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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Matriz de Insumo-Produto - Uma Analise AlgebricaJefferson
Aurelio Schmitz [email protected] Matheus giacomel Viero
[email protected]
XVII Salao de Iniciacao Cientca e Tecnologica XI Forum de
Pesquisa Universidade Luterana do Brasil - ULBRA
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Resumo Um Apanhado Historico Surgimento da Matriz de
Leontief1
Matrizes de Insumo - produto Metodo de Construcao da Matriz de
Insumo-Produto Modelo Fechado ou Input-Output Caractersticas
Solucao nao-trivial Modelo Aberto de Producao de Leontief Descricao
Solucao Positiva para o Modelo Aberto Demonstrando que a matriz e
sempre inversvel Apendice Um exemplo numerico Abrindo as contas da
solucao do sistema homogeneo
2
3
4
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Resumo
Resumo
Uma ferramenta macro-economica de medida de uxos de bens e
servicos, produzidos em cada setor da economia, destinados a servir
de insumos a outros setores e para atender a demanda nal e
denominada matriz de insmo-produto. Esta e proveniente da
metodologia de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais.
Neste trabalho demonstramos existencia e unicidade de solucao
nao-negativa para o sistema de insumo-produto para ambos os
modelos: Fechado e aberto de producao. A demonstracao e baseada no
estudo detalhado da Serie de ` Neumann associda a matriz de
Leontief.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Resumo
Resumo
Uma ferramenta macro-economica de medida de uxos de bens e
servicos, produzidos em cada setor da economia, destinados a servir
de insumos a outros setores e para atender a demanda nal e
denominada matriz de insmo-produto. Esta e proveniente da
metodologia de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais.
Neste trabalho demonstramos existencia e unicidade de solucao
nao-negativa para o sistema de insumo-produto para ambos os
modelos: Fechado e aberto de producao. A demonstracao e baseada no
estudo detalhado da Serie de ` Neumann associda a matriz de
Leontief.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Resumo
Resumo
Uma ferramenta macro-economica de medida de uxos de bens e
servicos, produzidos em cada setor da economia, destinados a servir
de insumos a outros setores e para atender a demanda nal e
denominada matriz de insmo-produto. Esta e proveniente da
metodologia de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais.
Neste trabalho demonstramos existencia e unicidade de solucao
nao-negativa para o sistema de insumo-produto para ambos os
modelos: Fechado e aberto de producao. A demonstracao e baseada no
estudo detalhado da Serie de ` Neumann associda a matriz de
Leontief.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Um Apanhado Historico
O interesse humano em compreender os complexos processos que
movem o sistema economico sao seculares. Diversas teses e teorias
sobre o assunto ja foram elaboradas. ` Nos deteremos as publicacoes
que serviram como base para a criacao da matriz de insumo-produto,
objeto de estudo deste trabalho.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Um Apanhado Historico
O interesse humano em compreender os complexos processos que
movem o sistema economico sao seculares. Diversas teses e teorias
sobre o assunto ja foram elaboradas. ` Nos deteremos as publicacoes
que serviram como base para a criacao da matriz de insumo-produto,
objeto de estudo deste trabalho.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Francois Quesnay publicou, em 1758, a obra Tableau economique,
na qual apresentou um modelo estatstico aplicado aos setores
agrcola, industrial e de proprietarios de terras, permitindo a
constatacao graca da geracao e apropriacao da riqueza atraves do
produto agrcola, apresentando os conceitos de uxo circular da
economia e interdependencia economica .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Em 1874 Leon Walras, na obra intitulada Elements deconomie
politique pure, apresentou um sistema de equacoes lineares
integrado por parametros que representam a quantia de insumos
provenientes das diversas empresas que compoe o setor ` producao de
uma unidade de produto produtivo necessarios a nal da empresa em
questao. Tais parametros receberam a denominacao de coecientes de
producao, e o metodo permitia a determinacao simultanea dos precos
dos bens produzidos.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Em 1874 Leon Walras, na obra intitulada Elements deconomie
politique pure, apresentou um sistema de equacoes lineares
integrado por parametros que representam a quantia de insumos
provenientes das diversas empresas que compoe o setor ` producao de
uma unidade de produto produtivo necessarios a nal da empresa em
questao. Tais parametros receberam a denominacao de coecientes de
producao, e o metodo permitia a determinacao simultanea dos precos
dos bens produzidos.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Esses metodos foram amplamente utilizados e aprimorados ao longo
do tempo, especialmente apos a revolucao russa de 1917, pois a
implantacao do modelo socialista de economia planicada exigia do
governo russo o planejamento estrategico de toda a producao do pas,
realizado atraves dos chamados Planos Quinquenais. No mundo
capitalista ainda vigorava a poltica do liberalismo economico (
laissez-faire) criada por Adam Smith e caracterizada pela
nao-intervencao do Estado na regulacao dos mercados e que vigorou
ate 1929, ano em que ocorreu uma crise de dimensoes catastrocas na
economia americana que se espalhou pelo mundo, com excecao da
URSS.
