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(LAPLACE) NOME : ..................................................................................................... NÚMERO: ................... TURMA : ............. DATA : ....../ ........ / ........ ATIVIDADE PROGRAMADA SOBRE MATRIZES 2 a SÉRIE ENSINO MÉDIO Prof. Rogério Rodrigues

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NOME : ..................................................................................................... NÚMERO: ................... TURMA : ............. DATA : ....../ ........ / ........

ATIVIDADE PROGRAMADA SOBRE MATRIZES 2a SÉRIE ENSINO MÉDIO Prof. Rogério Rodrigues

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I - TABELAS E MATRIZES

Não faremos uma tabela relativa a um prédio de 30 andares com 20 apartamentos por andar , mas um pequeno prédio com 5 andares e três apartamentos por andar , numerados no mesmo formato apresentado no texto anterior . A tabela correspondente é

Aparta- Mento Andar

1 2 3

1 1 - 1 1 - 2 1 - 3

2 2 - 1 2 - 2 2 – 3

3 3 - 1 3 - 2 3 – 3

4 4 - 1 4 - 2 4 – 3

5 5 - 1 5 - 2 5 - 3

Observe que o apartamento 3 – 2 (numerado usualmente como 302) , por exemplo , ocupa a linha 3 e a coluna 2 . Verifique que linhas e que colunas ocupam os apartamen- tos 1 – 2 , 3 – 1 , 3 – 3 , 4 – 2 , 5 – 1 e 5 – 3 .

Matrizes vivas Um prédio , como o da figura ao lado , é , na distribuição de seus habitantes , uma estrutura de organização dos espaços a serem ocupados . Os andares são agrupa- dos na vertical e os apartamentos de ca- da andar são numerados de acordo com a posição geográfica que ocupam . Imagi- ne que em cada um dos 30 andares há 20 apartamentos que , vistos de fora do prédio , pela sua frente , cada apartamen- to apresenta três janelas consecutivas, num total de 60 janelas . Se os apartamentos de cada andar são numerados no formato A – NA , onde A é o número do andar e NA é o número do apartamento , tere- mos a família que ocupa , por exemplo , a posição 3 – 19 , ou seja , terceiro andar e apartamento 19 . Com os andares em linhas e os apartamentos em colunas ver- ticais , é possível fazer uma tabela com as posições de todos os grupos familiares .

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A estrutura da tabela anterior é matematicamente chamada de MATRIZ .

Pelo desabafo de Apolônio , no texto anterior , percebemos que a história tem tudo em comum com o primeiro texto . Então , se o interesse é mostrar quantas pessoas moram em cada apartamento , pode-se escrever a matriz descrita depois do primeiro texto mostrando , em cada célula – cada posição , o número de habitantes por apartamento . A tabela correspondente à situação vivida pelo Apolônio Corcovado , copiando os dados da sua conversa com o porteiro e completando as informações com os dados que ele não citou na conversa , é a seguinte :

Apolônio corcovado Apolônio nunca foi ao corcovado , não andou ou voou no bondinho , não é carioca , nunca foi ao Rio e morre de medo dessa possibilidade pelas notícias que lhe são trazidas pela TV . Que corcovado não é sobrenome já dá para desconfiar , apesar de não ser impossível ; pode ser a idéia equivoca- da de um pai querendo premiar o filho com a palavra que lhe traz as melhores recordações de sua vida : um passeio turístico , talvez o único de sua vida , na Cidade Maravilhosa e , neste caso , be m acompanhado .

Mas o apelido do Apolônio se deve ao seu topo , ou mais propriamente á sua calvície . É que visto de perfil , o Apolônio mostra sua careca em monte , como o Pão de Açucar . O drama do Apolônio é que ele é síndico de um prédio de 5 andares com 3 apartamentos por andar e , dentre tan- tos problemas que tem que resolver , es- tá a conta de água . Cada apartamento tem um número diferente de habitantes , e isso , como todo condômino paga a mesma taxa de condomínio , faz a conta ficar injusta , provocando reclamações . Então , o Apolônio foi pego em flagran- te desabafando com o porteiro do prédio: “ No 101 até que tem pouca gente , são 4 ; no 202 a coisa aumenta , são 7 ; no 303 , mora uma tribo , são 12 ; no 502 mora um hermitão ; no 403 , além dos 4 da família , tem a sogra com suas 2 filhas solteironas “ .

