APRESENTAÇÃO DOS PRINCÍPIOS ADITIVOS E … · APRESENTAÇÃO DOS PRINCÍPIOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVO RECORRENDO AO USO DOS GRAFOS Ana Paula Matias de Souza da Silva FUNESO/PE

APRESENTAÇÃO DOS PRINCÍPIOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVO

RECORRENDO AO USO DOS GRAFOS

Ana Paula Matias de Souza da Silva FUNESO/PE

[email protected] Mariza Hermes do Carmo

FUNESO /PE [email protected].

José Roberto da Silva UPE; FAINTVISA/PE; FUNESO/PE

[email protected] Luciana Pessoa da Silva

FUNESO/PE [email protected]

Introdução

Sabemos que a principal função social e política da escola são garantir a

apropriação, produção e socialização do conhecimento científico sistematizado.

Nesta direção alunos, professores e instituição buscam avanços qualitativos

objetivando constatar, implementar, compreender, explicar e intervir na realidade social.

Nesta perspectiva, dentre varias formas possíveis para atingir os objetivos educacionais

gerais anteriores, faz-se necessário investir continuamente na melhora da prática

pedagógica do professor. Dessa forma o professor poderá orientar eficazmente na

atitude do aluno, e assim poderá intervir significamente na estruturação das habilidades

e competência conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’S,1996),

contribuir eficazmente para os já citados avanços qualitativos.

Por outro lado, o que estamos presenciando nos dias atuais em educação não tem

apontado ainda caminhos seguros em termos das qualidades que se busca atingir. Os

fatores que tem contribuído para a falta de alcance eficiente na qualidade da educação

são vários e dentre alguns, podemos citar a falta de informações ou inter-relações em

termos de concatenação entre as várias áreas do conhecimento sistematizado. Um

enfoque dessa forma entre os conhecimentos, sobre boa parte dos conteúdos abordados

mailto:[email protected]



Anais do VIII ENEM – Minicurso GT 2 – Educação Matemática nas Séries Finais do Ensino Fundamental 2

ainda apresentam muitas dificuldades, seja isto entre os chamados conhecimentos

científicos e não científico, isto pode ser observado a partir dos recursos didáticos

utilizados, por exemplo livros didáticos.

Este estudo irá se deter mais no que diz respeito na falta de informação que em

muitos casos chega a ser absurdo, por exemplo, quando nos foi atribuído um desafio na

disciplina de combinatória à cerca do princípio de contagem (aditivo e multiplicativo)

envolvendo a teoria dos grafos. Achávamos que seria fácil de lidar com tais idéias ; pelo

fato de se tratar de um assunto já abordado no nível secundarista.

O que mais nos surpreendeu diante da possibilidade apresentada pelo professor

de recorrer a Teoria dos Grafos para resolver situações de contagem, foi na falta de

conhecimento e informação de pessoas que estudam ou lidam com o ensino de

matemática ou mesmo outras áreas como a química, física, biologia, etc. Não souberam

se quer o que são Grafos, apesar das suas várias aplicações.

A pesar de estarmos cursando o 2º período de matemática devido ao nosso

fascínio começamos a “inventar” informações sobre assunto, e as respostas eram cada

vez mais surpreendentes. Por exemplo, a começar por nós mesmo que no início se quer

sabíamos o nome correto do assunto e o chamamos de “Teoria dos Gráficos”. Veja a

que ponto se pode chegar no que diz respeito na falta de informações. Mas, mesmo

assim nessa busca preliminar continuamos até que encontramos um dos nossos

professores do curso de Licenciatura Plena em Matemática da Instituição de Ensino

Superior (IES) que nos falou que o nome correto era “Teoria dos Grafos” e não “Teoria

dos gráficos”.

Neste momento você ao estar lendo este texto pode esta até sorrindo, pois tal

situação parece jocosa. Outro professor também do curso de Licenciatura Plena em

Matemática da mesma IES, acrescentou a informação que um dos motivos do assunto

Teoria dos Grafos ser pouco enfocado é que muitos professores não gostam de ensinar

analise combinatória. Ao continuarmos com o levantamento dessas informações

observamos algo interessante que nos chamou a atenção, é que mesmo sem nunca ter

ouvido falar em Grafos os alunos do 1º e 2º grau às vezes já os utilizam

despercebidamente.

