As regras de Kirchoff..pdf

Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 1

2°S-2005

As Leis de Kirchhoff( *) As Regras de Kirchhoff são:

1. A soma das correntes em qualquer junção de circuito é zero.

Figura 1 - Lei dos nós (a) e Lei das malhas (b).

i1 (a) i i2

2. A soma das diferenças potenciais ao redor qualquer circuito fechado é zero.

(b) a r2 b ε2 c R1 d - ε1 - + I + i R2

r1 R4 R3 + - h g f ε3 e Tabela I – Tensão em componentes do circuito (b).

Componente

Diferença de Potencial de x á y

Valor

Resistor r2 Va-Vb - r2.I Gerador ε2 Vb-Vc − ε2Resistor R1 Vc-Vd - R1.I Resistor R2 Vd-Ve - R2.I Gerador ε3 Ve-Vf − ε3Resistor R3 Vf -Vg - R3.I Resistor R4 Vg -Vh - R4.I Resistor r1 Vh-Vi - r1.I Gerador ε1 Vi-Va + ε1

Notação de sinais:

Sentido da análise Sentido da corrente I

• Gerador e resistor:

Biografia - Kirchhoff ( *) Kirchhoff Nasceu em 12 de março de 1824 em Königsberg, Prussia (hoje Kaliningrad, Russia) e morreu em 17 de outubro de 1887 em Berlin, Alemanha. Era um estudante de Gauss. Ele ensinou em Berlim em 1847 e Breslau. Em 1854 ele foi designado a professor de físicas a Heidelberg onde ele colaborou com Bunsen. Foi um físico que fez contribuições importantes à teoria de circuitos e elasticidade. As leis de Kirchhoff, anunciadas em 1854, permitem cálculo de correntes, voltagens e resistências de circuitos elétricos que estendem o trabalho de Ohm. O trabalho dele em radiação de corpo negro era fundamental no desenvolvimento de teoria do quantum. Kirchhoff foi o primeiro a explicar as linhas escuras presentes no espectro do sol espectro como causa da absorção de comprimentos de onda particulares. Isto começou uma era nova em astronomia. Em 1875 ele foi designado à cadeira de físicas matemáticas em Berlim. Sua inaptidão o levou a gastar muito tempo de sua em muletas ou em uma cadeira de rodas. O melhor trabalho conhecido são as quatro obra-prima de volume Vorlesungen über mathematische Physik (1876-94).

Geradores, Receptores e Aparelhos de

medida.

Geradores - Introdução: Se uma quantidade de carga atravessa um resistor, estabeleceu-se uma diferença de potencial entre seus terminais. Para manter-se esse fluxo de carga constante, é necessário conectar ao resistor um gerador , o qual possui uma força eletromotriz (fem), que realiza trabalho sobre a carga, mantendo-a constante sobre o resistor; analogamente ao que acontece a uma bomba de água que faz com que o escoamento de água em uma tubulação de irrigação seja constante. Um dispositivo que possui uma força eletromotriz é uma bateria ; outro é o gerador


2°S-2005

elétrico. Células solares são também dispositivos que possuem a fem. i - +

2 4 6 8I

5

10

15

20

25

30

35

40U

r ε

Equação do gerador (i,U):

irU ⋅−= ε

Figura 2 – Gráfico U vs. i para gerador.

Algumas retas características estão indicadas na

figura acima. O valor de corrente pelo qual a tensão nos

terminais do gerador é nula, é denominado de corrente de curto circuito (icc) e é a máxima corrente lançada por um gerador num circuito. icc - + r ε

riirU cc

εε =⇒=⋅−= 0

Baterias são utilizadas em muitas aplicações:

carros, PCs, laptop, MP3 e telefones celulares. Uma bateria possui essencialmente uma química capaz de produzir elétrons. Reações químicas que produzem elétrons são chamadas de reações eletroquímicas

A Bateria Básica:

Se você observou uma bateria, notou que ela possui dois terminais. Um positivo do (+) e outro terminal negativo (-). As células de Nas AA, ou de C D extremidades da bateria são os terminais. Em uma bateria de um carro, há duas peças que atuam como terminais.

Os elétrons são coletados numa bateria no terminal negativo. Se você conectar um fio no terminal negativo para o positivo, fluirão elétrons do terminal negativo para o terminal positivo tão rápido quanto podem. Normalmente pode-se conectar algum dispositivo à uma bateria, como uma lâmpada, uma lanterna de automóvel, ou usando um fio em uma bateria.

Dentro da própria bateria, uma reação química produz elétrons. Uma velocidade dos elétrons produzida

por essa reação química (resistência interna da bateria) controla quantos elétrons podem fluir e entrar em seus terminais. Elétrons fluem na bateria para fio e o fazem do terminal negativo para o terminal positivo pela reação química, que pode durar até um ano. Uma vez conectado fio do, um inicia-se de química de reação.

Figura 3 – Ilustração do circuito de uma bateria.

i - + (i Convencional) r ε

i (real:sentrido dos elétrons)

A Química da Bateria: Se você quer saber como são as reações químicas existentes numa bateria, é fácil realizar experimentos na própria casa tentando obter diferentes combinações. Para fazer esses experimentos cuidadosamente, gastando cerca de R$10,00 - R$30 ,00 em uma casa de componentes eletrônicos. Adquira um fio (1m) que para baixas voltagens e baixas correntes (de 5 - 10 mA).

A primeira bateria foi criada por Alessandro Volta em 1800. Para criá-la, ele montou um conjunto de finas placas alternando camadas de zinco intercaladas por papel embebido em água salgada e (prata), como mostra a figura.

Esse arranjo era conhecido como "pilha voltaica". As camadas superiores e inferiores consistiam de metais diferentes. Se você conectar os extremos, é possível medir uma voltagem da pilha. Você pode aumentar o valor da voltagem com o aumento do crescimento das camadas.

Você pode criar sua própria pilha voltaica usando moedas e toalha de papel. Misture sal com água (tanto sal quanto a água segurará) e empape a toalha de papel nesta salmoura. Então crie uma pilha alternando moedas de diferentes tamanhos. Veja que tipo de voltagem e corrente produz a pilha.

Figura 4 – Ilustração de uma bateria alimentando

um motor (a) e estrutura interna de uma bateria (b).. (a)


2°S-2005

(b) Outros metais para tentar incluem chapa de

alumínio e aço. Cada combinação metálica deveria produzir uma voltagem ligeiramente diferente.

Nos 1800s, antes da invenção do gerador elétrico (o gerador não foi inventado e foi aperfeiçoado até os 1870s), a cela de Daniel (que também é conhecida através de três outros nomes--a "cela" de Crowfoot por causa da forma típica do elétrodo de zinco, a "cela" de gravidade porque gravidade mantém o dois sulfates separados, e uma "cela molhada" ao invés da cela seca moderna (porque usa líquidos para os eletrólito), era extremamente comum para telégrafos operacionais e doorbells. A cela de Daniell é uma cela molhada que consiste em cobre e zincoe uma chapa de cobre e sulfato de zinco.

