88
5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS Teoria das Estruturas I Prof. Ricardo Silveira Deciv/EM/UFOP

Apostila Treliças Isostaticas I

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Page 1: Apostila Treliças Isostaticas I

5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I

Prof. Ricardo SilveiraDeciv/EM/UFOP

Page 2: Apostila Treliças Isostaticas I

SUMÁRIOSUMÁRIO

5.1. Aplicações

5.2. Tipos

5.3. Definição

5.4. Considerações de Projeto

5.5. Classificação

5. Treliças Isostáticas

5.5. Classificação

5.6. Grau de Indeterminação

5.7. Estabilidade

5.8. Observações Importantes

5.9. Análise e Métodos de Resolução

5.10. Treliças Compostas

5.11. Treliças Complexas

5.11. Treliças de Altura Constante

Page 3: Apostila Treliças Isostaticas I

5.1. APLICAÇÕES

5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS5. TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Page 4: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I 4

Page 5: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

5.2. TIPOS

Teoria das Estruturas I 5

Page 6: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I 6

Page 7: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

São estruturas reticuladas indeformadas, constituídas de barras retas com

extremidades rotuladas formando malhas triangulares.

5.3. DEFINIÇÃO

2

500 NB

Teoria das Estruturas I 7

1

2

3

Barras (elementos, membros): 1

2

3

Pontos nodais: A, B e C

A C

Page 8: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

1. As barras são conectadas através de juntas idealizadas como rotuladas.

5.4. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO

Teoria das Estruturas I

2. O carregamento externo é aplicado apenas nas juntas (pontos nodais).

Tensões principais ► Esforço Normal

Tensões secundárias ► Momento Fletor

8

Agusset plate

Page 9: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

1. Treliças Simples

5.5. CLASSIFICAÇÃO

Teoria das Estruturas I 9

Page 10: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

2. Treliças Compostas

Tipo 1Tipo 2

simple trusses

simple trusses

Teoria das Estruturas I

Tipo 2

Tipo 3

10

secondary simple trusses

secondarysimple trusses secondary

simple trusses

main simple trusses

Page 11: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

3. Treliças Complexas

Teoria das Estruturas I 11

Page 12: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

5.6. GRAU DE INDETERMINAÇÃO

Número de Incógnitas: número de barras (b) + número de reações (r)

Número de equações (para cada nó j):

xF 0=∑

Teoria das Estruturas I 12

b r 2 j+ =

b r 2 j+ >

: Estaticamente Determinada (Treliça isostática)

: Estaticamente Indeterminada (Treliça hiperestática)

yF 0=∑

Portanto,

Page 13: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

5.7. ESTABILIDADE

1. Estabilidade Externa

Situações de Instabilidade (externamente instável)

Se b r 2 j+ < : Treliça Instável (Treliça hipostática)

Teoria das Estruturas I 13

Situações de Instabilidade (externamente instável)

Page 14: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

2. Estabilidade Interna

Situação de Estabilidade

(estabilidade interna)

Teoria das Estruturas I

Situação de Instabilidade

(instabilidade interna)

14

Page 15: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Situação de Instabilidade

(instabilidade interna) Treliça composta

Teoria das Estruturas I

Situação de Instabilidade

(instabilidade interna) Treliça complexa

15

Page 16: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Se : Treliça instável

Se b r 2 j+ ≥ : Treliça instável se as reações de apoio são concorrentes

ou paralelas, ou se os componentes da treliça formam um

mecanismo de colapso.

Portanto,

5.8. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

b r 2 j+ <

Teoria das Estruturas I 16

a. Todo sistema reticulado deformável é instável (hipostático). Todo sistema

indeformável é estável (isostático ou hiperestático).

b. Treliças isostáticas com cargas fora dos nós não são treliças ideais.

c. Qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado rotulado em

seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático), exceto o caso do triângulo.

Page 17: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

d. Lei de Formação das Treliças IsostáticasLei de Formação das Treliças Isostáticas:

Uma treliça biapoiada constituída por 3 barras formando um triângulo é

isostática. Se, a partir dessa configuração básica, acrescentarmos novos nós

através de duas novas barras, essa nova treliça será ainda isostática. Isto

porque surgem duas novas incógnitas no problema, simultaneamente ao

acréscimo de duas novas equações de equilíbrio ao sistema.

e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo).

Teoria das Estruturas I 17

e. Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada (ver figura abaixo).

