Artigo de Carlos Almada: Aplicações composicionais de um modelo analítico

7/24/2019 Artigo de Carlos Almada: Aplicaes composicionais de um modelo analtico.

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ALMADA, Carlos de Lemos. Aplicaes composicionais de um modelo analtico para variaoprogressiva e Grundgestalt.Opus, Porto Alegre, v. 18, n. 1, p. 127-152, jun. 2012.

O presente artigo desenvolve o trabalho apresentado no XXII Congresso da Associao Nacional dePesquisa e Ps-Graduao em Msica, ANPPOM, sob o ttulo Um modelo analtico para variaoprogressiva e Grundgestalt (ALMADA, 2012a: 2244-2251). Aos dados apresentados naquela ocasioforam acrescentadas aqui novas ramificaes da pesquisa, que incluem aplicaes em composio

musical.

Aplicaes composicionais de um modelo analticopara variao progressiva e Grundgestalt

Carlos de Lemos Almada (UFRJ)

Resumo: Este artigo apresenta aplicaes em composio musical e novas ramificaes dapesquisa que tem como objetivo expor conceitos, terminologia, simbologia e recursos grficoscriados para um modelo analtico especialmente dedicado aos princpios da variaoprogressiva e da Grundgestalt. Tal modelo vem sendo aplicado como metodologia central dediversos estudos analticos sobre o assunto, integrando um projeto de pesquisa abrangente emandamento. As abordagens especficas desses estudos tm contribudo decisivamente para aampliao do escopo do modelo e o aperfeioamento de diversos de seus elementos.

Palavras-chave: Variao progressiva. Grundgestalt. Anlise musical.

Title: Compositional applications of an analytic model to developing variation and Grundgestalt

Abstract: This paper presents applications to music composition and new lines of researchaimed at addressing concepts, terminology, symbology and graphic resources developed for ananalytical model specifically dedicated to the principles of Grundgestaltand developing variation.While being part of an extensive ongoing research project, such a model is being used as aprimary method for several analytical studies on the subject. The particular approaches tothese studies have decisively contributed to broadening the scope of the model and perfectingseveral of its elements.

Keywords: Developing Variation. Grundgestalt. Musical Analysis.


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ste artigo apresenta um novo modelo analtico dedicado especificamente aosprincpios da variao progressiva e da Grundgestalt, que vem sendo desenvolvido etestado em estudos complementares sobre o assunto, integrando um amplo

projeto de pesquisa. A despeito de ser um trabalho em construo, diversos de seuselementos ligados aos aspectos de terminologia, simbologia, tipologia e, especialmente,recursos grficos j se encontram consideravelmente consolidados, a partir deaperfeioamentos e refinamentos graduais do modelo.

Consideraes bsicas sobre os conceitos de Grundgestalte variao progressiva

O princpio da variao progressiva (developing variation), originalmente elaboradopor Arnold Schoenberg, descreve essencialmente o conjunto de procedimentos

composicionais empregados na contnua transformao de uma forma primordial (ouGrundgestalt, segundo a terminologia schoenberguiana), originada da Ideia (die Idee), umaespcie de anteviso pelo compositor de uma pea completa. A Grundgestalt, tal como umasemente, conteria implicitamente, ao menos no caso idealizado, todo o contedo da pea aser composta. A partir dessa forma arquetpica seriam, assim, derivados motivos, temas emesmo materiais subordinados e contrastantes. Tal processo de crescimento orgnico que,em suma, consiste em variaes sobre variaes, capaz de gerar linhagensconsideravelmente extensas e complexas, incluindo formas hbridas (que, por sua vez,

frequentemente tornam-se base para novas variaes). Embora tenha sido formuladoteoricamente por Schoenberg apenas a partir de 1919 (EMBRY, 2007: 25), o conceito deGrundgestaltcertamente j existia em seu pensamento em pocas bem mais remotas, comodemonstra a prpria produo musical de sua fase tonal. Tal conceito tem comofundamento filosfico a corrente do Organicismo, surgida no sc. XIX (cujas razesassociam-se ao pensamento de Goethe e Darwin)1.

Ambos os princpios foram concebidos e desenvolvidos por Schoenberg a partirde anlises de obras de seus reconhecidos mestres, entre outros, Bach, Mozart, Beethovene, especialmente, Brahms, a quem deve o aperfeioamento de vrias das tcnicas deelaborao em sua prpria msica2. Os diversos desdobramentos relacionados variao

1Para Organicismo e a influncia das descobertas de Darwin sobre a msica romntica, ver Meyer(1989: 189-96). Para o papel de Goethe na elaborao do conceito de Grundgestaltpor Schoenberg,ver Burts (2004: 7-9) e Martinez (2009).2Para destacar a importncia do tratamento derivativo de Brahms, Schoenberg apresentou na RdioFrankfurt, em 1933, uma palestra intitulada Brahms, o progressivo, que seria transformada em um ensaiode mesmo ttulo, publicado em 1950 na coletnea Style and idea(SCHOENBERG, 1984: 398-441). Paraoutros trabalhos mais recentes sobre variao progressiva e Grundgestaltna msica de Brahms, ver

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progressiva e Grundgestalt tm merecido considervel ateno nas ltimas dcadas eapresentam-se como objeto principal de vrios estudos acadmicos (ver, p.ex.,CARPENTER, 1983; FRISCH, 1984; DAHLHAUS, 1990; BOSS, 1992; HAIMO, 1996 e

1997; DUDEQUE, 2005 e 2007).Uma Grundgestalt pode se apresentar, nos casos mais simples, como um bloco

monoltico - uma nica ideia indivisvel - ou como uma conjuno de componentes distintos.Pode ser ainda um elemento musical concreto (como o que convencionalmente definidocomo um motivo) ou ser decomposta em abstraes (uma configurao rtmica, umconjunto de classes de alturas, um acorde etc.) que passam a ser individualmente tratadascomo elementos bsicos potenciais para derivao. Um dos principais objetivos da presentepesquisa tornar o modelo de anlise suficientemente flexvel para abranger as maisdiferentes possibilidades de Grundgestalten.

