao e o poderdos coroneis da regiao Norte do Brasil, que governam comautoritarismo e onde a impunidade prevalece.

Odorico manda limpar o cemiterio, pintar o muro (que es-tava cheio de insultos a sua pessoa), expulsa as galinhas, osbodes e o jegue que habitam o lugar. Chama Espiraldo elhe promete um mausoleu todo de marmore, com o seguinteepitafio:

”Aqui jaz Espiraldo Piraja que a vida resol-veu desertar apenasmente para ter a honra destecemiterio inaugurar.”

Mas, Espiraldo tem medo de sua propria covardia e sugere aOdorico para que este mande alguem mata-lo, que contrateum matador. Imediatamente, o prefeito chama Zeca Diabo,mas este recusa o servico mediante reprovacao do vigario.

Odorico contrata um outro matador, Jesuıno, e aceita oservico por cem mil: 50 na hora e o resto, depois da con-clusao. O novo matador vai ate a casa de Zeca Diabo, diz-lheque vai fazer o servico e mostra sua admiracao pelo famosomatador.

Enquanto isso, Neco e Tuca vao ate o Grande Hotel a fim deinvestigar um boato: Espiraldo estaria hospedado na suıtepresidencial. Boato confirmado, os jornalistas saem furiososporque sentem-se enganados, afinal Neco arriscara sua vidapara salvar um vigarista de morrer afogado.

— Em nome do Padre, do Filho e do Espırito Santo, amem.Espiraldo se benze, levanta-se e atravessa a nave da Igreja,apenas uma ou outra beata fazendo suas oracoes, alcancaa porta, o matador ajoelhado no ultimo banco faz o sinal-da-cruz e segue atras, Espiraldo atravessa a praca e ganhaa praia, deserta de banhistas naquele fim de tarde, seuspassos vao deixando na areia a marca dos sapatos, numcaminho sinuoso, entre os saveiros encalhados para reparo,pegadas que a mare enchente vai fazer sumir daı a pouco,mas que ainda sao bem nıtidas quando se ouvem dois tirose Espiraldo cai de brucos na areia molhada.

Trabalho concluıdo, o matador vai acertar as contas com oprefeito, mas este diz que so vai lhe pagar quando for com-provada realmente a morte. Odorico liga para a delegadade polıcia, Chica Bandeira, e constata que Espiraldo naomorrera, mas estava muito mal no hospital.

Tuca, Neco e Chica Bandeira discutem o caso e percebemalgumas coincidencias: uma carta encontrada no paleto da

vıtima, avisando a famılia de seu suicıdio e, principalmente,o cemiterio todo reformado de uma hora para outra, comose estivesse esperando o defunto.

Odorico chega para visitar o doente, em seguida, as tresirmas cajazeiras: Juju, Zuzinha e Dorotea; agora, ja forade perigo, Espiraldo abre os olhos e conversa com Juju que,sozinha no quarto, imagina pensamentos ”proibidos”paracom o estranho.

Enquanto isso, a delegada vai investigar o caso e visita Odo-rico Paraguacu, querendo saber por que pagava a suıte pre-sidencial a Espiraldo. O prefeito da uma boa justificativa: Eessa minha mania de ajudar todo mundo. A senhora sabe,tenho um coracao de manteiga. Quando li na gazeta a viacrucis desse infeliz, meu coracao amanteigou-se, derreteu. Emandei que hospedassem ele por minha conta.

Odorico vai ate o hospital e pede para que Juju, que pas-sara a noite cuidando do doente, saia do quarto. Raivoso,o prefeito lembra Espiraldo do ”contrato”e este diz estararrependido; recuperara a vontade de viver depois que co-nheceu dona Juju. Indignado, o coronel comeca a berrar eJuju parte em socorro de Espiraldo.

Na prefeitura, Odorico manda chamar Jesuıno e suspendeo servico, mas por questao de honra, ele diz que nao deixaservico pela metade e que vai, sim, matar Espiraldo. Acaminho do hospital, o matador encontra Zeca Diabo, queo ameaca e o poe para correr. Jesuıno foge e some da cidade.

Ao final da historia, a mulher de Espiraldo chega a Sucupirae, para desespero de Juju, eles fazem as pazes. Odorico,bondoso que era, manda rezar uma missa em acao de gracaspelo restabelecimento de Espiraldo Piraja.

Biografia

Alfredo de Freitas Dias Gomes1, o conhecido teatrologo DiasGomes, e baiano, de Salvador. Nasceu a 19 de outubrode 1922, filho do engenheiro arquiteto Plinio, que faleceuquando Dias Gomes tinha apenas tres anos de idade, dei-xando a educacao dos tres filhos a esposa. Esta, emboratendo sido preparada apenas para as prendas domesticas,lutou muito, para educar os filhos. O mais velho formou-se em Medicina, mas Dias Gomes .... esse nao gostava deestudar. Era mais dado ao futebol, a praia, as conversas.Mas, com 15 anos apenas, ja ganhou um primeiro premiocom uma peca de teatro, que foi inscrita num concurso doServico Nacional de Teatro. Aı recebeu seu primeiro di-nheiro. E e de se registrar, que jamais tinha assistido oulido uma peca teatral. Empolgou-se muito. Os familiaresnem sabiam o que dizer. Aos 19 anos, agora ja em caraterprofissional, escreveu ”Pe de Cabra”, peca que foi encenadapor Procopio Ferreira e que fez grande sucesso. Procopiopropos ao garoto um contrato de exclusividade. Mas essecontrato durou so um ano, ja que o renomado ator exigiaum estilo diferente do de Dias Gomes. O garoto nao gostavado ”teatro digestivo”. Embora bem jovem, queria um teatroque focalizasse os problemas brasileiros, um teatro de ”pro-testo”. Dias Gomes aceitou entao o convite de OduvaldoViana e foi para S.Paulo, participar de um grupo de reda-tores para a Radio Panamericana. Era o radio-teatro que

1Extraıda do depoimento dado por ele ao Museu da TelevisaoBrasileira, em 27/11/1998.


surgia. E Dias Gomes, ao lado de Oduvaldo, Mario Lago eoutros, aceitou o desafio. Escrevia adaptacoes de grandesobras da Literatura Universal. Chegou a escrever, ao todo,cerca de 500 adaptacoes para o radio. Nessa epoca ja so-freu alguma perseguicao polıtica. E o jovem Dias Gomesda Radio Panamericana foi para as Radios Tupi e Difusora,sempre na mesma linha de trabalho. Sua cabeca foi ”pe-dida”algumas vezes, mas os colegas sempre o protegiam.Foi depois para a Radio America e a seguir para a RadioBandeirantes. Bem jovem, teve um casamento prematurocom Madalena. Mas foi no tempo da Tupi, que conheceuJanete Clair, que se tornou mais tarde, uma novelista fa-mosa, e com quem Dias Gomes ficou casado por 33 anos,ate a morte dela. Tiveram tres filhos. A ida para o Rio deJaneiro, ja com Janete, deu-se em 1950. Foi para a RadioTamoio, depois passou a diretor da Radio Clube do Brasil,que era de Samuel Wainer. Foi em 1953 que Dias Gomes foipara Moscou, fato considerado profundamente ”subversivo”,na epoca. Havia a famosa ”Cortina de Ferro”, e Dias foi fo-tografado em plena ”Praca Vermelha”, carregando flores.Carlos Lacerda, grande polıtico e inimigo de Wainer, publi-cou a foto de Dias, sob o tıtulo: ”Diretor da Radio Clubeleva flores para o tumulo de Stalin, com dinheiro do Bancodo Brasil”. Nao era verdade, mas Dias Gomes caiu em des-graca. Nao conseguiu mais trabalho no paıs, e sua entradapara a Globo, deu-se de forma clandestina. Escrevia com3 pseudonimos diferentes, entre os quais, o de sua mulher,Janete Clair. Era assim que ganhava seu dinheiro, emborasempre tivesse continuado a escrever para o teatro, que e re-almente ”a sua vida”, como Dias Gomes diz. Com o passardo tempo, porem, foi colocando seu nome nas suas nove-las, que fizeram muito sucesso. Entre outras: ”Verao Ver-melho”, ”Sinal de Alerta”, ”Bandeira 2”, ”Espigao”, ”Sa-ramandaia”, ”Roque Santeiro”. Todas tiveram problemascom a censura, e ”Roque Santeiro”so conseguiu ir ao ar, dezanos depois de escrita. Seu ”estilo”forte, porem, marcou o”estilo”da Globo, um estilo bem brasileiro. Mas continuousendo o teatro, a grande paixao do escritor. E suas pecas lhetrouxeram muitos premios. ”O pagador de promessas”, porexemplo, ganhou todos os premios, estando em teatro, comoem cinema, para o qual foi adaptado. Suas outras pecas,como: ”O Santo Inquerito”, ”O Berco do Heroi”, ”A in-vasao”, ”Rei de Ramos”, todas plasmadas na realidade bra-sileira, todas com a personalidade marcante do autor, todasganhadoras de muitos premios. Dias Gomes tambem escre-veu alguns romances e mini-series, para a TV Globo. Hoje,casado com Bernadete, com quem tem mais dois filhos, DiasGomes acaba de lancar um livro auto-biografico: ”Apenasum subversivo”. Uma vez, numa brincadeira, dando umaentrevista a Revista Play boy, Dias Gomes se auto-definiucomo ”anarco, marxista, ecumenico e sensual”. E o rotulopegou. E ele concluiu: ”Isso diz tudo”. Genial, esse DiasGomes. Verdadeira gloria nacional.

