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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA Departamento de Eletrônica Apostila de SISTEMAS DE CONTROLE Sétima Edição (revisada) – Nov/2007 Autor: Marco Valério Miorim Villaça ([email protected])

Apostila SCT-20304 7p4

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA Departamento de Eletrônica

Apostila de SISTEMAS DE CONTROLE

Sétima Edição (revisada) – Nov/2007

Autor: Marco Valério Miorim Villaça ([email protected])

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Copyright © 2007 para

Departamento de Eletrônica

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Sistemas de Controle

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PREFÁCIO A SEGUNDA EDIÇÃO

Este texto foi escrito para promover um primeiro contato entre os alunos do Curso

Superior de Tecnologia em Sistemas Digitais e o Controle Clássico. Com esse objetivo, o

texto, contém informações e certos passos de demonstrações matemáticas que normalmente

são omitidos nos livros de controle voltados para cursos de graduação em engenharia; por

outro lado, ele omite algumas demonstrações facilmente encontradas na extensa literatura da

área, literatura que deve ser consultada pelo aluno que deseja se aprofundar na disciplina de

controle.

O texto inclui informações básicas para o uso de uma ferramenta de projeto

assistida por computador, o MATLAB da MathWorks Inc. Será utilizado, também, o Simulink,

uma ferramenta do MATLAB, que se constitui numa maneira eficiente de modelar, simular e

analisar sistemas de controle realimentado.

Ao longo do texto, procura-se expor de maneira clara os métodos clássicos da

engenharia de controle: transformada de Laplace e funções de transferência, aproximações de

sistemas de segunda ordem, erro de regime permanente para sinais típicos de teste, critério de

Routh-Hurwitz, método de Bode e lugar das raízes. O capítulo inicial contém uma pequena

matéria introdutória sobre a análise de sistemas pelo método de espaço de estados, que se

constitui na única referência do texto ao Controle Moderno.

Para cumprir seus objetivos, o texto é organizado em cinco capítulos. No primeiro

capítulo, familiariza-se o leitor com a linguagem, definições e recursos utilizados em controle

e se oferece a base matemática necessária para a compreensão do texto. Não obstante, seria

conveniente a leitura de livros específicos da área de matemática. Ciente de que o melhor

meio para compreender qualquer área do conhecimento humano é examinar a sua evolução e

as razões para a sua existência, o Capítulo I inclui, ainda, uma curta história da teoria do

controle automático e oferece uma breve discussão das filosofias das teorias de controle

clássico e moderno. O Capítulo II trata da modelagem de sistemas eletrônicos e

eletromecânicos, desenvolvendo modelos de funções de transferência destes sistemas. O

Capítulo III apresenta a análise da resposta transitória e análise de erro em regime permanente

dos sistemas. No Capítulo IV o enfoque é a estabilidade dos sistemas de controle lineares.

Para responder as questões que naturalmente se apresentam - “Em que condições um sistema

se torna instável?” e “Caso ele seja instável, como torná-lo estável?” – estuda-se o critério de

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Routh-Hurwitz, o método do lugar das raízes ou root locus e o método de Bode. O Último

capítulo apresenta procedimentos para o projeto e compensação de sistemas de controle

invariantes no tempo empregando a técnica do lugar das raízes e o método de Bode. A

compensação consiste na modificação dinâmica do sistema visando atender certas

especificações. Visando a integração de disciplinas do curso de Superior de Tecnologia em

Sistemas Digitais, para o qual o texto foi escrito, o Capítulo V apresenta a compensação de

um conversor CC-CC abaixador (buck), previamente modelado no Capítulo II. Para mostrar a

eficiência do modelo obtido e da técnica de compensação desenvolvida, apresenta-se uma

simulação do conversor compensado utilizando a ferramenta de simulação eletrônica Pspice

da MicroSim. Recomenda-se fortemente que o aluno implemente um conversor abaixador no

final da leitura deste texto.

Prof. Marco Valério Miorim Villaça

Florianópolis, outubro de 2004

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Sistemas de Controle

v

SUMÁRIO

PREFÁCIO A SEGUNDA EDIÇÃO ................................................................................................ III

SUMÁRIO .................................................................................................................................. V

1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE ............................................................. 9

1.1 CONCEITOS GERAIS ............................................................................................................ 9 1.2 PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE ............................................................................... 16 1.3 UMA BREVE HISTÓRIA DO CONTROLE AUTOMÁTICO ........................................................ 18

1.3.1 RELÓGIOS DE ÁGUA DOS GREGOS E DOS ÁRABES ...................................................... 20 1.3.2 A REVOLUÇÃO INDUSTRIAL ...................................................................................... 22 1.3.3 OS CONSTRUTORES DE MOINHOS ............................................................................... 24 1.3.4 REGULADORES DE TEMPERATURA ............................................................................ 25 1.3.5 REGULADORES DE FLUTUAÇÃO ................................................................................. 25 1.3.6 REGULADORES DE PRESSÃO ..................................................................................... 26 1.3.7 REGULADORES CENTRÍFUGOS ................................................................................... 26 1.3.8 O PÊNDULO SIMPÁTICO ............................................................................................. 28 1.3.9 O NASCIMENTO DA TEORIA MATEMÁTICA DO CONTROLE ........................................ 28 1.3.10 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ........................................................................................ 29 1.3.11 TEORIA DA ESTABILIDADE ...................................................................................... 30 1.3.12 TEORIA DE SISTEMA ................................................................................................ 30 1.3.13 COMUNICAÇÃO DE MASSA E O SISTEMA DE TELEFONE DE BELL .............................. 31 1.3.14 ANÁLISE NO DOMÍNIO-FREQÜÊNCIA ........................................................................ 31 1.3.15 AS GUERRAS MUNDIAIS E O CONTROLE CLÁSSICO .................................................. 32 1.3.16 CONTROLE DE NAVIO .............................................................................................. 32 1.3.17 DESENVOLVIMENTO DE ARMAS E DIRECIONAMENTO DE CANHÕES ......................... 33 1.3.18 LABORATÓRIO DE RADIAÇÃO DO M.I.T. ................................................................. 33 1.3.19 ANÁLISE ESTOCÁSTICA ........................................................................................... 35 1.3.20 O PERÍODO CLÁSSICO DE TEORIA DE CONTROLE ...................................................... 35 1.3.21 A ERA ESPACIAL/DO COMPUTADOR E O CONTROLE MODERNO ............................... 36 1.3.22 PROJETO NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA SISTEMAS NÃO LINEARES ........................... 36 1.3.23 SPUTNIK - 1957 ....................................................................................................... 37 1.3.24 NAVEGAÇÃO ........................................................................................................... 37 1.3.25 OTIMALIDADE EM SISTEMAS NATURAIS ................................................................. 37 1.3.26 CONTROLE ÓTIMO E TEORIA DA ESTIMAÇÃO ......................................................... 38 1.3.27 TEORIA DE CONTROLE NÃO-LINEAR ........................................................................ 40 1.3.28 COMPUTADORES NO PROJETO DE CONTROLES E IMPLEMENTAÇÃO .......................... 40 1.3.29 O DESENVOLVIMENTO DOS COMPUTADORES DIGITAIS ........................................... 40 1.3.30 CONTROLE DIGITAL E TEORIA DA FILTRAGEM ......................................................... 41 1.3.31 O COMPUTADOR PESSOAL ...................................................................................... 42 1.3.32 A UNIÃO DO CONTROLE MODERNO E DO CLÁSSICO ................................................. 42

1.4 A FILOSOFIA DO CONTROLE CLÁSSICO ............................................................................. 43 1.5 A FILOSOFIA DE CONTROLE MODERNO ............................................................................. 45 1.6 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ........................................................................................ 49

1.6.1 –REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS FÍSICOS ATRAVÉS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: ..... 49 1.6.1 –VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA:......................................................... 52 1.6.2 TEOREMA DE EULER ................................................................................................. 54 1.6.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE: ................................................................................. 55 1.6.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE: .................................................................. 57

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1.6.5 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES ................................................................................ 67

1.7 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ........................................................................................... 68 1.8 DIAGRAMAS DE BLOCO .................................................................................................... 70 1.9 DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL ..................................................................................... 78 1.10 MÉTODO DO ESPAÇO DE ESTADOS PARA ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE .............. 84

2. MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ELETROMECÂNICOS ................................................ 91

2.1 SISTEMAS ELÉTRICOS ...................................................................................................... 91 2.2 SISTEMAS ELETROMECÂNICOS......................................................................................... 99

3. ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA E ANÁLISE DE ERROS EM REGIME PERMANENTE ......... 105

3.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 105 3.2 SISTEMA DE 1A ORDEM .................................................................................................. 106

3.2.1 RESPOSTA A DEGRAU UNITÁRIO DE SISTEMAS DE 1A ORDEM .................................. 106 3.2.2 RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA DE SISTEMAS DE 1A ORDEM .................................... 110 3.2.3 RESPOSTA A IMPULSO UNITÁRIO DE SISTEMAS DE 1A ORDEM .................................. 111

3.3 SISTEMA DE 2A ORDEM .................................................................................................. 111 3.3.1 RESPOSTA A DEGRAU UNITÁRIO DE SISTEMAS DE 2A ORDEM .................................. 112 3.3.2 RESPOSTA À IMPULSO UNITÁRIO DE SISTEMAS DE 2A ORDEM .................................. 119 3.3.3 RESPOSTA A RAMPA UNITÁRIA DE SISTEMAS DE 2A ORDEM .................................... 121 3.3.4 EFEITO DE UM TERCEIRO PÓLO E UM ZERO NA RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2A ORDEM ........................................................................................................................................ 123

3.4 ANÁLISE DE ERRO EM REGIME PERMANENTE OU ESTACIONÁRIO .................................... 124 3.4.1 COEFICIENTE DE ERRO DE POSIÇÃO ESTÁTICO KP ................................................... 126 3.4.2 COEFICIENTE DE ERRO DE VELOCIDADE ESTÁTICO KV ........................................... 128 3.4.3 COEFICIENTE DE ERRO DE ACELERAÇÃO ESTÁTICO KA ........................................... 130 3.4.4 RESUMO DA SEÇÃO ................................................................................................. 132

4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE ......................................................... 137

4.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 137 4.2 ESTABILIDADE ASSINTÓTICA ......................................................................................... 138 4.3 BIBO ESTABILIDADE ..................................................................................................... 139 4.4 CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ ..................................................................................... 140 4.3 O LUGAR DAS RAÍZES OU ROOT LOCUS ........................................................................... 146

4.3.1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 146 4.3.2 – O CONCEITO DE LUGAR DAS RAÍZES ..................................................................... 146 4.3.3– PROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES ................................. 149 4.3.4– OS DEZ PASSOS DO PROCEDIMENTO DO LUGAR DAS RAÍZES .................................. 158 4.3.5– ASPECTOS IMPORTANTES DA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES ...................... 159

4.4 ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA ........................................................................ 162 4.4.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL .................................................................. 162 4.4.2 GRÁFICOS DE BODE ................................................................................................ 163 4.4.3 ESTABILIDADE RELATIVA E RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA .......................................... 174 4.4.4 MARGENS DE ESTABILIDADE .................................................................................. 175 4.4.5 RELAÇÃO ENTRE MARGEM DE FASE E AMORTECIMENTO ......................................... 178

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Sistemas de Controle

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5. PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE UTILIZANDO O LUGAR DAS RAÍZES E OS DIAGRAMAS DE BODE .................................................................................................................................. 185

5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 185 5.2 COMPENSADOR EM AVANÇO DE FASE ............................................................................ 185

5.2.1 PROJETO COM O LUGAR DAS RAÍZES ........................................................................ 187 5.2.2 PROJETO COM O DIAGRAMA DE BODE .................................................................... 191

5.3 COMPENSADOR EM ATRASO DE FASE ............................................................................. 197 5.3.1 PROJETO COM O LUGAR DAS RAÍZES ........................................................................ 197 5.3.2 PROJETO COM O DIAGRAMA DE BODE .................................................................... 199

5.4 CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) ..................................... 203 5.4.1 PROJETO COM ROOT LOCUS: ................................................................................... 204 5.4.2 PROJETO COM DIAGRAMA DE BODE: ...................................................................... 205

5.5 COMPENSAÇÃO DE UM COMPENSADOR ABAIXADOR (BUCK) .......................................... 211

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................... 218

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Introdução aos Sistemas de Controle

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1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE

1.1 Conceitos gerais

Sistema de Controle: Uma interconexão de componentes físicos que tem como

finalidade controlar (regular/dirigir/comandar) um determinado processo para fornecer uma

resposta desejada. Em um sistema de controle uma saída c(t) (variável controlada) é

controlada de alguma maneira pré-determinada por uma entrada u(t) (sinal atuante) e dos

elementos do sistema. A Fig. 1.1 apresenta, na forma de diagrama de blocos, a relação causa-

efeito entre esses elementos.

Planta: Qualquer dispositivo ou complexo físico a ser controlado, tais como um

forno, um reator, uma caldeira.

Processo: Na física, definimos processo coma a seqüência de estados de um

sistema que se transforma. Em sistemas de controle designamos qualquer operação a ser

controlada como um processo. Uma fusão nuclear e uma reação química são exemplos de

processos.

Perturbações: Uma perturbação ou distúrbio é um sinal de entrada que tende a

afetar desfavoravelmente o valor da saída do sistema. Uma perturbação é dita interna quando

gerada dentro do sistema e externa quando é gerada fora do sistema, constituindo-se em uma

entrada.

Sistema de Controle

entrada saída

Fig. 1.1 – Relação entrada e saída em um sistema de controle

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Sistemas de Controle

10

Sistemas de controle em malha aberta: O controle em malha aberta fornece ao

processo uma entrada tal que a saída se comporta conforme o desejado. Neste caso a ação de

controle é independente da saída apresentada pelo processo que se deseja controlar. Um

exemplo prático de um sistema de controle em malha aberta é a máquina de lavar roupas que

executa uma programação em uma determinada base de tempo. A Fig. 1.2 apresenta um

sistema de controle em malha aberta. Observe que uma perturbação externa alterará o valor da

saída desejado. O sistema em malha aberto apresenta as seguintes características:

(a) Sua precisão é determinada pela calibração dos componentes, bem como da

qualidade destes (calibrar significa estabelecer e restabelecer a relação

entrada/saída do controlador para obter a resposta desejada para o processo);

(b) Geralmente não são perturbados por problemas de instabilidade, o que facilita

grandemente a fase de projeto.

Sistemas de controle em malha fechada: sistemas onde a variável de saída do

processo a controlar tem efeito direto na ação de controle. Os sistemas em malha fechada são

comumente chamados de sistemas de controle realimentados pelo fato da variável de saída ser

realimentada ao processo via controlador. Neste caso a ação de controle toma como base a

comparação entre o valor de referência e o valor atual da variável de saída. Um exemplo

intuitivo de sistema de controle em malha fechada é o piloto automático.

A realimentação pode ser manual ou automática. A realimentação manual é

realizada por um operador, o que a torna lenta e imprecisa. A realimentação automática é

realizada por um transdutor, o que possibilita rapidez e precisão.

A Fig. 1.3 mostra um sistema de controle em malha fechada e seus principais

componentes. Definimos, a seguir, os componentes que ainda não foram apresentados.

• Referência: valor desejado da variável a ser controlada;

• Comparador: elemento que gera o sinal de erro como a diferença entre a

referência e o valor atual;

Sistema de Controle

Perturbação

entrada saída

Fig. 1.2 – Sistema de controle em malha aberta.

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Introdução aos Sistemas de Controle

11

Comparador

Perturbação

Referência r(t)

Controlador

Sinal de erro e(t)

Sinal de controleu(t)

Atuador +

Processo ou Planta

Transdutor

Variável controlada c(t)

Ruído de medição

Fig. 1.3 – Sistema de controle em malha fechada.

• Controlador: elemento que manipula o sinal de erro e gera o sinal de

controle que visa corrigir o valor da variável controlada;

• Atuador: dispositivo de potência que recebe o sinal de controle e produz a

entrada para o processo/planta. São exemplos de atuadores o motor elétrico e a

válvula pneumática.

• Transdutor: elemento responsável pela medição e conversão da variável a

ser controlada em uma outra variável adequada, que pode ser comparada com a

referência. O tacogerador, um pequeno gerador normalmente acoplado ao eixo

de um motor e que é usado como sensor de velocidade angular, é um exemplo

de transdutor.

O sistema em malha fechada apresenta as seguintes características:

a. A sensibilidade a parâmetros do sistema é reduzida;

b. Grande precisão;

c. Tendência a oscilação e instabilidade.

Dorf (2001, p. 9-18) apresenta uma série de exemplos de sistemas de controle que

muito bem ilustram a importância fundamental do controle realimentado na sociedade

moderna.

Sistemas de controle em malha aberta x malha fechada: uma vantagem do

sistema de controle em malha fechada é que a realimentação torna a resposta do sistema

relativamente insensível a distúrbios externos e variações dos parâmetros do sistema. É

possível, portanto, o uso de componentes mais baratos sem muita precisão para obter um

controle preciso (auto-regulagem). Por sua vez o controle em malha aberta. por não levar em

conta o sinal de saída do sistema é totalmente vulnerável a perturbações externas. Desta forma

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Sistemas de Controle

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os controladores em malha aberta são aconselhados apenas para sistemas onde as entradas são

previamente conhecidas e que não estão sujeitos perturbações externas. As Fig. 1.4 e Fig. 1.5

apresentam, respectivamente, o efeito de uma perturbação em um sistema de controle em

malha aberta e em um sistema em malha fechada.

TP

ωR

Controlador

α

Motor

ωC ω

Aplicação da

Perturbação

t

ω1 =ωC

ω2

ω (rpm)

Fig. 1.4 – (a) Sistema de controle em malha aberta sujeito a uma perturbação e (b) seu

comportamento diante da aplicação da perturbação.

ωb

+

+

TP

ωe Controlador

αMotor

ωC ω

Transdutor

-

+ωr

Aplicação daPerturbação

t

ω (rpm)

ω1 = ωC

Fig. 1.5 – (a) Sistema de controle em malha fechada sujeito a uma perturbação e (b) sua

resposta a uma perturbação.

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Introdução aos Sistemas de Controle

13

Do ponto de vista da estabilidade, é mais fácil construir um sistema de controle

em malha aberta, uma vez que este fator não significa problema. Por sua vez a estabilidade é

sempre um problema fundamental em sistemas de controle em malha fechada e, portanto,

deve ser analisado com cuidado extremo.

Servomecanismos: São sistemas de controle realimentados nos quais a saída é

uma posição ou grandezas derivadas (velocidade, aceleração, etc). O sistema de controle de

velocidade de um motor CC é um exemplo de servomecanismo.

Reguladores: São sistemas de controle realimentados nos quais a saída desejada é

constante ou varia lentamente com o tempo e onde a finalidade principal é manter a saída em

um valor fixo na presença de distúrbios. Exemplo: Reguladores integrados de tensão 78XX.

Representação de Sistemas: A maioria dos sistemas dinâmicos, independente de

serem mecânicos, elétricos, térmicos, etc, podem ser representados por meio de equações

diferenciais obtidas utilizando-se das leis físicas que governam um sistema particular. A

resposta de um sistema particular a uma dada entrada pode ser obtida se estas equações forem

resolvidas.

Modelo Matemático: É a descrição matemática das características dinâmicas de

um sistema e constitui-se no primeiro passo na análise de um sistema. Ele permite a utilização

de várias ferramentas analíticas ou computacionais para fins de análise e/ou síntese. Deve-se

estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da

análise (os resultados da análise somente na extensão da qual o modelo se aproxima do

sistema físico que representa).

Sistemas de controle adaptativo: As características dinâmicas da maioria dos

sistemas de controle não são constantes por uma série de motivos, tais como a deterioração de

componentes e variação dos parâmetros e do ambiente. Se estas variações forem

significativas, o sistema deve possuir a habilidade de adaptação. O sistema que possui esta

habilidade, isto é, o sistema que está provido de meios para detectar as variações dos

parâmetros da planta e ajustar os parâmetros do controlador para manter um desempenho

desejado, é chamado de sistema de controle adaptativo. A Fig. 1.6 apresenta o diagrama de

blocos de um sistema adaptativo. O identificador, através de medições, identifica a variação

dos parâmetros da planta ou do controlador e atua no ajustador que modifica os parâmetros do

controlador.

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Sistemas de Controle

14

Variável controlada

-Controlador Planta

Identificador

+

Referência

Ajustador

Fig. 1.6 – Sistema de controle adaptativo.

Sistema lineares: Sistemas lineares são aqueles em que as equações do modelo

matemático são lineares. Uma equação diferencial linear apresenta coeficientes constantes ou

que são apenas função da variável independente. Nestes sistemas, aplicando o princípio da

superposição, pode-se obter a resposta para várias entradas, considerando uma única entrada

de cada vez e adicionando os resultados parciais.

Sistemas não-lineares: São aqueles representados por equações diferenciais não-

lineares. Uma equação diferencial não-linear apresenta potências ou funções transcendentais

da variável independente, tais como as funções trigonométricas e a exponencial. Normalmente

estão ligadas a fenômenos como saturação e zona morta.

Estritamente falando, na prática não existem sistemas lineares, já que todos os

sistemas físicos apresentam alguma não linearidade. Os modelos lineares são modelos

idealizados pelo projetista para simplicidade de análise e projeto. Geralmente quando

limitados a uma certa faixa na qual os componentes exibem características lineares, dizemos

que o sistema é linear por partes e seu modelo matemático para aquela faixa é também linear.

Para sistemas lineares existe uma fartura de técnicas analíticas e gráficas para a análise e

projeto. Os sistemas não-lineares, por sua vez, são muito difíceis de serem tratados

matematicamente.

Sistemas lineares invariantes no tempo: Sistema linear composto de

componentes com parâmetros concentrados que permanecem constantes com o tempo

(descritos por equações diferenciais com coeficientes constantes). Na prática a maioria dos

sistemas físicos contém elementos que derivam ou variam com o tempo. Por exemplo, a

resistência do enrolamento de um motor varia devido ao aquecimento.

Sistemas lineares variantes no tempo: São sistemas lineares representados por

equações diferenciais cujos coeficientes são funções do tempo. Por exemplo, o sistema de

controle de uma nave espacial sofre influência de uma massa variável em função do consumo

de combustível e de uma força gravitacional variável.

Page 15: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

15

Sistemas a dados contínuos: As várias partes do sistema são funções contínuas

do tempo. São também denominados sistemas de controle analógico. Neste tipo de sistema os

sinais podem ou não se apresentarem modulados. Componentes típicos de sistemas contínuos

são os potenciômetros, comparadores, amplificadores, tacômetros, motores, etc. O sistema de

controle de um servomotor CC mostrado na Fig. 1.5(a) é um exemplo de sistema a dados

contínuos.

Sistemas a dados amostrados: Os sinais em mais de um ponto do sistema se

apresentam como um trem de pulsos ou como um código digital. São também denominados

sistemas de controle discretos. Geralmente estão associados a um controle microprocessado

onde o papel de controle é desempenhado por um computador digital com um software

associado. Os componentes típicos de sistemas amostrados são os codificadores de posição,

conversores A/D e D/A, microprocessadores, etc. Um diagrama de blocos de um sistema a

dados amostrados é apresentado na Fig. 1.7, onde os sinais que apresentam a notação * estão

na forma discreta.

Sistemas multivariáveis: São aqueles onde múltiplas entradas e múltiplas saídas

devem ser levadas em conta no esquema de controle. O diagrama de blocos de um sistema

multivariável é apresentado na Fig. 1.8.

Sistemas de controle de parâmetros concentrados x distribuídos: Nos sistemas

de controle de parâmetros concentrados, o comprimento dos componentes é considerado nulo.

Quando a consideração do comprimento é necessária, ou seja, quando o modelo matemático

do sistema precisa levar em consideração as variações espaciais dos parâmetros, o sistema é

chamado de sistema de controle de parâmetros distribuídos. Esses sistemas são descritos por

meio de equações diferenciais em derivadas parciais. Linhas de transmissão longas e

vibrações mecânicas em cordas são exemplos de situações onde pode ser necessário

considerar o comprimento.

c(t)u(t) e(t) Conversor

A/D

e*

Transdutor

-

+ r(t)

Computador

u*Conversor

D/A Planta

Fig. 1.7 – Sistema a dados amostrados. A notação * indica parâmetros discretos.

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Sistemas de Controle

16

Controlador Processo

vC1

Transdutor

vr1

vr n vC n

Fig 1.8 – Sistema multivariável.

Sistemas de controle determinísticos x estocásticos: Um sistema de controle é

determinístico se a resposta à entrada é previsível e repetível. Caso contrário, ele é dito

estocástico. Nesses sistemas os sinais são descritos por certas características estatísticas.

1.2 Projeto de sistemas de controle

Como todo projeto da área tecnológica, o objetivo do projeto em controle é

identificar os parâmetros chave e gerar a configuração de um sistema que enfrente uma

necessidade real. O primeiro passo no processo de projeto consiste em estabelecer as metas do

sistema. Um exemplo de meta é o controle preciso da velocidade de rotação de um CD player.

O segundo passo é identificar as variáveis que se deseja controlar; por exemplo, a velocidade

de rotação do CD. O terceiro passo, é escrever as especificações em termos da precisão que se

procura alcançar. A precisão conduzirá a identificação do sensor a ser empregado na medição

da variável de controle. O quarto passo é estabelecer a configuração do sistema que,

normalmente, consiste de um sensor, o processo sob controle, o atuador e o controlador. Por

exemplo, se desejamos controlar a velocidade de um CD player, nós selecionaremos um

motor CC como atuador; cada elemento selecionado de acordo com as especificações

desejadas. O quinto passo é obter um modelo para cada um dos elementos do sistema. O sexto

passo é a seleção do controlador, via de regra um amplificador subtrator que compara a

resposta desejada com a resposta obtida, gerando um sinal de erro que precisará ser

amplificado. O último passo do processo de projeto é o ajuste dos parâmentros do sistema

visando atingir a performance desejada. Caso a performance desejada seja alcançada, o

projeto é finalizado coma a produção da documentação; em caso contrário, será necessário

melhorar a configuração do sistema, atuando, talvez na seleção do atuador e/ou sensor.

Dever-se então repetir os passos do projeto até atingir-se as especificações desejadas ou,

Page 17: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

17

ainda, decidir que elas devem ser relaxadas. O processo de projeto de um sistema de controle

é apresentado na Fig. 1.9.

PROJETO DE UMSISTEMA DECONTROLE

Estabelecer as metasdo controle

Identificação dasvariáveis de controle

Escrever asespecificações para

as variáveis

Estabelecer aconfiguração do

sistema

Obter o modelo doscomponentes do

sistema

Seleção docontrolador

Ajuste dos parâmetrose análise daperformance

As especificaçõesforam alcançadas?

Projeto finalizado

Sim

Não

Fig. 1.9 – Etapas do projeto de um sistema de controle.

Page 18: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

18

1.3 Uma breve história do controle automático1

O controle realimentado é o mecanismo básico pelo qual os sistemas, sejam

mecânicos, elétricos ou biológicos, mantém seu equilíbrio ou homeostase. Nas formas mais

elevadas de vida, as condições sob as quais a vida pode prosseguir são bem limitadas. Uma

mudança na temperatura de meio grau é geralmente um sinal de doença. A homeostase do

corpo é mantida através do uso do controle realimentado (WIENER, 1948). Uma contribuição

fundamental de C. R. Darwin no século XIX foi a teoria que a realimentação durante longos

períodos de tempo é responsável pela evolução das espécies. Em 1931, V. Volterra explicou o

balanço entre duas populações de peixes em um pequeno lago fechado usando a teoria da

realimentação.

O controle realimentado pode ser definido como o uso da diferença entre sinais,

determinados pela comparação dos valores atuais das variáveis do sistema com seus valores

desejados, como um meio de controlar um sistema. Um exemplo diário de um sistema de

controle realimentado é um controle de velocidade de automóvel, o qual usa a diferença entre

a velocidade atual e a desejada para variar a taxa do fluxo do combustível. Já que o sistema de

saída é usado para regular sua entrada, tal dispositivo é chamado de sistema de controle em

malha fechada.

Nesse livro nós mostraremos como usar a teoria de controle moderno para projetar

sistemas de controle realimentados. Assim, nós não nos ocuparemos com sistemas de controle

naturais, como aqueles que ocorrem nos organismos vivos ou na sociedade, mas com sistemas

de controle feitos pelo homem tais como os usados para controlar aviões, automóveis,

satélites, robôs e processos industriais.

Percebendo que o melhor meio para compreender uma área é examinar a sua

evolução e as razões para a sua existência, nós primeiro apresentaremos uma curta história da

teoria do controle automático. Em seguida, nós oferecemos uma breve discussão das filosofias

das teorias de controle clássico e moderno.

Recentemente, ocorreram vários progressos na teoria do controle automático. É

difícil oferecer uma análise imparcial na área enquanto ela ainda se desenvolve; entretanto

1 O texto desta seção e das seções 1.4 e 1.5 são uma tradução do Capítulo I – Introduction to modern control

theory, de LEWIS, F.L. Applied optimal control e estimation. Prentice Hall, 1992. Achei importante completar o texto original com ilustrações disponíveis em páginas da Internet. Neste capítulo, Lewis, após uma breve discussão sobre o controle realimentado, apresenta uma breve história do controle automático, a filosofia do controle clássico e a filosofia do controle moderno.

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Introdução aos Sistemas de Controle

19

revendo o progresso da teoria de controle realimentado é, agora, possível distinguir algumas

tendências principais e apontar alguns avanços chave.

O controle realimentado é uma disciplina da engenharia. Como tal, seu progresso

está intimamente ligada aos problemas práticos que precisam ser solucionados durante alguma

fase da história humana. Os progressos chave na história da espécie humana que afetaram o

progresso do controle realimentado foram:

• A preocupação dos gregos e árabes com o registro preciso do tempo. Isto

representa um período de aproximadamente 300 aC a 1200 dC.

• A revolução industrial na Europa. A revolução industrial teve início no

terceiro quarto do século XVIII; entretanto, suas raízes podem ser encontradas

no século XVII.

• O início da comunicação em massa e a primeira e a segunda guerras

mundiais. Isto representa um período entre 1910 e 1945.

• O início da era espacial/computacional em 1957.

Pode-se considerar estas como fases no progresso do homem, onde ele primeiro

preocupou-se com seu lugar no tempo e no espaço, depois em domesticar seu ambiente e

tornar a sua existência mais confortável, depois em estabelecer o seu lugar em uma

comunidade global e, finalmente, com seu lugar no cosmos.

Em um ponto entre a Revolução Industrial e as Guerras Mundiais, houve um

progresso extremamente importante. A saber, a teoria de controle começou a adquirir sua

linguagem escrita – a linguagem da matemática. J. C. Maxwell ofereceu a primeira análise

matemática rigorosa de um sistema de controle realimentado em 1868. Então, relativo a sua

linguagem escrita, nós poderíamos chamar o período anterior a 1868 de pré-história do

controle automático.

Seguindo Friedland (1986), nós podemos chamar o período a partir de 1868 e

anterior ao século XX de período primitivo do controle automático. É padrão chamar o

período a partir de então até 1960 de período clássico e o período de 1960 até o tempo

presente de período moderno.

Deixe-nos, agora, progredir rapidamente através da história do controle

automático. Uma referência para o período entre 300 aC e a Revolução Industrial é

apresentada por (MAYR, 1970), ao qual nós recorremos e por vezes citamos. Veja também

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Sistemas de Controle

20

(FULLER, 1976). Outra referência importante utilizada na preparação desta seção inclui (M.

BOKHARAIE, 1973) e discussões pessoais com J. D. Aplevich da Universidade de Waterloo.

K. M. Przyluski da Academia Polonesa de Ciência e W. Askew, um antigo colega na

Corporação de Mísseis e Espaço LTV e vice-presidente da E-Systems.

1.3.1 Relógios de água dos gregos e dos árabes

A motivação primária para o controle realimentado na antiguidade era a

necessidade da determinação exata do tempo. Então, por volta de 270 aC, o Grego Ktesibios

inventou um regulador de flutuação para um relógio de água. A função deste regulador era

manter o nível d’água em um tanque em uma profundidade constante. Esta profundidade

constante produzia um fluxo constante de água através de um tubo no fundo do tanque o qual

enchia um segundo tanque com uma taxa constante. O nível de água no segundo tanque

dependia, assim, do tempo transcorrido. O regulador de Ktesibios usava um flutuador para

controlar a afluência de água de água por uma válvula; quando o nível de água baixava a

válvula abria e reabastecia o reservatório. Este regulador de flutuação cumpria a mesma

função que a bóia e a válvula em uma descarga moderna.

Um regulador de flutuação foi usado por Philon de Bizâncio em 250 aC para

manter um nível constante de óleo em uma lâmpada.

Durante o primeiro século dC , Heron deAlexandria desenvolveu reguladores de

flutuação para relógios de água. Os gregos usavam reguladores de flutuação e dispositivos

similares, tais como o preparador automático de vinho, o projeto de sifões para manter

constante a diferença de nível de água entre dois tanques, a abertura de portas de templos

(Fig. 1.10), etc. Estes dispositivos poderiam ser chamados “aparelhos” já que eles estavam

entre os mais precoces exemplos de uma idéia visando uma aplicação.

Entre os anos 800 e 1200 vários engenheiros árabes tais como os três irmãos

Musa, Al-Jazari e Ibn al-Sa'ati usaram reguladores de flutuação para relógios de água e outras

aplicações (Fig. 1.11). Durante este período o importante princípio de realimentação de

controle "on/off" foi usado, o qual surge novamente nos anos 50 em conexão com os

problemas de tempo mínimo.

Quando Bagdá caiu para os Mongóis em 1258, todo o pensamento criativo neste

ramo vinha para este fim. Entretanto, a invenção do relógio mecânico no século XIV tornou o

relógio de água e seu sistema de controle realimentado obsoleto (o relógio mecânico não é um

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Introdução aos Sistemas de Controle

21

sistema de controle realimentado). O regulador de flutuação não aparece novamente até seu

uso na Revolução Industrial.

Fig. 1.10 – Dispositivo de Hero para abrir as portas de um templo.

Fonte: D’AZZO, John. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.

Fig. 1.11 – Modelo da bomba de ação dupla com tubos de sucção projetada por Al-Jazari.

Fonte: http://www.muslimheritage.com/day_life/default.cfm?ArticleID=188&Oldpage=1.

Junto com uma preocupação por seu lugar no tempo, o homem sempre teve um

interesse por seu lugar no espaço. Vale mencionar que um sistema de controle pseudo-

realimentado foi desenvolvido na China no século XII para propósitos de navegação2. Havia

uma carruagem que tinha uma estátua a qual era virada por um mecanismo de engrenagens

preso às rodas da carruagem de forma que ela continuamente apontava o sul. Usando a

2 Outras fontes, como http://www.drgears.com/gearterms/terms/southpointingchariot.htm, contam que este

dispositivo, conhecido como The South Pointing Chariot, foi desenvolvido por volta de 2600 aC para o imperador Amarelo, Huang Di. Considerando que os chineses desenvolveram a bússola no séc XI, não haveria razão para o desenvolvimento de um mecanismo tão complexo cerca de 100 anos mais tarde (N. do T.).

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Sistemas de Controle

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informação direcional fornecida pela estátua, o cocheiro podia seguir um curso direto. A Fig.

1.12 ilustra este mecanismo. Nós chamamos isto de sistema de controle “pseudo-

realimentado” já que ele, tecnicamente, não envolve realimentação, a não ser que as ações do

cocheiro forem consideradas como partes do sistema. Assim, ele não é um sistema de controle

automático.

Fig. 1.12 – Dispositivo conhecido como The South Pointing Chariot

Fonte: http://www.drgears.com/gearterms/terms/southpointingchariot.htm.

1.3.2 A Revolução Industrial

A Revolução Industrial na Europa resultou na introdução de atuadores principais,

ou máquinas automotoras. Ela foi marcada pela invenção de avançados moinhos de grão,

fornos, caldeiras e da máquina a vapor. Estes dispositivos não podiam ser regulados

adequadamente pela mão e, assim, surgiu uma nova exigência por sistemas de controle

automáticos. Uma variedade de dispositivos de controle foi inventada, incluindo reguladores

de flutuação, reguladores de temperatura, reguladores de pressão e dispositivos de controle de

velocidade.

J. Watt inventou a sua máquina a vapor em 1769 (Fig. 1.13) e esta data marca o

início aceito da Revolução Industrial. Porém, as raízes da Revolução Industrial podem ser

encontradas antes do século XVII ou anteriormente com o desenvolvimento de moinhos de

grão e o forno.

Deve-se estar informado que outros, principalmente T. Newcomen em 1712 (Fig.

1.14), construíram as primeiras máquinas a vapor. Porém, as máquinas a vapor antigas eram

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Introdução aos Sistemas de Controle

23

ineficientes e reguladas à mão, fazendo-as pouco adaptadas para o uso industrial. É

extremamente importante perceber que a Revolução Industrial não começou até a invenção de

máquinas melhoradas e de sistemas de controle automáticos para regulá-las.

(a) (b)

Fig. 1.13 – Esta máquina a vapor de James Watt, construída após 1769, foi uma melhoria da

de T. Newcomen, pois tinha um condensador separado e permitia que o vapor fosse admitido,

alternadamente, em ambos os lados do pistão. Fontes: (a) http://inventors.about.com/library/inventors/blwatt2.htm e (b) http://leblon.mec.puc-

rio.br/~wbraga/fentran/termo/hist4.htm.

Fig. 1.14 – Máquina a vapor inventada por Thomas Newcomen em 1712.

Fonte http://www.tiscali.co.uk/reference/encyclopaedia/hutchinson/m0026134.html.

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Sistemas de Controle

24

1.3.3 Os construtores de moinhos

Os construtores de moinhos da Inglaterra desenvolveram uma variedade de

dispositivos de controle realimentado. A cauda de leque, inventada em 1745 pelo ferreiro

britânico E. Lee, consistia de um pequeno leque montado em ângulos convenientes na roda

principal de um moinho de vento. Sua função era direcionar o moinho de vento

continuamente para o vento.

O moinho de tremonha era um dispositivo que regulava o fluxo de grãos em um

moinho dependendo da velocidade de rotação da mó. Estava em uso em uma forma bastante

refinada em torno de 1588.

Para construir um controlador realimentado, é importante ter dispositivos de

medição adequados. Os construtores de moinhos desenvolveram vários dispositivos para

sensorar velocidade de rotação. Usando estes sensores foram inventados vários dispositivos

de regulação de velocidade, incluindo velas de moinho de vento auto-reguladas. Mais tarde,

muito da tecnologia dos construtores de moinhos foi desenvolvido para uso na regulação de

máquinas a vapor.

(a) (b)

Fig. 1.15 – (a) Parte inferior e (b) superior de um moinho de rodízio, onde podemos

visualizar a mó (11) e a tremonha (14).

Fonte: http://www.naya.org.ar/congreso2000/ponencias/Jose_Augusto_Maia_Marques.htm.

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Introdução aos Sistemas de Controle

25

1.3.4 Reguladores de Temperatura

Cornelis Drebbel da Holanda passou algum tempo na Inglaterra e um período

breve com o Imperador romano Santo Rudolfo II em Praga, junto com o seu contemporâneo J.

Kepler. Em torno de 1624, ele desenvolveu um sistema de controle automático de temperatura

para um forno, motivado por sua fé que metais básicos poderiam virar ouro mantendo-os a

uma temperatura constante exata por longos períodos de tempo. Ele também usou este

regulador de temperatura em uma incubadora para chocar galinhas.

