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Matemaacutetica e Raciociacutenio Loacutegico p ATA-MF
Teoria e exerciacutecios comentados
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Aula Extra Resumatildeo
Raciociacutenio Loacutegico
Associaccedilatildeo Loacutegica
Receita de Bolo 1 Analise as respostas ANTES DE LER O
ENUNCIADO
2 Monte um quadro com as possiacuteveis respostas
3 Analise cada uma das afirmaccedilotildees do enunciado da questatildeo e marque
SIMNAtildeO no quadro 4 Assinale a afirmativa correta
ConectivoOperador Siacutembolo Operaccedilatildeo Estrutura
Loacutegica
e mas ^ Conjunccedilatildeo p ^ q
ou v Disjunccedilatildeo p v q
ouou v Disjunccedilatildeo exclusiva
p v q
seentatildeo rarr Condicional p rarr q
se e somente se harr Bicondicional p harr q
natildeo not ou ~ Negaccedilatildeo not p ou ~p
p q not p not q p and q p or q p v q p rarr q p harr q
V V F F V V F V V
V F F V F V V F F
F V V F F V V V F
F F V V F F F V V
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O nuacutemero de linhas de uma tabela-verdade de n
proposiccedilotildees eacute igual a 2n
Em loacutegica dizemos que duas proposiccedilotildees satildeo ditas
equivalentes quando o resultado da sua tabela-
verdade eacute idecircntico
Principais Equivalecircncias Loacutegicas
Transformando de (rarr) para (or )
p rarr q = ~p or q
1 Troque rarr por or
2 Negue o primeiro termo 3 Mantenha o segundo
e de (or ) para (rarr)
p or q = ~p rarr q
1 Troque or por rarr
2 Negue o primeiro termo 3 Mantenha o segundo
A condicional eacute equivalente agrave sua contrapositiva
p rarr q = ~q rarr ~p
1 Inverta os dois termos da condicional 2 Negue os dois termos da condicional
Negaccedilatildeo da Conjunccedilatildeo ndash 1ordf Lei de Morgan
~(p and q) = ~p or ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque and por or
3 Negue cada termo
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Negaccedilatildeo da Disjunccedilatildeo ndash 2ordf Lei de Morgan
~(p or q) = ~p and ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque or porand
3 Negue cada termo
Negaccedilatildeo da Condicional
~(p rarr q) = p and ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque rarr porand
3 Negue apenas o segundo termo
Negaccedilatildeo da Bicondicional
~(p harr q) = p v q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque harr por v
Negaccedilatildeo do ldquoOu Exclusivordquo
~ (p v q) = p harr q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque v por harr
Afirmaccedilatildeo Negaccedilatildeo
Todo p eacute q Algum p natildeo eacute q Pelo menos um p natildeo eacute q
Existe pelo menos um p que natildeo eacute q
Algum p eacute q Nenhum p eacute q
Nenhum p eacute q Algum p eacute q
Pelo menos um p eacute q Existe pelo menos um p que eacute q
Algum p natildeo eacute q Todo p eacute q
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Um argumento seraacute considerado VAacuteLIDO quando as premissas satildeo verdadeiras e a conclusatildeo eacute
verdadeira
Diagramas Loacutegicos As questotildees de argumentaccedilatildeo omde as premissas satildeo formadas pelas chamadas proposiccedilotildees categoacutericas
(que comeccedilam com TODO ALGUM NENHUM) devem ser resolvidas por diagramas loacutegicos
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Matemaacutetica Baacutesica
Numeraccedilatildeo Posiccedilatildeo 2 Posiccedilatildeo 1 Posiccedilatildeo 0
X Y Z 102 101 100
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
OU
XYZ Z x 100 = Z
Y x 101 = 10Y
X x 102 = 100X
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Escreva 118 na base 2
118 | 2
0 59 | 2 1 29 | 2
1 14 | 2 0 7 | 2
1 3 | 2 1 1 | 2
1 0
Dessa forma 118 = 11101102
Quer fazer a prova real
11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26
= 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118
Assim 118 = 11101102
x 100
x 101
x 102
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Resto
O resto da divisatildeo de uma soma por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nuacutemero
O resto da divisatildeo de um produto por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nuacutemero
MDC e MMC
O MMC eacute o produto de todos os fatores com os maiores expoentes
