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1 Prof. Lorí Viali, Dr. [email protected] http://www. ufrgs.br/~viali/ Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Sistema Real Determinístico Probabilístico Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Causas Efeito Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Causas Efeito X X Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística E 1 : Joga-se um dado e observa- se o número da face superior.

Apostila Probabilidade e Estatistica UFRGS

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Apostila de Probabilidade e estatística

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  • 11

    Prof. Lor Viali, [email protected]

    http://www. ufrgs.br/~viali/Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sistema Real

    Determinstico

    Probabilstico

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    Causas Efeito

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Causas EfeitoXX

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    Experincia para o qual o modelo probabilstico adequado.

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    E1: Joga-se um dado e observa-se o nmero da face superior.

  • 22

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    E2: Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqncia de caras e coroas ;

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    E3: Uma lmpada nova ligada e conta-se o tempo gasto at queimar;

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    E4: Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido;

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    o conjunto de resultados de uma experincia aleatria.

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    S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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    S2 = { cccc, ccck, cckc, ckcc,kccc, cckk, kkcc, ckkc,kcck, ckck, kckc, kkkc,

    kkck, kckk, ckkk, kkkk}

  • 33

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    S3 = { t R / t 0000 }

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    S4 = { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

    (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

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    Um evento um subconjunto de um espao amostra.

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    Seja E um experimento com espao amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado um elemento de A.

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    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:

    A A uniounio B, A B, A soma soma B ou A B ou A maismais B, B, se e s se A ocorre se e s se A ocorre ouou B ocorre. B ocorre.

    AB

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    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:

    A produto B, A vezes B ou A interseo B, se e s se A ocorre e B ocorre.

    AB

  • 44

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:A menos B, A diferena B, se e s se

    A ocorre e B no ocorre.

    A - B

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    Sejam A e B eventos de um espao S. Diremos que ocorre o evento:

    Complementar de A (no A) se e s se A no ocorre.

    A = AC = A

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    Dois eventos A e B so mutuamente excludentes se no puderem ocorrer juntos.

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    CLSSICOCLSSICO

    FREQENCIAL

    AXIOMTICO

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    (nmero de casos favorveis)P(A) = ------------------------------------_

    (nmero de casos possveis)

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    (nmero de vezes que A ocorre)frA = ---------------------------------------------

    (nmero de vezes que E repetido)

  • 55

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    P(A) = lim frAn

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    P(A) um nmero real que deve satisfazer as seguintes propriedades:

    (1) 0 P(A) 1

    (2) P(S) = 1 (3) P(AUB) = P(A) + P(B)

    se AB =

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    (1) P() = 0 (2) P( ) = 1 - P(A)

    (3) P(A - B) = P(A) - P(AB)

    A

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    (4) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)(5) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) -

    - P(AB) - P(AC) - P(BC) +

    + P(ABC)

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    Definio P(A/B) = P(AB) / P(B)

    Teorema da multiplicao

    P(AB) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B)

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    Dois eventos A e B so independentes se a probabilidade de um ocorrer no altera a probabilidade do outro ocorrer, isto :

  • 66

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (1)(1) P(A/B) = P(A)

    (2)(2) P(B/A) = P(B)

    (3)(3) P(AB) = P(A).P(B)

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    Diz-se que os conjuntos:A1, A2, ..., An

    eventos de um mesmo espao amostra S, formam uma partio deste espao se:

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    (1) AiAj = , para todo i j

    (2) A1A2 ... An = S , para todo i j

    (3) P(Ai) > 0, para todo i

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    BB

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    B pode ser escrito como:

    B = (B A1) (B A2) ... (B An)

  • 77

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    BB

    B A1

    B A2

    B A3

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    P(B) ser ento:P(B) = P[(B A1) (B A1) ... (B An)]

    = P(B A1) + P(B A2) + ... + P(B An) =

    = P(BAi) = P(Ai).P(B/Ai)

    P(B) = P(Ai).P(B/Ai)

    BB

    A4A4

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    Calcula a probabilidade de ocorrncia de um dos Ai (que formam a partio) dado que ocorreu um evento qualquer B.

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    P(Ai /B) = P(AiB)/ P(B) = = P(Ai).P(B/Ai)/ P(B)

    Aplicando a expresso da probabilidade condicionada vem:

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    Na expresso P(Ai /B) = P(Ai).P(B/Ai) / P(B)o valor de P(B) obtido atravs do Teorema da Probabilidade Total

  • 88

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    KKK

    CKK

    KKC

    KCK

    CCK

    CKC

    KCC

    CCC

    0

    1

    2

    3

    S

    Xs

    )S(X

    )s(Xx ====

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    Uma funo X que associa a cada elemento de S (s S) um nmero real x = X(s) denominada varivel aleatria.

