"A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo"Galileu GalileiIME2

01

8

h

V

A figura acima mostra esquematicamente um tipo de experimento realizado em um túnel de vento com um tubo de Pitot, utilizado para medir a velocidade v do ar que escoa no túnel de vento. Para isso, a diferença de nível h entre as colunas do líquido é registrada. Em um dia frio, o experimento foi realizado e foi obtido o valor de 10,00 cm para a diferença de nível h. Em um dia quente, o experimento foi repetido e foi obtido o valor de 10,05 cm para a diferença de nível h. Determine: a) o valor do coeficiente de dilatação volumétrica do líquido no interior do tubo, sabendo que a variação de

temperatura entre o dia quente e o dia frio foi de 25 K; b) a velocidade do ar v.

Dados: • a massa específica do líquido é 1.000 vezes maior que a massa específica do ar no dia frio; e • aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.

Considerações: • a velocidade do ar no túnel de vento foi a mesma nos dois experimentos; • a massa específica do ar foi a mesma nos dois experimentos; • a aceleração da gravidade foi a mesma nos dois experimentos; e • despreze a dilatação térmica da estrutura do tubo de Pitot. Resolução:

a) Desprezando a dilatação térmica da estrutura do tubo conforme mencionado, podemos considerar sua área de seção transversal constante durante o aquecimento. Desta forma:

0 1V V

0 1A h A h

10,05 10,00 1 25

0,05 250

4 10,052 10 ºC

250

Q u e s t ã o 0 1

2

b) Dado o tubo de Pitot e aplicando a Equação de Bernoulli nos pontos A e B, temos:

h

V

h´

AB

�ar

y = yA B

0referencial

�L

C D

P + g y + V = P + g y + VA AR A AR A B AR B AR B� � � �2 2

2 2

( )y = yA B

Logo: 2

2 2

2B AAR A

A B AAR

P PvP P v

Sabendo que as pressões em C e D são iguais, as pressões em A e B são dadas por:

'

'C AR A

D AR B

P g h g h P

P g h h P

B A L AR L ARP P gh gh gh

Logo:

2 L ARA

AR

ghv

Substituindo os valores e sabendo que L AR

2 10 0,10 1000 ARAR

AR

v v

20 5 44,72 m/sv

Uma partícula carregada tem sua posição no sistema de eixos XY regida pelas seguintes equações temporais, que expressam, em metros, as coordenadas X e Y da partícula em função do tempo t:

( ) cos ( ) sen ( )2 21X t t t

( ) sen ( )22 2Y t t

Determine: a) a equação de uma curva que contenha a trajetória da partícula; b) o comprimento da curva formada por todos os pontos por onde a partícula passa; c) o tempo mínimo gasto pela partícula para trafegar por todos os pontos da curva do item anterior; d) as coordenadas de dois pontos nos quais a velocidade da partícula é nula; e) o gráfico do módulo da força elétrica sofrida por uma segunda partícula de mesma carga, fixada na origem, em

função do tempo; f) o gráfico da função Q do vetor força magnética Fm à qual estaria submetida a partícula, caso houvesse um campo

magnético positivo e paralelo ao eixo Z, ortogonal ao plano XY , onde:

, se fase de

,se fase de( )

,se fase de

, fase de

m

m

m

m

m

F

FQ F

F

se F

1 02

22

33

23

4 22

Q u e s t ã o 0 2 Q u e s t ã o 0 2

3

Dados: carga da partícula: + 4 × 10-4 C; e

constante de Coulomb: 9 × 109 Nm

C

2

2

Resolução: a)

2 2

2

2 2

2 2

( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 cos(2 )

( ) 2 2sen ( ) 2 1 cos(2 ) 3 cos(2 )

1 cos(2 ) 3 cos(2 )

4 circunferência

x t t t t

y t t t t

x y t t

x y

b) Comprimento ( )

y

x

45°

2

1 1

0 2 2 2 28 8

2 22

x R

y m

c) Início:

min

0( 2)

(0) 1 cos(0) 1 1 2

(0) 3 cos(0) 2

Próximo instante:(x =0;y= 2)

x(t)=0 e y(t)= 2

x:0= 1 cos(2 ) 0 1 cos(2 ) cos(2 ) 1 cos(2 ) cos( )2

t x y

x

y

t t t t K t s

d) Em “x”: 1 1

2 2

12

12 2

1( ) ( ) (1 cos(2 ) (1 cos(2 ) ( 2 (2 ))