Page 18: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

f. As treliças são geralmente de madeira ou de aço (esses materiais suportam bem

os esforços de tração e compressão).

g. Na prática, a grande maioria das treliças é isostática.

5.9. ANÁLISE E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO

Análise de uma treliça

Teoria das Estruturas I 18

Métodos de Resolução:

Análise de uma treliça

Avaliação dos esforços normais nas barras e reações de apoio.

1. Método do equilíbrio dos nós

2. Método das seções (Método de Ritter)

3. Método de Cremona

Page 19: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

1. Método do equilíbrio dos nós

a) Idéia Básica dos Métodos de Resolução

500 N

45

B

500 NB

Teoria das Estruturas I 19

FBA

FBC

500 N

45O

(tração)

(compressão)

FBC (compressão)

FBA (tração)

45O

BA

C45O

2 m

2 m

Page 20: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

2. Método das seções (Método de Ritter)

A

B C D

EFG2 m2 m 2 m

2 m

a

a

Teoria das Estruturas I 20

2 m2 m 2 m

1000 N

2 m

C

2 m

G2 m

FGC

FGF

FBC

45O

2 m

2 mC

FGF

FGC

FBC

Dy

Dx

Ey

45O

1000 N

G

Page 21: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

i. As seções de Ritter não precisam ser retas, elas podem ter formas quaisquer.

Porém, devem ser contínuas e atravessar toda a treliça.

ii. Deve-se escolher seções de Ritter que interceptem três barras não paralelas e

não concorrentes no mesmo ponto. Podem ocorrer, entretanto, seções de

Ritter que interceptem mais de três barras e a partir das quais seja possível

determinar os esforços normais em alguma(s) das barras.

Teoria das Estruturas I

iii. O Método de Ritter se presta admiravelmente ao cálculo das treliças de altura

constante, fazendo-o recair até no cálculo de uma viga de substituição, quando

o carregamento é vertical.

21

Page 22: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

3. Método de Cremona

1

23

4

56

3P

H = 3P

a

E F

Teoria das Estruturas I 22

7 8 9

3P

HA = 3P

VA = 2P VD = P

a a a

A

B C

D

Page 23: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

(Nó A)

VA = 2P

HA = 3P

N7

N2

(Nó E)

N3

N2

N1

(Nó B)

N4

N3

N7 N8

N5

N4

N1

N6

3P

(Nó F)

N6

N9

VD = P

(Nó D)

N2

N4 N3

N6

Teoria das Estruturas I 23

3P

2P

N7

A

(Nó A)

N2

N3

N1 E

(Nó E)

B

N8 N7

(Nó B)

F

N4

N1

N6

N5

3P

(Nó F)

N9

P

D

(Nó D)

Page 24: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo.

Defina também se essas forças são de tração ou compressão.

b) Aplicações

1. Método do equilíbrio dos nós

2 KN

Teoria das Estruturas I 24

3 m

A

3 m 3 m

B C

D

E

F

G

30O 60O 60O 60O 60O 30O

3 KN3 KN

Page 25: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 2 : Pede-se avaliar as forças em cada membro da treliça abaixo.

Defina também se essas forças são de tração ou compressão.

As reações são dadas.

175 lb

200 lb

B

C

D

Teoria das Estruturas I 25

10 ft 10 ft

A E

F

30O 30O

45O45O

60O 60O

Ax = 141.4 lb

Ay = 125.4 lb Ey = 191.0 lb

Page 26: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem

esforço normal nulo.

Característica: Elementos com Esforço Normal Nulo

B C

Teoria das Estruturas I 26

A

B C

DE

P

Page 27: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Solução:

1. Ponto nodal C 2. Ponto nodal A

Teoria das Estruturas I 27

x CB

y CD

F 0; F 0

F 0; F 0

+← = =

+ ↓ = =

∑y AB AB

x AE AE

F 0; F sen 0 F 0 (sen 0)

F 0; -F 0 0 F 0+

+ ↑ = θ = ∴ = θ ≠

→ = + = ∴ =

∑∑

Page 28: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem

esforço normal nulo.

B

C

D

P

Teoria das Estruturas I

Solução:

1. Ponto nodal D

28

2. Ponto nodal F

y DFF 0; F 0+

= =∑↙ y CF CFF 0; F sen 0 0 F 0 (sen 0)+ ↑ = θ + = ∴ = θ ≠∑

A E

G F

Page 29: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 3: Pede-se indicar aqueles membros da treliça abaixo que possuem

esforço normal nulo.

