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UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte Santa Cruz do Sul, agosto 2007.

[Apostila] Transferência de calor e massa

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UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA

Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte

Santa Cruz do Sul, agosto 2007.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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1) GENERALIDADES

1.1) INTRODUÇÃO

Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de transmissão de calor.

O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores.

Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental.

Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia.

Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica..

A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio.

É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinâmica.

Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano.

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1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR

Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x (Fig. 1.4)

Fig. 1.4

Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada

instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrerá um determinado momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua temperatura com o tempo.

Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmissão de calor.

Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou permanente; são esses os dois regimes de transmissão de calor.

O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-se denominar regime periódico.

É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e

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não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que sai.

1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR

Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação. Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, na

realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor. O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor, no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo, autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável. Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria.

1.3.1) Transferência de Calor por Condução

Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura. Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura

≈A

q

x

T

Quando a constante de proporcionalidade é inserida

x

TkAq

∂−= 1-1

onde q é a taxa de transferência de calor e ∂T/∂x é o gradiente de temperatura na direção do fluxo de calor. A constante positiva k é chamada condutividade térmica do material, sendo o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princípio da termodinâmica, ou seja, o calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente, como indicado no sistema de coordenadas da Fig. 1-1

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Fig. 1-1 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor

A equação 1-1 é chamada de lei de Fourier da condução de calor, em homenagem ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao tratamento analítico da transferência de calor por condução. É importante observar que a Eq. 1-1 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no Sistema Internacional de Unidades (SI). O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida. Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema está em regime permanente, isto é, se a temperatura não varia com o tempo, então o problema é simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a solução nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do sólido varia com o tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido, a situação é mais complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o seguinte balanço de energia pode ser feito:

Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional

Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: Energia conduzida para dentro pela face esquerda:

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6

x

TkAq x

∂−=

Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx

Variação da energia interna: dxT

cAEτ∂

∂ρ=∆

Energia conduzida para fora pela face direita:

∂+

∂−=

∂−= ++

dxx

Tk

xx

TkA]

x

TkAq dxxdxx

onde q& = energia gerada por unidade de volume c = calor específico do material ρ = densidade A combinação das relações acima fornece:

∂+

∂−

τ∂

∂ρ=+

∂− dx

x

Tk

xx

TkAdx

TcAAdxq

x

TkA &

ou τ∂

∂ρ=+

∂ Tcq

x

Tk

x& 1-2

Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a:

Fig.1.3

τ+++=+++ +++ d

dEqqqqqqq dzzdyydxxgerzyx

sendo as quantidades de energia dadas por

x

Tkdydzq x

∂−=

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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dydzdxx

Tk

xx

Tkq dxx

∂+

∂−=+

y

Tkdxdzq y

∂−=

dxdzdyy

Tk

yy

Tkq dyy

∂+

∂−=+

z

Tkdxdyq z

∂−=

dxdydzz

Tk

zz

Tkq dzz

∂+

∂−=+

dxdydzqqger &=

τ∂

∂ρ=

τ

Tcdxdydz

d

dE

Assim a equação geral tridimensional da condução fica:

τρ

∂=+

∂+

∂+

∂ Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x& 1.3

Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita

τα ∂

∂=+

∂+

∂+

∂ T

k

q

z

T

y

T

x

T 12

2

2

2

2

2&

1.4

onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida. Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no desenvolvimento. Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse prático.

- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor)

02

2

=dx

Td 1.5

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- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor

02

2

=+∂

k

q

x

T & 1.6

- Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor

02

2

2

2

=∂

∂+

y

T

x

T 1.7

1.3.1.1) Condutividade Térmica A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o cálculo da condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto. O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia através de colisões com moléculas de energia mais baixa. Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material. Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta

kRTv = ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.) O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma forte influência na troca de energia no processo de colisão. A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma

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região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos. Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até aproximadamente –250oC). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores isolantes. O sistema é evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.oC).

1.3.2) Transferência de Calor por Convecção

É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos. Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e mostrada a sua relação com o processo de condução.

Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa. Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede. Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido; uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante. Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade; conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência de calor na parede é um processo de condução.

O efeito global da convecção é expresso através da lei de Newton do resfriamento

q = hA(Tp - T∞) 1.8

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Fig. 1-5 transferência de calor por convecção

Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de

transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro. Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade). Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de transferência de energia na região junto à parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção

1.3.3) Transferência de Calor por Radiação

Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica.

Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à diferença T4. Assim

q = σA(T1

4 – T24) 1-9

Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da

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radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade. Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a lei T4. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é proporcional a T

4. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9

Q = Fεεεε FG σσσσA(T14 – T2

4) 1.10 onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção.

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2. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE

2.1) INTRODUÇÃO Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados destas simplificações.

2.2) A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta

( )12 TTx

kAq −

∆−= 2-1

para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é

( ) ( )

−+−

∆−=

21

2212 2

TTTTx

Akq o β

2.2

Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito

c

34c

B

23B

A

12A x

TTAk

x

TTAk

x

TTAkq

−−=

−−=

−−=

Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por

Ak/xAk/xAk/x

TTq

cCBBAA

41

∆+∆+∆

−= 2-3

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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Aqui é conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de Fourier. A taxa de transferência de calor pode ser considerada como um fluxo, a combinação da condutividade térmica, espessura do material, e a área como uma resistência a este fluxo. A temperatura, e a função potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a equação de Fourier pode ser escrita

elétricaa Resistênci

potencial deDiferença calor de Fluxo = 2-4

que é uma relação semelhante à lei de Ohm na teoria de circuitos elétricos.

Fig. 2-1 Transferência de calor unidimensional através de uma parede composta e analogia elétrica

Fig. 2-2 Transferência de calor em série e em paralelo através de uma parede composta e a analogia elétrica.

Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a lado agem como três resistências térmicas em série.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita

∑∆

=t

total

R

Tq 2-5

onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais. É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a obtenção de uma solução.

2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura(Ti –

Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada é r.

Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica

Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica

Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é

Ar = 2πrL

E, portanto a lei de Fourier fica

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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dr

dTkAq rr −=

ou

dr

dTkrL2q r π−= 2-7

com as condições de contorno T =Ti em r = ri

T = Te em r = re A solução da Eq. 2-7 é

( )( )ie

ei

rr

TTkLq

ln

2 −=

π 2-8

e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a solução é

( )( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr

TTLq

342312

41

lnlnln

2

++

−=

π 2-9

O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então

ei

ei

r1r1

)TT(k4q

−π= 2-10

2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido é dado por

( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTTx

kATTAhq −=−

∆=−=

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana

O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da

resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas

AhkAxAh

TTq BA

21 11 +∆+

−= 2.11

Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U, definido pela relação

totalTUAq ∆= 2.12

onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferência de calor é

21 11

1

hkxhU

+∆+=

A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos.

Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa

Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor é dado por

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

17

( )

ee

ie

ii

BA

AhkL

rr

Ah

TTq

1

2

ln1++

−=

π

2.13

de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa.

( )ee

iiei

i

i

hA

A

kL

rrA

h

U1

2

ln1

1

++

=

π

2-14

( )e

iee

ii

e

e

hkL

rrA

hA

AU

1

2

ln1

1

++

=

π

2-15

2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada em Ti, e a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor transferido vale

Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento

( )( )

hrk

rr

TTLq

e

ie

i

1ln2

+

−= ∞π

2-16

Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é

( )

( )2

2

1ln

112

0

+

−−−

==

hrk

rr

hrkrTTL

dr

dq

e

ie

ee

Page 18: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

18

que fornece como resultado

h

kre = 2.17

A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto aumenta a superfície externa do isolamento.

2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial.

2.7.1) Parede plana com geração de calor Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é

02

2

=+k

q

dx

Td & 2-18

Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto é,

T = Tp em x = L 2-19

A solução geral da Eq.2-18 é

212

2CxCx

k

qT ++−=

& 2-20

Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20

To = C2

Page 19: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

19

Portanto, a distribuição de temperatura é

2

2x

k

qTT o

&−=− 2-21a

2

=

L

x

TT

TT

op

o 2-21b

que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio To

pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim,

LAqdx

dTkA

Lx

22 &=

=

onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b:

( ) ( )L

TTL

xTT

dx

dTop

Lx

op

Lx

222

−=

−=

==

Então ( ) LqL

TTk op&=−−

2

e po Tk

LqT +=

2

2&

2-22

Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor

2.7.2) CILINDRO COM GERAÇÃO DE CALOR Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a

Page 20: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

20

temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial apropriada pode ser obtida da equação

01

2

2

=++k

q

dr

dT

rdr

Td & 2-23

As condições de contorno são T = Tp em r = R

e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície

Rrdr

dTRLkLRq

=

−= ππ 22

&

Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se especificar que

0=dr

dT em r = 0

Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas. A Eq. 2-23 pode ser escrita

k

rq

dr

dT

dr

Tdr

&−=+

2

2

sendo que

=+

dr

dTr

dr

d

dr

dT

dr

Tdr

2

2

Portanto a integração fornece

1

2

2C

k

rq

dr

dTr +

−=

& e

21

2

ln4

CrCk

rqT ++

−=

&

Da segunda condição de contorno acima,

R

C

k

Rq

k

Rq

dr

dT

Rr

1

22+

−=

−=

=

&&

e, portanto C1 = 0 A solução final para a distribuição de temperatura é

( )22

4rR

k

qTT p −=−

& 2-24

ou, na forma adimensional 2

1

−=

R

r

TT

TT

po

p

onde To é a temperatura em r = 0 dada por

po Tk

RqT +=

4

2&

Page 21: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

21

3. CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA

Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a análise global do sistema; por ser a temperatura função exclusiva do tempo, a análise é muito simples. Por isso, neste capítulo, principiamos com a análise global de condução transiente de calor. O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia com o tempo e com a posição.

3.1) ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA Considere um sólido de forma arbitrária, volume V, área superficial total A, condutividade térmica k, densidade ρ, calor específico cp, a uma temperatura uniforme To, que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma temperatura uniforme T∞. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferência de calor considerado. A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção, com um coeficiente de transferência de calor h. Admite-se que a distribuição de temperatura dentro do sólido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo, isto é, T(t). A equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como

Fig.3.1 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fluxo transiente de calor

Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da energia interna do sólido de volume V.

Page 22: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

22

Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos, obtém-se:

[ ]dt

tdTVctTTAh p

)()( ρ=−∞ 3.1

ou

0])([)(

=−+ ∞TtTVc

Ah

dT

tdT

pρ em t > 0 3.2

sujeito à condição inicial

T(t) = To em t = 0 Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t)

θ(t)≡ T(t) - T∞ Então a equação 3-2 torna-se

0)()(

=+ tmdt

tdθ

θ em t > 0 3-3

e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0

onde definimos

Vc

Ahm

pρ≡ 3.4

A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é dada por

θ(t) = C e-mt 3.5

A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura do sólido em função do tempo é

mt

oo

eTT

TtTt −

∞ =−

−=

)()(

θ

θ 3.6

A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce. Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o aumento da área superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferência de calor provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor específico, ou o volume, haverá diminuição de m.

Page 23: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

23

Fig. 3.2 A temperatura adimensional θθθθ(t)/θθθθo em função do tempo.

Para estabelecer alguns critérios com que a distribuição de temperatura possa ser considerada uniforme no interior do sólido, e com que a análise global do sistema seja aplicável, vamos definir um comprimento característico Ls como

A

VLs = 3.7

e o número de Biot, Bi, como

k

hLBi s= 3.8

onde k é a condutividade térmica do sólido. Em sólidos que tenham a forma de placa, ou cilindro longo ou esfera, a distribuição de temperatura dentro do sólido, no estado transiente, em qualquer instante, é uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se

1,0≤=s

s

k

hLBi 3.9

Discutiremos mais adiante este assunto, que se tornará então mais claro. Aqui, admitiremos que a análise global do sistema é aplicável nas situações em que Bi < 0,1. O significado físico do número de Biot visualiza-se melhor se for escrito na forma

ss Lk

hBi =

que é a razão entre o coeficiente de transferência de convectiva calor na superfície do sólido e a condutância específica do sólido. Portanto, a hipótese de temperatura uniforme no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que o coeficiente de transferência convectiva de calor.

3.2) CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA Na discussão precedente, consideramos uma situação em que todas as fronteiras da região estavam sujeitas a convecção. Este método também se aplica quando parte da fronteira está sujeita a convecção e o restante está sujeito a um certo fluxo de calor, como vamos ilustrar agora. Considere uma placa de espessura L, inicialmente a uma temperatura uniforme To. Em qualquer instante t > 0, fornece-se calor à placa através de uma de suas superfícies com uma constante de q (W/m2), enquanto se dissipa calor por convecção pela outra superfície,

Page 24: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

24

para um ambiente com temperatura uniforme T∞ com um coeficiente de transferência de calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condições de contorno do problema.

Fig. 3.3 Nomenclatura para análise global do fluxo transiente de calor em uma placa.

Vamos admitir áreas iguais A na transferência de calor em ambas as faces da placa. O balanço de energia, neste caso particular dá

dt

tdTALctTTAhAq p

)()]([ ρ=−+ ∞

dt

tdTLctTThq p

)()]([ ρ=−+ ∞ em t > 0 3-10a

com a condição inicial T(t) = To em t = 0 3-10b

Para conveniência na análise, definimos uma nova temperatura θ(t)

θ(t) = T(t) - T∞

Dessa forma, as Eqs. = 3.10 são escritas

Qtmdt

td=+ )(

)(θ

θ em t > 0 3-11a

θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 3-11b onde definimos

Lc

hm

pρ≡ e

Lc

qQ

pρ≡

A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução particular na forma

θ(t) = Ce-mt

+ θp 3-12 onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por

m

Qp =θ 3-13

Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos

Page 25: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

25

m

QCet

mt += −)(θ 3-14

A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como

m

QCo +=θ 3-15

Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de calor:

( )m

Qeet

mtmt

o

−− −+= 1)( θθ ou

( )h

qeet

mtmt

o

−− −+= 1)( θθ 3-16

Para t → ∞, esta solução simplifica-se em

( )h

q

m

Q==∞θ 3-17

que é a temperatura estacionária da placa.

3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado. Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos, com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego. Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t = 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de fig. 3.4b, é dada por

Page 26: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

26

(a) (b)

Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa.

t

T

x

T

∂=

α

12

2

em 0 < x < L, e t > 0 3.18a

0=∂

x

T em x = 0, e t > 0 3.18b

∞=+∂

∂hThT

x

Tk em x = L, e t > 0 3.18c

T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d

3.3.1) Equações Adimensionais O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais:

aladimensiona temperatur),(

=−

−=

TT

TtxT

i

θ 3.19a

aladimension coordenada==L

xX 3.19b

Biotde número==k

hLBi 3.19c

Fourierde número ou al,adimension tempo2

==L

tατ 3.19d

Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em

τ

θθ

∂=

∂2

2

X em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a

0=∂

X

θ em X = 0, e τ > 0 3.20b

0=+∂

∂θ

θBi

X em X = 1, e τ > 0 3.20c

θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se a equação 3.19d for reordenada na forma

Page 27: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

27

C W/,L

volumeno L de longo ao

calor de retenção de taxa

C W/,L

volumeno L de longo ao

calor de condução de taxa

/

)/1(

o3

o3

3

2

2===

tLc

LLk

L

t

ατ 3.21a

Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier, mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo. O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma

L ocompriment

no sólido do acondutânci

sólido

do superfície nacalor de

ncia transferêde ecoeficient

/===

Lk

h

k

hLBi 3.21b

Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a condutância do sólido sobre o comprimento característico. Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parâmetros físicos:

x, t, L, k, α, h, Ti, T∞ Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três seguintes parâmetros adimensionais:

X, Bi, e τ Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referência rápida.

3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a

Page 28: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

28

análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To, saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa. Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado para que a análise global do sistema fosse aplicável.

Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a convecção em ambas as faces. (a)

Temperatura To no plano central x=0; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

29

A Fig.3.6 Mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional, em vários valores do número de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a quantidade total de energia perdida pela placa até certo tempo t, durante a transferência de calor. A quantidade Qo, definida como

Qo = ρcpV(Ti - T∞) 3.22

representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente.

Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L.

3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da transferência de calor, semelhantes aos que estão nas Figs 3.5 e 3.6, também podem ser calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera.

3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo Considere a condução de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, a superfície em r = b é sujeita a convecção, com um coeficiente de transferência de calor h para um ambiente à temperatura T∞ e mantida assim em t > 0. A formulação matemática deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como

τ

θθ

∂=

RR

RR

1 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.23a

Page 30: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

30

0=∂

R

θ em R = 0, e τ > 1 3.23b

0=+∂

∂θ

θBi

R em R = 1, e τ > 0 3.23c

θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0 3.23d onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte

==k

hbBi número de Biot 3.24a

==2b

tατ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b

( )=

−=

TT

TtrT

i

,θ temperatura adimensional 3.24c

==b

rR coordenada radial adimensional 3.24d

O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.

Page 31: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

31

Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na

superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a). A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência transiente de calor.

Page 32: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

32

Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b

3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0, sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h, para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na forma adimensional como

τ

θθ

∂=

RR

RR

22

1 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a

0=∂

R

θ em R = 0, e τ > 0 3.24b

0=+∂

∂θ

θBi

R em R = 1, e τ > 0 3.24c

θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24. A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi.

A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da esfera e a temperatura no centro To.

Page 33: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

33

Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b.

(a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a). A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente.

Page 34: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

34

Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b

Page 35: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

35

4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS

Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise, simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de calor. Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de calor e revelar as várias correlações na transferência de calor. Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento. A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de temperaturas no campo do escoamento. A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de calor e a força de arraste. As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a análise dos problemas mais simples de transferência de calor. Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e apresentam-se as equações das camadas limites.

4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO

Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

36

modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica.

4.1.1) Camada limite cinética Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa; a distâncias suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ(x), medida a partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da velocidade da corrente livre u∞, isto é, u = 0,99 u∞. O lugar geométrico destes pontos, onde u = 0,99 u∞, é a camada limite cinética δ(x). Com o conceito de camada limite cinética assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da camada limite, na região de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são desprezíveis.

Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana

Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de

Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é definido por

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

37

ν

xux

∞≡Re (4.1)

onde u∞ = velocidade da corrente livre x = distância à borda frontal ν = viscosidade cinemática do fluido

A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado, na maior parte das finalidades analíticas, como

5105Re xv

xux ≅≡ ∞ (4.2)

Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é sempre turbulenta para Rex ≥ 4x106. Na camada limite turbulenta próxima da parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distância à parede. A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo. Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A velocidade da corrente livre )(xu∞ não é constante, mas varia com a distância ao longo da superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta situação particular. A espessura da camada limite )(xδ cresce com a distância x ao longo da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x, o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de inflexão, isto é, yu ∂/δ se anula na superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais aplicável.

Page 38: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

38

Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo

4.1.2) Coeficiente de arraste e força de arraste Suponha que o perfil de velocidade ),( yxu na camada limite seja conhecido. A tensão de

cisalhamento xτ que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a

partir de sua definição por

0

),(

=∂

∂=

y

xy

yxuµτ (4.3)

A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-se a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local xτ por unidade

de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação

2

2∞=

ucxx

ρτ (4.4)

onde ρ é a densidade do fluido e ∞u é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos:

oy

xy

yxu

uc

=∞ ∂

∂=

),(22

ν (4.5)

Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de velocidade ),( yxu , na camada limite for conhecido. O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como

∫ =

=L

oxx dxc

L

1Cm

Page 39: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

39

(4.6) Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm, podemos calcular a força de arraste F, que está atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula

2

2∞=

uwLCF m

ρ (N) (4.7)

4.1.3) Camada limite térmica Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido. Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme ∞T que escoa

sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x e y os eixos

coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na figura 4.3.

Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como

W

W

TT

TyxTyx

−=

),(),(θ (4.8)

onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido é igual à temperatura da parede; portanto

θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa) (4.9 a) A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma ∞T ; então

1),( →yxθ a medida que ∞→y (4.9 b)

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

40

Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição )(xy δ= no fluido onde ),( yxθ seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde ),( yxθ =0,99 é chamado a camada limite térmica )(xδ .

A espessura relativa da camada limite térmica )(xtδ frente a camada limite

cinética )(xδ depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem

um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt δδ = A camada limite

térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1, como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr >1. 4.1.4) Coeficiente de transferência de calor Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida. Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por

0

),()(

=∂

∂=

yy

yxTxq κ (4.10 a)

onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa:

))(()( WTTxhxq −= ∞ (4.10 b)

Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos

[ ]

W

y

TT

yTkxh

∂∂=

=0)( (4.11 a)

Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional ),( yxθ como

0

),()(

=∂

∂=

yy

yxkxh

θ (4.11 b)

Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional

),( yxθ na camada limite térmica. O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L, ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de

∫=L

m dxxhL

h0

)(1

(4.12)

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

41

Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w.

)( Wm TTwLhQ −= ∞ (4.13)

4.1.5) Relação entre cx e h(x) Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana,

21Re332,02

−= x

Cx (4.14 a)

2131 RePr332,0 xxNu = (4.14 b)

Definimos o número de Stanton local, Stx, como

=uc

xhSt

p

)(

que pode ser reordenado na forma

x

xx

Nu

vxuv

kxxhSt

RePr)/)(/(

/)(==

∞α

Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como

2132 RePr332,0 −−= xxSt (4.14 c)

Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o coeficiente de arraste:

2Pr 3/2 Cx

St x = (4.15 a)

Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor. Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como

2Pr 3/2 m

m

CSt = (4.15 b)

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

42

onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de arraste.

4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular. 4.2.1) Camada limite cinética Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig. 4.4.

Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no

tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cinética )( zδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo

o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com a distância ao longo do tubo. Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar. No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por

Page 43: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

43

v

Dum≡Re (4.16)

é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta definição mu é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a

viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-se ordinariamente escoamento turbulento para

2300Re >=v

Dum (4.17)

Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície, das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode ocorrer no domínio 2000<Re<4000. 4.2.2) Fator de atrito e perda de carga Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/dz associado ao escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/dz sobre o comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/dz, consideremos um balanço de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5)

Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume

wzzz zSPAPA τ∆=− ∆+)()(

wwwDD

D

A

S

dz

dPττ

π

πτ

4

)4/( 2−=−=−= (4.18 a)

onde A é a área de seção reta e S é o perímetro. A tensão de cisalhamento wτ na parede está relacionada com o gradiente de

velocidade por

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

44

paredeparede

wr

u

y

u

∂−=

∂= µµτ (4.18 b)

uma vez que r= D/2 – y. Então, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos

pareder

u

Ddz

dP

∂=

µ4 (4.18 c)

Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/dz, pois exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f.

D

uf

dz

dP m

2

2ρ−= (4.18 d)

onde um é a velocidade média do escoamento dentro do tubo e ρ é a densidade do fluido. Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtém-se a seguinte expressão para o fator de atrito:

paredemr

u

uf

∂−=

2

8

ρ

µ (4.18 e)

Portanto, dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e). Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2 P∆≡ sobre a distância z2 – z1 L≡

no tubo é determinada pela integração da Eq. (4.18 d):

∫ ∫−=2

1

2

12

2P

P

Z

Z

m dzD

ufdP

ρ

ou a perda de carga P∆ fica

2

2mu

D

LfP

ρ=∆

2m

N (4.19 a)

Se M for a vazão, em metros cúbicos por segundo, através do tubo, a potência da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga P∆ se torna

Potência da bomba = ))((2

3

m

NP

s

mM ∆

Potência da bomba = M P∆ ouWs

mN. (4.19 b)

4.2.3) Camada limite térmica No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, é mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

45

região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o conceito é possível. Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e axial. Define-se uma temperatura adimensional ),( zrθ como

)()(

)(),(),(

zTzT

zTzrTzr

wm

w

−=θ (4.20a)

onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo Tm(z) = Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z T(r,z) = temperatura local do fluido Evidentemente, ),( zrθ é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no eixo do tubo. Então visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite térmica paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica )(ztδ cresce

continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do perfil da temperatura adimensional ),( zrθ muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo do tubo, isto é,

)()(

)(),()(

zTzT

zTzrTr

wm

w

−=θ (4.20 b)

É difícil explicar qualitativamente por que )(rθ deve ser independente da variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a temperatura adimensional )(rθ depende somente de r para valores suficientemente grandes de z. 4.2.4) Coeficiente de transferência de calor Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse. Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o fluido e a superfície da parede. Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial, respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

46

pareder

zrTKzq

∂−=

),()( (4.21 a)

onde k é a condutividade térmica do fluido. Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade, define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z)

[ ])()()()( zTzTzhzq wm −= (4.21 b)

onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo na posição z Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferência de calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas. Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z). Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos:

RparederrzTwzTm

zrTkzh

=∂−

∂−=

)()(

),()( (4.22 a)

onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, são determinadas por

2

0

0

02),()(

2)(

2),()()(

Ru

rdrzrTru

rdrru

rdrzrTruzTm

m

R

R

R

π

π

π

π ∫

∫== (4.22 b)

Rparederw zrTzT=

= ),()( (4.22 c)

A temperatura média do fluido Tm(z) é uma definição baseada no transporte de energia térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção transversal, pois a grandeza "" utc pρ representa o fluxo de energia por unidade de área.

Num fluido incompressível, de propriedades constantes, o termo ρ cp cancela-se no numerador e no denominador de (4.22 b). A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional

),( zrθ definida pela Eq. (4.20 a) como

Rparederr

zrkzh

=∂

∂−=

),()(

θ (4.23 a)

Na região termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional )(rθ é independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a

Page 47: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

47

Rparederdr

rdkh

=

−=)(θ

(4.23 b)

onde )(rθ é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede. As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida.

