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Aprendendo Geometria com Escher
Adriana Carvalho Rosa∗Instituto Federal de Goiás
Itumbiara, Brasil
Glauce Ribeiro de Souza Mendonça†Instituto Federal de Goiás
Itumbiara, Brasil
ResumoEscher (1898-1972) dedicou às artes gráficas. Suas obras abordam conceitos deisometria (rotação, translação, reflexão) e pavimentação de forma concreta eatraente, facilitando a aprendizagem da Geometria. [1], [2], [3] Em outubro de2019 foi ofertada, para alunos do Ensino Médio, uma oficina sobre Geometriana Semana de Educação, Ciência e Tecnologia (SECITEC) no IFG, CampusItumbiara. Na oficina foi apresentado conceitos geométricos e várias obras deEscher, evidenciando a técnica e a isometria utilizada em cada desenho. Emalgumas de suas obras são usadas técnicas simples, que consistem em retirar esobrepor partes dos lados do polígono, utilizando alguma isometria, repetindoeste processo até obter a figura base (molde). Como a construção parte depolígonos que possuem a mesma área, os moldes se encaixam perfeitamente,compondo a planificação do plano. [1], [3] A turma foi dividida em duplase escolhiam uma obra de Escher para reproduzir, ou criar sua própria arte,seguindo as técnicas de Escher. Os alunos esboçaram o polígono, recortarame confeccionaram seus moldes observando a isometria e, riscando em cartolina,construíam sua própria obra de arte como mostra a Figura 1.
Figura 1: Aplicação da geometria na arte
Fonte: Foto tirada pelas autoras
Referências[1] ALVES, Claudia M F. O estudo da simetria através da arte de Maurits Cornelis
Escher. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2014.
[2] LIMA, E L. Isomerias.Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro:SBM, 1996.
[3] M.C. ESCHER FOUNDATION. Galeria, sobre Escher, Notícia, Licenciamento,Fundação, cópias falsas e loja. .Disponível em https://mcescher.com/about/biography/. Acesso em: 25 de setembro de 2019.
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Coloração Acíclica em Grafos Planares
Ana Beatriz da Silveira Martins∗
Departmento de MatemáticaUniversidade Federal do Ceará
Fortaleza, Brasil
Júlio César Silva Araújo†
Departamento de MatemáticaUniversidade Federal do Ceará
Fortaleza, Brasil
Resumo
Uma k-coloração em vértices de um grafo G é uma atribuição de inteiros po-sitivos (cores) f : V (G) → S tal que |S| = k. Uma k-coloração é dita própriase vértices adjacentes têm cores distintas, além disso, cada par de cores induzum subgrafo sem ciclos ímpares. Uma k-coloração dos vértices em um grafo Gé nomeada acíclica se não induz qualquer ciclo bicolorido.
Desde 1973, foram construídos diversos resultados nesta variação do pro-blema de Coloração de Grafos. Neste trabalho, demonstraremos o seguinteresultado provado por Grünbaum [1]: Todo grafo planar é aciclicamente 9- co-lorível.
Com efeito, dado um número k arbitrário, não é fácil ver que para qualquergrafo planar existe uma k-coloração acíclica. Usando deste argumento, Grün-baum buscou determinar o k que serviria para colorir aciclicamente esta classede grafos.
Para demonstrar esse teorema, Grünbaum fez 4 passos: O primeiro foi, emum grafo G planar arbitrário, escolher um v0 e, usando a relação de distânciaentre v0 e os outros vértices, definir uma partição. Em seguida, ele formou, apartir de G, um grafo nomeado Polígono Diagonalizado. No seu terceiro passo,ele mostrou, por indução, que todo Polígono diagonalizado é aciclicamente 3-colorível. Com essas ferramentas, finalizou a prova mostrando que existe simesta 9-coloração acíclica.
Grünbaum também conjecturou que todo grafo planar é aciclicamente 5-colorível [1], resultado este que, em 1979, Borodin demonstrou através de umalonga análise de casos [2].
Referências[1] Branko Grünbaum, Acyclic colorings of planar graphs, Israel J. Math., vol.
