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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistncia dos Materiais I- EMNotas de Aula

Profa. Maria Regina Costa Leggerini

Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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CAPTULO IREVISO DE MECNICA GERAL CONCEITOS BSICOSI . FORA A. CONCEITO: Fora toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformao em um corpo. uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expresso da fsica:

r F = m.aonde: F = fora m = massa do corpo a = acelerao provocada Sendo fora um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos: direo sentido mdulo ou intensidade ponto de aplicao Exemplo 1: Fora provocando movimento

r F

Exemplo 2: Fora provocando deformao

r F

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Exemplo 3: PESO DOS CORPOS: O peso dos corpos uma fora de origem gravitacional que apresenta caractersticas especiais:

Mdulo: P = m.g Direo: Vertical Sentido: de cima para abaixo

r

r

PB. UNIDADES

Ponto de aplicao: centro de gravidade do corpo

Existem muitas unidades representando foras sendo as mais comuns: N - Newton 1 kgf = 10 N kN - kiloNewton 1 kN = 103 N kgf - kilograma fora 1 kN = 102 kgf

1 kN = 103 N = 102 kgfC. CARACTERSTICAS DAS FORAS

1. Princpio de ao e reao:Quando dois corpos se encontram, toda a ao exercida por um dos corpos cobre o outro corresponde uma reao do segundo sobre o primeiro de mesmo mdulo e direo, mas com sentidos contrrios, que a 3 lei de Newton. Pode-se observar que estas duas foras tm pontos de aplicao diferentes e, portanto causam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicao.

2. Princpio da transmissibilidade de uma fora,Quando se aplica uma fora em um corpo slido a mesma se transmite com seu mdulo, direo e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

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3. Decomposio das foras.Qualquer fora no espao pode ser decomposta segundo trs direes que desejarmos. Normalmente, usam-se como referncia trs direes ortogonais entre si, escolhidas de acordo com a convenincia do problema. y

Fy

Fx

r F=F Fx x Fz z

Fy Fz

rNestes casos pode-se usar a resultante F ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado. Qualquer fora contida em um plano tambm pode ser decomposta segundo duas direes. Normalmente so usadas duas direes perpendiculares entre si, tambm escolhidas de acordo com a convenincia do problema. No caso plano que o mais usual: Exemplo:y F Fyr F - fora a ser decomposta

x e y direes ortogonais de referncia - ngulo formado por F em relao xr r Fx, Fy- componentes da fora nas direes x e y

Fx x

A decomposio feita por trigonometria: r r r r Fx = F. cos Fy = F sen

r r Fy/ Fx = tg

r A fora F decomposta r r tambm pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas componentes Fx e Fy.

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Nos problemas pode-se utilizar para clculos apenas a fora resultante, ou as suas componentes, o que se tornar mais fcil. Isto pode se constituir em uma das ferramentas mais teis no trabalho com as foras. Observe que soma vetorial ou geomtrica no corresponde soma algbrica. D. CLASSIFICAO DAS FORAS As foras podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como, por exemplo, as foras de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ao distncia (ex: eltricas, gravitacionais, magnticas, etc.) Em anlise estrutural as foras so divididas conforme esquema abaixo:

FORAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e so o motivo de sua existncia. Podem ser:

aes : So foras independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura .Correspondem s cargas as quais a estrutura est submetida, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso prprio das estruturas, etc...

reaes: So foras que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vnculos ouapoios), sendo conseqncia das aes, portanto no so independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as aes e assim preservarem o equilbrio do sistema. FORAS INTERNAS: so aquelas que mantm unidos os pontos materiais que formam o corpo slido de nossa estrutura (solicitaes internas). Se o corpo estruturalmente composto de diversas partes, as foras que mantm estas partes unidas tambm so chamadas de foras internas (foras desenvolvidas em rtulas).II. MOMENTO DE UMA FORA

A. CONCEITO: O momento de uma fora a medida da tendncia que tem a fora de produzir giro em um corpo rgido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno de um eixo (momento axial). B. MOMENTO POLAR (momento de uma fora em relao a um ponto) r Chama-se de momento de uma fora F em relao a um ponto "0", o produto vetorial do r r vetor OA pela fora F, sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da fora r F. Logo tambm um vetor, e para a sua caracterizao preciso determinar o seu mdulo, direo e sentido. Representa fisicamente a grandeza da tendncia de giro em torno deste ponto que esta fora impe ao corpo.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Mo MoA O d

F

r r Mo = F OAO efeito do vetor momento o de provocar um giro com determinado sentido em relao ao ponto o considerado. O vetor momento apresenta as seguintes caractersticas:

direo: perpendicular ao plano formado pela fora e pelo vetor OA sentido: regra da mo direitar mdulo: produto do mdulo da fora F pela menor distncia do ponto "0" a reta suporte da fora.

ponto de aplicao: ponto "O" em relao ao qual se calculou o momento.

r r Mo = F . OA . sen

ou

r r Mo = F . d

A distncia d que representa o mdulo do vetor OA tambm chamada de brao de alavanca. Ela a menor distncia entre a reta suporte da fora e o ponto em relao ao qual se calcula o momento, isto , pode ser obtida pela perpendicular reta que passa pelo ponto. Isto simplifica em muito o calculo do momento polar de uma fora.

M = F.dResistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Regra da mo direita: A regra da mo direita consiste em se posicionar os dedos da mo direita no sentido da rotao provocada pela fora em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do momento.

Convencionam-se sinais + escolha.

ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa

Exemplo 1: Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela permanea em equilbrio esttico. P1 = 30 kN a= 2m b= 4m

Exemplo 2: Determine a fora desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permanea em equilbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra presa a uma parede por meio de um pino O.

G = 5 kN L=3m

= 15T= ?Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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C. MOMENTO AXIAL Momento axial o valor algbrico da projeo ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela fora em relao a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota uma conveno para a orientao do eixo. Exemplo 1: Fora perpendicular ao plano do eixo

Mx = F . d

Exemplo 2 : Fora inclinada em relao ao plano do eixo

Mx = Fz . d Fz = F . sen

Exemplo 3 : Fora no espao (direo qualquer) F=F1+F2+F3 Mx = 0 F1 My =.0 Mz = -4 . F 1 F2 Mx = 0 My=0 Mz = - 1 . F 2 Mx = + 4 . F 3 My = - 1 . F 3 Mz = 0

F3

OBSERVAO: O momento de uma fora em relao um eixo nulo sempre que a fora e o eixo forem coplanares (concorrentes ou paralelos).Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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C. UNIDADE DE MOMENTO Sendo o momento produto de uma fora por uma distncia, a unidade desta grandeza o produto de uma unidade de fora por uma unidade de distncia. Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etcIII. SISTEMA DE FORAS

A. DEFINIO: o conjunto de foras que atuam simultaneamente em um corpo rgido ou em um ponto material.

B. RESULTANTE DE VRIAS FORAS CONCORRENTES: A resultante de vrias foras que concorrem em um ponto a soma geomtrica a partir do ponto, de foras eqipolentes s que constituem o sistema, formando um polgono. Obs: Foras eqipolentes so aquelas que tm mesmo mdulo, mesma direo e mesmo sentido. Lembrando que uma fora pode ser decomposta segundo eixos de referncia, pode-se determinar a resultante de uma forma mais simples, obtendo-se cada componente pela soma algbrica das projees de todas as foras sobre este eixo. Exemplo 1: Soma geomtrica

r R=0OBSERVAO: Se o polgono formado pelas foras for fechado a resultante nula.

