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Apres Elem Aresta v5

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Text of Apres Elem Aresta v5

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Eltrica Grupo de Concepo e Anlise de Dispositivos Eletromagnticos GRUCAD

Introduo aos elementos de arestaAndr Giovani Leal Furlan Filipe Nunes Resmini Maycon Aurlio Maran

GRUCAD/2012

Estrutura da apresentao

Introduo

Conceitos bsicosFormulao

Aplicao magnetostticaVantagens e desvantagens

Exemplo computacional

GRUCAD/2012

IntroduoO que so elementos de aresta?

p5 6 7 8 9

p12 11 10 5 1 4 3 7 4 3 2 8

v

6

1

v

2

u

u

GRUCAD/2012

IntroduoWhitney (1957)(Fundamentao matemtica)

Nedelec (1980)(Teorizao)

Bossavit (1982)(Anlise)

Nedelec (1986)(Correes)

Webb (1983) Albanese (Problemas de (1983)espalhamento de onda) (Correntes parasitas 3D)

Bossavit (1989)(Utilizao problemas de espalhamento)

Ahagon, Kameari, Perugia, NigamElementos de maior ordemGRUCAD/2012

Ahagon (1998)(Funes de forma)

Mur (1994)(Anlise custo computacional e erros)

Bastos (1994)(Correntes parasitas)

Tipos de elementos de arestaElemento de aresta misto ou Whitney I

Possuem um nmero de incgnitas igual ao nmero de arestas do elemento. Implicam em campos livres de divergncia; No so totalmente lineares; Erros da ordem de h; Menor custo computacional no compensa a falta de preciso.

GRUCAD/2012

Tipos de elementos de arestaElemento de aresta consistentemente linear

Possuem duas incgnitas por aresta; Variao linear em todas as direes; Erros da ordem de h; Melhor representao de campos prximos a cantos; Maior demanda computacional mais incgnitas por malha.

GRUCAD/2012

Formulao bsicav

Elemento de referncia3

Funes de mapeamento nodais

1 = 1 2 =

(3)

(2)

3 =

1

(1)

2

u

Funes de mapeamento de aresta e interpolao: = = 1 = 12 = 1 2 2 1 = 1 a + ua 2 = 23 = 2 3 3 2 = a + a 3 = 31 = 3 1 1 3 = a + 1 aGRUCAD/2012

Formulao bsicaPropriedade das funes de interpolao:

=

. = 1

Como o campo na fronteira do elemento?

GRUCAD/2012

Formulao bsicaComportamento da funo de interpolao da aresta 1.

GRUCAD/2012

Formulao bsicaObteno do campo no elemento:

= 1 . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 ==1

.

Soma das funes de interpolao no elemento:

GRUCAD/2012

Elementos de ArestaSuponha a varivel definida no elemento retangular abaixo:y 3 4 4

ly O

(, ) 1

2lx x

, ==1

Onde a funo de forma est associada aresta i do elemento. Note: As funes de forma so vetores, possuem direo e posio (elementos nodais tm apenas posio)

GRUCAD/2012

Funes de Forma (2D)y 3 4 (, ) 1 O lx x 2

ly

GRUCAD/2012

Funes de Forma (2D)y 3 4 (, ) 1 O lx x 24

ly

, ==1

GRUCAD/2012

Funes de Interpolao (2D)y 3 4 (, ) 1 O lx x 24

ly

, ==1

1 = 1 2 =

3 =

4 = 1

GRUCAD/2012

Funes de Interpolao (2D)As funes de interpolao so vetores, possuem direo e posio!Note que para aresta 1, a direo e a posio : 1 = = / = = = / = Para aresta 3, temos: = = / = = = / = (aresta 1) (metade do caminho) (aresta 3) (aresta 1) (metade do caminho) (aresta 3)

GRUCAD/2012

Vetor PotencialO que so as variveis em , = =

????

GRUCAD/2012

Vetor PotencialO que so as variveis em , =y 3 4 (, ) 1 O lx x 2 1 = 1

=

????

Note que: , 0 = 1 , = 3 0, = 4

ly

3 =

2 =

4 = 1

, = 2

GRUCAD/2012

Vetor PotencialO que so as variveis em , =y 3 4 (, ) 1 O lx x 2 1 = 1

=

????

Note que: , 0 = 1 , = 3 0, = 4

ly

3 =

2 =

4 = 1

, = 2 a projeo do vetor , sobre a aresta i !

GRUCAD/2012

Hexaedro (3D)Um hexaedro possui 6 faces, 8 ns e 12 arrestas.p5 6 7 8

p12

910 5 7

118 4 3 2

12 3

4

v

6

1

v

uNumerao dos ns

uNumerao das aresta

GRUCAD/2012

Hexaedro (3D)Um hexaedro possui 6 faces, 8 ns e 12 arrestas.p5 6 7 8

p12

910 5 7

118 4 3 2

12 3

4

v

6

1

v

uNumerao dos ns

uNumerao das aresta

12

, ==1

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 3 2 7 4 11 8

v

u

wi (r) = (, , )q i (r) (, , )Depende das coordenadas: , ,

qi (r)Depende das coordenadas: x, y , z Pois: r = + + Responsvel pela direo da aresta em coordenadas reais.

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 3 2 7 4 11 8

Aresta iv

i (1-v)(1-p) u(1-p) v(1-p) (1-u)(1-p) (1-u)(1-v) u(1-v) uv (1-u)v (1-v)p up

1 2 3 4

u

wi (r) = (, , )q i (r) (, , )Depende das coordenadas: , ,

qi (r)Depende das coordenadas: x, y , z Pois: r = + + Responsvel pela direo da aresta em coordenadas reais.

5 6 7 8 9 10

11 12

vp (1-u)p

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

Como determinar as funes qi (r) ???

32

v

u

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

32

v

u

Como determinar as funes qi (r) ??? Exemplo: w11 (r) = 11 (, , ) qi (r) = pois indica a direo da aresta 11

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

32

v

u

Como determinar as funes qi (r) ??? Exemplo: w11 (r) = 11 (, , ) qi (r) = pois indica a direo da aresta 11

Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas (x, y, z)????

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

32

v

u

Como determinar as funes qi (r) ??? Exemplo: w11 (r) = 11 (, , ) qi (r) = pois indica a direo da aresta 11

Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas (x, y, z)???? = + +

= + + = + +

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

32

v

u

Como determinar as funes qi (r) ??? Exemplo: w11 (r) = 11 (, , ) qi (r) = pois indica a direo da aresta 11

Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas (x, y, z)???? = + + = + + = + +

= = =

GRUCAD/2012

Funes de Forma Nodais (3D)pc 5 6 7 vc 1 4 8

2uc

3

Aresta 1 2 3 4 5 6 7 8GRUCAD/2012

2 2 2 /8 1 2 2 /8 1 1 2 /8 2 1 2 /8 2 2 1 /8 1 2 1 /8 1 1 1 /8 2 1 1 /8

2 2 /8 2 2 /8 1 2 /8 1 2 /8 2 1 /8 2 1 /8 1 1 /8 1 1 /8

2 2 /8 1 2 /8 1 2 /8 2 2 /8 2 1 /8 1 1 /8 1 1 /8 2 1 /8

2 2 /8 1 2 /8 1 1 /8 2 1 /8 2 2 /8 1 2 /8 1 1 /8 2 1 /8

Onde: a1 = 1 + u ; a2 = 1 u ; b1 = 1 + v ; b2 = 1 v ; 1 = (1 + p ) e c2 = (1 p )

Funes de Forma Nodais (3D)pc

pc5 6 7 vc 1 46

= (8

+ )/

p5 8 7

85 76

2uc

3

vc1

1 2 3

4

v

4 3

2uc

u

Aresta 1 2 3 4 5 6 7 8GRUCAD/2012

2 2 2 /8 1 2 2 /8 1 1 2 /8 2 1 2 /8 2 2 1 /8 1 2 1 /8 1 1 1 /8 2 1 1 /8

2 2 /8 2 2 /8 1 2 /8 1 2 /8 2 1 /8 2 1 /8 1 1 /8 1 1 /8

2 2 /8 1 2 /8 1 2 /8 2 2 /8 2 1 /8 1 1 /8 1 1 /8 2 1 /8

2 2 /8 1 2 /8 1 1 /8 2 1 /8 2 2 /8 1 2 /8 1 1 /8 2 1 /8

Onde: a1 = 1 + u ; a2 = 1 u ; b1 = 1 + v ; b2 = 1 v ; 1 = (1 + p ) e c2 = (1 p )

Funes de Forma Nodais (3D)pc86 7

= (

+ )/

p5 8

5 6 7

vc1

1 2 3

4

v

4 3

2uc

u

GRUCAD/2012

Funes de Forma Nodais (3D)pc86 7

= (

+ )/

p5 8

5 6 7

uc = 2u 1vc = 2v 1v

vc1

1 2 3

4

4 3

pc = 2p 1

2uc

u

GRUCAD/2012

Funes de Forma Nodal (3D)pc86 7

= (

+ )/

p5 8

5 6 7

uc = 2u 1vc = 2v 1v

vc1

1 2 3

4

4 3

pc = 2p 1 a1 = 2u a2 = 2(1 u) b1 = 2v

2uc

u

a1 = 1 + u a2 = 1 u b1 = 1 + v

b2 = 1 v1 = (1 + p ) 2 = (1 p )

b2 = 2 1 v1 = 2p 2 = 2(1 )

GRUCAD/2012

Funes de Forma Nodais (3D)pc86 7

= (

+ )/

p5 8

5 6 7

uc = 2u 1vc = 2v 1v

vc1

1 2 3

4

4 3

pc = 2p 1 a1 = 2u a2 = 2(1 u) b1 = 2v

2uc

u

a1 = 1 + u a2 = 1 u b1 = 1 + v

b2 = 1 v1 = (1 + p ) 2 = (1 p )

b2 = 2 1 v1 = 2p 2 = 2(1 )

Como exemplo, seja a funo N1, atravs da tabela do slide anterior, obtm-se: N1 =GRUCAD/2012

1+uc 1+pc 1+vc 8

= 1+u 1+v 1+p

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

Eq. de Maxwell Clculo de (w )v

32

u

GRUCAD/2012

Funes de Forma (3D)p12 9 10 5 6 1 7 4 11 8

Eq. de Maxwell Clculo de (w )v

32

u

1 w = w = w = 1 1

Arestas1,3,9,11 Paralelas ao eixo u 2,4,10,12 Paralelas ao eixo v 5,6,7,8 Paralelas ao eixo p

GRUCAD/2012

Caso MagnetostticoEquaes Fundamentais

= B = rot A B = H

GRUCAD/2012

Caso MagnetostticoEquaes Fundamentais

= B = rot A B = H

1 A = J

GRUCAD/2012

Caso MagnetostticoEquaes Fundamentais

= B = rot A B = H

1 A = J Galerkin 1 A . wm d