2

( ) 0 (1 cos(2 )) ( (2 )) 0

(1 2cos ( ) 1) (2 ) 0

(2 )0

cos( )

0

x

x

d dV t x t t t sen t

dt dt

V t t sen t

t sen t

sen t

t

sent t K s

Em “y”: 1 1

2 21

( ) ( ) (3 cos(2 )) (3 cos(2 )) 2 (2 )2

(2 ) 0 ( )

2

d dVy t y t t t sen t

dt dtsen t sen K

Kt s

A velocidade em “x” e em “y” será igual a zero em 1 20 e .t t s

1 2 2

2 2

( 2 , 2) 1 cos(2 ) 3 cos(2 )

2 2

P x y

x y

Não há dois pontos de velocidade zero, de acordo com as equações trigonométricas. Apenas um: ( 2 , 2)P

4

e) 2

2é o módulo da força Elétrica.e

KQF

d

9 4 2 9 8

2

9 10 (4 10 ) 9 10 16 10360

2 4e eF F N

Fe (N)

360

t f)

4

3

2

1

� �2

��2

��

Q(Fm)

Lhastes

projétil

d

barra

h

x

Um pêndulo balístico é formado por uma barra uniforme de massa M e comprimento d. As duas hastes que suspendem a barra são idênticas, de comprimento L e massa específica µ constante. a) Sabendo que um projétil de massa m atinge a barra e ambos sobem de uma altura h, determine a velocidade do

projétil; b) Após o pêndulo atingir o repouso, as hastes recebem petelecos simultaneamente em seus centros, passando a vibrar

em suas frequências fundamentais, produzindo uma frequência de batimento f bat . Determine a penetração horizontal x do projétil na barra, em função das demais grandezas fornecidas

Dado: aceleração da gravidade: g Consideração: a massa das hastes é desprezível em comparação com as massas da barra e a do projétil. Resolução: a)

L

d

h

Fazendo a conservação da energia imediatamente após o choque, determinamos a velocidade com que o conjunto começa a se deslocar.

Q u e s t ã o 0 3

5

0

2

2

2

fm m

c

c

E E

vm m m m g h

v g h

Fazendo a conservação da quantidade de movimento imediatamente antes e depois do choque, temos:

0 f

p c

Q Q

m v m m v

2

p c

p

m mv v

mm m

v g hm

b) Sabendo que o projétil penetra uma distância x na barra, ele altera a posição do centro de massa do sistema, gerando uma

assimetria e consequentemente diferentes trações nas hastes.

Mg

T1 T2

o

mg

x

Pelo equilíbrio das forças, temos: 1 2 g gT T m M m M g

Como o torque resultante é nulo, logo:

Mg

T1 T2

o

mg

(+)

2 02

dmgx Mg T d

2 2

22

dmx m mgx MT g T

d d

(II)

Substituindo (II) em (I)

1 2

mgx MT m M g

d

1 2

Mg mgxT mg

d

Utilizando a Equação de Taylor e sabendo que ambas as hastes vibram no 1º harmônico, temos:

1 1 11 1 1 12

T T Tv f L f

11

1

2

Tf

L

Analogamente

22

1

2

Tf

L

6

Sabendo que a frequência de batimento é dada por:

1 2 1 2 1 2

1 21 2

2 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

2 21 2

222 21 2

4 4 2

| | como : pois

1

2

(2 )

4 2 ( )

4 ( ) 2

4 ( ) 2

16 8

bat

bat

bat

bat

bat

bat

bat bat

f f f f f T T

T Tf f f

L

f L T T

f L T T T T T T M m g

f L M m g T T

f L M m g T T

f L f

2 2 2 2

1 2( ) 4 ( )L M m g T T M m g

O produto de T1 por T2 é:

1 2

2 2 2 2 2 2 2

1 2 2

2 21 2

2 2 2 2 22 2 2 2

1 2 2

2 2

2 4

Assim o termo 4 ( ) será:

44 ( ) 4

Mg mgx mgx MgT T mg

d d

m g x m g x Mmg MgT T

d d

T T M m g

m g x m g xT T M m g m g

d d

A equação completa fica

2 2 2 2 22 2 4 4 2 2 2

2

4 4 2 22 2 4 4 2 2 2

2 22 2

2 2

2

2 24 4 2 2 2

2

2 2

2

4 4(16 8 ( ) ) 0

16 44 16 8 ( )

4

42

1616 8 ( )