Article by: J J O'Connor and E F Robertson Baterias são utilizadas em muitas aplicações: em

carros, PCs, laptops, MP3 players e telefones celulares. Uma bateria possui essencialmente uma química capaz de produzir elétrons. Reações químicas que produzem elétrons são chamadas de reações eletroquímicas.

Figura 5 – Diagrama das camadas que constituem a

pilha

Esse arranjo era conhecido como “pilha

voltaica”. As camadas superiores e inferior consistiam de metais diferentes. Se você conectar os extremos, é possível medir a voltagem e a corrente na pilha. Você pode aumentar a pilha aumentando assim a voltagem com o crescimento das camadas.

Figura 6 – Diagrama das camadas de uma pilha (a) e

bateria ideal (b). (a) (b)


2°S-2005

Reações de bateria Provavelmente a bateria mais simples que você

pode criar é chamada uma bateria de zinco carbono. Entendendo a reação química que entra em nesta bateria você pode entender como baterias trabalham em geral.

Imagine que você tem um pote de ácido sulfúrico (H2SO4). Colocando uma barra de zinco nisto, o ácido começará a corroer o zinco imediatamente. Você verá gás de hidrogênio borbulhando e forma no zinco, e a barra e ácido começarão a aquecer. Está acontecendo:

As moléculas ácidas migram para cima com três íons: dois íons de H+ e um íon SO4.

Os átomos de zinco na superfície da barra de zinco perdem dois elétrones (2e-) se tornar íons de Zn++.

Os íons de Zn++ combinam com os SO4 íon para criar ZnSO4 que dissolvam no ácido.

Os elétrons dos átomos de zinco combinam com os íons de hidrogênio no ácido para criar moléculas de H2 (hidrogênio gasoso). Nós vemos o hidrogênio subir como gás como bolhas que formam na barra de zinco.

Se você agora introduzir uma barra de carbono no ácido, o ácido não faz nada a isto. Mas se você conecta um arame entre a barra de zinco e a barra de carbono, duas mudanças ocorrem.

• Os elétrons fluem pelo arame e combina com hidrogênio na barra de carbono, assim gás de hidrogênio começa a borbulhar a barra de carbono.

• Há menos calor. Você pode dar potência a uma lâmpada incandescente ou carga semelhante que usa os elétrons que fluem pelo arame, e você pode medir uma voltagem e corrente no arame. A energia do calor se transforma em movimento dos elétrons.

Os elétrons vão se mover à barra de carbono porque há mais facilidade em se combinar com hidrogênio. Há uma voltagem característica na cela de 0.76 volts. Eventualmente, a barra de zinco dissolve completamente os íons de hidrogênio no ácido se acostumam e os estampa " de bateria ".

Em qualquer bateria, o mesmo tipo de reação eletroquímica acontece de forma que elétrons movam de um lado para o outro. Os metais e o eletrólito usado controlam a voltagem da bateria. Cada reação diferente tem uma voltagem característica. Por exemplo, aqui é o que acontece em uma cela da bateria de conduzir ácido de um carro:

• A cela tem um prato feito de chumbo e outro prato feito de dióxido de chumbo, com um eletrólito de ácido sulfúrico forte no que os pratos são submergidos.

• Chumbo combina com SO4 para criar PbSO4 mais um elétron.

• Condução de dióxido, íons de hidrogênio e íons SO4 , mais elétrons do chumbo crie PbSO4 e molhe no prato de dióxido de chumbo.

• Como as descargas de bateria, ambos os pratos constroem PbSO4 (conduza sulfato), e água constrói no ácido. A voltagem característica é de

aproximadamente 2 volts por célula, assim combinando seis células você adquire uma bateria de12V.

Tipos de Baterias:

Uma bateria de condução de ácido tem uma característica agradável: a reação é completamente reversível. Se você aplica corrente para a bateria à voltagem certa, conduz a formação de dióxidos e formam novamente nos pratos; assim você pode usar de novo a bateria. Em uma bateria de zinco-carbono, não há nenhum modo fácil para inverter a reação porque não há nenhum modo fácil para voltar gás de hidrogênio no eletrólito.

Baterias modernas usam uma variedade de substâncias químicas para dar poder a as reações. Baterias euímicas típicas incluem:

• Bateria de "zinco-carbono”. Também conhecido como uma bateria de carbono padrão (standard). Os elétrodos são zinco e carbono, com uma pasta ácida entre eles servindo como o eletrólito.

• Bateria alcalina - Pilhas Duracell e baterias de Energizer em comum, os elétrodo são zinco e manganês-óxido, com um eletrólito alcalino.

• Bateria de Lithium (fotografia) - Lithium, lithium-iodide e conduzir-iodide é usado em máquinas fotográficas por causa da habilidade para prover ondas de calor.

• Bateria ácida - Uso em automóveis, os elétrodo são feitos de chumbo e óxido como um eletrólito ácido forte (recarregável).

• Bateria de "níquel-cádmio” - Os elétrodos são hidróxidos de níquel e cádmio, com hidróxido de potássio como eletrólito (recarregável).

• Bateria de metal de níquel - Esta bateria está substituindo a de níquel-cádmio rapidamente porque não sofre do efeito de memória que níquel-cádmio fazem (recarregável).

• Bateria Lithium-íon - Com uma relação de potência boa, é achada freqüentemente em computadores laptop e telefones celulares. (recarregáveis).

• Bateria de zinco - Esta bateria é de peso leve e recarregável.

• Bateria de óxido de "zinco-mercúrio” - Isto é freqüentemente usado na ajuda para audição.

• Bateria de “prata-zinco” - Usada em aplicações aeronáuticas porque a relação de poder-para-peso é boa.

• Bateria de “metal-cloreto” - Usada em veículos elétricos.


2°S-2005

Potência Elétrica do gerador:

Se multiplicarmos por i a equação do gerador:

2iriiU ⋅−⋅=⋅ ε Denominamos de:

2 4 6 8I

10

20

30

40

50

60Pu

• Potência Total: Também denominada de Potência lançada :

iPl ⋅= ε • Potência dissipada: Potência dissipada por efeito

Joule na Bateria pela resistência interna. 2irPd ⋅=

• Potência útil: Potencia aproveitada da bateria . 2iriiUPu ⋅−⋅=⋅= ε

A máxima potência útil ocorrerá quando:

riir

didPu

⋅=⇒=⋅⋅−⇒=

2020 εε

Ou:

2cci

i =

Substituindo esse valor de corrente na expressão da potência útil, teremos:

rPu 4

2

maxε

=

Os gráficos a seguir ilustram as curvas características da potência útil para uma bateria.

Figura 7 – Gráfico da Potência útil versus corrente num

gerador.

• Arranjos ou associações de geradores. Em quase qualquer dispositivo que usa baterias,

você não usa uma célula de cada vez. Você regularmente as agrupa serialmente para formar voltagens mais altas, ou em paralelo para formar correntes mais altas. Em um arranjo consecutivo, somam-se as voltagens. Em um arranjo paralelo, somam as correntes. O diagrama seguinte mostra estes dois arranjos. Podemos associar geradores de duas formas: em série e em paralelo.

