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APRENDENDO A PESQUISAR A
PRÓPRIA PRÁTICA: NARRATIVA
DE UMA PROFESSORA DE
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Orientanda: Nádia Helena Braga
Orientadora: Teresinha Fumi Kawasaki
APRENDENDO A PESQUISAR A
PRÓPRIA PRÁTICA: NARRATIVA
DE UMA PROFESSORA DE
MATEMÁTICA
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© 2013
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor da UFOP | Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza
Vice-Reitora | Prof.ª Dr.ª Célia Maria Fernandes Nunes
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS
Diretor (a) | Prof.ª Dr.ªRaquel do Pilar Machado
Vice-Diretor (a) | Prof.ª Prof. Dr. Fernando Luiz Pereira de Oliveira
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS - GRADUAÇÃO
Pró-Reitor | Prof. Dr. Valdei Lopes de Araújo
Pró-Reitor Adjunto | Prof. Dr. André Talvani Pedrosa da Silva
Coordenação | Prof.ª Dr.ª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
MEMBROS
Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira, Profa. Dra. Célia Maria Fernandes Nunes,Prof. Dr. Dale Willian
Bean, Prof. Dr. Frederico da Silva Reis,Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana,Prof. Dr.
Plínio Cavalcanti Moreira, Profa. Dra. Teresinha Fumi Kawasaki.
ISBN0000.0000.0000-00
FICHA CATALOGRÁFICA
B813a Braga, Nádia Helena.
Aprendendo a pesquisar a própria prática: narrativa de uma professora de
matemática/ Nádia Helena Braga. Ouro Preto: UFOP,2013
56p.: il.; color.
Orientadora: ProfªDrª Teresinha Fumi Kawasaki.
Produto Educacional do Mestrado Profissional em Educação
Matemáticada Universidade Federal de Ouro Preto
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Prática de ensino. I. Kawasaki, Teresinha
Fumi. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título.
CDU: 51:37.014
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Catalogação: [email protected]
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados.
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Cada um é portador de uma história. Cada pessoa é, a todo momento, portadora de sua história, inscrita no seu corpo. Essa história e, sobretudo, a história de suas relações com os outros, lhe conferem uma sensibilidade e uma resposta emotiva particular a certos acontecimentos, uma capacidade de detecção de certas configurações, de valores e normas pessoais e uma capacidade de se engajar por alguns motivos. O engajamento no trabalho é sempre um engajamento do corpo uma mobilização feita pela pessoa de seus recursos físicos perceptivos, cognitivos, de interação social.
F. Daniellou M. Simard
I. Boissières
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Expediente Técnico ________________________
Organização | Nádia Helena Braga
Pesquisa e Redação | Nádia Helena Braga
Revisão | Nádia Helena Braga
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
Fotos | Nádia Helena Braga
Ilustração | Nádia Helena Braga
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Índice ________________________
Apresentação …………………………………………………………. 10
Introdução ………………………………………………………......... 12
Por que pesquisar a própria prática? ..................................................... 13
A investigação da minha prática ........................................................... 16
A Álgebra no Ensino Fundamental ……………………………........... 19
Algumasreflexões …………………………………………………… 21
Atividades matemáticas desenvolvidas durante a pesquisa &
reflexões 23
Atividade 01 – Cálculo do IMC ……………………………………… 23
Atividade 02 – Qual é o número do seu calçado?.................................. 26
Atividade 03 – Cálculo da área e perímetro do retângulo .................... 28
Atividade 04 – Área e perímetro do triângulo retângulo ...................... 31
Atividade 05 – Teorema de Pitágoras ………………………………... 33
Atividade 06 – Trabalhando com padrões …………………………… 37
Atividade 07 – Tangram ……………………………………………... 41
Atividade 08 – Construção de quadrados ……………………………. 47
Atividade 09 – Construção da fórmula-padrão...................................... 50
ReferênciasBibliográficas …………………………………………… 54
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Caros Professores,
Sou professora de Matemática com mais de trinta anos de experiência na Educação
Básica. Por muitos anos, lecionei no Ensino Médio e, atualmente, atuonoEnsinos Fundamental
e Superiorem duas escolas públicas, respectivamente, Escola Municipal Marconi da Prefeitura
Municipal de Belo Horizonte e Fundação Helena Antipoff no município de Ibirité. Na
fundação, leciono no curso de formação de professores de Matemática.
O objetivo desta brochura é apresentar um produto educacional que tem origem na
pesquisa por mim realizada como aluna do Mestrado Profissional em Educação Matemática
(DEMAT/ICEB/UFOP) no período de 2011 a2013, intitulada: Pesquisando a própria prática:
narrativa de uma professora de Matemática,defendida em setembro de 2013.
Para realizar esta pesquisa, fiz observações sobre a minha prática em uma turma do
oitavo ano de uma escola da rede municipal de Belo Horizonte e busquei, nos teóricos e
pesquisadoresda pesquisa sobre a própria prática, o suporte metodológico no sentido de
compreender a minha atuação em sala de aula e refletir sobre ela.
A pesquisa possibilitou-me não só refletir sobre a minha atuação, entender melhor o
que faço em sala de aula, mas também conhecer-me e reconhecer-me como professora.Na
busca por respostas para saberO que faço? ePor que faço o que faço?, utilizei um diário de
campo, gravações em vídeo e áudio para documentar o meu dia a dia na sala de aula e, em
consonância,escrevi narrativas sobre a minha história de formação e sobre esse dia a dia. O
exercício de narrar sobre mim mesma deu-me a oportunidade de voltar no tempo e encontrar
respostas para muitas das questões colocadas por essa pesquisa.
Tenho a pretensão de apresentar aos professores interessados na pesquisa sobre a
própria prática o quanto foi importante para mim esse trabalho que trouxe mudançasrelevantes
ao meu proceder na sala de aula. Também tenho a intenção de sugerir aos professores que se
envolvam num processo de reflexão sobre a sua prática e dessa forma venham a promover
mudanças na sua ação pedagógica.
Ao final deste texto, apresento algumas atividades que foram desenvolvidas com os
alunos, durante o segundo semestre de 2012. Nelas, faço comentários e sugestões de
procedimentos que muito auxiliaram nas observações da minha atuação. Apresento,além
disso, algumas reflexões a respeito da minha atuação conjugada com a atuação dos alunos
durante o desenvolvimento das mesmas.
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Espero que este livreto seja de grande valor para os professores que se preocupam
com a sua prática em sala de aula e pensam até mesmo em investigar essa prática.
grande Abraço!
Nádia Helena Braga
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INTRODUÇÃO
________________________
A pesquisa sobre a própria prática é uma proposta alicerçada em uma pesquisa de
Mestrado1realizada em uma Escola da Rede Municipal de Ensino da Prefeitura de Belo
Horizonte, durante o segundo semestre de 2012.
O foco dessa pesquisa está na reflexão da própria prática docente, o que me
proporcionou ser professora e pesquisadora ao mesmo tempo. Para observar a minha prática,
utilizei ferramentas que se potencializavam quando utilizadas juntas, tais como: gravações em
áudio e em vídeo e diário de campo.As filmagens foram transcritas e, assim, possibilitaram –
nessa ação – o desenvolvimento de um olhar crítico e reflexivo concernenteaos meus modos
de agir e atuar em sala de aula.
Este trabalho foi organizado da seguinte forma: primeiro, apresento algumas reflexões
sobre a prática do professor e os motivos que podem levar à pesquisa sobre a própria prática.
Em seguida, discorro a respeito dos pesquisadores, que foram o alicerce da investigação.
Logo após, descrevo o contexto no qual foram realizadas as observações e, finalmente,
apresento algumas atividades matemáticasdesenvolvidas ao longo da pesquisa com reflexões e
algumas sugestões.
