Apostila Vib. Mec

5/25/2018 Apostila Vib. Mec

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Apostila para o Curso de Vibraes Mecnicas(Graduao)

Preparada pela Prof.a Maria Lcia M. Duarte (Ph.D.)

Universidade Federal de Minas Gerais

GRAVIDEMEC-UFMGGrupo de Acstica e Vibraes


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Apostila para o curso de Vibraes Mecnicas

Prof.a Maria Lcia Machado Duarte DEMEC UFMG 2000

Apresentao

Esta apostila foi confeccionada para fornecer aos alunos do curso de graduao do Depar-

tamento de Engenharia Mecnica da Universidade Federal de Minas Gerais (DEMEC UFMG)o material terico necessrio para acompanhamento do curso de Vibraes Mecnicas(EMA006).

Trata-se de uma coletnea de vrias bibliografias, onde procurou-se abranger todo o conte-do do curso da forma mais completa possvel. O material aqui apresentado ser de interessetambm para o curso Anlise Modal: Teoria e Prtica.

Os livros utilizados no preparo da apostila foram os seguintes: Thomson, W.T., Teoria da Vibrao (com Aplicaes), Editora Intercincia (livro texto

utilizado no curso) Rao, Singiresu S., Mechanical Vibrations - Third Edition, Addison-Wesley Publishing

Company Ewins, David J., Modal Testing: Theory and Practice, Research Studies Press Manual da Bruel & Kjaer, La Medida de Las Vibraciones

Algumas partes desta apostila tratam-se de tradues fiis ao contedo apresentado nos re-feridos livros. Como esta tem a inteno de ser apenas uma coletnea do material abordado, nose teve a preocupao em nenhum momento de colocar os texto com outras palavras diferentesdos autores originais.

Espera-se que ela possa auxiliar o aluno no entendimento da matria e estimula-lo na con-tinuao do aprendizado em Vibraes Mecnicas.

Encontro-me aberta para sugestes e crticas quanto ao contedo desta.

Atenciosamente,

Prof.a Maria Lcia Machado Duarte (Ph.D.)


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NDICE ANALTICO:

CAPTULO 1. INTRODUO:..................................................... .......................................................... ........ 1.1

1.1. QUE VIBRAO? ............................................................. ............................................................. ................ 1.11.2. PARTES ELEMENTARES DE UM SISTEMA VIBRATRIO: .......................................................... .......................... 1.11.3. EXEMPLOS..................................................... ............................................................. .................................... 1.1

1.4. CONCEITOS BSICOS:.......................... ............................................................. .............................................. 1.11.4.1. Graus-de-liberdade (DOFs): ................................................... ...................................................... ........ 1.11.4.2. Sistemas discretos e contnuos: ............................................ ......................................................... ........ 1.2

1.5. DEFINIES E TERMINOLOGIA:. ............................................................. ......................................................... 1.21.6. CLASSIFICAO DE VIBRAES:.......................................................... ........................................................... 1.3

1.6.1. Livres e foradas: .................................................. ..................................................... ........................... 1.3

1.6.2. Amortecida e no-amortecida: ......................................................... ..................................................... 1.3

1.6.3. Linear e no-linear:................................. ........................................................ ...................................... 1.31.6.4. Determinstica e aleatria:...................................................... .............................................................. 1.3

1.7. MOVIMENTO HARMNICO .......................................................... ............................................................. ...... 1.41.7.1. Anlise Harmnica .......................................................... ..................................................... ................. 1.4

CAPTULO 2. VIBRAES LIVRES: SISTEMAS C/ 1 DOF: ................................................................... 2.1

2.1. EQUAES BSICAS DE MOVIMENTO (EM): .................................................. ................................................. 2.12.1.1. EM usando-se a 2a lei de Newton: .......................................... ...................................................... ........ 2.12.1.2. EM usando-se o princpio do deslocamento virtual (ou princpio do trabalho virtual):..................... .. 2.1

2.1.3. EM usando-se o mtodo de energia: ............................................................................................. ........ 2.2

2.1.4. Soluo da Equao de Movimento (EM): ....................................... ........................................ ............. 2.2

2.2. VIBRAES LIVRES PARA OS DIVERSOS TIPOS DE AMORTECIMENTO:............................................. ................. 2.32.2.1. Amortecimento viscoso:........................................................... .............................................................. 2.32.2.2. Amortecimento de Coulomb (ou frico seca): .................................................... ................................. 2.3

2.2.3. Amortecimento histertico:.......... .............................................................. ............................................ 2.3

2.3. SOLUO DE VIBRAO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO:........................................................ ......... 2.32.3.1. Constante de amortecimento crtico e razo de amortecimento: .......................................................... 2.4

2.3.2. Movimento oscilatrio (caso sub-amortecido: < 1): .......................................................... ................ 2.52.3.3. Movimento no-oscilatrio (caso super-amortecido: > 1): ......................................................... ...... 2.52.3.4. Movimento criticamente amortecido ( = 1):............................................. .......................................... 2.6

2.4. DETERMINAO EXPERIMENTAL DO FATOR DE AMORTECIMENTO: ................................................................ 2.72.4.1. Decremento logartmico:........ ...................................................... ......................................................... 2.7

CAPTULO 3. VIBRAES FORADAS:.......................................................... .......................................... 3.1

3.1. EXCITAO HARMNICA: ............................................................ ............................................................. ...... 3.13.1.1. Resposta a Excitao Harmnica: ........................................... ............................................................. 3.1

3.1.2. Desbalanceamento Rotativo:................................................... .............................................................. 3.43.1.2.1. Desbalanceamento de rotores: ............................. ............................. ............................ ................. ................... 3.6

3.1.3. Whirling de Eixos Rotativos ........................................................... ................................................... 3.6

3.2. CONTROLE DE VIBRAES: ......................................................... ............................................................. ...... 3.73.2.1. Movimento de suporte: ..................................................... ............................................................. ........ 3.7

3.2.2. Razes para o controle (ou isolamento) de vibraes:.............................. ............................................ 3.93.2.3. Mtodos para controle de vibraes: .......................................... .................................................. ........ 3.93.2.3.1. Controle das frequncias naturais:............ .................... ................... .................... ...................... ..................... .. 3.93.2.3.2. Introduo de amortecimento: .................... .................... .................... ..................... ...................... ................... 3.93.2.3.3. Isolamento de vibraes: ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..... 3.9

3.3. FORA DE TRANSMISSIBILIDADE: .......................................................... ......................................................... 3.93.3.1. Reduo da fora transmitida para uma fundao rgida: ............................................................. .... 3.10

CAPTULO 4. AMORTECIMENTO: .................................................... ......................................................... 4.1

4.1. ENERGIA DISSIPADA POR AMORTECIMENTO: ................................................... ............................................... 4.14.2. AMORTECIMENTO VISCOSO EQUIVALENTE: ..................................................... ............................................... 4.24.3. AMORTECIMENTO ESTRUTURAL: ........................................................... ......................................................... 4.3

4.3.1. Rigidez complexa:.......................................... ......................................................... ............................... 4.3

4.4. CLCULO DOS FATORES DE AMORTECIMENTO VISCOSO OU ESTRUTURAL: TCNICA DE MEIA-POTNCIA........ 4.4

CAPTULO 5. INSTRUMENTOS MEDIDORES DE VIBRAES........................................................... 5.1

5.1. PORQUE SE MEDIR VIBRAES?......................................... ............................................................. ................ 5.1


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5.2. ESQUEMA PARA MEDIO DE VIBRAES ........................................................ .............................................. 5.15.3. TRANSDUTORES ...................................................... ............................................................. .......................... 5.2

5.3.1. Transdutores de resistncia variveis ................................................................................................... 5.2

5.3.2. Transdutores Piezeltricos ............................................................. ....................................................... 5.2

5.3.3. Transdutores Eletrodinmicos................... ........................................................ .................................... 5.3

5.3.4. Transdutor Transformador diferencial Linear Varivel (LVDT) ..................................... ..................... 5.3

5.4. CAPTADORES DE VIBRAES ...................................................... ............................................................. ...... 5.3

5.4.1. Vibrmetro (Instrumento com Baixa Frequncia Natural) ................................................................... 5.45.4.2. Acelermetro (Instrumento com Alta Frequncia Natural).......... ......................................................... 5.5

5.4.2.1. Tipos de acelermetros... ......................... ........................ ......................... ....................... ..................... ............ 5.65.4.2.2. Caractersticas dos acelermetros (Sensibilidade, Massa e Gama Dinmica) .......................................... ........ 5.75.4.2.3. Consideraes sobre a Gama de Frequncia dos Acelermetros... .................. ................... .................. ............ 5.85.4.2.4. Eliminao dos Erros de Ressonncia dos Acelermetros .............................. ................................. ................ 5.95.4.2.5. Seleo do Ponto de Colocao do Acelermetro ......................... .............................. ......................... ............ 5.95.4.2.6. Fixao do Acelermetro ...................... ......................... .......................... ....................... ..................... .......... 5.105.4.2.7. Influncias Ambientais...... .................... ..................... .................... .................... ....................... ..................... 5.11

5.4.2.7.1. Temperatura .................... ..................... ..................... .................... ..................... ...................... .............. 5.125.4.2.7.2. Rudo do cabo ..................... ...................... ..................... ..................... .................... ..................... .......... 5.12

5.4.2.8. Calibrao dos acelermetros ......................... ........................... ............................ .................... ..................... 5.125.4.3. Velmetro........................................................... ........................................................ .......................... 5.12

5.4.4. Distoro de Fase.................... ..................................................... ....................................................... 5.13

5.4.5. Seleo entre acelerao, velocidade e deslocamento .......................................................... .............. 5.145.5. INSTRUMENTOS MEDIDORES DE FREQUNCIA........................................................ ...................................... 5.14