Reguladores de temperatura foram estudados por J. J. Becher em 1680 e usados

novamente em uma incubadora pelo Príncipe de Conti e R. A. F. de Réaumur em 1754. O

“registrador sentinela” foi desenvolvido na América por W. Henry perto de 1771, que sugeriu

seu uso em fornos químicos, na manufatura de aço e porcelana e no controle de temperatura

de um hospital. Não era ainda 1777, entretanto, quando um regulador de temperatura

satisfatório para uso industrial foi desenvolvido por Bonnemain, que o usou para uma

incubadora. Seu dispositivo foi instalado, mais tarde, no forno de uma planta de aquecimento

de água.

1.3.5 Reguladores de flutuação

A regulação do nível de um líquido foi necessária em duas áreas principais nos

meados do século XVIII: na caldeira de uma máquina a vapor e em sistemas domésticos de

distribuição de água. Então, o regulador de flutuação recebeu novo interesse, especialmente

na Inglaterra.

Em seu livro de 1746, W. Salmon citou preços para reguladores de flutuação de

bóia e torneira usados para manter o nível de reservatórios de água residenciais. Este

regulador foi usado nas primeiras patentes para descargas de banheiro ao redor de 1775. A

descarga de banheiro foi, mais adiante, refinada por Thomas Crapper, um encanador de

Londres que foi condecorado pela Rainha Victoria por suas invenções.

O primeiro uso conhecido de um regulador de flutuação de válvula em uma

caldeira a vapor é descrito em uma patente emitida a J. Brindley em 1758. Ele usou o

regulador em uma máquina a vapor para bombear água. S. T. Wood usou um regulador de

flutuação para uma máquina a vapor na sua cervejaria em 1784. Na Sibéria russa, o mineiro

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Sistemas de Controle

26

de carvão I.I Polzunov desenvolveu em 1765 um regulador de flutuação para uma máquina a

vapor que acionava ventiladores para alto fornos.

Por volta de 1791, quando foi adotado pela empresa de Boulton e Watt, o

regulador de flutuação era de uso comum em máquinas a vapor.

1.3.6 Reguladores de Pressão

Outro problema associado com a máquina a vapor é o da regulação de pressão de

vapor na caldeira, pois o vapor que aciona a máquina deve estar a uma pressão constante. Em

1681, D. Papin inventou uma válvula de segurança para uma panela de pressão, e em 1707 ele

usou-a como um dispositivo regulador na sua máquina a vapor. Depois, isso foi uma

característica padrão em máquinas a vapor.

O regulador de pressão foi, posteriormente, refinado em 1799 por R. Delap e,

também, por M. Murray. Em 1803, um regulador de pressão foi combinado com um regulador

de flutuação por Boulton e Watt para uso nas suas máquinas a vapor.

1.3.7 Reguladores centrífugos

As primeiras máquinas a vapor proviam um movimento de produção alternativo

que era regulado usando um dispositivo conhecido como uma catarata, semelhante a uma

válvula de flutuação. A catarata surgiu nas máquinas de bombeamento das minas de carvão

Cornwall.

A máquina de vapor de J. Watt com movimento de produção rotativo alcançou a

maturidade por volta de 1783, quando a primeira foi vendida. O incentivo principal para seu

desenvolvimento era, evidentemente, a esperança de introduzir um motor principal na

moagem. Usando a máquina de produção rotativa, o moinho a vapor Albion começou a operar

no inicio de 1786.

Um problema associado com a máquina a vapor rotativa é o de regulação da sua

velocidade de revolução. Parte da tecnologia de regulação de velocidade dos construtores de

moinho foi desenvolvido e estendeu-se para este propósito.

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Introdução aos Sistemas de Controle

27

Em 1788, Watt completou o projeto do regulador centrífugo de esferas suspensas

(Fig. 1.16) para regular a velocidade da máquina a vapor rotativa. Este dispositivo empregava

duas esferas suspensas que giravam sobre um eixo e que eram arremessados para fora pela

força centrífuga. Quando a velocidade de rotação aumentava, os pesos suspensos oscilavam

mais para fora e para cima, operando uma válvula de estrangulamento do fluxo de vapor a

qual reduzia a velocidade da máquina. Assim, uma velocidade constante era alcançada

automaticamente.

Os dispositivos de realimentação previamente mencionados permaneceram

obscuros ou fizeram um papel imperceptível como uma parte da maquinaria que eles

controlavam. Por outro lado, a operação do regulador de esferas suspensas era claramente

visível até mesmo para o olho destreinado e seu princípio tinha um sabor exótico que parecia

para muitos encarnar a natureza da nova era industrial. Então, o regulador chegou ao

conhecimento do mundo de engenharia e se tornou uma sensação por toda a Europa. Este foi

o primeiro uso de controle de realimentação que era do conhecimento popular.

(a) (b)

Fig. 1.16 – A máquina a vapor de Watt e o regulador de esferas suspensas. Fontes: (a) http://www.history.rochester.edu/steam/thurston/1878/f27p104.gif e (b)

http://oldenginehouse.users.btopenworld.com/watt.htm.

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Sistemas de Controle

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Vale lembrar que a palavra grega para regulador é kubernaw. Em 1947,

Norbert Wiener no MIT estava procurando um nome para a sua nova disciplina de teoria de

autômatos - controle e comunicação entre homem e máquina. Ao investigar o regulador de

esferas suspensas de Watt, ele também investigou a etimologia da palavra kubernaw e se

deparou com a palavra grega para piloto, kubenhthz. Assim, ele selecionou o nome

cibernética para o seu campo incipiente.

Por volta 1790 na França, os irmãos Périer desenvolveram um regulador de

flutuação para controlar a velocidade de uma máquina a vapor, mas a técnica deles não se

equiparava ao regulador centrífugo e foi logo suplantada.

1.3.8 O Pêndulo simpático

Tendo começado nossa história do controle automático com os relógios de água

da Grécia antiga, nós voltamos a esta porção da história com um retorno para a preocupação

do gênero humano com tempo.

O relógio mecânico inventado no século XIV não era um sistema de controle

realimentado em malha fechada, mas um dispositivo oscilatório de precisão em malha aberta

cuja exatidão era assegurada através de proteção contra perturbações externas. Em 1793, o

franco-suíço A. L. Breguet, o relojoeiro mais famoso de seu tempo, inventou um sistema

realimentado em malha fechada para sincronizar relógios de bolso.

O pêndulo simpático de Breguet (Fig. 1.17) usou um caso especial de regulação

de velocidade. Consistiu em um cronômetro de precisão grande e exato com um engaste para

um relógio de bolso. O relógio de bolso a ser sincronizado é colocado no engaste ligeiramente

antes das 12 horas, tempo em que um pino emerge do cronômetro, insere-se no relógio e

começa um processo de ajustar automaticamente o braço regulador da mola de equilíbrio do

relógio. Depois de algumas colocações do relógio no pêndulo simpático, está

automaticamente ajustado o braço regulador. De certo modo, este dispositivo era usado para

transmitir a exatidão do cronômetro grande ao relógio de bolso portátil pequeno.

1.3.9 O nascimento da Teoria Matemática do Controle

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Introdução aos Sistemas de Controle

29

Os projetos de sistemas de controle realimentados através da Revolução Industrial

eram de tentativa e erro, junto com muita intuição de engenharia. Assim, eram mais uma arte

do que uma ciência. Em meados do século XIX, a matemática foi pela primeira vez usada

para analisar a estabilidade de sistemas de controle realimentados. Considerando que a

matemática é o idioma formal de teoria de controle automática, nós poderíamos chamar o

período anterior a este de pré-história da teoria de controle.

Fig. 1.17 – Réplica do pêndulo simpático de Breguet.

Fonte: http://www.thepurists.com/watch/features/interviews/journejan03/.

1.3.10 Equações diferenciais

Em 1840, o astrônomo real britânico em Greenwich, G. B. Airy desenvolveu um

dispositivo realimentado para direcionar um telescópio. O seu dispositivo era um sistema de

controle de velocidade que virava automaticamente o telescópio para compensar a rotação da

terra, provendo a capacidade para estudar uma determinada estrela durante um tempo longo.

Infelizmente, Airy descobriu que devido ao projeto impróprio do laço de controle

realimentado, foram introduzidas fortes oscilações no sistema. Ele foi o primeiro a discutir as

equações diferenciais de estabilidade na sua análise (AIRY, 1840). A teoria de equações

diferenciais estava, até então, bem desenvolvida devido à descoberta do cálculo infinitesimal

por I. Newton (1642-1727) e G. W. Leibniz (1646-1716) e ao trabalho dos irmãos Bernoulli

(final do século XVII e início do século XVIII), J. F. Riccati (1676-1754) e outros. O uso de

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Sistemas de Controle

30

equações diferencial para a análise do movimento de sistemas dinâmico foi estabelecido por J.

L. Lagrange (1736-1813) e W. R. Hamilton (1805-1865).

1.3.11 Teoria da estabilidade

O primeiro trabalho de análise matemática de sistemas de controle estava em

termos de equações diferenciais. J. C. Maxwell analisou a estabilidade do regulador de esferas

suspensas de Watt (MAXWELL, 1868). A sua técnica foi linearizar as equações diferenciais

do movimento para encontrar a equação característica do sistema. Ele estudou o efeito dos

parâmetros do sistema sobre a estabilidade e mostrou que o sistema é estável se as raízes da

equação característica têm partes reais negativas. Com o trabalho de Maxwell nós podemos

dizer que a teoria de sistemas de controle estava firmemente estabelecida.

E. J. Routh forneceu uma técnica numérica para determinar quando uma equação

característica tem raízes estáveis (ROUTH, 1877).

Independentemente de Maxwell, o russo I. I. Vishnegradsky [1877] analisou a

estabilidade de reguladores usando equações diferenciais. Em 1893, A.B. Stodola estudou a

regulação de uma turbina de água usando as técnicas de Vishnegradsky. Ele modelou a

dinâmica do atuador e incluiu o atraso do mecanismo atuador na sua análise. Ele foi o

primeiro a mencionar a noção da constante de tempo do sistema. Desinformado do trabalho de

Maxwell e Routh, ele colocou o problema de determinar a estabilidade da equação

característica para A. Hurwitz (1895), que o resolveu independentemente.

O trabalho de A. M. Lyapunov foi fértil na teoria de controle. Em 1892, ele

estudou a estabilidade de equações diferenciais não lineares usando uma noção generalizada

de energia (LYAPUNOV, 1893). Infelizmente, embora o seu trabalho fosse aplicado e

continuou na Rússia, o tempo não estava maduro no Oeste para a sua elegante teoria e ela

permaneceu desconhecida lá até aproximadamente 1960, quando sua importância foi

finalmente percebida.

O engenheiro britânico O. Heaviside inventou o cálculo operacional entre 1892 e

1898. Ele estudou o comportamento transitório de sistemas apresentando uma noção

equivalente àquela de função de transferência.

1.3.12 Teoria de sistema

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Introdução aos Sistemas de Controle

31

É dentro do estudo de sistemas que a teoria de controle realimentado tem o seu

lugar na organização do conhecimento humano. Assim, o conceito de um sistema como uma

entidade dinâmica com “entradas” e “saídas” definidas que se associam a outros sistemas e ao

ambiente foi uma condição chave para o desenvolvimento posterior da teoria de controle

automático. A história da teoria de sistema requer um estudo completo isolado, mas segue um

breve esboço.

Durante os séculos dezoito e dezenove, o trabalho de A. Smith em economia (A

Riqueza de Nações, 1776), as descobertas de C. R. Darwin (Sobre a Origem das Espécies por

meio da Seleção Natural, 1859) e outros progressos em política, sociologia, dentre outros,

estavam tendo um grande impacto na consciência humana. O estudo de Filosofia Natural era

uma conseqüência do trabalho dos filósofos gregos e árabes e contribuições foram feitas por

Nicholas de Cusa (1463), Leibniz e outros. Os progressos do século XIX, condimentados pela

Revolução Industrial e uma apreciação em expansão do conhecimento em geopolítica global e

em astronomia teve uma profunda influência nesta Filosofia Natural, motivando-a a mudar

sua personalidade.

No início do século XX, A. N. Whitehead (1925), com a sua filosofia ds

“mecanismo orgânico”, L. von Bertalanffy (1938) com seus princípios hierárquicos de

organização e outros começaram a falar de uma “teoria geral do sistema”. Neste contexto,

prosseguia a evolução de teoria de controle.

1.3.13 Comunicação de massa e o sistema de telefone de Bell

No começo do século XX ocorreram dois acontecimentos importantes do ponto de

vista de teoria de controle: o desenvolvimento do telefone e das comunicações de massa e as

guerras mundiais.

1.3.14 Análise no domínio-freqüência

A análise matemática de sistemas de controle tinha, até aqui, sido executada

usando equações diferenciais no domínio de tempo. Nos Laboratórios de Telefonia de Bell

durante o período entre 1920 e 1930, as abordagens no domínio da freqüência desenvolvidas

por P. S. de Laplace (1749-1827), J. Fourier (1768-1830), A. L. Cauchy (1789-1857) e outros,

foram exploradas e utilizadas em sistemas de comunicação.

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Sistemas de Controle

32

Um problema fundamental com o desenvolvimento de um sistema de

comunicação de massa que se estendesse a longas distâncias é a necessidade de amplificar

periodicamente o sinal de voz ao longo das linhas de telefônicas. Infelizmente, a menos que o

cuidado seja exercido, não só a informação, mas também os ruídos são amplificados. Assim, o

projeto de amplificadores repetidores satisfatórios é de fundamental importância.

Para reduzir a distorção em amplificadores repetidores, H. S. Black demonstrou,

em 1927, a utilidade da realimentação negativa (BLACK, 1934). O problema de projeto era

introduzir um deslocamento de fase no sistema em freqüências corretas. A Teoria da

regeneração para o projeto de amplificadores estáveis foi desenvolvida por H. Nyquist (1932).

Ele derivou o seu critério de estabilidade de Nyquist baseado no gráfico polar de uma função

complexa. Em 1938, H.W. Bode usou a resposta em freqüência da magnitude e da fase de

uma função complexa (BODE, 1940). Ele investigou a estabilidade em malha fechada usando

as noções de margem de ganho e de fase.

1.3.15 As guerras mundiais e o Controle Clássico

Quando a comunicações de massa e os modos mais rápidos de viagem tornaram o

mundo menor, houve muita tensão quando os homens examinaram seus lugares em uma

sociedade global. O resultado foi as guerras mundiais, durante as quais o desenvolvimento de

sistemas de controle realimentados se tornaram uma questão de sobrevivência.

1.3.16 Controle de navio

Um problema militar importante durante este período foi o controle e a navegação

de navios, os quais estavam se tornando mais avançados nos seus projetos. Entre os primeiros

progressos estava o projeto de sensores para a finalidade de controle em malha fechada. Em

1910, E. A. Sperry inventou o giroscópio (Fig. 1.18), o qual ele usou na estabilização e

pilotagem de navios e depois em controle de aeronaves.

N. Minorsky [1922] apresentou o seu controlador de três termos para a pilotagem

de navios, tornando-se, assim, o primeiro a usar o controlador proporcional-integral-

derivativo (PID). Ele considerou efeitos não lineares no sistema de malha fechada.

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Introdução aos Sistemas de Controle

33

1.3.17 Desenvolvimento de armas e direcionamento de canhões

Um problema fundamental durante o período das guerras mundiais foi o

direcionamento exato das armas a bordo de navios e aeronaves. Com a publicação de “Teoria

dos Servomecanismos” por H. L. Házen (1934), iniciou-se o uso de teoria de controle

matemática em tais problemas. No seu artigo, Házen cunhou a palavra servomecanismos que

implica em uma relação mestre-escravo em sistemas.

Fig. 1.18 – Giroscópio de Sperry.

Fonte: http://www.sperry-marine.com/company-information_sperry-history.asp.

A mira de bomba Norden (Fig. 1.19), desenvolvida durante Segunda Guerra

Mundial, usou repetidores síncronos para retransmitir informação sobre altitude e velocidade

da aeronave e perturbações de vento para a mira, assegurando a distribuição precisa das

armas.

1.3.18 Laboratório de Radiação do M.I.T.

Para estudar os problemas de controle e de processamento de informação

associados ao recém inventado radar, o Laboratório de Radiação foi fundado no Instituto de

Page 34: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

34

Tecnologia Massachussetts em 1940. Muito do trabalho de teoria de controle durante os anos

40 saiu deste laboratório.

Enquanto trabalhava em um projeto em comum do M.I.T. e da Corporação de

Sperry em 1941, A.C. Hall reconheceu os efeitos danosos de ignorar os ruídos em projetos de

sistemas de controle. Ele percebeu que a tecnologia do domínio em freqüência desenvolvida

nos laboratórios Bell poderia ser empregada para enfrentar os efeitos dos ruídos e usou esta

abordagem para projetar um sistema de controle para um radar aerotransportado. Este sucesso

demonstrou, conclusivamente, a importância das técnicas no domínio da freqüência para o

projeto de sistemas de controle (HALL, 1946).

(a) (b)

Fig. 1.19 - A mira de bomba Norden. Fontes: (a) http://www.airpowermuseum.org/trnorden.html. e (b)

http://www.twinbeech.com/norden_bombsight.htm.

Usando abordagens de projeto baseadas na função de transferência, diagrama de

bloco e métodos no domínio da freqüência, houve um grande sucesso no projeto de controles

no Laboratório de Radiação. Em 1947, N. B. Nichols desenvolveu o seu diagrama de Nichols

para o projeto de sistemas realimentados. Com o trabalho no M.I.T., a teoria de

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Introdução aos Sistemas de Controle

35

servomecanismos lineares foi firmemente estabelecida. Um resumo do trabalho no

Laboratório de Radiação do M.I.T. é fornecido em Teoria dos Servomecanismos (NICHOLS e

PHILLIPS, 1947).

Trabalhando na aviação norte-americana, W. R. Evans (1948) apresentou a sua

técnica do lugar das raízes que forneceu um modo direto para determinar os locais dos pólos

de malha fechada no plano s. Subseqüentemente, durante os anos 50, muitos trabalhos de

controles estavam focalizados no plano s e em obter características desejáveis de resposta a

degrau em sistemas de malha fechada em termos de tempo de subida, sobre-sinal percentual e

assim por diante.

1.3.19 Análise estocástica

Durante este período, foram introduzidas, também, técnicas estocásticas no

controle e na teoria de comunicação. No M.I.T em 1942, N. Wiener (1949) analisou sistemas

de processamento de informação usando modelos de processos estocásticos. Trabalhando no

domínio da freqüência, ele desenvolveu um filtro estatisticamente ótimo para sinais

estacionários contínuos no tempo que melhoraram a relação sinal/ruído em sistemas de

comunicação. O russo A. N. Kolmogorov (1941) forneceu uma teoria para processos

estocásticos estacionários discretos no tempo.

1.3.20 O período clássico de teoria de controle

Até agora, a teoria de controle automática usando técnicas no domínio da

freqüência tinha vindo da era, se estabelecendo como um paradigma (no senso de KUHN,

1962). Por um lado, tinha sido estabelecida uma teoria matemática firme para

servomecanismos, e por outro, foram fornecidas técnicas de projeto em engenharia. O período

após a Segunda Guerra Mundial pode ser chamado de período clássico de teoria de controle.

Ele foi caracterizado pelo aparecimento dos primeiros livros de ensino (MACCOLL, 1945;

LAUER; LESNICK e MATDON, 1947; BROWN e CAMPBELL, 1948; CHESTNUT e

MAYER, 1951; TRUXALL, 1955) e por ferramentas de projetos diretas que proveram grande

intuição e soluções garantidas para problemas de projeto. Estas ferramentas foram aplicadas

usando calculadoras de mão, ou no máximo regras de cálculo, junto com técnicas gráficas.

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Sistemas de Controle

36

1.3.21 A era espacial/do computador e o Controle Moderno

Com o advento da era espacial, os projetos de controle nos Estados Unidos

rejeitaram as técnicas no domínio da freqüência da teoria de controle clássica e voltaram para

as técnicas de equação diferencial do final do século XIX, as quais eram expressas no domínio

do tempo. As razões para este desenvolvimento são as que seguem.

1.3.22 Projeto no domínio do tempo para sistemas não lineares

O paradigma de teoria de controle clássica era muito satisfatório para problemas

de projeto de controle durante e imediatamente após as guerras mundiais. A abordagem no

domínio da freqüência era apropriada para sistemas lineares invariantes no tempo. Era a

melhor para lidar com sistemas de única-entrada/única saída, pois era inconveniente aplicar

técnicas gráficas a múltiplas entradas e saídas.

Projetos de controle clássico tiveram algum sucesso com sistemas não lineares.

Usando as propriedades de rejeição de ruído das técnicas no domínio da freqüência, um

sistema de controle pode ser projetado como robusto as variações nos parâmetros do sistema e

para erros de medida e perturbações externas. Assim, podem ser usadas técnicas clássicas em

uma versão linearizada de um sistema não-linear, dando bons resultados no ponto de

equilíbrio sobre o qual o comportamento de sistema é aproximadamente linear.

Também podem ser aplicadas técnicas no domínio da freqüência a sistemas com

tipos simples de não linearidades usando a abordagem da função de descrição que conta com

o critério de Nyquist. Esta técnica foi usada pela primeira vez pelo polonês J. Groszkowski no

projeto de um transmissor de rádio antes da Segunda Guerra Mundial e formalizada em 1964

por J. Kudrewicz.

Infelizmente, não é possível projetar sistemas de controle para sistemas não

lineares avançados multivariáveis, como os que surgiram em aplicações aeroespaciais, usando

a suposição de linearidade e tratando os pares de transmissão única-entrada/única-saída um a

cada vez.

Na União Soviética, havia muita atividade no projeto de controles não-lineares.

Seguindo os passos de Lyapunov, a atenção foi focada nas técnicas no domínio do tempo.

Em 1948, Ivachenko investigou o princípio de controle a relé onde o sinal de controle é

comutado descontinuamente entre valores discretos. Tsypkin usou o plano de fase no projeto

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Introdução aos Sistemas de Controle

37

de controles não lineares em 1955. V. M. Popov [1961] proveu o seu o critério de círculo para

análise de estabilidade não linear.

1.3.23 Sputnik - 1957

Dado a história de teoria de controle na União Soviética, só é natural que o

primeiro satélite, o Sputnik, fosse lançado lá em 1957. A primeira conferência da recém

formada Federação Internacional de Controle Automático (IFAC) foi apropriadamente

realizada em Moscou em 1960.

O lançamento do Sputnik engendrou uma tremenda atividade nos Estados Unidos

no projeto de controles automáticos. No fracasso de qualquer paradigma, requer-se um

retorno histórico e natural para os primeiros princípios. Assim, ficou claro que era necessário

um retorno às técnicas no domínio do tempo do período “primitivo” da teoria de controle que

era baseado em equações diferenciais. Seria percebido que o trabalho de Lagrange e Hamilton

fez isto ao escrever equações não-lineares simples de movimento para muitos sistemas

dinâmicos. Assim era necessária uma teoria de controle que poderia lidar com tais equações

diferenciais não lineares.

É bastante extraordinário que quase exatamente em 1960, os progressos

fundamentais aconteceram independentemente em várias frentes na teoria da comunicação e

controle.

1.3.24 Navegação

Em 1960, C. S. Draper inventou o seu sistema de navegação inercial que usava

giroscópios usados para fornecer informação precisa sobre a posição de um corpo que se

movia espaço, como um navio, aeronave ou astronave. Assim, foram desenvolvidos os

sensores apropriados para navegação e projeto de controles.

1.3.25 Otimalidade em Sistemas Naturais

Johann Bernoulli mencionou o Princípio da Otimalidade primeiro com relação ao

Problema de Brachistochrone em 1696. Este problema foi resolvido pelos irmãos Bernoulli e

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Sistemas de Controle

38

por I. Newton, e ficou claro que a busca por otimalidade é uma propriedade fundamental do

movimento em sistemas naturais. Vários princípios de otimalidade foram investigados,

inclusive o princípio to tempo mínimo na ótica de P. Fermat (século XVII), o trabalho de L.

Euler em 1744 e os resultados de Hamilton que um sistema move-se de tal modo a minimizar

a integral no tempo da diferença entre as energias cinética e potencial.

Estes princípios de otimalidade são todos princípios de mínimo. De forma

bastante interessante, no começo do século XX, A. Einstein mostrou que, relativo ao sistemas

de coordenadas espaço-tempo 4D, o movimento dos sistemas ocorre de tal modo a maximizar

o tempo.

1.3.26 Controle Ótimo e Teoria da Estimação

Considerando que sistemas naturais exibem otimalidade nos seus movimentos, faz

sentido projetar sistemas de controle artificiais de um jeito ótimo. Uma vantagem principal é

que este projeto pode ser realizado no domínio do tempo. No contexto dos projetos de

controle moderno, é habitual minimizar o tempo de trânsito, ou um funcional de energia

quadrática generalizada ou índice de desempenho, possivelmente com algumas restrições nos

controles permitidos.

Ao aplicar programação dinâmica ao controle ótimo de sistemas de tempo

discreto, R. Bellman [1957] demonstrou que a direção natural para resolver problemas de

controle ótimo é ir para trás no tempo. O seu procedimento resultou em esquemas de

realimentação em malha fechada geralmente não-lineares.

Antes de 1958, L. S. Pontryagin desenvolveu o seu princípio de máximo que

resolveu problemas de controle ótimo contando com o cálculo de variações desenvolvido por

L. Euler (1707-1783). Ele resolveu o problema de tempo mínimo, derivando uma lei de

controle a relé on/off como o controle ótimo (PONTRYAGIN, BOLTYANSKY,

GAMKRELIDZE e MISHCHENKO, 1962). Nos EUA, durante os anos 50, aplicou-se o

cálculo de variações a problemas gerais de controle ótimo na Universidade de Chicago e em

outros lugares.

Em 1960, três importantes artigos foram publicados por R. Kalman e

colaboradores, trabalhando nos EUA Um destes (KALMAN e BERTRAM, 1960), deu

publicidade ao trabalho vital de Lyapunov no controle de sistemas não-lineares no domínio do

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Introdução aos Sistemas de Controle

39

tempo. O segundo (KALMAN, 1960a), discutiu o controle ótimo de sistemas, provendo as

equações de projeto para o regulador linear quadrático (LQR). O terceiro artigo (KALMAN,

1960b), discutiu filtragem ótima e teoria de estimação, provendo as equações de projeto para

o filtro de Kalman discreto. O filtro de Kalman contínuo foi desenvolvido por Kalman e Bucy

(1961).

No período de um ano, foram superadas as principais limitações de teoria de

controle clássica, foram introduzidas novas ferramentas teóricas importantes e uma nova era

na teoria de controle tinha iniciado; nós a chamamos de era do controle moderno.

Os pontos fundamentais do trabalho de Kalman são os que seguem. É uma

abordagem no domínio do tempo, fazendo-a mais aplicável em sistemas lineares variantes no

tempo como também em sistemas não-lineares. Ele introduziu a álgebra linear e matrizes, de

forma que sistemas com múltiplas entradas e saídas poderiam ser facilmente tratados. Ele

empregou o conceito do estado interno do sistema; assim, a abordagem é tal que está

preocupada com a dinâmica interna do sistema e não só com o seu comportamento de

entrada/saída.

Na teoria de controle, Kalman formalizou a noção de otimalidade na teoria de

controle minimizando uma mais geral função de energia quadrática generalizada. Na teoria da

estimação, ele introduziu noções estocásticas que, aplicadas a sistemas variantes no tempo

não estacionários, provêem uma solução recursiva, o filtro de Kalman, para abordagem dos

mínimos quadrados usada primeiro por C.F. Gauss (1777-1855) na estimação da órbita

planetária. O filtro de Kalman é a extensão natural do filtro de Wiener para sistemas

estocásticos não estacionários.

Técnicas clássicas no domínio da freqüência provêem ferramentas formais para o

projeto de sistemas de controle, contudo a fase de projeto em si permaneceu mais uma arte e

resultou em sistemas de realimentação não-únicos. Por contraste, a teoria de Kalman proveu

soluções ótimas que renderam sistemas de controle com desempenho garantido. Estes

controles foram diretamente encontrados resolvendo equações de projeto matriciais formais

que geralmente têm soluções únicas.

Não é nenhum acidente que deste ponto floresceu o programa espacial norte-

americano, com um filtro de Kalman provendo dados navegacionais para a primeira

aterrissagem lunar.

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Sistemas de Controle

40

1.3.27 Teoria de controle não-linear

Durante os anos 1960 nos EUA, G. Zames (1966), I. W. Sandberg (1964), K. S.

Narendra (NARENDRA e GOLDWYN, 1964), C. A. Desoer (1965) e outros estenderam o

trabalho de Popov e Lyapunov em estabilidade não-linear. Havia uma aplicação extensa

destes resultados no estudo de distorção não-linear em laços de realimentação com banda

limitada, controle de processos não-linear, projeto de controles de aeronaves e,

eventualmente, em robótica.

1.3.28 Computadores no projeto de controles e implementação

Técnicas de projeto clássicas podiam ser empregadas à mão usando abordagens

gráficas. Por outro lado, o projeto de controle moderno requer a solução de complicadas

equações matriciais não-lineares. Afortunadamente, em 1960 ocorreram os principais

progressos em outra área – a tecnologia do computador digital. Sem computadores, o

controle moderno teria aplicações limitadas.

1.3.29 O Desenvolvimento dos computadores digitais

Em aproximadamente 1830, C. Babbage introduziu os princípios dos

computadores modernos, inclusive memória, controle de programa e desvio de

processamento. Em 1948, J. von Neumann dirigiu a construção, em Princeton, do computador

de programa armazenado IAS. A IBM construiu sua máquina de programa armazenado SSEC

Em 1950, Sperry Rand construiu a primeira máquina de processamento de dados comercial, o

UNIVAC I. Em seguida, a IBM comercializou o computador 701.

Em 1960 aconteceu um avanço fundamental - foi introduzida a segunda geração

de computadores que usava tecnologia de estado sólido. Por volta de 1965, A Corporação de

Equipamentos Digitais estava construindo o PDP-8 e a indústria do minicomputador

começou. Finalmente, em 1969, W. Hoff inventou o microprocessador.

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Introdução aos Sistemas de Controle

41

1.3.30 Controle digital e teoria da filtragem

Computadores digitais são necessários para dois propósitos em controle moderno.

Primeiro, eles são necessários para resolver as equações de projeto matriciais que produzem a

lei de controle. Isto é realizado off-line durante o processo de projeto. Segundo, já que as leis

de controle ótimo e filtros são geralmente variantes no tempo, eles são necessários para

implementar o controle moderno e esquemas de filtragem nos sistemas atuais.

Com o advento do microprocessador em 1969, uma área nova se desenvolveu.

Sistemas de controle que são implementados em computadores digitais devem ser formulados

em tempo discreto. Então, o crescimento de teoria de controle digital era natural neste

momento.

Durante os anos 50, a teoria de sistemas de dados amostrados estava sendo

desenvolvida na Columbia por J. R. Ragazzini, G. Franklin e L. A. Zadeh (RAGAZZINI e

ZADEH, 1952; RAGAZZINI e FRANKLIN, 1958); bem como por E. I. Júri (1960), A. C.

Kuo (1963) e outros. A idéia de usar computadores digitais para controle de processos

industriais emergiu durante este período (ÅSTRÖM e WITTENMARK, 1984). Um trabalho

sério, iniciado em 1956 com o projeto de colaboração entre TRW e Texaco, resultou em um

sistema controlado por computador sendo instalado na refinaria de óleo Porto Arthur no Texas

em 1959.

O desenvolvimento de reatores nucleares durante os anos 50 era uma motivação

fundamental para explorar o controle de processos industriais e instrumentação. Este trabalho

tem suas raízes no controle de plantas químicas durante os anos 40.

Antes dos anos 70, com o trabalho de K. Åström (1970) e outros, a importância

dos controles digitais na aplicação de processos estava firmemente estabelecida.

O trabalho de C. E. Shannon nos anos 50 nos Laboratórios Bell tinha revelado a

importância das técnicas de dados amostrados no processamento de sinais. Foram

investigadas as aplicações da teoria filtragem digital na Corporação de Ciências Analítica

(GELB, 1974) e em outros lugares.

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Sistemas de Controle

42

1.3.31 O Computador pessoal

Com a introdução do PC em 1983, o projeto de sistemas de controle moderno

tornou-se possível para engenheiros free-lancers. Depois disso, uma abundância softwares

para projeto de sistemas de controle foram desenvolvidos, incluindo ORACLS, CC Program,

Control-C, PC-Matlab, MATRIXx, Easy5, SIMNON e outros.

1.3.32 A união do controle moderno e do clássico

Com a publicação dos primeiros livros de ensino nos anos 60, a teoria de controle

moderno se estabeleceu como um paradigma para projetos de controles automáticos nos EUA.

Seguiu-se uma intensa atividade em pesquisa e implementação, com o I.R.E. e o A.I.E.E.

fundindo-se, em grande parte pelos esforços de P. Haggerty na Texas Instruments, para

formar o Instituto de Engenheiro Eletricistas e Eletrônicos (I.E.E.E) nos início dos anos 60.

Com todo o seu poder e vantagens, o controle moderno falhou em alguns

aspectos. O desempenho garantido obtido pela solução de equações de projeto matriciais

significa que é freqüentemente possível projetar um sistema de controle que funciona

teoricamente sem ganhar qualquer intuição de engenharia sobre o problema. Por outro lado,

as técnicas no domínio da freqüência da teoria de controle clássico fornecem muita intuição.

Outro problema é que um sistema de controle moderno com qualquer

compensador dinâmico pode não ser robusto a perturbações, dinâmicas não modeladas e

ruídos de medição. Por outro lado, a robustez está embutida na abordagem do domínio da

freqüência que usa noções como a margem ganho e de fase.

Então, nos anos 70, especialmente na Grã Bretanha, havia muita atividade por

parte de H. H. Rosenbrock (1974), A. G. J. MacFarlane e I. Postlethwaite (1977) e outros para

estender as técnicas clássicas no domínio da freqüência e o lugar das raízes a sistemas

multivariáveis. Sucessos foram obtidos usando noções como o lugar característico, a

dominância diagonal e o arranjo inverso de Nyquist.

Um proponente importante de técnicas clássicas para sistemas multivariáveis foi I.

Horowitz, cuja teoria quantitativa da realimentação desenvolvida no início dos anos 70

realiza projeto robusto usando o gráfico de Nichols.

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Introdução aos Sistemas de Controle

43

Em 1981, artigos férteis foram publicados por J. Doyle e G. Stein (1981), M. G.

Safonov, A. J. Laub e G. L. Hartmann [1981]. Estendendo o trabalho criativo de MacFarlane

e Postlethwaite [1977], eles mostraram a importância dos gráficos de valores singulares

versus freqüência no projeto de sistemas multivariáveis robustos. Usando estes gráficos,

muitas das técnicas clássicas no domínio da freqüência podem ser incorporados em projetos

modernos. Este trabalho prosseguiu em aeronaves e controle de processos por M. Athans

(1986) e outros. O resultado é uma nova teoria de controle que mistura as melhores

características de técnicas clássicas e modernas. Uma inspeção desta teoria de controle

moderno robusto é provida por P. Dorato (1987).

1.4 A filosofia do controle clássico

Compreendendo um pouco da história da teoria de controle automático, nós

podemos discutir brevemente, agora, as filosofias da teoria de controle clássico e moderno.

Desenvolvendo-se, como o fez, para o projeto de amplificadores realimentados, a

teoria de controle clássico foi naturalmente formulada no domínio da freqüência e no plano s.

Contando com métodos de transformadas, ela é principalmente aplicável a sistemas lineares

invariantes no tempo, entretanto algumas extensões foram feitas para sistemas não lineares

usando, por exemplo, a função de descrição.

A descrição necessária para o projeto de controles do sistema usando os métodos

de Nyquist e Bode é a magnitude e fase da resposta em freqüência. Isto é vantajoso desde que

a resposta em freqüência possa ser medida experimentalmente. A função de transferência

pode então ser computada. Para o projeto com lugar das raízes, a função de transferência é

necessária. O diagrama de blocos é largamente usado para determinar funções de

transferência de sistemas compostos. Não é necessária uma descrição exata da dinâmica

interna do sistema para o projeto clássico; isto é, é importante apenas o comportamento

entrada/saída do sistema.

O projeto pode ser realizado à mão usando técnicas gráficas. Estes métodos

fornecem muita intuição e provêem o projetista de controles com uma gama de possibilidades

de projeto, de forma que os sistemas de controle resultantes não são únicos. O processo de

projeto é uma arte de engenharia.

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Sistemas de Controle

44

Um sistema real tem perturbações e ruídos de medição, e pode não ser descrito

exatamente pelo modelo matemático que o engenheiro está usando para projeto. A teoria

clássica é natural para projetar sistemas de controle que são robustos a tais desordens,

rendendo bom desempenho de malha fechada apesar destas. O projeto robusto é realizado

usando noções como margem de ganho e de fase.

Compensadores simples como o proporcional-integral-derivado (PID), atraso-

avanço ou circuitos de incidência negativa são geralmente usados na estrutura de controle. Os

efeitos de tais circuitos nos gráficos de Nyquist, Bode e lugar das raízes são de fácil

compreensão, de forma que uma estrutura satisfatória de compensador pode ser selecionada.

Uma vez projetado, o compensador pode ser facilmente regulado on-line.

Um conceito fundamental em controle clássico é a habilidade para descrever

propriedades de malha fechada em termos de propriedades de malha aberta que são

conhecidas ou fáceis medir. Por exemplo, os gráficos de Nyquist, Bode e lugar das raízes

estão em termos da função de transferência de malha aberta. Novamente, as propriedades de

rejeição a perturbações em malha fechada e o erro de regime permanente podem ser descritos

em termos de diferença de retorno e sensibilidade.

A Teoria de controle clássica é difícil de aplicar a múltiplas-entradas / múltiplas-

saídas (MIMO), ou sistemas de laços múltiplos. Devido à interação dos laços de controle em

um sistema multivariáveis, cada função de transferência de entrada-única / saída-única (SISO)

pode ter propriedades aceitáveis em termos de resposta ao degrau e robustez, mas o controle

coordenado de movimento do sistema pode não ser aceitável.

Assim, o MIMO clássico ou projeto de múltiplos laços requer um esforço

esmerado ao usar a abordagem de um laço fechado a cada vez através de técnicas gráficas.

Por exemplo, um lugar das raízes deveria ser traçado para cada elemento de ganho, levando

em conta os ganhos previamente selecionados. Este é um procedimento de tentativa-e-erro

que pode requerer múltiplas repetições e não garante bons resultados, ou mesmo estabilidade

em malha fechada.

As abordagens multivariáveis no domínio da freqüência desenvolvidas pela escola

britânica durante os anos 70, bem como a teoria quantitativa de realimentação, superaram

muitas destas limitações, fornecendo uma abordagem efetiva para o projeto de muitos

sistemas MIMO.

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Introdução aos Sistemas de Controle

45

1.5 A filosofia de controle moderno

O Projeto de controles moderno é, fundamentalmente, uma técnica no domínio do

tempo. É requerido um modelo exato de espaço de estados do sistema a ser controlado, ou

planta. Esta é uma equação diferencial vetor de primeira-ordem da forma

BuAxdtdx

+=

(1.1) y = Cx

onde x(t) é um vetor de variáveis internas ou estados do sistema, u(t) é um vetor de entradas

de controle e y(t) é um vetor de saídas medidas. É possível somar termos de ruído para

representar o processo e ruídos de medição. Nota que a planta é descrita no domínio do

tempo.

A força do controle moderno tem suas raízes no fato que o modelo de espaço de

estados pode representar bem um sistema MIMO como um sistema SISO. Quer dizer, u(t) e

y(t) geralmente são vetores cujas entradas são entradas e saídas individuais escalares. Assim,

A, B, C são matrizes cujos elementos descrevem as interconexões dinâmicas do sistema.

