Apostilha de Projeções cotadas.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL

GEOMETRIA DESCRITIVA

PROJEES COTADAS

Prof. Srgio Vasconcelos 2010*

*Informaes do autor: a presente apostila representa um resumo dos principais conceitos utilizados em Projees Cotadas, jamais dever substituir os livros. Estes sim, apresentam minuciosamente todos os conceitos, suas aplicaes, exerccios diversos e aprofundamentos necessrios ao perfeito conhecimento da disciplina. O contedo desta. O contedo desta apostila foi desenvolvida juntamente com o professores do PCC-USP e adaptada s necessidades dos alunos de Arquitetura da UFMS pelo Prof. Srgio Vasconcelos.

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CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL

DISCIPLINA: GEOMETRIA DESCRITIVA

PROFESSOR: SRGIO VASCONCELOS

1. Projees Cotadas 1.1 Objetivos

Neste curso estudaremos as projees cotadas, uma maneira conveniente de se representar

superfcies geomtrica e topologicamente complexas utilizando-se uma nica projeo ortogonal.

Na segunda parte deste curso estudaremos algumas aplicaes tpicas das projees cotadas na

resoluo de problemas de engenharia e arquitetura.

1.2 - Introduo

Vimos em aulas anteriores que o Sistema de Representao Mongeano permite definir

univocamente um ponto P do espao pelas suas projees ortogonais P1 e P2 representando-os

numa pura de linha de terra 1-2. Observamos que as projees P1 e P2 pertencem linha de

chamada do ponto P definida como uma reta perpendicular linha de terra. Naquela pura, P1

era a projeo ortogonal do ponto P sobre o Plano Horizontal de projeo p1 e P2 a projeo

ortogonal de P no Plano Vertical p2. A seguir, definimos as distncias de P ao Plano Horizontal

como a cota do ponto P que, em pura, se caracterizava como a distncia de P2 linha de terra 1-

2; analogamente a distncia de P ao Plano Vertical como o afastamento de P representado, em

pura, pela distncia de P1 linha de terra 1-2. A figura 1.1 mostra a projeo de um ponto P nos

planos p1 e p2.

Fig. 1.1 - Representao de um ponto P no Sistema Mongeano.


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Assim, um ponto fica univocamente definido pela determinao de suas projees em p1 e p2.

Observe ainda que a projeo no Plano Vertical p2 necessria exclusivamente para mostrar a

cota de P, isto , sua distncia ao Plano Horizontal. Se desenvolvssemos uma maneira de

incorporar essa informao (a cota de P) sua projeo em p1, poderamos dispensar facilmente

a projeo em p2. Os elementos grficos passariam a ser representados por suas projees

horizontais p1 complementadas pela indicao conveniente de suas cotas. exatamente isso o que

faremos nessa aula: dispensaremos a projeo do ponto P no plano frontal e em vez de marcar a projeo P2 apenas

mediremos a cota de P em relao ao plano horizontal (p1) e a anotaremos ao lado da projeo P1.

Como na pura mongeana, consideraremos cota positiva quando o ponto P estiver acima do plano

p1 e negativa, quando situado abaixo. Nessas condies, o ponto P ficaria univocamente

determinado. A pura da fig. 1.1 ficaria representada conforme a fig 1.2

1.3 - Projees Cotadas

1.3.1 - Definies

Essa forma de representao em que os elementos geomtricos esto definidos pelas suas

projees em p1 complementada com o valor de sua cota, so as Projees Cotadas. A figura 1.2

nos mostra as formas de se representar um ponto P e uma reta PQ na pura Mongeana (a) e em

Projees Cotadas (b). Nesse exemplo, tomou-se os pontos P e Q com cotas 3 e 8

respectivamente. Observe ainda que podemos facilmente representar, a partir da pura mongeana,

pontos e retas em projees cotadas. Da mesma forma, projees cotadas podem ser facilmente

convertidas em pura mongeana pela escolha arbitrria da linha de terra e, a seguir, desenhando-

se as linhas de chamada dos pontos e marcar suas cotas determinando, assim, a sua projeo no

plano p2. Essa facilidade de converso mostrar-se- muito til na resoluo dos problemas

propostos.

