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AUPES - Associao Unificada Pirassununguense de Ensino Superior
FEAP Faculdade de Engenharia Agrimensura de Pirassununga
TOPOGRAFIA APLICADA AO GEORREFERENCIAMENTO
Prof. Eng. Paulo Augusto F. Borges Engenheiro Agrimensor
CUIAB MT MARO 2005
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2
SUMRIO 1. INTRODUO
...............................................................................................................
3
2.
OBJETIVOS....................................................................................................................
4
3. CONCEITOS GERAIS SOBRE CARTOGRAFIA E
GEODSIA........................... 4
3.1. Generalidades sobre Geodsia e Cartografia.
........................................................... 4 3.2.
Superfcie Fsica, Elipside, Esferide e Geide.
..................................................... 4 3.3.
Distino entre Mapas, Cartas e Plantas
...................................................................
5 3.4. Projees de
Mapas...................................................................................................
6
4.
TOPOGRAFIA................................................................................................................
8
4.1.
Definies..................................................................................................................
8 4.2. Objetivos e o Problema da
Topografia......................................................................
8 4.3. Diviso da
Topografia...............................................................................................
9 4.4. Sistemas de Coordenadas
........................................................................................
11 4.5. Medidas de ngulos e Distncias
...........................................................................
15 4.6. Orientao
...............................................................................................................
19
5. PLANO TOPOGRFICO LOCAL
............................................................................
23
5.1. Definio do Plano Topogrfico Local
...................................................................
23 5.2. Extenso do Sistema Topogrfico
Local.................................................................
24 5.3. O Sistema Topogrfico Local
.................................................................................
27
6. TRANSFORMAES DE COORDENADAS
.......................................................... 35
6.1. Transformaes de Coordenadas Geodsicas em Topogrficas
Locais.................. 35 6.1.1.
Problema..............................................................................................................
35 6.1.2.
Frmulas..............................................................................................................
35 6.2. Transformaes de Coordenadas Topogrficas Locais em
Geodsicas.................. 38 6.3. Determinao do Norte geogrfico a
partir das coordenadas plano retangulares no sistema topogrfico
local de pontos definidores dos azimutes planos (topogrficos)
........ 40 6.4. Exemplo de Transformao de coordenadas Geodsicas em
plano retangulares no sistema topogrfico
local:....................................................................................................
42 6.5. Exemplo de transformao de coordenadas planoretangulares -
sistema topogrfico local em coordenadas
geodsicas........................................................................................
46
7.
BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................
51
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1. INTRODUO
A obteno das coordenadas geodsicas de pontos na Superfcie fsica
da Terra,
utilizando o posicionamento por satlites atravs da tcnica de
posicionamento global GPS,
tem se tornado uma tarefa comum em vrios campos de aplicao,
inclusive para fins de
levantamentos topogrficos.
A prtica deste tipo de posicionamento tem demonstrado que
possvel obter
resultados com diferentes nveis de preciso, dependendo do
equipamento utilizado, da
metodologia adotada e do processamento empregado. Com a evoluo
dos receptores
geodsicos, melhores tcnicas de observao disponvel e dos modernos
e sofisticados
mtodos de ajustamento empregados, pde-se alcanar precises
(estatsticas) das
coordenadas na casa de centmetros, e em alguns casos, de
milmetros, desde que o
rastreamento das portadoras seja efetuado por perodos longos, e
se utilizem tcnicas de ps-
processamento dos dados.
Assim, o advento do uso de receptores GPS para fins de
levantamentos topogrficos
trouxe grandes facilidades para as prticas de
georreferenciamento de glebas, que se tornou
uma tarefa comum aos engenheiros do mensuramento e profissionais
de reas afins, devido
regulamentao da atual Lei de Registro de Terras 10.267 atravs do
decreto 4.449 de 30 de
outubro de 2002. Segundo a nova Lei, nos casos de
desmembramento, parcelamento ou
remembramento de imveis rurais, a identificao de um imvel rural
ser obtida a partir do
memorial descritivo, contendo as coordenadas dos vrtices
definidores dos limites dos
imveis rurais, georreferenciadas ao Sistema Geodsico
Brasileiro.
Com isso, tornou-se cotidiano a manipulao (transformao) de
coordenadas entre
diferentes sistemas, cabendo a ns, profissionais da rea do
mensuramento, dominar com
desenvoltura o processo de transformao de pontos geodsicos
caracterizados por suas
coordenadas geodsicas para coordenadas plano-retangulares no
Sistema Topogrfico Local e
vice-versa. Para tal fim, cabe salientar, portanto, que
primordial o conhecimento e o
domnio dos mtodos e as tcnicas convencionais aplicados aos
levantamentos topogrficos.
tambm de extrema importncia, dominar o Sistema de Projeo UTM,
evitando-se o seu
emprego generalizado, tal como a transformao das Coordenadas
Planas no Sistema UTM
para Coordenadas Planas no Sistema Topogrfico Local, com
aplicaes das correes
relativas ao fator de deformao linear (fator K) e ao fator de
elevao, porm, sem o
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estabelecimento de uma origem, abstraindo-se o efeito da
curvatura terrestre, o que ocasiona
erros alm do limite de preciso requerido pelo levantamento
topogrfico.
2. OBJETIVOS
O objetivo desta disciplina fornecer aos alunos do curso de
Topografia Aplicada, os
conhecimentos necessrios para dominar e manipular com
desenvoltura os trabalhos
relacionados execuo de servios de Levantamentos Topogrficos
voltados para o
georreferenciamento de imveis rurais em atendimento Lei 10.267.
Pretende-se apresentar
os conceitos e as tcnicas convencionais empregadas na Topografia
bem como explorar o uso
de novas tecnologias. Em funo do grande salto no desenvolvimento
tecnolgico das
tcnicas de posicionamento atravs de satlites, a partir da
introduo do sistema NAVSTAR-
GPS, cabe aos profissionais habilitados aos servios de medio,
demarcao e
georreferenciamento conhecer os procedimentos necessrios para
mesclar o uso dos
levantamentos coletados com receptores Geodsicos (GPS) com os
levantamentos executados
pelas tcnicas convencionais de Topografia, aplicando-se as
transformaes necessrias para a
gerao de uma representao em planta decorrente destes
levantamentos.
3. CONCEITOS GERAIS SOBRE CARTOGRAFIA E GEODSIA
3.1. Generalidades sobre Geodsia e Cartografia.
Geodsia a cincia que determina por meio de observaes, a forma e
o tamanho da
terra, as coordenadas dos pontos, comprimentos e direes de
linhas da superfcie da Terra e
as variaes do campo gravitacional terrestre. Esta se subdivide
em Geodsia Geomtrica,
Geodsia Fsica e Geodsia por Satlite ou Geodsia Celeste.
Cartografia a cincia e a arte de expressar graficamente, por
meio de cartas e mapas
o conhecimento humano da superfcie da Terra.
3.2. Superfcie Fsica, Elipside, Esferide e Geide.
1 - Superfcie Fsica: Superfcie ao longo da qual so realizadas as
operaes
Topogrficas, Geodsicas, etc.
2 - Elipside: Superfcie ao longo do qual so realizadas as
operaes geodsicas,
correspondentes a um modelo matemtico, o Elipside.
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Entre os diferentes tipos de se elipsides o Elipside de Revoluo
o mais usado na
geodsia em funo do tratamento matemtico ser menos sofisticado, o
qual corresponde a
uma superfcie gerada pela rotao de uma elipse em torno de seu
eixo menor. Para definir um
elipside necessrio conhecer os seus parmetros, ou seja, o seu
semi-eixo maior (a) e o
semi-eixo menor (b) ou o achatamento () onde a
b-a =
Figura 3.1 Elipside de Revoluo:
3 - Esferide: Em algumas ocasies, como o caso da topografia,
substitui-se o
Elipside pelo Esferide com a finalidade de facilitar as operaes
matemticas. Esta
superfcie corresponde a uma esfera com o raio mdio do Elipside,
que pode ser calculado
por NMR = , onde M o raio da seo meridiana e N o raio da seo
primeiro vertical. O esferide tambm pode ser calculado com o raio
mdio da regio.
