apostila prominp Eletricista Força e Controle_Eletricidade Geral

ELETRICISTA FORÇA E CONTROLE

ELETRICIDADE GERAL

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ELETRICIDADE GERAL

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BARBOZA, Luciano Vitoria Eletricidade Geral / CEFET-RS. Pelotas, 2008.

93 p.: 60il.

PETROBRAS – Petróleo Brasileiro S.A.

Av. Almirante Barroso, 81 – 17º andar – Centro CEP: 20030-003 – Rio de Janeiro – RJ – Brasil

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ÍNDICE

UNIDADE I ............................................................................................................................................... 9

1.1 Introdução....................................................................................................................................... 9

1.2 Tipos de Corrente Alternada......................................................................................................... 10

1.3 Características das Ondas Alternadas Senoidais ........................................................................ 11

1.4 Forma Matemática das Ondas Senoidais Periódicas .................................................................. 14

1.5 Valor Eficaz de uma Grandeza Alternada .................................................................................... 16

1.6 Representação de Grandezas Senoidais Através de Fasores .................................................... 17

1.7 Defasagem entre Grandezas Senoidais....................................................................................... 19

1.8 Simulações Digitais ...................................................................................................................... 21

1.8.1 Valor Eficaz de Tensão e Corrente em um Resistor ............................................................. 21

UNIDADE II ............................................................................................................................................ 23

2.1 Introdução..................................................................................................................................... 23

2.2 Circuitos Puros ............................................................................................................................. 23

2.2.1 O Circuito Resistivo................................................................................................................ 23

2.2.1 O Circuito Indutivo.................................................................................................................. 25

2.2.2 O Circuito Capacitivo ............................................................................................................. 27

2.3 O Circuito RLC Série .................................................................................................................... 29

2.3.1 Circuito RL Série .................................................................................................................... 29

2.3.2 Circuito RC Série ................................................................................................................... 31

2.3.4 Circuito RLC Série ................................................................................................................. 33

2.4 O Circuito RLC Paralelo ............................................................................................................... 39

2.4.1 Circuito RL Paralelo ............................................................................................................... 39

2.4.2 Circuito RC Paralelo............................................................................................................... 42

2.4.3 Circuito RLC Paralelo............................................................................................................. 44

2.5 Síntese dos Circuitos RLC............................................................................................................ 49


2.6.1 Valores de Tensões e Corrente em um Circuito RLC Série .................................................. 50

2.6.2 Valores de correntes em um circuito RLC paralelo ............................................................... 51

UNIDADE III ........................................................................................................................................... 52

3.1 Introdução..................................................................................................................................... 52

3.2 Potência Instantânea .................................................................................................................... 52

3.2.1 Circuito Resistivo Puro........................................................................................................... 53

3.2.2 Circuitos Indutivo e Capacitivo Puros .................................................................................... 54

4

3.3 Potência Média ou Potência Ativa................................................................................................ 56

3.4 Potência Reativa........................................................................................................................... 57

3.5 Potência Aparente ........................................................................................................................ 58

3.6 Triângulo de Potências ................................................................................................................. 59

3.7 Fator de Potência ......................................................................................................................... 62

3.7.1 Análise das Correntes............................................................................................................ 62

3.7.2 Análise da Potência Aparente................................................................................................ 63

3.7.2 Resumo sobre Fator de Potência .......................................................................................... 64

3.8 Correção do Fator de Potência .................................................................................................... 64


3.9.1 Uso do Wattímetro para Medição de Potência Ativa ............................................................. 68

UNIDADE IV ........................................................................................................................................... 69

4.1 Introdução..................................................................................................................................... 69

4.2 Geração Trifásica Simétrica ......................................................................................................... 69

4.3 Carga Trifásica Equilibrada .......................................................................................................... 71

4.4 Ligações Trifásicas ....................................................................................................................... 71

4.4.1 Ligação Trifásica em Y .......................................................................................................... 71

4.4.2 Ligação Trifásica em ∆........................................................................................................... 76

4.4.3 Resumo das Ligações Trifásicas ........................................................................................... 78

4.5 Potências em Circuitos Trifásicos ................................................................................................ 79

4.5.1 Potência Ativa Trifásica.......................................................................................................... 80

4.5.2 Potência Reativa Trifásica ..................................................................................................... 81

4.5.3 Potência Aparente Trifásica................................................................................................... 81


4.6.1 Relação entre Tensões de Linha e de Fase em uma Ligação Trifásica em Y...................... 88

4.6.2 Relação entre Correntes de Linha e de Fase em uma Ligação Trifásica em ∆ ................... 89

4.6.3 Método dos Dois Wattímetros para Medição de Potência Ativa Trifásica em uma Carga

Ligada em Y .................................................................................................................................... 90

4.6.4 Método dos Dois Wattímetros para Medição de Potência Ativa Trifásica em uma Carga

Ligada em ∆.................................................................................................................................... 91

BIBLIOGRAFIA....................................................................................................................................... 92

5

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Algumas formas de onda que representam grandezas alternadas..................................... 11

Figura 1.2. Onda alternada periódica senoidal com suas principais características. ............................ 12

Figura 1.3. Corrente alternada senoidal do Exemplo 1.1. ..................................................................... 15

Figura 1.4. Exemplos de representação de fasores. ............................................................................. 18

Figura 1.5. Fasor tensão correspondente à tensão senoidal ( )1( ) 200sen 377 40 V.v t t= − ° ........................ 18

Figura 1.6. Fasor corrente correspondente à corrente senoidal ( )( ) 5sen 377 35 A.ai t t= + ° ....................... 18

Figura 1.7. Diagrama fasorial para o Exemplo 1.3................................................................................. 20

Figura 1.8. Circuito elétrico para a simulação 1.8.1............................................................................... 21

Figura 1.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação 1.8.1.................................................... 22

Figura 2.1. Circuito resistivo puro submetido à corrente alternada. ...................................................... 23

Figura 2.2. Diagrama fasorial para o circuito resistivo puro................................................................... 24

Figura 2.3. Circuito indutivo puro submetido à corrente alternada. ....................................................... 25

Figura 2.4. Diagrama fasorial para o circuito indutivo puro. .................................................................. 26

Figura 2.5. Circuito capacitivo puro submetido à corrente alternada..................................................... 27

Figura 2.6. Diagrama fasorial para o circuito capacitivo puro................................................................ 28

Figura 2.7. Circuito RL série submetido à corrente alternada. .............................................................. 29

Figura 2.8. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RL série. .................................................... 29

Figura 2.9. Circuito RC série submetido à corrente alternada............................................................... 31

Figura 2.10. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série................................................... 31

Figura 2.11. Circuito RLC série submetido à corrente alternada........................................................... 33

Figura 2.12. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RLC série com X L > X C. ........................... 34

Figura 2.13. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RLC série com X C > X L. ........................... 36

Figura 2.14. Circuito RL paralelo submetido à corrente alternada. ....................................................... 39

Figura 2.15. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RL paralelo. ........................................... 40

Figura 2.16. Circuito RC paralelo submetido à corrente alternada........................................................ 42

Figura 2.17. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo. .......................................... 42

Figura 2.18. Circuito RLC paralelo submetido à corrente alternada...................................................... 44

Figura 2.19. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RLC paralelo com b L > b C. .................... 44

Figura 2.20. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RLC paralelo com b C > b L. .................... 46

Figura 2.21. Circuito elétrico para a simulação 2.6.1............................................................................. 50

Figura 2.22. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação 2.6.1.................................................. 50


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Figura 3.1. Tensão, corrente e potência em um resistor. ...................................................................... 53

Figura 3.2. Tensão, corrente e potência em um indutor. ....................................................................... 54

Figura 3.3. Tensão, corrente e potência em um capacitor. ................................................................... 55

Figura 3.4. Triângulo de potências para uma carga com teor indutivo.................................................. 59

Figura 3.5. Triângulo de potências para uma carga com teor capacitivo .............................................. 59

Figura 3.6. Triângulo de potências inicial da empresa. ......................................................................... 65

Figura 3.7. Triângulo de potências resultante com a instalação de um capacitor................................. 65

Figura 3.8. Circuito elétrico para a simulação 3.9.1............................................................................... 68

Figura 3.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação 3.9.1.................................................... 68

Figura 4.1. Esquema básico de um gerador trifásico............................................................................. 69

Figura 4.2. Ligação trifásica em Y para um gerador. ............................................................................. 71

Figura 4.3. Correntes de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y.................................. 73

Figura 4.4. Soma fasorial das correntes de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y..... 73

Figura 4.5. Correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y. ................................................ 73

Figura 4.6. Soma fasorial de correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y. ..................... 73

Figura 4.7. Fasores correntes de linha do Exemplo 4.2. ....................................................................... 75

Figura 4.8. Determinação gráfica da corrente no neutro do Exemplo 4.2. ............................................ 75

Figura 4.9. Ligação trifásica em ∆ de uma carga equilibrada. ............................................................... 76

Figura 4.10. Esquema elétrico simplificado da indústria do Exemplo 4.9.............................................. 87









7

LISTA DE TABELAS Tabela 4.1. Síntese das relações matemáticas entre grandezas de linha e de fase em ligações

trifásicas. ................................................................................................................................................ 78

8

APRESENTAÇÃO

O estudo da Eletricidade Geral pode basicamente ser dividido em três importantes campos:

• O estudo das grandezas elétricas básicas, tais como corrente elétrica, tensão, potência,...;

• O estudo dos circuitos elétricos alimentados por corrente contínua;

• O estudo dos circuitos elétricos alimentados por corrente alternada.

Esta apostila objetiva introduzir o aluno ao terceiro campo das competências acima descritas.

Inicialmente é realizado um estudo sobre as grandezas elétricas alternadas, com ênfase nas

grandezas alternadas senoidais. Nesta etapa, o aluno terá condições de interpretar as características

básicas de uma onda senoidal periódica e compreender como estas peculiaridades influem no

comportamento da onda.

A seguir, o aluno é guiado a analisar o comportamento dos circuitos compostos por

resistores, indutores e capacitores excitados por tensões alternadas senoidais. Aqui, o aluno irá se

deparar com as características de defasagem existentes entre as grandezas elétricas tensão e

corrente. Neste capítulo serão tratadas as ligações de resistores, indutores e capacitores tanto em

série como em paralelo.

No Capítulo 3 serão abordados os diferentes tipos de potência elétrica que se apresentam

em circuitos excitados por ondas alternadas senoidais. O aluno será conduzido a concluir que, com

este tipo de excitação, têm-se três tipos de potência elétrica sendo absorvidas pela rede. Também

será introduzida uma outra grandeza chamada fator de potência e será analisada a sua influência

sobre o comportamento do circuito elétrico, bem como a forma prática de lidar com a sua correção.

Finalmente, no Capítulo 4 serão apresentados e discutidos os Circuitos Elétricos Trifásicos.

Serão apresentadas as tensões trifásicas simétricas geradas em usinas elétricas, bem como as suas

características. Os diferentes tipos de conexão de circuitos trifásicos também serão discutidos. E,

como último assunto, discute-se as formas de calcular as potências trifásicas.

De modo a reforçar os conhecimentos teóricos introduzidos ao longo do livro, atividades de

simulação utilizando computadores digitais são propostas. Para tal fim, será utilizado o software

Multisim 2000 em sua versão “student” que é de livre distribuição. Essa versão possui algumas

limitações, se comparada com a versão plena, porém, para os fins aqui destinados, se presta muito

bem para ilustrar a teoria apresentada.

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I - FUNDAMENTOS DE CORRENTE ALTERNADA

1.1 Introdução

Como se sabe existem dois tipos de corrente elétrica: a corrente alternada (CA) e a corrente

contínua (CC).

A corrente contínua tem a característica de ser constante no tempo, com o seu valor bem

definido e circulando sempre no mesmo sentido em um condutor elétrico. A sua faixa de utilização é

bastante ampla, pois todos os sistemas eletrônicos, como computadores, televisores, aparelhos de

som, funcionam com CC. A corrente contínua é o tipo de corrente produzida por todos os tipos de

pilhas e baterias, sem exceções.

Por outro lado, a corrente alternada possui a característica de ser variante no tempo,

alternando o sentido pelo qual percorre um condutor. Devido ao fato de ser alternada, possui algumas

características como freqüência, amplitude, ângulo de fase, entre outras. A corrente alternada é

utilizada em inúmeras aplicações, principalmente em sistemas de elevada potência, indústrias e

máquinas elétricas. Em geral, os motores elétricos que equipam os eletrodomésticos, como

batedeiras, liquidificadores, geladeiras, máquinas de lavar, são do tipo CA. Nas usinas de geração de

energia (hidrelétricas, termelétricas ou nucleares) são utilizados geradores do tipo CA. Toda a rede de

transmissão e distribuição de energia elétrica em todo o mundo é do tipo CA, sendo, no Brasil, valores

típicos de amplitude de 127 Vrms e 220 Vrms com freqüência de 60 Hz. Em outros países como, por

exemplo, o Paraguai, a freqüência da rede elétrica é 50 Hz.

Todos os circuitos eletrônicos, como citado anteriormente, precisam de uma fonte de energia

CC para os “alimentar”. Porém, freqüentemente estes circuitos são alimentados a partir da rede de

energia CA local disponível. Nestes casos, uma parte do equipamento eletrônico é responsável pela

conversão de uma forma de onda alternada em uma contínua. O estudo da conversão CA – CC é

feito em disciplinas específicas em cursos de Eletrônica Geral.

Em função do exposto, pode-se dizer que a utilização da corrente alternada se deve,

principalmente, aos seguintes fatos:

• A geração de grandes quantidades de energia é mais simples e econômica em CA;

• A transformação de CA em CC (processo chamado “retificação”) é também muito simples

e de baixo custo;

10

• Máquinas elétricas alimentadas por CA (motor de indução) costumam ser mais baratos e

necessitar de menor manutenção que máquinas CC;

• Tensões e correntes alternadas podem ter seus níveis alterados através do uso de

transformadores. Talvez, este seja o principal fator pelo domínio da CA, pois graças ao

transformador, consegue-se obter tensões da ordem de milhares de Volts necessários à

transmissão de energia elétrica, bem como tensões reduzidas, adequadas à alimentação

de pequenos aparelhos.

Entre as formas de onda alternada, a forma de onda senoidal tem destacada importância. A

tensão senoidal é largamente utilizada nos sistemas de geração, transmissão e distribuição de

energia elétrica. Existem diversas razões para a grande utilização de tensões senoidais, podendo-se

destacar, entre elas, a facilidade de geração e de tratamento matemático.

1.2 Tipos de Corrente Alternada

A rigor, pode-se considerar como uma tensão ou corrente alternada qualquer forma de onda

que varie o seu valor com o tempo. Por outro lado, existe um grupo de ondas alternadas que possui

particular importância no estudo da Eletricidade. São aquelas que, depois de decorrido um

determinado intervalo de tempo, voltam a se repetir. Estas ondas são chamadas de ondas alternadas

periódicas. Na Figura 1.1 estão apresentadas algumas ondas do tipo citado. Na Figura 1.1, as

grandezas mostradas nas letras (a) e (b) correspondem a ondas triangulares periódicas; as letras (c)

e (d), a ondas quadradas periódicas; e as letras (e) e (f) a ondas senoidais. A onda mostrada na

Figura 1.1(f) é uma onda senoidal retificada em onda completa (este assunto corresponde ao estudo

de Eletrônica Geral). Em todas as figuras mostradas, o símbolo T corresponde ao período da onda.

