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NOME:_________________________________ Nº:____
PROF.:__________________________ TURMA: _______
Cada Vez Menor 1
M. C. Escher,1940
DESEN
HO
9
º a
no
-
En
sin
o F
un
da
me
nta
l II
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS HUMAITÁ II
DEPARTAMENTO DE DESENHO
2020
2
Organização e método de estudo .......................................................
Divisão de segmentos ...................................................................................
Razão e proporção ..........................................................................................
Segmentos proporcionais .............................................................................
- Quarta proporcional .................................................................................
- Terceira proporcional...............................................................................
- Média geométrica ou média proporcional ...............................................
- Proporção áurea .....................................................................................
- Retângulo áureo .....................................................................................
Retificação da circunferência ......................................................................
Desretificação da circunferência .........................................................
Equivalência de triângulos .....................................................................
Equivalência de figuras quaisquer.................................................................
Transformações pontuais.............................................................................
Homotetia ....................................................................................................
Sólidos Geométricos – Planificação...............................................................
Perspectiva Cônica.....................................................................................
Índice
03
07
08
13
13
16
17
20
22
23
24
25
26
28
33
XX
XX
ESTA APOSTILA ESTÁ EM PROCESSO DE DIGITALIZAÇÃO E ATUALIZAÇÃO – ÍNDICE
EM CONSTRUÇÃO.
3
ORGANIZAÇÃO E MÉTODO DE ESTUDO
Para iniciar um estudo, seja ele qual for, você precisa estar atento a algumas dicas de como otimizar seu
tempo e melhorar na concentração.
DICAS IMPORTANTES
• Mantenha um plano de estudos, organizando seus horários, ainda que pouco, mas com consistência e
perseverança;
• Antes de começar a estudar, verifique se o que você precisará está à mão (anotações, livros e
instrumentos necessários);
• Procure fazer pausas a cada 50min de estudos;
• Crie o hábito de fazer resumos e esquemas. Isso irá ajudá-lo a fixar o aprendizado.
• Ao terminar de ler, imagine-se tendo que explicar o assunto para alguém. Como você faria???
• Estudo é disciplina e perseverança. Assim como uma atividade física, ele pode começar com um pequeno
tempo e, gradativamente, ir aumentando até impor um ritmo adequado à sua realidade.
• Há várias dicas em sites e livros tratando desse tema. Busque mais informações.
• E lembre-se:
“O êxito na vida não se mede pelo que
você conquistou, mas pelas dificuldades
que superou no caminho”.
(Abraham Lincoln)
SOLUCIONANDO PROBLEMAS
Em Desenho, quando estudamos os lugares geométricos, vimos o quanto é importante saber interpretar
o problema para encontrar a solução. Para o estudo dos conteúdos desta série, você precisará ter em
mente as etapas envolvidas:
1º Momento: Leitura do enunciado (interpretação)
O que se deseja obter?
Quais são os dados?
3º Momento: Descoberta (“ginástica mental”)
Caminho para se chegar à resposta.
A partir dos dados e de determinadas
propriedades.
2º Momento: Rascunho/Figura de análise
Esboce/Rascunhe
Reúna as informações.
5º Momento: Construção
Por fim, o traçado com os instrumentos.
Medidas corretas.
4º Momento: Roteiro
A análise, a organização das informações.
Utilização da linguagem simbólica (notação
específica).
4
CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS NOTÁVEIS COM RÉGUA E COMPASSO
Ângulo de 450
V A
B C
⬧ Construa um ângulo de 900 e trace sua
bissetriz VC.
med(AVC) = 450.
Ângulo de 900
V A B
C
⬧ Com centro em V e abertura qualquer do
compasso, trace um arco determinando A e B.
Determine C, interseção dos arcos de centro em
A e B, com raio maior que dist(B; V).
med(AVC) = med(BVC) = 900.
Ângulo de 600
V A
B
⬧ Obtenha A traçando o arco de centro em V,
com abertura qualquer do compasso. Com centro
em A e raio VA, determine B. Trace VB.
med(AVB) = 600.
Ângulo de 300
V A
B
C
⬧ Construa um ângulo de 600 e trace sua
bissetriz VC.
med(AVC) = 300.
CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Fixo Fixo
Móvel
1) Traçado de paralelas com o par de esquadros
+ P + P + P
2) Traçado de perpendiculares com o par de esquadros
Fixo Fixo
5
ALFABETO GREGO MINÚSCULO
- alfa - eta - ni - tau
- beta - teta - csi - ípsilon
- gama - iota -ômicron - fi
- delta - capa - pi - qui
- épsilon - lambda - rô - psi
- dzeta - mi - sigma - ômega
5) Transporte de ângulo
V A
B
V’ A’
B’
r V’ A’ r
1º) Abertura qualquer
2º) Mesma abertura
Ângulo dado Ângulo Transportado
3º) dist.(A;B)
4) Construção da bissetriz de um ângulo.
C
A
B
V
C
A
B
V A
B
V
1º) Abertura qualquer
2º) Abertura maior que a inicial
A B
3) Construção da mediatriz de um segmento de reta.
A B
1
2 Abertura maior que
a metade de AB
M A B
mtz
6
GLOSSÁRIO DE DESENHO GEOMÉTRICO – 9º ANO
A, B, C... Pontos (qualquer letra maiúscula)
a, b, c... Retas (qualquer letra minúscula)
, , ... Planos (qualquer letra minúscula do alfabeto grego)
AB Reta que passa pelos pontos A e B
AB Semirreta de origem no ponto A e que passa por B
A Semirreta de origem no ponto A
AB Segmento de reta com extremidades nos pontos A e B
med (AB) Medida do segmento de reta de extremidades A e B
A Ângulo com vértice no ponto A
BAC Ângulo com vértice em A e lados AB e AC
ab Ângulo determinado pelas retas a e b
med(BAC) Medida do ângulo com vértice em A e lados AB e AC
= 450 A medida do ângulo, representado por , é 45 graus
dist(A; B) Distância entre os pontos A e B
dist(A; r) Distância do ponto A à reta r
dist(r; s) Distância entre as retas r e s
r // s A reta r é paralela à reta s
r s A reta r é concorrente com a reta s
r ⊥ s A reta r é perpendicular à reta s
r s A reta r é oblíqua à reta s
r s A reta r é coincidente com a reta s
A F O ângulo A é congruente ao ângulo F
AB Arco de extremidades nos pontos A e B
A r O ponto A pertence à reta r
A r O ponto A não pertence à reta r
r A reta r está contida no plano
s A reta s não está contida no plano
ABC Triângulo com vértices nos pontos A, B e C
Ângulo de 900
⊥ (r; P) Perpendicular à reta r, passando pelo ponto P
Circ (O; r) Circunferência de centro em O e raio de medida r
Mtz (AB) Mediatriz do segmento de extremidades A e B
// (r; d) Par de paralelas à reta r, com distância d
Btz (ab) Par de bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas a e b
Ac (AB; 600) Par de arcos capazes de ver o segmento AB sob um ângulo de 60 graus
L.G. Lugar geométrico
Material de estudo elaborado pela prof.ª Sonia Sá – UESCII – 2011.
Referências:
Jorge, Sonia. Desenho geométrico – ideias e imagens. Vol. 4. 3 ed. São Paulo: Saraiva, 2003.
Marmo, Carlos & Nicolau. Desenho geométrico. Vol. 1. São Paulo: Scipione, 1994. p 47.
Pinto, Nilda Helena S. Correa. Desenho geométrico. Vol. 4. 1 ed. São Paulo: Moderna, 1991.
7
DIVISÃO DE SEGMENTOS
A divisão de um segmento em qualquer número de partes baseia-se no Teorema de Thales, que diz:
“Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer segmentos proporcionais”.
Exercícios
2. Dividir o segmento CD em 7 partes iguais.
3. Determinar o segmento de reta CE que representa 2/5 do segmento CD.
C D
A B
1. Dividir o segmento AB em 3 partes iguais.
C D
A razão ABതതതത
BCതതതത é igual à DEതതതത
EFതതത , pois: 2x
4x =
2y
4y →
2
4 =
2
4
Como há uma igualdade, essas razões são
proporcionais. Temos, também:
ACതതതതത
ABതതതത =DFതതതത
DEതതതത ou BCതതതത
ACതതതതത = EFതതത
DFതതതത
8
Se precisarmos fazer mais panquecas aumentamos a quantidade dos ingredientes na mesma
proporção. No exemplo acima, aumentamos 3 vezes.