Os valores de M e N podem ser calculados atravs das seguintes
expresses:
( )( )3022
2
1
1
seneeaM
=
0221 sene
aN
=
4 - Geide: a superfcie que mais se aproxima da forma da terra ou
ao nvel mdio
dos mares.
3.3. Distino entre Mapas, Cartas e Plantas
Para estes diferentes tipos de representaes podem-se estabelecer
os seguintes
conceitos:
a
b
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Mapa: a representao da Terra nos seus aspectos geogrficos
(naturais ou
artificiais) que se destina a fins culturais ou ilustrativos.
Este, portanto, no tem carter
cientfico especfico e elaborado em escala pequena cobrindo um
territrio mais extenso.
Carta: a representao dos aspectos naturais ou artificiais da
superfcie terrestre
destinada a fins prticos, permitindo a determinao precisa de
distncias, direes e
localizao geogrfica de pontos, reas e detalhes. similar ao mapa,
porm mais
especializado, com carter cientfico e construda em escalas
maiores.
Plantas: So representaes da superfcie terrestre em grandes
escalas, usadas com a
finalidade de mostrar limites verdadeiros e elementos
cadastrais, podendo omitir elevaes e
detalhes naturais ou artificiais desnecessrios. um desenho
puramente topogrfico, e em
geral de pequenas regies, normalmente menor que 100 Km2.
Para salientar a diferena entre desenho topogrfico e
cartogrfico, pode-se citar:
1- A dimenso da rea a ser representada: Para pequenas reas no se
leva em
considerao a esfericidade da Terra, enquanto que para as grandes
reas a esfericidade no
pode ser negligenciada.
2- O desenho topogrfico fornece uma planta topogrfica enquanto o
cartogrfico nos
fornece mapas ou cartas.
3.4. Projees de Mapas
A confeco de uma carta exige o estabelecimento de um mtodo,
segundo o qual, a
cada ponto da superfcie terrestre corresponde a um ponto da
carta, e vice-versa. Os mtodos a
serem utilizados para representar a superfcie da terra em um
plano so chamados sistemas de
projees. As projees podem ser classificadas quanto s
propriedades que conservam como
sendo:
Eqidistante: No apresenta deformaes lineares em umas ou algumas
direes,
portanto conserva as distncias.
Equivalentes: No apresenta deformaes superficiais, portanto
conserva as reas.
Conforme ou Ortomrfica: No apresenta deformaes angulares,
portanto preserva a
forma.
Afiltica: No preserva uma propriedade especfica, porm minimiza
as deformaes
em conjunto.
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Quanto Superfcie de Projeo adotada, as projees se classificam
em:
Planas ou Azimutais: O nome azimutal utilizado por se tratar de
uma projeo
conforme onde os azimutes so mantidos. Pode-se ter uma superfcie
de projeo plana
tangente ou secante.
Desenvolvimento: Este tipo de projeo pode ser classificado em
projees Cnicas
ou Policnicas, Cilndricas e Polidricas.
O sistema de Projeo Universal Tranverso de Mercator (UTM),
resultado da
modificao da Projeo Transversa de Mercator (TM) tambm conhecida
como projeo de
Gauss-Kruger.
um sistema de projeo conforme, cilndrica, que procura dar
continuidade nas reas
cobertas, com um nmero mnimo de zonas. Possui uma referncia nica
num sistema de
coordenadas plano-retangular para todas as zonas.
J o plano topogrfico se trata de uma projeo plana ou azimutal,
onde a superfcie de
projeo tangente ao ponto que determina a referncia (origem) do
sistema.
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4. TOPOGRAFIA
4.1. Definies
A palavra topografia deriva etimologicamente do grego TOPOS, que
significa lugar e
de GRAPHEN, que significa descrio. Desta derivao surge as
definies atribudas
Topografia:
Segundo UZEDA (1963), a Topografia a arte de representar em uma
folha de papel,
determinada superfcie do solo terrestre, com todos os detalhes
naturais e artificiais que a se
encontrem, dando, ao mesmo tempo, uma representao expressiva e
rigorosa do seu relevo.
A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimenso e
posio relativa
de uma poro limitada da superfcie terrestre, sem levar em conta
a curvatura resultante da
esfericidade terrestre (ESPARTEL, 1987).
Cita-se ainda definies mais elaboradas como:
Topografia a cincia aplicada, baseada na geometria e na
trigonometria plana, que
utiliza medidas de distncias horizontais, de diferenas de nvel,
de ngulos e de orientao,
com o fim de obter a representao, em projeo ortogonal sobre um
plano de referncia, dos
pontos que definem a forma, as dimenses e a posio relativa de
uma poro limitada do
terreno, sem considerar a curvatura da terra (LOCH e CORDINI,
1995).
4.2. Objetivos e o Problema da Topografia
O objetivo final da topografia a representao em planta de parte
da superfcie
terrestre visando a definio de limites naturais, dimenses e a
posio relativa dos pontos e
tambm a representao da prpria superfcie topogrfica (representao
do relevo) realizado
atravs das curvas de nvel.
Em funo deste objetivo surge o problema da topografia, que a
representao do
geide (uma superfcie curva) em um plano. O geide por se tratar
de uma superfcie que,
apesar de obedecer a certas leis topolgicas, no se aproxima de
nenhum slido geomtrico
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regular. Sendo assim, um ponto qualquer da superfcie terrestre
deveria ser representado pelas
suas trs coordenadas X, Y e Z, de forma que sua representao
plana se torna impossvel sem
que haja deformaes.
Assim o artifcio utilizado a projeo ortogonal de todos os pontos
da superfcie
sobre uma superfcie horizontal de referncia e em nvel. Tal
superfcie plana definida pelo
plano tangente ao geide no ponto de origem do sistema (1).
Segundo LISTING (in GEMAEL,
1987) o geide caracterizado por ser, em todos os seus pontos,
normal direo da
gravidade e coincidente com a superfcie mdia dos mares
prolongada atravs dos
continentes.
Assim, todo ponto A na Superfcie Topogrfica corresponder:
a) um ponto a que a projeo do ponto A sobre a superfcie de
projeo (plano topogrfico local).
b) Um valor correspondente distncia A - a que representa a cota
Z do ponto
A em relao superfcie de comparao (ver Figura 3.1).
Figura 4.1 Superfcies de Referncia: Topogrfica, Geide e
Elipside.
Por se tratar de uma projeo ortogonal tm-se como conseqncia, a
no
considerao da superfcie curva da terra fazendo com que as
projetantes (verticais) sejam
paralelas entre si e normais (ortogonais) a este plano tangente
(LOCH e CORDINI, 1995).
4.3. Diviso da Topografia
A Topografia Clssica dividida em dois segmentos: Topometria e
Topologia.
A
a
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4.3.1. Topometria: 4.3.2.
Este segmento da Topografia procura estudar os procedimentos
utilizados
para determinao de distncia, ngulos e diferenas de nvel com o
intuito de
determinar a posio relativa dos pontos da superfcie topogrfica.
sub-dividida
em Planimetria e Altimetria.
A Planimetria estabelece os procedimentos necessrios determinao
de
distncia e ngulos no plano horizontal de referncia que permitir
a localizao
planimtrica de pontos do terreno. Essa determinao obtida a
partir da
referncia dos pontos desconhecidos a um ou mais pontos do
terreno j
determinados (arbitrariamente ou georreferenciados).
