Aula 01 - Matemática

7/26/2019 Aula 01 - Matemática

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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA MPUPROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.co.!r 1

Aula 1

Proposições ....................................................................................................................................................... 2

Leis do Pensamento ........................................................................................................................................... 4

Modificador ..................................................................................................................................................... 12

Proposições simples e compostas ................................................................................................................... 13

Conjunção p ˄ ............................................................................................................................................... 14

Disjunção Inclusiva ∨ ............................................................................................................................. 1!

"isjunção #$clusi%a p % ................................................................................................................................. 1&

Condicional p → ........................................................................................................................................... 1&

Bicondicional p ↔ q ...................................................................................................................................... 2'

()mero de lin*as de uma ta+ela,%erdade ...................................................................................................... 21

-autoloia ........................................................................................................................................................ 3'

Contradição ..................................................................................................................................................... 33

Contin/ncia .................................................................................................................................................... 34

#ui%al/ncias L0icas ....................................................................................................................................... 4

elação das uestões comentadas.................................................................................................................. 4

a+aritos ......................................................................................................................................................... 54





Proposições

Nosso principal objeto de estudo serão as proposições. E o que são proposições lógicas?

H vrias de!inições nos livros de lógica e cada banca adota "te#tos di!erentes$ para de!inir asproposições. %uando estava escrevendo &eu livro de 'acioc(nio )ógico *'acioc(nio )ógicoEssencial + Editora ,a&pus- &e preocupei e& utiliar u&a de!inição que englobasse u& "acordo$entre livros e bancas organiadoras. ,/eguei 0 seguinte de!inição1

Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira oufalsa, mas não as duas.

2a&os analisar os ter&os desta de!inição.

Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado.

Desta !or&a3 e#pressões do tipo1

"4s alunos do 5onto dos ,oncursos.$

Não são consideradas proposições *pois não / predicado-.

Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa.

Desta !or&a3 as e#pressões abai#o não são consideradas proposições.

i- %ue belo dia6 *e#cla&ativa-

ii- %ual 7 o seu no&e? *interrogativa-iii- )eia isto atenciosa&ente. *i&perativa + indica orde&-iv- %ue Deus te abençoe. *optativa + e#pri&e desejo-.

5ara co&eçar3 o conjunto de palavras deve ser u&a oração declarativa3 por e#e&plo1

"4 5onto dos ,oncursos obteve u& grande (ndice de aprovação no concurso para 89'9B :;;<$.

4utro ponto a ser analisado na de!inição 7 que a oração declarativa deve poder ser classi!icadae& 2 ou 93 &as não as duas.

2eja&os alguns e#e&plos de orações declarativas que não pode& ser classi!icadas e& 2 ou 9.

"8 !rase dentro destas aspas 7 !alsa.$

2a&os tentar classi!icar e& verdadeiro ou !also. =e disser&os que esta "proposição$ 7 verdadeira3tere&os u&a contradição + pois ser verdade que a !rase 7 !alsa3 logo a !rase 7 !alsa. =edisser&os que a "proposição$ 7 !alsa3 tere&os nova&ente u&a contradição. =e assi& o !ier&os3então ser !also que a !rase dentro daquelas aspas 7 !alsa3 portanto3 a !rase 7 verdadeira. 8ssi&3a "proposição$ não pode ser ne& verdadeira ne& !alsa. 4 que conclu(&os? %ue esta !rase não 7u&a proposição lógica.

4bservação1 9rases contraditórias co&o esta são co&u&ente deno&inadas de parado#os.

>& parado#o !a&oso 7 o de Eubulides que declarou1 Eu sou &entiroso.

4ra3 o parado#o de Eubulides não pode ser u&a proposição lógica.





=e disser&os que a !rase de Eubulides 7 verdadeira3 então 7 verdade que ele 7 u& &entiroso e3portanto3 não pode declarar u&a verdade. ,ontradição6

=e disser&os que a !rase 7 !alsa3 então 7 !also que ele 7 u& &entiroso. E se ele não 7 u&&entiroso3 a !rase não pode ser !alsa *portanto3 7 verdadeira-. Nova&ente u&a contradição.

8ssi&3 a !rase "Eu sou &entiroso$ não 7 u&a proposição lógica.Estes e#e&plos não são proposições lógicas porque não pode& ser ne& verdadeiros ne& !alsos.

>& i&portante tipo de sentença que não 7 proposição 7 a c/a&ada sentença aberta ou funçãoproposicional.

E#e&plo1

+ 5 = 10

Não d para julgar esta !rase e& verdadeiro ou !also3 si&ples&ente porque não 7 poss(veldescobrir o valor de #. =e # valer 3 de !ato3 + 5 = 10.

,aso contrrio3 se # !or di!erente de 3 a igualdade aci&a est errada.

"#$ 7 u&a varivel3 pode assu&ir in@&eros valores.

%uando a sentença possui u&a varivel3 nós die&os que ela 7 u&a sentença aberta. Ela te&u& ter&o que varia3 o que i&pede julgAla e& verdadeiro ou !also. )ogo3 não 7 proposição.

2eja&os outro e#e&plo de sentença aberta1

"Ele gan/ou o 4scar de &el/or ator e& :;;$.

4ra3 não sabe&os que& 7 "ele$. 5ortanto3 não pode&os classi!icar esta !rase e& 2 ou 9.

=e "ele$ !or 'ussel ,roCe3 então a !rase 7 verdadeira.=e "ele$ !or qualquer outra pessoa que não 'ussel ,roCe3 então a !rase 7 !alsa.

,o&o não sabe&os que& 7 "ele$3 não pode&os classi!icar a !rase e3 portanto3 não 7 consideradau&a proposição.

Estas discussões que !i sobre !rases que não são proposições são i&portant(ssi&as quandoesta&os !alando de ,E=5EA>nB.

E& te&po1 7 costu&e na )ógica "apelidar$ as proposições co& letras do al!abeto. 5or e#e&plo1

: á ()

: !" # $ % & 1''(*)





Leis do Pensamento

8ssi& co&o a 9iloso!ia3 a =ociologia3 a Econo&ia e outras cincias3 a )ógica ta&b7& possuidiversas escolas. 8 )ógica tratada neste curso 7 a c/a&ada )ógica 8ristot7lica *)ógica 9or&al3)ógica da 9or&a- e toda a sua estrutura 7 !unda&entada nas seguintes )eis do 5ensa&ento.

1. rinc!pio da identidade

=e u&a proposição qualquer 7 verdadeira3 então ela 7 verdadeira.,ada coisa 7 aquilo que 7. *Gottfried Leibniz -

". rinc!pio do terceiro exclu!do

Foda proposição te& u& dos dois valores lógicos1 ou verdadeiro ou !also3 e#cluindoAse qualqueroutro.

%ue& di de u&a coisa que 7 ou que não 7 ou dir o verdadeiro ou dir o !also. Gas se e#istisseu& ter&o &7dio entre os dois contraditórios ne& do ser ne& do não ser poderAseAia dier que 7 oque não 7. * Aristóteles-

#. rinc!pio de não contradição

>&a proposição não pode ser3 si&ultanea&ente3 verdadeira e !alsa.

E!etiva&ente3 7 i&poss(vel a que& quer que seja acreditar que u&a &es&a coisa seja e nãoseja * Aristóteles-

$ princ!pio da identidade a!ir&a que u&a proposição não pode ser "&ais$ verdadeira do queoutra. Não e#iste& pata&ares de verdade. Na )ógica 8ristot7lica3 todas as proposiçõesverdadeiras3 assi& co&o todas as proposições !alsas3 estão e& u& &es&o n(vel.

$ princ!pio do terceiro exclu!do estabelece que só e#iste& dois valores lógicos. 8ssi&3 pore#e&plo3 a proposição p *"E#iste vida !ora da Ferra$- só pode assu&ir u&a das duaspossibilidades3 2 ou 93 e#cluindoAse u& /ipot7tico valor lógico "talve$3 "não le&bro$ ou "pode ser$.

$ princ!pio de não contradição decreta que u&a proposição não pode ser si&ultanea&ente 2 e9. 8ssi&3 se u&a proposição 7 verdadeira3 j te&os certea de que ela não pode ser !alsa3 ereciproca&ente.

4 valor lógico de u&a proposição p 7 indicado por 2*p-. 5or e#e&plo3 se a proposição p !or !alsa3indica&os 2*p- 9.

*BB:;;J,espe- Na lógica sentencial3 deno&inaAse proposição u&a !rase que pode ser julgadaco&o verdadeira *2- ou !alsa *9-3 &as não co&o a&bas. 8ssi&3 !rases co&o ",o&o est o te&po/oje?$ e "Esta !rase 7 !alsa$ não são proposições porque a pri&eira 7 pergunta e a segunda nãopode ser ne& 2 ne& 9. 8s proposições são representadas si&bolica&ente por letras &ai@sculasdo al!abeto K 83 B3 ,3 etc. >&a proposição da !or&a "8 ou B$ 7 9 se 8 e B !ore& 93 casocontrrio 7 2L e u&a proposição da !or&a "=e 8 então B$ 7 9 se 8 !or 2 e B !or 93 caso contrrio 7

2.




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,onsiderando as in!or&ações contidas no te#to aci&a3 julgue o ite& subsequente.

;. Na lista de !rases apresentadas a seguir3 / e#ata&ente trs proposições."8 !rase dentro destas aspas 7 u&a &entira.$8 e#pressão M O 7 positiva.

4 valor de 734 =+ .5el7 &arcou de gols para a seleção brasileira.4 que 7 isto?

%esolução

"8 !rase dentro destas aspas 7 u&a &entira.$P u&a oração declarativa3 &as não pode ser classi!icada e& verdadeiro ou !also. =e tentar&osclassi!icAla co&o verdadeira3 tere&os u&a contradição. =e classi!icar&os co&o !alsa3 te&os u&anova contradição3 pois 7 !also dier que a !rase dentro daquelas aspas 7 &entira3 e3 portanto3 elaseria verdadeira. )ogo3 a !rase "8 !rase dentro destas aspas 7 u&a &entira$ não 7 u&a proposiçãológica.

8 e#pressão M O 7 positiva.P u&a sentença aberta e não pode ser valorada e& 2 ou 93 pois não con/ece&os os valores de Me O.

8s !rases p1 4 valor de 734 =+ e q1 5el7 &arcou de gols para a seleção brasileira sãoproposições3 pois se constitue& e& orações declarativas e que assu&e& apenas u& dos doisvalores lógicos 2 ou 9.

4 que 7 isto?P u&a !rase interrogativa e3 portanto3 não 7 u&a proposição.

4 ite& est errado porque / e#ata&ente duas proposições.

;:. *I,G=A=5:;;Q9,,- Das cinco !rases abai#o3 quatro delas t& u&a &es&a caracter(sticalógica e& co&u&3 enquanto u&a delas não te& essa caracter(stica.

I. %ue belo dia6II. >& e#celente livro de racioc(nio lógico.III. 4 jogo ter&inou e&patado?

I2. E#iste vida e& outros planetas do universo.2. Escreva u&a poesia.

8 !rase que não possui essa caracter(stica co&u& 7 aa- I.b- II.c- III.d- I2.e- 2.

%esolução





8 !rase I 7 e#cla&ativa. 8 !rase II não possui predicado3 não sendo assi& u&a oração. 8 !rase III 7interrogativa e a !rase 2 7 i&perativa. 5ortanto a caracter(stica co&u& entre as !rases I3 II3 III e 27 que elas não são proposições. 8 @nica proposição 7 a !rase I23 pois 7 u&a oração declarativa3que pode&os classi!icar e& 2 ou 93 apesar de não saber&os o seu valor lógico.

&etra '

;R. *BB::;;J,espe- >&a proposição 7 u&a a!ir&ação que pode ser julgada co&o verdadeira*2- ou !alsa *9-3 &as não co&o a&bas. 8s proposições são usual&ente si&boliadas por letras&ai@sculas do al!abeto3 co&o3 por e#e&plo3 53 %3 '3 etc. =e a cone#ão de duas proposições 7!eita pela preposição "e$3 si&boliada usual&ente por ∧3 então se obt7& a !or&a 5∧%3 lida co&o"5 e %$ e avaliada co&o 2 se 5 e % !ore& 23 caso contrrio3 7 9. =e a cone#ão !or !eita pelapreposição "ou$3 si&boliada usual&ente por ∨3 então se obt7& a !or&a 5∨%3 lida co&o "5 ou %$e avaliada co&o 9 se 5 e % !ore& 93 caso contrrio3 7 2. 8 negação de u&a proposição 7si&boliada por S53 e avaliada co&o 23 se 5 !or 93 e co&o 93 se 5 !or 2.

8 partir desses conceitos3 julgue o pró#i&o ite&.

H duas proposições no seguinte conjunto de sentenças1*I- 4 BB !oi criado e& <T;.*II- 9aça seu trabal/o correta&ente.*III- Ganuela te& &ais de U; anos de idade.

%esolução8s !rases *I- e *III- são proposições3 pois são orações declarativas. 8 !rase *II- 7 i&perativa e3

portanto3 não 7 u&a proposição. 4 ite& est certo.

*=EB'8E :;;,E=5EA>nB- 5ara os itens seguintes3 serão consideradas co&o proposiçõesapenas as sentenças declarativas3 que &ais !acil&ente são julgadas co&o verdadeiras K 2 K ou!alsas K 9 K3 dei#ando de lado as sentenças interrogativas3 e#cla&ativas3 i&perativas e outras.8s proposições serão representadas por letras &ai@sculas do al!abeto1 83 B3 , etc.

V...W=entenças co&o "# R $3 "Ele 7 u& pol(tico$3 "# 7 jogador de !utebol$ são deno&inadassentenças abertasL essas sentenças3 co&o estão3 não poderão ser julgadas co&o 2 ou 93 pois ossujeitos3 no caso3 são variveis. Essas e#pressões torna&Ase proposições depois de substitu(da a

varivel por ele&ento deter&inado3 per&itindo o julga&ento 2 ou 9.V...WFendo co&o re!erncia as in!or&ações do te#to3 julgue os itens de ;U a ;Q.;U. Entre as !rases apresentadas a seguir3 identi!icadas por letras de 8 a E3 apenas duas sãoproposições.81 5edro 7 &arceneiro e 9rancisco3 pedreiro.B1 8driana3 voc vai para o e#terior nessas !7rias?,1 %ue jogador !eno&enal6D1 Fodos os presidentes !ora& /o&ens /onrados.E1 Não dei#e de resolver a prova co& a devida atenção.

%esolução

8 !rase 8 est 4X. P u&a oração declarativa que pode assu&ir valores 2 ou 9.




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8 !rase B 7 u&a !rase interrogativa. 5ortanto3 não 7 proposição.8 !rase , 7 e#cla&ativa. 5ortanto3 não 7 proposição.8 !rase D est 4X. P u&a oração declarativa que pode assu&ir valores 2 ou 9.8 !rase E 7 i&perativa. 5ortanto3 não 7 proposição.

5ortanto3 / apenas duas proposições1 8 e D.

4 ite& est certo.

;. 8s !rases "Frans!or&e seus boletos de papel e& boletos eletrYnicos$ e "4 carro que vocestaciona se& usar as &ãos$ são3 a&bas3 proposições abertas.

%esolução

5ara que u&a !rase seja u&a sentença aberta3 o sujeito deve ser u&a varivel.

8 pri&eira !rase 7 i&perativa. 5ortanto não 7 proposição.

8 segunda !rase não te& sentido co&pleto. 4 que aconteceu co& este carro? Não se trata deu&a proposição lógica3 pois estas deve& possuir sentido co&pleto.

4 ite& est errado.

;Q. ,onsidere a seguinte sentença aberta1 "# 7 u& n@&ero real e #: Z $. Nesse caso3 se # :3então a proposição ser 93 &as3 se # +R3 então a proposição ser 2.

%esolução

2a&os substituir os valores dados na sentença aberta.

9aendo = L

": 7 u& n@&ero real e , - 5$ 7 u&a proposição !alsa3 pois . / 5.

9aendo = L

" 7 u& n@&ero real e (), - 52 7 u&a proposição verdadeira3 pois < Z .

4 ite& est certo.

;J. *F'F J[ 'egião :;;<,E=5EA>nB- 5roposições são !rases que pode& ser julgadas co&overdadeiras K 2 K ou !alsas K 9 K3 &as não co&o 2 e 9 si&ultanea&ente.