14(1973), pp. 390-408
[2] Oleg V. Borodin, On acyclic colorings of planar graphs, Discrete Mathematics25(3): 211-236 (1979)
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Controlabilidade Nula para um sistema deequações parabólicas acoplado 2× 2
Islanita Cecília Alcantara de Albuquerque Lima∗
Departamento de MatemáticaUniversidade de Pernambuco
Nazaré da Mata, Brasil
ResumoEste trabalho é dedicado a resolver um problema de controle multiobjetivo emequações diferenciais parciais. Nós encontramos a controlabilidade nula paraum sistema acoplado de equações parabólicas do tipo 2 × 2. Problemas mul-tiobjetivos podem ser inviáveis, pois satisfazer o objetivo de um controle podeinviabilizar os objetivos dos demais. Neste sentido, aplicamos a estratégia deStackelberg-Nash que consiste em dar aos controles envolvidos um tipo de con-trole hierárquico dividido entre líderes e seguidores. Os líderes são responsáveispor objetivos do tipo de controlabilidade, neste caso Nula, enquanto que os se-guidores pretendem ser um equilíbrio de Nash para alguns funcionais custo, oque torna o problema viável. A novidade aqui é que formulamos esse problemapara sistemas de equações parabólicas, o que significa que temos muito maisvariáveis e naturalmente muito mais objetivos a serem alcançados. Em seguidao Método de Unicidade de Hilbert-HUM é aplicado onde uma desigualdade deobservabilidade é encontrada em equivalência à controlabilidade nula (garantidapelo HUM).
Este é um trabalho concluído que contou com a colaboração de Maurício CardosoSantos (Universidade Federal da Paraíba).
Referências[1] F.D. Araruna, E. Fernández-Cara, M.C. Santos, Stackelberg-Nash exact control-
lability for linear and semilinear parabolic equations. ESAIM Control Optim.Calc. Var., 21 (3) (2015),835–856.
[2] F.D. Araruna, E. Fernández-Cara, S. Guerrero, and M.C. Santos, New results onthe Stackelberg-Nash exact control of linear parabolic equations. Systems andControl Letters, (2017) 104:78–85.
[3] V. Hernández-Santamaria, L. Teresa and A. Poznyak, Hierarchic control for acoupled parabolic system, Portugaliae Mathematica Vol. 73, Fasc. 2 (2016), no.7, 115-137.
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A Iniciacao Cientıfica como ferramenta deempoderamento, representatividade e
reconhecimento de talentos femininos em carreirasrelacionadas a STEM
Marcella Feitosa∗
CODAI - UFRPEGlauce GuerraUNIVASF
Xaiane Bezerra
Yasmim Passos Yiana Feng
AbstractE sabido que a presenca entre pesquisadoras e/ou docentes nas areas de STEM,sigla em ingles para ciencia, tecnologia, engenharia e matematica, nao e se dade modo equanime quando comparada a presenca masculina.. Um fato cu-rioso que nos serviu como ponto de partida para refletir e pensar em acoespara promover mudancas na perspectiva da educacao e formacao de mulherescientistas e o fato do PISA de 2015 nao mostrar diferencas de genero na expec-tativa quanto a carreiras relacionadas as ciencias, 24% das meninas e 25% dosmeninos apresentaram expectativas em relacao a carreira nas ciencias. O queacontece para que essas meninas nao estejam presentes em cursos de Graduacaoe/ou profissoes relacionadas a STEM? Uma vez que a proporcao de meninase meninos interessadas em STEM sao bem proxima, o que estamos fazendopara contribuir para uma presenca maior de mulheres na producao da ciencia?Apresentaremos tres iniciativas que estao sendo desenvolvidas por alunas doEnsino Medio do CODAI-UFRPE, bolsistas do PIBIC-EM, sao eles: “Mul-heres Cientistas de ontem e hoje”, “Meninas nas olimpıadas de conhecimento:pesquisar, refletir e viabilizar” e “Sub-representatividade feminina em STEM:discutir, representar, revelar e apoiar”. As tres iniciativas buscam: incenti-var, apresentar e inspirar mais alunas do Ensino Medio a conhecerem e pensarsobre uma carreira em STEM; (re)conhecer mulheres que contribuıram e temcontribuıdo para o avanco da ciencia; promover discussoes na comunidade esco-lar a respeito das diversas possibilidades profissionais a partir da escolha pelopercurso academico em STEM e criar uma rede de assistencia para promovero acesso ao ensino superior e permanencia com exito em cursos relacionados aSTEM.