A Altimetria visa estabelecer a relao vertical entre pontos do
terreno, ou
seja, a determinao das diferenas de nvel entre eles. Para isso
utiliza-se de
medidas diretas (nivelamento geomtrico) ou indiretas
(nivelamento
trigonomtrico) obtidas a partir da medio de ngulos
verticais.
Segundo LOCH e CORDINI (1995), a topometria pode alcanar
seus
objetivos mediante trs procedimentos distintos:
a) tomando-se medidas de grandezas angulares e lineares em
relao a um plano horizontal de referncia planimetria ou a
um plano vertical de referncia altimetria.
b) efetuando conjuntamente medidas de grandezas angulares e
lineares em relao aos dois planos de referncia,
possibilitando
a determinao planimtrica e altimtrica taqueometria (ou
levantamentos planialtimtricos).
c) efetuando medidas de grandezas angulares, lineares e
altimtricas a partir de fotografias de pontos do terreno
fotogrametria terrestre ou a partir de aeronaves
aerofotogrametria.
4.3.3. Topologia:
A topologia visa o estudo das formas exteriores do terreno e os
processos
empregados para representao das formas do terreno. Esta
representao se d
pelas curvas de nvel ou por meio de pontos cotados.
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4.4. Sistemas de Coordenadas
Aps um levantamento topogrfico o prximo passo representar o
terreno em um
sistema de eixos coordenados. Qualquer trabalho que envolva
topografia ou geodsia deve ser
representado em um sistema nico de referncia, representao esta,
realizada por meio de um
par ordenado X e Y (representao planimtrica).
O sistema de coordenadas baseadas em coordenadas ortogonais foi
introduzido por
Ren Descartes (1596-1650) que o denominou de sistemas
cartesianos.
Mundialmente, o sistema mais usado o sistema de coordenadas
geogrficas ou
Latitude / Longitude, mas devido s necessidades de representao
em um plano surgiram os
sistemas de projeo, que visam a transformao da superfcie do
elipside no desenvolvvel
em uma superfcie plana.
Dentre os diversos sistemas de projeo destacaremos o Sistema
Universal Transverso
de Mercator e o Sistema de Coordenadas Topogrficas, representado
pelo Plano Topogrfico
Local (PTL).
4.4.1. Sistema de Coordenadas Geogrficas.
A astronomia de campo a Cincia que determina as coordenadas
Geogrficas ou
Astronmicas representadas pela latitude () e longitude (). Como
referncia, toma-se a Linha do Equador (que divide a Terra em
Hemisfrio Norte e Hemisfrio Sul) e a linha que
passa pelos plos e pela cidade inglesa de Greenwich (Meridiano
de Greenwich), que divide a
Terra em Hemisfrio Oeste (W, de West) e Hemisfrio Leste (E, de
East). As linhas
imaginrias paralelas do Equador so chamadas de Paralelos e suas
perpendiculares, de
Meridianos. Convencionou-se que a linha do Equador a linha 0 de
Latitude e o meridiano
de Greenwich, a linha 0 de Longitude. O meridiano oposto, a 180,
chamado de
"International Date Line" (Linha Internacional de Mudana de
Data). A latitude varia de 0 no
Equador a 90 nos plos, tendo-se latitudes positivas para pontos
no hemisfrio Norte e
latitudes negativas para pontos no hemisfrio Sul.
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Figura 4.2 Representao dos Meridianos e Paralelos.
Definies:
Latitude geodsica : ngulo, que a normal ao elipside, passante
por um ponto P, forma com sua projeo equatorial. contado ao longo
do meridiano de P.
Longitude geodsica : ngulo que mede o diedro formado pelos
meridianos geodsicos do ponto considerado de Greenwich, contada a
partir deste positivamente por
leste.
Altura geomtrica h: ou altura elipsoidal, o segmento da normal
compreendida
entre o ponto P e o elipside. Pode ser positiva ou negativa
conforme P esteja acima ou
abaixo da superfcie elipsoidal.
Figura 4.3 Latitude e Longitude Geodsica:
Meridiano de Greenwich
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4.4.2. Sistema de Projeo UTM
Segundo LIBAULT (1975), o Sistema Transverso de Mercator foi
calculado
inicialmente por J. H. LAMBERT e ficou mundialmente conhecido
como sistema de GAUSS.
A Projeo Universal Transverso de Mercator (UTM), um sistema de
representao
plana do elipside que adota a projeo conforme de GAUSS. Este
sistema de projeo
representa o elipside dividido em 60 cilindros secantes
superfcie da Terra ao longo de
meridianos em zonas mltiplas de 6 de longitude e estendendo-se
de 80 de latitude Sul a 80
de latitude norte.
Cada uma das zonas UTM de 6 (semelhantes a gomos de laranja)
numerada
seqencialmente a partir do antimeridiano de Greenwich, ou seja,
de 180 para E, tendo um
meridiano central que se projeta no mapa em UTM como uma linha
reta N-S enquanto que os
meridianos extremos da zona (mltiplos de 6) mostram a curvatura
desses meridianos que
acabam se encontrando nos plos N e S geogrficos.
Figura 4.4 O Sistema Universal Transverso de Mercator.
Com o objetivo de reduzir as deformaes, introduzido nos clculos
o fator de
reduo de escala, onde para o meridiano central assume o valor
calculado pela expresso:
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500.000 m
10.000.000 m
6 Amplitude
Equador
MC
O sistema UTM apresenta dois eixos cartesianos ortogonais: um
representado pela
projeo da linha geodsica correspondente ao meridiano central
sobre o cilindro secante e o
outro pela transformada do equador.
As coordenadas neste sistema so representadas pelas letras N
(norte) e E (Este). Com
o intuito de sempre obter coordenadas UTM positivas
estabeleceu-se o valor de 500.000 m
para o eixo correspondente ao meridiano central e 10.000.000 m
para o eixo correspondente
linha do Equador.
Figura 4.5 Representao da Projeo dos pontos da Superfcie do
Elipside sobre o Cilindro Secante.
Figura 4.6 Representao do Fuso UTM.
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4.5. Medidas de ngulos e Distncias
Em levantamentos por meio de tcnicas convencionais (a partir de
estaes totais e
teodolitos), a medio de ngulos e distncias se torna uma das
tarefas mais importantes da
topografia. A qualidade de um trabalho topogrfico est
intrinsecamente relacionado com a
capacidade de se obter, atravs de mtodos e equipamentos de medio
adequados, um nvel
de preciso tolervel para os fins a que se destina o
levantamento.
Em se tratando de levantamentos topogrficos para fins de
georreferenciamento de
imveis rurais, as medies angulares e lineares devem ser
realizadas obedecendo-se s
diretrizes estabelecidas pela Norma Tcnica de
Georreferenciamento.
Em poligonais para fins de apoio bsico e de apoio Demarcao
deve-se atentar
preciso do equipamento utilizado.
4.5.1. Teodolitos
Segundo a Norma, os teodolitos so classificados de acordo com o
desvio padro de
uma direo observada em duas posies da luneta (CE/CD). O valor da
preciso interna de
cada modelo normalmente definido pelo fabricante. No havendo
indicao deste, a
preciso angular poder ser aferida por entidade oficial
habilitada a partir de testes
efetuados em campo de prova ou laboratrio de aferio.
Classe de teodolitos Desvio-padro (preciso angular)
preciso baixa 30 preciso mdia 07 preciso alta 02
Tabela 4.1 - Classificao dos teodolios de acordo com sua preciso
angular (ABNT-NBR-13.133/DIN).
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4.5.2. Meds (Medidores Eletrnicos de Distncias)
Classe de MEDs Desvio-padro preciso baixa (10 mm + 10 ppm x D)
preciso mdia (5 mm + 5 ppm x D) preciso alta (3 mm + 2 ppm x D)
Tabela 4.2 - Classificao dos medidores eletrnicos de distncia
MEDs (ABNT-NBR-13.133).
