FATEC FACULDADE DE TECNOLOGIANOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA CLCULO IPROF. Dr. FTIMA AHMAD RABAH ABIDOGara - SPApostila de Clculo I FATEC 21 Semestre / 2011EMENTA Matemtica Elementar Limite e Continuidade DerivadaOBJETIVO Raciocinar lgica e organizadamente; Aplicar com clareza e segurana os conhecimentos adquiridos; O aluno dever ser capaz de construir grficos de funes reais de uma varivel real, calcular limites e derivadas; Utilizar estes conhecimentos em outras situaes que surgiro a longo de sua atividade acadmica.BIBLIOGRAFIA BOULOS, Paulo. Pr-Clculo. Makron Books - SP 1999. COELHO, Flvio. Curso bsico de Clculo. So Paulo: Saraiva, 2005. EDWARDS, Jr.,C. & Penney,D. Clculo com Geometria Analtica. Vol. 1 Rio de Janeiro LTC Editora, 1999. FLEMMING, Diva Marlia - Clculo A - Makron Books - SP 1999. HOFFMANN, Laurence. Clculo - Vol.1 LTC, 1990.LEITHOLD. Louis - O Clculo com Geometria Analtica Vol.1 Ed. Harper & Row do Brasil Ltda-SP SILVA, Sebastio Medeiros. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2001. SIMMONS, George.Clculo com Geometria Analtica. Vol.1 So Paulo Mcgraw-Hill 1987. SWOKOWSHI. Clculo com geometria analtica. So Paulo: Editora Makron Books.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 3REVISO1. Conjuntos Numricos1.1 Nmeros Naturais1.2 Nmeros Inteiros1.3 Nmeros Racionais1.4 Nmeros Irracionais1.5 Nmeros Reais2. Nmeros reais resumo operacional2.1 Clculo do valor de expresses numricas2.2 Potenciao2.2.1 Potncia de expoente inteiro2.2.2 Potncia de expoente racional2.3 Racionalizao3. Valor numrico de expresses algbricas4. Operaes com expresses algbricas4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses Literais4.2 Produtos Notveis4.3 Fatorao4.4 Simplificao4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio5. Equaes do 1 grau6. Inequaes do 1 grau7. Equaes do 2 grau7.1 Equaes incompletas7.2 Equaes completas8. Sinal do trinmio do 2 grau9. Inequaes do 2 grau10. Funes10.1 Definio10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio10.3 Tipos de Funes10.3.1 Funo Constante10.3.1.1 Grfico de uma Funo Constante10.3.2 Funo do 1 Grau10.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 Grau10.3.3 Funo do 2 Grau10.3.3.1 Grfico de uma Funo do 2 Grau10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau10.3.3.3 Vrtice da Parbola10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice10.3.4 Funo Modular10.3.5 Funo Exponencial10.3.6 Funo Logartmica10.3.7 Funes Trigonomtricas10.3.8 Funes Trigonomtricas InversaProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 41. Conjuntos Numricos1.1 Nmeros NaturaisOs nmeros naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus bens. Os smbolos que representam os nmeros naturais so chamados de algarismos.N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Nmeros InteirosOs nmeros inteiros so todos os nmeros naturais e tambm os seus opostos.Z = {... , -3, -2, -1,0, 1, 2, 3, ... }1.2 Nmeros RacionaisOs nmeros racionais so aqueles que podem ser obtidos como quociente de dois nmeros inteiros.Q = {p/q , onde p, q Z e q 0}1.3 Nmeros IrracionaisOs nmeros irracionais so aqueles que no podem ser obtidos como o quociente de dois nmeros inteiros.Exemplo: So nmeros irracionais: 3,1415929... 2 1,4142135...3 1,7320508... e 2,7182818...1.4 Nmeros ReaisO conjunto dos nmeros reais definido como a unio entre os conjuntos dos nmeros irracionais e racionais. OBSERVAO-Mdulo de um NmeroO mdulo, ou valor absoluto, de um nmero real qualquer a distncia deste nmero origem (zero). O mdulo de um nmero real x pode ser definido tambm por:'< 0xse ,0xse ,xxxProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 5Exemplos(a) ( ) 10 10 10 (b) 7 7 7 + +2. Nmeros Reais Resumo Operacional2.1 Clculo do valor de expresses numricas2.1.1 Ordem de operao(1) Potenciao e Radiciao;(2) Multiplicao e Diviso; e(3) Adio e SubtraoSeguindoaordemdeoperao daesquerdaparadireita, esempreeliminandoprimeiro parnteses ( ); depois colchetes [ ] e finalmente as chaves { }.OBS (Nmeros Racionais): - Adio e Subtrao:Achar o mmc (divide o mmc encontrado pelo denominador e o resultado, multiplicar pelo numerador);Ex: 20232015 84352++- Multiplicao: multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador;

Ex: 1432864 73 24372 - Diviso: mantm a primeira frao e multiplica pelo inverso da segunda.Ex: 20214 57 347537453 Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 6ExercciosCalcular ovalor das seguintes expresses numricasdandoarespostanaformadefraoe decimal.

,_

,_

28372 :710:49589.32) 1

,_

+23:4151:1011 ) 271:21.2527.71127:4131) 31]1

,_

+

,_

;'1]1

,_

+ + 1 131- 1 4 13 - 12 1 - 3 ) 4( )5 17 , 0341 85

3 - 1412552- 32174 ) 5+

,_

+

,_

+ Respostas1) 1 2) 3 3) 1 4) 414 5) 0,232.2 Potenciao 2.2.1 Potncia de expoente inteiroSeja a um nmero real e m e n inteiros positivos. Ento:1) a n =a. a. a. .a ( n vezes)5) a m a n = a m - n2) a 0 = 1 6) (a m ) n = a m.n3) a - n = 1/ a n,a 0 7) (a / b) m = a m / b m, b 0 4) a m . a n = a m +n8) (a . b) n = a m . b m, b 0 ExercciosCalcular o valor das expresses:1) 5 2 2) (-3) 3 3) (-3) 2 4) -3 2 5) 5 0

Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 76) (2 3) 27) ((-1) 3) 2 8) - (-1) 49) 343

,_

10) 223

,_

11) 472212) 2 32 . 2 13) ( ) [ ]332 92 . 2 : 214) ( )2 225 4 3 1112154 ++ ,_

+ 15) ;'+

,_

+ ;'

,_

232161316112RESPOSTAS1) 25 2) - 27 3) 9 4) - 9 5) 1 6) 64 7) 1 8) -1 9) 27/6410) 4/9 11) 8 12) 32 13) 1 14) 1069/1521 15) 3/5 2.2.2 Potncia de expoente racional Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos, definimos:a)( )mnnma a quando( )naexiste;b) se a 0, nmnma a / 1 OBSERVAES IMPORTANTES:- na= p p n = a, onde ' radical ndice nraiz p radicando a- Se n par e a negativo: an positiva, nano real(ex: 416 no existe raiz real)-Se n mpar e a negativo: an negativo, na negativa (ex:2 83 )ExemplosProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 8( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) reais. nmeros dos conjunto no 25 - existe no pois real, n um no 259 / 1 3 / 1 27 / 1 27 / 1 27 5 / 1 25 / 1 25 / 1 25256 4 64 64 8 2 ) 4 ( 42322332322121443343 323 Exerccios36 ) 1364 - ) 2522431- ) 3

,_

4),_

+ +

,_

+31153:5316449.745) 201 0233223436 . 3 2 : 8 411]1

,_

+;'

,_

6)( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] { } ( ) 3 : 4 : 256 : 49 . 3 3 2 22 3 + +

Respostas1) 6 2) - 4 3) 9 4) 5/2 5) 2 6) 12.3 RacionalizaoRacionalizar uma frao consiste em eliminar, atravs de operaes algbricas, o radical ou os radicais do denominador.Existem trs casos:(1) aa Naa NaaaNaN . ..2 (2) aa Naa NaaaNaNn x nn nn x nn x nn x nn x n x . ..(3) ( )( )( )( )( ) ( )( )b ab a Nb ab a Nb ab ab aNb aN++. ..2 2Exerccios1. Racionalize:Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 9(a) 25 (b) 1 22 2 (c) 2 54+ (d ) 3 53 22. Efetue o produto:1 33 5.35 3+ . 3. Simplifique:1 31 31 31 3+++ . Respostas1 . (a) 2 / 2 5 (c)( ) 3 / 2 5 . 4 (b) 2 (d)( ) 3 15 +2.( ) 3 / 3 3 . 2 +3. 43. Valor numrico de expresses algbricasExercciosEmcadaumadasexpressesseguintes,substituir xpelovalordadoe calcularovalorda correspondente expresso numrica.1) y = x 2 2x + 2;x = - 2 1321 - x1y) 33 2+ ,_