Espero que a presente proposta, as reflexões e discussões que dela decorrem tragam a
todos os profissionais da área da Educação Matemática informações que possam vir a sugerir
e esclarecer o que é pesquisar a própria prática e, principalmente, a importância de se
pesquisar a própria prática.
1Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP.
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Por que pesquisar a própria prática?
Nós, professores, nos deparamos com vários problemas em sala de aula. Podemos
considerar como exemplos: o baixo rendimento dos alunos, o desinteresse por nossas aulas, a
“conhecida” aversão pela Matemática e a indisciplina em sala de aula. Muitas vezes,
responsabilizamos por esses problemasos nossos alunos,o contexto escolar, as políticas
públicas. No entanto, podemos ponderar o quanto é difícil para o professor perceber que o
problema pode também residir em sua prática em sala de aula.
Por diversas vezes, procuramos resolver esses problemas por nós mesmos.No entanto,
nem sempre obtemos sucesso. Dessas reflexões,emergemvários questionamentos a respeito da
nossa sala de aula, que podem ter relação direta com a nossa prática:
Será que os alunos gostam das aulas de Matemática?
Será que sabemos motivar os nossos alunos no aprendizado da Matemática?
Será que os alunos realmente aprendem o que ensinamos? Da forma que ensinamos?
Será que sabemos como ajudar os alunos em suas dificuldades?
Será que existe algum conflito do professor com a suaprática em sala de aula?
Essas são, decerto, algumas perguntas que nós, professores, fazemos quando nos
deparamos com problemas no dia a dia da sala de aula. Uma reflexão sistemática sobre esses
questionamentos nos conduz a uma tomada de consciência da nossa prática. Nesse sentido,
porque não refletir sobre a nossa própria prática de modo sistemático? Por que não investigar
o processo de formação e desenvolvimento da nossa prática?
Em dado momento, surgiu a dúvida: como pesquisar essa prática? O que tenho que
fazer? Qual metodologia seria a mais adequada a esse tipo de pesquisa? Buscando por
respostas para essas indagações, comecei uma busca por trabalhos de outros pesquisadores
que abordaram esse tema. Iniciei minhas análises nos estudos de João Pedro da Ponte, autor
português, que atua no campo da Educação Matemática e vem produzindo, desde a década de
90, uma série de trabalhos2, entre outros, sobre a prática do professor de Matemática.
2 Investigar a Nossa Própria Prática: Uma Estratégia de Formação e de Construção do Conhecimento
Profissional, (2008). Nesse texto, o autor apresenta a proposta da constituição do Grupo de Trabalho e
Investigação (GTI) e também o interesse desse grupo na pesquisa sobre a própria prática. Esse foi
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Segundo Ponte (2002), para compreender os problemas que surgem na nossa sala de
aula e tentar solucioná-los, torna-se necessário pesquisá-los. O pesquisador propõe a
investigação sobre a prática do professor. Segundo esse autor, a pesquisa sobre a própria
prática visa alterar algum aspecto da conduta profissional e compreender problemas que
afetam essa mesma conduta. E ainda: pesquisar a própria prática é, de alguma forma, tentar
adquirir uma condição de emancipação profissional. Além disso, ele aponta algumas razões
para que se realize a pesquisa sobre a própria prática:
(i) esclarece e resolve problemas com a prática;
(ii) ajuda a melhorar as organizações em que eles estão inseridos;
Ele esclarece, ainda, que esse tipo de trabalho pode ser conduzido numa lógica de
intervir e transformar, sabendo, desde o início, aonde se quer chegar ou numa lógica de
compreender primeiro os problemas que surgem, para, em seguida, criar as estratégias e ações
mais adequadas com o objetivo de resolvê-los.
Sob a luz das ideias de Ponte,refletindo sobre problemas que vinham ocorrendoem
minha sala de aula,vislumbrei a possibilidade em investigar a minha própria prática. Para isso,
pesquisei em outros trabalhos no banco de teses da CAPES3 e encontrei estudos, nos quais, os
pesquisadores investigaram sobre a sua própria prática4.
Castro (2004) pesquisou a própria prática num contexto de aulas investigativas,
utilizando a abordagem proposta por Ponte.No entanto, Sudan(2005), Paixão
(2008)utilizarama metodologia de narrativa autobiográfica para investigar a própria prática, ao
passo queSicardi (2004), Melo (2008) utilizaram essa metodologia para investigar a prática de
outras pessoas.
aparecendo à medida que o grupo estudava e refletia sobre a prática do professor. O artigo refere-se à
atividade do grupo de estudos de 2000 a 2002.
Investigar a Nossa Prática Profissional: O percurso de um grupo de trabalho colaborativo (2004).
Investigação Colaborativa: Potencialidades e problemas (2002). 3 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). A CAPES desempenha
papel fundamental na expansão e consolidação da pós-graduação strictosensu (Mestrado e Doutorado)
em todos os estados da federação do Brasil. Concede bolsas de estudo visando à formação de recursos
humanos de alto nível, essenciais para o desenvolvimento do nosso país. 4 Um estudo sobre a própria prática em contexto de aulas investigativas de Matemática – Castro (2004).
Saberes em construção de uma professora que pesquisa a própria prática – Sudan (2005). Narrativa
autobiográfica de formação: processo de vir a ser professor de Ciências – Paixão (2008). Olhares sobre
a formação do professor de Matemática – Melo (2008).
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Em particular, a proposta de pesquisar a própria prática foi ao encontro dos meus
objetivos. Porém, ainda pairava a dúvida: Como apresentar os dados da pesquisa sobre a
própria prática? Como levar o leitor a compreender todo o processo? Quiceno (2003), Castro
(2004), Sudan (2005) e Paixão(2008) utilizaram narrativas para expor e relatar as suas
pesquisas. Desse modo, vislumbrei também a possibilidade de usar dessa metodologia no meu
trabalho. Por que me servir de narrativas?As narrativassão uma forma de comunicar ou contar
as experiências vividas por uma pessoa ou por um grupo para outras pessoas ou outros grupos.
Melo (2010) afirma que elas são de grande interesse na área da educação, principalmente, nos
estudos relacionados à educação e formação de professores.As narrativas textualizadas
possibilitam ao pesquisador, mediante análise e interpretação, compreender as práticas
educativas e o processo de desenvolvimento profissional do professor (FIORENTINI, apud
TEIXEIRA 2012, p.13).
Considero que todo professor tem uma história na qual estão guardados seus anseios e
expectativas em relação à profissão. Conhecê-la e compreendê-la significa poder buscar, nos
caminhos trilhados, as respostas aos questionamentos relacionados com a sua docência
(MATTAR, 2009). Sendo assim, conhecer a história do professor significa ter o privilégio de
desvendar os elementos construtores e mobilizadores de seus projetos de vida: seus sonhos,
desejos, paixões e utopias.
Ao construir as narrativas de formação e desenvolvimento profissional, o sujeito traz à
tona os seus percursos, as imagens que foram construídas durante esse trajeto, as suas
expectativas quanto à profissão, às reminiscências de sua formação, que podem levá-lo à
compreensão dos seus modos de agir como professor (JOSSO, 2010). A reflexão sobre essa
atuação pode levar o professor a (re)significar a sua prática e, dessa forma, encontraras
soluções para os problemas advindos dessa mesma prática.
A minha pesquisa sobre a própria prática lançou mão de narrativas escritas por mim
sobre mim mesma – formação, atuação em sala de aula – para deflagrar o processo de refletir
sobre a minha prática em sala de aula e discutir a respeito dela. Apresento, em seguida, a
forma como investiguei e realizei a pesquisa da minha própria prática em sala de aula.
