Aula 04 “Sistemas” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt04p.pdf · O corpo humano é também um exemplo de sistema, e de um sistema bastante sofis- ticado,

Aula 04 “Sistemas”

Análise de Sinais – Sistemas______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Introdução à Teoria de Sistemas A noção de sistemas é intuitiva. Quase tudo que nos rodeia é algum tipo de sistema. Qualquer mecanismo, ou dispositivo, que funcione como a interconexão de componen-tes físicos é um sistema.

Um circuito eléctrico, (com resistências, bobinas e condensadores); ou um circuito electrónico (com transístores, díodos, etc.) são exemplos de sistemas.

circuito eléctrico circuito electrónico


Um simples mecanismo como uma alavanca, ou um mecanismo mais complexo como o motor de um carro são também exemplos de sistemas.

alavancamotor de um carro

Um automóvel, um robô ou um avião são outros exemplos de sistema.

São sistemas mais complexos pois dentro deles têm muitos circuitos eléctricos e electrónicos assim como muitos mecanismos.

Ou seja, são sistemas que possuem dentro outros sistemas, ou subsistemas.


O corpo humano é também um exemplo de sistema, e de um sistema bastante sofis-ticado, cheio de subsistemas: o sistema circulatório, o sistema respiratório, o apare-lho digestivo, o sistema nervoso, etc., etc.

Na verdade, o corpo humano de cada pessoa é um sistema diferente. E cada órgão deste, (seja o cérebro, ou o coração, ou os pulmões, ou o fígado, ou os rins, ou o intestino, ou o pâncreas, etc.), também é um sistema por si só, ou seja, é um subsistema do mesmo.


Entretanto, há muitos outros sistemas menos palpáveis que estes mencionados acima, como por exemplo:

o aquecimento de uma casa; o funcionamento dos elevadores de um edifício; a automação de uma fábrica; a gestão e a economia de um país; etc.

O sistema de elevadoresde um prédio grande

o sistema de automação de uma indústria

Sistema

É comum se representar sistemas esquematicamente através de uma caixa preta (black box)

entrada saída

Outros nomes para entrada e saída ?


Os sinais que estudamos aqui, em geral, estão associados a algum sistema. Eles podem representar, por exemplo, a entrada de um sistema, ou alternativamente, a saída do sistema.

entrada saída (“input”) (“output”)controlo resposta excitação observação

Sistema


Na realidade muitos sistemas têm não apenas uma entrada e uma saídamas múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas.

Caixa preta (black box) de um sistema com múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas

Sistemaentradas saídas


Existe uma forma de representar sistemas usando blocos e por isso chamada de “diagrama de blocos”.

Sistemaentrada saída

Na realidade a caixa preta (black box) é um diagrama de blocos com apenas um bloco.


Outros exemplos de “diagrama de blocos”.


Análise de Sinais – Classificação de Sistemas ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Classificação de Sistemas

elétricos; informáticos;

eletrónicos; aeronáuticos;

mecânicos; aeroespaciais;

eletromecânicos; biológicos;

térmicos; biomédicos;

hidráulicos; económicos;

ópticos; sociológicos;

acústicos; socioeconómicos;

químicos; etc.

a maioria dos sistemas complexos são combinações de vários subsistemas de naturezas diferentes

Natureza física

Análise de Sinais – Classificação de Sistemas ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Equipamentos médicos numa sala de cirurgia, exemplos de sistemasdesenvolvidos na engenharia biomédica.

Natureza física

Análise de Sinais – Classificação de Sistemas______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Portanto, no campo da saúde também encontramos muitos sistemas de bioengenharia, ou seja, sistemas biológicos e biomédicos em simultâneo com sistemas mecânicos, elétricos ou eletrónicos.

Um membro artificial, ou cada aparelho utilizados em cirurgias são alguns exemplos de sistemas biomédicos

Natureza física


contínuos discretos discretizados

Continuidade no Tempo


Quando o sistema que foi digitalizado é armazenado em “bits” (sequências de “zeros” e “uns”) então diz-se que o sistema foi digitalizado.

Continuidade no Tempo


A digitalização não é o mesmo que a discretização. Normalmente são usados muitos “bits” para armazenar cada posição discreta.

Isso é o caso sistemas digitais de áudio (música em mp3) ou de vídeo, e até mesmo os exames de eletrocardiogramas e eletroencefalogramasque são armazenados digitalmente no computador.

linearesnão lineares

Linearidade


homogeneidade: quando a entrada x é multiplicada por um valor k; então a saída y fica também multiplicada por este mesmo valor k;

Linearidade


aditividade: quando a entrada é a soma de x1 e x2, que produzem individualmente as saídas y1 e y2 respectivamente; então a saída é a soma das saídas y1 e y2.