4.5.3. Estaes Totais
Classes de Estaes Totais
Desvio padro (preciso angular)
Desvio-padro (preciso linear)
preciso baixa 30 (10 mm + 10 ppm x D) preciso mdia 07 (5 mm + 5
ppm x D) preciso alta 02 ( 3 mm + 3 ppm x D)
Tabela 4.3 - Classificao das estaes totais de acordo com a
preciso interna (ABNT-NBR-13.133).
Pela Norma, as Poligonais devero ser desenvolvidas linearmente,
sem mudanas
substanciais de sentido, com deflexo superior a 60 visando
minimizar os erros de
orientao.
O controle azimutal dever ser rigorosamente observado. Nas
medies angulares,
metade das observaes ser efetuada no ngulo interno e metade no
ngulo externo, com
discrepncias mximas de 360 4, 360 5 respectivamente para
poligonais de preciso
(CONTRLE BSICO) e apoio ao levantamento e demarcao (CONTROLE
IMEDIATO).
Importante: Nos desenvolvimentos poligonais os pontos de partida
e chegada devero ser distintos, qualquer que seja a tcnica de
levantamento utilizada. Sob nenhuma
hiptese ser admitido o fechamento de desenvolvimentos poligonais
em torno de um mesmo
ponto.
Dentre os tipos de poligonais definidos em Norma, daremos nfase
s poligonais de
demarcao, tendo em vista que o transporte de coordenadas por
meio de tcnicas
convencionais se torna um trabalho muito oneroso e que demanda
tempo e cuidados do
profissional para que no se recorra em erros graves.
Normalmente, em sua grande maioria e
de preferncia, aconselha-se que os pontos de apoio bsico sejam
determinados por meio de
tcnicas de rastreamento de sinais de satlites do GPS com as
convenientes tcnicas de
processamento e reduo ao elipside.
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No caso de Poligonais Geodsicas para levantamento e demarcao, as
quais sero
muito utilizadas principalmente em reas cobertas e que
impossibilitam o uso de receptores
GPS, deve-se utilizar poligonais que permitam a verificao dos
erros de fechamento, e neste
caso, podero ser utilizadas poligonais fechadas, com referncia
em um ponto que no faa
parte da poligonal, ou poligonais apoiadas em dois pontos. O
primeiro caso se deve ao fato da
exigncia do no fechamento em torno de um mesmo ponto. A
determinao das poligonais
deve manter uma configurao como apresentado nas Figuras a
seguir:
Figura 4.7 Exemplo de Poligonal Fechada com Ponto de Apoio.
Figura 4.8 Exemplo de Poligonal Apoiada em dois Pontos.
Quanto ao levantamento angular das poligonais, deve-se tomar
medidas pelo mtodo
das direes, que consiste em medir um ngulo entre dois
alinhamentos OA e OB (Ver Figura 4.9), por meio de uma srie de
repeties.
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Figura 4.9 Medio de ngulos.
O processo consiste em instalar o aparelho no ponto O, visa-se o
ponto de r (Ponto A)
com a luneta na posio direta medindo-se uma primeira direo com o
limbo horizontal
prximo a 00000. Em seguida mede-se a direo do ponto de vante
(Ponto B). Assim,
inverte-se a luneta, visa-se novamente o Ponto A (que agora ter
uma direo prximo a
1800000) e mede novamente a direo para o Ponto B, completando-se
assim a primeira
srie de leitura (CD e CE, conforme estabelecido pela Norma
Tcnica). Repete-se o processo,
alterando-se apenas a prxima direo inicial, que para 4 sries de
leitura, por exemplo, seria
prxima a 450000, depois prximo a 900000 e finalizando-se com a
direo prxima a
1350000. Para atendimento Norma, exige-se apenas um ciclo
direita (CD) e um ciclo
esquerda (CE). Assim, pode-se iniciar a 1 leitura R com qualquer
direo.
Segue abaixo uma tabela com as especificaes do INCRA para
poligonais de
demarcao.
Descrio Taqueomtrica Eletrnica 1 Desenvolvimento Espaamento
entre estaes Comprimento mximo do desenvolvimento
(recomendvel) At 150 m 15 km
(recomendvel) At 500 m 15 km
2 Edio Angular Horizontal Mtodo Instrumento (classificao ABNT)
Nmero de Sries Nmero de posies p/ srie
das direes preciso baixa 1 (CE e CD) 2
das direes preciso baixa 1 (CE e CD) 2
3 Medio dos lados Nmero mnimo de sries de leituras recprocas
1 (FI, FM, FS)
2 leituras vlidas
4 Controle Azimutal Nmero mximo e lados sem controle Erro de
fechamento mximo em azimute para direes de controle
25 1
15 1
5 Medio angular vertical Nmero de sries Valor mximo da diferena
entre leituras verticais Nmero mximo de lados entre pontos de
altitudes conhecidas Valor mximo do erro de fechamento
altimtrico
1 20 25 20 mm/Km
1 20 15 20 mm/Km
6 Fechamentos: Angular Linear (coordenadas) Valor mximo para o
erro relativo em coordenadas aps a compensao em azimute.
N'1 1/1000
N'1 1/2000
Tabela 4.4 - Poligonais Geodsicas para Levantamento e Demarcao
(CONTROLE IMEDIATO). Fonte: Norma Tcnica de Georreferenciamento
INCRA.
-
19
4.6. Orientao Outra determinao de extrema importncia em
trabalhos para fins de
georreferenciamento a determinao da orientao precisa. Segundo
UZDA (1963),
dizemo-nos orientados toda vez que conhecemos a direo do Norte
Geogrfico.
A determinao da orientao exata em relao ao Norte Geodsico era
uma tarefa
muito difcil antes do surgimento de novas tecnologias (GPS) e
consistia na determinao
precisa por meio de processos astronmicos, do azimute de uma
direo qualquer. Em
levantamentos realizados por meio das tcnicas convencionais, a
determinao precisa do
azimute inicial de partida da poligonal primordial para que se
consiga o
georreferenciamento de um imvel. Os processos de determinao
deste azimute sero
apresentados nos tpicos seguintes.
4.6.1. Determinao pelo Mtodo da Distncia Zenital Absoluta
Segundo GEMAEL (1971), este mtodo especialmente indicado para
observaes a
um astro fixo. Entretanto, com algumas correes pode-se aplic-lo
em observaes ao Sol.
Observando-se a Figura 4.10 , temos que Hn0HsME1 representa o
plano do horizonte do
observador. 0 a direo da graduao zero do limbo horizontal do
aparelho. M uma mira e
ZE a vertical de um astro.
Figura 4.10 Determinao do Azimute por visando-se o Sol..
-
20
Vamos considerar tambm a seguinte notao:
LE Leitura Horizontal do Astro LM Leitura Horizontal da Mira. AE
Azimute do Astro. AM Azimute da Mira.
Nos procedimentos de campo o observador deve realizar uma
leitura na mira
LM, em seguida deve-se visar o astro obtendo a leitura LE e no
limbo vertical a
distncia zenital z. Sabendo-se que a graduaes do limbo azimutal
crescem no sentido
horrio, tm-se da geometria que:
MMEE ALAL = e logo EEMM ALLA +=
Se o aparelho nos fornece LM e LE, alm da distncia zenital z,
nos resta
determinar o azimute do astro (AE) para o momento da
observao.