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A investigação da minha prática
O primeiro passo foi construir a narrativa sobre a minha formação. Essa narrativa foi
elaborada em várias etapas, pois a cada releitura sentia necessidade de acrescentar algum fato
ou acontecimento, já que, num primeiro instante, não me havia lembrado deles. Nela descrevi
o meu ingresso e passagem pelo ensino superior, o motivo que me levou a optar pelo curso de
Matemática, a minha primeira vez na sala de aula como professora, as idas e vindas, a
dificuldade em consolidar a profissão, o tempo dentro de uma escola da rede particular, a
vontade em fazer o Mestrado, a vida acadêmica provocando novas descobertas e, enfim, a
pesquisa sobre a própria prática.
A oportunidade de narrar, desde o princípio, a minha formação, da graduação até os
dias atuais, proporcionou-me uma viagem interior e, assim sendo, emergiram fatos que ora
provocaram reflexões críticas a respeito da minha atuação como professora de Matemática,ora
respondiam a questões que a minha atuação como professora me colocava.
Embora eu trabalhe em duas escolas e em dois níveis diferentes de ensino
Fundamental e Superior , decidi que as gravações seriam realizadas somente na sala de aula
do Ensino Fundamental. No entanto, as observações, reflexões e críticas que fiz, as narrativas
que escrevi não se restringem a esse nível de ensino. Minha prática é o conjunto das práticas
que tenho enquanto professora, não existe meio de desvincular essas práticas.
A observação da dinâmica na sala de aula foi realizada em minhas próprias aulas. Os
dados foram coletados por meio de gravações em áudio e vídeo, com a utilização de uma
câmera digital simples e três gravadores MP3 colocados sobre a mesa de alguns grupos
aleatoriamente. E, ainda, produzi um diário de campo para anotar os fatos e os acontecimentos
e minhas reflexões a respeito das aulas.Elas foram pensadas e planejadas com a minha
orientadora, mas respeitando o currículo da escola em questão e, principalmente, aquilo em
que eu acreditava como possibilidades de gerar aprendizagem dos alunos.
Inicialmente, as filmagens foram realizadas por dois alunos5 da faculdade na qual
leciono à noite. No entanto, não houve possibilidade de contar com a colaboração deles em
todas as aulas e, assim, em algumas delas,ajeitei a máquina em cima de uma cadeira que
estava colocada sobre a mesa do professor; porém, o áudio ficava ruim, devido ao barulho da
sala. Por vezes, com o objetivo de captar todas as cenas com mais detalhes, quando possível,
circulava entre os grupos com a máquina em mãos. Nesse último caso, a qualidade do áudio se
tornava melhor. Esse movimento de filmar e gravar aconteceu durante todos doze encontros.
5 Esses alunos dispuseram-se em ajudar com as filmagens e gravações durante o desenvolvimento das
atividades da pesquisa.
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Assisti a essas gravações por diversas vezes, buscando ter um olhar crítico e
observador. Elas foram fundamentais para o processo decompreensão da dinâmica em sala de
aula e de minha prática. Em seguida, as gravações foram transcritas e, por sua vez, as
transcrições ajudaram a compor o texto do Diário da Pesquisa que consta na dissertaçãoda
qual este produto se origina. Foi nesse texto que me apoiei para as reflexões e análises finais
sobre a prática desta professora-pesquisadora. Acredito que seria muito difícil pesquisar a
própria prática sem esses recursos e estratégias,porque não teria como captar todas as cenas
enem mesmo como refletir sobre o que foi falado e ensinado. Rever as filmagens, transcrever,
construir um texto – o diário – foram por nós – eu e minha orientadora – consideradas
estratégias metodológicas para pesquisar e refletir sobre a minha própria prática.
O diário de campoteve um papel muito importante nessa investigação. Muitas vezes,
ele foi a extensão da minha memória, pois nele anotei todas as observações e reflexões a
respeito dos fatos e acontecimentos em sala antes mesmo de eu assistir à gravação das aulas.
Logo após o término das atividades, assentava na sala dos professores e procurava relatar tudo
que havia observado. Não deixava de anotar os fatos ocorridos e alguns comentários e,
também nele, colocava as minhas reflexões. Apresento, na Figura 1, excerto do diário em que
faço uma reflexão a respeito do tempo que os alunos demoram em chegar na sala de aula.
Figura 1: Reflexão sobre o atraso que é costumeiro no início de cada aula.
As reflexões escritas no diário de campo foram fundamentais e nortearam a
pesquisa.Esse método se configurou, em primeiro lugar, por uma disposição em refletir sobre
a minha prática, ou seja, refletir sobre a minha ação, o meu modo de agir dentro da sala de
aula. Nesse relato, não deixava de registrar a minha ação como professora e o movimento dos
alunos, os questionamentos que surgiam durante a aula e como eu reagia diante desses
questionamentos. Às vezes, sentia as dificuldades dos alunosao realizar a atividade; em outras
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vezes, a satisfação e a alegria por terem compreendido algum conceito que para eles parecia
muito complicado. No figura 2, excerto do diário de campo, quando da realização do cálculo
do perímetro dos retângulos da Atividade 2.
Figura 2: Excerto da aula do dia 28 de agosto de 2012.
Devo esclarecer que essas duas ferramentas – diário de campo e gravações de áudio e
vídeo – são muito importantes para esse tipo de pesquisa. Uma complementa a outra. No
diário, registramos nossas reflexões, emoções e sentimentos, ou até algum acontecimento que
a gravação não captou. No entanto, assistir com olhar crítico e observador às filmagens
realizadas ao longo da pesquisa fez com que eu tomasse consciência da minha atuação em sala
de aula e, assim, emergiram reflexões sobre o meu modo de agir que estavam relacionados ao
meu modo de ser, ou seja, à minha prática em sala de aula. As narrativas foram escritas a
partir dos dados coletados e da minha memória de formação. Após a escrita das narrativas,
procurei responder às perguntas:
O que eu faço?
Por que eu faço o que faço?
Fui procurar as respostas na narrativa de minha formação. Por meio dessa narrativa,
iniciei um processo de compreensão e reflexão do que eu faço e por que faço o que faço.
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As observações da minha atuação foram realizadas durante as aulas normais da turma
participante.No período em que iniciei a pesquisa, os alunos iriam estudar “Introdução à
Álgebra”. Enfoquei esse conteúdo, pois não poderia prejudicar a turma com relação ao
cronograma de ensino que tinha sido estabelecido no início do ano letivo. Assim sendo,
elaborei atividades com o objetivo de atender ao cronograma de ensino.
A Álgebra no Ensino Fundamental
Para observar a minha prática em sala de aula, procurei sair da minha forma
tradicional de lecionar e, assim, provocar mudanças na minha atuação como professora. A
minha vontade era de ser mediadora6 da aprendizagem junto aos meus alunos. Devo esclarecer
que essa mudança já vinha ocorrendo em minha forma de atuar. Antes de iniciar o Mestrado,
eu era uma professora que ficava na frente da sala e durante um tempo apresentava no quadro
o conteúdo para os alunos. Em seguida, passava uma lista de exercícios. No início do
Mestrado, como aluna especial, comecei a fazer mudanças na minha atuação como professora
e, dessa forma, modifiquei a minha maneira de apresentar conteúdos para os alunos.
Como mencionei anteriormente, na época em que desenvolvi a pesquisa trabalhei com
os alunos “Introdução à Álgebra”. Para iniciar esse conteúdo, busquei por atividades nas quais
eles seriam protagonistas da sua aprendizagem e o meu papel seria de mediadora dessa
aprendizagem. Essa proposta foi organizada em torno de atividades e dinâmicas que
propiciavama aprendizagem do aluno a respeito da Álgebra.