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Aparta- mento Andar

1 2 3

1 4 6 0

2 2 7 5

3 3 8 12

4 2 4 7

5 5 1 6

Se o prédio se chamasse A , a representação matemática seria

A =

6 1 5

7 4 2

12 8 3

5 7 2

0 6 4

ou A =

6 1 5

7 4 2

12 8 3

5 7 2

0 6 4

, onde cada elemento seria designado

Por ai j , onde i é o número da linha do elemento e j , a sua coluna . O apartamento 101 , por exemplo , é o elemento a11 , o apartamento 402 seria o elemento a42 e por aí adiante . Responda o que se pede a seguir : 1) Quais são os apartamentos da primeira linha na matriz acima ? 2) Quais são os apartamentos de terceira coluna na matriz anterior ? 3) Que apartamentos têm o mesmo número de habitantes ? 4) Quantos apartamentos têm mais do que 5 habitantes ? 5) Que apartamentos têm menos do que 4 habitantes ? 6) Há algum apartamento vago no prédio do Apolônio ? Qual ?

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Se , ao contrário do que fizemos com o prédio do Apolônio , colocarmos os andares em linhas e os apartamentos em coluna , teremos a matriz A t , chamada de transposta da matriz A , que é

At =

6 7 12 5 0

1 4 8 7 6

5 2 3 2 4

II – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES O texto a seguir servirá de modelo para estudarmos algumas operações com matrizes .

→→→→ SITUAÇÃO 1 : Numa escola , são adotados três trimestres e , em cada um deles , cada

disciplina distribui os créditos segundo o seguinte critério :

1o TRIMESTRE 2o TRIMESTRE 3o TRIMESTRE PROVAS ESCRITAS 10 Créditos 14 Créditos 16 Créditos TRABALHOS 5 Créditos 7 Créditos 8 Créditos PROJETOS 5 Créditos 7 Créditos 8 Créditos ATIV. PRÁTICAS 5 Créditos 7 Créditos 8 Créditos TOTAIS 25 Créditos 35 Créditos 40 Créditos

PLANILHAS E NOTAS Toda escola registra as notas de seus alu- nos usando tabelas numéricas que geram ma- trizes chamadas de planilhas . Como essas ma- trizes ou têm muitos elementos ou são em gran- de número , elas são construídas com o auxílio de computadores , com programas conhecidos , como o Excel , por exemplo. Com esses progra- mas é possível efetuar operações com os elemen- tos das matrizes ou planilhas e esses elementos são posicionados por suas linhas e colunas . Então , matrizes são construídas para registros individuais de alunos , de turmas , etc.

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De acordo com o regimento interno dessa escola , no final do ano letivo , o aluno deve ter 60% de rendimento em cada um dos instrumentos de avaliação e não na nota total . Então, o aluno deve obter pelo menos 60% em provas escritas , 60% em trabalhos , 60% em projetos e 60% nas atividades práticas. A seguir , apresentaremos os boletins de um determinado aluno , em cada um dos três trimestres. 1o TRIMESTRE : Matemática Português História Geografia Química Física Provas 8 10 6 9 5 6 Trabalhos 3 4 3 4 5 4 Projetos 2 5 3 5 5 5 At. Práticas 0 3 5 5 5 1 TOTAL 13 22 17 23 20 16 2o TRIMESTRE : Matemática Português História Geografia Química Física Provas 10 11 13 14 13 12 Trabalhos 6 7 5 7 5 4 Projetos 7 7 6 5 5 6 At. Práticas 7 5 6 7 5 6 TOTAL 30 30 30 33 28 28 3o TRIMESTRE : Matemática Português História Geografia Química Física Provas 12 10 16 10 11 10 Trabalhos 6 4 5 8 7 5 Projetos 8 8 6 5 7 8 At. Práticas 3 5 7 8 8 7 TOTAL 29 27 34 31 33 30 Faça o que se pede a seguir : 1) Escreva a matriz relativa às notas de cada trimestre , denominando-as , respectivamente , por A, B e C .