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Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Esses metodos foram amplamente utilizados e aprimorados ao longo
do tempo, especialmente apos a revolucao russa de 1917, pois a
implantacao do modelo socialista de economia planicada exigia do
governo russo o planejamento estrategico de toda a producao do pas,
realizado atraves dos chamados Planos Quinquenais. No mundo
capitalista ainda vigorava a poltica do liberalismo economico (
laissez-faire) criada por Adam Smith e caracterizada pela
nao-intervencao do Estado na regulacao dos mercados e que vigorou
ate 1929, ano em que ocorreu uma crise de dimensoes catastrocas na
economia americana que se espalhou pelo mundo, com excecao da
URSS.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Para superar as deciencias da teoria de A. Smitt surge o New
Deal, fruto da teoria de John Maynard Keynes e apresentada em sua
obra The general theory of employment, interest and money, que
consistia em um plano de acao economica caracterizado pela
intervencao do Estado na vida economica, visando regular os
mercados e coibir os abusos praticados pelas grandes corporacoes
que dominavam a economia. A crise gerou descrenca no sistema de
capitalismo liberal, exigindo providencias por parte dos governos,
especialmente dos EUA, por se tratar do pas mais interessado na
adesao global ao sistema capitalista.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
Para superar as deciencias da teoria de A. Smitt surge o New
Deal, fruto da teoria de John Maynard Keynes e apresentada em sua
obra The general theory of employment, interest and money, que
consistia em um plano de acao economica caracterizado pela
intervencao do Estado na vida economica, visando regular os
mercados e coibir os abusos praticados pelas grandes corporacoes
que dominavam a economia. A crise gerou descrenca no sistema de
capitalismo liberal, exigindo providencias por parte dos governos,
especialmente dos EUA, por se tratar do pas mais interessado na
adesao global ao sistema capitalista.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um Apanhado Historico
A regulacao dos mercados exigia o amplo conhecimento dos uxos
reais e monetarios de todos os setores que compunham a economia,
bem como o conhecimento do grau de importancia de cada setor dentro
do sistema economico do pas por parte dos formuladores de polticas
publicas, gerando consideravel investimento estatal em pesquisas
para o desenvolvimento de metodos ecazes de mensuracao desses
dados.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Surgimento da Matriz de Leontief
Surgimento da Matriz de Leontief Foi em meio a essa atmosfera de
interesses que, na decada de 30, o economista Wassily Leontief,
nascido na Russia, doutorado na Alemanha e radicado nos EUA,
desenvolve a Teoria Geral da Producao, metodo composto por tabelas
em formato matricial que demonstram os graus de dependencia direta
e indireta de cada setor da economia em relacao a todos os demais
setores. A tecnica, utilizada inicialmente de forma bastante
agregada, recebeu originalmente a denominacao de matriz
input-output, matriz de insumo-produto, ou matriz de dupla entrada,
e com o desenvolvimento da computacao eletronica foi possvel uma
contnua desagregacao dos setores, permitindo assim o alcance de
elevado grau de detalhamento da estrutura economica.
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Modelo Fechado ou Input-Output
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Apendice
Surgimento da Matriz de Leontief
Surgimento da Matriz de Leontief Foi em meio a essa atmosfera de
interesses que, na decada de 30, o economista Wassily Leontief,
nascido na Russia, doutorado na Alemanha e radicado nos EUA,
desenvolve a Teoria Geral da Producao, metodo composto por tabelas
em formato matricial que demonstram os graus de dependencia direta
e indireta de cada setor da economia em relacao a todos os demais
setores. A tecnica, utilizada inicialmente de forma bastante
agregada, recebeu originalmente a denominacao de matriz
input-output, matriz de insumo-produto, ou matriz de dupla entrada,
e com o desenvolvimento da computacao eletronica foi possvel uma
contnua desagregacao dos setores, permitindo assim o alcance de
elevado grau de detalhamento da estrutura economica.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Surgimento da Matriz de Leontief
Nesse trabalho demonstraremos a existencia e unicidade de
solucao positiva para o sistema de de insumo-produto, para ambos os
modelos - fechado e aberto - usando conceitos de algebra linear. O
trabalho esta assim dividido: Na Secao 1 revisamos brevemente a
construcao da matriz de insumo-produto. Na Secao 2 a existencia de
solucao positiva para o modelo fechado de economia. No Lema 1
provamos que o modelo fechado equivale a resolver um sistema linear
homogeneo. Na Secao 3 estudamos o modelo aberto de economia. Na
Subsecao 3.1 provamos a existencia e unicidade de solucao para o
sistema de Leontief. Na Subsecao 3.2 provamos que a solucao e
positiva. Na Secao 4 apresentamos algumas conclusoes e trabalhos
futuros.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Surgimento da Matriz de Leontief
Nesse trabalho demonstraremos a existencia e unicidade de
solucao positiva para o sistema de de insumo-produto, para ambos os
modelos - fechado e aberto - usando conceitos de algebra linear. O
trabalho esta assim dividido: Na Secao 1 revisamos brevemente a
construcao da matriz de insumo-produto. Na Secao 2 a existencia de
solucao positiva para o modelo fechado de economia. No Lema 1
provamos que o modelo fechado equivale a resolver um sistema linear
homogeneo. Na Secao 3 estudamos o modelo aberto de economia. Na
Subsecao 3.1 provamos a existencia e unicidade de solucao para o
sistema de Leontief. Na Subsecao 3.2 provamos que a solucao e
positiva. Na Secao 4 apresentamos algumas conclusoes e trabalhos
futuros.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado
Matrizes de insumo-produto sao matrizes compostas por entradas
nao-negativas que podem ser utilizadas para determinar as
estruturas de preco de equilbrio e de nvel de producao necessarios
para satisfazer uma dada demanda. Utilizando-se de parametros
(coecientes tecnicos de producao) que descrevem as inter-relacoes
industriais e possvel ` determinar os nveis de producao necessarios
a satisfacao de metas economicas, permitindo o planejamento e
estimulacao do crescimento economico.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado
Por apresentar um esquema detalhado da estrutura economica, essa
ferramenta permite: A identicacao dos setores que apresentam
potenciais nveis de multiplicacao de investimentos, gerando aumento
da renda e emprego; Constatacao dos padroes de producao que se
fazem necessarios em cada setor, para suprir a demanda
intermediaria e nal de cada setor analizado, otimizando dessa
forma, os nveis de producao;
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado
Por apresentar um esquema detalhado da estrutura economica, essa
ferramenta permite: A identicacao dos setores que apresentam
potenciais nveis de multiplicacao de investimentos, gerando aumento
da renda e emprego; Constatacao dos padroes de producao que se
fazem necessarios em cada setor, para suprir a demanda
intermediaria e nal de cada setor analizado, otimizando dessa
forma, os nveis de producao;
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado
Por apresentar um esquema detalhado da estrutura economica, essa
ferramenta permite: A identicacao dos setores que apresentam
potenciais nveis de multiplicacao de investimentos, gerando aumento
da renda e emprego; Constatacao dos padroes de producao que se
fazem necessarios em cada setor, para suprir a demanda
intermediaria e nal de cada setor analizado, otimizando dessa
forma, os nveis de producao;
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantacao de
polticas economicas (subsdios, carga tributaria, barreiras
alfandegarias, etc); Projetar impactos ambientais e previsoes de
exaustao de recursos oriunda da atividade industrial; Constatacao e
comparacao , com elevado grau de precisao, das reais condicoes
economicas dos diversos pases que se utilizam do metodo para a
demonstracao das contas nacionais
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantacao de
polticas economicas (subsdios, carga tributaria, barreiras
alfandegarias, etc); Projetar impactos ambientais e previsoes de
exaustao de recursos oriunda da atividade industrial; Constatacao e
comparacao , com elevado grau de precisao, das reais condicoes
economicas dos diversos pases que se utilizam do metodo para a
demonstracao das contas nacionais
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantacao de
polticas economicas (subsdios, carga tributaria, barreiras
alfandegarias, etc); Projetar impactos ambientais e previsoes de
exaustao de recursos oriunda da atividade industrial; Constatacao e
comparacao , com elevado grau de precisao, das reais condicoes
economicas dos diversos pases que se utilizam do metodo para a
demonstracao das contas nacionais
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Existem diversas variacoes (ou adaptacoes) desse metodo, como o
modelo fechado ou Input-Output e o modelo aberto (modelo de
producao), que consistem em modelos estaticos. Outras formulacoes
envolvem a teoria de sistemas de insumo-produto dinamicos. Estas
derivam dos modelos estaticos e permitem a avaliacao dos nveis de
estoques e producao como funcao do tempo. ` Ao longo desse estudo,
nos deteremos a abordagem dos modelos estaticos.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Existem diversas variacoes (ou adaptacoes) desse metodo, como o
modelo fechado ou Input-Output e o modelo aberto (modelo de
producao), que consistem em modelos estaticos. Outras formulacoes
envolvem a teoria de sistemas de insumo-produto dinamicos. Estas
derivam dos modelos estaticos e permitem a avaliacao dos nveis de
estoques e producao como funcao do tempo. ` Ao longo desse estudo,
nos deteremos a abordagem dos modelos estaticos.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Existem diversas variacoes (ou adaptacoes) desse metodo, como o
modelo fechado ou Input-Output e o modelo aberto (modelo de
producao), que consistem em modelos estaticos. Outras formulacoes
envolvem a teoria de sistemas de insumo-produto dinamicos. Estas
derivam dos modelos estaticos e permitem a avaliacao dos nveis de
estoques e producao como funcao do tempo. ` Ao longo desse estudo,
nos deteremos a abordagem dos modelos estaticos.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Metodo de Construcao da Matriz de Insumo-Produto
Metodo de Construcao da Matriz de Insumo-Produto
Nesse trabalho consideraremos n setores da economia.Denote por C
= [cij ] , i , j {1, 2, , n} a matriz que relaciona as quantidades
de insumos provenientes do setor i e utilizadas no setor j, em
valor monetario. Seja x = (x1 , , xj , , xn )T , j = 1, , n o vetor
coluna que apresenta toda a producao do setor j, em valor
monetario, distribuida entre os n setores que compoem a economia.
Desta forma, xj > 0 para todo j {1, , n}.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Metodo de Construcao da Matriz de Insumo-Produto
Com esta notacao, a matriz dos coecientes tecnicos e denida por
A = [aij ] Em notacao matricial onde aij = cij xj
.
(1)
A=
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2
c11 . . . a1n x1 . . . a2n cx21 1 . = . .. . . . . . cn1 . . .
ann x1
c12 x2 c22 x2
... ..... .
. . .
c1n xn c2n xn
cn2 x2
...
cnn xn
. . . .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Metodo de Construcao da Matriz de Insumo-Produto
Com esta notacao, a matriz dos coecientes tecnicos e denida por
A = [aij ] Em notacao matricial onde aij = cij xj
.
(1)
A=
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2
c11 . . . a1n x1 . . . a2n cx21 1 . = . .. . . . . . cn1 . . .
ann x1
c12 x2 c22 x2
... ..... .
. . .
c1n xn c2n xn
cn2 x2
...
cnn xn
. . . .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Metodo de Construcao da Matriz de Insumo-Produto
A matriz A = [aij ] tambem e conhecida como Matriz de Leontief,
onde aij e a fracao total da j-esima industria (setor produtivo)
que e comprada pela i-esima industria, denominado coeciente tecnico
de producao.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado ou Input-Output
O modelo fechado e concebido para atender as seguintes
condicoes: O total de gastos e equivalente ao total dos
recebimentos (toda a producao e completamente consumida dentro do
perodo analizado); n setores, produzindo n bens indexados por i =
1, 2, . . . , n, onde cada setor produz um unico e exclusivo bem;
Setores diferentes produzem bens diferentes.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado ou Input-Output
O modelo fechado e concebido para atender as seguintes
condicoes: O total de gastos e equivalente ao total dos
recebimentos (toda a producao e completamente consumida dentro do
perodo analizado); n setores, produzindo n bens indexados por i =
1, 2, . . . , n, onde cada setor produz um unico e exclusivo bem;
Setores diferentes produzem bens diferentes.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Modelo Fechado ou Input-Output
O modelo fechado e concebido para atender as seguintes
condicoes: O total de gastos e equivalente ao total dos
recebimentos (toda a producao e completamente consumida dentro do
perodo analizado); n setores, produzindo n bens indexados por i =
1, 2, . . . , n, onde cada setor produz um unico e exclusivo bem;
Setores diferentes produzem bens diferentes.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Caractersticas
Modelo FechadoAssim, as caractersticas do modelo fechado
implicam que: i) xj > 0, j = 1, 2, ..., n (todos os precos sao
positivos); ii) aij 0, i , j = 1, 2, ..., n (todos os coecientes
tecnicos sao nao-negativos); iii) Nao ha demanda externa, e
assim,n
xj := iv) Por (iii ), temos que,n i =1
j =1
cij
(2)
aij = 1 ,
j = 1, 2, . . . , n .