4.3) PARÂMETROS ADIMENSIONAIS Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais, como os números de Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado físico destes parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do fluido, ou com a transferência de calor. Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma

===∞

∞∞

2

2

/

/Re

Lvu

Lu

v

Lu força de inércia/força viscosa (4.24 a)

Então, o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa. Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds pequenos, e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes. Lembremo-nos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a transformação do escoamento laminar em turbulento. O número de Prandtl pode ser escrito na forma

====x

v

ckk

c

p

p

)/(Pr

ρ

ρµµdifusividade molecular do momento/difusividade molecular do

calor (4.24 b) Representa, portanto, a importância relativa do transporte de momento e energia no processo de difusão. Nos gases com Pr ≅ 1, a transferência de momento e energia pelo processo de difusão é equilibrada. Nos óleos, Pr > 1 , e daí se vê que a difusão de momento é muito maior do que a difusão de energia; mas, nos metais líquidos, Pr<1, e a situação é inversa. Lembramos que, na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana, a espessura relativa das camadas limite cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl. Considere o número de Nusselt, baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

48

LTk

Th

k

hLNu

/∆

∆== (4.25 a)

onde ∆ T é a diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e a temperatura dos fluidos. Então o número de Nusselt pode ser interpretado como a razão entre a transferência de calor por convecção e por condução através de uma camada do fluido de espessura L. Com base nesta interpretação, o valor do número de Nusselt igual a zero implica que não há convecção – A transferência de calor se efetua por pura condução. Um valor maior do número de Nusselt implica um aumento de transferência convectiva de calor. O número de Stanton pode ser reordenado como

Tuc

Th

uc

hSt

mpmp ∆

∆==

ρρ (4.25 b)

onde T∆ é uma diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e o fluido. O numerador representa o fluxo de calor para o fluido, e o denominador representa a capacidade de transferência de calor do escoamento do fluido. O parâmetro adimensional, o número de Eckert, definido como

),/(2 TCpuE ∆≡ ∞ surgem freqüentemente em problemas de transferência de calor em alta velocidade. O número de Eckert pode ser reordenado como

T

Cpu

TCp

uE

∆=

∆= ∞∞ /22

(4.26)

Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura

Aqui, )2/(2

pCu∞ representa uma elevação ideal de temperatura, se um gás ideal com a

velocidade ∞u fosse reduzido adiabaticamente à velocidade zero. Esta definição implica que, se o número de Eckert for pequeno, os efeitos da geração viscosa da energia devido ao movimento do fluido podem ser desprezados em comparação com as diferenças de temperaturas envolvidas no processo de transferência de calor. Lembramos que o termo da dissipação viscosa de energia, que apareceu na equação da energia, e a grandeza do número de Eckert tornam-se o critério para decidir se os efeitos de dissipação viscosa de energia devem ser considerados na análise da transferência de calor.

Page 49: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

49

5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 5.1) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR Os problemas de transferência de calor estacionária e de perda de carga na convecção laminar forçada dentro de um tubo circular, em regiões afastadas da entrada, onde os perfis de velocidades e de temperaturas estão plenamente desenvolvidos, têm grande interesse em numerosas aplicações de engenharia. O fator de atrito e o coeficiente de transferência de calor no escoamento são determinados, respectivamente, a partir do conhecimento da distribuição da velocidade e da distribuição de temperaturas no fluido. 5.1.1) Fator de atrito

Considere um fluido incompressível, de propriedades constantes, em uma convecção laminar forçada dentro de um tubo de raio R, na região onde o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido. O fator de atrito no escoamento, no interior de um tubo circular, está relacionado com o gradiente de pressão nas paredes pela Eq. (4.18e)

Rrmdr

du

uf

=

−=2

8

ρ

µ (5.1)

A distribuição de velocidades u(r) pode ser determinada a partir da solução das equações do movimento. Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, as equações do movimento se reduzem à simples equação escrita na forma:

dz

dP

dr

dur

dr

d

r µ

1)(

1= em 0 < r < R (5.2)

sujeita às condições de contorno

du/dr = 0 em r = 0 (5.3a) u = 0 em r = R (5.3b)

A primeira condição de contorno é a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do tubo, e a segunda é a nulidade da velocidade nas paredes.

No escoamento laminar estacionário, plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, o gradiente de pressão dP/dz é constante. Então, a solução da Eq. (5.3) dá o perfil das velocidades plenamente desenvolvido u(r).

])(1[)4

1()( 22

R

rR

dz

dPru −−=

µ (5.4)

Page 50: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

50

Aqui, a velocidade u(r) é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva dos z, mas o gradiente de pressão dP/dz é uma grandeza negativa. A velocidade média do escoamento um, sobre a seção reta do tubo, é determinada a partir da definição, e fica

dz

dPRdrrru

Ru

R

m ∫ −==0

2

2 8)(2

1

µπ

π (5.5)

uma vez que u(r) é dada pela Eq. (5.4). O significado físico da velocidade média um , implica que a vazão através do tubo é determinada por

vazão = (área da seção reta) um = muR2π

Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos

])(1[2)( 2

R

r

u

ru

m

−= (5.6)

Esta relação mostra que o perfil de velocidades u(r)um na região hidrodinamicamente desenvolvida é parabólico. A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq. (5.4) quando se faz r = 0;

dz

dPRu

µ4

2

0 −= (5.7)

Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento:

muu 20 = (5.8)

O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na região hidrodinamicamente desenvolvida, é determinado quando se obtém o gradiente da velocidade a partir da Eq. (5.6)

D

u

R

u

dr

rdu mm

Rr

84)(−=−=

=

(5.9)

e se introduz este resultado na Eq. (5.1),

Re

6464==

Duf

µ (5.10 a)

onde D é o raio interno do tubo e

v

DuDu mm ==µ

ρRe (5.10 b)

é o número de Reynolds.

Page 51: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

51

Na literatura, o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico. Se fr representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico, ele está relacionado com o fator de atrito definido pela Eq. (5.10 a) por f = 4fr. Isto é, a Eq. (5.10 a), na representação de fr, seria fr = l6/Re, onde µρ /Re Dum= . Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação

de Hagen-Poiseuille para o fator de atrito em tubos, em virtude dos dados experimentais de Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille. 5.1.2) Coeficiente de transferência de calor. O coeficiente de transferência de calor no escoamento interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, está relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq. (4.23 b) .

Rrdr

rdkh

=

−=)(θ

(5.11)

onde θ (r) é definida pela Eq. (4.20b):

)()(

)(),()(

zTzT

zTzrTr

wm

w

−=θ (5.12)

Para determinar h, é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento, o que pode ser estabelecido a partir da solução da equação da energia. . Na região hidrodinamicamente desenvolvida, a equação da energia, no escoamento laminar de um fluido incompreensível, dentro de um tubo circular, com dissipação viscosa da energia desprezível pela equação:

2

2

)(1

)(1

z

T

r

Tr

rrz

Tru

∂+

∂=

α (5.13)

Em geral, esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de temperaturas no escoamento, e sua solução é bastante complicada. Entretanto, na convecção forçada, no interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, com temperatura da parede constante, ou com fluxo de calor na parede constante, pode-se demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial, na Eq. (5.13), reduz-se a uma constante, isto é,

=∂

z

Tconstante

Então, a equação diferencial parcial (5.13) se reduz a uma equação diferencial ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T®, pois o termo 22 / zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ / constante. Vamos examinar agora o problema da transferência de calor com a condição de contorno, fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede, na convecção forçada, no interior de um tubo circular. 5.1.3) Fluxo de calor constante. Demonstra-se que, na condição de fluxo de calor constante na parede, o gradiente de temperatura na direção do escoamento, em qualquer

Page 52: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

52

ponto do fluido, é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido. Isto é,

==∂

dz

zdT

z

zrT m )(),(constante (5.14)

Este resultado implica que, com o fluxo de calor constante na parede, a temperatura média do escoamento Tm(z), na região termicamente desenvolvida, cresce linearmente com a distância z ao longo do tubo. Quando a Eq. (5.14) for introduzida na Eq. (5.13), o termo 22 / zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ / constante, e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para T(r):

dz

zdTru

dr

dTr

dr

d

r

m )()(

1)(

1

α= (5.15)

Esta equação escreve-se em termos da temperatura adimensional θ (r), definida pela Eq. (5.12), como

)]()([)(

)(1

)(1

zTzTdz

zdTru

dr

dr

dr

d

rwm

m−=

α

θ -1 (5.16 a)

onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.6)

])(1[2)( 2

R

ruru m −= (5.16 b)

As Eqs. (5.16 a) e (5.16 b) são combinadas e escritas mais compactamente como

])(1[)( 2

R

rAr

dr

dr

dr

d−=

θ em 0 < r < R (5.17 a)

onde a constante A é definida por

=−

=dz

zdT

zTzT

uA

m

wm

m )(

)]()([

2

αconstante (5.17 b)

As condições de contorno para a Eq. (5.17) são

0=dr

dθ em r = 0 (5.18 a)

0=θ em r = R (5.18 b)

A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo, e a segunda resulta da definição de θ dada pela Eq. (5.12), pois θ deve ser zero nas paredes.

Page 53: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

53

A Eq. (5.17 a) é semelhante à equação de condução de calor estacionária, em coordenadas cilíndricas, e pode ser integrada facilmente, sujeita às condições de contorno das Eqs. (5.18), para dar

+−=

242

4

1

16

1

16

3)(

R

r

R

rARrθ (5.19)

A constante desconhecida A que aparece nesta equação pode ser determinada empregando-se a definição da temperatura média global do fluido. De acordo com a definição da temperatura média global do fluido, dada pela Eq. (4.22b), escrevemos

20

2)()()(

Ru

rdrrrum

m

R

π

πθθ

∫= (5.20)

onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.16 b), isto é,

])(1[2)( 2

R

ruru m −= (5.21)

As Eqs. (5.19) e (5.21) são introduzidas na Eq. (5.20) e as integrações são feitas. Obtém-se

96

11 2ARm =θ (5.22 a)

Também, a definição de θ (r) dada pela Eq. (5.12) permite-nos escrever

1)()(

)()(

,=

−=

zTzT

zTzTm

wm

wmθ (5.22 b)

Igualando (5.22a) e (5.22b), encontramos

11

962 −=AR (5.23)

Introduzindo este resultado de AR2 na Eq. (5.19), obtemos

+=

24

4

1

16

1

16

3

11

96)(

R

r

R

rrθ (5.24)

A Eq. (5.24) é o perfil de temperaturas adimensionais, na convecção forçada, em um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de

Page 54: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

54

contorno fluxo de calor constante na parede. Lembramos que este perfil de temperaturas foi empregado para determinar o coeficiente de transferência de calor. Dado o perfil de temperaturas no fluido, o coeficiente de transferência de calor h é obtido imediatamente a partir de sua definição dada pela Eq. (5.11):

D

kh

11

48= (5.25 a)

ou

364,411

48==≡

k

hDNu (5.25 b)

onde D é o diâmetro interno do tubo e Nu é o número de Nusselt. O resultado das Eqs. (5.25) representa o coeficiente de transferência de calor, na convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede. 5.1.4) Parede com temperatura constante. O problema de transferência de calor descrito acima, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, também pode ser resolvido com a condição de contorno parede com temperatura constante; mas a análise é mais elaborada e não será apresentada aqui. O resultado é

657,3=≡k

hDNu (5.26)

que representa o número de Nusselt (ou o coeficiente de transferência de calor) na convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno parede com temperatura constante. 5.1.5) Estimativa das propriedades físicas. Nos resultados dados pelas Eqs. (5.25) e (5.26), a condutividade térmica do fluido k depende da temperatura. Quando a temperatura do fluido varia ao longo do tubo, k pode ser calculada pela temperatura média global do fluido tb, definida como

)(2

1ToTiTb += (5.27)

onde Ti = temperatura volumar do fluido na entrada e To = temperatura volumar do fluido na saída. 5.1.6) Média logarítmica e média aritmética das diferenças de temperaturas. A média logarítmica (MLDT) das duas grandezas 21 TeT ∆∆ é definida como

Page 55: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

55

)/ln( 21

21ln

TT

TTT

∆∆

∆−∆=∆ (5.28 a)

enquanto a média aritmética (MA) de 21 TeT ∆∆ é definida como

( )212

1TTTMA ∆+∆=∆ (5.28 b)

5.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES RETAS TRANSVERSAIS O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e temperatura estão plenamente desenvolvidos. Se a seção transversal do duto não for circular, então a transferência de calor e o fator de atrito, em muitos casos de interesse prático, podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh, definido como

P

AD c

h

4= (5.29)

onde Ac = Área de seção reta transversal do escoamento e P = perímetro molhado. Então, os números de Nusselt e de Reynolds, nestes casos são

K

hDNu h= (5.30 a)

v

Du hm=Re (5.30 b)

5.2.1) Comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh e o comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos. O comprimento da entrada hidrodinâmica Lh é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir da entrada do duto, necessária para que se atinja uma velocidade máxima correspondente a 99% da grandeza plenamente desenvolvida.

O comprimento da entrada térmica Lt é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir do começo da seção de transferência de calor, necessária para se atingir um número de Nusselt local Nux igual a 1,05 vez o valor plenamente desenvolvido.

Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no duto, tanto a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver imediatamente, e Lh e Lt são ambos medidos a partir da boca do tubo, como está na Fig. 5.1a.

Em algumas situações, a transferência de calor para o fluido começa após uma seção isotérmica acalmante, como está na Fig. 5.1b. Neste caso, Lh é medido a partir da entrada do duto, pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a

Page 56: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

56

entrada do fluido no duto, mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência de calor, pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência de calor.

Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica, no escoamento laminar no interior de condutos, foram dados por vários autores. Apresentamos na Tabela 5.1 o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos de várias seções transversais, baseados na definição mencionada anteriormente. Incluímos nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da parede constante e fluxo de calor constante nas paredes, num escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento. Nesta tabela, Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro.

Notamos, na Tabela 5.1, que, numa dada geometria, o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds, enquanto o comprimento da entrada térmica Lt depende do número de Péclét, Pe, que é igual ao produto dos números de Reynolds e Prandtl. Por isso, líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade têm Lh e Lt com grandezas comparáveis; nos fluidos como os óleos, que têm um número de Prandtl grande, temos Lt>Lh e, nos metais líquidos, que tem um número de Prandtl pequeno, temos Lt<Lh.

Fig. 5.1 comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica: (a) a transferência de calor se inicia na boca

do duto; (b) a transferência de calor se inicia depois de uma seção isotérmica.

Page 57: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

57

Tab. 5.1 Comprimento da entrada hidrodinâmica e térmica Lh Lt no escoamento laminar no interior de dutos

Os comprimentos da entrada térmica, dados na Tabela 5.1, valem no escoamento

hidrodinamicamente desenvolvido e se desenvolvendo termicamente. Como discutiremos mais tarde, em muitos casos os perfis de velocidades e de temperaturas se desenvolvem simultaneamente na região de entrada. Este escoamento é o escoamento com desenvolvimento simultâneo. Os comprimentos da entrada térmica no escoamento com desenvolvimento simultâneo também dependem do número de Prandtl. Por exemplo, no escoamento que se desenvolve simultaneamente dentro de um tubo circular, com temperatura constante nas paredes, o comprimento da entrada térmica Lt é

037,0=DPe

Lt com Pr =0,7

que deve ser comparada com

∞→= Pr..033,0 comDPe

Lt

que corresponde ao número dado na tabela 5.1 para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento. Portanto, Lt cresce quando o número de Prandtl diminui e é uma função fraca de número de Prandtl para Pr > 0,07.

5.3 ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS

O escoamento turbulento é importante nas aplicações de engenharia, pois aparece na grande maioria dos problemas de escoamento de fluido e transferência de calor encontrados na prática da engenharia.

Page 58: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

58

5.3.1) Fator de Atrito e perda de carga

Considere um escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, com uma

velocidade média de mu através de um tubo circular de diâmetro interno D. A perda de

carga P∆ sobre o comprimento L do tubo pode ser determinada segundo a equação:

=∆ 2

2

2

.

m

Nu

D

LfP

mρ (5.31)

onde: =f fator de atrito no escoamento. O fator de atrito no escoamento laminar, dentro de

um tubo circular, pode ser encontrado por método puramente teórico e demonstrou-se que

vale Re

64=f . No caso de escoamento turbulento, entretanto um certo empirismo se

introduz em sua dedução, pois se emprega um perfil de velocidades semi-empírico nesta análise.

( ) 8,0Relog0,21

−= ff

(5.32 a)

Esta relação concorda com as experiências e é utilizada para determinar o fator de atrito no escoamento turbulento, no interior de canos lisos. A fig. 5.2 mostra a comparação entre a equação (5.32 a) e as experiências de vários pesquisadores; aqui, as experiências de Nikuradse cobrem uma faixa de número de Reynolds até 3,4x106. A equação implícita (5.32 a) é aproximada quase exatamente pela seguinte expressão explícita

2)64,1Relog82,1( −−=f (5.32 b)

NiKuradse fez extensas experiências com escoamento turbulento no interior de canos

artificialmente rugosos, em uma faixa muito grande de rugosidade relativa D

λ ( isto é, a

altura da saliência dividida pelo diâmetro), de cerca de 1/1000 até 1/30. A rugosidade do grão de areia, utilizada nessas experiências, foi adotada como padrão para efeitos de rugosidade. Também foi desenvolvida uma correlação do fator de atrito para o escoamento turbulento no interior de tubos rugosos baseada em experiências feitas com tubos rugosos. A fig. 5.3 mostra uma carta do fator de atrito, originalmente apresentada por Moody para o escoamento turbulento no interior de tubos lisos e rugosos. A curva do tubo liso é baseada na equação

=

==

LyemT

yemTyT

..

0..)(

1

0

Page 59: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

59

Também está incluído nesta figura o fator de atrito Re

64=f do escoamento laminar no

interior de tubos circulares.

Fig. 5.2. Lei de atrito no escoamento turbulento dentro de tubos lisos e dados experimentais de vários

pesquisadores.

É evidente que, no escoamento laminar, a rugosidade da superfície não tem efeito sobre o fator de atrito; no escoamento turbulento, entretanto, o fator de atrito é um mínimo para o tubo liso. O escoamento laminar está confinado à região Re < 2000. A turbulência transicional ocorre na região 2000<Re<10000. O escoamento plenamente turbulento ocorre na região Re>104. Nos tubos lisos, foram dadas expressões analíticas mais simples, porém aproximadas, para o fator de atrito na forma

f = 0,316Re-0,25 para Re < 2 x 104

f = 0,184Re-0,2 para 2 x 104 <Re < 3 x 105

Estes resultados se aplicam ao escoamento turbulento hidrodinamicamente desenvolvido. O desenvolvimento hidrodinâmico no escoamento turbulento ocorre para x/D muito menor do que no escoamento laminar. Por exemplo, as condições de escoamento hidrodinamicamente desenvolvido ocorrem para x/D maior do que cerca de 10 a 20.

Page 60: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

60

Fig. 5.3. Fator de atrito para ser utilizado na relação 2/.)(/( 2mUDLfP ρ=∆ para

a perda de carga em um escoamento no interior de tubos circulares. ( De Moody.)

5.4) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Uma vez que a análise de transferência de calor no escoamento turbulento é muito mais elaborada do que no escoamento laminar, foi desenvolvido um grande número de correlações empíricas para determinar o coeficiente de transferência de calor. Apresentaremos algumas destas correlações. 5.4.1) Equação de Colburn.

Nu = 0,023 Re0,8 Pr1/ 3 (5.33)

onde Nu = hD/ K, Re = ,/ vDmu e Pr = αν / . A equação (5.33) pode ser aplicada

quando 0,7 < Pr < 160 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos

5.4.2) Equação de Dittus-Boelter.

Nu = 0,023 Re0,8 Pr n (5.34)

onde n = 0,4 no aquecimento (Tw > Tb) e n = 0,3 no resfriamento (Tw < Tb) do fluido. A faixa de aplicabilidade é a mesma que a da equação de Colburn. 5.4.3) Equação de Sieder e Tate. Nas situações que envolvem grande variações de propriedades:

Nu = 0,027 Re0,8 Pr1/ 3 14,0.. )/( wb µµ (5.35)

Esta equação é aplicável quando

0,7 < Pr < 16700 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos

Todas as propriedades são estimadas na temperatura média global do fluido Tb, exceto

wµ que é calculado à temperatura da parede.

5.4.4) Equação de Petukhov. As relações que acabamos de apresentar são relativamente simples, mas dão um erro máximo de ± 25% na faixa de 0,67 < Pr < 100 e podem ser aplicadas no escoamento turbulento em dutos lisos. Uma correlação mais precisa, que é também aplicável em dutos

Page 61: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

61

rugosos, foi desenvolvida por PetuKhov e colaboradores no Instituto de Altas Temperaturas de Moscou:

2/13/2

8)1(Pr7,1207,1

8

Pr.Re

−+=

=

fX

f

XN

n

w

bu

µ

µ

(5.36)

n = 0,11 aquecimento com Tw uniforme (Tw > Tb) 0,25 esfriamento com Tw uniforme ( Tw < Tb)

0 fluxo de calor uniforme na parede ou gases As Eqs. (5.36) são aplicáveis no escoamento turbulento plenamente desenvolvido na faixa

104 < Re < 5x106 0,5 < Pr < 200 com erro de 5 a 6% 0,5 < Pr < 2000 com erro de 10%

0,08 < b

w

µ

µ< 40

Notamos que b

w

µ

µ < 1 quando o líquido for aquecido e

b

w

µ

µ > 1 quando o líquido for

resfriado. Todas as propriedades físicas, exceto w

µ , são estimados na temperatura média

global. O fator de atrito f , nas equações (5.36), pode ser estimado pelo diagrama de

Moody para tubos lisos, ou obtido da carta de Moody (fig. 5.3) para tubos lisos ou rugosos. 5.4.5) Equação de Nusselt. As relações anteriores são aplicáveis no domínio L/D > 60. Nusselt estudou os dados experimentais com L/D de 10 a 100 e concluiu que h, neste domínio, é aproximadamente proporcional a (D/L)1/ 8. Daí substituiu a Eq. (5.35) por

Nu 40010PrRe036,0055,0

3/18,0 <<

=

D

Lem

L

D (5.37)

onde L é o comprimento medido do princípio da seção de transferência de calor, e as propriedades do fluido são calculadas à temperatura média global do fluido. 5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. O número de Nusselt é determinado teoricamente a partir da solução da equação da energia com o emprego de um perfil apropriado de velocidades no escoamento turbulento. O número de Nusselt resultante, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, foi expresso na forma

Page 62: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

62

ba PrRe 0,016 5 Nu += (5.38) onde

a= 0,88 - Pr4

24,0

+ e b = 0,33 + 0,5e-0,6.Pr

que é aplicável em 0,1 < Pr < 104 104 < Re < 106

25>D

L

A Eq. (5.38) correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representação mais exata do efeito do número de Prandtl. Pode ser preferida à Eq. (5.37).

5.5) TRANSFERÊNCIA DE CALOR NOS METAIS LÍQUIDOS

Os metais líquidos são caracterizados pelo número de Prandtl muito baixo, variando de cerca de 0,02 a 0,003. Por isso, as correlações de transferência de calor das seções anteriores não se aplicam aos metais líquidos, pois sua faixa de validade não se estende a valores tão baixos do número de Prandtl. O Lítio, o Sódio, o Potássio, o Bismuto e o sódio-potássio estão entre os metais comuns de baixo ponto de fusão que são convenientes para a transferência de calor. Há interesse, para a engenharia na transferência de calor em metais líquidos, pois se podem transferir grandes quantidades de calor em altas temperaturas com diferença de temperatura relativamente baixa entre o fluido e a superfície da parede do tubo. As altas taxas de transferência de calor resultam da alta condutividade dos metais líquidos, comparada com a condutividade dos líquidos e gases ordinários. Por isso, são particularmente atraentes como meio de transferência de calor nos reatores nucleares e em muitas outras aplicações em alta temperatura e com elevado fluxo de calor. A principal dificuldade no emprego dos metais líquidos está em seu manuseio. São corrosivos e alguns podem provocar violentas reações quando entram em contato com o ar ou a água. Como se discutiu no Cap. 4, quando Pr<1, como nos metais líquidos, a camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética. Isto implica que o perfil de temperaturas, e, portanto, a transferência de calor nos metais líquidos não é influenciada pela subcamada laminar ou pela viscosidade. Desse modo, nesses casos, espera-se uma dependência bastante fraca entre a transferência de calor e o número de Prandtl. Por isso, a maior parte das correlações empíricas da transferência de calor com metais líquidos foi estabelecida fazendo-se o gráfico do número de Nusselt contra o número de Péclét, Pe = Re.*Pr. Esta situação, discutida inicialmente com referência ao escoamento sobre uma placa plana, também se aplica ao escoamento num tubo circular, como está ilustrado na figura 5.4. Nesta figura os números de Nusselt no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, sujeitos a um fluxo de calor constantes nas paredes, compiladas de várias fontes por Lubarsky e Kaufman, estão plotados contra os números de Péclét. Os dados parecem ter boa correlação, mas há também espalhamento. A explicação está nas dificuldades inerentes às experiências com metais líquidos, especialmente em ter que se tratar com altas temperaturas e diferenças de temperatura muito pequenas. O fato de alguns metais líquidos não molharem a superfície

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

63

sólidas também é considerado uma possível explicação para alguns valores medidos do número de Nusselt serem mais baixos do que as previsões teóricas. Resumiremos algumas correlações empíricas e teóricas para a transferência de calor nos metais líquidos, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, com fluxo de calor constante nas paredes e também temperatura constante da parede como condição de contorno.

Fig. 5.4. Números de Nusselt medidos no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, circulares, com fluxo de

calor constante nas paredes.

5.5.1) Fluxo de calor uniforme nas paredes Lubarsky e Kaufman propuseram a seguinte relação empírica para calcular o número de Nusselt, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos.

Nu = 0,625 Pe 0,4 (5.39) número de Péclét ≡ Pe = Re . Pr para 102 < Pe < 10 4, L/D > 60, e as propriedades são calculadas à temperatura média global do fluido.

Skupinski, Tortel e Vautrey, baseados nas experiências de transferência de calor feitas com misturas de sódio e potássio, recomendaram a seguinte expressão para metais líquidos em escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de tubos lisos:

Nu = 4,82 + 0,0185 Pe 0,827 (5.40)

para 3,6 x 10 3 < Re < 9,05 x 10 5, 10 2 < Pe <10 4 e L/D > 60. As propriedades físicas são calculadas à temperatura média global do fluido. A Eq. (5.39) prevê número de Nusselt mais baixo que a Eq. (5.40); é previsão conservadora.