5.5.1. Tacmetro Fullarton ou Instrumento de Lingueta nica ................................................................ 5.14

5.5.2. Tacmetro Frahm ou Instrumento Multi-Lingueta............................. ................................................. 5.145.5.3. Estroboscpio ............................................ .................................................. ........................................ 5.14

5.6. EXCITADORES DE VIBRAES .................................................. ........................................................ ............ 5.155.6.1. Excitador mecnico ........................................................ ..................................................... ................ 5.15

5.6.2. Excitador Eletrodinmico........................... ..................................................... .................................... 5.16

5.6.3. Martelo ............................................................. ......................................................... .......................... 5.17

5.7. ANALISADORES DE SINAIS ...................................................... ......................................................... ............ 5.195.7.1. Analisador de espectro ................................................. ....................................................... ................ 5.19

CAPTULO 6. SISTEMAS COM VRIOS GRAUS-DE-LIBERDADE...................................................... 6.1

6.1. MODELAGEM DE SISTEMAS CONTNUOS COMO SISTEMAS COM VRIOS GRAUS-DE-LIBERDADE:.................. 6.16.2. EQUAO CARACTERSTICA (2A LEI DENEWTON): ................................................. ....................................... 6.26.3. VIBRAO DE MODONORMAL ................................................... ............................................................. ...... 6.3

6.3.1. Matriz Adjunta ............................................................ ......................................................... .................. 6.46.4. ACOPLAMENTO DE COORDENADAS:...................................................... ......................................................... 6.5

6.4.1. Transformao de coordenadas: ........................................ ............................................ ....................... 6.5

6.5. VIBRAO HARMNICA FORADA ........................................................ ........................................................ 6.76.6. ABSORVEDOR DE VIBRAO ....................................................... ............................................................. ...... 6.86.7. COEFICIENTES DE INFLUNCIA: ......................................................... ......................................................... .. 6.10

6.7.1. Introduo: .................................................... ......................................................... ............................. 6.10

6.7.2. Matriz de Flexibilidade [A]:...... ......................................................... ................................................. 6.106.7.3. Teorema de reciprocidade de Maxwell: ................................................... ........................................... 6.10

6.7.4. Matriz de rigidez [K]: ..................................................... ......................................................... ............ 6.116.7.5. Observaes: ........................................................ ...................................................... ......................... 6.11

6.7.6. Mtodo dos coeficientes de influncia .............................................. ................................................... 6.126.7.6.1. Mtodo da rigidez: .................... .................... ..................... ..................... .................... ..................... .............. 6.126.7.6.2. Mtodo da flexibilidade: ..................... .................... .................... .................... ....................... ..................... ... 6.12

6.8. PROPRIEDADES DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES:................................... ............................................... 6.136.8.1. Ortogonalidade: ................................................... ...................................................... ......................... 6.13

6.8.2. Matriz modal............................................. ..................................................... ...................................... 6.146.8.3. Autovalores repetidos:...................................................... ........................................................... ........ 6.15

6.9. AMORTECIMENTO EM VIBRAO FORADA................................................. ................................................ 6.156.9.1. Amortecimento modal........................................................ .................................................. ................ 6.15

6.9.2. Amortecimento de Rayleigh:............................... ........................................................ ......................... 6.16

6.10. COORDENADAS GENERALIZADAS..................................................... ........................................................ .. 6.166.10.1. Restrio................................................... ........................................................ ................................. 6.17

6.11. TRABALHO VIRTUAL....................................................... ............................................................. .............. 6.176.12. ENERGIA CINTICA E POTENCIAL (FORMA MATRICIAL)........................................ ...................................... 6.18

6.12.1. Energia Potencial:...... .......................................................... ..................................................... ........ 6.18

6.12.2. Energia Cintica:................................................................ ....................................................... ........ 6.18


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6.12.3. Matriz Positiva Definida: ................................................................. ................................................. 6.19

6.13. EQUAES DE LAGRANGE:........................................... ......................................................... ..................... 6.206.13.1. Equaes de movimento gerais em forma matricial:............................................................ ............. 6.20

CAPTULO 7. INTRODUO A ANLISE MODAL (1 DOF E N-DOF): ................................................ 7.1

7.1. FUNO DE RESPOSTA EM FREQUNCIA (FRF):................................... .......................................................... 7.17.2. REPRESENTAO GRFICA DAS FRFS ................................................... ......................................................... 7.3

7.3. CRCULO DENYQUIST PARA AMORTECIMENTO VISCOSO:................................ ............................................... 7.77.4. CRCULO DENYQUIST PARA AMORTECIMENTO ESTRUTURAL:................................... ..................................... 7.77.5. OBTENO DOS PARMETROS FSICOS DE UM SISTEMA 1-DOF:......... ........................................................... 7.87.6. FRFS PARA SISTEMAS COMN-DOFS ...................................................... ........................................................ 7.9

CAPTULO 8. MTODOS NUMRICOS APROXIMADOS ................................................................. ..... 8.1

8.1. INTRODUO: ......................................................... ............................................................. .......................... 8.18.2. MTODO DE RAYLEIGH ..................................................... ............................................................. ................ 8.1

8.2.1. Apresentao do Mtodo ........................................... ................................................. ........................... 8.1

8.2.2. Propriedades do Quociente de Rayleigh: .......................................... .................................................... 8.2

8.2.3. Clculo da Frequncia Natural Fundamental: ...................................................... ............................... 8.3

8.2.4. Mtodo de Rayleigh para vigas:............................................... ..................................................... ........ 8.4

8.2.5. Mtodo de Rayleigh para massas concentradas: ......................................................................... ......... 8.5

8.3. EQUAO DE DUNKERLEY: ......................................................... ............................................................. ...... 8.58.4. MTODO DE ITERAO MATRICIAL: ..................................................... ......................................................... 8.6

8.4.1. Apresentao do Mtodo ........................................... ................................................. ........................... 8.6

8.4.2. Comentrios: ................................................... ........................................................... ........................... 8.7

8.4.3. Convergncia a Maior Frequncia Natural: ........................................................ ................................. 8.7

8.4.4. Clculo das Frequncias Naturais Intermedirias: ................................................ .............................. 8.78.5. MTODO DE HOLZER:..................................................... ............................................................. ................... 8.7

8.5.1. Sistemas torsionais: ........................................... .................................................. .................................. 8.7

8.5.2. Sistemas massa-mola:....................... ........................................................ ............................................. 8.7

CAPTULO 9. MANUTENO PREDITIVA ......................................................... ...................................... 9.1

9.1. INTRODUO........................................................... ............................................................. .......................... 9.19.2. CONSEQUNCIAS DANOSAS DAS VIBRAES INDESEJVEIS ........................................................... ................ 9.19.3. TCNICAS DE MANUTENO DE MQUINAS...................................................... .............................................. 9.1

9.3.1. Manuteno corretiva: ............................................ ................................................. ............................. 9.2

9.3.2. Manuteno preventiva (MP):............................................ ........................................................... ........ 9.2

9.3.3. Manuteno preditiva:..................................... .................................................... .................................. 9.39.3.3.1. Vantagens da manuteno preditiva: .................... .................... .................... ..................... ....................... ........ 9.3

9.4. CRITRIO DE SEVERIDADE DE VIBRAES ........................................................ .............................................. 9.49.5. CONSIDERAES PARA ESCOLHA DOS PARMETROS DE LEITURA ............................................................. ...... 9.59.6. TCNICAS DE MONITORAMENTO DA CONDIO DE MQUINAS....................................................... ................ 9.5

9.6.1. Anlise no domnio do tempo................................................. ......................................................... ....... 9.79.6.1.1. Forma de onda no tempo.................. .................... .................... .................... ...................... ..................... ......... 9.79.6.1.2. ndices ..................... ..................... .................... ..................... .................... ...................... ..................... ............ 9.79.6.1.3. rbita ..................... ..................... .................... ..................... .................... ....................... ..................... ............ 9.7

9.6.2. Mtodos estatsticos....................................................... ...................................................... .................. 9.8

9.6.2.1. Curva de probabilidade de densidade.................. ................... ................... ................... ........................ ............ 9.89.6.2.2. Momentos................. .................... .................... .................... .................... ....................... ..................... ............ 9.8

9.6.3. Anlise no domnio da frequncia ........................................................ ................................................. 9.99.6.3.1. Espectro de frequncia .................. ................... .................... .................... ....................... ..................... ............ 9.9

9.6.4. Anlise no domnio da quefrncia .................................................... ................................................... 9.10

9.7. SISTEMA DE INSTRUMENTAO................................................ ........................................................ ............ 9.11


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NDICE DE FIGURAS

FIGURA 1.1 EXEMPLOS DE VIBRAES ESTRUTURAIS NA ENGENHARIA ....................................................... ...... 1.1

FIGURA 2.1 - SISTEMA MASSA-MOLA E DIAGRAMADE CORPO-LIVRE ........................................................... ...... 2.1FIGURA 2.2 - SISTEMA MASSA-MOLA SOBRE TRABALHO VIRTUAL ........................................................ ................ 2.1FIGURA 2.3 GRFICO REAL X IMAGINRIO DA SOLUO DAS RAZES DO PROBLEMA ......................................... 2.4

FIGURA 2.4 MOVIMENTO OSCILATRIO ..................................................... ........................................................ 2.5FIGURA 2.5 MOVIMENTO NO-OSCILATRIO ....................................................... .............................................. 2.6FIGURA 2.6 MOVIMENTO CRITICAMENTE AMORTECIDO ........................................................... .......................... 2.6FIGURA 2.7 GRFICO AMPLITUDE X TEMPO PARA TCNICA DO DECREMENTO LOGARTMICO ............................. 2.7FIGURA 2.8 DECREMENTO LOGARTMICO X FATOR DE AMORTECIMENTO ................................................ .......... 2.8