Apresentao do modelo analtico de Grundgestalt/variao progressiva

Este artigo tem como objetivo primordial resumir e apresentar os principaiselementos constituintes desse modelo analtico, levando em conta os vriosaperfeioamentos e refinamentos realizados no decorrer de alguns estudos j realizados(ver suas descries sucintas mais adiante), bem como expor as mais recentes ramificaesdo projeto.

Conceitos, terminologia e simbologia

Alguns novos conceitos, com suas respectivas terminologias e simbologias, foramespecialmente elaborados para a efetivao do modelo:

Grundgestalten-componentes. So os segmentos constituintes de uma Grundgestaltcomposta. So designados em anlise por letras maisculas em ordem alfabtica, emnegrito: A, B, Cetc.;

Frisch (1984), Burts (2004) e Embry (2007). tambm bastante ilustrativa a anlise que Schoenberg fazdo primeiro movimento do Quarteto de cordasK 465 de Mozart, sob o aspecto da variao progressiva(SCHOENBERG, 2006: 53-60), obra tambm analisada por Norton Dudeque sob a mesmaperspectiva derivativa (DUDEQUE, 2003).


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Domnios.Correspondem a aspectos musicais presentes em uma Grundgestalt(simples oucomposta) passveis de processo de abstrao (ver abaixo). Podem pertencer s seguintescategorias: contorno meldico (ctm), contorno intervalar (cti), contorno rtmico (ctr),

conjunto de classes de alturas (pcs, para pitch class set) ou acorde (ac). So tambmexplicitadas na anlise atravs de alguns sinais grficos:

, indicando sequncia ordenada de elementos (para os trs tipos decontornos, ctm, cti e ctr). Os elementos constituintes podem ser classes dealturas (p.ex., , tomado como unidade um semitom), em ctms; intervalos(, com unidade semitom e sendo os sinais + e - relacionados sdirees, respectivamente, ascendente e descendente), em cti s; ou duraesrtmicas (, unidade: semicolcheia), em ctrs3;

(...), referindo-se a conjunto no ordenado de classes de alturas (pcs, comoabreviatura depitch class set), p.ex., (016)4;

[.../.../...], denota simultaneidade de classes intervalares, formando um acorde (ac).Por conveno, considera-se para a notao o sentido grave-agudo (p.ex., [2/4/3],representando um acorde de dominante com stima no baixo);

Grundgestalten-abstraes (GGs)5. Referentes s Grundgestalten-componentes (ou a

uma Grundgestaltsimples, como um todo), correspondem a abstraes em relao a algumdos domnios musicais acima apresentados. So identificadas pela frmula: I[j], onde Irepresenta a Grundgestalt-componente de referncia ejo domnio abstrado (p.ex.: A[ctr],B[pcs], C[ac] etc.). As GGs so as unidades que formam as bases para o processoderivativo.

Grundgestalten-intermedirias (ggs). Derivam de GGs, atravs de processos devariao progressiva. Como suas origens, so tambm abstraes de domnios musicais,

porm, de alguma maneira, transformadas. Notao: i-n[j], em que iindica o parentesco de

3Simbologia adaptada quela proposta por Rahn (1980). A esse respeito, ver tambm Boss (1992).4Para a identificao de conjuntos de classes de alturas, ver Straus (2005: 57-58).5 uma premissa essencial do modelo considerar que, enquanto que os eventos musicais reais sedesenrolam diacronicamente no plano concreto (ou superfcie musical), todo o trabalho derivativo ede gerao de formas aconteceria numa espcie de universo paralelo, atemporal, o plano abstrato. neste plano que se processa a maior parte do trabalho analtico. Em uma nomenclatura alternativa, nopor acaso mais prxima do jargo gentico, os planos concreto e abstrato poderiam ser identificados,respectivamente, como fenotpico e genotpico.


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derivao entre gg e GG,jo domnio abstrado, com nrepresentando o nmero de ordemda variante em relao ao referencial. P.ex., as ggs a-1[cti] e a-2[cti] so formas distintas,porm derivadas de uma mesma GG, A[cti]6;

Formas concretas.So realizaes obtidas por intermdio de combinao entre formasabstratas, sendo uma delas sempre associada a um contorno rtmico, original ou variante(considera-se o fato de que uma configurao rtmica , por excelncia, o elemento quepossibilita a concretizao da combinao). As abstraes podem ser provenientes demesmo nvel hierrquico (GG/GG ou gg/gg) ou de nveis distintos (GG/gg), ou seja, no sonecessariamente provenientes das mesmas geraes. Quando uma forma concreta obtidaa partir de recombinaes de duas ou mais abstraes oriundas de uma mesma fonte (p.ex.,

