Apostila Resistência Dos Materiais 1 - Exercicios

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  • 8/10/2019 Apostila Resistncia Dos Materiais 1 - Exercicios

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    UNIVERSIDADE ESTCIO DE S

    NOTAS DE AULA RESISTNCIA DOS MATERIAIS I

    PROFESSOR JLIO CSAR

    2014

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    CAPTULO 1 REVISO DE ESTTICA

    1.1 Introduo

    A Resistncia dos materiais um ramo da mecnica que estuda as relaes entre cargas

    externas aplicadas a um corpo deformvel e a intensidade das foras internas que atuam dentrodo corpo. Esse assunto tambm envolve o clculo das deformaes do corpo e proporciona oestudo de sua estabilidade quando sujeito a foras externas.

    1.2 - Equilbrio de um corpo

    Um corpo pode ser submetido a vrios tipos de cargas externas. Contudo, qualquer umadelas pode ser classificada como uma fora de superfcie (contato direto entre os corpos) ou umafora de campo (ou de corpo).

    Quando a rea da fora de superfcie for pequena quando comparada com a superfcietotal do corpo, trata-se de uma carga concentrada. Quando a fora de superfcie estiver aplicadasobre uma linha estreita, diz-se que a carga linear distribuda. A seguir temos alguns tipos decargas externas.

    a) Foras concentradas

    b) Carga uniforme distribuda

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    1.3 Reaes do apoio

    As foras de superfcie que se desenvolvem nos apoios so denominadas reaes. Parasituaes em que as foras so coplanares (bidimensional) temos trs principias apoios: 1, 2 e3 gneros. As reaes (foras e momentos) de cada apoio so as restries que estes impemao corpo ligado.

    a) O apoio mvel (1 gnero) impede apenas um deslocamento, no caso, o deslocamento verticale permite o deslocamento horizontal e a rotao (giro) em torno do apoio.

    b) O apoio fixo (2 gnero) impede dois deslocamentos, o vertical e o horizontal e permite arotao (giro) em torno do apoio.

    c) O engastamento (3 gnero) impede os deslocamentos vertical e horizontal e a rotao (giro)

    em torno do apoio.

    Observe as figuras a seguir.

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    1.4 Equilbrio esttico de um corpo

    Para que um corpo extenso esteja em equilbrio duas condies devem ser satisfeitassimultaneamente. Uma delas impede que ocorra o movimento de translao e a outra, omovimento de rotao.

    Para que no ocorra a translao necessrio que a resultante das foras seja nula, ouseja:

    Observe que a resultante R pode ser escrita, em mdulo, da seguinte maneira:

    Assim,

    ; e

    Para que no ocorra a rotao necessrio que o momento resultante seja nulo, ou seja:

    Observe que o momento resultante M pode ser escrito, em mdulo, da seguinte maneira:

    Assim,

    ; e

    Portanto, as condies necessrias e suficientes para o equilbrio do corpo extenso so:

    ; e

    ; e

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    Para situaes em que as foras so coplanares (bidimensional) as condies anterioresresumem-se s seguintes equaes:

    1.5 Cargas internas

    Uma das mais importantes aplicaes da esttica na anlise de problemas de resistnciade materiais poder determinar a fora e o momento resultantes que agem no interior de umcorpo e que so necessrios para manter a integridade do corpo quando submetido a cargasexternas.

    Considere um corpo extenso sob ao de quatro foras F 1, F2 , F3 e F4, conforme figura aseguir.

    Suponha que desejemos determinar as cargas internas que atuam na seo em destaque.Utilizando o mtodo das sees, isto , cortando o corpo e separando uma das partes teremos as

    foras F1 e F2 e as cargas internas. Observe o diagrama a seguir.

    e

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    Pode-se perceber uma distribuio de foras internas agindo sobre a rea exposta pelocorte que representam os efeitos do material que est na parte superior do corpo agindo nomaterial adjacente na parte inferior. Na anlise desta parte do corpo extenso, temos na seoexposta pelo corte a resultante das foras e dos momentos internos.

    Didaticamente podemos tomar as componentes das resultantes dos momentos e dasforas internas para melhor interpretao fsica.

