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AS FRAÇÕES E SEUS SIGNIFICADOS OPERADOR
MULTIPLICATIVO E QUOCIENTE: O CASO DOS ALUNOS DE
UMA ESCOLA DO MUNICÍPIO DE OLINDA
Edilza Maria da Conceição Silva, UFPE, [email protected]
Robson da Silva Eugênio, UFPE, [email protected]
Verônica Gitirana Gomes Ferreira, UFPE, [email protected]
Resumo
Pesquisas apontam que alunos do 6º ao 9º ano tem dificuldade com frações. Este estudo analisou o desempenho e compreensão de alunos do 6º ano no campo dos números racionais considerando os significados quociente e operador multiplicativo. Para tal foi aplicado um teste diagnóstico com 65 estudantes de uma escola pública de Olinda. Os resultados evidenciam que os estudantes demonstram a não ruptura na passagem da compreensão das estruturas aditivas para as multiplicativas. Eles conseguem lidar com problemas com significado de quociente sem o uso da notação de frações. No entanto, problemas em que a fração assume o significado de operador mostram-se ser um ponto frágil no entendimento dos alunos sobre números racionais.
Palavras-chave: Números Racionais, significados, estruturas multiplicativas.
Abstract
Researches have being pointing to 6th to 9th grade students´ difficulties on dealing with fractions. This study analyses 6th grade students´ ability and understanding in the conceptual Field of rational numbers, considering the multiplicative operator and quotient meanings. A diagnostic test was undertanken to 65 students of a state school from Olinda, a Brazilian city in Pernambuco. The results evidences that students did not overcome a barrier made by their knowledge on additive structure toward the multiplicative one. They can deal with the problems with quotient meaning without using fraction representation. Nonetheless, problems of fractions as multiplicative operator revealed to be a weak point on their understanding of rational numbers.
Keywords: Rational Numbers, meanings, multiplicative estructure.
Introdução
Diversos estudos apontam que, embora seja um tema importante, pouco se
tem investigado a respeito do desenvolvimento da compreensão dos estudantes
no campo dos Números Racionais.
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Nunes, Bryant, Magina e Campos (2002) afirmam que numa cultura em
que predominem o sistema métrico decimal, como por exemplo, no Brasil,
crianças provavelmente tenham dificuldades em resolver problemas envolvendo
frações. Estudos realizados pelos autores no Brasil e na Inglaterra evidenciaram
essa tendência. Por isso, sugerem que o tema seja tratado desde os anos iniciais
de escolarização numa busca pela compreensão do mesmo por parte dos
estudantes.
Albuquerque (2010) nos chama a atenção para o fato de que as pesquisas
vêm demonstrando uma dificuldade existente em relação ao conceito de fração
tanto do ponto de vista do ensino, quanto da aprendizagem.
Merlini (2005) e Cavalcanti, Câmara dos Santos e Jófili (2007) apontam
que o conceito de fração é vivenciado com dificuldade mesmo entre alunos do 6º
ao 9º ano. Seus estudos evidenciaram que os melhores resultados surgiram
quando a situação apresentada envolvia o significado parte-todo.
Cavalcanti e Guimarães (2008) argumentam que vários estudos
demonstram também as dificuldades dos professores dos anos iniciais para
compreender os diversos significados que envolvem o conceito de fração. As
autoras afirmam que os professores apresentam melhor desempenho e
compreensão quando a situação envolve o significado parte-todo, assim como
ocorreu nos estudos de (CAVALCANTI e CÂMARA DOS SANTOS, 2006;
CANOVA, 2006). Dificuldades foram constatadas no estudo de Cavalcanti,
Câmara dos Santos e Jófili (2007) quando a fração assumia o significado de
operador multiplicativo.
Diante disso, estruturamos este estudo considerando as ideias de Nunes e
colaboradores a respeito dos Números Racionais, bem como a Teoria dos
Campos Conceituais de Gerard Vergnaud.
Vergnaud destaca, em um de seus estudos sobre campos conceituais, as
estruturas multiplicativas cujo domínio envolve multiplicações, divisões,
combinações, além dos conceitos de número racional, razão, fração, função
linear, espaço vetorial, entre outros (RODRIGUES, 2005, p.26).
Para Vergnaud (1986), os campos conceituais são a matéria-prima da qual
se constitui o desenvolvimento do processo cognitivo e ressalta ainda que cada
conceito envolve uma tríade fundamental frequentemente apresentada como (S)
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situações que dão significados ao conceito; (I) as relações e propriedades
invariantes; e as representações simbólicas (R) – desenhos, tabelas, fórmulas,
dentre outras que são usadas para representar um conceito.