Tinha como objetivo ensinar a Álgebra que fizessesentido para os alunos e, não
simplesmente manipulação de símbolos. Levá-los a pensar “abstratamente” propondo
atividades variadas que envolvessem noções e conceitos algébricos. Para isso, preparei
atividades envolvendo situações de modo a identificar e generalizar as propriedades das
operações aritméticas e a estabelecer algumas fórmulas (como áreas e perímetros dos
retângulos e dos triângulos). Levá-los, ainda, a identificar regularidades, fazer generalizações,
aperfeiçoar a linguagem algébrica, investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em
representações geométricas reconhecendo suas estruturas, construindo a linguagem algébrica
para descrevê-las simbolicamente.
6 “Mediador é o professor que interage com o aluno e o instiga a pensar, a buscar, a construir e a
controlar o seu trabalho e o seu processo de aprendizagem, transformando o conhecimento instituído
em seu próprio conhecimento” (ABRAHÃO, 2007).
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Introduzir Álgebra para alunos que, até então, nãotiveram contato com letras e
significados de variáveis e incógnitas, é um desafio. Eles normalmente sentem grande
dificuldade com essa disciplina. “Nos resultados do SAEB, por exemplo, os itens referentes à
Álgebra raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas regiões do país” (BRASIL,
1998, p.116).Eles enfrentam dificuldades, na mudança da linguagem corrente para a
linguagem algébrica.A linguagem algébrica, apresentada aos alunos, muitas vezes de forma
descontextualizada, pronta, cheia de incógnitas a serem decifradas, necessita de sentido, e os
discentes se ressentem dessa aparente falta de significado. Eles sentem a perda de sentido do
que já sabem e julgam as dificuldades operatórias difíceis de serem superadas. NosPCN’s,
temos alguns esclarecimentos a respeito do ensino da Álgebra.
Para uma tomadade decisões a respeito desse ensino, deve-se ter, evidentemente,
clareza de seu papel no currículo, deve-se fazer reflexão de como a criança e o adolescente
constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de representações.
Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas
pela observaçãode regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que
desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as “manipulações” com expressões e
equações de uma forma meramente mecânica (BRASIL, 1998).
Desse modo, as atividades foram elaboradas atendendo aos princípios dos PCN’s de
Matemática em relação à Álgebra. “O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante
significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e
generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver
problemas”. (p.115).
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Algumas reflexões
Foram aproximadamente três meses, nos quais, em todas as aulas eu levantava
observações da minha prática em sala. E em particular pensava sobre aminha atuação como
professora, procurando compreendero que eu faço e também porque eu faço o que faço.
Após releitura do Diário da Pesquisa, tomei algumas partes como dados para análise a
respeito da minha atuação como professora de Matemática do Ensino Fundamental. Foram
aspectos que chamaram a nossa atenção quanto às minhas atitudes e expectativas com relação
aos alunos.
Durante o processo da pesquisa, e analisando os fatos observados, compreendi que
sempre crio expectativas quanto ao procedimento dos alunos perante as tarefas e ao
aprendizado. Em algumas ocasiões, eles apresentaram, nas tarefas propostas, resultados
diferentes daqueles esperados por mim. Considero que, nesses momentos, estabeleceram
relações e aprenderam algo, mesmo que esse algo tenha sido diferente daquilo que eu
pretendia inicialmente.Se tivesse interferido, alterando o rumo, estaria interrompendo a
produção de conhecimento que eles mesmos estavam construindo.
Durante a realização do trabalho em sala de aula, eu atendia àqueles que me
solicitavam auxílio e esse atendimento já era suficiente para me tomar o todo o tempo. Esse é
um desafio num contexto de uma turma relativamente grande7. Com esse número de alunos
em sala, acabamos por não dar atenção a todos, mas ao mesmo tempo sinto-me tranquila, pois
os alunos que responderam equivocadamente nas atividades poderiam confrontar a resposta
com ados outros colegas. Esse era um momento em que eles se expunham e, muitas vezes,
observei que defendiam e sustentavam com exemplos e contraexemplos o que haviam
concluído.
Mas observei, também, aqueles alunos que “erraram”, não refizeram ou
simplesmente apagaram o que fizeram de “errado” e copiaram do quadro o “ correto”,como é
comum os alunos fazerem. Nessa hora, pensei no tempo para realizar as atividades. Ele pode
ter sido limitado e devo lembrar que cada um tem o seu tempopara produzir o seu
conhecimento. Não foi disponibilizado a eles um tempo para negociarem os resultados e nem
um tempo para discussão entre uma atividade e outra que levasse o aluno a refazer ou copiar.
7 A turma participante da pesquisa era constituída de 30 alunos.
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Quando da proposta da pesquisa, havia deixado claro para eles o objetivo das
atividades que não seriam avaliadas com conceitos, simplesmente seriam consideradas tarefas
de sala. Este pode ter sido um motivo que levou muitos deles, a não se dedicarem a essas
atividades. Sem a preocupação com a atribuição de um conceito ao trabalho realizado,
podiam, portanto, errar e não necessariamente corrigir seus erros. Isso fez com que eles se
sentissem livres para explorar as tarefas e, assim, puderam criar as suas próprias estratégias
deixando-se levar pelo pensamento matemático e pela apropriação e/ou construção do
conhecimento matemático.
Esse período foi um momento que me fez perceber queeu estava avançando no
sentido de conseguir olhar para mim e para a minha própria prática, enxergar as outras
relações, as possibilidades e as interpretações, e não somente fazer críticas severas, obtendo,
assim, uma melhor compreensão do meu trabalho docente. Dessa forma, alivio a tensão que
coloco sobre a minha atuação como professora, no entanto, acredito que posso continuar
realizando-a com competência e seriedade, mas de uma forma mais suave contribuindo para a
construção de uma escola melhor.
Analisando o Diário da Pesquisa, pudemos observar ações e reações em relação a
minha atuação como professora, ou seja,o que eu faço. Nessas ações e reações, encontrei
movimentos de expectativa, momentos em que simplesmente ensino aos alunos
procedimentos no sentido de facilitar a realização da tarefa, ansiedade em relação aos prazos
para cumprir os conteúdos programados e uma grande preocupação com os resultados obtidos,
pelos alunos, nas diversas avaliações. Esses dados foram analisados à luz da minha narrativa
(auto)biográfica, nela procurei compreender,porque faço o que faço. Dessa forma, apresentei
a análise da minha investigação.
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ATIVIDADES MATEMÁTICAS DESENVOLVIDAS
DURANTE A PESQUISA& REFLEXÕES
________________________
Nesta seção, apresento alguns exemplos de atividades que foram desenvolvidas
pelos alunos eque propiciaram a observação da atuação desta professora-pesquisadora em sala
de aula.
Atividade 1 – Cálculo do IMC
OBJETIVOS:
Utilizar fórmulas matemáticas;
Substituir as letras por valores numéricos;
Resolver a expressão numérica decorrente da substituição das letras pelos
valores numéricos;
Reconhecer a importância de uma fórmula matemática.
Apresentar aos alunos uma fórmula matemática, nesse caso, a fórmula para o cálculo
doÍndice de Massa Corporal (IMC).
IMC emadultos Condiçãofísica
Abaixo de 20 Abaixo do peso
Entre 20 e 25 Peso normal
Entre 25 e 30 Acima do peso
Acima de 30 Obeso
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Tabela 1: Tabela do IMC.9
Na figura 3, alguns comentários feitos por mim, Paulo e Vanessa, após a aula.
1 – Vamos formar grupos de 5 alunos.
2 – Utilizando a balança que a professora trouxe para a sala de
aula e a régua que foi colada na parede, cada aluno do grupo vai
se pesar, medir a altura e calcular o IMC do colega.
3 – Use a Tabela 2 abaixo para registrar os nomes, as alturas, os
pesos e os IMCs.
4 – Compare os valores dados do IMC na Tabela1 com a os
valores encontrados na Tabela 2.