A trigonometria esfrica possibilita a soluo de um tringulo
esfrico cujos
lados so conhecidos, assim segundo GEMAEL (1981), utiliza-se a
seguinte
expresso:
senzsenzsenAE
=
cos)cos(cos
onde:
= Latitude do Local da Observao = Declinao do Astro z = Distncia
zenital medida e corrigida
Ao final dos clculos teremos dois azimutes que satisfazem a
equao, de forma que
elimina-se a ambigidade a partir do conhecimento do horrio da
observao: o astro nasce a
leste e oculta a oeste.
De forma resumida este o mtodo para determinao do azimute
verdadeiro de uma
direo pelo mtodo da distncia zenital absoluta. O processo de
clculo completo pode ser
consultado no Livro TOPOGRAFIA COMTEMPORNEA, de Carlos Loch e
Jucilei Cordini.
-
21
4.6.2. Determinao do Azimute Geodsico por meio de Observaes
GPS
Com a utilizao de sistemas receptores de sinais GPS, nosso
trabalho de
determinao da orientao se torna muito mais fcil. Conhecendo-se
as coordenadas
geodsicas dos pontos de partida e referncia da poligonal a
determinao do azimute
geodsico pode ser realizada a partir da transformao dessas
coordenas para topogrficas
locais, item do prximo Captulo 6.
] Figura 4.11 Determinao do Azimute atravs das coordenadas
topogrficas.
Este mtodo consiste em determinar o azimute calculando-se o
ngulo pela seguinte expresso:
YX
= arctan
Assim o azimute ser calculado da seguinte forma:
1 QUADRANTE =AZ 2 QUADRANTE =180AZ3 QUADRANTE +=180AZ4 QUADRANTE
= 360AZ
Para que o azimute calculado seja igual ao azimute geodsico,
deve-se definir o ponto
A como sendo a origem do sistema topogrfico local, que ser visto
em detalhes no prximo
1
2 3
4
-
22
captulo. Este ponto de origem dever ser tambm o ponto de partida
da poligonal de modo
que o azimute calculado deste ponto para qualquer que seja o
ponto de referncia (P1, P2, P3
e P4) seja tambm o azimute geodsico.
-
23
5. PLANO TOPOGRFICO LOCAL
5.1. Definio do Plano Topogrfico Local
definido por um sistema plano-retangular X,Y que representa as
posies de pontos
de um levantamento topogrfico. Uma terceira grandeza, a altura
(cota ou altitude) junta-se s
coordenadas planas X e Y, determinando a posio tridimensional
dos pontos. A origem deste
sistema de coordenadas planas um vrtice geodsico com coordenadas
geodsicas
conhecidas e o plano de referncia tangente, neste ponto, ao
geide, ou matematicamente,
superfcie de referncia (elipside de referncia) do sistema
geodsico adotado.
Figura 5.1 Definio do Plano Topogrfico Local.
Assim, todas as distncias e ngulos determinados nas operaes
topogrficas so
pressupostos como sendo a projeo em verdadeira grandeza sobre o
Plano Topogrfico
Local. Neste caso h uma coincidncia da superfcie de referncia
com o plano tangente a esta
superfcie, o que permite concluir que h uma desconsiderao da
curvatura da Terra.
Entretanto, esta desconsiderao s admitida desde que os erros
desta abstrao no
ultrapassem os erros provenientes das operaes topogrficas, face
preciso dos
instrumentos de medio e processos de clculo empregados.
-
24
5.2. Extenso do Sistema Topogrfico Local
A extenso do Sistema Topogrfico Local limitada pela preciso
requerida para a
determinao das posies dos pontos no processo de levantamento e
do erro ocasionado pela
desconsiderao da curvatura terrestre, em um alinhamento definido
pela distncia do ponto
mais afastado do levantamento em relao origem do sistema.
Seja a Figura 2.1, onde SF um trecho da Superfcie Fsica, PT o
plano tangente ao
geide na origem do Sistema Topogrfico (ponto A1), R o raio da
Terra, supostamente
esfrica. Seja B um ponto da superfcie fsica, cuja projeo sobre o
plano tangente definida
pelo ponto B1, e sobre o geide o ponto B2.
Sejam D e D1 as distncias entre os pontos A e B referidas ao
geide A1B2 e ao plano
tangente A1B1, respectivamente.
Figura 5.2 Erro devido curvatura da Terra.
Verifique que:
D1 = A1B1 = R . tan (1) Admitindo-se que um ngulo muito pequeno,
pode-se escrever:
D = arco A1B2 = R. (2)
-
25
A diferena entre D1 e D denominada de erro planimtrico (D)
devido curvatura
da Terra, portanto:
D = D1 D (3)
D = R . tan R. = R (tan ) (4)
Sendo o ngulo central muito pequeno, convm desenvolver a funo
tangente em
srie de potncias:
tan = + 3/3 + 25/15 + 177/315 + ... (5)
Limitando a expresso ao segundo termo deste desenvolvimento e
substituindo a
expresso (5) na equao (4) tem-se:
D = R. 3 (6) 3
Da expresso (2) tem-se em funo de R e D:
= D/R 3 = D3/R3 (7)
Inserindo a equao (7) na equao (6) tem-se:
D = D3/3R2 (8)
Esta a expresso do erro planimtrico devido curvatura da Terra. O
erro D
corresponde a um erro na escala E da planta, ou seja:
D = /E (9)
Fazendo E = 1/M, onde M o mdulo da escala, tem-se:
D = x M (10)
O erro a menor dimenso que se pode perceber em uma planta
topogrfica, ou
espessura do trao mais fino do desenho. A seguir, esto
consignados na Tabela abaixo,
-
26
diversos valores de distncias calculadas sobre o geide e sobre o
plano tangente de
referncia, incluindo tambm os erros planimtricos absolutos e
relativos.
R = Raio Mdio da Terra = 6370 Km
= erro relativo aproximado
Os valores ideais para a extenso do Sistema Topogrfico Local so
admitidos como sendo de 80 km para um erro relativo mximo de
1:15.000;
Para cartografia de mbito municipal: 70 km para em erro relativo
mximo de 1:20.000; Para cartografia, em reas urbanas e especiais:
35 km para um erro relativo mximo de
1:100.000
Entretanto, pode-se reduzir estes valores considerando-se o
relevo do terreno. A
altitude da maioria dos pontos do terreno no deve variar de 150
m da altitude mdia do terreno conforme a finalidade do levantamento
topogrfico. Tanto no caso dos valores ideais
para a determinao da rea de abrangncia do sistema como no de
suas redues em funo
do relevo do terreno, deve-se estabelecer novos planos tangentes
de modo que cada sistema
apresentar uma origem distinta, porm amarrados entre si em
pontos comuns cujas
coordenadas geodsicas so conhecidas.
Nos levantamentos topogrficos regulares, em funo dos
instrumentos utilizados no
processo de medio e das metodologias de clculo empregadas,
admite-se erros relativos da
ordem de 1:200.000. Isto equivale a um erro de aproximadamente
10 cm em 20 km. Logo
pode-se concluir que no h a necessidade de correo do erro devido
curvatura nestas
circunstncias, sendo que a partir deste limite a curvatura da
terra j no se torna desprezvel.
Convm, entretanto, verificar a escala da planta e o erro
admissvel conseqente, e assim
D1 = R . tan D = R. D (m) 8 14823,690 14823,663 0,027 1 :
550.000 9 16676,659 16676,621 0,038 1 : 430.000 10 18529,631
18529,579 0,052 1 : 350.000 12 22235,585 22235,495 0,090 1 :
250.000
12,5 23007,661 23007,560 0,100 1 : 230.000 13 24088,567
24088,453 0,115 1 : 210.000
13,1 24335,632 24335,514 0,118 1 : 205.000 13,25 24551,814
24551,692 0,122 1 : 201.000 13.5 25015,060 25014,932 0,129 1 :
190.000 15 27794,545 27794,368 0,176 1 : 150.000
-
27
efetuar ou no a correo D. Por outro lado, na maioria dos casos o
levantamento
topogrfico no excede o espao do terreno limitado por uma malha
do canevas geodsico
(lados entre 5 e 6 km), o que permite admitir a hiptese de que
em uma poro do terreno
nestas circunstncias, a curvatura terrestre desprezvel.