A B

Teoria das Estruturas I 29

C

DE

P

G F

H

Page 30: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras BC, GC e GF da

treliça abaixo. Defina se esses esforços são de tração ou

compressão.

2. Método das seções (Método de Ritter)

B C Da

Teoria das Estruturas I 30

AEFG

2 m2 m 2 m

2 m

a

1000 N

Page 31: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Solução:

Estratégia 1

1000 N

2 m

C

2 m

G2 m

FGC

FGF

FBC

45O

Teoria das Estruturas I 31

Estratégia 2

1000 N

2 m

2 mC

FGF

FGC

FBC

Dy

Dx

Ey

45O

G

Page 32: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras CF e GC. Defina se

esses esforços são de tração ou compressão. As reações de

apoio são dadas.

Teoria das Estruturas I 32

Page 33: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 3: Pede-se avaliar o esforço normal nas barras GF e GD. Defina se

esses esforços são de tração ou compressão. As reações de

apoio são dadas.

4 m3 m

Ax = 0

a

a

A

B C D

E

F

G

H

Teoria das Estruturas I

Solução:

33

FGF

FGD

FCD

6 kN 8 kN 2 kN Ey = 7 kNAy = 9 kN

3 m 3 m 3 m 3 m

Ax = 0aB C D

Page 34: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Formação: Conexão de duas ou mais treliças simples através de barras e

pontos nodais.

Análise: Aplicação de ambos os métodos (equilíbrio dos nós e seções-Ritter).

Tipo 1

5.10. TRELIÇAS COMPOSTAS

Teoria das Estruturas I

• Avaliar as reações (treliça completa).

• Usar o método das seções (cortar a treliça através da

barra que faz a conexão das duas treliças simples).

• Avaliar a força nessa barra (ligação entre as treliças)

• Analisar as treliças simples usando o método do

equilíbrio dos nós.

34

Page 35: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Tipo 2

• Avaliar as reações (treliça completa).

• Usar o método das seções e cortar cada uma das três barras que faz a

conexão das duas treliças simples.

• Avaliar a força normal nessas barras (diagrama de corpo livre).

• Analisar as treliças simples usando o método do equilíbrio dos nós.

Teoria das Estruturas I 35

Page 36: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

• Remover as treliças secundárias usando membros fictícios (linhas tracejadas)

para construir a treliça principal.

• O efeito (força) exercido pelas treliças secundárias na treliça principal é

introduzido nas juntas onde as treliças secundárias são conectadas à treliça

principal.

• Avaliar as forças nos membros fictícios (linhas tracejadas) usando o método

do equilíbrio dos nós ou seções.

Tipo 3

Teoria das Estruturas I

do equilíbrio dos nós ou seções.

• Essas forças são aplicadas nas juntas das treliças secundárias e assim,

usando o método do equilíbrio dos nós, as forças nas barras das treliças

secundárias podem ser avaliadas.

36

Page 37: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio

são dadas.

2m

2m

4m

Ax = 0A

B C DE

F

G

KJI

H a

a

Teoria das Estruturas I

Solução:

Passo 1: Passo 2:

37

2m 2m 2m 2m

4 kN 2 kN 4 kNAy = 5 kN Ey = 5 kN

Page 38: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são

dadas.

6 ft

12 ft

6 ft

A B

C

D

E

F

G

Ha

a45o

45o 45o

Ax = 0

Teoria das Estruturas I

Solução:

Passo 1: Passo 2:

38

6 ft 6 ft 6 ft 6 ft 6 ft

Ay = 3 k 3 k 3 k Fy = 3 k

Page 39: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 3: Indique como analisar a treliça composta abaixo. As reações de apoio são

dadas.

D

E

F

3 kN 3 kN5o

5o

5o

Teoria das Estruturas I 39

A

B

C

G H

Ax = 0

Ay = 4.62 kN Cy = 4.62 kN

45o

6 m 6 m

5

5o

5o

Page 40: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Solução:

Passo 1:

Passo 2: Passo 3:

A

E

F

G

3 kN

1.5 kN

1.5 kN

FAE

FAE

C

E

F

G

3 kN1.5 kN

1.5 kN FEC

FEC

Teoria das Estruturas I 40

Passo 2: Passo 3:

Page 41: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Formação: Sua lei de formação não se enquadra nos casos das treliças simples ou

compostas.