    As componentes da resultante so denominadas normal e cisalhante (ou cortante). Aprimeira atua num direo perpendicular ao plano da seo enquanto a segunda, no plano daseo. As componentes do momento resultante so o fletor e o de toro. O momento fletor causado pelas cargas externas que tender a fletir o corpo em torno de um eixo que se encontra narea. J o momento de toro o efeito produzido quando as cargas tendem a torcer umsegmento do corpo em relao a outro.

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    No caso particular de um sistema submetido a foras coplanares, a situao acima descritaresume-se ao que revela o diagrama abaixo.

    Obs. Conveno de sinais as orientaes abaixo so positivas.

    Exemplo

    1) Determine as reaes no apoio A e a carga interna resultante que atua na seo transversal noponto B. A barra est presa em A.

    SOLUO:

    Inicialmente, vamos substituir a carga distribuda por uma equivalente concentrada.

    REA = (base x altura)/2 = 15 x 60 / 2 = 450 lbPonto de aplicao = centroide = base/3 = 15/3 = 5 ps (a partir do ngulo reto)

    450lb

    AC

    5 ps 10 ps

    VA

    HA

    MA

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    EQUILBRIO:

    = 0 = 0

    Seccionando a barra em B, teremos:

    A partir da figura inicial do problema podemos aplicar a semelhana entre tringulos:

    X = ?

    X = ?

    48 lbs

    4 ps

    VB

    HB

    MBB

    C

    12 ps

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    EQUILBRIO:

    = 0 = 0

    Exerccios

    1) Determinar a fora normal, a fora de cisalhamento e o momento na seo que passa peloponto C. Usar P = 8 kN.

    .2) Determine a resultante das foras internas normal e cisalhante no elemento na seo b b,

    em funo de .A carga de 650N aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.

    3) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seo transversal em C do eixo demquina da figura. O eixo apoiado por rolamento em A e B, que exercem apenas foras verticaissobre ele.

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    4) A mesinha T usada em avio apoiada em cada lado por um brao. A mesinha acoplada aobrao em A por um pino e em B h um pino liso (o pino move-se em um rasgo nos braos parapermitir dobrar a mesinha na frente do passageiro quando no estiver em uso). Determinar aresultante das cargas internas que atuam na seo transversal que passa pelo ponto C do braoquando este suporta as cargas mostradas.

    5) A viga suporta a carga distribuda mostrada na figura. Determine as cargas internas resultantesnas sees transversais que passam pelos pontos d e E. Considere que as reaes nos apoios Ae B sejam verticais.

    6) A fora F = 400N age no dente da engrenagem. Determine as cargas internas resultantes naraiz do dente, isto , no centroide da seo a a (ponto A)

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    7) O guindaste da figura foi projetado para 5kN. Determinar a fora atuante na haste do cilindro ea reao na articulao A (c = 18,75kN e A = 15kN)

    CAPTULO 2 TENSO

    2.1 Introduo

    Considere que a rea seccionada de um corpo esteja subdividida em pequenas reas Aconforme a figura a seguir. Supondo que o material contnuo e coeso e reduzindo esta rea a

    um valor cada vez menor, teremos uma fora finita pequena F cujas componentes so Fx, Fy e

    Fz, sendo uma perpendicular rea A e as outras duas tangentes mesma rea.

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    O limite do quociente entre F e A, com este ltimo tendendo a zero, recebe o nome detenso, ou seja:

    A unidade de tenso dada por uma unidade de fora dividida por uma de unidade derea. Por exemplo, Pascal (Pa= N/m 2). MPa = 106 Pa e GPa = 10 9 Pa

    Obs : 1N/mm2 = 1N/10-6m2 = 106N/m2 = 1MPa

    2.2 Tenso normal

    A intensidade da fora que age perpendicularmente rea definida como tenso

    normal . Na figura anterior, como Fz, perpendicular rea, temos que:

    Quando a fora normal tracionar o elemento a tenso ser denominada de tenso trativa e,quando comprimir, a tenso ser compressiva.

    Observe que o ndice z em usado para indicar a direo da reta normal dirigida para

    fora da rea A.

