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Lidia Eliane Canuto de Souza
Aprender a Aprender e Ensinar a Aprender:
Trigonometria
Ribeirão Pires
2010
Lidia Eliane Canuto de Souza
Aprender a Aprender e Ensinar a Aprender:
Trigonometria
Trabalho de Conclusão do Curso de Licenciatura
Plena em Matemática, apresentado como exigência
parcial para a obtenção do titulo de Licenciada em
Matemática, nas Faculdades Integradas de Ribeirão
Pires, sob a orientação do Professor Mestre Marcelo
Dias Pereira.
Ribeirão Pires
2010
Parecer dos Professores
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Dedico este trabalho à minha família, meu porto seguro. Às minhas irmãs Raquel,
Noemi, Vera e Maria as quais dedico o meu mais puro amor e são a razão de nunca ter
desistido das lutas que se apresentaram. À D. Jovelina Maria, minha mãe, pela ajuda e amor
incondicional. Ao Senhor Antonio Canuto, meu pai, por ter me ensinado a ser uma pessoa
integra. Ao meu irmão Naor, meu conselheiro. E aos meus irmãos Natanael e Neemias. Às
minhas cunhadas Marta, Sonia e Rafaela, por estarem sempre na torcida pela minha vitória. E
aos meus sobrinhos queridos.
Dedico também a todos os professores do Curso de Matemática, em especial ao
Professor Walter, que mesmo percebendo minha dificuldade na matéria em que ele lecionava
nunca deixou de acreditar em mim. À Professora Luiza, por seus ensinamentos, sua doçura e
palavras de ânimo. Ao Professor Francinildo por nos ensinar a ter orgulho de nossa profissão.
Ao Professor Gerson, por nos contagiar com sua paixão pela Matemática. E à Professora
Roseli, que foi em quem me inspirei no decorrer do curso: a mulher mais encantadoramente
inteligente que conheci.
Agradecimentos
Em primeiro lugar, a Deus por ter me dado este presente, me ajudado em tudo e
preparado todo o necessário para que eu pudesse ver este sonho concretizado.
Agradeço à minha amiga e companheira de aventura Maria Célia de Souza por
ter acreditado em mim quando eu mesmo não acreditava. Pelos incontáveis finais de
semana que me aturou em sua casa no decorrer deste curso, quando por muitas vezes,
nem precisando estudar, ficava por horas me ensinando. Por todos os seus valiosos
conselhos que me deu entre um teorema e a descoberta de uma forma para resolver
algum exercício complicado.
Ao Professor Mestre Marcelo Dias Pereira, por ouvir minhas reclamações e
opiniões, mesmo quando fundamentadas em nada. Pelas vezes que conversávamos e eu
não conseguia achar as palavras certas e, mesmo assim, ele me entendia. Por me olhar
nos olhos, pelo respeito que demonstrou ter por mim. Pela paciência e profissionalismo
com o qual me orientou. E por me ensinar a gostar de Geometria.
A todos os funcionários e alunos da EMEF Desembargador Amorim Lima por
terem me recebido de forma tão generosa. Em especial a aluna Letícia, por sua
franqueza e amizade. E também a Professora Vilma Cristiane e Professora Solange
Maria, por me permitirem aprender grandes lições de humildade e amor ao magistério
no pouco tempo em que tive oportunidade de visitar a escola.
Ao Professor José Francisco de Almeida Pacheco, pelas palavras de animo
quando solicitei ajuda no encaminhamento deste trabalho e pelos textos que me enviou
os quais foram bastante elucidativos na minha pesquisa. Ao Professor Cristiano Silva,
coordenador da Escola da Ponte e ao Professor André Pacheco, ex- aluno desta escola,
que me deram a chance de vislumbrar a educação sobre outro prisma além do que
estava acostumada.
A todos os colegas que estiveram comigo durante o curso, os quais fizeram
desses anos a mais rica experiência da minha vida.
Deus não escolhe os capacitados, mas capacita os escolhidos.
(Albert Einstein)
Resumo
Iniciando com um breve passeio pela História da Trigonometria e depois abordando
alguns elementos que compõem a Trigonometria na Circunferência, o objetivo deste
trabalho foi criar e apresentar um ensaio de planejamento para o ensino deste conteúdo,
utilizando o conceito de autonomia e a linguagem natural para o desenvolvimento da
emancipação discente. Após participar como estagiária do Projeto Amorim Lima, na
Escola Municipal de Ensino Fundamental Desembargador Amorim Lima, baseado no
Projeto Escola da Ponte, de Portugal, da qual também obtive respostas a alguma
perguntas encaminhadas com relação a ensino e aprendizagem, abordo um pouco do
que aprendi com estas experiências, bases para que eu pudesse escrever e apresentar
uma sequência didática sobre Trigonometria na Circunferência, que tem como objetivo
principal a construção do conhecimento por meio da “descoberta”, através da linguagem
natural, inserindo-o em uma forma independente de estudo.
Palavras chaves: Trigonometria na Circunferência. Aprender a aprender. Linguagem
natural. Autonomia discente.
INDICE DAS FIGURAS:
Figura 1: Distância Terra-Lua e distância Terra-Sol .................................................. 18
Figura 2: Revolução da Lua ............................................................................... 19
Figura 3: Eclipse Lunar ............................................................................................
20
Figura 4: Ângulos de visão da Lua na Terra......................................................................
20
Figura 5: Função corda .............................................................................................. 21
Figura 6: Função de meia corda ou seno...........................................................................
22
Figura 7: Triângulo esférico ....................................................................................... 24
Figura 8: Seqt .............................................................................................................
24
Figura 9: Sombra de um gnômom.............................................................................. 25
Figura 10: Circunferência e alguns elementos .............................................................
30
Figura 11: Corda e Diâmetro da Circunferência .......................................................
30
Figura 12: Arcos de Circunferência ............................................................................
31
Figura 13: Semicircunferências ....................................................................................
31
Figura 14: Arco nulo e Arco de uma volta ....................................................................
31
Figura 15: Sistema Cartesiano Ortogonal ..................................................................
33
Figura 16: Ciclo Trigonométrico: arco com medida negativa......................................
34
Figura 17: Ciclo Trigonométrico: arco com medida positiva......................................
34
Figura 18: Arco de medida um radiano .....................................................................
35
Figura 19: Arcos notáveis do ciclo trigonométrico e seus múltiplos: em graus e em
radianos ..................................................................................................................
36
Figura 20: Esboço dos eixos trigonométricos .........................................................
38
Figura 21: Seno, cosseno, tangente e cotangente....................................................... 39
Figura 22: Secante e cossecante ..............................................................................
40
Figura 23: Foto da área externa da escola ..................................................................... 66
Figura 24: Foto da Oca construída na área externa da escola .......................................
66
Figura 25: Pátio da escola .............................................................................................
69
Figura 26: Realização de trabalhos manuais .................................................................
71
Figura 27: Painel da festa da cultura realizada em 2009 ...............................................
78
Figura 28: Signos ..........................................................................................................
82
Figura 29: A importância dos signos ...........................................................................
81
Figura 30: Materiais necessários ...................................................................................
91
Figura 31: Medindo a largura da garrafa ....................................................................
92
Fonte 32: Mostrador de horas ......................................................................................
92
Figura 33: Colando o mostrador de horas ....................................................................
93
Figura 34: Furando a garrafa .......................................................................................
93
Figura 35: Criando o ponteiro .......................................................................................
94
Figura 36: Ponteiro .......................................................................................................
94
Figura 37: Triângulo retângulo ...................................................................................
95
Figura 38: Retângulo ..................................................................................................
95
Figura 39: Suporte ......................................................................................................
95
Figura 40: Suporte ......................................................................................................
96
Figura 41: Suporte .......................................................................................................
96
Figura 42: Representação do relógio solar ...............................................................
97
Figura 43: Primeiras civilizações ..............................................................................
99
Figura 44: Perímetro da Terra ....................................................................................
104
Figura 45: Circunferências circuncêntricas ................................................................
106
Figura 46: Eixos cartesianos ......................................................................................
106
Figura 47: Semirreta OP ............................................................................................. 107
Figura 48: Retas v e z .................................................................................................
107
Figura 49: Pontos de intercecção ..............................................................................
108
Figura 50: Triângulos OBC e OPD ............................................................................
108
Figura 51: Modelo de Ciclo Trigonométrico ..............................................................
108
SUMÁRIO
Introdução
....................................................................................................................................
12
Capítulo 1: Um pouco de história da Trigonometria
1.1. O estudo das relações existentes nos triângulos .............................................................. 15
1.2. Ângulos ........................................................................................................................... 15
1.3. Bases para uma nova ciência .......................................................................................... 16
1.4. Medida angular ................................................................................................................. 17
1.5. Importantes descobertas pré-trigonométricas ................................................................. 17
1.6 O uso sistemático da Trigonometria ........................................................................ 21
Capítulo 2: Um pouco de Trigonometria
2.1. O que é Trigonometria? .......................................................................................... 29
2.2. Qual Trigonometria? ............................................................................................. 29
2..2.1. Circunferência, centro e raio ................................................................................... 29
2.2.2. Corda e Diâmetro ...................................................................................................... 30
2.2.3. Arco de Circunferência e semicircunferência ......................................................... 31
2.2.4. Medida (ou perímetro) de uma Circunferência ........................................................ 32
2.2.5. Sistema Cartesiano Ortogonal .................................................................................. 33
2.2.6 Ciclo trigonométrico e medidas de Arcos ................................................................. 34
2.2.7.Como converter graus em radianos e radianos em graus? ................................. 35
2..2.8. Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante no Ciclo
Trigonométrico. ........................................................................................................
....................
37
Capitulo 3: Aprender a aprender e ensinar a aprender................................................. 41
3.1.Heteronomia ...................................................................................................................... 42
3.2.Autonomia ......................................................................................................................... 44
3.3.O processo de passagem da heteronomia para a autonomia ........................................... 45
3.4.Considerações sobre a linguagem das grandezas ............................................................. 50
3.5. Aprender a aprender Matemática: a importância da aquisição da linguagem das
grandezas para a autonomia discente.............................................................................
52
Capitulo 4: Autonomia: Como ela pode funcionar na prática?
4.1. Lembranças ..................................................................................................................... 56
4.2 As escolas nos dias atuais ................................................................................................ 56
4.3. Vivência de uma professora ............................................................................................. 58
4.5. E a emancipação? ................................................................................................... 59
4.6. Escola da Ponte ............................................................................................................... 60
4.7. EMEF Desembargador Amorim Lima .................................................................... 63
Capitulo 5: Linguagem Natural: Como utilizá-la nas
aulas de Matemática em prol da autonomia discente?........................................................
81
5.1. Sequência Didática sobre Trigonometria na Circunferência .................................. 84
Considerações finais ............................................................................................................ 114
Referências Bibliográficas ................................................................................................ 116
Anexos ............................................................................................................................. 119
12
INTRODUÇÃO
Existia uma cidade distante na qual os habitantes não tiveram acesso à alfabetização.
Nesta cidade morava uma dona de casa muito prendada, chamada Maria. Maria adorava
cozinhar, mas seu conhecimento nesta área era escasso, resumindo-se às receitas que ela
tinha visto sua avó e sua mãe fazer.
Na cidade onde ela morava, instalou-se uma fábrica de açúcar. Para estimular suas
clientes a exercer a arte da culinária esta empresa abriu uma pequena escola de culinária
onde deixou à disposição de suas clientes uma instrutora que ensinava a estas mulheres
diversas receitas. As mulheres da cidade ficaram bastante contentes com a novidade.
Maria também ficou contente, mas havia um pequeno porém que a entristecia: a
empresa que disponibilizou a instrutora produzia somente açúcar. Não era prioridade para
ela que suas clientes aprendessem receitas salgadas.
Ela bem que tentou perguntar para a instrutora sobre as receitas salgadas, mas, todas
as vezes, a instrutora protelava a resposta, porque tinha seu tempo escasso e havia muitas
outras receitas doces para ensinar.
Por vezes Maria sentia vontade de preparar um prato salgado, olhava para um livro
de receitas que tinha lindas ilustrações destes pratos, mas, como não sabia ler, ficava difícil
compreender o que estava escrito nele. Então Maria, conformada, pôs-se a preparar um
prato doce...
Será justo que Maria tivesse seu conhecimento reduzido ao que é interessante para a
empresa de açúcar? (Lidia Eliane)
A situação apresentada é apenas imaginária, mas pode perfeitamente ilustrar a situação
existente entre os alunos e o ensino de Matemática. Ao iniciar sua vida escolar, a maior parte
dos alunos não sabe ler nem escrever. Em muito pouco tempo aprendem a ler e a escrever no
idioma do seu país.
Ao aprender a ler adquire algo como “um passaporte para um novo mundo” e o seu
olhar se abre para infindas possibilidades.
Estudar quase todas as disciplinas torna-se algo fácil, é só observar as ilustrações dos
livros, ler o que está escrito neles e pronto: aos poucos aprender qualquer disciplina torna-se
algo agradável.
13
Com a Matemática isto não ocorre. Ela possui uma linguagem própria, rica em
símbolos, os quais, geralmente, não usamos ao escrever em nossa língua materna no dia a dia.
O Professor, ao ensinar a Matemática, tem uma grande responsabilidade: ensinar os
conceitos, os procedimentos e as atitudes dos conteúdos mínimos sugeridos pelos documentos
que regem a Educação que, às vezes, pela dificuldade da turma, mal cabem na sua carga
horária.
Mesmo que o aluno sinta vontade de aprender mais sobre Matemática e peça
explicação sobre outro conteúdo, alguns professores podem protelar a resposta, por estarem
despreparados para sanar a dúvida do aluno, por falta de tempo, pela indisciplina na sala de
aula ou, talvez, por não considerar importante ensinar nada além do que está no plano de
ensino.
Fato é que, se este aluno não conseguir que alguém o ensine, mesmo que ele tenha
acesso aos meios de obter este conteúdo, como internet ou livros de Matemática, não
conseguirá estudar sozinho, simplesmente porque não sabe ler Matemática.
Uma coisa é alguém ler um livro e ensinar uma criança o que está escrito nele. Outra
coisa é alguém ensinar a criança a ler este livro. Quando o assunto é Matemática, não se tem
usado ensinar as crianças a lerem os livros.
Será justo que um aluno tenha o seu conhecimento matemático reduzido a fatores
como a disponibilidade de um professor, ou ao desenvolvimento médio da sua classe, ou ao
que foi estipulado por qualquer instituição, seja ela estadual municipal ou iniciativa privada,
de acordo com interesses que nem sempre são os mesmos deste aluno?
Esta é uma questão discutida por Hogben (1970, p.20):
Três séculos já são passados desde que os livros eram escritos em latim e se
abriram escolas a fim de que o povo pudesse ler diretamente a bíblia como
um livro aberto. Já é tempo de uma nova reforma. O povo precisa aprender a
ler e escrever a linguagem das medições, para que consiga compreender a
Bíblia aberta da ciência moderna.
A grande maioria da população dos países civilizados não sabe nem ler, nem
escrever desembaraçadamente a linguagem das grandezas, do mesmo modo
que a maioria dos contemporâneos de Wycliff e Lutéro ignorava latim,
língua em que se tratavam as controvérsias religiosas. Mas o Diderot
moderno precisa aprender a linguagem das grandezas como medida de
14
autodefesa, porque nenhuma sociedade estará em segurança se confiada
inteiramente aos mais sabidos.
Apresentadas as reflexões acima, o presente Trabalho de Conclusão de Curso tem
como objetivo pesquisar sobre as barreiras enfrentadas pelas novas gerações para
compreender os conceitos matemáticos e, através do estudo da Trigonometria, área da
Matemática que exige uma grande abstração e capacidade de assimilar novas linguagens e
códigos, pesquisar formas possíveis de estimular o aluno a adquirir autonomia na busca pelo
conhecimento.
Entendo que o mundo atualmente está em constante estado de transformação e a
Educação Matemática é uma ferramenta importante para que o cidadão possa viver com
dignidade essas mudanças e se posicionar de forma crítica diante delas. Portanto, anseio, com
o auxilio do estudo da Trigonometria, área da matemática que exige uma grande abstração e
capacidade de assimilar novas linguagens e códigos, através deste trabalho, buscar e propor
formas de auxiliar o aluno a aprender a aprender, para que possa estar apto a adquirir novos
conhecimentos e lidar com os recursos tecnológicos existentes e que possam a surgir.
Para ir ao encontro desse anseio e atingir o objetivo exposto acima, este Trabalho de
Conclusão está estruturado da seguinte forma: um capítulo que trata um pouco da História da
Trigonometria, o capítulo 1; o capítulo 2 que aborda alguns elementos que compõem a
Trigonometria na Circunferência; o capítulo 3 que trata da autonomia e a importância do uso
da linguagem natural para auxiliar os alunos na aprendizagem; o capítulo 4, que aborda duas
experiências de aplicação de projetos pedagógicos visando o estímulo e a emancipação
discente: o Projeto Escola da Ponte, em Portugal, e o Projeto Amorim Lima, no Brasil; e o
capítulo 5, que apresenta um ensaio de programa de ensino e aprendizagem de Trigonometria
na Circunferência, estruturado em prol da autonomia discente.
15
CAPÍTULO 1: UM POUCO DE HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA
1.1. O estudo das relações existentes nos triângulos
O estudo das relações existentes nos triângulos surgiu com a necessidade de se medir
distâncias inacessíveis, provocado pelo avanço da Astronomia, da Agrimensura e da
Navegação. Não se sabe ao certo onde ele surgiu, mas há registros de que as descobertas
provocadas por ele já eram utilizadas no ano 3000 a.C.
O estudo das relações existentes nos triângulos era tão necessário para o
desenvolvimento da Astronomia, que só no século XIII passou-se a tratar esse campo do
conhecimento como assunto distinto.
O uso formal desta “ciência” só começou a ser feito quando Hiparco de Nicéia, no ano
150 a.C., produziu uma tabela com valores de cordas dos ângulos de meio em meio grau, um
dos principais elementos do estudo da Trigonometria.
1.2. Ângulos
O estudo de ângulos, sendo este atualmente definido como a união de um par de
semirretas de mesma origem, não contidas numa mesma reta (Rezende; Queiroz, 2000, p. 21)
surgiu, provavelmente como contam os historiadores, da necessidade de medir o tempo.
No início da civilização os homens eram nômades e viviam da caça e da colheita de
frutos silvestres. Com o passar do tempo passaram a fixar residência próxima às margens de
rios da Ásia, como o Eufrates, o Gandes e o Nilo. Quando começaram a criar animais e a
cultivar plantações para sobrevivência, surgiu a necessidade de registrar a passagem do
tempo, pois há animais que só se reproduzem e culturas que só nascem em determinadas
épocas do ano. Além disso, as margens destes rios passavam por épocas de cheia nas quais a
população do lugar não podia plantar. Quando as cheias acabavam, o solo destas margens
tornava-se ótimo para o cultivo.
Um instrumento muito utilizado na antiguidade para medir o tempo era o relógio de
sol. Ele era inicialmente constituído com uma vareta posicionada de forma vertical com o solo
e sob a luz solar. Esta vareta recebeu o nome de gnômom.
Ao observar a sombra produzida pelo gnômom percebeu-se que seu comprimento
variava conforme a hora do dia. Desta forma dava para acompanhar a passagem do tempo
pela variação do comprimento da sombra.
16
O eixo de rotação da Terra possui uma ligeira inclinação em relação à elipse formada
pela sua translação. Esta é a causa de algumas variações na posição aparente dos seres
celestes e das quatro estações climáticas. Por este motivo a sombra mais curta produzida pelo
gnômom, a sombra da metade do dia, não tinha seu comprimento constante: sofria uma
pequena variação com o passar dos dias. Ficava mais curta nas épocas quentes e mais
comprida em épocas frias. Ao observar o ângulo formado por esta sombra e o gnômom podia-
se prever quanto tempo faltava para época das cheias, planejar a época propicia para a
colheita e já preparar o plantio para quando as águas baixassem. De acordo com Hogben
(1970, p.54), a medição de ângulos, provavelmente ocorreu antes da medição de
comprimentos: “A necessidade de mediações exatas surgiu, naturalmente, da prática de
registrar o tempo, pré-requisito essencial para a vida metropolitana. É quase certo que o
homem aprendeu a medir ângulos muito antes de se dar ao trabalho de medir comprimentos.”
1.3. Bases para uma nova ciência
A utilização da Trigonometria intensificou-se a partir do seu embasamento em
conceitos geométricos. A relação existente entre a altura do gnômom e a sombra produzida
por ele era também utilizada para medir alturas as quais não se tinha acesso. Utilizando-se do
conhecimento geométrico sobre semelhança de triângulos podia-se medir as razões entre os
comprimentos das sombras e comparar com as alturas do gnômom e do objeto a ser medido.
No Papiro Ahmes, escrito, aproximadamente, em 1650 a.C. e encontrado no Egito,
existem indicações dos primeiros indícios do uso das razões entre os lados de um triângulo
retângulo. Nele há 84 problemas que se referem a estas razões.
Sabe-se que Tales de Mileto (640-549 a.C.), um dos primeiros matemáticos a escrever
sobre Geometria, se dedicava ao estudo das relações existentes entre os triângulos
semelhantes. Ele se utilizou deste conhecimento para calcular o valor da altura da pirâmide
Quéops.
A Pitágoras (570-495 a.C), aluno de Tales, apesar de controvérsias, é atribuída a
descoberta do teorema que afirma que a soma do quadrado das medidas dos lados menores de
um triângulo retângulo é igual ao quadrado da medida do seu maior lado, teorema do qual
surgiu uma importante relação trigonométrica: sen2 x + cos2 x = 1, conhecida como Relação
Trigonométrica Fundamental.
17
1.4. Medida angular
As primeiras tentativas feitas pelos babilônicos para medir a duração de um ano,
através das anotações feitas sobre as observações do comprimento das sombras do gnômom,
os levaram a concluir que o solstício de verão e o solstício de inverno ocorriam,
aproximadamente, a cada trezentos e sessenta dias.
Segundo Hogben (1970, p.59) “não resta dúvida de que destas trezentas e sessentas
divisões naturais do passeio do Sol pelo arco descrito em sua trajetória circular completa, se
originou o grau”, utilizado como medida de ângulos e de arcos. Acredita-se que foi Hipceclis
(180 a.C.) que escreveu a primeira obra considerando o uso do grau.
Já a utilização do radiano1 surgiu da necessidade de uma nova medida angular para
simplificação de fórmulas matemáticas e físicas. Essa unidade de medida angular foi
utilizada, primeira vez, pelo físico James T. Thomson, em 1873, e sua apresentação pública
foi feita no livro Algebra Identified with Geometry (Álgebra identificada com Geometria),
escrito em Londres, no ano de 1874 por Alexander J. Ellis.
1.5. Importantes descobertas pré-trigonométricas
O conhecimento a respeito da sombra do gnômom também produziu descobertas
importantes, como o valor do comprimento da circunferência da Terra. Eratóstenes (276 -194
a.C.), um astrônomo que nasceu em Sirene e com 40 anos foi trabalhar como bibliotecário
chefe na cidade de Alexandria, ao pesquisar nos livros, ficou sabendo que no dia 21 de junho,
dia do solstício de verão na cidade de Sirene, ou seja, o dia mais longo do ano, a luz do Sol
refletia, ao meio dia, no fundo de um poço. Isso significava que o Sol e o poço estavam
alinhados e que a sombra de um gnômom, naquele horário, não existiria. Observou que, nesta
mesma hora, em Alexandria, uma torre projetava uma sombra que, através de um
equipamento chamado astrolábio, indicava um ângulo de 7,2o com relação à torre. Para
Eratóstenes, este era um indicativo de que a Terra era esférica. Caso contrário, a sombra da
torre não existiria também. Sabendo que a distância entre Siene e Alexandria era igual a 5.000
estádios e que 7,2º corresponde a 1/50 da medida total do arco de uma circunferência, ele
chegou à conclusão que o perímetro da circunferência da Terra era igual a 250.000 estádios,
ou seja, 50 vezes a distância entre Sirene a Alexandria.
1 As definições de grau e radiano como unidades de medida de um arco são apresentadas no próximo capítulo
18
Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi o primeiro cientista a propor a existência de um
sistema heliocêntrico, onde os planetas giram em torno do Sol. Ele se dedicava a pesquisar a
distância existente entre a Terra e a Lua ( e a distância existente entre a Terra e o Sol
( .
Os instrumentos utilizados por Aristarco eram muito rudimentares, o que motivou
algumas imprecisões nas medidas encontradas por ele. Mas o método que ele utilizou estava
correto e era sinal de boas novas para a ciência. Por isso, suas descobertas foram muito
importantes e merecem ser citadas na História da Trigonometria.
Para alcançar seu objetivo Aristarco passou a guardar informações obtidas em suas
pesquisas. Tais informações foram registradas na obra De Magnitudinibus et Distantiis Solis
et Lunae (Sobre as Dimensões das Distâncias do Sol e da Lua).
Dentre as informações escritas por Aristarco, constam:
1ª informação: A distância existente entre o Sol e a Terra é vinte vezes maior que a
distância existente entre a Lua e a Terra.
Figura 1: Distância Terra-Lua e distância Terra-Sol
Fonte: www.zenite.nu
Aristarco havia percebido que quando a Lua está na fase quarto crescente ou quarto
minguante os feixes de raios solares são perpendiculares a uma reta que contem um ponto no
centro da Terra (ponto T) e outro no centro da Lua (ponto L). Ele percebeu que se pudesse
traçar um triângulo com um vértice em L, um vértice em T e o terceiro vértice no centro do
Sol (ponto S), este triângulo seria retângulo em L.
Para medir o ângulo interno pelo vértice T do triângulo TLS, Aristarco observou que a
passagem da Lua da fase quarto crescente para a fase quarto minguante durava cerca de 14
dias e seis horas. Considerando que a Lua passa pela reta TS na metade deste percurso, ela
demora 7 dias e 3 horas para passar por esta reta. A revolução, movimento que a Lua realiza
ao redor da Terra, dura cerca de 29 dias e meio. Sabendo que 360º equivale à circunferência
da Terra, temos:
19
( ) ( ) 87x59.8
57.720x
57
x8
59
720x360
dias7
grausx
dias29
graus360
857
259
81
21
≅⇔=⇔=⇔=⇒+
=+
Figura 2: Revolução da Lua
Fonte: Silveira, s.d.
Os cálculos de Aristarco indicaram que a medida do ângulo STL era,
aproximadamente, 87º. Sabendo ele que a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é igual 180º, concluiu que o ângulo TSL media, aproximadamente 3º.
Aristarco também sabia que quando dois triângulos possuem os três ângulos
correspondentes congruentes, eles são semelhantes e, em triângulos semelhantes, as razões
entre as medidas dos lados correspondentes são todas iguais. Sendo assim, ele construiu um
triângulo T’L’S’ de ângulos L' igual a 90º, T’ igual a 87º e S’ igual a 3º, com lados 'T'L e
'T'S conhecidos. Calculou a razão existente entre os comprimentos destes lados, encontrando
20'T'L
'T'S= .
