APOSTILA RACIOCINIO LÓGICO DANIEL COLARES MÓDULO II Analise Combinatória BB CAGECE

MATEMÁTICARACIOCÍNIO LÓGICO/MÓDULO

DANIEL COLARES

WWW.TIRADENTESCONCURSOS.COM.BRSEMPRE O MELHOR EM CONCURSOS 0

WWW.TIRADENTESCONCURSOS.COM.BRSEMPRE O MELHOR EM CONCURSOS

1| Introdução

A Análise Combinatória estuda o cálculo da quantidade de maneiras que um determinado evento poderá acontecer. Em nosso estudo iremos dividir a análise combinatória em três partes:(1) Princípio Fundamental da Contagem (2) Arranjo e Combinação (3) Permutação

1.1| PFC – Princípio Fundamental da Contagem

Um evento ocorre em n etapas, sucessivas e independentes, de modo que a primeira etapa ocorre de k1 maneiras, a segunda etapa ocorre de k2 maneiras, ..., e a enésima etapa ocorre de kn. Então, o evento pode ocorrer de k1, k2, ... .Kn maneiras distintas.

Observe que o principio fundamental tem como ideia inicial de combinar elementos distintos entre si, de forma a obter o número máximo de combinações possiveis.

Exemplo Comentado: Marivaldo vai malhar!

Vai a academia e precisa escolher em seu guarda-roupa os trajes.De quantas maneiras diferentes ele pode fazer essa escolha se em seu guarda-roupa os seguintes itens:Calções: Branca e Preto.Blusas: Branca, Preto e Cinza

Solução: Ora, essa é fácil,observe as combinações:

Calção Branco Blusa BrancaCalção Branco Blusa BrancaCalção Branco Blusa PretaCalção Preto Blusa PretaCalção Preto Blusa CinzaCalção Preto Blusa Cinza

Total: 6 Combinações

Mas, pelo PFC na 1ª Etapa: escolha do calção Marivaldo possui 2 opções (Branco ou Preta), ou seja, 2 maneiras e na 2ª etapa: escolha da Blusa possui 3 opções (Branca ou Preto ou Cinza), ou seja, 3 maneiras, assim

2 x 3 = 6 maneiras distintas.

Exemplo01.Com os algarismos 1,2,5,8 e 9 deseja-se formar números com três algarismos.a) Quantos números podemos formar?

b) Quantos números com algarismos distintos podemos formar?c) Quantos números pares de algarimos distintos podemos formar?d) Quantos números impares de algarismos distintos podemos formar?

Solução:

Questões – Concursos

01.(FCC) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:a) 226 .310

b) 262 .103

c) 226 . 210 d) 26! .10! e) C26,2 . C10,3.

02. (ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é:a) 518 400 b) 1 440 c) 720 d) 120 e) 54

03. Num estádio de futebol existem 10 portões. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar neste estádio, e sair por um portão diferente daquele que ele entrou?

1


a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 150

04.(CESPE) No Brasil, há 27 partidos políticos. Se, nas próximas eleições, todos os partidosClançarem candidatos a todos os cargos e se um eleitor escolher, para três cargos distintos, candidatos de três partidos diferentes, ele poderá fazê-lo de mais de 2.600 maneiras distintas.

(Verdadeiro) (Falso)

05.(CESPE) Em um tribunal, os processos são protocolados com números de 6 algarismos de 0 a 9 e o primeiro algarismo refere-se ao número da sala onde o processo foi arquivado. Nessa situação, o total de processos que podem ser arquivados nas salas de números 4 e 5 é superior a 300.000.


06.(CESPE) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados.


07.(CESGRANRIO) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes?a) 12b) 24c) 48d) 90e) 120

08.(ESAF) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:a) 681384b) 382426c) 43262d) 7488e) 2120

09.(CESPE) Considerando uma corrida de Formula 1 com a participacao de 22 carros e 22 pilotos igualmente competitivos, julgue o item a seguir. Se sete carros quebrarem durante a corrida e seus pilotos forem obrigados

a abandoná -la antes da bandeirada final, entã o a quantidade de maneiras diferentes de se formar a dupla dos primeiros classificados será inferior a 200.


10.O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.