FIGURA 3.1 - RELAOVETORIAL: VIBRAO FORADA C/ AMORTECIMENTO ................................................... 3.1FIGURA 3.2 GRFICOS FASE X FREQUNCIA E AMPLITUDE X FREQUNCIA PARA UM SISTEMA COM 1 DOF....... 3.2FIGURA 3.3 GRFICOS DE RAZO DE AMPLITUDE X RAZO DE FREQUNCIA E NGULO DE FASE X RAZO DE

FREQUNCIA ......................................................... ............................................................. .......................... 3.3FIGURA 3.4 FORA HARMNICA PERTURBADORA RESULTANTE DE DESBALANCEAMENTO ROTATIVO............... 3.4FIGURA 3.5 REPRESENTAO GRFICA DAS EQUAES (3.20) E (3.21) PARA O CASO DE VIBRAO FORADA COM

DESBALANCEAMENTO ROTATIVO......................................................... ........................................................ 3.5

FIGURA 3.6 SISTEMA COM DESBALANCEAMENTO ESTTICO .................................................... .......................... 3.6FIGURA 3.7 SISTEMA COM DESBALANCEAMENTO DINMICO ............................................................. ................ 3.6FIGURA 3.9 SISTEMA EXCITADO PELO MOVIMENTO DO PONTO DE SUPORTE. ...................................................... 3.7FIGURA 3.10 GRFICO DAS EQUAES (3.48B) E (3.49B) ........................................................ .......................... 3.8FIGURA 3.11 - MQUINA E MEMBRO RESILIENTE EM FUNDAO RGIDA. ........................................................... 3.10FIGURA 3.12 GRFICO DE TRANSMISSIBILIDADE X RAZO DE FREQUNCIA................................................... .. 3.11FIGURA 3.13 MONTAGEM DA MASSA M PARA REDUO DA AMPLITUDE DE VIBRAO X................................ 3.12

FIGURA 4.1 GRFICOS FORA DE AMORTECIMENTOX DESLOCAMENTO ........................................................ 4.2FIGURA 4.2 GRFICO ENERGIA DISSIPADA (AMORTECIMENTO ESTRUTURAL) X FREQUNCIA ............................ 4.3FIGURA 4.3 GRFICO DE MDULO DA FRF X FREQUNCIA PARA TCNICA DA MEIA POTNCIA.......................... 4.4

FIGURA 5.1 ESQUEMA BSICO PARA MEDIO DE VIBRAES .......................................................... ................ 5.1FIGURA 5.2 STRAIN GAGE DE RESISTNCIA ELTRICA ............................................................. .......................... 5.2FIGURA 5.3 CAPTADOR DE VIBRAO........................................................ ............................................................ . 5.2FIGURA 5.4 ACELERMETRO PIEZELTRICO......................................................... .............................................. 5.2FIGURA 5.5 BOBINA MOVENDO-SE EM UM CAMPO MAGNTICO........................... ............................................... 5.3FIGURA 5.6 DIAGRAMA ESQUEMTICO DE UM TRANSDUTOR LVDT...... ............................................................ 5.3FIGURA 5.7 INSTRUMENTO SSMICO ........................................................... ........................................................ 5.4FIGURA 5.8 RESPOSTA DE UM INSTRUMENTO MEDIDOR DE VIBRAES........................................................ ...... 5.4FIGURA 5.9 ACELERMETROS DE USO GERAL DA B&K (BRUEL & KJAER) ....................................................... 5.5FIGURA 5.10 PARTE INTERNA DE UM ACELERMETRO (MARCA B&K)............................................. .................. 5.5FIGURA 5.11 ERRO DA ACELERAO VS. FREQUNCIA PARA VRIOS VALORES DE AMORTECIMENTO ............... 5.6FIGURA 5.12 ACELERMETROS USUAIS ..................................................... ........................................................ 5.7FIGURA 5.13 CARACTERSTICAS DOS ACELERMETROS ........................................................... .......................... 5.8FIGURA 5.14 GAMA DE FREQUNCIA DOS ACELERMETROS .................................................... .......................... 5.8FIGURA 5.15 CORREO DOS ERROS DE RESSONNCIA DOS ACELERMETROS. ................................................. 5.9FIGURA 5.16 SENTIDO DE SENSIBILIDADE MXIMA DE UM ACELERMETRO .................................................. .. 5.10FIGURA 5.17 FIXAO DE ACELERMETROS. ................................................... ................................................ 5.11FIGURA 5.18 INFLUNCIAS AMBIENTAIS A QUE ESTO SUJEITOS OS ACELERMETROS..................................... 5.11FIGURA 5.19 EFEITOS DA DISTORO DE FASE: (A) SINAL DE ENTRADA; (B) SINAL DE SADA........................... 5.13FIGURA 5.20 INSTRUMENTOS MEDIDORES DE FREQUNCIA: TACMETROS (A) FULLARTON E (B) FRAHM....... 5.14FIGURA 5.21 ESTROBOSCPIO DA MARCA B&K. ......................................................... .................................... 5.15FIGURA 5.22 VIBRAO DA ESTRUTURA ATRAVS DE (A) FORAS DE INRCIA; (B) FORAS ELSTICAS.......... 5.15FIGURA 5.23 EXCITAO DE VIBRAO ATRAVS DE FORAS DESBALANCEADAS........................................... 5.16FIGURA 5.24 ESQUEMA DE UM EXCITADOR ELETRODINMICO....................................................... .................. 5.16FIGURA 5.25 CARACTERSTICAS DE RESSONNCIA TPICAS DE UM EXCITADOR ELETRODINMICO .................. 5.17FIGURA 5.26 EXCITADOR ELETRODINMICO DA B&K (BRUEL & KJAER) ....................................................... 5.17FIGURA 5.27 EXCITADOR DE IMPACTO E MARTELO ................................................... ...................................... 5.18FIGURA 5.27 PULSO DA FORA DE IMPACTO TPICO E CORRESPONDENTE ESPECTRO: (A) SINAL NO TEMPO; (B)

ESPECTRO DE FREQUNCIA .................................................... ........................................................ ............ 5.18FIGURA 5.27 (A) SINAL DE ACELERAO NO TEMPO; (B) ESPECTRO DE FREQUNCIA ...................................... 5.19


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FIGURA 5.28 ANALISADOR DIGITAL DE FREQUNCIA DE OITAVA E DE FRAO DE OITAVA.............................. 5.20FIGURA 5.29 ANALISADOR HETERODYNE ................................................... ................................................. 5.20

FIGURA 6.1 EXEMPLOSDE SISTEMAS COM 2DOFS ....................................................... .................................... 6.1FIGURA 6.2 - SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR C/ 2 DOFS......................................................... ................ 6.2FIGURA 6.3 - DIAGRAMA DE CORPO-LIVRE ............................................................. .............................................. 6.2FIGURA 6.4 - SISTEMA SIMTRICO...................................................... ............................................................. ...... 6.6

FIGURA 6.5 ABSORVEDOR DE VIBRAES ............................................................ .............................................. 6.8FIGURA 6.6 RESPOSTA X FREQUNCIA PARA UM ABSORVEDOR DE VIBRAES .................................................. 6.9FIGURA 6.7 FREQUNCIAS NATURAIS EM FUNO DE =M2/M1....................................................... ................ 6.9FIGURA 6.8 PNDULO ESFRICO (COORDENADAS GENERALIZADAS) ........................................................ ........ 6.17FIGURA 6.9 EXEMPLO DE SISTEMA COM MATRIZ DE MASSA NO POSITIVA DEFINIDA ...................................... 6.20

FIGURA 7.1 CAMINHOTERICO ..................................................... ............................................................. ...... 7.2FIGURA 7.2 CAMINHO EXPERIMENTAL ...................................................... ......................................................... 7.3FIGURA 7.3 GRFICOS DO MDULO DA INERTNCIA X FREQUNCIA E FASE X FREQUNCIA (TIPO 1) ................ 7.4FIGURA 7.4 OBTENO DA FREQUNCIA NATURAL A PARTIR DOS VALORES DE MASSA E RIGIDEZ ..................... 7.5FIGURA 7.5 GRFICO DE RECEPTNCIA X FREQUNCIA (REAL E IMAGINRIO) ( 0.645 %) TIPO 2........ 7.6FIGURA 7.6 CRCULO DENYQUIST PARA RECEPTNCIA ( 0.645 %) TIPO 3 .......................................... 7.6FIGURA 7.7 CRCULO DENYQUIST PERFEITOS PARA AMORTECIMENTOS: (A) VISCOSO E (B) ESTRUTURAL ........ 7.7

FIGURA 7.8 GRFICOS DE RE(Z) X2E IM(Z) XPARA OBTENO DOS PARMETROS FSICOS DO SISTEMA... 7.9FIGURA 7.9 - SISTEMA COM 2-DOFS........................................................ ......................................................... .. 7.11

FIGURA 8.1 RELAES GEOMTRICAS PARA VIGAS.................................................... .................................... 8.4FIGURA 8.2 SISTEMA TORSIONAL COM 3 DOFS ........................................................ ........................................... 8.