Na associação em série de n geradores de iguais força eletromotriz e e iguais resistência onterna r, as forças eletromotrizes se somam e também se somam suas resistências internas:

ε εeq eqn r nr= ↔ = Já na associação em paralelo de n geradores iguais, , a fem do gerador equivalente é a mesma e a resistência interna do gerador equivalente fica dividida por n:

ε εeq eqrnr= ↔ =

Figura 7 – Associação em paralelo (a) e série (b) de

geradores. Tipos de pilhas (c). Circuitos com mais de uma fonte (d)

(a) (b) (c) (d) Quando duas fontes são conectadas entre si num

único circuito, a fonte que possui fem maior fornece energia para a outra.


2°S-2005

O arranjo anterior (a) é chamado de arranjo paralelo. Se você assume que cada célula paralela também produzirá 1.5 volts, mas a corrente será quatro vezes isso de uma única cela. O arranjo inferior é chamado de arranjo consecutivo. As quatro voltagens se somam para produzir 6 volts.

Esquematicamente teremos os seguintes circuitos:

• Série: Circuito equivalente: Força eletromotriz equivalente:

∑=

=N

iieq

1εε

Resistência equivalente:

∑=

=N

iieq rr

1

• Paralelo: Circuito equivalente:

Força eletromotriz equivalente: εε =eq

Resistência equivalente:

nrreq =

• Exemplos de associações:

Nas figuras, encontre a corrente que circula em

cada malha: Figura 8 – Tipos de associações entre geradores: (a)

(b) (c) (d)


2°S-2005

(e) (f) (g) (h)

(i) Qual a indicação do voltímetro? (j) Procedimento experimental para medir a corrente

e a fem de um gerador. (j) (k)


2°S-2005

(l) (m) (n)

(o) (p)


2°S-2005

(q) Normalmente, quando você compra um pacote

de baterias, o pacote lhe contará a voltagem e avaliação de corrente para a bateria. Por exemplo, uma máquina fotográfica digital usa quatro baterias de níquel-cádmio que estão avaliados em 1.25 volts e 500 milliampéres-horas para cada célula. • Trabalho, Energia e fem: Em um dispositivo com uma fem, tal como uma bateria, há uma terminal carregado positivamente e um terminal carregado negativamente. Na figura abaixo representamos o sentido da corrente convencional em uma bateria. Uma vez que as cargas entram no dispositivo, este realiza trabalho sobre elas, forçando-as ao polo positivo e fechando o ciclo. A energia que o dispositivo utiliza para tal processo pode ser de origem química, como uma bateria, ou mecânica, como em um gerador de Van de Graaff. Pode ainda utilizar energia solar, como em células solares.

Figura 9 – Fonte de tensão em circuito aberto (a) e em curto-circuito (b). (a) (b) Assumimos que a carga deva entrar no dispositivo no terminal onde há o potencial mais baixo, e deva deixá-lo no potencial maior. O dispositivo deve realizar um trabalho dW no elemento de carga dq, para força-lo a se mover. Definimos a força eletromotriz e no dispositivo como sendo:

ε =dWdq

Em outras palavras, a força eletromotriz é o trabalho por unidade de carga para que o dispositivo mova a carga do mais baixo potencial ao maior. A unidade do SI é o joule por coulomb ou o volt (V). Um dispositivo gerador ideal é aquela que não apresenta resistência interna para mover a carga de um terminal ao outro. A ddp entre os terminais é igual a fem do dispositivo. Por exemplo, uma bateria de fem 12 V tem ddp de 12V. Um dispositivo gerador rea l, é aquele que apresenta resistência interna para o movimento interno da carga. A seguir representamos o gerador ideal e o real.


2°S-2005

Figura 10 – Geradores real e ideal.

(a) Gerador real. (b) Gerador ideal. Nesses circuitos para analisar a corrente que percorre a resistência, temos que obedecer às seguintes regras: 1) A soma algébrica da mudança do potencial em um caminho completo do circuito dever ser zero. 2) A corrente entrando pelo pólo negativo e saindo pelo pólo positivo de um dispositivo (gerador ou resistor): e > 0 ou V > 0 . 3) A corrente entrando pelo pólo positivo e saindo pelo pólo negativo de um dispositivo ( gerador ou resistor): e < 0 ou V < 0 . 4) A corrente entrando em um nó, se divide de tal forma que a soma das partes que saem do nó é igual a que chega. Estas regras são denominadas Regras de Kirchhoff . Considere um nó em que chega uma corrente i como indica a figura abaixo: Figura 11 – Lei dos nós.

Então: 4231 iiii +=+

Assim aplicando essas regras ao gerador ideal e chamando de a o pólo positivo::

V iR V ia a R+ − = ⇒ =ε ε Para o gerador real, teremos:

ε ε− − = ⇒ = +ir iR i r R0 Esta também é chamada de Lei de Ohm-Pouillet.

Para representarmos o gerador entre dois pontos A e B de um circuito, utilizamos o símbolo: Figura 12 – Geradores e tensão nos trerminais (a). Variação da tensão nos elementos de um circuito (b). (a)

(b) A tensão entre os pontos a e b é dada por:

ri= −ε V Multiplicando por i a relação acima chegamos a:

i ri P P Pu t d= − ⇒ = −ε 2 Vi Nessa equação, Pu= V . i é a potência útil

, Pt = e . i é a potência total e é a potência dissipada na resistência interna do gerador.

Pd = ri2

Definimos como o rendimento h do gerador, a relação dada por:

η η ε= ⇒ =PP

Vu

t

O rendimento é a relação entre a potência elétrica lançada e a potência total. • Receptores: Existem aparelhos capazes de receber energia elétricas e transformá-las em outras formas de energia que não sejam exclusivamente térmica. Esses aparelhos denominam receptores e funcionam quando estão ligados a um circuit, onde existem um ou mais geradores.Como exemplos de receptores, citamos os aparelhos domésticos como o liquidificador, batedeira e furadeira, que transformam energia elétrica em mecânica. Acumuladores formados por placas de chumbo dentro de um eletrólito , transformam energia elétrica em energia química. Receptor elétrico é o aparelho que transforma energia elétrica em outras formas de energia que não sejam exclusivamente térmica. Esquema do receptor: Como o receptor recebe energia elétrica do circuito, as cargas elétricas que constituem a corrente vão do


2°S-2005

potencial maior (pólo positivo) ao potencial menor (pólo negativo). Todavia, um receptor não poderá transformar toda a energia elétrica recebida em energia útil, não elétrica. Uma parte dessa energia dissipa-se na resistência interna r' de maneira análoga ao que ocorre no gerador. Para os receptores mais comuns em funcionamento verifica-se que a potência elétrica útil do receptor é diretamente proporcional à corrente que o atravessa. Se Pu é a potência elétrica útil do receptor e i a corrente que o atravessa, temos:

P iuPiu= ⇒ =ε ε' . '

Aqui, e' é a força contra eletromotriz (fcem ) , uma constante de proporcionalidade. Sua unidade no SI é o volt (V). A equação do receptor e seu esquema é mostrado a seguir:

i

V ri= +ε '

As potências útil, total e dissipada do receptor são deduzidas de maneira análogas ao do gerador.

