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Espírito Santo CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria Caldeiraria Matemática Elementar

Apostila SENAI

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Espírito Santo

CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria

Caldeiraria

Matemática Elementar

Page 2: Apostila SENAI

Espírito Santo

Matemática Elementar - Caldeiraria © SENAI - ES, 1997 Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)

Coordenação Geral

Supervisão

Elaboração

Aprovação

Editoração

Francisco Lordes (SENAI) Marcos Drews Morgado Horta (CST) Paulo Sérgio Teles Braga (SENAI) Rosalvo Marcos Trazzi (CST) Evandro Armini de Pauli (SENAI) Fernando Saulo Uliana (SENAI) José Geraldo de Carvalho (CST) José Ramon Martinez Pontes (CST) Tarcilio Deorce da Rocha (CST) Wenceslau de Oliveira (CST) Ricardo José da Silva (SENAI)

SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial DAE - Divisão de Assistência às Empresas Departamento Regional do Espírito Santo Av. Nossa Senhora da Penha, 2053 Bairro Santa Luíza - Vitória - ES. CEP 29045-401 - Caixa Postal 683 Telefone: (27) 3325-0255 Telefax: (27) 3227-9017 CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, n° 930, Jardim Limoeiro - Serra - ES. CEP 29163-970 Telefone: (27) 3348-1333

Page 3: Apostila SENAI

Espírito Santo

Sumário Números Inteiros....................................................................04 • Números Naturais..............................................................04 • Operações Fundamentais com

Números Naturais..............................................................04 • Números Naturais - Exercícios ..........................................06 Frações ..................................................................................10 • Números Racionais ...........................................................10 • Números Mistos.................................................................14 • Extração de Inteiros...........................................................14 • Transformação de Números Mistos

em Frações Impróprias......................................................15 • Simplificação de Frações...................................................16 • Redução de Frações

ao mesmo Denominador ...................................................16 • Comparação de Frações ...................................................18 • Frações - Exercícios ..........................................................22 Números Decimais.................................................................33 • Conceito e Leitura..............................................................33 • Operações com Números Decimais ..................................35 • Números Decimais - Exercícios .........................................38 Números Inteiros Relativos ....................................................43 • Números Opostos ou Simétricos....................................43 • Operações com Números Inteiros..................................44 • Expressões com Números Inteiros.................................46 �• Exercícios com Números Inteiros...................................48

Medidas de Ângulos...............................................................49 • Operações com Medidas de Ângulos............................50 • Exercícios - Medidas de Ângulos..... .................................51 Triângulos...............................................................................61• Classificações dos Triângulos..........................................62 • Elementos Notáveis de um Triângulo............................66 • Teorema.............................................................................68• Exercícios - Triângulos.......................................................69 Quadrilátero...........................................................................72 • Paralelogramo...................................................................76 • Trapézio.............................................................................81 • Polígonos Convexos.........................................................84 Nomes dos Polígonos...........................................................85• Circunferência....................................................................87

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

4 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Números Inteiros Números Naturais Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais, embora não lhes dessem nomes nem os representassem por símbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e escreve-se:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Operações Fundamentais Com Números Naturais Adição É a operação que permite determinar o número de elementos da união de dois ou mais conjuntos:

1.004 577 → parcelas 12

+ 4 1.597 → total ou soma

Subtração É a operação que permite determinar a diferença entre dois números naturais:

837 → Minuendo

- 158 → Subtraendo

679 → Resto ou diferença

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamwennto Regional do Espírito Santo 5

Multiplicação A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 × 2 (três parcelas iguais a 2)

381 → Multiplicando Fatores

x 23 → Multiplicador 1143

+ 762_ 8763 → Produto

Atenção: Qualquer número natural multiplicado por zero é zero. Exemplo: 4 × 0 = 0

Divisão É a operação que permite determinar o quociente entre dois números. A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Exemplo: 18 × 4 = 72 → 72 ÷ 4 = 18

Termos da Divisão:

Dividendo → 4051 8 → Divisor - 40__ 506 → Quociente 051 - 48 03 → Resto

Atenção: Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é exata. Exemplo: 16 ÷ 8 = 2 Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão é aproximada ou inexata. Exemplo: 16 ÷5 = 3 (resto = 1) Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto de números naturais (IN).

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST 6 Compaanhia Siderúrgica de Tubarão

Números Naturais - Exercícios 1) Complete as sucessões numéricas seguintes:

Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35

a) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ...... b) 9, 18, 27, ......, ......, ......, ...... c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ...... d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ...... e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ......

2) Resolva:

a) 4 + 577 + 12 + 1.004 = b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =

3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da

adição: 623 ................................... + 321 ................................... 944 ................................... 4) Complete as sucessões numéricas seguintes:

Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22... a) 50, 45, ......, ......, ......, ......, ...... b) 50, 44, ......, ......, ......, ......, ...... c) 80, 72, ......, ......, ......, ......, ...... d) 108, 96, ......, ......, ......, ......, ......

5) Efetue as subtrações:

a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 =

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito santo 7

6) Em uma subtração, o subtraendo é 165 e o resto é 428. Qual é o minuendo?

7) Qual é o número que somado a 647 é igual a 1.206? 8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova. 9) Efetue mentalmente:

a) 7 × 1 = b) 810 × 1 = c) 8 × 10 = d) 72 × 10 = e) 1.705 × 10 = f) 9 × 100 = g) 81 × 100 = h) 365 × 100 = i) 5 × 1000 = j) 12 × 1000 = k) 170 × 100 = l) 3.800 × 1000 =

10) Complete:

a) Um produto é sempre uma adição de ........................... iguais.

b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos um de seus fatores for ...............................

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Espírito Santo

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_______________________________________________________________________________________________ CST8 Companhia Siderúrgica de Tubarão

11) Complete:

a) 4 × 5 × 0 = b) 6 × 0 × 9 = c) 0 × 5 × 8 = d) 1 × ...... × 8 = 0 e) 7 × 9 × ...... = 0 f) ......× 4 × 8 = 0

12) Escreva os termos da divisão: ............................... 107 5 ............................

07 21 ............................ ...................... 2

13) Efetue:

a) 810 ÷ 4 = b) 408 ÷ 4 = c) 560 ÷ 8 = d) 12.018 ÷ 6 =

14) O número 9 está contido em 3.663 ............................ vezes. 15) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de

uma prova.

a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091 × 45 = d) 9.327 × 814 = e) 3.852 × 208 = f) 68.704 ÷ 74 = g) 1.419 ÷ 87 = h) 4.056 ÷ 68 =

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 9

16) Resolva as situações problemas:

a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações:

• retiramos 70 litros • colocamos 38 litros • retiramos 193 litros • colocamos 101 litros • colocamos 18 litros Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?

b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribuídos igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite. Pergunta-se:

• Quantos alunos estudam em cada período? • Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se

há 16 salas de aula?