(3)
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Caractersticas
Para o modelo fechado temos que A x = x. De maneira equivalente
Ax = I x
I x Ax = 0
(I A) x = 0 ,
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear
homogeneo. O primeiro passo em nossa analise para o modelo fechado
e mostrar que esse modelo admite uma solucao x nao-trivial. Isso
equivale a mostrar que det (I A) = 0.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Caractersticas
Para o modelo fechado temos que A x = x. De maneira equivalente
Ax = I x
I x Ax = 0
(I A) x = 0 ,
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear
homogeneo. O primeiro passo em nossa analise para o modelo fechado
e mostrar que esse modelo admite uma solucao x nao-trivial. Isso
equivale a mostrar que det (I A) = 0.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Caractersticas
Para o modelo fechado temos que A x = x. De maneira equivalente
Ax = I x
I x Ax = 0
(I A) x = 0 ,
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear
homogeneo. O primeiro passo em nossa analise para o modelo fechado
e mostrar que esse modelo admite uma solucao x nao-trivial. Isso
equivale a mostrar que det (I A) = 0.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao nao-trivial
Para o modelo fechado det (I A) = 0
De (iv ), temos quen
ai2 = 1
j =1 j =2
aij
para
i = 1, , n
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao nao-trivial
Para o modelo fechado det (I A) = 0
De (iv ), temos quen
ai2 = 1
j =1 j =2
aij
para
i = 1, , n
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao nao-trivial
Isolando a primeira coluna de (I A) e substituindo na equacao,
temos:
(1 a11 a13 a1n ) a13 a1n = 1 + a11. . . . . . (1 an1 an3 ann )
an3 1 ann = an1 Assim, temos que a soma das colunas 2, 3, ..., n e
igual a menos a primeira coluna de (I A). Portanto os vetores
coluna de (I A) sao linearmente dependentes. Logo, det(I A) = 0 . .
. .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao nao-trivial
Isolando a primeira coluna de (I A) e substituindo na equacao,
temos:
(1 a11 a13 a1n ) a13 a1n = 1 + a11. . . . . . (1 an1 an3 ann )
an3 1 ann = an1 Assim, temos que a soma das colunas 2, 3, ..., n e
igual a menos a primeira coluna de (I A). Portanto os vetores
coluna de (I A) sao linearmente dependentes. Logo, det(I A) = 0 . .
. .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Modelo Aberto de Producao de Leontief
O chamado modelo aberto de producao consiste de uma aplicacao do
modelo fechado, complementada pela insercao do setor demanda
externa. Sendo assim, a producao de determinada industria nao sera
completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou ` seja,
sera parcialmente destinada a demanda externa. Tendo os nveis de
precos xados, vamos utilizar a matriz para determinar os nveis de
producao necessarios para satisfazer a demanda externa de todos os
produtos.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Modelo Aberto de Producao de Leontief
O chamado modelo aberto de producao consiste de uma aplicacao do
modelo fechado, complementada pela insercao do setor demanda
externa. Sendo assim, a producao de determinada industria nao sera
completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou ` seja,
sera parcialmente destinada a demanda externa. Tendo os nveis de
precos xados, vamos utilizar a matriz para determinar os nveis de
producao necessarios para satisfazer a demanda externa de todos os
produtos.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Modelo Aberto de Producao de Leontief
O chamado modelo aberto de producao consiste de uma aplicacao do
modelo fechado, complementada pela insercao do setor demanda
externa. Sendo assim, a producao de determinada industria nao sera
completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou ` seja,
sera parcialmente destinada a demanda externa. Tendo os nveis de
precos xados, vamos utilizar a matriz para determinar os nveis de
producao necessarios para satisfazer a demanda externa de todos os
produtos.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Usaremos a seguinte notacao: xj = valor monetario da producao do
j-esimo setor produtivo; yj = valor monetario da demanda externa
por produtos oriundos do j-esimo setor produtivo; aij = valor
monetario da producao da i-esima industria necessaria ` a producao
de uma unidade de valor monetario do produto da cij j-esima
industria, onde aij = xj .
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Usaremos a seguinte notacao: xj = valor monetario da producao do
j-esimo setor produtivo; yj = valor monetario da demanda externa
por produtos oriundos do j-esimo setor produtivo; aij = valor
monetario da producao da i-esima industria necessaria ` a producao
de uma unidade de valor monetario do produto da cij j-esima
industria, onde aij = xj .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Usaremos a seguinte notacao: xj = valor monetario da producao do
j-esimo setor produtivo; yj = valor monetario da demanda externa
por produtos oriundos do j-esimo setor produtivo; aij = valor
monetario da producao da i-esima industria necessaria ` a producao
de uma unidade de valor monetario do produto da cij j-esima
industria, onde aij = xj .
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Usaremos a seguinte notacao: xj = valor monetario da producao do
j-esimo setor produtivo; yj = valor monetario da demanda externa
por produtos oriundos do j-esimo setor produtivo; aij = valor
monetario da producao da i-esima industria necessaria ` a producao
de uma unidade de valor monetario do produto da cij j-esima
industria, onde aij = xj .
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
onde: xj > 0, j = 1, 2, ..., n (todos os precos sao
positivos); aij 0, i , j = 1, 2, ..., n (todos os coecientes
tecnicos sao nao-negativos); iii) e n=1 aij < 1 n=1 aij < 1 ;
i j iv) yj > 0, j = 1, 2, ..., n (valor monetario da demanda
externa positivo). por produtos da j-esima industria e i) ii)
Logo: Para o modelo aberto temos Ax + y = x, ou seja, a soma da
parcela da producao da i-esima industria utilizada como insumo por
cada um dos n setores produtivos mais a sua demanda ` nal externa
corresponde, obviamente, a producao total desse setor, para i = 1,
2, ..., n
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
onde: xj > 0, j = 1, 2, ..., n (todos os precos sao
positivos); aij 0, i , j = 1, 2, ..., n (todos os coecientes
tecnicos sao nao-negativos); iii) e n=1 aij < 1 n=1 aij < 1 ;
i j iv) yj > 0, j = 1, 2, ..., n (valor monetario da demanda
externa positivo). por produtos da j-esima industria e i) ii)
Logo: Para o modelo aberto temos Ax + y = x, ou seja, a soma da
parcela da producao da i-esima industria utilizada como insumo por
cada um dos n setores produtivos mais a sua demanda ` nal externa
corresponde, obviamente, a producao total desse setor, para i = 1,
2, ..., n
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Ou seja: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn + y1 = x1 a21
x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn + y2 = x2 . . . . . . . . .
