aula 01 new.ppt [Modo de Compatibilidade] - ufjf.br e lgebra Vetorial Escalares Vetores lgebra vetorial Bi-dimensionais Tri-dimensionais N-dimensionais Quatro operaes Soma de vetores

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  • Anlise Vetorial

    Prof Daniel Silveira

  • Introduo

    Objetivo Reviso de conceitos de anlise vetorial

    A anlise vetorial facilita a descrio matemtica das equaes encontradas no eletromagnetismo

  • Vetores e lgebra Vetorial

    EscalaresVetores lgebra vetorial

    Bi-dimensionais Tri-dimensionais N-dimensionais

    Quatro operaes Soma de vetores Produto por escalar Produto escalar Produto vetorial

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Adio de vetores

    Ar

    Br

    BArr

    +BArr

    +Ar

    Br

    Regra do paralelogramo

    Adio comutativa

    ABBArrrr

    +=+

    Adio associativa

    ( ) ( ) CBACBArrrrrr

    ++=++

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Subtrao de vetores

    Ar

    Br

    BArr

    Basta inverter o sentido do segundo vetor e somar

    ( )BABArrrr

    +=

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Multiplicao por escalar

    Ar

    Multiplica o mdulo e pode alterar o sentido, mas no altera direo

    Ar

    2 Ar

    2

    ( )( ) ( ) ( ) BsAsBrArBAsBArBAsrrrrrrrrrrr

    +++=+++=++

    Diviso por escalar = Multiplicao pelo inverso do escalar

  • Sistemas de Coordenadas Cartesianas

    Mtodo mais simples para descrever um vetorSistema tri-dimensional Trs eixos formando ngulos retos entre si (x, y e z) Um ponto dado pelo valor constante de x, y e z

    (coordenadas escalares) Um vetor dado pela soma de suas componentes ao longo

    dos 3 eixos coordenados

    x

    z

    y

    )3,2,1(p

    x

    z

    y

    rr

    xr

    yr

    zr zyxr

    rrrr++=

  • Vetores unitrios

    Vetores de mdulo unitrio na direo de cada eixo e no sentido crescente

    Para obter a componente do vetor em cada eixo, basta multiplicar cada vetor unitrio por um escalar

    x

    z

    y

    zar

    xar ya

    r

    zyx azayaxzyxrrrrrrrr

    ++=++=

  • Vetores unitrios

    Para definir um vetor unitrio em qualquer direo, basta dividir cada componente do vetor pelo mdulo do mesmo O vetor unitrio na direo de ser:

    Ex: pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3) Vetor AC Vetor unitrio na direo BA Distncia entre B e C Vetor de A at o ponto mdio entre B e C

    zyxr ar

    za

    r

    ya

    r

    x

    r

    ra

    rr

    rr

    rrr

    rr

    ++==

    rar

    rr

    222zyxr ++=

    r

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Produto escalar

    Ar

    O resultado do produto um escalar

    Br

    Projeo de um vetor na direo do outro e multiplicao dos mdulos

    ABBABA cosrrrr

    =

    ABBArrrr

    =

    Multiplicao do mdulo de A na direo de B pelo mdulo de B

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Produto escalar utilizando coordenadas retangulares

    pois sabemos que

    Produtor escalar de um vetor por ele mesmo

    zzyyxx aAaAaAArrrr

    ++=

    zzyyxx aBaBaBBrrrr

    ++=

    zzyyxx BABABABA ++=rr

    2

    0cos AAAAArrrrr

    ==

    0=== zyzxyx aaaaaarrrrrr

    1=== zzyyxx aaaaaarrrrrr

    02/cos90cos == o

    10cos =

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Exemplo: A partir dos vetores abaixo determinar

    F G O ngulo entre eles A componente escalar de F na direo de G A projeo de F na direo de G

    zyx aaaFrrrr

    452 = zyx aaaGrrrr

    253 ++=

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Produto vetorial

    Ar

    O resultado do produto um vetor perpendicular ao plano contendo os vetores A e B, cujo sentido segue a regra da mo direita

    Br

    O mdulo do vetor resultante numericamente igual rea do paralelogramo definido pelos dois vetores

    ABn BAaBA senrrrrr

    =

    ( )ABBArrrr

    =

    zyx aaarrr

    =

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Produto vetorial utilizando componentes cartesianas

    sabemos que

    temos

    zzyyxx aAaAaAArrrr

    ++= zzyyxx aBaBaBBrrrr

    ++=

    +++= zxzxyxyxxxxx aaBAaaBAaaBABArrrrrrrr

    zyx aaarrr

    =

    0=== zzyyxx aaaaaarrrrrr

    12/sen90sen == o

    00sen =

    ++++ zyzyyyyyxyxy aaBAaaBAaaBArrrrrr

    ++++ zzzzyzyzxzxz aaBAaaBAaaBArrrrrr

    zxy aaarrr

    =

    ( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABArrrrr

    ++=

  • Vetores e lgebra Vetorial

    Produto vetorial na forma determinante

    E1.4) Dado o tringulo abaixo, determine ABAC rea do tringulo Vetor unitrio perpendicular ao plano do tringulo

    zyx

    zyx

    zyx

    BBB

    AAA

    aaa

    BA

    rrr

    rr=

    A(6,-1,2)

