ANHANGUERA EDUCACIONALPELOTAS

Cálculo Numérico

PELOTAS

2015

ANHANGUERA EDUCACIONALPELOTAS

Engenharia Mecânica – 3º Semestre

Crizan de Farias Xavier 8489234531Gustavo Pratti 8097914034Eduardo Vieira Duarte 8096900602Ivair Corrêa de Oliveira 8074868172Welerson dos santos das Neves 8410170866

PELOTAS2015

1. OBJETIVOS

Encontrar o código de barras linear palíndromo que chamou a atenção do

proprietário da importadora “Vendo mundo”, quando checou a listagem dos

contêineres desembarcados no porto de Santos em um determinado dia.

INTRODUÇÃO

O objetivo deste trabalho é desenvolver e aprimorar nossos conhecimentos com a

relação a conceitos e princípios gerais do cálculo numérico.

O desafio deste trabalho será descobrir o código de barras linear palíndromo com 34

barras que chamou a atenção da importadora ‘Vendomundo’.

Para isto teremos que realizar e concluir sete tarefas que após devidamente

concluídas teremos que associar a resposta a um número: 0 ou 1. Esses números

colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas fornecerão os dezessete

primeiros algarismos (da esquerda para a direita) que irão compor o código de

barras linear.

ETAPA1

Passo 1: Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos

usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma

aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não

apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos

numericamente.

Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse

método pode setornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo: solução de sistemas de equações lineares (cálculo de estruturas,

redeselétricas etc.).

A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos

para solução (não podem ser resolvidos analiticamente) equações diferenciais

parciais não lineares pode ser resolvida analiticamente só em casos

particulares.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações

matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma

medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das

medidas. Daí trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria

medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor

exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da

aproximação,do erro do desvio.

Função do Cálculo Numérico na Engenharia “Buscar solucionar problemas

técnicos através de métodos numéricos modelo matemático”

Passo 2

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da

dependência e independência linear de dois e três vetores no R³:

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores V1 e V2 apresentados no gráfico (a) são LI

(linearmenteindependentes);

Resposta: Falso, V1 e V2 estão apresentados na mesma reta que passa

pela origem portanto são linearmente dependentes

II – os vetores V1, V2, e V3 apresentados no gráfico (b) são LI;

Resposta: Verdadeiro

III – os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente

dependentes);

Resposta: Verdadeiro, pois quando dois vetores V1 e V2 não paralelos

geram um plano pela origem.

2. Desafio B

Dados os vetores u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são

linearmente independentes.

Resposta: Verdadeiro, pois não são proporcionais.

3. Desafio C

Sendo w1 (3, -3, 4) E e w2(1, 2, 0) E, a tripla coordenada de w = 2w - 3w na Base E é (9, -12, 8) E.

Resposta: Afirmativa é verdadeira.

Passo 3

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C,

julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos

realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

1. Desafio A

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. = 1

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. = 1

Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa. = 1

Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada. = 1

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. = 1

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada. = 1

2. Desafio B

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa. = 0

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada. = 0

3. Desafio C

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa. = 1

Associar o número 0, se a afirmação estiver errada. = 1

Código gerado através da solução dos desafios:

[ 1 1 1 0 1 ]

ETAPA 2

Passo 1

Caso A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos

da classe que calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120

metros. Os seguintes valores foram obtidos, respectivamente, pelos alunos

João, Pedro e Maria: 45.216 m² ; 45.239,04 m² e 45.238,9342176 m².

Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A),

considerando que não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da

fórmula da área de uma circunferência e nem na substituição do valor do raio,

na mesma?

Resposta:

João utilizou o truncamento, deixando apenas duas casas depois da vírgula

(3,14).

Pedro utilizou 4 casas após a virgula, arredondando o 4º algarismo (3,1416).

Maria utilizou o número inteiro (3,141592654).

Caso B

Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos

dos somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa

diferença apresentada no caso B?

Resposta:

A diferença é dada ao fato da calculadora utilizar o método de arredondamento

das casas decimais, nesse caso como podemos observar o resultado obtido

pelo computador foi de 3.299,99691, na casa decimal nota-se que o algarismo

nove é maior do que cinco possibilitando o arredondamento para cima, ou seja,

de 3.299,99691, passa para 3.300 conforme resultado apresentado pela

calculadora.

Passo 2

Em uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base

10; 5 dígitos na mantissa e expoente no intervalo [ -6,6], pode se afirmar que:

I – o menor e o maior número possível em módulo nessa representação são

dados de forma respectiva por: 0,1 x 〖10〗^(-6) e 0,99999 x 〖10〗^6;

Resposta: A afirmação está correta, pois se realizarmos as operações teremos:

0,1 x 〖10〗^(-6) = 0,000001

0,99999 x 〖10〗^6 = 99999

Então, verifica-se que a afirmação está correta, sendo os números

representados respectivamente menor e maior.

II- usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 0,12346

x 〖10〗^6 e se for usado o truncamento, o mesmo número será representado

por 0,12345 x 〖10〗^6;

Resposta: A afirmação está correta, pois no arredondamento verificamos qual o

número que é maior ou igual a cinco e acrescentamos um aoalgarismo anterior

como no exemplo citado que de 123456 passou a 0,12346 x 〖10〗^6, e no

truncamento somente retiramos um algarismo como no exemplo citado 0,12345

x 〖10〗^6.