Observe que, em todas as grandezas mostradas na Figura 1.1, o valor instantâneo da onda

depende do instante de tempo em análise. Este fato as caracteriza como ondas alternadas. Por outro

lado, note que, decorridos T segundos (um período), os valores instantâneos começam a se repetir.

Isto as caracteriza como ondas periódicas.

As ondas alternadas periódicas são muito importantes no estudo da Eletricidade porque

todos os geradores elétricos existentes nas usinas de geração de energia elétrica (por exemplo,

Itaipú) produzem tensões senoidais como aquela mostrada na Figura 1.1(e), isto é, uma tensão

alternada periódica senoidal.

Neste estudo serão abordadas, em especial, as ondas alternadas periódicas senoidais e

como representá-las utilizando a função seno. Na próxima seção serão apresentadas e discutidas as

principais características desse tipo de ondas.

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(a) (b)

tT0

(c) (d)

t0 T T

t0 T T TT (e) (f)

Figura 1.1. Algumas formas de onda que representam grandezas alternadas.

1.3 Características das Ondas Alternadas Senoidais

Para facilitar a compreensão dos principais parâmetros que caracterizam uma onda de

tensão ou corrente alternada periódica senoidal, considere a tensão representada na Figura 1.2.

A primeira característica está relacionada ao valor máximo (V m) que a função senoidal atinge.

Note que este valor máximo ora é positivo e ora é negativo. Este máximo valor recebe o nome de

“valor de pico”, “magnitude” ou “amplitude” da onda senoidal. Não esqueça que, para uma

determinada onda senoidal, este valor é uma constante associada a ela.

O conjunto de valores instantâneos que a onda apresenta durante um período de tempo

chama-se “ciclo” (na verdade, corresponde à forma da onda). Outra forma de se identificar um ciclo é

observar o instante de tempo a partir do qual a onda começa a se repetir. Todos os valores da onda

anteriores há esse instante compõem o seu ciclo.

12

Figura 1.2. Onda alternada periódica senoidal com suas principais características.

O “período” (T ) de uma onda alternada corresponde ao intervalo de tempo a partir do qual a

onda começa a repetir os seus valores. Pode-se também relacionar ciclo e período da seguinte forma:

período é o tempo que a onda leva para completar um ciclo. No Sistema Internacional de Unidades, o

período é medido em segundos (s).

O número de ciclos que uma onda alternada senoidal realiza em um segundo chama-se

“freqüência” (f ) da onda. Como o tempo que uma onda leva para completar um ciclo corresponde ao

seu período, pode-se estabelecer uma relação entre período e freqüência através de uma regra de

três simples e direta, como mostrado abaixo

1 ciclo 1

1

T

f s (1.1)

A relação acima diz que, se um período T é o tempo que a onda leva para completar um

ciclo, o número de ciclos realizados durante um segundo é a freqüência f. Da equação (1.1), conclui-

se que

=1

fT

(1.2)

Assim, de acordo com a equação (1.2), tem-se que a freqüência de uma onda alternada

senoidal corresponde ao inverso do seu período. No Sistema Internacional de Unidades, a freqüência

é medida em Hertz (Hz). Por exemplo, em todo o território brasileiro, a freqüência da rede elétrica

residencial é 60 Hz.

Por outro lado, é comum estabelecer-se uma relação entre a freqüência f e a velocidade

angular de um ponto sobre uma circunferência de raio igual ao valor de pico da onda alternada.

Observe que um ponto ao completar um giro completo sobre uma circunferência percorre o

13

equivalente a 2π radianos (rad). Dessa forma, pode-se dizer que para uma onda alternada completar

um ciclo, é necessário que este ponto realize uma volta completa na circunferência. Se a onda possui

uma freqüência f, então o referido ponto irá completar f voltas na circunferência em um segundo. Esta

característica das ondas alternadas é conhecida como “freqüência angular”, cujo símbolo é ω, e se

relaciona com a freqüência f através da relação

ω π= 2 f (1.3)

No Sistema Internacional de Unidades, a freqüência angular é medida em rad/s.

Outra característica peculiar das ondas alternadas senoidais é conhecida como argumento e

corresponde ao produto entre a freqüência angular e o tempo, isto é, ωt. Observe que, no Sistema

Internacional de Unidades, este produto resulta em radianos (rad).

Finalmente, a última característica importante associada a uma onda alternada senoidal é

conhecida como “ângulo de fase” da onda. O seu símbolo é θ. Para se entender o que o ângulo de

fase expressa, observe novamente a Figura 1.2. Note que a onda de tensão não está passando por

zero no instante de tempo t igual a zero. Sabe-se, da trigonometria matemática, que a função seno

padrão vale zero quando t é igual a zero. Quando a onda alternada, seja de tensão ou de corrente,

não vale zero quando t é igual a zero, o ângulo de fase θ expressa exatamente esta diferença. Em

outras palavras, o ângulo de fase corresponde a um valor que somado ao argumento ωt faz com que

a função seno se torne nula quando t é igual a zero. Na Figura 1.2, a forma de onda atinge o valor

zero um pouco antes de t = 0, o que significa que o seu ângulo de fase θ é positivo. Caso contrário, o

ângulo de fase seria negativo. Normalmente, o ângulo de fase é expresso em graus (°).

Na próxima seção será abordada a forma matemática de tratar as ondas alternadas

senoidais.

14

1.4 Forma Matemática das Ondas Senoidais Periódicas

Reunindo as características apresentadas na seção anterior, matematicamente uma onda de

tensão alternada senoidal pode ser expressa como

( )ω θ= +( ) senmv t V t (1.4)

Onde v(t ) corresponde ao valor instantâneo da tensão.

Exemplo 1.1: Considere a corrente alternada senoidal expressa por ( )= − °( ) 4sen 377 10 A.i t t

Determine:

a) O seu valor de pico;

b) A sua freqüência angular;

c) O seu ângulo de fase;

d) A sua freqüência;

e) O valor instantâneo da corrente para t = 3 ms e t = 15 ms.

Solução: Observando a expressão matemática da corrente, podem-se determinar diretamente os

valores de pico, da freqüência angular e do ângulo de fase da onda. Assim, tem-se que

I m = 4 A ω = 377 rad/s θ = −10°

Utilizando as equações (1.3) e (1.2), podem-se calcular os valores da freqüência e do

período, que são

ω

π π= = ≅

37760 Hz

2 2f = = ≅

1 116,7 s

60T

f

Para obter os valores instantâneos da corrente, devem-se substituir os instantes de tempo

diretamente na expressão matemática dada. Deve-se atentar para o fato de que o argumento estará

em radianos e o ângulo de fase em graus.

15

Assim, primeiramente deve-se passar o argumento para graus para, em seguida, somá-lo

com o ângulo de fase e, depois, calcular o valor da função seno. Para o instante de tempo t = 3 ms,

tem-se

ω −= × = = °3377 3.10 1,131 rad 64,8t

( ) ( ) ( )− = ° − ° = ° =33.10 4sen 64,8 10 4sen 54,8 3,27 Ai

Para o instante t = 15 ms, tem-se

ω −= × = = °3377 15.10 5,655 rad 324,01t

( ) ( ) ( )− = ° − ° = ° = −315.10 4 sen 324,01 10 4sen 314,01 2,88 Ai

Na Figura 1.3 está mostrada a forma de onda que representa a corrente i(t ) do Exemplo 1.1.

Figura 1.3. Corrente alternada senoidal do Exemplo 1.1.

16

1.5 Valor Eficaz de uma Grandeza Alternada

Sabe-se que, no Brasil, a rede elétrica de abastecimento residencial pode ser em dois

valores: 127 V ou 220 V. Por outro lado, também se sabe que a forma de onda da rede é alternada

senoidal, ou seja, está sempre variando com o passar do tempo, inclusive assumindo valores

negativos em determinados instantes de tempo. Assim, o que significa uma tensão alternada senoidal

de 127 ou 220 V? Este é o objeto de estudo desta seção.

Toda tensão ou corrente alternada periódica possui associada a si um valor que é chamado

“valor eficaz da tensão ou corrente”. Este valor eficaz é o valor que realmente é capaz de executar

trabalho. Por definição, o valor eficaz de qualquer corrente periódica é igual ao valor da corrente

contínua que, circulando por um resistor de resistência R, entrega a mesma potência P ao resistor

que a corrente periódica. Dessa forma, pode-se escrever que

2 2CC efP RI RI= = (1.5)

Onde I CC é o valor da corrente contínua e I ef corresponde ao valor eficaz da corrente alternada

periódica. É costume se acrescentar após a unidade de tensão ou corrente a expressão “rms” para

indicar que esta corresponde ao valor eficaz da grandeza (Vrms ou Arms).

Aplicando a definição anterior a uma tensão ou corrente alternada senoidal expressa como

na equação (1.4), obtém-se para o seus valores eficazes

2 2m m

ef ef

V IV I= = (1.6)

Onde V m corresponde ao valor de pico da senóide.

Observe que a expressão (1.6) relaciona os valores eficaz e de pico de uma tensão ou

corrente alternada senoidal. Por exemplo, se a tensão alternada tiver um valor eficaz de 220 Vrms,

isto significa que o seu valor de pico é 2 220 311,13 V.× ≅

17

1.6 Representação de Grandezas Senoidais Através de Fasores

Trabalhar com análise de circuitos de corrente alternada utilizando as expressões

matemáticas que definem as senóides não é uma tarefa das mais fáceis. Assim, surgiu a definição de

“fasor”. O fasor é uma representação matemática mais simples que apresenta os principais

parâmetros que caracterizam a senóide em estudo. Por exemplo, considere a forma de onda de

corrente senoidal

( )( ) senmi t I tω θ= + (1.7)

Observe que se a corrente indicada na equação (1.7) circular em um determinado trecho de

um circuito elétrico, isto significa que, nas demais partes deste circuito, todas as correntes e tensões

terão a mesma freqüência ω. Dessa forma, o que irá diferenciar as tensões e as correntes entre si são

os valores de pico e os ângulos de fase. Conclui-se, então, que, para caracterizar e diferenciar

tensões e correntes senoidais em um circuito elétrico, basta dispor-se dos valores de pico e dos

ângulos de fase de cada uma delas. Assim, surgiu a idéia do fasor. Ele é um valor matemático que

indica os valores da magnitude da onda de corrente ou tensão e o seu respectivo ângulo de fase. A

representação utilizada para se escrever matematicamente os fasores é

m mV V I Iα β= ∠ = ∠& & (1.8)

Onde o fasor é representado pela letra maiúscula da grandeza com um ponto em cima e o valor após

o sinal “∠” representa o ângulo de fase e, neste caso, está se considerando α e β como os ângulos de

fase da tensão e da corrente, respectivamente.

Além disso, é possível se fazer uma representação gráfica dos fasores. Esta é realizada

utilizando-se a trigonometria matemática, na qual ângulos de fase positivos são representados no

sentido anti-horário e ângulos de fase negativos, no sentido horário. Por exemplo, na Figura 1.4 estão

mostrados dois fasores, um fasor tensão com ângulo de fase positivo α e um fasor corrente com

ângulo de fase negativo β. Note que o comprimento do fasor corresponde ao valor de pico da

grandeza.

18

.

ref

Figura 1.4. Exemplos de representação de fasores.

Exemplo 1.2: Considere as ondas senoidais de tensão e corrente a seguir. Faça a representação

gráfica dos fasores correspondentes a estas grandezas.

( )1( ) 200sen 377 40 Vv t t= − °

( )( ) 5sen 377 35 Aai t t= + °

Solução: Inicialmente deve-se adotar uma escala para a representação dos valores de pico da

tensão e da corrente. Por exemplo, pode-se adotar, para a tensão, uma escala na qual cada 50 V

corresponda a 1 cm. Assim, o comprimento do fasor tensão será de 4 cm. Na Figura 1.5 está

representado o fasor tensão 1.V&

ref

V1.

40°

4 cmV1 200 ° V.

Figura 1.5. Fasor tensão correspondente à tensão senoidal ( )1( ) 200sen 377 40 V.v t t= − °

Para a corrente, pode-se adotar como escala cada 1 A igual a 1 cm. Assim, o comprimento

do fasor corrente é 5 cm. A Figura 1.6. mostra a representação do fasor corrente.

Figura 1.6. Fasor corrente correspondente à corrente senoidal ( )( ) 5sen 377 35 A.ai t t= + °

19

1.7 Defasagem entre Grandezas Senoidais

A defasagem entre duas ondas senoidais visa especificar de quantos graus uma onda está

adiantada ou atrasada em relação à outra. O ângulo de defasagem sempre é um valor positivo

medido em graus. Para a determinação do ângulo de defasagem entre duas senóides, subtrai-se o

ângulo de fase menor do ângulo de fase maior. Para se concluir se uma senóide está adiantada em

relação à outra, basta analisar-se os ângulos de fase. Aquela que possuir o ângulo maior estará

adiantada em relação à outra. Isto significa o mesmo que dizer que a outra está atrasada em relação

à primeira.

Uma observação importante deve ser feita em relação ao ângulo de fase. Na prática, os

ângulos de defasagem φ sempre deverão ser maiores que 180°. Se ao realizar a operação indicada

anteriormente para o cálculo de um ângulo de defasagem o resultado encontrado for maior do que

180°, deve-se proceder ao cálculo do replemento deste ângulo, isto é, deve-se subtraí-lo de 360° e

considerar a senóide com ângulo de fase menor como adiantada em relação à outra.

Os exemplos a seguir ilustram a aplicação das regras acima apresentadas.

Exemplo 1.3: Considere a tensão senoidal ( )( ) 220sen 377 125 V.xv t t= + ° Determine a sua

defasagem em relação às correntes dadas a seguir.

a) ( )1( ) 3sen 377 75 Ai t t= + °

b) ( )2( ) 3sen 377 105 Ai t t= + °

c) ( )3( ) 3sen 377 15 Ai t t= − °

d) ( )4( ) 3sen 377 85 Ai t t= − °

Solução: Para uma melhor compreensão do Exemplo, primeiramente será construído o diagrama

fasorial com todas as ondas senoidais envolvidas neste. As escalas adotadas são

50 V 1 cm e 1 A 1 cm

Para a tensão e para as correntes, respectivamente.

20

Na Figura 1.7 está mostrado o diagrama fasorial do Exemplo 1.3.

220 125 VxV = ∠ °&

1 3 75 AI = ∠ °&

2 3 105 AI = ∠ °&

3 3 15 AI = ∠ − °&

3 3 85 AI = ∠ − °&

Figura 1.7. Diagrama fasorial para o Exemplo 1.3.

Com o diagrama fasorial e os respectivos fasores na Figura 1.7, pode-se dizer que os

ângulos de fase das grandezas são

125xθ = °

1 75θ = °

2 105θ = °

3 15θ = − °

4 85θ = − °

Onde θ x, θ 1, θ 2, θ 3, e θ 4 são os ângulos de fase da tensão v x e das correntes i 1, i 2, i 3 e i 4,

respectivamente.