(Verdadeiro) (Falso)1.2| Fatorial

Seja n um número natural diferente de zero e maior que 1 (n > 1 , n ≠ 0 e n Є N) definimos como fatorial de n a expressão:

n! = n.(n – 1).(n – 2)......3.2.1Observações:Por convenção: 0! = 1 e 1! = 1

Exemplo:

1.3| Arranjo ou Combinação?

Primeiro vamos definir cada um delas:Arranjo Denominamos arranjo simples de “n” elementos distintos, escolhidos k a k às sucessões formadas por k termos distintos escolhidos entre n elementos dados.

A ideia é do arranjo é organizar os elementos de um conjunto que diferem entre si pela ordem

Combinação Denominamos combinações simples de “n” elementos distintos, escolhidos k a k às sucessões formadas por k termos distintos escolhidos entre n elementos dados.

2


A ideia é da combinação é que os elementos não diferem pela ordem. Percebemos que no arranjo a ordem dos elementos importa e na combinação a ordem dos elementos não importa e para diferenciar isso, vamos usar o seguinte procedimento:1 – Escrever uma das possiveis soluções da questão.2 – Inverter a ordem dessa solução escrita e observar

Se a ordem importa → Arranjo Se a ordem não Importa → Combinação

Exemplo Comentado: Uma escola tem 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de quatro são possíveis?Solução: É a hora de utilizar o procedimento acima, para isso vamos representar os nove professores de matemática da seguinte maneira:

M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9

1 – Escrever uma das possiveis soluções da questão.M1,M4,M7,M9 é uma das nossas possíveis respostas.

2 – Inverter a ordem dessa solução escrita M9,M4,M1,M7 (observe que o mesmo grupo de professores escolhidos anteriormente) ou seja, a ordem não importa, portanto COMBINAÇÃO.

Observações: 1 - Quando tivermos uma questão de ARRANJO,poderemos resolver também pelo PFC.

2 – Combinações especiais

Questões – Concursos

01.(ESAF) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras poderemos ter a classificação para os três primeiros lugares?a) 240 b) 270c) 420 d) 720

02.(ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma, podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa?a) 120 b) 210c) 720d) 4050

03. Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?a) 56b) 112c) 3360d) 6720

04. Num vôo da ponte aérea Rio – São Paulo, há apenas 7 lugares disponíveis e um grupo de 10 pessoas pretende embarcar nesse vôo. De quantas maneiras é possível lotar o vôo?a) 100b) 132c) 89d) 120e) 90

05.Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas?a) 60b) 30c) 15d) 5

06. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas?a) 81b) 64c) 49d) 36

07.Quantas saladas contendo exatamente quatro frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?a) 5040b) 2520c) 420d) 210

08.Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?a) 48b) 42c) 36d) 30

09.A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é:a) 27720b) 13860c) 551d) 495

10.Num acampamento, estão 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, será formada uma equipe com 2 paulistas, 1 carioca e 1 mineiro,

3


escolhidos ao acaso. O número de maneiras possíveis para se formar essa equipe de limpeza é:a) 96b) 182c) 212d) 240e) 256

QUESTÕES PROPOSTAS

01.Sabe-se que, no Brasil, as placas de identificação dos veículos têm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos, escolhidos de 0 a 9. Então, seguindo-se essa mesma lei de formação, mas utilizando-se apenas as letras da palavra BRASIL, é possível construir mais de 600.000 placas diferentes que não possuam letras nem algarismos repetidos.

02. Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9.Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 10²(10² + 1).

03.DETRAN PA CESPE - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 pode-se formar mais de 200 números diferentes, compostos por 3 algarismos distintos.

04.Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para cinema, outro com um ingresso para teatro e o terceiro com um ingresso para show, ele terá mais de 100 maneiras diferentes para fazê-lo.

05.Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 deseus 6 servidores presenteando cada um deles com um ingresso para teatro, ele terá mais de 24 maneiras diferentespara fazê-lo.

Três funcionários da agência 1, quatro funcionários da agência 2 e dois funcionários da agência 3 participam de uma reunião em que pessoas de uma mesma agência sempre sentam juntas. Nessa situação,

06.O número de maneiras distintas que esse grupo de pessoas pode sentar em 9 cadeiras enfileiradas é superior a 1.500.

07.O número de maneiras distintas que esse grupo de pessoas pode sentar ao redor de uma mesa redonda com 9 assentos é inferior a 600.