A), denominada pura7

. No caso de as abstraes terem fontes distintas (p.ex., Ae B), oresultado uma forma hbrida. As formas concretas (sejam puras ou hbridas) tornam-seelementos passveis de novas abstraes/derivaes;

Formas fenotpicas.So tipos especficos de formas concretas, resultantes de processoscomposicionais idiossincrticos, caracteristicamente superficiais, portanto no relacionadosa transformaes de abstraes oriundas da linhagem da Grundgestalt(estas consideradas,em oposio, como genotpicas).8 A partir do momento em que surgem, as formas

6 Como se constatar mais adiante, o nmero de ordem eventualmente acompanhado porramificaes numricas (separadas por pontos), que indicam precisamente a gerao qual pertence aforma derivada.7Este tipo de forma concreta corresponde aproximadamente ao que Schoenberg denomina formas-motivo (motive-forms), isto , estruturas derivadas da Grundgestalt, que se mostram aptas parapromover o desenvolvimento da ideia bsica dentro do crescimento orgnico de uma pea (cf.SCHOENBERG, 1991: 36).8Outra maneira de defini-la seria considerar que as origens da forma fenotpica no so produzidas noplano abstrato, ao contrrio do que acontece com as demais formas concretas. importante ressaltar,ainda, que a distino aqui considerada entre formas fenotpicas e genotpicas no correspondeexatamente s definies empregadas no campo da Gentica, da qual deriva a presente terminologia.Na acepo original, um fentipo pode ser considerado como a realizao de uma instruo presenteno cdigo gentico de um determinado ser (por exemplo, olhos vermelhos em uma mosca-das-frutas).No caso do modelo aqui descrito, uma forma fenotpica seria qualquer elemento externoe, portanto,independente dos desdobramentos da Grundgestalt(ou seja, as formas genotpicas, por oposio) que inserido no plano concreto da pea em um dado momento. Como ser apresentado, a partir dessainsero, o elemento fenotpico pode ser incorporado ao processo derivativo, a partir da abstrao deseus componentes (que se tornam, assim, potenciais matrizes para a produo de variantes), passandoa fazer parte do genoma da composio.


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fenotpicas podem exercer um papel de relativo destaque dentro de uma composio,frequentemente servindo de base para procedimentos de variao progressiva (viaabstrao de seus componentes) e mesmo para novas combinaes (por hibridismo) com

formas genotpicas.9

Na notao analtica, as formas fenotpicas diferenciam-se das GGspela posio no alfabeto das letras empregadas em sua identificao: X, Y, ZeW. A partirdo momento em que se instala na superfcie musical, uma forma fenotpica passa a ter omesmo status de uma forma concreta genotpica (pura ou hbrida), tornando-se assimdisponvel para o processo derivativo. Em outros termos, pode ser decomposta e ter seusconstituintes abstrados para transformaes subsequentes;

Operaes de transformao.Atuam como espcies de funes que projetam uma

determinada forma abstrata matriz (GG ou gg) em uma forma variante, a partir de algumtipo de modificao estrutural associada ao domnio considerado. As operaes so osagentes dos processos de variao progressiva, sendo empregadas na produo do materialassociado genotipicamente Grundgestalt. Podem ser aplicadas como transformaesisoladas de uma determinada forma ou em cadeias, de maneira recursiva (i.e., a mesmaoperao sendo aplicada sucessivamente sobre as formas que vo sendo obtidas) ou aindacombinadas. Em uma clivagem mais bsica, as operaes distinguem-se em relao aodomnio de aplicao considerado (pcs, cti, ctm, ctr ou ac). At o ponto atual da pesquisa,cerca de trinta tipos de operaes foram identificados, sendo alguns deles apresentados na

Tab. 1.

9Um bom exemplo disso o que ocorre com a forma fenotpica Xna Sinfonia de Cmaraop. 9 deSchoenberg (ALMADA, 2011a). Mais detalhes so apresentados adiante neste artigo.


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Operao Domnio de atuao Descrio

Nome abrev ctm cti ctr ac pcs

Abstrao abs x x x x Extrai o contedo, de acordo com o domnioconsiderado.

Abstrao deconjunto

cnj x Abstrai de um ctm um conjunto noordenado.

Acrscimo acr x x x Introduz um novo elemento ao contorno, emqualquer posio.

Aglutinao agl x x x Combina duas ou mais formas distintas demesmo domnio, por justaposio ousuperposio, criando resultantes com,necessariamente, maior nmero de

elementos do que os das formascomponentes.

Aumentao aum x Dobra os valores dos elementos.

Complementaointervalar

cmp x Seleciona um elemento (ou mais de um) docontorno de origem e o substitui por seucomplemento (ou seja, sua diferena emrelao a 12 semitons).

Contraointervalar

con x Seleciona um elemento do contorno e osubstitui por um valor que lhe seja menor(normalmente, em um semitom).

Deslocamentomtrico

dsl x Retira o contorno de seu contexto mtricooriginal, inserindo-o em outro.

Diminuio dim x Divide pela metade os valores dos elementos.

Espelhamento esp x x x Cria uma imagem espelhada do contornooriginal.

Expanso intervalar exp x Seleciona um elemento do contorno e osubstitui por um valor que lhe seja maior.

Extrao ext x x Retira um ou mais elementos do contorno.