As técnicas de controle moderno foram primeiro firmemente estabelecidas para

sistemas lineares. Extensões para sistemas não-lineares podem ser feitas usando a abordagem

de Lyapunov, que se estende facilmente a sistemas MIMO, programação dinâmica e outras

técnicas. Projetos de controle ótimo em malha aberta podem ser determinados para sistemas

de lineares resolvendo problemas não-lineares com dois pontos de contorno.

Exatamente como no caso clássico, algumas questões fundamentais no

desempenho do sistema de malha fechada podem ser atacadas investigando propriedades de

malha aberta. Por exemplo, as propriedades de malha aberta de controlabilidade e

observabilidade de (1.1) dão a idéia do que é possível alcançar usando controle realimentado.

A diferença é que, para lidar com o modelo de espaço de estados, é necessário um bom

conhecimento de matrizes e álgebra linear.

Para alcançar propriedades satisfatórias de malha fechada, um controle de

realimentação da forma,

u = -Kx (1.2)

pode ser usado. O ganho de realimentação que K é uma matriz cujos elementos são os ganhos

individuais do controle sistema. Considerando que todos os estados são usados para

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Sistemas de Controle

46

realimentação, isto é chamado realimentação de variáveis de estado. Note que múltiplos

ganhos de realimentação e sistemas grandes são facilmente controlados neste sistema. Assim,

se há n componentes de estado (onde n pode ser muito grande dentro um sistema aeroespacial

ou de distribuição de potência) e m controles escalares, de forma que u(t) é um vetor m

dimensional, então K é uma matriz m x n com mn entradas, correspondendo a mn laços de

controle.

No regulador linear quadrático padrão (LQR), o ganho de realimentação K é

escolhido para minimizar um índice de desempenho (PI) quadrático no domínio do tempo

como

∫∞

=0

TT dt Ru)u +Qx (xJ (1.3)

O mínimo é buscado em cima de todas as trajetórias de estado. Esta é uma

extensão para sistemas MIMO dos tipos de PIs (ITSE, ITAE, etc.) que foram usados no

controle clássico. Q e R são matrizes de ponderação que servem como parâmetros de projeto.

Os seus elementos podem ser selecionados para prover desempenho satisfatório.

A chave para o projeto do LQR é o fato que, se a matriz de ganho realimentação

K pode ser escolhido com sucesso para fazer J finito, então a integral (1.3) que envolve as

normas de u(t) e x(t) é limitada. Se Q e R são corretamente escolhidas, os famosos princípios

matemáticos asseguram, então, que x(t) e u(t) vão zerar com tempo. Isto garante a estabilidade

de malha fechada como também os sinais de controle limitados no sistema malha fechada.

Pode ser mostrado que o valor de K que minimiza o PI é dado por

K = R-1BTS (1.4)

onde S é uma matriz n x m satisfazendo a equação de Riccati

0 = ATS + SA - SBR-1BTS + Q (1.5)

Dentro deste quadro LQ, diversas observações podem ser feitos. Primeiro,

contanto que o sistema (1.1) é controlável e Q e R são apropriadamente escolhidos, o K dado

por estas equações garante a estabilidade do sistema em malha fechada

dx/dt = (A-BK)x + Bu (1.6)

Segundo, esta técnica é fácil de aplicar mesmo para plantas de entradas múltiplas,

já que u(t) pode ser um vetor com muitos componentes.

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Introdução aos Sistemas de Controle

47

Terceiro, a solução do LQR conta com a solução da equação matricial de projeto

(1.5), sendo assim, inadequada para cálculos a mão. Felizmente, muitos pacotes de projeto

estão agora disponíveis em computadores digitais para resolver a equação de projeto de

Riccati para S e, conseqüentemente, para obter K. Então, o projeto assistido por computador

é uma característica essencial do controle moderno.

A solução do LQR é uma solução formal que dá uma única resposta para o

problema de controle realimentado uma vez que o parâmetro de projeto Q tenha sido

selecionado. Na realidade, a arte de engenharia no projeto moderno conta com a seleção do

PI das matrizes de ponderação Q e R. Um corpo de teoria neste processo de seleção

desenvolveu-se. Uma vez que Q é corretamente selecionado, a equação de projeto matricial é

resolvida formalmente para o único K que garante estabilidade.

Observe que K é computado em termos das quantidades de malha aberta A, B, Q,

de forma que os projetos moderno e clássico têm em comum esta característica de determinar

propriedades de malha fechada em termos de quantidades de malha aberta. Porém, no controle

moderno, todas as entradas de K são determinadas ao mesmo tempo usando as equações de

projeto matriciais. Isto corresponde a fechar todo os laços do controle realimentado

simultaneamente, o que está em completo contraste ao procedimento de um laço a cada vez

do projeto de controles clássico

Infelizmente, o projeto formal do LQR dá uma intuição muito pequena sobre a

natureza ou propriedades do sistema de malha fechada. Recentemente, esta deficiência foi

enfocada a partir de uma variedade de pontos de vista

Embora o projeto do LQR usando realimentação de estado garanta a estabilidade

de malha fechada, todos os componentes de estado raramente estão disponíveis para

propósitos de realimentação em um problema prático de projeto. Então, a realimentação da

saída da forma

u = -Ky (1.7)

é mais útil. Equações de projeto LQR para realimentação da saída são mais complicadas que

(1.3), mas são facilmente derivadas.

O projeto de realimentação da saída moderno permite projetar controladores para

sistemas complicados com múltiplas entradas e saídas resolvendo formalmente equações de

projeto matriciais em um computador digital.

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Sistemas de Controle

48

Outro fator importante é o seguinte. Enquanto a realimentação de estados (1.2)

envolve a realimentação de todos os estados para todas as entradas, não oferecendo nenhuma

estrutura no sistema de controle, a lei de controle realimentação da saída (1.7) pode ser usada

para projetar um compensador com uma estrutura dinâmica desejada, recuperando muito da

intuição de projeto de controles clássico.

Leis de realimentação como (1.2) e (1.7) são chamadas estáticas, já que os ganhos

de controle são constantes, ou no máximo variantes no tempo. Uma alternativa para

realimentação de saída estática é usar um compensador dinâmico da forma

dz/dt = Fz + Gy + Eu (1.8)

u = Hz + Dy

As entradas deste compensador são as entradas e saídas do sistema. Isto rende

uma malha fechada que é chamada realimentação de saída dinâmica. O problema de projeto é

selecionar as matrizes F, G, E, H, D para bom desempenho de malha fechada. Um resultado

importante do controle moderno é que a estabilidade de malha fechada pode ser garantida

selecionando F = A – LC para alguma matriz L que é computada usando uma equação de

projeto de Riccati semelhante a (1.5). As outras matrizes em (1.8) são, então, determinadas

facilmente. Este projeto está baseado no vital princípio da separação.

Uma desvantagem com o projeto que usa F = A – LC é, então, que o compensador

dinâmico tem o mesmo número de estados internos que a planta. Em complicadas aplicações

aeroespaciais modernas e de instalações de potência, esta dimensão pode ser muito grande.

Assim, foram desenvolvidas várias técnicas para redução do controlador e projeto de ordem

reduzida.

No controle moderno padrão, assume-se que o sistema é descrito exatamente pelo

modelo matemático (1.1). Na realidade, porém, este modelo pode ser só uma descrição

aproximada da planta real. Além disso, na prática pode haver perturbações que agem na

planta, como também ruídos de medição em determinado y(t).

O LQR que usa realimentação de estado plena tem algumas propriedades de

robustez importantes a tais desordens, tais como uma margem de ganho infinita, 60° de

margem de fase e robustez para alguma não-linearidade no laço de controle. Por outro lado, o

LQR que usa realimentação de saída estática ou dinâmica não tem nenhuma propriedade de

robustez garantida. Com o trabalho em controle moderno robusto no início dos anos 80, há,

Page 49: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

49

agora, uma nova técnica (LQG/LTR)3 para projetar sistemas de controle robusto

multivariáveis. Projetos LQG/LTR incorporam tratamentos rigorosos dos efeitos de incertezas

de modelagem na estabilidade de malha fechada e de efeitos de perturbação no desempenho

de malha fechada.

Com o trabalho sobre projeto robusto moderno, muito da intuição das técnicas de

controle clássico podem ser agora incorporadas no projeto moderno multivariáveis.

Com os progressos modernos na teoria de controle digital e sistemas de tempo

discreto, o controle moderno é muito satisfatório para o projeto de sistemas de controle que

podem ser implementados em microprocessadores. Isto permite a implementação de

controladores dinâmicos que são mais complicados como também mais efetivos que as

estruturas simples PID e atraso- avanço do controle clássico.

Com o trabalho recente em descrição tipo fração de matrizes e de projeto com

equações polinomiais, uma planta MIMO pode ser descrita não em uma forma de espaço de

estados, mas na forma entrada/saída. Isto é uma extensão direta da clássica descrição por

função de transferência e, para algumas aplicações, é mais apropriada que a descrição interna

(1.1 ).

1.6 Fundamentos matemáticos

O estudo da teoria de controle clássico exige um conhecimento matemático que

inclui assuntos tais como teoria de variáveis complexas, equações diferenciais e

transformação de Laplace, os quais são abordados nesse capítulo de forma sucinta. O leitor

que desejar se aprofundar no estudo de qualquer um destes assuntos deve recorrer a livros

especializados.

1.6.1 – Representação de sistemas físicos através de equações diferenciais:

As equações diferenciais que descrevem o desempenho dinâmico de um sistema

físico podem ser obtidas utilizando-se as leis físicas do processo. Esse enfoque vale para

sistemas mecânicos, elétricos, fluídos ou termodinâmicos. Considere o circuito RLC mostrado

na Fig.1.20. Podemos descrevê-lo utilizando a lei das tensões de Kirchhoff por

3 LQG – linear-quadrático-gaussiano e LTR – recuperação da transferência de malha (N. do T.).

Page 50: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

50

0(t)(t)(t)(t) =++⋅+− Ci vdt

diLRie (1.9)

sendo que

dtdv

Ci C (t)= (1.10)

Substituindo a equação (1.10) na equação (1.9) obtém-se a equação diferencial

que representa o circuito:

(t)(t)(t)(t)

2

2

iCCC evdt

dvRC

dtvd

LC =++ (1.11)

que é uma equação diferencial linear ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes

ou invariantes no tempo.

R C

ei(t) L

i

+

-VC(t)

Fig. 1.20 – Circuito RLC série.

A grande maioria dos sistemas físicos são lineares dentro de uma faixa das

variáveis. Por exemplo,o sistema massa-amortecedor-mola da Fig. 1.21 que é representado

pela equação diferencial

(t)(t)(t)(t)2

2fky

dtdyb

dtydm =++

onde m designa a massa, b designa o coeficiente de atrito viscoso e k a constante da mola, é

linear enquanto a massa esta sujeita a pequenas deflexões y(t). Entretanto, se y(t) for

continuamente incrementada, a mola será sobre-estendida e quebrará. Logo, a questão da

linearidade e a faixa de aplicabilidade devem ser consideradas para cada sistema. Um sistema

é definido como linear em termos da excitação e da resposta. No caso do circuito RLC a

excitação é a tensão ei(t) e a resposta é a tensão vC(t). Em geral, uma condição necessária para

um sistema ser linear pode ser determinada em termos de uma excitação x(t) e uma resposta

y(t). Quando o sistema esta sujeito a uma excitação x1(t), ele fornece uma resposta y1(t);

quando esta sujeito a uma excitação x2(t), ele fornece uma resposta y2(t). Para um sistema ser

linear, é necessário que uma excitação x3(t) = a1x1(t) + a2x2(t) resulte em uma resposta y3(t) =

a1y1(t) + a2y2(t). Ou seja, para um sistema linear as respostas às várias excitações diferentes

Page 51: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

51

podem ser encontradas separadamente e depois combinadas linearmente para se determinar a

resposta do sistema ao conjunto das várias excitações. Este princípio é conhecido como

princípio da superposição.

No campo do controle a operação normal de um sistema pode ser em torno de um

ponto de equilíbrio e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do

equilíbrio. Por exemplo, considere o pêndulo da Fig. 1.22. O torque sobre a massa é:

θsenmglT =

onde g é a constante de gravidade. Se for do interesse o comportamento do sistema para

pequenos ângulos, o sistema pode ser linearizado em torno do ponto de equilíbrio θ = 0o para

obter a equação linearizada do torque

θmglT =

Assim, se o sistema opera em torno do ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos são

pequenos, é possível a aproximação de um sistema não-linear por um sistema linear. Uma

técnica de linearização de um sistema não linear é apresentada em Ogata (1990, p. 113-114) e

Dorf (2001, p. 39-40).

Massam

f(t)força

y(t)deformação

k

Atrito naparede, b

Massam

by ky

f

y

(a) (b)

Fig. 1.21 – (a) Sistema massa-mola-amortecimento . (b) diagrama de corpo livre.

Page 52: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

52

Comprimento l

Massa m

Fig. 1.22 – Oscilador a pêndulo

1.6.1 –Variável complexa e função complexa:

Uma variável complexa s é uma variável que possui duas componentes; uma

componente real σ, e uma componente imaginária ω. Graficamente, a variável complexa é

representada por um ponto no plano complexo s, com a componente real representada por um

eixo na direção horizontal e a componente imaginária ao longo do eixo vertical. A Fig. 1.23

mostra o plano complexo s, no qual um ponto s = s1 é definido pelas coordenadas σ = σ1 e ω

= ω1, ou s1 = σ1 + jω1.

σ1

ω1 s1 = σ1+jω1

σ

Plano s

Fig. 1.23 - Plano complexo s.

Uma função G(s) é chamada uma função da variável complexa s se para todo s

existir pelo menos um valor correspondente de G(s). Como s possui parte real e imaginária, a

função G(s) também as possui. Assim, G(s) = ReG +jImG, onde ReG representa a parte real de

G(s) e jImG a parte imaginária. A Fig.1.24 representa uma função G(s) univocamente definida,

ou seja, para cada valor de s existe apenas um valor de G(s) que lhe corresponde. Se o inverso

também for verdadeiro, ou seja, se para todo ponto de G(s) existe apenas um valor de s que

lhe corresponde, dizemos que a correspondência de pontos do plano s para pontos no plano

Page 53: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

53

G(s) é descrita por uma correspondência biunívoca. Há funções, entretanto, que a

correspondência não é biunívoca. É o caso da função G(s)= )1(1 +ss , onde para cada valor

de s há um único valor correspondente de G(s). Porém, o inverso não é verdadeiro, já que o

ponto G(s) = ∞ corresponde a dois pontos no plano s, s = 0 e s = -1.

Uma função G(s) da variável complexa s é dita analítica em uma região do plano s

se a função e todas as suas derivadas existirem nessa região. Por exemplo, a função citada

anteriormente é analítica em todo o ponto do plano s, exceto nos pontos s = 0 e s = -1, onde

G(s) = ∞. Uma função como G(s) = s+1 é analítica em todo ponto do plano s finito.

σ1

ω1 s1 = σ1+jω1

σ G(s1)

jImG

ReG

Plano G(s)

Plano s

Fig. 1.24 – Do plano complexo s para o plano G(s)

Os pontos s = 0 e s = -1 representa singularidades da função G(s) = )1(1

+ss .

Singularidades de uma função são os pontos do plano s nos quais a função ou as suas

derivadas não existem. Seja uma função complexa definida por:

)()()(

sqspsG =

Os valores de s que anulam o denominador q(s) são conhecidos como pólos de

G(s); por sua vez, os valores de s que anulam o numerador p(s) são conhecidos como zeros de

G(s). Como um exemplo, a função complexa

2)2)(1()3(5)(

+++

=sss

ssG

apresenta pólos simples em s = 0 e s = -1, um pólo de ordem 2 em s = -2, um zero em s = -3 e

três zeros no infinito, pois

Page 54: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

54

05lim)(lim 3 ==∞→∞→ s

sGss

Observação: Toda a função racional de s (função que é um quociente de dois polinômios em

s) possui um número total de pólos igual ao número de zeros.

1.6.2 Teorema de Euler

Desenvolvendo cosθ e senθ em série de potências obtemos:

K+−+−=!!! 642

1cos642 θθθθ

K+−+−=!7!5!3

s753 θθθθθen

Destas equações resulta:

( ) ( ) ( )K+++++=+

!!! 4321sencos

432 θθθθθθ jjjjj

Como

K+++++=!!! 432

1432 xxxxe x

Resulta θθθ jej =+ sencos

expressão conhecida como teorema de Euler.

Usando o teorema de Euler, podemos exprimir as funções seno e cosseno em

termos de uma função exponencial. Como

θθθ sencos je j += (1.12)

Resulta que:

( ) ( ) θθθθθ senos-sen-cos jcje j −=+=− (1.13)

Somando (1.12) e (1.13) obtém-se:

2cos

θθ

θjj ee −+

= (1.14)

Por sua vez, subtraindo (1.13) de (1.12) obtém-se:

Page 55: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

55

jeeen

jj

2s

θθ

θ−−

= (1.15)

1.6.3 Transformada de Laplace:

A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial que representa um

sistema em uma equação algébrica em s de solução mais simples. A resposta no domínio do

tempo é obtida tomando-se a transformada inversa de Laplace da solução em s.

Definição da transformada de Laplace:

Dada a função f(t) que satisfaz a condição

∞<∫∞ − dtetf t0

)( σ (1.16)

para algum σ real finito, a transformada de Laplace f(t) é definida como

dtetfsF st∫∞ −=0

)()( (1.17)

ou F(s) = L[ f(t) ] (1.18)

A variável s = σ + jω é o operador de Laplace. A transformada de Laplace

definida pela equação (1.17) é conhecida por transformada de Laplace unilateral, uma vez

que a integração ocorre de 0 a ∞. A transformada unilateral ignora toda a informação contida

em f(t) antes de t = 0, o que não comprometerá o nosso estudo (restrito a sistemas lineares)

onde a referência de tempo é escolhida no instante t = 0.

Interpretação da transformada de Laplace:

Pela definição de transformada de Laplace,

∫∫∫∞ −−∞ +−∞ −

+= ===00

)(0

)()()(|)( dteetfdtetfdtetfsF tjttjstjs

ωσωσωσ

dttjtetfsF tjs ∫

∞ −+= −=

0)sen(cos)(|)( ωωσ

ωσ

dttetfjdttetfsF ttjs ∫∫

∞ −∞ −+= −

00sen)(cos)(|)( ωω σσ

ωσ (1.19)

Conseqüentemente, a parte real de F(s) em s = σ + jω é uma medida do

“comprimento” da componente te t ωσ cos− em f(t), enquanto a parte imaginária de F(s) mede

Page 56: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

56

o “comprimento” da componente te t ωσ sen− em f(t). Dependendo de como σ e ω são

escolhidos como as partes real e imaginária de s, então F(s) mede o comprimento de vários

sinais oscilantes com envoltórias exponenciais. A Fig. 1.25 ilustra a relação entre a escolha de

s e a correspondente componente do sinal e-st. Este diagrama combinado com (1.19) torna

claro que a partir da escolha de diferentes valores de s, a quantidade F(s) provê uma

decomposição de f(t) em componentes fundamentais que são oscilantes com envoltórias

exponenciais.

σ

ϖ2π

1

e-σtcosωt eσtcosωt

e-σt eσt

Fig. 1.25 – A relação entre a escolha de s e o sinal e-st (somente a parte real é mostrada).

Exemplo 1.1 - Considere a função exponencial

atetf −=)( para t ≥ 0

onde a é uma constante.

A transformada de Laplace de f(t) é escrita como

asasedtedteesF

tastasstat

+=⎥

⎤⎢⎣

⎡+

−===∞+−∞ +−∞ −− ∫∫

1)(

)(0

)(

0)(

0

É claro que a transformada de Laplace dada pela equação acima é válida se

∞<= ∫∫∞ +−∞ −− dtedtee

tatat0

)(

0

σσ

Page 57: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

57

o que significa que (σ + a) > 0 ou σ > -a. Na prática, nos referimos a transformada de Laplace

da função exponencial como F(s) = 1/(s+a), válida ao longo de todo o plano s onde F(s) for

analítica. Assim, nas linhas que seguem, não nos preocuparemos com a região em que a

integral da transformada converge absolutamente.

Exemplo 1.2 – Considere a função degrau

1 ; t ≥ 0 uS(t) ≡

0 ; t < 0

A transformada de Laplace de f(t) = uS(t) é

[ ]ss

edtedtetutusFst

ststSS

1)()()(0

00=⎥

⎤⎢⎣

⎡−====

∞−∞ −∞ − ∫∫L

Conforme ilustraram os exemplos acima, a transformada de Laplace de qualquer

função transformável f(t) pode ser achada multiplicando-se f(t) por e-st e depois se integrando

o produto de t = 0 a t = ∞. Não obstante a importância de conhecer este método, nem sempre é

necessário deduzir a transformada de Laplace de uma f(t). Podemos achar a transformada de

Laplace de uma função utilizando tabelas de transformada de Laplace, como a Tabela 1.1, que

reúne pares importantes da transformada de Laplace. Por sua vez, a Tabela 1.2 sintetiza os

teoremas da transformada de Laplace mais relevantes para a análise sistemas de controle de

lineares.

1.6.4 Transformada inversa de Laplace:

O procedimento matemático de obtenção da expressão no tempo a partir da

expressão complexa é chamado de transformação inversa de Laplace.. A notação para a

transformada inversa de Laplace é L -1, de modo que:

[ ] ( )tfsF =)(1- L

Matematicamente, f(t) é achada a partir de F(s) pela seguinte integral:

dsesFj

tfj

jst∫

∞+

∞−+=

σ

σπ)()(

21 (1.20)

A transformada inversa de Laplace é freqüentemente obtida usando tabelas de

pares de transformada de Laplace como a Tabela 1.1 e a técnica de expansão em frações

parciais, que será descrita a seguir.

Page 58: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

58

TABELA 1.1

PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f(t) F(s) Função degrau unitário, u(t)

s1

Função impulso unitário, δ(t) 1 ate−

as +1

tsenω 22 ω

ω+s

tcosω 22 ω+s

s

nt 1+ns

n!

Ttnn et

nT−−

−1

)!1(1

nsT )1(1

+

tsene at ω.− ( ) 22 ω

ω++ as

t.cose-at ω ( ) 22 ω++

+as

as

( ) ( )

aarctg

tsenea at

−=

++− −

αωφ

φωωαω

,.1 22

( ) 22 ωα++

+ass

)1(.1

2

2tsene n

tn n ζωζ

ω ζω −−

− , ζ < 1 22

2

2 nn

n

ss ωζωω

++

( )

aarctg

tseneaa

at

−=

−+

++

ωφ

φωωωω

,.112222

( )[ ]22

1ω++ ass

( )

1,1

,1.1

1

2

2

2

<−−

=

−−−

+−

ζζζ

φ

φζωζ

ζ

arctg

tsenen

twn

)2( 22

2

nn

n

swss ωζω

++

( ) ( )

aarctg

aarctg

tsenea

aa

at

−−

−=

++

+−+

+−

ωα

ωφ

φωω

ωαωω

α ,.122

22

22

( )[ ]22 ωα

++

+

asss

Page 59: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

59

TABELA 1.2

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Multiplicação por uma constante:

[ ] )()( skFtkf =L

Exemplo:

[ ] [ ] 2

5L55Ls

tt ==

2. Soma e diferença:

[ ] )()()()( 2121 sFsFtftf +=±L

Exemplo:

[ ] [ ] [ ]1

112 +

+=+=+ −−

ssetet tt LLL

3. Derivação:

)0()()( fssFdt

tdf−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡L

)0(...

)0()0()()(

1

121

−−

−−

−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

n

nnnn

n

f

fsfssFsdt

tfdL

Exemplo:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] 2222

22

01)cos(

)0()(1)cos(

)(L)cos(

)()(

?)cos(

ωωω

ωω

ωω

ωωω

ωωω

ω

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

+=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+==

=

ss

sst

fssFt

tsendtdt

ssFtsen

t

L

L

L

L

L

4. Integração:

ssFdf

t )()(0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫ ττL

Exemplo:

sCsIdi

Ct )()(10

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∫ ττL

5. Translação no tempo

[ ] )()()(L 000 sFettuttf st

s−=−−

f(t+t0).u(t+t0)

t0t

f(t).u(t)

t

Exemplo:

[ ]

[ ]s

ettu

stu

st

s

s

0

)(

1)(

0

=−

=

L

L

6. Teorema do valor inicial:

)(lim)(lim0

ssFtfst ∞→→

=

Exemplo:

0)0()( =∴−= − feetf atat

[ ] 22

211)(asa

asastf

−−

=−

−+

=L

222

2lim2lim)(lims

asasasssF

sss

−=

−−

=∞→∞→∞→

02lim)(lim =−

=∞→∞→ s

assFss

Page 60: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

60

6. Teorema do valor final: Se a TL de f(t) é F(s) e a sF(s) é analítica sobre o eixo imaginário e na metade direita do plano s:

)(lim)(lim0

ssFtfst →∞→

=

Exemplo:

0)()( =∞∴= − fetf at

[ ] ):(1)()( aspoloas

sFtf −=+

==L

0lim)(lim00

=+

=→→ as

sssFss

7. Translação Complexa:

[ ] )()( asFtfe at ±=mL

Exemplo:

[ ][ ] [ ]

( )23

2

3

31L1L

?L

±=∴=

=

ste

st

te

t

t

m

m

8. Convolução Real:

[ ])()()()(

)()()()(

)()()()(

2121

02121

02121

tftfsFsF

dftfsFsF

dtffsFsF

t

t

∗=⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅

L

L

L

τττ

τττ

Exemplo

tss

sFsF

tutftfs

sFs

sF

S

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∴=⋅

==

=∴=

21-

221

21

21

11)()(

)()()(

1)(1)(

L

Aplicando a convolução real:

tdsFsF

dtuusFsF

tt

t

SS

===⋅

−=⋅

00

21

021

|)()(

)()()()(

ττ

τττ

1

t τ

us(τ)

1

t τ

us(-τ)

t

us(t-τ) = us[-(τ-t)]

t

us(τ)us(t-τ)

τ

τ

Page 61: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

61

Em sistemas de controle, freqüentemente uma função com de variável complexa

F(s) aparece na forma

)()()(

sAsBsF =

sendo A(s) e B(s) polinômios em s, com o grau de B(s) menor que o graus de A(s). Se F(s) for

decomposta em componentes,

F(s) = F1(s) + F2(s) + … + Fn(s)

onde a transformada de Laplace de cada componente está disponível em uma tabela, então

L -1[F(s)] = L -1[F1(s)] + L- 1[F2(s)] + … + L -1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)

onde f1(t),f2(t), …, fn(t) são as transformadas inversas de Laplace de = F1(s), F2(s), …, Fn(s).

A seguir, apresentam-se 3 variações do método de expansão em frações parciais.

Expansão em frações parciais quando F(s) envolve apenas pólos simples

Deseja-se calcular a transformada de Laplace de

)3)(2)(1(35)(

++++

=sss

ssX

que possui como pólos reais –1, -2 e –3. Como todos os pólos são distintos temos a seguinte

expansão em frações parciais:

321)3)(2)(1(35)(

++

++

+=

++++

=s

cs

bs

asss

ssX (i)

Multiplicando-se ambos os lados por (s+1) resulta

3)1(

2)1(

1)1(

)3)(2)(1()1)(35(

++

+++

+++

=+++

++ssc

ssb

ssa

sssss

ou

3)1(

2)1(

)3)(2()35(

++

+++

+=++

+ssc

ssba

sss

Quando s = -1, resulta:

1212

−=⇒=⋅

− aa

O procedimento acima sugere que

Page 62: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

62

[ ] 1)3)(2(

35)()1(1

1 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=+=

−=−=

ss ss

ssXsa

Para calcular as outras constantes adota-se o mesmo procedimento. Assim:

[ ] 7)3)(1(

35)()2(2

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=+=

−=−=

ss ss

ssXsb

[ ] 6)1)(1(

35)()3(3

3 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=+=

−=−=

ss ss

ssXsc

Substituindo os valores das constantes em (i), resulta:

36

27

11)(

+−

++

+−=

ssssX

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace na expressão acima

L -1[X(s)] = x(t) = ttt eee 32 67 −−− −+−

Expansão em frações parciais quando F(s) envolve pólos de ordem múltiplos

Deseja-se calcular a transformada de Laplace de

3)1)(2(1)(

++=

ssssX

que possui como pólos simples 0 e -2 e um pólo de ordem e em s = -1. Para esse caso, temos a

seguinte expansão em frações parciais:

323 )1()1(12)1)(2(1)(

++

++

++

++=

++=

se

sd

sc

sb

sa

ssssX (i)

Os coeficientes dos pólos simples são

[ ]21

)1)(2(1)(

030 =⎥

⎤⎢⎣

++==

==

ss ss

ssXa

[ ]21

)1(1)()2(

232 =⎥

⎤⎢⎣

+=+=

−=−=

ss ss

sXsb

Para o pólo múltiplo temos:

[ ] 1)2(

1)()1(1

13 −=⎥

⎤⎢⎣

⎡+

=+=−=

−=s

s sssXse

Page 63: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

63

[ ]1

21

3

21

)2(1)()1(

1

−=−=

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=⎥

⎤⎢⎣

⎡+

=+

=ss

s

ssdsd

ssdsd

ds

sXsdd

[ ]0|

)2(22|)2)(22(

)2(1221

2212

1 =++

−=++−=+

= −=−=−−=

sss

ssssss

dsssd

d

[ ]1

221

2

2

2

32

)2(22

)2(1

21)()1(

!21 1

−=−=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=+

=ss

s

sss

dsd

ssdsd

dssXsd

c

1)2()1(4

)2(1

)2()22)(2(2)22(2)2(

21

1

32

2

221

42

222

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⋅+

+=⎥

⎤⎢⎣

⎡+

++⋅+−⋅+−=

−=−= ss sss

ssssssssssc

Assim, a partir de (i) resulta

3)1(1

)1(1

)2(21

21)(

+−

+−

++=

sssssX

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace na expressão acima

L -1[X(s)] = x(t) = tttS eteetu −−− −−+ 22

21

21

2)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= −− 22

211

21

2)(

)( teetu

tx ttS

Expansão em frações parciais quando F(s) envolve apenas pólos complexos conjugados

Deseja-se calcular a transformada de Laplace de

ωαωαωζωω

jsc

jsb

sa

ssssX

nn

n

+++

−++=

++=

)2()( 22

2

onde α = ζωn

21 ζωω −= n

Os coeficientes do pólo simples s é

[ ] 12

)(0

22

2

0 =⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

++==

==

snn

ns ss

ssXaωζω

ω

Para os pólos complexos teremos

Page 64: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

64

[ ]ωωα

ωωα

ωωα

ωαjjjss

sXjsb n

js

ns 2)()(

)()(22

0 +−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

++=−+=

+−==

( ) ( )( )θ

ωω

θζωωζωω

ω

θωαω

ω−−∠=

⎥⎥

⎢⎢

∠−+∠=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

∠+∠= 0

2220

2

220

2

902902902

n

nnn

nnb

( )090

2+−= θ

ωω jn eb

onde αωθ −= arctg

[ ])2)(()(

)()(22

0 ωωαω

ωαω

ωαωα

jjjsssXjsc n

js

ns −−−

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−+=++=

−−==

( )θω

ω

θωαω

ω+∠=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−∠+−∠= 0

220

2

902902

nnc

( )090

2+= θ

ωω jn ec

Assim:

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+++

−++=

++−

ωαωαωω θθ

jse

jse

ssX

jjn

00 9090

21)(

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace na expressão acima

L -1[X(s)] = x(t) = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tjjtjjn eeee ωαθωαθ

ωω +−+−−+− ++

00 9090

21

x(t) = ( ) ( )( )[ ]00 9090

21 −−−−−− ++ θωθωα

ωω tjtjtn eee

x(t) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− −−+=−−+ 00 90cos190cos2

21 θω

ωω

θωω

ω αα tete tntn

x(t) = ( )θωω

ω α −+ − te tn sen1

ou

x(t) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− −−−

+ θζωζ

ζω te ntn 2

21sen

1

11

Page 65: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

65

onde αωθ −= arctg .

Usando o MATLAB4 para realizar a expansão em frações parciais

Podemos obter a expansão em frações parciais de uma dada função complexa

utilizando a função residue do MATLAB. Por exemplo, seja a função

)2)(1()3()(++

+=

ssssF

Para calcular a expansão em frações parciais com o MATLAB devemos executar os

seguintes comandos:

>> num=[1 3]; den=poly([-1 -2]); >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -1 2 p = -2 -1 k = []

A função residue, para uma dada função complexa F(s) = num/den, retorna os

coeficientes ou resíduos da expansão r, o que nos permiti expandir F(s), como segue:

)2(1

)1(2)(

+−

+=

sssF

Observe, ainda, que o denominador foi inserido em sua forma fatorada através do emprego da

função poly. A função residue permite, também, converter uma expansão em frações

parciais em um polinômio num/den. Observe os seguintes comandos:

>> r=[2 -1]; p=[-1 -2]; k=0; >> [num,den]=residue(r,p,k); >> printsys(num,den) num/den =

4 O MATLAB é um programa iterativo para cálculos científicos e de engenharia produzido pela MathWorks Inc.

Page 66: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

66

s + 3 ------------- s^2 + 3 s + 2

Observe que a função printsys apresenta na tela a função de

transferência num/den na forma adequada.

O MATLAB pode, ainda, computar simbolicamente a transformada laplace e a

transformada inversa de Laplace. Para calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)

procede-se conforme segue:

>> Fs=sym('(s+3)/((s+1)*(s+2))'); >> ilaplace(Fs) ans = 2*exp(-t)-exp(-2*t)

Na primeira linha a função sym cria a função simbólica F(s). Por sua vez, na

segunda linha a função ilaplace avalia simbolicamente a transformada inversa de Laplace

de F(s). Para obter a F(s) a partir da f(t), utilizamos a seguinte seqüência de comandos:

>> ft=sym('2*exp(-t)-exp(-2*t)'); >> laplace(ft) ans = 2/(s+1)-1/(s+2)

A resposta obtida, conforme podemos observar é a expansão em frações parciais

de F(s).

Funções do MATLAB que aprendemos a utilizar:

residue;

polyval;

printsys;

sym;

laplace / ilaplace.

Exercícios

1. Verifique o resultado obtido acima empregando o método algébrico adequado.

2. Obtenha a expansão em frações parciais de

)2(12)( 2 +

+=

ssssF

Page 67: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

67

e confira o resultado utilizando o MATLAB.

3. Obtenha a transformada inversa de Laplace da F(s) acima e confira o resulta utilizando o

MATLAB.

1.6.5 Aplicação da transformada de Laplace na solução de equações diferenciais

ordinárias lineares

A transformada de Laplace pode ser empregada para resolver equações

diferenciais ordinárias lineares com as seguintes vantagens:

• Utilizando-se uma tabela de transformadas os passos envolvidos são todos

algébricos;

• As soluções homogênea e a particular são obtidas simultaneamente.

Exemplo 1.3 – Seja a equação diferencial

)(5)(2)(3)(2

2tutx

dttdx

dttxd

S=++ (i)

que possui como condições iniciais x(0) = -1 e x’(0) = 2.

Inicialmente, tomamos a transformada de Laplace de ambos os lados de (i),

obtendo:

ssXxssXxsxsXs 5)(2)0(3)(3)0(')0()(2 =+−+−−

Substituindo-se as condições iniciais em (ii), após algumas manipulações

algébricas e resolvendo para X(s), obtém-se:

sssXss 532)()23( 2 =+−+++

15)()23( 2 −−=++ ss

sXss

ssssXss −−

=++2

2 5)()23(

)23(5)( 2

2

+++−−

=ssssssX (iii)

Page 68: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

68

Expandindo (iii) em frações parciais, resulta (verifique):

)2(23

)1(5

25)(

++

+−=

ssssX (iv)

Finalmente, tomando a transformada inversa de Laplace de (iv), obtém-se a

solução completa

0235

25)( 2 ≥+−= −− teetx tt

O primeiro termo da equação é a solução em regime permanente e os dois últimos

termos compõem a solução transitória. A solução de regime permanente pode ser obtida

aplicando-se o teorema do valor como segue:

25

)23(5)()( 2

2

00=

+++−−

==→→∞→ ss

ssimlssXimltximlsst

1.7 Função de Transferência

A função de transferência (FT) de um sistema de equações diferenciais lineares

invariantes no tempo é definida como a relação entre as transformadas de Laplace da saída e

da entrada, considerando todas as condições iniciais nulas.

Seja o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação

diferencial:

yayayaya nn

nn++++ −

− .

1

1

10 ... = ubububub mm

mm++++ −

− .

1

1

10 ... (1.21)

onde: y é a saída, u é a entrada do sistema e n ≥ m. A função de transferência do sistema é

obtida tomando-se a transformada de Laplace de ambos os lados da equação (1.21),

considerando todas as condições iniciais nulas, conforme segue:

FT = G(s) = )()(

sUsY =

nnnn

mmmm

asasasabsbsbsb

++++++++

−−

−−

11

10

11

10

...

...=

))...()(())...()((

21

21

n

m

pspspszszszsK

−−−−−−

(1.22)

Vale lembrar que a FT é um conceito aplicado exclusivamente a sistemas lineares

invariantes no tempo, sendo largamente utilizada na análise e projeto de tais sistemas. Se a FT

de um sistema for conhecida, a saída ou resposta pode ser avaliada para diversos tipos de

entrada. Caso ela seja desconhecida, ela pode ser obtida experimentalmente introduzindo-se

no sistema entradas conhecidas e estudando-se a sua saída.

Page 69: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

69

Considere o circuito RC da Fig. 1.26. Aplicando ao circuito a LTK, resulta:

0=+⋅+− oi eRie (1.23)

Como:

dtde

Ci 0= (1.24)

Substituindo (1.24) em (1.23), obtemos a equação diferencial que representa o

circuito:

io eeRdt

deC =+⋅0 (1.25)

R

C e 0

e i i

+

-

Fig. 1.26 – Circuito RC.

Tomando a transformada de Laplace de (1.25) considerando condições iniciais

nulas, resulta:

)()()( 00 sEsEsRCsE i=+

)()()1( 0 sEsERCs i=+

Assim, a FT do circuito é:

11

)()(0

+=

RCssEsE

i

Do procedimento acima, percebemos que são três os passos necessários para obter

a FT de um sistema:

1. Obter a equação diferencial do sistema.

2. Tomar a transformada de Laplace da equação diferencial considerando

condições iniciais nulas.

3. Tomar a razão entre a saída e a entrada.

Exercício: Encontre a função de transferência de um circuito RLC série submetido a uma

excitação e(t).

Page 70: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

70

1.8 Diagramas de bloco

O diagrama de blocos de um sistema é a representação que mostra as funções

desempenhadas por cada um dos componentes do sistema. Esta técnica é útil para representar

graficamente a dinâmica dos sistemas de controle e é usada extensivamente na análise e

projeto de sistemas de controle

A Fig. 1.27 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de malha fechada onde

destacamos:

• Bloco funcional ou bloco: é o símbolo da operação matemática aplicada ao

sinal de entrada do bloco que produz a saída. Os blocos são conectados por

setas que indicam o fluxo de sinal.

• Ponto de soma: Seu símbolo é um círculo com uma cruz. O sinal mais ou

menos em cada segmento orientado indica se o sinal deve somado ou

subtraído;

• Ponto de junção: é o ponto a partir do qual o sinal o sinal vindo de um

bloco vai para outros blocos ou pontos de soma.

E(s)

B(s)

G(s)C(s)

-+

R(s)

Ponto de soma Ponto de junção

Bloco

Fig. 1.27 – Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada.