• Aparelhos de medida elétrica: Muitos instrumentos de medida elétrica envolvem circuitos que podem ser analizados por métodos que discutiremos: 1) O Amperímetro : O instrumento usado para se medir corrente é o amperímetro. Para medir a corrente em uma resistência, colocamos o amperímetro em série com essa resistência.

Figura 13 – Montagens com amerímetro e voltímetros.

A resistência interna de um amperímetro ideal é nula para que toda a corrente elétrica passe pelo amperímetro. 2) O Voltímetro : É o aparelho usado para medir diferença de potencial Para encontrar a diferença de potencial entre dois pontos em um circuito ou em uma resistência, necessitamos colocar o voltímetro em paralelo com a resistência. A resistência interna de umvoltímetro ideal é infinita, para que não passe corrente por ele. 3) O potenciômetro : O potenciômetro é um aparelho que mede uma desconhecida força eletromotriz ex comparando com uma fem padrão es.

Exercícios 1) Qual o trabalho que uma bateria ideal de 12 V de fem realiza em um elétron que passa pelos terminais da bateria? Se 3 4 elétrons passam a cada segundo, qual a potência da bateria?

1, . 08

2) Uma corrente de 5 A percorre um circuito com uma bateria de 6V de fem por 6 min. Qual a energia química reduzida da bateria? 3) Uma bateria de flash pode desenvolver 2 W-h de energia depois de ligada. a) Se a bateria custa 80 cents, qual é o custo de operação de uma lâmpada de 100W durante 8h de uso da bateria? b) Qual é o custo da bateria se usamos a potência de uma determinada compania a 12 cents por kW-h. 4) Na figura vemos e1=12V e e2=8V. a) Qual a direção da corrente no resistor? b) Qual bateria está realizando trabalho positivo? c) Qual ponto, a ou b está no maior potencial?

1 2

R

a b

5) Um fio de resistência 5W é conectado em uma bateria de fem 2 V e resistência interna 1W. Em 2 min: a) Quanta energia é transferida de energia química para energia elétrica?


2°S-2005

b) Quanto de energia aparece no fio na forma de energia térmica? c) Qual a diferença entre os ítens a e b? 6) Encontre a corrente que circula nos circuitos abaixo:

a)

3,0

2,0

150V 50V

b)

20 30

40120V 220V

As equações de Poisson e Laplace:

Podemos escrever a equação:

vD ρ=⋅∇ como:

ερvV =2∇

Essa é a equação de Poisson, e quando a densidade de cargas volumétrica é nula, denomina-se equação de Laplace:

02 =V∇ Aqui, “2 é denominado de operador Laplaciano, e pode ser escrito em coordenadas cartesianas por:

2

2

2

2

2

22

zV

yV

xVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Em coordenadas cilíndricas:

2

2

2

2

22 11

zVVVV

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=φρρ

ρρρ

∇

Em coordenadas esféricas:

2

2

2222

22 111

φθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇V

senrV

sensenrr

Vr

rrV

Teorema da Unicidade:

Se V1 e V2 são soluções da equação de Laplace, então cada solução deve satisfazer as condições de fronteira, e se representamos os valores dos potenciais na fronteira por Vb, os valores dos potenciais devem ser iguais na fronteira:

V1b = V2b Depois das condições de fronteira estarem definidas, os passos necessários para dado V, determinar a capacitância, teremos:

1. Dado V, determinar E:

V∇−=E

2. Determina D: r

D VE ∇−== εε 3. Calcule a densidade de carga superficial:

Ns D=ρ 4. Encontre a carga por:

dSs

s∫∫= ρQ


2°S-2005

5. Determine a capacitância: 5. Determine a capacitância: Exemplo 1 – Seja o problema de resolver a equação: Exemplo 1 – Seja o problema de resolver a equação:

02 =∇ V Com as condições de contorno:

⎩⎨⎧

==

⇒=by

yV

00 ;

⎩⎨⎧

∞→=

⇒=xx

VV0

0

Ou seja, o potencial de dois eletrodos paralelos e aterrados em y=0 e y = b. y b V0 0 x Com o método da separação de variáveis:

)()()(),,( zZyYxXzyxV = Substituindo na equação de Laplace e dividindo por V, teremos:

01112

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇zZ

ZyY

YxX

XV

Pode-se escrever:

32

2

22

2

12

2 111 Cdz

ZdZ

Cdy

YdY

Cdx

XdX

=⇔=⇔=

Com: 0321 =++ CCC É de se esperar que a solução não tenha dependência em z. Portanto C3 = 0 e chamando:

21221 0 kCCCC =−=⇔=+

Assim:

022

2

=− Xkdx

Xd

022

2

=+ Ykdx

Yd

kyBAsenkyyY cos)( += Aplicando as condições de contorno:

⎩⎨⎧

==

⇒=by

yV

00

πnkbAsenkbBBAsen =⇒=⇔=⇒=+ 0000( )3,2,1;)( == n

bynAsenyY π

02

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− X

bn

dxXd π

bxnbxn HeGex ππ −+=)(X

V

Aplicando as condições de contorno, teremos:

⎩⎨⎧

∞→=

⇒=xx

V0

0

G = 0 Assim:

bxn

eb

ynCsenyxππ −

=),(V

Para que a condição V(x=0, y) = V0 devemos impor:

∑∞

=

−=

1),(

n

bxn

n eb

ynsenCyxππV

Para avaliar os coeficientes Cn usamos a condição de contorno:

01

),0( Veb

ynsenCyxn

bxn

n === ∑∞

=

−ππV

01

Vb

ynsenCn =π

n∑

∞

=

A série acima é denominada de série de Fourier. Usando a técnica e análise de Fourier, multiplicando ambos os membros da equação por sen(pπy/b) e integrando, teremos:

dyy

bpsenVdyb

ypsenb

ynsenCb

nn ∫∑ =

∞

= 00

1

πππb

∫0

Resolvendo o lado direito:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

=⇔=∫,6,4,20

,5,3,12 0

00

p

ppbV

dyy

bpsenVb

ππ

Resolvendo o lado esquerdo:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

≠⇔=∫ npbC

npdy

bypsen

bynsenC

n

b

n

2

0

0

ππ

Igualando:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

=⇔=,6,4,20

,5,3,14 0

n

nnV

n πC

determinamos que a solução é dada por:

∑∞

=

−=

,5,3,1

0 14),(

n

bxn

eb

ynsenn

Vyx

πππ

V

ou

( ) ( )[ ] ( )∑∞

=

−−−−

=0

120 1212

14),(

m

xmeymsenm

VyxV ππ

π


2°S-2005

Podemos obter numericamente a solução, de acordo com Patrick Tam, A Physicist´s Guide to Mathematica, Academic Press. Exemplo 2 – Solução para as linhas de força do campo elétrico e superfície equipotencial quando temos duas cargas puntiformes: (a) 2q e –q:

(b) +q e +q: Exemplo 3 – Campo entre duas placas paralelas aterradas e duas placas a potenciais opostos. y b V1 V2 0 x

{ 01 =⇒= xVV ; V { axV =⇒= 2 A solução geral que satisfaz as condições de contorno, é dada por:

bynseneBeAzyx

n

bxn

nb

xn

nπππ

∑∞

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1),,(V

Aplicando a condição de contorno em x =0:

( ) 11

),,0( Vb

ynsenBAzyxVn

nn =+== ∑∞

=

π

Os coeficientes são calculados pelo mesmo método de Fourier utilizado no exemplo1. Multiplicando a equação por sen ppy/b e integrando de y = 0 a y = b teremos:

( ) 20

bnn

b

BAdyb

ynsen +=∫π

1V


2°S-2005

Resolvendo o lado direito:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

=⇔=+,6,4,20

,5,3,14 1

n

nnV

BA nn π

Aplicando a condição de contorno em x =b:

bynseneBeAzybxV

n

bbn

nb

bn

nπππ

∑∞

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

1),,(

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

=⇔=+−

,6,4,20

,5,3,14 2

n

nnV

eBeA ban

nb

an

n πππ

Resolvendo o sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+−

π

π

ππ

nV

BAnVeBeA

nn

ban

nb

an

n

1

2

4

4

Teremos como solução:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

−

−

ban

ban

n

e

eVVn

A π

π

π 221

1

4

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

−

−−

ban

ban

ban

n

e

eVVneB π

ππ

π 212

1

4

, onde n=1,3,5,.... Assim o Potencial será dado por:

bynsene

e

eVVnee

e

eVVn

zyxVn

bxn

ban

ban

ban

bxn

ban

ban

πππ

π

π

πππ

π

π

∑∞

= −

−−−

−

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

12

122

21

1

4

1

4),,(

Solução da equação de Poisson para V

Diodo de junção p-n em silício: Se chamarmos de P e N o número de cargas positivas e negativas por metro cúbico e n e p o número de cargas móveis negativas e positivas por metro cúbico, a densidade de carga total será:

( )npNPet −+−=ρ

ερ tVE =−∇=⋅∇ 2

)(2 npNPeV −+−=∇−ε

Os elétrons de condução e os buracos se difundem dentro do material como moléculas em um gás.; assim, sobre equilíbrio térmico, p e n satisfazem a equação de Boltzmann da mecânica estatística:

kTeV

ep−

= 0p

kTeV

en0=n Aqui n0 é o mesmo valor de p ou de n no mesmo ponto onde o potencial V é escolhido ser zero, isso é, na origem. Assim:

)( 002 kT

eVkTeV

enenNPeV −+−=∇−

ε−

Como:

2

xx eesenhx−−

=

)2( 02

kTeVsenhnNPeV −−−=

ε∇

Podemos aproximar a relação:

( ) xt

ePNPe

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

εε02

−

Onde t é a espessura da junção e P0 um parâmetro conhecido. Assim a equação de Poisson ficaria:

xt

ePkTeVsenhen

dxVd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

εε0

02

2 22

Pode-se também estimar a densidade de carga pela relação:

ax

axhvv tanhsec2

0ρ=ρ

(Hayt, Cap.7,pg.123) Assim, a equação a resolver seria:

ax

axhV v tanhsec

20

2

2

εdxd ρ

−=

Integrando uma vez, teremos:

dxax

axh

dxv∫ −= tanhsec

20

εdV ρ

1sec2

0 Caxh

av +=εdx

dV ρ

Como:

dxdVEV x −=⇔∇−=E

1sec2

)( 0 Caxh

ax v +−=

εE

ρ

Para calcular a constante C1, note que nenhuma denidade de carga líquida e nenhum campo devem existir longe da junção. Assim: C1 = 0 Integrando novamente, teremos:


2°S-2005

dxCaxhxV v∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1sec

2)( 0

ερ

21

2

24

)( 0 CxCaxtgharctg

axV v ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

ερ

Escolhendo a referência de Potencial em V(x=0) = 0, teremos:

00204

)0( 21

20 =++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== CC

atgharctg

axV v

ερ

( ) 004

)0( 2

20 =+== Carctga

xV v

ερ

04

)0( 2

20 =+== Ca

xV v πε

ρ

επρ 2

20

4 aC v−=

Assim:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= π

ερ

axtgharctg

axV v

24

)(2

0

Os gráficos da densidade de carga, campo e do potencial estão esquematizados a seguir:

Para calcularmos a carga na junção:

dxax

axhv tanhsec2

00∫

∞

= ρQ

+∞→

→

−=x

xv a

xha0

sec20

ρQ

Como:

ax

ax

eeaxh

−+

=2sec

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

+→+∞→ axh

axhaQ

xxv seclimseclim200

ρ

002

2202 vv aa ρρ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=Q


2°S-2005

1a Prova Questão 1 – (3,0 Pontos)

Uma linha infinita de carga uniforme de densidade rL = +0,4 m.C/m está localizada no eixo z e é concêntrica a uma distribuição superficial de carga cilíndrica infinita de equação r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2. Considere e = e0.

(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o espaço.

(b) Assumindo que o potencial elétrico seja 0V em r

= 2m, encontre o potencial elétrico em r = 1 m e em r = 6m.

Questão 2 – (2,0 Pontos) Considere a densidade volumétrica de carga

20

0

re r

r

v

−

= ρρ existe em todo o espaço livre. Calcule a

carga total presente.

Questão 3 – (3,0 Pontos) A densidade de

fluxo elétrico é dada por C/mrar ˆ2=D 2 e é representada vetorialmente na figura a seguir.

Determine:

(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. (b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. (c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. (d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?

Questão 4 – (2,0 Pontos) A figura mostra a trajetória de um elétron

num tubo de raios catódicos, no qual um elétron deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s.

(a) Para atingir esta velocidade, através de qual ddp ele deve passar?

(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o campo elétrico entre as placas.

(c) Qual a densidade de carga superficial na placa?

y0


2°S-2005

Gabarito

Questão 1 – (3,0 Pontos) (a)

rL = +0,4 m.C/m e r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2.

Considere e = e0.

⎩⎨⎧

>+<

=⋅⇒=⋅ ∫∫∫∫ 4 se 24 se ρπρρ

ρρLRL

LSdDQSdD

sL

L

Si

S

⎩⎨⎧

>+<

=4 se 2

4 se 2

ρπρρρρ

ρπρ LRLL

LDsL

L

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

<=

4 se L2

2

4 se L2

ρρπ

πρρ

ρρπ

ρ

ρ LRL

L

DsL

L

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

<=

4 se ˆ2

2

4 se ˆ2

ρπρ

πρρ

ρπρρ

ρ

ρ

aR

aD

sL

L

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mCˆ2

8,024,0

4 se ˆ2

4,0

2

2

ρµπρπ

ρµπρ

ρ

ρ

aR

mCaD

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mCˆ2,32,0

4 se ˆ2,0

2

2

ρµπρ

π

ρµπρ

ρ

ρ

a

mCaD

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mCˆ1363,3

4 se ˆ06366,0

2

2

ρµρ

ρµρ

ρ

ρ

a

mCaD

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mˆ1363,3

4 se ˆ06366,0

0

0

ρρε

ρρε

ρ

ρ

Va

mVa

E

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⋅−

<=

4 se mVˆ

1054,3

4 se ˆ

22,7193

5 ρρ

ρρ

ρ

ρ

a

mVa

E

(b) Potencial:

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

Em r = 1 m:

∫ ⋅−=−= ====

2

1121,2 LdEVVV ρρρρ

∫−=−= ====

2

1121,2

22,7193 ρρρρρρ dVVV

2ln22,7193ln22,71930 2

111,2 −=−=−= === ρρρρ VV

96,49851 −=− =ρV

V96,49851V ==ρ Em r = 6 m:

2446262,6 ======== −+−=−= ρρρρρρρρ VVVVVVV

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⋅−

<=

4 se mVˆ

1054,3

4 se ˆ

22,7193

5 ρρ

ρρ

ρ

ρ

a

mVa

E

∫∫ ⋅−+⋅−===

4

2

6

42,6 ldEldEV ρρ

∫∫ −⋅−−===

4

2

6

4

52,6 22,71931054,3

ρρ

ρρ

ρρddV

∫∫ −⋅===

4

2

6

4

52,6 22,71931054384,3

ρρ

ρρ

ρρddV

2ln22,719346ln1054384,3 5

2,6 −⋅=== ρρV

96,49854202,14369026 −=− == ρρ VV

V4598,1387046V ==ρ

Questão 2 – (2,0 Pontos)

20

0

re r

r

v

−

= ρρ Qe dvV

v∫∫∫= ρ

φθθρπ π

ddrdsenrr

errr

22

0 0 020

20

∫ ∫ ∫∞

−

=Q

dredsend rr

∫∫∫∞ −

=00

2

00

0

ππ

θθφρQ

[ ]∞→

=

−==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

r

r

rr

er0

0000cos2 πθ

θθπρQ

Q

[ ]000 022 rr +−= πρ

( )Cr 004Q ρπ= Questão 3 – (3,0 Pontos) densidade de fluxo elétrico: rarD ˆ2= C/m2

e é representada


2°S-2005

Determine: (a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m.

Dv ⋅∇=ρ

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂ D

rsensenD

rsenDr

rr r111 2

2

Dv ⋅∇=ρ ( )42

1 rrr ∂

∂= 3

2 41 rr

=

Dv ⋅∇=ρ r4= ; 316 mCv =ρ (b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m.

raD ˆ42= C/m2 ñ raD ˆ16= C/m2

(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m.

iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ

rarD ˆ2=

4

0

2

0

22 4 rddrr πθφψπ π

== ∫ ∫

Cππψ 102444 4 == (d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?

316 mCv =ρ

CAQ v ππρ 10241644 2 ===

Dv ⋅∇=ρ r4=

φθθπ π

ddrdsenrrQ 22

0 0

4

0

4∫ ∫ ∫=

φθθπ π

ddrdsenrQ 32

0 0

4

0

4∫ ∫ ∫=

ππ 102444 4 ==Q C

Questão 4 – (2,0 Pontos) 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. (a) Para atingir esta velocidade, através de qual

ddp ele deve passar? VqW ∆−=

dLaEQdW Lˆ⋅−=

VqW ∆−= = )(21 22

ifc vvmE −=∆

)(21 22

if vvme

V −=∆

))103()108((1031,9106,12

1 26263119 ⋅−⋅⋅

⋅⋅=∆ −

−V

VV 578,156=∆ (b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o

campo elétrico entre as placas. mVdVE /828,702,0578,156 ===

mkVE 83,7=

(c) Qual a densidade de carga superficial na placa? No interior:

9,78281085,8 120

0

⋅⋅==⇒= −EE εσεσ

228,69 mnC=σ


2°S-2005


Duas distribuições infinitas de carga uniforme de

densidades volumétrica rv = +2,0 m.C/m3 e outra de densidade superficial com rs = - 2,0 m.C/m2 estão localizadas de forma concêntrica ao eixo z e possuem raio ρ a= 2m e ρb =5m, respectivamente. Considere e = e0.

(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o espaço.

(b) Assumindo que o potencial elétrico tenha valor

0V em r = 3m, encontre o potencial elétrico em r = 2 m.

Questão 2 – (2,0 Pontos) Três densidades de cargas estão posicionadas no

espaço livre como se segue: ρs = 20 nC/m2 em z=-3m; ρL = -30 nC/m no eixo z e ρL = 40 nC/m em x = 2m,

z = 1m. Determine a magnitude de E em: (a) PA(1, 1, 2); (b) PB(-4,3, -1);

Questão 3 – (2,0 Pontos) A densidade de

fluxo elétrico devido a certa distribuição de carga é dada por:

( )22 2 ˆcos C

r mD r aθ=

e é representada vetorialmente na figura a seguir.

Determine:

(a) a densidade volumétrica de carga em: r = 1m, θ =π/3. (b) a densidade de fluxo elétrico em: r = 1m, θ =π/3.

Questão 4 – (3,0 Pontos) A figura mostra, para o campo potencial

em coordenadas cilíndricas:

( )250 cosV Vz

ρ φ=

,as superfícies equipotenciais correspondentes a V = 50V, 25V e 10V e o ponto P em ρ = 3m, φ = 30°, z = 2m, determine os valores em P para:

(a) V; (b) E. Como é posicionado em relação à

equipotencial no ponto P? (c) E; (d) dV/dN; (e) aN ; (f) ρv no espaço livre.


2°S-2005

Trabalho: dvV

v∫∫∫= ρQ VqW ∆−=

dLaEQdW Lˆ⋅−= Dv ⋅∇=ρ

S∫∫

Energia cinética

Teorema da Divergência (Teorema Gauss): )(

21 22

ifc vvmE −=∆ dVFSdF

V∫∫∫ ⋅∇=⋅

Lei de Coulomb Lei de Gauss

122120

2112 ˆ

4a

RQQF

πε=

12

12

12

1212ˆ

rrrr

RR

a−−

== iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ ñ 0εiQ

SdE =⋅S∫∫

Teorema da Stokes ( ) ∫ ⋅=⋅×∇

C

ldHSdH∫∫S

2

2120 1085,8

mNC⋅

−⋅=ε

Camp elétrico o( )

304

)(rr

rrQrE′−

′−=

πε Potencial elétrico

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

∫∫∫ ′−′−

′−

′′=

v

v

rrrr

rrvdr

rE 204

)()(

πε

ρ

Carga elétrica

Sistemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

Relações

P(x, y, z)

P(r, f, z)

22 yx +=ρ

xyarctg=φ

z=z

P(r, f, q)

222 zyxr ++=

xyarctg=φ

zyxarctg

22 +=θ

Vetor posição zyx azayaxr ˆˆˆ ++= zazar ˆˆ += ρρ rarr ˆ=

Incremento rdLd = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=

zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ

φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=

Versores

}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φ

ρ

zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++=

zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=

yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−=

Elemento de Volume

dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2=

DivergenteD⋅∇ z

Dy

Dx

D zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ( ) ( )

zDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

φρ φρρ

ρρ11 ( ) ( )

φθθ

θθφ

θ ∂∂

+∂∂

+∂∂ D

rsensenD

rsenDr

rr r111 2

2

Gradiente

V∇ zyx azVa

yVa

xVV ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

zazVaVaVV ˆˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ

φθ φθθaV

rsenaV

ra

rVV r ˆ1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Rotacional H×∇

ˆ ˆy yx xz zx y

H HH HH Ha ay z z x x y

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )z

zz aHH

aH

zH

az

HH ˆ1ˆˆ1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

φρρ

ρρφρρφ

φρ

ρφ

( ) ( ) ( )