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    Conforme o conjunto de valores X(S) uma varivel aleatria poder ser discreta ou contnua.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Se o conjunto de valores for finito ou ento infinito enumervel a varivel dita discreta.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Se o conjunto de valores for infinito no enumervelento a varivel dita contnua.

  • 99

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A funo de probabilidade (fp) de uma VAD a funo que associa a cada xi X(S) o nmero f(xi) = P(X = xi)que satisfaz as seguintes propriedades:

    f(xi) 0, para todo i

    f(xi) = 1

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    A coleo dos pares [xi, f(xi)]para i = 1, 2, 3, ... denominada

    de distribuio de probabilidade

    da VAD X.

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    Suponha que um par de dados

    lanado. Ento X = soma do par

    uma varivel aleatria discreta com

    o seguinte conjunto de valores:

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    Como X((a, b)) = a + b, o

    conjunto de valores de X dado

    por: X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}

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    A funo de probabilidade

    f(x) = P(X = x), associa a cada

    x X(S), um nmero no intervalo [0; 1] dado por:f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =

    = P([x X(S) / X(s) = x})

  • 1010

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    Desta forma: f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36

    f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36

    ...............................................................

    f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36

    f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36

    A distribuio de probabilidade ser:Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    12

    1f(x)

    111098765432x

    361

    362

    363

    364

    365

    366

    365

    364

    363

    362

    361

    A distribuio de probabilidade

    de X ser ento:

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    uma tabela

    uma expresso analtica (frmula)

    um diagrama

    Atravs de:

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    Seja X = nmero de caras, obtidas no lanamento de 4 moedas honestas. Ento a distribuio de X a dada ao lado.

    1/1641

    4/1636/1624/1611/160f(x)x

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    Considere X = soma do par, no lanamento de dois dados equilibrados, ento: f : X(S) f : X(S)

    x x (x (x -- 1)/36 se x 1)/36 se x 77(12 (12 -- x x --1)/36 se x > 71)/36 se x > 7

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0,00

    0,02

    0,04

    0,06

    0,08

    0,10

    0,12

    0,14

    0,16

    0,18

    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  • 1111

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Expectncia, valor esperado

    (b) Desvio padro

    ================ )xX(P.x )x(f.x)X(E

    ======== 22 )x(f)x(f x)x( 2

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    Bernoulli

    Binomial

    Hipergeomtrica

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    Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados so anotados por 0 ou fracasso e 1 ou sucesso. A probabilidade de ocorrncia de sucesso representada por p e a de insucesso por q = 1 p.

    EXPERIMENTO

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    X(S) = { 0, 1}

    ===

    1 = x se p

    0 = x se p1)xX(P)x(f

    A Funo de Probabilidade (fp)

    Conjunto de Valores

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A Funo de Probabilidade (fp)

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    0 1

  • 1212

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    pq)p1(ppp

    p)p.1q.(0

    E(X)-)X(E)X(V

    2

    222

    22

    ===

    =+=

    ==

    CaractersticasExpectncia ou Valor Esperado

    =+== pp.1q.0)x(f.x )X(EVarincia

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    Como existem apenas duas situaes: A ocorre e A no ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A no ocorrer como sendo q = 1 p.

    A VAD definida por X = nmero de vezes que A ocorreu nas n repeties de E denominada BINOMIAL.

    EXPERIMENTO

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    X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}

    A Funo de Probabilidade (fp)

    Conjunto de Valores

    qpx

    n)xX(P)x(f xnx

    ===

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    npq-)(E)X(V E(X)X 22 ==

    CaractersticasExpectncia ou Valor Esperado

    np )x(f.x )X(E ==

    Varincia

    npq X =

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  • 1313

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A distribuio Binomial deduzida com base em n repeties de um experimento de maneira independente (isto , p = constante), ou retiradas com reposio de uma populao finita.

    EXPERIMENTO

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    Se a experincia consistir na seleo de objetos, sem reposio, de uma populao finita, de tamanho N, onde r apresentam uma caracterstica N r no apresentam esta caracterstica, ento existir dependncia entre as repeties.

    EXPERIMENTO

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    Neste caso a varivel aleatria X = nmero de objetos com a caracterstica r em uma amostra de tamanho n, ter uma distribuio denominada de Hipergeomtrica.

    EXPERIMENTO

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    x : mx{0, nN+r)}, ..., mn{r, n}

    A Funo de Probabilidade (fp)

    Conjunto de Valores

    ===

    n

    Nrn

    rN

    x

    r

    )xX(P)x(f

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    1NnNnpqX

    =

    CaractersticasExpectncia ou Valor Esperado

    np )X(E =

    Desvio Padro

    Nr p Onde =

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  • 1414

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Seja X uma varivel aleatria com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito no enumervel ento a varivel dita contnua.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    a funo que associa a cadax X(S) um nmero f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:

    f(x) 0

    dx).x(f

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A coleo dos pares(x, f(x)) denominada de

    distribuio de probabilidade da VAC X.