O MDC eacute o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes
Diacutezimas Perioacutedicas
119918119942119955119938119957119955119946119963 = 119927119920 119925119927 119927 minus 119927119920 119925119927
120791(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119927) 120782(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119925119927)
Parte inteira (PI)
Parte natildeo perioacutedica (NP) Parte perioacutedica (P)
Inequaccedilotildees
Em uma inequaccedilatildeo quando multiplicarmos ambos os lados por
(-1) devemos inverter o sinal da desigualdade
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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O nuacutemero de linhas de uma tabela-verdade de n
proposiccedilotildees eacute igual a 2n
Em loacutegica dizemos que duas proposiccedilotildees satildeo ditas
equivalentes quando o resultado da sua tabela-
verdade eacute idecircntico
Principais Equivalecircncias Loacutegicas
Transformando de (rarr) para (or )
p rarr q = ~p or q
1 Troque rarr por or
2 Negue o primeiro termo 3 Mantenha o segundo
e de (or ) para (rarr)
p or q = ~p rarr q
1 Troque or por rarr
2 Negue o primeiro termo 3 Mantenha o segundo
A condicional eacute equivalente agrave sua contrapositiva
p rarr q = ~q rarr ~p
1 Inverta os dois termos da condicional 2 Negue os dois termos da condicional
Negaccedilatildeo da Conjunccedilatildeo ndash 1ordf Lei de Morgan
~(p and q) = ~p or ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque and por or
3 Negue cada termo
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Negaccedilatildeo da Disjunccedilatildeo ndash 2ordf Lei de Morgan
~(p or q) = ~p and ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque or porand
3 Negue cada termo
Negaccedilatildeo da Condicional
~(p rarr q) = p and ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque rarr porand
3 Negue apenas o segundo termo
Negaccedilatildeo da Bicondicional
~(p harr q) = p v q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque harr por v
Negaccedilatildeo do ldquoOu Exclusivordquo
~ (p v q) = p harr q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque v por harr
Afirmaccedilatildeo Negaccedilatildeo
Todo p eacute q Algum p natildeo eacute q Pelo menos um p natildeo eacute q
Existe pelo menos um p que natildeo eacute q
Algum p eacute q Nenhum p eacute q
Nenhum p eacute q Algum p eacute q
Pelo menos um p eacute q Existe pelo menos um p que eacute q
Algum p natildeo eacute q Todo p eacute q
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Um argumento seraacute considerado VAacuteLIDO quando as premissas satildeo verdadeiras e a conclusatildeo eacute
verdadeira
Diagramas Loacutegicos As questotildees de argumentaccedilatildeo omde as premissas satildeo formadas pelas chamadas proposiccedilotildees categoacutericas
(que comeccedilam com TODO ALGUM NENHUM) devem ser resolvidas por diagramas loacutegicos
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Matemaacutetica Baacutesica
Numeraccedilatildeo Posiccedilatildeo 2 Posiccedilatildeo 1 Posiccedilatildeo 0
X Y Z 102 101 100
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
OU
XYZ Z x 100 = Z
Y x 101 = 10Y
X x 102 = 100X
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Escreva 118 na base 2
118 | 2
0 59 | 2 1 29 | 2
1 14 | 2 0 7 | 2
1 3 | 2 1 1 | 2
1 0
Dessa forma 118 = 11101102
Quer fazer a prova real
11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26
= 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118
Assim 118 = 11101102
x 100
x 101
x 102
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Resto
O resto da divisatildeo de uma soma por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nuacutemero
O resto da divisatildeo de um produto por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nuacutemero
MDC e MMC
O MMC eacute o produto de todos os fatores com os maiores expoentes
O MDC eacute o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes
Diacutezimas Perioacutedicas
119918119942119955119938119957119955119946119963 = 119927119920 119925119927 119927 minus 119927119920 119925119927
120791(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119927) 120782(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119925119927)