Com esses dados, pode-se então proceder aos cálculos das defasagens conforme descrito

no texto da Apostila. Nos cálculos, φ será o ângulo de defasagem.

a) 1xθ θ>

1 125 75 50xφ θ θ= − = ° − ° = °

A tensão v x está 50° adiantada em relação à corrente i 1, ou

A corrente i 1 está 50° atrasada em relação à tensão v x.

21

b) 2xθ θ>

2 125 105 20xφ θ θ= − = ° − ° = °



c) 3xθ θ>

( )3 125 15 140xφ θ θ= − = ° − − ° = °



a) 4xθ θ>

( )4 125 85 210xφ θ θ= − = ° − − ° = ° → Maior do que 180°

O valor correto para o ângulo de defasagem é, então

360 210 150φ = ° − ° = °

A tensão v x está 150° atrasada em relação à corrente i 4, ou

A corrente i 4 está 150° adiantada em relação à tensão v x.

1.8 Simulações Digitais

1.8.1 Valor Eficaz de Tensão e Corrente em um Resistor

1. Determine os valores eficazes da tensão e da corrente no resistor do circuito da Figura 1.8. A

tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz.

Figura 1.8. Circuito elétrico para a simulação 1.8.1.

22

2. No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente à Figura 1.8 e introduza

corretamente o voltímetro e o amperímetro para a leitura das grandezas calculadas no item 1. A

tela do programa está mostrada na Figura 1.9.

Figura 1.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação 1.8.1.

3. Analise e compare os resultados obtidos pelo cálculo e pela simulação.

23

II - CIRCUITOS RLC

2.1 Introdução

Neste capítulo, será abordado o comportamento de circuitos compostos por resistores,

indutores e capacitores quando submetidos à corrente alternada senoidal. Para a compreensão do

funcionamento de circuitos RLC, novas grandezas serão definidas e estudadas, entre outras podem

ser citadas a impedância e a admitância.

Inicialmente, serão estudados os circuitos resistivo, indutivo e capacitivo puros. A seguir,

serão estudados os circuitos RLC série e RLC paralelo.

2.2 Circuitos Puros

2.2.1 O Circuito Resistivo

Considere o circuito resistivo mostrado na Figura 2.1. Seja a corrente que percorre o circuito

da forma ( )( ) sen .mi t I tω θ= +

Figura 2.1. Circuito resistivo puro submetido à corrente alternada.

A polaridade da tensão existente na Figura 2.1 serve para facilitar a análise do circuito. Esta

representa a polaridade da tensão em um determinado semiciclo da onda. Pela característica básica

de uma onda senoidal, sabe-se que, no semiciclo seguinte, a polaridade da tensão inverte, invertendo

conseqüentemente também o sentido da corrente.

24

Pela relação existente entre tensão e corrente em um resistor, sabe-se que a tensão nos

terminais do resistor é da forma

( )( ) senmv t RI tω θ= + (2.1)

Determinando os fasores correspondentes à tensão e a corrente no circuito, tem-se

e m mV RI I Iθ θ= ∠ = ∠& & (2.2)

Da observação da equação (2.2), pode-se concluir que a magnitude da tensão nos terminais

do resistor vale

m mV RI= (2.3)

Da equação (2.3), conclui-se que a única oposição à circulação de corrente em um circuito

resistivo puro é a resistência elétrica do resistor. Por outro lado, pode-se também definir a “facilidade”

que o circuito resistivo apresenta à circulação de corrente elétrica, isto é, o inverso da resistência

elétrica. Esta grandeza é chamada “condutância” e representada pela letra g. Assim,

matematicamente, tem-se

1

gR

= (2.4)

No Sistema Internacional de Unidades, a condutância é medida em Siemens (S). Dessa

forma, a equação (2.3) pode ser escrita como

m mI gV= (2.5)

Com base na equação (2.2), pode-se construir o diagrama fasorial para o circuito resistivo

puro, o qual está mostrado na Figura 2.2.

Figura 2.2. Diagrama fasorial para o circuito resistivo puro.

25

Observe que os ângulos de fase da tensão e da corrente são os mesmos. Isto permite dizer

que, no circuito resistivo puro, “a tensão sempre está em fase com a corrente”.

2.2.1 O Circuito Indutivo

Considere o circuito indutivo mostrado na Figura 2.3. Seja a corrente que percorre o circuito

da forma ( )( ) sen .mi t I tω θ= +

Figura 2.3. Circuito indutivo puro submetido à corrente alternada.

Pela relação existente entre tensão e corrente em um indutor, sabe-se que a tensão nos

terminais do indutor é da forma

( )( ) sen 90mv t LI tω ω θ= + + ° (2.6)


90 e m mV LI I Iω θ θ= ∠ + ° = ∠& & (2.7)

Da observação da equação (2.7), pode-se concluir que a magnitude da tensão nos terminais

do indutor vale

m mV LIω= (2.8)

Na equação (2.8), o termo ωL é chamado “reatância indutiva” do indutor, cujo símbolo é X L.

Observe que a oposição à circulação de corrente no circuito indutivo puro é a reatância indutiva do

indutor. Assim, define-se

2LX L fLω π= = (2.9)

26

No Sistema Internacional de Unidades, a reatância indutiva é medida em Ohms (Ω). Assim, a

equação (2.8) pode ser escrita como

m L mV X I= (2.10)

Que significa dizer que o valor de pico da tensão é obtido pela multiplicação da reatância indutiva pelo

valor de pico da corrente.

Pode-se também definir uma grandeza que meça a “facilidade” que o circuito indutivo

apresenta à circulação da corrente elétrica, que é chamada “susceptância indutiva”. Esta é o inverso

da reatância indutiva e é simbolizada por b L. Assim, tem-se

1 1

2L

L

bX fLπ

= = (2.11)

No Sistema Internacional de Unidades, a susceptância indutiva é medida em Siemens (S).

Dessa forma, a equação (2.10) pode ser escrita como

m L mI b V= (2.12)

A equação (2.7) permite a construção do diagrama fasorial para o circuito indutivo puro, o

qual está mostrado na Figura 2.4.

Figura 2.4. Diagrama fasorial para o circuito indutivo puro.

Observe que os ângulos de fase da tensão e da corrente estão defasados em 90°. Isto

permite dizer que, no circuito indutivo puro, “a tensão sempre está 90° adiantada em relação à

corrente”.

27

2.2.2 O Circuito Capacitivo

Considere o circuito capacitivo mostrado na Figura 2.5. Seja a corrente que percorre o

circuito da forma ( )( ) sen .mi t I tω θ= +

Figura 2.5. Circuito capacitivo puro submetido à corrente alternada.

Pela relação existente entre tensão e corrente em um capacitor, sabe-se que a tensão nos

terminais do capacitor é da forma

( )( ) sen 90mIv t tC

ω θω

= + − ° (2.13)


90 e mm

IV I I

Cθ θ

ω= ∠ − ° = ∠& & (2.14)

Da observação da equação (2.14), pode-se concluir que a magnitude da tensão nos

terminais do indutor vale

mm

IV

Cω= (2.15)

Na equação (2.15), o termo 1/ωC é chamado “reatância capacitiva” do capacitor. Observe

que a oposição à circulação de corrente no circuito capacitivo puro é a reatância capacitiva do

capacitor. Assim, define-se

1 1

2CXC fCω π

= = (2.16)

28

No Sistema Internacional de Unidades, a reatância capacitiva é medida em Ohms (Ω). A

equação (2.15) pode, então, ser escrita como

m C mV X I= (2.17)

Que diz que o valor de pico da tensão é obtido pelo produto da reatância capacitiva pelo valor de pico

da corrente.

Pode-se também definir uma grandeza relacionada à “facilidade” que a corrente elétrica tem

para circular no circuito capacitivo. Neste caso, esta grandeza é chamada “susceptância capacitiva” e

seu símbolo é b C. Matematicamente, ela é definida como o inverso da reatância capacitiva, ou seja,

1

2C

C

b fCX

π= = (2.18)

No Sistema Internacional de Unidades, a susceptância capacitiva é medida em Siemens (S).

Dessa forma, a equação (2.17) pode ser escrita como

m C mI b V= (2.19)

Baseado na equação (2.14), o diagrama fasorial para o circuito capacitivo puro pode ser

construído, o qual está mostrado na Figura 2.6.

Figura 2.6. Diagrama fasorial para o circuito capacitivo puro.

Observe que os ângulos de fase da tensão e da corrente estão defasados em 90°. Isto

permite dizer que, no circuito capacitivo puro, “a corrente sempre está 90° adiantada em relação à

tensão”.

29

2.3 O Circuito RLC Série

Nesta seção, inicialmente será realizado o estudo dos circuitos RL e RC série e,

posteriormente, os três componentes serão reunidos para o estudo do comportamento do circuito

RLC série geral.

2.3.1 Circuito RL Série

Considere o circuito RL série apresentado na Figura 2.7. A rede é alimentada por uma

tensão v(t ) cuja freqüência vale f.

Figura 2.7. Circuito RL série submetido à corrente alternada.

Por se tratar de um circuito série, sabe-se que a corrente elétrica é a mesma em todos os

componentes da rede. Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores

e indutores (Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e

tomando a corrente como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se construir o

diagrama fasorial das tensões, o qual é mostrado na Figura 2.8.

I.

VR.

VL.V

.

.

Figura 2.8. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RL série.

Observe na Figura 2.8 que os fasores e RV I& & estão em fase (característica de um circuito

resistivo) e que o fasor LV& está 90° adiantado em relação ao fasor I& (característica de um circuito

indutivo). A soma dos fasores e R LV V& & resulta no fasor tensão da fonte V& (característica de um

30

circuito série). Note ainda que o fasor tensão da fonte continua adiantado em relação à corrente,

porém de um ângulo inferior a 90°. Daí, pode-se concluir que, em um circuito RL série, a tensão da

fonte sempre estará adiantada da corrente de um ângulo maior que 0° e menor que 90°.

Recorde que, em valores de pico, tem-se as seguintes relações

e R L LV RI V X I= = (2.20)

Onde V R e V L são os valores de pico das tensões sobre o resistor e sobre o indutor, respectivamente;

R é a resistência elétrica do resistor; X L é a reatância indutiva do indutor e I é o valor de pico da

corrente.

Observando a Figura 2.8, nota-se que o diagrama fasorial das tensões resultou em um

triângulo retângulo, onde o comprimento de cada um dos lados corresponde ao valor de pico da

respectiva tensão. Portanto, utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se que

( ) ( )

( )

2 2 2

2 22

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

R L

L

L

L

L

V V V

V RI X I

V R I X I

V R X I

V R X I

= +

= +

= +

= +

= +

(2.21)

Note na equação (2.21) que o valor da tensão da fonte é obtido multiplicando-se uma

constante pelo valor da corrente. Esta constante recebe o nome de “impedância” do circuito RL série

e é representada por Z. Assim, definindo-se

2 2LZ R X= + (2.22)

A equação (2.21) pode ser escrita de uma forma mais compacta como

V ZI= (2.23)

No Sistema Internacional de Unidades, a impedância é medida em Ohms (Ω).

O ângulo formado entre os fasores tensão da fonte ( )V& e corrente ( )I& é chamado “ângulo do

fator de potência”. E, por definição, o co-seno deste ângulo é conhecido como “fator de potência” do

circuito e representado por fp, isto é,

cosfp θ= (2.24)

31

Lembrando das relações trigonométricas em um triângulo retângulo e analisando a Figura

2.8, pode-se escrever que

cos RV RI

fpV ZI

Rfp

Z

θ= = =

=

(2.25)

O estudo da influência do fator de potência em uma rede elétrica será estudado no próximo

capítulo.

2.3.2 Circuito RC Série

Considere o circuito RC série apresentado na Figura 2.9. A rede é alimentada por uma


Figura 2.9. Circuito RC série submetido à corrente alternada.

Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores e capacitores

(Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e tomando a

corrente como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se construir o diagrama

fasorial das tensões, o qual é mostrado na Figura 2.10.

Figura 2.10. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série.

32

Observe na Figura 2.10 que os fasores e RV I& & estão em fase (característica de um circuito

resistivo) e que o fasor CV& está 90° atrasado em relação ao fasor I& (característica de um circuito

capacitivo). A soma dos fasores e R CV V& & resulta no fasor tensão da fonte V& (característica de um

circuito série). Note ainda que o fasor tensão da fonte continua atrasado em relação à corrente, porém

de um ângulo inferior a 90°. Daí, pode-se concluir que, em um circuito RC série, a tensão da fonte

sempre estará atrasada da corrente de um ângulo maior que 0° e menor que 90°.


e R C CV RI V X I= = (2.26)

Onde V R e V C são os valores de pico das tensões sobre o resistor e sobre o capacitor,

respectivamente; R é a resistência elétrica do resistor; X C é a reatância capacitiva do capacitor e I é o

valor de pico da corrente.

Da Figura 2.10, usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que

( ) ( )

( )

2 2 2

2 22

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

R C

C

C

C

C

V V V

V RI X I

V R I X I

V R X I

V R X I

= +

= +

= +

= +

= +

(2.27)

Note na equação (2.27) que o valor da tensão da fonte é obtido multiplicando-se uma

constante pelo valor da corrente. Esta constante recebe o nome de “impedância” do circuito RC série

e é representada por Z. Assim, definindo-se

2 2CZ R X= + (2.28)


V ZI= (2.29)

Observe que a diferença, em termos de cálculo matemático, entre o circuito RL série e o RC

série está na forma de calcular a impedância. Utiliza-se a reatância indutiva no RL e a reatância

capacitiva no RC.

33

Para o fator de potência, tem-se

cosfp θ= (2.30)



cos RV RI

fpV ZI

Rfp

Z

θ= = =

=

(2.31)

Note que o fator de potência é calculado da mesma forma tanto no RL série como no RC

série. Entretanto, observando-se as Figuras 2.8 e 2.10, nota-se que o comportamento das duas redes

é completamente diferente. Enquanto no RL a tensão da fonte se adianta da corrente, no RC a tensão

da fonte se atrasa da corrente. Dessa forma, é necessário acrescentar-se mais uma informação ao

fator de potência de modo que ele traduza corretamente o circuito ao qual está associado. Esta

informação corresponde ao teor da rede elétrica, isto é, se o teor da rede é indutivo ou capacitivo. Isso

é feito acrescentando-se a expressão “ind” ou “cap” após o valor do fator de potência. Pode-se

também usar as expressões “atr” (atraso) ou “av” (avanço) após o fator de potência para caracterizar

o teor indutivo ou capacitivo, respectivamente.

2.3.4 Circuito RLC Série

Considere o circuito RLC série mostrado na Figura 2.11. O circuito está sendo alimentado

por uma tensão senoidal cujo valor de pico é V e cuja freqüência é f.

Figura 2.11. Circuito RLC série submetido à corrente alternada.

34

Recordando a Seção 2.2, tem-se que as relações entre a tensão nos terminais de cada

componente e a corrente no circuito série, em termos de valor de pico, são dadas por

R L L C CV RI V X I V X I= = = (2.32)

Como a corrente é a mesma para todos os componentes, o valor da tensão no indutor

poderá ser maior ou menor do que o valor da tensão no capacitor. Isso dependerá dos valores das

reatâncias indutiva e capacitiva. Assim, no circuito RLC série, é necessário fazer-se uma análise para

cada caso.