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__________________________________________________________________________________________________ CST10 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Frações Números Racionais Consideremos a operação 4 ÷ 5 = ? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números naturais porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então, o conjunto dos Números Racionais.

Número racional é todo aquele que é escrito na forma ab

onde a

e b são números inteiros e b é diferente de zero. São exemplos de números racionais:

35

12

43

105

1224

3618

, , , , ,

A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações.

Conceito de Fração: Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração. Veja: ��������������������������

������������������������������������������������������������������������������

������������������������

��������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������

������������������������

A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes.

Representamos, então, assim: 23

E lemos: dois terços. O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR.

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 11

O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.

Leitura e Classificações das Frações Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador. a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a

sua leitura é feita do seguinte modo:

12

- um meio 13

- um terço 14

- um quarto

15

- um quinto 16

- um sexto 17

- um sétimo

18

- um oitavo 19

- um nono

b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é

feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milésimo(s).

110

- um décimo 7100

- sete centésimos

20

1000 - vinte milésimos

c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de

10), lê-se o número acompanhado da palavra "avos".

115

- um quinze avos 329

- três vinte e nove avos

1385

- treze oitenta e cinco avos

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST 12 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Frações Ordinárias e Frações Decimais As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000 (potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras são chamadas Frações Ordinárias. Exemplos:

310

5100

231000

, , são frações decimais

15

817

1041

, , são frações ordinárias

Frações Próprias Observe as frações abaixo:

1 ��������������������������

����������

����������������������������

��������������������������������

��������������

���������������������������������� 2

2

��������������������������

����������

����������������������������

��������������������

��������������������������������

��������������

����������������������������������

���������������������� 3

������������������������������������������

Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas Frações Próprias. Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador.

Frações Impróprias Observe as frações abaixo:

��������������������������

����������

����������������������������

����������������������������������������

�������������������������������� ��������

���������������������������������

��������������������������������������

7 ��������������������������

����������

����������������������������

�������������������� 4

4 ��������������������������

����������

���������������������������� 3

��������������������

��������������������������

����������

����������������������������

����������������������������������������

Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações Impróprias. Nas frações impróprias, o numerador é igual ou maior que o denominador.

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 13

Frações Aparentes Observe:

12/6 ou 2 inteiros

3/3 ou 1 inteiro As frações acima representam inteiros. Elas são chamadas Frações Aparentes. Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador. Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração imprópria é aparente.

Frações Equivalentes/Classe de Equivalência. Observe as figuras:

2 3

4 6

6 9

As frações 23

46

, e 69

representam o mesmo valor, porém

seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes. Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero).

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST14 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exemplo:

25

1025

é igual a , pois 2 55 5

1025

xx

=

1821

67

é igual a , pois 18 321 3

67

÷÷

=

O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se CLASSE DE EQUIVALÊNCIA. Exemplo: Classe de equivalência de

12

12

24

36

48

510

612

=

, , , , , Κ

Números Mistos São os números mistos formados por uma parte inteira e uma fração própria.

1 inteiro 1

2

Representamos assim: 1 12

E lemos: um inteiro e um

meio

Extração De Inteiros É o processo de transformação de fração imprópria em número misto. Observe a figura:

Podemos representar essa fração de duas maneiras:

1 14

54

ou

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 15

Para transformar 54

em número misto, ou seja, para verificar

quantas vezes 44

cabe em 54

, procede-se assim:

5 4 1 1 1 1 4

É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo denominador.

Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias. Observe o exemplo e a ilustração:

Transformar 114

em fração imprópria.

Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto.

1 1 4 4 + 1 = 5 1 + 1 4 4 4 4 1 1 ou 5 4 4

Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.

1 14

1 4 14

54

= × + =( )

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

16 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Simplificação de Frações Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo:

Simplificar 816

8 216 2

4 28 2

2 24 2

12

÷÷

= ÷÷

= ÷÷

=

Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.

Redução de Frações ao mesmo Denominador Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador. Exemplo:

As frações 12

, 23

e 34

são equivalentes a 612

, 812

e 912

respectivamente. Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: 1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será

o menor denominador comum. 2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das

frações dadas. 3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo

numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 17

Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as frações:

12

, 34

, 76

Solução: 1º - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 é o denominador.

2, 4, 6

1, 2, 3

1, 1, 3

2

2

3

1, 1, 1 12 2º - 12 ÷ 2 = 6

12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 6 = 2

3º - 1 612

612

3 312

912

7 212

1412

× = × = × =

Portanto: 612

912

1412

, , é a resposta.

Page 18: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

18 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Comparação de Frações Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas.

Frações com o mesmo Denominador Observe:

5 8

3 8

1 8

Percebe-se que : 58

> 38

> 18

Então:

Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.

Frações com o Mesmo Numerador Observe:

3 16

3 8

3 4

Percebemos que: 316

< 38

< 34

Então: Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.

Page 19: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SenaiDepartamento Regional do Espírito Santo 19

Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes Observe:

2 3

1 2

3 4

Para fazer a comparação de frações com numeradores e denominadores diferentes, reduzem-se as frações ao mesmo denominador. Exemplo:

2 = 8 3, 2, 4 2 3 12 3, 1, 2 2 3, 1, 1 3 1 = 6 1, 1, 1 12 2 12 3 = 9 4 12

Já aprendemos que comparando frações com denominadores iguais a maior fração é a que tem o maior numerador.

Daí, 912

> 812

> 612

Então: 34

> 23

> 12

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Espírito Santo

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20 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Adição e Subtração de Frações A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos": 1º As Frações tem o mesmo Denominador.

Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador.. Exemplo:

25

15

+ = 2 15

35

+ =

67

47

− = 6 47

27

− =

2º As Frações tem Denominadores diferentes.

Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se como no 1º caso. Exemplo:

2 + 3 = 8 + 9 = 17 3, 4 2 3 4 12 12 12 3, 2 2 3, 1 3 1, 1 12

3º Números Mistos.

Transformam-se os números mistos em frações impróprias e procede-se como nos 1º e 2º casos. Exemplo:

+ + 2 1 + 1 1 3 4 x x 7 + 5 = 28 + 15 = 43 = 3 7 3 4 12 12 12 12

Atenção: Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possível.