Parte inteira (PI)
Parte natildeo perioacutedica (NP) Parte perioacutedica (P)
Inequaccedilotildees
Em uma inequaccedilatildeo quando multiplicarmos ambos os lados por
(-1) devemos inverter o sinal da desigualdade
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Negaccedilatildeo da Disjunccedilatildeo ndash 2ordf Lei de Morgan
~(p or q) = ~p and ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque or porand
3 Negue cada termo
Negaccedilatildeo da Condicional
~(p rarr q) = p and ~q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque rarr porand
3 Negue apenas o segundo termo
Negaccedilatildeo da Bicondicional
~(p harr q) = p v q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque harr por v
Negaccedilatildeo do ldquoOu Exclusivordquo
~ (p v q) = p harr q
1 Apague os parecircnteses 2 Troque v por harr
Afirmaccedilatildeo Negaccedilatildeo
Todo p eacute q Algum p natildeo eacute q Pelo menos um p natildeo eacute q
Existe pelo menos um p que natildeo eacute q
Algum p eacute q Nenhum p eacute q
Nenhum p eacute q Algum p eacute q
Pelo menos um p eacute q Existe pelo menos um p que eacute q
Algum p natildeo eacute q Todo p eacute q
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Um argumento seraacute considerado VAacuteLIDO quando as premissas satildeo verdadeiras e a conclusatildeo eacute
verdadeira
Diagramas Loacutegicos As questotildees de argumentaccedilatildeo omde as premissas satildeo formadas pelas chamadas proposiccedilotildees categoacutericas
(que comeccedilam com TODO ALGUM NENHUM) devem ser resolvidas por diagramas loacutegicos
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Matemaacutetica Baacutesica
Numeraccedilatildeo Posiccedilatildeo 2 Posiccedilatildeo 1 Posiccedilatildeo 0
X Y Z 102 101 100
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
OU
XYZ Z x 100 = Z
Y x 101 = 10Y
X x 102 = 100X
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Escreva 118 na base 2
118 | 2
0 59 | 2 1 29 | 2
1 14 | 2 0 7 | 2
1 3 | 2 1 1 | 2
1 0
Dessa forma 118 = 11101102
Quer fazer a prova real
11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26
= 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118
Assim 118 = 11101102
x 100
x 101
x 102
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Resto
O resto da divisatildeo de uma soma por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nuacutemero
O resto da divisatildeo de um produto por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nuacutemero
MDC e MMC
O MMC eacute o produto de todos os fatores com os maiores expoentes
O MDC eacute o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes
Diacutezimas Perioacutedicas
119918119942119955119938119957119955119946119963 = 119927119920 119925119927 119927 minus 119927119920 119925119927
120791(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119927) 120782(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119925119927)
Parte inteira (PI)
Parte natildeo perioacutedica (NP) Parte perioacutedica (P)
Inequaccedilotildees
Em uma inequaccedilatildeo quando multiplicarmos ambos os lados por
(-1) devemos inverter o sinal da desigualdade
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Um argumento seraacute considerado VAacuteLIDO quando as premissas satildeo verdadeiras e a conclusatildeo eacute
verdadeira
Diagramas Loacutegicos As questotildees de argumentaccedilatildeo omde as premissas satildeo formadas pelas chamadas proposiccedilotildees categoacutericas
(que comeccedilam com TODO ALGUM NENHUM) devem ser resolvidas por diagramas loacutegicos
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Matemaacutetica Baacutesica
Numeraccedilatildeo Posiccedilatildeo 2 Posiccedilatildeo 1 Posiccedilatildeo 0
X Y Z 102 101 100
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
OU
XYZ Z x 100 = Z
Y x 101 = 10Y
X x 102 = 100X
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Escreva 118 na base 2
118 | 2
0 59 | 2 1 29 | 2
1 14 | 2 0 7 | 2
1 3 | 2 1 1 | 2
1 0
Dessa forma 118 = 11101102
Quer fazer a prova real
11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26
= 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118
Assim 118 = 11101102