Vamos comparar as quantidades dos ingredientes da receita.
Margarina: 3
1 3 k = 3 farinha e leite:
6
2 k = 3 ovos:
9
3 k = 3
Observando as razões, percebemos que há uma igualdade. Essas razões são proporcionais.
3
1 =
6
2 =
9
3
RAZÃO E PROPORÇÃO
Razão entre dois números indica quantas vezes um número está contido no outro.
Exemplo: 8
2 = 4 → k = 4 k é a razão entre os dois números
➢ Propriedade fundamental das proporções
➢ Segmentos proporcionais
Atenção! Os meios podem trocar suas posições, mas devem continuar sendo meios. Se uma
grandeza que é meio for trocada para a posição de extremo, a proporção transformar-se-á
totalmente. O mesmo vale para os extremos.
Quando quatro segmentos têm a mesma unidade de medida e seus valores numéricos formam
uma proporção (há uma igualdade de razões) eles são chamados de segmentos proporcionais.
A B
D C
E F
G H
8
4
6
3
ABതതതത está para CDതതതതത, assim como EFതതത está para GHതതതതത.
ABതതതത contém CDതതതതത o mesmo número de vezes que EFതതത contém GHതതതതത.
6 x 3 = 2 x 9
meios extremos
UMA RECEITA DE PANQUECA
1 tablete de margarina derretida
2 copos de farinha de trigo
2 copos de leite
3 ovos
TRÊS RECEITAS DE PANQUECA
3 tabletes de margarina derretida
6 copos de farinha de trigo
6 copos de leite
9 ovos
ABതതതത
CDതതതതത = EFതതത
GHതതതതത → 8
4 =
6
3
9
1. Dividir graficamente o segmento AB em partes
proporcionais aos números 2, 3 e 4.
A B
3. Dividir graficamente o segmento EF em
partes proporcionais aos segmentos de medidas
a, b e c.
F E
a b c
Exercícios
4. Dividir graficamente o segmento AB em 2
partes de maneira que a primeira seja 2/3 da
segunda.
A B
2. Represente a circunferência de raio igual a
4/7 do segmento BC.
B C
10
B A
5. Traçar o retângulo MNPQ, cujo perímetro é igual à medida de ABതതതത, sabendo que a razão entre
a altura e a base é igual a 2/3. Resolução gráfica.
A
B C
D
6. Dado o quadrado ABCD, construa o triângulo equilátero EFG sabendo que ambos têm o
mesmo perímetro.
Resolução gráfica
M
N
P
L
A
B C
D
7. Divida o losango ABCD em faixas proporcionais às do losango LMNP. Resolução gráfica.
11
➢ DESAFIOS
Comprimento da escada
8. Observe a representação em perspectiva da escada ao
lado. Ela representa parte de uma escada, a parte
destacada apresenta 2 patamares (início e fim), e 3
degraus. Agora, represente a divisão desta escada no
retângulo abaixo (seguindo a sequência apresentada
na representação ao lado), sabendo que:
- O patamar corresponde a medida de 3 degraus.
Patamar
Imagem retirada da apostila de desenho
arquitetônico 2 (Un. Estácio de Sá):
disponível
em:http://www.monasterio.com.br/Clelia
Blog/2017/1oSEM2017/DA2/DA2-2017-1-
aula5.pdf
Soma das janelas e distâncias entre elas (t)
Imagem disponível em:
https://www.decorfacil.com/grades-para-janelas/
t
9. Dado o segmento t (soma das janelas e distâncias entre elas), represente graficamente a
proporção entre as janelas e o espaço entre elas. Sabendo que a distância entre as janelas
mede 1 2⁄ da medida da largura da janela.
12
Dado segmento p, represente a proporção entre portas e colunas. Sendo p a soma das larguras
das portas e colunas.
Fachada do Museu Nacional - ilustração de Karina Kuschnir - disponível em:
https://karinakuschnir.wordpress.com/2018/09/13/museu-nacional-ufrj-1818/
9. Observe a representação da fachada do Museu Nacional.
• A parte destacada, apresenta as três portas principais do museu e as colunas que
as delimitam.