Pesquisadores apresentam classificações diversas para os significados de
fração. São cinco os significados presentes no campo dos Racionais, como afirma
Nunes, Bryant, Pretzlik e Hurry (2003): fração como parte–todo, fração como
quociente, medida, operador multiplicativo, número. Cavalcanti e Guimarães
(2008) acrescentam ainda os significados probabilidade e razão.
Para um melhor entendimento dos significados nomeados para este
estudo, utilizamos a definição trazida em Cavalcanti e Guimarães (2008) dos
significados “quociente” e “operador multiplicativo”, estes foram exemplificados
por Cavalcanti e Guimarães da seguinte maneira:
Quadro 1: definição e exemplos dos significados
Significado Definição Exemplo
Quociente
A fração indica uma divisão e seu resultado. Nas situações de quociente, temos duas variáveis, sendo que uma variável corresponde ao numerador e a outra ao denominador.
Em uma festa foram distribuídos 2 bolos para 6 crianças igualmente. Quanto cada uma vai receber?
Operador multiplicativo
A fração indica um valor escalar aplicado a uma quantidade, ou seja, um multiplicador da quantidade indicada.
Numa jarra contendo 900 ml de suco Pedro bebeu 1/3 do líquido. Quantos mililitros ele bebeu?
Fonte: Cavalcanti e Guimarães (2008)
A ideia de escolher apenas dois significados como objeto de pesquisa,
surgiu em face da extensão do trabalho e da impossibilidade de abarcar todos os
significados no Método adotado em curto período de tempo. É neste contexto que
este estudo se insere, uma vez que, ele nasce como produto de uma proposta
para avaliação da disciplina Números e Operações do Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática e Tecnológica.
Assim, nós estruturamos esta pesquisa no sentido de analisar a
compreensão, as estratégias e o desempenho dos alunos de 6º ano do Ensino
Fundamental de uma escola do Município de Olinda, quanto à resolução dos
problemas envolvendo os significados: operador multiplicativo e quociente.
O método
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O presente estudo trata-se de uma diagnose que tem o propósito de
investigar a ideias dos estudantes sobre o campo dos Racionais. Assim, as
investigações foram realizadas em duas turmas do 6º (sexto) ano, constituídas
por 65 estudantes matriculados em uma escola pública de Olinda. Portanto, na
fase de coleta dos dados, cada aluno resolveu individualmente, um conjunto de
problemas apresentados em uma lista.
O instrumento foi adaptado das pesquisas de Nunes, Campos, Magina e
Bryant (2002); Magina e Campos (2008) e envolve Números Racionais, no qual
constam 04 (quatro) problemas que abrangem a Ideia de representação
fracionária, distribuição equitativa e composição multiplicativa.
No primeiro momento as questões foram entregues aos estudantes, em
seguida os pesquisadores fizeram uma leitura dos itens em voz alta de todas as
questões e, posteriormente, os alunos iniciaram a resolução. A atividade foi
realizada durante a aula de Matemática com duração de 50 minutos. Para análise
dos dados, foi realizado um mapeamento das varáveis a serem observadas. Em
seguida foram organizadas as seguintes categorias: significado (quociente e
operador multiplicativo); Estrutura (distribuição equitativa e composição
multiplicativa), Variáveis: (discreta e contínua); notação (livre, estruturada);
habilidade (resolução de problema, representação). Os dados foram codificados,
digitados no programa SPSS tratados e analisados à luz do referencial teórico
que embasa este estudo.
O quadro a seguir apresenta as questões utilizadas na pesquisa e em
seguida algumas respostas dadas pelos estudantes.
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Quadro 2: Problemas apresentados aos estudantes para investigação. PROBLEMA 1 (Quociente)
PROBLEMA 2 (Quociente)
PROBLEMA 3 (Operador Multiplicativo)
1.) Temos três chocolates para distribuir igualmente entre quatro garotos.
a) Que parte do chocolate os garotos vão receber? Mostre a distribuição no desenho. b) Escreva em frações quanto cada um vai ganhar
2.) Na festa da escola os alunos da 3ª série (4º ano) receberam 4 pizzas para dividirem entre si. São 16 alunos.
a) Quanto cada aluno vai receber? b) Não havia na sala uma mesa ao redor da qual todos pudessem se assentar. Se os alunos se separarem em duas mesas, quantos alunos e quantas pizzas serão por mesa?
3.) João e Luís estavam jogando com suas bolinhas de gude e quiseram contar quantas bolinhas de gude cada um tinha ao final de uma partida.
a) João ganhou 1/3 das bolinhas
de gude.
b) Luís ganhou 2/3 das bolinhas de gude.
Fonte:Problemas adaptados de Nunes, Bryant, Magina e Campos (2002); Magina e Campos
(2008).