φθ

θφθφ

θφθφθθ

θaH

rrH

ra

rrHH

senraHsenH

rsenrr

r ˆ1ˆ11ˆ1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

Laplaciano V2∇ 2

2

2

2

2

2

zV

yV

xV

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

211

zVVV

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

φρρρ

ρρ 2

2

2222

2

111φθθ

θθθ ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ V

senrVsen

senrrVr

rr

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VI– 1

Circuitos DC e Geradores

Trabalho: VqW ∆−=

dLaEQdW Lˆ⋅−= Energia cinética

)(21 22

ifc vvmE −=∆

Lei de Coulomb

122120

2112 ˆ

4a

RQQF

πε=

12

12

12

1212ˆ

rrrr

RR

a−−

==

2

2120 1085,8

mNC⋅

−⋅=ε

Campo elétrico ( )

304

)(rr

rrQrE′−

′−=

πε

∫∫∫ ′−′−

′−

′′=

v

v

rrrr

rrvdr

rE 204

)()(

πε

ρ

Carga elétrica

dvV

v∫∫∫= ρQ

Dv ⋅∇=ρ Teorema da Divergência (Teorema Gauss):

dVFSdFVS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅

Lei de Gauss

iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ ñ 0εi

S

QSdE =⋅∫∫

Teorema da Stokes ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇

CS

ldHSdH

Potencial elétrico

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

istemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

Relações

P(x, y, z)

P(r, f, z)

22 yx +=ρ

xyarctg=φ

z=z

P(r, f, q)

222 zyxr ++=

xyarctg=φ

zyxarctg

22 +=θ

Vetor posição zyx azayaxr ˆˆˆ ++= zazar ˆˆ += ρρ rarr ˆ=

Incremento rdLd = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++= zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ

φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=

Versores

}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φ

ρ

zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++=

zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=

yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−=

Elemento de Volume

dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2= Divergente

D⋅∇ zD

yD

xD zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ( ) ( )

zDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

φρ φρρ

ρρ11 ( ) ( )

φθθ

θθφ

θ ∂∂

+∂∂

+∂∂ D

rsensenD

rsenDr

rr r111 2

2

Gradiente

V∇ zyx azVa

yVa

xVV ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ za

zVaVaVV ˆˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ

φθ φθθaV

rsenaV

ra

rVV r ˆ1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Rotacional

H×∇ z

xyy

xxx

yz ay

Hx

Ha

zH

zHa

zH

yH ˆˆˆ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

( )z

zz aHH

aH

zH

az

HH ˆ1ˆˆ1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

φρρ

ρρφρρφ

φρ

ρφ

( ) ( ) ( )

φθ

θφθφ

θφθφθθ

θaH

rrH

ra

rrHH

senraHsenH

rsenrr

r ˆ1ˆ11ˆ1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

Laplaciano V2∇ 2

2

2

2

2

2

zV

yV

xV

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

211

zVVV

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

φρρρ

ρρ 2

2

2222

2

111φθθ

θθθ ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ V

senrVsen

senrrVr

rr

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA -"Júlio de Mesquita Filho"Campus de Sorocaba/lperó Unidade Diferenciada Sorocaba/lperó -Engenharia de Controle e Automação;Habilitação:Controle e Automação

Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005

Questão 1 – (3,0 Pontos) (a)

Densidade superficial: ρb =5m com rs = - 2,0 m.C/m2. Considere Densidade volumétrica:

0 ≤ ρ ≤ρ a= 2m com rv = +2,0 m.C/m3

e = e0.

2

2

2

se 2

se 2 52 se

v

i v aS S

v a s b

LD dS Q D dS L

L L

ρ πρ ρ

ρ πρ ρρ πρ ρ πρ ρ

⎧ <⎪

⋅ = ⇒ ⋅ = ≤ <⎨⎪ + ≥⎩

∫∫ ∫∫

2

2

2

se 22 se 2 5

2 se 5

v

v a

v a s b

LD L L

L Lρ

ρ πρ ρπ ρ ρ πρ ρ

ρ πρ ρ πρ ρ

⎧ <⎪

= ≤ <⎨⎪ + ≥⎩

5

2

2

2

se 22

se 2 52

2 se 52

v

v a

v a s b

LLLD

LL L

L

ρ

ρ πρ ρπρ

ρ πρ ρπρ

ρ πρ ρ πρ ρπρ

⎧<⎪

⎪⎪⎪= ≤ <⎨⎪⎪ +

≥⎪⎪⎩

2

2

se 22

1 se 2 52

2 1 se 52

v

v a

v a s b

D

ρ ρ ρ

ρ ρ ρρ

ρ ρ ρ ρ ρρ

⎧ <⎪⎪⎪ ≤ <= ⎨⎪⎪ +

≥⎪⎩

2

2

2 se 22

2 2 1 se 2 52

2 2 2 2 5 1 se 52

D

µ ρ ρ

µ ρρ

µ ρρ

⎧ <⎪⎪

⋅⎪ ≤ <= ⎨⎪⎪ ⋅ − ⋅ ⋅

≥⎪⎩

( )2

se 24 se 2 5

6 se 5

D C m

ρ ρ

ρµρ

ρρ

<⎧⎪⎪ ≤ <⎪= ⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩

( )2

ˆ se 24 ˆ se 2 5

6 ˆ se 5

a

aD C m

a

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρµρ

ρρ

<⎧⎪⎪ ≤ <⎪= ⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩

( )

0

0

0

ˆ se 2

4 ˆ se 2 5 m

6 ˆ se 5

a

aE V

a

ρ

ρ

ρ

ρ ρε

ρ µε ρ

ρε ρ

⎧ <⎪⎪⎪

≤ <= ⎨⎪⎪

− ≥⎪⎩

( )

0

0

0

ˆ se 2

4 ˆ se 2 5 m

6 ˆ se 5

a

aE V

a

ρ

ρ

ρ

ρ ρε

ρ µε ρ

ρε ρ

⎧ <⎪⎪⎪

≤ <= ⎨⎪⎪

− ≥⎪⎩

(b) Potencial:

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

Em r = 2 m: 3

3, 3 3 22

V V V Eρ ρ ρ ρ= = = = dL= − = − ⋅∫

3

3, 2 3 202

4V V Vρ ρ ρ ρµ dρ

ε ρ= = = == − == −∫

353, 2 2 2

0 4,519774 10 lnV Vρ ρ ρ ρ= = == − = − ⋅

52

34,519774 10 ln2

Vρ =− = − ⋅

2 183261Vρ = =

( )2 183, 261V kρ = = V

Questão 2 – (2,0 Pontos) ρs = 20 nC/m2 em z=-3m;

0

ˆ2

ss sE aρ

ε=

ρL = -30 nC/m no eixo z:

1

1 10 1

ˆ2 l

Ll NE a

ρπε ρ

=

ρL = 40 nC/m em x = 2m, z = 1m.