2.3.4.1 Caso 1: X L >>>> X C

Neste caso, tem-se que a magnitude da tensão no indutor V L é maior do que a magnitude da

tensão no capacitor V C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor,

indutor e capacitor, o diagrama fasorial das tensões para este caso pode ser visto na Figura 2.12.

I.

VL.

V.

.

VC.

VR.

Figura 2.12. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RLC série com X L > X C.

Observe na Figura 2.12 que os fasores tensão e L CV V& & estão ambos defasados de 90° em

relação à corrente. A diferença é que LV& está adiantado (característica indutiva) e CV& está atrasado

(característica capacitiva) em relação à corrente. Novamente, somando-se os fasores tensão , R LV V& &

e ,CV& obtém-se o fasor tensão da fonte.

Note que no triângulo retângulo resultante, o comprimento do cateto vertical corresponde à

diferença entre os valores de pico das tensões no indutor e no capacitor, isto é, V L − V C (V L é maior

que V C). Devido a isso, o teor do circuito se mantém indutivo, com a tensão da fonte adiantada em

relação à corrente.

35

Com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2.12, pode-se

escrever que

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

22 2

2 22

22 2 2

22 2 2 2

22 2 2

22

R L C

L C

L C

L C

L C

L C

V V V V

V RI X I X I

V R I X X I

V R I X X I

V R X X I

V R X X I

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

(2.33)

Observe que novamente a tensão da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante

pela corrente. Esta constante é a impedância do circuito RLC série. Assim, definindo

( )22

L CZ R X X= + − (2.34)

A equação (2.33) pode ser escrita mais simplesmente como

V ZI= (2.35)

Como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a impedância.

36

2.3.4.2 Caso 2: X C >>>> X L

Agora, tem-se que a magnitude da tensão no indutor V L é menor do que a magnitude da

tensão no capacitor V C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor,

indutor e capacitor, o diagrama fasorial das tensões para este caso pode ser visto na Figura 2.13.

I.

V.

.

VR.

VL.

VC.

Figura 2.13. Diagrama fasorial das tensões em um circuito RLC série com X C > X L.

Observe na Figura 2.13 que os fasores tensão e L CV V& & continuam ambos defasados de 90°

em relação à corrente. O fasor LV& continua adiantado e CV& continua atrasado em relação à corrente.

Novamente, somando-se os fasores tensão , e ,R L CV V V& & & obtém-se o fasor tensão da fonte.


diferença entre os valores de pico das tensões no capacitor e no indutor, isto é, V C − V L (V L é menor

que V C). Devido a isso, o teor do circuito torna-se capacitivo, com a tensão da fonte atrasada em



escrever que

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

22 2

2 22

22 2 2

22 2 2 2

22 2 2

22

R C L

C L

C L

C L

C L

C L

V V V V

V RI X I X I

V R I X X I

V R I X X I

V R X X I

V R X X I

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

(2.36)

37

Observe que novamente a tensão da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante

pela corrente. Esta constante é novamente a impedância do circuito RLC série. Assim, definindo

( )22

C LZ R X X= + − (2.37)


V ZI= (2.38)

como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a impedância.

2.3.4.3 Fator de Potência

Analisando os diagramas fasoriais mostrados nas Figuras 2.12 e 2.13, pode-se em ambos

concluir que o fator de potência do circuito RLC série pode ser obtido como

cos RV RI

fpV ZI

Rfp

Z

θ= = =

=

(2.39)

Observe que apesar do cálculo do valor numérico do fp ser idêntico independentemente de

X L ser maior ou menor que X C, o teor da rede é diferente. A colocação dos termos “ind” ou “cap” após

o valor é fundamental para a caracterização do teor do circuito. Pode-se resumir o fp de um circuito

RLC série da seguinte forma:

• X L > X C: teor indutivo, fp ind

• X L < X C: teor capacitivo, fp cap

• X L = X C: teor puramente resistivo, fp unitário

Note que, no caso em que X L = X C, o ângulo do fator de potência vale zero e, portanto,

cos 0° = 1, o que deixa os fasores tensão da fonte e corrente em fase. Neste caso, diz-se que o

circuito está em “ressonância” ou que possui teor puramente resistivo.

38

Exemplo 2.1: Um circuito RLC série é formado por um resistor de 50 Ω, um indutor de 150 mH e um

capacitor de 190 µF. A associação é alimentada por uma fonte de tensão senoidal com valor de pico

de 155,6 V e uma freqüência de 60 Hz. Determine:

a) O valor eficaz da corrente;

b) Os valores eficazes das quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor;

c) O fator de potência da associação;

d) A defasagem entre a tensão e a corrente da fonte.

Solução: Inicialmente, pode-se determinar o valor eficaz da tensão da fonte. Dessa forma, todas as

correntes calculadas já estarão em valor eficaz. Portanto, lembrando que, para uma onda senoidal, o

valor eficaz corresponde ao valor de pico dividido pela raiz quadrada de 2, tem-se

155,6

110 Vrms2 2m

ef

VV = = ≅

A seguir, calculam-se os valores das reatâncias indutiva e capacitiva e o valor da impedância

da rede.

32 2 60 150.10 56,55 LX fLπ π −= = × × = Ω

6

1 113,96

2 2 60 190.10CXfCπ π −

= = = Ω× ×

( ) ( )2 22 250 56,55 13,96 65,68 L CZ R X X= + − = + − = Ω

O valor da corrente é

110

1,68 Arms65,68

efVI

Z= = =

A queda de tensão em cada um dos componentes da associação vale

50 1,68 83,76 VrmsRV RI= = × =

56,55 1,68 94,73 VrmsL LV X I= = × =

13,96 1,68 23,39 VrmsC CV X I= = × =

39

Para determinar o fator de potência, observe que X L > X C, então o teor do circuito será

indutivo. Assim, tem-se que

50

0,761365,68

Rfp ind

Z= = =

Com o valor do fp da rede, pode-se determinar o ângulo de defasagem entre a tensão e a

corrente da fonte, que é ( ) ( )acos acos 0,7613 40,42 .fpθ = = = ° Observando que o fp possui teor

indutivo, pode-se afirmar que “a tensão da fonte está 40,42° adiantada em relação à corrente” ou que

“a corrente da fonte está 40,42° atrasada em relação à tensão”.

2.4 O Circuito RLC Paralelo

Nesta seção, inicialmente será realizado o estudo dos circuitos RL e RC paralelo e,

posteriormente, os três componentes serão reunidos para o estudo do comportamento do circuito

RLC paralelo geral.

2.4.1 Circuito RL Paralelo

Considere o circuito RL paralelo apresentado na Figura 2.14. A rede é alimentada por uma


Figura 2.14. Circuito RL paralelo submetido à corrente alternada.

40

Por se tratar de um circuito paralelo, sabe-se que a tensão é a mesma para todos os

componentes da rede. Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores

e indutores (Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e

tomando a tensão da fonte como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se

construir o diagrama fasorial das correntes, o qual é mostrado na Figura 2.15.

Figura 2.15. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RL paralelo.

Observe na Figura 2.15 que os fasores e RI V& & estão em fase (característica de um circuito

resistivo) e que o fasor LI& está 90° atrasado em relação ao fasor V& (característica de um circuito

indutivo). A soma dos fasores e R LI I& & resulta no fasor corrente da fonte I& (característica de uma

associação em paralelo). Note ainda que o fasor corrente da fonte continua atrasado em relação à

tensão, porém de um ângulo inferior a 90°. Daí, pode-se concluir que, em um circuito RL paralelo, a

corrente da fonte sempre estará atrasada da tensão de um ângulo maior que 0° e menor que 90°.


e R L LI gV I b V= = (2.40)

Onde I R e I L são os valores de pico das correntes no resistor e no indutor, respectivamente; g é a

condutância do resistor; b L é a susceptância indutiva do indutor e V é o valor de pico da tensão.

Observando a Figura 2.15, nota-se que o diagrama fasorial das correntes resulta em um

triângulo retângulo, onde o comprimento de cada um dos lados corresponde ao valor de pico da

respectiva corrente.

41

Portanto, utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se que

( ) ( )

( )

2 2 2

2 22

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

R L

L

L

L

L

I I I

I gV b V

I g V b V

I g b V

I g b V

= +

= +

= +

= +

= +

(2.41)

Note na equação (2.41) que o valor da corrente da fonte é obtido multiplicando-se uma

constante pelo valor da tensão. Esta constante recebe o nome de “admitância” do circuito RL paralelo

e é representada por Y. Assim, definindo-se

2 2LY g b= + (2.42)


I YV= (2.43)

No Sistema Internacional de Unidades, a admitância é medida em Siemens (S).


2.15, pode-se escrever que.

cos RI gV

fpI YV

gfp

Y

θ= = =

=

(2.44)

42

2.4.2 Circuito RC Paralelo

Considere o circuito RC paralelo mostrado na Figura 2.16. A rede é alimentada por uma


Figura 2.16. Circuito RC paralelo submetido à corrente alternada.

Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores e capacitores

(Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e tomando a

tensão como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se obter o diagrama fasorial

das correntes mostrado na Figura 2.17.

Figura 2.17. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo.

Observe na Figura 2.17 que os fasores e RI V& & estão em fase (característica de um circuito

resistivo) e que o fasor CI& está 90° adiantado em relação ao fasor V& (característica de um circuito

capacitivo). A soma dos fasores e R CI I& & resulta no fasor corrente da fonte I& (característica de um

circuito paralelo). Note ainda que o fasor corrente da fonte continua atrasado em relação à tensão,

porém de um ângulo inferior a 90°. Daí, pode-se concluir que, em um circuito RC paralelo, a corrente

da fonte sempre estará adiantada da tensão de um ângulo maior que 0° e menor que 90°.


e R C CI gV I b V= = (2.45)

Onde I R e I C são os valores de pico das correntes no resistor e no capacitor, respectivamente; g é a

condutância do resistor; b C é a susceptância capacitiva do capacitor e V é o valor de pico da tensão.

43

Da Figura 2.17, usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que

( ) ( )

( )

2 2 2

2 22

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

R C

C

C

C

C

I I I

I gV b V

I g V b V

I g b V

I g b V

= +

= +

= +

= +

= +

(2.46)

Note na equação (2.46) que o valor da corrente da fonte é obtido multiplicando-se uma

constante pelo valor da tensão. Esta constante recebe o nome de “admitância” do circuito RC paralelo

e é representada por Y. Assim, definindo-se

2 2CY g b= + (2.47)


I YV= (2.48)

Observe que a diferença, em termos de cálculo matemático, entre o circuito RL paralelo e o

RC paralelo está na forma de calcular a admitância. Utiliza-se a susceptância indutiva no RL e a

susceptância capacitiva no RC.

Para o fator de potência, tem-se

cosfp θ= (2.49)



cos RI gV

fpI YV

gfp

Y

θ= = =

=

(2.50)

Note que o fator de potência é calculado da mesma forma tanto no RL paralelo como no RC

paralelo. Portanto, também é necessário acrescentar-se mais uma informação ao fator de potência de

modo que ele traduza corretamente o circuito ao qual está associado. Esta informação corresponde

ao teor da rede elétrica. Isso é feito da mesma forma que no circuito RLC série, isto é, acrescentando-

se a expressão “ind” ou “cap” após o valor do fator de potência.

44

2.4.3 Circuito RLC Paralelo

Considere o circuito RLC paralelo mostrado na Figura 2.18. O circuito está sendo alimentado

por uma tensão senoidal cujo valor de pico é V e cuja freqüência é f.

Figura 2.18. Circuito RLC paralelo submetido à corrente alternada.

Recordando a Seção 2.2, tem-se que as relações entre a corrente em cada componente e a

tensão no circuito paralelo, em termos de valor de pico, são dadas por

R L L C CI gV I b V I b V= = = (2.51)

Como a tensão é a mesma para todos os componentes, o valor da corrente no indutor

poderá ser maior ou menor do que o valor da corrente no capacitor. Isso dependerá dos valores das

susceptâncias indutiva e capacitiva. Assim, no circuito RLC paralelo, é necessário fazer-se uma

análise para cada caso.

2.4.3.1 Caso 1: b L >>>> b C

Neste caso, tem-se que a magnitude da corrente no indutor I L é maior do que a magnitude da

corrente no capacitor I C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor,

indutor e capacitor, o diagrama fasorial das correntes para este caso pode ser visto na Figura 2.19.

Figura 2.19. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RLC paralelo com b L > b C.

45

Observe na Figura 2.19 que os fasores corrente e L CI I& & estão ambos defasados de 90° em

relação à tensão. A diferença é que LI& está atrasado (característica indutiva) e CI

& está adiantado

(característica capacitiva) em relação à tensão. Novamente, somando-se os fasores tensão , R LI I& &

e ,CI& obtém-se o fasor corrente da fonte.


diferença entre os valores de pico das correntes no indutor e no capacitor, isto é, I L − I C (I L é maior

que I C). Devido a isso, o teor do circuito se mantém indutivo, com a corrente da fonte atrasada em

relação à tensão.


escrever que

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

22 2

2 22

22 2 2

22 2 2 2

22 2 2

22

R L C

L C

L C

L C

L C

L C

I I I I

I gV b V b V

I g V b b V

I g V b b V

I g b b V

I g b b V

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

(2.52)

Observe que novamente a corrente da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante

pela tensão. Esta constante é a admitância do circuito RLC paralelo. Assim, definindo

( )22

L CY g b b= + − (2.53)


I YV= (2.54)

Como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a admitância.

46

2.4.3.2 Caso 2: b C >>>> b L

Neste caso, tem-se que a magnitude da corrente no indutor I L é menor do que a magnitude

da corrente no capacitor I C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes

resistor, indutor e capacitor, o diagrama fasorial das correntes para este caso pode ser visto na Figura

2.20.

Figura 2.20. Diagrama fasorial das correntes em um circuito RLC paralelo com b C > b L.

Observe na Figura 2.20 que os fasores tensão e L CI I& & continuam ambos defasados de 90°

em relação à tensão. O fasor LI& continua atrasado e CI

& continua adiantado em relação à tensão.

Novamente, somando-se os fasores tensão , e ,R L CI I I& & & obtém-se o fasor corrente da fonte.


diferença entre os valores de pico das correntes no capacitor e no indutor, isto é, I C − I L (I L é menor

que I C). Devido a isso, o teor do circuito torna-se capacitivo, com a tensão da fonte atrasada em


Com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2.20, tem-se que

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

22 2

2 22

22 2 2

22 2 2 2

22 2 2

22

R C L

C L

C L

C L

C L

C L

I I I I

I gV b V b V

I g V b b V

I g V b b V

I g b b V

I g b b V

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

= + −

(2.55)

47

Observe que novamente a corrente da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante

pela tensão. Esta constante é novamente a admitância do circuito RLC paralelo. Assim, definindo

( )22

C LY g b b= + − (2.56)


I YV= (2.57)

Como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a admitância.