Ressaltamos, porém, que neste artigo estão analisadas apenas três dos
quatro itens propostos.
Resultados e discussão
Iniciamos as nossas análises investigando o acerto e erro dos estudantes
em relação aos tipos de problema. A tabela 1mostra que nas questões 1a, 1b, 2a
e 2b, que envolviam o significado quociente, tiveram o índice de acertos bastante
expressivo ao contrário das questões 3a e 3b que envolviam o significado
operador multiplicativo. Esses resultados apontam para a mesma direção dos
estudos de Cavalcanti, Câmara dos Santos e Jófili (2007), nos quais os
estudantes apresentaram as mesmas dificuldades ao responderem esse tipo de
questão. Na tabela 1 visualizamos o percentual das respostas dos estudantes por
tipo de questão.
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RESPOSTAS DOS ESTUDANTES
Acertou errou Não respondeu
TIPO DE
QUESTÃO
1a (quo) 30,8% 60% 9,2%
1b (quo) 7,7% 76,9% 15,4%
2a (quo) 80% 18,5% 1,5%
2b (quo) 52,3% 26,2% 6,2%
3a(op) 9,2% 69,2% 21,5%
3b (op) 10,8% 75,4% 13,8%
Total 31,8% 54,4% 11,3%
Tabela 1: acerto/erro por tipo de questão
Como podemos observar, as questões 1 e 2, que exploram o mesmo
significado (quociente), também apresentaram um índice de acerto e erro
diferenciados. Acreditamos que o grau de complexidade característico de cada
questão talvez possa ter contribuído para o tipo de resposta dada.
Na questão 1a, por exemplo, dos 65 estudantes investigados apenas
30,8% responderam corretamente. Na questão 1b, dos 65 estudantes que
responderam esta questão, o número de acertos caiu para 7,7%. Esse resultado
nos mostra que dependendo do nível de dificuldade da questão, os alunos podem
não responder ou responder de maneira inadequada a questão proposta. Uma
vez que na questão 2a e 2b, relativamente mais simples, os estudantes se saíram
bem melhor, porquanto a tabela 1 da página anterior nos mostra que o índice de
acerto aumenta para 80% das 65 respostas na questão a e 52,3% acertos das 65
respostas na questão b.
As respostas possíveis para o problema 1a se assemelham as encontradas
no estudo de NUNES (2002). Nós classificamos este problema como um
problema estruturado. Consideramos por questão estruturada àquelas em que o
estudante obrigatoriamente teria que utilizar o desenho ou responder conforme a
exigência do enunciado. No caso do problema 1a, possivelmente, o estudante
deveria seguir três tipos de estratégias. A primeira seria dividir os dois primeiros
chocolates em duas partes e dar a metade da barra a cada uma das pessoas, a
última barra seria dividida em quatro partes e distribuída de forma igual para
todos.
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A segunda possibilidade de resposta seria de imediato fazer a divisão das
três barras de chocolate em quatro pedaços cada uma, totalizando 12 pedaços
que seriam divididos por quatro pessoas, resultando em três pedaços para cada
uma. Ambas as possibilidades apoiando-se no desenho, ou ainda, responder a
questão só pelo enunciado. Independentemente da estratégia utilizada, seja por
desenho ou através do enunciado, a representação esperada em fração seria
3/12 ou a qualquer fração equivalente.
Destacamos como exemplo uma resposta dada por um estudante, que:
dividiu cada barra de chocolate em 4 pedaços e deu 3 pedaços a cada um.
Figura 1 – Resposta da questão 1a do protocolo 14
Outro exemplo de resolução apresentado surge quando o estudante afirma
não saber responder, mas faz a divisão correta dos chocolates utilizando o
desenho, dividindo 2 chocolates ao meio e o terceiro em 4 partes e utiliza setas
para mostrar de quem é cada pedaço. Isso evidencia que apesar de alguns
estudantes não saberem representar o resultado por fração, eles mostram a
resposta usando o desenho.
Figura 2 - Resposta da questão 1a do protocolo 64
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Por outro lado, no que diz respeito às estratégias utilizadas para a
resolução das questões, percebe-se através da tabela 2 apresentada a seguir,
que o uso da linguagem natural se destaca com 52,3% do total.
ESTRATÉGIA
NR RPF RPD LN RDF RD RM TOTAL
questão
Acertou 0 1,5% 5,9% 22,8% 0 1,5% 0 31,8% Errou 8,7% 7,0% 9,5% 26,9% 1,3% 0,7% 0,3% 54,3% Não respondeu 11% 0 0 0,3% 0 0 0 11,3%
Legenda: NR=não resolveu; RPF=resolveu o problema com fração; RPD=resolveu o problema por desenho; LN=linguagem natural; RDF=resolveu por desenho e fração; RD=resolveu por divisão; RM= resolveu por multiplicação.
