UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECNICA TRANSMISSO DE CALOR Atualizado por:Prof. Ademar Michels Aluno Msc. Maru Samuel F. dos Santos Aluno Grad. Anderson Fvero Porte Santa Maria, RS, Brasil Apostila de Transmisso de Calor 2Sumrio: 1.GENERALIDADADES____________________ Erro! Indicador no definido. 1.1.INTRODUO______________________________________________4 1.2.REGIMES DE TRANSMISSO DE CALOR _______________________5 1.3.FORMAS DE TRANSMISSO DE CALOR_______________________6 1.3.1.CONDUO___________________________________________6 1.3.2.TRANSFERNCIA DE CALOR POR CONVECO ___________11 1.3.3 TRANSFERNCIA DE CALOR POR RADIAO _____________12 2.CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE________14 2.1.INTRODUO_____________________________________________14 2.2.A PAREDE PLANA _________________________________________14 2.3.ISOLANTES E O FATOR R ___________________________________16 2.4.SISTEMAS RADIAIS CILINDROS___________________________16 2.5.O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERNCIA DE CALOR_____17 2.6.ESPESSURA CRTICA DE ISOLAMENTO______________________19 2.7.SISTEMAS COM GERAO DE CALOR_______________________19 2PAREDE PLANA COM GERAO DE CALOR _________________________20 2.8.CILINDRO COM GERAO DE CALOR_______________________21 2.9.SISTEMAS COM CONDUO E CONVECO ALETAS________22 ALETAS LONGAS_____________________________________________24 ALETAS COM PERDA DA CALOR DESPREZVEL NA PONTA________25 ALETAS COM CONVECO NA PONTA__________________________26 2.10.EFICINCIA DA ALETA ___________________________________26 3.CONDUO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA ___29 3.1.ANLISE GLOBAL DO SISTEMA _____________________________29 3.2.CONDIO DE CONTORNO MISTA__________________________31 3.3.PLACA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE___________________________________________________33 CARTA DE TEMPERATURA TRANSIENTE NUMA PLACA___________35 3.4.CILINDRO LONGO E ESFERA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTE___________________________________37 CARTA DE TEMPERATURAS TRANSIENTES NUM CILINDRO LONGO_37 CARTA DE TEMPERATURA TRANSIENTES NUMA ESFERA_________39 4.CONVECO CONCEITOS E RELAES BSICAS ________________42 4.1.ESCOAMENTOSOBRE UM CORPO___________________________42 CAMADA LIMITE CINTICA ____________________________________43 4.2.ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO ___________________48 4.3.PARMETROS ADIMENSIONAIS_____________________________53 5.CONVECAO FORADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS56 5.1.ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS. ________64 5.2.COEFICIENTE DE TRANSFERNCIA DE CALOR ________________66 5.3.TRANSFERNCIA DE CALOR NOS METAIS LQUIDOS __________68 6.CONVECO FORADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS ________71 6.1.COEFICIENTE DE TRANSFERNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO SOBRE UMA PLACA PLANA ______________________________________71 6.2.ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO _______________________________________________________81 Apostila de Transmisso de Calor 36.3.ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA ISOLADA _________86 6.4.ESCOAMENTO ATRAVS DE FEIXES DE TUBOS _______________88 7.TROCADORES DE CALOR______________________________________90 7.1.CLASSIFICAO DOS TROCADORES DE CALOR______________90 7.2.DISTRIBUIO DE TEMPERATURA NOS TROCADORES DE CALOR__ ______________________________________________________101 7.3.COEFICIENTE DE TRANSFERNCIA DE CALOR GLOBAL______103 7.4.O MTODO DTML PARA ANLISE DOS TROCADORES DE CALOR106 7.5.CORREO DA DTML EM TROCADORES COM CORRENTES CRUZADAS E MULTIPASSE ______________________________________110 7.6.MTODOc -NUT PARA ANLISE DOS TROCADORES DE CALOR 111 7.7.TROCADORES DE CALOR COMPACTOS _____________________119 7.8.OTIMIZAO DOS TROCADORES DE CALOR________________124 8.RADIAO ENTRE SUPERFCIES NUM MEIO INERTE_____________126 8.1.NATUREZA DA RADIAO TRMICA _______________________126 8.2.RADIAO DO CORPO NEGRO _____________________________128 8.3.PROPRIEDADES RADIANTES DAS SUPERFCIES ______________134 8.4.RADIAO SOLAR_______________________________________139 8.5.CONCEITO DE FATOR DE FORMA__________________________142 8.6.MTODOS PARA DETERMINAR FATORES DE FORMA _________147 1.3.1. Apostila de Transmisso de Calor 4 TRANSMISSO DE CALOR 1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUO Sempre que um corpo est a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, nomesmocorpoexistamtemperaturasdiferentes,ocorreumacessodeenergiada regio de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenmeno d-se o nome de transmisso de calor. Oobjetivodepresentecursoestudarasleiseosprincpiosqueregema transmissodecalor,bemcomosuasaplicaes,vistoquedefundamental importncia,paradiferentesramosdeEngenharia,odomniodessareade conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecnico enfrente problemas de refrigerao demotores,deventilao,arcondicionadoetc.,oEngenheiroMetalrgiconopode dispensaratransmissodecalornosproblemasrelacionadosaprocessos pirometalrgicos ou hidrometalrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores. Emnvelidntico,oEngenheiroQumicoouNuclearnecessitadamesma cinciaemestudossobreevaporao,condensaoouemtrabalhosderefinariae reatores,enquanto o Eletricista a utilizano clculo de transformadores egeradores e o EngenheiroNavalaplicaemprofundidadeatransmissodecaloremcaldeiras, mquinas trmicas, etc. At mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em pasesfrios, sentem a importncia de, em seus projetos, preverem tubulaes interiores nas alvenarias das edificaes, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental. Essesso,apenas,algunsexemplos,entreasmaisdiversasaplicaesquea Transmisso de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. Conformesevernodesenvolvimentodamatria,indispensvelaplicar recursosdeMatemticaede MecnicadosFluidosemmuitasocasies,bemcomose perceber a ligao e a diferena entre Transmisso de calor e Termodinmica.. A Termodinmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemasemequilbrio,enquantoaTransmissodecalorpreocupa-secomo mecanismo,aduraoeascondiesnecessriasparaqueocitadosistemaatinjao equilbrio. evidentequeosprocessosdeTransmissodeCalor respeitema primeiraea segundaLeidaTermodinmica,mas,nemporisto,pode-seesperarqueosconceitos bsicos da Transmisso de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinmica. Evidente tambm , sem dvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior paraamenortemperatura,eshavertransmissodecalorsehouverdiferena de temperatura, da mesma forma que a corrente eltrica transita do maior para o menor potencialeshaverpassagemdecorrenteeltricasehouverumadiferenade potencial; percebe-se, de incio, sensvel analogia entre os fenmenos trmico e eltrico, o que absolutamente correto, pois que, de fato, o fenmeno de transporte e pode ser, inclusive,estudadodeformaglobal,comocalor,eletricidade,massa,quantidadede Apostila de Transmisso de Calor 5movimento,etc.,resultandodaaabsolutaidentidadeentreasdiferentesleisque comandam deferentes setores do conhecimento humano. 1.2) REGIMES DE TRANSMISSO DE CALOR Sejaumaparedeemformadeparaleleppedo,comtodasasfacessuficientemente isoladas,excetoduasopostaseparalelas;deincioestasfacesestomesma temperaturaTi,logonohtransmissodecaloratravsdaparede.Emdeterminado instante,eleva-sesubitamenteumadasfacestemperaturaTfehavertransportede calor na direo x (Fig. 1.4) Fig. 1.4 Imaginando-sequeTieTfsejamtemperaturasmantidasinalteradas,haver,para cada instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto , um mesmo ponto de uma mesma seo reta ter temperaturas diferentes no decorrer do tempo, da ascurvasparaostempost1,t2,t3,etc.DesdequeseconservemTieTf,ocorrerum determinadomomento,apartirdoqualospontosdeumamesmaseoretanomais variaro sua temperatura com o tempo. Com esse exemplo possvel caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmisso de calor. Durante o perodo em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitrio, e, quando a temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionrio ou permanente; so esses os dois regimes de transmisso de calor. O regime transitrio pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as temperaturasdeummesmopontovariemciclicamentesegundoumadeterminadalei, como, por exemplo, uma variao senoidal ou a variao da temperatura na cobertura de umedifcio,expostadiaenoitescondiesatmosfricas.Aesseregimecostuma-se denominar regime peridico. possvel,einclusivemuitotil,definirregimeestacionrioeregimetransitrio emtermosdefluxodecalor.Assim,regimeestacionrioaqueleemqueofluxode calor constante no interior da parede, pois os pontos interiores j apresentam saturao Apostila de Transmisso de Calor 6trmica eno alteraro mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra igual aofluxodecalorquesai;eregimetransitrioaqueleemqueofluxodecalor varivelnasdiferentesseesdaparedeou,emoutraspalavras,ofluxoqueentra diferente do fluxo de calor que sai. 1.3) FORMAS DE TRANSMISSO DE CALOR Existem trs formas de transmisso de calor: conduo, conveco e radiao. Tais formas so fundamentalmente diferentes, regidas por leis prprias, mas que, na realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a soluo absolutamente exata de um problema de transmisso de calor. Obomsensodoengenheiro,suaexperinciaeoadequadoconhecimentodamatria ensejar-lhe-oaoportunidade dedesprezaruma ouatduasformasdetransmissode calor,noprojetoounumproblemadeEngenharia,desdequeasformasno consideradastenhampresenainsignificante,noocasionandofalhasnosresultados finaiseoferecendo,autenticamente,umasoluodeEngenharianodeixandoum problemasemsoluo,dadaapreocupaocomaexatido,que,conformesepoder percebernodesenvolvimentodeassunto,emvriasocasies,absolutamente dispensvel. Emcaptulosseguintesserestudada,emdetalhe,cadaumadasformasde transmissodecalor,mascabeaquidefinircorretamenteasdiferenasentreastrs citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurana e categoria. 1.3.1) Transferncia de Calor por Conduo Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experincia mostra que ocorreumatransfernciadeenergiadealtatemperaturaparaaregiodebaixa temperatura.Diz-sequeaenergiatransferidaporconduoeataxadetransferncia de calor por unidade de rea proporcional ao gradiente normal de temperatura ~AqxTcc Quando a constante de proporcionalidade inserida xTkA qcc = 1-1 onde q a taxa de transferncia de calor e cT/cx o gradiente de temperatura na direo do fluxo de calor. A constante positiva k chamada condutividade trmica do material, sendo o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princpio da termodinmica, ouseja,ocalordevefluirnosentidodatemperaturadecrescente,comoindicadono sistema de coordenadas da Fig. 1-1 Apostila de Transmisso de Calor 7 Fig. 1-1 Esquema mostrando a direo do fluxo de calor Aequao1-1chamadadeleideFourierdaconduodecalor,em homenagemaofsicomatemticofrancsJosephFourierquetrouxecontribuies significativasaotratamentoanalticodatransfernciadecalorporconduo. importante observar que a Eq. 1-1 a equao de definio de condutividade trmica e quektemunidadedewattpormetroporgrauCelsius[W/(m.oC)]noSistema Internacional de Unidades (SI). Oproblemaasertratadoagoraodadeterminaodaequaobsicaque governa a transferncia de calor atravs de umslido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida. Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema est em regime permanente, isto , se a temperatura no varia com o tempo, ento o problema simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a soluonasquantidadesdesejadas.Entretanto,seatemperaturadoslidovariacom o tempo, ouse existem fontes ou sumidouros de calor no interior do slido, a situao maiscomplicada.Consideremosocasogeralondeatemperaturapodevariarcomo tempoefontesdecalorpodemocorrernointeriordocorpo.Paraoelementode espessura dx, o seguinte balano de energia pode ser feito: Fig. 1-2 Volume elementar para a anlise da conduo de calor unidimensional Energiaconduzidaparadentropelafaceesquerda+calorgeradonointeriordo elemento = variao de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia so dadas pelas seguintes expresses: Energia conduzida para dentro pela face esquerda: xTkA qxcc =Apostila de Transmisso de Calor 8Calor gerado no interior do elemento: qx =q Adx Variao da energia interna:dxTcA Et cc = AEnergia conduzida para fora pela face direita: ((