Page 64: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

64

5.5.2) Temperatura uniforme nas paredes

Seban e Shimazaki utilizaram a analogia entre a transferência de momento e a transferência de calor e propuseram a expressão seguinte para metais líquidos em tubos lisos, com temperatura uniforme nas paredes:

Nu = 5,0 + 0,025 Pe 0,8 (5.41)

para Pe > 100, L/D > 60, e lpropriedades físicas calculadas à temperatura média global do fluido. Também foram desenvolvidas expressões para o número de Nusselt no escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos, sujeitos à condição de contorno temperatura uniforme nas paredes, mediante ajustes empíricos dos resultados das soluções teóricas. Apresentaremos agora os resultados destes ajustes: Sleicher e Tribus:

Nu = 4,8 + 0,015 Pe 0,91 Pr 0,30 para Pr < 0,05 (5.42)

Azer e Chão:

Nu = 5,0 + 0,05 Pe 0,77 Pr 0,25 para Pr < 0,1, Pe < 15000 (5.43)

Notter e Sleicher

Nu = 4,8 + 0,0156 Pe 0,85 Pr 0,08 para 0,004 < Pr <0,1, Re < 500000 (5.44)

6) CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS

6.1) COEFICIENTE DE TRANSFERËNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO SOBRE UMA PLACA PLANA

Vamos considerar agora a transferência de calor para um fluido, ou de um fluido, que escoa sobre uma placa plana. Suponha que a transferência de calor se inicia na borda frontal da placa. Como foi discutido no Cap. 4, as camadas limite cinética e térmica começam a se desenvolver simultaneamente, e sua espessura relativa depende do valor do número de Prandtl. Se a distribuição de temperatura T(x, y) na camada limite for conhecida, o coeficiente de transferência de calor local h(x) pode ser determinado a partir de sua definição, dada na Eq. (4.11 a) como

[[[[ ]]]]

W

0y

TT

yTk)x(h

−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∞∞∞∞

==== (6.1)

onde ∞T e Tw, são as temperaturas da corrente livre do fluido e da parede, respectivamente.

Page 65: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

65

Apresentaremos primeiro uma análise aproximada da determinação da distribuição de temperaturas na camada limite térmica e, a seguir, o coeficiente de transferência de calor no caso especial em que Pr < 1, isto é, nos metais líquidos. A razão para considerar primeiro os metais líquidos está na simplicidade da análise neste caso particular; além disso, ela nos ajudará a aprofundar a compreensão do papel da camada limite térmica na transferência de calor. O caso de Pr = 1 (gases), que envolve análise mais elaborada, será considerado mais tarde. 6.1.1) Metais líquidos num escoamento laminar O número de Prandtl é muito baixo nos metais líquidos; por isso, a camada limite térmica é muito mais espessa que a camada limite cinética (isto é,δt> δ).

Fig. 6.1 Camadas limites cinética e térmica na transferência de calor em metais líquidos, Pr <1.

A Fig. 6.1 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se desenvolver a partir da borda frontal da placa plana. Sejam T∞ e u∞ a temperatura e a velocidade do fluido, respectivamente, fora das camadas limites; Tw é a temperatura da superfície da placa. Admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes, num escoamento bidimensional, estacionário, com dissipação viscosa de energia desprezível. A equação da energia, que governa a distribuição de temperaturas T(x, y) na camada limite térmica, é obtida pela equação:

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

∂∂∂∂

∂∂∂∂====

∂∂∂∂

∂∂∂∂++++

∂∂∂∂

∂∂∂∂αααα (6.2)

Para conveniência de análise, definimos uma temperatura adimensional θ (x, y) como

( )w

w

TT

TyxTyx

−=

),(,θ (6.3)

onde θ(x, y) varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada limite térmica. Então, a equação da energia é escrita em termos de θ(x, y) como

Page 66: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

66

2

2

yyv

xu

∂∂∂∂

∂∂∂∂====

∂∂∂∂

∂∂∂∂++++

∂∂∂∂

∂∂∂∂ θθθθαααα

θθθθθθθθpara x > 0 (6.4)

e as condições de contorno são

θθθθ = 0 em y = 0 (6.5 a) θθθθ = 1 em y = )x(tδδδδ (6.5 b)

onde as Eqs. (6.5 a) e (6.5 b) dão, respectivamente, a temperatura na superfície da parede igual a Tw, e a temperatura na fronteira da camada limite térmica, com espessura )x(tδδδδ ,

igual a T ∞∞∞∞ . A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada, pois as

componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético antes que a equação da energia (6.4) possa ser resolvida.

Entretanto, uma solução aproximada deste problema, com o método integral, é relativamente simples. Os passos básicos são os seguintes: A equação da energia (6.4) é integrada em relação a y na camada limite térmica, e a

componente da velocidade v(x, y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação resultante, chamada a equação integral da energia, é dada por

t

y

yemdy

ddyu

dx

d t

δθ

αθδ

≤≤=

=

∫ 0.)1(0

0 (6.6)

onde )(xtt δδ ≡ ),(),( yxeyxuu θθ ≡≡ . Até aqui, a análise e a Eq. (6.6) são exatas, mas

esta equação não pode ser resolvida, pois ela envolve três incógnitas )x(tδδδδ

),(),,( yxyxu θ . Por isso, precisamos de relações adicionais. Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolverem-se expressões analíticas simples para u(x, y) e θθθθ (x, y) coerentes com a realidade física. Uma vez que a camada limite cinética é muito delgada, a velocidade do escoamento em uma grande porção da camada limite térmica é uniforme e igual a u∞, como está ilustrado na Fig. 6.1. Por isso, numa primeira aproximação, o perfil de velocidades é tomado como

u (x, y) = u ∞∞∞∞ = constante (6.7)

O perfil de temperaturas θθθθ (x, y) pode ser representado como uma aproximação polinomial dentro da camada limite térmica. Suponhamos uma aproximação cúbica para θθθθ (x, y), com a forma

θθθθ (x,y)= c0 +c1(x)y + c2(x)y2 + c3(x)y3 )x(y0em tδδδδ≤≤≤≤≤≤≤≤ (6.8)

e que as quatro condições necessárias para determinar os quatro coeficientes tenham a forma

Page 67: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

67

θθθθ = 0 em y = 0 (6.9 a) θθθθ = 1 em y = tδδδδ (6.9 b)

0y

====∂∂∂∂

∂∂∂∂θθθθ em y = tδδδδ (6.9 c)

0y2

2

====∂∂∂∂

∂∂∂∂ θθθθ em y = 0 (6.9 d)

Notamos que as duas primeiras condições são as condições de contorno, a terceira está baseada na definição da camada limite térmica, e a última é obtida pela estimativa da equação da energia (6.4) em y = 0, observando-se que u = v = 0 na superfície da parede. A aplicação das condições (6.9) à Eq. (6.8) dá o perfil de temperaturas na forma

3

tt

y

2

1y

2

3)y,x(

−−−−

====

δδδδδδδδθθθθ (6.10)

Os perfis de velocidades e de temperaturas, dados pelas Eqs. (6.7) e (6.10), são introduzidos na equação integral da energia (6.6). Obtemos

t0

3

tt 2

3dy

y

2

1y

2

31u

dx

d t

δδδδαααα

δδδδδδδδ

δδδδ====

++++−−−−∫∫∫∫ ∞∞∞∞ (6.11)

onde o segundo membro vem da relação [ (((( )))).2/3]y/ t0y δδδδθθθθ ====∂∂∂∂∂∂∂∂ ==== Quando se faz a

integração em relação a y, a equação diferencial ordinária para a espessura tδδδδ da camada

limite térmica:

t

t

2

3

dx

d

8

3u

δδδδ

ααααδδδδ====∞∞∞∞

ou (6.12)

dxu

4d tt

∞∞∞∞

====αααα

δδδδδδδδ

A integração da Eq. (6.12), com as condições 0t ====δδδδ em x = 0, dá a espessura da camada

limite térmica como

xu

82t

∞∞∞∞

====αααα

δδδδ (6.13 a)

ou

∞∞∞∞

====u

x8t

ααααδδδδ (6.13 b)

Page 68: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

68

O gradiente de temperatura na parede, com o perfil cúbico da temperatura, Eq. (6.10), fica

t0y2

3

y δδδδ

θθθθ====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

(6.14)

e o coeficiente de transferência de calor, definido pela Eq. (6.1), escreve-se em termos de )y,x(θθθθ , como

0yy

k)x(h====

∂∂∂∂

∂∂∂∂====

θθθθ (6.15)

A partir das Eqs. (6.14) e (6.15), temos

t

k

2

3)x(h

δδδδ==== (6.16)

Levando tδδδδ da Eq. (6.13 b) para a equação (6.16), determina-se o coeficiente de

transferência de calor local h(x) como

PrRex

k

82

3v

v

xu

x

k

82

3

x

u

82

k3)x(h x============ ∞∞∞∞∞∞∞∞

αααααααα (6.17)

O número de Nusselt local Nux no escoamento laminar de metais líquidos sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme fica

21xxx Pe530.0PrRe

82

3

k

x)x(hNu ============ (6.18)

======== ∞∞∞∞

v

xuRex número de Reynolds local

========αααα

vPr número de Prandtl

============ ∞∞∞∞

αααα

xuPrRePe xx número local de Péclét

A solução dada pela Eq. (6.18) foi obtida por uma análise aproximada. Este resultado deve ser comparado com a solução exata de Pohlhausen para este problema de transferência de calor, no caso limite Pr → 0, dada por '

Nux = 0,564 2/1xPe (exato) para Pr → 0 (6.19)

Esta equação foi deduzida sob a hipótese de que Pr → 0; na prática, esta hipótese implica que se trata de metais líquidos (isto é, Pr < 0,05). A solução aproximada, dada pela Eq. (6.18), é razoavelmente próxima deste resultado exato.

No começo desta análise, estabelecemos que nos metais líquidos a camada limite cinética é muito menor do que a camada limite térmica. Para testar a validade desta

Page 69: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

69

afirmação, dividamos a espessura da camada limite cinética δδδδ (x), pela espessura da camada limite térmica )x(tδδδδ , Eq. (6.13 b). Obteremos

Pr692,2813

280

)(

)(== ∞

∞ x

u

u

v

x

x x

t αδ

δ

Nos metais líquidos, com Pr ≅ 0,01, encontramos

164,0)x(

)x(

t

====δδδδ

δδδδ (6.20)

o que mostra, nos metais líquidos, ser δδδδ (x) < tδδδδ (x).

6.1.2) Fluidos ordinários em escoamento laminar Examinaremos agora a determinação do coeficiente de transferência de calor no escoamento laminar de fluidos ordinários, que tem Pr > 1, sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme. Admite-se que um fluido, a uma temperatura T ∞∞∞∞ , flui com a

velocidade u ∞∞∞∞ sobre uma placa plana. O eixo x é paralelo à placa, na direção do escoamento, com a origem x = 0 na borda frontal, e o eixo y é perpendicular à placa, no

sentido da placa para o fluido. A placa é mantida a uma temperatura T ∞ na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ x0 e a uma temperatura uniforme Tw, na região x > xo. Isto é, a transferência de calor entre a placa e o fluido não começa até a posição x = xo. A Fig. 6.2 ilustra as camadas limite cinética e térmica na situação física que acabamos de descrever. Ressaltamos que a camada limite cinética é mais espessa do que a camada limite térmica, pois Pr>1; e δδδδ (x) começa a se desenvolver na borda frontal da placa, enquanto tδδδδ (x) começa a se desenvolver em x =

xo, onde principia a seção de transferência de calor. Novamente, admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes num escoamento bidimensional, estacionário, laminar, com dissipação viscosa desprezível. A equação da energia na camada limite é

2

2

yyv

xu

∂∂∂∂

∂∂∂∂====

∂∂∂∂

∂∂∂∂++++

∂∂∂∂

∂∂∂∂ θθθθαααα

θθθθθθθθ em x > xo (6.21)

Fig. 6.2 Camadas limite cinética e térmica, num fluido com Pr > 1

e as condições de contorno são

Page 70: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

70

0====θθθθ em y = 0 (6.22 a) 1====θθθθ em y = )(xtδ (6.22 b)

onde θ é definido pela Eq. (6.3). Uma vez que a análise exata deste problema de temperatura é bastante complicada, novamente consideremos a solução pelo método integral:

1. A equação da energia (6.21) é integrada em relação a y sobre a camada limite térmica, e a componente de velocidade v(x,y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação integral da energia é determinada como

( ) t

y

yemy

dyudx

d t

δθ

αθδ

≤≤∂

∂=

=

∫ 010

0 (6.23)

que é a mesma Eq. (6.6). Esta equação não pode ser resolvida, pois envolve três incógnitas,

),(),,(),( yxyxuxt θδ . Por isso precisamos de relações adicionais.

2. Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas de u(x,y) e de

)y,x(θθθθ . Para o perfil de velocidades, u(x,y), escolhemos uma aproximação polinomial cúbica e tomamô-la na forma

3

y

2

1y

2

3

u

)y,x(u

−−−−

====

∞∞∞∞ δδδδδδδδ (6.24)

Para o perfil de temperaturas )y,x(θθθθ , escolhemos um perfil cúbico e imediatamente obtemos a sua expressão pela Eq. (6.10)

3

tt

y

2

1y

2

3)y,x(

−−−−

====

δδδδδδδδθθθθ (6.25)

3. Os perfis de velocidades e de temperaturas dados pelas Eqs. (6.24) e (6.25), são

levados á equação integral da energia (6.23). Obtemos

t

3

tt

3

t0 2

3dy

y

2

1y

2

31

y

2

1y

2

3u

dx

d t

δδδδ

αααα

δδδδδδδδδδδδδδδδ

δδδδ====

++++−−−−

−−−−∫∫∫∫∞∞∞∞ (6.26 a)

∞∞∞∞

====

−−−−++++−−−−++++−−−−∫∫∫∫ u2

3dyy

4

1y

4

3y

2

1y

4

3y

4

9y

2

3

dx

d

t0

6

3t

3

4

t3

3

3

4

3t

2

t

t

δδδδ

αααα

δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ

δδδδ (6.26 b)

A integração em relação a y é então realizada:

∞∞∞∞

====

−−−−++++−−−−++++−−−−

u2

3

28

1

20

3

8

1

20

3

4

3

4

3

dx

d

t3

4t

3

4t

3

4t

2t

2t

2t

δδδδ

αααα

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ (6.27)

Agora, uma nova variável )x(∆∆∆∆ é definida como a razão entre a espessura da camada limite térmica e a espessura da camada limite cinética:

Page 71: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

71

)x(

)x()x( t

δδδδ

δδδδ∆∆∆∆ ==== (6.28)

Então, a Eq.(6.27) se torna:

∞∞∞∞

====

−−−−

u2

3

280

3

20

3

dx

d 42

∆∆∆∆δδδδ

αααα∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδ (6.29)

Consideraremos agora a situação em que a espessura da camada limite térmica é menor do que a espessura da camada limite cinética δδδδ , como está ilustrado na Fig 6.2, para Pr>1. Então, ∆∆∆∆ <1, e na Eq. (6.29), o termo (3/280) 4∆∆∆∆ pode ser desprezado em comparação com (3/20) 2∆∆∆∆ . A Eq. (6.29) é simplificada para

∞∞∞∞

====u

10)(

dx

d 2 αααα∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ (6.30)

Feita a derivação em relação a x,

=∆

∆+∆

∆udx

d

dx

d αδδ

102 322

ou

∞∞∞∞

====++++u

10

dx

d

dx

d

3

2 33

2 ααααδδδδδδδδ∆∆∆∆

∆∆∆∆δδδδ (6.31)

uma vez que

dx

d

3

1

dx

d 32 ∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆ ====

A espessura da camada limite cinética δδδδ foi determinada como

∞∞∞∞

====u

vx

13

2802δδδδ (6.32 a)

e derivando obtemos

∞∞∞∞

====u

v

13

140

dx

dδδδδδδδδ (6.32 b)

A substituição das equações (6.32) na equação (6.31) leva a

v56

39

4

3

dx

dx 3

3 αααα∆∆∆∆

∆∆∆∆====++++ (6.33)

Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em 3∆∆∆∆ e sua solução geral é escrita como

v14

13Cx)x( 433 αααα

∆∆∆∆ ++++==== −−−− (6.34)

Page 72: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

72

A constante de integração C é determinada pela condição de contorno 0t ====δδδδ em x = xo,

que é equivalente a 0)x( ====∆∆∆∆ em x = xo (6.35)

Encontraremos

−−−−==== −−−−

4

3

013

x

x1Pr

14

13)x(∆∆∆∆ (6.36)

onde

========αααα

vPr número de Prandtl

Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa, fazemos 0x0 →→→→ e a Eq. (6.36) simplifica-se para

3

1

3

13

1

t Pr976,0Pr14

13

)x(

)x()x(

−−−−−−−−

====

========

δδδδ

δδδδ∆∆∆∆ (6.37)

Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética, num escoamento laminar sobre uma placa plana, é inversamente proporcional à raiz cúbica do número de Prandtl. A substituição de )x(δδδδ , da Eq. (6.32 a), na Eq. (6.37) dá a espessura da camada limite térmica como

3121x

tPrRe

x53,4)x( ====δδδδ (6.38)

onde

v

xuRe x

∞∞∞∞====

Na aproximação polinomial cúbica considerada aqui para )y,x(θθθθ , o coeficiente de transferência de calor local h(x) foi relacionado anteriormente com a espessura da camada limite térmica )x(tδδδδ , pela Eq. (6.16).

)x(

k

2

3)x(h

tδδδδ==== (6.39)

Introduzindo-se )x(tδδδδ , da Eq. (6.38), na Eq. (6.39), encontra-se o número de Nusselt local

Nux,

2/1x

3/1x RePr331,0

k

x)x(hNu ======== com Rex<5*105 (6.40)

Esta solução aproximada é notavelmente próxima da solução exata deste problema, dada por Pohlhausen, como

Page 73: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

73

2/1x

3/1x RePr332,0Nu ==== (exata) com Rex<5*105 (6.41)

Note que a relação de transferência de calor, dada pela Eq. (6.40), foi deduzida por uma análise aproximada com a hipótese δδδδδδδδ <<<<t ou Pr>1. Entretanto, a comparação com os

resultados exatos mostra que ela é válida no domínio 0,6<Pr<10, que cobre muitos gases e líquidos. Para grandes valores do número de Prandtl, os cálculos exatos de Pohlhausen mostram que o número de Nusselt local, Nux, é dado por

2/1x

3/1x RePr339,0Nu ==== (exata) com ∞∞∞∞→→→→pr e Rex<5*105 (6.42)

Para calcular o coeficiente de transferência de calor a partir das relações acima,

recomenda-se que as propriedades do fluido sejam calculadas na média aritmética entre a temperatura da parede Tw e a temperatura do escoamento externo ∞∞∞∞T , isto é,

Tf=(1/2)(Tw+ ∞∞∞∞T ), a chamada temperatura películar. Nas aplicações de engenharia, define-se um coeficiente de transferência de calor

médio hm sobre o comprimento da placa, desde x = 0 até x = L,

∫∫∫∫====L

0m dx)x(hL

1h (6.43)

Notando que hx = x -1/2, encontramos que o coeficiente de transferência de calor médio no escoamento laminar paralelo a uma placa plana, sobre a distância de x = 0 até x = L, é dado por

Lxm )x(h2h====

==== (6.44)

Então, os números de Nusselt médios, no escoamento laminar paralelo à placa plana, são dados por

2/1L

3/1m RePr664,0Nu ==== (exata)0,6<Pr<10 (6.45 a)

2/13/1 RePr678,0 LmNu = (exata) ∞→Pr (6.45 b)

onde

k

LhNu m

m ==== v

LuReL

∞∞∞∞====

e as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.45 b), deduzida para o caso limite Pr ∞∞∞∞→→→→ , é aplicável aos fluidos que têm um número de Prandtl grande, como os óleos. 6.1.3) Escoamento turbutento A transição do escoamento laminar para o turbulento ocorre no domínio dos números de Reynolds entre 2 x 105 e 5 x 105, no escoamento sobre uma placa plana. As correlações da

Page 74: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

74

transferência de calor podem ser desenvolvidas no escoamento turbulento sobre uma placa plana utilizando-se as relações entre o coeficiente de transferência de calor e o de arraste dados pela Eq. (6.15a)

2Pr 3/2 Cx

St x = (6.46)

Por exemplo, se Cx for obtido da equação 2.0

xRe0592,0Cx −−−−====

encontraremos 752.03/2 10Re105.Re0296,0Pr <<= −

xxx xcomSt (6.47 a)

ou Cx é

97584,23/2 10Re10.)Re(log185,0Pr <<= −xxx comSt (6.47 b)

e todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular. Mais recentemente, Whitaker utilizou os dados experimentais de Zukauskas e Ambrazyavichyus e modificou a expressão de Colburn, para desenvolver a seguinte correlação para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana:

43,08,0 PrRe029,0Nux x= (6.48)

válida de Rex > 2 *105 até 5 *105; todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular. Nas aplicações práticas, há interesse no coeficiente de transferência de calor médio hm na distância 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L da placa. Quando o escoamento é turbulento, é sempre precedido por uma camada limite laminar na qual a equação que governa a transferência de calor é diferente da que governa o escoamento turbulento. Por isso, a promediação deve ser feita em ambas as regiões, como descreveremos agora. Admita um escoamento laminar na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ c e turbulento na região c < x ≤≤≤≤ L. Os coeficientes de transferência de calor locais, nestas duas regiões, são obtidos das Eqs. (6.41) e (6.48), respectivamente, como

emv

xu

x

kh l

x

3/1

2/1

Pr332,0

= ∞ 0 ≤ x ≤ c (laminar)

emPrv

xu

x

k029,0h 43,0

8,0

lx

==== ∞∞∞∞ c<X ≤ L (turbulento)

O coeficiente de transferência de calor médio hm, na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L é definido como

+= ∫∫

Lt

x

CL

xm dxhdxhL

h00

1

++++

==== ∫∫∫∫∫∫∫∫

−−−−∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞L

c

2,043,0

8,0c

0

5,03/1

5,0

m dxxPrv

uk029,0dxxPr

v

uk332,0

L

1h (6.49 a)

e o número de Nusselt médio, Num, na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L, é

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

75

k

LhNu m

m ==== (6.49 b)

Depois de feitas a integrações, o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento Laminar e turbulento é

(((( )))) 5,0c

3/18,0c

8,0L

43,0m RePr664,0ReRePr036,0Nu ++++−−−−==== (6.50)

válida para ReL > Rec, onde ReL = u ∞∞∞∞ L/v e Rec = número de Reynolds crítico para a transição. Evidentemente, o Num, dado pela Eq. (6.50), depende do valor do número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento. O nível da turbulência da corrente livre afeta a transição. Quando há geração elevada da turbulência na corrente livre, a transição para o escoamento turbulento ocorre em um número de Reynolds crítico mais baixo. Entretanto, se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente livre, retarda-se a transição para o escoamento turbulento. Com o número de Reynolds crítico Rec = 2 * 105, a Eq. (6.50) se torna

(((( )))) 3/18,0L

43,0m Pr29717400RePr036,0Nu ++++−−−−==== (6.51)

O último termo do segundo membro pode ser aproximado por

43,03/1 Pr297Pr297 ≅≅≅≅ e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicando-se o segundo membro da expressão resultante por 25,0

w )/( µµµµµµµµ ∞∞∞∞ . Então, obtém-se a seguinte expressão:

(((( ))))9200RePr036,0Nu 8,0

L43,0

m −−−−==== 25,0w )/( µµµµµµµµ ∞∞∞∞ (6.52)

Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre, exceto wµµµµ ,

que é calculado na temperatura da parede. Nos gases, a correção de viscosidade é desprezível, e, neste caso, as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.52) dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta, sobre uma placa plana, com ReL > 2 *105. Foram propostas por Whitaker e usadas para correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar, a água e óleos, cobrindo as seguintes faixas:

2 * 105 < ReL < 5,5 * 106 0,70 < Pr < 380

0,26 < µµµµµµµµ /∞∞∞∞ < 3,5 A Eq. (6.52) relaciona os dados experimentais razoavelmente bem, quando a turbulência da corrente for pequena. Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre, a Eq. (6.52), sem a constante 9.200, correlaciona os dados razoavelmente bem.

6.2) ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO

O escoamento transversal a um cilindro circular isolado é encontrado freqüentemente na prática, mas a determinação dos coeficientes de arraste e de transferência de calor é assunto muito complicado devido à complexidade dos padrões do escoamento em torno de um

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

76

cilindro. A Fig. 6.3 ilustra as características do escoamento em torno de um cilindro circular, evidentemente, elas dependem do número de Reynolds, definido como

v

DuRe ∞∞∞∞==== (6.53)

onde D é o diâmetro do cilindro e ∞u é a velocidade da corrente livre. Para um número de Reynolds menor do que 4, aproximadamente, o escoamento não se separa e o campo de velocidades pode ser analisado pela solução das equações do movimento. Para números de Reynolds acima de 4, aproximadamente, os turbilhões começam na região da esteira e a análise da distribuição de velocidades e de temperaturas em torno do cilindro, com Re > 4, torna-se muito complicada. 6.2.1) Coeficiente de arraste Considere um escoamento à velocidade ∞∞∞∞u , transversal a um cilindro circular de diâmetro D, e seja F a força de arraste atuando no comprimento L do cilindro. O coeficiente de arraste cD é definido como

2

uc

LD

F 2

D∞∞∞∞====

ρρρρ (6.54)

Fig. 6.3 Escoamento em torno de um cilindro circular, em vários números de Reynolds

Aqui, LD representa a área normal ao escoamento. O coeficiente de arraste cD, definido pela Eq. (6.80), é o valor médio do coeficiente de arraste local calculado sobre a circunferência do cilindro. Portanto, dado cD, a força de arraste F atuando sobre o comprimento L do cilindro pode ser calculada de acordo com a Eq. (6.54). A Fig. 6.5 mostra o coeficiente de arraste cD no escoamento transversal a um cilindro isolado. O significado físico da variação de cD com o número de Reynolds é mais bem percebido se examinarmos os resultados da Fig. 6.5 relacionando-os aos esboços da Fig. 6.4. Com Re < 4, o arraste é causado somente pelas forças viscosas, pois a camada limite permanece aderente ao cilindro. Na região 4 < Re < 5.000, formam-se turbilhões na esteira; por isso, o arraste é devido parcialmente às forças viscosas e parcialmente à formação da esteira, isto é, à baixa pressão provocada pela separação do escoamento. Na região 5 x 103 < Re < 3,5 x 105, o arraste é provocado predominantemente pelos vórtices muito turbulentos na esteira. A redução repentina do arraste a Re = 3,5 x 105 é provocada pela transformação súbita da camada limite em turbulenta, fazendo com que o ponto de separação do escoamento desloque-se para a parte posterior do cilindro, o que reduz a dimensão da esteira, e daí o arraste.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

77

Fig.6.4 Coeficiente de arraste no escoamento transversal a um cilindro circular isolado.