5.3. O Sistema Topogrfico Local
O sistema topogrfico local, conforme consta na NBR 13133 (1994),
pode ser descrito
pelas seguintes caractersticas:
a) as projetantes so ortogonais superfcie de projeo, ou seja, o
centro de projeo
est localizado no infinito;
b) a superfcie de projeo um plano normal vertical do lugar no
ponto da
superfcie terrestre considerado como origem do levantamento,
sendo seu referencial
altimtrico referido ao datum vertical brasileiro;
c) as deformaes mximas inerentes a desconsiderao da curvatura
terrestre e a
refrao atmosfrica podem ser definidas (de forma aproximada)
pelas seguintes expresses:
l = - 0,004 mm/3 Km;
h = + 78,5 mm/2 Km;
h = + 67,0 mm/2 Km;
onde:
l = deformao planimtrica devido curvatura da Terra, em mm
h = deformao altimtrica devido curvatura da Terra em mm
h= deformao altimtrica devido ao efeito conjunto da curvatura da
Terra e da
refrao atmosfrica, em mm/distncia considerada no terreno, em
Km.
d) o plano de projeo tem a sua dimenso mxima limitada a 80 Km a
partir da
origem de maneira que o erro relativo, decorrente da
desconsiderao da curvatura terrestre,
no ultrapasse 1/35000 nesta dimenso e 1/15000 nas imediaes da
extremidade desta
dimenso.
-
28
e) a localizao planimtrica dos pontos, medidos no terreno e
projetados no plano de
projeo, se d por intermdio de um sistema de coordenadas
cartesianas, cuja origem
coincide com a do levantamento topogrfico.
Conforme a alnea (e), temos que, em um levantamento topogrfico a
posio relativa
dos pontos da superfcie terrestre caracterizada pelas
coordenadas num sistema cartesiano
ortogonal, em duas dimenses (Ver Figura 2.2). A origem dos dois
eixos cartesianos coincide
com a origem do sistema topogrfico local, onde o eixo das
ordenadas (Y) est orientado
segundo a direo Norte-Sul verdadeira coincidindo-se com a linha
do meridiano na origem.
O eixo positivo das abscissas (X) forma 90 na direo Leste.
Figuras 2.2 Coordenadas Plano Retangulares no plano topogrfico
local.
-
29
O sistema topogrfico local, face s suas limitaes quanto sua
extenso (conforme
visto no item 5.2), permite tratar a superfcie matemtica da
terra, dada pelo elipside de
revoluo, como sendo supostamente uma esfera (esfera de adaptao
de Gauss), onde o raio
da Terra dado pelo raio mdio do elipside de referncia no ponto
definido como sendo a
origem do sistema topogrfico local (ver Figura 2.3).
Figuras 2.3 O sistema topogrfico local.
Para que todas as distncias e ngulos determinados nas operaes
topogrficas sejam
considerados como sendo a projeo em verdadeira grandeza sobre o
Plano do Horizonte
Local, faz-se necessrio elevar o plano altitude mdia do terreno,
transformando-se assim no
plano topogrfico local (ver Figura 2.4).
-
30
Figuras 2.4 Conceitos bsicos do sistema topogrfico local.
Dessa forma, as coordenadas plano retangulares do ponto origem
(apoio geodsico ao
levantamento topogrfico), devem ser afetadas por um fator de
elevao, determinado pela
seguinte expresso:
c= (Rm+Ht)/Rm. ou aproximadamente:
c = 1 + 1,57 x 10 -7 x Ht.
As coordenadas plano retangulares da origem do sistema so dadas
por X = 0 e Y = 0.
Entretanto, para evitarmos pontos no plano topogrfico com
coordenadas negativas, comum
arbitrar um valor inicial para o ponto de origem, lembrando-se
sempre do valor mximo para
a extenso do plano topogrfico local (80 Km). Dessa forma as
coordenadas do ponto de
-
31
origem se apresentaro somadas de termos constantes (exemplo, X =
150.000 e Y = 250.000)
KX e KY, para os os eixos X e Y respectivamente.
Logo, temos que:
X = 0 + KX = KX
Y = 0 + KY = KY
Para orientao dos alinhamentos utiliza-se o azimute plano de
suas direes. Este
azimute dado pelo ngulo formado por uma direo de um determinado
alinhamento com o
norte da quadrcula (NQ), sendo o vrtice, o ponto inicial deste
alinhamento. As linhas
paralelas ao eixo Y no canevas do plano topogrfico local se
referem s projees de linhas
geodsicas (meridianos) paralelas ao meridiano da origem (O).
Logo, enquanto as direes
Norte e Sul geodsicas, convergem para os plos, no plano
topogrfico local as direes so
representadas paralelamente ao meridiano central e representam
as direes Norte e Sul de
quadrcula. A diferena angular entre as direes norte-sul geodsica
(NG)e norte-sul na
quadrcula (NQ) definida como a convergncia meridiana, que
utilizada para transformar
azimute verdadeiro, determinado pela astronomia, em azimute
topogrfico que refereido ao
norte de quadrcula e vice-versa (ver Figura 2.5).
A convergncia meridiana () s deve considerada no caso de
utilizao de elementos colhidos em planta para locao em campo com a
finalidade de aviventao de rumos ou para
elaborao de memoriais descritivos de permetros de propriedades
em registros pblicos ou
em aes judiciais. Em plantas de projetos e obras de engenharia,
a considerao da
convergncia meridiana irrelevante
A Figura 2.5 representa o comportamento da convergncia meridiana
em algumas
direes indicadas nos vrtices iniciais de cada direo, para um
plano topogrfico local
situado no hemisfrio sul. A convergncia meridiana nos pontos
situados a leste da origem do
sistema topogrfico local, apresenta valores negativos, enquanto
oeste apresenta valores
positivos.
-
32
Figuras 2.5 Exemplo da convergncia meridiana no hemisfrio
Sul.
A Figura 2.6 a seguir representa o comportamento da convergncia
meridiana para um
plano topogrfico local, situado no hemisfrio norte. A
convergncia meridiana nos pontos
situados a leste da origem do sistema topogrfico local,
apresenta valores positivos, enquanto
oeste apresenta valores negativos.
-
33
Figuras 2.6 Exemplo da convergncia meridiana no hemisfrio
Norte.
Para o caso da origem do sistema se situar exatamente no
equador, conforme pode ser
visto pela Figura 2.7, tem-se as seguintes situaes.
Pontos situados no eixo dos X (linha do equador): = 0; Pontos
situados no primeiro quadrante: > 0; Pontos situados no segundo
quadrante: < 0; Pontos situados no terceiro quadrante: > 0;
Pontos situados no quarto quadrante: < 0.
Nos dois hemisfrios, pontos situados exatamente no mediano da
origem tm valores
nulos para a convergncia meridiana .
NQNG
-
34
Figuras 2.7 Exemplo da convergncia meridiana quando a origem se
situa na linha do equador.
Para estabelecer um sistema topogrfico local,deve-se,
inicialmente, calcular as
coordenadas plano retangulares dos pontos geodsicos utilizados
como apoio geodsico ao
levantamento topogrfico. Estas coordenadas so obtidas a partir
das coordenadas geodsicas
destes pontos (,) e das coordenadas geodsicas da origem (O) do
sistema (o, o), por intermdio das frmulas da soluo inversa do
problema geodsico de transporte de
coordenadas geodsicas, cujas coordenadas plano retangulares so
objetos de determinao.