82

2

2

bat bat

bat bat

bat bat

bat

m g x m g xm g f L f L M m g

d d

m g m gm g f L f L M m g

d dm gx

d m g

d

m gf L f L M m g

d dxm g

d

fdx

2 2 4 4 2

2 2 2

( ) 4

Por fim:

2 ( ) 42

bat

bat bat

L M m g f Lmg

d

d dx f L M m g f L

mg

r

motor

�

r

r

3r

4r

r3r

rr

4rr

R

m m

mm

60° 60°

Felástica

Q u e s t ã o 0 4

7

A figura anterior mostra um dispositivo composto por um motor elétrico, cujo eixo se encontra ligado a uma polia ideal de raio R, solidária a uma segunda polia de raio r , sem deslizamento. Solidário ao segundo eixo há um disco rígido metálico de raio r . Em duas extremidades opostas desse disco, foram fixados dois pêndulos compostos idênticos, com fios ideais e esferas homogêneas, de massa m. Existe um fio extensível ligando as esferas inferiores, provendo uma força elástica Felástica que as mantém na configuração mostrada na figura. Determine, em função de g, m, r e R: a) a velocidade angular ω do motor elétrico; b) a força elástica Felástica do fio extensível. Dado: aceleração da gravidade: g

Resolução:

a) Esfera Superior:

x

T2

P

T1

y

60° 60°

2r

4r T mg T1 2 �� �sen60° = + sen60

T T m w r1 2� �cos60° – cos60° = ( *) 32

I

II

Esfera inferior:

x

P

T2y

60° 60°

5r

10r

Eixo :g

T mg2 � sen (60°) =

T2 �

Felástica

3

2

= mg

T2 =3

3

2 mg

(1.)

1 1

1

3 2 3 3 32

2 3 2 2

4 3

3

T mg mg T mg

T mg

(2.)

2

2

4 3 1 2 3 1( *) 3

3 2 3 2

32 3 3( *) 2 *

3 3 9

3Velocidade lineares iguais: *

3

mg mg m w r

gw r g g w

r

rw r w R w g

R r

b) Bola inferior, eixo horizontal:

22 cos60 * 6

32 3 16

3 2 9

3 2 3

3 3

3

3

oelást

elást

elást

elást

T F mw r

gmg F m r

r

mg F mg

F mg

8

d

Fontesonora

observadorh

Como mostra a figura, uma fonte sonora com uma frequência de 400 Hz é liberada em velocidade inicial nula, escorrega com atrito desprezível em um plano inclinado e passa a se mover em uma superfície horizontal, também com atrito desprezível. Diante do exposto, determine: a) a altura inicial h da fonte em relação à superfície horizontal, em função dos demais parâmetros; b) o tempo decorrido, em segundos, entre o instante em que a fonte é liberada e o instante em que a fonte passa pelo

observador. Dados: • frequência ouvida pelo observador quando a fonte sonora passa por ele: 420 Hz; • ângulo entre o plano inclinado e a superfície horizontal: = 30 º; • distância entre o observador e a base do plano inclinado: d = 4 m; • velocidade do som: 340 m/s;

• aceleração da gravidade: 2

10 ;m

gs

• 13 3,6; e

• 5 2,2. Resolução: a) * Efeito Doppler para o cálculo da velocidade final da fonte:

0 00 0

0

( )

( )

( )

ff f

f

V V V ff f f f V V V

V V V V f

f fV V

f

* Como não há trabalho de forças não conservativas, podemos conservar a energia mecânica do sistema: 2 2 2

20

22

2

( )2 2 2

340 420 400( )

2.10 420

1 5.78017.340

21 441

f fmi mf pg c

g g

m V V V f fE E E E mgh h h

f

h

h h m

b) * 1ª Parte (MUV):

01 1

1

1 1

30 ( )sen30

340 420 400( )

1 42010220 68

68420 21

of o

V f fa g sen V a t t

g f

t

t t s

* 2ª Parte (MU):

2 22 0

2

1 2

4 420( )

340 20

21

85

68 213,48

21 85

f

total

total total

d d fV t t

t V f f

t s

t t t

t t s

Q u e s t ã o 0 5

9

Durante um turno de 8 horas, uma fábrica armazena 200 kg de um rejeito na fase vapor para que posteriormente seja liquefeito e estocado para descarte seguro. De modo a promover uma melhor eficiência energética da empresa, um inventor propõe o seguinte esquema: a energia proveniente do processo de liquefação pode ser empregada em uma máquina térmica que opera em um ciclo termodinâmico de tal forma que uma bomba industrial de potência 6,4 HP seja acionada continuamente 8 horas por dia. Por meio de uma análise termodinâmica, determine se a proposta do inventor é viável, tomando como base os dados abaixo.