No sistema em malha fechada da Fig. 1.27, a saída C(s) é realimentada para o

ponto de soma onde ela é comparada ao sinal de entrada de referência R(s), gerando-se o sinal

de erro atuante E(s). Este é multiplicado pela função de transferência G(s) para se obter a

saída C(s). Quando é necessário converter a forma do sinal de saída para a forma do sinal de

entrada, introduzimos um elemento de realimentação cuja função de transferência é H(s),

conforme ilustra a Fig. 1.28. Por exemplo, em um sistema de controle de velocidade de um

motor CC, um tacogerador converte o sinal de saída, a velocidade angular, em um sinal de

tensão para que esse possa ser comparado com o sinal de entrada. Na Fig. 1.28, o sinal de

realimentação que entra no ponto de soma é B(s) = H(s)C(s). Nesta figura, a razão entre o

Page 71: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

71

sinal de realimentação e o sinal de erro atuante é chama função de transferência em malha

aberta. Esta razão é expressa por:

Função de transferência de malha aberta = )()()()( sHsG

sEsB

=

Já a razão entre o sinal de saída C(s) e o erro atuante E(s) é chamada função de

transferência de alimentação direta, que é expressa por:

Função de transferência de alimentação direta = )()()( sG

sEsC

=

Se H(s) for unitária, as funções de transferência de malha aberta e de alimentação

direta são expressas pela mesma equação.

Vamos agora obter a função de transferência de malha fechada )()( sRsC do

sistema da Fig. 1.28. Sejam as seguintes relações:

C(s) = G(s)E(s) (1.26)

E(s) = R(s) – B(s) = R(s) – H(s)C(s) (1.27)

E(s)

B(s)

G(s)C(s)

-+

R(s)

H(s)

Fig. 1.28 – Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada com elemento de

realimentação.

Substituindo (1.27) em (1.26), resulta:

C(s) = G(s)[ R(s) – H(s)C(s)] (1.28)

Rearranjando (1.28), obtém-se

C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s)

C(s) [1 + G(s)H(s)] = G(s)R(s)

E, finalmente, obtém-se a função de transferência de malha fechada:

)()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsC

+= (1.29)

Page 72: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

72

A expressão (1.29) nos mostra que a função de transferência de malha fechada

depende dos elementos de alimentação direta e de realimentação.

Vamos agora analisar o que acontece quando incluímos uma perturbação ou

distúrbio ao sistema de malha fechada da Fig. 1.28. Na Fig. 1.29 mostra-se o sistema de malha

fechada sujeito a uma perturbação. Quando uma entrada de referência e uma entrada de

perturbação estão presentes em um sistema linear, pelo princípio da superposição dos efeitos,

cada entrada pode ser tratada independentemente da outra, o que faz com a saída do sistema

seja o resultado da soma das saídas devidas a cada entrada.

N(s) - Perturbação

G1(s)C(s)

-+

R(s)

H(s)

G2(s)+ +

Fig. 1.29 – Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada sujeito a uma perturbação.

Por inspeção da Fig. 1.28 e aplicando a relação (1.29), obtém-se a resposta do

sistema à perturbação, CN, e a resposta à entrada de referência, CR:

)()()(1)(

)()(

21

2

sHsGsGsG

sNsCN

+= (1.30)

)()()(1)()(

)()(

21

21

sHsGsGsGsG

sRsCR

+= (1.31)

A resposta devido à aplicação simultânea da perturbação e da referência é obtida

somando-se as respostas individuais, ou

C(s) = CN(s) + CR(s) (1.32)

)()()()(1

)()()()()()(1

)()(21

21

21

2 sRsHsGsG

sGsGsNsHsGsG

sGsC+

++

= (1.33)

)]()()([)()()(1

)()( 121

2 sRsGsNsHsGsG

sGsC ++

= (1.34)

Observe que se |G1(s)G2(s)H(s)| >> 1, obtém-se a partir de (1.30):

)()(1

)()()()(

)()(

121

2

sHsGsHsGsGsG

sNsCN == (1.35)

Page 73: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

73

Caso |G1(s) H(s)| >> 1, o efeito da perturbação é suprimido, pois 0)()(

≅sNsCN . Isto

se constitui em uma grande vantagem do sistema em malha fechada. Por sua vez,

inspecionando (1.31) percebemos que )()(

sRsCR tende para

)(1

sH quando o ganho

G1(s)G2(s)H(s) for muito grande. Isto significa que para |G1(s)G2(s)H(s)| >> 1, )()(

sRsCR torna-

se independente de G1(s) e G2(s), de modo que variações destes não afetam a função de

transferência de malha fechada. Esta é outra vantagem do sistema em malha fechada.

Retornemos, agora ao circuito RC da Fig. 1.26. Para construir um diagrama de

blocos deste circuito reunimos, primeiramente, as equações que o descrevem:

Ree

i i 0−= (1.36)

dtde

Ci 0= (1.37)

Tomando a transformada de Laplace de (1.36) e (1.37) sob condições iniciais

nulas, resulta:

RsEsE

sI i )()()( 0−

= (1.38)

CssIsEsCsEsI )()()()( 00 =⇒= (1.39)

A Fig. 1.30 ilustra a construção do diagrama de blocos a partir das expressões

(1.38) e (1.39).

I(s)

E0(s)

1/R

-+

Ei(s)

I(s) 1/Cs

I(s) 1/R

-+

Ei(s) E0(s)1/Cs E0(s)

Fig. 1.30 – Diagrama de blocos do circuito da Fig. 1.26 e a sua construção.

Exercício: Obtenha o diagrama de blocos de um circuito RLC série submetido a uma

excitação e(t).

Page 74: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

74

Usando o MATLAB para realizar a redução de diagramas de blocos

Conforme já estudamos, os blocos podem ser interconectados de muitos modos.

Quando conectados em série, eles podem ser combinados em um único bloco cuja Função de

Transferência é o produto das transmitâncias individuais. Considere as duas funções de

transferência mostradas abaixo, cada uma representando um bloco:

1221)( 231 +++

+=

sssssG

)2)(1(3)(2 ++

+=

ssssG

A Função de Transferência G(s) resultante da conexão em série dos dois blocos, é

obtida com os seguintes comandos:

>> sys1 = tf([1 1],[1 2 2 1]);

>> sys2 = zpk([-3],[-1, -2],[1]);

>> sys = series(sys1,sys2)

Zero/pole/gain:

(s+3) (s+1)

----------------------------

(s+1)^2 (s+2) (s^2 + s + 1)

A primeira linha de comando introduz G1(s) na forma de Função de Transferência,

ou seja, )()()(1 sD

sNsG = . O segundo comando introduz a G2(s) na forma na forma

zero/pólo/ganho, ou seja, ))...()((

))...()(()(

21

212

n

m

pspspszszszs

KsG++++++

= . A terceira linha calcula G(s)

=G1(s).G2(s) e apresenta-a na forma zero/pólo/ganho.

Quando os blocos são conectados em paralelo, eles podem ser combinados em um

único bloco cuja Função de Transferência é a soma das transmitâncias individuais. Considere

as duas funções de transferência G1(s) e G2(s) apresentadas acima, cada uma representando

um bloco. A Função de Transferência G(s) resultante da conexão em paralelo dos dois blocos

é obtida no MATLAB utilizando-se os seguintes comandos:

Page 75: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

75

>> sys1 = tf([1 1],[1 2 2 1]);

>> sys2 = zpk([-3],[-1, -2],[1]);

>> sys = parallel(sys1,sys2)

Zero/pole/gain:

(s+3.359) (s+1) (s^2 + 1.641s + 1.488)

---------------------------------------

(s+1)^2 (s+2) (s^2 + s + 1)

Nesse caso, a terceira linha calcula G(s) =G1(s)+G2(s) e apresenta-a na forma

zero/pólo/ganho.

Podemos conectar os blocos, ainda, de forma que a saída pode ser realimentada

para a entrada através de uma transmitância, conforme ilustra a Fig. 1.28. Conforme

estudamos, a Função de Transferência do sistema da Fig. 1.28 é calculado pela equação

(1.29). No MATLAB esta Função de Transferência é obtida por meio da função feedback,

Considere o sistema da Fig. 1.28 com

1221)( 23 +++

+=

sssssG

ssH 21)( +=

Os comandos necessários para se obter a Função de Transferência são:

>> sys1 = tf([1 1],[1 2 2 1]);

>> sys2 = tf([2 1],[1]);

>> sys = feedback(sys1,sys2,-1)

Transfer function:

s + 1

---------------------

s^3 + 4 s^2 + 5 s + 2

A forma geral da função feedback é feedback(sys1,sys2,sinal). No caso

da realimentação negativa o sinal pode ser omitido.

Page 76: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

76

A redução de diagramas de blocos mais complexos é muito entediante. As

funções blkbuild e connect do MATLAB foram concebidas para facilitar o trabalho de

redução. O primeiro passo é numerar sequencialmente os blocos do diagrama, conforme a

Fig. 1.31.

+ -

+

R

+

+ 1/2 C

1/s

-

+1/(s+1)

2

1/2

2

4

3 5

6

1

1

7

Fig. 1.31 – (a) Diagrama de blocos exemplo.

O segundo passo é entrar com o numerador e o denominador de cada bloco. No

exemplo, deve-se proceder como segue:

>> n1=1;d1=1;

>> n2=1;d2=2;

>> n3=1;d3=[1 0];

>> n4=2;d4=1;

>> n5=1;d5=[1 1];

>> n6=1;d6=2;

>> n7=1;d7=1;

O terceiro passo é especificar o número de blocos através do comando nblocks

e, na seqüência, entrar com o comando blkbuild para construir uma estrutura de espaço de

estados a partir do diagrama de bloco.

>> nblocks=7; blkbuild;

State model [a,b,c,d] of the block diagram has 7 inputs

and 7 outputs.

O quarto passo é escrever uma matriz que indicará a configuração do diagrama

de blocos. Para o nosso exemplo, a matriz é escrita como segue.

Page 77: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

77

>> q=[1 0 0 0

2 1 6 -7

3 2 -4 0

4 5 0 0

5 3 0 0

6 3 0 0

7 5 0 0]

q =

1 0 0 0

2 1 6 -7

3 2 -4 0

4 5 0 0

5 3 0 0

6 3 0 0

7 5 0 0

>>

O quinto passo é especificar a entrada e a saída do sistema. No exemplo, a

entrada é conectada ao primeiro bloco e a saída ao quinto bloco.

>> iu = [1]; iy = [5];

A seguir (sexto passo), digite o seguinte comando:

>> [A,B,C,D]=connect(a,b,c,d,q,iu,iy);

O sétimo passo é criar um objeto de espaço de estados.

>> sys=ss(A,B,C,D);

Por fim (oitavo passo), utiliza-se a função tf para converter a representação em

espaço de estados para função de transferência.

Page 78: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

78

>> sys=tf(sys)

Transfer function:

0.5

-------------------

s^2 + 0.75 s + 2.25

Funções do MATLAB que aprendemos a utilizar:

series;

tf;

zpk;

parallel;

feedback;

blkbuild;

connect

ss.

1.9 Diagramas de fluxo de sinal

Uma representação alternativa para representar graficamente a dinâmica dos

sistemas de controle é o diagrama de fluxo de sinal, criado por S. J. Mason. Ele é um

diagrama que representa um sistema de equações algébricas em s e consiste em uma rede de

nós interligados por ramos orientados. A seguir, listamos algumas definições relativas aos

diagramas de fluxo de sinal.

• Nó – um nó é um ponto que representa uma variável ou um sinal. Há três

tipos de nós:

Nó fonte ou de entrada – possuem apenas ramos saindo, o que representa

uma variável independente;

Nó sumidouro ou de saída- possuem apenas ramos chegando, o que

representa uma variável dependente;

Page 79: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

79

Nó misto - possuem ramos saindo e chegando, o que representa uma

variável independente;

• Transmitância – A transmitância é um ganho real ou complexo entre dois

nós;

• Ramo – um ramo é um segmento de reta orientado ligando dois nós. Seu

ganho é uma transmitância;

• Percurso – um percurso é qualquer trajetória de ramos conectados e cujas

setas estão na mesma direção. O percurso é dito direto quando sua trajetória de

um nó fonte até um nó sumidouro não cruza quaisquer nós mais de uma vez.

Seu ganho é o produto das transmitâncias dos seus ramos.

• Laço – um laço é um percurso fechado. Seu ganho é o produto das

transmitâncias de seus ramos.

b

x3

-c

a

x1

x2 1

d

x4

x3

nó fonte nó sumidouro

nó fonte

Nós mistos

Fig. 1.32 – Gráfico de fluxo de sinal.

Um nó faz a adição de todos os sinais que chegam até ele e transmite esta soma a

todos os ramos que saem dele. Já um nó misto pode ser tratado como um nó sumidouro se

adicionarmos um ramo de transmitância unitária. Essas propriedades são ilustradas pelo

diagrama da Fig. 1.32, que representa as seguintes equações

x3 = bx2 + dx4 (1.40)

x2 = ax1 - cx3 (1.41)

Substituindo (1.41) em (1.40), obtemos:

x3 = abx1 - bcx3+ dx4 (1.42)

A seguir apresentamos regras úteis na simplificação de diagramas de fluxo de

sinal:

Page 80: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

80

• Percursos em série: podem ser combinados em um percurso único

multiplicando-se as transmitâncias, conforme ilustra a Fig. 1.33a.

• Percursos em paralelo: podem ser combinados somando-se as

transmitâncias, conforme ilustra a Fig. 1.33b;

• Eliminação de um nó: um nó misto pode ser eliminado, conforme mostra a

Fig. 1.33c;

• Supressão de um laço de realimentação: um laço pode ser eliminado,

conforme ilustra a Fig. 1.33d. As equações para um laço de realimentação são:

x3 = bx2 (1.43)

x2 = ax1 - cx3 (1.44)

Substituindo (1.44) em (1.43) resulta:

x3 = abx1 - bcx3 (1.45)

Isolando-se x3 e, (1.45), obtém-se:

13 1x

bcabx+

=

x3

-c

x3 x4

c a

=

b

a

x2 x1

a b

x1 x2 x3

ab

x1 =

x1 x2

a+b

x3

=b

x1

x2

ac

bc

x1

x2

x4

=a b

x1

x2

x3

ab

x1

bc

=

ab 1 +bc

x1 x3

(a) (b)

(c)

(d) Fig. 1.33 – Simplificações em diagramas de fluxo de sinal.

Page 81: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

81

Exemplo 1.3 - Construção de um diagrama de fluxo de sinal.

Considere o circuito RLC série mostrado na Fig. 1.34, onde consideraremos a

corrente i e a tensão de saída ec variáveis dependentes da rede. As equações diferenciais que

representam o circuito são:

0=++⋅+− oi edtdiLRie (1.46)

dtde

Ci 0= (1.47)

Como não podemos construir um diagrama de fluxo de sinais com equações

diferenciais, transformamos as equações (1.46) e (1.47) em equações algébricas pela

aplicação da transformada de Laplace:

0)()()()()( =+−+⋅+− sEoLisLsIRsIsE oi (1.48)

)0()()( 00 CesCsEsI −= (1.49)

onde i(0) é corrente inicial no indutor e e0(0) é a tensão inicial no capacitor em t = 0. Nessas

equações temos como variáveis de entrada i(0), e0(0) e Ei(s)

Isolando-se I(s) em (1.48) e E0(s) em (1.49), obtém-se:

)()()0(

)()()()()(

)(LRsL

sELRs

iLRsL

sERLs

sEoLisEsI oioi

+−

++

+=

+−+

= (1.50)

se

CssI

CsCesI

sE)0()()0()(

)( 000 +=

+= (1.51)

O diagrama de fluxo de sinais construído a partir das equações (1.50) e (1.51) é

mostrado na Fig.1.35.

R

C e 0 e i

L

i

+

-

Fig. 1.34 – Circuito RLC série.

Page 82: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

82

-1 L(s+R/L)

Ei(s)

1/Cs

E0(s) E0(s)

1/(s+R/L)1 L(s+R/L)

I(s)

11/s

e0(0)i0(0)

Fig. 1.35 – Representação em diagrama de fluxo de sinais do circuito RLC série da Fig. 1.33.

Em diagramas de fluxo de sinais simples, como é o caso do diagrama da Fig. 1.35,

a função de transferência de malha fechada pode ser facilmente obtida por inspeção. Para

diagramas mais complexos, existe uma ferramenta chamada fórmula de Mason. A fórmula de

Mason, que é aplicável ao ganho global, ou seja, a transmitância entre um nó de entrada e um

nó de saída, é dada por:

kk

kTT Δ=Δ

= ∑1 (1.52)

onde Tk é o ganho ou transmitância do k-ésimo percurso direto e Δ é o determinante do

diagrama, dado por:

K+−+−=Δ ∑∑∑ fedcba LLLLLL1 (1.53)

Nesta equação ∑ aL é soma de todos os ganhos de todos os laços, ∑ cb LL é a soma de

produtos de ganhos de todas as combinações possíveis de dois laços disjuntos e ∑ fed LLL é

a soma de produtos de ganhos de todas as combinações possíveis de três laços disjuntos. Dois

laços são disjuntos se não possuem nós comuns. Na equação (1.52) Δk é o cofator obtido de Δ

removendo os laços que tocam o percurso Tk

A seguir, ilustra-se o uso da fórmula de Mason.

Exemplo 1.4 – Considere o diagrama de bloco da Fig. 1.36a e seu diagrama de fluxo de sinal

correspondente (Fig. 1.36b).

Empregando a fórmula de Mason, vamos obter a função de transferência

)()( sRsC . O diagrama possui apenas um percurso direto cujo ganho é T1 = G1G2G3. Ele

possui três laços, cujos ganhos são L1 = G1G2H1, L2 = - G2G3H2 e L3 = - G1G2G3.

Page 83: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

83

+ -

+

R

+

+ G1 C

G2

-

+G3

H2

H1

(a)

G3G21

-H2

1 R(s) C(s)

G1

-1

H1

1

(b)

Fig. 1.36 – (a) Diagrama de blocos de um sistema de múltiplos laços e (b) diagrama de fluxo

de sinal equivalente.

Como não há laços disjuntos, o determinante obtido a partir de (1.53) é:

321232121321 1)(11 GGGHGGHGGLLLLa ++−=++−=−=Δ ∑

O cofator Δ1 é obtido de Δ removendo os laços que tocam o percurso T1. Como o percurso T1

toca todos os laços, resulta em Δ1 = 1. Finalmente, a função de transferência é dada por:

321232121

32111

1)()(

GGGHGGHGGGGGT

sRsC

++−=

ΔΔ⋅

=

A título de exercício, tente chegar a função de transferência acima reduzindo o

diagrama de blocos da Fig. 1.36a.

Exemplo 1.5 – Obter a função de transferência do sistema representado pelo diagrama

mostrado na Fig. 1.37.

Neste sistema há três caminhos diretos entre a entrada R(s) e a saída C(s), com

ganhos T1 = G1G2G3G4G5, T2 = G1G6G4G5 e T3 = G1G2G7. Ele possui quatro laços , cujos

ganhos são L1 = -G2G7H2, L2 = - G6G4G5H2, L3 = - G4H1 e L4 = - G2G3G4G5H2. Os laços L1 e

L3 são disjuntos. Assim, o determinante obtido a partir de (1.53) é:

Page 84: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

84

314321 )(11 LLLLLLLLL cba ++++−=+−=Δ ∑ ∑

2174225432142654272 HHGGGHGGGGHGHGGGHGG1 +++++=

Os cofatores Δk são obtidos de Δ removendo os laços que tocam os percursos Tk. Como todos

os laços tocam T1 e T2, resulta em Δ1 = Δ2 = 1. O percurso T3, por sua vez, não é tocado

apenas por L3, de modo que Δ3 = 1 – L3 = 1 + G4H1. Finalmente, a função de transferência é

dada por:

ΔΔ+Δ+Δ

=ΔΔ⋅

= ∑ 332211 TTTTsRsC kk

)()(

2174225432142654272

14721654154321

HHGGGHGGGGHGHGGGHGG1HG1GGGGGGGGGGGG

++++++++

=)(

-H1

G5G4G2

G7

G1 R(s) C(s) G3

-H2

G6

Fig. 1.37 –Diagrama de fluxo de sinal de um sistema.

1.10 Método do espaço de estados para análise de sistemas de controle

Definições:

• Estado: o estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de n

variáveis x1(t), x2(t), ..., xi(t), ..., xn(t) chamadas variáveis de estado, tal que o

conhecimento destas variáveis em t = t0, junto com o conhecimento das

entradas u(t) para t ≥ t0, sejam suficientes para descrever univocamente o

comportamento do sistema para t ≥ t0. Geralmente, o instante inicial t0 é

considerado igual a zero.

• Variáveis de estado: as variáveis de estado de um sistema dinâmico são as

variáveis que constituem o menor conjunto de variáveis que determinam o

estado do sistema dinâmico. As variáveis de estado não precisam ser

necessariamente grandezas observáveis e mensuráveis, podem ser grandezas

puramente matemáticas.

Page 85: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

85

• Vetor de estado: se n variáveis de estado são necessárias para descrever

completamente o comportamento de um sistema, então estas n variáveis de

estado podem ser consideradas as n componentes de um vetor x, chamado

vetor de estado.

x

)(

)()(

)(x =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

nn x

xx

tx

txtx

tMM2

1

2

1

Um vetor de estado é portanto um vetor que determina univocamente o estado

x(t) do sistema para qualquer instante t ≥ t0, uma vez que o estado em t = t0 é

dado e a entrada u(t) para t ≥ t0 está especificada.

• Espaço de estados: o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados

consistem no eixo x1, x2, ... , xn é chamado espaço de estados.

• Equações do espaço de estados: na análise por espaço de estados, três

tipos de variáveis são levadas em consideração, a saber, variáveis de entrada,

saída e de estado.

O primeiro passo para a aplicação desses conceitos a um sistema dinâmico é a

seleção das variáveis que devem representá-lo, sendo que não existe uma maneira única de

fazer essa seleção. Uma maneira comumente usada para expressar o estado do sistema é o

método das variáveis de estado com significado físico, no qual a seleção das variáveis se

baseia nos elementos armazenadores de energia do sistema. A Tabela 1.3 apresenta alguns

elementos armazenadores de energia que aparecem em sistemas físicos.

A seguir ilustra-se o método de espaço de estados.

Seja o circuito RLC série da Fig. 1.34, que contém dois elementos armazenadores

de energia, um indutor e um capacitor. Escolhendo a tensão no capacitor e a corrente no

indutor como variáveis de estado, temos:

Cvx =1 (1.54)

ix =2 (1.55)

Fazendo ei = u e aplicando as equações (1.54) e (1.55) nas expressões (1.46) e

(1.47) obtém se:

Page 86: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

86

TABELA 1.3

ELEMENTOS ARMAZENADORES DE ENERGIA

Elemento Energia Variável física

Capacitância C 2

21 Cv Tensão v

Indutância L 2

21 Li Corrente i

Massa M 2

21 Mv Velocidade de translação v

Momento de inércia J 2

21 ωJ Velocidade angular ω

Elastância K 2

21 Kx Deslocamento x

Compressibilidade fluída

BKV

B

L

KVP 2

21

Pressão PL

Capacitância fluída C = Aρ 2

21 Ahρ Altura h

Capacitância térmica C 2

21 θC Temperatura θ

uxxLRx =++ 122

. (1.56)

12

.xCx = (1.57)

Rearranjando (1.56) e (1.57), obtém as seguintes equações de estado:

211.

xC

x = (1.58)

uL

xLRx

Lx 11.

212 ++−= (1.59)

As equações de estado de um sistema são um conjunto de n equações diferenciais

de primeira-ordem, onde n é o número de variáveis de estado independentes. Expressando as

equações (1.58) e (1.59) em notação matricial, obtém-se:

uLx

xLRL

C

x

x⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

10

110

.

.

2

1

2

1 (1.60)

ou:

ubAx.x += (1.61)

Se y(t) = vC = x1, a equação matricial de resposta do sistema será:

Page 87: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

87

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

101xx

y (1.62)

ou: Cxy = (1.63)

As expressões (1.62) e (1.63) se referem ao circuito RLC série, um sistema de

uma entrada e uma saída. Para sistemas com m entradas e l saídas, estas equações tornam-se:

buAx.x += (1.64)

DuCxy += (1.65)

onde: .x é um vetor coluna n x 1;

A é a matriz de evolução do processo ou de estado, uma matriz de coeficientes n x

n;

x é o vetor de estado, de dimensão n x 1;

B é a matriz de controle ou de entrada, de dimensão n x m;

u é o vetor de controle ou de entrada, de dimensão m x 1;

y é o vetor resposta ou de saída, de dimensão l x 1;

C é a matriz resposta ou de saída l x n;

D é a matriz de transmissão direta l x m (que no exemplo era igual a zero).

O diagrama de blocos que representa as equações de estado do circuito da Fig.

1.34 é apresentado na Fig. 1.38.

. x1

+

-+

u

+ +

∫x1 = y

1/C

R/L

1/L

. x2 x2

1/L

Fig. 1.38 – Diagrama de blocos do circuito da Fig. 1.33

Page 88: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

88

EXERCÍCIOS 1. Achar os pólos e zeros das seguintes funções complexas:

a. sss

sssG351286)( 23

2

++++

= b. 52

1)( 2 +++

=ss

ssG

c. )1(

)2()( 2 +++

=sss

sKsG

2. Quais das equações diferenciais apresentadas abaixo são lineares?

a. xyxxy sen' 2 =+ b. 1)(cos' =− yxy c. xyxyx sen)'( 22 =−

d. 2'ln)1('' 2 =++ yxy e. 2')1('' 2 =++ yxy

3. Dada )1(

1)(+

=ss

sF aplicando o teorema do valor final encontre o )(lim tft ∞→

. Verifique o

resultado encontrando f(t).

4. Determinar a Transformada de Laplace da integral de convolução

ττττ τ detdetftf tt

tt

)1()()1()(*)(0

)(

021

−−− −−=−= ∫∫

onde f1(t) = f2(t) = 0 para t < 0

f1(t) = t para t ≥ 0

f2(t) = 1- e-t para t ≥ 0

5. Utilizando uma tabela de Transformada de Laplace, encontre f(t).

a. )2)(1(

1)(++

=ss

sF b. 3)5

1(1)(

ssF

+= c.

2)2(1)(

sssF

+=

6. Determine a transformada inversa de Laplace das funções que seguem aplicando a

expansão em frações parciais:

a. )3)(2(

1)(++

=ss

sF b. )4()1(

1)( 2 ++=

sssF c.

)1)(4(10)( 2 ++

=sss

sF

7. Obtenha as equações de estado para o circuito abaixo.

C2 C1

L2

L1 L3i(t)

Page 89: Apostila SCT-20304 7p4

Introdução aos Sistemas de Controle

89

8. O que é um sistema de controle adaptativo? Quais blocos o caracterizam?

9. Seja o sistema de controle de posição de antena abaixo. Identifique nele os seguintes elementos, justificando a sua resposta: a. Transdutor

b. Atuador

c. Variável de saída

Posição da Antena c(t)

Potenciômetro de Transdução

Potenciômetro de Referência

Amplificador de Potência

Motor DC

Comparador

r(t)

Ve(t)

Vr(t) Vc(t)

Ea(t)

Engrenagem

10. Aplicando a transformada de Laplace, achar a solução x(t) das equações diferenciais.

a. 023...

=++ xxx , com x(0) = 1 e x’(0) = 2

b. 352...

=++ xxx , com x(0) = 0 e x’(0) = 0

11. Podemos dividir a história do controle automático em quatro fases. Quais são essas fases?

Dê a(s) características marcantes de cada fase.

12. Construa uma tabela comparando as filosofias do controle clássico e moderno.

Respostas selecionadas

1. (a) zeros em s = {-2, -4, ∞}; polos em s = {0, -5, -7}, (b) zeros em s = {-1, ∞}; polos em s

= {1 ± 2j} e (c) zeros em s = {-2, ∞, ∞}; polos em s = {0, -0,5 ± j0,866}.

2. a, b , e.

3. 1)( =∞f .

Page 90: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

90

4. )1s(s

1)s(F)s(F 321+

=⋅

5. (a) e-t – e-2t , (b) 2

et 5/t2 −

, (c) 4)12(

41 2tet −+

− .

6. (a) e-2t – e-3t , (b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−−

3e

3ete

31 tt4

t , (c) t2sent2cos21e2

25 t −−− − .

10. (a) 4e-t – 3e-2t , (b) ( )tsente t 23,02cos6,053

−⋅− − .

Page 91: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

91

2. MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ELETROMECÂNICOS

2.1 Sistemas Elétricos

Aplicando as Leis de Kirchhoff das tensões (LTK) e/ou das correntes (LCK) a um

circuito elétrico obtemos o seu modelo matemático. Considere o circuito RLC da Fig. 1.33 e

as equações algébricas (1.48) e (1.49) obtidas a partir das equações diferenciais que o

representam. Admitindo condições iniciais nulas em (1.48) e (1.49), obtém-se:

0)()()()( =++⋅+− sEsLsIRsIsE oi (2.1)

)()( 0 sCsEsI = (2.2)

Substituindo (2.2) em (2.1), resulta:

0)()()()( 02

0 =+++− sEsELCssRCsEsE oi (2.3)

Supondo ei a entrada e e0 a saída, a função de transferência do circuito é:

11

)()(

20

++=

RCsLCssEsE

i (2.4)

Um modo alternativo de obter a função de transferência de um circuito elétrico é

utilizar o conceito de impedância complexa Z(s). A impedância complexa de um elemento

de dois terminais é a relação entre as transformadas de Laplace da tensão entre os seus

terminais e da corrente que o atravessa, admitindo-se condições iniciais nulas, ou seja, Z(s) =

E(s)/I(s). A Tabela 2.1 apresenta a impedância complexa para resistências, indutâncias e

capacitâncias. A Fig. 2.1 apresenta o circuito RLC da Fig. 1.31 em termos de impedâncias

complexas. A Função de Transferência deste circuito é:

Page 92: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

92

)()()(

)()(

21

20

sZsZsZ

sEsE

i += (2.5)

ou,

11

/1/1

)()(

20

++=

++=

RCsLCssCsLRsC

sEsE

i

logicamente idêntica a (2.4).

TABELA 2.1

IMPEDÂNCIAS COMPLEXAS

Elemento Relação Tensão/Corrente Impedância Complexa

Resistência R )()(

)()(

sIsV

titvR ⇒= R

Capacitância C )()(

)()(1

sIssV

tidttdv

C⇒=

sC1

Indutância L )()(

)()(

ssIsV

dttditvL ⇒= sL

R

1/sCEi(s) E0(s) sL +

- Ei(s)

E0(s)+

-

Z1(s) = R+sL

Z2(s) =1/sC

Fig.2.1 – Circuito RLC série representado por impedâncias complexas.

Considere, agora o circuito de dois estágios mostrado na Fig. 2.2. Nesse circuito o

primeiro estágio (R1C1) carrega o segundo estágio (R2C2). Aplicando a LTK ao circuito

obtemos:

0111 =++− Ci viRe (2.6)

00221 =++− eiRvC (2.7)

Por sua vez a LCK nos dá:

dtdv

Cii C1121 += (2.8)

e,

Page 93: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

93

dtde

Ci 022 = (2.9)

Aplicando a transformada de Laplace nas equações (2.6) a (2.9), admitindo

condições iniciais nulas, obtém-se, respectivamente:

R1

C1 R2

C2 e o I1 I2e i

Fig. 2.2 – Circuito RC de dois estágios.

0)()()( 111 =++− sVsIRsE Ci (2.10)

0)()()( 0221 =++− sEsIRsVC (2.11)

)()()( 1121 sVsCsIsI C+= (2.12)

)()( 022 sEsCsI = (2.13)

Substituindo (2.13) em (2.11) e (2.12), obtém-se, respectivamente:

)()()( 00221 sEsECsRsVC += (2.14)

)()()( 11021 sVsCsEsCsI C+= (2.15)

Substituindo (2.15) em (2.10), resulta:

0)()()()( 1111021 =+++− sVsVCsRsECsRsE CCi (2.16)

Substituindo, agora (2.14) em (2.16), resulta:

0)()()()()()( 0022011022112

021 =+++++− sEsECsRsECsRsECRCRssECsRsEi (2.17)

Agrupando os termos em E0(s), pode-se obter a função de transferência abaixo:

1)(1

)()(

2122112

2211

0

++++=

sCRCRCRsCRCRsEsE

i (2.18)

Considere, agora, o circuito mostrado na Fig. 2.3, onde um amplificador de

isolação é inserido entre os estágios RC para evitar que o segundo estágio carregue o

primeiro. Nesse caso, a função de transferência E0(s)/Ei(s) é igual ao produto das Funções de

Transferência de cada estágio, considerando o amplificador um estágio intermediário. Assim,

Page 94: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

94

( ) ( )1111

11

)()(

22112211

0

+⋅+=

+⋅⋅

+=

sCRsCRK

sCRK

sCRsEsE

i (2.19)

ou,

1)(1

)()(

22112

2211

0

+++=

sCRCRsCRCRsEsE

i (2.20)

R1 C1

R2 C2 e oe i

Amplificadorde Isolação(Ganho K)

Fig. 2.3 – Circuito RC de dois estágios isolados.

Comparando as funções de transferência (2.18) e (2.20), observamos que elas

diferem pelo termo R1C2. Esse termo, portanto, representa a interação entre os estágios RC.

Essa análise nos mostra que quando dois circuitos são ligados em cascata, a Função de

Transferência resultante só será o produto entre as Funções de Transferência de cada circuito,

quando o segundo circuito apresentar impedância de entrada muito grande.

Os elementos passivos, tais como indutores e capacitores, só podem fornecer

energia a um sistema se tiverem armazenado esta energia anteriormente. Um sistema que

contém apenas elementos passivos, tal como o circuito da Fig. 2.2, é dito passivo. Um

elemento que pode fornecer energia para um sistema é denominado ativo. O amplificador

operacional é um elemento ativo, já que possui uma fonte de alimentação para prover energia

ao sistema. Considere, agora, o circuito amplificador inversor da Fig. 2.4. Uma vez que uma

corrente extremamente pequena flui para o amplificador operacional, a função de

transferência pode ser obtida, a partir da equação:

i1 = i2 (2.21)

Entretanto,

11

'R

eei i −

= (2.22)

2

02

'R

eei

−= (2.23)

Substituindo (2.22) e (2.23) em (2.21), resulta:

Page 95: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

95

2

0

1

''R

eeR

eei −=

− (2.24)

Como em um amplificador operacional com realimentação negativa e’ ≅ 0, (2.24)

torna-se:

2

0

1 Re

Rei −= (2.25)

Assim, tomando a transformada de Laplace de (2.25) e arrumando na forma de

função de transferência:

1

20

)()(

RR

sEsE

i−= (2.26)

R2

R1-

+

e i eoi 1

2i

e'

Fig. 2.4– Amplificador operacional em configuração inversora.

Exercício: Encontre a função de transferência do amplificador operacional em configuração

não inversora da Fig. 2.5.

R2

R1-

+eo

ei

Fig. 2.5– Amplificador operacional em configuração não-inversora.

Considere, agora, o circuito integrador da Fig. 2.6. Uma vez que uma corrente

extremamente pequena flui para o amplificador operacional, a função de transferência pode

ser obtida, a partir da equação:

i1 = i2 + i3 (2.27)

onde i1 e i2 são dados, respectivamente, pelas expressões (2.22) e (2.23) e,

Page 96: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

96

dteed

Ci)'( 0

3−

= (2.28)

Substituindo (2.22), (2.23) e (2.28) em (2.27), resulta:

dteedC

Ree

Reei )'('' 0

2

0

1

−+

−=

− (2.29)

Uma vez que e’ ≅ 0, (2.29) torna-se:

dtde

CRe

Rei 0

2

0

1−−= (2.30)

Assim, tomando a transformada de Laplace de (2.30) com condições iniciais

nulas, obtém-se:

)()()(

02

0

1sCsE

RsE

RsEi −−=

ou,

)(1)(

02

2

1sE

RCsR

RsEi +

−= (2.31)

Escrevendo (2.31) na forma de função de transferência, obtém-se:

CsRRR

sEsE

i 21

20

11

)()(

+⋅−=

R2

R1-

+eoi 1

2i

e'e i

Ci3

Fig. 2.6 – Amplificador operacional em configuração integradora.

Exercício: Encontre a função de transferência do amplificador operacional em configuração

integradora da Fig. 2.6 utilizando o método das impedâncias complexas.

Para finalizar essa seção, iremos modelar o conversor abaixador ou buck

apresentado na Fig. 2.7(a). Se o conversor estiver operando em condução contínua, é válida a

seguinte relação:

Page 97: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

97

Tt

DE

v F

i

MED == (2.32)

onde:

tF é o tempo de condução do transistor;

T é o período de chaveamento;

D é a razão cíclica ou duty cycle.

A partir da Fig. 2.7(b), extrai-se que:

S

CF

Vv

Tt

= (2.33)

onde:

vC é o sinal de controle;

vS é o valor máximo da dente de serra.

Substituindo (2.33) em (2.32) e rearranjando, resulta:

S

i

C

MED

VE

vv

= (2.34)

Ei

L0

RL

R1

R2

C0

+

-

+

-VS

VREFDRIVER

ZiZf

Controlador /amplificador

de erroPWM

VC

tFT

VCVS

(a) (b)

VB

VMED E0

E0*

RSE

Fig. 2.7 – (a) Conversor abaixador e circuito de malha fechada e (b) formas de onda no

elemento PWM.

Por sua vez, a função de transferência do filtro de saída pode ser obtida a partir do

método das impedâncias complexas como segue:

Page 98: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

98

( )

( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+++⋅+

+++⋅

=

SELSEL

SELSEL

RsCRRsCRsL

RsCRRsCR

sG

00

0

00

/1/1

/1/1

)(

Como RL >> RSE, resulta:

( )

( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++⋅+

++⋅

=

00

0

00

/1/1

/1/1

)(

sCRRsCRsL

sCRRsCR

sG

LSEL

LSEL

Prosseguindo:

( )

( ) ( )( )0

000

00

/1/1/1

/1/1

)(

sCRRsCRsCRsL

sCRRsCR

sG

LSELL

LSEL

++⋅++⋅+

+⋅

=

( )( )( )SELL

SEL

RsCRCLRsLRsCR

sG+⋅++

+⋅=

0000

0

/1//1

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

=

0

0000

0

0

1/

1

)(

sCRsC

RCLRsL

sCRsC

RsG

SELL

SEL

( )( )0

00002

0

0

1

1

)(

sCRsCRsLRCLs

sCRsC

RsG

SELL

SEL

+⋅++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

=

( )( )SELL

SEL

RsCRsLRCLsRsCR

sG0000

20

11

)(+⋅++

+⋅=

( )

LSELL

SEL

RRCRLsRCLsRsCR

sG+++

+⋅=

)(1

)(0000

20 (2.35)

Finalmente, dividindo o numerador e o denominador de (2.35) por RL, obtém-se a

função de transferência do filtro de saída

( ) 1)(1

)(0000

20

+++

+==

LSEL

SE

RRCRLsCLsRsC

sGFT (2.36)

Podemos, agora, construir o diagrama de blocos do conversor Buck da Fig. 2.7, o

qual mostramos na Fig. 2.8.

Page 99: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

99

VC(s)

GC(s)E0(s)

-+

EREF(s)

R2 R1+ R2

G(s)Ei VS

VMED(s)ε(s)

Fig. 2.8 – Diagrama de blocos do conversor abaixador da Fig. 2.7(a).

2.2 Sistemas Eletromecânicos

Modelaremos nesta seção o servomotor de corrente contínua controlado pela

armadura apresentado na Fig. 2.9, onde:

Ra é a resistência da armadura (Ω);

La é a indutância da armadura (H);

ia é a corrente da armadura (A);

if é a corrente do campo (A);

ea é a tensão aplicada na armadura (V);

eb é fcem (V);

θ é o deslocamento angular do eixo do motor (rad);

T é o torque desenvolvido pelo motor (Nm);

J é o momento de inércia (kgm2);’

B é o coeficiente de atrito viscoso (Nm/rad/s).

Fig. 2.9 – Diagrama de um servomotor CC controlado pela armadura.