• As colunas mais largas e as portas possuem a mesma proporção. As colunas mais
estreitas (entre as portas) apresentam 2
3 da medida da porta.
p
13
1a solução
a
b=
c
x
2a solução
b
a=
c
y
3a solução
c
a=
b
z
Se o problema não indicar a proporção
considere a ordem em que se apresentam
os segmentos dados.
- Esse tipo de problema admite três soluções
Exercícios
1. a) Conhecendo os segmentos de medidas a, b e c, determine graficamente o segmento x.
a = 25 mm
b = 30 mm
c = 15 mm
a
b =
c
x
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
➢ Quarta proporcional
- Em Matemática, a 4a proporcional é o quarto termo que define uma proporção.
- Em Desenho, teremos três segmentos e vamos achar um segmento que será o 4o termo da
proporção.
10
5 =
4
x → 10 . x = 4 . 5 → 10 . x = 20 → x = 2
a
b =
c
x
14
1. b) Determine graficamente o segmento x, mudando a proporção. Não esqueça de
mencionar qual é a proporção. (Use as medidas de a, b, e c do exercício 1.a))
=
x
=
x
B
D
A
C
35 mm
20 mm
S R
P Q
12 mm
x
2. Sabendo que a altura e a base do retângulo ABCD são proporcionais à altura e à base do
retângulo PQRS, calcule graficamente a medida de PQ.
15
3. Determine graficamente a quarta
proporcional entre os lados do retângulo e
a sua diagonal na ordem de medida do
menor para o maior.
4. Construa um triângulo equilátero PQR sabendo
que seu lado equivale a quarta proporcional
entre os lados do triângulo ABC. Resolução
gráfica.
A
B C
a.c = b.x
5. Dados os segmentos m, n e p, determine
a quarta proporcional que satisfaz a
proporção.
Resolução gráfica.
6. Verifique se os segmentos r, s, t e v atendem à
proporção dada. Resolução gráfica.
r
s
t
v
x = m.n
p
r
v =
s
t m
n
p
16
1a solução
a
b=
b
x
2a solução
b
a=
a
y
- Este tipo de problema admite duas soluções.
y
a
a
b=
- Graficamente a resolução é semelhante à da quarta proporcional.
c = b²
a
➢ Terceira proporcional
- A 3a proporcional é um caso particular da 4a proporcional em que os meios são iguais.
8
4 =
4
x → 8 . x = 4 . 4 → x . x =16 → x = 2
1. Achar a 3a proporcional y dos segmentos a
e b, conhecida a proporção. Resolução
gráfica.
2. Construa o triângulo ABC de lados a = 40 mm,
b = 30mm e sabendo que c é a terceira
proporcional dos outros dois lados. Resolução
gráfica.
a = 20 mm
b = 30 mm
b
a =
a
y c =
b²
a
17
➢ Média geométrica ou média proporcional
- É a raiz quadrada do produto de duas grandezas. Dito de outro modo: é o valor encontrado
para os meios, que no caso se repetem.
4
x =
x
9 → x2 = 4 . 9 → x = ξ36 → x = 6
ou
x2 = a.b
a e b são conhecidos;
x se repete e é desconhecido.
x = ξa.b
A média geométrica entre duas
grandezas (ou dois segmentos dados) é
a raiz quadrada do seu produto.
a
x =
x
b
- A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos.
- A resolução gráfica de problemas que envolvem a média geométrica tem por base o triângulo retângulo. Há duas possibilidades: por adição ou por subtração.
a
x =
x
b → x2 = a.b → x = ξa.b
M – centro da semicircunferência (ponto médio)
❖ Por adição
- Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela.
m n
h
Cateto Cateto
Hipotenusa
OBS: O fundamento do processo aditivo da Média
Geométrica baseia-se numa das relações métricas do
triângulo retângulo:
“A altura (h) de um triângulo
retângulo é a média proporcional
entre as projeções (m e n) dos
catetos na a hipotenusa”. m
h =
h
n → h2= m.n → h = ξm.n
❖ Por subtração
a
x =
x
b → x2 = a.b → x = ξa.b
18
Exercícios
Lembre-se que as resoluções são sempre gráficas.
