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Teoria de Sturm-LiouvilleFuncoesOrtogonais

No captulo anterior desenvolvemos duas solucoes linearmente independentes da equacao diferencial linearhomogenea de segunda ordem e provamos que nao existia nenhuma terceira solucao linearmente independente.Neste captulo a enfase passa da solucao da equacao diferencial para o desenvolvimento e entendimentode propriedades gerais das solucoes. Ha uma estreita analogia entre os conceitos deste captulo e os daalgebra linear no Captulo 3. Aqui, as funcoes desempenham o papel que os vetores desempenhavam la, e osoperadores lineares desempenham o papel que as matrizes desempenhavam no Captulo 3. A diagonalizacao deuma matriz real simetrica no Captulo 3 corresponde aqui a` solucao de uma EDO definida por um operador auto-adjunto L em termos de suas autofuncoes, que sao as analogas contnuas dos autovetores no Captulo 3. Ashamiltonianas da Mecanica Quantica e suas autofuncoes de energia sao exemplos da analogia correspondenteentre matrizes hermitianas e operadores hermitianos.

Na Secao 10.1 sao apresentados os conceitos de operador auto-adjunto, autofuncao e autovalor e de operadorhermitiano. O conceito de operador auto-adjunto, dado em primeiro lugar em termos de equacoes diferenciais,e entao definido de acordo com a utilizacao em Mecanica Quantica, em que autofuncoes assumem valorescomplexos. As propriedades vitais de realidade de autovalores e ortogonalidade de autofuncoes sao derivadas naSecao 10.2. Na Secao 10.3 discutimos o procedimento de Gram-Schmidt para construir sistematicamente conjuntosde funcoes ortogonais. Por fim, a propriedade geral de completude de um conjunto de autofuncoes e explorada naSecao 10.4, e na Secao 10.5 retomamos as funcoes de

10.1 EDO Auto-AdjuntasNo Captulo 9 estudamos, classificamos e resolvemos EDO lineares de segunda ordem correspondentes aoperadores diferenciais lineares de segunda ordem da forma geral

Lu(x) = p0(x) d2

dx2u(x) + p1(x)

d

dxu(x) + p2(x)u(x). (10.1)

Os coeficientes p0(x), p1(x) e p2(x) sao funcoes reais de x e, sobre a regiao de interesse, a x b, as primeiras2 i derivadas de pi(x) sao contnuas. Referindo-nos a` Equacao (9.118), vemos que P (x) = p1(x)/p0(x) eQ(x) = p2(x)/p0(x). Por conseguinte, p0(x) nao deve desaparecer para a < x < b. Agora, os zeros de p0(x) saopontos singulares (Secao 9.4) e a afirmacao precedente significa que nosso intervalo [a, b] deve ser tal que nao hajanele nenhum ponto singular. Pode haver, e muitas vezes ha, pontos singulares nas fronteiras.

Para um operador linear L, o analogo de uma forma quadratica para uma matriz no Captulo 3 e a integral

u|L|u u|Lu ba

u(x)Lu(x) dx

= ba

u{p0u + p1u + p2u} dx, (10.2)

em que as linhas da funcao real u(x) denotam derivadas, como sempre, e, por simplicidade, admitimos que u(x) ereal. Se passarmos as derivadas para o primeiro fator, u, na Equacao (10.2) integrando por partes uma vez ou duas

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470 Fsica Matematica Arfken Weber

vezes, temos como resultado a expressao equivalente

u|L|u = [u(x)(p1 p0)u(x)]bx=a+ ba

{d2

dx2[p0u] d

dx[p1u] + p2u

}u dx. (10.3)

Se exigirmos que as integrais nas Equacoes (10.2) e (10.3) sejam identicas para todas as funcoes u (diferenciaveisduas vezes), entao os integrandos tem de ser iguais. Assim, a comparacao resulta em

u(p0 p1)u+ 2u(p0 p1)u = 0,ou

p0(x) = p1(x), (10.4)

e, como bonus, os termos nas fronteiras x = a e x = b na Equacao (10.3) tambem desaparecem.Por causa da analogia com a matriz transposta no Captulo 3, e conveniente definir o operador linear na

Equacao 10.3),

Lu = d2

dx2[p0u] d

dx[p1u] + p2u

= p0d2u

dx2+ (2p0 p1)

du

dx+ (p0 p1 + p2)u, (10.5)

como o operador adjunto1 L. Definimos o operador adjunto L e mostramos que, se a Equacao 10.4) forsatisfeita, Lu|u = u|Lu. Seguindo o mesmo procedimento, podemos mostrar de um modo mais geral quev|Lu = Lv|u. Quando essa condicao e satisfeita,

Lu = Lu = ddx

[p(x)

du(x)dx

]+ q(x)u(x), (10.6)

diz-se que o operador L e auto-adjunto. Aqui, para o caso auto-adjunto, p0(x), e substitudo por p(x) e p2(x)por q(x), para evitar ndices desnecessarios. A forma da Equacao (10.6) permite efetuar duas integracoes porpartes na Equacao (10.3) e Equacao (10.22) e seguintes sem termos integrados.2 Note que um dado operador naoe inerentemente auto-adjunto; essa sua condicao depende das propriedades do espaco funcional no qual ele age edas condicoes de fronteira.

Em um levantamento das EDO introduzidas na Secao 9.3, a equacao de Legendre e a equacao do oscilador linearsao auto-adjuntas, mas outras, tais como as equacoes de Laguerre e Hermite, nao sao. Contudo, a teoria de equacoesdiferenciais lineares de segunda ordem auto-adjuntas e perfeitamente geral porque sempre podemos transformaro operador nao-auto-adjunto na forma auto-adjunta requerida. Considere a Equacao (10.1) com p0 6= p1. Semultiplicarmos L por3

1p0(x)

exp[ x p1(t)

p0(t)dt

],

obtemos

1p0(x)

exp[ x p1(t)

p0(t)dt

]Lu(x) = d

dx

{exp[ x p1(t)

p0(t)dt

]du(x)dx

}+p2(x)p0(x)

exp[ x p1(t)

p0(t)dt

]u, (10.7)

1O operador adjunto guarda uma relacao de certo modo forcada com a matriz adjunta. Uma justificativa melhor para a nomenclatura eencontrada em uma comparacao do operador auto-adjunto (mais condicoes de fronteira adequadas) com a matriz adjunta. As propriedadessignificativas sao desenvolvidas na Secao 10.2.

2A maior importancia da forma auto-adjunta (mais condicoes de fronteira) ficara evidente na Secao 10.2. Alem disso, serao exigidas formasauto-adjuntas para desenvolver funcoes de Green na Secao 10.5.

3Se multiplicarmos L por f(x)/p0(x) e entao impusermos que

f (x) =fp1

p0,

de modo que o novo operador sera auto-adjunto, obtemos

f(x) = exp

Z x p1(t)p0(t)

dt

.

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 471

que e claramente auto-adjunta (veja a Equacao (10.6)). Note p0(x) no denominador. E por isso que impomos quep0(x) 6= 0, a < x < b. No desenvolvimento a seguir, admitimos que L foi colocado na forma auto-adjunta.Autofuncoes, AutovaloresA equacao de onda de Schrodinger

H(x) = E(x)

e o exemplo mais importante de uma equacao de autovalor em Fsica; aqui, o operador diferencial L e definidopela hamiltoniana H e nao pode mais ser real, e o autovalor se torna a energia total E do sistema. A autofuncao(x) pode ser complexa e costuma ser denominada funcao de onda. Uma formulacao variacional dessaequacao de Schrodinger aparece na Secao 17.7. Com base em propriedades esfericas, cilndricas ou algumasoutras propriedades de simetria, uma EDP tridimensional ou quadridimensional ou equacao de autovalor, talcomo a equacao de Schrodinger, pode ser separada em equacoes de autovalor de uma unica variavel cada. AsEquacoes (9.41), (9.42), (9.50) e (9.53) sao exemplos. Contudo, a`s vezes uma equacao de autovalor toma a formamais geral auto-adjunta

Lu(x) + w(x)u(x) = 0, (10.8)em que a constante e o autovalor4 e w(x) e um peso conhecido ou funcao densidade; w(x) > 0 excetopossivelmente em pontos isolados nos quais w(x) = 0. (Na Secao 10.1), w(x) 1.) Para uma dada escolhado parametro , uma funcao, u(x), que satisfaz a Equacao (10.8) e as condicoes de fronteira impostas, edenominada autofuncao correspondente a . A constante entao e denominada autovalor pelos matematicos.Nao ha nenhuma garantia de que existira uma autofuncao u(x) para uma escolha arbitraria do parametro . Naverdade, o requisito de que haja uma autofuncao costuma restringir os valores aceitaveis de a um conjuntodiscreto. Exemplos disso para as equacoes de Legendre, Hermite e Chebyshev aparecem nos exerccio da Secao9.5. Aqui, adotamos a abordagem matematica do processo de quantizacao da Mecanica Quantica.

O produto interno de duas funcoes, v|u = bav(x)w(x)u(x) dx, depende da funcao peso e generaliza nossa

definicao anterior, em que w(x) 1. A funcao peso tambem modifica a definicao de ortogonalidade de duasautofuncoes: elas sao ortogonais se seu produto interno u |u = 0. A funcao peso extra w(x) a`s vezes aparececomo uma funcao de onda assintotica que e um fator comum em todas as solucoes de uma EDP, tal como aequacao de Schrodinger, por exemplo, quando o potencial V (x) 0, a` medida que x em H = T + V .Podemos achar quando estabelecemos V = 0 na equacao de Schrodinger. Uma outra fonte para w(x) podeser uma barreira de momento angular nao-zero l(l + 1)/x2 em uma EDP ou EDO separada, Equacao (9.65), quetem uma singularidade regular e domina em x 0. Nesse caso, a equacao indicial, tal como a Equacao (9.87) ou(9.103), mostra que a funcao de onda tem xl como um fator global. Visto que a funcao de onda entra duas vezesem elementos de matriz e relacoes de ortogonalidade, as funcoes peso da Tabela 10.1 vem desses fatores comunsem ambas as funcoes de onda radiais. E assim que surge o exp(x) para polinomios de Laguerre e xk exp(x)para polinomios associados de Laguerre na Tabela 10.1.

Tabela 10.1Equacao p(x) q(x) w(x)Legendrea 1 x2 0 l(l + 1) 1Legendre deslocadaa x(1 x) 0 l(l + 1) 1Legendre associadaa 1 x2 m2/(1 x2) l(l + 1) 1Chebyshev I (1 x2)1/2 0 n2 (1 x2)1/2Chebyshev deslocada I [x(1 x)]1/2 0 n2 [x(1 x)]1/2Chebyshev II (1 x2)3/2 0 n(n+ 2) (1 x2)1/2Ultralsferica (Gegenbauer) (1 x2)+1/2 0 n(n+ 2) (1 x2)1/2Besselb, 0 x a x n2/x a2 xLaguerre, 0 x

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472 Fsica Matematica Arfken Weber

Exemplo 10.1.1 EQUACAO DE LEGENDREA equacao de Legendre e dada por(

1 x2)u 2xu + n(n+ 1)u = 0, 1 x 1. (10.9)Pelas Equacoes (10.1), (10.8) e (10.9),

p0(x) = 1 x2 = p, w(x) = 1,p1(x) = 2x = p, = n(n+ 1),p2(x) = 0 = q.

Lembre-se de que nossas solucoes de serie da equacao de Legendre (Exerccio 9.5.5)5 divergiam, a menos que nfosse restrito a um dos inteiros. Isso representa uma quantizacao do autovalor .

Quando as equacoes do Captulo 9 sao transformadas para a forma auto-adjunta, encontramos os seguintesvalores dos coeficientes e parametros (Tabela 10.1). O coeficiente p(x) e o coeficiente da derivada de segundaordem da autofuncao. O autovalor e o parametro que esta disponvel em um termo da forma w(x)u(x); qualquerdependencia de x a` parte a autofuncao se torna a funcao de peso w(x). Se houver um outro termo que contenhaa autofuncao (nao as derivadas), o coeficiente da autofuncao nesse termo adicional e identificado como q(x). Senenhum termo desses estiver presente, q(x) e zero.