FIGURA 9.1 GRFICO DA VIDA TIL DE UMA MQUINA ........................................................... .......................... 9.2FIGURA 9.2 CURVA DE NVEL DE VIBRAO USADO PARA MANUTENO PREDITIVA......................................... 9.3FIGURA 9.3 GRFICO DE SEVERIDADE DE VIBRAES............................................................. .......................... 9.4FIGURA 9.4 GRFICOS DE RESPOSTA X FREQUNCIA ...................................................... .................................... 9.5FIGURA 9.5 TCNICAS DE MONITORAMENTO DE CONDIES DE MQUINAS....................................................... 9.5FIGURA 9.6 CLASSIFICAO DAS TCNICAS DE MONITORAMENTO DE CONDIES DE MQUINAS...................... 9.6FIGURA 9.7 SINAL DE ACELERAO NO TEMPO DE UMA CAIXA DE MARCHAS DE UM ESTGIO. .......................... 9.7FIGURA 9.8 MUDANA DE RBITA DE UM MANCAL GASTO ..................................................... .......................... 9.8FIGURA 9.9 ESPECTRO DE FREQUNCIA DE UMA MQUINA ROTATIVA ......................................................... ...... 9.9FIGURA 9.10 ESPECTRO E CEPSETRO DE BOAS E DEFEITUOSAS CAIXAS DE MARCHAS DE CAMINHES.............. 9.11FIGURA 9.11 GRFICO TRIDIMENSIONAL DOS DADOS DE MEDIO DOS NVEIS DE VIBRAO ......................... 9.12


8/105



1.1

Captulo 1. Introduo:

1.1.QUE VIBRAO?

Qualquer movimento que se repete aps um intervalo de tempo (por exemplo, o balanarde um pndulo ou uma corda de violo quando tocada).

1.2.PARTES ELEMENTARES DE UM SISTEMA VIBRATRIO: Meio de armazenar energia potencial: mola (ou elasticidade) Meio de armazenar energia cintica: massa (ou inrcia) Meio pelo qual a energia dissipadagradualmente: amortecedor

1.3.EXEMPLOS

A maioria das atividades humanas envolve vibraes: ouvido humano; respirao; fala; etc.

Na engenharia (projetos ou utilizao), vibraes podem ser vistas em: correias vibratrias;compactadores; mquinas de lavar; motores de dentistas; relgios; mquinas eletrnicas demassagem; etc.

Vibraes podem ter tanto o lado positivo quanto negativo, como pode ser visto nosexemplos mostrados na Figura 1.1.

Falhainduzida

Ativador

VibraesEstruturais

Som

Falha

Mal Fun-cionamento

Disconforto

Rudo

positivo negativo

Martelo Pneumtico

Falha por fatiga embarras de avies, palhetasde turbinas, pontes, para-fusos soltos

Ferramentas de mqui-nas, helicpteros, m-quinas de controle

Mquinas de lavar,separadores

Mquinas de corte veculos, isolamentopredial

Aparelhos de som,instrumentos musicais,autofalantes, microfones

mquinas em geral,navios

Intensi-ficador

Figura 1.1 Exemplos de vibraes estruturais na engenharia

1.4.CONCEITOS BSICOS:

1.4.1.Graus-de-liberdade (DOFs):Nmero mnimo de coordenadas independentes necessrias para se determinar

completamente todas as partes de um sistema a qualquer instante de tempo.


9/105



1.2

NOTA: As coordenadas necessrias para se descrever o movimento de um sistema so conheci-

das como coordenadas generalizadas e podem ser representadas tanto por coordenadas

cartesianas ou no.

1.4.2.Sistemas discretos e contnuos:Sistemas discretos so aqueles que podem ser descritos utilizando-se um nmero finito degraus-de-liberdade (ex.: sistemas massa-mola-amortecedor);

Sistemas contnuos (ou distribudos) so aqueles que possuem infinitos graus-de-liberdade(ex.: vigas)

NOTA: a maioria dos sistemas estruturais e mquinas tem membros deformveis (elsticos) e,

portanto, possuem infinitos graus-de-liberdade. Deveriam ser portanto, sistemas contnuos.

Entretanto, em alguns casos, simplificaes podem ser feitas para se simplificar a anlise.

1.5.DEFINIES E TERMINOLOGIA:

Amplitude (A):O deslocamento mximo de um corpo vibrante a partir da sua posio deequilbrio;

Ciclo: o movimento de um corpo vibrante a partir da sua posio de equilbrio, para umlado extremo, de volta a sua posio de equilbrio, ento para o outro lado extremo. Pode serdefinido tambm como sendo uma revoluo (i.e. deslocamento angular de 2radianos);

Perodo de oscilao (): tempo necessrio para a oscilao completar um ciclo (i.e. serepetir);

Frequncia de oscilao (f): Nmero de ciclos por unidade de tempo. A frequncia deoscilao inversamente proporcional ao perodo de oscilao.

conhecida como frequncia circular para distinguir da frequncia linear f e denotavelocidade angular do movimento cclico.

f medida em ciclos por segundo (Hz), enquanto medido em radianos por segundo.

f = =1

2

(1.1)

ngulo de fase (): o ngulo definido entre dois pontos de mximo de dois vetores.Entretanto, qualquer outro ponto correspondente pode ser usado para se achar o ngulo de fase.

Frequncia natural: frequncia na qual um sistema oscila aps um distrbio inicial,quando deixado oscilando sem a ao de foras externas. uma propriedade inerente ao sistema

e depende das suas caractersticas fsicas (i.e., massa e rigidez);Batimento: fenmeno existente quando dois movimentos harmnicos que possuam

frequncias prximas um do outro so adicionados. Por exemplo, em mquinas e estruturas, ofenmeno de batimento ocorre quando a frequncia de excitao prxima a frequncia naturaldo sistema.

Oitava: quando o valor mximo de um intervalo de frequncia duas vezes seu valormnimo (i.e., uma razo de 2:1) estes valores diferem de uma oitava. O intervalo de frequncia conhecido como banda de oitava.

Decibel:Escala usada para representar as diversas quantidades encontradas no campo de

vibraes e acstica (tais como: deslocamento, velocidade, acelerao, presso e potncia).Foi originalmente definido como a razo entre potncias eltricas. Uma vez que esta

proporcional ao quadrado da voltagem, pode tambm ser representado utilizando-se esta, i.e.:


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1.3

dB =

=

=

10 10 20

0 0

2

0

log log logP

P

X

X

X

X (1.2)

Funo transiente de tempo: uma funo que existe apenas num espao limitado detempo, sendo nula em qualquer outro tempo. Tais funes no so peridicas. No sendo

peridicas, no aplicvel o mtodo da srie de Fourier. Entretanto, podem ser analisadas no queelas contm de frequncia pelo mtodo das Transformadas de Fourier. Em contraste com oespectro discreto de frequncia nas funes peridicas, seu correspondente nas funestransientes contnuo.

1.6.CLASSIFICAO DE VIBRAES:

1.6.1.Livres e foradas:Vibrao livre: quando o sistema colocado em vibrao aps um distrbio inicial, e no

existe fora externa agindo sobre ele aps este distrbio (i.e., o sistema oscila sob a ao de

foras inerentes ao prprio sistema);Vibraes foradas: quando o sistema colocado em vibrao atravs de foras externas

(normalmente, uma fora do tipo repetitiva).

NOTA: Quando a frequncia da fora de excitao coincide com uma das frequncias naturais

do sistema, acontece o que chamado em vibraes de ressonncia. Neste caso, ocorremgrandes amplitudes, o que pode ocasionar problemas de falhas em estruturas.

1.6.2.Amortecida e no-amortecida:Vibrao no-amortecida: Quando a energia no perdida ou dissipada atravs de

frico ou outra resistncia durante a oscilao.

Vibrao amortecida: quando, ao contrrio, a energia perdida atravs de frico ououtra resistncia.

NOTA: Na maioria das aplicaes de engenharia, o valor do amortecimento to pequeno que

pode ser desprezado. Entretanto, este valor se torna significativo quando a anlise feita

prxima a ressonncia.

1.6.3.Linear e no-linear:Quando todos os componentes de um sistema vibratrio se comportarem de forma linear, o

sistema considerado como em regime de vibrao linear. Neste caso, vale o princpio dasuperposio.

Ao contrrio, se algum dos componentes se comportar de forma no linear a vibrao conhecida como no-linear e no vale o princpio da superposio.

NOTA: As equaes diferenciais que governam o comportamento linear e no-linear de sistemas

vibratrios so, respectivamente, lineares e no-lineares. No primeiro caso, vale o princpio da

superposio e as tcnicas matemticas de anlise so mais desenvolvidas. Todos os sistemas

tendem a agir de forma no-linear com o aumento da amplitude de oscilao.

1.6.4.Determinstica e aleatria:Se o valor ou magnitude da excitao (fora ou movimento) agindo no sistema vibratrio

conhecido a qualquer instante de tempo, a excitao conhecida como determinstica e a

vibrao decorrente conhecida como vibrao determinstica.


11/105



1.4

Quando o valor da excitao em um determinado valor de tempo no pode ser predito, aexcitao no-determinstica (ou aleatria) e a vibrao conhecida como aleatria. Nestecaso, um grande nmero de dados precisa ser colhido e o tratamento feito de forma estatstica.

1.7.MOVIMENTO HARMNICO

O movimento oscilatrio que se repete a intervalos iguais de tempo denominadomovimento peridico, sendo sua forma mais simples o movimento harmnico. O movimentoharmnico pode ser representado como a projeo numa linha reta, de um ponto que se movenuma circunferncia a velocidade constante (i.e. frequncia angular ). A velocidade eacelerao do movimento harmnico podem ser determinadas pela diferenciao da expresso dodeslocamento, i.e.:

)sen( tAx =

+==

2sen)cos(

tAtAx

( ) +== tAtAx sen)sen( 22

Assim, a velocidade, e a acelerao so tambm harmnicas, com a mesma frequncia deoscilao, porm frente do deslocamento de /2 eradianos, respectivamente.

1.7.1.Anlise HarmnicaO matemtico francs J. Fourier (1768-1830) mostrou que qualquer movimento peridico

pode ser representado por uma srie de senos e co-senos que so harmonicamente relacionados,o que feito atravs de srie de Fourier.

