Apres Elem Aresta v5

GRUCAD/2012

Introdução aos elementos de aresta

Universidade Federal de Santa CatarinaDepartamento de Engenharia Elétrica

Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos

GRUCAD

André Giovani Leal FurlanFilipe Nunes Resmini

Maycon Aurélio Maran

GRUCAD/2012

Estrutura da apresentação

Introdução

Conceitos básicos

Formulação

Aplicação magnetostática

Vantagens e desvantagens

Exemplo computacional

GRUCAD/2012

Introdução

O que são elementos de aresta?

v

p

3

4

85

1

2

6 7

u

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

5

GRUCAD/2012

Introdução

Whitney (1957) (Fundamentação

matemática) Nedelec (1980)(Teorização)

Bossavit (1982)(Análise)

Nedelec (1986)(Correções)

Bossavit (1989)(Utilização – problemas

de espalhamento)

Webb (1983)(Problemas de

espalhamento de

onda)

Mur (1994)(Análise – custo

computacional e erros)

Bastos (1994)(Correntes parasitas)

Ahagon (1998)(Funções de forma)

Albanese

(1983)(Correntes

parasitas 3D)

Ahagon,

Kameari,

Perugia, NigamElementos de maior

ordem

GRUCAD/2012

Tipos de elementos de aresta

Elemento de aresta misto ou Whitney I

Possuem um número de incógnitas igual ao número de arestas do

elemento.

Implicam em campos livres de divergência;

Não são totalmente lineares;

Erros da ordem de ‘h’;

Menor custo computacional não compensa a falta de precisão.

GRUCAD/2012

Tipos de elementos de aresta

Elemento de aresta consistentemente linear

Possuem duas incógnitas por aresta;

Variação linear em todas as direções;

Erros da ordem de ‘h²’;

Melhor representação de campos próximos a cantos;

Maior demanda computacional – mais incógnitas por malha.

GRUCAD/2012

Formulação básica

3

1 2 u

v

(1)

(2)(3)

Elemento de referência Funções de mapeamento nodais

Funções de mapeamento de aresta e interpolação:

𝑁1=1−𝑢−𝑣𝑁 2=𝑢𝑁 3=𝑣

∅⃗ 𝑘=∅⃗ 𝑖𝑗=𝑁 𝑖𝛻𝑁 𝑗−𝑁 𝑗𝛻 𝑁 𝑖∅⃗ 1¿ ∅⃗ 1⃗2=𝑁1𝛻𝑁 2−𝑁 2𝛻𝑁1=(1−𝑣 ) a⃗𝑢+u a⃗𝑣∅⃗ 2 ¿ ∅⃗ 2⃗3=𝑁 2𝛻 𝑁3−𝑁 3𝛻𝑁 2=−𝑣 a⃗𝑢+𝑢 a⃗𝑣∅⃗ 3 ¿ ∅⃗ 3⃗1=𝑁 3𝛻𝑁1−𝑁1𝛻 𝑁3=−𝑣 a⃗𝑢+(1−𝑢) a⃗𝑣

GRUCAD/2012


•

Propriedade das funções de interpolação:

𝑛𝑘=∫𝑖

𝑗

∅⃗ 𝑘 .𝑑�⃗�=1

Como é o campo na fronteira do elemento?

GRUCAD/2012


Comportamento da função de interpolação da aresta 1.

GRUCAD/2012


Obtenção do campo no elemento:

Soma das funções de interpolação no elemento:

�⃗�=∅⃗ 1 .𝑒1+∅⃗ 2 .𝑒2+∅⃗ 3.𝑒3=∑𝑖=1

𝑘

∅⃗ 𝑘 .𝑒𝑘

GRUCAD/2012

Suponha a variável definida no elemento retangular abaixo:

Onde a função de forma está associada à aresta “i” do elemento.

Note: As funções de forma são vetores, possuem direção e posição

(elementos nodais têm apenas posição)

Elementos de Aresta

x

ly

lx

y

�⃗�

�⃗�1

2

3

4

O

�⃗�(𝑥 , 𝑦 )

GRUCAD/2012

Funções de Forma (2D)

x

ly

lx

y

�⃗�

�⃗�1

2

3

4

O

�⃗�(𝑥 , 𝑦 )

GRUCAD/2012


�⃗� (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑖=1

4

�⃑�𝑖 𝐴𝑖

x

ly

lx

y

�⃗�

�⃗�1

2

3

4

O

�⃗�(𝑥 , 𝑦 )

GRUCAD/2012

Funções de Interpolação (2D)

�⃗� (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑖=1

4


x

ly

lx

y

�⃗�

�⃗�1

2

3

4

O

�⃗�(𝑥 , 𝑦 )

GRUCAD/2012

Funções de Interpolação (2D)

As funções de interpolação são vetores, possuem direção e posição!

