MATEMÁTICA

MÓDULO 15ELIPSE

Professor Haroldo Filho

1. ELIPSEDados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que, F2F1 = 2c ≠ 0,chamamos elipse ao lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja somadas suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é constante igual a 2a > 2c.

2. ELEMENTOS DA ELIPSE

Pontos principais:

• A2, A1, B2 e B1 - vértices

• F2 e F1 - focos

• C - centro

Segmento

• A2A1 – eixo maior – m(A2A1) = 2a

• B2B1 – eixo menor – m(B2B1) = 2b

• F2F1 – distância focal – m(F2F1) = 2c

III. Relações:

IV. Retas

Diretrizes:

Diretrizes da elipse são duas retas, (D1) e (d2), perpendiculares ao suporte

do eixo maior, distandoae

do centro da curva.

ce 1 Excentricidade

a

2 2 21 1a b c Relação notável tirada do triângulo retângulo B CF

3. EQUAÇÃO REDUZIDA3.1. Eixo maior no eixo x

2 1|F P| |F P| 2a

2 2 2 2(x c) y (x c) y 2a

2 2 2 2 2 2x 2cx c y 2a x 2cx c y

2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x 2cx c y

2 2 2 2a x 2cx c y a cx

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2a cx a c a y a 2a cx c x

3.2. Se Se C = (0,0), porém o eixo maior está no eixo y.

2 2 2 2 2 2 4 2 2a x c x a y a a c

2 2 2 2 2 2 2 2(a c )x a y a (a c )

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2

2 2

x y1

a b

2 2

2 2

x y1

b a

3.3. Equação da elipse quando há translação de sistema.

1o caso: Elipse com centro O (m , n) e eixo maior horizontal.

2 2

2 2

(x m) (y n)1, a b

a b

2o caso: Elipse com centro O (m, n) e eixo maior vertical.

2 2

2 2

(x -m) (y -n)1 , a b

b a

4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E ELIPSESejam uma elipse de focos F1 e F2 , cujo eixo maior mede 2a, e P umponto do ponto do plano de .

• 1o caso: A é ponto da elipse.

A pertence à elipse se, e somente se:

PF1 + PF2 = 2a

• 2o caso: A é interior à elipse .

PF1 + PF2 < 2a

• 3o caso: A é exterior à elipse .

PF1 + PF2 > 2a

5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E ELIPSESendo uma elipse e r uma reta, contidas em mesmo plano, temos:

1o caso: a reta r é exterior à elipse se, e somente se, r =

2o caso: a reta r é tangente à elipse se, e somente se, r = {P}

3o caso: a reta r é secante à elipse se, e somente se r = {P1 , P2}

PROCESSO PRÁTICOA quantidade de pontos de interseção entre a reta r e a elipse é dadapelo número de soluções do sistema formado pelas equações de r e ,resolvido substituindo-se uma variável previamente isolada na equaçãode r na equação de . Com isso, se:

I. Δ > 0 : r é secante a ;

II. Δ = 0 : r é tangente a ;

III. Δ < 0 : r é exterior a .