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Atividade 10 - MA211- Calculo II -
Unicamp Desenvolvimento
Questão 1, 2 e 3 : Matheus Rufino 160925, Leticia Martins Marreiro 146925
Apoio:
Professor Márcio Antônio de Faria Rosa
Wesley Henrique 140986
Eduardo Silva 155208
Vanessa Teixeira 139201
Gabriel Vieira 155482
Phillipe Oliveira 157020
Isabela G. Fernandes 159753
Para a realização da questão 16 da página 119 precisamos entender como se trata a região T
pedida para o cálculo do volume desse sólido.
Ou seja, as duas canaletas, z2 e 8 - z2 limitadas pelos planos dados formam um sólido de uma
forma peculiar o qual será explicitado pelos comandos empregados abaixo.
E de fato, como sugere o enunciado, a região bidimensional R pode ser usada para a aplicação de
Fubinni.
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
canaletas = ContourPlot3Dx ⩵ z2, x ⩵ 8 - z2, {x, -10, 10}, {y, -3, 3}, {z, -2, 2},
AxesLabel → Automatic, Mesh → None, ContourStyle → Opacity[0.2];
planos = ContourPlot3D[{y ⩵ -1, y ⩵ -3}, {x, 0, 8}, {y, -3, 3}, {z, -2, 2},
AxesLabel → Automatic, Mesh → None, ContourStyle → Opacity[0.6]];
Show[planos, canaletas]
Sólido = RegionPlot3D8 - z2 ≥ x ≥ z2, {x, 0, 8}, {y, -3, -1}, {z, -2, 2}
(**Observa-se aqui a semelhança entre os dois sólidos**)
O sólido aqui representado possui a mesma forma do que está no livro. A diferença é o parabolóide
superior, que lá possui equação 2 - z2 resultando em limites diferentes para z.
2 Atividade 10 - Completa.nb
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T = RegionPlot8 - z2 ≥ x ≥ z2, {z, -2, 2}, {x, 0, 8} (**Região T bidimensional**)
-2 -1 0 1 20
2
4
6
8
O Software Mathematica dificulta a observação da sombra pedida, uma vez que o sólido é feito no
RegionPlot3D e ele não possui o comando Filling. Mas podemos ter uma ideia dessa sombra com o
Plot3D, novamente empregado.
Plot3Dz2, 8 - z2, {x, -2, 2}, {z, -2, 2}, AxesLabel → Automatic,
Mesh → None, Filling → Bottom, PlotStyle → Opacity[0.2]
Podemos observar que a região para a integral do volume pedido é dada por
-2 ≤ z ≤ 2 , -3 ≤ y ≤ -1 , 8 - z2 ≤ x ≤ z2, logo a Integral tripla fica da forma:
V =-2
2
-1
-3
8-z2
z2
1 ⅆx ⅆy ⅆz =128
3
Atividade 10 - Completa.nb 3
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canaleta4 = ContourPlot3Dy ⩵ x2, {x, -3, 3},
{y, -3, 4}, {z, -3, 4}, ContourStyle → Opacity[0.3];
planos2 = ContourPlot3D[{y ⩵ 4, z ⩵ 0, z ⩵ y}, {x, -3, 3}, {y, -3, 4},
{z, -3, 4}, ContourStyle → Opacity[0.9], AxesLabel → Automatic];
α = Show[canaleta4, planos2]
4 Atividade 10 - Completa.nb
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RegiaoT = RegionPlot3D0 ≤ z ≤ y && x2 ≤ y ≤ 4 && -2 ≤ x ≤ 2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
{z, -3, 3}, PlotPoints → 80, PlotStyle → Directive[Yellow, Opacity[0.15]],
AxesStyle → Thick, Boxed → False, AxesOrigin → {0, 0, 0}, AxesLabel → True
Agora que sabemos a região, para calcular as coordenadas {x, y, z} do centro de massa necessita-
mos primeiro do volume. E podemos supor, pela simetria que a região apresenta que a coordenada xcm = 0.