x 100
x 101
x 102
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Resto
O resto da divisatildeo de uma soma por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nuacutemero
O resto da divisatildeo de um produto por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nuacutemero
MDC e MMC
O MMC eacute o produto de todos os fatores com os maiores expoentes
O MDC eacute o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes
Diacutezimas Perioacutedicas
119918119942119955119938119957119955119946119963 = 119927119920 119925119927 119927 minus 119927119920 119925119927
120791(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119927) 120782(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119925119927)
Parte inteira (PI)
Parte natildeo perioacutedica (NP) Parte perioacutedica (P)
Inequaccedilotildees
Em uma inequaccedilatildeo quando multiplicarmos ambos os lados por
(-1) devemos inverter o sinal da desigualdade
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Matemaacutetica Baacutesica
Numeraccedilatildeo Posiccedilatildeo 2 Posiccedilatildeo 1 Posiccedilatildeo 0
X Y Z 102 101 100
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
OU
XYZ Z x 100 = Z
Y x 101 = 10Y
X x 102 = 100X
XYZ = Z x 100 + Y x 101 + X x 102 = 100X + 10Y + Z
Escreva 118 na base 2
118 | 2
0 59 | 2 1 29 | 2
1 14 | 2 0 7 | 2
1 3 | 2 1 1 | 2
1 0
Dessa forma 118 = 11101102
Quer fazer a prova real
11101102 = 0x20 + 1x21 + 1x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26
= 0 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 = 118
Assim 118 = 11101102
x 100
x 101
x 102
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Resto
O resto da divisatildeo de uma soma por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nuacutemero
O resto da divisatildeo de um produto por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nuacutemero
MDC e MMC
O MMC eacute o produto de todos os fatores com os maiores expoentes
O MDC eacute o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes
Diacutezimas Perioacutedicas
119918119942119955119938119957119955119946119963 = 119927119920 119925119927 119927 minus 119927119920 119925119927
120791(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119927) 120782(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119925119927)
Parte inteira (PI)
Parte natildeo perioacutedica (NP) Parte perioacutedica (P)
Inequaccedilotildees
Em uma inequaccedilatildeo quando multiplicarmos ambos os lados por
(-1) devemos inverter o sinal da desigualdade
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Resto
O resto da divisatildeo de uma soma por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo da soma dos restos das parcelas individuais por esse mesmo nuacutemero
O resto da divisatildeo de um produto por um nuacutemero eacute
igual ao resto da divisatildeo do produto dos restos dos fatores individuais por esse mesmo nuacutemero
MDC e MMC
O MMC eacute o produto de todos os fatores com os maiores expoentes
O MDC eacute o produto dos fatores comuns com os
menores expoentes
Diacutezimas Perioacutedicas
119918119942119955119938119957119955119946119963 = 119927119920 119925119927 119927 minus 119927119920 119925119927
120791(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119927) 120782(119951ordm 119941119942 119938119949119944119938119955119946119956119950119952119956 119941119952 119925119927)
Parte inteira (PI)
Parte natildeo perioacutedica (NP) Parte perioacutedica (P)
Inequaccedilotildees
Em uma inequaccedilatildeo quando multiplicarmos ambos os lados por
(-1) devemos inverter o sinal da desigualdade
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Progressotildees Aritmeacuteticas e Geomeacutetricas
Termo Geral de uma PA
119938119951 = 119938120783 + (119951 minus 120783)119955
Soma de uma PA
119930119951 =119951 times (119938120783 + 119938119951)
120784
Termo Geral de uma PG
119938119951 = 119938120783 times 119954(119951minus120783)
Soma de uma PG
119930119951 =119938120783 times (119954119951 minus 120783)
119954 minus 120783
Seacuterie geomeacutetrica infinita
119930119951 =119938120783
120783 minus 119954
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Matrizes