Chegou, então, à conclusão de que LT.20ST = , pois se chamasse de k a razão
existente entre os pares de segmentos correspondentes 'T'L e LT e 'T'S e ST , chegaria à
igualdade 'T'L
'T'S
LT
ST= , conforme segue:
Se kLT
'T'L= e k
ST
'T'S= , então ⇔=⇔=
'T'S
1.
ST
'T'S
LT
'T'L.'T'S
1
ST
'T'S
LT
'T'L
ST
LT
'T'S
'T'LLT.
ST
1
LT
'T'L.'T'S
1.LT
ST
1
LT
'T'L.'T'S
1=⇔=⇔=⇔
20
Atualmente sabe-se que a medida do ângulo STL é 89,85º, o que implica na medida
de 0,15º para o ângulo TSL . Isso nos leva à conclusão de que a distância entre a Terra e o Sol
é, aproximadamente, 380 vezes a distância entre a Terra e a Lua.
2ª informação: O comprimento do diâmetro da Lua é, aproximadamente, 3
1 do
comprimento do diâmetro da Terra.
Figura 3: Eclipse Lunar
Fonte: www.ccvalg.pt/astronomia/sistema_solar/lua.htm
Aristarco percebeu esta relação, observando a sombra produzida pela Terra sobre a
Lua, durante os eclipses lunares. Atualmente se sabe-se que o diâmetro da Lua é,
aproximadamente, 100
27 do comprimento do diâmetro da Terra.
3ª informação: O triângulo formado por um ponto A aqui na Terra e pelas
extremidades B e C de um diâmetro da Lua possui os ângulos CBA e BCA medindo
( )º89 41+ e o ângulo CAB medindo ( )º2
1 .
Figura 4: Ângulos da visão da Lua na Terra
Fonte: Silveira, s.d.
Outras informações registradas:
• O diâmetro da Lua é igual a 1/720 da órbita dela ao redor da Terra;
• O diâmetro da Terra é igual a 1/3 do diâmetro da Lua.
21
• A distância entre a Terra e a Lua é aproximadamente igual a 115 vezes o diâmetro
da Lua: conhecendo o valor da razão entre o comprimento de uma circunferência e
o comprimento de seu raio, aproximadamente 7
22 de acordo com Arquimedes, ele
estabeleceu a seguinte relação: fazendo TLD a distância entre a Terra e a Lua e dl o
diâmetro da Lua, temos: dl.115D44
7.dl.720Ddl.720D.
7
22.2 TLTLTL ≅⇔=⇔= .
1.6. O uso sistemático da Trigonometria
Inicialmente, a Trigonometria não era vista como uma ciência e sim como uma
ferramenta auxiliar no estudo da Astronomia. Conforme foi se desenvolvendo ela passou a
servir de base para o aprimoramento de diversas áreas do conhecimento.
O matemático responsável pela sistematização do uso deste novo ramo da Matemática
foi o grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.).
A Trigonometria no tempo de Hiparco baseava-se em uma única função denominada
função corda, que relacionava o ângulo formado por duas semirretas r e s, ambas com origem
no centro de uma circunferência α, com o comprimento do segmento de extremidades A e B,
respectivamente determinados pelas intersecções das semirretas r e s com a circunferência α.
Figura 5: Função corda.
Ele construiu uma tabela de função corda dos valores de meio em meio grau, até 180o,
que representou um grande avanço para os estudos astronômicos.
22
Os primeiros mapas construídos pelos homens foram os mapas estelares. Hiparco foi
responsável pela construção de um mapa que continha a posição de mil e oitenta estrelas
fixas. Antes da construção das tabelas, os cálculos envolvendo medidas astronômicas eram
muito complicados e, com as tábuas contendo o valor das cordas, tornaram-se menos
trabalhosos. Esse feito concedeu a ele o direito de ser considerado o pai da Trigonometria.
Existem indícios que Hiparco já sabia dos processos que equivalem a várias fórmulas
empregadas hoje na resolução de problemas ligados à trigonometria, como a Relação
Trigonométrica Fundamental.
Segundo Eves (2004, p. 202) como nenhum dos escritos de Hiparco chegou até nós,
tudo o que se sabe sobre suas realizações cientificas provém de fonte indireta. Entre os
matemáticos que escreveram sobre os feitos de Hiparco está Claudio Ptolomeu (85-165). Em
sua obra, o Almagesto, existe uma tábua de cordas compilada de Hiparco.
Ptolomeu foi um dos mais notáveis matemáticos da sua época. A Syntaxis
Mathemática (Coleção Matemática), escrito por ele, foi um dos mais importantes trabalhos
escritos até o inicio da era cristã. Nesta obra, chamada de Almagesto (O maior, na língua
árabe) havia o uso dos termos grau, minutos
graude
60
1 e segundos
graude
3600
1.
Entre os séculos I e XV, a Índia, tinha domínio de um terço da economia mundial.
Nesta época, vários campos do conhecimento encontraram terreno fértil para evoluírem, como
a Engenharia, a Ciência e a Astronomia. Ao tentar aperfeiçoar o uso da função corda para que
pudesse ser utilizada de forma mais eficiente no estudo destas áreas do conhecimento, os
indianos revolucionaram o uso da Trigonometria. Passaram a utilizar funções relacionando
comprimentos de segmentos dos segmentos de retas que compõem as cordas. Sentiram, então,
a necessidade de cortar o segmento de extremidades A e B, da função corda, ao meio. Nasceu,
assim, a função meia corda, conhecida hoje como função seno, que possibilitou a ampliação
do campo de atuação da Trigonometria.
Figura 6: Função de meia corda ou seno.
23
Brahmagupta (628) é o autor da obra Brahmasphuta (Tratado de Astronomia Brama)
que possui uma tabela de senos com uma exposição minuciosa da forma de se montar uma
tabela de senos.
Por sua vez, o povo árabe, antes do século VI, residia em tribos, sem que houvesse
uma forma de governo unificado que o representasse. Essas tribos viviam da criação de
animais e do comércio.
Por volta do ano 570 nasceu Maomé que pregou o islamismo, religião que acreditava
no monoteísmo, com o desprezo de outros deuses. Meca, cidade onde se cultuava vários
deuses, era também o principal centro comercial dos árabes. Seus moradores, temendo perder
seus compradores, começaram uma perseguição a Maomé que acabou fugindo para Medina
(Cidade do Profeta).
Com sua fuga, Maomé começou a incentivar seus fiéis e se expandirem e dominar
outros territórios. O povo árabe conquistou várias regiões da Ásia Ocidental, contribuindo
para o desenvolvimento da Matemática.
Os árabes se apropriaram dos conhecimentos gregos e hindus, fazendo um trabalho de
conservação e tradução das obras produzidas por esses povos, possibilitando que esses
conhecimentos chegassem até o dia de hoje. Com isso, tiveram, conforme Eves (2004, p.
260), grande importância como divulgadores da Geometria, elemento básico para a
Trigonometria: “O papel importante desempenhado pelos árabes em geometria foi mais de
preservação do que de descoberta. O mundo lhe deve um pleito de reconhecimento por seus
esforços continuados para traduzir satisfatoriamente os clássicos gregos”.
Outra contribuição que os árabes deram para a Trigonometria foi a compilação de uma
tabela de seno reverso: ( )AcosR − , onde R corresponde à medida do raio da circunferência
que contém o arco cujo seno foi obtido.
O matemático Al-Battâni, por sua vez, construiu uma tabela de valores para cossenos,
utilizando-se das fórmulas Acos.senc.senbccos.bcosacos += , aplicada nos triângulos
esféricos de vértices A, B e C e senA.bcosBcos = , aplicada nos triângulos esféricos de
vértices A, B e C, retângulos em C.
24
Figura 7: Triângulo esférico.
Fonte: www.if.ufrgs.br/.../fis2005/textos/esferast.htm
Foi Al-Battâni que construiu a primeira tabela trigonométrica na qual não era de uso
exclusivo da Trigonometria, mas ao uso da Álgebra.
Ao povo árabe é creditado o uso das seis funções trigonométricas: funções seno,
cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente.
Com relação às funções tangente e cotangente, Kennedy (1997, p. 41) cita que no
Papiro Rhind (1650 a.C.) há um problema que fornece as dimensões de uma pirâmide
quadrada e pede o seqt, que é a razão entre comprimento do apótema da base da pirâmide (a)
dividida pelo comprimento de sua altura (b).
Figura 8.:Seqt
Fonte: www.egiptologia.org/.../papiro_rhind.htm
Esta relação é equivalente à função que damos o nome de cotangente.
As primeiras tabuas produzidas que possuíam anotações sobre o comprimento de uma
sombra produzida por um gnômom, usadas no Egito já em 1500 a.C, eram os primeiros sinais
do surgimento das funções tangente e cotangente.
25
Figura 9: Sombra de um gnômom
Na Figura 9, o segmento de reta b, representa um gnômom vertical e o segmento de
reta a representa sua sombra. O segmento d representa um gnômom horizontal e o segmento c
a sua sombra.
A razão existente entre os comprimentos a e b, nesta ordem, é equivalente a
cotangente do ângulo formado pelos raios solares e a horizontal. A razão entre os
comprimentos dos segmentos c e d, nesta ordem, representa a tangente do ângulo formado
pelos raios solares e a horizontal.
Desde a morte de Maomé seus discípulos se encarregaram de propagar o islamismo
por toda a Europa e Ásia, tendo êxito em seus planos de expansão da fé islâmica. Do ano 650
ao ano 1050 ocorreu a era considerada a “Idade de Ouro” do Islã. Foi neste cenário que
nasceu Al-Biruni (973-1048), natural do Uzbequistão, considerado um dos maiores cientistas
de todos os tempos.
Entre as contribuições de Al-Biruni para o estudo da Trigonometria, está a introdução
do uso da função tangente como a razão entre o seno e o cosseno. Juntamente com Abu’l-
Wefa, ele iniciou a utilização, em suas obras, do ciclo trigonométrico de raio igual a uma
unidade. Mas os matemáticos da época ainda tinham dificuldade em trabalhar com números
decimais, por esse motivo, não fizeram uso desta nova notação até a Idade Média.
Por volta de 1050, o Império Islão começou a perder sua força, sendo combatido por
diversas nações.
Nasîr Ed-din (1201-1274) era um matemático árabe que trabalhava em Bagdá. Ele
estava descontente com sua ocupação de astrólogo do governador e planejou fugir da corte,
mas teve seus planos descobertos e foi aprisionado.
Quando em 1256 os mongóis intentaram tomar a cidade de Bagdá, que tinha tornado-
se a capital sede do islamismo, Nasîr foi libertado por eles em troca de ajudá-los a derrubar as
defesas da cidade.
26
Em 1258 ocorreu a queda do Império Árabe e os mongóis assumiram a cidade de
Bagdá. O chefe dos mongóis, em reconhecimento a ajuda de Nasîr, construiu para ele um
observatório de Astronomia, onde ele tinha acesso a mais de quatrocentos mil livros e todo
material que precisava para realizar suas pesquisas. Ele dedicou-se a pesquisar a respeito das
seis funções trigonométricas. O fruto de suas pesquisas foi a obra “Tratado sobre
quadriláteros”, onde, pela primeira, vez a Trigonometria foi tratada como um assunto
independente da Astronomia.
Por volta do ano 1430, com a invenção da imprensa, a expansão do conhecimento a
toda a população possibilitou que os cientistas e pesquisadores europeus pudessem ter acesso
aos estudos indianos e árabes para, assim, basear e escrever suas obras.
O primeiro matemático europeu a escrever sobre o arco-metade, com precisão, foi
Joham Muller (1436-1476), conhecido como Regiomontanus. Ele foi discípulo de Georg Van
Peurbch (1423-1461), matemático que construiu a primeira tabela de senos, fazendo uso dos
algarismos hindo-arábicos, que teve sua utilização difundida na Europa pelo matemático
Leonardo Fibonaci (1170-1250).
Peurbach se dedicava à tradução de clássicos indianos como o Almagesto. Ao
perceber que estava perto de sua morte incumbiu seu discípulo Regiomontanus de concluir
seu trabalho.
Regiomontanus continuou os estudos do seu mestre, até chegar a superá-lo com suas
obras. Entre seus trabalhos mais importantes está “De triângulos Omnimodis” (Triângulos de
todos os tipos), publicado em 1533. Nesta obra ele escreveu sobre Trigonometria Plana,
Geometria e Trigonometria Esférica.
Nela, continha a lei dos senos e dos cossenos para triângulos esféricos:
senC
senc
senB
senb
senA
sena==
e
Acos.senc.senbccos.bcosacos +=
Continha, também, as relações equivalentes para a trigonometria plana:
senC
c
senB
b
senA
a==
e
Acos.bc2cba 222 −+=
27
Esta obra de Regiomontanus influenciou a substituição dos números sexagesimais
pelos números decimais nas tabelas trigonométricas que foi de grande utilidade no
desenvolvimento da Trigonometria e sua utilização no estudo da Álgebra e da Geometria.
Com relação à Trigonometria no triângulo retângulo, Georg Joachim Iserin (1514–
1576), nascido na Áustria e obrigado a mudar seu nome para se esconder da perseguição da
igreja católica por ter o seu pai sido condenado de feitiçaria, baseando-se nas colocações de
Regiomomtanus, inaugurou uma nova forma de tratamento da Trigonometria.
Dntre seus trabalhos, Georg Joachim Von Laucheno Rheticus, como passou a chamar,
iniciou a “Opus Palatinum de Triangulis” (Nobre obra sobre triângulos) que foi concluída,
após sua morte, pelo seu aluno Valentin Othon (1545-1605).
A obra de Rheticus e Othon dispensou o uso direto das funções trigonométricas na
circunferência. Eles estudavam as razões existentes no triângulo retângulo, proporcionando
assim novas possibilidades para o aperfeiçoamento do uso das funções trigonométricas.
Outro matemático que fazia seus estudos sobre Trigonometria e fez alusão às relações
da meia corda no círculo foi François Viet (1540-1603). Nascido na França, Viet era um
exímio conhecedor de Álgebra. Utilizando-se desta habilidade, ele sistematizou o uso da
Trigonometria Algébrica, ampliando suas formas de utilização.
Edmund Gunter (1581-1628), outro personagem que merece ser citado, era um
estudioso hindu, que lidava com problemas de Trigonometria e Navegação que envolviam o
uso de logaritmos. À Gunter é atribuída a autoria dos nomes cosseno e cotangente, pois foi ele
o primeiro a utilizar a idéia de complementar de seno e complementar da tangente.
No século XVII, o estudo da Matemática teve um grande avanço acompanhado por
quase todas as áreas do conhecimento. As ciências foram favorecidas pelas melhorias
econômicas, políticas e sociais da época.
Aos poucos, a Trigonometria deixou de ser apenas uma ferramenta utilizada nos
cálculos de áreas e distâncias entre corpos celestes e começou a ganhar espaço no
desenvolvimento e estudo de objetos circulares, de objetos de natureza periódica, oscilatória e
vibratória, como os movimentos de um pêndulo de um relógio, a fabricação de um
instrumento musical, a acústica, a economia, a medicina, entre outros.
Os principais avanços ocorridos naquela época devem-se a Galileu Galilei (1584-
1642). Ele inaugurou um novo campo de conhecimento chamado Dinâmica, em que a
Trigonometria passou a ser utilizada no estudo da Física.
28
O físico Isaac Newton (1642-1727) guiou-se pelas descobertas de Galileu ao estudar
as teorias do movimento, parte importante da Física. Foi ele o responsável pelos estudos e
divulgação da função arco-seno. Seu aluno, Roger Cotes (1682-1716), foi o primeiro a notar
que as funções tangentes e secantes eram regulares.
Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi outro grande nome na história da Trigonometria.
Ele abandonou em suas obras o uso do seno como comprimento de um segmento de reta e
passou a usá-lo como um número ou uma razão.
Diferente do tempo em que viveu Al-Biruni, Euler, nasceu em uma época em que os
matemáticos já estavam acostumados a trabalhar com números decimais. Por isso, quando
colocou em seus trabalhos a notação do raio do ciclo trigonométrico como uma unidade, seu
trabalho influenciou todos os trabalhos que se seguiram.
Outra inovação muito útil nos trabalhos de Euler foi a utilização de letras maiúsculas
para representar os ângulos e letras minúsculas para representar seus lados opostos
correspondentes.
29
CAPÍTULO 2: UM POUCO DE TRIGONOMETRIA
2.1. O que é trigonometria?
A Trigonometria pode ser entendida como a parte da Matemática que estuda as
relações existentes nos triângulos.
Mas porque reservar uma parte da Matemática exclusivamente para estudar as relações
existentes nos triângulos? Não são eles apenas polígonos como outros quaisquer? A resposta é
não! Os triângulos são os polígonos com a menor quantidade de lados e, qualquer outro
polígono, pode ser decomposto em uma quantidade mínima de triângulos. A título de
curiosidade, vale lembrar que três pontos distintos e não colineares do espaço podem
determinar um plano. Se ligarmos eles através de segmentos de retas, formaremos um
polígono: o triângulo. Isso não ocorre, necessariamente, por exemplo, se ligarmos, por
segmentos de retas, quatro pontos do espaço. O resultado pode ser um quadrilátero ou não:
tudo dependerá da posição dos pontos!
2.2. Qual Trigonometria?
A Trigonometria pode, para fins didáticos, ser subdividida. Temos, por exemplo, a
Trigonometria no Triângulo Retângulo, a Trigonometria na Circunferência, a Trigonometria
na Esfera, entre outros.
Após refletir sobre qual forma de abordagem utilizaria no meu Trabalho decidi
escrever sobre Trigonometria na Circunferência, pois teria, com isso, a chance de aprender
algo que para mim é pouco conhecido.
Para estudarmos a Trigonometria na Circunferência são necessários alguns conceitos,
os quais são apresentados a seguir.
2.2.1. Circunferência, centro e raio.
Dado um ponto fixo do espaço, a cada um dos conjuntos de todos os pontos coplanares
e equidistantes a este ponto fixo é dado o nome de Circunferência. Este ponto fixo é
denominado Centro da Circunferência (C).
Aos segmentos de reta existentes com uma extremidade no Centro e outra num ponto
P qualquer pertencente à Circunferência é dado o nome de Raio da Circunferência (r).
30
C
r P
Figura 10: Circunferência e alguns elementos
Na Figura 10 o ponto C é o Centro da Circunferência e o segmento de reta CP um
Raio da Circunferência.
2.2.2. Corda e Diâmetro
Corda de uma Circunferência é qualquer segmento de reta que possui como
extremidades dois pontos pertencentes à Circunferência.
A
B
E
C
D
Figura 11: Corda e Diâmetro da Circunferência
Diâmetro de uma Circunferência é qualquer Corda desta que passa pelo seu Centro.
Todo Diâmetro é uma das Cordas de maior comprimento da Circunferência e possui o dobro
do comprimento do Raio desta Circunferência.
Na Figura 11 os segmentos de retas AB e ED são cordas da Circunferência, sendo o
segmento ED um Diâmetro da mesma.
31
2.2.3. Arco de Circunferência e semicircunferência
Dados uma Circunferência e dois pontos dela, chamamos de Arco cada uma das partes
dessa circunferência determinadas por estes dois pontos.
C
B
A
x
y Figura 12: Arcos de Circunferência
Na Figura 12 temos os arcos BxA)
e ByA)
, sendo os pontos A e B extremidades dos
arcos.
C
A
x
y
B
Figura 13: Semicircunferências
Quando as extremidades de um Arco forem também as extremidades de um Diâmetro,
chamamos cada um dos Arcos de semicircunferência.
Na Figura 13, as extremidades do Diâmetro AB , são também as extremidades das
duas semicircunferências BxA)
e ByA)
.
Quando os pontos que são as extremidades dos arcos são coincidentes obtemos o Arco
nulo e o Arco de uma volta.
32
C
A=B
x
Figura 14: Arco nulo e Arco de uma volta
No caso da Figura 14, como os pontos A e B são coincidentes, temos o arco BxA)
,
chamado arco de uma volta, e o arco AB , chamado de arco nulo.
2.2.4. Medida (ou perímetro) de uma Circunferência
O Perímetro de uma Circunferência corresponde à medida do seu comprimento.
A divisão do comprimento de qualquer Circunferência pela medida de um dos seus
Diâmetros gera a constante irracional π (PI) cujo valor aproximado é de 3,14159. A primeira
tentativa para determinar o valor dessa constante deve-se a Arquimedes. Ele mostrou que esta
razão era 7
22.
Sendo o comprimento do Diâmetro igual a d e comprimento da Circunferência igual a
C , temos:
π=÷ dC
Multiplicando ambos os membros da igualdade pelo valor do comprimento do
Diâmetro temos:
( ) d.d.dC π=÷
No que podemos concluir que:
d.C π=
Como o valor do comprimento do diâmetro é igual ao dobro do comprimento do raio,
podemos escrever:
r.2.C π=
Apresento, abaixo, um exemplo de resolução utilizando o conceito de comprimento da
Circunferência:
Determinar o perímetro aproximado de uma circunferência que possui raio de 2 cm.
33
Resolução:
Valor do perímetro da Circunferência: C
Valor do raio: 2 cm
r.2.C π=
Substituindo o valor do raio e o valor aproximado de π, encontraremos o perímetro aproximado
22147159,3C ××≅
Efetuando as multiplicações temos:
cm56636,12C ≅
2.2.5. Sistema Cartesiano Ortogonal
Sistemas Ortogonais são sistemas utilizados para identificar, através de coordenadas,
um ponto no espaço. Os mais conhecidos são os bi e os tridimensionais.
Os bidimensionais, conhecidos como Sistema Cartesiano Bidimensional, ou,
simplesmente, Sistema Cartesiano, geram os chamados Planos Cartesianos e são compostos
por um par de eixos ortogonais orientados, ou seja, perpendiculares entre si.
Didaticamente, um dos eixos é horizontal e recebe o nome de eixo das abscissas,
enquanto o outro eixo é vertical e recebe o nome de eixo das ordenadas. O ponto de
intersecção entre os dois eixos é denominado Origem do Sistema.
Todo ponto X do eixo das abscissas pode ser relacionado com um, e somente um,
número real, assim como todo ponto Y do eixo das ordenadas, sendo a Origem do Sistema
correspondente ao número 0 (zero), para ambos os eixos.
Figura 15: Sistema Cartesiano Ortogonal
Fonte: Pereira, 2006
34
Para o eixo das abscissas, cada ponto X, à direita de zero, está associado a um número
real estritamente positivo e, à esquerda de zero, a um número real estritamente negativo. Para
o eixo das ordenadas, cada ponto Y, acima de zero, está associado a um real estritamente
positivo e, abaixo de zero, a um real estritamente negativo.
Todo Sistema Cartesiano Bidimensional divide o plano por ele formado em quatro
regiões denominadas quadrantes, os quais são enumerados no sentido anti-horário, sendo o
quadrante superior direito o primeiro quadrante.
2.2.6 Ciclo trigonométrico e medidas de Arcos
Tomemos uma Circunferência de raio unitário com centro na origem de um Sistema
Cartesiano Bidimensional.
Nela, fixemos um ponto A, intersecção da Circunferência com a parte positiva do eixo
das abscissas, que será denominado Origem dos Arcos. Como a Circunferência tem Raio
unitário, seu comprimento é 2π. Tomando x como um número real tal que 0 ≤ x ≤ 2π,
podemos associar cada Arco da Circunferência a tal número, de modo que, se x = 0, então
P coincide com A e, se x ≠ 0, então, a partir de A, em sentido anti-horário, é marcado um
ponto P, de modo que x seja o comprimento do Arco . O mesmo podemos fazer com o
oposto de x. Neste caso, –2π ≤ – x ≤ 0 e o ponto P será marcado na Circunferência, a partir do
ponto A, em sentido horário.
Figura 16: Ciclo Trigonométrico
Arco com medida negativa
Fonte: Pereira, 2006
Figura 17.: Ciclo Trigonométrico
Arco com medida positiva
Fonte: Pereira, 2006
35
Toda Circunferência, com tais tratamentos pode ser chamada Ciclo Trigonométrico.
Com o intuito de padronizar a medida de um Arco, fez-se necessário estabelecer
algumas unidades de medidas. As mais utilizadas são o radiano e o grau.
O radiano é um Arco unitário com o mesmo comprimento do raio da circunferência
que o contém. Cada arco de uma volta mede, aproximadamente, seis vezes o comprimento do
seu próprio raio, ou seja, aproximadamente, seis radianos.
C
B
D
x
Figura 18. : Arco de medida um radiano.
A medida do Arco DxB)
da Figura 18 é igual a um radiano.
Como citamos, Arquimedes foi a primeira pessoa a “demonstrar” que a razão entre o
perímetro e o Diâmetro de uma Circunferência gera uma constante. Ele defendeu, na época,
que esta razão era 7
22. Hoje, sabe-se que esta razão é um número irracional simbolizado pela
letra grega π.
Como o radiano é um Arco unitário com o mesmo comprimento do raio da
circunferência que o contém, podemos deduzir, a partir da relação do perímetro de uma
circunferência, que a medida de um arco de uma volta, em radianos, é 2π.
O grau é um Arco unitário cuja medida equivale a 360
1 da medida da circunferência
que o contém. Sendo assim, cada Arco de uma volta mede, exatamente, 360 graus.
2.2.7.Como converter graus em radianos e radianos em graus?
No Ciclo Trigonométrico o comprimento um Arco de uma volta é igual a 360 graus ou
2π radianos.
Sendo assim, temos:
36
radianos4
graus45
radianos2
graus90
radianosgraus180
radianos2graus360
π
πππ
≡
≡
≡
≡
Da equivalência 360 graus ≡ 2π radianos podemos, através da regra de três, por
exemplo, efetuar a conversão graus para radianos e vice versa.
A figura a seguir apresenta os principais resultados dessa conversão para os Arcos de
30º, 45º e 60º, considerados Arcos notáveis por serem usados com certa freqüência, e seus
múltiplos.
Figura 19: Arcos notáveis do ciclo trigonométrico e seus múltiplos: em graus e em radianos.
Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/.../viewcat.php?cid=15&min=40&orderby=titleA&show=10 (Adaptado)
site:
O procedimento da regra de três para converter as medidas de Arcos é aplicada nos
exemplos a seguir.
Exemplo 1: Determinar o valor em radianos de um Arco de 95 graus.
radianosxgraus95
radianos2graus360
≡
≡ π ⇒
x
2
95
360 π= ⇒ π2.95x360 =
37
Resolvendo a equação, temos que π36
19=x . Portanto, um Arco de 95 graus
corresponde a π36
19 radianos.
Exemplo 2: Determinar o valor em graus de um Arco de π12
13 radianos.
radianos12
13grausy
radianos2graus360
π
π
≡
≡ ⇒
ππ
1213
2360=
y ⇒ ππ 2.y
12
13360 =×
Resolvendo a equação, temos que 195=y . Portanto, um Arco de π12
13 radianos
corresponde a 195 graus.
2.2.7. Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante no Ciclo
Trigonométrico.
Construído um Ciclo Trigonométrico em um Sistema Cartesiano, o eixo horizontal do
sistema (eixo das abscissas) corresponde ao eixo dos cossenos, o eixo vertical do sistema
(eixo das ordenadas) corresponde ao eixo dos senos. Como já apresentamos, a intersecção de
ambos os eixos corresponde ao valor zero e, para cada ponto X, à direita de zero, está
associado um número real estritamente positivo e, à esquerda de zero, um número real
estritamente negativo, assim como para cada ponto Y, acima de zero, está associado um real
estritamente positivo e, abaixo de zero, um real estritamente negativo.