+ ,_

xx; x = 22) y = x 2 2x + 2;x =3/5 ab 1b ay ) 4+ ; a = 2/3eb = 4/5Respostas1) y = 10 2) y = 29/25 3) y = - 62 4) y = 22/74. Operaes com expresses algbricas4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses literais.Exerccios1) Efetuar as operaes indicadas em cada um dos casos seguintes:a) (3a - 2b + c ) - (- 6a b 2c) + (2a + 3b - c )d),_

+ x x x412 1523 2Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 10b) a b.(2a + ab b)2 23 4y x 6y 18x - ) ec),_

+ ,_

+ 2 2 2 2314110 341y x xy y x xyf) 2x3y4 : (4xy3)-22) Efetue as operaes indicadas, em que a.b.x.y 0:2534 35 22 2xy 4y a 7:xy 6b a 5.b a 10y 3x Respostas1 a) 11a + 2b + 2c c) 2 24391235y x + e) 3xy2) b a 7x42b) 2a4b + ab -ab d) 3 5 210154 -52x x x +f) 32x7y104.2 Produtos notveis So produtos que aparecemcommuita freqncia na resoluo de equaes ouno desenvolvimento de expresses.Vejam alguns casos:(1) (a + b)2 = (a + b).(a + b) =a2 + 2ab + b2

Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Soma

(2) (a - b)2 = (a - b).(a - b) a2 - 2ab + b2Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Diferena(3) (a + b).(a - b) = a2 -b2 Diferena de dois QuadradosExerccios1) (x + 2)23) (x 1/2)2 5) (3 + x) (3 x) 7)( ) ( ) 5 x . 5 x +2) (7x - 1)2

4) 212

,_

xx 6) (2x2 3) (2x2 + 3) 8)

,_

+

,_

x 2x 4.x 21Respostas1) x2 + 4x + 43) x2 - x + 1/4 5) 9 x27) x 252) 49x2 - 14x + 1 4) 22x1 1 -4+x 6) 4x4 9 8) 14.3 Fatorao (Expresses Algbricas)Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 11(1)ax + bx = x. (a + b)Fator Comum(2) ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b). (x + y) Agrupamento(3) x + Sx + P = (x + a).(x + b)Trinmio do 2 Grau onde S e P representam, respectivamente a soma e o produto de nmeros ae b, ou seja S = a + b e P = a.bExerccios : Fatore.1) 2x + 4y 5) 27x4 3y2 9) 4x2 - 4xy + y2 2) 6x + 12xz 10x4a6) x2 + 2x + 110) x2 + 7x + 12 3) ax a 3x + 3 7) x2 - 8x + 1611) x2 - 6x + 8

4) 125x2 58) 9x4 30x2 + 2512) x2 + 2x - 8 Respostas1) 2(x + 2y)4)5 (5x 1) (5x + 1)7) (x - 4)210) (x + 3) (x + 4) 2) 2x.(3 + 6xz 5xa) 5) 3 (3x2 y) (3x2 + y)8) (3x2 5)2 11) (x 2) (x - 4) 3)(x 1).(a - 3) 6) (x + 1)2 9)(2x y)2 12) (x 2) (x + 4) 4.4 SimplificaoExerccios : Simplifique. 1) 2a 3ab 2 4) 4 x 4 x4 x22+ 7) 9 x 6 x6 x 5 x22+ + 2) x 2 8x 4 x25) ( )25 x5 x22+ 8) 23 21111aaaaa++3) x 9 3x 9 x 272 3++ 6) 9 x9 x 6 x22+ 9)

,_

,_

+4 a1 a.a 2 aa a a aa 2 a222222Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 12RESPOSTAS1) a 3b 24) 2 x2 x+7) 3 x2 x2) 2x5) 5 x5 x+ 8) - 23) 2x 36)3 x3 x+ 9) 2 a2 a+EXERCCIO EXTRA- Encontre o valor de x, onde A, B, C, E, M, O, e T so constantes:( )( ) ( ) BOC xCTEBAMBOC x Bx BC AM+ ++..4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por PolinmioAntesdeiniciarmosadiviso deum polinmio por outro polinmio,daremos algumas dicas importantes:1) O polinmio dividendo deve ser colocado na forma geral e em ordem decrescente em relao varivel, antes de iniciar a diviso.2) O grau do polinmio dividendo dever ser maior ou igual ao grau do divisor.3)A diviso termina quando o resto for zero (diviso exata), ou quando o resto apresentar grau menor que o grau do divisor.LEMBRETE:Relao fundamental da divisoDividendo |divisor Dividendo = quociente xdivisor+resto resto quocienteExemplo: 13 |413 = (3 x4) + 11 3Vamos mostrar, com exemplos, como se determina o quociente de um polinmio por outro.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 13Observeaseqnciautilizadaparadividir opolinmio(34x5+6x3- 24x2) pelo polinmio (2x 4).1 PassoEscrevemos o polinmio dividendo na ordem decrescente dos graus da varivel:6x 3 - 24x 2 + 34x 5 |2x 4 2 Passo Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, obtendo, assim, o primeiro termo do quociente:6x 3 - 24x 2 + 34x 5 |2x 4 6x 3 : 2x = 3x2 3x23 Passo Multiplicamos o primeiro termo do quociente (3x2)pelo divisor (2x 4 ) e subtramos esse produto do dividendo, obtendo, assim, o primeiro resto:

6x 3 - 24x 2 + 34x 5 |2x 4 3x2. (2x 4) = 6x 3 - 12x2 - 6x 3+ 12x 2 3x2 - 12x 2 + 34x 54 Passo Dividimos, agora, o primeiro termo do resto (- 12x 2) pelo primeiro termo do divisor (2x), obtendo, com isso, o segundo termo do quociente: 6x 3 - 24x 2 + 34x 5 |2x 4 (12x 2 ): (2x) = - 6x - 6x 3+ 12x 2 3x2 6x - 12x 2 + 34x 55 Passo Multiplicamos o segundo termo do quociente (- 6x)pelo polinmio divisor (2x 4 ) e subtramos esse produto do primeiro resto, obtendo, dessa forma, o segundo resto:6x 3 - 24x 2 + 34x 5 |2x 4 (- 6x) . (2x 4) = - 12x 2 - 24x - 6x 3+ 12x 2 3x2 6x - 12x 2 + 34x 512x 2 -24x .10x 5 6 PassoDividimos, agora, o segundo resto pelo divisor, procedendo da mesma maneira utilizada no 4 e 5 passos:6x 3 - 24x 2 + 34x 5 |2x 4 (10x) : (2x) = 5 - 6x 3+ 12x 2 3x2 6x + 5 - 12x 2 + 34x 512x 2 -24x . 10x - 5 - 10x + 20 15Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 14O processo vai se repetindo at que o grau do resto seja menor do divisor, ou esse resto seja zero, e a a diviso exata.No caso do nosso exemplo, o resto 15 grau zero (15x0), como o divisor 2x 4 tem grau um (2x1 4), temos grau do resto < grau de divisor e, com isso, encerramos a diviso:Resposta: Quociente (q) = 3x2 6x + 5e Resto (r) = 15A relao fundamental da diviso utilizada para verificar se a diviso est correta.D = q . d + rNo exemplo estudado, temos:6x 3 - 24x 2 + 34x 5 = (3x2 6x + 5) . (2x 4) + 15.O processo de diviso exposto fica mais simples quando o divisor da forma (x a). Nesse caso, usa-se umdispositivo prtico, conhecido comodispositivo de Briot-Ruffini, que apresentamos atravs de um exemplo. Para dividir (x + 2x4 3x2 3) por (x 3), dispomos o dividendo em soma de parcelas de potncias decrescentes de x, e dispomos as expresses como na diviso de nmeros, s que agora s escrevemos os coeficientes (os nmeros que multiplicam as potncias de x). No caso, o dividendo se escreve (2x4 + 0x3 3x2 + x 3), os coeficientes sendo 2, 0, - 3, 1 e 3. Dispomos os nmeros como segue:20- 31- 3|3 Aseguir, baixamosoprimeirocoeficiente, 2, isto, escrevemos 2abaixodo2. Da multiplicamos esse nmero pelo nmero na chave da diviso, isto , 3: 2.3 = 6. O nmero obtido somadoaosegundocoeficientedodividendo:6+0=0, eoresultadoescritoabaixodesse segundo coeficiente. 2.3 + 0 = 6 ____________________ |20- 31- 3|3 26 |__________________|2.3 Agora, repetimosoprocedimento, comeandopelo 6. Multiplicamos6pelo nmeroda chave 3, e somamos com 3, obtendo 15, o qual colocamos abaixo do prximo coeficiente do dividendo, isto , abaixo do 3:6.3 + (-3) = 15 _______________ |20- 31- 3|3 2615 |_______________| 6.3 De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1, para obter 46, que colocamos abaixo desse coeficiente. 15.3 + 1 = 46 ___________Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 15 |20- 31- 3|3 26 15 46 |____________| 15.3 Finalmente, a ltima etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com 3, obtendo 135, que deve ser colocado abaixo do 3. O nmero 135 o resto. Veja como fica o dispositivo:20 - 31- 3|3 2615 46 135quociente: 2x 3 + 6x 2 + 15x+ 46restoO quociente obtido atravs dos nmeros da segunda linha, exceto o ltimo, 135, que o resto. Deve-secomearcomumapotnciaamenosque adodividendo.Entoo quociente, conforme indicado acima, 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46. Portanto,2x4 3x2 + x 3= (x 3).(2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135ou, se x 3, 2x 4 3x 2+ x 3 = (2x 3 + 6x 2 + 15x + 46)+135x 3 x - 3ExercciosUsando o dispositivo prtico, descubra o quociente e o resto de cada diviso:a) (x 5 1) por (x 1)e)(x 5 - 5x 3 + 5x + 1) por (x2 + 3x + 1)b) (2x 3 + 3x 2 - 3x 2) por (x 1)f) (x 3 - x 2 + 5x + 6) por (x + 3)c) (x 4 + x 2 + 1) por (x 1)g) (2 x 4 - 3x 3 + 16x 2 + 6x - 40) por (4x - 8)d) (2x 3 - 9x2 - 3x + 1) por (x - 5x + 1) h) (x 3 - x 2 + 4x - 6) por (x - x + 3) Respostasa)q = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1er = 0 e)q = x 3 - 3x 2 + 3x - 1er = 2b)q = 2x2 + 5x + 2er = 0 f)q = x2 - 4x + 17er = - 45Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 16c)q = x2 + 2er = 3g)q = 21x 2 - 43x + 5 er = 0d)q = 2x + 1er = 0 h)q = xer = x - 65. Equaes do 1 grau toda equao do tipo ax + b = 0, com a IR* e b IR. Para determinar o conjunto soluo (S) de uma equao do 1 grau, procedemos assim:Forma Geral:ax = - b,onde a 0Soluo:x = - b / a , ou seja, S = ;'abExemplos: Resolva as equaes.1) (x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1), para U = IR.Soluo:(x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1) x - 1 2x + 2 = x - 2x + 1 3x - 3 3x = 1 3 + 1 - 2 3x = 3 x = 3/3 ou seja,x = - 1 Como -1 IR, ento S = { - 1}.2) 12x31 x 241 x, para U = IR.Soluo:12x31 x 241 x mmc(4,3,12) = 1212x12) 1 x 2 .( 4 ) 1 x .( 3 3.(x - 1) 4.(2x 1) = x 3x - 3 8x + 4 = x

3x 8x - x = 3 4- 6x = 1Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 17 x = 1/- 6 ou seja,x = 1/6 Como 1/6 IR, ento S = { 1/6}.3) 18 x 239 x 6 x49 x52 2 2+ , para U = IR - {- 3, 3}.Soluo:18 x 239 x 6 x49 x52 2 2+ Determinando o mmc dos denominadores, temos,x - 9 = (x + 3).(x 3)x - 6x + 9 = (x 3)2x - 18 = 2.(x 9) = 2. (x + 3).(x 3)mmc(x - 9, x - 6x + 9, 2x - 18)Assim:2 2) 3 x ).( 3 x ( 2) 3 x ( 3) 3 x ).( 3 x ( 2) 3 x .( 2 . 4 ) 3 x .( 2 . 5 + ++ 10.(x - 3) 8.(x + 3) = 3.(x-3) 10x - 30 8x - 24 = 3x - 9

10x 8x 3x = 24 9 + 30 - x = 45 ou seja,x = - 45 Como -45 IR - {- 3, 3}, ento S = { - 45}.Exerccios1) Resolver cada uma das equaes seguintes:a) 5(3x 1) 4.(2 4x) = 2.(x 4)

b) 2x + x.(x + 2) (x + 3).(x 3) = 2.(x + 1)c) 32 x21 x 241 +Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 18d) x 6 x 6x1 xx 265x1 x22++ +, (x - 1 e x 0)

2)Umtxi iniciaumacorridamarcandoR$4,00notaxmetro. Sabendoquecadaquilmetro rodadocusta R$ 3,00 e que ototalda corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilmetros foram percorridos.3) Determine o nmero cujo dobro subtrado de 20 unidades igual sua metade adicionada de 10 unidades.4) Determine as dimenses de um retngulo, sabendo que seu permetro mede 90 m e que a medida de um lado o dobro da medida do outro.Respostas1) a)5/29 b) 7/2 c) 1/16 d) 6/5 2) 16km3) 20 4) 15 e 306. Inequao do 1 grauChama-se de inequao do 1 grau a toda sentena aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou ax + b 0, onde a IR* e b IR. Exemplos1) 2x 4 > 0 2x> 4 x> 4/2x>2, ou seja, S = {x IR |x > 2}2) - 5x - 10 0 - 5x 10 5x - 10 x- 2 , ou seja, S = {x IR |x - 2}ExercciosResolver as inequaes seguintes:1) 3x 6 < 0 3)13x 251 x 2>+ 2) x + 3 x + 3 4) 31 x 51013 x 341 x 5 +>

Respostas1) {x IR |x < 2} 2) {x IR |x 0} 3) {x IR |x > 2} 4) {x IR |x < 1}7. Equaes do 2 grau toda equao do tipo ax2 + bx + c = 0, com a IR*, b IR e c IR.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 19As razes (solues) desta equao so obtidas a partir da frmula abx2 t , com =ac 4 b2Conforme o valor doac b 42 , tm-se as seguintes possibilidades quanto natureza das razes da equao ax2 + bx + c = 0: > 0Existem duas razes reais e que so distintas. = 0Existem duas razes reais e que so iguais. < 0Existem duas razes que so imaginrias.Observaes: As equaes incompletas que so da formaax2 + bx= 0podem ser resolvidas por fatorao. As equaes incompletas que so da formaax2 + c = 0podem ser resolvidas isolando-se o x.Propriedades das RazesSoma das Razes abx x S + 2 1Produto das Razes acx x P 2 1.Equao a partir das Razes 02 + P Sx xTeorema da Decomposio ) x x ).( x x .( a c bx ax2 12 + + Exemplos1)4x2 - 10x = 0 x.(4x 10) = 0 ' 0 10 4x0 x '10 4x0 x '5/2 x0 xProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 202)4x2 -16 = 0 4x2 = 16 x2 = 16 / 4 x2 = 4 x =4 t x = t23) x2 - 7x + 12 = 0'12 c-7 b1 a 1 42 ac b a 2bx t =21 71 . 21 ) 7 ( tt ' +321 - 7x421 7x4)13 x19 x4 x2 113 x1) 3 x ).( 3 x (4 x+ ( )) 3 x ).( 3 x () 3 x ).( 3 x .( 1 ) 3 x .( 1) 3 x ).( 3 x (4 x+ + ++ x 4 = x + 3 (x - 9) x 4 = x + 3 x + 9 x = 3 + 9 + 4 x = 16, ou seja, x = t4.Como esses valores pertencemao conjunto dos nmeros reais e no anulamo denominador, S = { - 4, 4}.Exerccios : 1) Resolva as seguintes equaes do 2 grau:a) x2 + 2x - 3 = 0 c) 5x2 + 4x + 1 = 0e)2x 1211 x1 +b) (x + 1)2 = 2.(x + 1)d) 8x2 x =0 f)1 xx 52 x 212 x1 x32++2)A rea de um tringulo igual a 24 cm. Sabendo que as medidas da base e da altura desse tringulo so respectivamente nmeros pares consecutivos, determine seus valores.RespostasProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 211) a.{-3, 1} c. { } = e. { } = 2) base = 6 cm altura = 8 cmb.{-1, 1} d. {0, 1/8} f.x = 1/2;x = 6/58. Sinal do trinmio do 2 grauy = ax2 + bx + c Se > 0, a equao tem duas razes reais distintas. Se = 0, a equao tem duas razes reais e iguais. Se < 0, a equao no tem razes reais.Exemplos1)y = x2 - 7x + 12 '12 c-7 b1 a ac b 42 = 1 x =21 71 . 21 ) 7 ( tt ' +321 - 7x421 7xComo a > 0 temos:+| | + 3 4x 2)y = - x2 + 7x - 10 ' 10 c7 b1 a ac b 42 = 9 x=23 7) 1 .( 29 7t t ' +52 -3 - 7 -x22 -3 7 -x