Exemplo 10.1.2 DEUTERONUma ideia mais detalhada dos conceitos de autofuncao e autovalor pode ser dada por um modelo extremamentesimples do deuteron, um estado ligado de um neutron e proton. Por experimentacao, a energia de ligacao de cercade 2 MeV Mc2, comM = Mp = Mn, a massa comum de neutron e proton, cuja pequena diferenca de massadesprezamos. Devido ao curto alcance da forca nuclear, as propriedades do deuteron nao dependemmuito da formadetalhada do potencial de interacao. Assim, a interacao nuclear neutron-proton pode ser modelada por um poco depotencial quadrado esfericamente simetrico: V = V0 < 0 para 0 r < a, V = 0 para r > a. A equacao de ondade Schrodinger e

~2

M2 + V = E, (10.10)

em que o autovalor de energiaE < 0 para um estado ligado. Para o estado fundamental, o momento angular orbitall = 0 porque para l 6= 0 ha a barreira adicional de momento angular positivo. Assim, com = (r), podemosescrever u(r) = r(r) e, usando o Exerccio 2.5.18, a equacao de onda se torna

d2u

dr2+ k21u = 0, (10.11)

comk21 =

M

~2(E V0) > 0 (10.12)

para a faixa interna, 0 r < a. Para a < r 0. (10.14)

A condicao de fronteira de que permaneca finito em r = 0 implica u(0) = 0 e

u1(r) = sen k1r, 0 r < a. (10.15)

No intervalo fora do poco de potencial, temos uma combinacao linear das duas exponenciais,

u2(r) = A exp k2r +B exp(k2r), a < r

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 473

A continuidade da densidade de partcula e de corrente exige que u1(a) = u2(a) e que u1(a) = u2(a). Essas

condicoes de juncao ou compatibilidade resultam em

sen k1a = A exp k2a+B exp(k2a),k1 cos k1a = k2A exp k2a k2B exp(k2a).

(10.17)

A condicao de que realmente tenhamos uma condicao ligada proton-neutron e que0u2(r) dr = 1. Esse vnculo

pode ser cumprido se impusermos uma condicao de contorno de que (r) permaneca finita quando r . Eisso, por sua vez, significa que A = 0. Dividindo o par de equacoes precedentes (para cancelar B), obtemos

tg k1a = k1k2

= E V0E , (10.18)

uma equacao transcendental para a energia E com somente certas solucoes discretas. Se E for tal que aEquacao (10.18) pode ser satisfeita, nossas solucoes u1(r) e u2(r) podem satisfazer as condicoes de contorno.Se a Equacao (10.18) nao for satisfeita, nao existe nenhuma solucao aceitavel. Os valores de E para os quais aEquacao (10.18) e satisfeita sao os autovalores; as funcoes correspondentes, u1 e u2 (ou ) sao as autofuncoes.Para o problema do deuteron existe um (e somente um) valor negativo de E que satisfaz a Equacao (10.18); isto e,o deuteron tem um e somente um estado ligado.

Agora, o que acontece seE nao satisfizer a Equacao (10.18), isto e, seE 6= E0 nao for um autovalor? Em formagrafica, imagine que E e, portanto, k1 sofram um ligeira variacao. Para E = E1 < E0, k1 e reduzido e senk1anao virou para baixo o suficiente para se ajustar a exp(k2a). As condicoes de juncao, Equacao (10.17), requeremque A > 0 e que a funcao de onda va a + exponencialmente. Para E = E2 > E0, k1 e maior, sen k1a alcancao pico mais cedo e desceu mais rapidamente em r = a. As condicoes de juncao exigem que A < 0, e a funcaode onda vai a exponencialmente. Somente para E = E0, um autovalor, a funcao de onda tera o requeridocomportamento assintotico exponencial negativo (veja a Figura 10.1).

Figura 10.1: Uma autofuncao de deuteron.

Condicoes de ContornoNa definicao precedente de autofuncao, notou-se que a autofuncao u(x) tinha de satisfazer certas condicoesde fronteira impostas. O termo condicoes de contorno inclui o conceito de condicoes iniciais, como casoespecial. Por exemplo, especificar a posicao inicial x0 e a velocidade inicial v0 em algum problema de dinamicacorresponderia a`s condicoes de contorno de Cauchy. A unica diferenca na presente utilizacao de condicoes decontorno nesses problemas unidimensionais e que vamos aplicar as condicoes sobre ambas as extremidades dafaixa permitida para a variavel.

A forma da equacao diferencial ou as condicoes de contorno determinadas para as solucoes habitualmentegarantirao que nas extremidades de nosso intervalo (isto e, na contorno, como sugerido pela Equacao (10.3)) osseguintes produtos desaparecerao:

p(x)v(x)du(x)dx

x=a

= 0 e p(x)v(x)du(x)dx

x=b

= 0. (10.19)

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474 Fsica Matematica Arfken Weber

Aqui u(x) e v(x) sao solucoes da EDO particular (Equacao (10.8)) que esta sendo considerada. Uma razao paraessa forma particular da Equacao (10.19) sera sugerida em breve. Se recordarmos a funcao de onda radial u doatomo de hidrogenio com u(0) = 0 e du/dr ekr 0, quando r , entao ambas as condicoes de contornosao satisfeitas. De forma semelhante, no exemplo do deuteron (Exemplo 10.1.2), sen k1r 0 quando r 0 ed(ek2r)/dr 0 quando r , ambas as condicoes de contorno sao obedecidas. Entretanto, podemos trabalharcom um conjunto um pouco menos restritivo de condicoes de contorno,

vpux=a

= vpux=b

, (10.20)

no qual u(x) e v(x) sao solucoes da equacao diferencial correspondente aos mesmos autovalores ou a autovaloresdiferentes. A Equacao (10.20) pode perfeitamente ser satisfeita se estivermos tratando com um sistema fsicoperiodico, tal como uma rede cristalina.

As Equacoes (10.19) e (10.20) sao escritas em termos de v, conjugado complexo. Quando as solucoes saoreais, v = v, e o asterisco pode ser ignorado. Contudo, em expansoes exponenciais de Fourier e em MecanicaQuantica as funcoes serao complexas e o conjugado complexo sera necessario.

Exemplo 10.1.3 INTERVALO DE INTEGRACAO [a, b]Para L = d2/dx2, uma possvel equacao de autovalor e

d2

dx2u(x) + n2u(x) = 0, (10.21)

com autofuncoes

un = cosnx, vm = senmx.

A Equacao (10.20) se torna

nsenmxsen nxba= 0, ou m cosmx cosnx

ba= 0,

permutando un e vm. Visto que sen mx e cosnx sao periodicas com perodo 2pi (para n e m inteiros), aEquacao (10.20) e claramente satisfeita se a = x0 e b = x0+2pi. Se um problema prescrever um intervalo diferente,as autofuncoes e autovalores mudarao juntamente com as condicoes de contorno. As funcoes sempre devem serescolhidas de modo que as condicoes de contorno (Equacao (10.20), etc.) sejam satisfeitas. Para esse caso (seriede Fourier), as escolhas usuais sao x0 = 0, levando a (0, 2pi) e x0 = pi, levando a (pi, pi). Aqui, e em todosos outros varios captulos, o intervalo de ortogonalidade e tal que as condicoes de contorno (Equacao (10.20))serao satisfeitas. O intervalo [a, b] e o fator de peso w(x) para as equacoes diferenciais de segunda ordem maiscomumente encontradas estao relacionados na Tabela 10.2.

Tabela 10.2Equacao a b w(x)Legendre 1 1 1Legendre deslocada 0 1 1Legendre associada 1 1 1Chebyshev I 1 1 (1 x2)1/2Chebyshev deslocada I 0 1 [x(1 x)]1/2Chebyshev II 1 1 (1 x2)1/2Laguerre 0 exLaguerre associada 0 xkexHermite ex2Oscilador harmonico simples 0 2pi 1

-pi pi 1

1. O intervalo de ortogonalidade [a, b] e determinado pelas condicoes decontorno da Secao 10.1.2. A funcao ponderacao e estabelecida colocando a EDO em forma auto-adjunta.

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 475

Operadores HermitianosAgora, vamos provar uma importante propriedade do operador diferencial de segunda ordem auto-adjunto(Equacao (10.8)), em conjunto com solucoes u(x) e v(x) que satisfazem condicoes de fronteira dadas pelaEquacao (10.20). Isso e motivado por aplicacoes em Mecanica Quantica.

Integrando v (conjugado complexo) vezes o operador diferencial de segunda ordem auto-adjunto L (operandoem u) no intervalo a x b, obtemos b

a

vLu dx = ba

v(pu) dx+ ba

vqu dx (10.22)

usando a Equacao (10.6). Integrando por partes, temos ba

v(pu) dx = vpuba ba

v pu dx. (10.23)

A parte integrada desaparece com a aplicacao das condicoes de contorno (Equacao (10.20)). Integrando a integralremanescente por partes uma segunda vez, temos

ba

v pu dx = vpuba+ ba

u(pv ) dx. (10.24)

Mais uma vez, a parte integrada desaparece na aplicacao da Equacao (10.20). Uma combinacao dasEquacoes (10.22) a (10.24) nos da b

a

vLu dx = ba

u(Lv) dx. (10.25)

Essa propriedade, dada pela Equacao (10.25), e expressa dizendo que o operador L e hermitiano em relacao a`sfuncoes u(x) e v(x), que satisfazem as condicoes de contorno especificadas pela Equacao (10.20). Note que, seessa propriedade hermitiana resultar da condicao de ser auto-adjunta em um espaco de Hilbert, entao ela inclui queas condicoes de contorno sejam impostas a todas as funcoes daquele espaco.

Operadores Hermitianos em Mecanica QuanticaO desenvolvimento desta secao focalizou os classicos operadores diferenciais de segunda ordem da FsicaMatematica. Generalizando nossa teoria do operador hermitiano como exigido pela Mecanica Quantica, temosuma extensao: os operadores nao precisam ser nem operadores diferenciais de segunda ordem, nem reais. px =i~(/x) sera um operador hermitiano. Simplesmente admitimos (como e costumeiro em Mecanica Quantica)que temos funcoes de onda que satisfazem condicoes de contorno adequadas: desaparecem com suficiente forcano infinito ou tem comportamento periodico (como em uma rede cristalina ou intensidade unitaria em problemasde espalhamento). O operador L e denominado hermitiano se

1L2 d =(L1)2 d . (10.26)

A` parte a simples extensao para quantidades complexas, essa definicao e identica a` Equacao (10.25).O adjunto A de um operador A e definido por

1A2 d

(A1)

2 d. (10.27)

Essa expressao generaliza nossa definicao classica de operadores orientados de derivada de segunda ordem daEquacao (10.5). Aqui, o adjunto e definido em termos da integral resultante, com o A como parte do integrando.E claro que, se A = A (auto-adjunto) e satisfaz as condicoes de contorno ja mencionadas, entao A e hermitiano.

O valor esperado de um operador L e definido como

L =L d. (10.28a)

Na estrutura da Mecanica Quantica L corresponde ao resultado de uma medicao da quantidade fsicarepresentada por L quando o sistema fsico esta em um estado definido pela funcao de onda . Se exigirmos

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476 Fsica Matematica Arfken Weber

que L seja hermitiano, e facil mostrar que L e real (como seria de esperar de uma medicao em uma teoria fsica).Tomando o conjugado complexo da Equacao (10.28a), obtemos

L =[

L d]

=L d .

Rearranjando os fatores no integrando, temos

L =(L) d.

Entao, aplicando nossa definicao de operador hermitiano, Equacao (10.26), obtemos

L =L d = L, (10.28b)

ou L e real. Vale a pena observar que nao e necessariamente uma autofuncao de L.

Exerccios10.1.1 Mostre que a EDO de Laguerre, Equacao (13.52), pode ser posta em forma auto-adjunta

multiplicando por ex e que w(x) = ex e a funcao de peso.10.1.2 Mostre que a EDO de Hermite, Equacao (13.10), pode ser posta em forma auto-adjunta

multiplicando por ex2e que isso da w(x) = ex

2como a funcao densidade adequada.

10.1.3 Mostre que a EDO de Chebyshev (tipo I), Equacao (13.100), pode ser posta em forma auto-adjuntamultiplicando por (1 x2)1/2 e que isso da w(x) = (1 x2)1/2 como a funcao densidadeadequada.