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Exemplo 2: Foras concorrentes em um ponto de um plano A resultante de foras concorrentes em um ponto de um plano tambm pode ser calculada atravs da decomposio destas foras em relao a duas direes ortogonais escolhidas. F1x = F1 cos F1y = F1sen

F2x = F2 cos F2y = F2 sen Fx = F1x + F2x Fy = F1y + F2y

R = (Fx ) 2 + (Fy ) 2

PITGORAS

IV. PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITOS

" O efeito produzido por um conjunto de foras atuando simultaneamente em um corpo igual soma do efeito produzido por cada uma das foras atuando isolada" Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princpio se resume a casos em que o efeito produzido pela fora seja diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioria dos casos estudados. A partir deste princpio pode-se dizer que: - O momento polar resultante de um sistema de foras a soma algbrica dos momentos polares, produzidos em relao ao mesmo ponto, por cada uma das foras atuando isolada. - O momento axial produzido por um sistema de foras atuando simultaneamente em um corpo igual soma algbrica dos momentos axiais, produzidos em relao ao mesmo eixo, de cada uma das foras atuando isolada.V. BINRIO OU PAR DE FORAS

A. CONCEITO Denomina-se binrio a um sistema constitudo por um par de foras paralelas, de mdulos iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de foras nula, entretanto h um momento polar resultante de mdulo igual ao produto da fora pela distncia entre as duas direes paralelas.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Exemplo 1:

F= a= b= c= d=

MA =

MD =

ME =

O binrio ou momento um vetor livre, pois seu efeito independe do ponto de aplicao, sendo que para qualquer ponto do plano o binrio tem o mesmo valor.

B. SITUAES REPRESENTATIVAS

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VI. TRANSLAO DE FORAS

Transladar uma fora (como artifcio de clculo) transport-la de sua direo para outra direo paralela. Isto implica no acrscimo de um momento devido translao, cujo mdulo igual ao produto da fora pela distncia de translao.

VII. REDUO DE UM SISTEMA DE FORAS A UM PONTO

Qualquer sistema de foras pode ser reduzido a um sistema vetor-par, onde o vetor a resultante das foras, localizada a partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par o momento polar resultante do sistema em relao ao mesmo ponto. Exemplo 1: Reduzir o sistema de foras da figura ao ponto B indicado.

Exemplo 2: Reduzir o sistema acima ao ponto A. R:

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VII. EQUIVALNCIA DE UM SISTEMA DE FORAS

Dois sistemas de foras so equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relao ao mesmo ponto tambm iguais. Exemplo: F=

=Fx = Fy = a= b= F - sistema inicial Fx, Fy - sistema equivalente MA (sistema inicial) = MA (sistema equivalente) = O uso de sistemas equivalentes um artifcio de clculo muito til. Pode-se, de acordo com a convenincia, substituir uma fora, ou um sistema de foras por sistemas equivalentes mais adequados ao nosso uso.

VIII. EQUILBRIO ESTTICO DOS CORPOS RGIDOS

A. EQUILBRIO NO ESPAO. Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espao. Tomando 3 eixos ortogonais como referencia de espao, e isto se faz necessrio por uma questo de classificao e organizao de mtodo, pode-se dizer que um corpo no espao tem 6 possibilidades de movimento ou 6 graus de liberdade. Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar 3 translaes (na direo dos 3 eixos) e 3 rotaes (em torno dos 3 eixos).My Fy Fx Fz Mx Mz z Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

y

x

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Um corpo est em equilbrio esttico quando as foras atuantes formam entre si um sistema equivalente a zero, isto , sua resultante e o seu momento polar em relao a qualquer ponto so nulos. R =0 Mp = 0 Como se costuma trabalhar com as foras e momentos referenciados a um sistema triortogonal de eixos, desta maneira o equilbrio se verifica se as 6 equaes abaixo so satisfeitas:

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0B. EQUILBRIO NO PLANO

Mx = 0 My = 0 Mz = 0

Quando o corpo est submetido a foras atuantes em um s plano, devemos prever o seu equilbrio neste plano. Supondo um corpo com cargas em apenas um plano, por exemplo, x, y. Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de liberdade, pois pode apresentar 2 translaes (na direo dos dois eixos) e 1 rotao(em torno do eixo perpendicular ao plano que contm as foras externas). Exemplo: yFy Fx

x

z

Mz

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, as condies de equilbrio se reduzem apenas s equaes:

Fx = 0

Fy = 0

Mz = 0

Estas equaes de equilbrio so chamadas de equaes fundamentais da esttica.

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EXERCCIOS PROPOSTOS:1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2. Calcule: a. Momentos desenvolvidos por F1 em relao aos pontos A , B e C. b. Momentos desenvolvidos por F2 em relao aos pontos A , B e C. c. Momento da resultante do sistema em relao aos pontos A , B e C . d. Resultante do sistema na direo x e. Resultante do sistema na direo y Convencione o giro no sentido horrio positivo.

F1 = 20 kN F2 = 30 kN

R: a) M1A = 0

M1B = 69,28 kN.m

M1C = 109,28 kN.m

b) M2A = 120 kN.m c) MA = 120 kN.m d) Fx = + 17,32 kN

M2B= 120 kN.m M2C = 0 MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m e) Fy = - 20 kN

2. Suponha as foras indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x. O sistema 1 representa um binrio e o sistema 2 representa outro. Convencione o sentido anti horrio positivo. a. Quanto vale o binrio 1 b. Quanto vale o binrio 2 c. So equivalentes? Por qu? d. Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relao aos pontos A , C e E. e. Quanto vale o momento polar do sistema 2 em relao aos pontos B , D e E. f. Quanto vale o momento polar resultante destes dois sistemas em relao aos pontos A,B,C D e E.

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R: a) + 20 kN.m

b) + 20 kN.m

c)sim

d) M1A = M1B=M1E = + 20 kN.m

e) M2B=M2D=M2E = + 20 kN.m

f) MA = MB = .....=ME = + 40 kN.m

3. Suponha foras como as do exerccio 3 perpendiculares ao eixo formando 2 binrios. Responda as perguntas do exerccio 2 usando a mesma conveno.

R: a)- 60 kN.m

b) + 60 kN.m

c) no

d) M1A=M1C=M1E = - 60 kN.m

e) M2B=M2D=M2E = + 60 kN.m

f) MA =MB = .....= ME = 0

4. Qual a fora horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligao abaixo, considerando o momento provocado pelo peso na ponta da haste

R: P1 = 100 kgf

P2 = 100 kgf

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5. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine, se necessrio usando sistemas equivalentes Fx ,Fy, MA, MB e MC a.

R: Fx = 25,98 kN 65 kN

Fy =

MA = 138,04 kN.m MB = 70 kN.m MC = 330 kN.m

b.