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 21

Multiplicação de Frações A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra fração, obtida da seguinte forma: O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la. Exemplo:

23 5

21

15

251

13/

× = × =/

//

×/ //

×//

= × × = =65

103

69

21

21

23

83

2 23

2

1

2

1

2

3

Divisão de Frações Ordinárias O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Para isso, exige-se: 3º - Transformar os números mistos em frações impróprias. 4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes. 5º - Simplificar. 6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre

si. 7º - Extrair os inteiros. Exemplo:

34

57

34

75

2120

1 120

÷ = × = =

8 14

3 334

31

334

13

114

2 34

11

1÷ = ÷ =

/ /×

/= =

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

22 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Atenção: Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado. Exemplo:

34

41

34

14

316

" " ""

÷ = × =

Partes Fracionárias de um Número Observe:

23

15 23

151

101

5

de =/

×/ /

=

Para determinar partes fracionárias de um número, devemos multiplicar a parte fracionária pelo número dado.

Frações - Exercícios 1) Observando o desenho, escreva o que se pede:

a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais. b) As partes sombreadas representam ................... partes

desse inteiro. c) A fração representada é: ......................... d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro

foi dividido é o .................. e) O termo da fração que indica quantas dessas partes

foram tomadas é o .................. 2) Escreva as frações representadas pelos desenhos:

a) c)

������������������������

���������������

���������������������

������������������������������

������������������

������������

���������������������������������

������������

������������������

����������������

����������

��������������

��������������������

������������

��������

����������������

����������

��������������

��������������������

������������

��������

b) d)

Page 23: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 23

3) Represente com desenho as seguintes frações:

78

23

19

54

12

4) Complete com a palavra correta:

a) Frações próprias são frações cujo numerador é ....................... que o denominador.

b) Frações próprias representam quantidades ...................... que a unidade.

c) Frações impróprias são frações cujo numerador é ........................ que o denominador.

d) Frações impróprias representam quantidades ......................... que a unidade.

5) Numa pizzaria, Luís comeu 12

de uma pizza e Camila comeu

24

da mesma pizza.

a) Quem comeu mais?......................................................... b) Quanto sobrou da pizza? ................................................

6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):

a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1. b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por

um número misto.

c) ( ) 13

é uma fração.

d) ( ) 31

é uma fração.

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Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

24 Companhia Siderúrgica de Tubarão

7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes:

a) 34

....................................................................................

b) 58

....................................................................................

c) 12

....................................................................................

d) 5100

................................................................................

8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou

aparente:

a) 23

.....................................................................

b) 52

.....................................................................

c) 84

.....................................................................

d) 1215

....................................................................

e) 246

....................................................................

9) Circule as frações equivalentes a:

a) 2 = 10 3 5 8 6 5 25 4 20 20 15

b) 6 = 2 18 7 30 1 7 5 21 9 35 7

Page 25: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 25

10) Identifique as funções com o nº correspondente abaixo:

1. fração ordinária 2. fração decimal

( ) ( ) ( ) ( )12

710

3591000

635

11) Transforme os números mistos em frações impróprias:

a) 2 79

= b) 3 12

= c) 5 713

=

d) 118

= e) 12 34

=

12) Extraia os inteiros das frações:

a) 175

=

b) 387

=

c) 874

=

d) 2513

=

e) 4219

=

13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:

a) 46

=

b) 615

=

c) 814

=

d) 1428

=

e) 936

=

Page 26: Apostila SENAI

Espírito Santo

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26 Companhia Siderúrgica de Tubarão

14) Reduza as frações ao mesmo denominador:

a) 14

56

, =

b) 18

316

, =

c) 35

68

, =

d) 12

516

312

, , =

e) 34

616

35

, , =

15) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:

a) 24

34

14

104

, , , ;

b) 36

310

32

31

312

, , , , ;

c) 110

38

25

18

315

, , , , ;

d) 1 516

118

56

115

, , , ;

16) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo,

entre elas, os sinais < ou > ou = :

a) 15

45

b) 32

73

c) 52

43

d) 64

75

e) 39

19

f) 15

16

g) 34

54

h) 27

215

i) 711

35

j) 27

1035

Page 27: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 27

17) Descubra e escreva qual é a maior fração:

a) 35

23

ou b) 12

29

ou

c) 34

56

ou d) 610

36

ou

18) Circule as frações menores do que um inteiro:

13

98

212

812

74

95

19) Observe as figuras e escreva as frações representadas:

Complete: Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Essas frações são denominadas ................................................. 20) Numere a 1ª coluna de acordo com a fração equivalente na

2ª:

( ) 23

( a ) 2832

( ) 12

( b ) 2540

( ) 78

( c ) 1664

( ) 14

( d ) 69

( ) 58

( e ) 816

Page 28: Apostila SENAI

Espírito Santo

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28 Companhia Siderúrgica de Tubarão

21) Torne as frações irredutíveis:

a) 2432

=

b) 100128

=

c) 1215

=

d) 432

=

e) 4864

=

f) 25100

=

22) Circule as frações irredutíveis:

13

46

1215

1213

78

1824

18

, , , , , ,

23) Determine a soma:

a) 516

316

716

+ + b) 23

45

12

+ + c) 38

716

1532

+ +

24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:

a) 2 12

134

+ + =

b) 1316

1 5 18

+ + =

c) 253

114

1+ + =

d) 2 12

23

14

+ + =

Page 29: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 29

25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade? Exemplo:

58

88

58

38

→ − =

a ) 14

b) 1316

c ) 532

d) 1764

26) Efetue as subtrações indicadas:

a) 1510

310

− =

b) 79

59

− =

c) 85

27

− =

d) 3 413

112

− =

e) 5 23

18

− =

27) Resolva:

a) 12

35

14

x x =

b) 25

97

1427

x x =

c) 521

310

715

x x =

d) 34

2 25

x x =

e) 3 12

516

35

x x =

Page 30: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

30 Companhia Siderúrgica de Tubarão

28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em

sentido longitudinal medindo cada uma 5 34′′ ?

29) Calcule:

a) 2 23

112

÷ =

b) 3 12

2 35

÷ =

c) 4 23

5 12

÷ =

d) 6 13

5 12

÷ =

e) 1516

5÷ =

f) 2 13

7÷ =

g) 310

15

÷ =

h) 24

32de =

i) 57

350de =

j) 13

930de =

Page 31: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 31

30) Leia com atenção os problemas e resolva:

a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos

quilômetros percorrerá com 10 12 litros?

b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 35

deles.

Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c) Coloquei 612

de minhas ferramentas em uma caixa, 24

em outra caixa e o restante deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

Page 32: Apostila SENAI

Espírito Santo

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32 Companhia Siderúrgica de Tubarão

d) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 25

da

gasolina para trabalhar e 15

para passear no final de

semana. Quanto sobrou da gasolina no tanque?

e) Numa oficina havia 420 veículos, 14

eram caminhões.