6.2.2) Coeficiente de transferência de calor A Fig. 6.6 mostra a correlação de MacAdams para o coeficiente de transferência de calor médio hm, no resfriamento, ou no aquecimento, do ar que flui transversalmente a um cilindro isolado. As propriedades sâo estimadas a ( T ∞∞∞∞ + Tw)/2. Esta correlação não mostra explicitamente a dependência entre os resultados e o número de Prandtl, pois os gases têm um número de Prandtl da ordem da unidade. Por isso, foram desenvolvidas correlações mais elaboradas por diversos pesquisadores, a fim de incluir o número de Prandtl e daí estender a aplicabilidade dos resultados para fluidos que não sejam gases. Whitaker estabeleceu uma correlação entre o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento de gases ou de líquidos, transversal a um cilindro isolado, dada por

25,0

w

4,03/25,0mm Pr)Re06,0Re4,0(

k

DhNu

++++====≡≡≡≡ ∞∞∞∞

µµµµ

µµµµ (6.55)

que concorda com os dados experimentais dentro de ± 25% nas faixas seguintes

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

78

Fig. 8.5 Número de Nusselt médio para o aquecimento, ou o resfriamento, do ar fluido em torno de um único

cilindro circular

40< Re< 105 0.67 < Pr <300 0.25< wµµµµ

µµµµ∞∞∞∞ <5.2

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

79

Fig. 8.6 Número de Nusselt no escoamento transversal a um cilindro circular isolado.

onde as propriedades físicas são estimadas na temperatura da corrente livre, exceto wµµµµ , que

é estimada na temperatura da parede. Para os gases, a correção de viscosidade é desprezada, e neste caso, as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. Observamos que a equação 6.55 envolve duas diferentes dependências funcionais entre o número de Nusselt e o número de Reynolds. A dependência funcional Re0,5 caracteriza a contribuição oriunda da camada limite laminar não destacada, e a dependência Re2/3 caracteriza a contribuição da região da esteira em torno do cilindro. A fig. 6.6 mostra a correlação entre a Eq. (6.55) e os dados experimentais de vários pesquisadores para diferentes fluidos. Uma correlação mais elaborada, porém mais geral, é dada por Churchill e Bernstein para o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento em torno de um cilindro isolado aplicável para 102 < Re < 107 e Pe = Re.* Pr > 0,2.

(((( ))))[[[[ ]]]]

5/48/5

4/13/2

3/12/1

m 000.282

Re1

Pr/4,01

PrRe62,03,0Nu

++++

++++++++==== (6.56)

A Eq. (6.56) prevê muitos dados com desvio para menos de cerca de 20% na faixa de 20.000 < Re < 400.000. Por isso, nesta faixa particular do número de Reynolds, recomenda-se a seguinte forma modificada da Eq. (6.56):

(((( ))))[[[[ ]]]]

++++

++++++++====

2/1

4/13/2

3/12/1

m 000.282

Re1

Pr/4,01

PrRe62,03,0Nu (6.57)

para 20.000 < Re < 400.000. Nas Eqs. (6.56) e (6.57), todas as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. As Eqs. (6.56) e (6.57), foram desenvolvidas fazendo-se a correlação entre os

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

80

dados experimentais de muitos pesquisadores, incluindo fluidos, como o ar, a água e o sódio líquido, com temperatura constante na parede e também com fluxo de calor constante na parede. Para o domínio do número de Péclét menor do que 0,2, Nakai e Okazaki propuseram a correlação

12/1m )Peln8237,0(Nu −−−−−−−−==== com Pe < 0.2 (6.58)

As propriedades devem ser estimadas na temperatura películar.

6.3) ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA ISOLADA As características do escoamento em torno de uma esfera são semelhantes às dos escoamentos apresentados na fig (8.3) no caso de um cilindro isolado. Por isso, a dependência entre o coeficiente de arraste, ou o coeficiente de transferência de calor, e o número de Reynolds deve ter, no caso de uma esfera, a mesma forma que no caso de cilindro único. 6.3.1) Coeficiente de arraste Se F for a força total de arraste devida ao escoamento em torno de uma esfera isolada, o coeficiente médio de arraste cD é definido pela relação

2

uc

A

F 2

D

∞∞∞∞====

ρρρρ (6.59)

onde A é a área frontal (isto é, A = 4/D 2ππππ ) e ∞∞∞∞u é a velocidade da corrente livre. Notamos que F/A é a força de arraste por unidade de área frontal da esfera.

Fig. 6.7. Coeficiente de arraste no escoamento em torno de uma única esfera.

A fig. 6.7 apresenta o coeficiente médio de arraste cD no escoamento em torno de uma esfera única. A comparação entre as curvas do coeficiente de arraste nas Fig. 6.4 e 6.7, para

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

81

um cilindro isolado, e para uma esfera isolada respectivamente, revela que as duas curvas tem características gerais semelhantes. 6.3.2) Coeficiente de transferência de calor No escoamento de gases em torno de uma única esfera, Mc Adams recomenda a correlação simples

6,0mm Re37,0

k

DhNu ======== para 17 < Re < 70.000 (6.60)

onde hm é o coeficiente de transferência de calor médio sobre a superfície inteira da esfera. As propriedades estão calculadas em ( wTT ++++∞∞∞∞ )/2.

Uma correlação mais geral para o escoamento dos gases e de líquidos em torno de uma esfera única foi apresentada por Whitaker na forma

25,0

w

4,03/25,0m Pr)Re06,0Re4,0(2Nu

++++++++==== ∞∞∞∞

µµµµ

µµµµ (6.61)

que é válida nos domínios e as propriedades físicas são estimadas na temperatura de corrente livre, exceto

3,5 < Re < 8 x 104 0,7 < Pr < 380

1 < wµµµµ

µµµµ∞∞∞∞ < 3,2

wµµµµ que é estimada na temperatura da parede. Com os gases, a correção de viscosidade é

desprezível, e as propriedades físicas são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. 6.61, para uma esfera, e a Eq. 6.55 para um cilindro, tem a mesma dependência funcional entre o número de Nusselt e o número de Reynolds, exceto quanto a constante 2. Na Eq. 6.61. À medida que Re →→→→ 0 ( isto é, o escoamento se anula), a Eq 6.61 admite um valor limite Nu = 2, que representa a condução de calor estacionária de uma esfera, a uma temperatura uniforme, para o meio infinito que a rodeia.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

82

Fig. 6.8 Número de Nusselt no escoamento em torno de uma esfera única.

A fig. 6.8 mostra a correlação entre a Eq. (6.61) e os dados experimentais para o ar, a água e o óleo. A Eq. 6.61 representa razoavelmente bem os dados.

6.4) ESCOAMENTO ATRAVÉS DE FEIXES DE TUBOS

A transferência de calor e a perda de carga característica de feixes de tubos têm numerosas aplicações no projeto de trocadores de calor e de equipamento industrial de transferência de calor. Por exemplo, um tipo comum de trocador de calor consiste num feixe de tubos com um fluido passando dentro dos tubos e outro passando transversalmente em torno dos tubos. Os arranjos de feixes de tubos utilizados mais freqüentemente incluem os arranjos alinhado e alternado, ilustrados na Fig. 6.8 a e b, respectivamente. A geometria dos feixes de tubos é caracterizada pelo passo transversal ST e pelo passo longitudinal SL entre os centros dos tubos; o passo diagonal SD, entre os centros dos tubos, no sentido diagonal, é utilizado muitas vezes no caso do arranjo alternado. Para definir o número de Reynolds no escoamento através de um feixe de tubos, a velocidade do escoamento é baseada na área mínima de escoamento livre disponível para o escoamento, quer a área mínima ocorra entre os tubos em uma linha transversal quer em uma linha diagonal. Então, o número de Reynolds no escoamento num feixe de tubos é definido por

µµµµmáxDG

Re ==== (6.62)

Gmáx = ρumáx = velocidade máxima da vazão mássica (6.63) é a vazão mássica por unidade de área, onde a velocidade do escoamento for máxima, e D é o diâmetro externo do tubo, ρ é a densidade, e umáx é a velocidade máxima baseada na área mínima de escoamento livre disponível no escoamento do fluido. Se ∞∞∞∞u for a velocidade do fluido medida em um ponto do trocador de calor antes de o fluido entrar no feixe de tubos (ou a velocidade do escoamento baseada no escoamento no interior do casco do

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

83

trocador sem os tubos), então a velocidade máxima do escoamento umáx, no arranjo alinhado da Fig. 8.l0a, é determinada por

1/

/

−=

−= ∞∞

DS

DSu

DS

Suu

T

T

T

T

máx (6.64)

onde ST é o passo transversal e D é o diâmetro externo do tubo. Evidentemente, no arranjo alinhado, ST -D é a área de escoamento livre mínima entre os tubos adjacentes em uma fila transversal, por unidade de comprimento do tubo.

Fig. 6.9 Definiçãodos passos longitudinal, transversal e diagonal nos arranjos de feixes de tubos alinhados

e alternados; (a) arranjo alinhado; (b) arranjo alternado. No arranjo alternado da Fig. 6.9 b, a área de escoamento livre mínima pode ocorrer

entre tubos adjacentes numa fila transversal ou numa linha diagonal. No primeiro caso, determina-se umáx como se ensinou acima; no último caso, faz-se:

( ) 1/

/

2

1

2 −=

−= ∞∞

DS

DSu

DS

Suu

D

T

D

T

máx (6.65)

A velocidade máxima da vazão mássica Gmáx, definida pela Eq. (6.63), também

pode ser calculada a partir de

Gmáx = mínA

M (6.66)

onde M = vazão mássica total do escoamento através do feixe, em quilogramas por segundo e Amín= área total mínima de escoamento livre.

Os padrões do escoamento através de um feixe de tubos são tão complicados que é virtualmente impossível prever, mediante análise, a transferência de calor e a perda de carga no escoamento através de feixes de tubos. Por isso, o método experimental é a única alternativa, e dispomos de grande riqueza de dados experimentais na literatura.

As pesquisas experimentais indicam que nos feixes de tubos com mais do que cerca de N = 10 a 20 filas de tubos na direção do escoamento, com o comprimento do tubo grande em comparação com o diâmetro do tubo, os efeitos da entrada, da saída e das bordas

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

84

são desprezíveis. Nesses casos, o número de Nusselt do escoamento através do feixe depende dos seguintes parâmetros:

Re Pr SL/D ST/D e do arranjo geométrico dos tubos, isto é, se os tubos estão alinhados ou alternados.

7) SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido (ou fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em aplicações de trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático. Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns problemas simples de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja temperatura é T∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta é To. Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim

Fig. 7.1 Aleta retangular

Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita + energia perdida por convecção A equação que define o coeficiente de calor por convecção é

q = hA(Tp - T∞,) 7.1 onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja A a área transversal da aleta e P o seu perímetro.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

85

Portanto, as quantidades de energia são

Energia entrando pela face esquerda: dx

dTkAqx −=

Energia saindo pela face direita

+−=

−=

+

+ dxdx

Td

dx

dTkA

dx

dTkAq

dxx

dxx 2

2

Energia perdida por convecção ( )∞−= TThPdxq A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de energia fica

( ) 02

2

=−− ∞TTkA

hP

dx

Td

Este resultado é escrito mais compactamente na forma

0)()( 2

2

2

=− xmdx

xdθ

θ 7.2

onde m

2 = hP/(Ak) θ(x) = T(x) - T∞

A Eq. 7.2 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal

uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta. Uma vez conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da aleta é facilmente determinado. A Eq. 7.2 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma

θ(x) = C1e-mx + C2e

mx 7.3 onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas no problema da aleta. A solução da Eq. 7.3 é a mais conveniente para utilizar na resolução da equação da aleta 7.2, no caso de uma aleta longa. Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser construídos pela combinação de e

-mx e e

mx , é possível exprimir a solução 2.31 nas seguintes formas alternativas

θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx 7.4a θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x) 7.4b

A solução dada pelas Eq. 7.4 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito. A distribuição de temperatura θ(x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq. 7.3 ou da Eq. 7.4, se as constantes de integração C1 e C2 forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da aleta e a outra no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é conhecida, isto é

θ(0) = To - T∞ = θ o 7.5

Page 86: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

86

onde To é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são possíveis no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes condições:

Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente.

Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na ponta, e, assim dT/dx = 0

Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua extremidade.

7.1) Aletas longas Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura T∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a formulação matemática do problema das aletas é

0)()( 2

2

2

=− xmdx

xdθ

θ em x > 0 7.6a

θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 7.6b θ(x) → 0 em x → ∞ 7.6c

onde m2 = Ph/Ak. A solução é obtida na forma da Eq. 7.3

θ(x) = C1e-mx + C2e

mx 7.7

A condição de contorno 7.6c exige que C2 = 0, e a aplicação da condição de contorno 7.6b dá C1 = θo. Então, a resolução se torna

( ) ( ) mx

oo

eTT

TxTx −

∞ =−

−=

θ

θ 7.8

que é a solução mais simples do problema da aleta. Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equação

( )

0=

−=

xdx

xdAkQ

θ 7.9

Derivando-se a Eq. 7.8 em função de θ(x) e substituindo o resultado na Eq.7.9, obtém-se

PhkAmAkQ oo θθ == 7.10

uma vez que )/(kAPhm =

7.2) Aletas com perda de calor desprezível na ponta

Page 87: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

87

A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais, e a condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é dθ/dx = 0 em x =

L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se torna

0)()( 2

2

2

=− xmdx

xdθ

θ em Lx ≤≤0 7.11a

θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 7.11b ( )

0=dx

xdθ em x = L 7.11c

Escolhemos a solução na forma da Eq. 7.4b

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 7.12

A razão desta escolha está em que a solução 7.12 tem uma forma na qual uma das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições de contorno. De fato, a condição de contorno (7.11c) exige que C2 = 0; então, a aplicação da condição de contorno (7.11b) dá C1 = θo/cosh mL, e a solução se torna

( ) ( )

ml

xLm

TT

TxTx

oo cosh

)(cosh −=

−=

θ

θ 7.13

A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a solução Eq 7.13 na Eq 7.9. Assim, obtemos

Q = Akθom tg mL = mL tgPhkAoθ 7.14

7.3) Aletas com convecção na ponta Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a formulação matemática do problema da condução de calor se torna

0)()( 2

2

2

=− xmdx

xdθ

θ em Lx ≤≤0 7.15a

θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 7.15b

0)()(

=+ xhdx

xdk eθ

θ em x = L 7.15c

onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente. A solução é escolhida na forma da Eq. 7.4b

Page 88: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

88

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 7.16

A aplicação das condições de contorno 7.15b e 7.15c, respectivamente, nos dá θo = C1 cosh mL + C2 senh mL 7.17a

e -k C2m + he C1 = 0 7.17b uma vez que

( )senhmLmkhmL

xLsenhmmkhxLm

TT

TxTx

e

e

oLxo )/(cosh

)()/()(cosh)(

+

−+−=

−=

θ 7.18

A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq. 7.9. Então, vem

+

+=

senhmLmkhmL

mLmkhsenhmLPhkAq

e

e

o )/(cosh

cosh)/(θ 7.19

7.4) EFICIÊNCIA DA ALETA Na análise precedente, consideramos somente aletas de seção reta uniforme. Em numerosas aplicações, são utilizadas aletas de seção reta variável. A determinação da distribuição de temperatura, e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante complicada, e fica além do objetivo desse curso. Entretanto, a análise de transferência de calor foi realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas, e os resultados foram apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da aleta η definido pela relação entre a transferência real de calor através da aleta e transferência ideal de calor através de uma aleta, se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura To da base da aleta

ideal

aleta

Q

Q=η 7.20

Aqui, Qideal é dado por

ofideal haQ θ=

7.21a onde, af = área de superfície da aleta h = coeficiente de transferência de calor θo = To - T∞

Portanto, se a eficiência da aleta η for conhecida, a transferência de calor Q através da aleta é denominada pela relação

ofidealaleta haQQ θηη == 7.21b

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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As gráficos 7.1 e 7.2 mostram a efeciência da aleta num gráfico em função do

parâmetro )/(2 kthL com geometrias típicas de aletas. O gráfico 7.1 mostra a eficiência

de aletas axiais em que a espessura da aleta varia com a distância x em relação à base da aleta, onde a espessura é t. O gráfico 7.2 é a eficiência de aletas em forma de disco circular de espessura constante. Nas aplicações práticas, uma superfície aletada, no que se refere à trasferência de calor, é composta pelas superfícies das aletas e pela fração lisa. A transferência de calor, Qtotal, desta superfície é obtida somando-se a transferência de calor através das aletas com a da fração lisa

Qtotal = Qaleta + Qfração lisa = ηafhθo + (a – af)hθo 7.22

Onde a = área total de transferência de calor (isto é, superfícies das aletas + superfície lisa) af = área de transferência de calor das aletas. A equação pode ser escrita mais compactamente como

( )[ ] oototal ahahQ θηθβηβ ′≡−+= 1 7.23

onde =−+≡′ ββηη 1 rendimento da aleta ponderada pela área

a

a f=β

Embora a colocação de aletas numa superfície aumente a área da superfície de transferência de calor, aumenta também a resistência térmica sobre a fração da superfície onde as aletas foram fixadas. Por isso, podem haver situações em que a colocação de aletas não aumenta a transferência de calor. Como guia prático a razão Pk/(Ah) deve ser muito

maior que a unidade, para justificar o emprego de aletas. No caso de aletas em forma de placas, por exemplo, P/A ≅ 2/t; então Pk/(Ah) se torna [2(k/t]h, implicando que a condutância interna da aleta deve ser muito maior que o coeficiente de transferência de calor para que as aletas aumentem a taxa de transferência de calor

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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8) TROCADORES DE CALOR

Os trocadores de calor são equipamentos que facilitam a transferência de calor entre dois ou mais fluidos em temperaturas diferentes. Foram desenvolvidos muitos tipos de trocadores de calor para emprego em diversos níveis de complicação tecnológica e de porte, como usinas elétricas a vapor, usinas de processamento químico, aquecimento e condicionamento de ar em edifícios, refrigeradores domésticos, radiadores de automóveis, radiadores de veículos espaciais, etc. Nos tipos comuns, como os trocadores de calor de casco e tubos e os radiadores de automóveis, a transferência de calor se processa principalmente por condução e convecção, de um fluido quente para um fluido frio, separados por uma parede metálica. Nas caldeiras e nos condensadores, a transferência de calor por ebulição e por condensação é de primordial importância. Em certos tipos de trocadores de calor, como as torres de resfriamento, o fluido quente (por exemplo, a água) é resfriado por mistura direta com o fluido frio (por exemplo, o ar): isto é, a água nebulizada, ou que cai numa corrente induzida de ar, é resfriada por convecção e por vaporização. Nos radiadores para aplicações espaciais, o calor residual do fluido refrigerante é transportado por convecção e condução para a superfície de uma aleta e daí, por radiação térmica, para o vácuo.

O projeto de trocadores de calor é assunto complicado. A transferência de calor e a perda de carga, o dimensionamento e a avaliação do desempenho, os aspectos econômicos têm papéis importantes no projeto final. Por exemplo, embora sejam muito importantes as considerações de custo nas aplicações de grande porte como usinas de eletricidade e de processamento químico, as considerações de peso e de dimensões são o fator dominante na escolha do projeto para aplicações espaciais ou aeronáuticas. Um tratamento completo dos trocadores de calor está fora, portanto, das finalidades deste polígrafo.

Neste capítulo nós discutiremos a classificação dos trocadores de calor, a determinação do coeficiente de transferência de calor global, a diferença de temperatura média logarítmica e os métodos de cálculo e do dimensionamento dos trocadores de calor.

8.1) CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR

Os trocadores de calor são feitos em tantos tamanhos, tipos, configurações e disposições de escoamento que uma classificação, mesmo arbitrária, é necessária para o seu estudo. Fraas e Ozisik, Walker, e Kakaç, Shah e Bergles classificam os trocadores de calor. Na discussão seguinte consideramos as classificações de acordo com (1) o processo de transferência, (2) a compacticidade, (3) o tipo de construção, (4) a disposição das correntes, e (5) o mecanismo da transferência de calor.

8.1.1) Classificação pelo processo de transferência Os trocadores de calor podem ser classificados como de contato direto e de contato indireto. No tipo de contato direto, a transferência de calor ocorre entre dois fluidos imiscíveis, como um gás e um líquido, que entram em contato direto. As torres de resfriamento, condensadores com nebulização para vapor de água e outros vapores, utilizando pulverizadores de água, são exemplos típicos de trocadores por contato direto.

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Fig. 8.1 Secção através de uma torre de resfriamento com convecção natural e com “recheio” para aumentar a área

efetiva da superfície das gotículas de água mediante múltipla subdivisão.

As torres de resfriamento são largamente empregadas para dispor do rejeito térmico dos processos industriais, lançando o calor na atmosfera, e não em um rio ou lago ou no oceano. Os tipos mais comuns incluem as torres de resfriamento com tiragem natural e as torres com tiragem forçada. No tipo com tiragem natural, mostrado na Fig. 8.1, pulveriza-se a água na corrente de ar que ascende através da torre por convecção térmica. As gotículas cadentes de água são resfriadas pela convecção ordinária e peia evaporação da água. O recheio ou enchimento dentro da torre reduz a velocidade média de queda das gotículas e aumenta o tempo de exposição das gotículas à corrente de ar que as resfria, enquanto caem através da torre. Grandes torres de resfriamento de tiragem natural, com mais de 100 metros de altura, foram construídas para resfriar o despejo térmico das usinas de força. Numa torre de resfriamento com tiragem forçada, a água é pulverizada na corrente de ar que circula através da torre, impulsionada por um ventilador que pode ser montado no alto da torre, e aspira o ar para cima, ou do lado de fora da base, de modo a impelir o ar para a torre. A Fig. 8.2 mostra uma secção através de uma torre de resfriamento com tiragem forçada e induzida por um ventilador. A circulação intensificada do ar aumenta a capacidade de transferência de calor da torre de resfriamento.

Nos trocadores de calor de contato indireto, como os radiadores de automóveis, os fluidos quente e frio estão separados por uma superfície impermeável, e recebem o nome de trocadores de calor de superfície. Não há mistura dos dois fluidos.

8.1.2) Classificação de acordo com a compacticidade

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A definição de compacticidade é tema bastante arbitrário. A razão entre a área da superfície de transferência de calor, num dos lados do trocador de calor, e o volume pode ser empregada como medida da compacticidade do trocador de calor. Um trocador de calor com densidade de área superficial, em um dos lados, maior do que cerca de 700 m2/m3 é classificado, arbitrariamente, como trocador calor compacto, independentemente de seu projeto estrutural. Por exemplo, os radiadores de automóvel, com uma densidade de área superficial da ordem de 1.100 m2/m3, e os trocadores de calor de cerâmica vítrea, de certos motores a turbina de gás, que têm uma densidade de área superficial da ordem de 6.600 m2/m3, são trocadores de calor compactos. Os pulmões humanos, com uma densidade de área da ordem de 20.000 m2/m3, são os trocadores de calor e de massa mais compactos. O miolo do regenerador do motor Stirling, de finíssima estrutura, tem uma densidade de área que se aproxima da densidade de área do pulmão humano.

Fig. 8.2 Torre de resfriamento com tiragem forçada e induzida por um ventilador

No outro extremo da escala de compacticidade, os trocadores do tipo tubular plano e

os do tipo casco e tubos tem densidade da área superficial na faixe de 70 a 500 m2/m3, e não são considerados compactos.

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Fig.7. 3 Radiador de automóvel

O incentivo para se utilizar trocadores de calor compactos está em que um alto valor

da compacticidade reduz o volume do trocador de calor para um desempenho especificado. Quando os trocadores de calor se destinam a automóveis, a motores marítimos, a aviões ou a veículos aeroespaciais, a sistemas criogênicos, a aparelhos de refrigeração ou de condicionamento de ar, o peso e o volume - portanto, a compacticidade - são importantes. Para aumentar a eficiência ou a compacticidade dos trocadores de calor, empregam-se aletas. Num trocador de calor de gás para líquido, por exemplo, o coeficiente de transferência de calor do lado do gás é uma ordem de grandeza mais baixa do que do lado do líquido. Por isso, usam-se aletas no lado do gás para se ter um projeto equilibrado; a superfície de transferência de calor do lado do gás torna-se muito mais compacta. A Fig. 8.3 mostra um radiador de automóvel típico. 8.1.3) Classificação pelo tipo de construção

Os trocadores de calor também podem ser classificados de acordo com as características construtivas. Por exemplo, existem trocadores tubulares, de placa, de placa aletada, de tubo aletado e regenerativos. 8.1.3.1) Trocadores de calor tubulares.