Parte V

Historia

311

Historia – Aula 1 313

Historia Aula 1

Historia de Santa Catarina

Colonizadores

A historia de Corupa esta vinculada as de Jaragua do Sule Joinville. As terras em que foi construıda a atual cidadede Corupa pertenciam ao espolio da Companhia Hambur-guesa de Colonizacao, contratada para ocupar as terras doPrıncipe de Joinville, Francois de Orleans e da PrincesaFrancisca Carolina, filha de D. Pedro I; e do Conde d’Eucom a Princesa Imperial Dona Isabel (herdeira do tronobrasileiro). O espolio da Hamburguesa foi assumido, em30 de marco de 1897 pela Companhia Hanseatica de Colo-nizacao, que sob a direcao de Karl Fabri fundou a ColoniaHansa Humbold.

No dia 7 de julho de 1897 foram entregues os primeirostıtulos de propriedade aos colonizadores pioneiros. OttoHillbrecht e Otto Hillbrecht filho (lotes 6 e 7) e o taxider-mista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposa Dorethea (lotes 2 e3) chegaram da Europa na mesma canoa e foram recebidospelo agrimensor da Colonia Hansa, Eduard Krish. Os pri-meiros colonizadores, de posse dos tıtulos de propriedade,foram acomodados no galpao de recepcao e usando facoes,machadinhas e machados, iniciaram a derrubada da matapara dar inıcio a construcao da atual cidade de Corupa.As duas famılias, juntamente com a Companhia Coloniza-dora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cincomeses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavama Hansa os novos proprietarios Wilhelm Rosch, HeinrichGroth e famılia, Josef Mischka e famılia. Cinco dias depoisEmil August Rosenberg tomava posse oficialmente de seulote.

Com eles chegou tambem Leo Eschweiler. Vinte dias de-pois, no dia primeiro de janeiro de 1898, chegavam BrunoMuller e Heinrich Harm. Um total de 787 lotes foram ven-didos a europeus na Colonia Hansa. Os lotes eram pagosa longo prazo em pequenas parcelas. O contrato entre aempresa colonizadora e o governo da provıncia determinavaque a quantidade de imigrantes sem recursos para adquirirlotes, que viajavam com as despesas pagas pelo governo bra-sileiro, fosse equilibrada com a de imigrantes com dinheirosuficiente para pagar seu lote e ainda oferecer trabalho re-munerado aos compatriotas. Os imigrantes que nao tinhamrecursos para saldar as dıvidas ou pagar as prestacoes dasterras, trabalhavam para a Sociedade Colonizadora ou paraos compatriotas.

Indios e Caboclos

Assim como em todo o paıs, os primeiros habitantes daregiao eram os ındios Xokleng (ou Botocudos), tambem co-nhecidos pela denominacao de bugres. Na primeira metadedo Seculo XIX, houve um aumento da colonizacao europeia,levando os ındios Xokleng a se fixarem proximos aos limitesde Santa Catarina e Parana. Na disputa por terras entre osindıgenas e os europeus emigrados, a area agrıcola aumen-tava para os colonizadores e diminuıa para os bugres queforam ficando confinados e sem alimentos. Mesmo assim,

a historia da regiao nao registrou grandes conflitos entreos indıgenas, os caboclos brasileiros e os colonizadores que,no ato da posse provisoria da terra, ganhavam naturalidadebrasileira. Esta era uma das vantagens oferecidas pelo go-verno brasileiro aos imigrantes europeus espontaneos. Pou-cos brasileiros moravam nesta regiao no tempo da colo-nizacao. Na foz do rio Isabel, encontravam-se os ranchosde Manoel Cipriano e de Manoel Floriano.

Em Poco d’Anta moravam Alexandre Siqueira, DomingosSiqueira, Jose Afonso Moreira, Joao Custodio, RomualdoLeopoldino, Maneco do Rosario e Antonio Felisbino. Mui-tos desses brasileiros ajudaram a transportar os primeirosimigrantes e os alimentos pelo rio Itapocu. Pouco antesda chegada dos colonizadores alemaes, famılias italianasestabeleceram-se nas imediacoes do Rio Novo e Itapocu:Domenico Minatti, David de Pauli e Francisco Bagattolivieram de Blumenau. Logo em seguida, Antonio Morettipassou a residir na comunjdiade de Poco d’Anta. E cons-truiu a primeira capela em honra de Santo Antonio, do qualhavia trazido uma imagem da Italia. O terreno foi doado,a 23 de dezembro de 1900, pela Companhia ColonizadoraHanseatica.

Aventureiros ou Excluıdos?

A legislacao provincial estipulada a pedido do Dr. HermannBlumenau, assinada no dia 16 de marco de 1848, fixou nor-mas para a colonizacao alema em terras catarinenses. Eentre elas, estabelecia a responsabilidade das CompanhiasColonizadores, em reunir, transportar, assentar e prestarassistencia integral aos colonos nos primeiros dois anos dachegada as Colonias. O Governo Imperial contribuıa porquinze anos com subsıdios, entregues a empresa coloniza-dora, para cada um dos colonos, independe de sexo ou idade,fixados nas colonias de Santa Catarina. Esta assistencia in-cluıa auxılio tanto no transporte entre a Europa e o Brasilquanto no desmatamento, na construcao das moradias e nooferecimento de alimentacao aos colonos, ate que eles pudes-sem prover-se com as proprias rocas. A mesma lei proibia,em carater definitivo, a manutencao de mao-de-obra escravanas Colonias. Assim, os imigrantes tinham, eles mesmos,que se incumbir do trabalho pesado do campo e da cons-trucao ou pagar pelo trabalho dos negros, dos caboclos oumesmo de imigrantes sem posses, que viajam com todas asdespesas pagas pelo governo brasileiro.

No seculo XIX, a Europa vivenciava profundas trans-formacoes socioeconomicas decorrentes da Revolucao Indus-trial e a vida no campo tornava-se inviavel. A grande maio-ria da populacao europeia eram os excluıdos e eram explora-dos pelos grandes senhores de terras. O empobrecimento dapopulacao levou ao exodo rural aumentando a urbanizacao.Com a tecnologia e a mecanizacao da economia, a Europadeparou-se com um batalhao de desempregados fazendo comque no perıodo de 1815 a 1920 cerca de 60 milhoes de pessoasemigrassem da Europa, sendo desse total 10% de Alemaes.Aproximadamente 100 a 200 mil vieram para o Brasil embusca de melhores condicoes de vida. As vantagens ofere-cidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eram atrativas,tendo agradado ate pessoas de situacao economica razoavel.Muitos camponeses venderam suas propriedades para cus-tear a viagem e tentarem a vida com maiores facilidades naAmerica.