Note que para aresta 1, a direção é î e a posição é:

Para aresta 3, temos:

(aresta 1)

(metade do caminho)

(aresta 3)

(aresta 1)

(metade do caminho)

(aresta 3)

GRUCAD/2012

Vetor Potencial

O que são as variáveis em

????

GRUCAD/2012

Vetor Potencial


????

Note que:

x

ly

lx

y

�⃗�

�⃗�1

2

3

4

O

�⃗�(𝑥 , 𝑦 )

GRUCAD/2012

Vetor Potencial


????

Note que:

x

ly

lx

y

�⃗�

�⃗�1

2

3

4

O

�⃗�(𝑥 , 𝑦 )

é a projeção do vetor sobre a

aresta “i” !

GRUCAD/2012

Hexaedro (3D)

Um hexaedro possui 6 faces, 8 nós e 12 arrestas.

v

p

3

4

85

1

2

6 7

u

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

5

Numeração dos nós Numeração das aresta

GRUCAD/2012

Hexaedro (3D)

Um hexaedro possui 6 faces, 8 nós e 12 arrestas.

�⃗� (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑖=1

12


v

p

3

4

85

1

2

6 7

u

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

5

Numeração dos nós Numeração das aresta

GRUCAD/2012


(

Depende das coordenadas:


Pois:

Responsável pela direção da aresta em coordenadas

reais.

5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012


Aresta i φi

1 (1-v)(1-p)

2 u(1-p)

3 v(1-p)

4 (1-u)(1-p)

5 (1-u)(1-v)

6 u(1-v)

7 uv

8 (1-u)v

9 (1-v)p

10 up

11 vp

12 (1-u)p

(



Pois:

Responsável pela direção da aresta em coordenadas

reais.

5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012

Como determinar as funções (???


5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012



Exemplo:

(

pois indica a direção da aresta 11

5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012



Exemplo:

(


Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas ????

5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012



Exemplo:

(



5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012



Exemplo:

(



5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012

Funções de Forma Nodais (3D)

Aresta

123

56

8Onde:

vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

GRUCAD/2012


Aresta

123

56

8Onde:

vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

v

p

3

4

8 5

1

2

6 7

u

0ൌ��ሺ0 ሻȀ�

GRUCAD/2012


vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

v

p

3

4

8 5

1

2

6 7

u

ൌ��ሺ ሻȀ�

GRUCAD/2012


vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

v

p

3

4

8 5

1

2

6 7

u


GRUCAD/2012

Funções de Forma Nodal (3D)

vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

v

p

3

4

8 5

1

2

6 7

u


GRUCAD/2012


vc

pc

3

4

8 5

1

2

6 7

uc

v

p

3

4

8 5

1

2

6 7

u


Como exemplo, seja a função N1, através da tabela do slide anterior, obtém-se:

GRUCAD/2012


Eq. de Maxwell → Cálculo de 5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012


Eq. de Maxwell → Cálculo de

Arestas1,3,9,11

Paralelas ao eixo u

2,4,10,12Paralelas ao eixo v

5,6,7,8Paralelas ao eixo p

5

v

p

2

3

8

12

41

9

7

u

1110

6

GRUCAD/2012

Caso Magnetostático

Equações Fundamentais

GRUCAD/2012



𝛻×1μ

(𝛻× A⃗ )=J⃗

GRUCAD/2012



𝛻×1μ

(𝛻× A⃗ )=J⃗

∫Ω

❑ 1μ

(𝛻× A⃗ ) . (𝛻×w⃗m ) dΩ−∫Ω

❑

J⃗ . w⃗mdΩ=0

Galerkin

GRUCAD/2012



𝛻×1μ

(𝛻× A⃗ )=J⃗

∫Ω

❑ 1μ

(𝛻× A⃗ ) . (𝛻×w⃗m ) dΩ−∫Ω

❑

J⃗ . w⃗mdΩ=0

Galerkin

a (n ,m )=∑i=1

8

W i1μ

[𝛻×w⃗n(ui , v i , pi) ] . [𝛻×w⃗m(u i , v i , pi)] det [ J (ui , v i , pi) ] Matriz de contribuição elementar