Os trocadores de calor tubulares são amplamente usados e fabricados cm muitos tamanhos, com muitos arranjos de escoamento e em diversos tipos. Podem operar em um extenso domínio de pressões e de temperaturas. A facilidade de fabricação e o custo relativamente baixo constituem a principal razão para seu emprego disseminado nas

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aplicações de engenharia. Um modelo comumente empregado, o trocador de casco e tubos, consiste em tubos cilíndricos montados em um casco cilíndrico, com os eixos paralelos ao eixo do casco. A Fig. 8.4 ilustra as principais partes de um trocador que tem um fluido correndo no interior dos tubos e outro fluido correndo externamente aos tubos. Os principais componentes deste tipo de trocador de calor são o feixe de tubos, o casco, os cabeçotes e as chicanas. As chicanas sustentam os tubos, dirigem a corrente do fluido na direção normal aos tubos e aumentam a turbulência do fluido no casco. Há vários tipos de chicanas, e a escolha do tipo de chicana, da geometria e do espaçamento depende da vazão, da perda de carga permitida no lado do casco, das exigências da sustentação dos tubos e das vibrações induzidas pelo escoamento. São disponíveis muitas variações do trocador de casco e tubos, as diferenças estão no arranjo das correntes do escoamento e nos detalhes de construção. Discutiremos esse assunto mais tarde, juntamente com a classificação dos trocadores de calor segundo o arranjo do escoamento.

Fig. 8.4 Trocador de calor de casco e tubo; um passe no casco e um passe no tubo.

Quanto à espécie dos fluidos, podemos ter líquido para líquido, líquido para gás ou

gás para gás. Os trocadores do tipo líquido para líquido são os de aplicação mais comum. Ambos os fluidos são bombeados através do trocador; a transferência de calor no lado dos tubos, e no lado do casco, ocorre por convecção forçada. Uma vez que o coeficiente de transferência de calor é alto com o fluxo do líquido, não há geralmente necessidade de aletas.

A disposição líquido para gás também é comumente empregada; nestes casos, usam-se em geral aletas no lado do tubo em que flui o gás, onde o coeficiente de transferência de calor é baixo.

Os trocadores do tipo gás para gás são adotados nos exaustores de gás e nos recuperadores de pré aquecimento do ar nos sistemas de turbinas de gás, nos sistemas criogênicos de liquefação de gás, e nos fornos de aço. Geralmente se empregam aletas internas e externas nos tubos, para intensificar a transferência de calor. 8.1.3.2) Trocadores de calor de placa. Como o nome indica, os trocadores de calor são geralmente construídos de placas delgadas. As placas podem ser lisas ou onduladas. Já que a geometria da placa não pode suportar pressões ou diferenças de temperaturas tão altas quanto um tubo cilíndrico, são ordinariamente projetados para temperaturas ou pressões moderadas. A compacticidade nos trocadores de placa se situa entre 120 e 230 m2/m3. 8.1.3.3) Trocadores de calor de placa aletada. O fator de compacticidade pode ser aumentado significativamente(até cerca de 6.000 m2/m3) com os trocadores de calor de

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placa aletada. A Fig. 8.5 ilustra configurações típicas de placas aletadas. As aletas planas ou onduladas são separadas por chapas planas. Correntes cruzadas, contracorrente, ou correntes paralelas são arranjos que podem ser obtidos com facilidade mediante a orientação conveniente das aletas em cada lado da placa. Os trocadores de placa aletada são geralmente empregados nas trocas de gás para gás, porém em aplicações a baixa pressão, que não ultrapassem cerca de 10 atm (isto é, 1.000 kPa). As temperaturas máximas de operação estão limitadas a cerca de 800°C. Trocadores de calor de placa aletada também são empregados em criogenia.

Fig. 8.5 Trocadores de calor de placa aletada

8.1.3.4) Trocadores de calor de tubo aletado. Quando se precisa de um trocador

que opere em alta pressão, ou de uma superfície extensa de um lado, utilizam-se os trocadores de tubo aletado. A Fig. 8.6 ilustra duas configurações típicas, uma com tubos cilíndricos e outra com tubos chatos. Os trocadores de tubo aletado podem ser utilizados em um largo domínio de pressão do fluido nos tubos, não ultrapassando cerca de 30 atm, e operam em temperaturas que vão desde as baixas, nas aplicações criogênicas, até cerca de 870°C. A densidade máxima de compacticidade é cerca de 330 m2/m3, menor que a dos trocadores de placa aletada.

Os trocadores de calor de tubo aletado são empregados em turbinas de gás, em reatores nucleares, em automóveis e aeroplanos, em bombas de calor, em refrigeração, eletrônica, criogenia, em condicionadores de ar e muitas outras aplicações.

8.1.3.5) Trocadores de calor regenerativos. Os trocadores de calor regenerativos

podem ser ou estáticos ou dinâmicos. O tipo estático não tem partes móveis e consiste em uma massa porosa (por exemplo, bolas, seixos, pós etc.) através da qual passam alternadamente fluidos quentes e frios. Uma válvula alternadora regula o escoamento periódico dos dois fluidos. Durante o escoamento do fluido quente, o calor é transferido do fluido quente para o miolo do trocador regenerativo. Depois, o escoamento do fluido quente é interrompido, e principia o escoamento do fluido frio. Durante a passagem do fluido frio, transfere-se calor do miolo para o fluido frio. Os regeneradores de tipo estático podem ser pouco compactos, para o uso em alta temperatura (900 a 1.500°C), como nos pré-aquecedores de ar, na fabricação de coque e nos tanques de fusão de vidro. Podem, porém, ser regeneradores compactos para uso em refrigeração, no motor Stirling, por exemplo.

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Fig. 8.6 Trocadores de calor de tubo aletado

Fig. 8.7 Pré-aquecedor de ar Ljungstrom.

Nos regeneradores do tipo dinâmico, o miolo tem a forma de um tambor que gira

em torno de um eixo de modo que uma parte qualquer passa periodicamente através da corrente quente e, em seguida, através da corrente fria. O calor armazenado no miolo durante o contato com o gás quente é transferido para o gás frio durante o contato com a corrente fria. O exemplo típico de regenerador rotativo é o pré-aquecedor regenerativo de ar Ljungstrom, Fig. 8.7. Os regeneradores rotativos podem operar em temperaturas até 870°C; miolos de cerâmica são utilizados em temperaturas mais altas. Os regeneradores rotativos só são convenientes para a troca de calor de gás para gás, pois somente com gases a capacidade calorífica do miolo, que transfere o calor, é muito maior do que a capacidade calorífica do gás escoante. Não é conveniente para a transferência de calor de líquido para

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líquido, pois a capacidade calorífica do miolo de transferência de calor é muito menor do que a capacidade calorífica do líquido.

Uma vez que o miolo da transferência de calor gira, a temperatura dos gases e a da parede dependem do espaço e do tempo; como resultado, a análise da transferência de calor dos regeneradores é complexa, pois o fluxo periódico introduz diversas variáveis novas. Nos trocadores de calor convencionais, estacionários, é suficiente definir as temperaturas de entrada e de saída, as vazões, os coeficientes de transferência de calor dos dois fluidos e as áreas superficiais dos dois lados do trocador. No trocador de calor rotativo, entretanto, é necessário também relacionar a capacidade calorífica do rotor com a capacidade calorífica das correntes dos fluidos, com as vazões dos fluidos e com a velocidade de rotação.

8.1.4) Classificação segundo a disposição das correntes Existem numerosas possibilidades para a disposição do escoamento nos trocadores de calor. Vamos resumir aqui as principais. 8.1.4.1) Correntes paralelas. Os fluidos quente e frio entram na mesma extremidade do trocador de calor, fluem na mesma direção, e deixam juntos a outra extremidade, como está na Fig. 7.8a. 8.1.4.2) Contracorrente. Os fluidos quente e frio entram em extremidades opostas do trocador de calor e fluem em direções opostas, como está na Fig. 8.8b.

Fig. 8.8 (a) Correntes paralelas, (b) contracorrente, e (c) correntes cruzadas

8.1.4.3) Correntes cruzadas. No trocador com correntes cruzadas, em geral os dois fluidos fluem perpendicularmente um ao outro, como está na Fig. 8.8c. Na disposição com correntes cruzadas, o escoamento pode ser misturado ou não misturado, dependendo do projeto.

A Fig. 8.9a mostra uma disposição em que ambos os fluidos, quente e frio, fluem através de canais separados formados por ondulações; por isso, os fluidos não podem

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mover-se na direção transversal. Diz-se, então, que cada corrente do fluido está não-misturada.

A Fig. 8.9b ilustra o perfil típico de temperaturas, na saída, quando ambas as correntes são não-misturadas, como está na Fig. 8.9a. As temperaturas de entrada de ambos os fluidos são uniformes, mas as temperaturas de saída mostram variação transversal às correntes.

Na disposição do escoamento da Fig 8.9c, o fluido frio flui no interior de tubos e assim não pode se mover na direção transversal. Por isso, o fluido frio está não-misturado. Entretanto, o fluido quente flui sobre os tubos e pode mover-se na direção transversal. Por isso, a corrente de fluido quente está misturada. A misturação tende a tornar uniforme a temperatura do fluido na direção transversal; por isso, a temperatura de saída de uma corrente misturada apresenta variação desprezível na direção cruzada.

Fig. 8.9 Disposições com correntes cruzadas: (a) ambos os fluidos não-misturados; (b) perfil de

temperaturas quando ambos os fluidos estão não-misturados; (c) fluido frio não-misturado, fluido quente misturado

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Fig. 8.10 Dispositivos de escoamento de múltiplos passes: (a) um passe no casco, dois passes nos tubos; (b)

dois passes no casco, quatro passes nos tubos, e (c) três passes no casco, seis passes nos tubos

Em geral, num trocador com correntes cruzadas, são possíveis três configurações idealizadas do escoamento: (1) ambos os fluidos estão não-misturados; (2) um fluido está misturado, e o outro está não-misturado; e (3) ambos os fluidos estão misturados. A última configuração não é usada comumente. Em um trocador de casco e tubos, a presença de um grande número de chicanas serve para "misturar" o fluido no lado do casco, conforme se discutiu acima; isto é, a temperatura tende a se tornar uniforme em qualquer seção transversal.

Escoamento multipasse. A configuração de escoamento com passes múltiplos é

empregada freqüentemente no projeto de trocadores de calor, pois a multipassagem intensifica a eficiência global, acima das eficiências individuais. É possível grande variedade de configurações das correntes com passes múltiplos. A Fig 8.10 ilustra disposições típicas. O trocador de calor da Fig. 8.10a tem "um passe no casco e dois passes nos tubos", e recebe o nome de trocador de calor "um-dois". A Fig. 8.l0b mostra a configuração "dois passes no casco, quatro passes nos tubos", e a Fig. 8.l0c, a configuração "três passes no casco, seis passes no tubo".

8.1.5) Classificação pelo mecanismo de transferência de calor

As possibilidades para o mecanismo de transferência de calor incluem uma combinação de quaisquer dois entre os seguintes: 1.Convecção forçada ou convecção livre monofásica 2. Mudança de fase (ebulição ou condensação) 3. Radiação ou convecção e radiação combinadas Em todos os casos discutidos anteriormente, consideramos a convecção forçada monofásica em ambos os lados do trocador de calor. Condensadores, caldeiras e radiadores de usinas de força espaciais incluem mecanismos de condensação, de ebulição e de radiação, respectivamente, sobre uma das superfícies do trocador de calor.

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a) Condensadores. Os condensadores são utilizados em várias aplicações, como usinas de força a vapor de água, plantas de processamento químico e usinas nucleares elétricas de veículos espaciais. Os principais tipos incluem os condensadores de superfície, os condensadores a jato e os condensadores evaporativos. O tipo mais comum é o condensador de superfície, que tem a vantagem de o condensado ser devolvido à caldeira através do sistema de alimentação de água.

Fig. 8.11 Corte Transversal de um condensador de superfície típico, de dois passes, de uma grande usina de força, a vapor de água A Fig. 8.11 mostra um corte através de um condensador de superfície, de dois passes, de um grande turbina a vapor em uma usina de força. Uma vez que a pressão do vapor, na saída da turbina, é de somente 1,0 a 2,0 polegadas de mercúrio absolutas, a densidade do vapor é muito baixa e a vazão do fluido é extremamente grande. Para minimizar a perda de carga, na transferência do vapor da turbina para o condensador, o condensador é montado ordinariamente abaixo da turbina e ligado a ela. A água de resfriamento flui horizontalmente no interior dos tubos, enquanto o vapor flui verticalmente para baixo, entrando por uma grande abertura na parte superior, e passa transversalmente sobre os tubos. Observe que há dispositivo de aspiração do ar frio das regiões que ficam exatamente acima do centro do poço quente. Este dispositivo é importante, pois a presença de gás não condensável no vapor reduz o coeficiente de transferência de calor na condensação.

b) Caldeiras. As caldeiras a vapor de água constituem uma das primitivas aplicações dos trocadores de calor. O termo gerador de vapor é muitas vezes aplicado às caldeiras nas quais a fonte de calor é uma corrente de fluido quente em vez de produtos da combustão.

Uma enorme variedade de caldeiras já foi construída. Existem caldeiras em pequenas unidades, para aquecimento doméstico, até unidades gigantescas, complexas e

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caras, para as modernas usinas de força. c) Radiadores de usinas de força espaciais. A rejeição do calor residual do condensador de uma usina de força cuja finalidade é produzir eletricidade para o equipamento de propulsão, de orientação ou de comunicação de um veículo espacial acarreta sérios problemas mesmo com a usina produzindo uns poucos quilowatts de eletricidade. O único modo com que se pode dissipar o calor residual de um veículo espacial é pela radiação térmica, aproveitando a vantagem da relação de quarta potência entre a temperatura absoluta da superfície e o fluxo de calor radiativo. Portanto, na operação de algumas usinas de força de veículos espaciais, o ciclo termodinâmico se processa em temperaturas tão altas que o radiador trabalha aquecido ao rubro. Mesmo assim, é difícil manter a dimensão do radiador dentro de um casco razoável, nos veículos de lançamento.

8.2) DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NOS TROCADORES DE CALOR Nos trocadores de calor do tipo estacionário, a transferência de calor do fluido quente para o fluido frio provoca variação da temperatura de um ou de ambos os fluidos que passam através do trocador. A Fig. 8.12 ilustra como a temperatura do fluido varia ao longo do percurso no trocador de calor, em alguns trocadores de calor típicos, com um passe. Em cada instante, a distribuição de temperatura é plotada em função da distância à entrada do fluido frio. A Fig. 8.12a, por exemplo, caracteriza um trocador de calor em contracorrente no qual a elevação da temperatura do fluido frio é igual à queda da temperatura do fluido quente; a diferença de temperatura ∆ T, entre o fluido quente e o fluido frio, é constante, em todos os pontos. Entretanto, nos outros casos (Fig. 8.12b até e), a diferença de temperatura ∆ T, entre o fluido quente e o fluido frio, varia com a posição ao longo do percurso do fluido. A Fig. 8.12b corresponde à situação em que o fluido quente se condensa e transfere calor para o fluido frio, fazendo com que sua temperatura se eleve ao longo do percurso.

Na Fig. 8.12c, o líquido frio está se evaporando e resfria o fluido quente ao longo do seu percurso. A Fig. 8.12d mostra configuração de escoamento paralelo, na qual ambos os fluidos se deslocam na mesma direção, com o fluido frio experimentando uma elevação de temperatura e o fluido quente, uma queda de temperatura. A temperatura de saída do fluido frio não pode ser mais elevada do que a do fluido quente. Por isso, a eficiência dos trocadores de calor com escoamento paralelo é limitada. Devido a esta limitação, não são em geral considerados para a recuperação de calor. Entretanto, uma vez que a temperatura do metal fica aproximadamente no meio das temperaturas do fluido quente e do fluido frio, a parede metálica permanece a uma temperatura quase uniforme.

A Fig. 8.12e mostra uma configuração em contracorrente na qual os fluidos se deslocam em sentidos opostos. A temperatura de saída do fluido frio pode ser mais alta do que a do fluido quente. Teoricamente, a temperatura de saída de um fluido pode aproximar-se da temperatura de entrada do outro. Por isso, a capacidade térmica do trocador de calor em contracorrente pode ser o dobro da capacidade do trocador de calor com escoamento paralelo. A alta recuperação de calor e a eficiência térmica deste trocador fazem com que seja preferível ao trocador com escoamento paralelo, sempre que as exigências do projeto permitam tal escolha. A temperatura do metal, no trocador em contracorrente, em posição à

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do trocador com escoamento paralelo, tem um gradiente significativo ao longo do percurso no trocador.

Fig. 8.12 Distribuição axial da temperatura em trocadores de calor típicos de passe único

Nas configurações de escoamento multipasse e cruzado, a distribuição de

temperatura, no trocador de calor, exibe padrão mais complicado. Por exemplo, a Fig. 8.13 mostra a distribuição de temperatura em um trocador de calor de um passe no casco e dois passes nos tubos. A Fig. 8.14 mostra um perfil típico de temperatura em um trocador de calor com correntes cruzadas, quando ambos os fluidos são não-misturados.

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Fig. 8.13 Distribuição axial de temperatura em um trocador de calor de um passe no casco e dois passes

no tubo.

Fig. 8.14 Distribuição de temperatura em um trocador de calor com escoamento cruzado. Ambos os

fluidos são não-misturados

Nesta configuração, os fluidos quente e frio entram no miolo do trocador de calor com temperaturas uniformes mas, como há canais no percurso das correntes, para evitar a mistura transversal as temperaturas não são constantes em qualquer seção transversal, perpendicular à direção do escoamento, e as temperaturas de saída não são uniformes. Se não houvesse canais para um dos fluidos, seria possível a sua misturação transversal ao longo do percurso da corrente e a sua temperatura de saída tornar-se-ia aproximadamente uniforme.

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8.3) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR GLOBAL

Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor, várias resistências térmicas no percurso do fluxo de calor, do fluido quente para o frio, combinam-se para constituir um coeficiente de transferência de calor global U.

Considere que a resistência térmica total R ao fluxo de calor, através de um tubo, entre a corrente interna e a externa, seja composta das seguintes resistências térmicas:

+

+

=

externa

dacorrente

térmica

sistência

dotubo

domaterial

térmica

sistência

erna

dacorrente

térmica

sistência

R

ReRe

int

Re

(8.1)

-e os vários termos são dados por

00

11

hAKA

t

hAR

mii

++= (8.2)

onde Ao, Ai = áreas das superfícies externa e interna, respectivamente, m2

i

i

m

A

A

AAA

0

0

ln

−= = média logarítmica da área, m2

hi, ho = coeficiente de transferência de calor, da corrente interna e externa, respectivamente, W/(m2 .°C) k = condutividade térmica do material do tubo, W/(m .°C) R = resistência térmica entre a corrente interna e a externa. t = espessura do tubo, m A resistência térmica R dada pela Eq. (8.2) pode ser expressa como um coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície interna ou na superfície externa do tubo. Não importa sobre que área está baseada, desde que seja especificada na definição. Por exemplo, o coeficiente de transferência de calor global U0, baseado na superfície externa do tubo, é definido por:

( )( ) ( )( )=

++==

00000 /1///1/

11

hktAAhAARAU

mii

( )( ) ( )[ ] ( )=

++ 0000 /1/ln2/1/1/

1

hDDDkhDD iii

(8.3)

im D

D

t

D

A

A 000 ln2

= Do – Di = 2t (8.4)

e Di e Do são os diâmetros interno e externo do tubo, respectivamente. De modo semelhante, o coeficiente de transferência de calor global Ui, baseado na superfície interna do tubo, é definido por:

Page 106: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

106

( )( ) ( )=

+++==

)/1(////1

11

000

hAAktAAhAiRU

imii

( )[ ] ( ) ( )=

++ )/1(//ln2/1/1

1

000 hDDDDDkh iiii

(8.5)

Quando a espessura da parede for pequena e a condutividade térmica for alta, a resistência do tubo pode ser desprezada e a Eq. (8.5) se reduz a

0/1/1

1

hhU

i

i+

= (8.5 a)

No uso dos trocadores de calor, a superfície de transferência de calor fica suja com a acumulação de depósitos, que introduzem resistência térmica adicional ao fluxo de calor. O efeito das incrustações é geralmente levado em conta na forma de um fator de incrustação F com as dimensões m2°C/W; este assunto será discutido adiante com mais detalhes. Consideraremos agora a transferência de calor através de um tubo com incrustações em ambas as superfícies, externa e interna. A resistência térmica R ao fluxo de calor, neste caso, é:

000

0 11

hAA

F

KA

t

A

F

hAR

mi

i

ii

++++= (8.6)

onde Fi e F0 são os fatores de incrustação (resistência unitária de incrustação) nas superfícies interna e externa do tubo, respectivamente, e as outras grandezas foram definidas previamente.

Nas aplicações de trocadores de calor, o coeficiente de transferência de calor global é, ordinariamente, baseado na superfície externa do tubo. Então (8.6) pode ser representada em termos do coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície externa do tubo como

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0000000 /1/ln2///1/

1

hFDDkDFDDhDDU

iiiii ++++= (8.7)

O valor do coeficiente de transferência de calor global em diferentes tipos de aplicação varia amplamente. Intervalos típicos de U0 são os seguintes: Trocadores de água para óleo: 60 a 350 W/(m2 . °C) Trocadores de gás para gás: 60 a 600 W/(m2 . °C) Condensadores de ar: 350 a 800 W/(m2 . °C) Condensadores de amônia: 800 a 1400 W/(m2 . °C) Condensadores de vapor de água: 1500 a 5000 W/(m2 . °C) Fica evidente que Uo é geralmente baixo para fluidos que têm baixa condutividade térmica, como os gases ou os óleos. 8.3.1) Fator de incrustação

Page 107: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

107

Na década passada, muito esforço se fez a fim de compreender a incrustação. Durante a operação, os trocadores ficam incrustados com depósitos de um tipo ou de outro nas superfícies de transferência de calor. Por isso, a resistência térmica ao fluxo de calor cresce, o que reduz a taxa de transferência de calor. O dano econômico das incrustações pode ser atribuído: 1. Ao dispêndio mais alto de capital em virtude de unidades superdimensionadas. 2. Às perdas de energia devidas à falta de eficiência térmica. 3. Aos custos associados à limpeza periódica dos trocadores de calor. 4. À perda de produção durante o desmonte para limpeza. l. Incrustação por precipitação, a cristalização da substância dissolvida na solução sobre a superfície de transferência de calor. 2. Incrustação por sedimentação, o acúmulo de sólidos finamente divididos, suspensos no fluido do processo, sobre a superfície de transferência de calor. 3. Incrustação por reação química, a formação de depósitos sobre a superfície de transferência de calor, por reação química. 4. Incrustação por corrosão, o acúmulo de produtos de corrosão sobre a superfície de transferência de calor. 5. Incrustação biológica, o depósito de microorganismos na superfície de transferência de calor. 6. Incrustação por solidificação, a cristalização de um líquido puro, ou de um componente da fase líquida, sobre a superfície de transferência de calor sub-resfriada.

Evidentemente, o mecanismo de incrustação é muito complicado, e não dispomos ainda de técnicas confiáveis para sua previsão.

Quando um trocador de calor novo é posto em serviço, seu rendimento se deteriora progressivamente em virtude do desenvolvimento da resistência das incrustações. A velocidade e a temperatura das correntes parecem estar entre os fatores que afetam a taxa de incrustação sobre uma dada superfície. O aumento da velocidade diminui a taxa de depósito e também a quantidade final do depósito sobre a superfície. Aumentando a temperatura do fluido como um todo, aumenta a taxa de crescimento das incrustações e o seu nível estável terminal.

Page 108: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

108

Tabela 8.1 Fator de incrustação F em equipamentos de transferência de calor

Baseada na experiência dos fabricantes, e dos usuários, a Associação dos Fabricantes de Equipamentos Tubulares (Tubular Equipment Manufacturers Association – TEMA) preparou tabelas de fatores de incrustação como guia nos cálculos da transferência de calor. Apresentamos, na Tabela 8.1, alguns resultados. A incrustação é um tema muito complicado e sua representação numa listagem simples é muito questionável. Na falta de melhor, a lista é a única referência para se avaliar os efeitos das incrustações na redução da transferência de calor.

Page 109: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

109

8.4) O MÉTODO DTML PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR Na análise térmica dos trocadores de calor, a taxa total de transferência de calor Q através do trocador é uma quantidade de interesse primordial. Concentraremos nossa atenção nos trocadores de calor de passe único, que têm configuração de escoamento do tipo ilustrado na Fig. 8.15. É evidente, segundo esta figura, que a diferença de temperatura ∆ T, entre os fluidos quente e frio, não é em geral constante; varia com a distância ao longo do trocador de calor.

Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor, é conveniente estabelecer uma diferença ∆ Tm, entre o fluido quente e o frio, de modo que a taxa total de transferência de calor Q entre os fluidos possa ser determinada pela seguinte expressão simples:

Q =AU ∆ Tm (8.8)

onde A é a área de transferência de calor total e U é o coeficiente de transferência de calor global médio baseado nesta área. Na análise seguinte desenvolveremos uma expressão para a diferença de temperatura média na configuração de correntes paralelas, com um único passe, mostrado na Fig. 8.15. O resultado obtido poderá ser aplicado em todas as configurações de escoamento da Fig. 8.12.