Como a < 0 temos:-| +| - 25 x 3)y = 4x2 '0 c0 b4 a ac b 42 = 0 sinal (y) = sinal (a) para todo x 0. Como a > 0 temos: +| + 0xProf Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido x y-1 - 2 1 2 3 0 - 1 - 2 5 3 4 8Apostila de Clculo I FATEC 224)y = x2 + x + 1 '1 c1 b1 a ac b 42 = - 3 sinal (y) = sinal (A)Como a > 0 temos:+ + + + + + + + + + x ExercciosEstude o sinal das seguintes equaes:1) y = x2 5x + 63) y = 9x2

2) y = - x2 + 6x- 94) y = 5 x2 + 1 9. Inequaes do 2 grauChama-se inequao do 2 grau a toda sentena aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c 0, ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c 0, com a IR* e b IR e c IR. Resolver, em IR, uma inequao do 2 grau do tipo ax2 + bx + c > 0 (a 0) determinar o conjunto de todos os valores da varivel x para os quais o grfico de f(x) = ax2+ bx + c se encontra acima do eixo x. Resolva as seguintes inequaes do 2 grau:1) x2 5x + 6 03) x2 16 > 02) x2 - 2x - 15 0 4) x2 < 2x 1Respostas1.S = { x IR / 2 x 3}2.S = { x IR / x- 3 oux5} 3.S = { x IR / x< - 4 oux > 4} 4.S = {} = vazio10. Funes10.1 DefinioDados dois conjuntos A e B, chama-se funo f: A B a toda relao na qual, para todo elemento de A, existe um nico correspondente em B.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido x y-1 - 2 1 2 3 0 - 1 - 2 5 3 4 8Apostila de Clculo I FATEC 23f : A B xy = f (x)

10.2 Domnio, Imagem e ContradomnioSendo a funo f: A B, o conjunto B chamado de contradomnio da funo f, e o conjunto formado pelos elementos de B, que esto relacionados atravs de f com elementos do conjunto A, chamado conjunto imagem. Exemplos fA B

f: A BDomnio: D(f) = A = {-1, -2, 1, 2, 3}Imagem: Im(f) = {0, -1, -2,3, 4}Contradomnio: CD(f) = B = {0, -1, -2,3, 4, 5, 8}Exemplo: Seja D(f) = IR. A correspondncia x x2 + 4 define em IR a funo f tal quef(x) = x2 + 4. Assim, f (- 1) = (- 1)2 + 4 = 5;f(0) = (0)2 + 4 = 4;f(2) = (2)2 + 4 = 8.Exerccios1) Sendo f(x) = - x2 + 3x 2 definida de IR em IR determine:a) f(0) b) f(2)c) f(-1)d) f(2/3)e) f( 2 )2) Dada a funo f de IR em IR definida por f(x) = x3 x, determine f(2) + f(-2).RespostasProf Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido x y-1 - 2 1 2 3 0 - 1 - 2 5 3 4 8Apostila de Clculo I FATEC 241) a) - 2 b) 0c) - 6 d) - 4/9 e) - 4 + 322) 010.3 Tipos de Funes10.3.1 Funo ConstanteUmafunof: IR IRdenominadadefunoconstantequandodefinidaporuma sentena do tipo y = f(x) = k, onde k um nmero real.Exemplo : f(x) = 310.3.1.1 Grfico de uma Funo ConstanteOgrficodeumafunoconstante,y=f(x)=k,serumaretaparalelaaoeixodas abscissas, ou seja, y k f(x) = kx10.3.2 Funo do 1 GrauFuno do 1 grau, ou funo afim, aquela que associa a todo nmero real x, um outro real y, tal que y = f(x) = ax + b, onde a, b IR (a 0).Exemplo : f(x) = 2x 510.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 GrauO grfico de uma funo do 1 grau uma reta no paralela ao eixo das abscissas.Graficamente, existem duas situaes a considerar:- 1 Caso : Funo Crescente (a > 0)yProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 25f(x) = ax + bx- 2 Caso:Funo Decrescente (a < 0)yf(x) = ax + bxExemplo: f(x) = 2x 7 (a = 2 > 0: crescente)f(x) = - 4x + 1 (a = - 4 < 0: decrescente)10.3.3 Funo do 2 GrauUma funo f: IR IR denominada de funo do 2 grau ou funo quadrtica, quando associada a todo nmero real x, um outro nmero real y, tal que y = f(x) = ax2 + bx + c onde a, b e c IR (a 0).Exemplo : f(x) = 7x2 4x 110.3.3.1 Grfico de uma Funo do 2 GrauO grfico de uma funo do 2 grau uma parbola no plano cartesiano.Graficamente, existem duas situaes a considerar:- 1 Caso :a > 0 (Concavidade voltada para cima) yf(x) = ax2 + bx + cxProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 26Exemplo: f(x) = 2x2 + 7x 6- 2 Caso :a < 0 (Concavidade voltada para baixo)yf(x) = ax2 + bx + cxExemplo:f(x) = - x2 + 7x 510.3.3.2 Zeros da Funo do 2 GrauSo os valores da varivel x para os quais a funo se anula, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c = 0.Graficamente so os pontos de interseco da parbola com o eixo das abscissas.Observao: A interseco da parbola de equao y = ax2 + bx + c com o eixo das ordenadas o ponto de coordenadas (0, c).10.3.3.3 Vrtice da Parbola o ponto externo de uma funo do 2 grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c.Se a concavidade voltada para cima, o vrtice representa um ponto de mnimo da funo. Seaconcavidadevoltadaparabaixo, ovrticerepresentaumpontodemximoda funo.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 27 10.3.3.4 Coordenadas do VrticeAs coordenadas do vrtice da parbola obtidas atravs da funo do 2 grauy = ax2 + bx + c (xv , yv ), ondexv = - b / 2ae yv = - / 4a

,_

ab4,2aVExemplo:y = f(x) = - 2x2 + 6x 1xv = - b / 2a xv = - 6 / 2.(- 2) xv = - 6 / - 4 xv = 3 / 2e yv = - / 4a yv = - (b2 4ac) / 4a yv = - [62 4.(- 2). (- 1)]/ 4. (- 2) yv = 7 /2