Para um sistema ser linear deve satisfazer as duas propriedades: homogeneidade aditividade

caso contínuo

Linearidade


homogeneidade

aditividade

caso discreto

Linearidade


homogeneidade

aditividade

Caixa preta (black box) diagrama esquemático de um sistema caso discreto

Caixa preta (black box) diagrama esquemático de um sistema caso contínuo

Modelização de Sistemas


• com Equações de Diferenças [caso discreto]

• com Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) [caso contínuo]

• com Equações Diferenciais Parciais (EDP) [caso contínuo]

• com Equações de Retardo [caso contínuo]

• com Tabelas [caso discreto]

• com Fluxogramas ou Gráfico de fluxos [caso discreto ou contínuo]

• com Equações Integrais [caso contínuo]

• com Equações Integro-Diferenciais [caso contínuo]

Modelização de Sistemas


x3dt

dxy

dt

dy4

dt

yd2

2

+=−+x)4t(dt

dxy

dt

dyt6

dt

yd2

2

−−=++

)3t(xdt

dxy2

dt

dy5

dt

yd2

2

+−=++xxyy2y3 ′=+′−′′

xeyy2y10 =−′+′′ 0ydt

dyx

dt

yd2

2

=++

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1nx4nx2ny21ny7ny −−=−+−+

[ ] [ ]1nx4ny −−=

[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−−

[ ] [ ]( ) [ ]nx4nx2ny2 −= [ ] [ ]3 2

nxny =

Equações de Diferenças

Análise de Sinais – Modelização de Sistemas______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

‘equação de onda’ (“wave equation”)

)uuu(kz

u

y

u

x

uk

t

uzzyyxx2

2

2

2

2

2

2

2

++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

‘equação de calor’ (“heat equation”)

)uuu(kz

u

y

u

x

uk

t

uzzyyxx2

2

2

2

2

2

++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

Equações Diferenciais Parciais (EDP)


Equações de Retardo

Equações Algébricas

) x(t y(t) δ−=x(t))y(t3y(t) (t)y' =τ−−+

5 x(t)2 y(t) −=

2x(t) (t)x y(t) 2 +−=6x[n][n]5x [n] x y[n] 23 ++=

0,5cos(x[n]) y[n] +=

]nx[n5y[n] δ−=

Equações de Retardo e Equações Algébricas


x3dt

dxy

dt

dy4

dt

yd2

2

+=−+

x)4t(dt

dxy

dt

dyt6

dt

yd2

2

−−=++

)3t(xdt

dxy2

dt

dy5

dt

yd2

2

+−=++

xxyy2y3 ′=+′−′′

xeyy2y10 =−′+′′

0ydt

dyx

dt

yd2

2

=++

sistema contínuo e linear



sistema contínuo e não linear



Exemplos de classificação de sistemas:


Continuidade no tempo e Linearidade

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1nx4nx2ny21ny7ny −−=−+−+

[ ] [ ]1nx4ny −−=

[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−−

[ ] [ ]( ) [ ]nx4nx2ny2 −=

[ ] [ ]3 2nxny =

sistema discreto e linear



sistema discreto e não linear





‘equação de onda’ (“wave equation”)

)uuu(k

z

u

y

u

x

uk

t

u

zzyyxx

2

2

2

2

2

2

2

2

++=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

‘equação de calor’ (“heat equation”)

)uuu(k

z

u

y

u

x

uk

t

u

zzyyxx

2

2

2

2

2

2

++=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂






) x(t y(t) δ−=

x(t))y(t3y(t) (t)y' =τ−−+

7 x(t)2 y(t) −=




32x(t) (t)x y(t) 2 +−−=

x[n]2 y[n] −=

x[n])cos(21 y[n] ⋅π−=




]nx[n5y[n] δ−= sistema discreto e linear




variantes no tempo invariantes no tempo

Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t), o sinal de saída é y(t), não importa quando é aplicada esta entrada.

Na realidade, nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática consideramos como invariante no tempo muitos sistemas cuja variação no tempo é muito lenta.