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn + yn = xn Logo,
reescrevendo temos
(I A)x = y .
(4)
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Ou seja: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn + y1 = x1 a21
x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn + y2 = x2 . . . . . . . . .
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn + yn = xn Logo,
reescrevendo temos
(I A)x = y .
(4)
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Sendo assim, para um vetor producao fornecido, podemos
facilmente calcular a demanda nal. Porem, nosso objetivo e
encontrar as adaptacoes necessarias ao setor produtivo para `
atender as demandas projetadas pelos planejadores de polticas `
economicas, entao, invertendo a matriz (I A) e multiplicando a
esquerda os dois lados da equacao pela inversa desta, ` chegamos a
identidade:
(I A)1 y = x, que nos permite calcular, partindo de uma demanda
projetada, os nveis necessarios de producao de cada setor.
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Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
Sendo assim, para um vetor producao fornecido, podemos
facilmente calcular a demanda nal. Porem, nosso objetivo e
encontrar as adaptacoes necessarias ao setor produtivo para `
atender as demandas projetadas pelos planejadores de polticas `
economicas, entao, invertendo a matriz (I A) e multiplicando a
esquerda os dois lados da equacao pela inversa desta, ` chegamos a
identidade:
(I A)1 y = x, que nos permite calcular, partindo de uma demanda
projetada, os nveis necessarios de producao de cada setor.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
A solucao do sistema de Leontief para o modelo abeto de producao
levanta alguns questionamentos: i) Sera que existe uma unica
solucao para o mesmo, ou equivalentemente, (I A) e inversvel? ii) A
solucao e sempre positiva (nao e economicamente viavel termos
producao negativa)?
Nessa secao vamos provar que o sistema de Leontief possui uma
unica solucao positiva. Para tal faremos uso de algumas denicoes e
teoremas conhecidos da algebra Linear.
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Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Descricao
A solucao do sistema de Leontief para o modelo abeto de producao
levanta alguns questionamentos: i) Sera que existe uma unica
solucao para o mesmo, ou equivalentemente, (I A) e inversvel? ii) A
solucao e sempre positiva (nao e economicamente viavel termos
producao negativa)?
Nessa secao vamos provar que o sistema de Leontief possui uma
unica solucao positiva. Para tal faremos uso de algumas denicoes e
teoremas conhecidos da algebra Linear.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
Teorema Seja x Rn a solucao do sistema aberto de producao, (que
sempre existe e e unica, como veremos a seguir) , com aij e yj
satisfazendo ii), iii) e iv) . Entao, xj > 0, j = 1, .., n.
Prova: A demonstracao e feita usando inducao na dimensao de A.
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Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
P(1) : Seja A = [a11 ], isto e, A de dimensao 1 1. Por
construcao a11 < 1 e assim, 1 a11 > 0. Como por hipotese y
> 0, entao (1 a11 )x = y implica x > 0.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
P(k +1) : Vamos mostrar que, se x e solucao do sistema
(I A)(k +1)(k +1) x = y , com A satisfazendo ii) e iii), entao
xj > 0, para j = 1, , k + 1. Suponha xj 0, para algum j {1, , k
+ 1}. Comok
yi +
j =1,j =i
aij xj = (1 ajj )xj
(5)
e (1 ajj ) > 0 temos que (1 ajj )xj < 0. ` Assim, da
Hipotese de Inducao e de iii) aplicados a equacao, segue que 0 yi +
k=1,j =i aij xj = (1 ajj )xj < 0. j Uma contradicao. Logo xj
> 0 para todo j = 1, , k + 1.
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Apendice
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
P(k +1) : Vamos mostrar que, se x e solucao do sistema
(I A)(k +1)(k +1) x = y , com A satisfazendo ii) e iii), entao
xj > 0, para j = 1, , k + 1. Suponha xj 0, para algum j {1, , k
+ 1}. Comok
yi +
j =1,j =i
aij xj = (1 ajj )xj
(5)
e (1 ajj ) > 0 temos que (1 ajj )xj < 0. ` Assim, da
Hipotese de Inducao e de iii) aplicados a equacao, segue que 0 yi +
k=1,j =i aij xj = (1 ajj )xj < 0. j Uma contradicao. Logo xj
> 0 para todo j = 1, , k + 1.
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Apendice
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
P(k +1) : Vamos mostrar que, se x e solucao do sistema
(I A)(k +1)(k +1) x = y , com A satisfazendo ii) e iii), entao
xj > 0, para j = 1, , k + 1. Suponha xj 0, para algum j {1, , k
+ 1}. Comok
yi +
j =1,j =i
aij xj = (1 ajj )xj
(5)
e (1 ajj ) > 0 temos que (1 ajj )xj < 0. ` Assim, da
Hipotese de Inducao e de iii) aplicados a equacao, segue que 0 yi +
k=1,j =i aij xj = (1 ajj )xj < 0. j Uma contradicao. Logo xj
> 0 para todo j = 1, , k + 1.
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Apendice
Solucao Positiva para o Modelo Aberto
P(k +1) : Vamos mostrar que, se x e solucao do sistema
(I A)(k +1)(k +1) x = y , com A satisfazendo ii) e iii), entao
xj > 0, para j = 1, , k + 1. Suponha xj 0, para algum j {1, , k
+ 1}. Comok
yi +
j =1,j =i
aij xj = (1 ajj )xj
(5)
e (1 ajj ) > 0 temos que (1 ajj )xj < 0. ` Assim, da
Hipotese de Inducao e de iii) aplicados a equacao, segue que 0 yi +
k=1,j =i aij xj = (1 ajj )xj < 0. j Uma contradicao. Logo xj
> 0 para todo j = 1, , k + 1.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Condicoes de Inversibilidade
Dizemos que a sequencia An , n N de matrizes converge para (ou
se aproxima de, ou ainda tem como limite) a matriz A = [aij ] (de
mesma ordem) se os elementos das matrizes An se aproximam dos
elementos correspondentes da matriz A, isto e, limn aij(n)
= aij para i = 1, 2, ..., r e j = 1, 2, ..., s
Neste caso usaremos a notacao lim An = A An A
n
ou
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Condicoes de Inversibilidade
Dizemos que a sequencia An , n N de matrizes converge para (ou
se aproxima de, ou ainda tem como limite) a matriz A = [aij ] (de
mesma ordem) se os elementos das matrizes An se aproximam dos
elementos correspondentes da matriz A, isto e, limn aij(n)
= aij para i = 1, 2, ..., r e j = 1, 2, ..., s
Neste caso usaremos a notacao lim An = A An A
n
ou
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Pela denicao acima, dizemos que a series de matrizes (soma de
innitas matrizes) A1 + A2 + ... + An + An+1 + ... tem como soma uma
matriz S e escrevemos S = A1 + A2 + ... se a sequencia Bn n N, onde
Bn = A1 + ... + An tem como limite a matriz S, isto e,n
lim Bn = S .