V...W8 partir das in!or&ações do te#to3 julgue o ite& a seguir.

8 sequncia de !rases a seguir cont7& e#ata&ente duas proposições.A 8 sede do F'FE= localiaAse no &unic(pio de ,ariacica.A 5or que e#iste& ju(es substitutos?A Ele 7 u& advogado talentoso.

%esolução





8 pri&eira !rase 7 u&a oração declarativa e que3 &es&o que não saiba&os3 pode ser classi!icadae& 2 ou 9.8 segunda !rase 7 interrogativa. Não 7 proposição.8 terceira !rase 7 u&a sentença aberta. "Ele$ 7 u& ter&o que varia. Esta !rase não pode serclassi!icada e& 2 ou 9. Não 7 proposição.

4 ite& est errado.

;T. *I,G=A=5:;;Q9,,- ,onsidere as seguintes !rases1

I. Ele !oi o &el/or jogador do &undo e& :;;.

II.5

x y+ 7 u& n@&ero inteiro.

III. \oão da =ilva !oi o secretrio da 9aenda do Estado de =ão 5aulo e& :;;;.

P verdade que 85EN8=1

a- I e II são sentenças abertas.b- I e III são sentenças abertas.c- II e III são sentenças abertas.d- I 7 u&a sentença aberta.e- II 7 u&a sentença aberta.

%esolução

8 !rase I 7 u&a sentença aberta3 pois "Ele$ pode3 nesta questão3 estar se re!erindo a u& /o&e&

qualquer. Não pode&os classi!icAla e& 2 ou 93 pois não sabe&os sobre que& esta&os !alando.

8 !rase II 73 se& d@vida3 u&a sentença aberta3 pois / duas variveis e in!initos valores quepode& tornar a !rase verdadeira ou !alsa.

\ a !rase III não 7 u&a sentença aberta3 pois !acil&ente pode&os veri!icar o sujeito e classi!icAlae& 2 ou 9. =e quiser classi!icar esta proposição e& 2 ou 93 basta !aer u&a rpida pesquisa no]oogle *rss-.

&etra (

;<. *G'E :;;T,E=5EA>nB- 5roposições são sentenças que pode& ser julgadas co&overdadeiras K 2 K3 ou !alsas K 9 K3 &as não cabe& a elas a&bos os julga&entos.

V...W

,onsiderando as in!or&ações aci&a3 julgue o ite& abai#o.

,onsidere a seguinte lista de sentenças1

I A %ual 7 o no&e pelo qual 7 con/ecido o Ginist7rio das 'elações E#teriores?

II A 4 5alcio Ita&arat^ e& Bras(lia 7 u&a bela construção do s7culo MIM.

III A 8s quantidades de e&bai#adas e consulados gerais que o Ita&arat^ possui são3respectiva&ente3 # e ^.




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I2 A 4 barão do 'io Branco !oi u& diplo&ata notvel.

Nessa situação3 7 correto a!ir&ar que entre as sentenças aci&a3 apenas u&a delas não 7 u&aproposição.

'esolução.8 sentença I 7 interrogativa. 5erguntas3 e#cla&ações3 ordens3 desejos3 e#pressões desenti&entos eou opinião3 tudo isso não pode ser classi!icado co&o proposição. =ão todose#e&plos de !rases que não pode& ser julgados e& verdadeiro ou !also3 não sendo classi!icadosco&o proposição.

Na sentença II te&os u&a e#pressão de senti&ento3 de opinião sobre o 5alcio do Ita&arat^.8lgu7& est diendo e#pressando sua opinião de que o 5alcio 7 belo. Nova&ente3 não 7proposição.

Na sentença III3 te&os duas variveis *# e ^-.

%uando te&os variveis3 esta&os diante de u&a sentença aberta3 que não pode ser julgada e&verdadeiro ou !also.

)ogo3 não 7 u&a proposição.

Na sentença I23 te&os outra e#pressão de opinião. Fa&b7& não 7 proposição.

$ item est) errado.

;. *9INE5 :;;<,E=5EA>nB- 8cerca de proposições3 considere as seguintes !rases1

I 4s 9undos =etoriais de ,incia e Fecnologia são instru&entos de !inancia&ento de projetos.

II 4 que 7 o ,FA8&aYnia?

III 5reste atenção ao edital6

I2 =e o projeto !or de cooperação universidadeAe&presa3 então pode& ser pleiteados recursos do!undo setorial verdeAa&arelo.

=ão proposições apenas as !rases correspondentes aos itens

a- I e I2.

b- II e III.

c- III e I2.

d- I3 II e III.

e- I3 II e I2.

%esolução.8 !rase II 7 interrogativa3 não podendo ser julgada e& 2 ou 9.




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8 !rase III 7 u&a !rase i&perativa3 que ta&b7& não 7 proposição.

)ogo3 são proposições as !rases I e I2.

&etra (

. *F,EA5B:;;Q9,,- =abeAse que sentenças são orações co& sujeito *o ter&o a respeito doqual se declara algo- e predicado *o que se declara sobre o sujeito-. Na relação seguinte /e#pressões e sentenças1

. Frs &ais nove 7 igual a doe.:. 5el7 7 brasileiro.R. 4 jogador de !utebol.U. 8 idade de Garia.. 8 &etade de u& n@&ero.Q. 4 triplo de 7 &aior do que ;.

P correto a!ir&ar que3 na relação dada3 são sentenças apenas os itens de n@&eros

a- 3: e Q.b- :3R e U.c- R3U e .d- 3:3 e Q.e- :3R3U e .

%esolução

8s !rases 3: e Q t& sujeito e predicado. =ão3 portanto3 sentenças.

8s !rases R3U e não possue& sentido co&pleto. Não são sentenças.

&etra (

:. *5GAB8 :;;<9,,- De!ineAse sentença co&o qualquer oração que te& sujeito *o ter&o arespeito do qual se declara algu&a coisa- e predicado *o que se declara sobre o sujeito-. Narelação que segue / e#pressões e sentenças1. Fo&ara que c/ova6:. %ue /oras são?

R. Frs vees dois são cinco.U. %uarenta e dois detentos.. 5oliciais são con!iveis.Q. E#erc(cios !(sicos são saudveis.De acordo co& a de!inição dada3 7 correto a!ir&ar que3 dos itens da relação aci&a3 são sentenças85EN8= os de n@&eros*8- 3 R e .*B- :3 R e .*,- R3 e Q.*D- U e Q.*E- e Q.

%esolução





8 9,, conceitua sentença co&o proposição. 8 !rase 7 e#cla&ativa3 a !rase : 7 interrogativa3 a!rase U não possui predicado e3 portanto3 não são sentenças. 8s sentenças *proposições lógicas-são as !rases R3 e Q.

&etra C

R. *G5EF4 :;;Q,E=5EA>nB- Na lista abai#o3 / e#ata&ente trs proposições._ 9aça suas tare!as._ Ele 7 u& procurador de justiça &uito co&petente._ ,elina não ter&inou seu trabal/o._ Esta proposição 7 !alsa._ 4 n@&ero .;:U 7 u&a potncia de :.

%esolução

_ 9aça suas tare!as. *ão + proposição porque + uma frase imperativa.

_ Ele 7 u& procurador de justiça &uito co&petente. *ão + proposição. rata-se deuma sentença aberta lembra do exemplo do %ussel Croe/0

Celina não terminou seu trabalho. 2 proposição.

_ Esta proposição 7 !alsa. *ão + proposição. rata-se de um paradoxo.

$ n3mero 1.4"5 + uma pot6ncia de ". 2 proposição.

*a lista, h) exatamente " proposiç7es. ortanto, o item est) errado.

U. *5'4DE=F :;;Q,E=5EA>nB- ,onsidere a seguinte lista de !rases1 'io Branco 7 a capital do estado de 'ondYnia.: %ual 7 o /orrio do !il&e?R 4 Brasil 7 pentaca&peão de !utebol.U %ue belas !lores6 Garlene não 7 atri e Djanira 7 pintora.Nessa lista3 / e#ata&ente U proposições.

%esolução

'io Branco 7 a capital do estado de 'ondYnia. *2 proposição-.

: %ual 7 o /orrio do !il&e? *Não 7 proposição porque 7 u&a !rase interrogativa-.

R 4 Brasil 7 pentaca&peão de !utebol. *2 proposição-.

U %ue belas !lores6 *Não 7 proposição porque 7 u&a !rase e#cla&ativa-.

Garlene não 7 atri e Djanira 7 pintora. *2 proposição-.





,o&o / apenas R proposições3 então o ite& est errado.

Modificador

4 &odi!icador 7 u& operador lógico que "troca$ o valor lógico das proposições. =e te&os e&&ãos u&a proposição verdadeira3 então3 ao aplicar&os o &odi!icador3 tere&os u&a proposição!alsa. Da &es&a !or&a3 se te&os e& &ãos u&a proposição !alsa3 então3 ao aplicar&os o&odi!icador3 tere&os u&a proposição verdadeira.

4s s(&bolos que indica& que u&a proposição !oi "&odi!icada$ são1 3 " ¬ . 8 proposição&odi!icada 7 c/a&ada de negação da proposição original.

E#e&plos1

: á

Est 7 u&a proposição !alsa. 8o aplicar&os o &odi!icador3 tere&os u&a proposição verdadeira.

¬ : 67 á

Esta !rase ta&b7& pode ser lida das seguintes !or&as1

¬ : 8 $ " á

¬ : 96 ; " á

%uando te&os u&a proposição si&ples3 deve&os &odi!icar o verbo para negar a !rase. 2eja&osoutro e#e&plo1

: < > 6 ?@" A? & & 001

Esta 7 u&a proposição verdadeira. 2a&os &odi!icar o verbo e tornAla u&a proposição !alsa.

3: < > ?@" A? & & 001

2a&os de!inir !or&al&ente o &odi!icador.

Dada u&a proposição p qualquer3 u&a outra proposição c/a&ada negação de p pode ser!or&ada escrevendoAse "P !also que...$ antes de p ou3 se poss(vel3 inserindo a palavra "não$.=i&bolica&ente3 a negação de p 7 designada por p~ ou p¬ . 5ara que p~ seja u&a

proposição3 deve&os ser capaes de classi!icAla e& verdadeira *2- ou !alsa *9-. 5ara issova&os postular *decretar- o seguinte crit7rio de classi!icação1 ( proposição p~ tem sempre o

valor l8gico oposto de p , isto +, p~ + verdadeira quando p + falsa, e p~ + falsa quando

p + verdadeira.





FabelaAverdade

8 tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. FabelasAverdadessão especial&ente usadas para deter&inar os valores lógicos de proposições constru(das a partirde proposições si&ples. 8s tabelas de valores t& longa /istória3 &as recebera& certo destaquedesde os trabal/os *independentes- de )udCig `ittgenstein *TT<A<- e de E&il ). 5ost *T<JA<U-. 8 tabela &ostra todas as possibilidades de valores de u&a proposição e oscorrespondentes valores da sua negação.

8 negação de u&a proposição pode ser considerada o resultado de u&a operação do "operador

negação$ de u&a proposição. 4 operador negação constrói u&a nova proposição a partir de u&aproposição que j e#iste. 2a&os estudar agora operadores lógicos que são usados para !or&arnovas proposições a partir de duas ou &ais proposições pree#istentes. Esses operadores lógicossão c/a&ados conectivos.

Proposições simples e compostas

Estudare&os &7todos de produir novas proposições a partir de proposições si&ples. >&a

proposição 7 si&ples quando declara algo se& o uso de conectivos. Esses &7todos !ora&discutidos pelo &ate&tico ingls ]eorge Boole3 e& TU3 no seu livro As Leis do Pensamento.Diversas declarações &ate&ticas são obtidas co&binando proposições.

E#e&plos1

p 1 4 n@&ero : 7 pri&o. *2-

q 1 1 R Q *9-

r 1 4 retngulo 7 u& pol(gono regular. *9-

8 partir de proposições si&ples dadas pode&os construir novas proposições co&postas &ediante

o e&prego de operadores lógicos c/a&ados conectivos3 co&o 9e: conectivo de conjunção0,9ou: conectivo de disjunção0, e os condicionais 9se... então:, 9se e somente se:. 4bserveque o &odi!icador "não$ não 7 u& conectivo. "Não$ 7 u& adv7rbio de negação. 8 e#pressão "não$não conecta duas proposições.

E#e&plos1

p 1 8 )ua 7 u& sat7lite da Ferra e 'eci!e 7 a capital de 5erna&buco.

q 1 ,arlos 7 solteiro ou 5edro 7 estudante.

r 1 Se u& quadriltero te& todos os lados congruentes3 então 7 u& losango.

p p~

; <

< ;





s 1 >& quadriltero 7 u& quadrado se e somente se !or retngulo e losango.

$bs.= 8 proposição "]uil/er&e e Goraes são pro!essores$ 7 u&a proposição si&ples. 4 sujeitodessa proposição3 por7&3 7 co&posto. 8 proposição "]uil/er&e 7 pro!essor e Goraes 7pro!essor$ 7 u&a proposição co&posta.

*=F9 :;;T,E=5EA>nB- 9il/o &eu3 ouve &in/as palavras e atenta para &eu consel/o.8 resposta branda acal&a o coração irado.4 orgul/o e a vaidade são as portas de entrada da ru(na do /o&e&.=e o !il/o 7 /onesto3 então o pai 7 e#e&plo de integridade.

Fendo co&o re!erncia as quatro !rases aci&a3 julgue os itens seguintes.

. 8 pri&eira !rase 7 co&posta por duas proposições lógicas si&ples unidas pelo conectivo deconjunção.

Q. 8 segunda !rase 7 u&a proposição lógica si&ples.

J. 8 terceira !rase 7 u&a proposição lógica co&posta.

T. 8 quarta !rase 7 u&a proposição lógica e& que aparece& dois conectivos lógicos.

%esolução

. 4s verbos "ouve$ e "atenta$ indica& orde& *i&perativo-. 5ortanto não são consideradasproposições lógicas. 4 ite& est errado.Q. Certo. J. 8 proposição 7 si&ples. 4 sujeito da oração 7 que 7 co&posto. 4 ite& est errado.T. "=e...3 então...$ 7 u& conectivo só. 4 ite& est errado.

Conjunção p ˄ q

Duas proposições quaisquer pode& ser co&binadas pela palavra "e$ para !or&ar u&a proposiçãoco&posta3 que 7 c/a&ada de conjunção das proposições originais. =i&bolica&enterepresenta&os a conjunção de duas proposições p e q por q p ∧ .

I&agine que voc pro&eteu ao seu !il/o que3 no !inal de se&ana1

9;amos ao Shopping Center e vamos > praia.:

2a&os separar a !rase aci&a e& duas parcelas1

: *& B #

: *& C

,onectando as proposições e pelo conectivo "e$3 te&os a proposição1

D : *& B # ;& C





=e as duas parcelas co&ponentes são verdadeiras3 então3 de !ato3 o pai levar o !il/o ao=/opping e 0 praia. )ogo3 nossa proposição co&posta 7 verdadeira.

p1 2a&os ao =/opping ,enter. *2erdade-

q1 2a&os 0 praia *2erdade-

Fer(a&os então1

p q D

2 2 2

Neste quadro esta&os indicando que se a proposição "p$ *2a&os ao =/opping ,enter- !orverdadeira e a proposição "q$ *2a&os 0 praia- ta&b7& !or verdadeira3 então a proposição "P e Q$*2a&os ao =/opping ,enter e va&os 0 praia- ta&b7& ser verdadeira.

8gora va&os i&aginar que o pai levar o !il/o ao =/opping ,enter3 &as não levar o !il/o 0 praia.

p1 2a&os ao =/opping ,enter. *2erdade-

q1 2a&os 0 praia *9also-

8gora a proposição co&posta 7 !alsa. Ela a!ir&a que "2a&os ao =/opping ,enter$ e3 al+m disso3"2a&os 0 praia$. 8!ir&aAse que as duas parcelas ocorre& ao &es&o te&po3 o que não estacontecendo *pois a segunda parcela 7 !alsa-. 5ortanto " p e q$ 7 !also.

p q D

2 9 9

8nalise&os agora a terceira situação1 4 pai não levar o !il/o ao =/opping ,enter3 &as levar o!il/o 0 praia.

p1 2a&os ao =/opping ,enter. *9also-

q1 2a&os 0 praia *2erdade-

Nova&ente3 a a!ir&ação de que "2a&os ao =/opping ,enter e va&os 0 praia$ 7 !alsa. Issoporque u&a das parcelas 7 !alsa. 5ortanto1

p q D

9 2 9

E !inal&ente a @lti&a situação poss(vel. 4 pai ne& leva o !il/o ao =/opping ,enter ne& o leva 0praia.





p1 2a&os ao =/opping ,enter. *9also-

q1 2a&os 0 praia *9also-

p q D

6 6 6

>nindo todas estas possibilidades e& u&a @nica tabela3 te&os1

p q D

7 7 7

7 6 6

6 7 6

6 6 6

2a&os postular u& crit7rio para estabelecer o valor lógico *2 ou 9- de u&a conjunção a partir dosvalores lógicos *con/ecidos- das proposições p e q1

( conjunção q p ∧ 7 verdadeira se p e q são ambas verdadeiras? se ao menos uma

delas for falsa então q p ∧ + falsa.