10.1.4 Mostre o seguinte quando a equacao diferencial linear de segunda ordem e expressa em formaauto-adjunta:(a) O wronskiano e igual a uma constante dividida pelo coeficiente inicial p:

W (x) =C

p(x).

(b) Uma segunda solucao e dada por

y2(x) = Cy1(x) x dt

p(t)[y1(t)]2.

10.1.5 Un(x), o polinomio de Chebyshev (tipo II), satisfaz a EDO, Equacao (13.101),(1 x2)U n (x) 3xU n(x) + n(n+ 2)Un(x) = 0.

(a) Localize os pontos singulares que aparecem no plano finito e mostre se sao regulares ouirregulares.

(b) Ponha essa equacao em forma auto-adjunta.(c) Identifique o autovalor completo.(d) Identifique a funcao de peso.

10.1.6 Para o caso muito especial = 0 e q(x) = 0 a equacao de autovalor adjunta se torna

d

dx

[p(x)

du(x)dx

]= 0,

satisfeita pordu

dx=

1p(x)

.

Use essa expressao para obter uma segunda solucao para o seguinte:(a) Equacao de Legendre,

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 477

(b) Equacao de Laguerre,(c) Equacao de Hermite.

Resposta: (a) u2(x) =12ln

1 + x1 x ,

(b) u2(x) u2(x0) = xx0

etdt

t,

(c) u2(x) = x0

et2dt.

Essas segundas solucoes ilustram o comportamento divergente encontrado em uma segundasolucao.Nota: Em todos os tres casos, u1(x) = 1.

10.1.7 Dado que Lu = 0 e gLu e auto-adjunta, mostre que para o operador adjunto L, L(gu) = 0.10.1.8 Para um operador diferencial de segunda ordem L que e auto-adjunto mostre que b

a

[y2Ly1 y1Ly2] dx = p(y1y2 y1y2)ba.

10.1.9 Mostre que, se uma funcao tiver de satisfazer a equacao de Laplace em uma regiao finita doespaco e satisfazer condicoes de contorno de Dirichlet sobre toda a superfcie fechada de ligacao,entao e unica.Sugestao: Uma das formas do teorema de Green, Secao 1.11, sera util.

10.1.10 Considere que as solucoes das equacoes de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre saopolinomios. Mostre que os intervalos de integracao que garantem que as condicoes de contornodo operador hermitiano serao satisfeitas sao

(a) Legendre [1, 1], (b) Chebyshev [1, 1],(c) Hermite (,), (d) Laguerre [0,).

10.1.11 Dentro da estrutura da Mecanica Quantica (Equacoes (10.26) e seguintes), mostre que os seguintesoperadores sao hermitianos:

(a) momento p = i~ i h2pi

(b) momento angular L = i~r i h2pi r.Sugestao: Em forma cartesiana L e uma combinacao linear de operadores hermitianos nao-comutativos.

10.1.12 (a) A e um operador nao-hermitiano. No sentido das Equacoes (10.26) e (10.27), mostre que

A+A e i(AA)

sao operadores hermitianos.(b) Usando o resultado precedente, mostre que todo operador nao-hermitiano pode ser escrito como

uma combinacao de dois operadores hermitianos.

10.1.13 U e V sao dois operadores arbitrarios, nao necessariamente hermitianos. No sentido daEquacao (10.27), mostre que

(UV ) = V U.

Note a semelhanca com matrizes hermitianas adjuntas.Sugestao: Aplique a definicao de operador adjunto, Equacao (10.27).

10.1.14 Prove que o produto de dois operadores hermitianos e hermitiano (Equacao (10.26)) se, e somentese, os dois operadores comutarem.

10.1.15 A e B sao operadores nao-comutativos da Mecanica Quantica:

AB BA = iC.

Mostre que C e hermitiano. Admita que as condicoes de contornos adequadas sao satisfeitas.

10.1.16 O operador L e hermitiano. Mostre que L2 0.

livro 2007/7/24 16:04 page 478 #488

478 Fsica Matematica Arfken Weber

10.1.17 Um valor esperado da Mecanica Quantica e definido por

A =(x)A(x) dx,

em que A e um operador linear. Mostre que exigir que A seja real significa que A deve serhermitiano, em relacao a (x).

10.1.18 Pela definicao de adjunto, Equacao (10.27), mostre que A = A no sentido de que1A

2 d =1A2 d . O adjunto do adjunto e o operador original.

Sugestao: As funcoes 1 e 2 da Equacao (10.27) representam uma classe de funcoes. Os ndices1 e 2 podem ser permutados ou substitudos por outros ndices.

10.1.19 A equacao de onda de Schrodinger para o deuteron (com um potencial de Woods-Saxon) e

~2

2M2 + V0

1 + exp[(r r0)/a] = E.

Aqui, E = 2, 224 MeV, a e um parametro de espessura, 0, 4 1013 cm. Expressandocomprimentos em fermis (1013 cm) e energias em milhoes de eletron-volts (MeV), podemosreescrever a equacao de onda como

d2

dr2(r) +

141, 47

[E V0

1 + exp((r r0)/a)](r) = 0.

Admite-se que E e conhecido por experimentacao. A meta e achar V0 para um valor especificadode r0 (digamos, r0 = 2, 1). Se fizermos y(r) = r(r), entao y(0) = 0 e consideramos y(0) = 1.Ache V0, tal que y(20, 0) = 0. (Isso deveria ser y(), mas r = 20 esta distante o bastante da faixadas forcas nucleares para se aproximar do infinito.)

Resposta: Para a = 0, 4 e r0 = 2, 1 fm, V0 = 34, 159MeV.10.1.20 Determine o parametro de poco de potencial nuclear V0 do Exerccio 10.1.19 como uma funcao de

r0 para r = 2, 00(0, 05)2, 25 fermis. Expresse seus resultados como uma lei de potencias

|V0|r0 = k.

Determine o expoente e a constante k. Essa formulacao de lei de potencias e util para interpolacaoprecisa.

10.1.21 No Exerccio 10.1.19 admitimos que 20 fermis era uma boa aproximacao de infinito. Verifique issocalculando V0 para r(r) = 0 em (a) r = 15, (b) r = 20, (c) r = 25 e (d) r = 30. Esboce seusresultados. Considere r0 = 2, 10 e a = 0, 4 (fermis).

10.1.22 Para uma partcula quantica em movimento em um poco de potencial, V (x) = 12m2x2, a equacao

de onda de Schrodinger e

~2

2md2(x)dx2

+12m2x2(x) = E(x),

oud2(z)dz2

z2(z) = 2E~

(z),

em que z = (m/~)1/2x. Uma vez que o operador e par, esperamos solucoes de paridade definida.Para as condicoes iniciais a seguir, integre desde a origem e determine a constante mnima 2E/~que levara a () = 0 em cada caso. (Voce pode considerar z = 6 uma aproximacao do infinito.)(a) Para uma autofuncao par,

(0) = 1, (0) = 0.

(b) Para uma autofuncao mpar,(0) = 0, (0) = 1.

Nota: Solucoes analticas aparecem na Secao 13.1.

livro 2007/7/24 16:04 page 479 #489

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 479

10.2 Operadores HermitianosOperadores hermitianos, ou auto-adjuntos, com condicoes de contorno adequadas, tem tres propriedades que saode extrema importancia na Fsica, tanto classica como quantica.1. Os autovalores de um operador hermitiano sao reais.2. Um operador hermitiano possui um conjunto ortogonal de autofuncoes.3. As autofuncoes de um operador hermitiano formam um conjunto completo.6

Autovalores ReaisPassamos a provar as duas primeiras dessas tres propriedades. Seja

Lui + iwui = 0. (10.29)

Admitindo a existencia de um segundo autovalor e autofuncao,

Luj + jwuj = 0. (10.30)

Entao, tomando o conjugado complexo, obtemos

Luj + jwuj = 0. (10.31)

Aqui,w(x) 0 e uma funcao real. Mas permitimos que k, os autovalores, e uk, as autofuncoes, sejam complexos.Multiplicando a Equacao (10.29) por uj e a Equacao (10.31) por ui e entao subtraindo, temos

ujLui uiLuj = (j i)wuiuj . (10.32)

Integramos sobre o intervalo a x b: ba

ujLui dx ba

uiLuj dx = (j i) ba

uiujw dx. (10.33)

Uma vez que L e hermitiano, o lado esquerdo desaparece, pela Equacao (10.26), e

(j i) ba

uiujw dx = 0. (10.34)

Se i = j, a integral nao pode desaparecer [w(x) > 0, a` parte pontos isolados], exceto no caso trivial de ui = 0.Da, o coeficiente (i i) deve ser zero,

i = i, (10.35)

o que diz que o autovalor e real. Uma vez que i pode representar qualquer um dos autovalores, isso provaa primeira propriedade. Isso e exatamente analogo a` natureza dos autovalores de matrizes reais simetricas (ehermitianas). (Compare com a Secao 3.5.)

A analoga da decomposicao espectral de uma matriz simetrica real na Secao 3.5 para um operador hermitianoL com um conjunto discreto de autovalores i adquire forma

L =i

i|uiui|, f(L) =i

f(i)|uiui|

com autovetores |ui e qualquer funcao f infinitamente diferenciavel.Autovalores reais de operadores hermitianos tem um significado fundamental em Mecanica Quantica, onde

correspondem a quantidades mensuraveis com precisao como energia e momento angular. Sendo a teoria formuladaem termos de operadores hermitianos, essa prova de autovalores reais garante que ela prevera numeros reais paraessas quantidades fsicas mensuraveis. Na Secao 17.8 veremos que o conjunto de autovalores reais tem um limiteinferior (para problemas nao-relativistas).

6Essa terceira propriedade nao e universal. Ela vale para nossos operadores diferenciais lineares de segunda ordem na forma (auto-adjunta)de Sturm-Liouville. A completude e definida e discutida na Secao 10.4. Uma prova de que as autofuncoes de nossas equacoes diferenciaislineares de segunda ordem auto-adjuntas formam um conjunto complexo pode ser desenvolvida pelo calculo de variacoes da Secao 17.8.

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480 Fsica Matematica Arfken Weber

Autofuncoes OrtogonaisSe agora considerarmos i 6= j e se i 6= j na Equacao (10.34), a integral do produto de duas autofuncoesdiferentes deve desaparecer: b

a

uiujw dx = 0. (10.36)

Esta condicao, denominada ortogonalidade, e o analogo contnuo de um produto escalar de dois vetores seanular7 Dizemos que as autofuncoes ui(x) e uj(x) sao ortogonais em relacao a` funcao de peso w(x) sobreo intervalo [a, b]. A Equacao (10.36) constitui uma prova parcial da segunda propriedade de nossos operadoreshermitianos. Mais uma vez deve ser notada a exata analogia com a analise matricial. De fato, podemos estabeleceruma correspondencia um-para-um entre essa teoria de equacoes diferenciais de Sturm-Liouville e o tratamento dematrizes hermitianas. Essa correspondencia tem sido historicamente significativa para estabelecer a equivalenciamatematica de matrizes mecanicas desenvolvidas por Heisenberg e a mecanica de ondulatoria desenvolvida porSchrodinger. Hoje, as duas abordagens diversas estao fundidas na teoria da Mecanica Quantica, e a formulacaomatematica que for mais conveniente para um problema particular e usada para esse problema. Na verdade,as alternativas matematicas nao param por aqui. Equacoes integrais, Captulo 16, sao uma terceira abordagemequivalente e a`s vezes mais conveniente ou poderosa.

Essa prova de ortogonalidade nao e bem completa. Ha um furo, porque podemos ter ui 6= uj , mas aindaassim ter i = j . Tal caso e denominado degenerado. Ilustracoes de degenerescencia sao dadas no finaldesta secao. Se i = j , a integral na Equacao (10.34) nao precisa desaparecer. Isso significa que autofuncoesindependentes correspondentes ao mesmo autovalor nao sao automaticamente ortogonais e que e preciso procuraralgum outro metodo para obter um conjunto ortogonal. Embora as autofuncoes nesse caso degenerado possam naoser ortogonais, elas sempre podem ser transformadas em ortogonais. Na proxima secao desenvolvemos um metodopara fazer isso. Veja tambem a Equacao (4.21) para degenerescencia devida a` simetria.