    2.3 Tenso de cisalhamento

    A intensidade da fora que age tangente rea definida como tenso decisalhamento . Na figura anterior, como Fx e Fy, so tangentes rea, temos que:

    e

    Para as componentes da tenso de cisalhamento so usados dois ndices. O ndice zespecifica a orientao da rea enquanto x e y referem-se s direes das tenses de

    cisalhamento. Observe as figuras abaixo.

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    2.4 Estado geral de tenso

    Se o corpo for seccionado por planos paralelos aos planos xz e yz. Assim, um elementocbico de volume de material que representa o estado de tenso que age em torno do pontoescolhido no corpo. Observe as figuras a seguir.

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    2.5 Tenso normal mdia em uma barra com carga axial

    Suponha uma barra com a carga externa P conforme a figura a seguir.

    Ao seccionarmos a barra e estudarmos o elemento resultante perceberemos que cadarea est submetida a uma fora . Ao somarmos todas as contribuies teremos a

    fora interna P na seo.

    Considerando que a tenso constante e elementos infinitesimais de rea ( ,poderemos escrever que e ainda que:

    Assim, podemos escrever que a tenso normal mdia em qualquer ponto na rea daseo transversal dada pela razo entre a fora normal interna P aplicada no centroide da seotransversal e a rea da seo transversal da barra.

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    Exemplo

    A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tenso normalmdia mxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado a seguir.

    SOLUO:

    Inicialmente, vamos seccionar a barra nas regies abaixo e estudar o diagrama do corpo livre.

    Note que todas partes da barra esto em equilbrio.

    Todas as sees tm rea A = 35 x 10 = 350 mm 2. Assim, temos:

    Assim,

    A distribuio de tenso que age sobre uma seo transversal arbitrria da barra dentro daporo BC mostrada a seguir.

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    Note que o volume representado por esta distribuio equivale carga, isto , 87,5MPa x(35 x 10) mm2 = 30.000N

    2.6 Tenso de cisalhamento mdia

    A tenso de cisalhamento foi definida na seo 2.2 como a componente da tenso que ageno plano da rea seccionada. Considera a figura abaixo

    Supondo apoios rgidos e F grande o suficiente, o material da barra ir falhar ao longo dosplanos identificados por AB e CD. Na figura seguinte temos um diagrama do corpo livre da partecentral da barra.

    Do equilbrio, V + V = F, ou ainda: V = F/2.

    A tenso de cisalhamento mdia distribuda sobre cada rea seccionada definida por:

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    Observe a ao da distribuio da tenso de cisalhamento mdia sobre as sees nafigura abaixo.

    O cisalhamento pode ser dividido em simples ou duplo.

    2.6.1 Cisalhamento simples ou direto

    Este cisalhamento causado por ao direta da carga aplicada F e acontece emfrequentemente em vrios acoplamentos simples que utilizam parafusos, pinos, solda etc. Asfiguras a seguir mostram exemplos de cisalhamento simples e seus diagramas de corpo livre.Essas juntas so denominadas sobrepostas.

    Observe que V = F. Assim, a tenso de cisalhamento mdia ser dada por:

    2.6.2 Cisalhamento duplo

    Diferentemente do cisalhamento simples, as juntas que provocam o cisalhamento duploso as de dupla sobreposio, conforme a figura a seguir.

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    Observe que duas superfcies de cisalhamento devem ser consideradas. A partir dodiagrama do corpo livre das juntas acima possvel escrever que V + V = F e V = F/2. Dessaforma, a tenso de cisalhamento mdia ser dada por:

    Exemplo

    A barra tem rea de seo transversal quadrada com 40 mm de profundidade e largura. Se umafora axial de 800 N for aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da rea de seotransversal da barra, determine a tenso normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia queagem ao longo dos planos a-a e b-b.

    Soluo

    Seo a-a:

    rea: 40 mm x 40 mm = 1600 mm2 Seccionando a barra pela regio a-a temos o seguinte diagrama do corpo livre

    Dessa forma:

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    Seo b-b:

    Seccionando a barra pela regio b-b temos o seguinte diagrama do corpo livre

    Do equilbrio:

    rea:

    Dessa forma:

    60

    800

    PV

    b

    b

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    2.7 Fator de segurana (FS)

    O engenheiro responsvel pelo projeto de elementos estruturais ou mecnicos deverestringir a tenso do material a um nvel seguro, portanto, deve usar uma tenso segura ouadmissvel.