Fig. 1.2 - Representao do ponto P na (a) pura Mongeana e (b) Projees Cotadas


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Para se medir as cotas dos pontos necessrio estabelecer uma unidade de medida que, no nosso

curso, ser o metro. Alm disso nas aplicaes em engenharia civil, notadamente na

representao de superfcies topogrficas, os desenhos resultantes devem ser feitos em uma

escala representao conveniente. As normas brasileiras recomendam que se use como escalas,

de preferncia, as fraes de numeradores unitrios e denominadores mltiplos de dez dos dgitos

1, 2 e 5. Assim, so recomendadas as escalas de reduo 1:1, 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100,

1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000, etc. So aceitas, ainda, as escalas com denominador

mltiplo de dez de 2,5. Assim, so aceitas as escalas 1:2.5, 1:25, 1:250, 1:2500, etc. Alm disso,

em certas condies usam-se escalas grficas que consistem de um segmento graduado de modo

que entre duas divises o intervalo compreendido representa uma unidade ou um mltiplo de dez

desta.

O plano horizontal p1 de referncia, sempre horizontal, arbitrrio. Muito freqentemente,

principalmente na cartografia, usa-se como plano horizontal de referncia, o plano do nvel do

mar. Esse plano tem a vantagem de ser invarivel.

1.3.2 - Aplicaes tpicas na engenharia

Esse sistema de representao particularmente til na representao de superfcies topogrficas

e na soluo de problemas relativos. Encontra inmeras aplicaes no desenho tcnico,

principalmente na representao de objetos que apresentam superfcies topologicamente

complexas. Essas classes de superfcies aparecem mais comumente na engenharia civil,

agronomia, florestal, geologia e, em menor escala, na engenharia mecnica.

Exemplos:

Engenharia Civil/Arquitetura

Topografia

Telhados / Coberturas

Corte de terrenos

Engenharia Naval

Plano de linhas dos cascos dos navios

Engenharia Mecnica

Representao de matrizes e estampos para forjamento e corte de chapas


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Matrizes de fundio e injeo de plstico

Geologia

Prospeco mineral

Determinao da capacidade e viabilidade econmica de explorao mineral

Agronomia

Anlise de reas para implantao de agro-indstrias

viabilidade de implantao de sistemas de irrigao e mecanizao rural

Determinao de volumes

para planejamento de movimentao de terra

estudo de capacidade de barragens de hidreltricas e de irrigao

determinao de reas inundadas por represamento de rios

1.3.3 - Elementos de representao de projees cotadas

A seguir iniciaremos o estudo dos mtodos empregados nas projees cotadas. Antes, porm

conveniente definirmos alguns elementos que utilizaremos em nosso estudo da representao de

pontos, retas e planos e na resoluo de problemas prticos de engenharia (tema da prxima aula

desse curso).

1.3.3.1 - Plano horizontal de projeo

Tomaremos sempre o plano horizontal p1 como o plano de projeo e de referncia, a partir do

qual mediremos as cotas de todos os pontos. Esse plano de projeo divide o espao em 2 semi-

espaos: um de cotas positivas e outro de cotas negativas (fig. 1.3).

Fig 1.3 - Plano horizontal de projeo como plano de referncia


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1.3.3.2 - Representao cotada de pontos e retas

Como mencionado no incio desse trabalho, complementaremos a projeo horizontal anotando o

valor da cota dos pontos ao lado de suas projees em p1 (ver figura 1.2). Quando a cota

positiva diz-se que o ponto est em relevo e quando a cota negativa diz-se que o ponto est

rebaixado. Alm disso, chamaremos altura cota positiva e profundidade cota negativa.

Quando o plano de projeo o nvel mdio dos mares, a cota positiva chamada altitude.

Sempre que possvel, devem ser evitadas cotas positivas e negativas em um mesmo trabalho. Para

isso, a figura deve ficar inteiramente contida numa das regies. Nesse caso, no h necessidade de

se antepor o sinal cota, j que todas tem o mesmo sinal; no havendo sinal considera-se o ponto

em relevo, a no ser que seja dado outro esclarecimento nesse sentido ou a prpria natureza do

trabalho indique tratar-se de um rebaixamento.