Fig. 8.15 Nomenclatura para a dedução da diferença da temperatura média logarítmica

Vamos nos referir à Fig. 8.15. Façamos A = área de transferência de calor medida a partir da entrada, m2 mc, mh = vazão mássica dos fluidos frio e quente, respectivamente, kg/h ∆ T = Th - Tc = diferença local de temperatura entre os fluidos quente e frio, °C. U = coeficiente de transferência de calor global e local entre os dois fluidos, W/(m2 . °C.) A taxa de transferência de calor dQ, do fluido quente para o frio, através de uma área elementar dA, no ponto A, é dada por

DQ = U dA ∆ T (8.9)

Page 110: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

110

Entretanto, dQ deve ser igual ao calor desprendido pelo fluido quente, ou absorvido pelo fluido frio, ao passarem do ponto A para o ponto A + dA; com esta consideração, escrevemos

dQ = -mh cph dTh (fluido quente) (8.10 a) dQ = mc cpc dTc (fluido frio) (8.l0 b)

onde cpc e cph são os calores específicos, e dTc e dTh são as variações das temperaturas dos fluidos frio e quente, respectivamente. Notemos que

∆ T = Th - Tc (8.11 a) ou

d( ∆ T) = dTh - dTc (8.11 b) Combinando as Eqs. (8.10) e utilizando a Eq. 8.11 b), obtemos

d( ∆ T) = -

+−=−

pccphhpccphh cmcmdQ

cm

dQ

cm

dQ 11 (8.12)

que pode ser escrita mais compactamente como

d( ∆ T) = - B dQ (8.13a) onde

B=pccphh cmcm

11+ (8.13 b)

A eliminação de dQ entre as Eqs. (8.9) e (8.13 a) dá .

d( ∆ T) / ∆ T = - UB dA (8.14)

A integração da Eq. (7.14) sobre o inteiro comprimento do trocador de calor dá

( )

∫∫ −=∆

∆∆

tL AT

TUdAB

T

Td

00

( )

t

A

t

T

T A

UdABA

T

Tdt

L ∫∫ −=

∆∆

0

0

(8.15)

onde At é a área total de transferência de calor do trocador de calor. Agora definimos o coeficiente de transferência de calor global médio Um para o trocador de calor inteiro como

∫=tA

t

m UdAA

U0

1 (8.16)

Page 111: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

111

Então, a Eq. (8.15) é integrada para dar

tm

L

ABUT

T=

∆ 0ln (8.17)

A taxa total de transferência de calor Q, através do trocador de calor, é determinada pela integração da Eq. (8.13 a) sobre todo o comprimento

( ) ∫∫ −=∆∆

QT

TdQBTd

L

00

∆ T0 - ∆ TL = BQ

Q = B

TT L∆−∆ 0 (8.18)

A eliminação de B entre as Eqs. (8.17) e (8.18) leva a

)/ln( UA Q

0

0mt

L

L

TT

TT

∆∆

∆−∆= (8.19)

Nosso objetivo nessa análise era exprimir a taxa total de transferência de calor através do trocador de calor em termos de uma diferença média de temperatura ∆ Tln na forma

Q = At Um ∆ Tln (8.20)

A comparação entre os resultados das Eqs. (8.19) e (8.20) revela que a diferença média de temperatura ∆ Tln, entre os fluidos quente e frio, em todo o comprimento do trocador de calor, é

)/ln( 0

0ln

L

L

TT

TTT

∆∆

∆−∆=∆ (8.21)

A diferença de temperatura média ∆ Tln, definida pela Eq. (8.21), é a diferença de temperatura média logarítmica (DTML).

Portanto, a taxa total de transferência de calor entre os fluidos quente e frio, em todas as disposições de correntes com passe único, da Fig. 8.12, é determinada a partir de

Q = A U ∆ Tln (8.22)

onde ∆ Tln é definida pela Eq. (8.21). Observamos que, no caso especial ∆ T0 = ∆ TL, a Eq. (8.21) leva a ∆ Tln = 0/0 = indeterminado. Mas a aplicação da regra de L'Hospital mostra que neste caso particular ∆ Tln = ∆ T0= ∆ TL. É interessante comparar a DTML de ∆ T0 e ∆ TL com a média aritmética:

Page 112: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

112

Tab. 8.2

20 L

a

TTT

∆+∆=∆ (8.23)

Apresentamos, na Tabela 8.2, uma comparação entre as médias logarítmica e aritmética das duas grandezas ∆ To e ∆ TL. Notamos que as médias aritmética e logarítmica são iguais para ∆ To = ∆ TL .Quando ∆ To ≠ ∆ TL, a DTML é sempre menor do que a média aritmética; se ∆ To não é mais do que 50% maior do que ∆ TL, A DTML pode ser aproximada pela média aritmética dentro de cerca de 1,4%.

8.5) CORREÇÃO DA DTML EM TROCADORES COM CORRENTES CRUZADAS E MULTIPASSE

A DTML, desenvolvida na Sec. 8.4, não se aplica à análise da transferência de calor em trocadores de correntes cruzadas e muitos passes. As diferenças efetivas de temperatura foram determinadas nos escoamentos de correntes cruzadas e também multipasse, mas as expressões resultantes são muito complicadas. Por isso, nessas situações, é costume introduzir um fator de correção F de modo que a DTML simples possa ser ajustada para representar a diferença efetiva de temperatura corrT∆ para a disposição de correntes cruzada

e multipasse na forma ente)contracorr em T F( = lncorrT∆

onde ∆ Tln deve ser calculada nas condições de contracorrente. Especificamente, ∆ T0 e ∆ TL, que aparecem na definição da DTML dada pela Eq. (8.12), devem ser (veja Fig. 8.12b)

∆ T0 = Th,ef - Tc,af ( 8.25 a) ∆ TL = Th,af - Tc,ef (8.25 b)

onde os índices c e h se referem, respectivamente, aos fluidos frio e quente. A Fig. 8.16 mostra o fator de correção F em algumas configurações usualmente empregadas nos trocadores de calor. Nestas figuras, a abscissa é a razão dimensional P, definida como

11

12 PtT

tt

−= (8.26 a)

Page 113: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

113

onde T se refere à temperatura do lado do casco, t é a temperatura do lado dos tubos, e os subscritos 1 e 2 se referem, respectivamente, às condições de entrada e de saída. O parâmetro R que aparece nas curvas é definido como

oladodocascp

ladodotubop

mc

mc

tt

TT

)(

)( R

12

21 =−

−= (8.26 b)

Observe que os fatores de correção, na Fig. 8.16, podem ser aplicados quer o fluido quente esteja do lado do casco, quer do lado dos tubos.

Fig. 8.16 Fator de correção F para o cálculo de corrigidaT∆ em trocadores multipasse com correntes cruzadas. (a) um passe no casco e dois passes nos tubos; (b) dois passes no casco e quatro passes nos tubos, ou múltiplo de quatro passes nos tubos; (c) correntes cruzadas, um só passe, os dois fluidos sem misturação.

Em geral, F é menor do que a unidade nos arranjos de correntes cruzadas e multipasses; é igual à unidade nos trocadores de calor em verdadeira contracorrente.

Page 114: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

114

Representa o grau de afastamento da verdadeira diferença média de temperatura em relação à DTML na contracorrente.

Na Fig. 8.16 notamos que o valor do parâmetro P se situa entre 0 e 1, e representa a eficiência térmica do fluido do lado do tubo. O valor de R vai de zero até o infinito, com o zero correspondendo à condensação pura do vapor no lado do casco e infinito à evaporação no lado dos tubos.

8.6) MÉTODO ε -NUT PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR

O cálculo da capacidade e das dimensões dos trocadores de calor são os dois problemas importantes da análise térmica dos trocadores de calor. O cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída do fluido, e das perdas de carga num determinado trocador de calor ou num trocador já dimensionado; portanto, pode-se dispor da área da superfície de transferência de calor e das dimensões dos canais de passagem das correntes. O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do feixe de tubos para atingir as exigências da transferência de calor e da perda de carga. Se não considerarmos a perda de carga, o cálculo térmico envolve a determinação da taxa total de transferência de calor a um determinado trocador de calor; e o dimensionamento envolve a determinação da superfície total de transferência de calor necessária para atingir a taxa de transferência de calor especificada.

Se as temperaturas de entrada e de saída do fluido quente e do fluido frio, assim como o coeficiente da transferência de calor global, forem especificadas, o método da DTML, com ou sem a correção, pode ser empregado para resolver o problema do cálculo térmico ou do dimensionamento.

Em algumas situações são dadas apenas as temperaturas de entrada e as vazões dos fluidos quente e frio, e o coeficiente de transferência de calor global pode ser estimado. Em tais casos, a temperatura média logarítmica não pode ser determinada, pois as temperaturas de saída não são conhecidas. Por isso, o método da DTML na análise térmica dos trocadores de calor envolverá iterações tediosas para se determinar o valor próprio da DTML que satisfaça a exigência de o calor transferido no trocador de calor ser igual ao calor arrastado pelo fluido.

Para ilustrar o tedioso processo de iteração envolvido nestes cálculos, consideremos o cálculo térmico com as seguintes condições: Dados: Propriedades físicas dos fluidos quente e frio. Temperaturas de entrada Tc, af e Th,af Vazões mc e mh, kg/s Coeficiente de transferência de calor global Um Superfície total de transferência de calor A Carta de correção da DTML Determinar: A taxa total de transferência de calor Q Podem-se seguir os seguintes passos para resolver o problema: 1. Admita uma temperatura de saída, e determine P e R de acordo com as Eqs. (8.26a) e (8.26b), respectivamente; encontre também o fator de correção F da DTML na carta. 2. Calcule ∆ Tln nas condições de escoamento em corrente. 3. Determine Q a partir de Q = A UmF ∆ Tln

Page 115: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

115

4. Calcule as temperaturas de saída a partir de Q e das vazões. 5. Compare as temperaturas de saída, calculadas no passo 4, com os valores admitidos no passo 1. 6. Se os valores admitidos e calculados das temperaturas de saída forem diferentes, repita os cálculos até obter uma convergência especificada. Evidentemente, estes cálculos são muito tediosos. A análise pode ser significativamente simplificada se usarmos o método −ε NUT ou o método da efetividade, desenvolvido originalmente por Kays e Londor. Neste método, a efetividade ε é definida como

maxQ

Q=ε

ε = taxa real de transferência de calor / taxa máxima possível de transferência de calor de uma corrente para outra

A taxa máxima possível de transferência de calor Qmax é obtida num trocador em contracorrente se a variação de temperatura do fluido que tiver o valor mínimo de mcp for igual à diferença entre as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio. Consideramos (mcp)min, porque a energia perdida por um fluido deve ser igual à recebida pelo outro fluido. Se considerarmos (mcp)máx, então o outro fluido deve sofrer uma variação de temperatura maior do que a maior diferença de temperatura disponível; isto é, a ∆ T do outro fluido seria maior do que Th,af – Tc,af. Isto não é possível. Com esta consideração, Qmax é escolhido como

Qmax = (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (8.27)

Então, dados ε e Qmax , a taxa real de transferência de calor Q é

Q = ε * (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (8.28)

Aqui, (mcp)mín é a menor entre mhcph e mccpc dos fluidos quente e frio; Th,af e Tc,af são as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio, respectivamente. Evidentemente, se a eficiência ε do trocador for conhecida, a Eq. (8.28) dá uma expressão explícita para a determinação de Q no trocador. Vamos agora descrever a dedução da expressão da efetividade ε . 8.6.1) Determinação de ε: A equação da efetividade depende da geometria do trocador de calor e da disposição das correntes. Para ilustrar o procedimento geral da dedução de ε , consideramos novamente o escoamento em correntes paralelas da Fig. 8.15. Da Eq. (8.28) nós escrevemos

( ) ( )afcafhmínp TTmc

Q

,, −=ε (8.29)

A taxa real de transferéncia de calor Q é dada por

( ) ( )afcefcpccefhinhphh TTcmTTcmQ ,,,, −=−= (8.30)

Page 116: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

116

A substituição da Eq. (8.30) em (8.29) dá

( )( )

afcafhmín

efhafhh

TTC

TTC

,,

,,

−=ε (8.31 a)

( )( )afcafhmín

afcefcc

TTC

TTC

,,

,,

−=ε (8.31 b)

onde definimos

phhh cmC ≡ pccc cmC ≡ (8.32)

e Cmín é igual ao menor entre Ch e Cc. Agora, nosso objetivo é eliminar a razão das temperaturas, digamos, na Eq. (8.31b). O processo é o seguinte: Consideramos a Eq. (8.17)

ABUT

Tm

L

=∆

∆ 0ln (8.33)

onde, com a disposição de escoamento paralelo, temos

afcafh TTT ,,0 −=∆ (8.34 a)

efcefhL TTT ,, −=∆ (8.34 b)

Leva-se a Eq. (8.33) para a forma exponencial, e usam-se os resultados da Eq. (8.34):

mBAU

afcafh

efcefhe

TT

TT−=

,,

,, (8.35)

A Eq. (8.31) é resolvida em Th,ef:

( )afcefc

h

c

afhefh TTC

CTT ,,,, −−= (8.36)

Este resultado entra na Eq. (8.35) para eliminar Th,ef:

mBAU

h

c

incinh

afcefce

C

C

TT

TT−=

+

−− 11

,,

,,

hc

BAU

incinh

incefc

CC

e

TT

TT m

/1

11

,,

,,

+

−=

−−

(8.37)

Page 117: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

117

Este resultado entra na Eq. (8.31b) e se elimina a razão entre as temperaturas. A efetividade ε é determinada como

hmíncmín

BAU

CCCC

e m

//

1

+

−=

ε (8.38 a)

onde B é definido pela Eq. (8.13b)

ch CCB

11+= (8.38 b)

Evidentemente, se considerarmos uma disposição de escoamento diferente, teremos uma expressão diferente para a efetividade. 8.6.2) Relação ε -NUT Por conveniência, nas aplicações práticas, define-se um parâmetro adimensional, o número de unidades de transferência (de calor) (NUT) como

mín

m

C

AUNUTN == (8.39a)

Para simplificar a notação, adotamos a seguinte abreviação

NUT ≡ N (8.39 b)

Então, a Eq. (8.38) é escrita na forma

( )[ ]

hcmín

hcmín

CCCC

CCCCN

//

//exp1

min

min

+

+−−=ε (8.40)

Definimos agora

máx

mín

C

CC ≡ (8.41)

onde Cmín e Cmáx são, respectivamente, a menor e a maior das duas grandezas Ch e Cc. Então, a Eq. (8.40) é escrita mais compactamente como

( )[ ]C

CN

+

+−−=

1

1exp1ε (correntes paralelas ) (8.42)

Esta equação dá a relação entre a efetividade ε e o número de unidades de transferência de calor N num trocador de calor com correntes paralelas, independentemente de Cmín ocorrer no lado quente ou no lado frio.

Page 118: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

118

Cálculos semelhantes podem ser feitos e as relações ε -NUT podem ser desenvolvidas em trocadores de calor que têm outros arranjos de correntes, como contracorrente, correntes cruzadas, passes múltiplos, etc.

Fig. 8.17 Efetividade num trocador de calor com correntes Fig. 8.18 Efetividade num paralelas. trocador de calor em contracorrente.

Fig. 8.19 Efetividade num trocador de calor, com correntes Fig. 8.20 Efetividade trocador de cruzadas, ambas não misturadas. um passe no casco e dois, quatro, etc. passes nos tubos.

Page 119: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

119

Fig. 8.21 Efetividade num trocador de calor de dois passes no casco e quatro, oito, doze, etc. passes nos tubos.

Nas Figs. 8.17 a 8.21 apresentamos algumas cartas de efetividade para arranjos típicos de escoamento. Também listamos, na Tabela 8.3, algumas relações funcionais para rápida referência. Condensadores e caldeiras. No caso de condensadores e caldeiras, a temperatura do fluido no lado da ebulição ou no da condensação permanece essencialmente constante. Lembremo-nos da Eqs. (8.31) para a definição de efetividade. Se a efetividade deve permanecer finita, Cc ou Ch, no lado em que há mudança de fase, deve comportar-se como um calor específico infinito, pois Taf - Tef neste lado é praticamente zero. Essa exigência implica que, numa caldeira ou num condensador, devemos ter Cmáx → °°, e, como resultado,

0→=máx

mín

C

CC (7.43)

Nestas situações, as expressões da Tabela 8.3 simplificam-se para

Ne

−−= 1ε para C 0→ (7.44) Onde N = AUm / Cmín . 7.6.3) Significado físico do NUT O significado físico do parâmetro adimensional NUT pode ser visto como segue:

NUT = mín

m

C

AU (7.45)

(capacidade calorífica do trocador /capacidade calorifica das correntes)

Page 120: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

120

Para um determinado valor de Um/Cmín, o NUT é uma medida da área real de transferência de calor A, da "dimensão física" do trocador. Quanto mais alto o NUT, maior é a dimensão física.

Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C, C = Cmín/Cmáx não tem muito efeito sobre a efetividadeε .

Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C, em comparação com os valores de outras configurações do escoamento.

Tab. 8.3 Fórmulas efetivas de trocador de calor. Por isso, dados NUT e C, a configuração em contracorrente proporciona o melhor

desempenho na transferência de calor.

8.6.4) Emprego das relações ε -NUT As relações ε -NUT podem ser facilmente empregadas para a resolução dos problemas de cálculo térmico e de dimensionamento.

Problema do cálculo térmico Suponha que as temperaturas de entrada Tc,af e Th,af,

as vazões mc e mh, as propriedades físicas de ambos os fluidos, o coeficiente de

Page 121: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

121

transferência de calor global Um, e a área total de transferência de calor A sejam dados. O tipo e a configuração do escoamento do trocador são especificados. Desejamos determinar a taxa total de fluxo de calor Q e as temperaturas de saída Th,ef e Tc,ef. Os cálculos são os seguintes: 1. Calcule C = Cmín / Cmáx e N = NUT = UmA/Cmín a partir dos dados de entrada especificados. 2. Sabendo N e C, determine ε a partir da carta ou da equação para a geometria e configuração do escoamento especificado. 3. Sabendo ε , calcule a taxa total de transferência de calor Q a partir de

)( ,, afcafhmín TTCQ −= ε

4. Calcule as temperaturas de saída a partir de

Th.,ef = Th,af hC

Q−

c

afcefcC

QTT += ,,

A discussão precedente do método ε -NUT ilustra claramente que o problema do cálculo térmico, quando as temperaturas de saída não são dadas, pode ser resolvido rapidamente com o método ε -NUT, mas será necessário um tedioso processo de iteração para resolvê-lo com o método DTML, e a convergência pode não ser fácil.

Problema do dimensionamento. Suponha que sejam dados as temperaturas de

entrada e de saída, a vazão, o coeficiente de transferência de calor global e a taxa total de transferência de calor; também a disposição do escoamento é especificada. Desejamos determinar a superfície total de transferência de calor A. 1. Sabendo as temperaturas de entrada e de saída, calcule ε de acordo com as Eqs. (8.31). 2. Calcule C = Cmín /Cmáx . 3. Sabendo ε e C, determine NUT a partir da carta apropriada de ε -NUT. 4. Sabendo NUT, calcule a superfície de transferência de calor A segundo a Eq. (8.39a):

( )

m

mín

U

CNUTA =

O emprego do método ε -NUT geralmente é preferido no projeto de trocadores de calor compactos para aplicações automotivas, aeronáuticas, de condicionamento de ar e outras aplicações industriais onde as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio são especificadas e as taxas de transferência de calor devem ser determinadas. Nas indústrias de processamento de eletricidade e petroquímicas, tanto as temperaturas de entrada como de saída dos fluidos quente e frio são especificadas; por isso o método DTML é geralmente empregado.

Page 122: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

122

8.7) TROCADORES DE CALOR COMPACTOS

Um trocador de calor que tenha uma densidade de área superficial maior do que cerca de 700 m2/m3 é classificado arbitrariamente como trocador de calor compacto. Estes trocadores de calor são geralmente empregados em aplicações com corrente gasosa. Por esse motivo, o coeficiente de transferência de calor é baixo, e é importante a pequenez de peso e de tamanho. São encontrados em uma grande variedade de configurações do miolo de transferência de calor, e suas características térmicas e hidrodinâmica foram estudadas extensamente. A Fig. 8.22 mostra miolos típicos dos trocadores de calor compactos. A Fig. 8.22a mostra um feixe de tubos com aletas circulares em cada tubo; a Fig. 8.22b mostra um miolo de aleta de chapa placa contínua e canais formados por chapas onduladas; a Fig. 8.22c mostra um miolo de tubos chatos aletados por chapas planas contínuas.

As características de transferência de calor e de perda de carga destes equipamentos para emprego como trocadores de calor compactos são determinadas experimentalmente. Por exemplo, as Figs. 8.23 a 8.25 mostram transferências típicas de calor e dados do fator de atrito nos três diferentes modelos. Note que os principais grupos adimensionais que governam essas correlações incluem os números de Stanton, de Prandtl e de Reynolds

pGC

hSt =

K

C p µ=Pr

µhGD

=Re (8.47)

Aqui, G é a velocidade mássica, definida como G = m / Amín onde m = vazão mássica total do fluido (kg/s) e Amín = área transversalmente mínima do escoamento livre (m2), onde quer que esse mínimo ocorra. A grandeza do diâmetro hidráulico Dh, em cada configuração, é especificado nas Figs. 8.23 a 8.25. O diâmetro hidráulico Dh é definido como

A

LAD mín

h 4= (8.48)

onde A é a área total de transferência de calor e a grandeza LAmín pode ser considerada o volume mínimo de passagem da corrente livre uma vez que L é o comprimento do percurso do fluido no miolo do trocador de calor.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

123

Fig. 8.22 Miolos típicos de trocadores de calor compactos: (a) feixe de tubos cilíndricos aletados; (b) chapa plana aletada; (c) feixe de tubos chatos aletados.

Fig. 8.23 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas de chapas contínuas Portanto, uma vez conhecidas as cartas de transferência de calor e do fator de atrito para um modelo determinado de miolo, como a da Fig. 8.23, e conhecido o número de Reynolds do escoamento, poderão ser calculados o coeficiente de transferência de calor h e o fator de atrito f do escoamento através do miolo. Então, o problema do cálculo da capacidade e das dimensões poderá ser resolvido mediante o processo da DTML ou com o método da análise da efetividade. Descreveremos agora a análise da perda de carga nos trocadores de calor compactos.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

124

Fig. 8.24 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos chatos com aletas de chapas contínuas

Fig. 8.25 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas individuais

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

125

A perda de carga associada ao escoamento através de um trocador de calor compacto consiste em três componentes: o atrito no miolo, a aceleração no miolo e as perdas de entrada e de saída.

Vamos apresentar agora a análise de perda de carga nos trocadores com aletas de chapa contínua e de tubos com aletas.

8.7.1) Perda de carga em trocadores com aletas de chapa contínua

Considere o miolo de um trocador com aletas de chapa contínua, como está ilustrado na Fig. 7.22b. A medida que o fluido entra nos canais, sofre quedas de pressão em virtude da contração resultante de variações de área e da expansão livre irreversível depois de uma contração repentina. À medida que o fluido passa através do miolo do trocador de calor (isto é, do núcleo), sofre queda de pressão em virtude do atrito fluido. Também, dependendo de existir aquecimento ou resfriamento, há variação de pressão em virtude de aceleração ou de desaceleração da corrente. Finalmente, à medida que o fluido deixa o miolo do trocador de calor, há quedas de pressão associadas à variação de área e a separação do fluido. Então, a perda de carga total no escoamento do fluido através do miolo do trocador de calor é dada por:

( ) ( )

−−−+

−+−+=∆

0

2

0

22

11212 ρ

ρσ

ρ

ρ

ρ

ρσ

ρi

m

i

mín

i

c

i

KeA

AfK

GP

(8.49)

onde frontalárea

livreescoamentodomínimaárea

A

A

fr

mín

.

....==σ

livreescoamentodemínimaárea

calordeciatransferêndetotalárea

D

L

A

A

hmín ....

.....4==

σ

ρρ∞∞

==u

A

AuG

mín

fr = velocidade mássica, Kg/(m2.s)

Kc,Ke = coeficiente de contração e de expansão do escoamento, respectivamente =0, ρρ i densidade na entrada e na saída respectivamente

+=

0

11

2

11

ρρρ im

A Eq. (8.49) dá a perda de carga associada ao escoamento através do miolo do trocador de calor. Pode-se considerar a relação também válida para o escoamento no interior dos tubos do trocador de calor. Por isso, a perda total de carga através do trocador de calor é igual à soma das perdas de carga do escoamento através dos tubos e no interior dos mesmos.

Na Eq. (8.49), a perda de carga por atrito é em geral a mais importante e responde por cerca de 90%, ou mais, da perda de carga total através do miolo. As perdas na entrada e na saída se tornam importantes nos trocadores curtos (isto é, com pequenos L) com

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

126

pequenos valores de σ , valores grandes do número de Reynolds e com gases. Com líquidos são desprezíveis.

8.7.2) Perda de carga em trocadores de tubos aletados

No escoamento normal a um banco de tubos aletados, fig. 8.22a, as perdas na entrada e na saída são em geral devidas ao fator de atrito, e por isso Kc = Ke = 0. Então, pondo Kc = Ke = 0 na Eq. (8.49), a perda de carga total no escoamento através do banco de tubos se torna

( )

+

−+=∆

m

i

mín

i

i A

Af

GP

ρ

ρ

ρ

ρσ

ρ11

2 0

22

aceleração da corrente atrito no miolo

8.8) OTIMIZAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR

Embora os projetos padrões dos trocadores de calor possam satisfazer às necessidades da maior parte das unidades pequenas e simples, operando em temperaturas moderadas e pressões baixas é possível que sejam necessárias unidades individualmente projetadas, para numerosas aplicações especiais.

Os trocadores de calor são projetados para uma vasta variedade de aplicações, por isso, os critérios de otimização dependem do tipo de aplicação. Por exemplo, os critérios de otimização podem requerer um mínimo de peso, um mínimo de volume ou superfície mínima de transferência de calor, custo inicial mínimo, ou custos inicial e operacional mínimos, maior taxa de transferência de calor, perda de carga mínima para uma certa taxa de transferência de calor, diferença média de temperatura mínima, e assim por diante.

Por isso, para efetivar um estudo de otimização, deve ser executado o projeto térmico do trocador de calor e os cálculos devem ser repetidos para cada variável do projeto até que o critério de otimização seja satisfeito. Já existem programas de computador para o projeto térmico dos trocadores de calor.

Bell descreve o procedimento de um projeto auxiliado por computador, no caso do projeto térmico de trocadores de calor de casco e tubos. Shah discute os aspectos básicos de um projeto térmico auxiliado por computador, e o processo de otimização de trocadores de calor compactos. Spalding ressalta os aspectos gerais de uma abordagem numérica para determinar a dinâmica do fluido e o desempenho térmico dos trocadores de calor.

Para ilustrar a estrutura lógica básica da otimização dos trocadores de calor, focalizaremos nossa atenção nos trocadores de calor compactos.