4 "e$ lógico costu&a ser apresentado co& o s(&bolo ∧.

Deste &odo3 escrever "5 ∧ %$ 7 o &es&o que escrever "5 e %$.

E#e&plo1

p = \oão 7 gordo e Grio 7 alto.

=upon/a que a proposição @oão + gordo seja verdadeira e que A)rio não seja alto. Dessa!or&a3

8 conjunção "\oão 7 gordo e Grio 7 alto$ 7 !alsa3 pois a proposição "Grio 7 alto$ 7 !alsa. 8

co&posta só seria verdadeira se a&bas as proposições "\oão 7 gordo$ e "Grio 7 alto$ !osse&verdadeiras.




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'isjunção Bnclusiva ∨

Duas proposições quaisquer pode& ser co&binadas pela palavra 9ou: para !or&ar u&aproposição co&posta que 7 c/a&ada de disjunção inclusiva das proposições originais.=i&bolica&ente3 a disjunção das proposições p e q 7 designada por q p ∨ . 4 s(&bolo v 7 a inicial

da palavra grega vel .

2a&os postular u& crit7rio para decidir o valor lógico *2 ou 9- de u&a disjunção a partir dos

valores lógicos *con/ecidos- das proposições p e q1

( disjunção inclusiva q p ∨ + verdadeira se ao menos uma das proposiç7es p ou q +

verdadeira? q p ∨ + falsa se e somente se ambas p e q são falsas.

E#e&plo1

p = 2ou 0 !esta ou não &e c/a&o 9ulano.

,onsidere que 9ulano a!ir&ou1 2ou 0 !esta ou não &e c/a&o 9ulano.9ulano !oi 0 !esta. 5ortanto3 a proposição "2ou 0 !esta$ 7 verdadeira.8 proposição "não &e c/a&o 9ulano$ 7 !alsa3 pois que& a disse !oi 9ulano.Fe&os o seguinte esque&a1

2ou 0 !esta ou não &e c/a&o 9ulano.

; <

p q q p ∨

; ; ;

; < ;

< ; ;

< < <





8 disjunção "2ou 0 !esta ou não &e c/a&o 9ulano$ só seria !alsa se a&bas as proposições "2ou 0!esta$ e "Não &e c/a&o 9ulano$ !osse& !alsas. ,o&o a proposição "2ou 0 !esta$ 7 verdadeira3te&os que a co&posta 7 verdadeira. 8ssi&3

;

2ou 0 !esta ou não &e c/a&o 9ulano.

; <

4 uso do conectivo ou na disjunção inclusiva corresponde a u& dos dois &odos co&o a palavraou 7 usada na )(ngua 5ortuguesa. 8 disjunção inclusiva 7 verdadeira quando pelo &enos u&adas duas proposições !or verdadeira ou quando a&bas !ore& verdadeiras. 8 disjunção inclusiva 7usada3 por e#e&plo3 na seguinte proposição1

Hoje 7 se#taA!eira ou /oje est c/ovendo.

Nesse caso3 poder(a&os ter as duas proposições "Hoje 7 se#taA!eira$ e "Hoje est c/ovendo$verdadeiras. Não esta&os a!ir&ando que as duas são verdadeiras3 &as que a&bas poderiam serverdadeiras. 5or outro lado3 esta&os usando a disjunção e#clusiva quando die&os1

4u /oje 7 se#taA!eira ou sbado3 &as não a&bos.

Nesse caso3 as duas proposições "Hoje 7 se#taA!eira$ e "Hoje 7 sbado$ não pode& sersi&ultanea&ente verdadeiras. ,o&o j observa&os3 o uso do conectivo ou e& u&a disjunçãocorresponde a u& dos dois signi!icados usados na )(ngua 5ortuguesa3 deno&inados inclusivo ee#clusivo. 8 disjunção inclusiva q p ∨ 7 verdadeira quando pelo &enos u&a delas !or verdadeira.

%uando o ou exclusivo 7 usado para conectar as proposições p e q3 a proposição "ou p ou q3&as não a&bas$ 7 obtida. 8 proposição 7 verdadeira quando p 7 verdadeira e q 7 !alsa3 ouquando p 7 !alsa e q 7 verdadeira3 e 7 !alsa quando a&bas3 p e q3 são !alsas ou a&bas sãoverdadeiras.

4 s(&bolo do "ou$ 7 ∨. P u& s(&bolo se&el/ante ao do "e$3 &as de cabeça para bai#o.

8lguns alunos se &ostra& especialistas e& construir processos &ne&Ynicos. >& dos processosque aprende&os co& esses &estres !oi co&o distinguir os s(&bolos ∨ e ∧. Basta colocar u&aletra 4 ao lado dos s(&bolos. 4bserve1

4∨ 4∧

E& qual das duas situações voc consegue ler "4>$? Na "palavra da esquerda6 5ortanto3 aqueles(&bolo 7 o "ou$. ,onsequente&ente o outro 7 o "e$.

4utro processo &ne&Ynico consiste e& colocar u& "pontin/o$ e& ci&a do s(&bolo. 2eja&os1

E& qual das duas situações voc consegue ver a letra cursiva "i$? No s(&bolo da direita6 5ortanto3aquele s(&bolo 7 o "e$ *&es&o !one&a do "i$-.




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Disjunção Exclusiva p v q

Duas proposições quaisquer pode& ser co&binadas pela palavra 9ou: para !or&ar u&aproposição co&posta que 7 c/a&ada de disjunção exclusiva das proposições originais.=i&bolica&ente3 a disjunção das proposições p e q 7 designada por p v q.

2a&os postular u& crit7rio para decidir o valor lógico *2 ou 9- de u&a disjunção e#clusiva a partirdos valores lógicos *con/ecidos- das proposições p e q1

( disjunção exclusiva p v q + verdadeira se exatamente uma delas p ou q for verdadeira,e falsa nos outros casos.

Condicional p →

%uando duas proposições são conectadas co& a palavra "se$ antes da pri&eira e a inserção dapalavra "então$ entre elas a proposição resultante 7 co&posta e 7 ta&b7& c/a&ada deimplicação. =i&bolica&ente3 q p → . E& u&a proposição condicional3 o co&ponente que se

encontra entre o "se$ e o "então$ 7 c/a&ado de antecedente e o co&ponente que se encontra

após a palavra "então$ 7 c/a&ado consequente. 5or e#e&plo3 na proposição "=e vou 0 praia3então to&o ban/o de &ar$3 "vou 0 praia$ 7 o antecedente e "to&o ban/o de &ar$ 7 oconsequente.

$ condicional q p → + falso somente quando p + verdadeira e q + falsa? caso contr)rio,

q p → + verdadeiro.

,oloque&os u& e#e&plo para resu&iAlo.

=e ]uil/er&e 7 reci!ense3 então ]uil/er&e 7 perna&bucano.

p q p v q

; ; <

; < ;

< ; ;

< < <





]uil/er&e 7 reci!ense ]uil/er&e 7 perna&bucano

caso verdadeira verdadeira

: caso verdadeira !alsa

R caso !alsa verdadeira

U caso !alsa !alsa

8nalise&os cada u& deles.

caso antecedente e consequente verdadeiros. 8qui3 se e!etiva&ente ]uil/er&e !or reci!ensee ta&b7& !or perna&bucano3 não / d@vida3 a proposição condicional 7 considerada verdadeira.

: caso antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação3 te&os ]uil/er&eco&o u&a pessoa que nasceu no 'eci!e e não nasceu e& 5erna&buco. 8 condicional 7considerada falsa.

R caso antecedente !also e consequente verdadeiro. ]uil/er&e não nasceu no 'eci!e3 &asnasceu e& 5erna&buco. Isso 7 total&ente per&itido3 visto que ]uil/er&e poderia ter nascido e&5etrolina3 por e#e&plo. 8 proposição condicional 7 verdadeira.

U caso antecedente e consequente !alsos. ]uil/er&e não nasceu no 'eci!e ne& e&5erna&buco. =ituação total&ente aceitvel3 visto que ]uil/er&e poderia ter nascido e& qualqueroutro lugar do &undo.

xiste apenas uma situação em que o condicional + falso= quando a primeira proposiçãofor verdadeira e a segunda, falsa.

Dicondicional p ↔ q

,onectando duas proposições p3 q atrav7s do conectivo bicondicional3 obte&os u&a novaproposição p q↔ 3 que se l " p se e so&ente se q$. $ bicondicional equipara-se > conjunção

de dois condicionais q p → e q p→ .

5or e#e&plo3 a proposição co&posta "Hoje 7 Natal se3 e so&ente se /oje 7 : de dee&bro$signi!ica que "=e /oje 7 Natal3 então /oje 7 : de dee&bro$ e "=e /oje 7 : de dee&bro3 então/oje 7 Natal$.

4 bicondicional p q↔ 7 verdadeiro quando p e q são a&bos verdadeiros ou a&bos !alsos3 e

!also3 quando p e q t& valores lógicos di!erentes.

No nosso e#e&plo aci&a3





5ode&os resu&ir tudo o que !oi dito co& a seguinte tabelaAverdade.

4u ainda3 para !acilitar o processo &ne&Ynico3 pode&os &e&oriar as regras que tornam ascompostas verdadeiras.

,onjunção q p ∧ 8s duas proposições p3 q deve& ser verdadeiras

Disjunção q p ∨ 8o &enos u&a das proposições p3 q deve ser verdadeira. Nãopode ocorrer o caso de as duas sere& !alsas.

,ondicional q p → Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro eo consequente ser !also. 4u seja3 não pode acontecer 2*p-2 e

2*q-9. E& u&a linguage& in!or&al3 die&os que não podeacontecer 293 nesta orde&.

Bicondicional p q↔ 4s valores lógicos das duas proposições deve& ser iguais. 4uas duas são verdadeiras3 ou as duas são !alsas.

Nmero de lin!as de uma ta"ela#verdade

4 n@&ero de lin/as da tabelaAverdade de u&a proposição co&posta co& n proposições si&ples 7:n.

p q q p ∧ q p ∨ q p → p q↔

; ; ; ; ; ;

; < < ; < <

< ; < ; ; <

< < < < ; ;





5ara u&a proposição si&ples p3 o n@&ero de lin/as da tabelaAverdade 7 :3 pois3 pelas leis dopensa&ento a proposição p só pode assu&ir u& dos dois valores lógicos1 2 ou 9.

p

2

9

5ara duas proposições p e q3 o n@&ero de lin/as da tabelaAverdade 7 :: U. =EG5'E que voc!or construir u&a tabelaAverdade envolvendo : proposições3 co&eçare&os co& a seguintedisposição.

p q

; ;

; <

< ;< <

5ara R proposições p3 q e r 3 o n@&ero de lin/as da tabelaAverdade 7 :R T.

=EG5'E que voc !or construir u&a tabelaAverdade envolvendo R proposições3 co&eçare&osco& a seguinte disposição.

p q r

; ; ;

; ; <

; < ;; < <

< ; ;

< ; <

< < ;

< < <

,ada lin/a da tabela *!ora a pri&eira que cont7& as proposições- representa u&a valoração.

*F,>:;;U,espe- ,onsidere que as letras 53 % e ' representa& proposições3 e os s(&bolos S 3∧ e são operadores lógicos que constroe& novas proposições e signi!ica& "não$3 "e$ e "então$3respectiva&ente. Na lógica proposicional que trata da e#pressão do racioc(nio por &eio deproposições que são avaliadas *valoradas- co&o verdadeiras *2- ou !alsas *9-3 &as nunca a&bos3esses operadores estão de!inidos3 para cada valoração atribu(da 0s letras proposicionais3 natabela abai#o1

5 % S5 5 ∧ % 5 %

2 2 9 2 22 9 9 9 99 2 2 9 29 9 2 9 2





=upon/a que 5 representa a proposição Hoje c/oveu3 % represente a proposição \os7 !oi 0 praiae ' represente a proposição Garia !oi ao co&7rcio. ,o& base nessas in!or&ações e no te#to3 julgue os itens a seguir1

<. 8 sentença "Hoje não c/oveu então Garia não !oi ao co&7rcio e \os7 não !oi 0 praia$ pode ser

correta&ente representada por S5 *S' ∧ S%-:;. 8 sentença "Hoje c/oveu e \os7 não !oi 0 praia$ pode ser correta&ente representada por 5 ∧ S% :. =e a proposição "Hoje não c/oveu$ !or valorada co&o 9 e a proposição \os7 !oi 0 praia !or

valorada co&o 23 então a sentença representada por S5 % 7 !alsa.

::. 4 n@&ero de valorações poss(veis para *% ∧ S'- 5 7 in!erior a <.

%esolução

<. 8 proposição "Hoje não c/oveu$ 7 a negação da proposição 5 e deve ser representada porS5. 8 sentença "Garia não !oi ao co&7rcio$ 7 a negação de ' e3 portanto3 7 representada por S'.

8naloga&ente3 a proposição "\os7 não !oi 0 praia$ 7 representada por S%. ,onclu(&os que aco&posta "Hoje não c/oveu então Garia não !oi ao co&7rcio e \os7 não !oi 0 praia$ 7representada por S5 *S' ∧ S%- e o ite& est certo.

:;. >sando o racioc(nio do ite& 3 te&os que o ite& ; ta&b7& 7 certo.

:. 51 Hoje c/oveu.S51 Hoje não c/oveu.%1 \os7 !oi a praia.

4 antecedente *S5- da condicional S5 % !oi valorado co&o 9. =abe&os que quando oantecedente de u&a condicional 7 !also3 a co&posta condicional 7 verdadeira. =egueAse que oite& est errado. 2ale a pena le&brar que uma composta condicional s8 + falsa quando oantecedente + verdadeiro e o consequente + falso, em qualquer outro caso, a condicional +verdadeira.

::. 2ale a pena le&brar que o n@&ero de lin/as de u&a tabelaAverdade *valorações- co&posta den proposições si&ples 7 igual a :n. ,o&o nR3 te&os que o n@&ero de valorações poss(veis paraa proposição co&posta *% ∧ S'- 5 7 igual a :RT. 4 ite& est certo.

:R. *]estor 9aendrioAG]:;;Esa!- ,onsidere a a!ir&ação 5151 "8 ou B$

4nde 8 e B3 por sua ve3 são as seguintes a!ir&ações181 ",arlos 7 dentista$.B1 "=e Enio 7 econo&ista3 então \uca 7 arquiteto$.4ra3 sabeAse que a a!ir&ação 5 7 !alsa. )ogo1

a- ,arlos não 7 dentistaL Enio não 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.b- ,arlos não 7 dentistaL Enio 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.c- ,arlos não 7 dentistaL Enio 7 econo&istaL \uca 7 arquiteto.d- ,arlos 7 dentistaL Enio não 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.e- ,arlos 7 dentistaL Enio 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.

%esolução





8 proposição 5 7 a disjunção das proposições 83 B *conectivo ou-. 4 te#to nos in!or&ou que 5 7!alsa3 e sabe&os que a disjunção 8 ou B só 7 !alsa quando a&bas3 8 e B são !alsas. 8 proposição8 7 !alsa e da( conclu(&os que ,arlos não 7 dentista. 8 condicional B 7 !alsa. Ema proposiçãocondicional s8 + falsa quando o antecedente + verdadeiro e o consequente + falsoL donde

Enio 7 econo&ista *antecedente verdadeiro- e \uca não 7 arquiteto *consequente !also-.

)e&breAse se&pre1 u&a proposição co&posta pelo conectivo "se...3então...$ só 7 !alsa quandoocorre 29. E co&o o enunciado nos disse que B 7 !alsa3 então ocorreu 29.

