As Equações de Maxwellhttp://www.mundoeducacao.com/fisica/as-equacoes-maxwell.htm 26.09.14 as 07:58h

 James Clerk Maxwell

Baseando-se nos estudos de Michael Faraday, Maxwell unificou, em 1864, todos os fenômenos elétricos e magnéticos observáveis em um trabalho que estabeleceu conexões entre as várias teorias da época, derivando uma das mais elegantes teorias já formuladas. 

Maxwell demonstrou, com essa nova teoria, que todos os fenômenos elétricos e magnéticos poderiam ser descritos em apenas quatro equações, conhecidas atualmente como Equações de Maxwell. Essas são as equações básicas para o eletromagnetismo, assim como a lei da gravitação universal e as três leis de Newton são fundamentais para a Mecânica Clássica. Não serão apresentadas nesse artigo as deduções matemáticas das equações de Maxwell, uma vez que essas necessitam do conhecimento do Cálculo Diferencial e Integral, que somente é estudado na íntegra em cursos superiores. 

As equações de Maxwell para o eletromagnetismo constam da unificação entre as Leis de Gauss, para a eletricidade e para o magnetismo, a Lei de Ampère generalizada e a Lei de Faraday para a Indução eletromagnética. 

Segue então as equações de Maxwell: 

1) Lei de Gauss para a eletricidade:

Essa é a primeira das quatro equações de Maxwell, proposta originalmente pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), é o equivalente à lei de Coulomb em situações estáticas. Ela relaciona os campos elétricos e suas fontes, as cargas elétricas, e pode ser aplicada mesmo para campos elétricos variáveis com o tempo. 

2) Lei de Gauss para o magnetismo:

Esta lei é equivalente à primeira, mas aplicável aos campos magnéticos e evidenciando ainda a não existência de monopolos magnéticos (não existe polo sul ou polo norte isolado). De acordo com essa lei, as linhas de campo magnético são contínuas, ao contrário das linhas de força de um campo elétrico que se originam em cargas elétricas positivas e terminam em cargas elétricas negativas. 

3) Lei de Ampère: 

A lei de Ampère descreve a relação entre um campo magnético e a corrente elétrica que o origina. Ela estabelece que um campo magnético é sempre produzido por uma corrente elétrica ou por um campo elétrico variável. Essa segunda maneira de se obter um campo magnético foi prevista pelo próprio Maxwell, com base na simetria de natureza: se um campo magnético variável induz uma corrente elétrica, e consequentemente um campo elétrico, então um campo elétrico variável deve induzir um campo magnético. 

4) Lei de Faraday: 

A quarta das equações de Maxwell descreve as características do campo elétrico originando um fluxo magnético variável. Os campos magnéticos originados são variáveis no tempo, gerando assim campos elétricos do tipo rotacionais. 

Até o final do século XIX, acreditava-se que com estas equações não havia mais nada para ser descoberto na física. Porém, em 1900, Max Planck deu inicio à chamada Física quântica, com seus postulados sobre a radiação de corpo negro. 

Em 1905, Albert Einstein revoluciona de uma vez por todas os conhecimentos da ciência, lançando a Teoria da Relatividade e o Efeito Fotoelétrico, abrindo caminho para o maior desenvolvimento científico da história. As equações de Maxwell são consideradas o marco final do que chamamos de Mecânica Clássica. Maxwell foi o primeiro físico a encontrar através de cálculos matemáticos a velocidade das ondas eletromagnéticas, tudo graças às suas famosas equações.

http://www.ime.unicamp.br/~vaz/maxwell.htm 08:02h

As Equações de Maxwell    As chamadas equações de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) descrevem os fenômenos eletromagnéticos (elétricos e magnéticos). Para dar uma idéia do alcance dos fenômenos regidos pelas equações de Maxwell basta lembrarmos que a luz é um fenômeno de origem eletromagnética! Desde quando formuladas, há mais de um século, estas equações passaram pelos mais severos

testes experimentais e sem dúvida constituem-se num dos pilares da Física.