Matriz Transposta a matriz transposta At de uma matriz A eacute uma nova
matriz onde suas linhas satildeo as colunas de A
Matriz Inversa a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) eacute aquela que multiplicada por esta resulta na matriz identidade Assim
AA-1 = I
119912minus120783 =120783
119941119942119957119912∙ (
119941 minus119939minus119940 119938
) = (
119941
119941119942119957119912
minus119939
119941119942119957119912minus119940
119941119942119957119912
119938
119941119942119957119912
)
Para multiplicar matrizes existe uma observaccedilatildeo importante Este
produto soacute seraacute possiacutevel quando o nuacutemero de colunas da primeira matriz for igual ao nuacutemero de linhas da segunda matriz
A3x7 B7x6
Caacutelculo do determinante de uma matriz 2x2
O determinante de uma matriz 2x2 eacute dado pela diferenccedila entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundaacuteria
119930119942 119912 = (119938 119939119940 119941
) 119942119951119957atilde119952
119941119942119957119912 = 119938119941 minus 119939119940
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Caacutelculo do determinante de uma matriz 3x3
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado da seguinte forma
|119886 119887 119888119889 119890 119891119892 ℎ 119894
|119886 119887119889 119890119892 ℎ
119837119838119853119808 = 119940119941119945 + 119939119943119944 + 119938119942119946 minus 119940119942119944 minus 119938119943119945 minus 119939119941119946
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
paralelas proporcionais Se uma matriz tiver linhascolunas paralelas
proporcionais o determinante seraacute igual a zero
Determinante de uma Matriz com linhascolunas
que sejam Combinaccedilatildeo linear de outras Se uma matriz tiver linhascolunas que sejam
combinaccedilatildeo linear de outras o determinante seraacute igual a zero
Determinante de matriz onde houve Troca de linhascolunas
Se uma nova matriz for formada apenas trocando a ordem de linhas ou colunas o novo determinante
desta nova matriz seraacute igual ao antigo multiplicado de -1 tantas vezes quantas forem as trocas
Multiplicaccedilatildeo de linhacoluna por uma constante
Quando multiplicamos uma linhacoluna por uma constante o determinante fica multiplicado por esta
mesma constante
Multiplicaccedilatildeo de matriz por uma constante Quando multiplicamos uma matriz por uma
constante o determinante fica multiplicado por esta mesma constante elevada agrave ordem da matriz
Determinante do produto de matrizes
O determinante do produto de matrizes eacute igual ao produto dos determinantes
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Determinante da transposta O determinante da transposta eacute igual ao
determinante da matriz original
Determinante da inversa O determinante da inversa eacute igual ao inverso do
determinante da matriz original
Raiacutezes e Radicais
Racionalizaccedilatildeo de denominador Esta eacute uma teacutecnica muito uacutetil quando haacute raiacutezes no denominador de uma fraccedilatildeo Multiplicamos em cima e
em baixo pela raiz para que ela ldquosumardquo Assim
radic8
3
2
= radic82
119909 radic32
radic32
119909 radic32 =
radic82
119909 radic32
3 =
radic832
3=
radic23 32
3=
radic22 32
3
= radic22 2 32
3=
2 radic62
3
Logaritmos
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 + 119949119952119944119939
119962
119949119952119944119939119961119962
= 119949119952119944119939119961 minus 119949119952119944119939
119962
119951119949119952119944119939119938 = 119949119952119944119939
119938119951
119949119952119944119961119938 =
119949119952119944119939119938
119949119952119944119939119961
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Fatoraccedilatildeo Algeacutebrica
Evidecircncia
ax + bx = (a + b)x
Agrupamento
ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Quadrado da soma
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quadrado da
diferenccedila
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cubo da soma
a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo da diferenccedila
a3 - 2a2b + 2ab2 - b3 =(a - b)3
Diferenccedila de
quadrados
a2 ndash b2 = (a + b)(a ndash b)
Relaccedilatildeo entre volume e capacidade