M

R a L a

θ Je a

B

Τe b

i a

if = cte

Page 100: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

100

O torque ou conjugado T produzido pelo motor é proporcional ao produto do

fluxo no entreferro pela corrente na armadura. Por sua vez o fluxo é proporcional a corrente

de campo. Assim:

Affa iiKKiKT 11 == ϕ (2.37)

onde K1 e Kf são constantes. Como a corrente de campo é constante, a equação (2.37) torna-

se:

AiKT = (2.38)

onde K em [N.m/A] é a constante de torque do motor.

Com a rotação do motor é induzida na armadura uma tensão proporcional ao

produto do fluxo pela velocidade angular. Como o fluxo é constante, a tensão induzida eb é

expressa por:

dtdKe bb

θ= (2.39)

onde Kb é uma constante expressa em [V/rad/s].

O controle de velocidade é alcançado por meio do controle da tensão aplicada na

armadura ea. Sua polaridade determina o sentido da corrente na armadura que, por sua vez,

determina o sentido de rotação do motor. A equação diferencial para o circuito de armadura é:

baaa

aa eiRdtdi

Le ++= (2.40)

A corrente de armadura produz um torque de acordo com a expressão (2.38), que

é aplicado a carga, que por sua vez consiste de uma inércia e de um amortecedor. O

conjugado aplicado a um corpo com momento de inércia J produz uma aceleração angular.

Por sua vez, para se produzir o movimento de um corpo através de um fluído como o ar, deve

se aplicar um conjugado que supere o de amortecimento. Assim, a equação do conjugado é

escrita como:

dtdB

dtdJiKT A

θθ+== 2

2 (2.41)

Tomando a transformada de Laplace das equações (2.39), (2.40) e (2.41) sob

condições iniciais nulas, obtemos:

)()( ssKsE bb Θ= (2.42)

( ) )()( sEIRsLsE baaa ++= (2.43)

Page 101: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

101

( ) )()()( 2 sBssJsIKsT A Θ+== (2.44)

Considerando Θ(s) como saída e Ea(s) como entrada e empregando as equações

(2.42), (2.43) e (2.44) constrói-se o diagrama de bloco da Fig. 2.10(a). A vantagem do

emprego do diagrama de blocos é que ele fornece uma imagem nítida da função de

transferência de cada bloco do sistema. Embora um servomotor CC seja em si um sistema em

malha aberta, o diagrama de blocos mostra que o motor tem uma malha de realimentação

“interna” devido a fcem, a qual representa a realimentação de um sinal proporcional à

velocidade do motor Aplicando a Fig. 2.10 a equação (1.29), obtém-se:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )BsJsRsLsKKBsJsRsL

BsJsRsLK

BsJsRsLsKK

BsJsRsLK

sEs

aa

baa

aa

aa

b

aa

a

++

+++

++=

+++

++=

Θ

1)()(

( ) ( ) sKKBsJsRsLK

sEs

baaa +++=

Θ)()( (2.45)

Rearranjando o denominador de (2.45), obtém-se a função de transferência do

servomotor CC controlado por armadura:

( )baaaaa KKBRsJRBLsJLsK

sEs

++++=

Θ)()(

)(2

(2.46)

Como La é normalmente pequena, ela pode ser desprezada. Nesse caso a função

de transferência (2.46) torna-se:

( )baaa KKBRJsRsK

sEs

++=

Θ)()( (2.47)

ou

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

11)()()(

sKKBRJR

s

KKBRK

sKKBRJR

KKBRs

KsEs

ba

a

ba

ba

aba

a

(2.48)

ou

( )1)()(

+=

Θss

KsEs

m

m

a τ (2.49)

Page 102: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

102

com

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

+=

Vsrad

RKKBRK

KKBRKK

ab

a

bam

//

/ (2.50)

e

( )sRKKRKB

JKKBRJR

ababa

aM // +

=+

=τ (2.51)

Essa função de transferência é representada no diagrama de blocos simplificado da Fig.

2.10(b).

Eb(s)

Ia(s)

1 sLa+ R

-+

Ea(s)

Kbs

θ (s)K

Js2+ Bs

(a)

Km S(τm+ 1)

Ea(s) θ (s)

(b) Fig. 2.10 – (a) Diagrama de blocos de um servomotor CC e (b) diagrama de blocos

simplificado.

A partir de (2.49), sabendo que Ω(s) = sΘ(s), pode-se obter a função de

transferência que relaciona velocidade e tensão de armadura:

( )1)()(

+=

Ωs

KsEs

m

m

a τ (2.52)

As constantes elétricas do motor podem ser obtidas medindo-se, com o auxílio de

um dinamômetro, o seu torque de partida e sua velocidade a vazio. Com esse objetivo vamos

obter uma relação que expresse o torque do motor em função da velocidade angular. A partir

de (2.38) obtém-se

KTiA = (2.53)

Substituindo-se (2.39) e (2.53) em (2.40) e considerando La = 0, obtém-se

dtdK

KTRe baa

θ+= (2.54)

Como dtdθω = , a relação desejada é obtida isolando-se T na expressão acima:

Page 103: Apostila SCT-20304 7p4

Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

103

ωa

ba

a

RKK

eKR

T −= (2.55)

Considerando a tensão de armadura constante, a função expressa por (2.55) é a

equação de uma reta cujo gráfico é apresentado na Fig. 2.11. Fazendo-se ω = 0 em (2.55)

encontra-se o torque de partida do motor TP, expresso por:

aa

P eKRT = (2.56)

Quando o torque imposto pelo dinamômetro for nulo, a expressão (2.55) fornece a

velocidade a vazio do motor ωo, expressa por:

b

ao K

e=ω (2.57)

ω

TP1

ωo1

TP2

ωo2

ea1

ea2

Fig. 2.10 – Curvas torque-velocidade tendo como parâmetro a tensão armadura ea.

As constantes elétricas são, portanto, obtidas a partir de um ensaio de torque do

motor com o auxílio das expressões (2.56) e (2.57):

a

Pa

eT

KR

= (2.58)

e

o

ab

eK

ω= (2.59)

Se as constantes mecânicas do motor não forem conhecidas, elas podem ser

determinadas, como veremos, a partir da análise do seu transitório de partida. A resposta

transitória de sistemas de controle será discutida no próximo capítulo.

Recomendação de leitura: Para que o leitor conheça a modelagem matemático de outros

sistemas, recomendamos a leitura de Ogata (1990, p. 79-113) e Dorf (1993, p. 47-61).

Page 104: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

104

Exercícios.

1. Para os circuitos ativos das figuras abaixo, determine a Função de Transferência E0(s)/Ei(s)

e desenhe o diagrama de blocos.

-

+ e o

e i

R3

-

+

R2

R1

C1

R4

(a) – Compensador PD

-

+ e o

e i

R3

-

+

R2

R1

C1

R4C2

(b) – Compensador PI

-

+ e o

e i

R3

-

+

R2 R1

R4

C2

C1

(c) – Compensador em avanço ou atraso de fase

2. Como se deve proceder para obter a função de transferência (FT) de um sistema físico?

3. Em um sistema realimentado, o que chamamos de F.T. de malha aberta?

Respostas selecionadas

1. (a) )1sCR(RR

RR

111

2

3

4 + , (b) sCR

1sCRRR

RR

22

22

1

2

3

4 +, (c)

1sCR1sCR

RR

RR

22

11

1

2

3

4

++

Page 105: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

105

3. ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA E ANÁLISE DE ERROS

EM REGIME PERMANENTE

3.1 Introdução

Uma vez que o Capítulo II nos habilitou a derivar um modelo matemático para os

sistemas elétricos e eletromecânicos, passaremos, agora, para a análise de desempenho dos

sistemas. O método explorado neste capítulo é a análise da resposta no tempo do sistema a

sinais de teste de entrada típicos como as funções degrau, rampa, aceleração, impulso e

senoidais, os quais apresentamos na Tabela 3.1.

TABELA 3.1

SINAIS DE TESTE TÍPICOS

Sinal Definição Transformada de Laplace

Impulso unitário ou delta de Dirac5

0 ; t ≠ 0 δ(t) ≡ Indefinido; t = 0

1

Degrau unitário 1 ; t ≥ 0 u(t) ≡ 0 ; t < 0

1/s

Rampa unitária t ; t ≥ 0 f(t) ≡ 0 ; t < 0

1/s2

Parábola unitária t2/2 ; t ≥ 0 f(t) ≡ 0 ; t < 0

1/s3

5 Este sinal é empregado para imaginar um cenário no qual uma “unidade” de uma quantidade pode ser entregue

instantaneamente. O nome deste sinal é uma homenagem ao físico quântico Paul Dirac que usou esta função para representar elétrons como sendo unidades de carga ocupando uma quantidade de espaço infinitesimalmente pequena. A função impulso pode ser aproximada por uma função onde f(t) = 1/ε para -ε/2 ≤ t ≤ ε/2 e f(t) = 0 para t < -ε/2 e t > ε/2. Observe que nesse caso, o limite de f(t) quando ε → 0 é ∞.

Page 106: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 106

A resposta no tempo fornece algumas figuras de mérito importantes para a análise

e projeto. Uma destas figuras é o tempo de resposta ou acomodação a x%, definido como o

tempo para a resposta do sistema entrar e permanecer em uma faixa de x% em torno do valor

final da resposta.

3.2 Sistema de 1a ordem

Considere o sistema de 1a ordem representado na Fig. 3.1. Sua função de

transferência é dada por:

11

)()(

+=

TssRsC (3.1)

1 Ts

-+

R(s) C(s)

(a)

1 Ts+ 1

R(s) C(s)

(b) Fig. 3.1 – (a) Diagrama de bloco de um sistema de 1a ordem e (b) e diagrama simplificado.

3.2.1 Resposta a degrau unitário de sistemas de 1a ordem

Como a transformada de Laplace da função degrau unitário é 1/s, substituindo-se

R(s) por 1/s na equação 3.1, obtém-se:

sTssC 1

11)( ⋅+

= (3.2)

Expandindo a equação (3.2) em frações parciais, resulta:

11)(

+−=

TsT

ssC (3.3)

Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (3.3), obtém-se:

Ttetc /1)( −−= (t ≥ 0) (3.4)

Fazendo t = T na expressão (3.4), obtém-se c(T) = 0,632, ou seja, a constante de

tempo T é o tempo que a resposta leva para atingir 63,2% da variação total.

Page 107: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

107

A resposta é uma exponencial que tende assintoticamente para 1, ou seja, o regime

permanente só é alcançado matematicamente após um tempo infinito. Os tempos de resposta a

5%, 2% e 1% podem ser calculados, fazendo-se na expressão (3.4) c(t) igual a,

respectivamente, 0,95; 0,98 e 0,99. Assim:

tS5% = 3T

tS2% = 3,9T

tS1% = 4,6T

Na prática, entretanto, uma estimativa razoável do tempo de resposta é o tS2% =

4T. A saída a uma entrada a degrau unitário é apresentada na Fig. 3.2.

0 2T 4T t

0.632

c(t)

T

98,2%

3T

95%

Fig. 3.2 – Resposta a degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 3.1.

Usando o MATLAB. para traçar a resposta a degrau de um sistema de controle

A resposta a degrau de um sistema pode ser traçada no MATLAB utilizando-se a

função step. Desta forma, step (num,den) traça a resposta a degrau da função de

transferência G(s) = num(s)/den(s) onde num e den contém coeficientes polinomiais em

potências decrescentes de s. Por sua vez, o comando Step (num,den,t) usa um vetor de

tempo definido pelo usuário (que pode ser omitido), o qual deve ser regularmente espaçado.

Para traçar a resposta a degrau da função de transferência 1

1)( 2 ++=

sssG , digite no Matlab

os seguintes comandos:

>> t=0:0.1:12; >> num=1;den=[1 1 1]; >> step(num,den,t) >> grid

Page 108: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 108

Na seqüência de comandos acima, a primeira linha define que o tempo inicial de

simulaçãoé 0s o final é 12 s, sendo que é armazenado para plotagem um ponto a cada 0,1s. O

comando grid permite a visualização do grid na Fig. 3.3, traçada após a execução do comando step(num,den,t).

Função do MATLAB que aprendemos a utilizar:

Step

Step Response

t (s)

Am

pli

tud

e

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fig. 3.3 – Resposta a degrau unitário de um sistema de controle, que foi traçada utilizando-se

a função step do MATLAB.

Utilizando o Simulink

Uma alternativa para obter a resposta a degrau de sistemas de controle é utilizar a

ferramenta Simulink do MATLAB que utiliza efetivamente uma interface gráfica.

Para iniciar uma sessão do Simulink, digite simulink na janela de comando do

MATLAB. Após pressionar-se enter, aparecerá uma janela intitulada Simulink Library

Browser. Nessa janela selecione File New Model. Esta ação criará uma nova janela de

Page 109: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

109

nome Untitled, que pode ser renomeada através da ação File Save as. Na janela Simulink

Library Browser, o bloco Simulink aparece organizado em sub-blocos. Estes sub-blocos são:

Continuous;

Discrete;

Functions & Tables;

Math;

Nonlinear;

Signals e Systems

Sinks;

Sources;

O modelo criado aqui usará um bloco Step (a partir de Sources), um bloco

Transfer Fcn (a partir de Continuous) e um bloco Scope (a partir de Sinks). Para criar o

modelo basta arrastar os blocos citados acima para a janela modelo e conectá-los mantendo-se

pressionado o botão esquerdo do mouse. O modelo assim criado é mostrado na Fig. 3.4.

1

s+1

T ransfer FcnStep Scope

Fig. 3.4 – Modelo de um sistema simples criado no Simulink.

Após criar o modelo ilustrado na Fig. 3.4, devemos configurar os blocos Step e

Transfer Fcn, para que o modelo simule a resposta a degrau unitário de 1

1)( 2 ++=

sssG .

Primeiro, posicione o cursor do mouse sobre Step e pressione duas vezes o botão esquerdo do

mouse. Na janela que surgiu, altere apenas o parâmetro Step Time para 0. Repita a ação

anterior no bloco Transfer Fcn; na janela que surgiu, altere o parâmetro Denominator para

[1 1 1] e tecle OK. Para proceder ajustar os parâmetros da simulação, selecione Simulation

Simulation parameters. Na caixa que surgiu modifique o parâmetro Stop time para 12 e

pressione OK. Após fechar esta janela, selecione Simulation Start para iniciar a

simulação.Quando aparecer a mensagem Ready no canto inferior esquerdo da janela do

modelo, significa que a simulação acabou. Para ver a resposta ao degrau unitário do sistema

G(s), posicione o cursor do mouse sobre Scope e pressione duas vezes o botão esquerdo do

Page 110: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 110

mouse. Aparecerá uma janela chamada Scope com a resposta do sistema. Para melhor

visualização, pressione na janela o botão Autoscale, cujo ícone é um binóculo; a forma de

onda que aparecerá será idêntica a da Fig. 3.3. Para conhecer melhor o Simulink, recomenda-

se a leitura de UERJ (1999).

3.2.2 Resposta à rampa unitária de sistemas de 1a ordem

Como a transformada de Laplace da função rampa unitária é 1/s2, substituindo-se

R(s) por 1/s2 na equação (3.1), obtém-se:

21

11)(

sTssC ⋅

+= (3.5)

Expandindo a equação (3.5) em frações parciais, resulta:

11)(

2

2 ++−=

TsT

sT

ssC (3.6)

Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (3.6), obtém-se:

TtTeTttc /)( −+−= (t ≥ 0) (3.7)

O sinal de erro e(t) é então:

)1()()()( /TteTtctrte −−=−=

Na expressão acima quando t tende a infinito, e-t/T tende a zero, e, portanto, o sinal

de erro e(t) tende a T ou:

Te =∞)(

A expressão acima nos mostra que quanto menor a constante de tempo T menor o

erro. A entrada rampa unitária e a respectiva saída são apresentadas na Fig. 3.5.

0 2T 4T 6T

2T

4T

6T

t

r(t) = t

c(t)

TT

erro estacionário

Fig. 3.5 – Resposta à rampa unitária do sistema mostrado na Fig. 3.1.

Page 111: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

111

3.2.3 Resposta a impulso unitário de sistemas de 1a ordem

Como a transformada de Laplace da função impulso unitário é 1, substituindo-se

R(s) por 1 na equação (3.1), obtém-se:

11)(+

=Ts

sC (3.8)

Observe que a resposta a impulso unitário é igual à função de transferência do

sistema. Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (3.8), obtém-se:

Tetc

Tt /)(

= (t ≥ 0) (3.9)

A resposta a uma entrada a impulso unitário é apresentada na Fig. 3.6.

0 2T 4T t

1/Tc(t)

Fig. 3.6 – Resposta à impulso unitário do sistema mostrado na Fig. 3.1.

Exercício: Obtenha no Simulink a resposta a um impulso unitário, um degrau unitário e uma

rampa unitária do circuito RC série apresentado na Fig. 1.26, para valores abaixo.

Verifique os tempos de resposta para a entrada a degrau, o erro de regime

permanente para a entrada à rampa e o valor máximo da resposta impulsiva em

cada caso.

a. R = 10 Ω e C = 1 μF;

b. R = 1000 Ω e C = 100 μF.

3.3 Sistema de 2a ordem

Investigaremos, agora, as respostas dinâmicas dos sistemas de 2a ordem para

entradas em degrau, rampa e impulso.

Page 112: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 112

3.3.1 Resposta a degrau unitário de sistemas de 2a ordem

A função de transferência de sistemas de 2a ordem é muito importante no projeto

de controle. As especificações do sistema são freqüentemente dadas assumindo que ele é um

sistema de 2a ordem. Para sistemas de mais alta ordem, nós podemos freqüentemente usar as

técnicas de pólos dominantes para aproximar o sistema por uma função de transferência de 2a

ordem. Assumimos que:

22

2

2)()(

nn

n

sssRsC

ωζωω

++= (3.10)

onde ζ é o fator de amortecimento e ωn é a freqüência natural do sistema. Os pólos são:

22,1 1 ζωζω −±−= nn js

Note que os pólos podem ser ambos reais (ζ >1, sobreamortecido), reais e iguais (ζ =1,

criticamente amortecido) ou complexos conjugados (0 < ζ < 1, subamortecido).

Determinaremos a resposta do sistema representado por (3.10) para esses 3 casos.

(a) Caso subamortecido (0 < ζ < 1): Neste caso, (3.10) pode ser escrita por:

)()()()( 2

ωζωωζωω

jsjssRsC

nn

n

−+⋅++=

onde 21 ζωω −= n . A freqüência ω é chamada freqüência natural amortecida. Para uma

entrada em degrau (3.10) pode ser escrita como:

)2()( 22

2

nn

n

ssssC

ωζωω

++= (3.11)

A transformada inversa de Laplace da equação (3.11) foi obtida no capítulo I.

Lembrando:

( ) ⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −+⋅−

−−=

ζζ

ζωζ

ζω 22

2

11

11)( arctgtsenetc n

tn

; t ≥ 0 (3.12)

O sinal de erro para esse sistema é a diferença entre a entrada e a saída, ou:

( ) ⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −+⋅−

ζζ

ζωζ

ζω 22

2

11

1arctgtsene

n

tn

Page 113: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

113

O sinal de erro acima apresenta uma oscilação senoidal amortecida. Em regime permanente

(t → ∞) o erro é nulo.

Se o coeficiente de amortecimento ζ é igual a zero, a resposta se torna não

amortecida e o sistema oscila indefinidamente. Substituindo ζ = 0 em (3.12), obtém-se a

resposta para o caso não amortecido, ou

ttsentc nn ωω cos1)90(1)( 0 −=+−= (t ≥ 0) (3.13)

Da equação (3.13) vemos que ωn representa a freqüência natural não-amortecida

do sistema, ou seja, é a freqüência que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse zero.

(b) Caso de amortecimento crítico (ζ = 1): Neste caso, para uma entrada em degrau

unitário (3.11) pode ser escrita como:

2

2

)()()(

n

n

sssRsC

ωω+

= (3.14)

A transformada inversa de Laplace da equação (3.14) pode ser determinada por:

)1(1)( tetc ntn ωω +−= − ; t ≥ 0 (3.15)

(c) Caso sobreamortecido (ζ > 1): Neste caso, para uma entrada em degrau unitário

(3.11) pode ser escrita como:

)1()1()(

22

2

−−+⋅−++=

ζωζωζωζω

ω

nnnn

n

ssssC (3.16)

A transformada inversa de Laplace da equação (3.16) será:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

−−

212

21

121)(

se

setc

tstsn

ζ

ω (t ≥ 0) (3.17)

onde ( ) ns ωζζ ⋅−+= 121 e ( ) ns ωζζ ⋅−−= 12

2 . Observe na equação (3.17) que quando

ζ é razoavelmente maior que 1, a exponencial tse 1− decai mais rapidamente que a outra, pois

representa uma constante de tempo menor e, desta forma que o termo 11 se ts− pode ser

desprezado. Nesse caso, o sistema apresentará uma resposta similar a um sistema de 1a ordem

e a função de transferência e a sua resposta a degrau podem ser aproximadas por:

1

1

11

)()(

2

2

2

2

2−−+

−−=

+=

+=

ζωζω

ζωζω

nn

nn

ssss

sssR

sC

Page 114: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 114

( ) sssC

nn

nn

⋅−−+

−−=

1

1)(

2

2

ζωζω

ζωζω (3.18)

A transformada inversa de Laplace da equação (3.16) será:

tnetc ωςς )1( 21)( −−−−= (t ≥ 0) (3.19)

A equação (3.19) fornece uma resposta aproximada a entrada à degrau unitário

quando um dos pólos da função de transferência pode ser desprezado.

A título de exemplo, seja um sistema de 2a ordem com ζ = 1,5 e ωn = 1. Na Fig.

3.7 mostramos as curvas de resposta ao degrau unitário deste sistema considerando a solução

exata (3.17) e a solução aproximada (3.19). Verifique que, mesmo escolhendo um ς

ligeiramente maior que 1, a solução aproximada e exata não diferem muito.

A Fig. 3.8 apresenta uma família de curvas c(t) obtidas a partir de (3.12), (3.15) e

(3.17) para vários valores de ζ, onde a abscissa é a variável adimensional ωnt. Nesta figura

vemos que um sistema subamortecido com ζ entre 0,5 e 0,8 chega perto do valor final mais

rapidamente que sistemas com amortecimento crítico ou sobreamortecido. Exceto em algumas

aplicações onde não se pode tolerar oscilações, é desejável que o sistema de 2a ordem seja

subamortecido com ζ entre 0,4 e 0,8. Valores pequenos de ζ produzem uma resposta

transitória com pico excessivo; valores muito grandes de ζ fazem o sistema excessivamente

lento.

0 5 10 15

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Solução exata

Solução aproximada

Fig. 3.7 - Curvas aproximada e exata de resposta ao degrau unitário de um sistema de 2a

ordem.

Page 115: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

115

0 2 4 6 8 10 12 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

ωnt

c(t)

ζ=0

ζ =0,1

ζ =0,2

ζ =0,3 ζ =0,4 ζ =0,5

ζ =0,6ζ=0,7

ζ =0,8

ζ =1

ζ=2

Fig. 3.8 – Curva de resposta ao degrau unitário do sistema de 2a ordem representado pela

equação (3.10)

Para dar uma indicação sobre a resposta de um sistema de 2a ordem

subamortecido, algumas figuras de mérito (Fig. 3.9) são definidas:

• Tempo de resposta ou acomodação (tS): é o tempo para a resposta do

sistema entrar e permanecer em uma faixa de x% em torno do valor final

da resposta. Na literatura de controle, encontramos os seguintes tempos de

resposta:

tS5% = 3τ = nωζ ⋅

3 (3.20)

tS2% = 3,9τ= nωζ ⋅

93, (3.21)

tS1% = 4,6τ = nωζ ⋅

64, (3.22)

Observe que o tempo de acomodação é definido em função da constante de

tempo τ = nωζ ⋅

1 .

Page 116: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 116

tP

0,1

0,9 0,95

1 1,05

trtS5%

MP

Fig.3.9 – Figuras de mérito para sistemas de 2a ordem.

• Tempo de subida (tr): é o tempo que a resposta leva para variar de 10% a

90% do calor final. Embora seja difícil obter uma expressão analítica exata

para tr, Dorf (2001) oferece a seguinte aproximação :

tr ≈ nω

ζ 60162 ,, + (3.23)

que é exata para 0,3 ≤ ζ ≤ 0,8.

• Instante de pico (tP): é o tempo necessário para a resposta atingir o

primeiro pico do sobre-sinal. Ele é obtido diferenciando a expressão (3.12)

com respeito ao tempo e igualando o resultado obtido a zero, resultando:

tP = 21 ζω

π

−n

(3.24)

• Sobre-sinal máximo (MP): é a diferença entre o valor do primeiro pico da

resposta e o valor final da resposta. Ele ocorre no instante de pico. De

acordo definição temos:

MP = c(tP) – 1

Page 117: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

117

Fazendo t = tP em (3.12), substituindo na expressão acima e ajustando,

obtém-se:

MP = 21 ζ

ζπ

⋅−

e (3.25)

A Fig. 3.10 apresenta o máximo sobre-sinal em função de ζ. Note que quando o

amortecimento está entre 0,4 e 0,8 , o sobre-sinal máximo percentual está entre 25% e 2,5%.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

MP (%)

ζ

Fig. 3.10 – Sobre-sinal máximo percentual em função do amortecimento.

Exemplo 3.1: Considere o sistema de 2a ordem abaixo, onde a = 6 e K = 25.

1 s

-+

R(s) C(s) K

s+ a

Fig. 3.11 – Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem.

(a) Obtenha o tempo de subida tr, o instante de pico tP, o sobre-sinal máximo MP e

o tempo de acomodação tS2% quando o sistema é sujeito a uma entrada à degrau

unitário;

(b) Qual o valor de K para que o tempo de acomodação tS2% seja igual a 1s

Page 118: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 118

(a) A função de transferência do sistema será:

KassK

assK

assK

sRsC

++=

++

+= 22

2

1)()(

Comparando o resultado acima com (3.10), obtém-se:

K = ωn2 = 25 ⇒ ωn = 5 rad/s

a = 2ζωn = 6 ⇒ ζ = 0,6

Assim:

tr ≈ nω

ζ 60162 ,, + = 0,38 s

tP = 21 ζω

π

−n

= 4π = 0,79 s

tS2% = nωζ ⋅

93, = 39,3 = 1,33 s

MP = 21 ζ

ζπ

⋅−

e = 0,095 ou 9,5%

(b) tS2% = nωζ ⋅

93, = 1 ⇒ ωn = 6,5 rad/s

Para ωn = 6,5 rad/s ⇒ K = 6,52 = 42,25

Usando o MATLAB. para traçar a resposta do sistema da Fig. 3.11

Para avaliar o resultado utilizando o MATLAB, devem ser utilizados os seguintes comandos:

>> num=25; den1=poly([0]); den2=[1 6]; >> den=conv(den1,den2); >> [numf,denf]=cloop(num,den); >> printsys(numf,denf) num/den = 25 -------------- s^2 + 6 s + 25 >> step(numf,denf) >> grid

Na seqüência de comandos acima, a segunda linha realiza a convolução

(multiplicação no plano s) entre os denominadores s e (s+1). A terceira linha produz a função

de transferência de malha fechada do sistema de controle da Fig. 3.11. Se a realimentação

fosse positiva, a terceira linha teria que ser substituída por

Page 119: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

119

>> [numf,denf]=cloop(num,den,1);

A resposta do sistema a uma entrada em degrau unitário é mostrada na Fig.3.12,

onde foram feitas as seguintes medidas:

tr = 0,37 s

tP =0,78 s

tS2% = 1,2 s

MP = 9,5%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Fig. 3.12 – Resposta a degrau unitário do sistema da Fig. 3.11.

Funções do MATLAB que aprendemos a utilizar:

conv;

cloop.

Exercício: Utilize o Simulink para obter a resposta ao degrau unitário do sistema da Fig. 3.11.

3.3.2 Resposta à impulso unitário de sistemas de 2a ordem

Como a transformada de Laplace de uma função impulso unitário r(t) é R(s) = 1, a

resposta C(s) do sistema de segunda ordem regido pela expressão (3.10) é:

22

2

2)(

nn

n

sssC

ωζωω

++=

Page 120: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 120

A transformada inversa de Laplace desta equação resulta na resposta temporal c(t)

como segue:

Para 0 ≤ ζ ≤ 1 ,

)1sen(1

)( 22

tetc ntn n ζω

ζ

ω ζω −−

= − (t ≥ 0) (3.26)

Para ζ = 1 ,

)1sen()( 22 ttetc nt

nn ζωω ω −= − (t ≥ 0) (3.27)

Para ζ > 1 ,

tntn nn eetc ωζζωζζ

ζ

ω

ζ

ω )1(

2

)1(

2

22

1212)( −+−−−−

−−

−= (t ≥ 0) (3.28)

A Fig. 3.13 apresenta uma família de curvas c(t)/ ωn obtidas a partir de (3.26) e

(3.27) para vários valores de ζ, onde a abscissa é a variável adimensional ωnt. Nesta figura

vemos que apenas em um sistema subamortecido a resposta oscila em torno do zero

assumindo valores ora negativos, ora positivos. Para sistemas criticamente amortecidos ou

sobreamortecidos a resposta ao impulso unitário é sempre positiva ou nula.

Igualando-se a zero a derivada de (3.26), pode-se mostrar que o sobre-sinal

máximo para a resposta ao impulso unitário de um sistema subamortecido e o instante em que

ele ocorre são dados pelas equações (3.29) e (3.30).

t = 2

2

1

1

ζω

ζζ

n

arctg (0 < ζ < 1) (3.29)

c(t)max = ζ

ζ

ζ

ζ

ω

2

2

1

1

−⋅

−− arctg

ne (0 < ζ < 1) (3. 30)

Page 121: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

121

0 2 4 6 8 10 12-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ωn t

c(t)

/ ω

nζ = 0,1

ζ = 0,3 ζ = 0,5

ζ = 0,7

ζ = 1

Fig. 3.13 – Curva de resposta ao impulso unitário do sistema de 2a ordem representado pela

equação (3.10).

3.3.3 Resposta a rampa unitária de sistemas de 2a ordem

A resposta transitória de um sistema de 2a ordem sujeito a uma entrada em rampa

pode ser obtida de maneira análoga a que utilizamos quando obtemos as respostas à degrau.

Por exemplo, para o caso subamortecido a resposta a rampa unitária do sistema representado

pela equação (3.10) será:

⎟⎟

⎜⎜

−−

⋅−−−

+−=−

ζζ

ζωζω

ζ ζω 22

2

121

12)( arctgtsenettc n

t

n

n

; t ≥ 0 (3.31)

O sinal de erro para esse sistema é a diferença entre a entrada e a saída, ou:

e(t) =⎟⎟

⎜⎜

−−

⋅−−−

+−

ζζ

ζωζω

ζ ζω 22

2

121

12 arctgtsene

n

t

n

n

(3.32)

Em regime permanente (t = ∞) o erro será:

e(∞) = nωζ2 (3.33)

Page 122: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 122

Para que a resposta transitória seja aceitável quando da aplicação de um degrau e

o erro de regime fique em um patamar admissível quando da aplicação de uma rampa, ζ não

pode ser muito pequeno e ωn deve ser suficientemente grande. Um ζ pequeno aumenta o

sobre-sinal para uma entrada à degrau unitário (Fig. 3.10), um ζ grande eleva o erro de regime

permanente para uma entrada à rampa.

Exemplo 3.2: O sistema de 2a ordem da Fig. 3.14 quando submetido a um degrau, apresenta

em t = 3 s um sobre-sinal de aproximadamente 25%.

a. Determine os valores de K e T;

b. Determine o sobre-sinal máximo e o tempo em que ele ocorre quando a

entrada for um impulso unitário;

c. Calcule o erro de regime permanente quando for aplicada uma rampa

unitária ao sistema

1 s

-+

R(s) C(s) K

Ts+ 1

Fig. 3.14 – Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem.

Solução:

(a) Para um sobre-sinal de 25% a Fig. 3.10 nos fornece ς = 0,4. Sabemos que:

tP = 21 ζω

π

−n

= 24,01−nω

π = 3 s ⇒ 24,013 −

=πωn = 1,14 rad/s.

A função de transferência do sistema será:

TK

Tss

TK

KsTsK

sTsK

sTsK

sRsC

++=

++=

++

+=22

2

2

1)()(

Comparando o resultado acima com (3.10), obtém-se:

T = nζω2

1 = 14,14,02

1⋅⋅

= 1,1 s

K = T.ωn2 = 1,1 . 1,142 = 1,43

Page 123: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

123

(b) O tempo em que ocorre o sobre-sinal será

t = 2

2

1

1

ζω

ζζ

n

arctg=

2

2

4,0114,1

4,04,01

−arctg

= 059,116,1 = 1,1 s

Por sua vez, o sobre-sinal máximo será:

c(t)max = ζ

ζ

ζ

ζ

ω

2

2

1

1

−⋅

−−

⋅arctg

n e =4,0

4,01

4,01

4,0 2

214,1

−⋅

−−

⋅arctg

e = 15,144,014,1 xe−⋅ = 0,69

(c) O erro de regime à rampa é dado pela expressão (3.33) e vale:

e(∞) = nωζ2 = 0,7

3.3.4 Efeito de um terceiro pólo e um zero na resposta de sistemas de 2a ordem

As curvas apresentadas na Fig. 3.8 são exatas para sistemas de segunda ordem

representados pela equação (3.10). Entretanto, elas fornecem uma boa fonte de dados porque

muitos sistemas possuem um par dominante de raízes e a resposta ao degrau pode ser

estimadas utilizando-se a equação (3.11). Esta abordagem, embora aproximada, evita uma

nova análise matemática para a determinação do sobre-sinal e outras figuras de mérito. Para

um sistema de terceira-ordem representado pela função de transferências

)1)(12(1

)()(

2 +++=

TssssRsC

nζω (3.34)

e com um par de pólos complexos dominantes, foi averiguado experimentalmente

(CLEMENTE apud DORF, 2001, p. 233-234) que o sobre-sinal percentual MP e o tempo de

acomodação tS eram representados pelas curvas do sistema de segunda-ordem quando

nTζω101

≥ (3.35)

Dorf (2001, p.234) apresenta uma tabela mostrando o efeito do terceiro pólo na

resposta a degrau do sistema representado por (3.34) e ζ = 0,45, tabela que reproduzimos na

Tabela 3.2. Para um sistema de segunda ordem com ζ = 0,45 e ωn = 1 o sobre-sinal estimado é

20% e o tempo de acomodação tS2% = 8,7 s. Observe que o efeito em um sistema de segunda

ordem da adição de um terceiro pólo que não satisfaça a condição (3.35) é a redução do sobre-

sinal.

Page 124: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 124

TABELA 3.2

EFEITO DO TERCEIRO PÓLO PARA ζ = 0,45

T 1/T MP % tS2%

2,25 0,44 0 9,63

1,5 0,67 3,9 6,3

0,9 1,11 12,3 8,81

0,4 2,5 18,6 8,67

0,05 20 20,5 8,37

0 ∞ 20,5 8,24

Você deve perceber, também, que as figuras de mérito de sistemas de segunda

ordem calculadas pelas expressões estabelecidas nas seções anteriores são corretas para uma

função de transferência sem zeros finitos. Se a função de transferência de um sistema de

segunda ordem possui um zero finito e ele é localizado relativamente perto dos pólos

complexos dominantes, então o zero afetará a resposta do sistema. A Fig. 3.15 apresenta a

resposta transitória do sistema representado pela função de transferência

( )( )22

2

2)()(

nn

n

ssasa

sRsC

ωζωω

+++

=

para valores escolhidos de a/ζωn com ζ = 0,5. Para um sistema de segunda ordem com ζ = 0,5

e ωn = 1 o sobre-sinal estimado é 16,3%, o tempo de acomodação tS2% = 7,8 s e o instante de

pico tP = 3,63 s. Observe que quanto menor a razão a/ζωn , maior será sobre-sinal e menor o

instante de pico da resposta a degrau unitário do sistema.

3.4 Análise de erro em regime permanente ou estacionário

Seja o sistema de controle apresentado na Fig. 3.16. O sinal de erro desse sistema

é dado por:

)()()(

sGsCsE = (3.36)

Entretanto,

)()()(1

)()( sRsHsG

sGsC+

= (3.37)

Substituindo-se (3.37) em (3.36), resulta:

Page 125: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

125

)()()(1

1)( sRsHsG

sE+

= (3.38)

0 2 4 6 8 10 12 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

c(t)

(a/ζϖn) = 0,5

(a/ζϖn) = 1

(a/ζϖn) = 5

(a/ζϖn) = 2

ϖnτ

Fig. 3.15 - Resposta a degrau unitário de um sistema de segunda ordem com um zero para

quatro valores da razão a/ζωn.

TABELA 3.2

EFEITO DO ZERO PARA ζ = 0,5

a/ζωn MP % tS2% tP

0,5 170 10,15 1,5

1 70 7,38 1,8

2 30 7,5 2,4

5 18 7,73 3,15

E(s)

B(s)

G(s)C(s)

-+

R(s)

H(s)

Fig. 3.16 – Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada.

Page 126: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 126

Aplicando o teorema do valor final a equação (3.38), obtém o erro estacionário

atuante do sistema:

)()(1)(lim)(lim)(lim

00 sHsGssRsEstee

sstss +=⋅==

→→∞→ (3.39)

O erro estacionário apresentado pelo sistema em resposta a uma determinada

entrada poderá ser nulo ou não, dependendo de sua classificação em função de sua habilidade

para seguir um determinado tipo de entrada, classificação que apresentamos a seguir. Seja a

função de transferência de malha aberta G(s)H(s):

)1()1)(1()1()1)(1(

)()(21 +++

+++=

sTsTsTssTsTsTK

sHsGp

Nmba

K

K (3.40)

Na expressão acima aparece no denominador o termo sN, que representa um pólo

de multiplicidade N na origem. A classificação é estabelecida em função desse termo da

seguinte forma: se N = 0, o sistema será do tipo 0, se N = 1, do tipo 1, se N = 2, do tipo 2, etc.

A seguir definiremos os coeficientes de erro estático, os quais se constituem em

figuras de mérito dos sistemas de controle.

3.4.1 Coeficiente de erro de posição estático KP

Se a entrada for um degrau unitário, a expressão (3.39) resulta em:

)0()0(111

)()(1lim

0 HGssHsGse

sss +=

+=

→ (3.41)

Definindo KP como

)0()0()()(lim0

HGsHsGKsP ==→

(3.42)

obteremos uma nova expressão para o erro atuante estacionário, esta em função do coeficiente

de erro de posição estático KP.

Pss K

e+

=1

1 (3.43)

Para um sistema do tipo 1 ou maior, teremos:

∞==++++++

==→→ 0)1()1)(1(

)1()1)(1(lim)()(lim

2100

KsTsTsTssTsTsTK

sHsGKp

Nmba

ssPK

K

Page 127: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

127

Já para um sistema do tipo 0, teremos:

KsTsTsT

sTsTsTKsHsGK

p

mbassP =

++++++

==→→ )1()1)(1(

)1()1)(1(lim)()(lim

2100 K

K

Portanto, para um sistema do tipo 0 o coeficiente de posição estático KP é finito;

para um sistema do tipo 1 KP é infinito. Resumindo, o erro estacionário atuante para uma

entrada em degrau unitário será:

Kess +

=1

1 para sistemas do tipo 0

01

1=

∞+=sse para sistemas do tipo 1 ou maior

Conclui-se, a partir do que foi apresentado aqui, que a resposta ao degrau unitário

de um sistema de controle realimentado apresentará um erro em regime permanente caso sua

função de transferência de malha aberta não conter integrações (1/sN). Se o sistema possuir

realimentação unitária, o erro na resposta em regime permanente será igual ao erro atuante

estacionário. Esse erro pode ser tolerável caso K seja suficientemente grande. Entretanto,

como veremos mais tarde com um ganho K grande é difícil obter um sistema estável.