1.3.3.3 - Posio relativa de dois pontos

Observe a figura 1.4. Nela esto representados os pontos A e B atravs de suas projees cotadas

tendo-se como unidade o metro.

Fig. 1.4 - Projeo cotada de 2 pontos

Note que o ponto A se projeta no plano horizontal em A1 e tem cota 1.7 m; da mesma forma o

ponto B se projeta em B1 e tem cota 4.3 m. Com isso, definiremos as grandezas:

Distncia entre 2 pontos: a verdadeira grandeza da distncia entre os 2 pontos

considerados. Essa distncia no medida diretamente no desenho mas determinada

algebricamente atravs de relaes geomtricas elementares.

Distncia horizontal entre 2 pontos: o comprimento da projeo do segmento cujos

extremos so os pontos, ou seja, a distncia entre as projees de cada ponto. Numa


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representao em folha cotada essa distncia medida diretamente sobre as projees dos

pontos tomando-se o cuidado de considerar, entretanto, a escala na qual o desenho est

representado.

Distncia vertical entre 2 pontos: a diferena, em valor absoluto, de cotas existentes entre

os pontos. Observe que o valor dessa distncia obtido algebricamente e, dessa forma, a

escala do desenho no afetar o seu resultado.

Nos pontos representados na figura 1.4 tem-se que as cotas dos pontos A e B so,

respectivamente, 1.7m e 4.3m. Dessa forma, a distncia vertical entre A e B definida como o

valor absoluto da diferena de cotas entre eles 2.6m (4.3m - 1.7m). Por outro lado, medindo-se

no desenho o comprimento do segmento A1B1 encontra-se 38 mm; sabendo que o desenho est

representado numa escala 1:100 (isto , uma distncia de 1mm no desenho corresponde a 100mm

no objeto real) conclui-se que a distncia entre as projees em p1 3800mm ou 3,8 m. Essa ,

tambm, a distncia horizontal entre os pontos A e B. A partir desse momento podemos

calcular a distncia entre os pontos A e B atravs de relaes mtricas simples. No espao tem-se

que os pontos A e B considerados e a direo de projeo (normal ao plano p1) determinam um

plano que conter tambm os seus deslocamentos vertical (distncia vertical) e horizontal

(distncia vertical). Tem-se um tringulo retngulo cuja hipotenusa a distncia entre os pontos e

um dos catetos a distncia vertical e o outro a distncia horizontal entre A e B. Nesse caso, a

distncia entre os pontos A e B (pela aplicao do Teorema de Pitgoras):

dAB = ( ) ( )DV DH2 2+ = 2 6 3 82 2, ,+ = 4,6 m

Fig. 1.5 - Distncias Vertical, Horizontal e Efetiva entre dois pontos e Inclinao da reta AB


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1.4. Estudo de retas

Inicialmente estudaremos o caso de retas definidas por 2 pontos e, posteriormente estenderemos

o estudo para o caso em que uma reta definida pela interseco de dois planos. Assim, dados 2

pontos A e B e suas projees A1 e B1 cada ponto da reta AB tem por projeo um ponto bem

definido em A1B1.

1.4.1 - Inclinao de retas: Declividade e Aclividade

Um parmetro muito importante, para descrever a posio relativa de uma reta AB, com relao

ao plano horizontal de referncia, a sua inclinao (ngulo q da fig. 1.5). A inclinao de uma

reta o ngulo que essa reta faz com o plano de projeo, isto , o ngulo que ela faz com a

sua projeo ortogonal nesse plano. Da mesma forma, define-se a declividade (indicada por

p)de uma reta como a relao entre a distncia vertical e a distncia horizontal entre os pontos

que a definem. Pode-se alternativamente exprimi-la como porcentagem ou por fraes ordinrias.