,_

27,23VObservao:O yvpode ser calculado a partir do valor do xv , ou seja, yv = f (xv ).10.3.4 Funo Modular A funo fdefinida em IRe dada pory = x recebe o nome de funo valor absoluto ou funo mdulo. Considerando que'< 0xse ,0xse ,xxxresulta que o grfico de y = x formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme a figura seguinte.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido 0Apostila de Clculo I FATEC 28 y xExercciosRepresentar graficamente as seguintes funes:a) y = 3 b) y = 3x + 1c) y = - 3x + 2 d) y =xe) y =1 x + f) y = x2 - 2x + 1 g) y = - x2 + 6x 8 h) y = - 2x3 + 4, x [0,2] i) y = x - 1j) y = '> +0xsex 10xse x22k) y = '< < +2xse22 x0 se x0xse2 x 32 10.3.5 Funo ExponencialA toda funo do tipo f(x) = ax ( a > 0, a 1) chamamos de funo exponencial.Observao:O grfico de uma funo exponencial crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.y y 11xx a > 10 < a < 1.10.3.6 Funo LogartmicaA toda funo logartmica, definida de IR*+ em IR dada por:Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido 00Apostila de Clculo I FATEC 29f(x) = log a x, a > 0ea 1 af (x) = x.Observaes:1) A funo logartmica , portanto, a inversa da funo exponencial.2) Listemos as propriedades bsicas do logaritmo:Sendo a > 0, b > 0 e b 1, c > 0 e IR, ento:P1) log b (a . c) = log b a + log b c P4) log b a = log c a / log c b (c 1)P2) log b (a / c) = log b a - log b cP5)b logba=aP3) log b (a) = .log b a3) O grfico crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. yy 1 1xx a > 10 < a < 1.10.3.7 Funes TrigonomtricasDefinio 1: Denominamos de circunferncia trigonomtrica a circunferncia de centro na origem do plano cartesiano, de raio unitrio e cujos arcos tm origem no ponto A(1, 0), com sentido anti-horrio positivo.yA(1,0)xDefinio 2: Considere na circunferncia trigonomtrica um arco de medida x, com origem em A Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido 00Apostila de Clculo I FATEC 30e extremamente em P. Ento, por definio:a) seno de x a ordenada do ponto Pb) cosseno de x a abscissa do ponto Pc) tangente de x a ordenada do ponto T, interseco da reta OP com o eixo tangente circunferncia pelo ponto A.yT P AxDefinio 3: Definimos as principais funes trigonomtricas da seguinte forma:a) Funo seno: f : IR IR, f(x) = senxb) Funo cosseno: f : IR IR, f(x) = cosxc) Funo tangente: f : IR {/2 + h, h Z} IR, f(x) = tgxAs outras funes trigonomtricas so definidas pelas relaes tgx1 senxcosxcotgx ,cosx1secx ,senx1 cossecx ExerccioUsando a calculadora cientfica, calcule:a) sen 90 d) cos 90e) tg 45b) sen 0 e) cos 60 f) tg 0c) sen 270 f) cos 120 g) tg 60Respostasa) 1 d) 0 g) 1Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido0Apostila de Clculo I FATEC 31b) 0 e) 0,5h) 010.3.8 Funes Trigonomtricas InversasDefinio: Define-se:a) Funo Arco-seno: f : [-1,1] [- /2, /2 ], f(x) = arc senxb) Funo Arco-cosseno: f : [-1,1] [ 0, ], f(x) = arc cosxc) Funo Arco-tangente: f : IR[- /2, /2 ], f(x) = arctgxExerccioUsando a calculadora cientfica, calcule:a) arc sen 1d) arc cos 0h) arc tg 1b) arc sen 0 e) arc cos (1/2) i) arc tg 0 c) arc sen ( - 1) f) arc cos ( - 1/2)j) arc tg 3Respostasa) x = 90 d) x = 90 g) x = 45b) x = 0 e) x = 60 h) x = 0c) x = - 90 ou x = 270 f) x = 120 ou x = 240i) x = 60FINAL DA REVISO!Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 3211. Introduo Diferenciao11.1 IntroduoEnquanto os tpicos de lgebra, trigonometria e geometria so de importncia fundamental para o matemtico e o tcnico, uma grande variedade de problemas tcnicos no pode ser resolvida utilizando apenas estes conceitos de matemtica. Muitos problemas podemser resolvidos utilizandoapenas mtodos doclculo. Apartir dosculodezessete, os cientistas sentirama necessidade de novas tcnicas matemticas. Queriamestudar o movimento de projteis, o movimento da lua e dos planetas e o movimento da luz. Cientistas, como Isaac Newton, comearama desenvolver umnovo ramo da Matemtica para resolver os problemas que envolviammovimento. EstenovoramodaMatemticatornou-seconhecidocomooclculo. Atualmente, o clculo originou um grande desenvolvimento da Matemtica. Enquanto o clculo comeou com o estudo do movimento, a sua utilidade pode atualmente ser observada em muitas variedades de reas tcnicas.11.2 O Problema do MovimentoResumidamente, oproblema domovimentopodeser encaradocomooproblema da determinao da velocidade e direo de um objeto mvel no espao, num dado instante. Voc est familiarizado com a determinao da velocidade mdia de um objeto em movimento. Por exemplo, se numa viagem voc dirigir 150km em 3 horas (h), ento, dividindo 150km por 3 h determina que dirigiu em mdia 50km/h. Isto no lhe indica exatamente distncia percorrida 1 h e 32 minutos (min) aps ter comeado a viagem. Voc pode ter parado num sinal de trnsito ou pode ter viajado a 55km/h.Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distncia percorrida por um objeto como uma funo do tempo. Isto , em cada ponto no tempo tpodemos associar um nmero srepresentando a distncia percorrida pelo objeto. Por exemplo, s = 2t + 1 uma funo que descreve o movimento de um objeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Se t for medido em segundos (seg) e s em metros (m), ento aps 2 seg, o objeto est em s = 2. 2 + 1 = 5 m ao longo da linha de movimento. Trs segundos mais tarde, t = 2 + 3, o objeto moveu-se de s = 2 (2 + 3) + 1 = 2.5 + 1 = 11 m ao longo da linha de movimento. t = 2t = 5 05 11 xA velocidade mdia vmd de um objeto em movimento a razo entre a distncia percorrida por umobjetoe otempo gastopara percorrer essa distncia. No exemplo anterior,a distncia percorrida pelo objeto 11m - 5m = 6m. Percorreu esta distncia em 3 seg. A velocidade mdia ao longo deste perodo de tempo , ento,Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 33seg msegmvmd/ 236 .Nestepontovantajosointroduzir umnovosmbolomatemtico. Quandoquisermos indicar uma variao entre dois valores de uma varivel utilizaremos a letra grega . Nesta seo t (ler delta t) representa a variao em tempo te s (leia delta s) representa a variao em distncia s. No exemplo anterior, t = 3 seg. Est a variao em tempo necessrio para o objeto ir de 5m a 11m ao longo da linha de movimento. A variao em distncia para este intervalo de tempo t = 3 seg s = 11m 5m = 6m. Utilizando esta notao podemos escrever agoratsvmd.Relembrar da lgebra que uma funo um conjunto de pares ordenados, dois dos quais notemomesmoprimeiroelemento. Istoagoratil paraintroduzir umanotaoespecial, chamada notao funcional, para representar uma relao funcional. Por exemplo, a funoy = x2 + 3 escrita f(x) = x2 + 3 usando a notao funcional. O smbolo f(x), ler f de x, utilizado para representar o nmero y que corresponde a um nmero x na relao funcional dada. Isto , f(x) = y ou, como neste caso, f(x) = x2 + 3. A tabela embaixo apresenta f(x) para vrios valores de x.x f(x) = x2 + 3- 3 f (- 3) = (-3)2 + 3 = 120 f (0) = (0)2 + 3 = 31 f (1) = (1)2 + 3 = 42 f (2) = (2)2 + 3 = 7h f (h) = (h)2 + 3 = h2 + 33t f (3t) = (3t)2 + 3 = 9t2 + 3 1 + x f (1 + x) = (1 + x)2 + 3 = 1 + 2x +(x)2 + 3 = 4 + 2x + (x)2

A utilizao do smbolo f(x) til j que podemos utilizar f(x) para representar o nmero correspondente a x na relao funcional sem ter de determinar exatamente o nmero, como foi feitonatabelaanterior. Por exemplo, f(3) representaonmerocorrespondenteax=3sem nenhuma relao funcional dada. Por esta razo, f(x) muitas vezes chamado o valor da funo em x.Exemplo 1. Escrever em notao funcional que relaciona cada nmero x com seu cubo menos 2.A relao y = x3 2. Utilizando o smbolo f para representar esta funo, escrevemos:f (x) = x3 2.Exemplo 2. Determinar o valor da funof(x) = x3 2para x = - 2 e para x = 2 + x.f(- 2) = (- 2)3 2 = - 8 2 = - 10e f(2 + x.) = (2 + x)3 2 = (2)3 + 3. (2)2.x + 3.2. (x )2 +(x )3 - 2 =8 + 12.x + 6. (x )2 +(x )3- 2 =6 + 12.x + 6. (x )2 +(x )3

Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 34Exemplo 3. Calcular afuno g(x) = 3 2 + x para x =3.g(3) = 3 9 3 6 3 3 . 2 + + .Exemplo 4. Calcular a funo f(x) = x2 5para x = h + 2.f(h + 2) = (h + 2)2 5 = (h)2 + 2. h.2 + (2)2 5 = h2 + 4.h + 4 5 = h2 + 4h 1No primeiro exemplo consideramos um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta de acordo com a funo s = 2t + 1. Podemos agora escrever isto em notao funcional: s(t) = 2t + 1.Relembramosquesavariaonadistnciaset avariaonotempot. Ento, utilizando nossa notao funcional,s = s(2 + t) s(2) = s(2 + 3) s(2) = s(5) s(2)= [ 2.5 + 1] [ 2.2 + 1]= 11 5= 6m.Portanto, a velocidade mdia durante este perodo de tempo seg msegmts t stsvmd/ 236 ) 2 ( ) 2 ( +como determinamos anteriormente.Em geral, adistnciapercorrida por um objeto do tempo t ao tempo t + t dada em notao funcional pors = s(t + t) s(t).A velocidade mdia deste objeto ao longo da variao em tempo t entott s t t stsvmd +) ( ) (.Exemplo 5. Dado que s = t 2 1 descreve o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma reta, onde s medido em ps; (a) determinar s e vmd ; (b) determinar v md aps 3 seg de viagem;e(c) determinar v mdde 4 seg de viagem at 7 seg de viagem.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 35(a) s = s(t + t) s(t) = [(t + t)2 1] -(t2 1) = [t2 + 2.t.(t) + (t)2 1] -t2 + 1= t2 + 2.t.(t) + (t)2 1 -t2 + 1 = 2.t.(t) + (t)2) ( . 2)] ( . 2 .[) ( ) .( . 22t ttt t ttt t ttsvmd + + + (b) t = 3 seg, assim de (a) temos:. / ) 3 2 (. 2seg ps tt t vmd+ + (c) O tempo no qual comeamos a medir a distncia percorrida s t = 4s. Portanto,t = 7 4 = 3 seg.De (a) temos. / 113 4 . 2. 2seg pst t vmd+ + Voc deve agora verificar que este o mesmo nmero que obteramos calculando:gasto tempopercorrida distncia3) 4 ( ) 3 4 ( +s svmdDo exemplo 5 vemos que para calcular vmd = (s/t) precisamos saber o tempo t no qual comeamos a medir a velocidade vmdassim como a variao em tempo t. Notar que ambos, t e t, podem tomar valores negativos. Se considerarmos t = -1, ento s(t + (-1)) representa a posio do objeto 1 segundo antes de alcanar a posio s(t).Notar tambmqueautilizaodanotaofuncional, comoadoprprioconceitode funo, serolargamente, enfatizadas namatriaemquesto. Odesenvolvimentodoclculo depende amplamente deste conceito.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 3611.3 Velocidade InstantneaPodemos agora comear a resolver o problema da determinao das velocidades instantneas.Considerar omovimento de um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta e descritapors(t)=3t2+1, comsmedidoemps. Tentaremosagoradeterminaravelocidade instantnea exatamente aps 2 seg de percurso.tempo em variaodistncia em variaots t svmd +) 2 ( ) 2 ( ( ) [ ] ( ) [ ]t1 2 3. 1 t 2 3.2 2+ + +

( ) ( )tt 3. t 12.2+ ( )t 3 12t].. t 3. [12 + +Portanto,por exemplo,com uma variao em tempot = 4 seg,a velocidade mdia 12 + 3. (4) = 24 ps/ seg. Faamos agora uma tabela de vmdpara diferentes valores det :tv md4,0 24,02,0 18,01,0 15,00,5 13,50,1 12,30,001 12,003- 0,001 11,997- 0,5 10,5- 2,0 6,0 Por esta tabela podemos observar que, quanto mais t se aproxima de 0, mais perto vmd estde12ps/seg. medidaquediminuirmos o intervalo de tempodeveremos esperarquea velocidade mdia se aproxime mais da velocidade instantnea do objeto em 2 seg. Isto ,v md = 12,3 ps/seg aps 0,1 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg) uma melhor aproximao, ento vmd= 24,0 ps/seg aps 4 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg). Observando esta tabela somos ento levados a acreditar que a velocidade instantnea no tempo t = 2 seg deve ser 12 ps/seg. Este o processo que usaremos para resolver o problema do movimento.Para determinar a velocidade instantnea de um objeto em movimento num dado tempo t:1. Determinartsts(t) t) s(tvmd +onde s(t) descreve o movimento do objeto como uma funo do tempo.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 372. Observar a que nmero se houver algum, se aproxima vmd em valor quando os valores de t se aproximam de 0 (zero). Se voc for capaz de determinar tal nmero, poder chamar-lhe a velocidade instantnea v.Exemplo 1. Determinar a velocidade instantnea de um objeto que se move de acordo coms(t) = 5t2 4 com t = 3 seg.Passo 1.ts t svmd +) 3 ( ) 3 (

( ) [ ] ( ) [ ]t4 3 5. 4 t 3 5.2 2 +( ) ( )tt 5. t 30.2+ ( )t 5 30tt ] t 5. [30 + +Passo 2. Vemos que medida que t se aproxima (fica perto) de 0, v mdse aproxima de 30. Conclumos quev = 30 ps/ seg.Nota: Tenta-se, para simplificar, substituir t = 0 por vmd. Isto seria uma tentativa para calcular uma velocidade mdia durante uma variao de tempo de 0 seg. Isto nos d o intervalo de tempo nuloduranteoqual podemos fazer amdia! Seramos tentados adividir por zero, oque indefinido.! ! ! ! ! ! ! !000) 3 ( ) 0 3 ( + s sComonoExemplo1, devemosencontrarumamaneiraparasimplificaraexpressode vmd para que t no permanea no denominador. S ento podemos comear a ver a qual nmero v md tende quando t tende para 0.Exemplo 2. Determinar v em t = 2 quando s(t) = 1/ t.Passo 1.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 38) 2 ( 21t) 2 ( 2t) 2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( ) 2 (tttttts t svmd + + + + +Passo 2. medida que t tende para 0, v mdtende para 1/ 4. Assim v = - 1/ 4. 11.4 LimiteO processo que desenvolvemos para resolver o problema do movimento foi considerado como sendo de grande utilidade em outras aplicaes. tcnica utilizada foi dado o nome de o processo limite.Dadaqualquer funo, podemosobservar seosvaloresfuncionaistendemparaalgum nmero quando o valor da varivel tende para um nmero especfico.Exemplo 1. Consideremos f (x) = x2 3x + 2. Para que nmero se houver algum, tendef(x) quando x tende para 1?Como x2tende para (-1)2= 1 quando x tende para 1 e 3x tende para (- 3) . (- 1) = 3 quando x tende para 1, conclumos que f (x) = x2 3x + 2 tendepara 1 + 3 + 2 = 6 quando x tende para 1.Os matemticos utilizam smbolos para descrever este processo limite mais resumidamente. O smbolo significa tender; portanto, x tende para 1. Dever escrever-se x - 1.Se f(x) L quando x a, ento L chamado o limite da funo quando x a.Este processo escrito comoL x fa x) ( lime l-se o limite de f de x quando x tende para a igual a L. A expresso no Exemplo 1 deveria ser escrita ( ) 6 2 3 lim21 + x xx.O limite descreve o comportamento de uma funo perto de um ponto, no no ponto.Exemplo 2. Determinar .39lim23

,_

xxxQuando x 3, o denominador tende para 0. No podemos dividir por zero. No entanto,Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 39). 3 (3) 3 ).( 3 (392+ + xxx xxxNoprocessolimitenoestamospreocupadoscomoqueacontecequandox=3, mas apenas o que acontece quando x 3. Quando x 3, x + 3 6. Portanto. 6 ) 3 ( lim39lim323 +