Para ilustrar, analisaremos a resposta transitória do conversor buck cujo diagrama

de blocos foi apresentado na Fig. 2.8. Observe que a função de transferência em malha aberta

não possui nem um integrador. O coeficiente de posição estático será:

21

2

00 RRRsG

VE

sGsHsGK FS

iCssP +

⋅⋅=⋅=→→

)()(lim)()(lim

Considerando GC(s) igual a um ganho KC e GF(s) dado pela expressão (2.36), a

expressão acima torna-se:

( ) 21

2

00002

0

0 11

RRR

RRCRLCLsRsC

VEKK

LSEL

SE

S

iCsP +

⋅+++

+⋅⋅=

→ /)(lim

Resolvendo o limite:

21

2

RRR

VE

KKS

iCP +

⋅⋅=

Consideremos, agora, um conversor com as seguintes especificações:

Entrada Ei = 24 V;

Saída E0 = 5 V / I0 = 5 A (RL = 1 Ω);

Page 128: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 128

Filtro com L0 = 200 μH, C0 = 1000 μF e RSE = 100 mΩ;

R1 = R2 = 10kΩ;

KC = 10;

Amplitude do dente de serra VS = 2,5 V.

O coeficiente KP para este conversor será:

5052

2410 ,,

⋅⋅=PK = 48

Como o ganho de realimentação é 1/2, para se obter uma tensão de saída de 5V, a

tensão de referência será 2,5 V, o que equivale à aplicação de um degrau de tensão de 2,5 V

na partida do sistema. Nesse caso, o valor acima de KP resultará em um erro atuante

estacionário de:

05101

52 ,,=

+=

Pss K

e

Como:

e(t) = r(t) – 0,5c(t)

Obtém-se:

c(t) = 2[ r(t) – e(t) ]

Quando t → ∞, teremos:

c(∞) = 2 ( 2,5 – 0,051) = 4,9 V

que representa um desvio de 2% em relação ao valor esperado.

Para checar estes resultados, o conversor abaixador com as especificações

apresentadas acima é simulado utilizando-se a ferramenta Simulink 2.0. O modelo criado é

apresentado na Fig. 3.17 e o sinal de erro atuante e a tensão na saída resultantes são

apresentados na Fig. 3.18.

3.4.2 Coeficiente de erro de velocidade estático KV

Se a entrada for uma rampa unitária, a expressão (3.39) resulta em:

)()(1lim1

)()(1lim

020 sHssGssHsGse

ssss→→

=+

= (3.44)

Page 129: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

129

c

tensão de saída

e

erro a tuante

R(s)

1 /2

H(s)

10

Gc

1e-4s+1

2e-7s +3e-4s+12

G(s)

9.6

Ei / Vs

Fig. 3.17 – Modelo de simulação do conversor buck para o Simulink.

0.95 1 1.0 1.1 1.15 1.2 t x 10 -2

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2t x 10 -2

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

(a) (b)

Fig.3.18 – (a) resposta transitória da tensão de saída na partida do conversor

buck especificado nessa seção e (b) sinal de erro atuante.

Definindo KV como:

)()(lim0

sHssGKsV→

= (3.45)

obteremos uma nova expressão para o erro atuante estacionário, esta em função do coeficiente

de erro de velocidade estático KV.

Vss K

e 1= (3.46)

O termo erro de velocidade é usado para expressar o erro estacionário devido a

uma rampa. Sua dimensão é a mesma que a do erro do sistema, isto é, o erro de velocidade

não é um erro na velocidade, mas um erro na posição devido a uma entrada em rampa.

Page 130: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 130

Para um sistema do tipo 2 ou maior, teremos:

)1()1)(1()1()1)(1(

lim)()(lim21

00 ++++++

==→→ sTsTsTs

sTsTsTsKsHssGK

pN

mbassV

K

K

∞==+++

+++=

−→ 0)1()1)(1()1()1)(1(

lim21

10

KsTsTsTs

sTsTsTKK

pN

mbasV

K

K

Já para um sistema do tipo 1 teremos:

KsTsTsTssTsTsTsK

sHssGKp

mbassV =

++++++

==→→ )1()1)(1(

)1()1)(1(lim)()(lim

21100 K

K

E, para um sistema do tipo 0 teremos:

0)1()1)(1(

)1()1)(1(lim)()(lim

2100=

++++++

==→→ sTsTsT

sTsTsTsKsHssGK

p

mbassV

K

K

Resumindo, o erro estacionário atuante para uma entrada em rampa unitária será:

∞===011

Vss K

e para sistemas do tipo 0

KKe

Vss

11== para sistemas do tipo 1

011=

∞==

Vss K

e para sistemas do tipo 2 ou maior

Perceba que um sistema de controle realimentado do tipo 0 é incapaz de seguir

uma entrada a rampa unitária.

3.4.3 Coeficiente de erro de aceleração estático Ka

Se a entrada for uma para uma parábola unitária, o erro atuante estacionário é

dado por:

)()(1lim1

)()(1lim 2030 sHsGsssHsG

sessss→→

=+

= (3.47)

Definindo Ka como

Page 131: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

131

)()(lim 2

0sHsGsK

sa→

= (3.48)

obteremos uma nova expressão para o erro atuante estacionário, esta em função do erro de

aceleração estático Ka.

Kaess

1= (3.49)

O erro de aceleração é o erro estacionário devido a uma parábola, ou seja ele um

erro na posição.

Para um sistema do tipo 3 ou maior, teremos:

)1()1)(1()1()1)(1(

lim)()(lim21

2

0

2

0 +++

+++==

→→ sTsTsTssTsTsTKs

sHsGsKp

Nmba

ssaK

K

∞==+++

+++=

−→ 0)1()1)(1()1()1)(1(

lim21

10

KsTsTsTs

sTsTsTKK

pN

mbasa

K

K

Já para um sistema do tipo 2 teremos:

KsTsTsTssTsTsTKs

sHsGsKp

mbassa =

+++

+++==

→→ )1()1)(1()1()1)(1(

lim)()(lim21

2

2

0

2

0 K

K

Para um sistema do tipo 1 teremos:

0)1()1)(1(

)1()1)(1(lim)()(lim

21

2

0

2

0=

++++++

==→→ sTsTsTs

sTsTsTKssHsGsK

p

mbassa

K

K

E, finalmente, para um sistema do tipo 0 teremos:

0)1()1)(1(

)1()1)(1(lim)()(lim

21

2

0

2

0=

++++++

==→→ sTsTsT

sTsTsTKssHsGsK

p

mbassa

K

K

Resumindo, o erro estacionário atuante para uma entrada em parábola unitária

será:

∞===011

ass K

e para sistemas do tipo 0 e 1

KKe

ass

11== para sistemas do tipo 2

Page 132: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 132

011=

∞==

ass K

e para sistemas do tipo 3 ou maior

Perceba que sistemas de controle realimentado do tipo 0 e 1 são incapazes de

seguir uma entrada a parábola unitária.

3.4.4 Resumo da seção

A Tabela 3.4 resume os erros estacionários para sistemas do tipo 0, tipo 1 e tipo 2.

TABELA 3.4

Erros em regime estacionário em termos do ganho K

Tipo do sistema Entrada em degrau Entrada em rampa Entrada em parábola

Sistema tipo 0 K+1

1 ∞ ∞

Sistema tipo 1 0 K1 ∞

Sistema tipo 2 0 0 K1

Sistema tipo 3 ou maior 0 0 0

Os coeficientes de erro KP, KV e Ka descrevem a habilidade de um sistema reduzir

ou, até mesmo, eliminar erros de regime permanente, ou seja, eles indicam o desempenho do

sistema em regime permanente. Para melhorar o desempenho do sistema podemos aumentar o

seu tipo adicionando um ou mais integradores no ramo direto. Entretanto, como veremos mais

tarde, esta ação pode levar o sistema à instabilidade.

Exemplo 3.3: Calcule o erro estacionário a uma entrada em degrau unitário do sistema de

controle apresentado na Fig. 3.19.

20 s2 + 17s + 10

-+

R(s) C(s)

Fig. 3.19 – Sistema de controle para o Exemplo 3.3.

A função de transferência de malha aberta do sistema em termos de ganho K,

pólos e zeros é:

Page 133: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

133

),

)(,

(,,),)(,()()(

1610

13916

6103916

206103916

201017

202

++⋅⋅=

++=

++=

sssssssHsG

)164,1)(139,16

(

2)()(++

=ss

sHsG

Como essa função de transferência representa um sistema do tipo 0 com K = 2, o

erro estacionário será:

33,021

11

1=

+=

+=

Kess

Uma solução alternativa seria:

21017

20200

=++

==→→ ss

sHsGKssP lim)()(lim

33021

11

1 ,=+

=+

=P

ss Ke

Exercícios

1. A Fig. 3.20 apresenta a resposta transitória da tensão no capacitor do circuito RLC série da

Fig. 2.1 (Cap. II) a uma entrada em degrau μ(t) = 5. Sabendo que o R medido foi de 2 Ω,

encontre o coeficiente de amortecimento ζ, a freqüência natural não amortecida, L e C.

0 1 2 3 4 5 6

t x 10 -2

0

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 3.20 –Resposta transitória a degrau para o Exercício 1

2. Dado o diagrama em blocos de um sistema de controle da Fig. 3.21, calcular o valor de K

para que o tempo de subida de sua resposta a degrau unitário seja 0,1s. Determinar o erro

em regime permanente nesta situação.

Page 134: Apostila SCT-20304 7p4

Análise de Resposta Transitória e Análise de Erros em Regime Permanente 134

E(s)

B(s)

K s+10

C(s)

-+

R(s)

2

Fig. 3.21 – Diagrama de blocos para o Exercício 2.

3. Para o diagrama de blocos da Fig. 3.12, calcular o ganho KI do integrador que devemos

inserir na função de transferência de alimentação direta para que o erro atuante em regime

permanente a uma entrada em rampa unitária seja 0,2.

4. Quando avaliamos a resposta transitória de um sistema, o que chamamos de figuras de

mérito?

5. Em relação ao erro em regime permanente, como classificamos os sistemas de controle?

6. Considerar um sistema de controle de realimentação unitária com a a FT de malha fechada

bassbks

sRsC

+++

= 2)()(

Determine a FT em malha aberta e mostre que o erro em regime estacionário à rampa

unitária é dado por b

kaeSS−

=

7. Determinar a qualidade de funcionamento do sistema de 2a ordem da Fig. 3.22 e desenhar a

curva de resposta à entrada em degrau.

E(s)

B(s)

2,25 s2+2s+1

C(s)

-+

R(s)

1

Fig. 3.22 – Diagrama de Blocos para o exercício 7.

8. Para a função de transferência de malha fechada abaixo, determine o valor de F para que o

sistema apresente uma sobre-elevação de 9,5%. Calcule, ainda tr e tS5%.

FsssRsC

101250

)()(

2 ++=

9. Seja o sistema da Fig. 3.23.

Page 135: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

135

B(s)

10 5s+1

C(s)

-+

R(s)

1/s

Fig. 3.23 – Diagrama de Blocos para o exercício 9.

Calcule o erro atuante em regime permanente e o valor final da saída para uma resposta em

rampa unitária.

10. O diagrama de bloco de um rate loop para um missil teleguiado é mostrado na figura

abaixo. Usando as equações analíticas para sistemas de segunda ordem, preveja MP, TP e

TS para o sistema em malha fechada devido a um degrau unitário. Compare os resultados

previstos com a resposta real a um degrau unitário obtida com o MATLAB. Explique as

diferenças.

0,1+ 5 s

C(s)

-+

R(s) 100(s+1) s2+2s+100

Respostas selecionadas

1.ς = 0,45; ωn = 440 rad/s; L = 5 mH e C = 100μ.

2. eSS = 0,45.

3. KI = 4,17.

6. s)ka(s

bks)s(G 2 −++

=

7. tr = 0,38 s; tP = 2,1 s; tS2% = 3,9 s; MP = 12,2% e eSS = 0,31.

8. F =10; . tr = 0,19 s; tS5% = 0,5 s.

9. eSS = 0,1 e c(∞) = 1

Page 136: Apostila SCT-20304 7p4
Page 137: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

137

4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE

4.1 Introdução

O principal problema dos sistemas de controle lineares é a estabilidade. As

questões que naturalmente se apresentam são: “Em que condições um sistema se torna

instável?” e “Caso ele seja instável, como torná-lo estável?”

No capítulo II, apresentamos a equação diferencial que representa um sistema

linear invariante:

yayayaya nn

nn++++ −

− .

1

1

10 ... = ubububub mm

mm++++ −

− .

1

1

10 ... (4.1)

onde condições iniciais apropriadas são especificadas para a saída y(t) do sistema. A

transformada de laplace da equação acima nos dá

nnnnn

nnnnn

mmmmm

asasasasasICsU

asasasasabsbsbsbsb

sY+++++

++++++

+++++=

−−−

−−−

−−−

12

21

1012

21

10

12

21

10 )()()(KK

K

ou

)()()(

)()()(

sDsICsU

sDsNsY += (4.2)

onde )()()(

sDsNsG = e IC(s) é um polinômio em s contendo os termos resultantes das condições

iniciais. Como pode ser visto, a resposta total é a soma das contribuições devido as condições

iniciais e a entrada do sistema u(t). Se o sistema é não forçado (isto é, a entrada é zero), nós

chamamos a resposta resultante do sistema de resposta à entrada zero ou natural do sistema.

Da mesma forma, se todas as condições iniciais são nulas, a entrada produz uma resposta de

Page 138: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 138

estado zero. Como vimos, a razão entre a transformada da saída e a transformada da entrada

sob condições iniciais nulas é a função de transferência, denotada por G(s).

Observe que ambos os termos na equação de saída contém o mesmo denominador,

o qual é conhecido como equação característica. As raízes do denominador comum D(s) são

as raízes características ou modos do sistema.

A idéia de estabilidade envolve examinar se, para qualquer condição inicial, a

resposta natural decai para zero. Esta é a chama estabilidade assintótica. Um conceito

alternativo de estabilidade examina a resposta forçada do sistema observando se para uma

entrada u(t) limitada a resposta também é limitada. Esta é a chamada estabilidade de entrada

limitada – saída limitada ou BIBO estabilidade.

Em linhas gerais, um sistema de controle é estável se e somente se todos os pólos

de malha fechada estiverem localizados no semiplano esquerdo do plano s. Pólos no

semiplano direito, para tempos crescentes, são dominantes e geram uma resposta transitória

que cresce monotonicamente ou oscila com amplitude crescente, ou seja, na a presença de

pólos no semiplano direito tornam o sistema instável.

Entende-se por estabilidade absoluta aquela que se reporta ao fato de um sistema

ser ou não estável; é uma condição do tipo sim ou não. Uma vez constatado que o sistema é

estável, se desejarmos conhecer o seu grau de estabilidade, estudamos a sua estabilidade

relativa.

4.2 Estabilidade assintótica

A idéia de estabilidade assintótica está relacionada simplesmente em examinar

como um sistema se recupera a partir de uma dada condição inicial e na ausência de uma

entrada u(t).

A resposta natural do sistema linear invariante no tempo descrito por (4.1) é

determinada somente pela equação característica do sistema e suas condições iniciais. O

sistema é assintoticamente estável de e somente se

Real (pk) < 0 ; k = 1, 2, ..., n.

Claro, isto faz sentido, já que no caso de pk ser uma raiz isolada, ela adiciona uma

contribuição

Page 139: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

139

tp

psk

k

esDsICs ⎥

⎤⎢⎣

⎡= )(

)(Re

na solução de y(t) e se pk = σk + jωk, então

)(cos tjsentee kkttp kk ωωσ +=

Assim, se σk > 0, então y(t) conterá uma componente de crescimento ilimitado

quando t cresce. Logo, todo o σk = Real (pk) deve ser negativo para a estabilidade assintótica.

Quando a saída não decai a zero nem vai para o infinito, dizemos que o sistema é

marginalmente estável. Isto ocorre quando σk = Real (pk) = 0, ou seja, quando uma raiz da

equação característica é nula ou puramente imaginária. Se as raízes são repetidas e tem parte

real nula, o sistema é instável. Isto pode ser visto a partir dos seguintes exemplos:

232211

)()()(

1001000

)()()(1

)()()(

ssDsICsY

ssDsICsY

ssDsICsY ==

+====

Tomando a transformada inversa de Laplace das expressões acima, obtém-se:

)()(10cos100)()()()()()( 321 tutsyttu

sDsICtytuty SSS ⋅=⋅===

Os sistemas com resposta y1(t) e y2(t) são marginalmente estáveis porque sua

resposta natural nem decai para zero nem cresce sem limites. Já o sistema com resposta y3(t) é

claramente instável.

4.3 BIBO Estabilidade

Vamos estabelecer, sem uma prova formal, que um sistema é BIBO estável se e

somente se todos os pólos do sistema se localizam no semiplano esquerdo aberto. Se algum

pólo está localizado no semiplano direito, o sistema é instável. Pólos sobre o eixo imaginário

requerem uma atenção especial. Um sistema marginalmente estável é BIBO estável? A

resposta é não. Considere

ssG

sUsY 1)()()(

==

Page 140: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 140

A resposta a degrau unitário de G(s) é

21)(s

sY =

Tomando a transformada inversa de Laplace da expressão acima, obtém-se:

)()( tutty S⋅=

Como o degrau unitário é limitado e a resposta do sistema é ilimitada, G(s) não é

BIBO estável. Parece que as duas definições de estabilidade (assintótica e BIBO) são a

mesma. Este é um ponto que necessita de algum cuidado. A estabilidade assintótica é

determinada pelos modos, os quais são as raízes da equação característica. A BIBO

estabilidade, entretanto, depende dos pólos. Em alguns caso, nós podemos encontrar uma

função de transferência onde há cancelação de pólos e zeros. Tecnicamente, os pólos são

computados após a função de transferência ser reduzida e alguns termos comum serem

cancelados. Logo, alguns modos não aparecem como pólos. Conclui-se que a estabilidade

assintótica implica em BIBO estabilidade mas não vice-versa. As definições são equivalentes

somente no caso de funções de transferência sem cancelação de pólos e zeros.O próximo

exemplo ilustra essa discussão:

)2)(1()1()(+−

−=

ssssG

Os modos são {1, -2}, mas o sistema tem somente um pólo. Logo, o sistema é

BIBO estável. Por causa do modo no semi-plano direito em {1}, entretanto, ele não é estável

no sentido de estabilidade assintótica. Estas respostas contraditórias são comuns quando nós

encontramos funções de transferência onde há cancelação de pólos e zeros.

4.4 Critério de Routh-Hurwitz

O critério de Routh-Hurwitz é um método algébrico que informa acerca da

estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo, testando se há alguma raiz da

equação característica no semiplano direito do plano s. O método também indica quantas

raízes estão sobre o eixo imaginário e quantas estão no semiplano direito.

Page 141: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

141

Seja a equação característica

0)( 12

21

10 =+++++= −−−

nnnnn asasasasasF K (4.3)

onde todos os coeficientes são números reais.

A fim de que não haja raízes desta equação com parte real positiva, é necessário,

porém não suficiente, que:

• Todos os coeficientes do polinômio tenham o mesmo sinal;

• Nenhum dos coeficientes se anule

condições que podem ser verificadas por inspeção. Ressaltamos que estas condições não são

suficientes, pois um polinômio com todos os coeficientes não nulos e de mesmo sinal pode ter

zeros no semiplano direito do plano s.

O critério que apresentaremos a seguir foi criado pelo matemático Adolf Hurwitz e

aperfeiçoado pelo também matemático Edward John Routh.

O primeiro passo do método consiste em colocar os coeficientes do polinômio

(4.1) em duas linhas como segue:

K

K

97531

86420

aaaaaaaaaa

Considerando para efeito de apresentação do método um sistema de sexta ordem, o

segundo passo é ampliar a matriz gerada, perfazendo as operações indicadas:

0000

0

000

00000

0000

00

0

61

161

11

61211

1

116

1

1611

1

21212

1

112

1

61511

1

21313

61

0612

1

50411

1

30214

5315

64206

ae

daes

ed

accds

cbca

cbac

dc

cbbcs

babc

baaab

cb

baabs

aa

aaab

aaaaa

ba

aaaas

aaasaaaas

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

Page 142: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 142

Uma vez montado o procedimento, que é conhecida como tabulação de Routh ou

tabela de Routh, o terceiro e último passo é investigar os sinais dos números da primeira

coluna da tabela, procedimento que pode levar a seguintes conclusão:

Todas as raízes do polinômio estão no semiplano esquerdo do plano se todos os

elementos da primeira coluna da tabela de Routh tiverem o mesmo sinal. Se houver troca de

sinal nos elementos da primeira coluna, o número de trocas de sinal fornecerá o número de

raízes com parte real positiva.

A seguir, ilustraremos através de exemplos a aplicação da tabela de Routh.

Exemplo 4.1:

Considere a função de transferência )3)(1)(2(

1)()(

−+−=

ssssRsC que apresenta como equação

característica:

064)3)(1)(2( 23 =++−=−+− ssssss

Sem aplicar o teste, sabemos que a equação característica apresenta duas raízes

com parte real positiva (2 e 3). Porém, como o objetivo é apresentar o critério, montamos a

tabela de Routh como segue:

065,2

0)4(65,2

05,24

61146411

0

1

2

3

=⋅−−⋅

=−

⋅−⋅−−

s

sss

Como ocorrem duas trocas de sinal na primeira coluna, o polinômio apresenta

duas raízes no semiplano direito, resultado de acordo com o que já se sabia.

Exemplo 4.2

Considere a função de transferência 10532

1)()(

234 ++++=

sssssRsC que apresenta como

equação característica:

010532 234 =++++ ssss

Como a equação característica não apresenta nenhum coeficiente nulo e todos os

coeficientes possuem o mesmo sinal, ela satisfaz a condição necessária (porém não suficiente)

Page 143: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

143

para não ter raízes no semiplano direito ou sobre o eixo imaginário. Porém, a condição

suficiente deve ser verificada, montando-se a tabela de Routh:

10

0043,67

10157

0101

0210171

5231051

1032

0

1

2

3

4

s

s

sss

=−

⋅−⋅−

=⋅−⋅

−=⋅−⋅

Como ocorrem duas trocas de sinal na primeira coluna, o polinômio apresenta

duas raízes no semiplano direito.

Casos especiais

1. O primeiro elemento em uma linha qualquer da tabela de Routh é zero, mas os

outros elementos não o são ou não há termos restantes.

Se aparecer um zero na primeira posição de uma linha, os elementos da linha

seguinte se tornarão infinitos. Para contornar essa situação, substitui-se o termo zero por um

número positivo arbitrariamente pequeno ε.

Exemplo 4.3

Considere a função de transferência 22

1)()(

23 +++=

ssssRsC que apresenta como

equação característica:

022 23 =+++ sss

Que gera a seguinte tabela de Routh:

2022

02

21122211

0

1

2

3

=⋅−⋅

≅=⋅−⋅

εε

ε

s

sss

Nesse caso, como não houve troca de sinal, isto indica que há um par de raízes

imaginárias, no caso, s = ±j.

Por outro lado, a equação característica 0)2()1(23 23 =+−=+− ssss , gera a

seguinte tabela:

Page 144: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 144

2

232132031

0

1

2

3

s

sss

εεε

ε−−=

⋅−⋅−≅

As duas trocas de sinal estão de acordo com a fatoração realizada na equação

característica.

2. Os elementos de uma linha da tabela são todos iguais a zero.

Se todos os coeficientes de uma linha calculada forem zero, isto indica que há

duas raízes reais com sinais opostos ou duas raízes complexas conjugadas.

Em tal caso, o cálculo da tabela pode prosseguir se formarmos um polinômio au-

xiliar com os coeficientes da ultima linha e usando os coeficientes da derivada deste poli-

nômio na linha seguinte. As raízes podem ser calculadas resolvendo-se o polinômio auxiliar.

EXEMPLO 4.4 - Seja a seguinte equação característica:

0)2)(5)(5)(1)(1(502548242 2345 =+−+−+=−−+++ sjsjssssssss

Que gera a seguinte tabela de Routh:

02

)501()252(02

4812425048225241

3

4

5

=−⋅−−⋅

=⋅−⋅

−−

sss

Como a linha de s3 contém só zeros, formamos o seguinte polinômio auxiliar:

050482)( 24 =−+= sssA

Que indica que há dois pares de raízes de igual módulo e sinal oposto. Derivando

A(s) em relação a s, obtém-se:

0968 3 =+ ss

cujos coeficientes passam a integrar a linha s3:

50

07,11224

)508(9624

50248

962488968

5048225241

0

1

2

3

4

5

=−⋅−⋅

−=⋅−⋅

−−

s

s

s

sss

Page 145: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

145

Como há uma troca de sinal, portanto a equação característica tem uma raiz

positiva. Podemos encontrar as raízes de igual módulo e sinal oposto resolvendo a equação

auxiliar.

050482 24 =−+ ss

que possui como raízes:

44004848 2

2 +±−=s

ou

12 =s ⇒ s = ± 1 e 252 −=s ⇒ s = ±j5

Aplicação do critério de Routh na análise de sistemas de controle

Utilizando o critério de Routh é possível determinar o efeito na estabilidade de um

sistema motivado pela alteração de um determinado parâmetro do sistema.

Exemplo 4.5

Considere um sistema com realimentação unitária que apresenta como função de

transferência de malha aberta 5,011

)()( 234 ++++=

ssssKsHsG .

Determine para quais valores de K o sistema é estável.

Solução: O sistema apresentará (confira) como equação característica:

5,011 234 +++++ Kssss = 0

A tabela de Routh será:

5,0

0105,9

5,01011

5,0111

0

1

2

3

4

+

−+

+

Ks

Ks

Kss

Ks

Para o sistema ser estável, não pode haver troca de sinal na 1a coluna, ou seja:

• 9,5 – K > 0 ⇒ K < 9,5

• K + 0,5 > 0 ⇒ K > - 0,5

Logo, - 0,5 < K < 9,5 manterá o sistema estável.

Page 146: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 146

4.3 O lugar das raízes ou root locus

4.3.1 – Introdução

A estabilidade relativa e o desempenho transitório de um sistema de controle em

malha fechada estão diretamente relacionados com a localização das raízes de malha fechada

da equação característica no plano s. É freqüentemente necessário ajustar um ou mais

parâmetros para se obter uma localização desejável das raízes. Logo, é desejável determinar

como as raízes da equação característica de um dado sistema se movimentam no plano s

quando os parâmetros variam; isto é, é usual determinar o lugar das raízes no plano s. O

método do lugar das raízes, introduzido por Evans em 1948, foi aperfeiçoado e tem sido

utilizado extensivamente em projetos de controle. A técnica do lugar das raízes é um método

gráfico para esboçar o lugar das raízes no plano s quando um parâmetro varia. Esta técnica

pode ser utilizada em conjunto com o critério de Routh-Hurwitz.

O método do lugar das raízes fornece informação gráfica que pode ser usada para

se obter informação qualitativa no que diz respeito à estabilidade e o desempenho do sistema.

Se a localização das raízes não for satisfatória, os ajustes necessários nos parâmetros podem

ser prontamente verificados a partir do lugar das raízes.

4.3.2 – O conceito de lugar das raízes

A performance dinâmica de um sistema de malha fechada é descrita pela função

de transferência de malha fechada

)()(

)()()(

sqsp

sRsCsT == (4.4)

onde p(s) e q(s) são polinômios em s. A equação característica é obtida igualando q(s) a zero.

No caso do sistema mostrado na Fig. 4.1, a equação característica é:

0)()(1 =+ sHsKG (4.5)

onde K é o parâmetro variável. Os valores de s que satisfazem a equação (4.5) são onde as

raízes se encontram no plano s. Reescrevendo a equação (4.5) na forma polar obtém-se a

condição de módulo:

1)()( =sHsKG (4.6)

Page 147: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

147

e a condição de fase:

∠ oo ksHsKG 360180)()( ±= (4.7)

onde k=0, ±1, ±2, ±3 ...

A equação (4.5) pode ser escrita, ainda, na forma

0)())(()())((

121

21 =++++++

+n

m

pspspszszszsK

K

K (4.8)

ou

0)((

)(1

1

1 =+

++

=

=N

nn

M

mm

ps

zsK (4.9)

e as condições de módulo e fase para o lugar das raízes tomam a forma

K

K

21

21)()(psps

zszsKsHsKG

+⋅+

+⋅+⋅= = 1 (4.10)

e

( ) oo kpspszszssHsKG 360180)()( 2121 ±=++∠++∠−++∠++∠=∠ KK (4.11)

onde k é um inteiro. A condição de módulo habilita a determinação do valor de K para uma

dada raiz s1. Um ponto de teste s1 no plano s é verificado como uma raiz quando (4.11) é

satisfeita. Os ângulos são todos medidos no sentido anti-horário a partir de uma linha

horizontal.

G(s)

H(s)

R(s) C(s)+

-

Fig. 4.1 – Sistema de controle.

Para ilustrar o que foi dito, considere o sistema de segunda ordem mostrado na

Fig. 4.2. A equação característica deste sistema é

0)2(

1)()(1 =+

+=+ssKsHsKG

Page 148: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 148

ou, alternativamente

022)( 222 =++=++= nn ssKsssq ωζω

O lugar das raízes à medida que K é variado é encontrado satisfazendo-se:

1)2(

)()( =+

=ssKsHsKG (4.12)

K

1

R(s) C(s)+

-1

s(s+2)

Fig. 4.2 – Sistema de controle com realimentação unitária, com o parâmetro variável K.

e

∠ 0540,180)()( ±±=sHsKG (4.13)

Note que o ganho K pode ser variado de zero a um valor positivo infinitamente grande. Para

um sistema de segunda ordem as raízes de são

1, 221 −±−= ζωζω nnss

ou na forma polar para ζ < 1

ζωζ

ζω arccos1

,221 ∠=

−∠= nn arctgss

No caso do sistema da Fig. 4.2

Kss −±−= 11, 21

As raízes são reais para 0 ≤ K ≤ 1 e complexas para K > 1. O lugar das raízes correspondentes

a todos os valores de K está indicado na Fig. 4.3, onde o movimento das raízes conforme K

aumenta é indicado por setas. Com ζ < 1 (K > 1), para satisfazer a condição de ângulo

[equação (4.13)] o lugar das raízes é uma linha vertical. Por exemplo, conforme mostra a Fig.

5.3, junto à raiz s1 os ângulos são

1)2( ssss

K

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∠ = −∠s1 −∠(s1+2) = −[(1800 − θ1) − θ1] = −1800

Page 149: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

149

Note que a condição de ângulo é satisfeita em qualquer ponto da linha entre 0 e –2 no eixo

real e da linha vertical que lhe é perpendicular. Por sua vez, o ganho K no ponto particular s1 é

encontrado empregando-se (4.12) como segue:

12)2( 11

1

=+⋅

=+ = ss

KssK

ss

logo

211 +⋅= ssK

Fig. 4.3 – Lugar das raízes para o sistema de segunda ordem da Fig. 4.2.

4.3.3– Procedimento para construção do lugar das raízes

As raízes da equação característica de um sistema fornecem uma valiosa visão

sobre a resposta do sistema. Para localizar graficamente as raízes da equação característica no

plano s, indica-se a seqüência de doze passos que fornece um rápido rascunho do lugar das

raízes.

Exemplo 4.7 – Seja o sistema de controle com realimentação unitária que possui como função

de transferência de ramo direto:

ssssKsKG

65)1()( 23 ++

+=

Passo 1: Escrever a equação característica na forma indicada por (4.5):

σ

K=0 K=0K=1

-2 -1 0

+jK=2

-jK=2Pólos do sistemaem malha aberta

s1

|s1 +2| |s1|

s1+2 =θ1

s1 =180o – θ1

Page 150: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 150

065

)1(1)()(1 23 =++

++=+

ssssKsHsKG

Passo 2: Fatorar e escrever KG(s)H(s) na forma de pólos e zeros expressa por (4.9):

0)3)(2(

)1(1)()(1 =++

++=+

ssssKsHsKG (4.14)

Passo 3: Locar os pólos e zeros no plano s com os símbolos selecionados ( x para pólos e o

para zeros). Nós estamos particularmente interessados em determinar o lugar das raízes para

0 ≤ K ≤ ∞. Reescrevendo (4.9), obtém-se:

0)()(11

=+++ ∏∏==

M

mm

N

nn zsKps (4.15)

A equação (4.15) nos mostra que com K = 0, as raízes da equação característica são os pólos

de G(s)H(s); quando K se aproxima do infinito, o lugar das raízes da equação característica

são os zeros de G(s)H(s). Logo:

O lugar das raízes da equação característica 0)()(1 =+ sHsKG inicia nos

pólos de G(s)H(s) e termina nos zeros G(s)H(s) quando K vai de 0 ao infinito.

Para muitas funções G(s)H(s) muitos dos zeros estarão junto ao infinito no plano

s. Isto ocorre porque a maioria das funções em controle tem mais pólos do que zeros. Com n

pólos e m zeros e n > m, tem-se n – m ramos do lugar das raízes indo aos n – m zeros do

infinito. A Fig. 4.4 mostra os pontos para os quais K = 0 e K = ∞ no lugar das raízes do

sistema representado pela equação característica (4.14).

-3 0 -1 -2

K = 0 K = 0 K = 0

plano s jω

σ Κ = ∞

Fig. 4.4 – Pontos para os quais K = 0 e K = ∞ no lugar das raízes do sistema do exemplo 4.7.

Há mais dois pontos para K = ∞ em s = ∞.

Page 151: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

151

Passo 4: Localizar os segmentos do eixo real que são lugares das raízes. O lugar das raízes no

eixo real está sempre em uma seção do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos e

zeros. Este fato é constatado examinando-se a equação (4.11). O lugar das raízes no eixo real

para o sistema do exemplo 4.7 é mostrado na Fig. 4.5, onde a direção do lugar das raízes

quando K aumenta é mostrado por uma seta. Como foi dito anteriormente, o lugar das raízes

inicia nos pólos e termina nos zeros. Podemos, por exemplo, calcular o valor de K para a raiz

s = s1= -1/2 empregando a equação (4.10) como segue:

12

52

32

12

1

32122

12

1

121

321

)()(111

111 =

⋅=

+−⋅+−−

+−⋅=

+⋅+

+⋅=

KK

ssssK

sHsKG

315

21

615

==K

-3 0 -1 -2

σ

Fig. 4.5 – O lugar das raízes sobre o eixo real do sistema do exemplo 4.7.

Passo 5: Determinar o número de ramos do lugar das raízes completo. Como os ramos

iniciam nos pólos e terminam nos zeros, o número de ramos é igual ao número de pólos, já

que o número de pólos é maior ou igual ao número de zeros. Logo, para o nosso exemplo, o

número de ramos é igual a três.

Passo 6: O lugar das raízes completo é simétrico em relação ao eixo horizontal real, uma

vez que as raízes complexas devem aparecer com pares de raízes complexas conjugadas.

Passo 7: O lugar das raízes segue para os zeros no infinito por assíntotas com centro em σA e

com ângulos φA. Quando o número de zeros finitos de G(s)H(s), m, é menor que o número de

pólos, n, pelo número finito N = n – m, então n ramos do lugar das raízes terminam em zeros

no infinito. Estes ramos do lugar das raízes seguem para zeros no infinito por assíntontas

quando K se aproxima do infinito. Estas assíntotas são centradas em um ponto sobre o eixo

real dado por:

Page 152: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 152

( ) ( )

mn

zp

mnsHsGdezerossHsGdepolos

m

ii

n

jj

A −

−−−

=−

−=

∑∑∑∑ == 11)()()()(σ (4.16)

e com ângulos dados por

oA mn

q 180)12(−+

=φ (4.17)

onde q = 0, 1, 2, ..., (n – m –1 ). O leitor pode encontrar a prova das equações (4.16) e (4.17)

em Dorf (2001, p. 339-340). Para o nosso exemplo

224

13)1()3()2(

−=−

=−

−−−+−=Aσ

e o

A 90=φ para q = 0 e oA 270=φ para q = 1

A Fig. 4.6 representa as assíntotas e os ramos do lugar das raízes no eixo real.

-3 0 -1 -2

σ

assíntotas

Fig. 4.6 – As assíntotas e o lugar das raízes sobre o eixo real do sistema do exemplo 4.7.

Passo 8: Determinar o ponto no qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário (se ele o

faz), empregando o critério de Routh-Hurwitz. Em nosso exemplo, a equação característica é

reescrita a partir de (4.14) como:

0)6(5)1()3)(2( 23 =++++=++++ KsKsssKsss

Logo a matriz de Routh será:

Ks

KsKs

Ks

0

1

2

3

5430

561

+

+

Assim, verifica-se que não existe valor de K maior que zero que leve o sistema ao limite da

Page 153: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

153

estabilidade. Caso esse valor existisse, as raízes da equação auxiliar

)5(55 22

KsKs +=+

seriam os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário.

Passo 9: Determinar o ponto de ruptura sobre o eixo real (se ele o faz). O lugar das raízes

no nosso exemplo deixa o eixo real em um ponto de ruptura situado entre os pólos –2 e –3. O

ponto de ruptura a partir do eixo real ocorre onde a mudança líquida no ângulo causada por

um pequeno deslocamento é zero. O lugar das raízes deixa o eixo real onde há uma

multiplicidade de raízes, tipicamente duas. O ponto de ruptura para um sistema de segunda

ordem é mostrado na Fig. 4.7(a) e para um caso especial de um sistema de quarta ordem na

Fig. 4.7(b). Em geral, devido ao critério de fase, as tangentes para os lugares das raízes no

ponto de ruptura são igualmente espaçadas sobre 360o. Logo, na Fig. 4.7(a), nós temos

que os dois lugares no ponto de ruptura estão espaçados de 180o, já na Fig. 4.7(b), os

quatro lugares são espaçados de 90o.

Para calcular o ponto de ruptura em nosso exemplo, que de acordo com a Fig. 4.6

está entre –2 e –3 , isolaremos o fator K na equação característica como segue

1)3)(2(0

)3)(2()1(1

+++−

=⇒=++

++

ssssK

ssssK

O ponto de ruptura ocorrerá onde K alcança o seu máximo valor. Para obter este

valor, diferenciamos K = f(s) em relação a s e igualamos a zero, ou seja

01

651

)3)(2( 23

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+++−

=s

sssdsd

ssss

dsd

dsdK

-2 0σ

-3 0-1

σ

(a) (b)

j1

-j1

Page 154: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 154

Fig. 4.7 – Exemplos de ponto de ruptura: (a) para um sistema de segunda ordem e (b) para

um sistema de quarta ordem.

0)1(

61082)1(

)65()6103()1(2

23

2

232

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+++−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++−++⋅+−=

ssss

sssssss

dsdK

061082 23 =+++ sss

cujo as raízes, calculadas com o auxílio do MATLAB, são-2.4656, -0,7672 + j0,7926 e 0,7672 -

j0,7926. Logo, o ponto de ruptura é –2,46.

Assim, o esboço do lugar das raízes do sistema de controle com realimentação

unitária que possui como função de transferência de ramo direto sss

sKsKG65

)1()( 23 +++

= é

mostrado na Fig. 4.8.

-3 -2 .5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Lugar das ra ízes

E ixo rea l

Eix

o im

agin

ário

a s s ín to ta

Fig. 4.8 – O lugar das raízes do sistema do exemplo 4.7.

Podemos determinar o valor do parâmetro Kx em uma raiz específica sx usando a

condição de módulo (4.9). Assim,

Page 155: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

155

xss

M

mm

N

nn

x

zs

psK

==

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+

+=

1

1 (4.18)

No nosso exemplo, o valor de K para a raiz s = -2,46 pode ser calculada a partir de

4.18 como segue:

5,046,1

64,046,046,21

32

46,2

46,2 =⋅⋅

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+

++=

−=

ss

sssK

Usando o MATLAB para traçar o lugar das raízes

O procedimento descrito no Exemplo 4.7 nos permite obter o esboço do lugar das

raízes; um lugar das raízes mais preciso pode ser obtido empregando-se o MATLAB.