    O fator de segurana (F.S.) a relao entre a carga de ruptura F rup e a carga admissvelFadm. A carga de ruptura determinada em ensaios laboratoriais do material e o fator desegurana apresenta valores especficos que dependem dos tipos de materiais usados e dafinalidade pretendida da estrutura ou mquina. O fator de segurana um nmero adimensionalmaior que 1.

    Quando a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a tensodesenvolvida no interior do elemento ento podemos expressar o FS como sendo a razo entre atenso de ruptura (ou e a tenso admissvel (ou , isto :

    ou

    2.8 Projeto de acoplamentos simples

    Adotando-se premissas simplificadoras em relao ao comportamento do material, as

    equaes e podem ser usadas para projetar um acoplamento simples ou um elemento

    mecnico. Quando o elemento estiver submetido a uma fora normal em uma seo, a rea deseo mnima exigida determinada por:

    De outra forma, se a seo estiver sujeita a uma fora de cisalhamento, a rea mnima daseo dada por:

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    ExemploO tirante est apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como mostrado na figura. Sea haste passa por um furo de 40 mm de dimetro, determinar o dimetro mnimo requerido dahaste e a espessura mnima do disco necessrios para suportar uma carga de 20 kN. A tenso

    normal admissvel da haste adm = 60 MPa, e a tenso de cisalhamento admissvel do disco

    adm = 35 MPa.

    Soluo:

    Haste:

    Disco:

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    rea A:

    Exerccios

    1) A luminria de 80 Kg suportada por duas hastes AB e BC. Se AB tem dimetro 10mm e BC8mm, determine a tenso normal mdia em cada haste.

    2) O elemento AC est submetido a uma fora vertical de 3kN. Determinar a posio x daaplicao da fora de modo que o esforo de compresso mdio no apoio C seja igual ao esforode trao no tirante AB. A haste tem rea de seo transversal de 400 mm 2 e a rea de contatoem C de 650 mm 2 e comprimento 200 mm.

    3) A viga uniforme de 6 m de comprimento apoiada por duas hastes AB e CD com rea deseo transversal igual a 10mm 2 e 15mm2. Determine a intensidade da carga w distribuda demodo que a tenso normal mdia em cada haste no exceda 300kPa.

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    4) A barra rgida mostrada na figura suportada por uma haste de ao AC que tem dimetro de20 mm e um bloco de alumnio que tem rea da seo transversal de 1800 mm. Os pinos de 18mm de dimetro em A e C esto submetidos a um cisalhamento simples. Se a tenso de ruptura

    do ao e do alumnio forem ( ao)rup = 680 MPa e ( al)rup = 70 MPa, respectivamente, e a tenso de

    cisalhamento de ruptura de cada pino for trup = 900 MPa, determinar a maior carga P que podeser aplica barra. Aplicar F.S = 2.

    5) As duas hastes de alumnio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar seus dimetros

    requeridos se o esforo de trao admissvel para o alumnio for ( )adm = 150 MPa.

    6) Os trs cabos de ao so usados para suportar a carga. Se os cabos tm uma tenso de traoadmissvel de 165 MPa, determinar o dimetro requerido de cada cabo se a carga aplicada P = 6kN.

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    7) Uma carga axial no eixo mostrado na figura resistida pelo colar em C, que est preso ao eixoe localizado direita do mancal em B. Determinar o maior valor de P para as duas foras axiaisem E e F de modo que a tenso no colar no exceda uma tenso de apoio admissvel em C de

    adm = 75 MPa e que a tenso normal mdia no eixo no exceda um esforo de trao admissvel

    de adm = 55 MPa.

    8) O puno circular B exerce uma fora de 2 kN no topo da chapa A. Determinar a tenso de

    cisalhamento mdia na chapa devida a esse carregamento.

    CAPTULO 3 DEFORMAO

    3.1 Introduo

    Sempre que uma fora aplicada a um corpo este tende a mudar de forma e/ou tamanho.Essas mudanas podem ser perceptveis a olho nu ou no. Um exemplo a deformao queocorre em elementos estruturais de um edifcio quando muitas pessoas esto em seu interior. Deum modo geral, a deformao em um corpo varia ao longo de seu volume.