Dados:

• calor latente do rejeito: kJ

2.160kg

;

• temperatura do rejeito antes de ser liquefeito: 127º C; • temperatura do ambiente onde a máquina térmica opera: 27º C; • rendimento da máquina térmica: 80% do máximo teórico; • perdas associadas ao processo de acionamento da bomba: 20 %; e • 1 HP = 3/4 kW. Resolução: A quantidade de calor que pode ser extraída dos 200 kg de vapor é dada por:

1 200 2160 432 000 kJQ m L

O rendimento da máquina térmica que irá processar essa energia será dada por: 0,8 carnot

3000,8 1 0,8 1

400f

q

T

T

10,8 0,2 20%

4

Representação:

W

Q2

Q1

M

1W 0,2 0,2 432 000 86 400 kJQ

Sabendo que 20% dessa energia é perdida no processo de acionamento, a energia entregue na bomba será

0,8 86 400 69 120 kJBE

Para um funcionamento de 8 h, temos: 369 120 10

2400 W8 60 60

BEPot

t

Essa potência em HP será:

HP

2 4003,2 HP

750Pot

Desta forma a proposta do inventor não é viável, pois são entregues à bomba apenas 50% da potência necessária para seu funcionamento.

4 m

4 m 4 m

G

A

2 m

E

DC

20 kN

2 m

2 m

F

B

10 kN 30 kN

Q u e s t ã o 0 6

Q u e s t ã o 0 7

10

A figura anterior mostra uma estrutura em equilíbrio formada por onze barras. Todas as barras têm peso desprezível. O apoio A impede deslocamentos nas direções horizontal e vertical, enquanto o apoio B somente impede deslocamentos na direção vertical. Nos pontos C e D há cargas concentradas verticais e no ponto F é aplicada uma carga horizontal. Determine os valores das forças, em kN, a que estão submetidas as barras BG e EG.

Dados: • 2 1,4; e

• 5 2,2. Resolução: Condição para isostática: 2

2 7 11 3 !

0 20 2 30 4 8 20kN

0 20 kN

0 10 30 40 20 20 kN

A B B

x A

y A B A A

N B R

OK

V V

F H

F V V V V

Nó F:

NFE 20

NFB 0 20 kN

0 20

x FE

y FB

F N T

F N

Nó B:

NBE

VB

NBF

NBA2 1 2

cos sen4 16 5 5

0 cos 0 20 5cos

By BE BF B BE

VF N N V N

20 5 kNBEN T

20 sen 0 20 5 0

5x BE BG BGF N N N

BGN =40 kN Tração

Nó D:

NDC

30 kN

NDE

0 0

0 30 kN C

x DC

y DE

F N

F N

Nó E:

NED = –30

NEC

NEF = 20

NEG

NEB = –20 5

0 sen senx EC EF EBF N N N

2 220 20 5 20

5 5ECN

10 5 22 kNEC ECN N C

11

0 cos cosy EC ED EG EBF N N N N

1 110 5 30 20 5

5 5EGN

40 20 EGN

20 k NEGN C

Resposta: : 40 k N TraçãoBG

: 20 k N CompressãoEG

Determine a energia total armazenada pelos capacitores do circuito infinito da figura abaixo.

2 /3R

2 /3R

R R

RR

2 /3R

2 /3R

R R

RR

2 /3R

2 /3R

R R

RR

A C

DB

C C C

Infinitasrepetições

U+

–

Dados: • R = 3 • U = 8 V • C = 1 F Resolução: Faremos transformações delta-estrela:

A C2 /3R

RR

R/4

3R/8

R/4CA

Até o capacitor entre C e D, temos:

R/4

R/4

CU+

–

R/4

R/4

3R8

3R8

Considerando x, a resistência equivalente total, temos:

R/4

R/4

x

R/4

R/4

3R4

x

Q u e s t ã o 0 8

12

2 22

3

4 234 44 2

5 3

2 4 4 2

5 5 3 3

4 2 8 4 8

R Rx

R Rx

R Rx

R R R Rx x x

R R R R Rx x x x

x R

Podemos analisar o circuito total onde as tensões V1, V2, ... são aquelas medidas nos terminais dos capacitores de capacitância C.