2

2 20 2

ˆ2 l

Ll NE a

ρπε ρ

=

Determine a magnitude de E em: (a) PA(1, 1, 2);

0

20 ˆ2As z

nE aε

=0

10 ˆAs z

nE aε

⇔ =


1

1 11 2 20 1 0

30 1 1ˆ ˆ2 2 22 1 1l

Ll N l x

n ˆyE a E a aρ

πε ρ πε− ⎛ ⎞= ⇔ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠+



1

0

30 1 1ˆ ˆ2 2 2 2l x

nE aπε− ⎛

ya ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1

0

30 ˆ ˆ4l x

nE aπε

−= + ya

( )1

ˆ ˆ270l xE a=− + ya

2

2 20 2

ˆ2 l

Ll NE a

ρπε ρ

=

PA(1, 1, 2); P(2,y,1)

2

1,1,2 2,1,1ˆ

1,1,2 2,1,1Na−

=−

2

1,0,1 1 1ˆ ˆ1,0,1 2 2N xa a

−= = − +

−ˆza

( )2 22 1 1 2ρ = − + =

2

0

40 1 1ˆ ˆ2 2 2 2l x

nzE a a

πε⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

0

40 ˆ ˆ4l x

nzE a a

πε= − +

( )2

ˆ ˆ360l xE a= − + za

1 2A AP l lE E E E= + + s

( ) ( )0

10ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ270 360AP x y x z

nzE a a a a a

ε= − + + − + +

0

10ˆ ˆ630 270 360A

ˆP x yn

zE a aε

⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠a

ˆz

ˆ ˆ630 270 1489.94AP x yE a a= − − + a

ˆ ˆ630 270 1489.94A

ˆP x yE a a= − − + za (b) PB(-4,3, -1);

0

20 ˆ2As z

nE aε

=0

10 ˆAs z

nE aε

⇔ =


( ) ( )1

1 11 2 20 1 0

30 4 3ˆ ˆ ˆ52 52 4 3

l

Ll N l x y

nE a E a aρπε ρ πε

− −⎛ ⎞= ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠− +

( )1

0

30 ˆ ˆ4 32 25l x

nE aπε−

= − + ya

ya

ya

( )1

ˆ ˆ21.6 4 3l xE a=− − +

1ˆ ˆ86.4 64.8l xE a= −

2

2 20 2

ˆ2 l

Ll NE a

ρπε ρ

=

PB(-4,3, -1); P(2,y,1)

2

4,3, 1 2,3,1ˆ

4,3, 1 2,3,1Na− − −

=− − −

2

6,0, 2 6 2ˆ ˆ6,0, 2 40 40N xa a

− −= = − −

− −ˆza

( ) ( )2 22 6 2ρ = − + − = 40

2

0

40 6 2ˆ ˆ2 40 40 40l x

nzE a a

πε⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

0

40 ˆ ˆ6 22 40l x

nzE a a

πε= − −

( )2

ˆ ˆ18 6 2l xE a= − − za

2ˆ ˆ108 36l xE a= − − za

1 2A AP l lE E E E= + + s

0

10ˆ ˆ ˆ ˆ86.4 64.8 108 36AP x y x z

n ˆzE a a a aε

= − − − + a

0

10ˆ ˆ21.6 64.8 36A

ˆP x yn

zE a aε

⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠a

ˆ ˆ21.6 64.8 1093.94AP x y ˆzE a a= − − + a

( )ˆ ˆ ˆ21.6 64.8 1093.94A

VP x y z ME a a a= − − + Questão 3 – (2,0 Pontos)

( )22 2 ˆcos C

r mD r aθ=

(a) a densidade volumétrica de carga em r = 1m, θ =π/3.

Dv ⋅∇=ρ

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂ D

rsensenD

rsenDr

rr r111 2

2

Dv ⋅∇=ρ ( )2 2 22

1 cosr rr r

θ∂=

∂3 2

2

1 4 cosrr

θ=

2 234 cos 4 1cosv D r πρ θ= ∇⋅ = = ⋅

31v C mρ = (b) a densidade de fluxo elétrico em: r = 1m, θ =π/3.

( )22 2 ˆcos C

r mD r aθ= C/m2 ñ ˆ0.25 rD a= C/m2


( )250 cosV Vz

ρ φ=

,as superfícies equipotenciais correspondentes a V = 50V, 25V e 10V e o ponto P em ρ = 3m, φ = 30°, z = 2m, determine os valores em P para:

(a) V; (b) E. Como é posicionado em relação à

equipotencial no ponto P?



(c) E; (d) dV/dN; (e) aN ;

(a) ( )250 cosV Vz

ρ φ=

( )250 3cos 302

V V=

( )50 332 4

V V= ⋅

( )450 56,258

V V= =

(b) E V = −∇1ˆ ˆ ˆz

V V VE a a azρ φρ ρ φ

∂ ∂ ∂= − − −

∂ ∂ ∂

2 250 1 50 50ˆ ˆcos cos cos2zE a a

z z z zρ φρ φ ρ φ ρ φρ ρ φ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a

22

50 100 50ˆ ˆcos cos cos2 ˆzE a sen a az z zρ φφ φ φ ρ φ= − + +

22

50 100 50ˆ ˆcos 30 cos30 30 3cos 30º2 2 2

2 ˆzE a sen aρ φ= − ° + ° ° + a

75 100 3 450ˆ ˆ ˆ4 8 16 zE a a aρ φ= − + +

ˆ ˆ18.75 21.65 28.13ˆzE a aρ φ= − + + a

Normal à superfície equipotencial! (c) E;

22 275 100 3 4504 8 16

E⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )40.14 NCE =

(d) dV/dN;

( )40.14 Vm

dVEdN

= =

(e) aN ;

ˆNVaV

−∇=

−∇

ˆ ˆ18.75 21.65 28.13ˆ

40.14z

N

a aa ρ φ− + +

=a

ˆ ˆ ˆ0.467 0.539 0.701ˆN za a aρ φ= − + + a

PROCEDIMENTO PARA A ELABORAÇÃO DAS MANOGRAFIAS

1. Elaborar o título. 2. Indicar o material necessário para a

montagem do experimento, se houver necessidade. 3. Diagramatizar o experimento, quando

houver. 4. Indicar o conteúdo em papel A4, com folhas

numeradas. 5. As monografias serão elaboradas

individualmente . 6. As monografias individuais deverão ser

entregues até a data solicitada de entrega. Não serão aceitas após a data pedida.

Considerar:

• Ordem e apresentação da monografia. • Conteúdo e apresentação dos dados

experimentais. • Conclusões e discussão dos resultados.

No mínimo, para cada monografia deve sempre conter:

1. Título , data de realização e colaboradores; 2. Objetivos e importância do tema pesquisado; 3. Roteiro dos procedimentos experimentais,

quando houver. 4. Esquema do aparato utilizado, quando

houver; 5. Descrição dos principais instrumentos e

equipamentos existentes; 6. Dados medidos; 7. Cálculos;

8. Gráficos; 9. Resultados e conclusões.



TEMAS:

Magnetoresistividade.

Efeito Peltier

Materiais Piezoelétricos

Equação de Poisson – Junção p-n

em semicondutores

Equação de Laplace

Programação de animações de temas aprendidos em aula com softwares existentes

Documents

As regras de Kirchoff..pdf