5 – De acordo com a Tabela 1, como está a condição física de
cada um dos integrantes do grupo?
NOME ALTURA (m) MASSA (kg) IMC
Tabela 2:
.
Sugestão
Leve para a sala
de aula uma
balança para
que os alunos
possam se pesar
e cole na parede
uma régua para
medirem a
altura.
altura.
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Figura 3: Excerto do diário de campo da aula do dia 13 de agosto de 2012.
Observações: Após os cálculos, pedi aos alunos que
comparassem os resultados encontrados com os da tabela 1 do IMC.No
entanto, eles consideraram os cálculos muito complicados. Para
facilitar,entreguei a eles uma calculadora. Tive que ensinar a utilizá-la,
pois não sabiam manuseá-la. Pude observarque, ao realizarem os
cálculos na calculadora, os alunos sentiram-se “importantes” e, ao
mesmo tempo, esses cálculos, que para eles, normalmente, parecem
difíceis, ficaram “simples”. Ou seja, nesse momento retirei o obstáculo
que sentiam ao realizar operações complicadas. Nessa hora, a sala ficou
silenciosa, todos estavam concentrados realizando a tarefa.
Contudo, ATENÇÃO! Eles me surpreenderam nessa hora, pois estavam invertendo a
ordem das operações. Em vez de dividir a massa pelo resultado do produto – altura x altura –,
eles dividiam esse produto pela massa. Esse procedimento não está de acordo com a fórmula
dada para o cálculo do IMC. Deve-se fazer justamente o inverso.
Foi aí que tive dúvidas a respeito do meu procedimento e de minha orientação inicial
em relação aos cálculos. Pedi aos alunos que multiplicassem primeiro a altura pela altura e,
em seguida, realizassem a divisão. Talvez isso tenha feito com que trocassem a ordem das
operações. Precisei retomar esses cálculos e esclarecer a respeito da ordem correta das
operações em uma expressão numérica.
Sugestão
No uso da
calculadora,
ensine os
alunos a utilizar
a “tecla
memória” da
calculadora.
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Atividade 2 – Qual é o número do seu calçado?
Tendo em vista a dificuldade que os alunos apresentaram na atividade anterior,
continuei explorando algumas fórmulas com a classe. Levei para a turma uma atividade, na
qual eles fariam o cálculo do número do sapato.
OBJETIVOS:
Retomar e reforçar a utilização de fórmulas matemáticas;
Consolidar cálculos matemáticos.
QUAL É O NÚMERO DO SEU CALÇADO?
Existe uma relação entre a medida de nosso pé e o número do calçado.
Complete a tabela abaixo:
NOME N P
Onde N é o número do calçado e p é a medida do pé, em centímetros.
No Brasil, essa relação é utilizada pelos fabricantes de calçados e é dada pela
seguinte fórmula:
N: número do calçado
p: medida do pé, em centímetros.
1 – Verifique, através de cálculos, utilizando a fórmula, se os dados da tabela conferem.
2- Qual deve ser o número do calçado de uma pessoa que tem 27 cm de
tamanho do pé?
Sugestão
Cole uma
régua no chão
da sala. Fica
mais fácil para
medir o
comprimento
do pé.
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Observações: Alguns alunos ficaram com receio e não queriam realizar a atividade porque
tinham que tirar o tênis.
Ocorreram alguns problemas com os resultados encontrados. Em muitos casos, após a
substituir o comprimento do pé na fórmula e efetuar os cálculos, o resultado não coincidia
com o número do sapato. Alguns alunos falaram que a fórmula estava errada. Alguns deles
ficaram chateados e sentiram-se traídos, chegaram a comentar que a “fórmula é mentirosa”.
Para amenizar, resolvi tirar a medida do comprimento do meu pé e calcular o número do meu
sapato. Comigo deu certo. Com outros alunos também. Fiquei insegura e, naquela hora,
arrependi-me de ter escolhido trabalhar com essa fórmula. Pesquisei se ainternetapresentava
comentários a respeito desse fato. Encontrei alguns a favor e outros relatando o mesmo
problema que havia ocorrido na minha sala. Portanto, é importante “testar” a fórmula e
procurar se informar sobre os resultados que podemos obter.
Na figura 4, o comentário da aluna a respeito da fórmula.
Figura 4: Comentário de uma aluna a respeito da fórmula.
Sugestão
Peça aos
alunos
para
tirarem a
medida do
comprime
nto do pé.
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Atividade 3 – Cálculo de área e perímetro no retângulo
OBJETIVOS:
Reconhecer figuras geométricas;
Compreender a definição de área e perímetro de um retângulo utilizando a
malha quadriculada;
Exprimir comprimento e largura por meio de letras;
Trabalhar com fórmulas de área e perímetro.
1ª parte
1 – Utilizando a malha quadriculada que
você recebeu, faça o desenho de um
retângulo que tem comprimento 4 e largura
3. Esse é o retângulo 1.
2 – Determine o perímetro desse retângulo
(Lembre-se de que perímetro de uma figura
plana é o comprimento do contorno dessa
figura).
3 – Determine a área desse retângulo (Lembre-se de que área de uma
figura plana é a quantidade de medida que expressa o
tamanho/extensão da superfície/região ocupada pela figura).
4 – Desenhe um retângulo que tenha o comprimento e a largura
medindo o dobro do comprimento e da largura doretângulo1. Esse é o
retângulo 2.
5 – Determine o perímetro desse retângulo.
6 – Determine a área desse retângulo.
7 – Calcule a razão entre os lados do retângulo 1 e 2.
8 – Calcule a razão entre os perímetros do retângulo 1 e 2
9 – Os lados e os perímetros são proporcionais? Explique o porquê.
10 – Agora, calcule a razão entre as áreas do retângulo 1 e 2
11 – Os lados e as áreas dos retângulos são proporcionais? Sim/não
Explique sua resposta.
Sugestão
Retome com
os alunos o
conceito de
proporciona-
lidade.
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Para realizar essa atividade, procure levar para os alunos: a malha quadriculada, a
régua, o lápis preto. Muitos deles se descuidam do material e, quando propomos um trabalho
diferenciado em sala, muitas vezes, o desenvolvimento da atividade fica prejudicado.
Observações: Os alunos não sabiam utilizar a malha quadriculada e queriam medir com a
régua os lados do retângulo.Eles fazem confusão entre o cálculo da área e do perímetro.
Sempre me perguntavam se era para somar ou multiplicar. Percebi que seria interessante
realizar atividades que envolvessem medidas. Por exemplo; medir a quadra da escola para
calcular a área, medir o contorno da sala de aula para colocar o rodapé. Também percebi que
muitos não sabiam o significado da palavra “contorno”. Esses fatos chamaram a minha
atenção e compreendi que pequenos detalhes dificultam a aprendizagem dos alunos.
Na figura 5, a escrita no diário de campo sobre a malha quadriculada.
Figura 5: Problemas com a malha quadriculada. Aula do dia 28 de agosto de 2012.
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Observações: Os alunos tiveram dificuldades em expressar o
perímetro e a área por meio das fórmulas. Voltei com eles às
questões anteriores, refiz os cálculos do perímetro e da área. Mostrei
que o perímetro é o comprimento do contorno da figura. Uma boa
opção foi pedir que escrevessem com as próprias palavras o que eles
compreendiam a respeito de área e perímetro. Uns escreveram que
área é tudo que está dentro da figura. E perímetro é a linha que
separa o que está dentro do que está de fora. Outros escreveram que
“perímetro é somar” e “área é multiplicar”. Sinto que intuitivamente
os alunos tinham noção dos conceitos. Faltou-lhes apenas segurança
e as palavras certas para definir o que eram área e perímetro.