Estas equações foram originalmente escritas por Maxwell na forma de oito equações. São estas as equações:

   

     

Estas equações podem ser encontradas no livro "A Treatise of Electricity and Magnetism", que constitui-se em uma das grandes obras da humanidade - a primeira edição é de 1873. Na verdade Maxwell utilizou símbolos diferentes, e os usados acima correspondem ao uso moderno. Não cabe aqui explicar o significado destes símbolos; primeiro porque não é importante para o que segue, e segundo pois não deve interessar mesmo ao não-especialista. O fato é que ao escrever estas equações, Maxwell sintetizou todo o conhecimento da época acerca dos fenômenos elétricos e magnéticos na forma de um conjunto de equações relativamente simples. Apenas esse fato já mereceria destaque, mas o mais importante é que partindo destas equações Maxwell pode ir mais adiante e antecipar do ponto de vista puramente teórico descobertas experimentais que só viriam anos depois pelas mãos de Hertz.

Paralelamente (na verdade um pouco antes) ao descobrimento das equações de Maxwell desenvolvia-se na Matemática uma ferramenta

chamada "cálculo vetorial". Utilizando este cálculo vetorial, as equações de Maxwell escritas acima podem ser escritas como

     

     

As equações são as mesmas, mas escritas numa forma muito mais simples quando comparadas com as originais (ao invés de oito equações agora temos quatro!). As segunda, terceira e quartas equações anteriores estão agora escritas na forma da segunda equação acima, assim como a sexta, sétima e oitava estão na quarta das equações acima. Novamente cada símbolo nestas equações tem um significado que não discutiremos. A questão é: se as equações são as mesmas, o que foi feito foi trocar seis por meia-dúzia? Sim e não! Sim pois de fato as equações foram escritas de uma maneira diferente utilizando um cálculo diferente, embora bem mais simples. Mas tambem não! Não pois foi baseada na simplicidade destas equações (face às originais) que muitos desenvolvimentos foram possíveis. Nesse ponto o nome mais importante talvez tenha sido o de Heaviside. Embora não tenha sido ele o inventor propriamente dito do cálculo vetorial, foi ele quem primeiro o utilizou sistematicamente e conseguiu com isso obter avanços e descobertas que, senão impossíveis, seriam muito difíceis de obter usando as equações na forma original. A idéia equivale a dizer que como as equações são mais simples em forma então podemos compreende-las melhor e daí explorar melhor suas consequências. Se fosse apenas um trocar seis por meia-dúzia isso não seria de valor, e as pessoas continuariam escrevendo as equações de Maxwell na sua forma original.

Após o advento do cálculo vetorial, desenvolveu-se um outro tipo de cálculo em Matemática chamado "cálculo tensorial". Utilizando este cálculo tensorial, as equações de Maxwell podem ser escritas como

   

     

Sim! Estas são as mesmas equações escritas anteriormente. Eram oito, depois quatro, e agora duas! A primeira e a segunda equações anteriores estão contidas na primeira das equações acima, enquanto a terceira e a quarta estão contidas na outra. Esquecendo o significado dos símbolos, vamos perguntar: isso é trocar seis por meia-dúzia? Novamente a resposta é sim e não! Sim pois são de fato as mesmas equações - mas num cálculo diferente. E não pois foi utilizando este cálculo tensorial que inúmeros avanços foram possíveis. Em particular, a teoria da gravitação de Einstein só foi possível de ser formulada por Einstein porque ele estudou cálculo tensorial! Com relação especifica às equações de Maxwell, o uso do cálculo tensorial permitiu compreendermos claramente a chamada covariância destas equações e o fato da eletricidade e magnetismo não serem fenômenos isolados mas sim diferentes aspectos do mesmo fenômeno eletromagnético. Esse último fato já estava claro nas equações originais de Maxwell, mas é nesta forma que a idéia torna-se mais clara pois os símbolos "E" e "B" usados naquelas equações estão agora englobados em um único símbolo "F". Novamente a simplicidade com que as equações de Maxwell podem ser escritas refletem o quão mais natural é uma ferramenta matemática dentro da atividade de pesquisa científica, no caso através do cálculo tensorial.

