Apostila - UFF Metodos Numericos

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Universidade Federal Fluminense UFF Volta Redonda, RJ

INTRODUO AOS MTODOS NUMRICOSProf. Diomar Cesar LoboTrabalho original preparado por: Prof. Ionildo Jos Sanches e Prof. Digenes Lago Furlan Universidade Federal do Paran. Departamento de Informtica CI-202

URL: http://www.professores.uff.br/diomar_cesar_lobao

1

SUMRIO1 2 INTRODUO .....................................................................................................................................4 CONCEITO DE ERRO........................................................................................................................5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 3.1 3.2 INTRODUO .....................................................................................................................................5 ERROS NA FASE DE MODELAGEM ......................................................................................................5 ERROS NA FASE DE RESOLUO........................................................................................................5 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS ......................................................................................................5 ERRO DE ARREDONDAMENTO............................................................................................................6 ERRO DE TRUNCAMENTO ..................................................................................................................7 INTRODUO .....................................................................................................................................9 SISTEMA DE NUMERAO ...............................................................................................................10Sistema de Numerao Decimal .......................................................................................................... 10 Sistema de Numerao Binrio............................................................................................................ 10 Converso do Sistema Decimal para Binrio...................................................................................... 10

REPRESENTAO DOS NMEROS REAIS .................................................................................9

3.2.1 3.2.2 3.2.3

3.3 3.4 4 4.1

ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE ...............................................................................................13 PROPAGAO DE ERROS..................................................................................................................15 INTRODUO ...................................................................................................................................17Derivada de uma funo num ponto .................................................................................................... 17 Tipos de Mtodos ................................................................................................................................. 17 Isolamento de Razes............................................................................................................................ 18 Classificao dos mtodos ................................................................................................................... 19 Estimativa do Nmero de Iteraes ..................................................................................................... 20 Consideraes Finais........................................................................................................................... 21 Exemplos .............................................................................................................................................. 21 Casos especiais .................................................................................................................................... 23 Consideraes finais ............................................................................................................................ 24 Exemplos .............................................................................................................................................. 24 Casos de convergncia......................................................................................................................... 26 Consideraes finais ............................................................................................................................ 27 Exemplos .............................................................................................................................................. 27 Consideraes finais ............................................................................................................................ 29 Exemplos .............................................................................................................................................. 29 Condies de Newton-Raphson-Fourier .............................................................................................. 30 Exemplos .............................................................................................................................................. 33 Exemplos .............................................................................................................................................. 34 Introduo ............................................................................................................................................ 35 Localizao de Razes .......................................................................................................................... 35 Determinao das Razes Reais ........................................................................................................... 37

ZEROS DE EQUAES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS............................................174.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

4.2

MTODO DA BISSEO ....................................................................................................................20

4.2.1 4.2.2 4.2.3

4.3

MTODO DA FALSA POSIO ..........................................................................................................22

4.3.1 4.3.2 4.3.3

4.4

MTODO DA ITERAO LINEAR ......................................................................................................25

4.4.1 4.4.2 4.4.3

4.5

MTODO DE NEWTON-RAPHSON OU MTODO DAS TANGENTES .....................................................28

4.5.1 4.5.2 4.5.3

4.6 4.7 4.8

MTODO DA SECANTE .....................................................................................................................32 MTODO MISTO ..............................................................................................................................34 MTODO PARA EQUAES POLINMIAIS ........................................................................................35

4.6.1 4.7.1 4.8.1 4.8.2 4.8.3

2

4.8.4

Mtodo de Newton para Zeros de Polinmios ..................................................................................... 38

5

SISTEMAS LINEARES .....................................................................................................................41 5.1 5.2 INTRODUO ...................................................................................................................................41Classificao Quanto ao Nmero de Solues .................................................................................... 41 Regra de Cramer.................................................................................................................................. 42 Mtodo da Eliminao de Gauss ......................................................................................................... 43 Mtodo de Jordan................................................................................................................................. 45 Exemplos .............................................................................................................................................. 45 Clculo dos Fatores L e U ................................................................................................................... 47 Mtodo de Gauss-Jacobi ( Algbrico )................................................................................................. 51 Mtodo de Gauss-Jacobi ( Matricial ) ................................................................................................. 53 Mtodo de Gauss-Seidel ( Algbrico ) ................................................................................................. 55 Mtodo de Gauss-Seidel ( Matricial ) .................................................................................................. 56 Segunda Abordagem da Frmula Matricial do Mtodo Gauss-Seidel ................................................ 58 Mtodo da Sobrerelaxao Sucessiva................................................................................................. 63 Condies Necessria e Suficiente para Convergncia do Mtodo de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 64 5.1.1 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4

MTODOS DIRETOS (ALGORITMOS DIRETOS)..................................................................................42

5.3 5.4

FATORAO LU-CROUT-CHOLESKY-DOOLITLE .............................................................................46 MTODOS ITERATIVOS (ALGORITMOS ITERATIVOS)........................................................................51

5.3.1 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.4.7

6

INTERPOLAO ..............................................................................................................................66 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 INTRODUO ..............................