2.4.3.3 Fator de Potência

Analisando os diagramas fasoriais mostrados nas Figuras 2.19 e 2.20, pode-se em ambos

concluir que o fator de potência do circuito RLC paralelo pode ser obtido como

cos RI gV

fpI YV

gfp

Y

θ= = =

=

(2.58)

Observe que apesar do cálculo do valor numérico do fp ser idêntico independentemente de

b L ser maior ou menor que b C, o teor da rede é diferente. A colocação dos termos “ind” ou “cap” após

o valor é fundamental para a caracterização do teor do circuito. Pode-se resumir o fp de um circuito

RLC paralelo da seguinte forma:

• b L > b C: teor indutivo, fp ind

• b L < b C: teor capacitivo, fp cap

• b L = b C: teor puramente resistivo, fp unitário

Note que, no caso em que b L = b C, o ângulo do fator de potência vale zero e, portanto,

cos 0° = 1, o que deixa os fasores tensão da fonte e corrente em fase. Neste caso, diz-se que o

circuito está em “ressonância” ou que possui teor puramente resistivo.

48

Exemplo 2.2: Um resistor de 2 Ω, um indutor de 7 mH e um capacitor de 2,5 mF estão

associados em paralelo. O conjunto está submetido a uma tensão senoidal com valor de pico igual a

155,6 V e freqüência de 60 Hz. Calcule:

a) Os valores eficazes das correntes no resistor, no indutor e no capacitor;

b) O valor eficaz da corrente da fonte;

c) O fator de potência da associação;

d) A defasagem entre a tensão e a corrente da fonte.

Solução: Pode-se, inicialmente, determinar o valor eficaz da tensão da fonte, que é

155,6

110 Vrms2 2m

ef

VV = = ≅

A seguir, calculam-se os valores da condutância do resistor, da susceptância indutiva, da

susceptância capacitiva e da admitância da rede.

1 1

0,5 S2

gR

= = =

3

1 10,379 S

2 2 60 7.10LbfLπ π −

= = =× ×

32 2 60 2,5.10 0,943 SCb fCπ π −= = × × =

( ) ( ) ( )2 2 22 0,5 0,943 0,379 0,753 SC LY g b b= + − = + − =

Com os valores das admitâncias, podem-se calcular as correntes no circuito, que são

0,5 110 55 ArmsRI gV= = × =

0,379 110 41,7 ArmsL LI b V= = × =

0,943 110 103,7 ArmsC CI b V= = × =

0,753 110 82,9 ArmsI YV= = × =

Note que b C é maior que b L, portanto o circuito possui teor capacitivo. Assim, o fator de

potência da associação vale

0,5

0,66370,753

gfp cap

Y= = =

49

Com o valor do fp da associação, pode-se determinar o ângulo de defasagem entre a tensão

e a corrente da fonte. Tem-se, então, ( ) ( )acos acos 0,6637 48,42 .fpθ = = = ° Como o teor da rede é

capacitivo, pode-se dizer que “a corrente da fonte está 48,42° adiantada em relação à tensão” ou que

“a tensão da fonte está 48,42° atrasada em relação à corrente”.

2.5 Síntese dos Circuitos RLC

Pelo estudo realizado, observa-se que, em se tratando do circuito série, é mais indicado

trabalhar-se com as impedâncias dos componentes (resistência elétrica, reatância indutiva e reatância

capacitiva). Dessa forma, como a corrente é a mesma em todos os componentes, as tensões no

circuito podem ser obtidas pelo produto de uma constante pela corrente. Esta constante será R, X L, X C

ou Z dependendo de qual tensão se deseje calcular (V R, V L, V C ou V, respectivamente).

No caso da associação em paralelo, é aconselhável utilizar-se os valores das admitâncias

dos componentes (condutância, susceptância indutiva e susceptância capacitiva). Assim, as correntes

no circuito podem ser determinadas pelo produto de uma constante pela tensão. A constante utilizada

(g, b L, b C ou Y) depende de qual corrente se deseja determinar (I R, I L, I C ou I, respectivamente).

Por outro lado, fazendo-se uma comparação entre as equações (2.38) e (2.57), pode-se

concluir que

1

ZY

= (2.59)

Ou seja, a impedância de uma rede elétrica é o inverso de sua admitância, e vice-versa.

Em relação ao fator de potência, observou-se que é importante colocar após o seu valor

numérico uma informação que caracterize o teor do circuito (ind ou cap). No caso da associação

série, esta informação é tomada com base na comparação dos valores das reatâncias indutiva e

capacitiva (X L e X C). Por outro lado, no circuito paralelo, a informação é baseada nos valores das

susceptâncias indutiva e capacitiva (b L e b C).

50


2.6.1 Valores de Tensões e Corrente em um Circuito RLC Série

1. No circuito mostrado na Figura 2.21, calcule os valores da corrente e das quedas de tensão no

resistor, no indutor e no capacitor. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz.



corretamente o amperímetro para a leitura da corrente e os voltímetros para a leitura das tensões

indicadas no item 1. A tela do programa está apresentada na Figura 2.22.


3. Analise e compare os resultados dos cálculo e da simulação.

51

2.6.2 Valores de correntes em um circuito RLC paralelo

1. No circuito mostrado na Figura 2.23, calcule os valores das corrente no resistor, no indutor, no

capacitor e na fonte. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz.



corretamente os amperímetros para a leitura das correntes indicadas no item 1. A tela do programa

está apresentada na Figura 2.24.


3. Analise e compare os resultados dos cálculo e da simulação.

52

III - POTÊNCIAS EM CORRENTE ALTERNADA

3.1 Introdução

Em corrente contínua, tem-se que a potência elétrica em um circuito é obtida pelo produto da

tensão pela corrente. Lembre que os valores tanto da tensão como da corrente são independentes do

tempo, isto é, são constantes. Assim, existe somente um valor para a potência.

Por outro lado, quando se trabalha em corrente alternada, tem-se que as ondas de tensão e

corrente variam o seu valor em função do tempo e ainda podem estar defasadas entre si, dependendo

do teor da rede elétrica. Dessa forma, o produto da tensão pela corrente, neste caso, irá resultar em

uma onda de potência que também será variável no tempo. Sabe-se também que as ondas de tensão

e corrente alternadas podem ser especificadas através de seus valores eficazes. Assim, considerando

valores eficazes para a tensão e a corrente e a defasagem entre elas, pode-se determinar três tipos

de potência em circuitos de corrente alternada:

• Potência ativa ou potência média;

• Potência reativa;

• Potência aparente.

Neste capítulo, será estudada a forma matemática de como determinar cada um desses três

tipos de potência.

3.2 Potência Instantânea

Sabe-se que tanto a tensão quanto à corrente em um circuito de corrente alternada estão

continuamente variando os seus valores. Como a potência é obtida pelo produto entre tensão e

corrente, este valor também estará continuamente variando. Esse valor de potência obtido pelo

produto entre a tensão instantânea e a corrente instantânea é chamado “potência instantânea”.

Assim, matematicamente, tem-se que

( ) ( ) ( )p t v t i t= (3.1)

53

No Sistema Internacional de Unidades, a potência instantânea é medida em Watts (W).

Por outro lado, sabe-se também que a tensão e a corrente podem possuir defasagem em

circuitos de corrente alternada. Dessa forma, torna-se interessante a análise da potência instantânea

nos circuitos puros.

3.2.1 Circuito Resistivo Puro

No circuito resistivo puro, tensão e corrente sempre estão em fase. Na Figura 3.1 estão

mostradas as ondas de tensão, corrente e potência em um resistor típico.

Figura 3.1. Tensão, corrente e potência em um resistor.

Observando a Figura 3.1, duas características importantes da potência instantânea em um

resistor podem ser salientadas:

• A onda de potência apresenta o dobro da freqüência das ondas de tensão e corrente. Note

que, enquanto a tensão e a corrente completam um ciclo, a onda de potência realiza dois

ciclos.

• Para qualquer instante de tempo, a onda de potência sempre apresenta valores positivos.

Isto significa que, em um resistor, a potência sempre está sendo consumida pelo

elemento. Esta potência absorvida é dissipada na forma de calor (efeito Joule).

54

A segunda característica discutida acima, também pode ser verificada pelas equações

matemáticas que descrevem a potência em um resistor, isto é,

2

2 ( )( ) ( )

v tp t R i t

R= = (3.2)

Da equação (3.2), nota-se que, independentemente dos valores de tensão e corrente no

resistor, o valor da potência sempre será positivo, pois a resistência elétrica sempre é positiva e o

quadrado de qualquer valor numérico também o será.

3.2.2 Circuitos Indutivo e Capacitivo Puros

Em um indutor ou em um capacitor, tensão e corrente sempre estão defasadas entre si de

90°. No circuito indutivo puro, a tensão se adianta da corrente, e no circuito capacitivo, a tensão se

atrasa da corrente. Nas Figuras 3.2 e 3.3 estão mostradas as formas de onda de tensão, corrente e

potência em um indutor e em um capacitor, respectivamente.

Figura 3.2. Tensão, corrente e potência em um indutor.

55

Figura 3.3. Tensão, corrente e potência em um capacitor.

Das Figuras 3.2 e 3.3, observa-se que, nestes casos, também a potência instantânea possui

o dobro da freqüência das ondas de tensão e corrente. Entretanto, note que a potência, em ambos os

casos, apresenta tanto valores positivos quanto negativos. Isto quer dizer que, em determinados

intervalos de tempo, os indutores ou os capacitores estão consumindo potência (instantes em que a

potência é positiva) e em outros intervalos, estão fornecendo ou devolvendo potência para a rede

elétrica (instantes em que a potência é negativa). Esta característica reforça o que já se sabe sobre

indutores e capacitores. Estes são componentes elétricos que possuem a propriedade de armazenar

energia elétrica e, posteriormente, devolver esta energia armazenada para o circuito elétrico.

Da análise das Figuras 3.2 e 3.3, pode-se observar que toda a energia armazenada é

posteriormente devolvida para a rede elétrica. Isto significa que indutores e capacitores não

consomem potência elétrica. Entretanto, observa-se um fluxo de energia entre eles e a rede. Sabe-se

que se há um fluxo de energia circulando no circuito, certamente há um fluxo de potência associado.

Nas próximas seções será estudado este tipo de potência que está associada aos indutores e

capacitores.

56

3.3 Potência Média ou Potência Ativa

A potência instantânea embora forneça importantes subsídios para o estudo do

comportamento elétrico de circuitos, não oferece informações relevantes do ponto de vista numérico,

pois o seu valor está continuamente variando. Para tal, define-se uma outra potência chamada

“potência média” ou “potência ativa” e simbolizada por P. A potência ativa é a responsável pela

produção de trabalho no circuito elétrico. Esta é definida com base em um período da onda de

potência e o seu valor numérico corresponde ao valor médio da potência durante este período. Da

Matemática, sabe-se que o valor médio de uma grandeza periódica é a área encerrada pela onda

dividida pelo valor do período. No caso de grandezas alternadas senoidais, a potência ativa pode ser

calculada por

1

cos2 m mP V I θ= (3.3)

Onde V m e I m são os valores de pico da tensão e da corrente, respectivamente, e o ângulo θ é o

ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente.

No Sistema Internacional de Unidades, a potência ativa é medida em Watts (W).

A equação (3.3) também pode ser expressa em termos de valores eficazes. Neste caso, tem-

se que

1 1 1cos 2 2 cos 2 cos

2 2 2

cos

m m ef ef ef ef

ef ef

P V I V I V I

P V I

θ θ θ

θ

= = =

=

(3.4)

No caso de um resistor puro, recordando que o ângulo de defasagem entre tensão e corrente

é zero, tem-se que

cos0 1R ef ef ef ef ef efP V I V I V I= ° = × = (3.5)

Ou ainda usando a relação matemática entre tensão e corrente em um resistor, pode-se escrever a

equação (3.5) como

2

2 efR ef

VP RI

R= = (3.6)

57

Por outro lado, em indutores e capacitores, o ângulo de defasagem entre tensão e corrente é

90°. Portanto, para elementos com reatância, a potência ativa vale

cos90

0

X ef ef

X

P V I

P

= °

= (3.7)

A equação (3.7) reforça o que já se tinha concluído pela análise das Figuras 3.2 e 3.3. A

potência consumida por um indutor ou por capacitor é zero, visto que estes componentes armazenam

energia durante um intervalo de tempo e a devolvem para o circuito no intervalo seguinte. Dessa

forma, o valor médio de potência consumida é zero.

3.4 Potência Reativa

A potência reativa é a potência associada aos elementos com reatância, isto é, indutores e

capacitores. Ela quantifica o fluxo de energia elétrica que é trocada entre estes elementos e o circuito

elétrico. Utiliza-se o símbolo Q para a potência reativa e esta pode ser calculada como

1

sen2 m mQ V I θ= (3.8)

Embora dimensionalmente as unidades de potência ativa e reativa sejam as mesmas, no

Sistema Internacional de Unidades é utilizado o Volt Ampère reativo (Var) para se medir potências

reativas.

A equação (3.8) também pode ser expressa em termos de valores eficazes das grandezas

tensão e corrente, resultando em

senef efQ V I θ= (3.9)

Observe que um resistor não consome potência reativa, visto que o seno de zero é zero.

Por outro lado, nos elementos reativos tem-se que o seno de 90° vale 1, e, portanto a

potência reativa pode ser expressa como

X ef efQ V I= (3.10)

58

Recordando as relações matemáticas entre a tensão e a corrente em indutores e

capacitores, pode-se escrever a equação (3.10) especificamente para indutores e capacitores como

22

22

efL L ef

L

efC C ef

C

VQ X I

X

VQ X I

X

= =

= =

(3.11)

Devido à existência de dois tipos de potências reativas: indutivas e capacitivas, é comum

após a unidade de Q colocar-se, semelhantemente ao fator de potência, as expressões “ind” ou “cap”

de modo a caracterizar o tipo de potência reativa envolvida.

3.5 Potência Aparente

Em circuitos onde exista a presença tanto de resistores como de indutores e capacitores, há

o consumo dos dois tipos de potências (ativa e reativa). Observe que o ângulo de defasagem entre

tensão e corrente, neste tipo de circuito, é maior que zero e menor que 90°. Nestes casos, tem-se,

então, um terceiro tipo de potência associada à rede elétrica. Esta relaciona os consumos de

potências ativa e reativa no circuito. Ela é chamada “potência aparente” e é simbolizada por N. A

potência aparente em circuitos de grandezas alternadas senoidais pode ser calculada por

ef efN V I= (3.12)

Dimensionalmente, todas as três potências possuem a mesma unidade. Porém, para evitar

confusões, no Sistema Internacional de Unidades usa-se o Volt Ampère (VA) para se medir a potência

aparente.

A partir das equações (3.12), (3.4) e (3.9), pode-se escrever que

cos

sen

P N P fp

Q N

θ

θ

= =

= (3.13)

59

3.6 Triângulo de Potências

O triângulo de potências é uma forma gráfica de se interpretar as potências presentes em um

circuito elétrico de corrente alternada. Observando a equação (3.13), pode-se compreender que as

potências ativa, reativa e aparente compõem um triângulo retângulo no qual as potências ativa e

reativa são os catetos e a potência aparente é a hipotenusa. Por convenção, desenha-se as potências

reativas indutivas para cima e as potências reativas capacitivas para baixo. Na Figura 3.4 está

mostrado um triângulo de potências para uma carga com teor indutivo e na Figura 3.5, para uma

carga com teor capacitivo.