B1 "=e Enio 7 econo&ista3 então \uca 7 arquiteto$.

$ antecedente + verdadeiro, logo nio + economista.$ consequente + falso, logo @uca não + arquiteto.

&etra D

:U. *F'9A[ 'egião:;;Q9,,- =e todos os nossos atos t& causa3 então não / atos livres. =enão / atos livres3 então todos os nossos atos t& causa. )ogo1

a- alguns atos não t& causa se não / atos livres.b- todos os nossos atos t& causa se e so&ente se / atos livres.c- todos os nossos atos t& causa se e so&ente se não / atos livres.d- todos os nossos atos não t& causa se e so&ente se não / atos livres.e- alguns atos são livres se e so&ente se todos os nossos atos t& causa.

%esolução

2i&os que o bicondicional q p ↔ *se e so&ente se- equiparaAse 0 conjunção de dois

condicionais q p → e q p→ .

&etra C

:. *8)E=5 :;;9,,- 5alo&a !e as seguintes declarações1 “Sou inteligente e não trabalho. “Se não tiro f!rias" então trabalho.=upondo que as duas declarações seja& verdadeiras3 7 98)=4 concluir que 5alo&a

*8- 7 inteligente.*B- tira !7rias.*,- trabal/a.*D- não trabal/a e tira !7rias.*E- trabal/a ou 7 inteligente.

%esolução

4 enunciado j in!or&ou que as duas proposições são verdadeiras.

“Sou inteligente e não trabalho.





Esta 7 u&a proposição co&posta pelo conectivo "e$. )e&bra quando u&a !rase co&posta pelo "e$7 verdadeira? %uando as duas proposições co&ponentes são verdadeiras. Desta &aneira3conclu(&os que 9Sou inteligente: + verdade e 9*ão trabalho: tamb+m + verdade.

Se 9não trabalho: + verdade, então 9trabalho: + falso.

&etra C

2a&os analisar a segunda proposição.

“Se não tiro f!rias" então trabalho.

\ sabe&os que a proposição "não trabal/o$ 7 verdade. 5ortanto3 a sua negação 7 !alsa.

4ra3 para que u&a proposição co&posta pelo conectivo "se...3 então...$ seja verdadeira3 não podeacontecer de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser !also. E& su&a3 não podeacontecer 29 nesta orde&. ,o&o o consequente 7 !also3 o antecedente não pode ser verdadeiro3portanto deve ser !also.

,oncluiAse que a proposição "não tiro !7rias$ 7 !alsa. Isto quer dier que "tiro !7rias$ 7 verdade.

:Q. *5etrobras:;;J,espe- \ulgue o ite& que se segue.

,onsidere as proposições abai#o1p1 U 7 u& n@&ero parLq1 8 5etrobras 7 a &aior e#portadora de ca!7 do Brasil.

Nesse caso3 7 poss(vel concluir que a proposição p ∨ q 7 verdadeira.

%esolução

Fe&os que a proposição p 7 verdadeira3 enquanto que a proposição q 7 !alsa. 8 disjunção p ∨ qsó 7 !alsa se a&bas p3 q são !alsas. =e ao &enos u&a delas !or verdadeira3 a co&posta ta&b7&ser verdadeira. 5ortanto3 a proposição p ∨ q 7 verdadeira e o ite& est certo.

p q p∨

q2 9 2


6


66





:J. *=8D5E:;;T9]2- ,onsidere as situações abai#o1

I. E& u&a estrada co& duas pistas3 vAse a placa1

,o&o voc est dirigindo u& auto&óvel3 voc conclui que deve tra!egar pela pista da esquerda.II. 2oc &ora no 'eci!e e tele!ona para sua &ãe e& Bras(lia. Entre outras coisas3 voc di que"=e do&ingo pró#i&o !ier sol3 eu irei 0 praia$. No !inal do do&ingo3 sua &ãe viu pela televisãoque c/oveu no 'eci!e todo o dia. Então3 ela concluiu que voc não !oi 0 praia.III. I&agine o seguinte dilogo entre dois pol(ticos que discute& calorosa&ente certo assunto1A 81 8qui na ,&ara t c/eio de ladrão.A B1 4corre que eu não sou ladrão.A 81 2oc 7 sa!ado3 t &e c/a&ando de ladrão.

E& cada situação /3 no !inal3 u&a conclusão. E#a&inando a lógica na argu&entação1

a- são verdadeiras as conclusões das situações I e II3 apenas.b- são verdadeiras as conclusões das situações II e III3 apenas.c- são verdadeiras as conclusões das situações I e III3 apenas.d- as trs conclusões são verdadeiras.e- as trs conclusões são !alsas.

%esolução

I. ,a&in/ões 5ista da Direita9

2i&os anterior&ente que "se não ocorre p a condicional q p → 7 verdadeira qualquer que seja o

valor verdade de q.$ 4u seja3 se o antecedente !or !also3 nada pode&os concluir a respeito doconsequente. 8 condicional só 7 !alsa quando o antecedente 7 verdadeiro e o consequente 7 !also*não pode acontecer 29-. 5ortanto3 se voc est dirigindo u& auto&óvel3 poders dirigir na pistada direita ou da esquerda. 4 ite& 7 <(&S$. Da &es&a !or&a3 se /ouver u& ve(culo na pista dadireita *o consequente 7 verdadeiro-3 não pode&os concluir que o ve(culo 7 u& ca&in/ão.

II. Do&ingo pró#i&o !ier sol eu irei 0 praia.9

8 situação 7 idntica ao ite& anterior. =e o antecedente 7 !also3 nada pode&os concluirsobre o consequente. 4 ite& 7 <(&S$. Destaca&os nova&ente que se o consequente !orverdadeiro3 nada pode a!ir&ar sobre o antecedente3 ou seja3 se o indiv(duo !oi 0 praia3 nãopode&os concluir se no do&ingo !e sol ou não.

III. 4 terceiro ite& obvia&ente 7 <(&S$, pois ne& o pol(tico 8 c/a&ou o pol(tico B de ladrão3ne& o pol(tico B c/a&ou o pol(tico 8 de ladrão. 4 pol(tico 8 apenas a!ir&ou que "na ,&ara

t c/eio de ladrão$ e o pol(tico B a!ir&ou que ele próprio não era u& dos ladrões.&etra





*IN== :;;T,E=5EA>nB- 5roposições são sentenças que pode& ser julgadas co&o verdadeirasK 2 K ou !alsas K 9 K3 &as não co&o a&bas. =e 5 e % são proposições3 então a proposição"=e 5 então %$3 denotada por 5 → %3 ter valor lógico 9 quando 5 !or 2 e % !or 93 e3 nos de&ais

casos3 ser 2. >&a e#pressão da !or&a S53 a negação da proposição 53 ter valores lógicoscontrrios aos de 5. 5 ∨ %3 lida co&o "5 ou %$3 ter valor lógico 9 quando 5 e % !ore&3 a&bas3 9Lnos de&ais casos3 ser 2.

,onsidere as proposições si&ples e co&postas apresentadas abai#o3 denotadas por 83 B e ,3que pode& ou não estar de acordo co& o artigo . da ,onstituição 9ederal.

81 8 prtica do racis&o 7 cri&e a!iançvel.

B1 8 de!esa do consu&idor deve ser pro&ovida pelo Estado.

,1 Fodo cidadão estrangeiro que co&eter cri&e pol(tico e& território brasileiro ser e#traditado.De acordo co& as valorações 2 ou 9 atribu(das correta&ente 0s proposições 83 B e ,3 a partir da,onstituição 9ederal3 julgue os itens a seguir.

:T. 5ara a si&boliação apresentada aci&a e seus correspondentes valores lógicos3 a proposiçãoB → , 7 2.

:<. De acordo co& a notação apresentada aci&a3 7 correto a!ir&ar que a proposição *S8- ∨ *S,-te& valor lógico 9.

%esolução

2a&os rele&brar alguns incisos do artigo da ,onstituição 9ederal.

MMMII + o Estado pro&over3 na !or&a da lei3 a de!esa do consu&idorL

M)II + a prtica do racis&o constitui cri&e ina!iançvel e i&prescrit(vel3 sujeito 0 pena de reclusão3nos ter&os da leiL

)II + não ser concedida e#tradição de estrangeiro por cri&e pol(tico ou de opinião.

Deste &odo1

V(A)=F

V(B)=V

V(C)=F

2a&os ao pri&eiro ite&1

%uere&os saber o valor lógico do condicional1

B → ,





=abe&os que o pri&eiro co&ponente 7 verdadeiro e o segundo 7 !also. Esta 7 a @nica situaçãoe& que o condicional 7 !also.

$ item est) errado.

=egundo ite&1

=abe&os que A 7 !alsa. )ogo3 a negação de A 7 verdadeira.

=abe&os que C 7 !alsa. )ogo3 a negação de C 7 verdadeira.

A¬ 1 verdadeira

C ¬ 1 verdadeira

8 proposição solicitada !oi1 *S8- ∨ *S,-.

Fe&os u& "ou$ e& que as duas "parcelas$ são verdadeiras3 o que !a co& que a proposiçãoco&posta seja verdadeira.

$ item est) errado.

R;. *=E98AG] :;;E=89- 4 reino est sendo ator&entado por u& terr(vel dragão. 4 &ago diao rei1 "4 dragão desaparecer a&an/ã se e so&ente se 8ladi& beijou a princesa onte&$. 4 rei3tentando co&preender &el/or as palavras do &ago3 !a as seguintes perguntas ao lógico dacorte1

. =e a a!ir&ação do &ago 7 !alsa e se o dragão desaparecer a&an/ã3 posso concluir

correta&ente que 8ladi& beijou a princesa onte&?:. =e a a!ir&ação do &ago 7 verdadeira e se o dragão desaparecer a&an/ã3 posso concluircorreta&ente que 8ladi& beijou a princesa onte&?

R. =e a a!ir&ação do &ago 7 !alsa e se 8ladi& não beijou a princesa onte&3 posso concluircorreta&ente que o dragão desaparecer a&an/ã?

4 lógico da corte3 então3 di acertada&ente que as respostas logica&ente corretas para as trsperguntas são3 respectiva&ente1

a- Não3 si&3 não

b- Não3 não3 si&

c- =i&3 si&3 si&

d- Não3 si&3 si&

e- =i&3 não3 si&

%esolução

2a&os dar no&es 0s proposições. 8 proposição d *de dragão- ser1





d 1 4 dragão desaparecer a&an/ã.

8 proposição a *de 8ladi&- ser1

a1 8ladi& beijou a princesa onte&

8 a!ir&ação do &ago 71

ad ↔

Ite& .

8 a!ir&ação do &ago 7 !alsa e o dragão desaparece a&an/ã. )ogo1

d 1 2erdadeiro

ad ↔ 1 9also

4u seja3 u&a das parcelas do bicondicional 7 verdadeira. 5ara que o bicondicional seja !also3 asegunda parcela deve ser !alsa. )ogo3 no pri&eiro ite&3 8ladi& não beijou a princesa onte&.

Ite& :.

8 a!ir&ação do &ago 7 verdadeira e o dragão desaparece a&an/ã. )ogo1

d 1 2erdadeiro

ad ↔ 1 2erdadeiro

4u seja3 u&a das parcelas do bicondicional 7 verdadeira. 5ara que o bicondicional sejaverdadeiro3 a segunda parcela deve ser verdadeira. )ogo3 no pri&eiro ite&3 8ladi& beijou aprincesa onte&.

Ite& R.

8 a!ir&ação do &ago 7 !alsa e o 8ladi& não beijou a princesa onte&. )ogo1

a1 9also

ad ↔ 1 9also

>&a das parcelas do bicondicional 7 !alsa. 5ara que o bicondicional seja !also3 a outra parceladeve ser verdadeira. )ogo3 no terceiro ite&3 o dragão desaparecer a&an/ã.

8s respostas 0s trs perguntas são1 não3 si&3 si&.

&etra '





$autolo%ia

2i&os que o n@&ero de lin/as de u&a tabelaAverdade 7 :n *e& que n 7 o n@&ero de proposiçõessi&ples-.

2a&os considerar trs proposições quaisquer p, q e r. 8ssi&3 qualquer tabelaAverdadeenvolvendo apenas estas trs proposições ter E = F lin/as.

Desta !or&a3 va&os construir a tabelaAverdade da proposição ( ) (~ ) p r q r ∧ → ∨ .

E o que signi!ica "construir a tabelaAverdade$ desta proposição?

=igni!ica dispor e& u&a tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. 4useja3 esta&os preocupados e& responder quando 7 que esta proposição 7 verdadeira e quando 7que ela 7 !alsa.

5ara tal tare!a3 deve&os co&eçar co& a seguinte disposição1

p q r

2 2 2

2 2 9

2 9 2

2 9 9

9 2 29 2 9

9 9 2

9 9 9

Neste "co&eço$ de tabela3 estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas Rproposições. 4bserve que / u& padrão na construção deste in(cio.

Na pri&eira coluna3 te&os U "2$ seguidos de U "9$. Na segunda coluna te&os : "2$ seguidos de :"9$ alternada&ente. 5or !i&3 na terceira coluna te&os "2$ e "9$ que se alterna&.

5ois be& toda tabelaAverdade envolvendo trs proposições co&eça assi&.

%uere&os construir a tabelaAverdade da proposição ( ) (~ ) p r q r ∧ → ∨ .





4bserve que não aparece a proposição propria&ente dia e si& a sua negação. 5ortanto3 opri&eiro passo 7 construir a negação de . )e&breAse que se u&a proposição 7 verdadeira3 a suanegação 7 !alsa e reciproca&ente.

p q r ~ q

2 2 2 9

2 2 9 9

2 9 2 2

2 9 9 2

9 2 2 9

9 2 9 9

9 9 2 2

9 9 9 2

2a&os obedecer a orde& de pre!erncia. 2a&os construir as proposições co&postas que estãodentro dos parnteses. ,o&ece&os por D . Deve&os conectar a proposição co& aproposição atrav7s do conectivo "e$. )e&breAse que u&a proposição co&posta pelo "e$ só 7verdadeira quando os dois co&ponentes são verdadeiros. 2a&os selecionar as lin/as e& quea&bas e são verdadeiras. Fodas as outras possibilidades torna& a co&posta D !alsa.

p q r ~ q p r ∧

2 2 2 9 22 2 9 9 9

2 9 2 2 2

2 9 9 2 9

9 2 2 9 9

9 2 9 9 9

9 9 2 2 9

9 9 9 2 9

2a&os agora construir a segunda proposição co&posta que est dentro de parnteses1 3 ∨ .

7alores opostos88





)e&breAse que u&a proposição co&posta pelo conectivo "ou$ 7 verdadeira quando pelo &enosu& dos dois co&ponentes !or verdadeiro. 2a&os nos !ocar apenas nas lin/as e& que pelo &enosu&a das duas 3 ou !or verdadeira.

p q r ~ q p r ∧ ~ q r ∨

2 2 2 9 2 2

2 2 9 9 9 9

2 9 2 2 2 2

2 9 9 2 9 2

9 2 2 9 9 2

9 2 9 9 9 9

9 9 2 2 9 2

9 9 9 2 9 2

4bserve que tanto na lin/a : quanto na lin/a Q as duas proposições são !alsas3 e portanto3 aco&posta constru(da 7 !alsa nestes casos.

5ode&os agora3 !inal&ente construir a co&posta ( ) (~ ) p r q r ∧ → ∨ . )e&breAse que / apenas

u& caso e& que a co&posta pelo "se...3 então$ 7 !alsa1 quando o pri&eiro co&ponente !orverdadeiro e o segundo co&ponente !also. 2a&os ol/ar apenas as duas @lti&as colunas.

2eja&os cada lin/a de per si1

[ lin/a1 2 2 *o condicional 7 verdadeiro-.:[ lin/a1 9 9 *o condicional 7 verdadeiro-.

R[ lin/a1 2 2 *o condicional 7 verdadeiro-.U[ lin/a1 9 2 *o condicional 7 verdadeiro-.[ lin/a1 9 2 *o condicional 7 verdadeiro-.Q[ lin/a1 9 9 *o condicional 7 verdadeiro-.J[ lin/a1 9 2 *o condicional 7 verdadeiro-.T[ lin/a1 9 2 *o condicional 7 verdadeiro-.