Solvex2 ⩵ 4, x
{{x → -2}, {x → 2}} (**Limites para x**)
v = -2
2
x2
4
0
y
1 ⅆz ⅆy ⅆx
V =128
5;
{xcm, ycm, zcm} =
1
V
-2
2
x2
4
0
y
x ⅆz ⅆy ⅆx,1
V
-2
2
x2
4
0
y
y ⅆz ⅆy ⅆx,1
V
-2
2
x2
4
0
y
z ⅆz ⅆy ⅆx
Pcm = 0,20
7,10
7;
De fato, xcm = 0.
data = {Pcm};
VectorCM = Graphics3D
Red, Arrowheads[0.1], ArrowTube0,20
7,10
7, {0, 0, 0}, 0.05;
Atividade 10 - Completa.nb 5
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{Show[RegiaoT, VectorCM], Show[VectorCM, RegiaoT]}
,
6 Atividade 10 - Completa.nb
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cilindro1 = ContourPlot3Dx2 + z2 ⩵ 1, {x, -1, 1}, {z, -1, 1}, {y, -1, 1};
cilindro2 = ContourPlot3Dy2 + z2 ⩵ 1, {x, -1, 1}, {z, -1, 1}, {y, -1, 1};
Show[cilindro1, cilindro2]
Atividade 10 - Completa.nb 7
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(**olha, é bonita mesmo essa figura hehehe**)
8 Atividade 10 - Completa.nb
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regiaotomografica = RegionPlot3D- 1 - x2 ≤ z ≤ 1 - x2 && - -z2 + 1 ≤ y ≤ -z2 + 1 ,
{x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}
Como pedido no enunciado, precisamos calcular o volume de um oitavo da região para aí final-
mente calcularmos o centróide específico pedido.
Então, para isso, podemos usar planos que vão delimitar a região. Um oitavo dessa região é como
fatiar esse pseudo-cubo em oito partes.
Também podemos ir cortando pelos limites do próprio plot.
regiaotomograficacortada = RegionPlot3D
- 1 - x2 ≤ z ≤ 1 - x2 && - -z2 + 1 ≤ y ≤ -z2 + 1 , {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}
Atividade 10 - Completa.nb 9
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(**isso é um quarto do sólido**)
regiaotomograficacortadaUMOITAVO =
RegionPlot3D- 1 - x2 ≤ z ≤ 1 - x2 && - -z2 + 1 ≤ y ≤ -z2 + 1 , {x, 0, 0.1},
{y, 0, 1}, {z, 0, 1}, PlotStyle → Directive[Yellow, Opacity[0.15]],
AxesStyle → Thick, Boxed → False, AxesOrigin → {0, 0, 0}, AxesLabel → True
10 Atividade 10 - Completa.nb
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(**metade de um quarto, um oitavo :D**)
v2 = 0
0.1
- 1-x2
1-x2
- 1-z2
1-z2
1 ⅆy ⅆz ⅆx
0.314126
vum oitavo = 0.3141;
Em posse do Volume, podemos encontrar o valor do centro de massa de um oitavo do volume, ou
seja, um oitavo da região.
Pcm2 = {xcm, ycm, zcm} = 1
voitavo um0
0.1
- 1-x2
1-x2
- 1-z2
1-z2
x ⅆy ⅆz ⅆx,1
voitavo um
0
0.1
- 1-x2
1-x2
- 1-z2
1-z2
y ⅆy ⅆz ⅆx,1
voitavo um0
0.1
- 1-x2
1-x2
- 1-z2
1-z2
z ⅆy ⅆz ⅆx
VectorCM2 =
Graphics3D[{Red, Arrowheads[0.1], Arrow[Tube[{{0.05000092602056679`, 0.`, 0.`},
{0.05000092602056679`, 0.`, 0.`}}, 0.05]]}];
Show[VectorCM2, regiaotomograficacortadaUMOITAVO]
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