Assim, para o nosso exemplo temos que a declividade da reta AB :

p = DVDH

= 2 63 8,,

mm

= 0,684 = 68,4%

Observa-se que a declividade de uma reta coincide, numericamente, com a tangente

trigonomtrica de seu ngulo de inclinao. importante notar que no caso de retas verticais a

sua inclinao 90o e a sua declividade infinita; por outro lado, retas horizontais tem inclinao

igual a 0o e declividade zero.

Em uma folha cotada, onde est representada uma reta AB, podemos, por operaes grficas,

determinar sua inclinao e sua declividade. s transformar a folha cotada em uma pura

mongeana tomando-se AB como uma reta frontal. Escolhemos a linha de terra 1-2 coincidindo

com A1B1 e colocamos as cotas de A e de B perpendicularmente linha de terra, a partir de A1 e

B1, obtendo as projees A2 e B2. O ngulo de inclinao da reta AB (ngulo entre a projeo

A2B2 e a linha de terra) pode ser medido diretamente quando as cotas so inicialmente reduzidas

escala do desenho. Por outro lado, a inclinao da reta AB denotada por q pode ser calculada

atravs da expresso

q = arctg(DV/DH).


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Para o nosso caso, temos que o ngulo de inclinao da reta AB em relao ao plano p1 :

q = arctg(DV/DH), onde DV = 2,6 m e DH = 3,8 m.

Ento,

q = arctg(2,6/3,8) q = arctg(0,684) q = 34,4o.

1.4.2 - Intervalo de uma reta

Define-se intervalo de uma reta como a distncia horizontal entre dois pontos dessa reta que

apresentam diferena de cotas igual a 1 unidade (normalmente 1 metro). Numericamente o

intervalo de uma reta o inverso da sua declividade ou, ainda, igual a cotg(q) sendo q o ngulo

de inclinao da reta (veja fig. 1.6)

i = 1 1p DV

DH

DHDV

g= = = cot ( )q

Fig. 1.6 - Intervalo de uma reta

Novamente, para o nosso exemplo, temos:

i = cotg(34.4o) = 1,46 m,


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mostrando que partindo-se da projeo A1 e ao deslocarmos 1,46 cm (lembre-se que

o desenho est representado em escala 1:100) sobre A1B1 estaremos num ponto M da

reta AB de cota 1m acima de A (cota de M = 1.7m + 1m = 2.7m).

1.4.3 - Coeficiente de reduo

O coeficiente de reduo de uma reta definido como a relao entre a distncia horizontal de

dois pontos da reta e a distncia entre esses pontos; , portanto, numericamente igual ao cosseno

do ngulo de inclinao. Dessa maneira, o coeficiente de reduo de uma reta vertical nulo, pois

a sua inclinao 90o. No caso de uma reta horizontal o ngulo de inclinao nulo e o

coeficiente de reduo 1 mostrando que essa reta se projeta em verdadeira grandeza no plano

horizontal p1.

1.4.4 - Pertinncia ponto-reta

Conhecendo-se as projees em p1 e as cotas de 2 pontos de uma reta pode-se determinar o seu

intervalo como referido no item 1.4.2. Com isso, podemos determinar a cota de qualquer ponto

da reta: para exemplificar esse procedimento consideraremos novamente a reta AB mostrada na

figura 1.4. Tomemos sobre essa reta um ponto M de projeo M1. Desejamos determinar a sua

cota. Chamando de zM a cota do ponto M podemos escrever:

z mA M

M - =17 0 684

1 1

. ,

Fig. 1.7 - Determinao da cota do ponto M pertencente reta AB


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que a expresso da declividade calculada com os pontos A e M. Como A1M1 pode ser obtido

por leitura direta na folha, medindo o segmento A1M1 e considerando a escala do desenho,

obtendo como resultado A1M1 = 2,6 m, tem-se que:

z m m mM = * + =2 6 0 684 1 7 3 48, , , , , que a cota do ponto M da reta AB.

Da mesma forma, poderemos resolver o problema inverso, isto , determinar a projeo N1 de um

ponto da reta AB que tem a cota dada, por exemplo 3,0 m (observe a figura 1.8).