1. Determine x na razão pedida
C D
B A
4. Determine os segmentos m e/ou n e identifique cada caso (terceira proporcional, quarta
proporcional ou média geométrica).
m = 35 mm
a = 20 mm
b = 25 mm
m.b = n.a
a) É um caso de ____________________________.
ABതതതത
x =
x
CDതതതതത
2. Construa um quadrado RSTU de lado f sabendo
que;
d = 40 mm e = 25 mm
d
f =
f
e
3. As expressões abaixo são uma 4a proporcional, uma 3a proporcional ou uma média geométrica?
Sabe-se que a, b e c são conhecidos e que x é a incógnita.
a.x = b.c ___________________________
x2 =a.c _____________________________
b2 = c.x _____________________________
X= ξa.b ____________________________
b = a.c
x _________________________
a= ξ𝑏. 𝑥 _________________________
c.x
b = a ___________________________
19
m n
5. Construa o paralelogramo PQRS, conhecendo a base PQതതതതത = m, o lado QRതതതതത = n e sabendo que a
diagonal PR corresponde a terceira proporcional de n e m, nessa ordem.
b) É um caso de ____________________________.
a = 20 mm
b = 30 mm
m.a = b2
c) É um caso de ____________________________.
a = 20 mm
b = 30 mm
b.a = n2
20
PROPORÇÃO ÁUREA
Segundo Vitruvius, arquiteto e escritor romano, “para que um espaço dividido em partes desiguais
torne-se agradável e estético, deverá haver entre a parte menor e a maior a mesma relação
existente entre a maior e o todo.” (Extraído da apostila da Faculdade de Desenho Industrial, Fundação Educacional Brasileiro de Almeida, Profa. Selma Sá
Roriz, 1981)
b a
Nesta razão surge um fator numérico conhecido como o número de ouro: 0,618 (ou 1,618). Este número
é encontrado na natureza, nas proporções do corpo humano, nas artes plásticas, na arquitetura. A
proporção áurea tão apreciada pelos gregos remonta aos egípcios que a utilizaram na pintura e
arquitetura. Até hoje encontramos a aplicação desta proporção em composições - artísticas ou
comerciais - servindo como ponto de interesse ou eixo de equilíbrio.
No exemplo acima, b é o segmento áureo de a+b.
a
b
c
6. Dadas as medidas abaixo, represente o retângulo de base= m e altura= n.
Sabendo que:
•b
c =
c
m
• n² = a
c
a
b +
b
b+a
21
➢ Determinando o segmento áureo
a
Parthenon - Templo grego
A
B
C
D
e
f
CURIOSIDADES SOBRE A PROPORÇÃO AUREA:
CONCHA DO CARAMUJO
Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois
antecessores
CAMALEÃO
Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas
da espiral de Fibonacci
ELEFANTE
Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do
processo, adivinhe qual seria o formato?
GIRASSOL
Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos
de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-
horário
PINHA
As sementes crescem e se organizam em duas espirais que
lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13
no anti-horário
A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS
A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto
em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é
representada pela letra grega phi: φ
PARTENON
Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula
para defini-la. A largura e a altura da fachada deste templo do
século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618
ARTES
Esse recurso matemático também foi uma das principais
marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci,
usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre
elementos do rosto
AS GRANDES PIRÂMIDES
Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco
do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras
internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura
OBJETOS DO COTIDIANO
Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que
se sagrou favorito do público têm laterais na razão de ouro.
Fotos e jornais também costumam adotá-la
ROSTO
Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão
da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela
distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618
CORPO
Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre
o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618
MÃOS
Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as
articulações se relacionam na razão áurea
FONTES Roberto Jamal, professor do cursinho Anglo, Claudio
Possani, professor do Instituto de Matemática e Estatística da
USP, e livro Do Not Open, vários autores.