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    3.2 Deformao normal

    O alongamento ou contrao de um segmento de reta por unidade de comprimento denominado deformao normal. Observe as figuras que se seguem.

    Considere o corpo no deformado da figura e a reta AB de comprimento s. Aps a

    deformao, os pontos A e B so deslocados para as posies A e B tal que AB tem

    comprimento s. A deformao normal mdia ser dada por:

    medida que B se aproxima de A, o comprimento de AB diminui, isto , e Bseaproxima de A de forma que . Assim, no limite, a deformao normal no ponto A e nadireo n :

    Observe que quando a deformao normal for conhecida, possvel determinar ocomprimento final aproximado de um segmento curto de reta na direo de n aps a deformao

    pela seguinte equao.

    Unidades : Observe que a deformao normal uma razo entre comprimentos e, portanto,adimensional. Na prtica comum expressar em termos da razo entre unidades decomprimento. No SI, m/m.

    Corpo deformadoCorpo no deformado

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    Outra possibilidade m/m. Uma deformao normal mdia de 400 m/m significa que cada 1

    metro deste material sofre uma deformao de 400 m. Perceba ainda que 400 m/m equivale a400. 10-6 m/m ou ainda a 4. 10 -4 que, em termos percentuais equivale a 0,04%.

    Exemplo Uma fora que atua na empunhadura do cabo da alavanca mostrada na figuraprovoca uma rotao no cabo da alavanca de 0,002 rad em sentido horrio. Determine adeformao normal mdia desenvolvida no cabo BC.

    Soluo A figura a seguir mostra a situao final da estrutura.

    Da geometria podemos escrever que o comprimento de um arco igual ao produto do raio pelongulo, em radianos, ou seja: l = R. . Assim,

    BB= 0,5 x 0,002 = 0,001 m

    A deformao normal mdia ser:

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    3.3 Deformao por cisalhamento

    A mudana que ocorre no ngulo entre dois segmentos de retas que originalmente eramperpendiculares denominada deformao por cisalhamento. Observe as figuras que se seguem.

    A deformao por cisalhamento representada por e dada em radianos

    Obs: Para pequenos ngulos, dados em radianos, verdade que:

    Exemplo A chapa deformada at a forma apresentada pelas linhas tracejadas na figura aseguir. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa permanecerem horizontais eseus comprimentos no mudarem, determine:

    a) Deformao normal ao longo do lado ABb) Deformao por cisalhamento mdia da chapa em relao aos eixos x e y

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    Soluo.

    a) Observe a figura abaixo e a partir do teorema de Pitgoras podemos determinar AB.

    b) Observe a figura

    Observe que:

    .

    Como o ngulo pequeno podemos utilizar a seguinte aproximao

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    Exerccios.

    1) O dimetro de um balo de borracha cheio de ar 150 mm. Se a presso do ar em seu interiorfor aumentada at o dimetro atingir 175 mm, determine a deformao normal mdia na borracha.

    2) Determine a deformao normal mdia do arame AB em decorrncia da rotao = 2 da barrargida CA

    3) A barra rgida ABC da figura est inicialmente na horizontal. Se cargas provocarem odeslocament0 vertical da extremidade A de 0,002 pol e a barra girar 0,2, qual ser a deformaonormal mdia das hastes AD, BE e CF.

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    4) A viga rgida sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a deformao normal

    admissvel mxima em cada cabo for de mx = 0,002 mm/ mm, determine o deslocamento vertical

    mximo da carga P.

    5) A chapa retangular submetida deformao mostrada pela linha tracejada. Determine a

    deformao por cisalhamento mdia xy da chapa.

    6) A haste delgada da figura submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o

    que cria uma deformao normal na haste de , onde z dado em metros.Determinar:

    a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura;b) a deformao normal mdia na haste

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    CAPTULO 4 PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS

    4.1 Ensaios de trao e compresso

    Os engenheiros de quaisquer especialidades devem compreender como as vriaspropriedades mecnicas so medidas e o que elas representam. Essas propriedades sonecessrias ao projeto de estruturas ou componentes que utilizem materiais predeterminados, afim de que no ocorram nveis inaceitveis de deformao e/ou falhas em servio, ou oencarecimento do produto em funo do superdimensionamento de componentes.