O primeiro passo no processo de otimização é a solução dos problemas do cálculo da capacidade e das dimensões. O problema do cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída e da perda de carga em cada lado. Geralmente, são especificadas as seguintes grandezas nos problemas deste cálculo: tipo do trocador de calor, geometria das superfícies, disposição das correntes, vazões, temperaturas de entrada e dimensões totais do miolo.

O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do miolo para se atingir a transferência de calor especificada e a perda de carga tolerada. O papel do projetista é selecionar o tipo de construção, a disposição das correntes e a geometria das

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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superfícies de ambos os lados. As seguintes grandezas são em geral especificadas: temperaturas de entrada e de saída do fluido, vazões, perdas de carga e taxa de transferência de calor.

Shah descreve os pontos principais das grandes sub-rotinas de computador necessárias para realizar os cálculos de dimensionamento e de desempenho térmico e hidrodinâmico. Incluem o seguinte: 1. Especificações do projeto. As especificações completas do projeto devem ser conhecidas, assim como a sub-rotina do computador. A informação deve incluir o tipo do trocador de calor; a disposição das correntes; a geometria das superfícies; as condições de operação, como temperaturas, pressões, vazões, tipos de fluidos, etc, na entrada; dimensões totais. 2. Propriedades do fluido. As propriedades dos fluidos, como calor específico, densidade, viscosidade, condutividade térmica e o número de Prandtl, devem ser incluídas como uma função da temperatura na forma de correlações. 3. Geometria do miolo. A informação que caracteriza a geometria do miolo deve ser fornecida em cada lado do trocador, incluindo a área mínima do escoamento livre, o diâmetro hidráulico, as dimensões das aletas, necessárias para o cálculo da eficiência das aleta, etc. 4. Relação ε -NUT. Uma vez que o método ε -NUT é utilizado no projeto térmico de trocadores de calor compactos, devem ser fornecidas as fórmulas que definem a relação ε -NUT. As relações devem ser suficientemente gerais para permitirem a determinação de e quando forem conhecidas NUT e C = Cmín/ Cmax, e para calcular NUT quando ε e C forem disponíveis. 5. Relação h e f. As características da transferência do calor e do atrito do escoamento nos trocadores de calor compactos são geralmente dadas na forma de cartas de j e de f plotados em função do número de Reynolds. Esses dados devem ser fornecidos na forma de correlações. 6. Rendimento das aletas. Quando são usadas superfícies estendidas no miolo da transferência de calor, a eficiência das aletas η e a eficiência das aletas ponderada pela área η ' são necessárias nos cálculos de transferência de calor. Por isso devem ser dadas as fórmulas que definem a eficiência η e a informação necessária para o cálculo de η '. 7. Relações de perda de carga. A perda de carga no escoamento através do miolo é devida ao atrito do escoamento, à aceleração e à desaceleração resultantes da transferência de calor, à contração e à expansão da corrente na entrada e na saída do miolo. Devem ser dadas as relações apropriadas para o cálculo da perda de carga decorrente destas causas. Também deve ser feita provisão para o cálculo da perda de carga nos ângulos, nas curvas, nos distribuidores e coletores, etc.

8.8.1) Problema do cálculo da capacidade Se o problema envolve a otimização associada à taxa de transferência de calor, ou à perda de carga, resolve-se o problema da capacidade e calcula-se a taxa de transferência de calor, ou a perda de carga, resultante. 8.8.2) Problema de dimensionamento Se o problema envolve otimização associada às dimensões, ao peso, ou à superfície de transferência de calor, e, portanto, ao custo, então o problema do dimensionamento é resolvido e as dimensões do miolo e a superfície da transferência de calor são calculadas.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

128

8.8.3) Problema da otimização Como se discutiu antes, o critério para otimização depende da aplicação específica. Por isso, a grandeza otimizada (isto é, maximizada ou minimizada) deve ser estabelecida. Pode haver alguma restrição adicional. Uma variedade de técnicas pode ser utilizada para se chegar a um projeto otimizado; qualquer que seja a técnica adotada, cada caso envolve a resolução do problema do cálculo da capacidade e das dimensões. Suponha que o trocador de calor deva ser otimizado para um custo total mínimo. O problema envolve restrições explícitas, como uma área frontal fixa e intervalos das dimensões do trocador de calor, e restrições implícitas sobre a taxa mínima de transferência de calor ou a perda de carga. Uma vez escolhida a geometria da superfície, o projetista tem a opção de impor restrições adicionais, como os valores máximo e mínimo da altura da aleta, espessura da aleta, passe da aleta, condutividade térmica da aleta, comprimento da aleta, razão do gás, etc. Então, o problema se reduz à resolução do problema do cálculo térmico dentro dos limites das variáveis especificadas.

9) RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE

9.1) NATUREZA DA RADIAÇÃO TÉRMICA

A radiação térmica é a energia radiante emitida pelos corpos em virtude das suas temperaturas. Todos os corpos, a uma temperatura acima do zero absoluto, emitem radiação térmica. Considere, por exemplo, um corpo quente à temperatura Th colocado em uma câmara de vácuo cujas paredes estão frias, à temperatura Tc, como está ilustrado na Fig. 9.1. Uma vez que o corpo quente está separado das paredes frias pelo vácuo, não é possível a transferência condutiva ou convectiva de calor. 0 corpo quente se resfria em virtude da troca de calor pela radiação térmica.

Outro exemplo é a transferência de energia do sol para a terra; a energia térmica emitida do sol se propaga através do espaço e atinge a superfície da terra. 0 transporte de energia radiante não exige um meio interveniente entre a superfície quente e fria. 0 verdadeiro mecanismo da propagação de radiação não está completamente compreendido, mas diversas teorias foram propostas para explicar o processo. De acordo com a teoria eletromagnética de Maxwell, a radiação é tratada como ondas eletromagnéticas, enquanto o conceito de Max Planck trata a radiação como fótons, ou quanta, de energia. Ambos os conceitos são utilizados para descrever a emissão e propagação de radiação. Por exemplo, os resultados obtidos a partir da teoria eletromagnética são usados para prever as propriedades radiantes dos materiais, enquanto os resultados do conceito de Planck são empregados para prever a grandeza da energia radiante emitida por um corpo a uma dada temperatura.

Quando a radiação é tratada como uma onda eletromagnética, considera-se a radiação de um corpo, à temperatura T, como se fosse emitida em todos os comprimentos de onda, desde 0=λ até ∞=λ . Nas temperaturas encontradas na maior parte das aplicações de engenharia, o conjunto da energia térmica emitida por um corpo está nos comprimentos de onda entre 1,0≅λ mµλ 100≅ . Por este motivo, a região do espectro de comprimentos de onda entre 1,0=λ e mµλ 100= recebe geralmente o nome de radiação térmica. 0 sol emite radiação térmica a uma temperatura efetiva superficial de cerca de 5.760 k e o conjunto desta energia está nos comprimentos de onda entre 1,0≅λ e

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

129

mµλ 3≅ ; por isso, esta região do espectro é conhecida geralmente como a radiação solar. A radiação emitida pelo sol, nos comprimentos de onda entre λ = 0,4 e λ= 0,7 µ m é visível para o olho; esta região do espectro é a radiação visível (isto é, a luz visível). A Fig. 9.2 ilustra essas subdivisões do espectro de ondas eletromagnéticas.

Fig. 9.1. Troca de radiação térmica

A natureza ondulatória da radiação térmica implica que o comprimento de onda λ deve estar associado à freqüência ν da radiação. A relação entre λ e o ν é

v

c=λ (9.1)

onde c é a velocidade de propagação no meio. Se o meio no qual a radiação se propaga for o vácuo, a velocidade de propagação é igual à velocidade da luz, isto é,

co = 2,9979 * 108 m/s (9.2)

Utilizando esta relação entre λ e ν, incluímos na Fig. 9.2 o espectro de freqüências correspondentes.

Fig. 9.2 Espectro típico da radiação eletromagnética devida a temperatura de um corpo.

Outros tipos de radiação, como os raios X, os raios gama, as microondas, etc., são

bem conhecidos e utilizados em vários ramos da ciência e da engenharia. Os raios X. são produzidos pelo bombardeio de um metal com elétrons de alta freqüência, e o grosso da energia está no domínio entre me µλλ 24 1010 −− ≅≅ . Os raios gama são produzidos pela

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

130

fissão dos núcleos, ou pela desintegração radiativa, e o grosso da energia está concentrado no domínio de comprimentos de onda menores do que o dos raios X. Neste livro, não vamos tratar destas radiações. Nosso interesse está concentrado na radiação térmica como mecanismo de transporte de energia entre objetos em temperaturas diferentes.

No estudo da transferência de radiação, deve-se fazer uma distinção entre os corpos semitransparentes à radiação e os opacos. Se o material for semitransparente à radiação, como o vidro, os cristais incolores e os gases a temperaturas elevadas, então a radiação que sai do corpo por suas superfícies externas é o resultado de emissões ocorrentes em todas as profundidades dentro do material. A emissão de radiação, nestes casos, é um fenômeno global, ou volumar. Se o material for opaco à radiação térmica, como os metais, a madeira, as rochas, etc., a radiação emitida pelas regiões do interior do material não atinge a superfície. Nesses casos, a radiação emitida pelo corpo tem origem no material na vizinhança imediata da superfície (i. e., dentro de cerca de 1 µ m), e a emissão é um fenômeno superficial. Observe-se também que o material pode comportar-se como um meio semitransparente em certas faixas de temperatura e como opaco em outras temperaturas. O vidro é um exemplo típico deste comportamento; é semitransparente à radiação térmica em temperaturas elevadas ou opaco em temperaturas intermediárias ou baixas.

9.2) RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO Um corpo, em qualquer temperatura acima do zero absoluto, emite radiação em todos os comprimentos de onda, em todas as direções possíveis no espaço. O conceito de corpo negro é uma idealização que serve para comparar as características da emissão e da absorção dos corpos reais.

Um corpo negro absorve toda a radiação incidente vinda de todas as direções, em todos os comprimentos de onda, sem que o corpo a reflita, transmita ou espalhe. Numa dada temperatura, num dado comprimento de onda, nenhum outro corpo, à mesma temperatura pode emitir mais radiação do que um corpo negro. A emissão de radiação por um corpo negro, a qualquer temperatura T, é a emissão máxima possível nesta temperatura. O termo negro deve ser distinguido do seu uso ordinário em relação ao negrume de uma superfície sob observação visual. O olho humano pode detectar o negrume somente na região visível do espectro. Por exemplo, um objeto como o gelo é brilhante ao olho mas é quase negro para a radiação térmica de grande comprimento de onda. Entretanto, um corpo negro é completamente negro à radiação térmica, em todos os comprimentos de onda desde λ = 0 até ∞=λ .

A radiação é emitida por um corpo em todas as direções. É de interesse saber a quantidade de radiação emitida por um corpo negro em uma dada direção. A quantidade fundamental que especifica a grandeza da energia da radiação emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, num comprimento de onda λ , em qualquer direção dada, é a intensidade da radiação espectral do corpo negro λbI (T). O termo espectral é utilizado para

denotar a dependência entre o comprimento de onda e a intensidade da radiação, e o índice b se refere ao corpo negro.

A grandeza de λbI (T) para a emissão no vácuo foi determinada primeiro por Planck

e é dada por

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

131

( )[ ] 1/exp

2)(

5

2

−=

kThc

hcTIb

λλλ (9.3)

onde h = 6,6256 x 10-34 J. s e k = 1,38054 x 10-23 J. K são as constantes de Planck e de Boltzmann, respectivamente, c = 2,9979 x l08 m/s é a velocidade da luz no vácuo, T, em kelvins, é a temperatura absoluta, e λ é o comprimento de onda. λbI (T) representa a

energia radiante emitida por um corpo negro, à temperatura T, passando através de uma unidade de área perpendicular à direção de propagação, por unidade de comprimento de onda em torno do comprimento de onda λ , por unidade de ângulo sólido em torno da direção de propagação do feixe. Com base nesta definição, as unidades de λbI (T) podem

ser escritas como

Energia /(Área)(comprimento de onda)(ângulo sólido) (9.4a) onde a área é medida perpendicularmente à direção da propagação.

1Fig. 9.3 Definição de ângulo sólido

Se a energia for medida em watts, a área em metros quadrados, o comprimento de onda em micrômetros e o ângulo sólido em esterorradianos (sr), a Eq. (9.4a) tem a dimensão

srmm

W

..2 µ (9.4b)

O significado físico do ângulo sólido é mais bem visualizado se nos referirmos à Fig. 9.3. Seja Ω a direção de propagação e 0 a posição de referência. Consideremos uma pequena área dA a um distância r de 0 e normal à direção Ω . O ângulo sólido dw subtendido por dA, em O, é definido como

2r

dAdw = (9.5)

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

132

Com base nesta definição, podemos inferir facilmente que o ângulo sólido subtendido por um hemisfério, no seu centro, é 2π (isto é, 2π r2/r2) e por toda a esfera no seu centro é 4π (isto é, 4π r2/r2). Na Eq. (9.3), λbI (T) é a intensidade da radiação do corpo negro, por unidade de

comprimento de onda, em torno do comprimento de onda λ . Entretanto, a radiação é emitida em todos os comprimentos de onda. Para determinar a intensidade da radiação do corpo negro λbI (T), emitida à temperatura T, sobre todos os comprimentos de onda,

integramos λbI (T) desde λ = 0 até ∞=λ :

( )∫∞

==

0 bI)(λ λ λdTTI b W/(m2.sr) (9.6)

Aqui, Ib( T) é a intensidade da radiação do corpo negro. 9.2.1) Poder emissivo do corpo negro Há interesse prático em conhecer-se a quantidade de energia radiante emitida por unidade de área de um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todas as direções de um espaço hemisférico. Para calcular esta grandeza, consideremos uma área elementar dA à temperatura T, como está ilustrado na Fig. 9.4a. Seja n a normal a esta superfície, θ o ângulo polar medido a partir desta normal, e θ o azimute. A superfície emite radiação de intensidade espectral λbI (T) em todas as direções. De acordo com esta definição, esta

intensidade, dada pela Eq. (9.3), é independente da direção. A grandeza

λbI (T)dA θcos dw (9.7)

representa a energia radiante espectral emitida pelo elemento de superfície dA, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw, em uma dada direção Ω . Nesta expressão, o termo dA cosθ é a projeção de dA sobre um plano normal à direção Ω ; o emprego da área projetada é necessário pois λbI (T), por definição, está baseada na área normal à direção

de propagação. Dividindo a Eq. (9.7) por dA, obtemos

λbI (T) θcos dw (9.8)

que representa a energia radiante espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw em qualquer direçãoΩ . Observe a Fig. 9.4b. Um ângulo sólido elementar dw pode ser relacionado ao ângulo polar θ e ao azimute φ por

( )( )θ

θφθsen

r

senrdrd

r

dAdw ===

221 dθ d φ (9.9)

Então a Eq. (9.8) se torna

λbI (T)cosθ senθ dθ d φ (9.10)

Page 133: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

133

Fig. 9.4 Nomenclatura para (a) emissão de radiação por uma superfície dA; (b) definição do ângulo sólido dw em

termos de φθ , .

A radiação espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, em todas as direções, dentro do espaço hemisférico, é obtida pela integração da Eq. (9.10) sobre

πφ 20 ≤≤ e 0<θ2

π≤ .

Obtemos, λbE (T) = λbI (T) ∫∫ ==

2/

0

2

0...cos

π

θ

π

φφθθθ ddsen

= π2 λbI (T) ∫=

2/

0..sen.cos

π

θθθθ d

= π2 λbI (T)2/

0

2sen2

1 π

θ

λbE (T) = π λbI (T) (9.11)

λbI (T) é o poder emissivo espectral do corpo negro. Representa a energia radiante emitida

por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de comprimento de onda em torno de λ , em todas as direções de um espaço hemisférico. Representa realmente o fluxo de radiação espectral do corpo negro. A função de Planck, definida pela Eq. (9.3), entra agora na Eq. (9.11). Obtemos

λbE (T) = ( )[ ] 1/exp 2

51

−Tc

c

λλ W/(m2. µ m) (9.12)

onde c1 = 2π hc2 = 3,743 x 108 W . µ m4 /m2 c2 = hc/k = 1,4387 x 104 µ m.K T = temperatura absoluta, K λ = comprimento de onda, µ m

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

134

A Eq. (9.12) pode ser usada para calcular λbE (T) para quaisquer λ e T. A Fig. 9.5 mostra o

gráfico de λbE (T) em função de λ em várias T. Notamos, a partir desta figura, que, a um

dado comprimento de onda, a radiação emitida cresce com a elevação de temperatura, e, para uma dada temperatura, a radiação emitida varia com o comprimento de onda e apresenta um máximo. Esses máximos tendem a se deslocar para os comprimentos de onda menores à medida que a temperatura cresce. As posições destes máximos são dadas pela lei do deslocamento de Wien como

( ) kmT máx ..6,2897 µλ = (9.13) As posições dos máximos estão mostradas, na Fig. 9.5, pela linha tracejada.

Fig. 9.5 Poder emissivo espectral do corpo negro a diferentes temperaturas.

9.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann A energia radiante emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todos os comprimentos de onda, por unidade de tempo, por unidade de área, é determinada pela integração da Eq. (9.12) desde λ =0 até ∞=λ :

Eb(T) =( )[ ] ∫

= −02

51

1/expλλ

λλd

Tc

c

A variável de integração é modificada de λ para λT ≡ x:

Page 135: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

135

Eb(T) =T4

[ ] xdxcx

c

x∫

= −02

51

1)/(exp (9.14)

Esta integração pode ser realizada e o resultado é expresso como

Eb(T) =σT4 W/m2 (9.15)

onde T está em kelvins e σ é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor numérico é

σ = 5,67 x 10-8 W/(m2. K4) (9.16)

Aqui, Eb(T) é o poder emissivo do corpo negro, e a Eq. (9.15) é a lei de Stefan-Boltzmann. O significado físico de Eb(T) é representar o fluxo de radiação do corpo negro, emitido por uma superfície unitária a uma temperatura absoluta T. Pode-se determinar a relação entre Eb(T) e Ib(T) pela integração da Eq. (9.11), sobre todos os comprimentos de onda. Obtemos

Eb(T) = π Ib(T) W/m2 (9.17)

e das Eqs. (9.15) e (9.17) escrevemos

Ib(T) = 41Tσ

π W/(m2.sr) (9.18)

9.2.3) Funções de radiação do corpo negro

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

136

Tab. 9.1 Funções de radiações do corpo negro

Em numerosas aplicações, o interesse está centrado na emissão de radiação por um corpo negro no intervalo de comprimento de onda desde λ= 0 até λ , em função da emissão total, desde λ= 0 até λ= ∞ . Esta grandeza é determinada, conforme sua definição, por

40

0

0)(

)(

)()(

T

dTE

dTE

dTETf

b

b

b

o σ

λ

λ

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

∫∫∫

== ∞− (9.19)

Page 137: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

137

Entrando com )(TEbλ , da Eq. (9.12), na Eq. (9.19):

( )[ ]∫Τ

=− −=

λ

λ σ 02

51

1/exp)(

xo xcx

dxcTf (9.20)

onde a variável de integração foi modificada de λ para λ T = x. A integração na Eq. (9.20) pode ser efetuada e ( ),0 Tf λ− calculada para um dado λ T. A tabela 9.1 dá a função

de radiação do corpo negro ( ),0 Tf λ− em termos de λ T, originalmente calculada por

Dunkle .Nesta tabela, a primeira e a Segunda coluna dão λ T em µ m . K e µ m . o R , respectivamente. A terceira coluna é útil para computar o poder emissivo espectral do corpo negro λbE (T) numa temperatura e num comprimento de onda especificados.

Até aqui discutimos a intensidade da radiação do corpo negro e o poder emissivo, que são úteis para comparação da energia radiante emitida por superfícies reais . Um corpo negro não existe na realidade; entretanto podemos chegar a situações bastante próximas dele. Considere, por exemplo, uma esfera oca cuja superfície interna é mantido a uma temperatura uniforme T, com um pequeno orifício na sua superfície. A radiação que sai pelo orifício é a melhor aproximação da radiação do corpo negro, à temperatura T.

9.3) PROPRIEDADES RADIANTES DAS SUPERFÍCIES

A radiação emitida por um corpo real, a uma temperatura T e num comprimento de onda λ , é sempre menor do que do corpo negro. Por isso, a emissão do corpo negro é escolhida como referência, e se define uma grandeza, a emissividade da superfície, como a razão entre a energia emitida por uma superfície real e a energia emitida pelo corpo negro, à mesma temperatura; o valor da emissividade varia de 0 a l. Evidentemente, existem numerosas possibilidades para fazer tal comparação; por exemplo, a comparação pode ser feita num dado comprimento de onda, ou em todos os comprimentos de onda, ou entre as energias emitidas numa direção especificada, ou entre as energias emitidas num espaço hemisférico. Aqui, consideraremos a comparação somente entre as energias emitidas no espaço hemisférico, não só num dado comprimento de onda mas também na média sobre todos os comprimentos de onda. Com esta consideração, empregamos os seguintes símbolos; ελ = emissividade espectral hemisférica e ε = emissividade hemisférica.

Fig. 9.5 Reflexão pelas superfícies. (a) reflexão especular, (b) reflexão difusa.

Page 138: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

138

Um corpo negro absorve toda a radiação sobre ele incidente, em todos os comprimentos de onda, enquanto uma superfície real absorve somente parte da radiação e a fração absorvida varia com o comprimento de onda da radiação e com a temperatura na qual a radiação é emitida. A grandeza poder de absorção, ou absortividade, de uma superfície é a fração da radiação incidente absorvida pela superfície. Evidentemente, existem numerosas possibilidades nesta definição; por exemplo, a absorção pode ser considerada em um dado comprimento de onda, ou em todos os comprimentos de onda, ou para a energia incidente em uma dada direção, ou para a energia incidente em todas as direções de um espaço hemisférico. Aqui, consideraremos somente a situação na qual a radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções no espaço hemisférico para um dado comprimento de onda e para a média sobre todos os comprimentos de onda. Com esta consideração, empregamos os símbolos seguintes: λα = poder de absorção espectral hemisférico e α = poder de absorção hemisférico.

Quando a radiação incide em uma superfície real, uma fração é refletida pela superfície. Se a superfície for perfeitamente plana, isto é, se as asperezas da superfície forem muito menores do que o comprimento de onda da radiação, os raios incidente e refletido serão simétricos em relação a normal no ponto de incidência, como está ilustrado na Fig. 9.5a. Esta reflexão, como a dos espelhos, é a reflexão especular. Se a superfície tiver asperezas, a radiação incidente será espalhada em todas as direções. Uma reflexão idealizada, nesta situação, é aquela em que a intensidade da radiação refletida é constante em todos os ângulos de reflexão e independente da direção da radiação incidente: é chamada reflexão difusa. A Fig. 9.5b ilustra a reflexão difusa em uma superfície. As superfícies reais encontradas nas aplicações de engenharia não são nem perfeitamente difusas nem perfeitamente especulares. Entretanto, o conceito é útil para estudar os efeitos dos dois casos limites na transferência de radiação: A refletividade de uma superfície é definida como a fração da radiação incidente refletida pela superfície. Existem numerosas possibilidades para a definição da refletividade; por exemplo, a reflexão pode ser considerada em um dado comprimento de onda, ou sobre todos os comprimentos de onda, ou para a energia incidente em uma dada direção, ou para a energia incidente em todas as direções no espaço hemisférico. Há também a possibilidade de a reflexão ser especular ou difusa. Aqui consideraremos somente a reflexão difusa nas situações em que a radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções do espaço hemisférico, tanto para um dado comprimento de onda como para a média de todos os comprimentos de onda. Com esta consideração, empregamos os seguintes símbolos λρ = refletividade espectral hemisférica e ρ = refletividade hemisférica. Finalmente, se o corpo for opaco à radiação, a soma da refletividade e do poder de absorção do corpo deve ser igual à unidade:

1=+ λλ ρα (9.20 a)

1=+ ρα (9.20 b)

Se o corpo for semitransparente à radiação, a soma do poder de absorção e da refletividade é menor do que a unidade, e a diferença é chamada o poder transmissor do corpo. Com esta consideração, escrevemos

1=++ λλλ τρα (9.21 a) 1=++ τρα (9.21 b)

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

139

Fig. 9.6 Reflexão, absorção e transmissão da radiação incidente por um material semi-transparente

onde definimos λτ = poder transmissor espectral e τ = poder transmissor. A Fig. 9.6 mostra que um feixe de radiação incidente sobre um corpo semitransparente, de espessura finita, uma placa de vidro, por exemplo, é parcialmente refletido, parcialmente absorvido e o restante é transmitido através do vidro. 9.3.1) Lei de Kirchhoff O poder de absorção e a emissividade de um corpo podem ser relacionados pela lei de Kirchhoff da radiação. Considere um corpo colocado no interior de uma cavidade negra, fechada, cujas paredes são mantidas à temperatura uniforme T. O corpo acaba por atingir o equilíbrio com as

paredes da cavidade. Seja iqλ (T) o fluxo de radiação espectral das paredes, à temperatura T, incidente no corpo. O fluxo de radiação espectral λq (T) absorvido pelo corpo, no comprimento de onda λ , é

λq (T) = λα (T) iqλ (T) (9.22)

onde λα (T) é o poder de absorção espectral do corpo. A grandeza λq (T) também representa o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo, no comprimento de onda λ ,

uma vez que o corpo está em equilíbrio radiante. Notamos que a radiação incidente iqλ (T) provém das paredes perfeitamente negras da cavidade, à temperatura T, e que a emissão pelas paredes não é afetada mesmo que o corpo introduzido na cavidade seja um corpo negro. Com esta consideração, temos

bq .λ (T) = iqλ (T) (9.23)

onde bq .λ (T) é o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro, à temperatura T. Das Eqs. (9.22) e (9.23), escrevemos

=)(

)(

.

.

Tq

Tq

λλα (T) (9.24)

Page 140: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

140

A emissividade espectral λε (T) do corpo, para a radiação à temperatura T, é definida como a razão entre o fluxo de radiação espectral λq (T) emitido pelo corpo e o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro bq .λ (T), à mesma temperatura, isto é,

=)(

)(

.

.