Variância no tempo


[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−−sistema variante no tempo

x)4t(dt

dxy

dt

dyt6

dt

yd2

2

−−=++sistema variante no tempo

SLIT - Sistemas lineares e Invariantes no tempoLTI systems



Variância no tempo

Definição:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1nx4nx2ny21ny7ny −−=−+−+

[ ] [ ]1nx4ny −−=

[ ] [ ]( ) [ ]nxn3nx2ny2 −= sistema variante no tempo

sistema invariante no tempo

sistema invariante no tempo

sistema invariante no tempox3dt

dxy

dt

dy4

dt

yd2

2

+=−+



Variância no tempo

sistema variante no tempo0tydt

dyx

dt

yd2

2

=++

xxyy2y3 ′=+′−′′ sistema invariante no tempo

)3t(xdt

dxy2

dt

dy5

dt

yd2

2

+−=++ sistema invariante no tempo



Variância no tempo

determinísticos estocásticos

Um sistema determinístico é aquele que não sofre a influência de nenhuma perturbação aleatória, ou seja, não tem incerteza. O sinal de saída y(t) para um sinal de entrada x(t) pode ser calculado (ou “determinado”) com precisão quando se conhece o modelo do sistema.

Na realidade, nenhum sistema é determinístico. Todos os sistemas têm algum tipo de incerteza ou carácter aleatório e portanto chamados de estocásticos.

Natureza aleatória


sem memóriacom memória

Um sistema sem memória é aquele que: se o seu sinal de saída no instante t

1depende apenas do sinal de entrada daquele instante t

1.

pois a saída y[n], ou y(t), depende da entrada x[n], ou x(t), apenas nos instantes de tempo (‘t’ ou ‘n’).

[ ] [ ]( ) [ ]nx4nx2ny2 −= sistema sem memória

32x(t) (t)x y(t) 2 +−−= sistema sem memória

Memória


[ ] [ ]3 2nxny = sistema sem memória

7 x(t)2 y(t) −= sistema sem memória

x[n]2 y[n] −= sistema sem memória

x[n])cos(21 y[n] ⋅π−= sistema sem memória



Memória

inversíveisnão inversíveis

Sistemas são inversíveis se entradas distintas levam a saídas distintas.

é possível achar um sistema inverso S-1 cuja entrada y[n], ou y(t), produz a saída x[n], ou x(t), respectivamente.

7 x(t)2 y(t) −=

x[n]2 y[n] −=

sistema inversível

sistema inversível

Inversibilidade


x(t) = ½ (y(t) + 7) x[n] = – y[n]/2

Nestes sistemas, cada sinal de entrada x produz um sinal de saída yexclusivo, diferente das saídas das outras entradas.

Por isso o sinal de entrada x pode ser expresso em termos do sinal de saída y como:

Inversibilidade


y(t) = 2 x(t) – 7 y[n] = – 2 x[n]

y(t) = x(t – δ)

sistema com retardo (“time delay system”)

a saída y(t) reproduz a entrada x(t) com um atraso de δ unidades de tempo

x(t) = y(t + δ)

sistema em avanço (“time advance system”)

o sinal de saída x(t) reproduz o que será o sinal de entrada y(t) em δunidades de tempo depois.



Inversibilidade caso contínuo

y[n] = x[n – nδ ]

sistema com retardo (“time delay system”)

a saída y[n] reproduz a entrada x[n] com um atraso de δ unidades de tempo

x[n] = y[n + nδ]

sistema em avanço (“time advance system”)

o sinal de saída x[n] reproduz o que será o sinal de entrada y[n] em δunidades de tempo depois.

sistema com retardo e sistema em avanço são sistema inversíveis e um é o inverso do outro



Inversibilidade caso discreto

causais (ou não antecipativos)não causais (ou antecipativos)

Um sistema é causal (ou não antecipativo) se a saída no instante t1 depende da entrada apenas nos instantes t < t1.

se a saída no instante t1 dependesse da entrada em instantes t > t1 então este sistema anteciparia o que ia acontecer e portanto seria “antecipativo” ou não causal.

No nosso mundo físico real, se a variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) representa o tempo, então tem uma dinâmica que evolui no tempo e portanto não é possível se ter um sistema ‘não causal’ pois não é possível se prever o futuro.

Entretanto, há casos que a esta variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) pode representar outro parâmetro ou uma outra grandeza física (que não seja o tempo) e desta forma já é possível ocorrer sistemas causais.