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    ====

  • 1515

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Expectncia, valor esperado

    (b) Desvio padro

    ======== dx)x(f.x)X(E

    ======== 22 dx)x(fdx)x(f x)x( 2

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    a funo F(x) definida por:

    == x du)u(f)xX(P)x(F

    A F(x) a integral da f(x) at um ponto genrico x.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    O uso da FDA bastante prtico no clculo das probabilidades, pois no necessrio integrar, j que ela um funo que fornece a Integral.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Usando a FDA, teremos sempre trs casos possveis:

    )(F)(F)X(P

    )x(F1)xX(P

    )x(F)xX(P

    xxxx 1221 =

    =

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    UniformeExponencial

    Normal

    t (Student)

    2222 (Qui-quadrado)F (Snedekor)

  • 1616

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    c.c. 0

    b x a se ab

    1)x(f

    =

    Uma VAC X uniforme no intervalo [a; b] se assume todos os valores com igual probabilidade. Isto , se f(x) for:

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    A funo F(x) dada por:

    F x x ab a

    ( )=

    0

    1

    se x < a

    se a x b

    se x > b

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    2ba)X(E +=

    Expectncia ou Valor Esperado

    Varincia

    12)(E)X(V

    )ab()X(EX2

    222 ===

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    ====

    x ,e..

    )x(fx.

    2

    21

    21

    Uma varivel aleatria X tem uma distribuio normal se sua fdp for do tipo:

    0 e - com >

  • 1717

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    N(0; 1)

    N(0; 0,5)

    N(0; 2)

    N(2; 1)

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    ?due..2

    1)xX(P x2u.

    21

    =

    =

    A normal no integrvel atravs do TFC, isto , no existe F(x) tal que F(x) = f(x).

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Utilizar integrao numrica.Como no possvel fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente).

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    =

    XZ

    A curva escolhida a N(0, 1), isto , com = 0 e = 1.

    Se X uma N(, ), ento:Se X uma N(, ), ento:

    Ser uma N(0; 1)

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    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    )z(NORP.DIST)z( z) P(Z ==

    -z)DIST.NORP( )z()z(-1z) P(Z-1 z) P(Z

    ====>

    )(DIST.NORMP)(DIST.NORMP )()( ) ZP(

    zzzzzz

    12

    1221

    ==

  • 1818

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    Se a normal no a padro pode-se padronizar ou, ento,utilizar a funo:

    =DIST.NORM(x; ; ; 1)

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    Uma VAC tem distribuio normal de mdia 50 e desvio padro 8. Determinar:

    (a) P(X x) = 5%(b) P(X > x) = 1%

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    Para resolver este tipo de exerccio preciso utilizar a funo inversa, isto :

    = INV.NORM(5%; 50; 8) == 36,84

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    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    26 34 42 50 58 66 74

    5%

    x

    P(X x) = 5%

  • 1919

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    No esquecer que a planilha

    fornece a rea esquerda, ento:

    (b) P(X > x) = 1%

    P(X > x) = 1% P(X x) = 99%

    INV.NORM(99%; 50; 8) = 68,61

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    0,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    26 34 42 50 58 66 740,00

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    1%

    x

    P(X > x) = 1%

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    x para

    2.

    12

    1

    )x(f

    21

    2x

    +

    +=

    +

    Uma varivel aleatria X tem uma distribuio t ou de Studentse sua fdp for do tipo:

  • 2020

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    0 p para

    dx )p( 0x1p ex

    >

    =

    onde a funo dada por

    )1p(1)-(p )p( =

    = )2/1(

    Zn se

    1)!-(n )n(

    =

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    0,00

    0,10

    0,20

    0,30

    0,40

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    fdp det(1)t(5)

    t(25)

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    0)X(E ==

    2-

    = Var(X)

    Expectncia ou Valor esperado

    Varincia

    O valor denominado deGrau de liberdade

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A planilha fornece uma funo direta e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto , a tabela retorna um valor t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ((((bilateral))))....