Entretanto, o leitor não deve ficar tentado em utilizar apenas o MATLAB na construção do

lugar das raízes, ignorando o procedimento manual. Os conceitos fundamentais por trás do

método do lugar das raízes estão embutidos no procedimento manual, conceitos que são

essenciais para uma compreensão plena das aplicações do método.

Vamos obter o lugar das raízes do sistema de controle a realimentação unitária

representado pela função de transferência de malha aberta

)22)(4()1()()( 2 +++

+=

sssssKsHsG

Sua equação característica pode ser escrita como

0)22)(4(

)1(1 2 =+++

++

sssssK (4.19)

Para obter o lugar das raízes com o MATLAB devemos executar os seguintes

comandos:

>> p=[1 2 2]; >> raizes=roots(p) raizes = -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i >> num=[1 1]; >> den=poly([0 -4 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i]); >> sys=tf(num,den); rlocus(sys)

Page 156: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 156

O lugar das raízes referente à equação característica (4.19) é apresentado na Fig.

4.9, que mostra, ainda, os dados relativos a um determinado ponto do lugar das raízes. O valor

de K onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ainda ser obtido utilizando-se

o comando rlocfind, mas só após o lugar das raízes ter sido obtido com o comando

rlocus. Ao executar-se o comando rlocfind, aparecerá um marcador sobre o gráfico do

lugar das raízes; movendo-o ao ponto de interesse e pressionando a tecla enter, o valor de do

parâmetro K e o ponto selecionado aparecerão na janela de comando. Por exemplo:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

System: sys Gain: 24.9

Pole: 0.00227 - 2.34i Damping: -0.000969 Overshoot (% ): 100

Frequency (rad/sec): 2.34

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 4.9 – Lugar das raízes da equação característica 0)22)(4(

)1(1 2 =+++

++

sssssK .

>> rlocfind(sys) Select a point in the graphics window selected_point = -0.4572 + 1.4731i ans = 6.8727

Quando K = 6,87, a função de transferência de malha fechada

Page 157: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

157

)1()22)(4()1(

)()(1)()( 2 +++++

+=

+=

sKsssssK

sHsGsGsFT

87,687.1486)1(87,6)( 234 ++++

+=

ssssssFT

apresenta pólos e zeros em

>> num=6.87*[1 1]; den=[1 6 8 14.87 6.87]; >> [zeros,polos,k] = tf2zp(num,den) zeros = -1 polos = -4.9320 -0.2496 + 1.5448i -0.2496 - 1.5448i -0.5689 k = 6.8700

Note que, para obter os zeros e pólos de FT(s) utilizamos o comando do MATLAB

tf2zp.

Funções do MATLAB que aprendemos a utilizar:

rlocus;

rlocfind;

tf2zp;

Exercício: Obter o lugar das raízes da Fig. 4.9 empregando o procedimento manual.

Observação: Para obter o lugar das raízes representado na Fig. 4.9, é preciso determinar o

ângulo de partida dos pólos complexos conjugados. A presença de um par de pólos de malha

aberta complexos conjugados requer a determinação do ângulo de partida destes pólos. O

conhecimento dos ângulos é importante para esboçar os lugares das raízes com razoável

precisão, pois mostra como o lugar das raízes originário do pólo migra para o eixo real ou

estende-se para a assíntota.

Page 158: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 158

O ângulo de partida y do lugar das raízes que deixa o pólo em –1 + j é

determinado empregando-se a equação (4.11). Se s1 é um ponto do lugar das raízes que deixa

–1 + j e s1 estiver muito próximo de –1 + j conforme mostra a Fig. 4.10, a equação (4.11)

fornece:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0011111 3601801141 kjsjssss ±=−+∠+++∠++∠+∠−+∠

( ) 000000 3601809043,1813590 k±=+++− θ

para k = 0, ±1, ±2, ... Conseqüentemente: 00 57,264,333 +=−=θ

Como o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real, o ângulo de partida do pólo –1 –

j é – 26,570.

Fig. 4.10 – Determinação do ângulo de partida.

4.3.4– Os dez passos do procedimento do lugar das raízes

1. Escreva a equação característica na forma

0)()(1 =+ sHsKG .

2. Coloque o fator G(s)H(s) em termos de zeros e pólos, gerando a equação

0)((

)(1

1

1 =+

++

=

=N

nn

M

mm

ps

zsK

3. Localizar os pólos ( x )e zeros ( o )de malha aberta no plano s, sendo que o locus

iniciam nos pólos e terminam nos zeros.

4. Localizar os segmentos do eixo real que são lugares das raízes. O lugar das raízes no

eixo real está sempre em uma seção do eixo real à esquerda de um número ímpar de

pólos e zeros.

-4 -1 0

j

σ s1

- j

θ

Page 159: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

159

5. Determinar o número de ramos do lugar das raízes, número este que é igual ao número

de pólos.

6. Note que o lugar das raízes completo é simétrico em relação ao eixo horizontal real.

7. Os ramos seguem para os zeros no infinito ao longo de assíntotas cujo centro sA e

ângulos φA são dados por

( ) ( )

mn

zpm

ii

n

jj

A −

−−−

=∑∑

== 11σ

oA mn

q 180)12(−+

8. Determinar, quando houver, o ponto no qual o lugar das raízes cruza o eixo

imaginário, empregando o critério de Routh-Hurwitz.

9. Determinar o ponto de ruptura sobre o eixo real (a) isolando K na equação

característica, (b) derivando K em relação a s e (c) calculando as raízes de (b).

10. Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo ou o ângulo de chegada de um

zero complexo:

Ângulo de partida de um pólo complexo = 180o – (soma dos ângulos de vetores para o

pólo complexo a partir de outros pólos) + (soma dos ângulos de vetores para

o pólo complexo a partir de zeros)

Ângulo de partida de um zero complexo = 180o – (soma dos ângulos de vetores para o

zero complexo a partir de outros pólos) + (soma dos ângulos de vetores para

o pólo complexo a partir de pólos)

4.3.5– Aspectos importantes da construção do lugar das raízes

Efeito da adição de pólos: Considere a função

)2()()(

+=

ssKsHsG (4.20)

Os zeros de 1 + G(s)H(s) são apresentados pelo diagrama do lugar das raízes da

Fig. 4.11(a). Introduzindo um pólo em s = -4, este pólo adicional, conforme mostra a Fig.

4.11(b), força a parte complexa do lugar das raízes a migrar em direção à metade direita do

plano s, tornando o sistema instável para valores de K acima de um limite. O leitor poderá

concluir, utilizando o MATLAB para acrescentar mais um pólo ou um par de pólos

Page 160: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 160

complexos conjugados a planta original, que a adição de pólos efeito desloca o lugar das

raízes na direção da metade direita do plano s.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(b)

Fig. 4.11 – Lugar das raízes mostrando o efeito da adição de pólos a G(s)H(s).

Page 161: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

161

Efeito da adição de zeros: Considere novamente a função expressa por (4.20). Introduzindo

um zero em s = -4, este zero, conforme mostra a Fig. 4.12(a), força a parte complexa do lugar

das raízes a migrar em direção à metade esquerda do plano s, aumentando a estabilidade

relativa do sistema. Efeito semelhante ocorrerá se o par de zeros complexos conjugados s = -2

+ j2 e s = -2 – j2 forem acrescentados [ Fig. 4.12(b) ].

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

(a)

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Page 162: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 162

(b)

Fig. 4.12 – Diagramas do lugar das raízes mostrando os efeitos da adição de zeros a G(s)H(s).

Exercícios:

1. Usando o procedimento de 10 passos, construa o lugar das raízes de

)2)(2)(1()()(

jsjssKsHsG

++−++=

Dica – Cheque utilizando o MATLAB.

2. Utilizando o MATLAB, construa o lugar das raízes de

)2)(2)(1()2()()(

jsjsssKsHsG

++−+++

=

Perceba que foi acrescido um zero a FT do exercício 1. Você esperava o resultado obtido?

4.4 Análise da resposta em freqüência

A análise da resposta em freqüência é o coração do controle clássico. O fato de

poder ser medida em laboratório e utilizada para análise sem se reportar a um modelo

matemático é a sua vantagem tradicional. Sua natureza gráfica junto com seu apelo físico e

intuitivo, sua habilidade para predizer a resposta em malha fechada a partir da análise em

malha aberta e muitos anos de aplicação com sucesso são as principais razões para as técnicas

de resposta em freqüência terem sobrevivido e terem, recentemente, sido generalizadas para

manipular sistemas multivariáveis.

4.4.1 Função de transferência senoidal

Pode ser mostrado que6, exceto por um período transitório, as características de

resposta em freqüência de um sistema podem ser obtidas diretamente da função de

transferência senoidal, a função de transferência na qual a variável s é substituída por jω. A

função de transferência senoidal G(jω) é a relação entre a amplitude da senóide de saída,

Y(jω), e a senóide de entrada, X(jω). Ela é uma grandeza complexa e pode ser representada

pelo módulo e pelo ângulo de fase, tendo a freqüência como variável.Assim:

6 A demonstração desta afirmação é encontrada em OGATA (1993).

Page 163: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

163

)()()(

ωωωjXjYjG =

)()()(

ωωωjXjYjG =

4.4.2 Gráficos de Bode

Os gráficos de Bode são utilizados para determinar a estabilidade e a estabilidade

relativa e também são usados para propósitos gerais. Eles podem ser obtidos para qualquer

função de transferência, mas distingue-se entre gráficos de Bode de malha aberta e malha

fechada. O gráfico de Bode da função de transferência de malha aberta pode ser usado para

determinar as margens de estabilidade relativa de sistemas estáveis de malha fechada. Para

facilidade de emprego, é necessário que o sistema de malha aberta seja estável e de fase

mínima. Entende-se por fase mínima, o sistema que não tem nenhum zero no semiplano

direito.

Os gráficos de Bode também são usados para o projeto de compensadores como

descreveremos no Capítulo V, fato que se constitui no seu principal emprego em sistemas de

controle. Porque os gráficos de ganho e fase podem ser somados, os efeitos do compensador

podem ser facilmente determinados.

Os gráficos de Bode da função de transferência de malha fechada podem ser

usados para determinar a largura de banda do sistema, o qual é uma medida das propriedades

da filtragem e da velocidade de resposta do sistema.

Como vimos, uma função de transferência senoidal, pode ser representada por

dois gráficos separados, um que dá o módulo versus freqüência e outro para o ângulo de fase

(em graus) versus freqüência. Um diagrama de Bode consiste de dois gráficos, um é o gráfico

do logaritmo do módulo da função de transferência senoidal; o outro é um gráfico do ângulo

de fase. Ambos são construídos em função da freqüência em escala logarítmica.

A representação padrão do módulo logarítmico de G(jω) é 20 log G(jω), sendo a

unidade o decibel (dB). A principal vantagem de usar gráfico logarítmico é que a

multiplicação dos módulos é convertida em uma adição.

Fatores básicos de G(jω).H(jω)

Para a construção do diagrama de Bode utilizar-se-á os seguintes fatores básicos:

Page 164: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 164

• Ganho K;

• Fatores integral e derivativo (jω)±1;

• Fatores de 1a ordem (1 + jωT)±1;

• Fatores quadráticos [1 + 2ς(jω/ωn) + (jω/ωn)2]±1;

Uma vez familiarizados com os gráficos dos fatores básicos, é possível utiliza-los

na construção de gráficos compostos para qualquer G(jω).H(jω) esboçando-se as curvas de

cada fator e adicionando-as individualmente, porque a adição dos logaritmos dos ganhes

corresponde à multiplicação dos mesmos.

O Ganho K

A curva logarítmica de módulo de um ganho constante K é uma horizontal de

valor 20 log K (dB). O ângulo de fase do ganho K é nulo.

Os fatores integral e derivativo (jω)±1

O módulo em dB de 1/jω é:

ωω

log201log20 −=j

(dB)

e o ângulo de fase é constante e igual a –900.

Se a expressão do logaritmo do módulo de 1/jω é colocado em um gráfico com ω

na escala logarítmica, a curva resultante é uma reta com inclinação de –20 dB/década.

Por sua vez, o módulo em dB de jω é:

ωω log20log20 =j (dB)

e o ângulo de fase é constante e igual a 900.

Generalizando para os fatores (jω)± n resulta para o módulo em dB:

ωω log20log20 njn

±=± (dB)

A inclinação da curvas do logaritmo do módulo para os fatores (jω)± n são então

de ± 20n dB/décadas. O ângulo de fase será ± n x 900. As curvas de resposta em freqüência do

módulo de (jω)±1 e (jω)±2 são apresentadas na Fig. 4.13.

Page 165: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

165

0,1 1 10 100 1 10 3 1 10 4 60

40

20

0

20

40

60

ω

jω2

jω-1

jω-2

Fig. 4.13 – Curvas de resposta em freqüência de (jω)±1 e (jω)±2.

Fatores de 1a ordem (1 + jωT)±1

O módulo em dB de 1/(1 + jωT) é:

221log201

1log20 TTj

ωω

+−=+

(dB) (4.21)

Para baixas freqüências ω << 1/T, o que implica em ω2T2 << 1, e a equação (4.21)

pode ser aproximada por:

01log201log20 22 =−=+− Tω dB

Para altas freqüências ω >> 1/T, o que implica em ω2T2 >> 1, e a equação (4.21)

pode ser aproximada por:

TT ωω log201log20 22 −=+− (4.22)

Em ω = 1/T, a equação (4.22) resulta em um ganho de 0 dB; em ω = 10/T, -20 dB.

Portanto, o valor de (4.3) decresce 20 dB/década.

A análise anterior mostra que a representação logarítmica da curva de módulo do

fator 1/(1 + jωT) pode ser aproximada por duas retas assintóticas, uma de 0 dB para

freqüências menores que ω = 1/T e uma outra com inclinação de –20 dB/década para

freqüências maiores que ω = 1/T . A freqüência em que as duas assíntotas se interceptam, ω =

Page 166: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 166

1/T é denominada freqüência de canto. Assim, para obtenção do gráfico do módulo proceda

da seguinte forma:

1. Localize a freqüência de canto ω = 1/T;

2. Até a freqüência de canto o ganho é 0 dB;

3. A partir da freqüência de canto o ganho decresce 20 dB por década.

O ângulo de fase exato para o fator 1/(1 + jωT) é dado por:

Tarctgωφ −= (4.23)

Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0. Na freqüência de canto, o ângulo é:

0451 −=−= arctgφ

e no infinito, o ângulo de fase torna-se -900.

A análise anterior mostra que para a obtenção do gráfico aproximado de fase para

o fator 1/(1 + jωT), deve se proceder da seguinte forma:

1. Localize a freqüência de canto ω = 1/T;

2. Na freqüência de canto a fase é -450;

3. Uma década abaixo da freqüência de canto a fase é 00;

4. Uma década acima da freqüência de canto a fase é -900.

As curvas de resposta em freqüência exatas e aproximadas do módulo e de fase de

1/(1 + jωT) são apresentadas na Fig. 4.14.

O erro nas curvas causado pelo uso de assíntotas pode ser calculado. A Tabela 4.1

apresenta o módulo exato (4.21), o módulo aproximado, a fase exata (4.23), a fase

aproximada e os erro provenientes do uso das aproximações assintóticas do módulo e da fase

do fator 1/(1 + jωT). Observe que o erro máximo na curva de módulo causado pelo uso de

assíntotas é – 3 dB na freqüência de canto.

Uma vantagem do diagrama de Bode é que para fatores recíprocos, como 1 + jωT,

as curvas de módulo e de fase necessitam apenas trocar de sinal, já que:

TjTj

ωω

+−=+

1120120 loglog

Page 167: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

167

TjTarctgTj

ωωω

+−==+

111

Assim, a freqüência de canto em ambos os casos é a mesma, a inclinação da

assíntota para freqüências superiores a de canto é 20 dB/década e o ângulo de fase varia de 0 a

900 conforme a freqüência varia desde 0 a infinito. As curvas de resposta em freqüência

exatas e aproximadas do módulo e de fase de 1 + jωT são apresentadas na Fig. 4.15.

0.01/T 0.1/T 1/T 10/T 100/T 40

20

0

ω

Curva exata

Curva aproximada

0.01/T 0.1/T 1/T 1/10 1/100T90

75

60

45

30

15

0

ω

φ( 0 )

Curva exata

Curva aproximada

Fig. 4.14 – Curvas de resposta em freqüência exatas e aproximadas do módulo e de fase de

1/(1 + jωT).

Page 168: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 168

TABELA 4.1

ERROS PROVENIENTES DO USO DAS APROXIMAÇÕES DO LOGARITMO DO

MÓDULO E DA FASE DO FATOR 1/(1 + jωT)

ωT G

(dB)

Aproximação

Assintótica do

G(dB)

erro

(dB) φ (o)

Aproximação

Assintótica de

ϕ (°)

|erro|

( 0 )

0,01 0 0 0 -0,6 0 0,6

0,1 -0,043 0 0,043 -5,7 0 5,7

0,2 -0,17 0 0,17 -11,3 -13,5 2,2

0,5 -1 0 1 -26,6 -31,5 4,9

0,76 -2 0 2 -37,2 -39,6 2,4

1 -3 0 3 -45 -45 0

1,31 -4,3 2,34 2 -52,6 -50,3 2,3

2,0 -7 6 1 -63,4 -58,6 4,8

5,0 -14,2 14 0,2 -78,7 -76,5 2,2

10,0 -20,3 20 0,043 -84,3 -90 5,7

100 -40 40 0 -89,4 -90 0,6

Fatores quadráticos [1 + 2ς(jω/ωn) + (jω/ωn)2]±1

Fatores quadráticos do tipo [1 + 2ς(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1 aparecem freqüentemente

em sistemas de controle. Se ς > 1, o termo quadrático pode ser fatorado segundo dois termos

de primeiro ordem com pólos/zeros reais. Se 0 < ς < 1, esse fator quadrático é o produto de

dois termos complexos conjugados e será traçado o diagrama do fator em vez de fatorá-lo. O

módulo em dB e a fase do fator quadrático são obtidos de:

2

21

1log20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nnjjωω

ωως

=22

2

221log20 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

nn ωως

ωω (4.24)

Page 169: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

169

0.01/T 0.1/T 1/T 10/T 100/T 0

20

40

ω

Curva exata

0.01/T 0.1/T 1/T 10/T 100/T0

15

30

45

60

75

90

ω

φ( 0 )

Curva exata

Curva aproximada

Fig. 4.15 – Curvas de resposta em freqüência exatas e aproximadas do módulo e

de fase de 1 + jωT.

2

221

2

21

1

n

n

nn

arctg

jjωωωως

ωω

ωως

φ−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (4.25)

A partir de (4.24) vê-se que para baixas freqüências ω << ωn e o log do módulo

resulta em:

- 20 log 1 = 0 dB

Page 170: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 170

Logo, a assíntota de baixa freqüência é uma reta horizontal em 0 dB. Parta altas

freqüências tais que ω >> ωn, o log do módulo torna-se:

nn ωω

ωω log40log20 2

2−=− dB

e a assíntota de alta freqüência possui uma inclinação de –40 dB/década. As assíntotas se

interceptam em ω = ωn, já que nessa freqüência:

01log40 =−

As duas assíntotas que acabamos de deduzir são independentes de ς, o que não

ocorre com as curvas exatas obtidas a partir das equações (4.24) e mostradas na Fig. 4.16.

Como se vê, próximo a freqüência de canto ωn ocorre um pico de ressonância, tanto maior

quanto menor for o coeficiente de amortecimento. Assim, o erro proveniente da aproximação

assintótica depende de ς.

A partir de (4.25), observa-se que o ângulo de fase é uma função de ω e de ς. Em

ω = 0, o ângulo de fase é 0; Na freqüência de canto, é –900, independente de ς, já que:

0900

2−=∞−=−= arctgarctg ςφ

Em ω = ∞, o ângulo de fase é -1800. Não há maneira simples de traçar a curva de

fase, sempre que necessário é preciso remeter-se às curvas da Fig. 4.16.

As curvas de resposta em freqüência para o fator

1 + 2ς(jω/ωn) + (jω/ωn)2

podem ser obtidas invertendo-se o sinal das curvas de log-módulo e de fase do fator [1 +

2ς(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1

Page 171: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

171

Fig. 4.16 – Curvas do log-módulo conjuntamente com as assíntotas e curvas do

ângulo de fase do fator quadrático.

Procedimento geral para traçado de gráficos de Bode:

1. Reescreva a função de transferência senoidal G(jω)H(jω) como um produto dos quatro

fatores básicos apresentados;

2. Identifique as freqüências de canto associadas a estes fatores básicos;

3. Desenhe as curvas assintóticas do logaritmo do módulo fazendo as correções

apropriadas e, quando possível, a curva do ângulo de fase para cada fator básico;

4. Finalmente, adicione as curvas de módulo e de fase dos fatores individuais.

Exemplo 4.8: Desenhar um diagrama de Bode para a função de transferência de malha aberta

)1)(10(100)(

++=

ssssG

Page 172: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 172

1. Substituindo s por jω e reescrevendo em termos dos fatores básicos resulta:

)1()1101(

10

)1)(1101(10

100)(+⋅+⋅

=++⋅

=ωωωωωω

ωjjjjjj

jG

2. As freqüências de canto associadas são:

Para (jω1/10+1)-1 temos como freqüência de canto ω = 1/T = 10.

Para (jω+1)-1 temos como freqüência de canto ω = 1.

3. As curvas assintóticas do logaritmo do módulo e da fase para cada fator são traçadas e

mostradas na Fig. 4.17;

4. Adicionam-se os termos individuais, conforme mostra a Fig. 4.17.

(jω+1)-1

G(jω)

20log10

(jω/10+1)-1

jω-1

0,01 0,1 1 60

40

20

0

20

40

60

ω

db

10 100 1000

(jω+1)-1

G(jω)

(jω/10+1)-1

jω-1

0,01 0,1 1 -270

-225

-180

-135

-90

-45

0

ω

ϕ(°)

10 100 1000

Fig. 4.17 – Diagrama de Bode aproximado do sistema do exemplo 4.6.

Page 173: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

173

Usando o MATLAB para traçar os Diagramas de Bode

As curvas exatas podem ser traçadas utilizando-se o software MATLAB,

digitando-se os seguintes comandos:

>> num=100; den=poly([0 -1 -10]); w =logspace(-2,3,1000);

>> [m,p]=bode(num,den,w);

>> subplot(211); semilogx(w,20*log10(m)); subplot(212); semilogx(w,p);

A primeira linha de comando define o numerador de G(jω) como 100, define o

denominador através de seus zeros e o eixo da freqüência usando o comando logspace. O

comando logspace produz um vetor linha de pontos logaritmicamente espaçados de 10-2 a 103

com 1000 pontos. A segunda linha define o traçado do módulo “m” e da fase “p” de G(jω) em

um diagrama de Bode. A terceira linha gera os gráficos, sendo que o primeiro comando divide

a tela em duas metades e coloca o módulo na metade de cima; o segundo comando define um

gráfico semilogarítmico; o terceiro e o quarto comando colocam a fase na metade inferior. As

curvas exatas, semelhantes às aproximadas, são mostradas na Fig. 4.18.

10 -2 10 -1 100 101 102 10 3 -150 -100 -50

0 50

100

10 -2 10 -1 100 101 102 10 3 -300 -250 -200 -150 -100 -50

Fig. 4.18 – Diagrama de Bode exato do sistema do exemplo 4.8.

Page 174: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 174

Uma forma alternativa de introduzir o denominador de G(jω) é multiplicar os

termos, obtendo-se s3 + 11s2 + 10s. A linha de comando substitui a primeira linha de

comando:

>> num=100; den=[1, 11, 10, 0]; w=logspace(-2,3,1000);

Quando não se deseja gerar os valores de módulo e fase em função de ω, os

Diagramas de Bode podem ser traçados utilizando o comando

>> bode(num,den);

Funções do MATLAB que aprendemos a utilizar:

bode;

Exercício: Desenhar um diagrama de Bode para a função de transferência de malha aberta

( ) ]125,005,01)[21()5,01(4)( 2ssss

ssG+++

+=

Observação: Para colocar no MATLAB recomenda-se alterar a forma de G(s) conforme o

procedimento abaixo:

)84,76,1)(84,76,1)(5,0()2(64

]642,3[125,0)5,0(2)2(5,04)( 22 jsjsss

sssss

ssG++−++

+⋅=

++⋅⋅+⋅+⋅⋅

= -

As raízes de s2 + 3,2s + 64 podem ser encontradas no MATLAB através do

comando roots como segue:

>> [quad]=[1 3.2 64];

>> [raizes]= roots(quad)

4.4.3 Estabilidade relativa e resposta em freqüência

A estabilidade de um sistema pode ser estudada, também, a partir da sua resposta

em freqüência obtida, por exemplo, do Diagrama de Bode. A condição de estabilidade é dada

pela equação característica:

01 =+ )()( sHsKG

ou,

Page 175: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

175

1)()( =sHsKG

∠ 0180)()( −=sHsG

Haverá um determinado ganho K = KC em uma freqüência ω = ωC que levará o

sistema a condição no limiar da instabilidade (pólos sobre o eixo imaginário jω), que

corresponde a:

1)()( =CCC jHjGK ωω

∠ 0180)()( −=CCC jHjGK ωω

Conclui-se que o sistema é estável desde que 1<)()( ωω jHjKG na freqüência

onde ∠ 0180)()( −=ωω jHjG . Esta conclusão não é geral, pois existem sistemas estáveis que

não satisfazem essa condição. Para uma conclusão geral, o aluno deve utilizar o critério de

estabilidade de Nyquist, encontrado na literatura.

4.4.4 Margens de estabilidade

Muitas vezes é desejável conhecer a qual distância da instabilidade um sistema se

encontra. No domínio da freqüência, as margens de fase e de ganho fornecem uma indicação

dessa distância, tornando-se indicadores úteis na análise e projeto e projeto de sistemas de

controle fase .

Ponto de fase crítica – é o ponto do diagrama no qual a fase da função de transferência de

malha aberta KG(jω)H(jω) é -1800. A freqüência nesse ponto é chamada freqüência de

cruzamento de fase ωφ.

Margem de Ganho (MG) – é o fator pelo qual deve ser multiplicado o ganho para se

produzir instabilidade. Em termos da função de transferência na freqüência de cruzamento de

fase ωφ, tem-se

1)()( =⋅ MGjHjKG φφ ωω

ou em dB: 20 log )()( φφ ωω jHjKG + 20 log MG = 0

Page 176: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 176

A equação acima nos leva a uma definição alternativa, a saber, a margem de

ganho é o fator que deve ser somado ao ganho em dB para levar o sistema ao limiar da

instabilidade.

A Fig. 4.19 mostra a margem de ganho de um sistema estável e de um sistema

instável em um Diagrama de Bode. Para o sistema ser estável a margem de ganho em decibéis

deve ser positiva.

Ponto de ganho crítico – é o ponto do diagrama no qual o módulo da função de transferência

de malha aberta KG(jω)H(jω) é unitário. A freqüência nesse ponto é chamada freqüência de

cruzamento de ganho ωG.

Margem de Fase (γ) – É o atraso de fase adicional na freqüência de cruzamento de ganho ωG

necessário para levar o sistema ao limiar de instabilidade. A margem de fase γ é 1800 mais o

ângulo de fase φ de KG(jω)H(jω) na freqüência de cruzamento, ou

γ = 1800 + φ

A Fig. 4.19 mostra a margem de fase de um sistema estável e de outro instável em

um Diagrama de Bode. Para o sistema ser estável a margem de fase deve ser positiva.

Comentários – Para um sistema ser estável, tanto a margem de fase como a margem de

ganho devem ser positivas. Margens negativas indicam instabilidade. Para alcançar um

desempenho satisfatório a margem de fase deve estar entre 300 e 600 e a margem de ganho

deve ser maior que 6 dB. À medida que você adquirir experiência o valor da margem de fase a

ser utilizada tornar-se-á mais evidente. Esta orientação relativa ao desempenho do sistema se

aplica a sistemas cujo comportamento seja equivalente ao de um sistema de segunda-ordem,

ou seja, sistemas de ordem mais alta que possuam um par dominante de pólos.

Na maioria dos casos práticos uma inclinação de –20 dB/década do módulo da

função de transferência de malha aberta na freqüência de cruzamento garante a estabilidade

do sistema (lembre que o fator (1 + jω)-1 apresenta um módulo com inclinação de –20

dB/década a partir da freqüência de canto e fase que varia de 0 a –900). Se esta inclinação for

de –40dB/década, o sistema pode ser estável ou instável; no caso de –60 dB/década, o sistema

provavelmente é instável.

Page 177: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

177

0

-270

-180

-100

Margem de ganho +

log ω

ωφωG

Margem de fase +

db

graus

(a)

0

-270

-180

-100

Margem de ganho -

log ω

ωφ

Margem de fase -

db

graus

ωG

(b)

Fig. 4.19 – (a) Diagrama de Bode de um sistema estável e (b) de um sistema instável.

Exercício: Encontre a margem de fase e a margem de ganho do sistema abaixo:

)12,0)(1(10)(

++=

ωωωω

jjjjG

a. Construindo os diagramas de bode assintóticos;

b. Utilizando o comando margin do MATLAB:

Page 178: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 178

>> [mg,mf,wf,wg] = margin(m,p,w);

onde mg é a margem de ganho, mf é a margem de fase, wf é a freqüência onde a fase é –

1800 e wg é a freqüência de cruzamento (ganho 0 dB).

Funções do MATLAB que aprendemos a utilizar:

margin;

4.4.5 Relação entre margem de fase e amortecimento

Em um sistema de segunda ordem, a margem de fase e o amortecimento em um

sistema de malha fechada guardam uma relação direta. A relação aqui obtida pode ser

generalizada para sistemas de ordem mais elevada que tenham um par de pólos dominantes. O

sistema de segunda ordem representado pela equação (3.10) possui a seguinte função de

transferência de malha aberta:

)2()2()(

22

n

n

n

n

sssssG

ςωω

ςωω

+=

+=

A função de transferência senoidal resulta em:

2

22

2)2()(

ωωςωω

ςωωωω

ω−

=+

=n

n

n

n

jjjjG

função de transferência que apresenta módulo igual a:

2222

2

1

2

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

nnnn

j

jG

ωως

ωω

ωω

ωως

ω

A freqüência de cruzamento de ganho ocorre quando |G(jω)| = 1. Assim:

12222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

n

G

n

G

ωω

ςωω

Fazendo 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

n

G

ωω

= y, resulta:

0122 =−+ yy ς

Page 179: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

179

Que possui com raiz positiva:

242

214 ςςωω

−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

Gy

Assim, a freqüência de cruzamento de ganho será:

24 214 ςςωω −+= nG (4.26)

Nesta freqüência o ângulo de fase será:

∠G(jω) = -∠ jω-∠ jω+ nςω2 = -900 - arctgς

ςς2

214 24 −+

Assim, a margem de fase γ resulta em:

γ = 1800+∠G(jω) = 900 – arctg ς

ςς2

214 24 −+

γ = arctg 24 214

2

ςς

ς

−+ (4.27)

A equação (4.27) fornece a relação entre margem de fase γ e o coeficiente de amortecimento

ς. A Fig. 4.20 fornece um gráfico apresentando essa relação direta.

0o

30o

60o

90o

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

Fig. 4.20 – Curva de margem de fase versus coeficiente de amortecimento para o sistema de

segunda ordem representado pela equação (3.10).

Page 180: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 180

Percebe-se na Fig.4.20 que para o sistema de segunda ordem padrão a margem de

fase γ e o coeficiente de amortecimento ς, para 0 ≤ ς ≤ 0,6, estão relacionados pela razão:

100=ςγ ( 0 )

razão que representa uma relação importante entre a margem de fase e o amortecimento.

Conforme vimos no capítulo III para um desempenho transitório apropriado os

sistemas de segunda ordem, ou aqueles que podem ser reduzidos a estes, devem ser projetados

com ς entre 0,4 e 0,8, o que resulta numa margem de fase entre 450 e 700.

Em alguns sistemas pode-se ter várias passagens por 0 dB ou –1800, sendo as

margens de ganho e fase definidas de maneira não única. Em outros, pode-se ter conflito entre

a margem de fase e a margem de ganho, por exemplo, uma positiva e outra negativa. Nesses

casos, devemos, para dirimir as dúvidas, utilizar o critério de Nyquist, não apresentado nesse

curso.

Exemplo 4.9 – Considere o sistema de retroação unitária com a função de transferência de

malha aberta dada por

)822()25.432)(1()( 2

2

+++++

=sssssssG

A FT de malha aberta apresenta os zeros, pólos e o ganho mostrados a seguir,

obtidos no MATLAB com a ajuda do comando tf2zp:

>> num=[1 3 45.25 43.25]; den=[1 2 82 0]; >> [z,p,k] = tf2zp(num,den) z = -1.0000 + 6.5000i -1.0000 - 6.5000i -1.0000

p =

0 -1.0000 + 9.0000i -1.0000 - 9.0000i

k = 1

Page 181: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

181

Percebe-se que a FT de malha aberta não possui zeros no semiplano direito de s,

constituindo-se num sistema de fase mínima. Caso a FT apresentasse zeros no semiplano

direito, teríamos um sistema de fase não mínima7. Podemos obter a função de transferência

de malha fechada do sistema com a ajuda do comando cloop como segue:

>> [nmf,dmf]=cloop(num,den);

>> printsys(nmf,dmf)

num/den =

s^3 + 3 s^2 + 45.25 s + 43.25

-------------------------------------------

2 s^3 + 5 s^2 + 127.25 s + 43.25

que não possui pólos nem zeros no semiplano direito do plano s:

>> [z,p,k] = tf2zp(nmf,dmf)

z =

-1.0000 + 6.5000i

-1.0000 - 6.5000i

-1.0000

p =

-1.0781 + 7.8563i

-1.0781 - 7.8563i

-0.3439

k =

0.5000

Finalmente, traçamos, com as linhas de comando mostradas a seguir, o

Diagrama de Bode mostrado na Fig. 4.21.

7 Uma discussão sobre sistemas de fase não mínima é apresentada em Dorf (2001, p. 424-426).

Page 182: Apostila SCT-20304 7p4

Estabilidade de Sistemas de Controle 182

>> num=[1 3 45.25 43.25]; den=[1 2 82 0];

>> w=logspace(-2,2,1000);

>> [m,p]=bode(num,den,w);

>> subplot(211);semilogx(w,20*log10(m));subplot(212);semilogx(w,p);

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -20

0

20

40

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100

-50

0

50

100

Fig. 4.21 – Diagrama de Bode do Exemplo 4.7.

No diagrama da Fig. 4.21 percebemos que o sistema apresenta duas

freqüências de cruzamento de ganho e não possui margem de ganho, o que limita o uso das

margens de ganho e fase.

Exercício

Seja um sistema de controle em malha fechada que apresenta

)2600s100s(sK2600)s(G 2 ++

= e 25s

25)s(H+

=

Pede-se:

Utilizando o MATLAB trace o Lugar das Raízes do sistema e determine:

a) O ponto de ruptura sobre o eixo real;

Page 183: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

183

b) O valor de K que torna o sistema instável e as raízes do sistema em malha fechada para

este valor de K;

c) Determinar a C(s)/R(s) com ς = 0,5 para as raízes dominantes;

d) Obtenha a resposta a degrau do sistema para a condição do item c.

Obtenha o Diagrama de Bode do sistema para K = 11 e determine:

e) As margens de fase e de ganho e as freqüências de cruzamento de ganho e de fase.

f) O sistema é estável?

g) Trace o Diagrama de Bode para K = 36,6. Observe o diagrama e diga em que condição o

sistema se encontra.

Respostas.

(a) - 9,15; (b) 36,6 ; ± j22,8 ; -62,5 ± j26

(c) )3450s8,111s)(12,173s14,13s()25s(23972

)18j9,55s)(18j9,55s)(4,11j57,6s)(4,11j57,6s()25s(23972

)s(R)s(C

22 ++++

+=

++++++−++

=

(e) 46,9o ; 10,45 ; 9,9 ; 22,8; (f) Sim, as margens de fase e de ganho são positivas.

Page 184: Apostila SCT-20304 7p4
Page 185: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

185

5. PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE UTILIZANDO O LUGAR

DAS RAÍZES E OS DIAGRAMAS DE BODE

5.1 Introdução

O projeto clássico de sistemas de controle é geralmente realizado usando

descrições por funções de transferência. As técnicas mais populares são o projeto com o lugar

das raízes e com os Diagramas de Bode. As especificações de malha fechada são freqüente-

mente dadas em termos de erro de regime permanente e de parâmetros desejados do sistema

na resposta a degrau como tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação, sobre-

sinal, etc. Os parâmetros de resposta a degrau são utilizados para derivar as características

desejadas em malha aberta no domínio da freqüência de margem de ganho e de fase.

Uma vantagem de usar o computador para assistir o projeto de sistemas de

controle é que a resposta de malha fechada pode ser modelada e analisada, o que permite

ajustar o projeto quando necessário.

Há várias configurações que podem ser utilizadas para adequar a resposta de uma

planta ou realizar a sua compensação. Os dois controladores mais comumente usados são o

controlador proporcional-integral-derivativo e o avanço-atraso de fase.

5.2 Compensador em avanço de fase

A forma mais comum e simples de compensação é um filtro com um zero e um

pólo. A função de transferência geral para este compensador é

bsasKsG CC +

+=)(

Page 186: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 186

Se o zero ocorrer antes do pólo (0 < a < b), GC(s) é conhecido como compensador

em avanço de fase; Se o pólo ocorrer antes do zero (a > b > 0), GC(s) é um compensador em

atraso de fase. A contribuição máxima de fase ocorre em ba ⋅=ω . O projetista saberá qual

compensador usar de acordo com as especificações do sistema. Por exemplo, se uma certa

freqüência de cruzamento de ganho ωG é desejada, um exame dos diagramas de Bode da

planta determinará o tipo de compensador: se uma freqüência de cruzamento de ganho maior

que a da planta for desejada, será necessário um compensador em avanço; se menor, um

compensador em atraso.

Ao utilizarmos as técnicas clássicas para a compensação, devemos lembrar que

todos estes procedimentos assumem que a planta pode ser descrita por um par dominante de

pólos. A resposta real em malha fechada variará um pouco em relação a predita no projeto.

Sempre devemos fechar a malha, simular o sistema completo e, quando necessário, fazer

ajustes. Todo o compensador afeta a estabilidade e o erro em regime permanente. A

compensação em avanço, em geral, incrementa a estabilidade relativa pelo aumento da

margem de fase e para um dado KC, incrementa o erro em regime. Isto ocorre porque como a

< b, significa que KC(a/b) < KC. Para diminuir o erro de regime, um grande KC deve ser

usado. Um compensador em avanço incrementa, também, a freqüência de cruzamento de

ganho ωG, que por sua vez guarda uma relação com a freqüência natural ωn, conforme mostra

a Fig. 5.1. Considerando o amortecimento constante, essa característica ocasiona uma

diminuição do tempo de acomodação, uma vez que τ = 1 / ςωn.

Fig. 5.1 – Freqüência de cruzamento de ganho normalizada ωG/ωn versus

coeficiente de amortecimento ς.

Page 187: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

187

5.2.1 Projeto com o lugar das raízes

O projeto com lugar nas raízes busca remodelar o lugar das raízes do sistema pela

adição de pólos e zeros a planta, o que força o diagrama a passar através de um ponto

desejado no plano complexo.

