Aproxima»c~ao para Equa»c~oes de Press~ao e Velocidade com ...· com Formula»c~ao Mista de M¶‡nimos

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  • Aproximacao para Equacoes de Pressao e Velocidadecom Formulacao Mista de Mnimos Quadrados

    Kennedy Morais FernandesCampus Regional Instituto Politecnico - IPRJ

    Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ28.630-050, Nova Friburgo, RJE-mail: kfernandes@iprj.uerj.br

    Regina Celia Paula Leal ToledoInstituto de Computacao - IC

    Universidade Federal Fluminense - UFF24.210-240, Niteroi, RJE-mail: leal@ic.uff.br.

    Resumo: O escoamento miscvel incom-pressvel em meios porosos, caracterizandoo processo de recuperacao terciaria emreservatorios de petroleo, e modelado ma-tematicamente por um sistema acoplado deequacoes diferenciais parciais nao-lineares,com condicoes de contorno e condicoes iniciaisadequadas. O modelo matematico consistede um sub-sistema elptico envolvendo oscampos de pressao e velocidade, oriundo dalei de conservacao de massa e Lei de Darcy,e uma equacao de transporte, predominante-mente convectiva para a concentracao, sendoessa a variavel de maior interesse. Variasformulacoes variacionais tem sido emprega-das para resolver este problema, visando adeterminacao precisa da velocidade. Nestetrabalho o metodo dos elementos finitos com aformulacao variacional de mnimos quadradose aplicada ao sub-sistema elptico do problema.Com o acrescimo da equacao do rotacionalnulo obtem-se convergencia na norma H1tanto para a pressao como para a velocidade.Resultados numericos sao apresentados ecomparados com os descritos na literatura.

    Introducao

    No escoamento miscvel incompressvel emmeios porosos a variavel de maior interesse e aconcentracao do fluido injetado entretanto, emse tratando de escoamento predominantementeconvectivo e fundamental a determinacao pre-cisa da velocidade [2].

    Varios tipos de aproximacoes, utilizando ometodo dos elementos finitos baseado em for-mulacoes de Galerkin, sao empregadas pararesolver este problema. Dentre estes, pode-mos destacar os seguintes trabalhos: Castro [1],Garcia [3], Karam Filho [4], Malta [6] e Ney [7].

    Formulacoes variacionais de mnimos qua-drados em sua forma classica tem a desvanta-gem de requerer maior grau de regularidade dosespacos de aproximacao. Essas formulacoes saoaplicadas em muitos problemas reescrevendo asequacoes que descrevem o fenomeno fsico comoum sistema equivalente de equacoes diferenciaisde primeira ordem, reduzindo assim, a necessi-dade de maior grau de regularidade dos espacosde aproximacao[5, 8].

    Apresentamos neste trabalho formulacoes demnimos quadrados aplicadas ao sub-sistemaelptico que calcula a pressao e a velocidade.Como a velocidade, e nao a pressao, apa-rece na equacao de concentracao que faz partedo modelo matematico que simula o escoa-mento miscvel, atencao especial deve ser dadaa obtencao de aproximacoes precisas para estecampo, tentando minimizar os erros na apro-ximacao da concentracao a nao afetar a suaprecisao.

    Para melhorar as taxas de convergencia paravelocidade apresentamos tambem a formulacaode mnimos-quadrados aplicada a esse pro-blema, com a inclusao do termo do rotacionalnulo. Exemplos sao apresentados para avaliarresultados das formulacoes apresentadas.

    503

  • Definicao do problemaConsideremos, por simplicidade, R2 um

    domnio limitado, com fronteira regular, talque:

    u p =

    u p =

    onde e o conjunto vazio.Descrevemos o problema como:Para um dado valor f, achar os campos u e

    p que satisfazem a:

    u = f em (1)

    u = k(x)p em (2)p = em p (3)

    u n = 0 em u, (4)sendo: u = (u1, u2), o vetor velocidade; p, o valor escalar que define a pressao; k(x), a permeabilidade do meio poroso.

    Formulacao Mista em Pressao e Ve-locidade

    Para esse problema, como mostrado em [5],mesmo se trabalhando com formulacao mistaem pressao e velocidade, recai-se num pro-blema de minimizacao do funcional, nao exi-gindo dessa forma compatibilidade entre osespacos de aproximacao.

    Assim, a formulacao variacional de mnimosquadrados e aplicada da seguinte forma:

    J(u, p) = 12 [ ( u f) ( u f)+

    (u + k(x)p)(k1(x)u +p

    )d

    ](5)

    sendo u o vetor velocidade, p a pressao e k(x)uma matriz diagonal.

    Associado a minimizacao de J , temos o se-guinte problema variacional:

    Problema P1: Achar u e p, tal que:

    B({u, p}; {q, }) = F (q, ) (6)

    sendo B(, ) e F (), definidos como

    B({u, p}; {q, }) = ( u) ( q)+

    (u + k(x)p)(k1(x)q +

    )d (7)

    eF(q) =

    f qd (8)

    A analise de erro dessa formulacao com ometodo dos elementos finitos apresenta a se-guinte taxa de convergencia [5, 8]:

    p phH1 + u uhHdiv chj (9)

    sendo j o grau do polinomio de interpolacaotanto da variavel p quanto da variavel u.Polinomios de diferentes graus tambem podemser utilizados para aproximar cada uma dasvariaveis desse problema, como apresentadoem [8].

    Formulacao com RotacionalPara melhorar a aproximacao para o campo

    de velocidades, que e a variavel de maior inte-resse do problema, foi proposto em [5, 8] umaformulacao incluindo a equacao do rotacionalnulo do campo u.