References
[1] CHAVATZIA, T. Cracking the code: girls’ and women’s education in science,technology, engineering and mathematics (STEM). 2017.
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Articulações entre os níveis de pensamento
geométrico de van Hiele e os tipos de prova de
Balache�
Marcella Luanna da Silva Lima∗
Departamento de Práticas Educacionais e Currículo
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Natal, Brasil
Resumo
Balache� (2000) se interessou em saber qual a natureza das provas, se é possí-
vel elucidar uma hierarquia da gênese da demonstração e quais são os meios
de provocar sua evolução. Já van Hiele (1957) defende a importância de com-
preender os níveis de pensamento geométrico dos alunos para, assim, elaborar
materiais e utilizar a linguagem adequada para cada nível. Nesse sentido, nosso
trabalho teve como objetivo estabelecer uma relação entre os níveis do pensa-
mento geométrico discutidos por van Hiele e os tipos de provas propostos por
Balache�. Para isso, pautamos nosso trabalho em uma metodologia de pes-
quisa qualitativa, re�etindo as discussões a partir de um estudo exploratório e
teórico, encontrados em Balache� (2000), van Hiele (1957), Jaime e Gutiérrez
(1994), entre outros. Os estudos e discussões teóricas desses pesquisadores nos
levaram a estabelecer articulações entre os níveis de pensamento geométrico e
os tipos de provas, os quais apresentam a importância de se trabalhar, desde as
séries iniciais, com argumentações, justi�cações, provas e, por �m, demonstra-
ções, enfatizando assim a relevância ao estímulo e desenvolvimento do raciocínio
matemático dos alunos.
Referências
[1] Balache�, N., Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas, Bogotá: Uni-versidad de los Andes, 2000.
[2] Jaime, A. and Gutiérrez, A., A model of test design to assess the Van Hielelevels, Proceedings of the 18th PME Conference, 3, 41-48, 1994.
[3] Van Hiele, P. M., El problema de la comprensión (en conexión con la compren-sión de los escolares en el aprendizaje de la geometría). Tese de Doutorado emMatemática e Ciências Naturais. Tradução Rosa Corberán et al. Universidadede Utrecht, Holanda, 1957.
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Integral: Uma abordagem sob os conceitos deRiemann e Lebesgue
Mariana Pereira Franco∗
Departamento de MatemáticaUFRPE
Recife, Brasil
Gilson Mamede de Carvalho†
Departamento de MatemáticaUFRPE
Recife, Brasil
Resumo
O cálculo integral tem seus fundamentos no método da exaustão de Eudoxos(390 a.C.-337 a.C.) que objetivava calcular a área de figuras geométricas, o quefoi aprimorado utilizando os trabalhos desenvolvidos por Newton e Leibniz eculminaram no conceito e teoria envolvendo a Integral de Riemann tal qual éabordada nos cursos de graduação. Ainda que tal conceito de integral apresenteimportantes contribuições para além do cálculo, como é o caso do estudo demétodos de solução para Equações Diferenciais Ordinárias, o estudo de proble-mas mais recentes como a busca por soluções fracas de Equações DiferenciaisParciais aponta a necessidade de destacar um outro conceito de integral, tendocomo base os escritos de Henri Lebesgue (1875-1941). A integral de Riemanne a integral de Lebesgue, no entanto, não são conceitos totalmente dissociados,uma vez que a integral de Riemann trata-se sob certas condições de um casoparticular da integral de Lebesgue. Nesse sentido, apresentaremos o conceitoe os principais resultados envolvendo a integral de Lebesgue no intuito de des-tacar suas vantagens sobre a integral de Riemann, bem como a importânciada aplicabilidade destes resultados, destacando-se os resultados que envolvem apassagem do limite sob o sinal da integral.
Referências[1] R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Willey Classics
Library, 2, 1995.
[2] E. L. Lima, Análise Real, IMPA, 11, 2012.
[3] A. Piske, Integração: Riemann e Lebesgue, um estudo comparativo, Trabalho deConclusão de Curso-Universidade do Estado de Santa Catarina, UDESC, 2013.
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solução global forte para as equações
de fluidos magneto-micropolares em R3
Michele M. Novais∗
Departamento de Matemática
UFRPE
Recife, Brasil
Felipe W. Cruz †
Departamento de Matemática
UFPE
Recife, Brasil
Resumo
Estudamos o problema de Cauchy para as equações de um �uido magneto-micropolar incompreensível em todo o espaço R3. Primeiramente, baseado emestimativas de energia, mostramos a existência e unicidade de solução local fortepara o problema em questão. Após isso, impondo uma condição de pequeneznos dados iniciais, demonstramos a unicidade da solução global forte.