Nos captulos subsequentes veremos que ter um dado conjunto de funcoes ortogonais e exatamente tao desejavelquanto ter um sistema de coordenadas ortogonais. Podemos trabalhar com funcoes nao-ortogonais, mas elasprovavelmente mostrarao ser tao confusas quanto um sistema de coordenadas oblquas.

Exemplo 10.2.1 SERIE DE FOURIER ORTOGONALIDADEContinuando o Exemplo 10.1.3, a equacao de autovalor, Equacao (10.21),

d2

dx2y(x) + n2y(x) = 0,

pode descrever quanticamente uma partcula dentro de uma caixa ou talvez uma corda de violino em vibracao, umoscilador harmonico classico com autofuncoes degeneradas cosnx, sen nx e autovalores n2, sendo n uminteiro.

Com n real (aqui considerado inteiro), as integrais de ortogonalidade se tornam

(a) x0+2pix0

senmx sen nx dx = Cnnm,

(b) x0+2pix0

cosmx cosnx dx = Dnnm,

(c) x0+2pix0

senmx cosnx dx = 0.

Para um intervalo de 2pi, a analise precedente garante o delta de Kronecker em (a) e (b) mas nao o zero em (c)porque (c) pode envolver autofuncoes degeneradas. Contudo, uma inspecao mostra que (c) sempre desaparece paratodos osm e n inteiros.

7Pela definicao da integral de Riemann, Z baf(x)g(x) dx = lim

N

NXi=1

f(xi)g(xi)x

!,

x0 = a, em que xN = b e xixi1 = x. Se interpretarmos f(xi) e g(xi) como as i-esimas componentes de um vetor deNcomponentes,entao esse somatorio (e, portanto, essa integral) corresponde diretamente a um produto escalar de vetores, Equacao (1.24). O produto escalarnulo e a condicao para ortogonalidade dos vetores ou funcoes.

livro 2007/7/24 16:04 page 481 #491

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 481

Nossa teoria de Sturm-Liouville nada diz sobre os valores de Cn eDn porque EDOs homogeneas tem solucoescujo scaling e arbitrario. O calculo propriamente dito resulta em

Cn =

{pi, n 6= 0,0, n = 0,

Dn =

{pi, n 6= 0,2pi, n = 0.

Essas integrais de ortogonalidade formam a base das series de Fourier desenvolvidas no Captulo 14.

Exemplo 10.2.2 EXPANSAO EM AUTOFUNCOES ORTOGONAIS ONDA QUADRADAA propriedade de completude (veja a (Equacao 1.190) e a Secao 10.4) significa que certas classes de funcoes(por exemplo, contnuas por secao ou contnuas por partes) podem ser representadas por uma serie de autofuncoesortogonais. Considere a forma de onda quadrada

f(x) =

h

2, 0 < x < pi,

h2, pi < x < 0.

(10.37)

Essa funcao pode ser expandida em qualquer dentre uma variedade de autofuncoes Legendre, Hermite,Chebyshev, e assim por diante. A escolha da autofuncao e feita com base na conveniencia ou em uma aplicacao.Para ilustrar a tecnica de expansao, vamos escolher as autofuncoes do Exemplo 10.2.1, cosnx e sen nx. A serie deautofuncao e escrita, por conveniencia (e por convencao), como

f(x) =a02

+m=1

(am cosmx+ bmsenmx).

Multiplicando f(t) por cosnt ou sen nt e integrando, somente o enesimo termo sobrevive, pelas integrais deortogonalidade do Exemplo 10.2.1, por isso resultando os coeficientes

an =1pi

pipi

f(t) cosnt dt, bn =1pi

pipi

f(t)sen nt dt, n = 0, 1, 2 . . .

Substituicao direta de h/2 por f(t) resulta em

an = 0,

o que e esperado aqui por causa da anti-simetria, f(x) = f(x), e

bn =h

npi(1 cosnpi) =

0, n par,

2hnpi

, n mpar.

Da, a expansao (Fourier) de autofuncao da onda quadrada e

f(x) =2hpi

n=0

sen(2n+ 1)x2n+ 1

. (10.38)

Exemplos adicionais, usando outras autofuncoes, aparecem nos Captulos 11 e 12.

DegenerescenciaO conceito de degenerescencia ja foi apresentado antes. Se N autofuncoes linearmente independentescorrespondem ao mesmo autovalor, diz-se que o autovalor e Nvezes degenerado. Uma ilustracao particularmentesimples e dada pelos autovalores e autofuncoes da equacao do oscilador harmonico classico, Exemplo 10.2.1. Paracada autovalor n2, ha duas solucoes possveis: sen nx e cosnx (e qualquer combinacao linear, sendo n um inteiro).Dizemos que as autofuncoes sao degeneradas ou que o autovalor e degenerado.

Um exemplo mais complicado e dado pelo sistema fsico de um eletron em um atomo (tratamento nao-relativista, desprezando o spin). Pela equacao de Schrodinger, Equacao (13.84), para o hidrogenio, a energiatotal do eletron e nosso autovalor. Podemos denomina-lo EnLM usando os numeros quanticos n,L, e M como

livro 2007/7/24 16:04 page 482 #492

482 Fsica Matematica Arfken Weber

ndices. Para cada conjunto distinto de numeros quanticos (n,L,M) ha uma autofuncao linearmente independentenLM (r, , ). Para o hidrogenio, a energia EnLM e independente de L e M , refletindo a simetria esferica (eSO(4)) do potencial de Coulomb. Com 0 L n1 eL M L, o autovalor e n2 vezes degenerado (incluiro spin do eletron elevaria esse fator para 2n2). Em atomos com mais de um eletron, o potencial eletrostatico naoe mais um simples potencial r1. A energia depende de L tanto quanto de n, embora nao de M ;EnLM ainda e(2L + 1) vezes degenerescencia. Essa degenerescencia devida a` invariancia rotacional do potencial podeser removida aplicando-se um campo magnetico externo, quebrando a simetria esferica e dando origem ao efeitode Zeeman. Como regra, as autofuncoes formam um espaco de Hilbert, isto e, um espaco vetorial completo defuncoes com uma metrica definida pelo produto interno (veja a Secao 10.4 para mais detalhes e exemplos).

Muitas vezes uma simetria subjacente, tal como invariancia rotacional, esta causando as degenerescencias.Estados que pertencem ao mesmo autovalor de energia entao formarao um multipleto ou representacao do grupode simetria. Os poderosos metodos teoricos de grupos sao tratados no Captulo 4 com certo detalhe.

Exerccios10.2.1 As funcoes u1(x) e u2(x) sao autofuncoes do mesmo operador hermitiano, mas para valores

autovalores distintos 1 e 2. Prove que u1(x) e u2(x) sao linearmente independentes.10.2.2 (a) Os vetores en sao ortogonais um ao outro: en em = 0, para n 6= m. Mostre que eles sao

linearmente independentes.(b) As funcoes n(x) sao ortogonais uma a` outra no intervalo [a, b] e em relacao a` funcao de pesos

w(x). Mostre que as n(x) sao linearmente independentes.10.2.3 Dado que

P1(x) = x e Q0(x) =12ln(1 + x1 x

)sao solucoes da equacao diferencial de Legendre correspondentes a diferentes autovalores:(a) Avalie sua integral de ortogonalidade 1

1

x

2ln(1 + x1 x

)dx.

(b) Explique por que essas duas funcoes nao sao ortogonais, isto e, por que a prova deortogonalidade nao se aplica.

10.2.4 T0(x) = 1 e V1(x) = (1 x2)1/2 sao solucoes da equacao diferencial de Chebyshevcorrespondentes a diferentes autovalores. Explique, em termos das condicoes de contorno, por queessas duas funcoes nao sao ortogonais.

10.2.5 (a) Mostre que as derivadas de primeira ordem dos polinomios de Legendre satisfazem a equacaodiferencial auto-adjunta com autovalor = n(n+ 1) 2.

(b) Essas derivadas de polinomios de Legendre satisfazem uma relacao de ortogonalidade 11P m(x)P

n(x)

(1 x2) dx = 0, m 6= n.

Nota: Na Secao 12.5 (1x2)1/2P n(x) sera denominado polinomio associado de Legendre, P 1n(x).10.2.6 Um conjunto de funcoes un(x) satisfaz a equacao de Sturm-Liouville

d

dx

[p(x)

d

dxun(x)

]+ nw(x)un(x) = 0.

As funcoes um(x) e un(x) satisfazem condicoes de contorno que levam a` ortogonalidade. Osautovalores correspondentes m e n sao distintos. Prove que, para condicoes de contornoadequadas, um(x) e u

n(x) sao ortogonais com p(x) como uma funcao de peso.

10.2.7 Um operador linear A tem n autovalores distintos e n autofuncoes correspondentes: Ai = ii.Mostre que as n autofuncoes sao linearmente independentes. A nao e necessariamente hermitiano.Sugestao: Admita dependencia linearque n =

n1i=1 aii. Use essa relacao e a equacao de

autofuncao de operador, primeiro em uma ordem e entao na ordem inversa. Mostre que resulta umacontradicao.

livro 2007/7/24 16:04 page 483 #493

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 483

10.2.8 (a) Mostre que a substituicao de Liouville

u(x) = v()[p(x)w(x)

]1/4, =

xa

[w(t)p(t)

]1/2dt

transforma

d

dx

[p(x)

d

dxu

]+[w(x) q(x)]u(x) = 0

em

d2v

d2+[Q()]v() = 0,

em que

Q() =q(x())w(x())

+[p(x()

)w(x()

)]1/4 d2d2

(pw)1/4.

(b) Se v1() e v2() forem obtidos por u1(x) e u2(x), respectivamente, por uma substituicaode Liouville, mostre que

baw(x)u1u2 dx e transformada em

c0v1()v2() d com

c = ba[wp ]

1/2 dx.

10.2.9 Os polinomios ultra-esfericos C()n (x) sao solucoes da equacao diferencial

{(1 x2) d

2

dx2 (2+ 1)x d

dx+ n(n+ 2)

}C()n (x) = 0.

(a) Transforme essa equacao diferencial para a forma auto-adjunta.(b) Mostre que os C()n (x) sao ortogonais para n diferentes. Especifique o intervalo de integracao

e o fator de peso.

Nota: Admita que suas solucoes sao polinomios.

10.2.10 Com L nao auto-adjunto,

Lui + iwui = 0

e

Lvj + jwvj = 0.

livro 2007/7/24 16:04 page 484 #494

484 Fsica Matematica Arfken Weber

(a) Mostre que ba

vjLui dx = ba

uiLvj dx,contanto que

uip0vj

ba= vjp0ui

ba

eui(p1 p0)vj

ba= 0.

(b) Mostre que a integral de ortogonalidade para as autofuncoes ui e vj se torna ba

uivjw dx = 0 (i 6= j).

10.2.11 No Exerccio 9.5.8 constata-se que a solucao de serie da equacao de Chebyshev e convergente paratodos os autovalores n. Portanto, n nao e quantizado pelo argumento usado para a equacao deLegendre (Exerccio 9.5.5). Calcule a soma da serie de Chebyshev da equacao indicial k = 0 paran = v = 0, 8, 0, 9, e 1,0 e para x = 0, 0(0, 1)0, 9.Nota: A relacao de recorrencia da serie de Chebyshev e dada no Exerccio 5.2.16.

10.2.12 (a) Avalie a n = = 0, 9, serie de Chebyshev da equacao indicial k = 0, para x = 0, 98, 0, 99, e1,00. A serie converge muito lentamente em x = 1, 00. Talvez voce queira usar precisao dupla.Limites superiores para o erro de seu calculo podem ser estabelecidos por comparacao com ocaso de = 1, 0 que corresponde a (1 x2)1/2.

(b) Essas solucoes de serie para autovalor = 0, 9 e para = 1, 0 sao obviamente nao-ortogonais,a despeito do fato de satisfazerem a equacao de autovalor auto-adjunta com autovaloresdiferentes. Pelo comportamento das solucoes na vizinhanca e x = 1, 00, tente formular umahipotese para o fato de a prova de ortogonalidade nao se aplicar.

10.2.13 A expansao de Fourier da onda quadrada (assimetrica) e dada pela Equacao (10.38). Com h = 2,avalie essa serie para x = 0(pi/18)pi/2, usando os primeiros (a) 10 termos, (b) 100 termos da serie.Nota: Para 10 termos e x = pi/18, ou 10, sua representacao de Fourier tem uma protuberanciaacentuada. Esse e o fenomeno de Gibbs da Secao 14.5. Para 100, termos essa protuberancia sedeslocou de aproximadamente 1.