|.|

\|cccc+cc =cc =+ +dxxTkx xTk A ]xTkA qdx x dx x onde q = energia gerada por unidade de volume c = calor especfico do material = densidade A combinao das relaes acima fornece: ((

|.|

\|cccc+cct cc = +cc dxxTkx xTk A dxTcA Adx qxTkA out cc = +|.|

\|cccc Tc qxTkx 1-2 Esta equao da conduo de calor unidimensional. Para tratar do fluxo decaloremmaisdeumadimensodeve-seconsiderarocalorconduzidopara dentroe parafora dovolumeelementaremtodasastrsdireescoordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balano de energia conduz a: Fig.1.3 t+ + + = + + ++ + +ddEq q q q q q qdz z dy y dx x ger z y x sendo as quantidades de energia dadas por xTkdydz qxcc =dydz dxxTkx xTk qdx x((

|.|

\|cccc+cc =+ yTkdxdz qycc =dxdz dyyTky yTk qdy y ((

||.|

\|cccc+cc =+ Apostila de Transmisso de Calor 9zTkdxdy qzcc =dxdy dzzTkz zTk qdz z((

|.|

\|cccc+cc =+ dxdydz q qger =t cc =tTcdxdydzddE Assim a equao geral tridimensional da conduo fica: tcc= +|.|

\|cccc+||.|

\|cccc+|.|

\|cccc Tc qzTkz yTky xTkx 1.3 Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita t occ= +cc+cc+cc TkqzTyTxT 12222221.4 ondeaquantidadeo=k/cchamadadedifusividadetrmicadomaterial.Quanto maiorovalordeo,maisrapidamenteocalorirsedifundiratravsdomaterial.Isto podeservistoobservando-seasquantidadesquecompemo.Umvalorelevadodeo poderesultartantodeumvalorelevadodacondutividadetrmicaquanto de umvalor baixodacapacidadetrmicac.Umvalorbaixodacapacidadetrmicasignificaque menor quantidade de energia em trnsito atravs do material absorvida e utilizada para elevaratemperaturadomaterial;assim,maisenergiaencontra-sedisponvelparaser transferida. Nas dedues acima, a expresso da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expanso de Taylor onde somente os dois primeiros termos da srie foram considerados no desenvolvimento. Muitosproblemasprticosenvolvemsomentecasosespeciaisdasequaes geraisapresentadasacima.Comoumaorientaopatadesenvolvimentoemcaptulos futuros, conveniente mostrar a forma reduzida da equao geral para alguns casos de interesse prtico. -Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem gerao de calor) 022=dxT d1.5 -Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor 022= +cckqxT 1.6 Apostila de Transmisso de Calor 10-Conduo bidimensional em regime permanente sem fontes de calor 02222=cc+ccyTxT1.7 1.3.1.1) Condutividade Trmica AEq.1-1aequaodedefinioparaacondutividadetrmica.Combase nestadefinio,podemserfeitasmedidasexperimentaisparaadeterminaoda condutividade trmica de diferentes materiais. Tratamentos analticos dateoria cintica podemserusadosparagasesemtemperaturasmoderadamentebaixasparaantecipar comprecisoosvaloresobservadosexperimentalmente.Emalgunscasosexistem teoriasparaoclculodacondutividadetrmicaemlquidoseslidos,masemgeral nestassituaesosconceitosnosomuitoclaros,permanecendovriasquestesem aberto. Omecanismodaconduotrmicanumgssimples.Aenergiacinticade umamolculaidentificadacomsuatemperatura;assim,numaregiodealta temperaturaasmolculastmvelocidadesmaioresdoquenumaregiodebaixa temperatura. As molculas esto em movimento contnuo ao acaso, colidindo umas com asoutrasetrocandoenergiaequantidadedemovimento.Estamovimentaoaoacaso das molculas independe da existncia de um gradiente de temperatura no gs. Se uma molculasemovimentadeumaregiodealtatemperaturaparaumadebaixa temperatura,elatransportaenergiacinticaparaestaregiodebaixatemperaturado sistema perdendo esta energia atravs de colises com molculas de energia mais baixa. Foiditoqueaunidadedacondutividadetrmicawattspormetroporgrau Celsius[W/(m.oC)]noSI.Notequeexisteumataxadecalorenvolvida,eovalor numricodacondutividadetrmicaindicaarapidezcomqueocalorsertransferido numdadomaterial.Qualataxadetransfernciadeenergialevando-seem considerao o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das molculas,maisrapidamenteaenergiasertransportada.Portanto,acondutividade trmicadeumgsdeveserdependentedatemperatura.Umtratamentoanaltico simplificado mostra que a condutividade trmicade um gsvaria com a raiz quadrada datemperaturaabsoluta.(Convmlembrarqueavelocidadedosomemumgsvaria comaraizquadradadatemperaturaabsolutakRT v = ;estavelocidade aproximadamente a velociade mdia das molculas.) Omecanismofsicodaconduodeenergiatrmicaemlquidos qualitativamenteomesmodosgases;entretanto,asituaoconsideravelmentemais complexa,umavezqueoespaamentodasmolculasmenoreoscamposdefora molecular exercem uma forte influncia na troca de energia no processo de coliso. A energia trmica pode ser conduzida em slidos de duas maneiras:vibrao da grade e transporte por eltrons livres. Em bons condutores eltricos um grande nmero deeltronsmove-sesobreaestruturadomaterial.Comoesteseltronspodem transportarcargaeltrica,podemtambmconduzirenergiadeumaregiodealta temperatura para uma regio de baixa temperatura, como nos gases. A energia tambm pode ser transmitida como energia de vibrao na estrutura do material. Entretanto, este ltimomododetransfernciadeenergianotoefetivoquantootransportepor eltrons, sendo esta a razo pela qual bons condutoreseltricos so quase sempre bons condutoresdecalor,comoporexemploocobre,oalumnioeaprata,eisolantes eltricos geralmente so bons isolantes trmicos. Apostila de Transmisso de Calor 11Umproblema tcnico importante o armazenamento e o transporte, por longos perodos, de lquidos criognicos como o hidrognio lquido. Tais aplicaes causaram odesenvolvimentodesuperisolantesparaseremusadosemtemperaturasmaisbaixas (ataproximadamente250oC).Osuperisolamentomaisefetivoconstitudode mltiplascamadasdemateriaisaltamenterefletivosseparadosporespaadores isolantes.Osistemaevacuadoparaminimizarasperdaspelaconduonoar,sendo possvel atingir condutividades trmicas to baixas quanto 0,3 mW/(m.oC). 1.3.2)Transferncia de Calor por Conveco sabidoqueumaplacademetalaquecidairseresfriarmaisrapidamente quando colocada em frente aoventilador do que exposta ao ar parado. Este processo chamado de transferncia de calor por conveco. O termo conveco fornece ao leitor umanoointuitivaemrelaoaoprocessodetransfernciadecalor;entretanto,esta noo intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analtico adequadodoproblema.Porexemplo,sabemosqueavelocidadedoarsobreaplaca aquecidainfluenciaataxadetransfernciadecalor.Masestainflunciasobreo resfriamento ser linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxadecalortransferido?Devemossuporqueataxadetransfernciadecalorser diferenteseaplacaforresfriadacomguaemvezdear.Pormdequantoseressa diferena?Estasquestespodemserrespondidascomoauxliodealgumasanlises bsicasaseremapresentadasnosprximoscaptulos.Agora,omecanismofsicoda transferncia de calor por conveco ser esquematizado e mostrada a sua relao com o processo de conduo. Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa Tp, e a temperatura do fluido T. Nesta est representado o comportamento da velocidade do escoamento, que se reduz a zero na superfcie da placa como resultado da ao viscosa. Comoavelocidadedacamadadefluidojuntoparedezero,ocalordeveser transferidosomenteporconduonesteponto.Assimdevemoscalcularocalor transferido, usandoaEq.1-1,comacondutividadetrmicadofluidoeogradientede temperatura junto parede. Por que, ento, se o calor transferido por conduo nesta camada,falamosemtransfernciadecalorporconvecoeprecisamosconsiderara velocidade do fluido? A resposta que o gradiente de temperatura depende da razo na qualocalorremovido;umavelocidadealtaproduzumgradienteelevadode temperatura,eassimpordiante.Portanto,ogradientedetemperaturajuntoparede dependedocampodevelocidade;conseqentemente,emanlisesposteriores, desenvolveremosumaexpressoquerelacionaessasduasquantidades.Deveser lembrado,entretanto,queomecanismodetransfernciadecalornaparedeum processo de conduo. OefeitoglobaldaconvecopodeserexpressoatravsdaleideNewtondo resfriamento q = hA(Tp - T)1.8 Apostila de Transmisso de Calor 12 Fig. 1-5 transferncia de calor por conveco Aquiataxadetransfernciadecalorrelacionadadiferenadetemperaturaentrea paredeeofluidoereasuperficialA.Aquantidadehchamadadecoeficientede transfernciadecalorporconveco,eaEq.1.8aequaodedefiniodeste parmetro.Paraalgunssistemaspossveloclculoanalticodeh.Parasituaes complexasedeterminaoexperimentalocoeficientedetransfernciaalgumas vezeschamadodecondutnciadepelculadevidosuarelaocomoprocessoda conduonafinacamadadefluidoestacionriojuntosuperfciedaparede.PelaEq. 1.8 a unidade de h watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. Emvistadestadiscusso,pode-seanteciparqueatransfernciadecalorpor convecoirexibirumadependnciadaviscosidadedofluidoalmdasua dependnciadaspropriedadestrmicasdofluido(condutividadetrmica,calor especfico,densidade).Istoesperadoporqueaviscosidadeinflunciaoperfilde velocidade e, portanto, a taxa de transferncia de energia na regio junto parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentaodefluido,omovimentodoarserdevidoaosgradientesdedensidade nasproximidadesda placa.Estaconvecochamada natural oulivreemoposio convecoforada,queocorrenocasodeseterumventiladormovimentandooar sobre a placa. Os fenmenos de ebulio e condensao so tambm agrupados dentro desse assunto de transferncia de calor por conveco 1.3.3) Transferncia de Calor por Radiao Emcontrastecomosmecanismosdeconduoeconveco,ondeaenergia transferida atravs de um meio natural, o calor pode tambm ser transferido em regies onde existe o vcuo perfeito. O mecanismo neste caso a radiao eletromagntica que propagadacomoresultadodeumadiferenadetemperatura;trata-sedaradiao trmica. Consideraes termodinmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emiteenergianumataxaproporcionalquartapotnciadatemperaturaabsolutado corpo.Quandodoiscorpostrocamcalorporradiao,atrocalquidadecalor proporcional diferena T4. Assim q = oA(T14 T24)1-9 Onde o a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann que vale o = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 chamada de lei de Stefan-Boltzmann da radiao trmica e vale somente para corpos negros. importante observar que esta equaovlidasomentepararadiaotrmica;outrostiposderadiao eletromagntica podem no ser tratados com esta simplicidade. Apostila de Transmisso de Calor 13Foimencionadoqueumcorponegroumcorpoqueemiteenergiadeacordo com a lei T4. Tal corpo denominado negro porque superfcies negras, como um pedao de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tiposdesuperfcies,comoumasuperfciepintadaouumaplacametlicapolida,no emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiao total emita por estes corposaindaproporcionalaT4.Paralevaremconsideraoanaturezacinzenta destassuperfciesintroduzidoumoutrofatornaEq.1-9,aemissividade,que relaciona a radiao de uma superfcie cinzenta com a de uma superfcie negra ideal. Alm disso devemos levar em conta que nem toda a radiao que deixa uma superfcie atingeaoutrasuperfcie,umavezquearadiaoeletromagnticasepropagasegundo linhasretashavendoperdasparaoambiente.Portanto,paraconsiderarestasduas situaes, so introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9 Q = Fc FG oA(T14 T24)1.10 ondeFcafunoemissividadeeFGafunofatordeformageomtrico.A determinaodaformadestasfunesparaconfiguraesespecficasobjetodeum captulosubseqente.Entretanto,importantealertarparaofatodestasfunesem geral no serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenmeno da transferncia de calor por radiao pode ser muito complexo e os clculosraramentesosimplescomoindicadopelaEq.1-10.Nomomento,interessa-nos somente enfatizar as diferenas entre o mecanismo fsico da transferncia decalor pela radiao e os sistemas conduo e conveco. Apostila de Transmisso de Calor 14CAPTULO 2 2.CONDUOUNIDIMENSIONALEMREGIME PERMANENTE 2.1) INTRODUO AgoraseroexaminadasasaplicaesdaleideFourierdaconduodecalor para o clculo da transferncia de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos fsicosdiferentespodemserincludosnacategoriadesistemasunidimensionais. Sistemascilndricoseesfricossounidimensionaisquandoatemperaturanocorpo funosomentedadistnciaradialeindependedonguloazimutaloudadistncia axial.Emalgunsproblemasbidimensionais osefeitosdasegundacoordenadaespacial podem ser to pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma anlise unidimensional. Nestes casos as equaes diferenciais so simplificadas e as solues so obtidas mais facilmente como resultados destas simplificaes. 2.2) A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicao direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integrao resulta ( )1 2T TxkAq A = 2-1 para condutividade constante. A espessura da parede Ax, e as temperaturas das faces daparedesoT1eT2.Seacondutividadetrmicavariacomatemperaturadeacordo com alguma relao linear k = ko(1 + |T), a equao resultante para o fluxo de calor ( ) ( )((