Análise: Método do Equilíbrio dos Nós

5.11. TRELIÇAS COMPLEXAS

a. Computacional:

Procedimentos

Teoria das Estruturas I 41

a. Computacional:

� escrever as equações de equilíbrio para cada ponto nodal (junta)

� resolver o sistema de equações resultante: A N = B

b. Manual:

� treliças complexas pequenas (GI baixo...)

� idéia da superposição do efeitos

Page 42: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Procedimento de Análise: MANUAL

� Determinar as reações de apoio.

� Começar a imaginar como a treliça poderia ser analisada pelo método do

equilíbrio dos nós.

� Se numa determinada junta existem 3 incógnitas, remova um dos membros

e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na

Etapa 1

Teoria das Estruturas I

e o substitua por um membro imaginário introduzido em outro lugar na

treliça.

Treliça Modificada

42

Treliça Original

Page 43: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

� Introduzir o carregamento externo na treliça modificada.

� Avaliar, através do método do equilíbrio dos nós, os esforços normais Si’ em

cada membro i.

� Na treliça exemplo:

Etapa 2

Teoria das Estruturas I

Treliça Modificada

' 'AB AF

' 'FE FC

' 'DE DC

' 'EB EC

'BC

Junta A : S e S

Junta F : S e S

Junta D : S e S (ambos são nulos)

Junta E : S e S

Junta B : S

43

Page 44: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

� Retirar o carregamento externo na treliça modificada.

� Introduzir cargas unitárias colineares na treliça modificada nas duas juntas

que definiam o membro que foi retirado.

� Resolver a treliça modificada para esse carregamento (avaliar, através do

método do equilíbrio dos nós, os esforços normais si em cada membro i).

� Na treliça exemplo:

Etapa 3

Teoria das Estruturas I

� Na treliça exemplo:

AB AF

FE FC

DE DC

EB EC

BC

Junta A : s e s

Junta F : s e s

Junta D : s e s

Junta E : s e s

Junta B : s

44

Treliça Modificada

Page 45: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

� Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos):

'i i iS S x s= +

'' iS

S S x s 0 x= + = ∴ = −

Etapa 4

� Determinação de x (para o membro i de substituição empregado):

Teoria das Estruturas I

' ii i i

i

SS S x s 0 x

s= + = ∴ = −

'' EC

EC EC ECEC

SS S x s 0 x

s= + = ∴ = −

45

� Na treliça exemplo (membro EC):

Page 46: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema: Determine o esforço normal de cada membro da treliça complexa

mostrada na figura abaixo. Assuma que as juntas B, F e D estão na

mesma linha horizontal. Defina também se os esforços são de tração

ou compressão.

C5 k

Teoria das Estruturas I 46

A

B D

E

F

8 ft

3 ft

4 ft

45o 45o

Page 47: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Solução:

� Determinar as reações de apoio.

� Remover um dos membros e empregar um membro imaginário

introduzido em outro lugar na treliça.

Etapa 1

C5 k

C5 k

Teoria das Estruturas I 47

A

B D

E

F

8 ft

3 ft

4 ft

45o 45o

A

B D

E

45o 45o

5 k

4.38 k 4.38 k

Page 48: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

� Introduzir o carregamento externo na treliça modificada.

� Avaliar os esforços normais Si` em cada membro i.

' 'CB CD

' 'FA FE

' 'EB ED

' 'DA DB

'

Junta C : S e S

Junta F : S e S (ambos são nulos)

Junta E : S e S

Junta D : S e S

Junta B : S

Etapa 2:

Teoria das Estruturas I 48

'BAJunta B : S Membro

CBCDFAFEEBEDDADBBA

3.54-3.54

000

-4.385.34-2.502.50

'iS

Page 49: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

CB CD

FA FE

EB ED

Junta C : s e s

Junta F : s e s

Junta E : s e s

� Na treliça modificada, introduzir cargas unitárias colineares nas duas

juntas que definiam o membro que foi retirado.

� Resolver a treliça modificada para esse carregamento.