Diante do argumento anterior você pode esta se perguntando, como é que

utilizado essa teoria no Ensino Fundamental e Ensino Médio? De modo abrangente se

pode afirmar, que no caso da matemática em torno dos conjuntos, quando tratamos das

relações entre conjuntos, na geometria euclidiana, quando caracterizamos por dois


pontos passa uma única reta; no caso da física quando trabalhamos no campo da

elétrica, na química quando lidamos com o campo da química orgânica, em biologia

quando trabalhamos com genética.

Cabe informar que neste estudo o mais interessante, inicialmente é apresentar

que os Grafos podem ser aplicados na análise combinatória. O nosso grande problema

portanto é que não dispomos de livros didáticos tratando deste assunto no Ensino

Fundamenta (E.F) e Ensino Médio (E.M) e que alem disso os professores por sua vez

não têm recorrido a essa técnica que pode promover um certo avanço em termos dos

conhecimentos.

Fundamentos Teóricos

Esta parte deste estudo, foi feito na intenção de apresentar de forma clara as

idéias básicas que estão subjacentes ao conceito de Grafos para que os interessados na

utilização deste campo do conhecimento matemático possam usufruir dele de forma

mais adequada possível conforme suas necessidades.

A forma de abordagem escolhida para a apresentação mencionada acima foi

perseguida a partir de duas das possíveis maneiras de explora-se a aquisição conceitual

na busca de uma aprendizagem com qualidade. A primeira delas diz respeito à

“aprendizagem mecânica”, onde as informações serão tratadas admitindo-se

inicialmente que o individuo possa ou não conhecer nada, ou quase nada, sobre o novo

que lhe vai ser apresentado. No segundo tipo se busca a partir das informações inicias

apresentadas (aprendizagem mecânica) anteriormente auxiliadas por algumas das

concepções iniciais dos aprendizes,estabelecer o maximo possível de relação entre as

idéias novas apresentadas com aquilo que o aprendiz já sabe, caracterizando a

“aprendizagem significativa”. Nos dois casos anteriores, ou seja, na aprendizagem

mecânica , ou na aprendizagem significativa estas serão tratadas seguindo os

referenciais teóricos estabelecidos por Ausubel diz que: “A aprendizagem significativa

ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e

substantiva , não literal, uma nova informação a outro com os quais o aluno já esteja

familiarizado e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim

proceder.” .(Ausubel, citado por Rabelo p.61. 1998)

Para Ausubel os conhecimentos anteriores são fundamentais para a

compreensão e internalização de novos significados de palavras e de conceitos, e o fator

mais importante da a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já conhece.


O breve embasamento teórico educacional apresentado anteriormente, além do

que foi dito, cabe acrescentar que mesmo correndo o risco de críticas por excesso de

reducionismo dentre as características que podem demarcar os dois tipos de

aprendizagem citados acima estas serão observadas segundo dois aspectos neste estudo.

A aprendizagem mecânica, no caso será levada em consideração o que os

aprendizes já sabem, enquanto que o aspecto correspondente à aprendizagem

significativa, torna-se necessário considerar o que o aprendiz já sabe.

A apresentação das informações sobre Grafos neste trabalho, portanto, em

todas as etapas se iniciará com um enfoque em uma aprendizagem mecânica e em

seguida uma aprendizagem significativa.

Metodologia

Este estudo será realizado da seguinte forma, inicialmente faremos um

levantamento diagnostico através de um questionário; logo após iremos fazer uma

intervenção pedagógica e por fim aplicar um questionário de verificação de

aprendizagem. Na intenção de recorrer à teoria dos grafos buscando-se explorar

adequadamente através de significados subjacentes as propriedades fundamentais da

adição e da multiplicação, com isto trazer uma compreensão sobre a necessidade de tais

propriedades em si. Alem disso, vamos também buscar caracterizar a importância de

tais propriedades para a aquisição de noções conceituais básicas que possam

fundamentar o campo da combinatória

Na etapa seguinte será apresentada uma espécie de princípio da teoria dos

grafos, bem como da própria topologia a partir do formoso problema das sete pontes de

KÖNIGSBERG.