08.(FCC) Pretende-se formar uma equipe de 5 analistas judiciários ara que seja feita a avaliação de exames médicos laboratoriais. Se os membros da equipe devem ser escolhidos aleatoriamente entre 4 médicos e 6 médicas, o número de equipes distintas que podem ser compostas, contendo exatamente 2 médicos, éa)1440

b) 720 c) 480 d) 360 e) 12009. (BNB FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B?a) Oitob) Dezc) Quinzed) Dezesseise) Vinte

10.(Anal. Orçamento MARE ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados éa) 518 400b) 1 440c) 720d) 120e) 54

11. (Analista MPU Administrativa ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas,são, respectivamente,a) 1112 e 1152.b) 1152 e 1100.c) 1152 e 1152.d) 384 e 1112.e) 112 e 384.

12.(Oficial de Chancelaria ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:a) 16b) 24c) 32d) 46e) 48

13. (AFTN 98 ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 csão mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:a) 5400

4


b) 165c) 1650d) 5830e) 560014. (AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:a) 286 b) 756 c) 468d) 371e) 752

15.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentarse, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual aa) 2 b) 4 c) 24d) 48e) 120

16.(MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas éigual a:a) 6 b) 12c) 24d) 36e) 48

17.(IDR-1997) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo.

O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatro deles sejam vermelhos. É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:a) 6 b) 12 c) 22d) 24e) 36

18.(Téc de controle interno Piauí 2002 ESAF) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:a) 5.400b) 6.200c) 6.800d) 7.200e) 7.800

19.(Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:a) 120b) 360c) 60d) 150e) 300

20.Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?a) 25b) 35c) 45d) 55e) 65

21.Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhum membro seja matemático?a) C20,10

b) C15,10

c) C20,15

d) C15,5

e) C20,20

22.Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão?a) C20,10

b) C15,10

c) C20,15

d) C15,5

e) C20,20

23.(AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelosnão desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila.

5


Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:a) 420b) 480c) 360d) 240e) 60

24.(MPU 2004 ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expôlos em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual aa) 20.b) 30.c) 24.d) 120.e) 360.

25. Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:a) 16b) 28c) 15d) 24e) 32

26.(BANCO CENTRAL/FCC) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728

PROVA Técnico Judiciário – (TRT/10ª REGIÃO 2005) Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.

27.Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas.

28.Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 40 maneiras distintas.

29.Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.

30.(FCC BB 2010) Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice - Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião?a) 720b) 360c) 120d) 72e) 36

31.(FCC BB 2010) Certo dia, um funcionário de uma Agência do Banco do Brasil, contabilizando as cédulas que havia em caixa, verificou que elas totalizavam X reais, 300 000 < X < 800 000.Sabendo que o número X é um palíndromo em que os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas são distintos entre si, os possíveis valores de X sãoa) 256b) 360c) 450d) 648e) 1 296

Em cada um dos itens a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens.

32.Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.

33. Em um tribunal, os códigos que identificam as varas podem ter 1, 2 ou 3 algarismos de 0 a 9. Nenhuma vara tem código 0 e nenhuma vara tem código que começa com 0. Nessa situação, a quantidade possível de códigos de varas é inferior a 1.100.

6


34. Um órgão especial de um tribunal é composto por 15 desembargadores. Excetuando-se o presidente, o vice-presidente e o corregedor, os demais membros desse órgão especial podem integrar turmas, cada uma delas constituída de 5 membros, cuja função é julgar os processos. Nesse caso, o número de turmas distintas que podem ser formadas é superior a 104.

GABARITO / PFC01 02 03 04 05B A A V F

06 07 08 09 10V B A F V

GABARITO / ARRANJO E COMBINAÇÃO01 02 03 04 05D B D D A06 07 08 09 10A D B A D

GABARITO / QUESTÕES PROPOSTAS01 02 03 04 05C E C C E

06 07 08 09 10

C C E C A11 12 13 14 15C E A D D

16 17 18 19 20C C A E D

21 22 23 24 25B D A D A

26 27 28 29 30E C E E A

31 32 33 34B E C E

7

Documents

APOSTILA RACIOCINIO LÓGICO DANIEL COLARES MÓDULO II Analise Combinatória BB CAGECE