Paralelo ao eixo dos senos, conforme Figura 20, com o mesmo sentido e contendo a
Origem dos Arcos temos o eixo das tangentes. Paralelo ao eixo dos cossenos, com o mesmo
sentido e contendo o ponto de intersecção da Circunferência com o eixo dos senos, temos o
eixo das cotangentes.
À intersecção dos eixos do cosseno e da tangente associamos o valor zero para
tangente e o valor um para o cosseno. Já à intersecção dos eixos da cotangente com o do seno,
associamos o valor zero para a cotangente e o valor um para o seno.
38
Figura 20: Esboço dos eixos trigonométricos
Fonte: Pereira, 2006
Para encontrar, no Ciclo Trigonométrico, o valor do seno de um Arco de extremidades
AP, sendo o ponto A a origem dos arcos, traçamos um segmento de reta contendo o ponto P,
perpendicular ao eixo dos senos. O ponto de intersecção deste segmento com o eixo dos
senos, digamos, ponto S, determinará o segmento de reta OS , em que a extremidade O
corresponde à origem do Sistema Cartesiano. A medida do segmento OS , que chamaremos
de m, corresponderá ao seno do Arco de extremidades A e P. Se OS estiver acima do ponto
O, teremos 0m > . Se estiver abaixo, estabeleceremos 0m < . Se OS ≡ , teremos 0m = . Já
para encontrar o valor do cosseno desse Arco, traçamos um segmento de reta contendo o
ponto P, perpendicular ao eixo dos cossenos. O ponto de intersecção deste segmento com o
eixo dos cossenos, digamos, ponto C, determinará o segmento de reta OC , em que a
extremidade O corresponde à origem do Sistema Cartesiano. A medida do segmento OC , que
chamaremos de n, corresponderá ao cosseno do Arco de extremidades A e P. Se OC estiver à
direita do ponto O, teremos 0n > . Se estiver à esquerda, estabeleceremos 0n < . Caso
OC ≡ , teremos 0n = .
39
Figura 21: Seno, cosseno, tangente e cotangente
Fonte: Pereira, 2006
Com relação aos valores da tangente e da cotangente do arco de extremidades A e P,
traçamos a semirreta OP , com O sendo a origem do Sistema Cartesiano. A intersecção desta
com o eixo das tangentes, quando existir, determinará o ponto T. A medida do segmento AT ,
digamos k, corresponderá à tangente do arco de extremidades A e P. Se AT estiver acima do
ponto A, teremos 0k > . Se estiver abaixo, estabeleceremos 0k < . Caso AT ≡ , teremos
0k = . A intersecção da semirreta OP com o eixo das cotangentes, quando existir,
determinará o ponto G. A medida do segmento BG , em que B é o ponto de intersecção dos
eixo do seno e da cotangente, que chamaremos de w, corresponderá à cotangente do Arco de
extremidades A e P. Se BG estiver à direita de B, teremos 0w > . Caso esteja à esquerda de
B, estabeleceremos 0w < . Caso BG ≡ , teremos 0w = . No caso de não existirem os pontos
T ou G, não existirão, respectivamente, a tangente ou a cotangente do Arco de extremidades
A e P.
Para secante e cossecante do Arco de extremidades A e P, traçamos a semirreta OP ,
com O sendo a origem do Sistema Cartesiano, e a reta r , contendo o ponto P e perpendicular
à semirreta OP . A intersecção desta com o eixo das abscissas, quando existir, determinará o
ponto M. A medida do segmento OM , digamos t, corresponderá à secante do Arco de
extremidades A e P. Se OM estiver à direita de O, teremos 0t > . Caso contrário, teremos
0t < . A intersecção da reta r com o eixo das ordenadas, quando existir, determinará o ponto
40
N. A medida do segmento ON , que chamaremos de u, corresponderá à cossecante do Arco de
extremidades A e P. Se ON estiver acima de O, teremos 0u > . Caso contrário, teremos
0u < . No caso de não existirem M ou N, não existirão a secante ou a cossecante,
respectivamente, do Arco de extremidades A e P.
Figura 22: Secante e cossecante
Fonte: Pereira, 2006
41
CAPÍTULO 3: APRENDER A APRENDER E ENSINAR A APRENDER
“Era uma vez um menino bastante pequeno que contrastava com a escola bastante
grande. Uma manhã, a professora disse: - Hoje nós iremos fazer um desenho. ‘Que bom!’-
pensou o menininho. Ele gostava de desenhar leões, tigres, galinhas, vacas, trens e barcos...
Pegou a sua caixa de lápis-de-cor e começou a desenhar. A professora então disse: -
Esperem, ainda não é hora de começar! Ela esperou até que todos estivessem prontos. -
Agora, disse a professora, nós iremos desenhar flores. E o menininho começou a desenhar
bonitas flores com seus lápis rosa, laranja e azul. A professora disse: - Esperem! Vou
mostrar como fazer. E a flor era vermelha com caule verde. - Assim, disse a professora,
agora vocês podem começar. O menininho olhou para a flor da professora, então olhou para
a sua flor. Gostou mais da sua flor, mas não podia dizer isso... virou o papel e desenhou uma
flor igual a da professora. Era vermelha com caule verde.
Num outro dia, quando o menininho estava em aula ao ar livre, a professora disse: -
Hoje nós iremos fazer alguma coisa com o barro. ‘Que bom!’, pensou o menininho. Ele
gostava de trabalhar com barro. Podia fazer com ele todos os tipos de coisas: elefantes,
camundongos, carros e caminhões. Começou a juntar e amassar a sua bola de barro. Então,
a professora disse: - Esperem! Não é hora de começar! Ela esperou até que todos estivessem
prontos. - Agora, disse a professora, nós iremos fazer um prato. ‘Que bom!’, pensou o
menininho. Ele gostava de fazer pratos de todas as formas e tamanhos. A professora disse: -
Esperem! Vou mostrar como se faz. Assim, agora vocês podem começar. E o prato era um
prato fundo. O menininho olhou para o prato da professora, olhou para o próprio prato e
gostou mais do seu, mas ele não podia dizer isso. Amassou seu barro numa grande bola
novamente e fez um prato fundo, igual ao da professora.
Muito cedo o menininho aprendeu a esperar e a olhar e a fazer as coisas exatamente
como a professora. E muito cedo ele não fazia mais coisas por si próprio. Então aconteceu
que o menininho teve que mudar de escola. A outra escola era ainda maior que a primeira.
Um dia a professora disse: - Hoje nós vamos fazer um desenho. "Que bom!", pensou o
menininho e esperou que a professora dissesse o que fazer. Ela não disse. Apenas andava
pela sala. Então veio até o menininho e disse: - Você não quer desenhar? - Sim, e o que é que
nós vamos fazer? - Eu não sei, até que você o faça. - Como eu posso fazê-lo? - Da maneira
que você gostar. - E de que cor? - Se todo mundo fizer o mesmo desenho e usar as mesmas
cores, como eu posso saber o desenho de cada um? - Eu não sei...
42
E então o menininho começou a desenhar uma flor vermelha com o caule verde...”
A estória narrada acima foi escrita por Helen Buckley. Decidi iniciar este capítulo
contando esta estória, porque ela retrata bem o conceito de heteronímia.
Heteronímia esta que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), é papel
da educação básica combater, através de ações que estimulem o desenvolvimento da
autonomia discente. Como o educando deixa de ser um objeto moldado na educação e passa a
ser o sujeito deste processo é o que tentarei a abordar neste capítulo.
3.1. Heteronomia
Heteronomia é a condição de um sujeito ou um conjunto de pessoas que vivem sob
leis externas. Um sujeito ou uma sociedade heterônoma possui todos os seus atos controlados
por uma lei externa, não sendo capaz de se auto-regulamentar. Desta forma, só agem de
acordo com o representante desta lei, porque ele impõe, quando ele impõe e como ele impõe.
“Na perspectiva histórico-cultural, a heteronomia (hetero: diferente e nomos: lei) significa a
aceitação da norma e da vontade que não é nossa...” (Hernandes, 2002, p.12)
A heteronomia pode se apresentar de diversas formas, como por exemplo: quando
alguém compra uma roupa, não porque gostou ou precisa dela, mas porque “está na moda”;
ou quando um sujeito toma determinada atitude por causa de uma norma religiosa e não
guiado por sua convicção ou consciência.
Segundo Freire (1987, p.33), na Educação, a heteronomia discente é reforçada pela
prática da “educação bancária”, conforme citação abaixo:
Em lugar de comunicar-se, o educador faz “comunicados” e depósitos que o
educando, meras incidências, recebem pacientemente, memorizam e
repetem. Eis a concepção “bancaria” da educação, em que a única margem
de ação que se oferece aos educandos é a de receberem os depósitos, guardá-
los e arquivá-los.
Freire (1987, p.34) faz uma relação de características que marca a forma de educação
bancária. Essas características são:
- educador é o que educa; os educandos são os que são educados;
- O educador é o que sabe; os educandos, os que não sabem;
- O educador é o que pensa; os educandos, os pensados;
43
- O educador é o que dita a palavra; os educandos, os que escutam
docilmente;
- O educador é o que opta e prescreve sua opção; os educandos, os que
seguem a prescrição;
- O educador é o que atua; os educandos, os que têm a ilusão de que atuam,
na atuação do educador;
- O educador escolhe o conteúdo programático; os educandos, jamais
ouvidos nesta escolha, se acomodam a ele;
- O educador identifica a qualidade do saber com sua autoridade funcional
que opõe antagonicamente à liberdade dos educandos; esses devem adaptar-
se as determinações daquele;
- O educador, finalmente é o sujeito do processo; os educandos, meros
objetos.
Freire (1987, p. 34), ainda salienta que essa forma de educação serve aos interesses de
uma classe dominante, pois ensina o aluno a se adaptar a situação de dominação, não
deixando que ele perceba que pode ser um agente transformador desta mesma situação.
De acordo com Zatti (2007) outro fator gerador da situação de dependência integral do
aluno no processo de ensino aprendizagem é a falta de perspectivas. Essa falta de horizontes
leva o educando a não saber se colocar de forma ativa frente a este processo, simplesmente
por não conseguir ver sentido em estudar.
Uma das perguntas mais frequentes que tenho ouvido como professor no
ensino fundamental trabalhando em escolas públicas é: Para que estudar?
Essa pergunta poderia ser confundida com uma pergunta/pretexto para não
estudar, coisa de adolescente. Mas é muito mais que isso, ela é reveladora da
perda de horizonte, da desorientação, da falta de sentido, que as pessoas em
geral vivem hoje. Isso é preocupante, pois quando as pessoas não têm um
sentido próprio a partir de si e das relações que estabelecem, viverão de
acordo com sentidos e sob orientações externas, o que as fará heterônomas.
(ZATTI, 2007, p. 59)
Canário et all (2004, p.43) alerta para a introdução de novos métodos pedagógicos à
educação sem a mudança de concepção que vê o professor como sujeito do sistema
educacional. Segundo ele “o velho mestre de aldeia batia no aluno que não sabia gramática,
44
mas depois o mandava brincar para o recreio; o mestre científico moderno segue-o até ao
pátio e obriga-o a praticar jogos educativos e exercícios saudáveis!”
Essa é uma preocupação demonstrada também por Pacheco (2008, p.8)
Se a não-directividade ingenua descura a influência da sociedade sobre o
indivíduo, a pedagogia autoritária descura a possibilidade de autonomia no
educando. Estes extremos não realizam a tarefa fundamental de dotar os
aprendentes com uma adaptação crítica às condições sociais. O conceito de
liberdade está embotado de equívocos. E, à semelhança de qualquer nova
pedagogia, a não-directividade foi assimilada na sua exterioridade e a
escolástica destituiu-a de qualquer significado transformador.
De acordo com os autores do PCN combater a heteronomia discente e estimular o
educando a tornar-se sujeito no seu processo de aprendizagem é uma meta que deve ser
perseguida pela educação básica.
Para tanto, é necessário que, no processo de ensino e aprendizagem, sejam
exploradas: a aprendizagem de metodologias capazes de priorizar a
construção de estratégias de verificação e comprovação de hipóteses na
construção do conhecimento, a construção de argumentação capaz de
controlar os resultados desse processo, o desenvolvimento do espírito crítico
capaz de favorecer a criatividade, a compreensão dos limites e alcances
lógicos das explicações propostas. Além disso, é necessário ter em conta
uma dinâmica de ensino que favoreça não só o descobrimento das
potencialidades do trabalho individual, mas também, e sobretudo, do
trabalho coletivo. Isso implica o estímulo à autonomia do sujeito,
desenvolvendo o sentimento de segurança em relação às suas próprias
capacidades, interagindo de modo orgânico e integrado num trabalho de
equipe e, portanto, sendo capaz de atuar em níveis de interlocução mais
complexos e diferenciados. (BRASIL, 1997, p. 26)
3.2. Autonomia
A palavra autonomia tem origem grega, nela “auto” significa próprio e “nomos”
significa regras. Então autonomia pode ser entendida como a capacidade de se auto-regular.
Sendo, assim, a palavra autonomia é antônima a palavra heteronomia.
45
Segundo os autores dos PCN, o termo autonomia, em educação, possui um sentido
abrangente, que engloba, além da capacidade de aprender, o desenvolvimento integral do ser
humano.
A autonomia refere-se à capacidade de posicionar-se, elaborar projetos
pessoais e participar enunciativa e cooperativamente de projetos coletivos,
ter discernimento, organizar-se em função de metas eleitas, governar-se,
participar da gestão de ações coletivas, estabelecer critérios e eleger
princípios éticos, etc. Isto é, a autonomia fala de uma relação emancipada,
íntegra com as diferentes dimensões da vida, o que envolve aspectos
intelectuais, morais, afetivos e sociopolíticos.” (BRASIL, 1997, p. 62)
É importante destacar que autonomia nada tem a ver com auto-suficiência, pois o
conceito de autonomia inclui a capacidade de se relacionar com a sociedade possuindo a
capacidade de negociar as regras ditadas por ela, para o melhor desenvolvimento do trabalho
em conjunto.
3.3. O processo de passagem da heteronomia para a autonomia
Com a velocidade em que o conhecimento se expande e transforma uma informação
que é adquirida hoje, em muito pouco tempo pode se tornar ultrapassada. Portanto, é
necessário que qualquer pessoa que pretenda se conservar atualizado perante as mudanças
ocorrentes no mundo esteja apto a adquirir novos conhecimentos e rever os conhecimentos
antigos. “O grande desafio para a educação é por em prática hoje o que vai servir para o
amanhã.” (D’Ambrosio, 1996, p. 80)
D’Ambrosio (1990), chama atenção para o fato de que a escola, mais especificamente
a Educação Matemática, não pode fugir à sua responsabilidade de ensinar o jovem a lidar com
as novas formas de aquisição de informação, para que ele não fique à margem da sociedade,
mas possa estar inserido de forma digna nela:
Creio que um dos maiores males que a escola pratica é tomar a atitude de
que computadores, calculadoras e coisas do gênero não são para
as escolas dos pobres. Ao contrário: uma escola de classe pobre necessita
expor seus alunos a esses equipamentos que estarão presentes em todo o
mercado de futuro imediato.
46
Se uma criança de classe pobre não vê na escola um computador, como
jamais terá oportunidade de manejá-lo em sua casa, estará condenada a
aceitar os piores empregos que se lhe ofereçam. Nem mesmo estará
capacitada para trabalhar como um caixa num grande magazine ou num
banco. É inacreditável que a Educação Matemática ignore isso. Ignorar a
presença de computadores e calculadoras é condenar os estudantes a uma
subordinação total a subempregos. (D’AMBROSIO, 1990, p.17).
Para garantir que a formação do aluno ultrapasse os muros da escola é necessário que
se crie um ambiente propício para o desenvolvimento da autonomia discente. De acordo com
Sampaio (2008, p. 12), a busca pela autonomia é um dos eixos centrais na vida do jovem.
Segundo ela, essa conquista da autonomia representa a passagem para o mundo dos adultos, e
não acontece definitivamente, é feita de várias indas e vindas.
Tanto na vida pessoal como na vida acadêmica do jovem, essa passagem da
heteronomia para a autonomia “consiste num árduo processo” (Sampaio, 2008, p.12). Freire
(1987, p.19), chega a citar que “a libertação, por isso é um parto. E um parto doloroso.”
Apesar da dificuldade que o aluno possa sentir neste processo de passagem, é
necessário que as instituições de ensino criem dispositivos para que o aluno alcançe um
estado de autonomia. De acordo com Paier (2009), a autonomia, tanto a intelectual como a
moral, não nascem com o sujeito, precisam ser construídas:
A autonomia, bem como a solidariedade, o respeito aos demais, a
capacidade de diálogo e o apreço pela democracia não são características
intrínsecas às pessoas nem podem ser ensinadas apenas através do
discurso dos mais velhos sejam familiares ou professores. Estes
valores precisam ser construídos paulatinamente, num exercício diário que
requer um ambiente propício a experiências de tomada de decisão, de
tomada de consciência, de busca de informações, de diálogo e de
convivência e também a presença de adultos atentos a orientar esse percurso
de cada estudante e o percurso coletivo do grupo rumo à convivência
democrática. (PAIER, 2009, p 49)
A existência de uma relação hierárquica, entre professor e aluno pode prejudicar esse
processo de transição. “Tudo o que é meramente transmitido/ensinado tem pouca influência
47
no comportamento da pessoa. Os conhecimentos que podem influenciar o comportamento do
indivíduo são os que ele próprio descobre e de que se apropria.” (Pacheco, 2009, p.8)
A falta de hierarquia em um processo de ensino emancipador, não libera o professor
de exercer sua autoridade frente aos alunos. Pois ele é responsável por criar condições para o
desenvolvimento da autonomia discente e é baseada nesta responsabilidade que deve estar
pautada esta autoridade.
É importante ressaltar que o desejo de estabelecer uma relação
respeitosa e democrática com seus estudantes não pode permitir ao professor
que se considere igual a eles, afinal o professor já possui a cultura produzida
por sua sociedade e tem a responsabilidade perante esta sociedade de formar
as novas gerações. Dessa autoridade, o professor não pode abrir mão, é
uma autoridade que pode ser exercida dentro de princípios democráticos,
considerando o outro sujeito do processo, dialogando com ele e com ele
aprendendo, se transformando. ( PAIER, 2009, p. 55)
Em uma educação voltada para o desenvolvimento da autonomia discente, é
necessário que haja por parte do aluno um engajamento e que ele se reconheça como parte
responsavel pelo bom andamento deste processo. Cobrar do aluno e auxilia-lo para que ele
assuma esta responsabilidade é papel do professor.
O exercício de autonomia näo se confunde com a permissividade, nem
dispensa a colaboração do professor. Esta colaboração concretiza-se através
de mediações que permitam ao aluno: a percepçäo correcta das tarefas e suas
finalidades; a participação na seleção e planificação dessas tarefas; a ação
decorrente de projectos pessoais, ou de grupo; a gestão individualizada de
tempos e espaço de aprendizagem; a escolha de momentos e instrumentos de
avaliação; regular o seu comportamento numa base de reciprocidade;
desenvolver formas de cooperação autonomas; comunicar. (PACHECO,
2008, p. 7)
A auto-avaliação é uma ferramenta importante no processo de aquisição da autonomia
discente. Refletir sobre o próprio processo cognitivo é importante para que o aluno possa criar
estratégias para otimizar este processo. “ Não conhecer um determinado assunto, seja por falta
48
de interesse, seja por falta de capacidade para aprender este tema, não é grave desde que o
aluno tenha conciência de suas limitações.” (D’ Ambrosio, 1996, p. 77).
Essa também é uma das considerações feitas nos PCN:
A avaliação, apesar de ser responsabilidade do professor, não deve ser
considerada função exclusiva dele. Delegá-la aos alunos, em determinados
momentos, é uma condição didática necessária para que construam
instrumentos de auto-regulação para as diferentes aprendizagens. A auto-
avaliação é uma situação de aprendizagem em que o aluno desenvolve
estratégias de análise e interpretação de suas produções e dos diferentes
procedimentos para se avaliar. (BRASIL, 1997, p. 57)
Além da participação do aluno no processo de avaliação, também se faz necessário
que o professor participe ao aluno todos os aspectos do processo de ensino e aprendizagem,
objetivos deste processo, escolhas de materiais, metodologia de ensino, cada passo deve ser
partilhado com o aluno e dada a ele a possibilidade de opinar neste processo. Essa é uma das
questões colocada por Paier (2009, p. 53) em seu trabalho.
Certamente, numa educação democrática e voltada para a construção do
sujeito autônomo, todo o trabalho do professor não é uma caixa secreta a
que somente ele tem acesso, cabendo aos estudantes estarem
passivamente preparados para as ações que serão realizadas, mas os
objetivos, estratégias e avaliações estão postos para a compreensão de todos
e o diálogo é a essência da relação pedagógica. Através do diálogo, o
professor vai compartilhando suas metas com os estudantes e
simultaneamente vai revendo-as a partir das necessidades e das vontades de
seu grupo.
Outro aspecto muito importante em um trabalho voltado para a emancipação discente
é o estimulo ao trabalho em grupo. Para que a criança aprenda a se posicionar na sociedade,
debater e expor seus pontos de vista.
Através de procedimentos simples como esse, de um colega ensinar ao outro,
a professora possibilitava o desenvolvimento da autonomia das crianças.
Elas vão se tornando autônomas na medida em que vão se tornado capazes
49
de realizar sozinhas as atividades, ficando menos dependentes de situações
imediatas. A professora contribuía para a autonomia de seus alunos na
medida em que dava condições para as crianças pensarem sobre o que
faziam, quando incentivava e permitia que o colega mais experiente
auxiliasse o outro a dar formas para suas reelaborações. (HERNENDES,
2002, p.113)
Um dos pontos mais importantes para uma educação emancipadora é o estímulo a
curiosidade da criança, pois “todo conhecimento começa pela pergunta” (Faundez; Freire,
1985, p. 24).
Pacheco (2009, p. 24) questiona o preparo de aulas que visam informar e não suscitar
a curiosidade dos educandos: “[...] eu não consigo entender como pode ser interessante
escutar respostas a perguntas que ninguém fez.”
A importância do papel do professor como instigador da curiosidade discente é
reforçada pelo autor:
Implicada numa aprendizagem por descoberta, através de atividades de
exploração e de pesquisa, num processo significativo, a criança age como
sujeito de aprendizagem. O papel do professor é o de fomentador de
curiosidades, de orientador na resolução de problemas. O professor é alguém
que ajuda a resolver problemas, que estimula as crianças, que confia nas suas
potencialidades. O professor não se impõe pelo seu estatuto, assume tarefas
de estímulo e organização. (PACHECO, 2009, p. 75)
Valorizar a pergunta do aluno, estimulando a formular questionamentos mais
elaborados é função imprescindível da qual o professor não pode abrir mão.
Para um educador nesta posição não há perguntas bobas nem respostas
definitivas. Um educador que não castra a curiosidade do educando, que se
insere no movimento interno do ato de conhecer, jamais desrespeita pergunta
alguma. Porque, mesmo quando a pergunta, para ele, possa parecer ingênua,
mal formulada, nem sempre o é para quem a fez. Em tal caso, o papel do
educador, longe de ser o de ironizar o educando, é ajudá-lo a refazer a
pergunta, com o que o educando aprende, fazendo, a melhor perguntar.
(FREIRE, 1985, p.25)
50
Diz um ditado popular, que “ser pai é a arte de se tornar desnecessário”, creio que esse
ditado serve também para os professores. Deve ser o principal objetivo do trabalho do
professor, tornar-se, gradativamente, dispensável ao aluno, “já que o saber de futuras
profissões pode ainda estar em gestação, devendo buscar-se competências que possibilitem a
independência de ação e aprendizagem futura.” (Brasil, 1997, p. 23)
3.4. Considerações sobre a linguagem das grandezas
Linguagem é todo e qualquer sistema de símbolos que serve para comunicar o que se
sente ou pensa através de sinais, sons, gráficos, ou de gestos conceituados em uma
determinada sociedade. Esses símbolos lingüísticos, ao serem utilizados, atuam de forma a
serem percebidos pelos órgãos do sentido e interpretados pelo nosso cérebro.
A Linguagem das Grandezas, ou Linguagem Matemática, é a linguagem utilizada para
representar padrões ou grandezas, como comprimento, largura, peso, distâncias, quantidades
etc. A escrita matemática surgiu nas épocas mais remotas, da necessidade de registrar a
passagem do tempo, a quantidade de animais que havia em uma criação, o tamanho de uma
plantação ou outros bens. Os primeiros registros matemáticos eram feitos em pau, pedra ou na
parede de cavernas, com traços e rabiscos, utilizando-se de uma correspondência biunívoca.
Os mais antigos registros matemáticos encontrados datam de 3500 a.C.
Para Hogben (1970), a Linguagem da Grandezas é a própria Matemática, e, segundo
ele, reconhecer a semelhança existente entre está linguagem e a Linguagem das Espécies é
mais do que uma comparação, é um caminho para que se consiga entender de forma integral
a Linguagem das Grandezas.
Falar em Matemática como linguagem das grandezas em regras
matemáticas, como regras gramaticais, é mais do que simples figura de
retórica. Muito contribui para a compreensão da Matemática, o
reconhecimento da afinidade profunda existente entre as línguas que
designamos as várias espécies de coisas deste mundo, e as em que
designamos as suas várias grandezas. (HOGBEM, 1970, p. 76)
Uma analogia que pode ser feita entre a Linguagem das Grandezas e a Linguagem das
Espécies é que ambas possuem palavras, sendo essas palavras na Linguagem das Grandezas,
chamadas de símbolos matemáticos. Segundo Hogben (1970) a união de duas ou mais
51
“palavras matemáticas” formam “orações matemáticas”. Cada uma das “palavras
matemáticas” possui uma função dentro dessas “orações matemáticas”. Sobre este fato ele
escreveu:
A analogia fundamental existente entre os vários gêneros da gramática,
sejam elas de grandezas ou espécies, é muito bem evidenciada pelo fato de
as duas partes fundamentais do discurso serem comum as duas línguas. Uma
dessas partes é o substantivo que exprime as coisas a que se refere a oração.
A outra é o verbo que exprime que se faz com essas coisas, ou o que essas
coisas fazem. (HOGBEN, 1970, p. 77)
Para a compreendermos uma palavra seja ela na língua das grandezas, ou na língua
das espécies é necessário saber em que contexto ela está inserida. Uma palavra em si pode não
possuir sentido, mas pode ser essencial dentro de uma estrutura a ser lida.
Nada há de mais misterioso na compreensão do sentido da palavra seno de
15º, que na compreensão da palavra écoutille. Achamos o significado da
expressão seno de 15º procurando o numero correspondente a ele nas tábuas
de senos naturais. As tabelas dão que seno de 15º = 0,2588, exatamente
como o dicionário francês informa écoutille significa gaiuta. É verdade que
isto não nos ensina a usar o seno de 15º. Tampouco a saber que a palavra
écoutille significa gaiuta permite usar a palavra a menos que saibamos qual a
parte do navio a que se dá este nome. Em ambos os casos, o conhecimento
da utilização da palavra importa em conhecermos o navio inteiro.