R: Fx =16,64 kN

Fy = -4,96kN

MA = -36 kN.m MB = -84 kN.m MC = -98,96 kN.m

6. Reduzir no ponto A o sistema de foras da figura:

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CAPTULO II INTRODUO MECNICA DOS SLIDOS EQUILBRIO EXTERNOI. OBJETIVO PRINCIPAL DA MECNICA DOS SLIDOS

O principal objetivo de um curso de mecnica dos slidos o desenvolvimento de relaes entre as cargas aplicadas a um corpo e as foras internas e deformaes nele originadas. Estas relaes so obtidas atravs de mtodos matemticos ou experimentais, que permitam a anlise destes fenmenos. Normalmente buscamos a soluo de trs tipos de problemas:

Projetos Definio de materiais, forma e dimenses da pea estudada. Verificaes Diagnosticar a adequao e condies de segurana de um projeto conhecido. Avaliao de capacidade Determinao da carga mxima que pode ser suportada com segurana.As principais ferramentas adotadas neste processo so as equaes de equilbrio da esttica, amplamente utilizadas.II. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

Grau de liberdade o nmero de movimentos rgidos possveis e independentes que um corpo pode executar. A. CASO ESPACIAL Caso dos corpos submetidos a foras em todas as direes do espao. No espao estas foras podem ser reduzidas a trs direes ortogonais entre si (x, y, z), escolhidas como referncia. Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar trs translaes (na direo dos trs eixos) e trs rotaes (em torno dos trs eixos). Exemplo:My Fy Fx Fz Mx Mz z

y

x

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B. CASO PLANO Ocorre nos corpos submetidos a foras atuantes em um s plano, por exemplo, x, y. Neste caso possuem trs graus de liberdade, pois os corpos podem apresentar duas translaes (na direo dos dois eixos) e uma rotao (em torno do eixo perpendicular ao plano que contm as foras externas). Exemplo: yFy Fx

x

z

Mz

III. EQUILBRIO

Sempre que se deseja trabalhar com uma pea componente de uma estrutura ou mquina, devemos observar e garantir o seu equilbrio externo e interno. A. EQUILBRIO EXTERNO Para que o equilbrio externo seja mantido se considera a pea monoltica e indeformvel. Dize-se que um corpo est em equilbrio esttico quando as foras atuantes formam entre si um sistema equivalente zero, isto , sua resultante e o seu momento polar em relao a qualquer ponto so nulos. R=0 Mp = 0 Como se costuma trabalhar com as foras e momentos referenciados a um sistema triortogonal de eixos, desta maneira o equilbrio se verifica se as seis equaes abaixo so satisfeitas:

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

Mx = 0 My = 0 Mz = 0

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, as condies de equilbrio se reduzem apenas s equaes:

Fx = 0

Fy = 0

Mz = 0

Observe que as equaes de equilbrio adotadas devem ser apropriadas ao sistema de foras em questo, e se constituem nas equaes fundamentais da esttica. B. EQUILBRIO INTERNO De uma maneira geral podemos dizer que o equilbrio externo no leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os vnculos.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se at atingir o equilbrio, onde as deformaes param de aumentar (so impedidas internamente), gerando solicitaes internas. Estas solicitaes internas so responsveis pelo equilbrio interno do corpo. O equilbrio ocorre na configurao deformada, que admitimos ser bem prxima da inicial (campo das pequenas deformaes).IV. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

O objetivo principal de um diagrama de corpo livre mostrar as foras que atuam em um corpo de forma clara, lgica e organizada. Consiste em separar-se o nosso corpo de interesse de todos os corpos do sistema com o qual ele interage. Neste corpo isolado so representadas todas as foras que nele atuam, assim como as foras de interao ou de contato. A palavra livre enfatiza a idia de que todos os corpos adjacentes ao estudado so removidos e substitudos pelas foras que nele que exercem. Lembre-se que sempre que h o contato entre dois corpos surge o princpio da ao e reao. O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou que parte do corpo est em estudo, assim como identifica quais as foras que devem ser includas nas equaes de equilbrio.V. VNCULOS

A. DEFINIO todo o elemento de ligao entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo. A fim de que um vnculo possa cumprir esta funo, surgem no mesmo, reaes exclusivamente na direo do movimento impedido.

Um vnculo no precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o far ser o conjunto de vnculos. As reaes desenvolvidas pelos vnculos formam o sistema de cargas externas reativas. Somente haver reao se houver ao, sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser calculadas.B. CLASSIFICAO Os vnculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e, portanto, se classificam em vnculos internos e externos.

B.1 Vnculos externos:So vnculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto ao nmero de graus de liberdade restringidos. No caso espacial os vnculos externos podem restringir at 6 graus de liberdade (GL) e, portanto podem ser classificados em seis espcies.

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No caso plano o vnculo pode restringir at 3 graus de liberdade (GL) e, portanto se classifica em trs espcies. Exemplos:

B.2 Vnculos internosSo aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano os vnculos podem ser de 2a e 3a espcie, como exemplificado na ligao de duas barras:

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Vnculo de 3 espcie ( solda )

Vnculo de 2a espcie (pinos, parafusos ou rtulas).

Vista Superior

Representao estrutural

Corte LongitudinalVI. CARGAS ATUANTES EM UMA ESTRUTURA

Quando se trabalha com uma pea de uma estrutura, devemos ter em mente a sua finalidade e, portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz de suportar. Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS. Para que o equilbrio desta pea seja garantido, devemos vincul-la, ou seja, restringirmos as possibilidades de movimento da mesma. Em cada vnculo acrescido, surgem as reaes na direo do movimento restringido. Estas reaes so chamadas de CARGAS EXTERNAS REATIVAS. O conjunto destas cargas, ativas e reativas, se constitui no carregamento externo da pea em estudo. A. CARGAS EXTERNAS ATIVAS As cargas aplicadas em uma pea de estrutura se classificam quanto ao modo de distribuio em: Concentradas - So aquelas que atuam em reas muito reduzidas em relao s dimenses da estrutura. Neste caso ela considerada concentrada no centro de gravidade da rea de atuao. Cargas momento ou conjugados - momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de foras, cargas excntricas ou eixos de transmisso.

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cargas distribudas - So aquelas que atuam em uma rea com dimenses na mesma ordem de grandeza da estrutura. As cargas tambm se classificam quanto ao tempo de durao em: Permanentes - Atuam durante toda ou quase toda a vida til de uma estrutura Acidentais ou sobrecarga - Podem estar ou no atuando , sendo fornecidas por normas (NBR - 6.120/80), catlogos ou avaliadas em cada caso. A classificao quanto ao ponto de aplicao fica: Fixas atuam sempre em um ponto ou uma regio. Mveis percorrem a estrutura podendo atuar em vrios dos seus pontos.VII - EQUILBRIO EXTERNO EM DUAS DIMENSES

Ocorre quando as cargas que atuam na estrutura esto contidas em um mesmo plano, o que acontece na maior parte dos casos que iremos estudar. Nestes problemas, conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devemos calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilbrio, neste plano. Reaes externas ou vinculares so os esforos que os vnculos devem desenvolver para manter em equilbrio esttico uma estrutura, considerada como um corpo rgido e indeformvel. Os vnculos so classificados de acordo com o nmero de graus de liberdade restringidos e s podemos restringir um GL mediante a aplicao de um esforo (fora ou momento) na direo deste movimento. A determinao das reaes vinculares de uma estrutura feita por intermdio de um sistema de equaes algbricas. Sendo o plano das cargas x y, e sabendo-se que a estrutura possui trs graus de liberdade (translao nas direes x e y e rotao em torno do eixo z), o nmero de equaes a serem satisfeitas trs e o equilbrio se d quando:

Fx = 0

Fy = 0

Mz = 0

Convm salientar que neste caso do carregamento plano, os vnculos podem ser de trs espcies, simbolizados por: 1a espcie - restringe uma translao 2a espcie - restringe duas translaes 3a espcie - restringe duas translaes e uma rotao Desta maneira, cada movimento restringido corresponde a uma reao vincular (incgnita), que deve ser determinada. Para serem restritos trs graus de liberdade, as reaes devem ser em nmero de trs.

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Como se dispe de trs equaes a serem satisfeitas, a aplicao destas equaes leva determinao das reaes (incgnitas) desejadas. OBSERVAO IMPORTANTE: A eficcia vincular deve ser previamente analisada, pois muitas vezes o nmero de restries suficiente, mas a sua disposio no eficiente.VIII - PROCEDIMENTO DE CLCULO:

A. Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vnculos externos pelas reaes vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforo. B. Para que o equilbrio externo seja mantido necessrio que as trs equaes da esttica sejam satisfeitas.