Etapa 3:

Membro sD

C

BF

1 k

1 k

Teoria das Estruturas I

DA DB

BA

Junta D : s e s

Junta B : s

49

Membro si

CBCDFAFEEBEDDADBBA

-0.707-0.7070.8330.833-0.712-0.250-0.712-1.167-0.250

A E

DB

Page 50: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

'i i iS S x s= +

'S S x s 0= + = ∴

Etapa 4:

� Combinar os efeitos dos dois carregamentos (superposição dos efeitos):

em que x é uma incógnita

� Determinar x (para o membro DB de substituição empregado):

Teoria das Estruturas I 50

'DB DB DB

'DB

DB

S S x s 0

S ( 2,5)x

s 1,167

x 2,142

= + = ∴

−= − = − ∴

=

Membro si x si Si

CBCDFAFEEBEDDADBBA

3.54-3.54

000

-4.385.34-2.502.50

-0.707-0.7070.8330.833-0.712-0.250-0.7121.167-0.250

-1.51-1.511.781.78-1.53-0.536-1.522.50

-0535

2.02 (T)5.05 (C)1.78 (T)1.78 (T)1.53 (C)4.91 (C)3.81 (T)

01.96 (T)

'iS

Page 51: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Tipos:

Análise: VIGA DE SUBSTITUIÇÃO

Treliça com uma diagonal por painel

5.12. TRELIÇAS DE ALTURA CONSTANTE

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

V0 V1 V2V3 V4 V5 V6 V7D2D1 D3

S1S2

O1 O2 O3

h

D E F G H I J K

Teoria das Estruturas I

diagonal por painel

Treliça com duas diagonais por painel (Vigas Hässler)

51

VA VB

S1S2

A B C

A

A’

C D E F GB

B’ C’O1 O2 O3

U1 U2 U3

2t 2t 2t 2t 2t

V3

V0i

V0s V1

sV2

s

V1i V2

i

D1s

D1i

D2s

D2i

D3s

D3i

Page 52: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

1. Treliça com uma diagonal por painel

Idéia básica: Viga de Substituição

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

V0 V1 V2V3 V4 V5 V6 V7D2D1 D3

VA VB

S1

S1S2

S2O1 O2 O3

h

AB C

D E F G H I J K

Teoria das Estruturas I

Idéia básica: Viga de Substituição

a. Barras Horizontais (inferiores e superiores)

b. Barras Diagonais

c. Barras Verticais

52

Análise

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

Page 53: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

a. Barras Horizontais (inferiores)

Avaliação de U : M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0= ⇒ − − − − = ∴∑

dP1 P2 P3

VA

S1

S1

U3

h

A

D E

F’

G

d d

D3

O3

ϕ

F

Teoria das Estruturas I 53

Avaliação de U3: G A 1 2 3 3

A 1 2 33

M 0 V 3d P 3d P 2d P d U h 0

V 3d P 3d P 2d P dU

h

= ⇒ − − − − = ∴

− − −=

Momento fletor na seção g (Viga de Substituição): g A 1 2 3M V 3d P 3d P 2d P d= − − −

Portanto: g3

MU

h= +

Sinal: positivo (TRAÇÃO)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

Page 54: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Barras Horizontais (superiores)

Avaliação de O3: F' A 1 2 3

A 1 23

M 0 V 2d P 2d P d O h 0

V 2d P 2d P dO

h

= ⇒ − − + = ∴

− −= −

Momento fletor na seção f (Viga de Substituição):

dPd2Pd2VM −−=

Teoria das Estruturas I 54

dPd2Pd2VM 21Af −−=

Portanto: f3

MO

h= − Sinal: negativo (COMPRESSÃO)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

Page 55: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

b. Barras Diagonaisb. Barras Diagonais

Avaliação de D : A 1 2 3V P P PF 0 V P P P D sen 0 D

− − −= ⇒ − − − + ϕ = ∴ = −∑

dP1 P2 P3

VA

S1

S1

U3

h

A

D E

F’

G

d d

D3

O3

ϕ

F

Teoria das Estruturas I 55

Avaliação de D3:A 1 2 3

Y A 1 2 3 3 3V P P P

F 0 V P P P D sen 0 Dsen

− − −= ⇒ − − − + ϕ = ∴ = −

ϕ∑

Esforço cortante no trecho f-g

(Viga de Substituição):

321Agf PPPVQ −−−=−

Portanto: f g3

QD

sen−= −ϕ

Caso Geral:

Sinal: estudar cada caso

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

Page 56: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

c. Barras Verticais

Avaliação de V3: Y ' A 1 3 4 3F 0 V P P P P V 0= ⇒ − − − − − = ∴∑

P1 P2 P3

VA

S2

V3

A

D E

F’

