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ELETRICIDADE CA

Aula 03 Fasores

Prof. Jos Daniel de Alencar Santos jdaniel@ifce.edu.br

Escola Tcnica Aberta do Brasil - ETEC Instituto Federal do Cear - IFCE

Fortaleza- CE 2015

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SUMRIO

Apresentao ........................................................................ 03 Tpico 1 - Para comeo de conversa .................................. 04 Tpico 2 - Operaes com nmeros complexos .................. 05 2.1 Consideraes iniciais ................................................... 05 2.2 Adio e subtrao ........................................................ 06 2.3 Multiplicao e diviso ................................................... 07 Tpico 3 Definies, expresses e diagrama fasorial ........ 09 3.1 Definio de fasor .......................................................... 09 3.2 Expresses e diagrama fasorial ..................................... 12 Concluso ............................................................................. 16 Referncias ........................................................................... 17

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Apresentao

Nesta aula, estudaremos inicialmente as operaes matemticas envolvendo os nmeros complexos para, em seguida, introduzirmos o conceito de fasores e suas expresses na anlise de circuitos em corrente alternada. Veremos que a representao fasorial ideal para tratar os circuitos em regime permanente e no domnio da frequncia. Vamos aula!

Objetivos Entender a importncia do estudo de fasores para a anlise de circuitos CA. Entender as operaes matemticas aplicadas aos nmeros complexos, que constituem a base para os fasores. Conhecer os conceitos e definies relacionados aos fasores para utiliz-los nos circuitos em corrente alternada. Compreender o diagrama fasorial e as expresses matemticas envolvidas.

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Tpico 1 - Para comeo de conversa

Nessa aula, utilizaremos o conceito de fasor para mostrar que as ondas senoidais de tenso e corrente podem ser facilmente expressas em termos desses fasores. Assim, torna-se mais simples a anlise dos circuitos CA, uma vez que trabalharemos apenas com a resoluo de equaes lineares simples.

Dessa forma, a anlise de circuitos lineares excitados por fontes senoidais tambm torna-se bem mais simples com a utilizao de fasores. Em alguns casos, a soluo destes circuitos fica impossvel se o conceito de fasor no fosse empregado.

A partir de agora, aplicaremos a anlise fasorial para tratarmos dos circuitos CA em regime permanente. Vale ressaltar ainda que, para avanarmos nesta aula, necessrio que estejamos bem familiarizados com a teoria dos nmeros complexos estudada na aula anterior.

Objetivo Entender a importncia do estudo de fasores para a anlise de circuitos CA.

De uma forma geral, um fasor um nmero complexo que representa a amplitude e a fase de uma senoide.

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Tpico 2 - Operaes com nmeros complexos

2.1 Consideraes iniciais Dado um nmero complexo genrico z = a + jb (forma cartesiana) ou z = r (forma polar), o seu complexo conjugado z* definido como:

A figura abaixo ilustra o complexo conjugado z* de um nmero z:

Fig. 3.1 Representao do complexo conjugado de um nmero z - ref. [5], pag.27

Objetivo Entender as operaes matemticas aplicadas na teoria dos nmeros complexos, que constituem a base para os fasores.

z* = a jb ou z* = r-

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2.2 Adio e subtrao

Dados dois nmeros complexos z1 = a1 + jb1 = r11 e z2 = a2 + jb2 = r22, a soma deles :

e a diferena :

A seguir, so mostrados alguns exemplos de adio e subtrao de nmeros complexos.

EXEMPLO 01: Para z1 = 3,7 + j6 e z2 = - 5 + j7, calcule: a) z1 + z2 b) z1 - z2

RESOLUO: a) z1 + z2 = (3,7 - 5) + j(6 + 7) = - 1,3 + j13 (forma retangular) = 13,06 95,71 (forma polar)

b) z1 - z2 = (3,7 + 5) + j(6 - 7) = 8,7 - j (forma retangular) = 8,76 -6,56 (forma polar)

z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

z1 - z2 = (a1 - a2) + j(b1 - b2)

mais conveniente executar a adio e a subtrao de nmeros complexos quando eles estiverem na forma cartesiana (retangular).

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2.3 Multiplicao e diviso

Dados dois nmeros complexos z1 = a1 + jb1 = r11 e z2 = a2 + jb2 = r22, o produto entre eles, na forma polar, :

J na forma retangular:

Para o quociente entre z1 e z2 na forma polar, podemos escrever:

E na forma retangular:

Para resolvermos a diviso na forma retangular o denominador deve ser racionalizado, ou seja, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado desse ltimo.

Dessa forma:

z1 z2 = r1 r21+2

z1 z2 = (a1 + jb1) (a2 + jb2) = (a1a2 - b1b2) + j(a1b2 + a2b1)

O resultado obtido atravs da multiplicao de termo a termo na expresso z1 z2.

Para compreender como alcanar este resultado, experimente resolver a expresso na forma retangular.

z1 / z2 = r1 / r21 - 2

Como podemos verificar, mais apropriado multiplicar ou dividir nmeros complexos quando estiverem na forma polar.

