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Caracterização dos Grupos Nilpotentes Finitos

Renan Fernandes de MoraesOrientador: Prof. Mestre Júnio Moreira de Alencar

IFCE - Campus Juazeiro do Norte

2014

Renan Fernandes de Moraes Orientador: Prof. Mestre Júnio Moreira de Alencar Caracterização dos Grupos Nilpotentes Finitos

Preliminares

1 Relações e Classes de Equivalência;2 Grupos e Subgrupos;3 Ações, p-grupos e subgrupos de Sylow;


Preliminares

1 Relações e Classes de Equivalência;

2 Grupos e Subgrupos;3 Ações, p-grupos e subgrupos de Sylow;


Preliminares

1 Relações e Classes de Equivalência;2 Grupos e Subgrupos;

3 Ações, p-grupos e subgrupos de Sylow;


Preliminares

1 Relações e Classes de Equivalência;2 Grupos e Subgrupos;3 Ações, p-grupos e subgrupos de Sylow;


Grupos Abelianos

Produto Direto e Grupos Abelianos Finitos


Grupos Abelianos

Produto Direto e Grupos Abelianos Finitos


Solubilidade

1 Comutadores;2 Grupos Solúveis;


Solubilidade

1 Comutadores;

2 Grupos Solúveis;


Solubilidade

1 Comutadores;2 Grupos Solúveis;


Grupos Nilpotentes

Grupos Nilpotentes Finitos


Grupos Nilpotentes

Grupos Nilpotentes Finitos


Grupo Solúvel: {1} = G0 EG1 EG2 E · · ·EGn = G e Gi+1Gi

é abeliano.

Grupo Nilpotente: {1} = G0 EG1 EG2 E · · ·EGn = G e Gi

Gi−1⊂ Z

(Gi

Gi−1

)


Grupo Solúvel: {1} = G0 EG1 EG2 E · · ·EGn = G e Gi+1Gi

é abeliano.

Grupo Nilpotente: {1} = G0 EG1 EG2 E · · ·EGn = G e Gi

Gi−1⊂ Z

(Gi

Gi−1

)


Todo grupo nilpotente é, em particular, solúvel.

Todo grupo abeliano é solúvel: {e} ⊂H ⊂G


Todo grupo nilpotente é, em particular, solúvel.

Todo grupo abeliano é solúvel: {e} ⊂H ⊂G


Caracterização dos Grupos Nilpotentes Finitos

(i) G é nilpotente.(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.(iii) Se H ≤G, então H ≤NG(H).(iv) Se M lG, então M EG.(v) Se P ∈ SylP (G), então P EG.(vi) G = P1× ·· ·×Pr, onde Pi é um p− subgrupo de Sylow de G.


(i) G é nilpotente.(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.

(i) ⇒ (ii): Seja H um subgrupo de G. Definimos a cadeia de subgrupos

H = H0 ⊂ H1 ⊂ . . .⊂ Hn = G

tal que Hi−1 E Hi, 1 ≤ i ≤ n. Como Hi−1 E Hi, podemos tomar, sem perda degeneralidade, que Hi = NG(Hi−1). Segue que, se Hn−1 ,G, então |Hn−1|< |Hn|.Como G, da forma que foi definido, é finito, deve existir um índice n tal que Hn = G.Dai, Hn−1 EHn = G. Logo, todo subgrupo de G é subnormal. �


(i) G é nilpotente.(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.

(i) ⇒ (ii): Seja H um subgrupo de G. Definimos a cadeia de subgrupos

H = H0 ⊂ H1 ⊂ . . .⊂ Hn = G

tal que Hi−1 E Hi, 1 ≤ i ≤ n. Como Hi−1 E Hi, podemos tomar, sem perda degeneralidade, que Hi = NG(Hi−1). Segue que, se Hn−1 ,G, então |Hn−1|< |Hn|.Como G, da forma que foi definido, é finito, deve existir um índice n tal que Hn = G.Dai, Hn−1 EHn = G. Logo, todo subgrupo de G é subnormal. �


(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.(iii) Se H ≤G, então H ≤NG(H).

(ii) ⇒ (iii): Segue que, seja H ≤G. Se H é subgrupo normal em G, então existeuma série tal que H = H0 EH1 E · · ·EHn = G. Se i é o menor inteiro positivo tal queH ,Hi, então H = Hi−1 EHi e, pela propriedade do normalizador, como G énilpotente, Hi ≤NG(H). �


(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.(iii) Se H ≤G, então H ≤NG(H).

(ii) ⇒ (iii): Segue que, seja H ≤G. Se H é subgrupo normal em G, então existeuma série tal que H = H0 EH1 E · · ·EHn = G. Se i é o menor inteiro positivo tal queH ,Hi, então H = Hi−1 EHi e, pela propriedade do normalizador, como G énilpotente, Hi ≤NG(H). �


(iii) Se H ≤G, então H ≤NG(H).(iv) Se M lG, então M EG.