GF

P4

HS2

Teoria das Estruturas I 56

Avaliação de V3: Y ' A 1 3 4 32

3 A 1 2 3 4

F 0 V P P P P V 0

V V P P P P

= ⇒ − − − − − = ∴

= − − − −

Esforço cortante no trecho g-h (Viga de Substituição): 4321Ahg PPPPVQ −−−−=−

Portanto: 3 g hV Q −=

Caso Geral:

Sinal: estudar cada caso

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i j k

Page 57: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Observação: casos de barras verticais que não é possível utilizar a Seção de Ritter

(caso de interceptar mais, ou menos, de três barras).

VA

A

F

B

K

V0 = VA

V2 = P3

P3 V5 = VB

VB V7 = PB

PB

Teoria das Estruturas I

(caso de interceptar mais, ou menos, de três barras).

V0 = VA (compressão)

V2 = P3 (compressão)

V5 = VB (compressão)

V7 = P8 (compressão)

57

Solução: Método do equilíbrio dos nós

No caso:

Page 58: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Aplicação

Problema 1: Determine o esforço normal de cada membro da treliça (altura

constante e uma diagonal por painel) mostrada na figura abaixo. A

treliça é carregada superiormente.

2 t 2 t 2 t 2 t 2 t

Teoria das Estruturas I 58

3 m 3 m 3 m 3 m

h = 3 m

Page 59: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Solução 1: Viga de substituição:

h

MU g

3 +=

M−=

Fórmulas:

2 t2 t 2 t 2 t 2 t

5 t 5 t

DMF

Teoria das Estruturas I

hM

O f3 −=

erceptadointtrechoQV =

erceptadointtrechoQsen

1D

ϕ=

59

9 mt 9 mt12 mt

3 t 3 t

1 t1 t

1 t 1 t

3 t 3 t

+

-

DMF

DEC

Page 60: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Obter os esforços normais para as barras da treliça-marquise da

figura a seguir.

h = 3 m

A

A

B C D E

V1

U U U U

O4O3O2O1

V2V3 V4 D4

D3

D2D1

S1 S2

ϕ

Teoria das Estruturas I 60

4 m 4 m 4 m 4 m

AU1 U2 U3 U4

S1

S2

3t 3t 3t 3t

Page 61: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 3: A figura abaixo representa uma treliça de altura constante, estando

faltando as diagonais (uma em cada painel).

Pede-se:

a. Dispor as diagonais para que, com o carregamento indicado,

trabalhem todas a tração;

b. Calcular a menor altura h, de modo que o maior esforço normal

atuante nas barras horizontais não ultrapasse, em módulo, o

valor de 8 tf;

Teoria das Estruturas I

valor de 8 tf;

c. Para este valor de h, achar os esforços normais nas barras.

61

Page 62: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

2. Treliça com Duas Diagonais por Painel (Treliça de Hässler)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

V3

S1

S1S2

S2

h/2

AB

C D E F G H I J

h/2

D3s

D3i

ϕϕ

U3

O3

V2i

V2s

Teoria das Estruturas I

a. Barras Horizontais (inferiores e superiores)

b. Barras Diagonais

c. Barras Verticais

62

Análise

Idéia básica: Viga de Substituição

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

Page 63: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

a. Barras Horizontais (inferiores)

Avaliação de U3:V 2d P 2d P d− −

d d

VA

U3

O3

P1 P2 P3

S1

S1

V2s

V2I

Teoria das Estruturas I 63

A 1 2E A 1 3 32

V 2d P 2d P dM 0 V 2d P 2d P d U h 0 U

h

− −= ⇒ − − − = ∴ =∑

Momento fletor na seção e (viga de substituição): dPd2Pd2VM 21Ae −−=

Portanto: e3

MU

h= + Sinal: positivo (TRAÇÃO)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

Page 64: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

a. Barras Horizontais (superiores)

Avaliação de O3: ´ A 1 2 3EM 0 V 2d P 2d P d O h 0= ⇒ − − + = ∴∑

d d

VA

U3

O3

P1 P2 P3

S1

S1

V2s

V2I

Teoria das Estruturas I 64

Momento fletor na seção e (Viga de Substituição):

Portanto: Sinal: negativo (COMPRESSÃO)