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Como o limite de uma sequencia de matrizes e formado pelos
limites dos elementos, certas propriedades de limites de sequencias
de numeros tambem sao validas para sequencias de matrizes. Por,
exemplo, constantes multiplicativas podem ser colocadas fora do
limite em sequencias numericas, isto e,limn K .an = K . limn an , o
mesmo valendo para matrizes. Ou seja, se Q1 e Q2 sao matrizes
constantes, entaon
lim (Q1 .An ) = Q1 .( lim An )n
en
lim (An .Q2 ) = ( lim An ).Q2 ,n
desde que sejam possveis as operacoes.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Como o limite de uma sequencia de matrizes e formado pelos
limites dos elementos, certas propriedades de limites de sequencias
de numeros tambem sao validas para sequencias de matrizes. Por,
exemplo, constantes multiplicativas podem ser colocadas fora do
limite em sequencias numericas, isto e,limn K .an = K . limn an , o
mesmo valendo para matrizes. Ou seja, se Q1 e Q2 sao matrizes
constantes, entaon
lim (Q1 .An ) = Q1 .( lim An )n
en
lim (An .Q2 ) = ( lim An ).Q2 ,n
desde que sejam possveis as operacoes.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Os resultados que vem a seguir mostram situacoes em que, sob
certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como
sequencias de numeros. A primeira delas e que, dado um numero real
ou complexo a, com |a| < 1, as potencias de |a| sao numeros cada
vez mais proximos de zero, isto e, limk |a|k = 0, e portanto limk
ak = 0. Alem disso, se |a| > 1,limk ak nao e zero. Se tivermos
uma sequencia de numeros que e uma progressao geometrica de
primeiro termo 1 e razao a, com |a| < 1, entao a soma dos termos
(innitos) desta progressao e dada por 1 + a + a2 + ... + ak + ... =
1 1a
= (1 a)1
Estes resultados tambem sao validos (com certas modicacoes) para
sequencias de matrizes, como veremos.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Os resultados que vem a seguir mostram situacoes em que, sob
certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como
sequencias de numeros. A primeira delas e que, dado um numero real
ou complexo a, com |a| < 1, as potencias de |a| sao numeros cada
vez mais proximos de zero, isto e, limk |a|k = 0, e portanto limk
ak = 0. Alem disso, se |a| > 1,limk ak nao e zero. Se tivermos
uma sequencia de numeros que e uma progressao geometrica de
primeiro termo 1 e razao a, com |a| < 1, entao a soma dos termos
(innitos) desta progressao e dada por 1 + a + a2 + ... + ak + ... =
1 1a
= (1 a)1
Estes resultados tambem sao validos (com certas modicacoes) para
sequencias de matrizes, como veremos.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Os resultados que vem a seguir mostram situacoes em que, sob
certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como
sequencias de numeros. A primeira delas e que, dado um numero real
ou complexo a, com |a| < 1, as potencias de |a| sao numeros cada
vez mais proximos de zero, isto e, limk |a|k = 0, e portanto limk
ak = 0. Alem disso, se |a| > 1,limk ak nao e zero. Se tivermos
uma sequencia de numeros que e uma progressao geometrica de
primeiro termo 1 e razao a, com |a| < 1, entao a soma dos termos
(innitos) desta progressao e dada por 1 + a + a2 + ... + ak + ... =
1 1a
= (1 a)1
Estes resultados tambem sao validos (com certas modicacoes) para
sequencias de matrizes, como veremos.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Os resultados que vem a seguir mostram situacoes em que, sob
certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como
sequencias de numeros. A primeira delas e que, dado um numero real
ou complexo a, com |a| < 1, as potencias de |a| sao numeros cada
vez mais proximos de zero, isto e, limk |a|k = 0, e portanto limk
ak = 0. Alem disso, se |a| > 1,limk ak nao e zero. Se tivermos
uma sequencia de numeros que e uma progressao geometrica de
primeiro termo 1 e razao a, com |a| < 1, entao a soma dos termos
(innitos) desta progressao e dada por 1 + a + a2 + ... + ak + ... =
1 1a
= (1 a)1
Estes resultados tambem sao validos (com certas modicacoes) para
sequencias de matrizes, como veremos.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Teorema Seja A uma matriz quadrada n n. Entao limk Ak = 0
(matriz nula n n) se e somente se todos os autovalores de A tem
modulo menor que 1. Prova: Suponhamos que A seja diagonalizavel.
Existe uma matriz inversvel, Q, tal que
1
0
.....
0 A = Q. . . . 0
2.
0 . . .
.Q 1
$
...
n
, onde os j sao os autovalores de A.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Por inducao, temos que
k
. lim Ak = lim Q . . . k 0
k . . . 1
. . . k n
0 . 1 . .Q = Q .( lim . k
k . . . 1. . . 0
. . . k n
0 . . ).Q .
Como |j | < 1 , j = 1, , n, temos que limk k = 0. Portanto,
jk
lim Ak = Q .0.Q 1 = 0
Vamos mostrar agora que, se limk Ak = 0, entao |j | < 1 para
j = 1, ..., n.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Por inducao, temos que
k
. lim Ak = lim Q . . . k 0
k . . . 1
. . . k n
0 . 1 . .Q = Q .( lim . k
k . . . 1. . . 0
. . . k n
0 . . ).Q .