3 0 17 0 6841 1

, . ,m mA N

-=

A1N1 = 3 0 1 7

0 6841 90, ,

,,m m m- =

Fig.1.8 - Determinao de um ponto N da reta AB de cota conhecida

Como o desenho est representado na escala 1:100, s marcar 1,90 cm sobre a A1B1 a partir de

A1 e obteremos o ponto N1.

Assim, para que um ponto pertena a uma reta so necessrias as duas seguintes condies:

A projeo do ponto pertena projeo da reta;

A cota do ponto seja igual cota do ponto da reta cuja projeo coincida com a projeo do

ponto dado.


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1.4.5 - Graduao de retas

Repetindo-se a operao anterior poderemos marcar os pontos da reta AB cujas cotas so

representadas por nmeros inteiros. Assim, poderemos marcar sobre a reta AB os pontos de

cotas 2, 3, 4, etc. Essa operao chamada de graduao da reta AB.

Graduar uma reta seguindo-se os passos mostrados anteriormente denominado de graduao de

retas pelo mtodo analtico, pois emprega clculos algbricos para se determinar os pontos de

cotas inteiras. H, entretanto, um outro mtodo empregado na graduao das retas. o mtodo

grfico que se baseia na reconstruo da pura mongeana e, a partir da, traar planos

horizontais auxiliares de cotas inteiras e determinar a sua interseco com a reta considerada. No

nosso exemplo, o ponto N (marcado na reta AB no item anterior) um ponto de cota inteira

(cota 3). Marcando-se os pontos P e Q distantes 1,46 cm (i = 1,46 m reduzido a escala 1:100) de

N1 obteremos a reta AB graduada de metro em metro (figura 1.9)

Fig. 1.9 - Reta AB graduada de metro em metro

1.4.6 - Retas Concorrentes

Duas retas so concorrentes quando suas projees no plano horizontal p1 tem um ponto comum

e nesse ponto ambas as retas tem a mesma cota. Quando a cota do ponto comum no dada,

pode ser facilmente determinada, algbrica ou graficamente como referido anteriormente. Feita

essa determinao para cada reta, e verificando-se que a cota do ponto comum a mesma para

ambas as retas, conclui-se que essas retas so concorrentes naquele ponto. A figura 1.10 mostra

duas retas r e s concorrentes num ponto de cota igual a 3,7 m.


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Fig. 1.10 - Projeo cotada de duas retas r e s concorrentes

Outro processo para se investigar a concorrncia de duas retas o seguinte: traam-se retas que

pertenam aos pontos de mesma cota de cada uma das retas dadas. Se as retas traadas forem

paralelas, as retas dadas so concorrentes. Esse processo est mostrado na figura 1.11 e

particularmente empregado quando o ponto de concorrncia das retas dadas est fora dos limites

do papel.

Fig. 1.11 - Mtodo grfico de verificao de concorrncia de duas retas

1.4.7 - Retas Paralelas

Duas retas so paralelas quando tem projees paralelas, mesmo intervalo e mesmo sentido de

graduao. Consideremos duas retas, r e s, paralelas entre si. Como estamos empregando

projees cilndricas ortogonais, sabemos que retas paralelas tem projees paralelas (ponto de

fuga imprprio). Por outro lado, retas paralelas tem igual inclinao em relao ao plano

horizontal p1. Dessa forma, elas apresentam a mesma declividade e, portanto, o mesmo intervalo.

Considerando-se pontos de mesma cota das retas r e s, as retas definidas por cada dois desses


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pontos de mesma cota, so horizontais e paralelos, mostrando que apresentam mesmo sentido de

graduao.

Assim, a condio necessria e suficiente para que duas retas representadas em cotada sejam

paralelas, que sejam verificados simultaneamente, os trs itens seguintes:

suas projees sejam paralelas;

seus intervalos sejam iguais;

suas graduaes sejam concordantes.

Fig. 1.12 - Representao em projeo cotada de duas retas paralelas

1.5 - Estudo de Planos

Um plano pode ser determinado por 3 pontos no-colineares, uma reta e um ponto no

pertencente a ela, duas retas paralelas ou duas retas concorrentes. Analisaremos o caso em que o

plano determinado por 3 pontos, pois todos os outros casos podem ser reduzidos a esse caso

geral.