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Dada uma distribuio t (de Student) com parmetro g.l. = 30,

    determinar: P( 2).(b) O valor t tal que P(|| t) =

    90%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Ento P(T 2) = 2,73%

  • 2121

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    Ento O valor t tal que

    P(|| t) = 90% t = 1,697Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

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    Uma varivel aleatria X tem uma distribuio Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo:

    0 x se 0

    0 x se

    22

    ex

    )x(f 2

    2x1

    2

    >

    =

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    =)X(E

    2 = Var(X)

    Expectncia ou Valor esperado

    Varincia

    O valor denominado deGrau de liberdade

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    0,00

    0,20

    0,40

    0,60

    0,80

    1,00

    1,20

    0 2 4 6 8 10

    fdp de2(1)2(2)2 (3)2 (5)

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    A planilha fornece uma funo direta e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto , a tabela retorna um valor t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ((((bilateral))))....

  • 2222

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Dada uma distribuio t (de Student) com parmetro g.l. = 30,

    determinar: P( 2).(b) O valor t tal que P(|| t) =

    90%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Ento P(T 2) = 2,73%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Ento O valor t tal que

    P(|| t) = 90% t = 1,697Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A planilha fornece uma funo direta (rea direita) e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral). Isto , a planilha retorna um valor tal que P(2 c)))) ==== ((((unilateral),),),), ou c tal que P(2 cc)))) ==== ,,,, no caso da funo inversa.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Dada uma distribuio Qui-Quadrado com parmetro g.l. = 1,

    determinar: P(2 1).(b) O valor de c tal que P(2 c) =

    90%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Ento P(2 1) = 31,73%

  • 2323

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    Ento, o valor de c tal que, P(2 c) = 90% c = 2,71.

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    Uma varivel aleatria X tem uma distribuio F ou deSnedecor se sua fdp for do tipo:

    (((( ))))

    0 x se 0

    0 x se nm

    mxnxnmnm

    )x(f

    nmmnm

    >>>>

    ++++

    ++++

    ====

    ++++

    22

    22

    1222

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    Expectncia ou Valor esperado

    Varincia2

    ====

    mm)X(E

    ) - )(n - m(n) - n(m = Var(X) m42

    22 2++++

    m o grau de liberdade do numerador e ndo denominador

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    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    0 3 6 9 12 15

    fdp deF(1, 3)F(2, 5)F(5, 10)F(20, 20)

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    A planilha fornece uma funo direta e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral) ou a soma das caudas (bilateral), isto , a tabela retorna um valor t tal que P( t)))) ==== ((((unilateral)))) ou P(|T| t)))) ==== ((((bilateral))))....

  • 2424

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Dada uma distribuio t (de Student) com parmetro g.l. = 30,

    determinar: P( 2).(b) O valor t tal que P(|| t) =

    90%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Ento P(T 2) = 2,73%

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    Ento O valor t tal que

    P(|| t) = 90% t = 1,697Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    A planilha fornece uma funo direta (rea direita) e uma inversa, em relao a rea direita (unilateral). Isto , a planilha retorna um valor tal que P(2 c)))) ==== ((((unilateral),),),), ou c tal que P(2 cc)))) ==== ,,,, no caso da funo inversa.

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica

    (a) Dada uma distribuio Qui-Quadrado com parmetro g.l. = 1,

    determinar: P(2 1).(b) O valor de c tal que P(2 c) =

    90%

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    Ento P(2 1) = 31,73%

  • 2525

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    Ento, o valor de c tal que, P(2 c) = 90% c = 2,71.

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    O que tabelado a rea direita de cada curva (funo direta),(funo direta), isto , dado um certo valor de x, tem-se:

    P[F(m, n) x]]]] ==== ,,,, ou dado uma rea direita pode-se determinar x que satisfaz

    P[F(m, n) x]]]] ==== ((((((((funo inversafuno inversa).).).).).).).).

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    (a) Dada uma distribuio F com parmetros g.l. do numerador = 3

    e g.l. do denominador igual a 5,

    determinar P(F 2,5).

    (b) O valor de f tal que P(F f) = 80%

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    Ento P(F 2,5) = 17,39%

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    Ento, o valor de f tal que, P(F f) = 80% f = 2,25.

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  • 2626

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    de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev, 1821 1894.

    P(|X - | k) 1/k2

    P(|X - | < k) 1 - 1/k2

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    Se a distribuio for unimodal e simtrica, ento:

    P(|X - | k) 4/9k2

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    Estas desigualdades fornecem as probabilidades de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simtrico em torno da mdia de amplitude igual a 2k desvios padres.

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    Assim se k = 2, por exemplo, a desigualdade de Tchebycheffestabelece que o percentual de valores da varivel aleatria que est compreendida no intervalo 2 de pelo menos1 - 1/4 = 75%.

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    |X - | < 2

    1 - 1/4 = 75%.

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    Na normal este percentual vale exatamente 95,44%. Mas como a normal simtrica e unimodal, neste caso, um resultado mais prximo dado pela desigualdade de Camp-Meidell, isto :

    1 4/(9k2) = 1 (1/9) = 88,89%.