(HOGBEM, 1970, p. 77)
A Linguagem das Grandezas é uma língua universal. O objetivo desta universalização
é que em qualquer lugar do mundo que se faça uso deste mesmo símbolo possa se executar
uma operação pelo conhecimento dos procedimentos de resoluções e propriedades existentes.
Por seu caráter universal, a Linguagem Matemática possui uma responsabilidade: ser
precisa, não deixando em seus textos, margem para dupla interpretação. Para ser considerado
claro, um texto matemático precisa ser escrito com o menor número possível de palavras
invariáveis e comportar um número reduzido de regras as quais não podem ser desrespeitadas.
Esse rigor matemático proposto pelos especialistas em Matemática causa alguns
problemas de entendimento, pois como suas palavras não possuem duplo sentido, a sua
passagem para a linguagem natural pode comprometer o seu rigor científico. “O uso dos
52
números, tanto para contar como para medir, foi o motivo de freqüentes desentendimentos
entre o homem prático e o matemático” (Hogben, 1970, p. 80). Porque ao tentar
contextualizar uma frase matemática deve-se tomar um cuidado especial para não alterar o seu
sentido.
Hogben (1970), também chama atenção para outro aspecto da linguagem matemática:
um número geralmente cumpre o papel de substantivo nas orações, mas em ocasiões especiais
ele pode assumir papel de verbo, de acordo com a posição onde ele estiver colocado. Sobre
este fato o autor explica:
Muitas vezes, em inglês uma mesma palavra é usada com várias funções, ou
melhor, a mesma palavra é usada ora como substantivo, ora como verbo, etc.
Não raro encontramos, nas publicações turfistas, frases como estas:
‘Windsor Lady volta ao Derby’. A palavra volta nesta acepção, é um
‘verbo’. Exprime uma direção do mesmo modo que x e +. Entretanto, na
frase: ‘Esperar-te-ei na volta da estrada’, volta é um substantivo.
Infelizmente os matemáticos também têm esse hábito lamentável. Quando
eles escrevem 10 2, que significa 10 x 10 ( isto é, dois 10 multiplicados um
pelo outro), 10 é um número, um substantivo, mas o 2 colocado no canto
superior direito, não é um número, sim uma ordem de ação, em outras
palavras, um sinal de operação. (HOGBEN, 1970, p.92)
[...] uma letra x, por exemplo, figurando numa expressão ou frase como 10x,
não é um substantivo, nem abstrato nem coletivo, mas sim um verbo e um
verbo que, alias, inclui, em seu significado muito outros verbos. Pode
representar, por exemplo, os verbos 2 e 5 nas expressões 102 e 105.
(HOGBEN, 1970, p.95)
3.5. Aprender a aprender Matemática: a importância da aquisição da linguagem
das grandezas para a autonomia discente.
Dando aulas de reforço de Matemática deparei-me por duas vezes com uma situação
que me levou a querer escrever neste trabalho sobre a importância da apropriação da
linguagem matemática para o desenvolvimento da autonomia na aprendizagem de
Matemática.
Procurava, antes de iniciar a abordagem de um novo conceito, pedir para que os alunos
fizessem uma atividade para que eu pudesse identificar quais eram as dificuldades que
53
apresentavam. Pedi para que duas turmas diferentes fizessem a mesma atividade e nesta
atividade existiam algumas operações envolvendo frações. Durante a realização da atividade
fui indagada por duas crianças de salas diferentes: “― Pro, quanto é meio, mais meio?” ―
Assim, como escrevi, em linguagem natural.
Tendo pouca experiência em sala de aula, temi não conseguir sanar a dúvida dos
alunos. Depois achei que se eles não tinham percebido a ligação entre a expressão meio “do
mundo real”, e a expressão meio “da aula de matemática”. Eles poderiam entender se eu
usasse na explicação algum recurso visual. Pedi para as crianças repetirem a pergunta, só que
desta vez prestando atenção ao que estavam falando. Peguei uma folha de papel e rasguei em
dois pedaços iguais. Mostrei cada um dos dois pedaços e perguntei quanto da folha eu tinha,
eles responderam meio. Mostrei os dois pedaços juntos e perguntei: “―E agora quantas
folhas tenho?” ― Consegui explicar, e ambas as crianças me olharam com um jeito de quem
pensa: “― Era só isso?”
Já tinha decidido contextualizar meu trabalho escrevendo sobre Trigonometria. Uma
das principais propriedades que embasam a Trigonometria fala sobre triângulos semelhantes.
Há uma propriedade afirmando que em dois triângulos semelhantes as razões entre os lados
correspondentes são iguais.
Preocupei-me, pois pesquisaria sobre as formas de auxiliar meu aluno a aprender a
aprender. E percebi que mesmo traduzindo uma expressão para a linguagem natural o meu
aluno não conseguiu associar a expressão meio com o meio, de “meio pão”, “meio litro de
leite” ou “repartir ao meio”, expressões que com certeza eles ouvem com freqüência. Conclui
que meu aluno terá dificuldades em conseguir aprender Trigonometria de forma
independente, se não conseguir ler com propriedade e de forma consciente os sinais que
representam e explicam os conceitos que a embasa.
A sensação de não-pertinência da matemática ao mundo em que o aluno
está inserido pode ser explicada, segundo Carrasco (2001), pela dificuldade
que muitas vezes ele encontra ao deparar-se com a linguagem matemática, o
que conseqüentemente o impede de mostrar, pela escrita, seu conhecimento
matemático, ou elaborar tal conhecimento. (SOUZA, 2008, p.2)
A apropriação da linguagem é importante, pois é por meio da linguagem que o sujeito
se comunica com o mundo. Os símbolos são uma representação do objeto a ser pensado. Ele
conduz a forma que a pessoa armazena e processa uma informação recebida.
54
É por meio dos símbolos que podemos interagir com a sociedade em que vivemos
demonstrar nossa forma de pensar e transmitir a impressão que as coisas que ocorrem a nossa
volta nos causaram. “Uma palavra que não representa uma idéia é uma coisa morta, da mesma
forma que uma idéia não incorporada em palavras não passa de uma sombra.” (Vygotsky,
2001, p.151)
A importância da aquisição da linguagem, seja ela natural ou matemática, é algo da
qual não se pode abrir mão para que ocorra o desenvolvimento cognitivo do sujeito, pois
existe uma ligação íntima entre a compreensão matemática e a sua representação externa.
Assim, o desenvolvimento intelectual da criança é uma função proporcional
ao seu domínio dos meios sociais do pensamento, isto é, da linguagem.
Consequentemente, será no processo de negociação dos significados
intercambiados no plano intersubjetivo que os conceitos matemáticos,
enquanto formas culturais serão assimilados. (ROSSI, 1993, p. 30)
Ensinar e aprender a linguagem das grandezas exige certo esforço por parte de
professores e alunos. Pois é difícil escrever sobre entidades abstratas, porque a criança sente
dificuldade de compreender a utilidade de tal forma de se comunicar. Souza (2008) apresenta
como alternativa para auxiliar o aluno a aprender ler a linguagem das grandezas, a introdução
da leitura e escrita de textos em linguagem natural nas aulas de matemática.
Procurar tornar os conceitos matemáticos mais próximos dos alunos parece
ser o primeiro passo na busca do sucesso, no desenvolvimento do processo
de ensino-aprendizagem de matemática escolar. Contribuir para superar as
deficiências de leitura dos alunos passa a ser uma atribuição agregada às
ações do educador matemático, mesmo que atividades envolvendo leitura
ainda não sejam tão comuns nas aulas de matemática. (SOUZA, 2008, p. 6)
Continuando, o autor ainda alerta:
A escrita, nas aulas de matemática, não deve ser concebida de forma
arbitrária nem tampouco improvisada, fruto de modismos. É preciso que ela
seja feita de forma articulada com os textos lidos pelos alunos, para que
possa ser o meio através do qual o aluno amplie sua aprendizagem.
(SOUZA, 2008, p.10)
55
CAPÍTULO 4. AUTONOMIA: COMO ELA PODE FUNCIONAR NA
PRÁTICA?
Há escolas que são asas
Há escolas que são gaiolas. Há escolas que são asas. Escolas que são
gaiolas existem para que os pássaros desaprendam a arte do vôo. Pássaros
engaiolados são pássaros sob controle. Engaiolados, o seu dono pode levá-
los para onde quiser. Pássaros engaiolados sempre têm um dono. Deixaram
de ser pássaros. Porque a essência dos pássaros é o vôo. Escolas que são
asas não amam pássaros engaiolados. O que elas amam são os pássaros em
vôo. Existem para dar aos pássaros coragem para voar. Ensinar o vôo, isso
elas não podem fazer, porque o vôo já nasce dentro dos pássaros. O vôo não
pode ser ensinado. Só pode ser encorajado. (Rubem Alves)
4.1. Lembranças
Quando conclui, em 1997, o Ensino Médio, vi decretada o fim da minha carreira
acadêmica, pois não teria condições financeiras para continuar a estudar.
Queria, como toda adolecente, me destacar em alguma área da vida. Já tinha perdido a
chance de ter nascido a mais bonita e, pela minha fama de encrenqueira, jamais seria a mais
simpática. Mas ainda restava uma esperança: ser a mais inteligente. Na minha concepção para
ser a mais inteligente eu precisava entender de Matemática e considerava como pessoa que
sabia Matemática qualquer um que soubesse fazer contas em que aparecessem os símbolos
sen(x), cos(x) ou tg(x). Apesar de não me recordar se vi essa matéria na escola, as vezes,
caiam contas com esses simbolos nos concursos que eu prestava.
Não tinha tido oportunidade de aprender sobre Trigonometria nos anos que frequentei
a escola. Como já comentei, Trigonometria é uma área da Matematica embasada em conceitos
de Geometria. E, segundo Arbach (2002, p. 14), desde o início do Movimento da Matematica
Moderna, o ensino de Geometria foi deixado de lado nas escolas. Segundo ele "nas escolas
públicas o abandono do ensino de Geometria se inicia primeiro e mais intensamente do que
nas escolas privadas".
Em consequencia disso, tentar ensinar Trigonometria para uma pessoa que não possuia
nenhuma base, era um desafio que muitos professores preferiam não enfrentar.
Fato é que me recordo de várias vezes ter tentado em vão pegar livros de Matemática
56
com este assunto para estudar. Nunca conseguia entender nada e acabei me acostumando a
pular questões com trigonometria nos concursos que fazia, apesar de nunca ter me
conformado com a situação.
4.2. As escolas nos dias atuais
No ano de 2008 voltei para o Ensino Básico, agora como professora de Matemática. O
desenvolvimento deste trabalho ocorreu de forma concomitante com as minhas primeiras
experiências no magistério. Iniciei minha atividade docente em uma fase desfavoravel para a
educação. Ainda era bastante inesperiente para poder compreender o que ocorria, mas
conseguia sentir que estavamos em meio a uma crise educacional. Como cita Novaes (2009):
Desde a segunda metade dos anos 90 os profissionais da educação da rede
estadual paulista têm sofrido os impactos da política educacional
empreendida pela SEE/SP2 no que diz respeito às precárias condições de
trabalho e organização da escola, traduzidas na elevada razão professor/
aluno, na ausência de um projeto consistente de formação em serviço, na
manutenção de processos de itinerância e rotatividade dos professores,
ocasionado por um processo anacrônico de atribuição de aulas, no elevado
absenteísmo docente, além da responsabilização individual dos professores
pelo fracasso escolar dos alunos. O que ocorre em São Paulo não é muito
diferente do que ocorre em outras redes públicas do país [...] (NOVAES,
2009, p.19)
Sempre estudei em escolas que funcionavam sob o paradígma tradicional de ensino.
Naquela época já haviam trabalhos isolados por parte de alguns professores para promover
uma participação ativa dos alunos no desenvolvimento da aula, mas era algo que ocorria de
forma tímida e o método de ensino que predominava era a educação bancária. Alves (2001)
faz uma definição do que seriam as escolas nos dias atuais:
Nossas escolas são construídas segundo o modelo das linhas de montagem.
Escolas são fábricas organizadas para a produção de unidades bio-
psicológicas móveis portadoras de conhecimentos e habilidades. Esses
2 Secretaria Estadual de Ensino de São Paulo.
57
conhecimentos e habilidades são definidos exteriormente por agências
governamentais a que se conferiu autoridade para isso. Os modelos
estabelecidos por tais agências são obrigatórios, e têm a força de leis.
Unidades bio-psicológicas móveis que, ao final do processo, não estejam de
acordo com tais modelos são descartadas. É a sua igualdade que atesta a
qualidade do processo. Não havendo passado no teste de qualidade-
igualdade, elas não recebem os certificados de excelência ISO-12.000,
vulgarmente denominados diplomas. As unidades bio-psicológicas móveis
são aquilo que vulgarmente recebe o nome de ‘alunos’. (ALVES, 2001, p.
36)
As escolas com a concepção tradicional de ensino possuem uma forma de organização
que lhe é peculiar, tanto a organização do seu espaço físico como a organização dos níveis de
aprendizagem em períodos. Entre os aspectos comuns dessas escolas está o tempo de duração
de cinquenta minutos para a aula de cada disciplina, o sinal sonoro indicando a hora de início
e de término de cada aula, a divisão do conhecimento em áreas distintas, a distinção do nível
de conhecimento dos estudantes por séries, entre outros. De acordo com Alves (2001), o
objetivo alcançado por escolas organizadas dessa forma, mesmo que essa não seja sua
intenção, é transformar o estudante em uma espécie de produto para o mercado de trabalho:
As linhas de montagem denominadas escolas se organizam segundo
coordenadas espaciais e temporais. As coordenadas espaciais se denominam
‘salas de aula’. As coordenadas temporais se denominam ‘anos’ ou ‘séries’.
Dentro dessas unidades espaço-tempo os professores realizam o processo
técnico-científico de acrescentar sobre os alunos os saberes-habilidades que,
juntos, irão compor o objeto final. Depois de passar por esse processo de
acréscimos sucessivos - à semelhança do que acontece com os objetos
originais na linha de montagem da fábrica - o objeto original que entrou na
linha de montagem chamada escola (naquele momento ele chamava
‘criança’) perdeu totalmente a visibilidade e se revela, então, como um
simples suporte para os saberes-habilidades que a ele foram acrescentados
durante o processo. A criança está, finalmente, formada, isso é, transformada
num produto igual a milhares de outros. ISO-12.000: está formada, isto é, de
acordo com a forma. É mercadoria espiritual que pode entrar no mercado de
trabalho. (ALVES, 2001, p. 36)
58
4.3. Vivência de uma professora
As minhas primeiras atuações no magistério foram como professora eventual. O
professor eventual é o professor que substitui o professor responsável pela sala de aula, na sua
ausência. Novaes (2009) define essa parcela da categoria do professorado da seguinte forma:
Tais professores, licenciados ou não (pois se admite a contratação de alunos
da licenciatura), são contratados para suprir as ausências dos professores
com aulas atribuídas, tendo seu salário calculado somente a partir das aulas
efetivamente ministradas, criando, assim, uma subcategoria de professores
dentro das unidades escolares, os chamados professores eventuais.
(NOVAES, 2009, p.4)
Ao atuar como eventual tive a oportunidade de trabalhar em diversas escolas
localizadas na cidade onde moro. Se por um lado sentia falta da oportunidade de criar
vínculos, por outro lado tive a chance de vivenciar a forma de organização de diversas dessas
escolas e ter, com isso, visão mais abrangente sobre elas.
O tratamento dispensado pelos alunos aos professores eventuais geralmente é hostil,
pois “há, de antemão, uma aposta na ineficácia do trabalho do eventual, no intuito de dar
continuidade ao conteúdo alvo da disciplina a ser substituída” (Zanard, 2008, p. 13). Existe
entre os alunos uma cultura de desrespeitos ao professor substituto. Ao perceberem qualquer
resquício de nervosismo na voz do professor ou despreparo para aula, os estudantes entendem
esse sinal como permissão para desacatá-lo. O que há de preocupante neste comportamento é
que atualmente a parcela de professores temporários na rede estadual de ensino de São Paulo
chega a quarenta e seis por cento3, ou seja, quase metade dos professores da rede. Sobre este
assunto Zanardi (2008) escreveu:
[...] há professores que entram em suas salas de aula e a sensação aparente é
a de que não entrou ninguém no ambiente; os alunos que conversam,
ignorando a sua presença na classe, continuam a fazê-lo, os que dormitavam,
assim permanecem. Durante a aula não prestam atenção e isto quando não
resolvem - ao enredarem perturbações no ambiente, com conversas paralelas
3 Informação escrita por Fábio Takahashi no site www1.folha.uol.com.br no dia 14 de setembro de 2010.
59
e brincadeiras - atrapalhá-la. (ZANARDI, 2008, p.13)
“Nesse modelo, a escola se caracteriza pela postura conservadora. O professor é visto
como a autoridade máxima, um organizador dos conteúdos e estratégias de ensino e, portanto,
o guia exclusivo do processo educativo.” (Brasil, 1997, p.31). Sendo assim o comportamento
dos alunos é atenuado quando o professor aprende a “dominar a sala de aula”. “Domínio de
sala de aula” é a expressão usada para designar a habilidade de um professor coordenar as
atividades realizadas em sala de aula e de se fazer respeitar pelos alunos.
O tempo que leva para um professor aprender a “dominar uma sala” de aula e a forma
que ele usa para este fim costuma ser algo muito individual, “não existe fórmula” como dizem
os professores mais experientes. Quando aprendi a “dominar a sala de aula” comecei a
conseguir com que os alunos prestassem atenção nas minhas aulas. Mas, desde então, já
ocorreu de presenciar professores que, por estarem passando por algum momento de
fragilidade ou estarem iniciando no magistério, não conseguiram reger a classe e passaram
pelos mesmos constrangimentos que passei quando comecei.
4.5. E a emancipação?
A educação é um assunto muito fino, pois envolve uma gama de aspectos a serem
considerados quando escrevemos sobre ela. Por esse motivo decidi iniciar este capítulo
retratando alguns acontecimento que me ocorreram enquanto via a educação sob o prisma de
uma aluna e, posteriormente, quando comecei a observar os rumos da educação como
professora, pois é “qualquer tipo de pesquisador um sujeito que olha a partir de suas
condições prévias” (Paier, 2009, p. 28). Sendo assim não há como observar uma situação e
escrever sobre ela sem que o que sou e vivencieie interfiram nas minhas palavras.
Ao lecionar, ainda não tinha bem formulada a ideia de qual seriam as atitudes que
poderia tomar como professora para auxiliar meu aluno a adquirir independência em seus
estudos.
As crianças demonstravam uma dependência muito grande ao necessitarem sempre de
alguém para lembra-los de agir de forma adequada no que dizia respeito aos mais elementares
aspectos das aulas. Apesar de compreender a necessidade dessa figura de liderança e saber
que faz parte da responsabilidade do professor exercê-la, preocupava-me com o fato de eles
não serem capazes de perceber como isso os deixava com uma defazagem muito grande com
relação aos conteúdos a serem estudados por causa da rotatividade existente dos professores
60
mensionada por Novaes (2009).
Perguntas como “professora, me empresta um lápis? Esqueci o meu em casa”,
“professora, quantas linhas eu deixo?”, “professora, posso fazer de caneta?” são comuns em
salas do Ensino Fundamental II e Ensino Médio. Sem parar para refletir sobre o assunto,
facilmente estas perguntas poderiam passar desapercebidas, pois são clássicas e já eram
usadas no tempo em que frequentava o Ensino Básico como estudante. Mas ao atentar para
elas dá para perceber como retratam a subordinação das crianças ao comando do professor.
Seguindo a linha de raciocinio de Alves (2001, p.36), existindo eficiência no processo
de ensino da escola tradicional teriamos, ao final do processo educacional, “produtos”
perfeitos, que, pela rapidez com que muda o grau de importância de uma informação no
mundo atual, estariam em muito pouco tempo ultrapassada. Mas há uma deficiência no
sistema de ensino atual: esses “produtos” saem com defeito de fábrica, faltando peças que elas
não possuem capacidade de reporem sozinhas. “Com a rotatividade de professores existente
dentro das redes públicas, o currículo apresentado aos alunos é bastante fragmentado e
desorganizado.” (Paier, 2009, p. 60). Refletindo sobre o assunto chego a me perguntar se não
fiz parte de um lote de “unidades bio-psicológicas móveis” que saíram da fábrica com defeito,
ou pior, já saíram da fábrica ultrapassadas.
4.6. Escola da Ponte
Quando se é educado sob um paradígma educacional e começa-se a lecionar em
escolas onde este paradígma de ensino é usado e valorizado, fica difícil imaginar a existência
de outras formas de aprendizagem. Mas decidi que seria importante pesquisar sobre outras
formas de organização de ensino onde existisse um trabalho efetivo de auxílio para que as
crianças alcançassem a autonomia. Lembrei-me que em uma das aulas de Filosofia que tinha
tido no Curso de Matemática o professor propôs a discução de um texto que abordava uma
escola denominada Escola da Ponte. Era o texto de Rubens Alves, entitulado A escola que
sempre sonhei sem imginar que pudesse existir. O autor narrava uma visita à uma escola
situada em Portugual. No texto o autor conta que foi guiado durante esta visita por uma
criança de 9 anos que mostrava a escola com a familiaridade de quem apresentava a própria
casa. Ele cita que descobriu através do relato desta criança que nesta escola são os próprios
estudantes que escolhem as regras que deverão seguir. Que há um grande salão onde crianças
com niveis de desenvolvimento diferentes podem estudar juntas trocando experiência e que
eram os próprios alunos que escolhiam quando queriam estudar determinado assunto. Contava
61
ainda que toda ação da escola era voltada para que as crianças pudessem adquirir autonomia
na busca pelo conhecimento.
Ainda não sabia se era o que estava à buscar por isso resolvi pesquisar para ver se
encontrava mais referencias sobre ela. Nessa minha pesquisa tive a felicidade de entrar em
contato com o Professor José Pacheco, ex-diretor dessa escola que me forneceu o email do
cordenador dessa instituição, Professor Cristiano e de seu filho, ex-aluno da Escola da Ponte
que acompanhou o inicio do processo de estruturação do progeto, Professor André Pacheco.
Interessava-me em saber como era realizado o trabalho de incentivo para auxiliar as
crianças a aprenderem estudar de forma independente e mais especificamente adquirirem
autonomia no estudo de Matemática. Encaminhei a eles um questionário que só fez aumentar
minha vontade de conhecer uma escola como esta de perto.
Inicialmente enviei o questionário ao Professor André4 perguntando como hávia sido
seu primeiro contato com a disciplina matemática na escola. Ele relatou que não conseguia ter
lembranças específicas deste acontecimento por que havia um único professor por disciplina,
“o que leva a que os alunos não sintam a fronteira imaginária entre as várias áreas de estudo”.
Questinando sobre as atitudes tomadas pelos professores quando o aluno mostrava não gostar
de Matemática ele contou que todas as ações da escola eram voltadas para que os alunos
adquirissem autonomia o que fazia com que desenvolvessem autoconfiança ao trabalhar com
novos contextos matemáticos. Uma das minhas inquietações e motivo para eu decidir o tema
do meu trabalho é o fato de considerar que os alunos terminam o Ensino Médio sem ter
desenvolvido a capacidade de ler um livro do Ensino Fundamental. Outro fator citado por ele
ao responder o questionário é que seus pais sempre o incentivaram a buscar respostas ao invés
de fornecê-las sem que ele houvesse se empenhado para aprender. Sobre a liberdade de
escolha dos temas que serão estudados ele explicou da seguinte maneira:
Na Escola da Ponte actual são as crianças que organizam as áreas de estudo
que trabalham em cada momento, respeitando os conteúdos gerais de cada
um dos ciclos de estudo e as especificidades de cada disciplina, sempre com
a supervisão dos professores. Deste modo, não havendo a rigidez do ensino
tradicional dirigido e com a utilização praticamente exclusiva de métodos
passivos, qualquer criança terá liberdade para estudar tal tema, desde que os
professores considerem que ela está apta a fazê-lo.
4 Anexo 1.
62
Sobre a liberdade de escolha dos temas que serão estudados, o Professor Cristiano
explicou ao responder o questionário5, a não existência de cronograma pré-determinado para
que os alunos estudem determinados assuntos:
Cara Lídia, parece-me pertinente assinalar que na Ponte não há aulas. Não
existem momentos pré-determinados para um determinado assunto e em que
todos os alunos aprendam o mesmo ao mesmo tempo. No caso de um aluno
escolher um aspecto programático relacionado com a Geometria terá que: 1.º
Pesquisar sobre o assunto nos diferentes manuais disponibilizados para o
efeito e, se justificar, também noutras fontes de informação (internet,
enciclopédias. etc.); 2.º Se sentir dificuldades na pesquisa, solicita a ajuda do
grupo de trabalho; 3.º Se a mesma persistir, recorre a um dispositivo
pedagógico intitulado Preciso de Ajuda onde coloca o seu nome, data e
assunto e ser-lhe-á marcada uma Aula Directa6 sobre esse assunto.
O Professor Cristiano também cita que os professores de diversas áreas trabalham em
conjunto, tanto na escolha dos materiais didáticos como ao tomar a decisão de nortear suas
ações pedagógicas para resolver algum caso de aluno que declare não gostar de Matemática,
apesar de citar nunca ter presenciado um caso de algum aluno rejeitar essa disciplina desde
que começou a fazer parte da equipe desta escola.
Questionado se um aluno pode estudar um assunto que não esteja na grade curricular
da escola ele disse que o aluno possui esta liberdade:
Claro que pode! A questão é saber se existem precedências no seu percurso
que lhe permitam estudar mais aprofundadamente esse determinado assunto.
Exemplo: se um aluno do Núcleo de Iniciação (que integra, normalmente,
alunos desde os 5/6 anos até aos 9/10 anos) decidir estudar trigonometria
pode fazê-lo mas de um modo ajustado ao seu desenvolvimento cognitivo –
muito provavelmente passaria por saber o que é a trigonometria e para que
5 Anexo 2. 6 As Aulas Directas são organizadas pelos professores do seguinte modo: para além do aluno com a dificuldade assinalada, o professor solicita a presença de outros que detenham o mesmo problema e outros que, já tendo estudado o assunto, possam ajudar a superar a dificuldade. Na Aula Directa o aluno expõe a dúvida e tenta-se que seja o restante grupo (nunca mais de 6 alunos no total) a esclarecê-lo. No caso de tal não ser satisfatório, o professor explica diretamente o assunto.
63
serve. No fundo pretende-se que a aquisição seja significativa e funcional.
No entanto, estas serão as excepções e não as regras porque muito
dificilmente escolhem assuntos matemáticos que não lhes sejam
próximos/concretos.