10.2.14 A onda quadrada simetrica

f(x) =

1, |x| 0pi, n = 0

Chebyshev II 1 x 1 (1 x2)1/2Z 11

[Un(x)]2(1 x2)1/2 dx = pi

2

Laguerre 0 x

livro 2007/7/24 16:04 page 489 #499

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 489

Esses sao os primeiros quatro polinomios deslocados de Legendre.Nota: O smbolo * e o padrao para deslocado: [0, 1] em vez de [1, 1]. Nao significa conjugadocomplexo.

10.3.3 Aplique o procedimento de Gram-Schmidt para formar os tres primeiros polinomios de Laguerre

un(x) = xn, n = 0, 1, 2, . . . , 0 x

livro 2007/7/24 16:04 page 490 #500

490 Fsica Matematica Arfken Weber

Resposta: U0 = 1, U1 = 2x, U2 = 4x2 1.10.3.8 Como uma modificacao do Exerccio 10.3.5, aplique o procedimento de ortogonalizacao de Gram-

Schmidt ao conjunto un(x) = xn, n = 0, 1, 2, . . . , 0 x < . Considere w(x) como exp[x2].Ache os dois primeiros polinomios que nao se anulam. Normalize de modo que o coeficienteda potencia mais alta de x seja a unidade. No Exerccio 10.3.5 o intervalo (,) levou aospolinomios de Hermite. Sem duvida, esses nao sao os polinomios de Hermite.

Resposta: 0 = 1, 1 = x pi1/2.10.3.9 Forme um conjunto ortogonal no intervalo 0 x < , usando un(x) = enx, n = 1, 2, 3, . . .

Considere o fator de peso,w(x), como a unidade. Essas funcoes sao solucoes de unn2un = 0, queja estao claramente na forma (auto-adjunta) de Sturm-Liouville. Por que a teoria de Sturm-Liouvillenao garante a ortogonalidade dessas funcoes?

10.4 Completude de AutofuncoesA terceira propriedade importante de um operador hermitiano e que suas autofuncoes formam um conjuntocompleto. Essa completude significa que qualquer funcao bem-comportada (ao menos contnua por partes) F (x)pode ser aproximada por uma serie

F (x) =n=0

ann(x) (10.62)

com qualquer grau de precisao desejado.10 Mais exatamente, o conjunto n(x) e denominado completo11 se olimite do erro medio quadratico desaparecer:

limm

ba

[F (x)

mn=0

ann(x)

]2w(x) dx = 0. (10.63)

Tecnicamente, aqui a integral e a integral de Lebesgue. Nao exigimos que o erro desapareca identicamente em[a, b], mas apenas que a integral do erro ao quadrado va a zero.

Essa convergencia da media, Equacao (10.63), deve ser comparada com a convergencia uniforme (Secao 5.5,Equacao (5.67)). E claro que convergencia uniforme implica convergencia da media, mas o inverso nao everdadeiro; a convergencia da media e menos restritiva. Especificamente, a Equacao (10.63) nao e perturbadapor funcoes contnuas por partes com apenas um numero finito de descontinuidades finitas. Um exemplo relevantee o fenomeno de Gibbs da serie descontnua de Fourier discutido na Secao 14.5, que ocorre tambem para outrasseries de autofuncoes.

A Equacao (10.63) e perfeitamente adequada para nossas finalidades e e muito mais conveniente do que aEquacao (5.67). De fato, visto que frequentemente usamos autofuncoes para descrever funcoes descontnuas, aconvergencia da media e tudo o que podemos esperar.

Na Equacao (10.62) os coeficientes de expansao am podem ser determinados por

am = ba

F (x)m(x)w(x) dx. (10.64)

Essa expressao resulta da multiplicacao da Equacao (10.62) por m(x)w(x) e integracao. Pela ortogonalidadedas autofuncoes n(x), somente o m-esimo termo sobrevive. E aqui que vemos o valor da ortogonalidade. AEquacao 10.64 pode ser comparada com o produto escalar ou interno de vetores, Secao 1.3, e am interpretadacomo a m-esima projecao da funcao F (x). O coeficiente am costuma ser denominado coeficiente generalizadode Fourier.

Para uma funcao conhecida F (x), a Equacao (10.64) da am como uma integral definida que sempre pode seravaliada, por computador, se nao analiticamente.

Na linguagem da Algebra Linear, temos um espaco linear, um espaco de funcao vetorial. As funcoes ortonormaislinearmente independentes n(x) formam a base para esse espaco (de infinitas dimensoes). A Equacao (10.62) euma afirmacao de que as funcoes n(x) espaco linear. Com um produto interno definido pela Equacao (10.64),nosso espaco linear e um espaco de Hilbert.

10Se temos um conjunto finito, como e o caso de vetores, o somatorio e sobre o numero de membros linearmente independentes do conjunto.11Nesse caso ha muitos autores que usam o termo fechado.

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 491

Estabelecendo a funcao de peso como w(x) = 1 por simplicidade, a completude em forma de operador paraum conjunto discreto de autofuncoes |i se torna

i

|ii| = 1.

Multiplicando a relacao de completude por |F , obtemos a expansao em autofuncoes

|F =i

|ii|F ,

com o coeficiente de Fourier generalizado ai = i|F . De modo equivalente, em representacao coordenada,i

i (y)i(x) = (x y)

implica

F (x) =F (y)(x y) dy =

i

i(x)i (y)F (y) dy.

Sem prova, afirmamos que o espectro de um operador linear A que mapeia um espaco de Hilbert H parasi mesmo pode ser dividido em um espectro discreto (ou pontual) com autovetores de comprimento finito, umespectro contnuo, de modo que a equacao de autovalor Av = v com v emH nao tem uma inversa limitada unica(A )1 em um domnio denso de H e um espectro residual em que (A )1 nao tem limite em um domnionao-denso em H .

A questao de completude de um conjunto de funcoes muitas vezes e determinada por comparacao com umaserie de Laurent, Secao 6.5. Na Secao 14.1 isso e feito para series de Fourier, estabelecendo assim a completude daserie de Fourier. Para todos os polinomios ortogonais mencionados na Secao 10.3 e possvel achar uma expansaode polinomio de cada potencia de z,

zn =ni=0

aiPi(z), (10.65)

em que Pi(z) e o i-esimo polinomio. Os Exerccios 12.4.6, 13.1.6, 13.2.5 e 13.3.22 sao exemplos especficos daEquacao (10.65). Usando a Equacao (10.65), podemos expressar novamente a expansao de Laurent de f(z) emtermos de polinomios, mostrando que a expansao de polinomio existe (quando existe, e unica, Exerccio 10.4.1).A limitacao desse desenvolvimento de serie de Laurent e que ele requer que a funcao seja analtica. AsEquacoes (10.62) e (10.63) sao mais gerais. F (x) pode ser somente contnua por partes. Numerosos exemplos darepresentacao dessas funcoes contnuas por partes aparecem no Captulo 14 (serie de Fourier). Uma prova de quenossas autofuncoes de Sturm-Liouville formam series completas aparece em Courant e Hilbert.12 Para exemplosde expansoes em autofuncao particulares, consulte os seguintes: series de Fourier, Secao (10.2) e Captulo 14;expansoes de Bessel e de Fourier-Bessel, Secao 11.2; series de Legendre, Secao 12.3; series de Laplace, Secao12.6; series de Hermite, Secao 13.1; series de Laguerre, Secao 13.2; e series de Chebyshev, Secao 13.3. Podetambem acontecer de a expansao em autofuncoes, Equacao (10.62), ser a expansao de uma F (x) desconhecidaem uma serie de autofuncoes conhecidas n(x) com coeficientes desconhecidos an. Um exemplo seria a tentativado qumico quantico de descrever uma funcao de onda molecular (desconhecida) como uma combinacao linear defuncoes de ondas atomicas conhecidas. Os coeficientes desconhecidos an seriam determinados por uma tecnicavariacional-Rayleigh-Ritz, Secao 17.8.

Desigualdade de BesselSe o conjunto de funcoes n(x) nao formar um conjunto completo, possivelmente porque nos simplesmente naoinclumos o exigido numero infinito de membros de um conjunto infinito, somos levados a` desigualdade de Bessel.Em primeiro lugar, considere o caso finito da analise vetorial. SejaA um vetor de n componentes,

A = e1a1 + e2a2 + + enan, (10.66)12R. Courant e D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics (traducao para o ingles), vol. 1, Nova York: Interscience (1953), nova tiragem,

Wiley (1989), Captulo 6, Secao 3.

livro 2007/7/24 16:04 page 492 #502

492 Fsica Matematica Arfken Weber

no qual ei e um vetor unitario e ai e a componente correspondente (projecao) de A; isto e,

ai = A ei. (10.67)

Entao, (A

i

eiai

)2 0. (10.68)

Se somarmos sobre todas as n componentes, o somatorio e claramente igual a A pela Equacao (10.66) ea igualdade e valida. Contudo, se o somatorio nao incluir todos os n componentes, resulta a desigualdade.Expandindo a Equacao (10.68) e escolhendo os vetores unitarios de modo a satisfazer uma relacao deortogonalidade,

ei ej = ij , (10.69)temos

A2 i

a2i . (10.70)

Essa e a desigualdade de Bessel.Para funcoes reais, consideramos a integral b

a

[f(x)

i

aii(x)]2w(x) dx 0. (10.71)

Esse e o contnuo analogo a` Equacao (10.68), deixando que n , e substituindo o somatorio se anuala poruma integracao. Mais uma vez, com o fator de peso w(x) > 0, o integrando e nao-negativo. A integral se anulapela Equacao (10.62) se tivermos um conjunto completo. Caso contrario, ela e positiva. Expandindo o termo aoquadrado, obtemos b

a

[f(x)

]2w(x) dx 2

i

ai

ba

f(x)i(x)w(x) dx+i

a2i 0. (10.72)

Aplicando a Equacao (10.64), temos ba

[f(x)

]2w(x) dx

i

a2i . (10.73)

Da, a soma dos quadrados dos coeficientes de expansao ai e menor ou igual a` integral ponderada de [f(x)]2,sendo que a igualdade e valida se, e somente se, a expansao for exata, isto e, se o conjunto de funcoes n(x) forum conjunto completo.

Em captulos posteriores, quando considerarmos autofuncoes que formam conjuntos completos (tais comopolinomios de Legendre), a Equacao (10.73) com o sinal de igual valendo sera denominada relacao de Parseval.

A desigualdade de Bessel tem uma variedade de utilizacoes, entre elas a prova de convergencia da serie deFourier.

Desigualdade de SchwarzA desigualdade de Schwarz, frequentemente utilizada, e semelhante a` desigualdade de Bessel. Considere a equacaoquadratica com x desconhecido:

ni=1

(aix+ bi)2 =ni=1

a2i

(x+

biai

)2= 0 (10.74)

com ai, bi reais. Se bi/ai = constante, c, isto e, independente do ndice i, entao a solucao e x = c. Se bi/ai naoe uma constante em i, os termos todos nao podem desaparecer simultaneamente para x real. Portanto, a solucaodeve ser complexa. Expandindo, constatamos que

x2ni

a2i + 2xni

aibi +ni

b2i = 0, (10.75)

livro 2007/7/24 16:04 page 493 #503

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 493

e, uma vez que x e complexo (ou = bi/ai), a formula quadratica13 para x leva a(ni=1

aibi

)2(

ni=1

a2i

)(ni=1

b2i

), (10.76)

em que sendo que a igualdade vale quando bi/ai e igual a uma constante, independente de i.Mais uma vez, em termos de vetores, temos

(a b)2 = a2b2 cos2 a2b2, (10.77) e o angulo includo entre a e b.