+ A =2122 1 22T T T TxA kqo|2.2 Se mais de um material estiver presente, como o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poder ser escrito c3 4cB2 3BA1 2AxT TA kxT TA kxT TA k qA =A =A =Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo atravs de todas as sees. Resolvendo estas equaes simultaneamente, o fluxo de calor dado por A k / x A k / x A k / xT Tqc C B B A A4 1A + A + A= 2-3 Aquiconvenienteintroduzir um pontodevistaconceitualdiferenteparaalei deFourier.Ataxadetransfernciadecalorpodeserconsideradacomoumfluxo,a Apostila de Transmisso de Calor 15combinaodacondutividadetrmica,espessuradomaterial,eareacomouma resistncia a este fluxo. A temperatura, e a funo potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a equao de Fourier pode ser escrita eltrica aResistncipotencial de Diferena calor de Fluxo = 2-4 que uma relao semelhante lei de Ohm na teoria de circuitos eltricos. Fig. 2-1 Transferncia de calor unidimensional atravs de uma parede composta e analogia eltrica Fig. 2-2 Transferncia de calor em srie e em paralelo atravs de uma parede composta e a analogia eltrica. Na Eq. 2-1 a resistncia a resistncia trmicaAx/kA, e na Eq. 2.3 soma dos trs termos do denominador. Esta situao esperada na Eq. 2.3 porque as trs paredes lado a lado agem como trs resistncias trmicas em srie. A analogia eltrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendoresistnciastrmicasemsrieeemparalelo.Umproblematpicoeoseu circuitoanlogoestomostradosnaFig.2-2.Aequaodofluxodecalor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita A=ttotalRTq 2-5 Apostila de Transmisso de Calor 16onde Rt so as resistncias trmicas dos vrios materiais. interessantemencionarqueemalgunssistemascomoodaFig.2-2pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades trmicas dos materiais B, C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras tcnicas devem ser empregadas para a obteno de uma soluo. 2.3) ISOLANTES E O FATOR R Paraclassificaodedesempenhodeumisolamento,prticacomumna industria de construo a utilizao de um fator R, definido como A qTRA= 2-6 Observe que isto difere do conceito de resistncia trmica discutido acima, pois aqui usado um fluxo de calor por unidade de rea. 2.4) SISTEMAS RADIAIS CILINDROS Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, talcomomostradonaFig.2-3.Estecilindrosubmetidoaumdiferencialde temperatura(Ti Te) e deseja-se saber qual ser o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo transmitido na direo radial e assim a nica coordenada espacial que deve ser especificada r. Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional atravs de uma parede cilndrica e a analogia eltrica Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional atravs de sees cilndricas mltiplas e a analogia eltrica MaisumavezusadaaleideFourier,inserindo-searelao dereasapropriadas.A rea para o fluxo de calor em sistemas cilndricos Ar = 2trL Apostila de Transmisso de Calor 17E, portanto a lei de Fourier fica drdTkA qr r =ou drdTkrL 2 qrt = 2-7 com as condies de contorno T =Ti em r = ri T = Te em r = re A soluo da Eq. 2-7 ( )( )i ee ir rT T kLqln2 = t 2-8 earesistnciatrmicapodeserusadoparaparedescilndricascompostas,damesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de trs camadas mostrado na Fig. 2-4 a soluo ( )( ) ( ) ( )C B Ak r r k r r k r rT T Lq3 4 2 3 1 24 1ln ln ln2+ +=t 2-9 O circuito trmico mostrado na Fig. 2-4b. Sistemasesfricostambmpodemsertratadoscomoudimensionaisquandoa temperatura somente funo do raio. O fluxo de calor ento e ie ir 1 r 1) T T ( k 4q t=2-10 2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido dado por ( ) ( ) ( )B 2 2 2 1 1 A 1T T A h T TxkAT T A h q = A= = Fig. 2-5 Fluxo de calor atravs de uma parede plana Apostila de Transmisso de Calor 18Oprocessodetransfernciadecalorpodeserrepresentadopelocircuitoda resistnciadaFig.2-5,eocalortotaltransferidocalculadocomorazoentrea diferena total de temperatura e a soma das resistncias trmicas A h kA x A hT TqB A2 11 1 + A +=2.11 Observe que o valor 1/ha usado para representar a resistncia de conveco. O calortotaltransferidopelosmecanismoscombinadosdeconduoeconveco freqentementeexpresso em termos de um coeficienteglobal de transferncia decalor U, definido pela relao totalT UA q A = 2.12 onde A uma rea adequada para a transferncia de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferncia de calor 2 11 11h k x hU+ A +=A analogia eltrica para um cilindro oco, que troca calor por conveco interna e externamente,estrepresentadanaFig.2-6,ondeTAeTBsoastemperaturasdos fluidos. Fig. 2-6 Analogia eltrica para um cilindro oco com troca de calor por conveco nas superfcies interna e externa Observequeareaparaconveconoamesmaparaosdoisfluidosneste caso. Estas reas dependem do dimetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor dado por ( )e ei ei iB AA h kLr rA hT Tq12ln 1+ +=t2.13 de acorda com o circuito trmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as reas das superfcies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferncia de calor pode ser baseado tanto na rea interna como na externa. ( )e ei i e iiih AAkLr r AhU12ln 11+ +=t 2-14 Apostila de Transmisso de Calor 19( )ei e ei ieeh kLr r Ah AAU12ln 11+ +=t 2-15 2.6) ESPESSURA CRTICA DE ISOLAMENTO Considereumacamadadeisolamentoquepodeserinstaladaaoredordeum tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento fixada emTi,easuperfcieexternatrocacalorcomoambienteaT.Docircuitotrmico,o calor transferido vale Fig 2-7 Espessura crtica de isolamento ( )( )h r kr rT T Lqei ei1 ln2+=t 2-16 Vamosagoramanipularestaexpressoparadeterminaroraioexternode isolamento re que ir maximizar a transferncia de calor. A condio de mximo ( )( )221 ln1 120((