Quantos caminhões havia na oficina?

f) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: 12

correspondem aos lápis vermelhos, 15

são lápis azuis e

14

são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis

na caixa?

Page 33: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 33

Números Decimais Conceito e Leitura Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu denominador é o número 10 ou potência de 10. Exemplos:

510

Lê-se cinco décimos

451000

Lê-se quarenta e cinco milésimos

As frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal". Exemplos:

110

01= , Lê-se um décimo

1100

0 01= , Lê-se um centésimo

11000

0 001= , Lê-se um milésimo

Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro.

...Milhão Centena Dezena Unidade Simples

Décimo Centésimo Milésimo...

... 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001... Em um número decimal:

• Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira.

• Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal.

Exemplo:

Parte inteira → 12,63 ← Parte decimal

Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos.

Page 34: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST34 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da seguinte maneira: 1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe. 2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte

decimal, acrescentando o nome da ordem do último algarismo.

Exemplos: a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos. b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos. c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos. Observações: 1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou

suprimirmos zeros à direita do último algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número

decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (s) a sua direita.

Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00

Transformação de Fração Decimal em Número Decimal Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos:

a) 2510

2 5= , b) 431000

0 043= ,

c) 1351000

0135= , e) 2343100

23 43= ,

Transformação de Número Decimal em Fração Decimal Para se transformar um número decimal numa fração decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de ordens (casas) decimais.

Page 35: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 35

Exemplos:

a) 0 34 34100

, = b) 5 01 501100

, =

c) 0 01 1100

, = d) 21057 210571000

, =

Operações com Números Decimais Adição e Subtração Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem números naturais. Observações: Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do último algarismo. Exemplos: a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970 + 47,502 51,472 b) 4,51 - 1,732 = 2,778 4,510 - 1,732 2,778

Page 36: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

36 Companhia Siderúrgica de Tubarão

No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos: 4,310 5,200 + 17,138 26,648

Multiplicação Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma: 1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem

naturais; 2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a

esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das ordens decimais dos fatores.

Exemplo: 0,012 x 1,2 = 0,012 3 ordens decimais x 1,2 + 1 ordem decimal 0024 + 0012 0,0144 4 ordens decimais Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos:

a) 2,35 × 10 = 23,5 b) 43,1 × 100 = 4310 c) 0,3145 × 1000 = 314,5

Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante até o último fator. Exemplo: 0,2 × 0,51 × 0,12 = 0,01224

Page 37: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 37

Divisão Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo: 1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do

divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vírgulas; 3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos. Atenção: Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente. 1º Exemplo: 3,927 ÷ 2,31 = 1,7 3,927 2,310 16170

0000 1,7

2º Exemplo: 47,76 ÷ 24 = 1,99 47,76 24,00 23 7

2 16 00

1,99

Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos:

a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma ordem para esquerda.

47,235 ÷ 10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas

ordens para a esquerda. 58,4 ÷ 100 = 0,584

Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto é da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo: 39,276 ÷ 0,7 = 56,108 resto 0,004

39,276 0,700 4 2 07 060 0,004

56,108

Page 38: Apostila SENAI

Espírito Santo

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38 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Números Decimais - Exercícios 1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais:

a) Um inteiro e três décimos.............................................. b) Oito milésimos............................................................... c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos ................. d) Dezoito inteiros e cinco milésimos................................. e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos .................

2) Represente em forma de números decimais:

a) 97 centésimos = b) 8 inteiros e 5 milésimos = c) 2 inteiros e 31 centésimos = d) 475 milésimos =

3) Observe os números decimais e complete com os sinais:

> < =

a) 1,789 ......................................................... 2,1 b) 3,78 ......................................................... 3,780 c) 4,317 ......................................................... 43,27 d) 42,05 ......................................................... 42,092 e) 8,7 ......................................................... 8,512

4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações

decimais:

a) 36100

= ..........................................................

b) 51000

= ..........................................................

c) 3 810

= ..........................................................

Page 39: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 39

5) Escreva na forma de fração decimal:

a) 0,5 = ................... f) 8,71 = ................. b) 0,072 = ................... g) 64,01 = ................. c) 0,08 = ................... h) 347,28 = ................. d) 0,481 = ................... i) 0,12 = ................. e) 1,3 = ................... j) 0,201 = .................

6) Arme e efetue as adições:

a) 0,8 + 6,24 = b) 2,9 + 4 + 5,432 = c) 6 + 0,68 + 1,53 = d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =

7) Arme e efetue as subtrações:

a) 36,45 - 1,2 = b) 4,8 - 1,49 = c) 9 - 2,685 = d) 76,3 - 2,546 =

8) Arme, efetue:

a) 650,25 × 3,8 = b) 48 ÷ 2,4 = c) 0,60 ÷ 0,12 = d) 6,433 + 2 + 1,6 = e) 9 - 2,5 =

9) Resolva:

a) 36,4 + 16,83 + 2,308 = b) 93,250 - 1,063 = c) 67403 × 6,9 = d) 204,35 ÷ 48 =

Page 40: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ CST

40 Companhia Siderúrgica de Tubarão

10) Atenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos parênteses:

a) (0,8 - 0,3) + 0,5 = b) (1,86 - 1) + 0,9 = c) (5 - 1,46) + 2,68 = d) (1,68 + 3,2) - 2,03 = e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) = f) 0,4 - (0,2 × 0,35) =

11) Arme e efetue as operações:

a) 0,471 + 5,9 + 482,23 = b) 6,68 × 5,986 = c) 5,73 × 6,8 = d) 24,8 ÷ 6,2 =

12) Calcule:

a) 0,0789 × 100 = b) 0,71 ÷ 10 = c) 0,6 ÷ 100 = d) 8,9741 × 1000 =

13) Torne:

a) 3,85 dez vezes maior = b) 42,6 dez vezes menor = c) 0,153 dez vezes maior = d) 149,2 cem vezes menor = e) 1,275 mil vezes maior =

14) Resolva o problema: Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4 do carro no 1º dia, quanto ele pintou no 2º dia?

Page 41: Apostila SENAI

Espírito Santo

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___________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 41

15) Relacione os elementos por igualdade:

a) 3 110

b) 0,3

31100

3,1

310

3,01

3 1100

0,31

Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenças que são verdadeiras:

a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. b) Todos os elementos de A são maiores que zero. c) Nenhum elemento de B é menor que 1. d) Todos os elementos de B são menores que 10.

16)

a) 8 210

b) 0,82

8 2100

8,002

821000

82100

8,02 0,082

8 21000

8,2

a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva verdadeiro ou falso.

1- Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. 2- Todos os elementos de B são maiores que zero. 3- Nenhum elemento de B é menor do que 1. 4- Todos os elementos de A são maiores que 10.