A origem do sistema (O) pode ser, ou no, um ponto do apoio
geodsico. Neste caso
recomenda-se que o mesmo esteja prximo ao centro da rea do
levantamento.
Caso contrrio, pode ser escolhido um ponto qualquer, no
necessariamente
identificado e materializado no terreno, sendo as suas
coordenadas geodsicas impostas,
convenientemente, a fim de que o ponto mais afastado da rea de
abrangncia do sistema no
proporcione um erro devido negligncia da curvatura da terrestre
que exceda o erro possvel
de ser cometido pela operao topogrfica. A partir das coordenadas
plano retangulares dos
pontos de apoio geodsico, calcula-se as demais coordenadas pelo
processo convencional da
topografia.
-
35
6. TRANSFORMAES DE COORDENADAS
6.1. Transformaes de Coordenadas Geodsicas em Topogrficas
Locais
6.1.1. Problema
Calcular as coordenadas plano retangulares (x, y) de um ponto P
de
coordenadas geodsicas (,), a partir das coordenadas geodsicas da
origem do sistema topogrfico local ( o,o) cujas coordenadas plano
retangulares so X Y0 0, (arbitrrias).
6.1.2. Frmulas
X x kY y k
x
y
0 0
0 0
= += +
x y0 0 0= = kx , ky = constantes arbitrrias
X x kY y k
x
y
= += +
( ) ( )[ ]x N arc c
yB
C x D E x E C x c
p= = + + + +
1 0
12
12
12 4
11
.cos . . " .
. . . . . .
A xy
=
tan 1
x x x xy y y y= == =
0
0
= =
0
0
1 = " correo arco-seno = ( )
22
)"(6
"1sen1"
1 = " correo arco-seno =
-
36
( ) ( )[ ] 1 2 2 12 21 16 1 3 9173 10" " sen " ( " ) " , "=
=
( )
A F
A A A
m
o
= +
= + " .sen .sec . "
'
2
180
3
N A N Ap0 0 = sen cos sen ' cos (prova) B
M arc=
110 "
CM N arc
= tan
" 0
0 02 1
( )De arc
e=
3 1
2 1
20 0
2 20
3
sen cos "
.sen
EN
= + 1 3
6
20
02
tan
F m m= sen cos sen " 2 1
12
cM N H
M Nt= +
0 0
0 0
m = + 02
( )( )M
a e
e0
2
2 20
3
1
1=
sen
-
37
N ae
0 2 201
= sen
N ae
p = 1 2 2sen
( )e a ba
f f= = 2 2
2 2
f a ba
ba
= = 1 onde:
N0 - raio de curvatura da seo normal ao plano meridiano do
elipside em O
(origem);
N p - raio de curvatura da seo normal ao plano meridiano do
elipside em P;
M0 - raio de curvatura das seo meridiana do elipside em O
(origem);
a - semi-eixo maior do elipside de referncia;
b - semi-eixo menor do elipside de referncia;
e - primeira excentricidade do elipside de referncia;
f - achatamento do elipside de referncia;
A - azimute topogrfico e geodsico da direo OP;
A' - azimute geodsico recproco de A (somente para utilizao na
PROVA);
- convergncia meridiana em P; c - fator de elevao;
Ht - altitude ortomtrica do plano topogrfico.
6.1.3. Na aplicao das frmulas considerar negativo no hemisfrio
sul, crescendo positivamente para oeste.
6.1.4. Os coeficientes C, D e F so negativos no hemisfrio
sul.
-
38
6.1.5. O eixo das ordenadas o eixo dos Y e o das abscissas
X.
6.1.6. O azimute A topogrfico e tambm geodsico pois em O a
convergncia meridiana nula e A' elipsidico, estes azimutes
servem para a prova
(deteco de erros grosseiros nos clculos).
O azimute recproco no sistema topogrfico local igual a A 180, no
levando em conta a convergncia meridiana.
6.2. Transformaes de Coordenadas Topogrficas Locais em
Geodsicas
6.2.1. Problema
Calcular as coordenadas geodsicas e de um ponto P dado por suas
coordenadas plano retangulares X e Y, a partir destas e das
coordenadas geodsicas 0 e 0 e plano retangulares X 0 e Y0 da origem
O do sistema topogrfico local.
6.2.2. Frmulas
X x kY y k
x
x
0 0
0 0
= += +
x y0 0 0= = kx , ky = constantes arbitrrias
x X ky Y k
x
y
= =
x xc
y yc
'
'
=
=
cM N H
M Nt= +
0 0
0 0
Ht = altitude ortomtrica do plano topogrfico
-
39
( )( )M
a e
e0
2
2 20
3
1
1=
sen
N ae
0 2 201
= sen
N ae
p = 1 2 2sen
s x y= +' '2 2 s = distncia topogrfica OP
A = azimute topogrfico da direo OP = tan ''
1 xy
= +0 Correo de = 1 1 1= correo arco seno
( ) ( )
+= 21
2
1 "6"11"" arc
( )1 2" " "= D (em segundos) 1 2 2 3 2" . .cos . .sen . . .sen
.cos= + B s A C s A B E s A A
= +0
" "= 1 correo arco-seno ( ) ( )
+= 21
2
1 "6"11" arc
1 1 1" " sen sec= N arc s Ap
( ) = + + A F" sen sec " 0 32 2
A A A o'= + 180 = azimute geodsico da direo PO
PROVA: N A N Ap0 0 = sen cos sen ' cos onde N N M a e cp0 0, , ,
, ,
tm as mesmas definies apresentadas em 5.2. e os coeficientes B,
C, D, E e F tm
tambm as mesmas expresses.
-
40
6.2.3. Na aplicao das frmulas fazer as mesmas consideraes
contidas em
6.1.3, 6.1.4 e 6.1.5.
5.2.4. A prova serve apenas para detectar erros grosseiros no
clculo dos valores
de A e A' que so, neste caso, o azimute geodsico direto da direo
OP e o seu
azimute geodsico recproco, respectivamente, cuja diferena a
convergncia
meridiana em P.
6.3. Determinao do Norte geogrfico a partir das coordenadas
plano
retangulares no sistema topogrfico local de pontos definidores
dos azimutes
planos (topogrficos)
6.3.1. Problema
Calcular a convergncia meridiana no vrtice do azimute plano
(topogrfico)
de uma direo, dado por suas coordenadas plano retangulares no
sistema topogrfico
local e a partir deste azimute determinar a direo do norte
geogrfico (verdadeiro)
com a aplicao da convergncia meridiana. O problema tem como
dados: as
coordenadas plano retangulares dos pontos definidores da direo
conhecida ou seja P
(vrtice do azimute) e Q (ponto visado); as coordenadas plano
retangulares e as
coordenadas geodsicas da origem do sistema topogrfico local e a
altitude do plano
topogrfico.
6.3.2. Frmulas
( )P x yp p, ( )Q x yq q, ( )O x y0 0, ( )O 0 0,
( )PQ x xy yt
q p
q p
= tan 1
( ) ( )PQ PQg t p= + x y0 0 0= =
-
41
X x kx0 0= + =k Xx 0 Y y ky0 0= + =k Yy 0
kx , ky = constantes arbitrrias
x X kp p x= y Y kp p y=
( ) ( )
+
=3"
2cos
1sen(" pmpp F
onde
( )PQ t - azimute topogrfico da direo PQ; ( )PQ g - azimute
geodsico da direo PQ; p - convergncia meridiana em P com valor dado
em segundos
-
42
6.4. Exemplo de Transformao de coordenadas Geodsicas em
plano
retangulares no sistema topogrfico local:
6.4.1. Dados
- Origem O
0= 224234.87698 S 0= 503814.56789 W
X0= 150.000,000 m
Y0= 250.000,000 m
Altitude do plano topogrfico Ht= 567,00 m
Elipside de referncia: Elipside Internacional de 1967
(UGGI-67)
a = 6378160,000
e = 0.081820180369054
1-e2= 0.993305458
- Ponto P
So "67892.23'3422= Wo "43874.23'3250=
6.4.2. Clculos preliminares
N ae
0 2 201
= =.sen 6381344,3852
N ae
p = =1 2 2.sen 6381308,20401 m
( )( )M
a e
e0
2
2 20
3
1
1=
=.