A Escola da Ponte é tida como referência mundial no estímulo à formação da
autonomia dos seus alunos. De acordo com o Professor Cristiano, ao lecionar numa escola
como esta é interessante que o professor reveja todo seu processo educativo para se adequar a
nova organização de ensino e aprendizagem da escola:
Quando um professor chega à escola pela primeira vez, inicia, normalmente,
um processo de desconstrução dos referentes profissionais veiculados,
também normalmente, pelas instituições de formação de professores – aliás,
considero que mais valia encerrar todo o sistema de ensino superior de
formação de professores! O processo que atrás refiro deve ser, tanto quanto
possível, monitorizado pelos que cá estão há mais anos. A nossa forma de
estar exige um enorme investimento pessoal e um rasgar com velhas
concepções – o que nem sempre é fácil. Contudo, tal como tudo na Ponte, o
acompanhamento dos outros é fundamental para que as dificuldades sejam
menorizadas.
Ao ler as respostas às perguntas das entrevistas deparei-me com afirmações como a
feita pelo Professor André: “o que leva a que os alunos não sintam a fronteira imaginária entre
as várias áreas de estudo”; ou a observação feita pelo professor Cristiano: “parece-me
pertinente assinalar que na Ponte não há aulas.” Conclui que para compreender o sentido de
uma escola como esta, só vivenciando sua realidade. Tive mais certeza disso ao ler a resposta
do Professor Cristiano quando indagado sobre as atitudes tomadas quando um aluno
manifesta não gostar de Matemática: “Sinceramente nunca me deparei com tal situação desde
que estou cá na Ponte”, algo impensável em uma escola que funciona nos moldes tradicionais.
4.7. EMEF Desembargador Amorim Lima
Ao pesquisar um pouco mais sobre o assunto li um artigo sobre a escola municipal
Desembargador Amorim Lima, situada na cidade de São Paulo.
No artigo havia indicação de que escola possuía um projeto pedagógico semelhante ao
da Escola da Ponte. Não queria escrever sobre projetos voltados para o estímulo da autonomia
64
discente sem ter tido a oportunidade de um contato real com esse projeto. Decidi então, ir
conhecer esta escola.
Escrevi um e-mail para essa instituição e eles retornaram marcando uma entrevista. No
dia marcado fui recebida, junto com um grupo de estagiários, pela diretora da EMEF.
Durante a reunião ela se apresentou, perguntou por que tínhamos escolhido estagiar lá,
contou a história da escola e recomendou que quem fosse estagiar lá ficasse pelos menos até o
final daquele semestre. Ela explicou que demoraríamos a entender que a escola só possuía
uma forma de organização diferente, mas que, ao primeiro olhar, podíamos considerá-la uma
bagunçada. E ela não queria que “julgássemos o livro pela capa”.
Achei graça na recomendação feita por ela, mas não demorei muito a entender o
porquê. Na semana seguinte comecei a frequentar a escola. Escolhi o período da tarde para
fazer minhas observações. Ele teria inicio às treze horas e, nesse primeiro dia, eu cheguei
meia hora adiantada. Como não conhecia a escola achei que seria melhor esperar na sala dos
professores. Acostumada com uma sala de professores com a porta encostada onde os alunos
estão proibidos de entrar para não atrapalhar, confesso que nunca tinha visto uma tão agitada.
As crianças entravam para pegar material, medir pedaços de pano e algumas estavam
enfeitando bambolês com tira de papel num canto da sala. Logo uma das professoras me
explicou que tanta agitação é porque estávamos próximos à Festa da Cultura Brasileira.
A Festa da Cultura Brasileira é um evento que ocorre todo ano no mês de setembro na
escola. Quando assumiu sua direção a diretora que nos recebeu encontrou a EMEF em uma
situação muito delicada: havia uma taxa muito alta de evasão e o número de faltas de
professores era muito elevado, o que fazia com que os alunos ficassem dispersos pelas
dependências da escola por não terem quem os orientassem. Por causa disto ficaram muito
atrasados em relação ao conteúdo e a indisciplina era constante.
Analisando a situação, ela decidiu que sua primeira ação para revertê-la deveria ser no
sentido de diminuir a evasão dos alunos, pois conhecia a comunidade e sabia dos perigos aos
quais ficavam expostas as crianças quando não estavam na escola. Resolveu, então, pedir a
colaboração da comunidade para criar oficinas em que os alunos pudessem participar fora do
horário de aula.
Foram criadas oficinas de dança, músicas e capoeira com a ajuda dos pais dos alunos.
Com o funcionamento dessas oficinas, começou-se a se perceber a importância da valoração
da cultura de onde a comunidade está inserida para o aumento da sua auto-estima e cuidado
que ele passa a ter com o ambiente onde vive. A partir dai “a Cultura Brasileira veio a se
65
tornar um dos pilares fundamentais da EMEF” (Paier, 2009, p.33) e as formas de valorizar
esta cultura tornaram-se parte da grade curricular da escola. A Festa da Cultura Brasileira é
uma forma de celebrar este aspecto da escola para que ele seja reforçado a cada ano.
Achei estranho porque o sinal não tocou quando deu a hora da aula começar. Nem o
sinal tocou nem as crianças foram para a sala de aula, continuaram ocupando todos os espaços
da escola, levavam e traziam materiais que serviriam para enfeitá-la e para decorá-la para a
festa. Uma das professoras explicou que as crianças não estavam naquele momento estudando
matérias dos livros por que cada grupo tinha escolhido uma forma de ajudar na preparação da
festa e se ocupariam com isso até que ela acontecesse. Senti-me em uma grande oficina de
arte.
A Professora Maria7, especialista em Matemática no período da tarde, me convidou
para acompanhá-la ao salão onde estavam sendo feitos alguns projetos pelos alunos do Ciclo
II. Ela explicou que as crianças já tinham definido qual seria a colaboração delas para o bom
andamento da festa e que eu podia ficar a vontade, depois que tivesse tido a oportunidade de
conhecer cada um deles, de escolher de qual queria participar.
Quando cheguei ao salão estavam todos entretidos com seus afazeres, me senti meio
deslocada. Resolvi, então, passear pela escola para conhecê-la melhor. Achei a aparência da
escola bastante feminina, pois havia um cuidado grande com cada detalhe. A escola possui
dois pátios: no pátio menor há uma maquete da cidade feita de pedaços de azulejos e um
quadro, representando a bandeira do Brasil, fixado à parede além de vasos de plantas. O outro
pátio, mais espaçoso, possui a parede pintada com uma carta de princípios de convivências
que foi formulada pelos alunos em conjunto com os professores. Em todos os corredores que
unem os pátios com as outras dependências da escola há quadros com temas ligados a cultura
brasileira.
No refeitório há um mural com desenhos dos alunos, feitos em azulejo, que mostra
como os trabalhos das crianças são valorizados. A biblioteca fica no fim do corredor e é
organizada de forma a parecer um cantinho de leitura, onde as crianças podem procurar
materiais complementares para a realização de atividades ou apenas ler,
descompromissadamente. Além da biblioteca as crianças também podem contar com um
laboratório de computação para pesquisas.
7 Nome fictício
66
Figura 23: Foto da área externa da escola.
A escola possui três andares e em cada um deles um salão. Os salões são formados
pela derrubada das paredes de duas ou mais salas de aula para a criação de um espaço onde os
alunos de diferentes séries pudessem estudar no mesmo ambiente. Eles são bastante amplos e
possuem janelas em toda sua extensão. Nas janelas há cortinas verdes e nas paredes estão
expostos trabalhos feitos pelos alunos. Além do salão a escola possui salas de aulas menores
que são usadas eventualmente para aulas expositivas e realização de projetos. Na parte de
fora, encontramos uma oca e um forno a lenha, construídos com ajuda de uma tribo indígena
que visitou a escola. Tem ainda uma pista de skate e um pequeno parque. A aparência da
escola é cuidada em cada mínimo detalhe, pois essa foi uma das providencias tomadas para
que o ambiente se tornasse aconchegante e as crianças aprendessem a gostar dele.
Figura 24: Foto da Oca construída na área externa da escola
Cada ser humano possui características individuais e diferentes ritmos e formas de
67
perceber o mundo. Respeitar a individualidade de cada um dos envolvidos no projeto
pedagógico e, especialmente a individualidade das crianças, é um cuidado que a EMEF
Amorim Lima faz questão de ter. Para isso procurou planejar uma divisão temporal, de forma
a respeitar o ritmo de aprendizagem de cada um de seus alunos, dando a eles espaço para
desenvolverem plenamente seu potencial. Sobre este assunto, Paier (2009) fez a seguinte
observação:
Quando cada estudante é co-autor de seu processo de aprendizagem, a
igualdade não pode ser tomada como objetivo final, pois cada um traçará um
caminho próprio. A igualdade, dentro do Projeto Limongi8, é encarada como
a capacidade de todo ser humano para o aprendizado, mas as diferenças
individuais são respeitadas ao longo do processo, numa atitude de equidade
por parte dos educadores. (PAIER, 2009, p. 63)
A escola atende crianças em todos os anos do Ensino Fundamental. As séries que vão
do primeiro ao quarto ano, pertencem ao Nível I e as que vão do quinto ao oitavo ano, ao
Nível II. Ainda existe uma distinção entre crianças que estão em anos letivos diferentes, mas
faz parte dos planos da escola abolir essa distinção, permitindo que alunos de séries diferentes
possam realizar as atividades em conjunto.
Ao inicio de cada ano letivo cada criança recebe um roteiro de aprendizagem que
deverá ter concluído quando o ano terminar. Se, porventura, isso não ocorrer, deve retomá-lo
no ano seguinte do ponto em que parou. Se ao final de um nível ela não tiver concluído as
atividades, permanece por mais tempo neste nível, até que consiga concluí-lo.
A escola funciona no período da manhã, das sete às doze horas, e no período da tarde,
das treze às dezoito horas. Durante o tempo em que permanecem na escola, as crianças
participam de atividades realizadas na sala de informática, de atividades de pesquisa e de
diversas oficinas.
Cada professor faz o acompanhamento de uma turma de até vinte alunos. Todas as
atividades são realizadas em grupos de, em média, cinco alunos. Os grupos recebem o nome
de uma letra ou um número para que possam ser identificados na escola. Na composição
destes grupos é tomada a precaução de que ele seja heterogêneo, de preferência com crianças
de ambos os gêneros e que possuam ritmos diferentes de aprendizagem. Essa medida é
8 Nome fictício dado pelo autor ao Projeto da EMEF Desembargador Amorim Lima.
68
importante para que as crianças possam aprender a trabalhar suas diferenças e trocarem
experiências.
Em uma escola estruturada de uma forma tradicional, onde o professor é quem define
o ritmo de aprendizagem e determina o que é melhor para a maioria dos alunos, uma criança
que possua um ritmo particular é, automaticamente, excluída desse processo. Tanto uma
criança que possua um ritmo de aprendizagem rápido, porque ela se entedia, ao estudar por
muito tempo, assuntos que já compreendeu. Dessa forma, não consegue manter a
concentração, pois tem a impressão de que o professor está falando em um idioma
incompreensível, ou falando sempre a mesma coisa. Permitir que as crianças trabalhem os
roteiros recebidos em seu próprio ritmo, visa sanar este problema.
Outra característica que diferencia a Amorim Lima de uma escola tradicional é que
não existe o toque de sinal avisando o término e o início de cada atividade. Ao começo de
cada ano é feito o planejamento dos horários em que cada atividade deverá acontecer, com a
participação das crianças e professores. Esse horário é cumprido durante o ano letivo. Essa
medida é tomada para que as crianças e funcionários da escola aprendam a se auto-
regulamentarem no cumprimento das responsabilidades que assumiram para si. A não divisão
sistemática dos conteúdos em matérias distintas também visa evitar que as crianças tenham
uma visão compartimentada de saberes.
Conversando com o Eduardo9, um dos inspetores da escola, ele me explicou que
combater essa visão compartimentada é importante, pois quando se vai trabalhar com um
determinado objeto não é possível dividi-lo por disciplinas, separando a parte matemática, a
parte geográfica, a parte histórica ou a parte linguística. Ao estudar um objeto, o trabalhamos
como um todo. Por isso devemos ensinar as crianças que essa separação foi feita só para
facilitar as aulas, mas que ela não existe no mundo real.
A escola, ao mesmo tempo em que valoriza o trabalho do especialista de cada
disciplina, toma o cuidado de realizar trabalhos de forma a auxiliar as crianças a olharem de
forma transdisciplinar para os conteúdos, para que elas estejam aptas a dispor desses
conhecimentos para resolver situações que ocorram em suas vidas e não somente em questões
propostas de forma escrita em atividades.
Voltei na quarta feira à escola e confesso que me sentia perdida: o sinal nunca tocava,
não existiam salas de aula com fileiras de carteiras, nas lousas das salas só haviam desenhos e,
9Nome fictício
69
em pleno horário de aula, as crianças estavam fora da sala sem que ninguém as repreendessem
por isso. “Se você ficar dando aula aqui, uns... dois anos, conseguirá entender toda essa
bagunça!”, disse uma das crianças em tom de brincadeira, estendendo as mãos para mostrar a
“desorganização” da escola. Não consegui segurar o riso por causa da forma com que ela fez
essa observação, mas por outro lado, temi que ela estivesse certa.
Uma das professoras do Nível I prepararia, com a ajuda de seus alunos, um painel para
colocar na fachada da escola. Colaborar nessa tarefa foi a minha primeira ação para o bom
andamento daquela festa. O cartaz era grande, tinha uma área de aproximadamente doze
metros quadrados. Durante a preparação, começou a ventar muito. Fui elogiada quando tive a
ideia colocar uns livros velhos que tinha em um armário da escola como peso nas bordas do
painel, mas quem salvou mesmo o dia foi uma das crianças que resolveu aprimorar minha
idéia usando os livros para fixar as estrelas de papel laminado com mensagens escritas pelas
crianças para suas mães, pois além de poupar os colegas do trabalho de segurar os desenhos,
ainda dava a oportunidade de podermos nos afastar para visualizar como o cartaz ficaria
quando estivesse pronto.
Figura 25: Pátio da escola
Fonte: http://www.amorimlima.org.br
Fiquei aquela tarde toda auxiliando na colagem das mensagens no cartaz e quando o
relógio marcava dezessete horas e meia tive que avisar que já era hora de eu ir embora,
deixando as crianças ainda terminando o trabalho.
Em uma escola onde o sinal tocasse a cada cinquenta minutos aquele pareceria ser um
tempo perdido, mas ao fazer parte daquela preparação, comecei a entender o conceito de
70
autonomia em um sentido mais amplo. Além de se ensinar conteúdos, é necessário que a
escola crie condições para que a criança aprenda a viver em sociedade. De acordo com Piaget
(1977), a educação moral é essencial para que o indivíduo possa ter esse convívio:
A educação moral é algo que se torna essencial devido à crescente
preocupação com o individualismo dos sujeitos na sociedade atual, cada vez
mais violenta. Indivíduos presos a uma moral egocêntrica e heterônoma
estão muito longe de um processo de cooperação ou da busca do bem
comum, e, portanto, são muito mais suscetíveis a estar à margem de
nossa sociedade. (PIAGET, 1977, p.3)
Autonomia moral é a capacidade que uma pessoa ou um grupo de pessoas tem de
discutir as regras, legitimarem e obedecerem a um código de ética sem que sofram pressões
externas para fazê-lo. Uma pessoa que só não comete vandalismo por medo de ser descoberto,
que não rouba por medo de ser preso ou que não maltrata seu filho só por receio de que os
vizinhos tenham uma visão negativa ao seu respeito é uma pessoa moralmente heterônoma. A
conquista da autonomia moral só se dá quando a pessoa interioriza as regras e a reconhece
como importante para o seu bem estar e o bem estar da comunidade onde vive. De acordo
com os autores dos PCN, tão importante quanto à conquista da autonomia intelectual é a
conquista da autotomia moral.
Ainda que na escola se destaque a autonomia na relação com o
conhecimento — saber o que se quer saber, como fazer para buscar
informações e possibilidades de desenvolvimento de tal conhecimento,
manter uma postura crítica comparando diferentes visões e reservando para
si o direito de conclusão, por exemplo —, ela não ocorre sem o
desenvolvimento da autonomia moral (capacidade ética) e emocional que
envolve auto-respeito, respeito mútuo, segurança, sensibilidade, etc.
(BRASIL, 1997, p. 62)
Citando Piaget, Galllego (2006) explica que a imposição de normas pelos adultos
somente consegue reprimir atitudes consideradas inconvenientes para a sociedade, mas que a
obediência das crianças a uma regra imposta só se dá de forma aparente:
[...] a coação do adulto não é capaz de reprimir o egocentrismo infantil.
71
A criança submete-se em aparência, ou seja, ela pensaria “devo obedecer
somente quando sou observado”. Entretanto a submissão efetiva a uma regra
só se dá quando ela é reconhecida como boa. (GALLEGO, 2006, p. 2)
Para um projeto de ensino que visa o desenvolvimento da autonomia de uma forma
ampla, de nada interessa a obediência cega às normas por parte das crianças. Por isso a
Amorim Lima procurou criar mecanismos para que os alunos pudessem obedecer de forma
autônoma as normas da escola, tentando criar um ambiente onde se torne necessária a
cooperação entre os estudantes, com tarefas que necessitem de mais de uma criança para
concluí-la para que elas aprendam na prática o que é viver em sociedade, pois “não pode
haver completa autonomia moral, exceto pela cooperação.” (Piaget, 1977, p.335)
Figura 26: Realização de trabalhos manuais.
Fonte: http://www.amorimlima.org.br
Além de aproveitar todas as situações ocorrentes na escola como forma de incentivar a
cooperação entre os alunos, outro cuidado tomado foi a não imposição de regras por parte dos
adultos: todas as regras da escola foram discutidas com as crianças.
Em dezembro de 2005, ano de inicio do projeto na EMEF Desembargador Amorim
Lima, foram realizadas três assembléias onde havia cerca de cem alunos e os professores
participaram apenas como observadores, dando a possibilidade para os alunos guiarem todo o
processo. Foram decididos quais seriam os direitos e os deveres a serem cumpridos na escola.
72
Essas normas resultaram no documento intitulado “Carta de Princípios de Convivência10”. O
conteúdo desse documento foi pintado em um dos pátios da escola estando sempre a vista de
todos os alunos, inclusive dos alunos que começaram a estudar na escola, após sua
formulação.
Ensinar na autonomia não é tarefa fácil, pois ao trabalhar com crianças, tratar com
liberdade, entre outros, pode ser interpretado como tratar com indiferença. Essa é uma questão
que faz com que tanto os educadores como as crianças passem por conflitos internos sobre a
forma “correta” de conduzir as intervenções feitas no processo de ensino e aprendizagem. Ao
conversar com a Professora Carmen11 ela relatou que ao entrar nas salas da outra escola em
que trabalha, pede para as crianças sentarem em suas cadeiras e passa lição na lousa, mas que,
para respeitar o projeto, ao entrar nas salas da Amorim Lima tenta dar um tempo maior para
que as crianças se conscientizem da necessidade da aula por si mesmas. Ela contou que já
chegou a se perguntar se esse era o certo a ser feito, mas respeita o projeto pedagógico da
escola, porque acredita estar, dessa forma, educando elas para serem autônomas.
As crianças a qual ela se referia eram os alunos do ultimo ano do Ciclo II. De todos os
alunos, essa é a turma que possui a memória mais viva da fase anterior ao projeto que trouxe
tantas mudanças a escola.
Ao contrario do que se possa pensar a observância às regras em uma escola que educa
para a autonomia precisa ser feita de forma bem mais rigorosa do que em uma escola com as
regras pré-definidas pela direção, pois as crianças tendem a colocar as convicções dos adultos
a prova. Quando alguma criança desrespeita as regras de forma intencional, o caminho
percorrido é sempre o do dialogo. Inicialmente o diálogo entre as crianças e os professores e,
em segunda instancia, o diálogo entre os professores e os responsáveis pelos alunos. “Não é
que a escola não tenha problemas. A diferença é que aqui eles não são mascarados: são
enfrentados.” disse a Professora Maria quando conversávamos sobre como lidavam com os
possíveis casos de indisciplina na escola.
Segundo Baroukh (2006, p.2), o dialogo é sempre o melhor caminho quando se educa
na autonomia: “Os envolvidos no processo educativo precisam saber escutar e através do
diálogo fica mais fácil viver este percurso difícil de conquista de autonomia, muitas vezes
doloroso tanto para o educador quanto para o educando.”
Um dia em que eu estava visitando a escola, as crianças da sétima série tinham entrado
10 Anexo 3
11 Nome fictício
73
no salão onde as crianças do Nível I estudam e bagunçado alguns materiais. As professoras
chamaram as crianças para conversar e pediram para que elas refletissem se seria daquela
forma que elas gostariam de ver seus materiais ou local de estudo serem tratados. Depois de
conversarem, ficou decidido que as crianças arrumariam a bagunça que fizeram e que, pela
gravidade do ocorrido, os pais seriam avisados. O interessante é que após o ocorrido, salvo
algumas exceções, os próprios estudantes declaram terem percebido como a atitude deles foi
imatura e se comprometem não repetir mais o que fizeram.
Fatos como o que relatei acima são cada vez menos comuns na escola. As professoras
contam que a transição da escola de um modelo de organização tradicional para a
incorporação do projeto Amorim Lima não foi fácil, exigiu bastante persistência e paciência
por parte dos professores, pais e funcionários da escola, mas que aos poucos um número
grande de alunos chamou a responsabilidade para si e vive de forma plena o projeto.
Tive a oportunidade de perceber que a cooperação não é só estimulada entre os alunos:
essa união também ocorre entre os professores: estava saindo da escola para voltar para casa
quando passei pelo pátio e pude ouvir um trecho da conversa entre os pais dos alunos
envolvidos na bagunça e os professores. Ao comunicar ao responsável, em uma escola
tradicional, sobre algum ato de indisciplina dos estudantes, geralmente apenas um professor é
chamado para essa conversa. Diferente do que ocorre nessas escolas, no pátio da Amorim
Lima estavam cerca de oito professores participando da conversa. Por sua forma de
organização e comprometimento, os professores têm mantido o bom andamento do projeto e o
bem estar dos alunos. Nunca um professor assume, sozinho, a responsabilidade por algo que
fugiu ao controle nos ambientes de estudo. Sentindo esta união entre os professores, além de
terem oportunidade de aprenderem solidariedade no convívio com seus colegas, os estudantes
ainda podem aprender essa cooperação pelo exemplo dos professores.
Na escola, com a criação dos salões de estudo, surgiu um espaço perfeito para que os
professores pudessem trabalhar de forma solidária com os demais colegas, na chamada
docência compartilhada. As atividades na EMEF Amorim Lima são programadas de forma
que possa estar sempre dois ou mais professores nos espaços de estudo para auxiliarem as
crianças. Essa interação entre os professores favorece a elaboração de projetos
transdiciplinares em que as crianças têm a oportunidade de ver o objeto estudado do ponto de
vista de diversas disciplinas distintas.
Foi um dos fatores que achei mais encantadores da escola. A docência, até então para
mim, era algo solitário onde o professor tinha que dar conta de ensinar e manter a disciplina,
74
fazendo certo ou errado seu serviço: desde que não desse trabalho para a direção, estava tudo
bem. Esse sentimento de solidão é comum entre os membros do magistério. Acabamos por
temer dar demonstrações de estar passando por dificuldades, com medo que isso seja
interpretado como sinal fraqueza ou incompetência. “Você embrutece, não importa o quão
delicado você seja, você embrutece ou não sobrevive ao sistema”. Essa foi a resposta dada por
um professor a um questionamento feito por uma das professoras Amorim Lima sobre como
os professores trabalham nas redes educacionais, tidas como difíceis de atuar, para lidar com
os contratempos que ocorrem se tiverem uma natureza frágil. Dizem que “os livros são
amigos que não falam”, e, na maioria das vezes, eles são os únicos com quem podemos
contar. Sobre este assunto Paier (2009) escreveu:
Nas duas escolas municipais em que trabalhei anteriormente, o isolamento
dos professores era assustador. Nas tentativas que fiz de conhecer o projeto
político-pedagógico e o currículo das escolas, fui informada pelas
respectivas coordenadoras que elas “respeitavam a liberdade” docente,
indicando que eu fizesse o trabalho que julgasse melhor, lembrando de
“manter os alunos calmos e dentro da sala!” (PAIER, 2009, p.23)
A docência solidária veio para amenizar os inconvenientes ocasionados pela falta de
alguns professores, pois mesmo que um docente falte, a função que ele desempenharia é
assumida imediatamente por um colega.
Para que seja efetiva essa ação dos professores, eles passaram a trabalhar de forma
polivalente, sendo cada um responsável por auxiliar os estudantes em questões referentes a
todas as disciplinas. Para isso alguns professores fazem curso de introdução em disciplinas
distintas da quais eles estão habilitados, além de contarem com o auxílio dos colegas
especialistas em cada área do conhecimento.
Outra vantagem descrita pelos estudantes e professores sobre haver mais de um
professor nos espaços de estudo é que, às vezes, uma pessoa que não é especialista em uma
determinada área fala sobre os conteúdos utilizando uma linguagem mais simples do que
alguém que se especializou nela.
Uma questão a ser observada na docência solidária é que o professor precisa exercer
sua autoridade frente aos alunos, pois o trabalho é direcionado a seres heterônomos que estão
se preparando para a autonomia, como cita Paier (2009) no trecho abaixo:
75
Portanto, o trabalho não parte do pressuposto de que os estudantes sejam
autônomos, mas, ao contrário, que estão num estágio de heteronomia e
requerem um ambiente apropriado e uma supervisão de seus educadores para
se desenvolverem rumo à autonomia. Nessa perspectiva de trabalho, o
professor assume um papel fundamental no coletivo dos estudantes e sua
autoridade deve ser assumida integralmente, sem medo de obstruir o
caminho dos estudantes. (PAIER, 2009, p.53)
O exercício da autoridade requer coerência e quando ela é exercida em cooperação
com outra pessoa é necessário que a criança não sinta que dissonância de opiniões desvalorize
a opinião de uma das pessoas a exercerem esta autoridade. Para que haja sincronia entre os
professores, são realizadas reuniões onde são conversados os aspectos relevantes ocorrentes
nos horários de estudo.
Lecionar em cooperação é uma experiência bastante enriquecedora e exige humildade
tanto para que se possa fazer criticas construtivas a respeito das atitudes do seu companheiro,
quanto para ouvir a opinião de alguém sobre o que pode ser melhorado no seu trabalho. Na
primeira vez que subi ao salão onde as crianças do Nível II estudam, fui avisada que ao entrar
lá precisaria estar preparada para responder as dúvidas dos alunos, pois qualquer adulto entre
eles é promovido a educador.
Inicialmente, os alunos da Amorim Lima não tinham aulas expositivas de Matemática,
mas reivindicaram essas aulas por se sentirem sem condições de estudar de forma
independente essa disciplina, pois consideravam não terem ainda amadurecida sua capacidade
de ler textos matemáticos. Sabendo que eu era aluna de Matemática, a professora Maria me
convidou para ministrar algumas aulas.
A maior parte dos conteúdos que trabalhei já tinha trabalhado nas salas que lecionei,
mas teve uma vez que fui explicar sobre equação e tive que lidar com a inquietação das
crianças, apesar delas agirem de forma bastante educada. Ao término da aula a professora me
chamou atenção para o fato de eu estar detalhando demais a explicação, pois os adolescentes
são geralmente impacientes.
No outro dia dei continuidade à explicação e eles dessa vez prestaram atenção e
fizeram muitas perguntas interagindo com a aula. Se tivesse em sala de aula sozinha, levaria
um bom tempo para perceber a falha que estava cometendo.
O que poderia ser interpretado como um inconveniente para alguém que olhasse
distraído é um fator muito importante na aquisição da autonomia das crianças.
76
Como um mesmo assunto pode ser conversado com todos os professores, as crianças
tendem a não quererem esperar o professor especialista para perguntar sobre ele. Ao
questionar sobre a matéria para uma pessoa que não vem acompanhando todo o seu processo
de aprendizagem, o aluno precisa sintetizar para esse interlocutor todo o seu processo de
evolução. Essa necessidade de resgatar o ponto onde a matéria parou, faz com que o aluno
chame para si a responsabilidade sobre esse processo.
Por exemplo, se o aluno se depara com a necessidade de utilizar o conceito de tangente
na resolução de um exercício, para não ter que ouvir de novo a explicação sobre semelhança
de triângulos, cateto oposto, cateto adjacente, hipotenusa, ângulos etc., ele geralmente acaba
achando mais fácil resumir o que já aprendeu para que o professor possa ir direto ao ponto.
Assim ele pode explicar que já conhece o significado de seno ou o de cosseno e somente
chegou a uma questão que precisa saber outro conceito que ele ainda não aprendeu e não
conseguiu entender nas aulas diretas nem na leitura do livro. Esse trabalho de síntese feita de
forma constante faz com que o aluno se aproprie do seu processo de aprendizagem, dando
assim um passo importante para a conquista de sua autonomia intelectual.
Com exceção de Matemática e Inglês, duas matérias em que se trabalham com outra
forma de linguagem que não a natural, os assuntos referentes as outras disciplinas são
trabalhados de forma independentes pelos alunos. O professor atua como um colaborador
incentivando o aluno a consultar seus colegas e indicando livros e sites. A explicação é algo
que é feita somente em última instância, quando o professor percebe que o aluno já dispôs de
todos os meios para entender a matéria trabalhada.
Os temas que os alunos deverão trabalhar são separados por eixos temáticos12 e cada
Eixo Temático é composto por, em média, treze roteiros de pesquisa13. Os roteiros de
pesquisa possuem o tema a ser estudado e em qual livro o aluno poderá encontrar as
atividades teóricas a serem realizadas, além de textos sobre o conteúdo que está sendo
estudado.
De acordo com Paier (2009, p. 58) a EMEF Amorim Lima participa do projeto Plano
Nacional do Livro Didático (PNLD) que tem como objetivo a distribuição gratuita de livros
com conteúdos de Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, História e Geografia.
As partes teóricas dos roteiros a serem trabalhados provêm desses livros. Além dos
livros que as crianças recebem anualmente, ainda existe um acervo reserva na biblioteca para
12 Modelo de lista de Eixo Temático no Anexo 4
13 Modelo de roteiro de pesquisa no Anexo 5
77
o caso das crianças sentirem curiosidade de saber um conteúdo que não faça parte da série que
ela estuda.
Os roteiros de pesquisas são instrumentos importantes para que as crianças possam
estudar com autonomia, pois não precisam esperar todo dia uma nova instrução do professor,
pois têm liberdade de escolher em que sequência realizarão as atividades teóricas.
O fato das crianças poderem trabalhar no seu próprio ritmo, buscando em primeiro
lugar a ajuda dos colegas e solicitando a ajuda do professor somente no caso de ter tentado
todos os meios, é bom porque libera os professores para que possam dar uma atenção maior
aos alunos que apresentam maiores dificuldades em determinados conteúdos.
O respeito aos ritmos de aprendizagem dos alunos geram muitos bons frutos. Na
Amorim Lima, o respeito às diferenças é algo levado a sério. Algumas vezes, ao ver uma
criança necessitada de atenção especial um pouco agitada, nós, que não estávamos
acostumados, indagávamos sobre o que ela tinha e recebíamos como resposta: “Vontade de
aparecer”, “manha” ou “rebeldia” (essas coisas que mãe fala). Nunca respostas como “Ah
coitado ele é doente”, “ele é autista” ou “ele é especial”.
Um dia, fiquei responsável no auxilio de um aluno que tinha dificuldade de
aprendizagem e escolhi uns exercícios de multiplicação para ele fazer. Uma das professoras
me explicou que já tinham tentado ensinar antes para ele e ele não conseguiu aprender. “Ela
acha que eu não sei, ta bom que eu não sei!” ele comentou bravo. Pegou o papel, resolveu os
exercícios e depois levantou a mão para mostrar para a professora que já tinha aprendido. A
expressão que a professora fez mostrava um misto de surpresa e felicidade por presenciar o
avanço de uma criança que, sabia ela, não teria chance de desenvolver seu potencial se
estivesse em uma escola onde o tempo fosse cronometrado.
De forma simultânea à parte teórica, as crianças participam de projetos que visam dar
uma abordagem prática aos conteúdos trabalhados.
Para isso, qualquer ocasião é usada como fonte de aprendizado. Por exemplo, nos
meses do novembro e dezembro as crianças da oitava série do Nível II, de acordo com seu
roteiro de pesquisa, começam a estudar as relações existentes nos triângulos. A Festa da
Cultura ocorre no final de setembro. Então é uma ocasião perfeita para que os alunos
comecem a ter as primeiras noções sobre este conteúdo. No ano de 2009 o tema da festa foi
“Etnoastronomia: como diferentes povos vêem o céu”. Como já foi citado, o estudo das
relações existentes nos triângulos se iniciou pela necessidade que os povos antigos tinham de
conhecer de forma mais detalhada os movimentos dos astros celestes. Criaram assim
78
instrumentos e teorias que facilitavam esses estudos. Os professores da Amorim Lima
propuseram então, projetos que, de certa forma, recriam esse ambiente de pesquisa existente
na antiguidade.
Figura 27: Painel da festa da cultura realizada em 2009
Fonte: http://www.amorimlima.org.br
Em um dos projetos foi criado um astrolábio e em outro projeto foi feita uma maquete
do céu, segundo a crença de Aristóteles de que a Terra era o centro do universo, além de uma
maquete do céu segundo Aristarco, que foi o primeiro a defender a existência de um sistema
heliocêntrico, onde os planetas giravam em torno do Sol.
Dessa forma, quando as crianças começam a ter um contato com a parte teórica do
conteúdo, lembram-se da parte prática e conseguem assimilar os conceitos com uma maior
facilidade.
Outra vantagem das abordagens dos conteúdos pela parte prática é que, por exemplo,
ao criar a maquete dos sistemas “solares ou terrestres” propostos pelos astrônomos da
antiguidade, era necessário um estudo histórico sobre a vida desses astrônomos e dos povos
contemporâneos a eles, assim como um estudo sobre planetas e satélites e um estudo
geográfico, pois algumas coisas escritas nos livros, como o fato do Sol do meio dia estar
exatamente no meio do céu, só é verdade para algumas partes da Terra. Enfim, ao criar um
79
projeto para auxiliar a aprendizagem de algum conteúdo, acabam-se criando a oportunidade
de se contemplar diversas áreas do conhecimento.
Ensinar para a autonomia requer, além do ensino da autonomia moral, o ensino de
atitudes que viabilizem o andamento desse processo. O aluno deve ter sua metacognição, que
é o conhecimento sobre os seus meios cognitivos, estimulados para que se torne apto a
reconhecer as particularidades existentes em sua forma de aprender. Em outras palavras, mais
do que aprender conteúdos é necessário que a criança aprenda a aprender.
Qualidades como perseverança, paciência e disciplina são muito importantes nesse
processo e devem ser estimuladas, pois o estudante deixa de ser apenas um espectador do
processo de aprendizagem que espera para saber qual será o próximo passo dado pelo
professor, para tornar-se autor desse processo. De acordo com Baroukh (2006), esse é um
processo trabalhoso:
O desejo pelo conhecimento e apropriação por sua busca são também
processos difíceis e dolorosos. Ser agente deste processo dá muito trabalho e
demanda muita persistência e disposição para correr riscos. Um projeto que
propõe autonomia de pesquisa muda radicalmente o papel do estudante, que
passa a ser sujeito do próprio aprendizado. (BAROUKH, 2006, p.3)
Por ter ciência que aprender a aprender não é tarefa fácil, a escola Amorim Lima criou
alguns mecanismos para auxiliar os alunos no desenvolvimento de sua metacognição. Entre
esses mecanismos está a elaboração de um plano quinzenal de estudos14. Neste plano os
alunos definem quais são as metas a serem alcançadas no prazo de quinze dias, tanto metas
sobre o conteúdo como metas referentes a atitudes, como ser amável com os colegas ou
dedicar uma determinada quantidade de horas diárias para estudar. Formular e tentar
acompanhar as metas traçadas faz com que as crianças vão tomando consciência de suas
qualidades e limitações e sua forma de se relacionar com os conteúdos.
Outro dispositivo utilizado é o Registro Diário15 onde as crianças fazem uma síntese
de suas descobertas diárias. Essas anotações diárias são úteis para que as crianças possam
refletir sobre o que foi estudado e se houve uma efetiva aprendizagem. Auxiliam também na
hora em que o aluno precisa questionar um professor ou colega sobre determinado assunto
14 Modelo do plano quinzenal de estudos no Anexo 6.
15 Modelo de ficha do Registro Diário no Anexo 7.
80
para que ele possa direcionar a pergunta de uma forma a situar o seu colega ou professor
sobre a profundidade que ela precisa que esse assunto seja esclarecido. Sobre a utilização de
relatórios diários como estratégia no estimulo da metacognição, D’Ambrósio (1996) fez a
seguinte observação:
Trata-se de um relatório escrito, reconhecendo que o mundo moderno exige
escrita em praticamente todas as suas ações. Além disso, é amplamente
reconhecido que, por intermédio da escrita, o indivíduo pode, mais
facilmente, reconhecer seu próprio processo cognitivo e assim encaminhar
adequadamente esse processo. Metacognição da qual essa é uma estratégia, é
uma das mais promissoras direções que vem tomando as ciências cognitivas.
Mesmo em Matemática, a adoção de escrita vem sendo defendida.
(D’AMBROSIO, 1996, p. 70)
Também são usadas fichas de auto-avaliação16 dos trabalhos quinzenais onde a criança
dá seu parecer sobre o que foi estudado e se conseguiu realmente aprender durante esse
período.
A avaliação dos estudantes passa por diversas fases. A hora que quer ser avaliado é
decidida pelo aluno quando sente que seu trabalho já está pronto para ser mostrado ao
professor. Ela é feita quando os professores lêem os roteiros dos alunos, indicando se ele foi
feito de uma forma coerente com o que foi pedido. A outra parte da avaliação é a preparação
de um portfólio, onde as crianças descrevem o que foi aprendido ao final de um roteiro de
pesquisa, além de representar o que foi aprendido por meio de uma colagem ou um desenho.
A correção dos roteiros e idéias para aperfeiçoá-lo pode ser feita por qualquer educador que
esteja disponível nos espaços de aprendizagem. Já a correção da ficha de auto-avaliação, só
pode ser pelo professor responsável.
A falta da aplicação de provas é uma coisa que angustia os alunos que já estão para
sair da EMEF Desembargador Amorim Lima. “A escola podia retomar a realização de provas.
Se não somos avaliados, como podemos ter certeza que aprendamos? Ano que vem, vamos
para outra escola e lá terá provas.” Essa foi uma observação feita por uma das alunas. A
professora explicou que ao permitir ser avaliada a pessoa está delegando a alguém a função de
decidir o que é necessário ou não que ela aprenda. E uma pessoa que quer conquistar a
16 Modelo de ficha de auto-avaliação no Anexo 8.
81
autonomia deve estar pronta para ser o melhor no que faz, independentemente de ser avaliada
ou não. Pois no mercado de trabalho, nas relações de amizade e nas relações familiares, a
maior parte das vezes, ninguém te dará nota por sua atuação, você terá que intuir se está
conseguindo ir bem e no caso de perceber que não foi feliz em uma coisa ou outra, precisa ter
ciência de que fez o melhor que estava ao seu alcance.
A conquista da autonomia intelectual acontece, na maioria das vezes, de forma lenta e
requer que todos os envolvidos nesse processo estejam atentos para as mudanças ocorrentes
para que se criem novas situações que estimule seu progresso. As crianças da Amorim Lima,
apesar do projeto ser muito novo em relação ao tempo de maturação que é necessário para
colher os primeiros frutos de um projeto que visa melhorar a educação, já apresentam certo
grau de autonomia, inclusive na área de Matemática, onde eles declaram ter dificuldades de
compreender. Creio que a expressão que define bem esses alunos é que são “bons
perguntadores”, eles têm cuidado de se expressar de forma clara ao fazer uma interrogação e
principalmente, não têm medo de que a pergunta feita será considerada tola por seu
interlocutor, pois sabem que todos lá são aprendizes, principalmente seus educadores.
82
CAPITULO 5: LINGUAGEM NATURAL: COMO UTILIZÁ-LA NAS AULAS DE
MATEMÁTICA EM PROL DA CONQUISTA DA AUTONOMIA DISCENTE?
Signo “é tudo aquilo que, sob certos aspectos e em alguma medida, substitui alguma
coisa, representando-a para alguém” (Terciott; Gregorin; Martonelli, 2002).
Figura 28: Signos
A figura acima mostra alguns signos utilizados para representar um objeto esférico ou
arredondado. Na figura há a representação escrita na língua francesa, italiana, portuguesa, por
meio de gesto e em forma de figura.
Ao estudar um determinado assunto o aluno entra em contato com diversos signos que
representam o objeto estudado. Neste capítulo, ater-me-ei na importância do uso dos signos
que compõem a linguagem natural na assimilação do conteúdo trabalhado por parte dos
alunos, pois, é ela que “no rendimento desigual das diversas aprendizagens intelectuais, o que
todos os filhos dos homens aprendem melhor é o que nenhum mestre lhes pode explicar — a
língua materna.” (Rancière, 2002, p.17)
Figura 29: A importância dos signos – Caco Xavier
Fonte: http://www.releituras.com/quadrinhoquadrado17.asp
83
Para que haja um trabalho onde possamos ter como resultado a emancipação discente,
se faz necessário que algumas precauções sejam tomadas ao se planejar o estudo de um
determinado conteúdo. Entre essas precauções estão:
- o cuidado para que ao iniciar a sequência didática, sejam esclarecidos aos alunos
cada passo dado no seu desenvolvimento, objetivos das atividades e formas de avaliação que
serão utilizadas.
- deixar um espaço para que sejam feitas sugestões, por parte das crianças, de
atividades que possam ser realizadas, pois quando não estiverem mais frequentando a escola,
não terão alguém para decidir por elas o que e quando estudar e precisam ter a habilidade, ou
ao menos desenvolvida a competência, para fazê-lo.
- a interação entre o conteúdo e situações que possam ser concretas e/ou significativas
para os alunos o que inclui o tratamento interdisciplinar dos conceitos a serem trabalhados.
- incentivo para que os alunos possam expressar de forma escrita e oral suas
conclusões a respeito do conteúdo estudado, tanto na língua natural, quanto na linguagem
matemática, para que possam tornar-se aptos tanto para compreender as mensagens com
conteúdos matemáticos encontradas de diversas formas no mundo como para transmitir de
forma legível idéias que possa ter ou argumentos que queira usar ao se posicionar
matematicamente no mundo.
- realização de auto-avaliação por parte dos alunos, para que possa acostumar-se a
fazer autocríticas construtivas a respeito do próprio trabalho realizado.
Outro aspecto a ser observado por um professor que pretenda educar para a
emancipação é a de não aceitar de forma permanente o papel de tradutor dos livros didáticos.
Essa é uma reflexão feita por Rancière (2002, p.17).
Eis, por exemplo, um livro entre as mãos do aluno. Esse livro é composto de
um conjunto de raciocínios destinados a fazer o aluno compreender uma
matéria. Mas, eis que, agora, o mestre toma a palavra para explicar o livro.
Ele faz um conjunto de raciocínios para explicar o conjunto de raciocínios
em que o livro se constitui. Mas, por que teria o livro necessidade de tal
assistência? Ao invés de pagar um explicador, o pai de família não poderia,
simplesmente, dar o livro a seu filho, não poderia este compreender,
diretamente, os raciocínios do livro? E, caso não o fizesse, por que, então,
compreenderia melhor os raciocínios que lhe explicarão aquilo que não
84
compreendeu? Teriam esses últimos uma natureza diferente? E não seria
necessário, nesse caso, explicar, ainda, a forma de compreendê-los?
(RANCIÈRE, 2002, p.17)
De acordo com o autor existe uma contradição no ato de explicar de forma sistemática
todo o conteúdo dos livros para as crianças e no ato de conceber que o ser humano pode
aprender por si só. Ao se precipitar em dar explicações, o mestre ensina às crianças a não
confiar na sua capacidade de assimilar as informações por si só. Assim o aluno aprende que
“compreender significa, para ele, compreender que nada compreenderá, a menos que lhe
expliquem.” (Rancière, 2002, p.21).
Rancière (2002, p.21), ainda alerta que não ensinar sem mostrar ao aluno que ele é
capaz de ler livros resulta em uma dependência: “Há sempre uma distância a separar o mestre
do aluno, que, para ir mais além, sempre ressentirá a necessidade de outro mestre, de
explicações suplementares”. De acordo com ele, antes de ser um explicador, o professor deve
ser um ignorante, que, ao invés de ter resposta, tenha sempre perguntas a fazer para o aluno,
perguntas que os auxiliem compreender o que os livros têm a dizer: “O aluno deve ver tudo
por ele mesmo, comparar incessantemente e sempre responder à tríplice questão: O que vês?
O que pensas disso? O que fazes com isso? E, assim, até o infinito.” (Rancière, 2002, p.21).
Observando todas as considerações até aqui apresentadas, prepararei uma sequência
didática sobre Trigonometria na Circunferência, que procura contemplar os aspectos para a
aquisição da autonomia por parte dos alunos.
Cabe ressaltar que a sequência a seguir apresentada fez parte do meu Projeto de
Estágio, mais especificamente, a sequência desenvolvida para ser utilizada na regência de
uma série do Ensino Médio, do Estágio Curricular Supervisionado.
5.1. Sequência Didática sobre Trigonometria na Circunferência:
Objetivo Geral: Compreender como os conhecimentos matemáticos são
aperfeiçoados a fim de embasar uma nova forma de ciência e como a evolução da humanidade
está intrinsecamente ligada a evolução dos conhecimentos matemáticos.
Série: 1ª série do Ensino Médio
Conteúdo: Trigonometria na Circunferência.
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********************************************************Aula 1
********************************************************
Objetivo Específico: Discutir procedimentos, metodologias e avaliações que serão
utilizadas durante o estudo da Trigonometria na Circunferência.
Tempo estimado: 50 minutos
Procedimento:
Inicialmente deverão ser formados grupos de três alunos para trabalhar no período em
que for estudada a sequência didática sobre Trigonometria na Circunferência.
Após a formação dos grupos, será entregue a cada grupo uma cópia dos planos das
aulas que serão realizadas durante o Bimestre, tomada a precaução de deixar um espaço em
branco neste plano para que possam ser introduzidas novas idéias que venham a surgir no
decorrer das atividades. Em seguida será feito esclarecimento sobre as atividades que serão
realizadas e as formas de avaliação de cada passo do processo.
Material a ser oferecido aos alunos
******************************************************** Ponto 1: Ao final de cada aula o aluno você ficará incumbido de preparar um relatório a
respeito da aula do dia. O relatório deverá ser formulado conforme modelo presente no anexo
desta sequência didática. ***************************************************************************
Ponto 2: Ao inicio de cada dia de aula a professora lerá cinco relatórios escolhidos conforme
julgar que contenha observações que possam ser enriquecedoras para o andamento dessa
sequência didática.
***************************************************************************
Ponto 3: Em algumas os alunos serão incumbidos de ler textos em linguagem matemática e
em linguagem natural, de expressarem suas conclusões a respeito dos textos lidos e
informações que assimilaram durante as aulas. A intenção é que haja uma familiarização com
as formas usadas para se expressar matematicamente. Para tanto, serão aceitas nas aulas o uso
da linguagem escrita, da linguagem falada, da linguagem gestual ou em forma de desenhos,
86
como forma de expressão, apenas não serão aceitas, “porque é muito fácil”, respostas
evasivas e o uso da expressão “não sei”.
***************************************************************************
Ponto 4: Não se espera que ao falar ou escrever sobre os textos lidos você tenha eloqüência.
Você sempre poderá contar com apoio dos seus colegas de grupo e da professora para
concluir da melhor forma possível seu pensamento.
***************************************************************************
Ponto 5: Todas as atividades realizadas em grupo serão feitas na escola, em horário de aula.
***************************************************************************
Ponto 6: Os norteadores das conversas que teremos sobre os projetos realizados durante essa
sequência didática devem ser analisados pelos grupos e as considerações feitas devem ser
escritas e entregues à professora.
***************************************************************************
Ponto 7: Nas aulas vocês terão que ler textos em linguagem matemática. Durante a leitura
desses textos é interessante descrever com riqueza de detalhes o que perceber. Em alguns
casos poderei fazer perguntas para auxiliar na interpretação dos textos, conforme o exemplo a
seguir:
Corda, diâmetro e raio
Os segmentos de reta que têm suas extremidades na circunferência são chamados
corda.
As cordas que contêm o centro da
circunferência são chamadas
diâmetro.
Na figura ao lado:
e são cordas, mas apenas é
um diâmetro.
MD
O B
A
C
, são raios. Um raio é um segmento de reta com uma das extremidades
na circunferência e outra no centro da mesma.
Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. Indicando a medida do
diâmetro por D e a medida do raio por r, temos D = 2r
Fonte: Bianchini, 2004, p.148 (adaptado)
87
Perguntas:
- A letra A, utilizada no texto, refere-se a que objeto geométrico?
- Se ela estivesse em outra posição no desenho, o texto deveria ser escrito diferente?
-A letra D que o texto sugeriu ser usada para representar a medida do diâmetro é a
mesma que aparece na figura?
******************************************************************************************
Formas de avaliação: As avaliações serão feitas a partir dos seguintes instrumentos:
- Ao final de cada aula, um relatório a respeito do que realizaram e aprenderam durante a aula,
conforme anexo17, deverá ser entregue. A coerencia na realização deste relatório será um dos
instrumentos de avaliação.
- Exercicios propostos para resolução em sala de aula.
- Interação dos grupos durante as aulas.
- Auto avaliação realizada no final de cada mês.
******************************************************** Aula 2
******************************************************** Objetivo Específico: Estudar os conceitos que embasam o estudo da Trigonometria
na Circunferência.
Conteúdos: Circunferência, razões.
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Barbante, tesoura, giz, lápis, borracha (liguinha), caderno,
calculadora e fita métrica.
Procedimento:
Os alunos serão encaminhados ao pátio onde a atividade será realizada.
Cada grupo cortará dois pedaços de barbantes de diferentes comprimentos e em
seguida amarrarão, em uma das extremidades destes barbantes, um pedaço de giz.
Cada grupo marcará com giz um determinado ponto em uma superfície plana. Logo
após, fixarão a extremidade que não possui o giz nesse ponto e deslocarão a outra
extremidade do barbante, de forma a mantê-lo esticado, riscarão a superfície com o giz.
17 Anexo 10.
88
Com o material proposto, cada grupo dividirá, com pontos, uma das figuras em seis
partes de comprimentos aproximados e traçarão um segmento ligando dois pontos
extremidades de uma dessas partes. Logo após, deverá dividir a outra figura em oito partes
iguais e traçar um segmento ligando as extremidades de uma dessas partes. Depois de feito
isso, criará uma tabela contendo os seguintes dados:
- comprimento do pedaço de barbante inicial;
-comprimento aproximado das respectivas figuras formadas;
- comprimento dos respectivos segmentos que ligam as extremidades da sexta parte da
figura;
-comprimento aproximado dos respectivos segmentos que ligam as extremidades da
oitava parte da figura;
-razão aproximada dos comprimentos dos pedaços de barbantes iniciais e os
comprimentos aproximados das respectivas figuras formadas;
-razão aproximada dos comprimentos dos pedaços de barbantes iniciais e os
comprimentos dos respectivos segmentos que unem as extremidades da sexta parte da figura
formada
- a razão aproximada dos comprimentos dos pedaços de barbantes iniciais e os
comprimentos dos respectivos segmentos que unem as extremidades da oitava parte da figura
formada.
Após colocar os dados pedidos na tabela será proposto um diálogo com a classe sobre
as razões encontradas observando os seguintes aspectos:
- alguém se lembrou ter estudado nas séries anteriores sobre essas razões e sabiam
quais seriam os valores encontrados?;
- conseguem explicar o que ocorreu para que os valores das razões encontrados fossem
esses?
- quais utilidades os fatores que acabamos de perceber podem ter para a evolução das
civilizações?
******************************************************** Aula 3
********************************************************
Objetivo Específico: Estudar conceitos que embasam o estudo da Trigonometria na
Circunferência.
Conteúdos: Circunferência.
89
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Folha de sulfite
Procedimento:
No inicio da aula será entregue aos alunos uma folha de sulfite contendo texto O
circulo. Será escolhido um aluno de cada grupo para ler um parágrafo do texto.
O circulo
E o homem criou a roda. Ao longo de sua história, para facilitar seu trabalho,
o homem inventou muitas máquinas. E nessa caminhada, um dos acontecimentos mais
marcantes foi o aparecimento da roda, lá pelo século 3000 a.C.
Ao que tudo indica, foi observando um tronco de árvore, que rolava solto por
um declive, que o homem teve a idéia de fazer rolar cargas pesadas – ao invés de
carregá-las- colocando-as sobre objetos rolantes, quando não podiam rolar sozinhas.
É curioso verificar que os místicos egípcios adoravam um animalzinho, o
escaravelho dourado, acreditando que ele era capaz de fazer mover o sol -
simplesmente porque, instintivamente, o escaravelho costuma destruir as arestas e os
ângulos dos objetos, para tornar mais fácil carregá-los de um lado para o outro,
rolando-os.
Para fazer vasilhas de argila, os homens utilizavam uma tábua de apoio
colocada sobre uma base, o mancal, que fazia girar, facilitando o trabalho de
modelagem das vasilhas.
A partir daí muitas rodas rolaram; as sólidas rodas das carretas; as rodas
raiadas das carroças; os moinhos de água; os moinhos de ventos; as rodas das
bicicletas, das locomotivas, dos automóveis; as rodas gigantes, as dos patins;as
esteiras rolantes dos aeroportos, as rocas de fiação, os tornos, as roscas inúmeras
outras engrenagens.
Mas não é só em objetos a roda está presente: para conversar, dançar, assar a
caça, a roda também é interessante. As pessoas quando se reúnem, costumam se dispor
em circulo para que todos possam participar melhor da conversa.
Algumas tribos primitivas colocavam a caça de várias famílias ao redor do
fogo para que todas recebessem a mesma intensidade de calor.
As danças típicas de vários povos, as brincadeiras infantis, muitas delas se
desenvolvem em roda! Também em ornamentações e nas edificações é possível
90
observar o formato de roda. Nas rosáceas que enfeitam templos e palácios, nas pontes
e em forma de arcos lá está ele: O circulo, a mais regular das formas geométricas e a
mais desafiante dos espíritos inovadores. (PIRES et all, 1998, p.149)
Após a leitura do texto será realizado um dialogo com a sala sobre o que
compreenderam observando os seguintes aspectos:
- Porque o aparecimento da roda foi tão importante?
- Porque é interessante estudar os objetos circulares?
- Na época do surgimento da roda o homem já sabia que a Terra girava em torno do
Sol?
-Qual característica da circunferência torna as conversas feitas em circulos mais
democráticas?
******************************************************** Aulas 4 e 5
******************************************************** Objetivo Específico: Estudar conceitos que embasam o estudo da Trigonometria na
Circunferência.
Conteúdo: Circunferência.
Tempo estimado: 01h40min
Material necessário: Livro didático do 8º ou do 9º ano, lápis, borracha, lousa e giz.
Procedimento:
Após a leitura dos relatórios da aula 2 cada grupo escolherá um parágrafo de um texto
sobre circunferência e seus elementos, do livro que trouxeram para sala de aula, e o lerão em
voz alta para seus colegas.
Nestes parágrafos deverão constar definição de: circunferência; centro; raio; corda;
diâmetro; arcos; semicircunferência e medidas do perímetro.
Após a leitura, cada grupo escolherá um membro para fará a exposição do tema
escolhido para a classe.
Cada grupo escolherá dois exercícios do livro que trouxeram a respeito de cada
parágrafo e os resolverá, lembrando de entregar uma copia dos exercícios para a professora e
de que cada aluno deverá ter eles escrito no caderno.
Como atividade para casa os alunos ficarão responsáveis por descobrir ou lembrar o
que é a Latitude de uma região da Terra e qual a latitude da cidade onde moram.
91
********************************************************Aulas 6 e 7
********************************************************
Objetivo Específico: Compreender como os meios de medir o tempo criado pelo homem
contribuíram para o surgimento de uma nova ciência denominada Trigonometria.
Conteúdos: Medidas dos arcos
Tempo estimado: 1h40 minutos.
Material necessário: Régua, garrafa pet com tampa, tesoura, rolo de fita adesiva, tubo de
cola, vela, caixa de fósforos, prego, alicate, pedaço de papelão, transferidor, lápis, caneta
hidrocor, borracha (liguinha), folha de papel ofício e rolo de barbante.
Procedimento:
Construção de um relógio de Sol18
Inicialmente a sala será preparada juntando as carteiras para formar uma mesa
extensa onde se possam apoiar os materiais e fazer o experimento.
Figura 30: Materiais necessários
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Com a mesa organizada e todos os materiais ao alcance da mão medirão, em
milímetros, a largura o perímetro da garrafa colocando um barbante em volta da parte
cilíndrica onde não haja curvas.
18 Experiência encontrada no site http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento
=264#top
92
Figura 31: Medindo a largura da garrafa
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Após feito isso iniciarão a construção de um mostrador de horas. Para isso dividirão
circunferência da garrafa por 24, pois é o número de horas de um dia. Numa folha de papel,
traçarão 13 segmentos de retas paralelos e equidistantes, cujas distâncias serão iguais a 1/24
da circunferência da garrafa19. Para cada segmento de reta paralelo construído será dada uma
etiqueta com os números 6 a 18, da direita para a esquerda, conforme figura abaixo:
Fonte 32: Mostrador de horas
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Feito isso, utilizando de pedaços de fita adesiva, colarão esta folha conforme mostra a
figura a seguir:
19 Neste momento, os alunos serão convidados a pesquisar sobre o Teorema Fundamental da
Proporcionalidade, para poder utilizá-lo na realização dessa divisão.
93
Figura 33: Colando o mostrador de horas
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Para criar o ponteiro deste relógio, deverão aquecer no fogo da vela o prego e utilizá-
lo para furar o centro da tampinha da garrafa e o centro da parte inferior da garrafa.
Figura 34: Furando a garrafa
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Passarão um barbante pelo furo da tampinha e pelo furo da garrafa de forma que ele
perpasse o seu interior. Darão, em seguida, um nó na ponta do barbante que está no fundo da
garrafa e esticarão este barbante, pela tampinha, de forma que ele fique bem esticado no
interior da garrafa. Finalizando, darão um nó final.
94
Figura 35: Criando o ponteiro
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Figura 36: Ponteiro
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Para fazer um suporte para o relógio, recortarão um papelão em forma de um triângulo
retângulo que possua sua hipotenusa com a inclinação de valor igual à latitude da cidade em
que moram, com relação a um dos catetos20. Depois de ter determinado a inclinação do
suporte, recortarão um retângulo de papelão com largura e comprimento respectivamente de
10 cm e 30 cm. Com o auxilio de uma régua e um lápis, traçarão um segmento que será a
mediatriz do menor lado do retângulo.
20 Os alunos serão convidados a pesquisar o porquê disso.
95
Figura 37: Triângulo retângulo
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Figura 38: Retângulo
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Colarão, com fita adesiva, os pedaços conforme figura abaixo:
Figura 39: Suporte
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
96
Depois de construído o suporte, fixarão, com o auxilio de uma liguinha a garrafa ao
suporte de forma que o segmento que representa as 12 horas coincida com o traço desenhado
no centro do papelão retangular.
Figura 40: Suporte
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Desta forma, terão concluído a construção do relógio de sol.
Figura 41: Suporte
Fonte: http://pontociencia.org.br/experimentos-interna.php?experimento =264#top
Será feito o esclarecimento para os alunos a respeito do funcionamento do relógio.
Será explicado para as crianças que esse relógio deve ser exposto à luz solar com a parte
oposta ao mostrador das horas voltado para o Sol é que a hora é indicada pela posição em que
a sombra do ponteiro se encontra sobre o mostrador das horas.
Como atividade para casa os alunos ficarão incumbidos de observar o funcionamento
do relógio de sol, pois conversaremos sobre ele na próxima aula observando os seguintes
aspectos:
- Qual o comportamento aparente do Sol que fez com que se tornasse um aliado na medição
do tempo?
97
- Como fizeram para descobrir qual era a latitude da cidade onde moram e qual era a unidade
de medida em que essa informação estava escrita?
- Se fixarmos o zênite como um ponto Z, fixarmos como outro ponto S o local onde o Sol está
localizado e um terceiro ponto O o local onde se localiza um observador aqui da Terra e uni-
los por segmentos de retas, qual figura geométrica obtemos?
- Não se esquecendo de considerar o mesmo plano em que se situa a figura da questão
anterior: Se fixarmos um ponto O onde se localiza o ponteiro do nosso relógio de sol, um
ponto M no segmento que indica às 12h e um ponto N na sombra formada pelo ponteiro, qual
figura geométrica obtemos?
O
MN
S
Z
Figura 42: Representação do relógio solar
- Qual a relação existente entre a figura geométrica SOZ e a figura geométrica MON?
- Quanto tempo a sombra produzida pelo ponteiro leva para percorrer toda a extensão do
mostrador das horas?
- O eixo de rotação da Terra possui uma ligeira inclinação em relação a trajetória de sua
translação fazendo com que a sombra de uma determinada hora do dia possua uma ligeira
variação com o passar dos dias. O que posso fazer para medir essa leve mudança se às doze
horas em que dividi o meu dia é uma medida grosseira para tal?
98
******************************************************** Aula 8
********************************************************
Objetivo Específico: Estudar conceitos que embasam o estudo de Trigonometria na
circunferência.
Conteúdos: Ângulos
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Folha de sulfite
Procedimento:
Será entregue para a classe uma folha com o texto O inicio das civilizações. Será
feita a leitura deste texto, escolhendo um aluno da cada grupo para ler um parágrafo do texto.
O inicio das civilizações
Cansado da vida incerta que levava decidiu que já era hora de achar um lugar
para se estabelecer. Desde que se conhecia como ser vivo e se descobriu pensante
vivia a vagar pelo mundo. Nunca tivera grandes ambições, se contentava com o que a
natureza lhe proporcionava. Um fruto maduro aqui, uma caça ali e tudo o que
necessitava estava ali pelo caminho.
Ao mesmo tempo em que conhecia o prazer de amanhecer a cada dia com uma
paisagem diferente a encher-lhe os olhos, ficava por demais exposto. Como não
conhecia todos os caminhos pelo qual andava, às vezes passava de caçador a caça e
via seus companheiros ter a vida ceifada por algum animal traiçoeiro. Sem falar sobre
as chuvas que vinha para castigar. Quando tinha uma caverna que pudesse se abrigar
ficava ali até ela passar, mas não era sempre que tinha essa sorte.
Decidiu, então, fixar morada. Conhecia bem aquelas bandas, precisava apenas
decidir onde iria transformar em lar. Não podia ser em qualquer lugar, tinha que ser
em um canto abençoado pelos céus, cercado de arvores e onde pudesse deixar alguns
animais, que a essa altura já tinha aprendido a domesticar. Mas o mais importante
que tudo, precisava ser um lugar onde sempre houvesse água, pois já tinha percebido
que sem ela demorava muito pouco tempo para perecer.
E foi assim que o homem escolheu os lugares em que seriam formadas as
99
primeiras civilizações. Os lugares escolhidos foram às margens dos grandes rios
conhecidos na época. Entre eles o Eufrates na Mesopotâmia, a Tigre no Iraque e o
Nilo no Norte da África.
Figura 43: Primeiras civilizações
Fonte: http://www.historianet.com.br/conteudo/default.aspx?codigo=82
Mas enganava-se ao pensar que seus problemas cessariam. A natureza é
geniosa e faz tudo ao seu tempo. Assim, por vezes, ao jogar na terra suas sementes,
mesmo cumprindo o mesmo ritual de sempre, remexendo a terra para torná-la
receptiva ao plantio, regando periodicamente até nascer o primeiro broto, por mais
que se esforçasse, alguma coisa desandava.
Entre erros e acertos percebeu que, coincidência ou não, nas vezes que
acertava a temperatura e a posição do Sol era a mesma. Foi assim que começou a
observar com mais atenção o movimento aparente do Sol. Assim marcava as horas do
dia de uma forma bastante curiosa, bem diferente de hoje que da para ver a hora em
qualquer celular ou relógio de pulso, naquela época eles viam as horas pelo
comprimento da sombra de um instrumento com um nome um tanto engraçado,
“gnômom”. Entenda-se por gnômom uma estaca enfiada de forma vertical em uma
superfície plana utilizada para projetar a luz solar. Na verdade o gnômom era uma
espécie de espião do Sol. Como já era sabido que olhar diretamente para o Sol pode
ser prejudicial inventaram o gnômom para saber qual posição ocupava no céu através
de sua sombra. A intenção era saber a que distância estava o Sol do zênite. Zênite é o
ponto mais alto do céu sobre a cabeça de um observador aqui na terra. Se o Sol
estivesse a uma distância muito longe ao leste, queria dizer que era muito cedo, se
tivesse muito longe ao oeste queria dizer que era muito tarde. Como havia alguns
100
povos que tinham a base do sistema duodecimal se conceituou dividir o período em
que o Sol aparece no leste até o período que ele desaparece no oeste em doze partes,
período hoje conhecido como horas.
Outro fator que inquietava os povos que moravam nos terrenos adjacentes a
esses rios é que de tempo em tempo eles transbordavam por isso não se podia plantar
nada quando se aproximava a época das cheias. O problema é que tinham que
arrumar uma forma de prever quando seria a próxima cheia.
Começaram a observar que o Sol mudava ligeiramente a posição em que
nascia conforme os dias iam passando. Criaram por isso o hábito de fazer anotações
sobre a distância em que o Sol estava do zênite na metade do dia e perceberam que
essa distância era sempre a mesma quando as cheias começavam. Ao observar essas
anotações perceberam que o tempo que passava entre uma cheia e outra eram
aproximadamente 360 dias. Como os Egípcios adotaram por um bom tempo a idéia de
que o ano tinha 360 dias, acredita-se que daí surgiu o grau. A partir do momento que
aprenderam a prever a época das cheias perceberam que o solo das margens desses
rios eram ótimos para o cultivo. Conseguindo saber a época certa de plantar
conseguia planejar a hora do plantio e da colheita. A partir daí, as primeiras
civilizações passaram a crescer já não estando expostos aos perigos da vida nômade.
(Lidia Eliane)
Após a leitura, conversaremos sobre o que conseguiram compreender do texto e na
construção do relógio de sol construído na aula anterior, observando os seguintes aspectos:
- Se fixarmos o zênite, como um ponto, fixarmos como outro ponto o local onde o Sol está
localizado e um terceiro ponto o local onde se localiza um observador aqui na Terra e uni-los
por segmentos de retas, qual figura geométrica obtemos.
- Quando o homem percebeu que a data do inicio de uma cheia do rio para outra se passavam
360 dias ele chegou a uma conclusão correta?
- Por que dizemos que o movimento do Sol é um movimento aparente?
- Por que o comprimento das sombras em uma mesma hora do dia varia conforme o dia do
ano?
- Qual contribuição para a Matemática a observação do movimento aparente do Sol pode ter
trazido para o desenvolvimento das civilizações?
101
******************************************************** Aulas 9 e 10
********************************************************
Objetivo Específico: Trabalhar conceitos que servem para embasar o estudo de
Trigonometria na Circunferência.
Conteúdos: Unidades de medidas de uma Circunferência.
Tempo estimado: 01h40min horas
Material necessário: Livro didático do 1º ano do EM, caderno, lápis, borracha.
Procedimento:
Reunir os grupos para decidir, entre os parágrafos do livro que trouxeram que abordam
sobre unidade de medidas das Circunferências, quais deles serão explanados na sala. Os
assuntos deverão conter: Graus; Minutos; Segundos; Radianos; e Como converter radiano em
grau.
Os alunos farão a leitura desses parágrafos. Após a leitura, cada grupo deve escolher
qual membro fará a exposição do tema escolhido para a classe.
Após a leitura do texto e explanação dos alunos, cada grupo escolherá dois exercícios
a respeito de cada um dos assuntos e resolverá para entregar, lembrando que todos os alunos
deverão ter eles resolvidos no caderno.
******************************************************** Aula 11
********************************************************
Objetivo Específico: Estudar conceitos que embasam a Trigonometria na Circunferência.
Conteúdo: Semelhança de triângulos.
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Caderno, lápis, borracha caneta, fita métrica e calculadora.
Procedimento:
Os alunos serão encaminhados ao pátio onde a atividade será realizada. Cada grupo
deverá escolher um dos seus integrantes para medir sua altura e comprimento de sua sombra.
Após feito isso, encontrarão a razão existente entre essas duas informações.
Voltaremos para a sala onde conversaremos sobre os dados encontrados observando os
seguintes aspectos:
102
- o que os alunos conseguiram observar com relação às razões entre altura e sombras
calculadas?
- alguém já tinha estudado a respeito deste assunto e sabia o que ocorreria ao comparar as
razões encontradas pelos grupos?
- conseguem explicar em linguagem natural o que ocorreu para que os valores das razões
encontradas fossem esses?
- em outra hora do dia as razões entre comprimento da sombra e altura dos alunos seria outra?
Após as considerações feitas pelos alunos, o professor fará o fechamento explanando
sobre Semelhança de Triângulos e explicará os casos existentes de semelhança: caso LAL (
lado, ângulo, lado) onde é conhecido que o triângulo possui dois lados correspondentes
proporcionais e um ângulo congruente; caso AA (ângulo, ângulo), quando dois triângulos
possuem dois ângulos congruentes, então sabemos que eles são semelhantes; caso LLL (lado,
lado, lado) quando dois triângulos possuem seus lados correspondentes proporcionais.
Após a explanação, mostrará aos alunos que se temos triângulos EFG e E’F’G’, onde
E e E’ são pontos situados onde fica seus pés, F e F’ são pontos situados na extremidade de
suas cabeças e G e G’ são pontos situados nas extremidades das sombras, este triângulos
podem ser considerados semelhantes pois o comprimento da sombra é proporcional ao
comprimento do corpo e os ângulos e possuem 90º, ou seja, são congruentes.
Por isso os triângulos EFG e E’F’G’ se enquadram no caso LAL, podendo ser considerados
assim, semelhantes.
******************************************************** Aula 12
********************************************************
Objetivo Específico: Compreender as razões históricas do surgimento da Trigonometria.
Conteúdos: Triângulos
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Folha de sulfite, livro didático, lápis, borracha e caderno.
Procedimento: Serão escolhidos alguns alunos para fazerem a leitura do texto A história do
mineiro que via as horas pelo rabo do boi.
103
A história do mineiro que via as horas pelo rabo do boi
Era uma vez um rapaz que foi visitar uma cidadezinha de Minas. Vila daquelas
bem típicas: praça da matriz, igreja, relógio na torre da igreja, ruas de
paralelepípedo...
O rapaz andou muito, uns 15 minutos, e já tinha conhecido a cidade toda. Foi
ai que ele resolveu assuntar os arredores e pegou um caminho que saia da cidade.
Como toda cidade de Minas, esse caminho subia um morro. Quando já estava lá no
meio do morro, o rapaz viu um mineiro parado, sentado numa pedra, mascando seu
capinzinho. Do outro lado o boi ruminando. Quando o rapaz chegou mais perto,
perguntou:
-Por favor, o senhor sabe que horas são?
O mineiro, calmamente, tirou o capim da boca, foi lá, mexeu no rabo do boi e
respondeu:
- Ói, seu moço, são duas e quinze.
O rapaz achou aquilo muito estranho e não entendeu nada, mas seguiu adiante.
E no passeio ele passou porteira, passou riacho, passou um tempo vendo plantação de
milho, criação de gado e céu azul.
E voltou. E quando chegou perto da cidade, no meio do morro, viu o mesmo
mineiro, parado na mesma pedra, mascando seu capinzinho. E o boi parado do lado
ruminando. O rapaz não resistiu:
- E agora, por favor, o senhor sabe que horas são?
O mineiro, calmamente, tirou o capim da boca, foi lá, mexeu no rabo do boi e
respondeu:
- Ói, seu moço, agora são quatro e trinta e cinco.
O rapaz coçou a cabeça, fez cara de besta e perguntou:
- Pera aí, como é que o senhor consegue ver as horas pelo rabo do boi?
- Não, seu moço, eu só tô tirando da frente prá ver o relógio da torre da igreja
lá embaixo...
(Fonte: Adaptado de postagem feita por Ademário Iris da Silva Junior no site :
http://blogln.ning.com/profiles/ blogs/a-historia-do-mineiro-que-via)
104
Logo após a leitura do texto conversaremos sobre a respeito dele observando os
seguintes aspectos:
- Neste texto o personagem demonstra preocupação em observar a trajetória aparente do sol
para descobrir que horas eram?
- O relógio de sol é um instrumento eficiente quando queremos medir o tempo com precisão
de minutos e segundos?
Após conversarmos, os alunos ficarão responsáveis por resolver um desafio proposto
visando demonstrar como o conhecimento a respeito das relações existentes entre os lados
dos triângulos semelhantes foi importante para algumas descobertas sobre o planeta em que
vivemos.
Desafio:
Eratóstenes (276 - 194 a.C.), um astrônomo que nasceu em Sirene e com 40 anos foi
trabalhar como bibliotecário chefe na cidade de Alexandria, ao pesquisar nos livros,
ficou sabendo que no dia 21 de junho, dia do solstício de verão na cidade de Sirene, ou
seja, o dia mais longo do ano, a luz do Sol refletia, ao meio dia, no fundo de um poço.
Isso significava que o Sol e o poço estavam alinhados e que a sombra de um gnômom
não existiria, naquele horário. Observou que, nesta mesma hora, em Alexandria, uma
torre projetava uma sombra que, através de um equipamento chamado astrolábio,
indicava um ângulo aproximado de 7,2o com relação à torre. Para Eratóstenes, este
era um indicativo de que a Terra era esférica. Caso contrário, a sombra da torre não
existiria, também.
Figura 44: Circunferência da Terra
Fonte: http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice3/erast.htm
105
Erastóstenes sabia que a distância de Alexandria até Sirene era de 500 estádios (ou 800
km) de posse desta informação ele descobriu a medida aproximada da circunferência
da Terra. Você e seu grupo conseguem dizer quais os possíveis procedimentos ele pode
ter tomado para encontrar essa informação?
******************************************************** Aula 13
********************************************************
Objetivo Específico: Compreender alguns elementos que compõe o estudo de Trigonometria
na Circunferência.
Conteúdo: Ciclo Trigonométrico
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Livro didático do 1º ano do EM.
Procedimento:
Os grupos deverão reunir-se para decidir entre os parágrafos que abordam sobre Ciclo
Trigonométrico, no livro didático que utilizam, qual tema desejam expor para a sala. Entre
esses temas devem estar: Circunferência orientada; Arco orientado; Definição de Ciclo
Trigonométrico; Quadrantes; e Arco orientado.
Os alunos farão a leitura desses parágrafos. Após a leitura, cada grupo deve escolher
qual membro fará a exposição do tema escolhido para a classe.
Após a explanação sobre os temas escolhidos cada grupo deverá escolher dois
exercícios a respeito de cada parágrafo para resolver, lembrando que devem entregar para a
professora uma folha com os exercícios resolvidos além de que cada aluno precisa manter
esses exercícios resolvidos no caderno.
******************************************************** Aulas 14 e 15
********************************************************
Objetivo Específico: Visualizar de forma gráfica elementos matemáticos que compõe a
Trigonometria.
Conteúdo: Ciclo Trigonométrico
106
Tempo estimado: 01h40min minutos
Material necessário: Computador (programa Cabri Geometre), caderno, lápis, borracha.
Procedimento:
Representação do Ciclo Trigonométrico
Cada grupo deverá ligar o computador e abrir o programa Cabri Geometre. A primeira
aula será reservada para que possam conhecer programa, visitar sites de busca, procurar
informações a respeito do que é possível realizar com o auxílio deles.
Após esse período de exploração, os alunos deverão desenhar duas circunferências
concêntricas na tela do Cabri. A circunferência menor deve ser chamada de t e a maior de u.
t
u
Figura 45: Circunferências concêntricas
Após desenhar as circunferências, deverão desenhar uma “reta” horizontal r e outra
vertical s para representar os eixos cartesianos, dividindo as circunferências em quatro partes
iguais.
t
u
r
s
Figura 46: Eixos cartesianos
107
Em seguida deverão desenhar uma semi reta com a origem no centro das
circunferências e em um ponto P qualquer da circunferência maior.
O
t
u
r
s
P
Figura 47: Semirreta
Desenharão duas “retas”, v e z, perpendiculares ao eixo r, de forma que o ponto B de
intersecção da circunferência t com a semirreta , pertença à “reta” v e o ponto P pertença a
“reta” z. Fazendo isso, serão definidos os pontos C e D, respectivamente, intersecções das
“retas” v e z com o eixo horizontal.
O
t
u
r
s
P
B
vz
C D
Figura 48: Pontos de intercecção
Em seguida criarão o triângulo OCB e o triângulo ODP.
108
O
t
u
r
s
P
B
vz
C D
Figura 49: Triângulos OBC e OPD
Deverão esconder as retas v e z para melhor visualização do desenho e pintar as
regiões internas dos triângulos OBC e OPD, tomando o cuidado de pintar OPD com uma cor
mais fraca que OBC para uma melhor visualização do desenho.
O
t
u
r
s
P
B
C D
Figura 50: Modelo de Ciclo Trigonométrico
Com o modelo de ciclo trigonométrico pronto os alunos terão que “deslizar o ponto
sobre a circunferência” u e observar as modificações que ocorrem com os triângulos OBC e
OPD. Em seguida haverá uma conversa com os alunos sobre as conclusões que chegaram
observando os seguintes aspectos:
- Qual a relação existente entre o triângulo OCB e o triângulo ODP?
109
- Ao “movimentar” o ponto P, o ângulo apresenta medidas diferentes. A relação
existente entre os triângulos OCB e ODP se mantém?
******************************************************** Aula 16
******************************************************** .
Objetivo Específico: Conhecer um pouco da História da Trigonometria
Conteúdos: Trigonometria na Circunferência.
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Folha de sulfite
Procedimento:
Os alunos receberão uma folha com o texto Surgimento de uma nova ciência.
Surgimento de uma nova ciência
Curioso era que o céu, tão distante, fornecia mais elementos sobre si do que a
própria Terra, que só seria totalmente conhecida séculos depois. Já o céu, em seu giro
em torno da Terra, como cria Hiparco, se revelava totalmente aos olhos humanos.
Sendo assim, conhecer o céu ia ser uma forma de conhecer o mundo.
Foi com esse pensamento que o homem começou a aprimorar seus
conhecimentos sobre os seres celestes. Desta forma podia prever a época das cheias, a
época boa para o plantio e como se comportariam as marés em determinada época do
ano. Sabendo da responsabilidade que tinha Hiparco usava seus conhecimentos para
facilitar o trabalho de observação do céu. Ele tinha percebido que olhando aqui da
Terra dois corpos celestes, a razão entre a o valor que representa a distância dele aqui
na Terra com o corpo celeste e a distância existente entre esses dois corpos seria a
mesma se ele simulasse o triângulo formado por esses três pontos aqui na Terra.
Já estávamos no ano 150 a.C e os campos da Agrimensura, da Navegação e da
Astronomia necessitavam evoluir para cumprir as novas demandas e exigências do
mercado. Hiparco, foi então contratado para criar um mapa do céu já que naquela
época era ainda impossível fazer um mapa terrestre que pudesse orientar os
navegadores em suas descobertas pelo mundo. Cansado de comparar triângulos por
110
triângulos, começou a fazer com precisão anotações sobre as razões existentes entre
raios e cordas de circunferência. Surgiu assim, mesmo que timidamente e ainda
reconhecida apenas como um instrumento da Astronomia, a Trigonometria.
Hiparco foi tão minucioso na catalogação dos dados sobre comprimento de
cordas e raios de circunferência que chegou a catalogar a razão existentes nos
ângulos de meio em meio grau de 0 até 180 graus. Seu trabalho teve importância tal,
que 250 anos depois o catalogo que ele tinha feito foi parar na Índia, uma das
maiores economias do mundo naquela época.
Para os indianos a função corda não era suficiente e eles resolveram dividi-la
ao meio, nascendo assim a função seno. Com essa adaptação foi feita a tabela de seno
e o seu uso se expandiu para diversas áreas, inclusive para a matemática.
Mas como sabemos de tudo isso nos dias de hoje? No ano de 570 nasceu
Maomé. Ele pregava o monoteísmo, que é o culto de um só Deus. Isso fazia com que
ele tivesse problemas, pois morava em uma região de culto de diversos deuses. Como o
comércio próximo a Meca era, estrategicamente localizado próximo aos templos os
comerciantes e produtores da época temeram perder mercado, começaram a perseguir
Maomé, obrigando este a fugir para Medina.
Com sua fuga, Maomé começou a incentivar seus fiéis e se expandirem e
dominar outros territórios. O povo árabe conquistou várias regiões da Ásia Ocidental.
Este fato foi de grande importância para o desenvolvimento da Matemática. Os árabes
se apropriaram dos conhecimentos gregos e hindus, fazendo um trabalho de
conservação e tradução das obras produzidas por esses povos, possibilitando que
esses conhecimentos chegassem até o dia de hoje.
Outra contribuição dada pelos árabes foi a construção de uma tabela com
valores de seno reverso, que corresponde a relação R – cos, onde R é o raio da
circunferência que contém o arco cujo seno foi obtido.