+||.|

\| = =h r kr rhrkrT T Ldrdqei ee eit que fornece como resultado hkre= 2.17 Aequao2.17expressaoconceitoderaiocrticodeisolamento.Seoraio externo for menor que o valor dado por esta equao, ento a transferncia de calor ser aumentadacomacolocao demaisisolante.Pararaiosexternosmaioresque ovalor crtico, um aumento de espessura de isolamento causar um decrscimo da transferncia de calor. O conceito central que para valores de h suficientemente pequenos as perdas decalorporconvecopodemaumentarcomo aumentodaespessuradoisolamento, porque isto aumenta a superfcie externa do isolamento. 2.7) SISTEMAS COM GERAO DE CALOR Algumasaplicaesinteressantesdosprincpiosdatransfernciadecaloresto relacionadascomsistemasondeocalorpodesergeradointernamente.Osreatores nuclearessoumexemplo,assimcomocondutoreseltricosesistemasquimicamente Apostila de Transmisso de Calor 20reagentes.Nossadiscussoaquificarlimitadaaossistemasunidimensionaisou,mais especificamente, sistemas onde a temperatura funo nica de uma varivel espacial. 2.7.1) Parede plana com gerao de calor Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribudas como mostradonaFig.2-8.Aespessuradaparedenadireox2L,eadmitidoqueas dimensesnasoutrasdireessosuficientementegrandesparaqueofluxodecalor sejaconsideradounidimensional.Ocalorgeradoporunidadedevolumeq ea condutividadetrmicaconsideradaconstante,novariandocomatemperatura.Esta situao pode ser produzida na prtica passando-se uma corrente eltrica atravs de um condutor. Do Captulo 1, a equao diferencial para esta situao 022= +kqdxT d 2-18 Para ascondies de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto , T = Tpem x = L 2-19 A soluo geral da Eq.2-18 2 122C x C xkqT + + =2-20 Comoatemperaturadeveseramesmanosdoisladosdaparede,C1deveser zero. A temperatura do plano mdio denotado por To; da Eq 2-20 To = C2 Portanto, a distribuio de temperatura 22xkqT To = 2-21a 2|.|

\|=LxT TT To po2-21b que uma distribuio parablica. Uma expresso para a temperatura do plano mdio To pode ser obtida atravs de um balano de energia. Em regime permanente, o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim, L A qdxdTkAL x2 2 =||.|

\|((= onde Aareadeseotransversaldaplaca.O gradientedetemperaturanaparede obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b: ( ) ( )LT TLxT TdxdTo pL xo pL x2 22 =((|.|

\| =((= = Apostila de Transmisso de Calor 21Ento( ) L qLT T ko p = 2 ep oTkL qT + =22 2-22 Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da conduo unidimensional com gerao de calor 2.7.2) Cilindro Com Gerao De Calor Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribudas econdutividadetrmicaconstante.Seocilindroforsuficientementelongoparaquea temperaturapossaserconsideradasomenteumafunodoraio,aequaodiferencial apropriada pode ser obtida da equao 0122= + +kqdrdTr drT d 2-23 As condies de contorno so T = Tpem r = R e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfcie R rdrdTRL k L R q=(( = t t 22Comoafunotemperaturapodesercontnuanocentrodocilindro,pode-se especificar que 0 =drdTemr = 0 Entretanto,nosernecessriousarestacondio,poisistoserverificado automaticamente quando as duas condies de contorno forem satisfeitas. A Eq. 2-23 pode ser escrita kr qdrdTdrT dr = +22 Apostila de Transmisso de Calor 22sendo que |.|

\|= +drdTrdrddrdTdrT dr22 Portanto a integrao fornece 122Ckr qdrdTr +=e 2 12ln4C r Ckr qT + += Da segunda condio de contorno acima, RCkR qkR qdrdTR r12 2+==((= e, portantoC1 = 0 A soluo final para a distribuio de temperatura ( )2 24r RkqT Tp = 2-24 ou, na forma adimensional 21 |.|

\| =RrT TT Tp op onde To a temperatura em r = 0 dada por p oTkR qT + =42 2.8) SISTEMAS COM CONDUO E CONVECO ALETAS Ocalorconduzidoatravsdeumcorpodeveserfreqentementeremovido(ou fornecido)poralgumprocessodeconveco.Porexemplo,ocalorperdidopor conduoatravsdeumfornodeveserdissipadopara oambienteporconveco.Em aplicaesdetrocadoresdecalor,umarranjodetubosaletadospodeserempregado para a remoo de calor de um lquido quente. A transferncia de calor do lquido para o tuboaletadoporconveco.Ocalorconduzidoatravsdomaterialefinalmente dissipadonoambienteporconveco.Obviamente,umaanlisedossistemasque combinam conduo e conveco muito importante do ponto de vista prtico. Parte desta anlise dos sistemas que combinam conduo e conveco ser feita no Captulo que trata de trocadores de calor. Aqui sero examinados alguns problemas simplesdesuperfciesprotuberantes.Considereaaletaunidimensionalexpostaaum fluido cuja temperatura T, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta To.Paraoestudodesteproblemadevemosfazerumbalanodeenergiasobreo elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim Apostila de Transmisso de Calor 23 Fig. 2-9 Aleta retangular Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita + energia perdida por conveco A equao que define o coeficiente de calor por conveco q = hA(Tp - T,)2-29 onde a rea nesta equao a rea da superfcie que troca calor por conveco. Seja A a rea transversal da aleta e Po seu permetro. Portanto, as quantidades de energia so Energia entrando pela face esquerda:dxdTkA qx =Energia saindo pela face direita ||.|

\|+ =(( =++dxdxT ddxdTkAdxdTkA qdx xdx x22 Energia perdida por conveco ( ) = T T hPdx qAreadiferencialparaaconvecooprodutodopermetrodaaletapelo comprimentodiferencialdx.Quandocombinamosestasquantidades,obalanode energia fica ( ) 022= T TkAhPdxT d Este resultado escrito mais compactamente na forma 0 ) () (222= x mdxx duu2.30 onde m2 = hP/(Ak)u(x) = T(x) - T AEq.2.30aequaounidimensionaldaaletaparaaletascomseo transversal uniforme. A soluo desta equao diferencial ordinria sujeita s condies decontornoapropriadasnasextremidadesdaaletada distribuio detemperaturana aleta. Uma vez conhecida a distribuio de temperatura, o fluxo de calor atravs da aleta facilmente determinado. AEq. 2.30 umaequao diferencialordinria,linearhomognea,desegunda ordem, com coeficientes constantes. Sua soluo geral pode ser da forma Apostila de Transmisso de Calor 24u(x) = C1e-mx + C2emx 2.31 ondeasconstantessodeterminadasapartirdasduascondiesdecontorno especificadasnoproblemadaaleta.AsoluodaEq.2.31amaisconvenientepara utilizar na resoluo da equao da aleta 2.30, no caso de uma aleta longa. Relembrandoqueosenohiperblicoeoco-senohiperblicopodemser construdospelacombinaodee-mxeemx,possvelexprimirasoluo2.31nas seguintes formas alternativas u(x) = C1cosh mx + C2senh mx2.32a u(x) = C1cosh m(L x) + C2senh m(L x)2.32b A soluo dada pelas Eq. 2.32 mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito. A distribuio de temperatura u(x) numa aleta com seo reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq. 2.31 ou da Eq. 2.32, se as constantes de integrao C1 e C2 foremdeterminadaspelasduascondiesdecontornodoproblema,umanabaseda aletaeaoutranotopodaaleta.Ordinariamente,atemperaturanabasex=0 conhecida, isto u(0) = To - T = u o

2.33 ondeToatemperaturanabasedaaleta.Diversassituaesfsicasdiferentesso possveisnotopodaaletax=L;podeserconsideradaqualquerdastrsseguintes condies:Caso1.Aaletamuitolongaeatemperaturadaextremidadedaaleta essencialmente a mesma do fluido ambiente. Caso 2. A extremidade da aleta isolada ou perda de calor desprezvel na ponta, e, assim dT/dx = 0 Caso3Aaletatemcomprimentofinitoeperdecalorporconvecopelasua extremidade. 2.8.1) Aletas longas Numa aleta suficientemente longa, razovel admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperaturaT do fluido que a rodeia. Com esta admisso, a formulao matemtica do problema das aletas 0 ) () (222= x mdxx duuem x > 02.34a u(x) = To - T uo em x = 02.34b u(x) 0em x 2.34c onde m2 = Ph/Ak. A soluo obtida na forma da Eq. 2.31 u(x) = C1e-mx + C2emx 2.35 A condio de contorno 2.34c exige queC2 = 0, e a aplicao da condio de contorno 2.34b d C1 = uo. Ento, a resoluo se torna Apostila de Transmisso de Calor 25( ) ( )mxo oeT TT x T x==uu2.36 que a soluo mais simples do problema da aleta.Agora, uma vez que a distribuio de temperatura conhecida, o fluxo de calor atravs da aleta determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equao ( )0 =(( =xdxx dAk Qu2.37 Derivando-seaEq.2.36emfunodeu(x)esubstituindooresultadonaEq.2.37, obtm-se PhkA m Ak Qo ou u = = 2.38 uma vez que) /(kA Ph m = 2.8.2) Aletas com perda de calor desprezvel na ponta Areadetransfernciadecalornapontadaaletaemgeralmuitopequena diantedarealateraldaaletaparaatransfernciadecalor.Nestasituao,a perda de calornapontadaaletadesprezvelemcomparaocomaperdapelassuperfcies laterais,eacondiodecontornonapontadaaleta,quecaracterizaessasituao, du/dx=0emx=L.Dessaforma,aformulaomatemticadoproblemadaaletase torna 0 ) () (222= x mdxx duuemL x s s 02.39a u(x) = To - T uo em x = 02.39b ( )0 =dxx duem x = L2.39c Escolhemos a soluo na forma da Eq. 2.32b u(x) = C1 cosh m(L x) + C2 senh m(L x) 2.40 Arazo destaescolhaestemqueasoluo 2.40temumaformanaqualuma dasconstantesdeintegraoimediatamenteeliminadapelaaplicaodeumadas condies de contorno. De fato, a condio de contorno (2.39c) exige que C2 = 0; ento, a aplicao da condio de contorno (2.39b) d C1 = uo/cosh mL, e a soluo se torna ( ) ( )mlx L mT TT x T xo ocosh) ( cosh ==uu2.41 AtaxadefluxodeQatravsdaaletaagoradeterminadaintroduzindo-sea soluo Eq 2.41 na Eq 2.37. Assim, obtemos Apostila de Transmisso de Calor 26Q = Akuom tg mL =mL tg PhkAou 2.42 2.8.3) Aletas com conveco na ponta Uma condio de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, a que inclui transferncia de calor por conveco entre a ponta e o fluido ambiente. Ento, a formulao matemtica do problema da conduo de calor se torna 0 ) () (222= x mdxx duuemL x s s 0 2.43a u(x) = To - T uo em x = 02.43b 0 ) () (= + x hdxx dkeuu em x = L2.43c onde k a condutividade trmica da aleta e he o coeficiente de transferncia de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente. A soluo escolhida na forma da Eq. 2.32b u(x) = C1 cosh m(L x) + C2 senh m(L x) 2.44 A aplicao das condies de contorno 2.43b e 2.43c, respectivamente, nos d uo = C1 cosh mL + C2 senh mL2.45a e-k C2m + he C1 = 02.45b uma vez que ( )senhmL mk h mLx L senhm mk h x L mT TT x T xeeoL xo) / ( cosh) ( ) / ( ) ( cosh ) (+ + ===uu2.46 A taxa do fluxo de calor atravs da aleta obtida quando introduzimos este resultado na Eq. 2.37. Ento, vem ((

