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Arquitetura de Computadores

Eduardo Albuquerque

Adaptado do material do Prof. Fábio M. CostaInstituto de Informática – UFG1S/2004

Representação de Dados e Aritmética Computacional

Roteiro

Números inteiros sinalizados e não-sinalizadosOperações aritméticasNúmeros de ponto flutuante

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Unidade Lógico-aritmética

Executa cálculosTodos os demais componentes do computadores existem em função delaManipula números inteirosPode manipular números de ponto flutuante (números reais) – FPU (Floating Point Unit)

integrado no chip do processador, ouem um co-processador separado (obsoleto)

ULA (ALU): Entradas e Saídas

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Representação de inteiros

Apenas 0 e 1 para representar tudoNúmeros positivos são armazenados em repr. binária “direta”

Ex.: 41 = 00101001Sem sinal de menosSem ponto decimal (vírgula)Duas representações possíveis:

Sinal-e-magnitudeComplemento de dois

Representação em sinal-magnitude

Bit mais à esquerda (mais significativo) é o bit de sinal

0: positivo1: negativo

Ex.:+18 = 00010010-18 = 10010010

ProblemasEm operações aritméticas é preciso considerar ambos o sinal e a magnitudeDuas representações para zero (+0 e -0 !!!)

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Representação em complemento de dois

+3 = 00000011+2 = 00000010+1 = 000000010 = 00000000-1 = 11111111-2 = 11111110-3 = 11111101

Complemento de dois: Benefícios

Uma única representação para zeroaritmética mais simples (veja a seguir)Operação de negação torna-se mais simples:

3 = 00000011complemento booleano: 11111100Soma 1 ao bit menos signific. (LSB): 11111101

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Representação geométrica de inteiros em complemento de dois

Negação: Caso especial 1

0 = 00000000Negação bit-a-bit 11111111Soma 1 ao LSB +1Result 1 00000000Overflow é ignorado, então:- 0 = 0 √

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Negação: Caso especial 2

-128 = 10000000Negação bit-a-bit 01111111Soma 1 ao LSB +1Resultado = 10000000Então:-(-128) = -128 XMonitorar MSB (bit de sinal):

Ele deve mudar após uma negação!

Faixa de números

Complemento de 2 de 8 bits+127 = 01111111 = 27 -1-128 = 10000000 = -27

Complemento de 2 de 16 bits+32767 = 011111111 11111111 = 215 - 1-32768 = 100000000 00000000 = -215

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Conversão entre tamanhos

Números positivos: zeros à esquerda+18 = 00010010+18 = 00000000 00010010Números negativos: 1’s à esquerda-18 = 11101110-18 = 11111111 11101110i.e. reproduz o bit de sinal à esquerda

Exercício (8.3)

Considere a seguinte operação sobre uma palavra binária. Comece pelo bit menos significativo. Copie tos os bits que são iguais a 0, até que seja encontrado o primeiro bit diferente de zero, e copie também este bit. Então, tome o complemento de cada bit daí por diante. Qual é o resultado?

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Adição e subtração

Adição binária normalMonitorar o overflow do bit de sinal

Subtração:Tome o complemento de dois do subtraendo e adicione-o ao minuendo

i.e.: a – b = a + (-b)

Assim, nós precisamos apenas de circuitos de adição e de complemento

Hardware para adição e subtração

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Exercício

Somar em complemento de 2-7 + 5-4 + 43 + 4-4 + (-1)5 + 4-7 + (-6)

Subtraia os números-7 - 5-4 - 43 - 4-4 - (-1)5 - 4-7 + (-6)

Multiplicação

Mais complexa:Opera-se o produto parcial para cada dígito (do multiplicador)Desloca cada produto parcial uma casa à esquerdaAdiciona-se os produtos parciais

Multiplicação de números inteiros de n bits:produto com até 2n bits

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Exemplo de multiplicação

1011 Multiplicando (11 decimal)x 1101 Multiplicador (13 decimal)

1011 Produtos parciais0000 Obs.: se o bit multiplicador é 1,

1011 copia-se o multiplicando;1011 do contrário: zero10001111 Produto (143 decimal)Obs.: requer resultado de tamanho duplo

Multiplicação binária não-sinalizada

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Algoritmo direto

Execução de um exemplo

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Multiplicação de números negativos

Algoritmo direto (anterior) não funcionase um dos dois números for negativo

Solução 1converter para positivo, se necessáriomultiplicar como acimase os sinais forem diferentes, negar a resposta

Solução 2Algoritmo de Booth

Algoritmo de Booth

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Exemplo 7*3 (algoritmo de Booth)

Exercício

Calcule o resultado de 0101 * 1010 (em complemento de dois) usando o algoritmo de Booth

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Solução

Proxima aula

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Divisão

Mais complexa que a multiplicaçãoPior para números negativosBaseado na operação com “lápis e papel”

Divisão de números inteiros não sinalizados

001111

1011

00001101

100100111011

0011101011

1011100

Quociente

Dividendo

Resto

RestosParciais

Divisor

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Números reais

Números com fraçõesPoderiam ser repres. em binário puro

1001,1010 = 23 + 20 + 2-1 + 2-3 = 9,625Onde fica o ponto binário?Fixo?

muito limitadoMóvel?

como mostrar onde ele está?

Ponto Flutuante

+/- 0,mantissa X 2expoente

O ponto é fixado entre o bit de sinal e o corpo da mantissaO expoente indica a posição (relativa) do ponto

Bit

sina

l

ExpoentePolarizado

Mantissa

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Exemplos de números de ponto flutuante

Ponto flutuante

Mantissa é armazenada em complemento de 2O Expoente fica em notação polarizada

Ex Excesso (viés) 128 significa8 bit para campo de expoenteValores puros entre 0-255Subtraia 128 para obter o valor coretoIntervalo entre –128 +128

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Normalização

Números PF são normalmente normalizadosI.e. o expoente é ajustado de talforma que o primeiro bit seja 1Como é sempre 1 não precisa ser armazenado (Ex. notação científicaEx 3.123 x 103

Intervalos para PF

Para número mde 32 bits8 bits de expoente+- 2256 ~ 1,5 x 1077

PrecisãoO efeito de alterar o bit menos significativo da mantissaMantissa de 32 bits 2-23 ~1.2 x 10-7

Cerca de 6 casas decimais

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Números representáveis

IEEE 754

Padrão para armazenamento de ponto flutuantePadrões pra 32 e 64 bits8 e 11 bits de expoenteFormatos estendidos (tanto para mantissa e expoente) para valores intermediários

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Aritmética PF +/-

Verifica zerosAlinha termos (ajuste de expoentes)Adiciona ou subtrai termosNormaliza resultados

Aritmética PF x/∏

Verifica zerosSoma/subtrai expoentesMultiplica/divide termos (verifica sinais)NormalizaArredondaTodos os valores intermediários devem estar em armazenamento de espaço duplo

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Multiplicação em ponto flutuante

Divisão em ponto flutuante

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Referências

Capítulo 8

IEEE 754 no site do IEEE