A desigualdade de Schwarz analoga para funcoes complexas tem a forma ba

f(x)g(x) dx2 b

a

f(x)f(x) dx ba

g(x)g(x) dx, (10.78)

sendo que a igualdade vale se, e somente se, g(x) = f(x), sendo uma constante. Para provar essa formade funcao da desigualdade de Schwarz,14 considere uma funcao complexa (x) = f(x) + g(x), sendo umaconstante complexa, em que f(x) e g(x) sao duas funcoes quadradas integraveis quaisquer (para as quais asintegrais do lado direito existem). Multiplicando pelo conjugado complexo e integrando, obtemos b

a

dx ba

ff dx+ ba

fg dx+ ba

gf dx

+ ba

gg dx 0. (10.79)

O 0 aparece, uma vez que e nao-negativo, sendo que o sinal de igual (=) vale somente se (x) foridenticamente zero. Observando que e sao linearmente independentes, diferenciamos em relacao a um delese igualamos a derivada a zero para minimizar

ba dx:

ba

dx = ba

gf dx+ ba

gg dx = 0.

Isso resulta em

= bagf dx b

agg dx

. (10.80a)

Considerando o conjugado complexo, obtemos

= bafg dx b

agg dx

. (10.80b)

Substituindo esses valores de e de volta na Equacao (10.79), obtemos a Equacao (10.78), a desigualdade deSchwarz.

Em Mecanica Quantica, f(x) e g(x) podem, cada uma, representar um estado ou configuracao de um sistemafsico, isto e, uma combinacao linear de funcoes de onda. Entao, a desigualdade de Schwarz da um limite superiorpara o valor absoluto do produto interno

baf(x)g(x) dx. Em alguns textos a desigualdade de Schwarz e uma

etapa fundamental na derivacao do princpio da incerteza de Heisenberg.A notacao de funcao das Equacoes (10.78) e (10.79) e relativamente incomoda. Em Fsica Matematica avancada

e em especial em Mecanica Quantica e comum usar a notacao bra-ket de Dirac. Usando essa notacao, nossimplesmente entendemos o intervalo de integracao, (a, b), e a presenca da funcao de peso w(x) 0. Nessanotacao a desigualdade de Schwarz assume a elegante formaf |g2 f |fg|g. (78a)

13Com discriminante negativo (ou zero).14Uma derivacao alternativa e dada pela desigualdade

RR[f(x)g(y) f(y)g(x)][f(x)g(y) f(y)g(x)] dx dy 0.

livro 2007/7/24 16:04 page 494 #504

494 Fsica Matematica Arfken Weber

Se g(x) for uma autofuncao normalizada, i(x), a Equacao (10.78) resulta em (aqui w(x) = 1)

ai ai ba

f(x)f(x) dx, (10.81)

um resultado que tambem se origina da Equacao (10.73).Para representacoes uteis da funcao delta de Dirac em termos de conjuntos ortogonais de funcoes e da relacao

entre fechamento e completude, referimo-nos a` relevante subsecao da Secao 1.15, incluindo o Exerccio 1.15.16 e,para representacoes em coordenadas versus momento em Mecanica Quantica, referimo-nos a` Secao 15.6.

Resumo Espacos Vetoriais, CompletudeAqui resumimos algumas propriedades de espacos vetoriais: em primeiro lugar, considerando os vetores como osja conhecidos vetores reais do Captulo 1, e em seguida, como funcoes ordinarias. O conceito de completude foidesenvolvido para espacos vetoriais finitos (Captulo 1, Equacao (1.5)) e e transportado para espacos vetoriaisinfinitos. Por exemplo, em espaco euclidiano tridimensional todo vetor pode ser escrito em termos de umacombinacao linear dos tres vetores unitarios coordenados (representando uma base) envolvendo as componentescartesianas do vetor como os coeficientes de expansao. Ou uma funcao periodica de um espaco vetorialinfinito pode ser expandida em termos do conjunto de funcoes periodicas sen nx, cosnx, n = 0, 1, 2, . . . , queforma uma base desse espaco. Uma vez que qualquer funcao periodica com propriedades razoaveis (explicadasdetalhadamente no Captulo 14) pode ser expandida em termos dessas funcoes de seno e co-seno, elas saocompletas e formam uma base de tal espaco de funcao linear.

1v. Descreveremos nosso espaco vetorial com um conjunto de n vetores linearmente independentes ei,i = 1, 2, . . . , n. Se n = 3, entao e1 = x, e2 = y, e e3 = z. Os nei abrangem o espaco vetorial linear.

1f. Descreveremos nosso espaco vetorial (funcional) com um conjunto de n funcoes linearmente independentes,i(x), i = 0, 1, . . . , n 1. O ndice i comeca com 0 para ficar de acordo com a notacao classica de polinomios.Aqui, admitimos que i(x) e um polinomio de grau i. Os ni(x) abrangem o espaco vetorial (funcional) linear.

2v. Os vetores em nosso espaco vetorial satisfazem as seguintes relacoes (Secao 1.2; as componentes do vetorsao numeros):(a) A adicao de vetores e comutativa u+ v = v+ u(b) A adicao de vetores e associativa [u+ v] + w = u+ [v+ w](c) Existe um vetor nulo 0+ v = v(d) Multiplicacao por um escalar

Distributiva a[u+ v] = au+ avDistributiva (a+ b)u = au+ (b)uAssociativa a[bu] = (ab)u

(e) MultiplicacaoPor escalar unitario 1u = uPor zero 0u = 0

(f) Vetor negativo (1)u = u.2f. As funcoes em nosso espaco funcional linear satisfazem as propriedades listadas para vetores (substituir

funcao por vetor):

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)[f(x) + g(x)

]+ h(x) = f(x) +

[g(x) + h(x)

]0 + f(x) = f(x)

a[f(x) + g(x)

]= af(x) + ag(x)

(a+ b)f(x) = af(x) + bf(x)a[bf(x)

]= (ab)f(x)

1 f(x) = f(x)0 f(x) = 0

(1) f(x) = f(x).

3v. Em espaco vetorial n dimensional, um vetor arbitrario c e descrito por suas n componentes (c1, c2, . . . , cn),

livro 2007/7/24 16:04 page 495 #505

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 495

ou

c =ni=1

ciei.

Quando nei (1) sao linearmente independentes e (2) abrangem o espaco vetorial n dimensional, entao os ei formamuma base e constituem um conjunto completo.

3f. Em espaco funcional n dimensional um polinomio de graum n 1 e descrito por

f(x) =n1i=0

cii(x).

Quando as ni(x) (1) sao linearmente independentes e (2) abrangem o espaco funcional n dimensional, entao asi(x) formam uma base e constituem um conjunto completo (para descrever polinomios de graum n 1).

4v. Um produto interno (escalar, produto interno) de um espaco vetorial e definido por

c d =ni=1

cidi.

Se c e d tiverem componentes complexas em um sistema de coordenadas ortogonais, o produto interno e definidocomo

ni=1 c

i di. O produto interno tem as propriedades de

(a) Lei distributiva da adicao c (d+ e) = c d+ c e(b) Multiplicacao escalar c ad = ac d(c) Conjugacao complexa c d = (d c).

4f. Um produto interno de um espaco linear de funcoes e definido por

f |g = ba

f(x)g(x)w(x) dx.

A escolha da funcao de peso w(x) e do intervalo (a, b) resulta da equacao diferencial satisfeita por i(x) e dascondicoes de fronteira, Secao 10.1. Em terminologia matricial, Secao 3.2, |g e um vetor coluna e f | e um vetorlinha, o adjunto de |f, onde ambos podem ter infinitamente muitas componentes. Por exemplo, se expandirmosg(x) =

i gii(x), entao |g tem a i-esima componente gi em um vetor coluna e |f tem fi como sua i-esima

componente em um vetor linha.O produto interno tem as propriedades listadas para vetores:

(a) f |g + h = f |g+ f |h(b) f |ag = af |g(c) f |g = g|f.

5v. Ortogonalidade:ej ej = 0, i 6= j.

Se os nei ainda nao forem ortogonais, o processo de Gram-Schmidt pode ser usado para criar um conjuntoortogonal.

5f. Ortogonalidade:

i|j = ba

i (x)j(x)w(x) dx = 0, i 6= j.

Se as ni(x) ainda nao forem ortogonais, o processo de Gram-Schmidt (Secao 10.3) pode ser usado para criar umconjunto ortogonal.

6v: Definicao de norma

|c| = (c c)1/2 =(

ni=1

c2i

)1/2.

Considera-se que os vetores de base ei tem norma (comprimento) unitaria ei ei = 1. As componentes de c saodadas por

ci = ei c, i = 1, 2, . . . , n.

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496 Fsica Matematica Arfken Weber

6f. Definicao de norma:

f = f |f1/2 =[ b

a

f(x)2w(x) dx]1/2 = [n1i=0

|ci|2]1/2

,

Identidade de Parseval. f > 0, a menos que f(x) seja identicamente zero. Pode-se considerar que as funcoesde base i(x) tem norma unitaria (normalizacao unitaria),

i = 1.Os coeficientes de expansao de nosso polinomio f(x) sao dados por

ci = i|f, i = 0, 1, . . . , n 1.7v. Desigualdade de Bessel:

c c i

c2i .

Se o sinal de igual for valido para todo c, ele indica que as ei abrangem o espaco vetorial, isto e, sao completas.7f. Desigualdade de Bessel:

f |f = ba

f(x)2w(x) dx i

|ci|2.

Se o sinal de igual for valido para toda f , permissvel, ele indica que as i(x) abrangem o espaco funcional; istoe, elas sao completas.

8v. Desigualdade de Schwarz:|c d| |c| |d|.

O sinal de igual e valido quando c for um multiplo de d. Se o angulo includo entre c e d e , entao | cos | 1.8f. Desiguladade de Schwarz: f |g f |f1/2g|g1/2 = f g.

O sinal de igual e valido quando f(x) e g(x) sao linearmente dependentes, isto e, quando f(x) e uma multipla deg(x).

Agora, deixe n, formando um espaco vetorial linear de numero infinito de dimensoes, l2.9v. Em um espaco de numero infinito de dimensoes nosso vetor c e

c =i=1

ciei.

Exigimos quei=1

c2i

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 497

Se f(x) fn(x) 0 nou

limn

f(x)ni=0

fii(x)

2

w(x) dx = 0,

entao temos convergencia da media o que e analogo ao criterio sequencia da soma parcial de Cauchy para aconvergencia de uma serie infinita, Secao 5.1.

Se toda sequencia de Cauchy de vetores permissveis (funcoes contnuas por partes de quadrado, integravel aoquadrado) convergir para um vetor limite em nosso espaco linear, diz-se que o espaco e completo. Entao,

f(x) =i=0

cii(x) (em quase todo lugar)

no sentido da convergencia da media. Como observamos antes, essa e uma exigencia mais fraca do queconvergencia ponto por ponto (valor fixo de x) ou convergencia uniforme.

Coeficientes de ExpansaoOs coeficientes de expansao de uma funcao f sao definidos como

ci = i|f, i = 0, 1, . . . ,,exatamente como em um espaco vetorial de numero finito de dimensoes. Por conseguinte,

f(x) =i

i|fi(x).

Um espaco linear (de numero finito ou infinito de dimensoes) que (1) tenha um produto interno definido (f |g)e (2) seja completo e um espaco de Hilbert.

Espaco de Hilbert de numero infinito de dimensoes fornece uma estrutura natural de trabalho matematico paraa moderna Mecanica Quantica. Fora da Mecanica Quantica, o espaco de Hilbert conserva sua forca e belezamatematica abstrata e tem muitas utilizacoes.

Exerccios10.4.1 Uma funcao f(x) e expandida em uma serie de autofuncoes ortonormais

f(x) =n=0

ann(x).

Mostre que a expansao de serie e unica para um dado conjunto de n(x). Aqui, as funcoes n(x)estao sendo consideradas vetores de base em um espaco de Hilbert de numero infinito de dimensoes.

10.4.2 Uma funcao f(x) e representada por um conjunto finito de funcoes de base i(x),

f(x) =Ni=1

cii(x).

Mostre que as componentes ci sao unicas, que nao existe nenhum conjunto diferente ci.Nota: Suas funcoes de base sao automaticamente linearmente independentes. Elas nao saonecessariamente ortogonais.

10.4.3 Uma funcao f(x) e aproximada por uma serie de potenciasn1i=0 cix

i no intervalo [0, 1]. Mostreque minimizar o erro medio quadratico leva a um conjunto de equacoes lineares

Ac = b,

em que

Aij = 10

xi+j dx =1

i+ j + 1, i, j = 0, 1, 2, . . . , n 1

livro 2007/7/24 16:04 page 498 #508

498 Fsica Matematica Arfken Weber

e

bi = 10

xif(x) dx, i = 0, 1, 2, . . . , n 1.