A 1 23

V 2d P 2d P dO

h

− −= −

dPd2Pd2VM 21Ae −−=

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

e3

MO

h= −

Page 65: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

VA

½ Qef

P1 P2 P3

D2I

D3I

D3S

½ Qef

ϕ

b. Barras Diagonais

Avaliação de D3s e D3

i: i sY ' A 1 2 3 3 3F 0 V P P P D sen D sen 0= ⇒ − − − − ϕ − ϕ = ∴∑

i s i sX' 3 3 3 3F 0 D cos D cos 0 D D= ⇒ ϕ − ϕ = ⇒ =∑

Teoria das Estruturas I

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

65

Esforço cortante no trecho e-f (Viga de Substituição): 321Afe PPPVQ −−−=−

Portanto:

Y ' A 1 2 3 3 3

i s A 1 2 33 3

V P P PD D

2 sen

− − −= =

ϕ

i s e f3 3

QD D

2sen−= =

ϕ

Caso Geral:

Sinal: estudar cada caso

Page 66: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

c. Barras Verticais

Avaliação de V2i: ϕ=⇒=−ϕ⇒=∑ senDV0VsenD0F i

2i2

i2

i2Y

Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição): PPVQ −−=

D2I

V2I

½ Qde

Teoria das Estruturas I 66

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

VA VB

d e f g h i jc

Esforço cortante no trecho d-e (Viga de Substituição):

Portanto:

Caso Geral:

Sinal: estudar cada caso

21Aed PPVQ −−=−

d ei2

QV

2−=

i d e2

QD

2sen−=

ϕMas a diagonal

Page 67: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Avaliação de V2s:

VA

U3

O3

P1 P2 P3

S1

S1

V2s

V2I

Teoria das Estruturas I 67

i sY ' A 1 2 3 2 2F 0 V P P P V V 0= ⇒ − − − − − = ∴∑

Observação: no caso de carregamento inferior, obteríamos inicialmente pelo

equilíbrio do nó E’ e, em seguida, o valor de através da condição

∑FY = 0.

s i2 A 1 2 3 2V V P P P V= − − − −

s2V

i2V

Page 68: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Avaliação de V3:

D3i D4

I

F

V3 = P4/2

3

A ii 1

1V P

2 =

4

A ii 1

1V P

2 =

Teoria das Estruturas I 68

ϕ−ϕ=⇒=−ϕ−ϕ⇒=∑ senDsenDV0VsenDsenD0F i4

i333

i4

i3Y`

i e f3

QD

2sen−=

ϕ

( )3 e f f g1

V Q Q2 − −= −

43

PV

2= (COMPRESSÃO)

f gi4

QD

2sen−=

ϕMas e

Assim

No caso,

Caso Geral:

Sinal: estudar cada caso

Page 69: Apostila Treliças Isostaticas I

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Problema 4: Determine o esforço normal de cada membro da treliça de Hässler

(altura constante e duas diagonais por painel) mostrada a seguir. A

treliça é carregada inferiormente.

A’ B’ C’O1 O2 O3

V3

V0i

V0s V1

s V2s

D1s

D1i

D2s

D2i

D3s

D3i

2t

2t

Teoria das Estruturas I 69

AC D E F G

BU1 U2 U3

2t 2t 2t 2t 2t

V0V1

i V2i

2 D3

2t

2t

2 t 2 t 2 t 2 t 2 t

Page 70: Apostila Treliças Isostaticas I

6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I

Prof. Ricardo SilveiraDeciv/EM/UFOP

Page 71: Apostila Treliças Isostaticas I

SUMÁRIOSUMÁRIO

6.1. Introdução

6.2. Aplicações

6.3. Definição

6. Grelhas Isostáticas

6.3. Definição

6.4. Observações

6.5. Grelha Engastada-Livre

6.6. Grelha Isostática Triapoiada

6.7. Viga Balcão

Page 72: Apostila Treliças Isostaticas I

6. GRELHAS ISOSTÁTICAS6. GRELHAS ISOSTÁTICAS

6.1. INTRODUÇÃO

a. Pórtico Espaciala. Pórtico Espacial

x

y

z

F 0

F 0

F 0

=

=

=

∑∑∑

x

y

z

M 0

M 0

M 0

=

=

=

∑∑∑

Forças: Momentos:

Equações da Estática:

Caso Particular: Forças numa só direção (no caso, z) e perpendiculares a um plano

(no caso, x-y) .