Disponível em: Super Interessante -
https://super.abril.com.br/mundo-estranho/o-que-e-a-
sequencia-de-fibonacci/
AC
CD =
BC
AB
f
e =
e
e + f
Concha Nautilus
Pentágono estrelado
(Pentagrama)
Mona Lisa – 1503/06 – Leonardo
da Vince/Proporção Aurea
AD
AC =
AC
AB =
AB
BC =̃ 1,618
22
➢ RETÂNGULO ÁUREO
O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável à vista. Não é por acaso
que cartões de crédito, folhas de papel e publicações possuem esta forma. Sua aplicação abrange
ainda a arquitetura e as artes plásticas.
No retângulo áureo os seus lados estão na proporção áurea.
Se representarmos um quadrado dentro desse retângulo, a figura resultante será um novo retângulo
áureo, porém com sua posição invertida. Esse processo pode ser repetido indefinidamente, como
é mostrado na outra figura.
A curva é uma espiral logarítmica, típica da expansão da concha e do desenvolvimento do centro
de flores como a margarida e o girassol.
1. Construa o retângulo áureo sendo dado o seu lado maior.
a
2. Construa o retângulo áureo sendo dado o seu lado menor.
x
Exercícios
a
b
a
b =
b
b + a
23
RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Exercícios
1. Determine o comprimento da circunferência dada abaixo.
2. Imagine que a circunferência da figura abaixo role sobre a reta t, sem escorregamento, e no sentido
horário. Determine a posição em que a circunferência estará quando o ponto P tangenciar a reta.
P
t
T
O
Retificar a circunferência é determinar o seu comprimento, isto é, transformar a linha curva em
segmento de reta. Se dividirmos o comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro
obteremos aproximadamente o valor 3,1416... Esse número é conhecido pela letra grega (lê-se
pi).
Em matemática o comprimento de uma circunferência é igual a 2r, mas existem, também,
alguns processos gráficos para se retificar a circunferência e todos eles têm resultados
aproximados, já que é um número irracional.
Estudaremos o processo de Arquimedes que considera = 22
7. Dividindo 22 por 7 encontraremos
um resultado bem próximo: 3,1429.
C – Comprimento da circunferência
d – Diâmetro
C
d⁄ = C = d C = 22
7d⁄ C = 217d⁄ C = 3d + 1
7d⁄
24
DESRETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
É o processo inverso da retificação. Agora temos o comprimento e queremos saber o diâmetro
da circunferência.
1. Represente a circunferência cujo comprimento é igual ao segmento AB.
A B
4. Qual o perímetro da figura abaixo?
Resolva graficamente.
Exercícios
C – Comprimento da circunferência
d – Diâmetro
Cd
⁄ = d = C ⁄ d = C
227⁄
d = 722 C⁄
25
Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes têm a mesma área.
3. Construa, no espaço abaixo, três triângulos equivalentes de base 3 cm e altura 2,5cm. Sendo um
isósceles, outro retângulo e o terceiro tendo um ângulo da base de 120º.
Exercícios
1. Represente o triângulo retângulo EFG
equivalente ao triângulo dado.
2. Faça um triângulo isósceles ONP
equivalente ao triângulo abaixo.
M N
O
E F
H
EQUIVALÊNCIA DE TRIÂNGULOS
26
O processo utilizado na equivalência de triângulos permite efetuar transformações entre polígonos,
construindo figuras com menor ou maior número de lados, ou seja, diminuindo ou aumentando a
quantidade de lados.
Diminuindo o no de lados
1o exemplo: Desenhe um quadrilátero equivalente (de mesma área) a um pentágono (ABCDE –
figura inicial cinza) dado: - Traçar a diagonal BE;
- Reta // a BE passando por A;
- Prolongar CB até a //, obter A';
- EAB é equivalente ao EA'B.
O pentágono ABCDE é equivalente ao
quadrilátero A'CDE.
Aumentando o no de lados
2o exemplo: Desenhe um pentágono equivalente (de mesma área) a um quadrilátero (ABCD –
figura inicial cinza) dado: - Traçar uma reta que passe por A, cortando BC
Determinando assim o ponto J (aleatoriamente);
- Traçar uma reta // a AJ passando por B;
- Determinar B’ (aleatoriamente) na reta // que passa
por B;
- ABJ é equivalente ao AB’J.
O quadrilátero ABCD é equivalente ao
Pentágono AB’JCD.
4. Represente um triângulo retângulo BCD
equivalente ao triângulo ABC.