Horizontalizao hor x Transforma acorde (ac) em sequnciaintervalar ordenada (cti), a partir daorientao intervalar convencionada, nosentido grave-agudo.

Inverso inv x Multiplica cada elemento do contorno pelofator (-1).

(etc.)

Tab. 1:Listagem de algumas operaes de transformao.


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Fator de transformao (Ft). um valor numrico estabelecido entre 0,00 e 1,00 quemede a capacidade de uma operao de promover variao quando aplicada a uma formamatriz. O fator de transformao de uma operao uma grandeza inversamente

proporcional tal capacidade (ou seja, quanto mais profunda for a modificao provocada,menor o valor Ft da operao que lhe deu origem). De um modo geral, operaesaplicadas a contornos rtmicos resultam em transformaes de maior alcance em relao aoperaes semelhantes aplicadas a outros domnios10. Disto resulta o estabelecimento devalores Ftdiferenciados (um pouco menores para transformaes rtmicas). A necessidadede associar as operaes a valores especficos de Ft levou organizao de oito classespossveis de operaes, de acordo com os efeitos causados por suas aplicaes (que seapresentam na comparao de similaridade entre forma matriz e forma derivada). A Tab. 2define as oito classes estabelecidas, considerando os domnios de aplicao (sendo os

efeitos produzidos em elementos rtmicos mais acentuados do que os demais, comomencionado acima) e a presena de cinco parmetros: (1) identidade dos elementos (naordem original); (2) nmero de elementos; (3) orientao (para intervalos); (4) proporesdos elementos e (5) disposio (horizontal para contornos / vertical para acordes). Comose observa, a manuteno ou no desses parmetros influencia no estabelecimento dosfatores de transformao das operaes classificadas;

Classe Distino entre

matriz e variante

Domnio Ft Parmetros mantidos Exemplo

1 2 3 4 51 Nula (identidade) ctm 1,00 x x x x x (Repetio literal)

2 Muito leve cti 0,95 x x x x Transposio

3 Leve cti 0,85 x x x Inverso

4 Mediana ctr 0,80 x x x Aumentao

5 Pouco acentuada cti 0,75 x x x Expanso intervalar

ctm x x Verticalizao

ctm x x x Mudana de registro

6 Acentuada ctr 0,70 x x Extrao

7 Muito acentuada cti 0,65 x x Permutao

8 Remota ctr 0,60 x Permutao

Tab. 2:Classes de operaes de transformao.

10Isto corresponde ao senso comum que atribui maior importncia ao aspecto rtmico (em relaoaos demais) para o estabelecimento (e a identificao) de relaes de similaridade entre matriz evariante (ver, p.ex., SCHOENBERG, 1991). Recentemente, tal axioma quase intuitivo vem ganhandorespaldo cientfico a partir de testes empricos realizados em estudos sobre a cognio musical (paramenes a tais experimentos, ver MCADAMS; MATZKIN, 2001).


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Coeficiente de similaridade (Cs). um valor numrico, dentro dos mesmos limites dofator de transformao (entre 0,00 e 1,00), que deve ser associado a cada forma abstrata ouconcreta produzida (incluindo as Grundgestalten-abstraes e as formas fenotpicas)11. O

coeficiente de similaridade de uma determinada forma mede no apenas o grau deparentesco entre esta e a forma matriz que lhe deu origem, como as relaes com seusantecessores (que, em ltima instncia, podem ser rastreadas at a prpria Grundgestalt). Oclculo do Cs de uma forma abstrata derivada resulta do produto entre o Cs da formamatriz que lhe deu origem e o fator de transformao da operao aplicada. De um modogenrico:

Cs/a= Cs/Ax Ft/op, em que a uma forma derivada, Asua forma matriz e opuma operao12.

No caso de uma forma concreta pura, o clculo de seu C scorresponde mdiaaritmtica dos Css das formas abstratas combinadas que a constituem.Genericamente:

Cs/P= (Cs/a1+ Cs/a2+... Cs/an) / n, em que P uma forma concreta pura e a1, a2...anso as formas abstratas componentes.

Para formas concretas hbridas empregada a mesma frmula anterior, pormmultiplica-se o resultado por uma constante redutora (o fator de hibridismo), devalor 0,8. Isto corresponde intuio de que uma forma hbrida

necessariamente mais remota (em relao s origens) do que uma forma pura emcondies similares. Assim:

Cs/H= 0,8x (Cs/a1+ Cs/a2+... Cs/an) / n, em que H uma forma concreta hbridae a1, a2...anso as formas abstratas que a compem.

11Como fica evidente a seguir, considerando que o coeficiente de similaridade de uma forma concretadepende dos coeficientes das formas abstratas que a compem, o clculo do Csde de uma formafenotpica mostra-se como problemtico, j que, por definio, ela uma criao desvinculada do planoabstrato. Como soluo provisria para este problema, quando necessria, a atribuio de tal valor realizada de maneira subjetiva (por comparao com formas concretas normais), levando-se emconta as condies do contexto.12Por definio, o Csde uma Grundgestalt-abstrao tem valor mximo (1,00).


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Representao grfica

A anlise, dentro do modelo, emprega essencialmente recursos grficos queabrangem no apenas a identificao dos elementos referenciais e derivaes, como

tambm os processos envolvidos. So as seguintes as configuraes dos principaiscomponentes do modelo analtico:

Grundgestalt-abstrao (GG). representada por um retngulo branco em linha cheia. Novrtice superior esquerdo indicada a identificao da forma e, sob o lado inferior, aespecificao do de seu contedo (Fig. 1).