Desta !or&a1

p q r ~ q p r ∧ ~ q r ∨ ( ) (~ ) p r q r ∧ → ∨

2 2 2 9 2 2 22 2 9 9 9 9 2

2 9 2 2 2 2 2

2 9 9 2 9 2 2

9 2 2 9 9 2 2

9 2 9 9 9 9 2

9 9 2 2 9 2 2

9 9 9 2 9 2 2

,onclu(&os que a proposição co&posta ( ) (~ ) p r q r ∧ → ∨ 7 se&pre verdadeira3

independente&ente dos valores atribu(dos 0s proposições G .





Die&os então que a proposição ( ) (~ ) p r q r ∧ → ∨ 7 u&a tautologia ou proposição

logicamente verdadeira0. ,o&o di ). Hegenberg e& seu #i$ion%rio de Lógi$a1 Fautologia3 noclculo proposicional3 7 u&a proposição invariavel&ente verdadeira K seja& quais !ore& osvaloresAverdade de suas proposições constituintes.

Então 7 isso1 se algu&a questão perguntar se deter&inada proposição 7 u&a tautologia3 deve&osconstruir a sua tabelaAverdade e veri!icar se ela 7 se&pre verdadeira.

Contradição

Da &es&a &aneira3 pode&os de!inir contradição ou proposição logicamente falsa0co&o u&aproposição co&posta que 7 se&pre !alsa. 2a&os &ostrar3 por e#e&plo3 que a proposiçãoco&posta (3 D ) ↔ ( ∨ 3) 7 u&a contradição.

4ra3 co&o esta&os trabal/ando co& apenas duas proposições si&ples3 então o n@&ero de lin/asda tabelaAverdade ser igual a , = ..

2 2

2 9

9 2

9 9

4 pri&eiro passo 7 construir as negações destas duas proposições si&ples.

3

3

2 2 9 9

2 9 9 2

9 2 2 9

9 9 2 2

2a&os agora construir a proposição co&posta que est no pri&eiro par de parnteses1 3 D .9oque seu ol/ar na terceira e na segunda coluna. %uando 7 que u&a proposição co&posta pelo

conectivo "e$ 7 verdadeira? %uando os dois co&ponentes são verdadeiros. Desta !or&a3 aco&posta só ser verdadeira na terceira lin/a.

3

3

3 D

2 2 9 9 9

2 9 9 2 9

9 2 2 9 2

9 9 2 2 9

2a&os construir a proposição co&posta que est no segundo par de parnteses1 ∨ 3 .Deve&os ol/ar agora apenas para a pri&eira e quarta colunas. %uando 7 que u&a proposição





co&posta pelo conectivo "ou$ 7 verdadeira? %uando pelo &enos u& dos dois co&ponentes !orverdadeiro. Desta &aneira3 a co&posta ser verdadeira na [3 :[ e U[ lin/as .

3

3

3 D ∨ 3

2 2 9 9 9 2

2 9 9 2 9 2

9 2 2 9 2 9

9 9 2 2 9 2

( composta s8 + falsa na terceira linha em que ambas, p e Fq são falsas.

9inal&ente pode&os construir a tabelaAverdade da proposição 3 D ↔ ∨ 3.

2a&os ol/ar apenas para as duas @lti&as colunas. Deve&os ligAlas atrav7s do conectivo "...se e

so&ente se...$. %uando 7 que u&a proposição co&posta pelo conectivo "...se e so&ente se...$ 7verdadeira? %uando os dois co&ponentes possue& o GE=G4 valor lógico. 8contece que asduas @lti&as colunas possue& valores lógicos contrrios. Desta !or&a3 ela nunca poder serverdadeira.

3

3

3 D

∨ 3

3 D ↔ ∨ 3

2 2 9 9 9 2 9

2 9 9 2 9 2 9

9 2 2 9 2 9 9

9 9 2 2 9 2 9

\ que a co&posta 3 D ↔ ∨ 3 7 se&pre !alsa3 a deno&ina&os de contradição *ouproposição logica&ente !alsa-.

Contin%&ncia

Conting6ncia + u&a proposição co&posta que pode verdadeira e pode ser !alsa.

2a&os construir a tabelaAverdade da proposição → D )

)e&breAse que o n@&ero de lin/as de u&a tabela verdade co&posta por proposições si&ples 7igual a +H.

,o&o são R proposições si&ples co&ponentes3 então a tabela ter :R T lin/as.





5ara calcular o valor lógico de → D 3 deve&os calcular o valor lógico da proposição D e3 e& seguida3 conectar a proposição co& D atrav7s do conectivo "se...3 então...$.

D → D 2 2 2

2 2 92 9 22 9 99 2 29 2 99 9 29 9 9

Este 7 o &odelo inicial de u&a tabelaAverdade co&posta por R proposições si&ples. 5ara listartodas as possibilidades3 deve&os proceder assi&1

5ara a pri&eira proposição3 coloca&os U 2s seguidos de U 9s.5ara a segunda proposição3 coloca&os : 23 :93 :23 :9.5ara a terceira proposição coloca&os 23 93 23 93 23 93 23 9.

)e&breAse que u&a proposição co&posta pelo conectivo "e$ *D- só 7 verdadeira quando todas asproposições co&ponentes !ore& verdadeiras.

5ortanto3 a proposição D 7 verdadeira nas lin/as e .

D → D

2 2 2 22 2 9 92 9 2 92 9 9 9

9 2 2 2

9 2 9 99 9 2 99 9 9 9

2a&os agora conectar a proposição co& a proposição D !or&ando a proposição → D

. )e&breAse que u&a proposição do tipo I → % só 7 !alsa quando 8 7 verdadeira e B 7 !alsa. 4useja3 u&a condicional só 7 !alsa quando o antecedente 7 verdadeiro e o consequente 7 !also.





4 antecedente 7 a proposição *[ coluna- e o consequente 7 a proposição D *U[ coluna-. D → D 2 2 2 2 2

2 2 9 9 9

2 9 2 9 92 9 9 9 9

9 2 2 2 29 2 9 9 29 9 2 9 29 9 9 9 2

4bserve que a proposição pode ser verdadeira e pode ser !alsa3 dependendo dos valoresatribu(dos 0s proposições p3q e r.

2a&os treinar u& pouco &ais os conceitos abordados.

E#e&plo1 2eri!ique se a proposição co&posta ( ) ~ p q q∨ ∧ 7 u&a contradição.

%esolução

Basta construir a tabelaAverdade que possui :: U lin/as. 5ara deter&inar o valor lógico de( ) ~ p q q∨ ∧ deve&os antes deter&inar os valores de p q∨ e de ~ q .

)e&breAse que a proposição ∨ 7 verdadeira quando pelo &enos u& dos dois co&ponentes !orverdadeiro.

p q p q∨

2 2 2

2 9 2

9 2 2

9 9 9

2a&os agora construir a negação de q. =eus valores deve& ser contrrios aos valores de q.

p q p q∨ ~ q

2 2 2 9

2 9 2 2

9 2 2 9

9 9 9 2

9inal&ente va&os construir a co&posta ( ) ~ p q q∨ ∧ . 5ara isto3 va&os conectar a terceira coluna

co& a quarta coluna atrav7s do conectivo "e$. )e&breAse que a co&posta pelo "e$ só 7 verdadeiraquando os dois co&ponentes são verdadeiros.





p q p q∨ ~ q ( ) ~ p q q∨ ∧

2 2 2 9 9

2 9 2 2 2

9 2 2 9 9

9 9 9 2 9

%esposta= 8 proposição ( ) ~ p q q∨ ∧ ad&ite valores 2 e 9 e3 portanto3 não se trata de u&a

contradição. FrataAse de u&a contingncia.

E#e&plo1 Deter&ine se a proposição ( ) ( ) p q p q∧ → ∨ 7 u&a tautologia3 contradição ou u&a

contingncia.

%esolução( tabela-verdade possui "G H 5 linhas. 2a&os co&eçar construindo a proposição co&posta queest no pri&eiro par de parnteses1 D .

Deve&os conectar a proposição co& a proposição atrav7s do conectivo "e$. )e&breAse queu&a proposição co&posta pelo conectivo "e$ só ser verdadeira quando os dois co&ponentes!ore& verdadeiros.

p q p q∧

2 2 2

2 9 99 2 9

9 9 9

2a&os agora construir a proposição co&posta que est no segundo par de parnteses1 ∨ .)e&breAse que a co&posta ∨ só 7 verdadeira quando pelo &enos u& dos dois co&ponentes!or verdadeiro. Isto acontece nas trs pri&eiras lin/as.

p q p q∧ p q∨

2 2 2 22 9 9 2

9 2 9 2

9 9 9 9

9inal&ente va&os construir a co&posta ( ) ( ) p q p q∧ → ∨ . Deve&os conectar a terceira coluna

co& a quarta coluna atrav7s do conectivo "se...3então...$. )e&breAse que u&a proposição do tipo I → % só 7 !alsa quando 8 7 verdadeiro e B 7 !also. ,o&o isto nunca acontece3 então a co&posta7 se&pre verdadeira.





p q p q∧ p q∨ ( ) ( ) p q p q∧ → ∨

2 2 2 2 2

2 9 9 2 2

9 2 9 2 2

9 9 9 9 2

5or de!inição3 ( ) ( ) p q p q∧ → ∨ 7 u&a tautologia.

R. *F'FA<[ 'egião:;;U9,,- ,onsidere a seguinte proposição "Na eleição para a pre!eitura3 ocandidato 8 ser eleito ou não ser eleito$. Do ponto de vista lógico3 a a!ir&ação da proposiçãocaracteria1

a- u& silogis&ob- u&a tautologiac- u&a equivalnciad- u&a contingnciae- u&a contradição

%esolução

,/a&e&os de p a proposição p 1 4 candidato 8 ser eleito. 8 sua negação ~ p 1 4 candidato 8

não ser eleito. 8 proposição do enunciado pode então ser representada por ~ p p∨ . 2a&os

construir sua tabelaAverdade que possui : : lin/as.

p ~ p ~ p p∨

2 9 2

9 2 2

5or de!inição3 a proposição ~ p p∨ 7 u&a tautologia3 pois 7 se&pre verdadeira.

&etra D

R:. *9iscal do Frabal/o <<TEsa!- ,/a&aAse tautologia a toda proposição que 7 se&preverdadeira3 independente&ente da verdade dos ter&os que a co&põe&. >& e#e&plo de

tautologia 71

a- se \oão 7 alto3 então \oão 7 alto ou ]uil/er&e 7 gordo.

b- se \oão 7 alto3 então \oão 7 alto e ]uil/er&e 7 gordo.

c- se \oão 7 alto ou ]uil/er&e 7 gordo3 então ]uil/er&e 7 gordo.

d- se \oão 7 alto ou ]uil/er&e 7 gordo3 então \oão 7 alto e ]uil/er&e 7 gordo.

e- se \oão 7 alto ou não 7 alto3 então ]uil/er&e 7 gordo.

%esolução





,/a&e&os de p 1 \oão 7 alto e q 1 ]uil/er&e 7 gordo.

8s alternativas pode& ser reescritas si&bolica&ente das seguintes &aneiras.

a- ( ) p p q→ ∨

b- ( ) p p q→ ∧

c- ( ) p q q∨ →

d- ( ) ( ) p q p q∨ → ∧

e- ( ~ ) p p q∨ →

'estaAnos agora construir as tabelasAverdades das proposições co&postas aci&a.

p q p q∨ p q∧ ( ) p p q→ ∨ ( ) p p q→ ∧ ( ) p q q∨ → ( ) ( ) p q p q∨ → ∧

2 2 2 2 2 2 2 2

2 9 2 9 2 9 9 99 2 2 9 2 2 2 9

9 9 9 9 2 2 2 2

p q ~ p ~ p p∨ ( ~ ) p p q∨ →

2 2 9 2 2

2 9 9 2 9

9 2 2 2 2

9 9 2 2 9

Dessa !or&a3 a alternativa 8 7 u&a tautologia e as outras alternativas são contingncias.

&etra (

RR. *5GAD9:;;<,E=5E- 8 proposição *8∧B- → *8∨B- 7 u&a tautologia.

%esolução

( tabela-verdade possui "G H 5 linhas. 2a&os co&eçar construindo a proposição co&posta queest no pri&eiro par de parnteses1 8D %.

Deve&os conectar a proposição 8 co& a proposição % atrav7s do conectivo "e$. )e&breAse queu&a proposição co&posta pelo conectivo "e$ só ser verdadeira quando os dois co&ponentes!ore& verdadeiros.

8 B 8D %

2 2 2

2 9 9

9 2 99 9 9





2a&os agora construir a proposição co&posta que est no segundo par de parnteses1 I ∨ %.)e&breAse que a co&posta I ∨ % só 7 verdadeira quando pelo &enos u& dos dois co&ponentes!or verdadeiro. Isto acontece nas trs pri&eiras lin/as.

8 B 8D % I ∨ %

2 2 2 2

2 9 9 2

9 2 9 2

9 9 9 9

9inal&ente va&os construir a co&posta *8∧B- → *8∨B-. Deve&os conectar a terceira coluna co&a quarta coluna atrav7s do conectivo "se...3então...$. )e&breAse que u&a proposição do tipo →

só 7 !alsa quando p 7 verdadeiro e q 7 !also. ,o&o isto nunca acontece3 então a co&posta 7se&pre verdadeira.

8 B 8D % I ∨ % *8∧B- → *8∨B-.

2 2 2 2 2

2 9 9 2 2

9 2 9 2 2

9 9 9 9 2

4 ite& est certo.

*=EB'8EAB8 :;;T,E=5EA>nB- 8 proposição 7 u&a declaração que pode ser julgada verdadeira*2- ou !alsa *9-3 &as não cabe& a&bos os julga&entos para a &es&a proposição. P usualrepresentar proposições si&ples por letras &ai@sculas do al!abeto3 co&o 83 B3 , etc. 8sproposições co&postas são constru(das a partir da cone#ão de proposições. >&a proposição na!or&a 8 v B 7 co&posta3 sendo lida co&o "8 ou B$ e avaliada co&o 9 quando 8 e B são a&bas 93e3 nos de&ais casos3 7 2L u&a proposição na !or&a 8 f B 7 co&posta3 sendo lida co&o "8 e B$ eavaliada co&o 2 quando 8 e B são a&bas 23 e3 nos de&ais casos3 7 9. >&a proposição na !or&aS8 7 a negação de 83 sendo3 portanto3 2 quando 8 7 93 e 9 quando 8 7 23 e 7 u&a proposiçãoco&posta. 5arnteses pode& ser usados para agrupar as proposições e evitar a&bigidades.Fendo co&o re!erncia as in!or&ações apresentadas aci&a3 julgue os pró#i&os itens.

RU. 8s proposições na !or&a S*8fB- t& e#ata&ente trs valores lógicos 23 para todos osposs(veis valores lógicos de 8 e B.

%esolução

Deve&os construir a tabelaAverdade que possui :h U lin/as. ,o&eça&os construindo aproposição 8D %

Deve&os conectar a proposição 8 co& a proposição % atrav7s do conectivo "e$. )e&breAse que

u&a proposição co&posta pelo conectivo "e$ só ser verdadeira quando os dois co&ponentes!ore& verdadeiros.





8 B 8D %

2 2 2

2 9 9

9 2 9

9 9 9

5ara construir a proposição S*8fB-3 deve&os trocar os valores lógicos de 8fB.

8 B 8D % S*8fB-

2 2 2 9

2 9 9 2

9 2 9 2

9 9 9 2

4 ite& est certo.

R. =e 8 !or considerada u&a proposição 9 e B !or considerada u&a proposição 23 então aproposição SB v 8 7 9.

%esolução

=e a proposição B !or considerada 23 então a sua negação SB ser 9. 4bserve que a proposição8 ta&b7& 7 !alsa. ,onsidere a proposição SB v 81 7 u&a proposição co&posta pelo conectivo"ou$ e& que os dois co&ponentes são !alsos. 5ortanto3 a proposição SB v 8 7 !alsa. 4 ite& estcerto.

RQ. ,onsiderandoAse que 8 e B seja& proposições a&bas 2 ou seja& a&bas 93 então aproposição S**S8-fB- ser 9.

%esolução

2a&os construir u&a tabelaAverdade "reduida$3 considerando que 8 e B seja& proposiçõesa&bas 2 ou seja& a&bas 9.

8 B2 2

9 9

5ara construir S**S8-fB-3 deve&os construir a negação de 8 *que ter valores opostos aos de 8-.