Embora a invenção do cálculo vetorial - o cálculo tensorial deve-se essencialmente a Ricci e Levi-Civita - esteja muitas vezes associada ao nome de Gibbs, isso é apenas meia-verdade, pois as grandes contribuições vieram mesmo de Hamilton e de Grassmann. O trabalho de Grassmann, porém, mostrou-se avançado demais para a sua época (a primeira edição de sua obra fundamental - Die Ausdehnungslehre - é de 1844), e embora tenha exercido uma certa influência sobre Gibbs (o trabalho de Gibbs é de 1881), o fez não através dos pontos mais importantes do seu trabalho. Estes pontos fundamentais só foram recuperados por Cartan quase 1 século depois de Grassmann! Fundamentando-se na estrutura algébrica desenvolvida por Grassmann, Cartan desenvolveu o cálculo de formas diferenciais, que é a base da geometria diferencial moderna. Utilizando o cálculo de formas diferenciais, as equações de Maxwell são escritas como

   

     

É sem dúvida espantosa a simplicidade destas equações, sobretudo quando comparamos com a forma inicial que estas mesmas equações foram escritas! E novamente não se trata apenas de trocar seis por meia-dúzia! O fato das equações serem mais simples reflete também o quão mais poderosa é a estrutura que estamos considerando, e nos permite obter novos resultados e ampliar nossos conhecimentos. Por exemplo, essa estrutura - a álgebra de Grassmann - é a base do conceito de super-simetria da Física Moderna, e a super-simetria é fundamental dentro de teorias como por exemplo a das super-cordas, que alguns acreditam ser a "theory of everything" - a explicação final de todos os fenômenos!.

Bem, mais simples do que estas duas equações, só mesmo uma, certo? Por isso não, eis então as equações de Maxwell:

     

     

Sim, esta equação contém a mesma informação que aquelas oito iniciais e as outras formas subsequentes. Para escrevê-las usamos uma estrutura construída sobre a da álgebra de Grassmann, a chamada álgebra de Clifford - aliás Clifford foi um dos poucos que compreendeu na época a importância do trabalho de Grassmann e por isso pode dar um passo a mais. O que essa estrutura tem a mais, além de simplificar tanto assim as equações de Maxwell? Dentre outras coisas, é nas álgebras de Clifford que aparecem objetos chamados "spinors", que são necessários para descrevermos objetos como o elétron.

Pois bem, se ao escrevermos as equações de Maxwell numa forma mais simples sempre acabamos ganhando "algo mais" ao longo da história, você pode estar se perguntando o que ganhamos com esse formalismo que nos permite escrever "as equações" como "a equação". De fato, é para suspeitarmos que haja algo por detrás de toda essa simplicidade, não? Pois é... tudo o que está por detrás disso ainda não sabemos exatamente, mas uma das ferramentas matemáticas mais poderosas desenvolvida ultimamente baseia-se nessa álgebra de Clifford e no operador de Dirac que aparece nessa equação de Maxwell. Trata-se da chamada "Geometria não-comutativa" - devida em muito a A. Connes (ganhador da Medalha Fields, maior honra quem um matemático pode receber!) - que encontra várias aplicações, por exemplo, na física de altas energias. O que mais está por detrás disso é o que devemos investigar!

Equações de Maxwell

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Equações de Maxwell1

Equações de Maxwell

As Equações de Maxwell são um grupo de quatro equações, assim chamadas em honra de James Clerk Maxwell, que descrevem o comportamento dos campos elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria.