Page 42: Apostila SENAI

Espírito Santo

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42 Companhia Siderúrgica de Tubarão

17) Arme e efetue as operações abaixo:

a) 3 ÷ 0,05 = b) 6,52 × 38 = c) 26,38 + 2,953 + 15,08 = d) 7,308 - 4,629 = e) 63,50 ÷ 4,9 =

18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:

a) 2,4 ÷ 0,12 = b) 5,85 ÷ 0,003 = c) 0,3 ÷ 0,008 = d) 48,6 ÷ 0,16 =

Page 43: Apostila SENAI

Espírito Santo

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_________________________________________________________________________________________________ SENAIDepartamento Regional do Espirito Santo 43

Números Inteiros Relativos No estudo das operações com números naturais, você aprendeu que a subtração não pode ser efetuada quando o minuendo é menor do que o subtraendo.

5 - 9 = ? 1 - 2 = ? 3 - 8 = ? Para que a subtração seja sempre possível foi criado o conjunto dos números inteiros negativos.

- 1, - 2, - 3, - 4, .............................. Esses números negativos, reunidos com zero e com os números inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros relativos, cujo conjunto é representado por Z.

Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, .....} a) Conjunto dos números inteiros não negativos.

Z + = { 0, + 1, + 2, + 3, .............................} b) Conjunto dos números inteiros negativos.

Z - = { 0, - 1, - 2, - 3, ..................................}

O número zero (0) não é negativo nem positivo

Números Opostos ou Simétricos Observe: O oposto de +1 é -1 O oposto de +2 é -2 O oposto de +3 é -3 Β Β Β Β Β Β Β Β Β O oposto de +4 é -4 ... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ... RETA NUMERADA Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distância do zero.

Observação: O oposto de zero é o próprio zero.

Page 44: Apostila SENAI

Espírito Santo

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_________________________________________________________________________________________________ CST44 Companhia Siderurgica de Tubarão

Valor Absoluto Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural que o representa, sem o sinal.

EXEMPLOS: Indicação:

O valor absoluto de + 5 é 5 +5 = 5

O valor absoluto de - 5 é 5 −5 = 5

O valor absoluto de - 8 é 8 −8 = 8

O valor absoluto de zero é zero Verifique: 1) -3 está à esquerda de +1 -3 < +1 Então, -3 é menor que +1 2) +2 está à direita de -3 +2 > -3 Então + 2 é maior que -3 OUTROS EXEMPLOS: a) -2 < +2 b) 0 > -4 c) -1 > -3

Operações com Números Inteiros Relativos

adição 1) Adição de números positivos

Observe os exemplos: a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7 b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5 c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9

Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que: A soma de dois números positivos é um número positivo.

Page 45: Apostila SENAI

Espírito Santo

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_________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamento Reional do Espirito Santo 45

2) Adição de números negativos Observe os exemplos: a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5 b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2 c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9

Verificando os resultados acima, podemos concluir que: A soma de dois números negativos é um número negativo. 3) Adição de números com sinais diferentes

Observe os exemplos: a) ( +6 ) + ( -1 ) = +5 b) ( +2 ) + ( -5 ) = -3 c) ( -10) + ( +3) = -7

Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto. Conclusão:

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

Subtração A operação de subtração é uma operação inversa da adição. EXEMPLOS:

a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4 b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15 c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7

Conclusão:

Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o simétrico do segundo.

Page 46: Apostila SENAI

Espírito Santo

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_________________________________________________________________________________________________ CST 46 Companhia Siderurgica de Tubarão

Expressões com Números Inteiros Relativos Lembre-se que os sinais de associação são eliminados, obedecendo à seguinte ordem:

1º - Parênteses ( ) 2º - Colchetes [ ] 3º - Chaves { } EXEMPLOS 1) +10 - (-4 + 6)

+10 - (+2) +10 - 2 = +8

2) (+7 -1) + (-3 +1 -5) (+6) + (-7) +6 - 7 = -1

3) 10 + [-3 +1 - (-2 +6)] 10 + [-3 +1 - (+4)] 10 + [-3 +1 -4] 10 + [-6] 10 -6 = +4

Multiplicação Consideremos os seguintes casos: 1) Multiplicação de dois números positivos:

a) (+5) . (+2) = +10 ( + ) . ( + ) = + b) (+3) . (+7) = +21 ( - ) . ( - ) = + ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = -

Conclusão:

O produto de dois números positivos é um número positivo.

2) Multiplicação de dois números negativos:

a) (-3) . (-5) = +15 b) (-8) . (-2) = +16 c) (-7) . (-1) = +7

Conclusão:

O produto de dois números negativos é um número positivo.

Page 47: Apostila SENAI

Espírito Santo

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SENAI Departamento Regiona l do Espirito Santo 47

3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes:

a) (+3) . (-2) = -6

b) (-5) . (+4) = -20

c) (+6) . (-5) = -30

d) (-1) . (+7) = -7

Conclusão:

O produto de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo.

Multiplicação com mais de dois números Relativos Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator. EXEMPLOS

a) (+3) . (-2) . (+5)

(-6) . (+5) = -30

b) (-5) . (+4) . (-9)

(-20) . (-9) = +180

Divisão Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Observe:

a) (+12) ÷ (+4) = (+3) porque (+3) . (+4) = +12

b) (-12) ÷ ( -4) = (+3) porque (+3) . (-4 ) = -12

c) (+12) ÷ ( -4) = (-3 ) porque (-3 ) . (-4 ) = +12

d) (-12 ) ÷ (+4) = (-3 ) porque (-3) . (+4) = -12

Page 48: Apostila SENAI

Espírito Santo

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Divisão ( + ) ÷ ( + ) = +

( - ) ÷ ( - ) = +

( + ) ÷ ( - ) = -

( - ) ÷ ( + ) = - Observações:

1) A divisão nem sempre é possível em Z (+9) ÷ (-2 ) = ( ∉ Z )

∉ → Lê-se: não pertence.

1) O zero nunca pode ser divisor (+5) ÷ 0 é impossível (-2 ) ÷ 0 é impossível

Exercícios - Números Inteiros Relativos Calcule:

a) ( +5 ) + ( -3 ) - ( +2 ) + ( -1 ) = b) 10 + { 5 -( -3 +1) } = c) 23 - { 1 + [ 5 - (+3 -2 +1 ) ] } =

d) ( +5 -3 ) ÷ ( -1 +3 ) =

e) ( -16 ÷ -8 ) . ( +3 . -4 ) =

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito Santo 49

Medidas de ângulos Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação: m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda. 1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’) 1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)

Simbolicamente:

• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’

• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20’ 45”.