Fx = 0

Fy = 0

Mz = 0

C. As cargas distribudas devem ser substitudas por suas respectivas resultantes (este artifcio vlido somente para o clculo das reaes externas). D. Como escolhemos direes de referncia (x e y), as cargas que no estiverem nestas direes devem ser decompostas, ou seja, substitudas por um sistema equivalente. E. Resolvido o sistema de equaes, reao negativa deve ter o seu sentido invertido.

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EXERCCIOS PROPOSTOS: 1. Observe-se na figura abaixo, trs cargas aplicadas a uma viga. A viga apoiada em um rolete em A e em uma articulao em B. Desprezando o peso prprio da viga, determine as reaes em A e B quando Q = 75 kN.

R: VA = 30 kN ( ) VB = 105 kN ( ) HB = 0 2. Um vagonete est em repouso sobre os trilhos que formam um ngulo de 25 com a vertical. O peso bruto do vagonete e sua carga so de 27,5 kN e est aplicado em um ponto a 0,75 m dos trilhos e igual distncia aos eixos das rodas. O vagonete seguro por um cabo atado a 0,60 m dos trilhos. Determinar a trao no cabo e a reao em cada par de rodas.

R: T = 24,9 kN ( ) R1 = 2,81 kN ( ) R2 = 8,79 kN ( ) 3. A estrutura da figura suporta parte do telhado de um pequeno edifcio. Sabendo que a trao no cabo de 150 kN, determine a reao no extremo fixo E.

R:

HE = 90 kN ()

VE = 200 kN ( )

ME = 180 kN.m ( anti-horrio) 25

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4. Uma empilhadeira de 2500 kgf utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf. Determine a reao em cada par de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.

R:

RA = 2566 kN RB = 1134 kN

5. Um carrinho de mo utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido. Sabendo-se que o peso total do carrinho e do cilindro de 900 N, determine: (a) a fora vertical P que deve ser aplicada ao brao do carrinho para manter o sistema na posio ilustrada. (b) a reao correspondente em cada umA das rodas.

R: (a ) 117 N ( ) (b) 392 N ( ) 6. Um guindaste montado em um caminho utilizado para erguer um compressor de 3000 N. O peso da lana AB e do caminho esto indicados, e o ngulo que a lana faz com a horizontal de 45. Determine a reao em cada uma das rodas: (a) traseiras C, (b) dianteiras D.

R: RC = 19645 kN RD = 9605 kN

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7. Uma trelia pode ser apoiada de duas maneiras, conforme figura. Determine as reaes nos apoios nos dois casos.

R: (a) RA = 4,27 kN ( 20,6) RB = 4,5 kN ( ) (b) RA = 1,50 kN ( ) ; RB = 6,02 kN ( 48,4) 8. Determine as reaes em A e B quando: (a) = 0 (b) = 90 (c) = 30

9. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma corda. Encontrar a fora de trao T na corda e a reao em A. Suponha a acelerao da gravidade igual a 9,81 m/s2.

R: T = 81,9 N R = 148 N (

58,6 )

10. Uma carga P aplicada a rotula C da trelia abaixo. Determine as reaes em A e B com: (a) = 0 e (b) = 45.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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R: = 0o = 45o a.

VA = -P VA = 0

HA = P HA = 0,7 P

VB = P VB = 0,7 P

11. Calcule as reaes externas das estruturas abaixo:

R: VA = VB 27,5 KN HA = 25,98 KN b.

VA = - 5 kN VB = 95 kN HA = 0

c.

R: VA = - 8,75 kN VB = 8,75 kN HA = 0 d.

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R: VA = 60 kN VB = 0 HA = 0 e.

VA = 27,5 kN VB = 62,5 kN HB = 0

f.

R : VA = 40 kN HA = 0 MA = 75 kN.M (anti-horrio)

g.

R: VA = 70 kN HA = 0 MA = 140 kN.m (anti-horrio) h.

R: VA = 73,4 kN HA = 25 kN ()Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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MA = 68,3 kN (anti-horrio) i.

RA = 40,81 kN VB= 102,8 kN VC = 52,14 kN j.

R: VA = VB = 25 kN HA = 0

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CAPTULO IIIEQUILBRIO INTERNO SOLICITAES INTERNAS

I. EQUILBRIO INTERNO No captulo 3 a ateno foi centrada no equilbrio externo dos corpos, ou seja, no foi considerada a possibilidade de deformao dos corpos, considerando-os como rgidos. Nestes problemas, conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e deve-se calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilbrio. As cargas reativas ou reaes vinculares so determinadas com a aplicao das equaes fundamentais da esttica. Observe que o nmero de equaes de equilbrio deve ser no mnimo igual ao nmero de reaes a serem calculadas. O estudo vai abordar os casos estaticamente determinados ou ISOSTTICOS, estruturas em que as equaes da esttica so necessrias e suficientes para a definio do equilbrio. Diante de uma estrutura com carregamento plano, as equaes da esttica se resumem em:

Fx = 0

Fy = 0

Mz = 0

De uma maneira geral diz-se que: 1. O equilbrio no leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios. 2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se at atingir o equilbrio, onde as deformaes param de aumentar (so impedidas internamente), gerando solicitaes internas. 3. O equilbrio ocorre na configurao deformada, que admitimos ser bem prxima da inicial (campo das pequenas deformaes). A analise ser feita para a determinao de quais os efeito que a transmisso deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas sees que constituem o corpo em equilbrio. Para tanto, supe-se o corpo em equilbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Ao cortar este corpo por um plano qualquer (a-a), rompe-se o equilbrio, pois sua cadeia molecular destruida na seo "S" de interseo do plano com o corpo.

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Para que as partes isoladas pelo corte permaneam em equilbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a parte da direita exercia sobre ela ou seja, r da esquerda, a ao que a parte r resultante de fora ( R ) e resultante de momento ( M ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes esto tambm representadas. r R - Resultante de foras da parte retirada r M - Resultante de momentos da parte retirada, que surge devido a translao da fora resultantr para o centro de gravidade da seo.

M

M

As resultantes nas sees de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situao original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princpio da ao e reao devem ser de mesmo mdulo, mesma direo e sentidos opostos. r r R e M so as resultantes das solicitaes internas referidas ao centro de gravidade da seo de corte da barra. Quando se quer os esforos em uma seo S de uma pea, deve-se cortar a pea na seo desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ). No centro de gravidade desta seo devem aparecer esforos internos (resultante de fora e de momento) que mantm o corpo isolado em equilbrio. Estes esforos representam a ao da parte retirada do corpo. Em isosttica a seo de referncia adotada ser a seo transversal das peas em estudo e estes esforos internos devidamente classificados se constituem nas solicitaes internas. II. CLASSIFICAO DAS SOLICITAES Para que se facilite a observao e sua determinao, os esforos internos esto associados s deformaes que provocam e se classificam de acordo com elas. Um vetor no espao pode ser decomposto segundo 3 direes e adotam-se 3 direes perpendiculares entre si no espao (x,y,z). r r Decompondo os vetores resultantes R e M segundo estas direes escolhidas, tem-se:

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Qy Qx NMz My Mt

Observe que foram escolhidas 3 direes perpendiculares entre si com a seguinte caracterstica: 2 direes contidas pela seo de corte e a terceira perpendicular seo de corte. As componentes so assim denominadas: N - Esforo Normal Q - Esforo Cortante M - (Mz e My) - Momento Fletor Mt (Mz) - Momento Torsor Cada solicitao tem associada a si uma deformao: A. ESFORO NORMAL (N) : O esforo normal em uma seo de corte a soma algbrica das componentes de todas as foras externas na direo perpendicular referida seo (seo transversal), de um dos lados isolado pelo corte na direo do eixo x. N = Fx ext O efeito do esforo normal ser de provocar uma variao da distncia que separa as sees, que permanecem planas e paralelas. As fibras longitudinais que constituem estas sees tambm permanecem paralelas entre si, porm com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)

O esforo normal ser considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de encurtamento.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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B. ESFORO CORTANTE (Q) : O esforo cortante em uma seo de referncia a soma vetorial das componentes do sistema de foras de um dos lados do corte (referncia), sobre o plano da seo considerada. No usual trabalhar-se com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois eixos de referncia contidos pela seo. Resultam em 2 esforos (Qy e Qz) obtidos pela soma algbrica das componentes das foras do sistema nestas direes. Qy = Fyext Qz = Fzext

O efeito do esforo cortante o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforo, de uma seo sobre a outra infinitamente prxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.