As quatro equações de Maxwell expressam, respectivamente, como cargas elétricas produzem campos elétricos (Lei de Gauss), a ausência experimental de cargas magnéticas, como corrente elétrica produz campo magnético (Lei de Ampère), e como variações de campo magnético produzem campos elétricos (Lei da indução de Faraday). Maxwell, em 1864, foi o primeiro a colocar todas as quatro equações juntas e perceber que era necessária uma correção na lei de Ampère: alterações no campo elétrico atuam como correntes elétricas, produzindo campos magnéticos.

Além disso, Maxwell mostrou que as quatro equações, com sua correção, predizem ondas de campos magnéticos e elétricos oscilantes que viajam através do espaço vazio na velocidade que poderia ser predita de simples experiências elétricas—usando os dados disponíveis na época, Maxwell obteve a velocidade de 310.740.0 m/s .

Maxwell (1865) escreveu:

Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes motivos para concluir que a luz em si (incluindo calor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.

Maxwell estava correto em sua hipótese, embora ele não tenha vivido para ver sua comprovação por Heinrich Hertz em 1888. A explicação quantitativa da luz como onda eletromagnética é considerada um dos grandes triunfos da física do século XIX. Na verdade, Michael Faraday postulou uma descrição similar da luz em 1846, mas não foi capaz de dar uma descrição quantitativa ou predizer a velocidade. Além disso, serviu como base para muitos desenvolvimentos futuros na física, tais como a relatividade restrita e sua unificação entre os campos magnético e elétrico como uma única quantidade tensorial e a Teoria de Kaluza-Klein da unificação do eletromagnetismo com a gravidade e a relatividade geral.

Histórico do desenvolvimento das equações de Maxwell e relatividade

As formulações de Maxwell em 1865 estavam em termos de 20 equações de 20 variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares do que chamamos de "Equações de Maxwell" — a Lei de Ampère corrigida (equação de três componentes), Lei de Gauss para carga (uma equação), a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento (três equações), a relação entre campo magnético e o vetor potencial (equação de três componentes, que implica a ausência de carga magnética), o relacionamento entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial (equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday), o relacionamento entre campos elétrico e de deslocamento (equações de três componentes), Lei de Ohm relacionando intensidade de corrente e campo elétrico (equações de três componentes), e a equação de continuidade relacionando intensidade de corrente e densidade de carga (uma equação).

Deve-se a formulação matemática moderna das equações de Maxwell a Oliver Heaviside e Willard Gibbs, que em 1884 reformularam o sistema de equações original em uma representação mais simples utilizando cálculo vetorial. (Em 1873 Maxwell também publicou notação de base de quaterniões que acabou se tornando impopular.) A mudança para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.

No final do século XIX, por causa do surgimento da velocidade,

Equações de Maxwell2 nas equações, as equações de Maxwell foram tidas como servindo apenas para expressar o eletromagnetismo no referencial inercial do éter luminífero (o meio postulado para a luz, cuja interpretação foi consideravelmente debatida). O experimento conduzido por Edward Morley e Albert Abraham Michelson produziu um resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentze outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.

As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de considerações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades (em relatividade, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do campo anti-simétrico de ordem 2, o que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objecto).

Kaluza e Klein demonstraram na década de 1920 que as equações de Maxwell podem ser derivadas ao se estender a relatividade geral a cinco dimensões. Esta estratégia de se usar

dimensões maiores para unificar diferentes forças é uma área de interesse ativo na pesquisa da física de partículas.

Sumário das equações

As variáveis em negrito nas equações representam campos vetoriais ou vetores, as integrais são integrais de superfície sobre uma superfície "fechada" , as integrais são integrais de superfície em uma superfície aberta e as integrais são integrais de linha em um caminho fechado .

Caso geral

NomeDiferencial parcialIntegral Forma integral Lei de Gauss:

Lei de Gauss para o magnetismo (ausência de monopolos magnéticos): Lei da indução de Faraday: Lei de Ampère + extensão de Maxwell:

onde:

é a densidade volumétrica de carga elétrica (unidade SI: coulomb por metro cúbico), não incluindo dipolos de cargas ligadas no material é a densidade superficial de fluxo magnético (unidade SI: tesla), também chamada de indução magnética.