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Espírito Santo

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CST 50 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios 1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo

transferidor:

a) m (AÔB) = b) m (AÔB) = c) m (AÔB) = d) m (AÔB) =

a) m (AÔB) = b) m (AÔB) = c) m (AÔB) = d) m (AÔB) =

Operações com medidas de ângulos Adição 1) Observe os exemplos: 17º 15’ 10” + 30º 20’ 40”

17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” 47º 35’ 50”

2) 13º 40’ + 30º 45’

13º 40’ + 30º 45’ 43º 85’ + 1º 25’ 44º 25’

Page 51: Apostila SENAI

Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito Santo 51

Exercícios 1) Calcule as somas:

a) 49º + 65º = b) 12º 25’ + 40º 13’ = c) 28º 12’ + 52º 40’ = d) 25º 40’ + 16º 50’ =

e) 23º 35’ + 12º 45’ = f) 35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” = g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” = h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” =

Subtração Observe os exemplos:

1) 58º 40’ - 17º 10’ 58º 40’ - 17º 10’ 41º 30’

2) 80º - 42º 30’ 79º 60’ - 42º 30’ 37º 30’

Exercícios 1) Calcule as diferenças:

a) 42º - 17º = b) 48º 50’ = 27º 10’ = c) 12º 35’ - 13º 15’ = d) 30º - 18º 10’ =

a) 90º - 54º 20’ = b) 120º - 50º 20’ = c) 52º 30’ = 20º 50’ = d) 39º 1’ - 10º 15’ =

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Espírito Santo

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CST52 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Multiplicação de um ângulo por um número Observe os exemplos:

1) 17º 15’ x 2 17º 15’ x 2 34º 30’

2) 24º 20’ x 3 24º 20’ x 3 72º 60’ 1º 73º

Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?

Exercícios 1) Calcule os produtos:

a) 25º 10’ x 3 = b) 44º 20’ x 2 = c) 35º 10’ x 4 = d) 16º 20’ x 3 =

a) 28º 30’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 = c) 15º 30’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =

Divisão de um ângulo por um número Observe os exemplos:

36º 30’ ÷ 3 36º 30’ 3 0 0 12º 10’

39º 20’ ÷ 4 39º 20’ 4 3º 180’ 9º 50’ 200’ 00

Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷÷÷÷ 20º = ?

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 53

Exercícios 1) Calcule os quocientes:

a) 48º 20’ ÷ 4 =

b) 45º 30’ ÷ 3 =

c) 75º 50’ ÷ 5 =

a) 55º ÷ 2 =

b) 90º ÷ 4 =

c) 22º 40’ ÷ 5 = 2) Calcule:

a) 23

de 45º =

b) 57

de 84º =

a) 34

de 48º 20’ =

b) 32

de 15º 20’ =

Ângulos Congruentes Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.

A

B

O30º

O

C

D

30º

Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)

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Espírito Santo

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CST54 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

O

A

B

M

Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.

Exercícios 1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do

ângulo dado.

a)

O

A

B

M4X + 5º

37º

b)

O

A

B

M3XX + 20º

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SENAI

Departamento Regional do Esípírito Santo 55

2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do ângulo dado.

a)

O

A

B

M3X5X - 20º

b)

O

A B

C

35º

- 5ºx2

Ângulos Reto, Agudo e Obtuso Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.

• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.

• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.

ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO

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Espírito Santo

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CST56 Compoanhia Siderúrgica de Tubarão

Retas Perpendiculares Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

Indicação: r ⊥ s

Significa: r perpendicular a s.

Ângulos Complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

A

B

CO

Exemplos:

• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º

• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito Santo 57

Exercícios: 1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um

ângulo (medido em graus):

a) 2x = 90º b) 4x + 10º = 90º c) 5x - 20º = 1º + 2x d) x = 2 (90º - x)

e) 4 (x + 3º) = 20º f) (3x - 20º) + 50º = 90º g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)

2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:

• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao dobro do seu complemento.

Solução: Medida do ângulo = x Medida do complemento do ângulo = 90º - x

x = 2 ( 90º - x ) Resolvendo a equação: x

x x + 2x

3x x

= 2 (90º - x) = 180º - 2x = 180º = 180º = 60º

Resposta: 60º a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu

complemento. Quanto mede esse ângulo ? b) A medida de um é a metade da medida do seu

complemento. Calcule a medida desse ângulo.

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Espírito Santo

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CST58 Companhia Siderúrgica de Tubarão

c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu

complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo. e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.

Qual a medida do ângulo ? f) Dois ângulos complementares têm suas medidas

expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto medem esses ângulos ?

Ângulos Suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

m (AÔB) + m (BÔC) = 180º

C

B

OA Exemplos:

• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º

• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento regional do Espírito Santo 59

Exercícios: 1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:

a)

2x - 40º

3x - 10º

2) Calcule x:

a)

2x

5x - 4º 3x2x - 2º

3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a

medida do seu suplemento. 4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu

suplemento. Calcule esse ângulo. 5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu

suplemento.

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Espírito Santo

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CST60 Companhia Siderúrgica de Tubarão

6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.

7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do

suplemento desse ângulo é 250º

8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 23

do

seu suplemento. 9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é

110º. Quanto mede o ângulo ?

Ângulos opostos pelo vértice Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice. Na figura:

• â e ∃c são opostos pelo vértice.

• ∃m e ∃n são opostos pelo vértice.

∃m ∃n

∃c

∃a

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Éspírito Santo 61

Triângulos Conceito

Triângulo é um polígono de três lados.

A

CB

Na figura acima:

• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.

• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.

• Os ângulos ∃A , ∃B e ∃C são ângulos internos do triângulos.

Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.

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Espírito Santo

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CST

62 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Ângulo Externo Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.

A

C B

m

Na figura acima ∃m é um ângulo externo.

Perímetro O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados.

Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC

Classificação dos Triângulos Quanto aos lados os triângulos se classificam em:

• Equilátero quando tem os três lados congruentes.

• Isósceles quando tem dois lados congruentes.

• Escaleno quando não tem lados congruentes.

A

C BCBCB

AA

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 63

Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:

• Acutângulo quando tem três ângulos agudos

• Retângulo quando tem um ângulo reto.

• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.

TS

R RR

S ST T

ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO

Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa.

A

B C

HipotenusaCateto

Cateto

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Espírito Santo

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CST 64 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios: 1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o

perímetro do ∆ ABC é 48cm.

A

C B

x

2 x

15

2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento

do menor lado.

R

S T

x

x + 7

x + 3

3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos

ângulos:

CB

AA

BC

80º

60º 40º 35º45º

100º

A

B C

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 65

4) Observe a figura e responda:

A

B C

a) Que nome recebe o lado BC ?

b) Que nome recebem os lados AB e AC ? 5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?