Os esforos cortantes (Qy,Qz) sero positivos, quando calculados pelo somatrio das foras situadas esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatrio das foras direita forem contrrios aos eixos. C. MOMENTO FLETOR (M) : O momento fletor em uma seo a soma vetorial dos momentos provocados pelas foras externas de um dos lados da seo (tomada como referncia), em relao aos eixos nela contidos (eixos y e z). No usual entretanto trabalhar-se com a soma vetorial optando-se pelo clculo separado dos momentos em relao aos eixos y e z, transformando a soma em algbrica. My = myext Mz = mzext

O efeito do momento fletor o de provocar o giro da seo, em torno de um eixo contido pela prpria seo. As fibras de uma extremidade so tracionadas enquanto que na outra so comprimidas (as sees giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).

O momento fletor Mz considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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D. MOMENTO TORSOR : O momento torsor de uma seo a soma algbrica das componentes dos momentos das foras externas de um dos lados da referncia, em relao ao eixo longitudinal da pea (eixo x). Mt = mxext O Momento torsor provoca o giro da seo em torno do seu baricentro, ou de todas as sees em torno do eixo longitudinal da pea.

(a)Antes da deformao

Crculos permanecem circulares Linhas longitudinais transforman-se em hlices de pequenssima curvatura

Linhas radiais permanecem retas (b) Depois da deformao

A conveno de sinais adotadas para o momento torsor anloga do esforo normal, ou seja, o momento torsor considerado positivo quando sua seta representativa est saindo da seo de referncia (regra da mo direita).

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III. SOLICITAES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL E PLANO. A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral). Nestes casos as cargas esto se desenvolvendo em todas as direes do espao, portanto podese tem componentes de fora e momento em todas as direes tambm. yMy Fy Fx Fz Mx Mz z

x

Esforos desenvolvidos:

B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO As cargas esto contidas em um nico plano, por exemplo, plano x , y . o caso mais comum e ao qual vai-se estudar. yFy Fx

x

z

Mz

Esforos desenvolvidos: N - Esforo Normal R Q (Qy) Esforo cortante M - Mz Momento Fletor

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IV. CLCULO DAS SOLICITAES INTERNAS EM CARREGAMENTO PLANO MTODO DAS SEES

SISTEMAS

COM

Conforme foi visto, ao se cortar uma estrutura por uma seo, nesta seo devem aparecer esforos que equilibrem o sistema isolado. Estes esforos so chamados de Solicitaes Internas. Iniciando por estruturas sujeitas carregamento plano, onde os esforos desenvolvidos so o esforo normal N (Fx), o esforo cortante Qy (Fy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de se uniformizar a representao so adotadas convenes para o sentido positivo destas solicitaes.

O MTODO DAS SEES consiste em: 1. Cortar a pea na seo desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer um), com todos os esforos externos atuando. 2. Na seo cortada devem ser desenvolvidas solicitaes que mantm o sistema isolado em equilbrio. Arbitramos as solicitaes possveis de serem desenvolvidas (N, Q e M) com suas orientaes positivas. Estas solicitaes so os valores que devemos determinar. 3. Aplicando as equaes de equilbrio, por exemplo, em relao seo cortada, determinamos os valores procurados. Observe-se que as solicitaes a serem determinadas so em nmero de 3 e dispomos tambm de 3 equaes de equilbrio, podendo-se ento formar um sistema de 3 equaes com 3 incgnitas. Exemplo: Calcule as solicitaes desenvolvidas na seo intermediria da viga abaixo.

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VA = VB = Cortando e isolando um dos lados do corte:

q.l 2

Aplicando as equaes de equilbrio, teremos:

Fx = 0 Fy = 0 MS = 0

N=0

Q

q.l q.l + =0 Q=0 2 2

q.l l q.l l M + . . = 0 2 4 2 2

Ms = EXERCCIOS PROPOSTOS:

q.l 2 8

1. Uma barra est carregada e apoiada como mostra a figura. Determine as foras axiais transmitidas pelas sees transversais nos intervalos AB, BC e CD da barra:

40 kN 10 kN 50 kN 40 kN R: NAB = - 60 kN NBC = + 60 kN NCD = + 10 kN 2. Trs cargas axiais esto aplicadas a uma barra de ao como mostra a figura. Determine os esforos normais desenvolvidos nas sees AB, BC e CD da barra.

R : NAB = - 25 kN NBC = +50 kN NCD = - 50 kN

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3. Determine as solicitaes internas desenvolvidas na seo a-a da barra da figura abaixo: 500 kN 300 kN

8 cm

16 cm

12 cm

R: N = 300 kN Q = - 500 kN M = -3600 kN.cm

4. Determine as solicitaes internas na seo a-a da barra ABC da estrutura composta pelas 3 barras mostradas na figura:

5. Determine as solicitaes na seo a-a da barra abaixo:

R : N = 225 N Q = -139,71 N () M = + 95,91 N.m (hor)

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6. Para a viga da figura abaixo determine as reaes externas de vnculo e as solicitaes internas transmitidas por uma seo transversal `a 75 cm do apoio A.

32 kN 10 kN/m

4m

1,5 m

7. Para a viga abaixo, determine as reaes de apoio e as solicitaes internas em uma seo 2 m do apoio esquerdo.

R: VA = 21 kN () VB = 9 kN () N= 0 Q = 11 kN () M = 14 kN.m (anti) 8. Determine as solicitaes internas transmitidas pela seo a-a da barra em L mostrada abaixo:

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CAPTULO IV TRELIAS ISOSTTICASI. DEFINIO:

Trelia ideal um sistema reticulado indeformvel cujas barras possuem todas as suas extremidades rotuladas e cujas cargas esto aplicadas nestas rtulas. Exemplo:

OBSERVAES: Qualquer polgono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vrtices deformvel (hiposttico) com exceo dos casos abaixo:

As trelias surgiram como um sistema mais econmico que as vigas para vencerem vos maiores ou suportar cargas maiores. Embora o caso mais geral seja o de trelias espaciais, o mais frequente o de trelias planas, que ser o estudado em nosso curso. Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto , sendo livre sua rotao relativa nos ns), conforme figura (a). No frequente, no entanto, a unio destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos ns atravz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b)

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Estas ligaes criaro sempre pequenas restries livre rotao relativa das barras nos ns, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras. Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um nico ponto em cada n, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria desenvolvida, sendo ela vlida do ponto de vista prtico.

II. TRELIAS PLANASA. SOLICITAES INTERNAS Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma trelia por terem suas extremidades rotuladas (rtulas no absorvem momento), desenvolvem apenas esforos normais constantes ao longo de suas barras. Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma trelia. Sabe-se que uma rtula no transmite momento, apenas esforos na direo do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas s esto aplicadas nos ns. A anlise do equilbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma trelia s existem esforos na direo do eixo longitudinal da mesma e que so de mesmo mdulo, porm sentidos contrrios. A existncia de esforos perpendiculares ao eixo da barra (esforo cortante) descartada pois as barras no so carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.