R/4

R/4

R/4

R/4

R/4

R/4

U+

–

R/4

R/4

3 /4R

+

–

+

–

V23 /4RV1 R

Para V1, temos:

1

1

3

3

Ui

Ri

V R

UV

Podemos escrever então:

12

23

3 9

3

V UV

VV

As tensões nos capacitores estão em P . G infinita.

A energia total nos capacitores será:

2 21 2

2

2

2

Soma de P.G infinita

...2

912 19

2 8

1 8

2 84

total

total

total

total

total

CE V V

UC

E

C UE

E

E J

13

R = 2�

Figura 1

40 c

m

200

–200

r t

[ ]volts

Figura 2

Fontede

tensão

Materialferromagnético

A Figura 1 mostra um material ferromagnético envolto por um solenoide, ao qual é aplicado o pulso de tensão senoidal de duração T, conforme mostrado na Figura 2. O pulso produz um aquecimento no material ferromagnético, cuja energia, em joules, é dada por:

140( )máxBE

T 2

onde: • energia de aquecimento: E • duração do pulso de tensão senoidal aplicado ao solenóide: T; • densidade máxima do fluxo magnético: Bmáx.

A energia proveniente do aquecimento do material ferromagnético é usada para aquecer 15 L de água de 20 ºC para 100 ºC, sendo que o rendimento desse processo de transferência de calor é 90%. De acordo com os dados do problema, determine: a) a densidade máxima do fluxo magnético Bmáx; b) a energia produzida no aquecimento do material ferromagnético E; c) a duração do pulso de tensão senoidal T. Dados: • comprimento do solenoide: 40 cm; • número de espiras do solenoide: 2.000 espiras;

calor específico da água: o

cal

g C1 ;

1 cal = 4,2 J; e

permeabilidade magnética do material ferromagnético: 20 x 10–7

.

W b

A m.

Considerações: • o comprimento do solenoide é consideravelmente maior que seu raio interno; e • despreze o efeito indutivo do solenoide. Resolução: a) R . imáx = Vmáx

2 . imáx = 200 imáx = 100 A

Bmáx = femag N

Limáx

Bmáx = 7 3 2

2

20 10 2 10 10

40 10

Bmáx =1T

b) Qágua = mÁgua . cÁgua . Qágua =15 . 4,2 .103 . 80 Qágua =5040 kJ

térmico = águaQ

E

0,9 = 5040

E

E = 5600 kJ

c) E = 140 . 2( )máxB

T

3 2

4 2

15600 10 140 ( )

14 10 ( )

15

200

T

T

T ms

Q u e s t ã o 0 9

14

1km

1km

1km

Planeta n0 n1 n2RP=

6.3

70km

raio luminoso

1km

espaço

nk

60°

A atmosfera densa de um planeta hipotético tem um índice de refração dependente das condições meteorológicas do local, tais como pressão, temperatura e umidade. Considere um modelo no qual a região da atmosfera é formada por k +1 camadas de índice de refração diferentes, n 0, n 1, ..., n k, de 1 km de altura cada, onde o índice de refração decai 10% a cada quilômetro de aumento na altitude. Considerando somente os efeitos da reflexão e da refração na atmosfera, se um raio luminoso, proveniente de um laser muito potente for disparado da superfície do planeta, formando um ângulo de 60º com a tangente à superfície, verifique se esse raio alcançará o espaço, e, em caso negativo, determine qual será a altitude máxima alcançada pelo raio. Dados: • o planeta é esférico com raio RP = 6.370 km; • log10(9) = 0,95 e log10(2) = 0,3; e • k = 9. Resolução: Para a refração do raio nas diferentes camadas, temos:

o

0 1 1

1 1 2 2

2 2 1 1

90

0 1

0 1

10 0

1

sen30 sen

sen sen

sen sen

sen30 sen90

11

21

(0,9) 12

2 (0,9)

log 2 (1 ) log9 log10

0,3 (1 ) (0,95 1)

0,3 ( 1) 0,05 7

o

x x x x

o ox

x

x

x

N N

N N

N N

N N

N N

N N

x

x

x x

Portanto, o raio não alcançará o espaço e a máxima altitude alcançada pelo raio será de 7 km.

Q u e s t ã o 1 0

15

16

Física Anderson Bernadelli

Igor Moisés

Paulo Wang

Colaboradores Aline Alkmin Cirillo Sales

Digitação e Diagramação Kleuber Umberto Márcia Santana

Revisor Celso Faria

Desenhista Rodrigo Ramos

Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro

Supervisão Editorial Aline Alkmin

Rodrigo Bernadelli

Copyright©Olimpo2014

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