Condição de existência de um Triângulo Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados.

Exemplo: Seja o triângulo: A

B C

2 cm

4 cm

3 cm

Page 66: Apostila SENAI

Espírito Santo

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_________________________________________________________________________________________________ CST 66 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois. Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7

2 < 3 + 4 ou 2 < 7 2 < 3 + 4 ou 2 < 7

Para verificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.

A B7 cm

2 cm

4 cm

É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados medem 7cm, 4cm e 2cm.

Elementos notáveis de um triângulo • Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice

ao ponto médio do lado oposto.

R

S TM

mediana

R

S T

baricentro

Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro.

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 67

• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.

R

S TP

bissetriz

R

S T

incentro

Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro.

• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.

R

S T

altura

R

S T

altura

TS

R

ortocentro

Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro.

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Espírito Santo

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CST 68 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.

60º40º

80º

B

A C 80º + 40º + 60º = 180º

B

CA

30º

60º

30º + 60º + 90º = 180º

Note que: m ( ∃A ) + m ( ∃B ) + m ( ∃C ) = 180º Vamos à demonstração desse teorema.

Teorema

Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º.

Prova: consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que m ( ∃A ) + m ( ∃B ) + m ( ∃C ) = 180º

A

B C

s

A21

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 69

a ) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC .

m ( ∃1) + m ( ∃A ) + m ( ∃2 ) = 180º 1

Note que: m ( ∃1) ≅ m ( ∃B ) (alternos internos) 2

m ( ∃2 ) ≅ m ( ∃C ) (alternos internos) 3

b ) Temos que:

c ) Substituindo 2 e 3 em 1, temos:

m ( ∃A ) + m ( ∃B ) + m ( ∃C ) = 180º

Exercícios: 1) Calcular x no triângulo abaixo:

B

A C

80º

x 30º

Page 70: Apostila SENAI

Espírito Santo

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CST 70 Companhia Siderúrgica de Tubarão

2) Calcular x no triângulo abaixo:

R

ST

5x

4x45º

3) Calcular x no triângulo abaixo:

P

R Q

5x - 50º

x + 10º x

4) Determine a medida dos ângulos x, y e z.

a)

A

B C

yx

45º60º

Page 71: Apostila SENAI

Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 71

b)

A B

C

D E

35º

105º

50º

x

z

y

c)

A

B C

y

x 40º55ºD

30º

d)

Page 72: Apostila SENAI

Espírito Santo

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CST 72 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Quadrilátero Conceito

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

No quadrilátero ao lado, destacamos:

• vértice: A, B, C, D

• lados: AB , BC , CD e DA

• ângulos internos: ∃A , ∃B , ∃C e ∃D

• lados opostos: AB e CD , AD e BC

• ângulos opostos: ∃A e ∃C , ∃B e ∃D

A

D

C

B

Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.

B

A

C

D

Quadrilátero convexo

B

A

C

D

Quadrilátero não-convexo

Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 73

Diagonal O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado diagonal.

Na figura, AC e BD são diagonais.

D

B

CA

Exercícios 1) Observe o quadrilátero e responda:

a ) Quais são os lados ? b ) Quais são os vértices ? c ) Quais são os ângulos internos ? d ) Quais são as diagonais indicadas ?

M P

NO

2) Considere o quadrilátero ABCD.

a ) Nomeie os dois pares de lados opostos.

b ) Nomeie os dois pares de ângulos

opostos.

A B

C D

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Espírito Santo

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CST 74 Companhia Siderúrgica de Tubarão

3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede

cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1 e 2x - 4 ?

Soma dos ângulos internos de um quadrilátero ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em dois triângulos. Veja: B

A

D C

A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero. Logo:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 180º + 180º = 360º

Page 75: Apostila SENAI

Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 75

Exercícios: 1) Na figura abaixo, calcular o valor de n.

D A

C B

2x

x

2) Na figura abaixo, calcular o valor de n.

a)

E F

G H

110º

x

120º

60º

b)

E F

HG

130º

x

3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:

a)

E F

G H

5x

4x

6x

3x

b)

R S

T U

60º

5x

Page 76: Apostila SENAI

Espírito Santo

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CST 76 Companhia Siderúrgica de Tubarão

4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:

a)

N

R

SM

130º

120º

95º

x

b)

E

F

HG

110º

130º z

y

x

5) Calcule x na figura:

80º

40º 20º

x

x + 20º

6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que

eles medem x, 2x, x2

e 32x .

Paralelogramos Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

A C

DB

Na figura, temos:

AB CD

AC BD

Page 77: Apostila SENAI

Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 77

Tipos de Paralelogramos • Retângulo - Possui quatro ângulos retos.

• Losango - Possui os quatro lados congruentes.

• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos.

Retângulos

Losango

Quadrado

Note que:

• Todo quadrado é um losango.

• Todo quadrado é um retângulo.

Teorema:

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Prova: Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que ∃A ≅ ∃C e ∃B ≅ ∃D

A C

DB

12

43

a ) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos ABD e CDB.

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Espírito Santo

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CST 78 Companhia Siderúrgica de Tubarão

b ) Temos:

• ∃1 ≅ ∃4 (alternos internos)

• BD ≅ BD (comum)

• ∃2 ≅ ∃3 (alternos internos)

A . L . A . ∆ ABD ≅ ∆ CDB

Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: ∃A ≅ ∃C .

• ∃1 ≅ ∃4

• ∃2 ≅ ∃3

⇒ ∃1 + ∃4 ≅ ∃2 + ∃3

Logo: ∃B ≅ ∃D

Exercícios: 1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

A B

CD

y

z

x

50º

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 79

2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

P Q

SR

3x - 10º

x - 50º

3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.

x

y

w

z

110º

70º 110º

70º

4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes? 5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:

a)

B C

DA

60º

b)

QP

S R

142º

6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:

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Espírito Santo

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CST 80 Companhia Siderúrgica de Tubarão

a)

R S

UT

x + 70º

2x + 10º

b)

R S

UT

2x + 8º

3x - 10º

7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:

a)

R S

UT

3x

b)

R S

UT

2x + 25º 5x + 20º

7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:

a)

R

US

T

5x

x

b)

R

US

T

2x + 20º

y z

x + 80º

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 81

Trapézio Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que são chamados de base).

A

D C

altura

base menor

base maior

B

Na figura, temos:

AB CD

A distância entre as bases chama-se altura.

Tipos de Trapézio • Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.

• Retângulo - Tem dois ângulos retos.

• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.

E

H G

Trapézio Isósceles

F

E

H G

Trapézio Retângulo

F

E

H G

Trapézio Escaleno

F

Exercícios: 1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?