Fig. 1:Representao grfica de uma Grundgestalt-abstrao (GG).

Grundgestalt-intermediria (gg). Retngulo branco em linha tracejada. No vrtice superioresquerdo indicada a identificao da forma e sob o lado inferior a especificao de seucontedo (Fig. 2).

Fig. 2:Representao grfica de uma Grundgestalt-intermediria (gg).


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Forma concreta pura. Retngulo branco em linha cheia, dentro do qual so inseridas asformas abstratas envolvidas, devidamente identificadas (Fig. 3).

Fig. 3:Representao grfica de uma forma concreta pura.

Forma concreta hbrida. Retngulo cinza em linha cheia, dentro do qual so inseridas asformas abstratas envolvidas, devidamente identificadas (Fig. 4).

Fig. 4:Representao grfica de uma forma concreta hbrida.


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Forma fenotpica. Losango branco com linha cheia, com identificao no centro (Fig. 5).Observe-se que, aps ser estabelecida, a forma fenotpica, como qualquer forma concreta,pode ser includa no processo derivativo, a partir da abstrao de elementos componentes,

considerando domnios diversos, sendo cada qual, por sua vez, passvel de transformaessubsequentes (sugeridas pelas setas pontilhadas).

Fig. 5:Representao grfica de uma forma fenotpica.

Operaes. Suas aplicaes so indicadas por intermdio de uma seta em linha cheia ligandoa forma matriz forma derivada. Os tipos de operaes aplicadas so identificados (emabreviatura) sobre as setas (Fig. 6).

Fig. 6:Representao grfica de aplicao de operaes de transformao.


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O processo de variao progressiva a partir de uma dada Grundgestalt resumidono esquema grfico apresentado na Fig. 7.

Fig. 7:Representao grfica do processo de variao progressiva em uma pea hipottica.

O esquema (considerando uma pea hipottica) reflete nitidamente o crescimentoorgnico que se efetiva em crculos concntricos a partir da origem: a Grundgestalt aquisubdividida em trs componentes (A, Be C), dos quais so abstradas 12 Grundgestalten-abstraes (GGs). A variao progressiva passa, ento, a atuar, produzindo uma primeiragerao de Grundgestalten-intermedirias (ggs), atravs da aplicao de operaes diversas(no indicadas no esquema para evitar congestionamento grfico). Algumas das ggs obtidas,por sua vez, servem de base para novas derivaes, resultando em uma segunda gerao deformas intermedirias, e assim por diante (as setas pontilhadas que saem de algumas dasggs sugerem o prosseguimento do processo em direo a novas geraes de formas).


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As origens das diferentes formas so precisamente identificadas pela notao.Seguindo-se, por exemplo, a linhagem da Grundgestalt-abstrao C[ctr], tem-se a seguintesequncia (Tab. 3):

GG gg

1 gerao 2 gerao

C[ctr]

c-1[ctr] -

c-2[ctr]

c-2.1[ctr]

c-2.2[ctr]

c-2.3[ctr]

Tab. 3:Linhagem de C[ctr], de acordo com a Fig. 7.

Como possvel observar, a identificao de uma gg indica no apenas sua origem,como tambm a gerao qual pertence. Pela Tab. 3 constata-se que as ggs c-1[ctr] e c-2[ctr], que no possuem pontos em suas numeraes, so de 1 gerao. J c-2.1[ctr], c-2.2[ctr] e c-2.3[ctr], todos com um ponto, pertencem 2 gerao. possvel, ento,generalizar, considerando que a quantidade nde pontos presentes na nomenclatura de uma

gg implica sua localizao na gerao de nmero (n+1). Eis alguns exemplos: a-4[ac] (0pontos 0+1=1 1 gerao); c-1.1.3[cti] (2 pontos 2+1=3 3 gerao); b-4.1.2.1.1[ac] (5 pontos5+1=66 gerao) etc.

Voltando Fig. 7, percebe-se a presena de duas formas concretas, P-1 e H-1(respectivamente, pura e hbrida), a partir da combinao de formas abstratas. Como jmencionado, as formas concretas podem, por sua vez, ter seus contedos abstrados (deacordo com os domnios considerados), que passam a ser inseridos no plano abstrato e,portanto, no processo derivativo.

Aplicaes do modelo em anlises

A primeira pea musical a ser analisada com a metodologia do modelo (ainda noplenamente consolidada) foi a Primeira Sinfonia de Cmara op. 9, de Arnold Schoenberg(ALMADA, 2011b). O exame de sua Grundgestalt (apresentada em reduo na Fig. 8)revelou uma forte correlao entre seus quatro componentes abstrados (A, B, Ce D) e aconstruo dos principais temas da obra. Cada uma das GGs estabelecidas representa uma


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forte caracterstica construtiva:

A[cti]intervalo de nona menor descendente (-13 semitons);B[ac]formao acordal por quartas justas superpostas;C[ac]formao acordal composta por notas da escala de tons inteiros;D[cti]movimento cromtico descendente.

Fig. 8:Grundgestalte Grundgestalten-abstraes da Sinfonia de Cmarade Schoenberg (c. 1-4, reduo).