Concluso: A nica solicitao interna desenvolvida um Esforo Normal constante ao longo da mesma. Como o esforo normal constante ao longo da barra podemos calcular o seu valor em uma seo qualquer, da barra que se deseja.

B. RTULASVnculo interno todo o elemento que une as partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2a e 3a espcie.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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1. Vnculo interno de 3a espcieSejam duas barras livres no espao com carregamento plano: Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL. Unindo-as rgidamente ,por exemplo, atravz de uma solda, o nmero de GL do conjunto passa a ser 3,portanto 3 GL restringidos. Se chamarmos de RT o nmero de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3 (vnculo de 3a espcie) 2. Vnculo de 2a espcie (PINOS OU RTULAS)

Representao Estrutural : So vnculos que podem desenvolver reaes internas verticais e horizontais podendo transmitir foras nestas direes que se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas. Rtulas so vnculos internos de segunda espcie Para que as rtulas de uma estrutura estejam em equilbrio necessrio que o momento polar das cargas externas em relao elas seja nulo. C. CLASSIFICAO DA ESTATICIDADE DE UMA TRELIA Sejam: b - nmero de barras r - nmero de reaes externas As incgnitas do problema sero em nmero de b + r, ou seja, o nmero de reaes e a solicitao de esforo normal em cada barra. O nmero de equaes ser de 2n, pois em cada n se aplicam as equaes de equilbrio de um ponto material ( Fx = 0 Fy = 0 ). Ento, se r+b2n trelia hiposttica 43 n - nmero de ns ou rtulas

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r+b=2n sem em

Sugere tratar- se de uma trelia isosttica, o que no pode ser confirmado antes analisarmos os apoios externos e a lei de formao interna da trelia questo.

r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma trelia hiperesttica, sendo vlidas as observaes feitas no caso anterior.

D. CLASSIFICAO DA TRELIA QUANTO LEI DE FORMAO Quanto a formao as trelias podem ser :

1. Simples :A trelia ser simples se puder ser obtida a partir de configuraes indeformveis pela adio de duas a duas barras partindo ns j existentes para novos ns (um novo n para cada duas novas barras). Exemplo:

2. CompostaA trelia isosttica e composta quando for formada por duas trelias simples ligadas por 3 barras no simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um n e uma barra sendo que esta barra no concorre no n citado. A resoluo de uma trelia composta pode recair no caso de duas trelias simples, mediante o clculo prvio dos esforos nos elementos de ligao, o que permitir isol-las para fins de clculo esttico. Exemplo:

3. Complexa:Uma trelia complexa classificada por excluso, ou seja, quando no simples e nem composta. Observe que no podemos afirmar se ela isosttica pela simples anlise de b + r = 2 n que uma condio necessria, mas no suficiente para garantir a isostaticidade. O reconhecimento de sua real classificao feito pelo mtodo de Henneberg.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Exemplo:

III. MTODO DE RESOLUO DAS TRELIAS ISOSTTICAS SIMPLES

O clculo dos esforos normais nas barras de uma trelia isosttica simples pode ser feito de vrias maneiras: Mtodo dos ns Mtodo de Ritter ou das sees Mtodo de Cremona Mtodos Informatizados No curso vamos nos ater ao primeiro mtodo , j que o mtodo de Cremona, por ser um mtodo grfico est em desuso com a aplicao da mecanizao dos clculos (informtica). A. MTODO DOS NS. o mtodo natural de resoluo que consiste em se estudar o equilbrio de cada n isolado. Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos ns que possuam apenas duas incgnitas determinar (esforo normal de 2 barras). Aplicamos as equaes de equilbrio esttico: Fx = 0 Fy = 0 Note-se que se o n tiver mais de duas barras serem determinadas (2 incgnitas), 2 equaes no bastam para a soluo do sistema. ROTEIRO: 1 - Clculo das reaes externas (se necessrio) 2 - Escolha do 1 n ser examinado 3 - Aplicao das equaes de equilbrio no n escolhido 4 - Resolvido o primeiro n, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela ter apenas duas incgnitas (2 barras serem determinadas) OBS: Este mtodo apresenta o problema de acumular os erros de clculos que por acaso forem cometidos.

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EXERCCIOS PROPOSTOS:1.

VA = - 40 kN

HA = 20 kN ( )

VB = 60 kN

R:Esforos normais: NAB = 0 NAC = + 20 kN NAD = + 28,28 kN NBD = - 60 kN NCD = - 20 kN NCE = 0 NCF = + 28,28 KN NEF = - 20 kN NDF = - 40 kN

2.

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Respostas:

VA = 40 kN VB = 40 kN NAC = NCD = - 136,4 kN NAF = 132,3 kN NFG = + 89 kN NCF = + 20 Kn NFD = + 47,6 kN NDG = 0

3.

4.

Respostas: VA = 50 kN NID = - 10 kN HA = 60 KN() NCD = +160 kN VB = 50 Kn NIJ = - 160 kN

NAH = - 70,7 kN

NAC = +110 kN

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CAPTULO V SOLICITAES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA I. CONVENES:Conforme foi visto, cortada uma estrutura por uma seo, nesta seo devem aparecer esforos que equilibrem o sistema isolado (solicitaes internas). Em estruturas sujeitas carregamento plano onde os esforos desenvolvidos so o esforo normal N (Fx), o esforo cortante Qy (Fy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com a finalidade de uniformizar a representao, sero mostradas graficamente as convenes para o sentido positivo destas solicitaes.

A. CLCULO DAS SOLICITAES EM UMA SEO ARBITRRIA No calculo da solicitao desenvolvida em uma seo qualquer de uma pea carregada, usase o mtodo das sees: Corta-se a pea na seo desejada, isolando um dos lados do corte (qualquer um). Na seo cortada devem ser desenvolvidas solicitaes que mantm o sistema isolado em equilbrio. Exemplo 1: Calcule as solicitaes desenvolvidas na seo intermediria da viga abaixo.

VA = VB = Cortando e isolando um dos lados do corte:

q.l 2

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Aplicando as equaes de equilbrio, teremos: Fx = 0 Fy = 0 MS = 0 Ms = B. METODO DAS EQUAES Supondo que se queira as solicitaes desenvolvidas em diversas sees da viga, deveria se repetir o procedimento acima exemplificado, em quantas sees quantas pretendidas. Ao se efetuar esta sucesso de cortes, observa-se que as equaes de equilbrio formadas so as mesmas, com mudana apenas na distancia da seo cortada a referncia. Pode-se generalizar este procedimento criando uma varivel, por exemplo "x", que represente esta distncia de uma forma genrica. q.l 2 8 N=0 Q q.l q.l + =0 Q=0 2 2

q.l l q.l l M + . . = 0 2 4 2 2

onde 0 x l (limites de validade da varivel x). Ento: Fx = 0 Fy = 0 MS = 0 N=0

Q

q.l q.l + q.x = 0 Q = q.x + 2 2q.l q.x 2 x M = .x 2 2

x q.l M + q.x. .x 2 2

Esta representao se constitui o que se chama de mtodo das equaes

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C. PONTOS DE TRANSIO Inicia-se com um exemplo, calculando as solicitaes desenvolvidas nas sees S1 e S2 da viga abaixo:

VA = Pb/l S1: 0 x1 a

VB = Pa/l

Fx = 0 Fy = 0 M=0 S2 :

N=0 Q-Pb/l = 0 M - Pb/l .x1 = 0 a x2 l Fx = 0 Fy = 0 M=0 N=0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P Q = Pb/l M = Pb/l . x1

M + P (x2 - a) - Pb/l . x2= 0

M = Pb/l . x2 - P(x2 - a) Constata-se que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois do origem a equaes diferentes (na 2 no entra a carga P). Matematicamente pode-se chama-lo genericamente de x e trabalhar no domnio da funo. 1o trecho 2o trecho 0xa equaes vlidas para o primeiro trecho: Q(x) = Pb/l M(x) = Pb/l.x axl equaes vlidas para o segundo trecho: Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l M(x) = Pb/l.x - P(x-a)

No exemplo acima intuitivamente foi identificado um ponto de transio, que seria o ponto de aplicao da carga P, a partir do qual h a mudana na equao. Conforme foi visto h a necessidade de analisar um trecho antes e outro depois deste ponto de transio.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Generalisando o acima, sempre que houver um ponto de transio deve-se proceder desta maneira. De maneira anloga, ponto de transio todo aquele ponto em que h alterao no carregamento: Ponto de fora aplicada

Ponto de momento aplicado

Ponto de troca da taxa de carregamento.