8 B S82 2 99 9 2

4 pró#i&o passo 7 conectar a proposição S8 co& a proposição B atrav7s do conectivo "e$. >&aproposição co&posta pelo conectivo "e$ só 7 verdadeira quando os dois co&ponentes sãoverdadeiros. Este !ato não acontece. 5ortanto3 a proposição *S8-fB ser !alsa nas duas lin/as.





8 B S8 *S8-fB2 2 9 99 9 2 9

9inal&ente3 S**S8-fB- 7 a negação de *S8-fB. ,o&o a proposição *S8-fB 7 !alsa nas duas

lin/as3 então S**S8-fB- ser 2 nas duas lin/as.

8 B S8 *S8-fB S**S8-fB-2 2 9 9 29 9 2 9 2

4 ite& est errado.

RJ. 5roposições na !or&a *S*8 f *B v ,--- v *8 f *B v ,-- t& so&ente valores lógicos 23 paraquaisquer que seja& os valores lógicos de 83 B e ,.

%esolução%ue& te& u& bo& "ol/o$ resolve rapida&ente esta questão. 8 priori3 dever(a&os construir u&atabela verdade co& T lin/as3 j que estão envolvidas trs proposições si&ples. Deve&os construira tabelaAverdade de *S*8 f *B v ,--- v *8 f *B v ,--. 4bserve que c/a&ando a proposição 8 f *B v,- de 3 esta co&posta pode ser reescrita assi&1

J K ∨

2a&os construir sua tabelaAverdade que possui : : lin/as.

JK J K ∨

2 9 29 2 2

5or de!inição3 a proposição JK ∨ 7 u&a tautologia3 pois 7 se&pre verdadeira.

$ item est) certo.

RT. =e 8 !or a proposição @oaquim + agricultor 3 e B3 a proposição Aarieta + empres)ria3 entãoa sentença verbal correspondente 0 proposição B v *S8- ser Aarieta + empres)ria e @oaquimnão + agricultor.

%esolução

,o&o a proposição 8 7 @oaquim + agricultor, então a proposição S8 ser @oaquim não +agricultor.

&embre-se que o s!mbolo v representa o "ou$3 e não o conectivo "e$6 5ortanto3 o ite& esterrado.

R<. 8 proposição "4 =EB'8E !acilita e orienta o acesso a serviços !inanceiros$ 7 u&a proposiçãosi&ples.

%esolução$ item est) errado. I) duas proposiç7es conectadas pelo 9e:.





U;. ,onsiderando que as proposições "=eu c/e!e l/e passa u&a orde&$ e "2oc não aceita aorde& se& questionAla$ seja& 23 a proposição "=e seu c/e!e l/e passa u&a orde&3 então vocaceita a orde& se& questionAla$ 7 julgada co&o 9.

%esolução

"=eu c/e!e l/e passa u&a orde&$ ;0"2oc não aceita a orde& se& questionAla$ ;0

Conclu!mos que=

"2oc aceita a orde& se& questionAla$ <0

5ortanto3

"=e seu c/e!e l/e passa u&a orde&3 então voc aceita a orde& se& questionAla$ 7 julgada co&o

93 pois o pri&eiro co&ponente 7 verdadeiro e o segundo 7 !also. Este 7 o @nico caso e& que u&aco&posta pelo "se...3então...$ 7 !also.

4 ite& est certo.

U. 8 proposição si&bólica *8fB-*S*8*SB--- 7 se&pre julgada co&o 23 independente&ente de8 e B sere& 2 ou 9.

%esolução

Não te& co&o !ugir... Deve&os construir a tabelaAverdade da proposição apresentada.

8 tabela possui :h U lin/as. ,o&eça&os co& a negação de B que ser utiliada.

8 B SB2 2 92 9 29 2 99 9 2

2a&os agora construir 8fB. Deve&os conectar a proposição 8 co& a proposição % atrav7s doconectivo "e$. )e&breAse que u&a proposição co&posta pelo conectivo "e$ só ser verdadeira

quando os dois co&ponentes !ore& verdadeiros.

8 B SB 8fB2 2 9 22 9 2 99 2 9 99 9 2 9

2a&os construir 8*SB-. Deve&os conectar a pri&eira coluna co& a terceira coluna atrav7s do"se...3então...$. =ó / u& caso e& que a co&posta 7 !alsa1 quando o pri&eiro co&ponente !orverdadeiro e o segundo !or !also. Isto acontece na pri&eira lin/a.





8 B SB 8fB 8*SB-2 2 9 2 92 9 2 9 29 2 9 9 29 9 2 9 2

Deve&os negar a proposição 8*SB-3 obtendo *S*8*SB---. Basta trocar os valores lógicos da@lti&a coluna.

8 B SB 8fB 8*SB- *S*8*SB---2 2 9 2 9 22 9 2 9 2 99 2 9 9 2 99 9 2 9 2 9

9inal&ente constru(&os *8fB-*S*8*SB--- conectando a quarta coluna co& a se#ta coluna

atrav7s do conectivo "se...3então...$. 4bserve que não / casos e& que a pri&eira 7 verdadeira ea segunda 7 !alsa3 portanto3 a co&posta *8fB-*S*8*SB--- 7 se&pre verdadeira.

8 B SB 8fB 8*SB- *S*8*SB--- *8fB-*S*8*SB---2 2 9 2 9 2 22 9 2 9 2 9 29 2 9 9 2 9 29 9 2 9 2 9 2

FrataAse de u&a tautologia e o ite& est certo.

U:. =e 83 B e , são proposições si&ples3 então e#iste& e#ata&ente duas possibilidades para quea proposição *8fB-f, seja avaliada co&o 2.

%esolução

8 tabelaAverdade possui : T lin/as.

( D C

2 2 2

2 2 9

2 9 2

2 9 99 2 2

9 2 9

9 9 2

9 9 9

2a&os conectar a proposição 8 co& a proposição B atrav7s do conectivo "e$. Deve&os nos !ocarnas lin/as e& que os dois co&ponentes são verdadeiros *j que neste caso a co&posta serverdadeira-.





( D C 8fB

2 2 2 2

2 2 9 2

2 9 2 9

2 9 9 99 2 2 9

9 2 9 9

9 9 2 9

9 9 9 9

Deve&os agora conectar a proposição 8fB co& a proposição , atrav7s do "e$. 4 @nico caso e&que as duas são verdadeiras acontece na pri&eira lin/a.

( D C 8fB *8fB-f,

2 2 2 2 2

2 2 9 2 9

2 9 2 9 9

2 9 9 9 9

9 2 2 9 9

9 2 9 9 9

9 9 2 9 9

9 9 9 9 9

4 ite& est errado3 pois / apenas u&a possibilidade e& que *8fB-f, 7 verdadeira.

*=EB'8E :;;,E=5EA>nB-

UR. 8 proposição VSBWkVSBW8m 7 u&a tautologia.

%esolução

8 tabelaAverdade possui :h U lin/as.

( D

2 2

2 9

9 2

9 9

2a&os construir SB *negação de B-. =eus valores são opostos aos de B.





( D SB

2 2 92 9 2

9 2 9

9 9 2

2a&os construir a proposição VSBW8. Deve&os conectar a terceira coluna co& a pri&eiracoluna.

(*JK$LLL

Deve&os operar o "se...3então...$ da DI'EIF8 para a E=%>E'D8. ,o&eça&os co& SB eter&ina&os co& 8. Este condicional só 7 !also na @lti&a lin/a e& que SB 7 verdadeiro e 8 7 !also.

( D SB VSBW8

2 2 9 2

2 9 2 2

9 2 9 2

9 9 2 9

9inal&ente va&os construir VSBWkVSBW8m. Deve&os conectar SB *terceira coluna- co& VSBW8*quarta coluna- atrav7s do "ou$. E& todas as lin/as / pelo &enos u&a verdadeira3 portanto aco&posta VSBWkVSBW8m 7 se&pre verdadeira.

( D SB VSBW8 VSBWkVSBW8m

2 2 9 2 2

2 9 2 2 2

9 2 9 2 2

9 9 2 9 2

4 ite& est certo.

UU. 8 proposição VSBWfV8BW 7 logica&ente !alsa.

%esolução

8 tabelaAverdade possui :h U lin/as.

( D

2 2

2 9

9 2

9 9





2a&os construir SB *negação de B-. =eus valores são opostos aos de B.

( D SB

2 2 9

2 9 2

9 2 9

9 9 2

2a&os construir 8B. Este condicional só 7 !also quando 8 7 verdadeiro e B 7 !also *:[ lin/a-.

( D SB 8B

2 2 9 2

2 9 2 9

9 2 9 2

9 9 2 2

2a&os agora conectar as duas @lti&as colunas atrav7s do conectivo "e$ para !or&ar VSBWfV8BW.4bserve que os dois co&ponentes são verdadeiros na @lti&a lin/a.

( D SB 8B VSBWfV8BW

2 2 9 2 9

2 9 2 9 9

9 2 9 2 9

9 9 2 2 2

8 proposição dada não 7 logica&ente !alsa *contradição-. FrataAse de u&a contingncia. 4 ite&est errado.

U. ,onsidere que 83 B e , seja& proposições si&ples3 distintas3 e que a proposição D sejade!inida por D V8BWVS8W,. Nesse caso3 a tabelaAverdade da proposição D te& Q lin/as.

%esolução

8 proposição D 7 co&posta por R proposições si&ples. 8 sua tabelaAverdade possui E = F lin/as.

4 ite& est errado.





Equival&ncias L'%icas

Estudare&os agora u& conceito i&portant(ssi&o e& )ógica1 as !a&osas equivalncias lógicas. Eo que são proposições logica&ente equivalentes?

]rosso &odo3 duas proposições são logica&ente equivalentes quando elas "die& a &es&acoisa$.

5or e#e&plo1

: Eu joguei o lpis.

: 4 lpis !oi jogado por &i&.

8s duas proposições aci&a t& o &es&o signi!icado. Elas quere& dier a &es&a coisa66 %uando

u&a delas !or verdadeira3 a outra ta&b7& ser. %uando u&a delas !or !alsa3 a outra ta&b7& ser.Die&os3 portanto3 que elas são logica&ente equivalentes.

E& s(&bolos die&os1

L

Esta seta dupla 7 o s(&bolo de equivalncia.

2a&os conversar !or&al&ente agora...

'uas proposiç7es são logicamente equivalentes se e somente se possuem a mesma

tabela-verdade.

2a&os &ostrar3 por e#e&plo3 que a proposição p q↔ equivalente a ( ) ( ) p q q p→ ∧ → . 4u

seja3 que [ ]( ) ( ) ( ) p q p q q p↔ ⇔ → ∧ → . ,onstru(&os a tabelaAverdade e veri!ica&os se os

valores lógicos das duas proposições são sempre iguais.

p q p q→ q p→ ( ) ( ) p q q p→ ∧ → p q↔

2 2 2 2 2 2

2 9 9 2 9 9

9 2 2 9 9 99 9 2 2 2 2

8ssi&3 acaba&os de &ostrar que u&a proposição bicondicional equivale 0 conjunção de doiscondicionais.

H algu&as equivalncias notveis que são &uito cobradas e& concursos. 2a&os enunciar asequivalncias3 de&onstrAlas e aplicAlas.

eorema1 8s proposições p q→ " ~ ~q p→ e ~ p q∨ são logica&ente equivalentes.

De&onstração1





p q ~ q ~ p p q→ ~ ~q p→ ~ p q∨

2 2 9 9 2 2 2

2 9 2 9 9 9 9

9 2 9 2 2 2 2

9 9 2 2 2 2 2

,o&o os valores lógicos das trs proposições são iguais3 elas são ditas logica&ente equivalentes.

E& u&a linguage& in!or&al3 poder(a&os construir o seguinte algorit&o para construir essasproposições equivalentes notveis3 dada a proposição condicional p q→ .

~ ~q p→ Negue o antecedente e o consequente3troque a orde& e &anten/a o conectivo"se...3então$

~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque oconectivo por "ou$.

5or e#e&plo3 dada a proposição "=e bebo3 então não dirijo$3 te&os que as seguintes proposiçõessão equivalentes a ela1

i- =e dirijo3 então não bebo.

ii- Não bebo ou não dirijo.

UQ. *=]88, :;;J,E=5EA>nB- 8s proposições 8B e *SB- *S8- t& a &es&a tabelaverdade.

%esolução

,o&o co&entei anterior&ente3 estas duas proposições são equivalentes. 4 ite& est certo.

UJ. *8gente 5enitencirio =\DHAB8 :;;9,,- >&a a!ir&ação equivalente 0 a!ir&ação "Se bebo,então não dirijo” 7 *8- =e não bebo3 então não dirijo.

*B- =e não dirijo3 então não bebo.*,- =e não dirijo3 então bebo.*D- =e não bebo3 então dirijo.*E- =e dirijo3 então não bebo.

%esolução

,o&o !oi dito anterior&ente3 / duas proposições equivalentes *notveis-1

i- =e dirijo3 então não bebo.

ii- Não bebo ou não dirijo.&etra




Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.co.!r '

UT. *5ol(cia ,ivil :;;JIpad- 8 sentença "5enso3 logo e#isto$ 7 logica&ente equivalente a1

a- 5enso e e#isto.b- Ne& penso3 ne& e#isto.c- Não penso ou e#isto.

d- 5enso ou não e#isto.e- E#isto3 logo penso

%esolução

Dada a proposição "penso e#isto$3 te&os3 trivial&ente3 duas proposições equivalentes a ela1

i- =e não e#isto3 então não penso. *Nega o antecedente e o consequente3 troca a orde& e&ant7& o conectivo.-

ii- Não penso ou e#isto. *Nega o antecedente e troca o conectivo por "ou$-.

&etra C

U<. *G54]:;;QEsa!- Dier que "8ndr7 7 artista ou Bernardo não 7 engen/eiro$ 7 logica&enteequivalente a dier que1

a- 8ndr7 7 artista se e so&ente se Bernardo não 7 engen/eiro.b- =e 8ndr7 7 artista3 então Bernardo não 7 engen/eiro.c- =e 8ndr7 não 7 artista3 então Bernardo 7 engen/eiro.d- =e Bernardo 7 engen/eiro3 então 8ndr7 7 artista.e- 8ndr7 não 7 artista e Bernardo 7 engen/eiro.

%esolução

Dada u&a proposição p q→ pode&os construir u&a proposição logica&ente equivalente

negando o antecedente e trocando o conectivo por "ou$ obtendo a proposição ~ p q∨ . 5ode&osseguir o ca&in/o contrrioL dada u&a proposição co& o conectivo "ou$3 constru(&os u&aequivalente negando a pri&eira proposição e trocando o conectivo por "se...3 então$. 8ssi&3 aproposição "8ndr7 7 artista ou Bernardo não 7 engen/eiro$ 7 equivalente a "=e 8ndr7 não 7artista3 então Bernardo não 7 engen/eiro$3 que3 por sua ve3 7 equivalente a "=e Bernardo 7engen/eiro3 então 8ndr7 7 artista$.

&etra '

;. *F,EG]:;;J9,,- =ão dadas as seguintes proposições1

*- =e \ai&e trabal/a no Fribunal de ,ontas3 então ele 7 e!iciente.*:- =e \ai&e não trabal/a no Fribunal de ,ontas3 então ele não 7 e!iciente.*R- Não 7 verdade que3 \ai&e trabal/a no Fribunal de ,ontas e não 7 e!iciente.*U- \ai&e 7 e!iciente ou não trabal/a no Fribunal de ,ontas.

P correto a!ir&ar que são logica&ente equivalentes apenas as proposições de n@&eros





a- : e Ub- : e Rc- :3 R e Ud- 3 : e Re- 3 R e U

%esolução

,/a&ando de p 1 "\ai&e trabal/a no Fribunal de ,ontas$ e de q 1 "\ai&e 7 e!iciente$3 asproposições *-3 *:-3 *R- e *U- pode&3 si&bolica&ente3 ser reescritas das seguintes &aneiras1

*- p q→ *:- ~ ~ p q→ *R- ~ ( ~ ) p q∧ *U- ~q p∨

2a&os então construir a tabelaAverdade e veri!icar quais são equivalentes.

p q ~ p ~ q ~ p q∧ *-& p q→ *:-1 ~ ~ p q→ *R-1 ~ ( ~ ) p q∧ *U-1 ~q p∨

2 2 9 9 9 2 2 2 2

2 9 9 2 2 9 2 9 9

9 2 2 9 9 2 9 2 2

9 9 2 2 9 2 2 2 2

4bserve que as proposições *-3 *R- e *U- possue& as &es&as valorações e3 portanto3 sãoequivalentes.