Causalidade


Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT)Linear time invariant systems (LTI systems)

h(t) “resposta impulsional”

h[n] “resposta impulsional”

Linear time invariant systems (LTI systems)Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT):


integral de convolução

(caso contínuo)

τ⋅τ⋅τ−=

∗=

∞+

∞−d)(x)t(h

)t(x)t(h)t(y



eq. (4.01)

soma de convolução[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]kxknh

nxnhny

k

⋅−=

∗=

∞+

−∞=

(caso discreto)



eq. (4.02)

Distributiva

[ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnxnh ∗=∗

)t(h)t(x)t(x)t(h ∗=∗

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnxnhnxnhnh 2121 ∗+∗=∗+

( ) )t(x*)t(h)t(x)t(h)t(x)t(h)t(h 2121 +∗=∗+

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )nxnhnhnxnhnh 2121 ∗∗=∗∗

( ) ( ))t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(h 2121 ∗∗=∗∗

Propriedades da Convolução:

Análise de Sinais – Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT)______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Comutativa

Associativa


Ilustração da Propriedade Distributiva:

( ) )t(x*)t(h)t(x)t(h)t(x)t(h)t(h 2121 +∗=∗+

(caso contínuo)

Diagrama de bloco esquemático da soma de 2 sistemas S1 e S2 nos quais são aplicados a mesma entrada x(t)


Ilustração da Propriedade Associativa:A propriedade associativa da convolução diz respeito à sistemas ligados em cascata. Isto é, sistemas em que a saída de um deles é a entrada do outro.

Se 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), estão ligados em

cascata então a resposta impulsional dos 2 sistemas juntos ( S1 e S2 ) é

a convolução ( h1[n] * h2[n] ), no caso discreto, ou

a convolução ( h1(t) * h2(t) ), no caso contínuo.

(caso discreto)

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )nxnhnhnxnhnh 2121 ∗∗=∗∗


SLIT sem memória:É fácil de verificar que, no caso discreto, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h[n] é da forma:

[ ] [ ]nuknh o= onde k = h[0] é uma constante.

Portanto, pela fórmula da convolução [eq. (4.02)], temos que:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kxknukkxknhnxnhnyk

o

k

⋅−=⋅−=∗= +∞

−∞=

+∞

−∞=

e então, pela a eq. (3.3)

[ ] [ ]nxkny ⋅=


SLIT sem memória:Por outro lado, no caso contínuo, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h(t) é da forma:

)t(uk)t(h o= onde k = área do impulso uo(t).

Portanto, pela fórmula da convolução [eq. (4.01)], temos que, em sistemas SLIT sem memória:

τ⋅τ⋅τ−=τ⋅τ⋅τ−=∗= +∞

∞−

+∞

∞−d)(x)t(ukd)(x)t(h)t(x)t(h)t(y o

e então, pela a eq. (3.13)

)t(xk)t(y =


SLIT inversíveis:Se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é inversível então o seu inverso também é um SLIT.

h1[n] = a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e

h2[n] = a resposta do sistema inverso, S–1, à entrada impulso unitário.

h1(t) = a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e

h2(t) = a resposta do sistema inverso, S–1, à entrada impulso unitário.

(caso discreto)

(caso contínuo)

No caso discreto temos que o sistema total (“overall system”), em cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x[n], e portanto este sistema total é a identidade.

E, como para o sistema identidade, a resposta impulsional h[n] = uo[n],temos então que:

h1[n] * h2[n] = uo[n] eq. (4.03)


SLIT inversíveis:

eq. (4.04)


SLIT inversíveis:

Semelhantemente, no caso contínuo temos que o sistema total (“overall system”), em cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x(t), e portanto este sistema total é a identidade

E, como para o sistema identidade, a resposta impulsional h(t) = uo(t), temos então que:

h1(t) * h2(t) = uo(t)


Exemplo A: Os sistemas com retardo (“time delay systems”) já descritos acima

y[n] = x[n – nδ ]

y(t) = x(t – δ)

(caso discreto)

(caso contínuo)

são SLIT e temos que as respostas ao impulso unitário h1(t) e h2(t) para estes sistemassão respectivamente:

h1(t) = uo(t – δ)

h2(t) = uo(t + δ)

e, pela eq. (3.10), verifica-se que h1(t) e h2(t) satisfazem a eq. (4.04) acima, ou seja,

h1(t) * h2(t) = uo(t).

Por outro lado temos que as respostas ao impulso unitário h1[n] e h2[n] para estes sistemas são respectivamente:

h1[n] = uo[n – nδ ]

h2[n] = uo[n + nδ]

e, pela eq. (3.3), verifica-se que h1[n] e h2[n] satisfazem a eq. (4.03) acima, isto é,

h1[n] * h2[n] = uo[n]


EstabilidadeHá muitas definições de estabilidade de sistemas.

Uma definição bastante usada para definir estabilidade de sistemas é a seguinte:

Um sistema é estável se para todo sinal de entrada limitado ele produz um sinal de saída limitado.