    Qualquer projeto de engenharia, especificamente o projeto de um componente mecnico,requer para a sua viabilizao um vasto conhecimento das caractersticas, propriedades ecomportamento dos materiais disponveis.

    A resistncia de um material depende de sua capacidade de suportar carga semdeformao excessiva ou ruptura. Essa propriedade inerente ao material e deve serdeterminado por ensaios experimentais, dentre os quais se destacam os de trao e decompresso.

    Para o ensaio de trao (compresso) utiliza-se um corpo de prova (CP) padronizado ondeso conhecidos o comprimento inicial L0 e a rea de seo transversal A 0. O CP preso numamquina como a da figura e alongado lentamente at atingir o ponto de ruptura.

    Corpo de prova tpico

    Mquina de ensaios de trao e compresso

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    Dados da carga aplicada P so registrados assim como os valores do alongamento do

    corpo ( = L L0). A partir desses dados possvel calcular vrios valores da tenso e dadeformao e, ento, construir um grfico denominado diagrama tenso-deformao.

    A partir dos dados registrados podemos determinar a tenso nominal (ou de engenharia) ea deformao nominal (ou de engenharia).

    e Se os valores correspondentes de e forem marcados em um grfico no qual a

    ordenada a tenso e a abscissa a deformao, a curva resultante o diagrama tenso-deformao. Esse diagrama muito importante na engenharia, pois proporciona os meios para seobterem dados sobre a resistncia mecnica sem considerar a forma ou o tamanho do material.

    O comportamento elstico do material aquele em que as deformaes deixam de existirquando a carga subtrada. Perceba que esta regio no grfico linear, o que revela que tensoe deformao so proporcionais. Atinge-se o limite de elasticidade.

    Um pequeno aumento na tenso acima do limite de elasticidade resultar na deformaopermanente (plstica). o escoamento do material. Em alguns materiais possvel perceber os

    pontos de escoamento superior e inferior.

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    Quando o escoamento tiver terminado, uma carga adicional ao CP resulta no crescimentocontnuo (no linear) da curva que alcana uma tenso mxima denominada limite de resistncia.

    A ltima etapa a da estrico. Ocorr e o empescoamento do CP e atinge -se umatenso denominada limite de ruptura.

    4.2 Lei de Hooke

    Como possvel observar no diagrama tenso-deformao, existe uma relao linear naregio elstica que pode ser expressa pela lei de Hooke:

    Onde E denominado mdulo de elasticidade ou mdulo de Young

    4.3 Coeficiente de Poisson

    Quando submetido a uma fora de trao/compresso axial, um corpo deformvel noapenas se alonga, mas tambm se contrai lateralmente.

    As deformaes na direo longitudinal (axial) e na direo radial (lateral) so dadas por:

    e

    Dentro da regio elstica possvel definir uma razo constante denominada coeficiente

    de Poisson ( ).

    Essa expresso tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformao

    positiva) provoca contrao lateral (deformao negativa) e vice-versa.

    O coeficiente de Poisson adimensional e, para a maioria dos slidos no porosos, seuvalor encontra-se entre 0,25 e 0,35.

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    4.3 Diagrama tenso-deformao de cisalhamento

    De maneira anloga curva tenso-deformao estudada anteriormente, podemossubmeter um corpo de prova ao cisalhamento e confeccionarmos a curva correspondente.

    A seguir tem-se a lei de Hooke para o cisalhamento:

    Onde G o mdulo de elasticidade ao cisalhamento ou de rigidez

    Obs: possvel mostrar que as grandezas , E e G se relacionam da seguinte

    Exemplo Uma barra de ao com E = 200GPa e = 0,32 tem as dimenses mostradas na figura.Se um fora axial P = 80kN for aplicada barra, determine a mudana em seu comprimento e amudana em suas dimenses da rea de sua seo transversal aps a aplicao da carga. Omaterial comporta-se elasticamente.

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    Soluo :

    Tenso normal na barra:

    Lei de Hooke:

    Alongamento (direo z):

    Contrao (nas direes x e y):

    BIBLIOGRAFIA

    1. RESISTNCIA DOS MATERIAIS R.C. HIBBELER2. MECNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS ESTTICA BEER E JOHNSTON