Um dos principais interesses do governo imperial brasileiroera o de resolver o problema da ocupacao de varias regioesbrasileiras ate entao desabitadas. Para isso, eram enviadasa Europa agentes que eram remunerados de acordo com onumero de emigrantes e isto despertou tambem o interessedas companhias de navegacao ciosas de lucro. Aliada a estesfatores, a difıcil situacao financeira da Famılia Real Brasi-leira leva a negociar para colonizacao, as terras localizadasna Provıncia de Santa Catarina. Firmando contrato como Senador Alemao Christian Mathias Schoroeder em Ham-burgo, dono da agencia comercial ”Christian M. Schoroeder& Cia parte da sociedade fundada em 1842 chamada ”So-ciedade de Protecao aos Imigrantes no Sul do Brasil”queprocurava regularizar a emigracao espontanea para o Bra-sil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757,projeto de uma estrada para interligar Sao Francisco do Sula Curitiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas emmeio a Mata Atlantica, delinearam o percurso da futuraferrovia Sao Francisco do Sul - Rio Negro-Curitiba.

Antes da Cidade

Os primeiros europeus a passarem por terras catarinensesteriam sido o alemao Hans Staden, em 1547 e o tambemalemao, o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos es-panhois com o proposito de ensinar agricultura os ındiosCarijos. Este segundo, na verdade, teria percorrido o celebrecaminho de Peabiru, que se iniciava em Barra Velha e queligava os Andes ao Oceano Atlantico. Os aventureiros, guia-dos pelos ındios, estavam interessados nos tesouros Incaicosdos Altiplanos Andinos. A epoca da colonizacao de Jaragua,em 1878, tropas de Emılio Carlos Jourdan, passaram porCorupa com gado adquirido no Parana. O proprio Jordan,em 1876, atribuiu nomes a acidentes geograficos da cidade.

Em 9 de maio de 1879, uma expedicao chefiada pelo en-genheiro alemao Albert Krohne, partiu de Sao Bento doSul com a incumbencia de tracar um caminho entre SaoBento do Sul e Jaragua, estabelecendo assim, a ligacao en-tre Curitiba e Sao Francisco do Sul e explorando a regiao.Em 1883, o agrimensor, topografo, engenheiro mecanico ecacador de bugres Antonio Ferreira Lima, proprietario deterras em Rio Negrinho foi morto pelos ındios botocudos.Entretanto, as picadas abertas pelas expedicoes e pela Com-panhia Hanseatica nao permitiam a passagem de carrocasou carros de boi. Ate mesmo animais eram raros na epocada colonizacao de Corupa.

Atraıdos pelas ofertas alardeadas pelas companhias coloni-zadoras, os europeus atravessaram o atlantico em busca deuma vida digna e melhor em sua nova patria. Mas apos che-garem sentiram-se abandonados a propria sorte e como naotinham os recursos para voltar a Patria Mae, tomaram asprovidencias necessarias para oferecer escola, igreja, lazer esustento para si e para os familiares e empregados. A ajudavinha principalmente da patria-mae, distante, mas presenteem solidariedade.

Casa e Comida Difıcil

A condicoes de vida dos primeiros colonizadores era muitoprecaria. As dificuldades iam desde a adaptacao ao climatropical e a cultura dos caboclos posseiros, a presenca in-

visıvel dos bugres, ate as dificuldades para conseguir alimen-tos e mantimentos, visto que precisavam ser transportadosde Jaragua de canoa, via rio Itapocu, unico acesso a Hansaate 1900. O casal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casacomercial da Colonia. A casa comercial logo foi vendidapara o comerciante Georg Czerniewicz, de Jaragua. E emseguida, para o comerciante Heinrich Meyer, de Joinville.A filial era gerenciada por Leo Eschweiler. E, mais tarde,em 1907 por Otto Hillbrecht Jr., que a adquiriu e trans-formou em emporio. Tambem em l899, o casal Wilhelm eMaria Pieper fundou o Hotel Schraut, o primeiro de Corupa.Este hotel foi transformado, mais tarde, num hospital pela”Frauenverein”.

Enquanto Pieper transferiu seu hotel para as imediacoesda estacao ferroviaria. E ainda hoje la funciona o HotelKrelling. Um dos primeiros colonizadores, em seu relatorio,descreveu as dificuldades iniciais. ”O que foi difıcil no pri-meiro ano, era conseguir alimentos. Dependia-se da turmade agrimensores quando eles, de tempos em tempos, nave-gavam numa canoa pelo Itapocu. Tınhamos que aproveitara oportunidade e pedir que trouxessem as mercadorias. Asvezes acontecia de a canoa virar e as mercadorias se enchar-carem”.

O historiador Jose Kormann, no livro Hansa Humbolt on-tem, hoje Corupa , na pagina 57, descreve que as primeirascasas eram construıdas com palmito. ”Os troncos rolicos dopalmito eram enterrados por uma das extremidades paraservirem de esteio. Para fazer paredes, os palmitos eram ra-chados em quatro ou seis partes, formando ripas. O interiordo palmito, a parte mole, servia de alimento. Essas ripaseram amarradas com cipo, que tambem eram cortados emduas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavam cai-bros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas depalmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de mora-dores locais, anteriores ao imigrante”. Conseguir fogo eradifıcil, era preciso mante-lo acesso. Por isso o chao era debarro batido.

Uma Nova Patria

Com a chegada de novas levas de colonos, entre dezembrode 1897 a 1899, a direcao da Colonia reservou uma canoaso para buscar mantimentos com canoeiros proprios. Aomesmo tempo, a construcao da estrada para transporte comcarroca era intensificada. A cada nova leva de colonizado-res, chegavam mais pessoas dispostas a investir e construiruma cidade confortavel. A cidade finalmente comecou a seformar. Alemaes, poloneses, suıcos e Italianos sao os prin-cipais ascendentes europeus da Corupa de hoje. Em 1899,era fundada a primeira escola para os filhos dos imigrantese tambem comecava a funcionar o primeiro Turverein. LuizSchroeder foi o numero um e Otto Hillbrecht filho o numerodois. A sociedade escolar fundada em 17 de maio de 1899,atenderia as criancas das 20 famılias residentes. O professorErnesto Globig, mais tarde nomeada intendente de Hansa,iniciou as aulas na sede da Casa do Imigrante em 1900.

Em 1909, foi construıdo o predio proprio, em alvenaria. Em5 de novembro de 1899 era fundada a comunidade evangelicade Hansa Humbold. Os primeiros cultos eram realizadosnas casas dos imigrantes. E, finalmente, no dia 16 de de-zembro de 1906 foi lancada a pedra fundamental da igreja

Historia – Aula 1 315

evangelica que levou alguns anos para ser construıda. As-sim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro negocio deHansa Humboldt. Otto Loffler, com um pequeno capital,construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na es-trada Bomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigodo naturalista alemao Alexander Von Humboldt (homena-geado com o nome da Colonia), foi instalada a primeiraatafona que pertencia a Gustav Hoffmann.Luiz Schroederabriu o primeiro acougue.

Ate 1906, os cultos das confissoes Catolica e Luterana eramrealizadas no edifıcio da escola particular alema. Em 1906,o imigrante Roberto Seidel, abre sua ”arbori”e floricultura.A localizacao e a mesma de onde ainda hoje funciona oOrquidario Catarinense. Seu filho Alvim Seidel dedica-se,desde o ano de 1950 ao orquidario, que alem de comercializare cultivar, desenvolve pesquisas, ja tendo descoberto e regis-trado mundialmente, quase uma centena de novas especiesde orquıdeas e bromelias em suas incursoes pela mata daregiao.