5. Represente um triângulo isósceles ABD
equivalente ao triângulo ABC.
B A
C
B
C
A
EQUIVALÊNCIA DEFIGURA QUAISQUER
27
EXERCÍCIOS:
1. Transforme o pentágono ABCDE num triângulo e o quadrilátero PQRS num pentágono, ambos
convexos.
a) b)
2. Transforme o polígono abaixo em um
triângulo equivalente.
3. Represente graficamente um pentágono
equivalente ao hexágono dado.
A
R
O
M
5. Dado o triângulo ABC, transforme-o num
quadrilátero equivalente.
4. Transforme o pentágono IJKLM num triângulo
equivalente.
I
J
K
L M
O
M
R
N
Q P
A
B
C
A
E
C
D
B
S R
Q P
28
Gerdau Construtora Ecisa Citroën
Alguns dos símbolos gráficos resultam da aplicação de movimento às letras ou qualquer outra
representação. Tais movimentos, chamados de transformações pontuais, são: translação, rotação,
reflexão e homotetia.
TRANSFORMAÇÕES PONTUAIS
São quatro, basicamente, os elementos que compõem uma identidade visual. Os principais:
logotipo e símbolo, e os secundários: cores e alfabeto.
Logotipo – é a particularização da escrita de um nome. Um logotipo sempre tem letras -
especialmente criadas ou não.
Símbolo – é um sinal gráfico que com o uso passa a identificar um nome, uma idéia, produto ou
serviço. Os símbolos podem ser abstratos ou figurativos e é neste grupo que são incluídos aqueles
que utilizam as letras. (Extraído do livro Identidade Visual. A direção do olhar., Gilberto Luiz Strunck, Ed. Europa, RJ, 1989)
Alguns exemplos de símbolos gráficos:
Translação – direção e distância
a partir de um vetor (v).
Rotação – centro de rotação
(C), ângulo do giro e sentido
(horário ou anti-horário).
Reflexão – eixo de simetria(e)
e uma distância constante e
perpendicular ao eixo.
6. Represente o heptágono equivalente ao
hexágono dado.
7. Um famoso paisagista fez o projeto de
reforma de um jardim que tem a forma do
polígono representado abaixo. No projeto, o
profissional aumentou o número de lados desse
polígono. Desenhe a nova forma desse jardim,
sabendo que ele agora é hexagonal convexo.
P
Q
R
S
T
U
29
Note que as imagens abaixo podem ser divididas em partes iguais por linhas imaginárias dando
a impressão de que foram refletidas por um espelho. Essa linha é o eixo de simetria.
1. Faça a translação das figuras dadas abaixo.
d
f
2. A empresa de carros Citroen possui uma marca com duas figuras simples que ficam acima
do seu nome. Elas são formadas através da translação. Vamos descobri-la? Para isso, faça uma
translação do polígono ABCD (construa-o ligando os vértices dados) em relação ao vetor d,
também dado.
30
3. Faça a rotação das figuras abaixo.
4. Faça a reflexão das figuras abaixo.
e – eixo de reflexão
a) 120o no sentido horário
P – centro de rotação
b) 60o no sentido anti-horário
P – centro de rotação
P
e
e
P
31
5. Trace os eixos de simetria e das representações abaixo.
Mitsubishi Motors Acesita FIOCRUZ
6. Observe os logotipos dados e identifique as transformações pontuais aplicadas na sua criação.
Reflexão
Rotação
Translação
a) (.........) b) (.........) c) (.........) d) (.........)
Enem/2011 7. Questão154 - prova amarela O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de A. 45o
B. 60o
C. 90o
D. 120o
E. 180o
Disponível em www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em 28 abr.
2010
32
8. Observe as composições abaixo. Elas foram criadas utilizando as composições em destaque
através das transformações pontuais. Utilize a malha quadriculada abaixo para criar sua
composição.
- Crie uma composição inicial em um quadrado
- Modifique essa composição utilizando pelo menos duas transformações pontuais
33
HOMOTETIA
A homotetia é um tipo de semelhança na qual os lados da figura permanecem paralelos.
• Semelhança = mesma forma, dimensões proporcionais e não há, necessariamente,
paralelismo entre os lados.