P

Q

N

P

Q

N

Figura 3.4. Triângulo de potências para uma carga com teor indutivo

Figura 3.5. Triângulo de potências para uma carga com teor capacitivo

Utilizando o teorema de Pitágoras nas Figuras 3.4 e 3.5, tem-se que

2 2 2N P Q= + (3.14)

Outra relação matemática que será importante mais tarde é

tan tanQ

Q PP

θ θ= → = (3.15)

Do ponto de vista do fator de potência, analisando as Figuras 3.4 e 3.5, pode-se escrever

que

cosP

fpN

θ= = (3.16)

60

Exemplo 3.1: As cargas de uma determinada indústria podem ser agrupadas em quatro grupos,

assim especificadas:

Carga A: 18,2 kW, fp = 0,92 ind

Carga B: 37 kVA, 18 kVAr ind

Carga C: 26 kVA, fp = 0,77 ind

Carga D: 3 kVAr cap, fp = 0,98 cap

Sabendo que a indústria é abastecida com uma tensão de 220 Vrms / 60 Hz e que todas as cargas

estão funcionando simultaneamente, calcule para a indústria:

a) O triângulo de potências;

b) A corrente consumida;

c) O fator de potência.

Solução: Os cálculos são iniciados pela determinação das potências ativa e reativa individuais para

cada grupo de cargas. Assim, tem-se que

Carga A:

( ) ( )

( )

18,2 kW

acos acos 0,92 23,07

tan 18,2 tan 23,07 18,2 0,426 7,8 kVAr

A

A A

A A A

P

fp

Q P ind

θ

θ

=

= = = °

= = × ° = × =

Carga B:

2 2 2 237 18 32,3 kW

18 kVAr

B B B

B

P N Q

Q ind

= − = − =

=

Carga C:

2 2 2 2

26 0,77 20,0 kW

26 20 16,6 kVAr

C c C

C C C

P N fp

Q N P ind

= = × =

= − = − =

Carga D:

( ) ( )

( )

acos acos 0,98 11,48

314,8 kW

tan tan 11,48

3 kVAr

D D

DD

D

d

fp

QP

Q cap

θ

θ

= = = °

= = =°

=

61

Com as potências ativas e reativas individuais de cada carga, pode-se determinar as

potências totais consumidas pela indústria, ou seja,

18,2 32,3 20,0 14,8 85,3 kW

7,8 18 16,6 3 39,3 kVAr

t A B C D

t A B C D

P P P P P

Q Q Q Q Q ind

= + + + = + + + =

= + + − = + + − =

Observe no cálculo da potência reativa total que o teor da potência reativa deve ser

considerado no cálculo. Note que a carga D é a única que possui teor capacitivo. Assim, o valor de

sua potência reativa foi subtraído da soma das demais que possuem teor indutivo.

Com os valores totais de potências ativa e reativa, determina-se a potência aparente

consumida pela indústria.

( ) ( )2 22 2 85,3 39,3 94,0 kVAt t tN P Q= + = + =

Conhecendo-se os valores da potência aparente total e da tensão eficaz da rede, o valor da

corrente consumida pela indústria é

394,0.10

427,1 Arms220

t

ef

NI

V= = =

E, finalmente, sabendo que o teor da potência reativa total é indutivo, o fator de potência das

cargas combinadas é

85,3

0,9081 94,0

tt

t

Pfp ind

N= = =

62

3.7 Fator de Potência

Nesta seção será estudada a influência do fator de potência em um circuito elétrico de

corrente alternada. A sua influência no valor da corrente e no valor da potência aparente serão

analisados.

Considere que se necessite de um determinado equipamento elétrico que deva ter uma

potência ativa de 1.000 W e que, por simplicidade de raciocínio, irá ser ligado em uma rede elétrica de

200 Vrms. Considere também que, no mercado, existam dois equipamentos disponíveis. A diferença

entre eles está no fator de potência: o equipamento “A” possui fator de potência unitário e o “B”, fator

de potência 0,5 ind.

3.7.1 Análise das Correntes

A corrente consumida pelo equipamento A será de

1000

5 Arms200 1,0

AA

ef A

PI

V fp= = =

×

E para o equipamento B de

1000

10 Arms200 0,5

BB

ef B

PI

V fp= = =

×

Com os valores de corrente consumidas pelos dois equipamentos, pode-se observar que o

equipamento B, devido ao seu baixo fator de potência, consome o dobro da corrente que o

equipamento A. Assim, terá que ser construída uma rede elétrica com fios mais grossos para o

equipamento B. Isto implicará necessariamente em uma rede elétrica mais cara do ponto de vista

financeiro, pois fios mais grossos custam mais caro.

Dessa forma, pode-se concluir que, quanto maior o fator de potência do equipamento

(lembre que o maior fp possível é 1,0, pois é o maior valor da função co-seno), menor será a corrente

consumida, menores custos de construção da rede elétrica de alimentação e, portanto, do ponto de

vista do proprietário da empresa, se torna a melhor opção em termos de investimento.

63

3.7.2 Análise da Potência Aparente

A potência aparente consumida pelo equipamento A é

1000

1.000 VA1,0

AA

A

PN

fp= = =

E a do equipamento B é

1000

2.000 VA0,5

BB

B

PN

fp= = =

Observe que o equipamento B, para funcionar adeqüadamente, necessita ser alimentado

com uma potência de 2.000 VA, ou seja, o dobro da potência do equipamento A. Como há um

contrato de compra e venda de energia elétrica entre a empresa e a concessionária de energia

elétrica da região, cabe à concessionária se responsabilizar pela geração da potência aparente

necessária para o correto funcionamento dos equipamentos da empresa. Dessa forma, a

concessionária terá que gerar o dobro de potência se a empresa optar pela aquisição do equipamento

B. Isto também significa que a concessionária terá que gastar o dobro de energia primária na geração

desta energia elétrica, diminuindo consideravelmente os seus ganhos. Assim, as concessionárias de

energia não podem ficar a mercê das indústrias em termos da carga instalada, ou seja, em termos do

fator de potência.

No caso brasileiro, as concessionárias locais de energia elétrica, quando celebram contratos

de compra e venda de energia, incluem uma cláusula na qual fica estipulado o menor fator de

potência que as empresas podem apresentar sem serem multadas. Atualmente, o mínimo fator de

potência admissível pelas concessionárias é de 0,92. Fatores de potência abaixo deste valor

acarretam multa para a empresa.

Assim, pode-se concluir que, do ponto de vista da potência aparente consumida, se uma

empresa optar por adquirir equipamentos com fatores de potência mais altos, isto é benéfico tanto

para a concessionária de energia quanto para a própria empresa. Para a concessionária, pois ela

pode produzir menores quantidades de potência para atender adeqüadamente às cargas instaladas e,

para a empresa, pois esta não precisa pagar multa por baixo fator de potência.

64

3.7.2 Resumo sobre Fator de Potência

Das observações anteriormente realizadas, pode-se concluir que, tanto do ponto de vista da

empresa como da concessionária de energia elétrica local, é importante que as indústrias apresentem

um fator de potência o mais próximo possível da unidade. Fatores de potência elevados fazem com

que:

• Se tenha menores valores de corrente circulando pelos circuitos elétricos;

• Haja menor consumo de potência aparente.

Finalmente, considera-se importante salientar que as duas características acima citadas não

são independentes uma da outra. Um fator de potência alto faz com que o valor da corrente diminua,

o que implica em que a potência aparente também diminua.

3.8 Correção do Fator de Potência

Como praticamente 100% das indústrias se caracterizam por possui fator de potência

indutivo, pois utilizam um grande número de motores elétricos e reatores para lâmpadas gasosos, em

alguns casos não é possível que as mesmas apresentem fator de potência igual ou superior a 0,92.

Nestes casos, é necessário que a empresa se responsabilize pela correção do seu fator de potência

de modo a evitar o pagamento de multas. Corrigir o fator de potência significa aumentar o seu valor.

Recordando que as empresas apresentam fator de potência com teor indutivo, na prática,

para que se possa aumentar o valor do fp é necessário a colocação de bancos capacitivos em

paralelo com a instalação elétrica. Dessa forma, uma parcela da potência reativa indutiva necessária

para o funcionamento adequado da empresa passa a ser de responsabilidade da própria empresa

(através do banco de capacitores) ao invés de ser da concessionária. Assim, evita-se o processo de

multa.

65

Para se compreender melhor o esquema de correção do fator de potência, nas Figura 3.6 e

3.7 são apresentados, respectivamente, um triângulo de potências hipotético para uma empresa e o

triângulo de potências resultante com a instalação de um banco de capacitores em paralelo com a

instalação elétrica.

Figura 3.6. Triângulo de potências inicial da empresa. Figura 3.7. Triângulo de potências resultante com a instalação de um capacitor.

Da Figura 3.6, observa-se que a instalação elétrica inicialmente apresenta teor indutivo. O

seu triângulo de potências é formado pelas potências P i, Q i e N i. O seu fator de potência corresponde

ao cos .iθ

Por outro lado, na Figura 3.7, nota-se que, com a inclusão do capacitor em paralelo, o cateto

vertical do triângulo retângulo resultante diminui para Q f. O capacitor passa a fornecer uma parcela da

potência reativa consumida, que neste caso é Q C. Observe que o teor final da rede elétrica continua

sendo indutivo, porém o ângulo do fator de potência diminui para θ f. Com a diminuição do ângulo do

fator de potência, o seu co-seno aumenta e, portanto, o fator de potência também aumenta (lembre

que o fator de potência é o co-seno do ângulo do fator de potência).

Para se realizar os cálculos matemáticos a fim de especificar o valor do capacitor a ser

colocado para corrigir o fator de potência, deve-se inicialmente conhecer o triângulo de potências

inicial da empresa (P i, Q i e N i), a tensão de alimentação e a freqüência da rede elétrica e o valor para

o qual se deseja corrigir o fator de potência (fp f). Um capacitor não consome potência ativa (Seção

3.3), portanto, ao colocá-lo na rede elétrica, não haverá modificação no consumo de potência ativa, ou

seja, P f = P i.

Conhecendo-se o valor do fator de potência final fp f, é possível determinar a potência reativa

final da rede da seguinte forma

( )acos

tan

f f

f f f

fp

Q P

θ

θ

=

= (3.17)

66

Com as potências reativas inicial e final, pode-se determinar o valor da potência reativa a ser

fornecida pelo capacitor de modo a corrigir o fp para o valor desejado. Portanto, tem-se

C i fQ Q Q= − (3.18)

Lembrando que um capacitor não consome potência ativa, a reatância capacitiva do

capacitor pode ser determinada como

2

efC

C

VX

Q= (3.19)

E, recordando do cálculo da reatância capacitiva em função da freqüência e da capacitância,

pode-se escrever que

1

2 C

CfXπ

= (3.20)

A equação (3.20) fornece o valor da capacitância do capacitor em Farad (F). Substituindo as

equações (3.19) e (3.18) na equação (3.20), pode-se obter uma expressão mais compacta para o

cálculo da capacitância do capacitor necessária para realizar a correção do fator de potência. Dessa

forma, tem-se que

62

102

i f

ef

Q QC

fVπ

−= ⋅ (3.21)

A equação (3.21) fornece o valor da capacitância em µF.

Exemplo 3.2: Deseja-se corrigir o fator de potência da indústria do Exemplo 3.1 para 0,93 ind quando

todas as cargas estão funcionando simultaneamente. A correção será realizada através da colocação

de um capacitor em paralelo com as cargas. Pede-se para determinar o valor da capacitância

necessária para se obter o fator de potência desejado.

Solução: Inicialmente, do Exemplo 3.1, tem-se o triângulo de potências original, que é

85,3 kW 39,3 kVAr 94,0 kVAi i iP Q ind N= = =

Sabe-se também, do Exemplo 3.1, que a tensão de alimentação da indústria é 220 Vrms

numa freqüência de 60 Hz.

67

O problema propõe corrigir o fator de potência de 0,9081 ind para 0,93 ind. Assim, tem-se

que fp f = 0,93 ind. Então, pode-se calcular o valor da potência reativa final da instalação após a

colocação do capacitor, que é

( )( ) ( )( )tan tan acos 85,3 tan acos 0,93 33,7 kVAr f f f f fQ P P fp indθ= = = × =

De posse deste valor, pode-se, então, determinar o valor da capacitância usando a equação

(3.21). Isto fornece

( ) 3

62

39,3 33,7 .1010 308,1 F

2 60 220C

π

−= ⋅ = µ

× ×

Exemplo 3.3: Com a instalação do capacitor especificado no Exemplo 3.2, calcule:

a) O novo valor da corrente consumida pela indústria;

b) O novo valor da potência aparente da indústria.

Solução: Note que a colocação do capacitor não altera a potência ativa. Portanto, dos Exemplos 3.1

e 3.2, tem-se os seguintes valores

85,3 kW 33,7 kVAr f fP Q ind= =

Assim, o novo valor de potência aparente é

( ) ( )2 22 2 85,3 33,7 91,7 kVAf f fN P Q= + = + =

E o novo valor de corrente consumida pela indústria é

391,7.10

417,0 Arms220

f

ef

NI

V= = =

68


3.9.1 Uso do Wattímetro para Medição de Potência Ativa

1. No circuito mostrado na Figura 3.8, calcule os valores das corrente, da tensão e da potência

dissipada no resistor. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz.


2. No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente ao circuito da Figura 3.8 e introduza

corretamente o wattímetro para a leitura da potência dissipada no resistor, o voltímetro para a

leitura da tensão e o amperímetro para a leitura da corrente. A tela do programa está mostrada na

Figura 3.9.


3. Analise e compare os resultados dos cálculos com os da simulação.

69

IV - CIRCUITOS TRIFÁSICOS

4.1 Introdução

O sistema trifásico é a forma mais comum de geração, transmissão e distribuição de energia

elétrica em corrente alternada. Este sistema incorpora o uso de três ondas senoidais equilibradas,

defasadas de 120 entre si, de modo a balancear o sistema, tornando-o muito mais eficiente ao se

comparar com sistemas monofásicos isolados. As máquinas elétricas trifásicas tendem a ser mais

eficientes pela utilização plena dos circuitos magnéticos. As linhas de transmissão permitem a

ausência do fio neutro e o acoplamento entre as fases reduz significativamente os campos

eletromagnéticos. Os sistemas trifásicos ainda permitem a flexibilidade entre dois níveis de tensão.

Este capítulo apresenta a forma básica de geração de tensões trifásicas equilibradas bem

como as formas de ligação dos circuitos trifásicos. É realizado também um estudo sobre as potências

em circuitos trifásicos.

4.2 Geração Trifásica Simétrica

O estudo da geração trifásica faz parte do estudo de Máquinas Elétricas, porém, é importante

analisar-se como as tensões trifásicas são geradas em um gerador síncrono. O esquema básico de

um gerador síncrono trifásico está mostrado na Figura 4.1. Neste, dispõe-se de três bobinas idênticas

(bobina a – x, bobina b – y e bobina c – z) que estão colocadas no estator da máquina, dispostas

simetricamente 120° mecânicos uma das outras. Não há conexão elétrica entre as bobinas. O campo

magnético é provido por um eletroímã colocado no rotor do gerador.

N

S

a

b

y

c

z

x

Figura 4.1. Esquema básico de um gerador trifásico.