III- se x= 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 0,4 x 〖10〗^8.

Resposta: x= 4 e y= 452700,

x + y = 4 + 452700 = 452704 = 0,0452704 x 〖10〗^8

Portanto a afirmação está incorreta, o resultado de x + y = 0,0452704 x

〖10〗^8

Passo 3

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa=0

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada=0

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa=0

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada=0

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa=0

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada=0

Código gerado através da solução dos desafios:

[ 0 0 0 ]

CONCLUSÃO

Como proposto neste trabalho após o término das afirmações apresentadas

como certa ou errada associamos números de 0 ou 1 para cada atividade e

chegamos ao seguinte resultado:

Etapa 1: [ 1 1 1 0 1 ]

Etapa 2: [ 0 0 0 ]

ETAPA 3

PASSO 1INTRODUÇÃOA teoria de sistemas lineares é a base e uma parte fundamental da álgebra linear. Em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Segue abaixo uma lista de alguns segmentos que essas aplicações podem ser utilizadas:-física,  economia,  engenharia,  biologia,  geografia,  navegação, aviação, cartografia, demografia e astronomia.Toda equação linear possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.Classificação de um sistema linearTodo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.SI – Sistema Impossível – não possui solução.

PASSO 2

Considerando o circuito elétrico representado por:

Onde, i1, i2, i3 são as correntes e z1=10, z2=8 e z3=3 , as impedâncias pelas quais as correntes passam.i1=x ; i2=y ; i3=zReescrevendo as equações:

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118, V=0;

; F=1

III – o sistema é possível e determinado e a solução é dada por:i1=9,79 ; i2=4,11 ; i3=-13,9I-V=0 F=1II-V=0 F=1III-V=1 F=0

PASSO 3

Det (A)=0 ; então A é singularDet (A)≠0 ; então A não é singularSe A não é singular ; A tem inversaAx=b ; sistema possível e determinado (solução única).Ax=b

Ax= b

X= b

A= ;

X= B=

X= B

= X= = =

x= 9,79

y= 4,11

z= -13,9

ETAPA 4

PASSO 1

Conceito de método interativo e método direto (exato).Os métodos exatos são aqueles que fornecem com um número finito de

operações, uma solução exata, não fossem os erros de arredondamento. Os métodos Diretos em sua maioria transformam o sistema original num sistema

triangular equivalente. Em geral, nos métodos exatos transformamos o sistema original num sistema equivalente, cuja solução é obtida resolvendo-se sistemas lineares triangulares. Os métodos diretos mais populares são:

Regra de Crammer: Consiste em isolar as variáveis uma a uma e fazer a retro substituição nas equações restantes até que todas as variáveis tenham sido encontradas.

Matriz Inversa: é tal que multiplicada pela matriz original resultará na matriz identidade. Se Ax = b, então também podemos encontrar o vetor solução x pela seguinte operação algébrica x = A −1b.

Método de eliminação de Gaus:  em aplicar sucessivas operações elementares em um sistema linear, afim de transformá-lo num sistema de mais fácil resolução, tendo este as mesmas soluções que o original..

Decomposição LU:  Esta decomposição se usa em análise numérica para resolver sistemas de equações (mais eficientemente) ou encontrar as matrizes inversas.

Fatoração Cholesky: Se A : nxn é simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular inferior G : n x n com diagonal positiva, tal que A = GG( t), para a composição da matriz G: se o item fizer parte da diagonal do fator usamos gii = (aii − i−1 ∑ k=1 g 2 i j) 1/2 ; se o item não for parte da diagonal do fator, então usamos gi j = (ai j− i−1 ∑ k=1 gikgjk) gi,i . Os métodos diretos sempre irão encontrar a solução do sistema se ela existir.

Podendo, contudo esta solução estar sujeita por erros de arredondamento.Os métodos Iterativos são interativos quando fornece uma sequência de

aproximações, cada uma das quais obtidas das anteriores pela repetição do mesmo processo. Esses métodos partem de uma solução inicial e podem convergir ou não para o vetor solução. Podemos resumir os métodos iterativos em 03 (três) processos interligados, 1) Partem de uma solução inicial. 2) Atualizam a solução anterior por meio de uma equação de iteração 3) Teste que verifica se essa solução satisfaz os critérios de parada.

Tentativa inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução desejada do problema numérico. (ii) Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as iterações ou as aproximações sucessivas para a solução desejada. (iii) Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.

PASSO 2

Desafio A

Dada a matriz

Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

I – a matriz L é dada por: ;

II – a matriz U é dada por: ;

Desafio B

(a)

(b)

I - a solução de (a) é:

=0,999999

= -1

= 3

II - tanto no sistema (a) quanto no sistema(b), a troca das equações não altera a solução.

III - a solução de (b) é:

= -0,4

=2,1

= 0,6

= 0,3

IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10.

Bibliografia:http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares

https://www.google.com.br/webhp?sourceid=chrome-instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-8#q=metodo+exato+e+metodo+interativo+equacao+linear

http://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposi%C3%A7%C3%A3o_LU