Autonomia Administrativa

Em 1908, Hansa foi elevada a categoria de distrito de Join-ville e e nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somenteem 1910 teve inıcio a iluminacao publica a querosene .Oslampioes pendurados em postes de madeira, eram acesos aoanoitecer e apagados as 22 horas diariamente por ChristianHunold. Num salao de sua propriedade funcionou, tambem,a primeira escola. A primeira professora foi Julia Fernandes.Neste perıodo um primeiro susto acometeu a comunidade deHansa.

A administracao central de Joinville recomendava que todaa correspondencia fosse escrita em Portugues e alem de serhabitada praticamente so por alemaes, Hansa nao tinhaescola em Portugues que possibilitasse aos imigrantes oumesmo a seus filhos, aprenderem a Lıngua Nacional. O pri-meiro trem chegou em julho de 19l0, vindo de Sao Franciscodo Sul. Com o trem chegou a esperanca de um progressomais rapido. Mas alem de facilitar o transporte de todasorte de produtos, desde alimentos a produtos para comer-cializacao, o trem trazia e levava pessoas.

A ferrovia chegou a Rio Negrinho somente em 1913. E foiseguindo o trem que muitos moradores deixaram Hansa. Al-guns foram trabalhar na construcao da ferrovia e outros se-guiram para o planalto onde era mais facil arrumar traba-lho. Ha cem anos, Hansa Humbold experimentava um cres-cimento surpreendente. No Distrito havia varias industrias,serrarias, olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, fabricas decarrocas, barris, tamancos, chicotes, lacos, canoas, charu-tos e cigarilhas, instrumentos musicais, pinceis e escovas,moveis e refrigerantes; cervejarias, selarias, funilarias, cons-trutores (pedreiros), queijarias, alfaitarias, tecelagens e de-zenas de pequenos comerciantes de produtos artesanais ealimentıcios, bem como engenhos de arroz atendiam as ne-cessidades dos habitantes e rendiam boas somas na comer-cializacao com outras localidades.

Aumentava consideravelmente numeros de sociedades e li-gas formadas pelos moradores com o intuito de promover aeducacao, a cultura, o lazer e assistencia aos habitantes.

Comecar Tudo de Novo

No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, aprimeira grande enchente. Sociedades promoveram concer-tos, teatros, quermesses e recitais com o proposito de anga-riar fundos para socorrer as famılias atingidas. Os prejuızosforam enormes. As recem-construıdas pontes sobre os riosHumbold e Novo foram levadas pelas aguas. Reconstruı-lasexigiu, alem da doacao de 75% do salario do intendente,doacoes dos moradores.Em outubro de 1917, o Brasil decla-rou guerra a Alemanha e as relacoes entre os dois paısesprejudicou francamente os imigrantes em solo brasileiro.Iniciou-se o movimento nacionalista e a lıngua estrangeirafoi gradativa, mas efusivamente proibida em solo nacional.

Os imigrantes, embora tivessem sido nacionalizados no atoda colonizacao, eram brasileiros sem governo e alemaes semPatria. Logo apos a 1a. Guerra Mundial (1914-1918) omovimento de nacionalizacao provocou o fechamento dasescolas alemas. E fundada, entao a primeira escola publicae brasileira. A vida cultural voltou a mover as sociedadesde atiradores, a ginastica, a musica do Jazz Elite, coraise grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem comoa producao e comercializacao dos produtos locais estavamem alta. Enfim, a tranquilidade voltou a reinar e o pro-gresso acompanhava o crescimento do distrito. Em fins de1931, foi concluıda a Escola Apostolica Seminario SagradoCoracao de Jesus. Entretanto, os imigrantes alemaes na-turalizados brasileiros, ainda sofreram com nova investidado movimento de nacionalizacao, em 1943, durante a 2a.Guerra Mundial.

Alem da mudanca do nome do entao Distrito Hansa Hum-bold para Corupa, muitos de seus moradores, que cons-truıram com as proprias maos e dinheiro a cidade, foramperseguidos como se fossem inimigos da nacao brasileira.Alguns tiveram que mudar o proprio nome. Escolas, socie-dades e igrejas foram fechadas e tudo o que fosse consideradoalemao foi confiscado. A emancipacao polıtica de Corupa sedeu pela Lei 348, de 21 de julho, de 1958. A instalacao nonovo municıpio foi no dia 25 de julho de 1958. Conforme da-dos do censo de1950, Corupa contava com 1592 habitantes(761 homens e 831 mulheres).

Os Dias Atuais

A economia esta baseada na agricultura e pecuaria, explo-rada por minifundios. Corupa ocupa o 94o lugar na arre-cadacao de ICM do Estado e 25o em qualidade de vida.A agricultura baseia-se principalmente na producao de ba-nana, arroz, milho, mandioca, fumo e olericultura (hor-talicas). Corupa e o maior produtor de bananas do Estado.Possui cerca de 68 industrias de pequeno e medio porte,destacando-se as de vestuario, metalurgia, artefatos de ma-deira e moveis.

A cidade, que ja possuiu uma especie de Spa na decada detrinta, se prepara para liderar o roteiro turıstico da regiao.As belas paisagens, a rota das cachoeiras, o clima tranquilode cidade interiorana e tranquila, grutas, orquıdeas, vitoriaregia gigante e as construcoes do inıcio do seculo passado eos jardins cuidados com carinho e esmero pelos habitantes,sao algumas das atracoes turısticas de Corupa.


–317

CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOSCom massas atômicas referid as ao isótopo 1 2 do carbon o

La

Ac

Símbolo

Ce

Th

Pr

Pa

Nd Eu Dy Tm

U Am Cf Md

Pm Gd Ho Yb

Np Cm Es No

Sm Tb Er Lu

Pu Bk Fm Lr

138,9 140,1

232,0(227)

Massa Atômica( ) - elemento

radioativo (231) (237) (247) (252) (259)

140,9 144,2 152,0 162,5 168,9

(251) (258)238,0 (243)

(145) 157,3 164,9 173,0150,4 158,9 167,3 175,0

(257) (260)(244) (247)

57

89

Número Atômico

Série dos Lantanídios

Série dos Actinídios

58

90

59

91

60 63 66 69

92 95 98 101

61 64 67 70

93 96 99 102

62 65 68 71

94 97 100 103

LAN

TÂN

IO

NO

ME

DO

ELE

ME

NTO

AC

TÍN

IO

CÉ

RIO

TÓR

IO

PR

AS

EO

DÍM

IOP

RO

TAC

TÍN

IO

NE

OD

ÍMIO

EU

RÓ

PIO

DIS

PR

ÓS

IO

TÚLI

O

UR

ÂN

IO

AM

ER

ÍCIO

PR

OM

ÉC

IO

GA

DO

LÍN

IO

HÓ

LMIO

ITÉ

RB

IO

NE

TÚN

IO

CÚ

RIO

EIN

STÊ

INIO

NO

BÉ

LIO

SA

MÁ

RIO

TÉR

BIO

ÉR

BIO

LUTÉ

CIO

PLU

TÔN

IO

BE

RQ

UÉ

LIO

CA

LIF Ó

RN

IO

ME

ND

ELÉ

VIO

FÉR

MIO

LAU

RÊ

NC

IO

VI

VII

Hg200,6

80

ME

RC

ÚR

IO

ZnCuNiCo

Rh

Ir

Fe

Ru

Os

MnCrVTi

TcMoNbZr

ReWTaHf

ScCaK

YSrRb

BaCs

Ha Unh Uns Uno UneKuRaFr

Pd

Pt

Ag

Au

65,3863,5558,6958,93

102,9

192,2

55,85

101,1

190,2

54,9452,0050,9447,88

(98)95,9492,9191,22

186,2183,8180,9178,5

44,9640,0839,10

88,9187,6285,47

SÉRIE DOSLANTANÍDIOS137,3132,9

(260)(261)SÉRIE DOSACTINÍDIOS(226)(223)