Como |j | < 1 , j = 1, , n, temos que limk k = 0. Portanto,
jk
lim Ak = Q .0.Q 1 = 0
Vamos mostrar agora que, se limk Ak = 0, entao |j | < 1 para
j = 1, ..., n.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Suponhamos, por absurdo, que um dos autovalores, por exemplo o 1
, tem modulo maior ou igual a 1. Entao, limk k = 0. 1 Dessa
forma
k
. lim Ak = Q ( lim . . k 0
k . . . 1
. . . k n
0 . . ).Q 1 = 0 .
o que contradiz o fato inicial de que limk Ak = 0. Portanto,
todos os autovalores devem ter modulo menor que 1.
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Teorema Seja A uma matriz quadrada n n. Entao,limk Ak = 0 se e
somente se I A e uma matriz inversvel e I + A + A2 + ... + Ak + ...
= (I A)1 , onde I e a matriz identidade n n. Prova: Suponha que
limk Ak = 0. Pelo teorema anterior vemos que os autovalores de A
tem modulo menor que 1 e, portanto, o numero 1 nao e autovalor, o
que implica det (A 1.I ) = 0. Assim, I A e 1 . Note que, vale a
inversvel, cuja inversa denotamos por (I A) identidade
(I + A + A2 + ... + Ak )(I A) = I Ak +1 .
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Aplicando o limite k de ambos os lados e utilizando a hipotese
que limk Ak = 0 temos quek
lim (I + A + A2 + ... + Ak )(I A) = I .
Como as matrizes sao quadradas, temos quek
lim (I + A + A2 + ... + Ak ) = (I A)1 .
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Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Reciprocamente, suponha quek
lim (I + A + A2 + ... + Ak 1 ) = (I A)1
. Multiplicando esta igualdade de ambos os lados por (I A) e
usando propriedades de limite temos que lim (I + A + A2 + ... + Ak
1 )(I A) = I
k
Portanto, lim (I + A + A2 + + Ak 1 A A2 Ak ) = I
k
Consequentemente,k
lim Ak = 0 .
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Apendice
Demonstrando que a matriz e sempre inversvel
Teorema Se A e uma matriz quadrada tal que ||A|| < 1, entao
todos os seus autovalores tem modulo menor que 1. Prova: Temos ||A2
|| = ||A.A|| ||A||.||A|| ||A||2 e, inditivamente, ||Ak || ||A||k .
Como ||A|| < 1, temos 0 limk ||Ak || limk ||A||k = 0 ou seja,
limk ||Ak || = 0 e portanto limk Ak = 0. Usando, entao, o teorema
anterior, vemos que os autovalores de A tem modulo menor que 1.
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Apendice
Um exemplo numerico
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Apendice
Um exemplo numerico
Um exemplo numericoPara facilitar o entendimento, suponhamos uma
economia dividida em apenas 3 setores de producao, onde: Setor - 1)
Setor Primario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) 1000 u.d.
PRODUCAO Setor - 2) Setor Secundario (industria de transformacao)
PRODUCAO 2000 u.d. Setor - 3) Setor de Servicos (transportes,
intermediacoes nanceiras) PRODUCAO 800 u.d. Demanda externa
(exportacoes e consumo externo aos setores produtivos)
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Apendice
Um exemplo numerico
Um exemplo numericoPara facilitar o entendimento, suponhamos uma
economia dividida em apenas 3 setores de producao, onde: Setor - 1)
Setor Primario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) 1000 u.d.
PRODUCAO Setor - 2) Setor Secundario (industria de transformacao)
PRODUCAO 2000 u.d. Setor - 3) Setor de Servicos (transportes,
intermediacoes nanceiras) PRODUCAO 800 u.d. Demanda externa
(exportacoes e consumo externo aos setores produtivos)
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Um exemplo numerico
Um exemplo numericoPara facilitar o entendimento, suponhamos uma
economia dividida em apenas 3 setores de producao, onde: Setor - 1)
Setor Primario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) 1000 u.d.
PRODUCAO Setor - 2) Setor Secundario (industria de transformacao)
PRODUCAO 2000 u.d. Setor - 3) Setor de Servicos (transportes,
intermediacoes nanceiras) PRODUCAO 800 u.d. Demanda externa
(exportacoes e consumo externo aos setores produtivos)
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Um exemplo numerico
Um exemplo numericoPara facilitar o entendimento, suponhamos uma
economia dividida em apenas 3 setores de producao, onde: Setor - 1)
Setor Primario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) 1000 u.d.
PRODUCAO Setor - 2) Setor Secundario (industria de transformacao)
PRODUCAO 2000 u.d. Setor - 3) Setor de Servicos (transportes,
intermediacoes nanceiras) PRODUCAO 800 u.d. Demanda externa
(exportacoes e consumo externo aos setores produtivos)
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Um exemplo numerico
Um exemplo numericoPara facilitar o entendimento, suponhamos uma
economia dividida em apenas 3 setores de producao, onde: Setor - 1)
Setor Primario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) 1000 u.d.
PRODUCAO Setor - 2) Setor Secundario (industria de transformacao)
PRODUCAO 2000 u.d. Setor - 3) Setor de Servicos (transportes,
intermediacoes nanceiras) PRODUCAO 800 u.d. Demanda externa
(exportacoes e consumo externo aos setores produtivos)
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Um exemplo numerico
Uso Producao Setor 1 Setor 2 Setor 3 Total
Setor 1 200 500 200 900
Setor 2 400 300 300 1000
Setor 3 100 400 100 600
Demanda Externa 300 800 200
Producao Total 1000 2000 800
Vamos montar a matriz de coecientes tecnicos: Onde aij =Producao
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 1 200/1000 500/1000 200/1000cij
xj
, ou seja:Setor 3 100/800 400/800 100/800 Producao Total 1000
2000 800
Setor 2 400/2000 300/2000 300/2000
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Um exemplo numerico
Uso Producao Setor 1 Setor 2 Setor 3 Total
Setor 1 200 500 200 900
Setor 2 400 300 300 1000
Setor 3 100 400 100 600
Demanda Externa 300 800 200
Producao Total 1000 2000 800
Vamos montar a matriz de coecientes tecnicos: Onde aij =Producao
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 1 200/1000 500/1000 200/1000cij
xj
, ou seja:Setor 3 100/800 400/800 100/800 Producao Total 1000
2000 800
Setor 2 400/2000 300/2000 300/2000
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Uso Producao Setor 1 Setor 2 Setor 3 Total
Setor 1 200 500 200 900
Setor 2 400 300 300 1000
Setor 3 100 400 100 600
Demanda Externa 300 800 200
Producao Total 1000 2000 800
Vamos montar a matriz de coecientes tecnicos: Onde aij =Producao
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 1 200/1000 500/1000 200/1000cij
xj
, ou seja:Setor 3 100/800 400/800 100/800 Producao Total 1000
2000 800
Setor 2 400/2000 300/2000 300/2000
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Entao A igual: Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 1 1/5 1/2 1/5 Setor
2 1/5 3/20 3/20 Setor 3 1/8 1/2 1/8 A.x
Pela matriz Insumo-Produto, A.x + y = x, ou seja: . A . x =
1/5 1/2 1/5 .