De acordo com o que foi vistocalculam-se as solicitaes como funes da varivel x, com trecho de validade pr-estabelecido, obtendo-se equaes gerais, com validade nos diversos trechos vistos. Quando se quer o valor da solicitao em uma seo em especial, de ordenada x conhecida, basta substituir-se nas equaes o valor de x pela ordenada numrica desejada. Em geral o valor mximo das solicitaes em toda a estrutura deve ser conhecido e no apenas em pontos especficos da mesma. Lembrando clculo diferencial o mximo de uma funo ocorre quando a sua primeira derivada nula. D. PROCEDIMENTO DE CLCULO Este procedimento de clculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples. Dado o esquema estrutural da pea (vnculos, cargas ativas e vos): 1. Clculo das reaes externas 2. Identificao dos pontos de transio criando trechos pr-estabelecidos 3. Usar o mtodo de corte de sees em cada um destes trechos, adotando como genrica desta seo a varivel x, que valer dentro dos limites dos trechos. posio

4. Supe-se em cada seo cortada o aparecimento das solicitaes previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo. 5. Aplicam-se as equaes de equilbrio esttico em cada um dos cortes, obtendo-se ento as equaes desejadas.Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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6. Representao destas equaes sob a forma de um diagrama, conforme conveno abaixo:

N

Q

x

x

M

x

OBS: As cargas distribudas no mais podem ser substitudas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados.

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TRAADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAES INTERNAS1. 2.

3. 4.

.

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53

5.

6.

7.

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CAPTULO VI GRELHAS ISOSTTICASI . ASPECTOS GERAIS

Um sistema de foras em equilbrio no espao obedece as seis equaes fundamentais da esttica: Fx = 0 Mx = 0 Fy = 0 My = 0 Fz = 0 Mz = 0

Em um caso particular de um sistema de foras no espao paralelas entre si:

Sendo todas as foras paralelas ao eixo z, verificamos que as equaes da esttica : Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0

se transformam em meras identidades, pois se todas as foras so paralelas z elas no tero componentes na direo x , y e nem formaro momentos em torno do eixo z, por lhe serem paralelas.

Permanecero vlidas como equaes de equilbrio apenas as tres restantes, isto : Fz = 0 Mx = 0 My = 0

Pode-se afirmar que um sistema de foras paralelas no espao regido por tres equaes da esttica, sendo duas de momentos nulos em relao a dois eixos situados no plano perpendicular ao das cargas e a terceira de fora nula em relao ao eixo paralelo as cargas.II . DEFINIO

Uma grelha uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu plano, regida pelas equaes: Fz = 0 Mx = 0 My = 0

Observando o funcionamento de uma grelha pode-se afirmar que suas barras, em uma seo genrica qualquer, podem estar sujeitas a tres esforos simples:Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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Esforo Cortante (Q), Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt), que devem ser calculados e expressos sob a forma de um diagrama. conveno de sinais:

O Esforo Cortante soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra em estudo. O Momento Fletor a soma de todos os momentos que provocam o giro da seo em torno de um eixo contido pela seo tranversal da barra em estudo. O Momento Torsor o momento que provoca o giro da seo em torno do seu eixo longitudinal. A. REAES VINCULARES Uma grelha ser isosttica quando tivermos apenas tres incgnitas a serem determinadas, pois dispomos de tres equaes de equilbrio para esta determinao. Exemplos:

1.

Neste caso, observa-se uma grelha engastada e livre, cujas reaes de engaste so VD , MD e MtD , obtidas pelas equaes disponveis: Fz = 0 Mx = 0 My = 0

conveninte nos casos de grelhas engastadas que se localize a referncia junto ao engaste.

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2.

Neste segundo caso, observa-se uma grelha triapoiada, cujas reaes de apoio tambm podem ser determinadas pelas equaes da esttica que regem este tipo de estrutura. Pode-se usar o artifcio de deslocar os eixos x e y de referncia, fazendo-os coincidir com barras convenientes da grelha. Neste caso pode-se iniciar fazendo a barra AB coincidir com o eixo x e dizer que: MAB = 0 Com a aplicao desta equao de equilbrio, determinamos VD. A seguir o eixo y ser coincidente com a barras BD e aplicando a equao MBD = 0 o que nos fornecer VA . Finalmente por Fz = 0 , calculamos VB. B. APLICAES Para se obter os diagramas solicitantes para a grelha, cujas barras formam em todos os ns angulos retos, devem ser analizadas as barras, levando-se em considerao os seus pontos de transio. Cada n deve ser considerado um ponto de transio e portanto a adequao das solicitaes devido a mudana de direo. O momento fletor que atua em uma determinada barra, far o efeito de torsor em uma barra perpendicular a citada e vice-versa.

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Exemplo 1:

Em uma grelha engastada e livre, no necessrio o clculo prvio das reaes vinculares, pois os diagramas solicitantes podem ser obtidos partir da parte livre (Balano) at o engaste. O estudo feito barra por barra, iniciando-se, no caso pela barra AB que funcionar como uma viga engastada em B e livre em A. Os demais passos sero como nos demais casos, percorrendo a estrutura toda, passando por todas as barras.

A partir dos esquemas vistos pode-se obter facilmente os diagramas dos esforos solicitantes para a grelha.

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Exemplo 2: Grelha triapoiada

Clculo das reaes de apoio: MBC = 0 10 x 4 + 30 x 4 + 40 x 2 - 4 VE = 0 MCE = 0 2 VB + 30 x 2 - 10 x 2 - 40 x 2 = 0 FV = 0 VC + VB + VE - 40 - 10 - 30 = 0 VC = 80 - VB - VE ou Diagramas de Solicitaes:

VE = 60 kN

VB = 20 kN

VC = 0

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CAPTULO VII PRTICOS PLANOSI . ASPECTOS GERAIS

Prtico so estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si. Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostticos planos, que associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER), formam os chamados quadros compostos. So eles:

II. CLCULO DAS SOLICITAES:

O estudo de suas reaes externas j foi realizado anteriormente, portanto, pode-se passar ao estudo dos diagramas solicitantes. Em estruturas lineares horizontais (vigas) foi adotada uma conveno para as solicitaes, baseadas nos conceitos de esquerda e direita da seo em estudo. No estudo dos prticos, utiliza-se uma nova notao, visto a existncia de barras verticais, horizontais e inclinadas, onde definem-se os lados externos e internos das barras que constituem a estrutura. Identifica-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal, baseados no artifcio de linearizar a estrutura, ficando desta forma possvel utilizar-se as convenes j adotadas. Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das vigas, identificando-se fcilmente as convenes.