1.5.1 - Retas Horizontais de um Plano

Sejam os pontos A, B e C, representados na folha cotada com suas respectivas cotas como

mostrado na figura 1.13.


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Fig.1.13 - Representao dos pontos A, B e C em projeo cotada

Eles determinam um plano a. Vamos graduar (conforme item 1.4.5) as retas AB e AC, obtendo

os pontos de cotas inteiras de 2 a 6 dessas duas retas. O ponto de cota 6 da reta AB ligado ao

ponto de cota 6 da reta AC d uma reta horizontal h6 de cota 6 contida no plano a. Da mesma

forma, ao ligarmos o ponto de cota 5 da reta AB ao ponto de cota 5 da reta AC obtemos a reta

horizontal h5 do plano a. Repetindo-se esse procedimento, obtemos as demais retas horizontais

contidas em a de cotas inteiras (h1, h2, h3, ...). Essas retas horizontais, de cotas inteiras, do plano

a, assim determinadas, so paralelas e eqidistantes.

Como referido anteriormente, essas retas horizontais do plano a so paralelas entre si e paralelas

reta trao do plano a no plano horizontal p1. A reta trao de a em p1 a reta horizontal h0.

1.5.2 - Retas de Maior Declive de um Plano

Consideremos, novamente, um plano determinando de uma das formas mostradas em 1.5.

Tomando-se quaisquer 2 pontos distintos do plano a existe uma nica reta que os contm e que

estar perfeitamente definida pelas suas projees. Lembrando que a inclinao de uma reta em

relao ao plano horizontal o ngulo entre essa reta e a sua projeo nesse plano medido no

plano projetante, observamos os seguintes fatos (acompanhe pela figura 1.14):


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Fig. 1.14 - Inclinao de retas contidas ao plano a mostrando o significado geomtrico da reta de maior declive

(i) escolhemos arbitrariamente um ponto P do plano a que ser mantido fixo durante todo o

processo. Para facilidade de demonstrao tomaremos um ponto P de cota unitria;

(ii) escolhemos agora outro ponto de a muito longe de P que referiremos como ponto Q. Esse

ponto Q pode ser qualquer, mas o tomaremos sobre o trao de a em p1. Medimos o ngulo de

inclinao da reta PQ com o plano horizontal. Esse ngulo muito pequeno (no limite nulo), pois

a distncia vertical constante e a distncia horizontal tende a infinito.

(iii) movendo o ponto Q (ainda no trao de a em p1) em direo ao ponto P, o ngulo de

inclinao qPQ da nova reta PQ aumentar progressivamente, pois a distncia horizontal diminui;

(iv) por outro lado, quando o ponto Q, caminhando-se sobre o trao, se afasta de P o ngulo de

inclinao qPQda reta AQ decresce rapidamente tornando-se, no limite, zero;

(v) a inclinao da reta PQ atingir seu valor mximo quando a distncia horizontal (DH) for

mnima. Isso ocorre quando a reta projetada P1Q1 for perpendicular ao trao de a em p1. Como

esse trao , obviamente, uma reta horizontal de a tem-se que a reta PQ , tambm,

perpendicular ao trao (nesse caso, em particular, o perpendicularismo entre as retas se mantm

na projeo).

Assim, uma reta de maior declive, ou inclinao, de um plano uma reta desse plano

perpendicular ao seu trao ou qualquer outra de suas retas horizontais. Uma reta de maior

declive de uma plano o define completamente como veremos em 1.5.4. Nos prximos tens

definiremos a inclinao e a graduao de planos que esto relacionadas com a sua reta de maior

declive.

interessante observar que essa reta indica a direo de mnima energia desse plano. Uma esfera

(que pode rolar livremente num determinado plano) ao ser abandonada descer plano abaixo


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segundo sua reta de maior declive. Da mesma forma, a gua da chuva ao cair num telhado plano,

o percorrer numa direo paralela sua reta de maior declive.