Esses quatro elementos formam uma espcie de genoma da obra, sendoresponsveis pela gerao de vrios de seus principais temas, a partir de inmeros tipos demanipulao derivativa. A Fig. 9 apresenta a anlise do primeiro (em ordem cronolgica)dos temas da Sinfonia(e tambm um dos mais importantes e funcionalmente significativos),


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o assim denominado tema quartal13, adaptando a terminologia e a simbologia do estudooriginal s configuraes atualmente adotadas pelo modelo.

Fig. 9:Anlise derivativa do tema quartal da Sinfonia de Cmarade Schoenberg (c. 5-6).

O elemento mais saliente do tema quartal (o contorno meldico b-1.1, emquartas justas ascendentes sucessivas) origina-se da horizontalizao (e transposio) da GGB[ac], o hexacorde quartal. J o revestimento rtmico do tema resulta de duasconfiguraes fenotpicas, Ye X, a partir das quais so abstradas as GGs Y[ctr] e X[ctr].Esta ltima tem um papel de grande destaque na construo dos demais temas, seja em seu

formato bsico ou em outras manifestaes variadas. Sua combinao com abstraesgenotpicas contribui para a grande variedade de configuraes que apresentam tais temas.

Um estudo semelhante, sobre relaes entre temas e Grundgestalt, foi realizadosobre a Sonata para Pianoop. 1, de Alban Berg (ALMADA, 2011a), obra que mantm, alis,estreitas relaes de parentesco com a Sinfonia schoenberguiana14. A Fig. 10 reproduz

13Para o catlogo de temas atuantes nessa obra, ver Almada (2007).14Para maiores informaes, ver Almada (2008 e 2010).


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(devidamente revisado e adaptado aos recursos atuais do modelo) o trecho inicial da anlisederivativa do tema principal da Sonata op. 1 de Berg, que compreende justamente aGrundgestalt. Ela apresenta-se como um elemento musical concreto, segmentado claramente

em trs componentes (A, Be C). Diferentemente do caso da Sinfonia, as Grundgestalten-componentes A e B produzem abstraes tridimensionais: A[pcs], A[cti] e A[ctr] eB[pcs], B[cti] e B[ctr], todas elas fortemente significativas na construo dos diversostemas que compem a pea. A componente C, por sua vez, como mostra a anlise, podeser considerada tanto um elemento independente como uma forma concreta hbrida (H-1)resultante da combinao de a-1[ctr] e C[cti]. Esta ltima interpretao instigante, poissignificaria que a concretizao do processo derivativo estaria em atuao dentro doslimites da prpria Grundgestalt.

Fig. 10:Grundgestalte anlise derivativa da Sonataop. 1 de Alban Berg (c. 1-3).

Chama ateno a forte afinidade que existe entre algumas Grundgestalten-abstraes de ambas as obras, como revela a comparao apresentada na Fig. 11. Semprecisar comentar os casos evidentes de identidade (X[ctr]/A[ctr) e D[cti]/C[cti]),percebe-se a existncia de significativos laos parentais nas duplas restantes. A GG B[pcs]


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(da Sonata) pode ser considerada um subconjunto de C[ac] (da Sinfonia), pelo elo que asune: a escala de tons inteiros. A derivao de A[cti] (Sonata), ainda que mais tortuosa, tambm facilmente demonstrvel atravs da sequncia de transformaes a partir da matriz

B[ac] (Sinfonia): horizontalizao (resultando, como visto na Fig. 8, a gg b-1[cti]), reduo(de cinco para duas quartas justas) e expanso intervalar sobre a primeira quarta (de 5 para6 semitons, resultando no intervalo de trtono). Tudo torna-se ainda mais interessante sefor considerado que esta ltima forma exerce um papel de grande destaque no apenas naSonata, como tambm na prpria Sinfonia, sendo um de seus principais elementosideolgicos15.

Fig. 11:Comparao entre algumas Grundgestalten-abstraes da Sinfonia(Schoenberg) e da Sonata(Berg).

15Para a importncia desse elemento, ver Almada (2007 e 2011b).


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Em uma mudana de abordagem, o terceiro estudo realizado com o modelo(Almada, no prelo) buscou analisar uma pea completa sob a perspectiva derivativa, com oobjetivo de investigar as potencialidades estruturais da variao progressiva. Para isso, foi

escolhida outra obra de Berg, a primeira das Quatro Canesop. 2.16

Neste caso especficoconstatou-se que a Grundgestalt da pea apresenta-se como um conglomerado decomponentes abstratos, derivados hereditariamente de elementos-chave de trs outrasobras: a Sinfoniaschoenberguiana, a Sonatado prprio Berg e o preldio da pera Tristo eIsolda de Wagner. A Fig. 12 reproduz esse inusitado esquema de gerao extraopus,resultando no que passou a ser denominado Grundgestalt-complexo.

As caractersticas dessa nova abordagem exigiram a elaborao de recursosadicionais e especficos, de modo a dar conta da tarefa que consistia, em suma e por assimdizer, em decifrar o cdigo gentico da pea. Aps inmeras tentativas frustradas, aadaptao de alguns elementos grficos e conceituais da anlise schenkeriana mostrou-secomo estratgia tima, pois permitiu no apenas a necessria visualizao das recorrnciasdas formas derivadas da Grundgestalt-complexo, como explicitar suas mltiplas correlaesem camadas estruturais hierarquizadas. A Fig. 13 apresenta um dos trechos analisados,ilustrando a eficcia desse aperfeioamento metodolgico.