70

Observe, na Figura 4.1, que o rotor do gerador síncrono é colocado a girar com uma

velocidade constante igual a ω, o que produz um campo magnético variável em cada bobina. De

acordo com a Lei de Faraday, havendo a existência de um campo magnético variável sobre uma

bobina, haverá a indução de uma força eletromotriz (tensão) nos terminais da mesma. Assim, de

acordo com o esquema apresentado na Figura 4.1, induzir-se-á uma tensão entre os terminais de

cada bobina, de modo que estas tensões possuirão o mesmo valor de pico, mesma freqüência e

estarão defasadas entre si de 120°. Portanto, é possível expressar matematicamente as três tensões

na forma

( )

( )

( )

( ) sen

( ) sen 120

( ) sen 120

ax m

by m

cz m

v t V t

v t V t

v t V t

ω α

ω α

ω α

= +

= + + °

= + − °

(4.1)

Onde V m corresponde ao valor de pico da tensão gerada e α é o ângulo de fase da tensão v ax, que

está sendo tomada como referência angular.

Ao conjunto de tensões mostradas na equação (4.1) dá-se o nome de “geração trifásica

simétrica”. As tensões trifásicas simétricas se caracterizam por apresentar:

• Mesmos valores de pico;

• Mesmas freqüências angulares;

• Defasagem de 120° entre si.

Estas tensões são o ponto de partida para o estudo dos sistemas trifásicos.

Do ponto de vista das ligações trifásicas, existem basicamente dois tipos: a ligação trifásica

em Y ou “estrela” e a ligação trifásica em ∆ ou “triângulo”. Nas próximas seções, as características de

cada uma dessas ligações será estudada.

Por outro lado, quando se trabalha com sistemas trifásicos, é comum se referir a dados de

fase e a dados de linha, tanto para as tensões quanto para as correntes. Assim, nos circuitos

trifásicos, se dispõe de tensões de linha e de fase e de correntes de linha e de fase. A relação entre

os dados de linha e de fase depende do tipo de conexão trifásica realizada. Estas relações também

serão abordadas nas próximas seções.

71

4.3 Carga Trifásica Equilibrada

No estudo de circuitos trifásicos, considera-se uma carga trifásica equilibrada como sendo

aquela que possui três impedâncias idênticas constituindo cada uma das fases do sistema. Um

exemplo típico de uma carga trifásica equilibrada são os motores elétricos trifásicos. Estes possuem

por fase, basicamente, um circuito RL série. Todas as três fases do motor são constituídas por

circuitos RL série iguais.

4.4 Ligações Trifásicas

4.4.1 Ligação Trifásica em Y

Para se compreender as características de uma ligação trifásica em Y, cada uma das

tensões induzidas nas bobinas da Figura 4.1 pode ser interpretada como uma fonte de tensão

alternada. Assim, a ligação trifásica em Y pode ser visualizada na Figura 4.2. Observe que uma das

principais características da conexão em Y é a existência de um ponto chamado “neutro”. Este ponto

é comum a todas as fases, tanto no gerador quanto em uma carga. Nos geradores trifásicos, este

ponto neutro normalmente está “aterrado”.

vax

vbyvcz

x y z n

n

a

b

c

inc inb

ina

ia

ib

ic

in

Figura 4.2. Ligação trifásica em Y para um gerador.

72

Inicialmente, se pode analisar as características das tensões em uma ligação em Y. As

tensões de fase são aquelas medidas entre um dos terminais de saída do gerador e o ponto neutro.

Considerando a Figura 4.2, tem-se que os pontos x, y, z e n se tornam eletricamente o mesmo ponto,

portanto, as tensões de fase são v an(t ), v cn(t ), e v bn(t ).

As tensões de linha são aquelas medidas entre dois terminais de saída do gerador.

Considerando a seqüência direta de fases, as tensões de linha em um sistema trifásico são v ab(t ),

v bc(t ), e v ca(t ).

Existe uma relação matemática bem definida entre as magnitudes das tensões de fase e de

linha em uma ligação trifásica em Y. Chamando as magnitudes das tensões de fase por V f e as de

linha por V L, a relação entre elas é

3L fV V= (4.2)

Por outro lado, a diferenciação entre as correntes de linha e de fase se faz observando o

trecho do circuito onde elas circulam. As correntes de fase são aquelas que circulam diretamente nas

bobinas, no caso do gerador, ou diretamente através das impedâncias, no caso de cargas trifásicas.

Na Figura 4.1, estas correspondem a i na(t ), i nb(t ) e i nb(t ). As correntes de linha são aquelas que

circulam através das linhas do sistema trifásico. Na Figura 4.1, correspondem a i a(t ), i b(t ) e i c(t ). Pode

ser observado na Figura 4.1 que, no caso da ligação em Y, as correntes de fase e de linha são as

mesmas. Assim, chamando as magnitudes das correntes de linha por I L e as de fase por I f, na

conexão em Y a relação entre elas é

L fI I= (4.3)

Outra característica importante da ligação trifásica em Y é a corrente no fio neutro i n.

Aplicando a Lei das correntes de Kirchhoff no neutro da ligação em Y, pode-se escrever que

( ) ( ) ( ) ( )n a b ci t i t i t i t= + + (4.4)

Se o gerador estiver alimentando uma carga trifásica equilibrada, como as tensões trifásicas

são simétricas e as impedâncias da carga por fase são idênticas, as correntes de linha também serão

simétricas. Assim, as correntes de linha possuirão o mesmo valor de pico e estarão defasadas de

120° entre si. Isto resulta em que a soma mostrada na equação (4.3) será nula. É importante salientar

que, embora todas as correntes de linha possuam a mesma magnitude, a sua soma é nula. Lembre

que a equação (4.4) corresponde a uma soma de fasores e não apenas os valores de pico das

grandezas.

73

Para melhor compreender esta soma fasorial, na Figura 4.3 estão mostrados os fasores

corrente de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y. Na Figura 4.4 está representada

graficamente a soma desses fasores.

ref

Ia.

Ib.

Ic.

ref

Ia.

Ib.

Ic.

Figura 4.3. Correntes de linha em um sistema trifásico

equilibrado ligado em Y. Figura 4.4. Soma fasorial das correntes de linha em um

sistema trifásico equilibrado ligado em Y.

Assim, pode-se concluir que a importância da utilização do fio neutro se aplica a casos em

que haja um desbalanço de carga no sistema trifásico. Isto conduz a correntes de linha

desequilibradas e este desbalanço entre as correntes (a corrente i n), então, possui um caminho de

retorno ao gerador (o fio neutro), não sobrecarregando nenhuma das linhas do sistema e nem tão

pouco criando um desequilíbrio entre as tensões de fase. Na Figura 4.5 está mostrado um caso onde

as correntes de linha são desequilibradas e, conseqüentemente, a sua soma (a corrente de neutro)

não é nula. A soma está apresentada na Figura 4.6.

ref

Ia.

Ib.

Ic.In

.

Figura 4.5. Correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y.

Figura 4.6. Soma fasorial de correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y.

74

Exemplo 4.1: Três impedâncias iguais, cada uma constituída de um circuito RLC série composto por

um resistor de 30 Ω, um indutor de 100 mH e um capacitor de 200 µF, estão ligadas em Y formando

uma carga trifásica equilibrada. A tensão de linha do sistema trifásico de alimentação é de

220 Vrms / 60 Hz. Calcule a magnitude das correntes de linha no sistema.

Solução: Conhecendo a magnitude da tensão de linha do sistema trifásico, pode-se calcular a

magnitude das tensões de fase, que é

220

127,0 Vrms3 3L

f

VV = = =

Os valores das reatâncias indutiva e capacitiva são, respectivamente,

3

6

2 2 60 100.10 37,7

1 113,3

2 2 60 200.10

L

C

X fL

XfC

π π

π π

−

−

= = × × = Ω

= = = Ω× ×

Assim, o valor da impedância por fase é

( ) ( )2 22 230 37,7 13,3 38,7 f L CZ R X X= + − = + − = Ω

Com os valores da magnitude da tensão de fase e da impedância por fase, pode-se

determinar o valor das correntes de linha (lembre que as correntes de linha são as mesmas de fase e,

como a carga é equilibrada, as correntes de linha possuem a mesma magnitude), isto é,

127,0

3,3 Arms38,7

fL

f

VI

Z= = =

Exemplo 4.2: Três cargas monofásicas estão ligadas em Y formando uma carga trifásica. A

impedância por fase da carga é:

• Fase “a”: R = 20 Ω e X L = 10 Ω

• Fase “b”: R = 15 Ω e X L = 11 Ω

• Fase “c”: R = 12 Ω e X L = 5 Ω

A tensão de linha do sistema trifásico é de 380 Vrms. Devido à carga ser desequilibrada

utiliza-se um fio neutro na ligação. Calcule as magnitudes das correntes de linha solicitadas pela

carga trifásica.

75

Solução: Devido à existência do fio neutro, a relação matemática entre as magnitudes das tensões

de linha e de fase mantém-se. Então, a magnitude das tensões de fase vale

380

219,4 Vrms3 3L

f

VV = = =

As impedâncias por fase são

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

20 10 22,4

15 11 18,6

12 5 13,0

a

b

c

a a L

b b L

c c L

Z R X

Z R X

Z R X

= + = + = Ω

= + = + = Ω

= + = + = Ω

Assim, as magnitudes das correntes de linha são

219,49,8 Arms

22,4

219,411,8 Arms

18,6

219,416,9 Arms

13,0

fa

a

fb

b

fc

c

VI

Z

VI

Z

VI

Z

= = =

= = =

= = =

Na Figura 4.7 estão mostrados os fasores correspondentes às correntes de linha i a, i b e i c e

na Figura 4.8 está mostrada a soma desses fasores, que resulta na corrente de neutro i n. Utilizou-se

uma escala de 1 cm para cada 2 A.

Ia.

Ib.

Ic.

ref

Figura 4.7. Fasores correntes de linha do Exemplo 4.2. Figura 4.8. Determinação gráfica da corrente no neutro do Exemplo 4.2.

Utilizando a escala adotada, a magnitude da corrente no fio neutro vale 8,7 Arms.

76

4.4.2 Ligação Trifásica em ∆∆∆∆

A ligação das impedâncias de uma carga trifásica conectada em ∆ é realizada pela conexão

de um terminal da impedância de fase ao terminal da próxima impedância. Isto resulta em um circuito

fechado na ligação em ∆. Na Figura 4.9 está mostrada a ligação trifásica em ∆ para uma carga

equilibrada.

Z Z

Z

a

b

c

ia

ib

ic

iab ica

ibc

Figura 4.9. Ligação trifásica em ∆ de uma carga equilibrada.

A primeira observação a ser feita é a da inexistência de um ponto comum a todas as fases,

ou seja, na ligação em ∆ não existe o neutro.

Observa-se, da Figura 4.9, que as tensões de linha e de fase são as mesmas. Portanto, na

ligação trifásica em ∆, tem-se que

L fV V= (4.5)

Onde V L e V f correspondem às magnitudes das tensões de linha e de fase, respectivamente.

Por outro lado, observa-se que há diferença entre as correntes de linha e de fase nesta

ligação. As correntes de linha na Figura 4.9 são i a(t ), i b(t ) e i c(t ) e as correntes de fase são i ab(t ), i bc(t )

e i ca(t ). A relação entre as magnitudes das tensões de linha e de fase na ligação em ∆ são

3L fI I= (4.6)

Onde I L e I f correspondem, respectivamente, as magnitudes das tensões de linha e de fase.

Observe na Figura 4.9 que as correntes de fase podem ser determinadas diretamente com

os valores das tensões de linha (iguais às tensões de fase).

77

Exemplo 4.3: Um motor trifásico pode ser representado por uma resistência de 120 Ω em série com

uma reatância indutiva de 58 Ω por fase. O motor está ligado em ∆ e a tensão de linha da rede

trifásica é de 220 Vrms. Calcule a magnitude das correntes de linha consumidas pelo motor.

Solução: A impedância por fase do motor trifásico é

2 2 2 2120 58 133,3 ff f LZ R X= + = + = Ω

Na ligação em ∆, as tensões de fase são as mesmas tensões de linha e, como a carga é

equilibrada, as correntes de fase possuirão a mesma magnitude , que é

220

1,7 Arms133,3

Lf

f

VI

Z= = =

Assim, a magnitude das correntes de linha é

3 3 1,7 2,9 ArmsL fI I= = × =

Exemplo 4.4: Três cargas com impedâncias diferentes são conectadas em ∆ formando uma carga

trifásica desequilibrada. Estas são assim especificadas:

• Fase “ab”: R = 150 Ω e X L = 70 Ω

• Fase “bc”: R = 200 Ω e X C = 100 Ω

• Fase “ca”: R = 180 Ω e X L = 60 Ω

A rede trifásica possui uma tensão de linha de 220 Vrms. Calcule as magnitudes das

correntes de fase na carga.

Solução: As impedâncias por fase da carga são

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

150 70 165,5

200 100 223,6

180 60 189,7

ab

bc

ca

ab ab L

bc bc C

ca ca L

Z R X

Z R X

Z R X

= + = + = Ω

= + = + = Ω

= + = + = Ω

78

Sendo as magnitudes das tensões de linha iguais às das de fase, tem-se que

2201,33 Arms

165,5

2200,98 Arms

223,6

2201,16 Arms

189,7

abab

ab

bcbc

bc

caca

ca

VI

Z

VI

Z

VI

Z

= = =

= = =

= = =

4.4.3 Resumo das Ligações Trifásicas

Com base nas seções anteriores, pode-se construir uma tabela com as relações

matemáticas existentes entre tensões de linha e de fase e entre correntes de linha e de fase nas

conexões Y e ∆. Na Tabela 4.1 estão mostradas essas relações.

Tabela 4.1. Síntese das relações matemáticas entre grandezas de linha e de fase em ligações trifásicas.

Grandeza Ligação em Y Ligação em ∆

Tensão 3L fV V= L fV V=

Corrente L fI I= 3L fI I=

Onde o subíndice “L” refere-se a valor de linha e o subíndice “f”, a valor de fase.

79

4.5 Potências em Circuitos Trifásicos

Considerando as tensões de fase

( )

( )

( )

( ) sen

( ) sen 120

( ) sen 120

a f

b f

c f

v t V t

v t V t

v t V t

ω

ω

ω

=

= − °

= + °

(4.7)

Onde V f corresponde ao valor de pico da magnitude das tensões, aplicadas a uma carga trifásica

equilibrada, as correntes de fase são

( )

( )

( )

( ) sen

( ) sen 120

( ) sen 120

a f

b f

c f

i t I t

i t I t

i t I t

ω θ

ω θ

ω θ

= −

= − ° −

= + ° −

(4.8)

Onde I f é o valor de pico da magnitude das correntes e o ângulo θ é o ângulo de defasagem entre a

tensão de fase e a corrente de fase.

A potência trifásica pode ser determinada pela soma das potências em cada uma das três

fases do circuito. Utilizando as equações (4.7) e (4.8), pode-se escrever que a potência instantânea

trifásica é

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

sen sen sen 120 sen 120

sen 120 sen 120

a a b b c c

f f f f

f f

p t v t i t v t i t v t i t

V t I t V t I t

V t I t

ω ω θ ω ω θ

ω ω θ

= + + =

= − + − ° − ° − +

+ + ° + ° −

(4.9)

Utilizando as relações trigonométricas, a equação (4.9) pode ser reduzida à

3

( ) cos2 f fp t V I θ= (4.10)

Observe, pela equação (4.10), que a potência instantânea trifásica é uma constante.