No sentido de consolidar esses cálculos, propus alguns exemplos de retângulos com
comprimentos e larguras diferentes e pedi aos alunos que calculassem as áreas e o perímetros
dos diferentes retângulos. Trabalhamos com áreas de diferentes retângulos para, então,
introduzir o cálculo de área de triângulos retângulos.
2ª Parte
12 – Dado o retângulo abaixo:
y
x
a) Expresse o perímetro desse retângulo
através de uma fórmula. Lembre-se de que o perímetro é...
b) Expresse a área desse retângulo através de uma fórmula.
Lembre-se de que a área é...
13 – Se x = 5cm e y = 3 cm, determine, utilizando a
fórmula, o perímetro do retângulo.
14 – Determine, utilizando a fórmula, a área do retângulo.
Atenção
Os alunos não
utilizaram
fórmulas para
calcular o
perímetro e a
área.
Sugestão
Entregue aos
alunos uma
trena para
medir o
comprimento e
a largura da
sala de aula.
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Atividade 4 – Cálculo de área e perímetro no triângulo retângulo
OBJETIVOS:
Retomar e consolidar o conceito de área e perímetro do retângulo;
Identificar o quadrado como um retângulo;
Definir o conceito de diagonal;
Calcular área e perímetro de triângulos retângulos.
Observe o retângulo abaixo:
O comprimento tem medida xe largura y
x
y
Calcule o perímetro do retângulo quando x = 6 cm e y = 2 cm.
Calcule a área desse retângulo.
Calcule o perímetro do retângulo quando x = 5 cm e y = 3 cm.
Calcule a área desse retângulo.
Calcule o perímetro do retângulo que tem x = 4 cm e y = 4 cm.
Calcule a área desse retângulo.
1 – O que você observa em relação aos perímetros?
2 – Qual o retângulo que possui maior área?
3 – Faça o desenho desse retângulo utilizando a régua. Identifique qual
polígono você desenhou.
4 – Trace a diagonal desse polígono (Diagonal é o segmento de reta que
sai de um vértice ligando ao vértice oposto). Nesse caso, você obtém
dois outros polígonos.
5 – Qual o nome dos polígonos que você obteve quando traçou a
diagonal?
6 – Colora um dos polígonos destacando-o. Determine a área desse
polígono. Explique como você calculou essa área.
7 – Calcule o perímetro desse polígono. Explique como você calculou o
perímetro.
Sugestão
Leve para a sala
régua e esquadros.
Ensine aos alunos a
traçar retas
perpendiculares.
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Observações: Quando sugeri essa atividade, tinha como objetivo consolidar o cálculo de área
e perímetro de retângulos e introduzir os cálculos para
triângulos retângulos. Tinha, também, a expectativa de
que, nessa atividade específica, os alunos percebessem
que todos os retângulos possuíam o mesmo perímetro,
porém áreas diferentes. Eles perceberam, mas não
concluíram que o retângulo de maior área era o quadrado.
Curioso foi observar que somente um aluno percebeu que
a área do triângulo retângulo é a metade da área do
quadrado. ATENÇÃO: Os outros alunos calcularam a
área do triângulo retângulo multiplicando a base do
triângulo pelo comprimento da hipotenusa. No perímetro,
alguns somaram os lados do quadrado e dividiram por
dois, outros mediram com a régua o comprimento da
hipotenusa e somaram a hipotenusa com os lados do
quadrado.
Depois que todos concluíram a tarefa, pedi a alguns alunos que apresentassem à turma
as estratégias que haviam utilizado para calcular a área e o perímetro. Infelizmente, os alunos
sentem-se inseguros para apresentar ao grupo o seu cálculo. Insisti e, mesmo assim, poucos se
dispuseram em apresentar. Nessa hora, foi uma confusão, os alunos estavam agitados,
impacientes, conversavam muito. Foi difícil conseguir que ficassem calmos. Discutimos as
estratégias, e eles mesmos concluíram sobre os resultados encontrados. Puderam verificar que
a área do triângulo é a metade da área do quadrado e que, para calcular o perímetro do
triângulo retângulo, precisariam saber calcular o comprimento da hipotenusa.
Verifiquei que eles estavam curiosos para saber como se calcula o comprimento da
hipotenusa. Senti que seria uma boa oportunidade de ensinar o Teorema de Pitágoras.
Sugestão
Motive os alunos a
criarem estratégias
para calcular o
perímetro do triângulo
retângulo.
Peça-os para
apresentarem aos
colegas e avalie com o
grupo essas
estratégias.
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Atividade 5 – Teorema de Pitágoras
OBJETIVOS:
Identificar a hipotenusa e os catetos no triângulo retângulo;
Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular os lados desconhecidos no
triângulo retângulo;
Calcular a área e o perímetro do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
1 – Resolva os exercícios abaixo aplicando o Teorema de Pitágoras
TEOREMA DE PITÁGORAS
a2 = b2 + c2
A B
Catetob
Catetoc
Hipotenusa a
C
Lembrete
Leve
calculadoras
para a sala de
aula.
Ensine
a extrair a raiz
quadrada.
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Nesse dia, introduzi o Teorema de Pitágoras demonstrando que a soma das áreas dos
quadrados de lados correspondentes aoscatetos é igual à área do quadrado de lado
correspondente à hipotenusa. Na figura 6, estão representadas as áreas dos quadrados
formados pelos catetos e pela hipotenusa.Essa é a estratégia que utilizei para comprovar tal
afirmativa.
FIGURA a b C CÁLCULOS RESULTADO
x
4
3
8
x
7
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Figura 6: Imagem da figura que foi desenhada no quadro.
Observações: Quando mencionei “Teorema de Pitágoras”, os alunos aparentaram já ter
ouvido a respeito e, assim, ficaram agitados e bastante curiosos. Dado o teorema, os alunos o
acharam fácil. Porém, no momento do cálculo das hipotenusas (dadas as medidas dos catetos),
tiveram problemas ao extrair a raiz quadrada até mesmo na calculadora e, para a minha
surpresa, desconheciam qualquer estratégia para estimar os valores para a raiz quadrada.
Desse modo, ensinei-lhes uma estratégia e dei alguns valores para que “estimassem” as suas
raízes quadradas. Propus, em seguida, que confirmassem esse valor estimado, na calculadora.
Nem sempre os alunos se lembrarão de todos os “pré-requisitos” necessários para a resolução
de um problema ou para responder a uma questão. Como passamos por tudo tão depressa,
fiquei impaciente pelo fato de o aluno não saber responder algo (que deveria saber) ou não
responder algo (que eu queria ouvir). Ver-me nessas situações, através das filmagens, fez-me
perceber que a minha impaciência não me deixava ver que, de modo geral, “eles sabiam de
25
9
16
Teorema de Pitágoras
a2 = b2 + c2 3
4
4
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algo” ou “eles se lembravam de algo”. Nessas situações, se eu tivesse prestado mais atenção,
poderia ter como ponto de partida as palavras mais ou menos certas que me diziam.
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Atividade 6 – Trabalhando com padrões
Depois de trabalhar com fórmulas, procurei abordar como se “formam” as fórmulas. Ou seja,
fiz um estudo introdutório da Álgebra.
OBJETIVOS:
Levar o aluno a compreender sequências numéricas e geométricas;
Descobrir o padrão em uma sequência e dar continuidade à mesma;
Escrever, em linguagem simbólica matemática, a expressão geral da sequência.
1 – Observe a sequência dos números abaixo:
9; 16; 25; 36; ....
a) Encontre o próximo termo da sequência.
b) Registre abaixo o seu raciocínio.
2 – Usando palitos de fósforos inteiros, é possível construir a
sucessão de figuras compostas por triângulos:
a) Continue montando a tabela abaixo:
FIGURA FIG
1
FIG
2
FIG
3
FIG
4
FIG
5
FIG
n
NUM.PALITOS 3
b) Seguindo o mesmo padrão de construção, qual é o número de palitos para
formar a 25ª figura da sequência?