&etra

. *8d&inistrador DN4,= :;;9,,- ,onsidere a seguinte proposição1“Se uma pessoa não faz $ursos de aperfei'oamento na sua %rea de trabalho" então ela nãomelhora o seu desempenho profissional.>&a proposição logica&ente equivalente 0 proposição dada 71*8- P !also que3 u&a pessoa não &el/ora o seu dese&pen/o pro!issional ou !a cursos deaper!eiçoa&ento na sua rea de trabal/o.*B- Não 7 verdade que3 u&a pessoa não !a cursos de aper!eiçoa&ento pro!issional e não&el/ora o seu dese&pen/o pro!issional.*,- =e u&a pessoa não &el/ora seu dese&pen/o pro!issional3 então ela não !a cursos deaper!eiçoa&ento na sua rea de trabal/o.

*D- >&a pessoa &el/ora o seu dese&pen/o pro!issional ou não !a cursos de aper!eiçoa&entona sua rea de trabal/o.*E- >&a pessoa não &el/ora seu dese&pen/o pro!issional ou !a cursos de aper!eiçoa&ento nasua rea de trabal/o.

%esolução

Fe&os3 trivial&ente3 duas proposições equivalentes a ela1

i- =e a pessoa &el/ora o seu dese&pen/o pro!issional3 então ela !a cursos de aper!eiçoa&entona sua rea de trabal/o. *Nega o antecedente e o consequente3 troca a orde& e &ant7& o

conectivo.-





ii- >&a pessoa !a cursos de aper!eiçoa&entos na sua rea de trabal/o ou ela não &el/ora o seudese&pen/o pro!issional. *Nega o antecedente e troca o conectivo por "ou$-.

4 que a 9,, !e !oi trocar a orde& das proposições no caso ii. Isto 7 per!eita&ente per&itido3 jque a o conectivo "ou$ per&ite a troca da orde& das !rases se& alterar o seu sentido.

&etra

:. *G5EA8G :;;J,E=5EA>nB- 8s proposições *S8-k*SB- e S8B t& e#ata&ente as &es&asvalorações 2 ou 93 independente&ente das valorações 2 ou 9 atribu(das 0s proposições bsicas8 e B.

%esolução

2a&os construir u&a tabelaAverdade para as duas proposições. H :h U lin/as. ,o&eça&osco& as proposições 83B e suas respectivas negações.

8 B S8 SB2 2 9 92 9 9 29 2 2 99 9 2 2

5ara construir *S8-k*SB- deve&os conectar a terceira coluna co& a quarta coluna atrav7s doconectivo "ou$. 8 co&posta ser verdadeira e& todas as lin/as que /ouver pelo &enos u&averdadeira.

8 B S8 SB *S8-k*SB-2 2 9 9 92 9 9 2 29 2 2 9 29 9 2 2 2

5ara construir S8B3 deve&os conectar a terceira coluna co& a segunda coluna *co& oconectivo "se...3então...-. 4bserve que deve&os ol/ar pri&eiro para S8 e depois para B.

8 co&posta S8B 7 !alsa na quarta lin/a3 pois S8 7 verdadeira e B 7 !alsa.

8 B S8 SB *S8-k*SB- S8B2 2 9 9 9 22 9 9 2 2 29 2 2 9 2 29 9 2 2 2 9

4 ite& est errado3 pois as proposições S8B e *S8-k*SB- não possue& as &es&as valorações.

*G5EA8G :;;J,E=5EA>nB-Fe#to II + para os itens : e :QDuas proposições são deno&inadas equivalentes quando t& e#ata&ente as &es&as valorações2 e 9. 5or e#e&plo3 são equivalentes as proposições *S8-kB e 8B.





8 partir das in!or&ações dos te#tos I e II aci&a3 e supondo que 8 si&bolia a proposição "8liceperseguiu o ,oel/o Branco$ e B si&bolia a proposição "4 ,oel/o Branco ol/ou o relógio$3 julgueos itens a seguir.

R. 8 proposição "=e o ,oel/o Branco não ol/ou o relógio3 então 8lice não perseguiu o ,oel/o

Branco$ pode ser si&boliada por *SB-*S8-.

%esolução

$ item est) certo.

B1 "4 ,oel/o Branco ol/ou o relógio$*SB-1 "4 ,oel/o Branco não ol/ou o relógio$81 8lice perseguiu o ,oel/o Branco.*S8-1 8lice não perseguiu o ,oel/o Branco.

5ortanto3 *SB-*S8-1 "=e o ,oel/o Branco não ol/ou o relógio3 então 8lice não perseguiu o

,oel/o Branco$.

U. 8 proposição "=e o ,oel/o Branco ol/ou o relógio3 então 8lice não perseguiu o ,oel/oBranco$ 7 equivalente 0 proposição "4 ,oel/o Branco não ol/ou o relógio ou 8lice não perseguiuo ,oel/o Branco$.

%esolução

)e&bre&os o que !oi dito na e#posição teórica.

Dada a proposição condicional p q→ .

~ ~q p→ Negue o antecedente e o consequente3 troque a orde&e &anten/a o conectivo "se...3então$

~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por"ou$.

Então dada a proposição "=e o ,oel/o Branco ol/ou o relógio3 então 8lice não perseguiu o,oel/o Branco$3 deve&os negar apenas o pri&eiro co&ponente e trocar o conectivo por "ou$.4bte&os1 "4 ,oel/o Branco não ol/ou o relógio ou 8lice não perseguiu o ,oel/o Branco$. 4 ite&

est certo.





(elação das questões comentadas

*BB:;;J,espe- Na lógica sentencial3 deno&inaAse proposição u&a !rase que pode ser julgadaco&o verdadeira *2- ou !alsa *9-3 &as não co&o a&bas. 8ssi&3 !rases co&o ",o&o est o te&po/oje?$ e "Esta !rase 7 !alsa$ não são proposições porque a pri&eira 7 pergunta e a segunda nãopode ser ne& 2 ne& 9. 8s proposições são representadas si&bolica&ente por letras &ai@sculasdo al!abeto K 83 B3 ,3 etc. >&a proposição da !or&a "8 ou B$ 7 9 se 8 e B !ore& 93 casocontrrio 7 2L e u&a proposição da !or&a "=e 8 então B$ 7 9 se 8 !or 2 e B !or 93 caso contrrio 72.

,onsiderando as in!or&ações contidas no te#to aci&a3 julgue o ite& subsequente.

;. Na lista de !rases apresentadas a seguir3 / e#ata&ente trs proposições."8 !rase dentro destas aspas 7 u&a &entira.$8 e#pressão M O 7 positiva.

4 valor de 734 =+ .5el7 &arcou de gols para a seleção brasileira.4 que 7 isto?

;:. *I,G=A=5:;;Q9,,- Das cinco !rases abai#o3 quatro delas t& u&a &es&a caracter(sticalógica e& co&u&3 enquanto u&a delas não te& essa caracter(stica.

I. %ue belo dia6II. >& e#celente livro de racioc(nio lógico.III. 4 jogo ter&inou e&patado? I2. E#iste vida e& outros planetas do universo.2. Escreva u&a poesia.

8 !rase que não possui essa caracter(stica co&u& 7 aa- I.b- II.c- III.d- I2.e- 2.

;R. *BB::;;J,espe- >&a proposição 7 u&a a!ir&ação que pode ser julgada co&o verdadeira*2- ou !alsa *9-3 &as não co&o a&bas. 8s proposições são usual&ente si&boliadas por letras&ai@sculas do al!abeto3 co&o3 por e#e&plo3 53 %3 '3 etc. =e a cone#ão de duas proposições 7!eita pela preposição "e$3 si&boliada usual&ente por ∧3 então se obt7& a !or&a 5∧%3 lida co&o"5 e %$ e avaliada co&o 2 se 5 e % !ore& 23 caso contrrio3 7 9. =e a cone#ão !or !eita pelapreposição "ou$3 si&boliada usual&ente por ∨3 então se obt7& a !or&a 5∨%3 lida co&o "5 ou %$e avaliada co&o 9 se 5 e % !ore& 93 caso contrrio3 7 2. 8 negação de u&a proposição 7si&boliada por S53 e avaliada co&o 23 se 5 !or 93 e co&o 93 se 5 !or 2.

8 partir desses conceitos3 julgue o pró#i&o ite&.

H duas proposições no seguinte conjunto de sentenças1*I- 4 BB !oi criado e& <T;.*II- 9aça seu trabal/o correta&ente.





*III- Ganuela te& &ais de U; anos de idade.

*=EB'8E :;;,E=5EA>nB- 5ara os itens seguintes3 serão consideradas co&o proposiçõesapenas as sentenças declarativas3 que &ais !acil&ente são julgadas co&o verdadeiras K 2 K ou!alsas K 9 K3 dei#ando de lado as sentenças interrogativas3 e#cla&ativas3 i&perativas e outras.

8s proposições serão representadas por letras &ai@sculas do al!abeto1 83 B3 , etc.V...W

=entenças co&o "# R $3 "Ele 7 u& pol(tico$3 "# 7 jogador de !utebol$ são deno&inadassentenças abertasL essas sentenças3 co&o estão3 não poderão ser julgadas co&o 2 ou 93 pois ossujeitos3 no caso3 são variveis. Essas e#pressões torna&Ase proposições depois de substitu(da avarivel por ele&ento deter&inado3 per&itindo o julga&ento 2 ou 9.

V...WFendo co&o re!erncia as in!or&ações do te#to3 julgue os itens de ;U a ;Q.

;U. Entre as !rases apresentadas a seguir3 identi!icadas por letras de 8 a E3 apenas duas sãoproposições.81 5edro 7 &arceneiro e 9rancisco3 pedreiro.B1 8driana3 voc vai para o e#terior nessas !7rias?,1 %ue jogador !eno&enal6D1 Fodos os presidentes !ora& /o&ens /onrados.E1 Não dei#e de resolver a prova co& a devida atenção.

;. 8s !rases "Frans!or&e seus boletos de papel e& boletos eletrYnicos$ e "4 carro que vocestaciona se& usar as &ãos$ são3 a&bas3 proposições abertas.

;Q. ,onsidere a seguinte sentença aberta1 "# 7 u& n@&ero real e #: Z $. Nesse caso3 se # :3então a proposição ser 93 &as3 se # +R3 então a proposição ser 2.

;J. *F'F J[ 'egião :;;<,E=5EA>nB- 5roposições são !rases que pode& ser julgadas co&overdadeiras K 2 K ou !alsas K 9 K3 &as não co&o 2 e 9 si&ultanea&ente.V...W

8 partir das in!or&ações do te#to3 julgue o ite& a seguir.

8 sequncia de !rases a seguir cont7& e#ata&ente duas proposições.A 8 sede do F'FE= localiaAse no &unic(pio de ,ariacica.A 5or que e#iste& ju(es substitutos?A Ele 7 u& advogado talentoso.

;T. *I,G=A=5:;;Q9,,- ,onsidere as seguintes !rases1

I. Ele !oi o &el/or jogador do &undo e& :;;.

II.5

x y+ 7 u& n@&ero inteiro.

III. \oão da =ilva !oi o secretrio da 9aenda do Estado de =ão 5aulo e& :;;;.

P verdade que 85EN8=1

a- I e II são sentenças abertas.b- I e III são sentenças abertas.c- II e III são sentenças abertas.

d- I 7 u&a sentença aberta.e- II 7 u&a sentença aberta.





;<. *G'E :;;T,E=5EA>nB- 5roposições são sentenças que pode& ser julgadas co&overdadeiras K 2 K3 ou !alsas K 9 K3 &as não cabe& a elas a&bos os julga&entos.

V...W

,onsiderando as in!or&ações aci&a3 julgue o ite& abai#o.

,onsidere a seguinte lista de sentenças1I A %ual 7 o no&e pelo qual 7 con/ecido o Ginist7rio das 'elações E#teriores?

II A 4 5alcio Ita&arat^ e& Bras(lia 7 u&a bela construção do s7culo MIM.

III A 8s quantidades de e&bai#adas e consulados gerais que o Ita&arat^ possui são3respectiva&ente3 # e ^.

I2 A 4 barão do 'io Branco !oi u& diplo&ata notvel.

Nessa situação3 7 correto a!ir&ar que entre as sentenças aci&a3 apenas u&a delas não 7 u&aproposição.

;. *9INE5 :;;<,E=5EA>nB- 8cerca de proposições3 considere as seguintes !rases1

I 4s 9undos =etoriais de ,incia e Fecnologia são instru&entos de !inancia&ento de projetos.

II 4 que 7 o ,FA8&aYnia?

III 5reste atenção ao edital6

I2 =e o projeto !or de cooperação universidadeAe&presa3 então pode& ser pleiteados recursos do!undo setorial verdeAa&arelo.

=ão proposições apenas as !rases correspondentes aos itens

a- I e I2.

b- II e III.

c- III e I2.

d- I3 II e III.

e- I3 II e I2.

. *F,EA5B:;;Q9,,- =abeAse que sentenças são orações co& sujeito *o ter&o a respeito doqual se declara algo- e predicado *o que se declara sobre o sujeito-. Na relação seguinte /e#pressões e sentenças1

. Frs &ais nove 7 igual a doe.:. 5el7 7 brasileiro.R. 4 jogador de !utebol.U. 8 idade de Garia.. 8 &etade de u& n@&ero.Q. 4 triplo de 7 &aior do que ;.

P correto a!ir&ar que3 na relação dada3 são sentenças apenas os itens de n@&eros




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a- 3: e Q.b- :3R e U.c- R3U e .d- 3:3 e Q.e- :3R3U e .

:. *5GAB8 :;;<9,,- De!ineAse sentença co&o qualquer oração que te& sujeito *o ter&o arespeito do qual se declara algu&a coisa- e predicado *o que se declara sobre o sujeito-. Narelação que segue / e#pressões e sentenças1. Fo&ara que c/ova6:. %ue /oras são?R. Frs vees dois são cinco.U. %uarenta e dois detentos.. 5oliciais são con!iveis.Q. E#erc(cios !(sicos são saudveis.De acordo co& a de!inição dada3 7 correto a!ir&ar que3 dos itens da relação aci&a3 são sentenças

85EN8= os de n@&eros*8- 3 R e .*B- :3 R e .*,- R3 e Q.*D- U e Q.*E- e Q.

R. *G5EF4 :;;Q,E=5EA>nB- Na lista abai#o3 / e#ata&ente trs proposições._ 9aça suas tare!as._ Ele 7 u& procurador de justiça &uito co&petente._ ,elina não ter&inou seu trabal/o._ Esta proposição 7 !alsa.

_ 4 n@&ero .;:U 7 u&a potncia de :.

U. *5'4DE=F :;;Q,E=5EA>nB- ,onsidere a seguinte lista de !rases1 'io Branco 7 a capital do estado de 'ondYnia.: %ual 7 o /orrio do !il&e?R 4 Brasil 7 pentaca&peão de !utebol.U %ue belas !lores6 Garlene não 7 atri e Djanira 7 pintora.Nessa lista3 / e#ata&ente U proposições.

*=F9 :;;T,E=5EA>nB- 9il/o &eu3 ouve &in/as palavras e atenta para &eu consel/o.8 resposta branda acal&a o coração irado.4 orgul/o e a vaidade são as portas de entrada da ru(na do /o&e&.=e o !il/o 7 /onesto3 então o pai 7 e#e&plo de integridade.

Fendo co&o re!erncia as quatro !rases aci&a3 julgue os itens seguintes.

. 8 pri&eira !rase 7 co&posta por duas proposições lógicas si&ples unidas pelo conectivo deconjunção.