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2) Montar uma tabela que registre nas linhas os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos,projetos e atividades práticas ) e nas colunas as disciplinas , considerando os totais durante o ano letivo . Montar também a matriz correspondente . O formato da tabela deverá ser Matemática Português História Geografia Química Física Provas Trabalhos Projetos At. Práticas TOTAL 3) Responda: o que a sentença abaixo tem a ver com as operações feitas no exercício anterior?

=

+

+

74 81 87 81 79 72

14 18 20 18 13 10

19 17 15 15 20 17

13 17 19 13 15 15

28 29 33 35 31 30

30 33 31 34 27 29

7 8 8 7 5 3

8 7 5 6 8 8

5 7 8 5 4 6

10 11 10 16 10 12

28 28 33 30 30 30

6 5 7 6 5 7

6 5 5 6 7 7

4 5 7 5 7 6

12 13 14 13 11 10

16 20 23 17 22 13

1 5 5 5 3 0

5 5 5 3 5 2

4 5 4 3 4 3

6 5 9 6 10 8

Resposta: →→→→ SITUAÇÃO 2 : Na mesma escola da situação anterior , chegou de transferência um aluno no final do 1o trimestre . Como o aluno transferido não trouxe nenhuma nota relativa ao 1o

trimestre , a escola resolveu esperar o final do 2o trimestre e considerar suas notas de 1o trimestre proporcionais às notas que ele obtivesse no 2o trimestre . Suponha que o boletim do aluno transferido seja o apresentado a seguir e monte seu boletim de 1o bimestre , considerando

que o 1o trimestre corresponde , em créditos , a 7

5 do 2o trimestre

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Matemática Português História Geografia Química Física Provas 14 7 10,5 10,5 14 7 Trabalhos 3,5 7 0 3,5 7 3,5 Projetos 7 3,5 7 3,5 7 1,4 At. Práticas 4,2 5,6 6,3 4,9 7 3,5 TOTAL 28,7 23,1 23,5 22,4 35 15,4 Responda: O que a equação a seguir tem em comum com os cálculos feitos na questão anterior ?

=

11 25 16 17 16,5 20,5

2,5 5 3,5 4,5 4 3

1 5 2,5 5 2,5 5

2,5 5 2,5 0 5 2,5

5 10 7,5 7,5 5 10

15,4 35 22,4 23,5 23,1 28,7

3,5 7 4,9 6,3 5,6 4,2

1,4 7 3,5 7 3,5 7

3,5 7 3,5 0 7 3,5

7 14 10,5 10,5 7 14

. 7

5

Resposta: →→→→ SITUAÇÃO 3 : Ainda na mesma escola das questões anteriores , o boletim do 3o trimestre , num determinado ano letivo , foi impresso em formato diferente dos anteriores , pelo fato de a escola ter mudado o programador de seu sistema de informática . Então , o boletim saiu com as disciplinas em linhas e os instrumentos de avaliação em colunas. Como a escola já tinha todas as notas referentes aos trimestres anteriores registrados no formato instrumentos X disciplinas , ou seja , instrumentos de avaliação nas linhas e disciplinas nas colunas , as planilhas de resultado final tiveram que ser calculadas de outro modo . Considere que um determinado aluno obteve , no 3o trimestre as notas registradas no boletim a seguir . Obtenha a tabela e a matriz correspondente à situação do aluno citado no final do ano (Matriz F) , considerando que , até o 2o trimestre , seus totais de créditos são aqueles mostrados na segunda tabela a seguir .

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- Boletim do 3o trimestre : (Matriz D)

Provas Trabalhos Projetos Ativ. Práticas TOTAL Matemática 14 8 6 5 33 Português 12 8 7 8 35 História 16 6 8 8 38 Geografia 15 4 5 6 30 Química 10 0 7 7 24 Física 11 5 6 7 29 - Totais referentes aos dois primeiros trimestres : (Matriz E) Matemática Português História Geografia Química Física Provas 21 18 16 22 14 17 Trabalhos 10 11 9 10 12 11 Projetos 9 10 11 8 9 12 At. Práticas 11 13 13 12 10 8 TOTAL 51 52 49 52 45 48 Se for preciso , releia o primeiro parágrafo da página 5 , mas responda: que tipo de operação matricial foi realizada na experiência anterior ? Indique sua resolução usando as matrizes en- volvidas na experiência anterior . Resposta:

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