Consideramos o problema de valor inicial (PVI)ut + (u · ∇)u− (µ+ χ)∆u +∇
(p+ 1
2 |b|2)
= χ rotw + (b · ∇)b,divu = div b = 0,bt + (u · ∇)b− ν∆b = (b · ∇)u,wt + (u · ∇)w − γ∆w − κ∇(divw) + 2χw = χ rotu,u(x, 0) = u0(x), b(x, 0) = b0(x), w(x, 0) = w0(x),
(1)
em R3 × (0, T ), onde u0, b0 e w0 são funções dadas e 0 < T ≤ ∞.O sistema acima descreve o �uxo de um �uido magneto-micropolar incom-
pressível (veja [?]). Aqui, as incógnitas são as funções u(x, t) ∈ R3, p(x, t) ∈ R,b(x, t) ∈ R3 e w(x, t) ∈ R3, as quais representam, respectivamente, o campode velocidade incompressível, a pressão hidrostática, o campo magnético e avelocidade micro-rotacional do �uido em um ponto x ∈ R3 no tempo t > 0.As constantes positivas µ, χ, ν, γ e κ estão associadas a propriedades especí�-cas do �uido. Vale ressaltar que o sistema (1) inclui, como caso particular, asclássicas equações de Navier-Stokes (b = w = 0 e χ = 0), as equações MHD(w = 0 e χ = 0) e as equações micropolares (b = 0).
Referências
[1] cruz, f. w. - Global strong solutions for the incompressible micropolar �uidsequations. Arch. Math., 113, 201�212, 2019.
[2] zhong, x. - Global well-posedness to the incompressible Navier-Stokes equationswith damping. Electron. J. Qual. Theory Di�er. Equ., 62, 1�9, 2017.
∗e-mail: michele.novais@ufrpe†e-mail: [email protected]
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Coloração backbone de grafos planares: Galáxias
como backbone
Rayane Gomes de Castro∗
Departamento de Matemática
Universidade Federal do Ceará
Fortaleza, Brasil
Júlio César Silva Araújo†
Departamento de Matemática
Universidade Federal do Ceará
Fortaleza, Brasil
Resumo
A Coloração Backbone é uma variação do problema clássico da coloração devértices em grafos, ao qual está ligada ao problema de atribuição de frequênciaem uma rede de transmissores. No caso, os grafos são utilizados para modelar adistribuição dos transmissores (receptores, estação base), que são representadospelos vértices. Logo, dois vértices são adjacentes se os dois transmissores corres-pondentes estão próximos de tal forma que possa ocorrer uma interferência seambos forem colocados no mesmo canal de frequência (ou em canais similares),ao qual serão representados pelas cores. No backbone, estamos interessados nocaso de restrições em estruturas especí�cas do grafo, onde não basta apenas co-locar cores distintas nos vértices, isto é, atribuir canais de frequência distintospara os transmissores. Porém, devemos ter um salto entre as cores de vérticesadjacentes, no caso de redes, canais de frequência distintos e com uma distân-cia mínima. Dado um grafo simples G = (V,E(G)) e seu subgrafo geradorH = (V,E(H)). Uma k-coloração q-backbone é uma função f : V → {1, . . . , k}tal que f(u) 6= f(v) para todo uv ∈ E(G) e essa função satisfaz a desigualdade|f(u) − f(v)| ≤ q para todo uv ∈ E(H). O menor inteiro k tal que existeuma k-coloração q-backbone é o número cromático q-backbone, denotado porBBCq(G,H). O teorema demonstrado em [1] é apresentado neste trabalho,ao qual, para G planar e H galáxia com grau de no máximo 3, dizer que oBBCq(G,H) é limitado superiormente por q+3 é um problema NP-Completo.Além disso, apresentamos a correção da demonstração de um dos lemas utiliza-dos na prova do teorema.
Referências
[1] F. Havet, A.D. King, M. Liedlo�, I. Todinca. (Circular) Backbone colouring:Forest backbones in planar graphs. Discrete Appl. Math. 169 (2014) 119-134.