106,4

195,1

107,9

197,0

30292827

45

77

26

44

76

25242322

43424140

75747372

212019

393837

57 - 715655

105 106 107 108 10910489 - 1038887

46

78

47

79

ZIN

CO

CO

BR

E

NÍQ

UE

L

CO

BA

LTO

RÓ

DIO

IRÍD

IO

FER

RO

RU

TÊN

IOÓ

SM

IO

MA

NG

AN

ÊS

CR

ÔM

IO

VA

NÁ

DIO

T IT Â

NIO

T EC

NÉ

CIO

MO

LIB

DÊ

NIO

NIÓ

BIO

ZIR

CÔ

NIO

RÊ

NIO

TUN

GS

TÊN

IO

TAN

TÁLI

O

HÁ

FN

IO

ES

CÂ

ND

IO

CÁ

LCIO

PO

TÁS

SIO

ÍTR

IO

ES

TRÔ

NC

IO

RU

BÍD

IO

BÁ

RIO

CÉ

SIO

HÂ

HN

IO

UN

ILH

ÉX

IO

UN

ILS

ÉP

TIO

UN

ILÓ

CTI

O

UN

ILÊ

NIO

KU

RC

HA

TÓV

IO

RÁ

DIO

FRÂ

NC

IO

PALÁ

DIO

PLA

T IN

A

PR

ATA

OU

RO

H He

NeF

Br

At

Cl

I

N

As

Bi

P

Sb

C

Ge

Pb

Si

Sn

B

Ga

TI

Cd

Al

In

O

Se

Po

S

Te

Be

Mg

Li

Na

1,008 4,003

20,1819,00

79,90

(210)

35,45

126.9

14,01

74,92

209,0

30,97

121,7

12,01

72,59

207.2

28,08

118,7

10,81

69,72

204,4

112,4

26,98

114.8

16,00

78,96

(209)

32,06

127,6

9,012

24,30

6,941

23,00

1 2

109

35

85

17

53

7

33

83

15

51

6

32

82

14

50

5

31

81

48

13

49

8

34

84

16

52

4

12

3

11

HID

RO

GÊ

NIO

HÉ

LIO

NE

ÔN

IO

Kr

Rn

Ar

Xe

83,80

(222)

39,95

131,3

36

86

18

54

CR

IPTÔ

NIO

RA

DÔ

NIO

AR

GÔ

NIO

XE

NÔ

NIO

FLÚ

OR

BR

OM

OA

STA

TOC

LOR

OIO

DO

NIT

RO

GÊ

NIO

AR

SÊ

NIO

BIS

MU

TOFÓ

SFO

RO

AN

TIM

ÔN

IO

CA

RB

ON

OG

ER

MÂ

NIO

CH

UM

BO

SIL

ÍCIO

ES

TAN

HO

BO

RO

GÁ

LIO

TÁLI

O

CÁ

DM

IO

ALU

MÍN

IOÍN

DIO

OX

IGÊ

NIO

SE

LÊN

IOP

OLÔ

NIO

EN

XOFR

ETE

LÚR

IO

BE

RÍL

IOM

AG

NÉ

SIO

LÍT I

OS

ÓD

IO

1A

2A 3A 4A 5A 6A 7A

0

3B 4B 5B 6B 7B 8B 1B 2B

I

II

III

IV

V

VI

VII

(s) = estado sólido H = variação de entalpiaCONVENÇÕES: ∆(g)= estado gasoso( ) = estado líquido (aq) = meio aquoso N = normal M = molar L = litro R = 0,082 atm . L / K mol NA: 6,02 x 1023


Gabarito de respostas aos exercıcios...

FISICA

Mecanica – Aula 1

1. a) 1 N = 1 kg · 1 m/1 s2 1. b) n = 2 e p = 4 2. d) 3. d) 4. c) 5. a) 3, 600 km , b) 21, 600 km , c) 3× 10−5 ,d) 0, 5780 km , e) 27, 600 km , f) 5, 800× 10−3 km 6. b) 7. a) 5, 70000× 105 , b) 1, 2500× 105 , c) 5, 0000000× 107

, d) 1, 2 × 10−6 , e) 3, 2 × 10−2 , f) 7, 2× 10−1 , g) 8, 2 × 104 , h) 6, 40 × 107 , i) 9, 150× 100 , j) 2, 00 × 10−3 , k)5× 101 , l) 2, 5× 10−7

Mecanica – Aula 2

1. a) 6,5 cm , b) 1,8 cm , c) 3,7 cm , d) 4,3 mm , e) 51,2 mm , f) 42,3 mm 2. e) 3. d) 4. c) 5. a)

Mecanica – Aula 3

1. b) 130 m 2. 100 N 3. vx = vy = 200√

2 m/s 4. 7, 0 N , 38, 2 c/ a horiz. 5. 6, 0 m/s 6. vx = 120 m/s evy = 160 m/s 7. 940 km/h

Mecanica – Aula 4

1. b) 2. e) 3. a) 4. b) 5. c) 6. b)

Mecanica – Aula 5

1. a) 1, 0 m/s2 , b) TAB = 3, 0 N e TBC = 11 N 2. a) 3. a) 1, 0 m/s2 , b) 4, 5 N 4. a) 2, 0 m/s2 , b) 12 N , c)16 N 5. 3 m/s2 e 78 N 6. a) 7. c)

Mecanica – Aula 6

1. d) 2. e) 3. c) 4. a) 5. vf = 17, 85 m/s 6. Fmed = 950 N 7. a) 580 J , b) 72, 5 W

Mecanica – Aula 7

1. a) Energia potencial elastica. , b) Energia potencial gravitacional. , c) Sim, ele possui energia potencialgravitacional. 2. a) E dissipada pela forca viscosa (atrito) do ar e vira calor e energia cinetica. , b) Nao.Como a forca resultante sobre ele e nula, nao ha trabalho realizado sobre ele. 3. b) 4. e) 5. b) 6. a)Ep = 5, 0 J , b) vmax. = 10 m/s 7. ) W = 25 J 8. a) 150 J , b) 90 J

Mecanica – Aula 8

3. b) 4. c) 5. e) 6. a) 7. a) k = 50 N/m , b) Wext = 4, 0 J , c) Wmola = −4, 0 J , d) Wext = 16, 0 J , e)F = 40 N 8. a) WP = −150 J , b) ∆Ep = +150 J 9. ) 0, 30 m

Mecanica – Aula 9

1. b) 2. a) 1, 0 N , b) 3, 0 N 3. a) 4. c) 5. c) 6. b)

Mecanica – Aula 10

1. V V FV F 2. FVFFF 3. a) Nao, pois sua velocidade e constante. , b) E nulo. , c) Zero. 4. ) 200 N · s 5.) 1, 0× 103 kg ·m/s 6. c) 7. ) Fmed = 14 N

319



1. 0, 700 kg ·m/s a 135 com a direcao inicial da bola. 2. a) I = −m√

2gh , b) ∆Q = −m√

2gh , c) Sao iguais,pois I = ∆Q 3. a) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = −2, 5 N · s , b) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 mtemos I = −2, 0 N · s


1. 0, 133 m/s 2. 4, 0 m/s 3. 0, 67 m/s 4. 3, 75 m/s 5. 70 kg 6. d) 7. ) 60 s , ) Conservacao do momentolinear num sistema isolado.