(iii) ⇒ (iv): Segue que, se M é um subgrupo maximal em G, então M ≤NG(M).Então, como M ≤NG(M), pela definição de subgrupo maximal, teremosNG(M) = G. Como NG(M) = {g ∈G | g−1Mg = M}, então M EG.


(iii) Se H ≤G, então H ≤NG(H).(iv) Se M lG, então M EG.

(iii) ⇒ (iv): Segue que, se M é um subgrupo maximal em G, então M ≤NG(M).Então, como M ≤NG(M), pela definição de subgrupo maximal, teremosNG(M) = G. Como NG(M) = {g ∈G | g−1Mg = M}, então M EG.


(iv) Se M lG, então M EG.(v) Se P ∈ SylP (G), então P EG.

(iv) ⇒ (v) Seja P ∈ Sylp(G) e suponha que P 5 G. Então, P ≤NG(P ) < M lG.Afirmação: NG(M) = M . Com efeito, seja g ∈NG(M). Então,g−1Pg ⊂ g−1Mg = M . E, portanto, P e g−1Pg pertencem a Sylp(M). Pelo teoremade Sylow existe x ∈M , tal que x−1Px = g−1Pg =⇒ P = P gx−1 . Portanto,gx−1 ∈NG(P )≤M . E g ∈ xM = M . Logo, NG(M)⊆M . Mas, M ≤NG(M).Então, M = NG(M) e M 5 G. Portanto, cada subgrupo Sylow de G é normal. �


(iv) Se M lG, então M EG.(v) Se P ∈ SylP (G), então P EG.

(iv) ⇒ (v) Seja P ∈ Sylp(G) e suponha que P 5 G. Então, P ≤NG(P ) < M lG.Afirmação: NG(M) = M . Com efeito, seja g ∈NG(M). Então,g−1Pg ⊂ g−1Mg = M . E, portanto, P e g−1Pg pertencem a Sylp(M). Pelo teoremade Sylow existe x ∈M , tal que x−1Px = g−1Pg =⇒ P = P gx−1 . Portanto,gx−1 ∈NG(P )≤M . E g ∈ xM = M . Logo, NG(M)⊆M . Mas, M ≤NG(M).Então, M = NG(M) e M 5 G. Portanto, cada subgrupo Sylow de G é normal. �


(v) Se P ∈ SylP (G), então P EG.(vi) G = P1× ·· ·×Pr.

(v) ⇒ (vi) Note-se que, neste caso, G é um produto direto de seus subgrupos deSylow.

(vi) G = P1× ·· ·×Pr

(i) G é nilpotente.(vi) ⇒ (i) Sabemos que todo p−grupo finito é nilpotente. Se P1, . . . ,Pr sãonilpotentes, então G = P1× ·· ·×Pr é nilpotente. Basta ver a proposição 5.6: Todop− grupo finito é nilpotente. E e proposição 5.7: Produtos diretos finitos de gruposnilpotentes são também nilpotentes.


(v) Se P ∈ SylP (G), então P EG.(vi) G = P1× ·· ·×Pr.(v) ⇒ (vi) Note-se que, neste caso, G é um produto direto de seus subgrupos deSylow.

(vi) G = P1× ·· ·×Pr




(vi) G = P1× ·· ·×Pr

(i) G é nilpotente.

(vi) ⇒ (i) Sabemos que todo p−grupo finito é nilpotente. Se P1, . . . ,Pr sãonilpotentes, então G = P1× ·· ·×Pr é nilpotente. Basta ver a proposição 5.6: Todop− grupo finito é nilpotente. E e proposição 5.7: Produtos diretos finitos de gruposnilpotentes são também nilpotentes.



(vi) G = P1× ·· ·×Pr



Caracterização do Grupos Nilpotentes Finitos ≈︸︷︷︸Generalização

Teorema

Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos


Teorema fundamental de Grupos Abelianos finitos: Se G é um grupo abeliano finito,então G é o produto direto interno de seus subgrupos de Sylow e portanto, G éisomorfo ao produto direto de seus subgrupos de Sylow.


ReferênciasANZAR, M. J. I.; MONASOR, F. P. LECCIONES sobre GRUPOS.Disponível em: <http://www.uv.es/∼iranzo/Lecciones_de_Grupos.pdf>.

ALENCAR, J.M. GRUPOS COBERTOS POR SEIS SUBGRUPOS MAXIMAIS.Disponível em: <http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/879>.

BATTACHARIA, P. B. Basic abstract algebra. 2nd ed. Cambridge : Cambridge Uni-versity, 1994.

ROBINSON, D. J. S. A course in the theory of groups. New York : Springer-Verlag,1982.


Considerações Finais

“Para sabermos bem as coisas, é preciso sabermos os pormenores, e como estes sãoquase infinitos, os nossos conhecimentos são sempre superficiais e imperfeitos”.


Considerações Finais

“Para sabermos bem as coisas, é preciso sabermos os pormenores, e como estes sãoquase infinitos, os nossos conhecimentos são sempre superficiais e imperfeitos”.


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