,_

xxxx xNotar que no Exemplo 2 podemos ainda perguntar qual o limite de f(x) = 392xx quando x 3 mesmo que a funo no seja definida para x = 3. No entanto, veremos agora que nem sempre existem limites.Exemplo 3. Determinar . 5 lim0xxComonopodemosobter umnmeroreal quandocalculamosaraizquadradadeum nmero negativo, a funo5 x f(x) no pode ser calculada para x inferior a 5. impossvel ento observar os valores de 5 x quando x toma valores perto de 0 (porque a quantidade x 5 ser negativa). Conclumos que 5 lim0xx no existe.Algumasvezesuma funotende para um limitado nmero L quando x ; isto ,a funo tende para L quando x no tem limite.Exemplo 4. Determinar .1lim ,_

x xComo o denominador x , a funo (1/x) tende para 0. Portanto,. 01lim ,_

x xExemplo 5. Determinar .3 72lim22

,_

+ xx xxComo x , tanto o numerador como o denominador tende separadamente para . No entanto, se dividirmos o numerador e o denominador pela maior potncia de x no denominador, x2, teremos23712xx+Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 40.720 70 23712lim3 72lim222+

,_

+

,_

+ xxxx xx xNota: x quandoxex03012.OBS: A determinao da velocidade instantnea uma aplicao do processo limite.Exemplo 6. Determinar a velocidade instantnea v para t = 3 quando s(t) = t - 7.Podemos considerar a velocidade mdia vmd como funo de t:ts t svmd +) 3 ( ) 3 (Portanto,ts t svt + ) 3 ( ) 3 (lim0 [ ] [ ]t7 9 7 ) t ( ) t .( 6 9lim20 t + + t) t ( ) t .( 6lim20 t + ( )tt 6 . tlim0 t + ( ) t 6 lim0 t + = 6.NOTA:1. ) Avalie o comportamento da funo '< + +3 xse 1, x 3 xse , 3) (xx f nas proximidades de trs.Note que esta funo tem um comportamento diferente em torno do ponto x = 3. Para descobrir o que acontece neste ponto, consideramos valores para x cada vez mais prximos de trs, mas, menores que trs ou a sua esquerda e tambm valores de x cada vez mais prximos de trs, mas maiores que trs ou a sua direita, como exibido na tabela abaixo. Valores menores que 3 ou a esquerda de 3 Valores maiores que 3 ou a direita de 3Valoresde x 0 1 2 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 4 5 6Valores Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 41de f(x) 1 2 3 3,9 3,99 3,999 6,001 6,01 6,1 7A tabela mostra que quando x se aproxima de trs pela esquerda, mas no assume o valor trs, a funo se aproxima de 4. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela esquerda a funo tende para 4. Ou ainda, que o limite da funo 4 quando x tende a trs pela esquerda.Quandoxseaproximadetrspeladireta, masnoassumeovalor trs, afunose aproxima de 6. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela direita a funo tende para 6. Ou ainda, que o limite da funo 6 quando x tende a trs pela direita.Como o limite esquerda diferente do limite direita, dizemos que esta funo no tem limite no ponto trs. Possui apenas limites laterais.Usando a linguagem matemtica escrevemos:( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) x f limx f lim x f limx f lim oux f xx f lim oux f xxx xxx33 3336 6 34 4 3 +/ ; + +Concluso: Uma funo s ter limite no ponto c se os limites laterais em torno deste ponto forem iguais.( ) ( ) ( ) x f lim x f lim x f limc xc x c x + 2. ) Avalie o comportamento da funo ( )231) (xx f nas proximidades de trs.Consideramos valores de x cada vez mais prximos de trs pela esquerda e tambm pela direita. Em ambos os casos notamos que o valor que a funo assume tem uma ordem de grandeza muito elevada, como mostra a tabela abaixo. Quando isto ocorre dizemos que a funo tende para o infinito. Valores menores que 3Valores maiores que 3 ou a esquerda de 3 ou a direita de 3x 2 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 4y 1 100 10.000 1.000.0001.000.00010.000 100 1Neste caso o limite da funo infinito quando x tende para trs.Usando a linguagem matemtica, escrevemos:( ) ( ) x f lim ou x f xx 33Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 42Concluso: Uma funo tem um limite infinito quando a sua imagem assume valores cuja ordem de grandeza elevada, quando x tende para c.( ) x f limc xNessa mesma funo fcil perceber que se os valores de x aumentam, assumindo valores maiores que trs, o valor da funo se aproxima de zero. Deste modo, os valores de x assumem valores que possuem ordem de grandeza elevada e, portanto, tende para infinito. Tem-se, ento, um limite no infinito.Usando a linguagem matemtica, escrevemos:( ) ( ) 0 0 x f lim ou x f xxConcluso:Umafunotem limitenoinfinitoquandoavarivel doseudomniotendepara infinito enquanto a imagem da funo tende para L.( ) L x f limx NOTA:(i)Nessa teoria devemos entender, sempre, que a varivel x tende para um valor c, mas nuca igual a c e a imagem da funo tende para L, mas nunca igual a L.(ii) H tambm os casos de limites infinitos no infinito.(iii) O limite de uma funo num ponto c do seu domnio nico. 11.5Frmulas do LimitePode ser demonstrado que o processo limite obedece s seguintes regras:A. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) x g x f x g x fa x a x a x t t lim lim limExemplo 1. ( ) 36 9 27 lim lim lim23332 33 + + + x x x xx x x.B. ( ) [ ] ( ) constante uma onde , lim . . lim k x f k x f ka x a x Exemplo 2. ( ) . 48 ) 4 .( 12 lim . 12 . 12 lim2222 x xx xC. constante uma onde , lim k k ka xExemplo 3. ( ) 8 lim2 x = 8.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 43Nota No importa qual a tendncia de x em f(x) = 8; portanto, f(x) no s tende para 8 como, neste caso, mesmo 8.D. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) x g x f x g x fa x a x a x lim lim limExemplo 4. ( ) [ ] . 18 2 9 ) 1 ( lim lim 1 lim32323 x x x xx x xE. ( )( )( )( )( ) 0 lim que desde ,limlimlim 1]1

x gx gx fx gx fa xa xa xa xExemplo 5.. 133) 2 ( lim4 lim24lim12121 +11]1

+ xxxxxxxEXERCCIO:Determinar cada limite.( ) ) 5 ( lim 122x xx( ) ) 1 7 3 ( lim 221+ + x xx( ) ) 2 5 2 ( lim 32 31 + x xx( ) ) 4 3 ( lim 42 32+ + x x xx( )( ) 1) 1 (lim 521 xxx( )( ) 3) 9 (lim 623 + xxx( )( ) 3 2) 9 4 (lim 722 / 3 xxx( )( ) 4 3) 16 9 (lim 823 / 4 xxx( ) 3 2 lim 91+ xx( ) 3 3 lim 104xx( ) xx4 lim 116( ) 1 2 lim 121+ xx( )