Nota: Os Aij sao os elementos da matriz de Hilbert de ordem n. O determinante dessa matriz deHilbert e uma funcao rapidamente decrescente de n. Para n = 5,detA = 3, 7 1012 e o conjuntode equacoes Ac = b esta se tornando mal condicionado e instavel.

10.4.4 No lugar da expansao de uma funcao F (x) dada por

F (x) =n=0

ann(x),

com

an = ba

F (x)n(x)w(x) dx,

considere a aproximacao de serie finita

F (x) mn=0

cnn(x).

Mostre que o erro medio quadratico

ba

[F (x)

mn=0

cnn(x)

]2w(x) dx

e minimizado considerando cn = an.Nota: Os valores dos coeficientes sao independentes do numero de termos na serie finita. Essaindependencia e uma consequencia da ortogonalidade e nao valeria para um ajuste por mnimosquadrados usando potencias de x.

10.4.5 Pelo Exemplo 10.2.2,

f(x) =

h

2, 0 < x < pi

h2, pi < x < 0

= 2hpin=0

sen(2n+ 1)x2n+ 1

.

(a) Mostre que pipi

[f(x)

]2dx =

pi

2h2 =

4h2

pi

n=0

(2n+ 1)2.

Para um limite superior finito, essa expressao seria a desigualdade de Bessel. Para o limitesuperior, ela e a identidade de Parseval.

(b) Verifique quepi

2h2 =

4h2

pi

n=0

(2n+ 1)2

avaliando a serie.

Sugestao: A serie pode ser expressa como a funcao zeta de Riemann.

10.4.6 Diferencie a Equacao (10.79),

| = f |f+ f |g+ g|f+ g|g,

com relacao a e mostre que voce obtem a desigualdade de Schwarz, Equacao (10.78).

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 499

10.4.7 Derive a desigualdade de Schwarz pela identidade[ ba

f(x)g(x) dx]2

= ba

[f(x)

]2dx

ba

[g(x)

]2dx

12

ba

ba

[f(x)g(y) f(y)g(x)]2 dx dy.

10.4.8 Se as funcoes f(x) e g(x) da desigualdade de Schwarz, Equacao (10.78), puderem ser expandidasem uma serie de autofuncoes i(x), mostre que a Equacao (10.78) se reduz a` Equacao (10.76) (comn possivelmente infinito).

Observe a descricao de f(x) como um vetor em um espaco funcional no qual i(x) corresponde aovetor unitario e1.

10.4.9 O operador H e hermitiano e definido positivo, isto e, para todo f : ba

fHf dx > 0.

Prove a desigualdade generalizada de Schwarz: ba

fHg dx2 b

a

fHf dx ba

gHg dx.

10.4.10 Uma funcao de onda normalizada (x) =n=0 ann(x). Os coeficientes de expansao an sao

conhecidos como amplitudes de probabilidade. Podemos definir uma matriz de densidade comelementos ij = aiaj . Mostre que (

2)ij= ij ,

ou2 = .

Por definicao, esse resultado faz de um operador de projecao.Sugestao: Use

dx = 1.

10.4.11 Mostre que(a) o operador i(x)i(t)

operando sobref(t) =

j

cjj(t)

resulta emcii(x).

(b)i

i(x)i(x) = 1.Esse operador e um operador de projecao que projeta f(x) sobre a i-esima coordenada,escolhendo seletivamente a i-esima componente ci|i(x) de f(x).

Sugestao: O operador opera via o produto interno bem definido.

10.5 Funcao de Green Expansao em AutofuncaoQuando expandimos a funcao de Green nas autofuncoes da equacao homogenea correspondente, resulta uma serieum tanto similar a` que representa (x t). Na equacao nao-homogenea de Helmholtz, temos

2(r) + k2(r) = (r). (10.82)

livro 2007/7/24 16:04 page 500 #510

500 Fsica Matematica Arfken Weber

A equacao homogenea de Helmholtz e satisfeita por suas autofuncoes ortonormais n,

2n(r) + k2nn(r) = 0. (10.83)Como delineado na Secao 9.7, a funcao de Green G(r1, r2) satisfaz a equacao de fonte pontual

2G(r1, r2) + k2G(r1, r2) = (r1 r2) (10.84)e as condicoes de contorno impostas a`s solucoes da equacao homogenea. Como G e real, expandimos a funcao deGreen em uma serie de autofuncoes reais da equacao homogenea (10.83), isto e,

G(r1, r2) =n=0

an(r2)n(r1), (10.85)

e, substituindo na Equacao (10.84), obtemos

n=0

an(r2)k2nn(r1) + k2n=0

an(r2)n(r1) = n=0

n(r1)n(r2). (10.86)

Aqui (r1 r2) foi substituda por sua expansao de autofuncao, Equacao (1.190). Quando empregamos aortogonalidade de n(r1) para isolar an, essa expressao resulta em

m=0

am(r2)(k2 k2m

) n(r1)m(r1) d

3r1 = m=0

m(r2)n(r1)m(r1) d

3r1,

ou

an(r2)(k2 k2n

)= n(r2).

Entao, substituindo essa expressao na Equacao (10.85), a funcao de Green se torna

G(r1, r2) =n=0

n(r1)n(r2)k2n k2

, (10.87)

uma expansao bilinear, simetrica em relacao a r1 e r2, como esperado. Por fim, (r1), a solucao desejada daequacao nao-homogenea, e dada por

(r1) =G(r1, r2)(r2) d2. (10.88)

Se generalizarmos nossa equacao diferencial nao-homogenea para

L + = , (10.89)em que L e um operador hermitiano, constatamos que

G(r1, r2) =n=0

n(r1)n(r2)n , (10.90)

em que n e o enesimo autovalor e n e a autofuncao ortonormal correspondente da equacao diferencialhomogenea

L + = 0. (10.91)A expansao em autofuncoes da funcao de Green na Equacao 10.90) torna explcita a propriedade de simetriaG(r1, r2) = G(r2, r1) e muitas vezes e util quando se comparam solucoes obtidas por outros meios.

Funcoes de Green UnidimensionaisO desenvolvimento da funcao de Green para sistemas bi e tridimensionais foi o assunto discutido anteriormenteneste captulo e na Secao 9.7. Aqui, por simplicidade, nos restringimos a casos unidimensionais e adotamos umaabordagem um pouco diferente.

livro 2007/7/24 16:04 page 501 #511

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 501

Propriedades DefinidasEm nossa analise unidimensional consideramos em primeiro lugar a equacao nao-homogenea

Ly(x) + f(x) = 0, (10.92)na qual L e o operador diferencial auto-adjunto

L = ddx

(p(x)

d

dx

)+ q(x). (10.93)

Assim como na Secao 10.1, y(x) deve satisfazer certas condicoes de contorno nas extremidades a e b de nossointervalo [a, b].

Agora passamos a definir uma funcao G um tanto estranha e arbitraria no intervalo [a, b]. Nesse estagio, omaximo que se pode dizer em defesa de G e que as propriedades definidoras sao legtimas, ou matematicamenteaceitaveis. Mais adiante,G aparecera como uma ferramenta razoavel para obter solucoes da EDO nao-homogenea,Equacao (10.92); esse papel determina suas propriedades.1. O intervalo a x b e dividido por um parametro t. Rotulamos G(x) = G1(x) para a x < t eG(x) = G2(x) para t < x b.

2. Cada uma das funcoes G1(x) e G2(x) satisfaz a equacao homogenea,15 isto e,

LG1(x) = 0, a x < t,LG2(x) = 0, t < x b.

(10.94)

3. Em x = a,G1(x) satisfaz as condicoes de contorno que impomos a y(x), uma solucao da EDO nao-homogenea,Equacao (10.92). Em x = b,G2(x) satisfaz as condicoes de contorno impostas a y(x) nessa extremidade dointervalo. Por conveniencia as condicoes de contorno sao consideradas homogeneas, isto e, em x = a,

y(a) = 0 ou y(a) = 0 ou y(a) + y(a) = 0

e, do mesmo modo, em x = b.4. Exigimos que G(x) seja contnua,16

limxt

G1(x) = limxt+

G2(x). (10.95)

5. Exigimos que G(x) seja descontnua, especificamente que 15

d

dxG2(x)

t ddxG1(x)

t= 1

p(t), (10.96)

em que p(t) vem do operador auto-adjunto, Equacao (10.93). Note que, sendo a derivada de primeira ordemdescontnua, a derivada de segunda ordem nao existe.Com efeito, esses requisitos fazem de G uma funcao de duas variaveis, G(x, t). Alem disso, observamos que

G(x, t) depende da forma do operador diferencialL, bem como das condicoes de contorno que y(x) deve satisfazer.Note que descrevemos as propriedades de funcoes de Green, para equacoes diferenciais de segunda ordem. Observeque para funcoes de Green, para equacoes diferenciais de primeira ordem, as descontinuidades surgem na propriaG.

Agora, admitindo que podemos achar uma funcao G(x, t) que tenha essas propriedades, nos a denominamosfuncao de Green e passamos a mostrar que a solucao da Equacao (10.92) e

y(x) = ba

G(x, t)f(t) dt. (10.97)

Para fazer isso, em primeiro lugar construmos a funcao de Green G(x, t). Seja u(x) uma solucao da equacaohomogenea que satisfaz as condicoes de contorno em x = a, e seja v(x) uma solucao que satisfaz as condicoes decontorno em x = b. Entao, podemos considerar17

G(x, t) =

{c1u(x), a x < t,c2v(x), t < x b.

(10.98)

15Homogenea em relacao a` funcao desconhecida. A funcao f(x) na Equacao (10.92) e igualada a zero.16Em termos estritos, esse e o limite quando x t.17As constantes c1 e c2 sao independentes de x, mas podem depender (e dependem) da outra variavel, t.

livro 2007/7/24 16:04 page 502 #512

502 Fsica Matematica Arfken Weber

Continuidade em x = t (Equacao (10.95)) requer

c2v(t) c1u(t) = 0. (10.99)Por fim, a descontinuidade na derivada de primeira ordem (Equacao (10.96)) se torna

c2v(t) c1u(t) = 1

p(t). (10.100)

Havera uma solucao unica para nossos coeficientes desconhecidos c1 e c2 se o determinante wronskiano u(t) v(t)u(t) v(t) = u(t)v(t) v(t)u(t)

nao desaparecer. Vimos na Secao 9.6 que o nao-desaparecimento desse determinante e uma condicao necessariapara a independencia linear. Vamos admitir que u(x) e v(x) sejam independentes. (Se u(x) e v(x) foremlinearmente dependentes, a situacao se torna mais complicada e nao e considerada aqui. Veja Courant e Hilbert emLeituras Adicionais do Captulo 9. Para u(x) e v(x) independentes, temos o wronskiano (mais uma vez pela Secao9.6 ou pelo Exerccio 10.1.4)

u(t)v(t) v(t)u(t) = Ap(t)

, (10.101)

no qualA e uma constante. A Equacao (10.101) a`s vezes e denominada formula de Abel. Ja apareceram numerososexemplos em conexao com as funcoes de Bessel e Legendre. Agora, pela Equacao (10.100), identificamos

c1 = v(t)A

, c2 = u(t)A

. (10.102)

A Equacao (10.99) e claramente satisfeita. Substituindo na Equacao (10.98), temos como resultado nossa funcaode Green

G(x, t) =

1Au(x)v(t), a x < t,

1Au(t)v(x), t < x b.