[2] H.J. Broersma, J. Fujisawa, L. Marchal, D. Paulusma, A.N.M. Salman, K. Yoshi-moto. λ-backbone colorings along pairwise disjoint stars and matchings. DiscreteMath 309 (2009) 5596-5609.
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POTIMÁTICAS: Meninas Potiguares naMatemática
Rosângela Rafaela P. de Lima∗
Departamento de MatemáticaUFRN
Natal, Brasil
Lara Beatriz V. Souto†
Departamento de MatemáticaUFRN
Natal, Brasil
Luana Mayara L. Leite ‡
Departamento de MatemáticaUFRN
Natal, Brasil
Resumo
O Projeto de Extensão POTIMÁTICAS: Meninas Potiguares na Matemáticaestá em execução com o apoio do edital 115514/2019-8 do CNPq, com objetivode incentivar e despertar o interesse de meninas por Matemática, estimulando aadesão e a permanência de mulheres em profissões nas Ciências Exatas. Sendo oúnico projeto da categoria aprovado no Rio Grande do Norte, estão sendo desen-volvidas atividades na Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN)e em 5 escolas públicas Estaduais de Natal, contando com bolsistas de IC, ICJre ATP-A (23 no total), do Ensino Fundamental até a Pós-Graduação. Dasatividades realizadas, destacam-se as gincanas e oficinas, as gincanas como ob-jetivo central de levar a matemática para sala de aula de forma mais dinâmica,utilizando as questões da OBMEP; e as oficinas, levando materiais didáticoscomo o Tangram e também falando sobre Geometria e Topologia. Já com ointuito de estabelecer ações duradouras, as escolas estão implementando Clubesde Matemática, que continuarão após o encerramento do projeto. Em 2019 otrabalho foi apresentado na 10a Semana de Matemática da Universidade Federalde Campina Grande (UFCG) e foi aceito no 1◦ Simpósio Brasileiro de Mulhe-res em STEM que ocorrerá no ITA-SP. Dentre as atividades futuras, estão oconcurso de produção de vídeo, realização de trabalhos junto à comunidade,levando atividades e mostrando que a matemática está em tudo e treinamentocom os professores das escolas, de modo a orientar as atividades dos profes-sores em sala de aula. Nesta exposição, apresentaremos o nosso projeto, seusdesdobramentos e os resultados obtidos com as atividades já executadas.
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Aplicação do teorema de Lax Milgram no estudodas equações diferenciais parciais
Thays Ingrid dos Santos Nunes∗
Departamento de MatemáticaUFRPE
Recife, Brasil
Yane Lísley Ramos Araújo†
Departamento de MatemáticaUFRPE
Recife, Brasil
ResumoO estudo das equações diferenciais parciais demanda o uso de variadas ferramen-tas da análise matemática. Neste trabalho utilizaremos resultados da AnáliseFuncional a fim de garantirmos a existência e unicidade de solução fraca paraproblemas envolvendo o operador Laplaciano. Mais especificamente, o objetivodeste trabalho é mostrar que dados A ⊂ Rn um aberto limitado e f ∈ L2(A)existe uma única função u ∈ H1
0 (A) que é solução fraca para o seguinte pro-blema:
−∆u = f em A
u = 0 em ∂A
Para tanto, abordaremos alguns conceitos e resultados preliminares da AnáliseFuncional e Medida e Integração que nos darão base para compreender o ambi-ente que estamos trabalhando e em que sentido estamos procurando soluções.Além disso, apresentaremos o Teorema da Representação de Riesz-Frèchet euma de suas consequências, o Teorema de Lax Milgram, o qual permite escre-ver todo funcional no dual de um espaço de Hilbert como uma forma bilineare tem seu nome atribuído aos matemáticos Peter David Lax e Arthur NortonMilgram.
Referências[1] BREZIS, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential. Uni-
versitext, Springer, New York, 2011.
[2] BARTLE, R. G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. 2a. ed. NewYork: Wiley Classics Library, 1995.
[3] OLIVEIRA, César R, de. Introdução à Análise Funcional. Rio de Janeiro: IMPA,2010.(Coleção Projeto Euclides).
[4] SILVA, J. F. F. da. O Teorema de Lax Milgram e Aplicações. 2014. 53pp. Trabalhode Conclusão de Curso - pela Universidade Federal do Amapá, Macapá, 2014.
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