Em nosso texto apresentaremos um método analítico que pode ser utilizado para

projetar os compensadores em avanço e atraso. Aqui, representa-se o compensador por:

1s1sK)s(G

p

zCC +τ

+τ= (5.1)

Primeiro escolhe-se KC e o ponto s1 do plano s, a partir das especificações de erro

de regime permanente e de resposta transitória. Para o ponto s1 pertencer ao lugar das raízes

πθ =+τ+τ

= jGjG

1p

1zC111C e1eM

1s1s

K)s(H)s(G)s(G (5.2)

Como KC é conhecido, é preciso resolver a equação (5.2) para τz e τp. Se s1 é

representado por s1 = Msejθs, resulta:

( )1eMeMK

e11eM psj

sGjGC

j

zsj

s +τ⋅⋅

=+τ θθ

πθ (5.3)

Esta equação pode ser separada em partes real e imaginária, resultando em duas

equações e duas incógnitas. A solução dessas equações é:

GsGC

sGGCsz senMMK

)sen(MKsenθ

θ−θ−θ=τ (5.4)

e

Gs

sGsGCp senM

)sen(senMKθ

θ+θ+θ−=τ (5.5)

Exemplo 5.1 – Dada a planta

)20030(400)( 2 ++

=sss

sG

Considerando realimentação unitária, o sistema apresenta as seguintes

características:

• Pólos de malha fechada: -21,6; -4,2015 + j0,9320; -4,2015 - j0,9320;

Page 188: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 188

• Freqüência de cruzamento de ganho: 1,95 rad/s;

• Freqüência de cruzamento de fase: 14,1 rad/s;

• Margem de ganho: 23,5 dB;

• Margem de fase: 73,4o;

Como o coeficiente de amortecimento é ς = 0,9 (da Fig. 4.20 com γ = 73,4o) e

ωn = 3,5 rad/s (da Fig. 5.1 com ς = 0,9), a resposta a degrau do sistema em malha fechada não

apresenta sobre-sinal e o coeficiente de erro de velocidade estático KV é:

220030

400lim)()(lim 200=

++==

→→ sssHssGK

ssV

resultando em um erro em regime permanente a rampa unitária:

5,021

==sse

Obs.: ς e ωn podem ser obtidos também (com boa aproximação) através da eq. Característica

de 2ª ordem, desde que cosideremos os pólos complexos e conjugados como dominantes.

Deseja-se, agora, alterar as especificações do sistema para:

• coeficiente de erro de velocidade estático KV = 10 ;

• ς = 0,5 e ωn = 13,5 rad/s

Primeiro, calcula-se KC, como segue:

1020030

400lim)()(lim 200

=++

==→→ ss

KsHssGK C

ssV

510200

400=⇒= C

C KK

Para atender as especificações de amortecimento e freqüência, resulta que:

s1 = -ςωn + jωn21 ς− = - 6,75 + j11,69 = 13,49 e j120 = Ms e jθs

Substituindo-se 13,49 e j120 em G(s), obtém-se G(s1) = 0,14 e j124,17 = MG e jθG.

Substituindo –se KC, MG, MS, θG e θS em (5.4) e (5.5), resulta:

τz = 0,11 e

τp = 0,030.

Page 189: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

189

Assim, o compensador que satisfaz as especificações é:

1s030,01s11,05G C +

+=

A resposta ao degrau para o sistema em malha fechada antes e após a

compensação é mostrada na Fig. 5.2. O sistema compensado possui um sobre-sinal de 15% e

um tempo de acomodação ts2% de cerca de 0,6 s. Para efeito de comparação, foi traçada, na

mesma figura, a resposta a degrau do sistema compensado apenas por um controlador

proporcional KC = 5. Percebe-se que o compensador em avanço reduz o sobre-sinal e os

tempos de resposta. O lugar das raízes para o sistema não compensado e compensado é

mostrado na Fig. 5.3, onde podemos notar que o compensador em avanço de fase permite,

ainda, incrementar o ganho do sistema em até 25 vezes (5.KC) contra 15 do sistema não

compensado, aumentando a margem de estabilidade.

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Resposta ao degrau

t (s)

Sistema compensado

Sistema não-compensado

Sistema com compensador proporcional

Fig. 5.2 – Resposta ao degrau do sistema do exemplo 5.1.

Page 190: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 190

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

System: sys Gain: 15.1

Pole: 0.024 + 14.2i Damping: -0.00169

Overshoot (%): 101 Frequency (rad/sec): 14.2

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

System: sys Gain: 5.08

Pole: -0.0917 + 26.3i Damping: 0.00348

Overshoot (%): 98.9 Frequency (rad/sec): 26.3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Fig. 5.3 – Lugar das Raízes antes e após a compensação para o sistema do Exemplo 5.1.

Page 191: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

191

Usando o MATLAB para calcular os parâmetros do compensador

Os parâmetros τz e τp podem ser obtidos no MATLAB, através da seguinte

seqüência de comandos:

>> s1 = -6.75 + 11.69i;

>> ms = abs(s1)

ms = 13.4988

>> ts = angle(s1)

ts = 2.0944

>> num = 400; den = [1 30 200 0];

>> ds1 = polyval(den,s1)

ds1 = -1.6231e+003 – 2.3961e+003i

>> g = num/ds1

g = -0.075 + 0.1144i

>> mg = abs(g)

mg = 0.1382

>> tg = angle(g)

tg = 2.1662

>> tauz = (sin(ts) – 5*mg*sin(tg – ts)) / (5*mg*ms*sin(tg))

tauz = 0.1057

>> taup = - (5*mg*sin(ts) + sin(tg + ts)) / (ms*sin(tg))

taup = 0.027

5.2.2 Projeto com o Diagrama de Bode

A idéia básica do projeto com diagramas de Bode é modelar a forma da função de

transferência de malha aberta tal que ela apresentará um ganho de baixa freqüência desejável,

uma freqüência de cruzamento de ganho apropriada e uma margem de estabilidade adequada.

É comum parametrizar o compensador como se apresenta em (5.6):

)(11)( 1 sKK

TsTsKsG CCC =

++

=α (5.6)

Page 192: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 192

A Fig. 5.4 apresenta o diagrama de Bode de um compensador em avanço de fase

com KC = 1, e α = 10. Abaixo, assinalam-se valores típicos de um compensador em avanço de

fase.

0

5

10

15

20

0,1/T0

20

40

60

db

( 0 )

1/T 10/T 100/T 0,01/T

ω (rad/s)

Fig. 5.4 – Diagrama de Bode de um compensador em avanço de fase.

Ao empregar o método de Bode, escolhemos primeiro o ganho KC que satisfará

aos requisitos de erro de regime. Após, satisfazemos os requisitos de margem de fase, atentos

a freqüência de cruzamento de ganho ωG, atuando em K1(s).

A fase do compensador em avanço é:

∠ K1 (jω) = arctg (αTω) - arctg(Tω)

Para facilitar o projeto, geralmente tentamos adicionar o máximo avanço de fase

possível em ω = ωG. A freqüência na qual esse avanço máximo de fase ocorre pode ser obtida

da expressão acima por manipulação trigonométrica e é dada por:

TGmáx αωω 1

== (5.7)

e a máxima fase que pode ser alcançada é:

∠ K1 (jωmáx) = ∠ K1 (jωG) = α

αφ 1arctgarctg −=

Finalmente, a trigonometria mostra que:

Page 193: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

193

11sen

+−

=ααφ

e,

φφα

sen1sen1

−+

= (5.8)

em Tmáx α

ω 1= .

O módulo adicional proporcionado por K1(s) em dB em ω = ωmáx = ωG é:

M = | K1 (jωmáx)|dB = 10 log α (5.9)

Estas considerações nos levam ao seguinte procedimento para definir o

compensador:

1. Selecione KC para alcançar a constante de erro requerida;

2. Desenhe o diagrama de Bode para KCG(jω) e determine a margem de fase;

3. Determine a fase adicional requerida, isto é, o φ de partida;

4. Adicione uns poucos graus, cerca de 5o, a fase recém determinada para

encontrar o φ de trabalho. A razão para adicionar esses poucos graus ao

avanço de fase necessário para se obter a margem de fase desejada é que o

zero do compensador acrescentado causará um aumento na freqüência de

cruzamento de ganho ωG.

5. Calcule α utilizando (5.8);

6. Encontre a freqüência na qual KCG(jω)= −10 log α. Esse valor será a

freqüência ωG compensada.

7. Calcule T utilizando (5.7) e αT;

8. Desenhe o diagrama de Bode de GC(jω)G(jω) para conferir o projeto;

9. Finalmente, feche a malha e determine a resposta em malha fechada.

É importante notar que com este procedimento de projeto não podemos

predeterminar a ωG compensada. Caso ela seja inaceitável, teremos que ajustar a margem de

fase ou o erro de regime requerido.

Page 194: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 194

EXEMPLO 5.2 – Dada a planta

)20030(400)( 2 ++

=sss

sG

Deseja-se, agora, alterar as especificações do sistema para:

• Coeficiente de erro de velocidade estático KV = 10;

• Margem de fase: 45o;

Seguiremos os passos descriminados anteriormente:

1. KC é calculado como segue:

1020030

400lim)()(lim 200

=++

==→→ ss

KsHssGK C

ssV

510200

400=⇒= C

C KK

2. O Diagrama de Bode de KCG(jω) é apresentado na Fig. 5.5.

10 -1 100 101 10 2 -60

-40

-20

0

20

40

10 -1 100 101 10 2 -250

-200

-150

-100

-50

log ω

Fig. 5.5 – Diagrama de Bode de módulo e fase de KCG(jω) obtido no MATLAB para o

Exemplo 5.2.

3. A Fig. 5.5 indica que o a margem de fase é 33o. Como queremos

45o, o φ de partida será de aproximadamente 12o.

4. Adicionando 5o a esse valor obtemos φ = 17o.

Page 195: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

195

5. Aplicando φ = 17o na expressão (5.8) obtemos α = 1,82.

6. Calcula-se -10 log α = -2,6 dB. Examinando a Fig. 5.5 verifica-se

que esse ganho ocorre em ω = 9 rad/s. Esse valor será a ωG

compensada.

7. Utilizando (5.7); calcule T = 982,1

1⋅

= 0,082 ⇒ αT = 0,15

8. O Compensador será:

1082.0115.05)(

++

⋅=s

ssGC

Assim,

GC(jω)G(jω) = )20)(10)(2,12(

)67,6(3659)20030(

4001082.0

115.05 2 ++++

=++

⋅+

+⋅

sssss

sssss

O Diagrama de Bode de GC(jω)G(jω) é apresentado na Fig. 5.6 e mostra uma

nova margem de fase de 40o e uma freqüência de cruzamento de ganho ωG = 9 rad/s. Para

obter uma margem de fase mais próxima a 45o deveríamos repetir o procedimento a partir do

passo 4, aumentando a quantidade de graus adicionada.

10 -1 100

101

10 2 -40

-20

0

20

40

10 -1 100

101

10 2 -250

-200

-150

-100

-50

log ω Fig. 5.6 – Diagrama de Bode de módulo e fase de GC(jω)G(jω) obtido no MATLAB para o

Exemplo 5.2.

Page 196: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 196

9. A resposta ao degrau para o sistema em malha fechada é mostrada

na Fig. 5.7, para o sistema antes e após a compensação. No sistema

compensado verificamos um sobre-sinal de 29% e um tempo de

acomodação tS2% = 1 s.

Uma maneira de implementar o compensador em avanço de fase é mostrada na

Fig.5.8. Pode ser mostrado (tente) que a função de transferência do circuito da Fig. 5.8 é:

11

11

)()(

22

11

31

420

++

⋅=++

⋅=TsTsK

sCRsCR

RRRR

sEsE

Ci

α (5.10)

Assim:

31

42

RRRR

KC =⋅

22CRT =

Como 11CRT =α , obtém-se:

22

11

CRCR

Da equação (5.10), percebe-se que esta rede será em avanço de fase caso R1C1 >

R2C2 ou α > 1; caso R1C1 < R2C2 a rede será em atraso.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Compensado

Fig. 5.7 – Resposta ao degrau do sistema do exemplo 5.2.

Page 197: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

197

R1

-

+

Ei(s)

C2

C1 R2

-

+

R3

R4

E0(s)

Fig.5.8 – Implementação de um compensador em avanço (ou atraso) de fase

usando amplificadores operacionais.

5.3 Compensador em atraso de fase

Em um compensador em atraso de fase, o polo é menor do que o zero. Porque a

compensação em atraso adiciona um atraso de fase ao sistema, ela tende a desestabilizá-lo.

Por esse motivo, ele não deve ser usado se a planta é instável ou apresenta pequenas margens

de estabilidade relativa. Entretanto, a compensação em atraso pode algumas vezes ser usado

para incrementar a estabilidade pela diminuição do ganho do sistema.

A compensação em atraso de fase decresce o erro de regime. Na equação do

compensador em avanço-atraso de fase bsasK)s(G CC +

+= , no caso da compensação em

atraso temos a > b e, assim,baK C > KC, o que leva a um decréscimo do erro de regime

permanente.

A compensação em atraso de fase decresce a freqüência de cruzamento de ganho

ωG, o que torna o sistema mais lento em resposta a um degrau. Em compensação, o

decréscimo da largura de banda criada pelo compensador em atraso permite manter sinais

espúrios fora da malha de controle.

5.3.1 Projeto com o lugar das raízes

As equações de projeto são as mesmas apresentadas na seção 5.2.1, entretanto,

neste caso τP > τz. O compensador em atraso é usado, via de regra, quando o lugar das raízes

original é aceitável e o nosso objetivo é meramente diminuir o erro de regime.

Page 198: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 198

EXEMPLO 5.3 – Dada a planta

)5s(s10)s(G+

=

Deseja-se alterar as especificações do sistema para:

• erro de regime a rampa menor que 5% ;

• ς = 0,707 e ωn = 1,5 rad/s

Primeiro, calcula-se KC, como segue:

05,01

)5s(K10

lim)s(H)s(sGlimK C

0s0sV =+

==→→

10K205K10

CC =⇒=

Para atender as especificações de amortecimento e frequencia, resulta que:

s1 = -ςωn + jωn21 ς− = - 1,06 + j1,06 = 1,5ej135 = Msejθs

Substituindo-se 1,5ej135 em G(s), obtém-se G(s1) = 1,63e-j150 = MGejθG.

Substituindo –se KC, MG, MS, θG e θS em (5.4) e (5.5), resulta

τz = 1,232 e τp = 15,091.

Assim, o compensador que satisfaz as especificações é:

1s091,151s232,110G C +

+=

Os pólos do sistema em malha fechada são (-1,06 ± j1,06,-2,94) e o zero é (-0,81).

A resposta a degrau unitário do sistema antes e após a compensação são

mostrados na Fig. 5.9. O sistema compensado possui um sobre-sinal de 30% e um tempo de

acomodação ts2% de cerca de 3,6 s. Este grande tempo de acomodação é devido ao pólo real.

Como o compensador acrescenta um zero na planta, o sobre-sinal é maior que o esperado para

ς = 0,707. Caso esse sobre-sinal não possa ser tolerado o zero do compensador deve ser, por

“tentativa e erro” movido para a esquerda até cancelar o pólo real de malha fechada. Para

efeito de comparação, foi traçada, na mesma figura, a resposta a degrau do sistema

compensado apenas por um controlador proporcional KC = 10. Percebe-se que o compensador

em atraso apesar de diminuir a velocidade de resposta reduz o sobre-sinal.

Page 199: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

199

0 1 2 3 4 5 6 0

0.5

1

1.5 Resposta ao degrau

t (s)

Amplitude

Sistema Compensado

Sistema com Compensador Proporcional

Sistema não compensado

Fig. 5.9 – Resposta ao degrau do sistema do exemplo 5.9.

Aqui, é importante lembrar que quanto maior o amortecimento maior a margem

de fase e menor a freqüência de cruzamento de ganho, o que leva a uma redução do ganho do

sistema. Assim, conclui-se que o compensador em atraso de fase aumenta a margem de fase e

diminui largura de banda em malha fechada.

5.3.2 Projeto com o Diagrama de Bode

Nesta seção usaremos a forma usual da compensação em avanço-atraso de fase:

)(11)( 1 sKK

TsTsKsG CCC =

++

=α α < 1 (5.11)

Como na compensação em avanço, nós primeiro escolhemos um KC que satisfaça a

especificação de erro de regime permanente. Os parâmetros α e T são encontrados, então,

para satisfazer a especificação de margem de fase.

A Fig. 5.10 apresenta o diagrama de Bode de um compensador em atraso de fase

com KC = 1, e α = 0,1.

Page 200: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 200

-20

-15

-10

-5

0

(dB)

0.01/T 0.1/T 1/T 10/T 100/T 1000/T-60

-40

-20

0

( 0 )

ω (rad/sec)

Fig. 5.10 – Diagrama de Bode de um compensador em atraso de fase.

Calculando-se o ganho do compensador no infinito pode-se mostrar que a máxima

redução no ganho é 20 log α e que na freqüência ω = 10/(αT) há um contribuição mínima de

fase por parte do compensador. Estes fatos nos levam a seguinte metodologia de projeto:

1. Determine o KC que satisfaça os requisitos de regime permanente;

2. Desenhe o diagrama de bode de KCG(jω);

3. Se a margem de fase é insuficiente, encontre a freqüência na qual a margem de

fase é satisfeita (adicione 5o por segurança). Esta freqüência será a ωG

compensada;

4. Encontre o ganho KCG(jω) em ω = ωG. Esta é a quantia de ganho que necessita

ser reduzida pelo compensador, isto é:

Redução de ganho (RG)= -| KCG(jωG)|dB = - 20 log α α = 10-RG/20

5. Para minimizar a contribuição de fase do compensador, faça

G

10Tαω

=

6. Desenhe o Diagrama de Bode de GC(jω)G(jω) e confirme o projeto;

7. Simule o sistema em malha fechada.

Page 201: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

201

EXEMPLO 5.4 – Considere a planta do exemplo 5.3. Projete um compensador em atraso de

fase utilizando a metodologia de Bode.

Iniciamos pelo passo 2, uma vez que KC já foi determinado.

2. Inicialmente traçamos o Diagrama de Bode de KCG(jω), conforme mostra a

Fig. 5.11.

-60 -40 -20

0 20 40 60 80

Modulo (dB)

10 -2 10-1

100

101

10 2 -180

-160

-140

-120

-100 Fase

(graus)

Diagrama de Bode

Frequencia (rad/sec)

Compensado

Fig. 5.11 – Diagramas de Bode para o Exemplo 5.4.

3. Um amortecimento de 0,707 requer uma margem de fase γ = 70o (γ ≅ 100ς). Por

segurança, acrescentamos 5o e examinamos o Diagrama de Bode para

determinar a freqüência na qual a margem de fase especificada é satisfeita. O

resultado é uma ωG compensada de 1,34 rad/s.

4. O ganho KCG(jωG) é 23,2 dB. Esta é a quantia de ganho que necessita ser

reduzida pelo compensador, assim:

α = 10-RG/20 = 10-23,2/20 = 0,069

5. Com α = 0,069 e uma ωG = 1,34 rad/s, resulta que

Page 202: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 202

G

10Tαω

= = 108,15 s

6. O compensador terá com função de transferência:

1s15.1081s46,710)s(G C +

+=

O diagrama de Bode de GC(jω)G(jω), também é apresentado na Fig. 5.11.

Observe que o atraso de fase introduzido pelo compensador ocorre em baixas freqüências para

não afetar adversamente a margem de fase. A resposta a degrau do sistema compensado é

mostrado na Fig. 5.12, onde percebemos um sobre-sinal de apenas 8% contra 43% do sistema

compensado com um controlador proporcional (Fig. 5.9).

Comparando os métodos de projeto por Root Locus e Bode, para a planta dos

exemplos e especificações, o lugar das raízes nos dá uma resposta mais rápida e a técnica de

Bode nos oferece um menor sobre-sinal. Assim, recomenda-se o uso das duas técnicas para

escolher o compensador mais adequado a sua aplicação.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Resposta ao degrau

tempo (sec)

Am

plitu

de

Fig. 5.12 – Resposta ao degrau para o exemplo 5.4.

Page 203: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

203

5.4 Controlador proporcional-integral-derivativo (PID)

O controlador PID

sK

sKKsG idpC ++=)(

pode assumir diversas formas:

• Proporcional com Kd = Ki = 0;

• Proporcional-derivativo (PD) com Ki = 0;

• Proporcional-integral (PI) com Kd = 0;

• PID.

O esquema mais simples, o controlador somente com ação proporcional, permite

que projetista satisfaça uma única especificação de malha fechada. A ação derivativa

incrementa o amortecimento do sistema em malha fechada, conforme ilustra a Fig. 5.13; por

sua vez, a ação integral incrementa o tipo de sistema, o que permite diminuir o erro de regime

permanente. Por ser, geralmente, efetivo em atender muitas especificações, o controlador PID

é largamente utilizado em processos industriais.

0 2 4 6 8 10 12 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Resposta ao degrau

tempo (sec)

Sistema com compensador PD

Fig. 5.13 – Resposta a degrau de um sistema de 2a ordem padrão com ς = 0,5 e ωn = 1 rad/s

(linha cheia) e resposta a degrau do sistema com um compensador PD associado em cascata

no ramo direto(linha tracejada), sendo Kd = 1 e Kp = 1.

Page 204: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 204

Porque há três parâmetros para serem ajustados no projeto de controladores PID, a

técnica de projeto do Lugar das Raízes e de Bode não são empregada diretamente. Ziegler e

Nichols desenvolveram um método para ajustar um controlador PID com os seguintes passos:

Primeiro, faz-se Kd = Ki = 0 e aumenta-se o ganho proporcional até a condição de oscilação (

|KpG(jω)| = 1 e ∠ KpG(jω) = 180o). O ganho proporcional obtido é então multiplicado por 0,6

e os outros ganhos são calculados por

πω

ωπ mp

im

pdmp

KK

KKKK ===

46,0

onde Km é o ganho no qual o sistema proporcional oscila e ωm é a freqüência da oscilação.

Note que esta técnica não atende todas as especificações. Ela garante, segundo os autores, um

bom comportamento dinâmico do sistema.

Ambos os métodos podem ser empregados para obter Km e ωm. Quando

utilizamos o método do Lugar das Raízes, obtém-se a função de transferência da planta. O

ganho no qual o lugar das raízes cruza o eixo jω é Km e a freqüência sobre o eixo jω nos dá

ωm. Por outro lado, ao utilizarmos os gráficos de Bode, determina-se a margem de ganho

(MG) da planta na freqüência de cruzamento de fase ωφ e:

φωω == mMG

m eK 2010

Exemplo 5.5 – Seja a planta do exemplo 5.1:

)20030(400)( 2 ++

=sss

sG

Como o uso de um controlador PID aumenta a ordem do sistema o erro de regime

permanente para a rampa unitária será zero.

5.4.1 Projeto com Root Locus:

A partir do Lugar das Raízes da Planta (Fig. 5.3) encontramos Km = 15 e ωm = 14

rad/s. Assim,

40K

K5,04

KK9K6,0K mp

im

pdmp =

π

ω==

ω

π===

E o controlador será:

s40s5,09)s(G C ++=

Page 205: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

205

5.4.2 Projeto com Diagrama de Bode:

A partir das características da planta obtemos:

1,141,1410 2023 === mm eK ω

Assim,

1,3847,04

5,86,0 ======πω

ωπ mp

im

pdmp

KK

KKKK

E o controlador será:

sssGC

1,3847,05,8)( ++=

O diagrama de Bode de GC(s)G(s) para o controlador acima é apresentado na Fig.

5.14. Observe que a Margem de Fase obtida é de aproximadamente 25o o que resultará em um

amortecimento pequeno e, conseqüentemente, um sobre-sinal muito elevado, conforme ilustra

a Fig. 5.15.

10 -1 100 101 10 2 -50

0

50

100

10 -1 100 101 10 2 -180

-170

-160

-150

log ω

Fig. 5.14 – Diagrama de Bode da planta do Exemplo 5.5 com Kp = 8,5, Kd = 0,47 e Ki = 38,1.

O método apresentado anteriormente não nos permite projetar um PID que nos

possibilite obter um comportamento específico de malha fechada. Entretanto, uma técnica

analítica pode ser desenvolvida para determinar os parâmetros do PID a partir de

especificações de erro de regime permanente e de desempenho transitório requeridas. O ganho

de malha aberta de um sistema controlado por um PID é dado por:

Page 206: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 206

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 5.15 – Resposta a degrau unitário do sistema de malha fechado do Exemplo 5.5.

)(sGs

KsKK i

dp ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

Se G(s) é uma planta do tipo n, o sistema compensado será do tipo n+1. A

constante de erro é igual ao inverso do erro de regime permanente e é dada por:

ssi

n

sn esGKsK 1)(lim

01 ==→

+

Para uma dada especificação de regime permanente, nós encontramos Ki da

equação anterior. Das especificações do domínio do tempo tais como o sobre-sinal e o tempo

de acomodação, nós determinamos o coeficiente de amortecimento ς e a freqüência natural

ωn. Sabemos que a freqüência natural de malha fechada mantém uma relação com a

freqüência de cruzamento de ganho de malha aberta (equação 4.26) e que a margem de fase

desejada pode ser encontrada a partir do amortecimento (Fig. 4.20). Logo, em ω = ωG, o

sistema compensado teria um ganho igual a 1 e uma fase θ(ωG) = -180o + γ.

Com essa informação, lembrando que Ki é conhecido, podemos escrever que:

)(1)( GjG

G

idGp ejG

jK

KjK ωθωω

ω =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

o qual leva a

jXRjK

jGeKjK

G

i

G

j

dGp

G

+=+=+ωω

ωωθ

)(1 )(

Page 207: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

207

Da última expressão obtemos Kp = R e Kd = X/ωG.

Este procedimento pode ser facilmente programado no MATLAB criando a

função pid, como segue:

function [kp,kd,nk,dk]=pid(ng,dg,ki,pm,wg)

ngc=polyval(ng,j*wg); dgc=polyval(dg,j*wg); g=ngc/dgc;

thetar=(pm-180)*3.141592/180;

ejtheta=cos(thetar)+j*sin(thetar);

sol=(ejtheta/g)+j*(ki/wg)

x=imag(sol);

r=real(sol);

kp=r

kd=x/wg

if ki~=0,

dk=[1 0]; nk=[kd kp ki];

else dk=1; nk=[kd kp];

end;

Exemplo 5.6 - Usando o procedimento analítico descrito, vamos reprojetar o controlador PID

do Exemplo 5.5 para que o sistema atenda as seguintes especificações:

• Erro de regime permanente a parábola unitária – 0,1;

• Sobre-sinal – 10%;

• Tempo de acomodação tS2% = 2 s.

O coeficiente de erro de aceleração estático Ka é

iisa KsGKsK 2)(lim0

==→

Como:

101,0

112 ===ss

i eK ⇒ 5=iK

A partir das especificações desejadas determinamos ς e ωn como segue.

MP = 21 ς

ςπ

⋅−

e = 0,1 ⇒ ς ≅ 0,6

tS2% = nως ⋅

9,3 = 1 ⇒ ωn = 3,25 rad/s

Com ς = 0,6 e ωn = 3,25 rad/s da Fig. 5.1 obtém-se ωG ≅ 2,3 rad/s.

Page 208: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 208

A partir da Fig. 4.20 com ς = 0,6 obtém-se a margem de fase γ = 60o.

Usando a função pid desenvolvida para o MATLAB, resulta em Kp = 1,16 e Kd =

0,85. De posse desses dois últimos valores constrói-se o diagrama de Bode (Fig. 5.16) do

sistema compensado, que evidencia três freqüências de cruzamento de ganho, sendo uma

delas em ω ≅ 2,3 rad/s com margem de fase de 60o, conforme projeto. A resposta a degrau

unitário do sistema compensado, apresentada na Fig. 5.17, indica um sobre-sinal e um tempo

de acomodação maiores que o especificado (MP = 24%). Lembre que as equações que levam

aos valores das figuras de mérito são obtidas para um sistema padrão de segunda-ordem,

constituindo-se em valores de partida de projeto.

Para melhorar a resposta transitória, vamos especificar a freqüência de

cruzamento de ganho ωG em um valor entre a segunda e a terceira freqüência de cruzamento

do diagrama de Bode da Fig. 5.16. Com Ki = 5, γ = 60o e ωG = 7,2 rad/s, a função pid retorna

Kp = 4,25 e Kd = 0,38. Constrói-se o novo diagrama de Bode apresentado na Fig. 5.18, que

indica a manutenção da margem de fase em 60o. A Fig. 5.19 indica um melhor desempenho

da nova resposta a degrau unitário do sistema compensado, onde encontramos um sobre-sinal

reduzido para cerca de 16% e um tempo de acomodação inferior a 2s.

10 -1 100

101

10 2 -40

-20

0

20

40

60

10 -1 100

101

10 2 -200

-150

-100

-50

log ω

Fig. 5.16 - Diagrama de Bode GC(s)G(s) para a planta do Exemplo 5.1 compensada por um

controlador PID com Kp = 1,16 , Kd = 0,85 e Ki = 5.

Page 209: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

209

0 1 2 3 4 5 6 s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fig. 5.17 – Resposta a degrau de malha fechada para o sistema do Exemplo 5.6, com um

controlador PID com Kp = 1,16; Kd = 0,85 e Ki = 5.

10-1 100 101 10 2 -50

0

50

100

10 -2 10-1 100 101 10 2 -180

-160

-140

-120

-100

log ω

Fig. 5.18 - Diagrama de Bode GC(s)G(s) para a planta do Exemplo 5.1 compensada por um

controlador PID com Kp = 4,25, Kd = 0,38 e Ki = 5.

Uma maneira de implementar o compensador PID é mostrada na Fig.5.20. Pode

ser mostrado (tente) que a função de transferência do circuito da Fig. 5.20 é:

sCRsCRsCR

RRRR

sEsE

i 22

2211

13

240 )1()1()()( +⋅+

⋅=

Page 210: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 210

que mostra que o controlador PID apresenta dois zeros e um pólo. Rearranjando a expressão

acima, obtém-se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

++

+⋅+

= sCRCRCRCR

sCRCRCRRCRCRR

sEsE

i 2211

2211

2211113

221140

)(11

)()()(

(5.12)

Assim:

113

22114 )(CRR

CRCRRK P

+=

3

124

RCRR

Kd =

213

4

CRRR

Ki =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fig. 5.19 – Resposta a degrau de malha fechada para o sistema do Exemplo 5.6, com um

controlador PID com Kp = 4,25, Kd = 0,38 e Ki = 5.5.

R1 -

+

Ei(s)

C1 R2

-

+

R3

R4

E0(s)

C2

Fig.5.20 – Compensador PID.

Page 211: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

211

5.5 Compensação de um compensador abaixador (Buck)

Seja a função de transferência do filtro de saída do conversor Buck obtida no

capítulo II:

( ) 1)(1

)(0000

20

+++

+==

LSEL

SE

RRCRLsCLsRsC

sGFT

Essa função de transferência possui dois pólos e um zero, com freqüências de

canto calculadas da seguinte forma:

00021

1CLPP === ωωω

SEZ RC0

1=ω

O diagrama de Bode típico da função de transferência anterior é apresentada na

Fig. 5.21.

-40

-20

0

20

40

60

100

10 1

102

103

104

10 5 -200

-150

-100

-50

0

ωP1=ωP2 ωZ

20 db/dec

40 db/dec

log ω

Fig. 5.21 – Diagrama de Bode típico da função de transferência do filtro de saída de um

conversor abaixador.

A compensação do conversor abaixador com controle por razão cíclica é

implementada, via de regra, utilizando-se o compensador de 2 pólos e 2 zeros apresentado na

Fig. 5.22, que possui como função de transferência:

Page 212: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 212

iiz

iizip

ffzC

sCRsCR

R

sCRsG

11

1)(

+⋅

+

+= (5.13)

que após algumas manipulações algébricas transforma-se em:

)()(

))(()(

sCRRRR

sCRR

sCRsCRsG

iipiz

ipizfipiz

ffziizC

+

⋅++

++=

1

11

ou

)())(()(

2

21

1

11

p

ZZ

iipiz

ipizip

ffziizfz

C ssssK

CRRRR

ssR

CRsCRsRsG

ωωω

+++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+

⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

= (5.14)

Assim, os dois pólos e os dois zeros dessa função de transferência e o ganho K

são calculados da seguinte forma:

ip

fz

RR

K =

iziZ RC

11 =ω

fzfZ RC

12 =ω

01 =Pω

ip

ipizZ

iipiz

ipizP R

RR

CRRRR

+⋅=

+

⋅= 12

1 ωω

Note que, como em freqüências elevadas os capacitores podem ser considerados

como curto-circuitos, o ganho K representa o ganho para altas freqüências.

Riz

-

+

Eo(s)

Ci

Rfz

VC(s) Cf Rip

Rref

Vref

Fig. 5.22 – Compensador de dois pólos e dois zeros.

Page 213: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

213

Este compensador tem origem em um procedimento prático para garantir a

estabilidade do sistema compensado. Esse procedimento tem como objetivo obter um sistema

compensado com características semelhantes à rede de um único pólo, alcançando um alto

ganho em baixas freqüências para uma melhor regulação CC, uma inclinação igual a –20

dB/dec com uma margem de fase em torno de 90o na freqüência de cruzamento de ganho.

Uma alta freqüência de cruzamento de ganho fG melhora o desempenho dinâmico, assim para

que a fonte tenha uma resposta rápida, deve-se projetar uma freqüência de cruzamento de

ganho com o valor mais alto permitido. A teoria da amostragem mostra que não é possível

transmitir informação em uma freqüência maior que a metade da freqüência de amostragem,

em nosso caso a freqüência de comutação fS. Ainda, segundo a literatura, o sistema se torna

instável se a freqüência de cruzamento de ganho fG excede um terço da freqüência de

comutação. Para obter uma resposta dinâmica rápida sem risco de estabilidade adota-se, via

de regra, fG = fS/4

O compensador apresenta um pólo na origem, que introduz um integrador na

função de transferência de malha aberta, o que tornaria o erro de regime permanente nulo para

uma entrada em degrau unitário. Na prática, o ganho não pode exceder o limite do

amplificador de erro e esse pólo ocorre onde a curva de ganho intercepta esse limite, o que

ocorre em uma freqüência abaixo de 1 rad/s ou 0,16 Hz. O segundo pólo é empregado para

compensar o zero introduzido pelo capacitor de saída e sua resistência série. Os zeros são

empregados para compensar a freqüência de ressonância do filtro LC e, geralmente, faz-se

ωZ1 = ωZ2. Um diagrama de Bode do compensador de dois pólos e dois zeros, com ωZ1 = ωZ2,

é apresentado na Fig. 5.23.

Para projetar o compensador de dois pólos e dois zeros para um conversor

abaixador sugere-se o seguinte procedimento:

1. Traçar o diagrama de Bode de G(s)H(s) e medir o ganho A em ω = ωS/4;

2. Situar os dois zeros de GC(s) na freqüência de ressonância ω0 do filtro de

saída, o que nos fornece a relação

011 ω==

fzfizi RCRC (5.15)

3. Situar o segundo pólo de GC(s) numa freqüência igual a 5 vezes a freqüência

de ressonância ω0 do filtro de saída. Como

Page 214: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 214

10

20

30

40

50

60 Limite do amplificador

de erro

Ganho (db)

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5-100

-50

0

50

Fase ( o )

log ω

ωZ1=ωZ2

ωP1

ωP2

20 log K

Fig. 5.23 – Diagrama de Bode do compensador de dois pólos e dois zeros com ωZ1 = ωZ2.

ip

ipizZP R

RR +⋅= 12 ωω e 01 ωω =Z ,

obtemos a relação

5=+

ip

ipiz

RRR

ou ipiz RR 4= (5.16)

4. O ganho de alta freqüência K é obtido empregando-se o procedimento

ilustrado pela Fig. 5.24. Assim:

42020 2

S

PAKωωloglog +=

O que nos conduz a última relação

⎟⎟

⎜⎜

⎛+

=4202

10 SPA

ip

fz

RR ω

ωlog (5.17)

Observe que obtendo-se o valor de K, podemos construir a função de transferência

do compensador empregando (5.14)

Page 215: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

215

5. A partir das expressões (5.51), (5.16) e (5.17), calcula-se os valores dos

elementos do circuito de compensação.

EXEMPLO 5.7 – Realize a compensação do conversor Buck apresentado na seção 3.4.1.

Considere fS = 50 kHz (314159,3 rad/s).

0 db

20logK

ω0 ωS/4 ωp2

A

A

G(s)H(s)

GC(s) 20

−20

−30

−10

10 −20db/dec

+20db/dec

Fig. 5.24 – Procedimento para o cálculo de K.

1. Traça-se o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta (Fig. 5.25).

)50000001500()10000(24005,0

1103102)1101(6,9)()( 2427

4

+++

⋅=⋅+⋅+⋅

+⋅⋅=

−−

sss

ssssHsG

Na freqüência ω = ωS/4 ≅ 78540 rad/s, A = 29,5 dB.

2. Situam-se os dois zeros do compensador ωZ1 e ωZ2 na freqüência de ressonância ω0 do

filtro de saída. Assim:

sradRCRC fzfizi

/2236500000011≅== ( I )

3. Com o 20 pólo do compensador situado em ωp2 = 5ω0 = 11180 rad/s vale a relação

ipiz RR 4= ( II )

4. Como ωp2 < ωS/4, a relação (5.17) não é valida para obtermos o ganho de alta

freqüência. Uma análise da Fig. 5.24 nos mostra que nessa situação

5292020 ,loglog =⇒=ip

fz

RR

AK dB

Page 216: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 216

101

102

103

104

105

-40

-20

0

20

log w

db

101

102

103

104

105

-150

-100

-50

0

log w

grau

s

Fig. 5.25 – Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta do conversor

abaixador do Exemplo 5.7.

ou

852910 20529

,,

===ip

fz

RR

K ( III )

Com a obtenção do valor de K fica definida a função de transferência do

compensador:

)()(,

)())(()(

1118022368529

2

2

21

++

⋅=+

++=

sss

ssssKsG

p

ZZC ω

ωω

5. No cálculo dos parâmetros do compensador adotaremos valores comerciais.

Com Rfz = 168 kΩ, a relação ( III ) nos dá Rip = 5,6 kΩ. Escolhendo Rip = 5,6 kΩ, a

relação ( II ) conduz a Riz = 22 kΩ. Para Rfz = 168 kΩ e Riz = 22 kΩ, a relação ( I ) nos

dá Ci = 22 nF e Cf = 2,7 nF.

A Fig. 5.26 apresenta o diagrama de Bode do sistema compensado, onde

visualizamos uma margem de fase de aproximadamente 90o e uma inclinação da curva de

módulo de –20 dB/dec. A resposta de malha fechada do conversor a um degrau na referência

para o sistema compensado e não compensado é mostrado na Fig.5.27, onde observamos uma

grande melhoria no desempenho transitório do sistema, tanto no que tange ao sobre-sinal

como nos tempos de resposta.

Page 217: Apostila SCT-20304 7p4

Sistemas de Controle

217

101

102

103

104

105

-20

0

20

40

60

80

log w

db

101

102

103

104

105

-120

-100

-80

-60

-40

log w

grau

s

Fig. 5.26 - Diagrama de Bode do sistema compensado para o Exemplo 5.7.

0 0,5 1 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4 4,5 5 0

1

2

3

4

5

6

ms

Vo

compensado

Fig. 5.27 – Resposta a degrau do conversor abaixador do Exemplo 5.7.

Page 218: Apostila SCT-20304 7p4

Projeto de Sistemas de Controle Utilizando o Lugar das Raízes e os Diagramas de Bode 218

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Guanabara Dois, 1984.

KUO, B. C. Sistemas de controle automático. 4a edição. Rio de Janeiro: Prentice/Hall do

Brasil, 1985.

OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3a edição. Rio de Janeiro: Prentice/Hall do

Brasil, 1985.

LABORATÓRIO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA UERJ. Apostila de Simulink.2.0.

1999.

DORF, Richard. Modern Control Systems. 9a edição. Prentice/Hall, 2001.