é o campo elétrico de deslocamento ou densidade superficial de campo elétrico (unidade SI: coulomb por metro quadrado).

é a intensidade de campo elétrico (unidade SI: volt por metro), é a intensidade de campo magnético (unidade SI: ampère por metro) é a densidade superficial de corrente elétrica (unidade SI: ampère por metro quadrado)

é o operador gradiente que em coordenadas cartesianas pode ser escrito como

Equações de Maxwell3

é o divergente do campo vetorial (unidade SI: 1 por metro), é o rotacional do campo vetorial (unidade SI: 1 por metro).

Unidades

Note que embora as unidades SI sejam dadas aqui para os vários símbolos, as equações de Maxwell permanecem inalteradas em muitos sistemas de unidades (e com somente minutas alterações em todas os outros). O sistema mais usualmente empregado é o de unidades SI, usadas em engenharia, electrônica e a maior parte dos experimentos práticos de física, e as unidades de Planck (também conhecidas como "unidades naturais"), usadas em física teórica, física quântica e cosmologia. Um sistema mais antigo de unidades, o Sistema CGS de unidades, é algumas vezes usado também.

A segunda equação define a inexistência de monopólos magnéticos. A força exercida sobre uma partícula carregada por um campo elétrico e um campo magnético é definida pela equação de força de Lorentz:

no qual é a carga da partícula e a velocidade da partícula. Note que esta equação é expressa de outra forma no sistema CGS, abaixo.

É importante notar que as equações de Maxwell são geralmente aplicáveis a "médias macroscópicas" dos campos, os quais podem variar violentamente numa escala microscópica na vizinhança de átomos individuais (onde eles também se submetem a efeitos quânticos). É somente nesse sentido de média que se podem definir grandezas tais como a permissividade e a permeabilidade de um material, abaixo. (As equações microscópicas de Maxwell, desprezando-se efeitos quânticos, são aquelas simplesmente do vácuo; mas se necessita incluir todas as cargas atômicas e assim por diante, o que é normalmente um problema intratável.)

Em materiais lineares Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:

nos quais: ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica. μ é a permeabilidade magnética.

(Isto pode também ser estendido para lidar com materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependendo da intensidade do campo; veja, por exemplo, o efeito Kerr e o efeito Pockels, e ainda para materiais não-isotrópicos, nos quais ε e μ passam a ser tensores que mudam a direção do campo ao qual são aplicados.)

Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a

Em um meio uniforme (homogêneo) ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas pelas derivadas espaciais.

Mais geralmente, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem (matrizes 3×3) descrevendo materiais birrefringentes (anisotrópicos).

Equações de Maxwell4

Além disso, embora para muitos propósitos a dependência tempo/freqüência destas constantes possa ser desprezada, todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da freqüência (e a causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig).

No vácuo, sem cargas ou correntes

O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε0 e μ0 (desprezando pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos). Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:

Mas: O que permite obter a equação da onda eletromagnetica:

De onde se obtem a velocidade da onda eletromagnetica (c):

Maxwell percebeu que essa quantidade "c" é simplesmente a velocidade da luz no vácuo, e concluiu que a luz é uma forma de radiação eletromagnética.

Equações de Maxwell5

Detalhamento

Densidade de carga e campo elétrico A forma integral equivalente (dada pelo teorema da Divergência), também conhecida como Lei de Gauss, é:

pela teorema da Divergência: e pela Lei de Gauss:

logo

onde é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

onde é a densidade de carga elétrica livre (em unidades de C/m3), não incluindo dipólos de cargas ligadas no material, e é o campo deslocamento elétrico (em unidades de C/m2). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.