1- As Pontes de Königsberg

O primeiro e mais famoso problema em teoria de gráfos, resolvido por Euler em

1735, na cidade de Königsberg, consiste em achar um caminho, alongo do qual um

pedestre, partindo de uma das margens do rio Pregel (figura 1) ou de qualquer das ilhas,

percorra toda as pontes, sem passar mais de uma vez por qualquer uma delas. No qual

havia duas ilhas ligadas entre si por sete pontes, conforme a ilustrado (LIMA,1988).


Fig.1: Pontes de Königsberg

2- Apresentando Conceitos Fundamentais Sobre Grafos.

2.1- O que são Grafos?

Esta parte deste estudo foi feito na intenção de apresentar de forma clara as

idéias básicas que estão subjacentes ao conceito de Grafos para que os interessados na

utilização deste campo do conhecimento matemático possam usufruir dele de forma

mais adequada possível conforme suas necessidades.

Para Szwarcfiter (Algoritmos e Grafos: Uma introdução, p. 28.1982).“Um Grafo

G(V,E) é um conjunto finito não vazio V e um conjunto E de pares não ordenados de

elementos distintos de V. G é chamado trivial quanto I V I = 1. Quando necessário, se

utiliza o termo Grafo não direcionado, para designar Grafo. Os elementos de V são os

Vértices e os pares de E são as Arestas de G, respectivamente cada aresta e e E será

denotado pelo par de vértices e = (v,w) que a forma. Neste caso, os vértices v,w são os

extremos da aresta e , sendo denominados adjacentes. A aresta e è dita incidente

ambos v,w. Duas aresta que possuem um extremo comum são chamados de incidentes.

É usual se utilizar à notação : M= IVI e m = IEI.

Um grafo pode ser visualizado através de uma representação geométrica , na

qual seus vértices correspondem a pontos distintos do plano, em posições arbitrárias,

enquanto que a cada aresta (v,w) é associada uma linha arbitrária unindo os pontos

correspondentes a v,w (figura 2). Para maior facilidade de exposição, é usual

confundir-se um grafo com a sua representação geométrica . Isto é , no decorrer do

texto será utilizado o termo Grafo, significando também a sua representação

geométrica. V= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E= {(1,2),(1,3), (3,2),(3,6),(5,3),(5,1),(5,6),(4,6),(4,5),(6,1),(6,2),(3,4)}

4

5

1

3
6
2


Fig. 2: Um grafo (V,E) é uma representação geométrica do mesmo”.

Para MERAYO,Felix Garcia (na obra Matemática Discreta na página 291,

capítulo VII,2001) define grafo: “Definición 7.1. Sea V un conjunto finito no Vacío

formado por elementos denominados vértices o nodos Y sea V VΕ⊆ × otro conjunto

formado por elemento arcos. Entonces,el par (V, E) recibe el nombre de grafo dirigido

o dígrafo sobre V, y se indica por G =(V, E). G está formado por elementos vértices de

V y por elementos arcos de E que son pares ordenados de los elementos de V. Por

ejemplo, la figura 3 que sigue constituye un ejemplo de dígrafo sobre V = {a, b, c, d, e }

cuyos arcos son los elementos del conjunto de pares ordenados. E = {(a, a),(a, b),(a,

d),(b, c)}

e

c

d

b

a

Fig 3:

3- Algumas Aplicações de Grafos em outras Áreas Embora pouco divulgado o grafo pede ser usado em diversas áreas como: a

física, a química, a biologia como citamos anteriormente. de forma que o aluno poderia

utilizar, se antes houvesse conhecimento do assunto abordado nas séries iniciais.

Deste modo indicaremos algumas aplicações de grafos em outras áreas.

3.1- Na Física

A primeira pilha foi construída pelo italiano Alessandro Volta, em 1792. Era

constituída por disco de cobre e zinco, separados por uma substancia porosa embebida

em uma solução de ácido sulfúrico, com a disposição de uma pilha. As pilhas

produzem energia químicas parte dela, porem, geralmente se transforma em calor,

observe a figura 4: (SOARES, José Luís,1993)


Fig 4: +

Note que podemos tratar a figura 4 como sendo um grafo, fazendo a seguinte

analogia:

1) Chamamos de vértices os pólos da pilha e a lâmpada.