++=senhmL mk h mLmL mk h senhmLPhkA qeeo) / ( coshcosh ) / (u 2.47 2.9) EFICINCIA DA ALETA Na anlise precedente, consideramos somente aletas de seo reta uniforme. Em numerosasaplicaes,soutilizadasaletasdeseoretavarivel.Adeterminaoda distribuio de temperatura, e da do fluxo de calor nestes casos bastante complicada, eficaalmdo objetivodessecurso.Entretanto,aanlisedetransfernciadecalorfoi realizadacomumagrandediversidadedegeometriasdealetas,eosresultadosforam apresentados em termos de um parmetro chamadoeficincia da aleta q definido pela relao entre a transferncia real de calor atravs da aleta e transfernciaideal de calor atravs de uma aleta, se toda a superfcie da aleta estivesse temperatura To da base da aleta Apostila de Transmisso de Calor 27idealaletaQQ= q 2.48 Aqui, Qideal dado poro f idealh a Q u =2.49a onde, af = rea de superfcie da aleta h = coeficiente de transferncia de calor uo = To - T Portanto, se a eficincia da aletaqfor conhecida, a transferncia de calor Q atravs da aleta denominada pela relao o f ideal aletah a Q Q u q q = = 2.49b Asgrficos2.1e 2.2mostramaefecinciadaaletanumgrficoemfunodo parmetro) /( 2 kt h L comgeometriastpicasdealetas.Ogrfico2.1mostraa eficinciadealetasaxiaisemqueaespessuradaaletavariacomadistnciaxem relaobasedaaleta, ondeaespessura t.Ogrfico 2.2aeficinciadealetasem forma de disco circular de espessura constante. Nas aplicaes prticas, uma superfcie aletada, no que se refere trasferncia de calor,compostapelassuperfciesdasaletasepelafraolisa.Atransfernciade calor,Qtotal,destasuperfcieobtidasomando-seatransfernciadecaloratravsdas aletas com a da frao lisa Qtotal = Qaleta + Qfrao lisa = qafhuo + (a af)huo2.50 Onde a = rea total de transferncia de calor (isto , superfcies das aletas + superfcie lisa) af= rea de transferncia de calor das aletas. A equao pode ser escrita mais compactamente como ( ) | |o o totalah ah Q u q u | q| ' + = 1 2.51 onde= + ' | |q q 1 rendimento da aleta ponderada pela rea aaf= |Emboraacolocao dealetasnumasuperfcieaumente areadasuperfciede transfernciadecalor,aumentatambmaresistnciatrmicasobreafraoda superfcieondeasaletasforamfixadas.Porisso,podemhaversituaesemquea colocaodealetasnoaumentaatransfernciadecalor.Comoguiaprticoarazo Pk/(Ah) deve ser muitomaior que a unidade, para justificar o emprego de aletas. No casodealetasemformadeplacas,porexemplo,P/A~2/t;entoPk/(Ah)setorna [2(k/t]h,implicandoqueacondutnciainternadaaletadevesermuitomaiorqueo coeficiente de transferncia de calor para que as aletas aumentem a taxa de transferncia de calor Apostila de Transmisso de Calor 28 Apostila de Transmisso de Calor 293.CONDUOTRANSIENTEEUSODECARTASDE TEMPERATURA Seatemperaturadafacedeumcorposlidoforalteradarepentinamente,a temperatura no interior do slido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo antesquesejaatingidaadistribuiodetemperaturaestacionria.Adeterminaoda distribuio de temperatura assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a posiocomocom o tempo. Emmuitasaplicaesprticas,avariaodatemperatura comaposiodesprezvelduranteoestadotransientee,porisso,considera-sea temperaturafunoexclusivadotempo.Aanlisedatransfernciadecalorcomesta hiptese a anlise global do sistema; por ser a temperatura funo exclusiva do tempo, a anlise muito simples. Por isso, neste captulo, principiamos com a anlise global de conduo transiente de calor. Oempregodecartasdetemperaturailustradopararesolveraconduode calortransiente,simples,numaplaca,numcilindroounumaesfera,nasquaisa temperatura varia com o tempo e com a posio. 3.1) ANLISE GLOBAL DO SISTEMA Considereumslidodeformaarbitrria,volumeV,reasuperficialtotalA, condutividade trmica k, densidade , calor especfico cp, a uma temperatura uniforme To, querepentinamenteimerso,noinstantet=0,emumfluidoagitadoemantidoa umatemperaturauniformeT.Afig.3-1ilustraosistemadatransfernciadecalor considerado. A transferncia de calor entre o slido e o lquido se realiza por conveco, comumcoeficientedetransfernciadecalorh.Admite-sequeadistribuiode temperatura dentro do slido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a temperatura de slido pode ser considerada funo exclusiva do tempo, isto , T(t). A equao de energia na transferncia de calor no slido pode ser escrita como Fig.3.1 Nomenclatura da anlise global do sistema durante o fluxo transiente de calor Taxa de fluxo de calor afluente ao slido de volumeV=Taxa de aumento da energia interna do slido de volume V. Escrevendo-se as expresses matemticas apropriadas a cada um destestermos, obtm-se: | |dtt dTV c t T T Ahp) () ( = 3.1 Apostila de Transmisso de Calor 30ou 0 ] ) ( [) (= +T t TV cAhdTt dTpemt > 03.2 sujeito condio inicial T(t)=To em t=0 Para convenincia da anlise, define-se uma nova temperatura u(t) u(t) T(t) - T Ento a equao 3-2 torna-se 0 ) () (= + t mdtt duuemt > 03-3 eu(t) = To - T uoemt = 0 onde definimosV cAhmp 3.4 A Eq. 3-3 uma equao diferencial ordinria na temperaturau(t), cuja soluo geral dada por u(t) = C e-mt3.5 AaplicaodacondioinicialdaconstantedeintegraoC=uo.Ento,a temperatura do slido em funo do tempo mto oeT TT t T t==) ( ) (uu3.6 A fig. 3-2 mostra um grfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em funo dotempo.Atemperaturadecaiexponencialmentecomotempo,eaformadacurva determinadapelovalordoexpoentem.Aqui,mtemadimensode(tempo)-1.claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas medida que o valor de m cresce.Isto,qualqueracrscimodemfarcomqueoslidorespondamais rapidamenteaumavariaodetemperaturaambiente.Oexamedosparmetrosna definiodemrevelaqueoaumentodareasuperficial,paraumdadovolume,eo coeficientedetransfernciadecalorprovocamoaumentodem.Aumentando-sea densidade, o calor especfico, ou o volume, haver diminuio de m. Fig. 3.2 A temperatura adimensional u(t)/uo em funo do tempo. Para estabelecer alguns critrios com que a distribuio de temperatura possa ser considerada uniforme no interior do slido, e com que a anliseglobal do sistema seja aplicvel, vamos definir um comprimento caracterstico Ls como Apostila de Transmisso de Calor 31AVLs=3.7 e o nmero de Biot, Bi, como khLBis= 3.8 onde k a condutividade trmica do slido. Em slidos que tenham a forma de placa, ou cilindrolongoouesfera,adistribuiodetemperaturadentrodoslido,noestado transiente, em qualquer instante, uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se 1 , 0 s =sskhLBi3.9 Discutiremosmaisadianteesteassunto,quesetornarentomaisclaro.Aqui, admitiremos que a anlise global do sistema aplicvel nas situaes em que Bi < 0,1. OsignificadofsicodonmerodeBiotvisualiza-semelhorseforescritona forma ss L khBi = quearazoentreocoeficientedetransfernciadeconvectivacalornasuperfciedo slidoeacondutnciaespecficadoslido.Portanto,ahiptesedetemperatura uniforme no interior do slido vlida se a condutncia especfica do slido for muito maior do que o coeficiente de transferncia convectiva de calor. 3.2) CONDIO DE CONTORNO MISTA Na discusso precedente, consideramos uma situao em que todas as fronteiras da regio estavam sujeitas a conveco. Este mtodo tambm se aplica quando parte da fronteiraestsujeitaaconvecoeorestanteestsujeitoaumcertofluxodecalor, como vamos ilustrar agora. ConsidereumaplacadeespessuraL,inicialmenteaumatemperaturauniforme To.Emqualquerinstantet>0,fornece-secalorplacaatravsdeumadesuas superfciescomumaconstantedeq(W/m2),enquantosedissipacalorporconveco pelaoutrasuperfcie,paraumambientecomtemperaturauniformeTcomum coeficiente de transferncia de calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condies de contorno do problema. Fig. 3.3 Nomenclatura para anlise global do fluxo transiente de calor em uma placa. VamosadmitirreasiguaisAnatransfernciadecaloremambasasfacesda placa. O balano de energia, neste caso particular d Apostila de Transmisso de Calor 32dtt dTAL c t T T Ah Aqp) ()] ( [ = + dtt dTL c t T T h qp) ()] ( [ = +em t > 03-10a com a condio inicial T(t) = To em t = 03-10b Para convenincia na anlise, definimos uma nova temperatura u(t) u(t) = T(t) - T Dessa forma, as Eqs. = 3.10 so escritas Q t mdtt d= + ) () (uuem t > 03-11a u(t) = To - T uo em t = 03-11b onde definimos L chmp e L cqQpA soluo da Eq. 3-11a a soma da soluo da parte homognea da 3-11a com a soluo particular na forma u(t) = Ce-mt + up3-12 onde C a constante de integrao. A soluo particular up dada por mQp= u 3-13 Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos mQCe tmt+ =) ( u 3-14 AconstantedeintegraoCdeterminadapelaaplicaodacondioinicial3-11b como mQCo+ = u 3-15 Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a soluo deste problema da transferncia de calor: ( )mQe e tmt mto + = 1 ) ( u u ou ( )hqe e tmt mto + = 1 ) ( u u3-16 Para t , esta soluo simplifica-se em ( )hqmQ= = u 3-17 Apostila de Transmisso de Calor 33que a temperatura estacionria da placa. 3.3) PLACA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Emmuitassituaes,osgradientesdetemperaturanointeriordosslidosno so desprezveis, e no aplicvel a anlise global do sistema. Neste caso, a anlise dos problemas da conduo de calor envolve a determinao da distribuio de temperaturas nointeriordoslidoemfunodotempoedaposio,eumtemabastante complicado. Vrios mtodos de anlise para resolver estes problemas so discutidos em diversostextos,comtratamentoavanadodaconduodecalor.Problemassimples, comoaconduodecalor,unidimensional,dependentedotempo,emumaplacasem geraointerna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo mtodo da separao de variveis, como ser descrito mais adiante neste captulo. Alm disso, a distribuio detemperaturaemtaissituaesfoicalculada,eosresultados,apresentadosnaforma decartasdetemperaturastransientesemvriasobras.Apresentaremosascartasde temperaturas transientese de fluxo de calor e discutiremos seu significado fsico e seu emprego. Considereumaplaca(porexemplo,umaparedeplana)deespessura2L confinada na regio L s x s L. Inicialmente, a placa est a uma temperatura uniforme Ti.Derepente,at=0,ambasassuperfciesdecontornodaplacasosujeitasa convecocomumcoeficientedetransfernciadecalorhparaoambiente temperaturaTeassimmantidanosinstantest>0.Afig3.4amostraageometria, coordenadas e condies de contorno deste problema particular. Porm, neste problema, hsimetriageomtricaetrmicaemtornodoplanox=0,deformaquepodemos considerar o problema de conduo do calor numa metade da regio, digamos 0 s x s L. Com essa considerao, o problema da conduo do calor numa placa de espessura 2L confinadaregioLsxsL,comoestilustradonafig3.4a,equivalenteao problemadeumaplacadeespessuraLconfinadanaregio0sxsL,comoest ilustrado3.4b.Ento,aformaomatemticadesteproblemadaconduodocalor dependente do tempo, com a geometria e as condies de contorno de fig. 3.4b, dada por (a)(b) Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condies de contorno da conduo de calor transiente em uma placa. tTxTcc=cco122em0 < x < L,e t > 0 3.18a 0 =ccxTemx = 0,et > 03.18b = +cchT hTxTk em x = L,e t > 03.18c T = Ti em t = 0, e 0 sx sL 3.18d Apostila de Transmisso de Calor 343.3.1) Equaes Adimensionais Oproblemadaconduotransientedecalor,dadopelasEqs.3.18,podeser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variveis adimensionais: al adimension atemperatur) , (= =T TT t x Tiu 3.19a al adimension coordenada = =LxX 3.19b Biot de nmero = =khLBi 3.19c Fourier de nmero ou al, adimension tempo2= =Lt ot 3.19d Desta forma, o problema da conduo de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em tu ucc=cc22Xem 0 < X < 1, e t > 03.20a 0 =ccXuem X = 0, e t > 03.20b 0 = +ccuuBiX em X = 1, e t > 03.20c u = 1em 0s X s 1, e t = 03.20d Osignificadofsicodotempoadimensionalt,ounmerodeFourier,visualiza-se melhor se a equao 3.19d for reordenada na forma C W/ , Lvolume no L de longo aocalor de reteno de taxaC W/ , L volume no L de longo aocalor de conduo de taxa/) / 1 (o 3o 3322= = =t L cL L kLtpot 3.21a Portanto, o nmero de Fourier uma medida da razo entre a taxa de conduo e a taxa deretenodecalor,numelementodevolume.Porisso,quantomaioronmerode Fourier, mais profunda a penetrao do calor num slido durante um certo intervalo de tempo. O significado fsico do nmero de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma L o comprimentno slido do a condutncislidodo superfcie na calordencia transfer de e coeficient/= = =L khkhLBi 3.21b Assim,onmerodeBiotarazoentreocoeficientedetransfernciadecalorea condutncia do slido sobre o comprimento caracterstico. Comparando os problemas de conduo de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, conclumosqueonmerodeparmetrosindependentesqueafetamadistribuiode temperatura no slido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua Apostila de Transmisso de Calor 35forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parmetros fsicos: x, t, L, k, o, h, Ti, T Porm, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos trs seguintes parmetros adimensionais: X, Bi, e t Ficaevidenteque,seexprimirmosoproblemanaformaadimensional,onmerode parmetrosqueafetamadistribuiodetemperaturareduz-sesignificativamente.Por isso, prtico resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referncia rpida. 3.3.2)Carta de Temperatura Transiente numa Placa OproblemadefinidopelasEqs.3.20jfoiresolvidoeosresultadosparaa temperaturaadimensionalestonasFigs3.5ae3.5b.AFig.35adatemperaturano planocentralToouu(0,t)emX=0,emfunodotempoadimensionaltcom diferentes valores do parmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h , ou ento as faces da placa esto mantidas na temperatura ambiente T. Nos grandes valores de 1/Bi, onmero de Biot pequeno, ouacondutnciainternadoslidograndeem relao ao coeficiente de transferncia de calor na superfcie. Isto, por sua vez, implica queadistribuiodetemperaturadentrodoslidosuficientementeuniforme,e, portanto,pode-seadotaraanliseglobaldosistema.AFig.3.5brelacionaas temperaturasemdiferentesposiesdentrodaplacacomatemperaturadoplano central,To.SesoubermosatemperaturaTo,saberemosastemperaturasnasdiferentes posies dentro da placa. Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 0,1,a distribuio de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critrio Bi < 0,1, foi utilizado Apostila de Transmisso de Calor 36para que a anlise global do sistema fosse aplicvel. Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a conveco em ambas as faces. (a) Temperatura To no plano central x=0; (b) correo de posio para utilizar com a parte (a). AFig.3.6MostraocaloradimensionaltransferidoQ/Qoemfunodotempo adimensional, em vrios valores do nmero de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a quantidade total de energia perdida pela placa at certo tempo t, durante a transferncia de calor. A quantidade Qo, definida como