3 – Observe a sequência iniciada:
Lembrete
Leve para a
sala de
aula palitos
de fósforo e
tampinhas
de garrafa.
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a) Desenhe o próximo termo da sequência.
b) Quantos palitos serão utilizados no 10º termo da sequência?
c) Escreva a regra da quantidade de palitos relacionada com a posição.
4 – Observe a sequência de figuras abaixo:
a) Desenhe a 4ªe a 5ª figuras.
b) Complete a tabela abaixo que relaciona a ordem da figura e o número de
bolinhas.
c) Quantas bolinhas tem a 10ª figura?
d) Registre o seu raciocínio.
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8
Número
debolinhas
Sugestão
Incentive os
alunos a
utilizar o
material
concreto e
montarsuas
próprias
tabelas
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Observações: Nesse dia, havia resolvido não interferir dando “dicas” para os alunos durante a
aula. Fiquei circulando pela sala e observando o que eles estavam
fazendo. Na questão 1, imaginava que rapidamente eles perceberiam
que os números eram quadrados perfeitos.Mas não foi o que
aconteceu. Fiquei surpresa quando ouvi o que eles estavam falando:
“aumenta de dois em dois”. Não conseguia entender e pensei: “Nossa!
Estão fazendo tudo errado!Aproximei-me de um grupo para
acompanhar. Ouvindo a explicação de Lúcia, cheguei à conclusão de
que, em momento algum, essa aluna havia pensado em multiplicação,
ou seja, que a sequência era formada de números quadrados perfeitos.
A aluna procurou descobrir o termo que estava sendo somado ao
termo anterior. Ela utiliza ainda o princípio aditivo e não o princípio
multiplicativo, por isso, para chegar ao termo seguinte, descobriu que
a cada termo anterior somava-se um valor, que ia aumentando de dois
em dois.
+2 + 2 +2
+7 +9 +11 + 13
9, 16, 25, 36, .... 49
Interessante foi observar que as outras duplas também estavam utilizando esse
raciocínio. Procurando compreender esse fato, verifiquei que esses alunos não haviam
estudado, nas séries anteriores, números quadrados perfeitos. Também não apresentavam
habilidades com potências. Pensando nessa situação, compreendi por que os alunos, quando
vão resolver uma operação de multiplicação, não falam em multiplicação e sim em soma.
Muitas vezes, eles representam a resolução de uma potência com soma de “fatores iguais”.
A forma que os alunos encontraram para resolver a sequência merece uma reflexão.
Mesmo utilizando o princípio aditivo que, no caso deles, é considerado normal, eles chegaram
à solução do problema por meio de outra sequência. Perceberam que bastava somar ordenada
e sucessivamente aos termos da sequência dada os números, 7, 9, 11, 13, ... Essa sequência
também poderia ser explorada da seguinte forma .
Sugestão
Nessa atividade
os alunos
deverão ser
incentivados a
criar
estratégias
para chegarem
aos padrões.
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Constatei que seria uma oportunidade de começar a explorar o quadrado da soma de dois
termos.
Já na atividade 2, não havia levado palitos de fósforo ou de picolé para a sala de aula.
Os alunos sentiram falta desse material para fazer a montagem da sequência de triângulos. Foi
curioso ver que alguns grupos utilizaram os lápis de colorir para montar a sequência. Na foto
colocada na capa deste produto, apresento esse detalhe. Acredito que, se tivessem os palitos
em mãos, muitos não ficariam perguntando se era para contar duas vezes entre os triângulos.
Embora tenham percebido o desenvolvimento da sequência, os alunos não conseguiram
generalizar e chegar ao padrão. No entanto, essa atividade foi muito interessante. Os alunos
trabalharam de forma colaborativa, trocaram estratégias, construíram tabelas, checaram
resultados, fizeram conjecturas. O movimento na sala de aula foi intenso. Para minha surpresa
eles realizarama atividade sozinhos sem a minha ajuda.
Atividade 7 –Tangram
A escola estava participando da gincana de Matemática proposta pela Secretaria
Municipal de Educação. Essa atividade foi proposta pela equipe da Gincamat8. Percebi que
8Gincamat é a gincana realizada pela Secretaria Municipal de Educação da Prefeitura de Belo
Horizonte.
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seria interessante realizá-la com os alunos, pois envolvia todo o conteúdo que havia
trabalhado em sala de aula.
OBJETIVOS:
Reconhecer as figuras geométricas que compõem o Tangram;
Calcular o perímetro e a área dessas figuras;
Construir figuras com as peças do Tangram;
Verificar a equivalência entre as áreas das figuras construídas com as peças do
Tangram;
TANGRAM9
9Tangram é um quebra-cabeça chinês composto por sete peças. Dois triângulos grandes, um triângulo médio,dois
pequenos, um quadrado e um paralelogramo.
Esta atividade foi montada pela equipe da Gincamat da Prefeitura Municipal de Belo Horizonte.
Lembrete
Leve para sala
de aula lápis de
cor, tesoura,
papel ofício e
cola.
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O Tangram é composto por sete peças:
cinco triângulos (T) retângulos e
isósceles (dois grandes, um médio e dois
pequenos), um quadrado (Q) e um
paralelogramo (P), recortado
a partir de um quadrado.
1 – Observe o Tangram da figura1.
2 – Faça um colorido no desenho do Tangram
que você recebeu e identifique as peças de
acordo com a figuraacima, colocando Tg para os
triângulos grandes, Tm para os triângulos
médios, Tp para os triângulos pequenos, Q para
o quadrado e P para o paralelogramo.
3 – Recorte as peças que você coloriu separando-as.
4 – Responda as perguntas:
a) Quantos triângulos pequenos (Tp) cabem dentro do:
a) Quadrado?
b) Triângulomédio?
c) Paralelogramo?
d) Triângulo grande?
5 – Quantos triângulos pequenos (Tp) cabem dentro do Tangram?
6 – Com base no que você já aprendeu, observe a figura abaixo:
Sugestão
Peça aos alunos
para completarem
a questão 4.
Negocie com eles
um tempo.
Discuta com eles
esta questão.
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Com base nela, que fração representa cada uma das figuras seguintes em
relação ao Tangram?
Fonte: Atividade adaptada de Bonjorno, Bonjorno e Olivares (2006, p.138).
7 – Suponha que o “quadradão” formado com todas as peças do Tangram tenha
os lados de medida 20 centímetros. A área de cada peça é uma fração da área do
“quadradão”, certo? Pensandonisso, complete a tabelaabaixo10
:
Observações: Os alunos sentiram muitas dificuldades para completar a tabela da questão 7. A
maior dificuldade foi trabalhar com frações e perceber a equivalência entre as áreas. No
entanto, eles gostaram da atividade e se empenharam em resolvê-la, participavam com
interesse e interagiam entre si. Essa interação não ficou restrita ao grupo. Em vários
momentos, observei alunos saindo do grupo deles, dirigindo-se a outros grupos para trocar
ideias. Nessa aula, ajudei- os na resolução das questões. Depois percebi que deveria ter
10
Fonte: Atividade adaptada de Imenes e Lellis (2007, p.209).
Lembrete
Os alunos precisam
de ajuda na
questão7. Pprocure
dar dicas. Deixe que
eles utilizem as
próprias estratégias.
Peça-lhes que
apresentem aos
colegas o raciocínio
utilizado.
Discuta com a turma
os resultados
encontrados.
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deixado que eles investigassem por eles mesmos. Seria mais interessante. Na figura 7,
apresento o excerto do diário dessa aula. Talvez, eles não sentissem tantas dificuldades para
encontrar a solução na última questão.
Figura 7: Reflexão sobre a minha atuação na aula do dia 25 de setembro de 2012.