Page 73: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

b. Grelhas

Teoria das Estruturas I

Forças:

Momentos:

Equações da Estática:

x y zF 0; F 0; e M 0= = =∑ ∑ ∑

73

zF 0=∑

x

y

M 0

M 0

=

=

∑∑

(meras identidades)

Page 74: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

6.2. APLICAÇÕES

Teoria das Estruturas I 74

Page 75: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I 75

Page 76: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Teoria das Estruturas I 76

Vigas principais em perfil I Vigas principais em perfil caixão

Page 77: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Viga-Balcão

Teoria das Estruturas I 77

Page 78: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Estrutura plana submetida a carregamento perpendicular ao seu plano.

Grelhas Isostáticas: Análise através das três equações

Tipos:

2. Grelha triapoiada1. Grelha engastada-livre

6.3. DEFINIÇÃO

zF 0,=∑ x yM 0 e M 0= =∑ ∑

Teoria das Estruturas I

3. Viga-balcão

78

Page 79: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

1. Grelha engastada-livre: as reações de apoio são calculadas pelas equações:

0Fz =∑

x

y

M 0

M 0

=

=

6.4. OBSERVAÇÕES

Teoria das Estruturas I

2. Grelha triapoiada: as reações de apoio podem calculadas por equações

independentes uma da outra. No exemplo abaixo:

reta BC D

reta CD B

z C

M 0 V

M 0 V

F 0 V

= ⇒

= ⇒

= ⇒

79

Page 80: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

3. Conhecendo-se as reações de apoio, consegue-se obter os esforços solicitantes

atuantes numa seção genérica S da grelha.

4. Esforços solicitantes atuantes numa seção genérica S da grelha:

Q : perpendicular ao plano P da grelha

: situado no plano P da grelhaM�

Teoria das Estruturas I

5. O momento pode ser decomposto em duas componentes:

M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)

T : momento torçor (direção ao eixo da barra)

M�

80

Page 81: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

6. Numa seção genérica de uma grelha podem atuar três esforços simples:

Q : esforço cortante (perpendicular ao plano da grelha)

M : momento fletor (perpendicular ao eixo da barra em questão)

T : momento torçor (direção ao eixo da barra)

7. Grelha triapoiada:

• Os apoios não devem estar situados sobre uma mesma reta. Caso isso

ocorra, ela será hipostática.

Teoria das Estruturas I 81

• A grelha deve ter, além dos três apoios perpendiculares a seu plano, pelo

menos, mais três apoios no próprio plano, que garantam estabilidade para

carregamentos nele atuante. Veja exemplo abaixo:

Page 82: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

8. No caso de grelha com carregamento oblíquo ao seu plano, deve-se decompô-lo

em duas componentes: uma componente perpendicular ao seu plano (grelha) e

uma componente pertencente ao seu plano (estrutura plana).

Teoria das Estruturas I 82

Grelha Estrutura plana

Page 83: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha mostrada na figura

abaixo, cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.

6.5. GRELHA ENGASTADA-LIVRE

2 t/m

Teoria das Estruturas I 83

3 m

1 t

BA

C

D

3 m

3 m

Page 84: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha engastada-livre abaixo,

em que a carga de 2 tf é perpendicular ao plano ABC.

2 t

C

Teoria das Estruturas I 84

4 m

BA

4 2 m

Page 85: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo,

cujas barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º.

6.6. GRELHA TRIAPOIADA

3 t1 t

DE

F

Teoria das Estruturas I 85

2 m 2 m

2 m

2 m4 t

B

A

C

VB VC

VE

Page 86: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Determine os diagramas solicitantes da grelha triapoiada abaixo, cujas

barras formam, em todos os nós, ângulos de 90º. As barras BCD e ADF

estão submetidas a um carregamento vertical de 1 tf/m de cima para

baixo e as demais estão descarregadas.

5 m

B

A

C

Teoria das Estruturas I 86

5 m 5 m 5 m

5 m

5 m

B C

D

EF

H

G

Page 87: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Problema 1: Determine os diagramas solicitantes para a viga-balcão semicircular da

figura a seguir.

6.7. VIGA BALCÃO

B90o

Teoria das Estruturas I 87

P

A

R

Page 88: Apostila Treliças Isostaticas I

GRELHAS ISOSTÁTICAS

Problema 2: Resolver a viga-balcão semicircular submetida a um carregamento

uniformemente distribuído q.

q

B90o

Teoria das Estruturas I 88

A

R

90