2) Chamamos de aresta o caminho (fios) que percorre a corrente gerada pela pilha até

chegar à lâmpada, fazendo com que ela acenda

2

3

1

3.2- Na Química

Em 1858 KeKulé estabeleceu a letra de valência do carbono. Em sua concepção

ele imaginou as quatro valências num mesmo plano. Deste modo o metano(CH4) seria

representado na figura 5: (FEITRE, 1974)

Fig 5:

Com a descoberta de novos fenômenos como a isomeria óptica obrigou os

cientistas a reformularem essa idéia. Deste modo, Lebel e Van’tHoff lançaram, em

1874, a idéia do carbono tetraédrico (figura 6), no qual o átomo de carbono ocupa o

centro de um tetraedro regular imaginário e dirige suas valências para os quatro vértices

do tetraedro: (FEITRE, 1974)

C

H

H H

H

C

109º2

Fig 6:


Agora observe (figura 7) a projeção da molécula de CH4 (metano):

(FEITRE,1974) Note que as valências podem circular de um vértice a outro por

diferentes caminhos

Desta forma estamos associando cada carbono a um hidrogênio diferente. É o

que chamamos de grafos, ou seja, cada molécula representa um nó e as ligações entre os

átomos arcos.

H H

HH

C

Fig 7:

3.3- Na Biologia

Genética é a ciência que estuda o material hereditário e os mecanismos de sua

transmissão ao longo das gerações.

Os primeiros trabalhos realmente importantes no campo da genética foram

realizados num convento na Áustria, por volta de 1866, por um monge chamado Gregor

Mendel.

Para resolvermos problemas de genética, como por exemplo os tipos de

sementes que serão geradas através do cruzamento entre uma planta pura e que produz

apenas sementes rugosas, com outra planta pura, mas que produz apenas sementes lisas.

Tomando a característica rugosa como inibidora da característica lisa, obtemos uma

planta que produz sementes rugosas. Não cabe a nós explicarmos mecanismos de

transmissão genética, mas apenas exemplificarmos.Observe as figuras 8 e 9:

(LOPES,1997)

Legenda: X Cruzamento RR Planta Rugosarr Planta Lisa

rr lisa

RR Rugosa

Rr Rugosa


Rr Nova Planta P Pais F1 Nova Planta

Fig 8:

Onde também podemos representar como grafo, bastando para isso, tomar o

grafo orientado com as arestas no sentido de pai para filho e os vértices, representando

as plantas

V = {p/p é um pé de ervilha} => V= {RR, rr, Rr}

A = {{V, W} < V é pai de W >}=> A = {(RR, Rr), (rr, Rr)}

Representação: Neste caso temos RR.(Rugosa) e rr (lisa) como sendo Fonte de

RR transmitindo um R, e rr transmitindo um r, com um sumidouro com um R e um r .

(LOPES,1997)

Fig 9:

rr Lisa

Rr Rugosa

RR rugos

Proposta Didática: Apresentação dos Princípios Aditivo e Multiplicativo

recorrendo ao uso da teoria dos grafos

De acordo com a nossa evolução iremos mostrar a aplicação de grafos na área de

matemática com relação à combinatória.

Como a matemática é uma ciência inter-relacionada em outras áreas, o nosso

objetivo é fazer com que o aluno veja não só na matemática, mas também na biologia,

na química na física a junção entre a matemática e as outras áreas citadas. Incentivar o

aluno na área de pesquisa e informações para o seu desenvolvimento.

Propor um material didático com mais clareza e mostrar que podemos resolver

vários exercícios de maneira mais prática sem que seja necessário o uso mecânico.

Queremos com o estudo da teoria dos grafos tentar facilitar o entendimento prático e

objetivo do assunto que vamos abordar neste conteúdo que é a Combinatória e em

especial, o principio aditivo e o multiplicativo, a partir daí vamos definir combinatória

como sendo: um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos

diferentes, formado por um número finito de elementos de um conjunto sob certas

circunstâncias. Na maior partes das vezes se podem tomar um conjunto z com m


elementos e os grupos formados com os elementos de z terão p elementos distintos,onde

p será a taxa do agrupamento, com p < m. Cabe ressaltar como afirma Merayo (2001, p.