1 L = 1dm3
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais
quando o aumento de uma implica no aumento da outra
Quando duas grandezas satildeo diretamente proporcionais o quociente entre elas eacute constante
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais
quando o aumento de uma implica na diminuiccedilatildeo da outra
Quando duas grandezas satildeo inversamente proporcionais o produto entre elas eacute constante
Conjuntos
n(AcupB)=n(A)+n(B)-n(AcapB)
n(AcupBcupC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AcapB)-n(AcapC)-n(BcapC)
+n(AcapBcapC)
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
Matemaacutetica e Raciociacutenio Loacutegico p ATA-MF
Teoria e exerciacutecios comentados
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Funccedilotildees de Primeiro e Segundo Grau
Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 1ordm grau
x = -ba
x = -ba
a gt 0 a lt 0
-ba
-ba
f(x)gt0 se xgt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xlt-ba
f(x)gt0 se xlt-ba
f(x)=0 se x=-ba f(x)lt0 se xgt-ba
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Estudo do sinal de uma funccedilatildeo do 2ordm grau
∆ gt 0
(2 raiacutezes diferentes) ∆ = 0
(2 raiacutezes iguais) ∆ lt 0
(0 raiacutezes reais)
a gt 0 a gt 0 a gt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se x1ltxltx2
f(x)gt0 se xnex1 e xnex2
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 NUNCA
f(x)gt0 SEMPRE
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 NUNCA
a lt 0 a lt 0 a lt 0
x1 x2
x1=x2
f(x)gt0 se x1ltxltx2
f(x)=0 se x=x1 e x=x2 f(x)lt0 se xltx1 e xgtx2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 se x=x1=x2 f(x)lt0 xnex1 e xnex2
f(x)gt0 NUNCA
f(x)=0 NUNCA f(x)lt0 SEMPRE
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Probabilidade
119927(119912 cup 119913) = 119927(119912) + 119927(119913) minus 119927(119912 cap 119913)
119927(119912|119913) =
119927(119912 cap 119913)
119927(119913)=
119951(119912 cap 119913)
119951(119913)
Para eventos independentes a probabilidade da interseccedilatildeo eacute o produto da probabilidade de cada um deles
119927(119912 cap 119913) = 119927(119912) ∙ 119927(119913)
Teorema de Bayes
119927(119912119948|119912) = 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)
sum 119927(119912119948) ∙ 119927(119912|119912119948)119951119948=120783
Teorema da Probabilidade Total
119927(119912) = sum 119927(119912|119912119948) ∙ 119927(119912119948)
119951
119948=120783
Qual Teorema usar Bayes Probabilidade Total
O que pede a
questatildeo
P(A1|A) P(A)
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Anaacutelise Combinatoacuteria
119914119951119953 = 119951
119953 (119951 minus 119953)
119927119951 = 119951
119927119914119920119929119914119932119923119912119929 119951 = (119951 minus 120783)
Permitida repeticcedilatildeo de elementos
PFC
PFC
Combinaccedilatildeo
Ordem dos elementos importa
Natildeo
Sim
Sim
Natildeo
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Estatiacutestica Descritiva
A meacutedia aritmeacutetica para um rol eacute dada por
119935119950 = sum 119935119946
119925
A mediana para um roltabela eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 iacute119950119953119938119955
ou 119924119942 = 119950eacute119941119946119938 119941119952119956 119942119949119942119950119942119951119957119952119956 119940119942119951119957119955119938119946119956 119941119952 119955119952119949 119956119942 119925 119943119952119955 119953119938119955
A mediana para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
119924119942 = 119942119949119942119950119942119951119957119952 119940119942119951119957119955119938119949
Onde
N eacute o total de observaccedilotildees
Aqui temos que achar a classe mediana e fazer a
interpolaccedilatildeo linear da ogiva
A moda para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dada por
Meacutetodo de Czuber
119924119952 = 119949119946119951119943 + [∆119938
∆119938 + ∆119953] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
∆a eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente anterior
∆p eacute a diferenccedila entre as frequecircncias absolutas da classe modal e da
classe imediatamente posterior