1. a) 2. a) vn = −v0/3 e vd = 2v0/3 , b) vn = vf = v0/3. Nao, pois a energia cinetica nao e mais conservada.3. vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4. v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5. a) 45 com ahorizontal. , b) v0 = 20 m/s , c) I = 10 kg ·m/s 6. c)


1. b) 2. a) 3. a) Ambas as forcas tem mesma intensidade pois sao do tipo acao-reacao. , b) Porque amao esta protegida pela luva. 4. a) 20.000 N , b) O caminhao. , c) No automovel. 5. 4, 0 m/s2 6. O remoempurra a agua para tras, sofrendo uma reacao para frente, que e ransmitida ao barco. 7. a) 2, 0 m/s2 ,b) 10 N 8. c)


1. b) 2. c) 3. b) 4. a) 5. a) 6. c)

Gravitacao – Aula 1

2. e) 3. b) 4. e) 5. c) 6. c) 7. c)


1. b) 2. e) 3. a) 4. a) 5. e) 6. d) 7. d)


1. a) 39, 2 N , b) 6, 4 N 2. Nao. A balanca de farmacia compara massas e portanto mede a massa doindivıduo. 3. a) 4. d) 5. c) 6. a) Sim. , b) P = (1 kg) ∗G , c) A mesma (1 kg) 7. 4, 0 kg


1. TAC = 50√

3 N e TBC = 50 N 2. 4 kg 3. FA = 300 N e FB = 100 N 4. Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N 5.−3, 6 N ·m, 0 e 4 N ·m 6. a) 0 N , b) 48 N ·m , c) 24 N ·m

Otica – Aula 1

1. 9, 46× 1015 m 2. H = 90m 3. D = 30cm 4. i = 55 5. x = 2d + D

Otica – Aula 2

1. b) p′ = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2. a) p = 12 cm , b) 0, 6 cm 3. a) 26, 7 cm , b) 80 cm 4. a) −30 cm , b) −60 cm 5.b) 6. a) 35 cm do espelho. , b) 210 cm

Otica – Aula 3

1. n = 1, 25 2. n = 2 3. a) na/nv = 8/9 , b) vv/va = 8/9 , c) O ındice de refracao de um meio e inversamenteproporcional a velocidade da luz no meio. 4. n = 1, 732 5. n = 1, 58 6. a) O meio A. Ao passar de B paraA o feixe se aproxima da normal. , b) No meio B, pois e menos refringente que o A.

Otica – Aula 4

Gabarito – Respostas aos exercıcios... 321

1. p′ = −15 cm, imagem direta e menor. 2. a) Imagem real, invertida e maior. , b) p′ = 120 cm e i = 4 cm3. 5X 4. a) p′ = 10 cm, do mesmo lado do objeto. , b) Imagem virtual, direta e maior. 5. a) f = −20 cm ,b) Divergente. 6. a) Divergente. , b) 5 di

Otica – Aula 5

1. 20 cm 2. A: +2 di (convergente) e B: −2 di (divergente) 3. +1 di 4. a) Divergente. , b) −5 di

Fluidos – Aula 1

1. 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2. 11, 2 kg 3. a) 0, 3 g/cm3 , b) 1, 1 g/cm3 4. 1, 05 × 104 Pa, 0, 1 atm 5. a)Porque a area de contato do pneu de bicicleta com o chao e muito pequena, a pressao deve ser grande. ,b) ptotal ≈ 2, 75 atm , c) A manometrica, pois mede a diferenca de pressao entre o interior e o exterior dopneu.

Fluidos – Aula 2

1. b) 2. a) 3, 0× 104 Pa , b) 1, 5× 105 Pa , c) 8, 0× 103 Pa 3. 1, 01× 105 Pa ou 1 atm ou 760 mmHg 4. a) Nomaior. , b) No menor. , c) 50 N 5. 12, 8 cm 6. 8% 7. 16 N

Cinematica – Aula 1

1. c) 2. b) 3. b) 4. d) 5. e) 6. b)


1. d) 2. d) 3. e) 4. c) 5. d) 6. e)


1. a) 2. d) 3. b) 4. a) 5. b) 6. c)


1. a) 2. d) 3. e) 4. b) 5. b) 6. c)


1. c) 2. c) 3. c) 4. e) 5. b) 6. c)

Ondas – Aula 1

2. c) 3. e) 4. θ ≈ 23 5. d) 6. L9/L16 = (16/9)2 7. 25, 3 cm

Ondas – Aula 2

1. c) 2. e) 3. c) 4. c) 5. e) 6. a) 7. d)

Ondas – Aula 3

1. e) 2. c) 3. d) 4. b) 5. d) 6. a)

Ondas – Aula 4

1. e) 2. c) 3. b) 4. c) 5. b) 6. d)

Ondas – Aula 5

1. a) 30 m/s , b) Se aproxima, pois a frquencia aumenta. , c) Diminui 10%. 2. b) 3. a) Afastando-se doapito em alta velocidade, o seu som poderia ser ouvido. , b) vafast. = (4/5)vsom 4. c) 5. a) 6. d)

Termodinamica – Aula 1

1. b) 2. a) 3. d) 4. d) 5. b) 6. e)



1. a) 2. a) 3. e) 4. c) 5. a) 6. e)


1. d) 2. a) 3. c) 4. d) 5. c) 6. d)


1. b) 2. a) 3. e) 4. d) 5. a) 6. a)


1. c) 2. b) 3. a) 4. b) 5. a) 6. e)


1. c) 2. b) 3. a) 4. b) 5. a) 6. e)


1. d) 2. e) 3. a) 4. c) , e) 90 g 5. d) 6. c)


1. a) 2. b) 3. c) 4. b) 5. e) 6. d)


1. d) 2. a) 3. a) 4. b) 5. d) 6. c)


1. d) 2. a) 3. e) 4. c) 5. a) 6. b)


1. e) 2. a) No intervalo de t1 ate t2. , b) No intervalo de t3 ate t4. , c) 10, 2 kcal 3. c)

Eletricidade – Aula 1

1. qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2. a) La (-), vidro (+) , b) La (+), cobre (-) 3. d) 4. a) Enconstar astres esferas simultaneamente e afasta-las. , a) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , a)Impossıvel. 5. d) 6. c) 7. a)


1. Diminui para F/16 2. F ′ = 3F/4 3. a) Empurra os eletrons do eletroscopio para as extremidades(hastes), afastando-as. , b) Parte da carga do corpo passa para o eletroscopio, afastando suas hastes. 4.2, 0× 10−7 C 5. ) c) 6. d)


1. a) +7, 5× 10−2 N , b) Para a direita, no sentido da forca eletrica. 1. c) −7, 5× 10−2 N , para a esquerda.2. a) 0, 144 N , b) 28, 9 kN/C 3. a) 2× 103 m/s2 , b) 16.000 m/s 4. a) 7, 0 × 10−10 C , b) 70 N/C 5. 4, 9 mC 6.−0, 05 C


1. 8 × 10−7 V 2. a) V = 0 , b) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , c) Que a somade grandezas escalares e vetoriais e diferente. 3. a) 1 kV , b) −1 kV 4. a) 1, 0 × 10−7 C , b) 900 V/m5. 5, 4 × 105 V , se a carga negativa e o vertice A, pertencerem ao mesmo lado, senao, 2, 22 × 106 V . 6.W = −45 mJ, negativo porque as cargas se repelem, e a forca esterna deve ser contraria ao deslocamento.



1. 2, 3× 10−13 J 2. −0, 9 J 3. a) 1, 0 nC , b) −30 V , c) 10 µJ 4. a) V = mgd/q , b) A inferior deve ter cargapositiva, e portanto, maior potencial eletrico. 5. e) 6. c)


1. V V FV V 2. V V V FV 3. a) V = 180 V e E = 0 , b) V = 108 V e E = 216 V/m 4. a) qA = 3Q/4 e qB = 9Q/4 ,b) VA = VB = 3kQ/4R 5. a) qA = 1, 0 µC e qB = 2, 0 µC , b) VA = VB = 9, 0 kV , c) De B para A, pois no inıcioa esfera B tinha excesso de eletrons. 6. a) 6, 25 × 1012 , b) A esfera A, pois a esfera B tem mais eletronsdo que a esfera A. 7. a) 6, 4× 108 V , b) 4, 55× 105 C


1. a) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = −4 kV 2. ) C/2 3. 56, 5 kV/m 4. A partıcula nao tem energia suficientepara atingir a segunda placa. 5. e) 6. b) 7. 1, 8× 10−4 C


1. R$ 3,47 2. 12, 5 µF 3. 17, 1 µF 4. 810 J 5. V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0× 10−5 C 6. 50 V 7. b)


1. c) 2. d) 3. a) 4. c) 5. e) , e) R = 6 Ω 6. d)


1. d) 2. c) 3. b) 4. a) 5. c) 6. c) 7. e)


1. c) 2. b) 3. d) 4. a) R2 = 101, 8 Ω, 0, 2 Ω , b) P2 = 101, 7 W, 4, 1 W


1. d) 2. c) QUIMICA

Quımica – Aula 1

1. FV FV V V 2. V V V FV 3. e) 4. b) 5. e) 6. b)

Quımica – Aula 2

1. c) 2. d) 3. V V V V F 4. a) 5. d)

Quımica – Aula 3

1. Al3+ e S2− 2. a) 3. bde 4. a) oxigenio (Z = 8) , b) magnesio (Z = 12)

Quımica – Aula 4

1. e) 2. a) 3. e) 4. b) 5. d) 6. ?