80

4.5.1 Potência Ativa Trifásica

Análogo ao caso monofásico, a potência ativa trifásica pode ser determinada calculando o

valor médio da potência instantânea em um período. Isto resulta em

3

cos2 f fP V I θ= (4.11)

Se a carga trifásica estiver ligada em Y, tem-se as seguintes relações entre os dados de

linha e de fase

e 3L

f f L

VV I I= = (4.12)

Substituindo a equação (4.12) na equação (4.11), obtém-se

3cos

2 3

3cos

2

LL

L L

VP I

P V I

θ

θ

=

=

(4.13)

Onde V L e I L correspondem aos valores de pico da tensão de linha e da corrente de linha,

respectivamente.

Por outro lado, se a carga trifásica estiver conectada em ∆, tem-se que

e 3L

f L f

IV V I= = (4.14)

Substituindo a equação (4.14) na equação (4.11), resulta em

3cos

2 3

3cos

2

LL

L L

IP V

P V I

θ

θ

=

=

(4.15)

81

Comparando as equações (4.13) e (4.15), conclui-se que, independentemente da carga estar

ligada em Y ou em ∆, a sua potência trifásica pode ser determinada da mesma forma. Observe que

nas equações (4.13) e (4.15) os valores da tensão e da corrente estão expressos em valores de pico,

o que, como se sabe, não é usual. Considerando que

2 e 2ef efL L L LV V I I= = (4.16)

Onde e ef efL LV I são os valores eficazes da tensão de linha e da corrente de linha, respectivamente, a

equações (4.13) e (4.15) podem ser reescritas como

32 2 cos

2

3 cos

ef ef

ef ef

L L

L L

P V I

P V I

θ

θ

=

=

(4.17)

A expressão (4.17) permite o cálculo da potência ativa trifásica em função dos valores

eficazes da tensão da linha e da corrente de linha.

4.5.2 Potência Reativa Trifásica

Por analogia com a potência ativa trifásica, equação (4.17), pode-se determinar a potência

reativa trifásica como

3 senef efL LQ V I θ= (4.18)

4.5.3 Potência Aparente Trifásica

A potência aparente trifásica pode ser determinada como

3ef efL LN V I= (4.19)

Semelhante ao caso monofásico, outras relações entre as potências ativa, reativa e aparente

trifásicas podem ser determinadas, como

2 2 2

cos

sen

P N

Q N

N P Q

Pfp

N

θ

θ

=

=

= +

=

(4.20)

82

Exemplo 4.5: Um motor trifásico industrial possui os seguintes dados de placa:

• Potência mecânica: 3 HP

• Freqüência: 60 Hz

• Tensão: 220 / 380 Vrms

• Rendimento: 83,1%

• Fator de potência: 0,8 ind

Determine o triângulo de potências para o motor nos seguintes casos:

a) Motor ligado em Y e alimentado por uma tensão de linha de 380 Vrms;

b) Motor ligado em ∆ e alimentado por uma tensão de linha de 220 Vrms.

Para cada caso, determine também o valor da corrente de fase.

OBS: Para simplificação dos cálculos, considere 1 HP = 746 W.

Solução:

a) Inicialmente, determina-se a potência mecânica do motor trifásico em Watts, isto é,

3 746 2.238,0 WmecP = × =

Com base no rendimento do motor, determina-se a sua potência ativa trifásica, que é

2238,0

2.693,1 W0,831

mecPP

η= = =

Com o fator de potência dado, pode-se calcular as potências reativa e aparente trifásicas,

que são

( )( ) ( )( )

( ) ( )2 22 2

tan acos 2693,1 tan acos 0,8 2.019,9 VAr

2693,1 2019,1 3.366,4 VA

Q P fp ind

N P Q

= = × =

= + = + =

Sabendo a tensão de linha na qual o motor está sendo alimentado, calcula-se a sua corrente

de linha, que é

3366,45,11 Arms

3 3 380L

L

NI

V= = =

×

83

Estando o motor ligado em Y, as correntes de fase e de linha são as mesmas, portanto,

5,11 ArmsfI =

b) Independentemente da forma como as bobinas do motor estão ligadas (Y ou ∆), as suas

potências ativa, reativa e aparente trifásicas não se alteram. Assim, do item b, tem-se que

2.693,1 W 2.019,9 VAr 3.366,4 VAP Q ind N= = =

Portanto, a corrente de linha, neste caso, vale

3366,4

8,83 Arms3 3 220

L

L

NI

V= = =

×

Estando as bobinas do motor trifásico ligadas em ∆, a corrente de fase (corrente em cada

bobina do motor) será

8,83

5,11 Arms3 3L

f

II = = =

Observe que, evidentemente, é o mesmo valor de corrente que circula pelas bobinas do

motor estando ele ligado em Y. Isto é razoável, visto que o motor trifásico, tanto no item a quanto no

item b, deve consumir a mesma potência elétrica para produzir a mesma potência mecânica.

Exemplo 4.6: Uma indústria é abastecida pela concessionária de energia elétrica com uma tensão de

linha de 380 Vrms. A associação de todas as cargas trifásicas presentes na indústria totaliza uma

potência aparente de 230 kVA com um fator de potência de 0,91 ind (considerando a carga

equivalente ligada em Y). A indústria também possui muitas cargas monofásicas instaladas. Estas

cargas monofásicas são instaladas entre as fases e o neutro, na tentativa de tornar a carga trifásica

resultante o mais equilibrada possível. Elas podem ser assim especificadas:

• Cargas monofásicas entre fase a e neutro: 1,3 e 0,3 ;eqeq LR X= Ω = Ω

• Cargas monofásicas entre fase b e neutro: 1,3 e 0,6 ;eqeq LR X= Ω = Ω

• Cargas monofásicas entre fase c e neutro: 1,7 e 0,3 .eqeq LR X= Ω = Ω

Determine o triângulo de potências total e o fator de potência resultante da indústria. Calcule

também as magnitudes das correntes de linha na entrada da indústria.

84

Solução: Para a carga trifásica, conhecendo-se a potência aparente trifásica e o fator de potência,

pode-se calcular diretamente as potências ativa e reativa trifásicas. Assim, tem-se

( ) ( )

2 22 2

230 0,91 209,3 kW

230 209,3 95,4 kVAr

eq tr eq tr eq tr

eq tr eq tr eq tr

P N fp

Q N P ind

= = × =

= − = − =

Para a determinação das potências trifásicas correspondentes às cargas monofásicas, deve-

se calcular as potências ativa e reativa por fase e somá-las. Para tal, é necessário conhecer os

valores da magnitude da tensão de fase e das magnitudes das correntes de fase. Para isso, realizam-

se os cálculos a seguir.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2

2 22 2

380220 Vrms

3 3

1,3 0,3 1,33

1,3 0,6 1,43

1,7 0,3 1,73

220164,9 Arms

1,33

220153,7 Arms

1,43

a a fa

b b fb

c c fc

a

a

b

b

Lf

f f L

f f L

f f L

ff

f

ff

f

VV

Z R X

Z R X

Z R X

VI

Z

VI

Z

= = ≅

= + = + = Ω

= + = + = Ω

= + = + = Ω

= = =

= = =

220

127,4 Arms1,73c

c

ff

f

VI

Z= = =

Para a determinação das potências ativa e reativa por fase ainda é necessário obter os

ângulos de defasagem entre as tensões e as correntes de fase. Estes podem ser determinados

através dos fatores de potência por fase. Assim, tem-se que

( )

( )

( )

1,3acos acos acos 12,99

1,33


1,43


1,73

a

a

b

b

c

c

f

a a

f

f

b b

f

f

c c

f

Rfp

Z

Rfp

Z

Rfp

Z

θ

θ

θ

= = = = °

= = = = °

= = = = °

85

E, portanto, as potências ativa e reativa por fase são

( )

( )

( )

( )

cos 220 164,9 cos 12,99 35,3 kW

sen 220 164,9 sen 12,99 8,2 kVAr

cos 220 153,7 cos 24,78 30,7 kW

sen 220 153,7 sen 24,78 14,2 kVAr

cos 2

a a a

a a a

b b b

b b b

c c c

f f f a

f f f a

f f f b

f f f b

f f f c

P V I

Q V I ind

P V I

Q V I ind

P V I

θ

θ

θ

θ

θ

= = × × ° =

= = × × ° =

= = × × ° =

= = × × ° =

= = ( )

( )

20 127,4 cos 10,01 27,6 kW

sen 220 127,4 sen 10,01 4,9 kVAr c c cf f f cQ V I indθ

× × ° =

= = × × ° =

As potências ativa e reativa trifásicas totais são, portanto,

209,3 35,3 30,7 27,6 303,0 kW

95,4 8,2 14,2 4,9 122,6 kVAr

a b c

a b c

t eq tr f f f

t eq tr f f f

P P P P P

Q Q Q Q Q ind

= + + + = + + + =

= + + + = + + + =

Por conseqüência, a potência aparente trifásica total e o fator de potência resultante na

indústria são

( ) ( )2 22 2 303,0 122,6 326,8 kVA

303,00,9270

326,8

t t t

tt

t

N P Q

Pfp ind

N

= + = + =

= = =

Observe que o circuito trifásico total da indústria é desequilibrado. Dessa forma, cada

corrente de linha na entrada possuirá uma magnitude. Assim, para os seus cálculos, é necessário

determinar as potências ativa, reativa e aparente totais por fase. Estes valores para as cargas

monofásicas já foram determinados. Para o equipamento trifásico, lembrando que este constitui uma

carga trifásica equilibrada, as suas potência ativa e reativa por fase podem ser obtidas dividindo o

valor das potências ativa e reativa trifásicas por 3. Dessa forma, tem-se que

209,369,8 kW

3 3

95,431,8 kVAr

3 3

f

f

eq tr

eq tr

eq tr

eq tr

PP

QQ ind

= = =

= = =

86

Então, as potências ativa e reativa totais por fase são

69,8 35,3 105,1 kW

31,8 8,2 40,0 kVAr

69,8 30,7 100,5 kW

31,8 14,2 46,0 kVAr

69,8 27,6 97,4 kW

31,8 4,9 36,7 kVAr

fa

fa

fb

fb

fc

fc

tot

tot

tot

tot

tot

tot

P

Q ind

P

Q ind

P

Q ind

= + =

= + =

= + =

= + =

= + =

= + =

As potências aparentes por fase são, então,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2

2 22 2

105,1 40,0 112,4 kVA

100,5 46,0 110,5 kVA

97,4 36,7 104,0 kVA

f f fa a a

f f fb b b

f f fc c c

tot tot tot

tot tot tot

tot tot tot

N P Q

N P Q

N P Q

= + = + =

= + = + =

= + = + =

Os valores das potências aparentes acima são os valores de potência totais por fase de uma

carga equivalente ligada em Y. Portanto, dispondo-se da magnitude da tensão de fase e da potência

aparente por fase, pode-se calcular os valores das magnitudes das correntes de linha, visto que, em

uma ligação em Y, as correntes de linha e de fase possuem a mesma magnitude. Tem-se, então,

3

3

3

112,4.10511,1 Arms

220

110,5.10502,1 Arms

220

104,0.10473,0 Arms

220

a

a

b

b

c

a

tot

L

f

tot

L

f

tot

L

f

NI

V

NI

V

NI

V

= = =

= = =

= = =

87

O circuito elétrico simplificado da indústria do Exemplo 4.6 está apresentado na Figura 4.10.

Figura 4.10. Esquema elétrico simplificado da indústria do Exemplo 4.9.

88


4.6.1 Relação entre Tensões de Linha e de Fase em uma Ligação Trifásica em Y

1. No circuito mostrado na Figura 4.11, calcule os valores das tensões de linha v ab, v bc e v ca e das

tensões de fase v an, v bn e v cn na carga resistiva. A fonte trifásica é composta pelas seguintes

tensões:

v an(t) = 155,56 sen(2πft) V

v bn(t) = 155,56 sen(2πft − 120°) V

v cn(t) = 155,56 sen(2πft + 120°) V

van(t)

vbn(t)vcn(t)

n n

200

200 200

a

bc



corretamente os voltímetros para as leituras das tensões de linha e de fase indicadas no item 1. A

tela do programa está mostrada na Figura 4.12.



89

4.6.2 Relação entre Correntes de Linha e de Fase em uma Ligação Trifásica em ∆∆∆∆

1. No circuito mostrado na Figura 4.13, calcule os valores das correntes de linha i a, i b e i c e das

correntes de fase i ab, i bc e i ca na carga resistiva. A fonte trifásica é composta pelas seguintes

tensões:

v an(t) = 155,56 sen(2πft) V

v bn(t) = 155,56 sen(2πft − 120°) V

v cn(t) = 155,56 sen(2πft + 120°) V

van(t)

vbn(t)vcn(t)

n

220

a

b c

220 220

ia

ib

ic

iab

ibcica



corretamente os amperímetros para as medições das correntes de linha e de fase indicadas no

item 1. A tela do programa está mostrada na Figura 4.14.



90

4.6.3 Método dos Dois Wattímetros para Medição de Potência Ativa Trifásica em uma Carga Ligada em Y

1. No circuito mostrado na Figura 4.15, calcule a potência ativa trifásica consumida pela carga com

teor indutivo. A fonte trifásica é composta pelas seguintes tensões:

v an(t) = 155,56 sen(2πft) V

v bn(t) = 155,56 sen(2πft − 120°) V

v cn(t) = 155,56 sen(2πft + 120°) V



corretamente os wattímetros para a medição da potência trifásica. A tela do programa está

mostrada na Figura 4.16.



91

4.6.4 Método dos Dois Wattímetros para Medição de Potência Ativa Trifásica em uma Carga Ligada em ∆∆∆∆

1. No circuito mostrado na Figura 4.17, calcule a potência ativa trifásica consumida pela carga com

teor indutivo. A fonte trifásica é composta pelas seguintes tensões:

v an(t) = 155,56 sen(2πft) V

v bn(t) = 155,56 sen(2πft − 120°) V

v cn(t) = 155,56 sen(2πft + 120°) V

van(t)

vbn(t)vcn(t)

n

a

b c

200

200

200

132 mH

132 mH

132 mH



corretamente os wattímetros para a medição da potência trifásica. A tela do programa está

mostrada na Figura 4.18.



92

BIBLIOGRAFIA

ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. São Paulo: Editora Érica, 1987.

ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Alternada. São Paulo: Editora Érica, 2006.

BARBOZA, Luciano Vitoria et al. Apostila de Análise de Circuitos – Módulo I. Curso de Eletrotécnica. Pelotas:

Editora da FUNCEFET, 2005.

BARBOZA, Luciano Vitoria et al. Apostila de Análise de Circuitos – Módulo II. Curso de Eletrotécnica. Pelotas:

Editora da FUNCEFET, 2006.

BOYLESTAD, Robert. Introdução à Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1997.

EDMINISTER, Joseph. Circuitos Elétricos. São Paulo: McGraw-Hill, 1985.

FALCONE, Benedetto. Curso de Eletrotécnica – Corrente Alternada. São Paulo: Hemus, 2006.

GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. São Paulo: Makron Books, 1997.

O’MALLEY, John. Análise de Circuitos. São Paulo: McGraw-Hill, 1993.

Documents

apostila prominp Eletricista Força e Controle_Eletricidade Geral