Os coeficientes da srie de Fourier definem completamente a contribuio da ondaperidica. O resultado da representao grfica destes coeficientes em funo da frequnciaforma o que se chama de Espectro de Fourierdo perfil da onda. A anlise harmnica feita deforma bem mais rpida e eficiente atravs da Transformada Rpida de Fourier, utilizando-separa isto os computadores digitais.


12/105


Prof.a Maria Lcia Machado Duarte DEMEC UFMG

2.1

Captulo 2. Vibraes livres: sistemas c/ 1 DOF:

2.1.EQUAES BSICAS DE MOVIMENTO (EM):

2.1.1.EM usando-se a 2alei de Newton:A Figura 2.1 mostra o diagrama de corpo-livre usado para se determinar as equaes de

movimento de um sistema vibratrio. Os passos a serem seguidos neste caso so: Selecionar coordenadas (ex.: linear ou angular); determinar a configurao de equilbrio esttico e medir os deslocamentos a partir desta

configurao; desenhar o diagrama de corpo-livre; aplicar a 2alei de movimento de Newton no diagrama de corpo-livre

k

m m

m

x

x..

x.

w

w

k

k(+x)

posio

indeformadaposio de

equilbrio esttico

Figura 2.1 - Sistema massa-mola e diagrama de corpo-livre

A partir da posio indeformada:k w mg = = (2.1)

Aplicando-se a 2alei de Newton, obtm-se:

F mx w k x mx= + = ( ) (2.2)Portanto, a equao bsica de movimento pode ser representada como:

= + =kx mx mx kx 0 (2.3)

2.1.2.EM usando-se o princpio do deslocamento virtual (ou princpio do trabalho virtual):Este mtodo diz que: Se um sistema em equilbrio sobre a ao de um conjunto de foras

sujeito a um deslocamento virtual, ento o trabalho virtual total destas foras ser zero.

O princpio do trabalho virtual como formulado por Bernoulli um procedimento esttico.Sua extenso para dinmica foi feita por DAlembert (1718-1783) que introduziu o conceito defora de inrcia.

m mm

x x

k

mkx -mx

x.

x..

x

x

(fora dereao)

(fora de

inrcia) Figura 2.2 - Sistema massa-mola sob trabalho virtual


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2.2

O trabalho virtual produzido por cada uma das foras representadas na Figura 2.2 acimapode ser calculado como: fora de reao elstica: W kx xs= ( )

fora de inrcia: W mx xi= ( )

Quando o trabalho virtual produzido por todas as foras igual a zero, obtm-se: =mx x kx x 0 (2.4)

Como o deslocamento virtual pode ter um valor arbitrrio, x 0, a equao acima se reduza j mostrada equao do movimento, i.e.:

mx kx + = 0 (2.3)

2.1.3.EM usando-se o mtodo de energia:Se foras externas (alm da fora gravitacional ou outras foras potenciais) no produzem

trabalho sobre o sistema conservativo, a energia total do sistema permanece constante. Como aenergia de um sistema vibratrio parte potencial (U) e parte cintica (T) , a soma destas duas

energias permanece constante, i.e.:

constante=+ UT (2.5)

+ =d

dtT U( ) 0 (2.6)

T mxdT

dtmx= =

12

2 (2.7)

U kxdU

dtkx= =

12

2 (2.8)

Portanto, quando os valores acima so substitudos na equao da conservao de energia

(2.6) , obtm-se a j estudada equao de movimento bsica, i.e.:mx kx + = 0 (2.3)

2.1.4.Soluo da Equao de Movimento (EM):Equao de movimento como j foi visto pode ser escrita como: mx kx + = 0 (2.3)

Vamos ento assumir a seguinte soluo: x t Cest( )= (2.9)

( )x t Cse st= e ( )x t Cs est= 2 (2.10)

Substituindo os valores acima na EM (2.3), obtm-se:

C ms k ( )2 0+ = (2.11)ms k2 0+ = (2.12)

sk

mi

k

mn n=

= =

1 2/

(2.13)

A soluo para o problema neste caso ser:x t C e C ei t i t n n( )= + 1 2

(2.14)

Ou utilizando a expresso matemtica abaixo:e t i t i t = cos( ) sin( ) (2.15)

x t A t A tn n( ) cos( ) sin( )= +1 2 (2.16)As constantes C1 e C2 ou A1 e A2, podem ser determinadas atravs das condies iniciais dosistema. O nmero de condies iniciais a serem especificadas o mesmo que a ordem da


14/105



2.3

equao diferencial governante. No presente caso, duas condies iniciais devem ser utilizadas.Por exemplo, substituindo-se os valores de deslocamento x(t) e velocidade (dx/dt)(t) em t=0 naequao (2.16) e sua derivada resulta respectivamente em:

x t A x( )= = =0 1 0 (2.17)( ) x t A x

n

= = =02 0

(2.18)

= +x t x tx

tnn

n( ) cos( )

sin( )00

(2.19)

2.2.VIBRAES LIVRES PARA OS DIVERSOS TIPOS DE AMORTECIMENTO:

2.2.1.Amortecimento viscoso:A fora de amortecimento viscoso proporcional a velocidade, i.e.:

F cx= (2.20)

2.2.2.Amortecimento de Coulomb (ou frico seca):A fora de amortecimento de Coulomb igual ao produto da fora normal e o coeficiente

de frico () e considerado independente da velocidade uma vez que o movimento iniciado,i.e.:

F N W mg= = = (2.21)

2.2.3.Amortecimento histertico:A fora de amortecimento histertico funo da frequncia de excitao, i.e.:

Fk

xh

x= =

(2.22)

2.3.SOLUO DE VIBRAO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO:

Equao de movimento: mx cx kx + + = 0 (2.23)

Vamos ento assumir a seguinte soluo:

x t Cest( )= (2.24)

( )x t Cse st= e ( )x t Cs est= 2 (2.25)

Substituindo os valores acima na EM (2.3), obtm-se:

C ms cs k ( )2

0+ + = (2.26)ms cs k 2 0+ + = (2.27)

sc c mk

m

c

m

c

m

k

m1 2

2 242 2 2,

=

=

(2.28)

A soluo geral dada pela combinao da soluo fornecida pelas duas razes acima, i.e.:

x t Ae Bes t s t ( )= +1 2 (2.29)

As constantes A e B podem ser determinadas a partir das condies iniciais do sistema x(0) edx/dt(0).

2.3.1.Constante de amortecimento crtico e razo de amortecimento:


15/105



2.4

O amortecimento crtico definido como o valor da constante de amortecimento cpara aqual o radical da equao (2.28) zero. Este o caso limite entre movimento oscilatrio e nooscilatrio e pode ser expresso por:

c

m

k

m

c mk

m

km mc

c n

2

0 2 2 22

= = = = (2.30)

A razo de amortecimento definida como sendo:

= ccc (2.31)

Portanto, usando-se as equaes (2.31) e (2.30) acima, de tal forma que:

c

m

c

m

c

n2 2=

= (2.32)

faz com que as razes do problema dadas pela equao (2.28) possam ser expressas por:

( )s n1 2 2 1, = (2.33)

s

in

1 2 21,

= (2.34)

n

=0

=0

s1

s2

n

1 2 n

eixoreal

eixoimaginrio

0

-n

s1

s2

para>1para>1

s1=s

2=

n

0


16/105



2.5

NOTA: Um sistema criticamente amortecido ter o menor amortecimento necessrio para

movimento aperidico, uma vez que a massa retorna a sua posio de repouso no menor tempo

possvel sem overshooting. Esta propriedade do amortecimento crtico usada em muitas

aplicaes prticas. Por exemplo, canhes.

2.3.2.Movimento oscilatrio (caso sub-amortecido: < 1):As razes do problema expressas em termos da razo de amortecimento, equao (2.33),

faz com que a soluo geral dada pela equao (2.29) para este caso possa ser escrita como umadas expresses abaixo:

( )x t e Ae Ben n nt i t i t ( )= + 1 12 2

(2.35)

( )x t Xe tn t n( ) sin= + 1 2 (2.36)

( )x t e C t C tnt n n( ) sin cos= + 1 2 2 21 1 (2.37)

Utilizando-se as condies iniciaisx(0) e dx/dt(0), em qualquer das expresses acima, fornece asoluo para o problema. Adotando-se a equao (2.37), por exemplo, fornece:

x t ex x

t x tntn

n

n n( )

sin cos= +

+

0 0

2

20

2

11 1 (2.38)

possvel se verificar na equao acima que a frequncia de oscilao amortecida igual a:

d

d

n= = 2

1 2 (2.39)

Figura 2.4 Movimento oscilatrio

A Figura 2.4 representa o movimento oscilatrio como expresso pela equao (2.36).

2.3.3.Movimento no-oscilatrio (caso super-amortecido: > 1):Neste caso, a equao (2.29) pode ser escrita como:

( ) ( )x t Ae Be

n nt t( )= + + 2 21 1

(2.40)

Utilizando-se as condies iniciais obtm-se:

( )A

x xn

n

=+ +

02

0

2

1

2 1

(2.41)


17/105



2.6

( )B

x xn

n

=

02

0

2

1

2 1

(2.42)

O movimento uma funo exponencial decrescente com o tempo, como mostra a Figura 2.5, e conhecida como aperidica.

Figura 2.5 Movimento no-oscilatrio

2.3.4.Movimento criticamente amortecido (= 1):Neste caso, as razes so repetidas (i.e. s1= s2= -n) e os dois termos da soluo (2.29) se

combinam para formar um s termo. Portanto, o nmero de constantes necessrias para satisfazeras duas condies iniciais se torna deficiente.