Q. 8 segunda !rase 7 u&a proposição lógica si&ples.

J. 8 terceira !rase 7 u&a proposição lógica co&posta.





T. 8 quarta !rase 7 u&a proposição lógica e& que aparece& dois conectivos lógicos.

*F,>:;;U,espe- ,onsidere que as letras 53 % e ' representa& proposições3 e os s(&bolos S 3∧ e são operadores lógicos que constroe& novas proposições e signi!ica& "não$3 "e$ e "então$3respectiva&ente. Na lógica proposicional que trata da e#pressão do racioc(nio por &eio deproposições que são avaliadas *valoradas- co&o verdadeiras *2- ou !alsas *9-3 &as nunca a&bos3esses operadores estão de!inidos3 para cada valoração atribu(da 0s letras proposicionais3 natabela abai#o1

5 % S5 5 ∧ % 5 %

2 2 9 2 22 9 9 9 9

9 2 2 9 29 9 2 9 2

=upon/a que 5 representa a proposição Hoje c/oveu3 % represente a proposição \os7 !oi 0 praiae ' represente a proposição Garia !oi ao co&7rcio. ,o& base nessas in!or&ações e no te#to3 julgue os itens a seguir1

<. 8 sentença "Hoje não c/oveu então Garia não !oi ao co&7rcio e \os7 não !oi 0 praia$ pode sercorreta&ente representada por S5 *S' ∧ S%-

:;. 8 sentença "Hoje c/oveu e \os7 não !oi 0 praia$ pode ser correta&ente representada por 5 ∧ S% :. =e a proposição "Hoje não c/oveu$ !or valorada co&o 9 e a proposição \os7 !oi 0 praia !or

valorada co&o 23 então a sentença representada por S5 % 7 !alsa.

::. 4 n@&ero de valorações poss(veis para *% ∧ S'- 5 7 in!erior a <.

:R. *]estor 9aendrioAG]:;;Esa!- ,onsidere a a!ir&ação 5151 "8 ou B$4nde 8 e B3 por sua ve3 são as seguintes a!ir&ações181 ",arlos 7 dentista$.B1 "=e Enio 7 econo&ista3 então \uca 7 arquiteto$.4ra3 sabeAse que a a!ir&ação 5 7 !alsa. )ogo1

a- ,arlos não 7 dentistaL Enio não 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.b- ,arlos não 7 dentistaL Enio 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.c- ,arlos não 7 dentistaL Enio 7 econo&istaL \uca 7 arquiteto.d- ,arlos 7 dentistaL Enio não 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.e- ,arlos 7 dentistaL Enio 7 econo&istaL \uca não 7 arquiteto.

:U. *F'9A[ 'egião:;;Q9,,- =e todos os nossos atos t& causa3 então não / atos livres. =enão / atos livres3 então todos os nossos atos t& causa. )ogo1

a- alguns atos não t& causa se não / atos livres.b- todos os nossos atos t& causa se e so&ente se / atos livres.




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c- todos os nossos atos t& causa se e so&ente se não / atos livres.d- todos os nossos atos não t& causa se e so&ente se não / atos livres.e- alguns atos são livres se e so&ente se todos os nossos atos t& causa.

:. *8)E=5 :;;9,,- 5alo&a !e as seguintes declarações1 “Sou inteligente e não trabalho. “Se não tiro f!rias" então trabalho.=upondo que as duas declarações seja& verdadeiras3 7 98)=4 concluir que 5alo&a*8- 7 inteligente.*B- tira !7rias.*,- trabal/a.*D- não trabal/a e tira !7rias.*E- trabal/a ou 7 inteligente.

:Q. *5etrobras:;;J,espe- \ulgue o ite& que se segue.

,onsidere as proposições abai#o1p1 U 7 u& n@&ero parLq1 8 5etrobras 7 a &aior e#portadora de ca!7 do Brasil.

Nesse caso3 7 poss(vel concluir que a proposição p ∨ q 7 verdadeira.

:J. *=8D5E:;;T9]2- ,onsidere as situações abai#o1

I. E& u&a estrada co& duas pistas3 vAse a placa1

,o&o voc est dirigindo u& auto&óvel3 voc conclui que deve tra!egar pela pista da esquerda.II. 2oc &ora no 'eci!e e tele!ona para sua &ãe e& Bras(lia. Entre outras coisas3 voc di que"=e do&ingo pró#i&o !ier sol3 eu irei 0 praia$. No !inal do do&ingo3 sua &ãe viu pela televisãoque c/oveu no 'eci!e todo o dia. Então3 ela concluiu que voc não !oi 0 praia.III. I&agine o seguinte dilogo entre dois pol(ticos que discute& calorosa&ente certo assunto1A 81 8qui na ,&ara t c/eio de ladrão.A B1 4corre que eu não sou ladrão.A 81 2oc 7 sa!ado3 t &e c/a&ando de ladrão.

E& cada situação /3 no !inal3 u&a conclusão. E#a&inando a lógica na argu&entação1a- são verdadeiras as conclusões das situações I e II3 apenas.b- são verdadeiras as conclusões das situações II e III3 apenas.c- são verdadeiras as conclusões das situações I e III3 apenas.d- as trs conclusões são verdadeiras.e- as trs conclusões são !alsas.

*IN== :;;T,E=5EA>nB- 5roposições são sentenças que pode& ser julgadas co&o verdadeirasK 2 K ou !alsas K 9 K3 &as não co&o a&bas. =e 5 e % são proposições3 então a proposição"=e 5 então %$3 denotada por 5 → %3 ter valor lógico 9 quando 5 !or 2 e % !or 93 e3 nos de&ais

casos3 ser 2. >&a e#pressão da !or&a S53 a negação da proposição 53 ter valores lógicos





contrrios aos de 5. 5 ∨ %3 lida co&o "5 ou %$3 ter valor lógico 9 quando 5 e % !ore&3 a&bas3 9Lnos de&ais casos3 ser 2.

,onsidere as proposições si&ples e co&postas apresentadas abai#o3 denotadas por 83 B e ,3que pode& ou não estar de acordo co& o artigo . da ,onstituição 9ederal.

81 8 prtica do racis&o 7 cri&e a!iançvel.

B1 8 de!esa do consu&idor deve ser pro&ovida pelo Estado.

,1 Fodo cidadão estrangeiro que co&eter cri&e pol(tico e& território brasileiro ser e#traditado.

De acordo co& as valorações 2 ou 9 atribu(das correta&ente 0s proposições 83 B e ,3 a partir da,onstituição 9ederal3 julgue os itens a seguir.

:<. 5ara a si&boliação apresentada aci&a e seus correspondentes valores lógicos3 a proposiçãoB → , 7 2.

:<. De acordo co& a notação apresentada aci&a3 7 correto a!ir&ar que a proposição *S8- ∨ *S,-te& valor lógico 9.

R;. *=E98AG] :;;E=89- 4 reino est sendo ator&entado por u& terr(vel dragão. 4 &ago diao rei1 "4 dragão desaparecer a&an/ã se e so&ente se 8ladi& beijou a princesa onte&$. 4 rei3tentando co&preender &el/or as palavras do &ago3 !a as seguintes perguntas ao lógico dacorte1

. =e a a!ir&ação do &ago 7 !alsa e se o dragão desaparecer a&an/ã3 posso concluircorreta&ente que 8ladi& beijou a princesa onte&?

:. =e a a!ir&ação do &ago 7 verdadeira e se o dragão desaparecer a&an/ã3 posso concluircorreta&ente que 8ladi& beijou a princesa onte&?

R. =e a a!ir&ação do &ago 7 !alsa e se 8ladi& não beijou a princesa onte&3 posso concluircorreta&ente que o dragão desaparecer a&an/ã?

4 lógico da corte3 então3 di acertada&ente que as respostas logica&ente corretas para as trsperguntas são3 respectiva&ente1

a- Não3 si&3 não

b- Não3 não3 si&c- =i&3 si&3 si&d- Não3 si&3 si&e- =i&3 não3 si&

R. *F'FA<[ 'egião:;;U9,,- ,onsidere a seguinte proposição "Na eleição para a pre!eitura3 ocandidato 8 ser eleito ou não ser eleito$. Do ponto de vista lógico3 a a!ir&ação da proposiçãocaracteria1

a- u& silogis&ob- u&a tautologiac- u&a equivalncia





d- u&a contingnciae- u&a contradição

R:. *9iscal do Frabal/o <<TEsa!- ,/a&aAse tautologia a toda proposição que 7 se&preverdadeira3 independente&ente da verdade dos ter&os que a co&põe&. >& e#e&plo de

tautologia 71

a- se \oão 7 alto3 então \oão 7 alto ou ]uil/er&e 7 gordo.

b- se \oão 7 alto3 então \oão 7 alto e ]uil/er&e 7 gordo.

c- se \oão 7 alto ou ]uil/er&e 7 gordo3 então ]uil/er&e 7 gordo.

d- se \oão 7 alto ou ]uil/er&e 7 gordo3 então \oão 7 alto e ]uil/er&e 7 gordo.

e- se \oão 7 alto ou não 7 alto3 então ]uil/er&e 7 gordo.

RR. *5GAD9:;;<,E=5E- 8 proposição *8∧B- → *8∨B- 7 u&a tautologia.

*=EB'8EAB8 :;;T,E=5EA>nB- 8 proposição 7 u&a declaração que pode ser julgada verdadeira*2- ou !alsa *9-3 &as não cabe& a&bos os julga&entos para a &es&a proposição. P usualrepresentar proposições si&ples por letras &ai@sculas do al!abeto3 co&o 83 B3 , etc. 8sproposições co&postas são constru(das a partir da cone#ão de proposições. >&a proposição na!or&a 8 v B 7 co&posta3 sendo lida co&o "8 ou B$ e avaliada co&o 9 quando 8 e B são a&bas 93e3 nos de&ais casos3 7 2L u&a proposição na !or&a 8 f B 7 co&posta3 sendo lida co&o "8 e B$ eavaliada co&o 2 quando 8 e B são a&bas 23 e3 nos de&ais casos3 7 9. >&a proposição na !or&aS8 7 a negação de 83 sendo3 portanto3 2 quando 8 7 93 e 9 quando 8 7 23 e 7 u&a proposiçãoco&posta. 5arnteses pode& ser usados para agrupar as proposições e evitar a&bigidades.Fendo co&o re!erncia as in!or&ações apresentadas aci&a3 julgue os pró#i&os itens.

RU. 8s proposições na !or&a S*8fB- t& e#ata&ente trs valores lógicos 23 para todos osposs(veis valores lógicos de 8 e B.

R. =e 8 !or considerada u&a proposição 9 e B !or considerada u&a proposição 23 então aproposição SB v 8 7 9.

RQ. ,onsiderandoAse que 8 e B seja& proposições a&bas 2 ou seja& a&bas 93 então aproposição S**S8-fB- ser 9.

RJ. 5roposições na !or&a *S*8 f *B v ,--- v *8 f *B v ,-- t& so&ente valores lógicos 23 paraquaisquer que seja& os valores lógicos de 83 B e ,.

RT. =e 8 !or a proposição @oaquim + agricultor 3 e B3 a proposição Aarieta + empres)ria3 entãoa sentença verbal correspondente 0 proposição B v *S8- ser Aarieta + empres)ria e @oaquimnão + agricultor.

R<. 8 proposição "4 =EB'8E !acilita e orienta o acesso a serviços !inanceiros$ 7 u&a proposiçãosi&ples.

U;. ,onsiderando que as proposições "=eu c/e!e l/e passa u&a orde&$ e "2oc não aceita aorde& se& questionAla$ seja& 23 a proposição "=e seu c/e!e l/e passa u&a orde&3 então voc

aceita a orde& se& questionAla$ 7 julgada co&o 9.





U. 8 proposição si&bólica *8fB-*S*8*SB--- 7 se&pre julgada co&o 23 independente&ente de8 e B sere& 2 ou 9.

U:. =e 83 B e , são proposições si&ples3 então e#iste& e#ata&ente duas possibilidades para quea proposição *8fB-f, seja avaliada co&o 2.

*=EB'8E :;;,E=5EA>nB-

UR. 8 proposição VSBWkVSBW8m 7 u&a tautologia. ,E'F4

UU. 8 proposição VSBWfV8BW 7 logica&ente !alsa. E''8D4

U. ,onsidere que 83 B e , seja& proposições si&ples3 distintas3 e que a proposição D sejade!inida por D V8BWVS8W,. Nesse caso3 a tabelaAverdade da proposição D te& Q lin/as.E''8D4

UQ. *=]88, :;;J,E=5EA>nB- 8s proposições 8B e *SB- *S8- t& a &es&a tabelaverdade.

UJ. *8gente 5enitencirio =\DHAB8 :;;9,,- >&a a!ir&ação equivalente 0 a!ir&ação "Se bebo,então não dirijo” 7 *8- =e não bebo3 então não dirijo.*B- =e não dirijo3 então não bebo.*,- =e não dirijo3 então bebo.*D- =e não bebo3 então dirijo.*E- =e dirijo3 então não bebo.

UT. *5ol(cia ,ivil :;;JIpad- 8 sentença "5enso3 logo e#isto$ 7 logica&ente equivalente a1

a- 5enso e e#isto.b- Ne& penso3 ne& e#isto.c- Não penso ou e#isto.d- 5enso ou não e#isto.e- E#isto3 logo penso

U<. *G54]:;;QEsa!- Dier que "8ndr7 7 artista ou Bernardo não 7 engen/eiro$ 7 logica&enteequivalente a dier que1

a- 8ndr7 7 artista se e so&ente se Bernardo não 7 engen/eiro.b- =e 8ndr7 7 artista3 então Bernardo não 7 engen/eiro.c- =e 8ndr7 não 7 artista3 então Bernardo 7 engen/eiro.d- =e Bernardo 7 engen/eiro3 então 8ndr7 7 artista.e- 8ndr7 não 7 artista e Bernardo 7 engen/eiro.

;. *F,EG]:;;J9,,- =ão dadas as seguintes proposições1





*- =e \ai&e trabal/a no Fribunal de ,ontas3 então ele 7 e!iciente.*:- =e \ai&e não trabal/a no Fribunal de ,ontas3 então ele não 7 e!iciente.*R- Não 7 verdade que3 \ai&e trabal/a no Fribunal de ,ontas e não 7 e!iciente.*U- \ai&e 7 e!iciente ou não trabal/a no Fribunal de ,ontas.

P correto a!ir&ar que são logica&ente equivalentes apenas as proposições de n@&eros

a- : e Ub- : e Rc- :3 R e Ud- 3 : e Re- 3 R e U

. *8d&inistrador DN4,= :;;9,,- ,onsidere a seguinte proposição1“Se uma pessoa não faz $ursos de aperfei'oamento na sua %rea de trabalho" então ela não

melhora o seu desempenho profissional.>&a proposição logica&ente equivalente 0 proposição dada 71*8- P !also que3 u&a pessoa não &el/ora o seu dese&pen/o pro!issional ou !a cursos deaper!eiçoa&ento na sua rea de trabal/o.*B- Não 7 verdade que3 u&a pessoa não !a cursos de aper!eiçoa&ento pro!issional e não&el/ora o seu dese&pen/o pro!issional.*,- =e u&a pessoa não &el/ora seu dese&pen/o pro!issional3 então ela não !a cursos deaper!eiçoa&ento na sua rea de trabal/o.*D- >&a pessoa &el/ora o seu dese&pen/o pro!issional ou não !a cursos de aper!eiçoa&entona sua rea de trabal/o.*E- >&a pessoa não &el/ora seu dese&pen/o pro!issional ou !a cursos de aper!eiçoa&ento nasua rea de trabal/o.

:. *G5EA8G :;;J,E=5EA>nB- 8s proposições *S8-k*SB- e S8B t& e#ata&ente as &es&asvalorações 2 ou 93 independente&ente das valorações 2 ou 9 atribu(das 0s proposições bsicas8 e B.

*G5EA8G :;;J,E=5EA>nB-Fe#to II + para os itens : e :QDuas proposições são deno&inadas equivalentes quando t& e#ata&ente as &es&as valorações2 e 9. 5or e#e&plo3 são equivalentes as proposições *S8-kB e 8B.8 partir das in!or&ações dos te#tos I e II aci&a3 e supondo que 8 si&bolia a proposição "8liceperseguiu o ,oel/o Branco$ e B si&bolia a proposição "4 ,oel/o Branco ol/ou o relógio$3 julgue

os itens a seguir.

R. 8 proposição "=e o ,oel/o Branco não ol/ou o relógio3 então 8lice não perseguiu o ,oel/oBranco$ pode ser si&boliada por *SB-*S8-.

U. 8 proposição "=e o ,oel/o Branco ol/ou o relógio3 então 8lice não perseguiu o ,oel/oBranco$ 7 equivalente 0 proposição "4 ,oel/o Branco não ol/ou o relógio ou 8lice não perseguiuo ,oel/o Branco$.





)a"aritos

'1. #rrado

'2. "

'3. Certo

'4. Certo

'. #rrado

'5. Certo

'!. #rrado

'. A

'&. #rrado

1'. A

11. A

12. C

13. #rrado

14. #rrado

1. #rrado

15. Certo

1!. #rrado

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Aula 01 - Matemática