h eacute a amplitude da classe
Meacutetodo de King
119924119952 = 119949119946119951119943 + [119943119953119952119956119957
119943119953119952119956119957 + 119943119938119951119957] ∙ 119945
Onde
linf eacute o limite inferior da classe modal
fpost eacute a frequecircncia absoluta da classe posterior agrave classe modal
fant eacute a frequecircncia absoluta da classe anterior agrave classe modal
h eacute a amplitude da classe
Matemaacutetica e Raciociacutenio Loacutegico p ATA-MF
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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O desvio absoluto meacutedio para um rol eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950|
O desvio absoluto meacutedio para uma tabela eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119935119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio absoluto meacutedio para uma distribuiccedilatildeo de frequecircncia eacute dado por
119915119950 = 120783
119951∙ sum |119927119950119946 minus 119935119950| ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para um rol eacute dado
por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
119930 = radic(120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O desvio padratildeo populacional para uma tabela eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
O desvio padratildeo populacional para uma distribuiccedilatildeo
de frequecircncia eacute dado por
119930 = radic(120783
119951) ∙ sum(119927119950119946 minus 119935119950)120784 ∙ 119943119946
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Quando a questatildeo disser que se trata de desvio padratildeo amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1)
Assim as duas foacutermulas de Desvio Padratildeo amostral satildeo
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930 = radic(120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
Por uma questatildeo de economia apresentamos aqui
tatildeo somente as foacutermulas de rol Para achar as foacutermulas de tabela e distribuiccedilatildeo de frequecircncia
basta multiplicar por fi e substituir Xi por Pmi nesta ordem
Foacutermula da Variacircncia Populacional
A foacutermula da variacircncia populacional (S2) para uma populaccedilatildeo de n elementos eacute
119930120784 = (120783
119951) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
Foacutermula Simplificada da Variacircncia
119930120784 = (120783
119951) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
ou
119930120784 = 119935120784119950 minus 119935119950
120784
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Quando a questatildeo disser que se trata de variacircncia amostral o denominador deveraacute ser (n ndash 1) Assim
as duas foacutermulas de Variacircncia amostral satildeo
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ sum(119935119946 minus 119935119950)120784
OU
119930120784 = (120783
119951 minus 120783) ∙ (sum 119935119946120784 minus
(sum 119935119946)120784
119951)
O coeficiente de variaccedilatildeo amostral ou coeficiente de
variaccedilatildeo de Pearson ou dispersatildeo relativa eacute a razatildeo entre o desvio padratildeo e a meacutedia Quanto menor o
coeficiente menos disperso seraacute o conjunto
119914119933 = 119930
119935119950
O coeficiente quartiacutelico de assimetria eacute dado por
119912 = 119928120785 + 119928120783 minus 120784119924119941
119928120785 minus 119928120783
Onde Q3 eacute o terceiro quartil
Q1 eacute o primeiro quartil Md eacute a mediana
O Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson eacute
dado por
119912 = 119935119950 minus 119924119952
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda
S eacute o desvio padratildeo
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
Clt3 Platicuacutertica
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
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As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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O Segundo coeficiente de assimetria de Pearson eacute dado por
119912 = 120785 ∙ (119935119950 minus 119924119941)
119930
Onde
Xm eacute a meacutedia Mo eacute a moda S eacute o desvio padratildeo