A soluo correta :

( )x t A Bt en t( )= + (2.43)

Utilizando-se as condies iniciais obtm-se:

( )( )x x x x t entn= + + 0 0 0

(2.44)

Esta soluo obtida fazendo-se 0. O movimento acima tambm aperidico. Umavez que e-nt0 quando t, este movimento eventualmente tende a zero (Figura 2.6).

Figura 2.6 Movimento criticamente amortecido

2.4.DETERMINAO EXPERIMENTAL DO FATOR DE AMORTECIMENTO:

2.4.1.Decremento logartmico:


18/105



2.7

Uma forma conveniente de se medir a quantidade de amortecimento em uma estrutura medindo-se a razo de queda das oscilaes livres. Para isto, a equao (2.36), repetida abaixo,ser usada:

( )x t Xe tn t n( ) sin= + 1 2 (2.36)

Figura 2.7 Grfico amplitude x tempo para tcnica do decremento logartmico

Decremento logartmico definido como sendo o logaritmo natural da razo entre duasamplitudes consecutivas, como mostrado na Figura 2.7, i.e.:

( )( ) ( )( )

= =

+

+ +

+ln ln

sin

sin

x

x

e t

e t

n

n d

t

n

t

n d

1

2

21

21

1

1

1

1 (2.45)

Como os valores de seno quando o tempo acrescido pelo perodo amortecido so iguais, aequao acima se reduz:

( )

= = =

+ln ln

e

ee

n

n d

n d

t

t n d

1

1 (2.46)

Lembrando-se que o perodo amortecido inversamente proporcional a frequnciaamortecida (eq. (1.11)) e utilizando as equaes (2.32), (2.39), (2.31) e, finalmente, (2.30),produz:

=

=

=n

nd

c

m

2

1

2

1

2

22 2

( )

=

+22 2

(2.47)Se


19/105



2.8

Figura 2.8 Decremento Logartmico x fator de amortecimento

A Figura 2.8 mostra a variao do decremento logartmico quando se assume a formulaoaproximada (2.48) e a formulao exata (2.47).


20/105



3.1

Captulo 3. Vibraes Foradas:

Equao de movimento: ( )mx cx kx F t + + = (3.1)

A soluo desta equao possui duas partes:a) a soluo homognea (ou complementar) e

b) a soluo particular.

3.1.EXCITAO HARMNICA:

Quando um sistema sujeito a uma excitao harmnica, ele forado a vibrar na mesmafrequncia que aquela de excitao. Fontes comuns de excitao harmnica so desbalan-ceamento de mquinas rotativas, foras produzidas por mquinas alternativas (c/ mbolo), i.e.,mquinas que transformam energia linear em rotativa (ex.: compressores) ou o prpriomovimento das mquinas. Estas excitaes podem ser indesejveis para os equipamentos cujaoperao possa ser perturbada por esta ou para a segurana da estrutura se grandes amplitudes devibraes ocorrerem. Ressonncia deve ser evitada na maioria dos casos, e para se prevenir que

grandes amplitudes ocorram, amortecedores e absorvedores so normalmente utilizados.3.1.1.Resposta a Excitao Harmnica:

A fora de excitao para este caso ser considerada sendo: F0sen t

A soluo particular neste caso uma oscilao de estado-estvel com a mesma frequnciada excitao. Assumindo-se a soluo como:

( ) = tXx sen (3.2)

X= amplitude de oscilao= fase do deslocamento em relao a fora de excitao.

Para se ter os valores de amplitude e fase, substitui-sexda equao (3.1) pelo seu valor naequao (3.2):

( ) ( )X

F

k m c=

+

0

2 2 2 (3.3)

=

tan 1 2

c

k m (3.4)

No movimento harmnico, a fase da velocidade e acelerao esto adiantadas dodeslocamento por 900e 1800, respectivamente, como mostrado na Figura 3.1.

Referncia

cXm2X

kX

F0

X

t

Figura 3.1 - Relao vetorial: vibrao forada c/ amortecimento

Consideremos os seguintes casos:

>> 1 02

XF

m (3.5)


21/105



3.2

Portanto, podemos concluir pelas equaes acima que: Em alta frequncia massa controla a amplitude X Em baixa frequncia rigidez controla a amplitude X

Os dois grficos na Figura 3.2 mostram as relaes acima, onde pode-se observar que nafrequncia natural, o valor mximo de amplitude ocorre no valor mostrado pela equao (3.7).

200

100

0

frequncia ()

Fase(graus)

90

n

frequncia ()

Amplitude(Xo)

F0

k

n

Figura 3.2 Grficos Fase x freq. e Amplitude x freq. para um sistema com 1 DOF

Dividindo-se numerador e denominador das equaes de amplitude (3.3) e fase (3.4) por ke utilizando-se as seguintes substituies:

n

k

m= = frequncia natural no-amortecida

= = =

c

c

c

k

c

c

c

kc c

c

n

2

stF

k= 0

= deflexo sobre a ao da fora esttica F0

rn

=

= razo de frequncia

Obtm-se o fator de magnificao ou amplificao, tambm conhecido como razo deamplitude (M) (expresso de forma adimensional), dado por:

( ) ( )222

222

21

1

21

1

rr

XM

nn

st

+=

=

+

==

(3.8)

E o ngulo de fase dado por:

=

=

tan tan1 2 1 2

2

1

21

n

n

rr

(3.9)


22/105



3.3

A soluo completa da equao de movimento quando sujeita a excitao harmnica dada por:

( ) ( ) ( )x t x t x th p= + (3.10)

( ) ( ) ( ) ++= tXteXtx dtn sensen 00 (3.11)

X e so calculados atravs das equaes acima ((3.8) e (3.9)), enquanto X0 e 0 podem ser

determinados atravs das condies iniciais.

Figura 3.3 Grficos de razo de amplitude x razo de frequncia e ngulo de fase x razode frequncia

A Figura 3.3 mostra a variao da razo de amplitude x razo de frequncia e ngulo defase x razo de frequncia para diversos valores de amortecimento. As seguintes observaespodem ser feitas quando se analisa a parte (a) desta figura e a equao (3.8):

1) Para um sistema sem amortecimento (= 0), a equao (3.8) se reduz a 1/(1-r2) e a razo deamplitudeMquando r 1;

2) Qualquer quantidade de amortecimento ( > 0) reduz a razo de amplitude para todos osvalores da frequncia de excitao;

3) Para qualquer valor especfico de r, um maior valor de amortecimento reduz o valor da razode amplitudeM;

4) No caso degenerado para o qual a fora constante (quando r= 0), o valor deM= 1;

5) A reduo da razo de amplitude na presena de amortecimento muito significante na

ressonncia ou prximo desta;6) A amplitude de vibrao forada torna-se menor com o aumento dos valores da frequncia de

excitao (i.e.,M0 quando r );

7) Para 0 < < 1/ ,2 , o valor mximo da razo de amplitude ocorre quando:

r ou n= = 1 2 1 22 2 (3.12)

que um valor menor que a frequncia natural no-amortecida n e a frequncia naturalamortecida d;

8) O valor mximo de X (i.e., para o valor de racima) dado por:

Xst

=

max1

2 1 2 (3.13)


23/105



3.4

e o valor de X quando = n dado por:

X

stn

=

=

1

2 (3.14)

NOTA: A equao do valor mximo acima pode ser utilizada para a determinao experimental

do valor de amortecimento presente no sistema. Isto : se em um teste dinmico o valor mximo

da amplitude de resposta (Xmax) medido, a razo de amortecimento pode ser encontrada

utilizando-se a equao acima. Da mesma forma, se a quantidade de amortecimento

conhecida, pode-se estimar o valor mximo da amplitude de vibrao.

9) Para > 1/ 2 , o grfico deXno possui pico e para = 0, existe uma discontinuidade em r= 1;

Analisando-se agora a parte (b) da Figura 3.3 e a equao (3.9), pode-se fazer as seguintesobservaes:

1) O ngulo de fase depende dos parmetros do sistema (m, ce k) e da frequncia de excitao, mas no depende da amplitude F0da funo de excitao.

2) Para um sistema no-amortecido ( = 0), a equao (3.9) mostra que o ngulo de fase 0para 0 < r1. Isto implica que a excitao e a resposta esto em fazer para oprimeiro caso e fora de fase para o segundo;

3) Para >0 e 0 < r< 1, o ngulo de fase dado por 0 0 e r> 1, o ngulo de fase dado por 9000 e r = 1, o ngulo de fase dado por = 900, implicando que a diferena de faseentre a excitao e a resposta 900;

6) Para >0 e grandes valores de r, o ngulo de fase aproxima-se de 1800, implicando que aresposta e a excitao esto fora de fase;

3.1.2.Desbalanceamento Rotativo:O desbalanceamento uma fonte comum de excitao. Consideraremos aqui o sistema

massa-mola-amortecedor restringido na direo vertical e excitado por uma mquina rotativa queest desbalanceada, como mostrado na Figura 3.4. O desbalanceamento representado por umamassa excntrica mcom excentricidade e, que est girando com uma velocidade angular .

tm

M

k/2 k/2c

e

x

Figura 3.4 Fora Harmnica perturbadora resultante de desbalanceamento rotativo

Fazendo-se x o deslocamento da massa no rotativa (M m) a partir da sua posio deequilbrio, o deslocamento de mser:

tex sen+ (3.15)

A equao de movimento ser ento:


24/105



3.5

( ) ( ) xckxtexdt

dmxmM =++ sen

2

2

(3.16)

Que rearranjada fica:

( ) tmekxxcxM sen2=++ (3.17)

A equao (3.17) possui o mesmo formato da equao (3.1). Considerando-se o termoforante desta equao, pode-se observar que ele similar a fora de excitao considerada noitem 3.1.1, onde F0pode ser substitudo por me

2. Portanto, a soluo do estado-estvel do item3.1.1 pode ser utilizada agora, fazendo-se as substituies necessrias, i.e.:

( ) ( )222

2

cMk

meX

+= (3.18)

21tan

Mk

c

= (3.19)

Escrevendo-se as duas equaes acima, agora de forma adimensional, produz:

( ) ( )222

2

222

2

2121

rr

r

e

X

m

M

nn

n

+=

+

=

(3.20)

21

21

1

2tan

1

2

tanr

r

n

n

=

=

(3.21)

A representao grfica das equaes adimensionais acima ((3.20) e (3.21)) pode ser vistana Figura 3.5.