    B(-2,3,-4)

    C(-3,1,5)

  • Sistemas de coordenadas

    Prof Daniel Silveira

  • Introduo

    Objetivo Reviso de sistemas de coordenadas cilndricas e esfricas

    Os sistemas facilitam clculos em problemas que possuem geometria cilndrica ou esfrica

  • Coordenadas cilndricas circulares

    Um ponto no espao tridimensional dado por: Distncia do ponto

    ao eixo z () ngulo que faz

    com o eixo x () Altura (z)

  • Coordenadas cilndricas circulares

    Vetores unitrios

    Perpendiculares entre si

    No so eixos, so funes das coordenadas

    Regra do triedro direito

    zaaarrr

    ,,

    zaaarrr

    =

  • Coordenadas cilndricas circulares

    cos=x

    Relao entre coordenadas retangulares e cilndricas

    ou

    sen=y

    zz =

    22yx +=

    =

    x

    y1tan

    zz =

  • Coordenadas cilndricas circulares

    Elemento diferencial de volume Como e z tm dimenso de comprimento, os elementos

    diferenciais so d e dz, respectivamente A componente diferencial na direo de a d

    dzdddV =

    Elemento diferencial de volume

    ( em rad)

  • Coordenadas cilndricas circulares

    Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilndricas Seja

    queremos obter

    Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direes das coordenadas cilndricas

    zzyyxx aAaAaAArrrr

    ++=

    zzaAaAaAArrrr

    ++=

    aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

    ++==

    aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

    ++==

    zzzzyyzxxzz aaAaaAaaAaAArrrrrrrr

    ++==

  • Coordenadas cilndricas circulares

    Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilndricas Analisando os produtos escalares entre vetores unitrios,

    podemos resumi-los na seguinte Tabela

    Exemplo 1.3: Encontre para o campo vetorial abaixo

    ( ) zyx azaxayzyxBrrrr

    +=,,

    ( )zB ,,r

  • Coordenadas cilndricas circulares

    E1.5) e E1.6) D as coordenadas cartesianas do ponto

    D as coordenadas cilndricas do ponto

    Determine a distncia entre C e D

    Transforme para coordenadas cilndricas

    no ponto

    no ponto

    Transforme para coordenadas retangulares

    no ponto

    )2;115;4,4( === zC o

    )3;6,2;1,3( === zyxD

    zyx aaaFrrrr

    6810 += ( )6,8,10 P

    ( ) ( )yx axyayxGrrr

    42 += ( )zQ ,,

    zaaaHrrrr

    31020 += ( )1,2,5 P

  • Coordenadas esfricas

    Um ponto no espao tridimensional dado por: Distncia do ponto a

    origem ( r ) ngulo que r faz

    com o eixo z () ngulo que r faz

    com o eixo x ()

  • Coordenadas esfricas

    Vetores unitrios

    Perpendiculares entre si

    No so eixos, so funes das coordenadas

    Regra do triedro direito

    aaarrrr

    ,,

    aaarrrr

    =

  • Relao entre coordenadas retangulares e esfricas

    ou

    Coordenadas esfricas

    cossenrx =

    sensenry =

    cosrz =

    222zyxr ++=

    =

    x

    y1tan

    222

    1cos

    zyx

    z

    ++= ( ) 0

  • Coordenadas esfricas

    Elemento diferencial de volume Os comprimentos diferenciais nas direes r , e so, respectivamente,

    Elemento diferencial de volume

    drrddr sen,,

    ( e em rad)

    ddrdrdV sen2=

  • Coordenadas esfricas

    Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esfricas Seja

    queremos obter

    Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direes das coordenadas esfricas

    zzyyxx aAaAaAArrrr

    ++=

    aAaAaAA rrrrrr

    ++=

    rzzryyrxxrr aaAaaAaaAaAArrrrrrrr

    ++==

    aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

    ++==

    aaAaaAaaAaAA zzyyxxrrrrrrrr

    ++==

  • Coordenadas esfricas

    Converso de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esfricas Analisando os produtos escalares entre vetores unitrios,

    podemos resumi-los na seguinte Tabela

    Exemplo1.4: Encontre para o campo vetorial abaixo

    ( ) xay

    xzzyxG

    rr=,,

    ( ) ,,rGr

  • Coordenadas esfricas

    E1.7) D as coordenadas cartesianas do ponto

    D as coordenadas esfricas do ponto

    Determine a distncia entre C e D

    E1.8)

    a) Transforme para coordenadas esfricas

    no ponto

    ( )oo 70;20;5 === rD)1;2;3( === zyxC

    xaFrr

    10= ( )4,2,3P

  • Lista de exerccios

    Captulo 1 (Hayt) 1.1, 1.5, 1.7, 1.11, 1.13, 1.17, 1.19, 1.21, 1.25, 1.27, 1.30