16 Schlafend trgt man mich in mein Heimatland (texto de Alfred Mombert). Registre-se que foiconsiderada no estudo a primazia de composio. Na ordem de publicao a cano analisada asegunda, sendo, portanto, identificada no estudo como op. 2/II.


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Fig. 12:Grundgestalt-complexo da cano op.2/II de Berg17.

17Reproduo do Ex. 1 de Almada (no prelo).


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Fig. 13:Anlise derivativa estrutural da cano op.2/II de Berg (c.8-13)18.

Aplicaes do modelo em composio

A partir dos vrios aperfeioamentos empreendidos na consolidao do modelo

analtico, uma nova ramificao da pesquisa apresentou-se quase que naturalmente: aaplicao composicional. Na primeira etapa dessa alternativa foram introduzidos dois novosconceitos, a curva e a estrutura derivativas, como recursos essencialmente pr-composicionais (ALMADA, 2012b). Em suma, a estrutura derivativa corresponde aocomportamento do contedo de uma pea (em funo do tempo ou da estrutura formal)em relao ao referencial estabelecido pela Grundgestalt. A representao grfica dessaestrutura desempenhada pela curva derivativa, plotada em um esquema de eixosbidimensionais: no horizontal disposta a linha do tempo (em nmero de compassos e/ousegmentos formais), e no vertical o coeficiente de similaridade, seja organizado em faixas

(para abordagens globais e menos detalhadas - ver Fig. 14a) ou de acordo com a escalacentesimal de 0,00 a 1,00 (para abordagens locais, considerando trechos formais especficos- Fig. 14b. As curvas A, B e C correspondem a Grundgestalten-componentes.).

18Reproduo do Ex. 10 de Almada (no prelo).


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Fig. 14:Exemplos de curva derivativa em configurao global (a) e local (b)19.

19Reproduo da Fig. 7 de Almada (2012b).


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Recentemente, foi realizado um primeiro experimento composicional com aaplicao dos vrios elementos consolidados pela pesquisa, resultando na pea Entropia, paraflauta e piano. A partir de uma Grundgestaltestabelecida e da aplicao de um conjunto de

operaes de transformao foram produzidas 249 formas abstratas derivadas, distribudasem um grande nmero de linhagens (algumas delas com extenses de vrias geraes).Recombinaes dessas abstraes, por sua vez, geraram diversas formas concretas (puras ehbridas), vrias delas formadores de temas. A Fig. 15 apresenta a curva derivativa deEntropia, plotada a partir dos dados da anlise estrutural da pea.

Fig. 15:Curva derivativa de Entropia.

Concluses

At o momento atual da pesquisa, os resultados obtidos tm sido bastantesatisfatrios, pois alm da ampliao de sua rea de abrangncia, por intermdio dasabordagens distintas empreendidas pelos estudos realizados, os recursos metodolgicosvm sendo constantemente aperfeioados, tornando o modelo analtico cada vez maisverstil, elegante e preciso.

A ramificao composicional do projeto mostra-se tambm como altamentepromissora, no apenas em relao possibilidade do aproveitamento dos elementos do


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modelo no estabelecimento de fases pr-composicionais (no planejamento da estruturaderivativa de peas, por exemplo), ou ainda na efetivao de uma estratgia pedaggica(possibilitando sistematizaes do trabalho de variao do material), mas tambm no

prprio processo de criao integral, como demonstra a gerao da pea Entropia. Aconcretizao de sua composio abriu uma nova perspectiva para a pesquisa, j que aexperincia da aplicao dos conceitos e recursos do modelo, por si s, constituiu uma fasede profundos aperfeioamentos. O estudo dos dados obtidos atravs da anlise estruturaldessa pea e dos processos empregados em sua composio, bem como de suasimplicaes para o desenvolvimento do modelo mostram-se como prximas etapas para apesquisa, com divulgao em estudos futuros. Outros possveis desdobramentosatualmente considerados, abrindo novas perspectivas de investigao, buscam conexescom as reas da computao musical e da gentica, baseadas principalmente nas pesquisas

sobre L-Systems20.

Referncias

ALMADA, Carlos de L. Simbologia e hereditariedade na formao de umaGrundgestalt: a primeira das Quatro CanesOp.2 de Berg. Per Musi: revista acadmicade msica,Programa de Ps-Graduao em Msica da UFMG, Belo Horizonte, v. 26,p. 75-88. No prelo.

. Um modelo analtico para variao progressiva e Grundgestalt. In:

CONGRESSO DA ASSOCIAO NACIONAL DE TEORIA E PS-GRADUAOEM MSICA, ANPPOM, 22, 2012, Joo Pessoa.Anais...Joo Pessoa, UFPB, 2012a, p.2244-2251.

. A estrutura derivativa e suas contribuies para a anlise e para acomposio musical. In: ENCONTRO DE MUSICOLOGIA DE RIBEIRO PRETO,IV, 2012, Ribeiro Preto.Anais...Ribeiro Preto: USP, 2012b. No prelo.

. Derivao temtica a partir daGrundgestalt da Sonata para Piano op.1, deAlban Berg. In: II ENCONTRO INTERNACIONAL DE TEORIA E ANLISEMUSICAL.Anais...So Paulo: UNESP-USP-UNICAMP, 2011b, p. 10-22.