Figura 3.5 Representao grfica das equaes (3.20) e (3.21) para o caso de vibraoforada com desbalanceamento rotativo

A soluo da equao de movimento completa neste caso pode ser expressa como:

( ) ( )( ) ( )

( )

+++= t

cMk

meteXtx d

tn sensen222

2

11 (3.22)


25/105



3.6

3.1.2.1.DESBALANCEAMENTO DE ROTORES:

No exemplo considerado na seo anterior (Figura 3.4), a fora centrfuga me2 queproduziu o desbalanceamento estava agindo em um plano nico. Entretanto, mais comum queo desbalanceamento esteja distribudo em vrios planos. O desbalanceamento pode ser estticoou dinmico, conforme a sua distribuio no rotor, como ser visto a seguir:

Desbalanceamento Esttico: quando todas as massas desbalanceadoras esto em ummesmo plano, como no caso de um disco rotor fino, o desbalanceamento resultante uma nicafora radial. Como mostrado na Figura 3.6, pode-se constatar este tipo de desbalanceamentoatravs de ensaios estticos, no qual o conjunto roda-eixo colocado sobre um par de trilhoshorizontais. O ponto mais pesado ficar diretamente abaixo do eixo. Uma vez que este tipo dedesbalanceamento descoberto sem que seja necessrio se fazer girar a roda, ele chamado dedesbalanceamento esttico.

Figura 3.6 Sistema com desbalanceamento esttico

Desbalanceamento Dinmico: quando o desbalanceamento aparece em mais do que umplano, a resultante uma fora e um momento de rotao, denominada desbalanceamentodinmico. A fora resultante pode ser encontrada utilizando-se o mesmo teste esttico acima,porm o momento s detectado com a rotao do motor. Se considerarmos o exemplomostrado na Figura 3.7, aonde as duas massas no-balanceadas so iguais, porm defasadas de

1800

, o rotor estar balanceado estaticamente, porm no dinamicamente. Isto porque quando orotor est girando, cada disco desbalanceado ir produzir uma fora centrfuga rotativa, tendendoa rolar o eixo nos seus mancais.

Figura 3.7 Sistema com desbalanceamento dinmico

3.1.3.Whirling de Eixos RotativosEixos rotativos apresentam a tendncia de se curvarem quando atingem determinadas

velocidades e girarem de uma maneira complicada. Whirling definido como sendo a rotaodo plano formado pelo eixo curvado e a linha de centro dos mancais. As causas deste fenmenoso vrias, tais como: desequilbrio de massa, amortecimento histertico no eixo, forasgiroscpicas, atrito dos fluidos nos mancais, etc. O whirling pode ocorrer na mesma direo,ou oposta, da rotao do eixo e sua velocidade pode ou no ser igual a velocidade de rotao.

O movimento whirling de eixos rotativos classificado normalmente como sendo autoexcitado, no qual as foras excitadoras que o induzem so controladas por ele prprio. Umaviso mais detalhada deste tipo de movimento est alm do interesse do curso.


26/105



3.7

3.2.CONTROLE DE VIBRAES:

3.2.1.Movimento de suporte:Antes de iniciarmos o estudo do controle de vibraes, interessante analisarmos o caso

quando o sistema dinmico excitado pelo movimento do seu ponto de suporte, como mostradona Figura 3.8.

m

k/2 k/2c

x

y

m

c(x-y) k(x-y). .

Figura 3.8 Sistema excitado pelo movimento do ponto de suporte.

Chamamosyo deslocamento harmnico do suporte e medimos o deslocamentoxda massama partir de uma referncia fixa. Na posio deslocada, as foras desbalanceadoras so devidas

ao amortecedor e s molas, sendo que a equao diferencial para este caso pode ser escrita como:( ) ( )yxcyxkxm = (3.23)

Fazendo-se a seguinte substituio:

z x y= (3.24)

ondezrepresenta o deslocamento da massa relativo a sua base, a equao (3.23) pode serre-escrita como:

( )mz cz kz my m Y t sin+ + = = 2 (3.25)

O formato da equao acima idntico ao da equao (3.17), onde z substitui xe m

2

Ysubstitui me2. Portanto, a soluo pode ser imediatamente escrita como:

( ) ( )222

2

cmk

YmZ

+= (3.26)

21tan

mk

c

= (3.27)

As curvas mostradas na Figura 3.5 so aplicveis tambm as equaes acima, fazendo-secontudo as mudanas apropriadas de coordenadas.

Se o movimento absolutoxda massa m desejado, pode-se resolver o problema parax=z

+y. Usaremos a forma exponencial do movimento harmnico (i.e., lgebra complexa):tiYey = (3.28a)

( ) ( ) tiiti eZeZez == (3.28b)( ) ( ) tiiti eXeXex == (3.28c)

Que substituda na equao (3.25) fornece:

cimk

YmZe

i

+=

2

2

(3.29)

e ( )titii Yecimk

cikeYZex

+

+=+= 2 (3.30)

Portanto, a amplitude do estado-estvel e o ngulo de fase para a equao acima sero:


27/105



3.8

( )

( ) ( )22222

cmk

ck

Y

X

+

+= (3.31a)

222

2

21

21

+

+

=

nn

n

(3.31b)

( ) ( )223

tancmkk

mc

+= (3.32a)

22

3

21

2

+

=

nn

n

(3.32b)

NOTA: Noes matemticas de nmero complexo

ibaz

+=

1 (3.33)

za b

=+

12 2

e = zb

atan 1 (3.34)

zz z i z z

= +

1

cos( ) sin( ) (3.35)

Re( )za

a b= +2 2 e Im( )zb

a b=

+2 2 (3.36)

z z z= +Re( ) Im( )2 2 e = zz

ztan

Im( )

Re( )1 (3.37)

z z z i z z= + cos( ) sin( )

As equaes (3.31b) e (3.32b) esto representadas graficamente na Figura 3.9. Deve-seobservar que todas as curvas de amplitude para os diferentes valores de amortecimento possuemo mesmo valor de |X/Y| = 1,0 para o valor da razo de frequncia /n= 2

Figura 3.9 Grfico das equaes (3.31b) e (3.32b)


28/105



3.9

3.2.2.Razes para o controle (ou isolamento) de vibraes: Evitar que vibraes excessivas sejam transmitidas a um objeto delicado atravs da sua

estrutura; Prevenir que foras vibratrias geradas por mquinas sejam transmitidas para seus

arredores.

NOTA: o problema o mesmo para estes dois objetivo, i.e. reduzir as foras transmitidas.

3.2.3.Mtodos para controle de vibraes: Atravs do controle das frequncias naturais do sistema de forma a se evitar as condi-

es de ressonncia sob excitaes externas; Atravs da introduo de amortecimento ou mecanismos de dissipao de energia de

forma a se prevenir respostas excessivas do sistema, mesmo sob ressonncia; Atravs do uso de isoladores de vibraes de forma a se reduzir a transmisso das foras

de excitao de uma parte da estrutura a outra; Atravs da adio de massas neutralizadoras ou absorvedores de vibraes de forma a

se reduzir a resposta do sistema.

3.2.3.1.CONTROLE DAS FREQUNCIAS NATURAIS: bastante conhecido que quando uma das frequncias naturais do sistema coincide com a

frequncia de excitao do sistema, ocorre o fenmeno de ressonncia. A caracterstica destefenmeno grandes amplitudes grandes tenses e deformaes que podem por sua vez causarfalhas no sistema.

A frequncia natural do sistema pode ser mudada variando-se a massa do sistema (m) ousua rigidez (k). Entretanto, o ltimo parmetro que normalmente utilizado.

3.2.3.2.INTRODUO DE AMORTECIMENTO:

A resposta ou amplitude de vibrao de um sistema em vibrao forada torna-se bastante

grande prximo a ressonncia se no existe amortecimento. O amortecimento tende a limitar estaamplitude.

Quando o sistema (ou mquina) necessita de ser operado sob um intervalo de velocidades,pode no ser possvel se evitar a condio de ressonncia em todas as condies operacionais.Neste caso, pode-se introduzir amortecimento no sistema atravs de materiais tendo grandeamortecimento interno (tais como ferro fundido ou laminado ou materiais sanduches) paracontrolar a sua resposta. Em algumas aplicaes, amortecimento introduzido atravs de juntas.

3.2.3.3.ISOLAMENTO DE VIBRAES:

o procedimento pelo qual os efeitos indesejveis de vibraes so reduzidos. Basica-mente envolve a introduo de um membro isolador entre a massa vibrante (ou equipamento) e afonte de vibrao, de tal forma que a resposta dinmica reduzida sob condies especficas deexcitao.

O isolamento dito ativo ou passivo dependendo se fora externa necessria ou no parao isolador produzir sua funo.

O isolador passivo consiste de um membro resiliente (rigidez) e um dissipador de energia(amortecedor). Exemplos incluem molas metlicas, pneumticas ou de borracha, rolhas, etc.

O isolador ativo consiste de um mecanismo servidor com um sensor, um processador desinais e um atuador. A efetividade do isolador representado em termos da sua transmissi-bilidade, o que ser introduzido no item a seguir.