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Calculando com o Tangram
O Tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça,
constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo
e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo
com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível
representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas
figuras 2 e 3.
1 - Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2
mede 2 centímetros, então qual é a medida da área
da “casinha” representada pela figura 3? Registre o
seu raciocínio.
a) 4 cm2
b) 8 cm2
c) 12 cm2
d) 14 cm2
e) 16 cm2
2 – Utilizando as sete peças do Tangram que você tem, sem sobrepô-las, forme
desenhos, por exemplo, figuras geométricas, animais, letras, objetos.
Essas figuras seguem algumas regras:
Elas têm de utilizar as sete peças;
As peças têm que estar dispostas no plano;
Sugestão
Incentive os
alunos a montar
as figurascom as
peças do
Tangram.
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ATENÇÃO: Nessa atividade, abordamos os blocos de geometria, números e operações,
exploramos porcentagem e representação de partes de um inteiro. Além disso, os alunos
sentem-se valorizados com as figuras que conseguem criar utilizando as peças do Tangram.
Atividade 8 – Construção de quadrados
A construção dos quadrados perfeitos, visando chegar à fórmula-padrão.
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OBJETIVOS:
Construir quadrados utilizando material concreto (quadradinhos de papel);
Representar as figuras na malha quadriculada;
Calcular área e perímetro dos quadrados construídos;
Chegar ao padrão.
Essa atividade poderá ser realizada em grupos ou individualmente.
Fig. Quadradinhos Representação
da figura
Perímetro Área
1 1
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Se o lado do
quadradinho tem medida 2, quais são os perímetros e áreas dos quadrados formados com:
2 4
3
9
4 16
5
6
Sugestão
Entregue aos
alunos uma
malha
quadriculada
e, vários
quadradinhos
de papel
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Como será a Figura 10? Quantos quadradinhos serão necessários para compor a
Figura 10? Qual será o perímetro do quadrado grande? Qual será a área da Figura 10?
RESPOSTA: Precisamos de_______quadradinhos para compor a Figura 10. O
perímetro da Figura 10 é________ . A área da Figura 10 é______.
Como será a Figura 21? Quantos quadradinhos serão necessários para compor a
Figura 21? Qual será o perímetro do quadrado grande? Qual será a área da Figura 21?
Como será a Figura n? Quantos quadradinhos serão necessários para compor a Figura
n? Qual será o perímetro do quadrado grande? Qual será a área da Figura n?
Como será a Figura 121? Quantos quadradinhos serão necessários para compor a
Figura 121? Qual será o perímetro do quadrado grande? Qual será a área da Figura
121?
Observações: Os alunos registraram na malha quadriculada o desenho da figura que haviam
montado com os quadradinhos de papel. Fizeram toda a sequência que foi solicitada na
Sugestão
Faça a
correção das
questões com
os alunos.
Discuta com
eles os
resultados.
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atividade. Porém, poucos conseguiram chegar à fórmula padrão. Percebi que para eles era
muito difícil compreender a construção dessa fórmula. Somente quando fiz a correção no
quadro e voltei a sequência é que alguns alunos perceberam o padrão. Mesmo assim, poucos
sabiam responder para a figura n, ou seja, n x n, = n2.
Nessa atividade, percebi o quanto foi importante trabalhar com o material concreto
manipulativo. Observei que alguns alunos utilizaram os quadradinhos para responder ao
exercício, pois não dominavam a “tabuada”. Então, contavam quantos quadradinhos havia na
figura e, assim, respondiam a questão.
Atividade 9 – Construção da fórmula padrão
Esta atividade visava ao cálculo de áreas e perímetros nos retângulos.
OBJETIVOS:
Construir retângulos com material concreto ( quadradinhos de papel);
Calcular área e perímetro desses retângulos;
Chegar ao padrão.
Essa atividade poderá ser realizada em grupos.
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Se o lado do quadradinho tem medida 2, quais são os
perímetros e áreas dos retângulos formados com:
Fig. Quadradinhos Representação
da figura
Perímetro Área
1 1
2 2
3
3
4
4
Lembrete
Utilize os
quadradinhos da
aula anterior.
Incentive os
alunos a
registrarem na
malha o desenho
das figuras.
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5
Como será a Figura 10? Qual será o perímetro do quadrado
grande? Qualseráaárea da Figura 10?
RESPOSTA: O perímetro da Figura 10 é________ . A área da
Figura 10 é______.
Como será a Figura 21? Qual será o perímetro da figura 21 ?
Qual será a área da Figura 21?
Como será a Figura n? Qual será o perímetro da figura n? Qual
será a área da Figura n?
Como será a Figura 121? Qual será o perímetro da figura 121?
Qual será a área da Figura 121?
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Observações: Os alunos confundiram essa atividade com a anterior, pois elas eram
semelhantes e eles não observaram as diferenças entre elas. Novamente perguntaram
como se calcula o perímetro. Nessa hora, fiquei intrigada. Já havíamos realizado tantas
atividades envolvendo perímetros e, mesmo assim alguns alunos ainda não sabiam como
calculá-los. Procurava não responder diretamente e pedia que voltassem às atividades
anteriores e verificassem como havíamos calculado a área e o perímetro. Na figura 8, o
excerto do diário de campo dessa aula.
Figura 8: Dificuldades com o cálculo do perímetro
Esses foram alguns destaques ao longo da pesquisa. Fazer essas atividades com meus
alunos possibilitou que eu voltasse o olhar para a minha prática em sala de aula. Percebi
que houve uma maior aproximação minha com os alunos e, dessa forma, eles passaram a
participar com mais interesse dos trabalhos. Não quero dizer que todas as aulas foram
“maravilhosas”, ou seja, “um mar de rosas”. Houve sim, momentos de bagunça, durante
os quais precisava chamar a atenção e em algumas vezes ficar “brava”. Mas considero que
as aulas foram bem mais produtivas e interessantes para os alunos. Eles passaram a
participar e interagir e alguns que, em outras aulas, não faziam as atividades, começaram a
fazê-las. Perderam o medo de se expor e começaram a apresentar os modos e as
Sugestão
Socialize com
a turma os
resultados
encontrados
nas questões.
Discuta esses
resultados.
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estratégias que estavam utilizando para resolver a atividade. O meu papel passou a ser de
mediadora da aprendizagem. Mas devo confessar que, muitas vezes, acabei assumindo o
papel da professora controladora.
Apesar de a aula ficar barulhenta, pois em quase todas as atividades eles trabalharam
em grupos, conseguem bons resultados em meio ao barulho. Realizaram as tarefas e
demonstraram criatividade no uso das estratégias para chegar às respostas.
Vale salientar que essas atividades não são únicas e nem definitivas e também não
imaginamos que elas sejam utilizadas de maneira idêntica ao que foi proposto.
A ideia é que o professor, em sua sala de aula, crie com seus alunos estratégias com a
finalidade de atingir os objetivos desejados.
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prática pedagógica. 2007. Tese (Doutorado em Educação). Universidade do Estado do Rio de
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Campinas, Campinas, São Paulo, 2004.
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JOSSO, Marie-Christine. Experiências de Vida e Formação.Tradução: José Claúdio e Júlia
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MATTAR, Sumaya. Memória e reflexão: a biografia como metodologia de investigação e
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TEIXEIRA, Inês Assunção de Castro, PAULA, Maria José de, GOMES, Maria Laura
Magalhães, AUAREK, Wagner Ahmad. Viver e Contar: experiências e práticas de professores
de Matemática/ organizadores, Inês Assunção de Castro Teixeira. [et.al]. – São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2012. – (Coleção contextos da ciência).
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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa.
Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED
Da Universidade Federal de Ouro Preto,
em mês de ano
sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m2 e (capa) 300 g/m
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