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Espírito Santo

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CST 82 Companhia Siderúrgica de Tubarão

2) Calcule o valor de x nas figuras:

a)

R

U T

S

2x 2x

xx

b)

S

T U

R

x

30º

3) Calcule o valor de x nas figuras:

a)

R

UT

S

2x

x + 30º

b)

S

T U

R

x

110º

4) Responda:

a) Quantos lados possui um quadrilátero ? b) Quantos vértices possui um quadrilátero ? c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?

5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um

quadrilátero?

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 83

6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:

a)

E

H G

F

150º

50º

x

60º

b)

E

H G

F

2x 110º

70ºx

c)

G

F E

H

2x 2x

xx

d)

E F

HG

x

x

3x

3x

7) Calcule o valor de x nos quadriláteros:

a)

A

D

B

3x 2x

120ºx

C

b)

F

HG

E

x

105º

80º

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Espírito Santo

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CST 84 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Polígonos Convexos Polígonos Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não colineares no qual os extremos do primeiro e do último coincidem.

Exemplos:

Polígonos convexos

Polígonos não-convexos

Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um polígono é convexo quando qualquer segmento com extremidades no polígono está contido nele.

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Espírito Santo

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SENAI Departamento Regional do Espírito Santo 85

Elementos de um Polígono Observe o polígono ABCDE:

• A, B, C, D, E são os vértices.

• ∃A , ∃B , ∃C , ∃D , ∃E são os ângulos internos.

• AB , BC , CD , DE , EA são os lados.

B

D E

A C

vérticelado

Nomes dos Polígonos Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais:

nome nº de lados

triângulo ..................................................... 3 quadrilátero ................................................ 4 pentágono .................................................. 5 hexágono ................................................... 6 heptágono .................................................. 7 octógono .................................................... 8 eneágono ................................................... 9 decágono .................................................. 10 undecágono .............................................. 11 dodecágono .............................................. 12 pentadecágono ......................................... 15 icoságono .................................................. 20

• O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices.

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Espírito Santo

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CST 86 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios 1) Quais são os polígonos convexos ? a)

b)

c)

2) Responda:

a) Quantos lados tem um hexágono ? b) Quantos lados tem um undecágono ? c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ? d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?

3) Como se chama um polígono de:

a) 5 lados ? b) 12 lados ? c) 7 vértices ? d) 20 vértices ?

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de triângulos é sempre o número de lados menos dois. Veja:

A

B

C

D1

2

4 lados ⇒ 2 triângulos

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito santo 87

Circunferência e Círculo Circunferência Circunferência é o conjunto de pontos de um plano, equidistantes de um ponto do plano chamado centro.

Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra em um ponto da circunferência chamado de raio.

0A

raio

Na figura:

• O é o centro da circunferência.

• OA e o raio.

• Indicação: C (O, r) (significa: circunferência de centro O e raio r)

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Espírito Santo

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CST 88 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Corda do diâmetro • Corda é o segmento cujas extremidades pertencem à

circunferência.

• Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência. Na figura ao lado:

• AB e RS são cordas.

• MN é diâmetro.

A

M

R

BN

S

diâmetro

corda

corda

Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio, ou seja:

D = 2 r

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito Santo 89

Círculo Observe as figuras e seus respectivos nomes:

circunferência

interior ou conjunto

dos pontos internos

círculo

Círculo é a união da circunferência e seu interior.

Convém destacar que:

• Todo ponto da circunferência pertence ao círculo.

• Existem pontos do círculo que não pertencem à circunferência.

• O centro, o raio e o diâmetro da circunferência são também centro, raio e diâmetro do círculo.

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Espírito Santo

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CST90 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Exercícios 1) Observe a figura e responda:

E

M

F

G

O

a) Quais segmentos são raios ? b) Quais segmentos são cordas ? c) Quais segmentos são diâmetros ?

2) Dos pontos indicados na figura ao lado:

S

A

B

E

OR

C

M

T

a) Quais são internos à circunferência ? b) Quais pertencem à circunferência ? c) Quais são exteriores à circunferência ?

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Espírito Santo

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SENAI

DepartamentoRegional do Espírito Santo 91

3) Determine:

a) O diâmetro de uma circunferência cujo raio mede 4,5cm.

b) O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 17cm.

c) O diâmetro de um circunferência cujo raio é igual a x.

4) O diâmetro da circunferência mede 7cm e o segmento OP mede 12cm.

O

M

P

Qual a medida do segmento MP ?

5) O raio de uma circunferência é dado por r = 2x - 6. Se o diâmetro mede 20cm, calcule x.

Posições relativas de uma reta e uma circunferência Uma reta r e uma circunferência C podem ocupar as seguintes posições:

a ) C ∩ r = { A, B } (dois pontos comuns)

Dizemos que:

A reta é secante à circunferência.

A B

r

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Espírito Santo

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CST 92 Companhia Siderúrgica de Tubarão

b ) C ∩ r = { A } (um ponto comum)

Dizemos que:

A reta é tangente à circunferência.

A

r

c ) C ∩ r = { ∅ } (não há ponto comum)

Dizemos que:

A reta é extrema à circunferência.

r

Propriedade: Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

rP

O

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito Santo 93

Posições relativas de duas circunferências Duas circunferências distintas podem ser:

a ) Secantes: têm dois pontos comuns.

M

N

C C’

C ∩ C’ = { M, N }

b ) Tangentes: têm único ponto comum.

tangentes exteriores

MC C’

C ∩ C’ = { M }

tangentes interiores

M

C

C’

c ) Não-secantes: não têm ponto comum.

exteriores

C C’

C ∩ C’ = ∅

interiores

C C’

Page 94: Apostila SENAI

Espírito Santo

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CST94 Companhia Siderúrgica de Tubarão

Caso particular: Duas circunferências não-secantes e que têm o mesmo centro são chamadas concêntricas.

C1C2

O =1

O2

Exercícios: 1) Observe a figura e classifique:

F

E

G

P

H

s

r

t

o

o C2

C1

a) A reta s em relação à circunferência C2.

b) A reta r em relação à circunferência C2.

c) A reta r em relação à circunferência C1.

d) A reta t em relação à circunferência C1.

e) A reta s em relação à circunferência C1.

f) A reta t em relação à circunferência C2.

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Espírito Santo

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SENAI

Departamento Regional do Espírito Santo 95

2) Observe a figura e responda:

R

S

P QT

C1 C2

C3

C4

C5

a) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C2 ? b) Qual a posição relativa entre as circunferências C2 e C3 ? c) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C3 ? d) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C4 ? e) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C5 ?

Arcos Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessa partes é denominada arco.

arco menor arco maior

Indicação: AB

Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.