O Iacutendice Percentiacutelico de Curtose eacute dado por
119948 =119928120785 minus 119928120783
120784(119915120791 minus 119915120783)
Onde Q1 primeiro quartil
Q3 terceiro quartil D1 primeiro decil D9 nono decil
Distribuiccedilatildeo
klt0263 Leptocuacutertica
k=0263 Mesocuacutertica
kgt0263 Platicuacutertica
O Iacutendice Momento de Curtose eacute dado por
119914 = 119950120786
119930120786
Onde
m4 eacute o momento de 4ordf ordem centrado na meacutedia
1198984 =1
119873∙ sum(119883119894 minus 119883119898)4
S eacute o desvio padratildeo
Distribuiccedilatildeo
Cgt3 Leptocuacutertica
C=3 Mesocuacutertica
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JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
Matemaacutetica e Raciociacutenio Loacutegico p ATA-MF
Teoria e exerciacutecios comentados
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Matemaacutetica Financeira
JUROS SIMPLES 119924 = 119914 + 119921
119924 = 119914(120783 + 119946 ∙ 119957) 119921 = 119914 ∙ 119946 ∙ 119957
JUROS COMPOSTOS
119924 = 119914 + 119921 119924 = 119914(120783 + 119946)119957
119921 = 119914[(120783 + 119946)119957 minus 120783] DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO COMPOSTO (d)
119912119941 = 119925
(120783 + 119946)119957
119912119941 = 119925 minus 119941 DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA COMPOSTO (D)
119912119915 = 119925(120783 minus 119946)119957 119912119915 = 119925 minus 119915
Matemaacutetica e Raciociacutenio Loacutegico p ATA-MF
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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Equivalecircncia de Capitais
No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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DESCONTO RACIONAL MATEMAacuteTICO OU POR DENTRO SIMPLES (d)
119941 =119925 ∙ 119946 ∙ 119957
120783 + 119946 ∙ 119957
119912119941 = 119925 minus 119941
119912119941 = 119925
120783 + 119946 ∙ 119957
DESCONTO COMERCIAL BANCAacuteRIO OU POR FORA SIMPLES (D)
119915 = 119925 ∙ 119946 ∙ 119957 119912119915 = 119925 minus 119915
119912119915 = 119925(120783 minus 119946 ∙ 119957)
CONVENCcedilAtildeO LINEAR
119924 = 119914(120783 + 119946)119953(120783 + 119946 ∙ 119954)
CONVENCcedilAtildeO EXPONENCIAL
119924 = 119914(120783 + 119946)119957 TAXA EFETIVA
(120783 + 119920119931)119931 = (120783 + 119946119957)119957
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No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
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Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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No regime composto e operando com desconto racional matemaacutetico ou por dentro quando eu falo em projetar as parcelas para a data focal
para frente ou para traacutes eu multiplico ou divido pelo fator (1+i)n respectivamente Assim
C(1+i)n C C(1+i)n
Por outro lado ainda no regime composto mas operando com desconto
comercial bancaacuterio ou por fora quando eu falo em projetar as parcelas
para a data focal para frente ou para traacutes eu divido ou multiplico pelo fator (1 ndash i)n respectivamente Assim
C(1ndashi)n C C(1ndashi)n
Anuidades
R R R R R R R R R R R R R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A
A = Rani
F = RSni
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119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
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Sistemas de Amortizaccedilatildeo
119927119948 = 119912119948 + 119921119948
Onde
Ak eacute a parte da parcela que amortiza (diminui) a diacutevida original
Jk eacute a parte da parcela relativa a juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Francecircs (Price)
As parcelas satildeo iguais Utilizaremos a tabela do fator de valor atual
119912119948 = 119912120783 ∙ (120783 + 119946)119948minus120783
Onde
Ak eacute a amortizaccedilatildeo no periacuteodo k i eacute a taxa de juros
Sistema de Amortizaccedilatildeo Constante (SAC)
Neste sistema de amortizaccedilatildeo o que eacute constante eacute o valor amortizado a cada periacuteodo ou seja Ak O valor da amortizaccedilatildeo Ak eacute dado pelo quociente
entre o valor atual da diacutevida e o nuacutemero de parcelas