Qo = cpV(Ti - T)3.22 representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente. Apostila de Transmisso de Calor 37 Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L. 3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES Adistribuiodastemperaturasadimensionaistransienteseosresultadosda transferncia de calor, semelhantes aos que esto nas Figs 3.5 e 3.6, tambm podem ser calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera. 3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo Considereaconduodecalor,unidimensional,transiente,numcilindrolongo de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, asuperfcieemr=bsujeitaaconveco,comumcoeficientedetransfernciade calorhparaumambientetemperaturaTemantidaassimemt>0.Aformulao matemtica deste problema de conduo de calor dada em forma adimensional como tu ucc=|.|

\|ccccRRR R1em 0 < R < 1,et > 03.23a 0 =ccRuemR = 0, e t > 13.23b 0 = +ccuuBiRem R = 1, e t > 03.23c u = 1em 0 s R s 1, e t = 03.23d onde as vrias grandezas adimensionais so definidas da forma seguinte = =khbBinmero de Biot3.24a = =2bt ottempo adimensional, ou nmero de Fourier3.24b ( )= =T TT t r Ti,utemperatura adimensional3.24c = =brRcoordenada radial adimensional3.24d Apostila de Transmisso de Calor 38OproblemadaEq.3.22jfoiresolvido,eosresultadosparatemperaturano centroTo ouu(0,t)estonaFig.3.7a,emfunodotempoadimensional,comvrios valores do parmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posies dentrodocilindrocomatemperaturanoplanomdioTo.Porisso,dadaTo,as temperaturasnasdiferentesposiesinternasdocilindropodemserdeterminadasa partir da Fig. 3.7b. Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro macio longo, de raio r=b sujeito a conveco na superfcie r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correo de posio para utilizar com a parte (a). AFig.3.8mostra ocaloradimensionaltransferidoQ/Qo emfunodotempo adimensionalcomdiversosvaloresdonmerodeBiot,noproblemadocilindrodado Apostila de Transmisso de Calor 39pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equao 3.22, e Q representa a quantidadetotaldeenergiaperdidapelocilindroatcertotempot,durantea transferncia transiente de calor. Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b 3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera Numa esferade raio b, inicialmentea uma temperatura uniformeTi e em t > 0, sujeita a conveco na superfcie r = b, com um coeficiente de transferncia de calor h, para um ambiente temperatura T, o problema da conduo transiente de calor dado na forma adimensional como tu ucc=|.|