Em um material linear, é diretamente relacionado ao campo elétrico via uma constante dependente do material chamada permissividade :

Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como , e aparece em:

onde, novamente, é o campo elétrico (em unidades of V/m), é densidade de carga total (incluindo as cargas ligadas), e (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade no vácuo. também pode ser escrito como , onde é a permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.

Compare com a equação de Poisson.

A estrutura do campo magnético é a densidade de fluxo magnético (em unidades de tesla, T), também chamada a indução magnética. Forma integral equivalente:

é a área de um quadrado diferencial com uma normal superficial apontando para fora definindo sua direção.

Nota: semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação somente funciona se a integral for calculada sobre uma superfície fechada.

Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque afirma que àquele dado elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. Estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético

Equações de Maxwell6 devem ser linhas (trajetórias) fechadas. Outra maneira de se afirmar isso é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar; tentando seguir as linhas de volta à sua fonte de volta à posição original. Portanto, esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopólos magnéticos.

Campos magnéticos e elétricos variáveis

Forma integral equivalente: Usando o teorema de Stokes temos:

e como pela lei de Faraday :

onde logo

onde

ΦB é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação

E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio. S é a superfície enlaçada pela curva c.

A força eletromotriz (algumas vezes denotada como , não deve ser confundida com a permissividade acima) é igual ao valor desta integral.

Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética.

Nota: alguns livros-textos mostram o lado direito do sinal da integral com um N (representando o número de espiras de fio que estão a volta da aresta de A) na frente da derivada do fluxo. O N pode ser tomado com cuidado no cálculo de A (múltiplas espiras de fio significam múltiplas superfícies que o fluxo deve atravessar), e isto é um detalhe de engenharia tal que isto foi omitido aqui.

Note o sinal negativo; isto é necessário para manter a conservação da energia. Isto é tão importante que tem seu próprio nome, lei de Lenz.

Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas. Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto demonstra que a "voltagem" pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético fixado.

Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores empregam a configuração contrária.

Nota: As equações de Maxwell aplicam-se a um sistema de coordenada destro. Aplicá-las inalteradas a um sistema de coordenadas esquerdo significaria uma troca de polaridade dos campos magnéticos (não inconsistentemente, mas confusamente contra a convenção).

Equações de Maxwell7 A fonte do campo magnético

onde H é a intensidade de campo magnético (em unidades de A/m), relacionado ao campo magnético B por uma constante chamada permeabilidade magnética, μ (B = μH), e J é a densidade de corrente, definida por:

onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar .

Utilizando o Teorema de Stokes temos:

logo:

Lei de Ampere: Contribuição de Maxwell:

Icirculada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: .

No vácuo, a permeabilidade μ é a permeabilidade do espaço vazio, μ0, que é definida como sendo exactamente 4π×10-7 W/A m. Também, a permissividade torna-se a permissividade ε0. Portanto, no vácuo, a equação torna-se:

Forma integral equivalente:

s é a aresta de uma superfície A (qualquer superfície com a curva s como sendo sua aresta deverá servir), e Icirculada é a corrente circulada pela curva s (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: Iatravés de A =∫AJ dA.)

Nota: se a densidade de fluxo elétrico não variar muito rapidamente, o segundo termo do membro direito (o fluxo de deslocamento) é desprezível, e a equação se reduz à lei de Ampère.

Equações de Maxwell8

Equações de Maxwell em unidades Gaussianas

As equações acima são dadas no Sistema Internacional de Unidades, ou SI para abreviar. No sistema de unidades Gaussiano, as equações tomam forma mais simétrica, como segue:

Onde c é a velocidade da luz no vácuo. A simetria é mais aparente quando o campo eletromagnético é considerado no vácuo. As equações tomam a seguinte forma altamente simétrica:

A força exercida por um campo elétrico e um campo magnético sobre uma partícula carregada é dada pela equação da força de Lorentz equação:

onde é a carga da partícula e é a velocidade da partícula. Note que esta é levemente diferente da expressão do SI acima. Por exemplo, aqui o campo magnético tem as mesmas unidades do campo elétrico .