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EXEMPLO 02: Para z1 = 2 + j4 e z2 = 6 j8, calcule: a) z1 z2 b) z1 / z2

RESOLUO: a) z1 = 2 + j4 = 4,47 63,43 z2 = 6 j8 = 10,0 -53,13 z1 z2 = 44,7 10,3 = 43,98 + j7,99

b) z1 / z2 = 4,47 / 10 [63,43 - (-53,13)] = 0,447 116,56 = - 0,2 + j0,4

Observaes: Algumas propriedades dos nmeros complexos:

(Recproco)

(Complexo conjugado) (Potenciao) / (Radiciao)

As converses entre as formas polar e cartesiana podem ser feitas diretamente com o auxlio de uma calculadora cientfica. Ver procedimento em: http://www.youtube.com/watch?v=GjTEiePIUvE

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Agora que consolidamos os conceitos aprendidos na teoria dos nmeros complexos, introduziremos a definio de fasores no tpico seguinte.

Tpico 3 Definies, expresses e diagrama fasorial1

3.1 Definio de fasor

Como comentamos no incio da aula, as senoides podem ser facilmente representadas com a utilizao de fasores, ao invs de utilizar as funes seno e cosseno.

De uma forma bem simples, podemos definir o fasor como sendo um nmero complexo que representa a amplitude e a fase de uma senoide.

1 Tpico adaptado de ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de

Circuitos Eltricos. 1 ed. So Paulo: Bookman, 2003.

Objetivo Conhecer os conceitos e definies relacionados aos fasores para utiliz-los nos circuitos em corrente alternada. Compreender o diagrama fasorial e as expresses matemticas envolvidas.

Estudamos sobre a identidade de Euler na Aula 2.

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A ideia da representao fasorial baseada na identidade de Euler, que escrita como:

Dessa forma, temos:

Consideremos agora uma senoide v(t) = Vmcos(t + ) Ento, podemos expressar v(t) como:

ou ainda:

Dessa forma:

possvel escrever ainda a seguinte expresso:

Uma maneira de analisar um fasor considerando o grfico de Vejt = Vmej(t + ) no plano complexo.

cos = Re(ej) sen = Im(ej)

Podemos representar cos e sen como sendo as partes real e imaginria deej.

Vm= valor do pico = velocidade angular = fase da forma de onda

Estudamos no tpico 3 da Aula 1.

v(t) = Vmcos(t + ) = Re(Vmej(t + ))

v(t) = Re(Vmejejt)

v(t) = Re(Vejt)

V = Vmej = Vm

V = representao fasorial da senoide v(t).

O fasor a representao complexa da amplitude (Vm) e da fase () de uma senoide.

Re = parte real Im = parte imaginria

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Com o aumento do tempo, a funo executa um crculo de raio (Vm) a uma velocidade angular () no sentido anti-horrio, como apresentado na Fig. 3.2.

Podemos imaginar v(t) como a projeo de Vejt no eixo real, conforme tambm ilustrado na figura 3.2.

Fig. 3.2 Representao de Vejt (rotao no sentido anti-horrio e projeo no eixo real) - ref. [2], pag.27

Pelas equaes que vimos at aqui e pela ilustrao mostrada na Fig. 3.2, podemos fazer algumas observaes:

Observaes 1. O valor da funo v(t) para t = 0 o fasor V da senoide. 2. A funo v(t) pode ser lembrada como um fasor rotacional. 3. Sempre que a senoide for expressa por um fasor, o termo

ejt estar implicitamente presente. 4. Quando trabalhamos com fasores, devemos ter sempre em

mente a frequncia do fasor.

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3.2 Expresses e diagrama fasorial

Consideremos agora, por exemplo, os fasores Vg = Vg0 e I1 = I1- 1 mostrados na figura 3.3. Esta representao grfica chamada de diagrama fasorial.

Fig. 3.3 Diagrama fasorial mostrando Vg = Vg0 e I1 = I1-1 - ref. [6].

Esta representao grfica apresentada na figura 3.3 denominada diagrama fasorial.

Observaes 5. A equao v(t) = Re(Vejt) nos diz que, para se obter a senoide correspondente a um dado fasor V, este deve ser multiplicado pelo fator de tempo ejt antes que a parte real seja retirada. 6. Como se trata de uma grandeza complexa, um fasor pode ser representado na forma retangular, polar, trigonomtrica ou exponencial. 7. Como o fasor tambm possui amplitude e fase, ele se comporta como um vetor, sendo escrito com letras maisculas e em negrito.

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Pelas equaes fasoriais que estudamos at agora, podemos dizer que para obter um fasor correspondente a uma senoide, primeiro devemos expressar a senoide na forma de cosseno, de tal maneira que possa ser escrita como a parte real de um nmero complexo.

Na sequncia, retiramos o fator do tempo ejt,e o que sobra o fasor correspondente senoide.