(10.103)

Note que G(x, t) = G(t, x). Essa e a propriedade de simetria que foi provada anteriormente na Secao 9.7. Suainterpretacao fsica e dada pelo princpio da reciprocidade (via nossa funcao propagadora) uma causa em t resultano mesmo efeito em x que uma causa em x produz em t. Em termos de nossa analogia eletrostatica, isso e obvio,sendo que a funcao propagadora depende so da grandeza da distancia entre os dois pontos:

|r1 r2| = |r2 r1|.Integral da Funcao de Green Equacao DiferencialConstrumosG(x, t), mas ainda resta a tarefa de mostrar que a integral na Equacao (10.97) com nossa nova funcaode Green e realmente uma solucao da equacao diferencial original (10.92). Fazemos isso por substituicao direta.Com G(x, t) dada pela Equacao (10.103),18 a Equacao (10.97) se torna

y(x) = 1A

xa

v(x)u(t)f(t) dt 1A

bx

u(x)v(t)f(t) dt. (10.104)

Diferenciando, obtemos

y(x) = 1A

xa

v(x)u(t)f(t) dt 1A

bx

u(x)v(t)f(t) dt, (10.105)

sendo canceladas as derivadas dos limites. Uma segunda diferenciacao resulta em

y(x) = 1A

xa

v(x)u(t)f(t) dt 1A

bx

u(x)v(t)f(t) dt

1A

[u(x)v(x) v(x)u(x)]f(x). (10.106)

18Na primeira integal, a t x. DaG(x, t) = G2(x, t) = (1/A)u(t)v(x). De modo semelhante, a segunda integral requerG = G1.

livro 2007/7/24 16:04 page 503 #513

10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 503

Pelas Equacoes (10.100) e (10.102) essa expressao pode ser reescrita como

y(x) = v(x)A

xa

u(t)f(t) dt u(x)A

bx

v(t)f(t) dt f(x)p(x)

. (10.107)

Agora, substituindo na Equacao (10.93), temos

Ly(x) = Lv(x)A

xa

u(t)f(t) dt Lu(x)A

bx

v(t)f(t) dt f(x). (10.108)

Uma vez que u(x) e v(x) foram escolhidas para satisfazer a equacao homogenea, os fatores L sao zero e os termosintegrais desaparecem, e vemos que a Equacao (10.92) e satisfeita.

Tambem devemos verificar que y(x) satisfaz as condicoes de contorno requeridas. No ponto x = a,

y(a) = u(a)A

ba

v(t)f(t) dt = cu(a), (10.109)

y(a) = u(a)A

ba

v(t)f(t) dt = cu(a), (10.110)

uma vez que a integral definida e uma constante. Escolhemos u(x) para satisfazer

u(a) + u(a) = 0. (10.111)

Multiplicando pela constante c, verificamos que y(x) tambem satisfaz a Equacao (10.111). Isso ilustra a utilidadedas condicoes de contorno homogeneas, a normalizacao nao importa. Em problemas de Mecanica Quantica acondicao de contorno imposta a` funcao de onda costuma ser expressa em termos da razao

(x)(x)

=d

dxln(x), comparada a

d

dxlnu(x)

x=a

= ,

Equacao (10.111). A vantagem e que a funcao de onda ainda nao precisa ser normalizada.Resumindo, temos a Equacao (10.97),

y(x) = ba

G(x, t)f(t) dt,

que satisfaz a equacao diferencial (Equacao (10.92)),

Ly(x) + f(x) = 0,e as condicoes de contorno, sendo que essas condicoes de contorno foram embutidas na funcao de Green, G(x, t).

Basicamente, o que fizemos foi usar as solucoes da equacao homogenea, a Equacao (10.94), para construiruma solucao da equacao nao-homogenea. Mais uma vez, a equacao de Poisson e uma ilustracao. A solucao,(Equacao (9.148)), representa uma combinacao ponderada [(r2)] de solucoes da equacao homogenea de Laplacecorrespondente. (Seguimos essas mesmas etapas anteriormente nesta secao.)

Devemos observar que nossa y(x), Equacao (10.97), e, na verdade, a solucao particular da equacao diferencial,Equacao (10.92). Nossas condicoes de contorno excluem a adicao de solucoes da equacao homogenea. Emum problema fsico real, podemos perfeitamente ter ambos os tipos de solucoes. Em eletrostatica, por exemplo(compare com a Secao 9.7), a solucao de funcao de Green da equacao de Poisson da o potencial criado peladistribuicao de carga dada. Alem disso, pode haver campos externos superpostos. Esses seriam descritos porsolucoes da equacao homogenea, equacao de Laplace.

Autofuncao, Equacao de AutovalorA analise precedente nao impos nenhuma restricao especial sobre nossa f(x). Agora, vamos admitir que f(x) =(x)y(x).19 Entao, temos

y(x) = ba

G(x, t)(t)y(t) dt (10.112)

19A funcao (x) e alguma funcao ponderacao, nao uma densidade de carga.

livro 2007/7/24 16:04 page 504 #514

504 Fsica Matematica Arfken Weber

como uma solucao deLy(x) + (x)y(x) = 0 (10.113)

e e suas condicoes de contorno. A Equacao (10.112) e uma equacao integral homogenea de Fredholm de segundaespecie e a Equacao (10.113) e a equacao homogenea de autovalor (com a funcao de peso w(x) substituda por(x)).

Ha uma mudanca na interpretacao de nossa funcao de Green. Ela comecou como uma funcao propagadora, umafuncao de peso que da a importancia da carga (r2) na producao do potencial (r1). A carga era o termo nao-homogeneo na equacao diferencial nao-homogenea Equacao (10.92). Agora, a equacao diferencial e a equacaointegral sao ambas homogeneas. G(x, t) se tornou um elo que relaciona as duas equacoes, diferencial e integral.

Para concluir a discussao dessa equivalencia equacao diferencial-equacao integral, agora vamos mostrarque a Equacao (10.113) implica a Equacao (10.112), isto e, que uma solucao de nossa equacao diferencial(Equacao (10.113)) com suas condicoes de contorno satisfaz a equacao integral Equacao (10.112). Multiplicamosa Equacao (10.113) por G(x, t), a funcao de Green adequada, e integramos de x = a ate x = b para obter b

a

G(x, t)Ly(x) dx+ ba

G(x, t)(x)y(x) dx = 0. (10.114)

A primeira integral e subdividida em duas (x < t, x > t), de acordo com a construcao de nossa funcao de Green,resultando em

ta

G1(x, t)Ly(x) dx bt

G2(x, t)Ly(x) dx = ba

G(x, t)(x)y(x) dx. (10.115)

Note que t e o limite superior para as integrais G1 e o limite inferior para as integrais G2. Vamos reduzir olado esquerdo da Equacao (10.115) a y(t). Entao, com G(x, t) = G(t, x), temos a Equacao (10.112) (com x e tpermutados).

Aplicando o teorema de Green ao lado esquerdo ou, o que e equivalente, integrando por partes, obtemos

ta

G1(t, x)[d

dx

(p(x)

d

dxy(x)

)+ q(x)y(x)

]dx

= [G1(x, t)p(x)y(x)]x=tx=a + ta

(

xG1(x, t)

)p(x)y(x) dx

ta

G1(x, t)q(x)y(x) dx, (10.116)

com uma expressao equivalente para a segunda integral. Uma segunda integracao por partes resulta em

ta

G1(x, t)Ly(x) dx = ta

y(x)LG1(x, t) dx

[G1(x, t)p(x)y(x)]x=tx=a+[G1(x, t)p(x)y(x)

]x=tx=a

. (10.117)

A integral do lado direito desaparece porque LG1 = 0. Combinando os termos integrados com os resultantes daintegracao de G2, temos

p(t)[G1(t, t)y(t) y(t)

xG1(x, t)

x=tG2(t, t)y(t) + y(t)

xG2(x, t)

x=t

]+ p(a)

[y(a)G1(a, t) y(a)

xG1(x, t)

x=a

] p(b)

[G2(b, t)y(b) y(b)

xG2(x, t)

x=b

]. (10.118)

Cada uma das duas ultimas expressoes desaparece, porque G(x, t) e y(x) satisfazem as mesmas condicoes decontorno. A primeira expressao, com a ajuda das Equacoes (10.95) e (10.96), se reduz a y(t). Substituindo naEquacao (10.115), temos a Equacao (10.112), concluindo assim a demonstracao da equivalencia entre a equacaointegral e a equacao diferencial mais condicoes de contorno.

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10. TEORIA DE STURM-LIOUVILLEFUNCOES ORTOGONAIS 505

Exemplo 10.5.1 OSCILADOR LINEARComo um exemplo simples, considere a equacao de oscilador linear (para uma corda vibrante):

y(x) + y(x) = 0. (10.119)

Impomos as condicoes y(0) = y(1) = 0, que correspondem a uma corda presa nas duas extremidades. Agora, paraconstruir nossa funcao de Green, precisamos de solucoes da equacao homogenea Ly(x) = 0, que e y(x) = 0.Para satisfazer as condicoes de contorno e preciso que uma das solucoes desapareca em x = 0, a outra em x = 1.Essas solucoes (nao-normalizadas) sao

u(x) = x, v(x) = 1 x. (10.120)

Constatamos queuv vu = 1 (10.121)

ou, pela Equacao (10.101), com p(x) = 1, A = 1. Nossa funcao de Green se torna

G(x, t) =

{x(1 t), 0 x < t,t(1 x), t < x 1.

(10.122)

Da, pela Equacao (10.112) nossa corda vibrante presa nas extremidades satisfaz

y(x) = 10

G(x, t)y(t) dt. (10.123)

Voce pode mostrar que as solucoes conhecidas da Equacao (10.119),

y = sen npix, = n2pi2,

realmente satisfazem a Equacao (10.123). Note que nosso autovalor nao e o comprimento de onda.

Funcao de Green e Funcao Delta de DiracUma outra abordagem da funcao de Green pode lancar mais luz sobre nossa formulacao e em particular sobre suarelacao com problemas fsicos. Vamos nos referir a` equacao de Poisson, desta vez, para uma carga pontual:

2(r) = pontual0

. (10.124)

A solucao de funcao de Green dessa equacao foi desenvolvida na Secao 9.7. Desta vez, vamos considerar umaanaloga unidimensional

Ly(x) + f(x)pontual = 0. (10.125)Aqui, f(x)pontual se refere a uma carga pontual unitaria, ou a uma forca pontual. Podemos representa-la devarias formas, mas talvez a mais conveniente seja

f(x)pontual =

12, t < x < t+ ,

0, em outra regiao,(10.126)

que e essencialmente a mesma que a Equacao (1.172). Entao, integrando a Equacao (10.125), temos t+tLy(x) dx =

t+t

f(x)pontual dx = 1 (10.127)

pela definicao de f(x). Vamos examinar Ly(x) mais de perto. Temos t+t

d

dx

[p(x)y(x)

]dx+

t+t

q(x)y(x) dx

=p(x)y(x)t+

t + t+t

q(x)y(x) dx = 1. (10.128)

livro 2007/7/24 16:04 page 506 #516

506 Fsica Matematica Arfken Weber

No 0 podemos satisfazer essa relacao permitindo que y(x) tenha uma descontinuidade de 1/p(x) emx = t, sendo que a propria y(x) permanece contnua.20 Contudo, essas sao apenas as propriedades usadas paradefinir nossa funcao de Green, G(x, t). Alem disso, notamos que no limite 0,

f(x)pontual = (x t), (10.129)

na qual (x t) e nossa funcao delta de Dirac, definida dessa maneira na Secao 1.15. Por conseguinte, aEquacao (10.125) se tornou

LG(x, t) = (x t). (10.130)Essa e uma versao unidimensional da Equacao (9.159), que exploramos para o desenvolvimento das funcoes deGreen em duas e tres dimensoes, Secao 9.7. Vamos lembrar que usamos essa relacao na Secao 9.7 para determinarnossas funcoes de Green.

A Equacao (10.130) ja era de esperar, visto que, na verdade, e uma consequencia de nossa equacao diferencial,Equacao (10.92), e da solucao integral da funcao de Green, Equacao (10.97). Se fizermos Lx (ndice para destacarque ele opera na dependencia de x) operar ambos os lados da Equacao (10.97), entao

Lxy(x) = Lx ba

G(x, t)f(t) dt.

Pela Equacao (10.92) o lado esquerdo e exatamente f(x). No lado direito, Lx, e independente da variavel deintegracao t, portanto podemos escrever

f(x) = ba

{LxG(x, t)}f(t) dt.Pela definicao da funcao delta de Dirac, Equacoes (1.171b) e (1.183), temos a Equacao (10.130).

Exerccios10.5.1 Mostre que

G(x, t) =

{x, 0 x < t,t, t < x 1,

e a funcao de Green para o operador L = d2/dx2 e as condicoes de contorno

y(0) = 0, y(1) = 0.

10.5.2 Ache a funcao de Green para

(a) Ly(x) = d2y(x)dx2

+ y(x),

{y(0) = 0,

y(1) = 0.

(b) L