Nota: Todas as variáveis que são dadas em negrito representam grandezas vectoriais.

Formulação das equações de Maxwell na relatividade especial

Na relatividade especial, para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell (no vácuo) tomam a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as

equações de Maxwell são escritas em termos de 4-vetores e 4-tensor na forma "manifestamente covariante" :

onde J é a 4-corrente, F é o tensor intensidade de campo (tensor de Faraday) (escrito como uma matriz 4 × 4 ), e é o 4-gradiente (tal que seja o operador d'Alembertiano). (O α na primeira equação é

implicitamente somado de acordo com a convenção da notação de Einstein.) A primeira equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de Faraday e a ausência de monopólos magnéticos.

Mais explicitamente, J = (cρ, J) (como um vetor contravariante), em termos da densidade de carga ρ e a densidade de corrente J. Em termos do 4-potenciall (como um vetor contravariante,) , onde φ é o potencial

elétrico e A é o potencial vetor magnético pelo calibre de Lorenz , F pode ser expresso como:

o que conduz a uma matriz 4 × 4 (tensor de 2a ordem):

Equações de Maxwell9

O fato de que ambos os campos: elétrico e magnético são combinados em um único tensor, que expressa que, de acordo com a relatividade, ambos os campos são diferentes aspectos da mesma coisa. E assim pela troca dos referenciais, o que parecia ser um campo elétrico em um referencial se afigura como um campo magnético em outro referencial, e vice-versa.

(Veja Quadripotencial eletromagnético para o relacionamente entre o d'Alembertiano do quadripotencial e a quadricorrente, expressa em termos da antiga notação de operadores vetoriais).

Note que diferentes autores algumas vezes empregam diferentes convenções de sinal para os tensores e 4-vetores (o que não afeta a interpretação física). Note também que Fαβ e Fαβ não

são os mesmos: eles são as formas do tensor contravariante e covariante , relacionados pelo tensor métrico g. Na relatividade especial o tensor métrico introduz as mudanças de sinal em algumas componentes de F; dualidades métricas mais complexas são encontradas na relatividade geral.

Equações de Maxwell em termos de formas diferenciais

No vácuo, onde ε e μ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se consideravelmente uma vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso, os campos elétrico e magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma numa variedade espaço-temporal 4-dimensional, a qual é usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade de Bianchi

onde d é a derivada exterior, e a equação fonte

onde o asterisco * é a Hodge star. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε0 é 1. Aqui, J é a 1-forma chamada a "corrente elétrica" satisfazendo a equação da continuidade

Eletrodinâmica clássica em um espaço fibrado

A formulação mais concisa e abrangente das equações de Maxwell e da eletrodinâmica clássica em geral é como um espaço fibrado com fibra U(1). A conexão no espaço fibrado é d+A com A sendo o 4-vetor compreendendo o potencial elétrico e o potencial vetor magnético. A curvatura da conexão F=dA é a intensidade de campo. Embora a princípio a reformulação como um espaço fibrado possa parecer ao estudante médio como uma curiosidade matemática sem sentido, há um resultado criticamente importante que mostra que esta é a abordagem correta: a holonomia em um espaço fibrado descreve o efeito Aharonov-Bohm. Embora o efeito Aharonov-Bohm seja algumas vezes admitido como um efeito quântico, sua explicação não requer qualquer quantização do campo eletromagnético. O efeito pode ser entendido em termos puramente clássicos como a holonomia de uma curva em um espaço fibrado. Sem a formulação do espaço fibrado, o efeito Aharonov-Bohm parece ser uma fantasmagórica ação a distância, inexplicável pelas tradicionais equações de Maxwell . (Veja Micheal Murray, Line Bundles [1], 2002 (PDF web link) para uma revisão matemática simples desta formulação. Veja também R. Bott, On some recent interactions between mathematics e physics, Canadian Mathematical Bulliten, 28 (1985)) no. 2 p 129-164.)

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