Retirando o fator de tempo, transformamos a senoide do domnio do tempo para o domnio fasorial. Essa transformao resumida da seguinte forma:

cos + !"######$######% ' !"##$##%

domnio do tempo domnio fasorial

A partir da equao acima, observamos que, para obter a representao fasorial da senoide, devemos express-la na forma de cosseno, obtendo assim, a amplitude e a fase.

Percebam tambm que o fator de frequncia (ou de tempo) ejt suprimido, sendo que a frequncia no explicitamente expressa na representao no domnio fasorial, pois constante.

A tabela 3.1 apresenta um resumo da transformao temporal-fasorial.

Para aprofundar seus conhecimentos sobre os fasores, consulte o captulo 2 de nossa apostila e pesquise tambm em outras fontes.

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Forma Temporal Forma Fasorial

Vcos(t + ) V Vsen(t + ) V-90 Icos(t + ) I Isen(t + ) I-90

A seguir, alguns exemplos resolvidos, para compreendermos melhor a teoria de fasores.

EXEMPLO 03: Transforme as seguintes senoides em fasores: a) v(t) = 4sen(30t + 50)V (I) Primeiro, transformaremos a expresso em um cosseno. (II) Depois, utilizaremos a seguinte propriedade:

sen(A) = cos (A - 90)

Diferenas entre v(t) (temporal) e V (fasorial) 1. v(t) a representao instantnea ou no domnio do tempo. V a representao na frequncia ou no domnio fasorial. 2. v(t) depende do tempo, mas V no. 3. v(t) sempre real, sem termo complexo. V geralmente complexo. 4. A anlise fasorial aplica-se apenas quando a frequncia constante. Somente aplicada na manipulao de dois ou mais sinais senoidais quando tiverem a mesma frequncia.

Relembre que na Aula 1 vimos a propriedade sen(A) = cos (A - 90)

Tab. 3.1 Transformao senoide-fasor.

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(III) Assim, a expresso para v(t) fica: v(t) = 4cos(30t + 50 - 90) = 4cos(30t - 40)

(IV) Portanto: V = 4 -40 V

b) i(t) = 6cos(50t - 40)A Portanto: I = 6 - 40 A

EXEMPLO 04: Dadas i1(t) = 4cos(wt + 30) e i2(t) = 5sen(wt - 20), determine i1(t) + i2(t). (I) Inicialmente, transformaremos as duas senoides em fasores. Assim:

I1 = 4 30 (II) Como i2(t) est escrito na forma de um seno, precisamos primeiro transform-lo em um cosseno:

i2(t) = 5cos(wt - 20 - 90) = 5cos(wt - 110)

Portanto: I2 = 5 - 110

(III) Agora, os dois fasores sero escritos na forma retangular: I1 = 4 30 = 3,46 + j2

I2 = 5 - 110 = -1,71 j4,69 (IV) Dessa forma:

I1 + I2 = (3,46 1,71) + j(2 4,69) = 1,75 j2,69

(V) Transformando a soma fasorial acima na forma polar: I1 + I2 = 3,2 - 56,95

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(VI) Finalmente: i1(t) + i2(t) = 3,2cos(wt 56,95)

Os exerccios acima mostram exemplos de transformaes de senoides em fasores, alm de operaes matemticas entre eles. A partir de agora, com esses conceitos bem consolidados, estamos aptos para iniciar a anlise dos circuitos em corrente alternada. Esse ser o assunto da prxima aula.

Concluso

Nessa aula, aprendemos sobre os nmeros complexos, compreendendo as operaes matemticas aplicadas sobre eles.

Em seguida, vimos o conceito de fasores e a representao de tenses e correntes alternadas na forma fasorial, o que facilita muito a anlise dos circuitos CA.

Agora estamos aptos a aprender importantes conceitos como impedncia e admitncia em circuitos de corrente alternada. Esse inclusive ser o assunto da nossa prxima aula.

Bem, agora leiam novamente e reflitam sobre o contedo visto nessa aula. No se esquea de sempre dar uma conferida em nossa biblioteca virtual.

Bom trabalho a todos!

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Referncias

[1] ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de Circuitos Eltricos. 1 ed. So Paulo: Bookman, 2003.

[2] PEREIRA, A. H. Eletricidade CA. Apostila, 2010.

[3] FREITAS, J. A. L.; ZANCAN M. D. Eletricidade. Santa Maria: Universidade Federal: Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria, 2008.

[4] O'MALLEY, J. Anlise de Circuitos. 2 ed. So Paulo: Makron Books, 1993.

[5] ALBUQUERQUE, R. O. Anlise de Circuitos em Corrente Alternada. 2 ed. So Paulo: Editora rica, 2011.

[6]Eletrnica 24h. Anlise de Circuitos em Corrente Alternada. Aula 17: Correo do Fator de Potncia.Disponvel em:http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/aparte3/aulas/aula017.html. Acesso em: 20/01/2014.