Às vezes usa-se a sigla BIBO estável para se referir a esta definição de estabilidade de sistemas.

BIBO = Bounded Input, Bounded Output

(ou seja: “entrada limitada, saída limitada”)

No caso de SLIT (sistemas lineares e invariantes no tempo) temos resultados espe-cíficos para este tipo de estabilidade:

Para um SLIT discreto prova-se que: O sistema é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h[n] satisfaz


Estabilidade

[ ] ∞∞

−∞=

<khk

eq. (4.05)

Um sinal h[n] que satisfaz a equação eq. (4.05) é dito ser absolutamente somável.

Portanto, um SLIT discreto é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h[n] é absolutamente somável.

Para um SLIT contínuo prova-se que: O sistema é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h(t) satisfaz

∞τ⋅τ∞

∞−

<d)h( eq. (4.06)

Um sinal h(t) que satisfaz a equação eq. (4.06) acima é dito ser “absolutamente integrável”.

Portanto, um SLIT contínuo é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h(t) é absolutamente integrável.


Exemplo B:Tomando-se novamente os sistemas com retardo (“time delay systems”) descritos no Exemplo A acima

y[n] = x[n – nδ ] (caso discreto)

y(t) = x(t – δ) (caso contínuo)

observamos que, no caso discreto

[ ] [ ] 1nnukhk

o

k

=−= ∞

−∞=

∞

−∞=δ

e portanto a eq. (4.8) é satisfeita e o sistema com retardo discreto é estável.

Semelhantemente, observamos que, no caso contínuo

1d)(ud)h( o =τ⋅δ−τ=τ⋅τ ∞

∞−

∞

∞−

e portanto a eq. (4.9) é satisfeita e o sistema com retardo contínuo também é estável.

Este resultado é de certa forma óbvio pois um sinal de entrada limitado irá permanecer limitado após uma translação (shift) para a direita (retardo).


Exemplo C:O sistema discreto cuja relação entre os sinais de entrada/saída é dada pela equação abaixo:

[ ] [ ]∞

−∞=

=k

kxny é chamado de “somador” ou “acumulador”.

É fácil observar que h[n], a resposta ao impulso unitário, para este sistema é

h[n] = u1[n] = degrau unitário discreto.

Este sistema não é estável pois nitidamente não satisfaz a eq. (4.8) uma vez que:

[ ] [ ] ∞=+++== ∞

−∞=

∞

−∞=

)111(kukhk

1

k

…

Ou seja, h[n] deste sistema não é absolutamente somável.


Exemplo D:No caso contínuo, o sistema cuja relação entre os sinais de entrada/saída é dada pela equação abaixo:

( ) ( ) τ⋅τ= ∞−dxty

t é chamado de “integrador”

ou “acumulador”.

É fácil observar que h(t), a resposta ao impulso unitário, para este sistema é

h(t) = u1(t) = degrau unitário contínuo.

Este sistema não é estável pois nitidamente não satisfaz a eq. (4.9) uma vez que:

∞=τ=τ⋅τ=τ⋅δ−τ=τ⋅τ∞∞∞∞

∞−

02

dd)(ud)h(2

00

1

Ou seja, h(t) deste sistema não é absolutamente integrável.

Alguns tópicos que são estudados na Teoria de Sistemas

Análise de Sinais – Teoria de Sistemas______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O que vimos aqui neste capítulo foram apenas algumas noções básicas de sistemas.

Entretanto, a Teoria de Sistemas é muito mais ampla e inclui muitos outros temas de estudo.

• Modelização (‘modeling’)

• Identificação de parâmetros

• Controlo de sistemas

• Optimização

• Simulação

• Realimentação (‘feedback’)

• Estimação de estado

Alguns tópicos que são estudados na Teoria de Sistemas


• Estabilidade

• Sistemas robustos

• Sistemas tolerantes à falhas

• Processamento paralelo ou distribuído

• Sistemas ‘fuzzy’

• Sistemas inteligentes

entrada saída

input output

controlo resposta

excitação observação

Caixa preta(black box)

o reconhecimento de coisas e objetos

o reconhecimento de pessoas

tarefas do nosso dia a dia como: caminhar, falar, ler, escrever, subir e descer escadas, lembrar de nomes, factos ou coisas, conduzir (um veículo), identificar uma placa de trânsito, cozinhar, costurar, etc. etc.

tarefas como: cantar, dançar, tocar um instrumento, compor,redigir um texto, pintar um quadro, ou outras actividades que envolvem arte.

Sistemas inteligentes


entradas saídas

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