• Homotetia = semelhança + paralelismo
Semelhança
Homotetia
Elementos
• Centro de homotetia – determinado pela
interseção das retas que passam pelos pontos
correspondentes (homólogos) de duas figuras
semelhantes.
• Razão de homotetia – indica a relação entre as
distâncias que vão do centro de homotetia até os
pontos correspondentes.
➢ No exemplo ao lado, a razão de homotetia (k) é
igual a 12⁄ .
OA
OA' =
OB
OB' =
OC
OC' =
1
2
Os retângulos ABCD e AEFG são semelhantes na razão .
Cada lado de ABCD tem o seu homólogo (correspondente) em
AEFG cuja medida está reduzida à metade. São, portanto,
proporcionais.
Os ângulos correspondentes se mantêm com as mesmas
medidas – são congruentes.
Para estudar homotetia não se pode deixar de falar em SEMELHANÇA. Duas figuras são
semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e as medidas de seus lados
são proporcionais..
✓ A palavra HOMÓLOGO significa correspondente.
Quando se amplia ou se reduz uma figura, a forma permanece a mesma variando somente
o tamanho.
O quanto se amplia ou se reduz a figura chama-se razão de semelhança e é indicada pela letra k.
Figura Inicial
34
➢ A HOMOTETIA PODE SER DIRETA OU INVERSA.
- Homotetia direta – a razão é maior que zero (valor positivo)
- Homotetia inversa – a razão é menor que zero (valor negativo)
➢ Nos dois casos, a figura homotética poderá ser maior ou menor que a figura inicial.
Isto dependerá do valor da razão, independentemente se positivo ou negativo.
HOMOTETIA DIRETA
O mecanismo da visão é semelhante ao
que ocorre na máquina fotográfica. No
olho, a luz se dirige para a retina, que
funciona como o filme fotográfico: a
imagem formada na retina também é
invertida como na máquina fotográfica.
O nervo óptico conduz os impulsos nervosos
para o centro da visão, no cérebro, que o
interpreta e nos permite ver os objetos nas
posições em que realmente se encontram. (www.afh.bio.br/Sentidos/Sentidos2.asp)
Exemplo de homotetia inversa
Exemplo de homotetia direta
Perspectiva cônica com um
ponto de fuga
A figura homotética sofrerá dupla inversão.
Objeto Imagem
Nervo óptico
Adaptado de www.darwinismo.wordpress.com
HOMOTETIA INVERSA
O
Figura inicial
A
A’
B
C
B’
C’
O
A
B
C
B’
A’
C’
35
Exercícios
1. Determine o centro de homotetia H.
2. Construa as figuras homotéticas de acordo com os centros de homotetia (O) e as razões (K)
dadas.
O +
K = 2
K = - 3/2
O
36
+ O
K = - 1/ 2
(lembre-se de determinar o centro da circunferência)
K = 5/3
O
K = - 2/3
37
3. Analise as imagens abaixo, e em seguida marque com um X as opções corretas para cada caso
(pode haver mais de uma opção para cada imagem).
4. Analise os casos de homotetia abaixo e relacione a imagem o tipo de transformação para cada
caso.
Figura 1 Figura 2 Figura3 Figura 4
( ) apresenta
translação com 2
vetores diferentes.
( ) apresenta 2
rotações.
( ) apresenta
translações com 1
único vetor.
( ) não apresenta
transformação
pontual
( ) apresenta uma
reflexão.
( ) apresenta uma
rotação.
( ) apresenta uma
homotetia na razão
k= -1.
( ) apresenta uma
translação.
( ) apresenta uma
rotação de 180°.
( ) apresenta uma
reflexão.
( ) apresenta
homotetia inversa.
( ) não apresenta
transformação
pontual.
( ) não apresenta
transformação
pontual pois é uma
rosácea.
( ) apresenta
rotação.
( ) apresenta
translação.
( ) apresenta
homotetia na razão
k= -1.
1 2
3 4
A
D
C
B
( ) homotetia inversa com
k=−1
2 .
( )homotetia com k= -1.
( ) homotetia direta de
redução.
( ) homotetia com k= 3
2.
( ) homotetia inversa com
ampliação.