\|ccccRRR R221em 0 < R < 1,et > 03.24a 0 =ccRuem R = 0, e t > 03.24b 0 = +ccuuBiRem R = 1, e t > 03.24c u = 1em 0 s R s 1, se for t = 03.25c Aqui, os parmetros adimensionais Bi, ue R so definidos como as Eqs. 3.24. A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou u (0,t), da esfera em funo do tempo adimensional t com diferentes valores do parmetro 1/Bi. A Fig. 3.9bapresenta a relao entre as temperaturas em diferentes posies dentro da esfera e a temperatura no centro To. Apostila de Transmisso de Calor 40 Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera macia, de raio r=b sujeito a conveco na superfcie r=b. (a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correo de posio para empregar com a parte (a). A Fig. 3.10 mostra o calor adimensionalQ/Qo em funo do tempo adimensional com diferentes valores do nmero de Biot. Aqui, Q e Qo so definidos como previamente. Apostila de Transmisso de Calor 41 Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b Apostila de Transmisso de Calor 42 4) CONVECO CONCEITOS E RELAES BSICAS At aqui consideramos a transferncia condutiva de calor nos slidos, nos quais no h movimento do meio. Nos problemas de conduo, a conveco participou na anlise, simplesmente como condio de contorno, na forma de um coeficiente de transferncia de calor. Nossoobjetivo,nesteenoscaptulosseguintesarespeitodaconveco, estabelecer as bases fsicas e matemticas para a compreenso do transporte convectivo de calor e revelar as vrias correlaes na transferncia de calor. Nasaplicaesdeengenharia,hinteressenaperdadecargaenaforade arrasteassociadasaoescoamentodentrodedutosousobrecorpos.Porisso,so apresentadasascorrelaesapropriadasparapreveraquedadepressoeforade arraste num escoamento. A anlise da conveco complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a fora de arraste e a transferncia de calor. Para determinar a fora de arraste, ouaperdadecarga,deveserconhecidoocampodevelocidadesnasvizinhanas imediatas dasuperfcie. Para determinar a transferncia convectiva de calortambm se precisadadistribuiodevelocidadesnoescoamentodofluido,porqueavelocidade participadaequaodaenergia;asoluodaequaodaenergiadeterminaa distribuio de temperaturas no campo do escoamento. Aliteraturaarespeitodatransfernciaconvectivadecalorsuperabundantee estsemprecrescendo.Nestesltimosanos,comadisponibilidadedecomputadores digitaisrpidosedeelevadacapacidade,tm-sefeitonotveisprogressosnaanlise, com grandes detalhes, de problemas muitocomplicados de transferncia de calor. No obstante,umgrandenmerodeproblemasdeengenhariamaissimplespodeser resolvidocomoempregodecorrelaespadresdetransfernciadecalor.Porisso, vamosfocalizarnossaatenosobreessescasos.Paraatingiresteobjetivo, apresentaremos neste captulo uma viso coerente da conveco, a fim de propiciar uma basefirmeparaaplicaes.Serodiscutidososconceitosbsicosassociadosao escoamentosobreumcorpo,aoescoamentodentrodeumdutoeturbulncia. Ilustraremostambmopapeldadistribuiodetemperaturaseodadistribuiode velocidades, num escoamento, sobre a transferncia de calor e a fora de arraste. Asdistribuiesdevelocidadesedetemperaturasnoescoamentoso determinadasapartirdasoluodasequaesdomovimentoedaenergia.Porisso, estas equaes so apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressvel, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilndricas. A simplificao destas equaes ilustrada a fim de se obterem as equaes que governam a anlise dos problemas mais simples de transferncia de calor. Finalmente,discute-seosignificadofsicodosparmetrosadimensionaise apresentam-se as equaes das camadas limites. 4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO Quando um fluido escoa sobre um corpo slido, a distribuio de velocidades e detemperaturasnavizinhanaimediatadasuperfcieinfluenciafortementea transfernciaconvectivadecalor.Oconceitodecamadalimitefreqentemente introduzidoparamodelaroscamposdevelocidadeedetemperaturaprximosda Apostila de Transmisso de Calor 43superfcieslida,afimdesimplificaraanlisedatransfernciaconvectivadecalor. Assim,estaremosenvolvidoscomdoistiposdecamadaslimites:acamadalimite cintica e a camada limite trmica. 4.1.1) Camada limite cintica Parailustraroconceitodecamadalimitecintica,consideremosoescoamento de um fluido sobre uma placa, como est ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da placa (isto , em x = 0) tem uma velocidade u que paralela superfcie da placa. medida que o fluido se move na direo x ao longo da placa, as partculas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto , no h deslizamento sobre afacedaplaca).Portanto,apartirdasuperfciedaplacahaverumretardamentoda componentexdavelocidadeu(x,y)=u.Isto,nasuperfciedaplaca,emy=0,a componente axial davelocidade zero, ou u = 0. O efeito do retardamento reduzido quandoofluidosemoveemumaregioafastadadafacedaplaca;adistncias suficientementegrandesdaplaca,oefeitoderetardamentonulo,isto,u=upara grandesy.Portanto,acadaposioxaolongodaplaca,humadistnciay=o(x), medida a partir da superfcie da placa, onde a componente axial da velocidade u igual a 99% da velocidade da corrente livre u, isto , u = 0,99 u. O lugar geomtrico destes pontos, onde u = 0,99 u,acamadalimitecintica o(x).Com oconceitodecamada limitecinticaassimintroduzidonoescoamentosobreumaplacaplana,ocampodo escoamento pode ser dividido em duas regies distintas: (1) Na regio da camada limite, acomponente axial da velocidade u(x,y)varia rapidamente com a distanciay face da placa; portanto, os gradientes de temperatura e as tenses de cisalhamento so grandes. (2)Naregiofora dacamadalimite,naregio deescoamento potencial, osgradientes de velocidade e as tenses de cisalhamento so desprezveis. Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana Referindo-nosilustraonaFig.4.1,vamosexaminarocomportamentodo escoamento na camada limite em funo da distncia x medida a partir da borda frontal da placa. A caracterstica do escoamento governada pelo valor da grandeza nmero de Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como est na Fig. 4.1, este nmero definido por vx ux Re(4.1) ondeu = velocidade da corrente livre x = distncia borda frontal v = viscosidade cinemtica do fluido Apostila de Transmisso de Calor 44A camada limite comeana borda frontal (isto , em x =0) da placa como uma camadalimitelaminar,naqualoescoamentopermaneceordenadoeaspartculasdo fludosemovemaolongodaslinhasdecorrente.Estemovimentoordenadocontinua aolongodaplacaatqueseatingeumadistnciacrtica,ouonmerodeReynolds alcanceumvalorcrtico.DepoisdeestenmerodeReynoldscrticoseratingido,ospequenos distrbios no escoamento comeam a ser amplificados, e flutuaes no fludo comeam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o incio da transio para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o nmero de Reynolds crtico, no qual acontece a transio do escoamento laminar para o turbulento, geralmente tomado, na maior parte das finalidades analticas, como 510 5 Re xvx ux~ (4.2) Entretanto este valor crtico fortemente dependente da rugosidade da superfcie edo nvel de turbulncia da corrente livre. Por exemplo, com distrbios muito grandes na corrente livre, a transio pode comear em um nmero de Reynolds to baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbaes, pode no comear at que o nmero de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, acamadalimitesempreturbulentaparaRex >4x106.Nacamadalimiteturbulenta prxima da parede, h uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamentoretmseucarterlaminar.Adjacenteasubcamadalaminarexisteuma regio chamada camada amortecedora, na qual h turbulncia muito fina e a velocidade mdiaaxialaumentarapidamentecomadistnciasuperfcieslida.Acamada amortecedora seguida pela camada turbulenta, na qual h turbulncia em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distncia parede. Afig4.2mostraoconceitodecamadalimitenoescoamentosobreumcorpo curvo.Nestecaso,acoordenadaxmedidaaolongodasuperfciecurvadocorpo; principiandopelopontodeestagnao,eemcadaposioxsegundoanormal superfciedocorpo.Avelocidadedacorrentelivre ) (x unoconstante,masvaria comadistnciaaolongodasuperfciecurva.Oconceitodecamadalimite,discutido acima, tambm se aplica a esta situao particular. A espessura da camada limite) (x ocrescecomadistnciaxaolongodasuperfcie.Entretanto,devidoacurvaturada superfcie,depoisdeumacertadistnciax,operfildevelocidade) , ( y x u mostraum pontodeinflexo,isto,y u c / o seanulanasuperfciedoslido.Almdopontode inflexo, h umainverso do escoamento, e diz-se que a camada limite est descolada dasuperfciedoslido.Almdo pontodeinversodofluxo, ospadresdofluxo so muito complicados e o conceito da camada limite no mais aplicvel. Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo Apostila de Transmisso de Calor 45 4.1.2) Coeficiente de arraste e fora de arraste Suponhaque o perfildevelocidade) , ( y x u nacamadalimiteseja conhecido.Atenso decisalhamento xt queatuaaolongodasuperfcieemqualquerposiox determinada a partir de sua definio por 0) , (=cc=yxyy x u t(4.3) Aconstantedeproporcionalidade aviscosidadedofluido.Logo, conhecendo-seadistribuiodevelocidadesnacamadalimite,pode-sedeterminara fora de cisalhamento, devida ao escoamento que est atuando sobre a superfcie slida. Adefiniodetensodecisalhamento,dadapelaEq.(4.3),entretanto,noprtica para aplicaes de engenharia. Na prtica, a tenso de cisalhamento ou fora de arraste local xtpor unidade de rea est relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relao 22=ucx xt (4.4) onde adensidadedofluidoe u avelocidadedacorrentelivre.Portanto, conhecendo o coeficiente de arraste, podemos calcular a fora de arraste exercida pelo fluido que est escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos: o yxyy x uuc= cc=) , ( 22v(4.5) Portanto, o coeficientelocal de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de velocidade) , ( y x u , na camada limite for conhecido.O valor mdio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 at x=L, definido como (4.6) Sabendo o coeficiente mdio de arraste Cm, podemos calcular a fora de arraste F, que est atuando sobre a placa de x=0 at x=L e numa largura w, com a frmula 22=uwLC F m(N)(4.7) 4.1.3) Camada limite trmica Anlogo ao conceito de camada limite cintica, pode-se imaginar o desenvolvimento de umacamadalimitetrmicaaolongodaplaca,associadaaoperfildetemperaturano fluido. Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme Tque escoa sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x ey }==Lo xxdx cL1CmApostila de Transmisso de Calor 46oseixoscoordenadosparaleloeperpendicularsuperfciedaplaca,respectivamente, como est na figura 4.3. Fig. 4.3 Conceito de camada limite trmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria Definimos a temperatura adimensional (x,y) como WWT TT y x Ty x =) , () , ( u(4.8) ondeT(x,y)atemperaturalocalnofluido.Nasuperfciedaplaca,atemperaturado fluido igual temperatura da parede; portanto (x,y) = 0 em y = 0(superfcie da placa)(4.9 a) A distncias suficientemente grandesda placa, a temperatura do fluido a mesma T ; ento 1 ) , ( y x ua medida que y (4.9 b) Por isso em cada posio x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posio) (x y o =nofluidoonde) , ( y x u sejaiguala0,99.Olugargeomtricodestespontosonde ) , ( y x u =0,99 chamado a camada limite trmica) (x o . A espessura relativa da camada limite trmica) (xtofrentea camadalimite cintica) (x o dependedagrandezadonmerodePrandtldofluido.Nosfluidosque temumnmerodePrandtligualaunidade,comoosgases,). ( ) ( x xto o = Acamada limite trmica muito mais espessa do que a camada limite cintica nos fluidos que tem Pr 1. 4.1.4) Coeficiente de transferncia de calor SuponhaqueadistribuiodetemperaturaT(x,y)nacamadalimitetrmicaseja conhecida. Ento o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa determinado por 0) , () (=cc=yyy x Tx q k (4.10 a) Apostila de Transmisso de Calor 47ondekacondutividadetrmicadofluido.Entretanto,nasaplicaesdeengenharia, no prtico empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferncia de calor entre ofluidoeaplaca.Naprticadefine-seumcoeficientedetransfernciadecalorlocal h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa: ) )( ( ) (WT T x h x q = (4.10 b) Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos | |WyT Ty Tk x hc c==0) ((4.11 a) Esta expresso agora escrita em termos da temperatura adimensional) , ( y x ucomo 0) , () (=cc=yyy xk x hu(4.11 b) LogoasEqs.(4.11)fornecemarelaoparadeterminarocoeficientedetransferncia decalorlocalh(x)apartirdoconhecimentodadistribuiodatemperatura adimensional) , ( y x una camada limite trmica. Ocoeficientedetransfernciadecalormdiohmsobreadistnciax=0at x=L, ao longo da superfcie da placa, determinado a partir de