,_

x x 21lim 13 ( ) ,_

21lim 14xx( )) 11 8 4 () 2 5 3 (lim 1522 ++ x xx xx( )) 4 () 13 2 7 (lim 162 33x xx xx+ + ( ) ) ( lim 1722x xx+( ) ) ( lim 182 33x xx+( ) ) 2 100 4 ( lim 1921 +x xx( ) ) 8 5 3 ( lim 2021 + x xx( ) ( ) ( ) 4 . 3 lim 211 +x xx( ) ( ) ( ) 3 . 1 2 lim 224 +x xxProf Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 44( ) ) 3 2 ).( 1 3 ( lim 232 4 22+ + + x x x xx( ) ) 6 ).( 10 5 ( lim 242 3 22x x x x xx + +( )12 3lim 25222++ +xx xx( )x xx xx25 4lim 26223++ ( )749lim 2727 + xxx( )24lim 2822 xxx( )5 225 4lim 2922 / 5 xxx( )4 316 9lim 3023 / 4 + xxx( )( )) 2 (5 ). 1 3 (lim 3123 + + + xx x xx( )( )) 3 (3 ). 5 (lim 3222 + + xx x xx( )) 1 () 4 6 2 (lim 33221+ xx xx( )) 1 () 1 3 2 (lim 3421 + xx xx( )) 6 3 3 () 1 (lim 35221 x xxx( )) 4 4 () 1 3 4 (lim 362 332 / 1x x xx xx+ + ( )xxx5 3 25lim 370 +( )( )48 2lim 3824 ++ xx xx( )xxx + 5 15 3lim 394( )xxx1 1lim 400 +Respostas1) 6 6) 6 11) no existe 16) 7 / 4 21) - 12 26) 2 /15 31) 152 36) 32) 3 7) 0 12) no existe 17) 6 22) 9 27) 14 32) 15 37) 3 / 103) 1 8) 0 13) 0 18) 36 23) 11 28) 4 33) 138) 1 4) 2 9) 1 14) 0 19) 102 24) 120 29) 10 34) 1 39) 1 / 35) 0 10) 3 15) 20) 1025) 12 / 5 30) 8 35) 2 / 9 40) 1 / 2Nos exerccios de 41 a 44, trace um esboo do grfico e encontre o limite indicado se ele existir; se o limite no existir, d a razo.41) ' > +2 x se x 32 x se 3 x) x ( f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim lim lim2 2 2x f c x f b x f ax x x +Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 4542) ' < +3 x se x 103 x se 1 x 2) x ( f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim lim lim3 3 3x f c x f b x f ax x x +43) '> 2 x se x 2 82 x se x) x ( f2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim lim lim2 2 2x f c x f b x f ax x x +44) '> + 1 x se x 21 x se x 4) x ( f22 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim lim lim1 1 1x f c x f b x f ax x x +Respostas41) no existe 42) 7 43) 4 44) 311.6A Inclinao de uma Tangente a uma CurvaO processo limite no apenas aplicado ao problema do movimento. Veremos agora a sua aplicao num problema geomtrico.Comonafigura embaixo,consideraremos que a curva o grficodeuma dada funo y = f(x). Pretendemos determinar a inclinao da tangente mtan no ponto P com coordenadas(x, f(x)).Como nafiguraacima,podemos determinar a inclinao de uma reta passando por P e qualquer outro ponto Q da curva (a reta secante). Podemos observar as inclinaes destas retas secantes quando escolhemos pontos Q cada vez mais prximos do ponto P. medida que Q se aproxima de P, os valores das inclinaes destas retas secantes ficaro cada vez mais prximos daqueledainclinaodareta tangentemtan. Podemos explicar esteprocessoemtermos das coordenadas de P e Q como na figura a seguir.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 46Nesta figura y = f (x + x) f(x). medida que escolhemos valores de x mais prximos de 0, o ponto Q aproxima-se de P ao longo da curva. Deste modo, a inclinao da reta secante aproxima-se de mtan, que a inclinao da reta tangente. A inclinao da reta secante que passa por P e Q dada por:( ) ( )( )( ) ( )xyxx f x x fx x xx f x x f + + +portanto,

( ) ( )( ) x x xx f x x fxymx x + + 0 0tanlim limExemplo 01.Determinar a inclinao da reta tangente curva y = x + 3 em (1,4). ( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 lim2lim2lim] 3 1 [ ] 3 1 [limlim00202 200tan + + + + + + xxx xxx xxxxymxxxxxPodemos ver agora que o processo usado para resolver o problema geomtrico o mesmo que o usado para o problema do movimento. Este processo, o limite, o fundamento do clculo.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 47Exemplo 02.Determinar a equao da tangente curva y = 2x - 5 em (2,3).Passo 1 : Determinar mtan: ( ) ( )( )( ) . 8 2 8 lim2 8lim] 5 2 2 [ ] 5 2 2 [limlim002 200tan + + + xxx xxxxymxxxx

Passo 2 : Determinar a equao da reta:Usando a frmula do ponto-inclinao temos:y y1 = m.(x x1)y 3 = 8.(x 2)y = 8x 13.RESUMO: Definimos ocoeficienteangular ouinclinaodeumacurvacomoolimitedos coeficientes angulares das secantes. Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variao de uma funo e um dos conceitos mais importantes de clculo. As derivadas so muito usadas em engenharia, cincia, economia, medicina e cincia da computao para calcular a velocidade e a acelerao,paraexplicaro funcionamento de mquinas, para estimar a diminuio do nvel da guaquando elabombeadaparafora deum tanque epara preveras conseqncias deerros cometidosdurantemedies. Obter derivadascalculandolimitespodeser demoradoedifcil. Assim sendo, desenvolveremos tcnicas para calcular derivadas mais facilmente.Definies: O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P(x0, f(x0)) o nmero( ) ( )xx f x x fmx + 0 00lim . (desde que o limite exista)A retatangenteaogrficode f em P a retaquepassapor Pe tem essecoeficiente angular. Assim sendo ela dada por:y = y0 + m(x x0)Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 48Como achar a Tangente Curva y = f(x) em (x0, y0).1. Calcule f(x0) e f(x0 + x).2. Calcule o coeficiente angular:( ) ( )xx f x x fmx + 0 00lim .3. Se o limite existe, ento determine a reta tangente quando: y = y0 + m(x x0).EXERCCIOS(1.) Determinar a equao da tangente curva dada no ponto dado.a) y = 2x - 3; (-2, 5) (Resp.: y = - 8x 11) b) y = 5x - 3x + 2; (-1, 10) (Resp.: y = - 13x 3)c) y = 4x - 7x + 5; (3, 20) (Resp.: y = 17x - 31)d) y = 2x + 4x 7; (-2, -7) (Resp.: y = - 4x 15) (2) Determine uma equao para a tangente curva nos pontos dados. Esboce a curva e a tangente juntas.a.) y = 4 x2, P(-1, 3) (Resp.: y = 2x + 5) b.) y = 2x, P(1, 2) (Resp.: y = x + 1) c.) y = x3, P(-2, -8)(Resp.: y = 12x + 16) d.) y = 2x2 + 3, P(2, f(2)) (Resp.: y = 8x 5) Se duas retas so paralelas, seja (1) ambas perpendiculares ao eixo x ou (2) ambas com a mesma inclinao, ou seja, m1 = m2. Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 49Por outro lado, se duas retas so perpendiculares, ento, seja (1) uma reta vertical com equao x = a e a outra horizontal com equao y = b ou (2) nenhuma sendo vertical e a inclinao da reta sendo a recproca negativa da outra; isto , se as equaes das retas forem:L1: y = m1x + b1 e L2: y = m2x + b2entom1= (-1/m2)Exerccios:1.) Determinar a equao da reta que satisfaz cada uma das seguintes condies.a.) Passa por (-1, 5) e paralela a 2x + y + 13 = 0. (Resp.: y = 2x + 7) b.)Passa por (2, -2) e perpendicular a 3x 2y - 14 = 0.(Resp.: y = -2x/3 2/3) c.) Passa por (-7, 4) e perpendicular a 5y = x.(Resp.: y = - 5x 31) d.) Passa por (2, -10) e paralela a 2x + 3y 7 = 0. (Resp.: y = -2x/3 26/3) 2.) Encontrar a equao da reta tangente curva y =x , que seja paralela reta 8x 4y + 1 = 0.(Resp.: y = 2x + 1/8)

3.) Encontrar a equao da reta normal (ou perpendicular) curva y = x2 no ponto P(2, 4)(Resp.: y = -1x/4 + 9/2)

A derivada de uma funo f(x) em relao varivel x a funo f cujo valor em x ( )( ) ( )xx f x x fx fx + 0'limdesde que o limite exista.Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah AbidoApostila de Clculo I FATEC 50A derivada de uma funo f(x) no ponto x0, denotado por f (x0), definida pelo limite:( )( ) ( )xx f x x fx fx + 0 000'lim (desde que o limite exista)OBS: Como vimos anteriormente, este limite nos d a inclinao da reta tangente curva y =f(x) noponto(x0, f(x0)). Portantoaderivadadafunoy=f(x) nopontox0representaa inclinao da curva neste ponto.Exerccios:(1.) Calcule f(x) para a funo dada usando diretamente a definio.a) f(x) = 2x2 + 3x + 1b) f(x) = x 1x 1+ c) f(x) =x 3 (Resp.: f(x) = 4x + 3)(Resp.: f(x) = 2 / (1 x) )(Resp.: f(x) = x 3 21)

(2.) Determinar f(x0) para cada funo, usando a definio.a)f(x) = 5x2 + 6x 1, x0 = 2. b) f(x) = x2 + 1, x0 = 1.( Resp.: f(2) = 26 ) ( Resp.: f(1) = 2 ) c) f(x) =32+xx, x0 = x.d) f(x) =x , x0 = 9.( Resp.: f(x) = 5 / (x + 3))( Resp.: f(9) = 1 /6 )The end!!!!!!!!!!Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido