aula 01 new.ppt [Modo de Compatibilidade] - ufjf.br e lgebra Vetorial Escalares Vetores lgebra vetorial Bi-dimensionais Tri-dimensionais N-dimensionais Quatro operaes Soma de vetores

Anlise Vetorial

Prof Daniel Silveira

Introduo

Objetivo Reviso de conceitos de anlise vetorial

A anlise vetorial facilita a descrio matemtica das equaes encontradas no eletromagnetismo

Vetores e lgebra Vetorial

EscalaresVetores lgebra vetorial

Bi-dimensionais Tri-dimensionais N-dimensionais

Quatro operaes Soma de vetores Produto por escalar Produto escalar Produto vetorial

Vetores e lgebra Vetorial

Adio de vetores

Ar

Br

BArr

+BArr

+Ar

Br

Regra do paralelogramo

Adio comutativa

ABBArrrr

+=+

Adio associativa

( ) ( ) CBACBArrrrrr

++=++

Vetores e lgebra Vetorial

Subtrao de vetores

Ar

Br

BArr

Basta inverter o sentido do segundo vetor e somar

( )BABArrrr

+=

Vetores e lgebra Vetorial

Multiplicao por escalar

Ar

Multiplica o mdulo e pode alterar o sentido, mas no altera direo

Ar

2 Ar

2

( )( ) ( ) ( ) BsAsBrArBAsBArBAsrrrrrrrrrrr

+++=+++=++

Diviso por escalar = Multiplicao pelo inverso do escalar

Sistemas de Coordenadas Cartesianas

Mtodo mais simples para descrever um vetorSistema tri-dimensional Trs eixos formando ngulos retos entre si (x, y e z) Um ponto dado pelo valor constante de x, y e z

(coordenadas escalares) Um vetor dado pela soma de suas componentes ao longo

dos 3 eixos coordenados

x

z

y

)3,2,1(p

x

z

y

rr

xr

yr

zr zyxr

rrrr++=

Vetores unitrios

Vetores de mdulo unitrio na direo de cada eixo e no sentido crescente

Para obter a componente do vetor em cada eixo, basta multiplicar cada vetor unitrio por um escalar

x

z

y

zar

xar ya

r

zyx azayaxzyxrrrrrrrr

++=++=

Vetores unitrios

Para definir um vetor unitrio em qualquer direo, basta dividir cada componente do vetor pelo mdulo do mesmo O vetor unitrio na direo de ser:

Ex: pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3) Vetor AC Vetor unitrio na direo BA Distncia entre B e C Vetor de A at o ponto mdio entre B e C

zyxr ar

za

r

ya

r

x

r

ra

rr

rr

rrr

rr

++==

rar

rr

222zyxr ++=

r

Vetores e lgebra Vetorial

Produto escalar

Ar

O resultado do produto um escalar

Br

Projeo de um vetor na direo do outro e multiplicao dos mdulos

ABBABA cosrrrr

=

ABBArrrr

=

Multiplicao do mdulo de A na direo de B pelo mdulo de B

Vetores e lgebra Vetorial

Produto escalar utilizando coordenadas retangulares

pois sabemos que

Produtor escalar de um vetor por ele mesmo

zzyyxx aAaAaAArrrr

++=

zzyyxx aBaBaBBrrrr

++=

zzyyxx BABABABA ++=rr

2

0cos AAAAArrrrr

==

0=== zyzxyx aaaaaarrrrrr

1=== zzyyxx aaaaaarrrrrr

02/cos90cos == o

10cos =

Vetores e lgebra Vetorial

Exemplo: A partir dos vetores abaixo determinar

F G O ngulo entre eles A componente escalar de F na direo de G A projeo de F na direo de G

zyx aaaFrrrr

452 = zyx aaaGrrrr

253 ++=

Vetores e lgebra Vetorial

Produto vetorial

Ar

O resultado do produto um vetor perpendicular ao plano contendo os vetores A e B, cujo sentido segue a regra da mo direita

Br

O mdulo do vetor resultante numericamente igual rea do paralelogramo definido pelos dois vetores

ABn BAaBA senrrrrr

=

( )ABBArrrr

=

zyx aaarrr

=

Vetores e lgebra Vetorial

Produto vetorial utilizando componentes cartesianas

sabemos que

temos

zzyyxx aAaAaAArrrr

++= zzyyxx aBaBaBBrrrr

++=

+++= zxzxyxyxxxxx aaBAaaBAaaBABArrrrrrrr

zyx aaarrr

=

0=== zzyyxx aaaaaarrrrrr

12/sen90sen == o

00sen =

++++ zyzyyyyyxyxy aaBAaaBAaaBArrrrrr

++++ zzzzyzyzxzxz aaBAaaBAaaBArrrrrr

zxy aaarrr

=

( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABArrrrr

++=

Vetores e lgebra Vetorial

Produto vetorial na forma determinante

E1.4) Dado o tringulo abaixo, determine ABAC rea do tringulo Vetor unitrio perpendicular ao plano do tringulo

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

rrr

rr=

A(6,-1,2)

B(-2,3,-4)

C(-3,1,5)

Sistemas de coordenadas

Prof Daniel Silveira

Introduo

Objetivo Reviso de sistemas de coordenadas cilndricas e esfricas

Os sistemas facilitam clculos em problemas que possuem geometria cilndrica ou esfrica

Coordenadas cilndricas circulares

Um ponto no espao tridimensional dado por: Distncia do ponto

ao eixo z () ngulo que faz

com o eixo x () Altura (z)

Coordenadas cilndricas circulares

Vetores unitrios

Perpendiculares entre si

No so eixos, so funes das coordenadas

Regra do triedro direito

zaaarrr

,,

zaaarrr

=

Coordenadas cilndricas circulares

cos=x

Relao entre coordenadas retangulares e cilndricas

ou

sen=y

zz =

22yx +=

=

x

y1tan

zz =

Coordenadas cilndricas circulares

Elemento diferencial de volume Como e z tm dimenso de comprimento, os elementos

diferenciais so d e dz, respectivamente A componente diferencial na direo de a d

dzdddV =

Elemento diferencial de volume

( em rad)

Coordenadas cilndricas circulares

Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilndricas Seja

queremos obter

Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direes das coordenadas cilndricas

zzyyxx aAaAaAArrrr

++=

zzaAaAaAArrrr

++=

aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

++==

aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

++==

zzzzyyzxxzz aaAaaAaaAaAArrrrrrrr

++==

Coordenadas cilndricas circulares

Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilndricas Analisando os produtos escalares entre vetores unitrios,

podemos resumi-los na seguinte Tabela

Exemplo 1.3: Encontre para o campo vetorial abaixo

( ) zyx azaxayzyxBrrrr

+=,,

( )zB ,,r

Coordenadas cilndricas circulares

E1.5) e E1.6) D as coordenadas cartesianas do ponto

D as coordenadas cilndricas do ponto

Determine a distncia entre C e D

Transforme para coordenadas cilndricas

no ponto

no ponto

Transforme para coordenadas retangulares

no ponto

)2;115;4,4( === zC o

)3;6,2;1,3( === zyxD

zyx aaaFrrrr

6810 += ( )6,8,10 P

( ) ( )yx axyayxGrrr

42 += ( )zQ ,,

zaaaHrrrr

31020 += ( )1,2,5 P

Coordenadas esfricas

Um ponto no espao tridimensional dado por: Distncia do ponto a

origem ( r ) ngulo que r faz

com o eixo z () ngulo que r faz

com o eixo x ()

Coordenadas esfricas

Vetores unitrios

Perpendiculares entre si

No so eixos, so funes das coordenadas

Regra do triedro direito

aaarrrr

,,

aaarrrr

=

Relao entre coordenadas retangulares e esfricas

ou

Coordenadas esfricas

cossenrx =

sensenry =

cosrz =

222zyxr ++=

=

x

y1tan

222

1cos

zyx

z

++= ( ) 0

Coordenadas esfricas

Elemento diferencial de volume Os comprimentos diferenciais nas direes r , e so, respectivamente,

Elemento diferencial de volume

drrddr sen,,

( e em rad)

ddrdrdV sen2=

Coordenadas esfricas

Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esfricas Seja

queremos obter

Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direes das coordenadas esfricas

zzyyxx aAaAaAArrrr

++=

aAaAaAA rrrrrr

++=

rzzryyrxxrr aaAaaAaaAaAArrrrrrrr

++==

aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

++==

aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

++==

Coordenadas esfricas

Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esfricas Analisando os produtos escalares entre vetores unitrios,

podemos resumi-los na seguinte Tabela

Exemplo1.4: Encontre para o campo vetorial abaixo

( ) xay

xzzyxG

rr=,,

( ) ,,rGr

Coordenadas esfricas

E1.7) D as coordenadas cartesianas do ponto

D as coordenadas esfricas do ponto

Determine a distncia entre C e D

E1.8)

a) Transforme para coordenadas esfricas

no ponto

( )oo 70;20;5 === rD)1;2;3( === zyxC

xaFrr

10= ( )4,2,3P

Lista de exerccios

Captulo 1 (Hayt) 1.1, 1.5, 1.7, 1.11, 1.13, 1.17, 1.19, 1.21, 1.25, 1.27, 1.30