    Dessa forma o sub-sistema elptico e reescritoda seguinte forma:

    u = f em (10)

    u = k(x)p em (11)k1(x) u = 0 em (12)

    p = em p (13)

    u n = 0 em u (14)u n = 0 em p (15)

    O funcional de Mnimos Quadrados para oproblema em questao e

    J(u, p) = 12( u f)( u f)+

    (k1(x) u)(k1(x) u)+(u + k(x)p)(k1(x)u +p)d (16)

    com u, p e f e k definidos anteriormente.Fazendo-se a variacao de J , temos o seguinte

    problema variacional:Problema P2: Achar (u, p), tal que:

    B {(u, p); (q, )} = F(q) (17)

    com B(, ) e F(), definidos a seguir.

    504

  • B {(u, p); (q, )} = ( u) ( q) +

    (u + k (x)p)(k (x)1 q +

    )+(

    k (x)1 u)

    (k(x)1 q)d (18)

    F(q) =

    f qd (19)Observa-se que esse sistema mantem o

    numero de incognitas nodais e consequente-mente a ordem do sistema de equacoes.

    Para essa formulacao a taxa de erro [5, 8] doproblema discretizado pelo metodo dos elemen-tos finitos encontrada e:

    p phH1 + u uhH1 chj (20)onde j e o grau do polinomio de aproximacaotanto para p quanto para u, h e o intervalo dediscretacao espacial e c uma constante.

    Nesse caso, pode-se tambem obter a taxa deerro em L2 [8] dada por:

    p phL2 + u uhL2 chj+1 (21)para interpolacoes de igual ordem, emboradiferentes ordens de aproximacoes possam serutilizadas para aproximar p e u [8].

    Resultados NumericosPara testar as formulacoes propostas apre-

    sentamos a seguir resultados para um domniohomogeneo e heterogeneo, tanto para malha re-gular quanto para malha apresentada na Fi-gura 1, utilizando as formulacoes de mnimosquadrados descritas nos problemas P1 e P2.

    Figura 1: Malha inclinada

    Para estes exemplos, as matrizes A1, A2 e Bque descrevem o sistema de equacoes diferenci-ais, podem ser dadas por:

    A1 =

    k 0 00 0 00 1 0

    (22)

    A2 =

    0 0 0k 0 00 0 1

    (23)

    B =

    0 1 00 0 10 0 0

    (24)

    para

    u =

    pu1u2

    (25)

    Para formulacao com o rotacional temos:

    A1 =

    k 0 00 0 00 1 00 0 k1

    (26)

    A2 =

    0 0 0k 0 00 0 10 k1 1

    (27)

    B =

    0 1 00 0 10 0 00 0 0

    (28)

    Exemplo 1Como primeiro exemplo apresentamos um

    domnio quadrado de dimensao 1, e um meiohomogeneo com k = 0, 1 I, onde I e a matrizidentidade.

    As condicoes de contorno prescritas sao apressao em x = 0, P (0, y) = 1, e x = 1,P (1, y) = 0 e fluxo normal nulo em y = 0 ey = 1.

    Figura 2: Permeabilidade homogenea

    505

  • Para todos os exemplos desse trabalho odomnio foi discretizado em 25 25 elemen-tos isoparametricos bilineares com integracaode Gauss com 2 2 pontos.

    Resultados para formulacao sem rotacionale com rotacional sao apresentados nas Figu-ras 2 e 3, para discretizacao com malha regular.

    Figura 3: Permeabilidade homogenea e for-mulacao com rotacional

    Nas Figuras 4 e 5 apresentamos tambem re-sultados sem rotacional e com rotacional comuma malha inclinada em relacao aos eixos car-tesianos (Figura 1), como sugerido em [3].

    Figura 4: Permeabilidade homogenea e malhainclinada

    Exemplo 2A seguir, o problema e aplicado a um meio

    heterogeneo (diferentes permeabilidades) comoapresentado na Figura 6.

    A Figura 7 apresenta resultados da for-mulacao sem rotacional, onde podemos obser-var pequenas oscilacoes na velocidade proximo

    Figura 5: Permeabilidade homogenea, malhainclinada e formulacao com rotacional

    Figura 6: Domnio com permeabilidade hete-rogenea

    a regiao de baixa permeabilidade. A Figura 8apresenta resultados da formulacao com rota-cional onde observa-se a nao existencia de os-cilacoes e um perfil parabolico para velocidade.

    Figura 7: Permeabilidade heterogenea

    506

  • Figura 8: Permeabilidade heterogenea e for-mulacao com rotacional

    Tambem para esse exemplo utilizamos umamalha regular e a malha apresentada na Fi-gura 1, os resultados para a formulacao demnimos quadrados e formulacao de mnimosquadrados com rotacional, sao apresentadosnas Figuras 7, 9 e nas Figuras 8, 10 respec-tivamente.

    Figura 9: Permeabilidade heterogenea e malhainclinada

    Nas Figuras 7 e 9 podemos observar umapequena oscilacao nas velocidades proximo aregiao de baixa permeabilidade. Com a in-clusao da equacao u = 0 a formulacao,apresentada nas Figuras 8 e 10, nao ha maisoscilacao e aparece o perfil parabolico naocaptado em outras formulacoes, tais como astecnicas de pos-processamento para a veloci-dade [3] apresentadas nas Figuras 12-15.Exemplo 3

    Neste exemplo o escoamento ocorre em

    Figura 10: Permeabilidade heterogenea, malhainclinada e formulacao com rotacional

    Figura 11: Representacao da pressao na for-mulacao com rotacional

    Figura 12: Velocidades obtidas pelo pos-processamento globa