. Derivao temtica a partir daGrundgestalt da Sonata para Piano op.1, deAlban Berg. In: In: II SIMPSIO INTERNACIONAL DE MUSICOLOGIA.Anais...Riode Janeiro: UFRJ, 2011a. No prelo.

. Variao em desenvolvimento na construo do tema principal da Sonatapara PianoOp.1, de Alban Berg. Opus, Goinia, v. 16, n. 1, p. 99-112, 2010.

20 Ou Lindenmayer Systems. Para informaes a respeito, ver, por exemplo, o site:http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html/. Acesso em: abr. 2012.


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. Pontos de contato entre a Sonata para Piano,op.1, de Alban Berg e aPrimeira Sinfonia de Cmara,op. 9, de Arnold Schoenberg. In: V SIMPSIO DEPESQUISA EM MSICA - SIMPEMUS 5, 2008. Curitiba.Anais...Curitiba: UFPR, 2008,p. 84-91.

. Nas fronteiras da tonalidade: tradio e inovao na forma da PrimeiraSinfonia de Cmara, op.9, de Arnold Schoenberg. Dissertao (Mestrado em Msica).Centro de Letras e Artes, Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro, Rio de

Janeiro, 2007.

BOSS, Jack. Schoenberg's Op. 22 Radio Talk and Developing Variation in AtonalMusic.Music Theory Spectrum, v. 14, n. 2, p. 125-149, 1992.

BURTS, Devon.An Application of the Grundgestalt Concept to the First and SecondSonatas for Clarinet and Piano, Op. 120, no. 1 & no. 2, by Johannes Brahms . Dissertao

(Mestrado em Msica). University of South Florida, s/l, 2004.CARPENTER, Patricia. Grundgestalt as Tonal Function.Music Theory Spectrum, v. 5, p.15-38, 1983.

DAHLHAUS, Carl. Schoenberg and the New Music. Cambridge: Cambridge UniversityPress, 1990.

DUDEQUE, Norton. Variao progressiva como um processo gradual no primeiromovimento do QuartetoA Dissonncia, K. 465, de Mozart. Per Musi: revistaacadmica de msica,Programa de Ps-Graduao em Msica da UFMG, Belo

Horizonte, v. 8, p. 41-56, 2003..Music Theory and Analysis in the Writings of Arnold Schoenberg (1874-1951).Aldershot: Ashgate Publishings, 2005.

. Schoenberg: emancipao da dissonncia, tonalidade expandida e variaoprogressiva em Friede auf Erden, op.13. Debates, Rio de Janeiro, v. 9, p. 7-33, 2007.

EMBRY, Jessica. The Role of Organicism in the Original and Revised Versions of BrahmssPiano Trio in B Major, Op. 8, Mvt. I:A Comparison by Means of Grundgestalt Analysis.Dissertao (Mestrado em Msica). University of Massachusetts, Amherst, 2007.

EPSTEIN, David. Beyond Orpheus: Studies in Music Structure. Cambridge: The MITPress, 1980.

FRISCH, Walter. Brahms and the Principle of Developing Variation. Los Angeles:University of California Press, 1984.

HAIMO, Ethan. Atonality, Analysis and the Intencional Fallacy.Music Theory Spectrum,v. 18, n. 2, p. 167-199, 1996.

. Developing Variation and Schoenbergs Serial Music.Musical Analysis, v. 16,n. 3, p. 349-365, 1997.


26/26


MARTINEZ, Alejandro. La forma-oracin en obras de la Segunda Escuela de Viena:un lectura desde la morfologa de Goethe. Revista del Instituto Superior de Msica,Santa F, v. 12, p. 96-113, 2009.

MEYER, Leonard. Style and Music. Chicago: The University of Chicago Press, 1989.RAHN, John. Basic Atonal Theory. New York: Longman, 1980.

RTI, Rudolph. The Thematic Process in Music. Westport: Greenwood Press, 1978.

RUFER, Josef. Composition with Twelve Tones. Londres: Barrie & Jenkins, 1969.

SCHOENBERG, Arnold. Style and Idea:Selected Writings of Arnold Schoenberg.Londres: Faber & Faber, 1984.

. Fundamentos da composio musical. So Paulo: EDUSP, 1991.

. The Musical Idea and the Logic, Technique, and Art of its Presentation.Bloomington: Indiana University Press, 2006.

STRAUS, Joseph. Introduction to Post-tonal Theory. 3 ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 2005.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Carlos Almada professor adjunto da Escola de Msica da UFRJ, atuando como docente nos nveisde Graduao e Ps-Graduao. doutor e mestre em Msica pela UNIRIO, ambos os cursos compesquisas voltadas para anlises estruturais da Primeira Sinfonia de Cmaraop. 9, de Arnold Schoenberg. compositor, com diversas obras apresentadas em edies da Bienal de Msica BrasileiraContempornea, bem como registradas em CDs pela gravadora Ethos Brasil. Atua tambm na msicapopular como arranjador, com inmeros trabalhos gravados recentemente. autor dos livros Arranjo(Editora da Unicamp, 2001),A estrutura do choro(Da Fonseca, 2006) e Harmonia funcional(Editora daUnicamp, 2009), bem como coautor de uma srie de 12 livros sobre msica popular brasileira,publicados entre 1998 e 2010 pela editora americana MelBay. [email protected]

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Artigo de Carlos Almada: Aplicações composicionais de um modelo analítico