229), que: “A análise Combinatória é a técnica de saber quantos objetos há em um

conjunto sem realmente ter que contá-los, porque essa técnica não necessita listar ou

enumerar todos os elementos que formam o conjunto.”

É muito freqüente encontrarmos na literatura inclusive, do E.M abordagem sobre

os termos arranjo, combinação e permutação, mas estas formas de abordagens

geralmente esquecem de mencionar que todas essas formas não mais são que uma forma

de contar.

Idéias básicas sobre Combinatória.

Os problemas de combinatória normalmente são muito difíceis mas, eles podem

ser resolvidos através de duas regras básicas: A regra da soma e a regra da multiplicação

ou produto.

Regra da soma (ou princípio aditivo)

A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e

um outro pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um outro elemento se

realiza de formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma

das escolhas de um elemento pode coincidir com a escolha do outro.

m n+

As propriedades da adição são

Comutativa: Numa adição, a ordem das parcelas não interfere no resultado, isto é se A

e B são números naturais: A + B = B + A

= = A BA B A B

Associativa : Numa adição , a maneira de agrupar as parcelas não altera a soma. Isto é,

se A, B e C são números naturais então: (A + B) + C = B + (A + C).

Esta propriedade permite a eliminação dos parentes.

(A + B) + C = B + (A + C) = A + B + C

= =

C

BA

C

B A

C

BA


Elemento Neutro: Na adição temos como elemento neutro o número zero, desta forma

podemos demonstrar o seguinte termo: A + B + 0 = R

=

R

A B

0 0

R

A B

Regra do produto (ou principio multiplicativo)

A regra do produto diz que se um elemento h pode ser escolhido de m formas

diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas. Um outro elemento m pode ser

escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M) nesta ordem poderá ser

realizada de m vezes n formas.

As propriedades da Multiplicação são

Comutativa: Numa multiplicação , a ordem dos fatores não altera o produto. Isto é A e

B são números naturais, então: A x B = B x A

= = B A BA BA

Associativa: Numa multiplicação de três fatores, podemos associa-los de forma

diferente, que o produto não se altera. Se A, B e C são números naturais então:

(A x B) x C = B x (A x C)

Nesta Propriedade podemos eliminar os parênteses:(A x B) x C = B x (A x C) = A x B x

C

= = C

BA

C

BA

C

B A


Elemento Neutro: O número um (1) é o elemento neutro, pois 1 multiplicado por

qualquer número natural, e qualquer ordem, da por produto o mesmo número. A x B x 1

= R

= R

1

BA

R

1

BA

Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: O produto de um número por

uma soma é obtido multiplicando-se o número por cada um dos termos da soma.

( )C A B AΑ× Β+ = × + ×C

( )B A C B A B C× + = × + ×

= C

B A A B

C

Palavras chaves: Conceitos, propriedades,grafos

Bibliografia

FEITRE, R. Química Orgânica. V. 2. São Paulo: Moderna. 1974. GIOVANNI, J. ; JR. Giovanni, J. Aprendizagem e Educação Matemática. 5ªserie. São Paulo: FTD. 1990. LIMA, E.. Alguns Problemas Classicos sobre Grafos. Resvita do Profesor de Matemática, Nº 12, 1º Semestre. SPEC/CAPES/MEC/PADCT. 1988 LOPES, S. Bio. Volume Único. São Paulo: Saraiva. 1994 LUIS, S. Algoritmo e Grafos: Uma introdução. Terceira Escola de Computação. Rio de Janeiro: Departamento de Informática. PUC/RJ. 1982. MERAYO, F. Matemática Discreta. Madrid: Thonson Editores Spain, Paraninfo: 2001 Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1996. RABELO, E. Avaliação Novos Tempos Novas Práticas. Rio de Janeiro: Vozes. 1998 SANTOS, U. ; RIGHETTO, L. Física. 2ª Serie, 2º grau . São Paulo: Atual. 1977 SOARES, J. Química e Física,1º Grau. São Paulo: Moderna. 1993


Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1996. .

Documents

APRESENTAÇÃO DOS PRINCÍPIOS ADITIVOS E … · APRESENTAÇÃO DOS PRINCÍPIOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVO RECORRENDO AO USO DOS GRAFOS Ana Paula Matias de Souza da Silva FUNESO/PE