3.3.FORA DE TRANSMISSIBILIDADE:A fora de transmissibilidade definida como sendo a razo entre a amplitude da fora

transmitida e a amplitude da fora de excitao.


29/105



3.10

3.3.1.Reduo da fora transmitida para uma fundao rgida:Um membro elstico (ou resiliente) colocado entre a mquina e a fundao rgida. Este

membro assumido ter elasticidade e amortecimento. A Figura 3.10 mostra este procedimento,assim como a forma de se representar os elementos me termos de massa-mola-amortecedor.

Mquina (m)

Membro

resiliente

F(t)=F0cos (t)

x(t)

Mquina (m)

F(t)=F0cos (t)

x(t)

Membroresilienteck

Figura 3.10 - Mquina e membro resiliente em fundao rgida.

A EM a ser resolvida : ( )mx cx kx F t cos+ + = 0 (3.38)

Como a soluo transiente morre aps um tempo, apenas a soluo de estado estacionriopermanece, i.e.:

( ) = tXx sen (3.39)

Portanto, a mesma soluo apresentada anteriormente obtida, i.e.:

( ) ( )X

F

k m c=

+

0

2 2 2 (3.40)

=

tan 1 2

c

k m (3.41)

A fora, Ft(t), transmitida a fundao atravs da mola e do amortecedor dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+= tXctkXtxctkxtFt sencos (3.42)

A magnitude da fora transmitida total (FT) dada por:

( ) ( ) ( )2222 ckXxckxFF tT +=+== (3.43)

Portanto, a transmissibilidade (ou razo de transmisso) do isolador (Tr) dada por:

( )

( ) ( )T

F

F

k c

k m cr

T= = +

+0

2 2

2 2 2

(3.44)

Trn

n n

=

+

+

1 2

1 2

2

2 2 2

(3.45)

Comparando-se a equao (3.45) acima com a equao (3.31b), pode-se observar que elasso iguais, i.e., Tr= |X/Y|. Isto demonstra que os problemas mostrados no item 3.2.2 so iguais,ou em outras palavras, o isolamento de uma massa do movimento de apoio idntico ao doisolamento das foras perturbadoras.

Portanto, a Figura 3.11 abaixo igual a Figura 3.9 onde mostrado agora como o valor datransmissibilidade varia com relao a razo de frequncia e taxas de amortecimento. Diante do


30/105



3.11

que foi dito acima, a ordenada destas duas figuras representam igualmente transmissibilidade defora ou de deslocamento. Alguns comentrios sobre esta primeira figura so feitos a seguir.

Figura 3.11 Grfico de transmissibilidade x razo de frequncia

Para se atingir isolamento, a fora transmitida a fundao deve ser menor do que a fora deexcitao. Para isto, pode ser visto atravs da Figura 3.11 que a frequncia de excitao dever sermaior do que 2 vezes o valor da frequncia natural do sistema.

OBS: A magnitude da fora transmitida a fundao pode ser reduzida reduzindo-se a

frequncia natural do sistema (n); A fora transmitida pode ser reduzida reduzindo-se o valor da razo de amortecimento.

Entretanto, uma vez que o isolamento de vibraes requer r> 2, a mquina deve pas-

sar por ressonncia quando acionada e desligada. Desta forma, algum amortecimento essencial para se evitar amplitudes infinitas na ressonncia; Embora o amortecimento reduza a amplitude da massa (X) em todas as frequncias, ele

reduz a mxima fora transmitida apenas se r < 2. Acima deste valor, o amorte-cimento aumenta a fora transmitida;

Se a velocidade da mquina (frequncia de excitao) varia, a quantidade de amorteci-mento adicionada deve ser suficiente para limitar a amplitudeXe a fora transmitida Ftenquanto passando pela ressonncia, mas no muito grande de forma a aumentardesnecessariamente a fora transmitida na velocidade de operao.

Quando o amortecimento desprezvel, a equao de transmissibilidade (3.45) se reduz a:

112

=

n

rT

(3.46)

onde assumido que o valor de (/n) a ser usado sempre maior do que 2.Substituindo-se n por /g, onde g a acelerao da gravidade e a deflexo esttica, aequao (3.46) pode ser expressa como:

( ) 12

1

2

=

gf

Tr

(3.47)

Resolvendo-se em relao afe convertendo-o para ciclos por minuto, obtm-se a seguinteequao quando o deslocamento esttico expresso em polegadas e g = 386pol/s 2:


31/105



3.12

=

+

=

R

Rf

Tf

r 1

21188ou1

11188

"" (3.48a)

ou quando o deslocamento esttico expresso em metros e g = 9,81 m/s2:

=

+= R

R

fTf r 1

21

30ou1

11

30 "" (3.48b)

onde a reduo percentual na transmissibilidade definida comoR= (1-Tr).

Para se reduzir a amplitudeXda massa isolada msem mudar Tr, a massa m normalmentemontada em uma massa grande M. A rigidez k deve ser portanto aumentada para se manterconstante a razo k/(m+M).

m

M

k

Figura 3.12 Montagem da massampara reduo da amplitude de vibraoX.

Uma vez que no problema geral a massa ma ser isolada possui 6 DOFs (3 translaes e 3rotaes), o projetista do sistema de isolamento deve usar sua intuio e sua ingenuidade. Osresultados da anlise para 1 DOF deve, entretanto, servir como um guia til.


32/105



4.1

Captulo 4. Amortecimento:

Amortecimento est presente em todos os sistemas oscilatrios. O efeito primrio do

amortecimento remover a energia do sistema. Esta perda de energia resulta em um decaimento

na amplitude da vibrao livre. Na vibrao forada de estado-estvel, a perda de energia

balanceada pela energia que fornecida pela excitao.Existem vrios mecanismos que podem causar amortecimento em um sistema:

frico interna;resistncia do fluido;frico de escorregamento, etc.

Em geral, a descrio matemtica do amortecimento bastante complicada e no prtica

para anlise de vibraes. Portanto, modelos simplificados foram desenvolvidos que so, em

muitos casos, adequados na avaliao da resposta do sistema.

Amortecimento viscoso linear fornece o modelo de amortecimento mais simples (i.e., fora

diretamente proporcional a velocidade). Mesmo quando o amortecimento real bem mais

complexo, possvel se reter a simplicidade do amortecimento linear viscoso se introduzindo um

amortecimento viscoso equivalente.

4.1.ENERGIA DISSIPADA POR AMORTECIMENTO:

Dissipao de energia normalmente determinada sob condies cclicas de oscilao.

Dependendo do tipo de amortecimento presente, a relao fora-deslocamento quando

representada graficamente pode diferir enormemente. Em todos os casos entretanto, a curva

fora-deslocamento ir englobar uma rea, chamada de loopde histerese, que proporcional a

energia perdida por ciclo.

A energia perdida por ciclo devido a fora de amortecimento Fd calculada atravs da

equao geral:

W F dxd d= (4.1)

Em geral, Wddepende de vrios fatores, entre eles: temperatura, frequncia ou amplitude.

Vamos considerar o caso mais simples de dissipao de energia, que para um sistema

massa-mola com amortecimento viscoso. Neste caso, a fora de amortecimento F cxd= .

Assumindo-se movimento harmnico do tipo ( ) ( )x t X t= sin , a energia dissipada por ciclo dada por:

W cxdx cx dt c X t dt c X d= = = = cos ( )2 2 2 2

0

2

2

(4.2)

De particular interesse a energia dissipada em vibrao forada na ressonncia.

Substituindo-se os valores abaixo:

nk

m= e c km= 2

a equao da energia dissipada acima se reduz a:

W kXd= 2 2 (4.3)

A energia dissipada por ciclo pela fora de amortecimento pode ser representadagraficamente como se segue. Escrevendo-se a velocidade na forma abaixo:


33/105



4.2

( ) cos( ) sinx X t X t X x= = = 1 2 2 2 (4.4)

a fora de amortecimento torna-se:

F cx c X xd= = 2 2 (4.5)

Rearranjando-se a expresso acima obtm-se:

F

c X

x

X

d

+

=

2 2

1 (4.6)

Esta expresso de uma elipse com Fd e x representados nos eixos vertical e horizontal

respectivamente, como visto na Figura 4.1(a) abaixo. A energia dissipada por ciclo dada pela

rea englobada pela elipse. Se a fora kxda mola adicionada a fora Fd, o loop de histerese

rotacionado como visto na Figura 4.1(b) abaixo. Esta representao se conforma com o modelo

de Voigt, que consiste em uma amortecedor viscoso (dashpot) em paralelo com uma mola.

Figura 4.1 Grficos fora de amortecimento x deslocamento

Para o caso de amortecimento linear aonde a energia dissipada proporcional ao quadrado

da deformao ou amplitude, a curva de histerese uma elipse. Quando a perda por

amortecimento no uma funo quadrtica da deformao ou amplitude, a curva de histerese

no mais uma elipse.

4.2.AMORTECIMENTO VISCOSO EQUIVALENTE:

O efeito principal do amortecimento em sistemas oscilatrios limitar a amplitude da

resposta na ressonncia. Amortecimento tem pouca influncia na resposta em regies de

frequncia longe da ressonncia.

No caso de amortecimento viscoso, a amplitude na ressonncia foi calculada como:

= = =nn

k

mX

F

c

0 (4.7)

Para outros tipos de amortecimento, no existe expresso simplificada como esta.

Entretanto, possvel se aproximar a amplitude ressonante substituindo-se um amortecimento

equivalente ceqna equao acima.

O amortecimento equivalente ceq encontrado igualando-se a energia dissipada pelo

amortecimento viscoso aquele da fora de amortecimento no viscoso assumindo-se movimento

harmnico, i.e.:

c X Weq d2 = (4.8)

aonde Wddeve ser calculada para cada tipo de

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