1/5 3/20 3/20
1/8 1000 700 1/2 . 2000 = 1200 1/8 800 600 A.x
700 300 1000 1200 + 800 = 2000 600 200 800
+
y
=
x
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Entao A igual: Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 1 1/5 1/2 1/5 Setor
2 1/5 3/20 3/20 Setor 3 1/8 1/2 1/8 A.x
Pela matriz Insumo-Produto, A.x + y = x, ou seja: . A . x =
1/5 1/2 1/5 .
1/5 3/20 3/20
1/8 1000 700 1/2 . 2000 = 1200 1/8 800 600 A.x
700 300 1000 1200 + 800 = 2000 600 200 800
+
y
=
x
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Entao A igual: Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 1 1/5 1/2 1/5 Setor
2 1/5 3/20 3/20 Setor 3 1/8 1/2 1/8 A.x
Pela matriz Insumo-Produto, A.x + y = x, ou seja: . A . x =
1/5 1/2 1/5 .
1/5 3/20 3/20
1/8 1000 700 1/2 . 2000 = 1200 1/8 800 600 A.x
700 300 1000 1200 + 800 = 2000 600 200 800
+
y
=
x
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Supondo que a demanda externa do setor 1, receba um acrescimo de
100un., vamos utilizar a matriz de insumo-produto para calcular
novos nveis de producao que se fazem necessarios. Temos que: A.x +
y = x, entao (I A)1 .y = x. 4/5 (I A) = 1/2 1/5
1/5 1/8 17/20 1/2 3/20 7/8
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Invertendo (I A), temos:
(I A)1 =
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
300 800 y= 200
400 800 ,y = 200
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
Invertendo (I A), temos:
(I A)1 =
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
300 800 y= 200
400 800 ,y = 200
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
(I A)1 .y = x , ent ao : (I A)1 = 214 127 172 127 392 635 62 127
216 127 256 635 66 127 148 127 928 635
400 1168, 50 . 800 = 2135, 43 200 861, 73
Dessa forma, podemos planejar a producao necessaria para os n
setores, de acordo com as variacoes da demanda externa.
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
(I A)1 .y = x , ent ao : (I A)1 = 214 127 172 127 392 635 62 127
216 127 256 635 66 127 148 127 928 635
400 1168, 50 . 800 = 2135, 43 200 861, 73
Dessa forma, podemos planejar a producao necessaria para os n
setores, de acordo com as variacoes da demanda externa.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Um exemplo numerico
(I A)1 .y = x , ent ao : (I A)1 = 214 127 172 127 392 635 62 127
216 127 256 635 66 127 148 127 928 635
400 1168, 50 . 800 = 2135, 43 200 861, 73
Dessa forma, podemos planejar a producao necessaria para os n
setores, de acordo com as variacoes da demanda externa.
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
a11 . . . an1 Entao a12 . . . an2
+a12 + . . . +an1 = 1. . . +a21
+ . . . +ann =
. . . 1
= 1 a11 a13 . . . a1n. . .
= 1 an1 an3 . . .
. . . ann
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
a11 . . . an1 Entao a12 . . . an2
+a12 + . . . +an1 = 1. . . +a21
+ . . . +ann =
. . . 1
= 1 a11 a13 . . . a1n. . .
= 1 an1 an3 . . .
. . . ann
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
1 a11 . . (I A) = . an1
a12 a13 . . .. . . an2
an1. . .
an3 . . . 1 ann
Excluindo a primeira coluna e somando os elementos de cada linha
temos:
a12 a13 1 a22 a23. . . an2
.. .
... ...
a1n a2n
(2)
an3
. . . 1 ann
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
1 a11 . . (I A) = . an1
a12 a13 . . .. . . an2
an1. . .
an3 . . . 1 ann
Excluindo a primeira coluna e somando os elementos de cada linha
temos:
a12 a13 1 a22 a23. . . an2
.. .
... ...
a1n a2n
(2)
an3
. . . 1 ann
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
Substituindo (1) em (2), temos
(1 a11 a13 ... a1n ) a13 . . .. . . (1 an1 an3 ... ann ) . . .
an3
a1n
= 1 + a11. . . an1
. . . 1 ann =
Mas a expressao e igual a menos a coluna 1 da matriz (I A), logo
os vetores de (I A) sao L.D e det (I A) = 0, ou seja (I A)1 .
Outline
Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
Substituindo (1) em (2), temos
(1 a11 a13 ... a1n ) a13 . . .. . . (1 an1 an3 ... ann ) . . .
an3
a1n
= 1 + a11. . . an1
. . . 1 ann =
Mas a expressao e igual a menos a coluna 1 da matriz (I A), logo
os vetores de (I A) sao L.D e det (I A) = 0, ou seja (I A)1 .
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Producao de Leontief
Apendice
Abrindo as contas da solucao do sistema homogeneo
Substituindo (1) em (2), temos
(1 a11 a13 ... a1n ) a13 . . .. . . (1 an1 an3 ... ann ) . . .
an3
a1n
= 1 + a11. . . an1
. . . 1 ann =
Mas a expressao e igual a menos a coluna 1 da matriz (I A), logo
os vetores de (I A) sao L.D e det (I A) = 0, ou seja (I A)1 .