1.5.3 - Inclinao de Planos

A inclinao de um plano a mesma inclinao da sua reta de maior declive. Pode-se afirmar,

ainda, a declividade de um plano a declividade de sua reta de maior declive e o intervalo de

um plano o intervalo da sua reta de maior declive.

Fig. 1.15 - Inclinao de plano: ngulo de inclinao de sua reta de maior declive

1.5.4 - Graduao de Planos

A graduao de um plano pode ser feita ou com o traado de sua retas horizontais de cotas

inteiras (h1, h2, h3, ...) ou, como mencionado anteriormente, traando-se sua reta de maior declive

e graduando-a. Uma vez determinada a reta de maior declive de um plano, podemos apagar todos

os outros elementos determinadores desse plano, que ss a reta de maior declive do plano

suficiente para determina-lo univocamente. Dizemos que um plano est representado em

projees cotada quando conhecemos a sua reta de maior declive devidamente graduada.

Dizemos que desenhamos o plano graduado. A graduao de um plano o primeiro passo para se

determinar a pertinncia de pontos, retas a planos, a interseco de retas e planos e a interseco

de dois planos. Para se distinguir uma reta de maior declive graduada de um plano de uma reta

graduada qualquer, usa-se representar as primeiras por dois traos paralelos prximos sobre os

quais se assinalam os pontos de cota inteira por traos curtos perpendiculares a ela.

Dessa forma, pode-se estabelecer um novo critrio para determinar se duas retas dadas numa

folha cotada so concorrentes ou reversas. Se elas forem concorrentes determinam um plano e,

graduando-as e ligando os pares de pontos de mesma cota deveremos ter retas paralelas e


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eqidistantes, pois so as horizontais do plano definido por elas. Caso contrrio essas retas so

reversas.

Fig. 1.16 - Definio de planos (traagem de suas retas horizontais de cotas inteiras) pelas suas retas de maior declive

1.5.5 - Posies Relativas de dois Planos

1.5.5.1 - Planos Paralelos ao Plano de Projeo

Nesse caso tem-se que o plano considerado paralelo, ou seja, todos os pontos a ela pertencentes

tero a mesma cota. Todas as suas retas so retas de maior declive. A sua representao feita

por um segmento de reta (duplo, para se indicar uma reta de maior declive), colocando-se em

seus extremos o valor da cota do plano. A figura 1.17 mostra um plano horizontal de cota 2.

Observe que qualquer figura pertencente a um plano horizontal se projeta em verdadeira grandeza

no plano de projeo p1.

fig. 1.17 - Indicao da reta de maior declive de um plano horizontal de cota 2.

1.5.5.2 - Planos Concorrentes com o Plano de Projeo

Tem-se dois casos:

plano vertical

o ngulo de inclinao desse plano em relao ao plano p1 90o . Todos os seus pontos

tm projees confundidas com o trao do plano. Todas as suas retas de maior declive

so retas verticais. Esse plano representado por seu trao no plano horizontal p1 sem

graduao, naturalmente, de suas retas.(fig. 1.18)


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Fig. 1.18 - Indicao de trao, reta de maior declive de planos verticais

plano qualquer

a representao feita pela projeo de uma de suas retas de maior declive.

Fig. 1.19 - Representao de um plano qualquer pela sua reta de maior declive

1.5.5.3 - Planos Paralelos

Foi visto em aulas anteriores que planos paralelos tem traos nos planos de projeo tambm

paralelos. Dessa forma, podemos estender esse conceito e concluir que planos paralelos tem suas

retas de maior declive paralelas, e, portanto, a projeo de dessas retas caractersticas so

paralelas, apresentando os mesmos intervalo e sentido de graduao. A figura 1.20 mostra a

representao, pelas suas retas de maior declive, de dois planos paralelos entre si.