Onde e são oito combinações de ,

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Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens

Nodal Aresta

Whitney I Cons. Lineares

HeterogenidadesNão apresenta

boas caracteterísticas

Apresenta bons resultados

Cantos e reentrâncias

Dificuldade de convergência

Melhor convergência, mas sem precisão garantida

Precisão O(h2) O(h) O(h2)

Problema: Custo computacional

GRUCAD/2012


Mesma ordem de grandeza aproximadamente dobro ou mais

FLOPS por inversão pelo método de gradiente conjugado;

Custo Computacional:

Tipo Nodal Aresta Whitney 1Aresta

Consistentemente linear

Geometria do

elemento

Tetraedro ou

hexaedroO(h2)

Hexaedro dividido

em 6 tetraedros

O(h)

Hexaedro divido em

5 tetraedros

O(h)

Hexaedro dividido

em 6 tetraedros

O(h2)

Hexaedro dividido

em 5 tetraedros

O(h2)

FLOPS 256 150 126 600 504

GRUCAD/2012


Ortogonalidade dos eixos do sistema nodal gera mais

elementos nulos nas matrizes;

Imposição de continuidade entre elementos de aresta gera

aumento da conectividade entre matrizes;

O armazenamento de dados é similar ao custo computacional

para elementos nodais e de aresta.

Custo Computacional:

GRUCAD/2012


Campo vetorial – melhor

representação por eixos

ortogonais;

Elementos nodais garantem

tal vantagem;

Elementos de aresta de

dimensões muito diferentes

geram representação pobre

dos campos.

Condições de Representação de Campos:

Elemento de aresta

Elemento nodal

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Soluções puramente matemáticas – sem significado físico;

Soluções espúrias dependem da formulação e do problema;

Elementos de aresta não garantem eliminação de modos

espúrios – apenas de uma de suas causas;

Soluções Espúrias

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Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação

Problema magnetostático

10μ0

μ0

• .J

y

x

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Pontos de comparação:

GRUCAD/2012


Resultados EFCAD – Linhas de Fluxo e Distribuição de Potencial:

GRUCAD/2012


Resultados FEECS – Vetores Indução:

GRUCAD/2012


Resultados FEECSN – Vetores Indução:

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Comparação de Resultados:

FEECS

Elemento Bx By

19 4,37E-02 1,10E-02

25 5,51E-03 3,39E-02

46 1,18E-02 5,46E-02

66 3,18E-02 2,29E-03

EFCAD

Elemento Bx By

19 4,09E-02 1,32E-02

25 5,35E-03 3,32E-02

46 1,21E-02 5,13E-02

66 3,18E-02 1,76E-03

GRUCAD/2012


Comparação de Resultados:

FEECSN

Elemento Bx By

19 4,37E-02 1,10E-02

25 5,01E-03 3,34E-02

46 1,18E-02 5,46E-02

66 3,18E-02 2,29E-03

EFCAD

Elemento Bx By

19 4,09E-02 1,32E-02

25 5,35E-03 3,32E-02

46 1,21E-02 5,13E-02

66 3,18E-02 1,76E-03

GRUCAD/2012


Erros em relação ao EFCAD:

FEECS FEECSN

Elemento Erro Bx Erro By Erro Bx Erro By

19 6,80% -16,52% 6,82% -16,50%

25 2,99% 2,02% -6,35% 0,65%

46 -2,31% 6,39% -2,31% 6,39%

66 -0,09% 30,17% -0,08% 30,19%

MSE: 3,89% 17,52% 4,80% 17,50%

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Grande Vantagem: possibilidade de salto entre interfaces de

um meio para o outro, facilitando o cálculo em meios com

propriedades diferentes.

Podem ser utilizados em meios homogêneos e heterogêneos;

Elementos nodais são mais eficientes, mas podem apresentar

problemas ao serem utilizados apenas em (sub)domínios

homogêneos;

Nenhum dos dois garantem eliminação de modos espúrios.

Conclusões:

GRUCAD/2012


A utilização de elementos de aresta é restrita e depende

fortemente da formulação utilizada;

Muitos problemas de representação de campo podem ocorrer

e a precisão dos resultados depende do uso de elementos de

maior ordem e, consequentemente, um maior custo

computacional.

Conclusões:

GRUCAD/2012

Perguntas?

Obrigado!

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Apres Elem Aresta v5