Tq

Tq

λλε (T) (9.25)

Das Eqs. (9.24) e (9.25), obtemos

)()( TT λλ εα = (9.26)

que é a lei de Kirchhoff da radiação que afirma ser a emissividade espectral para a emissão de radiação à temperatura T, igual ao poder de absorção espectral para a radiação proveniente de um corpo negro, à mesma temperatura T.

Deve-se tomar muito cuidado na generalização da Eq. (9.26) para os valores médios de α e de ε sobre todos os comprimentos de onda, isto é, para o caso

α (T) = ε (T) (9.27)

A Eq. (9.26) é sempre válida, mas a Eq. (9.27) se aplica quando a radiação incidente e a radiação emitida tem a mesma distribuição espectral ou quando o corpo é cinzento, isto é, quando as propriedades radiativas são independentes do comprimento de onda. A aplicação da Eq. (9.27) simplifica enormemente o cálculo da troca de calor por radiação entre as superfícies, como ficará claro, mais adiante, neste capítulo. 9.3.2) Corpo cinzento Para simplificar a análise da transferência radiativa de calor, adota-se freqüentemente, em muitas aplicações, a hipótese de o corpo ser cinzento; isto é, admite-se que as propriedades radiativas λλλ ρεα ,, sejam uniformes em todo o espectro de comprimentos de onda. Tais corpos recebem o nome de corpos cinzentos, e com a hipótese do corpo cinzento o poder de absorção e a emissividade estão relacionados pela lei de Kirchhoff como α = ε 9.3.3) Emissividade Se q(T) for o fluxo de radiação espectral emitido por uma superfície real, a uma temperatura T, e λ.bE (T) for o poder emissivo espectral do corpo negro (isto é, o fluxo) à mesma temperatura T, então a emissividade espectral hemisférica λε da superfície é definida como

)(

)(

. TE

Tq

b λ

λλε = (9.28)

O valor médio de λε sobre todos os comprimentos de onda, chamado a emissividade hemisférica e, é definido como

Page 141: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

141

)(

)(

)(

)(0 .

0 .

0 .

TE

dTE

dTE

dTE

b

b

b

b ∫

∫∞

==λε

λ

λεε

λλ

λ

λλ (9.29)

Se λε for conhecida em função do comprimento de onda, a Eq. (9.29) poderá ser utilizada para calcular ε . Note que, neste processo de calcular a média, o poder emissivo espectral do corpo negro λ.bE (T) serve como fator de ponderação. 9.3.4) Poder de absorção

Se α for o fluxo de radiação espectral incidente sobre uma superfície e aqλ (T) for a quantidade de radiação absorvida pela superfície, então o poder de absorção espectral hemisférico, λα será definido como

)(

)(

Tq

Tq

i

a

λ

λλα = (9.30)

O valor médio de λα sobre todos os comprimentos de onda, o poder de absorção hemisférico α , é definido como

∫∞

=

0

0

)(

)(

λ

λαα

λ

λλ

dTq

dTq

i

i

(9.31)

Dado λα em função do comprimento de onda, a Eq. (9.31) pode ser utilizada para calcularα . Observamos que o poder de absorção α depende da distribuição espectral da radiação

incidente iqλ (T) ,e portanto iqλ (T) é utilizado como fator de ponderação; mas a emissividade depende da temperatura da superfície, e por isso o poder emissivo espectral do corpo negro λ.bE (T), à temperatura da superfície, é utilizado como fator de ponderação na Eq. (9.29). 9.3.5) Refletividade

Se iqλ (T) for o fluxo de radiação espectral incidente na superfície e rqλ (T) for a quantidade de radiação refletida pela superfície, então a refletividade espectral hemisférica λρ , será definida por

)(

)(

Tq

Tq

i

r

λ

λλρ = (9.32)

O valor médio de λρ sobre todos os comprimentos de onda é a refletividade hemisférica p, definida como

Page 142: [Apostila] Transferência de calor e massa

Apostila de Transferência de Calor e Massa

142

∫∞

=

0

0

)(

)(

λ

λρρ

λ

λλ

dTq

dTq

i

i

(9.33)

Dada λρ em função do comprimento de onda, a Eq. (9.33) pode ser empregada para

calcular p. Neste processo de promediação, o fluxo de radiação espectral incidente iqλ (T) serve como fator de ponderação. 9.3.6) Poder transmissor A análise do poder transmissor de um corpo semitransparente é, em geral, assunto complicado, porque a radiação incidente sobre um corpo semitransparente penetra nas profundidades do meio, onde é atenuada em virtude da absorção, e, em alguns casos, do espalhamento pelo material. Por isso, o poder transmissor depende das propriedades radiantes do material, da sua espessura e das condições nas superfícies externas. Entretanto, nas aplicações de engenharia, há muitas situações, como a transmissão de radiação através de uma lâmina de vidro, nas quais o poder transmissor espectral hemisférico λτ é definido como

)(

)(

Tq

Tq

i

tr

λ

λλτ = (9.34)

onde iqλ (T) trqλ (T) são os fluxos de radiação incidente e transmitido, respectivamente. Dada a distribuição espectral de λτ , o poder transmissor hemisférico τ é determinado a partir de

∫∞

=

0

0

)(

)(

λ

λττ

λ

λλ

dTq

dTq

i

i

(9.35)

9.4) RADIAÇÃO SOLAR

A energia do sol provém das regiões internas do sol, em virtude de uma reação de fusão contínua. Quase 90% desta energia são gerados dentro da região 0,23 vezes o raio do sol e em seguida transferidos radiativamente até uma distância cerca de 0,7 vezes o raio do sol. Fora desta região há a zona convectiva, onde a temperatura está na faixa de 6.000 K. A frieza relativa da superfície externa do sol é indicação de que a energia criada no interior é dissipada radiativamente pela superfície externa do sol. Portanto, o sol, com seu raio R ~ 6,96 x 105 km e massa M ~1,99 x 1030 kg, é uma fonte de energia quase inexaurível para a terra. Somente uma pequena fração de energia do sol atinge a terra, em virtude da grande distância entre eles. A intensidade da radiação solar que atinge a atmosfera foi determinada muito precisamente por uma série de medidas elevadas feitas com o emprego de balões, de aviões, e de naves espaciais, de 1967 a 1970. A energia resultante conhecida como a constante solar Gs, vale

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

143

Gs = 1.353 W/m2 (9.36)

Fig. 9.7 Constante solar Gs e radiação solar extraterrestre Go

Essa quantidade representa o fluxo de radiação solar incidente sobre um plano normal aos raios de sol, exatamente no limite da atmosfera da terra, quando esta está à distância média do sol. À medida que a terra se desloca em torno do sol, em uma órbita ligeiramente elíptica, a distância entre eles varia de 98,3% da distância média, quando a terra está no ponto mais próximo do sol, até 101,7% da distância média, quando a terra atinge sua distância máxima ao sol. Por isso, o valor instantâneo de Gs varia aproximadamente por ± 3,4%, isto é, do máximo 1.399 W/m2, em 21 de dezembro, ao mínimo 1.310 W/m2, em 21 de junho. Entretanto, para fins práticos a variação de Gs é desprezada, e retorna a constante como 1.353 W/m2. Então a energia solar Go que incide normalmente na superfície externa da atmosfera terrestre é

Go = Gs cos θ W/m2 (9.37)

onde Go é a radiação solar extraterrestre. A Fig. 9.7 ilustra o significado físico de Gs e de Go em relação à direção do feixe de raios solares. O valor de Gs pode ser utilizado na lei da radiação do corpo negro para estabelecer uma temperatura efetiva Ts da superfície do sol:

42

ss TR

rG σ

= (9.38)

onde Gs = 1.353 W/m2 r = 6,9598 x lOs m, raio do disco solar R = 1,496 x 10" m, distância média da terra ao sol σ = 5,6697 x 10-8 W/(m2 K4), constante de Stefan-Boltzmann Então, a temperatura efetiva da superfície do sol é T = 5.762 K. A radiação solar que atinge a superfície mais elevada da atmosfera terrestre propaga-se através da atmosfera da terra antes de chegar à superfície. Aproximadamente 99% da atmosfera estão contidos à distância de cerca de 30 km a partir da superfície da terra. À medida que a radiação solar atravessa a atmosfera, é absorvida ou é espalhada pelo meio atmosférico. A fig 9.8 mostra a distribuição espectral da radiação solar G λs , exatamente fora da atmosfera da terra e no nível do solo, quando a atmosfera está clara. Notamos que a

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

144

energia total contida abaixo da curva G λs , representa o fluxo de radiação solar exatamente acima da atmosfera terrestre, isto é,

20 . 1353m

wGdG ss ==∫

∞λλ (9.39)

A curva da distribuição espectral da radiação solar que chega na superfície da terra fica abaixo da curva de G λs , e mostra vários mínimos. O motivo disto é a absorção da radiação solar pelo O3, O2, CO2 e H20 em diversos comprimentos de onda. O ozônio (O3), que está concentrado em uma camada 10 a 30 km acima da superfície da terra, absorve fortemente a radiação ultravioleta no intervalo λ = 0,2 a a = 0,29

Fig. 9.8 Efeitos da atenuação atmosférica sobre a distribuição espectral da radiação solar

µ m e bastante no intervalo 0,29 a 0,34 µ m. Por isso, é desprezível a radiação solar com comprimentos de onda menores do que cerca de 0,3 µ m que atinge a superfície da terra. Assim, os sistemas biológico na terra estão protegidos da danosa radiação ultravioleta. A absorção do oxigênio ocorre numa raia muito estreita centrada em λ = 0,76 µ m. As bandas de absorção devidas ao vapor de água são visíveis distintamente na faixa de 0,7 a 2,2 µ m. O dióxido de carbono e o vapor de água absorvem fortemente a radiação térmica nos comprimentos de onda maiores do que cerca de 2,2 µ m. Disso resulta que a radiação solar que atinge a superfície da terra está essencialmente contida nos comprimentos de onda entre 0,29 e 2,5 µ m. A energia total subtendida pela curva do espectro solar na superfície da terra, num dia de atmosfera límpida é cerca de 956 W/m2. Este valor é consideravelmente menor do que a constante solar 1.353 W/m2, na fronteira da atmosfera terrestre.

Além da absorção da radiação solar, há o seu espalhamento pelas moléculas do ar, pelas gotículas de água nas nuvens e pelos aerossóis ou partículas de poeira, à medida que a radiação atravessa a atmosfera. As moléculas de ar espalham a radiação solar de comprimentos de onda muito curtos em relação às dimensões das moléculas, e este espalhamento é o espalhamento Rayleigh. Gotículas de água, aerossóis e outras sujeiras atmosféricas espalham a radiação em comprimentos de onda comparáveis ao diâmetro das partículas.

A parte da radiação solar que não é espalhada nem absorvida pela atmosfera, e que atinge a superfície da terra como um feixe é a radiação solar direta. A parte espalhada da radiação que atinge a superfície da terra, vinda de todas as direções do firmamento, é a

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

145

radiação solar difusa. Assim, a radiação solar recebida pela superfície da terra é composta das partes direta e difusa. A componente difusa varia de cerca de 10% do total, num dia claro, a quase 100%, num dia totalmente nublado.

9.4.1) Radiação solar que chega à terra A quantidade de energia solar recebida por uma superfície no nível do mar depende da orientação da superfície em relação ao sol, da hora do dia, do dia do ano, da latitude do ponto de observação e das condições atmosféricas. Na alvorada ou no crepúsculo, a radiação solar que atinge a superfície da terra percorre um caminho oblíquo, mais longo, através da atmosfera; por isso, a atenuação atmosférica é maior e a intensidade se reduz significativamente.

O fluxo total de energia solar qt, recebido por unidade de área de uma superfície ao nível do mar consiste nas componentes direta e difusa. Seja qdf (em watts por metro quadrado) a radiação solar difusa incidente sobre uma superfície horizontal e devida à radiação proveniente de todo o hemisfério espacial, e seja qD o fluxo da radiação solar direta, por unidade de área normal à direção do feixe de radiação solar, no nível do mar. Seja θ o ângulo de incidência, isto é, o ângulo entre o raio do sol e a normal à superfície, conforme a ilustração da Fig. 9.9 Então, o fluxo de energia solar total qt recebido pela área unitária da superfície no nível do mar, é

fdDt qqq .cos += θ W/m2 (9.40)

Portanto, para calcular o fluxo total de energia solar recebido por uma superfície, precisa-se saber o fluxo da radiação solar difusa, o fluxo da radiação solar direita sobre um plano normal à direção do feixe, e o ângulo de incidência θ .

Fig. 9.9 Radiação solar recebida na superfície terrestre.

O ângulo de incidência θ pode ser relacionado ao ângulo de inclinação (isto é, o ângulo entre o plano horizontal e a superfície), à latitude (isto é, a distância angular ao equador) e à declinação (isto é, o ângulo entre o raio do sol e o plano equatorial no meio-dia solar).

A energia solar incidente sobre uma superfície opaca é parcialmente absorvida pela superfície e o restante é refletido.

9.5) CONCEITO DE FATOR DE FORMA

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

146

Até agora discutimos a radiação para uma superfície única ou de uma superfície única. Entretanto, nas aplicações de engenharia, os problemas de interesse prático envolvem troca de radiação entre duas ou mais superfícies. Quando as superfícies estiverem separadas por um meio inerte, que não absorve, nem emite, nem difunde a radiação, a troca de radiação entre as superfícies não é afetada pelo meio. O vácuo, por exemplo, é um perfeito meio inerte; entretanto, o ar e muitos gases se aproximam quase exatamente desta condição. Para quaisquer duas superfícies dadas, a orientação entre elas afeta a fração da energia radiante emitida por uma superfície e que, incide diretamente na outra superfície. Por isso, a orientação das superfícies tem papel importante na troca radiativa de calor.

Para formalizar os efeitos da orientação na análise da troca radiativa de calor entre superfícies, adota-se o conceito de fator de forma. Os termos fator de vista, fator de visada e fator de configuração também são utilizados na literatura. Deve-se fazer uma distinção entre o fator de forma difuso e o fator de forma especular. O primeiro se refere à situação em que as superfícies são refletores difusos e emissores difusos, enquanto o último se refere à situação em que as superfícies são emissores difusos e refletores especulares. Neste livro vamos considerar apenas os casos em que as superfícies são emissores difusos e refletores difusos; por isso, não precisamos fazer a distinção. Vamos empregar simplesmente o termo fator de forma, e este termo corresponde ao fator de forma difuso.

O significado físico do fator de forma entre duas superfícies é representar a fração de energia radiante emitida por uma superfície que incide diretamente na outra superfície. 9.5.1) Fator de forma entre duas superfícies elementares A fim de termos uma visão mais profunda da dedução das relações que definem os fatores de forma, vamos demonstrar a expressão que define o fator de forma entre duas superfícies elementares.

Fig 9.10 Coordenadas para a definição do fator de forma

Consideremos duas superfícies elementares dA1 e dA2, como está ilustrado na Fig. 9.10. Seja r a distância entre essas duas superfícies: 1θ o ângulo polar entre a normal n1 ao elemento de superfície dA1 e a reta r que liga dA1 a dA2; e 2θ , o ângulo polar entre a normal n2 a elemento de superfície dA2 e a reta r.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

147

Seja 12dw o ângulo sólido sob o qual um observador em dA1 vê o elemento de superfície dA2, e I1, a intensidade da radiação emitida difusivamente pelo elemento de superfície em todas as direções do espaço hemisférico. A taxa de energia radiante dQ1 emitida por dA1 e que incide na superfície dA2 é

dQ1 = dA1I1cos 1θ dw12 (9.41) onde o ângulo sólido dw12 é dado por

dw12 = (dA2cos 2θ )/r2 (9.42) A substituição da Eq. (9.42) na Eq. (9.41) leva a

2221

111

coscos

r

dAIdAdQ

θθ= (9.43)

A taxa da energia de radiação Q1 emitida pelo elemento de superfície dA1 em todas as direções sobre o espaço hemisférico é

∫ ∫= =

φ

π

θφθθθ

2

0

2/

0 1111111

sencos ddIdAQ (9.44)

onde φ é o azimute. Para uma superfície refletora e emissora difusa de radiação, a intensidade da radiação emitida pela superfície é independente da direção. Então, com I1, constante, a Eq. (9.44) é integrada e nos dá

Q1 = 11. dAIπ (9.45)

O fator de forma elementar 21 dAdAdF − , por definição, é a razão entre a energia radiante

emitida por dA1, que incide diretamente sobre dA2, e a energia radiante emitida por dA1, em todas as direções no espaço hemisférico. Portanto, essa razão é obtida dividindo-se a Eq. (9.43) pela Eq. (9.45):

21 dAdAdF − 2221

1

1

.

coscos

r

dA

Q

dQ

π

θθ== (9.46)

O fator de forma elementar

12 dAdAdF − , de dA2 para dA1 é agora obtido imediatamente da Eq.

(9.46) pela permutação dos índices 1 e 2. Encontramos

12 dAdAdF − = 2121

.

coscos

r

dA

π

θθ (9.47)

A relação de reciprocidade entre os fatores de forma

21 dAdAdF − e 12 dAdAdF − , segue-se das Eqs.

(9.46) e (9.47) como

1221 21 dAdA dAdAdAdA dFdF −− = (9.48)

Esta relação implica que, dadas duas superfícies elementares dA1 e dA2, se um dos fatores de forma for conhecido, o outro é facilmente calculado pela relação de reciprocidade.

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

148

9.5.2) Fator de forma de superfícies finitas Já desenvolvemos o fator de forma entre duas superfícies elementares dA1 e dA2. Esses resultados são agora generalizados para se obterem os fatores de forma entre um elemento de superfície dA1 e uma superfície finita A2 ou entre duas superfícies finitas A1 e A2. O fator de forma

21 AdAF − , de dA1 para A2, é determinado imediatamente integrando-se o

fator de forma elementar, 21 dAdAdF − dado pela Eq. (9.46), sobre a área A2, ou seja,

21 AdAF − = 2221

.

coscos

2

dArA π

θθ∫ (9.49)

O fator de forma

12 dAAF − , de A2 para dA1 é obtido pela integração da Eq. (9.47) sobre a área

A2 seguida pela divisão por A2:

12 dAAF − = 2221

2

1

.

coscosdA

rA

dA

π

θθ∫ (9.50)

A divisão por A2, no segundo membro, torna a energia incidente em dA1 uma fração da emitida por A2 em todo o espaço hemisférico. Das Eqs. (9.49) e (9.50) escrevemos a relação de reciprocidade entre os fatores de forma

21 AdAF − e 12 dAAF − , como

dA1

21 AdAdF − = dA2 12 dAAdF − (9.51)

O fator de forma A2 para A1 é obtido pela integração da Eq. (9.50) sobre A1:

FA1 – A2 = ∫ ∫2 1

21221

2 .

coscos1A A

dAdArA π

θθ (9.52)

E o fator de forma de A1 para A2 é obtido pela integração da Eq. (9.49) sobre A1 e dividindo-se o resultado por A1:

FA1 – A2 = ∫ ∫1 2

12221

1 .

coscos1A A

dAdArA π

θθ (9.53)

A divisão por A1 no segundo membro faz da energia incidente na superfície A2 uma fração da energia emitida por A1 em todo o espaço hemisférico.

Das Eqs. (9.52) e (9.53), a relação de reciprocidade entre os fatores de forma

21 AAF − e 12 AAF − é

1221 21 AAAA FAFA −− = (9.54)

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

149

As relações de reciprocidade são úteis para determinar um fator de forma a termos o conhecimento do outro. 9.5.3) Propriedades dos fatores de forma Vamos considerar agora uma cavidade fechada consistindo em N zonas, cada uma com a área superficial ,iA i = 1, 2, ... N, como está ilustrado na Fig. 9.11. Admite-se que cada zona seja isotérmica, emissor difuso e refletor difuso. A superfície de cada zona pode ser plana ou convexa ou côncava. Os fatores de forma entre as superfícies Ai e Aj da cavidade fechada obedecem à seguinte relação de reciprocidade:

Aiji AAF − = Aj

ij AAF − (9.55)

A soma dos fatores de forma de uma superfície da cavidade fechada, digamos A1 para todas as superfícies da cavidade, inclusive para si mesma, deve ser igual à unidade, pela própria definição de fator de forma. Esta é a relação da adição dos fatores de forma de uma cavidade fechada, e é escrita como

11

=∑=

N

kAA ki

F (9.56)

Fig. 9.11 Cavidade fechada com N zonas

onde N é o número de zonas da cavidade fechada. Nesta soma, o termo ii AAF − é o fator de

forma da superfície Ai para si mesma; representa a fração da energia radiante emitida pela superfície Ai que incide diretamente sobre si própria. Evidentemente,

ii AAF − se anulará

quando Ai for plana ou convexa, e será não-nulo se Ai for côncava; esta afirmação se escreve

0=− ii AAF se Ai for plana ou convexa (9.57a)

0≠− ii AAF se Ai for côncavo (9.57 b)

As regras da reciprocidade e da adição são úteis, pois proporcionam relações simples adicionais para se calcularem os fatores de forma num espaço fechado a partir do conhecimento de outros fatores. Isto é, para determinação de todos os possíveis fatores de forma numa cavidade fechada, não se precisa calcular cada um deles diretamente, mas deve-se fazer uso das regras de reciprocidade e de adição, sempre que possível. Esta situação é mais bem visualizada se todos os fatores de forma numa cavidade fechada com N zonas forem expressos em notação matricial, como

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(9.58) Evidentemente há N2 fatores de forma a serem determinados numa cavidade fechada de N zonas. Entretanto, a regra da reciprocidade fornece N(N - 1)/2 relações e a regra da adição fornece N relações adicionais entre os fatores de forma. Então, o número total de fatores de forma que devem ser calculados, numa cavidade fechada de N zonas, a partir das expressões do fator de forma, é

N2 – ½ N(N - 1) - N = ½ N(N - 1) (9.59)

Se as superfícies forem convexas ou planas, N desses fatores de forma de uma superfície para si mesma se anulam e o número total de fatores de forma a serem calculados diretamente, a partir da disposição geométrica das superfícies, reduz-se a

½ N(N - 1) - N = 2

)3( −NN (9.60)

Por exemplo, numa cavidade fechada com N = 5 zonas, com superfície plana em cada zona, de todos os possíveis N2 = 25 fatores de forma, o número de fatores de forma a serem determinados pela disposição geométrica das superfícies é somente 1/2(N)(N - 3) = 5.

Se a geometria possuir simetria, alguns dos fatores de forma são conhecidos a partir da condição de simetria, o que reduz mais ainda o número de fatores de forma a serem calculados.

9.6) MÉTODOS PARA DETERMINAR FATORES DE FORMA O cálculo do fator de forma entre duas superfícies elementares, definidos pelas Eqs. (9.46) e (9.47), não apresenta problema, mas a determinação do fator de forma de superfícies finitas envolve a integração sobre as superfícies, o que é difícil de realizar-se analiticamente, exceto em geometrias simples. Na Tabela 9.2 apresentamos expressões analíticas dos fatores de forma em diversas configurações simples. Alguns dos fatores de forma estão plotados nas Figs. 9.12 a 9.16.

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Tab. 9.1 Funções de radiações do corpo negro

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Fig. 9.12 Fator de forma

21 AdAF − de uma superfície elementar dA1, para uma superfície retangular A2.

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Fig. 9.13 Fator de forma

21 AAF − de uma superfície retangular A1, para uma superfície retangular A2 adjacentes e

com planos perpendiculares

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Fig 9.14 Fator de forma

21 AAF − de uma superfície retangular A1, para uma superfície retangular A2 paralela e

diretamente em frente da outra.

Fig. 9.15 Fator de forma

21 AAF − entre dois discos paralelos coaxiais

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Apostila de Transferência de Calor e Massa

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Fig. 9.15 Fator de forma

12 AAF − para cilindros concêntricos de comprimento finito. (a) Do cilindro externo para o

cilindro interno, (b) do cilindro externo para si mesmo.

9.6.1) Álgebra dos fatores de forma As cartas-padrão dos fatores de forma encontram-se para um número limitado de configurações simples. Entretanto, pode ser possível dividir a configuração de uma disposição geométrica complicada em várias configurações simples, de modo que o fator de forma possa ser determinado a partir das cartas-padrão. Assim, será possível determinar o fator de forma da configuração original, complicada, pela soma algébrica dos fatores de forma das configurações separadas, mais simples. Este método é conhecido como a álgebra dos fatores de forma. Constitui método poderoso para determinar os fatores de forma de muitas configurações complicadas.

Não se pode estabelecer um conjunto-padrão de regras deste método, mas o emprego apropriado das relações de reciprocidade e das regras da adição é a chave do sucesso da técnica.

Para ilustrar como a regra da adição e a relação de reciprocidade podem ser aplicadas, consideremos o fator de forma de uma área A1 para uma área A2 que é dividida em duas áreas A3 e A4 como

A2 = A3 + A4 (9.61)

segundo está ilustrado no esboço seguinte. Então, o fator de forma A1 para A2 pode ser escrito como

F1- 2 = F1- 3 + F1- 4 (9.62)

que é coerente com a definição do fator de forma. Isto é, a fração da energia total emitida por A1 que incide em A3 e A4 é igual à fração que incide na superfície A2.

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Outras relações adicionais entre estes fatores de forma podem ser escritas. Por exemplo, os dois membros da Eq. (9.62) são multiplicados por A1:

A1F1 – 2 =A1F1 – 3 + A1F1 – 4

Então, a relação de reciprocidade aplicada a cada parcela dá:

A2F2 – 1 =A3F3 – 1 + A4F4 – 1 ou

F2 – 1 = =+ −−

2

144133

A

FAFA

43

144133

AA

FAFA

+

+ −− (9.63)

Suponha que a área A2 seja dividida em mais parcelas como

A2 =A3 + A4 + ....+ AN (9.64)

Então, a forma correspondente da Eq. (9.59) é

F2 – 1 = N

NN

AAA

FAFAFA

+++

++ −−−

........

.......

43

1144133 (9.65)

Evidentemente, manipulações semelhantes podem ser feitas com a Eq. (9.63), e podem obter outras relações entre os fatores de forma.