Fig. 1.20 - Representao de dois planos paralelos pelas suas retas de maior declive

1.5.5.4 - Planos Concorrentes


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Sejam dois planos quaisquer a e b. Seja, ainda, P um ponto de cota zp pertencente

simultaneamente a esses dois planos estando, portanto, na reta interseco de a e b. Graduando-

se as retas de maior declive dos dois planos pode-se desenhar suas horizontais (perpendiculares

reta de maior declive do plano). As retas horizontais dos planos a e b passando por P sero

representadas por h(a)zP e h(b)zP respectivamente. Ento, a projeo de P estar na interseco das

horizontais h(a)zP e h(b)zP; e repetindo-se esse procedimento para outro ponto Q tambm

pertencente simultaneamente aos planos a e b de cota zQ . Da mesma forma como ocorreu para o

ponto P, a projeo do ponto Q estar na interseco das retas horizontais h(a)zQ e h(b)zQ.

Portanto, a interseco dos planos a e b o lugar geomtrico de todos os pontos interseco das

retas horizontais de mesma cota desses planos.

Quando dois planos so concorrentes, verifica-se um dos seguintes casos:

i. as suas retas de maior declive so concorrentes;

ii. as suas retas de maior declive so paralelas, mas o sentido de graduao no o

mesmo;

iii. as retas de maior declive so paralelas, mas seus intervalos no so iguais.

Fig. 1.21 - Determinao da reta interseco rab entre os planos a e b

1.5.6 - Pertinncia Ponto-Plano

Para um ponto pertencer a um plano necessrio que esse ponto pertena a uma reta horizontal

do plano. Dessa forma, para se verificar se um ponto pertence a um plano basta traar a reta

horizontal do plano de cota igual a do ponto. Observe a figura 1.22. Se esse ponto pertencer a

essa horizontal, ento, o ponto P pertence ao plano; caso contrrio, o ponto no pertence ao


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plano (por esse motivo, o ponto A no pertence ao plano). Um ponto pertence a um plano

vertical se pertencer ao trao desse plano no plano horizontal p1 ; um ponto pertence a um plano

horizontal quando sua cota igual cota desse plano.

Por outro lado, sabendo que um ponto Q pertence a um plano a pode-se determinar a sua cota

traando-se uma horizontal do plano passando por Q e determinando-se o valor de sua cota na

reta de maior declive de a.

Fig. 1.22 - Pertinncia de ponto a plano

1.5.7 - Pertinncia Reta-Plano

Para que uma reta pertena a um plano necessrio que ela se apoie em duas retas do plano.

Assim, para que uma reta pertena a um plano necessrio que as horizontais do plano pertenam

aos pontos da reta cujas cotas sejam as mesmas que as das respectivas horizontais (figura 1.23)

Fig. 1.23 - Pertinncia de reta a plano

1.5.8 - Interseco Reta-Plano


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A interseco de uma reta com um plano um ponto prprio, no caso geral, ou imprprio quando

a reta paralela ao plano. Observa-se, ainda, que esse ponto pertencer reta interseco desse

plano com qualquer plano que contenha a reta considerada. Poderemos utilizar esse fato para

determinar o ponto de interseco de uma reta r com um plano a dado por sua reta de maior

declive devidamente graduada:

escolhemos arbitrariamente um plano x que contm a reta r dada: por facilidade escolhemos

um plano cuja reta de maior declive a reta r;

determinamos a reta iax interseco entre os planos a e x como mostrado anteriormente (item

1.55.4);

encontramos o ponto P da reta r que pertence tambm a reta interseco iax. Esse ponto P a

interseco da reta r com o plano a dados.

1.6 Bibliografia

Gontijo, S.F. Desenho, vol. III, 1987 - Apostila de PCC, PCC/EPUSP

Rangel, A.P., Projees Cotadas, LTC Editora S.A., 1976, 3a edio, RJ.

Costa, Mrio Duarte. Geometria Grfica Tridimensional. Vol. I. Editora Universitria

Costa, Mrio Duarte. Geometria Grfica Tridimensional. Vol. II. Editora Universitria

Carvalho, Benjamim A. Desenho Geomtrico. Livro Tcnico

French, Thomas. Desenho Tcnico e Tecnologia Grfica. Editora Globo

Manf Giovanni . Desenho Tcnico Mecnico. Editora Hemus

Montenegro, Gildo. Geometria Descritiva. Editora Perspectiva


PROFESSOR: SRGIO VASCONCELOS

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Apostilha de Projeções cotadas.pdf