}=Lmdx x hLh0) (1 (4.12) Sabendo o coeficiente de transferncia de calor mdio hm, podemos determinar a taxa de transferncia de calor Q do fluido para a placa de x=0 at x=L e para a espessura w. ) (W mT T wLh Q =(4.13) 4.1.5) Relao entre cx e h(x) Considerandoasexpressesexatasdecoeficientedelocaldearrasteedo nmero de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana, 2 1Re 332 , 02=xCx(4.14 a) 2 1 3 1Re Pr 332 , 0x xNu = (4.14 b) Definimos o nmero de Stanton local, Stx, como =u cx hStpx) (

que pode ser reordenado na forma Apostila de Transmisso de Calor 48xxxNuv x u vk x x hStRe Pr ) / )( / (/ ) (= =o Ento, a expresso (4.14 b) do nmero de Nusselt local pode ser reescrita como 2 1 3 2Re Pr 332 , 0 =x xSt(4.14 c) Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relao entre o nmero de Stanton e o coeficiente de arraste: 2Pr3 / 2CxStx=(4.15 a) EstaexpressorecebeonomedeanalogiadeReynolds-Colburnerelacionao coeficientelocal de arraste cx ao nmero de Stanton local Stxnum escoamento laminar sobreumaplacaplana.Portanto,fazendo-seasmedidasdoarrasteatrativono escoamento laminar sobre uma placa plana, quando no h transferncia de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferncia de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). muito mais fcil fazer medidas de arraste do que medidas de transferncia de calor. Pode-se tambm aplicar a Eq. (4.15a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porm no se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. No caso de valores mdios, a Eq. (4.15 a) escrita como 2Pr3 / 2mmCSt =(4.15 b) onde Stm e Cm so, respectivamente, o nmero de Stanton mdio e o coeficiente mdio de arraste. 4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO Os conceitos bsicos discutidos na ltima seo sobre o desenvolvimento das camadas limites cintica e trmica no escoamento sobre uma placa plana tambm se aplicam ao escoamento na regio da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular. 4.2.1) Camada limite cintica Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como est ilustrado na fig. 4.4. Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cintica na regio de entrada de um tubo circular Apostila de Transmisso de Calor 49O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no tubo, comea a se desenvolver uma camadalimite cintica sobre a superfcie da parede. A velocidade das partculas do fluido, na superfcie da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanas da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigncia da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cintica ) ( zocresce continuamente ao longo da superfcie do tubo at que ocupa todo o tubo. A regio que se estende desde a entrada do tubo at um pouco alm da posio hipottica em que a camada limite atinge o eixo do tubo a regio hidrodinmica de entrada. Nesta regio, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direo axial como na radial. A regio alm da distncia hidrodinmica de entrada chamada regio hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta regio o perfil de velocidade invariante com a distncia ao longo do tubo. Se a camada limite permanece laminar at encher todo o tubo, o perfil parablico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na regio hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, h um escoamento turbulento completamente desenvolvido na regio hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento turbulento, o perfil de velocidade mais achatado do que o perfil parablico de velocidade no escoamento laminar. No escoamento no interior de um tubo circular, o nmero de Reynolds, definido por vD um Re (4.16) utilizadocomocritrioparaapassagemdoescoamentolaminaraturbulento.Nesta definio mu a velocidade mdia do escoamento, D o dimetro interno do tubo, e v aviscosidadecinemticadofluido.Noescoamentonointeriordeumtubocircular, observa-se ordinariamente escoamento turbulento para 2300 Re > =vD um(4.17) Entretanto,estevalorcrticodependefortementedarugosidadeda superfcie,dascondiesdeentradaedasflutuaesnoescoamento.Emgeral,a transio pode ocorrer no domnio 2000 Tb) en = 0,3 no resfriamento (Tw < Tb) do fluido. A faixa de aplicabilidade a mesma que a da equao de Colburn. 5.4.3) Equao de Sieder e Tate. Nas situaes que envolvem grande variaes de propriedades: Nu = 0,027 Re0,8 Pr1/ 3 14 , 0. .) / (w b (5.35) Esta equao aplicvel quando0,7 < Pr < 16700Re > 10000 Apostila de Transmisso de Calor 67L/ D > 60em tubos lisos Todas as propriedadesso estimadas na temperatura mdia global do fluido Tb, exceto w que calculado temperatura da parede. 5.4.4) Equao de Petukhov. Asrelaesqueacabamosdeapresentarsorelativamentesimples,masdoumerro mximode25%nafaixade0,67 Tb) 0,25 esfriamento com Tw uniforme( Tw < Tb) 0fluxo de calor uniforme na parede ou gases AsEqs.(5.36)soaplicveisnoescoamentoturbulentoplenamentedesenvolvidona faixa 104 < Re < 5x106 0,5 < Pr < 200com erro de 5 a 6% 0,5 < Pr < 2000com erro de 10% 0,08 < bw< 40 Notamos que bw < 1 quando o lquido for aquecido e bw > 1 quando o lquido for resfriado.Todasaspropriedadesfsicas,exceto w ,soestimadosnatemperatura mdia global. O fator de atritof , nas equaes(5.36), pode ser estimado pelo diagrama deMoody para tubos lisos, ou obtido da carta de Moody (fig. 5.3) para tubos lisos ou rugosos. 5.4.5) Equao de Nusselt. As relaes anteriores so aplicveis no domnio L/D > 60. Nusselt estudou os dados experimentais com L/D de 10 a 100e concluiu que h, neste domnio, aproximadamente proporcional a (D/L)1/ 8. Da substituiu a Eq. (5.35) por Nu400 10 Pr Re 036 , 0055 , 03 / 1 8 , 0< < |.|

\|=DLemLD (5.37) ondeLocomprimentomedidodoprincpiodaseo detransfernciadecalor,eas propriedades do fluido so calculadas temperatura mdia global do fluido. Apostila de Transmisso de Calor 68 5.4.6) Equao de Notter e Sleicher. OnmerodeNusseltdeterminadoteoricamenteapartirdasoluodaequaoda energiacomoempregodeumperfilapropriadodevelocidadesnoescoamento turbulento.OnmerodeNusseltresultante,naregiohidrodinmicaetermicamente desenvolvida, foi expresso na forma Nu = 5 + 0,016 b aPr Re(5.38) onde a= 0,88 - Pr 424 , 0+e b = 0,33 + 0,5e-0,6.Pr que aplicvel em0,1 < Pr < 104 104 < Re < 106 25 >DL A Eq. (5.38) correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representao mais exata do efeito do nmero de Prandtl. Pode ser preferida Eq. (5.37). 5.5) TRANSFERNCIA DE CALOR NOS METAIS LQUIDOS OsmetaislquidossocaracterizadospelonmerodePrandtlmuitobaixo, variando de cerca de 0,02 a 0,003. Por isso, as correlaes de transferncia de calor das sees anteriores no se aplicam aos metaislquidos, pois sua faixa de validade no se estende a valores to baixos do nmero de Prandtl.O Ltio, o Sdio, o Potssio, o Bismuto e o sdio-potssio esto entre os metais comuns de baixo ponto de fuso que so convenientes para a transferncia de calor. H interesse, para a engenharia na transferncia de calor em metais lquidos, pois se podem transferirgrandesquantidadesdecaloremaltastemperaturascomdiferenade temperatura relativamente baixa entre o fluido e a superfcie da parede do tubo.As altas taxasdetransfernciadecalorresultamdaaltacondutividadedosmetaislquidos, comparadacomacondutividadedoslquidosegasesordinrios.Porisso,so particularmente atraentes como meio de transferncia de calor nos reatores nuclearese emmuitasoutrasaplicaesemaltatemperaturaecomelevadofluxodecalor.A principaldificuldadenoempregodosmetaislquidosestemseumanuseio.So corrosivos e alguns podem provocar violentas reaes quando entram em contato com o arouagua.ComosediscutiunoCap.4,quandoPr 100, L/D > 60, e lpropriedades fsicas calculadas temperatura mdia global do fluido. TambmforamdesenvolvidasexpressesparaonmerodeNusseltno escoamentoturbulento,plenamentedesenvolvido,demetaislquidosemtuboslisos, sujeitoscondiodecontornotemperaturauniformenasparedes,medianteajustes empricosdosresultadosdassoluestericas.Apresentaremosagoraosresultados destes ajustes: Sleicher e Tribus: Nu = 4,8 + 0,015 Pe 0,91 Pr 0,30 para Pr < 0,05 (5.42) Azer e Cho: Nu = 5,0 + 0,05 Pe 0,77 Pr 0,25 para Pr < 0,1, Pe < 15000 (5.43) Notter e Sleicher Nu = 4,8 + 0,0156 Pe 0,85 Pr 0,08para0,004 < Pr