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Linearizar a estrutura apenas um artifcio usado para a adaptao das convenes j estabelecidas, porm no vlida para o clculo das solicitaes, pois estaria-se alterando, com a mudana de direo das barras, o funcionamento da estrutura. Deve-se ressaltar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra, continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das sees transversais, e os eixos y e z, perpendiculares este e contidos pela seo de corte (eixos principais centrais de inrcia).

O mtodo das equaes torna o estudo dos prticos muito demorado, pois alm de cortarmos a estrutura por uma seo antes e outra depois dos pontos de transio j definidos, quando h mudana de barra tambm deve ser interrompida a equao, pois uma carga que produz esforo normal em uma barra vertical, produz esforo cortante na barra horizontal perpendicular e ela, e vice-versa. Deve-se encarar esta mudana de direo como um novo ponto de transio, examinando sees antes e depois deles. No prtico ao lado, existem seis sees a serem analisadas. Deve-se salientar o fato de que ao se considerar a seo de uma barra qualquer de um prtico, devem ser consideradas todas as cargas externas aplicadas direita ou esquerda da seo, inclusive as cargas que atuam em outras barras que no a em estudo.

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EXERCCIOS PROPOSTOS:1.

.

VA = 70 kN VB = 0 HB = 10 kN ( )

DIAGRAMAS:

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2.

VA = 25,13 Kn DIAGRAMAS:

VB = 46,87 kN

HB = 6 kN ()

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3.

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4.

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5.

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6.

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CAPTULO VIII INTRODUO RESISTNCIA DOS MATERIAISI. OBJETIVO FUNDAMENTAL

A Resistncia dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ao de solicitaes. Ao estudar-se o equilbrio interno de um corpo, as solicitaes internas fundamentais (M, Q, N e Mt) so determinadas. Se est penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em suas diversas sees, a existncia e a grandeza dos esforos que a solicitam. A avaliao destes esforos foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostticas que deve preceder a Resistncia dos Materiais. Consideram-se corpos reais, istropos e contnuos constitudos de pequenas partculas ligadas entre si por foras de atrao. Com a aplicao de esforos externos supe-se que as partculas destes corpos se desloquem e que isto prossiga at que se atinja uma situao de equilbrio entre os esforos externos aplicados e os esforos internos resistentes. Este equilbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformaes (mudana da forma original), dando origem tenses internas. Observe-se que o equilbrio se d na configurao deformada do corpo, que admitiremos como igual a configurao inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformaes. Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre: 1. Um fenmeno geomtrico que a mudana da sua forma original: Isto deformao. 2. Um fenmeno mecnico que a difuso dos esforos para as diversas partes do corpo: Isto tenso. claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitaes que lhe so impostas limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo. necessrio conhecer esta capacidade para que se projete com segurana. Pode-se resumir um problema de Resistncia dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

Cargas Externas Ativas Estrutura Cargas Externas Reativas Solicitaes

Tenses

Deformae

Limite Resistente do Material

Critrio de Resistncia (Coeficiente de Segurana)

PROJETO

VERIFICAO

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II. TENSES

Conforme se citou, as tenses que se desenvolvem nas partculas de um corpo so consequncia dos esforos (fora ou momento) desenvolvidos. Como os esforos so elementos vetoriais (mdulo, direo e sentido) a tenso como consequncia tambm o ser. Lembra-se do mtodo das sees visto em Isosttica: Supe-se um corpo carregado e em equilbrio esttico. Ao se cortar este corpo por um plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seo cortada devem se desenvolver esforos que se equivalham aos esforos da parte retirada, para que assim o sistema permanea em equilbrio. Estes esforos so decompostos e se constituem nas solicitaes internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar ao mesmo resultado.

As resultantes nas sees de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situao original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princpio da ao e reao devem ser de mesmo mdulo, mesma direo e sentidos opostos. r r R e M so as resultantes das solicitaes internas referidas ao centro de gravidade da seo de corte da barra. Partindo-se deste raciocnio pode-se afirmar que em cada elemento de rea que constitui a seo cortada, est sendo desenvolvido um elemento de fora, cujo somatrio (integral) ao longo da rea mantm o equilbrio do corpo isolado. r R = .dAA

O Momento M resultante se deve translao das diversas foras para o centro de gravidade da seo.

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r A tenso mdia ( m) desenvolvida no elemento de rea citado nada mais do que a distribuio do efeito da fora pela rea de atuao da mesma.

F

Sejam: A r Elemento genrico de rea F Elemento de fora que atua em r m tenso mdia

r r F m = A

Como a tenso um elemento vetorial se pode represent-la aplicada em um ponto determinado, que obtem-se fazendo o elemento de rea tender ao ponto (A0), e ento:

r = Tenso atuante em um ponto ou tenso resultante em um pontor r r F dF = lim = A 0 A dA

ou grficamente:

Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espao segundo trs direes ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referncia duas direes contidas pelo plano da seo de referncia "S" (x,y) e a terceira perpendicular este plano (n).

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y y x z x

Isto permite dividir as componentes da tenso do ponto em duas categorias: 1. Tenses Tangenciais ou de Cisalhamento () - contidas pela seo de referncia 2. Tenso Normal () - perpendicular seo de referncia Costuma-se em Resistncia dos Materiais diferenciar estas duas tenses pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformaes) e se pode adiantar que normalmente trabalhamse com estas componentes ao invs da resultante. Tambm se pode convencionar como seo de referncia a seo transversal da pea em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referncia mudam tambm as componentes.

S

S'

x y

x' y' '

Existem casos em que a seo transversal no a de maior interesse, como ser demonstrado oportunamente nas solicitaes compostas. Nestes casos o procedimento ser alterado. A. TENSES NORMAIS () A tenso normal tem a direo perpendicular seo de referncia e o seu efeito o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas. Costuma-se medir a deformao de peas sujeitas a tenso normal pela deformao especfica longitudinal ().

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1. Conceito: a relao que existe entre a deformao medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direo da tenso.

li lf li comprimento inicial da barra lf comprimento final da barra l deformao total l = l f - l i = Observe que no exemplo dado l > 0 l li > 0 (alongamento)

portanto

Pode-se mostrar um outro exemplo onde l < 0 conseqentemente < 0 (encurtamento)

li lf Neste exemplo l 0 portanto

0

2. Sinal:(+) alongamento Corresponde uma tenso de trao que tambm ser positiva (-) encurtamento Corresponde uma tenso de compresso que tambm ser negativa

3. Unidade:- adimensional quando tomarmos para l a mesma unidade que para li -Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos l em mm e li em m(metros).Resistncia dos Materiais I - EM CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini

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B. TENSES TANGENCIAIS (

)

a tenso desenvolvida no plano da seo de referncia tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seo.

1. Lei da Reciprocidade das tenses tangenciaisEsta lei representa uma propriedade especial das tenses tangenciais. Pode-se provar a sua existncia a partir das equaes de equilbrio esttico. Pode-se enunci-la de forma simples e aplic-la. Suponha duas sees perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tenso tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, ento, obrigatriamente na outra face, existir a mesma tenso tangencial normal a aresta. Ambas tero o mesmo mdulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. So chamadas de tenses recprocas." Para facilitar a compreenso, pode-se representa-la grficamente:

(c)

A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tenses de cisalhamento longitudinais, recprocas s tenses de cisalhamento desenvolvidas pelo esforo cortante.

2. Distoro Especfica ( )Medida de deformao de corpos submetidos a tenses tangenciais. Supe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tenses tangenciais em suas faces. Para melhor ser visualisar a deformao considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

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C

C

D

D

A

B CC' DD' = CA DB

tg =

Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformaes e ento