Tabela 2: erro/acerto por tipo de estratégia
O que acontece quando os estudantes utilizam só a notação ou desenho?
Se realizarmos uma comparação entre os acertos das questões 2a e 2b, 3a e 3b
que envolvem os significados quociente e operador multiplicativo, observamos
que para ambas, o tipo de notação mais freqüente foi a resposta por número
inteiro, utilizando como estratégia de resolução a linguagem natural, por exemplo,
um dos estudantes respondeu a questão 2a da seguinte maneira: cada um dos
alunos vai receber 2 pedaços. Na questão 2b, ele respondeu: 8 alunos e duas
pizzas para cada.
Figura 3 - Respostas da questão 2a e 2b do protocolo 26
Dessa forma, 33% dos estudantes que resolveram as 4 questões utilizaram
esse tipo de estratégia, uma vez que nas questões 2a e 2b a notação era livre e
na 3a e 3b a notação era estruturada. Entendemos por questão livre, a utilização
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ou não do desenho para a resolução da questão e a possibilidade dos estudantes
terem a liberdade para responder do jeito que acreditassem.
Chamamos atenção para as questões 3a e 3b, que envolvia o significado
operador multiplicativo com quantidade discreta. Nestas questões, dentre os 65
protocolos analisados, cerca de 90% dos estudantes não resolveu ou deixou em
branco as alternativas do enunciado. Percebemos que os estudantes não
estavam associando o desenho aos itens de resposta, por exemplo: numa das
respostas dadas pelos estudantes, um deles respondeu que João ganhou 13
bolinhas de gude e Luís 23. Já em outra resposta, o estudante solucionou as
questões multiplicando o numerador pelo denominador, resultando em João
ganhou 3 bolinhas e Luís 6.
Figura 4 – Respostas das questões 3a e 3b do protocolo 26
Percebemos que os estudantes não demonstram noções sobre a utilização
da notação fracionária, nem utilizaram o desenho como apoio para as respostas,
exceto na questão 1a na qual o desenho é utilizado por todos os participantes.
Conclusões
Em relação a nossa pergunta de pesquisa, que era se os alunos do 6º ano
sabem trabalhar com frações, percebemos que a representação fracionária é
quase inexistente na resolução das questões, ou quando usada, o seu uso ocorre
de maneira inadequada.
Por outro lado, ficou explicita a utilização de estratégias que tomam por
base o desenho proposto na questão. Entretanto, essa representação não foi
suficiente para que os estudantes conseguissem resolver adequadamente as
questões propostas.
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Isso fica evidenciado especialmente nas questões 2a e 2b que envolvem o
significado quociente e a notação livre e as questões 3a e 3b referentes ao
significado operador multiplicativo, com notação estruturada. Visto que boa parte
dos estudantes acertaram a primeira (2a,2b) e erraram a segunda (3a,3b).
Constatamos que os estudantes mostraram respostas através do desenho,
especialmente na questão 1a, mas demonstraram não saber notar por fração
mesmo em outras situações que requeriam tal procedimento.
Outro aspecto a ser evidenciado neste estudo é que os estudantes
parecem demonstrar a não ruptura na passagem da compreensão das estruturas
aditivas para as multiplicativas. Uma vez que, nas questões propostas, os
participantes utilizaram várias estratégias que tomavam por base a adição ou por
vezes, a multiplicação e divisão, quando esse tipo de estratégia não era
adequada para a situação, levando-os assim ao erro.
Esse estudo nos ajuda a refletir sobre a importância de trabalhar os
números racionais e seus significados desde os anos iniciais do ensino
fundamental. Tal afirmativa apoia-se nas dificuldades encontradas pelos
estudantes diante das situações propostas e se nos basearmos especialmente
nas respostas dadas pelos estudantes para a questão 1a, na qual foi possível
resolvê-la adequadamente. Nunes e colaboradores (2002) também nos
mostraram em seus estudos essa possibilidade ao encontrarem resultados
bastante positivos com crianças em idade de 7 a 11 anos da Inglaterra e do
Brasil.
Os resultados apontam para a lacuna no ensino e aprendizagem dos
números racionais como operador e outros significados. A fração é reconhecida
pelo aluno quase que exclusivamente como parte-todo, apesar de em muitos
casos eles terem condições de resolver por outras estratégias os problemas. Este
resultado traz luz aos professores e educadores matemáticos para a necessidade
de dirigir atenção na elaboração, experimentação e análise de abordagens de
ensino que tragam os demais significados do racional, com o uso de sua
representação fracionária, para os anos iniciais do Ensino Fundamental.
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Referências
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