.sen 6344955,0806
= = 0 0.136443905556
-
43
" = =3600 491.198060002
= = 0 0.097535875
" = =3600 351.12915
m = + =02 - 22.6414660972 6108481368111,4"1 =arc
BM arc
= =110 . "
0,0325084738389772
CM N arc
= =tan. . . "
00 02 1
-1.066 10-9
( )De arc
e=
=3 1
2 1
20 0
2 20
3
. .sen .cos . "
. .sen
-1.73639281055 10-8
EN
= + =1 36
20
02
.tan.
6.24340176535 10-15
F m m= =sen .cos .sen " 2 2 1
12 6.95917 10-13
= 1 351.12915 = 1 491.198060002
cM N H
M Nt= + =0 0
0 0
..
1.000089107
6.4.3. Clculo de x
== carcNx p ".1..cos.1 10031.704379
-
44
6.4.4. Clculo de X
X x kx= + = 160031.704379
6.4.5. Clculo de y
( ) ( )[ ]cxCExEDxCB
y .......1 4212
12
1 ++++=
y = 15107.761308
6.4.6. Clculo de Y
Y y k y= + = 265107.761308
6.4.7. Clculo de A (azimute topogrfico da direo OP)
OBS.: Neste caso A tambm o azimute geodsico da direo OP, porque
a convergncia
meridiana () em O nula.
"407234.04'3533584557565.33115107,7613
7910031,7043tan 01 ==
=
yxA
1 quadrante
6.4.8. Clculo de (convergncia meridiana em P)
( )"171983668,15200
".2
sec.".
0
3
=
+
=A
FsenA m
-
45
6.4.9. Clculo de A' (somente para aplicao na PROVA)
OBS.: A o azimute geodsico da direo PO
"83525.34'32213180' 0=+= oAAA
OBS.: A P=
6.4.10. Prova
N A N Ap0 0.cos .sen .cos .sen ' = 38522,63813440 =N
20401,308.381.6=pN
0 = -224234,87698 = -223423,67892 A = 333504.407234 A' =
2133234,83525 N A0 0 5 749 919 316.cos .sen . . , = N Ap .cos .sen
' . . , = 5 749 919 323
A diferena 0.007 se deve s aproximaes nos clculos.
6.4.11. Concluses
O ponto P est no 1 quadrante do sistema topogrfico local, a
leste do meridiano do ponto O (origem-datum) do sistema, o que
acarreta para p o sinal negativo.
-
46
6.5. Exemplo de transformao de coordenadas planoretangulares -
sistema
topogrfico local em coordenadas geodsicas
6.5.1. Dados
- Origem O
0 22 48 0388906= o S' . " 0 42 28 03 25712= o ' , " X m0 150 000
000= . , Y m0 250 000 000= . ,
- Altitude do plano topogrfico
H mt = 40 - Elementos do elipside de referncia
a = 6378160.0
e = 0.081820180369054
1-e2 = 0.993305458
- Ponto P
X = 158.896,891 m
Y = 248076.972 m
6.5.2. Clculos preliminares
=
=0
220 .1 seneaN 6381345,6263
( )( ) =
=3
022
2
0
.1
1.
seneeaM 6345005,5774
6108481368,4"1 =arc
-
47
( )
72760000062861.1.
.
1037862626746369.6.6tan.31
1072787418169569.1.1.2
"1.cos...3
1070460707631580.1"1...2
tan
512005130,03250821"1.
1
00
00
1520
02
8
30
22
002
9
00
0
0
=+=
=+=
=
=
==
==
NM
HNMc
NE
sene
arcseneD
arcNMC
arcMB
t
x X k
y Y k
x
y
= =
= =
8896 8556
1923 0280
.
.
x xc
y yc
' .
' .
= =
= =
8896 779636
1923 015912
s x y= + =' ' .2 2 9102 28897100275
A xy
= =
tan ''
.1 0102 11 47 864 ( 2 Quadrante topogrfico)
(azimute topogrfico da direo OP)
-
48
6.5.3. Clculo de "
" . .cos . .sen . . .sen .cos= + B s A C s A B E s A A2 3 2 ( )1
2" " "= D (em segundos)
1 62 42873649= , 6.5.4. Correo de
( ) ( ) = +
= " . 1
221
16
62 4287446828721arc
= 0 01 02 42874o .
6.5.5. Clculo de
= +0
00
0
22 48 03 8890622 48 03 88906 0 01 0242874 22 49 06 3178122 49 06
31781
== + ==
o
o
S
' , "' , " ' ' ' . "' ' . "
o
6.5.6. Clculo de N p
N ae
p = =1 638133340755752 2.sen .
6.5.7. Clculo de 1"
1 1 1 311886389415" . " sen .sec . "= = N arc s Ap
6.5.8. Clculo de "
"99887628552.311"=
-
49
6.5.9. Clculo de = +0 = 42 22 512683460 ' . W
6.5.10. Clculo de F
F m m= =sen .cos .sen " 2 1
12
131099953.6 =F
6.5.11. Clculo de A
( ) A Fm= + = " .sen .sec . " ' . 2 0 02 00 9448
3 0
6.5.12. Clculo de A'
A A A o' = + 180
A' .= 282 09 46 9150
6.5.13. Prova: N A N Ap0 0.cos .sen .cos .sen ' =
N A0 0 5749919 617.cos .sen . = N Ap .cos .sen ' . = 5749919
617
6.5.14. Resumo
Coordenadas geodsicas de P
=
=
22 49 06 31781
42 22 5126834
0
0
.
. "
S
W
-
50
Azimute geodsico da direo OP Ag = A + , porem, = 0 Ag =
1021147,864
- Azimute geodsico recproco (direo PO) Ag = (A + ) 180 Ag =
(1021147,864 - 00200,94948) + 180 A'g = 2820946.915
- Convergncia meridiana em P p A= = 0 02 00 949480 .
6.5.15 Concluses
Estando o ponto P no hemisfrio sul verifica-se que est no 2
quadrante do sistema topogrfico com origem em O, a leste do
meridiano deste ponto, o que acarreta
para p A= o sinal negativo
-
51
7. BIBLIOGRAFIA 1. LIMA, Divaldo Galvo. Sistema Topogrfico Local
- So Paulo - 1995 em
publicao.
2. LIBAULT, Andr. Geocartografia. So Paulo: Editora
Universitria.,[s. ed.], 1975.
3. LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Topografia Contempornea:
Planimetria:
Florianpolis: Ed. da UFSC, 1995. 320 p.
4. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (1 parte). Curitiba:
UFPR.,[s. ed.], 1971.
5. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (2 parte). Curitiba:
UFPR.,[s. ed.], 1971.
6. UZDA, Olvio Gondim. Topografia. Rio de Janeiro: Ed. Ao Livro
Tcnico., 1963.
7. ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (ABNT). NBR 13133:
Execuo de levantamento topogrfico. Rio de Janeiro, 1994.
35p.
8. ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (ABNT). NBR 14166:
Rede de referncia cadastral municipal - procedimento. Rio de
Janeiro, 1998. 23p.
9. ESPARTEL, Lelis. Curso de Topografia. 9 ed. Rio de Janeiro,
Globo, 1987.
10. INSTITUTO NACIONAL DE COLONIZAO E REFORMA AGRRIA (INCRA).
Normas tcnicas para georreferenciamento de imveis rurais. 2003.