Quımica – Aula 5

1. d) 2. d) 3. b) 4. e) 5. a) 6. c)

Quımica – Aula 6

1. c) 2. e) 3. e) 4. d) 5. d) 6. b)

Quımica – Aula 7

1. mH2O = 54 kg 1. VCO2 = 20 m3 2. e) 3. d) 4. a) 5. a) 6. e)


Quımica – Aula 8

1. b) 2. e) 3. d) 4. b) 5. a) 6. d)

Quımica – Aula 9

1. c) 2. e) 3. b) 4. d) 5. K = 1, 8× 10−5 6. a)

Quımica – Aula 10

1. pH = 2 e pOH = 12 2. e) 3. b) 4. e) 5. c) 6. pH = 12

Quımica B – Aula 1

1. c) 2. QQQFFF 3. b) 4. c) 5. e) 6. b)


1. V V V V V V 2. a) 3. e) 4. b) 5. d) 6. c)


1. c) 2. FFV V F 3. b) 4. e) 5. c) 6. e)


1. c) 3. c) 4. b) 5. b)


1. 61 2. c) 3. e) 4. d) 5. e) 6. e)


1. d) 2. c) 3. d) 4. e) 5. c) 6. e)


1. c) 2. e) 3. a) 4. c) 5. c) 6. e)


1. e) 2. e) 3. d) 4. b) 5. d) 6. b)


1. e) 2. b) 3. e) 5. c) 6. e) 7. c)


1. d) 2. b) 3. e) 5. a) 6. b)


3. e) 5. d) 6. d) 7. e) 8. b)


2. 21

Quımica Organica – Aula 1




1. ) 07 2. b) 3. e) 4. d) 5. b) 6. c)


MATEMATICA

Matematica A – Aula 1

1. e) 2. c) 3. d) 4. 02+08+32=42 5. a) 6. d) c = 2/3; a = −1/3 7. d)


1. a) n = −8, m = 6 2. b) 3. a) 4. d) a = −1, b = 3 5. b) 6. a) 7. a) 220 , b) 10 ≤ x ≤ 20


1. b) x = −1 2. c) x = −2, 3 3. b) 4. b) 5. c) 6. e) x = 4/3, y = 2/3


1. c) x = ±2 2. b) dica: reduzir os logarıtmos a base 6 3. c) dica: sin2(x) + cos2(x) = 1 4. a) 5. d)


1. b) p = 2, q = −2 2. e) 3. d) 4. c) 5. e) 6. b) x = 2,−3 7. a) d = 10 , b) x = 2,√

5,−√

5


1. c) x = 2, 3 2. d) x = −1, 1, 7, 13 3. b) 4. a) 5. c) 6. d)


1. d) 2. e) 3. c) 4. d) 5. e) 6. c)


1. a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. b) 6. a) y = 2x , b) 9/8 7. b)


1. b) 2. e) 3. e) 4. c) 5. c) 6. b)


1. c) 2. d) 3. a) 4. b) 5. e) 6. b) 7. c)

Matematica B – Aula 1

1. ((3, 4, 5), (5, 6, 7), (7, 8, 9)) 2. A = ((2,−8), (−9, 4)) 3. e) 4. c) 5. x = 3, y = 4 e z = 4 6. 6 7. 8


1. A = ((1/5,−2/5), (2/5, 1/5)) 2. e) 3. a) 4. X = ((−4,−3), (9,−5), (10,−4)) 5. B =((31,−23,−1), (1, 1,−1), (−7, 5, 1)) 6. B = I3 7. c) 8. d)


1. d) 2. a) A = ((0,−3), (3, 0)) , b) B = ((3, 0), (0, 3)) , c) A · B = ((0,−9), (9, 0)) , d) 81 3. det(A · AT ) = 16 4.

e) 5. e) 6. d) 7. tan x = −√

53



2. a) e normal , b) nao e normal 3. k 6= ±1 4. a) x = 1, y = 2 , b) x = −31/5, y = 29/5, z = −1/5 , c) x = 2,y = −1, z = −3 , d) x = 1/4, y = −1/3, z = −1


1. determinado: x = 9, y = −7, z = −4


1. S30 = 750 2. S7 = 98 3. n = 10 4. d) 5. 2x/3=60 6. -1 7. 965


1. a) PG com r = −6 , b) PG com r = −2/3 2. ) P53 = 1 3. d) 4. b) 5. 227 6. b) 7. r = 2/3 8. S3 = 3/8

Matematica C – Aula 1

1. b) 2. d) 3. e) 4. d) 5. a) 6. c) 7. c)


1. e) 227 2. a) 3. b) 4. d) 5. c) 6. a) 7. b) 8. d)


1. c) 2. a) 3. d) 4. b) 5. e) 6. a) 7. d) 8. e) 9. d) 10. b)


1. m = 9, n = 4 2. 40.000, 16.000 e 24.000, respectivamente 3. 30:75:105 4. a) 3/2 , b) 3/2 , c) 3/40 , d)3/4 , e) 1/6 , f) 5/1 5. a) 6. b) 7. d)


1. a) 2. b) 3. d) 5. d) 6. c) 7. 6 horas 8. 35 dias 9. 15 dias 10. 10 horas/dia 11. 2.025 m


1. d) 2. b) 3. a) 4. d) 5. c) 6. a) 7. b)


1. b) 2. b) 3. a) x2 + 9x + 20 , b) 9x2 + 3x 4. e) 24 5. d) 6. c) 7. b) 8. d) 9. e) dica: o primeirodıgito nao pode ser 0.


1. b) A6,5 = 720 2. b) C8,5 = 56 3. e) A3,1 + A3,2 + A3,1 = 15 4. a) A9,3 = 504 5. e) A10,4 = 5040 6. b)C5,2 · C6,3 = 200 7. a) A7,7 = P7 = 5040 8. c) A8,3 = 336 9. a) C10,6 = 210 10. e) C6,3 · C4,2 = 120 11. b)C7,5 = 21 12. a) P5 = 120 13. d) A6,3 · C3,1 = 360 14. d) C10,4 = 210 15. a) P4 = 24 16. d) C7,3 = 35


1. 27 2. x = 4,−5 3. 256 4. n = 7 5. 501 6. 144 x7 7. 15 x7 8. −30 x9 9. 160 x3 y3 10. −2.187 11. 6.561 12.d) 13. b) 14. b) 15. e) 16. c) 17. a) 18. c)


1. a) 1/6 , b) 1/2 , c) 1/3 , d) 1 , e) 0 2. ) 1/4 3. a) 4 possibilidades:AA, AB, BA, BB , b) 36 possibilidades: 11, 12, 21, 22, 13, 31, 33, . . . , 56, 65, 66 , c) 12 possibilidades:A1, B1, A2, B2, A3, B3, . . . , A6, B6 , d) 16 possibilidades: 0000, 0001, 0010, 0011, . . . , 1111 , e) 120 possibili-dades: PROV A, PROAV, PRAV O, PROAV, . . . , AV ORP 4. b) dica: divida 240/13 para achar o numero demultiplos de 13. 5. d) dica: p = 2 · 1 · 8 · 7 · 6/10 · 9 · 8 · 7 · 6 6. e) 7. b) dica: p = 28/C6,3. 8. d) 9. b)



1. d) 1. h) 2. b) x = 3 3. b) 4. a) 5. c) 6. c) 7. a) 8. b)


1. x = 0, pi/4, pi, 5π/4 1. x = ±pi/6 1. x = 5π/6 11π/6 2. e) 3. d) 3. g) 4. c) 5. e) 6. c) dica:x = π/4, 5π/4