A trigonometria ficou associada ao uso da corda das circunferências até o
século XV, quando um rapaz chamado Rheticus escreveu um livro sobre as razões
trigonométricas no triângulo retângulo dispensando o uso da corda da circunferência.
Neste mesmo tempo a trigonometria passou a ter outra forma de tratamento, além do
tratamento geométrico ela passou a ter tratamento algébrico, fazendo crescer assim ou
uso de seis funções, alem da tabela de senos e cossenos agora tínhamos também as
tabelas das funções tangente, cotangente, secante e cossecante.
111
Em 1050 o estudo da Trigonometria tinha adquirido importância tal que já não
fazia sentido continuar sendo tratada como apenas uma parte da Astronomia e foi
assim que ela ganhou identidade própria. Um fator que colaborou para esse fato é que
começou a ser usada para sua escrita os algarismos indo-arábicos o que ajudou na
sua popularização quando foi inventada a imprensa século XIV.
A Trigonometria foi assim, conquistando cada vez mais espaço no estudo de
objetos circulares, de objetos de natureza periódica, oscilatória e vibratória, como os
movimentos de um pendulo de um relógio, a fabricação de um instrumento musical, a
acústica, a economia, a medicina, entre outros.
No século XVII o uso do seno como unidade de comprimento foi abandonada e
nas obras de Euler que passou a usá-lo como um número ou razão. Foi introduzido o
uso do ciclo trigonométrico com raio igual a 1 unidade. (Lidia Eliane)
Após a entrega dos textos será promovido um diálogo sobre o texto observando as
seguintes questões:
- O que motivou o surgimento da Trigonometria?
- Hiparco utilizava a forma de abordagem da Trigonometria no Triangulo Retângulo?
- Porque era tão importante conhecer a posição que ocupava os seres celestes?
- Qual foi a importância da religiosidade de Maomé na evolução da Trigonometria?
******************************************************** Aula 17
********************************************************
Objetivo Específico: Estudar sobre os elementos que compõe a Trigonometria na
Circunferência.
Conteúdos: Trigonometria na Circunferência.
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Livro didático
Procedimento:
Os grupos se reunirão para escolher no livro didático que usam, parágrafos de textos
que abordam Trigonometria na Circunferência. Entre os assuntos desses parágrafos devem
112
estar: Seno; Cosseno; Tangente; Cotangente; Secante; Cossecante; e as Relações
Fundamentais existente entre eles.
Em seguida serão escolhidos alunos de cada grupo para fazer a leitura de cada
parágrafo referente a este tema.
Após a leitura do texto e explanação dos alunos, cada grupo escolherá dois exercícios
a respeito de cada um dos assuntos e resolverá para entregar, lembrando que todos os alunos
deverão ter eles resolvidos no caderno.
********************************************************
Aula 18 ********************************************************
Objetivo Específico: Estudar sobre os elementos que compõe a Trigonometria na
Circunferência.
Conteúdos: Trigonometria na Circunferência.
Tempo estimado: 50 minutos
Material necessário: Caderno, lápis, borracha, lousa e giz
Procedimento:
O professor fará o fechamento da sequência sobre Trigonometria na Circunferência,
tratando de forma sistemática junto com os alunos os conhecimentos adquiridos sobre o Ciclo
Trigonométrico e as razões trigonométricas Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante,
Cossecante e as Relações Fundamentais existente entre eles.
******************************************************** Aulas 19 e 20
********************************************************
Objetivo Específico: Os alunos julgarão como foi sua atuação durante o período que foi
trabalhada esta sequência didática, o que estudaram e o que efetivamente aprenderam durante
sua realização.
Conteúdos: Trigonometria na circunferência.
Tempo estimado: 1h40
Material necessário: Folha de sulfite e caneta.
Procedimento:
113
Será proposto o preenchimento de uma ficha de auto-avaliação21 na qual os alunos terão
oportunidade de relembrar os assuntos que foram estudados, rever sua forma de agir durante
as atividades e registrar suas conquistas durante o tempo em que foi trabalhado essa
sequência.
21 Modelo de ficha de auto-avaliação no anexo 10 deste trabalho.
114
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nada é impossível de mudar.
Desconfiai do mais trivial, na aparência singelo. E examinai,
sobretudo, o que parece habitual. Suplicamos expressamente: não
aceiteis o que é de hábito como coisa natural, pois em tempo de
desordem sangrenta, de confusão organizada, de arbitrariedade
consciente, de humanidade desumanizada, nada deve parecer natural
nada deve parecer impossível de mudar. (Bertold Brechet)
Esse trabalho surgiu de uma inquietação que tinha, pois já tinha encontrado algumas
portas fechadas por falta de conhecimentos matemáticos que, pelos anos que já tinha
estudado, “deveria saber”, apesar de considerar ter estudado nas melhores escolas. Como
aluna do Curso de Matemática, por diversas vezes fui interrogada por colegas minhas do “por
que não se ensina na escola essas coisas que caem nas provas”, quando descobriram que eu
viraria professora.
Ser professor traz uma grande responsabilidade, pois de nossas ações depende em
parte o futuro de nossos alunos. Creio que entre as maiores responsabilidades de um educador
está em ensinar as novas gerações entrar e sair de cabeça erguida em qualquer ambiente por
onde ela tenha que passar. Como professora por vezes sentia que não estava cumprindo este
papel.
Escolhi contextualizar esse trabalho com o estudo da Trigonometria na Circunferência
porque não conseguia vislumbrar o ensino deste conteúdo utilizando de meios concretos para
explicá-lo, seria esse o meu desafio.
Ao pesquisar sobre a História da Trigonometria descobri que essa foi uma das
primeiras ciências formuladas para resolver questões da vida prática da humanidade e que ela
se embasava em conceitos facilmente explicáveis com o uso de material concreto. Primeira
descoberta: O adjetivo “abstrata” não fazia jus a esta ciência.
Mesmo chegando a esta conclusão faltava descobrir uma forma de ensiná-la
estimulando os alunos a adquirirem autonomia. No terceiro capítulo deste trabalho há uma
breve explanação do conceito de heteronomia e de autonomia e o parecer de vários autores
sobre como ocorre o processo de passagem da heteronomia para a autonomia.
Creio que uma das grandes conquista de uma pessoa ocorre quando ela aprende a ler,
porque entra em contato com um mundo novo e com uma nova forma de interagir com ele.
115
Sempre gostei bastante de Matemática, mas nunca me apropriei dela. Lembro-me de que
quando era pequena me escondia debaixo da cama e ficava escrevendo os numerais “até o
infinito”, não gostava porque cansava e nunca achei o infinito. Mas apesar desse gosto pela
Matemática ela nunca foi minha, adorava ler tudo quanto era tipo de coisa, mas desanimei dos
livros de matemática. A Matemática virou “coisa que via na aula mais legal”. Ao lecionar
sentia agora que tinha conquistado a Matemática, se não sabia estudava e aprendia, mas não
conseguia ensinar aos meus alunos a se apropriarem do conhecimento a respeito dessa
disciplina. Percebi que eles não sabiam ler Matemática nem tão pouco relacioná-la as coisas
do mundo. Por isso, o terceiro capítulo termina fazendo uma reflexão sobre a importância do
uso da linguagem natural nas aulas de Matemática como auxilio para que as crianças se
aproprie do conhecimento matemático.
No quarto capítulo há uma reflexão sobre a educação nos dias atuais e são apresentado
dois projetos que visam auxiliar na conquista da autonomia discente. Esses projetos mostram
como o sonho de uma educação pública de qualidade e que prepare a criança de forma
integral para viver como cidadão critico no mundo não é apenas sonho.
Após abordarmos sobre estes dois projetos, no último capitulo deste trabalho é
apresentada uma sequência didática voltada para o ensino de Trigonometria na Circunferência
onde são explorados projetos que permitam a visualização dos objetos matemáticos, logo após
o conteúdo é apresentado de forma a explorá-lo com o uso da linguagem natural e finalmente
com o uso da linguagem matemática.
Em um projeto pedagógico tradicional é o professor que traz a matéria que será
estudada e os alunos são meros receptores desse saber. Para que haja um trabalho voltado para
a autonomia discente é necessário que haja uma mudança nessa concepção de ensino. Creio
que escrever é, entre outras coisas, uma forma de registrar conhecimentos e descobertas para
que ele possa ser compartilhado, com outras pessoas. Acredito que ao ler qualquer trabalho,
seja ele, Fundamentos da Matemática elementar, Pedagogia do oprimido, Bíblia ou qualquer
clássico devemos fazê-lo não como quem lê algo escrito por gênios ou deuses, mas como
quem lê uma carta enviada por um amigo que quer nos contar suas experiências, descobertas
ou até mesmo anseios. Assim desejo que este trabalho seja lido, não como as boas novas de
alguém que quer “professar um novo credo pedagógico”, mas como as boas novas de alguém
que procurou achar resposta à uma inquietação e com base nas pesquisas realizadas sugere
uma nova forma de ensinar a aprender Trigonometria na Circunferência.
116
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA
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119
Anexo 1:
Questionário com Professor André Pacheco, para TCC (Trabalho de Conclusão de
Curso) Aprender a aprender Matemática: Trigonometria como trilhar caminhos tão
abstratos para o Curso de Matemática pelas Faculdades Integradas de Ribeirão Pires.
1)Como foi seu primeiro contato com a disciplina matemática na escola?
O tempo que passou relativamente ao primeiro contacto com a Matemática na escola, no
Primeiro Ciclo, e o facto de esse ciclo funcionar em monodocência, havendo um único
professor em todas as áreas, o que leva a que os alunos não sintam a fronteira imaginária
entre as várias áreas de estudo, faz com que não tenha uma imagem do referido primeiro
contacto.
2) Qual era atitude tomada pelos professores quando um aluno manifestava não gostar de
matemática?
Relativamente a este ponto, devo começar por informar que fui aluno na Escola da Ponte
num momento embrionário do projecto. Por exemplo, as turmas ainda funcionavam com o
seu professor de modo independente relativamente às demais. Deste modo, como alunos só
poderei falar sobre o meu professor que era igualmente meu pai. Tenho dificuldades em
lembrar qual a sua atitude perante alunos que manifestavam não gostar de Matemática. Para
além disso, eu sempre fui um aluno com predilecção pela disciplina e na idade que tinha, 6 a
9 anos, não observava muito o que se passava com os restantes colegas. No entanto, lembro-
me de haver, por parte do professor, um trabalho centrado em actividades que envolviam a
aprendizagem da autonomia. Esta aprendizagem permitia uma atitude mais positiva e segura
relativamente a novos contextos matemáticos.
3) Como as crianças ai em Portugal, ou mais precisamente na escola que você teve os seu
primeiros anos de estudo, aprendem geometria? Qual a metodologia de ensino usada no
ensino desta disciplina?
A Geometria faz parte do currículo de todos os ciclos de estudo em Portugal. Infelizmente já
não tenho imagem do estudo da Geometria de quando era aluno dos primeiros anos de
escolaridade. Por outro lado, como trabalho com alunos dos 12 aos 18 anos de idade, não
tenho um conhecimento efectivo sobre as metodologias aplicadas nos primeiros anos de
estudo. Sei que nos primeiros momentos existe um esforço em fazer com que os alunos
120
apreendam um conjunto de conceitos, sobretudo ao nível da nomenclatura geométrica,
relacionando as mesmas com as características de cada tipo de figura geométrica. Em
seguida surge um esforço em trabalhar com material de medida e desenho. Aqui as
metodologias utilizadas são muito variadas, dependendo do professor. No entanto, tem
havido uma forte aposta na formação de professores deste ciclo, procurando que os mesmos
optem por metodologias activas.
4) Uma das minhas inquietações e motivo para eu decidir o tema do meu trabalho é o fato de
considerar que os alunos terminam o Terceiro Ciclo (ou Ensino Médio) sem ter desenvolvido
a capacidade de ler um livro do Segundo Ciclo (ou Ensino Fundamental). Antes de você fazer
Faculdade de Matemática você considera que estava apto de ler e interpretar um livro de
Segundo Ciclo de Matemática sem a interferência de um adulto?
Pessoalmente, penso que na altura estava perfeitamente apto para o efeito. Fui educado
pelos meus pais a procurar respostas, em detrimento de me fornecerem as respostas sem que
houvesse esforço envolvido da minha parte. Deste modo, tornei-me suficientemente
autónomo, de modo a ter uma considerável capacidade de auto-aprendizagem.
5) O trabalho que vou realizar é sobre trigonometria, este conteúdo pelo PCN (Parâmetros
Curriculares Nacionais), documento que rege a educação aqui no Brasil é um assunto
trabalhado no Ensino Médio (ou terceiro ciclo). Se uma criança da Escola da Ponte se
interessar por este tema e decidir estudá-lo mesmo não fazendo parte da grade curricular da
escola ela tem esta liberdade?
Na Escola da Ponte actual são as crianças que organizam as áreas de estudo que trabalham
em cada momento, respeitando os conteúdos gerais de cada um dos ciclos de estudo e as
especificidades de cada disciplina, sempre com a supervisão dos professores. Deste modo,
não havendo a rigidez do ensino tradicional dirigido e com a utilização praticamente
exclusiva de métodos passivos, qualquer criança terá liberdade para estudar tal tema, desde
que os professores considerem que ela está apta a fazê-lo.”
121
Anexo 2:
Questionário com o Professor Cristiano, para o TCC (Trabalho de Conclusão de Curso)
Trigonometria como trilhar caminhos tão abstratos para o Curso de Matemática pelas
Faculdades Integradas de Ribeirão Pires.
1) Como são as aulas voltadas para o aprendizado de Geometria? Como é feita a escolha do
material didático que será utilizado durante as aulas?
Cara Lídia, parece-me pertinente assinalar que na Ponte não há aulas. Não existem
momentos pré-determinados para um determinado assunto e em que todos os alunos
aprendam o mesmo ao mesmo tempo. No caso de um aluno escolher um aspecto
programático relacionado com a Geometria terá que: 1.º Pesquisar sobre o assunto nos
diferentes manuais disponibilizados para o efeito e, se justificar, também noutras fontes de
informação (internet, enciclopédias. etc.); 2.º Se sentir dificuldades na pesquisa, solicita a
ajuda do grupo de trabalho; 3.º Se a mesma persistir, recorre a um dispositivo pedagógico
intitulado Preciso de Ajuda onde coloca o seu nome, data e assunto e ser-lhe-á marcada
uma Aula Directa22 sobre esse assunto.
A escolha de todo o material didáctico, independentemente das diferentes formações
académicas dos professores de Matemática, é realizada nas reuniões preparatórias de cada
ano lectivo, podendo a escolha ser ajustada a todo o momento durante o ano lectivo.
Considero pertinente referir que todo o material está à disposição de todos os alunos durante
todo o ano lectivo.
2) Quais são as atitudes tomadas pelos professores quando um aluno manifesta não gostar de
Matemática?
Sinceramente nunca me deparei com tal situação desde que estou cá na Ponte. No entanto,
saliento que estou cá desde há quatro anos e que sempre trabalhei com os alunos do Núcleo
de Iniciação. Se tal acontecesse, a atitude não poderia ser assumida por apenas um
professor. Com as nossas dinâmicas pedagógicas este assunto teria que ser resolvido no
22 As Aulas Directas são organizadas pelos professores do seguinte modo: para além do aluno com a
dificuldade assinalada, o professor solicita a presença de outros que detenham o mesmo problema e outros que, já tendo estudado o assunto, possam ajudar à superação da dificuldade. Na Aula Directa o aluno expõe a dúvida e tenta-se que seja o restante grupo (nunca mais de 6 alunos no total) a esclarecê-lo. No caso de tal não ser satisfatório, o professor explica directamente o assunto.
122
colectivo de professores do núcleo de projecto e, muito especialmente, pelo tutor desse aluno
em conjunto com os seus pais.
3) A Escola da Ponte é tida como referência no estímulo à formação da autonomia dos seus
alunos. O professor que inicia seu trabalho nesta escola recebe alguma orientação especial de
como lidar com as crianças que difere das orientações dadas aos professores das outras
escolas da região?
Quando um professor chega à escola pela primeira vez inicia, normalmente, um processo de
desconstrução dos referentes profissionais veiculados, também normalmente, pelas
instituições de formação de professores – aliás, considero que mais valia encerrar todo o
sistema de ensino superior de formação de professores!
O processo que atrás refiro deve ser, tanto quanto possível, monitorizado pelos que cá estão
há mais anos. A nossa forma de estar exige um enorme investimento pessoal e um rasgar com
velhas concepções – o que nem sempre é fácil. Contudo, tal como tudo na Ponte, o
acompanhamento dos outros é fundamental para que as dificuldades sejam menorizadas.
4) Uma das minhas inquietações e motivo para eu decidir o tema do meu trabalho é o fato de
considerar que os alunos terminam o Terceiro Ciclo (ou Ensino Médio) sem ter desenvolvido
a capacidade de ler um livro do Segundo Ciclo (ou Ensino Fundamental). Antes de você fazer
Faculdade de Matemática você considera que estava apto de ler e interpretar um livro de
Segundo Ciclo de Matemática sem a interferência de um adulto?
Sim.
5) O trabalho que vou realizar é sobre trigonometria, este conteúdo pelos PCNs (Parâmetros
Curriculares Nacionais), documento que rege a educação aqui no Brasil é um assunto
trabalhado no Ensino Médio (ou terceiro ciclo). Se uma criança da Escola da Ponte se
interessar por este tema e decidir estudá-lo mesmo não fazendo parte da grade curricular da
escola ela tem esta liberdade?
A Escola da Ponte integra, desde 2003/ 2004, o 3.º Ciclo. No entanto, responderei à sua
questão partindo do seguinte princípio: se um aluno quiser estudar um assunto que não
conste do programa disciplinar até ao 3.º ciclo, pode fazê-lo?
Claro que pode!
123
A questão é saber se existem precedências no seu percurso que lhe permitam estudar mais
aprofundadamente esse determinado assunto. Exemplo: se um aluno do Núcleo de Iniciação
(que integra, normalmente, alunos desde os 5/6 anos até aos 9/10 anos) decidir estudar
trigonometria pode fazê-lo mas de um modo ajustado ao seu desenvolvimento cognitivo –
muito provavelmente passaria por saber o que é a trigonometria e para que serve. No fundo
pretende-se que a aquisição seja significativa e funcional. No entanto, estas serão as
excepções e não as regras porque muito dificilmente escolhem assuntos matemáticos que não
lhes sejam próximos/concretos.
124
Anexo 3:
Carta de Princípios de Convivência
Todos merecemos ser tratados com respeito
Todos devem saber ouvir e saber falar.
Todos devem levantar a mão para pedir a palavra.
Ninguém deve sofrer ameaças.
Ninguém deve receber apelidos desrespeitosos.
Ninguém deve ser xingado ou ofendido.
Todos temos direito a uma escola tranqüila, limpa e organizada
Todos devem cuidar das plantas e do jardim.
Todos devem se esforçar para manter os banheiros limpos.
Todos devem jogar o lixo nos cestos.
Ninguém deve correr nos corredores.
Ninguém deve pular os muros da escola.
Todos devem ter calma, para que não haja brigas.
Não devemos pichar ou rabiscar as paredes e muros.
Na escola não devemos falar palavrões.
Todos temos que levar a escola a sério
Ninguém deve cabular as aulas.
Os horários devem ser respeitados por todos.
Todos devem vir à escola com roupas adequadas.
125
Não devemos mascar chicletes nas aulas.
Não devemos fumar na escola.
Todos temos direito a materiais de estudo e livros limpos e bem conservados
Não devemos rabiscar as carteiras.
Devemos cuidar dos livros e dos outros materiais de uso coletivo, não rabiscando ou
rasgando.
Devemos respeitar os materiais dos outros, não roubando ou mexendo em mochilas sem
autorização.
Só devemos trazer para a escola os materiais que vamos usar para estudar e dos quais
poderemos cuidar.
Não devemos trazer MP3, e celular só se for muito necessário.
Devemos ser solidários e emprestar nossos materiais, que devem ser bem cuidados e
devolvidos após o uso.
Todos temos direito a fazer as refeições em local limpo e tranqüilo
Devemos nos servir somente da quantidade que pretendemos comer, para não desperdiçar
comida.
Não devemos brincar com a comida, nem jogá-la no chão ou nos outros.
Todos devem respeitar a fila para pegar os pratos.
Não devemos comer em locais inadequados.
Todos temos direito a uma escola que funcione organizadamente
Os horários das atividades devem ser definidos e respeitados.
Todos os roteiros e trabalhos dos alunos devem ser corrigidos.
O número de educadores deve ser suficiente.
126
Anexo 4:
Modelo de lista de Eixos Temáticos e organização dos roteiros de pesquisa de 5º a 8º anos. IDENTIDADE E ALTERIDADE
NOSSO PLANETA
NOSSO PAÍS
NOSSO MUNDO
SAÚDE
Debatedores(7ª)
Água (5º) Brasil (7º) África (8º) Alimento (7º)
Entrevistadores(5ª) Arqueólogo (5º) Chargistas América
Central (7º)
Átomos (8º)
Família(7ª) Astrônomo (5º) Cidades (5º) América do Norte (7º)
Biblioteca (5º)
Genoma(7ª) Big Bang (8º) Colônia (6º) América do
Sul (7º)
Desigualdades
(7º) Identidade
Cultural (6º)
Camada de
Ozônio (5º)
Jornais (5º) Ásia (8º) Esportistas (8º)
Leitores (7º)
Canções (6º) Mitos (7º) Cartografia (5º) Esqueleto (7º)
Lendas (5º)
Evoluções (7º)
Memória (5º) Geólogos e
Paleontólogos (5º)
Região Centro-
Oeste (6º)
Europa (8º) Pesquisador (8º)
Percepção (6º) Notícias (6º) Região Nordeste
(6º)
Globalização (8º)
Reprodução (6º)
Teatro (6º) Terra (5º) Região
Sudeste (6º)
Internet (5º) Trabalhadores
(8º) Telespectadores (7º) Região Sul
(6º) Navegações (6º)
Trabalho (6º)
Oceania e Regiões
Polares (7º)
Revoluções (8º)
Revoluções (8º)
127
Anexo 5:
Modelo de roteiro de pesquisa utilizado pelos oitavo ano do Nive II Roteiro de pesquisa: Triângulos
Estudante_____________________________Grupo___________________
Objetivos Atividades Avaliação do
Profº Tutor
1. Descobrir quando dois triângulos são
congruentes, isto é, quando eles se sobrepõem
perfeitamente.
Mat 8, p. 137-
140(ex.4-8).
2. Saber por que dois triângulos que possuem
ângulos correspondentes congruentes são
semelhantes.
Mat 8, p. 146-
149(ex.16-20).
3. Resolver problemas aplicando a semelhança de
triângulos como saber a altura de uma árvore.
Mat 8, p. 150-
152(ex.21-24).
4. Fazer uma auto-avaliação.
Mat 8, p. 161-162
(ex.1,3,4,5,6,7,10 e
11).
5. Saber qual é a relação entre o triângulo
retângulo e o ângulo reto para os egípcios.
Mat 8, p. 163-165.
6. Aplicar o teorema de Pitágoras que diz que em
todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.
Mat 8, p. 166-
168(ex.1-6).
7. Resolver problemas aplicando outras relações
métricas nos triângulos retângulos.
Mat 8, p. 172-
176(ex.13-14).
8. Fazer uma auto-avaliação Mat 8, p. 180
(ex.1,4,5,8,9,10,11
Exercicios do livro Novo Praticando Matemática. De Alvaro Andrine, São Paulo: Editora do
Brasil, 2002.
128
Anexo 6 :
Modelo de plano de estudos quinzenal
PLANO DE ESTUDOS QUINZENAL de: ___/____/____ a: ___/____/____
Nome:
Tutor(a) : Série: Grupo:
Objetivos do grupo de tutoria Objetivos pessoais Objetivos que vou estudar nesta quinzena
Roteiros Objetivos Orientação para atarefa de casa:
Tarefa Data de entrega
129
Anexo 7 :
Modelo de ficha do Registro Diário
REGISTRO DIÁRIO Data:____/____/_____
Data:____/____/_____
Data:____/____/_____
Data:____/____/_____
Data:____/____/_____
130
Anexo 8:
Modelo de ficha de auto-avaliação do trabalho na quinzena.
Observação do professor (a) Tutor (a) Data Mensagem Assinatura Observações dos pais ou responsável Data Mensagem Assinatura
131
Anexo 9:
Relatório diário
Relatório Diário:
Nome do aluno:
Nome da disciplina:
Nome do professor:
Tema da aula:
Data:
Síntese da aula:
Bibliografia pertinente:
Comentário do aluno:
(Modelo de relatório sugerido em D’AMBROSIO, 1996, p.71)
132
Anexo 10 :
Modelo de ficha de auto-avaliação
Ficha de auto-avaliação
Nome: ____________________________ Nº.: ___Série:___Turma: ___Data: ___/___/___
A auto-avaliação é um instrumento que além de quantificar o que foi aprendido durante um
período de estudo serve para auxiliar o aluno a repensar e replanejar sua forma de estudar.
Suas respostas e colocações serão lidas pelo professor e servirão de base para
direcionarmos nossas aulas durante os próximos períodos que virão.
1ª Parte: Assinale com um X o item que descreve de forma mais próxima sua situação
como estudante durante o estudo dessa sequência didática. Assinale na coluna S se sua
resposta for sempre, na coluna Q se sua resposta for quase sempre, na coluna R se sua
resposta for raramente, e na coluna N se sua resposta for nunca.
SOBRE COMO FOI MEU DESEMPENHO S Q R N Ajudei meus colegas?
Evitei atrapalhar as aulas com conversas paralelas?
Dediquei-me as atividades da escola?
Questionei meus colegas quando tive dúvidas?
Prestei atenção as considerações do feita pelo Professor?
Fiz anotações dos pontos que considerei importante?
Entendi a matéria?
Realizei as atividades propostas demonstrando organização?
Resolvi exercícios além do que foi pedido em sala de aula?
Persisti quando me vi diante de uma dificuldade?
Procuro reforçar o que sei consultando outros livros.
Reforço a dedicação diante de resultados insatisfatórios?
Posso contar com a ajuda de alguém para estudar em casa?
2ª Parte: Escreva um texto no verso dessa folha, contando como foi o estudo dessa
sequência didática do seu ponto de vista observando os seguintes aspectos:
- Quais foram os assuntos que você teve a oportunidade de ver? - Apresente o enunciado de algum dos exercícios ou problemas que viu e que teve maior dificuldade em resolver. - Quantifique de 1 a 10 o seu aprendizado durante este período.
- Conte um momento da aula que você pode participar dando opiniões e sugestões ou mesmo indicando aos seus colegas formas de fazer uma atividade ou questão proposta. - Quais os meios que você utiliza para aprender? Pede ajuda para os colegas, pesquisas em livros, pede ajuda para alguém em casa ou para o professor, etc.
- De sugestões ou faça observações sobre as aulas. - Seus responsáveis colaboram para o bom andamento de sua vida escola?
( Modelo de ficha de auto-avaliação sugerido no site http://cidda53332234973166.office.live.com/self.aspx/ .Public/Auto--avalia%c3%a7%c3%a3o.doc)