1. x = π/3 ou x = 60 2. α = 20 3. β = 10 4. d) dicas: D = C20,2 − 20 ou D = 20 · 17/2 5. b) 6. a) 7. c)8. d) 9. a) 10. e) 15 11. b) 12. b) 13. c) dica: N=12


1. 10 cm 1. m = 6, 4 cm e n = 3, 6 cm 1. h = 4, 8 cm 2. e) m = 3 cm e n = 4 cm 3. b) 4. d) 5. d) 6. a)7. b) 8. c)


1. e) 2. a) 4 cm , b) 2√

3 cm , c) 24√

3 cm2 , d) 12π cm2 3. 50π cm2 4. c) 5. a) 6. d) 7. a) 8. b) 9. c)


1. C(5,−3) e R =√

10 2. x2 + y2 = 16 3. x2 + y2 + 4x− 4y + 3 = 0 4. a) 5. d) 6. c) 7. b) 8. d) 9. e)10. c) 11. d)


1. a) 2. d) 3. b) 4. a) 5. b) 6. d) 7. a)


1. FV V FV FFFV V 2. d) 3. V V V FF 4. c) 5. b) 6. c)


1. c) 2. c) 3. c) dodecaedro 4. b) 5. c)


1. d) 2. b) 3. c) 3. d) 4. e) 5. c) 6. a) 7. b) LINGUA PORTUGUESA

Lıngua Portuguesa – 01

1. c) 2. b) 3. d) 4. e) 5. a) 6. d)


1. a) secretaria , d) partira , f) alem , g) voo , h) forceps , i) albuns – famılia 2. c) 3. historia, Palacio,Patio, consequencia, tres, inuteis, so. 4. a) 5. polemica, cupula, preparatorias, Apos, ultima, Cupula,ja, signatarias, sociologo, comite, Solidaria, crıtica, dinamarques, Nos, Ate, cupula, duvidas, equilıbrio,macro-economico, desequilıbrios.


1. c) 2. c) 3. e) 4. b) 5. e) 6. e) 7. e)


1. b) 2. e) 3. a) 4. d)



1. a) se arrepiava , b) se ouvia , c) lhe vinha , d) lembrou-se , e) lhe importava , f) escutou-se , g)Levanta-se , h) se vendem , i) me levaram , j) se babando 2. c) 3. 43 (01,02,08,32) 4. c) 5. e) 6. c)


1. a) a janela , c) a disciplina 2. c) 3. c) 4. A,A,A,A,A,A 5. e) 6. a)


1. e) 2. e) 3. b) 4. c) 5. a) 6. d)


1. a) 2. a) 3. d) 4. e) 5. a) discricao , b) retificar , c) vultosa , d) eminente , e) infringisse , g)tachado 6. a) anti , b) anti , c) ante 7. FCBADE 8. a) a , b) Ha , c) Ha , d) a 9. a) Mal , b) mau , c) mal


1. b) 2. e) 3. c)


1. b) 2. b) 3. d)


1. e) 2. b) 3. e) 4. e) 5. d) 6. a) 7. a) 9. a) 10. c) 11. b)


1. b) 2. b) 3. e) 4. b)


Literatura – Aula 14





HISTORIA

Historia – Aula 1

Referencias Bibliograficas

[1] ALVARENGA, Beatriz e MAXIMO, Antonio. Fısica.volume unico, Sao Paulo: Editora: Scipione.

[2] BONGIOVANNI, Vicenzo; LEITE, Olımpio Rudi-nin Vissoto; LAUREANO, Jose Luiz Tavares. Ma-tematica e Vida. Volume unico, Sao Paulo: EditoraAtica, 1990.

[3] BONJORNO, Jose Roberto. Matematica Fundamen-tal, volume unico, Sao Paulo: Editora FTD, 1994

[4] CARRON, Wilson e GUIMARAES, Osvaldo. Fısica.volume unico, Sao Paulo: Editora Moderna, 1999.

[5] Don Bosco, Apostila. Fısica. 3o ano, Curitiba: EditoraDon Bosco, 2004.

[6] FELTRE, Ricardo. Quımica. Volume unico, SaoPaulo: Editora Moderna, 2003.

[7] FERRARO, Nicolau Gilberto; PENTEADO, PauloCesar; SOARES, Paulo Toledo; TORRES, CarlosMagno. Fısica. Volume unico, Sao Paulo: Editora Mo-derna, 2001.

[8] GASPAR, Alberto. Fısica. vol. 1, Editora Atica, SaoPaulo: Editora Atica, 2000.

[9] GIOVANNI, Jose R. ; Bonjorno, Jose R. ; GiovanniJr., Jose R. Matematica Fundamental .2o. Grau. Vo-lume Unico. Sao Paulo: FTD, 1994.

[10] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER,Jearl. Fundamentos de Fısica. Volume 1, Rio de Ja-neiro: editora LTC, 1993.

[11] http://sites.uol.com.br/helderj

[12] http://sites.uol.com.br/helderjf

[13] http://www.coladaweb.com/fisica/gravitacao.html

[14] http://www.educar.sc.usp.br/ciencias/quimica.

[15] http://www.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm

[16] http://www.merkquimica.com.br

[17] http://www.qmc.ufsc.com.br

[18] http://www.vestibular1.com.br

[19] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; TEIXEIRA, JoseCarlos; MACHADO, Nilson Jose; GOULART, MarcioCintra; CASTRO, Luiz Roberto Silveira e MA-CHADO, Antonio dos Santos, Matematica, vol. 2, SaoPaulo: Atual Editora, 1991.

[20] IMENES, Luiz Mario. Dicionario de Matematica. SaoPaulo: Editora Scipione,1998

[21] KORMANN, Jose; Secretaria Municipal de Educacao,Apostila de Estudos Sociais, Corupa-SC, 2003.

[22] MARCONDES, Carlos Alberto. Matematica, Volumeunico, Sao Paulo: Editora Atica, 2003.

[23] SANTOS, Carlos A. M.; GENTIL, Nelson; GRECO,Sergio E. Matematica. Volume Unico. 7a edicao. SaoPaulo: Atica, 2003.

[24] NETO, ANTAR. Matematica Basica. Volume unico,Sao Paulo: Editora Atual, 1984.

[25] OLIVEIRA, Antonio Narmo; SILVA, Agostinho. Bi-blioteca da Matematica Moderna. Tomo III, SaoPaulo: Impressao e encadernacao da comp. Melho-ramentos de Sao Paulo, 1970.

[26] PARANA, DJALMA NUNES DA SILVA. Fısica. vo-lume unico, Sao Paulo: Editora Atica, 2002.

[27] Povoamento-Imigracao Colonizacao.Edicao do Autor,Joinville-SC, 1983. Historia de Santa Catarina, 1o Vo-lume, Grafipar, 1970.

[28] SAMPAIO, Jose Luiz e CALCADA, Caio Sergio. Uni-verso da Fısica, v. 1. Sao Paulo: Atual, 2001, p. 483-484.

[29] SANTOS, CARLOS ALBERTO MARCONDESDOS, GENTIL, NELSON e GRECO, SERGIOEMILIO. Matematica para o Ensino Medio. Volumeunico, Sao Paulo: Editora: Atica.

[30] SARDELLA, ANTONIO. Quımica. Volume unico,Sao Paulo: Editora Atica, 2002.

[31] SCHNEIDER, Adolfo Bernardo; HANSA HUM-BOLD ontem, hoje CORUPA-(Baseado no arquivode Gerhardt Herrmann), Edicao do autor, Corupa-SC, 1985.

[32] Usberco, Joao e salvador, Edgard, Quımica - volumeunico, 5 ed. reform. Sao Paulo : Saraiva, 2002.

[33] YOUSSEF, ANTONIO NICOLAU e FERNANDEZ,VICENTE PAZ. Matematica. Conceitos fundamen-tais. Vols. 1 e 2, Sao Paulo: Editora Scipione, 1993.

2

2Essa revisao contem um total de 141 aulas e 894 exercıcios.

329

Documents

Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC